MATEMATICAS II GUÍA DIDÁCTICA SEGUNDO SEMESTRE https://guao.org/biblioteca/geometria_y_trigonometria DATOS DEL ESTUDIANTE Nombre: __________________________________________________ Plantel: ___________________________________________________ Grupo:_____________ Turno: _________________ No olvides los días de las clases de Matemáticas Coloca en la tabla los días que tengas clases de Matemáticas 2 y en qué clase del día Clases en el día 1ª Clase 2ª Clase 3ª Clase 4ª Clase 5ª Clase 6ª Clase 7ª Clase LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO MTRO. ERASMO MARTÍNEZ RODRÍGUEZ Director General C.P. SONIA LÓPEZ IZQUIERDO Directora Académica DRA. GISELLE OLIVARES MORALES Subdirectora de Planeación Académica MTRA. ALEJANDRINA LASTRA COLORADO Jefe de Departamento de Programas de Estudio DR. REYLE MAR SARAO Jefe de Materia ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II Segunda Edición: Enero 2021 En la realización de la presente actualización del material, participaron los docentes adscritos al Colegio de Bachilleres de Tabasco que a continuación se relaciona: DOCENTE SEDE Juan Manuel Montero Hernández* Plantel 01 Diana Emily Peregrino Jiménez* Plantel 03 Lorenzo Mendoza Gómez* Plantel 05 Víctor Manuel Hernández Hernández* Plantel 14 Seydi Guadalupe De la O Colomé * Plantel 21 *Docente Experto Primera Edición: Enero 2020 DOCENTE Carlos Alberto García Magaña SEDE B.I. 01 Juan Manuel Montero Hernández* Plantel 01 Moisés Jiménez Jiménez Plantel 01 DOCENTE SEDE Diana Emily Peregrino Jiménez* Plantel 03 Gabriel Ulín Martínez Plantel 05 Lorenzo Mendoza Gómez* Plantel 05 Daniel Pérez Acosta Plantel 07 José Antonio Bocanegra Herrera Plantel 11 Víctor Manuel Hernández Hernández* Plantel 14 Seydi Guadalupe De La O Colomé* Plantel 21 Fabián Arturo Pérez Balcázar Plantel 24 Carlos Alberto García Vivas Plantel 25 Marcela Mendoza Sánchez Plantel 28 Hernán Gómez Rodríguez Plantel 29 Román Antonio Chablé Olán* Plantel 30 Efrén Sandoval Romero Plantel 30 Manuel Torres Ulín Plantel 32 José Armando Leyva Gamboa Plantel 34 María América Arias Hernández Plantel 35 Antonio López Hernández Plantel 37 Raquel Romero Quiroga Plantel 40 José Juan Cano Olán Plantel 41 Luis Manuel Cerino Pérez Plantel 51 Este material fue elaborado bajo la coordinación y supervisión del Departamento de Programas de Estudio de la Dirección Académica del Colegio de Bachilleres de Tabasco, concluyendo en el mes de enero del 2021 ©Derechos en proceso de registro Queda prohibida la reproducción total o parcial de este material por cualquier medio electrónico o mecánico, sin autorización del COBATAB. Para uso interno de la Comunidad del Colegio de Bachilleres de Tabasco (COBATAB) www.cobatab.edu.mx Contenido PRESENTACIÓN .............................................................................................................................................. 1 COMPETENCIAS GENÉRICAS ...................................................................................................................... 3 COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS ............................................................................................. 7 ENFOQUE DE LA DISCIPLINA ...................................................................................................................... 8 UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA .............................................................................................................. 9 RELACIÓN DE LOS CONTENIDOS CON LOS APRENDIZAJES CLAVES ............................................... 9 EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS ........................................................................................................ 10 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN .......................................................................................................... 12 BLOQUES DE APRENDIZAJES.................................................................................................................... 14 BLOQUE I. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOSLINOMIALES ............................................................................ 17 MAT2-B1-SD01 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 1 .................................................................................... 19 MAT2-B1-G01 Guía de observación para evaluar Maqueta o Dibujo del Domo ........................................ 20 MAT2-B1-ED01 Evaluación diagnóstica BI “Ángulos y Triángulos” ........................................................ 21 MAT2-B1-TAREA01................................................................................................................................... 22 Cuadro Comparativo de Ángulos y Triángulos ............................................................................................ 22 MAT2-B1-LC01 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 01 Cuadro Comparativo ............................................ 23 MAT2-B1-TAREA02................................................................................................................................... 24 Trazos geométricos “Rectas y Puntos Notables” .......................................................................................... 24 OPCIONAL .................................................................................................................................................. 24 MAT2-B1-LC02 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 02 Trazos Geométricos ............................................. 27 MAT2-B1-TAREA03................................................................................................................................... 28 Problemario 01: Teorema de Tales y Teorema de Pitágoras ........................................................................ 28 MAT2-B1-LC03 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 03 Problemario 01 .................................................... 34 MAT2-B1-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados ...................................... 35 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................. 36 BLOQUE II. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS ................................................................................... 37 MAT2-B2-SD02 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 2 .................................................................................... 39 MAT2-B2-GO02 Guía de observación para evaluar Diseño de Contenedores de Basura ........................... 40 MAT2-B2-ED02 Evaluación diagnóstica BII “Propiedades de los Polígonos” ........................................... 41 MAT2-B2-TAREA04................................................................................................................................... 42 Problemario 02: Elementos de los Polígonos ............................................................................................... 42 MAT2-B2-LC04 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 04 Problemario 02 .................................................... 46 MAT2-B2-TAREA05................................................................................................................................... 47 Problemario 03: Poliedros ............................................................................................................................ 47 MAT2-B2-LC05 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 05 Problemario 03 ................................................. 48 MAT2-B2-MA02 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados ................................... 49 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................. 50 BLOQUE III. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA ........................................................................... 52 MAT2-B3-SD03 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 3 .................................................................................... 54 MAT2-B3-G007 Guía de observación para evaluar Plano o Croquis Distribución de Lámparas ................ 55 MAT2-B3-ED03 Evaluación diagnóstica BIII “Elementos de la Circunferencia”....................................... 56 MAT2-B3-AC01 .......................................................................................................................................... 57 FICHA 6.6. Cuando llega el huracán............................................................................................................ 57 MAT2-B3-TAREA06................................................................................................................................... 60 GLOSARIO: Elementos de la Circunferencia .............................................................................................. 60 MAT2-B3-GO03 Guía de observación para evaluar Tarea 06 Glosario ...................................................... 63 MAT2-B3-AF01 ........................................................................................................................................... 64 MAT2-B3-TAREA07................................................................................................................................... 66 Problemario 04: Área y Perímetro de una Circunferencia ............................................................................ 66 MAT2-B3-GO04 Guía de observación para evaluar Tarea 07 Problemario 04 ........................................... 68 Problemario 05: Propiedades de los Ángulos en la Circunferencia .............................................................. 69 MAT2-B3-GO05 Guía de observación para evaluar Tarea 08 Problemario 05 ........................................... 72 MAT2-B3-LECTURA01 ............................................................................................................................. 73 ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS .................................................................................................... 73 MAT2-B3-TAREA09................................................................................................................................... 75 Problemario 06: Áreas de regiones sombreadas en la circunferencia ........................................................... 75 MAT2-B3-GO06 Guía de observación para evaluar Tarea 09 Problemario 06 ........................................... 78 MAT2-B3-MA03 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados ...................................... 79 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................. 80 BLOQUE IV. RAZONES TRIGONÓMETRICAS ......................................................................................... 81 BLOQUE V. FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS ....................................................................................... 81 BLOQUE VI. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS DE LOS POLÍGONOS ................................................ 81 MAT2-B4_B5_B6-SD04 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 4 ...................................................................... 84 MAT2-B1-G01 Guía de observación para evaluar Diagrama de Trayectorias ............................................. 85 MAT2-B4_B5_B6-ED04 Evaluación diagnóstica BIV “Razones Trigonométricas” BV “Funciones Trigonométricas” BVI “Triángulos Oblicuángulos” .................................................................................... 86 MAT2-B4-LECTURA01 ............................................................................................................................. 89 RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................. 89 MAT2-B4-TAREA10................................................................................................................................... 90 Tabla comparativa: Razones Trigonométricas ............................................................................................. 90 MAT2-B2-LC06 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 10 Tabla Comparativa .............................................. 91 MAT2-B4-LECTURA02 .......................................................................................................................... 92 VALORES EXACTOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................ 92 MAT2-B4-TAREA11................................................................................................................................... 95 Calcula mis lados y ángulos ocultos ............................................................................................................. 95 MAT2-B4-GO08 Guía de observación para evaluar Tarea 11 Calcula mis lados y ángulos ocultos ........... 96 MAT2-B5-LECTURA01 ............................................................................................................................. 97 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................................... 97 MAT2-B5-TAREA12................................................................................................................................... 99 Collage Funciones Trigonométricas ............................................................................................................. 99 MAT2-B5-LC07 Lista de cotejo para evaluar Tarea 12 Collage Funciones Trigonométricas ................... 100 MAT2-B5-LECTURA02 ........................................................................................................................... 101 PROBLEMAS APLICADOS CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ............................................. 101 MAT2-B5-LECTURA03 ........................................................................................................................... 104 ÁNGULOS DIRIGIDOS ............................................................................................................................ 104 MAT2-B5-TAREA13................................................................................................................................. 107 Tabla comparativa: Círculo Unitario .......................................................................................................... 107 MAT2-B5-EE01 Escala estimativa para evaluar Tarea 13 Círculo Unitario .............................................. 108 MAT2-B6-LECTURA01 ........................................................................................................................... 109 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ........................................................................................................ 109 MAT2-B6-TAREA14................................................................................................................................. 111 Mapa Conceptual ........................................................................................................................................ 111 MAT2-B5-GO09 Guía de observación para evaluar Tarea 14 Mapa Conceptual ...................................... 112 MAT2-B6-LECTURA01 ........................................................................................................................... 113 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS .......................................................................................................... 113 MAT2-B6-TAREA15................................................................................................................................. 116 Problemario 07: Leyes de Senos y Cosenos ............................................................................................... 116 MAT2-B6-LC08 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 15 Problemario 07 .................................................. 119 MAT2-B2-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados .................................... 120 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................ 122 PRESENTACIÓN En la búsqueda de estrategias para el fortalecimiento del desarrollo de competencias tanto en la enseñanza del docente como en aprendizaje de los estudiantes, y con la finalidad de homogenizar el lenguaje académico en el desarrollo de las planeaciones didácticas de las diversas asignaturas que conforman el segundo semestre de la EMS regidas por la DGB. La Dirección General del Colegio de Bachilleres de Tabasco, a través de la participación de docentes del área de matemáticas adscritos a diferentes planteles, se ha dado a la tarea de aprovechar la potencialidad en la experiencia de la enseñanza de las matemáticas en el aula, y se ha desarrollado esta guía para el estudiante que facilite a la vez el trabajo docente de MATEMATICAS II. En ella se señalan los aspectos curriculares propios de la asignatura mostrando la distribución de los diferentes bloques que la conforman, relacionados con los aprendizajes claves, así como las competencias genéricas y disciplinares básicas a desarrollar. De acuerdo con el propósito de cada uno de ellos y a los aprendizajes esperados se muestra por cada bloque(s) una tabla con la situación didáctica (SD) como problemática a resolver una vez abordados los contenidos específicos establecidos en los contenidos conceptuales. Para el desarrollo de esta asignatura se han establecido 4 SD seguidas de su instrumento de evaluación, con indicadores alineados a sus contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales que abonan al logro de los aprendizajes esperados al concluir el o los bloques que engloba dicha situación didáctica. En la enseñanza bajo el enfoque por competencias se busca que los estudiantes adquieran aprendizajes que sean profundos, situados, significativos y socioemocionales, mismos que deben reflejarse en la solución de la problemática establecida en el conflicto cognitivo de la SD, por ello en esta actualización de la guía se proponen también 11 tareas como parte de los insumos para la elaboración del producto que materialice los resultados del el logro de los aprendizajes esperados en las cuatro situaciones didácticas que se plantean en la planeación didáctica estatal. Dichas tareas también están acompañadas con su respectivo instrumento de evaluación. Es importante mencionar que las tareas establecidas para cada bloque o bloques deben ser agotadas para dar paso a la presentación, socialización y evaluación del producto que a través de la estrategia nombrada da solución a cada situación didáctica. - Página 1 - En la planeación didáctica estatal se proponen los tipos de evaluaciones en las diversas tareas y situaciones didácticas; pero el docente tiene la libertad de elegir entre autoevaluar, coevaluar o heteroevaluar de acuerdo con los momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje y del contexto de su grupo(s), lo importante es ejercer la práctica de evaluar pues fortalece el proceso socioformativo en el aprendizaje de los estudiantes. Al final de cada sección que abarca uno o varios bloques y sus respectivas situaciones didácticas y tareas, se propone un mapa de aprendizaje para realizar ejercicio de autoevaluación que permite a cada estudiante y al docente mismo conocer el nivel de logro en los aprendizajes establecidos para así diseñar un plan de mejora de los aprendizajes. Para fortalecer el desarrollo del aprendizaje socioemocional se integra la lección CONSTRUYET a desarrollar; diferente a la que se aplica en las otras asignaturas del segundo semestre. Por último, no pude omitirse señalar que para facilitar el desarrollo de algunos contenidos algunas estrategias de trabajo en el aula se insertan imágenes con su respectivo enlace para mayor conocimiento de las mismas. Este trabajo está alineado a la Planeación didáctica de Matemáticas II. Esperamos fortalezca y facilite su desarrollo. ATENTAMENTE Docentes Participantes - Página 2 - COMPETENCIAS GENÉRICAS SE AUTODETERMINA Y CUIDA DE SÍ 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue CG. 1.1. CG. 1.2. CG. 1.3. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase. Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida. CG. 1.4. Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. CG. 1.5. Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones. CG. 1.6. Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros CG 2.1 CG 2.2 CG 2.3 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad. Participa en prácticas relacionadas con el arte. 3. Elije y practica estilos de vida saludables CG 3.1 CG 3.2 CG 3.3 Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social. Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo. Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean. - Página 3 - SE EXPRESA Y COMUNICA 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. CG 4.1 CG 4.2 CG 4.3 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue. Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas. CG 4.4 Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas. CG 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos CG 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. CG 5.2 Ordena información de acuerdo con categorías, jerarquías y relaciones. CG 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. CG 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. CG 5.5 CG 5.6 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva CG 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. CG 6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias. CG 6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. - Página 4 - CG 6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. APRENDE DE FORMA AUTÓNOMA 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida CG 7.1 CG 7.2 CG 7.3 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. TRABAJA EN FORMA COLABORATIVA 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos CG 8.1 CG 8.2 CG 8.3 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. PARTICIPA CON RESPONSABILIDAD EN LA SOCIEDAD 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo CG 9.1 CG 9.2 CG 9.3 CG 9.4 CG 9.5 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos. Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad. Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos. Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad. Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado. - Página 5 - Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, 11. ideas y prácticas sociales Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de CG 10.1 dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación. Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales CG 10.2 mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio. Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia CG 10.3 en los contextos local, nacional e internacional. CG 9.6 12. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables CG 11.1 CG 11.2 CG 11.3 Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional. Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente. Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente. - Página 6 - COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS CLAVE MATEMÁTICAS CDBM 1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDBM 2 Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. CDBM 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CDBM 4 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. CDBM 5 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDBM 6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. CDBM 7 Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. CDBM 8 Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con matemáticos y científicos. Símbolos - Página 7 - ENFOQUE DE LA DISCIPLINA El campo disciplinar de matemáticas tiene como eje desarrollar el pensamiento lógico matemático para interpretar situaciones reales o hipotéticas, que permitan al estudiantado proponer alternativas de solución desde diversos enfoques, priorizando las habilidades del pensamiento y la generación de diversas alternativas para la solución de problemas, el manejo de información y la toma de decisiones basadas en el análisis crítico de información matemática que se encuentre en su entorno. En consecuencia las estrategias de enseñanza-aprendizaje y evaluación que diseñe el personal docente para su intervención educativa en las asignaturas que conforman el campo de matemáticas deben girar en torno a problemas significativos para la vida del alumnado ,es decir no deben ser repetitivas o que se resuelvan aplicando un procedimiento o modelo matemático que no tiene significado, dichas situaciones deben promover la movilización de recursos diversos para el diseño de una metodología de solución. La asignatura de Matemáticas II, desarrolla en el alumnado el pensamiento lógico-matemático mediante el uso de la Geometría Plana y Trigonometría que le permita proponer alternativas de solución a situaciones reales e hipotéticas, desde diversos enfoques, teniendo en cuenta que los conocimientos no son el fin de la educación, sino una herramienta para que el estudiantado desarrolle sus competencias que definen el perfil de egreso de la Educación Media Superior. Cabe señalar, que los conocimientos no son el fin de la educación, en este caso los del campo de la Matemáticas, ni elementos aislados sino una herramienta para que el estudiantado desarrolle las competencias que definen el perfil de egreso de la Educación Media Superior, así como, elementos indispensables para la comprensión de todos los demás campos o asignaturas como la Física, la Biología, la Química o aquellos con los que no se muestran alguna afinidad. - Página 8 - UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA 1er Semestre 2do Semestre 3er Semestre 4to Semestre Matemáticas I Matemáticas II Matemáticas III Matemáticas IV Química I Química II Bilogía I Biología II Taller de Lectura y Redacción I Taller de Lectura y Redacción II Ética y Valores I Metodología de la Investigación Ética y Valores II Informática I Informática II Todas las asignaturas de 1er semestre Todas las asignaturas de 2° semestre 5to Semestre Todas las asignaturas de Física I Física II 5° Semestre de los componentes y Todas las Todas las básicos propedéuticos asignaturas de asignaturas de 3er semestre 4° semestre 6to Semestre Todas las asignaturas de 6° Semestre de los componentes básicos y propedéuticos FORMACIÓN PARA EL TRABAJO TUTORÍAS RELACIÓN DE LOS CONTENIDOS CON LOS APRENDIZAJES CLAVES Campo Disciplinar: MATEMÁTICAS EJE Del tratamiento del espacio, la forma y la medida, a los pensamientos geométrico y trigonométrico COMPONENTE Estructura y transformación: elementos básicos de geometría Trazado y angularidad: elementos de la trigonometría plana CONTENIDO CENTRAL Conceptos fundamentales del espacio y la forma “lo geométrico” El estudio de las figuras geométricas y sus propiedades Tratamiento de las fórmulas geométricas para áreas y volúmenes Tratamiento visual de las propiedades geométricas, los criterios de congruencia y semejanza de triángulos Conceptos básicos de lo trigonométrico Usos y funciones de las relaciones trigonométricas en el triangulo Funciones trigonométricas y sus propiedades Medidas de ángulos y relaciones trigonométricas Del circulo unitario al plano cartesiano una introducción de las razones de magnitudes a las funciones reales - Página 9 - BLOQUE I II III IV V VI EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS La evaluación debe ser un proceso continuo que permita recabar evidencias pertinentes sobre el logro de aprendizaje del estudiantado tomando en cuenta la diversidad de estilos y ritmos, con el fin de retroalimentar el proceso de enseñanza-aprendizaje y mejorar sus resultados. El Modelo Educativo para la Educación Obligatoria ((MEPEO, sept 2017) señala que la evaluación es un proceso que tiene como objetivo mejorar el desempeño del alumnado e identificar sus áreas de oportunidad. Además, es un factor que impulsa la transformación de la práctica pedagógica y el seguimiento de los aprendizajes. Para que la evaluación sea un proceso transparente y participativo donde se involucre al personal docente y al estudiantado debe favorecerse: La autoevaluación En esta el bachiller valora sus capacidades con base a criterios y aspectos definidos con claridad por el personal docente el cual debe motivarle a buscar que tome conciencia de sus logros, errores y aspectos a mejorar durante su aprendizaje. La coevaluación A través de la cual las personas pertenecientes al grupo valoran, evalúan y realimentan a un integrante en particular respecto a la presentación de evidencias de aprendizaje con base en criterios consensuados e indicadores previamente establecidos. La heteroevaluación La cual consiste en un juicio emitido por el personal docente sobre las características del aprendizaje del estudiantado señalando las fortalezas y aspectos a mejorar teniendo como evidencia los aprendizajes logrados y evidencias específicas Para evaluar por competencias se debe favorecer el proceso de formación a través de: La evaluación diagnóstica Se realiza antes de algún proceso educativo (curso, secuencia, bloque de asignatura) para estimar los conocimientos previos del estudiantado, identificar sus capacidades cognitivas con relación al objeto de estudio y apoya al personal docente en la toma de decisiones del trabajo en el aula. - Página 10 - La evaluación formativa Se lleva a cabo durante el proceso educativo y permite precisarlos avances logrados en el desarrollo de competencias por cada estudiante y advierte las dificultades que encuentra durante el aprendizaje Tiene por objeto mejorar, corregir o reajustar su avance y se fundamenta en parte en la autoevaluación. Implica una reflexión y un dialogo con el estudiantado a cerca de los resultados obtenidos y los procesos de aprendizaje y enseñanza que le llevaron a ello, permite estimar la eficacia de las experiencias de aprendizajes para mejorarlas y favorece su autonomía. La evaluación sumativa Se realiza al final de un proceso o ciclo educativo considerando un conjunto de diversas evidencias que surgen de los aprendizajes logrados. Su fin consiste en certificar el grado en que las intenciones educativas se han alcanzado - Página 11 - INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Con el fin de mostrar el saber que subyace en una competencia, los aprendizajes esperados permiten establecer una estrategia de evaluación, por tanto, contienen elementos observables que deben ser considerados en la evaluación tales como: La participación Las actividades generativas Las actividades de análisis Para ello se consideran instrumentos que pueden agruparse principalmente en (Díaz-Barriga, 2014) Técnicas de observación Guía de observación: Las técnicas de observación permiten evaluar los procesos de aprendizaje en el momento que se producen, La guía de observación es un instrumento que se basa en una lista de indicadores que pueden redactarse ya sea como afirmaciones o bien como preguntas, que orientan el trabajo de observación dentro del aula, señalando los aspectos que son relevantes al observar. Esta guía puede utilizarse para observar las respuestas de los alumnos en una actividad, durante una semana de trabajo, una secuencia didáctica completa. Técnicas para el análisis del desempeño Rúbricas: Son guías que describen las características específicas de lo que se pretende evaluar (productos, tareas, proyectos, exposiciones, entre otras) precisando los niveles de rendimiento que permiten evidenciar los aprendizajes logrados de cada estudiante, valorar su ejecución y facilitar la retroalimentación. Portafolios: permiten mostrar el crecimiento gradual y los aprendizajes logrados con relación al programa de estudios, centrándose en la calidad o nivel de competencia alcanzado y no en una mera colección al azar de trabajos sin relación. Estos establecen criterios y estándares para elaborar diversos instrumentos para la evaluación del aprendizaje ponderando aspectos cualitativos de lo cuantitativo. - Página 12 - Listas de cotejo: Es una lista de palabras, frases u oraciones que señalan con precisión las tareas, las acciones, los procesos y las actitudes que se desean evaluar Los trabajos que pueden integrar en un portafolio y que pueden ser evaluados a través de rúbricas son: ensayos, videos, series de problemas resueltos, trabajos artísticos, trabajos colectivos, comentarios a lecturas realizadas, autorreflexiones, reportes de laboratorio, hojas de trabajo, guiones, entre otros, los cuales deben responder a una lógica de planeación o proyecto. Con base a lo anterior, los programas de estudio de Dirección General del Bachillerato deben incluir elementos que enriquecen la labor formativa tales como la transversalidad, las habilidades socioemocionales y la interdisciplinariedad trabajadas de manera colegiada y permanentemente en el aula, consideran a la evaluación formativa como eje central al promover una reflexión sobre el progreso del desarrollo de competencias - Página 13 - BLOQUES DE APRENDIZAJES BLOQUE NOMBRE DEL BLOQUE CONTENIDOS ESPECÍFICOS HSM Ángulos I Ángulos y Triángulos Sistemas de medición Clasificación Rectas paralelas cortadas por una transversal Triángulos Clasificación y propiedades Rectas y puntos notables Semejanza y congruencia Teorema de Tales Teorema de Pitágoras 18 Polígonos II Funciones polinomiales Elementos y clasificación Ángulo central Ángulo interior Ángulo exterior Suma de ángulos interiores, exteriores Diagonales Perímetro y áreas Poliedros Elementos y clasificación Volúmenes - Página 14 - 10 BLOQUE NOMBRE DEL BLOQUE CONTENIDOS ESPECÍFICOS HSM Circunferencia y círculo III Elementos de la circunferencia Conceptos de círculo y circunferencia Segmentos y rectas de la circunferencia Ángulos en la circunferencia Perímetro de la circunferencia Área del círculo Secciones de un círculo (corona, sector y trapecio circular) Área de regiones sombreadas 12 Razones trigonométricas de ángulos agudos IV Razones trigonométricas Valores de las razones trigonométricas para ángulos notables (30°, 45°, 60°) 15 Solución de triángulos rectángulos Funciones trigonométricas en el plano cartesiano V Funciones trigonométricas Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes Gráficas Círculo unitario Identidades trigonométricas - Recíprocas - Pitagóricas - Ángulo doble 15 Ley de senos VI Triángulos oblicuángulos Ley de cosenos Solución de triángulos oblicuángulos - Página 15 - 10 PRIMERA REVISIÓN DE PORTAFOLIO Y EVALUACIÓN SUMATIVA PRIMERA REVISIÓN DE PORTAFOLIO Y EVALUACIÓN SUMATIVA - Página 16 - BLOQUE I. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOSLINOMIALES BLOQUE I. Ángulos y triángulos https://matematicasparaticharito.wordpress.com/2016/08/12/angulos-en-los-triangulos/ - Página 17 - BLOQUE I. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS PROPÓSITO DEL BLOQUE Desarrolla estrategias para representar su entorno en la resolución de problemas tanto hipotéticos como reales mediante el uso de los Teoremas de Thales y Pitágoras, así como por criterio de semejanza y congruencia de triángulos APRENDIZAJES ESPERADOS Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlos con objetos de su entorno Desarrolla estrategias para la solución de problemas reales o hipotéticos respetando la opinión de sus compañeros en el uso de los Teoremas de Tales y Pitágoras COMPETENCIAS GENÉRICAS DISCIPLINARES CDBM1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones para la comprensión y análisis de situaciones reales, CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante hipotéticas o formales representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas CDBM4 Argumenta la solución obtenida de un CG7.3 Articula saberes de diversos campos y problema, con métodos numéricos, gráficos, establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana analíticos o variacionales, mediante el lenguaje CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un información y la comunicación curso de acción con pasos específicos CDBM6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean - Página 18 - MAT2-B1-SD01 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 1 TITULO “Thales y Pitágoras en acción” Problema de contexto Opción A Contexto En el programa de mejoramiento de infraestructura física de los planteles de COBATAB se ha contemplado la construcción de Domos con techo de dos aguas para las canchas o plazas cívicas, incluyendo la remodelación de aquellos que así lo requieran según su estado de conservación. Para ello ha lanzado una convocatoria hacia el interior de los diferentes planteles, inventando a los estudiantes de segundo semestre para que presenten el diseño de sus maquetas de acuerdo con las dimensiones de cada terreno. Problema de contexto Opción B En el marco del desarrollo sustentable y el cuidado del medio ambiente, se promueve el reciclaje para coadyuvar a la mejora de limpieza en el estado de Tabasco. Con este marco de referencia, considerando a los albergues para mascotas y los casos de personas que conviven con mascotas, se ha propuesto a los estudiantes de los centros educativos COBATAB, el diseñar y construir casas que puedan ser utilizadas por mascotas (tales como perros o gatos), utilizando materiales reciclables o que no contaminen nuestro medio ambiente. Conflicto Cognitivo ¿Qué escala elegirías para lograr la mejor representación de maqueta? En equipos de 5 estudiantes, elaborar (elegir una de las siguientes opciones): Opción A: Una maqueta de un domo con techo de dos aguas Opción B: Una maqueta de una casa para mascotas (perros o gatos) Propósito de la Situación Didáctica Opción C: Un dibujo a escala del Domo o de la casa para mascotas (según la opción elegida) Basándose en los conceptos de semejanza y congruencia de los triángulos, así como de los Teoremas de Tales y Pitágoras, utilizando los recursos disponibles y exponerlo ante la comunidad educativa en la plaza cívica del plantel. - Página 19 - MAT2-B1-G01 Guía de observación para evaluar Maqueta o Dibujo del Domo Asignatura: Matemáticas II Bloque I: Ángulos y Triángulos Fecha: Situación Didáctica 1: Thales y Pitágoras en acción Grupo Nombres: Turno Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlos con objetos de su entorno Desarrolla estrategias para la solución de problemas reales o hipotéticos respetando la opinión de sus compañeros en el uso de los Teoremas de Thales y Pitágoras Ángulos Triángulos CRITERIOS % 1. Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador 10% 2. Se relaciona con sus compañeros de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado 10% 3. Diseña una estrategia escrita que describe el procedimiento y las acciones que le permiten construir la maqueta 20% 4. Emplea los conceptos de ángulos, triángulos y relaciones de proporcionalidad en la presentación de la maqueta 10% 5. Anexa los cálculos para el diseño de la maqueta en los que muestra la aplicación de los teoremas de Thales y Pitágoras 30% 6. Explica los criterios utilizados para elegir la escala en el diseño de la maqueta 20% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 20 - Puntaje MAT2-B1-ED01 Evaluación diagnóstica BI “Ángulos y Triángulos” NOMBRE GRUPO FECHA Observa y analiza los siguientes videos: Introducción a la Geometría. (https://youtu.be/E9rQxirpv6E ). Geometría y Naturaleza. (https://youtu.be/YO1cbqlVIs0 ). La Historia de la Geometría. (https://youtu.be/qbf-TD6J92Q ). CUMPLE Reflexiona sobre las siguientes preguntas SI 1. ¿Qué entiendes por Geometría? 2. ¿De dónde proviene la palabra geometría? 3. ¿Dónde observas elementos geométricos en tu entorno? 4. ¿Qué tipos de ángulos y triángulos conoces? 5. ¿Qué instrumentos necesitas para realizar un trazo geométrico? - Página 21 - NO MAT2-B1-TAREA01 CG 4.1 CG 7.3 CG 8.1 CDBM 1 CDBM 4 CDBM 6 Cuadro Comparativo de Ángulos y Triángulos Instrucciones: Lee el Capítulo 1 “Generalidades” del Libro Geometría Plana y del Espacio del Dr. A. Baldor, y realiza un glosario de los conceptos básicos de la geometría plana. 1. Completa con la lectura del Capítulo 2, 3 y 5 del mismo libro y realiza la Tarea 1: Cuadro Comparativo de ángulos y triángulos donde se muestre la clasificación y las características de los diferentes ángulos y triángulos (Revisa los criterios que se evaluarán de acuerdo con la Lista de Cotejo MAT2-B1-LC01) 2. Observa en casa el video “Códigos secretos: Formas”, para reconocer la importancia de la Geometría y su presencia en las formas naturales (https://youtu.be/-fUYGRoM9EY) Recuperado de https://es.slideshare.net/jarias56/cuadro-comparativo-1283692 enero 2020 - Página 22 - MAT2-B1-LC01 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 01 Cuadro Comparativo Asignatura: Matemáticas II Bloque I: Ángulos y Triángulos Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 01: “Cuadro Comparativo: Tipos de ángulos y triángulos” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlos con objetos de su entorno Ángulos Triángulos CRITERIOS % 1. Presenta el cuadro comparativo en el tiempo estipulado por el profesor. 10% 2. Presenta la clasificación completa de ángulos y triángulos. 30% 3. Relaciona correctamente los gráficos con la clasificación respectiva de los ángulos y triángulos. 30% 4. Se construye con material visual adecuado. 10% 5. Presenta orden y limpieza en la elaboración del cuadro comparativo. 10% 6. Trabaja de manera colaborativa aportando ideas. 10% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 23 - Puntaje MAT2-B1-TAREA02 OPCIONAL CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Trazos geométricos “Rectas y Puntos Notables” Instrucciones: Continúa la lectura en el Capítulo 5 “Rectas y Puntos Notables en el Triángulo” del Libro Geometría Plana y del Espacio del Dr. A. Baldor, y completa la información con el tema “Rectas y Puntos Notables”, que a continuación se detalla. (Revisa los criterios que se evaluarán de acuerdo con la Lista de Cotejo MAT2-B1-LC02) Recuperado de https://sites.google.com/site/portafolio15univo/unidadiv/importancia-del-trabajo-colaborativo en Enero 2020 - Página 24 - 1. Traza las medianas en los triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐷𝐸𝐹. ¿Cómo se llama el punto de intersección entre ellas? B E C A F D 2. Traza las alturas en el triángulo Δ𝐻𝐼𝐽. ¿Cómo se llama el punto de intersección entre ellas? I H J - Página 25 - 3. Traza las mediatrices en los triángulos Δ𝐿𝑀𝑁 y Δ𝑂𝑃𝑄, encuentra el circuncentro y dibuja la circunferencia. M P O N L Q 4. Traza las bisectrices en los triángulos Δ𝑅𝑆𝑇 y Δ𝑈𝑉𝑊, encuentra el incentro y dibuja la circunferencia. V S U R T - Página 26 - W MAT2-B1-LC02 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 02 Trazos Geométricos Asignatura: Matemáticas II Bloque I: Ángulos y Triángulos Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 02: “Trazos Geométricos: Rectas y Puntos Notables en el Triángulo” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlos con objetos de su entorno Ángulos Triángulos CRITERIOS % 1. Presenta los trazos geométricos en el tiempo estipulado por el profesor 10% 2. Identifica los tipos de rectas y puntos notables en el triángulo 10% 3. Realiza los trazos adecuados de las rectas para localizar los puntos notables 30% 4. Muestra los cuatro tipos de rectas y puntos notables en el triángulo 20% 5. Utiliza el material y los instrumentos adecuados en los trazos 10% 6. Presenta orden y limpieza en la elaboración de los trazos geométricos 10% 7. Trabaja de manera colaborativa aportando ideas 10% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 27 - Puntaje MAT2-B1-TAREA03 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Problemario 01: Teorema de Tales y Teorema de Pitágoras Instrucciones: Atiende la explicación del docente sobre Triángulos semejantes, Teorema de Tales y de Pitágoras, y resuelve la Tarea 03: Problemario “Teorema de Tales y Teorema Pitágoras” que a continuación se detalla. (Revisa los criterios que se evaluarán de acuerdo con la Lista de Cotejo MAT2-B1-LC03) Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=xb-oY1wRWys en enero 2020 - Página 28 - 1. Dados los siguientes ángulos, determina y traza los ángulos complementarios y suplementarios según sea el caso ÁNGULO COMPLEMENTO ÁNGULO 𝟏𝟎° 𝟐𝟖° 𝟑𝟎° 𝟕𝟓° 𝟒𝟕°𝟓𝟓’ 𝟏𝟎𝟓°𝟐𝟐’ 𝟔𝟓°𝟑𝟓’ 𝟏𝟒𝟎°𝟏𝟓′ SUPLEMENTO 2. Determina la medida de todos los ángulos, en cada caso. ÁNGULO OPERACIÓN MEDIDAS < 𝑨𝑶𝑩 = D C C B 4x-20° O < 𝑩𝑶𝑪 = x 6x < 𝑪𝑶𝑫 = A < 𝑨𝑶𝑩 = < 𝑩𝑶𝑪 = - Página 29 - B A C < 𝑨𝑶𝑫 = < 𝑪𝑶𝑩 = 5x-30° O 3x+10° < 𝑪𝑶𝑫 = D C < 𝑨𝑶𝑩 = C <𝑨= <𝑩= <𝑪= A B C C F G x2 - 7° D C 6x+20° <𝑫= E <𝑬= H <𝑭= <𝑮= <𝑯= 3. Deduce los ángulos internos en los siguientes triángulos y nómbralos de acuerdo a su abertura. 2x 3x 5x 6x 15x 3x - Página 30 - 35° 24x 4. Determina las medidas de los siguientes triángulos, bajo los criterios de congruencia. 5. En los siguientes pares de triángulos semejantes, calcula el valor de los lados desconocidos. 9 6 3 Y 5 1 Y 4 3 6. Para medir lo ancho ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑨𝑪 de un rio, un hombre tomó las medidas indicadas en la figura siguiente. ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑨𝑪 es ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ perpendicular 𝑫𝑬 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ , si ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ mide 6𝑚, 𝑫𝑬 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ mide 12 𝑚. Calcular la anchura perpendicular a ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑨𝑫 y 𝑩𝑫 𝑨𝑩 mide 8 m, 𝑩𝑫 del rio. - Página 31 - 7. Aplica el Teorema de Tales para encontrar las medidas desconocidas 3 8 4.5 8 x 3 12 8. Analiza los siguientes problemas, representa mediante un dibujo y resuelve aplicando el teorema de Tales. a) Un edificio proyecta una sombra de 16.25 𝑚 y al mismo tiempo un poste de 7 𝑚 de altura proyecta una sombra de 10 𝑚. ¿Cuál es la altura del edificio? b) Un árbol de 8 𝑚 de altura proyecta una sombra de 1.5 𝑚, mientras que una torre proyecta una sombra de 4.5 𝑚. Calcule la altura de la torre. c) Un faro de 24 𝑚 de altura guía en la noche a un barco pesquero. En el barco, un marinero de 1.80 𝑚 de alto proyecta una sombra de 12 𝑚. ¿A qué distancia se encuentra el barco pesquero del faro? - Página 32 - 9. Determina la hipotenusa, el cateto a o el cateto b, según sea el caso en los siguientes triángulos. c = ¿? c = ¿? a = 25 a = 12 b = 60 b = 12 c = 17 c = 26 a = ¿? a = ¿? b = 10 b = 15 c = 20 a = 12 c = 50 a = 40 b = ¿? b = ¿? 10. Analiza los siguientes problemas y resuelve aplicando el Teorema de Pitágoras b) Se traza una circunferencia circunscrita en el siguiente triángulo rectángulo. Determina el radio de la circunferencia. c) ¿Cuánto mide la apotema de un hexágono que tiene 10 cm de radio y cuya medida de sus lados es 10 cm? 10cm a) ¿Cuál es la altura de un puente peatonal que tiene una rampa de 8.2 metros de longitud y cuya base mide 6.5 metros? 8.2m 10cm 15cm 6.5m 10cm - Página 33 - MAT2-B1-LC03 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 03 Problemario 01 Asignatura: Matemáticas II Bloque I: Ángulos y Triángulos Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 03: “Pronblemario 01: Teorema de Tales y Teorema de Pitágoras” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlos con objetos de su entorno CRITERIOS Ángulos Triángulos % 1. Presenta el problemario en el tiempo estipulado por el profesor 10% 2. Resuelve correctamente la totalidad de los ejercicios planteados 30% 3. Realiza correctamente la representación gráfica del problema 20% 4. Justifica lógica y analíticamente la solución del problema 20% 5. Presenta orden y limpieza en los cálculos realizados 10% 6. Trabaja de manera colaborativa aportando ideas. 10% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 34 - Puntaje MAT2-B1-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados Asignatura: Matemáticas II Bloque I Ángulo y Triángulos Fecha: Grupo: Nombres Turno: Situación Didáctica 1: “Thales y Pitágoras en acción” Conocimientos Ángulos - Sistemas de medición - Clasificación - Rectas paralelas cortadas por una transversal Triángulos - Clasificación y propiedades - Rectas y puntos notables - Semejanza y congruencia - Teorema de Tales - Teorema de Pitágoras 1 = Necesito ayuda Habilidades Actitudes Clasifica los tipos de ángulos y triángulos Utiliza la imaginación espacial para visualizar triángulos semejantes Establece relaciones de proporcionalidad entre rectas y triángulos Analiza el Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas de su entorno 2 = Puedo hacerlo solo NIVEL CRITERIOS 1 2 3 Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado Expresa ideas y conceptos favoreciendo su creatividad Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso 3 = Puedo ayudar a otros ¿Qué debo hacer para mejorar? Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlos con objetos de su entorno Desarrolla estrategias para la solución de problemas reales o hipotéticos respetando la opinión de sus compañeros en el uso de los Teoremas de Tales y Pitágoras Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 35 - BIBLIOGRAFIA Andrade Delgado Arnulfo. Antecedentes de la Geometría y Trigonometría. Primera Edición. Editorial Trillas Baldor Aurelio, Geometría Plana y del Espacio. Publicaciones Cultural. Benítez René, Geometría y Trigonometría. 2ra. Edición. Editorial Trillas Benítez René. Geometría Plana. 1ra Edición. Editorial Trillas Castellanos Luis. Conceptos Básicos de Geometría y Trigonometría. Primera Edición. Editorial Creative Commons Echegaray José. Problemas de Geometría: Problemas de Geometría Plana, Parte 1. Primera Edición. Editorial Nabu Press Fuenlabrada Trucios Samuel. Geometría Y Trigonometría: Cuarta Edición. Editorial Mc Graw Hill Education. García Juárez Marco Antonio. Geometría y Trigonometría para Bachillerato. Primera Edición. Editorial Esfinge. Garza Olvera Benjamín. Geometría y Trigonometría. Segunda Edición. Editorial Trillas. Jiménez, Manuel René y Estrada Coronado, Rosa María. Matemáticas 2. 3ra edición. Editorial Pearson Ortíz Campos, Francisco José. Matemáticas 2. 4ta Edición. Grupo editorial Patria - Página 36 - BLOQUE II. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS BLOQUE II. Propiedades de los polígonos https://propiedadesdelospoligonos2014lms.wordpress.com/elementos-de-los-poligonos/ - Página 37 - BLOQUE II. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS PROPÓSITO DEL BLOQUE Propone el uso de los polígonos valorando su utilidad para la solución de problemas en su contexto. APRENDIZAJES ESPERADOS Desarrolla estrategias colaborativamente, para la solución de problemas utilizando los elementos y propiedades de polígonos y poliedros que le permitan cuantificar el espacio en situaciones de su contexto. Examina las figuras geométricas en diferentes expresiones artísticas. COMPETENCIAS GENÉRICAS DISCIPLINARES CDBM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos CG2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza mediante procedimientos matemáticos y los y expresión de las ideas, sensaciones y emociones contrasta con modelos establecidos o situaciones CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante reales. representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas CDBM4 Argumenta la solución obtenida de un CG4.5 Maneja las tecnologías de la información y la problema, con métodos numéricos, gráficos, comunicación para obtener información y expresar analíticos o variacionales, mediante el lenguaje ideas verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la CG5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, información y la comunicación jerarquías y relaciones CDBM6 Cuantifica, representa y contrasta CG5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo medulares que subyacen a una serie de fenómenos rodean - Página 38 - MAT2-B2-SD02 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 2 TITULO “Cobachireciclaje, porque reciclar está a la moda” Recientemente nuestra institución educativa, ha llevado a cabo una serie de actividades tendientes a la concientización de los jóvenes en la cultura del reciclaje, que se concreta en el PLAN ESTRATEGICO DE SOSTENIBILIDAD DE COBATAB, por lo que algunos centros educativos de este subsistema han partido de estas ideas para la implementación de sus proyectos de sostenibilidad que contribuya al desarrollo Contexto la acción 12 “Producción y Consumo Responsables” de la Agenda 2030, comentando esta situación a los estudiantes, se propone que para el día 17 de mayo en que se celebra el Día Mundial del Reciclaje se realice una feria alusiva a esta fecha, que les permita articular los saberes de cada una de sus disciplinas y al mismo tiempo promover acciones en beneficio del medio ambiente que no solo comprenda a sus centros educativos, sino que trascienda a la sociedad tabasqueña. Conflicto Cognitivo ¿Qué aportaciones pueden realizarse desde la asignatura de Matemáticas II para contribuir a la disminución de la contaminación ambiental? En equipos de 6 o más estudiantes diseñar contenedores de basura, utilizando los Propósito de la Situación Didáctica elementos y propiedades de polígonos y poliedros, que le permitan cuantificar el espacio en el que se pueda utilizar materiales reciclables, para presentarlo en el marco de la celebración del Día Mundial del Reciclaje. - Página 39 - MAT2-B2-GO02 Guía de observación para evaluar Diseño de Contenedores de Basura Asignatura: Matemáticas II Bloque II: Propiedades de los Polígonos Fecha: Situación Didáctica 2: Cobachireciclaje, porque reciclar está a la moda Grupo Nombres: Turno Aprendizajes Esperados Desarrolla estrategias colaborativamente, para la solución de problemas utilizando los elementos y propiedades de polígonos y poliedros que le permitan cuantificar el espacio en situaciones de su contexto. Examina las figuras geométricas en diferentes expresiones artísticas. Contenidos Específicos Polígonos Poliedros CRITERIOS % 1. Presenta el producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador. 2. Se relaciona con sus compañeros de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. SI NO 10% 10% 3. Determina el área total del poliedro considerado en su diseño. 10% 4. Estima la capacidad total de almacenamiento del contenedor (volumen). 10% 5. Utiliza material reciclable en la elaboración del contenedor. 10% 6. Presenta por escrito los procedimientos para determinar el área y capacidad de almacenamiento del contenedor. 7. Presenta en plenaria el diseño de su contenedor argumentado la representación artística de su figura geométrica. CUMPLE 25% 25% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 40 - Puntaje MAT2-B2-ED02 Evaluación diagnóstica BII “Propiedades de los Polígonos” NOMBRE GRUPO FECHA Instrucciones: Para darte cuenta de que tanto sabes de los temas que se abordan en este bloque y que habilidades y actitudes tienes hacia ellos, contesta las siguientes preguntas. De esta manera también podrás distinguir en cuales aspectos conviene que enfoques tus aprendizajes 1. Figura geométrica que se forma por segmentos 2. Figura geométrica cuyos lados y todos sus que coinciden en un solo punto y cada uno de ángulos son congruentes entre sí estos toca exactamente a otros dos de ellos a) Polígono regular a) Polígono b) Polígono convexo b) Figura regular c) Polígono irregular c) Figura coplanar d) Polígono coplanar d) Figura irregular 3. Son elementos de un poliedro a) Cara, lado, aristas b) Lado, punto, altura c) Cara, vértice, arista d) Altura, lado, vértice 4. Su significado en griego quiere decir muchas caras a) Poliedro b) Polígono c) Polígono regular d) Polígono irregular 5. Explica como calcular cada ángulo interno de polígono siguiente. ¿Cuánto vale cada ángulo interno? 6. Escribe la definición de un polígono regular. 7. Escribe la definición de poliedro. 8. Dibuja tres poliedros que conozcas - Página 41 - MAT2-B2-TAREA04 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Problemario 02: Elementos de los Polígonos Instrucciones: Reúnanse en binas, donde participen un hombre y una mujer, analicen cada una de las situaciones que se presentan a continuación y resuelvan según corresponda. Apliquen sus conocimientos acerca de trazar polígonos y el cálculo de sus elementos: ángulo central, ángulo interior, ángulo exterior, radio, diagonales por vértice, diagonales totales, suma de ángulos interiores, perímetro y apotema. 1. Encuentren el valor del ángulo interior de un hexágono regular y dibujen el polígono, completen el dibujo de la figura siguiente. 2. Encuentren el valor del ángulo interior de un pentágono regular y dibujen el polígono, completen el dibujo de la figura siguiente. 3. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es 540°? Dibuja el polígono. - Página 42 - 4. En la figura siguiente se dividió un octágono regular en paralelogramos. Utilicen el teorema de los ángulos internos y encuentren los valores de 𝛼 y de Θ. 5. Una forma de probar que la suma de los ángulos exteriores de un polígono es 360° es cortar estos ángulos y colocarlos alrededor de un punto. ¿Cuál es el valor del ángulo exterior de un heptágono regular? 6. ¿Cuánto valen el ángulo interior y exterior de un triángulo equilátero? 7. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un eneágono. Utiliza colores diferentes para cada diagonal. - Página 43 - 8. ¿Cuál es el polígono regular en el que se pueden trazar seis diagonales desde un vértice? 9. Los polígonos dispuestos de forma que no queden separaciones entre ellos o que no se sobrepongan unos a otros nos sirven para crear diseños muy interesantes. Identifica todos los polígonos posibles en la figura siguiente. 10. La longitud de cada lado de un hexágono regular es 4 cm. Encuentren la apotema y el perímetro del polígono. II. Traza los polígonos que se solicitan a continuación y calcula sus elementos. Utiliza regla y compás o algún software matemático de tu elección. Esta actividad deberá ir al Portafolio de evidencias. a) Triángulo - Página 44 - III. Resuelvan colaborativamente, en equipos de tres integrantes, la actividad que se presenta a continuación. Recuerden que todos tienen responsabilidad y compromiso de cumplir con la tarea. Por lo que, si alguno de ustedes tiene dudas sobre cómo resolver alguna situación, es importante que otro de ustedes, que sí lo comprenda, le explique detenidamente y le dé consejos para que comprenda lo que tiene que hacer en cada caso. A esta dinámica se le conoce como trabajo entre pares. Esta actividad deberá ir al Portafolio de evidencias. 1. El área de una región puede determinarse sumando el número de unidades cuadradas que se requieren para cubrir exactamente la región. ¿Cuál es el área del paralelogramo ABCD? 2. El área de un rectángulo es 216 𝑚2 y su base es 6 𝑚 mayor que su altura. Determina sus dimensiones. Sugerencia: Recuerda que una ecuación de segundo grado de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se resuelve con la fórmula general, es decir, x = −b±√b2 −4ac 2a 216 m2 3. Calcula el área del tejado de la figura siguiente. Si aproximadamente se desperdicia el 10% de material, ¿cuántas tablas de madera de 1.22 𝑚 por 2.44 𝑚 se necesitan para cubrir el tejado? - Página 45 - MAT2-B2-LC04 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 04 Problemario 02 Asignatura: Matemáticas II Bloque I: Ángulos y Triángulos Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 04: “Problemario 02: Elementos de los polígonos” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Desarrolla estrategias colaborativamente, para la solución de problemas utilizando los elementos y propiedades de polígonos y poliedros que le permitan cuantificar el espacio en situaciones de su contexto. Examina las figuras geométricas en diferentes expresiones artísticas. Polígonos CRITERIOS % 1. Presenta el producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador. 2. Se relaciona con sus compañeros de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. CUMPLE SI NO 10% 10% 3. Hace uso de las propiedades de los polígonos respecto a sus ángulos. 20% 4. Realiza el cálculo de las variables involucradas. 20% 5. Interpreta los resultados haciendo uso de ellos para indicar la solución del problema. 20% 6. Muestra su procedimiento de manera clara y ordenada. 20% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 46 - Puntaje MAT2-B2-TAREA05 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Problemario 03: Poliedros Instrucciones: Resolver colaborativamente, en equipos de trabajo de tres integrantes cada una de las situaciones que se presentan a continuación. Esta actividad deberá ir al Portafolio de evidencias. 1. Coloca el nombre de los elementos del siguiente poliedro: 2. Calcula el volumen de un hexaedro que tiene por arista 3 unidades. 3. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de acuerdo con las dimensiones que muestra la figura siguiente. 4. Calcula el volumen de una pirámide de acuerdo con las dimensiones que muestra la figura siguiente. - Página 47 - MAT2-B2-LC05 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 05 Problemario 03 Asignatura: Matemáticas II Bloque I: Ángulos y Triángulos Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 05: “Problemario 03: Poliedros” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Desarrolla estrategias colaborativamente, para la solución de problemas utilizando los elementos y propiedades de polígonos y poliedros que le permitan cuantificar el espacio en situaciones de su contexto. Examina las figuras geométricas en diferentes expresiones artísticas. Poliedros CRITERIOS % 1. Presenta el producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador. 10% 2. Se relaciona con sus compañeros de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. 10% 3. Identifica de manera correcta los elementos del poliedro. 20% 4. Realiza los cálculos de volumen correctamente para cada uno de los poliedros. 20% 5. Los procedimientos realizados están organizados. 20% 6. El trabajo se presentó de forma limpia y ordenada. 10% 7. Hace uso de manera correcta de los conceptos vistos en el desarrollo del bloque. 10% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 48 - Puntaje MAT2-B2-MA02 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados Asignatura: Matemáticas II Bloque II Propiedades de los Polígonos Fecha: Grupo: Nombres Turno: Situación Didáctica 1: “Thales y Pitágoras en acción” Conocimientos Habilidades Polígonos - Elementos y Clasificación - Ángulo central - Ángulo interior - Ángulo exterior - Suma de ángulos interiores, exteriores - Diagonales - Perímetros y áreas Poliedros - Elementos y clasificación - Volúmenes 1 = Necesito ayuda Actitudes Clasifica polígonos y representa los elementos que los conforman Argumenta cuáles elementos de los polígonos deberían utilizarse para solucionar problemas de su entorno Identifica perímetros, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos planos y en el espacio Describe figuras geométricas en las diferentes representaciones artísticas 2 = Puedo hacerlo solo NIVEL CRITERIOS 1 2 3 Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado 3 = Puedo ayudar a otros ¿Qué debo hacer para mejorar? Desarrolla estrategias colaborativamente, para la solución de problemas utilizando los elementos y propiedades de polígonos y poliedros que le permitan cuantificar el espacio en situaciones de su contexto Examina las figuras geométricas en diferentes expresiones artísticas Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 49 - BIBLIOGRAFIA COBABC. (2018). Matemáticas 2. México: COLEGIO DE BACHILLERES DE BAJA CALIFORNIA. COBAS. (2009). Matemáticas 2. México: COLEGIO DE BACHILLERES DE SONORA. Espinosa, J. C. (2012). Teorema de los senos y los cosenos. CEFA, 1-6. Jiménez, M. R., René Jiménez, M., & Estrada Coronado, R. (2019). Matemáticas II. México: Pearson. Portal Educativo. (06 de abril de 2012). Perímetro y área de polígonos. Portal Educativo. Portal Educativo Recuperado de https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/154/Perimetro-y-area-depoligonos. Aguilar, ARTURO., Bravo, FABIÁN., gallegos, HERMAN., Cerón, MIGUEL. y Reyes, RICARDO. (2009). Matemáticas Simplificadas. Recuperado el 09 de enero de 2020 de https://profesorminero.files.wordpress.com/2013/03/matesimp2.pdf Garrido, MISAEL. (2015). Matemáticas II. Recuperado el 09 de enero de 2020 de https://www.dgb.sep.gob.mx/servicios-educativos/telebachillerato/LIBROS/2-semestre2019/Matematicas-II.pdf Archundia, BEATRIZ., Bernal, FERNANDO., Eslava, CARLOS., Hernández, RAFAEL., Ibáñez, PATRICIA. y Luis, ROBERTO. (2017). Programa de Estudios de Matemáticas II. Recuperado el 09 de enero de 2020 de https://www.dgb.sep.gob.mx/informacion-academica/programas-de-estudio/CFB/2dosemestre/Matematicas-II.pdf COBABC. (2018). Matemáticas 2. México: COLEGIO DE BACHILLERES DE BAJA CALIFORNIA. COBAS. (2009). Matemáticas 2. México: COLEGIO DE BACHILLERES DE SONORA. Espinosa, J. C. (2012). Teorema de los senos y los cosenos. CEFA, 1-6. Jiménez, M. R., René Jiménez, M., & Estrada Coronado, R. (2019). Matemáticas II. México: Pearson. - Página 50 - SEGUNDA REVISIÓN DE PORTAFOLIO Y EVALUACIÓN SUMATIVA - Página 51 - BLOQUE III. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA BLOQUE III. Elementos de la Circunferencia https://quizizz.com/admin/quiz/5995c3fb6d6c56110028a73f/la-circunferencia-y-sus-elementos - Página 52 - BLOQUE III. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA PROPÓSITO DEL BLOQUE Resuelve situaciones de su entorno usando los elementos de la circunferencia valorando su utilidad APRENDIZAJES ESPERADOS Resuelve problemas de su entorno usando la circunferencia y el círculo, y las diferentes figuras asociadas con estas. Propone de manera colaborativa diferentes estrategias de solución a problemas de áreas y perímetros para representar espacios y objetos de su entorno. COMPETENCIAS GENÉRICAS DISCIPLINARES CDBM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones CG4.5 Maneja las tecnologías de la información y la reales. comunicación para obtener información y expresar CDBM4 Argumenta la solución obtenida de un ideas problema, con métodos numéricos, gráficos, CG6.1 Elige las fuentes de información más relevantes analíticos o variacionales, mediante el lenguaje para un propósito específico y discrimina entre ellas verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la de acuerdo con su relevancia y confiabilidad información y la comunicación CG8.2 Aporta puntos de vista con apertura y CDBM6 Cuantifica, representa y contrasta considera los de otras personas de manera reflexiva experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean - Página 53 - MAT2-B3-SD03 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 3 TITULO “De la Cancha al Auditorio” Con la finalidad de aprovechar las canchas o plazas cívicas (o cualquier otro espacio que pueda ser acondicionado con iluminación en falso plafón) que fueron tomadas en cuenta dentro del programa de mejoramiento de infraestructura física de los Contexto centros educativos del COBATAB, se considera habilitarlas como salas de usos múltiples, para las cuales se requiere de proveer de iluminación con lámparas ocultas colocadas en el plafón del techo. Conflicto Cognitivo Tomando como referencia las dimensiones de la cancha o plaza cívica de su centro educativo, (o el espacio elegido). ¿Cuántas lámparas se requerirán para iluminar la mayor área posible de la cancha o plaza cívica? En equipos de 5 estudiantes elaborar un plano o croquis que muestre la Propósito de la Situación Didáctica distribución de lámparas colocadas en le plafón del techo, basándose en los conceptos de perímetro y área de circunferencia, maximizando el área de iluminación y minimizando los costos, para exponerlo en plenaria dentro del aula. - Página 54 - MAT2-B3-G007 Guía de observación para evaluar Plano o Croquis Distribución de Lámparas Asignatura: Matemáticas II Bloque III: Elementos de la circunferencia Fecha: Situación Didáctica 3: De la cancha al auditorio Grupo Nombres: Turno Aprendizajes Esperados Resuelve problemas de su entorno usando la circunferencia y círculo, y las diferentes figuras asociadas con estas. Propone de manera colaborativa diferentes estrategias de solución a problemas de áreas y perímetros para representar espacios y objetos de su entorno. Contenidos Específicos Circunferencia Círculo CRITERIOS % 1. Presenta la innovación de la maqueta de cancha en dos aguas en el tiempo establecido por el facilitador. 2. Se relaciona con sus compañeros de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. 3. Aplica los elementos de circulo y circunferencia en la proyección de construcción de la cancha al auditorio. 4. Diseña una estrategia que describe el procedimiento y las acciones que le permiten realizar la innovación de la cancha al auditorio en la maqueta 5. Anexa los cálculos para la innovación de la maqueta de la cancha al auditorio en los que muestra la aplicación de los elementos de circulo y circunferencia. 6. Identifica la diferencia entre circulo y circunferencia para cuantificar el número de lámparas a utilizar en la iluminación de la cancha /auditorio CUMPLE SI NO 10% 10% 20% 20% 20% 20% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 55 - Puntaje MAT2-B3-ED03 Evaluación diagnóstica BIII “Elementos de la Circunferencia” NOMBRE GRUPO FECHA Instrucciones: Para darte cuenta de qué tanto sabes de los temas que se abordan en este bloque y que habilidades y actitudes tienes hacia ellos, contesta las 1. ¿Qué es una circunferencia? 2. ¿Cuántos grados tiene una circunferencia? 3. Es el elemento de circunferencia delimitado por los extremos de una cuerda a. Diámetro b. Arco c. Radio d. Semicírculo 4. ¿Cuál es la diferencia entre el círculo y circunferencia? 5. La razón entre el perímetro y el diámetro equivale a: a. b. c. d. 360° 180° 3.1416 2.7178 6. ¿El diámetro mide el doble del radio? a. Verdadero b. Falso 7. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo? 8. Dada la siguiente fórmula matemática del área de un círculo, despeja el 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 (𝑟) 𝐴 = 𝜋𝑟 2 - Página 56 - CUMPLE SI NO MAT2-B3-AC01 FICHA 6.6. Cuando llega el huracán - Página 57 - - Página 58 - - Página 59 - MAT2-B3-TAREA06 GLOSARIO: Elementos de la Circunferencia OPCIONAL CG 4.5 CG 6.1 CG 8.2 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Instrucciones: Leer la siguiente información sobre la circunferencia para realizar en casa en forma individual un GLOSARIO que incluya: rectas en la circunferencia perímetro y áreas, ángulos en la circunferencia y áreas sombreadas. Circunferencia La circunferencia es el conjunto de los puntos en un plano que equidistan, es decir, se hallan a la misma distancia de un punto fijo denominado centro. Usualmente se identifica una circunferencia por su centro. Así, la circunferencia de la figura se llama circunferencia O y se representa mediante el símbolo Ꙩ. La circunferencia es una línea y por ello solo tiene longitud. Círculo El círculo es la región limitada por la circunferencia. El círculo es una superficie y por tanto tiene área. Elementos de la circunferencia Rectas y Segmentos Radio. Es cualquier segmento de recta en el que uno de los extremos es el centro de una circunferencia y el otro es un punto cualquiera de la misma. La distancia de cualquier punto de la circunferencia a su centro. Cuerda. Es cualquier segmento de recta cuyos extremos son puntos que pertenecen a la circunferencia. - Página 60 - Diámetro Es una cuerda que contiene el centro de la circunferencia. La Longitud de un diámetro es el doble de la longitud del radio. Secante. Es cualquier recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Tangente. Es cualquier recta que contiene un y solo un punto de la circunferencia, el cual se llama punto de tangencia. La recta y la circunferencia son tangentes en ese punto. Una recta es tangente a una circunferencia, si es perpendicular al radio. Ángulos en una circunferencia Ángulo central. Un ángulo central es aquel cuyo vértice es el centro de una circunferencia y está formado por dos radios. La medida de un ángulo central es igual a la medida de su arco correspondiente. 𝑚 < 𝐴𝑂𝐵 = 𝑚𝐴𝐵 - Página 61 - Ángulo inscrito. Un ángulo inscrito es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de una circunferencia y sus lados contienen cuerdas de la misma. La medida de un ángulo inscrito es, igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. 𝑚<𝐵= 𝑚𝐴𝐶 2 Ángulo seminscrito. Un ángulo seminscrito es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de una circunferencia, pero uno de los lados contiene una cuerda de la circunferencia y el otro es una recta tangente de la misma. La medida de un ángulo seminscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados 𝑚 < 𝐴𝐵𝐶 = 𝑚𝐴𝐵𝐷𝐶 2 Ángulo interior Un ángulo interior es aquel que está formado por dos cuerdas que se cortan. Tiene por medida las semisumas de las medidas de sus arcos comprendidos entre sus lados 𝑚<𝑋= 𝑚𝐶𝐵 + 𝑚𝐵𝐷 2 Ángulo exterior Un ángulo exterior es aquel que está formado por dos secantes que se cortan. Tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. 𝑚<𝑋= 𝑚𝐶𝐵 − 𝑚𝐷𝐸 2 - Página 62 - MAT2-B3-GO03 Guía de observación para evaluar Tarea 06 Glosario Asignatura: Matemáticas II Bloque III: Elementos de la Circunferencia Fecha: Grupo Nombre: Turno TAREA 06: “Glosarios: Elementos de la circunferencia” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Propone de manera colaborativa diferentes estrategias de resolución a problemas de áreas y perímetros. Para representar espacios y problemas de su entorno. CRITERIOS Definición, elementos, áreas y perímetro, ángulos y áreas sombreadas en la circunferencia % 1. 1. Presenta de manera limpia ordenada la información. 20% 2. Cumple con lo mínimo de conceptos y definición de los mismos. 30% 3. Cuida la escritura y ortografía. 20% 4. Presenta el trabajo en tiempo y forma. 20% 5. Incluye y utiliza las fuentes bibliográficas 10% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 63 - Puntaje ELEMENTOS Y RECTAS EN UNA CIRCUNFERENCIA MAT2-B3-AF01 Instrucciones: Con ayuda del docente, trace la circunferencia e indique sus elementos y rectas notales. En forma individual trazar en la libreta una circunferencia con un radio (6 ≤ 𝑟 ≤ 10), utilizando el método que más le guste e idéntica cada una de las rectas en la circunferencia. MATERIAL Listón o cinta (compás) Libreta de apuntes Lápiz 5 lápices de color Regla PROCEDIMIENTO 1. Traza la circunferencia con radio indicado anteriormente 2. Con cada uno de los colores identifica las siguientes rectas, el radio, el diámetro, la cuerda, la tangente, la secante. 3. Con el listón, mide el diámetro de la circunferencia y compara (razón) cuantas veces mide con respecto al perímetro. 4. Trazar otra circunferencia, donde se identifica los ángulos de la circunferencia: - Ángulo central - Ángulo interior - Ángulo inscrito - Ángulo semi-inscrito - Ángulo exterior INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN No Aplica - Página 64 - MATERIAL DE APOYO Área de un Círculo El área de un círculo es la medida de la region que queda comprendida dentro de su perimetro. La expersion para calcular es: 𝐴 = 𝜋𝑟 2 Donde 𝑨 representa el valor del área y 𝒓 es el valor del radio del círculo. Imaginemos que calculamos el área de un círculo dividiendo este número muy grande de sectores circulares, trazando un número bastante grande de radios. El área de cada sector se calcula aproximando a la de un triángulo en el cual la base tiene una medida muy pequeña y la altura del triángulo es igual al radio r. La longitud total de las bases así acomodadas es la longitud de la circunferencia 2πr. Así que la suma de las áreas de ese número tan grande de triángulos nos aproxima a la fórmula que se anunció para el cálculo del área del circulo. Al desarrollar los gajos a lo largo sobre una base se tiene que: Si completamos la figura cerrándola como se muestra en la figura parece ser un paralelogramo cuya base es la longitud de la circunferencia y cuya altura es su radio - Página 65 - MAT2-B3-TAREA07 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Problemario 04: Área y Perímetro de una Circunferencia Instrucciones: En binas de estudiantes resuelve los siguientes ejercicios, presentado cada uno de los procedimientos de los ejercicios en cuestión. 1. Dado por un radio de 9.4 𝑐𝑚. Calcula el área del círculo. 2. Dado por un radio de 7.3 𝑚𝑚. Obtén la circunferencia del círculo. 3. Si el radio de un círculo es de 9.3 𝑚𝑚 encuentra de cuanto es la longitud de la circunferencia de este. 4. Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es de 3.4 𝑚. 5. Calcula el área del circulo cuyo radio es de 4.1 𝑚. 6. Juan desea saber qué cantidad de pizza comió, si el plato en que se la sirvieron tiene un diámetro de 40 𝑐𝑚𝑠. - Página 66 - 7. Calcula la distancia que recorre por 15 vueltas un ciclista, si la rueda tiene un radio de 65 𝑐𝑚𝑠. 8. Si desea construir un bote con un radio de 1.5 𝑐𝑚𝑠 y con una altura de 2.1 𝑐𝑚𝑠, ¿Qué longitud tiene el rectángulo que se forma con el cuerpo del bote? 9. Jorge desea pintar la superficie de una base para pastel circular la cual tiene un diámetro de 30 cms. ¿Qué área pintará? 10. Martha desea pegar una cinta que tiene 47.10 𝑐𝑚𝑠 de largo, alrededor de un bote. ¿Qué radio debe tener el bote para que no tenga que cortar ningún pedazo a la cinta? - Página 67 - MAT2-B3-GO04 Guía de observación para evaluar Tarea 07 Problemario 04 Asignatura: Matemáticas II Elementos de la Circunferencia Bloque III: Fecha: Grupo Nombre: Turno TAREA 07: “Problemario 04: Áreas y Perímetros de la Circunferencia” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Propone de manera colaborativa diferentes estrategias de resolución a problemas de áreas y perímetros. Para representar espacios y problemas de su entorno. CRITERIOS Áreas y Perímetros Circunferencia % 1. Trabaja colaborativamente en binas 20% 2. Da las respuestas correctas de los problemas 20% 3. Emplea el procedimiento correcto en los problemas 25% 4. Identifica y emplea la fórmula adecuada 20% 5. Entrega a tiempo el ejercicio 15% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 68 - de la Puntaje MAT2-B3-TAREA08 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 I. CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Problemario 05: Propiedades de los Ángulos en la Circunferencia Instrucciones: En equipos de 4 integrantes resolver en el aula el Problemario siguiente. Revise el material de apoyo que se le proporciona para poder resolver esta actividad. Propiedades de los ángulos en la circunferencia - Página 69 - II. CLASIFICA LOS SIGUIENTES ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA SEGÚN LAS PROPIEDADES MENCIONADAS - Página 70 - III. CALCULA EL VALOR DE LA INCÓGNITA SEGÚN LA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE ÁNGULOS. PRESENTE LE PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DEL VALOR DE LA INCÓGNITA. - Página 71 - MAT2-B3-GO05 Guía de observación para evaluar Tarea 08 Problemario 05 Asignatura: Matemáticas II Bloque III: Elementos de la Circunferencia Fecha: Grupo Nombre: Turno TAREA 08: “Problemario 05: Ángulos en la circunferencia” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Resuelve problemas de su entorno usando la circunferencia y círculo, y las diferentes figuras asociadas con estas. Ángulos en la Circunferencia CRITERIOS % 1. Entrega en tiempo y forma 10% 2. Mostraron disposición al trabajo colaborativo y se expresaron de forma crítica y reflexiva 10% 3. Identificó y nombró las propiedades correspondientes 20% 4. Identificó las fórmulas según las propiedades correspondientes 25% 5. Aplicó de forma correcta las propiedades en el cálculo de los ángulos de la circunferencia 25% 6. Interpreta los resultados obtenidos 10% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 72 - Puntaje MAT2-B3-LECTURA01 ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS Hasta el momento hemos abordado áreas del circulo a las que podríamos llamar geométricamente tradicionales, sin embargo, ¿Cuál es el procedimiento a seguir para calcular regiones no convencionales, tal como las áreas que se muestran a continuación? EJEMPLO: 1. Encontrar el área de la región sombreada de la figura siguiente. El lado del cuadrado es 4. Solución: Á𝒓𝒆𝒂 𝑺𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝟒𝟐 − 𝟐 𝝅(𝟐)𝟐 = 𝟒(𝟒 − 𝝅) 𝟐 2. Calcula el área de la región sombreada de una región tomando como referencia las dimensiones que se muestran en la figura siguiente: Solución: El primer paso es ubicar las circunferencias que estén presentes en la figura. En este caso intervienen dos circunferencias, una con un radio de 2.5 𝑢 y la otra con un radio de 5 𝑢. Dado lo anterior, para el cálculo del área de la región sombreada debemos obtener las tres áreas siguientes: a) El área del rectángulo b) El área del círculo de radio igual a 2.5 𝑢 - Página 73 - c) El área del círculo de radio igual a 5 𝑢 a) El área del rectángulo 𝑨 = (𝒃𝒂𝒔𝒆)(𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂) 𝑨 = (𝟏𝟎 𝒖)(𝟓 𝒖) 𝑨𝟏 = 𝟓𝟎 𝒖𝟐 b) El área del círculo de 𝒓 = 𝟐. 𝟓 𝒖 𝑨 = 𝝅 𝒓𝟐 𝑨 = 𝝅(𝟐. 𝟓 𝒖)𝟐 𝑨 = 𝝅(𝟔. 𝟐𝟓 𝒖𝟐 ) 𝑨 = 𝟏𝟗. 𝟔𝟑 𝒖𝟐 Ahora debemos dividir este resultado entre 𝟐 pues es medio círculo. 𝑨𝟐 = 𝟗. 𝟖𝟐 𝒖𝟐 c) El área del círculo de 𝒓 = 𝟓 𝒖 𝑨 = 𝝅 𝒓𝟐 𝑨 = 𝝅(𝟓 𝒖)𝟐 𝑨 = 𝝅(𝟐𝟓 𝒖𝟐 ) 𝑨 = 𝟕𝟖. 𝟓𝟑 𝒖𝟐 Ahora debemos dividir este resultado entre 𝟒 pues es medio círculo. 𝑨𝟑 = 𝟏𝟗. 𝟔𝟑 𝒖𝟐 Después de calcular esas áreas, debemos restarle al área del rectángulo las dos áreas de los círculos: 𝑨𝑻= 𝑨𝟏 − 𝑨𝟐 − 𝑨𝟑 𝑨𝑻 = 𝟓𝟎 𝒖𝟐 − 𝟗. 𝟖𝟐 𝒖𝟐 − 𝟏𝟗. 𝟔𝟑 𝒖𝟐 𝑨𝑻 = 𝟐𝟎. 𝟓𝟓 𝒖𝟐 - Página 74 - MAT2-B3-TAREA09 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Problemario 06: Áreas de regiones sombreadas en la circunferencia Instrucciones: En equipos de 5 estudiantes realice el procedimiento del cálculo de las áreas sombreadas y subraye las respuestas correctas. 1. El radio de la circunferencia es de 2 cm. Calcular el área de la región sombreada. a) (𝟑𝟔 − 𝝅) 𝒄𝒎𝟐 b) (𝟒𝟒 − 𝝅) 𝒄𝒎𝟐 c) 𝟒(𝟒 − 𝝅) 𝒄𝒎𝟐 d) (5-4π) 𝒄𝒎𝟐 2. Si 𝑟 = 4 𝑐𝑚, calcular el área de la región sombreada. a) 𝟒𝟔𝛑 𝒄𝒎𝟐 b) 𝟒𝟒𝛑 𝒄𝒎𝟐 c) 𝟒𝟎𝛑 𝒄𝒎𝟐 d) 32π 𝒄𝒎𝟐 3. El área de la región sombreada es: - Página 75 - a) 𝟒 𝒄𝒎𝟐 b) 𝟔 𝒄𝒎𝟐 c) 𝟖 𝒄𝒎𝟐 d) 𝟏𝟎 𝒄𝒎𝟐 4. Calcular el área de la región sombreada de la siguiente figura. a) 𝟔𝟒𝝅 𝒄𝒎𝟐 b) 𝟑𝟐𝝅 𝒄𝒎𝟐 c) 𝟏𝟔𝝅 𝒄𝒎𝟐 d) 𝟖𝝅 𝒄𝒎𝟐 5. Calcular el área de la región sombreada. a) b) c) d) 𝟏𝟔(𝟒 − 𝛑) 𝒄𝒎𝟐 𝟒(𝟏𝟔 − 𝛑) 𝒄𝒎𝟐 𝟏𝟔(𝟓 − 𝛑) 𝒄𝒎𝟐 𝟐𝟔(𝟒 − 𝛑) 𝒄𝒎𝟐 6. Calcular el área de la región sombreada (𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟) en donde 𝒓𝟐 = 𝟐 𝒄𝒎 a) 𝟏𝟐𝛑 𝒄𝒎𝟐 b) 𝟏𝟔𝛑 𝒄𝒎𝟐 c) 𝟓𝛑 𝒄𝒎𝟐 d) 𝟒𝛑 𝒄𝒎𝟐 7. Calcular el área de la región sombreada (𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟) en donde 𝒓𝟏 = 𝟒 𝒄𝒎 a) 𝟐𝛑 𝒄𝒎𝟐 - Página 76 - b) 4𝛑 𝒄𝒎𝟐 c) 𝟑𝛑 𝒄𝒎𝟐 d) 𝟔𝛑 𝒄𝒎𝟐 8. Si el lado del cuadrado mide 4 𝑐𝑚. Calcular el área de la región sombreada. a) 𝟒(𝟒 − 𝛑) 𝒄𝒎𝟐 b) 𝟒(𝛑 − 𝟏) 𝒄𝒎𝟐 c) 𝟒(𝟓 − 𝛑) 𝒄𝒎𝟐 d) 𝟒(𝛑 − 𝟐) 𝒄𝒎𝟐 9. Si el lado del cuadrado mide 4 𝑐𝑚. Calcular el área de la región sombreada. a) 𝟏𝟔(𝛑 − 𝟏) 𝒄𝒎𝟐 b) 𝟒𝛑 𝒄𝒎𝟐 c) 𝟑𝛑 𝒄𝒎𝟐 d) 𝟖(𝛑 − 𝟐) 𝒄𝒎𝟐 10. Si el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreada. a) b) c) d) 𝟏𝟔(𝛑 − 𝟐) 𝒄𝒎𝟐 𝟖(𝛑 − 𝟐) 𝒄𝒎𝟐 𝟒(𝛑 − 𝟐) 𝒄𝒎𝟐 𝟐𝛑 − 𝟒 𝒄𝒎𝟐 - Página 77 - MAT2-B3-GO06 Guía de observación para evaluar Tarea 09 Problemario 06 Asignatura: Matemáticas II Bloque III: Elementos de la Circunferencia Fecha: Grupo Nombre: Turno TAREA 09: “Problemario 06: Áreas de regiones sombreadas en la circunferencia” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Resuelve problemas de su entorno usando la circunferencia y círculo, y las diferentes figuras asociadas con estas. Secciones de un círculo (corona, sector y trapecio circular) Área de regiones sombreadas CRITERIOS % 1. Entrega en tiempo y forma 10% 2. Presenta el problemario limpio y legible 10% 3. Mostraron disposición al trabajo colaborativo y se expresaron de forma crítica y reflexiva 15% 4. Identifico las fórmulas según las propiedades correspondientes 15% 5. Aplicó de forma correcta las propiedades en el cálculo de las áreas sombreadas en la circunferencia 20% 6. Responde correctamente los problemas 30% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 78 - Puntaje MAT2-B3-MA03 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados Asignatura: Matemáticas II Elementos de la circunferencia Bloque III Fecha: Grupo: Nombres Turno: Situación Didáctica 1: “Thales y Pitágoras en acción” Conocimientos Circunferencia y círculo - Concepto de círculo y circunferencia - Segmentos y rectas de la circunferencia - Ángulos en la circunferencia - Perímetro de la circunferencia - Área del círculo - Secciones de un círculo (corona, sector y trapecio circular) - Área de regiones sombreadas 1 = Necesito ayuda Habilidades Actitudes Identifica la diferencia entre círculo y circunferencia Reconoce los diferentes tipos de segmentos, rectas, ángulos y figuras asociado con la circunferencia Aplica los elementos del círculo y la circunferencia en la solución de situaciones cotidianas 2 = Puedo hacerlo solo NIVEL CRITERIOS 1 2 3 Externa el pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado 3 = Puedo ayudar a otros ¿Qué debo hacer para mejorar? Resuelve problemas de su entorno usando la circunferencia y círculo y las diferentes figuras asociadas con estas Propone de manera colaborativa diferentes estrategias de solución a problemas de áreas y perímetros para representar espacios y objetos de su entorno Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 79 - BIBLIOGRAFIA Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora (2009). Matemáticas 2 (1ra. Ed.). Hermosillo, Sonora Manuel René Jiménez, R. M. (2019). Matemáticas 2. (3ra. Ed.). México: Pearson Padilla, E. A. (2015). Matemáticas 2. (reimpresión ed.). México: Progreso, Grupo Edelvives - Página 80 - BLOQUE IV. RAZONES TRIGONÓMETRICAS BLOQUE V. FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS BLOQUE VI. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS DE LOS POLÍGONOS BLOQUES IV. V. VI. Razones Trigonométricas Funciones Trigonométricas Triángulos Oblicuángulos - Página 81 - BLOQUE IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS BLOQUE V. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BLOQUE VI. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS PROPÓSITOS DE LOS BLOQUES Resuelve problemas con razones trigonométricas en triángulos presentes en su vida cotidiana Propone soluciones que involucren funciones trigonométricas en el plano cartesiano, permitiéndole resolver distintas problemáticas relacionadas con fenómenos naturales y sociales Resuelve triángulos oblicuángulos aplicando las leyes de senos y cosenos que le permitan cuantificar el espacio en problemas reales o hipotéticos APRENDIZAJES ESPERADOS Propone, de manera creativa, solución a problemas que involucran triángulos rectángulos, valorando su uso en la vida cotidiana Elige razones trigonométricas para proponer alternativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno Desarrolla estrategias de manera colaborativa para obtener los valores de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas y/o calculadora, con la finalidad de interpretar fenómenos sociales y naturales Explica de forma crítica, la gráfica de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, relacionándola con el comportamiento de fenómenos de su entorno Propone de manera colaborativa, el uso de las leyes de senos y cosenos como alternativas de solución para situaciones reales Desarrolla estrategias con pensamiento crítico y reflexivo para la solución de triángulos oblicuángulos encontrados en su contexto - Página 82 - COMPETENCIAS GENÉRICAS DISCIPLINARES CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas CG4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos CG8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo CDBM1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o forales CDBM2 Formula y resuelve problemas Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques CDBM6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean CG1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones CG6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética CG7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su ida cotidiana CDBM1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o forales CDBM5 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento CDBM6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean CDBM8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas CG4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos CG8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo CDBM2 Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. CDBM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y os contrasta con modelos establecidos o situaciones reales CDBM6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean - Página 83 - MAT2-B4_B5_B6-SD04 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 4 TITULO “¿Quién me salva?” Un grupo de estudiantes del COBATAB decide aprovechar sus vacaciones de semana santa para asistir a la playa, al llegar se percatan de la siguiente situación: “Una persona se encuentra en dificultades pidiendo auxilio. Ellos observan que hay Contexto dos torres (A y B) de vigilancia alineadas paralelamente a la playa. Pedro se encuentra en la Torre A y Rodrigo en la Torre B, ambos observan a la persona que se encuentra mar adentro pidiendo auxilio a diferente distancia de ambos. Pedro observa a la persona a un ángulo aproximado de 60° y Rodrigo a un ángulo de 50° y además la distancia entre las torres es de 50 𝑚”. Conflicto Cognitivo Si los dos salvavidas, parten al mismo tiempo y con la misma velocidad hacia la persona que está pidiendo auxilio. ¿Quién llegará primero? En equipos de 5 estudiantes elaborar un diagrama que muestre las trayectorias Propósito de la Situación Didáctica que siguieron los dos salvavidas y la distancia recorrida, basándose en los conceptos y principios de trigonometría, utilizando material didáctico (físico o digita) para exponerlo en plenaria dentro del aula - Página 84 - MAT2-B1-G01 Guía de observación para evaluar Diagrama de Trayectorias Bloque IV: Razones trigonométricas Bloque V: Funciones trigonométricas Bloque VI: Triángulos oblicuángulos Asignatura: Matemáticas II Fecha: Situación Didáctica 4: ¿Quién me salva? Grupo Nombres: Turno Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Propone, de manera creativa, solución a problemas que involucran triángulos rectángulos, valorando su uso en la vida cotidiana Elige razones trigonométricas para proponer alternativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno Desarrolla estrategias de manera colaborativa para obtener los valores de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas y/o calculadora, con la finalidad de interpretar fenómenos sociales y naturales Explica de forma crítica, la gráfica de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, relacionándola con el comportamiento de fenómenos de su entorno Propone de manera colaborativa, el uso de las leyes de senos y cosenos como alternativas de solución para situaciones reales Desarrolla estrategias con pensamiento crítico y reflexivo para la solución de triángulos oblicuángulos encontrados en su contexto CRITERIOS % 1. Presenta la gráfica de las trayectorias en el tiempo establecido por el facilitador 2. Se relaciona con sus compañeros de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado Aplica los elementos de las razones y funciones trigonométricas, así como los triángulos oblicuángulos en el diagrama de la trayectoria seguida para determinar cuál salvavidas es ¿Quién me salva? Diseña una estrategia que describe el procedimiento y las acciones que le permiten realizar la gráfica de ruta. Anexa los cálculos realizados utilizando razones y funciones trigonométricas, así como las leyes de senos y cosenos. Identifica la diferencia entre los casos en que se puede emplear ley de senos de la ley de cosenos. 3. 4. 5. 6. Razones Trigonométricas Funciones Trigonométricas Triángulos oblicuángulos CUMPLE SI 10% 10% 20% 20% 20% 20% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 85 - NO Puntaje MAT2-B4_B5_B6-ED04 Evaluación diagnóstica BIV “Razones Trigonométricas” BV “Funciones Trigonométricas” BVI “Triángulos Oblicuángulos” NOMBRE GRUPO FECHA Instrucciones: Subraya la respuesta correcta. Si lo requieres realiza los cálculo en tu cuaderno - Página 86 - - Página 87 - - Página 88 - MAT2-B4-LECTURA01 RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS La Trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. En un triángulo rectángulo es necesario que conozcamos el nombre de los lados que lo conforman, los cuales dependen del ángulo que se toma como referencia. A las proporciones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo se les conoce como razones o relaciones trigonométricas. A - Página 89 - MAT2-B4-TAREA10 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Tabla comparativa: Razones Trigonométricas Instrucciones: En bina de estudiantes completa la siguiente tabla comparativa con las Razones Trigonométricas faltantes TABLA COMPARATIVA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Con base al triangulo mostrado: a. Indica el nombre de cada uno de los lados con las letras, b y c b. Completa los datos faltantes que describen las razones trigonométricas FUNCIÓN ABREVIATURA Cos tan o tg COTANGENTE Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente SECANTE COSECANTE FÓRMULA Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa SENO COSENO DEFINICIÓN csc - Página 90 - 𝑇𝑎𝑛 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝐶𝑜𝑡 𝐴 = 𝑏 𝑎 MAT2-B2-LC06 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 10 Tabla Comparativa Asignatura: Matemáticas II Bloque IV: Razones Trigonométricas Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 10: “Tabla Comparativa: Razones Trigonométricas” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Elige razones trigonométricas para proponer alternativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno Razones Trigonométricas CRITERIOS % 1. Identifica las abreviaturas de las razones trigonométricas. CUMPLE SI NO 20% 2. Expresa adecuadamente las definiciones de las razones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente. 3. Expresa adecuadamente las definiciones de las razones trigonométricas Cotangente, Secante y Cosecante. 4. Establece las fórmulas de las razones Trigonométricas Seno, Coseno y Tangente. 5. Establece las fórmulas de las razones Trigonométricas Cotangente, Secante y Cosecante. 20% 20% 20% 20% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 91 - Puntaje MAT2-B4-LECTURA02 VALORES EXACTOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A continuación, se presenta la forma de obtener los valores exactos de los ángulos de 30°, 45° y 60°. ¿Qué significan “valores exactos”? Que, para estos ángulos, con base en ciertos valores de un triángulo rectángulo (para 30° y 60°) o isósceles (45º), se puede resolver un triángulo para alguna incógnita sin necesidad de usar las funciones de la calculadora. Para los ángulos de 30º y 60º Considera un triángulo equilátero de lado 2. Se divide en dos partes y se forman dos triángulos rectángulos de lados 2, 1 y √3. Este último valor se obtiene de aplicar el teorema de Pitágoras. Del teorema de Pitágoras: Es claro que, al dividir el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos, el ángulo superior se divide y queda un ángulo de 30°, y el lado inferior se reduce a 1. Ahora bien: Para 30°, las funciones quedan definidas como: Para 60°, las funciones quedan definidas como: - Página 92 - Para el ángulo de 45° Considera un triángulo rectángulo con catetos iguales. Si los catetos son de longitud 1, por el Teorema de Pitágoras, la hipotenusa es 2 y puesto que los catetos son iguales, los ángulos agudos son de 45°. Ejemplos: a) Una escalera está apoyada sobre una pared exactamente en la base de una ventana situada a 6 m de altura. Si la escalera forma un ángulo de 60º con el piso, calcula la longitud de la escalera. Sustitución - Página 93 - b) Un objeto con un lado en forma de triángulo se usa en un escritorio para sostener libros, como se muestra en la figura. - Página 94 - MAT2-B4-TAREA11 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Calcula mis lados y ángulos ocultos Instrucciones: Calcula la medida del lado que se solicita. ¿Cuánto mide este lado? Respuesta: ____________________ - Página 95 - MAT2-B4-GO08 Guía de observación para evaluar Tarea 11 Calcula mis lados y ángulos ocultos Bloque IV: Asignatura: Matemáticas II Razones trigonométricas Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 10: “Calcula mis lados y ángulos ocultos” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Elige razones trigonométricas para proponer alternativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno. CRITERIOS Razones trigonométricas SIEMPRE CASI SIEMPRE CAS NUNCA NUNCA (3PTS) (2PTS) (1PT) (0PT) 1. Interpreta modelos para calcular el valor de las razones trigonométricas. 2. Aplica las razones trigonométricas para la solución de triángulos rectángulos. 3. Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria. 4. Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso. 5. Soluciona todos los lados de los triángulos rectángulos de la actividad. 6. Soluciona todos los ángulos de los triángulos rectángulos de la actividad. Puntuación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 96 - MAT2-B5-LECTURA01 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Con las funciones trigonométricas podemos establecer la relación que existe entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Por otro lado, cualquier punto 𝑃(𝑎, 𝑏) lo podemos graficar en un plano cartesiano. Por ejemplo, el punto 𝑃(4,3) lo graficamos como en la figura. En la figura se observa que se puede trazar el triángulo rectángulo 𝛥𝑂𝑃𝑄. Además tenemos que se forma un ángulo 𝜃 entre las líneas ̅̅̅̅ 𝑶𝑷 y ̅̅̅̅̅ 𝑶𝑸. Sobre el triángulo rectángulo 𝛥𝑂𝑃𝑄 podemos calcular las razones trigonométricas seno, coseno y tangente como sigue: ̅̅̅̅̅ = 𝟒 y 𝑷𝑸 ̅̅̅̅ = 𝟑, y aplicando el Si se observa con detenimiento el punto 𝑃(4,3) nos indica que 𝑸𝑶 Teorema de Pitágoras deducimos que ̅̅̅̅̅ 𝑸𝑶 = √𝟒𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟓 Así deducimos que: Gráfica de la función seno En la siguiente gráfica de la función 𝑠𝑒𝑛 𝜃, se observa que en el intervalo [0, 𝜋], el 𝑠𝑒𝑛 𝜃 es positivo, mientras que [𝜋, 2𝜋], el 𝑠𝑒𝑛 𝜃 es negativo. - Página 97 - Gráfica de la función coseno En la siguiente gráfica de la función 𝑐𝑜𝑠 𝜃, se observa que 𝜋 3𝜋 en los intervalos [0, 2 ] y [ 2 , 2𝜋] el 𝑐𝑜𝑠 𝜃 es positivo, 𝜋 3𝜋 ] 2 mientras que el intervalo [ 2 , el 𝑐𝑜𝑠 𝜃 es negativo. Gráfica de la función tangente Ya que 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 la función tangente no 𝐜𝐨𝐬 𝒙 está definida en 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0. Por lo tanto, la función tangente tiene una 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 - Página 98 - MAT2-B5-TAREA12 Collage Funciones Trigonométricas OPCIONAL CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Instrucciones: Solicitar a los estudiantes imágenes donde se presenten las formas graficas de las funciones seno, coseno y tangente en objetos de su entorno y con ellas elaborar y explicar en equipos de 5 integrantes un collage. Recuperado de https://www.diariopresente.mx/tabasco/escuchan-estruendos-cerca-del-madrigal/204881enero 2020 - Página 99 - MAT2-B5-LC07 Lista de cotejo para evaluar Tarea 12 Collage Funciones Trigonométricas Asignatura: Matemáticas II Bloque V: Funciones Trigonométricas Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 12: “Collage Funciones Trigonométricas” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Explica de forma crítica, la gráfica de las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, relacionándola con el comportamiento de fenómenos de su entorno Funciones Trigonométricas CRITERIOS % 1. Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. 2. Representa la forma gráfica de la función Seno en objetos de su entorno. 3. Representa la forma gráfica de la función Coseno en objetos de su entorno. 4. Representa la forma gráfica de la función Tangente en objetos de su entorno. 5. Presenta orden y limpieza en la presentación final del collage. CUMPLE SI NO 20% 20% 20% 20% 20% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 100 - Puntaje MAT2-B5-LECTURA02 PROBLEMAS APLICADOS CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejemplo 1. La choca Kasiana sale de su casa muy temprano en dirección al este. Después de dar 15 pasos, gira en dirección norte; camina 20 pasos y se detiene a esperar el paso de los automóviles para cruzar la calle, como se muestra en la figura. En ese momento, ¿cuántos pasos lo separan de su casa y en qué dirección con respecto a ella se encuentra? A partir de la información podemos realizar la siguiente representación gráfica: - Página 101 - Ejemplo 2: Una cámara de video está instalada en un edificio a 46 m de altura, la persona que monitorea la cámara está filmando un helicóptero que está a punto de despegar. Si el ángulo de depresión de la cámara es de 53.25°, ¿a qué distancia se encuentra el helicóptero del edificio? El ángulo de depresión medido desde la cámara es igual al ángulo de elevación medido desde el helicóptero, por lo tanto, para encontrar el valor de “x” es necesario establecer la relación entre las medidas involucradas con una función trigonométrica. En el triángulo descrito, la altura de la cámara corresponde a la medida del cateto opuesto, la distancia entre el edificio y el helicóptero es el cateto adyacente, por lo cual, la función trigonométrica que relaciona a los catetos es la tangente. 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑎𝑛 𝑇 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑛 53.25° = 46 𝑥 𝑥(𝑡𝑎𝑛 53.25°) = 46 46 𝑡𝑎𝑛 53.25° 46 𝑥= 1.339162 𝑥= 𝑥 = 34.35 La distancia entre el edificio y el helicóptero es de 34.35 m. - Página 102 - Ejemplo 3. Un paciente está recibiendo radioterapia para el tratamiento de un tumor situado atrás del corazón. Para evitar daños en el corazón, el radiólogo debe dirigir los rayos con cierto ángulo hacia el tumor. Si el tumor está localizado a 8.5 cm debajo de la piel y los rayos penetran en el cuerpo a 15 cm a la derecha de éste, calcular el ángulo con el que los rayos deben de penetrar al cuerpo para atacar directamente al tumor. Visualizando el triángulo que describen los rayos, se tiene: Los lados conocidos del triángulo descrito en el pecho son los catetos, y se relacionan mediante la función tangente. 𝑡𝑎𝑛 ∝= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑛 ∝= 85 15 ∝= tan−1 ( 85 ) 15 ∝= 29.54° El radiólogo debe dirigir los rayos con un ángulo de 29.54°, para no afectar el corazón. ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO Solicitar que en equipos de 5 integrantes calculen la altura de un árbol, de un edificio, poste de luz, la altura de la portería de futbol, según la disposición de objetos en el entorno escolar, haciendo uso de funciones trigonométricas - Página 103 - MAT2-B5-LECTURA03 ÁNGULOS DIRIGIDOS En trigonometría se trabajan con ángulos positivos y negativos, según la dirección en que gire el lado terminal de un ángulo en posición normal respecto al sentido de las manecillas del reloj y el criterio adoptado. Los ángulos positivos son los que giran en sentido contrario al de las manecillas del reloj, así mismo si gira en dirección de las manecillas del reloj al cambiar su posición inicial y coincide con el eje negativo se habrá generado un ángulo negativo. Ángulos de referencia El ángulo de referencia para 300°, 150° y 225° es el ángulo agudo formado por el lado terminal y el eje horizontal. - Página 104 - Círculo unitario La circunferencia unitaria es una circunferencia con radio de longitud igual a uno, con centro en el origen (0,0) de un sistema de coordenadas cartesianas. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares. Si (𝑥, 𝑦) es un punto de la circunferencia unitaria del primer cuadrante, entonces 𝑥 e 𝑦 son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Se observa que el cateto opuesto corresponde al eje “𝑦” y el cateto adyacente al eje “𝑥”, considerando esto en relación con el á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛽 se obtiene: Signos del círculo unitario Identidades trigonométricas - Página 105 - Utilizando el círculo trigonométrico, se pueden obtener las identidades trigonométricas, como se muestra a continuación. Identidades recíprocas Se llaman así porque si multiplicamos ambas relaciones trigonométricas su resultado es 1. O bien, pueden expresarse de la siguiente manera: Identidades pitagóricas Son identidades que se obtienen utilizando el Teorema de Pitágoras en el círculo unitario. Utilizando el mismo esquema: Por Pitágoras se tiene que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, que en un círculo unitario mide 1, entonces: Las otras identidades derivadas de esta expresión son: Identidades del ángulo doble: - Página 106 - MAT2-B5-TAREA13 CG 2.1 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.2 CG 5.3 CDBM 3 CDBM 4 CDBM 6 Tabla comparativa: Círculo Unitario Instrucciones: En equipos de 5 estudiantes apoyados con el círculo unitario y trazando triángulos rectángulos de diferentes ángulos obtenga la gráfica de las funciones seno, coseno y tangente. Completa la siguiente tabla. TABLA COMPARATIVA: Círculo Unitario (Signos de las Funciones Trigonométricas) Función CUADRANTE I CUADRANTE II CUADRANTE III CUADRANTE IV Seno Coseno Tangente PROPUESTA DE LA ACTIVIDAD Solicitar en binas de participantes elaboren una placa de cartón o cartulina de 30 x 30 cm, para trazar una circunferencia, atendiendo las indicaciones del profesor para realizar la actividad. - Página 107 - MAT2-B5-EE01 Escala estimativa para evaluar Tarea 13 Círculo Unitario Asignatura: Matemáticas II Bloque V: Funciones Trigonométricas Fecha: Grupo Nombres: Turno Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Desarrolla estrategias de manera colaborativa para obtener los valores de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas y/o calculadora, con la finalidad de interpretar fenómenos sociales y naturales. CRITERIOS CONOCIMIENTO ACTITUDES HABILIDADES RESPONSABILIDAD LIMPIEZA 1 (0PTS) INDICADORES Círculo Unitario 2 (1PTS) 3 (2PTS) 4 (3PTS) Identifica y representa en el plano cartesiano los signos de la función trigonométrica Seno Identifica y representa en el plano cartesiano los signos de la función trigonométrica Coseno Identifica y representa en el plano cartesiano los signos de la función trigonométrica Tangente Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad. Describe la relación entre las funciones trigonométricas y el círculo unitario Entrega en tiempo y forma la actividad solicitada. Entrega de manera ordenada y limpia la actividad. Puntuación Final Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 108 - 5 (4PTS) MAT2-B6-LECTURA01 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Cuando de resolver triángulos se trata, es necesario tener claro que esto implica una serie de operaciones que nos llevarán a encontrar los valores exactos de las medidas de sus tres lados y de sus tres ángulos. Para el caso de los triángulos rectángulos tenemos el apoyo del Teorema de Pitágoras y de las funciones trigonométricas Seno, Coseno, Tangente y sus funciones inversas Cosecante, Secante y Cotangente, respectivamente, estudiadas anteriormente. Pero en este caso, nos vamos a enfocar en la solución de triángulos que no son rectángulos, a los cuales denominamos triángulos oblicuángulos. Para la solución de triángulos oblicuángulos usaremos dos leyes que en trigonometría son de vital importancia, pues permiten descubrir ubicaciones o distancias entre tres puntos no colineales (que forman un triángulo) que pueden representar situaciones de la vida real, por ejemplo, si existiera algún incendio y se tienen dos estaciones de bomberos ubicadas en distintos lados, ¿Cuál de las dos recorrería menos distancia para llegar más rápido? O si un aeropuerto tiene determinada distancia sobre la pista para el despeje ¿qué ángulo debe formar el avión para levantarse a cierta altura sin salirse de los límites de la pista? LEY DE LOS SENOS “En un triángulo △ 𝐴𝐵𝐶, donde sus ángulos son ∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶 y sus lados opuestos correspondientes son 𝑎, 𝑏, 𝑐, respectivamente, se cumple que la razón del seno de uno de sus ángulos entre su lado opuesto correspondiente es igual a la razón del seno de cualquiera de sus otros dos lados entre su respectivo lado opuesto” es decir: 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝐶 = = 𝑎 𝑏 𝑐 O análogamente se tiene la proporción 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐴 ¿Cuándo usar la Ley de los Senos? - Página 109 - = 𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝐵 = 𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝐶 Cuando se conocen dos de sus lados y uno de sus ángulos, y se encontrará un ángulo. Cuando se conocen dos de sus ángulos y uno de sus lados y se encontrará un lado. LEY DE LOS COSENOS “En un triángulo △ 𝐴𝐵𝐶, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble de su producto (de los mismos dos lados) por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”. 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐴 Sus variaciones son: 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐵 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝐶 ¿Cuándo usar la Ley de los Cosenos? Cuando se conocen dos de sus lados y el ángulo opuesto al lado desconocido. En este caso el objetivo es encontrar un lado. Cuando se conocen todos sus lados, por lo que su objetivo es encontrar ángulos con la ayuda del despeje del coseno del ángulo de interés. Nota: Se sugiere poner atención a los ejemplos aplicados sobre este tema expuestos por tu profesor(a) y de igual manera te facilitamos las siguientes ligas: REFERENCIAS Coordinación de Matemáticas, División de Ciencias Básicas, Universidad Nacional Autónoma de México. Ley de los Senos. Abril de 2011. http://dcb.fic.unam.mx/cerafin/bancorec/capsulasmatematicas/Ley_senos_Ley_Cosenos.pdf Ley de Senos y Cosenos.https://virtual.itca.edu.sv/Mediadores/mate/u3/ley_de_senos_y_cosenos.html Repaso de las leyes de senos y cosenos. https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hsgeo-solving-general-triangles/a/laws-of-sines-and-cosines-review - Página 110 - MAT2-B6-TAREA14 CG 4.1 CG 5.1 CG 8.1 CG 8.3 CDBM 2 CDBM 3 CDBM 6 Mapa Conceptual Instrucciones: En equipo de 4 estudiantes elaborar un mapa conceptual, observando las analogías y diferencias que existen entre los triángulos rectángulos y los triángulos oblicuángulos Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=n2UfP6dGOaw en enero 2020 - Página 111 - MAT2-B5-GO09 Guía de observación para evaluar Tarea 14 Mapa Conceptual Asignatura: Matemáticas II Bloque VI: Triángulos Oblicuángulos Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 14: “Mapa Conceptual: Triángulos rectángulos y Triángulos obicuángulos” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Desarrolla estrategias con un pensamiento crítico y reflexivo para la solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos encontrados en su contexto CRITERIOS Triángulos oblicuángulos SIEMPRE CASI SIEMPRE CAS NUNCA NUNCA (3PTS) (2PTS) (1PT) (0PT) 1. Identifica las propiedades del triángulo rectángulo. 2. Identifica las propiedades del triángulo oblicuángulo. 3. Expresa los métodos de solución para triángulos rectángulos. 4. Expresa los métodos de solución para triángulos oblicuángulos. 5. Discrimina entre la ley de senos y cosenos para la solución de triángulos oblicuángulos. 6. Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa, mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. Puntuación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 112 - MAT2-B6-LECTURA01 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS EJEMPLO 1 (Ley de los senos) Encontrar el valor de los elementos faltantes del siguiente triángulo. Los datos que proporciona el triángulo son: Por lo tanto, se elige la siguiente igualdad: Con ella se puede encontrar la longitud del lado “𝑎”, sustituyendo los datos conocidos y despejando la incógnita. Para encontrar el valor de “𝑏”, primero se tiene que obtener la medida del á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵, para ello debes recordar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°, por lo tanto: - Página 113 - De la misma forma se encuentra el valor de “𝑏”, utilizando otra de las igualdades de la Ley de Senos. Por lo tanto, el triángulo queda como sigue: EJEMPLO 2 (Ley de los cosenos) Para encontrar los elementos faltantes del siguiente triángulo, se debe elegir la fórmula de la Ley de Cosenos, dependiendo de los datos proporcionados. - Página 114 - Para encontrar el valor de cualquiera de los ángulos restantes se podría aplicar la 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑛𝑜𝑠, ya que se tiene los lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, pero se seguirá resolviendo con las fórmulas de la 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠, para ejemplificar mejor su uso. Ahora, se encontrará el valor del ángulo A, utilizando la siguiente fórmula. El ángulo B se obtiene de la diferencia de los ángulos A y C con 180°. El triángulo queda de la siguiente forma: - Página 115 - MAT2-B6-TAREA15 CG 4.1 CG 4.5 CG 5.1 CG 8.1 CG 8.3 CDBM 2 CDBM 3 CDBM 6 Problemario 07: Leyes de Senos y Cosenos Instrucciones: En binas de estudiantes resolver los siguientes ejercicios relacionados con situaciones de contexto de triángulos oblicuángulos y socializarlos en la sesión de clase para su evaluación. 1. Un edificio se localiza al final de una calle que esta inclinada en un ángulo de 8.4° con respecto a la horizontal. En un punto P que está a 210m calle abajo del edificio, el ángulo subtendido por el edificio es de 15.6°, ¿Cuál es la altura del edificio? 2. Una asta está situada en la parte superior de un edificio de 115 pies de altura. Desde un punto en el mismo plano horizontal de la base del edificio los ángulos de elevación de los extremos superior en inferior de la asta son 63.2° y 58.6°, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la asta? - Página 116 - 3. Para determinar la distancia a través de un rio recto, un topógrafo elige los puntos P y Q en la rivera, donde la distancia entre P y Q es 200m. En cada uno de los puntos se observa el punto R en la rivera opuesta. El ángulo que tiene lados PQ y PR mide 63.1° y el ángulo cuyos lados PQ y QR mide 80.4° ¿Cuál es la distancia a través del rio? 4. Una parcela triangular con vértice R, S y T se delimita por una cerca, pero se advierte la ausencia de la marca del lindero en S. Del título de propiedad, se sabe que la distancia de T a R es 324 m, la distancia de T a S es 506m y el ángulo en R del triángulo mide 125.4°. Determine la ubicación de S calculando la distancia de R a S. 5. Una rampa esta inclinada en un ángulo de 41.3° con respecto del suelo. Un extremo de una tabla de 20.6 pies de longitud se localiza en el suelo en un punto P que está a 12.2 pies de la base Q de la rampa, y el otro extremo reposa sobre la rampa en un punto R. Determine la distancia desde el punto Q hacia arriba de la rampa hasta el punto R. - Página 117 - 6. En un momento determinado cuando un avión sobre un camino recto que une a dos ciudades pequeñas, los ángulos de depresión de ambas fueron de 10.2° y 8.7°. a. Determine las distancias rectas desde el avión a cada una de las ciudades en ese momento si la separación entre ambas es de 8.45km. b. Determine la altura del avión en ese momento. 7. Un punto P está a 1.4km de la orilla de un lago y 2.2 km de la otra orilla. Si en P el lago subtiende un ángulo de 54°, ¡Cuál es la longitud del lago? 8. Dos caminos rectos se cortan en un punto P y ahí forman un ángulo de 42.6°. En un punto R sobre un camino está un edificio de 368m de P y en un punto S, en el otro camino está un edificio a 426 m de P. Determine la distancia directa de R a S. - Página 118 - MAT2-B6-LC08 Lista de Cotejo para evaluar Tarea 15 Problemario 07 Asignatura: Matemáticas II Bloque I: Ángulos y Triángulos Fecha: Grupo Nombres: Turno TAREA 15: “Problemario 07: Leyes de Senos y Cosenos” Aprendizajes Esperados Contenidos Específicos Propone de manera colaborativa el uso de las leyes de senos y cosenos como alternativas de solución para situaciones reales Poliedros CRITERIOS % 1. Se relaciona con su compañero de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. 10% 2. Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria 10% 3. Identifica la Ley de los Senos, así como los elementos necesarios para la resolución de triángulos oblicuángulos en problema aplicados a su entorno 20% 4. Identifica la Ley de los Cosenos, así como los elementos necesarios para la resolución de triángulos oblicuángulos en problema aplicados a su entorno 20% 5. Aprecia la utilidad de la Ley de los Senos y Cosenos para la resolución de triángulos rectángulos. 20% 6. Entrega de manera oportuna los ejercicios propuestos de leyes de senos y cosenos para su socialización 10% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 119 - Puntaje MAT2-B2-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados Asignatura: Matemáticas II Bloque IV Bloque V Bloque VI Razones Trigonométricas Funciones Trigonométricas Triángulos Oblicuángulos Fecha: Grupo: Nombres Turno: Situación Didáctica 4: “¿Quién me salva” Conocimientos Habilidades Actitudes Razones trigonométricas de ángulos agudos Valores de las razones trigonométricas para ángulos notables (30°, 45°, 60°) Solución de triángulos rectángulos Funciones trigonométricas en el plano cartesiano - Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes - Gráficas Círculo unitario Identidades trigonométricas - Recíprocas - Pitagóricas - Ángulo doble Establece las relaciones trigonométricas para ángulos agudos Interpreta modelos para calcular el valor de las razones trigonométricas Aplica razones trigonométricas para la solución de triángulos rectángulos Identifica y representa en el plano cartesiano las funciones trigonométricas y sus signos en los cuadrantes Describe la relación entre las funciones trigonométricas y el círculo unitario Explica las identidades trigonométricas Ley de senos Ley de cosenos Solución de triángulos oblicuángulos Discrimina entre la ley de senos y cosenos para la solución de triángulos oblicuángulos Describe el proceso de solución de triángulos oblicuángulos - Página 120 - Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad Aporta ideas en la solución de problemas promoviendo su creatividad Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado 1 = Necesito ayuda 2 = Puedo hacerlo solo NIVEL CRITERIOS 1 2 3 3 = Puedo ayudar a otros ¿Qué debo hacer para mejorar? Propone, de manera creativa, solución a problemas que involucran triángulos rectángulos, valorando su uso en la vida cotidiana Elige razones trigonométricas para proponer alternativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno Desarrolla estrategias de manera colaborativa para obtener los valores de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas y/o calculadora, con la finalidad de interpretar fenómenos sociales y naturales Explica de forma crítica, la gráfica de las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, relacionándola con el comportamiento de fenómenos de su entorno Propone, de manera colaborativa, el uso de las leyes de senos y cosenos como alternativas de solución para situaciones reales Desarrolla estrategias con un pensamiento crítico y reflexivo, para la solución de triángulos oblicuángulos encontrados en su contexto Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador - Página 121 - BIBLIOGRAFIA COBABC. (2018). Matemáticas 2. México: COLEGIO DE BACHILLERES DE BAJA CALIFORNIA COBAS. (2009). Matemáticas 2. México: COLEGIO DE BACHILLERES DE SONORA. Espinosa, J. C. (2012). Teorema de los senos y los cosenos. CEFA, 1-6. Jiménez, M. R., René Jiménez , M., & Estrada Coronado, R. (2019). Matemáticas II. México: Pearson. Coordinación de Matemáticas, División de Ciencias Básicas, Universidad Nacional Autónoma de México. Ley de los Senos. Abril de 2011 Fuentes electrónicas Ley de Senos y Cosenos recuperadas de los sitios electrónicos siguientes en enero 2020: - http://dcb.fic.unam.mx/cerafin/bancorec/capsulasmatematicas/Ley_senos_Ley_Cosenos.pdf - https://virtual.itca.edu.sv/Mediadores/mate/u3/ley_de_senos_y_cosenos.html - https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-solving-generaltriangles/a/lawsof-sines-and-cosines-review - Página 122 -
