UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR TÍTULO: Método de las dos Fases o Técnica M para problemas de programación lineal (PPL) DOCENTE: NINAQUISPE SOTO MARIO EDISON INTEGRANTES: - FERNANDEZ HUAMAN, ANDRE RAFAEL - TAFUR MENESES, ANDY - SEVILLANO COLINA, ARIAN ERICK - SANCHEZ TUCTA, ANDRES JOSUE - CAÑAZACA VASQUEZ, EMILY LORENA MÉTODO DE LAS DOS FASES Conceptos previos: Método de la gran M Una variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones «>=» en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la característica principal de estas variables es que no deben formar parte de la solución, dado que no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formación de la matriz identidad. Estas variables se representa por la letra «A», siempre se suman a las restricciones, su coeficiente es M (por esto se le denomina Método de la M grande, donde M significa un número demasiado grande muy poco atractivo para la función objetivo), y el signo en la función objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximización su signo es menos (-) y en problemas de Minimización su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la solución sea cero (0). Método de las dos fases El Método de las Dos Fases, al igual que el Método de la M Grande, es capaz de resolver un modelo de Programación Lineal en el cual, el origen no se encuentre como una Solución Básica Factible. Además, también se apoya en las variables artificiales para poder solucionar dichos problemas. La forma de trabajar de este método, es obteniendo una solución básica factible inicial por medio de las variables artificiales, pero a diferencia de la M Grande, lo que se hace es removerlas del modelo a partir de "dos fases", en las cuales, la primera es la de aplicar el Método Simplex para minimizar las variables artificiales con el fin de eliminarlas, para así después poder trabajar con las variables de decisión, holgura y exceso en el modelo original. VENTAJA ● Evita muchos problemas del método de la gran M. ● Se pasa fácilmente del modelo ampliado a la forma estándar. ● Permite encontrar una solución no factible, no acotada, múltiple y óptima. DESVENTAJA ● Resulta confuso el momento en el cual hay que cambiar de la función objetivo modificada a la función original. ● Requiere realizar dos tablas simplex por separado o una donde se juntan las dos funciones objetivo. ● Es complicado o imposible visualizar lo que está pasando en este modelo de una forma gráfica durante la primera fase. Fase 1: - Plantear el modelo en su forma estándar - Plantear el modelo en su forma ampliada - Formule un nuevo problema reemplazando la función objetivo por la suma de las variables artificiales. - La nueva función objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. - Si el problema tiene un espacio factible el valor mínimo de la función objetivo óptima será cero, lo cual indica que todas las variables artificiales son cero. En este momento pasamos a la fase 2. Nota : Si el valor mínimo de la función objetivo óptima es mayor que cero, el problema tiene solución no factible. Ojo: Hay que recordar que con este método en la primera fase se debe de minimizar (ya sea un problema de maximización o minimización), y en la segunda fase hay que hacer lo que dice inicialmente en el problema. Fase 2: - Utilice la solución óptima de la fase 1 como solución de inicio para el problema original. - Elimine las columnas de las variables de holgura y la función objetivo minimizada de la fase 1 - En este caso, la función objetivo original se expresa en términos de las variables no básicas utilizando las eliminaciones usuales Gauss-Jordan hasta llegar a la solución. Ejemplo: FORMA CANÓNICA FORMA ESTÁNDAR MIN Z = 4 X1 + X2 MINI s.a s.a: 3 X1 + X2 = 3 Z = 4X1+X2 3X1+X2 +R1= 3 4X1+3X2 -E1+R2 =6 4X1+3X2>=6 X1+2X2+H1 =4 X1+2X2<=4 X1,X2>=0 X1,X2>=0 R= VARIABLE ARTIFICIAL E= VARIABLE DE EXCESO H= VARIABLE DE HOLGURA Fase 1: - Formule un nuevo problema reemplazando la función objetivo por la suma de las variables artificiales. - La nueva función objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. MINIMIZAR: s.a: Z = R1+R2 3X1+X2 +R1= 3 4X1+3X2 -E1+R2 =6 X1+2X2+H1 =4 X1,X2>=0 MINIMIZAR: s.a: Z-0X1-0X2-0E1-R1-R2 = 0 3X1+X2 +R1= 3 4X1+3X2 -E1+R2 =6 X1+2X2+H1 =4 X1,X2>=0 ECUACIÓN VARIABLES BÁSICAS 0 Z 1 A1 2 A2 3 H1 VARIABLES ORIGINALES VARIABLES AGREGADAS SOL X1 X2 H1 E1 R1 R2 0 0 0 0 -1 -1 0 3 1 0 0 1 0 3 4 3 0 -1 0 1 6 1 2 1 0 0 0 4 - Para formar la Solución básica factible inicial(SBF) el coeficiente de R1 Y R2 en Z deben ser 0. - Operación a realizar: Fila 0 ← Fila 0 + Fila 1 Fila 0 ← Fila 0 + Fila 2 La SBF inicial es no factible porque contiene 2 variables artificiales que no forman parte de la solución del problema. Identificamos nuestra fila y columna pivote, ya que es minimización la columna corresponde al mayor positivo, y para la fila pivote siempre se toma el menor positivo. ECUACIÓN VARIABLE S BÁSICAS 0 Z 1 A1 2 A2 3 H1 VARIABLES ORIGINALES VARIABLES AGREGADAS SOL RAZÓN O COCIENTE X1 X2 H1 E1 R1 R2 7 4 0 -1 0 0 9 3 1 0 0 1 0 3 3/3 = 1 4 3 0 -1 0 1 6 6/4 = 1.5 1 2 1 0 0 0 4 4/1 = 4 Entra X1 Sale A1 ECUACIÓN VARIABLES BÁSICAS VARIABLES ORIGINALES VARIABLES AGREGADAS SOL X1 X2 H1 E1 R1 R2 RAZÓN O COCIENTE 0 Z 0 5/3 0 -1 -7/3 0 2 1 X1 1 1/3 0 0 1/3 0 1 1/(1/3) = 3 2 A2 0 5/3 0 -1 -4/3 1 2 2/(5/3) = 6/5 3 H1 0 5/3 1 0 -1/3 0 3 3/(5/3) = 9/5 ECUACIÓN VARIABLES BÁSICAS VARIABLES ORIGINALES VARIABLES AGREGADAS SOL X1 X2 H1 E1 R1 R2 0 Z 0 0 0 0 -1 -1 0 1 X1 1 0 0 1/5 3/5 -1/5 3/5 2 X2 0 1 0 -3/5 -4/5 3/5 6/5 3 H1 0 0 1 1 1 -1 1 } SBF ACTUAL Pasamos a las fase 2, ya que: - La SBF actual es óptima porque Z no puede mejorarse. - La SBF actual es factible en el problema original porque no contiene las variables artificiales R1 y R2. - La SBF actual es la SBF inicial de la fase 2. FASE 2: - Se utiliza la solución óptima de la fase 1 como solución de inicio para el problema original. MINIMIZAR Z = 4X1+X2+0H1+0E1 ; MINIMIZAR Z - 4X1-X2-0H1-0E1 = 0 Para formar la SBF inicial el coeficiente de X1 y X2 en Z deben ser 0. ECUACIÓN VARIABLES BÁSICAS VARIABLES ORIGINALES VARIABLES AGREGADAS X1 X2 H1 E1 SOL 0 Z -4 -1 0 0 0 1 X1 1 0 0 1/5 3/5 2 X2 0 1 0 -3/5 6/5 3 H1 0 0 1 1 1 - Para formar la Solución básica factible (SBF) el coeficiente de X1 y X2 en Z deben ser 0. - Operación a realizar: Fila 0 ← (Fila 0 + 4(Fila 1)) Fila 0 ← (Fila 0 + Fila 2) ECUACIÓN VARIABLES BÁSICAS VARIABLES ORIGINALES VARIABLES AGREGADAS X1 X2 H1 E1 SOL COCIENTE 0 Z 0 0 0 1/5 0 1 X1 1 0 0 1/5 3/5 (⅗)/(⅕) = 3 2 X2 0 1 0 -3/5 -4/5 – 3 H1 0 0 1 1 1 1/1 = 1 Entra E1 Sale H1 ECUACIÓN VARIABLES ORIGINALES VARIABLES BÁSICAS VARIABLES AGREGADAS SOL X1 X2 H1 E1 0 0 -1/5 0 17/5 0 Z 1 X1 1 0 -1/5 0 2/5 2 X2 0 1 3/5 0 9/5 0 0 1 1 1 3 H1 } Podemos apreciar que en la función objetivo ya no se encuentran valores positivos, por ende: SOLUCIÓN ÓPTIMA: Z= 17/5 X1= 2/5 X2= 9/5 SBF ÓPTIMA