U
N
E
X
P
O
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA
Ejercicios Propuestos - Segundo Parcial - Álgebra Lineal
Preguntas de verdadero o falso. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son
falsas y cuáles son verdaderas, justifique sus respuestas adecuadamente.
1. Si V es un espacio vectorial, entonces existe una única base para V.
2. Sea {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial
V. Entonces {v1 , v2 , . . . , vn , 0/V } es linealmente independiente.
3. El conjunto de los números reales positivos (R+ ) es un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma x ⊕ y = xy y multiplicación por escalar α ⊗ x = αx.
4. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, entonces U ∪ W también lo es.
5. Los polinomios p1 (x) = 1 + ax + a2 x2 , p2 (x) = 1 + bx + b2 x2 , p3 (x) = 1 + cx + c2 x2 ,
donde a 6= b, a 6= c y b 6= c, son linealmente independientes.
6. S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} es un subespacio de R2 .
7. Si G = {v1 , v2 , . . . , vn } genera a un espacio vectorial V, entonces G ∪ S también
genera a V para cada S = {u1 , u2 , . . . , um } ⊂ V.
8. Sea V un espacio vectorial. Si S1 , S2 ⊂ V son tales que S1 ⊂ S2 y S2 es linealmente
independiente, entonces S1 también es linealmente independiente.
9. W = {A ∈ Mn×n (R) : A es triangular} es un subespacio de Mn×n (R).
10. Sea el espacio vectorial V = {A ∈ Mn×n (R) : AT = A} y consideremos
W = {A ∈ Mn×n (R) : A es triangular superior}
Entonces W es un subespacio vectorial de V.
11. Sean A ∈ Mm×n (R) y S = {x1 , x2 , . . . , xk } un conjunto de soluciones del sistema
homogéneo Ax = 0/m×1 . Entonces todo vector en span(S) es también una solución
del sistema Ax = 0/m×1 .
12. Sean A ∈ Mm×n (R), b ∈ Mm×1 (R) y S = {x1 , x2 , . . . , xk } un conjunto de soluciones
del sistema Ax = b. Entonces todo vector en span(S) es también una solución del
sistema Ax = b.
13. Sea V un espacio vectorial. Entonces W ⊂ V es un subespacio vectorial de V si y
sólo si u + αv ∈ W para cualesquiera α ∈ R y u, v ∈ W.
14. W = {f ∈ C 0 (−∞, ∞) : f (1/2) ∈ Q} es un espacio vectorial.
1
15. W = {f ∈ C 0 [ a , b ] :
Rb
16. W = {f ∈ C 0 [ a , b ] :
Rb
a
a
f (x) dx = 0} es un subespacio vectorial de C 0 [ a , b ].
f (x) dx = 1} es un subespacio vectorial de C 0 [ a , b ].
17. El conjunto {1, 1 + x, 1 + x2 , 1 + x3 } es una base para P3 .
18. El conjunto
{x3 − x + 2; x3 + 3x + 1; 2x3 + x2 + 1}
genera a P3 [x].
19. El conjunto
{x3 − x + 2; x3 + 3x + 1; 2x3 + x2 + 1; −x2 + 1}
genera a P3 [x].
20. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Entonces existe un subconjunto de V
linealmente independiente el cual tiene n + 1 elementos.
21. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Entonces existe un subconjunto de V
linealmente independiente el cual tiene n − 1 elementos.
22. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Entonces existe un conjunto generador
de V el cual tiene n − 1 elementos.
23. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Entonces existe un conjunto generador
de V el cual tiene n + 1 elementos.
24. Si
W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 3y − z = 0;
3x + y + 4z = 0}
y W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2y + 5z = 0},
entonces W1 ∪ W2 es un subespacio vectorial de V.
25. Si Hn [x] es el conjunto formado por todos los polinomios, en la variable x, de grado
igual a n, entonces Hn [x], junto con las operaciones usuales, es un espacio vectorial.
Ejercicios Teóricos. Demuestre cada uno de los siguientes enunciados justificando
cada paso correctamente.
1. Si u, v, w son tres vectores en un espacio vectorial V tales que u + w = v + w,
entonces u = v.
2. Si a, b, c ∈ R son tales que a 6= b, b 6= c y c 6= a, entonces {(1, a, a2 ); (1, b, b2 ); (1, c, c2 )}
es una base para R3 .
3. Sean A ∈ Mn×n (R) y λ ∈ R. Entonces el conjunto Eλ,A = {x ∈ Mn×1 (R) : Ax = λx}
es un subespacio de Mn×1 (R).
4. Sean S1 = {u1 , u2 , . . . , um } y S2 = {v1 , v2 , . . . , vn } dos conjuntos linealmente independientes en un espacio vectorial V tales que ui ∈
/ span(S2 ) para todo i ∈
{1, . . . , m}. Entonces S1 ∪ S2 es también un conjunto linealmente independiente y
además span(S1 ) ∩ span(S2 ) = {0/V }.
5. Sean S1 = {u1 , u2 , . . . , um } y S2 = {v1 , v2 , . . . , vn } dos subconjuntos de un espacio
vectorial V tales que S1 ⊂ span (S2 ). Entonces span (S2 ) = span (S1 ∪ S2 ).
2
6. Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto no vacı́o W de V es un subespacio
vectorial de V si y sólo si u + αv ∈ W para cualesquiera u, v ∈ W y todo escalar
α ≤ 0.
7. Sea W = {A ∈ Mn×n (R) : A es simétrica}. Entonces W es un subespacio de
Mn×n (R).
8. Sea W = {A ∈ Mn×n (R) : A es triangular superior}. Entonces W es un subespacio
de Mn×n (R).
9. Sea W = {A ∈ Mn×n (R) : A es triangular inferior}. Entonces W es un subespacio
de Mn×n (R).
10. Sean a, b, c ∈ R tales que a2 + b2 6= 0. Consideremos el conjunto
L = {(x, y) ∈ R2 : ax + by + c = 0}
a) Entonces L es un subespacio de R2 si y sólo si c = 0.
b) Sea (x0 , y0 ) ∈ L un punto fijo. Si definimos las operaciones
(x, y) + (z, w) = (x + z − x0 , y + w − y0 )
y α(x, y) = (α(x − x0 ) + x0 , α(y − y0 ) + y0 )
para cualesquiera α ∈ R y (x, y), (z, w) ∈ L, entonces L, junto con estas
operaciones, es un espacio vectorial.
11. Sean a, b, k ∈ R con a < b. Definamos el conjunto
Z b
0
f (x) dx = k
W = f ∈ C [a, b] :
a
a) Entonces W es un subespacio vectorial de C 0 [ a , b ] si y sólo si k = 0.
b) Dada f0 ∈ W fija, definamos las operaciones
f ⊕ g = f + g − f0
y α ⊗ f = α(f − f0 ) + f0
para cualesquiera α ∈ R y f, g ∈ W. Entonces W, junto con estas operaciones,
es un espacio vectorial.
12. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y β una base ordenada de V. Entonces
a) {v1 , v2 , ..., vm } ⊂ V es un conjunto linealmente independiente si y solo si el
conjunto {[v1 ]β , [v2 ]β ...[vm ]β } es linealmente independiente en Mn×1 (R)
b) {v1 , v2 , ..., vm } ⊂ V genera a V si y solo si el conjunto {[v1 ]β , [v2 ]β ...[vm ]β }
genera a Mn×1 (R)
c) {v1 , v2 , ..., vm } ⊂ V es una base para V si y solo si el conjunto {[v1 ]β , [v2 ]β ...[vm ]β }
es una base para Mn×1 (R)
13. Sea V un espacio vectorial. El conjunto S = {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ V es linalmente
dependiente si y sólo si alguno de los vectores de S es combinación lineal de los
restantes vectores de S.
3
14. Si V es un espacio vectorial y v1 , v2 , . . . , vn ∈ V son no nulos, entonces {v1 , v2 , . . . , vn }
es linealmente dependiente si y sólo si existe j ≥ 2 tal que vj ∈ span{v1 , v2 , . . . , vj−1 }.
15. Sean V un espacio vectorial y v1 , v2 , . . . , vn ∈ V tales que v1 6= 0/V . Pruebe que
{v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente dependiente si y sólo si existe j ≥ 2 tal que vj ∈
span ({v1 , v2 , . . . , vj−1 }).
16. Sea V un espacio vectorial. El conjunto S = {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ V es linalmente dependiente si y sólo si v1 = 0/V o existe j ∈ {2, . . . , n} tal que vj ∈ span ({v1 , v2 , . . . , vj−1 })
y {v1 , v2 , . . . , vj−1 } es linealmente independiente.
17. El conjunto de los números reales positivos (R+ ) es un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma x ⊕ y = xy y multiplicación por escalar α ⊗ x = xα .
3
18. Denotemos por R3+ = (R+ ) = R+ × R+ × R+ = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R+ } y lo
dotaremos con las siguientes operaciones:
(a, b, c) + (x, y, z) = (ax, by, cz)
α(x, y, z) = (xα , y α , z α )
Entonces
a) R3+ , junto con estas operaciones, es un espacio vectorial.
b) β = {(e, 1, 1), (1, e, 1), (1, 1, e)} es base para R3+ .
n
c) Dote a R+ = (R+ ) con dos operaciones similares a las dadas en el enunciado
y demuestre que Rn+ , junto con tales operaciones, es un espacio vectorial, luego
encuentre una base para éste.
19. Si W1 , W2 , . . . , Wn son subespacios de un espacio vectorial V, entonces
W1 ∩ W2 ∩ · · · ∩ Wn
es también un subespacio de V.
20. Sea β una base ordenada de un espacio vectorial V de dimensión finita. El conjunto
{v1 , v2 , . . . , vk } ⊂ V es linealmente independiente si y sólo si la matriz A ∈ Mn×k (R),
tal que A(j) = [vj ]β para cada j ∈ {1, . . . , k}, tiene una submatriz cuadrada de orden
k con determinante distinto de cero.
21. Sean β1 , β2 , . . . , βn bases ordenadas de un espacio vectorial V de dimensión finita.
Entonces que Mβ1 ,βn = Mβn−1 ,βn · · · Mβ2 ,β3 Mβ1 ,β2 .
22. Si v, v1 , v2 , . . . , vn son vectores en un espacio vectorial V tales que v ∈ span ({v1 , v2 , . . . , vn }),
entonces span ({v, v1 , v2 , . . . , vn }) = span ({v1 , v2 , . . . , vn }).
23. Si {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de un espacio vectorial V, entonces {u1 , u2 , . . . , un },
donde u1 = v1 , u2 = v1 + v2 , . . . , un = v1 + v2 + · · · + vn , es también una base de V.
24. Si {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de un espacio vectorial V y A ∈ Mn×n (R) es una matriz
n
X
invertible, entonces {u1 , u2 , . . . , un } es también una base de V, donde uj =
aij vi
i=1
para cada j ∈ {1, . . . , n}.
4
25. Si V es un espacio vectorial, entonces para cualesquiera α ∈ R y v1 , v2 . . . , vn ∈ V
se cumple que α(v1 + v2 + · · · + vn ) = αv1 + αv2 + · · · + αvn .
26. Muestre que si V es un espacio vectorial tal que dim(V) = n, entonces ningún
conjunto de n − 1 vectores en V puede generar a V.
27. Sean W1 y W2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Definamos
W1 + W2 = {u + v : u ∈ W1
y v ∈ W2 }
Entonces W1 + W2 es un subespacio de V.
28. Si W1 , W2 , . . . Wk son subespacios de un espacio vectorial V, entonces
W1 + W2 + · · · + Wk
es un subespacio de V.
29. Sean W1 y W2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces W1 ∪ W2 es un
subespacio de V si y sólo si W1 ⊂ W2 o W2 ⊂ W1 .
30. Sea β una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Sean v1 , v2 , . . . , vn ∈ V y
A ∈ Mn×n (R) una matriz invertible tal que [vi ]β es la columna i-ésima de A para
cada i ∈ {1, . . . , n}. Pruebe que {v1 , v2 , . . . , vn } es también una base de V.
Ejercicios Prácticos. Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas
suficientemente.
1. Sean βc = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} y β = {(1, 0, 2); (3, −1, 0); (0, 1, −2)} bases
ordenadas de R3 . Calcule
a) la matriz de transición de βc a β
b) la matriz de coordenadas de (x, y, z) respecto a la base β
2. Sean β1 = {−1 + x; 1 + 2x − x2 ; x};
bases ordenadas de P2 [x] tales que
β2 = {u; v; w};
y β3 = {1 + x2 ; 1 + x; x2 }
Mβ2 ,β3
1
1 2
1 1
= 2
−1 −1 1
Calcule
a) los vectores u, v y w
b) la matriz Mβ1 ,β2
c) la matriz Mβ1 ,β3
3. Sean β1 = {p1 (x); p2 (x); p3 (x)}, β2 = {q1 (x); q2 (x); q3 (x)} y β3 = {1 + x; 2 − x2 ; 1 +
x + x2 } bases ordenadas de P2 [x] tales que
−3
1
5
−2
0
4
Mβ1 ,β2 = 2 −1 −1 y Mβ2 ,β3 = 1 −2 −1
1
2
0
3
5
0
5
1
a) Sabiendo que [p(x)]β1 = 1 , calcular p(x) sin calcular los polinomios
1
p1 (x), p2 (x), p3 (x), q1 (x), q2 (x) ni q3 (x).
b) Calcular p1 (x), p2 (x) y p3 (x) sin calcular q1 (x), q2 (x) ni q3 (x).
c) Calcular q1 (x), q2 (x) y q3 (x).
4. Sea W = {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 0}
a) Si v ∈ W y α ∈ R ¿está αv ∈ W? ¿por qué?
b) Encuentre vectores especı́ficos u, v ∈ W tales que u + v ∈
/ W. Esto basta para
garantizar que W no es un subespacio de R2
5. Dado el conjunto S = {(2, −1, 2); (2, −2, 6); (0, 1, −4); (2, 0, −2)}, compruebe que
span(S) = {(a, b, c) ∈ R3 : a + 4b + c = 0}
6. En R2 consideremos la suma usual y la multiplicación por escalar definida por
α(x, y) = (αx, 0). ¿Es R2 , junto con estas dos operaciones, un espacio vectorial?
7. Sea S = {v1 , v2 , v3 , v4 } ⊂ V, donde v1 = (2, −1, 5), v2 = (−4, 2, −10), v3 = (1, −3, 0)
y v4 = (−1, −2, −5). Definamos W = span(S). Encuentre
a) una base βW de W tal que βW ⊂ S y la dimensión de W
b) una base βV de R3 tal que βW ⊂ βV
2
8. En P2 (x) consideremos
la base ordenada β1 = {1 − x; 3x; −1 − x + x } y p(x) tal
2
que [p(x)]β1 = 1 . Haciendo uso de la matriz cambio de base escribir p(x) en
3
términos de la base ordenada β2 = {3 − 2x; 1 + x; x + x2 }, además encuentre p(x).
9. Sean β = {4x − 1; 2x2 − x; 3x2 + 3} una base ordenada y βc = {1; x; x2 } la base
canónica ordenada de P2 [x].
a) Calcule la matriz Mβc ,β .
b) Si p(x) = a + bx + cx2 , exprese p en términos de la base β.
10. Sean
βc =
1
1
2
1
β1 =
β2 =
1 0
0
;
0 0
0
1
2
;
1
−1
1
0
;
0
−1
0
;
1
0
2
;
3
2
1
3
;
1
2
1
0
0 0
;
0 1
−1
1
;
3
−1
1
1
;
−1
−2
0
0
; ;
2
1
; ;
4
2
;
bases ordenadas de M2×2 (R). Calcule:
a) la matriz de transición de Mβc ,β2 .
x y
b) la matriz de coordenadas de
respecto a la base β2 .
z w
c) la matriz de transición de Mβ1 ,β2 .
6
11. Calcular una base y la dimensión del subespacio W de M2×2 (R) dado por
x y
W=
: x + 2y − 3z + 5w = 0; 3x + 3y + 2z − 4w = 0; x + 7y − 4z + 6w = 0
z w
12. Si W{(a, b, c, d) ∈ R4 : 2a − c + d = 0 y a − c − d = 0}, demuestre que W es un
subespacio de R4 y calcular la dimensión de W.
13. Sea W = {p ∈ P3 [x] : p(1) + 3p(−1) + p0 (1) − 3p0 (−1) = 0}.
a) Encuentre una base β para W.
b) Pruebe que βb = {3 + x + x3 ; −2 − 5x + x2 + 3x3 ; 3 + 6x − x2 − 3x3 } es también
una base para W.
c) Calcule las matrices de transición Mβ,β
b y Mβ,βb.
14. Sea S = {v1 , v2 , v3 , v4 } ⊂ R4 . Definamos V = span(S), donde v1 = (−1, 2, 3, −4),
v2 = (0, 1, 2, −2), v3 = (2, −1, 0, 2) y v4 = (3, 2, 7, −4). Encuentre
a) una base βV de V tal que βV ⊂ S.
b) la matriz de coordenadas, respecto a βV , para cada uno de los vectores de S
que no están en βV .
c) una base β de R4 tal que βV ⊂ β.
1 −1
15. Sean A =
y W = {B ∈ M2×2 (R) : AB = BA}.
2
3
a) Pruebe que W es un subespacio vectorial de M2×2 (R).
b) Encuentre una base β1 para W ¿cuál es la dimensión de W?.
c) Encuentre una base β para M2×2 (R) tal que β1 ⊂ β.
d ) Pruebe que β2 = {A1 , A2 } es también una basa para W, donde A1 =
2 2
y A2 =
.
−4 2
−4 −3
6
2
e) Calcule las matrices de transición Mβ1 ,β2 y Mβ2 ,β1 .
16. Sea W = {p(x) ∈ P4 [x] : p(1) = p(−1) = p(1/2) = 0}.
a) Pruebe que W es un subespacio vectorial de P4 [x].
b) Encuentre una base β1 para W ¿cuál es la dimensión de W?
c) Encuentre una base β para P4 [x] tal que β1 ⊂ β.
d ) Pruebe que el conjunto G = {−2 − 4x + 4x3 + 2x4 ; 2x − x2 − 2x3 + x4 ; 2 + 6x −
x2 − 6x3 − x4 ; −2 + 2x − 3x2 − 2x3 + 5x4 } genera a W.
e) Encuentre una base β2 para W tal que β2 ⊂ G.
f ) Calcule las matrices de transición Mβ1 ,β2 y Mβ2 ,β1 .
g) Calcule la matriz de coordenadas de cada cada uno de los vectores de G respecto
a la base β2 y use la matriz de transición para calcular la matriz de coordenadas
de tales vectores respecto a la base β1 .
7
2
17. consideremos las bases β1 = {1 − x; 1 + x; 1 − x
} , β2 = {p1 (x),
p2 (x), p3 (x)} y
1
2
1
2
−2
0
2 . Calcule
β3 = {1; 1 + x; (1 + x) } de P2 [x]. Dada Mβ2 ,β3 =
0 −3 −1
a) β2 .
b) Mβ1 ,β2 .
c) Mβ1 ,β3 .
18. Sean S = {x + 3x2 − 2x3 , 2 − x − x2 , −1 − x2 + x3 , x + x2 } ⊂ P3 [x] y W = span(S).
a) Calcular una base β de W tal que β ⊂ S.
1
2
b) Si p(x) ∈ W es tal que [p(x)]β = 2 , calcular [p(x)]β 0 para alguna base β 0
3
2
de W.
c) Calcular una base β̂ de P3 [x] tal que β ⊂ β̂.
19. Calcule al menos dos matrices distintas tales que su forma escalonada reducida por
filas es
1 0 −2 0
1
0 1
3 0 −3
0 0
0 1 −4
0 0
0 0
0
y que una base para el espacio generado por las filas de tales matrices es
1
−2
1
−2
0
4
1 , 2 , 3
3
1
0
20. Sea β = {u1 , u2 , u3 , u4 } una base ordenada de un espacio vectorial V. Se definen los
vectores
v1 = 2u1 + u2 − u3
v2 = 2u1 + u3 + 2u4
v3 = u1 + u2 − u3 y
v4 = −u1 + 2u3 + 3u4
a) Probar que β1 = {v1 , v2 , v3 , v4 } es también una base de V.
b) Si v ∈ V es tal que v = u1 + 2u2 + u4 , exprese v en términos de la base β1 .
21. Sean
1 0
0
βc =
;
0 0
0
1 1
2
β1 =
;
1 1
−1
0 0
0 0
;
;
;
1 0
0 1
0
2 −1
1 2
;
;
;
3
2
3
−1 1
1
0
β2 = {A, B, C, D}
8
bases ordenadas de M2×2 (R) tales que
−2
1
4
3
4 −3 −5 −1
Mβc ,β2 =
2 −1 −3 −2
−1
1
1
0
Calcule:
a) la matrices A, B, C y D.
b) la matriz de coordenadas de
x y
z w
respecto a la base β1 .
22. Sean β1 = {(1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1)}, β2 = {v1 , v2 , v3 } y β3 = {(1, 0, 1); (1, 1, 0); (0, 0, 1)}
bases ordenadas de R3 .
a) Si la matriz de transición de β2 a β3 es
1
1 2
2
1 1
−1 −1 1
determine los vectores v1 , v2 , v3 .
b) Determine la matriz de transición de β1 a β2 .
c) Determine la matriz de transición de β1 a β3 .
23. Sean βc = {1; x; x2 )}; β1 = {v1 ; v2 ; v3 } y β2 = {−3 − 5x + x2 ; −2 − 4x + x2 ; 1 + 2x)}
bases ordenadas de P2 [x] tales que
−2 −7
1
7 −3
Mβ1 ,β2 = 4
3 −4 −3
Calcule:
a) Los vectores v1 ; v2 y v3 .
b) La matriz de transición de βc a β1 .
c) La matriz de transición de βc a β2 .
24. Sea W =
Z
1
p ∈ P3 [x] :
[p (x) + 3p (x)] dx = 2[p (1) − p(−1)] .
0
00
0
−1
a) Pruebe que W es un subespacio de P3 [x]
b) Encuentre una base β para W.
c) Pruebe que βb = {3 + 6x − x2 − 3x3 ; −2 − 5x + x2 + 3x3 ; 3 + x + x3 } es también
una base para W.
d ) Calcule las matrices de transición Mβ,β
b y Mβ,βb.
25. Sea S = {v1 , v2 , v3 , v4 } ⊂ R4 . Definamos V = span(S), donde v1 = (−1, 2, 3, −4),
v2 = (0, 1, 2, −2), v3 = (2, −1, 0, 2) y v4 = (3, 2, 7, −5). Encuentre
9
a) una base βV de V tal que βV ⊂ S.
b) una base β de R4 tal que βV ⊂ β.
c) la matriz de coordenadas, respecto a β, para cada uno de los vectores de S que
no están en βV .
26. En R3 consideremos las bases ordenadas β1 = {v1 , v2 , v3 }, β2 = {(2, 0, 1); (1, 2, 0); (1, 1, 1)}
y la base canónica ordenada βc = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)}.
a) Sabiendo que la matriz de transición de β1 a β2 está dada por
2
2 1
Mβ1 ,β2 = 1 −1 2
1
1 1
hallar v1 , v2 y v3 .
b) Hallar la matriz de transición de βc a β1 .
27. En P2 [x] consideremos las bases ordenadas β1 = {p1 (x); p2 (x); p3 (x)}, β2 = {1 +
2x2 ; 2x + x2 ; 1 + x + x2 } y la base canónica ordenada βc = {1; x; x2 }.
a) Sabiendo que la matriz de transición de β1 a β2 está dada por
2
2 1
Mβ1 ,β2 = 1 −1 2
1
1 1
hallar p1 (x), p2 (x) y p3 (x).
b) Hallar la matriz de transición de βc a β1 .
28. En P2 [x] considere las bases
β1 = {−3x2 − 3, 2x − 3 − x2 , 1 − x2 − 6x}
y
β2 = {−6 − 6x, −6x − 2 + 4x2 , −2 + 7x2 − 3x}
a) Hallar la matriz de transición de β1 a β2 .
b) Encuentre la matriz de coordenadas de p(x) = −5 − 5x2 + 8 respecto a la base
β1 .
c) Use la matriz de transición de β1 a β2 para expresar p(x) en términos de los
elementos de la base β2 .
29. En P2 [x] consideremos la base β = {4x − 1, 2x2 − x, 3x2 + 3} y la base canónica
βc = {1, x, x2 }. Hallar
a) La matriz de cambio de base de βc a β.
b) La matriz de coordenadas de a + bx + cx2 en la base β.
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“La educación no cambia al mundo, cambia a las personas que van a cambiar al mundo”
Paulo Freire
“Las naciones marchan hacia su grandeza al mismo paso
que avanza su educación”
Simón Bolı́var
¡ÉXITO!
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