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Polinomio interpolador de newton

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POLINOMIO
INTERPOLADOR DE
NEWTON
Matemática Aplicada
Cálculo Numérico
Introducción
Hay ocasiones en las que resulta útil construir varios
polinomios aproximantes P1 ( x), P2 ( x),., PN ( x)
Y, después elegir el más adecuado a nuestras
necesidades.
Si usamos los polinomios interpoladores de Lagrange,
uno de los inconvenientes es que no hay relación entre la
construcción de PN 1 y PN
Cada polinomio debe construirse individualmente y el
trabajo necesario para calcular polinomios de grado
elevado requiere muchas operaciones.
Polinomio Interpolador de Newton
Vamos a ver ahora un camino de construcción distinto, en
el cual los polinomios, que se llamarán de Newton, se
calculan mediante un esquema recursivo:
(1) P1 ( x )
a0
a1 ( x
x0 )
( 2) P2 ( x )
a0
a1 ( x
x0 )
a2 ( x
x0 )( x
x1 )
(3) P3 ( x )
a0
a1 ( x
x0 )
a2 ( x
x0 )( x
x1 )
x0 )( x
x1 )( x
x2 ),
a3 ( x
( 4) PN ( x )
a0
a1 ( x
x0 )
a2 ( x
x0 )( x
a3 ( x
x0 )( x
x1 )( x
x2 )
a4 ( x
x0 )( x
x1 )( x
x2 )( x
aN ( x
x0 )( x
x1 )( x
x2 )...( x
x1 )
x3 )
xN
...
1
)
Polinomio Interpolador de Newton
El polinomio
recurrencia
PN (x)
se obtiene a partir de
PN 1 ( x)
usando la
PN ( x) PN 1 ( x) aN ( x x0 )( x x1 )( x x2 )...(x xN 1 )
En este marco se dice que el polinomio PN (x) dado es un
polinomio interpolador de Newton con N centros
x0 , x1 , x2 ..., xN
1
Puesto que PN (x) involucra sumas de productos de
factores lineales, siendo
aN ( x x0 )( x x1 )( x x2 )...(x xN 1 )
Polinomio Interpolador de Newton
El de mayor grado, está claro que PN (x) es un polinomio
de grado menor o igual que N.
EJEMPLO: Dados los centros
x0
1, x1
a0
5, a1
3, x2
2, a2
4 y x3
4.5 y los coeficient es
0.5, a3
0.1 y a4
0.003, vamos
a calcular P1 ( x), P2 ( x), P3 ( x) y P4 ( x), para k 1,2,3,4
y luego evaluarlos en x
2.5
Polinomio Interpolador de Newton
Supongamos que queremos encontrar los coeficientes a k
de todos los polinomios
P1 ( x),..., PN ( x)
Que nos sirven para aproximar una función dada f(x).
Entonces, cada Pk (x) es el polinomio de Newton que
tiene como centros los puntos x0 , x1 ,..., xk
Polinomio Interpolador de Newton
Para determinar la primera constante a0 hay que notar
que, al evaluar PN (x) en x0 queda sólo el término
constante a0; es decir
a0
PN ( x0 )
f ( x0 )
De manera similar, cuando se evalúa PN (x) en x1, los
únicos términos no cero en la evaluación de PN ( x1 ) son los
términos constante y lineal
f ( x0 ) a1 ( x1 x0 ) PN ( x1 ) f ( x1 );
así que
f ( x1 ) f ( x0 )
a1
x1 x0
Diferencias divididas
Ahora es necesario presentar las diferencias divididas.
n
i 0
Proposición: Dados ( xi , yi )
con los xi distintos entre
si, el polinomio interpolador de grado menor o igual a n
que los interpola es:
p( x) y0 y01( x x0 ) y012 ( x x0 )( x x1 ) y0123( x x0 )( x x1 )( x x2 ) .....
Diferencias divididas
Donde
y01
y12
y23
y1 y0
x1 x0
y012
y12 y01
x2 x0
y2 y1
x2 x1
y3 y 2
x3 x2
y0123
y123
y23 y12
x3 x1
y123 y012
x3 x0
Ejemplo
Halla el polinomio interpolador de grado menor o igual a
tres que interpola los puntos
( 2, 5); ( 1,1); (1,1); (2,7)
Ejemplo
Halla el polinomio interpolador de grado menor o igual a
tres que interpola los puntos
( 2, 5); ( 1,1); (1,1); (2,7)
Xi
Yi
-2
-5
3
6
-1
1
-2
0
1
1
2
6
2
7
1
Ejemplo
Xi
Yi
-2
-5
3
6
-1
1
-2
0
1
1
2
6
2
7
1
Ejemplo
Xi
Yi
-2
-5
3
6
-1
1
-2
0
1
1
2
6
2
7
1
Ejercicios
1. Estime el logaritmo de 10 por medio de interpolación
lineal, sabiendo que log8 = 0.90309 y log12= 1.0791812.
2. Use las diferencias divididas de Newton para construir
polinomios de interpolación de grado uno, dos y tres con
los siguientes datos:
Aproxime el valor de
3. Construir el polinomio interpolador de grados 1, 2 y 3
para
para x0 = 1, x1 = 1.25 y x2 = 1.5.
Calcule el error al utilizar el polinomio interpolador para
calcular el valor de x = 1.4. Truncar a 5 cifras decimales.
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