POLINOMIO INTERPOLADOR DE NEWTON Matemática Aplicada Cálculo Numérico Introducción Hay ocasiones en las que resulta útil construir varios polinomios aproximantes P1 ( x), P2 ( x),., PN ( x) Y, después elegir el más adecuado a nuestras necesidades. Si usamos los polinomios interpoladores de Lagrange, uno de los inconvenientes es que no hay relación entre la construcción de PN 1 y PN Cada polinomio debe construirse individualmente y el trabajo necesario para calcular polinomios de grado elevado requiere muchas operaciones. Polinomio Interpolador de Newton Vamos a ver ahora un camino de construcción distinto, en el cual los polinomios, que se llamarán de Newton, se calculan mediante un esquema recursivo: (1) P1 ( x ) a0 a1 ( x x0 ) ( 2) P2 ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) (3) P3 ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) x0 )( x x1 )( x x2 ), a3 ( x ( 4) PN ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x a3 ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) a4 ( x x0 )( x x1 )( x x2 )( x aN ( x x0 )( x x1 )( x x2 )...( x x1 ) x3 ) xN ... 1 ) Polinomio Interpolador de Newton El polinomio recurrencia PN (x) se obtiene a partir de PN 1 ( x) usando la PN ( x) PN 1 ( x) aN ( x x0 )( x x1 )( x x2 )...(x xN 1 ) En este marco se dice que el polinomio PN (x) dado es un polinomio interpolador de Newton con N centros x0 , x1 , x2 ..., xN 1 Puesto que PN (x) involucra sumas de productos de factores lineales, siendo aN ( x x0 )( x x1 )( x x2 )...(x xN 1 ) Polinomio Interpolador de Newton El de mayor grado, está claro que PN (x) es un polinomio de grado menor o igual que N. EJEMPLO: Dados los centros x0 1, x1 a0 5, a1 3, x2 2, a2 4 y x3 4.5 y los coeficient es 0.5, a3 0.1 y a4 0.003, vamos a calcular P1 ( x), P2 ( x), P3 ( x) y P4 ( x), para k 1,2,3,4 y luego evaluarlos en x 2.5 Polinomio Interpolador de Newton Supongamos que queremos encontrar los coeficientes a k de todos los polinomios P1 ( x),..., PN ( x) Que nos sirven para aproximar una función dada f(x). Entonces, cada Pk (x) es el polinomio de Newton que tiene como centros los puntos x0 , x1 ,..., xk Polinomio Interpolador de Newton Para determinar la primera constante a0 hay que notar que, al evaluar PN (x) en x0 queda sólo el término constante a0; es decir a0 PN ( x0 ) f ( x0 ) De manera similar, cuando se evalúa PN (x) en x1, los únicos términos no cero en la evaluación de PN ( x1 ) son los términos constante y lineal f ( x0 ) a1 ( x1 x0 ) PN ( x1 ) f ( x1 ); así que f ( x1 ) f ( x0 ) a1 x1 x0 Diferencias divididas Ahora es necesario presentar las diferencias divididas. n i 0 Proposición: Dados ( xi , yi ) con los xi distintos entre si, el polinomio interpolador de grado menor o igual a n que los interpola es: p( x) y0 y01( x x0 ) y012 ( x x0 )( x x1 ) y0123( x x0 )( x x1 )( x x2 ) ..... Diferencias divididas Donde y01 y12 y23 y1 y0 x1 x0 y012 y12 y01 x2 x0 y2 y1 x2 x1 y3 y 2 x3 x2 y0123 y123 y23 y12 x3 x1 y123 y012 x3 x0 Ejemplo Halla el polinomio interpolador de grado menor o igual a tres que interpola los puntos ( 2, 5); ( 1,1); (1,1); (2,7) Ejemplo Halla el polinomio interpolador de grado menor o igual a tres que interpola los puntos ( 2, 5); ( 1,1); (1,1); (2,7) Xi Yi -2 -5 3 6 -1 1 -2 0 1 1 2 6 2 7 1 Ejemplo Xi Yi -2 -5 3 6 -1 1 -2 0 1 1 2 6 2 7 1 Ejemplo Xi Yi -2 -5 3 6 -1 1 -2 0 1 1 2 6 2 7 1 Ejercicios 1. Estime el logaritmo de 10 por medio de interpolación lineal, sabiendo que log8 = 0.90309 y log12= 1.0791812. 2. Use las diferencias divididas de Newton para construir polinomios de interpolación de grado uno, dos y tres con los siguientes datos: Aproxime el valor de 3. Construir el polinomio interpolador de grados 1, 2 y 3 para para x0 = 1, x1 = 1.25 y x2 = 1.5. Calcule el error al utilizar el polinomio interpolador para calcular el valor de x = 1.4. Truncar a 5 cifras decimales.