CALCULO DIFERENCIAL
FUNCIONES
Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado (x), de un conjunto E.
-Variable Independiente: es aquella que se fija primero ya que esta no es influenciada (x)
-Variable Dependiente: es aquella que se obtiene al aplicar la regla de correspondencia sobre la variable independiente (y(x) ó (x) .
Formas de determinar una función
Tabla:
G
Fórmula:
r
á
f
i
c
a
:
y=f(x)
Verbalmente:
Por ejemplo: Un número (x) lo multiplicamos por dos y luego le sumamos uno (obteniendo y).
Dominio
El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de
todos los valores que f toma.
Recorrido
El recorrido de una función f(x) es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente luego de haber sustituido el dominio. Es decir, el
recorrido son los valores resultantes de (y) que obtenemos después de haber sustituido todos los posibles valores de (x).
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-El numerador y denominador sean números reales y el denominador no sea cero (0).
-Una raíz de indice par es un número real cuando el radicando es un número real no negativo.
Ejemplos:
f (x) =
x+4
x2 -9
x2 - 9 = 0
(x + 3) (x - 3)
x = -3 x = 3
D = R - {3, -3}
f (x) = 4 x + 5
4 x+5 ≥ 0
4 x ≥ -5
x ≥ -5 / 4
D = [-5 / 4, ∞]
Prueba de la vertical
Una curva en el plano x y es la gráfica de una función x si y solo si no hay recta vertical que intercepte la curva más de una vez.
Funciones par e impar
Funciones par
Una función f(x) es par si para toda x en el dominio f(x)=f(-x)
-El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica respecto al eje (y).
Determine se la función es par
f (x) = 3 x4 - 2 x2 + 7
f (-x) = 3 (-x)4 - 2 (-x)2 + 7
f (-x) = 3 x4 - 2 x2 + 7
f (-x) = f (x)
La función es par
Funciones impar
Una función f(x) es impar si para toda x en el dominio f(-x)=-f(x)
-El significado geométrico de una función impar es que su gráfica es simétrica respecto al origen.
Determine se la función es impar
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f (x) = 4 x3 - 2 x
f (-x) = 4 (-x)3 - 2 (-x)
f (-x) = 4 -x3 + 2 (x)
f (-x) = -4 x3 + 2 x
f (-x) = -4 x3 - 2 x
f (-x) = -f (x)
La función es impar
Función creciente
f (x1 ) < f (x2 )siempre que (x1 ) < (x2 )en i aumenta la x y aumenta la imagen.
Función decreciente
Aumenta la x y disminuye la y (imagen) f (x1 ) > f (x2 )siempre que (x1 ) < (x2 )en i
Funciones polinomiales
Un función P se lama polinomial si
donde n es un número entero no negativo y a0 , a1 ... son
constantes llamados coeficiente polinomial.
Función lineal
Una función f(x)=mx+b se llama función lineal, donde m es la pendiente y b es el punto de corte con el eje y
Los interceptos son los puntos de corte con lo ejes
-Intercepto con el eje x -> y=0
-Intercepto con el eje y -> x=0
Determinar los interceptos para f(x)= 3x-4
-Intercepto con el eje x -> y=0
0=3x-4
4/3=x
(4/3, 0)
-Intercepto con el eje y ->x=0
f(x)= 3(0)-4
y= -4
(0,-4)
Función cuadrática
Una función f(x) de la forma f (x) = ax2 + bx + c se llama función cuadrática, la gráfica es una parábola, si a>0 abre hacia arriba, si a<0 abre hacia abajo.
-El vértice (h,k) es el punto máximo o mínimo.
y= a(x-h)+k
h= -b/2a
k= f(h)
Determinar los interceptos y graficar la siguiente función:
f (x) = -3 x2 + 6 x + 5
h=
-6
2×(3)
h=1
k = -3 (1)2 + 6 × (1) + 5
k=8
v = (1, 8)
intercepto con x
0 = -3 x2 + 6 x + 5
x=
-6+
36+60
x = -0, 63
-6
x=
-6-
36+60
x = 2, 63
-6
intercepto con y
y=5
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2
In[ ]:= Plot-3 x + 6 x + 5, {x, 5, -5}
representación gráfica
-4
2
-2
4
-20
-40
Out[]=
-60
-80
-100
Funciones racionales
Una función f (x) =
p (x)
donde Q(x) ≠0, se llama función racional
Q (x)
-las asintotas verticales de r son las rectas x=a, donde a es un cero del denominador
-Si n<m, entonces r tiene asintota horizontal y=0
-Si n=m, entonces r tiene asintota horizontal y=
an
bm
-Si n>m, entonces r no tiene asintota horizontal
Determine las asintotas verticales y horizontales de f (x) =
2 x2 -3 x-1
f (x) =
f (x) =
(x-2) (x+2)
2
1
= 2 Asintota v= x=2
2 x2 -3 x-1
x2 -4
x=-2
Asintota h= 2
2 x2 - 3 x - 1
In[ ]:= Plot
, {x, 5, -5}
representación
gráfica
(x - 2)
(x + 2)
10
5
Out[]=
-4
2
-2
-5
Función valor absoluto
f(x)=|x|
Función parte entera
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f(x)=[|x|]
Función exponencial
f (x) = ax , a > 0
Existen tres tipo de funciones exponenciales
-Si 0<a<1, disminuye la función exponencial
-Si a=1, e una función constante
-Si a>1, se incrementa la función
-Si a>0 y a≠1, la función exponencial f (x) = ax bien se incrementa o disminuye
Leyes de los exponentes
1. ax+y = ax ay
2. ax-y =
ax
ay
3.ax y = axy
4.(ab)x = ax bx
Funciones logarítmicas
y = loga x ⟷ ax = x
Las propiedades de una función f y su inversa f-1
loga ax , para todo x ϵ
aloga x = x, para todo x>0
Transformaciones de funciones
Desplazamiento vertical y horizontal c>0
y=f(x)+c
y=f(x)-c
y=f(x-c)
y=f(x+c)
Alargamiento y reflexiones verticales y horizontales.
y=c f(x)
y=(1/c)f(x)
y=f(c x)
y=f(x/c)
y=-f(x)
y=f(-x)
Álgebra de funciones
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
(f g)(x)=f(x) g(x)
F
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