FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I GUÍA DE: SEMESTRE: I PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. 1. RELACIÓN. La podemos definir como la "asociación" que mantiene unidas dos entidades numéricas. Una relación es la asociación más generalizada entre dos conjuntos de números, esto quiere decir que una función no es más que un caso particular de una relación. Como se define matemáticamente: Dado dos conjuntos A y B, se determina como relación (R) a la regla de correspondencia que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Dicha regla de correspondencia puede darse a conocer mediante: Flechas (se le llama diagrama sagital), que van de un elemento del primer conjunto a un elemento del segundo conjunto. Ejemplo: Pares ordenados, en el que el primer elemento del par pertenece al primer conjunto y el segundo elemento del par pertenece al segundo conjunto. Ejemplo: (1, Número), (A, Letra), (G, Letra), (4, Número), (7, Número), (Z, Letra) (2; Par, Positivo, Entero) (1.5; Positivo, Impar), (-3; Entero, Negativo, Impar), (5; Positivo, Impar, Entero) Tabulaciones, en las que en la primera columna aparecen los elementos del primer conjunto que están relacionados con el elemento del segundo conjunto que está en el mismo renglón. Ejemplo: Conjunto A Conjunto B Conjunto A Conjunto B 1 Número 2 Par A Letra 2 Positivo G Letra 2 Entero 4 Número 1.5 Positivo 7 Número 1.5 Impar Z Letra -3 Entero -3 Negativo -3 Impar 5 Impar 5 Positivo 5 Entero Expresiones algebraicas con dos variables. Regularmente la x corresponde a los elementos del primer conjunto y la y a los elementos del segundo conjunto. x² + y² = 9 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I GUÍA DE: SEMESTRE: I PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. Gráficas con puntos (pares ordenados) o líneas (representando la expresión algebraica) Suele considerarse que todos los elementos del primer conjunto deben estar relacionados con al menos un elemento del segundo conjunto, sin importar que queden elementos del segundo conjunto que no estén relacionados con ninguno del primer conjunto. 2. FUNCIÓN Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. Al conjunto de números de entrada para los cuales se aplica la regla se le llama el dominio de la función. El conjunto de todos los números de salida se llama el rango. En otras palabras es una relación cuya regla de correspondencia está limitada a que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Se puede expresar de las siguientes formas, similares a las de una relación: Diagrama sagital, en el que se ven muy claros los diferentes casos: Función inyectiva: a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno del segundo y puede sobrar alguno del segundo conjunto: Función suprayectiva o sobreyectiva: a cada elemento del segundo conjunto le corresponde al menos uno del primero y puede ser más de uno. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I SEMESTRE: I GUÍA DE: PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. Función biyectiva: a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno del segundo y viceversa, por lo tanto, no se repiten. Se trata de una función inyectiva y sobreyectiva a la vez: Expresiones algebraicas con dos variables. Regularmente la variable x corresponde a los elementos del primer conjunto y la variable y a los elementos del segundo conjunto. Y regularmente la variable y está a la izquierda del signo igual, con coeficiente y exponentes 1 y del otro lado hay sólo variables x. y = x² Tabulaciones x 2 1 0 -1 -2 y 4 1 0 1 4 Pares ordenados (-3 , 9), (-2 , 4), (-1 , 1), (0 , 0), (1 , 1), (2 , 4), (3 , 9) Nota: la tabulación y los pares ordenados que puse como ejemplo concuerdan con algunos de los valores enteros de x y con los correspondientes valores de y, calculados mediante la función y = x². La gráfica que aparece a continuación incluye los valores no enteros de x y sus correspondientes valores de y. Una gráfica con puntos (pares ordenados) o líneas (representando la expresión algebraica) La gráfica de una función debe pasar la prueba de la recta vertical. Esto es: a lo largo de toda la gráfica, cada recta vertical que se dibujara sólo podría tocar un punto de dicha gráfica en cada posición. Se puede probar acomodando FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I SEMESTRE: I GUÍA DE: PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. una regla de forma vertical, moviéndola de izquierda a derecha y comprobando que sólo toca en un punto a la gráfica en cada posición. Nota: Relación y función NO son conceptos excluyentes. Toda función es una relación que cumple con la restricción de que a cada valor del primer conjunto le corresponde máximo un valor del segundo conjunto. 3. TIPO DE FUNCIONES Las funciones principalmente pueden clasificarse según su naturaleza y condición: Constantes Polinómicas De primer grado Radicales Cuadráticas Algebraicas Racionales A trozo Funciones Exponenciales Trascendentes Logarítmicas Trigonométricas 3.1. FUNCIONES ALGEBRAICAS En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas: Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x - 2 Funciones implícitas: Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x - y - 2 = 0 3.1.1.Funciones Polinómicas Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como: El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio. Los exponentes son positivos y enteros. Se llama grado de una función polinómica al mayor exponente de sus términos. Por ejemplo, el polinomio de la función del gráfico de arriba es de grado 3. Los diferentes ai (a0, a1, …an), son números reales llamados coeficientes de un polinomio. Las funciones polinómicas pueden clasificarse en diferentes tipos según el grado del polinomio: FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I GUÍA DE: SEMESTRE: I PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. 3.1.1.1. Función Constante Una función constante es una función polinómica de grado 0 (pues 0 es el coeficiente de x), es aquella función que siempre toma la misma imagen para cualquier valor de la variable independiente (x), es decir, una función constante es de la forma f(x)=k, donde k es un número real cualquiera. La representación gráfica de una función constante es una recta horizontal. Por ejemplo, todas las siguientes funciones son constantes: Representación Gráfica De Una Función Constante Representar gráficamente una función constante es bastante fácil, simplemente hay que dibujar una recta horizontal en el valor de la función (k). En el siguiente ejemplo se puede observar el gráfico tres funciones constantes diferentes: Podemos notar que toda función constante es paralela al eje de las abscisas (eje X). Por otro lado, hay que tener en cuenta que una recta vertical no es una función constante. De hecho, una recta vertical no es ni una función, ya que por definición una función solamente puede tener una única imagen para cada valor de x. Características De La Función Constante El dominio de la función constante son todos los números reales: El recorrido o rango de la función constante es únicamente el valor de la constante: Se trata de una función continua y par, porque la función siempre toma el mismo valor: La función constante no es ni creciente ni decreciente, es un tipo de función que siempre tiene pendiente nula: Siempre corta el eje OY en el punto (0,k). Cualquier función constante es un polinomio de grado cero. Si 𝒦 ≠ 0 la función constante no tiene ninguna raíz, en cambio, si 𝒦 = 0 todos los números reales son raíces de la función constante. Ejemplo Si nos dan el 𝑃 = (0,4) y queremos hallar su función debemos usar la fórmula de la función constante esta función siempre tiene la misma forma: Y gráficamente la función constante siempre es una línea horizontal, por tanto, las coordenadas de una función constante siempre son iguales y de valor k. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I GUÍA DE: SEMESTRE: I PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. Como el punto por el que pasa la función tiene como coordenada y=4, la función constante que estamos buscando en este problema tiene que ser: Para representar una función constante simplemente tenemos que trazar una línea recta horizontal a la altura de la constante: 3.1.1.2. Funciones de Primer Grado o de Grado 1. Son funciones que están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1. Su representación gráfica es una recta de pendiente m. La m es la pendiente y la n la ordenada, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. Según los valores de m y n existen tres tipos: Funciones afines: son funciones de primer grado que no pasan por el origen, es decir, la ordenada no es nula (n ≠ 0): Funciones lineales: son funciones polinómicas de grado 1 tales que la ordenada o constante es nula (n = 0), de manera que: La gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es la constante de proporcionalidad m. Si m>0 la recta pasa por el primer y tercer cuadrante y la función es creciente. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I SEMESTRE: I GUÍA DE: PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. Si m<0 la recta pasa por el segundo y cuarto cuadrante y la función es decreciente. Si m= 1 la gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Si m =-1 la gráfica es la bisectriz del primer y cuarto cuadrante. Funciones identidad: es un caso particular de funciones lineales, tal que a cada elemento x le hace corresponder éste mismo valor en f(x). Es decir, m = 1 y n = 0. Ejemplo F(x)=2x-3 Si hacemos f(x)=y nos queda que y=2x-3. Partimos de aquí construyendo una tabla de valores sustituyendo x por valores y asi determinar los valores de y. X=0 → y = f(0) = 2(0) – 3= 0 – 3 = - 3 X=2 → y = f(2) = 2(2) – 3= 4 – 3 = 1 X=-1 → y = f(-1) = 2(-1) – 3= -2 – 3 = -5 X Y 2 1 0 -3 -1 -5 La gráfica obtenida es una línea recta que no pasa por el origen por lo que es una función afín. El dominio es el conjunto de todos los números reales r. Son f = R = (-infinito, + infinito) El rango de esta función son todos los números reales r. La pendiente de esta función ya que es una función y esta escrita y=mx+b, su pendiente m =2. Podemos calcular la intersección de la función en el punto y haciendo x=0 y nos da que la intersección en el eje y es (0,-3) Y para determinar la intersección en el eje x hacemos 0=y y despejamos x. Y=2x-3 0=2x-3 3=2×. 3/2=x. Esto nos da que la intersección en el eje x es (3/2, 0) La función afín será una función biyectiva. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I GUÍA DE: 3.1.1.3. SEMESTRE: I PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. Funciones cuadráticas. Son funciones polinómicas de grado 2, es decir, su mayor exponente es x elevado a 2 (x2): Su representación gráfica es una parábola vertical. Características de una función cuadrática La concavidad nos indica la forma o abertura de la parábola, si el coeficiente a es mayor a cero la parábola abre hacia arriba y si el coeficiente es menor a cero la parábola abre hacia abajo. Ax2+bx+c=0 a>0 U ; a<0 El vértice es el punto mínimo de una parábola si a>0, y máximo si a<0, y se calcula con la siguiente fórmula: 𝑏 4𝑎𝑐 − 𝑏 𝑥 = − ,𝑦 = 2𝑎 4𝑎 El signo discriminante de la ecuación de segundo grado ∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 determina los puntos de corte de los ejes así: Si b2 -4ac > 0 existe 2 puntos donde corta al eje de las abscisas. 2 Si b -4ac =0 corta en un punto de las abscisas, es decir existe un punto donde la parábola es secante al eje de las abscisas. Si b2-4ac < 0 no existe puntos donde la parábola corte al eje de las abscisas. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales E. Debido a que todo número real puede ser sustituido por x y el valor correspondiente de y será también un número real. El rango de 7na función cuadrática será un subconjunto de los números, es decir irá desde el valor y del vértice hasta el infinito positivo o negativo. El eje de la para bola se le llama eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola y su ecuación x=-b/2.a Intercepciones son los puntos donde corta la función en los ejes x,y. Se puede encontrar la intercepción en el eje y al sustituir x por 0 en la función, pero para conseguir la intercepción en x se iguala la función a 0 para encontrar las raíces usando la factorización, completación de cuadros o la fórmula cuadrática general. Ejemplo F(x)=x2 -4x +3 Como a =1>0 la parábola abre hacia arriba El eje de la parábola es: FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES CARRERAS: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y ECONOMÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA I SEMESTRE: I GUÍA DE: PROFESOR: ING. MARÍA LOURDES SÁNCHEZ RELACIONES, FUNCIONES Y GRAFICAS. 𝑥= −𝑏 −(−4) = =2 2. 𝑎 2.1 El vértice −𝑏 4𝑎𝑐 − 𝑏 4.1.3 − (−4) , = 2, = (2, −1) 2. 𝑎 4. 𝑎 4.1 También se puede encontrar el vértice de y sustituyendo el valor de x por 2 en la ecuación 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 3 𝑉= 𝑦 = 2 − 4.2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1 Los puntos de corte con el eje y hacemos x=0 y nos queda que y =3 𝑦 = 0 − 4.0 + 3 = 0 − 0 + 3 = 3 Para encontrar los puntos de corte en el eje x debemos evaluar b 2-4ac 𝑏 − 4. 𝑎. 𝑐 = 4 − 4.1.3 = 16 − 12 = 4 > 0 Esto nos indica que la parábola corta al eje x en 2 puntos. Hacemos y =0 y nos queda 𝑥 − 4𝑥 + 3 = 0 Resolviendo por factorización se tiene que (x-3)(x-1)=0 X1=3 X2=1 Al observar la gráfica podemos ver que: Dom f =R Rgo f = [-1, infinito)