Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO APROXIMACIONES ANALISIS MARGINAL COSTO MEDIO ELASTICIDAD MONOTONÍA MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONCAVIDAD ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS PROBLEMAS PRACTICOS DE OPTIMIZACIÓN TEOREMAS SOBRE DERIVADAS 4.11.1 TEOREMA DE LAGRANGE 4.11.2 TEOREMA DE ROLLE 4.11.3 TEOREMA DE CAUCHY 4.11.4 TEOREMA DE L’HOPITAL OBJETIVOS: Resolver problemas de razón de cambio. Aproximar variaciones de funciones. Aplicar e interpretar el Análisis Marginal Calcular Elasticidad de la demanda Elaborar gráficas. Resolver problemas prácticos de Optimización Calcular indeterminaciones empleando la regla de L´hopital 81 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.1 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Suponga que se tiene y f (t ) y que se da una variación en t , denotada como t , esto provoca una variación en la función, denotada como y . Esta variación puede ser en sentido de aumento, positiva, o en sentido de disminución, negativa. La variación de la función sería: y f (t t ) f (t ) Se considera la variación media de la función como: y f (t t ) f (t ) t t Si tomamos variaciones de " t " cada vez más pequeñas, tenemos un cambio f (t t ) f (t ) y instantáneo de la función, es decir: lim lim t 0 t t 0 t Observe que la última expresión es la derivada de la función f (t ) ; entonces, la derivada f ´(t ) expresa el cambio instantáneo que experimenta la función. 4.1.1 DEFINICIÓN. Sea y f (t ) . La RAZÓN O RAPIDEZ DE CAMBIO de y con respecto a t , se define como: f ´(t ) lim t 0 La f (t t ) f (t ) t RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL se define como: f ´(t ) 100 f (t ) Obtener rapidez de cambio porcentual posibilita la comprensión del cambio significativo con respecto al valor original. Esto nos va a permitir resolver problemas de aplicación. 82 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 1 En un estudio realizado a partir del año 1999 se determinó que el impuesto predial estaba dado por I (t ) 10t 2 70t 500 dólares, donde " t " significa años después de 1999. a) Calcule la razón a la que aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo, en el 2005. b) ¿A qué razón porcentual aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo en 2005? SOLUCIÓN: a) La razón de cambio del impuesto predial es la derivada de I (t ) , es decir: I´(t ) 20t 70 dólares por año desde el año 1999 al año 2005 han transcurrido 6 años, por tanto: I ´(6) 20 6 70 190 Entonces, después de seis años el impuesto estará cambiando a una razón de 190 DÓLARES PO R AÑO . b) La razón de cambio porcentual será: calculemos I (6) : I ´(6) 100 I (6) I (6) 10 6 70 6 500 1280 dólares 2 Entonces 190 I ´(6) 100 100 14.84 % I (6) 1280 Es decir, después de seis años el impuesto estará cambiando al 14. 84% anual. Ejemplo 2 Un comerciante estima que la demanda de cierto artículo estará dada por D( p ) 4000 p2 artículos a la semana cuando el precio sea p dólares por artículo. Se estima que dentro de t semanas, el precio del artículo estará dado por p(t ) 2t 2 t 3 dólares por artículo. ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de los artículos con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? SOLUCIÓN El ritmo o razón de cambio de la demanda de los artículos será; d D( p) dt Como la demanda D es función de precio p , aplicamos la regla de la cadena para obtener la derivada de la demanda con respecto al tiempo t , es decir: dD dp d D( p) dt dp dt 8000 3 4t 1 p Después de 10 semanas el precio de los artículos será: p(10) 210 10 3 213 dólares por artículos. Entonces: 2 83 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz d 4t 1 D( p) 8000 3 dt p 8000 4(10) 1 2133 artículos / semana 7.23 semana En 10 semanas, la demanda semanal estará dismuyendo a una razón de 7.23 Ejercicios Propuestos 4.1 1. Las Utilidades anuales de cierta compañía están dadas por U (t ) 0.1t 2 10t 20 miles de dólares, " t " años después de su formación en 2001. a) ¿A qué razón crecieron las ganancias anuales brutas de la compañía, con respecto al tiempo, en el 2005?. b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas, con respecto al tiempo en el 2005? 2. Después de " t " SEMANAS, la cantidad de personas que utilizan un nuevo sis tema de cajero automático está dada por P(t ) 6t 500t 8000 personas. ¿A qué RAZÓN PORCENTUAL cambió el uso del sistema después de 10 semanas? 3 3. Dentro de " t " AÑOS la población de cierta ciudad está dada p(t ) 20 t 12 estudio ambiental revela que la contaminación del agua estará dada por de contaminación cuando la población sea variará la contaminación del agua después de 3 años? UNIDADES p 40 miles de habitantes. Un C ( p) 2 p 2 p 10 MILES DE HABITANTES, ¿a qué RAZÓN PORCENTUAL 4. Cuando un determinado artículo se v enda a " p " dólares por unidad, la demandad de los consumidores locales estará dada por D( p) 40000 unidades al mes. Se estima que dentro de " t " meses el precio del artículo p 3 estará dado por p(t ) t 2 4 dólares por unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del artículo con respecto al tiempo dentro de 6 meses? la población de cierta ciudad está dada por: P(t ) t 200t 10000 habitantes. a) Exprese la RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL de la población como una función de t b) ¿Qué sucederá con la RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL de la población a largo plazo? 5. Dentro de " t " AÑOS, 2 6. El PNB de cierto país crece a una razón constante desde 1996, cuyo valor era $125.000 millones y en 1998 era $155.000 millones. ¿A qué razón porcentual aumentó el PNB en 2001. 84 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.2 APROXIMACIONES Suponga que se esté produciendo un determinado artículo; los costos de producción, los ingresos y por ende la utilidad se verían afectados si variamos la producción. Estos cambios en el costo, en el ingreso y en la utilidad pueden ser encontrados, en sus valores aproximados, empleando el cálculo diferencial. Es decir, podemos hallar el valor aproximado de la variación de una función, cuando su variable independiente cambia, a partir de su regla de correspondencia. Empecemos mencionando la definición de diferenciales. 4.2.1 DEFINICIÓN. DIFERENCIALES. Sea y f x una función diferenciable. La diferencial de la variable independiente “ x ” se denota como dx y la DIFERENCIAL de “ y ” denotada como dy , se define como: dy f ´( x)dx Ahora hagamos una interpretación gra fica. Observe la figura: 85 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Note que la variación de “ x " denotada como " x " es igual a su diferencial, es decir x dx Además observe que, si x 0 entonces y dy , es decir: y f ´( x)x Entonces, el cambio real f ( x x) f ( x ) es aproximadamente igual a f ´( x )x . 0 0 0 Además, Se define como: la VARIACIÓN RELATIVA y f ´ x0 x y f x f ´ x0 x y 100 100 y f x Y la VARIACIÓN PORCENTUAL sería: Ejemplo 1 Se estima que los costos semanales en cierta fábrica están dados por C (q) 50q 2 9000q dólares, donde " q ” es el número de unidades producidas. En la actualidad se están produciendo 30 unidades. a) Calcule la variación real en el costo, si se decide producir 33 unidades b) Utilice el Cálculo para aproximar el CAMBIO que se generará en el costo al producir las 33 unidades. c) Calcule el cambio porcentual SOLUCIÓN. a) El cambio real se lo puede calcular obteniendo la diferencia entre el costo de producir 33 unidades y el costo de producir las 30 unidades. Cambio Re al en el Costo C C (33) C (30) 5033 900033 5030 900030 351450 315000 $36450 2 2 86 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz b) Por otro lado Cambio Aproximado en el Costo C´(30)q En este caso q 3 y f ´(q) 100q 9000 C f ´( 30)3 10030 90003 $36000 Entonces: c) Cambio porcentualen el Costo C 36000 100 10.24% C 351450 Ejemplo 2 La producción de cierta fábrica está dada por Q( L) 600L 3 unidades, donde L representa el tamaño de la fuerza laboral. El fabricante desea incrementar la producción en un 1% . Aplique el Cálculo para estimar EL INCREMENTO PORCENTUAL que se requerirá en la mano de obra. 2 SOLUCIÓN. Se pide L% si Q 1% L 100 . L Q 100 y como Q Q´L entonces El cambio porcentual en Q está dado por Q% Q El cambio porcentual en L estaría dado por L% Q% Q´L 100 Q 1 2 13 L 400 L 3 . Reemplazando, tenemos: 3 La derivada de Q sería Q´ 600 Q% 1 Despejando L , resulta L Q´L 100 Q 1 3 400 L L 2 100 600 L 3 2L 100 1 3L 3L . 200 L 100 L 3L 100 1.5% L% 200 L Y finalmente reemplazando L% 87 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios Propuestos 4.2 1. Dada la ecuación de la demanda p demandan q 12.5 unidades. 100 , utilice diferenciales para estimar el precio p cuando se q4 2. Se estima que la producción semanal en cierta planta está dada por Q 50x 2 9000x unidades, donde " x " es el número de trabajadores empleados en la planta. En la actualidad hay 30 trabajadores empleados en la planta. a) Utilice el cálc ulo para estimar el cambio que se generará en la producción semanal al aumentar en 1 trabajador la fuerza laboral. b) Calc ule el cambio real que se generará en la producción al emplear 1 trabajador más. Q 2 x 3 3x 2 y 2 1 y 3 . Si los niv eles actuales de insumos son x 30 e 3. En cierta fábrica la producción Q está relacionada con los insumos " x " e " y " mediante la ecuación y 20 , utilice el cálculo para estim ar el cambio que debería realiz arse en el insumo " y " para compensar una disminución de 0.5 unidades en el insumo " x ", de manera que la producción se mantenga en su niv el actual. 4. La producción Q de una fábrica está relacionada con los insumos x e y mediante la ecuación Q x 2 xy 2 y . Si los niv eles actuales de insumos son x 10 e y 20 , aplique el Cálc ulo para estimar el CAMBIO que debería realizarse en el insumo y que debería realizarse para COMPENSAR UN 3 INCREMENTO de 2 3 0.5 en el insumo x , de manera que la producción se mantenga en su niv el actual. 5. En cierta fábric a un obrero que llega al trabajo a las 8 a. m. habrá producido Qt t 3 9t 2 12t unidades, t horas más tarde. a) Calcule la tasa de producción del trabajador a las 9 a.m. b) ¿A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a las 9 a.m.? c) Aplique el cálc ulo para estimar el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 9 a.m. y las 9:06 a.m. d) Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre las 9:00 a.m. y las 9:06 a.m. 6. En determinada Fábrica, la producción diaria está dada por Q 3000K 1 1 2L 3 7. En determinada empresa, la producción está dada por Q( K ) 400K 1 2 unidades, donde K representa la inv ersión de capital de la empresa medida en unidades de $1.000 y L representa el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión actual de capital es de $400.000 y que se utilizan 1331 horas-trabajador todos los días. Emplee el cálc ulo marginal para estimar el efecto que, sobre la producción diaria, tendrá una inversión de capital adicional de $1.000, si el v olumen de la fuerza laboral permanece igual. unidades, donde K representa la inv ersión de capital de la empresa. Estime ¿qué incremento porcentual se generará en la producción a partir de un aumento del 1% en la inversión de capital? 88 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.3 ANALISIS MARGINAL En Economía, ocasionalmente se hace necesario determinar la variación de una función cuando su variable independiente cambia en una unidad. Si y f (x) entonces x 1 y f ´( x)x . tenemos que resultado, es decir a FUNCIÓN MARGINAL Considerando y f ´(x) . A este f ´(x) se la llama la de f (x) . Lo anterior quiere decir que: Si tenemos producir la unidad Si tenemos I ´(q) el COSTO de producir q unidades, entonces q 1. sería el COSTO MARGINAL y significa el costo adicional por C´(q) C (q) I (q) el INGRESO por la venta de q unidades, entonces q 1. sería el INGRESO MARGINAL y significa el Ingreso adicional por la venta de la unidad Si tenemos U (q) unidades, entonces la UTILIDAD por la producción y venta de U ´(q) q q 1. sería la UTILIDAD MARGINAL y significa la utilidad adicional por la producción y venta de la unidad Ejemplo 1 Se estima que los costos semanales en cierta planta están dados por C (q) 5q 2 90q dólares, donde " q ” es el número de unidades producidas. a) Determine el Costo Marginal. Interprete. b) Suponga que se están produciendo 100 unidades, emplee el Costo Marginal para estimar el costo de fabricar la unidad 101. SOLUCIÓN: a) El costo marginal seria C´(q) 10q 90 dólares, el cual significa el costo adicional de producir la unidad q 1. b) El costo adicional por fabricar la unidad 101 es C´(100) 10100 90 1090 dólares. 89 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.4 COSTO MEDIO. Sea C (q) el COSTO de producir denotado como C , se define como: q unidades, entonces el COSTO MEDIO, C C (q) q Ejemplo 1 Para el costo C (q) 5q 2 90q , donde “ q ” es el número de unidades producidas, determine el Costo Medio. SOLUCIÓN: C C (q) 5q 2 90q $ 5q 90 q q unidad Ejemplo 2 Suponga que el costo medio para un determinado artículo está dado por C (q) q 2 10q 50 , donde “ q ” es el número de unidades producidas, determine el Costo Marginal. SOLUCIÓN: Como C C (q) entonces C (q) q C q q 2 10q 50 q 3 10q 2 50q q Por lo tanto el Costo marginal sería: C´(q) 3q 2 20q 50 Ejercicios Propuestos 4.3 1. Si la función de Costo total, para un fabricante está dada por C q 2. La función de costo total está dada por: C q 5q 2 q2 3 5000 , siendo q las unidades producidas. Determine el costo marginal y el costo medio cuando se producen 10 unidades. Interprete. Dq q2 3q 67 ; sabiendo que la ecuación de la demanda es: 4 1 45 q , determinar las funciones de Ingreso, Costo y Utilidad Marginales. Interprete 5 1 3. Sea C q q 2 4q 57 el costo total de producir q unidades de un determinado artículo, y 5 1 pq 36 q el precio al cual se v enderán las q unidades. 4 a) Hallar el costo medio, el costo y el ingreso marginal. b) Utilizar el costo marginal para calc ular el costo de producir la cuarta unidad. c) Emplear el ingreso marginal para calc ular el ingreso obtenido de la venta de la cuarta unidad. 90 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4. Sea C q pq 1 2 q 3q 67 el costo total de producir q unidades de un determinado artículo, y 4 1 45 q el precio al cual se v enderán las q unidades. 5 a) Hallar el costo medio, el costo y el ingreso marginal. b) Utiliz ar el costo marginal para calc ular el costo de producir la cuarta unidad. c) Emplear el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido de la v enta de la cuarta unidad. 4.5 ELASTICIDAD Suponga ahora que se desea determinar la variación porcentual de una función cuando su variable independiente varía en 1%. Esto es, si tenemos y f (x) y x 100 1% es decir que x 0.01x . x f ´x x 100 Bien, sabemos que el Cambio Porcentual f x suponga que Reemplazando, tenemos: Cambio Porcentual f ´x 0.01x f ´x x 100 f x f x Este cambio porcentual de f , es lo que se denomina ELASTICIDAD de f . 4.5.1 DEFINICIÓN Sea y f (x) . La ELASTICIDAD de f con respecto a x , denotada como , se define como: f ´ x x f x y denota el cambio porcentual de f cuando x varía en 1%. Es muy común utilizar este concepto para la demanda. 91 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Suponga que se tiene la ecuación de la demanda D´( p) p D( p) entonces D p y de dice que: Si 1 la demanda es INELASTICA Si 1 la demanda es ELÁSTICA Si 1 la demanda es de ELASTICIDAD UNITARIA Ejemplo 1 Un comerciante estima que para un determinado artículo la demanda estará dada por D( p) 2 p 2 32 ; 0 p 4 cuando el precio del artículo es p . Determine la elasticidad de la demanda si el precio del artículo es $3. Interprete SOLUCIÓN: Empleando la definición D´( p) 4 p 4 p 2 2 p2 p p D p 2 p 2 32 2 p 2 32 16 p 2 p 3 2(3)2 2.57 16 (3)2 Esto quiere decir que cuando el precio del ar tículo es de $3 si este precio varía en 1% entonce s la cantidad demandada disminuirá en 2.57% . Y como 2.57 2.57 tenemos una DEMANDA ELÁSTICA . Ejercicios Propuestos 4.4 1. Determine las elasticidades de la demanda en función de p para: a) b) q c) D: p d) D: p e) f) 2. q 25 p 2 90 2 p h) q 100 p 10 q 100 i) ( p 20)(q 10) 800 280 q2 p q 5 D( q ) g) D(q) 32 q2 2 16 3 q2 Un comerciante estima que para un determinado artículo la demanda estará dada por D( p) 30 2 p p 2 cuando el precio del artículo es p . Determine la elasticidad de la demanda si el precio del artículo es $2. Interprete 92 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.6 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.6.1 Teorema de Monotonía Sea una función continua en un intervalo a, b y diferenciable en todo punto interior de a, b . Entonces: 1. Si f ´( x) 0, x a, b entonces es creciente en a, b 2. Si f ´( x) 0, x a, b entonces es decreciente en a, b . DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que f ´(x) 0 , x a, b . Sea x0 a, b entonces f ´( x0 ) 0 , es decir lím f ( x) f ( x0 ) 0 xlím x0 x x0 indica que lím f ( x) f ( x0 ) 0 x x0 x x0 En el primer caso el denominador es negativo x x0 x x0 por f ( x) f ( x 0 ) 0 ; esto x x0 tanto el numerador debe ser también negativo, es decir f ( x) f ( x0 ) , lo cual también indica que f es creciente. En el segundo cado en denominador es positivo x0 x por tanto el numerador debe ser también positivo, es decir f ( x0 ) f ( x) , lo cual indica que f es creciente Para el caso f ´(x) 0 , la demostración es análoga. Ejemplo 1 2 Analice la monotonía de f ( x) 2 x 4 x 5 SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´(x) 4 x 4 93 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz El asunto es determinar en qué intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x) 4( x 1) ; se observa que: x x 1 f ´( x) Negativa (-) Positiva(+) x 1 f decrece crece Ejemplo 2 Analice la monotonía de f ( x) x3 3x2 3 SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada f ´( x) 3x2 6x En la forma factorizada f ´( x) 3x x 2 se observa que: x f ´( x) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+) x0 0 x2 x2 f crece decrece crece Ejercicios Propuestos 4.5 Determine los interv alos de crecim iento y de decrecim iento para cada función: 1. 2. 3. 4. 5. 6. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 f ( x) x5 4 3 x 5 3 1 f ( x) x 3 4 x 2 3 f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 f x x 2 1 f ( x) x 3 1 4 4 94 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Este es uno de los problemas más importante que se resuelve con la ayuda de la derivada. 4.7.1 DEFINICIÓN Sea f :I . Suponga que “ x0 ” pertenece al intervalo I . Entonces: 1. f ( x0 ) es el valor máximo de f en I , si f ( x0 ) f ( x) , x I . (El mayor de todos) 2. f ( x0 ) es el valor mínimo de f en I , si f ( x0 ) f ( x) , x I . (El menor de todos) Al máximo y al mínimo de f se lo llama VALOR EXTREMO. Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores extremos. 4.7.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de Máximos y Mínimos un intervalo a, b entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en a, b. Si f es una función continua definida en Lo anterior quiere decir que siempre habrá extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero continúa la interrogante ¿cómo obtenerlos? Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos Críticos. 95 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.7.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos. a, b que contiene a “ x ”. Sea f una función definida en un intervalo 0 Entonces “ x0 ” es llamado Punto Crítico si es: Un punto extremo del intervalo, es decir x0 a , x0 b . Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera. O bien, Un punto donde la derivada es igual a cero; es decir f ´( x0 ) 0 . Este será llamado Punto Crítico Estacionario. (En este punto la recta tangente es horizontal). O bien, Un punto donde la derivada no existe; es decir f ´( x0 ) no está definida. Este será llamado Punto Crítico Singular. (En estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo f ( x) x , tiene un punto crítico singular (pico) en x 0 ) 4.7.4 TEOREMA a, b Sea f una función definida en un intervalo que contiene a “ x0 ”. Si f ( x0 ) es un valor extremo entonces “ x0 ” es un Punto Crítico. Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los 96 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares. Sea f ( x 0 ) un valor máximo; es decir f x 0 f ( x) , entonces: f ( x) f ( x0 ) 0 DEMOSTRACIÓN. Si x x0 , dividiendo por x x 0 tenemos Ahora obteniendo límite lím x x0 f ( x) f ( x 0 ) 0 x x0 f ( x) f ( x 0 ) lím 0 resulta f ´(x 0 ) 0 . x x0 x x0 f ( x) f ( x 0 ) lím 0 resulta f ´(x 0 ) 0 x x0 x x0 x x0 Suponga que f es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) 0 ; es decir x 0 es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) no existe; es decir x 0 es un punto crítico singular. La demostración ser ía análoga para el caso de que f ( x 0 ) sea un valor mínimo. Para x x 0 , tenemos, obteniendo límite lím Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos. Además, el teorema anterior nos hace concluir que: 97 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Si “ x 0 ” no es un punto crítico entonces no será extremo. Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. Es suficiente que f ( x0 ) sea un extremo para que “ x 0 ” sea un punto crítico. Que “ x 0 ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta. Ejemplo 1 Determinar los extremos para f ( x) 2 x 2 4 x 5 en 0,3 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x 0 0 y x 0 3 analizamos la derivada: f ´(x) 4 x 4 2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos Ahora f ´( x0 ) 0 4( x0 1) 0 , entonces el Punto Crítico Estacionario sería: x 0 1 . 3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos: f 0 202 40 5 5 f 3 232 43 5 11 f (1) 3 En x 0 3 se encuentra el Valor Máximo f . Por inspección, se determina que: Y en x 0 1 se encuentra el Valor Mínimo de f . 98 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 2 Determinar los extremos para f ( x) x3 3x2 3 en 2,3 SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x´0 2 y x0 3 2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada f ´( x) 3x 2 6 x , tenemos: f ´( x) 0 Entonces serían: x 0 0 y x0 2 . 3x 2 6 x 0 3x( x 2) 0 3. Puntos críticos Singulares: No hay. f 2 2 3 2 3 8 12 3 17 Bien, ahora evaluando en la función: 3 2 f 3 (3)3 3(3) 2 3 27 27 3 3 f (0) 3 f (2) (2)3 3(2) 2 3 1 De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en x0 3 como en x0 0 ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en x0 2 . Ejercicios Propuestos 4.6 1. 1. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 en 2,3 Determine el v alor máximo y el valor mínimo : x5 4 3 x en 3,3 5 3 1 3 3. f ( x) x 4 x 2 en 5,3 3 2. f ( x) 4. 5. f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 en 1,1 f x x 2 1 6. f ( x) x 1 3 4 4 en 2,2 en 1, 2 Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en un intervalo de su dominio, pero si analizamos la función en todo su dominio, esto nos deja insatisfechos. ¿Qué ocurre con los puntos críticos que son extremos en un intervalo? 99 Moisés Villena Muñoz Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada 4.7.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos Sea f una función de variable real. Sea “ x0 ” un punto del dominio de f . Entonces: 1. f ( x0 ) es un valor máximo local de f , si existe un intervalo a, b en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 ) es el valor máximo de f en a, b . 2. f ( x0 ) es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo a, b en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 ) es el valor mínimo de f en a, b . 3. f ( x0 ) es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos. Observe el siguiente gráfico: Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue. 100 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.7.6 Teorema: Criterio de la primera derivada. Sea f continua en a, b que contiene al punto crítico “ x0 ”. Entonces: 1. Si f ´( x) 0, x a, x0 y f ´( x) 0, x x0 , b entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2. Si f ´( x) 0, x a, x0 y f ´( x) 0, x x0 , b entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . 3. Si f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de “ x0 ” entonces f ( x0 ) NO es un valor extremo de f . Ejemplo Para f ( x) x3 3x2 3 Analizando la primera derivada f ´( x) 3x x 2 se observó que: x x0 0 x2 x2 f ´( x) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+) f crece decrece crece Entonces: 1. Como antes de x 0 la derivada es positiva y después es negativa se concluye que f (0) 3 es un máximo local. 2. Como antes de x 2 la derivada es negativa y después es positiva se concluye que f (2) 1 es un mínimo local. Ejercicios Propuestos 4.7 Emplee el criterio de la prim era deriv ada para clasificar los ex tremos locales: 1. 2. 3. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 f ( x) x5 4 3 x 5 3 1 f ( x) x 3 4 x 2 3 4. 5. 6. f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 f x x 2 1 f ( x) x 3 1 4 4 101 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos permite hacerlo. Ejemplo 1 Trazar la gráfica de f ( x) 2 x 2 4 x 5 en 0,3 . Se ha obtenido x 0 1 como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería: SOLUCIÓN: Máx. 3,11 P.C.F. f ( x) 2 x 2 4 x 5 P.C.F. 0,5 Mín 1,3 P.C.E. Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en esta sección. Ejemplo 2 Graficar f ( x) x3 3x2 3 en 2,3 Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios x 0 0 y x0 2 , también se determinó que antes de x0 0 la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto x0 2 ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es: SOLUCIÓN: P.C.E ymáx. P.C.F P.C.E f ( x) x 3 3x 2 3 P.C.F ymín 102 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios Propuestos 4.8 Bosqueje la gráfica de: 1. 2. 3. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 y 3x5 20 x3 y 13 x3 9 x 2 4. 5. 6. f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 f x x 2 1 f ( x) x 3 1 4 4 Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios. Ejemplo. Graficar f ( x) x SOLUCIÓN: 4 5 Analizando la derivada f ´( x) Punto Crítico Singular: x 0 0 x x0 x0 4 15 4 x 5 , tenemos: 5 5 x f ´( x) Negativa (-) Positiva (+) f decrece crece Por tanto, se puede decir que su gráfica es: yx 4 5 Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la 103 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos: 4.8 CONCAVIDAD 4.8.1 Teorema de concavidad Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces: 1. Si f ´´( x) 0, x I entonces f cóncava hacia arriba en I. f ´´( x) 0, x I entonces f 2. Si cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 1 Analizar la concavidad de f ( x) x 4 es es 3 SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es f ´( x) 4 15 x 5 4 65 4 x entonces la segunda derivada es f ´´( x) 25 25 5 x6 Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que: x f ´´(x) f x0 Negativa (-) Negativa (-) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo x0 Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó. Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 104 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.8.2 Puntos de Inflexión Sea f continua en “ x0 ”, llamamos a x0 , f ( x0 ) un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ x0 ” y cóncava hacia abajo al otro lado. Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo 2 Analizar la concavidad de f ( x) x3 3x2 3 SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es f ´( x) 3x 2 6 x f ´´( x) 6 x 6 6( x 1) x x 1 x 1 entonces la segunda derivada es f ´´(x) f Negativa (-) Positiva (+) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función. P. Inflexión f ( x) x 3 3x 2 3 Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión. 105 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios Propuestos 4.9 Determine los interv alos de concavidad: 1. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 2. f ( x) 3. f ( x) x5 4 3 x 5 3 1 3 x 4x 2 3 4. 5. 6. f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 f x x 2 1 f ( x) x 3 1 4 4 Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio. 4.8.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada Supóngase que f ´ y f ´´ existen en a, b que contiene a “ x0 ” y que f ´( x0 ) 0 . 1. Si f ´´( x0 ) 0 entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2. Si f ´´( x0 ) 0 entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . Ejemplo Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para f ( x) x3 3x2 3 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: x 0 y x 2 . f ´´( x) 6 x 6 Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual: a) f ´´(0) 6(0) 6 6 0 (negativo) por tanto aquí hay un M ÁXIMO. b) f ´´(2) 6 2 6 6 0 (positivo) por tanto aquí hay un M ÍNIMO. 106 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.9 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes: 1. Establecer el dominio de la función. 2.Establecer la simetría de las gráficas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna. 3.Establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. 4.Establecer los puntos críticos de frontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía . Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los extremos relativos. 7.Analizar la concavidad . Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inflexión . Ejemplo 1 Graficar f ( x) 243x x 4 243 SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f R Paso 2. SIMETRÍA: f ( x) 243 x ( x)4 243 243x f ( x) por tanto f es IMPAR. x 4 243 107 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay (¿por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito 243x 243 4 243x 0 x x3 lím lím 0 lím 4 x x 243 x 243 x 4 1 x 243 1 243 0 4 4 4 x x x Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir: lím x 243x 0 x 4 243 Por tanto el eje x ( y 0 ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay . ¿Por qué? P.C.E: x 243 x(4 x3 ) 4 x 243 243 3x 4 x 243 3 81 x 4 x 3 9 x 9 x 3 3 x 3 x 9 x 243 243 x 243 x 243 f ´( x) 243 4 2 2 243 4 2 243 2 243 2 2 2 4 4 2 4 por lo tanto tenemos P.C.E: x0 3 y x0 3 P.C.S: no hay . ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: f´ f decrece 3 crece decrece 3 Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x0 3 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. 2. En x0 3 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. 2 81 x 4 4 x 3 x 4 243 81 x 4 2 x 4 243 4 x 3 f ´´( x) Dx 729 729 2 4 x 4 243 x 4 243 4 x 4 243 x 3 x 4 243 81 x 4 2 x 3 729 4 x 4 243 Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 4 x 7 243 x 3 162 x 3 2 x 7 729 3 x 4 243 4 x 7 405 x 3 729 3 x 4 243 729 729 729 4 x 3 x 4 405 x 4 243 3 4 x 3 x 2 405 x 2 405 x 4 243 3 4 x x 405 x 4 405 x 2 405 3 4 x 4 243 3 108 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Entonces: f ´´ 4 405 f Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN 0 Como la segunda derivada cambia de signo tanto en x 0 , x puntos de inflexión: 4 405, f 4 405 , 0,0 y 4 405, f 4 4 405 . 405 y x 4 405 entonces existen tres 4 405 En conclusión: x x 4 405 f ´( x) f ´´(x) - - x 4 405 0 4 405 x 3 x 3 3 x 0 x0 0 x3 x3 1 x 4 405 x 4 405 - + 0 + + + + 0 - 0 - - 0 x 4 405 - f ( x) 243 x x 4 243 + f Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba Punto crítico estacionario, Mínimo local Crece y cóncava hacia arriba Punto de inflexión Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba Máx. P.C.E 2.25 P.I 4.49;1.68 P.I 4.49; 1.68 P.I P.C.E Mín. 2.25 109 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 2 Graficar x2 1 f ( x) 2 x 1 SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f R 1, 1 Paso 2. SIMETRÍA: f ( x) x 2 1 x 2 1 ( x) 2 1 x 2 1 f ( x) por tanto f es PAR. Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: x 1 y x 1 (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito x2 x 1 2 lím x lím 2 x x 1 x x 2 2 1 x2 1 1 Por tanto, y 1 es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo. x2 Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay. ¿Por qué? P.C.E: f ´( x) x 1 2 x x 2 1 x 2 1 (2 x) 2 2 x 1 2 x3 2 x 2 x3 2 x 2 2 x2 x 1 4x 2 Por lo tanto tenemos x 0 0 2 P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: f´ f crece 1 crece decrece 0 decrece 1 Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En x 0 0 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 2 2 2 4 x 1 4 x 2 x 1 2 x x 4 f ´´( x) Dx 2 2 2 2 2 x 1 x 1 f ´´ Entonces: f ´´ f 1 x 1 4 x 2 4 16 x 2 2 3 12 x 2 4 x 13 x 13 1 110 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión: x x 1 x 1 1 x 0 x0 f ´( x) f ´´(x) f + + + 0 - - - - + Crece y cóncava hacia arriba Asíntota vertical Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Asíntota vertical Decrece y cóncava hacia arriba 0 x 1 x 1 x 1 y x2 1 x2 1 Máx. Local P.C.E Ejercicios Propuestos 4.10 1. Graficar las siguientes funciones, mostrando: dominio, sim etría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, ex tremos, concav idad, puntos de inflexión: 1. 2. 3. f ( x) x 2 4 x f ( x) 2 5 3 x 2 3 x5 4. 3 f ( x) e x 5. 2 6. f ( x) x 22 x2 3x 5 f x x2 f x 2x2 9 x2 111 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 2. Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condic iones: 3. f ( x) f ( x) lím f ( x) 2 x lím f ( x) x 1 lím f ( x) x1 32 1 , f ' (3) f ' (0) f ' (3 / 2) 0 f 3 0 , f f (2) 1 , f (0) 0 3 f ' ( x) 0 en 0,1 y ,3 2 2 f ' ' (2) 0 Suponga que f '( x) ( x 3)( x 1) 2 x 2 y f (1) 0, f 2 5 , f (3) 5 , esboce una gráfic a para f . 4.10 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo expuesto es posible resolver problemas prácticos de optimización. Se recomiendo seguir los siguientes pasos: 1. Defina la Función Objetivo. Función a maximizar o minimizar. 2. Simplifique la Función Objetivo. 3. Encuentre los Puntos Críticos. 4. Clasifique los Puntos Críticos. Determine los extremos (máximos o mínimos) 5. Encuentre la Función Óptima. De ser solicitada. 112 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 1 Un fabricante puede producir cierto artículo a un costo de $10 cada uno y estima que si se venden a " x " DÓLARES cada uno, los consumidores comprarán 30 x ARTÍCULOS POR DÍA . ¿A qué PRECIO debe el fabricante vender los artículos para MAXIMIZAR la utilidad? SOLUCIÓN: U Ingresos Costos PASO 1: Obtenemos la FUNCIÓN OBJETIVO. En este caso será la utilidad del artículo. x 30 x 10 30 x PASO 2. Simplificamos: U 30 x x 2 300 10 x U x 2 40 x 300 PASO 3. Obtenemos los puntos críti cos: U´ 2x 40 0 x 20 PASO 4. Clasificamos el punto crítico: Empleemos el criterio de la segunda derivada: d 2U 2 0 dx 2 x 20 Esto nos asegura que el fabricante debe vender los artículos a $20 para obtener la máxima utilidad. Ejemplo 2 Un almacén vende bicicletas a US$40 por unidad. A este precio las personas han comprado 50 bicicletas al mes. El propietario desea aumentar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio, se venderán 2 bicicletas menos cada mes. Si cada bicicleta tiene un costo de US$25 para el almacén, ¿A qué precio debería vender las bicicletas para maximizar las utilidades? SOLUCIÓN: PASO 1: Obtenemos la FUNCIÓN OBJETIVO. En este caso será también será la utilidad. Utilidad = Ingresos- costos = (precio venta)(Cantidad) - (costo unitario)( cantidad) Sea x número de incrementos de $1 en el precio de venta Entonces: U 40 1x 50 2 x 25 50 2 x PASO 2. Simplificamos: U 2000 80 x 50 x 2 x 2 1250 50 x U 2 x 2 20 x 750 PASO 3. Obtenemos los puntos críti cos: U ´ 4 x 20 x 20 5 4 PASO 4. Clasificamos el punto crítico: d 2U dx 2 x 20 4 0 Por tanto, el propietario debe hacer 5 incrementos de $1 en precio, es decir debe vender las bicicletas a $45 para obtener la máxima utilidad. 113 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios propuestos 4.11 1. I q 2q 68q 128 . ¿En qué nivel de ventas el ingreso es máximo? Suponga que el ingreso total en dólares de la venta de unidades de cierto artículo es: q 2 2. 3. Un estudio de eficiencia indica que un trabajador que llega a las 8h00 ensamblará 9 Qt t 3 t 2 15t unidades/ hora. ¿En qué momento de la mañana opera con eficiencia 2 máxima. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p 600 2q y la función de costo medio es C C 200 0.2q 28 , donde q es el número de unidades y tanto p como C q q están expresados en dólares por unidad. Determine el nivel de producción para obtener la mayor utilidad posible. 4. Una función de precio p , está definida por p( x) 20 4 x x2 , donde x es el número de 3 unidades vendidas. Determine el valor de x donde el ingreso marginal es máximo. 5. Una librería puede obtener un cierto libro a $3 cada uno. La librería está vendiendo el libro a $20 cada uno y a este precio vende 200 ejemplares por mes. Con objeto de estimular las ventas, la librería está planeando bajar ese precio y estima que por cada dólar de reducción en el precio del libro se venderán 20 libros más al mes. Determine: a) El precio que debe venderse el libro a fin de generar el mayor beneficio para el dueño de la librería. b) La cantidad adicional de libro vendida al nuevo precio. 6. Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de $50 por unidad. El minorista vende las cámaras a un precio de $80 cada una y, a este precio, los consumidores han comprado 40 cámaras al mes. El minorista planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se venderán 10 cámaras más cada mes. ¿A qué precio debería el minorista vender las cámaras para maximizar el rendimiento total? 7. En una página de un libro debe haber 150 cm2 de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 8. Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener una capacidad de 250cm . El material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el centímetro cuadrado y el material de la cara lateral cuesta 2 centavos 3 2 el cm . ¿Qué dimensiones minimizarán el costo total del recipiente? 9. 3 Se desea construir un envase cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad de 2000cm . Para 2 elaborar la base se dispone de un material que cuesta 4 centavos el cm y el material usado para la 2 superficie lateral cuesta 2 centavos el cm . Determine las dimensiones del cilindro que pueda construirse con las especificaciones dadas de tal forma que el costo de fabricación sea mínimo. 10. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, rematado por una bóveda hemisférica, con un volumen total dado. Si la bóveda hemisférica cuesta el doble por pie cuadrado que el muro cilíndrico. ¿Cuáles son las proporciones más económica? 114 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.11 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS. 4.11.1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE) Si f es una función continua en a, b y derivable en a, b entonces, existe al menos un número “ x0 ” en a, b tal que f ´(x0 ) f (b) f (a) ba Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual pendiente. Recta Secante Recta Tangente y f (x) f ( b) - f ( a ) f (b) b- a f (a) a x0 b S ( x) f ( x) g ( x) , donde g es la recta entre los puntos a, f (a) y Demostración: b, f (b) , entonces podemos obtener su ecuación: y y 0 m x x 0 Sea la función y f (a) Es decir: f (b) f (a) x a ba 115 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz y g ( x) f ( a ) f (b) f (a) x a ba f (b) f (a) x a S ( x) f ( x) f (a ) ba Note que también S es continua en a, b y derivable en a, b Reemplazando, resulta: Obtengamos ahora S (a) y S (b) : f (b) f (a) a a 0 S (a) f (a) f (a) ba f (b) f (a) b a 0 S (b) f (b) f (a) ba Por tanto, x0 a, b tal que S´(x 0 ) 0 f (b) f (a) f (b) f (a) y S´(x0 ) f ´(x0 ) S´(x) f ´(x) b a 0 ba f (b) f (a) L.Q.Q.D. Por lo último f ´(x0 ) ba Para lo cual Ejemplo 1 Encuentre el número “ f ( x) x 2 SOLUCIÓN: en 1, 2 . x 0 ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si Observe que f es continua en 1, 2 cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de f ´( x0 ) f (2) f (1) está garantizada y lo podemos encontrar. 2 1 Para lo cual f ´( x0 ) 2 x0 y Igualando y despejando, resulta: 1, 2 se 1,2 tal que y como f ´( x) 2 x por tanto es diferenciable en x0 en f (2) f (1) 4 1 3 1 2 1 3 3 2 x0 1 x0 1 . 2 Geométricamente. 116 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Re Se cta ca nte f ( x) x 2 Re n Ta cta ge nte 0.5 Ejemplo 2 Use el teorema del valor medio para demostrar que: sen b sen a a b S OLUCIÓN: Usemos f ( x) sen x . Note que es una función continua en a, b y derivable en a, b por tanto de acuerdo al teorema de Lagrange, existe un x0 a, b tal que f ´( x0 ) Reemplazando y simplificando cos x0 Por otro lado f (b) f (a) . ba senb sena ba 0 cos x0 1 senb sena 1 ba Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. senb sena 1 ba Entonces 0 senb sena b a Que es lo que se quería demostrar. Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle. 117 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.11.2 TEOREMA DE ROLLE Si f es una función continua en a, b y derivable en a, b y si f (a) f (b) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en a, b tal que f ´(x0 ) 0 Ejercicios Propuestos 4.12 1. 2. 4 2 Sea f ( x) x 2 x . Hallar todos los valores de " x 0 " en el interv alo [-2,2] tales que f ' ( x0 ) 0 La función f ( x) x satisface la hipótesis del teorema del v alor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta. El teorema del valor medio para dos funciones sería: 118 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.11.3 TEOREMA DE CAUCHY Sean f y g funciones continuas en a, b y diferenciables en a, b entonces, existe al menos un número “ x0 ” en a, b tal que: f ´( x0 ) f (b) f (a) g´( x0 ) g (b) g (a) Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones. 4.11.4 TEOREMA DE L’HOPITAL Suponga que lím f ( x) lím g ( x) 0 o también xu xu lím f ( x) lím g ( x) . Si lím f ´( x) existe en xu g´( x ) xu xu sentido finito o infinito; entonces: f ( x) f ´( x) lím lím xu g ( x ) xu g´( x ) Donde u a, a , a ,, Ejemplo 1 Calcular sen x x 0 x lím SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: sen x cos x lím cos 0 1 x 0 x 0 1 x lím 119 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 2 Calcular lím1 x x 0 1 x SOLUCIÓN: Transformando la expresión primero, resulta: lím1 x x 0 1 x lím e ln 1 x 1 x 0 lím e x x 0 ln 1 x x e x 0 lím ln 1 x x Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 ln(1 x) lím lím 1 x 1 x 0 x 0 1 x Por tanto, lím1 x x 0 1 e1 e x Ejemplo 3 x 0 Calcular lím sen x x x3 SOLUCIÓN: sen x x Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: x 0 lím cos x 1 x 3 lím x 0 cos x 1 3x 2 sen x 1 6x 6 Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea x 0 necesario: lím 3x 2 lím x 0 Ejemplo 4 3x 2 5 x 1 x 4 x 2 Calcular lím 2x 3 SOLUCIÓN: Note que aquí tenemos: 6x 5 x 8 x 2 Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: lím 6 x 8 Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: lím Ejemplo 5 3 4 tg x Calcular lím2 x 2 x 1 SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos 1 . Entonces la regla de L´hopital no es aplic able directamente. Transformando la expresión primero, resulta: 120 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz lím2 x tg x 2 x1 lím e x1 ln 2 x tg 2 x ln 2 x tg x ln2 x e x1 co t g 2 x lím e 2 lím x1 Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 ln(2 x) 1 2 2 x lím lím 2 x 1 cot g x x 1 csc x 2 2 2 2 Por tanto, lím2 x tg 2 x e x 1 2 Ejemplo 6 1 1 Calcular lim x 1 x1 ln x SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos . Transformando la expresión primero, resulta: 1 x 1 ln x 1 lim lim x 1 ln x x 1 x 1 ln x x 1 Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 1 x 1 1 0 x 1 ln x x 1 x x lim lim lim lim x 1 ln x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x ln x 1 1 ln x x 1 ln x 1 x x x 1 1 1 Volviendo a aplicar L´hopital: lim lim x 1 x 1 x ln x x 1 1 2 1 ln x x x Ejercicios Propuestos 4.13 Calcular: x 2 3x 10 x 2 4x 4 x 2 sen x 2. lim tg x x0 x 2 1. lim x 0 3. lim 4. lim x 0 sen x tg x e e x x 1 c tg x x 5. lim 1 cos x c tg x x0 cos x 1 6. lim 1 cos x x 0 7. lim x x 1 x sen x 8. lim x x 0 9. lim cos x x 1 x0 10. 11. 12. 13. lim cos 2 x x0 lim 1 x 2 x0 lim x x 0 lim x0 3 x2 1 x 3 4 ln x ln cos 3x 2x 2 14. x lim x0 x 1 15. x0 x lim c tg x sen x 121 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.12 POLINOMIO DE TAYLOR y f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 es decir y f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 . La ecuación de la recta tangente en el punto x0 , f ( x0 ) es En la vecindad de x 0 , y f (x) ; por tanto una buena aproximación para una función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir: f ( x) f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 . Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un polinomio lineal. Para mayor orden tenemos: f ´´(x0 ) f ´´´(x0 ) f n ( x0 ) 2 3 x x0 x x0 ... x x0 n f ( x) f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 n! 2! 3! El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función. NO OLVIDE DEMOSTRARLO. Si x0 0 se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería: f ( x) f (0) f ´(0)x f ´´(0) 2 f ´´´(0) 3 x x ... 2! 3! Ejemplo 1 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) e x , alrededor de x 0 0 y empléelo para calcular e 0.1 . f ( x) f ( x0 ) f ´( x0 ) x x0 f ´´( x0 ) f ´´´( x0 ) f IV ( x0 ) 2 3 4 x x0 x x0 x x0 2! 3! 4! e0 e0 e0 2 3 4 e x e0 e0 x 0 x 0 x 0 x 0 2! 3! 4! 2 3 4 x x x ex 1 x 2 6 24 SOLUCIÓN: Bien, ahora reemplazando x 0.1 resulta: f (0.1) 1 0.1 0.005 0.000166666 0.000004166 f (0.1) 1.105170833 122 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 2 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) e x alrededor de x 0 0 SOLUCIÓN: Se puede emplear el polinomio del ejemplo anterior, sería cuestión de reemplazar x por x , es decir: 1 1 1 e x 1 ( x) ( x ) 2 ( x )3 ( x ) 4 2 3! 4! 1 1 1 e x 1 x x 2 x3 x 4 2 3! 4! Ejemplo 3 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) e x alrededor de x 0 0 2 SOLUCIÓN: Ahora, es cuestión de reemplazar x 2 por x , es decir: 2 1 1 1 e x 1 x 2 ( x 2 ) 2 ( x 2 )3 ( x 2 ) 4 2 3! 4! 2 1 1 1 e x 1 x 2 x 4 x 6 x8 2 3! 4! Ejemplo 4 Hallar el polinomio de Taylor de orden 5 para f ( x) sen x alrededor de x 0 0 f ( x) sen x f ( x) cos x f ( x) sen x Obtenemos primero f ( x) cos x SOLUCIÓN: f IV f V Luego, reemplazando en: ( x) sen x ( x) cos x f ( x) f (0) f (0) x Se obtiene: f ( 0) 0 f (0) 1 f (0) 0 f (0) 1 f IV f V ( 0) 0 ( 0) 1 f (0) 2 f (0) 3 f IV (0) 4 f V (0) 5 x x x x 2 6 4! 5! sen x 0 x 0 1 3 1 x 0 x5 3! 5! 1 1 sen x x x 3 x 5 3! 5! 123 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 5 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) cos x alrededor de x 0 0 SOLUCIÓN: f ( x) cos x f ( x) sen x Obtenemos primero f ( x) cos x f ( x) sen x f IV ( x) cos x Luego, reemplazando en: f ( x) f (0) f (0) x f ( 0) 1 f (0) 0 f (0) 1 f (0) 0 f IV ( 0) 1 f (0) 2 f (0) 3 f IV (0) 4 x x x 2 6 4! (1) 2 0 3 1 4 x x x 2! 3! 4! 1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2 4! 6! Se obtiene: cos x 1 0 x Ejemplo 6 Demuestre la IDE NTIDAD DE E ULER e ix cos x i sen x . SOLUCIÓN: Sea f ( x) e ix . Hallemos el polinomio de Maclaurin correspondiente. Sería cuestión de reemplazar ix por x , en la serie de f ( x) e x es decir: 1 1 1 1 eix 1 (ix) (ix) 2 (ix)3 (ix) 4 (ix)5 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 ix i 2 x 2 i 3 x 3 i 4 x 4 i 5 x 5 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 ix x 2 ix 3 x 4 ix 5 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 x 2 x 4 i x x3 x 5 4! 3! 5! 2 i 1 cos x senx i 3 i 2 i 1i i 2 Recuerde que: i 4 i 2 i 2 1 1 1 Por lo tanto, se concluye que e ix cos x i sen x 124 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios Propuestos 4.14 1. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para: f x e3x ; n=4 a) d) f ( x) f ( x) x 2 e x ; n=4 b) 1 x 2 1 ; n=4 c) f ( x) sen x ; n=3 2. Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de x0 a) b) . 1 ; n=4; x0 1 x f ( x) x ; n=4; x0 4 c) f ( x) ln x ; n=4; x0 1 f ( x) Misceláneos 1) Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, extremos locales y puntos de inflexión a. f ( x) b. f ( x) c. f ( x) d. f ( x) e. x2 x 1 x2 x 1 x 2 x 1 2 2 x 1 2 f ( x) x 8 x h. f ( x) x5 x3 i. f ( x) x j. f ( x) 2 3 x2 8 x2 4x x 4x 3 2 3 f ( x) xe 3 1 2 f. g. f ( x) x3 x 2 5x 5 x 2) Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: f es continua en toda su extensión f (4) 3 , f (0) 0 , f (3) 2 f ´(4) 0 , f ´(3) 0 , f ´(x) 0 para x 4 , f ´(x) 0 para 4 x 3 , f ´(x) 0 para x 3 . f ´´(4) 0 , f ´´(0) 0 , f ´´(x) 0 para x 4 f ´´(x) 0 para 4 x 0 , f ´´(x) 0 para x 0 3) Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: 125 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz lím f ( x) x a lím f ( x) 0 lím f ( x) a b 0 d e x x f (c) f (e) 0 , f (b) 5 , f (0) 3 , f (a) f (d ) 1 f ´´(b) 0 , f ´´(c) no existe, f ´(d ) 0 , f ´´(d ) 0 , x , a c, d f ´(x) 0 , x a, c d , f ´(x) 0 x , a a, b f ´´(x) 0 , x b, c c, f ´´(x) 0 4) Calcular : a) lim senxx x 0 sec2 x 2tgx 1 cos 4 x x 4 b) lim e x cos x 2 2 c) lim x 0 x2 d) lim 2 x tan x x 2 cos x 126