XVIII OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2022 PRIMERA FASE - NIVEL 3 MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS Problema 1. A un alambre de 26 m se le dio 3 cortes, uno después de otro, de manera que la longitud de cada trozo resultante (a partir del segundo trozo) sea igual al del inmediato anterior aumentado en su mitad. ¿Cuántos centímetros mide el trozo de menor tamaño? A) 320 D) 260 B) 32 E) 26 C) 100 Problema 2. ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo cuyo complemento equivale al 10% de suplemento? A) 18 D) 70 B) 60 E) 75 C) 80 Problema 3. Los ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica. Si la medida del ángulo mayor es 27 veces la medida del menor, ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor ángulo? A) 216° D) 240° B) 261° E) 243° C) 234° Problema 4. En la figura, C es una semicircunferencia de diámetro AB. Las circunferencias S, S1 y S2 son tangentes a C y a AB; además S es tangente a S1 y S2 miden cada uno de ellos 2 unidades, halle la medida del radio de S. C S2 S1 D) 4 2 E) 8 C) 4 Problema 5. Andrea va a viajar a Ecuador para lo cual necesita cambiar algunos soles por dólares. En el Banco independencia 1 dólar cuesta 3,26 soles y en el Banco Confianza 1 dólar cuesta 3,28 soles. En el Banco independencia te cobran 15 soles de comisión por cualquier cambio de moneda, y en el Banco Confianza no cobran comisión. Andrea fue el día lunes al Banco Independencia y regresó con 100 dólares; el día martes fue al Banco Confianza y también regreso con 100 solares. ¿Cuántos soles en total gastó Andrea para obtener los 200 dólares? A) 669 D) 684 B) 654 E) 665 C) 677 Problema 6. Si p, q, r son enteros positivos tales que pq = 24 y qr = 20, hallar el menor valor que puede tomar p + q + r A) 45 D) 12 B) 24 E) 20 C) 15 B) 11 E) 3 C) 8 Problema 8. Juan tiene en su maletín tres monedas de 2 soles y muchas monedas de 5 soles, si quiere pagar una cuenta sin recibir vuelto, ¿Cuál de las siguientes cantidades no podría pagar? A) 35 D) 38 B) 36 E) 39 C) 37 Problema 9. Si a y b son números reales diferentes tales que: a2 – 1 =b b2 – 1 =a 3 3 calcula el valor de a + b . A) – 2 D) 1 B) – 1 E) 2 C) 0 Problema 10. Si x es un número entero positivo, ¿Cuál de las siguientes expresiones no puede ser un número entero? D) B A B) 2 2 A) 15 D) 5 x −1 A) S A) 2 Problema 7. Los números naturales N tiene tres dígitos. El digito de las centenas es igual a la suma de los otros dos, y el quíntuplo del dígito de las unidades equivalen a la suma de los dígitos de las centenas y decenas. Al invertir el orden de sus dígitos, el número N queda disminuido en 594. Hallar el resto de dividir N entre 20. x+4 x+2 x2 − 1 B) E) C) x+4 x−2 5 x +1 Problema 11. Sean A; B; C; D y E enteros positivos tales que: A + B = B+ C = C + D = D + E = 3 ¿Cuántos valores puede tomar A + B + C + D + E? A) 1 D) 4 B) 2 E) 5 C) 3 Problema 12. En un colegio hay 5 salones de primer grado y las cantidades de alumnos que hay en cada salón puede ponerse en progresión aritmética. El salón menos numeroso tiene 30 alumnos y en el primer grado hay 170 alumnos en total. Halla la cantidad de alumnos del salón mas numeroso. A) 34 D) 44 B) 38 E) 46 C) 42 Problema 13. Karen y Lucia fueron a comprar útiles escolares para sus hijos. Karen compró 2 lapiceros y 4 cuadernos, mientras que Lucia compró 6 lapiceros y 12 cuadernos. Si Karen pagó 19 soles, ¿Cuánto pago Lucia? A) 37 soles D) 38 soles B) 48 soles E) 76 soles C) 57 soles XVIII OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2022 PRIMERA FASE - NIVEL 3 MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS Problema 14. En una manifestación hay un grupo numeroso de personas que están ocupando una calle que tiene 200 metros de largo y 9 metros de ancho. Determine, aproximadamente, cuantas personas hay en la manifestación si se sabe que en un metro cuadrado hay 4 personas, en promedio. A) 36000 D) 108000 B) 10800 E) 72000 Problema 18. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B, donde M es el punto medio de su hipotenusa. En el segmento AB se ubica un punto P tal que ∢BMP = 90°. Si AP = 7 y PB = 18, determine la mediada de AC. B C) 7200 Problema 15. P En cada uno de los círculos de la siguiente figura se debe escribir un entero positivo de tal forma que si dos círculos están unidos por un segmento entonces estos círculos contienen números diferentes. M A A) 30 D) 14 5 B) 32 E) 706 C C) 35 Problema 19. Una escalera recta apoyada en una planta vertical de coco forma un ángulo de 60° con la horizontal del suelo. La escalera mide 4 metros de largo y se verifica que del extremo superior de la escalera aún faltan 3 metros para llegar al primer fruto de coco. La distancia que hay desde el suelo hasta el punto donde se encuentra el primer coco es: ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de los 8 números escritos? A) 15 D) 18 B) 16 E) 20 C) 17 Problema 16. Se tiene un tablero de 4 x 4 como el mostrado. En cada casilla del tablero se escribe un número entero de tal modo que en cada fila y en cada columna haya al menos dos números iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de números distintos que puede haber en el tablero? A) B) C) D) E) Mayor que 9 metros. Mayor que 8 metros y menor que 9 metros. Mayor que 7 metros y menor que 8 metros. Mayor que 6 metros y menor que 7 metros. Mayor que 5 metros y menor que 6 metros. Problema 20. Desde la parte más alta de la Catedral, cuya altura es de 50 metros, se observa la puerta del Consejo Municipal y la Pileta de la Plaza de Armas, ambos ubicados en un mismo plano horizontal. La Pileta, que está al sur de la catedral, es observada con un ángulo de depresión de 30°, mientras que la puerta del Concejo, que se encuentra al este de la Catedral, es observada con un ángulo de depresión de 60°. Calcula la distancia entre la Puerta del Consejo Municipal y la Pileta. A) 91,3 m D) 97,3 m A) 8 D) 12 B) 10 E) 11 B) 2000 E) 100 C) 90,3 m C) 9 Problema 17. El diámetro mayor de la llanta delantera de un camión mide 100 cm. ¿Cuántas vueltas completara dicha llanta en un recorrido de 6,28 kilómetros? (Considere 𝜋 = 3,14) A) 1000 D) 20 B) 92,3 m E) 95,3 m C) 500 GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
