Subido por sofiamore7793

Representación Análisis multivariado Diego Coloma.

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CÁLCULO DE VOLÚMENES
MEDIANTE INTEGRALES DOBLES
CONDICIONES
NOMBRE: DIEGO COLOMA.
VOLUMEN
Sea f (x, y) ≥ 0 y continua en una
región cerrada R. Sea VQ el
volumen del sólido Q que tiene a R
como base y una altura de medida
f (x, y) en cada (x, y)
R, entonces
∈
Si el sólido Q está limitado, sobre
la región cerrada R, por dos
superficies de ecuaciones z = f (x,
y) y z = g (x, y) con f y g continuas y
f (x, y)− g (x, y) ≥ 0 sobre R,
entonces,
Las integrales dobles son una
forma de integrarse en una región
bidimensional. Entre otras cosas,
nos permiten calcular el volumen
bajo una superficie.
EJEMPLO
Podemos reescribir el último
plano como f(x,y)=z=1−x−y y
pensar que queremos el volumen
entre la superficie del plano
inclinado y la región del plano xy
formada por el siguiente triángulo:
Imagina que queremos calcular el
volumen de la región limitada por
los planos x=0,y=0 y x+y+z=1
A través del gráfico vemos que el
dominio es limitado por los ejes
cartesianos y por la intersección del
plano x+y+z=1 con el plano xy, es
decir, por la recta x+y=1.
Entonces, f(x,y)=1−x−y representa
la “altura” de la región en cada
punto y dA representa el área
sobre dicha altura. Llamando a
esa región plana como D, tenemos
que:
Es decir, el volumen que
queremos es la integral de la
función que representa el plano
inclinado en la región plana que
trazamos anteriormente.
COMO MENCIONAMOS, PARA
DESCUBRIR LA ECUACIÓN DE LA
RECTA INCLINADA HACEMOS LA
INTERSECCIÓN DEL PLANO Z=1−X−Y
CON Z=0, LO QUE NOS DA:
Es decir, el volumen que
queremos es la integral de la
función que representa el
plano inclinado en la región
plana que trazamos
anteriormente.
Escribiendo la región plana como
tipo I, tenemos que y está entre
las rectas y=0 y y=1−x, mientras
que x está entre x=0 y x=1. Por
tanto, 0≤y≤1−x,0≤x≤1. Llevándolo
a la integral:
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