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2014 2015 Ejercicios IE v1

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Ingeniería
Electromagnética
Relación de Ejercicios
Profesor: Enrique Márquez Segura
Curso académico 2014-2015, v 0.2.1415,
Grado en Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación
Contenido
1.
Introducción a la radiofrecuencia y microondas
5
2.
Análisis de circuitos en Ingeniería Electromagnética
7
3.
Medios de transmisión guiados
11
4.
Transformación y adaptación de impedancias con líneas de transmisión
19
5.
Representación de circuitos con múltiples puertos
21
3
Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
1 Introducción a la radiofrecuencia y microondas
Ejercicio 1.1.
Validez de la teoría de circuitos
Considere la tabla que se muestra a continuación donde se muestran las bandas de frecuencias
asignadas a diferentes servicios y sistemas de comunicaciones.
RF
Microondas
Milimétricas
Banda
HF
VHF
UHF
L
S
C
X
Ku
K
Ka
Q
U
V
E
W
F
D
Frecuencia
3 MHZ-30 MHz
30 MHZ-300 MHz
300 MHZ-1 GHz
1 GHZ - 2GHz
2 GHZ - 4 GHz
4 GHZ - 8 GHz
8 GHZ - 12 GHz
12 GHZ - 18 GHz
18 GHZ - 27 GHz
27 GHZ - 40 GHz
30 GHZ - 50GHz
40 GHZ - 60 GHz
50 GHZ - 75 GHz
60 GHZ - 90 GHz
75 GHZ - 110 GHz
90 GHZ - 140 GHz
110 GHZ - 179 GHz
a. Estime las dimensiones máximas de los circuitos para cada una de las bandas de frecuencias
de forma que se puedan considerar despreciables los fenómenos de propagación.
b. Considere una onda plana propagándose en espacio libre a cada una de las bandas de frecuencia
que se muestran en la tabla. Determine la velocidad de fase, la constante de propagación y el
retardo en propagar se la onda una distancia de una longitud de onda.
Ejercicio 1.2.
Propagación en medios
En un cierto medio homogéneo, la velocidad de grupo se ha determinado experimentalmente en un
determinado ancho de banda. Tras procesar los√datos se ha podido establecer que esta velocidad
se puede modelar mediante la expresión vg = Aω donde A es una constante y ω la pulsación.
Asumiendo que se trata de un medio no magnético,
a. Determina la relación entre la fase y la velocidad de grupo
b. Determine una expresión para modelar la permitividad relativa del medio en función de la
frecuencia.
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
2 Análisis de circuitos en Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 2.1.
Resonancia serie
Suponga el circuito de la figura funcionando en régimen permanente sinusoidal con una tensión de
entrada vi (t) de amplitud 12V. Suponiendo que la inductancia es de 12mH y la resistencia de 3 Ω,
a. determine el valor de la capacidad necesaria para que el circuito resuene a la frecuencia de
9kHz.
b. Determine el valor de la amplitud de la corriente máxima en el circuito y la frecuencia a la
que se produce.
c. Determine el valor máximo de la tensión en el inductor.
d. Determine el valor máximo de la tensión en el condensador.
R
L
+
+
vi (t)
C vo (t)
−
Ejercicio 2.2.
−
Bipuerto en T
Determine los parámetros impedancia, Z, del circuito de la figura.
Z1
Z2
P1
Ejercicio 2.3.
Z3
P2
Bipuerto en Pi
Determine los parámetros admitancia, Y, del circuito de la figura.
Z2
P1
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Z1
Z3
P2
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 2.4.
Circuitos equivalentes
a. Demuestre que el circuito mostrado en la figura puede ser un circuito equivalente para un
circuito pasivo caracterizado por sus parámetros Z.
Z11 − Z12
I1
P1
Z22 − Z12
+
+
V1
Z12
I2
V2
−
P2
−
b. Obtenga un circuito empleando elementos concentrados para un bipuerto que presenta una
matriz de parámetros Z con Z11 = Z22 = (30 + j20)Ω y Z21 = Z12 = 30Ω
Ejercicio 2.5.
Conversión de parámetros
Demuestre que si el parámetro C es distinto de cero, los parámetros ABCD de un bipuerto pueden
transformarse en parámetros Z mediante las siguientes relaciones: Z11 = A/C, Z12 = (AD−BC)/C,
Z21 = 1/C, Z22 = D/C.
Ejercicio 2.6.
Conversión de parámetros
a. Determine los parámetros ABCD de los bipuertos de la figura.
Z/2
P1
P2
P1
Z
P2
Z/2
b. A partir de las matrices obtenidas en el apartado anterior, determine la matriz de parámetros
ABCD del siguiente bipuerto.
Z1 /2
Z2
P1
Z1 /2
8
Z3 /2
P2
Z3 /2
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 2.7.
Parámetros admitancia en cascada
Dos bipuertos caracterizados por sus parámetros admitancia se conectan en cascada. Determine la
matriz admitancia resultante de la conexión.
I1
I2
+
V1
−
Ejercicio 2.8.
I3
+
V2
−
[Ya ]
+
V3
−
I4
[Yb ]
+
V4
−
Adaptación de una antena
Una antena diseñada para trabajar a una frecuencia de 500MHz con una impedancia de antena de
75 Ω se conecta a un receptor que presenta una impedancia de salida de 50 Ω. Diseñe un circuito de
adaptación paso alto que permita transferir la máxima potencia al receptor por parte de la antena.
Ejercicio 2.9.
Adaptación de impedancia
Un generador de impedancia interna de 50Ω debe entregar su máxima potencia disponible a una
carga de 25Ω. Determine un circuito de adaptación que permita cumplir con la especificación mencionada anteriormente. Determine el valor de tensión que debería tener el generador para que la
potencia media entregada a la carga sea de 200mW.
Ejercicio 2.10.
Adaptación de impedancias complejas
La impedancia de entrada de un transistor es de 10 Ω en serie con 0.2 µH. Diseñe una red de
adaptación de forma que la impedancia de entrada se transforme en 50Ω a la frecuencia de 20MHz.
Ejercicio 2.11.
Adaptación de impedancias complejas
Un circuito presenta una impedancia de entrada de Zin = 100 + j25,1 Ω. Determine una red de
adaptación para que a la frecuencia de 50 MHz la impedancia de entrada al conjunto sea de 50 Ω.
Ejercicio 2.12.
Pérdidas de inserción
El circuito de la figura muestra un bipuerto caracterizado por sus parámetros admitancia cargado
por una impedancia de carga real RL y excitado por un generador real de resistencia Rg .
Rg
+
Vg
I1
+
V1
−
I2
[Y ]
+
V2
−
Rl
a. Asumiendo que se trata de un bipuerto constituido únicamente por inductores y condensadores, exprese el valor de Rl necesario para que el generador entregue la máxima potencia
disponible a la carga.
b. Determinar las pérdidas de inserción para el valor de Rl calculado en el apartado anterior.
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 2.13.
Adaptación conjugada
a. Determine las frecuencias a las que se produce la transferencia de potencia máxima y mínima.
b. Determine las pérdidas de inserción del bipuerto de la figura a la frecuencia en la que la
transferencia de potencia a la carga es máxima.
Rg = 2Ω
C = 1/4F
+
Vg
Rl = 4Ω
L = 2H
Ejercicio 2.14.
Equivalente de Thèvenin
El circuito de la figura muestra dos bipuertos caracterizados por sus parámetros impedancia conectados en cascada.
A
Rg
+
Vg
[Za ]
[Zb ]
Rl
A0
a. Determine el equivalente de Thèvenin visto hacia la izquierda del plano A-A’.
b. Determine la impedancia vista a la derecha del plano A-A’.
Ejercicio 2.15.
Parámetros a partir de medidas
Para caraterizar un bipuerto se realizaron las siguientes medidas
1. Con el puerto dos en circuito abierto, se aplicó un generador en el puerto uno de V1 = 100]0◦
resultando las medidas I1 = 10]0◦ y V2 = 50]0◦ .
2. Con el puerto uno en circuito abierto, se aplicó un generador en el puerto dos de V2 = 100]0◦
resultando las medidas I2 = 20]0◦ y V1 = 50]0◦ .
A partir de las medidas realizadas:
a. Determine la matriz de parámetros Z del bipuerto bajo prueba.
b. Determine la potencia entregada a un resistor colocado en el puerto dos de 10Ω cuando se
conecta un generador valor Vg = 100]0◦ en el puerto uno.
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
3 Medios de transmisión guiados
Ejercicio 3.1.
Onda estacionaria
Conteste a las siguientes cuestiones:
a. Un generador se conecta a una línea terminada en cortocircuito de longitud una longitud igual
a una longitud de onda. Dibuje el diagrama de onda estacionaria en la línea.
b. Una línea de transmisión en circuito abierto se conecta a una línea que presenta 1.25 longitudes
de onda. Dibuje la variación de la tensión en cada punto de la línea.
c. Una línea de transmisión de 50 Ω se conecta a una carga resistiva de 25 Ω. Determine el
coeficiente de onda estacionaria.
d. Una línea de transmisión cuya impedancia es desconocida, se carga con dos impedancias
resistivas de 75Ω y 300Ω respectivamente. En el primero de los casos se obtine a partir de
medidas un coeficiente de onda estacionaria de 1.5, en el segundo dse los casos la medida
resultante es de 2.67. Determine la impedancia característica de la línea bajo prueba.
Ejercicio 3.2.
Transferencia de potencia
Un generador con una potencia disponible de 50mW se conecta a una línea de 50Ω. La impedancia
característica de la línea es igual a la impedancia interna del generador. En el otro extremo la línea
de transmisión se conecta a una carga que resulta en un coeficiente de onda estacionaria en la línea
de 0.5. Determine la potencia disipada en la carga.
Ejercicio 3.3.
Potencia y atenuación
Según una determinada norma, la potencia máxima entregada a una antena ha de ser de 100W
para garantizar el cumplimiento de la misma. La antena se conecta a un transmisor con impedancia
interna igual a la impedancia de la línea que a su vez viene el mismo valor que la resistencia de
radiación de la antena. El cable empleado tiene una longitud de 50m y pérdidas de 5dB/100m.
Determine la potencia máxima disponible del transmisor para cumplir con la normativa.
Ejercicio 3.4.
Línea de transmisión cargada
Considere una línea de transmisión que caracterizada por los siguientes parámetros primario:
(a) Resistencia por unidad de longitud: Ru = 1,722 × 104 Ω/m
(b) Capacidad por unidad de longitud: Cu = 1,320 × 10−10 F/m
(c) Inductancia por unidad de longitud: Lu = 5,884 × 10−7 H/m
Determinar a la frecuencia de 10 GHz:
a. La impedancia característica de la línea
b. La constante de propagación de la línea
c. La velocidad de fase de la línea
d. El retardo que se origina en una línea de 2 km de longitud.
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 3.5.
Línea de transmisión cargada
En una línea de transmisión sin pérdidas que se encuentra trabajando en régimen permanente
sinusoidal, de impedancia característica Zo = 50Ω y terminada por una impedancia de carga de
150 + j20Ω, determine para la frecuencia de trabajo de 2 GHz:
a. El coeficiente de reflexión en la carga.
b. El módulo de las ondas de tensión y de corriente en cada punto de la línea.
c. La impedancia vista a 50 cm de la carga.
d. El coeficiente de onda estacionaria y su relación con los valores máximos y mínimos de impedancia que presenta la línea.
ZL = 150 + j20Ω
Zo = 50Ω
l
l=d
Ejercicio 3.6.
l=0
Transformador en λ/4
Suponga dos líneas de transmisión con impedancias características Zo1 y Zo2 . Si ambas líneas se
conectan entre sí aparecerá una onda reflejada en la unión entre ambas si no poseen la misma
impedancia característica. Demostrar que:
a. si se inserta
entre las dos líneas de transmisión una tercera de impedancia característica
√
Zo3 = Zo1 · Zo2 y longitud λ/4 la onda reflejada desaparece y toda la potencia es transmitida
a una carga adaptada con la que se termina la línea de impedancia Zo2 .
b. si las impedancias de las líneas Zo1 y Zo2 son idénticas, Zo1 = Zo2 , y la línea insertada es de
longitud λ/2 no existirán reflexiones.
c. la magnitud del coeficiente de reflexión es proporcional a la longitud eléctrica de la línea
intermedia si esta es muy corta y se cumple Zo1 = Zo2 .
Zo1
Zo3
Zo2
ZL
l
Ejercicio 3.7.
Potencia en la carga
Represente la tensión, la corriente y la potencia en función del tiempo en el extremo de una línea
de transmisión en los siguientes casos, deduciendo de las figuras la dependencia del valor medio de
la potencia con el nivel de desadaptación de la línea:
a. La línea de transmisión esta terminada con una carga de valor igual a su impedancia característica.
b. La línea de transmisión se encuentra terminada en una carga imaginaria pura.
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
c. La línea de transmisión se encuentra terminada en una carga que da lugar a un coeficiente de
π
reflexión de valor ρL = 0,4ej 4 .

 a) ZL = Z0
b) ZL = jXL
π

c) ZL = ρL = 0,4ej 4
Zo = 50Ω
l
l=d
Ejercicio 3.8.
l=0
Potencia en la carga y onda estacionaria
Considere una línea de transmisión sin pérdidas en la que existe una onda estacionaria pura (|ρL =
1|), calcular, en función de los parámetros circuitales:
a. Valores instantáneos de la tensión y la corriente en la línea.
b. Valores instantáneos y medios de la potencia transmitida.
c. Valores instantáneos y medios de la energía eléctrica y magnética almacenada entre un nodo
y un vientre sucesivos.
ρL = eφ
Zo
l
l=d
Ejercicio 3.9.
l=0
Circuito equivalente de la línea de transmisión
Demostrar mediante la utilización del circuito equivalente de una línea deptransmisión sin pérdidas
que la impedancia de entrada de una línea infinitamente larga vale Zo = Lu /Cu .
Lu
Cu
Ejercicio 3.10.
Lu
Cu
Lu
Cu
Incidencia sobre una discontinuidad
Una línea de transmisión sin pérdidas e impedancia característica Zo = 75 se bifurca en dos de igual
impedancia característica Zo tal y como se muestra en la figura. La onda de tensión que viaja que
viaja a lo largo de ella con V + = 3V incide sobre la discontinuidad generada en la bifurcación.
a. Obtener las tensiones de la onda de tensión transmitida en cada una de las líneas de la
bifurcación, así como las tensiones de las ondas de tensión reflejadas.
b. Calcular la potencia transmitida en cada una de las líneas bifurcadas .
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Zo
Zo
Zo
Ejercicio 3.11.
Línea de transmisión con generador y carga
Un generador de impedancia interna Zg alimenta una línea de transmisión de impedancia característica Zo cargada por una impedancia de carga ZL .
a. Determinar la relación existente entre la tensión del generador y la tensión de la onda incidente
en la línea.
b. Obtener la relación entre la potencia disponible del generador y la potencia transmitida por
la onda incidente en los siguientes casos
1. El coeficiente de reflexión en la carga es nulo.
2. El generador está adaptado a la línea de transmisión.
Zg
Vg
+
z=0
Ejercicio 3.12.
ZL
Z0
z=l
Línea de transmisión con generador y carga
Una posible avería en una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica Zo = 50Ω
puede modelarse como una resistencia de valor R = 150Ω entre los dos conductores de la línea de
transmisión. En uno de los extremos la línea de transmisión tiene conectado un generador adaptado
a ella y potencia disponible 500 mW. El el extremo final de la línea esta se encuentra adaptada.
a. Determinar los valores de las tensiones en las ondas incidentes y reflejas antes y después de la
avería.
b. Calcular la potencia disipada por la resistencia que modela la avería.
c. Obtener la relación porcentual de la potencia entregada a la carga, antes y después de la
avería.
1. El coeficiente de reflexión en la carga es nulo.
2. El generador está adaptado a la línea de transmisión.
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Zg
Vg
+
Z0
R
z = lR z = l
z=0
Ejercicio 3.13.
ZL
Z0
Línea de transmisión con pérdidas
Una línea de transmisión bifilar se ha construido con hilos de radio 500 µm y una resistencia por
unidad de longitud de 0.03 Ω/m. La separación entre los conductores es de 3 cm y la conductancia
de aislamiento es de 10−7 (Ω · m)−1 . Se pretende transmitir una señal con una frecuencia de 100
MHz.
a. Determinar si se trata de una línea de bajas pérdidas.
b. Calcular la distancia de la línea a la cual el valor de la amplitud de la onda de tensión decrece
un 5 % de su valor. Determinar el retardo temporal que se obtiene a esa distancia
c. Determinar el retardo temporal que se produce en la línea con la longitud estimada en el
apartado anterior.
Considere los parámetros de la línea bifilar dados por las siguientes expresiones:
D
µ0
π0
ln
L=
H/m C = D
π
ro
ln ro H/m
Ejercicio 3.14.
Línea de transmisión con bajas pérdidas
Se dispone de una línea de transmisión de bajas pérdidas caracterizada por sus parámetros R, L,
C, G por unidad de longitud. Determinar la potencia media disipada en R y G para una línea de
longitud λ/4 cortocircuitada en su extremo final.
Ejercicio 3.15.
Transformación de impedancias
El circuito de la figura se emplea para transmitir una señal de frecuencia 1GHz.Suponiendo que se
trata de una línea de transmisión sin pérdidas:
a. Determine la potencia entregada a la carga.
b. Calcule la longitud del tramo de línea de impedancia Zo1 = 75Ω que se debería de introducir
para que la potencia entregada a la carga fuera máxima.
√
Datos: Zg = 50Ω, Z01 = 50Ω, Z02 = 50 2Ω, Z03 = 100Ω, ZL = 100Ω, l = λ/8.
Zg
Vg
Zo1
Zo2
Zo3
ZL
l
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 3.16.
Impedancia de entrada y armónicos
Un generador de reloj se conecta a una línea de transmisión de dieléctrico aire como se muestra en
la figura. A la frecuencia del primer armónico de la señal de reloj lña longitud de la línea es λ/4.
a. Determine la impedancia de entrada a la línea a la frecuencia del primer armónico.
b. Determine la impedancia de entrada a la línea a la frecuencia del segundo armónico.
√
Datos: Zg = 50Ω, Z01 = 50Ω, Z02 = 50 2Ω, Z03 = 100Ω, ZL = 100Ω, l = λ/8.
Zg = Ro
Vg
ZL = 9Ro
Zo = Ro
l
Ejercicio 3.17.
Resonador
El circuito de la figura muestra dos líneas de transmisión sin pérdidas de igual longitud conectadas
en paralelo y terminadas una de ellas en circuito abierto y la otra en cortocircuito. Determinar las
frecuencias de resonancia que aparecen en el circuito.
l
Ejercicio 3.18.
l
Resonancia serie
Una línea de transmisión terminada en circuito abierto y de longitud un cuarto de longitud de onda
se comporta como una resonancia serie en torno a la frecuencia de resonancia. Deducir la relación
entre la impedancia característica de la línea y los valores de un circuito RLC serie.
Ejercicio 3.19.
Guía rectangular. Frecuencias de corte
Se dispone de una guía rectangular con lados formados por paredes metálicas de aluminio y dimensiones a = 2cm y b = 1cm rellena con dieléctrico de permitividad 6.
a. Determine las frecuencias de corte de los cinco primeros modos que aparecerían en la estructura.
b. Determine la atenuación (dB/100m) para el modo fundamental a 1,5fc .
Ejercicio 3.20.
Guía rectangular. Frecuencias de corte
Una guia de onda rectangular con dimensiones a = 2,5cm y b = a/2, opera en un sistema de
comunicaciones a 14 GHz. Calcule todos los modos y las correspondientes frecuencias de corte en
orden ascendente.
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 3.21.
Guía rectangular. Dimensiones
Determine las dimensiones de una guía rectangular rellena con dieléctrico aire que permite trabajar
en régimen monomodo en el rango de frecuencias de 9 a 14 GHz.
Ejercicio 3.22.
Guía rectangular rellena con dieléctrico
a. Determine el rango de frecuencia de funcionamiento donde una guía rectangular de dimensiones a = 2,286cm y b = 1,016cm puede operar en régimen monomodo.
b. A continuación esa misma guía se rellena con un dieléctrico con el objetivo de disminuir las
frecuencias de funcionamiento en un 70 % de sus valores originales. Determine la permitividad
relativa del dieléctrico necesario.
Ejercicio 3.23.
Guía rectangular. Frecuencias de corte
El alimentador de un reflector parabólico se realiza mediante una bocina excitada por una guía
cuadrada de la do a.
a. Determine la frecuencia de corte de los cuatro primeros modos de la guía.
b. Se pretende trabajar a una frecuencia de 18 GHz. Determine el valor del lado de la guía para
que funcione justo a la frecuencia central de funcionamiento del primer modo.
Ejercicio 3.24.
Guía rectangular, múltiples modos
Para una guía rectangular con dimensiones a = 2,286cm y b = 1,016cm, determine las constantes de
propagación γmn para el modo TE10 cuando la guía de onda opera a la frecuencia de f = 0,9 · fc10
y f = 1,1 · fc10
Ejercicio 3.25.
(Septiembre 2013)
Considere el circuito de la figura donde las líneas de transmisión se pueden considerar sin pérdidas.
Sabiendo que en la línea de transmisión conectada al generador el coeficiente de onda estacionaria
es la unidad a la frecuencia en la cual la longitud de onda en la línea es λ = 100 cm, determine el
valor de la impedancia Zl .
60cm
Z0
Z0
+
Vg
Z0 = 300Ω
Z0
Zl
25cm
Ejercicio 3.26.
(Febrero 2014)
Una línea de transmisión donde se propaga un modo TEM, con dieléctrico de relleno aire e impedancia característica Z0 = 50Ω, se encuentra funcionando a una frecuencia de 2 GHz. La línea de
transmisión se encuentra conectada a una impedancia de carga ZL Esta impedancia se consigue
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
adaptar a la línea de transmisión mediante un tramo de línea de transmisión de longitud l = 2, 2cm
terminada en circuito abierto y conectada en paralelo a una distancia d = 0, 66cm de la carga.
Determine el valor de la impedancia de carga ZL .
l
Z0
Z0
+
Vg
Z0
ZL
Z0
d
Ejercicio 3.27.
Septiembre 2014
Una guía de onda rellena de aire, con relación de aspecto b=1.8a, se ha empleado para funcionar
en régimen monomodo entre 7.5 y 13.5GHz. Para poder bajar la frecuencia de funcionamiento se
procede a rellenar con dieléctrico distinto del aire. Determine el valor de la permitividad relativa
del dieléctrico necesario para funcionar en régimen monomodo en el rango de frecuencias entre 4.75
y 8.5 GHz.
Ejercicio 3.28.
(Septiembre 2013)
Dos guías rectangulares idénticas con una relación entre su altura y anchura dada por a = 2b y con
dieléctricos de relleno diferentes se conectan una a continuación de la otra como se muestra en la
figura. La primera de las guías esta rellena de aire, mientras que la segunda de un dieléctrico con
0
permitividad relativa r .
0
a. Determine el máximo valor permitido para r de forma que puedan propagarse el modo fundamental en ambas guías al mismo tiempo.
b. Determine una expresión para el ancho de banda de frecuencias de funcionamiento monomodo
en ambas guías en función de los parámetros geométricos y materiales.
r = 1
r
0
r
b
a
Ejercicio 3.29.
(Febrero 2014)
Se pretende construir una guía de ondas rectangular rellena con dieléctrico aire de dimensiones a×b,
b < a < 2 · b, para operar a la frecuencia de 10GHz con su modo dominante. Como especificaciones
se considera que debe operar al menos un 20 % por encima de su frecuencia de corte y al menos un
20 % por debajo de la frecuencia de corte del primer modo superior.
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
a. Determine un posible valor de las dimensiones a y b para cumplir las condiciones establecidas.
b. Explique el porqué de la necesidad de los margenes en frecuencia establecidos para el funcionamiento de la guía de ondas rectangular.
r = 1
b
a
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
4 Transformación y adaptación de impedancias
con líneas de transmisión
Ejercicio 4.1.
Cálculos con la carta de Smith
Para este ejercicio debe emplear la carta de Smith.
a. Considerando una impedancia de referencia de 50 Ω, determine el coeficiente de reflexión de
las siguientes impedancias y su coeficiente de onda estacionaria.
1. ZA = 50 − j50Ω
2. ZB = −j75Ω
3. ZC = j25Ω
4. ZD = 150Ω
b. Considerando una impedancia de referencia de 50 Ω, determine el coeficiente de reflexión de
las siguientes admitancias
1. YA = 0,3 + j0,5f
2. YB = 0,1 − j0,25f
3. YC = j0,05f
4. YD = 0,015f
Ejercicio 4.2.
Cálculos con la carta de Smith
Una línea de transmisión de 50Ω y longitud 0.4 λ se encuentra terminada con una admitancia de
0,01 − j0,04f. Haciendo uso de la carta de Smith determine:
a. La impedancia de entrada
b. La admitancia de entrada
c. El coeficiente de reflexión de entrada
Ejercicio 4.3.
Cálculos con la carta de Smith
Una impedancia de carga de valor ZL = 150 − j150Ω se conecta a una línea de transmisión de
longitud 2 cm e impedancia característica Z0 = 75Ω. La citada línea presenta una longitud de onda
de 6 cm, determine:
a. La impedancia de entrada
b. la frecuencia de operación si la velocidad de fase es 0.77 veces la velocidad de la luz
c. El coeficiente de onda estacionaria
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 4.4.
Cálculos con la carta de Smith
Una línea de transmisión de 50 Ω se usa para realizar un "stub"de adaptación cortocircuitándola
a su salida. Empleando la carta de Smith determine la mínima longitud necesaria en longitudes de
onda para obtener las siguientes reactancias de entrada:
a. Zin = j25Ω
b. Zin = j50Ω
c. Zin = j150Ω
d. Zin = −j50Ω
Ejercicio 4.5.
Cálculos con la carta de Smith
Una impedancia de carga de valor desconocido se conecta a una línea de transmisión sin pérdidas de
longitud 0,4λ y 50Ω de impedancia característica. El coeficiente de onda estacionaria medido es de 2
y la fase del coeficeinte de reflexión 20deg. empleando la carta de Smith determine las impedancias
de entrada y de carga.
Ejercicio 4.6.
Adaptación con un stub
Una determinada impedancia de carga de valor 100 + j75Ω se desea conectar a un sistema con
impedancia de referencia de 50Ω. Determine las longitudes de un tramo de línea de transmisión y
una línea de transmisión de conectada en paralelo para conseguir adaptar la carga.
Ejercicio 4.7.
Adaptación de carga compleja con transformador en lambda/4
Una determinada impedancia de carga de valor 25 − j75Ω se desea conectar a un sistema con
impedancia de referencia de 50Ω. Determine la longitude de un tramo de línea de transmisión y de
la impedancia de una línea en de longitud λ/4 para conseguir adaptar la carga.
Ejercicio 4.8.
Adaptación de carga resistiva
Adapte una impedancia de carga de 200Ω a un generador real de impedancia 100Ω mediante los
siguientes procedimientos.
a. elementos concentrados.
b. Una línea de transmisión y un stub en serie.
c. Un transformador de línea de transmisión de longitud λ/4
Ejercicio 4.9.
Adaptación de carga con elementos concentrados
Adapte las siguientes impedancias a un generador de 50Ω empleando elementos concentrados y
haciendo uso de la carta de Smith.
a. ZL = 10 − j5Ω
b. ZL = 10 + j30Ω
c. ZL = 100 + j50Ω
d. ZL = 20 − j40Ω
22
2014/2015
Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 4.10.
Septiembre 2014
En la posición P de una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica Z0 = 100Ω
◦
se mide el coeficiente de reflexión ρ = 1/2ej90 . A la derecha de P hay una sección 3λ/4 en cuyo
extremo una impedancia ZL cierra la línea. Utilizando únicamente la carta de Smith determine el
valor de ZL y del coeficiente de onda estacionaria S.
P
Z0
2014/2015
ZL
23
Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
24
2014/2015
Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
5 Representación de circuitos con múltiples puertos
Ejercicio 5.1.
Propiedades de la matriz de parámetros S
El circuito de la figura presenta la siguiente matriz de parámetros S:
[S] =
0,2 j0,9
j0,9 0,2
[S]
P1
P2
a. Determine si se trata de un dispositivo recíproco y sin pérdidas.
b. Determine el coeficiente de reflexión que se obtendría en el puerto 1 si se cortocircuita el
dispositivo en el puerto 2.
Ejercicio 5.2.
Cálculo de parámetros S de bipuertos
Calcule la matriz de parámetros S de los bipuertos de la figura. Considere la impedancia en los
puertos Z0
Z1
P1
Z1
P2
(a)
Ejercicio 5.3.
Z2
P1
P2
Z2
P1
(b)
P2
(c)
Cálculo de parámetros S de línea con discontinuidad
Calcule la matriz de prámetros S del bipuerto de la figura. Considere la impedancia en los puertos
Z0 .
Zx
P1
2014/2015
Z0 jβ
Z0 jβ
λ/8
λ/8
P2
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 5.4.
Cálculo de parámetros T de bipuertos
Calcule la matriz de parámetros T de los bipuertos de la figura. Considere la impedancia en los
puertos Z0 .
Z1
P1
Z1
P2
Z2
P1
(a)
Ejercicio 5.5.
P2
Z2
P1
(b)
P2
(c)
Cálculo de tensiones
Un bipuerto caracterizado por sus parámetros S se conecta a una carga ZL como se muestra en la
figura.
Zg
+
Vg
[S]
Zl
a. Determine V2 si ZL = Z0 .
b. Determine V2 si ZL 6= Z0 .
Ejercicio 5.6.
Parámetros S de bipuertos en cascada
Considere dos bipuertos conectados en cascada como se muestra en la figura.
[S (a) ]
[S (b) ]
a. Demuestre el parámetro S11 resultante viene dado por:
(a) (a) (b)
(a)
S11 = S11 +
S21 S12 S11
(a) (b)
1 − S22 S11
b. Demuestre el parámetro S21 resultante viene dado por:
(a) (b)
S21 =
26
S21 S21
(a) (b)
1 − S22 S11
2014/2015
Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 5.7.
Ganancias de potencia
Demuestre que las expresiones para las diferentes definiciones de potencias en un bipuerto caracterizado por sus parámetros S y excitado por un generador y terminado por una impedancia de carga
son correctas.
Zg
+
Vg
[S]
Pavs Pin
Zl
Pavout
PL
a. Ganancia de potencia
G=
1
PL
1 − |ρL |2
=
|S21 |2
2
Pin
1 − |ρin |
|1 − S22 ρL |2
b. Ganancia disponible
Gav =
Pavout
1 − |ρs |2
1
=
|S21 |2
2
Pavs
|1 − S11 ρs |
1 − |ρo ut|2
c. Ganancia de transducción
GT =
Ejercicio 5.8.
2
PL
1 − |ρs |2
2 1 − |ρL |
=
|S
|
21
Pavs
|1 − S11 ρs |2
|1 − ρout ρL |2
(Septiembre 2013)
Considere el bipuerto de la figura:
P1
Z
P2
a. Determine la matriz de parámetros S del bipuerto si Z = j15Ω y la impedancia de referencia
en los puertos es de Z0 = 50Ω.
El bipuerto del apartado anterior se carga con una impedancia Zl tal y como se muestra en la figura:
Zg
+
Vg
[S]
Zl
Zg = 50Ω
Vg = 10V
b. Determine el coeficiente de reflexión a la entrada del bipuerto cuando éste está cargado por
la impedancia de carga de valor Zl = 50 + j10Ω.
c. Determine la potencia media disipada en la carga.
2014/2015
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Ejercicios de Ingeniería Electromagnética
Ejercicio 5.9.
(Febrero 2014)
Considere el circuito de la figura donde se representa el circuito equivalente de un dispositivo activo
a la frecuencia de 100 MHz. Datos: Z0 = 50Ω, g = 3f, Ri = 100Ω.
P1
+
v
g·v
Ri
P2
−
a. Determine la matriz de parámetros S del bipuerto considerando Z0 como impedancia de referencia.
El bipuerto es conectado a un generador de impedancia interna Z0 en el puerto 1 y a una impedancia
de carga de valor Z0 en el puerto 2.
Z0
+
v
+
Vg
g·v
Ri
Z0
−
b. Determine la potencia entregada a la impedancia de carga en función de la potencia disponible
del generador.
Con el fin de adaptar el generador a la entrada del dispositivo, se introduce un bipuerto M como
se muestra en la figura:
Z0
+
Vg
[M ]
+
v
Ri
g·v
Z0
−
c. Determine la potencia disipada en la carga en esta nueva condición de adaptación a la entrada
del dispositivo. Describa, si lo hubiera, el beneficio de introducir el Circuito de adaptación M
a la entrada.
d. Diseñe el bipuerto M con elementos reactivos puros.
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2014/2015
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