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2023
MATEMÁTICA BÁSICA (Universidad de Lima)
)
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UNIVERSIDAD DE LIMA
PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES
ASIGNATURA: MATEMÁTICA BÁSICA
CICLO: 2023-2
TIEMPO: 90 minutos
EXAMEN 2
CÓDIGO
APELLIDOS Y NOMBRES
SECCIÓN
INDICACIONES:
- El procedimiento, el orden, la claridad de las respuestas y el uso apropiado de la notación
matemática serán considerados como criterios de calificación.
- Escriba con lapicero de tinta azul o negra. La prueba desarrollada con lápiz no será calificada.
- La prueba consta de seis preguntas, cuyo puntaje está indicado en cada una de ellas.
- Se permite el uso de calculadora científica básica no programable.
Con la finalidad de evitar la anulación de la prueba tenga en cuenta que no se permite:
- Utilizar material de consulta (apuntes de clase, fotocopias o materiales similares).
- Usar teléfonos celulares, así como cualquier otro medio o dispositivo electrónico de
comunicación.
- Conversar durante el desarrollo de la prueba.
- Desglosar o arrancar alguna hoja del cuadernillo de respuestas.
1. (4P) Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones:
a) (2P)
b) (2P)
5−𝑥2
3x
≤ 2𝑥 − 4
x−9
(𝑥+5)(𝑥−3)
≥1
2. (2P) Sobre un camino recto de extremos 𝐴(1; 2) y 𝐵, se debe colocar una señal
41
informativa ubicada en el punto 𝑃 (6; 8 ), de tal forma que
coordenadas del punto 𝐵.
)
̅𝐴̅𝑃̅
5
̅𝐴̅𝐵̅= 8. Determine las
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3. (3P) Un contenedor que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular recto tiene
como dimensiones 4m de largo, 3m de ancho y 2m de altura. Si se construye un nuevo
contenedor en el que las tres dimensiones originales se incrementan en la misma
cantidad x, de tal manera que la capacidad del nuevo contenedor es igual a cinco veces
la capacidad del original, ¿cuáles son las dimensiones del nuevo contenedor?
(No usar método de tanteo).
4. (4P) Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique
brevemente su respuesta.
a) (1P) Dada la inecuación: (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) < 0, se afirma que el número real ( 𝜋 − 1)
pertenece a su conjunto solución.
b) (1P) Si 𝑧 = 4 − 3𝑖 𝑦 𝑤 = −5 − 2𝑖, entonces 3𝑧−𝑤
̅ = 7 − 11𝑖.
c) (1P) Los extremos de un segmento AB son A(1; 2) y B(4;8) . Si M (x ; y) es un punto
AM
2
, entonces 𝑥 = 1.
del segmento AB tal que
MB
)
3
𝑀
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SOLUCIÓN EXAMEN PARCIAL
1. (4P) Determine el conjunto solución de:
|5−𝑥|
a) (2P)
2
≤ 2𝑥 − 4
−4𝑥 + 8 ≤ 𝑥 − 5 ≤ 4𝑥 − 8
−4𝑥 + 8 ≤ 𝑥 − 5
𝖠 𝑥 − 5 ≤ 4𝑥 − 8
13
𝑥≥
𝖠 𝑥≥1
5
13
∴ 𝐶. 𝑆. = [
; +∞⟩
5
b) (2P)
𝑥−9
(𝑥+5)(𝑥−3)
𝑥−9
≥1
−1 ≥ 0
(𝑥+5)(𝑥−3)
(𝑥−9)−(𝑥+5)(𝑥−3)
(𝑥+5)(𝑥−3)
(𝑥+3)(𝑥−2)
(𝑥+5)(𝑥−3)
(0,5 c/paso)
≤
≥
(0,5 c/paso)
0
∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−5; −3] 𝖴 [2; 3⟩
0
2. (2P) Sobre un camino recto de extremos 𝐴(1; 2) y 𝐵, se debe colocar una señal
̅𝐴̅𝑃̅
41
5
informativa ubicada en el punto 𝑃 (6; 8 ), de tal forma que ̅𝐴̅𝐵̅= 8. Determine las
coordenadas del punto 𝐵.
Si 𝐵(𝑥; 𝑦), entonces:
̅𝐴̅𝑃̅
5
5
= 8 = 𝑥−1
̅𝐵
𝐴̅
5
41
−2
8
=8=
𝑦−2
̅𝐴̅𝑃̅
̅𝐴̅𝐵̅
𝑥=9
𝑦=7
(0,5 c/u)
(0,5 c/u)
Luego el punto 𝐵(9; 7)
3. (4P) En un triángulo rectángulo ABC recto en A, los extremos de la hipotenusa son
los puntos 𝐵(4; 7) y 𝐶(5; 2), y la ecuación de la recta que contiene al cateto 𝐴𝐶 es
𝐿: 2𝑥 + 3𝑦 − 16 = 0.
a) (1,5P) Halle la ecuación de la recta L1 que pasa por el punto B y es paralela al
lado 𝐴𝐶. Preséntela en la forma pendiente ordenada en el origen.
2
2
2
29
m
m
L : ( y 7)
(x 4)
L :y
x
(0,5 c/u)
AC
1
1
1
3
3
3
3
b) (1,5P) Obtenga la ecuación de la recta que contiene al cateto AB . Preséntela en
la forma general.
3
3
mAB
LAB : ( y 7) (x 4)
LAB : 3x 2y 2 0
(0,5 c/u)
2
2
)
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c) (1P) Calcule la longitud de la altura relativa al lado AC.
|(4)(2)+(7)(3)−16|
𝑑(𝐵; 𝐿𝐴𝐶 ) =
√13
(0,5 c/u)
𝑑(𝐵; 𝐿𝐴𝐶) = √13𝑢.
4. (3P) El centro de una circunferencia está en el eje Y. Si la circunferencia pasa por los
puntos 𝐴(−2; 6) y 𝐵(3; 1), determine:
a) (2P) La longitud del radio.
𝑄(0; 𝑌)
(0,5 c/paso)
𝑑(𝐴; 𝐶) = 𝑑(𝐵; 𝐶) = 𝑟
√(−2 − 0)2 + (6 − 𝑘)2 = √(3 − 0)2 + (1 − 𝑘)2
𝑘=3
𝑟 = √(3 − 0)2 + (1 − 3)2
; 𝑟 = √13𝑢
b) (1P) La ecuación general de la circunferencia.
𝑥2 + (𝑦 − 3)2 = 13
(0,5 c/u)
2
2
𝑥 + 𝑦 − 6𝑦 − 4 = 0
5. (3P) Un contenedor que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular recto tiene
como dimensiones 4m de largo, 3m de ancho y 2m de altura. Si se construye un nuevo
contenedor en el que las tres dimensiones originales se incrementan en la misma
cantidad x de tal manera que la capacidad del nuevo contenedor es igual a cinco veces
la capacidad del original. ¿Cuáles son las dimensiones del nuevo contenedor?
(4 + 𝑥)(3 + 𝑥)(2 + 𝑥) = 5(4)(3)(2)
𝑥3 + 9𝑥2 + 26x – 96 = 0
(1P)
(0,5P)
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 11x + 48) = 0
𝑥1 = 2; 𝑥2, y 𝑥3 = 𝑟aices imaginarias, ∆= −71 (se descartan)
(1P)
Nuevas Dimensiones: LARGO:6m, ANCHO:5m, Y ALTURA:4m.
(0,5P)
6. (4P) Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique
brevemente su respuesta.
a) (1P) Si 𝐴 = ((⟨−2; 5⟩ − {3}) ∩ ⟨−1; 4]) ∩ ℕ, entonces 𝐴 = {0; 1; 2; 3; 4}. FALSO
(⟨−1; 4] − {3}) ∩ ℕ = {0; 1; 2; 4}
(1 o 0 P)
b) (1P) Dada la inecuación: (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) < 0, se afirma que el número real ( 𝜋 − 1)
pertenece a su conjunto solución.
VERDADERO
(𝜋 − 1 ) ∈ ⟨−2; 3⟩
(1 o 0 P)
c) (1P) Si 𝑧 = 4 − 3𝑖 𝑦 𝑤 = −5 − 2𝑖, entonces 3𝑧 − 𝑤
̅ = 7 − 11𝑖.
FALSO
El resultado correcto es 17 11i .
(1 o 0 P)
d) (1P)Si
las
rectas
dadas
𝐿1: 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 y 𝐿2: 𝑎𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0 son
perpendiculares entre sí, entonces el valor de 𝑎 = −3.
VERDADERO
𝑎
𝑚1 = 2 𝑦 𝑚2 =
6
𝑎
(2). ( ) = −1
(0,5 P)
6
𝑎 = −3
)
(0,5 P)
