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Estática – Taller 1
Geraldine Sierra, Julián Álvarez
julian.alvarez134@cide.edu.co
anyely.sierra054@cide.edu.co
Estudiante #1: 1021393054
Estudiante #2: 1027151134
Resumen — En este documento se realizan ejercicios suma y resta de
vectores analizando las figuras con métodos de coordenadas
bidimensionales y tridimensionales para así hallar las incógnitas.
Palabras Claves — Pitágoras, vector, fuerzas, magnitud, ángulo.
I.
INTRODUCCIÓN
En este documento se encuentra la solución del taller 1
correspondiente a la materia de estática, en donde se plantean
ecuaciones de sumatoria de fuerzas para cada eje en 2D o 3D, se
utiliza la representación de las fuerzas como vector por medio de
los vectores unitarios, además se recurre a las funciones
trigonométricas para hallar los ángulos de las fuerzas obtenidas
por planteamiento de ecuaciones o por la implementación del
teorema de Pitágoras. Para este tomaremos los siguientes valores:
A: penúltimo digito del documento de identidad del
estudiante 1.
B: ultimo dígito del documento de identidad del
estudiante 1.
Y: penúltimo digito del documento de identidad del
estudiante 2.
Z: ultimo digito del documento de identidad del
estudiante 2.
A:5
B:4
Y:3
Z:4
II.
1.
INVESTIGACIÓN
Vectores:
A. Concepto: se llama vector a un segmento de recta en el
espacio, orientados dentro de un plano bidimensional o
tridimensional, que parte de un punto hacia otro, es
decir, que tiene dirección, sentido y magnitud. Los
vectores en física tienen por función expresar las
llamadas magnitudes vectoriales. El término vector
proviene del latín vector, vectoris, cuyo significado es
‘el que conduce’, o ‘el que transporta’.
Por otro lado, un vector es una entidad geométrica que
representa una magnitud física con dirección, sentido y
magnitud. Los vectores se utilizan para describir
movimientos, fuerzas y campos, entre otros conceptos.
En términos más técnicos, un vector es un elemento
de un espacio vectorial, que es un conjunto de
elementos que cumplen ciertas propiedades, como
la existencia de una operación de suma y de
multiplicación por escalares. Los vectores se
pueden representar gráficamente mediante una
flecha que indica la dirección y la magnitud, o bien
mediante una tupla de números que indican sus
componentes en un sistema de coordenadas.
B. Propiedades:
• Magnitud: Es el tamaño o la longitud del
vector, y se mide en unidades físicas como
metros, kilómetros, Newtons, etc.
• Dirección: Es la línea recta a lo largo de la cual
se mueve el vector, y se puede especificar
utilizando un ángulo con respecto a una línea
de referencia, o utilizando coordenadas
cartesianas.
• Sentido: Es la dirección en la cual el vector se
mueve, y se puede especificar utilizando un
signo positivo o negativo, o utilizando una
flecha en el extremo del vector.
• Punto de aplicación: Es el punto en el espacio
donde se aplica el vector, y se puede
especificar
utilizando
coordenadas
cartesianas.
• Representación gráfica: Los vectores se
pueden representar gráficamente mediante
una flecha que indica su magnitud, dirección
y sentido.
• Operaciones vectoriales: Los vectores se
pueden sumar, restar, multiplicar por escalares
y calcular el producto punto y el producto
cruz.
• Componentes: Los vectores se pueden
descomponer en sus componentes en una base
vectorial, que es un conjunto de vectores
linealmente independientes que forman una
base para el espacio vectorial como lo serán el
eje X y Y.
C. Tratamiento:
Al sumar dos vectores se obtiene un vector resultante.
Para obtenerlo es necesario recurrir a lo que se conoce
como “regla del paralelogramo”. Esta consta de
construir un paralelogramo que tenga los vectores como
lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el
vector suma.
Figura. 1. Sumatoria de vectores
Figura 3. Ejercicio 2.
III.
V.
EJERCICIO 1
Determine la magnitud y ángulos de la fuerza F3, tal que la
fuerza resultante sea nula para el escenario de la figura 2.
EJERCICIO 3
La masa A es de Ln(2 + Y) slugs. Determine la Fuerza
normal que ejerce la superficie sobre la esfera A y la masa del
bloque B que permitan el equilibrio del sistema.
Figura 4. Ejercicio 3.
Figura 2. Ejercicio 1.
IV.
EJERCICIO 2
Calcula la tensión en cada cable si la caja tiene una masa de
(B2+ 2*B + 3) slug y el sistema se encuentra estático.
VI.
EJERCICIO 4
En primer lugar, defina:
𝐵𝑌
𝐻 = ⌈1 +
⌉
9
𝐴𝑍
𝑅 = ⌈2 + ⌉
7
Para la gráfica a continuación, halle la magnitud de P y θ
para que el sistema equivalente de la siguiente figura sea una
fuerza 𝑹 = (𝐻 + 𝑅) 𝑖̂ − (𝐻 − 𝑅)𝑗̂ [𝑘𝑁]
𝑓1𝑦 = 0
𝑓1𝑧 = 0
Teniendo ya el Angulo y la hipotenusa podemos calcular
la f3 en z aplicando la función trigonométrica, en este caso
seno de 30 grados es igual a la f2z sobre 350
(𝑓2)𝑧
sin 30°
350
Para despejar la variable se multiplican los 350lb por el
seno de 30 grados
(𝑓2)𝑧 = 350 ∙ sin 30°
(𝑓2)𝑧 = 175𝑖𝑏
ya teniendo el resultado se analiza si la componente es
negativa o positiva, en este caso es negativa
Figura 5. Ejercicio 4.
VII.
EJERCICIO 5
Determine la magnitud de la resultante de las fuerzas y la
dirección de la misma, contada en sentido horario desde la vertical.
Figura 6. Ejercicio 5.
VIII.
Figura 7. DCL ejercicio 1
𝑓1𝑥 = −140
SOLUCIÓN EJERCICIO 1
(𝑓2)𝑧 = −175𝑙𝑏
Se aplica la función coseno de 30° que es igual a mi fuerza
prima sobre 350 lb
𝑓𝑖
cos 30° =
350𝑙𝑏
(𝑓𝑖 ) = 350. cos 30°
(𝑓𝑖 ) = 304,5
Aplico la función seno 40° para hallar f2 en x
(𝑓2)𝑥
sin 40° =
304.5
(𝑓2)𝑥 = 304.5 ∙ sin 40°
(𝑓2)𝑥 = 194.88𝑙𝑏
Aplico la función coseno en 40° para hallar f2 en y
(𝑓2)𝑦
cos 40° =
304.5
(𝑓2)𝑦 = 304.5 ∙ cos 40°
(𝑓2)𝑦 = 233.25𝑙𝑏
Para calcular mi fuerza 3 , restando FR, F1, F2
(𝑓3)𝑥𝑖 + (𝑓3)𝑦𝑗 + (𝑓3)𝑧𝑘
= (0𝑖 + 𝑜𝑗 + 𝑜𝑘) − (−140𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘)
− (194.88𝑖 + 233.25𝑗 − 175𝑘)
Despejamos los paréntesis respetando la ley de signos
(𝐹3)𝑥𝑖 + (𝑓3)𝑦𝑖 + (𝑓3)𝑧𝑖
= 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 + 140𝑖 − 0𝑗 − 0𝑘
− 194.88𝑖 − 233.25𝑗 + 175𝑘
Se suma o se resta cada valor correspondiente
(𝑓3)𝑥𝑖(𝑓3)𝑦𝑗(𝑓3)𝑧𝑘
= (0 + 140 − 194.88)𝑖(0 − 0
− 233.25)𝑗(0 − 0 + 175)𝑘
(𝑓3) = −54.88𝑖 − 233.25𝑗 + 170𝑘
(𝑓3)𝑥 = −54.88𝑖
(𝑓3)𝑦 = −233.25𝑗
(𝑓3)𝑧 = 175𝑘
Se hace el cálculo de la magnitud sumando la raíz
cuadrada de cada componente elevado al cuadrado
𝑓3 = √−54.882 − 233.252 + 1752
𝑓3 = √3011.81 + 54405.56 + 30625
𝑓3 = √88042.37
𝑓3 = 296.72𝑙𝑏
Para calcular los ángulos directores de la F3 sacamos arcoseno
de 𝛼, 𝛽, 𝛾
−54.88
cos 𝛼 𝑓3 =
296.72
cos 𝛼𝑓3 = − 0.18
𝛼𝑓3 = 100.37°
−233.25
296.72
cos 𝛽𝑓3 = −0.79
𝛽𝑓3 = 142.19°
175
cos 𝛾 𝑓3 =
296.72
cos 𝛾 𝑓3 = 0.59
𝛾𝑓3 = 53.84°
cos 𝛽𝑓3 =
𝐶𝐴 = 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑢𝐶𝐴 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐴 ∗
𝐶𝐴
𝑟⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐴
𝑟𝐶𝐴
𝑟⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐴 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑟𝐶𝐴 = 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑
(2𝑖̂ + 0𝑗̂ + 0𝑘̂) − (0𝑖̂ + 6𝑗̂ + 0𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐴 ∗
[𝑓𝑡]
𝐶𝐴
𝑟𝐶𝐴
(2𝑖̂ − 6𝑗̂ + 0𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐴 ∗
[𝑓𝑡]
𝐶𝐴
√(2)2 + (−6)2 + (0)2
(2𝑖̂ − 6𝑗̂ + 0𝑘̂)[𝑓𝑡]
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐴 ∗
𝐶𝐴
6,324 𝑓𝑡
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴 ∗ (0,316𝑖̂ − 0,949𝑗̂ + 0𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = (0,316 𝐶𝐴 𝑖̂ − 0,949 𝐶𝐴 𝑗̂ + 0𝑘̂)
𝐶𝐴
(−2𝑖̂ + 0𝑗̂ + 0𝑘̂ ) − (0𝑖̂ + 6𝑗̂ + 0𝑘̂)
[𝑓𝑡]
𝑟𝐶𝐵
(−2𝑖̂ − 6𝑗̂ + 0𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐵 ∗
[𝑓𝑡]
𝐶𝐵
√(−2)2 + (−6)2 + (0)2
(−2𝑖̂ − 6𝑗̂ + 0𝑘̂ )[𝑓𝑡]
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐵 = 𝐶𝐵 ∗
6,324 𝑓𝑡
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐵 = 𝐶𝐵 ∗ (−0,316𝑖̂ − 0,949𝑗̂ + 0𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐵 = (−0,316 𝐶𝐵 𝑖̂ − 0,949 𝐶𝐵 𝑗̂ + 0𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐵 ∗
𝐶𝐵
IX.
SOLUCIÓN EJERCICIO 2
Se reemplaza en la formula las variables con sus
valores preestablecidos para hallar la masa y el peso de
la caja
𝑚 = (𝐵2 + 2 ∗ 𝐵 + 3)𝑠𝑙𝑢𝑔
2
(
𝑚 = 4 + 2 ∗ 4 + 3)𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑚 = 27 𝑠𝑙𝑢𝑔
32,17
𝐹 = 27 𝑠𝑙𝑢𝑔 ∗ (
)
1 𝑠𝑙𝑢𝑔
𝐹 = 868,7 𝑙𝑏
Se definen las coordenadas cartesianas para cada vector
(0𝑖̂ + 12𝑗̂ + 8𝑘̂ ) − (0𝑖̂ + 6𝑗̂ + 0𝑘̂)
[𝑓𝑡]
𝑟𝐶𝐷
(0𝑖̂ + 6𝑗̂ + 8𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐷 ∗
[𝑓𝑡]
𝐶𝐷
√(0)2 + (6)2 + (8)2
(0𝑖̂ + 6𝑗̂ + 8𝑘̂)[𝑓𝑡]
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 ∗
10 𝑓𝑡
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 ∗ (0𝑖̂ + 0,6𝑗̂ + 0,8𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐷 = (0𝑖̂ − 0,6 𝐶𝐷 𝑗̂ + 0,8 𝐶𝐷 𝑘̂)
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐷 ∗
𝐶𝐷
𝐹⃑ = (0𝑖̂ + 0𝑗̂ − 8,68,7𝑘̂)[𝑙𝑏]
Al tener un sistema con fuerza resultante nula la sumatoria de
fuerzas en su eje se iguala con 0
∑ =0
Figura 8. Diagrama de fuerzas ejercicio 2.
𝐴⃑ = 2𝑖̂ + 0𝑗̂ + 0𝑘̂ [𝑓𝑡]
⃑⃑ = −2𝑖̂ + 0𝑗̂ + 0𝑘̂ [𝑓𝑡]
𝐵
𝐶⃑ = 0𝑖̂ + 6𝑗̂ + 0𝑘̂ [𝑓𝑡]
⃑⃑ = 0𝑖̂ + 12𝑗̂ + 8𝑘̂ [𝑓𝑡]
𝐷
Expresar cada fuerza en forma de vector
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝐴 ∗ 𝑢
𝐶𝐴
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐴
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝐶𝐴 = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝐹𝑥
0,316 𝐶𝐴 − 0,316 𝐶𝐵 = 0
0,316 𝐶𝐵
𝐶𝐴 =
0,316
𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 (1)
∑ =0
𝐹𝑦
−0,949 𝐶𝐴 − 0,949 𝐶𝐵 + 0,6 𝐶𝐷 = 0
Aplicamos (1) y se remplaza CA por CB
−0,949 𝐶𝐵 − 0,949 𝐶𝐵 + 0,6 𝐶𝐷 = 0
−1,898 𝐶𝐵 + 0,6 𝐶𝐷 = 0
1,898 𝐶𝐵
𝐶𝐷 =
0,6
𝐶𝐷 = 3,163 𝐶𝐵 (2)
∑ =0
0,8 𝐶𝐷 − 868,7 𝑙𝑏 𝑘̂ = 0
868,7 𝑙𝑏
𝐶𝐷 =
0,8
𝐶𝐷 = 1085,9 𝑙𝑏
Despejamos CB en (2)
𝐶𝐷
𝐶𝐵 =
3,163
1085,9 𝑙𝑏
𝐶𝐵 =
3,163
𝐶𝐵 = 343,31 𝑙𝑏
Despejamos CA en (1)
𝐶𝐴 = 343,31 𝑙𝑏
X.
𝐹𝑧
SOLUCIÓN EJERCICIO 3
tan 𝜃 |𝑥 = 0.4𝑚
𝑓(𝑥 ) = 2,5𝑥 2
𝑑𝑦
|𝑥 = 0.4𝑚
𝑑𝑥
5𝑥|𝑥 = 0.4𝑚
5𝑥 ∗ 0,4 = 2
tan 𝜃 = 2
θ = tan−1 2
𝜃 = 63,4°
𝑇𝐴𝐵 = 𝑊𝐵
Se realiza sumatoria de fuerzas para cada eje
∑ =0
𝐹𝑥
𝑚𝐵 𝑔 cos 60° − 𝑁 sin 63,4° = 0
𝑚𝐵 𝑔 cos 60°
𝑁=
sin 63,4°
𝑚
𝑚𝐵 (9,81 2 ) cos 60°
𝑠
𝑁=
sin 63,4°
𝑁 = 5,484 𝑚𝐵 (2)
∑ =0
𝐹𝑦
𝑚𝐵 𝑔 sin 60° +𝑁 cos 63,4° − 𝑊𝐴 = 0
(3)
Introducimos (2) en (3)
𝑚𝐵 𝑔 sin 60° +5,484 𝑚𝐵 cos 63,4° − 𝑊𝐴 = 0
𝑚
𝑚𝐵 (9,81 2 ) sin 60° +5,484 𝑚𝐵 cos 63,4° − 230,5 = 0
𝑠
10,948𝑚𝐵 = 230,5
230,5
𝑚𝐵 =
10,948
𝑚𝐵 = 21,05𝑘𝑔
Despejamos (1)
𝑁 = 5,484 ∗ 21,05𝑘𝑔
𝑁 = 115,44 𝑁
Figura 9. DCL ejercicio 3.
Se reemplaza en la formula las variables con sus
valores preestablecidos para hallar la masa y el peso de
la esfera.
𝑚𝐴 = ln(2 + 𝑌)𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑚𝐴 = ln(2 + 3)𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑚𝐴 = ln(5)𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑚𝐴 = 1,61𝑠𝑙𝑢𝑔
14,594𝑘𝑔
𝑚𝐴 = 1,61𝑠𝑙𝑢𝑔 (
)
1𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑚𝐴 = 23,496 𝑘𝑔
𝑚
𝑊𝐴 = 23,496 𝑘𝑔 (9,81 2 )
𝑠
𝑊𝐴 = 230,5 𝑁 (1)
Se aplica la razón de cambio para el ángulo 𝜃
XI.
SOLUCIÓN EJERCICIO 4
Primeramente, se definen las siguientes
variables
𝐵𝑌
𝐻 = ⌈1 +
⌉
9
43
𝐻 = ⌈1 + ⌉
9
𝐻 = ⌈5,77⌉
𝐻=6
𝐴𝑍
𝑅 = ⌈2 + ⌉
7
54
𝑅 = ⌈2 + ⌉
7
𝑅 = ⌈9,71⌉
𝑅 = 10
Figura 11. Triangulo de fuerzas ejercicio 4.
Figura 10. Diagrama de fuerzas ejercicio 4.
Hallamos el valor del vector resultante
𝑹 = (𝐻 + 𝑅) 𝑖̂ − (𝐻 − 𝑅)𝑗̂ [𝑘𝑁]
𝑹 = (6 + 10) 𝑖̂ − (6 − 10)𝑗̂ [𝑘𝑁]
𝑹 = (16) 𝑖̂ − (−4)𝑗̂ [𝑘𝑁]
𝑹 = 16 𝑖̂ + 4𝑗̂ [𝑘𝑁]
𝑅 = √(16)2 + (4)2 [𝑘𝑁]
𝑅 = 16,5 [𝑘𝑁]
𝑃𝑦
𝑃𝑥
−30,64
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
26
−30,64
𝜃 = tan−1 (
)
26
𝜃 = −49,7°
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑷 = 40,18[𝑘𝑁]
XII.
49°
SOLUCIÓN EJERCICIO 5
Se plantean las fórmulas para la sumatoria de los vectores
𝐹1 + 𝐹2 + 𝑃 = 𝑹
𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 + 𝑃𝑥 = 𝑹𝒙
𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 + 𝑃𝑦 = 𝑹𝒚
Se aplican dichas fórmulas para la sumatoria de fuerzas
∑ =0
𝐹𝑥
−30 + 40 cos 60° + 𝑃𝑥 = 16
𝑃𝑥 = 16 + 30 − 40 cos 60°
𝑃𝑥 = 26 𝑘𝑁
∑ =0
𝐹𝑦
40 sin 60° + 𝑃𝑦 = 4
𝑃𝑦 = 4 − 40 sin 60°
𝑃𝑦 = −30,64 𝑘𝑁
𝑃 = √(26)2 + (−30,64)2 [𝑘𝑁]
𝑃 = 40,18[𝑘𝑁]
Se halla el ángulo de la fuerza P
Figura 12. Diagrama de fuerzas ejercicio 5.
Se realizan las sumatorias de fuerzas
𝐹𝑅𝑋 = Σ𝐹𝑋
4
𝐹1 + 𝐹2 cos 4 5° + 𝐹3 ( )
5
4
900 + 750 cos 4 5° + 650 ( ) {𝑁}
5
𝐹𝑅𝑋 = 1950,33 𝑁 = 1,95 𝐾𝑁
3
𝐹2 sin 45° − 𝐹3 ( )
5
𝐹𝑅𝑌 = Σ𝐹𝑌
3
750 sin 45° − 650 ( ) {𝑁}
5
𝐹𝑅𝑌 = 140,33 𝑁
Se recurre a Pitágoras para conocer la magnitud de la fuerza
resultante
𝐹𝑅 = √(𝐹𝑅𝑋 )2 + (𝐹𝑅𝑌 )2
𝐹𝑅 = √(1950,33)2 + (140,33)2 {𝑁}
𝐹𝑅 = 1955,37 𝑁 = 1,955𝐾𝑁
Por último, se plantea la formula tangente para hallar el ángulo
de la fuerza con respecto al eje vertical en sentido horario
Figura 13. Triangulo de fuerzas ejercicio 5.
𝐹𝑅𝑋
𝐹𝑅𝑌
1950,33
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
140,33
1950,33
−1
𝜃 = tan (
)
140,33
𝜃 = 85,9°
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
85,9°
𝐹𝑅 = 1,955 𝐾𝑁
𝐹𝑅 = (1,955 𝐾𝑁 î + 140,33𝑁𝑗̂ )
XIII.
1.
2.
3.
CONCLUSIONES
Mediante Pitágoras se logra encontrar la
magnitud de un vector conociendo sus
coordenadas.
Si contamos con un vector definido y se
conocen las coordenadas de los demás es
posible utilizar el planteamiento de vectores
unitarios para hallar su magnitud, dirección y
sentido.
El correcto uso de las funciones
trigonométricas da paso a solucionar
ecuaciones con operaciones entre vectores.
REFERENCIAS
[1]"Vectores: qué son, características, tipos".
Ferrovial. https://www.ferrovial.com/es/stem/vectores/.
[2]"Vector". Significados. https://www.significados.com/vector/.
[3]Toda Materia. "Vectores: qué son y operaciones con
explicaciones". Toda
Materia. https://www.todamateria.com/vectores/.
[4]"Suma de vectores".
Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/suma-devectores.html#:~:text=La%20suma%20de%20vectores%20es,cumple
%20con%20la%20propiedad%20conmutativa.
[5] R. C. Hibbeler, Engineering mechanics: statics,
14th ed. USA: Pearson learning, 2016.
