Lógica Matemática Lógica Proposicional Material elaborado por: Lic. Sabino Acosta Delvalle Adaptado por: Lic. María del Carmen Rolón Campus Universitario San Lorenzo, Paraguay Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Índice 1. 2. Lógica proposicional .........................................................................................................................3 1.1. Proposiciones ...........................................................................................................................3 1.2. Proposiciones atómicas y moleculares ....................................................................................4 1.3. Otras definiciones ....................................................................................................................4 1.4. Términos de enlace ..................................................................................................................5 Conectivos lógicos y proposiciones compuestas .............................................................................5 2.1. 3. 4. Simbolización de proposiciones ...............................................................................................5 2.1.1. La conjunción (y) ..........................................................................................................6 2.1.2. La disyunción (disjunción) (o) .......................................................................................6 2.1.3. Negación (no) ...............................................................................................................7 2.1.4. Proposición condicional ...............................................................................................8 2.1.5. Proposición bicondicional ............................................................................................8 Inferencia lógica ............................................................................................................................ 10 3.1. Reglas de inferencia .............................................................................................................. 11 3.2. Deducción proposicional ....................................................................................................... 20 Tabla de certeza ............................................................................................................................ 30 4.1. Valor de certeza de una proposición molecular ................................................................... 30 4.2. Tautología, contingencia y contradicción. Implicaciones asociadas. .................................... 33 4.3. Conclusiones no válidas. ....................................................................................................... 36 4.4. Implicación tautológica y equivalencia tautológica. Condicional asociado a una regla de inferencia........................................................................................................................................... 37 5. Demostración condicional (CP) ..................................................................................................... 38 6. Demostración Indirecta (RAA)....................................................................................................... 39 Bibliografía ............................................................................................................................................ 41 www.virtual.facen.una.py 2 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia 1. Lógica proposicional Como menciona Espinosa (2006), la lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. 1.1. Proposiciones Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica por qué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula o mayúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo: p: La tierra es plana. q: r: s: El club Cerro Porteño será campeón en la presente temporada de Fútbol. t: Hola. ¿Cómo estás? w: Lava el coche por favor. Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. El inciso r también es una proposición válida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables e en determinado momento. La proposición del inciso s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los www.virtual.facen.una.py 3 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. 1.2. Proposiciones atómicas y moleculares Para empezar a analizar la Lógica Matemática, debemos considerar y analizar el significado de las proposiciones en la lengua castellana. Según Suppes y Hill (1992), cada proposición tiene una forma lógica a la que se le dará un nombre. Se consideran y simbolizan dos clases de proposiciones en Lógica; unas se denominan proposiciones atómicas y otras proposiciones moleculares. Las atómicas, son las proposiciones de forma más simple (o más básicas). Si se juntan una o varias proposiciones atómicas con un término de enlace, se tiene una proposición molecular. Más específicamente, podemos decir que una proposición atómica es una proposición completa sin términos de enlace. Se utilizan términos de enlace para formar proposiciones moleculares a partir de proposiciones atómicas. Para comprender estos conceptos, veamos algunos ejemplos: Consideremos dos proposiciones atómicas, Hoy es sábado. No hay clase. Ambas proposiciones son atómicas. Mediante un término de enlace se pueden unir y se tendrá una proposición molecular. Por ejemplo, podemos decir: Hoy es sábado y no hay clase Esta proposición molecular se ha construido con dos proposiciones atómicas y el término de enlace “y”. 1.3. Otras definiciones Según Fumero (2007), proposición atómica es el enunciado mínimo que podemos expresar y mediante algún criterio decir que es verdad o falso. Esto lo podemos relacionar con el concepto de átomo que es definido como elemento material de los cuerpos, que se considera indivisible por su pequeñez. Son ejemplos de proposiciones atómicas: p : Una década tiene diez años www.virtual.facen.una.py 4 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia q : Hay un premio Nobel de ciencias de la computación r : La Tierra es plana Se denominan Proposiciones moleculares o fórmulas, a las que se obtienen combinando proposiciones atómicas, mediante ciertas partículas, llamadas conectivas o términos de enlace. De esta forma podemos obtener proposiciones moleculares combinando las proposiciones atómicas “( ) y ( )” anteriores: Por ejemplo: (Una década tiene diez años) y (la Tierra es plana) Como las proposiciones atómicas usadas las habíamos representado con las letras respectivamente. 1.4. y Términos de enlace Las palabras de enlace, por cortas que sean, no deben subestimarse, pues son de gran importancia. Gran parte de nuestro estudio de la lógica se centrará en la manera de cómo se han de utilizar estos términos de enlace. En nuestro ejemplo “Una década tiene diez años y La Tierra es plana” el término de enlace es “y”. La función de los términos de enlace hace alusión a su nombre, forman proposiciones moleculares a partir de proposiciones atómicas. 2. Conectivos lógicos y proposiciones compuestas 2.1. Simbolización de proposiciones En general, las proposiciones atómicas son cortas, pero existen proposiciones del lenguaje corriente que son largas, que resultan pesadas y de difícil comprensión. En Lógica, afrontamos este problema sustituyendo por símbolos las proposiciones completas. Los símbolos que usaremos, de modo convencional, para representar proposiciones son letras mayúsculas tales como: “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, etc. Por ejemplo, si nombramos: “Está lloviendo” “Hace frío” www.virtual.facen.una.py 5 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Si a partir de estas proposiciones, consideramos “Está lloviendo y hace frío”. La forma lógica de la proposición usando paréntesis, es: (Está lloviendo) y (Hace frío) Utilizando “ ” y “ ” queda simbolizada la proposición de la siguiente manera; ( )y( ) Los términos de enlace son conocidos también como conectores u operadores lógicas, estos nos permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son: la conjunción, disyunciones, la negación, el condicional y la bicondicional. 2.1.1. La conjunción (y) Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: {^, o un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica: Ejemplo: Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería” Sean: : El coche enciende. : Tiene gasolina el tanque. : Tiene corriente la batería. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: 2.1.2. La disyunción (disjunción) (o) Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: { , +}. Se conoce como la suma lógica. www.virtual.facen.una.py 6 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Ejemplo: Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Si llamamos: : Entra al cine. : Compra su boleto. : Obtiene un pase. Con esto, la representación del ejemplo anterior es: 2.1.3. Negación (no) Según Suppes y Hill (1992), la palabra “no”, en castellano, se encuentra muy frecuente dentro de las proposiciones atómicas. Por este motivo es fácil olvidarlo. Pero una proposición tal como: Hoy no es domingo es una proposición molecular puesto que contiene el conector “no”. Es posible escribir este término de enlace utilizando la frase “no ocurre que”. La proposición anterior se leería entonces: No ocurre que hoy es domingo Su función es negar una proposición. Esto significa que si alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador “no” se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: { 1, , }. Ejemplo: La negación de “está lloviendo en este momento” es, “no está lloviendo en este momento”. Si llamamos : Está lloviendo en este momento. A partir de esta proposición atómica tenemos la proposición molecular, : No está lloviendo en este momento. Otros ejemplos de este término de enlace son: No ocurre que ( ) www.virtual.facen.una.py 7 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia No ( ) No Ejemplos: Negar las siguientes proposiciones. 1. Diana es modista. 2. 12 es un número par. 3. estas dos rectas son paralelas. Solución 1. Diana no es modista. 2. No es cierto que 12 sea un número par, también podría ser, 12 es un número impar. 3. Estas rectas no son paralelas; otra posibilidad es, estas rectas son concurrentes. 2.1.4. Proposición condicional Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) y . La cual se indica de la siguiente manera: Se lee “Si entonces ” Ejemplo: Un candidato dice: “Si salgo electo presidente de la República, recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Sean: : Salió electo Presidente de la República. : Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. De tal manera que el enunciado se puede expresar de la siguiente manera: 2.1.5. Proposición bicondicional Sean P y Q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera: Se lee “ si sólo si ” www.virtual.facen.una.py 8 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Ejemplo: “Es buen estudiante si y solo si tiene promedio de cinco” Donde: P: Es buen estudiante. Q: Tiene promedio de cinco. En símbolo tenemos, A partir de este momento, ya estamos en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos, veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1: “El agua está fría y el calentador está descompuesto”, se representa por , donde: : El agua está fría. : El calentador está descompuesto. Ejemplo 2: Dada la siguiente afirmación del lenguaje natural: “Si voy a clase y entiendo la lección, entonces o estudio y apruebo o me voy al cine”, formalizarla en el lenguaje proposicional es: : Voy a clase : Entiendo la lección : Estudio : Apruebo : Voy al cine La simbolización completa es: ( ) (( ) ) www.virtual.facen.una.py 9 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Ejemplo 3: Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y solo si soy desorganizado” Podemos hacer: : Pago la luz. : Me cortarán la corriente eléctrica. : Me quedaré sin dinero. : Pediré prestado. : Pagar la deuda. : Soy desorganizado. Con estas asignaciones, tenemos: ( ) [ ( ) [( ) 3. Inferencia lógica Como se menciona en Suppes y Hill (1992), ya hemos aprendido a dividir las proposiciones en sus partes lógicas y de este modo se ha llegado a conocer algo de la forma de las proposiciones. La idea de forma se puede ilustrar por ejemplo con es la misma, en cuanto a la lógica se refiere, cualesquiera sean las proposiciones en castellano que sustituyan a la y a la . Los términos de enlace determinan la forma de la proposición. Conocidas las formas de las proposiciones y teniendo los instrumentos de simbolización a nuestro alcance, podemos dirigirnos ya hacia una parte importante de la Lógica formal: inferencia y deducción. Las reglas de inferencias que rigen el uso de los términos de enlace son muy simples. Se pueden aprender estas reglas y su uso como las reglas de un juego, donde se utilizan las proposiciones o fórmulas lógicas, nombre que se dará a las proposiciones simbolizadas. Se empieza con conjuntos de fórmulas que se denominan premisas. El objeto del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan a otras fórmulas que se denominan conclusiones. El paso lógico de las premisas a la conclusión es una deducción. La conclusión que se obtiene se dice que es una consecuencia lógica de las premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusión está permitido por una regla. www.virtual.facen.una.py 10 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia La idea de inferencia se puede expresar de la manera siguiente: de premisas verdaderas se obtienen sólo conclusiones que son verdaderas. Es decir, si las premisas son verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente, han de ser verdaderas. 3.1. Reglas de inferencia Modus Ponendo Ponens (PP): Es la regla que permite demostrar y a partir de las premisas Ejemplos: a) Dadas las siguientes premisas: Premisa 1: Si él está en el partido de fútbol, entonces él está en el estadio. Premisa 2: Él está en el partido de fútbol. En símbolos sería: Premisa 1: Premisa 2: y por la regla del Modus Ponendo Ponens se concluye , es decir, “Él está en es estadio”. b) Utilizando el Modus Ponendo Ponens sacar una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes. Escribir la abreviatura de la regla utilizada. (1) (2) (3) c) Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) www.virtual.facen.una.py 11 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia d) Simbolizar cada una de las proposiciones de los conjuntos siguientes y demostrar que la conclusión (la proposición que empieza por “Por tanto...”) es consecuencias lógica. a. Si 2 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 1. Si 3 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 0. 2 es mayor que 1. Por tanto, 3 es mayor que 0. Al simbolizar tenemos: Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) b. Si entonces Si entonces Por tanto, . Observación: Cuando se usan símbolos matemáticos no es necesario utilizar letras mayúsculas para simbolizar la proposición atómica, pues se utilizarán los símbolos matemáticos como lógicos. www.virtual.facen.una.py 12 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Entonces, las premisas se pueden escribir: Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) En cada uno de los ejemplos, la regla Modus Ponendo Ponens permite pasar de dos premisas a la conclusión. Decir que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas, es decir, que siempre que las premisas son ciertas, la conclusión es también cierta. Recordemos que la regla se aplica a la forma de las proposiciones, o sea, que siempre que se dé una proposición condicional y se dé precisamente el antecedente de aquella condicional, se sigue precisamente el consecuente. La misma regla se aplica tanto si el antecedente es una proposición atómica como si es una proposición molecular. Doble Negación (DN): La regla de doble negación es una regla simple que permite pasar de una premisa única a la conclusión. Un ejemplo simple es el de una negación de negación, que brevemente se denomina “doble negación”. Ejemplos: a) No ocurre que Ana no es un estudiante. Se concluye, Ana es un estudiante. Premisa 1: Conclusión: b) Juan toma el autobús para ir a la escuela. Se concluye, No ocurre que Juan no toma el autobús para ir a la escuela. Premisa 1: Conclusión: www.virtual.facen.una.py 13 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Así la regla de doble negación tiene dos formas simbólicas. c) Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) Observación: Uso inadecuado de la doble negación Es frecuente en la vida diaria utilizar la negación dos o más veces, hecho que genera, en algunos casos confusiones. En efecto, se presentan ambigüedades, cuando se pronuncian frases como estas: No digas nunca lo que pasó Yo no miento nunca No estoy ni dentro Así por ejemplo, en la frase yo no miento nunca, se está utilizando dos veces la negación: cuando se dice “no” y cuando se dice un “nunca”. En Matemática, cuando se usa dos veces la negación, estas funcionan como los signos negativos, es decir, se eliminan mutuamente. En la frase “no es cierto que no fui al cine”, lo que está diciendo es que si fui al cine Cabe advertir, que se debe tener mucho cuidado cuando se utilizan expresiones como doble negación. Modus Tollendo Tollens (TT): La regla de inferencia que tiene el nombre latino modus Tollendo Tollens se aplica también a las proposiciones condicionales. Pero en este caso, negando (tollendo) en consecuente, se puede negar (Tollens) el antecedente de la condicional. La deducción siguiente es un ejemplo del uso del modus Tollendo Tollens: www.virtual.facen.una.py 14 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Premisa 1. Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella. Premisa 2. El astro no es una estrella. Conclusión. Por tanto, no tiene luz propia. Se simbolizará en ejemplo de la manera siguiente: Sean: Tiene luz propia. : El astro es una estrella. Premisa 1. Premisa 2. Conclusión. La regla se aplica a todo conjunto de premisas de esta forma. El antecedente o el consecuente pueden ser proposiciones moleculares o proposiciones atómicas. Ejemplos: a. Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) Observación: El uso de la doble negación es aquí importante. Se necesita la negación del consecuente en la primera premisa para poder aplicar la regla TT. El consecuente es 𝐵. La negación de esta proposición molecular se consigue anteponiendo el símbolo que corresponde al “no”; y así, 𝐵 niega a 𝐵 . No se tiene 𝐵 entre las premisas pero se puede deducir de la segunda premisa B. Obsérvese que esto se ha realizado en la linea (3). www.virtual.facen.una.py 15 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia b. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas. Indicar la demostración completa. Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) c. Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) Obsérvese que se tiene la línea (5) de las líneas (1) y (4) puesto que “ de “ ”. ” es la negación Adjunción (A): La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusión se denomina regla de adjunción. Ejemplo: Dadas dos proposiciones como premisas Premisa 1. Jorge es adulto. Premisa 2. María es adolescente. Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces se podrían juntar en una proposición molecular utilizando el término de enlace “y” y se tendría una proposición verdadera que se leería: Jorge es adulto y María es adolescente. www.virtual.facen.una.py 16 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia De manera simbólica se puede ilustrar la regla así: Premisa 1. Premisa 2. Se puede concluir ó Simplificación (S): La regla que permite pasar de una conjunción a cada una de las dos proposiciones que están unidas por se denomina regla de la simplificación. Por ejemplo, se tiene una premisa que dice: El cumpleaños de María es el viernes y el mío es el sábado. De esta premisa se pueden deducir dos proposiciones. Una conclusión es El cumpleaños de María es el viernes. La otra conclusión es: El mío es el sábado. En forma simbólica la regla de simplificación es: De la premisa Se puede concluir ó Ejemplo: Probar que las conclusiones siguientes son consecuencia lógica de las premisas dadas. Dar la demostración completa. a) Demostrar: (1) (2) (3) (4) www.virtual.facen.una.py 17 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia b) Demostrar: (1) (2) ( ) (3) (4) (5) (6) Modus Tollendo Ponens (TP): La regla modus tollendo ponens cuyo nombre latino dice que negando (tollendo) un miembro de una disjunción se afirma (ponens) el otro miembro. Simbólicamente, el modus tollendo ponens se puede expresar: De la premisa y la premisa se puede concluir ó De la premisa y la premisa se puede concluir Ejemplos: a) Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) www.virtual.facen.una.py 18 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia b) Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) c) Primero simbolizar las premisas y conclusiones, luego demostrar que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. Si entonces . Si entonces . O o Si entonces . . . Por tanto, . Al simbolizar, recuerda que cuando se trata de símbolos matemáticos no es necesario utilizar letras mayúsculas, basta con simbolizar sólo los términos de enlace. Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) www.virtual.facen.una.py 19 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (7) (8) (9) 3.2. Deducción proposicional La deducción proposicional se empieza con un conjunto de premisas y el objeto es pasar de estas premisas a una conclusión particular. Cada movimiento que se hace, cada línea que se escribe debajo, ha de ser permitido por una regla de inferencia definida. Las premisas están justificadas por la regla de las premisas (P) que es: Una premisa puede ser introducida en cualquier punto de una deducción. Ejemplos: a. Si la ballena es un mamífero, entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por tanto, no necesita branquias. La conclusión que se desea demostrar o deducir es “No necesita branquias” (recordar que la conclusión corresponde a aquella proposición que se le antepone la palabra “Por tanto”) En primer lugar, se debe simbolizar el razonamiento de manera que la deducción sea perfectamente clara. Sea: : La ballena es un mamífero : Toma oxígeno del aire : Necesita branquias : Vive en el océano Entonces: Premisa 1. Premisa 2. Premisa 3. Conclusión. www.virtual.facen.una.py 20 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia La deducción proposicional se puede escribir como sigue: (1) (2) (3) (4) (5) (6) b. Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Observación: Por conveniencia se introducen las notaciones y ≯ para “no es menor que” y “no es mayor que” de manera que “ (𝑥 𝑦)” se puede escribir “𝑥 𝑦” y “ (𝑥 𝑦)” se puede escribir “𝑥 ≯ 𝑦”. Ley de la adición (LA): La ley de la adición expresa el hecho de que si se tiene una proposición que es cierta, entonces la disyunción de aquella proposición y otra cualquiera ha de ser también cierta. Si se da la proposición , entonces la proposición es consecuencia. Con ejemplos en lenguaje ordinario se ve lo obvia que es esta regla. Si, como premisa cierta se ha dado: Este libro es azul. www.virtual.facen.una.py 21 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Entonces se sabe que la proposición siguiente ha de ser cierta. O este libro es azul o es rojo Se puede también concluir: O este libro es azul o es viejo O este libro es azul o es nuevo. Y así sucesivamente. En todos estos ejemplos una parte es cierta y esto es todo lo que se necesita para que una disyunción sea cierta. En forma simbólica, si se tiene la proposición , se puede concluir así sucesivamente. ,ó ,ó Ejemplo: Dar una demostración formal de los siguientes razonamientos. a. Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) b. Demostrar: (1) (2) (3) ≯ (4) ≯ www.virtual.facen.una.py 22 ,y Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (5) (6) Ley del Silogismo Hipotético (HS): Primero examinaremos un ejemplo de la ley del silogismo hipotético, de las premisas: (1) Si hace calor, entonces Juana va a nadar. (2) Si Juana va a nadar, entonces arregla la casa después de comer. Se puede concluir: (3) Si hace calor, entonces arregla la casa después de comer. Para simbolizar el razonamiento, sea : Hace calor. : Juana va a nadar. : Arregla la casa después de comer. Entonces: (1) (2) (3) La conclusión es una proposición condicional. En forma simbólica, la ley del silogismo hipotético es: de y se puede concluir Ejemplo: Dar demostraciones formales de los siguientes razonamientos. Demostrar: (1) (2) ( ) (( ) ) ( ) (3) www.virtual.facen.una.py 23 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (4) (5) (6) (7) ) (8) (( (9) ( ) ) (10) (11) Ley del Silogismo disyuntivo (DS): La ley del silogismo disyuntivo empieza con una disyunción y dos condicionales. En símbolos, la ley de silogismo disyuntivo se puede expresar De y y Se puede deducir o se puede deducir Puede ser conveniente considerar que para aplicar la regla DS, se han de dar los tres pasos siguientes: Primero, se hace una inspección general para comprobar que se tienen las dos condicionales y la disyunción requeridas. Segundo, se comprueba cuidadosamente que los dos antecedentes de las dos condicionales son precisamente los dos miembros de la disyunción. Tercero, se forma como conclusión una disyunción cuyos miembros son precisamente los dos consecuentes de las dos condicionales. Ejemplo: Dar una deducción completamente formal de las siguientes conclusiones a partir de las premisas dadas: a) Demostrar: ( ) (1) (2) (3) www.virtual.facen.una.py 24 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (4) (5) (6) (7) ( ) b) Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Ley de simplificación disyuntiva (DP): Si alguien dice “El equipo de los Gigantes ganará o el equipo de los Gigantes ganará”, se puede concluir que opina simplemente que “El equipo de los Gigantes ganará”. En forma simbólica el razonamiento es: por tanto Una aplicación importante de la ley de simplificación disyuntiva se presenta cuando un silogismo disyuntivo tiene la siguiente forma especial, Por tanto, www.virtual.facen.una.py 25 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia En este caso particular se puede simplificar la conclusión reduciéndola a . Ejemplos: Dar una demostración formal de las conclusiones a partir de los conjuntos de premisas dados. a. Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) b. Demostrar: (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) ( ) (4) (5) (6) (7) Leyes conmutativas (CL): Estas reglas, probablemente, parecerán muy triviales; sin embargo, se han de enunciar, pues no se puede dar ningún paso como conocido, si no se tiene una regla explícita que lo permita. www.virtual.facen.una.py 26 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia En forma simbólica: De se deduce Es muy obvia, pues se sabe que el orden de las proposiciones atómicas en una conjunción no afecta al significado de la proposición molecular. Sin duda, todo el mundo afirmaría que siempre que es cierta, es también cierta. Lo mismo se cumple en la disyunción, simbólicamente sería: De se deduce Leyes de Morgan (LM): Lo que se hace al aplicar las Leyes de Morgan, como una regla de operación, es verificar los siguientes pasos: 1. Cambiar en ó en ; 2. Negar cada miembro de la disjunción o conjunción; 3. Negar la fórmula completa Ejemplos: a. Aplicar las leyes de Morgan a las siguientes proposiciones para deducir conclusiones. ( ) i. Para aplicar las leyes de Morgan, verificamos los pasos y obtenemos lo que sigue: ii. ( ) ( ) iii. b. Indicar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos simbolizados siguientes. Demostrar: (1) ( ) (2) www.virtual.facen.una.py 27 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) c. Dar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos siguientes. Demostrar: (1) ( ) (2) (3) (4) ≯ (5) ( ) ≯ (6) (7) ≯ (8) ≯ (9) (10) Ley de las Proposiciones Bicondicionales (LB): La proposición bicondicional tiene la misma fuerza que dos proposiciones condicionales; primera y segunda, . Así se tiene una regla que nos permite deducir ambas y de . En símbolos, permite los siguientes razonamientos: a. www.virtual.facen.una.py 28 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia b. c. ( ) ( ) d. Ejemplos: Simbolizar completamente las premisas y conclusión del siguiente razonamiento y dar una deducción formal. El Sol sale y se pone si y sólo si la Tierra gira. La Tierra gira y la Luna se mueve alrededor de la Tierra. Por tanto, el Sol sale y se pone o el clima es muy caliente y frío. Al simbolizar: Premisa 1. Premisa 2. Conclusión. La deducción formal sería: Demostrar: (1) (2) (3) (4) (5) (6) b) Demostrar: ( ) (1) www.virtual.facen.una.py 29 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) ( ) 4. Tabla de certeza Un método conveniente para analizar los valores de certeza de proposiciones, es el de poner todas las posibilidades de certeza o falsedad en forma de una tabla. En efecto, todas las reglas de certeza funcional que se utilizan para proposiciones moleculares pueden resumirse en forma de tabla. Estas tablas básicas de certeza indican rápidamente si una proposición molecular es cierta o falsa si se conoce la certeza de las proposiciones que la forman. 4.1. Valor de certeza de una proposición molecular Se empezará con la idea de que cada proposición ha de tener un valor de certeza; cada proposición ha de ser cierta o falsa. El valor de certeza de una proposición cierta es cierto, y el valor de certeza de una proposición falsa es falso. Cada proposición atómica o molecular tiene uno de estos dos valores de certeza posibles. Si se conocen los valores de certeza de las proposiciones atómicas dentro de las proposiciones moleculares, entonces es posible dar los valores de certeza de las proposiciones moleculares. En consecuencia, la certeza o falsedad de las proposiciones moleculares, depende completamente de la certeza o falsedad de las proposiciones atómicas que la componen, además de los términos de enlace que las ligan. Se dan a continuación las tablas básicas de certeza para los cinco términos de enlaces de proposiciones. Si se conocen los valores de la proposición P y de una proposición Q, se busca www.virtual.facen.una.py 30 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia la línea que presenta esta combinación particular de valores de certeza y en la misma línea en la columna de la proposición molecular se encontrará su valor de certeza. Conjunción Negación 𝑃 C F 𝑃 F C 𝑃 C C F F Disyunción C C F F C F C F 𝑃 𝑄 C F F F C C C F Condicional 𝑃 C C F F 𝑄 C F C F Equivalencia 𝑄 C F C F 𝑃 𝑄 𝑃 C C F F C F C C 𝑄 C F C F 𝑃 𝑄 C F F C Ejemplo 1: Determinar el valor de certeza de ( ) [( ) ( ) Su tabla de certeza es: ( ) ( ) ( ) ( ) [( C C C F F F F C C F F C F C C C ) ( www.virtual.facen.una.py 31 ) Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia F C F C C F C C F F F C C C C C Determina el valor de veritativo de [ ( Ejemplo 2: ) Su tabla de certeza es: ( ) [ ( ) C C C C C C C C F C C F C F C C C C C F F F F C F C C C F C F C F C F C F F C C F C F F F F F C En el ejemplo 1, dado que consideramos dos proposiciones atómicas, y puesto que para cada una de ellas hay dos posibles valores de certeza, el número de líneas en la tabla de certeza es de . Si hay tres proposiciones atómicas, como en el ejemplo 2, entonces hay dos veces más, o sea, combinaciones posibles de certeza o falsedad. www.virtual.facen.una.py 32 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Como para cada proposición atómica tenemos dos posibles valores de certeza, la regla general es que si hay n proposiciones atómicas, entonces hay combinaciones (líneas) posibles de certeza en la tabla. 4.2. Tautología, contingencia y contradicción. Implicaciones asociadas. Una proposición molecular es una Tautología si es cierta, cualesquiera que sean valores de certeza de las proposiciones atómicas que la componen. En una tautología se pueden sustituir sus proposiciones atómicas por otras proposiciones atómicas cualesquiera, ciertas o falsas, y la proposición es también cierta. Por ejemplo, para cualquier proposición atómica es una tautología. Si es cierta, entonces es también cierta. es cierta. Además, si es falsa, entonces Se puede presentar esto mediante una tabla de certeza. C F C F C C En una tabla de certeza, si una proposición es una tautología, entonces cada línea ha de tener una en la columna encabezada por ella, lo que indica que la proposición es siempre cierta independientemente de las combinaciones de los valores de certeza de sus proposiciones atómicas. Una definición formal de una Tautología es: Según Fumero (2007), una proposición compuesta es una Tautología o que es lógicamente verdadera (cierta), si y sólo si, dicha proposición toma valores de verdad cierto ( ) cualesquiera que sean las proposiciones atómicas que la formen. Por tanto es inmediato que la tabla de verdad de una TAUTOLOGÍA contendrá solo la última columna. en El método de la tabla de certeza para determinar si una fórmula es una tautología utiliza esta definición. Independientemente de cuales sean las proposiciones atómicas que se sustituyan en una tautología, la proposición resultante será siempre cierta. Así se encuentra la de certeza de cada línea de la columna final de la tabla, como en el ejemplo siguiente: www.virtual.facen.una.py 33 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia ( ) ( ) C C C F C C F F C C F C F C C F F F C C Ejemplo: Si P, Q y R son proposiciones atómicas distintas. Decidir mediante tablas de certeza cuáles de las proposiciones siguientes tautologías. ( ) ( ) ( ) C C C C C C C C F C C C C F C C C C C F F C C C F C C C C C F C F C C C F F C F C C F F F F F C Luego, ( ) es una tautología. www.virtual.facen.una.py 34 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Contingencia: Es una proposición compuesta que contiene tanto valores verdaderos como falsos en el resultado final. Implica que no hay certeza de que el razonamiento sea válido. Ejemplo: Si y son proposiciones atómicas distintas. Decidir mediante tablas de certeza si es una contingencia. ( ) ( ) ( ) ( C C C C C C C C F C F F C F C F C C C F F F F C F C C F F C F C F F F C F F C F F C F F F F F C ) Contradicción: Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos. Implica que el razonamiento no es válido. Ejemplo: Las proposiciones de la forma cuyos valores de certeza son opuestos. Asistió a las clases de lógica pero no asistió a las clases de lógicas. www.virtual.facen.una.py 35 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia 4.3. Conclusiones no válidas. Para mostrar que una inferencia es no válida se puede dar una interpretación por medio de valores de certeza y no considerar proposiciones particulares. Tiene dos etapas la comprobación de que una conclusión es no válida o de que un razonamiento es erróneo. (1) Simbolizar las premisas y conclusiones. (2) Hallar una asignación de valores de certeza para las proposiciones atómicas tales que todas las premisas sean ciertas y la conclusión sea falsa. Ejemplo: Dado el siguiente razonamiento: Si hoy es sábado, entonces mañana es domingo. Hoy no es sábado. Por tanto, mañana no es domingo. La conclusión, es de hecho cierta cuando la segunda premisa es cierta. Pero, sin embargo, la inferencia en sí no es válida. Recordemos que una inferencia válida es tal que la forma de la inferencia permite sólo deducir conclusiones ciertas si las premisas son ciertas. El hecho de ser cierta la conclusión en el ejemplo anterior no prueba la validez de la inferencia. La forma del razonamiento es: Es posible encontrar asignaciones de certeza tales que las premisas sean ciertas, pero la conclusión sea falsa. Por ejemplo: www.virtual.facen.una.py 36 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia 4.4. Implicación tautológica y equivalencia tautológica. Condicional asociado a una regla de inferencia. La implicación es probablemente el concepto de lógica más utilizado por el ser humano, se usa en cualquier desarrollo matemático para indicar que un paso se obtiene de otro de manera correcta. Se utiliza para enunciar teoremas y propiedades, casi todas las propiedades se pueden enunciar utilizando la implicación. Implicación tautológica y equivalencia tautológica. Suppes y Hill (1992), una proposición P se dice que implica tautológicamente una proposición si y sólo si la condicional es una tautología. Así, una implicación tautológica es una tautología cuya forma es la de una proposicional condicional. La implicación tautología. Con símbolos: de dos fórmulas lógicas es la condicional cuando dicha condicional es una significa que es una tautología. O sea que para poder utilizar la implicación, expresión es verdadera siempre. debemos estar seguros de que la Este tipo de verdades que no dependen de los hechos han sido consideradas de diversas maneras en la historia de la filosofía: verdad necesaria, verdad analítica, verdad de razón. Ejemplo: Claramente es una implicación, pues no se puede presentar el caso de que sea verdadero y falso, entonces para cualquier valor de , la expresión es verdadera y por lo tanto una tautología. Una proposición condicional La proposición se dice que implica tautológicamente una proposición es una tautología. si y sólo si la es una implicación tautológica. Para construir la condicional asociado a una regla de inferencia se ligan simplemente con todas las premisas para formar la conjunción de premisas que es el antecedente, y después se pone la conclusión del razonamiento como consecuente. Veamos el siguiente ejemplo: Demostrar: www.virtual.facen.una.py 37 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (1) (2) (3) ( ) La condicional correspondiente sería: ( ( )) 5. Demostración condicional (CP) Demostración Condicional (CP): Si es posible deducir una proposición de otra y un conjunto de premisas, entonces se puede deducir sólo del conjunto de premisas la proposición condicional . Ejemplo: Si José gana, entonces Luis es segundo. Si Carlos es segundo, entonces Luis no es segundo. Por tanto, si Carlos es segundo, entonces José no gana. Simbolicemos este razonamiento para decidir si somos o no capaces de demostrar su validez: Premisa 1. Premisa 2. Conclusión. Las reglas que se conocen no son suficientes para deducir la conclusión es este razonamiento, pero existe una regla que nos permite introducir una nueva proposición al razonamiento, esta regla es la regla de las Premisas (regla ). Para indicar el conjunto completo de premisas sobre las que se basa una conclusión se utilizará el método siguiente. Cada vez que se introduce una premisa nueva en una deducción se moverá inmediatamente toda la demostración unos pocos espacios hacia la derecha. Sería de esta manera: Demostrar: (1) www.virtual.facen.una.py 38 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (2) (3) (4) (5) (6) 6. Demostración Indirecta (RAA) La abreviatura (RAA) proviene de “Reducción al Absurdo” Haciendo uso de la regla de la demostración condicional y de la noción de contradicción se puede introducir un nuevo método de demostración, la demostración indirecta. Esta demostración se puede denominar también Demostración por contradicción o por Reducción al absurdo. La regla de demostración indirecta se expresa: Si se puede deducir una contradicción de un conjunto de premisas y de la negación de , entonces puede deducirse del conjunto de premisas solo. Los pasos utilizados en una demostración indirecta son: (1) Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa. (2) De esta nueva premisa, junto con las premisas dadas, deducir una contradicción. (3) Establecer la conclusión deseada como una inferencia lógica deducida de las premisas originales. El ejemplo que sigue ilustra esta regla. Supóngase que se quiere demostrar (1) (2) (3) (4) (5) (6) www.virtual.facen.una.py 39 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia (7) (8) (9) www.virtual.facen.una.py 40 Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia Bibliografía ESPINOSA, Dr. JOSÉ MANUEL: «MATEMÁTICAS BÁSICAS – LÓGICA MATEMÁTICA»,2006. Fumero, José Manuel: GUIA No 2. Lógica de Proposiciones. Disponible en: http://jmdiazfumero.hostoi.com/data/materias/logica/Guia2RLEV2.doc., 2007. Suppes, Patrick y Hill, Shirley: Introducción a la lógica matemática. Editorial Reverté S. A. 278 p, Es: Barcelona, 1992. www.virtual.facen.una.py 41