Identidades trigonometricas pitagoricas

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS POR COCIENTE
Las identidades trigonométricas por cociente que se utilizan en la resolución
de problemas de trigonometría son:
sen θ
cos θ
1) tan θ =
cos θ
sen θ
1
3) secθ =
cos θ
2) cot θ =
4) cscθ =
1
sen θ
Ejemplo 1: Demostrar que cos θ tan θ = senθ
Resolución
Al sustituir la identidad trigonométrica por cociente (1) se tiene que
 sen θ 
cosθ tan θ = cos θ 

 cosθ 
cos θ sen θ
=
cos θ
= sen θ
Por tanto cosθ tan θ = sen θ
Ejemplo 2: Demostrar que tan θ cot θ = 1
Resolución
Al sustituir las identidades trigonométricas por cociente (1) y (2) se tiene que
 sen θ   cos θ 
tan θ cot θ = 


 cosθ   senθ 
sen θ cos θ
=
cos θ s en θ
=1
Por tanto tan θ cot θ = 1
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Ejemplo 3: Demostrar que
cscθ
= cot θ
secθ
Resolución
Al sustituir las identidades trigonométricas por cociente (3) y (4) se tiene que
1
cscθ
sen θ
=
1
secθ
cos θ
=
cos θ
sen θ
= cot θ
Por tanto
cscθ
= cot θ
secθ
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS
Las identidades trigonométricas pitagóricas reciben este nombre porque se
originan del Teorema de Pitágoras y son:
1) sen 2 θ + cos 2 θ =1
2) 1 + cot 2 θ = csc 2 θ
3) tan 2 θ +1 = sec 2 θ
Ejemplo 1: Mostrar numéricamente
ricamente que sen 2 60o + cos 2 60o =1 .
Resolución
2
 3   1 2
sen (60º ) + cos (60º ) = 
 +  
 2  2
3 1
= +
4 4
4
=
4
=1
2
2
Ejemplo 2: Demostrar que (1+ tan 2 θ ) sen2 θ = tan 2 θ
Resolución
(1 + tan 2 θ ) sen 2 θ = sec 2 θ sen 2 θ
 1 
2
=
 sen θ
2
cos
θ


2
 sen θ 
=

2
 cos θ 
 sen θ 
=

 cos θ 
= tan 2 θ
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Ejemplo 3: Demostrar que
cot θ sec 2 θ
= tan θ
1 + cot 2 θ
Resolución
 cos θ  1 



2
cot θ sec θ  sen θ  cos θ 
=
1 + cot 2 θ
csc 2 θ
2
 cosθ  1 



sen θ  cos 2 θ 

=
2
 1 


 sen θ 
cos θ
sen θ cos 2 θ
=
1
sen 2 θ
=
sen 2 θ cosθ
sen θ cos 2 θ
sen θ
cosθ
= tan θ
=
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