EVALUACIÓN DE PROYECTOS Laura E. Rey Ramírez PRESENTACIÓN DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Autor: Laura E. Rey Ramírez Abril 2005 Este material está protegido por derechos de autor, cualquier reproducción, ya sea total o parcial, con propósitos comerciales, deberá hacerse mediante la autorización previa de la UNAB. All rights reserved MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1 ALGUNOS USOS DE LA MATEMÁTICAS FINANCIERAS EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS : Préstamos bancarios. Cálculo de las cuotas. Determinación de la tasa de descuento. Determinación de la rentabilidad del proyecto. Cálculo de otros indicadores para determinar la viabilidad de proyectos Cálculo de proyecciones, teniendo en cuenta inflación o devaluación - valores expresados a precios corrientes y a precios constantes. CONCEPTOS CLAVES DIAGRAMAS DE FLUJO EQUIVALENCIA: ALTERNATIVA: CRITERIO DE EVALUACIÓN: $$ 2 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO diagrama de flujo i% = costo del dinero ingreso Horizonte de planeación N ENERO 15 ABRIL 15 DIC 20 tiempo egreso CONCEPTOS CLAVES... RENTA: Ingresos de dinero COSTOS: Pagos de dinero FLUJO DE C. POSITIVO=Ingreso FLUJO DE C. NEGATIVO=Egreso FLUJO DE C. NETO= Ing-Egr 3 EQUIVALENCIAS Y ALTERNATIVAS Sumas diferentes de dinero a términos diferentes de tiempo pueden ser iguales en valor económico $ ALTERN A $ ALTERN B MODALIDADES DE INTERÉS INT. SIMPLE INT COMPUESTO INT VENCIDO INT ANTICIPADO INT COMBINADO (INFLACIÓN, DEVALUACIÓN) TASA MIN ATRACT. DE RET(TMAR) TASA DE OPORTUNIDAD 4 INT. SIMPLE Únicamente el capital invertido gana intereses durante el tiempo que dura la transacción. No se paga intereses sobre intereses. Es una ecuación lineal. F= P(1+in) INT. COMPUESTO Se gana interés tanto sobre el capital como sobre el interés durante el tiempo que dura la transacción. Se paga intereses sobre intereses. Ecuación. F= P(1+i)n En evaluación de proyectos utilizaremos el concepto de interés Compuesto como base de nuestros cálculos (valor del dinero en el tiempo) 5 Tasa de Interés efectiva= Es aquella en la cual el periodo de conversión es de un año. La tasa en sí misma está expresada en intervalos anuales. Común denominador al cual llevamos las tasas nominales para compararlas. Tasa de Interés nominal= in ie Es aquella en la cual el periodo de conversión es una fracción de año. Puede expresarse en términos del año o del periodo de conversión. Periodo de conversión =n Es el lapso de tiempo en el cual se causa la tasa de interés. Tasa de descuento Cuando el interés se paga al empezar el periodo de conversión. Es decir, anticipadamente. A menor número de periodos de conversión, mayor es la tasa efectiva. Tasa de interés Vencido El interés se paga al finalizar el periodo. A mayor número de periodos de conversión, mayor es la tasa efectiva. 6 CRITERIOS PARA EL ESTUDIO n debe estar en los mismos términos de i, es decir: o o Si los periodos son trimestrales, la tasa que se debe utilizar es la periódica trimestral. Si la tasa utilizada es la efectiva anual, los periodos deben ser anuales. Tasas equivalentes Dos tasas de interés son equivalentes si, actuando sobre un mismo principal o valor presente, durante el mismo lapso de tiempo, producen el mismo valor final. ¿Qué tasa de interés compuesto bimestralmente equivale al 12% TV.? No. de bimestres en el año 6 (1+ib) = (1+it ) Tasa periódica bimestral 4 No. de trimestres en el año Tasa periódica trimestral 7 TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS Tasa nominal vencida T a s a nominal de descuento o anticipada Diario Semanal Quincenal Mensual Bimensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Tasas de interés Efectivas Diario Semanal Quincenal Mensual Bimensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Conversión de tasas: tasas relación entre tasas anticipadas, vencidas y efectivas (1 + iv ) n = 1 + ief = 1 (1 ! ia )n Tasa periódica Tasa periódica 8 Vamos a hacer ejercicios PROCEDIMIENTO Intenten realizar los ejercicios. Corroboren las respuestas. Revisen el resultado. Identifiquen el error. Ejercicios de conversión de tasas ¿A qué tasa TV equivale el 11% BV? ¿ A qué interés efectivo equivale el 12% TV? ¿A qué tasa de interés MV equivale el 26,8241795% efectivo anual? ¿A qué tasa de interés efectiva equivale el 14 % BA? ¿A qué tasa MA equivale el 15% efectivo.? ¿A qué tasa TA equivale el 21,5% efectivo? 9 Respuestas ¿A qué tasa TV equivale el 11% BV? = 11,05% TV ¿A qué interés efectivo equivale el 12% TV? = 12,55% EA ¿A qué tasa de interés MV equivale el 26,8241795% efectivo anual? = 24% MV ¿A qué tasa de interés efectiva equivale el 14 % BA? = 15,21% EA ¿A qué tasa MA equivale el 15% efectivo? = 13,89% MA ¿A qué tasa TA equivale el 21,5% efectivo? = 19% TA Procedimiento Utilizando las fórmulas propuestas de conversión de tasas:: (1 + iv )n = 1 + ief = 1 (1 ! ia )n 10 Ejercicios de conversión de tasas ¿A qué interés SV equivale el 18% año anticipado? Rta: 20,86% SV= 21,95% EA ¿A qué interés BA equivale el 25% SV? Rta: 23,10% BA= 26,56% EA CONVENCIONES para el valor del dinero en el tiempo P= Valor Presente F= Valor Futuro i = Tasa de Interés por periodo in = Interés Nominal ie = Interés Efectivo n= No. de periodos (periodos de conversión) A= Serie consecutiva igual de $ al final de cada periodo 11 INTERÉS COMPUESTO – valor futuro Una inversión de $100.000 colocada al 10% anual durante 5 años, ¿a cuánto equivaldría al cabo de este tiempo?. F = P (1+i)n = 100.000 (1+0,10)5 = 161.051 FACTOR DE COMPUESTO= ACUMULACIÓN (1+i)n DE INTERÉS Ej interés compuesto - acumulación Hallar el valor futuro de $100.000 invertidos al 24% MV durante 18 meses. o Rta: 142.824,62 ¿Qué valor final arrojaría $50.000 al 30,6% BV durante 5 meses? o Rta: 56.620,90 12 Interés compuesto - Valor presente P= F / (1+i)n FACTOR DE DESCUENTO = ¿Qué cantidad debo invertir hoy a una tasa de interés disponible del 24% TV si necesito tener $5’000.000 dentro de 10 años? o 1/(1+i)n Rta: 486.110,93 ¿En cuánto me comprará un factoring una letra por $550.000 que vence dentro de 5 meses y 10 días, si esa entidad descuenta los papeles al 1.5% MV? o Rta: 508.015,94 Hallar la tasa de interés ¿A qué tasa de interés compuesto trimestralmente se convierten $1’500.000 en $3’840.693 en tres años? o Rta: 32,6% TV 13 Hallar la duración ¿En cuánto tiempo se convierte $2’500.000 en $2’761.555 al 1% periódico mensual? o Rta:10 meses Ecuaciones de valor ¿Qué suma de dinero vale más hoy: $1’200.000 pagados dentro de 3 años ó $5’000.000 pagados dentro de 8 años si asumimos un interés de 1.5% MV? o Rta: Valen más $5’000.000 pagados dentro de 8 años. 14 RENTAS O ANUALIDADES VENCIDAS Una renta o anualidad es una serie de pagos, generalmente uniformes y periódicos. Uniformes hace referencia a que los pagos tienen la misma magnitud, es decir, que son de igual valor. Periódicos quiere decir que se suceden con la misma frecuencia. Ejemplo: Sueldos, arrendamientos, dividendos sobre acciones, intereses sobre bonos, cuotas de amortización de un préstamo. Anualidades vencidas Hallar el valor acumulado al final de 3 años en una cuenta de ahorros en donde se hacen depósitos semestrales de a $1.000 cada uno al final de cada semestre. La entidad reconoce un interés del 12% anual pagadero por semestralidades vencidas. o Rta: 6.975,31 A = 1000 A = 1000 A = 1000 A = 1000 A = 1000 A = 1000 15 Fórmulas de anualidades [ ] A (1 + i ) ! 1 F= i A= n Fi [ ] A (1 + i ) n ! 1 P= (1 + i ) n i (1 + I )n ! 1 ANUALIDADES VENCIDAS 16 Ejercicios de anualidades ... Hallar VF??? Si logramos ahorrar $50.000 mensuales y los invertimos cada mes en una financiera al 13,29% TV. ¿Cuánto dinero acumularíamos en 15 meses? o Rta: $810.333,41 Hallar VP de una renta vencida Si una persona se gana $35.000 mensuales y quiere que le paguen hoy el sueldo de los próximos 8 meses y acuerda con su jefe un interés del 2% MV: ¿Cuánto le deben girar? o Rta: $256.391,85 17 Hallar la tasa de interés Si nos prestan hoy 1.500.000 que debemos devolver en 15 cuotas trimestrales de a 150.000. ¿Qué interés nos están cobrando? o Rta: 5,55% periódico trimestral 18
