Universidad Centroamericana José Simeón Cañas Facultad de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Matemática Ecuaciones Diferenciales. Ciclo 02/2023 Daniel Sosa Daniel Juárez Guía # 3. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Problemas Geométricos 1. Encontrar la curva que pasa por el punto (0,3) y tal que la proyección de su tangente en dicho punto sobre el eje 𝑥 siempre tenga una longitud igual a dos. 𝐑/ 𝑦 2 = 9𝑒 𝑥 2. Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, 𝑒) y en cada punto (𝑥, 𝑦) la pendiente de su normal es 𝑥 2 /𝑦 . 𝐑/ 𝑦 = 𝑒 1/𝑥 3. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto la pendiente de la normal se obtiene del recíproco de la abscisa restándole la unidad. 𝐑/ 𝑦 = 𝑥 + ln(𝑥 − 1) + 𝐶 4. Encontrar la familia de curvas en que el intercepto con el eje de las ordenadas sea proporcional al doble del cuadrado de la ordenada en el punto de tangencia. 𝑥 𝐑/ 𝑦 = 2𝑥 + 𝐶 Trayectorias Ortogonales e Isogonales 1. Determine las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas. 𝐚. cos(𝑦) = 𝐶𝑒 −𝑥 𝐑/ sin(𝑦) = 𝐶𝑒 −𝑥 𝐛. 𝑥 = 𝑦 + 𝐶𝑥𝑦 𝐑/ 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝐶 𝐜. 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 𝐶 𝐑/ 𝑦 = 𝐶𝑥 2 2. Determine las trayectorias isogonales de las siguientes familias de curvas. 𝐚. 𝑦 = 𝐶𝑥 , 𝛾 = 30° 𝐑/ ln(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 2√3 tan−1 (𝑦/𝑥) = 𝐶 𝐛. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐶 2 , 𝛾 = 45° 𝐑/ 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 𝐶 𝐜. 𝑦 = 𝐶𝑒 2𝑥 , 𝛾 = 45° 𝐑/ ln(2𝑦 − 1) + 𝑦 − 𝑥 = 𝐶 𝐝. 𝑥 2 = 2𝐶(𝑦 − √3𝑥) , 𝛾 = 60° 𝐑/ 2𝑥𝑦 − √3(𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 𝐶 Ciclo 02/2023 3. Determine la curva que pasa por el punto (0,5) y pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas 𝑥 + 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑦 . 𝐑/ 𝑦 = 2 − 𝑥 + 3𝑒 −𝑥 𝑑𝑟 = 𝐹(𝑟, 𝜃) , 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝑟2 tiene una ecuación diferencial para la familia de trayectorias ortogonales =− 𝑑𝜃 𝐹(𝑟, 𝜃) 𝟒. Una ecuación diferencial de una familia de curvas en coordenadas polares dada por A partir de lo anterior, determine las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas. 𝐚. 𝑟 = 𝐶 1 − cos(𝜃) 𝐛. 𝑟 = 𝐶 cos2(𝜃) 𝐑/ 𝑟 = 𝐶 1 + cos(𝜃) 𝐑/ 𝑟 2 = 𝐶 sin(𝜃) Mezcla de Sustancias 1. Un tanque de 120 galones contiene inicialmente 90 lb de sal disueltas en 90 galones de agua. La salmuera, que contiene 2 lb/gal de sal, fluye hacia adentro del tanque a una razón de 4 gal/min, y la mezcla homogénea fluye hacia afuera del tanque a una razón de 3 gal/min. ¿Cuánta sal contiene el tanque cuando está completamente lleno? R/ 202.03 lb 2. Una solución salina con 2 libras de sal por galón se introduce en un tanque con 100 galones de agua. Si la solución entra a razón de 3 galones por minuto, la mezcla se mantiene uniforme revolviéndola constantemente, y sale del tanque a razón de 2 galones por minuto. Determine la cantidad de sal que había inicialmente en el tanque si se sabe que la concentración es de 1.8 libras de sal por galón al cabo de una hora. R/ 118.08 lb 3. Un tanque contiene inicialmente 100 litros de agua, en el cual se disuelven 80 kg de sal. Se introduce en el tanque agua pura a razón de 4 litros por minuto y la mezcla, conservada homogénea mediante agitación, sale a la misma razón y va a parar a un segundo tanque que contiene al principio 100 litros de agua pura. Agitando se mantiene homogénea la mezcla que sale de este segundo tanque a la misma razón ya citada. Determine: a. La cantidad de salmuera en el segundo tanque después de una hora. R/ 17.42 kg b. La concentración de salmuera en el primer tanque en el momento que ambos tiene la misma cantidad de sal. R/ 0.294 kg/L Circuitos Eléctricos RL y RC 1. Un circuito con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 4.6 henrios es conectado en serie a una fuente de 12 volts. Si la corriente inicial en el inductor es de 0.5 amperios, determine el valor de la corriente luego de haber transcurrido un tiempo muy largo. R/ 1.20 A 2. Un circuito RC con una resistencia de 25 [Ω] y un capacitor de 5 [mF] es controlado por un voltaje senoidal de la forma 𝐸(𝑡) = 50 cos(6𝑡) [V]. Si la carga inicial en el capacitor es nula, determine la carga y la corriente para el tiempo 𝑡 = 0.01 segundos. R/ 19.21 mC, 1.843 A Ciclo 02/2023 3. Una resistencia de 20 [Ω] se conecta en serie con un capacitor de 0.01 [F] y una fem en volts dada por la expresión 𝐸(𝑡) = 40𝑒 −3𝑡 + 20𝑒 −6𝑡 . Si el capacitor se encuentra inicialmente descargado, determine la carga máxima que llega a tener el capacitor. R/ 0.25 C Mecánica de Newton 1. Un objeto de masa 3 kg se libera desde el reposo a 500 metros sobre el piso y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. piso y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante, con 𝑔 = 9.81 m/s 2 y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad 𝑏 = 3 N-s/m. Determine el momento en el que el objeto golpeará el suelo. R/ 51.97 segundos 2. Un paracaidista cuya masa es de 75 kg se arroja desde un helicóptero que vuela a 4000 m sobre el suelo y cae hacia la tierra bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante. Suponga además que la fuerza debido a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista, con la constante de proporcionalidad 𝑏 = 15 N-s/m cuando el paracaídas está cerrado y con constante 𝑏 = 105 N-s/m cuando el paracaídas se abre. Si el paracaídas no se abre hasta que pasa 1 minuto después de dejar el helicóptero, ¿después de cuántos segundos tocará el suelo? R/ 241.49 segundos Aplicaciones de Modelado 1. Considere una población 𝑃(𝑡) que satisface la ecuación logística 𝑑𝑃/𝑑𝑡 = 𝑎𝑃 − 𝑏𝑃2 , donde 𝐵 = 𝑎𝑃 es la tasa de tiempo en la cual ocurren los nacimientos y 𝐷 = 𝑏𝑃2 es la tasa de muertes. Si la población inicial es 𝑃(0) = 𝑃0 y se registran tanto 𝐵0 nacimientos como 𝐷0 muertes por mes en el tiempo 𝑡 = 0, demuestre que la población límite es 𝑀 = 𝐵0 𝑃0 /𝐷0. 2. La población 𝑃(𝑡) de una cierta ciudad satisface la ley logística 𝑑𝑃/𝑑𝑡 = (𝑃/100) − (𝑃2 /108 ), donde el tiempo 𝑡 se mide en años. Suponiendo que la población de esta ciudad es 100,000 habitantes en 1,980, determine: a. La población en el año 2,000. R/ Aproximadamente 119,500 habitantes b. El año en el que se duplicará la población de 1,980. R/ Año 2,061 c. El comportamiento de la población cuando 𝑡 → ∞ . R/ Un millón de habitantes 3. Se distribuye cierto rumor adentro de una población de 100,000 personas. En una semana 10,000 personas conocen sobre este rumor. Considere que la tasa a la cual se incrementa el número de individuos que se han enterado de este rumor es directamente proporcional al número de quienes aún no se enteran. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la mitad de la población se entere del rumor? R/ 46.05 días 4. Se sabe que cierto material radioactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 50 miligramos de material y después de dos horas se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original, encuentre: a. Una expresión para la masa de material restante en un momento 𝑡. R/ 𝑥(𝑡) = 50𝑒 −0.05268𝑡 b. ¿Cuántos miligramos del material quedan después de cuatro horas? R/ 40.5 mg c. ¿Cuál es la vida media de este material? R/ 13 horas Ciclo 02/2023 5. Cuando se disuelve azúcar en agua, la cantidad 𝐴 que permanece sin disolverse después de 𝑡 minutos satisface la ecuación diferencial 𝑑𝐴/𝑑𝑡 = −𝑘𝐴. Si el 25% del azúcar se disuelve después de 1 minuto, ¿cuánto tiempo tomará para que la mitad del azúcar se disuelva? R/ 2.41 minutos Ley de Enfriamiento de Newton. Según la Ley de Newton, la rapidez de cambio de temperatura 𝑇 de un cuerpo en cualquier tiempo 𝑡, es proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio circundante 𝑇𝑚 en cualquier tiempo 𝑡. La variación de la temperatura puede ser que aumente o disminuya y esto se verá reflejado en el signo de la constante de proporcionalidad, con 𝑘 > 0 para un aumento de temperatura y 𝑘 < 0 para una disminución de la temperatura. Con la información anterior, resuelva los siguientes literales: 1. La temperatura máxima que puede leerse en cierto termómetro es de 110 °F. Cuando el termómetro marca 36 °F se coloca en un horno. Después de 1 y 2 minutos, la temperatura que marca el termómetro es de 60 °F y 82 °F respectivamente. ¿Cuál es la temperatura del horno? R/ 324 °F 2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura constante de 1 °F. Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40 °F y después de 40 minutos la temperatura del cuerpo es de 20 °F, hallar la temperatura inicial del cuerpo. R/ 81 °F Ciclo 02/2023
