RESISTENCIA DE MATERIALES

RESISTENCIA
DE MATERIALES
Teoría y aplicaciones
EDITORIAL
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Resistencia de materiales
Autor: Ing. Luis Eduardo Gamio Arisnabarreta
© Derechos de autor registrados:
Empresa Editora Macro EIRL
© Derechos de edición, arte gráfico y diagramación reservados:
Empresa Editora Macro EIRL
Corrección de esƟlo:
Jorge Giraldo Sánchez
Coordinación de arte y diseño:
Alejandro Marcas León
Diagramación:
Judith Terrel Flores
Alberto Rivas Carhuatanta
Ilustración:
Miguel Almeida Rojas
Edición a cargo de:
© Empresa Editora Macro EIRL
Av. Paseo de la República N.° 5613, Miraflores, Lima, Perú
 Teléfono: (511) 748 0560
E-mail: proyecto@editorialmacro.com
Página web: www.editorialmacro.com

Primera edición: julio de 2014
Tiraje: 1000 ejemplares
Impresión
Talleres gráficos de la Empresa Editora Macro EIRL
Jr. San Agusơn N.° 612-624, Surquillo, Lima, Perú
ISBN N.° 978-612-304-209-7
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2014-08668
Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de
este libro sin previa autorización de la Empresa Editora Macro EIRL.
LUIS EDUARDO GAMIO ARISNABARRETA
Ingeniero civil egresado de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de
Ingeniería, con más de veinticinco años de experiencia profesional en el área de Ingeniería
Estructural. Ha trabajado en diversas empresas privadas, como Alpha Consult S. A., Salydel
Ingenieros, entre otras. Actualmente se desempeña como ingeniero estructural en la Empresa
Tecamb S.A.
Además, ha participado en numerosos proyectos de agua potable y alcantarillado, diseñando
estructuralmente reservorios, cisternas y cámaras de bombeo de gran volumen. Desde hace
veintiocho años dicta los cursos de Estática y Resistencia de Materiales, en la Facultad de
Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería.
DEDICATORIA
A todos los estudiantes de Ingeniería, esperando
que esta obra sea de mucha utilidad y fácil
comprensión.
ÍNDICE
RESISTENCIA DE MATERIALES
CAPÍTULO 1. ESFUERZO ..............................................................................................................13
1.1 Esfuerzo normal ........................................................................................................................... 13
1.2 Esfuerzo cortante ....................................................................................................................... 14
1.3 Esfuerzo de apoyo o de aplastamiento......................................................................................... 
1.4 Esfuerzos en un plano inclinado .................................................................................................. 16
1.5 Esfuerzo admisible – Factor de seguridad ................................................................................... 17
CAPÍTULO 2. DEFORMACIÓN UNITARIA ..............................................................................43
2.1 Deformación ............................................................................................................................... 43
2.2 Desplazamiento .......................................................................................................................... 43
2.3 Deformación unitaria axial (Normal) .......................................................................................... 43
2.4 Deformación unitaria axial promedio .......................................................................................... 43
2.5 Variación de longitud .................................................................................................................. 43
2.6 Deformación angular (Deformación unitaria cortante) ............................................................... 44
CAPÍTULO 3. CARGA AXIAL .......................................................................................................57
3.1 Módulo de elasticidad (E)............................................................................................................ 58
3.2 Geometría de los pequeños desplazamientos .............................................................................. 60
3.3 Casos estáticamente indeterminados ........................................................................................... 60
3.4 Peso propio .................................................................................................................................. 61
3.4.1 Esfuerzo por peso propio ................................................................................................................61
3.4.2 Deformación por peso propio ........................................................................................................61
3.4.3 Volumen del cono ...........................................................................................................................61
3.4.4 Volumen del tronco de cono ...........................................................................................................61
3.5 Sólido de igual resistencia a la compresión ................................................................................ 62
3.6 Efecto térmico.............................................................................................................................. 63
3.6.1 Primer caso .....................................................................................................................................64
3.6.2 Segundo caso ..................................................................................................................................64
3.6.3 Método de superposición ................................................................................................................64
3.7 Coeficiente térmico (α) ................................................................................................................ 65
CAPÍTULO 4. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN GENERALIZADA ...................................151
4.1 Material homogéneo .................................................................................................................. 151
4.2 Material isótropo........................................................................................................................ 151
4.3 Valores del módulo Poisson ....................................................................................................... 152
4.4 Variación de área........................................................................................................................ 153
4.5 Variación de volumen ............................................................................................................... 153
4.6 Módulo de compresibilidad ....................................................................................................... 154
4.7 Estado de corte puro .................................................................................................................. 154
4.8 Relación entre el esfuerzo cortante y la deformación unitaria por corte ................................... 155
4.9 Fórmulas de Lamé ..................................................................................................................... 156
4.10 Esfuerzo biaxial ....................................................................................................................... 157
4.11 Esfuerzo uniaxial ..................................................................................................................... 157
CAPÍTULO 5. ESTADO PLANO DE ESFUERZOS .................................................................181
5.1 Variación del esfuerzo con la orientación del elemento ........................................................... 181
5.1.1 Esfuerzo en un punto.....................................................................................................................181
5.1.2 Estado inicial de esfuerzo .............................................................................................................182
5.1.3 Esfuerzos en el prisma triangular ..................................................................................................182
5.1.4 Fuerzas en el prisma triangular .....................................................................................................182
5.1.5 Diagrama de las fuerzas en un punto ............................................................................................183
5.1.6 Ubicación de los planos donde se produce el máximo y el mínimo esfuerzo normal ..................184
5.1.7 Magnitud de los esfuerzos principales .........................................................................................184
5.1.8 Ubicación de los planos donde se produce el máximo y mínimo esfuerzo cortante ....................185
5.1.9 Magnitud de los esfuerzos cortantes máximo y mínimo...............................................................185
5.2 Resumen .................................................................................................................................... 186
5.2.1 Esfuerzos en un plano arbitrario ...................................................................................................186
5.2.2 Esfuerzos principales ...................................................................................................................186
5.2.3 Esfuerzo cortante máximo en el plano ..........................................................................................186
5.2.4 Invariantes .....................................................................................................................................186
5.2.5 Convención de signos ...................................................................................................................186
5.3 Círculo de Mohr......................................................................................................................... 187
CAPÍTULO 6. ESTADO PLANO DE DEFORMACIONES ....................................................199
6.1 Ecuaciones generales de la transformación de la deformación unitaria plana .......................... 200
6.1.1 Deformaciones en un plano arbitrario...........................................................................................200
6.1.2 Deformaciones principales............................................................................................................200
6.1.3 Deformación unitaria cortante máxima en el plano .....................................................................201
6.1.4 Círculo de Mohr ............................................................................................................................201
6.1.5 Deformaciones principales............................................................................................................201
6.1.6 Deformación cortante máxima ......................................................................................................202
6.1.7 Deformaciones en un plano arbitrario...........................................................................................202
6.2. Rosetas de deformación unitaria .............................................................................................. 202
6.2.1 Rosetas de deformación dispuestas a 45º ......................................................................................203
6.2.2 Rosetas de deformación dispuestas a 60º ......................................................................................203
CAPÍTULO 7. RECIPIENTES DE PARED DELGADA ..........................................................213
7.1 Esfuerzos en la pared del recipiente ......................................................................................... 213
7.1.1 Recipientes cilíndricos .................................................................................................................213
7.1.2 Recipientes esféricos ....................................................................................................................214
CAPÍTULO 8. TORSIÓN ...............................................................................................................221
8.1 Sección circular ......................................................................................................................... 221
8.1.1 Momento polar de inercia (J) ........................................................................................................222
8.1.2 Distribución de esfuerzos de corte ................................................................................................222
8.2 Ejes de pared delgada con sección transversal cerrada ............................................................. 223
8.2.1 Hipótesis .......................................................................................................................................223
8.2.2 Esfuerzo cortante promedio (τ prom.) ..........................................................................................223
8.2.3 Ángulo de torsión (φ) ....................................................................................................................223
8.2.4 Flujo de corte o flujo cortante (q)..................................................................................................223
8.3 Ejes macizos de sección transversal no circular ........................................................................ 224
8.4 Acoplamiento por bridas (discos) empernadas .......................................................................... 225
8.5 Diseño de ejes de transmisión ................................................................................................... 226
CAPÍTULO 9. FUERZA EN VIGAS ............................................................................................269
9.1 Fuerzas internas: V, N, M. ......................................................................................................... 269
9.2 Tipos de cargas .......................................................................................................................... 269
9.3 Diagramas .................................................................................................................................. 270
9.4 Convención de signos ................................................................................................................ 270
9.5 Materiales .................................................................................................................................. 271
9.6 Secciones transversales.............................................................................................................. 271
9.7 Tipos de vigas ............................................................................................................................ 271
9.8 Relación entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flexionante................................. 272
CAPÍTULO 10. ESFUERZOS POR FLEXIÓN Y CORTE EN VIGAS .................................285
10.1 Hipótesis .................................................................................................................................. 285
10.2 Esfuerzos por flexión en vigas ................................................................................................ 285
10.3 Diagrama de esfuerzos normales (por flexión) en la sección transversal de la viga ............... 287
10.4 Esfuerzo cortante en vigas ().................................................................................................. 287
10.5 Diagrama de esfuerzos cortantes ............................................................................................. 288
10.6 Nomenclatura. ......................................................................................................................... 288
10.7 Módulo de sección ................................................................................................................... 289
10.8 Limitaciones en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante..................................................... 290
10.8.1 Introducción ................................................................................................................................290
10.8.2 Condiciones para el uso de la fórmula ........................................................................................290
10.8.3 Errores al aplicar la fórmula........................................................................................................290
10.8.4 No aplicar la fórmula ..................................................................................................................291
10.8.5 Aplicar la fórmula .......................................................................................................................291
10.8.6 Aplicaciones en la ingeniería ......................................................................................................291
CAPÍTULO 11. MÉTODO DE INTEGRACIÓN .......................................................................325
11.1 Demostración ........................................................................................................................... 325
11.2 Convención de signos para momento ...................................................................................... 326
11.3 Convención de signos para deformaciones.............................................................................. 326
11.4 Restricciones de deformaciones en los apoyos ........................................................................ 326
11.5 Vigas con cargas simétricas ..................................................................................................... 327
11.6 Vigas con cargas no simétricas ................................................................................................ 327
CAPÍTULO 12. MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO.........................................................351
12.1 Teorema I ................................................................................................................................. 351
12.2 Teorema II ............................................................................................................................... 351
12.3 Demostración ........................................................................................................................... 352
12.4 Área de momento..................................................................................................................... 353
12.5 Isostatización ........................................................................................................................... 354
12.6 Elásticas – Deformadas............................................................................................................ 355
12.7 Diagrama de momentos flexionantes ....................................................................................... 357
CAPÍTULO 13. MÉTODO VIGA CONJUGADA ......................................................................377
13.1 Viga conjugada ........................................................................................................................ 377
13.1.1 Teorema 1 ....................................................................................................................................377
13.1.2 Teorema 2 ....................................................................................................................................377
13.2 Equivalencia de apoyos de la viga real y la viga conjugada.................................................... 377
13.3 Cargas ...................................................................................................................................... 378
CAPÍTULO 14. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN ...................................................................395
ANEXOS ............................................................................................................................................403
Tablas de flechas máxima ................................................................................................................ 403
Tablas de centros de gravedad de superficies planas ....................................................................... 427
Tablas de momentos de inercia de superficies planas ...................................................................... 437
BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................................447
INTRODUCCIÓN
Este libro sale a la luz tras veintiocho años de experiencia docente en la Universidad Nacional de
Ingeniería, y se basa en los apuntes de clase del curso Resistencia de Materiales.
El texto contiene información conocida y también inédita, como las tablas de flechas máximas
en vigas con diversos tipos de apoyo y cargas, que se logró a partir de una intensa búsqueda de
información, investigación y consulta de una amplia bibliografía.
El curso es obligatorio en la mayoría de las carreras de Ingeniería; según el plan curricular, se
desarrolla en el tercer año de la carrera, siendo fundamental para el aprendizaje de la Ingeniería
Estructural.
La presente publicación contiene los siguientes temas:
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Esfuerzo normal y cortante
Deformación unitaria normal y cortante
Deformaciones debido a carga axial
Deformaciones debido al peso propio
Deformaciones debido a la temperatura
Esfuerzo y deformación en dos y tres direcciones
Estado plano de esfuerzos
Estado plano de deformaciones
Esfuerzos en recipientes de pared delgada
Torsión en secciones circulares y anulares
Torsión en secciones macizas no circulares
Torsión en secciones de pared delgada
Torsión en bridas
Torsión en ejes que transmiten potencia
Diagramas de cortante y momento en vigas
Esfuerzos por flexión en vigas
Esfuerzos por corte en vigas
Deformaciones en vigas: Método de integración
Deformaciones en vigas: Método de área de momento
Deformaciones en vigas: Método de viga conjugada
Deformaciones en vigas: Método de superposición
Tablas de flechas máximas en vigas
Tablas de centro de gravedad de superficies planas
Tablas de momento de inercia de superficies planas
Además, se incluyen 300 aplicaciones.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Es la ciencia que estudia los materiales que son sometidos a esfuerzos, así como las
deformaciones causadas por dichos esfuerzos.
Alfabeto griego
Es utilizado en el curso, y consta de las siguientes letras:

(Alfa) Ángulo, coeficiente térmico

(Beta) Ángulo
δ
(Delta) Deformación

(Épsilon) Deformación unitaria normal

(Gamma) Deformación unitaria cortante, peso específico

(Lambda) Constante de Lamé

(Mu) Módulo de Poisson
ω
(Omega) Velocidad angular

(Phi) Ángulo

(Pi) Ángulo, número

(Rho) Radio

(Sigma) Esfuerzo normal

(Tau) Esfuerzo cortante

(Theta) Ángulo
TIPOS DE UNIDADES
(Utilizadas en diversos textos)
Longitud
Milímetro
Centímetro
Metro
1 pulgada
1pie
: mm
: cm
:m
: 1´´
: 1´
1´´ < > 2.54 cm
1´ < > 12´´ < > 30.48 cm
nano
micro
mili
KILO
MEGA
GIGA
n
μ
m
K
M
G
Área
(Unidades de longitud)2
Fuerza
Kilogramo
Libra
Tonelada
Newton
: kg
: lb
:T
:N
1T<> 103 kg
1kg <> 9.81 N
1kN <> 103 N
1Kip <> 1KLb <> 103 lb
Esfuerzo (Fuerza/Área)
Pascal
Kilo Pascal
Mega Pascal
Giga Pascal
kg/cm2
lb/pulg2
N/m2
: Pa
: KPa
: MPa
: GPa
1 Pa < > 1N/m2
1 KPa < > 103 N/m2
1 MPa < > 106 N/m2
1 GPa < > 109 N/m2
1 lb/pulg2 < > 1P.s.i.
1 KLb/pulg2 < > 1K.s.i
1 lb/pie2 < > 1P.s.f.
1 KLb/pie2 < > 1 K.s.f.
10–9
10–6
10–3
103
106
109
1
CAPÍTULO
ESFUERZO
El esfuerzo es una fuerza distribuida en una superficie.
1.1 Esfuerzo normal ( σ )
σ=
P
A
La fuerza P es
perpendicular al área A.
σ = Esfuerzo promedio
P
Esfuerzo normal
de tracción
Esfuerzo normal
de compresión
La fuerza P debe estar aplicada en el centro de gravedad del área (A) para que el esfuerzo
normal () sea uniforme.
Constante
A=P
P = ∫ dF
dF = dA
14
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Las expresiones 1 y 2 son las coordenadas
del centro de gravedad del área A .
1.2 Esfuerzo cortante
σ=
P
A
La fuerza P es paralela al área A.
El esfuerzo es promedio en toda la sección.
Corte simple
Sección 1 - 1
Corte doble
Sección 2 - 2
Ing. Luis Gamio
Capítulo 1: Esfuerzo
Otra forma:
Superficie analizada:
Superficie lateral del cilindro
1.3 Esfuerzo de apoyo o de aplastamiento
Corte 1 -1
d = diámetro de pasador
15
16
Resistencia de materiales
Editorial Macro
El esfuerzo de apoyo tiene la característica de producirse cuando hay 2 superficies en
contacto, y debido a las fuerzas actuantes una de las superficies se apoya en la otra.
Entre 1 columna y 2 zapata, el área común
de contacto es:
Entre 2 zapata y 3 suelo, el área común
de contacto es A2
1.4 Esfuerzos en un plano inclinado
Con relación al plano inclinado:
Esfuerzo normal
Esfuerzo cortante
Ing. Luis Gamio
Capítulo 1: Esfuerzo
Reemplazando las expresiones 3, 4 y 5 en 1 y 2:
Esfuerzo normal
Esfuerzo cortante
Observación:
1)  máximo
2)  máximo
1.5 Esfuerzo admisible – Factor de seguridad
F.S. = Factor de seguridad
*
F.S. > 1
= Esfuerzo último, esfuerzo de rotura o esfuerzo final.
= Esfuerzo admisible  Es el máximo esfuerzo al que debe ser sometido un
material, asegurándose así un desempeño seguro.
*
Los factores de seguridad están especificados en las normas de diseño.
17
18
Resistencia de materiales
Problema 1
La barra rígida EFG está soportada por la
armadura mostrada. Determinar el área de
la sección transversal del elemento AE y
DE, para la cual el esfuerzo normal en el
elemento es de 15000 lb/pulg2
Solución:
Diagrama de cuerpo libre
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 1: Esfuerzo
Problema 2
Un tubo de acero de 300 mm de diámetro
exterior y de espesor de pared de 8 mm, es
sometido a una carga axial P = 250 kN.
Hallar el esfuerzo normal y tangencial a la
soldadura en el punto A.
Solución:
Corte 1-1:
Sección transversal
19
20
Resistencia de materiales
Problema 3
La resistencia a la rotura del
cable BD es 100 kN.
• Hallar F.S. con respecto
a la falla del cable para la
carga dada.
• Si el esfuerzo admisible
en el cable es 55 kN/ cm2,
hallar el área del cable.
Solución :
D.C.L.
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 1: Esfuerzo
Problema 4
Se emplea un pasador en C
de 10 mm y en B y D de 12
mm de diámetro. El esfuerzo
cortante final es de 100 MPa
en todas las conexiones, y el
esfuerzo normal final de las
barras articuladas BD es de
250 MPa.
Hallar la carga Q para la cual
el factor de seguridad es 3.0
Solución:
Conexiones :
En B y D corte doble
En C corte doble
Diagrama de cuerpo libre:
21
22
Resistencia de materiales
Problema 5
Si la fuerza en la barra AB es 27 kN, hallar:
A) “d” del pasador si  = 100 MPa
B) “b” si normal = 120 MPa
C) Esfuerzo de apoyo en la barra AB
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 6
Hallar la longitud AB, para
la cual el esfuerzo normal
máximo es mínimo.
Luego, hallar el valor del
esfuerzo normal máximo.
latón: 8500 kg/ m3
Solución:
Capítulo 1: Esfuerzo
23
24
Resistencia de materiales
Problema 7
El esfuerzo normal último que
soporta la barra AB es 450 MPa, si se
utiliza un factor de seguridad de 3.5.
Determinar el área que debe darse a
la barra AB.
Solución:
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de la barra BE.
Factor de conversión:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 1: Esfuerzo
Problema 8
Una columna corta debe soportar una carga
de 80 000 kg. El esfuerzo de rotura es de
2 500 kg/cm2. Usar un factor de seguridad
de 5 y encontrar el espesor de ‘e’ que debe
darse a la columna.
Sección transversal
de la columna:
Solución:
25
26
Resistencia de materiales
Problema 9
Hallar el máximo valor de P (admisible)
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 1: Esfuerzo
Problema 10
Las 2 porciones del elemento AB están pegadas a lo largo de un plano que forma un ángulo
a con la horizontal. Si los esfuerzos finales en la junta son σu= 17 MPa y τu= 9 MPa, hallar el
intervalo de valores de  entre los cuales el factor de seguridad es por lo menos igual a 3.0
Solución:
27
28
Resistencia de materiales
Problema 11
La palanca acodada mostrada en
la figura está en equilibrio. Si el
diámetro del pasador en “D” es de
2.5 cm, determinar el diámetro de la
barra AB, si el esfuerzo normal en
AB es los 4/3 del esfuerzo de corte
en “D”.
Solución:
D.C.L.
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 12
Se tiene 3 bloques circulares que
resisten un esfuerzo de aplastamiento
de  = 1600 kg/cm2 (igual que el
apoyo inferior), y un esfuerzo de
corte de  = 800 kg/cm2. Hallar las
dimensiones mínimas: d, d1, d2, t1, t2
cuando se somete a los bloques a una
carga axial de 20 T.
Solución:
Capítulo 1: Esfuerzo
29
30
Resistencia de materiales
Esfuerzos de corte:
En el bloque intermedio
En el bloque inferior
Problema 13
La arandela tiene un diámetro
interior de 1”. Calcular su diámetro
exterior “d” si el esfuerzo de apoyo
promedio entre la arandela y la
madera no debe exceder de
La varilla está sometida a un
esfuerzo normal de:
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 14
Calcular las áreas de las
secciones transversales
de los elementos elásticos
del sistema mostrado.
= 2000 kg/cm2
(Esfuerzo admisible)
Solución:
D.C.L.
Capítulo 1: Esfuerzo
31
32
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 15
Calcular la sección del cable
CD (cm2)
Solución:
D.C.L.
BE
Ing. Luis Gamio
Problema 16
Solución:
Capítulo 1: Esfuerzo
33
34
Resistencia de materiales
2.
2.17
2.17
3.88
3.10
3.10
1.328
2.213
4.87
4.87
0.672
3.616
0
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 1: Esfuerzo
Problema 17
Se aplican 3 fuerzas al mecanismo de la
figura, cada una de magnitud P = 4 kN.
Determinar el área transversal de la parte
uniforme de la barra BE, para la cual el
esfuerzo normal es de +100 MPa.
Solución:
D.C.L.
P
C
D
VD
V
0.10 m
D.C.L.
0.15 m
35
36
Resistencia de materiales
Problema 18
Hallar el área de cada varilla.
Esfuerzo admisible :
Módulo de elasticidad E:
Solución:
Nudo:
Nudo:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 1: Esfuerzo
Problema 19
El pasador en C es sometido
a un  = 703.1 kg/cm2.
Calcular su sección.
El tirante AB se encuentra
sometido a un  = 1556.82
kg/cm2.
Calcular su sección.
Soporte: C
Solución:
37
38
Resistencia de materiales
Problema 20
La barra rígida EFG está soportada
por el sistema mostrado. Sabiendo que
el elemento CG es una barra sólida
circular de 0.75 pulgadas de diámetro;
determinar el esfuerzo normal en CG.
Solución:
D.C.L.
Nudo:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
D.C.L. BARRA EG
Problema 21
Calcular el área de la varilla
BC
σ = 1 000 kg/cm2
Solución:
Capítulo 1: Esfuerzo
39
40
Resistencia de materiales
Problema 22
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 23
Determinar la posición “d” de
la carga de 6 kN, para que el
esfuerzo normal promedio en
ambas barras sea el mismo.
Solución:
D.C.L.
(1) en (2):
Capítulo 1: Esfuerzo
41
2
CAPÍTULO
DEFORMACIÓN UNITARIA
2.1 Deformación (δ)
Es el cambio en forma y tamaño de un cuerpo cuando se le aplican fuerzas.
2.2 Desplazamiento
Es una magnitud vectorial que se usa para medir el movimiento de una partícula o punto de una
posición a otra.
2.3 Deformación unitaria axial (Normal) ( )
Es el alargamiento o acortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud.
2.4 Deformación unitaria axial promedio ( )
Se obtiene al dividir la deformación axial δ entre la longitud original de la barra
.
 es adimensional. Se expresa como una relación de longitudes: pulg/pulg, mm/mm.
2.5 Variación de longitud (
)
En ingeniería, la mayoría de los diseños presentan aplicaciones para las cuales se permiten
deformaciones muy pequeñas.
44
Resistencia de materiales
Editorial Macro
2.6 Deformación angular (Deformación unitaria cortante) (γ)
Es el cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea que originalmente eran
perpendiculares entre sí.
( γ ) → Radianes
γ=
π
− θ
2
• Las deformaciones unitarias axiales o normales causan un cambio en el volumen de
un cuerpo.
• Las deformaciones unitarias cortantes o deformaciones angulares causan un cambio
en la forma del cuerpo.
Ing. Luis Gamio
Capítulo 2: Deformación unitaria
Problema 24
A) Calcular el esfuerzo promedio de tensión en el cable (MPa).
B) Si el cable se reduce en 5.1 mm, calcular la deformación unitaria promedio.
Solución:
D.C.L.
45
46
Resistencia de materiales
Problema 25
La placa triangular está empotrada
en su base y su vértice A recibe un
desplazamiento horizontal de 5 mm.
Determinar:
a) La deformación unitaria promedio X1
a lo largo del eje X1
b) La deformación unitaria promedio X
a lo largo del eje X
c) XY
Solución:
c)
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 2: Deformación unitaria
Problema 26
Las esquinas de la placa cuadrada
reciben los desplazamientos indicados.
Determinar las deformaciones unitarias
normales promedio X Y a lo largo de
los ejes X e Y.
Adicionalmente calcular:
Solución:
AB
47
48
Resistencia de materiales
Problema 27
El alambre está sometido a una deformación
unitaria normal, definida por:
El alambre tiene una longitud inicial L.
Determinar el incremento en su longitud y la
deformación unitaria promedio.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 28
La placa rectangular está sometida a
la deformación mostrada por las líneas
punteadas. Determinar la deformación
unitaria cortante promedio XY de la placa.
Además, calcular:
Solución:
Capítulo 2: Deformación unitaria
49
50
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 29
La pieza de caucho es inicialmente rectangular
y está sometida a la deformación mostrada por
las líneas punteadas.
Determinar:
a) La deformación unitaria cortante promedio
XY
b) La deformación unitaria normal promedio a
lo largo del lado AD y de la diagonal DB.
Solución:
en (1)
B
Ing. Luis Gamio
Problema 30
El material se distorsiona y toma la forma
indicada por las líneas punteadas.
Determinar:
Deformación unitaria normal X a lo
largo de X
Deformación unitaria normal Y a lo
largo de Y
Deformación unitaria cortante XY
Deformación unitaria normal a lo largo
de la línea BE
a)
b)
c)
d)
 AD
CF
e)
f)
Solución:
c)
d)
Capítulo 2: Deformación unitaria
51
52
Resistencia de materiales
Problema 31
La carga no uniforme genera una deformación
unitaria normal en la barra que se expresa
como X = Kx2, donde K es una constante.
Determinar:
a) El desplazamiento del extremo B
b) La deformación unitaria normal
promedio en la barra
Solución:
a)
b)
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 2: Deformación unitaria
Problema 32
La carga no uniforme genera una deformación unitaria normal en la barra, que se expresa
como
, donde K es una constante.
Determinar:
a) El desplazamiento del centro C.
b) La deformación unitaria normal promedio en toda la barra.
Solución:
a)
b)
53
54
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 33
Se encontró que unos ejes mutuamente perpendiculares entre sí, en un miembro libre de
esfuerzo, estaban orientados a 89.92° cuando el miembro se sujetó a esfuerzos.
Determinar la deformación angular asociada con estos ejes en el miembro sujeto a esfuerzos.
Solución:
Problema 34
Una placa triangular delgada se
deforma uniformemente, tal como
se muestra en la figura. Determinar
la deformación angular en P.
Solución:
Sin deformación
Con deformación
Ing. Luis Gamio
Problema 35
La placa de acero rígida A está sostenida por 3
varillas; después de aplicar la carga P, la deformación
unitaria axial en la varilla C es 900  pulg/pulg.
Determinar:
a) B
b) B si hay un espacio libre de 0.006 pulg en las
conexiones entre A y B antes de aplicar la carga.
Solución:
a)
b)
Capítulo 2: Deformación unitaria
55
3
CAPÍTULO
CARGA AXIAL
Se tiene una varilla de longitud L y una sección transversal A
sometida a una carga P en su extremo inferior.
Y
L
X
La carga axial P (en dirección de un eje) genera esfuerzos
normales en las secciones perpendiculares a la carga P.
(secciones transversales)
A
X
En el corte x - x
P
La carga P genera deformación en el cuerpo en dirección de
la carga δ
Deformación unitaria normal promedio:
L
δ
P
Experimentalmente se ha determinado una relación constante
dentro de un cierto rango de valores entre el  y la .
Entre O y A es constante la tan 
E → Módulo de elasticidad del material. (unidades de esfuerzo)
El punto A es el límite de proporcionalidad.
De las ecuaciones 1, 2 y 3 se deduce:
58
Resistencia de materiales
Editorial Macro
En conclusión la carga axial produce esfuerzos normales  los que a su vez generan
deformaciones δ.
Si el cuerpo está compuesto de varios materiales (varía E), tiene secciones transversales
diferentes (varía A) o está sometido a cargas constantes o variables en diferentes puntos,
la ecuación (4) adopta las formas siguientes:
3.1 Módulo de elasticidad (E)
Material
E (GPa)
Acero estructural
Aluminio forjado
Latón
Bronce
200
73
100
100
Los valores pueden variar ampliamente; sin embargo, se puede obtener información más precisa
de los fabricantes.
zona
elástica
zona
plástica
DIAGRAMA: ESFUERZO – DEFORMACIÓN
NORMAL
UNITARIA
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
L.P = Límite de proporcionalidad:
Es el punto donde se produce el máximo esfuerzo durante el ensayo de tracción simple, de
modo que el esfuerzo sea función lineal de la deformación.
L.E = Límite elástico:
Es el punto donde se produce el máximo esfuerzo durante un ensayo de tracción simple,
de modo que no haya deformación permanente o residual cuando se suprime totalmente
la carga.
σy = Esfuerzo de Fluencia:
Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico es el esfuerzo que causa una
deformación permanente del material, este comportamiento se llama fluencia.
Zona elástica:
Es la región del gráfico Esfuerzo – Deformación que va desde el origen hasta el límite
elástico.
Zona plástica:
Es la región del gráfico Esfuerzo – Deformación que va desde el límite elástico hasta el
punto de rotura o fractura.
Material dúctil:
(Acero, Aluminio) Tiene un alargamiento a tracción relativamente grande hasta llegar al
punto de rotura. Aproximadamente  ≥ 0.05 cm/cm.
Material frágil:
(Concreto) Tiene un alargamiento a tracción relativamente pequeño hasta llegar al punto
de rotura, aproximadamente  < 0.05 cm/cm.
59
60
Resistencia de materiales
Editorial Macro
3.2 Geometría de los pequeños desplazamientos
C
A
α
α
A
A
B
D
B
D
Si α es pequeño, AB y BD son de magnitud despreciable; entonces se traza la
perpendicular en vez del arco de circunferencia para ubicar la posición final de la barra
CA. Esta simplificación nos lleva a plantear geometrías sencillas donde se relacionan las
deformaciones.
3.3 Casos estáticamente indeterminados
1. Cierto tipo de problemas se resuelven utilizando ecuaciones de equilibrio para
determinar las fuerzas interiores; estos son problemas estáticamente determinados.
2. Existen problemas donde no se pueden obtener las fuerzas interiores utilizando
solo las ecuaciones de equilibrio; adicionalmente, hay que obtener relaciones entre
deformaciones utilizando la geometría. Estos problemas se denominan estáticamente
indeterminados o hiperestáticos.
3. Otro tipo de problemas hiperestáticos se resuelven por el método de superposición,
que consiste en considerar separadamente las deformaciones causadas por las cargas
dadas y las causadas por la reacción que causa la hiperestaticidad. Luego, se suman o
superponen los resultados obteniendo así el valor de la reacción. Conocida la reacción
se pueden calcular esfuerzos y deformaciones.
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
3.4 Peso propio
3.4.1 Esfuerzo por peso propio
1
1
3.4.2 Deformación por peso propio
3.4.3 Volumen del cono
r
r
πr2
h
3.4.4 Volumen del tronco de cono
R R
h
r
r
61
62
Resistencia de materiales
Editorial Macro
3.5 Sólido de igual resistencia a la compresión
“En cualquier sección transversal el esfuerzo
normal es el mismo”
D.C.L.
P
x
A
dx
A + dA
σ
Sección transversal genérica
Sección transversal en la base
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Volúmen
P
w
R
3.6 Efecto térmico
Cuando se presentan variaciones de temperatura los materiales sufren deformaciones.
Δt se expresa comúnmente en:
Grados Celsius °C o grados Fahrenheit °F
63
64
Resistencia de materiales
Editorial Macro
3.6.1 Primer caso
Se tiene una varilla libremente apoyada y se le somete a un incremento de temperatura por
la cual la varilla se dilata sin que nada se lo impida. (No hay esfuerzo)
Experimentalmente se determinó:
3.6.2 Segundo caso:
Se tiene una varilla fija a 2 apoyos rígidos (A y B) y se incrementa la temperatura.
E, A, α
Β
Α
L
3.6.3 Método de superposición:
P
P
Α
L
Posición final
Β
Deformación
por temperatura
Deformación
por carga axial
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Primero se retiró un apoyo, dejando que se deforme libremente por temperatura (α).
Al tratar de dilatarse, los apoyos se lo impiden, generándose la fuerza P. Por ello, se calcula
la deformación debido a la carga axial; como no se movió la varilla, ambas deformaciones
son iguales. Esto nos permite calcular la fuerza P y el esfuerzo normal que se generó,
debido a que no se pudo deformar la varilla.
3.7 Coeficiente térmico (α)
Material
α (10-6/ºF)
α (10-6/ºC)
Acero estructural
Aluminio forjado
Latón
Bronce
6.6
12.5
9.8
9.4
11.9
22.5
17.6
16.9
Los valores pueden variar ampliamente; sin embargo, se puede obtener información más
precisa de los fabricantes.
65
66
Resistencia de materiales
Problema 36
Calcular el diagrama de esfuerzos
normales.
A = 1m2
Solución:
Diagrama de σ:
compresión
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
67
Problema 37
Calcular el diagrama de esfuerzos normales.
A = 1 m2
Solución:
6
T
q = 1.5 T/m
x
1
1
V1
X
6
T
4
T
2
q = 1.5 T/m
2
V2
6
T
4
T
q = 1.5 T/m
X
6
3
T
3
V3
68
Resistencia de materiales
Diagrama de σ:
Editorial Macro
Compresión
Tracción
6
0
9
–
2m
4m
V (T/m2)
17
14
6m
8 5
Problema 38
Hallar “x” para que los puntos B y E se
pongan en contacto.
(E = 200 GPa)
D
I = 2 mm
0.25 m
X
C
20 kg
B
A
1.5 mm
E
0.08 m
0.32 m
Solución:
D.C.L:
FCD
20 kg
X
A
B
C
0.08 m
0.32 m
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Deformaciones:
0.08
0.32
G CD
0.0015 m
Problema 39
Un bloque de espesor constante “t” tiene una
densidad ρ. Calcular la deformación total debida
al peso propio.
b
t
b/2
Solución:
b/4
b/2
b/4
y
1
x
AX
1
"
x
b/2
VX
AX
W
x
A = b t/2
69
70
Resistencia de materiales
Problema 40
Calcular:
Solución:
D.C.L:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
71
72
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 41
La barra rígida AB tiene 1000 kg de masa, y
pende de 2 cables de área 400 m2. Determinar
la magnitud de P y su ubicación.
Los esfuerzos en los cables AC y BD tienen un
límite de 100 MPa y 50 MPa respectivamente.
Solución:
D.C.L:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 42
Diseñar el cable y el soporte de madera y determinar el desplazamiento del punto B.
Solución:
α = 36.87º
β = 53.13º
73
74
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 43
El bloque de concreto tiene un peso de 400
kg y A= 103 cm2.
El bloque está suspendido de un cable
de acero (E = 2 x 106 kg/cm2) y A = 0.5 cm2.
a) Determinar los desplazamientos de los
puntos 1 y 2.
E concreto = 2 x 105 kg/cm2.
b) Dibujar el diagrama de esfuerzo normal.
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
75
76
Resistencia de materiales
Problema 44
Determinar la deformación total de la columna de
concreto si:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
77
78
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 45
Hallar el valor máximo de P de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones:
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 46
Calcular la deformación total del tronco de cono.
P = 20 T
γ = 2300 kg/ m3
E = 0.18 x 106 kg/cm2
Solución:
d = 2m
D=4m
79
80
Resistencia de materiales
Corte 1-1
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 47
Hallar el valor de P1 para que el desplazamiento del punto R sea 0.3 mm hacia la derecha.
E
A1
A2
A3
P2
P3
= 200 GPa
= 5 cm2
= 10 cm2
= 15 cm2
= 60 kN
= 120 kN
Solución:
Corte 1-1:
Corte 2-2:
Corte 3 − 3:
Nota: El sentido de los esfuerzos ha
sido asumido, dado que se desconoce
la magnitud de P1.
81
82
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 48
En la figura mostrada hallar la relación entre P1 y
P2 de tal manera que el desplazamiento vertical en
C sea cero.
Solución:
D.C.L.
Corte: 1-1:
Corte: 2-2:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Reemplazando en (3) las relaciones
dadas inicialmente:
Problema 49
Para el sistema que se muestra en la
figura, encontrar el desplazamiento del
punto C.
E = 30 x 10 6 lb/pulg2
Diámetros de los troncos de cono:
Diámetro mayor: 1 pulg
Diámetro menor: ½ pulg
Solución:
(Por ser el mismo volúmen y la carga el doble)
83
84
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 50
La fuerza P hace descender el brazo rígido,y los puntos D y E son articulaciones de pasador
sin fricción. Cuando el brazo rígido ACD está horizontal, la abertura en el punto ´F´ es 0.1”.
Determinar la deformación unitaria en la varilla BC, cuando la abertura es 0.2 pulg.
Solución:
Cuando la abertura es 0.2 pulg el punto G se desplaza 0.1 pulg hacia la izquierda.
Deformaciones:
Ing. Luis Gamio
Problema 51
E = 2000 x 103 kg/cm.2 < > 2 x 107 kg/m2
γ = 2000 kg/m3
Calcular la deformación total del cuerpo formado
por un cilindro y un cono debido a su peso propio.
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
85
86
Resistencia de materiales
Problema 52
E= 2x 106 kg/cm2 < > 2x 1010 kg/m2
γ= 2500 kg/m3
Calcular la deformación total del tronco
de cono debido a su peso propio.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 53
Barra de acero
A = 250 mm2
E = 200 GPa
a) Calcular P1 (kN) si el extremo inferior “D” de
la barra no se debe desplazar verticalmente
cuando se aplican las cargas, (δD = 0).
b) Calcular P1 (kN) cuando δD = + 0.2 mm
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
87
88
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 54
Hallar X para que la carga P aplicada haga que la barra se mantenga horizontal. P=10,000
libras.
Acero
Solución:
D.C. L:
Deformaciones:
Cobre
Ing. Luis Gamio
Problema 55
Calcular:
1) La deformación total
2) El desplazamiento horizontal
del punto A
E
= 10 6 kg/cm2
A1 = 36 cm2
A2 = 6.4 cm2
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
89
90
Resistencia de materiales
Problema 56
δ A= ?
Solución:
D.C.L.
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 57
Calcular el desplazamiento
vertical de “C”.
Ambas varillas:
Solución:
D.C.L.
Deformaciones:
Capítulo 3: Carga axial
91
92
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 58
Hallar el desplazamiento del punto A.
Solución:
Carga distribuida
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Corte 1-1:
Corte 2-2:
De manera similar se realizan los 3 cortes siguientes:
Los cinco esfuerzos serán de tracción; por lo tanto, las deformaciones serán alargamientos.
93
94
Resistencia de materiales
Problema 59
Hallar la relación del área de acero
y la del aluminio si las longitudes se
van a deformar igual.
Solución:
D.C.L.
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 60
Determinar el valor de P, de manera que la
barra rígida quede en posición horizontal.
Solución:
D.C.L.
Por equilibrio:
Por deformaciones:
95
96
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 61
La varilla ABC está sometida a una carga
Q = 30 000 lb y una carga P si E = 30 x 106 lb/ pulg2.
Hallar:
a) La magnitud de P necesaria para que la deflexión
de A sea cero.
b) La deflexión del punto B.
Solución:
Corte 1-1:
Corte 2-2:
Ecuaciones (2) y (3) en (1): P = 4,576 Lb.
Ing. Luis Gamio
Problema 62
Dos barras que se suponen absolutamente
rígidas están articuladas en A y en D, y
separadas en C mediante un rodillo.
En B una varilla de acero ayuda a soportar
la carga de 50 kN. Hallar el desplazamiento
vertical del rodillo situado en C.
Varilla:
Solución:
D.C.L.
Deformaciones:
Capítulo 3: Carga axial
97
98
Resistencia de materiales
Problema 63
AB y CD son barras rígidas.
Determinar P Máximo si las barras pueden
moverse verticalmente un máximo de 5 mm.
Aluminio
Acero
E = 70 GPa
L = 2m
A = 500 M2
200 GPa
2m
300 m2
Solución:
D.C.L. CD:
Deformaciones
acero
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 64
Determinar el alargamiento de la barra
cónica debido a su peso propio.
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
99
100
Resistencia de materiales
Problema 65
Un tubo de aluminio de 1.20 m de longitud
y 1100 mm2 de sección, descansa en un
soporte fijo en A.
La varilla de acero BC es de 15 mm de
diámetro, cuelga de una placa rígida que
descansa sobre el tubo en B, sabiendo que el
módulo de elasticidad es de 200 GPa para el
acero y de 70 GPa para el aluminio.
Hallar la deflexión de C cuando:
P= 60 kN.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 66
La barra rígida está en posición horizontal
antes de aplicar la carga.
P. Si P = 50 kN
Determine el movimiento vertical del punto
C.
Acero
L=3m
A = 300 m2
E = 200 GPa
Solución:
Deformaciones:
Aluminio
4m
500 m2
70 GPa
101
102
Resistencia de materiales
Problema 67
Determinar el desplazamiento vertical de la rótula en C.
Solución:
D.C.L.
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Gráfico de deformaciones:
Problema 68
Calcular los esfuerzos normales en el núcleo
de acero y en las placas de aluminio.
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
103
104
Resistencia de materiales
Problema 69
Hallar la carga axial máxima (P) que puede aplicarse si:
Solución :
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 70
Una viga rígida de peso despreciable está
articulada en O y sujeta mediante dos varillas de
igual E, A. Determinar la carga en cada varilla si
P = 30 kN.
Solución:
D.C.L.
Deformaciones:
Capítulo 3: Carga axial
105
106
Resistencia de materiales
Problema 71
Hallar el desplazamiento vertical del punto P.
Solución:
D.C.L.:
Desplazamientos:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 72
La barra rígida AB de peso despreciable está
articulada en 0 y fija a las varillas de aluminio
y de acero. Hay un claro ∆ = 4 mm entre la
punta inferior de la varilla de aluminio y su
articulación en D.
Calcular el esfuerzo en la varilla de acero,
cuando la punta inferior de la varilla de
aluminio se articula en el apoyo D.
EAC= 200 GPa
EAL= 70 GPa
Solución:
Deformaciones:
Capítulo 3: Carga axial
107
108
Resistencia de materiales
Problema 73
Determinar la parte de la carga que soporta cada varilla.
Solución:
Equilibrio de la barra:
Deformaciones:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 74
Hallar el esfuerzo en las varillas 1,2 y 3 cuando
se une al extremo inferior de la varilla 2 a la
barra rígida.
Todas las varillas tienen A = 2cm2,
E = 2 x 106 kg/cm2
Considerar ∆ = 0.2 cm
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
109
110
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Deformaciones
− − − (2)
En el gráfico se cumple:
Resolviendo (1), (2) y (3):
Problema 75
Dada las varillas DB y EC con:
Solución:
Por estática
Ing. Luis Gamio
Deformaciones:
Problema 76
La longitud del conjunto mostrado disminuye
en 0.40 mm cuando se le aplica una fuerza axial,
por medio de placas rígidas en los extremos.
Hallar:
a) La magnitud de la fuerza aplicada.
b) El esfuerzo correspondiente en el
núcleo de latón.
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
111
112
Resistencia de materiales
Deformaciones
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 77
Para el sistema mostrado en la figura no
hay deformación en las barras verticales
antes de aplicar la carga P.
Después de aplicar la carga P, la
deformación axial en la barra A es 0.0036´.
Determinar la deformación axial que
se produce en la barra B y el valor de la
fuerza P.
Solución:
Por equilibrio:
Deformaciones:
Capítulo 3: Carga axial
113
114
Resistencia de materiales
Problema 78
Determinar el esfuerzo normal en cada varilla y el
desplazamiento vertical del punto de aplicación de la
carga.
Solución:
Diagrama de cuerpo libre:
Deformaciones:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
115
Problema 79
Determinar el esfuerzo en cada cable y la
desviación vertical del punto ´B´
D
E
Ac
140
cm
ero
Co
180
cm
bre
B
A
2T
1.5
C
0.9
1T
0.6 m
Solución:
D.C.L.
FCO
D
A
E
FAC
180
2T
1.5
0.9
Deformaciones:
G CO
Co
br
D e
G D
Ac
ero
G AC
E
G
E
1T
0.6 m
300
D
240
320
400
E
240
116
Resistencia de materiales
2.4
Editorial Macro
0.6
G
Gȕ
Problema 80
x
Determinar el valor mínimo de ´X´, de manera
que no se superen los siguientes esfuerzos:
1
2
≤ 1200 kg/cm²
A1
= 2 cm²
A2
= 1 cm²
6T
2
4m
E
≤ 1800 kg/cm²
E1 = E2 = 2 x 106 kg/cm²
A 3m
3m
D
2m
1
4m
Solución:
D.C.L.
A
E
6T
F2
D
3m
X
F1
4m
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
117
Problema 81
La barra rígida pesa 2 T/m y las barras
elásticas tienen el mismo E = 2 x 106
kg/cm².
Calcular P máximo si el esfuerzo
admisible es 3000 kg/cm².
1
2
3
Solución:
D.C.L.
F1
1m
B
B
1.5
F3
F2
1/2
10000 kg
1m
1m
P
118
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Deformaciones:
Problema 82
La plancha rígida pesa 104 libras
y se apoya en 3 barras colocadas
simétricamente. Determinar los
esfuerzos en las barras.
Bronce
Acero
A = 3 pulg²
E = 15 x 106 psi
 = 3 pies
4
30 x 106
3
Solución:
D.C.L.
10 4 lbs.
B
1
FB 1
1
pie
FA
pie
FB 2
Ing. Luis Gamio
Deformaciones:
Problema 83
Las 3 barras son de acero E = 30 x 104 lb/pulg²
y tienen el mismo diámetro. Si el esfuerzo
normal no debe exceder de 20000 lb/pulg² en
las barras, calcular el diámetro mínimo que se
debe usar en las barras.
Solución:
D.C.L.
Deformaciones:
Capítulo 3: Carga axial
119
120
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 84
Determinar el esfuerzo en la barra de acero y
en el aluminio, una vez que se haya aplicado
la carga central.
P = 400 kN
∆ = 0.1 mm
Aluminio
Acero
L = 250 mm
A = 120 mm
 = 70 GPa
249.9
2400
200
Solución:
D.C.L.
Deformaciones:
Posición inicial
G AL
0.1 mm
G AC
G AL
P. final
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
121
De (2):
De (1) y (3):
Problema 85
Calcular la longitud de la barra de bronce de
manera que la fuerza total en cada barra de acero
sea el doble de la que soporta aquella.
Acero
Bronce
A = 6 cm2
E = 2.1 x 106 kg/cm2
L= 1m
9 cm2
8.4 x 105 kg/cm2
?
Solución:
D.C.L.
2F
F
a
a
20 T
Deformaciones:
2F
A
c
e
r
o
a
B
r
o
n
c
e
a
20 T
A
c
e
r
o
122
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 86
Determinar el rango de valores de “x” de
manera que las 3 varillas de acero no sufran
tensión.
L1 = L2 = L3 = L
A1
= A 2 = A3 = A
E1
= E2 = E3 = E
Solución:
D.C.L.
− − −(1)
∑
M1
− − −(2)
Deformaciones:
Primer caso:
Segundo caso:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
123
Problema 87
Determinar W si:
Cable de
acero
3m
A
Madera
D
'
Acero
Madera
4m
Solución:
D.C.L.
FAC
D
4m
A
2m
Fma
W
Deformaciones:
G AC
D
D
G ma + 0.1 cm
GAC
Gma 0.1
D
kg
3m
2m
W
124
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 88
Una barra rígida AD es soportada en A por
un soporte rígido y en B,C y D por resortes
cuyas constantes son
KB = 1 250 kg/cm.
KC = 715 kg/cm, KD = 535 kg/cm
Si se aplica una carga de 6 000 kg. en C,
calcular las reacciones en B, C y D.
6000 kg
Solución:
D.C.L.
A
1250 XB
a
Deformaciones:
535 XD
715 XC
a
a
Ing. Luis Gamio
Problema 89
Un cilindro circular recto de hierro fundido de 3” de
diámetro, se coloca concéntricamente dentro de un tubo
de acero de 15” de diámetro interior y 16” de diámetro
exterior, y el espacio entre ellos se rellena con concreto.
Determinar los esfuerzos en cada material, debido a una
carga axial de 600 000 libras.
Solución:
Capítulo 3: Carga axial
125
126
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 90
Una barra rígida de peso despreciable está
articulada de un extremo, y suspendida de una
varilla de acero y una de bronce.
¿Cuánto vale la carga máxima P que puede
aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de
120 MN/m² y en el bronce de 70 MN/m²?
Acero
Bronce
Solución:
¡Sí!
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 91
Se tiene una barra rígida AB sometida a una carga
de 50 kN y sostenida por una varilla de aluminio
y otra de acero. Si se incrementa la temperatura
en 40 °C, hallar los esfuerzos en el aluminio y en
el acero.
Aluminio
Acero
A = 900 mm²
E = 70 x 109N/m²
α = 23 x 10 -6/°C
L=3m
600
2 x 1011
11.7 x 10-6
4
Solución:
D.C.L.
Deformaciones:
127
128
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 92
Hallar los esfuerzos normales del poste de
concreto mostrado en la figura, generados en el
acero y en el concreto por un ascenso de
temperatura de 90 °F.
5´
Dicho poste está reforzado con 6
barras de ϕ 7/8” c/u.
Poste de
concreto
acero = 6.5 x 10−6 / ºF
concreto = 5.5 x 10−6 / ºF
Eacero = 30 x 106 / pulg2
Econcreto = 3.6 x 106 / pulg2
10´´
10´´
Solución:
α acero > α concreto
GP
Deformaciones:
AC
GT
AC
GP
CO
GT
CO
Acero
Concreto
Nivel
final
Nivel
inicial
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 93
Calcular:
a) La fuerza de compresión en las barras
mostradas, después de un aumento de
temperatura de 200 ºF.
b) El cambio correspondiente de longitud de la
barra de aluminio.
Acero
Solución:
Deformaciones:
Bronce
129
130
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 94
El casco de aluminio de la ilustración está completamente
adherido al núcleo de latón, y el conjunto no está esforzado a
15 ºC. Considerando solo las deformaciones axiales, hallar el
esfuerzo en el aluminio cuando la temperatura llega a 195 ºC.
Latón
Aluminio
E = 105 GPa
 = 19 x 10-6 / ºC
70 GPa
 x 10-6/ ºC
Solución:
Deformaciones:
Aluminio > Latón
Como el aluminio tiende a deformarse
más que el latón, surge una fuerza
interna P que hace que se deformen igual
ambos materiales (están completamente
adheridos).
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 95
Para t0 = 20 ºC
Existe un Δ = 0.5 mm
Hallar:
a) La temperatura a la cual el
σ acero = − 150 MPa
Aluminio
b) La longitud final de la varilla de acero.
A = 2 x 103 mm²
E = 70 GPa
α = 23 x 10 -6/°C
Solución:
G P1
G t1
1
G t2
2
'1
'2
G P2
Posición
final
B)
Acero
800mm2
190 GPa
18 x 10-6/°C
131
132
Resistencia de materiales
Problema 96
El sistema mostrado en la figura se mantiene
en dicha posición a 15 ºF. Si luego se coloca la
carga P = 3 x 104 lbs y la temperatura aumenta a
55 ºF, calcular el esfuerzo en la barra B y C.
Δ = 2 x 10-3 pulgadas.
Aluminio
E = 30 x 106 lb/pulg²
α = 6.5 x 10-6/ ºF
A = 2” x 2”
Solución:
Deformaciones:
Acero
10 x 106
13 x 10-6
1.5 x 1.0
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 97
A una temperatura de 20º C hay un Δ =0.2mm
entre el extremo inferior de la barra de bronce
y la losa rígida suspendida de las 2 barras de
acero.
Determinar el esfuerzo en cada barra cuando la
tf=100º C.
Bronce
A = 600 mm2
E = 83 GPa
α = 18.9 x 10-6/ºC
Solución:
D.C.L.
Deformaciones:
Acero
400
200
11.7x 10-6
133
134
Resistencia de materiales
Problema 98
Si la barra rígida AB se mantiene en posición
horizontal a determinada temperatura,
calcular la relación de áreas de las varillas
para que la barra AB se mantenga horizontal
a cualquier temperatura.
Aluminio
Solución:
Por condición del problema:
D.C.L.
Acero
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 99
La temperatura de los 3 cables aumenta 14 ºC.
Hallar el esfuerzo en cada cable y la posición de
la carga aplicada para que la viga permanezca
en horizontal.
Acero
Solución:
D.C.L.
Deformaciones:
Bronce
Cobre
135
136
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 100
A)Si t0= 20ºC y tf = 120 ºC, hallar los esfuerzos
en las varillas 1 y 2.
A
B)Si t0 = 20 ºC. ¿A qué temperatura quedará la
varilla 2, exenta de esfuerzo?
Varillas 1 y 2
10 T
1
3m
A = 20 cm2
 = 12 x 10-6/ ºC
E = 2 x 106 kg/ cm2
2m
2
2m
Solución:
A)
Deformaciones:
D.C.L.
10 000 kg
B)
kg
1m
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
137
Problema 101
Determinar la variación de temperatura que
debe experimentar el sistema para que la barra
de bronce alcance un esfuerzo de 600 kg/cm2.
Bronce
Acero
A = 12 cm2
E = 8.4 x 105 kg/ cm2
 = 1.89 x 10-5/ ºC
4
2.1 x 106
1.17 x 10-5
Solución:
D.C.L.
FBR
A
F
FAC
T
10
1.0
2.5
Deformaciones:
1.25
Acero
1m
3m
Bronce
A
T
10
1.0
2.5m
1.25 m
138
Resistencia de materiales
Problema 102
Hallar la relación entre los coeficientes de dilación α1
y α2 para que la estructura sometida a un aumento de
temperatura “Δt” no engendre esfuerzos de origen térmico.
Solución :
Condición del problema:

Las deformaciones serán por temperatura únicamente.
Deformaciones:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 103
Si al elemento AB se le incrementa la temperatura desde 60
ºF hasta 104 ºF, mientras que la temperatura del elemento
AC permanece en 60 ºF. ¿Qué esfuerzos se inducen en ellos,
suponiendo que se conservan rectos?
 = 6 x 10-6/ ºF
E = 30 x 106 lb/ pulg2
A = 2 pulg2
Solución:
Deformaciones:
A1 : Posición final del punto A
Equilibrio en el nudo A
139
140
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 104
¿Qué variación de temperatura se requerirá
para que el punto ´F´ no varíe su posición según
la vertical más de 0.075”, estando sometido
simultáneamente a la acción de P = 20 000 lbs?
Considerar la barra BC rígida y FG rígida.
I
A (pulg2)
II
2
0.5
E (lb / pulg )
30 ×10
15 × 106
6.5 × 10-6
9.2 ×10-6
6
2
α (/ºF)
Solución:
Suponemos ∆ (+)
D.C.L.
F2
F
36´´
36´´
G
FG
20000
B 12´´ E
FB
Deformaciones:
F2
12´´ C
FC
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Condición del problema:
Problema 105
Diámetro de las 3 varillas: 1/8”. ¿Con qué
aumento de temperatura Δt (ºF), el peso W es
soportado solo por las varillas de acero?
1´
A
c
e
r
o
Acero
A
l
u
1´ m
i
n
i
o
1´
1´
800 lb = W
Solución:
D.C.L.
400 lb
400 lb
1´
1´
800 lb
Deformaciones:
A
c
e 1´
r
o
141
142
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 106
Un tubo de aluminio tiene una longitud de 60 m a una temperatura de 18 ºC. Un tubo
de acero adyacente, a la misma temperatura es 5 mm mayor que la longitud del tubo de
aluminio.
¿A qué temperatura la diferencia de longitud de los 2 tubos será de 15 mm?
al = 23 x 10-6/ ºC
ac = 12 x 10-6/ ºC
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 107
t= 30 ºC
FAC = ?
FAL = ?
Aluminio
D.C.L.
Deformaciones:
Acero
143
144
Resistencia de materiales
Problema 108
Las 3 barras son de Acero A – 36. E = 29 x 103
klb/pulg2 y forman una armadura conectada
por pasadores. Si esta se construye cuando
t1 = 50 ºF, determinar la fuerza en cada barra
cuando t2 = 110 ºF.
 = 6.6 x 10-6/ ºF
A = 2 pulg2
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Solución:
Por equilibrio en A:
º
Gt + GF
2
2
Gt - GF
1
1
A
D
145
146
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 109
Calcular Δt de manera que la varilla de bronce alcance un esfuerzo normal de 600 kg/cm2
en tensión.
Solución:
D.C.L.
6000 kg
A
2m
2
FA
2m
10000
Deformaciones:
Suposición ∆ (+)
La temperatura disminuye en esa magnitud.
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
Problema 110
La barra de plástico es sometida a un incremento uniforme de temperatura de 30 ºC.
E = 6 GPa
α = 100 x 10-6/ºC
Calcular:
a) La fuerza de compresión P (kN).
b) El esfuerzo de compresión σc (MPa) máximo.
c) El desplazamiento δc del punto C (mm).
Solución:
147
148
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 111
Una barra metálica se coloca entre soportes rígidos a la temperatura ambiente 68 ºF.
Calcular los esfuerzos normal y cortante sobre la sección inclinada “pq” si la temperatura
se incrementa a 200 ºF. Para la barra:
α = 6.5 x 10-6/ºF E = 30 x 106 psi
Solución:
Superposición de efectos:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 3: Carga axial
149
Problema 112
El sistema se encuentra a 18 ºC. Determinar el esfuerzo en cada barra si la temperatura se
eleva a 50 ºC.
Acero
Aluminio
 = 1.17 x 10-5/ ºC
2.34 x 10-5/ ºC
20 cm2
7 x 105 kg/cm2
A = 20 cm2
E = 2 x 106 kg/ cm2
Solución:
D.C.L.:
Deformaciones:
150
Resistencia de materiales
Editorial Macro
4
CAPÍTULO
ESFUERZO Y DEFORMACIÓN
GENERALIZADA
4.1 Material homogéneo
Tiene las mismas propiedades elásticas (E, μ) en todos los puntos del cuerpo.
4.2 Material isótropo
Tiene las mismas propiedades elásticas en todas las direcciones en cada punto del cuerpo.
I
II
III
Para el caso I consideramos como eje longitudinal el eje donde está aplicado el esfuerzo, que
en este caso es “X”.
→ Deformación unitaria longitudinal
Experimentalmente se ha encontrado una relación entre las deformaciones longitudinales y
transversales.
εT = Deformación unitaria transversal
Módulo de Poisson, tiene un valor numérico único para un
material particular que sea homogéneo e isótropo.
Para el caso I
152
Resistencia de materiales
εx
Editorial Macro
εy
εz
I
II
III
Deformaciones unitarias totales en cada eje:
A estas expresiones se les conoce como la Ley Generalizada de Hooke, y son válidas si el
principio de superposición es aplicable, lo cual requiere una respuesta lineal elástica del material
y las deformaciones deben ser pequeñas.
4.3 Valores del módulo Poisson (μ)
μ
Material

Hierro fundido

Concreto

Plástico

Acero estructural

Aluminio
Ing. Luis Gamio
4.4 Variación de área (∆A)
4.5 Variación de volumen (∆V)
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
153
154
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Observación
Deformación volumétrica o cambio de volumen por
unidad de volumen.
La variación de área y de volumen se producen debido a las deformaciones generadas por los
esfuerzos normales.
4.6 Módulo de compresibilidad (K)
Un cuerpo sometido a presión hidrostática uniforme:
Haciendo:
Si
Módulo de Compresibilidad o módulo volumétrico
el material sería incompresible (material ideal, no existe).
Si (μ=0) el material puede ser estirado en una dirección sin contracción lateral (material ideal,
no existe).
4.7 Estado de corte puro
Y
Espesor pequeño unitario = 1
Ing. Luis Gamio
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
D.C.L: OAB
De (1): Para que
4.8 Relación entre el esfuerzo cortante (τ) y la deformación unitaria
por corte (γ)
De la ley generalizada de Hooke:
El elemento ABCD está en estado de corte puro.
155
156
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Simplificando:
Llamando
Módulo de rigidez o Módulo de elasticidad al cortante.
4.9 Fórmulas de Lamé
En la ley generalizada de Hooke, se tienen las deformaciones unitarias en función de los
esfuerzos normales; en las fórmulas de Lamé, se tienen los esfuerzos normales en función de las
deformaciones unitarias.
Ing. Luis Gamio
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
Multiplicando la ecuación (4) por μ
Fórmulas de Lamé
4.10 Esfuerzo biaxial
En el plano la ley generalizada de Hooke se simplifica:
4.11 Esfuerzo uniaxial
157
158
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 113
Calcular: ∆d = ?
Dato:
E,μ
Solución:
Problema 114
Calcular: μ = ?
Dato:
E, ∆b
Solución:
NOTA: ∆b es negativo con lo cual
μ sale positivo.
Ing. Luis Gamio
Problema 115
Sección:
a= 10 mm
Solución:
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
159
160
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 116
Calcular:
Solución:
Problema 117
Hallar las fuerzas que actúan en las caras del
prisma recto.
Sección:
Ing. Luis Gamio
Solución:
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
161
162
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 118
La barra tiene: L = 3 m; di = 30 mm.
Está hecha de aleación de aluminio
E = 73 GPa μ = 1/3. Si la barra se alarga
7 mm, ¿cuánto se reduce el diámetro
(mm)? ¿cuál es la carga P (kN)?
Solución:
Problema 119
Un tramo de tubería de acero de 2 m de longitud y 273 mm de diámetro exterior, con un
espesor de pared de 12.5 mm es utilizado como columna corta y debe soportar una carga
axial centrada de 1.2 MN. Sabiendo que E=200 GPa y μ = 0.30. Determinar:
a) El cambio de longitud de la tubería
b) El cambio en el diámetro exterior de la tubería
c) El cambio en el espesor de la misma
Solución:
1.2 MN
Y
X
Z
Ing. Luis Gamio
a)
b)
c)
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
163
164
Resistencia de materiales
Problema 120
Una placa de aluminio está sometida a una
carga axial que produce un esfuerzo normal
σ. Sabiendo que antes de la carga se trazó
una línea con pendiente 2:1. Determinar la
pendiente de la línea cuando σ = 18 KLb/pulg2.
Para el aluminio, use E= 10 x 106 lb/pulg2 y
μ = 0.33.
Solución:
Problema 121
El bloque de la figura es de una aleación
de magnesio, para la cual E = 50 GPa. y
μ = 1/3 Hallar:
a) La magnitud σy , para la cual
el cambio de altura del bloque
será cero
b) El cambio correspondiente en
el área de la cara ABCD
c) El cambio correspondiente en
el volumen del bloque
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Solución:
a)
b)
c)
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
165
166
Resistencia de materiales
Problema 122
Se muestra un dispositivo para comprimir un
bloque cúbico de concreto. Hallar el valor de “P”
que originará una disminución volumétrica de
0.05 cm3. Todas las varillas son de acero.
Bloque E= 2 x 105 kg/cm2, u bloque = 1/5. Lado
del cubo = 10 cm.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
167
Problema 123
Una carga axial de 45.36 toneladas se va aplicando lentamente a una barra de sección
rectangular de 2.54 cm x 10.16 cm y 228.6 cm de longitud. Cuando se encuentra cargada
los 10.16 cm de uno de los lados de sección miden 10.1564 cm y la longitud ha aumentado
en 0.2286 cm. Calcular u y E.
45.36
2.54 cm
10.16 cm
228.6 cm
Solución:
T
168
Resistencia de materiales
Problema 124
Hallar los esfuerzos en las direcciones
x,y,z.
E = 2 x 105 kg/cm2
μ = 1/5
Considerar 2 casos cuando:
A)
B)
∆ = 0.04 mm
∆ = 0.004 mm
PLANTA
Solución:
A)
Comprobación
ELEVACIÓN
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
B)
Problema 125
Un cuerpo prismático de acero
está sometido a esfuerzos
normales, tal como se ve en la
figura.
Si E = 2 x 106 kg /cm2 y u = 1/4.
Calcular las longitudes finales
de sus lados.
Solución:
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
169
170
Resistencia de materiales
Problema 126
Un círculo de diámetro 200 mm
está grabado sobre una placa de
latón.
Dimensiones de la placa 400 x
400 x 20 mm.
E = 100 GPa
u = 0.34
Calcular:
a)
b)
∆ ac
∆ bd
Solución:
c) ∆t
d) ∆V
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 127
Dos bloques de caucho están pegados
a soportes rígidos y a una placa móvil
AB.
Sabiendo que una fuerza P = 7000 lb
origina una deflexión δ = 0.125 pulg.
Hallar el módulo de rigidez del
caucho.
Solución:
Para deformaciones pequeñas:
Deformación de corte:
Módulo de rigidez:
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
171
172
Resistencia de materiales
Problema 128
Una unidad aislante de vibración
consta de 2 bloques de caucho
adheridos a la platina AB y a
soportes rígidos.
Para el tipo de caucho utilizado.
τadm = 1.5 MPa
G = 18 MPa
Sabiendo que una carga vertical P =
27 kN debe producir una deflexión
vertical de 2 mm de la platina AB.
Hallar las dimensiones mínimas
“a” y “b” de los bloques.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 129
El paralelepípedo rectangular ABCD
está sometido a fuerzas aplicadas en
los centros de gravedad de sus caras.
E = 2x 106 kg/cm2
μ=¼
Hallas las nuevas dimensiones.
Solución:
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
173
174
Resistencia de materiales
Problema 130
Una barra prismática de sección recta
A y longitud fija en extremo, cuelga
verticalmente por la acción de su peso y de
una fuerza de tracción P aplicada en el otro
extremo. Calcular el aumento de volumen
de la barra, si se dan:
E, u, γ.
Solución:
σ y = σz = 0
V0 = Al ---(1)
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
Problema 131
Un cubo de hierro fundido de lado a = 3”
se prueba en un laboratorio sometiéndolo a
esfuerzo triaxial. Los extensómetros muestran
que las deformaciones unitarias son:
Solución:
175
176
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 132
Una barra de plástico acrílico tiene un diámetro de 15 mm.
Calcular:
Variación de su longitud
Variación de su diámetro
E = 2.7 GPa
μ = 0.4
Solución:
A
B
Problema 133
En el ensayo de un cilindro de hormigón a la
compresión, el diámetro original d=15.24 cm
resultó aumentado en 0.00127 cm y la longitud
original l = 30.48 cm disminuyó en 0.02794 cm,
bajo una carga total de compresión P = 23587 kg.
P
Z
"
Y
X
Calcular los valores de “E” y “μ”.
d
Ing. Luis Gamio
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
177
Solución:
Problema 134
Una varilla tiene 10 mm de radio. Se somete a una carga axial de 15 N tal que la deformación
unitaria axial es εx = 2.75 x 10-6.
Determinar
el
módulo
de elasticidad (GPa) y la
variación de su diámetro
(mm); considerar μ = 0.23
Solución:
Factor de conversión
Factor de conversión
178
Resistencia de materiales
Problema 135
Bajo la acción de las fuerzas
cortantes V, las losas se
desplazan verticalmente en
relación con la otra.
=1m
h = 100 m
t = 12 mm
a) ¿Cuál es la deformación unitaria cortante promedio de la resina epóxica?
b) ¿Cuál es la magnitud de las fuerzas V (kN) si G = 960 MPa?
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 4: Esfuerzo y deformación generalizada
179
Problema 136
Una esfera sólida de acero: E = 210 GPa, μ = 0.3 está sometida a una presión hidrostática
P tal que su volumen se reduce en 0.4%.
Calcular:
a) La presión P ( MPa)
b) Módulo volumétrico de elasticidad K (GPa) para el acero.
Solución:
5
CAPÍTULO
ESTADO PLANO
DE ESFUERZOS
5.1 Variación del esfuerzo con la orientación del elemento
Para el mismo punto, los esfuerzos varían
con la orientación que tenga el plano.
El objetivo es determinar en qué planos se presentan los esfuerzos máximos, y calcular
sus magnitudes.
5.1.1 Esfuerzo en un punto
182
Resistencia de materiales
5.1.2 Estado inicial de esfuerzo
5.1.3 Esfuerzos en el prisma triangular
5.1.4 Fuerzas en el prisma triangular
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
5.1.5 Diagrama de las fuerzas en un punto
Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos
183
184
Resistencia de materiales
Editorial Macro
5.1.6 Ubicación de los planos donde se producen el máximo y el mínimo esfuerzo
normal
En la ecuación (1)
5.1.7 Magnitud de los esfuerzos principales
Son esfuerzos normales a los planos principales y el esfuerzo cortante es nulo.
De la ecuación (3)
Ing. Luis Gamio
Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos
5.1.8 Ubicación de los planos donde se producen el máximo y mínimo esfuerzo
cortante
En la ecuación (2):
Comparando la ecuación (3) con la ecuación (5):
5.1.9 Magnitud de los esfuerzos cortantes máximo y mínimo
De la ecuación (5)
Ecuación (6´)
A) Invariantes
B) Fórmula alternativa
185
186
Resistencia de materiales
5.2 Resumen
5.2.1 Esfuerzos en un plano arbitrario
5.2.2 Esfuerzos principales
5.2.3 Esfuerzo cortante máximo en el plano
5.2.4 Invariantes
5.2.5 Convención de signos
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos
5.3 Círculo de Mohr
Se une A y B con una recta que cruza al eje horizontal en G (centro
del círculo). AB es el diámetro del círculo.
Los puntos C y D indican los esfuerzos principales ( = 0)
Los puntos E y F indican los esfuerzos cortantes máximo y mínimo.
187
188
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 137
En un punto en una placa delgada se presenta el
siguiente estado de esfuerzos.
Calcular los esfuerzos normal y cortante en el
plano AB.
Solución:
Esfuerzos
Áreas
Fuerzas
Ing. Luis Gamio
Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos
Problema 138
Los esfuerzos mostrados actúan en un punto
sobre la superficie de un eje circular que está
sujeto a un momento de torsión T. Calcular los
esfuerzos normal y cortante en el plano AB
Solución:
Esfuerzos
Fuerzas
Áreas
189
190
Resistencia de materiales
Problema 139
Determinar los componentes del esfuerzo
que actúan sobre el plano inclinado AB y
sobre un plano perpendicular a AB.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos
Problema 140
Para el estado plano de esfuerzos
conoce el esfuerzo principal mínimo:
- 70 kg/cm2.
Calcular: X, el esfuerzo
principal máximo, máximo
Solución:
se
191
192
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 141
Un punto sobre una placa delgada está sometido a los dos estados sucesivos de esfuerzo
mostrados. Determine el estado de esfuerzo resultante representado sobre el elemento
orientado, tal como se muestra a la derecha:
Solución:
En fórmula 2:
Conclusión:
Ing. Luis Gamio
Problema 142
Un elemento en esfuerzo plano está
sujeto a los esfuerzos mostrados.
Determinar los esfuerzos principales y
mostrarlos en un diagrama.
Solución:
Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos
193
194
Resistencia de materiales
Problema 143
Un elemento en esfuerzo plano está sujeto
a los esfuerzos mostrados. Determinar los
esfuerzos cortantes máximos y mostrarlos
en un diagrama.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 144
Resolver el problema 142
por el círculo de Mohr.
Solución:
Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos
195
196
Resistencia de materiales
Problema 145
Resolver el problema 143
por el círculo de Mohr.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 146
Solución:
Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos
197
6
CAPÍTULO
ESTADO PLANO
DE DEFORMACIONES
El estado general de deformación unitaria en un punto de un cuerpo está representado por una
combinación de tres componentes de deformación normal: εx, εy, εz y tres componentes de
deformación cortante γxy, γxz, γyz.
Estas seis componentes tienden a deformar cada una de las caras de un elemento del material
y, al igual que el esfuerzo, los componentes de las deformaciones normal y cortante en el punto
variarán de acuerdo con la orientación del elemento.
En general, un elemento deformado en el plano se encuentra sometido a 2 componentes de
deformación normal εx, εy y a un componente de deformación cortante γxy.
Deformación normal εx
Deformación normal εy
“Las deformaciones normales son el producto de cambios de longitud del elemento”
“La deformación cortante es el producto de la
rotación relativa de dos lados adyacentes del
elemento”
Los ingenieros deben transformar estos datos con el
fin de obtener los componentes de la deformación
en otras direcciones.
200
Resistencia de materiales
Editorial Macro
6.1 Ecuaciones generales de la transformación de la deformación
unitaria plana
• Convención de signos
En el análisis de la deformación unitaria plana es importante establecer ecuaciones de
transformación que puedan utilizarse para determinar las componentes x1, y1 de la deformación
normal y cortante en un punto, siempre que se conozcan las componentes x, y de la deformación.
Las deformaciones normales εx, εy son (+) si generan alargamientos en los ejes x,y.
La deformación cortante γxy es (+) si el ángulo interno AOB resulta menor de 90º.
6.1.1 Deformaciones en un plano arbitrario
6.1.2 Deformaciones principales
Ing. Luis Gamio
Capítulo 6: Estado plano de deformaciones
6.1.3 Deformación unitaria cortante máxima en el plano
6.1.4 Círculo de Mohr
Suposiciones:
εx, εy, γxy/2 → (+)
εx > εy
θ, β, α
→ antihorario (+)
6.1.5 Deformaciones principales (E,D)
201
202
Resistencia de materiales
Editorial Macro
6.1.6 Deformación cortante máxima (F,G)
6.1.7 Deformaciones en un plano arbitrario (H,I)
6.2. Rosetas de deformación unitaria
Las deformaciones normales en un punto de la superficie de un cuerpo se determina mediante
tres medidores de deformación de resistencia eléctrica (que consiste en una malla de alambre
u hoja metálica), dispuestos según un patrón específico; esta forma se conoce como roseta de
deformación.
Caso general
Utilizando la ecuación (1)
Al resolver las 3 ecuaciones se encuentra εx, εy, γxy.
Ing. Luis Gamio
Capítulo 6: Estado plano de deformaciones
203
6.2.1 Rosetas de deformación dispuestas a 45º
En la ecuación (1)
6.2.2 Rosetas de deformación dispuestas a 60º
En la ecuación (1)
c
b
120°
60°
x
a
204
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 147
El estado de deformación en el punto tiene los siguientes componentes:
εx = – 200 (10-6)
εy = – 650 (10-6)
γxy = – 175 (10-6)
Determinar las deformaciones en el plano, equivalentes sobre un elemento orientado
según un ángulo θ = 20º, en sentido antihorario, desde la posición original.
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 6: Estado plano de deformaciones
Problema 148
El estado de deformación en el punto tiene los siguientes componentes:
εX = 850 (10-6)
εy = 480 (10-6)
γxy = 650 (10-6)
Determinar:
• Deformaciones principales en el plano
• Deformación cortante máxima en el plano
• La deformación normal promedio
Solución:
205
206
Resistencia de materiales
De (8) ε prom = 665(10-6)
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 6: Estado plano de deformaciones
Problema 149
Resolver el problema147 por el círculo de Mohr.
Solución:
207
208
Resistencia de materiales
Problema 150
Resolver el problema 148 por el círculo de Mohr.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 6: Estado plano de deformaciones
209
Problema 151
Las deformaciones unitarias sobre la superficie de un dispositivo experimental de aluminio
puro (E = 70 GPa; u = 0.33) se midieron por medio de extensómetros donde:
Solución:
210
Resistencia de materiales
Problema 152
Un elemento en esfuerzo plano está sometido a
los esfuerzos mostrados. El material es aluminio.
E= 10 000 Ksi
u= 0.33
Calcular:
a) Deformaciones unitarias para un elemento
orientado a un ángulo θ = 30º.
b) Deformaciones unitarias principales.
c) Deformaciones unitarias cortantes máximas.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 6: Estado plano de deformaciones
Problema 153
Se usó la roseta para obtener datos de las
deformaciones unitarias normales en un punto
sobre la superficie libre de una parte de la máquina.
Determinar las componentes de deformación unitaria εx, εy, xy, en el punto, las
deformaciones unitarias principales y la deformación angular máxima.
Solución:
211
212
Resistencia de materiales
Problema 154
Se usó la roseta para obtener datos de
deformaciones unitarias normales en un
punto sobre la superficie libre de una parte de
la máquina.
εa = 875 u
εb = 700 u
εc = -350 u
Determinar las componentes de deformación
unitaria εx, εy, xy
en el punto, las
deformaciones unitarias principales y la
deformación angular máxima.
Solución:
Editorial Macro
7
CAPÍTULO
RECIPIENTES DE
PARED DELGADA
• Pared delgada se refiere a un recipiente con una relación de radio interior a espesor de
pared de 10 o más:
• La distribución del esfuerzo a través del espesor “t” de la pared no variará de manera
significativa; por ello, se supondrá constante. (el esfuerzo es de tracción).
• La presión dentro del recipiente es la presión manométrica interna desarrollada por el gas
o fluido contenido, puede ser constante o variar de manera continua.
7.1 Esfuerzos en la pared del recipiente
7.1.1 Recipientes cilíndricos
Presión interior: P
SECCIÓN A-A
214
Resistencia de materiales
Editorial Macro
SECCIÓN B-B
7.1.2 Recipientes esféricos
Presión interior: p
C-C
Ing. Luis Gamio
Capítulo 7: Recipientes de pared delgada
215
Problema 155
¿Cuál será la máxima presión interna a la que puede estar sometido el depósito totalmente
cerrado, el cual contiene un gas en su interior, sin exceder el esfuerzo indicado?
Solución:
1º corte
2º corte
3º corte
216
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 156
La porción cilíndrica del tanque compresor de
aire comprimido se ha fabricado con una placa
de 0.25” de espesor, a lo largo de una hélice, que
forma un ángulo β = 30º con la horizontal.
Sabiendo que el esfuerzo normal admisible en la
soldadura es de 10500 psi, determinar la mayor
presión manométrica que puede usarse en el
tanque.
Solución:
Problema 157
Un tanque esférico para gas tiene un radio interno r = 1.5 m. Determinar el espesor requerido
“t” si la presión interna será P = 300 KPa y el esfuerzo normal máximo no debe exceder de
12 MPa.
Solución:
Unidades:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 7: Recipientes de pared delgada
Problema 158
γagua = 1 000 kg/m3
γmercurio = 13 600 kg/m3
Recipiente cilíndrico izado
t = 1 cm → espesor de pared
ri = 25 cm → radio interior
• Calcular los esfuerzos circunferencial y
longitudinal en los puntos A, B, C de la pared.
Solución:
217
218
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 159
Un tanque esférico a presión va a fabricarse de acero con 0.5” de espesor, y está sometido a
una presión interna P = 200 psi. Determinar el radio exterior si el esfuerzo normal máximo
no debe de exceder de 15 K.s.i.
Solución:
Unidades
Problema 160
La tubería de gas está soportada cada 20´ por silletas de concreto que la mantienen fija al
piso. Determinar el esfuerzo longitudinal y circunferencial en la tubería, si la temperatura se
eleva 60º F respecto a la temperatura a la que fue instalada. El gas en la tubería se encuentra
a una presión de 600 lb/pulg2, diámetro interior 20” y espesor 0.25”.
El material es acero A – 36.
α = 6.6 × 10−6 /º F
E = 29 × 103Ksi
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 7: Recipientes de pared delgada
219
Problema 161
La tubería de extremos abiertos tiene un diámetro interior de 4” y un espesor de 0.2”.
a) Determinar los esfuerzos en las paredes del tubo cuando en él fluye agua con una presión
de 60 p.s.i.
b) Si el flujo de agua se detiene debido al cierre de una válvula, determinar los esfuerzos en
las paredes del tubo. (presión = 60 p.s.i.)
Solución:
Problema 162
La tapa de un recipiente a presión se fabrica uniendo con pegamento la placa circular al
extremo del recipiente. La presión interna es 450 KPa. Determinar el esfuerzo cortante
promedio en el pegamento y los esfuerzos en la pared del recipiente.
220
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Solución:
En la pared
P= 450 kpa
r= 225 mm
t1 = 20 mm
En el pegamento
r = 225 mm P = 450 KPa
8
CAPÍTULO
TORSIÓN
8.1 Sección circular
(3) en (5):
Ecuación del giro
(3) en (6):
Ecuación del esfuerzo cortante
G = Módulo de rigidez (F/L2)
 = Esfuerzo de corte (F/L2)
= Ángulo de giro (radianes)
 = Radio de la sección, (L) p = 0 (mínimo),
es variable.
T = Momento de torsión (F x L)
J = Momento polar de inercia de la sección (L4)
222
Resistencia de materiales
Editorial Macro
8.1.1 Momento polar de inercia (J)
“Sección circular”
“Sección anular”
8.1.2 Distribución de esfuerzos de corte
τmáximo =
τmínimo = 0
“Sección circular”
τmáximo =
τmínimo =
“Sección anular”
~ de
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
223
8.2 Ejes de pared delgada con sección transversal cerrada
8.2.1 Hipótesis
1) El espesor “t” de pared es pequeño en comparación con otras dimensiones de la sección
transversal; el espesor “t” no necesita ser uniforme a lo largo de la periferia de la pared.
2) No hay cambios bruscos en el espesor que puedan dar como resultado una concentración
de esfuerzos.
3) La periferia es contínua; es decir, no hay cortes en la sección.
4) El momento torsional está en el plano transversal.
5) No hay pandeo.
8.2.2 Esfuerzo cortante promedio (τ prom.)
8.2.3 Ángulo de torsión ()
8.2.4 Flujo de corte o flujo cortante (q)
t
Am
S
G
T
L
q
= espesor de la pared donde se calcula el prom.
= área media encerrada por la línea central del espesor de la pared
= perímetro del área media
= módulo de rigidez
= torsión
= longitud del eje
= fuerza cortante por unidad de longitud (en la sección transversal)
224
Resistencia de materiales
Editorial Macro
8.3 Ejes macizos de sección transversal no circular
El esfuerzo cortante máximo se presenta en un punto de la sección transversal que esté menos
distante del eje central.
• Cuadrado
τmáximo
• Triángulo equilátero
• Elipse
• Rectángulo
a → Lado largo
b → Lado corto
c1, c2 → Coeficientes
Nota: Para valores intermedios
de a/b se puede interpolar.
a/b
1.0
1.2
1.5
1.75
2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
6.0
8.0
10.0

C1
0.208
0.219
0.231
0.239
0.246
0.258
0.267
0.282
0.291
0.299
0.307
0.313
0.333
C2
0.141
0.166
0.196
0.214
0.229
0.249
0.263
0.281
0.291
0.299
0.307
0.313
0.333
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
225
8.4 Acoplamiento por bridas (discos) empernadas
Se unen los extremos de 2 ejes
mediante bridas.
Los pernos están dispuestos en circunferencias
interiores.
n = número de pernos
A = sección transversal del perno
Para dos grupos concéntricos de pernos:
Las deformaciones angulares en los pernos son proporcionales a sus distancias al centro del eje.
De la ley del Hooke:
Para pernos de igual material G1 = G2
226
Resistencia de materiales
Editorial Macro
8.5 Diseño de ejes de transmisión
Los ejes de transmisión están sometidos a torsión. De acuerdo al material elegido, se debe
dimensionar la sección transversal del eje, de manera que no se exceda el esfuerzo cortante
admisible.
Potencia → P = Tω_ _ _ _ (1)
Velocidad angular → ω = 2 f _ _ _ (2) _ _ _ en (1)
La ecuación (4) permite dimensionar la
sección transversal del eje.
Unidades utilizadas:
ω → radianes/seg
f → frecuencia de rotación → seg -1 , R.P.M., Hertz.
R.P.M. → revolución por minuto
P → Watts (W)
Kilowatts (kW)
Nm/seg
Caballos de fuerza (Hp)
Caballo vapor ( Cv)
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
Problema 163
La barra tiene un diámetro de 0.5” y un
peso de 5 lb/pie. Calcular el esfuerzo
cortante máximo en “B”
AD es vertical
Solución:
Problema 164
El eje sólido tiene un ahusamiento
lineal. Obtener una ecuación que dé
el esfuerzo cortante máximo en una
posición X.
Solución:
Semejanza de
s:
227
228
Resistencia de materiales
Semejanza de
s:
(1) en (2)
Problema 165
El contorno del eje está definido por
la ecuación eax
Módulo de elasticidad al cortante: G
Calcular el ángulo de torsión
del extremo “A” con respecto al
extremo “B”.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 166
Calcular la constante “K” y
el A/B
Solución:
Capítulo 8: Torsión
229
230
Resistencia de materiales
Problema 167
Solución:
Diagrama de torsión (kg x m)
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 168
El punto “A” se mueve (0.54/ π)
” en la dirección indicada por T.
Si G = 30 x 106 lb/pulg2,
determinar:
A)El momento torsor T
B)El máximo esfuerzo de corte
Solución:
A)
B)
Diagrama de torsiones
Capítulo 8: Torsión
231
232
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 169
Calcular el giro en A
ϕ A= ?
Solución:
Semejanza de
s:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
Problema 170
Calcular el giro en A en el eje
cónico macizo de acero .
G = 8.4 x 105 kg/cm2
T = 27000 kg x cm
d1 = 15cm
d2 = 5cm
l = 50cm
Solución:
Semejanza de
s:
Semejanza de
s:
233
234
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 171
El árbol compuesto mostrado es
sometido a un momento de torsión T
que actúa en el extremo izquierdo.
Gacero = 11 x 106 lb/pulg2
Galuminio = 4 x 106 lb/pulg2
Determinar el ángulo de rotación del
extremo izquierdo, si no se deben
sobrepasar los siguientes esfuerzos
admisibles:
Solución:
Diámetro acero = 2.25”
Diámetro aluminio = 3”
Ing. Luis Gamio
Problema 172
Calcular: Q máximo
Solución:
Capítulo 8: Torsión
235
236
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 173
Calcular máx en el acero y en el aluminio.
Acero
Aluminio
cm
G = 8.4 x 10 kg/cm
5
Solución:
2
8
2.8 x 105
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
Problema 174
Los cilindros sólidos AB y BC están unidos
en B y conectados a soportes fijos en A y C.
Si:
Gacero = 11 x 106 lb/pulg2
Glatón = 6 x 106 lb/pulg2
Diámetro latón = 2”
Diámetro acero = 1.5”
Determinar el esfuerzo cortante máximo en
el latón y en el acero.
Solución:
D.C.L.
Por equilibrio:
TA + TC = TB = 12.5 _ _ _ (1)
Por deformaciones:
C/A = C/B + B/A = 0 _ _ _ (2)
CC
ABA
Rptas.
237
238
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 175
G, J
Calcular:
máx = ?
C= ?
Solución:
D.M.T.= ?
D.C.L.
TA + TB = T1 + T2 = 36 000 kg cm
D.M.T. (kg x cm)
Ing. Luis Gamio
Problema 176
Hallar las reacciones en
los apoyos A y F.
G = 8.4 x 105 kg/cm2
Diámetro1 = 4 cm
Diámetro2 = 6 cm
Diámetro3 = 2 cm
Solución:
Capítulo 8: Torsión
239
240
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 177
AC→ Sección maciza circular
CB→ Sección anular
Radio exter. = 5cm
Radio inter. = 4cm
¿A qué distancia “X” (mm) del extremo
izquierdo de la barra se debe aplicar un
mto. de torsión TO para que las reacciones
en “A” y “B” sean iguales?
Solución:
D.C.L.
D.M.T.
Módulo de rigidez = G
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
241
Problema 178
El eje se mantiene rígidamente fijado por sus extremos; la sección1 es de aluminio, la
sección 2 es cobre, la sección 3 es acero. Las 3 secciones están firmemente unidas entre sí.
Calcular la torsión en cada sección.
Diámetro 5.1cm
Solución:
D.C.L.
D.M.T.
D.M.T. (kg x cm)
242
Resistencia de materiales
Problema 179
Un tubo de 3 mm de espesor
tiene una forma elíptica. Hallar
el momento torsionante que
producirá en el tubo un esfuerzo
cortante de 60MN/m2
Solución:
Área a considerar: (Elipse)
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 180
Un momento de torsión
T = 90N.m se aplica al
árbol hueco. Hallar los
esfuerzos cortantes en a
y b.
Solución:
Pto. a
Área media
Pto. b
Capítulo 8: Torsión
243
244
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 181
Determinar el par de torsión T que
puede aplicarse al tubo rectangular, si
el esfuerzo cortante promedio no debe
exceder de 12 Ksi. Espesor del tubo
0.125 pulg.
4''
T
Calcular el flujo de corte (lb/pulg)
2''
Solución:
lb
Problema 182
Se aplica un par de torsión “T” a un
tubo de pared delgada con sección
transversal en forma de hexágono
regular, con espesor de pared “t” y
longitud “b” en cada lado.
Obtener una fórmula para el
esfuerzo cortante “” y el ángulo de
torsión por unidad de longitud “”.
Ing. Luis Gamio
Solución:
R=b
Am = 2.598 b2
S = 6b
Problema 183
¿Cómo varía el ángulo de
torsión por unidad de longitud
 en el tubo de pared delgada
con la razón  = a/b, si la
longitud total Lm de la línea
media de la sección transversal
y el par “T” permanecen
constantes?
Solución:
Capítulo 8: Torsión
245
246
Resistencia de materiales
Problema 184
El tubo de pared delgada está hecho de
plástico con espesor de pared de 5mm.
Determinar el esfuerzo cortante
promedio en los puntos “A” y “B” (en
MPa), cuando el tubo está sometido al
par de torsión T = 500 Nm.
Solución:
Factor de conversión a MPa : 100 = 1
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
247
Problema 185
Se aplica una torsión T= 300 N x m a cada una de las barras. Si adm = 60 MPa, calcular la
dimensión “d” requerida para cada barra.
Solución:
a
b
c
248
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 186
Determinar en qué cantidad se incrementa el esfuerzo cortante máximo en un eje con sección
elíptica, respecto a un eje con sección circular. Ambos ejes resisten la misma torsión.
Solución:
Problema 187
El eje de plástico tiene una
sección transversal elíptica.
Determinar el esfuerzo cortante
en el punto A (MPa) ,y el ángulo
de torsión  en el extremo B.
G = 15 GPa
Ing. Luis Gamio
Solución:
D.M.T. (Nx m)
Problema 188
El eje de aluminio está
empotrado en sus extremos A y
B. Determinar las reacciones en
los empotramientos. La sección
transversal es cuadrada de 2” x 2”.
Calcular el giro en C.
Gal = 3.8 x 103 ksi
Capítulo 8: Torsión
249
250
Resistencia de materiales
Solución:
Problema 189
El árbol CD está hecho de una barra de 2.75
pulgadas de diámetro, y está conectado al árbol
AB de 2 pulgadas de diámetro. Si el esfuerzo
cortante admisible es de 8 000 lb/pulg2 para cada
árbol, hallar el momento máximo de torsión T
que puede aplicarse en AB.
B = 1.75”
C = 5.25”
Solución:
Editorial Macro
D.M.T. (lb x pie)
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
Determinación de la nueva fuerza F: F1
Problema 190
Tres árboles sólidos de diámetro 3/4" están conectados tal como se muestra en la figura.
Si
hallar:
A)
B)
El ángulo de rotación del extremo “A” del árbol AB : A
El ángulo de rotación del extremo “E” del árbol EF : E
251
252
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Solución:
TA
.
B
R
Las ruedas B, C y F recorren igual distancia.
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
253
Problema 191
Determinar el esfuerzo normal en el cable, el esfuerzo cortante máximo en el eje CA y el
ángulo de giro de “A” con respecto a “C”.
Solución:
D.M.T.
254
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 192
Determinar el esfuerzo normal en la varilla II y el esfuerzo cortante máximo en el eje I
Eje: G = 0.4E
Diámetro = 10cm
Varilla: E
Diámetro = 2cm
Solución:
D.M.T. (kg x cm)
Ing. Luis Gamio
Problema 193
Determinar el esfuerzo normal
en la varilla II y el esfuerzo
cortante máximo en la barra I.
Diámetro de la barra I = 2 cm
Solución:
Diagrama de torsiones
Capítulo 8: Torsión
255
256
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 194
El eje AC está fijo a la pared sobre “C”, y
el extremo izquierdo “A” rota un ángulo
de 0.012 radianes antes que los pernos
proporcionen la rigidez adecuada.
Determinar el valor máximo de T si el
esfuerzo de corte no debe ser mayor de 7
kip/pulg2
Diámetro del eje: 6”
G = 4 000 kip/pulg2
Solución:
D.C.L.
D.M.T.
Por equilibrio: T = TA+ TC - - - (1)
Por condición del problema:
Ing. Luis Gamio
Problema 195
Seis remaches de 20 mm de diámetro
sujetan la placa a una base rígida.
A) Determinar el esfuerzo cortante
medio en cada remache, roducido por
las fuerzas de 40 kN aplicado como se
indica.
B) ¿Qué fuerzas adicionales P
podrían aplicarse sin que el
esfuerzo cortante sobrepase el
valor de 60 Mn/m2?
Solución:
A)
B)
Capítulo 8: Torsión
257
258
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 196
Un acoplamiento por medio de bridas tiene 6 pernos de 10
mm de diámetro situados en una circunferencia de 300 mm
de diámetro, y 4 pernos del mismo diámetro (10 mm) en otro
círculo concéntrico de 200 m de diámetro. ¿Qué par torsor puede
transmitir sin que el esfuerzo cortante exceda de 60 MPa en los
pernos?
r= 100 mm
R = 150 mm
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
259
Problema 197
El árbol ABC gira a 600 r.p.m. y es accionado mediante un engranaje en el extremo “A”. En
“B”, una polea absorbe 2/3 de la potencia y el resto es absorbido en “C”. El tramo AB tiene
un diámetro de 100 mm y BC de 75 mm.
Si el esfuerzo cortante máximo que se origina en BC es de 40 MPa, determinar la potencia
transmitida en kilovatios y el esfuerzo cortante máximo en AB.
Solución:
D.M.T.
(N x M)
260
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 198
Un eje de transmisión de potencia está hecho de acero, y tiene diámetros de 2” y 3” en cada
uno de sus tramos izquierdo y derecho respectivamente. Un motor de 50 Hp le comunica una
velocidad de 360 r.p.m., transmitiendo en A: 10 Hp y en C: 40 Hp.
Determinar el ángulo de torsión del elemento C con relación al elemento A.
Solución:
D.M.T.
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
261
Problema 199
El sistema de ejes de acero mostrado está sometido a un movimiento de rotación con
velocidad de 315 r.p.m., comunicada por un motor ubicado en C de 100 Hp. Determinar el
mínimo diámetro necesario para cada tramo del sistema, sabiendo que el esfuerzo cortante
en ninguno de ellos debe exceder de 8 000 lb/pulg2.
La potencia del motor se deriva de la siguiente manera:
20 % en A; 50 % en B; 20 % en D y 10 % en E.
Solución:
D.M.T. (lb x pulg x 10-3)

262
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 200
Usando un esfuerzo cortante admisible de 5 000 lb/pulg2, diseñar un árbol sólido para
transmitir 0.5 hp a 1725 r.p.m.
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
263
Problema 201
Diseñar un árbol sólido de acero para transmitir 0.375 kW a una velocidad de 29 Hz, si el
esfuerzo cortante no debe pasar de 35 MPa.
Solución:
264
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 202
Un árbol que consta de un tubo de acero de 50 mm de diámetro exterior transmite 100 kW de
potencia, a una frecuencia de 40 Hz.
Hallar el espesor requerido para que el esfuerzo cortante no exceda de 60 MPa.
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 8: Torsión
Problema 203
Sabiendo que el esfuerzo cortante admisible del acero es de 7 500 lb/pulg2, hallar:
a) El diámetro mínimo admisible de un árbol que puede transmitir 15 Hp a 2 000 r.p.m.
b) El ángulo de torsión correspondiente para:
Solución:
a)
b)
265
266
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 204
Mientras el árbol de acero (cuya sección transversal se muestra) rota a 120 r.p.m., una medida
estroboscópica indica que el ángulo de torsión es 2° en una longitud de 4 m.
Si G = 80 GPa, determinar la potencia transmitida.
Solución:
Ing. Luis Gamio
Problema 205
Un motor impulsa un eje de transmisión
mediante un engranaje (tal como se indica en la
figura), para que gire a 630 r.p.m transmitiendo
una potencia de 120 Hp. Una potencia de 30 Hp
se entrega a una máquina en el extremo de la
derecha y una potencia de 90 Hp se transmite
por el de la izquierda.
Seleccionar para esta aplicación un eje circular
macizo de diámetro uniforme. El esfuerzo
cortante admisible es 5 750 lb/pulg2.
Solución:
D.M.T. (lb x pulg)
Capítulo 8: Torsión
267
268
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 206
Un motor impulsa un eje de transmisión mediante un engranaje (tal como se indica en la
figura) para que gire a 180 r.p.m., transmitiendo una potencia de 30 Hp.
Una potencia de 5 Hp se transmite al engranaje B.
Una potencia de 15 Hp se transmite al engranaje D.
Una potencia de 10 Hp se transmite al engranaje E.
El diámetro del eje de transmisión
macizo es 2 pulgadas. Determinar el
esfuerzo cortante actuante en: AB,
BC, CD y DE.
Solución:
D.M.T. (lb x pulg)
9
CAPÍTULO
FUERZAS EN VIGAS
Las vigas son elementos de una estructura cuyo fin es soportar cargas a lo largo de su eje
longitudinal. En general soportan cargas de techos.
9.1 Fuerzas internas: V, N, M.
V → Fuerza cortante
N → Fuerza normal o axial
M → Momento flexionante
V→ Es generada por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del
elemento.
N → Generadas por las fuerzas paralelas al eje longitudinal del elemento.
M → Es generado por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del
elemento y los momentos.
9.2 Tipos de cargas
270
Resistencia de materiales
Editorial Macro
9.3 Diagramas
En todo diagrama se debe
indicar:
D.F.C. (V)
(T)
• Tipo de diagrama
• Unidades
• Signos
• Distancias
• Magnitudes
D.F.N. (N)
(T)
D.M.F. (M)
(Txm.)
9.4 Convención de signos
i = izquierda
d = derecha
Ing. Luis Gamio
Capítulo 9: Fuerzas en vigas
9.5 Materiales
• Acero
• Madera
• Concreto armado
9.6 Secciones transversales
Son secciones perpendiculares al eje longitudinal de la viga.
“VIGA CHATA”
“VIGA PERALTADA”
9.7 Tipos de vigas
A. En voladizo
B. Simplemente apoyada (S.A.)
C. S.A. con 1 voladizo
D. S.A. con 2 voladizos
E. Con rótula
271
272
Resistencia de materiales
Editorial Macro
F. Apoyada – empotrada
G. Doblemente empotrada
H. Continua
• Vigas isostáticas: A a E
• Vigas hiperestáticas: F a H
9.8 Relación entre carga distribuida, fuerza cortante y momento
flexionante
Las ecuaciones 1 y 2 nos permiten calcular las expresiones generales de la fuerza cortante,
y el momento flexionante en vigas con cargas distribuidas con cualquier ley de variación.
Ing. Luis Gamio
Problema 207
Dibujar diagramas
de V y M
Solución:
Capítulo 9: Fuerzas en vigas
273
274
Resistencia de materiales
V
(T)
M
(Txm)
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 208
Dibujar diagramas
de V y M
Solución:
Capítulo 9: Fuerzas en vigas
275
276
Resistencia de materiales
Problema 209
Dibujar diagramas
de V y M.
Solución:
D.C.L.
V
M
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 210
Dibujar diagramas de fuerza cortante
y momento flexionante en la viga
mencionada.
Solución:
Capítulo 9: Fuerzas en vigas
277
278
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 211
Dibujar diagramas
de V y M.
Solución:
Rótula
Ing. Luis Gamio
Capítulo 9: Fuerzas en vigas
Problema 212
Dibujar diagramas de V y M.
Solución:
k
279
280
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 213
Dibujar diagramas de
V y M.
Solución:
V
L
L/2
-
0.63WOL
0.44WOL
0.12WOL
M
L/2
0.40WOL
2
L
2
Ing. Luis Gamio
Capítulo 9: Fuerzas en vigas
Problema 214
Dibujar diagramas
de V y M.
Solución:
Cálculos previos:
281
282
Resistencia de materiales
Problema 215
Dibujar diagramas
de V y M
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 216
Dibujar diagramas de
V y M.
Solución:
Capítulo 9: Fuerzas en vigas
283
10
CAPÍTULO
ESFUERZOS POR FLEXIÓN
Y CORTE EN VIGAS
10.1 Hipótesis
La teoría se deduce en base a las siguientes hipótesis:
1) El material es elástico, homogéneo e isotrópico, y el esfuerzo producido está por debajo
del límite de proporcionalidad.
2) El material tiene igual módulo de elasticidad en tracción y compresión.
3) Las secciones planas del elemento antes de la deformación continúan planas después
de la deformación.
4) La relación entre los esfuerzos y deformaciones obedece la Ley de Hooke (σ = εE).
5) La viga está sometida a cargas, actuando en un plano de simetría, o cuya resultante pase
por dicho plano.
10.2 Esfuerzos por flexión en vigas (σ)
286
Resistencia de materiales
Editorial Macro
ac → Acorta su longitud
bd → Crece su longitud
ef → No varía de longitud
(ρ) → Radio de curvatura
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
287
10.3 Diagrama de esfuerzos normales (por flexión) en la sección
transversal de la viga
C = Centro de gravedad
10.4 Esfuerzo cortante en vigas ()
De los diagramas de fuerza cortante y momento flector en vigas:
Figura 1
Figura 2
En la figura 1 ( σ1 < σ2 ), debido a que el momento en la cara izquierda del elemento es
menor que en la cara derecha del mismo elemento; en consecuencia T2 > T1 .
(T → fuerza)
Por ello, en la figura 2 aparece una fuerza de corte dirigida hacia la izquierda para producir
el equilibrio del elemento (F = τ tdx).
288
Resistencia de materiales
Editorial Macro
10.5 Diagrama de esfuerzos cortantes
10.6 Nomenclatura
(F x L) M
(F) V
(F/L2) σ
(F/L2) τ
(L) Y
(L4) I
(L) t
(L3) Q
C
S.T.
→ Momento en la sección considerada
→ Fuerza cortante en la sección considerada
→ Esfuerzo normal por flexión
→ Esfuerzo cortante
→ Distancia del centro de gravedad de la sección hasta el nivel analizado
→ Momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro
→ Espesor efectivo de la sección en el nivel analizado
→ Momento estático (área x distancia). El área se considera desde el borde de
la sección (superior o inferior), hasta el nivel analizado. La distancia se
considera entre el C.G. de toda la sección y el C.G. del área considerada.
→ Centro de gravedad
→ Sección transversal
Ing. Luis Gamio
10.7 Módulo de sección
Sección:
Rectangular
Circular maciza
Circular hueca o tubular
Triangular
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
289
290
Resistencia de materiales
Editorial Macro
10.8 Limitaciones en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante
10.8.1 Introducción
La determinación de la distribución del esfuerzo cortante en la sección transversal de una
viga exige generalmente métodos avanzados de análisis o el uso de soluciones numéricas
(teoría de la elasticidad, elementos finitos).
10.8.2 Condiciones para el uso de la fórmula
• Debe usarse en miembros prismáticos rectos, de material homogéneo con comportamiento
elástico lineal.
• La fuerza cortante interna “V” debe estar dirigida a lo largo de un eje de simetría de la
sección.
• Los bordes de la sección deben ser paralelos al eje de simetría.
• Las deflexiones en las vigas deben ser pequeñas.
• Los esfuerzos cortantes deben ser uniformes a través del ancho “t” de la sección.
• La viga no debe ser ahusada.
10.8.3 Errores al aplicar la fórmula
Al calcular el esfuerzo cortante promedio al nivel del eje neutro, el valor obtenido es
menor que el esfuerzo cortante máximo calculado con métodos avanzados de análisis.
Casos:
• Sección cuadrada: error 12.6 %
• Sección circular: error 5 %
• Sección rectangular:
b/h
τmáximo/ τpromedio
Error
0.25
0.5
1.008
1.033
0.8%
3.3%
2
4
6
10
20
50
1.396
1.988
2.582
3.77
6.74
15.65
39.6%
98.8%
158.2%
277%
574%
1465%
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
291
10.8.4 No aplicar la fórmula
Conduce a errores grandes, ya que los resultados no son confiables.
• Sección triangular
• Sección semicircular
• Sección plana
• En puntos donde cambia el espesor efectivo “t” porque hay concentración de esfuerzos.
• En la unión patín – alma en secciones “I”, y en el patín.
10.8.5 Aplicar la fórmula
• Sección rectangular si h > b
• Sección circular y anular solo en el eje neutro
• Sección “I” en el alma
10.8.6 Aplicaciones en la ingeniería
Los ingenieros mayormente tienen que calcular el esfuerzo cortante máximo promedio que
se desarrolla en el eje neutro; en consecuencia, el resultado se aproxima al esfuerzo cortante
máximo verdadero.
292
Resistencia de materiales
Problema 217
kg
kg
kg
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
293
294
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 218
Dibujar el diagrama de esfuerzo cortante de una
viga de sección rectangular.
Solución:
Y
Cálculos:
Q
τ
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 219
La fuerza cortante en la sección de la viga es 1 560 kg.
Dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes.
τ = VQ/I t
Solución:
295
296
Resistencia de materiales
Problema 220
Dibujar el diagrama de esfuerzos normales.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 221
C y D → Rótulas
Sección
Solución:
297
298
Resistencia de materiales
Editorial Macro
kg
Problema 222
Sección
Calcular Wmáx sin exceder:
Ing. Luis Gamio
Solución:
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
299
300
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 223
Sección
La viga de madera está construida por 3 tablones encolados, cada uno de 5 cm x 10 cm.
.
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 224
Dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes.
V = 3 000 kg
Solución:
301
302
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 225
Sección
Solución:
303
304
Resistencia de materiales
Tensión
Compresión
Corte
Problema 226
Calcular τ máximo y σ máximo:
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
305
Fig.
A (cm2)
y
Ay
1
30 (60) = 1 800
40
72 000
2
50 (10) = 500
2300
5
2 500
74 500
306
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 227
Calcular W máximo sin exceder.
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 228
La sección de la viga está sometida a una fuerza
cortante V = 30 kN.
Calcular la fuerza cortante resistida por el alma.
Solución:
307
308
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 229
Calcular Pmáximo sin exceder los esfuerzos
dados.
Sección
σ=100 kg/cm2
τ= 8 kg/cm2
Solución:
máximo
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 230
Determinar la fuerza cortante resultante que actúa
sobre el segmento AB. La fuerza cortante que actúa
en la sección es V = 35 KLb.
Solución:
Centro ide:
A
Y
AY
8 × 8 = 64
10
640
6 × 2 = 12
76
3
36
676
y = 8.89ꞌꞌ
t = 2ꞌꞌ
V = 35 KLb
309
310
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 231
Calcular los valores máximos de “X” y “P” que pueden aplicarse simultáneamente, si
σ ≤ 84 kg/cm2
Sección:
Solución:
kg
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 232
Solución:
kg
311
312
Resistencia de materiales
Problema 233
a = 0.6m
L = 1m
*Calcular P si:
σ = 10MPa
Solución:
máximo
máximo
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
313
Problema 234
Sección
Calcular b =? si los esfuerzos normales en la
parte superior e inferior de la viga están en la
relación 3:1
Momento actuante: M
Solución:
Fig
A
Y
AY
314
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 235
Solución:
Fig
A
Y
AY
150 t
37.5
5625 t
180 t − 2t2
330 t − 2t2
t/2
90 t2 − 2t3
5625 t + 90t2 − t3
Ing. Luis Gamio
Problema 236
Solución:
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
315
316
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 237
Sección
Solución:
Q
10
b
c1
c
20
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 238
Ubicar la posición y determinar el valor del esfuerzo cortante
máximo.
V = Fuerza cortante
Solución:
Sección
317
318
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 239
Determinar la fuerza cortante vertical resistida
por el patín de la viga T, cuando está sometida
a una fuerza cortante vertical V = 10 KLb.
4
6´´
4
3
6
Solución:
Centroide:
A
Y
AY
14 × 3 = 42
7.5
315
3
y = 5.423‫״‬
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 240
Solución:
kN
máx
máx
kN
máx
máx
máx
máx
kN
kN
kN
kN
kN
kN
319
320
Resistencia de materiales
Problema 241
Calcular el τ máximo y su ubicación. La viga en dicha
sección es sometida a una fuerza cortante V.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Problema 242
máximo
Sección
q=6.5 kN/m
Solución:
máximo
máximo
321
322
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 243
Sección:
Solución:
kN
kN
kN
Problema 244
Una viga está sometida a momento flexionante M.
Solución:
Ing. Luis Gamio
Capítulo 10: Esfuerzos por flexión y corte en vigas
Cálculo del C. G. ( Y )
Fig.
A
Y
AY
323
324
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 245
Sección
Solución:
11
CAPÍTULO
MÉTODO DE INTEGRACIÓN
11.1 Demostración
y  flecha, deflexión
y1  giro, pendiente
ρ radio de curvatura
1/ ρ curvatura
De esfuerzos por flexión en vigas:
,
326
Resistencia de materiales
Editorial Macro
11.2 Convención de signos para momento
Izquierda a derecha
+
-
Derecha a izquierda
11.3 Convención de signos para deformaciones
Flecha (y):
Giro (y´) (θ):
-↓
+↑
- horario
+ antihorario
11.4 Restricciones de deformaciones en los apoyos
Rodillo
Apoyo empotrado
Apoyo móvil
yA=0
Apoyo fijo
-
+
Ing. Luis Gamio
Capítulo 11: Método de integración
327
11.5 Vigas con cargas simétricas
Casos 1 a 5: Flecha máxima en el centro de luz.
Caso 6: Se compara la flecha del centro de luz con la flecha en los extremos de los volados,
y se obtiene la flecha máxima.
11.6 Vigas con cargas no simétricas
La flecha máxima no se produce en el centro de luz, se calcula la ubicación con los métodos
aplicados para deformaciones en vigas.
328
Resistencia de materiales
Problema 246
Solución:
C2= 0
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 247
Dibujar diagramas de V y M
Solución:
Capítulo 11: Método de integración
329
330
Resistencia de materiales
De 1 y 2:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 11: Método de integración
Problema 248
Dibujar diagramas de V y M
Solución:
Cálculos:
331
332
Resistencia de materiales
Problema 249
Calcular la flecha en A.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 250
Calcular “q” si la flecha en el punto de
aplicación de la carga concentrada es
nula.
EI = cte.
Solución:
Capítulo 11: Método de integración
333
334
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 251
Calcular:
Ymáxima = ? ; YA1 = ?
EI = cte.
Solución:
,
,
Ing. Luis Gamio
Problema 252
Calcular:
YD = ?
Solución:
Capítulo 11: Método de integración
335
336
Resistencia de materiales
Problema 253
Calcular:
RA = ?
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 254
Calcular:
YMÁXIMA = ?
EI = cte.
Solución:
Capítulo 11: Método de integración
337
338
Resistencia de materiales
Problema 255
Determinar la reacción en A.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 11: Método de integración
Problema 256
Determinar la reacción en B y A.
Dibujar diagramas de V y M.
EI = constante
Solución:
D.C.L.
339
340
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 257
Calcular la ubicación y valor de la flecha máxima.
Sección:
Solución:
x
Ecuación
Valor
3
3.10
3.09
33.735
35.597
35.409
35.549
35.549 ← x = 3.10 se acerca más.
35.549
x = 3.10m
Ing. Luis Gamio
Problema 258
Calcular P/Q = ? si la flecha en A y B son iguales.
EI = cte.
Solución:
Capítulo 11: Método de integración
341
342
Resistencia de materiales
Problema 259
Calcular I si Y no excede de 1/400 de la luz.
Dibujar el diagrama de momentos.
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
M(lb x pie)
Problema 260
Solución:
Capítulo 11: Método de integración
343
344
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 11: Método de integración
Problema 261
La viga en voladizo está sometida a un momento
uniformemente distribuido de intensidad “m”
por distancia unitaria a lo largo del eje de la
viga. Calcular la flecha y el giro en “B”.
EI = Rigidez constante
Solución:
345
346
Resistencia de materiales
Problema 262
La viga tiene un soporte guiado en “B”, el cual
permite movimiento vertical pero ninguna rotación.
Calcular la flecha en “B”.
Solución:
D.C.L.
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 263
Calcular la deflexión en “B y en “C”.
Solución:
Capítulo 11: Método de integración
347
348
Resistencia de materiales
Problema 264
Calcular giros en “A” y “B” y flecha en “C”.
EI = rigidez constante
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 11: Método de integración
Problema 265
θ máximo = y1máximo = ?
Y máxima = ?
Solución:
349
350
Resistencia de materiales
Editorial Macro
12
CAPÍTULO
MÉTODO DEL ÁREA
DE MOMENTO
12.1 (θ) Teorema I
El ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos “A” y “B”, es igual al área del
diagrama de momentos reducidos entre estos dos puntos.
12.2 (t) Teorema II
La desviación tangencial (distancia vertical) de un punto “B” en la elástica con relación a
la tangente trazada a la elástica en el punto “A”. es igual al área del diagrama de momentos
reducidos entre estos dos puntos: multiplicado por la distancia horizontal entre el punto “B” y
el centro de gravedad del área considerada.
352
Resistencia de materiales
12.3 Demostración
Editorial Macro
Y
U
Q
X
C
D
D.M.R.
M/EI
+
C
D
XD
XC
C
Tan
D
TCD
D
Ta
nC
Ing. Luis Gamio
Capítulo 12: Método del área de momento
12.4 Área de momento
C
Centro de gravedad
RECTÁNGULO
TRIÁNGULO
SEMI - PARÁBOLA
DE GRADO n
SEMI - PARÁBOLA
DE GRADO n
y
x
c
h
x
b
353
354
Resistencia de materiales
Editorial Macro
12.5 Isostatización
Isostatizar es proporcionarle a una viga hiperestática, una configuración isostática, con el fin de
obtener diagramas de momentos flectores, cuyas áreas y centros de gravedad (formados en estos
diagramas) sean simples de determinar.
1) Forma: Como viga en voladizo
1
D.M.R.
M
Pb/EI
VA=(a+b)/EI
2
M
D.M.R.
Pb/EI
MA
MA/EI
VA(a+b)/EI
2) Forma: Como viga simplemente apoyada
Ing. Luis Gamio
D.M.R
12.6 Elásticas – Deformadas
2
Capítulo 12: Método del área de momento
355
356
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 12: Método del área de momento
12.7 Diagrama de momentos flexionantes
357
358
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 12: Método del área de momento
Problema 266
Calcular la flecha y giro en “A”.
Solución:
D.M.R.
Problema 267
Calcular flecha y giro en “A”.
Elástica
359
360
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Solución:
D.M.R.
Problema 268
δ1 es la YC cuando n = 1
Hallar n, para la cual Yc = ½ δ1
Solución:
D.M.R.
Elástica
Ing. Luis Gamio
2
D.M.R.
Problema 269
Capítulo 12: Método del área de momento
361
362
Resistencia de materiales
Solución:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 270
Calcular:
ӨA =?
YC =?
Solución:
Capítulo 12: Método del área de momento
363
364
Resistencia de materiales
DMR x Partes
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 12: Método del área de momento
365
366
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 271
Calcular giro en "A" y "B" flecha en "C".
Solución:
D.M.R
Elástica
Ing. Luis Gamio
Capítulo 12: Método del área de momento
Problema 272
Calcular:
EI=cte.
RA=?
θA=?
Solución:
Isostatizando:
L
367
368
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 273
Calcular reacciones en “A” y “B” y dibujar
diagrama de momentos.
Solución:
D.M.R. x partes
M
Elástica
tB/A=0
Ing. Luis Gamio
Capítulo 12: Método del área de momento
Problema 274
Calcular las reacciones en A y B, y
dibujar el diagrama de momentos.
Solución:
Isostatizando
DMR x partes
369
370
Resistencia de materiales
Editorial Macro
De (1):
Problema 275
EI = cte.
Calcular reacciones en A y B y dibujar
diagramas V y M.
Solución:
Elástica
A
B
Ing. Luis Gamio
D.M.R.
x
partes
Capítulo 12: Método del área de momento
371
372
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 276
EI = cte.
Calcular la flecha en el centro de la luz.
Solución:
Semejanza de triángulos:
Ing. Luis Gamio
Problema 277
Calcular la flecha máxima (mm)
Solución:
Elástica
D.M.R.
Capítulo 12: Método del área de momento
373
374
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 278
Calcular:
ӨA = ? y la flecha en el centro de luz.
Solución:
Ver Área caso 4 Semi-Parábola
Ing. Luis Gamio
Capítulo 12: Método del área de momento
Problema 279
Calcular:
Өmáxima = ?
Ymáxima = ?
Solución:
D.M.R
Por simetría de cargas:
Elástica
375
376
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 280
Calcular:
Өmáximo = ?
Ymáximo = ?
Solución:
D.M.R.
Elástica:
13
CAPÍTULO
MÉTODO VIGA CONJUGADA
13.1 Viga conjugada
Es una viga de igual longitud que la viga real, cargada por el Diagrama de Momento Reducido
(D.M.R), correspondiente a las cargas aplicadas en la viga real.
La viga conjugada siempre es una viga isostática, en algunos casos aparenta ser inestable, pero
la naturaleza de las cargas la hacen estable.
13.1.1 Teorema 1:
La fuerza cortante en una sección de la viga conjugada, es el giro en la viga real en dicha sección.
13.1.2 Teorema 2:
El momento (debido a la flexión) en una sección de la viga conjugada, es la flecha en la viga real
en dicha sección.
V.R.
V.C
Ө
f
V
M
= Viga real
= Viga conjugada
= Giro
= Flecha
= Fuerza cortante
= Momento flexionante
13.2 Equivalencia de apoyos de la viga real y la viga conjugada
378
Resistencia de materiales
Editorial Macro
13.3 Cargas
Si el diagrama de momentos es positivo, la carga en la viga conjugada se considera hacia abajo;
si el diagrama de momentos es negativo, la carga en la viga conjugada se considera hacia arriba.
Convención de signos
V(+)
V(-)
M(+)
M(-)
θ horario
θ anti horario
f hacia abajo
f hacia arriba
Ejemplos:
Viga real
1
2
3
4
5
6
7
Viga conjugada
Ing. Luis Gamio
Capítulo 13: Método viga conjugada
Problema 281
Calcular: fC y ӨD
EI = cte.
Solución:
V.C:
D.M.R por partes en la viga real:
379
380
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 282
Calcular: ӨD y fC
EI = cte.
Solución:
D.M.R por partes:
V.C:
Ing. Luis Gamio
Problema 283
Calcular :
EI = cte.
ӨD =?
fC = ?
fB = ?
Solución:
D.M.R.
V.C:
Capítulo 13: Método viga conjugada
381
382
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 284
Calcular:
ӨD =?
fC = ?
EI = Constante
Solución:
D.M.R. por partes:
V.C
Ing. Luis Gamio
Capítulo 13: Método viga conjugada
Problema 285
Calcular:
Ubicación y valor de la flecha máxima
Өmáximo = ?
EI = Cte.
Solución:
Σ MB= 0
D.M.R.
VC:
Σ MB= 0
383
384
Resistencia de materiales
Problema 286
D, E → Rótulas
EI = cte.
Calcular giros en la rótula D
y flecha en C.
Solución:
D.M.R.
V.C
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 13: Método viga conjugada
385
386
Resistencia de materiales
Problema 287
EI = cte.
Calcular:
fC = ?
ӨDi =?
ӨDd =?
Solución:
1
D.C.L
V.R
2
D.M.R
3
V.C
Giros en la rótula.
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
4
D.C.L
V.C
Problema 288
• Calcular la flecha en el
centro de la luz.
• Calcular la flecha máxima.
Solución:
D.M.R
Capítulo 13: Método viga conjugada
387
388
Resistencia de materiales
Editorial Macro
CL
Ing. Luis Gamio
Problema 289
Calcular la flecha en “C” y el giro
en “D”
EI= Cte.
Solución:
D.M.R.
VC:
Capítulo 13: Método viga conjugada
389
390
Resistencia de materiales
Problema 290
C → rótula
EI= cte.
Calcular:
ӨA = ?
fD = ?
fE = ?
Solución:
V.C.
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 13: Método viga conjugada
Problema 291
• Calcular reacciones en “A”.
• Calcular el giro en “C”.
• Dibujar el diagrama de momentos
flexionantes.
Solución:
D.M.R. por partes:
Isostatizando:
391
392
V.C:
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 13: Método viga conjugada
Problema 292
EI = cte
Calcular:
Reacciones en A
fC = ?
ӨD = ?
Solución:
D.M.R. por partes:
V.C.:
Isostatizando:
393
394
Resistencia de materiales
Editorial Macro
De (1) y (2):
Cargas:
14
CAPÍTULO
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
1. Si se tiene una viga sometida a diversas cargas y se quiere calcular la flecha o el giro en
una sección de la viga, o una reacción hiperestática, entonces se puede hacer el cálculo
considerando el efecto de cada carga por separado, y luego se superponen los efectos.
2. Los resultados no difieren mayormente de la realidad, debido a que las deformaciones
son pequeñas (los esfuerzos están dentro del rango elástico). No existe mayor diferencia
entre la posición inicial de las cargas y la posición final de las mismas después de la
deformación (en la posición de equilibrio).
3. En los problemas que se muestran en este capítulo se usará la tabla de flechas máximas.
4. De no usarse la tabla indicada, se puede aplicar cualquiera de los métodos para el
cálculo de deformaciones en vigas (integración, área de momento, etc.), aplicarlos
sucesivamente para cada carga por separado y luego superponer los efectos.
Problema 293
Calcular la reacción vertical en “A”.
Dibujar diagramas de V y M.
Solución:
Superposición de efectos: de vigas en voladizo.
Caso 1
De tablas:
Caso 8
396
Resistencia de materiales
V
M
Problema 294
Calcular la reacción vertical en “A”.
Luego dibujar el diagrama de momentos.
Solución:
Superposición de efectos: de vigas en voladizo.
De tablas
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Capítulo 14: Método de superposición
Problema 295
Calcular la flecha en “C”
Solución:
Superposición de efectos: de vigas en voladizo
Caso 1
De tablas
Caso 2
397
398
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Problema 296
Calcular la reacción vertical en “B”,
en “A” y en “C”. Dibujar diagramas
de V y M.
Solución:
Superposición de efectos:
Caso 1
De tablas: vigas simplemente apoyadas.
Caso 5
Ing. Luis Gamio
Problema 297
Calcular YB = ?
Dibujar diagrama de momentos.
Solución:
Superposición de efectos:
De tablas viga en voladizo
Caso 1
Caso 3
Capítulo 14: Método de superposición
399
400
Resistencia de materiales
Problema 298
Calcular la flecha en C.
YC = ?
Solución: Superponiendo efectos
De tablas: viga simplemente apoyada.
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Sumando efectos:
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Problema 299
La viga en voladizo tiene una extensión BCD
unida a su extremo libre.
Calcular:
Solución:
Superponiendo efectos:
De tablas: viga en voladizo.
Capítulo 14: Método de superposición
401
402
Resistencia de materiales
Problema 300
EI = 2.1 x 106 Kip.pulg2
Calcular la flecha en B.
Solución:
Superponiendo efectos.
De tablas: viga en voladizo.
Caso 6
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
403
ANEXO 1
Tablas de flechas máximas
Contiene:
A. Viga en voladizo
B. Viga simplemente apoyada
C. Viga doblemente empotrada
D. Viga apoyada – empotrada
E. Viga continua
F. Viga apoyada con un voladizo
G. Viga apoyada con dos volados
H. Viga empotrada – apoyada con un voladizo
• En las vigas en voladizo la flecha máxima se da en el extremo libre del voladizo.
• En las vigas con cargas simétricas que son vigas simplemente apoyadas o doblemente
empotradas, la flecha máxima se da en el centro de luz.
• En los demás casos se puede observar como se indica la posición X, donde se da la
flecha máxima y el valor de la flecha.
Flecha máxima (δ)
Considerar en todas las vigas: EI
A. Viga en voladizo
404
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
405
406
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
W
17
"/2
"/2
δ=
Wa 3
(5ℓ − a )
120EI
407
408
Resistencia de materiales
Editorial Macro
δ=
11Wℓ 4
120EI
δ=
121Wℓ 4
1920EI
Ing. Luis Gamio
Anexos
δ=
δ=
Wb ⎡
17 b3 + 270a 2 b + 540a 3 ⎤
⎣
⎦
3240EI
W (b − a ) ⎡
ℓ(5a 2 + 10ab + 15b 2 ) − (a 3 + 2a 2 b + 3ab 2 + 4b3 ) ⎤
⎣
⎦
120EI
δ=
29Wℓ 4
960EI
δ=
(11W1 + 4 W2 )ℓ 4
120EI
409
410
Resistencia de materiales
Editorial Macro
δ = 0.04795
δ = 0.1089
Wℓ 4
EI
δ = 0.07385
δ=
13Wℓ 4
180EI
Wℓ 4
EI
Wℓ 4
EI
Ing. Luis Gamio
Anexos
δ=
19 Wℓ 4
360EI
δ=
Pℓ 3
48EI
δ=
Pa
(3ℓ 2 − 4a 2 )
24EI
Flecha máxima (δ)
B. Viga simplemente apoyada
δ = 0.06415
Mℓ 2
; (x = 0.4226ℓ)
EI
411
412
Resistencia de materiales
Editorial Macro
δ=
Mℓ 2
8EI
δ=
5Wℓ 4
384EI
δ = 0.006563
Wℓ 4
EI
δ = 0.006522
Wℓ 4
EI
(x = 0.4598ℓ)
(x = 0.5193ℓ)
Ing. Luis Gamio
Anexos
δ=
Wℓ 4
120EI
δ=
3Wℓ 4
640EI
δ=
P
a
X
b
"
Wℓ 4
π4 EI
413
414
Resistencia de materiales
Editorial Macro
P
a
b
X
"
δ=
W a 2 (3ℓ 2 − 2a 2 )
48EI
δ=
W
(5ℓ 4 − 24ℓ 2 a 2 + 16a 4 )
384EI
δ=
9 Pℓ 3
256EI
Ing. Luis Gamio
Anexos
δ=
61Wℓ 4
5760EI
δ=
5Mℓ 2
72EI
δ=
23Pℓ3
648EI
δ=
(5n 4 − 4n 2 − 1)Pℓ3
384n 3EI
n → impar
415
416
Resistencia de materiales
Editorial Macro
δ=
19Pℓ3
384EI
δ=
(5n 2 − 4)Pℓ3
384nEI
n → par
Flecha máxima (δ)
C. Viga doblemente empotrada
δ=
Pℓ 3
192EI
δ=
Wℓ 4
384EI
Ing. Luis Gamio
Anexos
δ=
7 Wℓ 4
3840EI
δ = 0.0013085
Wℓ 4
EI
(x = 0.5247ℓ)
δ=
Wa 3
(ℓ − a)
24EI
δ=
1Pℓ3
192EI
417
418
Resistencia de materiales
Editorial Macro
δ=
Pℓ3 ⎡ 3a 2 a 3 ⎤
− 
⎢
6EI ⎢⎣ 4ℓ 2 ℓ3 ⎦
δ=
41Pℓ3
5184EI
δ=
Pℓ 3
96EI
Ing. Luis Gamio
Anexos
P
P
P
P
11
δ=
" /8
" /4
" /4
" /4
" /8
Pℓ 3
96EI
419
420
Resistencia de materiales
Flecha máxima (δ)
D. Viga apoyada - empotrada
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
421
422
Resistencia de materiales
Flecha máxima (δ)
E. Viga continua
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
423
424
Resistencia de materiales
Flecha máxima (δ)
F. Viga apoyada con 1 voladizo
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Flecha máxima (δ)
G. Viga apoyada con dos voladizos
Anexos
425
426
Resistencia de materiales
Flecha máxima (δ)
H. Viga empotrada - Apoyada con 1 voladizo
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
ANEXO 2
Tablas de centros de gravedad de superficies planas
427
428
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
429
430
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
431
432
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
433
434
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
435
436
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
ANEXO 3
Tablas de momentos de inercia de superficies planas
437
438
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
s
s
s
s
c
439
c
c
s
s
s
440
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
441
442
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
443
444
Resistencia de materiales
Editorial Macro
Ing. Luis Gamio
Anexos
445
BIBLIOGRAFÍA
• Bedford, A. y Liechti, K. (2002). Mecánica de materiales. México: Prentice Hall.
• Beer, F.; Johnston E. y De Wolf, J. (2003). Mecánica de materiales. 4ta ed. México:
Mc Graw Hill.
• Cernica, J. (1968). Resistencia de materiales. México: CECSA.
• Gere, J. (2002). Mecánica de materiales. México: Thomson.
• Hibbeler, R. (2006). Mecánica de materiales. 6ta ed. México: Pearson. Prentice Hall.
• Higdon, A.; Ohlsen, E. y Stiles, W. (1966). Mecánica aplicada a la resistencia de
materiales. México: CECSA.
• Miroliubov, I. (1978). Problemas de resistencia de materiales. Moscú: MIR.
• Popov, E. y Balan, T. (2000). Mecánica de sólidos. 2da ed. México: Pearson.
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• Riley, W.; Sturges, L. y Morris, D. (2001). Mecánica de materiales. México: Limusa.
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