Introducción a la Lógica modal Ramon Jansana 7 de mayo de 2006 2 Índice general 1. Introducción 5 2. El lenguaje de la lógica modal 9 3. La semántica relacional 3.1. Fórmulas válidas y reglas válidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 4. Lógicas modales normales 4.1. Axiomatizaciones tipo Hilbert de las lógicas modales normales . . . . . . . 4.2. Relaciones de consecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Relaciones de deducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 14 16 16 5. Algunos resultados de correspondencia 19 6. Teoremas de completud 6.0.1. L-teorı́as, conjuntos L-consistentes, L-teorias maximales y L-consistente maximales . . . . 6.1. El modelo canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Los teoremas de completud . . . . . . . . . . 6.2. Some more results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7. Lógica proposicional clásica 7.1. Lenguaje formal . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Cálculo de secuentes . . . . . . . . . . . . 7.3.1. El cálculo LK para la lógica clásica 7.3.2. Corrección de LK . . . . . . . . . . 7.3.3. La relación de deducibilidad . . . . 7.3.4. El teorema de completud . . . . . 8. Lógica Intuicionista 8.1. El lenguaje de de la lógica 8.2. Semántica de Kripke . . . 8.3. El cálculo LJ . . . . . . . 8.4. Teorema de completud . . intuicionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . primas, relativamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 25 27 29 . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 32 33 37 37 39 . . . . 43 44 44 45 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ÍNDICE GENERAL Capı́tulo 1 Introducción El inicio de la lógica modal se puede retrotraer al análisis de Aristóteles de los enunciados que contienen los términos “necesario” y “posible”. Los lógicos medievales continuaron el análisis de estos términos pero estudiaron también otras modalidades como por ejemplo las epistémicas. La lógica modal moderna en sus comienzos (C.I. Lewis, Hugh McColl...) se ocupó de las modalidades “necesario” y “posible” tratadas por Aristóteles, pero pronto se ocupó de otras modalidades. Hoy en dı́a lo que se conoce, en sentido amplio, como lógica modal trata de una variedad de modalidades que incluye además de las tradicionalmente consideradas otras modalidades que han surgido en las ciencias de la computación y en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Brevemente podemos decir que una modalidad es una expresión que aplicada a una oración S proporciona una nueva oración sobre el modo en que S es verdadera o sobre el modo en que es aceptada Por ejemplo sobre cuando es verdadera, donde es verdadera, cómo es verdadera, en que circunstancias es verdadera; o sobre el modo en que un sujeto o colectividad la acepta: como conocida, creida, demostrada, etc. Las modalidades usualmente se dan en pares de modalidades duales (“necesario” / “possible”, “siempre” / “alguna vez”): “necesario” equivale a “no es posbile que no”, “siempre” equivale a “no es el caso que alguna vez no”. La lógica clásica es extensional. Esto significa que vale el principio de sustitución de equivalentes materiales, o sustitución salva veritate, conocido también como principio de extensionalidad: si dos enunciados β y γ tienen el mismo valor de verdad, entonces en todo enunciado α(p/β) en el que aparezca β, puede sustituirse β por γ y se obtiene un nuevo enunciado, α(p/γ), con el mismo valor de verdad que el inicial (α(p/β)). Las modalidades infringen el principio de extensionalidad. Veamos ejemplos. 1. La oración (3) no se sigue de (1) y (2): (1) 3 + 2 = 5 si y sólo si Juan Carlos I es rey de España (2) Es necesario que 3 + 2 = 5 (3) Es necesario que Juan Carlos I es rey de España. 5 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2. La oración (6) no se sigue de (4) y (5): (4) Felipe de Borbón es rey de España si y sólo si Paris está en Australia (5) En el futuro Felipe de Borbón será rey de España (6) En el futuro Paris estará en Australia 3. Del mismo modo, la oración (9) no se sigue de (7) y (8): (7) El autor de El Quijote es el autor de El Quijote si y sólo si el autor de El Quijote es Cervantes (8) Juan cree que el autor de El Quijote es el autor de El Quijote (9) Juan cree que el autor de El Quijote es Cervantes. 4. La oración (12) no se sigue de (10) y (11) (10) 3+2 = 5 si y sólo si no hay un número primo mayor que todos los demás números primos (11) Juan sabe que 3 + 2 = 5 (12) Juan sabe que no hay un número primo mayor que todos los demás números primos. La razón de que el principio de extensionalidad falle en los ejemplos 1 y 2 anteriores se explica por el hecho de que el valor de verdad de las oracioness (2), (3), (5), (6) no depende, a diferencia de lo que ocurre con las oraciones (1) y (4), únicamente de lo que ocurre en la situación en que se evalua la oración, sino que depende también de lo que ocurre en las situaciones alternativas pertinentes en cada caso. Por ejemplo, el valor de verdad de (3) no depende sólo de si Juan Carlos I es o no rey de España, depende de si lo es en situaciones alternativas a la actual. Que (3) sea verdadero significa que en cualquier situación posible (no sólo en la actual) Juan Carlos I es rey de España. Puesto que esto no es asi, (3) es falsa. Análogamente, el valor de verdad de (6) no depende de si ahora Parı́s está o no en Australis, depende de si en algún momento futuro será el caso que Parı́s está en Australia. Puesto que ésto no es ası́, (6) es falsa. Un listado de modalidades Modalidades aléticas: necesario, posible, imposible Modalidades temporales: siempre, nunca, siempre en el pasado, siempre en el futuro, en algún momento futuro, en algún momento pasado, a partir de ahora, etc. Modalidades deónticas: es obligatorio, está permitido, está prohibido, es legal, etc. Modalidades doxásticas: j cree que, se cree que. Modalidades epistémicas: j sabe que, se sabe que, todos saben que, etc. Modalidades de la lógica dinámica: después de que la computación se acabe, durante la computación, el programa permite que, etc. Modalidades de la metalógica: es válido, es satisfacible, es demostrable, es consistente, es demostrable en la teorı́a T . Modalidades espaciales: en todas partes, en alguna parte, etc. 7 La semántica relacional La semántica relacional para las lógicas de las diferentes modalidades considera seriamente la idea expresada antes. Dada una modalidad 2 y un enunciado ϕ (interperetado en la situación actual), el valor de verdad del enunciado 2ϕ en la situación actual w, o en el estado actual w, depende de lo que ocurre en situaciones (o estados) alternativas(os) a w. Las situaciones alternativas, o posibles, se respresentan en esta semántica r por puntos; que a menudo se han llamado mundos posibles. Y la relación de ser una alternativa se representa entonces por una relación entre puntos. Por esta razón esta semantica se conoce como relacional, y frecuentemente también, en particular en los cı́rculos de filosofı́a analı́tica, como semántica de mundos posibles. La semántica de mundos posibles para las modalidades aléticas la introdujo Carnap, y para las modalidades temporales Prior. La semántica relacional tal como la formulamos hoy en dia la introdujeron, independientemente uno de otro, Kripke, Hintikka y Kanger, aunque el tratamiento de Kripke es el mas general. Implı́citamente se halla en un artı́culo mucho anterior de Jónsson y Tarski. La semántica relacional tal como la presentó Kripke es completamente general, en el sentido de que es aplicable a multitud de modalidades. En este caso los modelos constan de: 1. Un conjunto no vacı́o de puntos que representan las situaciones pertinentes. Cada una de ellas puede ser la actual. 2. Una relación R entre puntos que indica que situaciones son alternativas a cuales. 3. Una interpretación que en cada situación establece qué enunciados son verdaderos y cuales falsos de modo que 2ϕ es verdadero en una situación w sii ϕ es verdadera en toda situación w0 tal que wRw0 . A pesar de que he usado la palabra ‘situación’ más a menudo que la expresión ‘mundo posible’, he usado ambas expresiones metafóricamente, como por otra parte es muy común. También es frecuente utilizar con el mismo propósito la expresión ‘estado de cosas’ (state of affairs). Con el uso de estas expresiones no se pretende sugerir ni mucho menos que se dispone de una concepción de lo que es una situación o lo que es un mundo posible, ni que tdisponer de una tal concpión sea necesario para elaborar la semántica relacional. De hecho, la semántica relacional es compatible con diferentes concepciones de lo que puede ser desde un punto de vista metafı́sico un mundo posible, incluso es compatible con concepciones que niegan, desde este punto de vista metafı́sico, los mundos posibles. Conviene observar una caracterı́stica importante de la semántica relacional de mundos posibles. En cada punto, bajo cada interpretación, cada fórmula tiene un valor de verdad (es verdadera o falsa). Debido a esta caracterı́stica a veces puede parecer más apropiada la metáfora de los mundos posibles que la de las situaciones puesto que, según una actitud realista, en el mundo está determinado de cada enunciado si es verdadero o falso, pero en una situación no tiene porque ser ası́. 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Capı́tulo 2 El lenguaje de la lógica modal El lenguaje de la lógica modal proposicional es una extensión del lenguaje de la lógica proposicional clásica. Se obtiene de éste añadiendo dos operadores modales. Las conectivas ∧, ∨, → de la lógica clásica y las constantes proposicionales ⊥, > se siguen interpretando intuitivamente del modo en que se hace en lógica proposicional, es decir como funciones de valores de verdad. Los operadores modales pueden interpretarse intuitivamente de muchas maneras, según la modalidad que se pretenda tratar. Uno de ellos se interpreta como una modalidad y el otro como la modalidad dual. Usualmente se utiliza el cuadrado 2 para la modalidad universal y el diamante 3 para la existencial. Ası́ si entendemos 2 como “es necesario”, 3 se entenderá como “es posible”; si entendemos 2 como “siempre en el futuro”, 3 se entenderá como “en algún momento futuro”, y si entendemos 2 como “es demostrable en la aritmética de Peano”, 3 se entenderá como “es consistente con la aritmética de Peano”. El lenguaje formal de la lógica modal proposicional consta pues del siguiente vocabulario: 1. Variables proposicionales: p, q, r, p1 , q1 , r1 , . . . 2. Conectivas: ∧, ∨, → 3. Operadortes modales: 2, 3 4. Paréntesis Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las fórmulas atómicas son las variables proposicionales. Las fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Toda fórmula atómica es una fórmula, 2. Si α es una fórmula, lo son ¬α, 2α y 3α 3. Si α y β son fórmulas, también lo son (α ∧ β), (α ∨ β) y (α → β) El sı́mbolo ↔ se define del modo usual en lógica clásica como ϕ ↔ ψ := (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) El árbol genealógico de una fórmula se define de modo análogo a como se hace en lógica proposicional (no modal), ası́ como el concepto de subfórmula. Una fórmula de la forma 2ϕ se lee “cuadrado ϕ” y también “es necesario que ϕ” aunque no consideremos ninguna interpretación intuitiva. Análogamente una fórmula de la forma 3ϕ se lee “rombo ϕ”, “diamante ϕ” y también “es posible que ϕ”. 9 10 CAPÍTULO 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA MODAL Ejercicios 1. Interpretando 2 como “es necesario” y su dual 3 como “es posible”, formalice: 1. Es posible que el Barça gane La Liga, pero no es necesario. 2. Es posible que si el Barça gana La Liga, pierda la “Champions”. 3. Si es posible que el Barça gane La Liga, es necesario que la pierda el Valencia. 4. Si el Barça pierde La Liga, es necesario que la gane el Valencia. 5. No es posible que el Barça gane La Liga, pero es posible que gane la copa de la UEFA. 6. Es posible que el Valencia gane La Liga y posiblemente es necesario que sea ası́. 7. Es imposible que que el Barça y el Valencia ganen La Liga. 2. Interpretando 2 como “siempre en el futuro” y su dual 3 como “alguna vez en el futuro”, formalice: 1. El Barça ganará siempre La Liga. 2. Si el Barça gana alguna vez La Liga, siempre perderá la “Champions”. 3. Siempre ocurrirá que si el Barça gana La Liga, la perderá el Valencia. 4. Si el Barça pierde alguna vez La Liga, siempre la ganará el Valencia. 5. No siempre ocurrirá que el Barça gane La Liga, pero alguna vez ganará la copa de la UEFA. 6. No siempre ocurrirá que el Barça o el Valencia ganen La Liga. Instancias de sustitución Dada una fórmula α una instancia de sustitución de α es cualquier fórmula que se obtiene reemplazando simultánemente alguna o todas las letras proposicionales que aparecen en α por fórmulas. Asi (r ∧ p) → ¬r es una instancia de sustitución de p → q. También es una instancia de sustitución de (r ∧ q) → p y de (p ∧ q) → r, entre otras. Capı́tulo 3 La semántica relacional Presentamos la semántica relacional para el lenguaje de la lógica modal proposicional. Primero definiremos los modelos y después, para cada modelo. la relación de verdad de una fórmula en un punto del modelo. Un marco (de Kripke) es una estructura F = hW, Ri donde 1. W es un conjunto no vacı́o y 2. R es una relación binaria en W . Los elementos de W se llaman los puntos, los ı́ndices, los mundos posibles o los estados del marco. Utilizaremos indistintamente todos estos términos. Un modelo (de Kripke) es una estructura M = hW, R, V i, donde 1. hW, Ri es un marco y 2. V es una función que asigna a cada letra proposicional un subconjunto de W . Se dice que la función V es una asignación o una valoración en el marco hW, Ri, y que el modelo hW, R, V i es un modelo sobre hW, Ri. Dado un modelo M = hW, R, V i, la definición de fórmula verdadera en un punto w ∈ W es la siguiente: M, w M, w M, w M, w M, w M, w M, w |= p sii w ∈ V (p), para cada letra proposicional p |= (ϕ1 ∧ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 y M, w |= ϕ2 |= (ϕ1 ∨ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 o M, w |= ϕ2 |= (ϕ1 → ϕ2 ) sii M, w 6|= ϕ1 o M, w |= ϕ2 |= ¬ϕ sii M, w 6|= ϕ |= 2ϕ sii para cada v ∈ W tal que wRv, M, v |= ϕ |= 3ϕ sii existe v ∈ W tal que wRv y M, v |= ϕ Si ϕ es verdadera en un punto se dice que el punto satisface la fórmula o que la fórmula es satisfecha en el punto. Con V (ϕ) se denota el conjunto de puntos en que ϕ es verdadera. Si ϕ es verdadera en todo punto de M se dice que es válida en M. Dado un marco F, se dice que ϕ es válida en F si ϕ es válida en todo modelo hF, V i sobre F. Una fórmula es válida en una clase de modelos M si es válida en cada uno de sus elementos. Análogamente se dice que una fórmula es válida en una clase F de marcos. Observación 1. 2ϕ es equivalente a ¬3¬ϕ y 3ϕ es equivalente a ¬2¬ϕ. Es decir, en todo modelo y en todo punto ámbas son verdaderas o ambas falsas. 11 12 CAPÍTULO 3. LA SEMÁNTICA RELACIONAL 3.1. Fórmulas válidas y reglas válidas La semántica relacional obliga a que ciertas fórmulas sean válidas y a que ciertas reglas de inferencia preserven la validez. Una fórmula es válida si es válida en todo modelo y una regla de inferencia preserva la validez si aplicada a fórmulas válidas proporciona fórmulas válidas. Proposición 2. 1. Las fórmulas de la forma 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) son verdaderas en todo punto de todo modelo, por tanto son válidas en todo modelo. 2. Las fórmulas de la forma de una tautologı́a (las instacnias de sustitución de tautologı́as) son válidas en todo modelo. 3. Si ϕ es válida en un modelo, lo es 2ϕ. Ası́ el conjunto de fórmulas válidas en un modelo está cerrado por la regla de inferencia ϕ 2ϕ que se llama regla de necesidad, o también regla de generalización modal. 4. Si ϕ es válida en un marco F, entonces toda instancia de sustitución σϕ de ϕ es válida también en F. Ası́ el conjunto de fórmulas válidas en un marco está cerrado por las regla de inferencias ϕ σϕ donde σϕ es una instancia de sustitución de ϕ cualquiera. Estas reglas se llaman reglas de sustitución. 5. Las fórmulas de la forma 2α ↔ ¬3¬α, y las de la forma 3α ↔ ¬2¬α son verdaderas en todo punto de todo modelo, por tanto son válidas. Capı́tulo 4 Lógicas modales normales Sea F una clase de marcos. Consideremos el conjunto de fómulas L(F) = {ϕ : para todo F ∈ F, F |= ϕ}. De acuerdo con los resultados de la sección anterior L(F) contiene todas las instancias de sustitución de las tautologı́as, todos los axiomas distributivos (o axiomas K) y está cerrado bajo Modus Ponens, la regla de necesidad e instancias de sustitución. Un conjunto de fórmulas modales con estas caracterı́sticas se dice que es una lógica modal normal. Definición 3. Una lógica modal normal es un conjunto de fórmulas modales L tal que 1. contiene todas las instancias de sustitución de las tautologı́as 2. contiene todas las fórmulas de la forma (K) 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ). 3. contiene todas las fórmulas de las fomas 2α ↔ ¬3¬α y 3α ↔ ¬2¬α, 4. está cerrado bajo Modus Ponens: si ϕ, ϕ → ψ ∈ L, entonces ψ ∈ L 5. está cerrado bajo Necesidad: si ϕ ∈ L, entonces 2ϕ ∈ L, 6. está cerrado bajo instancias de sustitución: si ϕ ∈ L y ψ es una instancia de sustitución de ϕ, entonces ψ ∈ L. Ejemplos: 1. Para cada clase de marcos F, L(F) es una lógica modal normal. 2. El conjunto de todas las fórmulas modales es una lógica modal normal Una lógica modal normal L es una sublógica de una lógica modal normal L0 si L ⊆ L0 ; es este caso también decimos que L0 es una extensión de L. Las fórmulas que pertenecen a una lógica modal normal L se llaman a menudo los teoremas de L. Lema 4. Si {Li : i ∈ I} es una colección no vacı́a de lógicas modales normales entonces T i∈I Li es una lógica modal normal. 13 14 CAPÍTULO 4. LÓGICAS MODALES NORMALES Puesto que hay lógica modales normales (por ejemplo el conjunto de todas las fórmulas modales), hay la menor lógica modal normal, que es la intersección de la familia de todas las lógicas modales normales. Se denota por K en honor a Saul Kripke. Corolario 5. Para cada conjunto de fórmulas modales Γ, hay la menor lógica modal normal que contiene a Γ. Demostración. Sea X la colección de todas las lógicas modales normales que contienen a Γ. Puesto que hay una lógica modal normal que contiene a Γ, a saber el conjunto de todas T T las fórmulas, X es no vaı́ca. Por tanto X es una lógica modal normal. Claramente, Γ ⊆ X . Por T otra parte, si L es una lógica modal normal ty Γ ⊆ L, entonces L ∈ X . Por tanto, X ⊆ L. QED La menor lógica modal normal que contiene a Γ se denota por L(Γ). Obsérvese que al estar L(Γ) cerrado bajo instancias de sustitución, toda instancia de sustitución de cualquier fórmula de Γ pertenece a L(Γ). Ası́, K = L(∅), Sea L una lógica modal normal. Diremos que un modelo es un modelo de L si todo teorema de L es valido en el modelo. Análogamente, diremos que un marco es un marco de L si todo teorema de L es válido en el marco. Dada una lógica modal normal L, consideremos su clase de marcos Marc(L) = {F : para cada ϕ ∈ L, F |= ϕ} es decir la clase de los marcos en los que son válidas todos los teoremas de L. Consideraremos también la clase de sus modelos Mod(L) = {hW, R, V i : para cada ϕ ∈ L, hW, R, V i |= ϕ} Evidentemente: L ⊆ L(Marc(L)) pero esta inclusión no tiene porque ser una igualdad. Por otra parte, {hW, R, V i : hW, Ri ∈ Marc(L)} ⊆ Mod(L) Ahora bien, de que hW, R, V i ∈ Mod(L) no se sigue que el marco hW, Ri pertenezca a Marc(L). Debe tenerse en cuenta que hW, Ri ∈ Marc(L) si y sólo si para toda valoración V en hW, Ri, el modelo hW, R, V i ∈ Mod(L). 4.1. Axiomatizaciones tipo Hilbert de las lógicas modales normales Dada una lógica modal normal L, un conjunto de fórmulas Σ es un conjunto de axiomas para L si L = L(Σ), es decir si L es la menor lógica modal normal que incluye a Σ. Se dice que L es finitamente axiomatizable si tiene un conjunto finito de axiomas. Dado un conjunto finito Σ de axiomas para L existe un cálculo estilo Hilbert H(Σ) para L. Consta de los siguientes axiomas: Axiomas de la lógica clásica: todas las instancias de sustitución de las tautologı́as, Axioms K: las fórmulas de la forma 2(α → β) → (2α → 2β), Axiomas propios: las instancias de sustitución de las fórmulas en Σ, 4.1. AXIOMATIZACIONES TIPO HILBERT DE LAS LÓGICAS MODALES NORMALES15 Axiomas de interdefinibilidad de 2 y 3: 2α ↔ ¬3¬α, 3α ↔ ¬2¬α y de las siguientes reglas de inferencia: Regla Modus Ponens: de α, α → β inferir β. Regla de necesidad: de α inferir 2α. Diremos que las instacias de sustitución de las fórmulas elemento de Σ son los axiomas propios del cálculo H(Σ). Una demostración en un cálculo estilo Hilbert es una sucesión finita de fórmulas tal que cada uno de los miembros de la sucesión o es un axioma del cálculo o se obtiene de fórmulas anteriores en la sucesión por aplicación de alguna de las reglas de inferencia. Se dice que una demostración es una demostración de su última fórmula. Una fórmula es demostrable en el cálculo si hay una demostración (en el cálculo) de ella. Proposición 6. Si Σ es un conjunto finito de axiomas para L, entonces L es el conjunto de fórmulas demostrables en el cálculo H(Σ). La menor lógica modal normal K se axiomatiza mediante el conjunto vacı́o de axiomas. Su cálculo estilo Hilbert H(∅) consta pues de los axiomas : Axiomas de la lógica clásica: todas las instancias de sustitución de las tautologı́as, Axioms K: las fórmulas de la forma 2(α → β) → (2α → 2β), Axiomas de interdefinibilidad de 2 y 3: 2α ↔ ¬3¬α, 3α ↔ ¬2¬α y de las siguientes reglas de inferencia: Regla Modus Ponens: de α, α → β inferir β. Regla de necesidad: de α inferir 2α. este cálculo no tiene axiomas propios. Lo denotaremos por HK para recordar que es el cálculo que axiomatiza la lógica K. La siguiente proposición nos da una lista de teoremas de la of any normal modal logic. Proposición 7. Para cualesquiera fórmulas α and β las fórmulas (1) 2(α ∧ β) ↔ (2α ∧ 2β) (2) 3(α ∨ β) ↔ (3α ∨ 3i β) (3) (2α ∨ 2β) → 2(α ∨ β) (4) 3(α ∧ β) → (3α ∧ 3i β) (5) ¬2α ↔ 3¬α. son teoremas de K y por tanto de toda lógica modal normal. Algunas fórmulas importantes que sirven para axiomatizar las lógicas modales normales más estudiadas son: 16 CAPÍTULO 4. LÓGICAS MODALES NORMALES T 4 B E D M G L Grz 2p → p 2p → 22p p → 23p 3p → 23p 2p → 3p 23p → 32p 32p → 23p 2(2p → p) → 2p, axioma de Löb 2(2(p → 2p) → p) → p Las lógicas modales normales se suelen denotar con la letra K seguida de las letras de las fórmulas que las axiomatizan. Por ejemplo KT denota la lógica axiomatizada por la fórmula T . Por razones históricas, ahy lógicas que se denotan de otro modo. Vamos a dar una lista de lógicas importantes. Primero daremos su nombre más común. S4 S5 T B GL D D4 4.2. es es es es es es es la la la la la la la lógica lógica lógica lógica lógica lógica lógica KT 4. KT 4B, también la KT 4E. KT KT B KL, llamada también lógica de la demostrabilidad. KD KD4 Relaciones de consecuencia Sea L una lógica modal normal. La relación de consecuencia local asociada a L se define como sigue. Sean ϕ una fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se dice que ϕ es una L-consecuencia local de Σ, y escribimos Σ |=lL ϕ, si para todo modelo hW, R, V i ∈ Mod(L) y para todo w ∈ W tal que para cada ψ ∈ Σ, w sat. ψ ocurre que w sat. ϕ. La relación de consecuencia global asociada a L se define como sigue. Sean ϕ una fórmula modal y Σ un conjunto de fórmulas modales. Se dice que ϕ es una L-consecuencia global de Σ, y escribimos Σ |=gL ϕ, si para todo modelo hW, R, V i ∈ Mod(L) tal que para cada ψ ∈ Σ, hW, R, V i |= ψ ocurre que hW, R, V i |= ϕ. 4.3. Relaciones de deducibilidad A cada lógica modal normal podemos asociar dos relaciones de deducibilidad, la local o débil y la global o fuerte. Sea L una lógica modal normal. Una demostración de ϕ a partir de Σ en L es una sucesión finita de fórmulas cuyos elementos son elementos de L o de Σ, o se obtienen de fórmulas anteriores en la sucesión por aplicación de la regla Modus Ponens. Diremos que ϕ es localmente deducible en L, o L-deducible para abreviar, de un conjunto de fórmulas Σ, en sı́mbolos Σ `L ϕ, si existe una demostración de ϕ a partir de Σ en L. De la definición se sigue que si ϕ is localmente deducible de Σ en L, lo es de un subconjunto finito de Σ. Claramente las fórmulas localmente deducibles de el conjunto vacı́o de fórmulas en L son los teoremas de L. 4.3. RELACIONES DE DEDUCIBILIDAD 17 La relación de deducibilidad local hereda de la lógica clásica algunas de sus propiedades: Proposición 8 (Teorema de deducción). Para toda lógica modal normal L, todo conjunto de fórmulas Σ y cualesquiera fórmulas α, β, si Σ ∪ {α} `L β entonces Σ `L (α → β). El estudio de la deducibilidad local en L se reduce, gracias al teorema de deducción, al estudio de los teoremas de L. Proposición 9. Para toda lógica modal normal L y cualesquiera fórmulas β0 , . . . , βn , α, {β0 , . . . , βn } `L α sii β0 ∧ . . . ∧ β1 → α ∈ L. Demostración. Recuérdese que la fórmula (β0 ∧ . . . ∧ β1 → α) ↔ (β0 → (β1 → . . . (βn → α) . . .) es una instancia de sustitución de una tautologı́a. Supongamos que {β0 , . . . , βn } `L α. El teorema de deducción aplicado reiteradamente nos da que (β0 → (β1 → . . . (βn → α) . . .) es un teorema de L. Utilizando la tautologı́a anterior obtenemos que lo es (β0 ∧ . . . ∧ β1 → α). La otra implicación se obtiene de la tautologı́a anterior por aplicación repetida de Modus Ponens. QED Lema 10. Para toda lógica modal normal L y cualesquiera fórmulas β0 , . . . , βn , α, si {β0 , . . . , βn } `L α entonces {2β0 , . . . , 2βn } `L 2α. Demostración. Por la proposición 9. Se deja como ejercicio. QED La relación de deducibilidad débil en L es correcta y completa relativamente a la relación de consequencia local de L, la determinada por la clase de todos los modelos de L. Es decir: Σ `L ϕ iff Σ |=lL ϕ. Este resultado se demostrará más adelante. 18 CAPÍTULO 4. LÓGICAS MODALES NORMALES Capı́tulo 5 Algunos resultados de correspondencia Presentamos algunos resultados de la forma La fórmula α es válida en el marco F sii F tiene la propiedad Φ. Cuando se dispone de un resultado de este tipo se dice que la fórmula α corresponda a la propiedad Φ. Desde la perspectiva que este tipo de resultados introducen se puede afirmar que las fórmulas modales, y más en general los conjuntos de fórmulas modales, sirven para describir propiedades de los marcos de Kripke. Los lenguajes modales sirven para este fin. Algunas clases de marcos pueden definirse mediante fórmulas modales de este modo pero otra no. Demostraremos algunas de las correspondencias de la tabla que hay a continuación. 2p → p 2p → 22p p → 23p 2p → 3p 3p → 2p 3p ↔ 2p R R R R R R es es es es es es reflexiva transitiva semétrica serial una función una función con dominio W Proposición 11. La fórmula 2p → p es válida en un marco F sii la relación R es reflexiva. Demostración. Supongamos que R es reflexiva. Seat V una valoración en F y sea w ∈ W . Si 2p es verdadera en w, puesto que wRw, tenemos que p es verdadera en w. Por tanto, 2p → p es verdadera en w. Concluimos pues que 2p → p es válida en F. Para demostrar la otra implicación, supongamos que 2p → p es válida en F. Sea w ∈ W y consideremso cualquier valoración V en F al que V (p) = {v ∈ W : wRv}. En tal caso, 2p es verdadera en w en el modelo hF, V i. Puesto que 2p → p es verdadera en w en el modelo hF, V i, pes verdadera en w en el modelo hF, V i. Por tanto, w ∈ V (p), con lo cual wRw. Concluimos que R es reflexiva. QED Proposición 12. La fórmula 2p → 22p es válida en un marco F sii la relación R es transitiva. 19 20 CAPÍTULO 5. ALGUNOS RESULTADOS DE CORRESPONDENCIA Demostración. La demostración de la parte fácil, que es la implicación de derecha a izquierda se deja como ejercicio. Para demostrar la otra implicación, supongamos que 2p → 22p es válida en F y que w, v, u ∈ W son tales que wRv and vRu. Sea V una valoración en F tal que V (p) = {x ∈ W : wRi x}. Claramente, 2p es verdadera en w en hF, V i. Puesto que por suposición 2p → 22p también es verdadera en w, 22p es verdadera en w. Por tanto, 2p ies verdadera en v y p lo es en u. Por tanto, wRu. Concluimos pues que R es transitiva. QED Proposición 13. La fórmula p → 23p es válida en un marco F sii la relación R es simétrica. Demostración. Supongamos que p → 23p es válida en F y que w, v ∈ W son tales que wRv. Sea V una valoración cualquiera tal que V (p) = {w}. Puesto que p y p → 23p son verdaderas en w, 23p es verdadera en w. Por tanto, 3p es verdadera en v. La única posibilidad de que esto sea ası́ es que vRw. Concluimos pues que R es simétrica. La demostración de la otra implicación se deja como ejercicio. QED Proposición 14. La fórmula 2p → 3p es válida en un marco F sii la relación R es serial (i.e. para cada w ∈ W existe v ∈ W tal que wRv). Demostración. Se deja como ejercicio. QED Capı́tulo 6 Teoremas de completud Para cada lógica modal normal disponemos de tres objetos definidos sintácticamente. La lógica misma, la deducibilidad local asociada y la deducibilidad global. Como hemos visto, una clase de marcos F define una lógica L(F), el conjunto de las fórmulas válidas en todo marco de F. Por otra parte, una lógica L puede utilizarse para definir la clase de marcos Marc(L) cuyos elementos son los marcos en que todo teorema de L es válido. Dada una lógica L es natural preguntarse si la lógica L(Fr(L)) es o no igual a L. Es claro que L ⊆ L(Fr(L)). La otra inclusión es la problemática. Se cumple para unas lógicas y para otras no. Podemos formular la pregunta análoga respecto a los modelos. A cada lógica L le corresponde la clase de modelos Mod(L), la de los modelos en los que todos los teoremas de L son válidos. Para cada lógica L, podemos preguntarnos si el conjunto Val(Mod(L)) de todas las fórmulas válidas en todos los modelos en Mod(L) es igual o no a L. Es claro que L ⊆ Val(Mod(L)). En este caso la otra inclusión se cumple para toda lógica. Una lógica modal normal L se dice que es completa respecto a marcos si L = L(Marc(L)). Una lógica L se dice que está determinada por una clase de marcos F si L = L(F). La observación siguiente es importante. Proposición 15. Si una lógica está determinada por alguna clase de marcos entonces es completa respecto a marcos. Demostración. Supongamos que L está determinada por la clase de marcos F. Entonces, F ⊆ Fr(L). Por tanto la lógica de la clase de marcos Fr(L) está incluida en la lógica de la clase de marcos F. Puesto que esta última lógica es L, concluimos que L = L(Marc(L)), en otras palabras que es completa respecto a marcos. QED Una lógica se dice que es completa respecto a modelos si L = Val(Mod(L)). Como veremos toda lógica es completa respecto a modelos. Los teoremas de corrección para las relaciones de deducibilidad asociadas a una lógica normal L son los siguientes: Teorema 16. Para cada fórmula ϕ y cada conjunto de fórmulas Σ si Σ `L ϕ, entonces Σ |=lL ϕ. 21 (6.1) 22 CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD Teorema 17. Para cada fórmula ϕ y cada conjunto de fórmulas Σ si Σ `gL ϕ, entonces Σ |=gL ϕ. (6.2) Procedemos a demostrar el primer teorema. Supongamos que Σ `L ϕ. Sea ϕ0 , . . . , ϕn una demostración en L de ϕ a partir de Σ. Demostremos por inducción completa que para cada i si i ≤ n, Σ |=lL ϕi . Supongamos que para todo k ≤ i ocurre que si k ≤ n, entonces Σ |=lL ϕk . Supongamos que i ≤ n y veamos que Σ |=lL ϕi . Si ϕi ∈ Σ, es claro. Si ϕi ∈ L, también pues en tal caso ϕi es verdadera en todo punto de todo modelo se L, en particular en los puntos en los que las fórmulas de Σ son veraderas. Si ϕi se obtiene por Modus Ponens de fórmulas anteriores, digamos ϕm y ϕl , supongamos que ϕl es ϕm → ϕi . Entonces m, l ≤ i ≤ n. Por tanto por la hipótesis inductiva Σ |=lL ϕm y Σ |=lL ϕm → ϕi . Supongamos que hW, R, V i es un modelo de L y w ∈ W es tal que toda fórmula de Σ es verdadera en w. Entonces ϕm y ϕm → ϕi son verdaderas en w. Por tanto lo es ϕi . Concluimos pues que Σ |=lL ϕi . Se deja como ejercicio la demostración del otro teorema de corrección. 6.0.1. L-teorı́as, conjuntos L-consistentes, L-teorias primas, relativamente maximales y L-consistente maximales Por comodidad abreviemos una contradicción fijada, por ejemplo p ∧ ¬p con ⊥. Asi en todo modelo M y en todo punto w del modelo, M, w 6|= ⊥. Una logica modal normal es consistente si no es el conjunto de todas las fórmulas. Asi, Lema 18. Una lógica modal normal L es consistente sii ⊥ 6∈ L Demostración. Observemos que ⊥ → ϕ es de la forma de una tautologı́a, para cada fórmula ϕ. Por tanto ⊥ → ϕ ∈ L. Por tanto si ⊥ ∈ L, puesto que L esta cerrada por Modus Ponens, ϕ ∈ L. Asi si ⊥ ∈ L, L no es consistente. Por otra parte si L no es consistente, puesto que toda fórmula pertenece a L, ⊥ ∈ L. QED Fijemos una lógica modal normal consistente L. Lema 19. Para cada fórmula ϕ, 1. ¬ϕ `L ϕ → ⊥ 2. ϕ → ⊥ `L ¬ϕ 3. ⊥ `L ϕ Demostración. 1. Tenemos que ¬ϕ → (ϕ → ⊥) es una tautologı́a. Por tanto pertenece a L. Utilizando Modus Ponens obtenemos que ¬ϕ `L ϕ → ⊥. 2. Se demuestra de modo análogo. 3. Se deja como ejercicio. QED Lema 20. Para cada fórmula ϕ, 1. Si Σ `L ϕ0 , . . . , Σ `L ϕn y {ϕ0 , . . . , ϕn } `L ψ, entonces Σ `L ψ. 2. Si Σ `L ϕ y Σ `L ϕ → ψ, entonces Σ `L ψ. 23 3. Demostración. (1) Supongamos que Σ `L ϕ0 , . . . , Σ `L ϕn . Sea para cada i ≤ n Di una demostración en L de ϕi a partir de Σ. Sea D una demostración en L de ψ a partir de {ϕ0 , . . . , ϕn }. Claramente la concatenación D0 . . . Dn D de las demostaciones es una demostración en L de ψ a partir de Σ. (2) Utilizaremos (1). Es claro que {ϕ, ϕ → ψ} `L ψ. Entonces si Σ `L ϕ y Σ `L ϕ → ψ, por (1) obtenemos que Σ `L ψ. QED Lema 21. Si Σ `L ϕ, entonces para cada conjunto de fórmulas ∆, Σ ∪ ∆ `L ϕ. Demostración. Toda demostración de ϕ en L a partir de Σ es también una demostración de ϕ en L a partir de Σ ∪ ∆. QED Un conjunto Σ de fórmulas es L-consistente si Σ 6`L ⊥. En caso contrario se dice que es L-inconsistente. De la definición se sigue inmediatamente que Σ es L-inconsistente si y sólo si alguno de sus subconjuntos finitos lo es. Lema 22. Σ `L ϕ si y sólo si Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente. Demostración. Si Σ `L ϕ, puesto que Σ ∪ {¬ϕ} `L ϕ → ⊥, obtenemos que Σ ∪ {¬ϕ} ` ⊥, es decir que Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente. Por otra parte, si Σ ∪ {¬ϕ} es L-inconsistente, Σ ∪ {¬ϕ} `L ⊥. Por tanto, por el teorema de deducción, Σ `L ¬ϕ → ⊥. Ahora bien, ¬ϕ → ⊥ `L ϕ. Por tanto Σ `L ϕ. QED Lema 23. Σ es inconsistente sii para toda fórmula ϕ, Σ `L ϕ. Demostración. Si para toda fórmula ϕ, Σ `L ϕ, en particular Σ `L ⊥, por lo que es Linconsistente. Si Σ es L-inconsistente, Σ `L ⊥. Por tanto, puesto que para toda fórmula ϕ, ⊥ `L ϕ, tenemos que para toda fórmula ϕ, Σ `L ϕ. QED Un conjunto de fórmulas Σ es una L-teorı́a si para cada fórmula ϕ tal que Σ `L ϕ ocurre que ϕ ∈ Σ. Una L-teorı́a Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ 6`L ϕ y para toda fórmula ψ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} `L ϕ. Una L-teorı́a Σ es prima si es L-consistente y para cualesquiera fórmulas ϕ, ψ, si ϕ∨ψ ∈ Σ, entonces ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Σ. Una L-teoria Σ es relativamente maximal si hay una fórmula ϕ tal que Σ es ϕrelativamente maximal. Una L-teorı́a Σ es L-consistente maximal si es L-consistente y para cada fórmula ϕ 6∈ Σ, Σ ∪ {ϕ} es L- inconsistente. Lema 24. Si Γ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula tal que Γ 6`L ϕ, entonces existe una L-teorı́a ϕ-relativamente maximal Σ tal que Γ ⊆ Σ. 24 CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD Demostración. Consideremos una enumeración ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , . . . de las fórmulas del lenguaje. Vamos a definir en pasos sucesivos una sucesión de conjuntos de fórmulas Σ0 , Σ1 , . . . , Σn , . . . tal que 1. Σ0 = Γ 2. Para cada n, Σn 6`L ϕ 3. Para cada n, Σn ⊆ Σn+1 La definición de la sucesión es: Σ0 = Σn+1 = Γ Σn Σn ∪ {ψn } si Σn ∪ {ψn } `L ϕ si Σn ∪ {ψn } 6`L ϕ Claramente se cumplen las condiciones deseadas. Sea [ Σ= Σn n Es decir, para cada fórmula ψ, ψ ∈ Σ si y sólo si hay n tal que ψ ∈ Σn . Veamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. 1. Σ 6`L ϕ. En efecto, si Σ `L ϕ, hay ∆ ⊆ Σ finito tal que ∆ `L ϕ. De la condición 3 anterior y de que ∆ es finito se sigue que hay n tal que ∆ ⊆ Σn . Por tanto, Σn ` ϕ. Pero esto contracide la condición 2 anterior. 2. Si ψ 6∈ Σ, entonces Σ∪{ψ} `L ϕ. En efecto, supongamos que ψ 6∈ Σ y que Σ∪{ψ} 6`L ϕ Sea n tal que ψ es ψn . Entonces Σn ∪ {ψn } 6`L ϕ. Por tanto ψn ∈ Σn+1 ⊆ Σ. Pero esto es absurdo. Por tanto Σ ∪ {ψ} `L ϕ. QED Corolario 25. Para cada conjunto de fórmulas Σ y cada fórmula α, Σ `L α sii α pertenece a toda L-teorı́a relativamente maximal que incluye a Σ. Demostración. Si Σ `L α y Γ es L-teorı́a relativamente maximal que incluye a Σ, entonces Γ `L α. Por tanto α ∈ Γ. Por otra parte, si Σ 6`L α entonces hay L-teorı́a Γ α-relativamente maximal tal que Σ ⊆ Γ. Puesto que α 6∈ Γ, tenemos que α no pertenece a toda L-teorı́a relativamente maximal que incluye a Σ. QED Proposición 26. Sea Σ una L-teorı́a. Son equivalentes 1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna fórmula ϕ. 2. Σ es prima 3. Σ es L-consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ. 4. Σ es L-consistente maximal. Demostración. 1 implica 2. Supongamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. Supongamos que ψ ∨ δ ∈ Σ. Puesto que Σ es ϕ-relativamente maximal, si ψ, δ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} `L ϕ y Σ ∪ {δ} `L ϕ. Por el teorema de la deducción Σ `L ψ → ϕ y Σ `L δ → ϕ. Además (ψ → ϕ) → ((δ → ϕ) → ((ψ ∨ δ) → ϕ)) es instancia de sustitución de una tautologı́a. Por tanto pertenece a L. Se sigue que Σ `L (ψ ∨ δ) → ϕ. Por tanto Σ ∪ {ψ ∨ δ} `L ϕ. Esto 6.1. EL MODELO CANÓNICO 25 implica que, Σ `L ϕ, pero esto no es posible al ser Σ ϕ-relativamente maximal. Ası́ ψ ∈ Σ o δ ∈ Σ. Por tanto Σ es una L-teorı́a prima. 2 implica 3. Supongamos que Σ es prima. Por tanto es L-consistente. Además, para cada ϕ, ϕ ∨ ¬ϕ ∈ Σ. Por tanto, al ser prima, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ. 3 implica 4. Supongamso que Σ es L-consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ. Supongamos que ϕ 6∈ Σ. Por tanto, ¬ϕ ∈ Σ. Asi, Σ ∪ {ϕ} es inconsistente. Por tanto Σ es L-consistente maximal. 4 implica 1. Si Σ es L-consistente maximal, para cada ϕ 6∈ Σ, Σ es ϕ-relativamente maximal. QED Proposición 27. Para todo conjunto de fórmulas L-consistent y maximal Σ, (1) Si Σ `L α, entonces α ∈ Σ, (2) α ∧ β ∈ Σ sii α ∈ Σ and β ∈ Σ, (3) α ∨ β ∈ Σ sii α ∈ Σ o β ∈ Σ, (4) α → β ∈ Σ sii α 6∈ Σ o β ∈ Σ, (5) ¬α ∈ Σ sii α 6∈ Σ. Demostración. Se deja como ejercicio. 6.1. QED El modelo canónico Para motivar la definición del modelo canónico consideremos un modelo cualquiera hF, V i. Dado w ∈ W observemos que el conjunto Σ(w) = {α : hF, V i, w |= α} es un conjunto maximal K-consistente que contiene toda fórmula válida en el modelo. Ası́, si el modelo es un modelo de L, Σ(w) es L-consistente. Puede ocurrir que existan w, w0 ∈ W distintos que no se puedan distinguir mediante una fórmula modal, es decir que tengan la propiedad de que los conjuntos Σ(w) y Σ(w0 ) sean el mismo. Desde este punto de vista podemos decir que un conjunto de fórmulas maximal K-consistente caracteriza un tipo de estado o de mundo posible. Un tipo de estado es compatible con una lógica L si todo teorema de L pertenece a él. El conjunto de estados del modelo canónico para una lógica L consiste en todos los tipos de estados compatibles con L. Una fórmula será verdadera en un estado del modelo canónico si y sólo si pertenece al estado. De este modo, puesto que si una fórmula α no es un teorems de L, el conjunto L ∪ {¬α} es L-consistente, habrá un conjunto maximal L-consistente tal que incluye a L ∪ {¬α}, por tanto α no será válida en el modelo canónico. Para explicar como definir la relación de accesibilidad del modelo canónico de una lógica modal normal L, consideremos un modelo hF, V i de L y observemos que si w, v ∈ W son tales quet wRv entonces {α : 2α ∈ Σ(w)} ⊆ Σ(v). Tomaremso esta urltima condición como la condición para definir la relación de accesibilidad del modelo canónico. La definición del modelo canónico deuna lógica modal normal es la siguiente. 26 CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD Sea L una lógica consistente. Definamos el conjunto de estados del modelo canónico por: WL = {∆ : ∆ es un conjunto maximal L-consitent de fórmulas }, y la relación RL en WL por ∆RL ∆0 sii {α : 2α ∈ ∆} ⊆ ∆0 . El marco FL = hWL , RL i es el marco canónico de L. El modelo canónico de L es el modelo ML = hFL , VL i, donde VL es la valoración en el marco canónico de L definida por: VL (p) = {∆ ∈ WL : p ∈ ∆}, para cada letra proposicional p. El resultado principal sobre el modelo canónico de L es el lema fundamental. Lema 28 (Lema Fundamental). Parta todo conjunto maximal y L-consistente de fórmulas ∆ y toda fórmula α, hFL , VL i, ∆ sat. α sii α ∈ ∆. Demostración. Se demuestra por inducción en α. Para las letras proposicionales vale por la definición de la valoración VL . Para las conectivas se sigue de las propiedades de los conjuntos maximal L-consistentes del lema 27. para el operador modal se argumenta como sigue. Observemos primero que gracias a la hipótesis inductiva temenemos que hFL , VL i, ∆ |= 2α sii ∀∆0 ∈ WL si ∆RL ∆0 entonces α ∈ ∆0 sii ∀∆0 ∈ WL si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 entonces α ∈ ∆0 Ahora, si 2α ∈ ∆ y {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 , claramente tenemos que α ∈ ∆0 . Por tanto obtenemos la implicación dr izquierda a derecha de la condición que estamos demostrando. Para demostrar la otra implicación, supongamos que ∀∆0 ∈ WL , si {β : 2β ∈ ∆} ⊆ ∆0 entonces α ∈ ∆0 . Veamos que el conjunto {β : 2β ∈ ∆} ∪ {¬α} no es L-consistente. Si lo fuera existirı́a un conjunto maximal L-consistente que lo extiende y por la suposición tendrı́a como elemento a α, lo que no es posible. Por tanto, {β : 2β ∈ ∆} `L α. Sea ahora {β0 , . . . , βn } ⊆ {β : 2β ∈ ∆} tal que {β0 , . . . , βn } `L α. Entonces, {2β0 , . . . , 2βn } `L 2α, y puesto que {2β0 , . . . , 2βn } ⊆ ∆, obtenemos que 2α ∈ ∆. QED Corolario 29. Para toda lógica consistente L y toda fórmula α, α ∈ L sii α es válida en el modelo canónico de L. Demostración. Por el lema 25, una fórmula α ∈ L sii α pertenece a toco conjunto maximal L-consistente. Por tanto, α ∈ L sii α es verdadera en todo punto del modelo canónico de L. QED 6.1. EL MODELO CANÓNICO 6.1.1. 27 Los teoremas de completud El primer teorema de completitud que demostramos es una consecuencia inmediata del último corolario. . Teorema 30. Para toda lógica L, todo conjunto de fórmulas Σ y toda fórmula α, Σ `L α iff Σ |=lL α. Demostración. La dirección de izquierda a derecha es una consecuencia de que el conjunto de fórmulas verdadera en un punto de un modelo de L contiene todas las fórmulas de L y está cerrado bajo Modus Ponens. Para demostrar la otra inclusión supongamos que Σ 6`L α. En tal caso, el conjunto Σ ∪ {¬α} es L-consistente. Se pues ∆ un conjunto L- consistente y maximal que lo incluye. Este conjunto es uno de los elementos del modelo canónico de L, toda fórmula de Σ es verdadera en ∆ y α es falsa en ∆. Puesto que el modelo canónico de L es un modelo de L, concluimos que Σ 6|=lL α. QED Teorema 31. Toda lógica es completa respecto a modelos. Demostración. Sea L una lógica. Si L es la lógica insonsistente, no tiene modelos. Por tantoel conjunto de fórmulas válidas en todo modelo de L es el conjunto de todas las fórmulas. Por tanto es la lógica inconsistente. Si L es consistente, por el último corolario el modelo canónico de L es un modelo de L. Por tanto si una fórmula es válida en todo modelo de L, lo es en el modelo canónico de L. Oir tanto es un teorema de L. QED Teorema 32. La lógica K es completa respecto a marcos. Demostración. Puesto que K is la menor lógica modal normal, es claro que todo teorema de K es válido en todo marco. Ası́, la clase de marcos de K es la clase de todos los marcos. Pero además, si una fórmula es válida en todo marco, lo es en el modelo canónico de K. Por tanto es un teorema de K. QED Corolario 33. Una fórmula es un teorema de K sii es válida en el marco canónico de K. El paso fundamental en la demostración de que K es completa respecto a marcos consiste en la observación de que el marco canónico de K es un marco de K, es decir es un marco en el que todo teorema de K es válido. Cualquier lógica modal normal que tenga esta propiedad es completa respecto a marcos. Las lógicas con esta propiedad, las que sus teorems son válidos en su marco canónico, se llaman canónicas. Teorema 34. Toda lógica canónica es completa respecto a marcos. Demostración. Si L es canónica, FL ∈ Fr(L) y por tanto toda fórmula válida en todos los marcos de L es válida en FL y por tanto en el modelo canónico de L, lo que implica que es un teorema de L. QED 28 CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD Uno de los métodos para demostrar que una lógica es completa respecto a marcos consiste en demostrar que es canónica. El modo más común de hacerlo consiste en seleccionar un conjunto de axiomas de la lógica y encontrar una propiedad de los marcos que sea la que corresponde a los axiomas. Una vez hecho esto se demuestra que el marco del modelo canónico (el marco canónico) tiene la propiedad. Ası́, demostra la completitud de una lógica mediante el marco canónico puede verse como una aplicación de un resultado de correspondencia. A continuación demostraremos que algunas lógicas son completas respecto a marcos por este método. Proposición 35. Sea L una lógica. (1) Si T ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es reflexiva. (2) Si 4 ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es transitiva. (3) Si B ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es simétrica. (4) Si D ∈ L, entonces la relación del marco canónico de L es serial. Demostración. (1) Supongamos que 2p → p ∈ L. En tal caso, para cada fórmula α, 2α → α es verdadera en todo punto del modelo canónico. Sea Let ∆ ∈ WL y supongamos que 2α ∈ ∆. Ası́, 2α es verdadera en ∆ y por tanto α es verdadera en ∆ (ya que lo es 2p → p) . Es decir α ∈ ∆. Concluimos pues que ∆RL ∆. (2) Supongamos que 4 ∈ L. Por tanto toda fórmula α, 2α → 22α es verdadera en todo punto del modelo canónico de L. Supongamos que ∆, ∆0 , ∆00 ∈ WL son tales que ∆RL ∆0 y ∆0 RL ∆00 . Si 2α ∈ ∆, entonces esta fórmula es verdadera en ∆ lo que implica que lo es 22α, pues 2α → 22α es verdadera en ∆ . Por tanto, 22α ∈ ∆. Ası́, 2α ∈ ∆0 y α ∈ ∆00 . Concluimos que ∆RL ∆00 . (3) Supongamos que B ∈ L. Entonces, para cada fórmula α, α → 23α es verdadera en todo punto del modelo canonica de L. Supongamos que ∆, ∆0 ∈ WL0 son tales que ∆RL ∆0 y que 2α ∈ ∆0 . Entonces 2α es verdadera en ∆0 con lo que 32α también es verdadera en ∆. De este modo 23¬α es falsa en ∆ y lo es ¬α. Por ello, α es verdadera en ∆ con lo cual α ∈ ∆. Concluimos que ∆0 RL ∆. (4) Supongamos que D ∈ L. Entonces, cada fórmula α, 2α → 3α es verdadera en todo punto del modelo canonica de L. Sea ∆ ∈ WL . Consideremos el conjunto {α : 2α ∈ ∆}. Este conjunto es L-consistent. De lo contrario, 2⊥ serı́a deducible debilmente (sólo con MP) de ∆ en L. Pero en tal caso 3⊥ serı́a verdadera en ∆. Por lo que habrı́a un punto en el que ⊥ serı́a verdadera y esto no es posible. Por el lema de Lindenbaum el conjunto {α : 2α ∈ ∆} puede extenderse a un conjunto L-consistente maximal s∆0 . Entonces, ∆RL ∆0 . QED Teorema 36. Cualquier lógica axiomatizada con fórmulas pertenecientes al conjunto {T, 4, B, D} es canónica y por tanto completa respecto a marcos. En particular lo son las lógicas KT , S4, S5, B, KD. Demostración. Por los teoremas de correspondencia y la última proposición. QED 6.1. EL MODELO CANÓNICO 29 Hay lógicas que son completas respecto a marcos pero sin embargo no son canónicas. Ub ejemplo es la lógica de la demostrabilidad GL Para conluir la sección demostramos los teoremas de completitud para las relaciones de deducibilidad global. Corolario 37. Para toda lógica L, todo conjunto de fórmulas Σ y toda fórmula α, Σ `gL α iff Σ |=gL α. Demostración. Utilizamos los teoremas anteriores y los resultados que relacionan ña deducibilidad logcal con la global asi como los que relacionan la consecuencia local y la global. Σ `gL α iff iff iff 2Σ `lL α 2Σ |=lL α Σ |=gL α. QED 30 CAPÍTULO 6. TEOREMAS DE COMPLETUD Capı́tulo 7 Lógica proposicional clásica Dedicamos este capı́tulo a presentar la lógica proposicional clásica. Primero introduciremos el lenguaje. La elección de las conectivas primitivas y de las constantes proposicionales que hacemos se debe a que queremos un lenguaje que sirva para formular las diferentes lógicas que estudiaremos durante el curso para poderlas comparar con facilidad. La semántica que presentamos es la habitual: la de asignaciones de valores de verdad. El cálculo es el cálculo de secuentes de Gentzen. El capı́tulo finaliza con la demostración del teorema de completud. 7.1. Lenguaje formal El lenguaje formal que hemos escogido para presentar la lógica proposicional consta del siguiente vocabulario: 1. Variables proposicionales: p, q, r, p1 , q1 , r1 , . . . 2. Conectivas: ∧, ∨, → 3. Constantes proposicionales: ⊥, > 4. Paréntesis Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las fórmulas atómicas son las variables proposicionales y las constantes proposicionales. Las fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Toda fórmula atómica es una fórmula, 2. Si ϕ y ψ son fórmulas, también lo son (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ) y (ϕ → ψ). La negación se introduce del siguiente modo. Si ϕ es una fórmula ¬ϕ := (ϕ → ⊥) donde := significa que la expresión de la izquierda se define como una abreviación de la expresión de la derecha. 31 32 CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA 7.2. Semántica Una asignación de valores de verdad es una función v que asigna a cada letra proposicional un elemento de {V, F }. V representa el valor de verdad verdadero y F el valor de verdad falso. Para abreviar hablaremos simplemente de asignaciones. Definimos inductivamente la relación de satisfacción entre asignaciones y fórmulas, sat., como sigue. Dada una asignación v, v v v v v v sat. sat. sat. sat. sat. sat. p sii v(p) = V > ⊥ (ϕ ∧ ψ) sii v sat. ϕ y v sat. ψ (ϕ ∨ ψ) sii v sat. ϕ o v sat. ψ (ϕ → ψ) sii v no sat. ϕ o v sat. ψ De la definición se sigue inmediatamente que v sat. ¬ϕ sii v no sat. ϕ. Diremos que v satisface ϕ, si v sat. ϕ. Análogamente, si Σ es un conjunto de fórmulas, decimos que v satisface Σ si para cada ϕ ∈ Σ, v sat. ϕ. Si existe una asignación v tal que v satisface Σ, decimos que Σ es satisfacible Una fórmula ϕ es una tautologı́a si toda asignación satisface ϕ. Es una contradicción si ninguna asignación la satisface. Si Σ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula, decimos que ϕ es consecuencia de Σ, y escribimos Σ |= ϕ, si toda asignación que satisface Σ satisface ϕ. 7.3. Cálculo de secuentes Vamos a considerar el cálculo para la lógica clásica proposicional que introdujo Gentzen en “Untersuchungen über das logische Schliessen” (Mathematische Zeitschrift 39 (1935) pp. 176-210, 405-431)1 . El cálculo que damos es una adaptación del de Gentzen al lenguaje L = {∧, ∨, →, ⊥, >}. Un secuente es un par hΓ, ∆i donde Γ y ∆ son sucesiones finitas, posiblemente vacı́as, de fórmulas. Las letras griegas mayúsculas Γ, ∆, Π varian en lo sucesivo sobre este tipo de sucesiones. La concatenación de sucesiones se indica con la coma. Ası́, Γ, ∆ es la sucesión que resulta al concatenar Γ con ∆, en este orden. En este contexo, Γ, ϕ, ∆ es la sucesión Γ, hϕi, ∆. La sucesión vacı́a la denotamos por ∅. Ası́, ∅ ∅ es un secuente. Un secuente tı́pico es de la forma ϕ1 , . . . , ϕn ψ 1 , . . . , ψ n pero tenemos secuentes de las formas ϕ1 , . . . , ϕn ∅ ∅ ψ1 , . . . , ψ n Amenudo abreviaremos con ∆ y Γ las expresiones ∅ ∆ y Γ ∅, respectivamente. 1 Hay traduccióm inglesa en M.E. Szabo (ed.) Collected papers of Gerhard Gentzen, North-Holland, Amsterdam 1969. 7.3. CÁLCULO DE SECUENTES 7.3.1. 33 El cálculo LK para la lógica clásica Reglas estructurales Identidad ϕϕ Intercambio Γ, ϕ, ψ, ∆ Π (II) Γ, ψ, ϕ, ∆ Π Γ Π, ϕ, ψ, ∆ (ID) Γ Π, ϕ, ψ, ∆ Debilitación Γ∆ (DI) Γ, ϕ ∆ Γ∆ (DD) Γ ϕ, ∆ Contracción Γ ϕ, ϕ, ∆ (CD) Γ ϕ, ∆ Γ, ϕ, ϕ ∆ (CI) Γ, ϕ ∆ Corte Γ ϕ, ∆ Π, ϕ Σ (Corte) Γ, Π ∆, Σ Reglas operacionales Γ, ⊥ ∆ Γ, ϕ ∆ Γ, ϕ ∧ ψ ∆ (Bot) Γ, ψ ∆ (∧ I) Γ, ϕ ∧ ψ ∆ Γ, ϕ ∆ Γ, ψ ∆ (∨ I) Γ ∆, ϕ ∨ ψ Γ ϕ, Σ Π, ψ ∆ (→ I) Γ, Π, ϕ → ψ Σ, ∆ Γ >, ∆ (Top) Γ ϕ, ∆ Γ ψ, ∆ (∧ D) Γ ϕ ∧ ψ, ∆ Γ ϕ, ∆ Γ ϕ ∨ ψ, ∆ Γ ψ, ∆ (∨ D) Γ ϕ ∨ ψ, ∆ Γ, ϕ ψ, ∆ (→ D) Γ ϕ → ψ, ∆ Una derivación en LK es una sucesión finita y no vacı́a de secuentes tal que cada uno de sus elementos es un axioma o se obtiene de elementos anteriores en la sucesión mediante la aplicación de una de las reglas estructurales o una de las reglas operacionales. Una derivación lo es de su último secuente. Un secuente es derivable en LK si tiene una derivación en LK. A continuación prersentamos algunas reglas estructurales derivadas. 34 CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA Obsérvese que gracias a la regla de Intercambio, si ϕ1 , . . . , ϕn es una sucesión de fórmulas y ϕπ(1) , . . . , ϕπ(n) es una reordenación de las fórmulas de la sucesión, el secuente Γ, ϕ1 , . . . , ϕn ∆ es derivable si y sólo si lo es el secuente Γ, ϕπ(1) , . . . , ϕπ(n) ∆. En otras palabras, la regla Γ, ϕ1 , . . . , ϕn ∆ Γ, ϕπ(1) , . . . , ϕπ(n) ∆ es una regla estructural derivada. La llamaremos regla de Intercambio generalizada. Otra regla estructural derivada importante es la del Corte Generalizado Σ ϕ1 , ∆ ... Σ ϕn , ∆ Π, ϕ1 . . . , ϕn ∆0 (Corte G.) Σ, Π ∆, ∆0 Gracias a la regla de Intercambio y la de Contracción tenemos que las reglas Π, Γ, Γ, Π0 ∆ Π, Γ, Γ, Π0 ∆ Γ Σ, ∆, ∆, Σ0 Γ Σ, ∆, Σ0 son derivadas. Las llamaremos reglas de Contracción generalizada. Aunque la negación no sea un sı́molo primitivo de nuestro lenguaje conviene tener las reglas derivadas fundamentales que la gobiernan, la regla de introducción a la derecha y la regla de introducción a la izquierda. Estas reglas son Γ, ϕ ∆ Γ ¬ϕ, ∆ Γ ϕ, ∆ Γ, ¬ϕ ∆ Se justifican mediante las derivaciones: Γ, ϕ ∆ (DD) Γ, ϕ ⊥, ∆ (→D) Γ ϕ → ⊥, ∆ Γ ¬ϕ, ∆ y Γ ϕ, ∆ ⊥∅ Γ, ϕ → ⊥ ∆ Γ, ¬ϕ ∆ (→I) Proposición 38. Las reglas Γ ϕ, ψ, ∆ Γ ϕ ∨ ψ, ∆ Γ ϕ ∨ ψ, ∆ Γ ϕ, ψ, ∆ Γ, ϕ, ψ ∆ Γ, ϕ ∧ ψ ∆ Γ, ϕ ∧ ψ ∆ Γ, ϕ, ψ ∆ son derivadas. Demostración. Justificamos las de la disyunción. Las de la conjunción se dejan como ejercicio. Γ ϕ, ψ, ∆ ψψ Γ ϕ ∨ ψ, ψ, ∆ ψϕ∨ψ Γ ϕ ∨ ψ, ϕ ∨ ψ, ∆ Γ ϕ ∨ ψ, ∆ 7.3. CÁLCULO DE SECUENTES 35 ϕϕ ψψ ϕ ϕ, ψ ϕ ϕ, ψ ϕ ∨ ψ ϕ, ψ Γ ϕ ∨ ψ, ∆ Γ ∆, ϕ, ψ Γ ϕ, ψ, ∆ QED Proposición 39. Los secuentes 1. ϕ ∧ ψ ϕ, ϕ ∧ ψ ψ 2. ϕ ∧ ψ ψ ∧ ϕ 3. ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ ∧ (ψ ∧ δ) 4. ϕ ∧ ϕ ϕ 5. ϕ ϕ ∨ ψ, ψ ϕ ∨ ψ 6. ϕ ∨ ψ ψ ∨ ϕ 7. ϕ ∨ (ψ ∨ δ) ϕ ∨ (ψ ∨ δ) 8. ϕ ∨ ϕ ϕ son derivables sin utilizar las reglas estructurales. Demostración. Demostraremos 1, 2, 3, y 4. El resto de demostraciones se dejan como ejercicio. 1. ϕϕ ϕ∧ψϕ ψψ ϕ∧ψψ 2. ψψ ϕϕ ϕ∧ψψ ϕ∧ψϕ ϕ∧ψψ∧ϕ 36 CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA 3. ψψ ϕϕ ψ∧δψ δδ ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ψ ψ∧δδ ϕ ∧ (ψ ∧ δ) ϕ ∧ ψ ϕ ∧ (ψ ∧ δ) δ ϕ ∧ (ψ ∧ δ) (ϕ ∧ ψ) ∧ δ 4. Es un caso particular de 1. QED Utilizando las dos últimas proposiciones es fácil demostrar que las reglas ϕ1 , . . . , ϕ n ψ 1 , . . . , ψ k ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ψ 1 ∨ . . . ∨ ψ k ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕ n ψ 1 ∨ . . . ∨ ψ k ϕ1 , . . . , ϕ n ψ 1 , . . . , ψ k son derivadas. Estas reglas junto con los secuentes derivables de la proposición anterior muestran que la conjunción simula el comportamiento de la coma a la izquierda de los secuentes y la disyunción lo simula a la derecha. Proposición 40. Los secuentes 1. ϕ, ϕ → ψ ψ 2. ϕ ¬¬ϕ 3. ∅ ϕ ∨ ¬ϕ 4. ¬¬ϕ ϕ son derivables Demostración. 1. ϕϕ ψψ ϕ, ϕ → ψ ψ 2. ϕϕ ⊥⊥ ϕ, ϕ → ⊥ ⊥ ϕ (ϕ → ⊥) → ⊥ ϕ ¬¬ϕ 3. ϕϕ ¬ϕ, ϕ ϕ, ¬ϕ ϕ ∨ ¬ϕ 4. ϕϕ ¬ϕ, ϕ ¬¬ϕ ϕ QED 7.3. CÁLCULO DE SECUENTES 37 Proposición 41. Las siguientes reglas Σ, ϕ ψ Σϕ→ψ Σϕ→ψ Σ, ϕ ψ derivadas para el condicional. Demostración. Se deja como ejercicio. 7.3.2. QED Corrección de LK A continuación demostraremos que el cálculo LK es correcto. Diremos que un secuente Γ ∆ es correcto si toda asignación v que satisface todas las fórmulas de la secuencia Γ satisface al menos una fórmula de la secuencia ∆. En particular, ∅ ∆ es correcto si toda asignación satisface alguna fórmula de ∆, Γ ∅ es correcto si ninguna asignación satisface todas las fórmulas de Γ y ∅ ∅ no es correcto. Teorema 42 (Corrección de LK). Todo secuente derivable de LK es correcto. Demostración. Los secuentes que permiten derivar los axiomas de LK son correctos. Las reglas de inferencia aplicadas a secuentes correctos nos permiten derivar secuentes correctos. QED 7.3.3. La relación de deducibilidad En este apartado las letra griegas mayúsculas se utilizaran para conjuntos de fórmulas y las letras griegas mayúsculas subrayadas para sucesiones finitas de fórmulas. Dado un conjunto de fórmulas Σ y una fórmula ϕ, diremos que ϕ es deducible de Σ, y escribiremos Σ ` ϕ, si el secuente ∅ ϕ es derivable o hay ϕ1 , . . . , ϕn ∈ Σ tales que el secuente ϕ1 , . . . , ϕn ϕ es derivable. Obsérvese que gracias a la regla de Intercambio generalizado el orden en que consideremos los miembros de la secuencia no importa. Un conjunto Σ de fórmulas es consistente si Σ 6` ⊥. En caso contrario se dice que es inconsistente. De la definición se sigue inmediatamente que Σ es inconsistente si y sólo si alguno de sus subconjuntos finitos lo es. Proposición 43. La relación de deducibilidad tiene las siguientes propiedades: 1. Si ϕ ∈ ∆, entonces ∆ ` ϕ, 2. Si para toda ϕ ∈ ∆, Σ ` ϕ, y ∆ ` ψ, entonces Σ ` ψ. 3. Si Σ ` ϕ, entonces Σ ∪ ∆ ` ϕ. Demostración. 1. Se sigue de que el secuente ϕ ϕ es derivable. 2. Se sigue del Corte Generalizado. Supongamos que ∆ ` ψ y que para toda ϕ ∈ ∆, Σ ` ϕ. Si el secuente ∅ ψ es derivable, es claro que Σ ` ψ. En caso contrario hay sucesión ψ0 , . . . , ψn de elementos de ∆ tal que el secuente ψ0 , . . . , ψn ψ es derivable. Consideremos para cada i ≤ n una sucesión de fórmulas elemento de Σ, Σi , tal que el secuente Σi ψi es 38 CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA derivable. Esta secuencia existe puesto que, por suposición, Σ ` ψi . Utilizando la regla de Debilitación tenemos que los secuentes Σ0 , . . . , Σn ψ i son derivables. Utilizando el Corte Generalizado obtenemos que Σ0 , . . . , Σn ψ es derivable. Puesto que Σ0 , . . . , Σn es una secuencia de fórmulas elemento de Σ obtenemos que Σ ` ψ. 3. Es inmediato por la definición. QED Obsérvese que las propiedades de la proposición dependen exclusivamente de las reglas estructurales del cálculo. Proposición 44. La relación de deducibilidad tiene además las propiedades: 1. Si Σ ` ϕ → ψ y Σ ` ϕ, entonces Σ ` ψ. 2. Σ ` ϕ ∧ ψ sii Σ ` ϕ y Σ ` ψ. 3. Si Σ ` ϕ o Σ ` ψ, entonces Σ ` ϕ ∨ ψ. 4. Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ sii Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ. 5. Σ, ϕ ` ψ sii Σ ` ϕ → ψ. 6. Para toda fórmula ϕ, ⊥ ` ϕ. Demostración. 1. Supongamos que Σ ` ϕ → ψ y Σ ` ϕ. Sean Σ0 y Σ00 sucesiónes de elementos de Σ tales que los secuentes Σ0 ϕ → ψ y Σ00 ϕ son derivables. Por la regla de debilitación los secuentes Σ0 , Σ00 ϕ → ψ y Σ0 , Σ00 ϕ resultan derivables. Sabemos que el secuente ϕ → ψ, ϕ ψ es derivable. Utilizando la regla de Corte Generalizado obtenemos que Σ, Σ0 ψ es derivable. Esto implica que Σ ` ψ. 2. Parecida a la demostración de 1. utilizando que los secuentes ϕ ∧ ψ ϕ, ϕ ∧ ψ ψ y ϕ, ψ ϕ ∧ ψ son derivables. 3. Parecida a la demostración de 1. utilizando que los secuentes ϕ ϕ ∨ ψ y ψ ϕ ∨ ψ son derivables. 4. Supongamos que Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ. Existen pues secuentes derivables ∆, ϕ δ y ∆0 , ψ δ tales que ∆ ⊆ Σ y ∆0 ⊆ σ. Entonces, gracias a la regla (∨D), el secuente ∆, ∆0 , ϕ ∨ ψ δ es derivable. Por tanto, Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ. Por otra parte, si Σ ∪ {ϕ ∨ ψ} ` δ. Puesto que ϕ ` ϕ ∨ ψ y ψ ` ϕ ∨ ψ, utilizando 2. de la última proposición obtenemos que Σ ∪ {ϕ} ` δ y Σ ∪ {ψ} ` δ. 5. Deben utilizarse las reglas derivadas para el condicional que se han dado anteriormente. 6. El secuente ⊥ ϕ es claramente derivable. QED Corolario 45. Si Σ ` ϕ, entonces Σ |= ϕ. Demostración. Supongamos que Σ ` ϕ. Sea Σ0 una sucesión de fórmulas de Σ tal que Σ0 ϕ es derivable. Por el teorema de corrección de LK, este secuente es correcto. Ası́ toda asignación que satisface toda fórmula de Σ0 satisface ϕ. Por tanto toda asignación que satisface Σ sartisface ϕ, es decir Σ |= ϕ. QED 7.3. CÁLCULO DE SECUENTES 7.3.4. 39 El teorema de completud Demostremos que LK es completo, es decir que todo secuente correcto es derivable en LK. Además demostraremos el teorema de completud, a saber: si Σ |= ϕ entonces Σ ` ϕ. Para ello necesitamos introducir algunos conceptos y demostrar varios resultados. Lema 46. Σ ` ϕ si y sólo si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Demostración. Si Σ ` ϕ, puesto que Σ ∪ {¬ϕ} ` ϕ → ⊥, obtenemos que Σ ∪ {¬ϕ} ` ⊥, es decir que Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Por otra parte, si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente, Σ ∪ {¬ϕ} ` ⊥. Por tanto Σ ` ¬ϕ → ⊥. Ahora bien, ¬ϕ → ⊥ ` ϕ. Por tanto Σ ` ϕ. QED Lema 47. Σ es inconsistente sii para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ. Demostración. Si para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ, en particular Σ ` ⊥, por lo que es inconsistente. Si Σ es inconsistente, Σ ` ⊥. Por tanto puesto que para toda fórmula ϕ, ⊥ ` ϕ, tenemos que para toda fórmula ϕ, Σ ` ϕ. QED Un conjunto de fórmulas Σ es una teorı́a si para cada fórmula ϕ tal que Σ ` ϕ ocurre que ϕ ∈ Σ. Una teorı́a Σ es ϕ-relativamente maximal si Σ 6` ϕ y para toda fórmulas ψ 6∈ Σ, Σ∪{ψ} ` ϕ. Una teorı́a Σ es prima si es consistente y para cualesquiera fórmulas ϕ, ψ, si Σ ` ϕ ∨ ψ, entonces ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Σ. Una teorı́a Σ es consistente maximal si es consistente y para cada fórmula ϕ 6∈ Σ, Σ∪{ϕ} es inconsistente. Lema 48. Si Γ es un conjunto de fórmulas y ϕ es una fórmula tal que Γ 6` ϕ, entonces existe una teorı́a ϕ-relativamente maximal Σ tal que Γ ⊆ Σ. Demostración. Consideremos una enumeración ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , . . . de las fórmulas del lenguaje. Vamos a definir en pasos sucesivos una sucesión de conjuntos de fórmulas Σ0 , Σ1 , . . . , Σn , . . . tal que 1. Σ0 = Γ 2. Para cada n, Σn 6` ϕ 3. Para cada n, Σn ⊆ Σn+1 La definición de la sucesión es: Σ0 = Σn+1 = Γ Σn Σn ∪ {ψn } si Σn ∪ {ψn } ` ϕ si Σn ∪ {ψn } 6` ϕ Claramente se cumplen las condiciones deseadas. Sea [ Σ= Σn n Es decir, para cada fórmula ψ, ψ ∈ Σ si y sólo si hay n tal que ψ ∈ Σn . Veamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. 1. Σ 6` ϕ. En efecto, si Σ ` ϕ, hay ∆ ⊆ Σ finito tal que ∆ ϕ es derivable. De la condición 3 anterior y de que ∆ es finito se sigue que hay n tal que ∆ ⊆ Σn . Por tanto, Σn ` ϕ. Pero esto contracide la condición 2 anterior. 40 CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA 2. Si ψ 6∈ Σ, entonces Σ ∪ {ψ} ` ϕ. En efecto, supongamos que ψ 6∈ Σ y que Σ ∪ {ψ} 6` ϕ Sea n tal que ψ es ψn . Entonces Σn ∪ {ψn } 6` ϕ. Por tanto ψn ∈ Σn+1 ⊆ Σ. Pero esto es absurdo. Por tanto Σ ∪ {ψ} ` ϕ. QED Proposición 49. Sea Σ una teorı́a. Son equivalentes 1. Σ es ϕ-relativamente maximal para alguna fórmula ϕ. 2. Σ es prima 3. Σ es consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ. 4. Σ es consistente maximal. Demostración. 1 implica 2. Supongamos que Σ es ϕ-relativamente maximal. Supongamos que ψ ∨ δ ∈ Σ. Puesto que Σ es ϕ-relativamente maximal, si ψ, δ 6∈ Σ, Σ ∪ {ψ} ` ϕ y Σ ∪ {δ} ` ϕ. Por tanto Σ ∪ {ψ ∨ δ} ` ϕ. Es decir, Σ ` ϕ, pero esto no es posible al ser Σ es ϕ-relativamente maximal. Ası́ ψ ∈ Σ o δ ∈ Σ. Por tanto Σ es una teorı́a prima. 2 implica 3. Supongamos que Σ es prima. Por tanto es consistente. Además, para cada ϕ, ϕ ∨ ¬ϕ ∈ Σ. Por tanto, al ser prima, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ. 3 implica 4. Σ es consistente y para toda fórmula ϕ, ϕ ∈ Σ o ¬ϕ ∈ Σ. Supongamos que ϕ 6∈ Σ. Por tanto, ¬ϕ ∈ Σ. Asi, Σ ∪ {ϕ} es inconsistente. Por tanto Σ es consistente maximal. 4 implica 1. Si Σ es consistente maximal, para cada ϕ 6∈ Σ, Σ es ϕ-relativamente maximal. QED Teorı́as consistentes maximales y asignaciones Vamos a demostrar que hay una correspondencia biunı́voca entre las asignaciones de valores de verdad y las teorı́as consistentes maximales. 1. Consideremos una asignación v. Sea Σ(v) = {ϕ : v sat. ϕ} Este conjunto de fórmulas es una teorı́a, gracias al teorema de corrección. En efecto, supongamos que Σ(v) ` ϕ. Entonces Σ(v) |= ϕ. Puesto que claramente v satisface Σ(v), tenemos que v sartisface ϕ. Por tanto ϕ ∈ Σ(v). Por otra parte, es claro que ⊥ 6∈ Σ(v). Por tanto Σ(v) es consistente. Finalmente Σ(v) es prima pues si ϕ ∨ ψ ∈ Σ(v), entonces v satisface ϕ ∨ ψ, con lo que v satisface ϕ o v satisface ψ; es decir, ϕ ∈ Σ(v) o ψ ∈ Σ(v). Conluimos pues que Σ(v) es una teorı́a consistente maximal. Si dos asignaciones v y v 0 son diferentes, hay una letra proposicional al menos, digamos p, tal que v(p) 6= v 0 (p). Por tanto Σ(v) 6= Σ(v 0 ). 2. Observemos que si Γ es una teorı́a consistentes maximal 1. 2. 3. 4. 5. >∈Γ ⊥ 6∈ Γ ϕ ∧ ψ ∈ Γ sii ϕ ∈ Σ y ψ ∈ Γ; ϕ ∨ ψ ∈ Γ sii ϕ ∈ Σ o ψ ∈ Γ ϕ → ψ ∈ Γ sii ϕ 6∈ Σ o ψ ∈ Γ 7.3. CÁLCULO DE SECUENTES 41 6. ϕ ∈ Γ sii ¬ϕ 6∈ Γ Sea Γ una teorı́a consistente maximal. Definamos la asignación vΓ como sigue: para cada letra proposicional p, vΓ (p) = V sii p ∈ Σ Gracias a la observación anterior tenemos que para toda fórmula ϕ vΓ sat. ϕ sii ϕ ∈ Γ. Además, para cada teorı́a maximal consistente Γ y cada asignación v, Σ(vΓ ) = Γ y vΣ(v) = v. Teorema 50 (Completud de LK). Todo secuente correcto es derivable. Demostración. Supongamos que Γ ∆ es un secuente correcto. Supongamos que no es derivable. Entonces no es derivable el secuente Γ ⊥, Por tanto el conjunto de las fórmulas de Γ, digamos Γs , es consistente. Si la disyunción de las fórmulas de ∆ fuese deducible de Γs , el secuente Γ ∆ serı́a derivable. Por tanto la disyunción, digamos α, de las fórmulas de ∆ no es deducible de Γs . Sea Σ una teorı́a prima tal que Γs ⊆ Σ y α 6∈ Σ. Puesto que Σ es maximal consistente, consideremos la asignación vΣ . Esta asignación satisface todas las fórmulas de Γ, por tanto, puesto que el secuente Γ ∆ es correcto, satisface alguna fórmula de ∆, por tanto la disyunción de todas ellas, es decir α. Ası́, α ∈ Σ, pero esto es absurdo. QED Corolario 51. Si Σ |= ϕ, entonces Σ ` ϕ. Demostración. Supongamos que Σ |= ϕ y que Σ 6` ϕ. Sea Γ una teorı́a maximal consistente tal que Σ ⊆ Γ y ϕ 6∈ Γ. Entonces vΓ satisface Σ. Por tanto vΓ satisface ϕ, con lo que ϕ ∈ Γ y ello es absurdo. QED 42 CAPÍTULO 7. LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSICA Teorema 52 (Corrección y completud de LK). 1. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ψ0 , . . . , ψm es derivable en LK si y sólo si la fórmula (ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn ) → (ψ0 ∨ . . . ∨ ψm ) es una tautologı́a. 2. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ∅ es derivable en LK si y sólo si la fórmula ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn es una contradicción en lógica clásica. 3. Un secuente ∅ ψ0 , . . . , ψm es derivable en LK si y sólo si la fórmula ψ0 ∨ . . . ∨ ψm es una tautologı́a. Capı́tulo 8 Lógica Intuicionista El intuicionismo es una concepción de las matemáticas que se origina en la obra del matemático holandes L.E.J. Brouwer (1881-1966). Brouwer sostiene que las matemáticas son una actividad mental, la parte rigurosa, o exacta, del pensamiento humano. El resultado, o producto, de esta actividad es una creación libre. Los objetos matemáticos son construcciones mentales y sus propiedades se establecen mediante construcciones mentales. La actividad matemática no consiste en la manipulación formal de sı́mbolos. En algún sentido es una actividad que está más allá del lenguaje. El lenguaje no desempaña ningún papel en ella, únicamente sirve en el proceso de comunicación con los demás y con uno mismo. En esta concepción la lógica es lo que queda cuando se eliminan las construcciones matemáticas especı́ficas que llevan de un estadio del conocimiento matemático a otro. Ası́ la matemática es lo primero y la lógica viene después. La lógica es en esta concepción algo ası́ como “la lógica de las construcciones”. La concepción de las matemáticas de Brouwer lleva a rechazar el infinito actual, la lógica clásica y las definiciones no constructivas. La crı́tica de Brouwer a la lógica clásica, que supone que todo enunciado es verdadero o falso (y no ambas cosas), consiste en que 1) los lógicos dan precedencia a la lógica sobre las matemáticas y 2) la lógica no es fiable, el principio de tercio excluso no es correcto. La idea que motiva la lógica intuicionista es la equiparación de lo verdadero con lo demostrable. Decir que un enunciado matemático es verdadero es decir que tiene una demostración. Decir que es falso equivale a tener una demostración de que no tiene demostración. La idea es considerar que las demostraciones son los valores semánticos de los enuncidos en lugar de los valores de verdad. De este modo aseverar un enunciado de la forma “ ϕ or no-ϕ” es aseverar que hay una demostración de ϕ or una demostración de no-ϕ. Y aseverar que no-ϕ es aseverar que hay una demostración de que ϕ no es demostrable. Los primeros matemáticos que estudiaron la lógica del intuicionismo de un modo formal fueron Glivenko, que presentó un fragmento de la lógica proposicional, y Kolmogorov, que hizo lo mismo con un fragmento de la lógica de predicados. En 1928 Heyting formalizó de modo independiente la lógica de predicados pero no dió ninguna semántica ni ninguna interpretación especial. En 1932 presentó su versión de lo que hoy se conoce como la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov. Es la siguiente: 1. Una demostración de ϕ ∧ ψ se dá presentando una demostración de ϕ y una demostración de ψ. 2. Una demostración de ϕ ∨ ψ se dá presentando una demostración de ϕ o una de ψ más la estipulación de consideremos la demostración como evidencia para ϕ ∨ ψ. 43 44 CAPÍTULO 8. LÓGICA INTUICIONISTA 3. Una demostración de ϕ → ψ es una construcción o procedimiento que convierte cada demostración de ϕ en una demostración de ψ. 4. El absurdo ⊥ no tiene demsotración. 5. Una demostración de ¬ϕ ies una construcción que permite convertir toda demostración hipotética de ϕ en una (pretendida) demostración de ⊥. Esta interpretación informal es suficiente para ver que algunas de las verdades lógicas de la lógica clásica no valen, pero que otras sı́. 1. La ley del tercio excluso no vale. Dar una demostración de ϕ ∨ ¬ϕ significa dar una demostración de ϕ o una demostración de que ϕ no tiene demostración. 2. La ley ϕ → (ψ → ϕ) vale en lógica intuicionista: definamos una función que envia cada demostración p de ϕ a la función que asigna a cada demostración q de ϕ, la demostración p. 3. La ley ¬¬(ϕ∨¬ϕ) vale en lógica intuicionista: supongamos que c demuestra ¬(ϕ∨¬ϕ); ası́ si d demuestra ϕ ∨ ¬ϕ, c(d) demuestra ⊥. Claramente hay operaciones e y f tales que si x es demostración de ϕ, entonces e(x) es una demostración de ϕ ∨ ¬ϕ y si x es una demostración de ¬ϕ, entonces f (x) es una demostración de ϕ∨ ¬ϕ. Ası́ la función g definida por g(x) = c(e(x)) es una demostración de ¬ϕ y la función h definida por h(x) = c(f (x)) es una demostración de ¬¬ϕ. Por tanto h(g) es una demostración de ⊥. 4. La ley ϕ → ¬¬ϕ es válida en lógica intuicionsita, pero su inversa ¬¬ϕ → ϕ no lo es. Gentzen introdujo en 1934 un cálculo de deducción natural para la lógica intuicionista y el cálculo de secuentes LJ. Estos cálculos reflejan el significado de las conectivas intuicionistas mucho mejor que los cálculos estilo Hilbert. A continuación presentamos el lenguaje de la lógica intuicionista y la semántica de Kripke, considerada hoy standard. 8.1. El lenguaje de de la lógica intuicionista El lenguaje de la lógica intuicionista proposicional es el mismo que el de la lógica clásica. Conviene en este caso tomar como conectivas primitivas ∧, ∨, → y añadir las constantes proposicionales >, ⊥. El lenguaje formal de la lógica intuicionista proposicional consta pues del siguiente vocabulario: las conectivas, las constantes proposicionales, los paréntesis y las variables proposicionales: p, q, r, p1 , q1 , r1 , etc. Las expresiones son las sucesiones finitas de elementos del vocabulario. Las fórmulas atómicas son las variables proposicionales y las constantes proposicionales ⊥ y >. Las fórmulas se definen de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Toda fórmula atómica es una fórmula, 2. Si α y β son fórmulas, también lo son (α ∧ β), (α ∨ β) y (α → β). 8.2. Semántica de Kripke Como se verá la semántica de Kripke para la lógica intuicionista se parece mucho a la semántica de la lógica modal. Un marco intuicionista es una estructura F = hW, ≤i donde 1. W es un conjunto no vacı́o y 8.3. EL CÁLCULO LJ 45 2. ≤ es una relación de orden parcial en W , es decir es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un modelo intuicionista es una estructura M = hW, ≤, V i, donde 1. hW, ≤i es un marco intuicionista 2. V es una función que asigna a cada letra proposicional un subconjunto creciente de W , es decir para cada letra proposicional p, V (p) ⊆ W y para cada w, w0 ∈ W , si w ∈ V (p) y w ≤ w0 , entonces w0 ∈ V (p). Se dice que la función V es una asignación o una valoración en el marco hW, ≤i, y que el modelo hW, ≤, V i es un modelo sobre hW, ≤i. Dado un modelo intuicionista M = hW, ≤, V i, la definición de fórmula verdadera en un punto w ∈ W es la siguiente: M, w M, w M, w M, w M, w M, w |= p sii w ∈ V (p), para cada letra proposicional p |= > 6|= ⊥ |= (ϕ1 ∧ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 y M, w |= ϕ2 |= (ϕ1 ∨ ϕ2 ) sii M, w |= ϕ1 o M, w |= ϕ2 |= (ϕ1 → ϕ2 ) sii para cada v ∈ W , si w ≤ v y M, v |= ϕ1 , entonces M, v |= ϕ2 Si ϕ es verdadera en un punto se dice que el punto satisface la fórmula o que la fórmula es satisfecha en el punto. Si ϕ es verdadera en todo punto de M se dice que es válida en M. Dado un marco F, se dice que ϕ es válida en F si ϕ es válida en todo modelo hF, V i sobre F. 8.3. El cálculo LJ El cálculo LJ de Gentzen es un cálculo para la lógica intuicionista. Fue introducido por Gentzen en el mismo artı́culo en que introdujo el cálculo LK. Tiene las mismas reglas pero opera sobre seceuntes de diferente forma. Se aplica a secuentes de la forma Γ ∆ donde ∆ es la sucesión vacı́a o es de longitud uno, es decir consta de una sola fórmula. Es pues de la forma Γ ϕ o Γ ∅, que se abrevia con Γ. Teorema 53 (Corrección y completud de LJ). 1. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ψ es derivable en LJ si y sólo si la fórmula (ϕ0 ∧. . .∧ϕn ) → ψ es válida en la semántica intuicionista. 2. Un secuente ϕ0 , . . . , ϕn ∅ es derivable en LJ si y sólo si la fórmula ϕ0 ∧ . . . ∧ ϕn es una contradicción en la semántica intuicionista. 3. Un secuente ∅ψ es derivable en LJ si y sólo si la fórmula ψ es válida en la semántica intuicionista. Las reglas son derivadas en LJ. En LJ las reglas son derivadas. ϕ1 , . . . , ϕn ψ ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ϕ ϕ∧ψδ ϕψ →δ ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ϕ ϕ1 , . . . , ϕ n ψ ϕψ →δ ϕ∧ψδ 46 CAPÍTULO 8. LÓGICA INTUICIONISTA Axioma estructural ϕϕ Reglas estructurales Intercambio Γ, ϕ, ψ, ∆ δ (EL) Γ, ψ, ϕ, ∆ δ Debilitamiento Γδ (WL) ϕ, Γ δ Contracción ϕ, ϕ, Γ δ (CL) ϕ, Γ δ Corte Γ ϕ ϕ, Π δ (Cut) Γ, Π δ Axiomas operacionales ⊥, Γ ϕ (Bot) Γ> (Top) Reglas operacionales ϕ, Γ δ ϕ ∧ ψ, Γ δ ψ, Γ δ (∧ L) ϕ ∧ ψ, Γ δ ϕ, Γ δ ψ, Γ δ (∨ L) ϕ ∨ ψ, Γ δ Γ ϕ ψ, Π δ (→ L) ϕ → ψ, Γ, Π δ 8.4. Teorema de completud Γϕ Γψ (∧ R) Γϕ∧ψ Γϕ Γϕ∨ψ Γψ (∨ R) Γϕ∨ψ ϕ, Γ ψ (→ R) Γϕ→ψ