Matematicas 1 SEA

MARTÍN FELIPE CENTENO ISLAS
MANUEL ALBORES ROJAS
,
MATEMATICAS 1
COLEGIO DE
BACHILLERES
LIMUSA
~~----------------------------------------------------
Centeno Islas, Martín Felipe
Matemáticas 1/ Martín Felipe CentenD
Islas. -- México: Limusa, 2008.
218p.:il.;24x19cm.
ISBN-13: 978-968-18-6561-0
Rústica
1. Matemáticas - Estudio y enseñanza
1. Albores Rojas, Manuel, CDaut.
LC: QA154
Dewey: 512 - dc21
D.R. © COLEGIO DE BACHILLERES,
ISBN 970-632-237-X
1A. ED. 2004
LA PRESENTACiÓN Y DISPOSICiÓN EN CONJUNlO DE
MATEMÁTICAS I
PROLONGACiÓN RANCHO VISTA HERMOSA,
NÚM. 105, CDL. Ex HACIENDA COAPA, DELEG.
COYOACÁN, C.P. 04920, MÉXICO, D.F.
DIRECTORIO:
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE EST OBRA
PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE INGÚN
SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO NCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiÓN O CUALQUIER S TEMA
DE RECUPERACiÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORM
DR. ROBERTO CASTAÑÓN ROMO
SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.
DIRECTOR GENERAL.
DERECHOS RESERVADOS:
MÓNICA AGOSTA GAMACHO
SECRETARIA ACADÉMICA.
ALMA B. LEYVA RAMíREZ
JEFA DE LA UNIDAD DE PRODUCCiÓN EDITORIAL
D.A. © COEDICIÓN COLEGIO DE BACHILLERES I
EDITORIAL LIMUSA S.A. DE C.V., 2A. ED., 2004
© 2008, EDITORIAL LlMUSA, SA
DE C.V.
GRUPO NORIEGA EDITORES
BALDERAS 95, MÉXICO,
O.F.
C_P.06040
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GANIEM NÚM. 121
HECHO EN MÉXICO
ISBN-13: 978-968-18-6561-0
5.1
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IÓN),
CONTENIDO
Presentación
Introducción
IX
XI
1. Sistemas numéricos
Breve descripción de los autiguos sistemas de numeración
Numeración egipcia (3000 años aC)
Numeración babilónica (2000 años aC)
Numeración griega (95 años aC)
Numeración romana (100 años dC)
Numeración china (3000 años aC)
Numeración maya (2500 años aC)
Numeración decimal (indoarábiga)
Algunos métodos de cálculo
Suma de Frisius
Suma de los hindúes
Multiplicación por duplicación y mediación
Suma de Gauss
Progresión aritmética
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
Conjunto de los números reales
Conjunto de los números naturales (N)
Números primos
Divisibilidad
Teorema fundamental de la Aritmética
Fracciones equivalentes
Conjunto de los números enteros GE)
Conjunto de los números racionales (m)
Número decimal limitado y periódico
Conversión de un número racional decimal a número racional
cociente
Conjunto de los números irracionales
Conjunto de los números reales (IR)
Propiedades de los números reales y valor absoluto
(m ')
1
1
1
2
3
3
3
4
6
7
7
7
8
9
10
10
12
12
13
14
15
15
16
17
19
19
21
22
25
Valor absoluto de un número real
Operaciones con números reales
Leyes de los signos
Simbolos de agrupación
Operaciones con número!;. enteros
Operaciones con números racionales
Snma con números racionales
Resta con números racionales
Multiplicación con números racionales
División con números racionales
Ejercicios de reducción con operaciones combinadas de números
racionales
Solución de problemas por métodos aritméticos
Solución de problemas por el método de ensayo y error
Razones y proporciones
Razón
Proporción
Tipos de proporciones
Proporción simple directa
Proporción simple inversa
Tanto por ciento (%)
Evaluación para el capítulo 1
2. Expresiones algebraicas y operaciones
Notación y expresión algebraica
Clasificación de expresiones algebraicas
Clasificación de las expresiones algebraicas con base en el número
de términos
Clasificación de las expresiones algebraicas con base en el máximo
exponente
Propiedades de los exponentes
Notación científica
Operaciones con polinomios
Suma, resta y multiplicación de polinomios
División de polinomios
Evaluación para el capítulo 2
3. Productos y cocientes notables
Productos notables
Producto de dos binomios conjugados
Producto de dos binomios con término común
Cuadrado de un binomio
Cubo de un binomio
VT
32
33
33
34
35
38
38
43
45
47
50
52
54
58
58
60
63
63
65
68
72
75
75
80
80
81
83
90
93
93
97
102
105
105
105
106
107
108
Desarrollo de un binomio Ca + b)n
Cocientes notables
División de una diferencia de cuadrados entre la suma o diferencia
de sus raíces cuadradas
División de una suma o diferencia de cubos entre la respectiva
suma o diferencia de sus raíces cúbicas
Evaluación para el capítulo 3
113
115
109
111
111
4. Factorización de expresiones algebraicas
117
Métodos de factorización de expresiones algebraicas
Factorización por factor común
Factorización por agrupación de términos
Factorización por diferencia de cuadrados
Factorización por suma o diferencia de cubos
Factorización de trinomios
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + e
Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + e
F actorización combinada
Evaluación para el capítulo 4
117
120
121
123
124
124
125
127
129
131
5. Fracciones algebraicas
133
Reducción de fracciones algebraicas
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Operaciones con fracciones algebraicas
Suma de fracciones algebraicas
Resta de fracciones algebraicas
Multiplicación de fracciones algebraicas
División de fracciones algebraicas
Evaluación para el capítulo 5
\33
117
135
137
137
139
141
143
147
6. Ecuación y función de primer grado
Función y ecuación
Gráfica de una función de primer grado
Ecuaciones lineales o de primer grado y su solución
Ecuaciones reducibles a lineales
Ecuaciones con literales
Resolución:de problemas COn ecuaciones lineales
Evaluación para el capítulo 6
149
7. Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones
171
173
Métodos de solución de un sistema de ecuaciones
VII
149
150
153
157
159
163
169
Método algebraico de suma o resta
Método algebraico por igualación
Método algebraico de sustitución
Método de los detenninantes
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de
los detenninantes
Método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones lineales con
dos incógnitas
Problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales
Evaluación para el capítulo 7
189
191
199
Lista de símbolos matemáticos
201
Solución a ejercicios impares
203
Bibliografía
217
VIII
173
176
179
183
185
PRESENTACIÓN
Estimado lector:
El material que ahora tienes en tus manos merece
ser aprovechado al cien por ciento.
Aquí se han vertido conocimientos y experiencias docentes de sus autores, 10 cual sustenta una
sólida garantía sobre su calidad.
Al estudiarlo con atención, ahínco y perseverancia, lograrás los mejores dividendos para su
aprendizaje, sobre todo de los conceptos, métodos y estrategias fundamentales en la resolución
de problemas.
Un compromiso de tu parte en ese sentido será
la clave del éxito y el inicio de un camino lleno de
satisfacciones hacia niveles más avanzados de las
Matemáticas.
¡Enhorabuena!
MTRO. lA VIER GUILLÉN ANGUIANO
INTRODUCCIÓN
En el ejercicio de nuestra profesión educativa en el ciclo de bachillerato hemos sentido, como un
problema constante, la necesidad de encontrar un libro acorde con los programas en vigor y las
necesidades escolares, que nos auxiliara en la labor docente como adecuado instrumento didáctico
para nuestros alumnos. De esta preocupación surgió el afán de hacer una obra que cubriera esas
necesidades. Así nació este libro de Álgebra para el nivel medio superior.
Nos hemos ajustado a los puntos que señala el programa vigente del Colegio de Bachilleres, y se
han incluido, además, la parte teórica, a través de definiciones de los conceptos básicos, así como el
análisis de los modelos propuestos con la máxima sencillez y claridad, dando una estructura orgánica
y sistemática a cada capítulo y presentando las demostraciones formales de la manera más simple y
accesible, prefiriendo sobre la cantidad de razonamientos, la conveniencia de que el alumno aprenda a
razonar por cuenta propia. En la mayoría de los temas aparecen ejercicios para la clase que tienen
por objeto reafirmar las habilidades en el manejo del tema, ejercicios que pueden modificarse a
criterio del profesor según las características del grupo.
Cada capítulo ofrece ejercicios sobre los diversos temas, denominados "grupos de ejercicios
extraclase", a fin de que la enseñanza teórica tenga una aplicación práctica que la haga más
comprensible y permita reafirmarla.
En cada etapa del proceso enseñanza-aprendizaje es fundamental la intervención oportuna del
profesor, sobre todo en la última fase, que consiste en la revisión y evaluación de las tareas, lo que
permitirá una adecuada retroalimentación y motivará al alumno a adquirir un buen hábito de estudio.
Nuestro deseo es contribuir al mejoramiento de la enseñanza de las Matemáticas en el nivel
medio superior, y por ello agradeceremos a nuestros compañeros profesores cuantas sugerencias
estimen convenientes hacer sobre el texto, con la seguridad de que se considerarán sus opiniones
siempre valiosas, pues recogen observaciones y experiencias adquiridas en el ejercicio de su labor
docente.
Los AUTORES
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" "
1
SISTEMAS NUMÉRICOS
BREVE DESCRIPCIÓN DE LOS ANTIGUOS SISTEMAS
DE NUMERACIÓN
No es fácil precisar la época en que el ser humano tuvo la necesidad de
contar, lo que sí se puede asegurar es que en un momento dado fue necesario
expresar alguna cantidad numérica. Entonces, en forma instintiva utilizó los
elementos a su alcance; éstos fueron sus propios dedos, de modo que las
primeras expresiones numéricas representaban hasta el número 10, ya que
hay cinco dedos en cada mano.
El hombre primitivo requería de registros numéricos para recordar cantidades como el número de veces que se ponía el Sol en un viaje determinado,
los miembros de su tribu, cuántos animales cazaba, las flechas que fabricaba,
etc. Para registrar estos datos hacían marcas sobre troncos o rocas, formaban
montones de piedras o nudos en ramas flexibles.
Los registros más formales sobre el uso de los números se inician algunos
milenios antes de nuestra era, cuando aparecen los primeros sistemas numéricos. Es obvio que dichos sistemas fueron inventados por los pueblos más
civilizados, de acuerdo con las necesidades imperiosas de representar cantidades que ya no era posible representar con los métodos de sus antecesores,
sobre todo si ya tenían la noción de las operaciones como la suma y la resta.
En la Antigüedad existieron varios sistemas de numeración, cuya importancia radica en el tiempo que permanecieron vigentes en su lugar de origen
y en su aportación para una mejor comunicación numérica. Gracias a ellos
fue posible desarrollar métodos para realizar operaciones y más tarde estructurar conceptos matemáticos.
Numeración egipcia (3000 años aC)
Tal vez los egipcios fueron los primeros, debido a su floreciente civilización,
quienes inventaron un sistema de numeración que les permitió representar
cantidades. Su sistema se basó en un conjunto de símbolos, sin considerar
su valor posicional, es decir, un símbolo antes o después de otro significaba
lo mismo; por lo tanto, debían sumar cada símbolo para determinar la cantidad
que representaba. El valor de cada símbolo egipcio es el siguiente:
1
2 • Matemáticas 1
I=
l>G= 10000
!=IOOO
1
n
(j
=10
=
~=l
10 000
0000 O
9> = 100
Si uno de los símbolos tenía que representarse cuatro o más veces, tonces se escribía en fonna de renglones con el fin de aborrar espacio en la
escritura. Algunos ejemplos de la representación de números egipcios s n los
siguientes:
nnnU=32
2.lIIn
3nnnlll_
1.
4.
111
= 13
.nnll -55
nnlll =26
5.
9>9>9>nnnlll
!9>9>9>nnnll= 1975
999>n
Numeración babilónica (2000 años aC)
En la cultura babilónica los números se representaban con pequeñas cuñas,
llarnadas caracteres cuneiformes, cuya orientación representaba el n' ero;
por ejemplo, una cuña con la punta hacia abajo representaba el nú ero 1
(Tl, tres cuñas con la punta hacia abajo, el número 3 (TTTl. Esta po ición
sólo se podía repetir hasta en nueve ocasiones; si se deseaba significar de enas,
la cuña se giraba 270°; por ejemplo, el número 23 se representaba así:
El número 100 se representaba con una cuña vertical y otra girada 90 ,esto
es,
Tloo-.
Para los cientos, al grupo anterior se anteponía un símbolo, y se u. ba la
multiplicación; por ejemplo, el 1 000 era <OI(Tloo- y significaba 10 veces
100 (lO x 100 = 1 000); ellO 000 era <OI(<OI(Tloo- y significaba 10 veces
1 000 (lO x 1000 = lO 000).
No se tienen registros de que este sistema se haya utilizado para n' eros
muy grandes.
Sistemas numéricos • 3
Numeración griega (95 años aC)
En esta cultura hubo tres sistemas de numeración; el principal se denominó
sistema jónico, y en él los números se representaban con letras; así, las
primeras nueve letras del alfabeto correspondían a los números del 1 al 9; las
siguientes nueve letras, a los primeros múltiplos de 10 (lO, 20, 30, 40, 50, 60,
70, 80, 90 ); las siguientes nueve letras, a los primeros múltiplos de cien
(100,200,300,400,500,600, 700, 800, 900), y los millares eran las primeras
nueve letras, anteponiendo una diagonal. Ejemplos: B ~ 2, JB ~ 12, KA ~ 21,
/ A ~ 1 000, /eVND ~ 3 554.
Se utilizó el alfabeto castellano para dar claridad a la representación de los
números.
Numeración romana (100 años dC)
Este sistema utilizaba básicamente las letras J, v, X , L, e, D, M, cuyo valor era
5, 10,50, lOO, 500 Y l 000, respectivamente, con las cuales se hadan
combinaciones y no se podía repetir más de tres veces un mismo símbolo, aunque
en algún tiempo se aceptó la repetición de cuatro veces 1 para representar e14;
las carátulas de reloj con esta numeración que aún existen dan cuenta de ello.
Para escribir números, los romanos usaban el principio de adición, excepto
los que comprendían números 4 y 9; algunos ejemplos son los siguientes:
XXXII
~
30 + 2
~
32
Me ~ 1 000 + 100 ~ I 100
XIII~1O+3~13
Para los 4 y 9 utilizaban el principio de sustracción, por ejemplo:
xL~50-10~40
eD ~
500 - 100
~
400
eM~
1 000-100~900
Cuando era necesario representar mi1Iares, en la parte superior de la letra
se colocaba una barra:
XXCV
~
10 095
CD ~ 100 500
Numeración china (3000 años aC)
El sistema chino se constituye por los siguientes símbolos:
_~l
T~ 1 000
~~ 10000
4 • Matemáticas 1
Estos números también se combinaban para obtener diferentes númer s, y
hoy día aún se utilizan en muchas partes de Cmna.
Las reglas para representar números chinos son las siguientes:
l. La escritura es en forma vertical y se lee de arriba hacia abajo.
2. Si un símbolo de menor valor se coloca debajo de uno de mayor v lar,
entonces se suman.
3. Si un símbolo de menor valor se coloca encima de uno de mayor v lor,
entonces se multiplican.
4. Cuando hay tres símbolos se hace una combinación de las reglas
5. Los números grandes se leen por pareja.
y 3.
Algunos ejemplos de cantidades son las siguientes:
ifi
1\
100
j1.
9
8
t"
10
108
-t
ifi
7
100
es
90
4
704
es
4
T
1\
ifi
1000
~
3
t"
10
j1.
9
-
8
100
4839 =
=4
X 1 000 + 8 X 100 + 3 X 1 +9
Numeración maya (2500 años aC)
La cultura maya tenía un interés especial en el tiempo, influidos por la petición de los días, el curso de los astros y la Luna, las estaciones y los e lipses. Ellos pensaban que del mismo modo que el tiempo se caracterizab por
ser cíclico, todos los acontecimientos se repetían. Para ellos el tiempo e taba
formado por la sucesión de deidades, favorables o desfavorables a la Na raleza y a los hombres, por lo que era necesario medirlo con exactitud y r gistrar mediante inscripciones lo que ocurría para prever los hechos del fu
Esta concepción del tiempo llevó a los mayas a un sistema cronol·
a base de múltiplos de 20 que clasificaron como sigue:
1 día = kin
1 unial (un mes de 2 O días) = 2 O kines
1 tun (un año de 360 días) = 18 uniales
1 kalÚn (7 200 días o 20 años)
=
20 tunes
Sistemas numéricos· 5
1 baktún (144 000 días o 400 años) = 20 katnnes
1 pictún (2880000 días u 8 000 años) = 20 baktunes
1 calabtún (57 600 000 días o 160000 años) = 20 pictunes
1 kinchilatún (1 152000000 de días o 3200000 años) = 20 calabtunes
1 alautún (23 040 millones de días o 64 millones de años) = 20 kinchiltunes
Esta cultura, desarrollada en el continente americano, inventó un sistema
de numeración que utilizaba puntos y rayas, y se distinguía por el uso de un
símbolo para el cero, el cual se representaba con una especie de concha; cada
número menor que cinco se representaba mediante puntos, y para representar
cinco unidades se utilizaba una barra horizontal. Al llegar a 20 unidades el
punto se acompañaba de la concha.
El sistema de numeración maya era, por lo tanto, vigesimal; los símbolos
son los siguientes:
®
O
• •• ••• • •••
1
2
3
4
.-t...
..!!..
.!!!.
!!!!
11
12
13
14
15
-10
..!...
..!!..
.!!!.
!!!!
5
6
7
8
9
~
..:!.
.!!!!.
!!!!!!
~
16
17
18
19
20
-
•
A partir del número 20, y siguiendo un sistema de múltiplos vigesimales,
el sistema de posiciones se anotaba de arriba hacia abajo y con el cero se
indicaba una cifra completa. Este sistema posicional, que puede equipararse al que usamos de izquierda a derecha, y el uso del cero fueron nociones
matemáticas en que los mayas se anticiparon a los pueblos europeos y puede considerarse una proeza intelectual. Algunos ejemplos de números son:
•
®
..!!..
•
1 X 7200 = 7200
O X 360 =
O
240
12 X 20 =
5 X 1=
~_5
7445
I X 2 880 000 = 2 880 000
720000
5 X 144000 =
O
® O X 720 =
7
X
360
=
2520
..!!..
3 X 20 =
60
••• 2Xl=
2
••
3602582
••
..!...
.!!!.
®
2 X 7 200 = 14 400
2160
6 X 360 =
260
13 X 20 =
Oxl=
Q
16820
6 • Matemáticas 1
Numeración decimal (indoarábiga)
Se cree que nuestro sistema de numeración decimal tuvo su origen hace 000
años, a través de los numerales que inventaron los hindúes, Estos num
eran símbolos que en su mayoría no se parecen a los actuales, y no p rque
sean diferentes, sino que con el paso del tiempo y su tránsito por los difi rentes lugares se modificaron poco a poco hasta llegar a los que hoy conoce os,
Por ello, hasta cierto punto sería lógico que dentro de milo dos mil años
nuestros descendientes conozcan estos números aún más modificados,
Los primeros números que se inventaron fueron del I al 9, pero no al mismo tiempo; se cree que primero fueron del 1 a13, porque al principio los SCflbían así:
I II III
Al hacer una escritura rápida se dejaba cierto rastro y a veces se escr bían
así:
Con el tiempo se fueron modificando y al igual que el resto de los nú ros,
su evolución se basa en una hipótesis, En una etapa inicial, los números el 1
al 9 tenían la siguiente apariencia:
Conforme pasaron los años se llegó a los números que hoy conoce os,
El cero fue el último y para él se inventó un símbolo hacia 100 ac' Au que
algunos historiadores afinnan que lo inventaron los mayas en América, tros
piensan que fueron los babilonios, pues lo usaban desde 2000 ac' Si embargo, fueron los hindúes quienes tuvieron una idea más clara de su ut'lización, ya que junto con los otros números conformaron su sistema de n meración posicional de base diez muy poderoso para representar cantida es,
Con base en este sistema se facilitaron los métodos e instrumentos de c !culo, algunos de los cuales se mencionan en la siguiente sección,
El sistema está basado en 10 dígitos, por lo cual es un sistema de nu
ción decimal, y tiene un uso posicional, es decir, se hacen combinacion
los números, de forma que la posición del número es la que detennina
valor es de unidades (1), decenas (10), centenas (100), unidades de
(1 000), decenas de millar (10 000), etcétera.
Ejemplos
(7 x 100) + (2 x 10) + 3
1.
723
2.
3 582
3.
62 005
~
~
(3 Xl 000) + (5 x 100) + (8 X 10) + 2
~
(6 X 10 000) + (2 X 1 000) + (O X 100) + (O X 10) +
Sistemas numéricos· 7
ALGUNOS MÉTODOS DE CÁLCULO
Desde que el ser humano tuvo la necesidad de realizar cálculos, ha inventado
métodos que le han permitido obtener resultados de manera sistemática. Con
seguridad hubo muchos intentos por crear métodos para la resolución de las
operaciones, los siguientes son algunos de ellos.
Suma de Frisius
En el siglo XVI Gemma Frisius utilizó un método de la adición, que consistía en
ordenar los sumandos en forma vertical de mayor a menor, sumar columna
por columna de derecha a izquierda y escribir los resultados, aun cuando no se
tenía clara la idea de "se lleva tanto"; más tarde se hacían sumas parciales;
el ejemplo ilustra el procedimiento.
764
596
87
17
23
12
1447
Si una de las sumas parciales excedía un dígito, el procedimiento se repetía
para hacer sumas parciales con dos números cuya suma fuera menor o igual
a 9, según se ve en el siguiente ejemplo.
1796
677
432
_._-_.
15
19
17
1
lOS
8
2
2 905
Suma de los hindúes
Los hindúes inventaron la forma de sumar que actualmente utilizamos, pero
también usaron otro método, al que llamaron "método retrógrado", porque
8 • Matemáticas 1
cada columna se empezaba a sumar del lado izquierdo; se escribía el res Itado de la primera suma, después el resultado de la segunda suma, pero s era
mayor que 9, se escribía el segundo número y el primero se sumaba al r sultado anterior, pero se escribía debajo de él, hasta terminar la suma.
El ejemplo permite verificar este procedimiento, donde para su mejor mprensión se escribe en tres pasos.
649
649
726
649
726
85
13
85
134
85
1340
--
726
4
Resultado: I 460
46
La operación que resolvían los hindúes tenía el siguiente aspecto:
649
726
85
1340
46
La solución se encontraba leyendo los últimos números; en este cas , el
número es I 460.
Multiplicación por duplicación y mediación
Fue un método que utilizaron los egipcios y en el cual se construye una t bla
de dos columnas, que corresponden a los factores de la multiplicación los
cuales se escriben en el encabezado. En forma sucesiva, al primer fact r se
saca la máxima mitad entera, mientras que el segundo se duplica, hasta q e el
primer número sea uno.
Enseguida se eliminan los renglones cuyo primer factor sea par y se su an
los valores que queden del segundo factor; la suma es el resultado de la ultiplicación. La tabla siguiente muestra el procedimiento para hallar el res \tado de 68 X 56.
Mitad
Duplicar
1.
68
56
2.
34
112
3.
17
224
4.
8
448
5.
4
6.
2
896
1792
7.
3584
Sistemas numéricos· 9
Se eliminan los renglones 1, 2, 4, 5 Y 6 Y quedan los renglones:
3.
17
224
3584
7.
Se suman las cantidades obtenidas en la segunda columna:
224 + 3 584 = 3 808.
Por lo tanto, 68 X 56 = 3 808.
Este algoritmo lo utilizan las computadoras electrónicas para el cálculo de
multiplicaciones.
Ejercicios
Utilizando el método de duplicación y mediación, calcular las operaciones
siguientes.
l.
26(45) =
6.
321(89) =
2.
104(38) =
7.
23(73) =
3.
65(21) =
8.
402(69) =
4.
135(82) =
9.
522(41) =
5.
38(38) =
10.
784(234) =
Suma de Gauss
En el siglo XVlIl, en una escuela elemental de Brunswick, Alemania, un profesor pidió a sus alumnos que calcularan la suma de los números enteros del
1 all 00, con la idea de mantenerlos ocupados durante un buen rato. Después
de algunos minutos uno de los alumnos, Karl Friedrich Gauss avisó que tenía
la solución. El profesor, extrañado, pidió explicara su procedimiento; el alumno
dijo: "Imaginé los números inscritos en una barra flexible, la doblé por la
mitad, quedando ell 00 debajo del 1, el 99 debajo del2, el 98 debajo del3, yasí
sucesivamente, observé que la suma era 10 1, como la barra de cien números
se dobló porla mitad, entonces hay 50 veces 10 1, por lo tanto, el resultado es
5 050".
Gauss fue un niño de inclinación precoz para las matemáticas, aprendió a
leer y escribir a la edad de tres años, y por sus contribuciones al desarrollo de
esta ciencia más tarde sería llamado "Príncipe de las Matemáticas".
El concepto de Gauss se utilizó más adelante contribuyendo al desarrollo
de las progresiones utilizadas para calcular la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética.
D"finición
Una progresión es un conjunto de términos numéricos donde, para hallar el
término consecutivo a otro, es necesario realizar una operación con el prime-
!O • Matemáticas 1
ro. Hay dos tipos de progresiones: progresiones aritméticas y pro resiones geométricas. En este texto sólo estudiaremos las primeras.
Progresión aritmética
Es aquella en la que para hallar un número consecutivo es necesario sum r, a
cada término, la misma cantidad llamada diferencia común (d).
Ejemplos
a) 1,2,3,4,5,6, ...
h) 3,6,9,12, 15, ...
c) 1,5,9,13,17,21, ...
Consideremos el último ejemplo: la suma de los primeros seis términ s es
s=
1 + (1 + 4) + [1 + 2(4)] + [1 + 3(4)] + [1 + 4 (4)] + [1 + 5(4)]
~-~
Se hacen algunas observaciones:
-La progresión tiene seis ténninos .
• El primer término es 1.
.Para hallar el segundo término se sumó una vez 4 (la diferencia co ún)
al primer término .
• Para hallar el tercer término se sumó dos veces 4 al primer término así
sucesivamente .
• Para representar el último término se sumó cinco veces (6 - 1) al
primer término.
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
Si S = suma de los términos, a = primer término, d = diferencia co ún,
n = número de ténninos, u = último ténnino, entonces la progresión es:
S=a+(a +d)+ (a +2d)+(a +3d)+ ... + [a+(n -I)d]
Como el último télmino es u = a + (n - 1) d, Y considerando dos té
anteriores más, la progresión es:
S = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (u - 2d) + (u - d) + u
(1)
Invirtiendo los télminos, tenemos
S= u + (u-d) + (u -2d) + ... + (a+ 2d) + (a +d) + a
,
(2)
Sumando (1) y (2):
S = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (u - 2d) + (u - d) + u
(1)
+S=u +(u-d) + (u-2d)+ ... +(a +2d) + (a +d)+a
(2)
------------------------------------------+2S = (a + 'u) + (a + u) + (a + u) + ... + (a + u) + (a + u) + (a + u)
Sistemas numéricos • II
Como los términos de la derecha son iguales, se tiene:
2S~n(a+u)
Dividiendo ambos lados entre 2, se tiene la fórmula buscada:
S~ n(a+u)
(3)
2
Con esta fórmula podemos calcular la suma de los n primeros términos de
una progresión aritmética.
Ejemplo 1
Calcular la suma de los lOO primeros números enteros positivos.
Solución
Si a ~ 1, d ~ 1, n ~ 100, u ~ 100, sustituyendo los datos eu la fónnula, la suma
de los 100 primeros números enteros es 5 050.
S~
100(1+100)
2
S ~ 100(101)
2
S~50(101)
S
~
5050
Ejemplo 2
Calcular la suma de los 75 primeros términos de la siguiente progresión aritmética: 1, 5, 9, 13 ".
Solución
Como no se conoce el último término, se calcula con la fórmula
.
··d
u~a+(n-I)d.
!A--~""--'
','1
V "" .. ; .'
Si a ~ 1, n ~ 75, d ~ 4,
,.~
entonces:
u~
I +(75-1)(4)
u~I+74(4)
u ~ 297
Sustituyendo los valores en la fórmula (3):
S
S~
75(1+297) .
2
11175
s
h
12 • Matemáticas J
Este último método es el que se utiliza en la actualidad; los anteriores q edaron en la historia, por lo cual es conveniente aplicar la fórmula en al unos
ejercicios.
Ejercicios
Calcular la suma de los primeros términos indicados en cada una e las
progresiones aritméticas siguientes:
1.
Los 80 primeros términos de 1,3,5,7, ...
2.
Los 100 primeros términos de 2, 5, 8, 11, .. .
3.
Los ISO primeros términos de 5,10,15, .. .
4.
Los 30 primeros términos de 1,7,13,19, .. .
.,.,0.
Los 200 primeros términos de 1, 2, 3, 4, .. .
6.
Los 48 primeros términos de 3, 8, 13, 18, .. .
7.
Los 70 primeros términos de 11, 15, 19, .. .
8.
Los 10 primeros términos de 8, 23, 38, .. .
9.
Los 15 primeros términos de 4,14,24, .. .
10.
Los 64 primeros términos de O, 6, 12, 18, ...
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Este conjunto numérico es el que se utiliza en la actualidad y está const tuido
por subconjuntos que surgieron a través del tiempo, con base en la nec sidad
creada con el desarrollo de las culturas. Dichos conjuntos son los sigui ntes.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)
Recordemos que todo lo que el ser humano inventa o descubre siempre s por
una necesidad que surge en un momento o etapa de su existencia. Po ello,
para realizar los primeros cálculos fue necesario utilizar uu conjunto de úmeros cuyas características son la unidad y el sentido positivo, es decir, 1 s elementos siempre deben ser unidades completas y además positivas.
Muchos son los aspectos en que se utiliza el conjunto de números n turales; alguuos ejemplos son:
-El número de animales que cazaba un primitivo.
-El número de letras del alfabeto.
-El número de tornillos que produce una máquina.
-El número de integrantes de una comunidad.
-El número de ciudades en el mundo.
-El número de automóviles modelo 2000 en el mundo.
Sistemas numéricos· 13
-El número de ventas que realiza una compañía en el mes de enero.
-El número de ríos en un continente.
-El número de hijos de una pareja.
-El número de hojas de un árbol.
Como se observa en los ejemplos anteriores, los elementos a contar de
manera natural deben ser necesariamente unidades completas, pues no tendría sentido decir medio animal cazado, un cuarto de ciudad, un tercio de letra
del alfabeto, etcétera.
En determinado periodo, lo único que se necesitó para representar cantidades eran las que sólo servían para contar, a las cLales se les denomina
conjunto de los números naturales y se representan con el símbolo N,
cuyos elementos son todos aquellos que utilizamos de manera "natural";
por ejemplo, si se pregunta a una persona que piense en un número, ésta
siempre pensará en números como 3, 25, 472 o 5 390, que son símbolos
utilizados para realizar conteos, casi nunca pensará en números como
5
- 3, - ,
3
f8
o 12.272727
Por lo tanto, el conjunto de los números naturales se representa de la siguiente manera:
N
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... oo}
Los tres puntos suspensivos significan que la serie de números continúa
con la misma secuencia, es decir, de uno en uno, hasta el infinito (simbolizado
por 00).
Números primos
Definición
Un número primo se define como el número natural que sólo tiene dos divisores: la unidad y el número mismo.
Una manera práctica de conocer los números primos que hay en un intervalo, por ejemplo, del I al 100, es utilizando la criba de Eratóstenes (matemático griego que vivió en el siglo III aC), la cual consiste en una tabla de números
que inicia con 2, y de donde se eliminan todos sus múltiplos que, en este caso,
son todos los pares mayores de 2; después el3 y se eliminan todos los múltiplos
de 3 y así sucesivamente. Entonces, los números primos son los que se eligieron inicialmente en cada eliminación (ver tabla).
14 • Matemáticas 1
r@®j®fi0Y7W@~@~~~@~@~
~~@~~~~~@~®~~V~~@~~_
®~@~~~@~~~~~®~~~~~@~
@~~~0~®~~~®~@~if~~%@~
~~@~~~~~@~~~0~0~®%~~
Problema
El profesor Gonzalo siempre busca relaciones entre números. Un día
cuenta de que los números de su casa y los de dos de sus amigos so
números primos consecutivos tales, que multiplicados son su númer
fónico. El profesor Gonzalo vive entre sus dos amigos y tiene un núm
teléfono de cinco cifras que empieza con 6. Averigua ese número y el
casa.
e dio
tres
telero de
e su
Divisibilidad
Definición
Dos números naturales son áivisibles entre sí cuando son iguales o el ayor
es múltiplo del menor, de manera que el resultado es un número natur 1.
Algunas reglas para determinar la divisibilidad son las siguientes:
1. Un número es divisible entre 2 si su terminación es par o O Así,
el nÚmero 798 es divisible entre 2 porque su terminación es par (8); el n' mero
I 820 es divisible entre 2 porque su terminación es O.
2. Un número es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Así, el número 687 es divisible entre 3 porque 6 + 8 + 7 ~ 21, Y
éste es múltiplo de 3.
3. Un número es divisible entre 5 si su terminación es 5 o O. sí, el
número 32 685 es divisible entre 5 porque termina en 5.
4. Un número es divisible entre 7 si al ordenar grupos de tres d gitos
de derecha a izquierda, alternando signos positivo y negativo en cada
grupo y al sumarlos algebraicamente, el resultado es divisible en re 7.
Así, el número 41 538 es divisible entre 7 porque 538 - 41 ~ 497 + 7 ~ 1.
5. Un número es divisible entre 11 si al sumar sus dígitos de erecha a izquierda alternando signos positivo y negativo para cada t rmino, el resultado es divisible entre 11 o O. Así, el número 361 2 2 es
divisible entre 11 porque 2 -6 + 2-1 + 6 -3 ~O. También el número 10 I 7094
es divisible entre II porque 4 - 9 + O - 7 + 3 - I + O - I ~ - 1, Y
-11+ll~-1.
Las reglas anteriores se plantearon con base en un análisis que dete ina
cuándo un número es divisible entre otro; por ejemplo, si se desea cono er un
Sistemas numéricos· 15
método que demuestre el porqué un número es divisible entre 3, se emplea el
siguiente procedimiento.
Si N ~ número dado, y a, b, c, d, e, etc., son los coeficientes de las potencias de base lOen la notación desarrollada del número, entonces el número
representado con los dígitos abcde, se representa como
abcde~ a(lO 000) + b(l 000) + c(IOO) + d(IO) + e
~ e + d(IO) + c(IOO) + b(1 000) + a(lO 000)
~
e + d(9 + 1) + e (99 + 1) + b (999+ 1) + a(9 999 + 1)
~
e + 9d + d + 99c + c + 9 999b + b + 9 999 a + a
~
e + d + c + b + a +9d + 99c + 999b + 9 999a
~e+d+c+b+a+9(d+llc+
Illb+ Illla)
El producto 9 (d + 11 e + 111 b + I lIla) es divisible entre 3; entonces, si
la suma e + d + c + b + a es múltiplo de 3, entonces el número abcde es
divisible entre 3.
Usando procedimientos similares es posible determinar la regla que indica
la divisibilidad de otro número entre algún número primo.
Teorema fundamental de la Aritmética
Todo número compuesto puede expresarse como el producto de un conjunto
de números primos.
Para determinar el conjunto de factores que componen un número compuesto se escribe el número y se verifica su divisibilidad, iniciando desde el
primer número primo, como indica el ejemplo siguiente.
Obtener los factores del número 88 200.
88 200
2
44 lOO
2
22 050
2
11025
3
3 675
3
1 225
5
245
5
49
7
7
7
Fracciones equivalentes
Cuando se dividen dos números naturales, en ocasiones se pueden reducir
obteniendo lo que se llamafracción equivalente, que consiste en dividir cada
J 6 • Matemáticas 1
término de la división entre un mismo número, es decir, obtener fa tores
comunes sin afectar la fracción.
Por ejemplo, al dividir el número 60 entre el número 80 tenemos q e los
factores del 60 son 2 X 2 X 3 X 5 Y los factores del 80, 2 X 2 X 2 X X 5;
entonces, la expresión es:
60
2x-ix3x6
80=Ú2x2x2x5
3
4
Pero siempre es más rápido obtener factores qne permitan redncir e manera más inmediata 1a fracción; si se observa, ambos números termina en 0,
por lo tanto, se podría obtener la décima yasí se tendría sólo la mitad d cada
número resultante; esto es:
60
80
6tí
6
3x,2
3
=8Ó =8= 4xd =4
Es claro que al reducir una fracción para obtener otra fracción equiv lente,
por lo general los factores se calculan en forma mental.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
el)
Conforme los pueblos se desarrollaron, aumentaron las necesidades. sí, las
personas relacionadas can el uso de las matemáticas, como científicos ingenieros y comerciantes, entre otros, requerían símbolos numéricos que epresentaran cantidades que tuvieran que ver con lo opuesto, como tener o deber
alguna cantidad monetaria, avanzar o retroceder una distancia, medir istancias sobre o debajo del nivel del mar, tomar temperaturas sobre o baj cero,
nedir tiempos antes o después de Cristo.
Estos ejemplos muestran la idea de que existen cantidades opuestas. No se
tiene la certeza del siglo en que aparecieron estos números, pero se sa e que
ya en el siglo III dC Diofanto tenía idea de ellos; en el siglo XVII, Brahm gupta
estaba en el mismo caso, pero ambos rechazaban los números negativ s. Por
esa época también Alkowarizmi presentó las raíces de una ecuación e segundo grado, una positiva y una negativa, sin rechazar la raíz ne ativa;
Fibonacci, en el siglo XVIII, interpretó un número negativo en un probl a de
dinero, como pérdida en vez de ganancia. Para ampliar la informac ón se
puede consultar Historia de las Matemáticas, de E.T. Bell (Fondo de ultura
Económica, capítulo VIII, página 177).
Este conjunto se representa mediante el símbolo Z, y sus element s son
los siguientes:
t
..•.e¡
Z=
{-=, ... -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4,5, ... , =}
Sistemas numéricos· 17
El cero queda incluido justamente entre - I Y + 1; el conjunto está constituido por tres conjuntos, que son: conjunto de los números naturales o enteros
positivos (N), el cero (O) y el conjunto de los números negativos (,2:), lo cual
se representa de la siguiente manera:
Es importante notar el orden en los números enteros, pues de dos números
a y b elegidos, el primero es menor que el segundo, esto es, a < b, si a está a
la izquierda de b; algunos ejemplos son:
-3<-2
-2<2
0<3
2<7
Se hace esta aclaración para que el estudiante no confunda el orden, pues
es frecuente pensar, por ejemplo, que -6 = 6, o qne -10 > 7, hecho completamente absurdo.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (4l)
La necesidad de indicar cantidades qne representaban "partes de un todo",
como:
• la mitad de un terreno,
• las tres cuartas partes de un litro,
• los cinco octavos de un ejército,
• nn tercio de la distancia recorrida,
• la quinta parte de nna herendlr,
• el cinco por ciento del sneldo,
• la escala de 1: 1 000,
• la probabilidad de que salga un tres en el lanzamiento de un dado,
llevó a los matemáticos a concebir la idea de un número compuesto de dos
elementos llamados numerador y denominador; el primero indica el número
de porciones iguales consideradas de la unidad y el segundo, el número de
porciones iguales en que se divide el entero.
Supongamos que Laura compró un pequeño pastel y lo dividió en ocho
partes iguales; si se comió tres, entonces la cantidad que se comió se representa como:
3
8
=
Número de unidades consideradas
Numerador
Número de unidades en que se dividió el entero
Denominador
En la siguiente figura se ilustra la operación para obtener la cantidad restante.
18 • Matemáticas I
3
8
8
8
5
8
Observar que si Laura se comió tres de las ocho partes del pastel, ent
le quedan cinco partes.
En general, ambos elementos (numerador y denominador) deben s
meros enteros, pues si uno de ellos se considerara número decimal, en
dad se hablaría de otra fracción; por ejemplo, si el numerador es 0.2
décimos), el pastel estaria dividido en 80 partes, esto es:
nces
núeali(dos
2
0.2 =ill=2
8
8
80
En el caso particular de un número con denominador O, significa
entero no se divide; por lo tanto, no hay división y esto no está defini
decir, el denominador debe ser diferente de O.
Este conjunto se inventó cuando se tuvo la necesidad de representar artes
de un todo, o sea, fracciones, por ejemplo, de un terreno, una herenc' , un
líquido, una distancia, una cosa, etc. Por lo tanto, se puede decir que un n ' ero
racional es aquel que se puede representar Como el cociente de dos nú
enteros; el conjunto se simboliza con la letra Q ,y se representa de la si
te manera:
Obsérvese que el conjunto se representa utilizando sólo símbolos no a
través de sus elementos; a esta forma de representación se le llama ca ¡junto
por comprensión; en cambio, cuando un conjunto se representa listan o sus
elementos se le llama "conjunto por extensión", por ejemplo, la manera n que
se representan los conjuntos de los números naturales y enteros.
Sistemas numéricos· 19
3 19 -ID
Así, algunos ejemplos de números racionales son: 2' 3' 7
375
--,etc.
-]7
Véase que todo número natural o entero también es racional, ya que cualesquiera de éstos cumple con la definición de número racional, puesto que
todo número es divisible entre 1, yal dividir cualquier número entre la unidad, se obtiene el número dado, por ejemplo:
~=4
l
Número decimal limitado y periódico
Es importante observar que un número racional tiene la fonna de cociente y
también puede representarse como un número decimal; es decir, si se ejecuta
la división, se obtendrá el número decimal, el cual puede ser limitado o periódico. Veamos algunos ejemplos:
Núm. racional
Cociente Decimal
5
4
11
2
15
16
31
15
4403
999
127
=
1.25
=
5.5
=
Número decimal limitado
0.9375
= 2.0666 ...
= 4.407407 ...
Número decimal periódico
= 6.684210526 ...
19
Es fácil observar la razón por la cual 1.25 es un número decimal limitado y por
qué el número 4.407407 ... es un número decimal periódico. Por cierto, este último también se representa como 4.407 de forma abreviada (la barra sólo se
coloca encima de los números que se repiten, es decir, los que forman el periodo).
Conversión de un número racional decimal
a número racional cociente
Como se mencionó, hay dos tipos de números decimales: los limitados y los
periódicos.
20 • Matemáticas J
Los números decimales limitados se pueden convertir a fracción c mún
multiplicando y dividiendo por un múltiplo (10, 100, 1 000, etc.) con el n' ero
de ceros igual al número de cifras que tenga el número en su parte dec' al.
Ejemplo 1
3.24 = 3.24(100)
100
324
100
81
25
Ejemplo 2
0.0523 = 0,0523(10000)
10000
523
10000
Resolver el siguiente problema. En un bote se vierte el contenido e un
bote de pintura con 3.54 L Y dos recipientes con agua: uno con 4.6 L otro
con 0.27 L. ¿Cuántos litros de la mezcla hay en el bote?
Nota: Convertir los números a cociente y resolver el problema.
Solución
841 = 8,41 L de la mezcla.
100
Los números decimales periódicos se convierten a cociente mullip icando por un múltiplo de 10, con el número de ceros igual al número de cifi s del
periodo, y a éste se resta el número original.
Ejemplo 1
n = 5.2626 ...
Multiplicando la expresión por 100:
100 n = 526.26 ... , a la cual se resta la expresión original, esto es:
100 n = 526.2626 .. .
--=-n = - 5.2626 .. .
99 n = 521.0000
521
n=-
99
Ejemplo 2
n = 2.63434 ...
Multiplicar por 10 para colocar el punto antes de la parte periódica
IOn = 26.3434...
(1)
Sistemas numéricos' 21
Multiplicar por 100 para colocar el punto después de un periodo:
1 OOOn
~
2634.3434...
(2)
Restar (1) de (2):
1 OOOn ~ 2634.3434 .. .
-1 On ~
990n
~
- 26.3434 .. .
2608.0000
2608
n~--
990
1304
495
n~--
Resolver el siguiente problema. Un trai1er contiene una carga de 5.2626 t;
en un almacén descarga 2.222 t Y en otro, 1.333 t. ¿Qué cantidad de carga le
quedó?
Nota: Convertir las cantidades a fracción y resolver.
Solución
169 ~ 1.70 t
99
Ejercicios
Convertir los siguientes números racionales a su forma de cociente.
1. 12.5
~
2. 0.15
~
3.
18.2 ~
4.
0.345
~
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES (ll')
Si un número no se puede representar como el cociente de dos números
enteros, entonces no es racional; por lo tanto, se denomina número irracional, pero, ¿qué números son éstos?
En efecto, son todas las raíces no exactas, por ejemplo:
,[2, ¡n, fIO, ~132, ~843,etc.
Las raíces son:
{2 ~ 1.414213562 .. .
~132
~~2.15443469 .. .
\/843 = 3.847383826 .. '
{27 ~5.196152423 ...
=
3.389561224 ...
22 o Matemáticas 1
Es claro que números como -,J 36, -J8l, ~,\ii6 no son irracionales,
tienen raíz exacta.
Números como ~ -16 o '1J -81 no están definidos dentro de los nú
racionales ni irracionales.
Cuando se multiplican dos números iguales, positivos o negativos, se
ne un número positivo; si se saca la raíz cuadrada de este resultado, se o
drá uno de los factores iguales, ya que la potencia es el inverso de 1
cuadrada. Así, si 4(4)
= 16 ~ ,}16 = 4, pero no hay ningún número que ul-
tiplicado por sí mismo resulte -16. Esto es posible sólo en otro conjunto n mérico llamado conjunto de los números imaginarios, que se tratará cu ndo
se aborde el tema de la solución de ecuaciones de segundo grado.
Entonces, el conjunto de los números irracionales se representa de a SIguiente manera:
dl'={x/xO':dlJ
I
7
El número re y el número e son dos números irracionales; el val r de
n = 3.141592654 ... y e = 2.718281828 ... , respectivamente. Otro ejemp o es
.Jl5 = 3.872983346 ... : como se ve, la forma decimal de estos números tie
e un
número infinito de dígitos en la parte decimal, pero no tiene periodicida . No
confimdircon los números decimales limitados, esto es: 7.3695962'" 7.3695 62 ...
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (IR)
Finalmente, el conjunto de los números reales, simbolizado con IR, está onstituido como la unión del conjunto de los números racionales y el conjun o de
los
los números irracionales, esto es, dl U dl'. Considerar que el conjunto
números naturales está dentro del conjunto de los números enteros y que a su
vez, éste está dentro del conjunto de los números racionales. El sigu ente
diagrama representa la ubicación de los conjuntos.
IR = Reales
Sistemas numéricos· 23
Entre el conjunto de los números reales y los puntos de una recta numérica
se puede establecer una relación biyectiva, esto es, que a cada punto de la
recta corresponde un nínnero real; en la siguiente figura se aprecia lo anterior.
Recta real
-7
6-
I
-5
-6
-3-2-1
-4
5
- 9;}¡870
9
3
2
Conjunto de los números reales
Grupo 1.1
Escribir en la línea el símbolo e (es subconjunto de) o ct (no es subconjunto
de) que se requiera para afirmar las siguientes expresiones.
1. {-2, -17,35,8, -75)
~Z
2. {0,4, 12,27, 39}
~«l
3.
g,
8, 11, 20, 41}
_N
~Z
4. {0.23, 7.352, 8)
5. {- 9,6.42,
V23,)61)
- -IR
6. H,-7.49,3.515J}
--«l'
7. {3.21654 ... ,0.21659}
~N
8.
{%, -3, V27, -O.4}
9.
{~9: CJjs.
"lIó, ~40}
lO, {0.35, 3.8888""
.f¡2\}
~Z
- -IR
~«l'
24 • Matemáticas 1
__ N
11.
{~7, ~5, ~3, ~I,
2, 6,14, 45)
12.
{~~. ~ 2;. f¡6.1s. ~13, 38}
r.:
-2:
13. { ~15.
24
7'
14. {025,
~4.32, J9, ~E8, ~, ~ ~~}
_41
~.I3., ,JlOO, 0,1 345}
4
__ N
16.
{~0.67, 8.023, ~, 32}
_41
17.
{~4, ~3, ~2,~1,
15. {LO, 45,
15
18.
13
41
~4' '115. ~',I75. 0.38
}
IR
_2:
0,1,2,3,4, 5)
{~6,~, .Ji6, 27, 5.125, ~.fii,
237}
IR
19.
{~15, ~IO, ~5.5, ~L8, ~I, ~0.25, ~0.01}
_ _ 2:
20.
{lO, 25, 45, 60, 70, 100. 500, 1 OOO}
__N
Grupo 1.2
Escribir en la línea una v si es verdadera o una f si es falsa cada una de las
siguientes expresiones.
1.
2.
~5E
11. 11: ¡t 2:
12. ~56.238E 41
13. 4.01020L ¡t IR
N
.!.§. ¡t 41'
3
3. 1125 E
4. ~ 156 E
5.
~~
¡t
41
2:
2:
7.
8.
9.
~.J120 E IR
~
¡t
41
~
5.34527
¡t
10. )144 E
N
15.
~0.00003
J9
¡t
¡t
41'
E
2:
N
~4
8.545454 ... E
31.165
-
16. ~8
7
6.
3
14.
41
41'
17. 0.0001 E
2:
18.
4 • .[¡56 4 • .JI 56 ¡t
19.
~mEIR
20.
'./ ~23 E IR
41'
Sistemas numéricos· 25
Grupo 1.3
Convertir los números siguientes a su forma de cociente.
1. 8.23=
11.
0.125 =
2.
1.257 =
12.
1.09 =
3.
13.
4.
12.02 =
0.27 =
6.3 =
14. 0.38 =
5.
0.342 =
15.
6.
6.123 =
7.
8.
10.513 =
56.92 =
18.
9.
5.158 =
19.
lO. 5.158 =
20.
9.012 =
16. 1.46 =
17.
3.9=
0.9 =
5.407 =
0.0046 =
Propiedades de los números reales y valor absoluto
Las propiedades de los números reales son muy importantes en el aprendizaje
de las Matemáticas, ya que en todas las operaciones se utiliza al menos una de
ellas. Sin su conocimiento, el alumno sólo se limita a adquirir el conocimiento
por imitación, de ahí que al alumno que ha logrado llegar de alguna manera a
niveles de aplicación del Álgebra, le es muy dificil entender los procesos que
utiliza el maestro, pues no conoce la manera lógica basada en propiedades
para operar con los elementos matemáticos. Análogamente podemos citar a
un deportista, el cual, si no conoce las reglas que rigen su deporte favorito,
podrá estar en la mejor disposición de participar en el juego, pero no podrá ser
eficiente para su equipo.
Cuando se conocen los elementos de los conjuntos numéricos es necesario
conocer las reglas con que se pueden manipular, con el objeto de saber cómo
se utilizan en forma adecuada en la ejecución de las diferentes operaciones
matemáticas que requieren las diferentes áreas del conocimiento, así como
en la vida cotidiana. Estas reglas se llaman propiedades de los números
reales, y son las que a continuación se detallan.
Propiedad conmutativa
Cuando se suman dos números (también llamados términos) y luego se
intercambia su posición y se efectúa nuevamente la suma, se obtiene el mismo resultado; por ejemplo, 34 + 26 = 60 o 26 + 34 = 60; se dice entonces que
se aplica la propiedad conmutati va, ya que en ambos casos el resultado no se
altera.
El mismo concepto funciona con la multiplicación de números, en cuyo
caso se lIamanfactores, esto es, 12(10) = 120 010(12) = 120. Así: "El orden
de los factores no altera el producto."
26 • Matemáticas 1
En términos genéricos, esta propiedad se puede representar de la sigui nte
forma:
Propiedad conmutativa para la suma
Propiedad conmutativa para la multiplicación
~
ab
ba
Propiedad asociativa
Cuando dos números se asocian para efectuar una operación, se está utili
do la propiedad asociativa; por ejemplo, dados los números 12, 9 Y20, apl cados a la suma, la operación se puede efectuar asociando diferentes elemen os,
es decir:
12+9+20~(12+9)+20~21 +20~41
~
12 + (9 + 20)
~
(12 + 20) + 9 ~ 32 + 9 ~ 41
~
12 + 29 ~ 41
Por 10 tanto, utilizando diferentes asociaciones de números, el resultad no
se altera.
En la multiplicación también es posible asociar los factores; por ejem 10,
dados los factores 4, 7 Y 5, la expresión es:
4 X 7 X 5 ~ 4(7 X 5) ~ 4(35) ~ 140
~
(4 X 7) X 5 ~ 28 X 5 ~ 140
~
7(4 X 5) ~ 7(20)
~
140
Observar que el paréntesis o el símbolo= indican una multiplicación.
La representación general de esta propiedad es la siguiente:
Propiedad asociativa para la suma
a+b+c~(a+b)+c
~a+(b+c) ~(a+c):b
C"~"c,~
I
Sistemas numéricos· 27
Propiedad asociativa para la multiplicación
/
abc = (ab)c = a(bc) = (ac)b
Propiedad distributiva
En ocasiones se tienen multiplicaciones donde uno de los factores es, a su
vez, una suma; aquí el producto se aplica a cada uno de los elementos de la
suma del otro factor, por ejemplo:
8(5 + 11) = 8(5) + 8(11)
=
40 + 88
= 128
Se dice que hay una distribución de la multiplicación sobre la suma y se
simboliza de la siguiente forma:
a(b + e)
ab + ac
Es importante mencionar que en esta propiedad hay dos factores y que
cada factor puede tener uno o más términos. Aplicando la propiedad de la
misma forma, el desarrollo del ejemplo es el siguiente:
(2 + 5)(3 + 4 + lO) = (2 + 5)(3) + (2 + 5)(4) +- (2 + 5)(10)
= 6 + 15 + 8 + 20 + 20 + 50
= 119
Este desarrollo es muy importante cuando tratamos con operaciones
algebraicas, pues en ellas puede haber términos literales cuyo valor no se
conoce, por ejemplo:
8(x + y - 7) = 8x + 8y - 56
Propiedad del elemento neutro
Cuando se suma Oa un número real, o cuando se multiplica 1 por un número
real, dicho número no se altera, por lo cual se dice que el Oes el neutro aditivo
ye1 1 es el neutro multiplicativo, respectivamente.
Ejemplos
1. 15+0= 15
2. 12(1) = 12
Las expresiones que definen esta propiedad son las siguientes:
28 • Matemáticas 1
Elemento neutro para la suma
Elemento neutro para la multiplicación
Propiedad del inverso
También se pueden considerar dos casos: el inverso aditivo y el m erso
multiplicativo.
En el primero, el inverso aditivo es un número que al sumarlo con un n mero real se obtiene como resultado O, y en el segundo caso, el inverso multiplic tivo
es un número que al multiplicarlo con un número real, se obtiene como r sultado la unidad.
Los ejemplos respectivos son los siguientes:
1.
6+(-6)=6-6=0
2.
13U3J=\3U3J=:~=1
En estos ejemplos, el - 6 es el inverso aditivo del 6 y 1/13 es el in erso
multip licativo de 13.
Las expresiones que definen esta propiedad son las siguientes:
Propiedad del inverso aditivo
a+(-a)=O
"~FA
I
<'::;
Propiedad del inverso multiplicativo
Propiedad transitiva
Esta propiedad consiste en comparar por igualdad expresiones que repre entan diferentes operaciones, pero que son equivalentes, por ejemplo:
Si 25(8) = 400,
2
400
2
= 130 + 70, entonces 25(8) = 130 + 70
Sistemas numéricos· 29
Lo anterior significa que si una primera expresión es igual a una segunda
expresión y esta última es igual a una tercera, entonces la primera y la tercera
deben ser iguales.
Esto se simboliza de la siguiente forma:
Propiedad de identidad
Cuando se efectúa una comparación por igualdad de dos expresiones, si la
primera es igual a la segunda, entonces la segunda deberá ser igual a la primera.
Ejemplo
Si 9(6) ~ 60 - 6, entonces 60 - 6
Si a
~
9(6) Y se simboliza de la siguiente forma:
~
b
=;
b
~
a
Es importante que el alumno no considere las propiedades anteriores como
muy obvias, ya que lo relevante para su comprensión es entender con claridad
el concepto, pues será lo que le permita operar correctamente en la realización lógica de las operaciones en las diferentes áreas de la matemática, y con
ello lograr un mejor aprendizaje.
Propiedades de los números reales
Propiedad
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento inverso
Suma
De identidad
ab
a+b~b+a
a+O~a
a+(-a)~O
~ba
a(bc)
a+(b+c)~(a+b)+c
~
(ab)c
a X 1 ~a
a(
±J~
1
a(b+c)~ab+ac
Distributiva
Transitiva
Multiplicación
Si a
=
b, b = e, entonces a
=
e
Si a ~ b, entonces b ~ a
Grupo 1.4
Escribir en el espacio el nombre de la propiedad que se aplica en cada caso.
30 • Matemáticas 1
1. 9(5 + 8) ~ 45 + 72
2. 3(6 + lO) ~ 3(10 + 6)
3. 12+(-12)~0
4. 5+9+15~9+(5+15)
5. 4(x + 2) ~ 4x + 8
6. 7(1) ~ 7
7. 3m +0 ~3m
8. 12+4a~4(3+a)
9. 12 + 56 ~ 56 + 12
lO. -26(-35) ~ (-35)(-26)
11. t(3)
~ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
12. 8(x)
8x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
13.
~
-¡(-~J~] ------------
14. 3(x + y)
3x + 3y _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
~
15. (3 + m)(5 + x) ~ (m + 3)(5 + x) _ _ _ _ _ _ __
16. (l-x)(1 +x)~(1 +x)(I-x) _ _ _ _ _ _ __
17. 7(8)(10) ~ 7(80) _ _ _ _ _ _ _ _ __
18. 3(a+b)~3(b+a) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
19. Si 5(25) ~ 125 =; 125
~
(5)(25) _ _ _ _ _ __
20. Si20+5~2(2),2(2)~1O-6=; 20+5~10-6_
21. -324(1)~-324 _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
22. - 587 + 587 ~ O _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
23. 3(m + n + 1) ~ 3m + 3n + 3 _ _ _ _ _ _ _ __
24. -340 + 340 ~ O _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
25. 27(1)~27 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
26. 3x + lOO
27.
]~
28.
]52
29.
lOO + 3x _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
~
en 1: c~ J----------e: J~
=
1 -------------
5(1-7+15)~5-35+75
30. Si 3(200)
~
600 =; 600
~
_ _ _ _ _ _ __
3(200) _ _ _ _ __
Sistemas numéricos • 31
Grupo 1.5
Analizar e identificar la propiedad de los números reales que se aplica en cada
uno de los siguientes enunciados. Indicar la operación que justifica la propiedad.
1. Un deportista da 10 vueltas a la pista por la mañana y ocho por la tarde.
Al otro día hace ocho vueltas por la mañana y 10 por la tarde. ¿En qué día
corrió más?
Propiedad_ _ _ _ _ _ _~
2. Una persona compra ocho camisas, 10 corbatas y seis pantalones, y solicita
los envuelvan en dos paquetes, uno con las camisas y corbatas, y otro con los
pantalones. El vendedor se equivoca y empaca los pantalones con las corbatas y
en otro paquete las camisas. ¿Lleva el mismo número de prendas?, ¿por qué?
Propiedad,_ _ _ _ _ _ __
3. Una persona debe 1 500 pesos a un proveedor y, si en su cuenta de
ahorros hay un saldo de 1 500 pesos, ¿cuánto tiene?
Propiedad_ _ _ _ _ _ __
4. Describir dos formas en que se puede calcular el área de una barda de 4 m
de altura que se divide en dos partes, con longitudes de 8 y 12 m, respectivamente.
Propiedad~_ _ _ _ _ _~
5. Un niño se come 10 fresas y 15 uvas, y si su hermano se comió 15 fresas
y 10 uvas, ¿quién comió mayor cantidad de fruta?
Propiedad~_ _ _ _ _ _~
6. Una tortuga avanza 3 m en la primera hora, 2 m en la segunda hora y
regresa 5 m en la tercera hora, ¿cuántos metros avanzó?
Propiedad_ _ _ _ _ _ _~
7. Se desea sembrar maíz en tres terrenos: el primero mide 25 X 12 m, el
segundo, 30 X lO m y el tercero, 20 = 15 m. ¿En qué terreno se podrá sembrar
mayor cantidad de maíz?
Propiedad,_ _ _ _ _ _ __
8. Juan se toma 250 mL de jugo de naranja combinado con 100 mL de jugo
de piña y más tarde 80 mL de jugo de betabel. Luis se toma 80 mL de jugo de
betabel combinado con 250 mL de jugo de naranja, y más tarde 100 mL de
jugo de piña. ¿Quién tomó más jugo?, ¿por qué?
Propiedad_ _ _ _ _ _ __
9. Una persona cobra un incentivo de 300 pesos por una producción mayor
a 150 unidades. Si tiene un sueldo base de l 200 pesos y en esta semana tuvo
una producción menor de 150 unidades, ¿cuánto cobrará esta semana?
Propiedad_ _ _ _ _ _ _~
10. Tres amigas van a un paseo de dos días. Rocío gasta ISO pesos el primer
día y 330 pesos el segundo. Laura sólo gasta en la compra de tres vestidos que le
32 • Matemáticas 1
cuestan 160 pesos cada uno y Rosa lleva 960 pesos, de los cuales
mitad. ¿ Cuánto gastó cada una?
la
11. Un libro tiene 76 hojas con fotografias y 95 hojas con texto; si
hojas con fotografias y 76 hojas con texto, ¿cuántas hojas tendría
caso?
95
12. Emesto tiene 1/4 de g de oro. Si Luis tiene el cuádruple de lo
Emesto, ¿cuánto tiene Luis?
13. En un estacionamiento se cobra a 10 pesos la hora más 5
fracción es mayor de media hora. Si una persona tardó 7 h 20
estacionamiento, ¿cuánto pagó?
14. Si un alumno obtuvo 8 de calificación en el primer examen
el segundo examen obtuvo O, ¿qué promedio lleva hasta el momento?
15. Un hotel se construye con 10 habitaciones en el primer nivel y
segundo; si en otro hotel se construyen 15 habitaciones en el primer
en el segundo, ¿cuántas habitaciones hay en cada hotel?
Valor absoluto de un número real
Se dice que una calle tiene doble sentido cuando hay dos carriles en los
autos circulan de manera opuesta en uno y otro carril.
Si el sentido que va hacia la izquierda se designa como negativo el que
va hacia la derecha como positivo, un auto que avanza 350 m hacia la i·;,h"ip,rn"
se representa como -350; si un auto avanza hacia la derecha 350 m, e*ton,ces
se representa como + 350 o simplemente 350.
sólo la
Pero si no se desea conocer el sentido en que circulan los autos,
distancia o magnitud que recorren, entonces se dice que se desea corjo,cer el
valor absoluto del número.
Matemáticamente, este concepto se representa indicando el númE'~o entre
dos barras verticales.
Sistemas numéricos· 33
De esta manera, el valor absoluto del recorrido del auto que avanzó a la
derecha es 1350j' El valor absoluto delreconido del auto que avanzó a la izquierda
es: 1-350 Por o tanto, sin importar el sentido del recorrido, la distancia en
ambos casos es:
l.
135°1
=
350 m
1-35°1 = 350 m
Por su utilidad en algunos temas de Matemáticas es conveniente definir el
concepto de valor absoluto de un número real o.
Si dicha expresión se representa como 1
entonces:
al,
Si a> O ~
Si a<O
a
~
Si a = O ~
=0
a =-a
1
°
1
=
O
Ejemplos
1. 1171=17
2. 1-351 =-(-35)=35
3. 1-1561 =-(-156) = 156
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Para efectuar operaciones con los números reales es necesario conocer los
conjuntos numéricos, las propiedades que permiten operar con ellos, así como
las leyes de los signos y los símbolos de agrupación.
Leyes de los signos
Leyes de los signos para la multiplicación o división
a) Cuando dos números con el mismo signo se multiplican o dividen, el
resultado es positivo.
Ejemplos
1. 25(10) = 250
2. - 9 (-15 )
3. 300
20
= 15
= 135
4. -180 = 4
-45
34 • Matemáticas 1
b) Cuando dos números con distinto signo se multiplican o divi n, el
resultado es negativo.
Ejemplos
1. 8 (-12)
2.
~-96
3.
-34 (50) ~ - 1 700
-15
-~-3
5
4.
Leyes de los signos para la suma de números reales
a) Cuando dos números del mismo signo se suman, el resultad debe
conservar el signo de los números.
Ejemplos
1.
13+19~32
2.
(-23)+(-8)~-23-8~-31
Nótese que en el primer ejemplo no se requiere paréntesis, ya e los
números son positivos, pero en el segundo ejemplo sí se necesitan por ue los
números son negativos.
b) Cuando dos números de diferente signo se suman, los números se restan
y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto, es decir aquel
cuya magnitud es mayor.
Ejemplos
1. 26 - 15 ~ IJ
2. -45 + 22 ~-23
3.
18-31
4.
-6 + I2
~-13
~
6
Símbolos de agrupación
Los símbolos de agrupación se utilizan para asociar términos o factore , y así
representar el producto o la agrupación de términos con los cuales e va a
efectuar una operación; dichos símbolos son:
Paréntesis
( )
Corchetes
[ 1
Llaves
{}
Para eliminar estos símbolos en una operación se utiliza la pro iedad
distributiva, iniciando por aquel que no contenga ningún otro sím 010 de
agrupación. En los ejemplos se verá cómo eliminarlos.
Grupo 1.6
Utilizando las leyes de los signos determina el resultado en cada un de las
siguientes operaciónes.
Sistemas numéricos' 35
1. 3(15)
~
16. -20(-15)
2. -7(9)
~
17.
3. 9-13
~
18. 32 + 45 ~
19 - 35 - 27
4. 18+ 123 ~
5. -26 + 30 ~
6.
-15(-4)~
7.
-41-23~
-28
8.
14
9. 32(-7) ~
10. -25 + 41
11. 32 + 75
12.
13.
14.
~
~
30
-6
20.
~
-25(4)~
~
-41(8)~
-240
21. - - =
-60
22.
85
-5
23.
38
19
24. - 12(-10)
25. 56 - 60 ~
~
26.
16(4)~
124
27.
-92-;.(-46)~
31
28. 100 -;. (- 25) ~
-8(-10)~
15. 16 - 23
~
29. 150(-2)(-10) ~
30. 48 - 32 -;. 8 ~
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Para efectuar operaciones con números enteros no existe una regla en su
procedimiento de ejecución, ya que se debe operar de acuerdo con el criterio
propio en el uso de las propiedades, es decir, dependiendo de las características
de la operación se usará la propiedad adecuada, pero corno sugerencia se
propone el procedimiento siguiente:
1. Eliminar los símbolos de agrupación mediante la propiedad
distributiva e iniciar siempre con el que no contenga otro símbolo de
agrupación, yal efectuar las multiplicaciones tener cuidado al aplicar
las leyes de los signos.
2. Aplicar la propiedad conmutativa para agrupar términos del
mIsmo SIgno.
3. Aplicar la propiedad asociativa para efectuar la operación
con los términos del mismo signo.
4. Efectuar la operación indicada para hallar el resultado.
\
36 • Matemática~ 1
Es oportuno aclarar que no todas las operaciones responden a
este procedimiento, pues en ocasiones el planteamiento de la
operación requerirá primero aplicar alguna otra propiedad.
Ejemplos
I. 8-10-12+ 16+ 15-1-30+ 18= 8 + 16+ 15 + 18- 10-12-1-30
2. 16-
4(6+28)-5(10~31)=
propiedad conmut tiva
= 57 -53
propiedad asociati a
=4
resultado
16-24-112-50+ 155
propiedad distribu iva
= 16+ 155-24-112-50
propiedad conmut tiva
= 171 - 186
propiedad asociati a
=-15
resultado
Un segundo método para resolver la operación es el siguiente:
. 16 -4(6 + 28) -5(10 -31) = 16 - 4(34) - 5(-21)
= 16-136+ 105
'
propiedad asocia!' a
= 16+ 105-136
propiedad distrib tiva
propiedad conmu ativa
= 121 -136
propiedad asociat va
=-15
resultado
3. 2[5 - 9(-3 + 5 -8)-7(-12)]-25 + 8(-1 - 6) + 20 (- 4) =
= 2[5 + 27 - 45 + 72 + 84]-25 - 8 - 48
80
= 10 + 54-90 + 144 + 168 -25 -8- 48 -80
= 10 + 54 + 144 + 168 -90 -25 -8 - 48
=376-251
= 125
4. (-6)(-9)+23-4(7+9-3)-35+7=54+23-28-36+ 12-5
=54+23+12-28-36-5
= 89 -69
=20
5. - (-8 -17 + 23)[9 -(21 + 5 -9 + 7) -3(-4)] = - (-2) [9 -(24) -3(-4)]
=-(-2)(9 -24 + 12)
=-(-2)(-3)
=-6
80
Sistemas numéricos· 37
Ejercicios para la cIase
Resolver las operaciones siguientes.
1. 2+5(1)+3(5+6)=
2. 4(10-19+3)(15+3)-18=
3. (5+6)(7-5)+10(-2)+4=
4. 2R + 7 + 12 x 5 - 32 =
5. 6(7 - 9) + 4
+ 45.,.. (17 - 2) -21
=
6. 5+3[5+7(8-10+3)]-7(1-21-15)=
Grupo 1.7
. Resolverlas siguientes operaciones con números enteros.
1. 6 + 9(-3) - 8(10) - 5(- 2) + 7(23) =
2. 4(-3-8+15)-7+12(8+4)=
3. 9-3(-2+5)-3(7)(-2)+13(-1)=
4. 8(3 - 4)(8 - 5) -(:-3 -5 -9)(7 -2 -5) =
5. 14 + 7 + 8(-3)(-5)~[-6+ 5(4-10)] +4[2(15 -13 + 2)-5(;-4)] =
6. - [9(8-16)+28]+[6-7(2)(--1)+28+4-16]=
7.
9(6+5) -7
-(15) (7) + 13
=
8. (150+1O)X3+12+4-(9+3)(8-11)=
9. - 2{ 4 +9[5 - 2(-4 - 2)] +2(- 3)}+ 5[6(- 4)(- 2) + 9] =
lO. (-3)(-3)(3)(-3) +6(7 ~2)(2 -7) + (28 -8)';" (17 -2'2) =
11. 48 + (-8 + 4) + 15(9) _ 10 =
-10 + 4
3(5)
12. (120 - 80) + (5)(-8) + 12 =
13. -5[6+7(8)+(- 4)]- (13-7)(13+7)=
14. {-3[6+(2-5)(7- 1)] + 8}{-[4(2)(-3)+6]} =
15. 16+[(-5+9)(8-4-3)(-4)]+28+(20-6)=
16. -[9+5(12-15-21)+7(-41)] + 2(48+ 12-68117)+50=
17. - 8(7-15+9)-(5+8)(-6+7) +3(-4)(-2)=
18. 45 + 3 + (90-5 +9)(8 -4-3 )(-4)+28 + (20 -6) =
19. 12+ 192+ 8-(38-16)+ II +11 =
20. -2{4- 7[6-3(1-14)]} +(5-9)(13-3)+(-8)=
I
21. 4[7 -6(8 + 3 -5)] + [3(5 -4) + 1] =
38 • Matemáticas 1
22. 25+12(8-2)-(-4)
+6(-2)(-2)(-2)~
23.
150+(-25)+8(8)+2(7-15)~
24:
-3(-3)+9(-2-1O-15)+(-3)+5~
25. - 5(- 2)(- 5) - 3(6 - 10)(1 - 15) + 26 + (- 3 - 10)
~
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Para efectuar estas operaciones se deben utilizar los conceptos aplicad s en
las operaciones con números enteros, así como las operaciones básica con
números racionales; éstas se explican a continuación.
Suma con números racionales
Cuando se realizan operaciones de suma con números racionales existe dos
casos que en seguida se describen.
Suma de racionales con denominadores iguales
Para realizar esta operación sólo los numeradores se suma!] y el denomi ador
permanece igual, ya que las fracciones SOn del mismo tipo; por lo tan o, la
expresión que representa esta operación es la sigu iente;
Considerar el siguiente ejemplo: Suponer que se parten dos pasteles, ada
uno en ocho partes iguales y, después de comer, del primer pastel qu dan
tres partes y siete del segundo. Si deseamos saber la cantidad de paste que
quedó, la operación que lo determina es la siguiente:
+
3.
8
3
8
7
8
3+7
8
7
8
10
8
5
4
-+-=--=-=-
ID
8
Sistemas numéricos· 39
En la operación anterior observar que si el resultado se puede reducir,
entonces se debe representar mediante una fracción equivalente: 5/4'
+
1
4
5
4
Ejemplo 1
!! + ~ = 11+ 9 = 20 = 5
4
4
4
4
Ejemplo 2
27 9
27 +9 36 18
-+-=-'-'-=-=14 14
14
14 7
El número mixto es una forma de representar un número racional utilizando
la parte entera y la fracción; por ejemplo, el número 35/4 equivale a 83/ 4 (ocho
enteros con tres cuartos), Cuidado de no confundir con la multiplicación,
Para representar la fracción original se multiplica el entero (8) por el
denominador (4) y se suma el numerador (3), entonces:
8l = 8(4)+3
4
4
35
4
Ejemplo 3
7
1
4-+11-=
3
3
Convirtiendo los números mixtos a fracción común:
19 34
=-+3 3
19+34
=
3
53
3
40 • Matemáticas J
Suma de racionales con denominadores diferentes
Si los denominadores son diferentes no se pneden sumar como en el aso
anterior, puesto que se trata de fracciones de diferente tipo; en este ca o se
busca un común denominador que de preferencia sea el mínimo común múl iplo
y se aplica la síguiente expresión.
a
b
e
- +-
~
d
ad+bc
bd
-,-:---
Es importante destacar que cuando uno de los denominadores es díví íble
entre los demás, entonces es el mínimo común múltiplo o común denomin dor.
Ejemplo 1
2+ ~ ~ _2(,--7"--)+_I-'c(S-'.-)
3
6
6
14 + S
22
11
6
6
3
Ejemplo 2
12 + ~ + _1 ~ _4__(1_2,--)+_2('-..7__) +--,1(--,-1)
5
10
20
20
4S+ 14 + 1
20
63
20
En las siguientes operaciones el común denominador no es uno dios
denominadores; por lo tanto, se calcula el mínimo común múltiplo (mcm), q e es
el producto de los factores comune.1,' y no comunes con su mayor exponen
Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de los números 12, 54 Y 3 se
calcula representando los factores de cada número, esto es,
12 ~ 22 X 3,
54 ~ 2 x 33, 30 ~ 2 x 3 x 5
Por lo tanto, mcm ~ 22 X 33 X 5 ~ 4 X 27 X 5 ~ 540.
Se llama mínimo común múltiplo porque es el menor número divisible ntre
los denominadores de la suma o resta de fracciones y, por lo tanto, en el pro eso
de resolución se utilizan cifras menores.
Ejemplo 3
Utilizar corno ejemplo los números anteriores corno denominadores en 1
guiente operación.
5
l
12 + -54 -
1 225+10-18
-30 ~ --5C:-4ccO- -
Ejemplo 4
9
10
2
9
5
2
-+-+-~
217
540
SI-
Sistemas numéricos· 41
Los factores son 10 ~2 X 5, 9 ~ 32, 2 ~ 2; parlo tanto, mcm ~ 2 X 32 X 5 ~ 90.
La operación es:
9
10
2
9
5
2
81+20+225
90
-+-+~=----~
326
163
90
45
Muchas de estas operaciones se pueden simplificar desde antes mediante el
concepto de fracción equivalente (la fracción que se obtiene de multiplicar
o dividir cada elemento de una fracción por el mismo número); por ejemplo, si
en la fracción 5/4 cada elemento se multiplica por 7, entonces se obtiene la
fracción 35/2K , por lo que se dice que las fracciones 5/4 y 35/28 son equivalentes,
y se puede comprobar dividiendo cada fracción o multiplicando cruzado; en
ambos casos se debe obtener una igualdad.
Ejemplo 5
En esta operación los elementos de la primera fracción se multiplicaron por 4
y los de la segunda, por 3, con el objeto de convertir ambas fracciones al
común denominador que es 24; posteriormente se resuelve como las operaciones
del primer caso.
13 3 13(4) 3(3) 52 9 52+9 61
-+-=--+--=-+-=--=6 8 6(4) 8(3) 24 24
24
24
Obsérvese que el propósito de utilizar el concepto de fracción equivalente
consiste en convertir la operación en una suma de fracciones con el mismo
denominador, y adquirir la habilidad de hacerlo mentalmente permite reducir
de manera rápida muchas operaciones de este tipo. Veamos otro ejemplo
donde es necesario calcular el común denominador, también llamado mínimo
común múltiplo, en forma práctica.
Esta forma consiste en escribir los denominadores en fila y empezar a
obtener factores. Si un número no tiene el factor indicado, sólo se repite y se
continúa con el siguiente factor, hasta que finalmente quede la unidad para
cada número, según se observa en la tabla de la siguiente operación.
Ejemplo 6
15
21
-+-=
144 120
Los factores comunes son:
144
120
2
72
60
36
18
9
30
15
15
2
2
3
3
5
3
5
5
1
2
42 • Matemáticas 1
Entonces el mcm es: 2(2)(2)(2)(3)(3)(5) ~ 720
~+~= 5(15)+6(21)
144
120
720
201
67
= 75+126 =
---
720
720 240
En el siguiente ejemplo se aplica el concepto de la fracción equivale te.
Ejemplo 7
3 .7
I
-+-+-=
40 60 25
.Calculemos el mcm de los denominadores de la operación.
40
60
25
2
,
20
30
25
2
lO
15
25
2
5
15
25
3
5
5
25
5
I
I
5
5
El mcm es 2 X 2 X 2 X 3 X 5 X 5 ~ 600
Observar que al dividir el mcm entre cada denominador resulta el n' ero
que, multiplicado por los elementos de la fracción, los hace equivalentes con
esto sólo se suman los denominadores para hallar el resultado de la opera ión.
La operación es la siguiente:
_3(_15_) + _7(_10_) + -o-10=(2",,4)'c40(15) 60(10) 25(24)
45
70
24
-+-+600 600 600
139
600
Ejercicips para la clase
Resolver las siguientes operaciones.
1. 9
16
I
4
5
5
5
5
-+-+-+-~
2.
I3 5
-+-=
18 9
Sistemas numéricos' 43
3.
7
1
-+-=
20 24
4.
175
-+-+-=
50 40 24
5.
5
1
6-+15-=
7
3
Grupo 1.8
Efectuar las siguientes operaciones con números racionales.
3 15
-+-=
11.
2.
18 11
-+-=
12.
3.
4 10
_+_=
9 18
13.
17 7
_+_=
14.
1.
2
4.
2
7
7
8
5.
6.
7 I
I
3+-+-+-=
5 lO 2
2 I
4-+7-=
3
4
2
12+5i+~=
4
12 II
-+-=
3
5 7 1I 15
-+-+-+-=
4 4 2
2
15.
5
2 9
-+-=
80 lOO
13
8
5
-+-=
24 36
16.
173
2-+-+3-=
2 lO
5
7.
6 13 I
-+-+-=
8 4 16
17.
1
1
-+6+8-=
8
2
8.
11
7
4
-+-+-=
18.
1
I
1
-+-+-=
20 40 60
9.
793
-+-+-=
15 5 30
19.
12 I1 17
-+-+-=
8
4 24
15
3
20. 13+-+2-=
4
4
lO.
lO
25
50
l"+ 32 +3{)=
7
7
7
Resta con números racionales
Esta operación se realiza de la misma fOlma que la suma, sólo es necesario
respetar el signo de la diferencia.
44· Matemáticas 1
Ejemplo 1
~_
8
32 = 15(5) _ 32(8)
5
8(5)
5(8)
75
40
256
40
---
-181
40
181
40
--=--
Ejemplo 2
7
12
5
24
14
24
5
24
9
24
3
8
=-=-
Ejemplo 3
(¡)-(-:~)=¡+:~
=-+21
12
19
12
40
12
lO
3
=---
Ejercicios para la clase
Resolver las siguientes operaciones.
1.
2.
3.
24_ _
15 _ _
16 =
_
7
7
19
3
23
12
7
---
~-8=
4
4.
1O-!2-~=
11
2
5.
4
1
--9-=
5
3
6.
45 -(14-'!'-10'!')=
6
4
2
Sistemas numéricos· 45
Grupo 1.9
Resolver las siguientes restas con números racionales.
1.
2.
7
11
8
8
15
23
11.
13 8 5 :::::
_____
6 12 9
--- =
4
4
12.
----- =
9
JO
3
10
13.
----- =
27
8
17
-----=
=
3.
---=
4.
---=
14.
13
4
15.
17
s.
6.
7
4
15
4
----- =
2
24
13
24
10
24
6 JI
7. -- =
9 6
8.
9.
10.
5
31
8
4
12
7
27
9
26
ID
7
=
25
5
3
8
30
9
S
7
42
7
15
I
7
3
84
21
4~-lJ.=
3 6
------- =
24
I
60
--- =
--- =
16.
I 15
1
5----1-=
2 4
6
17.
23 1
5--+-=
16 32
19
12
--- =
19.
----- =
20.
---
5
24
18.
4
30
60
7
15
4
9
13--7--2=
S
ID
Multiplicación con números racionales
En esta operación los numeradores y denominadores se multiplican,
respectivamente, para representar la fracción resultante y enseguida se dividen
reducen, según sea el caso, esto es:
°
a e
b d
ac
bd
-.-::::-
1<
46 .
Matemáticas 1
Ejemplo 1
~(~J15 12
18040 -2090 -.!<l.-~
45 9
Esta es la fonna en que el estudiante acostumbra a resolver la ope ación,
pero también se pueden aprovechar los conceptos como la pro iedad
cornnutativa y las fracciones equivalentes de la siguiente fonna:
Ejemplo 2
~U3J(:Or46J= ~UoJU3r46J
150 (n¡J[ ~~ J
=
Ejercicios para la clase
Resolver las siguientes operaciones.
1.
;s(¡J=
2. H~;J(¡J=
3. 9U8)(-%)(2ZJ=
4. 1;(-:~JG~)-8)=
Grupo 1.10
Resolver las siguientes multiplicaciones con números racionales.
2.
.!.2
(.I..5.J =
3
10
Sistemas numéricos' 47
3. I~ (~J =
4. H-%J=
5. -~T;J=
6. -I~ (- I~ J=
7. I~ (¡)( 230)=
8. ~(_~J(_260)=
9. ~3(;3J=
10. _~7(_392)(±)=
11. 6(~J(%J=
12. -13( ~ J(-~~ J=
13. 9~(7~J=
14. -3*U~J=
15. 2M5~)(I%)=
16. -9H6±}-7)=
17. ~(~J( -±)=
18. -fe! J(-¡J=
19. 8H-2zJC:)=
20. -H -~)( -~}-8)=
División con números racionales
Esta operación se efectúa multiplicando clUzado y representando la fracción,
según la siguiente expresión:
La reducción de la expresión se puede realizar antes o después de la
operación.
Ejemplo 1
28
18 6 9
14
14
7
-+-=-+-
3
48 • Matemáticas 1
14(3) = 3(14)
9(7)
9(7)
-=1(2)
3(1)
2
3
También se puede resolver convirtiendo el divisor al inverso multipl cativo
Isma
operación:
y efectuando la operación como una multiplicación, resolviendo la
~:
+
1;
=
~:
e: )
= [%)= \4(i)
4
19
=H~)=~
Ejemplo 2
60
70
60(98)
49
98
49(70)
--- =
98(60)
49(70)
- -
2( 6)
1(7)
12
7
=--=-
Ejemplo 3
5~+8~= 28 ... 83
5
lO
5
lO
56
lO
83
lO
=-~-
56 10
10 83
56
83
=-.~=-
Ejercicios para la clase
Resolver los siguientes ejercicios.
1.
12 18
21 14
-~-=
Sistemas numéricos· 49
2.
~+27=
16
3.
4.
17
=
15
9
--+--
45
26+4.1:1 =
2
Grupo 1.11
Efectuar las siguientes divisiones con números racionales.
3
7
11
=
7
12.
3
10-+7=
2
24
13
7
26
13.
(-8)+4%=
46 23
-+27 9
14.
-+-+-
4.
582+(_~)=
15.
-2~+[( -~)+( -4~)]=
5.
8
7+-=
3
16.
9
(-8 1 1)+[( -22:)+( -1/1)]=
17.
[IS+¡]+~=
1.
2.
3.
-~-
6.. .1:1+ 9 =
4
7.
12
-5+-=
5
8.
h
9.
9
3
6)+( - 32)=
5
3
3-+2-=
4
4
13
1
10. -+7-=
5
10
11.
-1~+(-5;6)=
3
7
9
4
3
14
I
1
18. 100-+20-=
2
4
19. -3+ 2 145
90
3
7
20. ..L..1.
I
8
50 • Matemáticas 1
Ejercicios de reducción con operaciones combinadas
de números racionales .
Ejemplo 1
3 8 5 I ID 3 5 8 I 10
---+----- =-+------7777777777
8
19
8-19
7
-11
11
=~--=--=-=--
7
7
7
7
Ejemplo 2
5( 2
415
J+6=
7
2(5) 7
4(15)
+6
=±[1)+~
=-+-=-=I
6
7
6
8
6
4
3
Ejemplo 3
I:G:)(-¡)= I:G~)(-¡)
=4(~)( -¡J={~)(-¡)
Ejemplo 4
-f+H¡-~ )+%(~)=-f+H¡)+H-~ J+H~J
=-f+%(¡J+~(-~ J+i(~J
=-%+~+(-3)+~
Sistemas numéricos· SI
=--+--3+=--+- -3=--+ 1-3
= -§.-2 = -§.-~ =_li
3 33 3
8
3
1
2
8
3
2
2
1
2
8
3
Ejemplo 5
9 18 2 46 8(18)
9(1) +2_2(lJ
2 46
=1:(8)+~_¡(±)
7 7
=2(8)+--2 8
=16+ 2_2
128 28 7
=-+--8 88
149
'§'+~+2_l(2J=
2
=
8
8
Grupo 1.12
Resolver las siguientes operaciones con números racionales.
¡( 270J+ 18)+212
2. UJ-1; +¡
3. -%(-~J+~~(~J=
4. ~[¡ J- :~ +:4 =
l.
=
7
3S
S.
=
-~+(-¡J+~~(-~J=
6. ~-(-~J+4(--=12 6 36 J=
7. -(i+Q
21.·J=
7 14 J+( ~-6
8. 2(8i+~
9 18 J+i(7~18 J( _li20 J=
9. 8[¡[1- 1~ J+ ;0]+
ISO =
10. %-(1+sJ(1-sJ=
S2 • Matemáticas [
11. 1; -%+(¡J(-~)=
12.
13.
19. ~+~(
tí ]-gU~ )-( ~+2)=
3497322
20. _(¡ +141)+8( ~ )+1; (~ )( ~~ )=
-[H2-~ J+%]+iC: J=
21. (~; - 19S )(f +~)+~ - ISI +2~ =
22. (_1:)(%)(~ )C~]+4(~)=
. (~_~}(2S
3 6 2_~)=
4
14. ¡+41+i[:~ ]+(-~) =
IS.
(9-¡+ :~ ]+(~-1-¡)+~ =
16. (3~)(-i)( 674)+(3±+t)=
12 1 20
17. -+---+---=
7 14 7 14 7
9
18 23
18. -----+-+-=
24 2 8 2
S
23.
~+.!.._~( ~]-\O(2)-1.2+ 24 =
24.
5+~[
4~+~(
14 72+~
6 3J]-C 12=
IS
S
2S.
39354'5
[~_2(
S 10)
2 3.!..+2-I]+[
-g(7 ~i(-~)
3/
11
%]=
11
Solución de problemas por métodos aritméticos
Se conoce como problemas arinnéticos aquellos que para su solución req ieren
un procedimiento basado en operaciones que se representan con nú eros
reales.
Es importante considerar que antes de realizar dicho procedimiento, p imero
se analice el problema para definir un plan que permita resolver el pro lema
planteado de manera lógica.
Ejemplo 1
¿Qué edad tenía Pitágoras al morir si nació en S80 aC y murió en SOl C?
Solución
El resultado se obtiene realizando una diferencia, esto es:
580 -
SOl =
79
79
El resultado es
años.
Sistemas numéricos· 53
Ejemplo 2
En una recta numérica que representa la escala de los números reales, ¿cómo
se indicaría el punto medio entre: a) 12 Y 13, Y b) - 9 Y lO?
Solución
a)
12+13
2
b)
25
I
-=122
2
-9+ lO
.
2
2
Ejemplo 3
Un ciclista recorre el lunes 16 km; el martes, 37 km; el miércoles, el triple del
recorrido del lunes; el jueves, la mitad del recorrido del martes, y el viernes, la suma
de los recorridos del lunes y jueves. ¿Cuántos kilómetros recorrió en la semana?
Solución
Los valores se escriben en forma de suma horizontal, relacionando las cantidades
.necesarias; en este caso se escribe una operación aritmética que indique el
recorrido en cada uno de los días de la semana.
16+37 +3(16) + 3; +(16+ 3 7
2
J
= 16 + 37 +48 + 18.5 +(16 + 18.5)
= 16 + 37 + 48 + 18.5 + 16 + 18.5
= 154
El recorrido fue de 154 km.
Grupo 1.13
Resolver los siguientes problemas.
l. Dos autos van en el mismo sentido por una carretera. Uno de ellos ha
recorrido 70 kmy el otro, 55 km. ¿A qué distancia se halla uno del otro?
2. En cierto lugar, el termómetro tnatca 30' C, yen otro, 10° C. ¿Cuál es la
diferencia de temperatura entre ·ambos lugares?
3. Un aeroplano, cuya velocidad es de 60 mIs, sin corrientes contrarias,
vuela contra un viento de 15 mis. ¿Cuánto adelauta por segundo? ¿Cuánto
avanza por hora?
4. Decir si los números siguientes son iguales o simétricos: +10 Y + 10,
+15 Y-15, - 5 y-S, - 8 y - 6
5. Un buque, cuya velocidad es de 36 km/h en agua tranquila, remonta
una corriente de 9.5 km/h. ¿Cuánto recorre por hora?
6. ¿Qué diferencia de nivel hay entre el fondo de un pozo a 350 m y lo alto
de una torre de 275 m de altura?
54 • Matemáticas J
- 7. ¿Qué edad tenía un hombre que nació el año 66 aC y murió el año 1 dC?
8. El elevador de una mina baja a razón de 3 mis. ¿Dónde se 10caI"zará,
con respecto al nivel de la estación, a los 12 s, a los 40 s y al minuto?
9. Una persona compra en un centro comercial una calculadora que uesta
280 pesos cón un descuento del 35% y una camisa de 210 pesos e n un
descuento del 25%. Si el pago se realiza con un billete de 500 pesos, ¿c ánto
recibe de cambio?
Solución de problemas por el método de ensayo y error
Este método consiste en plantear el problema dado en términos aritméti os, y
para ello se siguen los pasos siguientes:
l. Se lee el enunciado del problema hasta comprender claramente la re ación
entre los datos.
2. Se identifican los valores conocidos (constantes) y aquellos qu son
desconocidos (variables); por lo general, ahí se encuentra la soluci' n del
problema.
3. Se escribe la expresión aritmética en forma horizontal, la cual, ad más,
debe relacionar los datos del problema utilizand, números reales.
4. En el caso de las constantes, se escriben los valores dados; en cu nto a
las variables, se asignan valores por tanteo, es decir, escribiendo el n ero
que a nuestro juicio sea la solución del problema.
5. Se realizan las operaciones en cada caso y se verifica la igualdad; i ésta
se comprueba, entonces el valor seleccionado es la solución del proble
Cuando se resuelve un conjunto de problemas aritméticos del mism
es posible generalizar la resolución a través de una sola expresión mate ática
llamada expresión algebraica, en la cual las cantidades que varí n se
representan mediante literales, y las que no varían se llaman constant s. Si
se desconoce el valor de una constante, se denomina parámetro.
Ejemplo 1
Para elegir al representante de un sindicato con 231 miembros se realiz' una
votación, cuyos resultados fueron los siguientes: Arturo Pérez obtuvo el oble
de votos que Ernesto Martinez, y Octavio Márquez, una tercera parte e los
que tuvo este último más 41 votos. ¿Quién será el representante sin ical?
¿Cuál es la expresión algebraica que generaliza el problema?
Solución
El profesor indicará a los alumnos cómo los valores se relacionan entr sí, y
pedirá que el alumno realice una operación aritmética que represe te el
problema, suponiendo un valor numérico. Si no cumple con el resu tado,
proponer otro valor, y así sucesivamente hasta lograr el resultado, indic ndo,
a manera de ejemplo, la primera operación, esto es:
Sistemas numéricos· 55
Ernesto Martínez Arturo Pérez
10
+
10
+
2(10)
20
Octavio M árquez
+ 10/3 + 41
+
44.333
~
~
23L
74.333 * 231 (no cumple)
Aquí el alumno deberá observar que el siguiente valor a proponer debe
incrementarse en forma considerable, aplicando los siguientes tanteos:
~
30 + 2(30) + 30/3 + 41
30+60+90/3 +41
~
231
161 *231 (no cumple)
35 +2(35)+35/3 +41 =231
35 + 70 + 52.66 ~ 157.66 * 231
42 + 2(42) + 42/3 + 41
42+84+55~
~
231
181*231
50 + 2(50) + 50/3 + 41
~
(no cumple)
(no cumple)
231
50 + 100 + 57.66 ~ 207.66 * 231 (no cumple)
55 + 2(55) + 55/3 +41
55 + 110 + 59.33
~
~
231
224.33 * 231 (no cumple)
57 + 2(57) + 57/3 +41
~
231
57 + 114 + 60 ~ 231 (sí cumple)
El valor que hace cumplir la igualdad es 57. Al realizar las operaciones
para cada candidato se observa que Ernesto Martínez obtiene 57 votos; Arturo
Pérez, 114, y Octavio Márquez, 60 votos.
I 2 D" 2 y : ;;0 ~
.
')
'.'
Solución
El representante sindical será Arturo Pérez, ya que tiene la mayor cantidad de
votos.
El profesor pedirá a los alumnos que asignen la li teral x a la variable de la
expresión aritmética, para determinar la expresión algebraica, también llamada
ecuación, que representa las condiciones del problema.
La ecuación será:
X+2X+[ ~+41J= 231
) '2
"
., .
Ejemplo 2
Después de recordar la definición de perímetro de un rectángulo, el docente
propondrá a los almnnos que, con base en la definición, establezcan las medidas
de los lados de un rectángulo, de manera que su perímetro sea de 100 cm.
} ["00 ;<,'
el
'1
'
56 • Maíemátieas 1
Solucióu
Los alumnos definirán la siguiente figura en su cuaderno.
Con base en esta figura, los estudiantes sugerirán valores utilizando el mé do
de ensayo y error, el cual se basa en tanteos para determinar los val res
deseados. En este caso se desea que la suma de los cuatro lados de la fi ura
sea 100 cm.
Así, cada alumno dará una respuesta corno las siguientes:
~
a) 20 + 20 + 30 + 30
100
b) 40 + 40 + 10 + 1O ~ 100
e) 15+35+
d)
15+35~
45+5+45+5~
lOO
100
e) 28 + 22 + 22 + 28
~
100
f) 14.5 + 14.5 + 35.5 + 35.5 ~ 100
g) 21.4 + 21.4 + 28.6 + 28.6
h) 9.1 + 9.1 + 40.9 + 40.9
i) 18+
18+32+32~
j) 1 + 49 + 1 + 49
~
~
~
100
100
lOO
100
Con estos resultados, el profesor solicitará a los alumno.s analizar las
cantidades y proponer otra forma de representar su operación; la idea es ue
lleguen a la representación siguiente:
a) 2(20) + 2(30)
~
100
b) 2(40) + 2(10)
~
100
e) 2(15) + 2(35)
~
100
d) 2(45) + 2(5) ~ lOO
~
e) 2(28) + 2(22)
100
fj 2(14.5) + 2(35.5) ~ 100
g) 2(21.4) + 2(28.6)
h)
~
2(9.1)+2(40.9)~
i) 2(18) + 2(32)
j) 2(1) + 2(49)
~
~
100
100
100
lOO
Sistemas numéricos· 57
Con estos resultados, el profesor los ordenará de menor a mayor,
obteniendo:
a) 2(1) + 2(49)
b)
~
100
2(9.1)+2(40.9)~100
e) 2(14.5) + 2(35.5)
d)
100
2(15)+2(35)~100
~
e) 2(18) + 2(32)
f) 2(20) + 2(30)
~
100
100
g) 2(21.4) + 2(28.6)
h) 2(28) + 2(22)
i)
~
~
~
100
100
2(40)+2(10)~100
j) 2(45) + 2(5)
~
100
El maestro pedirá que observen qué valores tienen variación y cuáles
permanecen constantes.
También explicará que una gran cantidad de operaciones para realizar el
mismo cálculo se pueden representar mediante Wla sola expresión, la cual se
conoce como expresión algebraica.
Así, si el primer valor entre paréntesis representa la longitud (a) del rectángulo
y el segundo, el ancho (b) del mismo, entonces la expresión es:
2a + 2b
~
100
o bien:
2(a+b)~IOO
que equivale a:
100 ~ 2(a + b)
Si el cálculo se desea extender para calcular el perímetro de cualquier
rectángulo, entonces la expresión es:
P~2(a+b)
que corresponde a la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo.
El conjunto de conceptos que permiten representar las expresiones
aritméticas mediante literales, números, símbolos de operación y símbolos de
agmpación, se denomina Algebra.
De esta manera, el Álgebra no sólo permite indicar la expresión algebraica
sino también determinar el valor de la literalUamada incógnita. (Más adelante
se tratará el tema de las ecuaciones.)
Grupo 1.14
Utilizando el método de ensayo y error plantear la expresión aritmética mediante
tanteos y hallar: a) la solución y b) la expresión algebraica de los siguientes
problemas.
58 • Matemáticas 1
l. Hallar las dimensiones de un terreno rectangular de 540 m de perím
si se sabe que la longitud excede a su ancho en 70 m.
2. Luis tiene el triple de dinero que Juan más 85 pesos. Si entre a os
tienen 249 pesos, ¿cuánto tiene cada uno?
3. En un corral hay borregos y pollos. Si en total se encuentran 48 cab zas
y 130 patas, ¿cuántos animales hay de cada tipo?
4. En una clase de baile la relación de alumnos con respecto al nÚlner de
alumnas es de 5 a 3. Si en la clase de música hay 12 alumnos, ¿cuántas al
as
se necesitan para que la relación sea recíproca a·la que tienen en la clas de
baile?
5. Las calificaciones de un alumno son 6.4 y 9.8. ¿Cuál debe se la
calificación del tercer examen para obtener un promedio de 8?
6. Una persona invierte 15000 pesos en un banco que paga el 4% an al.
¿ Cuántos años debe mantener la inversión para ganar un interés de 10 00
pesos?
7. Un banco paga el 15% de interés anuaL Si el señor Pérez invierte 7 00
pesos, ¿en cuánto tiempo tendrá 11 200 pesos?
8. ¿Qué tanto por ciento de descuento se concedió a un artículo c yo
precio original era de 2 900 pesos y su precio final de 1 595 pesos?
9. En una casa hay un tinaco con capacidad de 2 100 L de agua. Si se eja
una llave abierta, el agua se escapa a razón de 15 L por minuto. ¿Cu nto
tiempo se necesita para que el tinaco tenga la mitad de su contenido?
10. A la presentación de un espectáculo asistieron 600 personas. El cost de
los boletos para adulto es de 5 dólares, mientras que los niños pagaran 2 dól es.
Si la taquilla registró un ingreso de 2 400 dólares, ¿cuántos niños asistiera al
espectáculo?
RAZONES Y PROPORCIONES
Razón
Cuando se desea comparar dos cantidades de la misma especie es pos ble
hacerlo mediante la diferencia o por medio de un cociente.
En el primer caso, al resultado de la comparación se le conoce c mo
diferencia común (d) yen el segundo, como razón geométrica (r), la ual
simplemente se mencionará como razón.
Comparando las siguientes cantidades:
Ejemplo 1
300my 75 m
Diferencia común
d~300m-75
d~225
m
m
Sistemas numéricos· 59
La diferencia común es 225 m porque la primera cantidad excede en 225 m
a la segunda.
Razón geométrica
300m
75m
r~---
r~4
La razón es 4 porque la primera cantidad es el cuádruple de la segunda.
Ejemplo 2
l2kgy36kg
Diferencia común
d~
12 kg - 36kg
d~-24kg
La diferencia es - 24 kg porque la primera cantidad es menor en 24 kg que
la segunda.
Razón geométrica
12 kg
36 kg
r~--
1
y= -
3
La razón es 1/3 porque la primera cantidad es una tercera parte de la segunda.
Observar que al efectuar la comparación por diferencia el resultado tiene
unidades, puesto que al hacer la operación se busca qué tanto excede positiva
o negativamente una cantidad a la otra.
También obsérvese que al efectuar la comparación por cociente se efectúa
una división, con lo que las unidades se eliminan y la razón resultante es un
número sin unidades que indica cuántas veces es mayor o menor una cantidad
de la otra.
En este tema lo más importante es el concepto de razón.
Una razón es la comparación por cociente de dos cantidades
de la lnisma especie.
Si la primera cantidad se representa por a y la segunda por b, entonces una
razón se representa como a/b, donde el numerador se conoce como antecedente
y el denominador como consecuente; por lo tanto, la expresión se lee: a es a b,
y también se puede representar como acb.
60' Matemáticas J
Proporción
Hay muchos problemas en los que se pueden identificar dos ra ones
relacionadas entre sí; el concepto que peonite foonalizar esta relación e el de
proporción, que se define así:
I~!
Una proporción es la igualdad de dos razones geométricas.
I
Si a/b es la primera razón y c/d es la segunda razón, simbólicamen e una
proporción se representa de la siguiente manera:
y se puede leer de la siguiente manera: a es a b como e es a d.
En ocasiones la proporción también se representa en la foona siguie te:
Propiedad fundamental de las proporciones
4'
~Iiii,
En toda proporción el producto de los extremos equivale
al producto de los medios.
~·i.J5J7'"
Esto es, si a y d son los extremos, y b Y e los medios, entonces:
Esta propiedad se basa en el concepto de fracciones equivalentes, a que
los elementos de una fracción se pueden dividir o multiplicar por un ismo
número, sin alterar su resultado; por ejemplo:
3
4
15
20
150
200
75
100
Aquí los elementos de la fracción se multiplicaron por 5, luego el res Itado
se multiplicó por 10 Ypor último el resultado se dividió entre 2.
Al efectuar la división. en cada caso el resultado es 0.75, con lo eral se
comprueba que el resultado no se altera.
Sistemas numéricos· 61
Lo anterior lleva a concluir que no cualquier igualdad de razones
representa una proporción, ya que al efectuar la división, el resultado puede
ser diferente.
También se puede aplicar la propiedad fundamental de las proporciones
multiplicando los extremos y los medios en cada caso; por ejemplo, 3(20) =
4( 15), 15(200) = 20(150), 150(100) = 200(75), Yen cada operación se obtiene
el mismo resultado.
Un ejemplo de proporción es 5/8 = 35/56 porque se cumple la propiedad
fundamental de las proporciones, es decir, 5(56) = 8(35), Y en ambos casos el
resultado es 280.
La expresión:
3
12
15
36
no es ejemplo de proporción porque no cumple con la propiedad fundamental
de las proporciones, esto es, 3(36) F 12(15), pues 3(36) = 108 Y 12(15) =
180.
Cuando se desconoce uno de los elementos de la proporción, éste se
puede calcular multiplicando la pareja de elementos conocidos, es decir, los
extremos o los medios, y dividiendo entre el elemento sobrante, lo cual significa
que si no se conoce un extremo, se multiplican los medios y se divide entre
el otro extremo, o si no se conoce un medio, se multiplican los extremos y se
divide entre el otro medio. En símbolos es lo siguiente:
Si no se conoce a de la expresión:
a
b
e
d'
entonces se utiliza la sigui'::"l!e expresión:
Si no se conoce c de la misma expresión, entonces se utiliza:
62 • Matemáticas J
Ejemplo 1
x
-- -
Ejemplo 2
25
-
7
Ejempl 3
2x-1
-
= --
3
=
-
a
a 12
3(12)=a a
8 200
200x =8(25)
15
75
7(75) =15(2x -1)
8(25)
x=-200
.. x=1
525 = 30x-15
al =36
525 + 15 = 30x
a=E6
540 = 30x
..
a=6
540
-::::::x
30
:. x = 18
Grupo 1.15
Hallar el valor del elemento desconocido en cada una de las sigui ntes
proporciones.
1450
x
11. -= x _. 27
3800 190
1. 10 90
x
146
12.
0.0035 0.0875
2. -11 -132
=
m
3.
5
13.
75
n
=-
-
6
4.
60
14.
83 - x
-13 58.5
1680
16
x
23
-- = -
~io
--
x-l
8
=
2J1O
-
5
x
-=-
5.
6.
m
4
=m
36
15.
2.5
16.
-
-
x+ 1
--
10
8.
9.
x
24
-
80
38
1
x-4
2
-- = -
15
-
9
10.
=
105
=-
m-l
3x
-- -
33
"
8~
2
10
x
7.
=-
3_1
17.
x+3
5
3~3
--
x
18.
4
=
2x+3
--
4
19.
0.08
5
4
20.
-
x
~
=
99
-
44
x
0.075
- - =- -
0.003
-
56
35
=
1.6
x+3
11.2
28
- - =--
Sistemas numéricos· 63
TIPOS DE PROPORCIONES
Las proporciones se pueden utilizar para resolver muchos problemas en donde
exista una variación entre cantidades de la misma especie y estén relacionadas
con otras dos cantidades que también sean de la misma especie.
Se pueden considerar básicamente dos tipos de proporciones: proporción
simple y proporción compuesta. Para los fines de este libro, sólo se abordan
las proporciones simples.
Las proporciones simples son de dos tipos: proporción simple directa y
proporción simple inversa.
Para saber el tipo de proporción que se aplica a cada problema es necesario
plantear los datos y hacer un análisis de ellos con base en su definición.
Proporción simple directa
Este tipo de proporción tiene la característica de que, mientras una cantidad
aumenta, la otra también aumenta, o mientras una cantidad disminuye, la otra
también disminuye.
Ejemplo 1
El estiramiento o elongación del resorte en un dinamómetro es directamente
proporcional al peso que soporta. Si al cargar 6 kg de metalla elongación es
de 9 cm, calcular la elongación del resorte si se deben soportar 15 kg.
,:9cm
,
:x
H"~
.5~
,
'
"".~
,4H
Obsérvese que en este problema se tienen dos pares de cantidades, de las
cuales una no se conoce, y representan, por lo tanto, dos razones (recordar la
definición de razón). Si se analiza su variabilidad es posible obtener una
proporción, esto es, a mayor peso, mayor elongación, como muestra la figura.
Planteamiento
Peso
Elongación
6 kg
9cm
15 kg
xcm
64 • Matemáticas 1
Razonamiento
Como 6 kg aumenta a 15 kg Y9 cm aumenta al valor buscado, x, la pro orción
es:
6
15
9
x
15(9)
x=-6
x = 22.5
Por lo tanto, la elongación es 22.5 cm.
Ejemplo 2
A" cierta hora del día una persona que mide 1.90 m de estatura proye· ta una
sombra de 45 cm de longitud. Hallar la altura de un edifició que en el ¡smo
instante proyecta una sombra de 13.5 m de longitud.
Solución
Observar la figura para visualizar con claridad los datos, así c mo la
cOluparación de luetros de altura con 111etros de lo.ngitud de sOlubra.
•
Planteamiento
Altura
Longitud
13.5 m
h
1.90 m
0.45 m
Aquí se observa que a mayor altura, mayor longitud; por lo ta to, la
proporción es la siguiente:
h
13.5
1.90
0.45
Sistemas numéricos' 65
h = 1.90(13.5)
0.45
Solución
El edificio mide 57 m de altura.
Proporción simple inversa
En este tipo de proporción, mientras una de las cantidades aumenta, la otra
disminuye, o cuando una cantidad disminuye, la otra aumenta.
Ejemplo 1
En una fábrica se producen 15 000 tomillos cuando trabajan cinco máquinas
durante 8 h. Hallar el tiempo que requieren llueve máquinas para obtener la
misma producción.
Solución
Observar que el dato de 15 000 tomillos no interviene en la proporción.
Planteamiento
5 máquinas
8h
9 máquinas
Ih
Aquí, mientras aumenta el número de máquinas, disminuye el tiempo en
producir 15 000 tomillos; por lo tanto, se invierte la segunda razón y la
proporción es:
Convirtiendo a horas y minutos (sistema
5 t
sexagesimal):
9 8
.'. t=4h26min
9t = 5(8)
9t = 40
t= 40
9
t= 4.44 h
Ejemplo 2
Un automóvil se desplaza a una velocidad promedio de 80 km/h y tarda 35 min
en ir del Distrito Federal a Texcoco. Si su regreso lo hace a una velocidad de
95 km/h, hallar el tiempo que tardará en llegar al DF.
Solución
Obsérvese que primero se deberá convertir el tiempo dado en minutos a horas,
mediante una proporción simple directa, puesto que a mayor número de horas,
mayor número de minutos, por lo tanto:
t
•
60
35
66 • Matemáticas 1
t = 0.583
Entonces, 35 min = 0.583 h.
Aqu'í podemos observar que a mayor velocidad, menor tiempo; por 1 tanto,
el planteamiento es el siguiente:
Ve/oeidad
Tiempo
0.5833 h.
80 kph
t h
95 kph
Por lo tanto, la proporción es:
80
95
0.5833
t = 80(0.5833)
95
t=0.49l2 h
t = 29.472 min
El tiempo de regreso es aproximadamente de 29.5 mino
Ejemplo 3
Un automóvil recorre 120 km al efectuar un viaje y le quedaron 25 L de g solina
en el tanque de combustible. Si sólo hubiera recorrido 80 km, ¿cuántos 1 ros de
combustible le habrían quedado?
Aquí se puede verificar que a mayor kilometraje recorrido, menor c ntidad
de combustible y viceversa. Por lo tanto, es una proporción simple inve sa y el
planteamiento es el siguiente:
Distancia
Combustible en tanque
120 km
25 L
80 km
xL
Proporción
120
-
80
x=
-
x
25
120(25)
80
x= 37.5
La cantidad de combustible que quedará es de 37.5 L.
Sistemas numéricos· 67
\/
Grupo 1.16
Resolver los siguientes problemas planteando los datos y la proporción e
indicando las operaciones y la solución.
1. Una persona adquiere 15 calculadoras por las que paga 1 650 pesos; si
otra persona compra 21 de las mismas calculadoras, hallar la cantidad que
deberá pagar.
2. Una máquina produce 2 100 tomillos en 6 h; ¿cuánto tiempo tardará en
producir 5 000 tornillos?
3. Un móvil tarda 9 s en recorrer cierta distancia viajando a una velocidad
de 250 mJs; hallar la velocidad a la que deberá viajar para reCorrer la misma
distancia en 4.5 s.
4. Una persona recibe 450 pesos de interés después de seis meSes por
invertir cierta cantidad de dinero en un banco. Hallar el interés que recibiría si
dicha cantidad hubiera permanecido 10 meses invertida.
5. Ocho personas realizan un trabajo en 7 h 40 mino Hallar el tiempo que
tardarán en realizar el mismo trabajo si los ayudan otras cinco personas.
6. Una alberca se puede vaciar en 3 h si se utilizan dos llaves abiertas;
¿cuánto tiempo tardará el vaciado si se utilizan cinco llaves?
7. En una escuela de 2 000 alumnos, cuatro de cada cinco estudian Matemáticas, ¿cuántos alumnos estudian Matemáticas?
8. El auto de un promotor promedia 15 km/L. ¿Cuánto costará la gasolina
para un viaje de I 000 km, si su precio es de 2.50 pesos por litro?
9. La Ley de Ohm establece que la intensidad de corriente en un circuito
disminuye cuando aumenta la resistencia sin variar el voltaje. Si en un circuito
circula una corriente de 2 amperes con una resistencia de 10 ohms, hallar la
corriente, 1, que circularía si la resistencia, R, fuera de 25 ohms.
10. Si el perímetro de un cuadrado es de 32 m cuando su lado mide 8 m,
hallar el perímetro de otro cuadrado que tiene 25 m de lado.
11. En una mina se encontró que al extraer 8 t de mineral de hierro se
producen 5 t de hierro en lingote. HalJar la cantidad de mineral que se necesita
para obtener 70 t de hierro en lingote.
12. Cuatro estudiantes rentan un auto durante ocho días. Si el costo por
estudiante fue de 150 pesos, hallar la cantidad a pagar por cada uno si el auto
lo rentan tres estudiantes.
13. Si a un circuito se le aplica un voltaje de 115 volts y por él circula una
corriente de 6 amperes, hallar el voltaje que se deberá aplicar para que puedan
circular 2 amperes de corriente.
14. Un alambre de 3 cm de diámetro tiene una resistencia de 15 ohms. HaJlar
la resistencia que tendrá un trozo de alambre de igual longitud, pero de 2 cm de
diámetro si la resistencia varía inversamente con el cuadrado del diámetro.
15. A~uro y José están sentados en los extremos de un balancín de 8 m de
longitud. Si Artnro pesa 52 kg Y José, 48 kg, hallar el punto de apoyo para
equilibrar el balancín.
68 • Matemáticas 1
16. Un ascensor hidráulico necesita 10 kg de presión para levantar u peso
de 2.3 t. ¿Qué presión se necesita para levantar 1 200 kg?
17. Si una pulgada equivale a 2.54 cm, ¿cuántos centímetros hahrá en 15
pulgadas?
18. Si una hora equivale a 60 min, ¿cuántas horas equivalen a 300
19. Si en un cajón de archivero de 40 cm de longitud se pueden aco odar
800 tarjetas, haHar la longitud que deberá tener un cajón en el ue se
desean acomodar 3 000 tarjetas.
20. Una herramienta que pesa 12.5 kg hace que el resorte de un dinamo etro
tenga una elongación de 4.2 cm; hallar la elongación del dinamómetro c otro
objeto que pese 41.6 kg. (La elongación es la longitud que alcanza un m terial
cuando se somete a estiramiento.)
TANTO POR CIENTO (%)
Existen muchos problemas en los que se utiliza el tanto por ciento; algu os de
ellos son:
• El aumento de un producto o servicio.
• El descuento que se aplica a ciertos productos en una tienda.
• El pago a los vendedores por concepto de comisión.
• El descuento por servicios médicos a los empleados de una empre a.
• El pago de intereses a los inversionistas de un banco.
• El impuesto al valor agregado (IVAl de los productos.
• La tolerancia que se da en el diseño de los productos.
Esto hace necesario saber cómo plantear los datos para estable r la
proporción. Por lo general, en un planteamiento de este tipo se consider n las
siguientes cantidades:
T = cantidad total que corresponde al 100% o cantidad de referencia
p
=
porcentaje.
n = tanto por ciento.
El fonnato general es el siguiente:
T
.....¿
100%
p
.....¿
n%
El tanto por ciento de una cantidad se define como el número considc ado
de umdades de cada cien de dicha cantidad se ¡;
,
el tanto por ciento es tma aplic .. d I ' Y
e~resenta con el slmbol o %.
aClOn
e a proporClOn simple dj¡ecta,
'
Sistemas numericos • 69
Ejemplos
a) El 15% de 100 es 15, porque hay un ciento (15 X 1 = 15).
b) El 12% de 300 es 36 porque hay tres veces cien (12 X 3 = 36).
e) E13% de 800 es 24 porque hay ocho veces cien (3 X 8 = 24).
d) El 75% de 2000 es 1500 porque hay veinte cientos (75 X 20 = 1 500).
Pero en general no siempre la cantidad tiene centenas completas; en ese
caso se utiliza la proporción simple directa.
Ejemplo 2
Calcular el 5% de 3 200.
Ejemplo 1
Calcular el 14% de 680.
680 -> 100%
x->5%
x -> 14%
3200 -> 100%
680
x __
3 2_0___
0(--'.5)
100
--=x
14
lOO
= 3 200(0.05)
x = _6_80-,(_14-,-)
:. x= 160
lOO
= 680(0. 14)
:. x= 95.2
Observar que para calcular el tanto por ciento de una cantidad, ésta se
multiplica por el tanto por ciento dividido entre cien. En los problemas de tanto
por ciento siempre hay una cantidad de referencia qne corresponde al 100%,
y como es una proporción simple directa, entonces la incógnita podrá ser alguna
de las tres cantidades restantes; es decir, el tanto por ciento (n), el porcentaje
(P) o la propia cantidad de referencia (1).
Ejemplo 3
Hallar el 25% de 3 200.
3200 -> 100%
x-> 25%
3200(25)
Ejemplo 4
Si 520 es el30% de una cantidad, hallar
esa cantidad.
x -> 100%
520 -> 30%
x=---
100
=
3 200(0.25)
:. x= 800
x
= _52_0-,(_10_0-,-)
30
52(100)
3
:. x= 1 733.33
70 • Matemáticas 1
Ejemplo 5
¿Qué tanto por ciento es 130 de 2 600?
2 600 --> 100%
Ejemplo 6
Hallar el 180% de 290.
290 --> 100%
x --> 180"10
130 --> x
x
130(100)
2600
130
26
:. x~ 5%
65
13
x
~
:.
290(180)
lOO
29(18)
x~522
Grupo 1.17
Hallar lo que se pide en cada caso.
1. Calcular el 14% de 8 650.
2. Ha!lar el 2% de 930.
3. Si 350 es el 25% de una cantidad, ¿cuál es la cantidad?
4. ¿Qué tanto por ciento es 75 de I 500?
5. Ha!lar el 120% de 95.
6. Si 100 es el 0.5% de una cantidad, ¿cuál es la cantidad?
7. ¿Qué tanto por ciento es 340 de I OOO?
8. Hallar el 40% de 35 600.
9. Ha!lar el 7.5% de 5 800.
lO. ¿Qué tanto por ciento es 840 de 378?
11. Ha!lar el 145% de 5 380.
12. ¿Qué tanto por ciento es 475.2 de 3 480?
13. Ha!lar el 0.045% de I 600 000.
14. ¿Qué tanto por ciento es 0.95 de 380?
15. Si I 590 es el 250% de una cantidad, hallar esa cantidad.
16. Ha!lar el 0.2% de 3 800000.
17. Si 58 es el 0.7% de cierta cantidad, hallar esa cantidad.
18. Si 4500 representa el 120% de una cantidad, ha!lar esa cantidad.
19. Hallar el 0.25% de l 500000.
20. ¿Qué porcentaje es 580 de 3 200?
Grupo 1.18
Resolver los siguientes problemas de tanto por ciento.
1. Una persona compró un televisor con un descuento del 8%. Si su pr cio
de lista es de 2 600 pesos, ¿cuánto pagó por el aparato?
t
t
Sistemas numéricos· 71
f
f
2. Un alumno que terminó el nivel de bachillerato aprobó en curso normal 42
asignaturas que representan el 87.5%, ¿cuántas asignaturas tiene el
bachillerato?
3. Una persona invierte 5 000 pesos durante un año en un banco que le paga
el 17% de interés anual, ¿cuánto recibirá?
4. Un agricultor tiene una cosecha de 650 kg de frijol. Si vende el 80% y el
resto es para su consumo familiar, ¿cuánto frijol reserva para su consumo?
5. Una persona compra una casa en 130 000 pesos y tiempo después la
vende en 150 000 pesos, ¿qué tanto por ciento obtuvo de beneficio?
6. Un empleaoo reserva el 20% de su sueldo para gastos de diversión de la
familia y e130% para alimentación. Si su sueldo es de 6 500 pesos mensuales,
hallar la cantidad que dedica a cada rubro, así como la cantidad que le resta.
7. Si el 12% del mineral que se saCa de una mina es hierro, hallar la cantidad
de este metal quc sc puede obtener de 2.5 t de mine1 al.
8. Una persona compra un automóvil que luego vende en 15 000 pesos y
obtiénc un beneficio del 16%, ¿cuánto le costó?, ¿cuánto ganó?
9. Una empresa obtuvo una ganancia de 2 300 000 pesos en este año y
distribuye el 35% como reparto de utilidades entre sus 854 obreros. ¿Qué
cantidad recibe cada uno?
lO. Un vendedor tiene un sueldo base de I 200 pesos semanales y recibe
una comisión del 2.5% sobre el costo de artículo vendido. Si vende tres
televisores con un costo de 6 200 pesos cada uno y dos modulares de 7 800
pesos cada uno, ¿qué incentivo recibe por la venta?, ¿qué sueldo total obtuvo?
11. Una persona tiene un sueldo de 4 350 pesos mensuales y también le pagan
un incentivo del 7% de su sueldo por concepto de eficiencia, pero le aplican un
descuento del 5% por servicio médico y otro deI4.5% por impuesto del trabajo.
Hallar la cantidad o sueldo líquido que recibe.
12. El año pasado el costo de una enciclopedia era de 3 200 pesos; este año
dicho costo se incrementó a 4 700 pesos, ¿qué tanto por ciento se incrementó
la enciclopedia?
13. Un ahorrador invierte 11 400 pesos en un banco. Si después de un año
recibe 12 312 pesos, ¿qué tasa de interés le pagó el banco"
14. Un servicio tuvo un incremento en su costo del 140% y actualmente
cuesta 680 pesos. ¿Cuál era su precio antes del aumento?
15. Una familia paga 1 160 pesos mensuales de renta. Hallar el ingreso
familiar si la renta representa el 25% de dicho ingreso.
72 • Matemáticas f
EVALUACIÓN PARA EL CAPÍTULO 1
I. Escribe en la línea la palabra que conteste correctamente cada una de las
siguientes expresiones.
l. El sistema de numeración basado en puntos y rayas fue de la
cultura- - 2. El sistema de numeración indoarábigo se basa en _ _ _ _ _ __
símbolos llamados dígitos.
3. El conjunto de los números _________ es el que
contiene al conjunto de los números naturales.
4. El conjunto de los números racionales lo constituyen los números
que se pueden representar como el
de dos
números enteros.
5. Los números __________ son aquellos números reales
que no son racionales.
6. Un número racional en su forma decimal puede tener una de las
formas siguientes:
y _________
7. El número de dígitos que hay en el periodo del número 6.94545 ... , es
8. La propiedad _ _.,-:-;-_ _---;-_.,-----,---;-_-;:-_ _ _ para
la _-:-_ _ _ _ _ _ _ indica que el orden de los factores no altera
el producto.
9. En la operación 8(x + 6) = 8x + 48 se aplicó la propiedad,_ _ _ __
10. De dos números negativos, el que está a la derecha es _ _ _ _ __
11. El paréntesis, el corchete y la llave se llaman simbolos de_ _ _ __
12. Una _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ es la igualdad de dos razones
geométricas.
13. En toda _ _ _ _--'--_ _ _ _ _ _ _ _ _ , el producto de
los
equivale al producto de los medios.
14. En una proporción simple inversa, mientras aumenta una cantidad,
la otra _ _ _ _ _ _ __
15. La expresión 12% equivale a _____________ o
ll. Convierte los siguientes números decimales a su forma de cociente.
16. 8.64 =
. Astemas numéricos· 73
17.
0.39 ~
18. 1.075 =
19.
IIl.
3.58=
Efectúa las siguientes operaciones.
20.
14- 5[13+4(9- 8+2)]=
21. (48+ 12)(3)- (15- 8+3)(1-13 +8)=
22.
¡-H~J(_l;J=
23.
(¡-~J(l-~J=
24.
2
7
4+-3
9-4
25.
3.6 +0.8 (5 -1.2 + 0.125) =
IV. Resuelve los siguientes problemas.
26. El peso de un libro está en función del número de hojas. Si un libro
de 940 hojas pesa 1.4 kg, hallar el peso de un libro del mismo material que
tiene 280 hojas.
27. Una compañía descuenta a sus empleados cierta cantidad de su
sueldo por cada día que faltan a su trabajo. Si uno de ellosJaltó dos veces
en el mes y tuvo un sueldo de 5 400 pesos, considerando que todos ganan
lo mismo, hallar el sueldo de otro empleado que faltó tres veces.
28. Una compañía invierte el 24% de sus ganancias en materias primas;
si este mes obtuvo 1.2 millones de pesos como ganancia, ¿cuánto gastará
en la compra de su materia prima?
2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Y OPERACIONES
NOTACIÓN Y EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El Álgebra es la parte de las Matemáticas que estudia los conceptos aritméticos, pero expresados en fonna generalizada, por lo cual es más fácil comprender y analizar situaciones que incluyen variabilidad.
El estudiante debe comprender que toda literal utilizada en Matemáticas
representa un número, sólo que no se indica su valor; así por ejemplo, si se
desea representar un número cualquiera, puede utilizar x; dos números consecutivos, x, x + 1 Y no x + y. Más adelante se abundará en este tema.
En el concepto de proporción, visto en el capítulo 1, se estableció que algunas
cantidades varían en fonna directa o en fonna inversa con respecto a otras; por
ejemplo, la velocidad de un automóvil es directamente proporcional al desplazamiento (a mayor velocidad mayor distancia y viceversa), e inversamente proporcional al tiempo (a mayor velocidad menor tiempo y viceversa).
Recordar que para hallar la velocidad (v) de un móvil se divide la distancia
recorrida (d) entre el tiempo (t), por lo que la fónnula es:
d
t
Si el tiempo (t) se considera constante y de 2, entonces la fórmula para
calcular la velocidad a diferentes distancias es:
v::::-
d
v:::::-
2
La siguiente tabla muestra los resultados de calcular la velocidad en kph
para las distancias recorridas de 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180 y 200
kilómetros.
d 20 40 60
v 10 20 30
75
76 • Matemáticas 1
En la tabla se observa que a mayor distancia por recorrer, se requier mayor velocidad del automóvil; por lo tanto, la velocidad es directamente pr porcional a la distancia recorrida.
Si la distancia (d) recorrida ahora es de 200 km como constante, la fó ula
para calcular el tiempo es:
200
t=-
v
Para el automóvil que se desplaza a una velocidad de 10, 20, 30, 40, 5 ,60,
70, 80, 90 Y 100 kph, el tiempo calculado se muestra en la siguiente tab a:
En la tabla se muestra que a mayor velocidad, se requiere menor tiem
recorrido, por lo que la velocidad es inversamente proporcional con respe
tiempo.
Esta variación se puede representar mediante literales, que es lo que
sentido de generalización a la Aritmética, y se dice que entramos al ámbi
Álgebra.
Si la velocidad se representa por la distancia recortida por d, y el tiemp
t, se pueden representar las variaciones anteriores de la siguiente forma
o de
to al
e da
del
por
d
v=-
t
Se dice que ésta es una expresión algebraica porque se represent por
literales.
Observar que la velocidad es directamente proporcional al numerador (distancia) e inversamente proporcional al denominador (tiempo).
Si consideramos otra fórmula, por ejemplo para calcular el área (A) e un
rectángulo, donde la base es b y la altura es h, tenemos:
A=bxh
Se puede afirmar que el área es directamente proporcional a la base a la
altura porque ambas dimensiones están en el numerador de la expresi' n (el
denominador es uno).
Si se despeja la altura, la fórmula es: h = A
b
Aquí, la altura es directamente proporcional al área e inversamente pr porcional a la base.
Al despejar la base de la fónnulaA = b x h, ¿cómo varían la base y el . rea?,
¿cómo varían la base y la altura?
Cualquier expresión matemática que contenga literales se llama expr sión
algebraica, muchas de ellas muy conocidas y utilizadas; también se ca ocen
como fórmulas. Otros ejemplos serían:
Expresiones algebraicas y operaciones' 77
Fórmula del área de un círculo: A ~ 1t. 1'2
Fórmula de la distancia que alcanza un proyectil que se lanza en tiro
parabólico:
1 2
h ~ vot +-at
2
Fórmula del interés compuesto: S ~ C(l + i)"
Fórmula del perímetro de un rectángulo: P ~ 2(a + b) o P ~ 2a + 2b
Fórmula para calcular la resistencia total de un circuito conectado en serie:
RT~Rl+R2+R3+···+Rn
Otras fórmulas no tan conocidas en particular provienen de la traducción de
algún problema dado en lenguaje común; por ejemplo: el perímetro de un terreno rectangular es de 1 14 m; si la longitud excede en 27m a su ancho, hallar las
dimensiones del terreno.
Solución: Si el ancho es x, entonces la longitud está dada por x + 27, pero
si el perímetro es de 114 m, al sustitnir los datos en la fónnula correspondiente
se obtiene el modelo matemático o expresión algebraica que representa al
problema, es decir:
114 ~ 2x + 2(x + 27)
En general, una expresión algebraica incluye literales, las cuales en Matemáticas se consideran como números no conocidos, y en el caso específico
de las ecuaciones, incógnitas.
Una expresión algebraica también puede ser:
6x2 -2xy+si ~
Esta expresión puede tener un valor nunlérico asignando valores a las literales.
Si x ~ 3 y Y ~ 7, el valor numérico de la expresión es:
6(3)2 - 2(3) (7) + 5(7)3
Si x
= -
~
6(9) - 42 + 5(343)
=
1 727
8 y Y = 1, el valor numérico es:
6(-8)2 - 2(-8) (1) + 5(1)3 = 384 + 16 + S = 40S
Definición
El Álgebra es la parte de las Matemáticas donde se generaliza la
Aritmética mediante expresiones que pueden representarse por símbolos numéricos, literales, de agrupación y de operación, que se utilizan
para plantear y representar algún problema en particular.
"",.-"",.-"",.-"",.--':7
Término algebraico
Es la expresión algebraica que comprende los siguientes elementos: signo,
coeficiente, base y exponente. Por ejemplo, en el término - 8x 3, el signo es
negativo; el coeficiente, - 8; la parte literal, x, y el exponente, 3.
78 • Matemáticas 1
Grupo 2.1
Llenar la siguiente tabla con los elementos que corresponden a cada térjnino.
7
-x
4
-y
m
Una expresión algebraica se puede integrar por uno o más términps, por
ejemplo:
2."-x_+,,,3y,c::.
5x 3 + 2 xy 4 - 3(4 -x 2) +12 =
7
Esta expresión tiene cinco términos, donde el último se denomina '¡"-m;n"
independiente por carecer de parte literal y, por consiguiente, de eXIPojtlerlte.
Toda la expresión relacionada con la Matemática que se utiliza
guaje común se puede traducir a lenguaje algebraico, es decir, reI)re,se~ltarpor
símbolos matemáticos. De hecho, antes de inventarse el Álgebra lOS propleoaas
y su proceso de solución se escribían, por lo que era muy dificil res:obrerllos.
Para traducir adecuadamente una expresión dada en lenguaje CUJlllU~1
guaje algebraico se considera lo siguiente:
1. Cuando en el enunciado aparece "un número", se interpreta
una expresión desconocida, por lo que se representa con una
2. Utilizar símbolos de agrupación al referirse a un producto.
3. Identificar el conectivo y, que indica la relación entre dos expt,:si(}nes mediante la operación que se mencione.
Ejemplo 1
El triple de un número menos ocho, más el cuadrado del mismo.
Expresiones algebraicas y operaciones' 79
Solución
Si x es el número, entonces la expresión es:
3x-8+x 2
Ejemplo 2
El producto de dos números positivos impares consecutivos equivale a 99.
Solución
Si x es cualquier número, éste puede ser par o impar; si lo multiplicamos por
dos, entonces debe resultar un número par, esto es, 2x; por lo tanto, si ahora se
suma la unidad, entonces ya es un número impar, 2x + 1, Y el número consecuti vo a éste será 2x + 3, por lo que la expresión es:
(2x+l) (2x+3)=99
Ejemplo 3
El cociente de dos números equivale a una tercera parte del numerador, menos el denominador más tres.
Solución
Como aquí se trata de dos números, se utilizan dos literales, x y y; la expresión es:
x
x
- -- y+3
Y
3
Ejemplo 4
El cociente de un número y su consecutivo equivalen al triple del numerador
menos 15.
Solución
Si un número es x, entonces su consecutivo es x + 1, por lo que el modelo
matemático es:
x
-=3x-15
x+1
Grupo 2.2
Traducir al lenguaje algebraico, con las literales x, y y z, las siguientes expresiones dadas en lenguaje común.
1. Un número más uno.
2. El triple de un número menos seis.
3. El cuadrado de un número menos el triple del mismo.
4. La diferencia del cubo de un número y ocho.
5. El producto de un número y su consecutivo.
6. El cociente del doble de un número y diez, menos el cuádruple del mismo.
7. El triple de un número menos siete equivale a su cuadrado.
8. El cuadrado de la suma de dos números equivale al primero menos nueve.
80 • Matemáticas 1
9. El producto de la suma de un número y dos, con la diferencia del n' ero
y seis, equivale a uno.
10. El cociente del triple de un número y su consecutivo equivale al do le del
mismo menos cinco.
11. La suma del cuadrado de tres números enteros consecutivos equivale a 302.
12. Un número más ocho equivale a uno, menos el cuadrado del nú ero.
13. La suma de tres números equivale al producto de los dos primeros ás el
doble del tercero, menos doce.
14. La suma del cuadrado de dos números equivale al doble del primero
IS. El cuadrado de un número menos nueve equivale a otro número.
16. El cubo de un número más seis equivale a ocho, menos dos terc os del
número.
17. El cociente de un número y el cuadrado de su consecutivo equiv le a la
mitad del número menos 20.
18. La diferencia del cuadrado de dos números equivale a cuatro m nos el
doble del cuadrado del minuendo.
19. El triple de un número más diez veces otro número equivale a IS
20. Un número equivale al cuadrado del consecutivo de otro número
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se clasifican con base en el número de té
yen el máximo exponente, también llamado grado máximo.
!nos
Clasificación de las expresiones algebraicas
con base en el número de términos
a) Monomio. Es la expresión algebraica constituida por un término
Ejemplos
2
4
6m n
3
3xy ,-9a, -S-, -4(x -1)
b) Polinomio. Es la expresión algebraica que constituyen dos o más t'
Ejemplos
2
Sx +4y, a 2 -3a +2, 4x 3 +Sx -7x-lO, a +b -3c+4d-3
Los polinomios que frecuentemente se utilizan son los siguientes:
Binomio. Expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos
x 2 - y 2 , m 3 -1,3a 2 -6x
mos.
Expresiones algebraicas y operaciones· 81
Trinomio. Expresión algebraica con tres ténninos.
Ejemplos
3x 2 - 2x + 10, 5mn 2 + 2m 2n 2 - 7m 2n
Clasificación de las expresiones algebraicas
con base en el máximo exponente
Se dice que una expresión es de primer grado si su máximo exponente es
uno; de segundo grado si dicho exponente es dos; de tercer grado si el
exponente es tres, y así sucesivamente.
Ejemplos
1. Expresiones algebraicas de primer grado.
3
5x,4a-7b, 6+-m-3.8n
2
2. Expresiones algebraicasde segundo grado.
15m 2 , 4x2 -9, 6x2 -5x-21
3. Expresiones algebraicas de tercer grado.
a 3 , 27m 3 -1, 6x 3 +3x 2 +12x-35
Si las expresiones tienen más de una literal en algunos de sus ténninos,
podemos referimos a una de ellas o al grado absoluto, que es la suma de
exponentes en un mismo ténnino que resulte ser mayor. Ejemplo:
3x 2y+ 7x2y2 - 5x 4 +2xi - i =
Esta expresión es de cuarto grado con respecto a x, de sexto grado con
respecto a y, y de séptimo grado absoluto, porque la suma de los exponentes
de las literales en el cuarto ténnino es siete.
Definición
Términos semejantes. Dos o más ténninos son semejantes si tienen
la misma base y el mismo exponente.
Ejemplos
7 2 y,7.3yx 2
6x 2y, -llx 2 y, -x
6
Definición
.
Reducción de ténninos semejantes. Para reducir dos o más ténninos
semejantes en mm expresión se suman algebraicamente sus coeficientes.
,
82 • Matemáticas 1
Ejemplo 1
4x-9y +7 -IOy- 2x-6-x+ y =
= 4x- 2x -x-9y - IOy+ y+7-6
= (4-2 -1)x+(-9-1O+I)y+ 1(7 - 6)
=
Ix + (-18)y + 1(1)
=x-18y+l
propiedad asociativa
propiedad distributiva
suma de coeficientes
resultado
Ejemplo 2
3(n 2 -2n+4) -(8+ 9n - 2n 2 )+4n 2 - S =
=3n 2 -6n+12-8-9n+2n 2 +4n 2 -S
2
2
2
= 3n + 2n +4n - 6n -9n + 12 - 8 - S
2
= (3 + 2 + 4)n +(-6 -9)n + 1(12 -8 - S)
= 9n
2
+ (-IS)n + 1(-1)
=9n 2 -1Sn-1
propiedad distributiva
propiedad asociativa
propiedad distributiva
suma de coeficientes
resultado
Ejemplo 3
2a -7b - [4a + S(3b + Se -6)] + 3[8(e - 2b - 3a + S) - 4b] =
= 2a -7b -[ 4a + ISb+ 2Sc- 30] + 3[ 8c -16b- 24a +40-4b]
= 2a -7b - 4a -ISb - 2Se + 30 + 24e -48b -na + 120-12b
= 2a - 4a -na -7b -ISb -48b-12b - 2Se + 24e + 30+ 120
= -74a- 82b-c + ISO
Cuando el estudiante haya adquirido cierta habilidad para manejar e as expresiones, puede prescindir de algunos pasos y realizarlas en menor tie po.
Grupo 2.3
Reducir las siguientes expresiones algebraicas.
1. 6x-3y+4(6x+4y)-(2y-x)=
2. S-3(8m-Sn+2)-6n+7(-2m)=
3. -(2a - 3b -lO) - S( 4b -7a) +8 =
4. 2(3x 3 -6)-9(x 3 -1)+3x 3 =
S. -[3a 2b+4(a 2 b+2ab 2 +S)]-7[-2ab 2 _(_a 2b)]=
6. -2(a-2b) +8( -a+2b)+ lOa =
7. S[3 + 2(7 xy + 2x - y + 8)]- 3[-(2-')7- 9x + 7Y -1) + 4xy] =
Expresiones algebraicas y operaciones· S3
S. -3{-2[-m -3(1- m - n) + 10m -lln + 1S]} + 2{2[2(2m + n)]} =
9. 4x 5 - 2(7x + x2 - 3x 3 ) + 7x 2 _(x 5 + x2 - x) =
3
lO. -2(a -Sb 3 +3)-6[2a 3 +S(7-2b 3 +1)]-3{-2[-4(3-a 3 +b 2 )]l =
11. 6x-3(9y-Sx+4)+2(1-3x-7y)=
12. -(Sm 2 +3n-S)+S(m 2 +3)-7n=
13. Sx 3 +2x 2 -2(S-x-2x 2 )+3(S-x 3 )=
14. 6[7a - 3(2a - Sb + 6) + S(S - 2a + 7b)]- 2(a - 2b) =
IS. 6x 2 + 2(x 3 + Sx2 + x-6) - 3(10 - x- x2 + x 3 ) =
16. 3ab +Sb -7ab + 3b -(7b - ab + 7c - Sb) + 2ab + ab =
17. -{4m - Sm 2 - 2[3- S(m 2 - 2m +6)]} + Sm 2 + 11m =
4
IS. 6x + 3x 2 + 2(7x +Sx 2 - 3x 4 ) +6(x 3 + x2 -3x) =
19. 4 - 2( -3a + 7b - Se) + 3(S - 3a + 2b + 7c) + 12 =
20. Smx + 3[7mx 2 + S(l11x+ 7 xm - 2mx2)] + S(mx 2 - 8mx) =
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
Cuando se efectúan operaciones de multiplicación, división y radicales
con términos algebraicos, gran parte de las operaciones se pueden reducir con las propiedades de los exponentes, que se basan en el manejo de
la potencia.
Definición
La potencia es una expresión matemática que comprende dos partes: base y exponente.
~~~"'"
La fonna simbólica de una potencia es la siguiente:
xm=x eX eX ... X,
'-----y---J
m veces
donde x es la base y m el exponente.
Para encontrar el resultado de una potencia, la base se multiplica por sí
misma el número de veces que lo indique el exponente.
• Cuando la base es positiva y el exponente par o impar, la potencia es
positiva.
• Cuando la base es negativa y el exponente par, la potencia es positiva.
• Cuando la base es negativa y el exponente impar, la potencia es negativa.
Expresiones algebraicas y operaciones· 85
Potencia con exponente cero
Esta potencia es el resultado de aplicar la división de dos potencias de la
misma base, cuyos exponentes son iguales; aquí el resultado será la misma
base con el exponente cero, lo que a su vez equivale a la unidad.
xm
O
si m =n => - = X =1
Xn
Ejemplos
6
3 = 30 = l
1.
36
5 12
2. _a_ = 5a O= 5(1) = 5
a 12
Potencia con exponente negativo
Esta potencia se obtiene al dividir dos potencias de la misma base, donde el
exponente del numerador es menor que el exponente del denominador. Una
potencia con exponente negativo representa una fracción.
Consideremos las potencias en base diez.
10 3 =1000
10
2
= 100
1
= lO
10
10°
=1
1O-1=0.1=~
10
10
10
-2
-3
1
1
=0.01=-=100 10 2
1
1
=0.001=--=1000 10 3
Se puede inferir que una potencia en base X con exponente negativo tiene
la siguiente expresión:
Expresiones algebraicas y operaciones' 87
25
9
Raíz enésima de una potencia con exponente igual a uno
La representación en forma de potencia de esta raíz es otra potencia cuya
base es el radicando, y el exponente es un número racional cuyo numerador es
la unidad y el denominador el índice del radical.
Ejemplos
I
1
-
2. ~m =m 6
Raíz enésima de una potencia
La potencia resultante de esta expresión tiene la base de la potencia del radicando con un exponente racional, cuyo numerador es el exponente de dicha
potencia y el denominador, el índice del radical.
Ejemplos
6
L
2.
V64=f6=2 3 =2 2 =4
i~~4
144 r;¡ 14
"\i81x =,3 x =-V3 4 o,x
4
4
=32 oxl
=3 2 ox 2 =9x 2
.
88 • Matemáticas 1
Muchas expresiones requieren dos o más propiedades para llegar a su reducción, por ejemplo:
L 3x 4x 3yxy2 = 3x xy3
2.
9 11
-5m n
-m 7 n 10
=
5_
m 2n
3. (_7)5( _7)2( _7)--4 ab -3 b 5 = (_7)3 ab 2
= -343ab 2
4.
5.
_2(x 3y 5)2x 4 y-9 z 2 =_2x 6 y lO x 4y-9 z 2
[x:~3
r
=_2x lO yz2
x -2 y -3
x
-4
x4
x2
= --=x2 y 3
y3
2
=-Sa
r
--4 2 -Se
c =-a4
646
=22x2y2 =2 3 x2 y 3 =8x2 y 3
3
-(3)4- 3 3 ~r3412-4
8 . 3m·
v 81 nm =m.~ nm
4/; 4!12 • "un
414
3
=3m e'J3 ·~\"n
=3m 3 _3n 3 em
=
9m 4 n 3
,--I
= 'ISa
I
-2
=-iS 2 b 4
= 5b 2
--
2 4
.5a b
.
Expresiones algebraicas y operaciones· 89
Grupo 2.4
Aplicando las propiedades de los exponentes, reducir las siguientes expresiones.
1. 5x 8xx 3 =
2 3
2. 6m (m )2
3.
8. 4x -3
9.
=
=
15.
28m 6
7m
10.
12x X
x5
=
3x
9
-2
2x-3
2
11. 20(5x- )-1
4. (_2y)2(_2y)3
5.
18m
=
=
17. 8x4y3x-Iy2
=
18. 36x\2x2 y 3) -1
6m 5n 2
12.
-2m 4n- 1
_6m 3
( 2y 2{'
16. -3(-3x- I )-1
=
3
32/4
19.
-16a 5
- 8a -2
4y6
3 16
20.
13. -14a- a- a =
l3i
2x 4 f l 6x 3
14. (2x 3;-2(2x-2)-3 =
3
6. 5x x -5 x2 =
2
7. _ lOa(3a )2 =
j=
Grupo 2.5
Reducir las siguientes expresiones con las propiedades de los exponentes.
9
!s4~2';;¡
. ~
2.
i
",16m
K
6m
I~
"
6
15 . '125m .'i81m
=
=
16.
~5x3 .~45x5 =
17.
~ 3x l0 (2x -2 )(2x -2)3
10.
~-
,-------
:
4. ")m 3n5mn- 1
J ,1'----
11.
'1 36yy
V----------·
18. ' 160m 2 (m- 3 )4 =
7
19.
3 4
5. 1i4(2x) =
~15x 7 • ~ 20x 3 ~3x2 =
,
i
2'
6 2
6. 5x 1)100x y
¡
3
1
8.
25x 7
-3 2
) =
r .---
3,',------
13. '\I64} .1i64x 18
=
1
7-
1I
\1
-
,----15
>','
20. IJ 72x. '\I8x
=
7. -14a .,49(a
=
1-4 3
14. 3(_2x 2 )4.,¡(X
)
1 1 024
=
90 • Matemáticas J
Grupo 2.6
Reducir las siguientes expresiones con las propiedades de los exponentes.
4
1. 6m nmn 2 =
11.
2 )=
2. -8x (-2x 3
-1
4.
-1O(x y)
5.
25m 6x 4y2
_5m 4 x 4
2=
(xy)
2
- =
13. -3m. 16mn 2m'
15.
r
=
I
I
3/ 27 (8 2)3
: 1
23. V
m
• I~-=
'v 4m 4
...
6 4
2 i7
24.
6y o3'x Y =
xy7
x3
~
,'------------ 4 1
22. 6(2m 3). ~ 25m - 8
7x 6y4
/
~25x4y-2
=
2
16. '¡9m 2n o'¡16m 8 n =
4(~ x~2J
ir""
17.
~12a5o~27a9 =
18.
~I 296y(x 2y)-1(x 3y2)2
19.
-r;;~5 o ¡42~~3- o ~ 8m~7
-3x( y)2
8. -7x-2
yz
=
10. [3
-x 5y -1
2
8a 3 y 4
~4a y
n
3(5x2y )-3 (5x2 y)4
(5x 2y)-1
,
14.
4(3m- 1)-l m 4
7.
-2m 2
20. ~135x6y =
21.
~
6. (-2x)( -2x 2 )\-2x)-2 =
8.
2=
~
I
12. ,9x6 y
3. 2(3a 2b)2 =
2
l:JlYx2n~J=
=
J(-xy J=
4
3
3
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Hay áreas del conocimiento como la Física, Química, Biología, etc., donde,
por la característica de algunos de sus temas, es necesario utilizar números
muy grandes o muy pequeños en las operaciones que implican sus conceptos,
por ej emp lo:
o La distancia de la Tierra al Sol es de 149597900 km aproximadamente.
• El ancho de cierta célula es de 0.00000035 cm.
o El diámetro de la Tierra es de 12 756 000 m.
• El número de estrellas en nuestra galaxia, la Vía Láctea, es de
100 000 000 000 aproximadamente.
• La distancia media de la Luna a la Tierra es de 374 000 000 m.
• El diámetro de un conductor en un microprocesador es de 0.0000000032 m.
Estos números se manejan de manera más sencilla si los representamos en
notación científica.
Expresiones algebraicas y operaciones· 91
Un número representado en notación científica tiene el siguiente formato:
axlO n
El factor a es un número que contiene una cifra entera, y n es el exponente
de la potencia en base diez.
Si no hay cifra entera en el número original, entonces n es negativo e igual
al número de cifras que se recorre el punto decimal a la derecha hasta después
de la primera cifra entera. Por ejemplo:
0.000000852 = 8.52 x 10-7
~
Si hay cifra entera en el número original, entonces n es positivo e igual al
número de cifras que se recorre el punto decimal a la izquierda hasta antes
de la primera cifra entera. Por ejemplo:
328500000 = 3.285 x 108
~
Así, la notación científica de los números mencionados es:
1. 149 597 900 = 1.495979 XI 0 8
2. 0.00000035 = 3.5X 10-7
3. 12756000 = 1.2756x 107
4. 100000000000= 1.0XIOll
5. 374000000 = 3.74XI08
6. 0.0000000032 = 3.2X 10-9
Para efectuar operaciones, los números se transforman a notación
científica y enseguida se aplican las propiedades de los exponentes que
Ejemplos
1. (25600000)(0.00000012)= 2.56x10 7 x 1.2 X 10-7
= 3.072xIO O
= 3.072
2.
690000000
6.9x10 8
23000
2.3x10 4
=3x10 4
= 30000
92 • Matemáticas 1
3. (5000 000)2(0.0000000032)=(5XI06 )2(3.2XIO-9 )
= 25 X 1012 X 3.2 X 10-9
=80x10 3
= 80 000
(0.00000000073) (54 600 000 000)
4.
0.000000000000146( 300000) 3
7.3xI0- 10 x5.46x101
1
1.46 XIO- \3 X10
5
r
7.3x5.46xIOO
1.46xlO- 13 x27xlO 15
39.858
=
39.42x10 2
= 1.01 I Ix 10-2
=0.0101
Grupo 2.7
Representar en notación científica los siguientes números:
4. 0.000000001 =
5. 1000000 =
6. 579000 =
1. 67 300 000 =
2. 43751000000 =
3. 0.0000035 =
Representar en notación real los siguientes números:
7. 6.3
8. 1.7
X
X
106 =
10- 11 =
9. 5.41 x 10-3 =
lO. 6.3 X 107 =
11. 1.2 x 10 1
12. 9.0 x 10
Efectuar con la notación científica las siguientes operaciones:
13. (83 000 000) (0.0000002) =
14. (0.000053) (32 000 000) (0.027) =
15. (0.000037)(111000000) =
16.
(0.000000548) -2
274(0.000000003)
17 .. (625 000 000) (0.00000087) =
18. 8000000(26000000)+(52000000000) =
19.
0.000000076
0.000000038
=
Expresiones algebraicas y operaciones· 93
20. 32000000+8000000(64 000 000+-16 000 000) =
21. ~121 000000(0.00086)=
22. (93 400 000)2 (0.000000000732) =
23.
(0.0000026) (0.000000013)-1 =
24. (0.000000235)2 • .JQ.0000000025 (78 000 000 000 000) =
25. (0.000135+-0.00027)3(25000) =
26.
~0.000000125~0.000064
=
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma, resta y multiplicación de polinomios
Para efectuar operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios, se
aplica el concepto de la operación de que se trate, indicando cada polinomio
entre símbolos de agrupación, se eliminan éstos mediante la propiedad
distributiva y se reducen los términos semejantes.
Ejemplo 1
Sumar 8x 3 +6x 2 - 3r, 7x 3 +4r, x2 -15x 3
Planteamiento de la suma:
2
(8x 3 +6x 2 - 3x) +(7x 3 +4x) +(x -15x 3) =
. Aplicación de la propiedad distributiva y reducción de términos semejantes:
= 8x 3 + 6x2 - 3x + 7x 3 + 4x + x2 -15x 3
= 8x 3 + 7x 3 -15x 3 +6x 2 +x2 -3x+4x
=Ox 3 +7x 2 +x
2
= 7x +x
En la resta se identifican el minuendo y el sustraendo para plantear adecuadamente la operación. Recordar que al minuendo se resta el sustraendo.
Ejemplo 2
De 10x4 - 3x2 + 5x - 9 restar 7x 3 - x2 + 5x + 3
AqUÍ, el minuendo es el primer polinomio y el sustraendo, el segundo.
Planteamiento de la resta:
(lOx 4 - 3x2 + 5x- 9) - (7x 3 - x2
+ 5x + 3) =
94 • Matemáticas J
Aplicación de la propiedad distributiva y reducción de los ténninos semejantes:
=IOx 4 _3x 2 +5x-9-7x 3 +x 2 -5x-3
= IOx 4 _7x 3 -3x 2 +x 2 +5x-5x-9-3
=
I Ox 4
-
7 x 3 - 2x2 - 12
Ejemplo 3
Restar
2
11 2
13
4ab --a b--a
3
5
Planteamiento de la resta:
Aplicación de la propiedad distributiva y reducción de ténninos sem .antes:
= ~ab2 +2a 2b --~a + 1- 4ab 2 + .1..l. a 2b +J2 a
2
3
lO
3
5
3 2
2 7 2 . II 2
I
13
=-ab -4ab +-a b-t--a b--a+-a+1
2
3
3
lO
5
=~ab2 -!!"ab 2 +2a2b+.1..l.a2b __
1 a+ 26 a+1
2
2
3
3
lO
lO
5 2 18 2
25
=--ab +-a b+-a+1
2
3
10
= _2ab 2 +6a 2b+ 2 a+ I
2
2
Ejemplo 4
Multiplicar los polinomios 2x2 - 5x y x2
Planteamiento de la multiplicación:
+ 7x -
10 .
(2x 2 - 5x) (x 2 + 7x-IO) =
Aplicación de la propiedad distributiva y reducción de ténninos sem jantes.
2
= 2x (x 2 + 7x-IO)-5x(x 2 + 7x-IO)
2
2
= 2x (x 2 ) + 2x (7x) + 2x 2(-IO) - 5x(x 2 ) - 5x(7x) - 5x( -lO)
= 2x4 + 14x 3 -20x 2 -5x 3 -35x 2 +50x
4
=2x +9x 3 -55x 2 +50x
Expresiones algebraicas y operaciones· 9S
Ejemplo 5
_~J(~x2
+sx-~I
= ~x3(~x2 +sx-~J-~(~x2 +Sx- ~J
( ~X3
S
3 2
3; ,S
2
3
32
3
9
s
4S 4
45 3
S 2
40
40
=-x +-x - - x --x ---x+10
S
IS
6
3
9
'9s
43424040
=-x +9x -3x --x - - x + 10
3
3
9
Grupo 2.8
Resolver la operación que se indica en cada caso,
L Sumar 7x 2 -4x-( x 2 +x, 3x-,-S
2, Restar Smn - 3m - 2 de 7 - mn - 3m
3, De
132 71
+6a --a+Srestar -a +óa +-a+2
4
2
3
S321
~a
,
4
232
42
4, Sumar 7ax -1 -ax -S 9-3a -ax +2a-x
'7
'7
2
l
6, Sumar Sm 4 +3n 3 -7m, m 3 +n 3 _m 4 +m, -7m 4 -4n 3 +Sm-4
7, De 3x 2 -Sx+9 restar x2 +6x-IO
S: Restar x 6 -7x 4 +2x 3 +Sx 2 +S de -Sx4+ 2x3+ x 2_2
9. Sumar 3-6a 2 +Sa 3 +3a s , a 4 +3a 3 - Sa 2 +8a - 3, aS +a 4 - Sa 3
3 2 1
3 S 2 1
7
2 29
11
10. Sumar -x +-x+- -x --x+- x - - x + 2
6
2' 4
S
2'
30
4
Grupo 2.9
Resolver las siguientes multiplicaciones.
1. (2x2)( - 3xy2) =
6. (x + 10) (x - S) =
2. (- Sm 3)(m 3 - 3m + 7) =
7. (x+3)(x 2 -3x+I)=
(Sa+3)(Sa-6)=
S. (2m+Sn)(m + n 2 -6mn) =
4. (3x+Sy) (3x-Sy) =
9. (3x + 2y2)(9x2 - 6xy2 + 4y) =
':),
S. (x2 - Sy)(x2 - Sy) =
lO. (2x + 7)(2x + 7) =
96 • Matemáticas 1
11. (x + y2)(X - y2) ~
12.
(2a-b)(4a
2
16. (8x - x 2)(x 2 - 2x
+ 2ab + b 2 )=
1) =
17. (4m - n3)(4m + n ) =
13. (1 - x)(x + 3x2) =
18. (x+I)(x 2 +2x+I)=
14. (x2 - 3x + 1)(x2 + 2x - 3) =
19. (a 2 - 6a - 1)(2 - 3 +a2)~
15. (x+2)(x-3)(x+3)=
20. (5 - 3m 2)(25 + 15 + m 4) =
También se pueden plantear diversos ejercicios simultáneamente, signando una literal a cada polinomio, como se muestra enseguida:
Si A = 5x2 -2x+3, B =x2 -9 y C = 6-3x, hallar:
a)A-(B+C)=
Sustituyendo cada polinomio por la literal respectiva:
2
(5x -2x+3)-[(x 2 -9)+(6-3x)] =5x 2 -2x+3-[x 2 -9+6
3x]
=5x 2 -2x+3-x 2 +9-6+ x
= 4x 2 +x+6
b) 2A+3B-5C=
=2(5x 2 - 2x +3) + 3(x 2 -9)- 5(6- 3x) =
= IOx 2 -4x+6+3x 2 - 27 -30+ 15x
=13x 2 +l1x-51
e) B-4(A-3C+B)=
2
2
= (x -9) -4[(5x - 2x + 3) - 3(6- 3x) + (x - 9)]
= x2 -9-4(5x 2 - 2x + 3-18+ 9x + x2 - 9)
= x2 - 9 - 20x 2 + 8x -12 + 72 - 36x - 4 x2
= -23x 2 - 28x + 87
36
Grupo 2.10
Resolver las operaciones indicadas en cada caso.
Si
A = x2 - 4,
B = x + 2 Y C = 1- 5x + 3x 2 , hallar:
1. A+B+C=
4. A+2(B-C
2. 2B+3C=
5. 3(C-2B)+5C=
3.
-(B+C)+2(A-C)=
2A)=
Expresiones algebraicas y operaciones • 97
Si
3
3
P=3a -2a+-
2'
S 2 I
4
3
Q=-a +-ay R=-a--,
2
4
3
S
6. 2P+4Q=
9.
7. P-3R=
lO.
hallar:
2Q+SR=
10(P+ R-Q) =
8. ISR+P-8Q=
C = 4-x+x 2,
Si A = x-I, B = x2 -9 y
hallar:
11. AB-C=
14. ABC=
12. 2B+AC=
IS. AC-3BC=
13. 3C + 2(S- BC)=
I
2
3
2
Si p=%m -4, Q=-m+2 y R=m -3m+-, hallar:
2
2
16. PQ-R=
22. R 2 =
18. Q(P-R)=
23. Q3=
24. 3(R-PQ)=
19. R_ Q 2=
2S. Q2_p=
20. PQR=
26. (P-Q)(P+Q) =
27. SP 2 =
17. PQ+3R=
21. 2Q-R=
División de polinomios
En la división hay tres casos:
a) División de monomio entre monomio.
b) División de polinomio entre monomio.
c) División de polinomio entre polinomio.
En los incisos a y b, la división se efectúa planteando la operación en forma
de cociente, y aplicando la reducción de potencias de la misma base, ya que
sólo se aplicará la segunda propiedad de los exponentes.
Ejemplo 1
Dividir
18m 4 n6 + 6m 2n 5
Indicando la operación en forma de cociente:
Ejemplo 2
Dividir
15
3 7
9
2 7
-xyz+-xy
4
2
98 • Matemáticas 1
15 3 7
-x y z
4
9 2 7
2(15) O
9(4) xy z
-x y
2
1(5)
=~-xz
3(2)
5
=-xz
6
Ejemplo 3
15m6 n 2 _9m 3n 3 +12m 4
6 2
ISm n
-3m 3
-3m 3
9m 3n 3
12m
-3m 3
-3m 3
4
---+~~
Este método no se utiliza para dividir un polinomio entre otro po inomio.
El procedimiento que se utiliza es el siguiente:
Ejemplo 4
Dividir
(4x 2 +6x-18)+(2x-3)=
Primero se plantea la división con el símbolo aritmético, y el divi endo se
escribe en forma descendente, dejando espacios en el dividendo par los términos cuyo exponente consecutivo no se encuentre; en este ejemplo s mnecesario dejar dichos espacios porque existen todos los términos.
2x-314x 2 +6x-18
El primer término del dividendo se divide entre el primer término el divisor, y el resultado es el primer término del cociente.
2x
2x-- 314x 2 +6x -18
Ahora se multiplica el valor hallado con los términos del divisor y cambiando el signo a los resultados, se anotan alineados con los términ s semejantes del dividendo.
2x
2x-314x 2 +6x-18
-4x 2 +6x
Expresiones algebraicas y operaciones • 99
Ensegnida se snman verticalmente los ténninos semejantes y se obtiene el
primer residuo.
2x
2x~314x2 +6x~18
~4x2 +6x
O+12x
Ahora el primer ténnino del dividendo, 12x, se divide entre el primer ténnino
del divisor, y el proceso continúa hasta llegar al último término del dividendo.
2x +"",6_ __
2x~314x2 +6x~18
~4x2 +6x
12x
~12x+
o
Ejemplo 5
Dividir (12m 5 ~23m3 ~24m)+(3m2 ~8)=
3m2~8Il2m5,
,~23m3,
+32m 3
~12m5
o
,~24m
+
m
~9m3
+24
O
Ejemplo 6
Dividir (8x 3 ~ 27i)+(2x~3y2) ~
2x~3lI8x3,
,
~8x3 +12x 2l
O
, ~27i
+ 12x2y2
~12x2l+18x/
O
+18xy4
~18x/ +27i
---~"--
O
18
100 • Matemáticas 1
Grupo 2.11
Resolver las siguientes divisiones:
1. (l2x 4 -24x 3 )+(l2x 3 )=
3
3 2
2 3
10. (12mn +%m n _6m n
)+(-¡
2. (20a 6b 4 )+(-lOa 5b)=
2
11. (x -16)+(x+4)=
3. (35+5m-70m 2 )+{5) =
12. (a 2 -IOa+25)+(a-5)=
6y3 2
6y2
4. (%x
)=
z )+(fx
13. (4m 2 +12mn+9n 2 )+(2m+3n)=
14. (x 2 +15x+54)+(x+9)=
5. (45x 4 -120x 6 +90x 8 )+(15x 4 )=
15. (l5m 2 +3Im-24)+(5m-3)=
6. (l2ab 2 +4Sa 2b-36ab)+(12ab)=
16. (x 4 -12x2 + 32) + (x 2 -S) =
7.
(~x3+~x2l-~X2y)+(~x2)=
lO
3
4
120
2
n )=
17. (l5a 3 _a 2 - 2a) + (3a + 1) =
IS. (27x 6 - y3)+(3x 2 - y) =
19. (l2x 4 -47x 2 +45)+(4x 2 -9)=
20. (IOx 2 y-45xy 2 +Sx 2 -36xy)+( x-9y)=
Grupo 2.12
~i A = 3x 3 + 29x 2 + 40x. B = 3x 2 + 5x y C
1. A+B=
2. A +C=
3. A-BC=
4. 2A+B=
Si F=3x+2y,
9. FH-G=
S. G+H=
lO. GH+F=
Si A = Sx
Y E
=
-
x + S, hallar:
5. BC-A
6. BC+A
G=9x2-4y2 yH=3x-2y, hallar:
7. G+F=
5
=
11. 3G+H
12.
32x + 125x 2 - 500,
3
4x 2 -1 Ox + 25, hallar:
13. A+B=
16. A.,.D=
19.
14. 2A+E·D=
17. E+D=
20. BC-A
15. C+D=
18. A+C=
Grupo 2.13
Los siguientes ejercicios, que tienen mayor grado de complejidad, pe
consolidar el aprendizaj e.
itirán
Expresiones algebraicas y operaciones • 101
327
2 577 2
1. Sumar -x +-x+2 x --x ---x
4
3
'
4'34
3
3
2. Sumar ax + 3bx2 - e, 2ax - 2bx 2 , 5e - bx2
3. De 2X" + 3ym +2x,,-1 restar x" + 2ym - 5x,,-1 + 3ym+l
1
5
2 1
4. Restar O.6x 3 + - x 2 - - de x 3
+ 1.6x
-3
2
2
. l'
3 2 7
3
1
4 2
5 . M u ItIp Icar r --x +-x+- por -x--x
4
2
5
3
3
6. Multiplicar 3x" + 2xn+ 2 por 5 - x2 + 3X"
3 4 +x 3 +-x
I 2 +-xenlre
1
2
· 'd'Ir -x
7 . D IVI
x 2 +-x
2
2
3
3
9. Dividir 2xm+n + IOx m+2 - 6xm + 3x2n + 15x n+2 - 9xn entre 2xm + 3xn
1 6n - 2 7v 9 entre -x
1 2n - 3 y 3
I O. D ·IVI'd'Ir -x
8
.
2
14. (x- y)(x+ y)(x 2 + /)(x 4 + y4) =
15.
(x 3 _ y3)(x+ y)2
(x+y)(x 2 +xy+/)
102 • Matemáticas I
EVALUACIÓN PARA EL CAPÍTULO 2
I. Escribir en el paréntesis f si la expresión es falsa, o v si la expr sión es
verdadera.
1.( ) Un término algebraico está constituido por una base y un ex nente.
2.( ) Una expresión algebraica de segundo grado tiene como áximo
exponente en su literal al número dos.
3.( ) Un trinomio es una expresión algebraica de tres términos.
4. ( ) El término independiente es aquel que aparece sin literal.
5. ( ) Dos términos semejantes son los que tienen la misma part literal
sin importar sus exponentes.
6. ( ) El resultado de una potencia con base negativa siempre ten rá signo negativo.
7. ( ) Al dividir potencias de la misma base, el resultado tiene c
o exponente a la diferencia del exponente del numerador y el ex onente
del denominador.
8. ( ) Cuando se calcula la raíz cúbica de una potencia con ex onente
múltiplo de tres, el exponente del resultado es un número e tero.
9. ( ) El resultado de una potencia con exponente cero siempre se á cero.
10. ( ) En la notación científica de un número real se utiliza una p tencia
de base diez.
Il. Reducir las siguientes expresiones mediante las propiedades de los exponentes.
11. 4x 6y 2(2x)-2
=
12. (_3m 2 )2(2m 2 ) =
18.
19. IOx.,! 4x 6 (2x)2
2 3 1
13. ab cb a- =
2
14. (6x y4).¡. (_2xy4) =
15. (3x -1)-2(3x -1)3(3x -1)-1 =
J 6.
17.
~ 8~6 =
20.
21.
31
=
6 4
6m.-Y27x m
~125x6y -3
~100x-4y-2
J2a4b~6c-l
-6a 5b-6c
~8JmlO =
22. ~5 832x 2y4(x 2 )-1
23.
(&2r[ -r
6x
2x
lIJ. Convertir a notación científica y resolver las siguientes operaci nes.
24. 0.000086 (0.00003)(580 000 000) =
=
Expresiones algebraicas y operaciones • 103
25.
0.000000099
0.0000275(0.009)
IV. Resolver con polinomios las siguientes operaciones.
x 2 -3y 2 ,
6xy+8i
27. De 3a 4 -2a 2 +7a-9 restar a 4 -2a 2 -7a-IO
28. Restar 4m 2 +15n 3 +7n 2 de m 2 +7n 2 +n 3 +6
29. Multiplicar (7x 2 -5y) (49x 4 +35x2y+2Sy2)=
30. Multiplicar (x 2 +7y)(x 2 -7y) =
31. Multiplicar (2x 2 + x) (x 2 - 5x + 3) =
32. Dividir 6x 2 - x -15"," 3x - 5
33. Dividir 4m 8 +32m 6 -3m 4 -19m 2 +40 ~ 4m 6 -3m 2 +5
34. Dividir 8a 3y 6 + 27x 3 "," 2ay2 + 3x
F
¿l matew!dtl¡GO tí'a:ncés;
""""'" eM La
¿l faUedó
f
EsroooLmo, Descartes
nombre •
ReMtus
f
Cartesrus¡ yJor iO
sistema filosófico so [lenomiM
cartesianol el sistema más
conlun sobre que se trazan
feywesentan
inventó,
3
PRODUCTOS Y COCIENTES
NOTABLES
En Matemáticas, con frecuencia hay operaciones de multiplicación o división
que reúnen características que permiten hallar el resultado de la operación
mediante alguna regla práctica (método corto). Dichas reglas se denominan
productos y cocientes notables.
PRODUCTOS NOTABLES
Producto de dos binomios conjugados
Para entender el concepto, desarrollemos las siguientes operaciones:
l. (5m - 6)(5m + 6) ~ 25m 2 + 30m - 30m - 36 ~ 25m 2 - 36
2. (3x- 1)(3x + 1) ~ 9x2 + 3x- 3x- 1 ~ 9x2 - 1
3. (2a4 + 5b)(2a4 - 5b) ~ 4a 8 - lOa 4b + lOa 4b - 25b 2 '" 4a 8 - 25b 2
El proceso para encontrar el resultado es semejante en los tres casos, es decir,
el segundo y tercer términos se reducen y el resultado, en cada caso, es la
diferencia de los cuadrados de los términos de uno de los binomios. La expresión simbólica que representa esto es:
U~.-(-a---b-)(-a-+-b-)-~.-,:-2---b2 -;;v~1
Por consiguiente, el desarrollo de un producto de binomios conjugados equivale a la diferencia de los cuadrados de los términos de un binomio.
Ejemplo 1
Desarrollar (2m + 5n)(2m - 5n) ~
Como (2m)2 ~ 4m 2 y (5nJ2 ~ 25n 2, el desarrollo es:
(2m + 5n)(2m - 5n) ~ 4m 2 - 25n 2
105
106 • Matemáticas 1
Ejemplo 2
(7x - 9)(7x + 9)
~
49x2 - 81
Ejemplo 3
(1-x 5)(I +x5)~ I -x lO
El resultado en este producto notable no se obtiene de multiplicar dire tamente los ténninos primeros y segundos, respectivamente. Se hace así ara
no crear confusión en operaciones similares que no son productos notab es.
Grupo 3.1
Resolver las siguientes operaciones con el producto notable.
1. (4x - 3)(4x +3)
~
2. (5 + 12xy)(5 - 12xy)
3.
lO.
~
(m 2 + 6n 5)(m 2 - 6n 5) ~
11. (ab 2 + 5e 2)(ab 2 - 5e2)
12. (I 1m3 + 5n)(1 1m 3 - 5n) ~
4. (3x 2 - 2y)(3x2 + 2y) ~
13.
5. (1- rn 7 )(1 + m 7 ) ~
6. (5x 2 - 9y)(5x2 +9y) ~
(3-&)(3+&)~
(±x+¡YJ(±x-¡YJ~
14. (ab 2 -xy2)(ab 2 + xy2) ~
7. (3 xyz2 + 5)(3 xyz2 - 5) ~
8. (13 + xyz)(13 -xyz)
9.
4
(2X -
~
~J(2X + ~ J~
4
15.
(6X
5
-~5i ) (6X 5 +
5y
16. (0.6 - 3.lx2 y)(0.6 + 3.lx 2 y)
)~
~
Producto de dos binomios con término común
Las operaciones que cumplen con este producto notable deben tener un érmino común, como muestra la siguiente expresión.
(a + b)(a + e) ~ a 2 + (b + c)a + be
Ejemplo 1
Desarrollar (x + 4)(x + 3) ~
El ténnino común es x; por lo tanto, su cuadrado es x2
El producto de la suma de los ténninos no comunes con el ténnino co ún
es (4 + 3)x.
Productos y cocientes notables' 107
El producto de los ténninos no comunes es 4(3).
Entonces, el desarrollo es el siguiente:
(x+4)(x+3)~x2+(4+3)x+ 12~x2+7x+
12
Ejemplo 2
(5m - 3)(5m + 9) ~ 25m 2 + (-3 + 9)(5m) - 27 ~ 25m 2 + 30m - 27
Ejemplo 3
(2x 3 - 7y)(2x 3 - 4y) ~ 4x6 - 22x3y + 28y2
En el ejemplo 3 el resultado se obtiene directamente; esa es la idea de la
aplicación de los productos notables que, en la medida de lo posible, las operaciones se efectúen de memoria para que el método sea rápido y corto.
Grupo 3.2
Desarrollar por productos notables las siguientes operaciones.
1. (4a + 7b)(4a + 2b) ~
2. (8x - 5y)(8x - y) ~
3. (m 2 + 4n)(m 2 - 7n) ~
4. (3x 3 - 1)(3x3 + 11) ~
5.
(~a2+~bJ(~a2+~bJ~
9. (6x2 - 5y)(6x 2 - 3y) ~
lO.
11.
(x-9yz)(x+5yz)~
(2x+~J(2X-n~
12. (3a - 2n)(3a + n)
13. (5x+
14.
~
16)(5x-3)~
(7a+8b)(7a-b)~
6. (x - 8)(x + 15) ~
7. (2m 2 + 3n)(2m 2 + n) ~
15. (x - 17)(x + 25)
8. (5ab + 3c 3)( 5ab - 7c 3) ~
16. (a-7b2)(a-8b2)~
~
Cuadrado de un binomio
El cuadrado de un binomio es igual que el producto de dos binomios iguales.
Por ello se debe considerar como producto de binomios; su expresión es la
siguiente:
Por consiguiente, el resultado del cuadrado de un binomio es el cuadrado
del primer tértnino, más el doble producto del primero por el segundo ténninos, más el cuadrado del segundo término.
108 • Matemáticas J
Cuando el segundo término es negativo, el segundo ténnino del trino
negativo.
o es
Ejemplo 1
Desarrollar (3x + 2y)2 ~
Si se sustituyen los elementos en la expresión anterior, se tiene:
(3x + 2y)2 ~ 9x2 + 2(3x)(2y) + 4y2 ~ 9x2
12xy + 4y2
I
Ejemplo 2
(5m - 8]2 ~ 25m 2 - 80m + 64
Ejemplo 3
(2a 3 + b 4 )2 ~ 4a6 + 4a 3b 4 + b 8
Grupo 3.3
Desarrollar los siguientes binomios.
1. (J - 4xy)2 ~
2. (8a 2 + 3b)2 ~
11. (3a 2 b - 5)2 ~
3. (abc - 3x)2 ~
12.
lO. (4mn 2 + 1)2 ~
4. (5m - 1)2 =
13. (xL y)2
5. (3 - 4xy2)2 ~
6. (ab 2 + 3bc)2 =
15.
Ga+H
2
=
16.
9. (7x - y3)2 ~
~
14. (1 - mnx)2
7. (5x3 + 3y2)2 ~
8.
(2~_1)2~
(x-i;r
~
=
r
(%+6X 2
Cubo de uu binomio
La expresión a utilizar es:
(a + b)3
~ a 3 + 3a2b + 3ab 2 + b3 I
'\iiUiii!i!JiiCUjF7
El resultado en el desarrollo es: el cubo del primero, más el triple pro ucto
del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del pri ero
por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Productos y cocientes notables· 109
Si el segundo término es negativo, los signos en el desarrollo se alternan,
empezando con el signo positivo, como se ve en el ejemplo 2.
Ejemplo 1
Desarrollar (x + 5)3 ~
Sustituyendo los términos en la expresión anterior, se tiene la siguiente
expresión:
(x + 5)3 ~x3 + 3(x)2(5) + 3(x)(5)2 + (5)3
Al hacer las operaciones indicadas se tiene:
~x3+ l5x 2 +75x+ 125
Ejemplo 2
(3m - 4n 2)3 ~ (3m)3 - 3(3m)2 (4n 2)
~27m3-108m2n2
+ 3(3m)(4n 2)2 - (4n 2)3
+ 144mn 4 -64n 6
Ejemplo 3
(1 - x2)3
~
1 - 3x2 + 3x4 - x 6
Grupo 3.4
Desarrollar el cubo de los siguientes binomios.
~
1. (6m +5)3
2. (2x- 3yJ3 ~
3. (x 2 - 5)3
~
4. (3a + 5b 2 )3
5.
12. (2X+%Yr
13. (x2
~
7. (3x - 7yJ3
~
~
8. (10m 2 - 1)3
~
16. (x2 + y2)3
~
~
17. (2x + 5y2)3
~
9. (4ab + 5ac)3 ~
lO. (3x 3 + 2y2)3 ~
11. (5 - 3x2)3
5)3
14. (4m + 3n S )3
15. (a 3 _b 3)3 ~
(m-ab)3~
6. (3xy2 + 2z3)3
-
~
~
18. (l-xy)3 ~
19. (3mn -7)3 ~
20. (a 2 + b 3)3 ~
~
Desarrollo de un binomio (a + b)n
En general, un binomio elevado a cualquier exponente n se puede desarrollar
por medio del binomio de Newton, que aquÍ nos limitaremos a utilizar como un
producto notable, sólo para exponente entero mayor que J.
110 • Matemáticas 1
Sus reglas son:
1. Los coeficientes de cada término en el desarrollo son los número del
renglón que corresponde al exponente del binomio del siguiente Triángu o de
Pascal.
n~O
n~1
2
l
n
1
IVI
n~3
464
5
10
10
~2
n~4
5
n~5
*
*
•
*
*
*
Observar que un número se obtiene sumando los números que están actamente arriba de él.
2. El primer término del binomio se escribe en el desarrollo en forma d creciente con respecto al exponente n, y el segundo en forma creciente, inici ndo
desde O.
3. Se efectúan las operaciones para indicar cada término del binomio
4. Cuando el signo del segundo término es negativo, éstos se alternan empezando con el signo positivo.
Ejemplo 1
Desarrollar (x + y)4 ~
Como el exponente es 'n = 4, los coeficientes son 1,4, 6, 4 Y 1; cada u o se
multiplica por los términos del binomio como enseguida se indica:
(x
+ y)4 = 1(x)4(y)O + 4(xJ3(y)1 + 6(x)2(y)2 + 4(x)1(y)3 +
l(x)0(y)4
Al realizar las operaciones indicadas (recordar que primero se hace las
potencias), se obtiene el desarrollo.
~ x 4 + 4x 3y + 6x2y2 + 4xyl + y4
Ejemplo 2
Desarrollar el binomio (2m - n 2)5 ~
= (2m)5 - 5(2m)4(n 2) + 1O(2m)3(n 2)2 -IO(2m)2(n 2)3 + 5(2m)(n2)4 _ ( 2)5
= 32m 5 - 80m4 n 2 + 80m 3n 4 - 40m 2n 6 + I Omn 8 - n 10
Productos y cocientes notables' III
Ejercicio para la clase
Desarrollar los siguientes binomios.
1. (3x + 2)6 ~
2. (2m - 3n)4 ~
3. (x 3 + 1)1 ~
4. (2m 2 - 5.0)5 ~
Grupo 3.5
Desarrollar los siguientes binomios.
1. (2x- y)5 ~
2.
12. (5x 2 + 3y3)5 ~
(l + x 3 )4 ~
3. (3m 2 + 2y2)3 ~
13.
4. (6ab -7x)5 ~
5.
[~m-3x2
r
6. (2x + y)3 ~
7. (a - 3b2)4 ~
8. (x 2 + 2y)4 ~
9.
(m3-2)6~
10. (x-IJ1~
11. (ab+ 1)6~
(k-a
4
J
=
r
14. (2ab - 3xy)4 =
15.
(%x +fy
2
=
16. (x- 5y)4 ~
17. (x-2)6~
18. (a - 2b)4 ~
19. (l + 4m)5
~
20. (2x + IJ1 ~
COCIENTES NOTABLES
Los cocientes notables son operaciones de división de binomios que se pueden reducir mediante una regla dada; los que más se utilizan en Matemáticas
son los siguientes:
División de una diferencia de cuadrados entre la suma o difereucia
de sus raíces cuadradas
Su expresión general es:
112 • Matemáticas 1
En este cociente notable, la raíz cuadrada de los ténnin0s del nn rador
debe coincidir con los ténninos del denominador; si esto sucede, el re ltado
de la división es el conjugado del denominador.
Ejemplo 1
2
· ·d·Ir 9x -4y
D IVI
2
3x+2y
Observar que las raíces cuadradas de los ténninos del numerador orresponden a los ténninos del denominador, es decir:
,
!
,-----
2
\f9x = 3x
2
I
"\j4y = 2y
y
Por lo tanto, el resnltado de la división es:
2
9x -
4y 2
3x+2y
=3x- 2 y
Ejemplo 2
4
6
81m -n
9 2
3
= m +n
2
3
9m _n
Ejemplo 3
2 4
a b -1 = ab2 -1
ab 2 +1
Grupo 3.6
Determinar con el cociente notable el resultado de las siguientes opera iones.
lo
l6x 2 - 25m
2.
9a 6 _b 4
4x+Sm 2
3a 3 _b 2
3.
x lO -100
x 5 +10
4
4.
8l_a 2 b 6 c 8
9-ab 3 c 4
12
5. l-12lm
l-llm 6
6
6. x -25
x 3 -5
Productos y cocientes notables' 113
l0
9. 9m -1
2
7. 100a -1
3m 5 +1
10a+1
36x2y2 _z4
8.
10.
49x 6 _ 25y 4
6xy-z 2
7x 3 +5y2
División de uua suma o diferencia de cubos entre
la respectiva suma o diferencia de sus raíces cúbicas
La expresión general de estos cocientes notables es:
En este caso, las raíces cúbicas de los términos del numerador deben coincidir con los términos del denominador. Si esto se cumple, el resultado es el cuadrado de la primera raíz, menos (o más) el producto de las raíces, más el
cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo 1
Hallar el resultado de la división
x 3 + 27y 6
--~':-­
x+3y2
(;3 =x
Si
y
~27i = 3/, entonces:
27y 6
x3 +
23 2 9 4
=x-xy+y
x+3y2
Ejemplo 2
Ejemplo 3
-125m 9
2x-5m 3
8x
3
114 • Matemáticas I
Grupo 3.7
Resolver con el cociente notable las siguientes operaciones.
l.
27+a 6
3+a 2
6.
2.
x3 y 6 -8z 6
xy2 -2z 2
7.
3.
3
3
8x +27y
x 6 -125
8.
a 3b 6 -1
ab 2 -1
l-x 6
(x_l)6+ y 3
(x_l)2+y
9.
x2 -5
5.
4x 4 + 2y 5
l-x 2
2x+3y
4.
64x 12 + 8y15
10.
64a 12 -27b 9
4a 4 -3b 3
l_a 6b 9c 12
l_a 2 b 3c 4
Productos y cocientes notables' 115
EVALUACIÓN PARA EL CAPÍTULO 3
Resolver con productos o cocientes notables las siguientes operaciones.
1. (3x + 8y)(3x - 8y)
~
2. (x2 - 5)(x2 - 5) ~
3. (x+7)(x-12)
~
5. (3m + 7)(3m - 2)
6. (x - 2b)3 ~
7. (1 _x 2)4 ~
8. (5 - x 3)(x 3 + 5) ~
12.
10.
25m 4 -1
5m 2 + 1
x6 +
/2.
x2+ y4
~
13.
14.
x6 _y2
x 3 _y
80 3 _ b 3
2a-b
4. (2a+b)2~
9.
11.
15.
36m 8 -25n 4
6m 4 -5n 2
l-x 8
x 4 +1
l-x 9
l-x 3
4
FACTORIZACIÓN DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Factorizar es representar una expresión numérica o algebraica corno el producto de sus factores primos. Así, la factorización del número 360 es el producto 2 3 X 32 X 5, donde se observa que la base de cada potencia es un número
primo. En la tabla de la derecha se muestran los factores del 360.
Corno en Álgebra el asunto no es tan sencillo, se utilizan métodos específicos para obtener la factorización de la expresión, siempre y cuando dicha
expresión sea factorizable.
Se debe considerar que muchas expresiones algebraicas se pueden factorizar
con base en el inverso de los productos notables, corno se verá enseguida.
MÉTODOS DE FACTORlZACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Factorización por factor común
En esta expresión debe haber al menos un factor numérico o literal común a
todos los términos de la expresión.
El factor común se obtiene calculando el máximo común divisor (M. C.D.),
que se define corno el producto de los factores camones con su menor exponente.
Ejemplo
Calcular el mcd o factor común de las expresiones 180.0, 36x3 Y 54x5
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
36
18
9
3
1
2
2
3
3
54
27
9
3
1
2
3
3
3
117
360
180
90
45
15
2
2
2
3
3
5 5
118 • Matemáticas 1
Solución
Primero se representan las expresiones como potencias, esto es:
180 = 22 • 32 • 5x4
36 = 2 2 • 3 2x 3
54 = 2. 3 3x 5
Se seleccionan las potencias cuya base se repite para las tres canti ades,
que en este caso son 2, 3 y x; considerando, según la definición, las de enor
exponente, se tiene 2, 32 y x 3
Como el mcd es el producto de estos factores, M.C.D. = 2. 32 x 3 = 8x3 .
En la tabla se aprecian los factores de cada número, y se marcan los factores comunes numéricos.
Un método práctico que sirve para calcular el mcd numérico es o tener
los factores comunes, como se aprecia enseguida.
180
90
30
10
36
18
9
3
I
~
®~
El ,mdocm 'e o"","""",",,", d mo'.
3
I
Incorporando la potenciax3, se tiene: mcd = 2(3)(3)x3 = 18x3
Así, la factorización de una expresión algebraica será el producto del factor
común (M.C.D.) por otro factor que resulta de dividir cada término de la expresión dada entre el factor común.
Conociendo la forma de obtener el factor común de una expresión alge raica,
se obtiene la factorización de algunos polinomios.
Ejemplo 1
180x4 + 36x3 - 54x5 =
Mediante la tabla correspondiente se pueden obtener el factor com n nnmérico y los coefIcientes del segundo factor.
180
90
30
c€
36
18
6
2
54
27
3
9
®~
Estos números son los coeficientes de los términos
del segW1do factor.
El producto de estos nú eros
proporciona el factor mún
numérico.
Factorización de expresiones algebraicas -119
El primer factor del polinomio es: 2(3)(3}x3 = 18x3
El segundo factor es:
180x 4 +36x 3 -54x 5
18x
3
10x + 2 - 3x 2
La factorización de la expresión es: 180x 4 + 36x 3 - 54x 5 = 18x 3(IOx + 2 - 3x2)
= 18x3(- 3x2 + 10x + 2).
En el siguiente ejemplo construye la tabla correspondiente para verificar
los números que muestran los resultados.
Ejemplo 2
3 2
2 3
2
15a b +45a b - 30a b 2 c
= 3. 5a 3b 2 +3 2 • 5a 2 b 3 =
2.3. 5a 2 b 2c
3. Sa 2b 2(a +3b - 2e)
=ISib 2(a+3b-2c)
Ejercicio
Escribir en los espacios en blanco la expresión necesaria para obtener la
factorización de la siguiente expresión. También se deberá construir la tabla
de los factores.
Primer factor (factor común):
Segundo factor: = 16
= ~~_ _ b3
2
2
b + ____ a - _ _ __
Por consiguiente, la factorización es: 80a 2b 5 + 60a 4b 3 _ 25b 4 =
Grupo 4.1
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1. 6x -15x 2 + 12x 3 =
2. 8m 4 -24m=
9. 7+21x 3 +3 5y 3=
10. x12_ x 8 _x 5 +x 3 _x 2 ",
3. IOa 3 + 25a 2 b - 20a 3b =
4. 9x 2 +27x 4 =
11. 15m 6 +45m 4 n2 =
12. 18x5 +45x 3 -63x2 -90x 4
5. 7a 3 +12a 4 -3a 2 =
13. 112m 5n -176m 8n2 -144m 6 =
14. 60x 3 + 96x 4 + 132x5 =
6. 36x5 + 12x 4 + 27x 3y =
7. 13a 4 b - 26a 3 =
8. 18x 2y+4Sxy2 -27x 2/-63xyz
15.
9a 3b 7 _13a 3 b5 -a 3 b + 7a 3 b' =
120 • Matemáticas J
Factorización por agrupación de términos
Las expresiones a factorizar por este método, por lo general tienen ciert número de términos pares, de cuatro o más, aunque no todos tienen fact r común; sólo lo tienen por grupos iguales.
Para efectuar la factorización de la expresión se agrupan los términ s del
factor común; cada grupo se factoriza por ese método para obtener un ctor
común polinomio con respecto al cual se vuelve a factorizar.
Cuando los términos del factor común polinomio tienen los signos c biados, basta multiplicar todo el término por - 1 (ejemplos 2 y 3).
Ejemplo 1
Factorizar 3a 2 x-lSb 2 x+2a 2Y-IOb 2 y=
Solución
Se agrupan los ténninos que tienen factor común y se señalan subrayán olos.
Se factoriza cada grupo por el método de factor común.
= 3x(a 2 - 5b 2) + 2y(a2 - 5b 2)
En cada término se debe obtener un factor común polinomio, y realiz
nueva factorización con respecto a dicho factor.
=
(a 2 - 5b2 )(3x + 2y)
Ejemplo 2
60x 2m 3 -35x 2 n 2 +21n2 y 4 _36m 3 y4=
= 5x 2(l2m 3 -7n 2 ) + 3y 4 (7n 2 -12m 3
=5x 2(l2m 3 -7n 2 )-3y4(l2m 3 -7n)
= (l2m J -7n 2 )(5x 2 - 3y4)
Ejemplo 3
12am +20an -15bm-25bn-40b + 32a=
= 12am- lSbm- 2Sbn +20an + 32a-4
=3m(4a-5b)-5n(5b-4a)+8(4a-5 )
=3m(4a - 5b) + Sn(4a -5b) + 8(4a - S )
=(4a-Sb)(3m+5n +8)
una
Factorización de expresiones algebraicas • 121
Ejercicio
Factorizar la expresión 4mp - 2np + 2mq - nq
blanco.
~
; completa los espacios en
=4mp+ __ - __ -nq
=2m(__+q)-n(2p + __ )
:. 4mp- 2np + 2mq - nq = (_+ _)( _ - _ )
Grupo 4.2
Factorizar las siguientes expresiones:
1. 6ax+ 12ay - 2bx -4by =
2. 4m2x-12n3x+2m2y-6n3y~
3.
12ax-8a-3bx+2b~
4. 2ax 2 + 4ax + 6a + bx2 + 2bx +3b ~
5. 4a 2x2 -3ax 2 +2x 2 _4a 2y2 +3a/
-2/ ~
6. 3ax + 2bx + 3a + 2b ~
7. 3m 2 +9m- x2 +3-m 2x 2 -3mx 2 ~
8. 14ax3+2Ib2x3+IOa/+15b2y2~
9. 6a 2x-4b+3x/ -12x+2a 2b+b/ ~
10. 15ax + 21ay + IObx-33az + 14by- 22bz - 25cx - 35cy+ 55cz ~
11. 2mx- 2nx + my.- ny ~
12. mx2+5x2-my-5y~
13. a2l-bl+a2x-bx~
14. 5am+15b2m-7an-2Ib2n~
15. 15a+33b-5am 2 -11bm 2 =
Factorización por diferencia de cuadrados
Por lo general, las expresiones a factorizar tienen raíz cuadrada exacta,
aunque no es indispensable, y comprenden dos términos de diferente signo.
Así, la factorización es el producto de la diferencia de las raíces cuadradas
de los términos, multiplicado por la suma de las mismas, según la siguiente
expresión.
Ejemplo I
Factorizar la expresión 9x2 _4y2
~
122 • Matemáticas 1
Solución
Las raíces cuadradas de los términos son:
La diferencia de las raíces es: 3x - 2y.
La suma de las raíces es: 3x + 2y.
La factorización de la expresión es: 9 x2 - 4/
= (3x -
2 y) (3x + 2 y)
Ejemplo 2
100m 2 _Sln 4
= (IOm-9n 2 )(lOm+9n 2 )
Ejemplo 3
l-x lO =(I_x 5 )(I+x 5 )
Ejemplo 4
2
m -(2m + n)2 = [m -(2m+ n)] [m +(2m +n)]
= (m-2m-n)(m+2m+n)
= (-m-n)(3m + n) = -(m + n)(3m + n)
Ejercicio
Escribir en los espacios en blanco la expresión que completa la factoriz ción
de la expresión 25m 6 - 9n 4 =
Las raíces son:
~ 25m 6
= .
~9n4 =
y
La factorización es: 25m 6 -9n 4
= (_m 3 -3_)( _ + _ )
Grupo 4.3 .
Factorizar las siguientes expresiones:
1.9x2 -16y2 =
4. 9a 4
2.4m 6 _n 4 =
5. (3x+2)2_9y2=
3. !-36a 2 =
6. 49x 2 _(5x+y2)2=
_
b6 =
Factorización de expresiones algebraicas· 123
7. ~x2 - 16y lO
4
12. IOO-m 8 =
8. (l-Sm)2 _(m 2 +3m)2 =
13. 2Sz 4 -16=
9. 12Im 4 -1=
14. 121x2 -81i =
10. 4a 2¡:/ _c 8 =
IS. x12 _ ylO
=
11. 1-36a 4 =
Factorización por suma o diferencia de cubos
Al despejar el numerador de los cocientes notables se obtiene un producto,
que corresponde a la factorización de una suma o diferencia de cubos, esto es:
Si
Si
a 3 _b 3
a-b
a 3 +b 3
a+b
a 2 +ab+b 2
=}
a 3 _ b 3 = (a - b)(a 2 +ab + b 2 )
a 2 -ab+b 2
=}
a 3 +b 3
= (a+b)(a 2 -ab+b 2 )
Así, para factorizar una diferencia de cubos se multiplica la diferencia de las
raíces cúbicas de cada término por otro factor que es el cuadrado de la primera
raíz, más el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Para factorizar una suma de cubos, se multiplica la suma de las raíces
cúbicas de cada térruino por otro factor que es el cuadrado de la primera raíz,
menOs el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo 1
Factorizar la expresión 8xL 27y 3 =
Las raíces 'cúbicas son:
~ 8x 3 = 2x
y
~27/ =3y
El primer factor es: 2x - 3y.
El segundo factor es: 4X2 + 6xy + 9y2.
Por lo tanto, la factorización de la expresión es:
Ejemplo 2
m 6 +n 3 =(m 2 +n)(m 4 _m2n+n2)
Ejemplo 3
x 9 -12S=(x J -S)(x 6 +Sx 3 +2S)
124 • Matemáticas 1
Ejercicio.
Escribir en los espacios en blanco las expresiones que faltan para factori ar la
expresión 125x 12 - 27y 15 =
125x12
_
27y 15 =( _ x 4 -3_)( _ _+15x 4 y 5 + _ _)
Grupo 4.4
Factorizar las siguientes expresiones:
1. 27m 3 - Sn 3 =
2. 64a 3 +b6 =
3. x 6 +y3 z 6 =
4.
I_Sm 12 =
5. a 3é+l=
6. 125x 9 - 27 ylS =
7. (x+ y)3 +Sx 3 =
6
S. 1000 - 343m =
9.
~m6+1=
S
10. a 3 -(2a-3b)3=
11. x 9 -27/ 2 =
12. m 3 + 343n 6 =
13. Sa 1S -125 =
14. 27x12 +Sy9 =
15. (x+l)3_(x-ll=
Factorización de trinomios
Para factorizar un trinomio, éste se ordenará en forma descendente, s mspeccionará el tipo de trinomio y se verificará su correspondencia con o de
los tres tipos siguientes:
a) Trinomio cuadrado perfecto
b) De la forma x2 + bx + e
e) De la forma ax2 + bx + e
Factorización de nn trinomio cuadrado perfecto
Al desarrollo del cuadrado de un binomio se le llama trinomio cuadrado p rfecto, por lo que su factorización se representa por la siguiente expresión:
Prueba
Si el segundo término del trinomio equivale al doble producto dé la raí cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término, enton es la
expresión es un trinomio cuadrado perfecto, y su factorización es el cu drado de la suma o diferencia de las raíces cuadradas.
Simbólicamente, si: 2ab = 2
Ejemplo 1
Factorizar m 2 - 6m + 9 =
.-J;?¡;; ,entonces su factorización es (a
b)2 .
Factorización de expresiones algebraicas· 125
Prueba
6m ~ 2.
¡;,¡ .{cJ ~ 2(m)(3) ~ 6m
Como la prueba se cumple, la factorización de la expresión es:
m2-6m+9~(m-3)2
Verificar la factorización y aplicar su prueba en los siguientes ejemplos.
, Ejempo 2
-26a+a 2 + 169~ a 2 -26a+ 169
~(a_13)2
Ejemplo 3
x2 + 16x/ +64/ ~ (x+8/)2
Ejercicio
Escribir la prueba de los siguientes trinomios y señalar sí es trinomio cuadrado perfecto. Factorizar.
a) 9m 2 +30mn 3 +25é ~
b) 25x2_IOx(x+3y)+(x+3y)2~
e) 49a2-2Iab4+9b8~
Grupo 4.5
Factorizar los siguientes trinomios.
1. x2-16x+64~
2. m2+lOm+25~
3. 4x2_12x+9~
, 4 . .9x 6 +30x 3/ +25/ ~
5. a 2 + 49b 2 -14ab ~
6. 1+ 12x +36x 2 ~
7. 25x 2 ~ 70x + 49 ~
9 2
9. -x +18x+36~
4
10. x 4 -6x 2 +9 ~
IL m2 -6mn + 9n 2 ~
12. x 4 +2x2 + I ~
13. 4a 2 +4ab 3 +b 6 ~
14. 25x 2 -30xy2 +9/ ~
15. 36x 2/
+ 12x/ +1 ~
8. (x+2)2+18(x+2)+81~
Factorización de' un trinomio de la forma x2 + bx + e
Regla para factorizar: '
, a) Indicar el producto de los dos binomios.
b) Escribir la raíz cuadrada del primer ténnino como primer ténnino en
cada binomio.
126 • Matemáticas 1
c) Escribir el signo del segundo ténnino como el signo del segundo té
del primer binomio.
dJ Escribir el prodncto de los signos del segnndo y tercer términos ca
signo del segundo ténnino en el segnndo binomio.
e) Bnscar dos números qne multiplicados den el tercer ténnino y s
(o restados), sean el coeficiente del segundo ténnino.
ino
Ejemplo 1
Factorizar x2 - 3x - 54 ~
Verificar cada inciso de este ejemplo.
a) x2 - 3x - 54 = (
)(
b)x 2 -3x-54=(x
)
)~.---V ~x
)(x
c)x 2 -3x-54=(x-
)(x
dJ x2 -3x-54~(x-
) (x+
)~.--­ segundo ténnino es nega .va
»)<I~t----(-3x)(-54)=+signopo itivo
(9)(6)~54 tercerténnino
e) x 2 -3x-54=(x-9) (x+6) •
9 - 6 = 3 coeficiente del se
do
término
Como los signos ya están dados en la expresión, no se consideran n el
último paso. Así, la factorización de la expresión es:
X2 -
3x - 54 = (x - 9) (x + 6)
Cuando el tercer ténnino del trinomio es más o menos grande, se b scan
sus factores, con los cuales se hacen combinaciones para detenninar I números buscados. En las tablas del siguiente ejemplo se muestran las
cas
con cruz, que constituyen el primer número, y las marcas con paloma, 1 segnndo número.
Ejemplo 3
F actorizar al + 40a + 336
336
168
84
42
21
7
I
2
2
2
2
3
7
x
x
x
./
./
./
~
2GlGl~8
2 Q)G)~ 42
42 ®~ 336
42 + 8 ~ 50
i
La prueba no se
cumple
336
168
84
42
21
7
I
2
2
2
2
3
7
./
./
2 GlG)~ 28
2 (Z)Q) ~ 12
x
x
./
x
La prueba sí se cumple;
los números son 28 y 12.
La factorización de la expresión es: a 2 +4Oa +336= (a +28) (a+ 1. '
Factorización de expresiones algebraicas· 127
Ejempo4
x2 +21b 2 +lObx~x2 +lObx+2Ib 2 ~(x+3b)(x+7b)
Ejercicio
Escribir en los espacios en blanco la expresión que falta para obtener la
factorización de m 2 - 21mn + 90n 2 ~
m 2 - 21mn + 90n 2 ~ (m )(
- 15n)
Grupo 4.6
Factorizar las siguientes expresiones.
1. m2 - 3m - 28 ~
2. x2 + 25x + 150 ~
3. a 2 + 294 - 35a ~
4. x2 + 29x - 30 ~
5. m2+1406+75m~
6. x2 + 30x + 200 ~
7. x2- 19x + 84 ~
8. x2 - 54 + 3x ~
9.4x-165+x2 =
10. x2 - 9x - 972 ~
11. x 2 +25x+ 150~
12. m 2 - 72 + m =
13. a 2 - 2ab + 15b2 =
14. 4mx+3x2+m2~
15. x2 - 22xy + 120y2 =
Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + e
Para factorizar estas expresiones primero se deben transformar a la formax 2
+ bx + e, multiplicando la expresión por a, de la siguiente manera:
ax 2 +bx+ e ~ a(ax 2 + bx + e)
~a2x2+abx+ac
~ (ax)2 + b(ax) +ac
La idea es que la expresión que está entre paréntesis sea la misma. Con
base en esta expresión, se factoriza el trinomio y posteriormente se divide
entre a, o entre dos de sus factores.
Ejemplo 1
3x 2 -13x-IO ~ 3(3x 2 -13x-IO)
3
~ 9x 2 + 3(-13x) - 30
~(3x)2_13(3x)-30
~
(3x-15)(3x+ 2)
~
(3x-15)(3x+2)
3
.
(3x-15) (3x+2)
~
~
(x - 5)(3x+ 2)
128 • Matemáticas J
Ejemplo 2
6x2 + x-35 = 6(6x 2 + x- 35)
=36x 2 +6(x)-21O
= (6x)2 +(6x)-210
=(6x + 15)(6x-14)
(6x+15)(6x-14)
6
=( 6X;15
J( 6X~14 J
La factorización es: = (2x + 5) (3x - 7)
Ejemplo 3
6x 4 -17x 2y-14i
36x 4 -6(l7x 2y)- 84y 2
=
= (6x 2 )2 -17y(6x 2 ) -84i
= (6x 2 -2Iy)(6x 2 +4y)
La factorización es: 6x 4 -17x 2y _ 14y 2 = (2x 2 -7y)(3x 2 + 2y).
Escribir en los espacios en blanco las expresiones que faltan para obt ner la
factorización de la expresión 14x2 - 3x - 5 =
_(l4x 2 -3x-5)
=~_x2 -14(3x)- _ _
= (14x)2 -
_(_x)-70
= (l4x-_)(14x+_)
=(_-5)(2x+ _
)
La factorización es:
Grupo 4.7
Factorizar las siguientes expresiones:
1. lOx2 + 47x + 9 =
2. 4m 2 - 8m - 5 =
Factorización de expresiones algebraicas' 129
3.
4.
5.
6.
7.
12a 2 - 37a+ 21 ~
6m 2 + 17m + 7 ~
IOx2 + 13x - 231 ~
6a 4 - lla 2b - 35b 2 ~
10. 24x2 - 38x + 3 ~
11.
12.
13.
14.
6x6+13x3_5~
4x2 + 4xy + y2 ~
25m 6 + 10m 3 + I ~
36a 2 - 60ab + 25b 2 ~
81x8 + 49 + 126x4 ~
15. 9m 2 +361n 2 -114mn ~
8. 21x2 - 41xy + 10y ~
9. 5x2 + 8xy- 21 y 2 ~
Grupo 4.8
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas con el método adecuado.
1. 9x2 - 1 ~
12. 12mx2 + 4 my 3 - 3m 2x 2 ~
2. 36x2 + 9x3 ~
13. 6m 2 - 17m - 45 ~
3. x2-4x+4~
4. 8x6 + yl2 ~
5.
14. 25x2 + 20xy + 4y2
15.
m3x+m3y-n2x-n2y~
16.
6. x2-x-42~
7. a 3 - 125 ~
S. m6-n4~
xLI6x-1700~
17. 4x2 - 20xy + 25y 4
18.
9. 3x2 -4x-7 ~
10. 6.0 - 9xyL ISy3
11. 8Ix2-4y2~
~
~
1-27a6b3~
19. 1 - 9a6b4 =
20. 6ax 2 - 10b.x2- 6cy2 + 12cx2 - 3ay2 + 5by2
~
FACTORIZACIÓN COMBINADA
Como en muchos casos las expresiones algebraicas necesitan más de una
forma de factorización para representarlas como el producto de sus factores
primos, se debe emplear una combinación de métodos de factorización. Es
importante que el estudiante COnozca las características de cada método, para
identificar aquel que se ha de emplear en determinada expresión algebraica.
En cada uno de los siguientes ejemplos se indica el método de factorización
utilizado.
Ejemplo 1
2x 3 -18x~2x(x2 -9)
=2x(x -
3)(x + 3)
factor común
diferencia de cuadrados
Ejemplo 2
4m 3 -Sm 2 -140m = 4m(m 2 -2m-35)
=
4m(m+ 5)(m -7)
factor común
trinomio x2 + bx + e
~
130 • Matemáticas 1
Ejemplo 3
x 5 _x 3 +x 2 _1 = x\x2 -1)+(x 2 -1)
agrupamiento de té
= (x 2 _1)(x 3 + 1)
= (x-l)(x+ I)(x + l)(x 2 - x+ 1) diferencia de cua
y suma de cubos
dos
Grupo 4.9
Con los métodos necesarios para cada caso, factorizar las siguientes ex esiones algebraicas.
1. x3 _xy2 =
2. 3a2m 2 - 30am 2 + 75m 2 =
3. 72x 2 - 32y2 =
4. -2x 3 +4x2 +30x=
5. a 2x 3- 2abx3 + b2x 3 - a2 + 2ab - b 2 =
6. 5a 2x 5 + I 0ax4 - 15x3 =
8. 24a 3x + 40a 3y + 3b6x + 5b6y =
9.
140amx - 20bmx + 84amy - 12bmy =
10. 4a2m 2x + 18am 2x - I Om 2x - 16a 2n2x - 72an 2x + 40n2x =
11. x 6 _y6=
12. x 5 + 8x2 - 25x3 - 200 =
13. 12a2x 2 - 2a 2x - 30a 2 =
14. 12mx2 -12mx+3m+40nxL 40nx+lOn=
15. x4+x3 +x+ I
=
16. ax2 - bx2 -ay2 + bj2=
17. mx2 + 6mx+ 5m + nx2 + 6nx + 5n =
18. a 2x 3- 9b4x 3 - 8a2y 3 + 72b 4y 3 =
19. 5x4-40xy3=
20. 6a 2x 3 + 6a 2y 3- ax3 - ay3 - 15x 3- 15y 3=
Factorización de expresiones algebraicas· 131
EVALUACIÓN PARA EL CAPÍTULO 4
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas.
1. x 2 +24x+ 144~
2.
9x2_4y2~
3. 6x 3 + 3x2 ~
4.
9-0~
S. 2m 2 -9m -3S~
6. 3ax 2 - 6ay + SbxL IOby
7. 6a 2x + 18ax2 - 9a 2x 2 ~
8.
~
8m6+n3~
9. 1- 27x9 ~
10. 9a2 - 30ab + 2Sb2 ~
11.
x3-9x~
12. m 2x 2 + 14m 2x + 49m2 ~
13. 4a 2x 2 - 4abx2 + b2x2 - 4a2 + 4ab - b2 ~
14.
x5-2x4-1Sx3~
IS. m 3x 2 - m 3y2 - 8n 3x 2 + 8n 3y2 ~
16. s0 - 40x ~
17. 32a2 - 2a6 ~
18.
x8-1~
19.
a6-I~
20. 3a 2x + 4a2y - 3b2x - 4b 2y
~
Matemático fral1cés;l1ació el1
Betoorm1t-ée-LowIaf3!1C}j fallrció en
V!1.LV!1.atJ. si Descartes tuvo en su época
un
en lo
a capacidad
matcfl1at:u:a se
éste
Fefm:at¡ quien! por cierto; tampoco era
matemático profesionaL Sin
embargo; oonsiooral1.OO sae trabajos
Matemáticas! se piensa qué hubiera
"ec!10 si se habiera dooicaoo de plel10 a
costumbre! Fermtlt no
"",,,'>1¡ fJero
e biza
""'U,!1.UJi> en los már
nes
libros,
}j
jó casualmeflte sae
oossubrimientos en cartas a amigos,
resultai}o peroor
00 acrooitarse dossubrimiento
Geometria Analitica¡ que
al mismo tiempo que lJe:scal'tes
sólo
60s dimets~jone,<;!
qae Fernt!1t e,<;rui}jó
i}imensiones. De ifjl1al mODo puDo aDjuDicarse
algunas caracteristicas que
tafi}e inspirarian !l, 1'.'ovMrnfi
T I1!tlbiÉlnse deoicó estudio De
De jtfobabi[idaoes
I'!'timeros enteros. La Aritmética en
campo obtuvo su elll1LoI
sonado Describir
?Je
se¡p'i'l1
ecuaC'j{)1I xn + JJn = zn no
solución iJ'lAta"'fI
en
hre
5
FRACCIONES ALGEBRAICAS
REDUCCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las fracciones algebraicas también se pueden reducir a alguna fracción equivalente dividiendo factores iguales. Para ello es necesario factorizar el numerador y el denominador, y localizar dichos factores. Muchas fracciones no se
pueden reducir aunque sí factorizar.
Ejemplo 1
3
2x - SOx
2x 2 + IOx
2x( x2 - 2S) factorizando
2x(x+ S)
2x(x - S)(x + S) reduciendo factores
2x(x+S)
=x-S
Ejemplo 2
x3
2
(X-y)(x +xy+i)
-l
2(x 2 +xy+ i )
2x2 +2xy+2i
=
x-y
2
Ejemplo 3
IOx 3 -ISx 2 -IOxi + lsi
2x 2 -3x+2xy-3y
Sx 2(2x - 3) - Sy2(2x - 3)
x(2x-3)+ y(2x-3)
(2x-3)(Sx 2 _Sy2)
(2x-3)(x+ y)
133
134 • Matemáticas 1
=
(2x-3)(5)(x2 _ y2)
(2x-3)(x+ y)
= -,-(2_x_-_3é-')(,--,5)~(x_-~y'__')_'_(x_+~y,-,-)
(2x-3)(x+ y)
=5(x- y)
=5x-5y
Ejemplo 4
30x2 -19x - 5
6x 2 -llx + 5
(30x)2 -19(30x)-150
(6x)2 -11(6x) + 30
(30x-25)(30x+6)
(6x-6)(6x-5)
(6x-5)(5x+l)
(x -1)(6x - 5)
=
5x+1
x-I
Ejemplo 5
486x4y-384x2y3
24xy2 -27x 2y
6x 2y(81x 2 -64i)
3xy(8y-9x)
2
= 6x y(9x-8y)(9x+8y)
-3xy(9x-8y)
=-2x(9x+8y)
= -1 8x 2 -16xy
Ejercicios
Reducir las siguientes expresiones algebraicas racionales.
1.
x2 +2xy+ y2
3.
x 6 -1
x3 + y3
2.
2a 3 +5a 2 -3a
4a 2 -1
x 4 -x
4.
6m 3 -9m 2
4
3
12m -12m -9m 2
Fracciones algebraicas· 13S
Grupo 5.1
Factorizar y reducir cada una de las siguientes expresiones algebraicas.
1.
2.
3x 2 -3x
x-I
x 3 _2x 2
9.
x2
3.
4.
S.
x2-x-42
x 2 +Sx-6
lO.
4x 2 -1
4x 4 -4x+1
11.
7Sx 3 +60x 2 + 12x
IOx 2 +19x+6
12.
12x3 -4x2y-8xy2
12x 2 +8xy
x2 + 16x+64
64-x 2
2
IOx2y-Sx4 y
x 4 _2x 2
3x +14x+8
3x+2
x3 + y3
6.
6ax - ISbx + 2ay2 - sbi
2a-Sb
7.
2x 3 -2x
2-2x
8.
9x 4 _4X 2
4x 2 _9x 4
13.
x2 +2xy+ i
14.
2a 2x- 2b 2x+ 3a 2y _ 3b 2y
4ax 2 - 4bx 2 - 9ay2 + 9by2
IS.
2a 2x - 2b 2x+ 3a 2y -3b 2y
4ax 2 - 4bx2 - 9ay2 + 9by2
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El máximo común divisor (M.C.D) de una expresión algebraica es el producto de los factores comunes con el menor exponente. y corresponde a la expresión máxima que puede dividir dos o más expresiones algebraicas.
Por lo general, el M.C.D. se utiliza para factorizar una expresión algebraica
con el método de factor común.
Ejemplo 1
Si se tienen las expresiones 6x2y4, 9xy2 y 24x 3y3z, se observa que éstas se
pueden representar de la signiente forma:
2.3.x2y4, 32.xy2 y 23.3.x 3y 3z
Si se seleccionan los factores de acuerdo con la definición, entonces el
M.C.D. es 3xY.
136 • Matemáticas J
Ejemplo 2
Si las expresiones son x 4 - 2x l + x2, x 4 - x 3, x 5 - x 3, entonces la factori ación
es x 2(x_I)2, x 3(x-l)yx 3(x-I)(x+I).
Por lo tanto, el M.C.D. es x 2 (x - 1).
El ItÚnimo común múltiplo (m.c.m.) de una expresión algebraic es el
producto de los factores comunes y no comunes con su mayor expon nte, y
corresponde a la menor expresión que se puede dividir entre dos o más xpresiones. El m.c.m. se utiliza para sumar fracciones algebraicas racional s.
Ejemplo 1
Dadas las expresiones Sx3y 3, 24x2y y 12x3 , se pueden representar amo:
2 3x 3y 3, 23.3x2y, 22.3 x 3
Entonces el m.c.m. es: 24x 3y 3
Ejemplo 2
Si las expresiones son 4x4 + \2x 3, ISx4 + IOSx 3 + 162x2 Y 24x3 - 2 6x,
entonces su factorización es:
4x3(x + 3), ISx 2(x + 3)2 Y 24x(x + 3)(x - 3)
Parlo tanto, el m.c.m es: 72x 3 (x - 3)(x + 3)2
Ejercicios
Encontrar el M.C.D. de las siguientes expresiones.
1. 12a 4y; 63a 3ym
2. 36x4 - IOSx 3 - 360x2; 4sx4 + 90x 3; 27x3 - IOSx
Encontrar el m.c.m. de las siguientes expresiones.
1. 6x4y2; ISx2y4
2.
sx4 - 16x3 + Sx2; SOx 3 - SOx
Grupo 5.2
Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de cada una de las sigu1entes expresione .
1. 3x 2 , 9x 3
2. SXy4, 4x2y, 2x2y2
3. Sx 3, 3x4, 2xy
4. x2 + x, x2 - l
5. 2x2, 2x +4, 2x2 + Sx+ S
Fracciones algebraicas' 137
6. 3x+ 1, 9x2 -1, 27x3_9x2-3x+ l
7. 4xy, 4x2 - 4x, 2xy - 2x2y
8. x 3 - 8, x2 - 4x + 4, x2 + x - 6
9. 9.:.4 + 27x3, 9x 3 + 9x2, x 3 + 6x2 + 9x
10. 125 - 5x2, IOx2 - 40x - 50, 60x2 - 340x + 200
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
La operación con fracciones algebraicas se resuelve igual que una operación
con fracciones aritméticas, es decir, que se deben conocer los conceptos y
propiedades que se utilizan en la operación, ya que representan la base para
comprender conceptos más avanzados.
Suma de fracciones algebraicas
Para sumar fracciones algebraicas primero se factorizan los denominadores
para determinar el rncm de la expresión, posteriormente se aplica el algoritmo
de la operación y se reduce la expresión.
Ejemplo 1
3x + __
5x + _
7-8x
3x+5x+7-8x
__
_ = "----'_---'-_-'.C
x+1 x+1 x+1
x+1
=
7
x+ l
Ejemplo 2
2x-5
2-x
x
2x-4
--+--=
2x-5
-(x-2)
=
4x-lO-x
-2(x - 2)
=
3x-1O
-2x+4
Ejemplo 3
xy2
x3_
~'----+
i
y
---"-x2 + xy + y2
x
2(x-2)
+~--
138 • Matemáticas 1
>y2
+ y(X- y)
Ejercicios
Resolver las siguientes sumas.
1.
x+2 x-l
--+--=
x-3 x+3
2.
1
3
--+--=
2
m _1 m+l
3.
--+--+---
3x
1
x2_4
x+2
x-3
(x+2)2
Grnpo5.3
Sumar las siguientes fracciones:
1.
x-2
x+3
--+
x+l (x + 1)2
2.
1 2a
-+-=
3 x
10.
x+l
2
--+--+1=
x-l
3
3.
2h+l h-3
--+--=
4
6
1 a-2
-+--=
ab
bc
11.
x-l
3x
--+--=
2x+6 x+3
4a
2a
--+--=
a+4 a+3
4.
S.
6.
7.
8.
2
3
--+--=
x+l x-2
2x
3
+
=
4x 2 -9 4x 2 -9
3x
+
3x 2 -12 2x 2 +4x
2a-3 3x+2 x-a
--+--+--=
3a
10x
5ax
9.
12.
6x 3
-+-=
5 x
13.
3
2
5x 2
--+--+
=
x+2 x-2 4- 2
14.
3
x
--+--=
x-3 3-x
15.
5
2
--+
6x-6 9x 2 -18x 9
16.
3
2
--+--=
x-l l-x
I
/11
Fracciones algebraicas' 139
Resta de fracciones algebraicas
Esta operación se realiza igual que la suma, sólo que se respeta el signo de la
diferencia.
Ejemplo 1
2m+2
m-I
m+S 2m+2-(m+S)
=
m-I
m-I
=
2m+2-m-S
m-I
=
m-3
m-I
Ejemplo 2
x
1
xy- y2
y
=
x
y(x- y)
=
x-(x- y)
y(x- y)
y
x-x+y
y(x- y)
y
y(x- y)
=
x-y
Ejemplo 3
2x2-3
x+1
2x 2 - 3
x +1
10x+ lO
SO
lO(x + 1)
SO
=
9x 2 -14
SO(x + 1)
S(2x 2 - 3)-(x + 1)(x + 1) -(9x 2 -14)
SO(x + 1)
IOx 2 -IS _(x 2 +2x + 1)- 9x 2 + 14
SO(x+l)
140 • Matemáticas J
-2x-2
50(x+l)
= _-_2(-,--x_+_I-,-)
50(x+l)
I
25
Ejercicios
Resolver las siguientes operaciones.
2x
x+3
3x
x-I
1. - - - - - =
x-3
2. _
_ _ x+2
__ =
x2
3.
2m
3m+1
x2-x
m-2
m
Grupo 5.4
Resolver las siguientes restas de fracciones algebraicas.
3a
2a+6
x
x-I
a-I
2.
a+3
y-2x_x-3y
20x
24y
x2 -6x+9
5.
2x
6.
8a-8
2a 2 +12
11.
2a+1O
6x-13
2
x -5x+6
a-3
a+3
x+y
y
2x
x+y
x2
10. - - - - - -
a
a 2 -25
x+3
=
x-3
a+3 a-3
9. ----
1
4. - - - - -
4a+4
2
8.
3
3. -2- - =
x-2
x
x+1
7. - - - - -
1. - - - - - =
5
x-3
12.
xy+y2
3
m+l0
1
2m-4
2m2-8
m 2
3
x+3
3x+1
x2 +2x-3
Fracciones algebraicas' 141
Multiplicación de fracciones algebraicas
Para realizar esta operación, primero se factorizan el numerador y el denominador de cada fracción, enseguida se indica el producto de las fracciones y se
reduce el resultado.
Ejemplo 1
2
2
( 8x2 )(3X -7SJ= 8x
.3(x-S)(x+S)
4x
6(x-S)
4x
l6X-30 l
24x(x - S)
=x(x+S)
Ejemplo 2
-2a(a+b)2
=
=
a+b
2
3a (a - b)
a+b
=
3a
3
-
3a 2b
Ejemplo 3
[:2x:;~:S61 x~x~3~1:916x2
=
-2:X+24)-
S(x 3 + 27)
3(x+ 2)(x - 2)
2
•
2
(x+3)(x+2)
x -3x+9
6(x-2)2
•
142 o Matemáticas 1
30(x +3) (x 2 - 3x + 9)(x+ 2)(x- 2)
6(x- 2)2(X + 3) (x + 2) (x 2 - 3x + 9)
5
= x-2
Ejercicios
Resolver las siguientes operaciones.
2
1. x +4x+4
3x-15
o
2
x -10x+25
2x+4
m 2 +m-2
m2-4 m 3 +3m 2
m
2.
---o
6x 3 + 6x 2y + 6xy2
3.
x 3 -x 2 y
o
x2 -y 2
x2 +xy+ y2
Grnpo 5.5
Multiplicar las fracciones de cada uno de los siguientes ejercicios.
3;; )[ ~: J
1.
[
2.
(5~:5 J( x6 J=
=
:l
3. [X:x~IJ[::21J=
4.
[ x2
6
.
[
x~2:5-3 J[ x~~6:1:9J
x -1
2
2
2x +13x+15
=
J(
4x+6
)
x2-2x+1 =
Fracciones algebraicas· 143
7.
8.
l
8
x3 + y3
[+Jl
x -9
9.
10.
Jl
x2 - xy +
2
3
x: +3x
5x -4x-1
3 3
[8a _b
(2a-b)3
J[
J=
i
J[ IOx;2
J=
2x
J
2a-b
4a 2 +2ab+b 2 -
4
2
[36m -49n
3m 4 -27m 2
J[ m22+3m J[2m-6 J=
6m -7n
m
11.
15ax + 10bx- 21ay -14by 2a 2x2 -12abx 2 + 18b 2x 2
•
3a 2 -7ab - 6b 2
IOx 3 -14x 2y
12.
4
2
1 8x 2 -8x6
[x +X +1 [
4x-4x 7
2x 4 +2x 2 +2 =
13.
a 2x+2abx+b 2x+a 2y+2aby+ b 2y mx+nx+2m+2n
•
ax +ay + bx + by
ax+2a+bx+2b
14.
x2 +x-2
mx 2 +nx 2 -m-n
6x
•
•
x2 +2x+1 3m+3n
x 4 +8x
15.
9m 2 -4 30m 2 -lOm- 20
•
12m+8
9m 2 + 12m+4 15m-lO
J
j
I
=
•
16.
x 2 -x-6
17.
x -1
x-x
3
J[2
[x2 - 2x + I x2 - I J=
División de fracciones algebraicas
Para efectuar la operación de división, recordando que ésta es inversa de la
multiplicación, primero se factoriza cada numerador y cada denominador, y
144 • Matemáticas 1
posteriormente se indica el inverso multiplicativo del divisor para reali ar la
operación y reducir factores.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
2
( 6x -54 ]
l2x 2 -9x-5
2
2
2
(3X -18X+27]
6(x -9)
3(x -6x+9)
x 2 -3x-IO = (2x+I)(x-5): (x-5)(x+2)
+l
_ 6(x-3)(x+3).
.
-
(2x+l) (x-S)
=
=
3(x-3)2
(x-S) (x+2
6(x - 3)(x + 3) (x - 5)(x + 2)
•
(2x + I)(x - 5)
3(x - 3)2
6(x -3) (x + 3)(x- 5) (x + 2)
3(2x + I)(x -5)(x _3)2
2(x + 3)(x + 2)
(2x+l)(x-3)
2x 2 + IOx+ 12
2x 2 -5x-3
Ejemplo 3
x 3 -8x 2 +16x
x 2 -16
6x 3 -24x 2
6x
x(x 2 -8x+16)
6x 2(x-4)
(x-4)(x+4)
6x
Fracciones algebraicas· 145
X(X-4)2
6x
6x 2 (x-4) (x-4)(x+4)
=
1
x+4
Ejercicios
Resolver las siguientes operaciones.
1.
2
4
-----=
2
2. 4m -4m
4m+6
2
3. 4x +4x+ 1
x+6
m2-2m+l
16m 2 +48m+36
8x 3 + l
x 2 +5x-6
Grupo 5.6
Resolver las siguientes divisiones.
+ + +
1.
(:62)+( 6;:4)=
2
2
5. 3mx 3my nx ny
x 4 -y 2
2.
(_:;3)+(3::)=
6.
3. (4X::4-xl+J+Cx~=::-3)=
4.
6)(54)
3x - 3x
_
(9_x_
x+5
x2 +4x-5
~
7.
8.
8x 3 +1
5x 2
4x2
6m+2n
x 4 +2x 2y-3y 2
++
4x
1
10x 4
2a 2x-2bx+a 2y-by . a 4 -2a 2b+b 2
2x 2 +5xy- 3y 2
4x 2 -y 2
m 3 +n 3
m 2 -n 2
m 2 -mn +n 2
m 2 -2mn+n 2
=
146 • Matemáticas 1
9.
lO.
3X2 + 5xy + 2y2 . 3ax + 3bx + 2ay + 2by
5x 2 + 10xy+ 5y 2
30x2 + 45xy + 15y2
Fracciones algebraicas· 147
EVALUACIÓN PARA EL CAPÍTULO 5
I. Reducir las siguientes fracciones algebraicas.
l.
2.
6m 2
6am-12bm
5.
x2 -9
6.
x2 -3x
3x 3 +x 2
3x 2 -2x-1
x 3 +1
2x 3 -2i +2x
2
-2x-3
3. x
x2 +6x+5
4.
12a-4a 2 -9
2ab+ 2a - 3b- 3
12a-4a 2 -9
2ab+ 2a -3b-3
II. Resolver las siguientes operaciones con fracciones.
2
5
7. -+-+
x
x2
1-2x 2
x3
12.
I
2m+ I
- - + --:c--2
m+ I m +2m+ I
2
=
14.
J
0 -4
a 4 +50 3 +60 2 =
2
13. (8X ;14x+3
x +6x
5-x
3x
8. - - - - x+8 x-8
9.
e)-;; +(
J+( 4x2 ;12x+9 J=
x -36
X:6+(~J(Xx~IJ-U~X)+(x;_J=
15. (20
~ I J+(2ao~1 J- ~ +(ao~77 )( al+ 7 J
=
Matemático ~ ~{ós(Jfo alemán;
en
Leipzie ~ faUeció en Hannover,
Iif!lJI> lo consiberan
ílrutl,tíl que consiquió conocimientos
universales su ':
tm
probieio¡ cu~os ta ntos universales
persistieron burante
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ser un verbaoero personaje
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T!articu(ar, Est¡¡oió
Filosofla ~ Matemáticas, ~ más ~h~Ar
beblcó a la biplomacia. Se 114
en las Matemáticas c¡¡anoo
sus viajes los
a personajes como
11I!'V1''''''''' invento fue
máquina
calcular que}
restar,
~ multiplicar.
empezó a trabajar en
sistema be análisis maten1atl
en
Con
obra
Su
oe
6
ECUACIÓN Y FUNCIÓN
DE PRIMER GRADO
En este capítulo se verá cómo se relacionan una ecuación y una función, la
manera de resolver ecuaciones de primer grado, el despeje de las ecuaciones
literales y la resolución de problemas de aplicación.
FUNCIÓN Y ECUACIÓN
Ejercicio
Traducir al lenguaje algebraico el siguiente enunciado dado en lenguaje común: "Si al doble de un número se resta tres, se obtiene otro número."
Solución
Si x es el primer número, entonces el doble del número es 2x.
El doble del número restado con tres es 2x - 3.
Si Y es el otro número, entonces la expresión algebraica es 2x - 3 = y, o
y=2x-3.
Existe una relación entre x y y, puesto que para hallar un valor para y es
necesario asignar un valor para x, entonces se dice que el valor de y depende
del que tengax. Si x puede tornar su valor de entre los elementos del conjunto
de los números reales, entonces el valor de y será otro número real.
Este tipo de relación entre dos conjuntos se denomina función, donde x se
conoce corno variable independiente y y corno variable dependiente. La expresión matemática que relaciona las variables se denomina regla de correspondencia; para cada valor de x corresponde un valor de y, generando así un
conjunto de parejas ordenadas de la forma (x, y), donde los valores de la variable independiente x se relacionan una sola vez, es decir, no se pueden repetir.
La notación para una función es de la siguiente forma:
f R -> R,y = 2x -3, o bien,f(x) = 2x - 3.
En la primera forma,findica que se trata de una función; R -->Rindica los
conjuntos a relacionar; y = 2x - 3 es la regla que los relaciona.
149
150 • Matemáticas 1
En la segunda fOTIlla se denota que y está en función de x, media te la
expresión y ~ j{x), es decir, en lugar de escribir y ~ 2x - 3, como y e tá en
función de x, entonces se representaf(x) ~ 2x - 3. Esta última fOTIlla es I que
utilizaremos.
Si a y b son números reales (función de primer grado), se pueden repr sentar de la siguiente manera:
f(x)
~
ax + b
Si A, B Y e son números enteros (ecuación de primer grado), se p eden
representar como sigue:
Ax + By + e ~
o de primer grado con dos incógnitas.
Ax + e ~ o de primer grado con una incógnita.
Si en una expresión matemática con dos variables lineales la variab e dependiente está despejada, o tiene la notación funcional, entonces repr senta
una }Unción de primer grado o ecuación de primer grado.
Ejemplos de función
2x- 3
f(x)
~
y~
-3x+4
f(t)
~
5t - I
P~4n
f(x)
5
~3
Ejemplos de ecuación
x+
5a
3y~
10
-8b~35
7x~9-5y
2x+ 9y-25
x+ 2
I
--t~
4
~
O
5d
Gráfica de una función de primer grado
La gráfica de una función es la representación esquemática del conju to de
puntos que genera una función en un plano cartesiano.
Método de tabulación para graficar una función
Para graficar una función lineal se evalúa dicha función para diferentes v
consecutivos de la variable independiente, x, obteniendo así los valores c
pondientes de la variable dependiente, y.
Cada pareja de puntos de la fOTIlla P(x, y) se localiza en el plano cart
y los puntos obtenidos se unen mediante una recta, por lo cual se den
}Unción lineal.
lores
rresiano
mma
Ecuación y fonción de primer grado • 151
Ejemplo 1
Construir la gráfica de la función j(x)
~
2x - 1.
Solnción
La tabla muestra cómo evaluar la función para diferentes valores de x.
f(x)
x
~
2x-1
f(x)
P(x, y)
-2
f(- 2)
- 5
-5
A(- 2, - 5)
-1
f(-I)~2(-I)-1 ~-2-1 ~-3
-3
B(- 1, - 3)
-1
C(O, - 1)
O f(O)
~
~
2 (O) - I
I
f(I)~2
2
f(2)
~
2 (- 2) - I
(1)-1
2 (2) - I
~
~
- 4- I
O- I
~
~
- I
~2-1 ~
I
I
D(I, 1)
4- I
3
3
E(2,3)
~
~
Mediante la función es posible:
a) Observar la variación tabular entre los valores de cada variable.
b) Elaborar la gráfica para precisar
la tendencia de los valores de las
variables, a través de la localización de los puntos en el plano.
c) Analizar y resolver problemas de
aplicación.
y
6
5
4
3
2
Cuando asignamos un valor en parti'
3 4 5
cular a la función, se tiene una ecuación. -6 - 5 -4 - 3
Recordar que f(x) ~ y.
Por ejemplo, si y ~ 3, entonces la
ecuación es 3 ~ 2x - l.
Pero si y~ O, entonces la ecuación es
solución
0~2x-1 02x-1 ~O.
de la ecuación
Cuando una función se representa en
el sistema de ejes cartesianos, y desea-6
mos obtener la solución de su ecuación,
entonces se dice que calculamos los ceros de la fonción o raíces de la ecuación; esta es la vinculación entre el
concepto de la función y su ecuación, y para ello se debe asignar y ~ O.
En otras palabras, la solución de una ecuación son los puntos donde la gráfica de la función intercepta con el eje de las abscisas; en la gráfica de la
derecha se observa que siy ~ O, entonces x ~ 1/2,
Por 10 tanto, se dice que en general una ecuación es un caso particular de
una función.
6
152 • Matemáticas 1
Mediante una ecuación es posible:
a) Hallar el valor de la incógnita.
b) Analizar y resolver problemas de aplicación.
Sin embargo, es importante hacer una correcta interpretación de los asos
particulares de una función, ya que en muchos problemas de aplicaci' n se
pueden plantear diferentes ecuaciones para diversos valores de la va iable
dependiente.
Ejemplo 2
Una empresa que fabrica computadoras paga a sus promotores un incení" o de
580 pesos por cada equipo vendido; si cada promotor tiene un sueldo b se de
3 000 pesos mensuales, hallar:
a) La función que calcule el sueldo mensual de sus promotores.
b) La ecuación que indique el número de unidades que se deben v nder
para obtener un sueldo de II 700 pesos.
Solución
En este tipo de problemas es necesario identificar las variables dependi nte e
independiente; en este caso la variable dependiente es el sueldo; la v 'able
independiente, el número de computadoras vendidas, y el sueldo depen e del
número de equipos que se vendan.
Si y ~ sueldo mensual y x ~ número de equipos vendidos, el pa por
concepto de incentivo se obtiene multiplicando 580 por el núme o de
computadoras vendidas: 580x.
a) Para obtener el sueldo mensual, y se deberá sumar al pago del ince tivo,
580x, y el sueldo base de 3 000 pesos; esto es: y ~ 580x + 3 000, ue es
la ecuación. La función esj(x) ~ 580x + 3 000,
Con la función anterior es posible calcular el sueldo de una perso a que
venda cualquier cantidad de computadoras.
b) Se pueden plantear preguntas como: ¿Cuántos equipos se deben ender
para obtener un sueldo de II 700 pesos? En este caso, y ~ II 700; or lo
tanto, se tiene la ecuación II 700 ~ 580x + 3 000.
Otro problema que podemos resolver mediante una ecuación linea es el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
En un grupo de 60 alumnos se realizó una votación para elegir al jefe de g po de
entre tres candidatos: Laura, Arturo y José. Se sabe que Arturo obtuvo la itad
de votos que obtuvo Laura y José 28 votos menos que ella. Se desea saber
cuántos votos obtuvo el ganador, considerando que hubo ocho abstenc ones.
- _ _!I!!.!III.i"""''''''''IOO¡- -
Ecuación y fonción de primer grado· 153
Solución
Para plantear la ecuación obsérvese que el número de votos de Arturo y José
están en función de los votos de Laura, por 10 tanto, conviene asignar la incógnitax al número de votos que obtuvo Laura, de modo que Arturo tendrá XI
2 votos y José x - 28. Como se sabe que ocho alumnos no votaron, la ecuación
es la siguiente:
x
x +-+ (x-28) + 8 ~ 60.
2
En los ejemplos anteriores se genera una ecuación, y dado que el objetivo
de este capítulo es aprender a resolver problemas que generan una ecuación
lineal, a continuación se describe el procedimiento de resolución de una ecuación lineaL
Ecuación
En general, una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas, donde
puede haber una o más incógnitas que se representan por literales.
Cuando la ecuación tiene una incógnita, cuyo máximo exponente es la unidad, se dice que es de primer grado o lineal; cuando el máximo exponente es 2,
se denomina de segundo grado o cuadrática; cuando dicho exponente es 3, se
llama de tercer grado o cúbica, etc., como se vio en la clasificación de las
expresiones algebraicas.
Ejemplos
1. 3x + 2(x - 1) + 5 ~ 2 - 7x es de primer grado.
2. 5x + x2~ 2 -4x + 3x2 es de segundo grado.
3. 2(x + 3) - 3x ~ 5x 3 + 2x2 - 4 es de tercer grado.
4. 2x + 6 ~ 3y - 1 es de primer grado con dos incógnitas.
5. Y + 1O~ 2x2 - 5x es de segundo grado.
6.
(x - 2)2 + (y
+ 1J2~ 9 es de segundo grado con dos incógnitas.
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
Y SU SOLUCIÓN
Es útil ejemplificar algunos conceptos recurriendo a las analogías. En este
caso, una ecuación se puede comparar con una balanza en la que, para mantener el equilibrio, es necesario que en ambos lados haya el mismo peso. (Observar la figura de la siguiente página.)
a) El peso en ambos lados es de 40 g, esto es, a = 40 g Y b ~ 40 g =} a = b.
b) Al agregar 15 g al plato derecho, el mecanismo se desbalancea, esto es,
40< 40+ 15
=}
a<b+c.
154 • Matemáticas J
el
Para balancear nuevamente es necesario agregar los mismos 15 g del
lado izquierdo de la balanza, esto es, 40+ 15 ~40+ 150=; a+c~b+c, y se
obtiene de nuevo la igualdad.
a
al
La anterior es la principal propiedad de las ecuaciones.
Cuando se realiza una operación cualquiera en cualquier lado de
una ecuación, dicha operación debe realizarse en ambos lados de la
Al obtener la expresión matemática de un problema dado en lenguaje común, la cual también se conoce como ecuación o modelo matemático, es
necesario resolverla para conocer el valor de la incógnita. El procedimiento
para resolver una ecuación lineal es el siguiente:
1. Eliminar símbolos de agrupación utilizando la propiedad distributiva.
2. Eliminar denominadores multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo.
3. Reducir términos semejantes.
4. Agrupar términos semejantes en un solo lado de la ecuación, utilizando la propiedad del inverso aditivo.
5. Reducir nuevamente los términos semejantes.
6. Eliminar el coeficiente de la incógnita, utilizando el inverso
multiplicativo para determinar la solución de la ecuación.
7. Para comprobar el resultado, éste se sustituye en la ecuación original, se hacen las operaciones y se debe llegar a una igualdad.
Ecuación y función de primer grado· 155
Hay ecuaciones cuya representación no es una ecuación lineal, pero reducida adecuadamente neva a una ecuación lineal. Este tipo de ecuaciones se
verá más adelante.
Algunos ejemplos que se resuelven con el método descrito son los siguientes:
Ejemplo 1
Resolver: 3x + 9(x-l) ~ IOx-7
Eliminando símbolos de agrop.ación:
3x+9x-9~ lOx~7
Reduciendo términos semejantes:
12x-9~IOx-7
Aplicando el inverso aditivo:
l2x-9 +2- 10x ~ IOx-10x-7 + 2
l2x-IOx~-7+9
2x~ 2
Aplicando el inverso multiplicativo:
2x 2
-=-
2
2
:. x= 1
La comprobación se hace sustituyendo el resultado de la ecuación en la expresión original donde, al realizar las operaciones, la igualdad se debe verificar:
3(1) +9(1-1) =10(1)-7
3+9(0) =10-7
3+0 =3
3=3
Lo cual indica que x
~
I es la solución.
Ejemplo 2
Resolver: 2m + 4 ~ 14- m + 3m - 5m·
2m + 4 = 14 - 3m
2m + 3m = 14 - 4
5m=JO
lO
m=5
:.m=2
Ejemplo 3
Resolver: 5(0 + 4)- 2(15-7a)= 32- 3(1-20)
156 • Matemáticas 1
5a +20-30+ 14a = 32- 3+6a
19a -10 = 29+6a
l3a = 39
39
a=13
:. a = 3
Ejemplo 4
Resolver: 3x = 4 + x _ 4
3
3(3x) =
{
4;X -4)
9x=4+x-12
9x - x = 4 -12
8x=-8
:. x =-1
Ejemplo 5
x+4 3-x
Resolver: - - + - - = x - 5
5
3
Multiplicando por el común denominador:
15( X;4 + 3;X )=IS(X-S)
3(x + 4) + S(3 -x) = 15(x -S)
3x+ 12+ 15-5x= 15x-75
- 2x+27= 15x-75
- 2x-ISx=-7S-27
-17x =-102
-102
x=--
-17
:. x= 6
Ejercicios para la clase
Resolver las siguientes ecuaciones.
l. 6(x+ 3)= 3x-9
Ecuación y función de primer grado· IS7
2. x+%X-S=4[%-I)
3.
z[ ~-I)=9-3X+%(I-X)
4. x+3_x-S=2+x-I
2
4
2
6
S. x+3 -10='::
S
4
Grupo 6.1
Resolver las siguientes ecuáciones.
1.
Sx~10=8-4x'
9.
x+ 2(80 - x) = 100- 4(2S- x)
2. 3(x-6)=5(x+4) :
lO. l.Sx+ 18(x-2.4) = I
11. 2S-7x=8x+10
x
3. -=x-6
4
12.
x+(x+I)+(x+2)+(x+3)=26
13.
----=--
3
.
4 .. ZX+4= 3\7+x)-8
S. 2x+ II
7
6. 3x+1
2
~(13-4x)
.
14.
+Sx=4~ 3x+3
x
9-Sx
3x-S
8
4?
12
-
-
1+0.2(18x-9)=1.6
IS. [3- 4n+ S + I =4
.3
7.' 2x+3 + x-4 +2= 6x-S +~
S
3
2
2
8. 6(x-S)+7(3-,2x)+6=0
16. 2[ 3X -1 +6(
2
x;
ECUACIONES REDUCIBLES A LINEALES
Hay ecuaciones que no son lineales, pero pueden resolverse aplicando los
conceptos ya conocidos.
Ejemplo 1
Resolver:
3
I
3
-----=--
4 )J+%x= O
158 • Matemáticas I
Multiplicando por el mcm: = (x - 2)(x +2)
(x-2)(x+
2) (_3___I_J
x2 -4
= (x- 2)(x+
x-2
2)(_3_J
x+2
3-(x+2)=(x-2) (3)
3-x-2=3x-6
l-x=3x-6
1+6= 3x+x
7=4x
7
x=4
Ejemplo 2
Resolver: 5.
'¡;::;:l+ 6 = 26
5.¡;;¡ =26-6
5.¡;;¡ =20
¡;;¡ = 20
5
¡;;¡ =4
x+I=(4)2
x + 1 = 16
x=15
Ejercicios para la clase
Resolver las siguientes ecuaciones.
1.
6-(x+7)(I-x)=x(x+4)-3
2. &+1 =5
3.
2
2x +6x+7 =2x+3
x-I
Grupo 6.2
Aplicar los conceptos adecuados a las siguientes ecuaciones.
2
1. 3(x -5x+7)-2x 2 =3+x 2 +6x
Ecuación y función de primer grado • 159
3.
x+3
x+2
3x2 + X 3 = -11
4.
(1 -
5.
(x+I)2 _(x_I)2 =2x+3
6.
2-fu
X)3 _
2
-2
7.
8.
9.
3x+2ax+6a+9 = 3b+ bx
r;:-9
-v2x +5= r;:-v2x - 5
(x-I)(H 5)- (H 2) (x- 3) = 3(1-5x)
10.
15=5.~x2 -6x+9
11.
3.~2x-3x +1 = 13
12.
3x
5x-17
6
ECUACIONES CON LITERALES
En las distintas áreas del conocimiento con frecuencia se aplican ecuaciones o
fónnulas en las que es necesario despejar uno de sus elementos para detenninar su valor.
Ejemplo 1
Se desea' determinar la base de un triángulo del que se conoce la altura y el
área, y cuya fónnula es:
b·h
A=2
donde b = base y h = altura; se debe despejar b, por lo que las propiedades se
utilizan de la siguiente fonna:
A= bh
2
2(A)=2(b;)
160 • Matemáticas J
2(A) = bh
2A
-
bh
-
h
h
2A =b
h
:. b= 2A
h
Ejemplo 2
Si la expresión P
despejar h.
=
2( a + h) es la fórmula del.perímetro de un rectá gulo,
P= 2a +2h
P- 2a = 2a - 2a +2h
P-2a=2h
P-2a
2h
---
--
2
2
P-2a
--=h
2
a
:. h = ::...P_-_2-'C
2
Ejemplo 3
Si la expresión S = CCl + it) es la fórmula del monto (M) de un capital (
se invierte a una tasa de interés simple, despejar i.
que
S =C+Cit
S-C=Cit
S-C
--=i
Ct
S-C
:.i=-Ct
Ejemplo 4
Si la fórmula para calcular el último término de una progresión aritmétic es la·
siguiente, despejar n.
u=a+(n-I)d
Ecuación y función de primer grado· 161
u-a =(n-1)d
u-a=nd-d
u-a+d=nd
u-a+d
d
=n
:. n ==
u-a+d
d
.Ejemplo 5
De la fónnula del área de un círculo despejar el radio (r).
A=rcer 2
H=r
:.r=H
Ejercicios para la clase
Despej ar laJiteral indicada en cada ecuación.
L Despejar a:
2(a +b)+ 3b= a -b+5
2. Despejar m:
m+2 m-n
--+--=2m+n
3
2
3. De la fónnula de la distancia con velocidad variable despejar a.
1 2
d = vot +-at
2
162 • Matemáticas 1
4. De la fórmula de la Ley de la Gravitación Universal despejar m2'
Grupo 6.3
Despejar la literal indicada en cada caso.
1. De la fórmula del monto de una inversión a interés simple despej
t.
S =C(l +it)
2. De la fórmula del área de un trapecio despejar B.
3. De la fórmula para calcular el último término de una progresión geom trica
despejar el factor a.
4. De la fórmula para calcular la velocidad despejar t.
V=d
t
5. De la fórmula para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit despe ar C.
F=~C+32
5
6. De la fórmula del desplazamiento de un cuerpo en caída libre despej r Vo'
h = Vat + l gt 2
2
7. De la fórmula de la Ley de Boyle despejar V2.
PI = V2
P2
V¡
8. De la fórmula de la Segunda Ley de Newton despejar a.
F=ma
9. De la fórmula de la suma de los ángulos internos de un triángulo r tángulo despejar B.
A+B+C= 180'
10. De la fórmula del monto de una inversión a interés compuesto desp jar i.
S=C(l+i)n
Ecuación y función de primer grado' 163
11. De la fórmula del área de un cuadrado despejar o.
A =0 2
12. De la fórmula del perímetro de un trapecio despejar d.
P=2d+b+B
13. De la fórmula para calcular la resistencia total de un circuito en paralelo
despejar R,.
1
1
1
RT
R,
R2
-=-+14. De la forma general de una ecuación lineal despejar y.
Ax+By+C=O
15. De la forma simétrica de la ecuación lineal despejar y.
'::'+2:'.=1
o
b
16. De la fórmula del perímetro de una circunferencia despejar r.
P=2-1t-r
17. De la fórmula del Teorema de Pitágoras despejar o.
e 2 =02+b2
18. De la fórmula para calcular la velocidad media despejar V¡-
_ Vi + Vf
Vi" - -'--~'--
2
19. De la fórmula para calcular el volumen de un cilindro despejar r.
V=¡¡or 2 • h
20. De la fórmula para calcular el área deun triángulo, conociendo la longitud de sus lados y el semiperímetro, S, despejar e.
A = ~S(S -o)(S - b)(S - e)
21. Despejar x de la parábola cuya ecuación es:
y=(x-3)2 +9
22. Despejar x de la siguiente expresión:
2x2y-6x2z+5=0
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES LINEALES
No existe un procedimiento definido para resolver problemas mediante
ecuaciones lineales, aun cuando el tema se ha investigado por mucho tiempo
y en la actualidad se. continúa haciendo.
164 • Matemáticas 1
Este interés da una idea de la importancia de aprender a resolver pnlbjlerrlas
cotidianos, pues así se demuestra al alumno la importancia de aprender
máticas.
El método que se sugiere para resolver un problema que implica "no' pe,
ción lineal es el siguiente:
1. Leer el enunciado el número de veces necesario, hasta
prenderlo.
2. Identificar los datos y la incógnita, asignando a ésta un.a
3. De ser posible, utilizar una figura que relacione los datos y
incógnita del problema.
4. Relacionar los datos y la incógnita para plantear la ecua"JUlllu
modelo matemático.
5. Resolver la ecuación.
6. Interpretar la solución de la ecuación para.resolver el pnlbl,~m:~.
Ejemplo 1
Un terreno rectangular tiene de longitud el doble de su ancho más 15
perímetro es de 150 m, hallar sus dimensiones.
Solución
Si el ancho es x, entonces la longitud es 2x + 15.
La fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo es:
Perímetro
~
2 (ancho) + 2 (longitud)
El modelo matemático es, entonces:
150 ~ 2x + 2(2x + 15)
Resolviendo:
150 ~ 2x+ 4x+ 30
6x+ 30
150- 30 ~ 6x
150~
120~
6x
x~
ancho
120
-~x
6
longitud
~
2x +15
x~20
Sustituyendo el ancho y la longitud en las expresiones deltennirladla4:
ancho ~ x ~ 20 m
longitud ~ 2x + 15
~
2(20) + 15
~
40 + 15
~
55 m.
Ecuación y función de primer grado· 165
Por lo tanto, la solución es: ancho
~
20 m y longitud ~ 55 m,
Ejemplo 2
La edad de Luis es el triple de la de su hermano; si entre ambos suman 32 años,
,hallar la edad de Luis.
Solución
Six es la edad del hermano, entonces la de Luis es 3x; por lo tanto, la ecuación es:
x+ 3x~ 32
4x~32
32
x~-
4
x~8
La edad de Luis es 3x ~ 3(8)
~
24, es decir, 24 años.
Ejemplo 3
, Una persona camina tres cuartas partes de lo que recorre en bicicleta; si en total
avanza 2 625 m, halIar la distancia que recorre en cada forma.
Solución
Si' x es la distancia recorrida en bicicleta, entonces
3
-x
4
es la distancia que camina. Como la distancia total que avanza es de 2 625 m, la
eq¡ación y el procedimiento de solución son:
x+~x~2
4
4x+3x~1O
7x~
625
500
10 500
10 500
x~---
7
x
~1
500
Sustituyendo el valor obtenido en las expresiones del problema:
recorrido en bicicleta
'd
~x ~
,3
3
4
4
1 500
reCOITl o a pIe -x = -(1 500) ~ l 125
166 • Matemáticas J
La solución es: en bicicleta, 1 500 m, ya pie, 1 125 m.
Ejemplo 4
Si la suma de tres números enteros consecutivos es 624, hallar esos nú
ros.
Solución
Si el primer número es x, entonces el segundo será x + 1 Y el tercero, x + ; por
lo tanto, la ecuación es:
x+(x+ 1)+ (x+ 2) = 624
x+ x+ 1 +x+ 2= 624
3x+ 3 = 624
3x=624-3
3x= 621
621
x=3
:. x= 207
Sustituyendo en las expresiones x, x + 1 y x + 2, tenernos que los n'
son 207, 208 y 209, respectivamente.
eros
Ejemplo 5
A un cine asisten 115 personas; el precio de entrada de los niños es e 15
pesos, y el de adultos, 35 pesos. Si se recaudan 2 565 pesos, ¿cuántos iños
asisten al cine?
Solución
Si x es el número de niños que asisten, entonces 115 - x es el núme o de
adultos; la ecuación es:
l5x+35(115-x)=2565
l5x+4 025 -35x=2 565
- 20x = 2 565 - 4025
- 20x =- 1460
x
-1460
-20
:. x= 73
Por lo tanto, asistieron 73 niños.
Ecuación y función de primer grado· 167
Ejercicios para la clase
Resolver los siguientes problemas.
1. Juan tiene el doble de pesos que Raúl más 100 pesos. Si entre ambos
tienen 205 pesos, ¿cuánto tiene cada uno?
2. Un terreno rectangular tiene 75 m más de largo que de ancho. Si su
perímetro es de 330 m, hallar sus dimensiones.
3. Una persona realiza un viaje: en autobús recorre 1/3 de la distancia; en
bicicleta, 3/ 10 de la distancia, y a pie, 22 km. ¿Qué distancia recorre?
4. Unjardín tiene forma triangular: el lado mayor tiene el doble de la longitud del lado menOr más 3 m, y el lado medio es 513 del lado menor. Si su
perímetro es de 87 m, hallar las dimensiones del jardín.
Grupo 6.4
Resolver los siguientes problemas.
1. Si al tríple de un número se resta 15, el resultado es 81; hallar ese número.
2. Un televisor cuesta el cuádruple de lo que cuesta un equipo modular
menos 300 pesos. Si entre ambos el precio es de 20 700 pesos, hallar el precio
del modular.
3. Si la suma de tres números enteros consecutivos es 372, hallar esos
números.
4. Si la suma de tres números pares consecutivos es 624, hallar esos números.
5. Si el cociente de un número y 6 equivalen al doble de la diferencia del
número y 11, hallar ese número.
6. En un grupo escolar el número de alumnos que aprobaron Inglés fue el
cuádruple más cinco de los que no aprobaron; si en el grupo hay 60 alumnos,
¿cuántos aprobaron?
7. La edad de Luis es dos tercios de la edad de Laura. Si la suma de
ambas edades es de 65 años, ¿cuál es la edad de cada uno?
8. Don Andrés deja una herencia de 157500 pesos a sus hijos Andrés,
Sofia y Ramiro, de la siguiente manera: a Solia le corresponde el tríple de lo
que deja a Ramiro, y a éste, el doble de lo que le corresponde a Andrés.
¿Cuánto recibe cada uno?
9. Si dos ángulos son suplementarios y uno de ellos es dos tercios del otro
más 15°, hallar el valor del ángulo agudo.
10. La longitud de una ventana rectangular es de 90 cm mayor que su
ancho. Si su perímetro es de 11.8 m, hallar las dimensiones de la ventana.
I!. Dos atletas corren en sentido opuesto a 24 km/h y 8 km/h, respectivamente. Determinar el tiempo que tardarán en estar 4 km separados uno del otro.
12. Se desea combinar 24 kg de chocolate de 15 pesos el kilo con otro de
21 pesos y obtener una mezcla para vender a 17 pesos el kilo. ¿Qué cantidad
de chocolate del segundo tipo se necesita?
13. Una persona desea invertir 30 000 pesos; una parte al 5% y otra al
10%. ¿Cuánto debe invertir a cada tasa de interés para que el rendímiento sea
el mismo que si invirtiera todo al 8%?
168 • Matemáticas 1
14. Un automóvil pasa por un punto P a 100 km/h; después de media hora
otro automóvil a 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar al primero?
15. Una máquina puede producir un lote de tomillos en 3 h, Y otra ás
moderna hace el mismo trabajo en 6 h. Hallar el tiempo que tardarán en pr ucir ese lote trabajando juntas.
16. Un móvil inicia un recorrido a una velocidad de 6 km/h. Cinco min tos
más tarde, un segundo móvil sale del mismo lugar y hace el mismo recorri o a
una velocidad de 8 km/h. ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo móvil al nmero?
17. Una persona presta 25 000 pesos; una parte al 8% de interés anual el
resto al 12%. Hallar el monto de cada préstamo si el interés total por año ue
recibe es de 2 520 pesos.
18. Un comerciante invierte 7 500 pesos a cierta tasa de interés y 10 00
pesos a otra tasa de interés que corresponde a 3/4 de la primera. Su entr da
anual por concepto de intereses es de 1 500 pesos. Hallar las tasas de inte éso
19. Un hombre presta 6800 pesos a una tasa de interés y 4500 pesos a na
tasa de interés mayor en 2%. El préstamo de 6 800 pesos obtiene 71 p sos
menos cada año que el préstamo de 4 500 pesos. Hallar las tasas de inter s.
20. Un estudiante puede obtener una beca para el año siguiente sólo si e el
curso actual obtiene un promedio final de 85. Su situación actual es la siguie te:
calificación promedio de 70 por sus tareas y 82 en sus exámenes. Si la t ea
cuenta 2/ 10, los exámenes parciales 5/10 y el examen final 3/ 10, hallar la cali
ción del examen final que le permitirá obtener la beca.
21. Una persona condujo 190 km en 2 h; parte del viaje lo realizó a
velocidad de 80 km/h Y el resto a 100 km/h. Hallar el tiempo empleado
velocidad más baja.
22. Para desarrollar un nuevo centro comercial una compañía rec· 10
un préstamo de 3 500 000 pesos por un periodo de cuatro años. Si el int rés
pagado fue de 1 820 000 pesos, hallar la tasa de interés.
Ecuación yfunción de primer grado· 169
EVALUACIÓN PARA EL CAPÍTULO 6
I. Resolver las siguientes ecuaciones.
1. -6x+3(x-2)+12=0
2. 4x-5(l+x)=7x-9
3.
5.
6
3x+ 7
3
II
IOx+3
3(X+I_4)=~+ 5-x
--=-
2
2
6
2
Il. Despejar la literal indicada en cada expresión.
6. Despejar b
7. Despejar t
s= e (1 + it)
8. Despejar n
3m 2 n+ 5(2m-6mn) = mn + I
9. Despejar y
7
5xy+6=-+4y
3x
10.
Despejar a
3a(x 2 -1) = 12b(l- x2)
1Il. Resolver los siguientes problemas.
11. Un grupo de excursionistas caminan el segundo día el triple de lo que
caminaron el primer día, y el tercer día 5 km más que el segundo. Si en los tres
días avanzaron 54 km, ¿cuánto caminaron cada día?
12. La suma de cuatro números enteros pares consecutivos equivale a 84;
hallar esos números.
13. El perímetro de un parque rectangular es de 220 m. Si la longitud excede al triple del ancho en 10m, hallar las dimensiones del parque.
Samos
Se
38 Grecia :g
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olas.
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se le
7
SISTEMAS DE ECUACIONES Y
SU RELACIÓN CON
LAS FUNCIONES
Existen enunciados en lenguaje común que conducen al planteamiento de dos
funciones, como:
"El doble de la'diferencia de un número y uno, equivale a otro número. Si la
suma de ambos equivale a siete, hallar las funciones y su gráfica".
Solución
La diferencia de un número y l es x ~ 1. El doble de esta diferencia es 2(x ~ 1).
Si lo anterior equivale a otro número, entonces 2(x ~ 1) = y. Si la suma de
ambos números equivale a 7, entonces x + y = 7.
Reuniendo las ecuaciones tenemos:
2(x ~ 1) = Y
(1)
x+y=7
(2)
Despejando la variable dependiente:
y=2x
~2
(1)
y=~x+7
(2)
Las funciones son:
2
(1)
f(x}=~x+7
(2)
f(x)
= 2x~
Estas funciones son de primer grado, y como se deben obtener dos líneas
rectas, para construir la gráfica basta asignar dos valores a la variable independiente.
171
172 • Matemáticas 1
y
Para la ecuación (1)
8
Si x = O,f(O) = -2:. A(O, - 2)
7
Si x
6
= 5,f(5) = 8:. B(5,
8)
Para la ecuación (2)
5
4
Six=O, 1(0)=7:. ceO, 7)
3
Si x = 6,f(6) = 1:. A(6, 1)
2
- - - - - _,- - -:- - I - .
I
---,-,---,-,-+---A'--¡--+_,-_'¡--;---,--+ x
234567
En la gráfica se aprecia que las recta tienen intersección en el punto P(3, 4), qu corresponde a la solución del sistema de ecuac ones
que se obtuvo al inicio, esto es:
2(x - 1) = Y
(1)
x+y=7
(2)
Si los valores x = 3 YY = 4 se sustitu nen
el sistema anterior, se tiene la igualdad e ada
caso:
-5
2(3
~
1) - 4
(1)
2(2) - 4
4-4
3+4-7
(2)
7=7
Esto confirma que el punto mencionado es común a ambas ecuacion s.
Resolver una ecuación lineal con dos incógnitas sólo se puede lograr si se
tiene otra ecuación con las mismas incógnitas formando así el llamado iste-
ma de ecuaciones.
Si a, b, c y d son números enteros, la forma general es la siguiente:
Para un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
a¡x+b¡y=c¡
(1)
a2x + b¿y = c2
(2)
Para un sistema de ecuaciones con tres incógnitas:
a¡x + b¡y + c¡z - d¡
(1)
a2x + b¿y + c 2z = d 2
(2)
+ b3Y + c3 z
(3)
a3 x
=
d3
Cuando se habla de la forma general de un sistema significa que el sis ma
dado se debe ordenar tal y como 10 indica el formato antes de aplicar a gún
procedimiento que permita resolverlo.
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones' 173
Por ejemplo, en el sistema
5x~-3(y+4)
(1 )
4x + 7y+5
(2)
~
O
se deben realizar las operaciones necesarias para representar la expresión de
acuerdo can la forma general para los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas. Al aplicar las propiedades necesarias el sistema será el siguiente:
5x+ 3y~-12
(1)
4x +7y~- 5
(2)
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Aunque no es necesario dominar todos los métodos que se conocen para
resolver un sistema de ecuaciones, a continuación se presenta el procedimiento que se aplica para cada uno de ellos para que el estudiante elija el más
adecuado a sus conocimientos.
Método algebraico de suma o resta
Procedimiento
1. Elegir la iocógnita a eliminar y realizar una operación de multiplicación tal, que haga los coeficientes de la incógnita elegida uno el inverso
aditivo del otro.
2. Sumar verticalmente el sistema y resolver la ecuación resultante
para hallar el valor de la primera incógnita
~. Sustituir el valor hallado en una de las ecuaciones del sistema reducido y despejar la otra incógnita.
Ejemplo 1
3x+5y~9
(1)
x-2y~-8
(2)
Multiplicando (2) por - 3:
Sustituyendo yen (2):
3x+5y~9
(1)
x- 2(3) =-S
-3x+6y~24
(2)
x-6=-S
O+
lly~33
33
y~-~3
11
y~3
x=-S+6
x=-2
174 • Matemáticas 1
Ejemplo 2
5
7
-x--y=--4
2
3
(1)
3
3x=-y+ 3
(2)
2
-78
y=-I3
:.y=6
Sustituyendo yen (1)
Multiplicando (1) por 6 y (2) por 2:
15x- 14y=-24
6x=3y+6
5
7
-x--(6)=--4
2
3
(1)
(2)
5
-x-14=-4
2
El sistema ordenado es:
15x- 14y=-24
(1)
5
-x=IO
6x - 3y= 6
(2)
2
5x=20
Al multiplicar (1) por 2 y (2) por- 5
resulta un sistema en el cual se puede
reducir la incógnita x:
30x-28y=-48
(1)
-30x+ 15y=-30
(2)
:.x= 4
0- I3y= -78
Ejemplo 3
2x + 5y + z = II
(1)
2x+2y-2z=-16
(2)
x+y-z=-8
(2)
3x
(3)
3x+2z=5
(3)
5x+2y
Las ecuaciones (1) Y (2) tienen a z
igual y de signo contrario, por lo que
se pueden eliminar para obtener la
ecuación (4).
2x+5y+z=11
(1)
x+y-z=-8
(2)
3x+ 6y
=3
(4)
Dividiendo entre 3:
x + 2y= 1
(4)
Multiplicando (2) por 2 y sumar con (3):
+2z=5
=-11
(5)
Reuniendo las ecuaciones (4 y (5):
x+2y= 1
(4)
5x+2y=-11
(5)
Multiplicando (5) por - I Y s mando:
x + 2y= I
-5x-2y= II
- 4x
= 12
:.x =-3
Sustituyendo x en (4):
-3+2y=1
(4)
(5)
Sistemas de ecuaciones y su relación
2y=4
-1-z=-8
:.y=2
-1+8=z
Sustituyendo x y yen (2):
COn
:.z=7
-3+2-z=-8
Resultado: x = - 3, Y = 2, z = 7
Ejercicios para la clase
Resolver por el método de suma y resta los siguientes sistemas de ecuaciones.
1. 2x + Sy = 29
(1)
x + 2y = II
(2)
2. 4x- Sy+6 = O
(1)
3x + 2y-7 =0
(2)
3. 2(x - 1) + 4y = 20
(1)
-(4x - 6) + 5(y + 1) = 19
(2)
4. 2x- 3y+4z= 8
(1)
x+2y-2z=-1
(2)
3x+z-6=0
(3)
Grupo 7.1
Resolver por suma y resta los siguientes sistemas de ecuaciones.
(1)
6. 4x + 6y= 20
2x- 6y=-1O
(2)
3
x--y=-2
4
2
I
-x+-y=1
3
12
(1)
I
I
-x+-y=1
2
4
7. x- Sy = I
(1)
2x-y= II
(2)
1. 9x+3y= IS
2.
3. Sx+2y=12
3x + 7y =- 16
4. 6x + II = 8y
12y+4x+3=O
3x+y=21
(2)
(2)
8. 2(x - 3) + 3(8 - y) = 34
(2)
9. 4x + 3y+26= O
Sx=7y- II
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
7(l-2x)-5(y+ 1)=-S8 (2)
(1)
10.
S. x +3y =-1
(1)
(1)
(2)
3
39
-(2x+S)+ y=4
8
(1)
x- :3(y-S)=2
(2)
las funciones· 17S
176 • Matemáticas 1
11. 2x + 5y + z
~
11
(1)
x+y-z~-8
(2)
3x+2z~5
(3)
x+-y+z~7
(1 )
2
4x+y-z=8
(2)
11
-3x+3y--z=19
2
(3)
13. 5x + 7y ~ 1
(1)
2x + 5z ~ 26
(2)
3y-z~-1O
(3)
(l)
2x+y~16
(2)
x - 3z ~ 9
(3)
15. 3x+ 5y+
3
12.
14. x - 3y + 5z ~ - 11
4z~-
8
(l)
x+ 3y+ z~ 3
(2)
x+y+z~-5
(3)
Método algebraico por igualación
Procedimiento
1. Despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones, las cua es se
llamarán ecuación (3) y ecuación (4).
2. Igualar las ecuaciones (3) y (4), Y despejar la incógnita resul ante.
3. Sustituir el valor hallado en alguna de las ecuaciones (3) o 4), y
obtener el valor de la otra incógnita.
Ejemplo 1
15x - 32x ~ - 27 + 112
8x + 3y ~-28
(1)
5x
(2)
+4y~-9
Despejando y de ambas ecuaciones:
-28 - 8x
y~
- 17x ~ 85
85
x=-17
:. x=-5
(3)
Sustituyendo x en (4):
(4)
y
3
y
-9-5x
4
Igualando (3) y (4):
-28-8x
-9-5x
3
4
4(- 28 - 8x) ~ 3(- 9 - 5x)
-112-32x~-27-15x
y
-9 - 5( -5)
4
-9+25
4
16
y=4
:.y= 4
Resultado: x
~
- 5, Y
~
4
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones' 177
Ejemplo 2
3
-(x+y)=5y+21
2
2(l-X)+f=-[
~+IOJ
(1)
y+24
x=-3
(2)
Igualando (3) y (4):
7y+42 y+L4
=
3
3
7y+42=y+24
Despejando x de (1):
3
3
-x+-y=5y+21
2
2
3x + 3y = lOy + 42
6y=24 - 42
3x=7y +42
6y=-18
x
7y+42
3
(4)
:.y=-3
(3)
Sustituyendo y en (4):
Despejando x de (2):
x=
2-2x+Z=-~-10
2
2
-3+24
3
-3x=-y-24
21
x=3
.·.x=7
3x=y + 24
Resultado: x
4- 4x + y=-x -20
=
7, Y =
-
3
Ejemplo 3
2x+y-3z=-5
(1)
x-y+2z=-9
(2)
x+ 3y+ 5z=-4
(3)
(1 )
(2)
Igualando (1) y (2):
- 2x + 3z - 5 = x + 2z + 9
-3x+z= 14
(4)
Despejando y de (2) y (3):
y = x + 2z + 9
(2)
-x-5z-4
y = ---'-'--"--
3
x+ 2z +9
-x-5z-4
3
3x + 6z + 27 =-x-5z-4
Despejando y de (1) Y (2):
y=-2x + 3z-5
y=x+2z+9
Igualando (2) Y (3):
(3)
4x+ Ilz=-31
(5)
Reuniendo: (4) Y (5):
-3x+z= 14
(4)
4x+l1z=-31
(5)
Despejando z de (4) Y (5):
z=3x+ 14
z
-4x- 31
II
(4)
(5)
178 • Matemáticas 1
Igualando (4) Y (5):
15+z~14
-4x-31
z~14-15
3x+14
:. z =-1
11
33x + 154 ~ - 4x - 31
Sustituyendo x y z en (1)
37x~-185
2( - 5) + Y - 3(- 1) ~ - 5
-185
x=-37
-1O+y+3~-5
:.x =-5
+ 10-3
:.y= 2
Sustituyendo x en (4):
- 3( - 5) + z ~ 14
Resultado: x
y~-5
~-
5.y ~ 2 z
~-
l
Ejercicios para [a clase
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación.
1.
2.
3.
6x-5y~-8
(1)
3x + 4y ~ 22
(2)
3
-x-3=-3y
2
(1)
19
7
x--y=3
3
(2)
4
2(l-x)+ y=3
(1)
l
4.
5x-9y+-=O
2
(2)
4x+5y+z~-6
(1)
x+3y+2z~-5
(2)
3x+ 4y-3z~ 7
(3)
Grupo 7-2
Resolver por el método de igualación los siguientes sistemas de ecu ciones.
1. 9x + 5y ~- 3
3x + 2y ~ O
(1)
(2)
2.
x-3y~-8
(1)
6x-
(2)
8y~
2
Sistemas de ecuaciones y su relación
3. 4x +
5y~
(1)
(2)
4
3x +2y ~ 10
4. Ilx - 10y ~ 17
8x+6y~
5.
12x+lly~8
7x - y
6.
19
~
- 25
15x-20y~
lO
20x - 30y ~ -10
7.
II
15
-x--y=-52
2
3
5
7
-x+-y=2
4
6
8.
x-y~-5
3x+2y~95
11.
3
2
3x+2y--z~1
-5(x + 6) + 2(2y+ 6) ~- 9
y-3
x+4y+z~3
(2)
(1)
(2) 12.
(3)
(1)
(2)
x-y+z~4
(1)
(2)
x-y-z~-8
(3)
3x+y+z~-11
x+2y+z~0
(1)
(2)
x+3y~-9
(3)
(1) 13.
(2)
x+y+z~
12
(1) 14. 5x-7y ~ 8
(2)
2x+3y-z~0
(1)
(2)
x+6~z
(3)
(1) 15. 3x+ 5y-3z ~4
y+2z~16
(2)
8
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
10. 3x----6=0
(1)
x-2
3y----9=0
7
(2)
5
(1)
5x-z ~ I
x+2y~
9. 6(x +4) -3(y- 2) ~ 12
COn
Método algebraico de sustitución
Procedimiento
l. Despejar la incógnita de una de las ecuaciones y sustituir en la otra
ecuación del sistema.
2. Resolver la ecuación resultante para obtener el valor de la primera
incógnita
3. Sustituir el valor hallado en la primera ecuación despejada para encontrar el valor de la segunda incógnita.
las funciones • 179
180 • Matemáticas J
Ejemplo 1
29x = 145
5x-7y=4
(1)
2x+3y=19
(2)
29
:.x= 5
Despejando y de (2):
y
145
x=-
Sustituyendo x en (3):
19- 2x
(3)
3
y=
19-2(5)
3
Sustituyendo (3) en (1):
5x -
f
9
~ 2x J= 4
y=
19-10
3
:.y = 3
15x -7(19 - 2x)
=
12
Resultado: x = 5, Y = 3
15x-133 + 14x= 12
Ejemplo 2
3(2x + y) + 2y = 3y + 6
(1)
-5x+3(l-x-y)=-2y-1
(2)
Reduciendo a la forma general:
1
o·.x=5
Sustituyendo x en (1):
6x+3y+2y=3y+6
- 5x + 3 - 3x-3y=- 2y-l
(2)
6x+ 2y= 6
(1)
-8x-y=-4
(2)
3x+y = 3
(1 )
-8x-y=-4
(2)
Despejando y de (1):
y = 3 -3x
(1 )
(1)
y=3-{~J
3
y=3-5
15
3
5
5
y=--12
y=5
Sustituyendo en (2):
- 8x - (3 - 3x)
= -
4
1
Resulado: x =
-8x-3 +3x= - t
- 5x = - 1
5'
y=
2
5
Ejemplo 3
x-y+2z=12
(1)
5y+ 12z=-3
(2)
2x+y+z= 12
(3)
Despejando y de (1):
y=x+2z-12
Sustituyendo en (2):
5(x+2z-12)+ 12z=-3
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones' 181
-44z+ 114-7z=63
5x+ 10z-60 + 12z=-3
5x + 22z = 57
- 51z = - 51
(4)
-51
Despejando y de (2)
y=
-12z-3
5
Sustituyendo en (3):
z=-51
:.Z =1
(2)
Sustituyendo z en (4):
2x+ (-12Z-3)
5
+z=12
x=
IOx - 12z - 3 + 5z = 60
IOx-7z = 63
x=
(5)
-22(1)+57
5
-22+57
5
:. x= 7
Reuniendo (4) Y (5):
Sustituyendo x y z en (1):
5x + 22z = 57
(4)
(7)-y+2(l)= 12
IOx-7z=63
(5)
7-y+2=12
Despejando x de (4):
x=
-22z + 57
5
9 - 12 = Y
-3=y
(4)
Sustituyendo x en (5):
:.y=-3
1O( -22z +57 )-7Z =63
Resultado: x = 7, Y = - 3, z = 1
5
2( - 22z + 57) - 7z = 63
Ejercicios para la clase
Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución.
1. x + 20 = 2y
(1)
3x+"45=5y
(2)
2. 6x-7y=-3
(1)
9x-y=7
(2)
3. 2x+ 7 = 5y
(1)
9x= 35y+ 6
(2)
182 • Matemáticas 1
3
4. -x+4y-z=-1 (1)
2
I
x-y+-z=2
12
(2)
4
I
3x+-y+-z=7(3)
3
18
Grupo 7.3
Resolver por el método de sustitucióu los siguieutes sistemas de ecuaci nes.
1. x-3y=8
10x- y = 22
(1)
(2)
2. 7x+3y= 19
(1)
6x-2y=-2
(2)
3. 5x+6y=-3
(1)
4x + 5y=- 2
(2)
9.
7
4x+-y+9=0
3
8
46
-x-2y=3
3
(2)
10. 28x-3y+47=0
(1)
16x+y-41 =0
11. 2x - 7y + z =
4. x-3y=9
(1)
2x-15y=9
(2)
3
5
5. -x+-y=12
4
2
(1)
7
3
-x--y=-8
8
4
(2)
6. 6x + 8y = 11
2
-x=4y
3
(2)
7. 4(y + 4) - 3(x - 6) = 33 (1)
2(x + 5) - 3(y - 2) = 15 (2)
8.
.:::_y = 3
2
4
-
II
(2)
(1)
x+y-z=2
(2)
x-2y+z=4
(3)
12. x-3y=9
(1)
x-5y+z=4
(2)
x+ 5z=-3
(3)
7
(1)
(1)
13. x+y-z=-
6
(1)
2x-4y+ 9z = 3
(2)
3x-12z=-1
(3)
14. x-y-z=O
(1)
x-3y= 3
(2)
x+z= 1I
(3)
(1)
15. 3x - 5y + z = 12
(2)
(1)
x+3y+ 10z= 13
(2)
x+ 8z=3
(3)
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones -183
Método de los determinantes
Este método consiste en aplicar una regla denominada determinante o Regla
de Gramer, que es el conjunto de números, en forma de columnas y renglones, indicados entre dos líneas verticales. Si el determinante se simboliza con
la letra griega delta (L'.), entonces su representación es:
La diagonal que forman a ¡ b2 es la diagonal principal, y la que forman
a2 b¡, la diagonal secundaria; a y b son números reales.
Los determinantes con dos filas y dos renglones se llaman determinantes
de segundo orden, y los que tienen tres columnas y tres renglones, determinantes de tercer orden.
Para resolver un determinante de segundo orden se multiplican
los extremos de la diagonal principal y se resta el producto de los
extremos de la diagonal secundaria.
Para calcular el valor de los determinantes de tercer orden, los dos primeros renglones se escriben abajo del último renglón, con lo cual habrá tres
diagonales principales y tres secundarias, y se aplica el método de solución.
Ejemplos
l.
Determinante de segundo orden.
L'. =
1: ~
1= (-6)(2) - (5)(8) = -12-40= -52
2. Determinante de tercer orden.
L'.J~ -~ -;
~l
5
-6
Para resolver este determinante, en la parte baja se aumentan las dos primeras filas para tener tres diagonales principales y tres secundarias, aplicando con esto la solución, según se muestra en el siguiente desarrollo:
184 • Matemáticas I
7
2 -2
A= -1
5
-4
3
7
2 -2
-4
3
9
-6
9
A = [3(- 2 )(- 6) + 2(5)(-4)+ (-1)(7)(9)]- [(2(7)(- 6) + 3(5)(9) +(-1)(- 2) -4)]
A = (36-40-63)-(-84+ 135-8)
A = (-67)-(43)
A = -67 -43
A = -110
Ejercicios para la clase
Resolver los siguientes detenninantes.
3 -8
1. A= 10
5
2
2.
O
4
A= -3 -2 -1
5
1-2
Grnpo 7.4
Resolver los siguientes detenninantes.
1.
AJ4~O -71
-5
2.
A=18
3.
A=I-~
4.
5.
A=I-I -11
7.
A=t; ~
II
-2
1
-1
I
-3
15
-8
A-I_~~ ~I
1
1- 2
1
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones • 185
Resolución de uu sistema de ecuaciones lineales
por el método de los determiuantes
Para resolver un sistema de ecuaciones con dos o tres incógnitas mediante el
método de los determinantes se utiliza el siguiente procedimiento.
1. Calcular el determinante del sistema (L'.) con los coeficientes de las incógnitas.
2. Calcular el determinante para x (L'.x) mediante los términos independientes y los coeficientes de y.
3. Calcular el determinante para y (""r) utilizando los coeficientes de x y los
términos independientes.
4. Calcular el valor de las incógnitas mediante los siguientes cocientes:
x
L'. y = _/
L'."
= ---"L'.
L'.
Ejemplo 1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
5x + 6y = 2
(1)
4x-7y=37 (2)
Cálculo del determinante del sistema:
L'.=~ _~ 1=(-35)-(24)=-35-24=-59
L'.=-59
Cálculo del determinante para x:
L'.x=12
61=(-14)-(222)=-14-222=-236
37 -7
L'.x =-236
------------~------------------------------------~/
186 • Matemáticas 1
Cálculo del detenninante para y:
~y=~ 3~1=(185)-(8)=185-8=177
~y
= 177
Sustituyendo el valor de los detenninantes en las fónnulas correspondi
x= Llx = -236 =4
-59
~
y=
~y
Ll
= 177 =-3
-59
La solución al sistema es:
x=4, y=-3
Ejemplo 2
2x + 5y + 3z = 5
(1)
x- 3y+ z=-4
5x + 6y + 5z = I
(2)
(3)
Cálculo de los detenninantes:
~=
2
5
1
-3
5
6
5 = (-30+ 18+ 25) - (25+ 12 -45)
2
5
3
1
-3
3
=(13) - (-8) = 13 + 8 = 21
~=21
~x
5
5
4
-3
3
6
5 = (-75 -72 + 5)- (-100 +30 -9)
5
5
3
4
-3
1
=
tes:
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones· 187
~
(-142) - (-79)
~-142+79~-63
6. x
~
-63
2
5
3
-4
6. y
~
5
I
5
~(-40+3+25)-(25+2-60)
253
-4
~(-12)-(-33)
~-12+33~21
6.y=21
2
5
5
I
-3
-4
6. z = 5
6
I
2
5
5
I
~(-6+30-IOO)-(5-48-75)
-3 -4
~(-76)-(-118)
~
-76 + 118 ~ 42
6. z ~ 42
Sustituyendo los valores en las fórmulas:
6.
-63
21
x=~=-=-3
6.
6.
21
y=~~-~I
6.
6.
21
42
z~.--L~-~2
6.
21
Entonces, la solución al sistema es:
x=-3, y~l, z~2
188 • Matemáticas 1
Ejercicios para la clase
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el método
determinantes.
1. 4x-3y= 32
(1)
3x+y= 11
(2)
5
4x+-y=1O
3
(1)
4
-x-y=-2
5
(2)
3. 5x-7y-2z= 13
(1)
2.
5y+z + 5 = O
los
(2)
Grupo 7.5
Resolver mediante el método de los determinantes los siguientes sistem s de
ecuaciones.
r!
!
1. 2x-3y= 8
(1)
x-4y=-J
(2)
2. 5x+ 6y= 1
(1)
3x-2y=-5
(2)
3. 7x-lOy=61
(1)
Ilx + 8y = 1
(2)
4. 13x+7y=72
(1)
x-11y=-6
(2)
5. 9x + 12y = 6
(1)
15x + 17y = 22
(2)
6. 5x+y+22=0
(1)
2x+y+ 13 =0
(2)
7.2(x-5)+8=3(y+4)
(1)
x + 5(y + 3) - 9 = O
(2)
8. x+ 2y-4z= 9
(1)
3x- 5y+z= 3
(2)
x+y+3z=J
(3)
9. 6x-2y+ z=-I
(1)
3x-2z=-3
(2)
x+y+z=9
(3)
10. 6x + 2y-z= 1
(1)
3
17
x-8y+-z=-2
3
3x+2y-z=0
(2)
(3)
11. 2x + 3y - z = - 3
(1)
5x+y+z=0
(2)
3x +2y+ z= 3
(3)
12. 3x + Sy = 22
(1)
x-3z=-5
(2)
3y+ z =9
(3)
13. 5x+ 6y-z=0
(1)
IOx+2z=2
(2)
4
1
x+-y=5
5
(3)
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones· 189
14.
2x+3y+z~
x-3y~
I
16
y+2z~6
(1)
15. 4x + 4y + 6z ~ 29
(1)
(2)
8x-2y ~ 5
(2)
(3)
4x-z~-1
(3)
Método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Una ecuación lineal representa gráficamente una línea recta constituida por
un conjunto infinito de puntos P(x, y); la base para la solución es el sistema de
coordenadas cartesianas.
Al graficar un sistema de ecuaciones lineales, el par de rectas puede tener
alguna de las siguientes posiciones:
• Rectas oblicuas. La solución al sistema son las coordenadas del
punto de intersección.
• Rectas paralelas. No hay solución o es el conjunto vacío, ya que
no hay intersección.
• Rectas superpuestas. La solución es el conjunto de puntos co-
Las gráficas son las siguientes:
y
y
y
P(x, y)
----~-+----~--------+x
o
x
Rectas oblicuas
o
Rectas paralelas
y
------1-----~---+x
o
Rectas superpuestas
190 • Matemáticas 1
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método se realiza el siguiente procedimiento.
1. Reducir el sistema a su forma general.
2. Para cada ecuación hacer x = OY despejar y, luego hacer y = OY de pejar
x; con esto se tienen dos puntos para cada recta.
3. Graficar los puntos hallados.
4. Las coordenadas del punto de intersección P(x, y) son la soluci· n del
sistema.
Ejemplo 1
3x+5y=9
(1)
2x-y=-7
(2)
Ecuación 1
Si x = O => 3(0) + 5y
= 9,
Siy=O =>3x+5(0)=9,
y
= ~ :.
9
A(O, ~)
x~-=3
3
:.B(3, O)
Ecuación 2
Si x=0=>2(0)-y=-7, y=7 :.C(O, 7)
Si y=0=>2x-(0)=-7, x=
C(0,7)
Soluciónx= -2,y=3
D( -'/20 O)
-4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
5
6 7
~7 :.D[-~, O)
Los puntos obtenidos se grafic
zando la recta que pasa por los mi mos
puntos. La solución se determina pr yectando las componentes del punto
intersecciónhacialos ejes, como muestra 1 gráfica de la izquierda.
En la resolución de un sistema de cuaciones de primer grado por el método . fico
se pueden presentar ciertos inconve .entes, como:
1. Es indispensable utilizar una regl para
trazar las rectas y tener cuidado al m car
los valores, ya que una pequeña difer ncia
produce un error en la ubicación del unto
de intersección.
Sistemas de ecuaciones y su relación con lasfitnciones • 191
2. Cuando las soluciones son números fraccionarios es más complicado
hallar la solución; por lo tanto, es necesario utilizar papel milimétrico.
3. Si la solución son números grandes, la intersección de las rectas se sale
del área del plano que se había considerado para la gráfica, por lo que se debe
cambiar la escala del plano cartesiano.
La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas,
por el método gráfico, no se menciona porque no es parte de los fines de
este libro.
Ejercicios para la clase
Resolver por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones.
(1)
1. 3x+5y+4=0
x - 3y - 8 = O
(2)
2. 8x-3y= 17
(1)
3x- 2y = 2
(2)
Grupo 7.6
Resolver por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones.
1. x - 2y = - 2
(1)
6. x-3y=-1
(1)
3x-y=9
(2)
2x- 5y = O
(2)
2. 6x-5y=-21
(1)
x+ 3y= 8
(2)
2x-3y=-3
(2)
(1)
8. 4x + 5y = 12
(1)
x-y= 10
(2)
x+y=2
(2)
4. 3x + 5y = 23
(1)
9. 3x - 2y = 8
(1)
5x - y= 1
(2)
x+2y= 16
(2)
5. 9x + 5y = 10
(1)
10. 2x+y=-7
(1)
3. x+y=2
3y-4x=6
(2)
7. x+y=-4
x + 2y = 1
(1)
(2)
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES
Para resolver un problema de aplicación es necesario relacionar los conceptos teóricos de acuerdo con las condiciones del problema.
192 • Matemáticas 1
Ejemplo 1
Si un número es el quíntuplo de otro y la suma de ambos es 42, hall
números.
esos
Solucióu
Si los números se representan con las literales x y y, entonces, el núme o que
es el quíntuplo de otro es x ~ 5y.
La suma de ambos es 42: x + y ~ 42.
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es:
x ~ 5y
(1)
x +y
~
(2)
42
Sustituyendo (1) en (2):
5y+ y~42
6y~42
42
y~-
6
:.y=7
Sustituyendo yen (1):
x~
5(7)
:. x= 35
Los números son 7 y 35.
Ejemplo 2
Dos ángulos son complementarios y uno de ellos excede al otro en 22°. alIar
el valor de cada ángulo.
Solucióu
Si x Yy representan el valor de los ángulos, respectivamente, entonces:
Uno de ellos excede al otro en 22°:
x~y+22
La suma de dos ángulos complementarios es 90°:
x+y~
Por lo tanto, el sistema
X=Y+22
X+Y=90
de ecuaciones
(1)
90
.
es.
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones· 193
Sustituyendo yen (1):
x = 34 + 22
x= 56
Por lo tanto, los ángulos son 34° y 56°.
Ejemplo 3
Si 6 kg de azúcar y 5 kg de cate cuestan 243 pesos, y 9 kg de azúcar y II kg
de café, 511.50 pesos, hallar el precio por kilo de cada producto.
Solución
Si a representa el precio del azúcar y e el del café, el sistema de ecuaciones es:
6a+5e=243
(1)
9a + Ile = 511.50
(2)
Despejando a de ambas ecuaciones:
a=
a=
243-5c
(3)
6
511.5-11c
(4)
9
Igualando (3) y (4):
243 - Se
511.5-lle
9
6
Multiplicando por el mínimo común múltiplo 18:
3(243 - Se) = 2(51 L5 - Ile)
729 - 15e = \023 - 22c
22e - 15e = \023 -729
'.
7e = 294
:. e = 42
Sustituyendo e en (3):
a=
a=
243 - 5( 42)
6
243-210
6
33
a=6
:.a=5.5
194 • Matemáticas I
Los precios son: azúcar 5.50 pesos; café, 42.00 pesos.
Ejemplo 4
Las edades de dos personas están en relación de 3 a 4. Si hace cin o años
estaban en relación de 2 a 3, hallar las edades.
Solución
Si las edades de las dos personas se representan con x y y, entonces 1 sistema de ecuaciones es:
x
3
4
(1)
~=-
Y
x-5
y-5
--
2
-
(2)
3
Eliminando denominadores:
4x~3y
(1)
3x-15~2y-1O
(2)
El sistema es:
4x-3y~0
(1)
3x -2y~ 5
(2)
Multiplicando (1) por - 3 Y (2) por 4, y sumando verticalmente:
-12x+9y~0
l2x-8y~20
y~20
:.y = 20
Sustituyendo yen (1):
4x -3(20) ~ O
4x-60~0
4x~60
:. x
= 15
Solución
15 y 20 años.
(1)
(2)
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones· 195
Ejemplo 5
La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 12. Si los dígitos se
intercambian se obtiene un número que es 13 veCes el dígito de las unidades
del número original. Hallar el número original.
Solnción
Siy representa las unidades y x las decenas, entonces el sistema de ecuaciones es:
,
x+ y~ 12
10y+x~
(1)
l3y
(2)
Despejando y de (1) y sustituyendo en (2):
10(12 -x) + x
\.
~
13(12 -x)
120-lOx+x~
156-13x
13x-1Ox+x~
156-120
4x~36
\
1
\
:.x ~9
Sustituyendo x en (1):
9 + y~ 12
Y ~ 12 - 9
:.y~3
El número original es 93.
!
Ejemplo 6
Tres comerciantes compran manzana, pera y mango de la siguiente forma:
Luis compró tres cajas de manzana, dos de pera y una de mango; Raúl una
caja de cada fruta y Francisco dos cajas de manzana y dos de mango. El
gasto de cada uno fue de 585, 255 Y 330 pesos, respectivamente. ¿Cuánto
costó cada caja de fruta?
Solucióu
Si x es el precio por una caja de manzana, y por una de pera y z por una caj a
de mango
la ecuación que representa la compra de Luis es: 3x + 2y + z ~ 585.
la ecuación que representa la compra de Raúl es: x + y + z ~ 255.
la ecuación que representa la compra de Francisco es: 2x + 2z ~ 330.
-196 • Matemáticas 1
El sistema de ecuaciones que representa el problema es:
3x + 2y + z ~ 585
(1)
x +y+z ~255
(2)
2x + 2z ~ 330
(3)
Multiplicando (2) por -2 y reuniendo (1) Y (2):
3x + 2y + z ~ 585
(1)
-2x-2y-2z~-510
(2)
Sumando verticalmente se tiene:
z~
3x+;l:jí+
585
(1)
-2x-~-2z~-51O
(2)
-z
(4)
x
~
75
Reuniendo (4) y (3):
x- z
~
75
(4)
2x + 2z - 330
(3)
Multiplicando (4) por 2 y sumando verticalmente:
2x-:M~ 150
(4)
2x+~~330
(3)
4x
~
480
Despejando se tiene x
~
120.
Sustituyendo x en (3):
2(120) + 2z
~
330
Despejando se tiene z ~ 45
Sustituyendo x y z en (2):
120 + Y + 45
~
255
Despejando se tiene y
~
90.
La solución al problema es: manzana, 120; pera, 90, y mango, 45 p sos.
Ejercicios para la cIase
Resolver los siguientes problemas.
1. Una persona compra cuadernos a 7 pesos cada uno y lápices a 2 esos
cada uno, pagando por ello 76 pesos. Si compró 18 piezas, ¿cuántos c adernos y lápices adquirió?
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones· 197
2. Los ángulos internos de un triángulo suman 1800 • Si el mayor es el triple
del mediano y el menor la mitad del mediano, hallar el valor de cada ángulo.
Grupo 7.7
Resolver los siguientes problemas mediante un sistema de ecuaciones lineales.
\. La suma de dos números enteros es 119. Si uno es el doble del otro,
más 5, hallar los números.
2. La suma de las edades de dos hermanos es 31 años. Si la edad del
mayor es el doble de la edad del menor, más siete años, hallar ambas edades.
3. Héctor compró cinco lápices y 12 cuadernos, pagando 85.50 pesos.
Laura compró tres lápices y siete cuadernos a los mismos precios y pagó
50 pesos. Hallar el precio de cada lápiz y de cada cuaderno.
4. Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos equivale a las tres cuartas partes del otro más 40°. Hallar el valor de cada ángulo.
5. Dos ángulos son complementarios y uno de ellos equivale a la tercera
parte del otro más 6°. Hallar el valor de cada ángulo.
6. El largo de un rectángulo es cuatro veces su ancho y su semiperimetro
es de 140 cm. Hallar las dimensiones del rectángulo.
7. Un comerciante compra dos clases de mango en 228 pesos, una en
8 pesos y otra en 12 pesos la docena. Si los más baratos cuestan 12 pesos más
que los caros, ¿cuántas docenas compró de cada uno?
8. La suma de dos números naturales es 196. Si su cociente es 23/5, hallar
los números.
9. Antonio visitó una granja y dijo a Alberto: "En la granja hay 36 animales entre pollos y puercos, si en total hay 102 patas, ¿cuántos animales son de
cada clase?
1O. Cinco muchachos entran a un restaurante y piden hamburguesas y
refrescos para todos, por lo que pagan 45 pesos; más tarde piden una hamburguesa y tres refrescos, y pagan 14 pesos. ¿Cuánto costó una hamburguesa y
un refresco?
l\. Se coloca una fotografía cuadrada de 20 cm de lado en un marco cuya
longitud excede en 9 cm a su ancho. Si el perímetro del marco es el doble del
perímetro de la foto, menos 8 cm, hallar las dimensiones del marco.
12. Una persona desea invertir 8 000 pesos. Un banco le ofrece el 5%
anual y otro el 7% anual. Si desea invertir en ambos y obtener un interés de
500 pesos, ¿cuánto debe invertir a cada tasa?
13. Si se invierten dos cantidades, una al 3% y otra al 5%, se obtiene un
interés de 238 pesos. Cuando a las cantidades se les aplica el porcentaje
invertido, el interés disminuye en 12 pesos. Hallar las cantidades.
14. Hallar un número de tres dígitos tal, que el dígito de las centenas sea la
mitad del dígito de las unidades, y sea los dos tercios del dígito de las decenas,
sabiendo que la suma de los dígitos es 18.
l
198 • Matemáticas 1
15. Una persona rema durante 30 min para avanzar 8 km. Al regreso emó
durante una hora. ¿Cuál era la velocidad de la corriente?
16. La surna de los ángulos internos de un triángulo es 180°. La su
dohle del menor y el mediano es 110° Yla diferencia entre el mayor y un
del menor es 80°. Hallar el valor de cada ángulo.
17. Un niño ahorró 230 pesos entre monedas de 5 y de 10 pesos. Si el
número de monedas de 5 pesos excede en seis al dohle del número de
das de 10 pesos, ¿cuántas monedas tiene de cada tipo?
18. Entre dos pohlados, A y B, hay una distancia de 20 km. Si un auto óvil
sale de A a una velocidad de 80 km/h y otro automóvil sale de B en el ismo
instante a una velocidad de 100 km/h, hallar el tiempo que debe trans urrir
para que dichos automóviles se encuentren.
19. Tres personas compran en una misma tienda. Luis adquiere cinc
demos, tres lápices y dos bolígrafos; Raúl, tres cuadernos, dos lápice
bolígrafo, y María, cuatro cuadernos, cinco lápices y tres bolígrafos,
cual cada uno gastó 78.90, 46.70 Y 77.60 pesos, respectivamente. Ha ar el
precio de cada artículo.
20. La surna de tres números equivale a cinco. Si el primero equiv le al
segundo menos 1/2 y la diferencia entre el tercero y el segundo equivale uno,
hallar los números.
21. Tres personas realizan inversiones a un año en tres bancos diferentes de la
siguiente manera: Nicolás invierte 5 000 pesos en el banco A, 12000 e el B
y4 000 en el C; Raúl, 7000 en el A, 10 000 enelB y 8 000 enel C;Alfredo, 000
en el A, 15 000 en el B y 9 000 en el C. Si los intereses fueron de 1 720, 220
Y2210 pesos, respectivamente, ¿cuál es la tasa de interés que pagó cada b neo?
22. Una empresa que vende computadoras realizó las siguientes ven as:
el viernes vendió 15 pentiurn II, seis pentiurn III y 11 pentiurn IV; el sá ado,
seis pentiurn II, siete pentium III y nueve pentiurn IV, y el domingo, ueve
pentium II, 10 pentiurn III y tres pentium IV.
Se obtuvieron montos por 193 000,141600 Y 122400 pesos, respe tivamente. ¿Cuál es el costo de cada tipo de computadora?
Sistemas de ecuaciones y su relación con las funciones • 199
EVALUACIÓN PARA EL CAPÍTULO 7
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método indicado.
l. Por suma y resta.
6x+3y=-9
5x+4y=3
(1)
(2)
2. Por igualación.
x-7y=-1
(1)
5x+4y= 34
(2)
3. Por sustitución.
3x+ y-4z = -28
x-5y+6z=- 4
(1)
2x+z=4
(3)
(2)
4. Por determinantes.
2(x+y)-5(l-y)=17
(1)
3x- 5+ 7(y-5x)= -119 (2)
5. Por método gráfico.
x+5y=-16
(1)
2x-3y=20
(2)
n. Resolver los siguientes problemas.
6. El señor RallÚrez compró 22 animales entre cerdos y borregos por los
cuales pagó 8 950 pesos. Si un cerdo costó 350 pesos y un borrego, 475 pesos,
¿cuántos animales de cada tipo compró?
7. Una persona tiene 15 000 pesos y una parte la invierte al 10% y la otra
al 12%. Si después de un año recibe 1 620 pesos de interés, hallar la cantidad
que invirtió a cada tasa de interés.
8. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. La suma del
menor y el mediano es 102° y la suma del mediano y el mayor, 148°. Hallar el
valor de cada ángulo.
9. La suma de las edades de los tres hijos de Arturo es de 52 años. Si
la edad del mayor equivale al doble de la edad del medio menos 13 años,
y la suma de las edades del menOr y el mayor es de 35 años, hallar la edad
de los hijos de Arturo.
LISTA DE SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
Símbolo
Significado
u
n
Intersección de conjuntos
E
Diferencia de conjuntos
Pertenece a, es elemento de
$.
No pertenece a, no es elemento de
e
Es un subconjunto de
ct
No es un subconjunto de
V
Para todo
I
Tal que
v
y
/\
o
=}
Si ... entonces
<=;
... si
<
Menor que
>
<;
Mayor que
Menor o igual que
:2:
Mayor o igual que
=
Infinito
Igual a
Unión de conjuntos
y sólo si ...
Aproximadamente igual a
l
1t
Por lo tanto
Relación longitud-diámetro de una circunferencia;
valor: 3.1415927
Diferente de
t
201
SOLUCIÓN A EJERCICIOS IMPARES
CAPÍTULO 1
Grupo 1.1
e
7.
r:t.
3. r:t.
5. e
9.
e
l.
13.
e
17.
e
15.
r:t.
19.
r:t.
1l. r:t.
Grupo 1.2
l. f
9. f
17. f
3. v
19. v
5. v
1l. v
13. f
7. f
15. f
Grupo 1.3
l.
815
-
9.
99
3.
5.
541
45
11.
171
13.
5204
495
8
15.
4
19. 4867
900
1
-
57
-
500
7.
17.
4643
900
--
9
1487
165
Grupo 1.4
l. distributiva
17. asociativa para la multiplicación
3. inverso aditivo
19. identidad
5. distributiva
21. neutro multiplicativo
7. neutro aditivo
9. conmutativa para la suma
23. distributiva
25. neutro multiplicativo
11. inverso multiplicativo
27. conmutativa para la multiplicación
13. inverso multiplicativo
29. distributiva
15. conmutativa para la suma
l.
'--
203
204 • Matemáticas 1
Grupo 1.5
1. conmutativa para la suma
9. neutro aditivo
3. inverso aditivo
11. conmutativa para la suma
5. conmutativa para la suma
13. neutro aditivo
7. transitiva
15. conmutativa para la suma
Grupo 1.6
1. 45
3. -4
11. 107
13. 4
5. 4
7. -64
15. -7
17. -100
9. -224
19. - 62
27. 2
29. 3000
1. 70
11.
21. -29
3. 29
5. 270
7. -1
13. -80
-10
25. -220
21. 4
23. 2
25. -4
Grupo 1.7
9. - 17
15.
17. 3
19. 45
23.
Grupo 1.8
1. 9
5.
71
9.
3.
15. 49
72
30
31
11. 16
17.
5
7.
13. -73
6
65
16
117
8
19. 75
7
Grupo 1.9
1
1.
7.
6
2
3.
3
9.
1
3
5
5.
7
21
--
4
----
11. 17
18
---------
13.
29
-
105
15. 17
6
17. 115
3
19.
7
O
Solución a ejercicios impares' 205
Grupo 1.10
1. 4
3.
9. 1
11. 12
4
676
19.
9
39
5.
4
7.
17. -5
5
15
13. 77
15. -217
6
2
Grupo 1.11
3
1.
17
9.
2
21
-
17. -24
7
11.
8
133
13.
--
3
5.
32
11
11
3.
153
15.
24
19.
17
8
6
181
25
7.
12
Grupo 1.12
1.
3.
127
-
11. 25
8
7
115
108
7.
17. -5
7
10
7
6
5.
123
9.
21
82
13.
-
19.
23.
3
47
-6
40
21.
117
35
-6
15. -2887
-30
Grupo 1.13
\
~
1. 15 km
5. 26.5 km
3. a) 45 m, b) 162 km
7. 83 años
55
-
9. 160.50 pesos
25. O
206 • Matemáticas 1
Grupo 1.14
1. a) 100 X 170, b) 2x + 2(x + 70)
3. a)l7borregos, 31 pollos; b)
5. a) 7.8, b)
6.4+~.8+X
~
540
4x+2(48-x)~130
8
7. a) 4 años, b) 7 000(0.15)x + 7 000
9. a) Ih 10 min,
b) 1 050
~
~
II 200
2100 - 15x
Grupo 1.15
1.
7.
x~3
3. n ~ 90
5. m ~ 12
x~2
9. x
11.
~
x~
13.
21
x~
2415
15. 2
17. 3
19. 2
72.5
Grupo 1.16
1. 2310pesos
3. 500 mis
5. 4h 42 min
9. 0.8 amp
15. 3.84 m
11. 112t
17.38.1 cm
13. 38.33 volts
19. 66.66 cm
7. 1 600 alumnos
Grupo 1.17
1.
1211
3. 1 400
5. 114
7. 34%
13. 720
17. 8 85.71
9. 435
15. 636
19. 3 50
11. 7801
Grupo 1.18
1.
2 392 pesos
3. 5 850 pesos
5. 15.38%
7. 300 kg
13. 8%
9. 942.62 pesos
15. 4640 pesos
11. 4 241.25 pesos
Evaluación para el capítulo 1
1. maya
3.
5.
7.
9.
11.
13.
---
-
enteros
irracionales
dos
distributiva
agrupación
proporción, extremos
---
15. 0.12,
12
100
17. -13
33
19. 323
90
--~-------------- - - - -
21. 52
3
23. __
4
25. 611
90
27. 5207.9r
.. - - . _ - -
-
Solución a ejercicios impares' 207
CAPÍTULO 2
Grupo 2.2
1. x + 1
9. (x + 2)(x - 6) = 1
17.
3. x2-3x
11. x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = 302
5. x(x+ 1)
13. x+y+z='}'+2z-12
7. 3x-7=x2
15. x 2 -9=y
x
x
=--20
(x+ 1)2 2
19. 3x+ 10y= 15
Grupo 2.3
1.
31x+ lly
11. -15x - 41y-1O
3.
33a-17b+18
13. 2x3 +6x2 +2x+ 14
5.
-14a2 b + 6ab 2 - 20
15. --x3 + 19x2 + 5x - 42
7. 64xy-7x+ 11y + 92
9. 3x5 + 6x3 + 4x2 - 13x
17. 27m -54
19. -3a - 8b + 31 e + 40
Grupo 2.4
1. 5x12
7. - 90a 5
3. 12x3
9.
13. - 14a 2
4
5. - 3
Grupo 2.5
7. - 98
1. x 5
3. 2x6
;
c.
'.
5. 4x4
9. 3m 4
11. - 2y
13. 32x 10
15. 45m 7
Grupo 2.6
1. 6m 5n3
9.
3. 18a 4b2
5. _5m2y2
7.
7z
Y
15.
21. 75x4y2
~
x
23. 12
11. xy2
17. 6a4
13. - 12m4 n
19. 84m 4 n 5
2 3
--m
3
j;;;
Grupo 2.7
,
1. 6.73 X 107
3. 3.5 X 10-6
5. 1 X 106
7. 6300000
9. 0.00541
11. 1 2JO 000 000 000
r
20S • Matemáticas 1
13. 16.6
19. 2
23. 200
15. 0.15196
21. 9.46
25. 3125
17. 543.75
Grupo 2.8
1. Sx2-9
7. 2x2-llx+ 19
9. 4a 5 +2a4 -lla 2 +Sa
14
3. a 3 -4a+3
5. -5x5 -15.0+5x2 -5x-2
Grupo 2.9
1. - 6x 3y2
3. 40a 2 - 6a - IS
5. x 4 _ 16x2y+ 64y2
9. 27x 3 + sI'
11. xL y4
13. -3.0-x3 +3x2 +x
7. x 3 -Sx+3
15. x 3 + 2x2 - 9x - IS
Grupo 2.10
1. 4x2 -4x-1
3 2
5
19. -m
-5m-4
2
2
5
21. -m +4m+2
3. - 7x 2 + 14x - 13
5. 24x2 -46x-4
3
33
7. 3a -6a+-
23.
lO
-2x4 + 2x3 +
5 2
25. S+2m--m
4
2
45 4
27. -m
-60m +SO
4
13x2 - 21x + 94
15. - 3.0 + 4x 3 + 13x2 - 22x + 104
17.
~m3 +6m 2 -11m--=4
Grupo 2.11
1. x-2
2
9.
75 2 40 3
-x+-y
7
11
3. 7+m-14m 2
11. x-4
5. 3-Sx2+6.0
13. 2m +3n
7.
.!c m 3 +3m 2 +6m+S
S
5a 2 + 43 a _ 3
6
11. x3-2x2-Sx+5
9.
13.
17. 16m 2 -n 6
19. a 4 -9a 3 + 19a 2 - a-2
12
3
-x+40y -ISy
5
15.3m+S
17. 5a 2 - 2a
19. 3xL 5
Solución a ejercicios impares· 209
Grupo 2.12
1. x+8
7. 3x-2y
13. 8x3 + 125
3. O
9. O
15. 4x2 -lOx + 25
5. O
17. 2x- 10, residuo 75
19. 2x2 + 20x + 33
11. 9x+6y
Grupo 2.13
,
1.
gx+ g
12
7.
3
¡
r
9. xn + 5x2 - 3
11. 5x-7y
4
59 3 II 2 I
x - - x +-x +-x
12
30
5
Evaluacióu para el capítulo 2
1. f
I
I
¡.
13. y- 27x 6
15. x2_y2
3. xn+ym+7xn-l_3ym+ 1
5.
32 1
-x +2
2
15. 1
25.
~
3. v
17. 9m 5
5. f
19.40x5
27. 2a4 + 14a + I
21. ~x4
29. 343x 6 - 125y 3
2
23. 81r
31. 2x4 - 9x 3 + x2 + 3x
5
7. v
9. f
11. x4y2
13. b5c
33. m2 + 8
CAPÍTULO 3
Grupo 3.1
1. 16x2-9
3. m 4 -36n 10
5.
l-m 14
9.
13.
I 2 9 2
-x
--y
4
16
15. 36xlO_5y2
1
4x8 - -
9
11. a2b4 - 25c4
7. 9x2y2z4 - 25
Grupo 3.2
1. 16a 2 + 36ab + 14b2
3. m4 - 3m 2n - 28n 2
7. 4m4 + 8m 2 n + 3n 2
13. 25x2 + 65x - 48
9. 36x4 - 48x2y + 15r
15. x2 + 8x-425
2
7
11. 4x -4x-Q
? 10 • Matemáticas 1
Grupo 3.3
1. 1 - 8xy + 16x2y2
3. a 2b2c2 - 6abcx + 9x2
7. 25x6 + 30x3y 2 + 9.0
9. 49x2 - 14xy3 + y6
11. 9a4b 2 - 30az b + 25
5. 9 - 24x? + 16x2y4
Grupo 3.4
1. 216m 3 + 540m 2 + 450m + 125
3. x 6 - 15.0 + 75x2 - 125
5. m 3 - 3m2ab + 3ma2b2 _ a3b3
7. 27x3 - 189x 2y + 44by2 - 343y 3
9. 64a 3b3 + 240a 3b2c + 300a3bc2 + 125a3c3
11. 125 - 225x2 + 135.0- 27x6
13. x 6 - 15.0 + 75x2 - 125
15. a9 - 3a6b3 + 3ab 6 - b9
17. 8x 3 + 60x2y2 + 150xy4 + 125y 6
19. 27m 3n 3 - 189m 2n2 + 441mn - 343
Grupo 3.5
l. 32x5 - 80.0y + 80x3y 2 - 40x2y 3 + IOxy4 _ y5
3. 27m 6 + 54m 4? + 36m 2y4 + 8y 6
5.
~m4 _lm3 x 2 + 27 m 2 x 4 -54mx6 +8lx s
16
2
2
7. a4-12a3b2+54a2b4-108ab6+8IbS
9. mIS - 12m 15 + 60m I2 - 160m9 + 240m 6 - 192m 3 + 64
11. a 6b6 + 6a 5b s + 15a4b4 + 20a 3b3 + 15a2b2 + 6ab + 1
13. a32-4a28+7a24_7a20 +~aI6_2aI2+2a8 __
1 a4+_I_
8
8
16
16
256
81xS +-x
9 6 y+ 24 x 4y 2 +512
4096 4
15. - x 2 y 3 +-_y
256
2
9
81
6
3
2
17. x - 12x5 + 60.0 - 160x + 240x - 192x + 64
19. 1 +20m + 160m 2 + 640m 3 + 1 280m 4 +1 024m5
13. x 6 - 2 x 3y 5 ylO
15. x 2 -l3x+
69
4
Solución a ejercicios impares· 211
Grupo 3.6
1. 4x - 5m 2
3. x 5 -1O
7.
10a-1
Grupo 3.7
1. 9-3a 2 +a4
3.4x 2 -6xy+9Y
5. a 2b 4 + ab 2 + I
7. x 4 + x2 + 1
Evaluación para el capítulo 3
1. 9x2 - 64y2
7. 1-4x2 +6x4-4.x6+x 8
13. 6m 4 + 5n 2
3. x 2 -5x-84
9. x 3 + y
15. x 6 + x 3 + I
5. 9m 2 +l5m-14
2
11. 4a +2ab+b
2
CAPÍTULO 4
Grupo 4.1
L
l
13a3(ab - 2)
13. 16m 5(7n - IIm 3n 2 - 9m)
1. 3x(4x2 - 5x + 2)
7.
3. 5a 2(2a + 5b - 4ab)
9. 7(3x 3 + 5y3 + 1)
5. a 2 (7a + 12a2 - 3)
15. a 3b(9bL
13b4 +7b-l)
11. 15m4(m 2 + 3n 2)
Grupo 4.2
l
l
l
1. 2(x + 2y)(3a - b)
7. (m L
3. (3x - 2)(4a - b)
9. (3x + b)(2a 2 + y3 - 4)
5. (xL r)(4a L 3a + 2)
11.
3m + 1)(3 _x2)
13. (aL b)(x + y3)
15. (5a + llb)(3 - m 2 )
(m-n)(2x+y)
Grupo 4.3
1. (3x - 4y)(3x + 4y)
3. (1- 6a)(l + 6a)
5. (3x - 3y + 2)(3x + 3y + 2)
7. (%X-4 y5 )(
%X+ 4y5 J
9. (llm L 1)(1 1m 2 + 1)
11. (1 - 6a 2)(1 + 6a 2)
13. (5z2 - 4)(5z2 + 4)
15. (x 6 _ y5)(x 6 + y5)
Grupo 4.4
1. (3m - 2n)(9m 2 + 6mn + 4n 2)
3. (x 2 + y~)(xL x 2yz2 + rz4)
5. (ab 2 + l)(a 2b4 -ab2 + 1)
7. (3x + y)(3x2 + y2)
9.
(~m2+1J(¡m4_~m2+IJ
212· Matemáticas 1
11. (x 3 - 3y")(x6 + 3x 3y" + 9y 8)
15. 2(3x2 +1)
13. (2a 5 - 5)(4a lO + lOa 5 + 25)
Grupo 4.5
1. (x - 8)2
11. (m-3n)2
7. (5x -7)2
13. (2a +b 3 )2
3. (2x - 3)2
5. (a - 7b)2
(%X+6r
9.
15. (6xy2 +1)2
Grupo 4.6
1. (m + 4)(m - 7)
7. (x-12)(x-7)
13. (a-5b)(a-3b)
3. (a -14)(a - 21)
9. (x+ 15)(x-ll)
15. (x - 12y)(x - lOy)
5. (m + 37)(m + 38)
11. (x+ 15)(x+ lO)
. Grupo 4.7
1. (5x+ 1)(2x+9)
7. (2x 3 +5)(3x3 -1)
13. (6a - 5b)(6a - 5b)
3. (4a-3)(3a-7)
9. (x + 3y)(5x -7y)
15. (3m-19n)(3m-19n
5. (2x+ll)(5x-21)
11. (2x + y)(2x + y)
Grupo 4.8
1. (3x - 1)(3x + 1)
9. (3x - 7)(x + 1)
3. (x-2)2
11. (9x - 2y)(9x + 2y)
5. (x + y)(m L n2)
13. (2m - 9)(3m + 5)
7. (a - 5)(a 2 + 5~ + 25)
15. x(x- 16)
17. (2.x - 5y2)2
19. (1- 3a 3 b 2 )(I + 3 3b 2 )
Grupo 4.9
1. x(x - y)(x + y)
11. (x - y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 - xy + y2)
3. 8(3x - 2y)(3x + 2y)
13. 2a 2 (2x + 3)(3x - 5)
5. (x-I)(x 2 +x+ 1)(a-b)2
15. (x+ 1)2(x2 -x+ 1)
7. (m-I)(m+I)(x+2)(x-3)
17. (x+5)(x+ I)(m+n)
9. 4m(5x + 3y)(7a - b)
19. 5x(x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
Solución a ejercicios impares' 213
Evaluación para el capítulo 4
1. (x+12)2
11. x(x =- 3)(x + 3)
3. 3x2(2x + 1)
13. (x-I)(x+ 1)(2a-b)2
5. (2m + 5)(m - 7)
15. (m - 2n)(m 2 + 2mn + 4n 2)(x - y)(x + y)
7. 3ax(2a + 6x - 3ax)
17. - 2a 2(a - 2)(a + 2)(a 2 + 4)
9. (1 - 3x3 )(1 + 3x 3 + 9x 6 )
19. (x+ 1)(x-I)(x2 +x+ 1)(xLx+ 1)
CAPÍTULOS
Grupo 5.1
5. x+4
1. 3x
3.
x-7
x-I
7.
11.
-x 2 -x
15x 2 +6x
2x+3
15.
x+ y,
4-x
x
9. - 5y
Grupo 5.2
1. 9x3; 3x2
5. 2x 2(x + 2)2; 2
3. 30x4y2; x
7. - 4xy2(x - 1); 2x
Grupo 5.3
1.
x2 +5x+1
5.
8h- 3
9.
6i +15
x 2 -x-2
x2 + 2x + 1
3.
5x-1
7.
12
2x2 +x- 2
2x 3 -8x
5x
11. 5x-2
2x+6
Grupo 5.4
1.
a+2
-~
2a+6
3.
x+6
2x 2 - 4x
5.
2a -lO
7.
2x
--
x 2 -1
13. O
12a
9. 2
a -9
11. O
15.
15x - 11
2
18x -36x+18
214 • Matemáticas [
Grupo 5.5
l.
2
-xy
3
13. m+n
4
7.
x+y
5.
m-I
15.
3. 2x -2
6m+4
9.
2xy-2y
x-2
2a-b
11.
2
3
17. x +x +x
a-3b
x 2 -1
Grupo 5.6
1.
m
2
5.
x2 +3y
7.
2
2x
x+3y
a 2 -b
9. -2.x4-2x2 -2
3. 3-x
Evaluación para el capítulo 5
m
1.
7.
a-2b
3.
x-- 3
9.
x+5
5.
x
5x+ I
x3
13.
--
2x2
m 3 +4m 2 -6m-7
3
15.
2
m +m -m-I
1
11.
m-7
2
x-l
4x2 -23x-6
+ 3x
a 3 -7a 2 +7
a 2 -7a
CAPÍTULO 6
Grupo 6.1
1.
x~2
3.
x~8
5.
51
13
x~-
7.
x~1
9. x
~
32
15.
11.
x~
I
13.
x~
II
Grupo 6.2
1.
3.
6
x=7
x~-6
3
5.
x=-
7.
x~-3
2
9.
1
x~-
10
11.
19
x=2
x~-9
BIBLIOGRAFÍA
EARL W., SWOKOWSK.I: Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Iberoamérica.
BRITTON, JACK R., IGNACIO BELLO: Álgebra y trigonometría contemporáneas. Harla.
_ _ _ _ _ _ _ _ _,-_ _ _ _ : Matemáticas contemporáneas, 2a. ed. Harla.
ELBRIDGE P, V ANCE: Álgebra y trigonometría. Fondo Educativo Interamericano.
FULLER, GORDON: Álgebra elemental. CECSA.
DOLCIENI, BERMAN, FREILICH: Álgebra moderna. Publicaciones Cultural.
WILLERDING, MARGARET F.: Conceptos matemáticos, un enfoque histórico. CECSA.
217
DIRECTORIO
Dr. Roberto Castañón Romo
Director General
Mónica Acosta Camacho
Secretaria Académica
Filiberto García Martínez
Coordinador de Administración Escolar
y del Sistema Abierto
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Coordinador Sectorial Zona Sur
,
,
.r,
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Unidad de Producción Editorial
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"",,~-------
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