ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL MATEMÁTICA II SESIÓN 2 DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Y DERIVACIÓN IMPLICITA SESIÓN Nº 02 I. En los ejercicios siguientes, calcular 𝑓 𝑛 (𝑥) para el valor 𝑛 que se indica 1. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1, 2. 𝑓(𝑥) = 2−√𝑥 2+√𝑥 𝑛=2 , 𝑛=2 𝑥3 3. 𝑓(𝑥) = 1−𝑥, 𝑛=4 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −2𝑥 2 1−𝑥 , 𝑛=3 1 5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥+3, 𝑛=4 6. 𝑓(𝑥) = √4𝑥 + 1; 𝑛 = 3 II. En los ejercicios siguientes determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 por derivación implícita 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 1. 𝑥2 + 𝑦 = 𝑥3 + 𝑦2 7. 2. 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑥𝑦 8. 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) 3. 5𝑥 − 𝑥 2 𝑦 3 = 2𝑦 9. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) = 3 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦] 4. 𝑥 3 − 3𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 3 = 𝑎3 10. 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑦) 5. 6. 𝑥3 𝑦2 𝑦2 5 + 𝑥3 = 2 11. 𝑦 ln(√𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 12. 1 𝑥3 𝑦2 𝑦2 5 + 𝑥3 = 2 𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 = 𝑥 2 III. En los siguientes ejercicios hallar el valor de 𝑦′′ en el punto indicado 1. 𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 = 8, 𝑃(2,2) 2. 𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑦 = 6, 𝑃(1,1) 3. 𝑥 4 − 𝑥𝑦 + 𝑦 4 = 1, 𝑃(0,1) 4. 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3 = 0, 𝑃(2, −1) 𝑑𝑦 IV. Determine 𝑑𝑥 , expresando su respuesta en la forma más simple: 1. 𝑥1/2 + 𝑦 1/2 = 2 2. 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 3. 𝑥 3 − 3𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 3 = 𝑏 3 4. 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑎2 2 2 2 5. 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑎3 V. Resolver los siguientes problemas 1. Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 = 𝟒 en el punto (√𝟐 , 𝟐 −𝟏 √𝟐 ). 𝟐 𝟐 2. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝟑(𝒙 + 𝒚 ) = 𝟏𝟎𝟎𝒙𝒚 en el punto (3, 1). 3. Si 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25. Determine 4. 5. 6. 7. 𝐝𝟐 𝐲 𝐝𝐱 𝟐 . Evalué la primera derivada y la segunda derivada en el punto (−3, 4). Si la pendiente de la recta tangente a la curva 𝒙𝟐 𝒚 + 𝒂𝟐 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 en el punto de abscisa 𝒙 = 𝟏 es 1. Determine el valor de 𝒂. La recta 𝑳 pasa por 𝑷(𝟑𝟑, 𝟎) y es normal a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4 en 𝑄(𝑎, 𝑓(𝑎)). Determine 𝑄 y la ecuación de la recta 𝑳. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 cuya inclinación es 450. En cierta fábrica, el costo total de fabricar 𝒒 unidades es 𝑪(𝒒) = 𝟎. 𝟐𝒒𝟐 + 𝒒 + 𝟗𝟎𝟎 dólares. Se ha determinado que se fabrican aproximadamente 𝒒(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝒕 unidades durante las primeras 𝑡 horas de una corrida de producción. Calcule la razón a la que cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciar la producción. 1 8. Suponga que 𝑅(𝑥) dólares es el ingreso total por la venta de 𝑥 mesas, y que 𝑅(𝑥) = 300𝑥 − 2 𝑥 2 . a) Determine la función de ingreso marginal. b) Determine la función ingreso marginal cuando 𝑥 = 40. c) Determine el ingreso real por la venta de la mesa 41. 9. Supóngase qué 𝐶(𝑥) dólares es el costo total por la fabricación de 𝑥 juguetes, y que 𝐶(𝑥) = 110 + 4𝑥 + 0.02𝑥 2 . a) Determine la función costo marginal. b) Determine el costo marginal cuando 𝑥 = 50 c) Determine el costo real de fabricación del juguete 51.