Medina Fisica1 Cap7

Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido
La suma de las fuerzas que actúan sobre las n
partículas determinan la aceleración del centro de
masa.
INTRODUCCION
En el capitulo anterior estudiamos el movimiento de
un sistema de partículas. Un caso especial
importante de estos sistemas es aquel en que la
distancia entre dos partículas cualesquiera
permanece constante en el tiempo, esto es un
CUERPO RIGIDO.
A pesar que no existen cuerpos que sean
estrictamente rígidos, todos los cuerpos pueden ser
deformados, sin embargo el modelo del cuerpo
rígido es útil en muchos casos en que la
deformación es despreciable.
La descripción cinemática y dinámica de un cuerpo
extenso aunque este sea rígido en un movimiento en
tres dimensiones matemáticamente es muy
complejo y es tratado en libros avanzados de
dinámica. Es complejo porque un cuerpo tiene seis
grados de libertad; su movimiento involucra
traslación a lo largo de tres ejes perpendiculares y
rotación alrededor de cada uno de estos ejes. No
llegaremos a hacer un tratamiento general directo,
pero si desarrollaremos el movimiento del cuerpo
rígido en dos dimensiones.
→
→
aCM =
∑ Fi
M
Tal como se mostró para un sistema de partículas,
las fuerzas internas se anulan de pares, de forma
que solamente importarán las fuerzas externas tal
que
→
→
M aCM = ∑ Fext
“El movimiento de traslación del cuerpo rígido es
como si toda su masa estuviera concentrada en el
centro de masa y las fuerzas externas actuaran sobre
él”.
Todo el estudio que hemos lecho anteriormente para
la partícula corresponde a la traslación de un cuerpo
rígido. No importa ni la forma, ni el tamaño.
ROTACIÓN.
Es el movimiento en que uno de los puntos se
considera fijo.
Sí se considera fijo un punto, el único movimiento
posible es aquel en el que cada uno de los otros
puntos se mueve en la superficie de una esfera cuyo
radio es la distancia del punto móvil al punto fijo.
Si se consideran dos puntos fijos, el único
movimiento posible es aquel en que todos los
puntos con excepción de aquellos que se encuentran
sobre la línea que une los dos puntos fijos, conocida
como EJE, se mueven en circunferencias alrededor
de éste.
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO
En esta parte expondremos algunos tipos de
movimiento de los cuerpos rígidos.
TRASLACION.
Por traslación entendemos al movimiento en el que
lodos los puntos del cuerpo se mueven en la misma
dirección, con la misma velocidad y la misma
aceleración en cada instante.
Por la definición de centro de masa, tenemos:
→
→
rCM =
∑ mi ri
∑m
→
=
∑ mi ri
i
M
Cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido
puede ser considerado como una combinación de
traslación y rotación.
Donde M es la masa total del cuerpo rígido y
→
→
M rCM = ∑ mi ri
Diferenciando dos veces
d2 →
d2 →
M 2 rCM = ∑ mi 2 ri
dt
dt
→
→
→
M a CM = ∑ mi ai = ∑ Fi
En los capítulos anteriores ya hemos profundizado
bastante sobre movimiento de traslación
1
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
estudiaremos aquí el movimiento de rotación
alrededor de un eje y el movimiento de rotación
traslación.
I) El teorema de Steiner o de los ejes paralelos.
“El momento de inercia del cuerpo respecto a un eje
es igual al momento de inercia del cuerpo respecto a
un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro
de masa es el producto de la masa del cuerpo por el
cuadrado de la distancia entre los ejes”.
CANT1DAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
DE UN CUERPO RÍGIDO
La cantidad de movimiento angular de una partícula
respecto a un punto es
→
→
→
→
I 0 = I CM + Md 2
Demostración. La figura siguiente representa la
sección de un cuerpo en el plano del papel, CM es
el eje normal al plano del papel a través del centro
de masa y O es un eje paralelo. Escogiendo un
elemento diferencial de masa dm , escribamos la
expresión para los momentos de inercia con
respecto a los dos ejes.
→
L = r× p = r× m v
En coordenadas polares:
dr
rˆ + rω&t&
dt
→
⎛ dr
⎞
L = rrˆ × m⎜ rˆ + rωtˆ ⎟
⎝ dt
⎠
→
→
r = rrˆ , v =
→
L = mr 2 rˆω × tˆ
→
rˆ × tˆ tiene la dirección y sentido de ω
→
→
L = mr 2 ω
2
I CM = ∫ rCM
dm I 0 = ∫ r 2 dm
M
Si consideramos al cuerpo rígido como n partículas
que giran alrededor de un eje, la cantidad de
movimiento angular de éste será la suma de la
cantidad de movimiento angular de cada una de las
partículas.
→
→
→
2
r 2 = rCM
+ d 2 − 2rCM d cos θ
reemplazando
(
2
2 2
2
n n
= m r + m r + ........ + m r
⎛
2
1 1
2
2 2
n
∑m r
⎝
=⎜
i =1
i i
2
2
n n
M
)ω
M
∫
M
M
El tercer término es cero porque es la suma en todo
el cuerpo d los productos del elemento de masa y
sus distancias al eje a través del centro de masa, de
aquí:
i =1
I 0 = I CM + Md 2
Es importante darse cuenta que el momento de
inercia depende de la distribución de la masa del
cuerpo.
En el caso de un cuerpo rígido continuo,
los mi tienden a dm y
∫
Como m = ρV , donde
volumen del cuerpo:
M
ρ
II. El teorema de la figura plana.
El momento de inercia de una figura plana con
respecto a un eje perpendicular a la misma es igual
a la suma de los momentos de inercia de la figura
plana con respecto a dos ejes rectangulares en el
plano de la figura los cuales se intersecan con el eje
dado
Demostración:
En la figura siguiente el eje z pasa por O
perpendicular al piano y. Elegimos un elemento
diferencial de masa dm y escribimos los momentos
de inercia de la figura para cada uno de los tres ejes.
, de aquí:
es la densidad y V el
dm = ρdV
Tenemos: I =
∫
V
2
rCM
dm = I CM
d 2 ∫ dm = Md 2
n
M
M
El segundo término
I = ∑ mi ri 2
I = ∫ r 2 dm
M
El primer término
⎞→
⎟ω
⎠
se transforma en
)
2
I 0 = ∫ rCM
dm + d 2 ∫ dm − 2d ∫ rCM cosθdm
→
La cantidad entre paréntesis es el MOMENTO DE
INERCIA DEL CUERPO RÍGIDO alrededor de un
eje.
∑
(
2
I 0 = ∫ rCM
+ d 2 − 2rCM d cos θ dm
→
L total = m r ω + m r ω + ........ + m r ω
2
1 1
M
usando la ley de los cosenos, obtenemos:
ρr 2 dV
Para muchos cuerpos de forma geométrica simple
ésta integral puede evaluarse fácilmente.
Dos teoremas que simplifican los cálculos del
momento de inercia son:
2
Cuerpo rígido
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= 7 mb + 5ma
Aquí comprobamos
2
2
Iz = Ix + Iy
b) Momento de inercia de una varilla delgada rígida
de longitud l y masa m, con respecto a un extremo
y con respecto al centro de masa.
Solución.
I x = ∫ y 2 dm , I y = ∫ x 2 dm , I z = ∫ r 2 dm
M
2
M
r =x +y
con
2
M
2
∫ r dm = ∫ (x + y )dm
= ∫ x dm + ∫ y dm
2
2
M
2
M
2
Tomemos un elemento diferencial dx, cuya masa es:
2
M
M
dm =
Iz = Ix + Iy
M
dx
l
El momento de Inercia de la varilla es:
l
Ejemplo 1. A continuación evaluaremos los
momentos de inercia algunos cuerpos simples.
a) Hallar el momento de inercia del sistema
mostrado en la figura, las masas son puntuales
unidas por varillas rígidas de masa despreciable.
I O = ∫ x 2 dm = ∫ x 2
M
0
M
dx
l
[ ]
M l 2
M 3
x dx =
x
∫
l 0
3l
1
3
= Ml
3
=
l
0
El momento de inercia de la varilla con respecto al
centro de masa
Solución.
Momento de inercia respecto al eje x.
l
2
l
−
2
I x = ∑ y mi
I CM = ∫
2
i
= m(0 ) + 2m(0 ) + 3m(b ) + 4m(b )
2
2
2
2
=
2
2
2
−
l
2
1
Ml 3
12
I O = I CM
I y = ∑ xi2 mi
2
l
2
Aquí comprobamos:
= 7 mb
Momento de inercia respecto al eje y.
= m(0 ) + 2m(a ) + 3m(a ) + 4m(0 )
[ ]
M
M 3
x
dx =
x
l
3l
2
⎛l⎞
+ M⎜ ⎟
⎝2⎠
2
c) Momento de inercia un anillo de masa M y radio
R, en el plano xy, Con respecto a los ejes x, y, z.
Solución.
2
2
= 5ma
Momento de inercia respecto al eje z.
I z = ∑ ri 2 mi
(
= m(0 ) + 2m(a ) + 3m a + b
2
2
2
2
) + 4m(b)
La masa del elemento diferencial ds = Rdθ es:
2
3
Cuerpo rígido
dm =
Hugo Medina Guzmán
M
M
ds =
dθ
2πR
2π
El momento de inercia del anillo con respecto al eje
z es:
2π
I z = ∫ R 2 dm = ∫ R 2
M
0
M
dθ
2π
MR 2 2π
[θ ]0 = mR2
=
2π
Por el teorema de la figura plana
Iz = Ix + Iy
Consideremos la esfera como una serie de discos.
Tomemos un disco diferencial como se muestra en
Por simetría
Ix = Iy
la figura, su radio es r =
dz.
La masa del disco es:
Luego
Ix = Iy =
Iz 1
= MR 2
2 2
R 2 − z 2 , su espesor
(
)
M 2
M
πr dz = π R 2 − z 2 dz
V
V
4 3
M es la masa de la esfera y V = πR el
3
dm =
d) El momento de inercia de un disco de radio R y
masa M con respecto al eje perpendicular que pasa
por su centro.
Solución.
volumen de la esfera.
El momento de inercia del disco con respecto al eje
z es:
dI z =
(
)
2
1
1M
dmr 2 =
π R 2 − z 2 dz
2
2V
El momento de inercia de la esfera lo encontramos
integrando esta expresión desde z = - R a z = R.
(
R
−R
R
M
π∫
0
V
2
2
= MR
5
=
Consideremos como elemento diferencial al anillo
de radio r y ancho dr, su masa es:
dm =
M
2M
2πrdr = 2 rdr
2
R
πR
El momento de inercia de este anillo con respecto al
eje perpendicular que pasa por O es
dI O = r 2 dm = r 2
=
)
2
1M
π R 2 − z 2 dz
2V
2
8 πMR 5
R 2 − z 2 dz =
15 V
I z = ∫ dI z = ∫
(
)
Para encontrar el momento de inercia con respecto a
un eje arbitrario como se muestra en la figura
siguiente aplicamos el teorema de Steiner.
2M
rdr
R2
2M 3
r dr
R2
El momento de inercia del disco es:
I O = ∫ dI O = ∫
R
0
=
R
2M 3
2M ⎡ r 4 ⎤
r
dr
=
R2
R 2 ⎢⎣ 4 ⎥⎦ 0
1
MR 2
2
e) El momento de inercia de una esfera con respecto
a un eje que pasa por su centro.
Solución.
2
MR 2 + Md 2
5
⎡ 2 ⎛ R ⎞2 ⎤
2
I P = Md ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ 5 ⎝ d ⎠ ⎥⎦
I P = I O + Md 2 =
En el caso en que R << d podemos considera como
4
Cuerpo rígido
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si fuera una masa puntual y el momento de inercia
se reduce a:
los torques producidos por las fuerzas externas que
actúan sobre el sistema es igual al cambio de la
cantidad de movimiento angular.
I O = Md 2
→
dL
τ =
dt
→
Ejemplo 2. Hallar el momento de inercia de un
disco de masa M y radio R que gira alrededor de un
eje paralelo a un diámetro y que pasa por el borde
del disco.
Esto es válido también para el cuerpo rígido, donde
L es la cantidad de movimiento angular can
respecto al eje x de la figura anterior.
Solución.
→
d L d ⎛ →⎞
= ⎜Iω⎟
Como L = I ω ⇒
dt
dt ⎝ ⎠
→
→
Siendo I el momento de inercia del cuerpo en torno
al eje dado, es constante en el tiempo y
→
dω
τ =I
dt
→
→
dω →
Como
= α , aceleración angular del cuerpo
dt
Por el teorema de las figuras planas
Iz = Ix + Iy ;
→
→
τ = Iα
Además por simetría
I x = I y,
Esta expresión tiene similitud a la ley de Newton
Por tanto
Ix = Iz/2 = ¼ MR2
Ejemplo 3. Una barra uniforme de longitud L y
masa M, que gira libremente alrededor de una
bisagra sin fricción, se suelta desde el reposo en su
posición horizontal, como se muestra en la figura.
Calcular la aceleración angular de la barra y su
aceleración lineal inicial de su extremo.
→
→
F = ma
Aplicando el teorema de Steiner
I = ¼ MR2 + MR2
= 5/4 MR2
SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA
ROTACION
En esta sección vamos a analizar el movimiento de
un cuerpo rígido que gira en torno a un eje fijo en el
espacio.
Solución.
Como el torque de la fuerza en la bisagra es cero,
se puede calcular el torque en torno a la bisagra
producido por la otra fuerza externa que actúa sobre
la barra, que es su peso, suponiendo que la barra es
homogénea y que el peso actúa en su centro
geométrico. Entonces:
El cuerpo gira en torno al eje x. Si θ = θ (t ) es el
desplazamiento angular del punto del cuerpo desde
la línea referencial, la velocidad angular del cuerpo
es:
ω=
τ = rMg =
1
LMg
2
τ = Iα , y el momento de inercia de la barra
1
2
es I = ML .
3
1
Se tiene: Iα = LMg
2
Como
dθ
dt
Como cada punto del cuerpo gira a la misma
velocidad angular ω , el desplazamiento θ (t ) de
cualquier punto describe el desplazamiento del
cuerpo como un todo.
Para el sistema de partículas vimos que la suma de
5
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
1
LMg
3g
⇒ α= 2
=
1
2L
ML2
3
a t = Lα =
)
(
)
Ejemplo 5. Se tiene un disco de masa M y radio R,
que pueda girar libremente alrededor de un eje que
pasa por su centro. Se enrolla una cuerda alrededor
del disco, se tira la cuerda con una fuerza F. Si el
disco está inicialmente en reposos ¿Cuál es su
velocidad al tiempo t?
Para calcular la aceleración lineal del extremo de la
barra, usamos la ecuación at = αL .
Reemplazando
(
5 r 2 − b 2 gh 2 senθ
7r 2 − 5b 2
=
α:
3
g
2
Ejemplo 4. Una esfera rueda sobre una barra, con
sección en forma de U, inclinada. Determinar la
aceleración.
Solución.
El momento de inercia del disco con respecto al eje
es:
I=
La dirección de la cuerda siempre es tangente al
disco por lo que el torque aplicado es:
Solución.
τ = FR
Como τ = Iα
Las fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso,
P, la reacción normal del plano, R, y la fuerza de
rozamiento Ff.
Tenemos
α=
τ = hmg senθ , siendo h = (r 2 − b 2 )
12
Como
Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica
de rotación:
I
=
τ
I
1
MR 2
2
α
=
2F
MR
constante
ω = ω0 + α t
ω0 = 0 ⇒ ω = α t =
2F
t
MR
Ejemplo 6. Se sujeta una masa M a una cuerda
ligera enrollada alrededor de una rueda de momento
de inercia I y radio R.
Hallar La tensión de la cuerda, la aceleración y su
velocidad después de haber descendido una
distancia h desde el reposo.
2 2
mr + mh 2
5
τ
FR
Siendo
El momento de inercia de la esfera con relación al
eje instantáneo de rotación es
α=
α=
Reemplazando
Como la reacción R y el rozamiento Ff están
aplicados en el eje instantáneo de rotación no
realizan ningún torque, sólo el peso:
I=
1
MR 2
2
hmgsenθ
hgsenθ
=
2
2
(2mr / 5 + mh ) (2r 2 / 5 + h 2 )
la aceleración lineal será: a = α h
Solución.
La figura siguiente muestra los diagramas de cuerpo
libre.
h 2 gsenθ
gsenθ
a=
=
2
2
2
(2r / 5 + h ) (2r / 5h 2 + 1)
6
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
a) Por el teorema de las figuras planas, tenemos
que:
Iz = Ix + Iy ;
Además por simetría
I x = I y,
Por tanto
Aplicando la segunda ley de Newton a la masa M
Mg − T = Ma
(1)
Aplicando la segunda ley de Newton para rotación
al disco
TR = Iα ,
a
como a = Rα ⇒ α =
R
a
TR = I o TR 2 = Ia
R
Iz 1
1
2
2
3
= ρLR = ρ (2πR )R = πρR
2 2
2
3
−1
= π 1,6.10 (0,05) = 6,28x10-5 kg m2
Ix =
(
ω0 =
(2)
Resolviendo (1) y (2) obtenemos
I R2
Mg
M + I R2
1
2
ω = 12,6 − 0,079t
θ = θ 0 + ω0t + αt 2 = 12,6t − 0,0398t 2 , y
Siendo un movimiento con aceleración constante
v 2 = v02 + 2as
Conocemos: a , v0 = 0 , s = h :
2Mg
v2 =
h
M + I R2
⇒ v=
L 7,9 × 10 −4
=
I 6,28 × 10 − 5
= 12,58 rad/s
c) τ = 50 dina cm = 50x10-5 Nx10-2 m
= 5x10-6 N m
Por lo tanto la ecuación del movimiento en términos
angulares será:
M
a=
g,
M + I R2
T=
)
b) Al comunicarle un momento angular
L = 7,9 x10-4 kg m2/s,
Siendo ω = 0 para t = 158 s.
Ejemplo 8. Maquina de atwood tomando en
cuenta la polea.
2 Mg
h
M + I R2
Ejemplo 7. Un anillo de 5 cm de radio, grosor
despreciable y densidad 1,6 g/cm, se pone en
rotación alrededor de un diámetro cuando se le
comunica un momento angular de 7900 g cm2/s.
a) Hallar la expresión analítica y el valor numérico
del momento de inercia respecto del eje de giro.
b) ¿Con qué velocidad angular empieza a girar?
c) Si el rozamiento con el aire y los pivotes origina
un par de fuerzas cuyo torque es de 50 dina cm,
¿cuál será la ecuación del movimiento que efectúa
el anillo?, ¿cuánto tiempo tarda en pararse?
(Nota 1 N = 105 dinas)
Solución.
La polea es un disco de masa M y radio R. La figura
muestra los diagramas de cuerpo libre de cada una
de las partes de la máquina de atwood.
7
Cuerpo rígido
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Planteando la segunda ley de Newton para cada
masa:
m1 g − T1 = m1 a ,
Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de
las partes.
Masa M1:
T1 − M 1 g = M 1 a
(1)
Masa M2:
M 2 g − T2 = M 2 a
(2)
Polea:
T2 − m 2 g = m2 a
Para la polea:
a
∑τ = T R − T R = Iα = I R
1
2
T2 R − T1 R = Iα
1
a 1
=
MR 2 = MRa (3)
2
R 2
Como el hilo no desliza,
Resolviendo (1), (2) y (3), obtenemos:
T1 = M 1 ( g + a ) ,
T2 − m 2 g = m2 a ,
a
T1 − T2 = I 2
R
a = αR
Por lo tanto tenemos tres ecuaciones:
m1 g − T1 = m1 a ,
T2 = M 2 ( g − a ) y
(m2 − m1 )
a=
g
(m2 + m1 + M 2)
Que sumadas dan lugar a:
(m1 – m2) g = a(m1 + m2 + I/R2).
Por lo tanto a vale:
Ejemplo 9. Una polea homogénea de radio R, masa
M y momento de inercia I, gira alrededor de su eje,
debido a la acción de dos masas m1 y m2.
R = 0,3 m, m1 =15 kg, m2 = 10 kg, M = 20 kg, I =18
kg m2.
Calcular:
a) La aceleración angular de la polea.
b) Las tensiones de las cuerdas.
c) La tensión del soporte que fija el sistema al techo
a=
m1 − m2
I
m1 + m2 + 2
R
g =
5
18
25 +
0,3 2
9,8
= 0,22 m / s2
y
α=
a 0,22
= 0,73 rad / s2
=
R
0,3
b) De las ecuaciones anteriores obtenemos:
T1 = m1 g − m1 a = 15( g − a ) = 143,7 N.
T2 = m 2 ( g + a ) = 100,2 N.
c) Considerando todas las fuerzas que actúan sobre
la polea, que debe estar en equilibrio:
Solución.
a) Vamos a suponer que el sistema acelera hacia el
lado de la masa mayor M.
→
∑F = 0
S = P + T1 + T2 = 20 x 9,8 + 146,67 + 102,22
= 445 N
8
Cuerpo rígido
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kg y de la garganta de la polea pequeña pende otra
masa de 100 kg que tiende a hacer girar a las poleas
en sentido contrario al anterior. El momento de
inercia del sistema formado por las dos poleas es de
10 kg m2. Al dejar el sistema en libertad, se pone en
movimiento espontáneamente. Se pide:
a) ¿En qué sentido se mueven las poleas?
b) Valor de la aceleración con que se mueve cada
una.
c) Aceleración angular de las poleas.
d) Tensión de la cuerda que sostiene la masa de 100
kg cuando el sistema está en movimiento.
Solución.
Ejemplo 10. La figura representa un cilindro
macizo y homogéneo de radio R = 20 cm y masa
M = 20 kg. A su periferia va arrollado un hilo ideal
de cuyo extremo libre cuelga una masa m = 8 kg.
Por una hendidura muy fina se le arrolla otro hilo
ideal a una distancia del eje horizontal r = 10 cm, a
cuyo extremo libre se le aplica una fuerza constante
F = 200 N. Calcular:
a) Momento de inercia del cilindro respecto a un eje
que coincida con una generatriz.
b) Aceleración con que sube la masa m.
c) Aceleración angular del cilindro.
d) Tensión del hilo que sostiene la masa.
Solución.
a) Aplicando el teorema de Steiner,
I = ½ MR2 +MR2 = 3/2 MR2
a) Cuando las poleas están inicialmente en reposo,
los pesos coinciden con las tensiones.
Por tanto T1 = 200 N, y T2 = 1000 N.
El momento que ejerce T1 valdrá
τ 1 = T1 R1 = 200 Nm
El que ejerce T2 valdrá
τ 2 = T2 R2 = 300 N m.
Por tanto, al ser el momento de la fuerza T2 mayor,
la polea girará de modo que la masa M1suba.
b) y c) Planteando la ecuación fundamental de la
dinámica a cada masa y a la polea, tendremos:
b) Podemos plantear dos ecuaciones:
T − mg = ma y
T1 − M 1 g = M 1 a1
⇒ T1 − M 1 g = M 1αR1
M 2 g − T2 = M 2 a 2
⇒ M 2 g − T2 = M 2αR2
τ 2 − τ 1 = Iα
⇒ T2 R2 − T1 R1 = Iα
⎛1
⎞⎛ a ⎞ 1
Fr − TR = Iα = ⎜ MR 2 ⎟⎜ ⎟ = MRa
⎝2
⎠⎝ R ⎠ 2
Que conducen a:
1
⎛
⎞
Fr − mgR = a⎜ mR + MR ⎟ .
2
⎝
⎠
Por lo tanto la aceleración a vale:
a=
α=
(2)
(3)
De las tres ecuaciones obtenemos α :
20 − 15,68
Fr − mgR
=
1
1,6 + 2
mR + mR
2
M 2 gR2 − M 1 gR1
M 2 R22 + M 1 R12 + I
30 − 20
=
g = 2,51 rad / s2.
20 + 9 + 10
α=
= 1,2 m / s2
c)
(1)
a 1,2
=
R 0,2
= 6 rad/s2.
d) T = mg + ma = 8 (9,8 +1,2)
= 88 N.
La aceleración de cada masa será:
a1 = αR1 = 2,51 m/s2,
a 2 = αR2 = 0,75 m/s2
d) T2 = M 2 g − M 2αR2 = 904,7 N
Ejemplo 11. Dos poleas cuyos radios son 1 m y
0,3 m, están acopladas pegada una a la otra en un
plano vertical, formando un bloque que gira
alrededor de su eje de rotación común. De la
garganta de la polea grande pende una masa de 20
Ejemplo 12. Un rollo de 16,0 kg de papel con
radio R = 18,0 cm descansa contra la pared
9
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
τ (40,0 − 31,54)(18,0 × 10−2 )
=
.
I
(0,260)
= 4,71 rad/s 2
sostenido por un soporte unido a una varilla que
pasa por el centro del rollo. La varilla gira sin
fricción en el soporte, y el momento de inercia del
papel y la varilla alrededor del eje es de 0,260 kg.
m2. El otro extremo del soporte está unido mediante
una bisagra sin fricción a la pared de modo que el
soporte forma un ángulo de 30,0° con la pared. El
peso del soporte es despreciable. El coeficiente de
fricción cinética entre el papel y la pared es
μ k = 0,25 . Se aplica una fuerza vertical constante
α=
Ejemplo 13 Se debe aplicar una sola fuerza
adicional a la barra de la figura para mantenerla en
equilibrio en la posición mostrada. Puede
despreciarse el peso de la barra.
a) Calcule las componentes vertical y horizontal de
la fuerza requerida.
b) ¿Qué ángulo debe formar ésta fuerza con la
barra?
c) ¿Qué magnitud debe tener?
d) ¿Dónde debe aplicarse?
F = 40,0 N al papel, que se desenrolla.
a) ¿Qué magnitud tiene la fuerza que la varilla
ejerce sobre el rollo de papel al desenrollarse?
b) ¿Que aceleración angular tiene el rollo?
Solución.
a) La tensión en el resorte es W2 = 50 N, y la
fuerza horizontal sobre la barra debe equilibrar la
componente horizontal de la fuerza que el resorte
ejerce sobre la barra, y es igual a
(50 N) sen 37° = 30 N, a la izquierda en la
figura.
La fuerza vertical debe ser
Solución.
En el punto de contacto, la pared ejerce una fuerza
F f de la fricción dirigida hacia abajo y una fuerza
normal N dirigida a la derecha. Esto es una
situación donde es cero la fuerza neta en el rodillo,
pero el torque neto no es cero.
La suma de fuerzas verticales
50 cos 37° + 10 = 50 N, arriba
Fvar cosθ = F f + W + F , F f = μk N ,
b)
Las fuerzas horizontales
Fvarsenθ = N .
⎛ 50 N ⎞
⎟⎟ = 59°
arctan ⎜⎜
⎝ 30 N ⎠
De aquí tenemos:
Fvar cos θ = μ k N + F + W
Fvarsenθ = N .
c)
a) Eliminando N y resolviendo para Fvar da
d) Tomando torques alrededor (y midiendo la
distancia de) del extremo izquierdo
(30 N) 2 + (50 N) 2 = 58 N.
W +F
cos θ − μk sin θ
40,0 + (16,0) (9,80)
= 266 N
=
cos 30° − (0,25)sen30°
50 x = (40)(5,0 )
⇒ x = 4,0 m
Fvar =
Donde solamente las componentes verticales de las
fuerzas ejercen torques.
b) Con respecto al centro del rodillo, la barra y la
fuerza normal ejercen el torque cero.
La magnitud del torque neto es
( F − F f ) R , y F f = μk N
Ejemplo 14. Imagine que está tratando de subir
una rueda de bicicleta de masa m y radio R a una
acera de altura h; para ello, aplica una fuerza
horizontal F. ¿Qué magnitud mínima de F logra
subir la rueda si la fuerza se aplica
a) al centro de la rueda?
b) ¿En la parte superior de la rueda?
c) ¿En cuál caso se requiere menos fuerza?
Puede calcularse reemplazando el valor
encontrado para Fvar en cualquiera de las
relaciones anteriores;
F f = μk Fvarsenθ = 33,2 N .
Luego,
10
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Aplicando la segunda ley de Newton en la masa C:
m C g − T = mC a
8 g − T = 8 αR A
Aplicando la segunda ley de Newton de la rotación
en el conjunto giratorio:
TR B = Iα
Resolviendo el sistema formado:
Solución.
a) Tome los torques respecto a la esquina superior
de la acera.
8 gR B − TR B = 8αR B2 ⎫
2
⎬ 8 gRB = 8aRB + Iα
TR B = Iα ⎭
8 gR B
35,28
⇒α =
= 0,66 rad/s2
=
2
8 R B + I 53,18
b) a 0 = αR0 = 0,6 m/s2
→
La fuerza F actúa a una distancia perpendicular
R−h y
el peso actúa en una distancia perpendicular
R 2 − (R − h ) =
2 Rh − h 2 .
2
Igualando los torques para encontrar la fuerza
necesaria mínima,
F = mg
c)
= 2,65 rad/s
aN = ω 2 RD = 6,34 m/s2
2 Rh − h 2
.
R−h
EQUILIBRIO ESTÁTICO
En el capítulo 5 vimos que para que una partícula
estuviera en equilibrio estático era suficiente que La
fuerza resultante fuese cero.
b) El torque debido a la gravedad es el mismo, pero
→
la fuerza F actúa a una distancia perpendicular
2 R − h, tal que la fuerza mínima es
F = mg
ω (4 s ) = α t
→
∑F = 0
2 Rh − h
.
2R − h
2
Esta condición también, es necesaria para que un
cuerpo rígido este en equilibrio, pero no es
suficiente que solamente el centro de masa este en
reposo, el cuerpo puede girar Es necesario que el
momento de: fuerzas o torque con respecto al centro
de masa sea nulo.
c) Se requiere menos fuerza que cuando la fuerza se
aplica en parte alta de la rueda.
Ejemplo 15. Un disco homogéneo A gira alrededor
del eje y bajo la acción de la masa C unida a una
cuerda que pasa por una polea sin peso ni
rozamiento enrollada alrededor del tambor
cilíndrico macizo B, solidaria del disco A. A éste
está unida una masa puntual D, como indica la
figura. Las masas A, B, C y D son respectivamente
65, 15, 8 y 4 kg. Se supone que la cuerda
permanece siempre horizontal. Calcular:
a) Aceleración angular del disco.
b) Aceleración tangencial de D.
c) Aceleración normal de D, 4 s después de partir
del reposo.
→
∑τ
=0
A continuación desarrollaremos algunos ejemplos
de aplicación. En muchos de ellos la fuerza de la
gravedad ejercida sobre las diversas partes de un
cuerpo puede sustituirse por una sola fuerza, el peso
total actuando en el centro de gravedad.
Si la aceleración de la gravedad no varía a lo largo
del cuerpo, el centro de gravedad coincide con el
centro de masa.
Ejemplo 16. Demostrar que cuando un cuerpo está
en equilibrio y el torque con respecto al centro de
masa es cero, el torque con respecto a cualquier
punto también es cero.
Solución.
Solución.
a) Calculemos en primer lugar el momento de
inercia del sistema A-B-D.
En la figura
1
1
1
I = m A R A2 + m B RB2 + m D RD2
2
2
2
→
rO es el vector del centro de masa a O
= 51,56 kg m2
11
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
→
ri es el vector del centro de masa al punto donde
→
actúa Fi .
→
rOi es el vector del punto O al punto donde actúa
→
Fi .
De la figura vemos:
→
→
→
Solución.
a) Sustituir la fuerza vertical dada por otra igual
paralela cuya línea de acción pase por el centro de
masa.
ri = rO + rOi
El torque total alrededor de O es
→
→
⎛→ → ⎞ →
∑i ⎜⎝ ri − rO ⎟⎠ × F i =
→
τ O = ∑ r Oix × F i
=
i
→
→
→
→
∑r× F − ∑r × F
i
i
i
O
→
i
=
i
→
→
τ CM − ∑ rO × F i
i
→
Como rO es constante
→
→
→
→
τ O = τ CM − ∑ rO × F i
b) Hacer girar el plano del par, hasta desplazarlo
hasta la línea A B.
i
→
Para un cuerpo en equilibrio
→
tal que
∑ Fi = 0
→
τ O = τ CM
→
Si τ CM = 0 , el torque alrededor de cualquier
punto debe ser cero y viceversa.
Ejemplo 17. Par de fuerzas. Dos fuerzas iguales y
opuestas que actúan en la figura siguiente se
denominan par de fuerzas, Según se indica
c) Se cambian los módulos de las fuerzas a F’ de tal
modo que:
F ' b = Fa ⇒ F ' = F
a
b
F es el valor de cualquiera de las fuerzas y
d = ( x 2 − x1 ) es la distancia entre ellas.
El momento o torque producido por estas fuerzas
con respecto a O es:
τ O = Fx 2 − Fx1 = F ( x 2 − x1 ) = Fd
Este resultado no depende de la selección del punto
O, el momento producido por un par es el mismo
respecto a cualquier punto del espacio.
Ejemplo 19. Sobre una placa sólida actúan cuatro
fuerzas de módulos
F1 = 28,3 N, F2 = 60 N, F3 = 20 N y F4 = 50 N.
Como se indican en la figura. Hallar la tuerza
resultante sobre la placa y determinar su línea de
acción.
Ejemplo 18. Una fuerza vertical F que actúa en A.
en el sólido rectangular mostrado en la figura,
queremos sustituirla por otra cuya línea de acción
pasa por el centro de masa más un par de fuerzas
que actúen horizontalmente aplicados en A y B.
12
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
→
r = xiˆ + yˆj
Tal que
→
→
→
τ = 6k̂ = r × F
(
) (30iˆ + 40 ˆj )
= xiˆ + yˆj ×
= (40 x − 30 y )kˆ
De aquí:
(40 x − 30 y ) = 6
⇒ 20 x − 15 y = 3
Solución.
Utilizando el cuadriculado obtenemos:
Esta es la ecuación de la línea de acción de la
fuerza; si esta tuerza a de situarse en algún punto
del borde inferior de la placa, y = - 0,2 m..
Obtenemos
→
r1 = −0,2iˆ − 0,2 ˆj ,
→
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
ˆ
ˆ
⎟ˆ
⎟iˆ + 28,3⎜
F1 = 28,3⎜⎜
⎜ 2 ⎟ j = 20i + 20 j
⎟
2
⎠
⎝
⎠
⎝
→
x=
3 + 15 y
3 + 15(− 0,2)
=
=0
20
20
La figura siguiente muestra la fuerza resultante:
→
r2 = 0,1iˆ − 0,2 ˆj , F2 = 60 ˆj
→
→
r3 = 0,2iˆ + 0,1 ˆj , F3 =− 20iˆ
→
→
⎛3⎞
⎛3⎞
r4 = −0,1iˆ + 0,2 ˆj , F4 = 50⎜ ⎟iˆ − 50⎜ ⎟ ˆj
⎝4⎠
⎝4⎠
= 30iˆ − 40 ˆj
La fuerza resultante es
→
→
→
→
→
F = F1 + F2 + F3 + F4
= (20 − 20 + 30 )&i& + (20 + 50 − 40 ) ˆj
=
Ejemplo 20. Se tiene una escalera dé masa M y
largo L apoyada contra la pared .No hay fricción en
la pared y el coeficiente de fricción del piso es μ .
¿Cuál es el mínimo ángulo de inclinación para que
no comience a resbalar?
(30iˆ + 40 ˆj )N
El torque resultante respecto al centro de masa es la
suma de los torques individuales.
→
→
→
→
→
τ = τ1+τ 2 +τ 3 +τ 4
Siendo:
→
→
→
τ 1 = r1 × F1
(
) (
)
= − 0,2iˆ − 0,2 ˆj × 20iˆ + 30 ˆj = 0
→
→
→
τ 2 = r2 × F2
=
→
(0,1iˆ − 0,2 ˆj )× (60 ˆj ) = 6kˆ
→
Solución.
La figura siguiente muestra el diagrama del cuerpo
libre de la escalera.
→
τ 3 = r3 × F3
=
→
(0,2iˆ + 0,1 ˆj )× (− 20 ˆj ) = 2kˆ
→
→
τ 4 = r4 × F4
(
) (20iˆ − 40 ˆj ) = −2kˆ
= − 0,1iˆ + 0,2 ˆj ×
Reemplazando:
→
τ = 6k̂
Nm
Para determinar la línea de acción de la tuerza,
consideremos que el punto de aplicación de la
fuerza resultante es:
Condición para que el centro de masa no acelere:
13
Cuerpo rígido
∑F
∑F
Hugo Medina Guzmán
x
= 0 = N x − μN y ,
y
= 0 = Mg − N y
De aquí obtenemos:
N y = Mg , N x =
R es a reacción de la pared.
Como el sistema está en equilibrio
→
∑F = 0
⎧⎪∑ Fx = R cos α − T cos θ = 0
⎨
⎪⎩∑ Fy = Rsenα − Tsenθ − Mg − mg = 0
μN y = μMg
Condición de no rotación:
La suma de momentos de fuerza con respecto al
centro de masa es cero.
→
Con
L
L
L
N y cos θ − μN y senθ − N x senθ = 0
2
2
2
alrededor de cualquier punto.
Tomamos momentos con respecto a O.
TLsenθ − mg
Reemplazando las fuerzas:
L
L
L
Mg cos θ − μMg senθ − μMg senθ = 0
2
2
2
L
− Mgx = 0
2
De esta última ecuación obtenemos
⇒ 2μsenθ = cos θ
x=
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
⇒ θ = tan −1 ⎜⎜
⎝ 2μ ⎠
TLsenθ − mg
L
2
Mg
Si T = Tm obtenemos el valor máximo de x.
Si estuviéramos interesados en conocer R, sería
mejor tomar momentos con respecto al otro
extremo.
Otra forma:
En lugar de tomar el centro de masa como origen
tomemos extremo inferior de la escalera.
Tomando momentos con respecto a este punto.
Mg
∑τ = 0
L
cos θ − N x Lsenθ = 0
2
Ejemplo 22. Un albañil de 75 kg camina sobre un
tablón de 3 m de largo y 80 kg apoyado sobre dos
vigas distantes 2 m, tal como indica la figura. ¿Cuál
es la máxima distancia x que puede recorrer, sin
que caiga?
Reemplazando el valor de Nx:
L
cos θ − μMgLsenθ = 0
2
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
⇒ θ = tan −1 ⎜⎜
⎝ 2μ ⎠
Mg
Obtenemos la misma respuesta porque no importa
con respecto a que eje tomemos el torque.
Ejemplo 21. Una viga de masa m se empotra a la
pared como se muestra en la figura y se sujeta por
medio de un alambre. Si la tensión en el alambre
excede Tm el alambre se rompe. ¿Para qué valor de
Solución.
Para que el tablón gire, el torque del peso del
albañil respecto del punto O, más el torque del peso
de la parte de tablón que sobresale, debe ser mayor
o igual que el torque del peso de la parte de tablón
apoyada entre las vigas:
Llamando λ a la densidad lineal del tablón:
x, el alambre se romperá por una masa M colocada
sobre la viga?
λ=
M
, haciendo d = 2 m, L = longitud del
L
tablón, M = masa tablón, m = masa albañil
tendremos:
mgx + λ (L − d )g
[
(L − d ) = λdg d
2
]
2
⇒ mx + λ d 2 − (L − d )2 = M (2 Ld − L2 ) ,
Solución.
La figura muestra el diagrama del cuerpo libre del
sistema viga-masa.
2L
M
(2d − L ) = 0,53 m
⇒x=
2m
Ejemplo 23. Un baúl de masa M se empuja sobre
un suelo con coeficiente de rozamiento
a) Qué fuerza F se ejerce si el baúl se mueve con
aceleración constante a?
b) ¿Si el baúl se mueve con velocidad constante?
14
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
c) ¿Qué fuerza se necesita para inclinar el baúl?
La componente horizontal de la fuerza ejercida en
la barra por la bisagra debe equilibrar la fuerza
→
F aplicada, y así tiene magnitud 120,0 N y es
hacia la izquierda.
Tomando torques alrededor del punto A
(120,0 N)(4,00 m) + FV (3,00 m)
La componente vertical es – 160 N, el signo menos
indica una componente hacia abajo, ejerciendo un
torque en una dirección opuesta a la de la
componente horizontal.
La fuerza ejercida por la barra en la bisagra es igual
en magnitud y contrario en la dirección a la fuerza
ejercida por la bisagra en la barra
Solución.
La figura siguiente muestra el diagrama del cuerpo
libre del baúl.
Ejemplo 25. La caja es arrastrada sobre una
superficie horizontal con rapidez constante por una
fuerza. El coeficiente de fricción cinética es de 0,35.
a) Calcule la magnitud de F.
b) Determine el valor de h con el cual la caja
comience a volcarse.
a) Aplicando la segunda ley de Newton.
x
= F − μ k ( N 1 + N 2 )Ma ,
y
= N 1 + N 2 − Mg = 0
∑F
∑F
Resolviendo las ecuaciones:
F = M (a + μ k g )
b) En el caso que el baúl va con velocidad constante
a = 0 y F = Mμ k g
c) Para analizar la inclinación del baúl tenemos que
escribir la ecuación de momentos con respecto al
borde delantero, sin rotación α = 0, luego
∑τ = −bN
1
− hF +
Solución.
a) F = F f = μ k Ν = μ k mg
b
Mg = 0
2
2
= (0,35)(30,0 kg)(9,80 m s )
= 103 N
b) Con respecto al borde delantero de la caja.
El brazo de palanca del peso es
Cuando el baúl empiece a inclinarse, empezará a
rotar en el sentido horario y N1 = 0, de aquí:
F=
bMg
2h
0,250
= 0,125 m
2
El brazo de palanca h de la fuerza aplicada es
entonces
y la aceleración:
a=
F
⎛ b
⎞
− μk g = ⎜
− μk ⎟g
M
⎝ 2h
⎠
h = (0,125)
Ejemplo 24. El extremo A de la barra AB de la
figura descansa en una superficie horizontal sin
fricción, y el extremo B tiene una articulación. Se
ejerce en A una fuerza horizontal F de magnitud
120 N. Desprecie el peso de la barra. Calcule las
componentes horizontal y vertical de la fuerza
ejercida por la barra sobre la articulación en B.
=
1
mg
= (0,125)
μk
F
0,125
= 0,36 m.
0,35
TRABAJO Y ENERGIA EN ROTACIÓN.
Consideremos un cuerpo que gira alrededor de un
eje tal como se muestra en la figura
La energía cinética de un elemento de masa dm que
gira a una distancia r del eje de rotación es:
Solución.
15
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
1
dmv 2 , v = ωr
2
1
⇒ dK = dmω 2 r 2
2
dK =
=
“E1 trabajo neto realizado por las fuerzas externas
al hacer girar un cuerpo rígido alrededor de un eje
fijo es igual al cambio en la energía cinética de
rotación”.
Integrando.
K = ∫ dK = ∫
M
como
ω
1 2 2
ω r dm
2
es constante.
Por la analogía que existe entre las expresiones para
el movimiento lineal y el movimiento angular,
podemos decir que un torque será conservativo a
condición que exista una función potencial
U = U (θ ) de tal modo que el trabajo efectuado por
1
K = ∫ dK = ω 2 ∫ r 2 dm
M
2
El término integral es el momento de inercia del
cuerpo con respecto al eje de rotación
K=
1 2 1 2
Iω2 − Iω1
2
2
= K 2 − K 1 = ΔK
→
1 2
Iω
2
τ
, cuando el cuerpo sufre un desplazamiento
angular (θ 2 − θ 1 ) es la diferencia U (θ1 ) − U (θ 2 ) .
Para relacionar la energía cinética, al trabajo
efectuado sobre el cuerpo por un torque τ .
Supongamos que se aplica una fuerza externa única
F, que actúa en el punto P del cuerpo.
(
)
Así pues se deduce que:
U (θ1 ) − U (θ 2 ) = K 2 − K 1
ó
K 1 + U (θ1 ) = K 2 + U (θ 2 ) = constante
Cuando el sistema no es conservativo
(
) (
W NO CONSERVATI VO = K 1 + U (θ1 ) − K 2 + U (θ 2 )
)
POTENCIA
La rapidez con que se realiza este trabajo es:
dW
dθ
=τ
= τω
dt
dt
Expresión que corresponde a la potencia
instantánea.
→
El trabajo realizado por F a medida que el cuerpo
gira recorriendo una distancia infinitesimal
ds = rdθ en un tiempo dt es:
→
P = τω
→
Ejemplo 26. Para la barra giratoria, calcular su
rapidez angular y la rapidez lineal de su centro de
masa y del punto mas bajo de la barra cuando está
vertical.
dW = F ⋅ d s = Fsenφ rdθ
Como Fsenφ r es el torque de la fuerza F
alrededor del origen se puede escribir el trabajo
realizado para la rotación infinitesimal como:
dW = τ dθ
Cuando el cuerpo gira en torno a un eje fijo bajo la
acción de un torque. El cambio de su energía
cinética durante el intervalo dt se puede expresar
como:
dK
d ⎛1
⎞
dt = ⎜ Iω 2 ⎟dt
dt
dt ⎝ 2
⎠
dω
= Iω
dt = Iωα dt = Iα ω dt
dt
Solución.
dK =
Como
τ = Iα y dθ = ωdt
Obtenemos:
dK = τ dθ = dW
Si se íntegra esta expresión se obtiene el trabajo
total
θ2
W1→2 = ∫ τ dθ =
θ1
ω2
∫ω
Iωdω
Usando el principio de conservación de la energía,
considerando que la energía potencial se calcula
1
16
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
respecto al centro de masa y la energía cinética es
de rotación:
1
1
1
m1v 2 + m2 v 2 + Iω 2 + m1 gH
2
2
2
1⎛
I ⎞
⇒ ⎜ m1 + m2 + 2 ⎟v 2 = (m2 − m1 )gH
2⎝
R ⎠
=
Ei = E f ⇒ K i + U gi = K f + U gf
Cuando la barra esta inicialmente horizontal no
tiene Ki y cuando esta vertical tiene solo Kf,
entonces:
Donde se ha usado la relación v = R ω, despejando
v se obtiene:
1⎛1
L 1
⎞
Mg = Iω 2 = ⎜ ML2 ⎟ω 2 ⇒
2 2
2⎝3
⎠
ω=
v=
3g
L
Para calcular la rapidez del centro de masa, se usa:
vcm
2(m2 − m1 )gH
I
m1 + m2 + 2
R
Ejemplo 28. Sobre un cilindro homogéneo de
radio R y masa M. tiene El cual tiene libertad de
girar sin fricción sobre un eje, como se muestra en
la figura. Si se le aplica en su borde una fuerza
tangencial de magnitud F.
a) ¿Cuál es la aceleración angular α del cilindro?
b) ¿Cual es la velocidad angular y la energía
cinética del cilindro al tiempo t?
c) ¿qué cantidad de trabajo aplica la fuerza durante
este intervalo t?.
L
1
= rω = ω =
3gL
2
2
En el punto mas bajo la rapidez es
v = 2v cm = 3 gL
Ejemplo 27. Para el sistema de la figura, las masas
tiene momento de inercia I en torno a su eje de
rotación, la cuerda no resbala en la polea y el
sistema se suelta desde el reposo.
Calcular la rapidez lineal de las masas después que
una ha descendido H y la rapidez angular de la
polea.
Solución.
El momento de inercia del cilindro en torno a su eje
es:
I=
1
MR 2
2
Solución.
Como no hay roce en la polea, se conserva la
energía, que aplicada a cada masa m1 y m2,
suponiendo que m2 se encuentra inicialmente en la
parte superior del sistema, es:
Ei = E f
⇒ α=
τ
, τ = F0 R
I
2F
F0 R
= 0
tenemos α =
1
MR 2 MR
2
b) Siendo α constante
ω = ω0 + α t
2 F0
Si ω 0 = 0 , ω = α t , ω =
t
MR
a) Con τ = Iα
La energía cinética:
1
1⎛1
⎞⎛ 2 F ⎞
K = Iω 2 = ⎜ MR 2 ⎟⎜ 0 t ⎟
2
2⎝2
⎠⎝ MR ⎠
F2 2
= 0 t
M
c) El trabajo realizado
W = ΔK = K 2 − K 1 =
⇒ K 1i + K 2i + U 1i + U 2i
= K1 f + K 2 f + K p + U 1 f + U 2 f
=
⇒ 0 + m2 gH
17
F02 2
t
M
F02 2
t −0
M
2
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Luego W = MgR
Otra forma de calcular es:
θ2
W = ∫ τ dθ , τ = F0 R (constante)
ω2R
4g
=
1
Mω 2 R 2
4
Otra forma de evaluar el trabajo es por la
conservación de la energía.
θ1
W = F0 R(θ 2 − θ1 ) = F0 RΔθ
2 F0
Con α =
, ω0 = 0
MR
1
1 ⎛ 2F ⎞
F
⇒ θ = αt 2 = ⎜ 0 ⎟t 2 = 0 t 2
2
2 ⎝ MR ⎠
MR
1 2
Iω − 0
2
1⎛1
1
2⎞ 2
2 2
= ⎜ MR ⎟ω = Mω R
2⎝2
4
⎠
W = ΔK = K 2 − K 1 =
Finalmente
Ejemplo 30. Una plataforma cilíndrica uniforme
de 180 kg de masa y 4,5 m de radio se frena de 3,2
rev/s al reposo en 18 s cuando se desconecta el.
motor. Calcular la potencia de salida del motor (hp)
para mantener una velocidad constante de 3,2 rev/s.
Solución.
Como primer paso debemos conocer cuál es el
torque de frenado que tenemos que vencer para
mantener la velocidad constante, ese torque lo
calcularemos de la siguiente manera:
⎛ F
⎞ F 2
t
W = F0 R⎜ 0 t 2 ⎟ =
⎝ MR ⎠ M
2
0
Ejemplo 29. Un carrete de hilo delgado tiene radio
R y masa M. Si se jala el hilo de tal modo que el
centro de masa del carrete permanezca suspendido
en el mismo lugar.
a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre el carrete?
b) ¿Cuánto trabajo se habrá realizado cuando el
carrete gira con velocidad angular ω ?
Solución.
La figura muestra al carrete suspendido.
τ frenado = Iα frenado
1
MR 2 .
2
Δω ω 2 − ω1
ω
α frenado =
=
=−
Δt
t 2 − t1
t
I=
τ frenado =
ω MR 2ω
1
MR 2 =
2
t
2t
La potencia es:
P =τ ω =
El carrete solo tiene movimiento circular ya que
está en equilibrio vertical
Aplicando las leyes de Newton:
∑F = 0
∑τ = Iα
y
Siendo
M =180 kg, R = 4,5 m,
⇒ T − Mg = 0
ω = 3,2
⇒ TR = Iα
t = 18 s.
P = 55,6 hp
Ejemplo 31. Se sujeta una masa M a una cuerda
ligera enrollada alrededor de una rueda de momento
de inercia I y radio R. Hallar La tensión de la
cuerda, la aceleración y su velocidad después de
haber descendido una distancia h desde el reposo.
Resolver desde el punto de vista de energía.
T = Mg
b) Como el trabajo realizado es:
W = τ Δθ , donde τ = TR = MgR 2
Si
constante ⇒ ω = ω 0 + 2αΔθ
2
2
ω 0 = 0 ⇒ ω 2 = 2αΔθ
Δθ =
ω2
2α
=
= 40889,73 W
Como 1 hp = 735,5 W
a) La fuerza que se ejerce sobre el carrete es
α
rev 2π rad
rad
= 6,4π
,
s rev
s
2
2
(
180)(4,5) (6,4π )
P=
2(18)
1
2
Como I = MR , obtenemos:
2
1
MgR = MR 2α
2
2g
yα =
R
Siendo
MR 2ω 2
2t
y
ω2R
4g
18
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Solución.
Por el principio de conservación de la energía Etotal
= constante
Al inicio del movimiento toda la energía es
potencial, si consideramos como nivel cero el
indicado en la figura (a).
Las masas M1 y M2 inicialmente están en reposo en
la posición y = 0 , después de soltarlas una sube y
la otra baja como muestra la figura.
Las masas estarán moviéndose con velocidad v la
Polea tendrá una velocidad angular ω .
Como no hay rozamiento por la conservación de la
energía
Ei = Mgh
E1 = E 2
1
1
0 = + M 1v 2 + M 2 v 2 +
2
2
1 2
Iω + M 1 gy − M 2 gy
2
v
1
2
Siendo ω =
, I = MR , tenemos:
R
2
M⎞ 2
1⎛
⎜ M 1 + M 2 + ⎟v = (M 1 − M 2 )gy
2⎝
2 ⎠
2(M 1 − M 2 )
⇒ v2 =
gy
M⎞
⎛
⎜ M1 + M 2 + ⎟
2 ⎠
⎝
La energía final es pura energía cinética, de la nasa
M con velocidad v antes de chocar y el disco con
momento de Inercia I con velocidad angular
ω = v R , figura (b).
1
1 ⎛v⎞
1
1
Mv 2 + Iω 2 = Mv 2 + I ⎜ ⎟
2
2
2
2 ⎝R⎠
2
v ⎛
1 ⎞
=
⎜M + 2 ⎟
2 ⎝
R ⎠
Como E i = E f
2
Ef =
Para un movimiento uniformemente acelerado
v 2 = 2ay
Comparando:
v2 ⎛
1 ⎞
Mgh = ⎜ M + 2 ⎟
2 ⎝
R ⎠
2M
2
y v =
gh
M +1 R2
⇒ v=
a=
(M 2 − M 1 )
(M 2 + M 1 + M 2 )
g
Ejemplo 33. Una canica sólida uniforme de radio r
parte del reposo con su centro de masa a una altura
h sobre el punto más bajo de una pista con un rizo
de radio R. La canica rueda sin resbalar. La fricción
de rodamiento y la resistencia del aire son
despreciables.
a) ¿Qué valor mínimo debe tener h para que la
canica no se salga de la pista en la parte superior del
rizo? (Nota: r no es despreciable en comparación
con R.)
b) ¿Qué valor debe tener h si la pista está bien
lubricada, haciendo despreciable la fricción?
2M
gh
M +1 R2
Ejemplo 32. Resolver la máquina le Atwood
utilizando Conceptos de trabajo y energía,
Solución.
19
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
g (h − 2 R + r ) =
1 2 1 2 7 2
v + v = v ⇒
2
5
10
7
g (h − 2 R + r ) = v 2
10
2
Reemplazando el valor de v :
7
g (h − 2 R + r ) = g (R − r ) ⇒
10
7
h − 2 R + r = (R − r ) ⇒
10
7
h = 2 R − r + (R − r )
10
7
(R − r )
= 2R − r +
10
Solución.
a) De a a B, la distancia que la canica ha caído es
y = h − (2 R − r ) = h + r − 2 R.
27
17
R− r
10
10
= 2,7 R − 1,7 r
=
El radio de la trayectoria del centro de masa de la
canica es R − r , .
b) En ausencia de fricción no habrá rotación.
Luego:
mgy =
1 2
mv
2
Sustituyendo las expresiones para y y v en
términos de los otros parámetros da
2
h − 2R + r =
Resolviendo obtenemos
La condición para que la canica permanezca en la
pista es
∑ Fr = mac ⇒ − mg = −m
v2
⇒
(R − r )
h=
v 2 = g ( R − r ).
5
3
R− r.
2
2
Ejemplo 34. La figura muestra tres yoyos idénticos
que inicialmente están en reposo en una superficie
horizontal. Se tira del cordel de cada uno en la
dirección indicada. Siempre hay suficiente fricción
para que el yoyo ruede sin resbalar. Dibuje un
diagrama de cuerpo libre para cada yoyo. ¿En qué
dirección girará cada uno? Explica tus respuestas
La velocidad se determina del teorema del trabajo energía,
mgy =
1
(R − r )
2
1 2 1 2
mv + Iω
2
2
Se tiene:
y = h − (2 R − r )
v
ω=
r
Se sabe que para una esfera
I=
2 2
mr
5
→
Reemplazando estos valores en la ecución de la
energía:
mg (h − 2 R + r ) =
⇒
1 2 1 ⎛ 2 2 ⎞⎛ v ⎞
mv + ⎜ mr ⎟⎜ ⎟
2
2⎝5
⎠⎝ r ⎠
Solución. En el primer caso, F y la fuerza de la
fricción actúan en direcciones opuestas, y la fuerza
de fricción tiene el torque mayor que hace rotar el
yo-yo a la derecha. La fuerza neta a la derecha es la
diferencia F − F f , tal que la fuerza neta es a la
2
derecha mientras que el torque neto causa una
rotación a la derecha.
20
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Para el segundo caso, el torque y la fuerza de
fricción tienden a dar vuelta al yoyo a la derecha, y
el yo-yo se mueve a la derecha.
En el tercer caso, la fricción tiende a mover al yoyo a la derecha, y puesto que la fuerza aplicada es
vertical, el yoyo se mueve a la derecha.
mgh =
1 2 1 2
mv + Iω
2
2
Rodar sin resbalar significa
v
2 2
, I = mr
5
r
1 2 1 2
Tal que
Iω = mv
2
5
7
mgh = mv 2
10
7v 2
7(17,82 m/s)
⇒h=
=
10 g 10(9,80 m/s 2 )
ω=
Ejemplo 35.
Una canica uniforme baja rodando sin resbalar por
el trayecto de la figura, partiendo del reposo.
a) Calcule la altura mínima h que evita que la
canica caiga en el foso.
b) El momento de inercia de la canica depende de
su radio. Explique por qué la respuesta a la parte (a)
no depende del radio de la canica.
c) Resuelva la parte (a) para un bloque que se
desliza sin fricción en vez de una canica que rueda.
Compare la h mínima en este caso con la respuesta
a la parte (a).
= 23 m
b)
1 2 1 2
Iω = mv , Independiente de r.
2
5
c) Todo es igual, excepto que no hay el término de
energía rotacional cinética en K:
1 2
mv
2
1
mgh = mv 2
2
2
v
= 16 m .
h=
2g
K=
Comparado con la altura de la parte (a), 16 /23 =
0,7, es el 70 %.
Ejemplo 36. Una esfera sólida uniforme rueda sin
resbalar subiendo una colina, como se muestra en la
figura. En la cima, se está moviendo
horizontalmente y después se cae por un acantilado
vertical.
a) ¿A qué distancia del pie del acantilado cae la
esfera y con qué rapidez se está moviendo justo
antes de tocar el suelo?
b) Observe que, al tocar tierra la esfera, tiene mayor
rapidez de traslación que cuando estaba en la base
de la colina. ¿Implica esto que la esfera obtuvo
energía de algún lado? Explique.
Solución.
a) Encuentre la velocidad v que necesita la canica
en el borde del hoyo para hacerlo llegar a la tierra
plana en el otro lado.
La canica debe viajar 36 m horizontalmente
mientras cae verticalmente 20 m.
Use el movimiento vertical para encontrar el
tiempo.
Tome + y hacia abajo.
v 0 y = 0, a y = 9,80 m/s 2 , y − y0 = 20 m, t = ?
1
a y t 2 ⇒ t = 2,02 s
2
Luego x − x 0 = v 0 x t ⇒ v 0 x = 17,82 m/s.
y − y 0 = v0 y t +
Solución.
a) Use la conservación de la energía para encontrar
la velocidad v 2 de la bola momentos antes que
salga de la parte alta del acantilado. Sea el punto 1
en la base de la colina y el punto 2 en la cima de la
colina.
Tome y = 0 en la base de la colina, tal que
Utilice la conservación de la energía, donde el
punto 1 está en el punto de partida y el punto 2 está
en el borde del hoyo, donde v = 17,82 m/s.
Haga y = 0 en el punto 2, tal que
y 2 = 0 e y1 = h
K1 + U 1 = K 2 + U 2
y1 = 0 e y2 = 28,0 m.
K1 + U 1 = K 2 + U 2
21
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
en un eje sin fricción que pasa por su centro. Un
bloque de masa M se suspende del extremo libre del
hilo. El hilo no resbala en la polea, y el cilindro rueda sin resbalar sobre la mesa. Si el sistema se libera
del reposo, ¿qué aceleración hacia abajo tendrá el
bloque?
1 2 1 2
1
1
mv1 + Iω1 = mgy2 + mv22 + Iω22
2
2
2
2
Rodar sin resbalar significa ω = v r y
1
1 2 1⎛1 2 ⎞
Iω = ⎜ mr ⎟ (v / r ) 2 = mv 2
5
2⎝5
2
⎠
7
7
mv12 = mgy 2 + mv 22
10
10
10
v 2 = v12 − gy 2 = 15,26 m s
7
Considere el movimiento de proyectil de la bola,
después de salir de la cima del acantilado hasta
justo antes de tocar tierra. Tome + y hacia abajo.
Utilice el movimiento vertical para encontrar el
tiempo en el aire:
Solución.
Hacer este problema usando la cinemática implica
cuatro incógnitas (seis, contando las dos
aceleraciones angulares), mientras que usando
consideraciones de la energía se simplifican los
cálculos.
Si el bloque y el cilindro ambos tienen velocidad v,
la polea tiene velocidad angular v/R y el cilindro
tiene velocidad angular v/2R, la energía cinética
total es
⎤
1⎡
M ( 2 R) 2
MR2
K = ⎢Mv2 +
(v 2 R ) 2 +
(v R) 2 + Mv2 ⎥
2⎣
2
2
⎦
v0 y = 0 , a y = 9,80 m/s 2
y − y 0 = 28,0m , t = ?
1
y − y 0 = v 0 y t + a y t 2 ⇒ t = 2,39 s
2
Durante este tiempo la bola viaja horizontalmente
x − x 0 = v0 x t = (15,26 m s )(2,39 s ) = 36,5 m.
Justo antes de tocar tierra,
v y = v0 y + gt = 23,4 m/s y
=
v x = v0 x = 15,26 m/s
3
Mv 2 . (1)
2
Esta energía cinética debe ser el trabajo hecho por
la gravedad; si la masa que cuelga desciende una
distancia y,
K = Mgy. (2)
De (1) y (2):
v = v x2 + v y2 = 28,0 m s
v2 =
2
gy
3
Para aceleración constante
v 2 = 2ay,
b) En la base de la colina,
ω=
v 25,0 m s
=
r
r
Por comparación de las dos expresiones obtenemos:
a=
La razón de la rotación no cambia mientras la bola
está en el aire, después de dejar la parte alta del
acantilado, tal que momentos antes de tocar tierra
g
3
Ejemplo 38. Una barra de largo 2L y masa M está
articulada en un extremo a un punto fijo O,
inicialmente en reposo y horizontal. Si ella se
suelta, comienza a rotar respecto a la articulación
bajo el efecto del peso de la barra. Determine la
reacción en la articulación y la velocidad angular de
la barra en función del ángulo que ella ha girado.
15,3 m/s
ω=
r
La energía cinética total es igual en la base de la
colina y momentos antes de tocar tierra, pero
momentos antes de tocar tierra poco de esta energía
es energía cinética rotatoria, así que la energía
cinética de traslación es mayor.
Ejemplo 37. Un cilindro sólido uniforme de masa
M y radio 2R descansa en una mesa horizontal. Se
ata un hilo mediante un yugo a un eje sin fricción
que pasa por el centro del cilindro de modo que éste
puede girar sobre el eje. El hilo pasa por una polea
con forma de disco de masa M y radio R montada
Solución.
22
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
a) Momento de inercia de la barra con respecto a un
extremo
Por conservación de energía tenemos que
•2
11
2
M (2 L ) θ − Mgsenθ = 0
23
1
I A = ML2
3
Luego la velocidad angular de la barra es:
Por conservación de energía.
3g
3g
senθ ⇒ θ =
senθ
2L
2L
d2
L cos θ ,
Además − R H = M
dt 2
d2
RV − Mg = M 2 (− Lsenθ )
dt
L 1⎛1 2⎞ 2
= ⎜ ML ⎟ω ⇒
2 2⎝3
⎠
3g
ω=
L
L 1
3gL
vCM = ω =
2 2
•2
•
θ =
Mg
b) La aceleración angular en dicho instante.
Entonces
R H = ML
= ML
d ⎛
1
⎞
⎜ senθ θ ⎟
2 senθ dθ ⎝
⎠
•
L
2 = 3g
α= =
I A 1 ML2 2 L
3
τA
2
1
d ⎛
⎞
2 3 g
senθ ⎟
⎜ sen θ
2 senθ dθ ⎝
2L
⎠
Ejemplo 40. Una barra de longitud 2L y masa M se
coloca sobre un plano horizontal liso. Si la barra es
tirada por una fuerza constante F, inicialmente
perpendicular a la barra y aplicada en un extremo,
la barra comienza a moverse sobre el plano. La
fuerza se mantiene aplicada a ese mismo extremo
manteniendo su dirección original. Determine una
ecuación para el ángulo que gira la barra en función
del tiempo.
9
MLsenθ cos θ
4
d2
RV = Mg − M 2 (− Lsenθ )
dt
=
= Mg − ML
=
Mg
d ⎛
1
3g
⎞
2
senθ ⎟
⎜ cos θ
2 cos θ dθ ⎝
2L
⎠
5
9
Mg − Mg cos 2 θ
2
4
Solución.
Ejemplo 39. Una barra de longitud L y masa M se
coloca verticalmente sobre un plano horizontal liso,
en reposo. Si ella es perturbada levemente comienza
a caer. Determine:
a) La velocidad del centro de masa de la barra justo
cuando ella se coloca horizontal.
b) La aceleración angular en dicho instante.
El torque respecto al centro de masa conduce a
FLsenθ =
•
⇒ θ=
•
1
ML2 θ
3
3F
senθ
L
Ejemplo 41. Una barra de longitud L y masa M
puede oscilar libremente en torno a uno de sus
Solución.
23
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
extremos que se mantiene fijo, bajo la acción de su
peso. Escriba la ecuación diferencial para el ángulo
que ella gira.
Solución.
puramente energía cinética.
K=
1 2 1⎛1
1
⎞
Iω = ⎜ MR 2 ⎟ω 2 = MR 2ω 2
2
2⎝2
4
⎠
Por conservación de energía.
2kθ 2
1 2 1
2
2 2
kθ = MR ω ⇒ ω =
2
4
MR 2
2kθ 2
Finalmente ω =
MR 2
TRASLACIONES Y ROTACIONES
COMBINADAS
Hasta ahora solo hemos tomado en consideración la
rotación del cuerpo en torno a un eje fijo en el
espacio.
La finalidad de esta sección es estudiar el caso en
que el eje de rotación si acelera también vamos a
presentar tres métodos analíticos de resolver este
caso.
Primer método
Aplicamos la segunda ley de Newton para
traslación relativa ejes no rotantes a través del
centro de masa. Para ilustrar este método y los otros
también, consideremos un cuerpo de radio R, masa
M y momento de inercia respecto a su entro masa I,
al que se le obliga a rodar sin deslizamiento a lo
largo de una superficie horizontal por medio de una
fuerza F que actúa en su centro de masa, La tuerza
de fricción F f y la reacción N actúan tal como se
Por conservación de energía
E=
•2
11
L
ML2 θ − Mg cos θ
23
2
Derivando respecto al tiempo
• ••
L•
1
ML2 θ θ + Mg θ senθ = 0
3
2
Finalmente
••
θ+
3g
senθ = 0
2L
Ejemplo 42. Un péndulo de torsión consiste en un
disco uniforme de masa M y radio R suspendido de
una barra delgada y vertical de masa despreciable y
que puede torcerse al dar vuelta al disco alrededor
de su eje, como se indica en la figura. La barra tiene
una Constante de elasticidad torsional k.
inicialmente se hace girar el disco un ángulo θ
respecto del equilibrio y luego se le suelta desde el
reposo. Determinar su velocidad de rotación cuando
llega nuevamente a la posición de equilibrio.
muestra en la figura siguiente.
EL cuerpo se mueve con una aceleración horizontal
a que es la que corresponde a su centro de masa, y
a su vez rota con aceleración angular α .
Como rueda sin deslizamiento la relación entre el
desplazamiento lineal y el desplazamiento angular
es x = Rθ .
Solución.
Con la ley de Hooke para rotación,
τ = −kθ
El trabajo para torcer un ángulo
θ
θ
0
0
θ
La velocidad es
dx
dθ
=R
⇒ v = Rω
dt
dt
es:
W = − ∫ τ dθ = − ∫ (− kθ )dθ =
1 2
kθ
2
La aceleración es
dv
dω
=R
⇒ a = Rα
dt
dt
Este trabajo queda como energía potencial.
U (θ )
1
= kθ 2
2
Al liberarse esta se convierte en energía cinética.
Al pasar por el punto de equilibrio la energía es
Aplicando la segunda ley de Newton para traslación
24
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
F − F f = Ma
En este caso como la aceleración del centro masa es
a, la aceleración angular del cuerpo alrededor de O
es α = a R .
Aplicando la segunda ley de Newton para rotación
alrededor del centro de masa
− RF f = − I CM α
Eliminando F f y
Aplicando la segunda ley de Newton para
traslación:
F − F f = Ma
α , obtenemos:
I ⎞
⎛
⎜ M + CM2 ⎟a = F
R ⎠
⎝
Aplicando la segunda ley de Newton para rotación a
alrededor de O:
− FR = − I Oα
La aceleración
a=
F
I ⎞
⎛
⎜ M + CM2 ⎟
R ⎠
⎝
Como
(I
La velocidad es:
CM
+ MR 2
) Ra = FR
⇒ a=
F
I ⎞
⎛
⎜ M + CM2 ⎟
R ⎠
⎝
Es un Sistema Conservativo
v = v 0 + at
K + U = Constante
F
v=
t
M + I CM R 2
(
Resolveremos por este método el ejemplo anterior.
Puesto que no hay deslizamiento la tuerza de
fricción sobre el cuerpo no trabaja sobre el mientras
rueda. Siendo un sistema conservativo la fuerza F
se puede deducir de una función Potencial U = - Fx
donde x es la coordenada horizontal del centro de
nasa.
La energía E del cuerpo es:
)
El desplazamiento es:
1 2
at
2
1
F
t2
2 M + I CM R 2
(
2
Tercer método
Este método Consiste en usar las ecuaciones de la
energía directamente.
Siendo a = constante
x=
y I O + I CM + MR :
con la segunda ecuación,
Si para t = 0:
x0 = 0 , v0 = 0 ,
x = x0 + v0 t +
α =a R
E = K +U
1
1
K = I CM ω 2 + Mv 2 , U = − Fx
2
2
1
1
2
2
Luego: E = I CM ω + Mv − Fx
2
2
v
Siendo ω =
⇒
R
1 ⎛I
⎞
E = v 2 ⎜ CM2 + M ⎟ − Fx
2 ⎝ R
⎠
)
Segundo método
En este método escribimos la ecuación para
traslación igual que en el anterior método, pero para
la rotación se aplica la segunda ley de Newton con
respecto al eje de rotación que pasa a través del
punto de reposo instantáneo (punto de apoyo en el
movimiento) si tal punto no existe no puede usarse
este método
Como ilustración veamos el ejemplo anterior. El
punto contacto es el punto fijo instantáneo O,
consideremos que este no desliza y todos los otros
puntos de eje momentáneamente rotan alrededor de
el.
De aquí podemos evaluar la velocidad considerando
que para el instante inicial x = 0, y v = 0, por
consiguiente E = 0.
1 2 ⎛ I CM
⎞
v ⎜ 2 + M ⎟ − Fx = 0 y
2 ⎝ R
⎠
1 2 ⎛ I CM
⎞
v ⎜ 2 + M ⎟ = Fx
2 ⎝ R
⎠
v=
25
2 Fx
I CM
+M
R2
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
α y F f obtenemos:
Mgsenβ
a=
M + I CM R 2
Siendo un movimiento con aceleración constante
Eliminando
v = 2ax
De esto
a=
F
Considerando que para t = 0: s = 0, y v = 0.
I CM
+M
R2
⎛ Mgsenβ ⎞
⎟t ,
v = ⎜⎜
2 ⎟
⎝ M + I CM R ⎠
1 ⎛ Mgsenβ ⎞ 2
⎟t
s = ⎜⎜
2 ⎝ M + I CM R 2 ⎟⎠
Otra forma de calcular la aceleración.
Considerando que
E = Constante ⇒
dE
=0
dt
Para un anillo:
⎤
dE ⎡ 1 2 ⎛ I CM
⎞
= ⎢ v ⎜ 2 + M ⎟ − Fx⎥ = 0
dt ⎣ 2 ⎝ R
⎠
⎦
I CM = MR 2 , s =
1
gsenβ t 2
4
Para un disco:
dv ⎛ I
dx
⎞
⇒ v ⎜ CM2 + M ⎟ − F
=0
dt ⎝ R
dt
⎠
dv
dx
Como
=a y
=v
dt
dt
⎛I
⎞
va⎜ CM2 + M ⎟ − Fv = 0 ⇒
⎝ R
⎠
F
a=
I ⎞
⎛
⎜ M + CM2 ⎟
R ⎠
⎝
I CM =
1
1
MR 2 , s = gsenβ t 2
3
2
Para una esfera:
I CM =
2
5
MR 2 , s = gsenβ t 2
5
14
Para un plano sin fricción (sin rodadura)
s=
1
gsenβ t 2
2
Por la ecuación de energía
Si para t = 0: K 0 = 0 y U 0 = 0
E = K0 + U0 = 0
Ejemplo 43. Analizar el movimiento de un cuerpo
de radio R, momento de inercia respecto a su centro
de masa I que rueda sin deslizar hacia abajo en
plano inclinado de ángulo θ .
Llamando h a la caída del centro de masa desde la
posición de reposo, tenemos:
1
1
Mv 2 + I CM ω 2 ,
2
2
U = − Mgh = − Mgs senβ = 0 ,
ω=v R
I ⎞
1 2⎛
v ⎜ M + CM2 ⎟ − Mgs senβ
2 ⎝
R ⎠
K=
⇒v=
Solución.
Como se muestra en la figura hay dos fuerzas que
actúan sobre el cuerpo, Mg actúa en el centro de
gravedad y la fuerza de contacto que se
descompone en la reacción normal N y la fuerza de
fricción Ff.
Vamos a resolver por el primer método.
Traslación:
2 Mgsenβ
s
M + I CM R 2
Ejemplo 44. Usar la conservación de la energía
para describir el movimiento de rodadura de un
cuerpo rígido de masa M que rueda por un plano
inclinado θ y rugoso.
Mgsenβ − F f = Ma
Rotación:
RF f = I CM α
Por la condición de no deslizamiento:
α =a R
26
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Estudiar el movimiento.
Solución.
Se supone que el cuerpo rígido parte del reposo
desde una altura h y que rueda por el plano sin
resbalar la conservación de energía da:
K i + U gi = K f + U gf
Solución.
Vamos a resolver primero por las ecuaciones del
movimiento de Newton.
Traslación.:
Pero
Ki = 0 y Ugf = 0, entonces
Rotación.:
E = cte ⇒ K + U g = cte ⇒
Mg − T = Ma
RT = I CM α
1
1
2
Mgh = I cmω 2 + Mvcm
2
2
Como:
Como
vcm= R ω ⇒ ω = vcm/R, se reemplaza en la ecuación
anterior
I CM =
v2
1
1
2
= Mgh
I cm cm2 + Mvcm
2
2
R
⎛1
⎞⎛ a ⎞ 1
RT = ⎜ MR 2 ⎟⎜ ⎟ = MRa
⎝2
⎠⎝ R ⎠ 2
Despejando νcm se obtiene:
vcm =
De aquí se obtenemos:
2 gh
I + I cm MR 2
T=
1
2
Ma y a = g
2
3
El yo-yo funciona según este principio, está
proyectado para que a sea mucho menor que g.
Por ejemplo, para una esfera sólida uniforme de
momento de inercia I cm =
a
1
MR 2 , α = :
2
R
2
MR 2 , se puede
5
Resolviendo por conservación de la energía
E = K +U =
calcular su vcm en el punto más bajo del plano y su
aceleración lineal.
2
1
1⎛1
⎞⎛ v ⎞
Mv 2 + ⎜ MR 2 ⎟⎜ ⎟ − Mgy
2
2⎝2
⎠⎝ R ⎠
2 gh
2 gh 10
=
= gh
2
2 7
(
2 5)MR
1+
1+
5
MR 2
10
⇒ vcm =
gh
7
Como E = constante ⇒
La aceleración lineal se puede calcular con la
ecuación
Con esto encontramos que
2
=
vcm
v
2
cm
=v
2
cmi
+ 2a cm x ⇒ a cm
dE
=0
dt
dy
dv
También v =
y a=
dt
dt
a=
v2
= cm
2x
De la geometría de la figura, se tiene: h = x sen θ,
donde x es la longitud del plano, reemplazando en
acm:
a cm
2
g
3
Ejemplo 46. Estudiar el movimiento de un disco
homogéneo de radio R y masa M, sobre el que actúa
una fuerza horizontal F aplicada un punto variable a
lo largo de una línea vertical que pasa por el centro,
según se indica en la figura. Supóngase el
movimiento sobre un plano horizontal.
5
gxsenθ
5
7
=
= gsenθ
2x
7
Ejemplo 45. Un disco homogéneo de radio R y
masa M tiene una cuerda enrollada alrededor, según
vemos en a figura. Sujetando el extremo libre de la
cuerda a un soporte fijo, se deja caer el disco.
27
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
(0)⎤
F
⎡
3F f = F ⎢1 − 2 ⎥ = F ⇒ F f =
3
R⎦
⎣
En la ecuación (3)
1
⎛F⎞
F (0 ) + ⎜ ⎟ R = I CM α = MR 2α
2
⎝3⎠
1
F
R = MR 2α ⇒
3
2
2F
α=
3MR
Solución.
En la figura vemos que la fuerza F se aplica a una
distancia h sobre el centro.
Suponiendo que F f actúa hacia la izquierda.
El cilindro rueda hacia la derecha.
d) Si F se hace muy grande tal que Ff tiende a
aumentar, tan pronto como sobrepase el valor
máximo posible de la tuerza de rozamiento (μN), el
disco deslizará.
Se debe hacer una nueva hipótesis, esta vez se
tienen también las ecuaciones (1), (2) y (3) pero
α ≠ a R.
Aplicando las leyes de Newton del movimiento:
Traslación
F − F f = Ma
N − Mg = 0
(1)
(2)
Rotación alrededor del centro de masa
Fh + F f R = I CM α =
Considerando
2F
α=
1
MR 2α (3)
2
Ejemplo 47. Un carrete de radio interior R1 y radio
exterior R2 se halla sobre un suelo áspero. Se tira de
él con una tuerza F mediante un hilo arrollado en
torno a su cilindro interior. Se mantiene un ángulo
θ con la horizontal. Se observa que hay un ángulo
Crítico θ 0 , tal que θ < θ o , el carrete rueda sin
a
R
h
+ 2 F f = Ma
R
(3a)
deslizar en el sentido del cual se tira de él, y para
θ > θ o el carrete rueda sin deslizar en sentido
Igualando (1) y (3a)
h
+ 2F f
R
h⎞
⎛
3 F f = F ⎜1 − 2 ⎟
R⎠
⎝
F − F f = 2F
contrario, ¿Cuál es el valor del ángulo critico.
Discusión:
a) F f = 0 , cuando 1 − 2
R
h
=0 ⇒ h=
R
2
Esto quiere decir si F se aplica a R/2 del centro, la
fuerza de rozamiento es cero.
Solución.
Aplicando las leyes de Newton del movimiento;
Traslación:
b) Si h = R
F
R⎞
⎛
3F f = F ⎜1 − 2 ⎟ = − F ⇒ F f = −
R⎠
3
⎝
F cos θ − F f = Ma = MαR2 (1)
Fsenθ − Mg + N = 0
el rozamiento es en sentido contrario al indicado y
la ecuación (3) se convierte en:
Rotación:
− F f R2 + FR1 = I CM α ⇒
1
⎛F⎞
F (´R ) − ⎜ ⎟ R = MR 2α
2
⎝3⎠
2
1
⇒ F = MRα
3
2
4F
⇒ α=
3MR
F f R2 = FR1 − I CM α ⇒
I
R1
R1 − CM α
(2)
R2
R2
Eliminando la fuerza F f ., reemplazando (2) en
Ff = F
(1):
Esto indica que el cilindro rueda hacia la derecha.
c) Si disminuye h hasta que h = 0.
28
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
⎛ R
⎞
I
F cos θ − ⎜⎜ F 1 R1 − CM α ⎟⎟ = Ma
R2 ⎠
⎝ R2
I
R
⇒ F cos θ − F 1 R1 + CM α = MαR2
R2
R2
⎛ R2 cos θ − R1 ⎞ ⎛ MR22 − I CM
⎟⎟ = ⎜⎜
R
R2
2
⎝
⎠ ⎝
⇒ F ⎜⎜
⇒ α=F
(R2 cos θ − R1 )
(MR
2
2
− I CM
)
=
Ff =
Que sustituida en la primera da:
2F
,
3M
2F
a
b) α =
,
=
R 3MR
F
1
c) F f = Ma =
2
3
a) a =
⎞
⎟α
⎟
⎠
dω
dt
Ejemplo 49. Un disco de masa M y radio 2R se
apoya sobre un plano horizontal áspero de modo
que puede rodar sin resbalar con su plano vertical.
El disco tiene un resalto de radio R como se indica
en la figura, en el cual se enrolla una cuerda que se
tira con una fuerza horizontal constante F,
determine:
a) La aceleración del centro de masa del disco.
b) La aceleración angular del disco.
c) La fuerza de roce.
La rotación hará que el movimiento del carrete será
dω
>0
dt
R2 cos θ − R1 > 0
R
⇒ cos θ > 1
R2
hacia adelante cuando
El movimiento será hacia atrás cuando
R2 cos θ − R1 < 0
R
⇒ cos θ < 1
R2
El ángulo crítico es cuando
R2 cos θ − R1 = 0
R
⇒ cos θ = 1
R2
1
Ma
2
dω
<0
dt
dω
=0
dt
Solución.
Ejemplo 48. Un disco de masa M y radio R se
apoya sobre un plano horizontal áspero de modo
que puede rodar sin resbalar con su plano vertical.
Si se tira del centro del disco con una fuerza
horizontal constante F, determine:
a) La aceleración del centro de masa del disco.
b) La aceleración angular del disco.
c) La fuerza de roce.
Solución.
Ahora F − F f = Ma , N − Mg = 0
1
2
M (2 R ) α
2
2⎛ a ⎞
= 2 MR ⎜
⎟ = MRa
⎝ 2R ⎠
F f 2 R + FR =
Simplificando:
2 F f + F = Ma = F − F f
⇒ Ff = 0
De donde resulta:
a) a =
F
2MR
c) F f = 0
Aquí
b)
F − F f = Ma , N − Mg = 0 ,
Ff R =
F
m
1
1
MR 2α = MRa
2
2
Entonces
29
α=
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 50. Un disco de masa M y radio R tiene
enrollada una cuerda en su periferia y cae partiendo
del reposo mientras la cuerda que se sostiene de su
extremo se desenrolla. Determine:
a) La aceleración de bajada del disco.
b) La tensión de la cuerda.
A partir del punto A en que el piso es áspero
deslizará primeramente sobre el plano áspero, pero
acabará rodando sin deslizar.
En la parte intermedia habrá una aceleración a que
disminuye a la velocidad de v1 a v 2 y una
aceleración angular α que disminuye a ω1 , la
hace igual a cero y cambia su rotación hasta que
llega la velocidad angular a un valor tal que
ω 2 = v2 R .
Aplicando las leyes de Newton en la figura
siguiente.
Solución.
Traslación:
μN = Ma , N − Mg = 0
1
MR 2α
2
2 μg
De esto obtenemos: a = − μg , α = −
R
La velocidad es: v = v1 + at = v1 − μgt
Rotación: − RμN = I CM α =
Aquí Mg − T = Ma ,
1
1
MR 2α = MRa
2
2
1
De donde Mg − Ma = Ma
2
2
a) a = g
3
1
1
b) T = Ma = Mg
2
3
TR =
La velocidad angular es:
ω = ω1 − α t =
Parta encontrar el tiempo en que el disco deja de
→
ω1
→
→
resbalar, debe cumplirse: v = ω× R
viˆ = ωkˆ × Rˆj = −ωRiˆ
(v1 − μgt ) = −⎛⎜ v1 − 2μg t ⎞⎟ R
⎝R
R ⎠
2 v1
2v1 = 3μgt ⇒ t =
3 μg
con este valor de t
⎛ 2 v1 ⎞ v1
⎟⎟ =
v 2 = v1 − μg ⎜⎜
⎝ 3 μg ⎠ 3
Ejemplo 51. Se da a un cilindro homogéneo de
radio R y masa M con una velocidad horizontal v1
y una velocidad angular
v1 2 μg
−
t
R
R
en sentido opuesto a
las agujas del reloj ω1 = v1 R en la parte sin
rozamiento de la superficie horizontal. Más allá del
punto A, cambia la superficie de manera que a la
derecha de A el coeficiente de rozamiento es μ .
La velocidad final es un tercio de la inicial
Solución.
En la parte lisa el cuerpo se mueve con velocidad
horizontal constante v1 hacia la derecha, rotando
con velocidad angular
ω1
Ejemplo 52. Se lanza una bola de billar con una
velocidad inicial v 0 sobre una mesa horizontal,
en el sentido antihorario.
30
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
existiendo entre la bola y la mesa un coeficiente de
rozamiento μ. Calcular la distancia que recorrerá
hasta que empiece a rodar sin deslizamiento.
¿Qué velocidad tendrá en ese instante?
Aplicar para el caso v 0 = 7 m/s, μ = 0,2.
v0 − μgt =
2v
5μgt
⇒ t= 0
2
7 μg
la velocidad en ese instante es
v=
5
v0 = 5 m/s, t = 1,02 s
7
La distancia recorrida
x = v0 t −
Solución.
La fuerza de rozamiento µN = µmg se opone al
movimiento, siendo además la fuerza resultante, por
lo que:
− μmg = ma , a = − μg
La velocidad de la bola comenzará a disminuir de
tal modo que:
v = v 0 − at = v 0 − μgt .
2
2v02 1 ⎛ 2v0 ⎞
12v 02
⎟⎟ =
− μg ⎜⎜
=
7 μg 2 ⎝ 7 μg ⎠
49μg
= 6,12 m.
Ejemplo 53. Un tambor tiene un radio de 0,40 m y
un momento de la inercia de 5,0 kg m2. El torque
producido por la fuerza de fricción de los cojinetes
de anillo del tambor es 3,0 Nm. Un anillo en un
extremo de una cuerda se desliza en una clavija
corta en el borde del tambor, y una cuerda de 15 m
de longitud se enrolla sobre el tambor. El tambor
está inicialmente en reposo. Una fuerza constante
se aplica al extremo libre de la cuerda hasta que la
cuerda se desenrolla y se desliza totalmente de la
clavija. En ese instante, la velocidad angular del
tambor es de 12 rad/s. El tambor después decelera y
se detiene.
Al mismo tiempo, sobre la bola que inicialmente no
rueda, (ω0 = 0) actúa un momento de fuerza:
τ = F f R = μmgR
que producirá una aceleración angular
α=
τ
I
=
μmgR
2
mR 2
5
=
5μg
2R
α=
1
μgt 2
2
τ
I
Por lo que la velocidad angular irá aumentando:
ω = αt =
5μgt
2R
a) ¿Cuál es la fuerza constante aplicada a la cuerda?
b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del
tambor en el instante en que la cuerda deja el
tambor?
c) ¿Cuál es el trabajo negativo realizado por la
fricción?
d) ¿Qué tiempo el tambor estuvo en movimiento?
Movimiento con la cuerda?
Solución.
a)
Trabajo de la fuerza F + trabajo de la fricción
= Energía cinética ganada al terminarse la cuerda
La velocidad de un punto de la periferia de la esfera
vale v P = ωR , que irá aumentando con el tiempo,
porque ω aumenta con el tiempo.
1
I Oω 2
2
⎛ 15 ⎞ 1
2
⇒ F (15) − 3,0⎜
⎟ = (5,0 )(12)
⎝ 0,4 ⎠ 2
⇒ F = 31,5 N
FΔs + τ f Δθ =
Por tanto, observamos que la velocidad de la bola
disminuye, y la velocidad de la periferia de la bola
aumenta. En el momento en que la velocidad de la
periferia se iguale a la velocidad de traslación, se
conseguirá la rodadura, es decir el no deslizamiento.
b)
L = I Oω = (5)(12)
= 60 kg.m2/s
c)
Movimiento con la cuerda
v = v P v = ωR
31
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
⎛ 15 ⎞
W f 1 = −τ f Δθ = −3⎜
⎟ = - 112,5 J
⎝ 0,4 ⎠
m
s2
mg − T = ma
T
20
⇒ m=
=
g − a 9,8 − 0,75
= 0,75
Movimiento sin la cuerda
1
1
2
W f 2 = − I O ω O2 = − (5,0)(12) = −360
2
2
Trabajo total
= 2,21 kg
W f = W f 1 + W f 2 = −482,5 J
b)
d)
α=
∑τ
O
a 0,75
=
R 0,4
rad
= 1,875 2
s
∑τ O = I Oα ⇒ TR = I Oα
= I Oα
FR − τ f I Oα ⇒ 31,5(0,4 ) − 3,0 = 5,0α
⇒ α1 =
31,5(0,4) − 3,0
rad
= 1,92
5,0
s
Por otra parte
ω o = α 1t1 ⇒ t1 =
20(0,4 )
α
1,875
2
= 4,27 kg m
⇒ IO =
ω0 12
=
= 6,25 s
α1 1,92
TR
=
Movimiento sin la cuerda
∑τ
O
= I Oα ⇒ − 3 = 5α 2
Ejemplo 55. El radio de una rueda de 3,0
kilogramos es 6,0 centímetros. La rueda se suelta
del reposo en el punto A en un plano inclinado 30°.
La rueda gira sin deslizar y se mueve 2,4 m al
punto B en 1,20s.
a) ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda?
b) ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda?
rad
3
⇒ α 2 == − = −0,6
s
5
0 = ω0 + α 2t 2
− ω0 − 12
⇒ t2 =
=
= 20s
− 0,6
α2
El tiempo total es 26,25 s
Ejemplo 54. Una rueda tiene un radio de 0,40 m y
se monta en cojinetes sin fricción. Un bloque se
suspende de una cuerda que se enrolla en la rueda.
La rueda se libera de reposo y el bloque desciende
1,5 m en 2,00 segundos. La tensión en la cuerda
durante el descenso del bloque es 20 N.
a) ¿Cuál es la masa del bloque?
b) ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda?
Solución.
a) I O =
1
1
2
mR 2 = (3kg )(0,06m )
2
2
= 0,0054 kg m2
b)
mgsen30º − Ff = ma F f R = I Oα
⎛I ⎞
⇒ F f = ⎜ O ⎟α
⎝ R⎠
⎛I ⎞
mgsen30º −⎜ O ⎟α = mRα
⎝R⎠
mgsen30º
3(9,8)(0,5)
⇒ α=
=
0,0054
⎛ IO ⎞
+ 3(0,06)
⎜ ⎟ + mR
0,06
⎝R⎠
rad
14,7
= 54,4 2
=
s
0,27
Solución.
a)
1 2
at
2
2h 2(1,5)
⇒ a= 2 =
t
(2)2
h=
Ejemplo 56. Una masa de 20 kg se halla sobre un
plano inclinado 30º, con el que tiene un rozamiento
cuyo coeficiente vale 0,3, unida a una cuerda sin
masa e inextensible que pasa por una polea de MP =
160 kg, cuyo radio geométrico es de 20 cm y radio
32
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
de giro rg = 15 cm. De dicha cuerda pende una
masa de 40 kg que es abandonada libremente.
Calcular:
a) Aceleración con que se mueve el sistema.
b) Tensiones en la cuerda.
c) ¿En qué rango de valores de la masa que pende,
el sistema estará en equilibrio?
= 10 + 5,2 = 15,2 kg.
Momento de inercia de la polea I P = Mrg .
2
Solución.
a) Partiendo de la suposición de que la masa
colgante acelera hacia abajo, plantearemos las tres
ecuaciones correspondientes al movimiento de las
tres masas:
m2g - T2 = m2a
Si la masa m2 se hace aún menor, llegará un
momento en que será arrastrada por m1. Esto
produciría una inversión en el sentido de la fuerza
de rozamiento. El valor máximo de m2 deberá
cumplir ahora:
m2 = m1senθ + μm1 cos θ
= 10 – 5,2 = 4,8 kg.
Por tanto, entre 0 y 4,8 kg el sistema acelerará de
modo que m2 suba; entre 4,8 y 15,2 kg,
permanecerá en equilibrio; y para más de 15,2 kg
m2 acelerará hacia abajo.
T1 − m1gsenθ + μm1 g cos θ = m1 a ,
a
T2 R − T1 R = Iα = M P rg2
R
Ejemplo 57. ¿Porqué una esfera que rueda se
detiene? En esta parte vamos a tratar de explicar la
resistencia al rodamiento.
La figura siguiente muestra una esfera de masa M y
radio R la cual está rodando con una velocidad
angular ω y avanza con una velocidad v = ωR .
Sumando las tres ecuaciones siguientes
m0 g − T2 = m2 a ,
T1 − m1gsenθ + μm1 g cos θ = m1 a
2
⎛ rg ⎞
T2 − T1 M P ⎜⎜ ⎟⎟ a
⎝R⎠
Obtenemos:
m2 g − m1gsenθ + μm1 g cos θ
2
⎡
⎛ rg ⎞ ⎤
= a ⎢m1 + m2 + M P ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ R ⎠ ⎥⎦
⇒a=
m2 − m1senθ + μm1 cos θ
⎛ rg ⎞
m1 + m2 + M P ⎜⎜ ⎟⎟
⎝R⎠
40 − 10 − 5,2
=
⎛ 15 ⎞
60 + 160⎜ ⎟
⎝ 20 ⎠
2
2
g
Solución.
La fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso
Mg 1a reacción del piso N y la fuerza de fricción
F f . Si aplicamos la segunda ley de Newton a la
g
traslación.
→
→
Ff = M g
→
= 1,62 m/s2
→
debe haber una aceleración a y v decrecería. Si
aplicamos segunda ley de Newton a la rotación.
b)
T2 = m2 ( g − a ) = 327 N,
RF f = I CM α
2
⎛ rg ⎞
T1 = T2 ⎜⎜ ⎟⎟ a = 181 N.
⎝R⎠
la aceleración angular α depende de Ff. por
consiguiente Ff actúa incrementando ω .
En resumen: en traslación Ff. acelera, en rotación
Ff. desacelera, esto aparentemente es una
contradicción.
Por otra parte Mg y N están en la línea vertical que
por el centro de masa y no causan efecto en el
c) El valor mínimo que hace que la masa m2 acelere
hacia abajo se produce cuando a = 0, es
decir:
m2 = m1senθ + μm1 cos θ
33
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
movimiento horizontal.
Si la esfera y el plano son rígidos, de modo que la
esfera esté en contacto solo en un punto, tampoco
originan alrededor del centro de masa. .porque
actúan a través de él
Para resolver la Contradicción suprimamos la
idealización de que todos los cuerpos son rígidos, la
esfera se aplana un poco y el nivel de La superficie
se hunde Ligeramente (ver la figura a continuación)
Sobre la varilla actúa el peso Mg y la reacción R.
La velocidad angular ω en este instante se puede
encontrar aplicando la ecuación de la energía.
L
L
1
= Mg cos β + I O ω 2
2
2
2
1
2
Como I O = ML
3
L
L
1⎛1
⎞
Mg = Mg cos β + ⎜ ML2 ⎟ω 2
2
2
2⎝3
⎠
3g
(1 − cos β )
ω2 =
L
6g
β 3g ⎛
2 β ⎞
sen =
ω=
⎜ 2sen
⎟
2⎠
L ⎝
L
2
6g
β
=
sen 2
L
2
Mg
La reacción N actúa delante del centro de masa,
produciendo un torque τ N = dN de resistencia al
rodamiento.
τ N − RF f = I CM α
Como
N = Mg , F f = Ma , α =
τ N − RMa = I CM
a
:
R
a
R
⎞
⎛I
⇒ τ N = a⎜ CM + RM ⎟
⎠
⎝ R
2
2
Para una esfera: I CM = MR
5
7
Luego: τ N = MRa , como N = Mg
5
τ N 7R
d=
a
=
Mg 5 g
Aplicando la segunda Ley de Newton para
traslación a lo largo de la varilla.
∑ F = ma
c
⇒ R − Mg cos β = − Mω 2
Cuando La varilla deja de presionar R = 0, y:
− Mg cos β = − Mω 2
L
2
reemplazando el valor de
ω2
encontrado
β⎞L
⎛ 6g
sen 2 ⎟
Mg cos β = M ⎜
2⎠2
⎝ L
Ejemplo 58. La figura muestra una varilla
homogénea de masa M y longitud L en posición
vertical. La cual se deja caer desde el reposo.
a) ¿A que ángulo θ entre la varilla y la vertical, la
varilla ya no presionará al piso?
b) ¿Con qué coeficiente de fricción el extremo de
La varilla no resbalará hasta este momento?
Simplificando
cos β = 6 sen 2
β
2
⇒ cos 2
β
2
= 5 sen 2
β
5
5
De aquí: β = 48,2º
⇒ tan β =
b) Para que la varilla no resbale tenemos en la
figura siguiente.
Las componentes de R son:
→
R = Rsenβ iˆ + R cos βˆj
Solución.
a) La figura siguiente muestra .la varilla cuando
forma un ángulo θ con la vertical.
34
2
L
2
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
La condición para que la varilla no resbale es:
F f ≥ Rsenβ
Por la conservación de la cantidad de movimiento
angular.
μN y N = R cos β
μR cos β ≥ Rsenβ
μ ≥ tan β
Con F f =
I1
ω1
I2
Siendo I 2 < I 1 , resulta ω 2 > ω1
I 2ω 2 = I 1ω1 ⇒ ω 2 =
El coeficiente de rozamiento del piso debe ser
cuando menos igual a tan β para que llegue sin
Su velocidad aumenta.
β.
β = 48,2º ⇒ μ ≥ 1,12
Ejemplo 60. Esta vez el mismo estudiante sentado
sobre el mismo banco, sostiene en sus manos en
posición vertical al eje de rotación de una rueda de
bicicleta, la rueda gira alrededor de ese eje vertical
con velocidad angular ω 0 , el estudiante y el banco
deslizar hasta el ángulo
Para
CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO ANGULAR.
Anteriormente hemos visto que:
→
F=
→
están en reposo (a).
El estudiante gira el eje de la rueda en ángulo θ
con la vertical (b), como no hay torque respecto al
eje vertical, la cantidad de movimiento angular con
respecto al eje vertical debe conservarse.
→
→
dp
dL
y también τ =
dt
dt
y mostramos que para un cuerpo rígido.
→
→
τ ext
d L total
=
dt
Si no hay torque externo con respecto a algún eje la
cantidad de movimiento angular será constante con
respecto a ese eje.
→
L total = Constante
o expresado en función del momento de inercia
apropiado.
→
I ω = Constante
Esta relación nos va a ser muy útil como veremos a
continuación.
Inicialmente se tiene
→
L = I 0ω 0 kˆ
Ejemplo 59. Un estudiante está sentado sobre un
banco giratorio montado sobre cojinetes sin fricción
que puede girar libremente alrededor de un eje
vertical como se muestra en la figura (a). El
estudiante sostiene en las manos extendidas dos
pesas. Su momento de inercia en esta posición es I1
y su velocidad angular ω1 . No actúan sobre él
torques no equilibrados y en consecuencia su
cantidad de movimiento angular tiene que
conservarse.
Cuando el estudiante acerca las manos al cuerpo, su
momento de inercia varía, figura ( b) ahora es I2 y
su velocidad angular será ω 2
Cuando se inclina la rueda (respecto al eje vertical)
→
→
→
L' = L estudiante +banco + L rueda
→
= I e ω e + I 0ω 0 cos θ kˆ
Siendo I e el momento de inercia del estudiante y
banco respecto al eje vertical,
ωe
angular con respecto a ese eje.
→
→
Como L = L'
→
I e ω e + I 0ω 0 cos θ kˆ = I 0ω 0 kˆ
35
su velocidad
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
de 2 rad/s2 durante 6 segundos, momento en el cual
encoge los brazos y acerca sus piernas al eje hasta
tener un momento de inercia de 4 kg.m2 .
Determinar su velocidad de giro final.
I
ω e = 0 ω 0 (1 − cos θ ) kˆ
Ie
→
Es la velocidad angular del estudiante con el sentido
de giro inicial de la rueda.
Cuando la rueda se invierte se invierte totalmente
θ = π 2 , y:
→
ωe =
2I 0
ω 0 kˆ
Ie
Ejemplo 61. Una persona está sentada en una silla
giratoria manteniendo los brazos extendidos con
una pesa en cada mano. Gira con una frecuencia de
2 Hz. El momento de inercia de la persona con los
pesos es de 5 kg m2. Hallar:
a) la nueva frecuencia cuando encoja los brazos y
disminuya el momento de inercia a 2 kg m2.
b) La variación de energía cinética del sistema.
c) ¿De dónde procede este incremento de energía
cinética?
Solución.
Después de un tiempo t de iniciar el giro, su
velocidad angular será:
1
2
ω (t ) = at 2 =
1
(2)(6)2 = 36 rad/s
2
al acercar brazos y piernas al eje, el torque de las
fuerzas sigue siendo nulo, por lo que se conserva la
cantidad de movimiento angular, Iω
(Iω )Antes = (Iω )Después ⇒
Solución.
a) Al encoger los brazos, están actuando fuerzas y
torques de fuerzas internas, por lo que podemos
admitir que se conserva la cantidad de movimiento
angular.
ωDespués =
L1 = L2 ⇒ I 1ω1 = I 2ω 2
I
I
⇒ ω 2 = 1 ω 2 , ⇒ 2π f 2 = 1 2π f1 ,
I2
I2
I
5
⇒ f 2 = 1 f1 = 2 = 5 Hz
I2
2
b) ΔK =
=
I Antes
ωAntes
I Después
7
36 = 63 rad/s
4
Ejemplo 63. Un muchacho de 25 kg corre con
velocidad de 2,5 m/s hacia un tiovivo en reposo de
radio 2 m cuyo, momento de inercia vale 500 kg
m2. Hallar la velocidad angular y frecuencia del
conjunto después de que el muchacho suba al
tiovivo justo en el borde.
1
1
L2
L2
I 2ω 22 − I 1ω12 =
−
2
2
2I 2 2I1
L = I 1ω1 = 5(2π 2) = 20π kg m 2 s ;
⎛1 1⎞
ΔK = 200π 2 ⎜ − ⎟ = 60π 2 J .
⎝ 2 5⎠
El signo positivo nos indica que hay un aumento de
energía cinética.
c) Este incremento de energía cinética procede de la
energía química almacenada en los músculos del
brazo.
Solución.
La cantidad de movimiento angular del muchacho
respecto al centro del tiovivo es:
L1 = mvR = (25)(2,5)(2 ) = 125 kg m2/s
Ejemplo 62. Un patinador, con los brazos
extendidos y las piernas abiertas y con un momento
de inercia respecto a su eje vertical de 7 kg.m2 ,
inicia un giro sobre si mismo con una aceleración
36
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
⎛ IO
⎝ I 'O
⎞
⎛ 2,0 ⎞
⎟⎟ω = ⎜
⎟1,5
⎝ 2,256 ⎠
⎠
rad
= 1,33
s
El momento de inercia del conjunto tiovivomuchacho es
I = Im + IT = 25x22 + 500
= 600 kg m2
Planteando la igualdad entre la cantidad de
movimiento angular inicial y final, tendremos:
L1 = L2 , mvR = (I m + I T )ω
ω ' = ⎜⎜
Reemplazando:
mvR
125
ω=
=
(I m + I T ) 600
Energía después =
=2J
Se pierde 4,05 -2 = 2,05
= 0,208 rad/s
f =
ω
2π
1
1
2
I 'O ω ' 2 = (2,256)(1,33)
2
2
2,05
= 0,5
4,05
fracción de energía =
= 0,033 Hz
= 1,99 r.p.m.
Ejemplo 65. Una barra rígida de masa M y largo L
gira en un plano vertical alrededor de un eje sin
fricción que pasa por su centro. En los extremos de
la barra se unen dos cuerpos de masas m1 y m2.
Calcular la magnitud del momento angular del
sistema cuando su rapidez angular es ω y la
aceleración angular cuando la barra forma un
ángulo φ con la horizontal.
Ejemplo 64. Una tornamesa con radio de 8,0 m y
momento de inercia de 2,0 kg.m2. La placa
tornamesa rota con una velocidad angular de 1,5
rad/s sobre un eje vertical que pasa a través de su
centro en cojinetes sin fricción. Una bola de 0,40
kg se lanza horizontalmente hacia el eje de la
tornamesa con una velocidad de 3,0 m/s. La bola es
cogida por un mecanismo con forma de tazón en el
borde de la tornamesa.
a) ¿Cuál es cantidad de movimiento angular de la
bola alrededor del eje de la tornamesa?
b) ¿Qué fracción de energía cinética se pierde
durante la captura de la bola?
Solución.
El momento de inercia por el eje de rotación del
sistema es igual a la suma de los momentos de
inercia de los tres componentes, con los valores de
la tabla se obtiene:
2
1
⎛L⎞
I = ML2 + m1 ⎜ ⎟
12
⎝2⎠
L2 ⎛
M
=
⎜ m1 + m2 +
4 ⎝
3
Solución.
a) La cantidad de movimiento angular de la bola
alrededor del eje de la tornamesa es cero
b)
⎛L⎞
+ m2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎞
⎟
⎠
Como el sistema gira con rapidez angular ω, la
magnitud del momento angular es:
1 2 1
mv + I O ω 2
2
2
1
1
2
2
= (0,4 )(3,0 ) + (2,0 )(1,5)
2
2
L = Iω =
Energía antes =
L2
4
M
⎛
⎜ m1 + m2 +
3
⎝
⎞
⎟ω
⎠
Para calcular la aceleración angular usamos la
relación
τ t = Iα ⇒ α =
= 4,05 J
τt
I
, al calcular el torque total
1
2
Energía después = I ' O ω '
2
en torno el eje de rotación, se obtiene:
Para calcular esta energía necesitamos conocer I0 y
ω’.
τ t = m1 g
I ' O = I O + mR 2 = 2,0 + (0,4)(0,8)
2
2
=
2
= 2,256 kg/ m
Lantes = Ldespués ⇒ I O ω = I 'O ω '
37
L
L
cos φ − m2 g cos φ
2
2
1
(m1 − m2 )gL cos φ
2
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Reemplazando en α los valores de I y de τ t , se
a) El momento de inercia será la suma del momento
de inercia de una varilla, más el de la esfera. Como
la esfera está a L+R del eje, aplicamos Steiner:
obtiene la aceleración angular:
α=
τt
I
=
2(m1 − m2 )g cos φ
L(m1 + m2 + M 3)
2
1
2
me R 2 + me (L + R ) , I V = mV L2
5
3
I = I e + IV
2
1
2
2
2
= me R + me (L + R ) + mV L
5
3
2
1
2
2
2
I = (0,25)(0,1) + (0,25 )(0,85) + (0,5)(0,75)
Ie =
Ejemplo 66. En la figura las masas m1 y m2 se
conectan por una cuerda ideal que pasa por una
polea de radio R y momento de inercia I alrededor
de su eje. La mesa no tiene roce, calcular la
aceleración del sistema.
Solución. Primero se calcula en momento angular
del sistema de las dos masas más la polea:
5
3
= 0,27 kg.m2
b) L = Iω = 0,27
= 0,54π
2π
= 0,27( 2πf )
T
12
= 0,345 kgm2 / s
60
Ejemplo 68. Un cilindro de 50 kg y 20 cm de radio,
gira respecto de un eje vertical que coincide con su
eje de simetría, debido a una fuerza constante,
aplicada a su periferia que, después de 40 s de
iniciado el movimiento, alcanza 200 r.p.m.
Calcular:
El valor de la fuerza y el torque de la fuerza
aplicada.
v
L = m1vR + m2 vR + I
R
Luego se calcula el torque externo sobre el sistema,
la única fuerza externa que contribuye al torque
total es m1g, entonces el torque es
τ = m1 gR .
Entonces se tiene:
dL
⇒
dt
d ⎡
v⎤
m1 gR = ⎢(m1 + m2 )vR + I ⎥
dt ⎣
R⎦
dv I dv
m1 gR = (m1 + m2 )R +
dt R dt
I ⎞
⎛
⇒ m1 gR = ⎜ m1 + m2 + 2 ⎟ Ra
R ⎠
⎝
m1 g
⇒a=
I
m1 + m2 + 2
R
τ=
Solución.
La frecuencia de rotación adquirida vale:
f =
200
Hz
60
La velocidad angular:
ω = 2πf = 2π
Ejemplo 67. Una varilla de 500 g y 75 cm de
longitud, lleva soldada en un extremo una esfera de
10 cm de radio y 250 g de masa. Calcular:
a) El momento de inercia cuando gira, alrededor de
un eje perpendicular a la varilla que pasa por el
extremo libre.
b) La cantidad de movimiento angular del conjunto
si gira a 12 rpm.
200 20 rad
= π
60
3
s
La aceleración angular:
α=
Δω π rad
=
Δt
6 s2
Por otra parte el momento de inercia del cilindro
vale:
I=
1
1
2
mR 2 = (50)(0,2 ) = 1 kgm2.
2
2
Luego el torque de la fuerza aplicada
τ = FR = Iα = (1)
π
6
= 0,52 Nm.
La fuerza tangencial:
F=
Solución.
38
τ
R
=
0,52
= 2,6 N
0,2
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 69. Un anillo de masa M y radio R (ICM =
MR2), cae en rodadura pura sobre un plano
inclinado que
forma un ángulo θ con la
horizontal.
a) Hacer el DCL. del anillo.
b) Hallar la aceleración del centro de masa del
anillo.
c) Encontrar el valor de la fricción entre el plano
inclinado y el anillo.
d) ¿Cuál debe ser el mínimo valor del coeficiente de
rozamiento estático entre el plano y el anillo para
que este se encuentre en rodadura pura?
⎛
⎝
longitud l ⎜ I CM =
1
⎞
Ml 2 ⎟ se sostiene de un
12
⎠
extremo mediante un pivote sin fricción. La barra se
encuentra inicialmente en reposo en forma vertical
cuando un proyectil de masa m impacta sobre ella y
queda incrustado instantáneamente. La velocidad
inicial del proyectil es v 0 . Hallar:
a) La cantidad de movimiento angular del sistema
respecto del pivote justo antes de la colisión.
b) La velocidad angular de giro del sistema después
que el proyectil se incrusta en la barra.
c) La altura máxima que alcanzará el CM de la
barra.
d) El trabajo del proyectil cuando se incrusta contra
la barra.
Solución.
a) El DCL. del anillo.
Solución.
a) La cantidad de movimiento angular del sistema
respecto del pivote justo antes de la colisión.
b) Segunda ley de Newton para la traslación
Lantes = mv0 d
Mgsenθ − F f = Ma
b) La velocidad angular de giro del sistema después
que el proyectil se incrusta en la barra.
Segunda ley de Newton para la rotación
Iα = F f R ⇒ MR 2
F f = Ma
a
= Ff R ⇒
R
Reemplazando el valor de Ff en la primera
ecuación.
Mgsenθ − Ma = Ma ⇒ Mgsenθ = 2Ma
1
Finalmente a = gsenθ
2
c) El valor de la fuerza de fricción entre el plano
inclinado y el anillo.
F f = Ma =
Lantes = Ldespués
1
Mgsenθ
2
d) El mínimo valor del coeficiente de rozamiento
estático entre el plano y el anillo para que este se
encuentre en rodadura pura debe de cumplir
1
Mgsenθ
2
Mgsenθ
1
⇒ μk =
= tan θ
2Mg cosθ 2
Ff = μk N =
mv0 d =
1
Ml 2ω + (ωd )d
3
⇒ ω=
mv0 d
⎛1
2
2⎞
⎜ Ml + md ⎟
⎝3
⎠
c) La altura máxima que alcanzará el CM de la
barra.
Energía justo después del choque
Ejemplo 70. Una barra uniforme AB de masa M y
39
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
1
l
⎛
⎞
I O ω 2 − ⎜ Mg + mgd ⎟
2
2
⎝
⎠
⎛1
2
2⎞
= I O = ⎜ Ml + md ⎟
⎝3
⎠
velocidad angular del bloque después del choque.
=
Energía cuando alcanza el punto más alto
⎛
⎝
= − ⎜ Mg
l
⎞
+ mgd ⎟(1 − cos θ )
2
⎠
Por conservación de energía:
Energía justo después del choque = energía cuando
alcanza el punto más alto.
Solución.
Cantidad de movimiento angular antes del choque
con respecto al eje O.
1
l
⎛
⎞
I O ω 2 − ⎜ Mg + mgd ⎟
2
2
⎝
⎠
l
⎛
⎞
= − ⎜ Mg + mgd ⎟(1 − cos θ )
2
⎝
⎠
1
l
⎛
⎞
⇒ I O ω 2 = ⎜ Mg + mgd ⎟ cos θ
2
2
⎝
⎠
1
I Oω 2
2
⇒ cos θ =
l
⎛
⎞
⎜ Mg + mgd ⎟
2
⎝
⎠
L antes = r × p = − rmv0senθ kˆ = − mbv0 kˆ
→
→
Para encontrar la cantidad de movimiento angular
después del choque, según la figura siguiente.
[
→
]
→
L después = I p + (m + M )b 2 ω
(mv0 d )
1⎛1
2
2⎞
⎜ Ml + md ⎟
2
2⎝3
⎠⎛1
2
2⎞
⎜ Ml + md ⎟
⎝3
⎠
=
l
⎛
⎞
⎜ Mg + mgd ⎟
2
⎝
⎠
2
=
→
Por conservación de la cantidad de movimiento
angular
→
→
L antes = L después
[
]
→
⇒ − rmv0 senθ kˆ = I p + (m + M )b 2 ω
m 2 v 02 d 2
⎞
⎞⎛ 1
⎛ l
2⎜ M + md ⎟⎜ Ml 2 + md 2 ⎟ g
⎠
⎠⎝ 3
⎝ 2
→
⇒ω =−
⇒ hmáx = l(1− cos θ )
rmv0 senθ
kˆ
I p + (m + M )b 2
[
]
Ejemplo 72. Se tiene una plataforma circular que
puede rotar sin fricción alrededor de un eje
perpendicular al centro. E1 momento de inercia de
la plataforma con respecto al eje es I p . Un insecto
d) El trabajo del proyectil cuando se incrusta contra
la barra.
l
⎛1
⎞
W = ΔE = ⎜ mv 02 − Mg − mgd ⎟
2
⎝2
⎠
de masa m se coloca sobre la plataforma a una
distancia b del eje. El sistema se hace girar con una
velocidad angular ω 0 en el sentido horario. El
⎡1
l
⎛
⎞⎤
I Oω 2 + ⎜ − Mg − mgd ⎟⎥
2
⎝
⎠⎦
⎣2
1 2 1
2
= mv0 − I O ω
2
2
- ⎢
insecto empieza a correr en una circunferencia de
radio b alrededor del eje con una velocidad de
magnitud constante v 0 , medida relativa a tierra.
a) ¿Cual es la cantidad de movimiento angular total
si el insecto corre con la plataforma?
b) ¿Cuál será si corre en oposición a la rotación de
la plataforma?
c) ¿Es posible que el pequeño insecto pueda detener
la gran plataforma? ¿Cómo?
Solución.
La cantidad de movimiento angular del sistema
antes que el insecto comience a correr es:
Ejemplo 71. Un bloque de masa M se pega a una
plataforma circular, a una distancia b de su centro.
La plataforma puede rotar, sin fricción, alrededor de
un eje vertical alrededor de su centro. Siendo I p su
momento de inercia con respecto a ésta. Si un
proyectil de masa m que se mueve con una
velocidad horizontal v 0 , como se muestra en la
figura, incide y queda en el bloque. Encontrar la
40
Cuerpo rígido
→
Hugo Medina Guzmán
(
)
(
→
)
L = I p + mb 2 ω 0 = − I p + mb 2 ω 0 kˆ
Resolver usando la conservación de la cantidad de
movimiento angular.
a) Cuando el insecto corre en el mismo sentido del
giro con módulo de velocidad v 0 su cantidad de
Solución.
En la parte lisa no hay fuerza de fricción, en la parte
áspera aparece la tuerza de fricción, cuya línea de
acción está en el plano. Por tanto, la cantidad de
movimiento angular del disco respecto a un punto
de referencia en el plano permanecerá Constante
durante todo el movimiento (por ejemplo A).
La cantidad de movimiento antes de llegar a A.
movimiento angular es:
L' = (I p + mb 2 )ω '− mbvo kˆ
→
→
Pero como la cantidad de movimiento angular es
constante. La cantidad de movimiento angular total
es:
L' = L = −(I p + mb 2 )ω 0 kˆ
→
→
→
→
→
→
L = r × M v1 = I 0 ω1
→
→
Como r × v1 = − rv1senθ kˆ = − Rv1 kˆ ,
b) En este caso, como en el caso anterior
→
I0 =
→
L' = L
(
←
)
→
L' = − I p + mb 2 ω 0 kˆ
L = − MRv1 kˆ +
c) Si es posible, tomando el caso a)
→
(
)
)
p
traslada con velocidad v 2 tal que
0
La plataforma se detiene cuando
(
)
1
1
MRv1 kˆ = − MRv1 kˆ
2
2
La cantidad de movimiento angular después de
pasar A y haber 1legado a rodar sin deslizar. Se
→
L' = I p + mb 2 ω '− mbvo kˆ
2
= − I + mb ω kˆ
(
→
v
1
MR 2 , ω1 = ω1 kˆ = 1 kˆ
R
2
ω2 =
ω ' = 0 , es decir:
v2
.
R
− mbv0 kˆ = − I p + mb 2 ω 0 kˆ
Esto sucede cuando
v0 =
(I
p
+ mb 2 )
mb
ω0
En el sentido indicado en el caso a).
→
y una velocidad angular
ω1
→
→
→
L' = r × M v 2 = I 0 ω 2
Ejemplo 73. Se da a un cilindro homogéneo de
radio R y masa M con una velocidad horizontal v1
→
→
Como r × v 2 = − rv 2 senθ kˆ = − Rv 2 kˆ ,
en sentido opuesto a
las agujas del reloj ω1 = v1 R en la parte sin
rozamiento de la superficie horizontal. Más allá del
punto A, cambia la superficie de manera que a la
derecha de A el coeficiente de rozamiento es μ .
I0 =
→
v
1
MR 2 , ω 2 = −ω 2 kˆ = 2 kˆ
2
R
→
1
3
L ' = − MRv 2 kˆ − MRv 2 kˆ = − MRv 2 kˆ
2
2
41
Cuerpo rígido
→
Hugo Medina Guzmán
→
⎡
Igualando L' = L , tenemos:
−
= ⎢I f =
v
3
1
MRv 2 kˆ = − MRv1 kˆ ⇒ v 2 = 1
3
2
2
⎢⎣
1
⎛R⎞
MR 2 + m⎜ ⎟
2
⎝4⎠
2
⎤
⎥ω f
⎥⎦
1
MR 2 + mR 2
ωf = 2
ω0
2
1
R
2
MR + m
2
16
⎛ M
⎞
+m ⎟
1 ⎜⎜ 2
⎟ω 0
=
2⎜ M m ⎟
+ ⎟
⎜
⎝ 2 16 ⎠
Ejemplo 74. Un proyectil de masa m y velocidad
v0 se dispara contra un cilindro sólido de masa M y
radio R. El cilindro está inicialmente en reposo
montado sobre un eje horizontal fijo que pasa por
su centro de masa. El proyectil se mueve
perpendicular al eje y se encuentra a una distancia
D < R sobre el eje. Calcular la rapidez angular del
sistema después que el proyectil golpea al cilindro y
queda adherido a su superficie.
b)
Ki =
=
Solución.
El momento angular del sistema se conserva,
entonces
Kf =
Li = L f
1
1⎛1
⎞
I iω02 = ⎜ MR 2 + mR 2 ⎟ω02
2
2⎝2
⎠
1
(M + 2m )R 2ω02
4
2
1
1 ⎡1
⎛R⎞ ⎤
I f ω 2f = ⎢ MR 2 + m⎜ ⎟ ⎥ω 2f
2
2 ⎢⎣ 2
⎝ 4 ⎠ ⎦⎥
= 1 ⎡1
⎛R⎞
2
⎢ MR + m⎜ ⎟
2 ⎢⎣ 2
⎝4⎠
⎞
⎛1
mv0 D = Iω = ⎜ MR 2 + mR 2 ⎟ω
⎠
⎝2
mv0 D
⇒ ω=
1
MR 2 + mR 2
2
2
⎤⎛ M 2 + m ⎞ 2
⎟⎟ ω 0
⎥⎜⎜
⎥⎦⎝ M 2 + m 16 ⎠
2
= 1 ⎛⎜ M + m ⎞⎟⎛⎜ M + 2m ⎞⎟ R 2ω 2
0
2
4⎝
8 ⎠⎝ M + m / 8 ⎠
= 1 ⎛⎜ M + 2m ⎞⎟(M + 2m )R 2ω 2
0
4 ⎝ M + m/8 ⎠
Como ⎛⎜ M + 2m ⎞⎟ > 1
⎝ M + m/8 ⎠
Ejemplo 75. Un disco de masa M y radio R gira en
un plano horizontal en torno a un eje vertical sin
roce. Un gato de masa m camina desde el borde del
disco hacia el centro. Si la rapidez angular del
sistema es ω0 cuando el gato está en el borde del
disco, calcular:
a) la rapidez angular cuando el gato ha llegado a un
punto a R/4 del centro,
b) la energía rotacional inicial y final del sistema.
Solución.
Llamando Id al momento de inercia del disco e Ig al
momento de inercia del gato, el momento de inercia
total inicial y final del sistema es:
La energía rotacional aumenta.
Ejemplo 76. La barra horizontal de la figura tiene
un momento de inercia respecto al eje de rotación
de 5x10-3 kg m2, y cada una de las bolas que pueden
deslizar sobre ella pesan 50 g y se consideran de
dimensiones despreciables. El conjunto está girando
libremente alrededor del eje O-O’ con las bolas
dispuestas simétricamente respecto al eje y sujetas
por un hilo AB de 20 cm. Si se rompe el hilo
cuando el conjunto gira a 20 rad/s, determinar la
nueva velocidad angular cuando las bolas lleguen a
los topes del extremo de la barra.
1
MR 2 + MR 2
2
2
1
⎛R⎞
2
I f = MR + m⎜ ⎟
2
⎝4⎠
Ii = Id + I g =
a) Como no hay torques externos sobre el sistema
en torno al eje de rotación, se puede aplicar la
conservación de la cantidad de movimiento angular
I iωi = I f ω f
1
⎡
2
2⎤
⎢⎣ I f = 2 MR + mR ⎥⎦ω 0
Solución.
42
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Empecemos calculando el momento de inercia del
conjunto, cuando las bolas están separadas 20 cm.
I1 = Ibarra + Ibolas = Ibarra + 2 m r12 = 5x10-3 kg m2 +
ωf =
0,1x0,12 = 6x10-3 kg m2
Cuando se alejen hasta los topes:
I2 = Ibarra + Ibolas = Ibarra + 2 m r22
= 5x10-3 kg m2 + 0,1x0,252
2
180 = 120 rpm.
(2 + 1)
GIROSCOPOS Y TROMPOS - MOVIMIENTO
DE PRECESION
El giróscopo es una rueda montada en rodamientos
sin fricción, en tal forma que la rueda tiene libertad
de rotar en cualquier dirección con respecto al
marco que lo sujeta.
Para lograr esto se necesitan tres gímbalos
(correspondientes a los tres espacios
dimensionales). Como los rodamientos no tienen
fricción no se ejercen torques sobre la rueda. Esto
significa que una vez iniciado el giro, el eje de
rotación permanecerá fijo no importando que
movimiento se de al mareo exterior. La dirección en
el espacio del eje no variará.
Hasta ahora vimos el movimiento rotacional en que
el eje de rotación está fijo, o tiene movimiento de
traslación sin cambio en su dirección. La mayoría
de los movimientos rotacionales quedan en estas
categorías, pero en el caso de un trompo o
giróscopo en rotación no se cumple lo anterior. Si
se hace girar rápidamente el rotor de este aparato y
luego se coloca un extremo libre del eje de rotación
sobre un soporte fijo, como se muestra en la figura.
El giróscopo no caerá del soporte sino que se
mantiene en posición casi horizontal mientras que
el eje de su rotor gira lentamente en un plano
horizontal, esta rotación lenta del eje se conoce
como PRECESION.
= 11,25x10-3 kg m2
La rotura del hilo libera fuerzas exclusivamente
internas, por lo que se conservará la cantidad de
movimiento angular del sistema:
L1 = L2 ⇒ I 1ω1 = L2ω 2 ⇒
I
6
ω 2 = 1 ω1 =
20 = 10,67 rad / s
11,25
I2
Ejemplo 77. Un disco de 2 kg de masa y 10 cm de
radio gira alrededor de su eje a 180 r.p.m.. Encima,
pero sin que exista contacto, se encuentra otro disco
de 1 kg de masa, del mismo radio y en reposo.
Cuando el disco superior se deja caer, ambos se
mueven solidariamente. Calcular la velocidad
angular final.
Solución.
Cuando el disco superior se posa sobre el inferior,
el torque de las fuerzas sigue siendo nulo por lo que
se conserva la cantidad de movimiento angular,
Iω .
Veamos como se origina la precesión.
Consideremos un giróscopo simplificado mostrado
en la figura siguiente, un disco cilíndrico muy
macizo de masa M y radio a que tiene libertad para
girar sin fricción en torno a una varilla muy ligera y
delgada, a lo largo de su eje.
(Iω )Antes = (Iω )Después
I1ωi = (I1 + I 2 )ω f ⇒ ω f =
I1
ωi
I1 + I 2
Como el Momento de inercia de un disco es
½.m.R2 se obtiene:
1
m1 R 2
m1
2
ωf =
ωi =
ω
1
(m1 + m2 ) i
⎛1
2
2⎞
⎜ m1 R + m2 R ⎟
2
⎝2
⎠
Un extremo de la varilla se apoya en A. que está a
una distancia l del disco. Si se mantiene la varilla
En este caso particular:
43
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
es de 2,7 kg m2. La velocidad angular inicial de la
rueda es de 55 rad/s en sentido antihorario. En un
momento dado la profesora gira 180º el eje de la
rueda pasando a girar con -55 rad/s en sentido
contrario al anterior. Calcular:
a) La velocidad angular adquirida por la silla y el
sentido de giro.
b) El trabajo realizado por la profesora.
horizontal, y se hace girar al disco con una
velocidad angular ω en torno a su eje y luego, se
suelta.
Como actúan dos únicas fuerzas el peso Mg y la
reacción del apoyo R, podría pensarse que el disco
→
caería. Si L0 fuera cero sucedería esto, pero el
torque que produce Mg es:
(
)
τ = (liˆ )× − Mgkˆ = Mglˆj
→
este torque produce un cambio en la cantidad de
movimiento angular
→
→
(
)
d L = τ dt = Mglˆj dt
la magnitud. de este cambio es:
dL = Mgldt
Por otra parte: dL = L0 dθ
De aquí Mgldt = L0 dθ y
dθ Mgl
=
dt
L0
Solución.
a) Dado que no hay momentos externos sobre la
silla giratoria podemos considerar que el momento
angular no varía.
L1 = I RUEDA ω1 ,
1
Ma 2ω ;
2
2 gl
= 2
a ω
Como L0 = L0ω =
dθ
Mgl
=
1
dt
Ma 2ω
2
L2 = I RUEDA (− ω1 ) + I SILLAω 2
I RUEDA ω1 = I RUEDA (− ω1 ) + I SILLAω 2
2I
⇒ ω 2 = RUEDA ω1
I SILLA
2(0,02)
ω2 =
55 = 8,15 rad /s
2,7
Por consiguiente el disco no caerá, en lugar de ello
girará en el plano horizontal xy (ver la figura
siguiente) en torno al eje vertical a través del punto
de apoyo A.
(Positivo, por tanto en el sentido de rotación inicial
de la rueda)
b)
W = ΔE = E 2 − E1
=
1
1
1
2
2
I SILLAω 22 + I RUEDA (− ω1 ) − I RUEDA ω1
2
2
2
=
1
I SILLAω 22 = 89,6 J
2
La velocidad angular de esta precesión es:
Ω=
dθ
τ
2 gl
=
=
dt Iω ωa 2
El trabajo es por tanto la energía adquirida por la
silla, ya que la energía de la rueda no varía.
Ejemplo 78. Una profesora de física se encuentra
sentada en una silla giratoria manteniendo en sus
manos una rueda de bicicleta como se indica en la
figura. El momento de inercia de la rueda respecto a
su eje es de 0,2 kg m2, y el momento de inercia de
la profesora más la rueda respecto del eje de la silla
Dicho trabajo, positivo, es producido por la fuerza
muscular (interna) de la profesora.
PREGUNTAS Y PROBLEMAS
1. El centro de masa de una pelota de radio R, se
mueve a una rapidez v. La pelota gira en torno a un
eje que pasa por su centro de masa con una rapidez
angular ω. Calcule la razón entre la energía
rotacional y la energía cinética de traslación.
Considere la pelota una esfera uniforme.
2. Un volante en la forma de un cilindro sólido de
radio R = 0,6 m y masa M = 15 kg puede llevarse
44
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
hasta una velocidad angular de 12 rad/s en 0,6 s por
medio de un motor que ejerce un torque constante.
Después de que el motor se apaga, el volante
efectúa 20 rev antes de detenerse por causa de la
fricción (supuesta constante). ¿Qué porcentaje de la
potencia generada por el motor se emplea para
vencer la fricción?
Respuesta. 2.8%.
.
Respuesta. a) 2(Rg/3)½, b) 4(Rg/3)½, c) (Rg)½.
3. Un bloque de masa m1 y uno de masa m2 se
conectan por medio de una cuerda sin masa que
pasa por una polea en forma de disco de radio R,
momento de inercia I y masa M. Así mismo, se deja
que los bloques se muevan sobre una superficie en
forma de cuña con un ángulo θ como muestra la
figura. El coeficiente de fricción cinético es μ para
ambos bloques. Determine
a) la aceleración de los dos bloques y
b) la tensión en cada cuerda.
6. Un peso de 50 N se une al extremo libre de una
cuerda ligera enrollada alrededor de una pelota de
0,25 m de radio y 3 kg de masa. La polea puede
girar libremente en un plano vertical en torno al eje
horizontal que pasa por su centro. El peso se libera
6 m sobre el piso.
a) calcular la tensión de la cuerda, la aceleración de
la masa y la velocidad con la cual el peso golpea el
piso.
b) Calcular la rapidez con el principio de la
conservación de la energía.
Respuesta. a) 11,4N, 7,6 m/s2, 9,5 m/s, b) 9,5 m/s.
7. Una ligera cuerda de nylon de 4 m está enrollada
en un carrete cilíndrico uniforme de 0,5 m de radio
y 1 kg de masa. El carrete está montado sobre un
eje sin fricción y se encuentra inicialmente en
reposo. La cuerda se tira del carrete con una
aceleración constante de 2,5 m/s2. a) ¿Cuánto
trabajo se ha efectuado sobre el carrete cuando éste
alcanza una velocidad angular de 8 rad/s?
b) Suponiendo que no hay la suficiente cuerda sobre
el carrete, ¿Cuánto tarda éste en alcanzar esta
velocidad angular?
c) ¿Hay suficiente cuerda sobre el carrete?
Respuesta. a) 4 J, 1,6 s, c) sí.
Respuesta.
a) (m2sen θ - μ)(m1 + m2cos θ)g/(m1 + m2 + M),
b) T1 = μm2g + m1a, T2 = T1 + ½Ma.
4. Una masa m1 y una masa m2 están suspendidas
por una polea que tiene un radio R y una masa m3.
La cuerda tiene un masa despreciable y hace que la
polea gire sin deslizar y sin fricción. Las masas
empiezan a moverse desde el reposo cuando están
separadas por una distancia D. Trate a la polea
como un disco uniforme, y determine las
velocidades de las dos masas cuando pasan una
frente a la otra.
8. Una barra uniforme de longitud L y masa M gira
alrededor de un eje horizontal sin fricción que pasa
por uno de sus extremos. La barra se suelta desde el
reposo en una posición vertical. En el instante en
que está horizontal, encuentre
a) su rapidez angular,
b) la magnitud de su aceleración angular,
c) las componentes x e y de la aceleración de su
centro de masa, y
d) las componentes de la fuerza de reacción en el
eje.
Respuesta. a) (3g/L)½, b) 3g/2L,
c) –(3/2î + ¾ĵ)g, d) (-3/2î + ¼ ĵ)Mg.
5. Un disco sólido uniforme de radio R y masa M
puede girar libremente sobre un pivote sin fricción
que pasa por un punto sobre su borde.
Si el disco se libera desde el reposo en la posición
mostrada por el círculo.
a) ¿Cuál es la rapidez de su centro de masa cuando
el disco alcanza la posición indicada en el círculo
punteado?
b) ¿Cuál es la rapidez del punto más bajo sobre el
disco en la posición de la circunferencia punteada?
c) Repetir para un aro uniforme
9. Los bloques mostrados en la figura están unidos
entre si por una polea de radio R y momento de
inercia I. El bloque sobre la pendiente sin fricción
45
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
se mueve hacia arriba con una aceleración constante
de magnitud a.
a) Determine las tensiones en las dos partes de la
cuerda,
b) encuentre el momento de inercia de polea.
Respuesta. x =
Respuesta. a) T1 = m1 (a + gsenθ ) ,
L
(1 − μ s )
2
12. Determinar la tensión en el cable AB que
Impide que el poste BC deslice. En la figura se ven
los datos esenciales. La masa del poste es de 18 kg.
Suponer que todas las superficies son lisas.
T2 = m2 ( g − a )
g
2 g
b) m2 R
− m1R 2 − m2 R 2 − m1R 2 senθ
a
a
10. Un cuerpo plano está sometido a cuatro fuerzas
como se indica en la figura.
a) Hallar el módulo y dirección del torque actuante
respecto a un eje perpendicular al plano y que pasa
por el punto A.
b) Respecto a un eje que pasa por el punto B.
e) Respecto a un eje que pasa por el punto C.
d) Determinar la fuerza equivalente y su línea de
acción.
e) Sustituir esta fuerza por otra que esté aplicada en
A y un par de fuerzas o cupla aplicadas en los
puntos B y C y hallar el valor mínimo de estas
fuerzas.
Respuesta. T = 46,2 N
13. Un hombre de 70 kg, sostiene un objeto de 31,9
kg. Como se indica en la figura. La polea carece de
rozamiento. La plataforma sobre la que está situado
el hombre está colgada mediante dos cuerdas en A y
otras dos en B. ¿Cuál e tensión de una de las
cuerdas en A?
Respuesta.
a) τ = 23 Nm, b) τ = 23 Nm, c) τ = 24 Nm,
→
Respuesta. 124,5 N
d) F = iˆ + ˆj , y = x − 23 ,
→
e) FB =
→
23
(− 3iˆ + 4 ˆj ) = − FC
25
14. Reemplace la fuerza de 1000 N de la figura por
una fuerza que pasa por A y una cupla cuyas
fuerzas actúan verticalmente a través de B C.
11. Un marco cuadrado de lado L. Se cuelga de un
clavo rugoso de coeficiente de rozamiento estático
μ s . ¿A qué distancia del vértice está clavado si el
marco está a punto de deslizar?
46
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Respuesta. 3,82 s
→
18. Si se aplica La fuerza F a una cuerda ligera
atada a un bloque con el sistema de poleas mostrado
en la figura. ¿Cuál es el máximo peso que puede
levantar?
→
Respuesta. FA = 800iˆ + 600 ˆj , FB = 467 ˆj ,
→
FC = −467 ˆj
15. Un hombre de 60 kg que camina a 2 m/s
atraviesa un tabla de 30 kg y 10 m de largó
a) ¿Cuál es la fuerza sobre el soporte B en función d
tiempo?
b) Si la máxima fuerza que puede resistir B es 490
¿Cuándo y dónde caerá al río el hombre?
Considerar que el peso del hombre siempre actúa en
dirección de la vertical que pasa por su centro de
masa.
Respuesta. 3F
19. El rodillo que se ve en la figura tiene una masa
de 339 kg ¿Que fuerza F es necesaria para subir el
rodillo sobre el bloque?
Respuesta: a) FB = (12t + 15)9,8 N, b) t = 2,92
s, x = 5,83 m de A.
16. Un hombre de masa m quiere subir por una
escalera. La escalera tiene masa M, largo L y forma
un ángulo θ con e piso. El coeficiente de fricción
entre la escalera y e peso es μ , mientras que la
pared no tiene fricción.
a)¿A qué altura de la escalera puede llegar antes que
comience a resbalar?
b) ¿Si el ángulo θ es el mayor sin que la escalera
sola puede estar sin resbalar, cuál es la altura a la
que puede llegar el hombre?
Respuesta. a)
Respuesta. F =3949,4 N
20. La línea de acción de una fuerza de 1N está en
el plano xz y corta el eje z en un punto que dista 0,6
m del origen.
a) ¿Cuál es el torque respecto al eje y si el ángulo
comprendido entre la dirección de la fuerza y el eje
z es 60º?
b) ¿Si el ángulo e l80º?
c) ¿Si el ángu1o es 330º?
Respuesta. a) τ = 0,52 N m , b) τ = 0
c) τ = - 0,3 N m
1
⎡
⎤
⎢⎣(m + M )μLsenθ − 2 ML cos θ ⎥⎦ μM cos θ
b) L 2 μ
17. El disco A tiene una masa de 2 kg y un radio de
7,5 cm, se coloca en contacto con una correa que se
mueve con una velocidad v = 15 m/s. Sabiendo que
el coeficiente de rozamiento entre el disco y la
correa es 0,2, calcular tiempo necesario para que el
disco alcance una velocidad angular constante.
21. Dos discos de masa 10 kg y radio R = 0,3 m
cada uno están conectados mediante una cuerda. En
el instante mostrado en la figura, la velocidad
angular del disco B es de 20 rad/s en sentido
horario. Calcular cuánto sube el disco A cuando la
velocidad angular del disco B sea de 4 rad/s.
47
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Respuesta.
22. Un cilindro de masa ni y radio r rueda sin
deslizar sobre la cara interior de una superficie
cilíndrica de radio R. Sabiendo que la esfera parte
del raposo en la posición indicada en la figura,
obtener:
a) La velocidad de la esfera al paso por B.
b) El módulo de la reacción normal en cada
instante.
b)
2τ
3mgR
25. Una esfera de l00 kg de masa y 0,6 m de
diámetro baja rodando, partiendo del reposo, por un
plano inclinado 25º. recorriendo 30 m..
a) ¿Cuál es su energía cinética al cabo de los 30 m?
b) ¿Cuál es la velocidad de su centro de masa?
Respuesta. a) 1268 kg m, b) 13,3 m/s
Respuesta. 1,54 m
Respuesta. a)
μ≥
26. Un pasajero viaja de pie en un ómnibus. El
ómnibus se mueve con una velocidad de 50 km/h
cuando el conductor aplica los frenos. El ómnibus
desacelera de modo uniforme durante una distancia
de 15 ni hasta detenerse. ¿Qué ángulo respecto a la
vertical deberá inclinarse el pasajero para evitar su
caída?
Respuesta. 33,27 hacia atrás.
27. a) ¿Cómo podría distinguirse una esfera de oro
de otra de plata si ambas tuviesen el mismo peso, el
mismo radio y las dos estuvieron pintadas del
mismo color?
b) ¿Cómo podría distinguir un huevo duro de uno
fresco si estuvieran juntos?
4
g (R − r )(1 − cos θ ) ,
3
mg
(7 − 4 cos θ )
3
28. Un carrete cilíndrico hueco y uniforme tiene
radio interior R/2, radio exterior R y masa M . Está
montado de manera que gira sobre un eje horizontal
fijo. Una masa m se conecta al extremo de una
cuerda enrollada alrededor del carrete. La masa m
desciende a partir del reposo una distancia y durante
un tiempo t. Demuestre que el torque debido a la
fuerza de roce entre el carrete y el eje es:
23. ¿A que altura sobre la mesa debe golpearse una
bola de billar con un taco mantenido
horizontalmente para que la bola comience su
movimiento sin rozamiento entre ella y la mesa?
⎡ ⎛
y⎞
5
y⎤
τ = R ⎢m⎜ g − 2 2 ⎟ − M 2 ⎥
t ⎠ 4 t ⎦
⎣ ⎝
Respuesta. 7/5R
24. Un cilindro homogéneo de masa m y radio R
descansa sobre un plano horizontal. Se aplica un
torque, según se indica en la figura. Hallar el valor
del coeficiente de rozamiento entre la rueda y el
plano para que aparezca rodadura pura.
29. Un cilindro de 10 kg de masa rueda sin deslizar
sobre una superficie horizontal.
En el instante en que se su centro de masa tiene una
rapidez de 10 m/s, determine:
a) la energía cinética traslacional de su centro de
masa,
48
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
b) la energía rotacional de su centro de masa, y c)
su energía total.
Respuesta. a) 500 J, b) 250 J, c) 750 J.
a) el origen,
b) el punto más alto de su trayectoria,
c) justo antes de chocar con el suelo.
30. Una esfera sólida tiene un radio de 0,2 m y una
masa de 150 kg. ¿Cuánto trabajo se necesita para
lograr que la esfera ruede con una rapidez angular
de 50 rad/s sobre una superficie horizontal?
(Suponga que la esfera parte del reposo y rueda sin
deslizar).
Respuesta. a) 0, b) −
c) −
2mv03
sen 2θ cos θ
g
37. Un disco sólido uniforme de masa M y radio R
gira alrededor de un eje fijo perpendicular su cara.
Si la rapidez angular es ω, calcular la cantidad de
movimiento angular del disco cuando el eje de
rotación
a) pasa por su centro de masa, y
b) pasa por un punto a la mitad entre el centro y el
borde.
31. Un disco sólido uniforme y un aro uniforme se
colocan uno frente al otro en la parte superior de
una pendiente de altura h. Si se sueltan ambos desde
el reposo y ruedan sin deslizar, determine sus
rapideces cuando alcanzan el pie de la pendiente
¿Qué objeto llega primero a la parte inferior?
32. Una bola de boliche tiene una masa M, radio R
y un momento de inercia de (2/5)MR2. Si rueda por
la pista sin deslizar a una rapidez lineal v, ¿Cuál es
su energía total de función de M y v?
Respuesta. 0,7Mv2.
38. Una partícula de 0,4 kg de masa se une a la
marca de 100 cm de una regla de 0,1 kg de masa.
La regla gira sobre una mesa horizontal sin fricción
con una velocidad angular de 4 rad/s. Calcular la
cantidad de movimiento angular del sistema cuando
la regla se articula en torno de un eje,
a) perpendicular a la mesa y que pasa por la marca
de 50 cm,
b) perpendicular a la mesa y que pasa por la marca
de 0 cm.
Respuesta. a) 0,43 kgm2/s, b) 1,7 kgm2/s.
33. Un anillo de 2,4 kg de masa de radio interior de
6 cm y radio exterior de 8 cm sube rodando (sin
deslizar) por un plano inclinado que forma un
ángulo de θ = 37° con la horizontal. En el momento
en que el anillo ha recorrido una distancia de 2 m al
ascender por el plano su rapidez es de 2,8 m/s.
El anillo continua ascendiendo por el plano cierta
distancia adicional y después rueda hacia abajo.
Suponiendo que el plano es lo suficientemente largo
de manera que el anillo no ruede fuera en la parte
superior, ¿qué tan arriba puede llegar?
39. Una mujer de 60 kg que está parada en el borde
de una mesa giratoria horizontal que tiene un
momento de inercia de 500 kg⋅m2 y un radio de 2
m. La mesa giratoria al principio está en reposo y
tiene libertad de girar alrededor de un eje vertical
sin fricción que pasa por su centro. La mujer
empieza a caminar alrededor de la orilla en sentido
horario (cuando se observa desde arriba del sistema)
a una rapidez constante de 1,5 m/s en relación con
la Tierra.
a) ¿En qué dirección y con qué rapidez angular gira
la mesa giratoria
b) ¿Cuánto trabajo realiza la mujer para poner en
movimiento la mesa giratoria?
Respuesta. a) 0,36 rad/s, antihorario.
34. Una barra rígida ligera de longitud D gira en el
plano xy alrededor de un pivote que pasa por el
centro de la barra. Dos partículas de masas m1 y m2
se conectan a sus extremos. Determine la cantidad
de movimiento angular del sistema alrededor del
centro de la barra en el instante en que la rapidez de
cada partícula es v.
Respuesta. ½( m1 + m2)vD.
35. Un péndulo cónico consta de masa M que se
mueve en una trayectoria circular en un plano
horizontal. Durante el movimiento la cuerda de
longitud L mantiene un ángulo constante con la θ
vertical. Muestre que la magnitud de la cantidad de
movimiento angular de la masa respecto del punto
de soporte es:
L=
mv03
sen 2θ cos θ ,
2g
40. Una barra uniforme de masa M y longitud d gira
en un plano horizontal en torno de un eje vertical
fijo sin fricción que pasa por su centro. Dos
pequeñas cuentas, cada una de masa m, se montan
sobre la barra de manera tal que pueden deslizar sin
fricción a lo largo de su longitud. Al principio las
cuentas se fijan por medio de retenes ubicados en
las posiciones x (donde x < d/2) a cada lado del
centro, tiempo durante el cual el sistema gira una
rapidez angular ω. Repentinamente, los retenes se
quitan y las pequeñas cuentas se deslizan saliendo
de la barra. Encuentre,
a) la rapidez angular del sistema en el instante en
que las cuentas alcanzan los extremos de la barra, y
gM 2 L3 sen 4θ
cos θ
36. Una partícula de masa m se dispara con una
rapidez vo formando un ángulo θ con la horizontal.
Determine la cantidad de movimiento angular de la
partícula respecto del origen cuando ésta se
encuentra en:
49
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
b) la rapidez angular de la barra después de que las
cuentan han salido de ella.
41. Un bloque de madera de masa M que descansa
sobre una superficie horizontal sin fricción está
unido a una barra rígida de longitud l y masa
despreciable. La barra gira alrededor de un pivote
en el otro extremo. Una bala de masa m que se
desplaza paralela a la superficie horizontal y normal
a la barra con rapidez v golpea el bloque y queda
incrustada en él.
a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del
sistema bala-bloque?
b) ¿Qué fracción de la energía cinética original se
pierde en la colisión?
Respuesta. a) mvl , b) M/(M+m).
45. A una bola de boliche se le da una rapidez
inicial vo en una canal de manera tal que
inicialmente se desliza sin rodar. El coeficiente de
fricción entre la bola y la canal es μ. Demuestre que
durante el tiempo en que ocurre el movimiento de
rodamiento puro,
a) la rapidez del centro de masa de la bola es 5vo/7,
y
b) la distancia que recorre es 12 vo2/49 μg.
(Sugerencia: Cuando ocurre el movimiento de
rodamiento puro, vcm = Rω. Puesto que la fuerza de
fricción proporciona la desaceleración, a partir de la
segunda ley de Newton se concluye que acm = μg.)
42. Una cuerda se enrolla alrededor de un disco
uniforme de radio R y masa M. El disco se suelta
desde el reposo con la cuerda vertical y su extremo
superior amarrado a un soporte fijo. A medida que
el disco desciende, demuestre que
a) la tensión en la cuerda es un tercio del peso del
disco.
b) La magnitud de la aceleración del centro de masa
es 2g/3, y
c) la rapidez del centro de masa es (4gh/3)½.
Verifique su respuesta a la pregunta c) utilizando
métodos de energía.
46. El alambre de un carrete de masa M y radio R se
desenrolla con una fuerza constante F. Suponiendo
que el carrete es un cilindro sólido uniforme que no
desliza, muestre que, a) la aceleración del centro de
masa es 4F/3M, y
b) la fuerza de fricción es hacia la derecha y su
magnitud es igual a F/3.
c) Si el cilindro parte del reposo y rueda sin
deslizar, ¿Cuál es la rapidez de su centro de masa
después que ha rodado una distancia D?
Respuesta. c) (8FD/3M)½.
43. Una pequeña esfera sólida de masa m y de radio
r rueda sin deslizar a lo largo de la pista mostrada
en la figura. Si parte del reposo en la parte superior
de la pista a una altura h, donde h es grande
comparada con r
a) Cuál es el valor mínimo de h (en función de R)
de modo que la esfera complete la trayectoria?
b) ¿Cuáles son las componentes de fuerza de la
esfera en el punto P si h = 3R?
47. Suponga un disco sólido de radio R al cual se le
da una rapidez angular ωo alrededor de un eje que
pasa por su centro y después se baja hasta una
superficie horizontal y se suelta, como en la.
Suponga también que el coeficiente de fricción
entre el disco y la superficie es μ.
a) Calcular la rapidez angular del disco una vez que
ocurre el rodamiento puro.
b) Calcular la pérdida fraccionaria de energía
cinética desde el momento en que el disco se suelta
hasta que ocurre el rodamiento puro
c) Muestre que el tiempo que tarda en ocurrir el
movimiento de rodamiento puro es R ωo/3 μ g.
d) Muestre que el tiempo que recorre el disco antes
de que ocurra el rodamiento puro es R2 ωo 2/18 μ g.
44. Un proyectil de masa m se mueve a la derecha
con rapidez v0. El proyectil golpea y queda fijo en
extremo de una barra estacionaria de masa M y
longitud D que está articulada alrededor de un eje
sin fricción que pasa por su centro.
a) Encuentre la rapidez angular del sistema justo
después de la colisión.
b) Determine la pérdida fraccionaria de energía
mecánica debida a la colisión.
50
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
Respuesta.
β = sen -1
1
⎛ M r2
⎜⎜ + 2
⎝m R
⎛ M r2 ⎞
reposo solo si ⎜⎜
+ 2 ⎟⎟ ≥ 1
⎝m R ⎠
48. La figura muestra un carrete de alambre que
descansa sobre una superficie horizontal. Cuando se
tira, no se desliza en el punto de contacto P. El
carrete se tira en las direcciones indicadas por
medio de los vectores F1, F2, F3 y F4. Para cada
fuerza determine la dirección en que rueda el
carrete. Advierta que la línea de acción de F2 pasa
por P.
⎞
⎟⎟
⎠
. Estará en
51. Los discos A y B son del mismo material y
tienen el mismo espesor, pudiendo girar 1ibemente
alrededor de un eje vertical. El disco B se encuentra
en reposo cuando se deja caer sobre el disco A. el
está girando con una velocidad angular de 400 rpm.
Sabiendo que la masa del disco A es de 4 kg,
calcular:
a) La velocidad angular final de los discos.
b) La variación de la energía cinética experimentada
por el sistema.
R A = 0,1 m, RB = 0,15 m,
49. El carrete mostrado en la figura tiene un radio
interior r y un radio externo R. El ángulo θ entre la
fuerza aplicada y la horizontal puede variar.
Demuestre que el ángulo crítico para el cual el
carrete no rueda y permanece estacionario está dado
por cosθ = r/R.
(Sugerencia: En el ángulo crítico la línea de acción
de la fuerza aplicada pasa por el punto de contacto.)
Respuesta. a) 334 rpm, .b).- 6,5l J
52. Una bala de 3g se dispara, con una velocidad
horizontal de 550 m/s, contra. Una varilla de
madera AB de longitud L = 0,750 m. La varilla que
inicialmente está en reposo, se encuentra
suspendida de una cuerda de longitud L = 0,750 m.
Sabiendo que h = 0,150 m, calcular las velocidades
de cada uno de los extremos de la varilla
inmediatamente después de que la bala se haya
incrustado.
50. Se tiene un carrete sobre un plano inclinado, el
cual tiene enrollado un hilo delgado y su extremo
libre sujeta una masa m por medio de una polea sin
fricción y masa despreciables. Se asume que la
masa del carrete M está distribuida uniformemente
en un círculo de radio R. Determinar el ángulo de
inclinación β al cuál el centro de gravedad del
carrete estará en reposo.
→
→
Respuesta. v A = −0,566iˆ , v B = 6,22iˆ
53. Un tablón masa M se apoya sobre un pequeño
pivote D. Un gimnasta A de masa m está de pie
sobre el extremo C del tablón, un segundo gimnasta
B de la misma masa m salta desde la altura h y cae
51
Cuerpo rígido
Hugo Medina Guzmán
sobre el tablón en E. Suponiendo que este choque es
perfectamente inelástico, determinar la altura que
alcanzará el gimnasta A. (El gimnasta A permanece
de pie completamente rígido).
Respuesta. Ω = 2,1 rad/s
Respuesta.
55. Una rueda de bicicleta de 82 cm de diámetro
tiene una platina de acero enrollada en su parte
exterior de modo que la masa resultante del sistema
puede suponerse que está situada toda ella en la
periferia de la rueda, siendo M = 7,3 kg
sosteniendo los dos extremos del eje con las manos
en la posición horizontal. El eje sobresale 15,2 cm a
cada lado de la rueda. Mientras la rueda está
girando con una velocidad angular de 25,12 rad/s se
hace girar el eje con las manos en un plano
horizontal alrededor de su centro. Calcular el valor
y dirección de la fuerza que deberá ejercer en cada
mano para producir una velocidad angular de
precesión de 0,628 rad/s alrededor del centro.
Respuesta. un par de fuerzas de 64,6 N aplicadas
en cada extremo del eje.
m2h
(2m + M 3)2
54. Un disco macizo de 1,2 kg de masa y 10 cm de
diámetro está montado en un extremo de un eje de
masa despreciable que está pivotado alrededor de
un punto a 6 cm del, centro del disco en el otro
extremo del eje, a una distancia de 10 cm del
pivote, se cuelga un objeto de 0,96 kg de masa. Si la
velocidad angular de giro del disco es 37,37 rad/s.
¿Cuál es la velocidad de precesión?
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