Guía del profesor orientadas a las enseñanzas académicas matemáticas ESO 3 Índice EJES DEL PROYECTO OYECTO SAVIA NUEVA GENERACIÓN EN SECUNDARIA ......................................................................... 4 O CON C UNA NUEVA GENERACIÓN DE ESTUDIANTES ............................................................................ 4 COMPROMISO 1 Apoyo all pr profesorado ofesorado ............................................................................................................................................. 5 2 Compromiso miso o con la calidad del aprendizaje ........................................................................................................ 7 OYECTO DE MATEMÁTICAS .................................................................................................................. 9 CLAVES DEL PRO PROYECTO E CURSO CURSO .................................................................................................................................................... 11 COMIENZO DE ICIAL ..................................................................................................................................................... 27 EVALUACIÓN IN INICIAL IDÁ ÁCTICAS ................................................................................................................................................. 33 UNIDADES DIDÁCTICAS ..................................................................................................................................................................... 37 Unidad 1 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 79 Unidad 2 ........................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................107 Unidad 3 ........................................................................................................................................................................... 107 .....................................................................................................................................................................135 Unidad 4 ........................................................................................................................................................................... 135 .....................................................................................................................................................................179 Unidad 5 ........................................................................................................................................................................... 179 .....................................................................................................................................................................225 Unidad 6 ........................................................................................................................................................................... 225 .....................................................................................................................................................................257 Unidad 7 ........................................................................................................................................................................... 257 .....................................................................................................................................................................297 Unidad 8 ........................................................................................................................................................................... 297 .....................................................................................................................................................................331 Unidad 9 ........................................................................................................................................................................... 331 .....................................................................................................................................................................369 Unidad 10 ........................................................................................................................................................................ 369 .....................................................................................................................................................................397 Unidad 11 ........................................................................................................................................................................ 397 .....................................................................................................................................................................447 Unidad 12 ........................................................................................................................................................................ 447 .....................................................................................................................................................................497 Unidad 13 ........................................................................................................................................................................ 497 nueva generación Ejes del proyecto en Secundaria En SM confiamos en el poder de la educación para mejorar la sociedad. Pretendemos que nuestros materiales acerquen a las aulas un modelo educativo más acorde con las características de los alumnos y con la realidad de nuestro mundo. Con este proyecto, SM adquiere un compromiso que se va a reflejar en tres aspectos: • La atención a una nueva generación de estudiantes. • El apoyo a los docentes, con el fin de cubrir sus necesidades. • La calidad en los procesos de aprendizaje. Compromiso con una nueva generación de estudiantes La nueva generación de estudiantes es más directa y sintética, más visual y más digital y demanda contenidos claros, directos y motivadores, que faciliten su estudio y comprensión. Por ello: • Apostamos por proporcionar un enfoque más visual en el tratamiento de los contenidos donde la imagen se combina con la teoría y el aprendizaje se contextualiza y aplica. • Evitamos largos desarrollos y exponemos la información de una manera más estructurada y sintética. • Proponemos un aprendizaje basado en la práctica y más centrado en lo esencial. • Facilitamos y promovemos el aprendizaje activo y autónomo con unas actividades más variadas y asequibles para todos. • Proporcionamos un entorno digital motivador, atractivo, intuitivo y fácil de manejar, que también facilite el aprendizaje autónomo de los alumnos. 4 Guía esencial APOYO AL PROFESORADO Para facilitar la labor docente, en el LIBRO DEL ALUMNO encontrarás una gran diversidad de actividades (de comprensión y aplicación directa y también competenciales) con etiquetas que señalan los procesos cognitivos implicados en su resolución y que reflejan la progresión de la taxonomía de Bloom: recordar, comprender, aplicar, analizar, evaluar y crear. Así como una serie de recursos específicos de cada materia: MAT-TIC con GeoGebra, Matemáticas manipulativas, … En el ENTORNO DIGITAL de Savia nueva generación encontrarás un nuevo espacio de trabajo con recursos variados para facilitar tu labor diaria. FICHAS DE TRABAJO DE CONSOLIDACIÓN Son recursos que pueden servir para: • Reforzar algún contenido previo necesario para construir con solvencia y seguridad los nuevos aprendizajes. • Desarrollar trabajos experimentales o poner en práctica destrezas básicas relacionadas con las Ciencias Sociales, el Arte, las Ciencias, la Lengua o las Matemáticas. • Ejercitar algún aspecto de especial dificultad en la unidad. • Afianzar algunos conceptos o procedimientos básicos. FICHAS DE TRABAJO DE PROFUNDIZACIÓN Se presentan recursos que permiten ampliar la exploración de un tema concreto, capaz de retar a los alumnos con más inquietudes hacia las diferentes materias. FICHAS DE COMPRENSIÓN LECTORA Este apartado presenta una serie de propuestas de comprensión lectora que, en todas las áreas del Proyecto Savia nueva generación, desarrollan ocho destrezas fundamentales: 1. Localización de información explícita. 2. Determinación del tema del texto. 3. Identificación de la estructura. 4. Relaciones entre datos o ideas. 5. Inferencias a partir del texto. 6. Inferencias del significado de palabras y expresiones. 7. Relación del contenido con los conocimientos, ideas y experiencias previas. 8. Relación de la forma del texto con su utilidad y con la actitud e intenciones del autor. Todas las propuestas están pautadas de forma semejante en las distintas áreas, con el fin de conseguir que nuestros alumnos aprendan a analizar mejor lo que leen. FICHAS PARA TRABAJAR EN EQUIPO Es bien sabido que, con frecuencia, los alumnos aprenden más de sus propios compañeros que del docente. Por otro lado, el trabajo en grupo aporta aprendizajes muy valiosos desde el punto de vista emocional, que ayudan a mejorar la empatía, a entender las actitudes propias y de los demás, y a desarrollar habilidades sociales. Por tanto, es importante organizar adecuadamente las tareas para garantizar que la actividad en el aula promueve el aprendizaje y la colaboración. En este apartado se proponen actividades de trabajo en grupo que requieren de una clara interdependencia positiva, y se sugiere el momento más adecuado para realizarlas dentro del proceso de aprendizaje. Un ejemplo de actividades para el trabajo en grupo son las tareas competenciales. Para cada tarea se incluye una rúbrica de autoevaluación para el alumno y una rúbrica para su evaluación por parte del profesor. También el aprendizaje basado en problemas (ABP) permite trabajar en equipo. Se trata de una estrategia de enseñanza-aprendizaje en la que se presenta a los alumnos un problema real y cercano a sus intereses, que deberán resolver a través de la investigación en grupo. No solo son importantes los conocimientos, sino las actitudes y los procedimientos que los 5 alumnos ponen en marcha para su resolución. En el entorno digital de Savia nueva generación el profesor podrá encontrar, como mínimo, una propuesta de ABP por trimestre, junto a las rúbricas necesarias para su evaluación. PRUEBAS DE EVALUACIÓN Pruebas que sirven no solo para evaluar la adquisición de contenidos, sino la relación que se establece entre ellos, su aplicación a partir de situaciones conectadas con la realidad o el desarrollo de las diferentes destrezas que son necesarias para comprenderlos. • Evaluación inicial: una prueba basada en los contenidos del curso anterior. • Evaluación de cada unidad: una parte con actividades independientes y otra con actividades derivadas de un contexto inicial, o de varios. • Evaluación trimestral: actividades para repaso del trimestre. • Evaluación final: similar a la evaluación de la unidad. HERRAMIENTAS DE EVALUACIÓN • Escalas de evaluación: una herramienta para valorar objetivamente cada estándar de aprendizaje de las pruebas de evaluación. • Rúbricas de evaluación: de la tarea competencial, de la comprensión lectora, del trabajo en equipo... • Generador de pruebas de evaluación: una herramienta en el entorno digital de Savia nueva generación que permite realizar pruebas por unidades, trimestrales o final a partir de los criterios de evaluación-estándares de aprendizaje. También permite modificar las propuestas que aporta la editorial para adaptarlas a la realidad del aula. • Programa evalúa para Andalucía: una herramienta de ayuda a la evaluación que permite a los docentes configurar sus grupos de alumnos, materias y los instrumentos de evaluación que utilizan en cada unidad. Se basa en los contenidos, criterios e indicadores del currículo para Andalucía. MATERIALES DE AUTOEVALUACIÓN • Es fundamental que el alumno aprenda a aprender. Esto significa aprender a regular su propio aprendizaje, y a conocer sus fortalezas y debilidades, ya que todo esto se relaciona directamente con cómo se siente, con sus emociones. Es decir, que el alumno sea más competente para planificar, controlar y evaluar sus propios procesos de aprendizaje. La autoevaluación tiene por ello un lugar importante en los materiales de Savia nueva generación. Se incluyen diferentes instrumentos para trabajar sobre la dimensión cognitiva y afectiva del aprendizaje: • Una autoevaluación interactiva. • Rúbricas de autoevaluación de la tarea competencial, del trabajo de equipo... En la GUÍA DEL PROFESOR se vertebran todos los recursos. En ella encontrarás referenciados todos los materiales que necesitas en cada momento: fichas de trabajo fotocopiables, recursos interactivos, pruebas de evaluación, rúbricas y escalas, guías de innovación metodológica… En la Guía encontrarás, asimismo, sugerencias didácticas, el solucionario de todas las actividades del libro del alumno y propuestas concretas para aplicar diferentes programas metodológicos a la hora de resolver las actividades. 6 Guía esencial COMPROMISO CON LA CALIDAD DEL APRENDIZAJE Para favorecer la adaptabilidad al cambio, promover la creatividad para afrontar retos, mostrar flexibilidad para trabajar en equipo, etc., Savia nueva generación sigue apostando por la aplicación de diferentes estrategias de pensamiento y aprendizaje cooperativo. APRENDER A PENSAR Una serie de estrategias de pensamiento que contribuyen a que tus alumnos sean personas más autónomas, críticas y reflexivas, al convertirse en agentes activos de su proceso de aprendizaje. Estas estrategias fomentan el aprendizaje significativo, la comprensión profunda y la transferencia de los conocimientos a la vida. En la Guía para el profesor, en el solucionario, se propone aplicar algunas de estas estrategias a la hora de resolver ciertas actividades. Asimismo, en el entorno digital de Savia nueva generación cuentas con una guía de Aprender a pensar donde se explican todas las estrategias utilizadas en el libro y muchas más, adecuadas a esta etapa educativa. Por último, te ofrecemos una serie de fichas de Aprendizaje basado en problemas (ABP) donde también se pone en práctica esta forma de aprender. APRENDIZAJE COOPERATIVO El aprendizaje cooperativo de Savia nueva generación no es una cosa más que hay que hacer en el aula, sino que es una forma de hacer las cosas para que el alumnado, trabajando junto, aprenda también a trabajar individualmente. Dicho de otro modo, en Savia nueva generación te ofrecemos las claves para que cooperativices las actividades y dinámicas que ya haces habitualmente en clase. Para ello, desde la Guía del profesor, te sugerimos unas pocas actividades por unidad que resultan infalibles desde el punto de vista de la cooperación. Estas actividades te servirán de modelo para que luego tú crees las que consideres que mejor van a impulsar el aprendizaje de tus alumnos. ¿Qué quiere decir actividades infalibles? Todas las técnicas que existen de aprendizaje cooperativo tienen algo en común: la manera en que comienzan y en que terminan. En ellas se da uno de estos dos patrones: • Los alumnos empiezan de forma grupal y terminan de forma individual: Lápices al centro, Para hablar paga ficha, Dibujo mural, Frase mural... • Los alumnos empiezan de forma individual y acaban de forma grupal: Cabezas juntas numeradas, 1-2-4, Folio giratorio, Parejas cooperativas toman apuntes, Escritura simultánea por parejas… Sin embargo, no siempre está claro cuándo es mejor empezar de una manera o de otra. + 1 2 trabajo grupal trabajo grupal trabajo individual NIVEL DE ANDAMIAJE 3 4 trabajo individual trabajo grupal trabajo individual – En Savia nueva generación usamos un patrón u otro dependiendo del nivel de ayuda que necesiten los alumnos; es decir, dependiendo de si ya han adquirido los contenidos y los procedimientos o si están todavía en proceso. En el primer caso, empiezan solos y terminan juntos. En el segundo caso, empiezan en equipo, porque necesitan más ayuda, y terminan solos. 7 Por eso, en Savia nueva generación, el punto de partida del aprendizaje cooperativo son los patrones cooperativos, que marcan el nivel de ayuda o andamiaje. Tenemos cuatro patrones cooperativos: + nivel de ayuda Patrón 1 grupal 1 2 El entrenamiento Producción grupal Patrón 2 grupal + individual 3 4 5 Lápices al centro Equipos pensantes Controversia académica Patrón 3 individual + grupal 6 7 8 9 10 11 Uno, dos o cuatro Cabezas juntas numeradas Minirrompecabezas Entrevista simultánea Folio giratorio Parejas cooperativas de lectura Patrón 4 individual (dentro de un equipo) 12 Trabajo individual asistido – nivel de ayuda Nuestras actividades son infalibles porque al seleccionarlas y diseñarlas hemos tenido en cuenta los patrones y el nivel de ayuda. De modo que, si hemos previsto que algún alumno no iba a ser capaz de emitir ninguna respuesta, hemos utilizado el patrón grupal-individual. También hemos seleccionado este patrón en las primeras actividades en las que los alumnos se enfrentan por primera vez a un nuevo procedimiento. Cuando el procedimiento se repite, reducimos el nivel de ayuda porque ya pueden hacerlo solos con el apoyo del equipo al final, o completamente solos en las últimas actividades de ese mismo procedimiento si es un procedimiento recurrente (por ejemplo, un eje cronológico en Historia). En Savia nueva generación tenemos también doce técnicas cooperativas. Cada técnica encaja dentro de uno de los cuatro patrones: Se trata de doce técnicas muy versátiles con las que vas a poder diseñar todas las actividades cooperativas de tu aula. En el entorno digital de Savia nueva generación puedes consultar la guía de Aprendizaje cooperativo, donde te explicamos las líneas maestras de esta metodología y las posibilidades de introducirla en tu aula, según la experiencia previa que tengas con ella. EDUCACIÓN EN VALORES No perdemos de vista la educación en valores, continuando así el compromiso con nuestros alumnos iniciado en la etapa anterior. Desde todas las áreas abordamos el tratamiento específico del respeto, la responsabilidad, la justicia y la solidaridad. De este modo, queremos que los alumnos comprendan que no son planteamientos abstractos, sino parte de la realidad en la que influimos de manera muy distinta, según los pongamos en práctica o no. 8 Guía esencial Claves del proyecto de Matemáticas Comprender las matemáticas en la sociedad actual TEORÍA DIRECTA Y CONTEXTUALIZACIÓN DE ACTIVIDADES Con el fin de lograr una mayor claridad y estructuración de los contenidos, en Savia nueva generación la teoría pone el foco en lo nuclear de los conceptos matemáticos mientras que las actividades se contextualizan y se proponen muy afines a la realidad más cercana, buscando por un lado, la motivación por aprender y conseguir así un aprendizaje significativo y, por otro, despertando la curiosidad por entender el impacto fundamental que las matemáticas tienen en nuestra sociedad. FAVORECEMOS EL APRENDIZAJE AUTÓNOMO Para ello, en todas las unidades se plantean multitud de ejemplos y de actividades resueltas que sirven, tanto para afianzar el aprendizaje, como de modelo para poder realizar correctamente la amplia colección de actividades propuestas. Estas últimas se han estructurado en diferentes apartados que cubren desde los más clásicos, enfocados a la adquisición de destrezas y procedimientos (ejercicios) o a la aplicación a situaciones reales (problemas), a otras más específicas como el trabajo de actividades muy contextualizadas (Soy competente) y actividades de autoevaluación, que favorecen la metacognición. Al final de cada bloque proponemos utilizar los métodos propios de las matemáticas y la economía a través de trabajos de análisis e investigación que obliguen a los alumnos a participar activamente en su aprendizaje, APOSTAMOS POR LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS Las aplicaciones interactivas constituyen una parte importante en Savia nueva generación y aparecen en multitud de actividades que el alumno tendrá a su disposición para avanzar en el dominio de los contenidos tratados. Además, en todos los niveles se ha diseñado una colección muy amplia de aplicaciones con GeoGebra que cubre los contenidos más significativos y que exige una participación activa por parte del alumno, ayudándole de forma eficaz a consolidar el aprendizaje. 9 Unidades didácticas orientadas a las enseñanzas académicas matemáticas ESO 3 Así es tu guía Mapa de Recursos Las unidades de la guía se abren con un esquema donde se exponen los recursos disponibles vinculados a los contenidos de la unidad. Recursos interactivos Relación de actividades interactivas, presentaciones, actividades con Geogebra, evaluaciones… que encontrarás en el espacio de trabajo del alumno y del profesor. Fichas de trabajo Relación de recursos didácticos: fichas de consolidación, profundización, comprensión lectora, tareas competenciales,matemáticas manipulativas…. disponibles en el entorno digital. Orientaciones didácticas Doble página en la que se señalan los conocimientos previos y la previsión de dificultades que se pueden esperar relacionados con los contenidos que desarrolla la unidad, se hace una propuesta de temporalización y se avanzan las principales estrategias y herramientas que se proponen utilizar en relación a los programas de innovación. Recomendaciones Lecturas recomendadas y materiales complementarios. 34 Sugerencias y soluciones Páginas en las que se reproducen los enunciados y se proporcionan las soluciones de todas las actividades propuestas en el libro del alumno y se intercalan sugerencias didácticas y metodológicas a nivel de epígrafe o de actividad. Sugerencias de explotación al comienzo de los contenidos. Solución de las actividades Sugerencias para aplicar y resolver algunas actividades utilizando una técnica cooperativa concreta. Sugerencias para utilizar alguna estrategia para Aprender a pensar: organizadores gráficos y faros de pensamiento, en la resolución de algunas actividades. 35 Índice UNIDADES DIDÁCTICAS IDÁ ÁCTICAS Unidad 1 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 37 Unidad 2 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 79 Unidad 3 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 107 Unidad 4 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 135 Unidad 5 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 179 Unidad 6 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 225 Unidad 7 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 257 Unidad 8 ........................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 297 ..................................................................................................................................................................... 331 Unidad 9 ........................................................................................................................................................................... Unidad 10 ........................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................................................... 369 Unidad 11 ........................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................................................... 397 ...................................................................................................................................................................... 447 Unidad 12 ........................................................................................................................................................................ Unidad 13 ........................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................................................... 497 Los enunciados marcados con un * pueden tener alguna modificación respecto del enunciado original. 36 1 Conjuntos numéricos Mapa de la unidad Recursos interactivos Recursos para el profesor Recursos didácticos Recursos para el alumno Actividad interactiva. Practica con fracciones equivalentes. MAT-TIC con Geogebra. Trabaja con fracciones equivalentes gráficamente. 1. Fracciones. Números racionales • Comprensión lectora. El cero. 2. Operaciones con números racionales • Consolidación. Números racionales: concepto, operaciones y problemas. MAT-TIC con Geogebra. Representa fracciones propias e impropias en la recta real. Actividad interactiva. Realiza operaciones con fracciones. Actividad interactiva. Comprueba lo que sabes de fracciones. 3. Expresión decimal de un número racional Actividad interactiva. ¿Distingues racional de irracional? MAT-TIC con Geogebra. Representa cuadrados en el geoplano. Más contenidos. El descubrimiento de los números irracionales. 4. Números reales Actividad interactiva. ¿A qué conjunto pertenece cada número? MAT-TIC con Geogebra. Descubre los números metálicos y sus características. MAT-TIC con Geogebra. Representa números reales utilizando el Teorema de Pitágoras en un geoplano. • Profundización. Un irracional famoso: la divina proporción. • Profundización. Un problema para cada conjunto numérico. • Profundización. El lenguaje de los conjuntos. • Consolidación. Recta real. Representación de números y de conjuntos de números. 5. Aproximación decimal de un número. Errores 6. Operaciones y aproximaciones Actividad interactiva. Comprueba lo que sabes de intervalos Resumen • Consolidación. Racionales e irracionales. Aproximaciones. 7. Intervalos y semirrectas Lo esencial Autoevaluación Evaluación interactiva Actividades finales • Evaluación Orientaciones didácticas Conocimientos previos • Números enteros. • Operaciones con números enteros. • Divisibilidad. • Mínimo común múltiplo y máximo común divisor. • Concepto de fracción. • Operaciones básicas con fracciones. • Representación de números enteros, decimales y fracciones sencillas sobre la recta numérica. Previsión de dificultades • Los alumnos pueden presentar dificultades a la hora de reducir fracciones a común denominador, ya que deben hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Habría que repasar con ellos este concepto y proponerles algunas actividades sencillas. • Al representar fracciones en la recta numérica, es posible que los alumnos presenten dificultades para aplicar Tales. Es conveniente empezar con ejemplos muy sencillos de fracciones propias y positivas. Temporalización Para el desarrollo de esta unidad se recomienda distribuir el trabajo en 10 sesiones. Esta propuesta es orientativa. Cada profesor la adaptará en función de sus necesidades y la carga horaria final asignada. Se propone una evaluación de la unidad que se puede hacer visible a los alumnos en smsaviang.com. Programas de innovación APRENDER A PENSAR Se propone un programa pautado de estrategias de pensamiento integradas con los contenidos curriculares, con la finalidad de fomentar el aprendizaje significativo, la auténtica comprensión a través del pensamiento profundo y la aplicación de los conocimientos y del pensamiento a la vida. Para esta unidad se han empleado las siguientes destrezas de pensamiento: • Mapa mental. Se utiliza para organizar las informaciones, los conceptos y las relaciones establecidas entre sí. Se construye a partir de una idea central, la más importante o general, alrededor de la cual se van situando las ideas secundarias o los conceptos más concretos, y las relaciones que las unen. Esta estrategia se propone en la sección Lo esencial, y se recomienda que cada alumno desarrolle el suyo propio o adapte el propuesto. Este proceso, favorece la asimilación de contenidos porque requiere de un considerable ejercicio de síntesis y de comprensión de los conceptos, conocimientos o ideas. • Diagrama de Venn. Permite establecer semejanzas y diferencias entre dos o más elementos o ideas bajo el mismo criterio. Está formado por dos o más zonas (usualmente se representa con círculos) que intersecan. De forma visual quedan representadas las características comunes en la zona de intersección y las particulares fuera de ella. Para ampliar información ver cuaderno de Aprender a pensar en smsaviang.com. 38 UNIDAD 1 APRENDIZAJE COOPERATIVO Se sugiere el empleo didáctico de pequeños grupos de alumnos para mejorar los resultados de aprendizaje individual. Trabajando de manera cooperativa, promovemos el desarrollo de habilidades y actitudes individuales sirviéndonos de la participación conjunta de los alumnos en el desarrollo de algunas actividades propuestas a tal efecto. En el caso concreto de esta unidad, se proponen las siguientes técnicas cooperativas: a) Lápices al centro o Equipos pensantes para tareas en las que los contenidos se aplican a situaciones más abiertas, que exigen que los alumnos desarrollen procesos de transferencia en el que es necesario conectar lo aprendido con situaciones reales. b) Uno, dos y/o cuatro para aquellas tareas en las que los alumnos no solo deben aplicar lo aprendido, sino que han de tomar conciencia de lo que saben y lo que no. c) El entrenamiento para la primera vez que se utilice un determinado procedimiento. Para ampliar información ver cuaderno de Aprendizaje cooperativo en smsaviang.com. 39 Sugerencias y soluciones 40 UNIDAD 1 41 Sugerencias y soluciones 42 UNIDAD 1 43 Sugerencias y soluciones 44 UNIDAD 1 45 Sugerencias y soluciones 46 UNIDAD 1 47 Sugerencias y soluciones 48 UNIDAD 1 49 Sugerencias y soluciones 50 UNIDAD 1 51 Sugerencias y soluciones 52 UNIDAD 1 53 Sugerencias y soluciones 54 UNIDAD 1 55 Sugerencias y soluciones 56 UNIDAD 1 57 Sugerencias y soluciones 58 UNIDAD 1 59 Sugerencias y soluciones 60 UNIDAD 1 61 Sugerencias y soluciones 62 UNIDAD 1 63 Sugerencias y soluciones 64 UNIDAD 1 65 Sugerencias y soluciones 66 UNIDAD 1 67 Sugerencias y soluciones 68 UNIDAD 1 69 Sugerencias y soluciones 70 UNIDAD 1 71 Sugerencias y soluciones 72 UNIDAD 1 73 Sugerencias y soluciones 74 UNIDAD 1 75 Sugerencias y soluciones 76 UNIDAD 1 77 Sugerencias y soluciones 78 UNIDAD 1 2 Potencias y raíces Mapa de la unidad Recursos interactivos Recursos para el profesor Recursos didácticos Recursos para el alumno MAT-TIC con Geogebra. El triángulo de Sierpinski 1. Potencias de exponente entero MAT-TIC con Geogebra. Calcula cuadrados y cubos 2. Propiedades y operaciones con potencias Actividad interactiva. Averigua qué hay más lento que un caracol Actividad interactiva. Utiliza las potencias y la notación científica • Profundización. Las potencias en el sistema financiero • Consolidación. Operaciones con potencias 3. Notación científica. Aplicaciones • Consolidación. Notación científica 4. Raíz de un número real • Profundización. Una propiedad interesante MAT-TIC con Geogebra. Idea gráfica para calcular la raíz de 2 MAT-TIC con Geogebra. Si conoces el área, ¿cuánto mide el lado? 5. Operaciones con radicales Resumen Lo esencial Autoevaluación Evaluación interactiva • Consolidación. Operación con radicales Actividades finales • Evaluación • Tarea competencial. Las bacterias Orientaciones didácticas Conocimientos previos • Potencias de exponente natural. • Mínimo común múltiplo de dos o más números enteros. • Operaciones con fracciones. • Raíz cuadrada de un número. Previsión de dificultades • Algún alumno puede aplicar las propiedades de las potencias a una suma o resta de potencias. Es conveniente recordarles las identidades notables para evitar este tipo de errores. • Al calcular raíces con el índice par, suelen olvidar el resultado negativo. Insistir en ello, ya que tendrán que utilizarlo para resolver ecuaciones de 2.° grado. Temporalización Para el desarrollo de esta unidad se recomienda distribuir el trabajo en 7 sesiones. Esta propuesta es orientativa. Cada profesor la adaptará en función de sus necesidades y la carga horaria final asignada. Se propone una evaluación de la unidad que se puede hacer visible a los alumnos en smsaviang.com. Programas de innovación APRENDER A PENSAR Se propone un programa pautado de estrategias de pensamiento integradas con los contenidos curriculares, con la finalidad de fomentar el aprendizaje significativo, la auténtica comprensión a través del pensamiento profundo y la aplicación de los conocimientos y del pensamiento a la vida. Para esta unidad se han empleado las siguientes destrezas de pensamiento: • Mapa mental. Se utiliza para organizar las informaciones, los conceptos y las relaciones establecidas entre sí. Se construye a partir de una idea central, la más importante o general, alrededor de la cual se van situando las ideas secundarias o los conceptos más concretos, y las relaciones que las unen. Esta estrategia se propone en la sección Lo esencial, y se recomienda que cada alumno desarrolle el suyo propio o adapte el propuesto. Este proceso, favorece la asimilación de contenidos porque requiere de un considerable ejercicio de síntesis y de comprensión de los conceptos, conocimientos o ideas. • Lluvia de ideas. Promueve el pensamiento creativo, la participación colaborativa y la comunicación. Además, se puede realizar de forma oral, aunque recoger por escrito todas las aportaciones de los alumnos puede facilitar un análisis posterior y la elaboración de conclusiones. • Diario de pensar. Es una estrategia de metacognición a través de la cual se pretende promover una reflexión sobre qué se ha aprendido, cómo se ha aprendido y a qué podrían aplicarse esos conocimientos adquiridos, haciendo que el alumno sea consciente de sus aprendizajes. Para ampliar información ver cuaderno de Aprender a pensar en smsaviang.com. 80 UNIDAD 2 APRENDIZAJE COOPERATIVO Se sugiere el empleo didáctico de pequeños grupos de alumnos para mejorar los resultados de aprendizaje individual. Trabajando de manera cooperativa, promovemos el desarrollo de habilidades y actitudes individuales sirviéndonos de la participación conjunta de los alumnos en el desarrollo de algunas actividades propuestas a tal efecto. En el caso concreto de esta unidad, se proponen las siguientes técnicas cooperativas: a) Lápices al centro o Equipos pensantes para tareas en las que los contenidos se aplican a situaciones más abiertas, que exigen que los alumnos desarrollen procesos de transferencia en el que es necesario conectar lo aprendido con situaciones reales. b) Uno, dos y/o cuatro para aquellas tareas en las que los alumnos no solo deben aplicar lo aprendido, sino que han de tomar conciencia de lo que saben y lo que no. c) El entrenamiento para la primera vez que se utilice un determinado procedimiento. Para ampliar información ver cuaderno de Aprendizaje cooperativo en smsaviang.com. 81 Sugerencias y soluciones 82 UNIDAD 2 83 Sugerencias y soluciones 84 UNIDAD 2 85 Sugerencias y soluciones 86 UNIDAD 2 87 Sugerencias y soluciones 88 UNIDAD 2 89 Sugerencias y soluciones 90 UNIDAD 2 91 Sugerencias y soluciones 92 UNIDAD 2 93 Sugerencias y soluciones 94 UNIDAD 2 95 Sugerencias y soluciones 96 UNIDAD 2 97 Sugerencias y soluciones 98 UNIDAD 2 99 Sugerencias y soluciones 100 UNIDAD 2 101 Sugerencias y soluciones 102 UNIDAD 2 103 Sugerencias y soluciones 104 UNIDAD 2 105 Sugerencias y soluciones 106 UNIDAD 2 3 Sucesiones Mapa de la unidad Recursos interactivos Recursos para el profesor Recursos didácticos Recursos para el alumno 1. Regularidades numéricas MAT-TIC con Geogebra. Estructuras con cuadrados MAT-TIC con Geogebra. El formato DIN MAT-TIC con Geogebra. Cables hexagonales MAT-TIC con Geogebra. Números poligonales MAT-TIC con Geogebra. La isla de Koch 2. Sucesiones • Profundización. La sucesión de Fibonacci y el número de oro • Consolidación. Trabaja con sucesiones 3. Progresiones aritméticas • Consolidación. Progresiones aritméticas. Suma de sus términos 4. Progresiones geométricas • Profundización. Progresiones aritmético-geométricas • Consolidación. Progresiones geométricas. Suma de sus términos MAT-TIC con Geogebra. Comprueba cómo crece una sucesión Actividad interactiva. Practica con las progresiones aritméticas MAT-TIC con Geogebra. Construye progresiones aritméticas MAT-TIC con Geogebra. Uno más uno, no son dos Actividad interactiva. Trabaja las progresiones geométricas Resumen Lo esencial Autoevaluación Evaluación interactiva Actividades finales • Evaluación Orientaciones didácticas Conocimientos previos • Operaciones con números racionales. • Potencias de base racional y exponente entero. • Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. • Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. • Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Previsión de dificultades • Encontrar la expresión algebraica que describa una pauta de comportamiento es, a veces, una tarea bastante difícil. Requiere cierta intuición y una capacidad importante de abstracción, que no todos los alumnos adquieren a la misma edad. Por eso es importante empezar con ejemplos sencillos e ir aumentando la complejidad poco a poco. • Siempre que sea posible, es muy recomendable representar gráficamente los términos de la sucesión que se está estudiando, a través de figuras geométricas. Esto ayudará a descubrir la pauta que siguen los términos y puede ser un primer paso hacia la determinación de la expresión algebraica de la sucesión. • También es difícil comprender que una suma de infinitos términos pueda tener un valor finito. Para ayudar a su comprensión se sugiere más adelante una visualización a través de un applet de MAT-TIC con GeoGebra Temporalización Para el desarrollo de esta unidad se recomienda distribuir el trabajo en 6 sesiones. Esta propuesta es orientativa. Cada profesor la adaptará en función de sus necesidades y la carga horaria final asignada. Se propone una evaluación de la unidad que se puede hacer visible a los alumnos en smsaviang.com. Programas de innovación APRENDER A PENSAR Se propone un programa pautado de estrategias de pensamiento integradas con los contenidos curriculares, con la finalidad de fomentar el aprendizaje significativo, la auténtica comprensión a través del pensamiento profundo y la aplicación de los conocimientos y del pensamiento a la vida. Para esta unidad se han empleado las siguientes destrezas de pensamiento: • Mapa mental. Se utiliza para organizar las informaciones, los conceptos y las relaciones establecidas entre sí. Se construye a partir de una idea central, la más importante o general, alrededor de la cual se van situando las ideas secundarias o los conceptos más concretos, y las relaciones que las unen. Esta estrategia se propone en la sección Lo esencial, y se recomienda que cada alumno desarrolle el suyo propio o adapte el propuesto. Este proceso favorece la asimilación de contenidos porque requiere de un considerable ejercicio de síntesis y de comprensión de los conceptos, conocimientos o ideas. • Diario de pensar. Es una estrategia de metacognición a través de la cual se pretende promover una reflexión sobre qué se ha aprendido, cómo se ha aprendido y a qué podrían aplicarse esos conocimientos adquiridos, haciendo que el alumno sea consciente de sus aprendizajes. Para ampliar información ver cuaderno de Aprender a pensar en smsaviang.com. 108 UNIDAD 3 APRENDIZAJE COOPERATIVO Se sugiere el empleo didáctico de pequeños grupos de alumnos para mejorar los resultados de aprendizaje individual. Trabajando de manera cooperativa, promovemos el desarrollo de habilidades y actitudes individuales sirviéndonos de la participación conjunta de los alumnos en el desarrollo de algunas actividades propuestas a tal efecto. En el caso concreto de esta unidad, se proponen las siguientes técnicas cooperativas: a) Lápices al centro o Equipos pensantes para tareas en las que los contenidos se aplican a situaciones más abiertas, que exigen que los alumnos desarrollen procesos de transferencia en el que es necesario conectar lo aprendido con situaciones reales. b) Uno, dos y/o cuatro para aquellas tareas en las que los alumnos no solo deben aplicar lo aprendido, sino que han de tomar conciencia de lo que saben y lo que no. c) El entrenamiento para la primera vez que se utilice un determinado procedimiento. Para ampliar información ver cuaderno de Aprendizaje cooperativo en smsaviang.com. 109 Sugerencias y soluciones 110 UNIDAD 3 111 Sugerencias y soluciones 112 UNIDAD 3 113 Sugerencias y soluciones 114 UNIDAD 3 115 Sugerencias y soluciones 116 UNIDAD 3 117 Sugerencias y soluciones 118 UNIDAD 3 119 Sugerencias y soluciones 120 UNIDAD 3 121 Sugerencias y soluciones 122 UNIDAD 3 123 Sugerencias y soluciones 124 UNIDAD 3 125 Sugerencias y soluciones 126 UNIDAD 3 127 Sugerencias y soluciones 128 UNIDAD 3 129 Sugerencias y soluciones 130 UNIDAD 3 131 Sugerencias y soluciones 132 UNIDAD 3 133 Sugerencias y soluciones 134 UNIDAD 3 4 Polinomios Mapa de la unidad Recursos interactivos Recursos para el profesor Recursos didácticos Recursos para el alumno Actividad interactiva. Expresa en lenguaje algebraico Actividad interactiva. ¿Qué valor numérico corresponde a …? 1. Expresiones algebraicas. Valor numérico MAT-TIC con Geogebra. Trabaja con expresiones algebraicas • Consolidación. Expresiones algebraicas y valor numérico 2. Monomios y polinomios Actividad interactiva. Sigue operando con polinomios MAT-TIC con Geogebra. Trabaja los productos de polinomios 3. Operaciones con polinomios • Consolidación. Operaciones con monomios • Consolidación. Operaciones con polinomios • Manipulativos. Puzle de polinomios 4. Identidades notables • Consolidación. Identidades notables • Profundización. Cálculos con identidades notables • Profundización. Binomio de Newton MAT-TIC con Geogebra. Comprueba las identidades notables Actividad interactiva. Trabaja las identidades notables Actividad interactiva. Descubre el mensaje secreto Actividad interactiva. Utiliza la regla de Ruffini 5. División de polinomios 6. Regla de Ruffini • Consolidación. División de polinomios. Regla de Ruffini 7. Factorizaión de polinomios • Consolidación. Factorización de polinomios • Profundización. Siempre positivo, nunca negativo MAT-TIC con Geogebra. Teorema del resto Actividad interactiva. Factoriza polinomios MAT-TIC con Geogebra. Ayúdate de Ruffini para factorizar Resumen Lo esencial Autoevaluación Evaluación interactiva Actividades finales • Evaluación Orientaciones didácticas Conocimientos previos • Operaciones básicas con números enteros y racionales. • Operaciones combinadas y jerarquía de las operaciones. • Propiedades de las potencias de exponente natural. • Iniciación al lenguaje algebraico. • Múltiplos y divisores. Mínimo común múltiplo. • Valor numérico de un polinomio. • Suma y diferencia, producto y potencia de polinomios. • Extracción de factor común en un polinomio. • Identidades notables. Previsión de dificultades • Para evitar errores de los alumnos en la comprensión de enunciados: coeficientes, términos, grado, monomio, binomio, etc., es conveniente insistir en el vocabulario propio de la unidad. Se pueden propiciar situaciones en las que tengan que utilizar correctamente este vocabulario. • Los alumnos pueden presentar dificultades a la hora de calcular el valor numérico de un polinomio, cuando la variable toma valores negativos o fraccionarios. Es conveniente indicarles que empiecen realizando los cálculos por pasos, no mentalmente, para evitar equivocaciones. • Al realizar productos con polinomios es posible que los alumnos olviden alguno de los productos cruzados. También suelen cometer equivocaciones con los signos. • Los alumnos suelen olvidar el doble producto al calcular el cuadrado de un binomio, ya que no aplican bien las propiedades de las potencias. Cuando ocurra, pedirles que calculen el producto de los binomios para confirmar su error. • Utilizar correctamente el vocabulario propio de la factorización de polinomios: raíz, términos, factores, polinomio irreducible, etc., suele resultar difícil a los alumnos. A la hora de entender los procedimientos de la unidad es importante que dominen estos términos. • En el momento de plantear el algoritmo de Ruffini, los alumnos suelen olvidar colocar los ceros en los términos que faltan. Insistir poniendo ejemplos con ceros en diferentes posiciones. • Muchos alumnos aprenderán el procedimiento de forma mecánica sin llegar a relacionar el teorema del resto, el teorema del factor, el concepto de raíz de un polinomio y el procedimiento de factorización. Para facilitar estas relaciones, se puede comprobar que las raíces calculadas con Ruffini verifican el teorema del resto. Temporalización Para el desarrollo de esta unidad se recomienda distribuir el trabajo en 11 sesiones. Esta propuesta es orientativa. Cada profesor la adaptará en función de sus necesidades y la carga horaria final asignada. Se propone una evaluación de la unidad que se puede hacer visible a los alumnos en smsaviang.com. 136 UNIDAD 4 Programas de innovación APRENDER A PENSAR Se propone un programa pautado de estrategias de pensamiento integradas con los contenidos curriculares, con la finalidad de fomentar el aprendizaje significativo, la auténtica comprensión a través del pensamiento profundo y la aplicación de los conocimientos y del pensamiento a la vida. Para esta unidad se han empleado las siguientes destrezas de pensamiento: • Mapa mental. Se utiliza para organizar las informaciones, los conceptos y las relaciones establecidas entre sí. Se construye a partir de una idea central, la más importante o general, alrededor de la cual se van situando las ideas secundarias o los conceptos más concretos, y las relaciones que las unen. Esta estrategia se propone en la sección Lo esencial, y se recomienda que cada alumno desarrolle el suyo propio o adapte el propuesto. Este proceso, favorece la asimilación de contenidos porque requiere de un considerable ejercicio de síntesis y de comprensión de los conceptos, conocimientos o ideas. • Lluvia de ideas. Promueve el pensamiento creativo, la participación colaborativa y la comunicación. Además, se puede realizar de forma oral, aunque recoger por escrito todas las aportaciones de los alumnos puede facilitar un análisis posterior y la elaboración de conclusiones. • Diario de pensar. Es una estrategia de metacognición a través de la cual se pretende promover una reflexión sobre qué se ha aprendido, cómo se ha aprendido y a qué podrían aplicarse esos conocimientos adquiridos, haciendo que el alumno sea consciente de sus aprendizajes. • Diagrama de flujo. Es un organizador visual muy útil para sistematizar los pasos que deben darse para realizar una operación, sistematizar los pasos para la correcta resolución de un problema, etc. Para ampliar información ver cuaderno de Aprender a pensar en smsaviang.com. APRENDIZAJE COOPERATIVO Se sugiere el empleo didáctico de pequeños grupos de alumnos para mejorar los resultados de aprendizaje individual. Trabajando de manera cooperativa, promovemos el desarrollo de habilidades y actitudes individuales sirviéndonos de la participación conjunta de los alumnos en el desarrollo de algunas actividades propuestas a tal efecto. En el caso concreto de esta unidad, se proponen las siguientes técnicas cooperativas: a) Lápices al centro o Equipos pensantes para tareas en las que los contenidos se aplican a situaciones más abiertas, que exigen que los alumnos desarrollen procesos de transferencia en el que es necesario conectar lo aprendido con situaciones reales. b) Uno, dos y/o cuatro para aquellas tareas en las que los alumnos no solo deben aplicar lo aprendido, sino que han de tomar conciencia de lo que saben y lo que no. c) El entrenamiento para la primera vez que se utilice un determinado procedimiento. Para ampliar información ver cuaderno de Aprendizaje cooperativo en smsaviang.com. 137 Sugerencias y soluciones 138 UNIDAD 4 139 Sugerencias y soluciones 140 UNIDAD 4 141 Sugerencias y soluciones 142 UNIDAD 4 143 Sugerencias y soluciones 144 UNIDAD 4 145 Sugerencias y soluciones 146 UNIDAD 4 147 Sugerencias y soluciones 148 UNIDAD 4 149 Sugerencias y soluciones 150 UNIDAD 4 151 Sugerencias y soluciones 152 UNIDAD 4 153 Sugerencias y soluciones 154 UNIDAD 4 155 Sugerencias y soluciones 156 UNIDAD 4 157 Sugerencias y soluciones 158 UNIDAD 4 159 Sugerencias y soluciones 160 UNIDAD 4 161 Sugerencias y soluciones 162 UNIDAD 4 163 Sugerencias y soluciones 164 UNIDAD 4 165 Sugerencias y soluciones 166 UNIDAD 4 167 Sugerencias y soluciones 168 UNIDAD 4 169 Sugerencias y soluciones 170 UNIDAD 4 171 Sugerencias y soluciones 172 UNIDAD 4 173 Sugerencias y soluciones 174 UNIDAD 4 175 Sugerencias y soluciones 176 UNIDAD 4 177 Sugerencias y soluciones 178 UNIDAD 4 5 Ecuaciones y sistemas Mapa de la unidad Recursos interactivos Recursos para el profesor Recursos didácticos Recursos para el alumno 1. Ecuaciones • Comprensión lectora. Las 17 ecuaciones que cambiaron el mundo 2. Ecuaciones equivalentes. Reglas de resolución Actividad interactiva. Resuelve ecuaciones de primer grado 3. Ecuaciones polinómicas de primer grado MAT-TIC con GeoGebra. Comprueba las identidades notables 4. Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 1 Actividad interactiva. Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado Actividad interactiva. Soluciones de un sistema MAT-TIC con GeoGebra. Resuelve sistemas gráficamente MAT-TIC con GeoGebra. Rectas al azar 5. Sistemas de ecuaciones lineales • Profundización. Resolución mental de una ecuación de 2.º grado • Consolidación. Ecuaciones • Profundización. ¿Y con tres incógnitas? 6. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones MAT-TIC con GeoGebra. Resuelve sistemas por reducción 7. Métodos de resolución de sistemas MAT-TIC con GeoGebra. Resuelve sistemas por sustitución MAT-TIC con GeoGebra. Resuelve sistemas por igualación Actividad interactiva. Resuelve sistemas de ecuaciones Actividad interactiva. Resuelve problemas con ecuaciones 8. Problemas con ecuaciones y sistemas Actividad interactiva. Resuelve problemas en la web Resumen • Consolidación. Sistemas de ecuaciones lineales • Consolidación. Resolución de problemas con ecuaciones • Consolidación. Problemas con sistemas de ecuaciones lineales Lo esencial • Evaluación Autoevaluación Evaluación interactiva Actividades finales • Tarea competencial: Nos cambiamos de casa Orientaciones didácticas Conocimientos previos • Operaciones con números enteros y racionales. Propiedad distributiva. • Propiedades de las operaciones con potencias. • Suma, diferencia y producto de polinomios. • Identidades notables. • Extracción de factor común en un polinomio. • Factorización de polinomios. • Representación gráfica de una recta en el plano. Previsión de dificultades • Al resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a dos, el mayor problema para los alumnos aparece a la hora de factorizar los polinomios. Se les puede sugerir el mejor método para factorizarlos en cada caso en las primeras actividades propuestas. • El planteamiento de problemas a través de ecuaciones es una de las destrezas con la que los alumnos presentan más dificultades. Requiere un cierto nivel de abstracción, un alto nivel de comprensión lectora y un dominio del lenguaje algebraico. Es muy recomendable abordar los problemas gradualmente, de menor a mayor dificultad, y siguiendo unas pautas marcadas, como se indica más adelante en esta guía. • Para resolver gráficamente sistemas de ecuaciones es necesario saber representar ecuaciones lineales de dos incógnitas como rectas en el plano. Para trabajar este contenido con los alumnos se propone el applet “Rectas al azar”. Temporalización Para el desarrollo de esta unidad se recomienda distribuir el trabajo en 13 sesiones. Esta propuesta es orientativa. Cada profesor la adaptará en función de sus necesidades y la carga horaria final asignada. Se propone una evaluación de la unidad que se puede hacer visible a los alumnos en smsaviang.com. Programas de innovación APRENDER A PENSAR Se propone un programa pautado de estrategias de pensamiento integradas con los contenidos curriculares, con la finalidad de fomentar el aprendizaje significativo, la auténtica comprensión a través del pensamiento profundo y la aplicación de los conocimientos y del pensamiento a la vida. Para esta unidad se han empleado las siguientes destrezas de pensamiento: • Mapa mental. Se utiliza para organizar las informaciones, los conceptos y las relaciones establecidas entre sí. Se construye a partir de una idea central, la más importante o general, alrededor de la cual se van situando las ideas secundarias o los conceptos más concretos, y las relaciones que las unen. Esta estrategia se propone en la sección Lo esencial, y se recomienda que cada alumno desarrolle el suyo propio o adapte el propuesto. Este proceso, favorece la asimilación de contenidos porque requiere de un considerable ejercicio de síntesis y de comprensión de los conceptos, conocimientos o ideas. • Cronograma. Es un organizador visual que sirve para plasmar de forma gráfica y escrita, informaciones ordenadas temporalmente. Se compone de distintas partes o secuencias en las que se pueden incluir ilustraciones, gráficos, tablas o cualquier otro elemento que ayude a distinguir distintas fases. Es especialmente útil en la descripción de los pasos a seguir en la resolución de problemas. Para ampliar información ver cuaderno de Aprender a pensar en smsaviang.com. 180 UNIDAD 5 APRENDIZAJE COOPERATIVO Se sugiere el empleo didáctico de pequeños grupos de alumnos para mejorar los resultados de aprendizaje individual. Trabajando de manera cooperativa, promovemos el desarrollo de habilidades y actitudes individuales sirviéndonos de la participación conjunta de los alumnos en el desarrollo de algunas actividades propuestas a tal efecto. En el caso concreto de esta unidad, se proponen las siguientes técnicas cooperativas: a) Lápices al centro o Equipos pensantes para tareas en las que los contenidos se aplican a situaciones más abiertas, que exigen que los alumnos desarrollen procesos de transferencia en el que es necesario conectar lo aprendido con situaciones reales. b) Uno, dos y/o cuatro para aquellas tareas en las que los alumnos no solo deben aplicar lo aprendido, sino que han de tomar conciencia de lo que saben y lo que no. c) El entrenamiento para la primera vez que se utilice un determinado procedimiento. Para ampliar información ver cuaderno de Aprendizaje cooperativo en smsaviang.com. 181 Sugerencias y soluciones 182 UNIDAD 5 183 Sugerencias y soluciones 184 UNIDAD 5 185 Sugerencias y soluciones 186 UNIDAD 5 187 Sugerencias y soluciones 188 UNIDAD 5 189 Sugerencias y soluciones 190 UNIDAD 5 191 Sugerencias y soluciones 192 UNIDAD 5 193 Sugerencias y soluciones 194 UNIDAD 5 195 Sugerencias y soluciones 196 UNIDAD 5 197 Sugerencias y soluciones 198 UNIDAD 5 199 Sugerencias y soluciones 200 UNIDAD 5 201 Sugerencias y soluciones 202 UNIDAD 5 203 Sugerencias y soluciones 204 UNIDAD 5 205 Sugerencias y soluciones 206 UNIDAD 5 207 Sugerencias y soluciones 208 UNIDAD 5 209 Sugerencias y soluciones 210 UNIDAD 5 211 Sugerencias y soluciones 212 UNIDAD 5 213 Sugerencias y soluciones 214 UNIDAD 5 215 Sugerencias y soluciones 216 UNIDAD 5 217 Sugerencias y soluciones 218 UNIDAD 5 219 Orientaciones didácticas 220 UNIDAD 5 221 Orientaciones didácticas 222 UNIDAD 5 223 Sugerencias y soluciones 224 UNIDAD 5 6 Semejanza Mapa de la unidad Recursos interactivos Recursos para el profesor Recursos didácticos Recursos para el alumno MAT-TIC con GeoGebra. Cambio de marchas en una bicicleta Actividad interactiva. Aplica la proporcionalidad inversa 1. Proporcionalidad MAT-TIC con GeoGebra. Practica la proporcionalidad con ruedas dentadas • Comprensión lectora. Las medidas del templo • Consolidación. Proporcionalidad directa. Repartos proporcionales • Consolidación. Proporcionalidad inversa. Repartos inversamente proporcionales 2. Proporcionalidad geométrica. Semejanza Actividad interactiva. Proporcionalidad y simetría 3. Teorema de Tales. División de un segmento • Consolidación. Calcula medidas desconocidas 4. Triángulos semejantes. Criterios de semejanza MAT-TIC con GeoGebra. Trabaja la proporcionalidad en rectángulos 5. Razones de perímetros, áreas y volúmenes. Escalas • Consolidación. Proporcionalidad y geometría 6. Problemas de proporcionalidad geométrica • Profundización. Pobre mosca 7. La semejanza en el arte Resumen Autoevaluación Evaluación interactiva Lo esencial Actividades finales • Evaluación Orientaciones didácticas Conocimientos previos • Operaciones con números enteros y racionales. • Propiedades de las operaciones con potencias. • Concepto de razón y proporción numérica. Previsión de dificultades • Los alumnos pueden confundir cuándo dos magnitudes están relacionadas, cuándo son directamente proporcionales y cuándo son inversamente proporcionales. Se les puede sugerir que propongan ejemplos numéricos y observen su comportamiento. Temporalización Para el desarrollo de esta unidad se recomienda distribuir el trabajo en 9 sesiones. Esta propuesta es orientativa. Cada profesor la adaptará en función de sus necesidades y la carga horaria final asignada. Se propone una evaluación de la unidad que se puede hacer visible a los alumnos en smsaviang.com. Programas de innovación APRENDER A PENSAR Se propone un programa pautado de estrategias de pensamiento integradas con los contenidos curriculares, con la finalidad de fomentar el aprendizaje significativo, la auténtica comprensión a través del pensamiento profundo y la aplicación de los conocimientos y del pensamiento a la vida. Para esta unidad se han empleado las siguientes destrezas de pensamiento: • Mapa mental. Se utiliza para organizar las informaciones, los conceptos y las relaciones establecidas entre sí. Se construye a partir de una idea central, la más importante o general, alrededor de la cual se van situando las ideas secundarias o los conceptos más concretos, y las relaciones que las unen. Esta estrategia se propone en la sección Lo esencial, y se recomienda que cada alumno desarrolle el suyo propio o adapte el propuesto. Este proceso, favorece la asimilación de contenidos porque requiere de un considerable ejercicio de síntesis y de comprensión de los conceptos, conocimientos o ideas. • Lluvia de ideas. Promueve el pensamiento creativo, la participación colaborativa y la comunicación. Además, se puede realizar de forma oral, aunque recoger por escrito todas las aportaciones de los alumnos puede facilitar un análisis posterior y la elaboración de conclusiones. • Diario de pensar. Es una estrategia de metacognición a través de la cual se pretende promover una reflexión sobre qué se ha aprendido, cómo se ha aprendido y a qué podrían aplicarse esos conocimientos adquiridos, haciendo que el alumno sea consciente de sus aprendizajes. Para ampliar información ver cuaderno de Aprender a pensar en smsaviang.com. 226 UNIDAD 6 APRENDIZAJE COOPERATIVO Se sugiere el empleo didáctico de pequeños grupos de alumnos para mejorar los resultados de aprendizaje individual. Trabajando de manera cooperativa, promovemos el desarrollo de habilidades y actitudes individuales sirviéndonos de la participación conjunta de los alumnos en el desarrollo de algunas actividades propuestas a tal efecto. En el caso concreto de esta unidad, se proponen las siguientes técnicas cooperativas: a) Lápices al centro o Equipos pensantes para tareas en las que los contenidos se aplican a situaciones más abiertas, que exigen que los alumnos desarrollen procesos de transferencia en el que es necesario conectar lo aprendido con situaciones reales. b) Uno, dos y/o cuatro para aquellas tareas en las que los alumnos no solo deben aplicar lo aprendido, sino que han de tomar conciencia de lo que saben y lo que no. c) El entrenamiento para la primera vez que se utilice un determinado procedimiento. Para ampliar información ver cuaderno de Aprendizaje cooperativo en smsaviang.com. Recomendaciones GEOMETRÍA CON REALIDAD AUMENTADA. ARTRIC Geometría en 3D ARTRIC es una aplicación que ofrece la posibilidad de ver y manejar una gran variedad de formas geométricas en 3D de manera intuitiva. Esta aplicación, gracias a la realidad aumentada, extrae de los dispositivos las formas geométricas y permite practicar lo aprendido con sus actividades. ARTRIC posibilita trabajar los poliedros con todo detalle: ofrece la descomposición completa de la figura, las fórmulas matemáticas necesarias para su cálculo, así como numerosas curiosidades que ayudan a afianzar los conocimientos adquiridos. Está adaptada al aprendizaje por competencias y está disponible en español e inglés. 227 Sugerencias y soluciones 228 UNIDAD 6 229 Sugerencias y soluciones 230 UNIDAD 6 231 Sugerencias y soluciones 232 UNIDAD 6 233 Sugerencias y soluciones 234 UNIDAD 6 235 Sugerencias y soluciones 236 UNIDAD 6 237 Sugerencias y soluciones 238 UNIDAD 6 239 Sugerencias y soluciones 240 UNIDAD 6 241 Sugerencias y soluciones 242 UNIDAD 6 243 Sugerencias y soluciones 244 UNIDAD 6 245 Sugerencias y soluciones 246 UNIDAD 6 247 Sugerencias y soluciones 248 UNIDAD 6 249 Sugerencias y soluciones 250 UNIDAD 6 251 Sugerencias y soluciones 252 UNIDAD 6 253 Sugerencias y soluciones 254 UNIDAD 6 255 La Guía de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.° ESO forma parte del Proyecto Editorial de Educación Secundaria de SM. En su realización ha participado el siguiente equipo: Autoría Fernando Alcaide, Joaquín Hernández, María Moreno, Esteban Serrano, Antonio Pérez, Mercedes Garín (Comienzo de curso), Fernando Ballano (Comienzo de curso) – Proyecto MAT-TIC con Geogebra: Antonio Pérez, José Luis Álvarez, José Manuel Arranz, Rafael Losada, José Antonio Mora, Manuel Sada Edición I més. Servicios Editoriales La Fundación SM destina los beneficios de las empresas SM a programas culturales y educativos, con especial atención a los colectivos más desfavorecidos. Si quieres saber más sobre los programas de la Fundación SM, entra en www.fundacion-sm.org Revisión didáctica Juan Alberto Torresano Corrección Javier López Ilustración Juan Antonio Rocafort, Archivo SM Fotografía Archivo SM; Thinkstock; Shutterstock; Istock Iconografía Verónica Matilla Diseño de cubierta e interiores Estudio SM Maquetación Estudio SM, Equipo I més Responsable de desarrollo Arturo García Gerencia de desarrollo Yolanda Hernández Gerencia de Arte Mario Dequel Gerencia de Producto Charo Zazo Gerencia de Producción Antonio de Pedro Dirección editorial Jorge Lite Este libro está impreso en papel procedente de bosques gestionados de manera sostenible. Gestión de las direcciones electrónicas Debido a la naturaleza dinámica de internet, SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite en este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web; entre otras de uso frecuente: http://es.wikipedia.org, www.youtube.es. SM declina cualquier responsabilidad por los contenidos o la información que pudieran albergar, sin perjuicio de adoptar de forma inmediata las medidas necesarias para evitar el acceso desde las URL de esta publicación a dichas páginas web en cuanto tenga constancia de que pudieran alojar contenidos ilícitos o inapropiados. Para garantizar este sistema de control es recomendable que el profesorado compruebe con antelación las direcciones relacionadas y que comunique a la editorial cualquier incidencia a través del correo electrónico ediciones@grupo-sm.com. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. © SM Impreso en la UE / Printed in EU