Ejercicios de Topologı́a
Topologı́a sin dolor, Sidney A. Morris
17 de octubre de 2014
Espacios Topológicos
Ejercicios 1.1
1. Sea X = {a, b, c, d, e, f }. Determine cuáles de las siguientes colecciones de subconjuntos de X son una
topologı́a sobre X:
(a) T1 = {X, ∅, {a}, {a, f }, {b, f }, {a, b, f }}
(b) T2 = {X, ∅, {a, b, f }, {a, b, d}, {a, b, f }}
(c) T3 = {X, ∅, {f }, {e, f }, {a, f }}
Solución:
Buscamos un contraejemplo en cada caso.
(a) {a, f } ∩ {b, f } = {f } 6∈ T1 luego T1
no es topologı́a.
(b) {a, b, f } ∩ {a, b, d} = {a, b} 6∈ T2 luego T2
(c) {e, f } ∪ {a, f } = {a, e, f } 6∈ T3 luego T3
no es topologı́a.
no es topologı́a.
2. Sea X = {a, b, c, d, e, f }. ¿Cuáles de las siguientes colecciones de subconjuntos de X son una topologı́a
sobre X? (Justifique sus respuestas.)
(a) T1 = {X, ∅, {c}, {b, d, e}, {b, c, d, e}, {b}};
(b) T2 = {X, ∅, {a}, {b, d, e}, {a, b, d}, {a, b, d, e}};
(c) T3 = {X, ∅, {b}, {a, b, c}, {d, e, f }, {b, d, e, f }};
1
Solución:
Buscamos un contraejemplo en cada caso.
(a) {b} ∪ {c} = {b, c} 6∈ T1 luego T1
no es topologı́a.
(b) {b, d, e} ∩ {a, b, d} = {b, d} 6∈ T2 luego T2
(c)
no es topologı́a.
1 El vacı́o y el todo pertenecen a T3
2 La unión de cualesquiera dos conjuntos de T3 pertenece a T3
1
(1) {b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c} ∈ T3
(2) {b} ∪ {d, e, f } = {b, d, e, f } ∈ T3
(3) {b} ∪ {b, d, e, f } = {b, d, e, f } ∈ T3
(4) {a, b, c} ∪ {d, e, f } = X ∈ T3
(5) {a, b, c} ∪ {b, d, e, f } = X ∈ T3
(6) {d, e, f } ∪ {b, d, e, f } = {b, d, e, f } ∈ T3
3 La intersección de cualesquiera dos conjuntos de T3 pertenece a T3
2
(1) {b} ∩ {a, b, c} = {b} ∈ T3
(2) {b} ∩ {d, e, f } = ∅ ∈ T3
(3) {b} ∪ {b, d, e, f } = {b} ∈ T3
(4) {a, b, c} ∪ {d, e, f } = ∅ ∈ T3
(5) {a, b, c} ∪ {b, d, e, f } = {b} ∈ T3
(6) {d, e, f } ∪ {b, d, e, f } = {d, e, f } ∈ T3
luego T3
si es topologı́a.
1 Por inducción a partir de que la unión de dos conjuntos en T pertenece a T , se puede demostrar que la unión de cualquier
número finito de conjuntos en T pertenece T . Al ser X finito la unión infinita no tiene sentido.
2 idem que para la unión arbitraria. La definición de topologı́a no exige que la intersección infinita de conjuntos en T pertenezca
3
a T3 , aunque en este caso por ser X finito tampoco tiene sentido la intersección infinita.
2
3. Si X = {a, b, c, d, e, f } y T es la topologı́a discreta sobre X, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
(a) X ∈ T ;
(b) {X} ∈ T ;
(c) {∅} ∈ T ;
(d) ∅ ∈ T ;
(e) ∅ ∈ X;
(f) {∅} ∈ X;
(g) {a} ∈ T ;
(h) a ∈ T ;
(i) ∅ ⊆ X;
(j) {a} ∈ X;
(k) {∅} ⊆ X;
(l) a ∈ X;
(m) X ⊆ T ;
(n) {a} ⊆ T ;
(o) {X} ⊆ T ;
(p) a ⊆ T .
[Consejo. Exactamente seis de las anteriores afirmaciones son verdaderas.]
Solución:
(a),(d),(g),(l),(i)3 ,(o)4
4. Sea (X, T ) un espacio topológico cualquiera. Verifique que la intersección de cualquier número finito de
miembros de T es un miembro de T . [Consejo. Para demostrar este resultado use inducción matemática.]
Sean {A1 , A2 , ...} los miembros de T :
a) Como T es topologı́a P (2) = Ai ∩ Aj ∈ T , base de la inducción;
b) P (k) = A1 ∩ A2 ∩, ..., ∩Ak ∈ T , hipótesis de la inducción;
c) ¿P (k) = A1 ∩ A2 ∩, ..., ∩Ak ∈ T ⇒ P (k + 1) = A1 ∩ A2 ∩, ..., ∩Ak ∩ Ak+1 ∈ T ?, paso de inducción:
Como A1 ∩ A2 ∩, ..., ∩Ak = Ai para algún i y Ak+1 = Aj para j = k + 1 tenemos Ai ∩ Aj ∈ T que era
nuestra base de inducción.
5. Sea < el conjunto de todos los números reales. Demuestre que cada una de las siguientes colecciones de
subconjuntos de < es una topologı́a.
(i) T1 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo (−n, n), para cualquier número entero positivo n;
(ii) T2 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo [−n, n], para cualquier número entero positivo n;
(iii) T3 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo [n, ∞), para cualquier número entero positivo n;
Solución:
(i) Sea F1 = {Ai } = {(−i, i)} con i ∈ I ⊆ N una familia arbitraria de dichos intervalos.
1.- El vacı́o y el todo pertenecen a T1 ya que ası́ lo indica el enunciado.
2.- Como ..., ⊂ Ai−1 ⊂ Ai ⊂ Ai+1 ⊂, ...:
la
[
Ai = Amax{I} ∈ T1 si I está acotado superiormente.
i∈I
y
la
[
= < ∈ T1 si I no está acotado superiormente.
i∈IAi
3.- Como ..., ⊂ Ai−1 ⊂ Ai ⊂ Ai+1 ⊂, ...:
∀(i, j) ∈ I, Ai ∩ Aj = Amin(i,j) ∈ T1 .
Concluimos que T1
si es topologı́a.
3
El ∅ está incluido en cualquier conjunto X, vacı́o o no.
{X} es un conjunto que solo tiene al conjunto X como elemento, es decir X ∈ {X} y por lo tanto {X} ⊆ T , {X} es un
subconjunto de T . Sin embargo cuando decimos que X ∈ T estamos indicando que X es un elemento, no un subconjunto, de T .
4
3
(ii) Sea F2 = {Ai } = {[−i, i]}, i ∈ I ⊆ N una familia arbitraria de dichos intervalos.
1.- El vacı́o y el todo pertenecen a T2 ya que ası́ lo indica el enunciado.
2.- Como ..., ⊂ Ai−1 ⊂ Ai ⊂ Ai+1 ⊂, ...:
la
[
Ai = Amax{I} ∈ T2 si I está acotado superiormente.
i∈I
y
la
[
Ai = < ∈ T2
5
si I no está acotado superiormente.
i∈I
3. Como ..., ⊂ Ai−1 ⊂ Ai ⊂ Ai+1 ⊂, ...:
∀(i, j) ∈ I, Ai ∩ Aj = Amin(i,j) ∈ T2
Concluimos que T2
si es topologı́a.
(iii) Sea F3 = {Ai } = {[i, ∞)}, i ∈ I ⊆ N una familia finita de dichos intervalos.
1.- El vacı́o y el todo pertenecen a T3 ya que ası́ lo indica el enunciado.
2.- Como ..., ⊃ Ai−1 ⊃ Ai ⊃ Ai+1 ⊃, ...
la
[
Ai = Amin{I} ∈ T3 tanto si I6 está acotado superiormente como si no lo está.
i∈I
3.- Como ..., ⊃ Ai−1 ⊃ Ai ⊃ Ai+1 ⊃, ...
∀(i, j) ∈ I, Ai ∩ Aj = Amax(i,j) ∈ T3 .
Concluimos que T3
si es topologı́a.
V
S
S+∞
S+∞
⊂R
R ⊂ +∞
trivial. Para la recı́proca:
i=1 [−i, i] ⇒
i=1 [−i, i] = R, que
i=1 [−i, i] ⊂ R es
S
S+∞
Sea η > 0 ∈ R, [−η, η] ⊂ < tomo n ∈ N con n ≥ η entonces:[−η, η] ⊂ < ⊂ [−n, n] ⊂ +∞
i=1 [−i, i] entonces R =
i=1 [−i, i].
6 Como I ⊆ N , está acotado inferiormente
5
S+∞
i=1 [−i, i]
4
6. Sea N el conjunto de todos los enteros positivos. Demuestre que cada una de las siguientes colecciones de
subconjuntos de N es una topologı́a.
(i) T1 está compuesta de N, ∅, y todo conjunto {1, 2, ..., n}, para cualquier entero positivo n. (Ésta es
la llamada topologı́a del segmento inicial.)
(ii) T2 está compuesta de N, ∅, y todo conjunto {n, n + 1, ...}, para cualquier entero positivo n. (Ésta es
la llamada topologı́a del segmento final.)
Solución:
(i) Sea F1 = {Ai } = {{1, 2, ..., i}}, i ∈ I ⊆ N una familia arbitraria de dichos conjuntos.
1. El vacı́o y el todo pertenecen a T1 como indica el enunciado.
2. Como ..., ⊂ Ai−1 ⊂ Ai ⊂ Ai+1 ⊂, ...
la
[
Ai = Amax{I} ∈ T1 si I está acotado superiormente
i∈I
y
la
[
Ai = N ∈ T1 si I no está acotado superiormente
i∈I
3. Como ..., ⊂ Ai−1 ⊂ Ai ⊂ Ai+1 ⊂, ...
∀(i, j) ∈ I, Ai ∩ Aj = Amin(i,j) ∈ T1
Concluimos que T1
si es topologı́a.
(ii) Sea F2 = {Ai } = {{i, i + 1, ...}}, i ∈ I ⊆ N una familia arbitraria de dichos conjuntos.
1. El vacı́o y el todo pertenecen a T2 como indica el enunciado.
Como ..., ⊃ Ai−1 ⊃ Ai ⊃ Ai+1 ⊃, ....
la
[
Ai = Amin{I} ∈ T2 tanto si I está acotado superiormente como si no lo está
i∈I
3. Como ..., ⊃ Ai−1 ⊃ Ai ⊃ Ai+1 ⊃, ....
∀(i, j) ∈ I, Ai ∩ Aj = Amax(i,j) ∈ T2
Concluimos que T2
si es topologı́a.
5
7. Liste todas las topologı́as posibles sobre los conjuntos siguientes:
(i) X = {a, b};
(ii) Y = {a, b, c}.
Solución:
(i)
(ii)
Tindiscreta = {X, ∅};
Tdiscreta = {X, ∅, {a}, {b}};
T1 = {X, ∅, {a}};
T2 = {X, ∅, {b}}
Tindiscreta = {X, ∅};
Tdiscreta = {X, ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}};
enumeramos los conjuntos de Tdiscreta de la manera siguiente:
1 = {a};
2 = {b};
3 = {c}
4 = {a, b};
5 = {a, c};
6 = {b, c}
listamos todas las combinaciones posibles sobre {1, 2, 3, 4, 5, 6} en orden creciente:
1
24
126
256
1346
13456
2
25
134
345
1356
23456
3
26
135
346
1456
4
34
136
356
2345
5
35
145
456
2346
6
36
146
1234
2356
12
45
156
1235
2456
13
46
234
1236
3456
14
56
235
1245
12345
15
123
236
1246
12346
16
124
245
1256
12356
23
125
246
1345
12456
sustituimos en cada combinación cada dı́gito por su conjunto correspondiente según la enumeración
anterior y le añadimos el vacı́o y el todo:
T1 = {{a}, X, ∅};
T2 = {{b}, X, ∅};
T3 = {{c}, X, ∅};
T4 = {{a, b}, X, ∅};
T5 = {{a, c}, X, ∅};
T6 = {{b, c}, X, ∅};
T7 = {{a}, {b}, X, ∅};
T8 = {{a}, {c}, X, ∅};
T9 = {{a}, {a, b}, X, ∅};
T10 = {{a}, {, {a, c}, X, ∅}; T11 = {{a}, {, {b, c}, X, ∅}; T12 = {{b}, {, {c}, X, ∅};
T13 = {{b}, {a, b}, X, ∅}; T14 = {{b}, {a, c}, X, ∅};
T15 = {{b}, {b, c}, X, ∅};
T16 = {{c}, {a, b}, X, ∅};
T17 = {{c}, {a, c}, X, ∅}; T18 = {{c}, {b, c}, X, ∅};
T19 = {{a, b}, {a, c}, X, ∅}; T20 = {{a, b}, {b, c}, X, ∅
T21 = {{a, c}, {b, c}, X, ∅};
T22 = {{a}, {b}, {c}, X, ∅}
T23 = {{a}, {b}, {a, b}, X, ∅}
T24 = {{a}, {b}, {a, c}, X, ∅}
T25 = {{a}, {b}, {b, c}, X, ∅}
T26 = {{a}, {c}, {a, b}, X, ∅}
T27 = {{a}, {c}, {a, c}, X, ∅}
T28 = {{a}, {c}, {b, c}, X, ∅}
T29 = {{a}, {a, b}, {a, c}, X, ∅}
T30 = {{a}, {a, b}, {b, c}, X, ∅} T31 = {{a}, {a, c}, {b, c}, X, ∅} T32 = {{b}, {c}, {a, b}, X, ∅}
T33 = {{b}, {c}, {a, c}, X, ∅}
T34 = {{b}, {c}, {b, c}, X, ∅}
T35 = {{b}, {a, b}, {a, c}, X, ∅}
T36 = {{b}, {a, b}, {b, c}, X, ∅} T37 = {{b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅} T38 = {{c}, {a, b}, {a, c}, X, ∅}
T39 = {{c}, {a, b}, {b, c}, X, ∅} T40 = {{c}, {a, c}, {b, c}, X, ∅} T41 = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T42 = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, X, ∅}
T43 = {{a}, {b}, {c}, {a, c}, X, ∅}
T44 = {{a}, {b}, {c}, {b, c}, X, ∅}
T45 = {{a}, {b}, {a, b}, {a, c}, X, ∅}
T46 = {{a}, {b}, {a, b}, {b, c}, X, ∅}
T47 = {{a}, {b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T48 = {{a}, {c}, {a, b}, {a, c}, X, ∅}
T49 = {{a}, {c}, {a, b}, {b, c}, X, ∅}
T50 = {{a}, {c}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T51 = {{a}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T52 = {{b}, {c}, {a, b}, {a, c}, X, ∅}
T53 = {{b}, {c}, {a, b}, {b, c}, X, ∅}
T54 = {{b}, {c}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T55 = {{b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T56 = {{c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T57 = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, X, ∅}
T58 = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, X, ∅}
T59 = {{a}, {b}, {c}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T60 = {{a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅} T61 = {{a}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
T62 = {{b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X, ∅}
y por último comprobamos que las topologı́as son:
{Tdiscreta , Tindiscreta , T1 ...T6 , T9 ...T11 , T13 ...T18 , T23 , T27 , T29 , T34 , T36 , T40 , T45 , T46 , T48 , T50 , T53 , T54 }
6
8. Sea X un conjunto infinito y T una topologı́a sobre X. Si cada subconjunto infinito de X está en T ,
demuestre que T es la topologı́a discreta.
Solución:
Sabemos que para cualquier espacio topologico (X, T ) si cada subconjunto unitario
de X está en T , entonces T es la topologı́a discreta.
Sean A, B dos subconjuntos infinitos disjuntos de X en T
sea x ∈ X un elemento cualquiera de X
A ∪ {x} es un subconjunto infinito de X en T
B ∪ {x} es un subconjunto infinito de X en T
{A ∪ {x}} ∩ {B ∪ {x}} = {x}
Como hemos demostrado que cada subconjunto unitario de X está en T hemos demostrado que T es
discreta.
9. Sea < el conjunto de todos los números reales. Exactamente tres de las siguientes diez colecciones de
subconjuntos de < son topologı́as. Identifı́quelas y justifique su respuesta.
(i) T1 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo (a, b), para números reales cualesquiera a y b con a < b;
(ii) T2 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo (−r, r), para cualquier número real positivo r;
(iii) T3 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo (−r, r), para cualquier número racional positivo r;
(iv) T4 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo [−r, r], para cualquier número racional positivo r;
(v) T5 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo (−r, r), para cualquier número irracional positivo r;
(vi) T6 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo [−r, r], para cualquier número irracional positivo r;
(vii) T7 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo [−r, r), para cualquier número real positivo r;
(viii) T8 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo (−r, r], para cualquier número real positivo r;
(ix) T9 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo [−r, r], y todo intervalo (−r, r), para cualquier número
real positivo r;
(x) T10 está compuesta de <, ∅, y todo intervalo [−n, n], y todo intervalo (−r, r), para cualquier número
entero positivo n y cualquier número real positivo r.
Solución:
Bastará encontrar un contraejemplo en cada caso que nos permita asegurar que no es topologı́a.
(i) Sean (a, b), (c, d) dos intervalos cualesquiera de T1 , si c > b, (a, b) ∪ (c, d) = (a, d) − [b, c] 6∈ T1
T1
no es topologı́a.
7
1
(ii) Sean r ∈ <, {Xn } = r − una sucesión creciente de números reales y F2 = {(−Xi , Xi )}, i ∈ I ⊆ N ,
n
una familia de intervalos pertenecientes a T2 cuyos extremos son los términos de Xn
1 El vacı́o y el todo están en T2
2 Como ..., < Xi−1 < Xi < Xi+1 <, ... y lı́m Xn = r
n→∞
[
la
(−Xi , Xi ) = (−Xmax{I} , Xmax{I} ) ∈ T2 si I está acotado superiormente
i∈I
y
la
[
(−Xi , Xi ) = (−limXn , limXn ) = (−r, r) ∈ T2 si I no está acotado superiormente.
i∈I
3 ∀(i, j) ∈ I, (−Xi , Xi ) ∩ (−Xj , Xj ) = (−Xmin(i,j) , Xmin(i,j) ) ∈ T2
No hemos encontrado ningún contraejemplo por lo que concluimos que T2
si es topologı́a.
1
una sucesión creciente de números racionales y F3 = {(−Xi , Xi )}, i ∈
(iii) Sean a ∈ N , {Xn } = a −
2n
I ⊆ N una familia de intervalos pertenecientes a T3 cuyos extremos son los términos de Xn
lı́m Xn = a =⇒
n→∞
[
(−Xi , Xi ) = (−a, a) 6∈ T3 si I no está acotado superiormente.
i∈I
Concluimos que T3
no es topologı́a.
1
una sucesión creciente de números racionales y F4 = {[−Xi , Xi ]}, i ∈
(iv) Sean a ∈ N , {Xn } = a −
2n
I ⊆ N una familia de intervalos pertenecientes a T4 cuyos extremos son los términos de Xn
lı́m Xn = a =⇒
n→∞
[
[−Xi , Xi ] = (−a, a) 6∈ T4 si I no está acotado superiormente.
i∈I
Concluimos que T4
no es topologı́a.
π
(v) Sean r ∈ <, {Xn } = r − una sucesión creciente de números irracionales y F5 = {(−Xi , Xi )}, i ∈
n
I ⊆ N una familia de intervalos pertenecientes a T5 cuyos extremos son los términos de Xn
lı́m Xn = r =⇒
n→∞
[
(−Xi , Xi ) = (−r, r) 6∈ T5 si I no está acotado superiormente.
i∈I
Concluimos que T5
no es topologı́a.
√
2
(vi) Sean r ∈ <, {Xn } = r −
una sucesión creciente de números irracionales y F6 = {[−Xi , Xi ]}, i ∈
n
I ⊂ N una familia de intervalos pertenecientes a T6 cuyos extremos son los términos de Xn
lı́m Xn = r =⇒
n→∞
[
[−Xi , Xi ] = (−r, r) 6∈ T6 si I no está acotado superiormente.
i∈I
Concluimos que T6
no es topologı́a.
1
(vii) Sean r ∈ <, {Xn } = r − una sucesión creciente de números reales y F7 = {[−Xi , Xi )}, i ∈ I ⊂ N
n
una familia de intervalos pertenecientes a T7 cuyos extremos son los términos de Xn
lı́m Xn = r =⇒
n→∞
[
[−Xi , Xi ) = (−r, r) 6∈ T7 si I no está acotado superiormente.
i∈I
Concluimos que T7
no es topologı́a.
8
1
(viii) Sean r ∈ <, {Xn } = r − una sucesión creciente de números reales y F8 = {(−Xi , Xi ]}, i ∈ I ⊂ N
n
una familia de intervalos pertenecientes a T8 cuyos extremos son los términos de Xn
lı́m Xn = r =⇒
n→∞
[
(−Xi , Xi ] = (−r, r) 6∈ T8 si I no está acotado superiormente.
i∈I
Concluimos que T8
no es topologı́a.
(ix) Sean:
p, q ∈ < dos números reales cualesquiera;
{Xn } = p −
a
bn
y
{Yn } = q −
F9 = {[−Xi , Xi ]}, i ∈ I ⊆ N
c
dn
dos sucesiones crecientes;
G9 = {(Yj , Yj )}, j ∈ J ⊆ N , dos familias de conjuntos de la forma
y
especificada en el enunciado, cuyos extremos son los términos de dichas sucesiones.
1. El vacı́o y el todo pertenecen a T9
2. Como ..., < Xi−1 < Xi < Xi+1 <, ...
lı́m Yn = q
;
..., < Yj−1 < Yj < Yj+1 <, ...
;
lı́m Xn = p;
n→∞
n→∞
si I, J están acotados superiormente:
la
[
[−Xi , Xi ] = [Xmax{I} , Xmax{I} ] ∈ T9
i∈I
[
la
(−Yj , Yj ) = (−Ymax{J} , Ymax{J} ) ∈ T9
j∈J
y
!
[
[−Xi , Xi ]
∪
i∈I
[
(−Yj , Yj ) = [Xmax{I} , Xmax{I} ] ∪ (−Ymax{J} , Ymax{J} ):
j∈J
si Xmax{I} ≥ Ymax{J}
entonces
[−Xmax{I} , Xmax{I} ] ∪ (−Ymax{J} , Ymax{J} ) = [−Xmax{I} , Xmax{I} ] ∈ T9
si Xmax{I} < Ymax{J}
entonces
[−Xmax{I} , Xmax{I} ] ∪ (−Ymax{J} , Ymax{J} ) = (−Ymax{J} , Ymax{J} ) ∈ T9
Si I, J no están acotados superiormente:
!
[
[
[−Xi , Xi ]
∪ (−Yj , Yj ) = (−p, p) ∪ (−q, q) = (−max{p, q}, max{p, q}) ∈ T9
i∈I
j∈J
9
3. Para la intersección de dos conjuntos cualesquiera:
Para cualesquiera (i, j) ∈ N :
[−Xi , Xi ] ∩ [−Xj , Xj ] = [−min{Xi , Xj }, min{Xi , Xj }] ∈ T9
(−Yi , Yi ) ∩ (−Yj , Yj ) = (−min{Yi , Yj }, min{Yi , Yj }) ∈ T9
si Xi < Yj entonces [−Xi , Xi ] ∩ (−Yj , Yj ) = [−Xi , Xi ] ∈ T9
si Xi ≥ Yj entonces [−Xi , Xi ] ∩ (−Yj , Yj ) = (−Yj , Yj ) ∈ T9
concluimos que T9
si es topologı́a.
10
(x) Sean:
r ∈ < un número real;
{Xn } = r −
a
n
una sucesión creciente;
F10 = {[−i, i]}, i ∈ I ⊆ N
forma especificada
G10 = {(−Xj , Xj )}, j ∈ J ⊆ N dos familias de conjuntos de la
y
en el enunciado.
1. El vacı́o y el todo pertenecen a T10
2. Como ..., < i − 1 < i < i + 1 <, ...
;
..., < Xj+1 < Xj < Xj+1 <, ...
y
lı́m Xn = r
n→∞
Si I, J están acotados superiormente:
[
la
[−i, i] = [−max{I}, max{I}] ∈ T10
i∈I
[
la
(−Yj , Yj ) = (−Ym ax{J}, Ym ax{J}) ∈ T10
j∈J
y
!
[
S
[−i, i]
i∈I
[
(−Yj , Yj ) = [−max{I}, max{I}] ∪ (−Ymax{J} , Ymax{J} ):
j∈J
Si max{I} ≥ max{J} entonces [−max{I}, max{I}]∪(−Ymax{J} , Ymax{J} ) = [−max{I}, max{I}] ∈
T10
si max{I} < max{J} entonces [−max{I}, max{I}]∪(−Ymax{J} , Ymax{J} ) = (−Ymax{J} , Ymax{J} ) ∈
T10
Si I, J no están acotados superiormente:
[
Como la
[−i, i] = < 7
i∈I
!
[
[−i, i]
∪
i∈I
[
(−Yj , Yj ) = < ∪ (−r, r) = < ∈ T10
j∈J
3. Para la intersección de dos conjuntos cualesquiera:
[−i, i] ∩ [−j, j] = [−min{i, j}, min{i, j}] ∈ T10
(−Xi , Xi ) ∩ (−Xj , Xj ) = (−min{Xi , Xj }, min{Xi , Xj }) ∈ T10
si i < Xj ,
[−i, i] ∩ (−Xj , Xj ) = [−i, i] ∈ T10
si i ≥ Xj ,
[−i, i] ∩ (−Xj , Xj ) = (−Xj , Xj ) ∈ T10
concluimos que T10
si es topologı́a.
continuará...
7 Es
la misma demostración que para el ejercicio 5.(ii)
11