Guía de Coordenadas Polares-I

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BÁSICAS PARA INGENIERÍA.
GUÍA COORDENADAS POLARES
BAIN 012 Geometrı́a para Ingenierı́a
Enero 2012
1. Trace la gráfica de la ecuación polar.
a) r = 4 cos θ + 2 sen θ
b) r = −6(1 + cos θ)
c) r = 2 + 4 sen θ
d ) r = 8 cos 3θ
e) r = 2θ , θ ≥ 0
f ) r = 6 sen2
θ
2
2. Pase las coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
a) 3, π4 .
b) 8, − 2π
3 .
c) 6, arctan 34 .
Sol : √
√ 3 2 3 2
a.
2 , 2
√
b. (−4, −4 3)
24 18
c.
5 , 5
3. Pase de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, con r > 0 y 0 ≤ θ ≤ 2π.
a) (−1, 1).
√
b) −2 3, −2 .
√ c) 7, −7 3 .
Sol :
a.
b.
c.
√
2, 3π
4
4, 7π
6 14, 5π
3
4. ¿Qué coordenadas polares representan al mismo punto que 3, π3 ?
a) 3, 7π
d ) 3, − 2π
3 .
3 .
b) 3, − π3 .
e) −3, − 2π
3 .
c) −3, 4π
f ) −3, − π3 .
3 .
Sol
:
(a), (c), (e)
5. Deduzca una ecuación polar que tenga la misma gráfica que la ecuación en x, y.
a)
b)
c)
d)
e)
x = −3.
x2 + y 2 = 16.
2y = −x.
y 2 − x2 = 4.
(x − 1)2 + y 2 = 1.
Sol :
a.
b.
c.
d.
e.
r = −3 sec θ
r=4
θ = tan−1 12
r2 = −4 sec 2θ
r = 2 cos θ
6. Deduzca una ecuación en x, y que tenga la misma gráfica que la ecuación polar. Úsela para
trazar la gráfica en un plano rθ.
a)
b)
c)
d)
e)
r cos θ = 5.
r − 6 sen θ = 0.
r2 (4 sen2 θ − 9 cos2 θ) = 36.
r2 cos 2θ = 1.
r(sen θ + r cos2 θ) = 1
Sol :
a. x = 5
b. x2 + (y − 3)2 = 9
c.
d.
e.
y2
9
2
2
− x4 = 1
x − y2 = 1
y = −x2 + 1
7. Halle puntos de intersección entre la Lemniscata r2 = 9 sen 2θ y la circunferencia r = sen θ.
Sol
: P1 (0, θ) el polo y P2
18
√ , arctan 18
5 13
8. Sean las curvas en coordenadas polares.
r=
2
1 + sen θ
,
3r sen θ = 2.
a) Exprese en coordenadas rectangulares, identifique y grafique cada curva.
b) Use las ecuaciones en coordenadas polares para hallar los puntos de intersección de estas
curvas.
Sol :
a. x2 + 4y − 4 = 0, Parábola
y = 32 , Recta
b. P1 = 43 , π6 , P2 = 43 , 5π
6
9. Dada la curva de ecuación, en coordenadas rectangulares,
p
x2 + y 2 − 2 x2 + y 2 + 2y = 0.
a) Transforme a coordenadas polares, identifique y grafique la curva.
b) Halle los puntos de intersección de la curva con la circunferencia de ecuación r = 1
Sol :
a. r = 2(1 − sen θ), Cardioide
b. P1 = 1, π6 , P2 = 1, 5π
6