Departamento Macrosistemas Cátedra Electrotecnia Potencia en Corriente Alterna Teoría Potencia en corriente alternada. Significado físico de la potencia activa, reactiva y aparente. Problemas ocasionados por el factor de potencia. Causas de factor de potencia bajo. Corrección del factor de potencia. Teorema de la máxima transferencia de energía.. Potencia en Corriente Alterna Potencia instantánea Al mismo tiempo que el generador suministra corriente al circuito, está intercambiando energía con la carga; analizaremos en corriente alternada las características de ese intercambio de energía entre generador y carga. La impedancia Z de carga en el caso más general tendrá una parte real que corresponde a la parte resistiva, y una parte imaginaria o reactiva. La parte imaginaria podrá ser positiva o negativa, en cambio la parte real será siempre positiva. (1) Figura 1 El valor instantáneo de la tensión aplicada a la carga es: (2) El valor instantáneo de la corriente es: (3) Figura 2 además sabemos que: (4) La potencia instantánea que entrega el generador será: (5) Potencia instantánea 1 Potencia en Corriente Alterna pero sabiendo que: Y luego de reemplazar en la (5) obtenemos: (6) Esta expresión nos pone en evidencia que para la potencia instantánea se nos presenta dos contribuciones cuya vinculación con el tiempo son netamente diferentes. La primera contribución ( ) nos indica que cualquiera sea el valor de (t), ese término siempre es positivo. El signo positivo se interpreta en el sentido de que es potencia que siempre pasa del generador a la carga y decir que siempre es positivo equivale a decir que siempre es transferida en ese sentido, es potencia que recibe la carga y no devuelve. A esa potencia se la llama POTENCIA ACTIVA. Para analizar la segunda contribución desarrollamos el producto ( ) y reemplazamos: (7) (8) y tenemos que el segundo término o segunda contribución es una función sinusoidal del tiempo, es decir, va pasando alternativamente por valores positivos y negativos de igual valor. O sea que durante un cierto intervalo de tiempo el resultado es positivo, la potencia va del generador a la carga; y en el intervalo siguiente toma los mismos valores pero negativos, la potencia es devuelta de la carga al generador. Potencia de este tipo es la que ya se define como POTENCIA REACTIVA O ENTRETENIDA. Para visualizar el significado de los términos de la ecuación (8), desarrollamos (9) Los dos primeros términos del segundo miembro de la ecuación siguen representando a la POTENCIA ACTIVA y el tercer término a la POTENCIA REACTIVA, lo que nos permitirá hacer la representación gráfica y luego hallar la resultante. Para poder representar gráficamente la mencionada ecuación, debemos previamente darle un valor al parámetro . El valor de . representa el desfasaje entre la tensión y corriente, su valor puede variar entre -/2 y /2; cuando toma estos casos límites o cero estamos en los casos particulares, es decir, carga puramente inductiva, puramente capacitiva o puramente resistiva respectivamente. Como nuestro Potencia instantánea 2 Potencia en Corriente Alterna propósito es generalizar, para simplificar la representación tomamos .= 45° y en ese caso tenemos cos 45° = sen 45°. El primer término ( ) es independiente del tiempo y está representado por una recta (1) de la figura, paralela al eje de los tiempos y a una ordenada cuyo valor es ( ). El segundo termino ( ) es una función cosenoidal de frecuencia doble, es decir período mitad, y está representada por la curva (2) de la figura 3. La curva representativa de la potencia activa está dada por la suma algebraica de las ordenadas de las curvas anteriores que son las componentes de la POTENCIA ACTIVA, la cual está representada por la curva (3) de la figura 3. Observemos que es positiva para cualquier valor de tiempo y tiene como eje de simetría a la recta ( La curva (4) de la figura 3, representativa de la POTENCIA REACTIVA está dada por la función ( ) que es sinusoidal de frecuencia doble y de amplitud ( ). Para obtener la potencia instantánea se suma las ordenadas de las curvas POTENCIA ACTIVA y POTENCIA REACTIVA, representada por la curva (5) de la figura 3. Figura 3 También se puede obtener la potencia instantánea, multiplicando las ordenadas de u(t) y i(t) de la figura 2. Vemos que para p(t) hay una pequeña parte negativa pero la mayor parte es positiva (figura 5). Potencia instantánea 3 Potencia en Corriente Alterna En la práctica lo que interesa es el valor medio de la potencia, porque en los cálculos nos interesa conocer cuál es la energía que ha transferido el generador a la carga, y ello equivale a calcular la potencia media y multiplicar por el intervalo de tiempo en que ha estado conectado a la carga y obtener la energía provista por el generador. Para calcular la potencia media se promedia en un intervalo que sea múltiplo entero del periodo, la potencia instantánea, (11) (12) reemplazando la (12) en la (11), la ecuación (13) siguiente, 14) vemos que coincide con el valor medio de una de las componentes de la POTENCIA ACTIVA y es por lo que a la POTENCIA MEDIA se la llama POTENCIA ACTIVA MEDIA. Ese valor ( ) en vatios, multiplicado por el intervalo de tiempo en que la carga está conectada, nos dará la energía consumida por la carga y que es extraída del generador. Potencia: casos particulares. El receptor es una inductancia En este caso se tiene = /2 y en consecuencia la potencia es igual a . Las áreas positivas corresponden a la energía necesaria para crear el campo magnético de la bobina; las áreas negativas a la energía restituida por el campo. Se ve claramente en la figura 4 que las áreas positivas y negativas son iguales, por lo tanto el trabajo total es nulo. Potencia: casos particulares. 4 Potencia en Corriente Alterna Figura 4 Una inductancia puede ser entonces atravesada por una corriente intensa y presentar en sus bornes una tensión elevada, pero la potencia será nula El receptor es una capacidad Igualmente se tiene = - /2 y P= 0. La suma de las áreas positivas y negativas es también nula. El condensador se comporta entonces como una bobina. No absorbe potencia. La energía almacenada en el campo electrostático se restituye íntegramente a la fuente. Como se puede ver, la figura 5 demuestra este efecto. La curva de potencia es exactamente simétrica a la del caso de la inductancia. Figura 5 El receptor es una resistencia Se tendrá =0 y en consecuencia P = U I. En este caso u e i están en fase y el producto ui es siempre positivo. El receptor no puede devolver energía eléctrica al generados, porque toda ella se transforma en calor, tal como se muestra en la figura 6. Potencia: casos particulares. 5 Potencia en Corriente Alterna Figura 6 Significado físico de las potencias Potencia ACTIVA Es la potencia que realmente se transfiere y está representada por la siguiente ecuación, (15) Considerando que ( ) es igual a ( ), reemplazando en la (15), (16) En donde sabemos que ( )y( , entonces (17) Siendo, (18) esta última expresión nos confirma que la POTENCIA ACTIVA es la disipada por efecto joule el valor de la corriente en la parte resistiva. Significado físico de las potencias 6 Potencia en Corriente Alterna Potencia REACTIVA Para analizar su significado físico retomaremos la ecuación, Considerando que ( )y( (19) Para analizar la energía puesta en juego, vemos que al considerar los períodos (T) y (T/2) el valor medio de ella es igual a cero, por lo que integraremos para un período (T/4), según la siguiente ecuación (20), (21) Para el caso de una carga inductiva, donde ( ), tendremos que (22) Y para el caso de una carga capacitiva, donde Ambas ecuaciones (22) y (24) no son otra cosa que energías acumuladas, en campos magnéticos y eléctricos durante un cuarto de período, siendo igual en el período siguiente pero de signo contrario. Esto quiere decir que esta es una energía que la carga toma durante un cuarto de período y la devuelve en el siguiente, sin realizar trabajo alguno sobre la carga. Para determinar cuál es el valor máximo de la POTENCIA REACTIVA, analizaremos la ecuación (19). Significado físico de las potencias 7 Potencia en Corriente Alterna El valor de ( de esta ecuación se lo denomina Q, por lo tanto Donde y entonces La existencia de la POTENCIA REACTIVA está vinculada con la capacidad energética del generador. En los cálculos siempre se habla de potencia activa, porque esa es la potencia que realmente se transfiere, y lógicamente es la que representa intercambio económico, pero es importante también observar la POTENCIA REACTIVA porque ella representa una exigencia respecto al tamaño del generador que hay que colocar, porque aunque esa potencia no va a ser útil en el sentido de la transferencia de energía que se utilice y abone; sin embargo representa algo que debe cumplir el generador, es decir que la capacidad energética del generador debe poder dar también esa potencia reactiva. Por eso es que se habla de POTENCIA APARENTE porque es la potencia total que se demanda del generador. Potencia APARENTE Se trata de un grandor de dimensionamiento, que no alcanza a tener un significado físico definido, pero resulta de utilidad para expresar la capacidad de las máquinas. Geométricamente vemos que la POTENCIA APARENTE es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA. (26) (27) (28) También podemos hacer una representación vectorial que nos permita ubicar las expresiones (14), (25) y (28) que expresan los distintos tipos de potencia en corriente alterna, para ello retornamos al Significado físico de las potencias 8 Potencia en Corriente Alterna mismo diagrama vectorial que representamos en la figura 1, realizamos las proyecciones de la corriente y multiplicamos por la tención, con lo que se obtiene el segundo diagrama vectorial de la figura 7. Figura 7 Los vectores representativos de la potencia que obtenemos del diagrama vectorial, nos dan la configuración del conocido triangulo de potencia, que incluye el ángulo de desfasaje ( ), tal como se observa en la figura 8 Figura 8 Problemas ocasionados por el factor de potencia A las instalaciones eléctricas no siempre se les vigila debidamente respecto al Factor de Potencia con los equipos en funcionamiento. Debe tenerse presente que cualquier cambio en le ritmo de la producción, marcha de los equipos, con cargas de diferentes características eléctricas, se producen cambios en el Factor de Potencia. Un bajo Factor de Potencia ( cos ) afecta en sumo grado la eficiencia del sistema eléctrico, o de los generadores, e influye en la facturación del suministro de energía eléctrica, que debe abonarse a la empresa proveedora, ya que ellas cobran un recargo o penalidad si el Factor de Potencia es inferior a 0,80. Por eso, es que la importancia técnico económica del mejoramiento del Factor de Potencia tiene cada día mayos difusión y comprensión, siendo en consecuencia lo sustancial de este desarrollo. Si se tiene una instalación eléctrica, que representa una cierta potencia instalada, tal como se puede representar esquemáticamente en la figura 1, lo que se fijó es la potencia activa que representa esa instalación, pero esa potencia activa PA= UI cos , depende del valor de en la instalación. Como a la tensión U la consideramos constante como fuente de tensión, cuando se reduce el cos aumenta la intensidad de corriente que la instalación demanda de la línea, en consecuencia, menor factor de potencia equivale a mayor consumo de corriente y ese mayor consumo de corriente exige que los generadores de la usina estén proporcionándola. Significado físico de las potencias 9 Potencia en Corriente Alterna Tener una potencia mecánica instalada es suponer que UIcos es constante, entonces lo que hay que mantener constante es I cos y cuando se tiene un más grande, para que la proyección permanezca constante, la corriente tendrá que ser más grande (figura 9 ). Esa intensidad mayor al circular por los generadores de la usina exige una máquina más grande. Figura 9 También podemos representar este problema de otra manera; para una potencia constante en un circuito de fuerza determinado, podemos escribir: (35) Despejando In Pudiéndose representar gráficamente esta última expresión según se muestra en la figura 10 Figura 10 Todas las perdidas internas de los generadores son proporcionales a la corriente que los circula. Significado físico de las potencias 10 Potencia en Corriente Alterna Menor factor de potencia, mayor , va a exigir en la usina máquinas más grandes, pero además de la potencia instalada en la usina, está el problema d de las líneas que conectan la usina con la carga. Entonces para la misma potencia activa, cuanto menor sea el factor de potencia, se está transfiriendo a travás de los conductores de la línea una intensidad superior. Las pérdidas por Joule ( ) donde Rc es la resistencia de los conductores de línea, crecen con el cuadrado de la intensidad incrementada. Con un criterio de explotación del sistema, dado que al final es la sociedad la que paga el servicio, existe el derecho de demandar un factor de potencia cercano a la unidad, (0,8) como lo aclarábamos al principio, porque de esta manera se aprovecha mejor el capital invertido por la sociedad para ese servicio. Ejemplo numérico: influencia de la corriente reactiva en las instalaciones de corriente alternada. La presencia de corrientes reactivas, consecuencia del desfasaje tensión y corriente, conduce a la necesidad de dar a las instalaciones secciones de conductores notablemente superiores a aquellas que necesitaría estrictamente para la transmisión de la potencia real. Si se tiene que transmitir una potencia de 100 Kw, bajo una tensión de servicio de 500 V en un circuito en el que el factor de potencia puede tomar distintos valores; si el circuito no presenta reactancia, el factor de potencia es unitario y se tendrá: I1= 100000 W / 500 V = 200 A Si la reactancia es bastante importante, como en el caso de líneas de fuerza motriz, se puede poner cos = 0,7, De tal anera será: I2= 100000 W /(500 V * 0,7) = 287 A En este ejemplo, se ve que para transportar una potencia determinada, se tieneuna intensidad tanto más grande cuanto mayor sea el valor de ( o menor su coseno). Este aumento de la intensidad, incrementa las pérdidas en las líneas. Para restituir el valor de las pérdidas, es preciso utilizar canalizaciones de mayor sección y por lo tanto de precio mayor. También resulta evidente que el desfasaje de la corriente disminuye la potencia que es capaz de entregar un alternador. Causas del bajo factor de potencia Es sabido que las causas de un bajo factor de potencia inductivo son: Motores a inducción asincrónicos y/o que trabajan a poca carga. Término medio del cos entre 0,6 y 0,7 Soldadoras a transformadores con cos de 0,4 y 0,5 Hornos eléctricos a inducción con cos de 0,8 Lámparas de arco, fluorescentes, neón, mercurio, etc.. con cos de 0,6 a 0,7 Motores de bajas r.p.m. por tener mayor número de polos Significado físico de las potencias 11 Potencia en Corriente Alterna Aparatos inductivos de cualquier clase Corrección del factor de potencia La forma de poder solucionar el problema que presenta un bajo factor de potencia es la de compensar la corriente inductiva con una capacitiva. Para este fin los métodos más usados son: Motores sincrónicos que al mismo tiempo accionan equipos y ayudan a mejorar el factor de potencia por sobreexcitación. Condensadores estáticos o capacitores, que son hoy los medios más usados y más económicos para mejorar el factor de potencia, pues su mantenimiento es insignificante, el costo accesible y de rápida amortización. Por tal motivo nos referiremos de ahora en adelante a este último método para desarrollar el objetivo propuesto en este trabajo En primer lugar veremos como se hace para calcular la capacidad necesaria que elimine la componente de naturaleza inductiva, de forma tal que el cos sea llevado a la unidad. Al agregarse reactancias capacitivas, figura 11, el ángulo va disminuyendo hasta que llegue a valer cero, es decir cos =1, si se sigue agregando capacitores la corriente adelantará a la tensión, ocasionando los problemas ya marcados. Figura 11 Haciendo mediciones sin que se tenga ningún capacitor conectado, podemos obtener los datos de P, I, V; lo que nos permite calcular el cos y por lo tanto su ángulo . Por otro lado conocemos que (39) Y de acuerdo al diagrama vectorial de la figura vemos que la proyección de la corriente de carácter inductivo que hay que compensar es: (41) (42) Despejando de esta última la capacidad C, que representa la capacidad que deberemos conectar en paralelo a la carga para que el cos de la instalación sea igual a la unidad: (42) Significado físico de las potencias 12 Potencia en Corriente Alterna Analizándolo en base a la potencia que se consume, también podemos realizar el mismo cálculo de la siguiente manera, conociendo el ángulo (43) (44) (45) Despejando de estas igualdades el valor de C Si queremos corregir a un ángulo diferente de cero, porque dijimos que compensar a ese valor es antieconómico, por la inversión que se debe realizar, por ejemplo, pasar de un valor de 1 a otro ’ . De acuerdo al diagrama vectorial de la figura 12, que plantea el problema y su solución, Figura 12 (47) (48) Igualando y despejando C Interpretación sobre la necesidad de corrección del factor de potencia Consideremos hipotéticamente que tenemos que alimentar una carga de una potencia activa P de 360 KW en corriente alternada, con un cos φ =0,6 por intermedio de un transformador alimentado desde un generador de corriente alterna. Tanto el generador como el transformador debe considerar la potencia reactiva que ocasiona el cosφ de la carga, por lo que corresponde una potencia aparente de 600 KVA, debido a la potencia reactiva de 480 KVAr, de acuerdo el triángulo de potencia que se muestra para este sistema Significado físico de las potencias 13 Potencia en Corriente Alterna Vemos que para alimentar una carga de P = 360 KW cosφ = 0,6 se necesita un generador y un transformador con una potencia aparente S = 600 KVA, resultando para el proveedor un costo muy grande de generación, motivo por lo cual se exige realizar una corrección de factor de potencia en la instalación, donde podemos analizar las distintas alternativa que el sistema nos presenta. Una de las manera de proceder para llevar el cosφ = 1, es colocando un condensador que compense la carga inductiva que genera la carga con su cosφ = 0,6, lo que equivaldría colocar según el cálculo una carga capacitiva de 480 KVar, llevando de esta forma el cosφ a 1. De esta manera el circuito quedaría representado según se indica en la figura siguiente. Significado físico de las potencias 14 Potencia en Corriente Alterna De acuerdo a la corrección realizada podemos observar que para alimentar la misma carga con igual cosφ, solamente necesitaríamos un generador y un transformador de solo 360 KVA, lo que haría una menor inversión de la instalación, siempre y cuando se realice la corrección correspondiente. Otra de las alternativas es que si mantenemos el generador y transformador de 600 KVA, y seguimos alimentando la carga prevista de una P = 360 KW cosφ = 0,6 con las corrección del factor de potencia con un condesador de 480 KVAr, podremos disponer a la salida del transformador una potencia aparente de 240 KVA, la que podrá ser utilizada según el factor de potencia de la carga que se conecte. Otra interpretación que produce la corrección del factor de potencia, es que se podría utilizar tanto el transformador como el generador que se planteo al principio, de 600 KVA, para alimentar una potencia activa que tenga 600 KW, pero con un cosφ = 1, tal como se muestra en la siguiente figura como en al diagrama vectorial. Significado físico de las potencias 15 Potencia en Corriente Alterna Teorema de la máxima transferencia de energía Figura 13 La necesidad de este estudio aparece al considerar un generador real, en el que existirá una disipación de energía dentro del generador y un entretenimiento de energía también dentro del generador. Representamos un generador con una impedancia Zi, que por su parte real o resistiva tiene en cuenta la parte de energía que se disipa y como está conectado en serie, tendrá en cuenta por reducción del factor de potencia, figura 13. La parte imaginaria o reactiva de Zi, representa o tiene en cuenta la potencia entretenida dentro del generador. Ya que el generador está formado por arrollamientos de carácter inductivo, al circular corriente por el circuito exterior y por el interior del generador, dentro del mismo se creará un campo magnético y la energía de ese campo magnético que es energía entretenida, es la que se tiene en cuenta por parte reactiva de la impedancia interna. La transformación en calor, al circular corriente por el interior de la máquina, es lo que tenemos en cuenta por la parte resistiva de la impedancia interna. La representación en serie es la forma de considerar esas pérdidas internas, pro reducción del factor tensión del generador. De manera que la tensión en los bornes del generador es menor que la f.e.m del generador. Y esa reducción del factor tensión representa la parte de la potencia instantánea que queda dentro de la fuente de energía. En esas condiciones, al conectar una carga Z se entrega una cierta energía a la carga. La parte de energía que se entrega a esta, en la potencia activa en la misma, y allí se plantea un problema, que es el de saber que el valor de Z hay que conectar para extraer del generador máxima energía. Vemos que si Z=, es circuito abierto, no hay corriente y por consiguiente no hay energía en la carga. Si Z= 0, es cortocircuito, hay corriente pero no hay tensión a los bornes de la carga, luego tampoco hay potencia. Pero tiene que haber un valor de Z, intermedio, en el cual la potencia transferida es máxima y queremos saber cuál es ese valor de la carga que extrae máxima energía del generador, ese es el planteo del teorema de la máxima transferencia de energía. La potencia activa transferida a la carga la podemos poner de la siguiente forma (50) Donde R es la parte resistiva de la impedancia de la carga, I es el valor eficaz de la corriente que circula por el circuito y que vale : Significado físico de las potencias 16 Potencia en Corriente Alterna (51) Reemplazando este valor de la corriente eficaz en la expresión (50) de la potencia media, tendremos (52) Esta es la expresión genérica de la potencia activa en la carga en función de la f.e.m. de la fuente. La parte resistiva de la carga, de la parte resisteiva de la impedancia interna del generador, de la parte reactiva del generador y de la parte reactiva de la carga. Queremos investigar que valores de la variable impedancia Z hacen máxima a la función potencia. Decir valores de Z es referirnos a los valores de R y de X. Observando la ecuación (52) y teniendo en cuenta que la reactancia tiene como campo de variación de menos infinito a más infinito, entonces vemos que el valor de X que hará máximo a P es X= -X1 y la ecuación (52) nos queda: (53) Para hallar el valor de R que haga máximo a P, habrá que encontrar el máximo de la ecuación (53). R puede variar desde cero a más infinito. Para tal planteo sabemos que este máximo está dado por la derivada de la potencia en función del valor de R igualada a cero (54) (55) Para que se anule el cociente es suficiente que se anule el numerador, luego (56) Dividiendo ambos miembros por (57) (58) (59) (60) Significado físico de las potencias 17 Potencia en Corriente Alterna Como respuesta a nuestro problema tenemos que el valor de la impedancia d ela carga que extrae máxima energía del generador, es un valor de la impedancia compleja Z que es conjugada de la impedancia Zi interna del generador. Es decir, tienen partes resistivas iguales y partes reactivas iguales, pero estas últimas de distintos signos. Esa condición, respecto a la malla en serie, es establecer que la potencia es máxima cuando se tiene resonancia seria en la malla, porque decir que la reactancia de la carga tiene que ser igual y opuesta a la reactancia del generador, es asegurar que la reactancia total de la malla serie es nula, y anular la reactancia total del circuito serie es ponerlo en condiciones de resonancia serie en las cuales teníamos corriente máxima que al circular por la parte resistiva de la carga, nos da la potencia de salida. Significado físico de las potencias 18 Potencia en Corriente Alterna Tablas comerciales de capacitores para la corrección del factor de potencia Significado físico de las potencias 19 Potencia en Corriente Alterna Significado físico de las potencias 20