Historia de las Matemáticas, Sitios Web e Idoneidades Didácticas: una experiencia Edward Parra1, Javier Trejos2 , Juan Cambronero3 Resumen El presente artículo trata sobre la experiencia en la elaboración de un sitio web sobre Historia del precálculo, correspondiente al Proyecto Final de Graduación de la licenciatura de enseñanza de las matemáticas. Se describe la experiencia de utilizar la Historia de las Matemáticas, los Sitios Web y las idoneidades didácticas. Se presenta la valoración del sitio por parte de expertos y se plantean recomendaciones para futuros abordajes del tema. Palabras claves: Historia de las Matemáticas, Enfoque ontosemiótico, Sitios web, Tecnologías de la Información. Introducción Las matemáticas, para algunos autores como Stewart (2006), Pickover (2009), Struik (1988), son consideradas como un elemento esencial en la construcción de la lógica y razonamientos científicos actuales, siendo una disciplina clave para el desarrollo tecnológico moderno. De ahí la importancia de transmitir las construcciones matemáticas mediante la enseñanza, pues de esa manera se exhibe la naturaleza de la disciplina y sus fundamentos. Para D'Amore (2007), el desarrollo de las matemáticas son el resultado no sólo de un proceso técnico y formal; por el contrario, estos dos aspectos son una consecuencia de la continua revisión del sentido y del significado que la matemática busca al interno de sí misma. Así, la Historia de las Matemáticas, para D'Amore (2007), permite romper el esquema de las Matemáticas como una colección de axiomas, teoremas, pruebas y donde lo esencial es la claridad lógica de sus argumentos. Al presentar los objetos matemáticos en contextos socioculturales, se observa la participación de heurísticas, dudas, errores, concepciones equivocadas, entre otros. Con la Historia de la Matemática se puede visualizar una interconexión entre muchas culturas. Los métodos utilizados en el cálculo, por ejemplo, son heredados y conforme se da esa transmisión se dan cambios sutiles o grandes modificaciones. Estas transformaciones son producto de los diversos sistemas de numeración, por cuestiones lingüísticas o por adaptación y optimización del método. Así, la Historia de las Matemáticas es un recurso para usarse como estrategia didáctica ya que permite una presentación comprensible de ciertos conceptos para los estudiantes. En este sentido, la implementación en clase debe usarse como un medio y no como objeto mismo de enseñanza. Muestra la faceta multicultural y la naturaleza interdisciplinar de las 1 2 3 Universidad de Costa Rica, Sede del Pacífico. Email: edward.parra@ucr.ac.cr Universidad de Costa Rica. Email: javier.trejos@ucr.ac.cr Universidad de Costa Rica, Sede del Pacífico. Email: juancamro3@gmail.com matemáticas y su influencia en el quehacer humano (arte, música, arquitectura, etc.) (Ernest, 1998 , (Furinghetti y Somaglia, 1997). Permite mostrar la evolución histórica de la disciplina y el desarrollo de cada concepto, y muestra una conexión con cada momento o época de la humanidad. Desde ahí, se pueden hacer nexos con la historia, geografía y cultura universal, por lo que también puede servir como eje transversal en la docencia. La Historia de la Matemática debe verse como un elemento motivador, que permite mejor comprensión y entendimiento de las matemáticas, pero esto no significa que las hará fáciles (Sierra, 1997). En los Programas de Estudio de Matemáticas del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica, se considera como uno de los cincos ejes básicos el uso de la Historia de las Matemáticas, con el fin de mostrar un rostro humano a las Matemáticas y lograr una correlación con la resolución de problemas, la contextualización activa, y uso inteligente y visionario de las tecnologías digitales, y la potencialización de actitudes y creencias positivas en torno a las Matemáticas. Ofrece, además, oportunidades valiosas para robustecer la herencia cultural de la especie humana, establece conexiones con las humanidades y permite entrar en contacto con perspectivas filosóficas más generales. También se pretende, con la Historia de las Matemáticas, capturar el interés de la comunidad estudiantil y así fortalecer las posibilidades de esta disciplina en el progreso colectivo de este país (MEP, 2012). Entrar en contacto con la historia de la construcción de los objetos matemáticos, favorece, según los Programas de Estudio, su aprendizaje, ya que permite la reconstrucción de conceptos y procedimientos matemáticos que se estudian. Así, es necesario contextualizar históricamente los contenidos matemáticos de la Educación diversificada, los cuales son bases para enfrentar el cálculo diferencial e integral. De ahí, surge la propuesta Construcción del sitio web: Historia del precálculo, la cual asocia la Historia de las Matemáticas, el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática y las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC). Algunos antecedentes Previo a la elaboración de la propuesta, se hizo una revisión de los principales sitios web sobre Historia de las Matemáticas, especialmente aquellos sitios que hicieran referencia al Precálculo; a los contenidos que se relacionan con los programas del Ministerio de Educación Pública. Algunos sitios son: • Apuntes de Historia de la Matemática - Universidad de Sonora En este sitio, elaborado por académicos del Departamento de Matemática de la Universidad de Sonora en México, se abordan temas de historia de la Matemática desde la antigüedad, así como bibliografías de los más importantes Matemáticos, recopilados en una serie de artículos que se publican cada cuatro meses. El sitio está dirigido a estudiantes, profesores y público en general y la mayoría de la información es generada en el Seminario de Historia de las Matemáticas que se desarrolla en ese departamento y todos sus artículos están en español. La dificultad que presenta la página es que, al ser una revista cuatrimestral, los temas se abordan según las publicaciones de los autores y no tienen un orden cronológico, ni separación por temas. Se presentan artículos de Historia de la Matemática en general y no se hace distinción o separación de los artículos por biografías o temas específicos, lo que dificulta la búsqueda de información. El http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/ enlace del sitio web es • RBHM - Revista Brasileira de História da Matemática Esta revista es publicada semestralmente por la Sociedad Brasileña de Historia de la Matemática y está dirigida al público internacional con artículos en portugués y en inglés. Los temas tratados son Historia de la Matemática, Educación Matemática y Filosofía de la Matemática. Se incluyen tanto artículos de los editores como otros presentados por profesionales externos. En esta revista se tratan temas de Historia de la Matemática, pero se abordan principalmente desde una visión epistemológica más que de mera información histórica. Se hacen publicaciones de artículos de historia pero muy dispersos, sin orden cronológico o de temas, lo que hace que sea difícil la búsqueda de temas específicos, o biografías de matemáticos. En esta página se presentan principalmente resultados de ponencias en seminarios. El enlace del sitio es http://www.rbhm.org.br/. Revista digital Matemática, Educación e Internet La Revista digital Matemática, Educación e Internet, es una revista semestral, auspiciada por el Tecnológico de Costa Rica y dirigida por su Escuela de Matemática. Los artículos que se publican exponen resultados de investigaciones, ensayos, reseñas históricas o actividades prácticas desarrolladas en áreas como Matemática, Educación Matemática, Matemática Aplicada y Tecnología. además presenta columnas sobre el mundo de las matemáticas, aportes pedagógicos y material didáctico, tecnologías y otros tópicos relacionados. • Aunque esta revista presenta artículos de diversos temas de Matemática, también tiene una separación por secciones: Didáctica, Historia, culturas antiguas, etc., lo que de alguna forma facilita la búsqueda de artículos. En cuanto a la parte de Historia tiene una cantidad muy limitada de artículos y se abordan muy pocos temas de este tipo. La dirección web del sitio es http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/index.html. Chronomath Es una página web que presenta una cronología y diccionario de las matemáticas, los principales rasgos detrás de cada concepto, su asociación con desarrollos paralelos, algunas animaciones, construcciones teóricas, además ofrece los códigos fuentes de algunos programas en JavaScript; todo entrelazado con la Historia de la Matemática, animación y referencias bibliográficas primarias. El sitio web puede ser utilizada tanto por estudiantes, como profesores de secundaria y universitaria. Contiene biografías de los principales matemáticos que han aportado en los períodos, además, muestra una guía por tópicos. Es una página dirigida por el profesor Serge Mehl, matemático retirado, página consolidada que inició en 1992. • La página está en francés, y está muy bien ordenada cronológicamente, además que muestra una separación de la Historia de la Matemática, en las diferentes culturas en que se desarrollaron. También tiene un catálogo muy completo de temas separados alfabéticamente. El problema es que algunas veces se cae el servidor. La dirección web es http://www.chronomath.com. • MacTutor History of Mathematics. En esta página se encuentran biografías de matemáticos ordenadas por el periodo en que vivieron, y muy completa, se puede encontrar casi cualquier matemático, además se encuentran artículos de los principales aportes de las culturas antiguas a la Matemática, las historias de los distintos temas matemáticos, líneas de tiempo, funciones de búsqueda y mucho más. Además tiene una sección muy interactiva llamada El matemático del día, en el cual se coloca la biografía de cada matemático cuyo natalicio coincide con la fecha del día. La cantidad de temas históricos que encontramos en este sitio es muy completa, sin embargo sería mucho más interactiva si además tuvieran enlaces entre los artículos para consultar conceptos o biografías que se tratan en cada uno. La dirección de MacTutor es http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\%7Ehistory. Se notó la necesidad de realizar una versión contextualizada, de ahí nació el sitio web Historia del Precálculo. En cuanto al referente teórico de la propuesta, ésta se basó en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática, que planea diversas idoneidades para los procesos de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Referente teórico: Enfoque ontosemiótico de la cognición matemática El enfoque ontosemiótico de la cognición matemática (EOS) es una teoría de la instrucción matemática significativa que pretende articular las facetas institucionales y personales del conocimiento matemático, la resolución de problemas, los recursos expresivos y la asunción coherente de supuestos pragmatistas y referenciales sobre el significado de los objetos matemáticos. Intenta articular las diversas aproximaciones teóricas usadas en la Didáctica de las Matemáticas (Godino, 2012) , (Godino et al., 2006), (Godino y Font, 2007), (Godino et al., 2009). Es un enfoque que trata de articular de manera coherente la faceta ontológica (tipos de objetos y su naturaleza), epistemológica (acceso al conocimiento), sociocultural e instruccional (enseñanza y aprendizaje organizado en el seno de las instituciones escolares). Para Godino et al. (2006), el punto de partida del Enfoque Ontosemiótico es la formulación de una ontología de objetos matemáticos que tiene en cuenta el triple aspecto de la matemática como actividad de resolución de problemas, como lenguaje simbólico y como sistema conceptual lógicamente organizado. En el Enfoque Ontosemiótico se aborda el estudio sistemático y global de estas nociones teóricas desde la perspectiva unificada del conocimiento y la instrucción matemática, tratando de identificar sus conexiones mutuas y complementariedades, así como el reconocimiento de nuevos tipos de normas que faciliten el análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Para Godino et al. (2009), la noción de idoneidad de un proceso de instrucción se define como la articulación coherente y sistémica de los siguientes seis componentes: 1. Idoneidad epistémica. Godino lo define así: “es el grado de representatividad de los significados institicionales implementados respecto de un significado de referencia” (Godino et al., 2009) 2. 3. 4. 5. Por ejemplo: Si la enseñanza de la adición se limita a aprendizaje de rutinas y ejercicios de aplicación de algoritmos, hay una baja idoneidad. Si tiene en cuenta diferentes tipos de situaciones aditivas e incluye la justificación de los algoritmos hay una alta idoneidad. Idoneidad cognitiva. Según Godino “es el grado de proximidad de los significados implementados respecto de aquellos que son personales iniciales de los estudiantes” (Godino et al., 2009) El educador debe tomar en cuenta los conocimientos previos de sus alumnos y evaluar cómo están con respecto a ellos, haciendo un examen de diagnóstico. De acuerdo con los resultados de este diagnóstico el profesor determinará si hay que hacer un repaso o reforzar estos temas previos. Vigotsky, citado por Godino (2007) diría que es la medida en que el material de aprendizaje está en la zona de desarrollo potencial de los estudiantes. Por ejemplo: En un estudio de operaciones aritméticas con tres o más cifras, un proceso de Enseñanza - Aprendizaje con un alto grado de idoneidad cognitiva seria: El profesor realiza una evaluación inicial para saber si los alumnos dominan los números de uno y dos cifras y si no es así, comenzaría trabajando con dichos números. Idoneidad semiótica o interaccional. El grado de complejidad semiótica con que presentamos un tema puede dar origen a conflictos semióticos. Según Godino, hay conflicto semiótico “si hay una disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones) en interacción comunicativa” (Godino et al., 2009) Tiene relación entonces con la forma como el docente transmite los conocimientos a sus alumnos y si toma en cuenta las diferencias individuales entre ellos. Se puede crear una gran complejidad semiótica si se presenta un tema usando diferentes registros (verbal, simbólico, gráfico) y además se da por supuestos conocimientos previos que tal vez no tienen los alumnos. Por ejemplo: Un proceso de estudio magistral, que no tenga en cuenta las dificultades de los estudiantes, tiene una baja idoneidad semiótica, ya que, para Godino (2002), puede ocasionar una disparidad entre el significado personal global del alumno y el significado institucional pretendido. Idoneidad mediacional. Es el grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanzaaprendizaje. Por ejemplo: Si el profesor y los alumnos tuvieran a su disposición medios informáticos pertinentes al estudio del tema en cuestión (Cabri-géomètre para la geometría plana, por ejemplo), el proceso de estudio que se apoye en estos recursos tendría mayor idoneidad mediacional que otro tradicional basado exclusivamente en la pizarra, lápiz y papel. Idoneidad emocional. Es el grado de implicación (interés, motivación,…) del alumnado en el proceso de estudio. La idoneidad emocional está relacionada tanto con factores que dependen de la institución como de aquéllos que dependen básicamente del alumno y de su historia escolar previa. Por ejemplo: tendrán idoneidad emocional alta los procesos basados en el uso de situaciones-problemas que sean de interés para los estudiantes. 6. Idoneidad ecológica. Es el grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad, y a los condicionamientos del entorno en que se desarrolla. El EOS y la propuesta La construcción del sitio web Historia del Precálculo se busca una interacción epistémicaecológica pues se consideran situaciones y conceptos matemáticos relacionados con el quehacer cotidiano y profesional, más allá de las aulas. También, se pretende la interacción epistémica-cognitiva-mediacional, pues el uso de recursos tecnológicos, según Godino (2003) induce a cambios positivos en el contenido de enseñanza, en los modos de interacción, motivación y en el aprendizaje de los estudiantes. Finalmente, intenta una interacción epistémica-cognitiva-afectiva, pues los contenidos de estudio, pueden tener sentido e interés para los estudiantes. Sobre la construcción de sitios web El modelo para el desarrollo de este sitio web está basado en el propuesto por Lynch y Horton (2000) quienes presentan un esquema general que puede aplicarse tanto a sitios web con objetivos comerciales, educativos o institucionales. También se agregan elementos propuestos por Fernández-Coca (1998) y consideraciones relativas al diseño, provenientes principalmente de Nielsen (2000) Fernández-Coca (1998) y Nielsen (2000) definen cinco aspectos importantes para la construcción de sitios web, enumerados a continuación. 1. Definición y planificación del sitio. • Definición de objetivos. • Caracterización del objetivo. 2. Arquitectura de la información. • Estructura de navegación. • Especificaciones de diseño. • Elaboración del boceto. • Corrección final del boceto y plan de trabajo. 3. Diseño del sitio. • Estructura de los documentos. • Elementos básicos de diagramación. • Longitud de página. • Colores identificativos y de fondo. • Gráficos. • Texto e hipertexto. • Tablas. • Marcos o frames. • Presentación de enlaces. • Derechos de autor. 4. Marketing. • Medios para la difusión del sitio web. 5. Rastreo, evaluación y mantenimiento. • • • Rastreo de usuarios. Evaluación del sitio. Mantenimiento. Construyendo el sitio web Un Sistema de gestión de contenido (CMS, Content Management System) es una aplicación de software utilizada para subir, editar y gestionar el contenido de un sitio web. Un CMS puede realizar diversas tareas para el sitio web, como la regulación del contenido que se muestra, el número de veces que un contenido es mostrado a un usuario determinado, además de servir para gestionar cómo el contenido se relaciona o interactúa con los otros elementos del sitio web. El CMS también da la opción a los usuarios con menos conocimientos tecnológicos, de gestionar con facilidad el contenido sin tener que saber mucho de código. Es así que, para la construcción de este sitio web se considera Wordpress como CMS. WordPress es un software diseñado originalmente para funcionar como blog pero tiene la capacidad además de adaptar su funcionamiento para la creación de páginas web tanto estáticas como dinámicas. Un sitio web básicamente está compuesto por un logo, menú principal y el contenido, y puede tener un segundo menú en el lateral de la página. Este, a diferencia de un blog, se caracteriza por mostrar un contenido estático, aunque se puede convertir en dinámico mediante el uso de plugins, pero básicamente presenta un contenido que se actualiza manualmente en la mayoría de casos. Hay muchos CMS, aunque dos de los más importantes son Joomla y Drupal. Por qué se escogió Wordpress En esta sección se darán algunas justificaciones técnicas para la selección de Wordpress como CMS. WordPress está bajo la licencia estándar GPL (Licencia General Pública por sus siglas en inglés, General Public License). WordPress.org es la comunidad que desarrolla el software de código abierto WordPress. Se trabaja en HTML (Lenguaje de marcado hipertextual, por sus siglas en inglés) y en CSS (hojas de estilo en cascada por sus siglas en inglés, Cascading Style Sheets). Está desarrollada en el lenguaje PHP y los datos son arrojados en la base de datos MySQL. El lenguaje PHP es uno de los lenguajes más manejados por los programadores y su curva de aprendizaje es corta. Puede ser utilizado en casi todos los servidores web sin tener que incurrir en ningún costo. MySQL es un motor de base de datos, el mismo es gratis y de libre acceso, además es la base de datos más compatible con el lenguaje PHP y es de lectura rápida. Automattic es la empresa que desarrolla WordPress, esta es la propietaria y creadora del mismo, esta empresa pertenece a Matthew Mullenweg, quien es el fundador y desarrollador de WordPress. Aunque WordPress se muestra en inglés por defecto, el software tiene la capacidad incorporada para ser utilizado en cualquier idioma. La comunidad de WordPress ya lo ha traducido a muchos idiomas, y hay temas, archivos de traducción y apoyo disponible en diferentes idiomas. También es posible crear un blog multilingüe, con la ayuda de los plugins. Wordpress cuenta con diversos recursos de ayuda para sacar el máximo provecho a la plataforma. La sección de documentación contiene información que cubre todos los aspectos: desde la instalación de WordPress por primera vez hasta la creación de temas y plugins y los foros tienen en cuanto a soporte casi diez mil temas con aproximadamente cincuenta mil entradas. Utiliza un editor tipo WYSIWYG (por sus siglas en inglés de lo que se ve es lo que se obtiene, What You See Is What You Get). Este tipo de editores permiten escribir y ajustar lo que se escribe sin tener que dominar el código HTML o PHP. Pero Wordpress también trae la opción en el cual se puede escribir mediante código html, para quienes dominan ese lenguaje. Una de las principales razones por las cuales se utiliza Wordpress es por la implementación de un plugin llamado Mathjax, el cual, es un motor de visualización de JavaScript para que las fórmulas matemática funcionen en todos los navegadores. Con este plugin, las fórmulas matemáticas se pueden escribir utilizando código LaTeX estándar. Construyendo Historia del precálculo El sitio web http://www.historiadelprecalculo.com4 ha sido construído usando Wordpress 4.3.1. La plantilla o tema usado es Prompt, un tema elaborado por Mudthemes. Es un tema gratis. Ha sido escogido porque además es responsive (adaptable); se refiere a que el sitio web puede adaptarse, de manera automática a cualquier tamaño del navegador web, haciendo accesible la información del sitio. Es decir, el sitio web puede usarse con cualquier dispositivo, desde teléfonos inteligentes, tablets, entre otros. En la figura Figura 1 se muestra el escritorio de administración de Wordpress. Figura 1: Escritorio de Wordpress A la plantilla de historiadelprecalculo.com se han hicieron modificaciones que adaptan el tema que originalmente estaba hecho para un blog, para que funcione como plantilla de una página web. Consta de 63 entradas y 4 páginas. A su vez, está dividida en 4 categorías y 3 subcategorías. Las páginas son de información general, se refieren a página inicial, sobre los autores, una página con información de contacto y el mapa del sitio web. Mientras que las entradas son microartículos de Historia del Precálculo elaborados por los autores de este 4 En un principio se utilizó el dominio http://www.historiadelprecalculo.com, pero se está en el proceso de migración al web http://www.parrasalazar.com/historiadelprecalculo/. artículo, relacionadas entre si, con enlaces que permiten navegar entre los diversos tópicos tratados en el web. Véase la Figura 2. Página de inicio En la página de inicio de Historia del Precálculo se muestra un encabezado con una opción de búsqueda y un enlace a la página sobre los autores. El fondo es de tono amarillo y la base del texto blanco, con letra de color negro. Con respecto a lo tipografía, algunos autores consideran dos elementos claves: la legibilidad y la amenidad. “La legibilidad se usa generalmente para designar la calidad de la diferenciación entre los caracteres, es decir, la claridad de las letras individuales. La amenidad de estilo es la calidad de lectura proporcionada por una obra tipográfica en la que lo apretado del texto, el interlineado y otros factores tienen una influencia decisiva en la función del tipo” (Lewis Blackwell, 1998). Figura 2: Página de inicio, Historia del precálculo Los aspectos que pueden influir en la legibilidad de un texto: • El diseño del tipo. • Caja alta o baja. • El estilo o peso. • Anchura de la fuente. • El soporte. Mientras que los aspectos que influyen en la amenidad de lectura: • Espaciado entre letras y palabras. • Tamaño del tipo. • Ancho de columna. • Interlineado. • Alineación. • Contraste de color. La tipografía usada es Roboto de Google Fonts. Todo sitio Web posee una página inicial, la cual contiene los enlaces hacia las diferentes secciones o informaciones del sitio. Esta página es el acceso por defecto del navegador cuando se ingresa la dirección de un sitio y constituye habitualmente el punto de partida desde el cual el usuario estructura su recorrido. La página de inicio es el estandarte del sitio, por lo que debe ser diseñada de forma distinta al resto de las páginas(Nielsen, 2000). Nielsen (2000) señala que la página de inicio ---también llamada página principal o home page--- debe dar respuesta a dos preguntas: ¿dónde estoy?; y ¿qué hace este sitio?. En este sentido, la página de inicio de Historia del Precálculo muestra la respuesta a esos cuestionamientos planteados por Nielsen (2000). Se dan las características de cómo navegar sobre el web. Se puede navegar cronológicamente, por alguna temática particular o por los principales aportes culturales al precálculo. Diversas entradas La página de inicio sirve de referente para que el usuario logre navegar en cada una de las entradas del sitio. Cada entrada es un microartículo que se puede clasificar como de carácter histórico, de contenido matemático, una biografía o alguna aplicación de un contenido matemático. Ellas a su vez, tienen enlaces que permiten navegar dentro de las 63 entradas que, en un primer momento, tiene el sitio web. Véase la Figura 3. Figura 3: Una entrada del sitio web También, cada entrada tiene la opción de compartir el contenido, ya sea en Twitter, Facebook, Google+ o por correo electrónico. Además, la opción de regresar a la última entrada visitada. Sobre el contenido del sitio web: Historia del precálculo Para la elaboración de contenido del sitio web, se realizó una consulta bibliográfica sobre los principales acontecimientos en torno al precálculo. Se utilizaron algunos libros como fuentes secundarias de información. De esa búsqueda, surgen 63 artículos originales sobre los diversos tópicos relacionados con el precálculo. La mayoría de estos libros, tratan de la Historia de las Matemáticas en general, es decir, en la información no hay una delimitación entre los elementos del precálculo y el cálculo. Algunos otros son de carácter más biográfico, pero tampoco se hace una división entre precálculo y cálculo. De ahí, el aporte a nivel de contenidos de este sitio web. Algunos textos claves son: o Ian Stewart se ha dedicado a la divulgación del quehacer matemático. Presenta textos con un lenguaje accesible y muestra las aplicaciones de las aplicaciones al diario vivir. Sobresalen los aspectos históricos de los diversos tópicos que aborda. Algunos textos importantes son: o Concepts of Modern Mathematics. o ¿Juega Dios a los dados?. La Matemática del caos. o The story of mathematics. From Babylonian Numerals to Chaos Theory o Dirk Struik en su libro A Conscise History of Mathematics muestra una versión histórica de las matemáticas, de manera cronológica y epocal. Desarrollo tanto las ideas matemáticas y hace una reseña biográfica de quienes desarrollaron el tópico. Es importante mencionar que Struik da importantes referencias comentadas para profundizar en alguna área en la cual el lector se sienta parcializado. o Clifford Pickover tiene dos textos importantes donde expone las principales aplicaciones de las matemáticas en el quehacer de la humanidad: o La Maravilla de los Números. o The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. o William Dunham en su libro Viaje a Través de los Genios, hace un acercamiento a los grandes teoremas matemáticos y a las vidas de sus creadores. La explicación de los grandes teoremas que se tratan en esta obra se realiza teniendo en cuenta tres aspectos diferentes: se dan referencias históricas sobre el momento en el que se creó y desarrolló, describiendo el estado de las matemáticas y del mundo en general antes de la formulación del mismo; en segundo lugar, se tiene en cuenta la biografía de su creador y, por último, se explica paso a paso el desarrollo teórico de cada teorema, poniendo de manifiesto la creatividad en cada uno de los teoremas. o Howard Eves presenta en An Introduction to the History of Mathematics y Great Moments in Mathematics (After 1650) información sobre la Historia de las Matemáticas y particularidades históricas a partir de 1650. o Thomas Little Heath presenta en sus libros, traducciones del griego de Arquímedes, así como, un manual detallado de las matemáticas griegas. o The Works of Archimedes. o A Manual of Greek Mathematics. o Nicolas Bourbaki en el libro Elementos de Historia de las Matemáticas, reúne, sin modificaciones sustanciales, la gran mayoría de las notas de los tomos publicados de la celebre obra firmada con el nombre de Nicolas Bourbaki, pseudónimo colectivo de un grupo de matemáticos franceses contemporáneos. o Beckmann en su libro A History of Pi, hace un recorrido histórico sobre Pi. Desde anécdotas hasta métodos para calcular y recordar algunos decimales de este número. o Carl Boyer y su libro The History of the Calculus, son referencia esencial. Realiza un seguimiento exhaustivo a todas las épocas desde el inicio de los tiempos hasta mediados del siglo XX. Completo, extenso y riguroso, cada capítulo proporciona ejercicios así como diversas técnicas de cálculo, estrategias de resolución de problemas, etc. o Florian Cajori en A History of Mathematics, hace un recorrido histórico de las matemáticas. Importantes aportes en cuando a la notación matemática, además, usa como referencia a fuentes primarias del siglo XVIII y XIX. o Bunt, Jones y Bedient en su libro The Historical Roots of Elementary Mathematics, hacen un recorrido sobre las matemáticas desarrolladas por los griegos y los egipcios. Abarca desde la teoría de números, incluyendo la geometría y algunos conceptos de cálculo. Hacen una exploración y explicación de algunos métodos para calcular multiplicaciones y divisiones utilizados para las culturas antiguas. Usabilidad Para medir el impacto que puede tener un sitio web, se puede medir la usabilidad que el sitio tiene. La usabilidad, según la Norma ISO 9241-11 (1989) consiste en conocer hasta qué punto un producto puede usarse por usuarios específicos con eficacia, eficiencia y satisfacción en un contexto específico de uso. En este sentido, el sitio historia del precálculo fue sometido a una valoración por parte de un grupo de expertos. Una vez que se construyó el sitio web, se aplicó, mediante un cuestionario en línea, una serie de preguntas relacionadas con la usabilidad del sitio web. El formulario se construyó utilizando Google Drive y se suministró a un grupo de expertos, elegidos previamente. Este grupo está formado por profesores que imparten cursos de precálculo en la Universidad de Costa Rica, profesores de secundaria, profesores de informática, profesionales en diseño, así como profesores especialistas en Historia de las Matemáticas. Inicialmente, el formulario fue enviado a 40 expertos, tanto en Costa Rica como en el extranjero. Para esta selección se consideraron profesionales con experiencia en enseñanza de las matemáticas, utilización de TICs, programación y diseño web, esto con el fin de tener diversidad de criterios sobre la forma y el fondo para la evaluación de usabilidad. Con base en estas características, aunado a la disponibilidad, se escogió a los expertos, con la ayuda del director del Proyecto Final de Graduación. Luego de un mes, lo completaron 22 personas. A continuación se presentan algunos de los resultados relacionados con la usabilidad del sitio web www.historiadelprecalculo.com. Experiencias en el uso de sitios web Es importante saber las experiencias en el uso de sitios web por parte de los expertos, dado que eso les da un punto de referencia para evaluar la usabilidad de historiadelprecalculo.com. Se obtuvo que, de los 22 expertos, 16 de ellos usan sitios web todos los días de la semana, 4 varios días de la semana y 1 una vez a la semana. Uno de los expertos no completó este ítem. Áreas de conocimiento. El área de conocimiento se refiere al área o las áreas, en las cuales el evaluador siente alguna afinidad. No precisamente se refiere a la especialidad certificada de cada evaluador, sino, más bien, a las áreas de conocimiento formales e informales de cada uno de ellos. Esta es una pregunta de conteo de escogencia múltiple, es decir, puede haber varias respuestas por parte de cada evaluador. Se obtuvieron los siguientes resultados: 16 de ellos consideran que una de sus áreas de conocimiento son las matemáticas, 13 la educación, 8 las ciencias de la computación, 3 diseño gráfico. También agregan otras áreas de conocimiento, como física y biotecnología, redes sociales, cursos en línea, evaluación educativa y museología. Figura 4: Áreas de conocimiento ¿Emplea un lenguaje claro y conciso? Se obtuvo como resultado que 2 expertos tienen una percepción neutra, 8 están de acuerdo y 12 muy de acuerdo con que se emplea un lenguaje claro y conciso. Un elemento importante en cuanto a la usabilidad de un sitio web es la información. En este ítem, se preguntaba si se había evitado la sobrecarga informativa, los resultados son los siguientes: 2 expertos están en muy desacuerdo, 3 neutrales, 7 de acuerdo y 10 muy de acuerdo con que se evitó. Los expertos consideran, de manera general, que www.historiadelprecalculo.com posee una interfaz limpia, sin ruido visual. ¿Es compatible el sitio web con los diferentes navegadores?, ¿se visualiza correctamente con diferentes resoluciones de pantalla? La experiencia en la navegación del sitio web por parte de los expertos da como resultado que uno de ellos está muy en desacuerdo con la compatibilidad del sitio en los diversos navegadores (usó Konqueror), uno tiene una percepción neutral, 2 están de acuerdo y 13 muy de acuerdo. ¿Cómo califica globalmente el sitio web analizado? La calificación global del sitio Historia del Precálculo es alta. De un total de 22 expertos que evaluaron el sitio, 2 lo consideran regular, lo cual representa un 9.09%, 11 lo consideran bueno, es decir, un 50% y 9 de 22 lo considera excelente, lo que equivale a un 40.90%. Figura 5: Calificación global del sitio web Consideraciones finales Al finalizar este Proyecto de Graduación quedan varias enseñanzas: por un lado, la Historia de las Matemáticas representan un eje importante de los planes de estudio del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica, o al menos, eso es lo que dice en el papel, pero hay poca preparación en este tema por parte de los mismos docentes. Con respecto a las páginas web o sitios web relacionados con Historia de las Matemáticas, estos sitios web no están enfocados a tratar la historia de temas relacionados con precálculo específicamente, si no que lo hacen de una forma muy general sobre temas diversos relacionados con Matemática. Son poco interactivos en el sentido de poder enlazar los diferentes artículos para tener aclaraciones de conceptos, datos históricos, curiosidades, o información de los diversos matemáticos involucrados en cada caso. En muchos casos el lenguaje que se presenta es exclusivo para académicos y de muy difícil entendimiento para estudiantes no avanzados de carreras relacionadas con Matemática. Durante del proceso de construcción del sitio web se encontraron varias dificultades, por ejemplo, no todos los CMS son amigables con el código LaTeX, esencial para la legibilidad de sitios con contenidos matemáticos; sin embargo sí existen algunos compatibles con este código, y eso nos permitió realizar nuestro proyecto. El sitio web construido intenta llenar algunas carencias en la divulgación de la Historia de las Matemáticas. En una primera valoración de usabilidad por parte de expertos se logra notar que, en su gran mayoría, se tiene una fuerte aceptación del sitio, de los contenidos, y de la forma de estructuración de los mismos. El sitio web, además, busca ser amigable con el usuario, en el sentido de tener facilidad de acceso a los temas tratados y enlaces con temas relacionados en cada artículo, lo cual, según la evaluación, se consigue de buena manera. Con la elaboración de sitio web de Historia del Precálculo, también se logra asociar el Enfoque Ontosemiótico de la cognición matemática, la Historia de las Matemáticas y la utilización de nuevas tecnologías de la información, en los siguientes aspectos: Idoneidad epistémica. • Se proponen situaciones de generación de problemas. • El sitio web logra un nivel adecuado del lenguaje, considerando a quiénes se dirige el proceso de enseñanza y aprendizaje. • El precálculo es un tema matemático, por lo tanto, las expresiones matemáticas e interpretación de los diversos conceptos son parte esencial para el uso del sitio web. • En historiadelprecalculo.com se presentan diversos procedimientos o algoritmos utilizados en la antigüedad como parte del desarrollo histórico, por ejemplo, la forma de resolver ecuaciones cuadráticas. • La información presentada en el sitio, puede ser complemento para que los estudiantes argumenten sobre los conceptos propios de la Educación Diversificada. Idoneidad cognitiva. • El sitio web es un espacio propicio para que los estudiantes puedan reforzar y ampliar sus conocimientos sobre los contenidos de precálculo. Idoneidad emocional. • El sitio web promueve situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional. Se trata de abordar la parte humana que hay detrás del desarrollo de las Matemáticas, de cómo han evolucionado y de quiénes han estado trabajando para construir la estructura actual de la disciplina. • También se resaltan las cualidades de estética, estructuración y precisión que posee las Matemáticas. Idoneidad mediacional. • Con historiadelprecalculo.com se logra incorporar medios informáticos que involucran lenguaje matemático, procedimientos y argumentos propios de los contenidos de Educación diversificada (precálculo). Idoneidad ecológica. • Los contenidos del sitio web son acordes con las directrices de los nuevos Programas de Estudio de Matemáticas del Ministerio de Educación Pública. • Este sitio es producto de la investigación sobre Historia de las Matemáticas, diseño web y la práctica reflexiva de la Educación Matemática que los autores han acumulado durante la experiencia como docentes en secundaria. • Se integran nuevas tecnologías como medio para facilitar y complementar la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. • Además, los contenidos que se presentan en historiadelprecalculo.com se relacionan con otras disciplinas. En síntesis: • Se desarrolló un sitio web con artículos de Historia del precálculo, que se ajusta a los estándares de usabilidad web. • El sitio web desarrollado puede servir como recurso didáctico. No se logró implementar en el quehacer del aula, aunque sí tiene acceso en línea. Esto deja un camino abierto para nuevas investigaciones. • Con la revisión de sitios web sobre Historia de las Matemáticas en Latinoamérica, Norteamérica y Europa, se logró conocer el estado de la situación en este campo, con sus fortalezas y debilidades. • Se alcanzó determinar los principales elementos para la construcción de un sitio web, que se adapte a las tecnologías modernas y a las características propias de las matemáticas (código \LaTeX, sitios web responsive, etc.). • Se determinaron criterios de usabilidad para sitios web. • Con la ayuda del Enfoque ontosemiótico de la cognición matemática, se logró determinar algunos criterios sobre cómo hacer el paso del saber sabio al saber a enseñar. • Con la evaluación por parte de los expertos, se lograron ajustes para la primera versión del sitio, se determinaron las fortalezas y debilidades del sitio construido. Algunas de las observaciones quedarán para una nueva edición de www.historiadelprecalculo.com. Referencias Blackwell, L. 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