Limites de una función real de variable real PPT

Dr. Nolan Jara Jara
02/01/2024
1
GRÁFICA
x3 1
f ( x) 
x 1
TABLA
x 1
x
x3 1
f ( x) 
x 1
1.2
1.1
1.05
1.01
3
f (x ) 3.64
3.31 3.1525 3.0301
x 1
1
x
0.8
f (x ) 2.44
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0.9
0.95
0.99
2.71 2.8525 2.9701
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2
El límite de f (x) cuando x tiende a a , es el número
L , que se escribe
Lim f ( x)  L
xa
Siempre que f (x) esté arbitrariamente cerca a
L
para todo x lo suficientemente cerca de a.
Si no existe tal número, se dice que el límite no
existe.
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ALGUNOS
LÍMITES BÁSICOS
EJEMPLOS
Lim 5  5
Lim k  k
x 3
xa
Lim x   3
Lim x  a
x  3
xa
Lim x n  a n
xa
Lim x3   8
x 2
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4
PROPIEDADES
Sean f y g dos funciones tales que Lim f ( x)  L y Lim g ( x)  M
x a
x a
y k una constante, entonces
𝐿𝑖𝑚𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘𝐿𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑘𝐿
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Lim  f ( x)  g ( x)   Lim f ( x)  Lim g ( x)  L  M
xa
x a
x a
Lim f ( x). g ( x)  Lim f ( x). Lim g ( x)  L.M
xa
Lim
x a
xa
xa
1
1
1

 , M 0
g ( x) Lim g ( x) M
x a
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PROPIEDADES
f ( x) L
f ( x) Lim
xa
Lim


, M 0
xa g ( x)
Lim g ( x) M
xa

Lim f ( x)   Lim f ( x)
n
x a
Lim n f ( x) 
xa
x a

n
 Ln , n
Lim f ( x) 
n
x a
n
L
Lim f ( x)  Lim f ( x)  L
x a
xa
Lim f ( x)
g ( x)
x a

 Lim f ( x)
x a

Lim g ( x )
x a
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Ejemplo
Calcular los siguientes límites
Lim
x 1
Lim
x 1
2 x  4 2(1)  4

 -1
3x  1
3(1)  1
5 x

2 x
5 1

2 1
2
x- 4
4-4
Lim 2

0
2
x 4
x - x ( 4) - 4
x4
0
4-4
Lim 2


2
x  4 x  x  12
( 4) - 4 12 0
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?
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7
FORMA INDETERMINADA
RESOLVER
x4
0
lim
1

x  4 x 2  x  12
0
Solución
x4
x4
lim 2
 lim
x  4 ( x  4)( x  3)
x  4 x  x  12
1
 lim
vx  4 ( x  3)
1

7
Por lo tanto
1
x4
lim 2

x  4 x  x  12
7
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FORMA INDETERMINADA
RESOLVER
2
x

4
x

4
0
2 lim

x 2
x2
0
Solución
x2  4x  4
( x  2)( x  2)
lim
 lim
x  2
x 2
x2
 ( x  2)
 lim  ( x  2)
x v2
0
Por lo tanto
x2  4x  4
lim
0
x  2
x2
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RESOLVER
4
x 2  9 x  20
0
Lim 2

x4 x  3x  4
0
Solución
x 2  9 x  20
( x  5)( x  4)
Lim 2
 Lim
x 4 x  3 x  4
x 4 ( x  4)( x  1)
Por lo tanto
x 5
v Lim
x4 x  1
1

5
1
x 2  9 x  20

Lim 2
x4 x  3x  4
5
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RESOLVER
4 x3 - 2 x 2 + x
0
Lim
6 x 0

3 x2 + 2 x
0
Solución
x(4 x 2 - 2 x + 1)
4 x3 - 2 x 2 + x
Lim
 Lim
2
x0
x 0
x(3 x + 2)
3x + 2 x
4 x2 - 2 x +1
 Lim
x 0
3x + 2

1
2
Por lo tanto
4 x3 - 2 x 2 + x
1
Lim

x 0
3 x2 + 2 x
2
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RESOLVER
4  x2
0
7 Lim

x 2 x 3  x 2  2 x
0
Solución
(2  x)( 2  x)
(2  x)( 2  x)
4  x2
Lim

Lim
Lim 3
 x 2
x  2 x  x 2  2 x
x( x 2  x  2) x2 x( x  2)( x  1)
2 x
 Lim
x  2 x ( x  1)
2

3
2
4  x2
Por lo tanto Lim 3

x  2 x  x 2  2 x
3
a 2  b 2  (a
 b)( a 02/01/2024
b)
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RESOLVER
3
- 27
0
8 Lim x 2

x 3
0
x -9
Solución
3
3
2
2
x

3
27
x
(
x

3
)(
x

3
x

3
)
Lim
Lim

2
2  Lim
2
x 3
x

3
x 3
9
x 3
x
( x  3)( x  3)
3
x 2  3x  9
 Lim
x 3
x3

9
2
3
Por lo tanto
9
- 27

Lim x 2
x 3
2
x -9
a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
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RESOLVER
9 Lim x  2  2  0
x2
x2
0
• Si se tiene
a b
Solución
x  2  2 Lim ( x  2  2)( x  2  2)
Lim
 x2
x2
( x  2)( x  2  2)
x2
x24
 Lim
x  2 ( x  2)(
x  2  2)
Por lo tanto
x2
 Lim
x  2 ( x  2)(
x  2  2)
1
 Lim
x2 (
x  2  2)
1

4
1
x2 2

Lim
x2
4
x2
Dr. Nolan Jara Jara
Entonces
multiplica
divide por
conjugada
se
y
su
a b
• Si se tiene
a b
Entonces
multiplica
divide por
conjugada
se
y
su
a b
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RESOLVER
x+ 9 - 3
0
10 Lim

x+
16
4
x 0
0
Solución
Lim
x 0
( x+ 9 - 3)( x+ 9  3)( x+ 16  4)
x+ 9 - 3
 Lim
x+ 16 - 4 x 0 ( x+ 16 - 4)( x+ 16  4)( x+ 9  3)
( x  9 - 9)( x+ 16  4)
 Lim
x 0 ( x  16 - 16)( x+ 9  3)
 Lim
x 0

Por lo tanto Lim
x 0
4
3
x+ 16  4
x+ 9  3
x+ 9 - 3
x+ 16 - 4

4
3
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LÍMITES LATERALES
f (x )
6
4
IZQUIERDA -
-3
DERECHA +
-1
IZQUIERDA -
Lim f ( x)   1
x  3
Lim f ( x)  6
No existe
Lim f ( x )
x  3
2
DERECHA +
Lim f ( x)  4
x2
Lim f ( x)  4
Lim f ( x)  4
x2
x2
x  3
𝐿𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ 𝐿𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥)
= 𝐿Jara Jara
Dr. Nolan
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
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Verificar si existen los siguientes límites
 x 2  5, x  1
f ( x)  
 x  4, x  1
𝑥3 − 8
, 𝑠𝑖𝑥 > 2
𝑥2 − 4
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 3 − 3
, 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 2
𝑥−2
a) Lim f ( x) b) Lim f ( x)
x 1
x 1
a ) Lim f ( x) b) Lim f ( x)
x 2
x 2
c) Lim f ( x)
x 1
c) Lim f ( x)
x 2
Determinar el valor de a y b, si se sabe que el límite Lim f ( x) y Lim f ( x)
x 1
x 2
existen

x3  x2
, x 1

x 1

f ( x)  3bx  2ax
, 1 x  2
 bx  4ax  8
,x  2


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Dada la gráfica de la función f (x ) calcular los siguientes límites
12
7
3
-2
1
3
-3
a) Lim f ( x)  3
b) Lim f ( x)  7
d ) Lim f ( x)  12
e) Lim f ( x)  -3
g ) Lim f ( x)  0
h) Lim f ( x)  0
x  2
x 1
x 3
x  2
x 1
x 3
Dr. Nolan Jara Jara
c) Lim f ( x) NO EXISTE
x  2
f ) Lim f ( x) NO EXISTE
x 1
i ) Lim f ( x) = 0
x 3
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