Ecuaciones Diferenciales Parciales II Tarea 3 Última modificación: junio 12, 2023 Nombre:_____________________________________ Firma:______________ Instrucciones: Responda clara y apropiadamente. Soluciones incompletas o confusas recibirán crédito parcial o nulo, aún si parecieran correctas. 1. (15 pts) Use la matriz de diferenciación espectral DN para aproximar numéricamente en el [0, 2π] las derivadas de a) f (x) = exp sin2 (x) y b) f (x) = exp (sin x |sin x|) usando N = 24, 64 y 128. ¿Qué diferencias encuentra y por qué? Muestre sus gráficas y la escala logarítmica de los errores. 2. (10 pts) Nosotros obtuvimos en clase las de diferenciación . . . . : 1 . . . . 3 . . . . −1 2 . . . . 1 1 . . . . 0 D= h . . . . −1 1 . . . . 2 . . . . −1 3 . . . . : entradas de la matriz infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . usando la funcion sinc (x). Derive el mismo resultado calculando la transformada de Fourier discreta inversa de ik δ̂ (k) . (2) 2 3. (10 pts) Para N = 4 confirme que DN 6= DN . 4. (10 pts) Derive fórmulas para las entradas de la matriz de diferenciación (3) periódica espectral de Fourier de tercer orden DN haciendo uso de la función SN (x). (2) (1) 5. (20 pts) Use las matrices de diferenciación DN y DN para resolver numéricamente el problema de valores en la frontera uxx + 4ux + ex u = u (±1) = sin (8x) , x ∈ [−1, 1] 0. ¿Cuál es el valor aproximado de u (0)? 1 6. (20 pts) Use la Transformada Rápida de Fourier y Runge-Kutta de 4to orden en tiempo para resolver espectralmente el problema: ut + 1 ux = 0, 0 ≤ x ≤ 2π, t > 0 1 + cos x 1 2 sujeto a la condición inicial u(x, 0) = esin(x) . 7. (15 pts) Si x0 , x1 , ..., xN son reales y distintos, entonces la función cardinal pj (x) definida por pj (x) = N 1 Y (x − xk ) , aj aj = k=0 k6=j N Y (xj − xk ) k=0 k6=j es el único polinomio interpolante de grado N de los valores 1 en xj y 0 en xk , k 6= j. Tome logaritmos y derive para obtener: p0j (x) = pj (x) N X k=0 k6=j 1 x − xk y de aqui derive las fórmulas Dij = N 1 Y ai (xi − xk ) = , i 6= j aj aj (xi − xj ) k=0 k6=i,j y Djj = N X k=0 k6=j 1 xj − xk para las entradas de la matriz de diferenciación N × N asociada con los puntos {xj }. 2