Ondas Electromagnéticas Guiadas Compendio de problemas, para Examen Parcial del Curso de “Ondas Electromagnéticas Guiadas” ANEXO 2 COMPENDIO DE ALGUNAS RELACIONES Y EXPRESIONES MATEMÁTICAS, QUE PERMITEN CALCULAR DIVERSAS CANTIDADES DE INTERÉS EN PROBLEMAS RELACIONADOS CON PROPAGACIÓN DE SEÑALES SINUSOIDALES EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN a) Para el tema de “Introducción a las líneas de transmisión”: a.1) Expresiones y relaciones válidas para cualquier línea de Tx uniforme de dos conductores: − 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅� 𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝐿𝐿� ; 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − − 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐺𝐺̅ 𝑣𝑣 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝐶𝐶̅ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑉𝑉� (𝑥𝑥, 𝜔𝜔) 𝜕𝜕𝐼𝐼̃(𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = (𝑅𝑅� + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐿𝐿�)𝐼𝐼̃(𝑥𝑥, 𝜔𝜔) ; − = (𝐺𝐺̅ + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐶𝐶̅ )𝑉𝑉� (𝑥𝑥, 𝜔𝜔) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑉𝑉� (𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = 𝑉𝑉� + 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 + 𝑉𝑉� − 𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 ; 𝐼𝐼̃(𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = 1 �𝑉𝑉� + 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝑉𝑉� − 𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 � 𝑍𝑍0 𝑣𝑣(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑉𝑉� (𝑥𝑥, 𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 � �; si la línea recibe un estímulo temporal sinusoidal en régimen estacionario. 𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝐼𝐼̃(𝑥𝑥, 𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 � 𝑅𝑅� + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐿𝐿� 𝑅𝑅0 + 𝑗𝑗𝑋𝑋0 𝜔𝜔 � + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐿𝐿�)(𝐺𝐺̅ + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐶𝐶̅ ) ⇒ 𝛾𝛾 = 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 ; 𝑣𝑣𝑝𝑝 = �(𝑅𝑅 𝑍𝑍0 = � ⇒ 𝑍𝑍0 = � ; 𝛾𝛾 = 𝑗𝑗𝜃𝜃 |𝑍𝑍0 |𝑒𝑒 0 𝛽𝛽 𝐺𝐺̅ + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐶𝐶̅ a.2) Obtención de los parámetros distribuidos de algunas líneas de transmisión, dada su estructura: Para línea coaxial: a b c Operando en “bajas frecuencias”: 𝑏𝑏 𝜇𝜇𝑐𝑐 1 1 4𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 2 2 𝐿𝐿� = �𝑏𝑏 − 3𝑐𝑐 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 � ��� �𝑙𝑙𝑙𝑙 � � + + 2 2 2 2 (𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 ) 𝑎𝑎 2𝜋𝜋 4 4(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 ) 𝑎𝑎 1 1 1 2𝜋𝜋𝜎𝜎𝑑𝑑 2𝜋𝜋𝜀𝜀𝑑𝑑 𝑅𝑅� = � + 2 � ; 𝐺𝐺̅ = ; 𝐶𝐶̅ = 2 𝜋𝜋𝜎𝜎𝑐𝑐 𝑎𝑎 (𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 ) 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑏𝑏⁄𝑎𝑎 ) 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑏𝑏⁄𝑎𝑎) Operando en “altas frecuencias”: 𝜇𝜇𝑐𝑐 𝑏𝑏 2𝜋𝜋𝜀𝜀𝑑𝑑 𝐿𝐿� = 𝑙𝑙𝑙𝑙 � � ; 𝐶𝐶̅ = 2𝜋𝜋 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑏𝑏⁄𝑎𝑎) 𝑎𝑎 1 1 2𝜋𝜋𝜎𝜎𝑑𝑑 1 � + � ; 𝐺𝐺̅ = 𝑅𝑅� = 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑏𝑏⁄𝑎𝑎) 2𝜋𝜋𝑙𝑙𝑝𝑝 𝜎𝜎𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 Para cada una de las expresiones anteriores, tómese en cuenta lo siguiente: 1 𝜎𝜎𝑑𝑑 60 𝑏𝑏 𝑙𝑙𝑝𝑝 = � ; 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛿𝛿𝑑𝑑 = ; 𝑍𝑍0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 � � 𝜔𝜔𝜀𝜀𝑑𝑑 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜇𝜇𝑐𝑐 𝜎𝜎𝑐𝑐 𝑎𝑎 �𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟𝑟 Elaboró: Heriberto E. González Jaimes Academia de Electromagnetismo / ESIME Zacatenco Enero 2023 Página 5 de 9 Ondas Electromagnéticas Guiadas Compendio de problemas, para Examen Parcial del Curso de “Ondas Electromagnéticas Guiadas” b) Para el tema de “Distribuciones de tensión, corriente, impedancia y potencia”, en líneas de Tx b.1) Expresiones para tensión (o voltaje), corriente, impedancia y potencia promedio: 𝑉𝑉� (𝑥𝑥) = 𝑉𝑉� + 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 + 𝑉𝑉� − 𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝐼𝐼̃(𝑥𝑥) = 1 �𝑉𝑉� + 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑍𝑍0 − 𝑉𝑉� − 𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 � (forma fasorial) ; 𝑣𝑣(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑉𝑉� (𝑥𝑥)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 � (forma fasorial) ; 𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑉𝑉� (𝑥𝑥)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 � (forma instantánea) (forma instantánea) (1 + 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑉𝑉�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝑍𝑍0 𝐼𝐼̃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑉𝑉�𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0 𝐼𝐼̃𝐿𝐿 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑍𝑍𝐿𝐿 𝑉𝑉� + = 𝑉𝑉�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 � � = = � 𝑒𝑒 ; donde: 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 ≜ � (1 + 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 − (1 − 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 2 2 𝑍𝑍0 (1 − 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑉𝑉�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑍𝑍0 𝐼𝐼̃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑉𝑉�𝐿𝐿 − 𝑍𝑍0 𝐼𝐼̃𝐿𝐿 −𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑍𝑍𝐿𝐿 − � � 𝑒𝑒 𝑉𝑉 = −𝑉𝑉𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 � � = = ; donde: 𝑧𝑧̂ ≜ � � 𝐿𝐿 (1 + 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 − (1 − 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 2 2 𝑍𝑍0 𝑍𝑍(𝑥𝑥) ≜ 𝑉𝑉� (𝑥𝑥) 𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ(𝛾𝛾(𝑙𝑙 − 𝑥𝑥)) 𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑗𝑗𝑍𝑍0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛽𝛽(𝑙𝑙 − 𝑥𝑥)) ; 𝑍𝑍(𝑥𝑥)� = 𝑍𝑍0 � � ; 𝑍𝑍(𝑥𝑥)|𝛼𝛼=0 = 𝑍𝑍0 � � ̃𝐼𝐼 (𝑥𝑥) 𝑍𝑍0 + 𝑍𝑍𝐿𝐿 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ(𝛾𝛾(𝑙𝑙 − 𝑥𝑥)) 𝑍𝑍0 + 𝑗𝑗𝑍𝑍𝐿𝐿 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛽𝛽(𝑙𝑙 − 𝑥𝑥)) 𝛼𝛼>0 1 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑉𝑉� (𝑥𝑥)𝐼𝐼̃∗ (𝑥𝑥)} ; si 𝑉𝑉�(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 𝐼𝐼̃(𝑥𝑥) están dadas en valores 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑥𝑥) = �2 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑉𝑉� (𝑥𝑥)𝐼𝐼̃∗ (𝑥𝑥)} ; si 𝑉𝑉� (𝑥𝑥) 𝑒𝑒 𝐼𝐼̃(𝑥𝑥) están dadas en valores 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 b.2) Coeficiente de reflexión para tensión (o voltaje) y Razón de onda estacionaria (ROE o SWR): Para una línea de transmisión “con pérdidas” (i.e. 𝛼𝛼 > 0): Γ(𝑥𝑥) ≜ 𝑉𝑉�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝑥𝑥) 𝑍𝑍𝐿𝐿 − 𝑍𝑍0 1 + |ΓL |𝑒𝑒 −2𝛼𝛼(𝑙𝑙−𝑥𝑥) = ΓL 𝑒𝑒 −2𝛾𝛾(𝑙𝑙−𝑥𝑥) ; ΓL ≜ ; 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0 1 − |ΓL |𝑒𝑒 −2𝛼𝛼(𝑙𝑙−𝑥𝑥) 𝑉𝑉�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑥𝑥) Para una línea de transmisión “sin pérdidas” (i.e. 𝛼𝛼 = 0): Γ(𝑥𝑥) ≜ 𝑉𝑉�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝑥𝑥) 𝑍𝑍𝐿𝐿 − 𝑍𝑍0 1 + |ΓL | = ΓL 𝑒𝑒 −𝑗𝑗2𝛽𝛽(𝑙𝑙−𝑥𝑥) ; ΓL ≜ ; 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 1 − |ΓL | 𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0 𝑉𝑉�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑥𝑥) b.3) Impedancia en cualquier punto de una línea de Tx, en términos del coeficiente de reflexión: 1 + ΓL 𝑒𝑒 −2𝛾𝛾(𝑙𝑙−𝑥𝑥) � si 𝛼𝛼 > 0 ; 𝑍𝑍(𝑥𝑥) = 𝑍𝑍0 � 1 − ΓL 𝑒𝑒 −2𝛾𝛾(𝑙𝑙−𝑥𝑥) Elaboró: Heriberto E. González Jaimes 1 + ΓL 𝑒𝑒 −𝑗𝑗2𝛽𝛽(𝑙𝑙−𝑥𝑥) 𝑍𝑍(𝑥𝑥) = 𝑍𝑍0 � � , si 𝛼𝛼 = 0 1 − ΓL 𝑒𝑒 −𝑗𝑗2𝛽𝛽(𝑙𝑙−𝑥𝑥) Academia de Electromagnetismo / ESIME Zacatenco Enero 2023 Página 6 de 9 Ondas Electromagnéticas Guiadas Compendio de problemas, para Examen Parcial del Curso de “Ondas Electromagnéticas Guiadas” c) Otras expresiones (o identidades), que pueden ser de utilidad: 1 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 8.686 𝑑𝑑𝑑𝑑 ; 𝜀𝜀0 = 10−9 𝐹𝐹 � �𝑚𝑚� ; 𝜇𝜇0 = 4𝜋𝜋 × 10−7 �𝐻𝐻�𝑚𝑚� 36𝜋𝜋 Recordar que: 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜀𝜀𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜀𝜀0 , 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜇𝜇𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜇𝜇0 y 𝜇𝜇𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≅ 1; para materiales NO magnéticos. Para dos complejos 𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍2 : 𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍2 ⟹ 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍1 } = 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍2 } ∧ 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍1 } = 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍2 } 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 } = 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍1 } + 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍2 } ; 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 } = 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍1 } + 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍2 } 𝑍𝑍1 𝑛𝑛 𝑟𝑟1 𝜃𝜃1 −𝜃𝜃2 � = � 𝑒𝑒 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ; 𝑍𝑍2 𝑟𝑟2 𝑛𝑛 𝛽𝛽 = 𝑗𝑗 𝑛𝑛 �𝑍𝑍1 𝑍𝑍2 = �𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 𝑒𝑒 𝑛𝑛 𝜃𝜃1 +𝜃𝜃2 𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑝𝑝 𝜔𝜔 2𝜋𝜋 𝑐𝑐 = ; 𝑣𝑣𝑝𝑝 = 𝑐𝑐(𝐹𝐹. 𝑉𝑉. ) ; 𝐹𝐹. 𝑉𝑉. = = ; para dieléctricos NO magnéticos 𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑝𝑝 𝜆𝜆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 �𝜀𝜀𝑟𝑟𝑑𝑑 Elaboró: Heriberto E. González Jaimes Academia de Electromagnetismo / ESIME Zacatenco Enero 2023 Página 7 de 9 Ondas Electromagnéticas Guiadas Compendio de problemas, para Examen Parcial del Curso de “Ondas Electromagnéticas Guiadas” ANEXO 3 CASOS ASIGNADOS A CADA EQUIPO, PARA RESOLVER EL PROBLEMA No. 1 Para el Equipo # 1 (caso “A”): Para el Equipo # 1 (caso “B”): Para el generador: 𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑉�𝑔𝑔 = 1∠0° �𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 � ∧ 𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝑅𝑅𝑔𝑔 = 10 (Ω) Para la línea: 𝑍𝑍0 = 75 + 𝑗𝑗0 (Ω), 𝛼𝛼 = 0 Para el Equipo # 2 (caso “A”): 𝑁𝑁𝑁𝑁 � 𝑚𝑚 � , 𝑣𝑣𝑝𝑝 = 2.1 × 10 8 𝑚𝑚 � 𝑠𝑠 � ∧ Para el generador: 𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑉�𝑔𝑔 = 2∠0° �𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 � ∧ 𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝑅𝑅𝑔𝑔 = 20 (Ω) Para la línea: 𝑍𝑍0 = 100 + 𝑗𝑗0 (Ω), 𝛼𝛼 = 0 Para el Equipo # 3 (caso “A”): 𝑁𝑁𝑁𝑁 � 𝑚𝑚 � , 𝑣𝑣𝑝𝑝 = 1.8 × 10 8 𝑚𝑚 � 𝑠𝑠 � ∧ Para el generador: 𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑉�𝑔𝑔 = 3∠0° �𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 � ∧ 𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝑅𝑅𝑔𝑔 = 30 (Ω) 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑙𝑙 = 1.0 (𝑚𝑚) 𝑚𝑚 Para el Equipo # 2 (caso “B”): 𝑙𝑙 = 2.0 (𝑚𝑚) Nota importante.-: Los valores de V+ y V-, están dados en valores “RMS” Para el Equipo # 3 (caso “B”): Para la línea: 𝑍𝑍0 = 75 + 𝑗𝑗0 (Ω), 𝛼𝛼 = 0 � 𝑚𝑚 � , 𝑣𝑣𝑝𝑝 = 2.1 × 108 � 𝑠𝑠 � ∧ 𝑙𝑙 = 1.0 (𝑚𝑚) Elaboró: Heriberto E. González Jaimes Nota importante.-: Los valores de V+ y V-, están dados en valores “RMS” Nota importante.-: Los valores de V+ y V-, están dados en valores “RMS” Academia de Electromagnetismo / ESIME Zacatenco Enero 2023 Página 8 de 9