Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física Física General II, Fs-200 Ejercicios primera unidad fs-200, PARTE B (Ondas) 19.6)(R) Una onda de 493 Hz de frecuencia tiene una velocidad de 353 m/s. (a) ¾A qué distancia entre sí están dos puntos que dieren en fase por 55.0◦ ? (b) Halle la diferencia de la fase entre dos desplazamientos en el mismo punto pero en tiempos que dieran en 1.12 ms Solución: I) Sabemos que la fase para la onda la podemos escribir como kx ± ωt y recordando que la rapidez de la onda la podemos ◦ determinar de la relación v = λf y que ω = 2πf y k = 2π λ . Además sabemos que 2π rad es equivalente a 360 II) Para el inciso (a), se nos pide la distancia a la que están dos puntos que dieren en cierta fase, o sea kx ± ωt=55.0◦ , donde podemos suponer que se comienza en un tiempo t = 0, por lo tanto la fase queda como kx=55.0◦ . III Para el inciso (b), Se nos pide la diferencia de la fase entre dos desplazamientos en el mismo punto, y si partimos de un punto x = 0 entonces nos queda ωt=φ. Datos: Frecuencia f = 493 Hz rapidez de la onda v = 353 m/s Para inciso (a) Fase φ = 55.0◦ Distancia entre puntos x =? Para inciso (b) tiempo en que dieren dos desplazamientos en el mismo punto t = 1.12 ms Diferencia entre fases φ =? Desarrollo: a) Se nos pide calcular la distancia a la que están dos puntos que dieren una fase de 55.0◦ , y como ya se analizó para un tiempo t = 0, la fase queda como: kx = 55.0◦ Donde el número de onda es k = que sería la distancia pedida será: 2π λ = ◦ 360 λ y recordando que λ = fv , entonces la expresión anterior despejando para x 55.0◦ k 55.0◦ x= λ 360◦ 55.0◦ v x= 360◦ f x= Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) Sustituyendo valores tenemos: x= 55.0◦ 353 m/s 360◦ 493 hz x = 0.109 m b) Ahora calcularemos la diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto en tiempos que dieren 1.12 ms, y partimos de x = 0 entonces tenemos: ωt = φ Donde ω = 2πf = 360 f , entonces: ◦ φ = 360◦ f t Sustituyendo valores tenemos: φ = (360◦ )(493 hz)(1.12 × 10−3 s) φ = 199◦ Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) 15.18)(SZ) Una cuerda de 1.50 m que pesa 0.0125 N está atada al techo por su extremo superior, mientras que el extremo inferior sostiene un peso W . Desprecie la pequeña variación de la tensión a lo largo de la cuerda producida por el peso de la misma. Cuando usted da un leve pulso a la cuerda, las ondas que viajan hacia arriba de esta obedecen la ecuación y(x, t) = (8.50 mm)cos(172 m−1 x − 4830 s−1 t) Suponga que la tensión de la cuerda es constante e igual a W . a) ¾Cuánto tiempo tarda un pulso en recorrer toda la cuerda? b) ¾Cuál es el peso W ? c) ¾Cuántas longitudes de onda hay en la cuerda en cualquier instante? d) ¾Cuál es la ecuación para las ondas que viajan hacia abajo de la cuerda? Solución: I) Las ondas viajan hacia arriba y se describe la ecuación que obedece este desplazamiento, y se nos dice que la tensión de la cuerda (F ) es igual al peso que sostiene la misma (W ) o sea que F = W . II) Debemos extraer toda la información que la ecuación de onda nos pueda proporcionar, en este caso Amplitud (A), número de onda (k) y frecuencia angular (ω ). Se observa en la gura una representación que nos puede ayudar a comprender mejor el problema. Datos: Longitud de la cuerda Lc = 1.50 m N −3 Masa de la cuerda mc = Wgc = 0.0125 kg 9.8 m/s2 = 1.275 × 10 De la ecuación: Amplitud A = 8.50 × 10−3 m Número de onda k = 172 rad/m Frecuencia angular ω = 4830 rad/s Se nos pide: a) Timpo que tarda un pulso en recorrer toda la cuerda t =? b) Peso W =? c) Cuantas longitudes de onda hay en la cuerda en cualquier instante N =? d) Ecuación de la onda que viaja hacia abajo Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) Desarrollo: a) Se nos pide el tiempo que tarda la onda (pulso) en recorrer la cuerda completa, este tiempo lo podemos determinar conociendo la rapidez de propagación de la onda (v ) y la distancia recorrida por la misma (Lc ) o sea: Lc v t= Tenemos la longitud de la cuerda, pero no conocemos la rapidez a la que se propaga el pulso, pero lo podemos determinar a través de la siguiente relación: ω k 4830 rad/s v= 172 rad/m v= v = 28.08 m/s Por lo tanto el tiempo que tarda el pulso en recorrer toda la cuerda es: t= 1.50 m 28.08 m/s t = 0.0534 s = 53.4 ms b) Como ya sabemos el peso (W ) que soporta la cuerda es igual a la tensión (F ) de la misma, asi que podemos determinar la tensión a través de la siguiente relación: s v= F µ Despejando para la tensión: F = v2 µ Ya conocemos la rapidez (v ) a la que viaja la onda, pero necesitamos determinar la densidad lineal de masa (µ), la cual determinaremos de: µ= µ= mc Lc 1.275 × 10−3 kg 1.50 m µ = 8.5 × 10−4 Ahora podemos determinar la tensión de la cuerda (F ) que es la mismo peso (W ) que esta sostiene: W = F = (28.08 m/s)2 (8.5 × 10−4 ) W = 0.670 N Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) c) Ahora queremos saber cuantas longitudes de onda (λ) hay en la cuerda en cualquier instante, o seá cuantas longitudes de onda (λ) caben en la longitud de la cuerda (Lc ) entonces: N= Lc λ Tenemos la longitud de la cuerda (Lc ), pero no conocemos la longitud de onda (λ), sin embargo la podemos determinar a través de: 2π λ 2π λ= k 2π λ= 172 rad/m k= λ = 0.0365 m Entonces: N= 1.50 m 0.0365 m N = 41.1 d) Se nos pide la ecuación para las ondas que viajan hacia abajo de la cuerda y como ya sabemos está no es otra cosa mas que el cambio de signo en la expresión de la fase que ahora es positivo o sea: y(x, t) = (8.50 mm)cos(172 m−1 x+4830 s−1 t) 19.19)(R) Un alambre de 10.3 m de longitud y una masa de 97.8 g se estira bajo una tensión de 248 N . Si se generan dos pulsaciones, separas en tiempos por 29.6 ms, una en cada extremo del alambre, ¾en donde se encuentran las pulsaciones? Solución: I) Los dos pulsos viajan en direcciones opuestas en el alambre (en cada extremo del alambre); una viaja una distancia que llamaremos x1 en un tiempo t, la otra viaja una distancia x2 en un tiempo t + 29.6 ms, y como los pulsos se encuentran, tenemos entonces que x1 + x2 = 10.3 m. II) Sabemos que las posiciones de las pulsaciones estarán dadas por x1 = vt y x2 = v(t + 29.6 ms) por lo que necesitamos conocer la rapidez a la que viaja la onda (v ) para poder determinar el tiempo t y así determinar las posiciones x1 y x2 en donde se encontrará cada pulsación. Datos: Longitud del alambre La = 10.3 m Masa del alambre ma = 97.8 g = 97.8 × 10−3 kg Tensión del alambre F = 248 N Tiempo de separación entre pulsaciones ts = 29.6 ms Posición 1 x1 =? Posición 2 x2 =? Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) Desarrollo: Como ya se explicó en la solución, es necesario determinar la rapidez de la onda (pulsación) por lo cual: s v= F µ Ya conocemos la tensión (F ) y podemos determinar la densidad lineal de masa (µ) a través de: µ= µ= ma La 97.8 × 10−3 kg 10.3 m µ = 9.495 × 10−3 kg/m Entonces la rapidez de la pulsación será: s v= 248 N 9.495 × 10−3 kg/m v = 162 m/s Sabemos que x1 + x2 = 10.3 m y que x1 = vt y x2 = v(t + 29.6 ms) entonces: x1 + x2 = 10.3 m vt + v(t + 29.6 × 10−3 s) = 10.3 m vt + vt + v · 29.6 × 10−3 s = 10.3 m 2vt + v · 29.6 × 10−3 s = 10.3 m v(2t + ·29.6 × 10−3 s) = 10.3 m t= 10.3 m v − 29.6 × 10−3 s 2 Sustituyendo valores: t= 10.3 m 162 m/s − 29.6 × 10−3 s 2 t = 0.0170 s Ahora podemos determinar las posiciones x1 y x2 respectivamente: x1 = vt x1 = (162 m/s)(0.0170 s) x1 = 2.75 m y que: x2 = v(t + 29.6 × 10−3 s) x2 = 162 m/s(0.0170 s + 29.6 × 10−3 s) x2 = 7.55 m Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) 15.28)(SZ) Un compañero con dotes matemáticas le dice que la función de onda de una onda que viaja en una cuerda delgada es y(x, t) = 2.30 mm cos[(6.98 rad/m)x+(742 rad/s)t]. Usted, que es más práctico, efectúa mediciones y determina que la cuerda tiene una longitud de 1.35 m y una masa de 0.00338 kg. Ahora le piden determinar lo siguiente: a) amplitud, b) frecuencia, c) longitud de onda, d) rapidez de la onda, e) dirección en que viaja la onda, f ) tensión en la cuerda, g) potencia media transmitida por la onda. Solución: I) Debemos extraer toda la información que la ecuación de onda nos pueda proporcionar, en este caso Amplitud (A), número de onda (k), frecuencia angular (ω ) y la dirección en que viaja la onda. Datos: Longitud de la cuerda Lc = 1.35 m Masa de la cuerda mc = 0.00338 kg De la ecuación: Amplitud A = 2.30 × 10−3 m Número de onda k = 6.98 rad/m Frecuencia angular ω = 742 rad/s Se nos pide: a) Amplitud A =? b) Frecuencia f =? c) Longitud de onda λ =? d) Rapidez de la onda v =? e) Dirección en que viaja la onda f) Tensión en la cuerda F =? g) Potencia media Pmed =? Desarrollo: a) La amplitud (A) ya la conocemos, se extrajo de la ecuación A = 2.30 × 10−3 m b) La frecuencia la podemos calcular de la relación ω = 2πf y ya conocemos el valor de ω , por lo tanto: ω 2π 742 rad/s f= 2π f= f = 118 Hz Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) c) Se nos pide la longitud de onda (λ) y ya conocemos de la ecuación el número de onda (k) y sabemos que k = 2π λ entonces: 2π k 2π λ= 6.98 rad/m λ= λ = 0.900 m d) La rapidez de la onda será: ω k 742 rad/s v= 6.98 rad/m v= v = 106 m/s Tambien se puede calcular de v = λf . e) De la ecuación vemos que la fase es de la forma kx + ωt, lo que indica que la onda viaja de izquierda a derecha o sea en la dirección de: −x f) La tensión en la cuerda a partir de la relación v = q F µ es: F = v2 µ Donde la densidad lineal de masa será: mc Lc 0.00338 kg µ= 1.35 m µ = 2.504 × 10−3 kg/m µ= Entonces la tensión de la cuerda será: F = (106 m/s)2 (2.504 × 10−3 kg/m) F = 28.1 N g) La potencia media se determina por: Pmed = Pmed = 1p µF ω 2 A2 2 1p 2 (2.504 × 10−3 kg/m)(28.1 N )(742 rad/s) (2.30 × 10−3 m)2 2 Pmed = 0.386 W Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) 15.53)(SZ) Tres pedazos de cuerdas, cada una con longitud L, se atan extremo con extremo para formar una cuerda combinada de longitud 3L. La masa por unidad de longitud de los tres trozos es, respectivamente, µ1 , µ2 = 4µ1 y µ3 = µ1 /4. a) Si la cuerda combinada tiene una tensión F , ¾cuánto tiempo tarda una onda transversal en recorrer la longitud total 3L? Dé su respuesta en términos de L, F y µ1 . b) ¾Su respuesta al inciso a) depende del orden en que se unieron las tres cuerdas? Explique su respuesta. Solución: I) Las cuerdas tienen todas la misma longitud L, pero tienen diferente densidad lineal de masa (µ), lo que indica que la onda se propagará a una rapidez distinta por cada tramo de la cuerda que se unió o seá v1 , v2 y v3 , por lo tanto también el tiempo transcurrido en cada tramo sera distinto, y se nos pide el tiempo que tarda la onda en pasar por la unión de las tres cuerdas o sea 3L, entonces habrá un ttotal = t1 + t2 + t3 . Se observa en la gura una representación que nos puede ayudar a comprender mejor el problema. Datos: Longitud de cada cuerda L Tensión de la cuerda (combinada) F Densidad lineal de masa de cada cuerda respectivamente µ1 , µ2 = 4µ1 , µ3 = 14 µ1 Tiempo total ttotal = t1 + t2 + t3 =? Desarrollo: a) Como ya se mencionó necesitamos determinar el tiempo para cada tramo de la cuerda (unida) y como tienen diferente masa entonces la rapidez con que se propague la onda en la cuerda cambiará en cada una de las tres secciones de las cuerda, de manera general podemos determinar el tiempo de la relación t = d/v , donde d es la distancia recorrida en cada tramo y como cada tramo tiene la misma longitud L, entonces t = L/v y debemos calcular el tiempo para cada uno de los q F tres tramos de la cuerda y recordemos que la rapidez de la onda se puede determinar de v = µ y existe una densidad lineal de masa para cada tramo, por lo tanto tendremos una rapidez de onda por cada uno de esos mismos tramos, entonces: s v1 = s F µ1 s F F = µ2 4µ1 s s F 4F v3 = = µ3 µ1 v2 = Ing. wilmer Betanco UNAH Problemas resueltos Fs-200 30-01-2021, I-2021 (VIRTUAL) Donde el tiempo para cada segmento será: r µ1 L t1 = =L v1 F r L 4µ1 t2 = =L v2 F r µ1 L =L t3 = v3 4F Entonces el tiempo que tarda la onda en recorrer la longitud total será: ttotal = t1 + t2 + t3 r r r µ1 4µ1 µ1 ttotal = L +L +L F F 4F r r r µ1 µ1 1 µ1 ttotal = L + 2L + L F F 2 F ttotal r 7 µ1 = L 2 F b) El orden en que se coloquen las cuerdas no afectan la rapidez de propagación de la onda (por ende el tiempo), ya que cada rapidez depende de las densidades de masa lineal (µ) y de la tensión (F ) y no hay cambios en los mismos, así que siempre obtendremos el mismo valor de tiempo transcurrido. Ing. wilmer Betanco UNAH
