folleto-de-practicas Matematica General

TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
Escuela de Matemática
Escuela de Ciencias Naturales y Exactas
PRÁCTICAS SEMANALES
Matemática General
Revisado: 23 Octubre 2023
II Semestre, 2023
Adriana Solís Arguedas
Coordinadora
Christian Páez Páez
Kendall Rodríguez Bustos
Adriana Solís Arguedas
Editores
Semana
1
Semana 1
1.1
R
Conceptos de relación y función, cálculo de imágenes y preimágenes,
cálculo de dominio real
1.1.1 Sea A = {2, 3, 4, 5, 6} el dominio de las relaciones R, S, T y U, y considere los gráficos
siguientes que corresponden, respectivamente, con esas relaciones:
Gráfico de R : {(5, 8), (2, 10), (4, −7), (6, 9), (3, 8)}.
Gráfico de S : {(2, 10), (4, 5), (5, −4), (6, −1)}.
Gráfico de T: {(5, 8), (2, 10), (5, −7), (6, 9), (3, 8), (4, 8)}.
Gráfico de U : {(2, −11), (4, 4), (5, 5), (6, −9), (3, −11)}.
Indique cuáles de ellas son funciones.
R
1.1.2 Considere las relaciones siguientes representadas en forma tabular.
A:
x −9 −8 −7 −6
x
B:
y −9 −8 −7 −6
C:
x 6
7
8
9
y 9 11 11 9
6
7
7
8
y −9 −10 −11 −12
D:
x −9 −8
7
6
y −8 −7 −6 −5
Indique cuáles de ellas no definen a y como función de x.
R
1.1.3 Considere el gráfico de la función g dado por G g = {(3, 22), (5, −23), (−4, 25), (−6, 24)}.
Determine el dominio y ámbito de la función g.
1.1. CONCEPTOS DE RELACIÓN Y FUNCIÓN, CÁLCULO DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES, CÁLCULO DE DOMINIO REAL
R
3
1.1.4 Considere la función g : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → R definida en forma tabular
n
1
2
3 4 5
6
7
g ( n ) 8 −6 4 7 8 −2 0
Determine el gráfico de la función g y calcule g(4). Además, determine los valores m y k tal
que g(m) = 4 y g(k) = 8.
R
1.1.5 Si una función f está dada por la fórmula y = f ( x ), entonces f ( a) es la
x = a.
de f en
R
1.1.6 ¿Cuáles de las funciones dadas por los siguientes criterios, tienen a 5 en sus dominios?
Para las funciones que tienen a 5 en su dominio, encuentre el valor de la función en 5.
a) f ( x ) = x2 − 3x
x−5
x
√
c) h( x ) = x − 10
b) g( x ) =
R
1.1.7 Una función está dada algebraicamente por la fórmula f ( x ) = ( x − 4)2 + 3. Complete
estas otras formas de representar a f .
a) Verbal: Restar 4, luego
y
.
b) Numérica:
x
f (x)
0
2
4
6
R
R
1.1.8 Exprese la regla “tomar la raíz cuadrada, sumar 8, luego multiplicar por 3 ” en
notación de función.
1.1.9 Exprese la función (o regla) f ( x ) =
x−4
en palabras.
3
4
1.1. CONCEPTOS DE RELACIÓN Y FUNCIÓN, CÁLCULO DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES, CÁLCULO DE DOMINIO REAL
R
1.1.10 En cada caso, evalúe la función en los valores indicados.
1
a) f : R → R, tal que f ( x ) = 2x + 1; f (1), f (−2), f
, f ( a), f (− a), f ( a + b)
2
√
b) f : R → R, tal que f ( x ) = 2x2 + 3x − 4; f (0), f (2), f (−2), f ( 2), f ( x + 1), f (− x )
1
|x|
2
; f (−2), f (−1), f (0), f (5), f ( x ), f
c) f : R → R, tal que f ( x ) =
x
x
R
1.1.11 Determine en cada caso, f ( a), f ( a + h) y el cociente de diferencias
donde h ̸= 0.
f ( a + h) − f ( a)
h
a) f : R → R, tal que f ( x ) = 3x + 1
b) f : R → R, tal que f ( x ) = x2 − 2
c) f : R → R, tal que f ( x ) = x2 + 2x + 3
d) f : R − {−1} → R, f ( x ) =
1
x+1
1.1.12 Considere la función g : R → R, tal que g( x ) = x2 + 13x. Si a ∈ R, determine la
g( x ) − g( a)
con x ̸= a.
simplificación de la expresión
x−a
9
R 1.1.13 Considere la función f : R − {0} → R, tal que f ( x ) = , y sea h un número real con
x
f ( x + h) − f ( x )
h ̸= 0. Determine la simplificación de la expresión
.
h




x2 + 2x si
x ≤ −1




R 1.1.14 Considere la función f : R → R, tal que f ( x ) =
x
si −1 < x ≤ 1 .






 −1
si
x>1
3
, f (−1), f (0) y f (25).
Determine f (−4), f −
2




x2 − 4 si
x ≤ −5




R 1.1.15 Considere la función f : R → R, tal que f ( x ) =
−4x + 5 si −5 < x ≤ 5 .







−5
si
x>5
R
Determine los valores f ( x ) de la tabla siguiente:
x
f (x)
−7 −5
0
6
1.1. CONCEPTOS DE RELACIÓN Y FUNCIÓN, CÁLCULO DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES, CÁLCULO DE DOMINIO REAL
R
1.1.16 Considere la función f : R → R, tal que f ( x ) =



 4−x
5
si x ≥ 1


 x + x2 si x < 1
Determine el valor de f (3) − f (−3).
R
1.1.17 Determine en cada caso, el dominio de la función.
x+2
x2 − 1
√
b) f : D f → R, tal que f ( x ) = x − 5
√
c) f : D f → R, tal que f (t) = 3 t − 1
√
2+x
d) f : Dg → R, tal que g( x ) =
3−x
a) f : D f → R, tal que f ( x ) =
e) f : D f → R, tal que f ( x ) = √
R
3
x−4
1.1.18 El área superficial S de una esfera es una función de su radio r y se cumple que
S(r ) = 4πr2
a) Encuentre S(2) y S(3).
b) ¿Qué representan sus respuestas en la parte a)?
R
1.1.19 La población P (en millones) de Costa Rica de 2012 a 2022 se muestra en la tabla
siguiente (se dan estimaciones de mediados de año). Trace una gráfica aproximada de P
como función de t.
t
2010
2012
2014
2016
2018
2020
2022
P
4.5
4.6
4.7
4.8
5
5.1
5.2
1.1. CONCEPTOS DE RELACIÓN Y FUNCIÓN, CÁLCULO DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES, CÁLCULO DE DOMINIO REAL
R
6
1.1.20 Cuando aumenta la brillantez x de una fuente de luz, el ojo reacciona al disminuir
el radio R de la pupila. La dependencia de R en x está dada por la función
s
13 + 7x0.4
R( x ) =
1 + 4x0.4
donde R se mide en milímetros y x se mide en unidades de brillantez apropiadas.
a) Encuentre R(1), R(10) y R(100).
b) Haga una tabla de valores de R( x ).
R
1.1.21 En cada caso, trace la gráfica de la función haciendo primero una tabla de valores.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = − x2
b) f : R → R, tal que f ( x ) = x3 − 8
R
1.1.22 En cada caso, trace la gráfica de la función (puede utilizar Geogebra).



 3
si x < 2
a) f : R → R, tal que f ( x ) =


 x − 1 si x ≥ 2
b) f : R → R, tal que f ( x ) =
R




x
si x ≤ 0


 x + 1 si x > 0
1.1.23 De acuerdo con la gráfica de de la función f definida por trozos, encuentre la
fórmula para la función en la forma indicada.
7
1.1. CONCEPTOS DE RELACIÓN Y FUNCIÓN, CÁLCULO DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES, CÁLCULO DE DOMINIO REAL
R
1.1.24 Cuando se infla un globo de meteorología, el grueso T de la capa de caucho está
relacionado con el radio r del globo mediante la ecuación
0.5
r2
donde T y r se miden en centímetros. Grafique la función T para valores de r entre 10 y 100.
Puede utilizar Geogebra.
2x − 1
1.1.25 Considere la función g : R → R, tal que g( x ) =
. Determine la preimagen de
7
4.
9 − 10x
. Determine la preimagen de
1.1.26 Considere la función h : R → R, tal que h( x ) =
6
−20.
x+8
1.1.27 Considere la función m : R − {8} → R, tal que m( x ) =
. Determine la preimagen
x−8
de 16.
√
1.1.28 Considere la función n :] − ∞, 121] → [0, +∞[, tal que n( x ) = 121 − x. Determine la
preimagen de 6.
5 − 2x
. Determine las preimágenes
1.1.29 Considere la función p : R − {±1} → R, tal que p( x ) = 2
x −1
de −5.
√
−3
→ R, tal que q( x ) = 4 −3 − 5x. Determine el o
1.1.30 Considere la función q : −∞,
5
los valores de x que satisfacen que q( x ) = 8.



 x2 − 9 si x < −3
1.1.31 Considere la función h : Dh → R, tal que h( x ) =
.


 x + 2 si x ≥ 0
T (r ) =
R
R
R
R
R
R
R
Determine lo que se indica.
a) El dominio real de h.
b) La imagen de 4.
c) Las preimágenes de 7.
R
1.1.32 Considere la función f : D f → R, tal que f ( x ) =
Determine lo que se indica.
a) La imagen de 5.
b) Las preimágenes de −4.




x2 − 5x si




x<2
si
x≥3
x−7







8
si 2 ≤ x < 3 .
Semana
2
Semana 2
2.1
R
Funciones elementales, prueba de la recta vertical, ecuaciones vs funciones.
2.1.1 Relacione la función con su respectiva gráfica.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = x2
b) f : R → R, tal que f ( x ) = x3
c) f : [0, +∞[→ R, tal que f ( x ) =
d) f : R → R, tal que f ( x ) = | x |
√
x
2.1. FUNCIONES ELEMENTALES, PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL, ECUACIONES VS FUNCIONES.
R
R
9
2.1.2 Utilice la prueba de la recta vertical para determinar si la curva es la gráfica de una
función de x.
2.1.3 Determine si la ecuación define a y como función de x.
a) x2 + 2y = 4
b) x + y2 = 9
c) x2 y + y = 1
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: IMÁGENES, PREIMÁGENES, DOMINIO, ÁMBITO, MONOTONÍA, EXTREMOS RELATIVOS, ASÍNTOTAS,
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS, SIGNO.
2.2
R
Características de una función: imágenes, preimágenes, dominio, ámbito,
monotonía, extremos relativos, asíntotas, intersecciones con los ejes
coordenados, signo.
2.2.1 Considere la gráfica de una función h.
Determine:
a) h(−2), h(0), h(2) y h(3).
b) Dominio y rango de h.
c) Todos los valores de x para los cuales h( x ) = 3.
d) Todos los valores de x para los cuales h( x ) ≤ 3
R
10
2.2.2 Considere la gráfica de una función g.
Determine:
a) g(−4), g(−2), g(0), g(2) y g(4).
b) Dominio y rango de g.
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: IMÁGENES, PREIMÁGENES, DOMINIO, ÁMBITO, MONOTONÍA, EXTREMOS RELATIVOS, ASÍNTOTAS,
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS, SIGNO.
R
R
2.2.3 En cada caso, trace la gráfica de la función (puede utilizar Geogebra) y determine
el dominio y rango de la función.
√
a) f : D f → R, tal que f ( x ) = 16 − x2 .
√
b) f : D f → R, tal que f ( x ) = x − 1.
2.2.4 Considere la gráfica de una función.
a) ¿En qué intervalos es creciente?
b) ¿En qué intervalos es decreciente?
R
11
2.2.5 Considere la gráfica de una función.
a) ¿En qué intervalos es creciente?
b) ¿En qué intervalos es decreciente?
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: IMÁGENES, PREIMÁGENES, DOMINIO, ÁMBITO, MONOTONÍA, EXTREMOS RELATIVOS, ASÍNTOTAS,
12
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS, SIGNO.
R
2.2.6 Considere la gráfica de una función.
a) Encuentre todos los valores máximo y mínimo locales de la función y el valor de x en
el que ocurre cada uno.
b) ¿En qué intervalos es creciente? ¿En qué intervalos es decreciente?
R
2.2.7 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de la función f : D f → R.
6
y
5
f
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
Figura 2.1: Representación gráfica de f .
Determine las siguientes características de la función f .
a) Dominio real.
b) Ámbito.
c) Imagen de 3 y 9.
d) Preimagen de 1 y 2.
4
5
x
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: IMÁGENES, PREIMÁGENES, DOMINIO, ÁMBITO, MONOTONÍA, EXTREMOS RELATIVOS, ASÍNTOTAS,
13
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS, SIGNO.
e) ¿En qué intervalos es f es estrictamente creciente?, ¿en qué intervalos es f estrictamente
decreciente? y ¿en qué intervalos es f constante?
f) Mínimo relativo en x = 1.
g) Todos los intervalos del dominio donde f es negativa y donde f es positiva.
R
2.2.8 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de la función g : Dg → R.
y
10
9
8
7
6
5
4
g
3
2
1
-8
-7 -6
-5
-4
-3
-2
-1 -1
-2
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Figura 2.2: Representación gráfica de g.
Determine las siguientes características de la función g.
a) Dominio real.
b) Ámbito.
c) Conjunto de valores x tal que g( x ) = 0.
d) ¿En qué intervalos es g estrictamente creciente?, ¿en qué intervalos es g estrictamente
decreciente? y ¿en qué intervalos es g constante?
e) Máximos y mínimos relativos.
f) Todos los intervalos del dominio donde g( x ) ≥ 0 y g( x ) < 0.
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: IMÁGENES, PREIMÁGENES, DOMINIO, ÁMBITO, MONOTONÍA, EXTREMOS RELATIVOS, ASÍNTOTAS,
14
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS, SIGNO.
R
2.2.9 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de la función f : D f → R.
12
y
10
f
6
2
-8
-5
-2
2
4
-2
-4
-6
-8
Figura 2.3: Representación gráfica de f .
Determine las siguientes características de la función f .
a) Dominio real.
b) Ámbito.
c) Intersecciones con los ejes coordenados.
d) Asíntotas.
e) Monotonía.
x
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: IMÁGENES, PREIMÁGENES, DOMINIO, ÁMBITO, MONOTONÍA, EXTREMOS RELATIVOS, ASÍNTOTAS,
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS, SIGNO.
R
15
2.2.10 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de la función m : Dm → R.
Figura 2.4: Representación gráfica de m.
Determine las siguientes características de la función m.
a) Dominio real.
b) Ámbito.
c) Intersecciones con los ejes coordenados.
d) Asíntotas.
e) ¿En qué intervalos es m estrictamente creciente?, ¿en qué intervalos es m estrictamente
decreciente? y ¿en qué intervalos es m constante?
f) El mayor subconjunto del dominio de m, donde m es positiva y el mayor subconjunto
del dominio de m, donde m es negativa.
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: IMÁGENES, PREIMÁGENES, DOMINIO, ÁMBITO, MONOTONÍA, EXTREMOS RELATIVOS, ASÍNTOTAS,
16
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS, SIGNO.
R
2.2.11 La figura muestra el consumo de energía eléctrica en San Francisco para el 19 de
septiembre de 1996 (P se mide en megawatts; t se mide en horas empezando a la medianoche).
a) ¿Cuál fue el consumo de energía eléctrica a las 6:00 a.m.? ¿A las 6:00 p.m.?
b) ¿Cuándo fue mínimo el consumo de energía eléctrica?
c) ¿Cuándo fue máximo el consumo de energía eléctrica?
R
2.2.12 Una ingeniera de carreteras desea estimar el número máximo de autos que con
seguridad puedan viajar por una carretera en particular a una velocidad determinada. Ella
supone que cada auto mide 17 pies de largo, viaja a una rapidez s, y sigue al auto de adelante
a una “distancia segura de seguimiento” para esa rapidez. Ella encuentra que el número N
de autos que pueden pasar por cierto punto por minuto está modelado por la función:
N (s) =
88s
s 2
17 + 17
20
¿A qué rapidez puede viajar con seguridad en esa carretera el máximo número de autos?
(Puede utilizar Geogebra para graficar la función.)
2.3. RAPIDEZ DE CAMBIO PROMEDIO
2.3
R
R
17
Rapidez de cambio promedio
2.3.1 Si usted hace un viaje de 100 millas en 2 horas, entonces su promedio de velocidad
del viaje es
2.3.2 La rapidez de cambio promedio de una función f ( x ) = x2 entre x = 1 y x = b es
R
2.3.3 De acuerdo con la gráfica de la función, determine la rapidez de cambio promedio
de la función entre los valores de la variable dados.
R
2.3.4 De acuerdo con la gráfica de la función, determine la rapidez de cambio promedio
de la función entre los valores de la variable dados.
2.3. RAPIDEZ DE CAMBIO PROMEDIO
R
18
2.3.5 Determine la rapidez de cambio promedio de la función entre los valores de la
variable dados.
a) f ( x ) = 3x2 ; x = 2, x = 2 + h
1
b) g( x ) = ; x = 1, x = a
x
2
c) f (t) = ; t = a, t = a + h
t
( r )
− x2 + 2
1
. Determine
R 2.3.6 Considere la función g : R − − 3
→ R definida por g( x ) = 3
2
2x + 1
la rapidez de cambio promedio de la función g entre los siguientes puntos
a) x = −5 y x = −1
b) x = 1 y x = 4
R
2.3.7 La gráfica muestra la profundidad del agua W en un depósito en un período de un
año, como función del número de días x desde el principio del año. ¿Cuál fue la rapidez de
cambio promedio de W entre x = 100 y x = 200?
2.3. RAPIDEZ DE CAMBIO PROMEDIO
R
19
2.3.8 La tabla siguiente da la población en una pequeña comunidad costera para el
período 1997 − 2006. Las cifras mostradas son para enero 1 de cada año.
a) ¿Cuál fue la rapidez de cambio promedio de población entre 1998 y 2001?
b) ¿Cuál fue la rapidez de cambio promedio de población entre 2002 y 2004?
c) ¿Para cuál período fue creciente la población?
d) ¿Para cuál período fue decreciente la población?
R
2.3.9 Un hombre está corriendo alrededor de una pista circular que mide 200 m de
circunferencia. Un observador usa un cronómetro para registrar el tiempo del corredor
al final de cada vuelta, obteniendo los datos de la tabla siguiente.
a) ¿Cuál fue el promedio de velocidad del hombre (rapidez) entre 68 y 152 s?
b) ¿Cuál fue el promedio de velocidad del hombre entre 263 y 412 s?
c) Calcule la velocidad del hombre para cada vuelta. ¿Está reduciéndola, aumentándola
o ninguna de éstas?
20
2.3. RAPIDEZ DE CAMBIO PROMEDIO
R
2.3.10 Cuando un tazón de sopa caliente se deja en un cuarto, la sopa finalmente se enfría
a la temperatura del cuarto. La temperatura T de la sopa es una función del tiempo t. La
tabla siguiente da la temperatura (en ◦ F) de un tazón de sopa t minutos después que se
dejó en la mesa. Encuentre la rapidez de cambio promedio de la temperatura de la sopa en
los primeros 20 minutos y en los siguientes 20 minutos. ¿Durante qué intervalo se enfrío la
sopa más rápidamente?
R
2.3.11 La siguiente tabla muestra los datos de exportaciones en Costa Rica hacia Europa,
para el periodo de 1999 - 2007.
Año Millones de Euros
1999
6242
2000
6322
2001
5584
2002
5534
2003
5292
2004
5050
2005
5634
2006
6514
2007
6784
Durante el periodo de 2000 a 2004, determine la razón de cambio promedio que disminuyeron
las exportaciones en Costa Rica.
2.3. RAPIDEZ DE CAMBIO PROMEDIO
R
21
2.3.12 La gráfica siguiente muestra el número de televisores vendidos en una pequeña
tienda de aparatos electrónicos en los años de 1993 a 2003.
Figura 2.5: Números de televisores vendidos en los años de 1993 a 2003.
Durante el periodo de 1997 a 1999, determine la rapidez de cambio promedio de ventas de
televisores.
22
2.3. RAPIDEZ DE CAMBIO PROMEDIO
R
2.3.13 En el periodo de 1981 al 2001, un coleccionista de muñecas compró muñecas para
su colección a razón de 39 muñecas por año.
Año Número de Muñecas
1981
405
1982
444
1983
1984
1986
1991
1993
1996
2001
1185
A partir de la información dada, complete la anterior tabla (observe que no se dan todos
los años en la tabla) y determine la razón de cambio promedio que aumenta la colección
de muñecas durante el periodo de 1986 a 1996.
Semana
3
Semana 3
3.1
R
Intersecciones con los ejes coordenados
3.1.1 Determine los puntos de intersección con los ejes coordenados de las siguientes
funciones.
a) s : Ds → R, tal que s( x ) = x3 + x2 − 12x.
b) h : Dh → R, tal que h( x ) =
1
− 2.
x−1
−2x3 − 5x2 + 12x
.
−x − 4
p
d) f : D f → R, tal que f ( x ) = 5(1 − x ) − 2.
√
9+t−3
e) p : D p → R, tal que p(t) =
.
t
√
f) h : Dh → R, tal que h( x ) = −3x + 1 + 2x − 1.
c) m : Dm → R, tal que m( x ) =
3.2
R
Transformaciones de funciones
3.2.1 Suponga que nos dan la gráfica de f . Describa la forma en que la gráfica de cada
función se puede obtener a partir de la gráfica de f .
a) y = f ( x ) − 5
b) y = f ( x − 5)
c) y = − f ( x )
d) y = f (− x )
R
3.2.2 Explique cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f .
a) f ( x ) = x2 , g( x ) = ( x + 2)2
b) f ( x ) = x2 , g( x ) = x2 + 2
c) f ( x ) = | x |, g( x ) = | x + 2| − 2
d) f ( x ) = | x |, g( x ) = | x − 2| + 2
3.2. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
R
24
3.2.3 Use la gráfica de y = x2 para graficar lo siguiente.
a) g( x ) = x2 + 1
b) g( x ) = ( x − 1)2
c) g( x ) = − x2
d) g( x ) = ( x − 1)2 + 3
R
3.2.4 Trace la gráfica de la función, empezando con la gráfica de una función estándar y
aplicando transformaciones.
a) f ( x ) = ( x − 5)2
√
b) f ( x ) = x + 4
c) f ( x ) = | x + 2| + 2
R
3.2.5 Considere la función f , y las transformaciones indicadas que se aplican a su gráfica
(en el orden dado). Escriba la ecuación para la gráfica final transformada.
√
a) f ( x ) = x; desplazar 2 unidades a la izquierda.
b) f ( x ) = | x |; desplazar 3 unidades a la derecha y desplazar 1 unidad hacia arriba.
R
3.2.6 Considere las gráficas de f y de g. Encuentre una fórmula para la función g.
R
3.2.7 Considere las gráficas de f y de g. Encuentre una fórmula para la función g.
25
3.2. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
R
3.2.8 En la figura adjunta se muestran las representaciones gráficas de las funciones
f : R → R, en color azul, y g : R → R, en color rojo.
y
y=f(x)
4
3
y=g(x)
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
Figura 3.1: Representación gráfica de f y g.
Si la función y = g( x ) es una transformación de la gráfica de y = f ( x ). Determine el criterio
de la función g como una transformación de la función f .
R
3.2.9 Considere la función g como una transformación de la función f , tal que
g ( x ) = f ( x + 6) − 3
Si el punto (2, 4) pertenece al gráfico de la función f , al aplicarle a este punto la transformación,
indique si el punto (−4, 1) pertenece o no pertenece al gráfico de la función g.
26
3.2. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
R
3.2.10 En la figura adjunta se muestran las representaciones gráficas de las funciones
f : R → R, en color azul, y g : R → R, en color rojo.
y
y=g(x)
y=f(x)
b
a
3a
x
-b
Figura 3.2: Representación gráfica de f y g.
donde a, b ∈ R+ . Si la función y = g( x ) es una transformación de la gráfica de y = f ( x ).
Determine el criterio de la función g como una transformación de la función f .
R
3.2.11 Considere las funciones f y g definidas en su dominio real y codominio R, cuyos
x+1
.
criterios son f ( x ) = 1 − | x + 1| y g( x ) =
2
a) Escriba el nombre de las transformaciones que presenta la gráfica de cada función
con respecto a la gráfica elemental respectiva.
b) Trace las gráficas de las funciones f ( x ) y g( x ) en un mismo plano.
R
3.2.12 Considere las funciones
√ p y q definidas por p : R → R, tal que p( x ) = − x + 1 y
q : [1, +∞[→ R, tal que q( x ) = − x − 1.
a) Escriba el nombre de las transformaciones que presenta la gráfica de cada función
con respecto a la gráfica elemental respectiva.
b) Trace las gráficas de las funciones p( x ) y q( x ) en un mismo plano.
27
3.3. OPERACIONES DE FUNCIONES, COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES
R
3.2.13 Considere las funciones f y g definidas en su dominio real y codominio R, cuyos
criterios son f ( x ) = ( x + 1)3 y g( x ) = −( x − 1)2 + 8.
a) Escriba el nombre de las transformaciones que presenta la gráfica de cada función
con respecto a la gráfica elemental respectiva.
b) Trace las gráficas de las funciones f ( x ) y g( x ) en un mismo plano.
3.3
R
Operaciones de funciones, composición y descomposición de funciones
3.3.1 De las gráficas de f y g de la figura, determine:
a) ( f + g)(2)
b) ( f − g)(2)
c) ( f g)(2)
f
(2)
d)
g
R
3.3.2 En cada caso, determine criterio y dominio de f + g, f − g, f g y
a) f : D f → R, tal que f ( x ) = x − 3; g : Dg → R, g( x ) = x2 .
√
√
b) f : D f → R, tal que f ( x ) = 4 − x2 ; g : Dg → R, g( x ) = 1 + x.
f
.
g
28
3.3. OPERACIONES DE FUNCIONES, COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES
R
R
R
3.3.3 Use suma gráfica para trazar la gráfica de f + g.
√
3.3.4 Trace las gráficas de f : D f → R, tal que f ( x ) = 1 + x, g : Dg → R, tal que g( x ) =
√
1 − x y f + g en una pantalla común para ilustrar la adición gráfica.
3.3.5 Considere el gráfico de la función f y el gráfico de la función g que se dan a continuación:
G f = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 4)}
G g = {(1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)}
f
( x ).
Determine el ámbito de las funciones ( f + g)( x ), ( f − g)( x ), ( f · g)( x ) y
g
R
3.3.6 Considere las funciones f : D f → R y g : Dg → R, tales que f ( x ) =
Determine el criterio y dominio real de la función ( f · g) ( x ).
R
√
1
y g( x ) = x.
x−8
3.3.7 Considere las funciones f : R → R, tal que f ( x ) = 3x − 5 y g : R → R, tal que g( x ) =
2 − x2 , determine:
a) ( f ◦ g)(−2)
b) ( g ◦ f )(−2)
c) ( f ◦ g)( x )
d) ( g ◦ f )( x )
29
3.3. OPERACIONES DE FUNCIONES, COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES
R
3.3.8 Use las gráficas dadas de f y g para evaluar la expresión.
a) f ( g(2))
b) ( g ◦ g)(−2)
R
3.3.9 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de las funciones
f :] − ∞, 6] →] − ∞, 8] en color azul y g : [−4, +∞[→ ]−∞, 8] en color rojo.
12
y
10
8
g
6
f
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-2
-4
-6
-8
Figura 3.3: Representación gráfica de f y g.
Determine los valores ( g − f )(−2), ( f · g)(2), ( g ◦ f ) (−4) y ( f ◦ g) (−3)
x
30
3.3. OPERACIONES DE FUNCIONES, COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES
R
3.3.10 Considere las funciones f : R − {18} → R − {0}, tal que f ( x ) =
g : R − {0} → R − {0}, tal que g( x ) =
( f ◦ g ) ( x ).
R
1
,y
x − 18
19
. Determine el criterio y dominio real de la función
x
3.3.11 En cada caso, determine criterio y dominio de f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f y g ◦ g.
a) f : D f → R, tal que f ( x ) = x2 ; g : Dg → R, tal que g( x ) = x + 1
b) f : D f → R, tal que f ( x ) =
R
R
x
1
; g : Dg → R,tal que g( x ) =
x+1
x
1
3.3.12 Considere las funciones f : R − {1} → R − {0}, tal que f ( x ) =
y g : [−2, +∞[→
x−1
√
[0, +∞[, tal que g( x ) = x + 2. Determine el criterio y dominio real de la función ( f ◦ g)( x ).
3.3.13 Considere las funciones f : R → R y g : R − {0} → R, tales que f ( x ) = x2 + 4 y
−4
−7
. Determine el criterio de la función ( f ◦ g)( x ) y calcule el valor ( f ◦ g)
.
g( x ) =
x
5
3.3.14 Considere la función (m ◦ n) : R → R, tal que (m ◦ n)( x ) = 3( x + 1)2 + 3( x + 1) + 2.
Si n( x ) = x + 1, determine el criterio m( x ).
√
R 3.3.15 Considere la función ( p ◦ q) : [0, +∞[→ R, tal que ( p ◦ q)( x ) = 2 + x − 3 . Si
p( x ) = 2 + | x |, determine el criterio de q( x ).
−3
. Determine un
R 3.3.16 Considere la función (r ◦ s) : R → R, tal que (r ◦ s)(t) =
|4t − 1| + 14
posible criterio para r (t) y otro para s(t) con r (t) ̸= t y s(t) ̸= t.
R
R
R
R
R
3.3.17 Si F ( x ) = ( f ◦ g)( x ) y F ( x ) = ( x − 9)5 , determine f ( x ) y g( x ).
x2
3.3.18 Si G ( x ) = ( f ◦ g)( x ) y G ( x ) = 2
, determine f ( x ) y g( x ).
x +4
√
3.3.19 Si f ( x ) = x − 1, g( x ) = x, h( x ) = x − 1, determine el criterio de f ◦ g ◦ h.
3.3.20 Se deja caer una piedra en un lago, creando una onda circular que se mueve hacia
fuera con una rapidez de 60 cm/s.
a) Encuentre una función g que modele el radio como función del tiempo.
b) Encuentre una función f que modele el área del círculo como función del radio.
c) Encuentre f ◦ g. ¿Qué representa esta función?
Semana
4
Semana 4
4.1
R
Desigualdades
4.1.1 Llene el espacio en blanco con un signo de desigualdad apropiado.
a) Si x < 5, entonces x − 3
b) Si x ≤ 5, entonces 3x
R
2.
15.
c) Si x ≥ 2, entonces −3x
− 6.
d) Si x < −2, entonces − x
2.
4.1.2 Complete los espacios en blanco.
a) La solución de la desigualdad | x | ≤ 3 es el intervalo
.
b) La solución de la desigualdad | x | ≥ 3 es el intervalo
∪
.
1 √
R
4.1.3 Sea S = −2, −1, 0, , 1, 2, 2, 4 . Determine en cada caso, cuáles elementos de S
2
satisfacen la desigualdad.
a) 3 − 2x ≤
1
2
b) 2x − 1 ≥ x
R
4.1.4 Resuelva la desigualdad lineal, exprese la solución usando notación de intervalos
y grafique el conjunto solución.
a) 2x − 5 > 3
b) 7 − x ≥ 5
c)
1
2
x− >2
2
3
d) 2 ≤ x + 5 < 4
e) −2 < 8 − 2x ≤ −1
R
4.1.5 Resuelva la desigualdad no lineal, exprese la solución usando notación de intervalos
y grafique el conjunto solución.
a) x (2x + 7) ≥ 0
b) 2x2 + x ≥ 1
4.1. DESIGUALDADES
32
c) 3x2 − 3x < 2x2 + 4
d) ( x + 2)( x − 1)( x − 3) ≤ 0
e)
f)
6
6
− ≥1
x−1 x
x+2
x−1
<
x+3
x−2
g) x4 > x2
R
4.1.6 Resuelva la desigualdad con valor absoluto, exprese la solución usando notación
de intervalos y grafique el conjunto solución.
a) | x | ≤ 4
b) |3x − 2| ≥ 5
c)
x−2
<2
3
d) 8 − |2x − 1| ≥ 6
R
4.1.7 En cada caso, se grafica un conjunto de números reales. Encuentre una desigualdad
que contenga un valor absoluto que describa el conjunto.
a)
b)
c)
4.2. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Y SIGNO DE UNA FUNCIÓN
4.2
R
33
Función valor absoluto y signo de una función
4.2.1 Resuelva las ecuaciones y exprese la respuesta en notación de conjuntos.
a) |4x − 2| = 11
b) 5| x − 4| − 7 = 2
c)
1
x + 5 = 14
3
R
4.2.2 Considere la función f : R → R, tal que f ( x ) = | x − 3| − 13. Determine las preimágenes
de −4.
R
4.2.3 Considere la función g : R → R, tal que g( x ) = | x − 1| − 10. Determine lo que se indica.
a) Intersecciones con los ejes coordenados.
b) Las preimágenes de −2.
R
4.2.4 Determine los puntos de intersección con los ejes coordenados de las siguientes
funciones.
a) g : R → R, tal que g( x ) = | x | − 1.
b) h :] − ∞, 5] → R, tal que h( x ) = 2 − |4 − x |.
c) f : R → R, tal que f ( x ) = 2 | x + 1| − 10.
d) f : R → R, tal que g( x ) = −3 | x − 2| − 1.
R
4.2.5 Grafique la función realizando transformaciones a partir de la gráfica de y = | x |.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = | x | − 2.
b) f : R → R, tal que f ( x ) = − | x − 3| − 2.
R
4.2.6 Determine el dominio real de las siguientes funciones.
a) r : Dr → R, tal que r ( x ) =
1
.
|x| − 1
b) s : Ds → R, tal que s( x ) =
x2 − 4
.
|2 − x |
2−x
.
| x − 1| + 2
p
d) u : Du → R, tal que u( x ) = 4 | x | − 3.
p
e) u : Dv → R, tal que u( x ) = 8 | x | + 5.
c) t : Dt → R, tal que t( x ) =
34
4.2. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Y SIGNO DE UNA FUNCIÓN
p
f) v : Dw → R, tal que v( x ) =
R
2 |x| − 1
.
x2 + x
4.2.7 Determine el ámbito de las siguientes funciones.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = | x + 3| + 13.
b) g : R → R, tal que g( x ) = − |− x − 4| + 5
c) h : R → R, tal que h( x ) = − |5x + 2| − 8.
R
R
4.2.8 Considere la función h : R → R, tal que h = −7x − 8. Determine el mayor subconjunto
del dominio de h en el cual h( x ) ≤ 0.
4.2.9 Considere la función f : R − {5} → R, tal que f ( x ) =
subconjunto del dominio de f en el que f es negativa.
R
−13( x + 4)
. Determine el mayor
5−x
4.2.10 Considere la función g : R − {3, 6} → R, tal que g( x ) =
mayor subconjunto del dominio de g en el que g es positiva.
R
4.2.11 Considere la función h : Dh → R, tal que h( x ) =
del dominio de h en el que h es positiva.
R
−4( x + 5)
. Determine el
(6 − x )(3 − x )
1−x
. Determine el mayor subconjunto
x2 − 4
4.2.12 Considere la función f : R − {5} → R, tal que f ( x ) =
el mayor subconjunto del dominio de f en el cual f ( x ) ≤ 0.
6
x
+
. Determine
2
( x + 5)
( x + 5)3
R
4.2.13 Considere la función m : R → R, tal que m( x ) = −10 | x + 20| + 100. Determine el
mayor subconjunto del dominio de m en el que m es positiva.
R
4.2.14 Considere la función n : R → R, tal que n( x ) = |7x | − 13. Determine el mayor subconjunto
del dominio de n en el que n es negativa.
Semana
5
Semana 5
5.1
R
Funciones uno a uno, funciones inversas, intersecciones entre funciones
5.1.1 Una función f tiene la siguiente descripción verbal: “Multiplique por 3, sume 5, y
luego tome la tercera potencia del resultado”.
a) Escriba una descripción verbal para f −1 .
b) Encuentre fórmulas algebraicas que expresen f y f −1 en términos de la entrada x.
R
5.1.2 ¿Verdero o falso?
a) Si f tiene una inversa, entonces f −1 ( x ) es lo mismo que
1
.
f (x)
b) Si f tiene una inversa, entonces f −1 ( f ( x )) = x.
R
5.1.3 De acuerdo con la gráfica de la función f , indique si f es uno a uno.
R
5.1.4 Determine en cada caso, si la función es uno a uno.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = −2x + 4.
b) g : [0, +∞[→ [0, +∞[, tal que g( x ) =
√
x.
c) f : R − {6} → R − {1}, tal que f ( x ) =
con Geogebra.
R
5.1.5 Suponga que f posee inversa.
a) Si f (2) = 7, encuentre f −1 (7).
b) Si f −1 (3) = −1, encuentre f (−1).
x + 12
. Puede determinarlo trazando la gráfica
x−6
5.1. FUNCIONES UNO A UNO, FUNCIONES INVERSAS, INTERSECCIONES ENTRE FUNCIONES
R
36
5.1.6 En cada caso, muestre que f y g son funciones inversas entre sí.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = x − 6; g : R → R, tal que g( x ) = x + 6
b) f : R − {1} → R − {0}, tal que f ( x ) =
c) f : R − {2} → R − {1}, tal que f ( x ) =
R
1
1
; g : R − {0} → R − {1}, tal que g( x ) = + 1
x−1
x
x+2
2x + 2
; g : R − {1} → R − {2}, tal que g( x ) =
x−2
x−1
5.1.7 Determine en cada caso, el criterio de la función inversa (asuma que existe la
inversa).
a) f : R → R, tal que f ( x ) = 2x + 1
b) g : R → R, tal que g( x ) = 5 − 4x3
c) h : R − {4} → R − {1}, tal que h( x ) =
x
x+4
5
3
1 + 3x
d) f : R −
→ R − − , tal que f ( x ) =
2
2
5 − 2x
√
2
e) g : − , +∞ → [0, +∞[, tal que g( x ) = 2 + 5x
5
√
f) h : [−1, +∞[→ [1, +∞[, tal que h( x ) = 1 + 1 + x
g) g : [−7, +∞[ → ]−∞, −6], tal que g( x ) = −6 − ( x + 7)2
R
5.1.8 Por sus servicios, un investigador privado requiere una tarifa de retención de $
500 más $ 80 por hora. Represente con x el número de horas que el investigador emplea
trabajando en un caso.
a) Encuentre una función que modele la tarifa del investigador como función de x.
b) Encuentre f −1 . ¿Qué representa f −1 ?
c) Encuentre f −1 (1220). ¿Qué representa su respuesta?
R
5.1.9 La relación entre las escalas Celsius (C ) y Fahrenheit ( F ) está dada por
F (C ) =
9C
+ 32
5
a) Encuentre F −1 . ¿Qué representa F −1 ?.
b) Encuentre F −1 (86). ¿Qué representa su respuesta?
37
5.1. FUNCIONES UNO A UNO, FUNCIONES INVERSAS, INTERSECCIONES ENTRE FUNCIONES
R
5.1.10 Considere la función f : [−1, +∞[→ [0, +∞[, tal que f ( x ) =
√
a) Trace la gráfica de f . Puede utilizar la gráfica de y = x.
√
x + 1.
b) Utilice la gráfica de f para trazar la gráfica de f −1 .
c) Determine el criterio de f −1 .
R
5.1.11 En la figura adjunta están representadas gráficamente las funciones f (en color
azul) y g (color rojo).
y
10
g
9
8
7
6
5
4
f
3
2
1
-8
-7 -6
-5
-4
-3
-2
-1 -1
-2
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Figura 5.1: Representación gráfica de funciones f y g.
Determine lo que se indica.
a) El conjunto de valores x que satisfacen la ecuación g( x ) − f ( x ) = 0.
b) Justifique si la función f es uno a uno en los intervalos ] − ∞, −6] y ]8, +∞[.
c) Justifique si la función g es uno a uno en los intervalos [−6, 1] y [5, 8[.
R
5.1.12 Determine los puntos de intersecciones entre las funciones.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = ( x + 1)2 y g : R → R, tal que g( x ) = −( x − 1)2 + 10.
√
b) m : R → R, tal que m( x ) = − x + 1 y n : [1, +∞[→ R, tal que n( x ) = − x − 1.
c) s : R → R, tal que s( x ) = 2( x − 2)2 − 3 y t : R → R, tal que t( x ) = x + 1
d) a : R →] − ∞, 0], tal que a( x ) = −( x + 3)2 y b : ]−∞, 0] → [−9, +∞[, tal que b( x ) = | x | − 9.
38
5.1. FUNCIONES UNO A UNO, FUNCIONES INVERSAS, INTERSECCIONES ENTRE FUNCIONES
R
5.1.13 En la figura adjunta están representadas gráficamente las funciones f (en color
azul) y g (en color rojo).
12
y
10
8
g
6
f
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-4
-6
-8
Figura 5.2: Representación gráfica de funciones f y g.
Determine los puntos de intersección entre las funciones.
Semana
6
Semana 6
6.1
R
Características de función lineal, formas algebraicas de función lineal
y modelado de función lineal
6.1.1 En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación de la curva puede escribirse
como una función lineal.
a) y = 3x2 − 2
b) 3x + 5y = 15
R
6.1.2 Determine en cada caso, si la función es creciente o decreciente.
a) a : R → R, a( x ) = 5 − 2x
1
b) j : R → R, j( x ) = x − 3
2
R
6.1.3 En cada caso, determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.
a) (2, 4); (4, 10)
b) (−1, 4); (5, 2)
R
6.1.4 Determine la pendiente de la recta graficada.
6.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN LINEAL, FORMAS ALGEBRAICAS DE FUNCIÓN LINEAL Y MODELADO DE FUNCIÓN LINEAL
R
6.1.5 En cada caso, determine una ecuación lineal que satisfaga las condiciones.
a) f (−1) = 4; f (5) = 1
b) Contiene los puntos (1, 5) y (4, 11)
R
6.1.6 En cada caso, escriba una ecuación para la recta graficada.
a)
b)
40
6.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN LINEAL, FORMAS ALGEBRAICAS DE FUNCIÓN LINEAL Y MODELADO DE FUNCIÓN LINEAL
R
41
6.1.7 ¿Cuál de las tablas podría representar una función lineal? Si representa una función
lineal, determine una ecuación que modele los datos (puede utilizar Geogebra).
a)
b)
R
R
6.1.8 Calcule el valor de x, si una función lineal pasa por los puntos ( x, 2), (−4, 6) y tiene
pendiente m = 3.
6.1.9 Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( a, b) y ( a, b + 1).
6.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN LINEAL, FORMAS ALGEBRAICAS DE FUNCIÓN LINEAL Y MODELADO DE FUNCIÓN LINEAL
R
6.1.10 Relacione cada ecuación con su gráfica.
1. f ( x ) = − x − 1
2. f ( x ) = −2x − 1
x
3. f ( x ) = − − 1
2
4. f ( x ) = 2
5. f ( x ) = 2 + x
6. f ( x ) = 3x + 2
R
6.1.11 En cada caso, trace la gráfica de la función lineal con la información brindada.
a) Interseca al eje x en (−2, 0) y el eje y en (0, 4).
2
b) Interseca el eje y en (0, 3) y la pendiente es .
5
c) g( x ) = −3x + 2.
d)
R
x y
− = 1.
3 4
6.1.12 Considere la función f : R → R, tal que f ( x ) = 5x − 2. Determine:
a) La imagen de
12
.
5
b) La preimagen de
−3
.
8
42
6.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN LINEAL, FORMAS ALGEBRAICAS DE FUNCIÓN LINEAL Y MODELADO DE FUNCIÓN LINEAL
43
c) Ámbito de f
d) Intersecciones con los ejes coordenados de f .
e) Razón o rapidez de cambio promedio de x = −2 a x = 4.
f) Dado que f es uno a uno, determine el criterio de f −1 .
R
8
6
6.1.13 Considere la función h : R → R, tal que h( x ) = x + . Determine:
7
9
a) Monotonía de h.
b) Intersecciones con los ejes coordenados de h.
c) El mayor subconjunto del dominio de h, donde h es positiva y el mayor subconjunto
del dominio de h, donde h es negativa.
d) Dado que h es uno a uno, determine el criterio de h−1 .
R
6.1.14 Considere las siguientes funciones m y k en forma tabular.
x
2
4
6
8
m( x ) 17 23 31 53
x
0 2 10 19
k ( x ) 7 9 17 26
Determine cuál de ellas es función lineal.
R
6.1.15 Considere la función lineal g : R → R, tal que g( x ) = (3k − 4) x + 7. Determine el o
los valores de k ∈ R para que
a) g sea constante.
b) g sea estrictamente creciente.
c) g sea estrictamente decreciente.
R
6.1.16 Considere la función lineal h : R → R, tal que h( x ) =
el o los valores de a ∈ R∗ para que
2x
− ax + 11 + x. Determine
a
a) h sea constante.
b) h sea estrictamente creciente.
c) h sea estrictamente decreciente.
R
6.1.17 Sea f una función lineal, tal que f : R → R. Determine el criterio de f ( x ) = mx + b
si sabe que pasa por los puntos P(−1, 2) y Q(−5, 9).
6.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN LINEAL, FORMAS ALGEBRAICAS DE FUNCIÓN LINEAL Y MODELADO DE FUNCIÓN LINEAL
44
R
6.1.18 Considere la recta L que pasa por el punto (−3, 5) y que tiene pendiente −2.
Determine las diversas ecuaciones algebraicas que representan la recta L.
R
6.1.19 Si se sabe que la gráfica de la función f : R → R, tal que f ( x ) = 2 − 6x corresponde
a una recta. Determine el valor de la constante real m tal que el punto (2m − 1, m + 1)
pertenece a la recta.
R
6.1.20 Terry esquía por una colina empinada. La elevación de Terry, E(t) en pies después
de t segundos viene dada por E(t) = 3000 − 70t. Escriba una frase completa que describa la
elevación inicial de Terry y cómo cambia con el tiempo.
R
6.1.21 Jessica se dirige caminando a su casa desde la casa de un amigo. Después de 2
minutos está a 1, 4 millas de su casa. Doce minutos después de salir, está a 0, 9 millas de su
casa. ¿Cuál es su velocidad en millas por hora?
R
6.1.22 La suscripción al gimnasio con dos sesiones de entrenamiento personal cuesta 125
dólares, comparado con 260 dólares por cinco sesiones. ¿Cuál es el costo por sesión?
R
6.1.23 Una compañía telefónica cobra el servicio según la fórmula C (n) = 24 + 0.1n donde
n es el número de minutos de conversación telefónica, y C (n) es la tarifa mensual, en
dólares. Halle e interprete la tasa de cambio y el valor inicial.
R
6.1.24 Según estudios sobre el calentamiento global, algunos científicos piensan que el
promedio de la temperatura de la superficie de la Tierra ha estado subiendo constantemente.
El promedio de la temperatura de la superficie se puede modelar con la funciín lineal
T (t) = 0.07t + 15
donde T es la temperatura en ◦ C y t son los años transcurridos desde 1950.
a) ¿Qué representa la pendiente y el punto de intersección (eje y) de la función T?
b) Use la función T para pronosticar el promedio de la temperatura de la superficie de la
Tierra en el año 2050.
R
6.1.25 El gerente de una fábrica de muebles establece que fabricar 100 sillas en un día
cuesta $2200, y fabricar 300 sillas en un día cuesta $4800. Suponga que la relación entre costo
diario de producción y el número de sillas producidas diariamente es lineal. Si n representa
el número de sillas fabricadas en un día y C (n) representa el costo de producción diaria,
en dólares.
a) Determine una ecuación que exprese el costo C en términos del número de sillas
fabricadas n.
b) En promedio, ¿a qué razón aumenta el costo de producción por cada silla adicional
producida?
c) Determine el costo de producir 175 sillas.
6.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN LINEAL, FORMAS ALGEBRAICAS DE FUNCIÓN LINEAL Y MODELADO DE FUNCIÓN LINEAL
R
45
6.1.26 Una empresa tiene costos fijos de 170 000 y la producción de cada artículo cuesta
8 000. Suponga que hay una relación lineal entre el costo total de producción y el número
de artículos producidos.
a) Determine una ecuación que exprese el costo total de producción en términos del
número de artículos producidos.
b) Determine el costo total de producir 120 artículos.
R
6.1.27 La población de una ciudad ha disminuido a un ritmo constante. En 2010 la población
era de 5900 habitantes. Para 2012, la población había descendido a 4700. Supongamos que
esta tendencia se mantiene.
a) Prediga la población en 2016.
b) Identifique el año en el que la población llegará a 0.
R
6.1.28 Un bebé pesa 7.5 libras al nacer. Aumenta media libra al mes durante su primer
año.
a) Halle la función lineal que modele el peso del bebé W en función de su edad, en meses,
t.
b) Halle un dominio y un rango razonables para la función W.
c) Si se grafica la función, halle e interprete las intersecciones en eje x y en eje y.
d) Si se representa gráficamente la función W, halle e interprete la pendiente de la función.
e) ¿Cuándo pesó el bebé 10.4 libras?
f) ¿Cuál es la salida cuando la entrada es 6.2? Interprete su respuesta.
6.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN LINEAL, FORMAS ALGEBRAICAS DE FUNCIÓN LINEAL Y MODELADO DE FUNCIÓN LINEAL
R
46
6.1.29 Utilice la gráfica, que muestra el beneficio, y, en miles de dólares, de una empresa
en un año determinado, t, donde t representa el número de años desde 1980.
a) Calcule la función lineal y donde y depende de t, el número de años desde 1980.
b) Halle e interprete la intersección en el eje y.
c) Halle e interprete la intersección en el eje x.
d) Halle e interprete la pendiente.
R
6.1.30 En 2004, la población escolar era de 1001 estudiantes. En 2008 la población había
crecido hasta los 1697 estudiantes. Supongamos que la población cambia linealmente.
a) ¿Cuánto creció la población entre el año 2004 y el año 2008?
b) ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1001 a 1697 estudiantes?
c) ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año?
d) ¿Cuál era la población en el año 2000?
e) Halle una ecuación para la población P, de la escuela t años después delaño 2000.
f) Utilizando su ecuación, prediga la población escolar en 2011.
R
6.1.31 Una compañía telefónica tiene un plan mensual de telefonía móvil en el que
el cliente paga una cuota mensual fija y luego una determinada cantidad de dinero por
minuto utilizado para las llamadas de voz y video. Si un cliente utiliza 410 minutos, el costo
mensual será de 71.50 dólares. Si el cliente utiliza 720 minutos, el costo mensual será de 118
dólares.
a) Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de telefonía móvil en función
de x, el número de minutos mensuales utilizados.
b) Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación.
c) Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 687 minutos.
Semana
7
Semana 7
7.1
R
R
Rectas y características de función cuadrática
7.1.1 La forma punto-pendiente de la ecuación de la recta con pendiente 3 que pasa por
el punto (1, 2) es
.
7.1.2 En cada caso, encuentre la pendiente de la recta que pasa por P y Q.
a) P(0, 0), Q(4, 2)
b) P(2, 2), Q(−10, 0)
c) P(1, −3), Q(−1, 6)
R
7.1.3 Encuentre las pendientes de las rectas l1 , l2 , l3 y l4 en la figura siguiente.
R
7.1.4 En cada caso, encuentre la ecuación para la recta cuya gráfica está trazada.
a)
7.1. RECTAS Y CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
48
b)
R
7.1.5 En cada caso, encuentre la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas.
a) Pasa por (2, 3), pendiente 5
b) Pasa por (2, 1) y (1, 6)
c) Pendiente 3; intersección en eje y es −2
d) Pasa por (4, 5); paralela al eje x
e) Pasa por (−1, 2); paralela a la recta x = 5
f) Pasa por (−1, −2); perpendicular a la recta 2x + 5y + 8 = 0
g) Pasa por (1, 7); paralela a la recta que pasa por (2, 5) y (−2, 1)
h) Pasa por (2, −3);perpendicular a la recta 2x − 3y − 1 = 0
i) Pasa (−3, 1) y que es paralela a la recta 5x − 2y − 3 = 0
R
7.1.6 Trace la recta con pendiente
para la recta.
3
que pasa por el punto (−2, 1) y encuentre la ecuación
2
R
7.1.7 Grafique y = −2x + b para b = 0, b = ±1, b = ±3, b = ±6. Puede utilizar Geogebra.
¿Qué tienen en común las rectas?
R
7.1.8 Grafique y = m( x − 3) para m = 0, m = ±0.25, m = ±0.75, m = ±1.5. Puede utilizar
Geogebra. ¿Qué tienen en común las rectas?
R
7.1.9 Encuentre la pendiente, el punto de intersección con el eje y y trace la gráfica de
3x − 4y = 12.
R
7.1.10 Use pendientes para demostrar que A(1, 1), B(7, 4), (5, 10) y D (−1, 7) son los vértices
de un paralelogramo.
7.1. RECTAS Y CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
R
49
7.1.11 Use pendientes para determinar si los puntos son colineales (están sobre una
recta).
a) (1, 1), (3, 9), (6, 21)
b) (−1, 3), (1, 7), (4, 15)
R
7.1.12 Considere la recta L1 cuya ecuación es (k − 2) x − y = 3 y la recta L2 dada por
la ecuación 3ky = (k + 2) x + 1. Determine el o los valores de k de modo que L1 y L2 sean
perpendiculares.
R
7.1.13 Sea L1 la recta horizontal que pasa por el punto (5, −3) y L2 la recta vertical que
pasa por el punto (4, 1). Determine:
a) La ecuación de la recta para L1 y L2 .
b) Intersecciones con los ejes coordenados para ambas rectas.
c) Intersección entre las rectas L1 y L2 .
R
7.1.14 Determine los puntos de intersección entre las rectas.
a) L1 : 5x − 4y = −2 y L2 : 3x − y = 5.
b) L1 : 2x + 6y = 0 y L2 : −3x − 9y = 18.
c) L1 : − x − 5y = 2 y L2 : 4x + 20y = −8.
R
7.1.15 Para expresar la función cuadrática f : R → R, tal que f ( x ) = ax2 + bx + c en forma
normal, completamos el
.
R
7.1.16 La gráfica de f : R → R, tal que f ( x ) = −2( x − 3)2 + 5 es una parábola que abre hacia
, con su vértice en (
,
), y f (3) =
es el valor (mínimo/máximo)
de f .
7.1. RECTAS Y CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
R
50
7.1.17 De acuerdo con la gráfica de f : R → R, tal que f ( x ) = 2x2 − 4x − 1.
a) Encuentre las coordenadas del vértice.
b) Encuentre el valor máximo o mínimo de f .
c) Encuentre el dominio y rango de f .
R
7.1.18 En cada caso, exprese la función cuadrática en forma normal, encuentre su vértice
y su(s) punto(s) de intersección con eje x y eje y y trace su gráfica.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = x2 + 4x + 3
b) f : R → R, tal que f ( x ) = − x2 + 6x + 4
c) f : R → R, tal que f ( x ) = 2x2 − 20x + 57
R
7.1.19 En cada caso, exprese la función cuadrática en forma normal, encuentre su valor
máximo o mínimo y trace su gráfica.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = x2 + 2x − 1
b) f : R → R, tal que f ( x ) = − x2 − 3x + 3
R
7.1.20 En cada caso, encuentre el valor máximo o mínimo de la función.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = x2 + x + 1
b) f : R → R, tal que f (t) = 100 − 49t − 7t2
c) f : R → R, tal que f (s) = s2 − 1.2s + 16
R
R
7.1.21 Encuentre el criterio de una función cuya gráfica es una parábola con vértice
(1, −2) y que pasa por el punto (4, 16).
7.1.22 En cada caso, encuentre el dominio y rango de la función.
a) f : D f → R, tal que f ( x ) = − x2 + 4x − 3
b) f : D f → R, tal que f ( x ) = 2x2 + 6x − 7
7.1. RECTAS Y CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
R
51
7.1.23 Considere la función f : R → R, tal que f ( x ) = 3x2 + 12x + 8. Determine:
a) Ecuación del eje de simetría de f .
b) Vértice de f .
c) Ámbito de f .
d) Forma normal (forma vértice) del criterio de f .
e) Razón o rapidez de cambio promedio de x = −2 a x = 1.
R
7.1.24 Considere la función g : R → R, tal que g( x ) = −2x2 + 5x − 2. Determine:
a) Concavidad de g.
b) Vértice de g.
c) Intersecciones con los ejes coordenados de g.
d) El mayor subconjunto del dominio de g, donde g es negativa y el mayor subconjunto
del dominio de g, donde g es positiva.
e) Intervalos de monotonía de g.
R
7.1.25 Considere la función f : R → R, tal que f ( x ) = x2 + 1.79x − 3.21.
a) Grafique la función y calcule el valor máximo o mínimo de la función. (Puede utilizar
Geogebra).
b) Encuentre el valor exacto máximo o mínimo de f , y compárelo con su respuesta de la
parte (a).
Semana
8
Semana 8
8.1
Modelado de función cuadrática
R
8.1.1 Si una pelota es lanzada directamente hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s,
su altura (en pies) después de t segundos está dada por y = 40t − 16t2 ¿Cuál es la altura
máxima alcanzada por la pelota?
R
8.1.2 Un balón es lanzado por un campo desde una altura de 5 pies sobre el suelo, a un
ángulo de 45◦ con la horizontal, a una velocidad de 20 pies/s. Puede deducirse por principios
físicos que la trayectoria del balón está modelada por la función
32 2
x +x+5
202
donde x es la distancia en pies que el balón ha recorrido horizontalmente.
y=−
a) Encuentre la máxima altura alcanzada por el balón.
b) Encuentre la distancia horizontal que el balón ha recorrido cuando cae al suelo.
R
8.1.3 Un fabricante encuentra que el ingreso generado por vender x unidades de cierta
mercancía está dado por la función R( x ) = 80x − 0.4x2 , donde el ingreso R( x ) se mide en
dólares. ¿Cuál es el ingreso máximo, y cuántas unidades deben fabricarse para obtener
este máximo?
8.1. MODELADO DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
R
53
8.1.4 La efectividad de un anuncio comercial por televisión depende de cuántas veces
lo ve una persona. Después de algunos experimentos, una agencia de publicidad encontró
que si la efectividad E se mide en una escala de 0 a 10, entonces
2
1
E ( n ) = n − n2
3
90
donde n es el número de veces que una persona ve un anuncio comercial determinado.
Para que un anuncio tenga máxima efectividad, ¿cuántas veces debe verlo una persona?
R
8.1.5 Cuando cierto medicamento se toma oralmente, la concentración de la droga en el
torrente sanguíneo del paciente después de t minutos está dada por C (t) = 0.06t − 0.0002t2 ,
donde 0 ≤ t ≤ 240 y la concentración se mide en mg/L. ¿Cuándo se alcanza la máxima
concentración de suero, y cuál es esa máxima concentración?
R
8.1.6 El número de manzanas producidas por cada árbol en una huerta de manzanos
depende de la densidad con que estén plantados los árboles. Si n árboles se plantan en un
acre de terreno, entonces cada árbol produce 900 − 9n manzanas. Por lo tanto, el número
de manzanas producidas por acre es A(n) = n(900 − 9n). ¿Cuántos árboles deben plantarse
por acre para obtener la máxima producción de manzanas?
R
8.1.7 Carol tiene 2400 pies de cerca para cercar un corral rectangular para caballos.
a) Encuentre una función que modele el área del corral en términos del ancho x del
corral.
b) Encuentre las dimensiones del rectángulo que lleve al máximo el área del corral.
8.1. MODELADO DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
R
54
8.1.8 Un canal para agua llovediza se forma doblando hacia arriba los lados de una
lámina metálica rectangular de 30 pulgadas de ancho, como se ve en la figura.
a) Encuentre una función que modele el área de sección transversal del canal en términos
de x.
b) Encuentre el valor de x que lleve al máximo el área de sección transversal del canal.
c) ¿Cuál es la máxima área de sección transversal del canal?
R
8.1.9 Un equipo de béisbol juega en un estadio con capacidad para 55 000 espectadores.
Con el precio del boleto en $10, el promedio de asistencia en partidos recientes ha sido de
27 000. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que baje el precio del boleto, la
asistencia aumenta en 3000.
a) Encuentre una función que modele el ingreso en términos del precio del boleto.
b) Encuentre el precio que lleve al máximo los ingresos por venta de boletos.
c) ¿Qué precio del boleto es tan alto como para no generar ingresos?
R
8.1.10 La función de demanda para un producto es p = 1000 − 2q donde p es el precio
por unidad ($) cuando q unidades son demandadas por los consumidores. Para obtener los
ingresos de la empresa se utiliza la función ingreso I (q) = p · q que corresponde al producto
de la cantidad de unidades vendidos por el precio por unidad ($).
a) Exprese el ingreso I como una función de q.
b) Determine el ingreso cuando se venden 150 unidades.
c) Determine el número de unidades que generan el ingreso máximo. ¿Cuál es el ingreso
máximo en dólares?
R
8.1.11 En el restaurante “El Buen Sabor” se venden 60 desayunos, si el precio es de 1500
por desayuno. Por cada incremento de 150 en el precio del desayuno, se venderán dos
desayunos menos. Si se sabe que la función ingreso I se define como el producto del número
de desayunos por su precio de venta.
a) Exprese la función ingreso I ( x ) en términos de x que denota el incremento de 150 en
el costo de cada desayuno.
8.2. INVERSAS E INTERSECCIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES
55
b) Determine el costo adecuado del desayuno para obtener el ingreso máximo posible.
¿Cuántos números de desayunos debe vender para el ingreso máximo?
R
8.1.12 Un alambre de 24 cm de largo se dobla en la forma de un rectángulo con ancho x
y longitud y.
a) Exprese el área del rectángulo A como una función de x.
b) Determine las dimensiones (ancho y longitud) que maximizan el área del rectángulo.
¿Cuál es el área máxima?
R
8.1.13 Desde el suelo se lanza un objeto hacia arriba cuya trayectoria es parabólica, la
altura en metros sobre el suelo después de t segundos de haber sido lanzado se obtiene
mediante la función s(t) = 16t − 8t2 . Responda las siguientes interrogantes.
a) ¿A qué altura (en metros) estará al cabo de 1.5 segundos?
b) ¿En cuántos segundos estará a 7 metros sobre el suelo?
c) ¿En cuántos segundos alcanza su altura máxima?
d) ¿Cuál es la altura máxima (en metros)?
8.2
R
Inversas e intersección de gráficas de funciones
8.2.1 Determine el criterio de la función inversa, sabiendo que son funciones cuadráticas
uno a uno.
a) f :] − ∞, 8] → [7, +∞[, tal que f ( x ) = 3( x − 8)2 + 7.
b) g :] − 5, +∞[→] − ∞, −2[, tal que g( x ) = −2 − ( x + 5)2 .
1
16
c) h : , +∞ → −∞,
, tal que h( x ) = −3x2 + 2x + 5.
3
3
R
8.2.2 Determine los puntos de intersección entre las funciones.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = 4x − 4 y g : R → R, tal que g( x ) = 2x2 − 4x + 4.
b) f : R → R, tal que f ( x ) = ( x − 1)2 − 4 y g : R → R, tal que g( x ) = − x2 + 2x − 3.
c) f : R → R, tal que f ( x ) = x2 − 2x + 5 y g : R → R, tal que g( x ) = 2x − 1.
d) f : R → R, tal que f ( x ) = 3x2 + 6x − 1 y g : R → R, tal que g( x ) = 2( x − 1)2 + 2.
8.3. FUNCIONES POLINOMIALES
8.3
R
R
56
Funciones polinomiales
8.3.1 Sólo una de las gráficas siguientes podría ser la gráfica de una función polinomial.
¿Cuál? ¿Por qué las otras no son gráficas polinomiales?
8.3.2 Toda función polinomial tiene uno de los siguientes comportamientos:
(i) y → +∞ cuando x → +∞ y y → +∞ cuando x → −∞
(ii) y → +∞ cuando x → +∞ y y → −∞ cuando x → −∞
(iii) y → −∞ cuando x → +∞ y y → +∞ cuando x → −∞
(iv) y → −∞ cuando x → +∞ y y → −∞ cuando x → −∞
Para cada función polinomial, escoja la descripción apropiada de su comportamiento final
de la lista anterior.
a) y = x3 − 8x2 + 2x − 15 : comportamiento final
b) y = −2x4 + 12x + 100 : comportamiento final
R
8.3.3 En cada caso, trace la gráfica de cada función al transformar la gráfica de una
función apropiada de la forma y = x n . Indique todos los puntos de intersección con eje x y
eje y en cada gráfica.
a) P : R → R, tal que P( x ) = x2 − 4
b) Q : R → R, tal queQ( x ) = ( x − 4)2
Semana
9
Semana 9
9.1
R
Funciones polinomiales, división de polinomios y división sintética
9.1.1 Si c es un cero de la función polinomial P, ¿cuál de los siguientes enunciados debe
ser verdadero?
a) P(c) = 0.
b) P(0) = c.
c) x − c es un factor de P( x ).
d) c es el punto de intercción con el eje y de la gráfica de P.
R
9.1.2 Relacione cada función polinomial con una de la gráficas. Dé razones para su
elección.
a) P : R → R, tal que P( x ) = x ( x2 − 4)
b) R : R → R, tal que R( x ) = − x5 + 5x3 − 4x
c) U : R → R, tal que U ( x ) = − x3 + 2x2
9.1. FUNCIONES POLINOMIALES, DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y DIVISIÓN SINTÉTICA
R
58
9.1.3 En cada caso, factorice (de ser necesario), encuentre los ceros de la función, determine
los puntos de intersección con los ejes, analice el signo de la función, analice el comportamiento
final y trace la gráfica (puede utilizar Geogebra).
a) P : R → R, tal que P( x ) = x ( x − 3)( x + 2)
b) P : R → R, tal que P( x ) = x3 − x2 − 6x
c) P : R → R, tal que P( x ) = x4 − 3x3 + 2x2
d) P : R → R, tal que P( x ) = 2x3 − x2 − 18x + 9
e) P : R → R, tal que P( x ) = x4 − 3x2 − 4
R
9.1.4 En cada caso, determine el comportamiento final de P, grafique P y Q en un mismo
sistema utilizando Geogebra y compare su comportamiento final disminuyendo la vista
gráfica.
a) P : R → R, tal que P( x ) = 3x3 − x2 + 5x + 1; Q( x ) = 3x3
b) P : R → R, tal que P( x ) = x4 − 7x2 + 5x + 5; Q( x ) = x4
R
9.1.5 En cada caso, utilice Geogebra para graficar la función polinomial y determine
cuántos máximos y mínimos locales tiene.
a) y = x3 − x2 − x
b) y = x4 − 5x2 + 4
R
9.1.6 Considere la función polinomial f : R → R, tal que f ( x ) = −3x3 − 14x2 + 5x − 6.
Determine:
a) La imagen de −2.
b) La o las preimágenes de −6.
c) La razón o rapidez de cambio promedio de x = −1 a x = 2.
R
9.1.7 Considere la función f : R → R, tal que f ( x ) = − x3 + 2x2 + 3x. Determine:
a) Ceros de la función f .
b) Puntos de intersección con los ejes coordenados.
c) Comportamiento final de f cuando x → ±∞.
R
9.1.8 Considere la función h : R → R, tal que h( x ) = x4 − 4x2 . Determine:
a) Ceros de la función h.
b) Puntos de intersección con los ejes coordenados.
c) Comportamiento final de h cuando x → ±∞.
59
9.1. FUNCIONES POLINOMIALES, DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y DIVISIÓN SINTÉTICA
R
9.1.9 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de la función f : R → R.
y
f
7
5
1
-9
-6
-2
2
5
8
x
-8
Figura 9.1: Representación gráfica de f .
Determine lo que se le indica.
a) Ceros de f .
b) Comportamiento final de f .
c) Suponga que f tiene dos ceros simples y dos ceros múltiples de multiplicidad par,
¿cuáles son los ceros simples y múltiples?
R
9.1.10 Para cada función, indique los ceros simples y los ceros múltiples (con su respectiva
multiplicidad m > 1) y analice su comportamiento final cuando x → ±∞.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = ( x + 2)( x − 5)4 .
b) g : R → R, tal que g( x ) = x3 (−2x + 1)( x + 5)2 .
c) h : R → R, tal que h( x ) = x4 ( x − 2)3 ( x + 1)2 .
R
9.1.11 Si dividimos P( x ) entre x − c y obtenemos la ecuación P( x ) = ( x − c) Q( x ) + R( x ),
entonces decimos que x − c es el divisor, Q( x ) es el
, y R( x ) es el
.
9.1. FUNCIONES POLINOMIALES, DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y DIVISIÓN SINTÉTICA
R
60
9.1.12 En cada caso, divida P( x ) entre D ( x ) y exprese el P( x ) en la forma
P( x ) = D ( x ) Q( x ) + R( x )
a) P( x ) = 2x3 − 3x2 − 2x, D ( x ) = 2x − 3
b) P( x ) = x4 − x3 + 4x + 2, D ( x ) = x2 + 3
R
9.1.13 Realice las siguientes divisiones de polinomios P( x ) ÷ Q( x ) y exprese en la forma
P( x )
R( x )
= C(x) +
Q( x )
Q( x )
donde C ( x ) y R( x ) es el cociente y el residuo de la división, respectivamente.
a) −15x + 2x4 + 3 ÷ 2x − x2 .
3x4 + x3 − 2x + 1
.
2x2 − x
c) x3 − x + 1 − 2x4 ÷ 3 − x2 .
b)
R
9.1.14 Utilice la división sintética para determinar el cociente C ( x ) y el residuo R( x ) de
la división.
a) x5 − 32 ÷ ( x − 2).
b) x4 − x2 − 1 ÷ (2x + 6).
c)
3x2 + 5x
x−6
2x3 + 3x2 − 2x + 1
d)
1
x−
2
R
9.1.15 Considere el polinomio P( x ) = kx4 − 2x3 + 2x − 5 con k ∈ R. Determine el o los
valores de k tal que el residuo de dividir P( x ) entre ( x − 3) es 73.
R
9.1.16 Determine el o los valores k ∈ R tal que el polinomio P( x ) = x3 + kx2 + kx − 2k2 sea
divisible por ( x − 2).
R
9.1.17 Demuestre que c = 3 es un cero de P( x ) = x3 − x2 − 11x + 15, y encuentre todos los
otros ceros de P( x ).
R
R
9.1.18 Encuentre una función polinomial de grado 4 cuyos ceros sean −1, 1, 3 y 5.
9.1.19 Encuentre una función polinomial de grado 3 cuyos ceros sean 1, −2 y 3 y que el
coeficiente de x2 sea 3 .
61
9.1. FUNCIONES POLINOMIALES, DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y DIVISIÓN SINTÉTICA
R
9.1.20 Encuentre la función polinomial del grado especificado cuya gráfica se muestra.
a)
b)
R
9.1.21 ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir P( x ) = 6x1000 − 17x562 + 12x + 26 por
x + 1?
R
9.1.22 ¿Es x − 1 un factor de P( x ) = x567 − 3x400 + x9 + 2?
R
9.1.23 Si la función polinomial
P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + · · · + a 1 x + a 0
tiene coeficientes enteros, entonces los únicos números que posiblemente podrían ser ceros
p
y q es un factor de
racionales de P son todos los de la forma q donde p es un factor de
. Los posibles ceros racionales de P( x ) = 6x2 + 5x2 − 19x − 10 son
R
R
.
9.1.24 ¿Verdadero o falso? Si c es un cero real de la función polinomial P, entonces todos
P( x )
los otros ceros de P son ceros de
.
x−c
9.1.25 ¿Cuáles son los posibles ceros racionales de R( x ) = 2x5 + 3x3 + 4x2 − 8?
9.1. FUNCIONES POLINOMIALES, DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y DIVISIÓN SINTÉTICA
R
62
9.1.26 En cada caso, indique los posibles ceros racionales y utilice la gráfica para determinar
cuáles de ellos son realmente ceros.
a)
b)
R
9.1.27 En cada caso, encuentre todos los ceros racionales de la función polinomial y
factorice completemente P( x ) en R.
a) P : R → R, tal que P( x ) = x3 − 3x − 2
b) P : R → R, tal que P( x ) = x3 + 3x2 − x − 3
c) P : R → R, tal que P( x ) = 4x4 − 25x2 + 36
d) P : R → R, tal que P( x ) = 4x3 + 4x2 − x − 1
e) P : R → R, tal que P( x ) = 2x4 − 4x2 − 6x − 4
R
9.1.28 En cada caso, determine todos los ceros reales de la función polinomial.
a) P : R → R, tal que P( x ) = x3 + 4x2 + 3x − 2
b) P : R → R, tal que P( x ) = 2x3 − 7x2 + 4x + 4
c) P : R → R, tal que P( x ) = x4 − 5x3 + 6x2 + 4x − 8
9.1. FUNCIONES POLINOMIALES, DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y DIVISIÓN SINTÉTICA
R
63
9.1.29 Considere la función P : R → R, tal que P( x ) = 2x5 − x4 − 3x3 + x2 + x.
a) Factorice completamente P( x ) en R.
b) Determine las intersecciones con los ejes coordenados.
c) Determine el mayor subconjunto del dominio de P, don P es positiva y El mayor subconjunto
del dominio de P, donde P es negativa.
Semana
10
Semana 10
10.1
Características de función racional
R
10.1.1 Si la función racional y = r ( x ) tiene la asíntota vertical x = 2, entonces cuando
x → 2+ , ya sea y →
oy→
.
R
10.1.2 Determine los puntos de intersección con el eje x de r : Dr → R, tal que r ( x ) =
( x + 1)( x − 2)
.
( x + 2)( x − 3)
R
10.1.3 En cada caso, complete cada tabla para la función, describa el comportamiento de
la función cerca de su asíntota vertical, basada en las Tablas 1 y 2 y determine la asíntota
horizontal, basada en las Tablas 3 y 4.
a) r : Dr → R, r ( x ) =
b) r : Dr → R, r ( x ) =
R
x
x−2
3x − 10
( x − 2)2
10.1.4 Determine los puntos de intersección con el eje x y el eje y de t : Dt → R, tal que
x2 − x − 2
t( x ) =
.
x−6
65
10.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN RACIONAL
R
10.1.5 En cada caso, encuentre todas las asíntotas horizontales y verticales (si las hay).
x2
b) s : Ds → R, tal que s( x ) =
6x2 + 1
2x2 + x − 1
c) s : Ds → R, tal que s( x ) =
R
b) t : Dt → R, tal que t( x ) =
R
(5x − 1)( x + 1)
(3x − 1)( x + 2)
10.1.6 En cada caso, use transformaciones de la gráfica de y =
racional.
a) r : Dr → R, tal que r ( x ) =
R
6x
+2
a) r : Dr → R, tal que r ( x ) =
para graficar la función
1
x−1
2x − 3
x−2
10.1.7 En cada caso, determine los puntos de intersección con los ejes, las asíntotas, el
dominio, trace la gráfica con Geogebra y determine el rango.
6
− 5x − 6
a) s : Ds → R, tal que s( x ) =
x2
b) r : Dr → R, tal que r ( x ) =
2x2 + 10x − 12
x2 + x − 6
10.1.8 En cada caso, determine las ecuaciones de las asíntotas verticales, de la asíntota
oblicua (diagonal) y trace la gráfica utilizando Geogebra.
a) r : Dr → R, tal que r ( x ) =
x2
x−2
b) f : D f → R, tal que f ( x ) =
−3x2 + 4x − 2
x−4
x3 + 4
c) g : Dg → R, tal que g( x ) = 2
2x + x − 1
R
1
x
10.1.9 Considere la función h : Dh → R, tal que h( x ) =
a) Dominio de h.
5−x
. Determine:
x2 − 2x − 3
b) Puntos de intersección con los ejes coordenados.
c) El mayor subconjunto del dominio de h, donde h es negativa y el mayor subconjunto
del dominio de h, donde h es positiva.
10.2. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES, INVERSAS E INTERSECCIONES ENTRE FUNCIONES
R
66
10.1.10 Suponga que la población de conejos de la granja de Mr. Jenkin sigue la fórmula
p(t) =
3000t
t+1
donde t ≥ 0 es el tiempo (en meses) desde principios del año.
a) Trace una gráfica de la población de conejos.
b) ¿Qué ocurre finalmente a la población de conejos?
R
10.1.11 Después que cierta droga se inyecta en un paciente, se vigila la concentración c
de la droga en el torrente sanguíneo. En el tiempo t ≥ 0 (en horas desde que se aplicó la
droga), la concentración (en mg/L) está dada por
c(t) =
30t
t2 + 2
a) Trace una gráfica de la concentración del medicamento.
b) ¿Qué ocurre finalmente a la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo?
10.2
R
Descomposición en fracciones parciales, inversas e intersecciones entre
funciones
10.2.1 En cada caso, realice la división de polinomios y luego determine la descomposición
en fracciones parciales.
a) f : R − {−1, 1} → R con f ( x ) =
b) g : R −
R
n
1
3 , −1
o
→ R con g( x ) =
x4 − 12x2 + 9
x2 − 1
6x3 + x2 + 5x − 6
3x2 + 2x − 1
10.2.2 Determine la descomposición en fracciones parciales de f ( x ).
a) f : R − {0, 9} → R, tal que f ( x ) =
b) g : R −
2
3,2
→ R, tal que g( x ) =
9
9x − x2
−7x + 10
(2 − 3x )( x − 2)
5
+ 3x − 2
c) h : R − {−2, 4} → R, tal que h( x ) =
2x2
d) g : R − {−2, 4} → R, tal que g( x ) =
3x − 1
−4x2 + 5x − 1
e) h : R − {−2, 4} → R, tal que h( x ) =
x3
x+1
+ x2 − 6x
10.2. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES, INVERSAS E INTERSECCIONES ENTRE FUNCIONES
f) f : R − {−1, 0, 1} → R, tal que f ( x ) =
g) g : R − {−2, 4} → R, tal que g( x ) =
R
x2 − 12
x ( x − 1)( x + 1)
−x + 7
− x2 + 2x + 8
h) h : R − {−4, 0, 4} → R, tal que h( x ) =
R
2x2 − x + 1
x3 − 16x
2x − 5
. Determine el conjunto
x+7
B de tal forma que f sea invertible, y en cuyo caso, determine el criterio de f −1 .
10.2.3 Considere la función f : R − {−7} → B, tal que f ( x ) =
10.2.4 Determine el criterio de la función inversa, sabiendo que son funciones racionales
uno a uno.
a) m : R − {16} → R − {1}, tal que m( x ) =
b) n : R − {−5} → R − {2}, tal que n( x ) =
c) p :] − ∞, −3[→]1, +∞[, tal que p( x ) =
R
67
x
.
x − 16
2x + 1
.
x+5
x2 + 5
.
x2 − 9
10.2.5 Determine los puntos de intersección entre las funciones.
−12
y g : R → R, tal que g( x ) = x + 7.
x
−2
−7
1
y g:R−
→ R, tal que g( x ) =
.
b) f : R − {5} → R, tal que f ( x ) =
x−5
3
3x + 2
a) f : R − {0}, tal que f ( x ) =
Semana
11
Semana 11
11.1
R
Características de función exponencial y logarítmica, dominio real de
función logarítmica, identidades
11.1.1 Relacione la función exponencial con su respectiva gráfica.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = 2x
b) f : R → R, tal que f ( x ) = 2− x
c) f : R → R, tal que f ( x ) = −2x
d) f : R → R, tal que f ( x ) = −2− x
R
11.1.2
a) Para obtener la gráfica de g : R → R, tal que g( x ) = 2x − 1, empezamos con
la gráfica de f : R → R, tal que f ( x ) = 2x y la desplazamos
(hacia arriba/abajo) 1
unidad.
b) Para obtener la gráfica de h : R → R, tal que h( x ) = 2x−1 , empezamos con la gráfica de
f : R → R, tal que f ( x ) = 2x y la desplazamos
(a la izquierda/derecha) 1 unidad.
11.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA, DOMINIO REAL DE FUNCIÓN LOGARÍTMICA, IDENTIDADES
R
69
11.1.3 Encuentre la función exponencial f : R → R, f ( x ) = a x cuya gráfica se muestra.
R
11.1.4 Utilice transformaciones para graficar h : Dh → R, tal que h( x ) = 2x−4 + 1 partiendo
de la gráfica de f : R → R, tal que f ( x ) = 2x . Indique el dominio, rango y asíntota.
R
11.1.5 La función f ( x ) = e x se llama función exponencial
igual a
.
R
11.1.6 Utilice transformaciones para graficar h : Dh → R, tal que h( x ) = e− x − 1 partiendo
de la gráfica de f : R → R, tal que f ( x ) = e x . Indique el dominio, rango y asíntota.
R
11.1.7 Utilice transformaciones para graficar h : Dh → R, tal que h( x ) = e x+1 − 3 partiendo
de la gráfica de f : R → R, tal que f ( x ) = e x . Indique el dominio, rango y asíntota.
R
11.1.8 Una sustancia radiactiva se desintegra en forma tal que la cantidad de masa
restante después de t días está dada por la función
. El número e es aproximadamente
m(t) = 13e−0.015t
donde m(t) se mide en kilogramos.
a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0.
b) ¿Cuánto de la masa resta después de 45 días?
R
x −1
1
11.1.9 Considere la función f : R → A f , tal que f ( x ) = −4 ·
− 15. Determine:
3
a) La imagen de 2.
b) Ecuación de la asíntota horizontal de f .
11.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA, DOMINIO REAL DE FUNCIÓN LOGARÍTMICA, IDENTIDADES
R
70
11.1.10 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de la función
g : R →] − n, +∞[, tal que g( x ) = a x+b + c con a, b, c ∈ R y a > 0, a ̸= 1.
y
g
m
x
-n
Figura 11.1: Representación gráfica de g.
Sabiendo que los valores m y n son reales positivos, determine el criterio de la función
exponencial de base a.
R
11.1.11 Relacione la función logarítmica con su respectiva gráfica.
a) f : D f → R, tal que f ( x ) = log2 x
b) f : D f → R, tal que f ( x ) = log2 (− x )
c) f : D f → R, tal que f ( x ) = − log2 x
d) f : D f → R, tal que f ( x ) = − log2 (− x )
11.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA, DOMINIO REAL DE FUNCIÓN LOGARÍTMICA, IDENTIDADES
R
71
11.1.12 Determine x en cada caso.
a) log10 x = 2
b) logx 16 = 4
c) log4 2 = x
R
11.1.13 Encuentre la función logarítmica f : R+ → R, tal que f ( x ) = loga x cuya gráfica se
muestra.
R
11.1.14 Utilice transformaciones para graficar h : Dh → R, tal que h( x ) = log3 ( x − 1) − 2
partiendo de la gráfica de f : R+ → R, tal que f ( x ) = log3 x. Indique el dominio, rango y
asíntota.
R
11.1.15 Determine el dominio de la función en cada caso.
a) D f → R, tal que f ( x ) = log5 (8 − 2x )
b) Dg → R, tal que g( x ) = log3 ( x2 − 1)
c) Dh → R, tal que h( x ) = ln x + ln(2 − x )
d) k : Dk → R, tal que k ( x ) = 14 + ln(15 + x )
e) m : Dm → R, tal que m( x ) = log(− x + 6) − 2
f) p : D p → R, tal que p( x ) =
R
log2 (1 − 2x )
x
11.1.16 En cada caso, determine el criterio de las funciones f ◦ g y g ◦ f y sus dominios.
a) D f → R, tal que f ( x ) = 3x ; Dg → R con g( x ) = x2 + 1
b) D f → R, tal que f ( x ) = log2 x; Dg → R con g( x ) = x − 2
11.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA, DOMINIO REAL DE FUNCIÓN LOGARÍTMICA, IDENTIDADES
R
11.1.17 Evalúe la expresión log3 100 − log3 18 − log3 50.
R
11.1.18 Utilice las leyes de los logaritmos para expardir la expresión
10x
log
x ( x2 + 1)( x4 + 2)
R
11.1.19 Utilice las leyes de los logaritmos para combinar la expresión
72
1
log( x2 + 1) + 2 log( x − 1)
3
√
√
11.1.20 Demuestre que − ln( x − x2 − 1) = ln( x + x2 − 1).
4 log x −
R
R
11.1.21 Determine la ecuación de la asíntota vertical de las siguientes funciones.
a) f : D f → R, tal que f ( x ) = 2 ln(− x − 5) + 11.
b) g : Dg → R, tal que g( x ) = 3 − log 1 (2x + 7).
4
R
R
11.1.22 Determine los puntos de intersección con los ejes coordenados de las siguientes
funciones.
2x
1
a) f : R →] − ∞, 11[ con f ( x ) = −
− 11.
5
3
b) g : −∞,
→ R con g( x ) = 7 − log 1 (−4x + 3)
2
4
11.1.23 Utilice propiedades de expresiones logarítmicas para verificar las siguientes identidades
a)
log( ab3 ) − log(c
√
3
a2 ) = log
b3
√
3
a
c
√
log7 a log7 b
+
= log7 (c4 3 ab)
3
3
3
1
xz
c) loga x − loga y + 3 loga z = loga √
2
y
b) 4 log7 c +
d) log[ a( a + b)2 ] = 2 log( a + b) + log a
r
y
ln y ln(1 − y)
e) ln y
= ln y +
−
1−y
2
2
−2 a
f) ln −4 5 = 4 ln b − 5 ln c − 2 ln a.
b c
11.2. INVERSA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
11.2
R
73
Inversa de función exponencial y logarítmica
11.2.1 Determine en cada caso, el criterio de la función inversa (asuma que existe la
inversa).
a) f : R → ]8, +∞[, tal que f ( x ) = 6 · 5x + 8.
b) g : R → ] − 5, +∞[, tal que g( x ) = 7x−6 − 5.
c) h : R → ] − ∞, −15[, tal que h( x ) = −1413x+16 − 15.
R
11.2.2 Determine en cada caso, el criterio de la función inversa (asuma que existe la
inversa).
a) f :]2, +∞[→ R, tal que f ( x ) = 3 − log5 ( x − 2).
b) g :] − ∞, 1[→ R, tal que g( x ) = log3 (1 − x ) + 7.
c) h : ]−1, +∞[ → R, tal que h( x ) = −5 ln( x + 1) − 2.
Semana
12
Semana 12
12.1
R
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas, modelado de función exponencial
y logarítmica
12.1.1 Resuelva las siguientes ecuaciones en R.
a) a9
x 2 −3
=
1
con a > 1
a18
b) 5 · 4x − 3 · 2x = 8
c)
10
=2
1 + e− x
d) e2x − 3e x + 2 = 0
e) 72x + 7 · 7x = 14 · 7x + 98
f) e x − 12e− x − 1 = 0
g) x2 2x − 2x = 0
h) x2 e x + xe x − e x = 0
i) 4 − log(3 − x ) = 3
j) log2 3 + log2 x = log2 5 + log2 ( x − 2)
k) log9 ( x − 5) + log9 ( x + 3) = 1
l) ln( x − 1) + ln( x + 2) = 1
m) log x + log 25 = 8
n) log5 (10x + 11) − log5
o) 22/ log5 x =
1
10x − 11
=0
1
16
p) log2 (log3 x ) = 4
R
12.1.2 Sea b > 1 y n > 0, si se sabe que logb (n) = 10. Determine el resultado numérico de
log 1 (n) − 25.
b
R
12.1.3 La velocidad V en
pies/seg de un paracaidista, t segundos después de saltar, está
−
0.2t
. Determine la expresión algebraica t en términos de V.
dada por V = 83 1 − e
12.1. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, MODELADO DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
75
R
12.1.4 Si una tarea se aprende a cierto nivel P0 después de cierto tiempo t, el nivel de
recordatorio P satisface la ecuación log( P) = log ( P0 ) − c log(t + 1), donde c es un valor
constante real distinto de cero. Utilice propiedades de los logaritmos, para hallar la expresión
algebraica P en términos de t y las constantes P0 y c.
R
12.1.5 Una muestra de 15 g de yodo radiactivo se desintegra en forma tal que la masa
restante después de t días está dada por
m(t) = 15e−0.087t
donde m(t) se mide en gramos. ¿Después de cuántos días quedan sólo 5 gramos?
R
12.1.6 En un pequeño lago se introduce cierta especie de peces. La población de peces
está modelada por la función
10
P(t) =
1 + 4e−0.8t
donde P es el número de peces en miles y t se mide en años desde que el lago fue poblado
por estos peces.
a) Encuentre la población de peces después de 3 años.
b) ¿Después de cuántos años la población de peces llegará a 5000?
R
12.1.7 Supongamos que el lector está manejando su auto en un frío día de invierno
(20◦ F al exterior) y el motor se sobrecalienta (a unos 220◦ F). Cuando se estaciona, el motor
empieza a enfriarse. La temperatura T del motor t minutos después de estacionarlo satisface
la ecuación
T − 20
ln
= −0.11t
200
a) De la ecuación, despeje T.
b) Use la parte a) para hallar la temperatura del motor después de 20 minutos (t = 20).
R
12.1.8 Cierto cultivo de la bacteria Streptococcus A inicialmente tiene 10 bacterias y se
observa que se duplica cada 1.5 horas.
a) Encuentre un modelo exponencial n(t) = n0 2t/a para el número de bacterias en el
cultivo después de t horas.
b) Estime el número de bacterias después de 35 horas.
c) ¿Cuándo llegará a 10 000 el número de bacterias?
12.1. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, MODELADO DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
R
76
12.1.9 Cierta especie de aves fue introducida en un condado hace 25 años. Unos biólogos
observan que la población se duplica cada 10 años, y ahora la población es de 13 000.
a) Encuentre un modelo exponencial n(t) = n0 2t/a para el número de aves en el condado
después de t años.
b) ¿Cuál fue el tamaño inicial de la población de aves?
c) Estime la población de aves a 5 años a partir de ahora.
d) Trace una gráfica de la población de aves (puede utilizar Geogebra).
R
12.1.10 La población de cierta especie de peces tiene una tasa de crecimiento relativa de
1.2 % por año. Se estima que la población en 2000 era de 12 millones.
a) Encuentre un modelo exponencial n(t) = n0 ert para la población t años después de 2000.
b) Estime la población de peces en el año 2005.
c) Trace una gráfica de la población de peces (puede utilizar Geogebra).
R
12.1.11 Se introdujeron algunas ranas mugidoras en un pequeño estanque. La gráfica
muestra la población de estas ranas para los siguientes pocos años. Suponga que la población
crece exponencialmente.
a) ¿Cuál era la población inicial de ranas mugidoras?
b) Encuentre una función que modele la población de estas ranas t años desde que las
ranas fueron puestas en el estanque.
c) ¿Cuál es la población proyectada de ranas mugidoras después de 15 años?
d) Estime cuánto tiempo tomará a la población llegar a 75 000.
12.1. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, MODELADO DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
R
77
12.1.12 La vida media del radio 226 es de 1600 años. Suponga que tenemos una muestra
de 22 mg.
a) Encuentre una función m(t) = m0 2−t/h que modele la masa restante después de t años.
b) Encuentre una función m(t) = m0 e−rt que modele la masa restante después de t años.
c) ¿Cuánto de la muestra habrá después de 4000 años?
d) ¿Después de cuánto tiempo habrá sólo 18 mg de la muestra?
R
12.1.13 Un tazón de sopa caliente se sirve en una fiesta. Empieza a enfriarse de acuerdo
con la Ley de Newton de Enfriamiento, de modo que la temperatura en el tiempo t está
dada por
T (t) = 65 + 145e−0.05t
donde t se mide en minutos y T se mide en ◦ F.
a) ¿Cuál es la temperatura inicial de la sopa?
b) ¿Cuál es la temperatura después de 10 minutos?
c) ¿Después de cuánto tiempo será de 100◦ F la temperatura?
R
12.1.14 El porcentaje de riesgo R de tener un accidente automovilístico viene dado por
la función
R( x ) = 6e12.77x
donde x es la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Determine la concentración
de alcohol en la sangre que produce un riesgo de 70 %.
R
12.1.15 En un cultivo de bacterias hay 2000 ejemplares; 5 meses más tarde se estima que
kt
8
el número de bacterias aumente en 60 %. Determine una fórmula, de la forma B = B0
,
5
donde se pueda calcular el número de bacterias que habrá después de t meses, con B0 el
número inicial de bacterias.
R
12.1.16 Cierta cepa de bacterias se divide cada tres horas. Si una colonia inicia con 50
bacterias, entonces el tiempo t (en horas) necesario para que la colonia crezca N bacterias
está dado por
N
3 log
50
t=
log 2
Responda a las siguientes interrogantes.
a) Determine el tiempo transcurrido (en horas) para tener una colonia de un millón de
bacterias.
b) Determine el número de bacterias en la colonia después de 10 horas.
12.1. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, MODELADO DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
R
78
12.1.17 Como resultado
de la contaminación, la población de peces de un río disminuye
P
según la fórmula ln
= −0.0437t, donde P es la población de peces después de t años y
P0
P0 es la población inicial de peces.
a) ¿Después de cuántos años habrá sólo 50 % de la población inicial de peces?
b) ¿Después de cuántos años la población se reducirá en 40 %?
c) ¿Qué porcentaje de la población morirá durante los primeros 3 años y 9 meses de
contaminación?
R
12.1.18 La función C (h) = 5e−0.4h puede utilizarse para determinar la cantidad C en
gramos en el corriente sanguíneo de una droga después de h horas, al ser inyectados 5
gramos de dicha droga directamente en la vena. A las 9 a.m. se le aplica un test a un paciente
que se había inyectado la droga él mismo por error y entró en shock, se obtiene que la
cantidad de droga en su corriente sanguíneo es de 3 gramos.
a) ¿A qué hora se había inyectado la droga el paciente?
b) ¿Cuántos gramos en el corriente sanguínea tendrá el paciente después de tres horas
de haberse inyectado la droga?
Semana
13
Semana 13
13.1
R
Ángulos en grados y radianes, ángulos en posición estándar, coterminales
y cuadrantales, circunferencia unitaria
13.1.1
a) La medida en radianes de un ángulo θ es la longitud del
en un círculo de radio
.
R
que subtiende el ángulo
b) Para convertir grados a radianes, multiplicamos por
.
c) Para convertir radianes a grados, multiplicamos por
.
13.1.2 Exprese en radianes las siguientes medidas dadas en grados.
a) β = 1080◦
b) α = −75◦
c) δ = 231◦
d) φ = −126◦
R
13.1.3 Exprese en grados las siguientes medidas dadas en radianes.
a) β =
7π
6
b) α = −
5π
4
c) θ = 3
d) λ =
11π
4
e) ω = −
7π
4
13.1. ÁNGULOS EN GRADOS Y RADIANES, ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR, COTERMINALES Y CUADRANTALES, CIRCUNFERENCIA UNITARIA80
R
13.1.4 En cada caso, determine dos ángulos positivos y dos negativos que sean coterminales
con el ángulo en posición normal dado.
a) 50◦
b)
R
11π
rad
6
13.1.5 En cada caso, determine si los ángulos dados en posición normal, son coterminales.
a) 70◦ , 430◦
b)
R
5π
17π
rad,
rad
6
6
13.1.6 En cada caso, encuentre un ángulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminal con el ángulo
en posición normal dado.
a) 733◦
b) −800◦
R
13.1.7 En cada caso, Encuentre un ángulo entre 0 y 2π que sea coterminal con el ángulo
en posición normal dado.
a)
17π
rad
6
b) −
R
15π
rad
4
13.1.8
a) Si marcamos una distancia t a lo largo de la circunferencia unitaria, empezando en
(1, 0) y moviéndonos en dirección contraria al giro de las manecillas de un reloj, llegamos
al punto
determinado por t.
b) Los puntos terminales determinados por
respectivamente.
R
13.1.9 Demuestre que el punto
4 3
,−
5 5
π
π
, π, − , 2π son
2
2
,
,
está en la circunferencia unitaria.
,y
13.1. ÁNGULOS EN GRADOS Y RADIANES, ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR, COTERMINALES Y CUADRANTALES, CIRCUNFERENCIA UNITARIA81
R
13.1.10 En cada caso, determine la coordenada faltante de P, si P se encuentre en la
circunferencia trigonométrica, en el cuadrante dado.
3
, cuadrante III.
a) P − ,
5
2
b) P
, − , cuadrante IV.
7
!
√
3
c) P
,
, cuadrante IV.
2
R
13.1.11 En cada caso, el punto P está en la circunferencia unitaria. Encuentre P( x, y) a
partir de la información dada.
a) La coordenada x de P es
4
y la coordenada y es positiva.
5
b) La coordenada y de P es
2
y la coordenada x es negativa.
3
R
13.1.12 Encuentre t y el punto terminal determinado por t para cada punto de la figura,
π
si t aumenta en incrementos de .
4
R
13.1.13 En cada caso, encuentre el punto terminal P( x, y) en la circunferencia unitaria
determinado por el valor dado de t.
a) t =
π
2
b) t = −
3π
4
13.1. ÁNGULOS EN GRADOS Y RADIANES, ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR, COTERMINALES Y CUADRANTALES, CIRCUNFERENCIA UNITARIA82
3 4
R 13.1.14 Suponga que el punto terminal determinado por t es el punto
,
en la circunferencia
5 5
unitaria. Encuentre el punto terminal determinado por cada uno de los siguientes.
a) π − t
b) −t
c) π + t
d) 2π + t
R
13.1.15 Encuentre el número de referencia para cada valor de t.
a) t =
5π
4
b) t =
7π
3
c) t = −
4π
3
d) t =
π
6
e) t =
5π
7
f) t = −
7π
9
g) −3
h) 5
R
13.1.16 En cada caso, encuentre el número de referencia para cada valor de t y el punto
terminal determinado por t.
a) t =
13π
4
b) t = −
c) t =
11π
3
31π
6
83
13.2. DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
13.2
R
Definición de funciones trigonométricas
13.2.1
a) Sea P( x, y) el punto terminal en la circunferencia unitaria determinado por t. Entonces
sen t =
, cos t =
, y tan t =
.
b) Si P( x, y) está en la circunferencia unitaria, entonces x2 + y2 =
todo t tenemos sen2 t + cos2 t =
.
. Entonces, para
R
13.2.2 Encuentre sen t y cos t para los valores de t cuyos puntos terminales se muestran
π
en la circunferencia unitaria en la figura, si t crece con incrementos de .
4
R
13.2.3 Encuentre el valor exacto de la función trigonométrica en el número real dado.
2π
2π
2π
a) sen
, cos
, tan
3
3
3
11π
11π
11π
b) csc
, sec
, cot
3
3
3
c) sen (13π ), cos (14π ), tan (15π )
R
13.2.4 Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas (si está defi
nido) en el número real t dado. Use sus respuestas para completar la tabla.
13.2. DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
84
√ !
6 13
R 13.2.5 Si − ,
es el punto terminal determinado por un número real t, determine
7 7
sen t, cos t y tan t.
R
13.2.6 En cada caso, encuentre el signo de la expresión si el punto terminal determinado
por t está en el cuadrante dado.
a) sen t cos t, cuadrante II.
b)
R
tan t sen t
, cuadrante III.
cot t
13.2.7 En cada caso, de acuerdo con la información dada, encuentre el cuadrante en el
que se ubique el punto terminal determinado por t.
a) sen t > 0 y cos t < 0
b) csc t > 0 y sec t < 0
R
13.2.8 En cada caso, escriba la primera expresión en términos de la segunda si el punto
terminal determinado por t está en el cuadrante dado.
a) sen t, cos t, II cuadrante.
b) sec t, tan t, II cuadrante.
R
13.2.9 En cada caso, encuentre los valores de las funciones trigonométricas de t a partir
de la información dada.
3
a) sen t = , el punto terminal de t está en el cuadrante II.
5
b) sec t = 3, el punto terminal de t está en el cuadrante IV.
c) sec t = 2, sen t < 0
Semana
14
Semana 14
14.1
R
Características de funciones trigonométricas, transformaciones de seno,
coseno y tangente
14.1.1 Grafique la función.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = −2 + sen x
b) g : R → R, tal que g( x ) = 3 cos x
R
14.1.2 En cada caso, encuentre la amplitud, el periodo y trace la gráfica.
a) f : R → R, tal que f ( x ) = cos(2x )
1
1
b) g : R → R, tal que g( x ) = − cos
x
3
3
R
R
14.1.3 En cada caso, determine la amplitud, el periodo, el desfase y grafique la función
en un periodo completo.
π
a) y = 3 cos x +
4
h π i
b) y = −4 sen 2 x +
2
π
2
x−
c) y = 2 sen
3
6
14.1.4 Determine la amplitud, ámbito, periodo y desfase de las siguientes funciones.
18
a) f : R → R, tal que f ( x ) = −3 cos 18x − π + 3
17
3
b) g : R → R, tal que g( x ) = 2 sen 6x + π − 1
2
7
c) h : R → R, tal que h( x ) = −5 sen 10x − π
2
14.1. CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, TRANSFORMACIONES DE SENO, COSENO Y TANGENTE
R
14.1.5 Las estrellas variables son aquellas cuyo brillo varía periódicamente. Una de las
más visibles es R Leonis; su brillo está modelado por la función
π t
b(t) = 7.9 − 2.1 cos
156
donde t se mide en días.
a) Encuentre el periodo de R Leonis.
b) Encuentre el brillo máximo y mínimo.
c) Grafique la función b (puede utilizar Geogebra).
R
14.1.6 Relacione la función con una de la gráficas.
π
a) f : D f → R con f ( x ) = tan x +
4
b) g : Dg → R con g( x ) = − tan x
R
86
14.1.7 En cada caso, encuentre el periodo y grafique la función.
a) y = 4 tan x
π
b) y = tan x +
2
π c) y = tan
x
4
d) y = 2 tan (3πx )
h π i
e) y = tan 2 x +
2
π
f) y = −2 tan 2x −
3
14.2. INVERSAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
R
87
14.1.8 Considere la función g : ]−2π, 2π [ → R, tal que g( x ) = sen x. Determine:
a) Imagen de
3π
4
b) Preimágenes de 1.
c) Intersección con los ejes coordenados.
d) El mayor subconjunto del dominio de g, donde g es negativa.
R
14.1.9 Considere la función f : ]−π, π [ − {±k} → R, tal que f ( x ) = tan x. Determine:
a) Ecuaciones de las asíntotas verticales de la forma x = ±k
b) ¿En qué intervalos es f estrictamente creciente?
c) El mayor subconjunto del dominio de f , donde f es positiva.
14.2 Inversas de funciones trigonométricas
R
14.2.1
a) Para definir la función seno inverso, restringimos el dominio de seno al intervalo
. Sobre este intervalo la función inversa arc sen x está definida por arc sen x = y ⇔
sen
=
. Por ejemplo, arc sen(1/2) =
porque sen
=
.
b) Para definir la función coseno inverso, restringimos el dominio de coseno al intervalo
. Sobre este intervalo la función inversa arc cos x está definida por arc cos x = y ⇔
cos
=
. Por ejemplo, arc cos(1/2) =
porque cos
=
.
88
14.2. INVERSAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
R
14.2.2 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de la función trigonométrica
inversa h : Dh → Ch , tal que h( x ) = arc sen( x ).
y
π
2
-1
1
x
−π
2
Figura 14.1: Representación gráfica de h.
Determine:
a) Dominio y ámbito de h.
1
b) La imagen de .
2
c) La preimagen de
−π
.
4
89
14.2. INVERSAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
R
14.2.3 En la figura adjunta se muestra la representación gráfica correspondiente a una
función trigonométrica inversa m : R → Cm .
y
x
Figura 14.2: Representación gráfica de m.
Determine:
a) Criterio de la función m.
b) Ecuaciones de las asíntotas horizontales.
c) Preimagen de 1.
R
14.2.4 La propiedad de cancelación arc sen(sen x ) = x es válida para x en el intervalo
¿Cuál de las afirmaciones no es verdadera ?
π π
a) arc sen sen
=
3
3
10π
10π
b) arc sen sen
=
3
3
R
14.2.5 En cada caso, encuentre el valor exacto de cada expresión, si está definida.
√ !
3
, arc sen (2)
a) arc sen(1), arc sen
2
√ !
1
3
b) arc cos(−1), arc cos
, arc cos −
2
2
√ !
√ 3
c) arctan(−1), arctan
3 , arctan
3
.
14.3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
R
14.2.6 En cada caso, encuentre el valor exacto de cada expresión, si está definida.
π a) arc sen sen −
6
17π
b) arc cos cos
6
2π
c) arctan tan
3
1
d) tan arc sen
2
14.3
R
Identidades trigonométricas
14.3.1 Escriba la expresión trigonométrica en términos de seno y coseno, y luego simplifique.
a) cos t tan t
b) tan2 x − sec2 x
c)
R
90
sec θ − cos θ
sen θ
14.3.2 Simplifique la expresión trigonométrica.
a)
1 + cos y
1 + sec y
1 + csc x
cos x + cot x
cos x
c)
sec x + tan x
b)
d)
(4 − 4 sen x ) (1 + sen x )
5 cos x
e) (4 cos θ + 3 sen θ )2 + (3 cos θ − 4 sen θ )2
5
2
f) 4 − 4 cos x 5 +
tan2 x
91
14.3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
R
14.3.3 Verifique la identidad.
a)
cos u sec u
= cot u
tan u
b) csc x [csc x + sen(− x )] = cot2 x
c) (1 − cos β)(1 + cos β) =
d)
1
csc2 β
sec t − cos t
= sen2 t
sec t
e) 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x
f)
1 − cos α
sen α
=
sen α
1 + cos α
g) tan2 θ − sen2 θ = tan2 θ sen2 θ
h)
i)
tan w
sen w
=
sen w + cos w 1 + tan w
1 + tan2 u
1
=
2
2
1 − tan u cos u − sen2 u
j)
sen x + cos x
= sen x cos x
sec x + csc x
k)
cos θ
= sec θ + tan θ
1 − sen θ
l)
m)
1
1
+
= 2 sec x
sec x + tan x sec x − tan x
tan x + tan y
= tan x tan y
cot x + cot y
Semana
15
Semana 15
15.1
R
Identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas
15.1.1 En cada caso, utilice la identidad de sen( x + y) o cos( x + y) para determinar el valor
exacto de la expresión.
a) sen(75◦ )
11π
b) cos
2
R
15.1.2 Utilice la identidad de sen( x + y) o cos( x + y) para expresar
2π
3π
2π
3π
cos
+ sen
sen
cos
7
21
7
21
como la imagen de un número en una función trigonométrica y determine su valor exacto.
R
15.1.3 Simplifique la expresión
6 cos(−α + 6π )
sen(2α)
R
R
15.1.4 Verifique la identidad.
π
a) tan
− u = cot u
2
b) sen( x − π ) = − sen x
π
π
c) cos x +
+ sen x −
=0
6
3
d) sen( x + y) − sen( x − y) = 2 cos x sen y
e)
2 tan x
= sen(2x )
1 + tan2 x
f)
1 + sen(2x )
sec x csc x
=1+
sen(2x )
2
15.1.5 En cada caso, determine sen(2x ), cos(2x ) y tan(2x ) de acuerdo con la información
brindada.
5
π
a) sen x = , 0 < x < .
13
2
4
b) cos x = , csc x < 0.
5
15.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
R
93
15.1.6 Resuelva las ecuaciones.
√
3
a) sen x =
2
b) cos θ = −1
c) sen θ = −0.45
√
d) tan α = − 3
√
e) 2 sen θ + 1 = 0
f) 3 tan2 θ − 1 = 0
g) sec2 β − 2 = 0
h) (tan2 θ − 4)(2 cos θ + 1) = 0
i) 4 cos2 θ − 4 cos θ + 1 = 0
j) 3 sen2 α − 7 sen α + 2 = 0
k) cos θ (2 sen θ + 1) = 0
l) cos β sen β − 2 cos β = 0
m) 3 tan θ sen θ − 2 tan θ = 0
n) 2 cos2 θ + sen θ = 1
o) 2 sen(2θ ) − 3 sen θ = 0
p) sen x − 1 = cos x
R
15.1.7 En cada caso, determine todas las soluciones de la ecuación y determine las soluciones
en el intervalo [0, 2π [.
a) 2 cos(3θ ) = 1
√
b) 3 tan(3θ ) + 1 = 0
√
θ
+ 3=0
c) 2 sen
3
d) sen(2θ ) = 3 cos(2θ )
15.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
R
15.1.8 Resuelva las ecuaciones.
a) 3 + 6 sen x = 0, con x ∈ R
b) 3 tan x = 2, con x ∈ R
c) (6 cos x − 3) (3 sen x + 6) = 0, con x ∈ [−2π, 2π ]
d) 6 cos2 x − sen2 x + 5 cos x = −6, con x ∈ ]0, 2π [
i π πh
2
e) 2 cos x − 5 +
= 0, con x ∈ − , .
cos x
2 2
f) cos x · (2 sen(3x ) + 1) = 0, con x ∈ R
94
Semana
16
Semana 16
16.1
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
R
16.1.1 Determine las seis razones trigonométricas para el ángulo θ en el triángulo.
R
16.1.2 Determine sen α, cos β, tan α, cot β, sec α y csc β.
R
16.1.3 Determine el valor de x.
R
16.1.4 Exprese x y y en términos de razones trigonométricas de θ.
96
16.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
R
16.1.5 En cada caso, trace un triángulo que tenga un ángulo agudo θ, y encuentre las
otras cinco razones trigonométricas de θ.
a) sen θ =
3
5
b) cot θ = 1
R
16.1.6 Determine el valor de x.
R
16.1.7 Determine el valor de x.
R
16.1.8 Determine el valor numérico de cos θ y tan θ, si se sabe que sen θ =
ángulo en posición estándar θ tiene su lado terminal en el III cuadrante.
R
16.1.9 Determine el valor numérico de sen t, si se cumple que sec t =
posición estándar cuyo lado terminal está en el IV cuadrante.
−2
y que el
3
5
con t un ángulo en
4
√
− 3
R 16.1.10 Determine el valor numérico de sen(2θ ) si se cumple que cos θ =
con θ un
3
ángulo en posición estándar cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante. Utilice la
identidad trigonométrica sen(2θ ) = 2 sen θ · cos θ.
16.2. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
R
97
16.1.11 En cada caso, determine el valor exacto de la expresión de acuerdo con la información
brindada.
a) cos(θ − ϕ) si se sabe que:
3
5
• θ es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se ubica en el cuarto
cuadrante.
√
• tan ϕ = − 3
• cos θ =
• ϕ es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se ubica en el segundo
cuadrante.
b) sen(θ + ϕ) si se sabe que:
5
13
• θ es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se ubica en el primer
cuadrante.
√
2 5
• cos ϕ = −
5
• ϕ es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se ubica en el segundo
cuadrante.
• sen θ =
R
12
con θ un ángulo en
13
3
posición estándar cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y tan ϕ = con ϕ un
4
ángulo en posición estándar cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante.
16.1.12 Determine el valor numérico de sen (θ + ϕ), donde sen θ =
16.2 Aplicaciones en triángulos rectángulos
R
16.2.1 Un rayo láser ha de dirigirse hacia el centro de la Luna, pero el rayo se desvía 0.5◦
de su trayectoria propuesta.
a) ¿Cuánto se ha desviado el rayo de su trayectoria propuesta cuando llega a la Luna?
(La distancia de la Tierra a la Luna es de 240 000 millas.)
b) El radio de la Luna es aproximadamente de 1000 millas. ¿El rayo incidirá en la Luna?
R
16.2.2 Una escalera de 20 pies está inclinada contra un edificio, de modo que el ángulo
entre el suelo y la escalera es de 72◦ . ¿A qué altura llega la escalera en el edificio?
R
16.2.3 Un hombre que está en una playa hace volar una cometa. Sostiene el extremo de
la cuerda de la cometa al nivel del suelo y estima que el ángulo de elevación de la cometa
es de 50◦ . Si la cuerda es de 450 pies de largo, ¿a qué altura está la cometa sobre el suelo?
16.2. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
98
R
16.2.4 Para medir la altura de la capa de nubes en un aeropuerto, un trabajador enciende
un reflector hacia arriba, a un ángulo de 75◦ de la horizontal. Un observador a 600 m de
distancia mide el ángulo de elevación del reflector y ve que es de 45◦ . Encuentre la altura
h de la capa de nubes.
R
16.2.5 Una escalera de 33 pies se apoya en un edificio vertical de manera que el ángulo
entre el suelo y la escalera es de 80◦ . La base de la escalera y la base del edificio vertical
están en el mismo plano horizontal. Determine la altura (en pies) a la que llega la escalera
al lado del edificio.
R
16.2.6 Una torre de radio está situada a 400 pies de un edificio vertical, ambos están
situados en un mismo plano horizontal. Desde una ventana del edificio, una persona determina
que el ángulo de elevación hacia la parte superior de la torre es de 36◦ y que el ángulo de
depresión hacia la parte inferior de la torre es de 23◦ . Determine la altura (en pies) de la
torre de radio.
R
16.2.7 Considere la siguiente representación gráfica.
Figura 16.1: Representación gráfica.
Suponga que x mide 2 metros, los ángulos α y β tienen medida 31◦ y 49◦ , respectivamente.
Determine la altura (en metros) de la pared h del edificio.
99
16.3. LEY DE SENOS Y LEY COSENOS
16.2.8 En una exhibición se muestra una escultura humana que está puesta sobre un
pedestal, Juan se encuentra a 10 metros de la base del pedestal y observa los pies de la
escultura con un ángulo de elevación de 20◦ , además, al observar la cabeza de la escultura
lo hace con un ángulo de elevación de 45◦ . Determine la altura (en metros) de la escultura.
DBS
R
Figura 16.2: Representación gráfica.
16.3
Ley de senos y ley cosenos
R
16.3.1 Utilice la ley de senos para determinar x.
R
16.3.2 Resuelva el triángulo utilizando la ley de senos.
R
16.3.3 Utilice la ley de senos para resolver todos los triángulos que cumplen a = 100, b = 80
y m∠ A = 135◦ .
16.3. LEY DE SENOS Y LEY COSENOS
R
R
100
16.3.4 Determine m∠ BCD y m∠ DCA.
16.3.5 Cuando se usa la ley de senos para resolver un triángulo en el caso LLA, puede
haber dos soluciones, una solución o ninguna. Trace ángulos como los de la figura
para verificar los criterios de la tabla para el número de soluciones, si nos dan m∠ A y la
medida de los lados a y b.
Si m∠ A = 30◦ y b = 100, use estos criterios para hallar el intervalo de valores de a para los
cuales el triángulo ABC tiene dos soluciones, una solución o ninguna solución.
R
16.3.6 Use la ley de cosenos para determinar x.
16.3. LEY DE SENOS Y LEY COSENOS
R
16.3.7 Resuelva el triángulo ABC.
R
16.3.8 Use la ley de senos o la ley de cosenos para determinar x.
R
16.3.9 Use la ley de senos o la ley de cosenos para determinar x.
101
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
16.4
R
102
Aplicaciones en triángulos no rectángulos
16.4.1 La trayectoria de un satélite, que gira en órbita alrededor de la Tierra, hace que el
satélite pase directamente sobre dos estaciones de rastreo A y B, que están a 50 millas una
de otra. Cuando el satélite está en un lado de las dos estaciones, los ángulos de elevación
en A y B se miden y resultan de 87.0◦ y 84.2◦ , respectivamente.
a) ¿A qué distancia está el satélite de la estación A?
b) ¿Cuál es la altura del satélite sobre la Tierra?
R
16.4.2 Para hallar la distancia de una orilla a la otra de un río, una experta en topografía
escoge los puntos A y B, que están a 200 pies entre sí en un lado del río (vea la figura). A
continuación, ella escoge un punto de referencia C en el lado opuesto del río y encuentra
que m∠ BAC ≈ 82◦ y m∠ ABC ≈ 52◦ . Aproxime la distancia de A a C.
R
16.4.3 El campanario de la catedral de Pisa, Italia, está inclinado 5.6◦ con respecto a la
vertical. Una turista está de pie a 105 m de su base, con la torre inclinada directamente hacia
ella. Ella mide el ángulo de elevación a lo alto de la torre y ve que es de 29.2◦ . Encuentre la
longitud de la torre al metro más cercano.
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
103
R
16.4.4 Observadores en P y Q están localizados en el costado de un cerro que está inclinado
32◦ con la horizontal, como se muestra. El observador en P determina que el ángulo de
elevación a un globo de aire caliente es de 62◦ . Al mismo tiempo, el observador en Q mide
el ángulo de elevación al globo y ve que es de 71◦ . Si P está 60 metros colina abajo desde Q,
encuentre la distancia de Q al globo.
R
16.4.5 La elongación α de un planeta es el ángulo formado por el planeta, la Tierra y el
Sol (vea la figura). Se sabe que la distancia del Sol a Venus es 0.723 UA. En cierto instante,
se ve que la elongación de Venus es de 39.4◦ . Encuentre las posibles distancias de la Tierra
a Venus en ese momento en unidades astronómicas (UA).
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
104
R
16.4.6 Para hallar la distancia de un lado a otro de un pequeño lago, un topógrafo ha
tomado las mediciones que se ilustran. Encuentre la distancia de un lado a otro del lago
usando esta información.
R
16.4.7 Dos carreteras rectas divergen en un ángulo de 65◦ . Dos autos salen del cruce a
las 2 : 00 a.m. uno de ellos corriendo a 50 mi/h y el otro a 30 mi/h. ¿A qué distancia entre sí
están los autos a las 2 : 30 p.m.?
R
16.4.8 Una aviadora vuela en una trayectoria recta durante 1 h y 30 min. Entonces hace
una corrección de curso, dirigiéndose 10◦ a la derecha de su curso original, y vuela 2 horas
en la nueva dirección. Si ella mantiene una velocidad constante de 625 mi/h, ¿a qué distancia
está de su posición inicial?
R
16.4.9 Un pescador sale de su puerto base y navega en dirección N70◦ O. Viaja 30 minutos
y llega a Egg Island. Al día siguiente navega al N10◦ E durante 50 minutos, llegando a Forrest
Island.
a) Encuentre la distancia entre el puerto base del pescador y Forrest Island.
b) Encuentre el rumbo de Forrest Island de regreso a su puerto base.
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
105
R
16.4.10 Un niño está haciendo volar dos cometas al mismo tiempo; tiene 380 pies de
cuerda a una de las cometas y 420 pies para la otra. Él estima que el ángulo entre las dos
cuerdas es de 30◦ . Aproxime la distancia entre las cometas.
R
16.4.11 Una empinada montaña está inclinada 74◦ con la horizontal y se eleva a 3400 pies
sobre la llanura circundante. Un funicular se ha de instalar desde un punto a 800 pies de
la base hasta lo alto de la montaña, como se muestra. Encuentre la longitud más corta del
cable necesario.
R
16.4.12 Un torre del radar R del aeropuerto Juan Santamaría, detecta dos aviones que
se aproxima a la pista de aterrizaje. El primero de los aviones se encuentra en el punto A
ubicado a 45 kilómetros de la torre del radar, mientras que el segundo está en el punto B,
que se encuentra a 99 kilómetros de la torre del radar. Se sabe que el ángulo ∠ ARB mide
20◦ , determine la distancia (en kilómetros) entre los aviones.
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
R
106
16.4.13 Para determinar la distancia de un barco a la orilla, dos estaciones de radar
separadas por 500 pies encuentran los ángulos hacia el barco, como se muestra en la siguiente
representación gráfica.
Figura 16.3: Representación gráfica.
Determine la distancia (en pies) del barco a la estación A.
R
16.4.14 Dos barcos salen un puerto marítimo a las 9:00 am siguiendo un movimiento
rectilíneo con velocidad constante. Un barco viaja a una velocidad de 10 millas náuticas
por hora, mientras que el otro barco viaja a una velocidad de 8 millas náuticas por hora.
Si el barco más rapido mantiene un rumbo de N43◦ O y el rumbo del otro barco es S21◦ O.
Determine la distancia (en millas náuticas) entre los barcos a las 11:00 am de ese mismo
día.
Respuestas
Respuestas de Semana 1
1.1.1
R
Relaciones R y U
1.1.2
R
Relación B
1.1.3
R
Dg = {−6, −4, 3, 5} y
A g = {−23, 22, 24, 25}
1.1.4
g(4) = 7, m = 3, k = 1 o k = 5,
R
G g = {(1, 8), (2, −6), (3, 4), (4, 7), (5, 8), (6, −2), (7, 0)}
1.1.5
R
1.1.6
R
imagen
Solo f y g tienen a 5 en su
dominio, f (5) = 10 y g(5) = 0.
1.1.7
R
a) Elevar al cuadrado y sumar 3.
b)
x
f (x)
0
19
2
7
4
3
6
7
1.1.11
R
a) f ( a) = 3a + 1, f ( a + h) = 3a + 3h,
3
f ( a + h) − f ( a)
=
h
b) f ( a) = a2 − 2, f ( a + h) = a2 + 2ah + h2 −
f ( a + h) − f ( a)
= 2a + h
2,
h
1
f ( a + h) − f ( a)
1
, f ( a + h) =
,
=
a+1
a+h+1
h
1
−
( a + h + 1) a
d) f ( a) =
R
√
f ( x ) = 3( x + 8)
1.1.9
R
Reste 4 y divida por 3.
R
c) f (−2) = −1, f (−1) = −1, f (0)no existe, f (5) =
1
1
1, f ( x2 ) = 1, f
=
x
x|x|
c) f ( a) = a2 + 2a + 3, f ( a + h) = a2 + 2ah + h2 +
f ( a + h) − f ( a)
2a + 2h + 3,
= 2 + 2a + h
h
1.1.8
1.1.10
1
a) f (1) = 3, f (−2) = −3, f
= 2, f ( a) = 2a +
2
1, f (− a) = −2a + 1, f ( a + b) = 2a + 2b + 1
√
b) f √
(0) = −4, f (2) = 10, f (−2) = −2, f ( 2) =
3 2, f ( x + 1) = 2x2 + 7x + 1, f (− x ) = 2x2 −
3x − 4
1.1.12
R
x + a + 13
1.1.13
R
−9
x ( x + h)
1.1.14
R
f (−4) = 8, f
3
, f (−1) = −1, f (0) = 0 y f (25) = −1
2
3
−
2
=
108
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
R
R(1) = 2, R(10) ≈ 1.66, R(100) ≈
1.1.21
R
Puede verificar con Geogebra.
1.1.22
R
Puede verificar con Geogebra.
1.1.23
R





−2 si
x < −2




f (x) =
x si −2 ≤ x ≤ 2







 2 si
x>2
1.1.24
R
Se omite.
1.1.25
R
29
2
1.1.26
R
129
10
1.1.27
R
136
15
b) Representan el área superficial de una
esfera de radio 2 y radio 3 respectivamente. 1.1.28
R
85
1.1.29
R
0y
2
5
1.1.30
R
x=
−4099
5
1.1.31
R
x
1.1.15
R
f (x)
1.1.16
R
1.1.17
R
−7 −5
0
6
45
5
−5
21
−5
a) D f = R − {−1, 1}
1.1.20
1.48
b) D f = [5, +∞[
c) D f = R
d) Dg = [−2, +∞[−{3}
e) D f =]4, +∞[
1.1.18
R
a) S(2) = 16π y S(3) = 36π.
1.1.19
R
5.2
5.1
a) Dh =] − ∞, −3[∪[0, +∞
5
b) 6
4.8
c) −4 y 5
4.7
4.6
1.1.32
4.5
a) 8
2010 2012 2014 2016 2018 2020 2022
b) −1
R
109
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Respuestas de Semana 2
2.1.1
R
a)-IV, b)-II,c)-I,d)-III
2.1.2
R
a) sí, b) no, c) sí, d) no
a) [−2, −1] y [1, 2].
b) [−3, −2], [−1, 1] y [2, 3].
2.2.6
2.1.3
R
4 − x2
, sí es y función de x.
2
√
b) y = ± 9 − x, no es y función de x.
a) y =
c) y =
2.2.1
1
sí es y función de x.
x2 + 1
R
a) h(−2) = 1, h(0) = −1, h(2) = 3 y h(3) = 4.
R
a) −1 mínimo local y ocurre en x = −2, 0
mínimo local y ocurre en x = 2, 2 máximo
local y ocurre en x = 0.
b) Creciente en [−2, 0] y en [2, +∞[
decreciente en ] − ∞, −2] y en [0, 2].
2.2.7
R
a) D f = R
b) A f = ]−∞, 1] ∪ [2, 6[
b) Dominio [−3, 4] y rango [−1, 4].
c) −2 y 4, respectivamente
c) x = −3, x = 2 y x = 4.
d) 0 y 1, respectivamente
d) [−3, 2] ∪ {4}
2.2.2
R
a) g(−4) = 3, g(−2) = 2, g(0) = 2, g(2) = 1 y
g(4) = 0.
b) Dominio [−4, 4] y rango [−2, 3].
2.2.3
R
e) Crec. ] − ∞, 0[, ]1, 3[, Decrec. ]0, 1[ y
Const. ]3, +∞[
f) 2
g) f ( x ) < 0: ] − ∞, −1[∪{3} y
f ( x ) > 0 :] − 1, 3[∪]3, +∞[
2.2.8
R
a) Dg = ]−∞, 6[ ∪]7, +∞[
a) [−4, 4].
b) A g =] − ∞, 9]
b) [1, +∞[.
c) {−5, −1, 2, 8}
2.2.4
R
a) [−1, 1] y [2, 4].
b) [1, 3].
2.2.5
R
d) Crec. ] − 6, −3[, ]1, 5[, ]7, +∞[,
Decrec. ] − 3, 1[, ]5, 6[ y Const. ] − ∞, −6[
e) Máx. relat: 4 y 9, Mín. relat: −3 y −4
f) g( x ) ≥ 0 : [−5, −1] ∪ [2, 6[∪[8, +∞[ y
g( x ) < 0 :] − ∞, −5[∪] − 1, 2[∪]7, 8[
2.2.9
R
y
110
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
a) D f = R − {0, 6}
b) −
b) A f =] − ∞, 12]
1
a
c) f (t) = −
c) (3, 0) y (−1, 0)
2
a+h
d) Asínt. Vert. x = −2 y Asínt. Horiz. y = 8
e) Crec. ] − 2, 0[, ]0, 4[ y
Decrec. ] − ∞, −2[, ]4, +∞[
2.2.10
R
a) Dm = R − {7}
b) Am = R
2.3.6
R
a) −
68
249
b) −
19
129
c) (−4, 0), (0, 0), (2, 0) y (8, 0)
d) Asínt. Vert. x = 7 y Asínt. Horiz. y = −4
e) Crec. ] − ∞, −2[, Const. ]3, 7[ y
Decrec. ] − 2, 0[, ]0, 3[, ]7, +∞[
f) m > 0 : ] − 4, 0[∪]0, 2[∪]3, 7[∪]7, 8[ y
m < 0 : ] − ∞, −4[∪]2, 3[∪]8, +∞[
2.2.11
R
2.3.8
R
0.25 pie/día
a) 245 personas/año, b) 328.5
personas/año, c) 1997–2001, d) 2001–2006
2.3.9
R
a) 4.76 m/s
b) 2.68 m/s
20 mi/h
2.3.1
R
50 mi/h
2.3.2
R
x2 − 1
b−1
2.3.3
R
2
3
2.3.4
R
−
2.3.5
R
a) 12 + 3h
R
a) 500 MW, 725 MW, b)
R
Entre las 3:00 a.m. y 4:00 a.m., c) Justo antes del
mediodía
2.2.12
2.3.7
4
5
c) 6.25 m/s, 5.55 m/s, 5 m/s, 4.55 m/s, 3.92 m/s,
3.33 m/s, 2.78 m/s, 2.6 m/s, está reduciendo.
2.3.10
R
Primeros 20 minutos: 4.05◦
F/min, siguientes 20 minutos: 1.5◦ F/min; primer
intervalo
2.3.11
R
318 millones de euros por año
2.3.12
R
Ventas aumentaron en
promedio 100 televisores por año
111
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
2.3.13
R
Año
Número de Muñecas
1981
405
1982
444
1983
483
1984
522
1986
600
1991
795
1993
873
1996
990
2001
1185
En el periodo de 1986 a 1996 aumenta a razón de
39 muñecas por año.
Respuestas de Semana 3
3.1.1
R
a) (−4, 0), (0, 0) y (3, 0)
3
b)
, 0 y (0, −3)
2
3
,0
c) (0, 0) y
2
√
1
d)
, 0 y (0, −2 + 5)
5
e) No hay intersecciones
1
f) (0, 0) y
,0
4
3.2.1
R
a) Se desplaza hacia abajo 5 unidades.
d) Se refleja respecto al eje y.
3.2.2
R
a) Se desplaza a la izquierda 2 unidades.
b) Se desplaza hacia arriba 2 unidades.
c) Se desplaza a la izquierda 2 unidades, luego
se desplaza hacia abajo 2 unidades.
d) Se desplaza a la derecha 2 unidades, luego
se desplaza hacia arriba 2 unidades
3.2.3
R
Puede verificar con Geogebra.
3.2.4
R
Puede verificar con Geogebra.
3.2.5
R
√
b) Se desplaza hacia la derecha 5 unidades.
a) f ( x ) =
c) Se refleja respecto al eje x.
b) f ( x ) = | x − 3| + 1
x+2
112
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
y
3.2.6
R
g ( x ) = ( x − 2)2
3.2.7
R
g ( x ) = | x + 1| + 2
3.2.8
R
g ( x ) = f ( x − 4) − 2
3.2.9
R
(−4, 1) ∈ G g
2
1
-1
0
1
2
3
x
-1
3.2.10
g( x ) = f ( x − 2a) + b
R
-2
3.2.11
R
b)
a) Para f : Traslac. horizontal de 1 unidad a la 3.2.13
R
izquierda, reflexión con el eje x y traslac.
vertical de 1 unidad hacia arriba.
a) Para f : Traslac. horizontal de 1 unidad a la
izquierda.
Para g : Traslac. horizontal de 1 unidad a la
1
Para g: Traslac. horizontal de 1 unidad a
izquierda y comprensión de unidad.
2
la derecha, reflexión con el eje x y traslac.
vertical de 8 unidades hacia arriba.
y
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
-3
-2
0
-1
1
2
x
-1
-3
-2
b)
3.2.12
R
a) Para p: Reflexión con el eje x o eje y y traslac.
vertical de 1 unidad hacia arriba.
Para q: Traslac. horizontal de 1 unidad a la
3.3.1
derecha y reflexión con el eje x.
b)
R
-2
-1 -1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
2
x
113
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
a) 8
A f + g = {5}, A f − g = {−3, −1, 1, 3},
1 2 3
A f · g = {4, 6} y A f /g =
, , ,4
4 3 2
b) −2
c) 15
d)
3.3.2
3
2
R
3.3.5
R
3.3.6
R
( f · g)( x ) =
√
f · g : D f · g → R,
x
; D f · g = [0, ∞[−{18}
x − 18
R
a) ( f + g)( x ) = x2 + x − 3, D f + g = R; ( f − 3.3.7
2
3
g)( x ) = − x + x − 3, D f − g = R;( f g)( x ) = x −
a) ( f ◦ g)(−2) = −11
f
x−3
3x, D f g = R;
( x ) = 2 , D f /g = R − {0}
g
x
b) ( g ◦ f )(−2) = −119
√
√
b) ( f + g)( x ) =
4 − x2 + 1 + x, D f + g =
√
√
c) ( f ◦ g)( x ) = 1 − 3x2
[−1, 2]; ( f − g)( x ) = 4 − x2 + 1 + x, D f − g =
√
[−1, 2];( f g)( x ) = − x3 − x2 + 4x + 4, D f g =
s
d) ( g ◦ f )( x ) = −9x2 + 30x − 23
2
f
4−x
[−1, 2];
(x) =
, D f /g =] − 1, 2]
g
1+x
3.3.8
R
3.3.3
R
a) 4
b) 4
3.3.9
R
( g − f )(−2) = −6, ( f · g)(2) = 0,
( g ◦ f ) (−4) = −6 y ( f ◦ g) (−3) = 0.
f ◦ g : D f ◦ g → R,
x
19
( f ◦ g)( x ) =
; D f ◦ g = R − 0,
19 − 18x
18
3.3.4
R
3.3.10
R
3.3.11
R
a) ( f ◦ g)( x ) = ( x + 1)2 , D f ◦ g = R;( g ◦ f )( x ) =
x2 + 1, Dg◦ f = R; ( f ◦ f )( x ) = x4 , D f ◦ f = R;( g ◦
g)( x ) = x + 2, Dg◦ g = R
1
,D
= R − {−1, 0};( g ◦
x + 1 f ◦g
x+1
f )( x ) =
, Dg◦ f = R − {−1, 0}; ( f ◦
x
x
f )( x ) =
,D
= R − {−1, −1/2};( g ◦
2x + 1 f ◦ f
g)( x ) = x, Dg◦ g = R − {0}
b) ( f ◦ g)( x ) =
114
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
3.3.12
R
( f ◦ g)( x ) = √
f ◦ g : D f ◦ g → R,
1
; D f ◦ g = [−2, +∞[−{−1}
x+2−1
f ◦ g : R − {0} → R,
−4
1289
49
=
( f ◦ g)( x ) = 2 + 4 y ( f ◦ g)
x
5
16
3.3.17
R
f ( x ) = x5 , g( x ) = x − 9.
3.3.18
R
f (x) =
3.3.19
R
( f ◦ g ◦ h)( x ) =
3.3.20
R
R
3.3.13
3.3.14
R
m( x ) = 3x2 + 3x + 2
3.3.15
R
q( x ) =
R
−3
r (t) =
y s(t) = 4t − 1 ó
|t| + 14
3.3.16
√
x−3
−3
y s(t) = |4t − 1| + 14
r (t) =
t
4.1.1
R
c) ( f ◦ g)(t) = 3600πt2 y representa el área del
círculo en función de t en segundos.
b) ] − ∞, 2]
c)
16
3
, +∞
c) ≤
d) [−3, −1[
d) >
R
4.1.2
e)
9 2,5
4.1.5
R
a) [−3, 3]
b) ] − ∞, −3] ∪ [3, +∞[
4.1.3
R
√
a) { 2, 2, 4}
n
o
√
b) 0, 1, 2, 2, 4
a) −∞, − 27 ∪ [0, +∞[
b) ]−∞, −1] ∪
R
a) ]4, +∞[
x−1−1
b) f (r ) = πr2 , r en cm.
a) <
b) ≤
√
a) g(t) = 60t, t en segundos.
Respuestas de Semana 4
4.1.4
x
, g( x ) = x2 .
x+4
c) ] − 1, 4[
2 , +∞
1
115
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
d) ] − ∞, −2] ∪ [1, 3]
e) [−2, 0[∪]1, 3]
f)
4.2.2
R
4.2.3
R
−6 y 12
1) (−9, 0), (11, 0) y (0, −9)
1
−3, − ∪]2, +∞[
2
2) −7 y 9
4.2.4
g) ] − ∞, −1[∪]1, +∞[
R
a) (−1, 0), (1, 0) y (0, −1)
b) (2, 0) y (0, −2)
c) (0, −8), (0, 4) y (0, −6)
4.1.6
R
d) (0, −7)
a) [−4, 4]
b) ]−∞, −1] ∪
3 , +∞
7
4.2.5
R
4.2.6
R
Verificar con Geogebra.
a) Dr = R − {−1, 1}
c) ] − 4, 8[
b) Ds = R − {2}
d) − 21 , 2
d) Du =] − ∞, −3] ∪ [3, +∞[
4.1.7
c) Dt = R
3
e) Dv = R
1
1
f) Dw = −∞, − ∪ , +∞ − {−1}
2
2
R
a) | x | ≤ 2
4.2.7
b) | x | > 3
a) A f = [13, +∞[
c) | x − 1| ≤ 3
4.2.1
R
b) A g =] − ∞, 5]
c) Ah =] − ∞, −8]
R
a) S =
13
b) S =
29
4
5
, − 94
,
4.2.8
R
−8
h( x ) ≤ 0 :
, +∞
7
4.2.9
R
f ( x ) < 0 : ]−4, 5[
11
5
c) S = {27, −57}
116
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
4.2.10
R
g( x ) > 0 :] − ∞, −5[∪]3, 6[
4.2.11
R
h( x ) > 0 :] − ∞, −2[∪]1, 2[
4.2.12
R
f ( x ) < 0 :] − ∞, −5[∪[−3, −2]
4.2.13
R
m > 0 :] − 30, −10[
4.2.14
R
13 13
n<0: − ,
7 7
Respuestas de Semana 5
5.1.1
R
b) Se omite.
c) Se omite.
a) Tome la raíz cúbica, reste 5, luego divida el
resultado entre 3.
5.1.7
R
√
3
x
−
5
b) f ( x ) = (3x + 5)3 ; f −1 ( x ) =
x−1
3
a) f −1 : R → R, f −1 ( x ) =
2
r
5−x
5.1.2
R
b) g−1 : R → R, g−1 ( x ) = 3
4
a) Falso.
4x
c) h−1 : R − {1} → R − {4}, h−1 ( x ) =
1−x
b) Verdadero.
3
5
d) f −1 : R − −
→ R −
, f −1 ( x ) =
2
2
R
5.1.3
5x − 1
2x + 3
a) No
2
2
−1 ( x ) = x − 2
−
1
,
+
∞
,
g
e)
g
:
[
0,
+
∞
[→
−
b) Sí
5
5
c) No
5.1.4
f) h−1 : [1, +∞[→ [−1, +∞[R, h−1 ( x ) = x2 − 2x
R
a) Sí.
5.1.8
b) Sí.
5.1.5
g) √
g−1 :] − ∞, −6] → [−7, +∞[, g−1 ( x ) = −7 +
−x − 6
R
a) f ( x ) = 500 + 80x
R
a) 2.
x − 500
; el número de horas
80
trabajadas como función de la tarifa
b) f −1 ( x ) =
c) 9; si cobra 1220, trabajó 9 horas.
b) 3.
5.1.9
5.1.6
R
a) Se omite.
R
5( x − 32)
; la temperatura Celsius
9
cuando la temperatura Fahrenheit es x
a) F −1 ( x ) =
117
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
b) F −1 (86) = 30; cuando la temperatura es 86 ◦
F F, es 30 ◦ C.
5.1.10
c) g es uno a uno en [5, 8[
5.1.12
R
R
a) Puede verificar con Geogebra.
a) (−2, 1) y (2, 9)
b) Se omite.
b) (1, 0) y (2, −1)
1 3
c)
,
y (4, 5)
2 2
c) f −1 ( x ) = x2 − 1
5.1.11
d) (−5, −4) y (0, −9)
R
a) {−6, −1, 2, 7, 9}
b) f es uno a uno en ]8, +∞[
5.1.13
R
(−3, 4),
3
, −3
2
Respuestas de Semana 6
6.1.1
a) y = 23 x + 1
R
b) y = 3
a) Sí.
b) No.
6.1.2
6.1.7
R
a) Decreciente.
b) Creciente.
R
a) Lineal, g( x ) = − 25
2 x+6
b) Lineal, f ( x ) = 10x − 24
6.1.8
R
x = − 16
3
a) 3
6.1.9
R
x=a
b) − 13
6.1.10
6.1.3
R
6.1.4
R
6.1.5
R
a) y = − 2x +
b) y = 2x + 3
− 54
1. E
2. F
7
2
3. D
4. C
5. B
6.1.6
R
6. A
R
y
9
,2
2
118
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
6.1.11
R
a)
d)
b)
6.1.12
R
a) 10
b)
13
40
c) A f = R
d) (0, −2) y
2
,0
5
e) 5
f) f −1 : R → R, f −1 ( x ) =
6.1.13
c)
x+2
5
R
a) Estrictamente creciente
8
−27
b) 0,
y
,0
9
28
119
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
−27
, +∞
c) h( x ) > 0 :
28
−27
h( x ) < 0 : −∞,
28
28
7
d) h−1 : R → R, h−1 ( x ) = x −
6
27
6.1.14
R
6.1.15
R
Función k es lineal
R
45 dólares por cada sesión de
entrenamiento.
6.1.23
R
R
a) 15◦ C es la temperatura promedio en el año
1950
0.07◦ C es la temperatura promedio que
aumenta cada año desde 1950 (razón de
cambio promedio)
b) 22◦ C
R
6.1.25
R
a) a = −1 ó a = 2
a) C (n) = 13n + 900
b) a ∈ ]−∞, −1[ ∪]0, 2[
b) $13
c) a ∈ ]−1, 0[ ∪]2, +∞[
c) $3175
6.1.17
6.1.18
R
R
7
1
f (x) = − x +
4
4
Forma Punto-Pendiente
L : y − 5 = −2( x + 3)
Forma Clásica L : y = −2x − 1
Forma General L : 2x + y = −1
6.1.19
6.1.20
R
R
La tasa de cambio es de
0,1. Por cada minuto adicional de conversación
telefónica, la tarifa mensual aumenta en 0, 1
dólares o 10 céntimos. El valor inicial es
24. Cuando no hay minutos de conversación
telefónica, inicialmente el cargo es de 24 dólares.
6.1.24
4
a) k =
3
4
, +∞
b) k ∈
3
4
c) k ∈ −∞,
3
6.1.16
6.1.22
m=
7
13
6.1.26
R
a) C ( x ) = 8000x + 170000, x el número de artíc.
produc.
b) $1 130 000
6.1.27
R
a) 2300
b) 2020
Terry comienza a una
R
elevación de 3000 pies y desciende 70 pies por 6.1.28
segundo.
a) W (t) = 0.5t + 7.5
6.1.21
R
3 millas por hora
b) DW = [0, 12] y AW = [7.5, 13.5]
120
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
c) (−15, 0) La intersección en x no es un 6.1.30
R
conjunto de datos plausible para este
modelo porque significa que el bebé pesaba
a) 696 estudiantes.
0 libras a los 15 meses antes de nacer. (0, 7.5)
El bebé pesaba 7.5 libras al nacer.
b) 4 años.
d) m = 0.5 indica que el peso del bebé aumenta
0.5 libras cada mes.
c) 174 estudiantes al año.
e) A la edad de 5.8 meses.
d) 305 estudiantes.
f) 10.6, el peso del bebé es 10.6 libras a los 6.2
meses.
e) P(t) = 305 + 174t
6.1.29
f) 2219 estudiantes.
R
a) y = −2t + 180
R
6.1.31
b) (0, 180) en 1980 la empresa tenía un
beneficio de 180 mil dólares.
a) C ( x ) = 0.15x + 10
c) (90, 0) en el año 2070 la empresa tendrá
beneficio 0.
b) La tarifa plana mensual es de 10 dólares y
hay una tarifa adicional de 0.15 dólares por
cada minuto adicional utilizado.
d) m = −2, cada año el beneficio disminuye 2
mil dólares.
c) $113.05
Respuestas de Semana 7
7.1.1
R
7.1.2
R
a)
1
2
b)
1
6
y − 2 = 3( x − 1)
b) 5x + y − 11 = 0
c) 3x − y − 2 = 0
d) y = 5
c) − 92
7.1.3
7.1.4
R
−2, 21 , 3, − 14
R
a) x + y − 4 = 0
b) 3x − 2y − 6 = 0
7.1.5
a) 5x − y − 7 = 0
R
e) x = −1
f) 5x − 2y + 1 = 0
g) x − y + 6 = 0
h) y =
−3
2 x
5
17
i) y = x +
2
2
121
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
7.1.10
R
Se omite.
7.1.11
R
arg2
7.1.12
R
k = −4 ó k = 1
7.1.13
R
a) L1 : y = −3, L2 : x = 4
7.1.6
b) (0, −3) para L1 y (4, 0) para L2
R
3x − 2y + 8 = 0
c) (−3, 4)
7.1.14
a)
7.1.7
R
22 31
,
7 7
b) No hay punto de intersección
t+2
c)
t, −
t ∈ R (infinitas soluciones)
5
R
Todas tienen la misma pendiente.
7.1.15
R
cuadrado
7.1.16
R
hacia arriba, (3, 5), 5, mínimo
7.1.17
R
a) (1, −3)
7.1.8
b) −3
R
Todas tienen el mismo punto de intersección con
el eje x.
7.1.9
R
3
, −3
4
c) R, [−3, +∞[
7.1.18
R
a) f ( x ) = ( x + 2)2 − 1; Vértice (−2, −1); eje x
(−1, 0) (−3, 0); eje y (0, 3)
122
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
b) f ( x ) √
= −( x − 3)2√+ 13; Vértice (3, 13); eje x 7.1.20
R
(3 + 13, 0) (3 − 13, 0); eje y (0, 4)
a) f − 21 =
3
4
b) f (−3.5) = 185.75
c) f (0.6) = 15.64
c) f ( x ) = 2( x − 5)2 + 7; Vértice (5, 7); eje x no
hay; eje y (0, 57)
7.1.21
R
7.1.22
R
f ( x ) = 2x2 − 4x
a) R, ] − ∞, 1]
b) R, − 23
2 , +∞
7.1.23
R
a) x = −2
b) (−2, −4)
c) A f = [−4, +∞[
7.1.19
d) f ( x ) = 3( x + 2)2 − 4
R
a) f ( x ) = ( x
e) 9
+ 1)2
− 2; mínimo f (−1) = −2
7.1.24
R
a) Cóncava hacia abajo.
5 9
b)
,
4 8
1
c) (0, −2),
, 0 y (2, 0)
2
d) g( x ) > 0 : ]1/2, 2[
b) f ( x ) = − x +
3 2
2
+
21
4;
máximo f
− 32
=
21
4
g( x ) < 0 : ] − ∞, 1/2[∪]2, +∞[
e) Estrict. Creciente: ] − ∞, 5/4[,
Estrict. Decreciente: ]5/4, +∞[
7.1.25
R
a) −4.01
b) −4.011025
123
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Respuestas de Semana 8
8.1.1
R
8.1.2
R
25 pies
c) q = 250 unidades con ingreso máximo de
$125 000.
8.1.11
a) 8.125 pies.
a) I ( x ) = (60 − 2x )(1500 + 150x )
= −300x2 + 6000x + 90000
b) 6.25 pies.
8.1.3
R
$4000, 100 unidades
8.1.4
R
30 veces.
8.1.5
R
después de 150 minutos, 4.5
mg/L
8.1.6
R
8.1.7
R
R
50 árboles por acre.
b) 40 desayunos con un costo de
obtener el ingreso máximo.
8.1.12
R
a) A( x ) = x (12 − x ) = − x2 + 12x
b) Ancho de 6 cm y longitud de 6 cm con un
área máxima de 36 cm2 .
8.1.13
a) f ( x ) = x (1200 − x ).
b) 600 pies por 600 pies.
8.1.8
R
a) A( x ) = (30 − 2x ) x
b) 7.5
8.1.9
R
a) R( x ) = x (57 000 − 3000x )
b) $9.50
c) $19
8.1.10
R
a) 6 metros
b) En t ≈ 0.646446609 seg y t ≈ 1.35355339 seg
c) En t = 1 segundos
d) 8 metros
8.2.1
R
a) f −1 : [7, +∞[→]
r − ∞, 8],
x−7
f −1 ( x ) = 8 −
3
c) 112.5
R
3000 para
b) g−1 :] − ∞, −2[→]
√ − 5, +∞[,
−
1
g ( x ) = −5 + − x − 2
16
1
−
1
c) h : −∞,
→ , +∞ ,
3 r
3
1
16
x
h −1 ( x ) = +
−
3
9
3
8.2.2
R
a) I (q) = (1000 − 2q)q = 1000q − 2q2
a) (2, 4)
b) $105 000
b) (0, −3) y (2, −3)
124
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
c) No hay puntos de intersección.
√
√
d) (−5 − 30, 134 + 24 30) y
(−5 +
8.3.1
R
8.3.2
R
√
a) (ii)
b) (iV)
√
30, 134 − 24 30)
II
8.3.3
Respuestas de Semana 9
9.1.1
R
9.1.2
R
a); c)
c)
a) III.
b) V.
c) IV.
9.1.3
R
d)
a)
b)
e)
R
125
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
9.1.4
R
9.1.5
R
Se omite.
a) Cero Simple: x = −2
Cero Múltiple: x = 5 multiplic. 4
y → −∞ cuando x → −∞
y → +∞ cuando x → +∞
a) Un máximo local, un mínimo local
b) Un máximo local, un mínimo local
9.1.6
b) Cero Simple: x =
R
Ceros Múltiples: x = 0 multiplic. 3,
x = 5 multiplic. 2
a) −48
b) −5, 0 y
1
3
c) −18
9.1.7
1
2
y → −∞ cuando x → ±∞
c) Ceros Múltiples: x = 0 multiplic. 4,
x = 2 multiplic. 3, x = −1 multiplic. 2
y → −∞ cuando x → −∞
y → +∞ cuando x → +∞
R
a) x = −1, x = 0 y x = 3
9.1.11
R
9.1.12
R
cociente; residuo
b) (−1, 0), (0, 0) y (3, 0)
c) y → +∞ cuando x → −∞
y → −∞ cuando x → +∞
9.1.8
R
a) P( x ) = (2x − 3)( x2 − 1) − 3
b) P( x ) = ( x2 + 3)( x2 − x − 3) + 7x + 11
9.1.13
a) x = −2, x = 0 y x = 2
b) (−2, 0), (0, 0) y (2, 0)
c) y → +∞ cuando x → ±∞
9.1.9
R
a) x = −9, x = −4, x = 2 y x = 8
a)
R
P( x )
x+3
= −2x2 − 4x − 8 +
Q( x )
2x − x2
P( x )
b)
=
Q( x )
c)
3 2 5
5
x + x+
2
4
8
−11
x+1
+ 82
2x − x
2x − 17
P( x )
= 2x2 − x + 6 +
Q( x )
3 − x2
9.1.14
R
b) y → +∞ cuando x → ±∞
a) C ( x ) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 y R( x ) = 0
c) Ceros simples: x = −9 y x = −4
Ceros Múltiples: x = 2 y x = 8
1
3
b) C ( x ) = x3 − x2 + 4x − 12 y R( x ) = 71
2
2
c) C ( x ) = 3x + 23 y R( x ) = 138
9.1.10
R
d) C ( x ) = 2x2 + 4x y R( x ) = 1
126
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
9.1.15
R
k=
14
9
a) ±1, ± 15 ; Ceros: −1, 1 y
b) ±1, ±3, ± 12 , ± 32 ; Ceros: 1, 3 y − 12
9.1.16
R
k = −1 ó k = 4
9.1.17
R
−1 +
9.1.18
R
Una posibilidad es P( x ) = ( x +
√
6, −1 −
√
6
1)( x − 1)( x − 3)( x − 5).
9.1.19
R
9.1.20
R
P( x ) = 32 ( x − 1)( x + 2)( x − 3)
b) P( x ) = ( x + 1)( x − 2)2
R
3, utilizando el teorema del
residuo.
9.1.22
R
9.1.27
R
a) −1, 2, P( x ) = ( x + 1)2 ( x − 2)
b) −3, −1, 1, P( x ) = ( x + 3)( x + 1)( x − 1)
c) ±2, ± 23 , P( x ) = ( x − 2)( x + 2)(2x + 3)(2x − 3)
d) −1, ± 12 , P( x ) = ( x + 1)(2x − 1)(2x + 1)
a) P( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − 2)
9.1.21
1
5
No lo es, porque 1 no es un cero
de P( x ).
e) −1, 2, P( x ) = 2( x + 1)( x − 2) x2 + x + 1
9.1.28
R
a) −2, −1 ±
√
2
b) − 12 , 2
c) −1, 2
1
1
1
2
a0 , an , ±1, ± , ± , ± , ±2, ± , 9.1.29
R
2
3
6
3
5
5
5
10
±5, ± , ± , ± , ±10, ±
a) P( x ) = x ( x + 1)(2x + 1)( x − 1)2
2
3
6
3
−1
9.1.24
R
Verdadero
b)
, 0 , (−1, 0), (0, 0) y (1, 0)
2
9.1.23
R
9.1.25
R
9.1.26
R
±1, ±2, ±4, ±8, ± 21
c) f ( x ) > 0 :] − 1, −1/2[∪]0, 1[∪]1, +∞[
f ( x ) < 0 :] − ∞, −1[∪] − 1/2, 0[
Respuestas de Semana 10
10.1.1
R
−∞, +∞
10.1.2
R
(−1, 0) y (2, 0)
10.1.3
R
a) Tabla 1: −3, −19, −199, −1999
Tabla 2: 5, 21, 201, 2001
Tabla 3: 1.2500, 1.0417, 1.0204, 1.0020
127
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Tabla 4: 0.8333, 0.9615, 0.9804, 0.9980
b)
r ( x ) → −∞ cuando x → 2+
r ( x ) → +∞ cuando x → 2−
Asíntota horizontal y = 1.
b) Tabla 1: −22, −430, −40 300, −4 003 000
Tabla 2: −10, −370, −39 700, −3 997 000
10.1.7
R
Tabla 3: 0.3125, 0.0608, 0.0302, 0.0030
Tabla 4: −0.2778, −0.0592, −0.0298, −0.0030
r ( x ) → −∞ cuando x →
2−
Ds = R − {−1, 6}
Asíntota horizontal y = 0.
R
Asíntotas verticales x = −1, x = 6
Asíntota horizontal y = 0
r ( x ) → −∞ cuando x → 2+
10.1.4
a) Eje y: (0, −1)
Eje x: (−1, 0) y (2, 0); Eje y:
As =] − ∞, −0.5] ∩ [0, +∞[
(0, 1/3)
10.1.5
R
a) Horizontal y = 0
b) Vertical x = 12 , x = −1; horizontal y = 3
c) Vertical x = 31 , x = −2; horizontal y =
10.1.6
a)
5
3
b) Eje x: (−6, 0) y (1, 0); Eje y: (0, 2)
R
Asíntotas verticales x = −3, x = 2
Asíntota horizontal y = 2
Dr = R − {−3, 2}
Ar = R
128
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
10.1.11
R
a)
10.1.8
R
b) Disminuye a cero.
a) Asínt. Vertical x = 2,
10.2.1
Asínt. Oblicua y = x + 2
a) f ( x ) = x2 − 11 +
b) Asínt. Vertical x = 4,
b) g( x ) = 2x − 1 −
Asínt. Oblicua y = −3x − 8
c) Asínt. Vertical x = −1, x =
1
1
Asínt. Oblicua y = x −
2
4
R
1
2
10.2.2
4
3
+
3x − 1 x + 1
R
a) f ( x ) =
b) g( x ) =
10.1.9
1
1
−
x+1 x−1
R
c) h( x ) =
1
1
+
x 9−x
1
4
−
x − 2 2 − 3x
1
4
+
3x − 2 x − 2
a) Dh = R − {−1, 3}
−5
y (5, 0)
b) 0,
3
d) g( x ) = −
1
2
−
3(4x − 1) 3( x − 1)
c) h( x ) > 0 :] − ∞, −1[∪]3, 5[
e) h( x ) = −
1
3
2
+
−
6x 10( x − 2) 15( x + 3)
h( x ) < 0 :] − 1, 3[∪]5, +∞[
10.1.10
R
a)
f) f ( x ) =
12
11
11
−
−
x
2( x − 1) 2( x + 1)
g) g( x ) =
3
1
−
2( x + 2) 2( x − 4)
h) h( x ) = −
10.2.3
R
1
37
29
+
+
16x 32( x + 4) 32( x − 4)
Conjunto B = R − {2},
f −1 : R − {2} → R − {−7}, f −1 ( x ) =
b) Se nivela en 3000.
10.2.4
R
−5 − 7x
x−2
129
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
a) m−1 : R − {1} → R − {16}, m−1 ( x ) =
16x
x−1
1 − 5x
x−2
r
9x + 5
c) p−1 :]1, +∞[→] − ∞, −3[, p−1 ( x ) = −
x−1
b) n−1 : R − {2} → R − {−5}, n−1 ( x ) =
10.2.5
R
a) (−4, 3) y (−3, 4)
b)
33 −10
,
10 17
Respuestas de Semana 11
11.1.1
Dh = R, Ah =] − 1, +∞[, y = −1
R
a) III
11.1.7
R
b) I
c) II
d) IV
11.1.2
R
a) desplazamos hacia abajo 1 unidad.
b) desplazamos a la derecha 1 unidad.
Dh = R, Ah =] − 3, +∞[, y = −3
11.1.8
R
a) 13 kg.
11.1.3
R
11.1.4
R
f (x) =
5x
b) 6.6 kg.
11.1.9
a) −
R
49
3
b) y = −15
Dh = R, Ah =]1, +∞[, y = 1
11.1.5
R
11.1.6
R
natural; 2.71828
11.1.10
R
11.1.11
R
a) III
b) II
c) I
d) IV
11.1.12
R
g( x ) = a x−m − n.
130
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
a) x = 100
11.1.19
R
log
11.1.20
R
Se omite.
11.1.21
R
b) x = 2
c) x =
1
2
11.1.13
R
11.1.14
R
f ( x ) = log2 x
x 4 ( x − 1)2
√
3
x2 + 1
a) x = −5
b) x = −
11.1.22
7
2
R
a) (0, −12)
383
, 0 y 0, 7 − log 1 (3)
b)
2
512
Dh =]1, +∞[, Ah = R, x = 1
11.1.15
b) Se omite
b) Dg =] − ∞, −1[∪]1, +∞[
c) Dh =]0, 2[
e) Dm =] − ∞, 6[
1
f) D p = −∞,
− {0}
2
R
2 +1
, D f ◦g = R
( g ◦ f )( x ) = 32x + 1, Dg◦ f = R
b) ( f ◦ g)( x ) = log2 ( x − 2), D f ◦ g =]2, +∞[
( g ◦ f )( x ) = log2 ( x ) − 2, Dg◦ f = R+
11.1.17
R
11.1.18
R
log( x4 + 2)
c) Se omite
d) Se omite
e) Se omite
d) Dk = ]−15, +∞[
a) ( f ◦ g)( x ) = 3x
R
a) Se omite
R
a) D f =] − ∞, 4[
11.1.16
11.1.23
−2
f) Se omite
11.2.1
R
a) f −1 :]8, +∞[→R,
x−8
−
1
f ( x ) = log5
6
b) g−1 :] − 5, +∞[→ R,
g−1 ( x ) = 6 + log7 ( x + 5)
c) h−1 :] − ∞, −15[→ R,
log14 (− x − 15) − 16
h −1 ( x ) =
13
11.2.2
R
a) f −1 : R →]2, +∞[, f −1 ( x ) = 53− x + 2
x − log x − log( x2 + 1) −
b) g−1 : R →] − ∞, 1[, g−1 ( x ) = 1 − 3x−7
c) h−1 : R →] − 1, +∞[, h−1 ( x ) = e
− x −2
5
−1
131
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Respuestas de Semana 12
12.1.1
b) 1.73 años.
R
a) S = {−3, 1}
b) S = log2 85
c) S = ln 14
12.1.7
a) T = 20 + 200e−0.11t
b) 42.16
d) S = {ln (2)}
e) S = {log7 (14)}
12.1.8
f) S = {ln (4)}
b) 1.05 × 108
c) Después de 14.9 h
i) S = {−7}
j) S = {5}
12.1.9
k) S = {6}
n
o
√
l) S = −1+ 2 4e+9
n) S =
n
108
25
n√
b) 2298
o
c) 18 384
n √ o
o) S = 1/ 5
d)
p) S = 316
12.1.2
R
−35
12.1.3
R
V
t = −5 ln 1 −
83
12.1.4
R
P=
12.1.5
R
12.1.6
R
a) 7337
R
a) Encuentre un modelo exponencial n(t) =
2298 · 2t/10 para el número de aves en el
condado después de t años.
o
122
10
R
a) n(t) = 10 · 22t/3
g) S = {−1, 1}
o
n
√
√
h) S = (1 + 5)72, (1 − 5)/2
m) S =
R
P0
( t + 1) c
13 días.
12.1.10
R
a) Encuentre un modelo exponencial n(t) =
12e0.012t para la población t años después de
2000.
b) 12.74 millones.
132
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
b) 153◦ F
c)
c) 28 min.
12.1.14
Aprox. 0.1924 de concent. de
R
alcohol en la sangre
12.1.11
12.1.15
R
12.1.16
R
R
a) 100
15 t
8
B = 2000
5
b) n(t) = 100e0.405t
a) Aprox. 42.8631 horas
c) 43485
b) Aprox. 504 bacterias
d) 16.3 años.
12.1.17
12.1.12
R
R
a) m(t) = 22 · 2−t/1600
b) m(t) = 22e−0.000433t
c) 3.9 mg
d) 463.4 años
R
12.1.13
a) 210◦ F
a) Aprox. 15.8615 años
b) Aprox. 11.6894 años
c) Aprox. 15.12 %
12.1.18
R
a) Aprox. 7:43 am
b) 1.5060 gramos
Respuestas de Semana 13
13.1.1
R
a) arco; 1
b) π/180
c) 180/π
77π
60
7π
d) φ = −
10
c) δ =
13.1.3
R
a) β = 210◦
13.1.2
R
a) β = 6π ≈ 18.850rad
b) α = −5π/12 ≈ −1.309rad
b) α = −225◦
c) θ = 540/π ≈ 171.9◦
d) λ = 495◦
133
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
e) ω = −315◦
13.1.4
a) P
b)
R
a) 410◦ , 770◦ , −310◦ , −670◦
b)
rad,
23π
6
13.1.5
35π
6
rad,
− π6
rad,
13.1.12
− 13π
6
R
rad
R
t = π2 , (0, 1)
√ √ ,
− 22 , 22
t = 3π
4
t = π, (−1, 0)
√
√ 2
2
,
−
,
−
t = 5π
4
2
2
a) Sí
b) Sí
a) 13◦
b) 280◦
t = 2π, (1, 0)
13.1.13
R
13.1.7
a)
5π
6
b)
π
rad
4
13.1.14
R
a) P( x, y)
b) (0, 1), (−1, 0), (0, −1), (1, 0)
R
13.1.9
13.1.10
c)
1
2
a) − 35 , 45
b)
3
4
5,−5
c) − 53 , − 45
d) 35 , 45
13.1.15
4
5
√
3 5
7
Se omite.
R
R
a) −
b)
R
a) (0, 1)
√
√ b) − 22 , − 22
rad
13.1.8
3π
2 ,
(0, −1)
√
√ 2
2
t = 7π
,
,
−
4
2
2
t=
R
13.1.6
13.1.11
4 3
5, 5
√ P − 3 5 , 23
π
4
π
b)
3
π
c)
3
π
d)
6
a)
R
R
134
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
√
2π
e)
7
f)
b) − 2 3 3 , 2, −
√
3
3
c) 0, 1, 0
2π
9
13.2.4
g) π − 3 ≈ 0.14
R
h) 2π − 5 ≈ 1.28
13.1.16
R
√
√ !
2
2
−
,−
2
2
√ !
1 3
,
2 2
!
√
3 1
−
,−
2
2
π
a) ,
4
b)
c)
π
,
3
π
,
6
13.2.1
R
13.2.5
√
13
−
6
R
13.2.6
R
13
6
, cos t = − , tan t =
7
7
a) Negativo.
a) y, x, y/x
b) Negativo.
b) 1, 1.
13.2.7
13.2.2
sen t =
√
R
R
t = π4 , cos t = −
√
2
2 ,
sen t =
a) II
√
2
2
b) II
t = π2 , cos t = 0, sen t = 1
t=
3π
4 ,
cos t = −
√
2
2 ,
sen t =
2
2
√
5π
4 ,
cos t = −
t=
3π
2 ,
cos t = 0, sen t = −1
t=
7π
4 ,
cos t =
√
2
2 ,
2
2 ,
sen t = −
sen t = −
t = 2π, cos t = 1, sen t = 0
13.2.3
a)
R
√
3
2 ,
√
− 12 , − 3
R
a) sen t =
t = π, cos t = −1, sen t = 0
t=
13.2.8
√
√
√
2
2
2
2
√
1 − cos2 t
√
b) sec t = − 1 + tan2 t
13.2.9
R
a) cos t = − 45 , tan t = − 43 , csc t = 53 , sec t = − 54 ,
cot t = − 34
√
√
b) sen t = − 2 3 2 , cos t = 13 , tan t = −2 2, csc t =
√
− 3 4 2 , cot t = −
c) sen t = −
√
√
3
2 ,
√
2
4
√
cos t = 12 , tan t = − 3, csc t =
− 2 3 3 , cot t = −
√
3
3
135
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Respuestas de Semana 14
14.1.1
R
a)
14.1.3
R
a)
3, 2π, −π/4
b)
b)
14.1.2
R
a)
c)
b)
2, 3π, π/4
14.1.4
R
136
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
a) Amp( f ) = 3, A f = [0, 6],
P=
π
π
, desfase k =
9
17
b) Amp( g) = 2, A g = [−3, 1],
P=
π
π
, desfase k = −
3
4
c) Amp(h) = 5, Ah = [−5, 5],
P=
14.1.5
c)
π
7π
, desfase k =
5
20
R
a) 312 días.
b) Máximo 10 y mínimo 5.8
d)
c)
14.1.6
R
e)
a) II
b) I
14.1.7
R
a)
f)
b)
137
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
14.1.8
a)
R
√
2
2
b) −
3π π
y
2
2
c) (−π, 0), (0, 0), (π, 0)
d) ] − π, 0[∪]π, 2π [
14.1.9
R
π
2
i
πh i π πh iπ h
b) −π, − , − ,
,
,π
2
2 2
2
i
πh i πh
∪ 0,
c) −π, −
2
2
a) x = ±
14.2.1
R
14.2.4
R
14.2.5
R
a) π/2, π/3, No está definida
b) π, π/3, 5π/6
c) −π/4, π/3, π/6
14.2.6
b) π/6
c) −π/3
√
d) 3/3
14.3.1
a) sen t
b) [0, π ] , y, x, π/3, π/3, 1/2
b) −1
R
h π πi
a) D f = [−1, 1] y A f = − ,
2 2
π
b)
6
√
2
c) −
2
14.2.3
R
i π πh
a) m : R → − ,
, m( x ) = tan−1 x
2 2
π
b) y = ±
2
π
c)
4
R
a) −π/6
a) [−π/2, π/2] , y, x, π/6, π/6, 1/2
14.2.2
[−π/2, π/2], b)
R
c) tan θ
14.3.2
R
a) cos y
b) sec x
c) 1 − sen x
d)
4 cos x
5
e) 25
f) 20
14.3.3
R
Se omite.
138
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Respuestas de Semana 15
15.1.1
a)
R
sen(75◦ )
sen(45◦
√
+ 30◦ )
6
4
+
=
=
11π
π
b) cos
= cos 5π +
=0
2
2
3π
7
15.1.2
R
cos
15.1.3
R
3 csc x
−
2π
21
√
= cos
2
4
π
3
k) S =
π
l) S =
π
15.1.5
a)
Se omite.
R
=
1
2
b) − 24
25 ,
15.1.6
a) S =
a) S =
13π
9 ,
7
25 ,
− 24
7
R
π
3
+ 2kπ, 2π
3 + 2kπ; k ∈ Z
b) S = {(2k + 1)π; k ∈ Z}
b) S =
Respuestas de Semana 16
R
n
π
2kπ 5π
9 + 3 , 9
17π
9
n
5π
18
+
kπ
3
o
;
+
2kπ
3 ;k
o
∈ Z ; π9 ,
5π 7π 11π
9 , 9 , 9 ,
5π 11π 17π 23π 29π 35π
18 , 18 , 18 , 18 , 18 , 18
c) S = {4π + 6kπ, 5π + 6kπ; k ∈ Z}; Ninguna.
o
n
;
k
∈
Z
; 0.62, 2.19, 3.76, 5.33
d) S = 0.62 + kπ
2
15.1.8
a)
c) S = {−0.47 + 2kπ, 3.61 + 2kπ; k ∈ Z}
b)
d) S = − π3 + kπ; k ∈ Z
e) S = − π4 + 2kπ, 5π
4 + 2kπ; k ∈ Z
c)
π
π
f) S = − 6 + kπ, 6 + kπ; k ∈ Z
d)
g) S = π4 + kπ, 3π
4 + kπ; k ∈ Z
4π
h) S = −1.11 + kπ, 1.11 + kπ, 2π
3 + 2kπ, 3 + 2kπ; k ∈ Z
e)
π
5π
i) S = 3 + 2kπ, 3 + 2kπ; k ∈ Z
j) S = {0.34 + 2kπ, 2.80 + 2kπ; k ∈ Z}
+ kπ; k ∈ Z
o) S = {kπ, 0.72 + 2kπ, 5.56 + 2kπ; k ∈ Z}
p) S = (2k + 1)π, π2 + 2kπ; k ∈ Z
R
120 119 120
169 , 169 , 119
2
11π
+ kπ, 7π
6 + 2kπ, 6 + 2kπ; k ∈ Z
m) S = {kπ, 0.73 + 2kπ, 2.41 + 2kπ; k ∈ Z}
π
n) S = − π6 + 2kπ, 7π
6 + 2kπ, 2 + 2kπ; k ∈ Z
15.1.7
15.1.4
2
f)
R
7π
11π
S=
+ 2kπ,
+ 2kπ; k ∈ Z
6
6
2
−
1
S = tan
+ kπ; k ∈ Z
3
π π 5π 5π
S = − , ,− ,
3 3
3 3
π 3π
5
5
−
1
−
1
S=
,
, π + sen
, π − sen
2 2
12
12
n π πo
S= − ,
3 3
π
7π 2kπ 11π 2kπ
S=
+ kπ,
+
,
+
;k ∈ Z
2
18
3
18
3
139
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
16.1.1
R
cos θ = 35 , sen θ =
4
5
4
tan θ = ,sec θ =
3
5
3
csc θ = 54 , cot θ =
3
4
16.1.2
sen α =
cos β =
3
tan α = ,cot β =
5
sec α =
16.1.3
√
34
5 ,
230.9
16.1.7
R
63.7
R
√
2
2 5
tan θ = √ =
5
5
√3
34
16.1.9
R
3
5
csc β =
R
R
16.1.8
R
√3 ,
34
16.1.6
√
34
5
16.51658
16.1.10
R
16.1.11
R
√
16.1.4
R
x = 28 cos θ, y = 28 sen θ
4
a) − 3+10
b)
16.1.5
√
5
3
cos θ = −
sen t = −
3
5
√
2 2
sen(2θ ) = −
3
3
√
2 5
65
R
4
3
a) cos θ = , tan θ =
5
4
5
5
csc θ = , sec θ =
3
4
4
cot θ =
3
sen θ =
16.2.1
R
−
33
65
R
a) 2100 mi.
b) No.
√
2
, tan θ = 1
2
√
√
csc θ = 2, sec θ = 2
b) cos θ =
16.1.12
√
2
2
16.2.2
R
19 pies.
16.2.3
R
345 pies.
16.2.4
R
473.20 m.
16.2.5
R
32.4986 m
16.2.6
R
460.4069 pies
16.2.7
R
2.5157 m
16.2.8
R
6.3603 m
140
16.4. APLICACIONES EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
16.3.1
R
318.8
16.4.2
R
219 pies
16.3.2
R
m∠ A = 44◦ , m∠ B = 68◦ , a ≈ 8.99 16.4.3
R
55.9 m
16.3.3
R
m∠ B ≈ 34.44◦ , m∠C ≈ 10.56◦ , 16.4.4
R
192 m
16.4.5
R
0.427 UA, 1.119 UA
16.4.6
R
2.30 mi
16.4.7
R
23.1 mi
a = 50 una solución.
16.4.8
R
2179 mi
a < 50 cero soluciones.
16.4.9
R
c = 25.91
16.3.4
16.3.5
R
R
91.146◦ , 14.427◦
a ≥ 100 una solución.
50 < a < 100 dos soluciones.
16.3.6
R
16.3.7
R
28.9
m∠ A ≈ 39.4◦ , m∠ B ≈ 20.6◦ ,
c ≈ 24.6
16.3.8
16.3.9
16.4.1
R
R
a) 62.6 mi
b) S18.2◦ E
16.4.10
R
211 pies
16.4.11
R
3835 pies
16.4.12
R
58.7651 km
16.4.13
R
565.2579 pies
16.4.14
R
27.4667 millas náuticas
2
24.3
R
a) 1018 mi
b) 1017 mi
Referencias:
Stewart, J., Redlin, L., & Saleem, W. (2012). Precálculo: matemáticas para el cálculo (6a.
ed.). Cengage Learning.
Abramson, J. (2014). Precalculus. OpenStax.