Calculo de diametros de tuberia mediante

Cálculo de diámetros de tubería mediante la ecuación
de Darcy-Weisbach aplicando el método de
Newton- Raphson
Jeimi Katterine Terreros Hidalgo, Daniel Alberto Silva Castillo, Jefferson Fabián Merchán Giral
Ingeniería Civil, Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Colombia
jeihidalgo@hotmail.com
danielsc95@hotmail.com
jeffersonmerchan25@gmail.com
Resumen- En una tuberías, para transportar un fluido de un punto
a otro en una distancia dada, se pierde una altura determinada
debido a factores como la fricción, tipo de material, viscosidad del
fluido y depende de diversas condiciones de una forma no lineal,
lo que implica que el cálculo de sus variables sea complejo, en una
diseño real cuando se desea conocer el diámetro que se debe usar
para unas condiciones planteadas se requiere sucesivas iteraciones
tediosas por lo cual se planteó una ecuación general de difícil
solución para lo cual aplicamos el método de Newton- Raphson
para solución de ecuaciones no lineales ya que presenta ventajas
al converger rápidamente.
I.
INTRODUCCIÓN
Para el diseño de tuberías, normalmente se establecen parámetros
iniciales que se desean cumplir, tales como tipo de material, puntos
desde los cuales se va a transportar el fluido, las diferencias de cotas,
el tipo de fluido, la cantidad de fluido por unidad de tiempo; pero
cuando se requiere saber el diámetro de una tubería que cumpla con
dichos requisitos, el cálculo resulta ser extenso debido a la cantidad de
iteraciones múltiples y el grado de dificultad de las expresiones; por
esto se ha tratado de condensar todas las ecuaciones que relacionan
estas variables entre sí, para generar una única ecuación que permite
evaluar todos los parámetros requeridos a través de un solo proceso
iterativo, utilizando el método de Newton-Raphson para solución de
ecuaciones no lineales.
Dónde: h=Pérdida de carga o de energía (m)
f=Coeficiente de fricción (adimensional)
l=Longitud de la tubería (m)
v=Velocidad media (m/s)
g=Gravedad (m/s2)
Colebrook-White: En general el cálculo del coeficiente es complejo,
para lo cual se han generado diversas ecuaciones que relacionan
matemáticamente el comportamiento de cada variable que interactúa
en el cálculo del coeficiente. No obstante la ecuación que ha
contemplado la máxima cantidad de parámetros y se asemeja mejor al
comportamiento real de cualquier tipo de fluido y cualquier tipo de
rugosidad sin importar el tipo flujo (laminar o turbulento), es la
ecuación desarrollada por Colebrook-White [2], [3], [6]:
√
= − ∗ log
.
�
∗
.
+
∗√
Ec 2. Ecuación Colebrook-White
Dónde: �= Rugosidad absoluta de la tubería (m)
D= Diámetro de la tubería (m)
Re= Numero de Reynolds (Adimensional)
f= Coeficiente de fricción (adimensional)
Número de Reynolds: Otro de los parámetros importantes para
II.
DESARROLLO DE CONTENIDOS
Darcy-Weisbash: En un sistema de tuberías a presión se generan
pérdidas de capacidad de transporte o pérdida hidráulica debido a la
fricción de los fluidos con las paredes internas de los ductos que lo
transportan, esta energía que se pierde es transformada en calor y se
refleja como una pérdida de eficiencia en el sistema, que depende de
variables como la rugosidad del conducto, el tipo de material, el tipo
de fluido y sus características; para el cálculo de estas pérdidas una de
las fórmulas más exactas es la de Darcy-Weisbach, la cual obtiene su
nombre en honor a Henry Darcy y Julius Weisbach, ingenieros que
proporcionaron los mayores aportes en el desarrollo de esta ecuación;
la ecuación desarrollada es la siguiente [1], [2], [3]:
ℎ=
�
∗ ∗
�
�2
Ec 1. Ecuación Darcy-Weisbach
calcular el coeficiente de fricción en la ecuación de Colebrook-White
es el Número de Reynolds (Re), número que define el comportamiento
del flujo en el recorrido de un fluido en un ducto en relación directa
con su velocidad. Este número se determina mediante la siguiente
ecuación [2], [3]:
=
�∗
∗
∗�
Ec 3. Ecuación Número de Reynolds
Dónde: Q= Caudal (m3/s)
D= Diámetro Tubería (m)
υ=Viscosidad Fluido (m2/s)
Obtenido el número de Reynolds, se procede con la clasificación del
mismo bajo las siguientes consideraciones:
>
<
� �
�
�
Diagrame de Moody: Dado el grado de dificultad para resolver y
calcular este coeficiente, Lewis Ferry Moody determino un método
para el cálculo del coeficiente de fricción de forma experimental, a
través de una tabla que representa curvas que relacionan la rugosidad
relativa, lo que lo convierte en uno de los métodos más utilizados para
el cálculo del coeficiente de fricción [2], [3]
iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado
punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto
inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función;
si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en
el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo
diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano
a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función
por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de
dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz
que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el
método haya convergido lo suficiente [5].
III.
DESARROLLO APLICATIVO
Tomando las ecuaciones anteriormente mencionadas, planteamos la
solución del sistema mediante el uso del aplicativo de ecuaciones no
lineales de Newton-Raphson ya que este nos permite una convergencia
rápida hacia el parámetro que deseamos calcular en el sistema.
a.
A partir de la ecuación de Darcy-Weisbach (Ec 1.)
despejamos el coeficiente de fricción
=
Fig. 1 Diagrama de Moody
ℎ∗
∗� ∗
∗ ∗
Ec 5. Ecuación Coeficiente de Fricción
Hazen – Williams: Otro de los métodos para la solución de dicha
variable es la ecuación de Hazen-Williams la cual simplifica el
coeficiente de fricción como un c que depende únicamente del material
del conducto que transporta el fluido; esta fórmula es sencilla a razón
que el coeficiente de rugosidad no es función de la velocidad ni el
diámetro de la tubería; sin embargo esta ecuación se limita al tipo de
fluido, ya que solo aplica para cálculos con agua; además, ya que no
tiene en cuenta el número de Reynolds se limita a una franja muy
estrecha de valores de este coeficiente para los cuales es aceptable este
método, esta ecuación se muestra a continuación[4], [6], [7]:
ℎ=
.
∗
.
.
∗
.
Ec 4. Ecuación Hazen-Williams
b.
√
c.
∗�
Dónde: Q= Caudal (m3/s)
C= Coeficiente de rugosidad (adimensional)
D= Diámetro interno de la tubería (m)
L= Longitud de la tubería (m)
ℎ∗
√
NEETON-RAPHSON: El método de Newton-Raphson es un
método iterativo que permite aproximar la solución de una ecuación
del tipo f(x)=0.Se parte de una estimación inicial de la solución X0 y
se construye una sucesión de aproximaciones de forma recurrente
mediante la fórmula
� +
=� −
�
´�
Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros
o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar
el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su
primera derivada.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de
que no está garantizada su convergencia global. La única manera de
alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo
suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la
Como segundo paso, se reemplaza la ecuación del Numero
de Reynolds en la ecuación de Colebrook-White:
d.
= − ∗ (log
.
�
+
∗
�∗
∗
.
∗�
∗√
Ec 6. Número de Reynolds en Colebrook-White
)
Sustituimos la ecuación del numeral a (Coeficiente
de fricción), en la ecuación obtenida en el numeral
anterior
∗� ∗
∗ ∗
= − ∗ (log
�
.
∗
+
Ec 7. Sustitución de ecuaciones
�∗
∗
.
∗�
∗√
)
Igualamos la ecuación del numeral c a cero, para aplicar el
método de Newton-Raphson, lo que permite que en la
ecuación el término desconocido sea el diámetro, y que
garantiza el uso de aplicación.
− ∗ (log
.
�
∗�
+
.
∗�
�∗�∗�
∗√
)−
ℎ∗�∗�2 ∗�
8∗�∗�2
=0
√
Ec 3. Ecuación utilizada en desarrollo Método de Newton-Raphson
e.
Luego de esto, se aplica el método de Newton-Raphson para
simplificar el proceso y agilizar la obtención del resultado
mediante le software Geogebra en donde se encontraba
previamente programado el método en mención.
todos los requerimientos suministrados inicialmente, como se muestra
en la siguiente gráfica.
Fig. 5 lectura diámetro calculado e intervalo.
IV.
Fig. 2 Introducción de fórmula en Geogebra


Fig.3. Formulación de tabla Método de Taylor para la solución del
problema.


Fig. 4. Introducción de variables para el desarrollo.
En el programa el usuario puede probar un valor inicial de diámetro
en la casilla de entrada y si este valor asumido se encuentra
suficientemente lejos de la solución real de forma tal que el primer
error calculado sea mayor a 0.7 el programa indica en un letrero bajo
la tabla en que intervalo de diámetros se presenta un error inicial
menor a 0.7 y en la parte superior de la tabla muestra la solución que
representa el diámetro que se debe usar en la tubería para que cumpla

CONCLUSIONES
Teniendo en cuenta que lo que se busca, es diámetros de
tubería, el resultado no puede ser un valor negativo dentro
del cálculo de esta aplicación por lo cual los valores están
delimitados a números mayores que cero.
Uno de los principales métodos para el cálculo de pérdida
en ingeniería hidráulica, son las fórmulas de HazenWilliams, sin embargo para el desarrollo de proyectos que
requieran transportar un fluido diferente al agua no presenta
utilidad, además de generar baja precisión en gran cantidad
de intervalos de velocidades ya que no tiene en cuenta para
su estudio el Número de Reynolds, que representa el
comportamiento del fluido, por lo cual es necesario el
manejo de una fórmula.
Uno de las dificultades mayores para el cálculo empleando
la fórmula de Darcy-Weisbach, es el coeficiente de fricción,
dado el grado de complejidad para la solución de una
ecuación que no se puede despejar en su totalidad y requiere
de soluciones iterativas, por lo cual para el cálculo de este
valor el principal método que se ha empleado es el manejo
del diagrama de Moody, que representa muy bien los
comportamientos en ciertos intervalos, pero al ser una
gráfica, no permite despejar de forma sencilla ecuaciones
que correlacionen las diferentes variables que interactúan en
el sistema por lo cual es más conveniente para generación
de nuevas ecuaciones trabajar con la ecuación de ColebrookWhite.
Uno de los principales problemas para el cálculo de
diámetros por el método de Colebrook-White es que esta
variable aparece en muchas de las ecuaciones utilizadas en
el sistema, que a su vez dependen unas de otras; por ejemplo
la ecuación del factor de fricción depende del Número de
Reynolds, que a su vez depende del diámetro; pero el factor
de fricción en la ecuación de Darcy-Weisbach también
depende del diámetro lo que genera un ciclo que hace que
para cada valor de diámetro se tenga que interactuar en todas
las ecuaciones y se presente un método muy extenso y
complejo para el cálculo de los diámetros.
Debido a que la ecuación resultante del despeje del diámetro
con respecto a todas las demás variables no es una ecuación
lineal no puede solucionarse la ecuación con facilidad por
métodos algebraicos, es necesario recurrir a un método
numérico, en este caso se toma el método de NewtonRaphson que presenta una convergencia rápida a la solución
para poder tener una solución de esta ecuación, pero debido
a que se genera una ecuación bastante extensa es útil para
operarla y hacer las iteraciones necesarias el uso de un
software, para el caso se utilizó Geogebra.
REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
L. E. Pérez, Breve historia de la ecuación de Darcy- weisbach
(fanning) y Consideraciones de interés sobre la misma, Ed.
Universidad de Buenos Aires, Argentina: 2013.
Ranald V. Giles B.S., Theory and problems of Fluid Mechanics and
Hydraulics, 2nd ed., Schaum Publishing, New York, 1962.
Streeter, Fluid Mechanics, 3th ed, Mc Graw-Hill Kogakusha,
International Student Edition.
Chyr Pyng Liou, Limitations and Proper Use of the Hazen-Williams
Equation, Vol. 124. Sep. 1998.
F. Palacio, Resolución aproximada de ecuaciones: Método de
Newton-Raphson, Escuela Politécnica de Catalunya, V. 1.3, España,
Abr. 2008.
R.L. Mott, Mecánica de fluidos, Ed. 6, Pearson, México, 2006.
R.A. Flechas, “Efecto del uso de la ecuación de Darcy-Weisbach vs
la ecuación de Hazen Williams en el diseño de redes matrices”, XX
seminario Nacional de Hidráulica e Ingeniería Barranquilla,
Colombia, 8 al 10 Agosto 2012.