formulario1

Formulario A ➟ Integrales
277
➠ Formulario A: Integrales
En este formulario: a, b, p, q, C ∈ son constantes reales, m, n ∈ N son enteros positivos y u = u ( x ) y
v = v( x ) son funciones que dependen x.
Fórmulas básicas
1.
2.
∫ k dx = kx + C
3.
∫ ( a ⋅ u ± b ⋅ v )dx = a ∫ udx ± b ∫ vdx + C
4.
n
∫ u du =
5.
∫ u dv = uv − ∫ v du
6.
a
+C
ln(a )
n
du =
22.
∫ csc(u )cot(u ) du = − csc(c) + C
20.
∫ 0 dx = C
∫a
21.

u sen(2u )
+
+C


2
4
2
∫ cos (u ) du =  1
 [ u + sen(u )cos(u )] + C
 2
sec(
u
)
tan(
u
)
du
= sec(u ) + C
∫
u n+1
+ C; ∀ n ≠ −1 regla de la potencia
n +1
integración por partes
Fórmulas trigonométricas hiperbólicas
n
23.
∫ sen h(u ) du = cosh(u ) + C
7.
du
∫ u = ln | u | +C
24.
8.
∫ cosh(u ) du = sen h(u ) + C
∫e
25.
∫ tanh(u ) du = ln [ cosh(u )] + C
26.
∫ coth(u ) du = ln [sen h(u )] + C
27.
 sen −1 [ tanh(u )] + C

sech(
u
)
du
=

∫
u
−1
 2 tanh e + C
28.
 
 u
 ln  tanh    + C
∫ csch(u ) du =    2  
 −2 coth −1 eu + C

u
dx = e + C
u
Fórmulas trigonométricas
9.
∫ sen(u ) du = − cos(u ) + C
10.
∫ cos(u ) du = sen(u ) + C
11.
∫ tan(u )du = 
12.
∫ cot(u ) du = ln [sen(u )] + C
29.
∫ sech (u ) du = tanh(u ) + C
13.
 ln [ sec(u ) + tan(u )] + C

sec(
u
)
du
=

 u π
∫
 ln  tan  2 + 4   + C



30.
∫ csch (u ) du = − coth(u ) + C
31.
∫ tanh (u ) du = u − tanh(u ) + C
32.
∫ coth
14.
 ln [ csc(u ) − cot(u )] + C

csc(
u
)
du
=

  u
∫
ln  tan    + C

  2 

33.

sen h(2u ) u
− +C


4
2
∫ sen h (u ) du =  1
 [ sen h(u )cosh(u ) − u ] + C
 2
34.

sen h(2u ) u
+ +C


4
2
∫ cosh (u ) du =  1
 [ sen h(u )cosh(u ) + u ] + C
 2
35.
∫ sech(u ) tanh(u ) du = − sech(u ) + C
36.
∫ csch(u )coth(u ) du = − csch(u ) + C
15.
 ln [ sen(u )] + C
 − ln [ cos(u )] + C
∫ sec (u ) du = tan(u ) + C
2
16.
∫ csc (u ) du = − cot(u ) + C
17. ∫ tan (u ) du = tan(u ) − u + C
2
2
18.
∫ cot
19.

u sen(2u )
−
+C


2
4
∫ sen (u ) du =  1
 [ u − sen(u )cos(u )] + C
 2
2
(u ) du = − cot(u ) − u + C
2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
( )
( )
2
2
2
2
(u ) du = u − coth(u ) + C
2
2
Alfaomega
3
278
Formulario A ➟ Integrales
Fórmulas con
Fórmulas con
1
du
37.
∫ au + b = a ln ( au + b ) + C
56.
∫
38.
u b
u
∫ au + b du = a − a ln ( au + b ) + C
2 au + b
du
=
+C
a
au + b
57.
∫
u
2(au − 2b )
du =
au + b + C
3a 2
au + b
58.
∫
u2
2(3a 2 u 2 − 4 abu + 8b 2 )
du =
au + b + C
15 a 3
au + b
59.
 1  au + b − b 

+C
ln
 b  au + b + b 
du
∫ u au + b = 

au + b
2
tan −1
+C

−b
b
−

39.
2
u2
∫ au + b du =
u3
40.
∫ au + b du =
−
(au + b )2 2b(au + b ) b 2
+ 3 ln ( au + b ) + C
−
a3
a
2a 3
(au + b )3 3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3
− 4 ln(au + b ) + C
−
+
a4
a
3a 4
2a 4
3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3
+
− 4 ln(au + b ) + C
2a 4
a4
a
du =
1
du

u

41.
∫ u(au + b) = b ln  au + b  + C
42.
du
1
a  au + b 
∫ u 2 (au + b) = − bu + b2 ln  u  + C
43.
∫ (au + b)
44.
∫ (au + b)
45.
∫ (au + b)
46.
47.
du
u
du
∫ (au + b)
49.
∫ (au + b)
50.
u
52.
53.
=−
2
du =
b
1
+ ln(au + b ) + C
a 2 (au + b ) a 2
2b
au + b
b2
−
ln(au + b ) + C
− 3
a3
a (au + b ) a 3
du
1
1  u 
∫ u(au + b)2 = b(au + b) + b2 ln  au + b  + C
du
a
1
2 a  au + b 
∫ u 2 (au + b)2 = − b2 (au + b) − b2u + b 3 ln  u  + C
u2
48.
51.
1
+C
a(au + b )
2
u
2
1
+C
2(au + b )2
3
=−
3
du = −
2
∫ (au + b)
du =
3
du =
1
b
+
+C
a 2 (au + b ) 2 a 2 (au + b )2
2b
b
1
+ ln(au + b ) + C
−
a 3 (au + b ) 2 a 3 (au + b )2 a 3
(au + b )
+C
2a
n+1
(au + b )
n
∫ (au + b) du = (n + 1)a + C
∫ (au + b) du =
n
∫ u(au + b) du =
∀ n ≠ −1
(au + b )n+2 b(au + b )n+1
−
(n + 2)a 2
(n + 1)a 2
2
n
54.
∫ u (au + b) du =
(au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1
+C
−
+
(n + 1)a 3
(n + 3)a 3
(n + 2)a 3
∫u
2
61.
∫
au + b du =
62.
∫u
63.
∫u
64.
∫
au + b
du
du = 2 au + b + b ∫
u
u au + b
65.
∫
au + b
au + b a
du
+ ∫
du = −
u2
u
2 u au + b
66.
∫
um
2u m au + b
2 mb
u m−1
du =
du
−
(2 m + 1)a
(2 m + 1)a ∫ au + b
au + b
67.
∫u
m
68.
∫u
69.
∫
au + b
au + b
a
du
du = −
+
( m − 1)u m−1 2( m − 1) ∫ u m−1 au + b
um
∫
au + b
au + b
(au + b ) 2
(2 m − 5)a
du = −
−
du
um
( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1
2
2
2 (au + b )3
+C
3a
au + b du =
2
m
2(3au − 2b )
(au + b )3 + C
15 a 2
au + b du =
2(15 a 2 u 2 − 12 abu + 8b 2 )
(au + b )3 + C
105 a 3
du
au + b
(2 m − 3)a
du
=−
−
( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1 au + b
au + b
au + b du =
3
2u m
2 mb
(au + b ) 2 −
u m−1 au + bdu
(2 m + 3)a
(2 m + 3)a ∫
3
∀ n ≠ −1, −2
(au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1
+C
−
+
(n + 3)a 3
(n + 2)a 3
(n + 1)a 3
∀n ≠ −1, −2, −3
du
au + b a
du
=−
−
bu
2b ∫ u au + b
au + b
60.
70.
m+ 2
∀n ≠ −1, −2, −3 m
2(au + b ) 2
+C
71. ∫ (au + b) 2 du =
a( m + 2)
72.
m+ 4
m+ 2
2(au + b ) 2
2b(au + b ) 2
∫ u(au + b) du = a2 (m + 4) − a2 (m + 2) + C
m
2
 u m+1 (au + b )n
nb
m+ 6
m+ 4
m+ 2

+
u m (au + b )n−1 du
55.
m
2b 2 (au + b ) 2
2(au + b ) 2
4 b(au + b ) 2
m + n +1
m + n +1∫
2

2
∫ u (au + b) du = a 3 (m + 6) − a 3 (m + 4) + a 3 (m + 2) + C
73.
 u m (au + b )n+1
mb
m −1
n
m
n
(
)
−
u
au
+
b
du
u
au
+
b
du
=
(
)

∫
∫
m+ 6
m+ 4
m+ 2
 ( m + n + 1)a ( m + n +m 1)a
2
2
2
2
2
b
(
au
+
b
)
2(
au
+
b
)
4
b
(
au
b
)
+
 u m+1 (au + bu)n2+(1au m
2
+ 2= m
+C
+
n+1 −
3au + b )
3
3
∫ + + b+) n du
(
u
du
 −
a ( m + 2)
a ( m + 4)
(n + 1)b
(n + 1)b ∫ a ( m + 6)

Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
279
Formulario A ➟ Integrales
m
m
74.
(au + b ) 2
2(au + b ) 2
(au + b )
∫ u du = m + b ∫ u
75.
(au + b ) 2
(au + b )
∫ u 2 du = − bu
m
76.
∫
du
u (au + b )
=
m
2
m+ 2
2
m− 2
2
du
m
am (au + b ) 2
+
du
2b ∫
u
2
b( m − 2)(au + b )
m− 2
2
+
1
b∫
du
u (au + b )
93.
∫u
94.
∫
95.
∫u
m− 2
2
(u
(u
du
+a
2
um
+a
2
(u
m
)
du = ∫
)
2 n
du
2
1
1
du
+
2 a 2 (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 a 2 ∫ u (u 2 + a 2 )n−1
=
2 n
+a
)
2 n
(u
u m− 2
2
+a
)
2 n−1
du − a 2 ∫
1
du
a2 ∫ u m u 2 + a2
=
(
96.
 1  u − a
ln 

 +C
du
 2a  u + a 
∫ u 2 − a2 =  1 −1  u 
 − coth
  + C
 a
a

97.
∫u
2
98.
∫u
2
81.
 u2 
du
1
∫ u(u 2 + a2 ) = 2a2 ln  u 2 + a2  + C
99.
∫u
2
82.
du
1
1
−1  u 
∫ u 2 (u 2 + a2 ) = − a2u − a 3 tan  a  + C
100. ∫ 2 2 = 2 ln 
u (u − a ) 2 a

83.
 u2 
du
1
1
∫ u 3 (u 2 + a2 ) = − 2a2u 2 − 2a 4 ln  u 2 + a2  + C
du
1
 u
= tan −1   + C
 a
+ a2 a
77.
∫u
2
78.
∫u
2
79.
u2
−1  u 
∫ u 2 + a2 du = u − a tan  a  + C
80.
u3
u 2 a2
2
2
∫ u 2 + a2 du = 2 − 2 ln u + a + C
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
u
1
du = ln u 2 + a 2 + C
+ a2
2
(
)
(
∫
∫
∫
∫
(u
(u
(u
(u
∫u
∫u
∫u
91.
∫
92.
∫
2
u
2
3
(u
(u
+ a2
u2
2
+ a2
u
2
(u
2
+ a2
)
2
2
du = −
2
)
+a
du
2
+ a2
du
2
+ a2
du
+ a2
u
+a
)
)
n
2 n
)
)
2
103. ∫
1
+C
2(u 2 + a 2 )
2
du = −
1
1
1
u−a
1
(u
du
− a2
2
)
=−
2

u2

u
1
 u − a
−
ln 
 +C
2 a 2 (u 2 − a 2 ) 4 a 3  u + a 
1
u
105. ∫
106. ∫
∫
(u
1
+C
2(n − 1)(u 2 + a 2 )n−1
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
du
2
+ a2
(
(
u2
u − a2
2
u3
u 2 − a2
107. ∫
u
1
1
1  u2 
− 4 2
− 6 ln  2
+C
4 2
2
2a u
2 a (u + a ) a
 u + a 2 
u
2n − 3
=− 2
+
2 a (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 (2 n − 2)a 2
 u 2 − a2 
+C
u 2 
104. ∫ 2 2 2 du = − 2 2 + C
(u − a )
2(u − a )
1
u
3
 u
=− 4 − 4 2
−
tan −1   + C
 a
a u 2 a (u + a 2 ) 2 a 5
=−
1
du

1
1  u
= 2 2
+
+C
2 a (u + a 2 ) 2 a 4  u 2 + a 2 
)
u3
u 2 a2
du =
+ ln(u 2 − a 2 ) + C
2
−a
2
2
102. ∫ 3 2 2 = 2 2 − 4 ln  2 2  + C
u (u − a ) 2 a u
2a
u −a 
2
2 2
n
u2
a  u − a
du = u + ln 
 +C
− a2
2  u + a
du
a
1
du =
+ ln(u 2 + a 2 ) + C
2(u 2 + a 2 ) 2
2
)

101. ∫ 2 2 2 = 2 + 3 ln 
 +C
u (u − a ) a u 2 a
u + a
u
1
 u
du = −
+
tan −1   + C
 a
2(u 2 + a 2 ) 2 a
2
(
u
1
du = ln(u 2 − a 2 ) + C
− a2
2
du
2
du
(u
2
)
)
u
1
 u
= 2 2
+
tan −1   + C
 a
2 a (u + a 2 ) 2 a 3
3
+ a2
(u
2
)
1
du
a 2 ∫ u m− 2 u 2 + a 2
Fórmulas con
Fórmulas con
du
)
−
n−1
u m−2
du
(u 2 + a 2 )n
)
n−1
(u
)
2
du = −
a
1
+ ln u 2 − a 2 + C
2
2 u 2 − a2
109. ∫ 3
u
(u
2
)
− a2
du
−a
du
− a2
=−
2 2
du
2
2
u
1  u − a
+
ln 
 +C
4a  u + a 
2 u 2 − a2
−a
(u
(u
du = −
du
2
108. ∫ 2
u
110. ∫
)
2
)
n
)
)
2
2 2
(
)
(
(
)
)
 u2 
1
1
+ 4 ln  2
+C
2a
 u − a 2 
2a2 u 2 − a2
(
)
=−
u
3
1
 u − a
−
− 5 ln 
+C
 u + a 
4a
a 4 u 2a 4 u 2 − a2
=−
1
1
1  u2 
−
+ 6 ln  2
+C
2a 4 u 2 2a 4 u 2 − a2
a
 u − a 2 
=−
(
)
(
u
(
2 a 2 ( n − 1) u 2 − a 2
)
)
n−1
−
2n − 3
du
( 2n − 2 ) a 2 ∫ (u 2 − a 2 )n−1
Alfaomega
280
Formulario A ➟ Integrales
111. ∫
(u
112. ∫
u
113. ∫
u
−a
2
du
(u
(u
−a
2
um
−a
2
114. ∫ m
u
)
2 n
(u
du = −
)
)
2 n
− a2
)
=
n
2 ( n − 1) u − a
2
)
2 n−1
1
(
2 a ( n − 1) u − a
2
du = ∫
du
2
=−
2 n
(
1
(u
u m− 2
2
−a
2
)
2 n−1
)
2 n−1
du + a 2 ∫
1
du
a 2 ∫ u m− 2 u 2 − a 2
(
)
n
+
128. ∫ 3
u
+C
1
du
− 2∫
a u u 2 − a2
(
(u
u m−2
2
− a2
)
n
)
n−1
130. ∫
du
1
du
a2 ∫ u m u 2 − a2
(
)
n−1
115.
(a
2
−u
(a
2
− u2
131. ∫
1  a + u
ln 
 +C
2a  a − u 
1
 u
tanh −1   + C
 a
a
u u
1
u
116. ∫ 2 2 du = − ln ( a 2 −∫uu22) +uC2 + a 2 du = (
2
a −u
+a
4
3
2 2
)
=
)
2 n
u
)
u +a
2
133.∫ u 2
−
)
118. ∫ 2 u 2 du = − u
2
a −u
119.
−
(
)
135. ∫
 u2 
du
1
∫ u a2 − u 2 = 2a2 ln  a2 − u 2  + C
(
)
1
du
1
a+u

120. ∫ 2 2 2 = 2 + 3 ln 
 +C
a − u
u ( a − u ) a u 2a
1
du
1
u2

136. ∫

121. ∫ 3 2 2 = − 2 2 + 4 ln  2 2  + C
2a u
2a
a −u 
u (a − u )
122. ∫
123. ∫
124. ∫
125. ∫
(a
du
2
−u
)
u
(
a2 − u 2
(
a − u2
u2
2
(a
126. ∫
u
u
2
(a
127. ∫ 2
u
)
du =
)
2
du =
)
2 2
du
2
(a
−u
−u
Alfaomega
du =
)
2 2
du
2
u
1
 a + u
+ 3 ln 
 +C
4a  a − u 
2a a2 − u 2
2
2
3
−u
=
2 2
)
2 2
=
(
)
1
+C
2 a2 − u 2
(
)
)
a
1
+ ln a 2 − u 2 + C
2
2 a − u2
2
(
2
(
)
)
 u2 
1
1
+ 4 ln  2
+C
2
2
2a
 a − u 2 
2a a − u
=−
2
(
)
1
u
3
 a + u
+
+ 5 ln 
+C
 a − u 
4a
a 4 u 2a 4 a2 − u 2
(
)
(
)
2n − 3
du
( 2n − 2 ) a 2 ∫ ( a 2 − u 2 )n−1
n−1
+C
(
)
2
+ a2
2
3
(
)
3
2
+C
u u 2 + a2
4
)
3
2
−
(
137. ∫
138. ∫
3
u +a
2
2
(u
du =
2
+ a2
5
)
5
2
−
(
(
a2 u 2 + a2
3
)
3
2
+C
)

2
2
 ln u + u + a + C

=
 u
u 2 + a2 
sen h −1   + C
 a

du
u
u 2 + a2
u2
u 2 + a2
u3
u 2 + a2
du = u 2 + a 2 + C
du =
du =
(
)
u u 2 + a2 a2
− ln u + u 2 + a 2 + C
2
2
(u
2
+ a2
3
)
3
2
− a2 u 2 + a2 + C
1  a + u 2 + a2 
= − ln 
 +C
a
u
u +a


du
2
140. ∫ 2
u
141. ∫ u 3
2
du
u +a
2
du
2
u 2 + a2
=−
u 2 + a2
+C
a 2u
=−
 a + u 2 + a2 
u 2 + a2
1
+ 3 ln 
 +C
2 2
2a u
2a 
u

142. ∫
 a + u 2 + a2 
u 2 + a2
du = u 2 + a 2 − a ln 
 +C
u
u


143. ∫
u 2 + a2
u 2 + a2
+ ln u + u 2 + a 2 + C
du = −
2
u
u
(
)
a 2u u 2 + a 2 a 4
− ln u + u 2 + a 2 + C
8
8
)
139. ∫ u
u
1  a + u
−
ln 
 +C
4a  a − u 
2 a2 − u 2
(
1
+
u u 2 + a2 a2
+ ln u + u 2 + a 2 + C
2
2
u + a du =
2
(
134. ∫ u
a
ln a 2 − u 2 + C
2
2
)
2 n−1
2 a 2 ( n − 1) a 2 − u 2
(u
du =
2
2
2
2
)
a2u u 2 + a 2 a 4
− ln u + u 2 + a 2 + C
8
8
117. ∫ 2 u 2 du = −u + a ln  a + u  + C
a −u
2  a − u
3
(
2 a ( n − 1) a − u
2
du =
n
(
u
u 2 + a 2 du =
132. ∫ u
2
−u
du
1
1
1  u2 
+ 4 2
+ 6 ln  2
+C
4 2
2
2a u
a
 a − u 2 
2a a − u
=−
2 2
Fórmulas con
Fórmulas con


du

=
∫ a2 − u 2 



129. ∫
(a
du
2
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
u 2 + a2
u 2 + a2
1  a + u 2 + a2 
du = −
−
ln 
 +C
3
2
u
2u
2a 
u

144. ∫
145. ∫
146. ∫
147. ∫
148. ∫
149. ∫
150. ∫
151.∫
u
1
u +a
2
(u
2
2
+a
3
2 2
)
4
2
−
2a
3
4
u +a
2
2
+
du
(u
+a
2
u
(u
+a
2
u2
(
u +a
2
u
(u
)
)
)
)
(
u u +a
)
du
(
u 2 u 2 + a2
)
du
(
u 3 u 2 + a2
)
152.∫ (u
3
2
3
2
2
+a
3
2 2
)
(
a 2u u 2 + a
24
)
−
2
+a
u
)
+
a
(
u u 2 + a2
4
du =
(u
du =
2
+a
3
2
2
+C
−
(u
2
+ a2
u
2
+a
u2
3
2
du =
3
2 2
)
(u
2
du = −
3
2
du = −
2u
+ a2
3
(u
2
)
3
2
u −a
2
u3
u 2 − a2
2a 4
+a
)
)
(
2
(
u
+
)
u u 2 − a2 a2
+ ln u + u 2 − a 2 + C
2
2
du =
(u
du =
u −a
2
2
2
− a2
3
)
3
2
+ a2 u 2 − a2 + C
u 2 − a2
1
 u
+ 3 sec −1   + C
 a
2a 2u 2
2a
=
u 2 − a 2 du =
∫
(
(u
3
2 2
2
()
3
24 2
u − a du =
2
2
2
)
2
2
6
(
2
− a2
2
3
(
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
)
2
2
3
2
+C
u u 2 − a2
4
)
u −a
3
)
(u
du =
2
− a2
5
)
)
5
2
3
2
+
+
(
(
a u 2 − a2
3
)
3
2
+C
u 2 − a2
 u
du = u 2 − a 2 − a sec −1   + C
 a
u
170. ∫
u 2 − a2
u 2 − a2
+ ln u + u 2 − a 2 + C
du = −
2
u
u
171. ∫
u 2 − a2
u 2 − a2
1
 u
+
du = −
sec −1   + C
3
 a
u
2u 2
2a
172. ∫
(
du
(u
2
−a
3
2 2
)
=−
u
a2 u 2 − a2
)
a 2u u 2 − a 2 a 4
− ln u + u 2 − a 2 + C
8
8
169. ∫
3u u 2 + a 2 3 2
+ a ln u + u 2 + a 2 + C
2
2
(
)
(
)
u u 2 − a2 a2
− ln u + u 2 − a 2 + C
2
2
2
2
∫ u u − a du =
167.∫ u
 a + u 2 + a2 
+ a 2 u 2 + a 2 − a 3 ln 
 +C
u


)
 a + u 2 + a2 
3 2
3
u + a 2 − a ln 
 +C
2
2
u


+
du = u 2 − a 2 + C
du
164. ∫ 3
u
168. ∫ u
3
2 2
2
3
2
(
u u +a
a u u + ua u − aa u u +2 a 2 a 2
a u u− − aln ua+4 u 2 + a 2 2+ C 2
2
2
2
−
+
− ln u + u − a + C
∫6 u u −− a du24=
16
4
8 16
8
2
)
+ a2
= ln u + u 2 − a 2 + C
+C
)
2
du
1
 u
= sec −1   + C
 a + u 2 +162.
3
a2  ∫ u u 2 − a2 a
 a
+ 5 ln 
 +C
u
u 2 + a2 2a


2
2
163. ∫ 2 du2 2 = u 2− a + C
au
u u −a
166.
5
2 2
(u
3
3u u 2 + a 2 3 2
+ a ln u + u 2 + a 2 + C
2
2
(
u2
2
161. ∫
)
)
u
u 2 − a2
160. ∫
(
)
u 2 − a2
159. ∫
3a 2 u u 2 + a 2 3 4
+
+ a ln u + u 2 + a 2 + C
8
8
165.
5
2 2
5
(
)
u
3
)
du
158. ∫
1  a + u 2 + a2 
ln 
 +C
a3 
u

−
+ a2
 a + u 2 + a2 
3 2
3
u + a 2 − a ln 
 +C
2
2
u


)
u 2 + a2
2a 2u 2 u 2 + a 2
(
∫
(u
+
+ ln u + u 2 + a 2 + C
u + a2
)
156. (u
−
2u
)
2
a4u u 2 + a2 a6
− ln u + u 2 + a 2 + C
16
16
155. ∫
3
2 2
+a
2
Fórmulas con
1
=−
(
2
2
154.∫ u (u + a )
2
u 2 + a2
u
=−
−
+C
4
a4u
a u 2 + a2
du =
3
2 2
(u
(
u
2
a2 u 2 + a2
du = −
3
2 2
+C
u + a2
3a 2 u u 2 + a 2 3 4
+
+ a ln u + u 2 + a 2 + C
8
8
3
2 2
u
)
3
 a + u 2 + a2 
3
ln 
 +C
5
2a
u


153. ∫ u (u 2 + a )
−
1
2
1
=
3
2 2
3
2 2
5
2
∫
du = u 2 + a 2 +
3
2 2
2
(
2
+ Cu + a
u 2 + a2
du = −
3
2 2
du
a
u
2
du = −
3
2 2
3
+a
2
=
3
2 2
3
2 2
157.∫
(u
281
)
+C
Alfaomega
282
173. ∫
174. ∫
175. ∫
176. ∫
177. ∫
178. ∫
Formulario A ➟ Integrales
u
(u
−a
2
u2
(u
−a
2
3
2 2
)
3
2 2
)
u3
(u
)
− a2
2
(
)
du
(
(
u u −a
+ ln u + u − a
u 2 − a2
=−
3
2
)
3
2 2
a2
u 2 − a2
)
1
−
3
2a 4 u 2 − a2
3
 u
sec −1   + C
 a
2a5
(
)
5  3
1
= 2u u 2 − a 2  u 2 − a 2  − a 4 ln − u + u 2 − a 2 + C
8
16  8
5
2
180. ∫ u (u
−a
3
2 2
)
(u
du =
+
(
a 2u u 2 − a
(u
=−
24
)
−
(
(
183. ∫
−a
u
)
5
2 2
)
6
+
(
a 2u u 2 − a
24
)
3
2
+C
a4u u 2 − a2 a6
+ ln u + u 2 − a 2 + C
16
16
3
2
2
182. ∫ u (u − a ) 2 du =
3
2 2
5
5
2
u u2 − a
3
181.∫ u 2 (u 2 − a2 ) 2 du =
3
2 2
)
− a2
2
184.∫
(
u −a
2
3
2 2
)
u
(u
2
−a
3
2 2
u2
)
du =
(
(u
2
u −a
du = −
2
185. ∫
(u
2
− a2
2
u3
3
2
(u
du = −
)
−a
2
− a2
2u 2
+
)
)
3
2
+
187. ∫
5
)
2
 u
= sen −1   + C
 a
a2 − u 2
u
a −u
Alfaomega
2
du = − a 2 − u 2 + C
a2 − u 2
+C
a2u
=−
 a + a2 − u 2 
a2 − u 2
1
− 3 ln 
 +C
2 2
2a u
2a 
u

a2 − u 2
u a2 − u 2 a2
 u
+ sen −1   + C
 a
2
2
a 2 − u 2 du =
a −u
2
2
(a
du = −
195. ∫ u
2
a − u du = −
196. ∫ u
3
a −u
199. ∫
+C
200. ∫
201. ∫
(
)
202. ∫
203. ∫
204. ∫
du
2
=−
2
du
2
2
2
(
3u u − a
3
− a 2 ln u + u 2 − a 2 + C
2
2
2
− a2 a2 − u 2 + C
3
(
)
3
2
+C
u a2 − u 2
(a
du =
2
− u2
2
2
4
− u2
5
)
5
2
)
3
2
a 2u a 2 − u 2 a 4
 u
+ sen −1   + C
 a
8
8
+
(
a2 a2 − u 2
−
3
)
3
2
+C
 a + a2 − u 2 
a2 − u 2
du = a 2 − u 2 − a ln 
 +C
u
u


a4u u 2 − a2 a6
−
+ ln u + u 2 − a 2 + C
16
16
2
2
2
2
198. ∫ a −2 u du = − a − u − sen −1  u  + C
u
u
a
3 u 2 − a2 3
 u
+
− a sec −1   + C
 a
2
2
Fórmulas con
186. ∫
(
a2 u 2 − a
5
2 2
)
a −u
2
197. ∫
 u
− a 2 u 2 − a 2 + a 3 sec −1   + C
 a
3
2 2
u
)
)
3
2 2
3
(u
)
7
3u u 2 − a 2 3 2
+
− a ln u + u 2 − a 2 + C
2
2
(
−a
7
2 2
3
2 2
3
2
2
du
194. ∫ u
)
3
)
1  a + a2 − u 2 
= − ln 
 +C
a 
u
a −u

2
192. ∫ 3
u
−
− u2
2
du
191. ∫ 2
u
193. ∫
u a2 − u 2 a2
 u
+ sen −1   + C
 a
2
2
(a
du =
a2 − u 2
190. ∫ u
+C
du = −
2
u3
5  3
1
u 2 − a 2  u 2 − a 2  − a 4 ln −u + u 2 − a 2 + C
8
16  8
3
179.∫ (u 2 − a 2 ) 2 du = 2u
2
a −u
2
189. ∫
1
 u
− 3 sec −1   + C
 a
u 2 − a2 a
2a 2u 2 u 2 − a 2
(
)+C
2
u 2 − a2
u
−
+C
a4u
a4 u 2 − a2
=−
=
2
1
a2
u2
188. ∫
(
u
du = −
3
2 2
u2 u2 − a
du
+C
2
2
u u 2 − a2
2
u −a
2
du = u 2 − a 2 −
3
du
3
1
du = −
205. ∫
)
a2 − u 2
a2 − u 2
1  a + a2 − u 2 
du = −
+
ln 
 +C
3
2
u
2u
2a 
u

du
(a
2
(a
2
−u
u
−u
3
2 2
)
3
2 2
)
u2
(a
2
2
)
−u
u3
(a
3
2 2
−u
3
2 2
)
du
(
u a2 − u
(
u a −u
2
u
a2 a2 − u 2
+C
1
du =
+C
a2 − u 2
u
du =
 u
− sen −1   + C
 a
a2 − u 2
a2
du = a 2 − u 2 +
3
2 2
du
2
=
)
3
2 2
)
=
a
1
2
=−
a −u
2
2
a − u2
2
−
+C
1  a + a2 − u 2 
ln 
 +C
a3 
u

a2 − u 2
u
+
+C
a4u
a4 a2 − u 2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
206.∫
1
a 2u 2 a 2 − u 2
3
2
283
Formulario A ➟ Integrales
+
2a 4
du
(
u 3 a2 − u
3
2 2
)
=−
2a u
2
2
− u2
2
)
−u
3
2
6
)
5
2
+
(
a 2u a 2 − u 2
24
)
3
2
+
3
)
3
2
2
3
2 2
)
−u
2
− u2
2
−u
− u2
2u 2
)
3
2
 au 2 + bu + c  1 b 2 − 2 ac
 a + a2 − u 2 
du
b
du
3
−
+
218.
ln 
 + C ∫ u 2 au 2 + bu + c = 2 c 2 ln 
5
u2
2 c 2 ∫ au 2 + bu + c
 cu
2a
u


(
(
219.∫
)
(
au 2 + bu + c
3a 2u a 2 − u 2 3 4  u 
+
+ a sen   + C
du
2a
du
4
8
8 2 au + ba 
∫ au 2 + bu + c 2 = 4 ac − b2 au 2 + bu + c + 4 ac − b2 ∫ au 2 + bu + c
du = −
(a
(
2
−u
) (
5
2 2
5
)
(
u a 2u− u
)(
+C
5
2 2
)
220.∫
(
a 2u a 2 − u
2 au + b
2a
du
+
2
4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c
+ bu + c
2
=
2
du = −
) ( 4 ac − b )( au
)
2
)
3
2 2
) bu a+ 2uc a
4
2
− u2
a6 b
( au
u
221. ∫
u
+ bu + c
2
)
bu + 2 c
b
du
−
2
4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c
+ bu + c
( 4 ac − b )( au
)
2
du
( au
2c
( a − uu ) a ( a − u ) (b − 2ac) u + bc
) du =∫ ( au 7+ bu +−c) du =5 a ( 4 ac++Cb )( au + bu + c) + 4 ac − b ∫ au
2 7
2 2
2
3
2 2
2
5
2 2
2
2
2
2
2
2
2
)
3
2
(a
du =
2
− u2
)
3
2
u2
+ bu + c
2
)
2
3
2 2
)
(
)
(a
2
−u
3
2 2
)
)
(
(
)
du =
(
(b
2
)
− 2 ac u + bc
)(
a 4 ac + b 2 au 2 + bu + c
)
+
du
2c
4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c
du
+ bu + c
2
(
)
2
=
1
b
du
−
2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c
(
)
(
)
2
+
1
du
c ∫ u au 2 + bu + c
(
223. ∫ u 2 au 2 + bu + c 2
(
)
du = −
(
)
(
−
)
)
2
(
)
(
=−
1
3a
du
−
c ∫ au 2 + bu + c
cu au 2 + bu + c
(
)
(
)
2
−
2b
du
c ∫ u au 2 + bu + c



214. ∫ 2 du
=
au + bu + c



2
)
(
 2 au + b − b 2 − 4 ac 
ln 
 +C
b − 4 ac  2 au + b + b 2 − 4 ac 
1
2
1
u
b
du
u2
u
b
b 2 − 2 ac
du
du = − 2 ln au 2 + bu + c +
au + bu + c
a 2a
2 a 2 ∫ au 2 + bu + c
(
2
)
b
b − 2 ac
du
ln au 2 + bu + c +
2a2
2 a 2 ∫ au 2 + bu + c
2
 b
du
1 
u2
du
∫ u au 2 + bu + c = 2c ln  au 2 + bu + c  − 2c ∫ au 2 + bu + c
(
)
1
b
du
a
du
du
1
2 = − −1  2 au n+−1b−  ∫ n−1
− ∫ n− 2
c + uC au 2 + bu + c
c u
+ bu + c 2 tanc ( n − 1) u
au 2 + bu + c
2 
 4 ac − b 
4 ac − b
215. ∫ au 2 + bu + c du = 2a ln ( au 2 + bu + c ) − 2a ∫ au 2 + bu + c
217.
(
du
n
)
)
(
b
du
a
du
225.∫ u n ( au 2 + bu + c ) = − c ( n − 1) u n−1 − c ∫ u n−1 ( au 2 + bu + c ) − c ∫ u n−2 ( au 2 + bu + c )
∫ u ( au
216.∫
)
)
du
2
Fórmulas con
(
)
3u a − u
3
 u
+ a 2sen   + C
212. ∫ u 2
 a 3a
u
2
12
2b
du
du
du
∫ u 2 au 2 + bu + c 2 = − cu au 2 + bu + c − c ∫ au 2 + bu + c 2 − c ∫ u au 2 + bu + c 2
3
3
 a + a2 − u 2 
a2 − u 2 2
a2 − u 2 2 3 a2 − u 2 3
m
 +C
213.∫ u 3 du = − 2u 2 − 2 + 2 a ln 
u m−1
c
u m− 2
b
u m−1
u

du =
− ∫ 2
du − ∫ 2
du
224. ∫ 2 u
au + bu + c
a ( m − 1) a au + bu + c
a au + bu + c
2
2 
2
2

3 a −u
3
a+ a −u
−
+ a ln 
um
u m−1
c
u m− 2
b
u m−1
 +C
2
2
u


∫ au 2 + bu + c du = a ( m − 1) − a ∫ au 2 + bu + c du − a ∫ au 2 + bu + cdu
(
2
−
3
2 2
(
+ a2
(a
(a
du = −
−
− u2
2
du
 a + a2 − u 2 
222. ∫
2
3
2
2
2
+
+
−
−
u
a
ln
a
a
C
u
au
+
bu + c


211. ∫ u
3
u


1
du
b
du
du
1
=
−
+ ∫
 a + a 2 −∫u 2  2
2
2
c u au 2 + bu + c
2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c
u au+ C+ bu + c
a 2 − u 2 − a 3 ln 
u


(a
2
a −u
2
a4u a2 − u 2 a6
 u
+ sen −1   + C
 a
16
16
210. ∫ u ( a
(a
2a
3
4
 
2
2
2
+− sen −1 2 ∫  +2C
+
209. ∫ u ( a − u ) 2 du ∫=( −au 2 + bu6 + c )2 +du = − (24
4 ac − b a au + bu + c
4 ac − b 2 )( au 2 +16
bu + c ) 16
3
du =
+
)
u a2 − u
du =
3
(
2
(
208. ∫ u ( a
u a2 − u 2
a −u
2
 au 2 + bu + c  1 b 2 − 2 ac
du
b
du
= 2 ln 
∫
 − cu + 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c
2
2
2
2
 a + a − u  u au + bu + c
2c
u2

3
3
− 5 ln 
 +C
u
a2 − u 2 2a


du
207. ∫ ( a
=−
1
2
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
)
(
)
Fórmulas con
du
1

( a + u )2

226. ∫ u 3 + a 3 = 6a2 ln  u 2 − au + a2  + a 2
u
1
1
3
 2u − a 
+C
tan −1 
 a 3 
 u 2 − au + a 2 
1
 2u − a 
+C
tan −1 
+
 a 3 
 a 3
227. ∫ u 3 + a 3 du = 6a ln  (u + a )2
u2
1
228. ∫ u 3 + a 3 du = 3 ln (u 3 + a 3 ) + C
Alfaomega
)
2
284
Formulario A ➟ Integrales
229. ∫ u u
(
230.
241. ∫ 4 u 4 du = 1 ln (u 4 + a 4 ) + C
u +a
4
 u3 
du
1
= 3 ln  3
+C
3a  u + a 3 
+ a3
3
)
3
 u 2 − au + a 2 
du
1
1
1
242.
−1  2u − a 
∫ u 2 u 3 + a 3 = − a 3u − 6a 4 ln  (u + a )2  − a 4 3 tan  a 3  + C
(
)
231.∫
(u
3
+ a3
)
2
=
1
 u2 
 ( u + a )2 
u
a
1
2
 2u − 244.
+C
+ 5 ln  2
+ 5
tan −1 
2
3
3
3
 a 3 
9a
3a u + a
 u − au + a  3a 3
(
)
 u2 
du
1
1
= − 4 2 − 6 tan −1  2  + C
4
4
a
u
a
2
2
a 
+a
∫ u (u
3
du
245. ∫ u 4 − a 4
)
=
1
1
 u − a
 u
ln 
tan −1   + C
−
 a
4 a 3  u + a  2a 3
 u 2 − a2 
u
1
du = 2 ln  2
+C
246.
4
4
∫
 u 2 − au + a 2 
u2
1
2
−
1
u
a
u
−
a
4
a
 u + a 2 


−1
232. ∫ u 3 + a 3 2 du = 3a5 u 3 + a 3 + 18a 4 ln  (u + a )2  + 3a 4 3 tan  a 3  + C
u2
1  u − a 1
 u
ln 
tan −1   + C
du =
247.
+
2
2
4
∫
 u − au + a 
 a
1
1
4 a  u + a  2a
u − a4
−1  2u − a 
+C
+
tan 
ln 
+
 a 3 
18 a 4  ( u + a )2  3a 4 3
3
248. ∫ 4 u 4 du = 1 ln u 4 − a 4 + C
u −a
4
2
233. ∫ 3 u 3 2 du = − 31 3 + C
3 u +a
 u 4 − a4 
1
du
u +a
249. ∫ u u 4 − a 4 = 4 a 4 ln  u 4  + C
 u3 
du
1
1
234. ∫ 3 3 2 = 3a 3 u 3 + a 3 + 3a 6 ln  u 3 + a 3  + C
du
1
1
u−a
1
u
u u +a
250. ∫ u 2 u 4 − a 4 = a 4 u + 4 a5 ln  u + a  + 2a5 tan −1  a  + C
u
(
)
)
243. ∫ u 4 + a 4 du = 2a2 tan −1  a 2  + C
 ( u + a )2 
1
2
 2u − a 
+C
+ 5
ln  2
tan −1 
5
2
 a 3 
9a
 u − au + a  3a 3
u2
u 3 + a3
 u4 
du
1
= 2 ln  4
+C
4a
 u + a 4 
+ a4
4
u
 u 2 − au + a 2 
1
1
 2u − a 
+C
ln 
tan −1 
− 4
2
4
 a 3 
6a
 (u + a )  a 3
du
∫ u (u
 u 2 + au
n 2
 u − au
 u 2 − au
ln  2
 u + au
(
2
du
3
+ a3
)
(
)
(u
)
(
)
(
235. ∫
u
(
)
)
2
(
)
1
u2
4
u
=− 6 − 6 3
− 6∫ 3
du
3a u + a 3
a u 3a u + a 3
(
)
236. ∫ 3u 3 du = u − a 3 ∫ u3 3 du
u +a
m−2
u +a
m− 2
m
)
1
1
)
(
)
du
 u 2 − a2 
251. ∫ u 3 u 4 − a 4 = 2a 4 u 2 + 4 a 6 ln  u 2 + a 2  + C
(
)
m− 3
1
du
(
1
du
237. ∫ u n (u 3 + a 3 ) = − a 3 ( n − 1) u n−1 − a 3 ∫ u n−3 (u 3 + a 3 )
Fórmulas con
252. ∫ sen ( au )du = −
cos ( au )
+C
a
253. ∫ usen ( au ) du =
sen ( au ) u cos ( au )
−
+C
a2
a

 u 2 + au 2 + a 2 
1  −1 
u 2
u 2
ln  2
−
− tan −1  1 +
 tan  1 −
2
+C
a 
4 a 2  u − au 2 + a 2  2 a 3 2 


  ( au ) du = 2u sen ( au ) +  2 − u  cos ( au ) + C
254. ∫au 2sen
a2
 a 3 a 

2 + a2 
1  −1 
u 2
u 2
− tan −1  1 +
− 3
 tan  1 −
+C

2
a
a  
2 + a  2 a 2 



 3u 2 6 
 6u u 3 
255. ∫ u 3sen ( au ) du =  a 2 − a 4  sen ( au ) +  a 3 − a  cos ( au ) + C

 u 2 − au 2 + a 2 
u2
1
1  −1 
u 2
u 2
−1
239.∫ u 4 + a 4 du = 4 a 2 ln  u 2 + au 2 + a2  − 2a 2  tan  1 − a  − tan  1 + an   + C
u n cos ( au ) n n−1

+ ∫ u cos ( au ) du
256. ∫ u sen( au ) du = − a
a
2

2+a 
1  −1 
u 2
u 2
−1
tan
1
tan
1
+
−
+
−
−
C




u n cos ( au ) nu n−1
n ( n − 1) n−2
a 
a  
2 + a 2  2 a 2 


+ 2 sen ( au ) −
u sen ( au ) du
257. ∫ u nsen ( au ) du = − a
a
a2 ∫
du
238.∫ u 4 + a 4
=
3
n−1
u n cos
 n ( nu −21) n−2 −1 
 u=2 −− au
n
du
1
1
2 +( au
a 2)+ nu 1 sen ( au−)1 −
u 2
) du
+ 25
+ ) du   + C
= − 4 ∫−u sen5 ( auln
 tan  1 − a 2  ∫−utansen 1( au


2
2
4
4
a u 4 a 2  u + au 2a+ a  2aa 2 
a 
a  
+a


240.∫ u (u
2
1
Fórmulas con
)
 u 2 − au 2 + a 2 

1  −1 
u 2
u 2
n 2
+ 5
− tan −1  1 +
 tan  1 −
+C
2
a 
a  
 u + au 2 + a  2 a 2 


Alfaomega
u
258. ∫ sen 2 ( au )du = 2 −
sen ( 2 au )
+C
4a
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
cos ( au ) cos 3 ( au )
+
+C
a
3a
3
259. ∫ sen ( au )du = −
3u
4
260. ∫ sen ( au ) du = 8 −
Fórmulas con
275. ∫ cos ( au ) du =
sen ( 2 au ) sen ( 4 au )
+
+C
4a
32 a
261.
262.
sen ( au )
( au ) ( au )
∫ u du = au − 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! − ...
263.
sen ( au )
sen ( au )
cos ( au )
∫ u 2 du = − u + a ∫ u du
3
sen ( au )
+C
a
276. ∫ u cos ( au )du =
u 2 usen ( 2 au ) cos ( au )
−
−
+C
4
4a
8a2
2
∫ usen ( au )du =
285
cos ( au ) usen ( au )
+
+C
a2
a
2u
 u2 2 
−
sen ( au ) + C
a a 3 
277. ∫ u 2 cos ( au )du = a 2 cos ( au ) + 
5
 3u 2 6 
 u 3 6u 
− 4  cos ( au ) +  − 3  sen ( au ) + C
2
a
a 
 a a 
278. ∫ u 3 cos ( au )du = 
u n sen ( au ) n n−1
 1
u n cos ( au )du =
− ∫ u sen ( au ) du
279.
∫
 ln ( csc ( au ) − cot ( au )) + C
a
a
du
 a
∫ sen ( au ) = 
1   au  
u n sen ( au ) nu n−1
n ( n − 1) n−2

n
ln tan   + C
280.∫ u cos ( au )du = − a + a 2 cos ( au ) − a 2 ∫ u cos ( au )du

a   2  
264.

n
n−1
u sen ( au ) nu
n ( n − 1) n−2
n
∫ u cos ( au )du3 = − 5a + a22n−1cos ( au ) − 2 n+a12 ∫ u cos ( au )du

2 2
− 1 Bn ( au )
1 
u
( au ) 7 ( au )
+ ...
265. ∫ sen ( au ) du = a2 au + 18 + 1800 + ... +
2
n
1
!
+
(
)
u sen ( 2 au )


2
281.
∫ cos ( au )du = 2 + 4 a + C
2 n+1
1 
( au )3 + 7 ( au )5 + ... + 2 2 2 n−1 − 1 Bn ( au ) + ...
sen ( au ) sen 3 ( au )
du = 2 au +

−
+C
cos 3 ( au )du =
18
1800
2 n + 1)!
a 
(
282.
∫


a
3a
(
(
)
)
1
du
3u
4
283. ∫ cos ( au ) du = 8 +
266. ∫ sen 2 ( au ) = − a cot ( au ) + C
cos ( au )
du
1
u
2
284. ∫ u cos ( au )du = 4
2
 au  
 +C
2  

267. ∫ sen 3 ( au ) = − 2asen 2 ( au ) + 2a ln  tan 
268.
∫ sen ( au )sen (bu ) du =
1
du
sen (( a − b ) u )
2 (a − b)
π
269. ∫ 1 − sen ( au ) = a tan  4 +
u
u
1
π
π
271. ∫ 1 + sen ( au ) = − a tan  4 −
272.
sen (( a + b ) u )
2 (a + b)
+C
a≠b
au 
 +C
2
270. ∫ 1 − sen ( au ) du = a tan  4 +
du
−
au  2   π au  
 + ln sen  +  + C
2  a 2   4 2  
au 
 +C
2
u
u
 π au  2   π au  
∫ 1 + sen ( au )du = − a tan  4 − 2  + a2 ln sen  4 + 2   + C
273. ∫
274. ∫
du
du
(1 + sen ( au ))
+
usen ( 2 au ) cos ( 2 au )
+
+C
4a
8a2
2
4
6
285. ∫
cos ( au )
( au ) + ( au ) − ( au ) + ...
du = ln ( u ) −
u
2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6!
286. ∫
cos ( au )
cos ( au )
sen ( au )
− a∫
du = −
du
u2
u
u
287.
 1
 ln sec ( au ) + tan ( au )  + C
du
 a
=
∫ cos ( au )  1   π au  

ln tan  +  + C

a   4 2  

u
2
4
6
2 n+ 2
5 ( au )
E ( au )
1  ( au ) ( au )

+
+
+ ... + n
+ ...
2
8
144
( 2n + 2 )( 2n )! 
288. ∫ cos ( au ) du = a 2 

2
4
6
2 n+ 2

5 ( au )
E ( au )
1  ( au ) ( au )
u
+
+ ... + n
+ ...
1
 π au  1du =3 2π au  +
+ ) tan a + 2  + C 8
tan  +∫ cos( au
144
( 2n + 2 )( 2n )! 
 4 2  6a
4 2 
2a
2
=
2
=−
(1 − sen ( au ))
sen ( 2 au ) sen ( 4 au )
+
+C
4a
32 a
1
 π au  1
 π au 
tan  −  −
tan 3  −  + C
 4 2  6a
4 2 
2a
du
tan ( au )
+C
a
du
sen ( au )
289. ∫ cos2 ( au ) =
1

π
290. ∫ cos3 ( au ) = 2a cos2 ( au ) + 2a ln  tan  4 +
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
au  
 +C
2  
Alfaomega
286
Formulario A ➟ Integrales
sen (( a − b ) u )
291. ∫ cos ( au ) cos (bu ) du =
2 (a − b)
1
du
292. ∫ 1 − cos ( au ) = − a cot 
u
u
1
du
u
u
297. ∫
du
(1 − cos ( au ))
du
2
(1 + cos ( au ))
2
=−
=
2 (a + b)
+C
a≠b
au  2   au  
 + ln sen   + C
2  a 2   2  
au  2   au  
 + ln cos   + C
2  a 2   2  
312.
Fórmulas con
300.
sen ( au )
+C
2a
cos ( p − q ) u 
2 ( p − q)
−
cos ( p + q ) u 
2 ( p + q)
sen n+1 ( au )
∫ sen ( au ) cos ( au )du = a ( n + 1) + C
cosn+1 ( au )
301. ∫ cosn ( au ) sen ( au ) du = − a ( n + 1)
+C
sen ( 4 au )
+C
32 a
1   π au  
1
du
∫ sen2 ( au ) cos ( au ) = a ln  tan  4 + 2   − asen ( au ) + C
du
1

305. ∫ sen ( au ) cos2 ( au ) = a ln  tan 

du
306. ∫ sen 2 ( au ) cos2 ( au ) = −
au  
1
+C
 +
2   a cos ( au )
2 cot ( 2 au )
+C
a
307. ∫
sen 2 ( au )
sen ( au ) 1   π au  
+ ln  tan  +   + C
du = −
cos ( au )
a
a   4 2 
308. ∫
cos2 ( au )
cos ( au ) 1   au  
+ ln  tan    + C
du =
sen ( au )
a
a   2 
Alfaomega
cos ( au )
1
1
u
 1
 − ln  cos ( au )  + C
 a
=
au
du
tan
(
)

∫
 1 ln sec ( au )  + C

 a 
2
313. ∫ tan ( au ) du =
tan ( au )
−u+C
a
3
314. ∫ tan ( au ) du =
tan 2 ( au ) 1
+ ln  cos ( au )  + C
2a
a
tan n+1 au
+C
( )
n
2
316. ∫ tan ( au ) sec ( au )du = a ( n + 1) + C
317. ∫
sec 2 ( au )
1
du = ln  tan ( au )  + C
tan ( au )
a
du
1
318. ∫ tan ( au ) = a ln sen ( au ) + C
2
319. ∫ u tan ( au )du =
u tan ( au ) 1
u2
+ 2 ln  cos ( au )  −
+C
2
a
a
1
303. ∫ sen ( au ) cos ( au ) = a ln  tan ( au ) + C
304.
u
tan n−1 au
n
du
sen ( au )
  π au  
ln  tan  ±   + C
  8 2 
( )
n
n− 2
315. ∫ tan ( au ) du = a ( n − 1) − ∫ tan ( au )du
2
u
2
2
302. ∫ sen ( au ) cos ( au ) du = 8 −
2
Fórmulas con
1
 au  1
 au 
tan   +
tan 3   + C
 2  6a
 2
2a
299. ∫ sen ( pu ) cos ( qu )du = −
1
311. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) ± 2 + C
1
 au  1
 au 
cot   −
cot 3   + C
 2  6a
 2
2a
298. ∫ sen ( au ) cos ( au )du =
du
309. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) = a
310. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2 ∓ 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) + C
au 
 +C
2
295. ∫ 1 + cos ( au )du = a tan 
296. ∫
sen (( a + b ) u )
au 
 +C
2
293. ∫ 1 − cos ( au ) du = − a cot 
294. ∫ 1 + cos ( au ) = a tan 
−
Fórmulas con
1
320. ∫ cot ( au ) du = a ln sen ( au ) + C
321. ∫ cot 2 ( au ) du = −
cot ( au )
−u+C
a
3
322. ∫ cot ( au ) du = −
cot 2 ( au ) 1
− ln sen ( au )  + C
2a
a
cot n−1 au
( )
n
2
323. ∫ cot ( au ) csc ( au ) du = − a ( n + 1) + C
324. ∫
csc 2 ( au )
1
du = − ln  cot ( au )  + C
cot ( au )
a
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
du
1
325. ∫ cot ( au ) = − a ln  cos ( au ) + C
2
326. ∫ u cot ( au ) du = −
u cot ( au ) 1
u2
+ 2 ln sen ( au )  −
+C
2
a
a
u cot ( au ) 1
+ 2 ln sen ( au )  + C
a
a
2
340. ∫ u csc ( au ) du = −
n
341. ∫ csc ( au ) du = −
287
csc n−2 ( au ) cot ( au ) n − 2
+
csc n−2 ( au ) du
a ( n − 1)
n −1 ∫
cot n−1 au
( )
n
n− 2
327. ∫ cot ( au ) du = − a ( n − 1) − ∫ cot ( au ) du
Fórmulas con
 u
328.
 1
 ln sec ( au ) + tan ( au )  + C
 a
∫ sec ( au )du =  1   π au  

ln tan  +  + C

a   4 2  

329.
2
∫ sec ( au ) du =
tan ( au )
+C
a
330.
3
∫ sec ( au ) du =
sec ( au ) tan ( au ) 1
+
ln sec ( au ) + tan ( au )  + C
2a
2a 
n
331. ∫ sec ( au ) tan ( au ) du =
332.
u
sec ( au )
+C
an
2
2
 u 2 a2 
 u u a − u
−  sen −1   +
+C


2
4
4
a
1
sec n−2 ( au ) tan ( au ) n − 2
+
sec n−2 ( au ) du
a ( n − 1)
n −1∫
3
345.
 1
 ln  csc ( au ) − cot ( au )  + C
 a
∫ csc ( au ) du = 
1   au  

ln tan   + C

a   2  

cot ( au )
+C
a
csc ( au ) cot ( au ) 1   au  
+
ln tan   + C
∫ csc ( au ) du = −
2a
2 a   2  
3
338. ∫ cscn ( au ) cot ( au ) du = −
339.
5
7
346.
347.
 u
 u
sen −1  
sen −1  
 a  1  a + a2 − u 2 
 a
+C
∫ u 2 du = − u − a ln 
u


2
2
 −1  u  
 −1  u  
2
2
−1  u 
∫ sen  a   dx = u  sen  a   − 2u + 2 a − a sen  a  + C
 u
 u
348. ∫ cos−1  a  du = u cos−1  a  −
a2 − u 2 + C
2
2
 u 2 a2 
 u u a − u
−  cos−1   −
+C


2
4
4
a
349. ∫ u cos−1   du = 
a

Fórmulas con
337.
)
 u
 u
 u
 u
sen −1  
1 ⋅ 3 
1⋅ 3⋅ 5 
 a
 a
 a
u  a 
∫ u du = a + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 7 + ⋅ ⋅ ⋅
u
2
336. ∫ csc ( au ) du = −
(
2
2
a2 − u 2
u3
 u  u + 2a
+C
sen −1   +


3
a
9
n
u
335.
a2 − u 2 + C
343. ∫ usen −1   du = 
a

 u
333. ∫ u sec2 ( au ) du = a tan ( au ) + a 2 ln  cos ( au ) + C
334.
 u
342. ∫ sen −1  a  du = usen −1  a  +
344. ∫ u 2sen−1  a  du =
sen ( au )
du
∫ sec ( au ) = a + C
n
∫ sec ( au ) du =
Fórmulas con funciones trigonométricas
inversas
csc ( au )
+C
na
n
cos ( au )
du
∫ csc ( au ) = − a + C
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
 u
350. ∫ u 2 cos−1  a  du =
351.
352.
(
)(
)
u 2 − 2a2
a2 − u 2
u3
 u
+C
cos −1   −
 a
3
9
 u
 u
cos−1  
sen −1  
 a
 a
π
∫ u du = 2 ln (u ) − ∫ u du
 u
 u
cos−1  
cos−1  
 a  1  a + a2 − u 2 
 a
 +C
∫ u 2 du = − u + a ln 
u


353. ∫  cos
−1
2
2

 u
−1  u  
2
2
−1  u 
   du = u  cos    − 2u − 2 a − u cos   + C
a 
a
a
 u
 u
a
354. ∫ tan −1  a  du = u tan −1  a  − 2 ln (u 2 + a 2 ) + C
Alfaomega
288
Formulario A ➟ Integrales
1
 u
 u
355. ∫ u tan −1  a  du = 2 (u 2 + a 2 ) tan −1  a  −
u
356. ∫ u 2 tan −1  a  du =
371.
au
+C
2
2
u3
a3
 u  au
tan −1   −
+ ln u 2 + a 2 + C
 a
3
6
6
(
3
5
)
7
357.
 u
 u
 u
 u
tan −1  
 
 
 a
u  a 
a
a
∫ u du = a − 32 + 52 − 72 + ⋅ ⋅ ⋅
358.
 u
tan −1  
 a
u −1  u  1  u 2 + a 2 
∫ u 2 du = − a tan  a  − 2a ln  u 2  + C
372. ∫
360.
1 2
au
 u
2
−1  u 
∫ u cot  a  du = 2 u + a cot  a  + 2 + C
(
−1
u
361. ∫ u 2 cot −1  a  du =
au
)
375. ∫
)
363.
 u
 u
cot −1  
cot −1  
 a
 a
1  u 2 + a2 
∫ u 2 du = − u + 2a ln  u 2  + C
m +1
365. ∫ u m cos−1  u  du = u cos−1  u  + 1 ∫
a
m +1
a
m +1
m +1
(
u m+1
a −u
2
2
u m+1
a −u
2
2
(
du
sen ( bu )du =
du
378. ∫ e
au
cos ( bu ) du =
du
379. ∫ e
au
ln ( u )du =
369. ∫ ueau du = e
a
+C
au
370. ∫ u 2 eau du =
Alfaomega
1

 u −  + C
a
eau  2 2u 2 
+  +C
u −
a 
a a2 
q
p
 +C
q
+ − 
p
− −
a2 − b2
+C
eau  a cos ( bu ) + bsen ( bu ) 
a2 + b2
+C
eau ln ( u ) 1 eau
− ∫
du
a
a u
m +1
Fórmulas con
380. ∫ ln (u ) du = u ln (u ) − u + C
2
au
)
p au 
e +C
q 
eau  asen ( bu ) − b cos ( bu ) 
381. ∫  ln (u ) du = u  ln (u )
Fórmulas con
(
)


1

tan −1 

a pq



 au
=
e
1

ln
 2 a − pq 
au

 e


au
u m+1
a
u m+1
m
−1  u 
−1  u 
∫ u cot  a  du = m + 1 cot  a  + m + 1 ∫ u 2 + a2 du
368. ∫ eau du = e
a
)
u
1
1
+
− 2 ln p + qeau + C
p 2 ap p + qeau
ap
=
377. ∫ e
366. ∫ u m tan −1  u  du = u tan −1  u  − a ∫ 2u 2 du
a
m +1
a
m +1 u + a
m +1
)
2
au
u 1
ln p + qeau + C
−
p ap
376. ∫ peau + qe− au
 u
 u
cot  
tan −1  
 a
 a
π
=
−
du
u
du
ln
( ) ∫
∫ u
u
2
364. ∫ u msen −1  u  du = u sen −1  u  − 1 ∫
a
m +1
a
m +1
367.
(
du
=
)
−1
362.
au
p + qeau
2
u3
a3
 u  au
cot −1   +
− ln u 2 + a 2 + C
 a
3
6
6
(
3
373. ∫ e n du = − e n−1 + a ∫ en−1 du
u
n −1 u
( n − 1) u
du
359.
(
2
eau
au ( au ) ( au )
+
+
+ ⋅⋅⋅
du = ln ( u ) +
u
1 ⋅ 1! 2 ⋅ 2! 3 ⋅ 3!
374. ∫ p + peau
a
 u
−1  u 
2
2
∫ cot  a  du = u cot  a  + 2 ln u + a + C
−1


u n eau u n enau nn−1 au n−1 au


− ∫−u ∫e u due du
a
aa
a


n au n au
u
e
u
du
e
=
du
=


n− 2
n− 2
au  au 
n−1
n−1
∫ ∫
n ( n −n1()nu− 1) u
(⋅ −⋅ ⋅1+)n(n−!1)n+n! + C ∀ =∀n =  e  uen − unun − nu
+ + 2
+
⋅
⋅
⋅
+
+
n


 C
 a  a  a
a
a
a2
a n a n 


382. ∫  ln (u )
n
2
− 2u ln ( u ) + 2u + C
n
n−1
du = u  ln ( u )  − n ∫  ln ( u )  du
383. ∫ u ln (u )du =
u2
2
1

 ln ( u ) − 2  + C
384. ∫ u m ln (u )du = u  ln (u ) − 1  + C
m +1
m +1
m +1
385. ∫
ln ( u )
1
du = ln 2 ( u ) + C
u
2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
386. ∫
ln ( u )
ln ( u ) 1
− +C
du = −
u2
u
u
404. ∫
387. ∫ ln 2 (u )du = u ln 2 (u ) − 2u ln (u ) + 2u + C
388. ∫
du
390.
391.
 u + a
2
2
2
2
∫ ln u − a du = u ln u − a − 2u + a ln  u − a  + C
(
)
(
)
2
2
(
)
407. ∫ u cosh ( au ) du =
)
Fórmulas con
1
392. ∫ senh ( au )du = a cosh ( au ) + C
393.
u cosh ( au ) senh ( au )
∫ usenh ( au ) du = a − a2 + C
394.
 u2 2 
2u
∫ u senh ( au ) du =  a + a 3  cosh ( au ) − a2 senh ( au ) + C
395.
senh ( au )
( au ) ( au )
∫ u du = au + 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! + ⋅ ⋅ ⋅
396.
senh ( au )
senh ( au )
∫ u 2 du = − u + a ∫ cosh ( au ) du
3

399.
usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) u 2
∫ usenh ( au )du = 4 a − 8a2 − 4 + C
400.
coth ( au )
du
∫ senh2 ( au ) = − a + C
2
2
u
2
412. ∫ cosh ( au )du = 2 +
senh ( au ) cosh ( au )
+C
2a
u
2
413. ∫ u cosh ( au )du = 4
+
−
usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au )
−
+C
4a
8a2
tanh ( au )
+C
a
n
417. ∫ cosh ( au )du =
2 ( p − q)
+C
u m cosh ( au ) m m−1
m
− ∫ u cosh ( au ) du
∫ u senh ( au ) du =
a
a
n
403. ∫ senh ( au )du =
cosh ( au )
cosh ( au )
senh ( au )
+ a∫
du = −
du
u2
u
u
416. ∫ u m cosh ( au )du =
2
senh ( p − q ) u 
6
410. ∫
415. ∫ cosh ( pu ) cosh ( qu ) du =
398.
4
cosh ( au )
( au ) + ( au ) + ( au ) + ⋅ ⋅ ⋅
du = ln ( u ) +
2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6!
u
du
senh ( au ) cosh ( au ) u
− +C
∫ senh ( au )du =
2a
2
402.
2
409. ∫
414. ∫ cosh 2 ( au ) =
 au  
 +C
2  
2 ( p + q)
2u cosh ( au )  u 2 2 
+  + 3  senh ( au ) + C
a2
 a a 
2
397. ∫ senh ( au ) = a ln  tanh 

401. ∫ senh ( pu ) senh ( qu ) du =
cosh ( au )du = −
du
5
senh ( p + q ) u 
2
usenh ( au ) cosh ( au )
−
+C
a
a2
411. ∫ cosh ( au ) = a tan −1 ( eau ) + C
2
1
du
senh ( au )
+C
a
406. ∫ cosh ( au )du =
−1
408. ∫ u
du
n−2
Fórmulas con
 u
∫ ln u + a du = u ln u + a − 2u + 2a tan  a  + C
(
cosh ( au )
du
389. ∫ u ln (u ) = ln ( ln (u )) + C
2
senh ( au )
senh ( au )
cosh ( au )
a
+
du = −
du
un
( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1
405. ∫ senh n ( au ) = − a ( n − 1) senh n−1 ( au ) − n − 1 ∫ senh n−2 ( au )
ln n ( u )
ln n+1 ( u )
+C
du =
u
n +1
2
289
418. ∫
senh ( p − q ) u 
2 ( p − q)
+
senh ( p + q ) u 
2 ( p + q)
+C
u m senh ( au ) m m−1
− ∫ u senh ( au ) du
a
a
cosh n−1 ( au ) senh ( au ) n − 1
+
cosh n−2 ( au ) du
an
n ∫
cosh ( au )
cosh ( au )
senh ( au )
a
+
du = −
du
un
( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1
senh au
n−2
du
( )
=
+
419. ∫ dun
cosh ( au ) a ( n − 1) cosh n−1 ( au ) n − 1 ∫ cosh n−2 ( au )
senh n−1 ( au ) cosh ( au ) n − 1
−
senh n−2 ( au ) du
an
n ∫
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Alfaomega
Formulario B ➟ Derivadas
291
➠ Formulario B: Derivadas
En este formulario: c es una constante real, f , g y u son funciones derivables en x .
FÓRMULAS GENERALES
1.
d
(c) = 0
dx
2.
d
d
( cf ( x )) = c ( f ( x ))
dx
dx
3.
d
[ f ( x ) ± g( x ) ] = f ′ ( x ) ± g′ ( x )
dx
4.
d
[ f ( x )g ( x ) ] = f ( x )g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x )
dx
5.
d  f ( x )  g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x )g ′ ( x )
=
dx  g( x ) 
[ g( x )]2
6.
d
du
 f ( u )  = f ′(u )
dx 
dx
7.
d n
du
u = nu n−1
dx
dx
( )
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
8.
d
(sen x ) = cos x
dx
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
20.
x
x
e )=e
(
dx
21.
x
x
a ) = a ln a
(
dx
22.
23.
24.
25.
26.
d
d
d
dx
d
dx
( ln x ) =
1
x
(log a x ) =
1
x ln a
x
x
e )=e
(
dx
d
d
dx
d
(a x ) = a x ln a
( ln x ) =
1
9.
d
(cos x ) = −sen x
dx
10.
d
( tan x ) = sec2 x
dx
11.
d
(cot x ) = − csc2 x
dx
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
12.
d
(sec x ) = sec x tan x
dx
28.
13.
d
(csc x ) = − csc x cot x
dx
−1
sen x ) =
(
dx
14.
d
du
(sen u ) = cos u
dx
dx
29.
−1
cos x ) = −
(
dx
15.
d
du
( cos u ) = −senu
dx
dx
30.
16.
d
du
( tan u ) = sec2 u
dx
dx
1
−1
tan x ) =
(
2
dx
1+ x
31.
1
−1
cot x ) = −
(
2
dx
1+ x
32.
(sec−1 x ) = x
dx
17.
d
du
( cot u ) = − csc2 u
dx
dx
18.
d
du
(sec u ) = sec u tan u
dx
dx
19.
d
du
( csc u ) = − csc u cot u
dx
dx
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
27.
dx
d
dx
x
(log a x ) =
1
x ln a
d
1
1− x
2
1
d
1− x
2
d
d
d
1
x
2
−1
Alfaomega
292
33.
Formulario B ➟ Derivadas
d
dx
(
csc
−1
)
x =−
1
x x
2
−1
34.
d
(sen−1u ) = 1 2 du
dx
1 − u dx
35.
du
d
1
cos−1 u = −
dx
1 − u 2 dx
36.
d
( tan−1 u ) = 1 +1u 2 du
dx
dx
37.
(
)
49.
d
du
( coth u ) = − csc h 2u
dx
dx
50.
d
du
(sec hu ) = − sec hu tanh u
dx
dx
51.
d
du
( csc hu ) = − csc hu coth u
dx
dx
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
52.
d
1 du
cot −1 u = −
dx
1 + u 2 dx
d
1
sen h −1 x =
dx
1 + x2
53.
38.
du
d
1
sec −1 u =
dx
u u 2 − 1 dx
d
1
cosh −1 x =
2
dx
x −1
54.
39.
d
( csc−1 u ) = − 12 du
dx
u u − 1 dx
1
d
tanh −1 x =
dx
1 − x2
55.
1
d
coth −1 x = −
dx
1 − x2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
56.
d
1
sec h −1 x = −
dx
x 1 − x2
57.
d
csc h −1 x = −
dx
x
58.
d
du
1
sen h −1 u =
2
dx
1 + u dx
59.
d
du
1
cosh −1 u =
dx
u 2 − 1 dx
60.
1 du
d
tanh −1 u =
dx
1 − u 2 dx
61.
1 du
d
coth −1 u = −
dx
1 − u 2 dx
62.
d
du
1
sec h −1u = −
dx
u 1 − u 2 dx
63.
du
d
1
csc h −1u = −
2
dx
u u + 1 dx
40.
(
(
)
)
d
(sen h x ) = cosh x
dx
41.
d
( cosh x ) = sen h x
dx
42.
d
( tanh x ) = sec h2 x
dx
43.
d
(coth x ) = − csc h2 x
dx
44.
d
(sec hx ) = − sec hx tanh x
dx
45.
d
(csc hx ) = − csc hx coth x
dx
46.
d
du
(sen h u ) = cosh u
dx
dx
47.
d
du
( cosh u ) = sen h u
dx
dx
48.
d
du
( tanh u ) = sec h 2u
dx
dx
Alfaomega
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
1
x2 + 1
)
)
)
)
)
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
293
➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría
Figuras geométricas
Triángulo rectángulo
b
Triángulo equilátero
a
a
Cuadrado
b
a
h
A=
1
1
ch = ab
2
2
c
,
P = a + b + c , c2 = a2 + b2
h=
Rectángulo
3
a
2
a
,
A=
a
3 2
a , P = 3a
4
A = a2 , P = 4a
Romboide
Trapezoide
a
h
h
h
b
b
b
P = 2b + 2 h, A = bh
A = bh
1
A = (a + b )h
2
Círculo
Corona circular
Sector circular
r
r
θ
R
s
r
A = π r 2 , P = 2π r
A = π ( R − r ), P = 3a
Esfera
Cono circular recto
2
A=
2
1 2
r θ, s = rθ
2
Cilindro circular recto
h
h
r
4
V = π r 3 , S = 4π r 2
3
CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
r
r
1
V = π r 3, S = π r r 2 + h 2
3
V = π r h , S = 2π rh lateral
2
S = 2π rh + 2π r 2 total
Alfaomega
294
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Elipse
Elipsoide
Paralelepípedo rectangular
b
b
h
a
c
a
a
b
A = π ab
V = abh, S = 2 ( ab + ah + bh )
4
A = π abc
3
Pirámide
Cono truncado
Pirámide Regular
r1
h
h
h
H
r2
V=
1
V = π h(r12 + 2 r1 r2 + r22 )
3
1
abh
3
V=
a
aH  1 
 h
2 3 
➠ Álgebra
Fórmula cuadrática
ax 2 + bx + c = 0
−b ± b − 4 ac
2a
Discriminante b 2 − 4 ac
x1,2 =
2
Desarrollo de productos notables y factorización
( x ± y )2 = x 2 ± 2 xy + y2
( x ± y )3 = x 3 ± 3( x )2 ( y ) + 3( x )( y )2 ± y 3
 n  1 n−1  n  n
 n  n  n  n−1 1  n  n−2 2
x +
x y +
x y + ⋅⋅⋅ + 
x y +
y ∀n = 


0
1
2
 n 

 n − 1 





( x + y )n = 
 n 
n!
=
Donde 
 k  k ! ( n − k )!
(x
(x
Alfaomega
2
3
)
± y ) = ( x ± y)( x
− y 2 = ( x + y )( x − y )
3
2
∓ xy + y 2
)
CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Reglas de exponentes
y radicales
x m x n = x m+n
(x )
m n
=x
Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos
e− n =
1
e0 = 1
xn = n x
m⋅n
x
= x m−n
xn
1
x−m = m
x
n
m
x =
m
( xy ) = n x n y
n
x
=
y
( xy )n = x n yn m n x
n
n
e∞ → ∞
n
n
n
xn
 x
 y  = y n
( x)
1
en
e−∞ → 0
n
x m = m xn
m
295
eln( x ) = x
a loga x = x
log a ( x ) =
x
y
log10 ( x )
log10 ( a )
ln ( x ) = log e x
= mn x
ln ( x ) + ln ( y ) = ln ( xy )
 x
ln ( x ) − ln ( y ) = ln  
 y
( )
n ln ( x ) = ln x n
log a ( x ) + log a ( y ) = log a ( xy )
 x
log a ( x ) − log a ( y ) = log a  
 y
( )
b log a ( x ) = log a x b
➠ Geometría analítica
Distancia entre dos puntos
d=
Pendiente de una recta
m=
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
y
∆y y2 − y1
=
∆x x2 − x1
y
(x2 , y2)
P2
P2
(x2 , y2)
∆y
(x1 , y1)
(x1 , y1)
P1
P1
∆x
P3
(x2 , y1)
x
Ecuación de la recta punto-pendiente
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
x
Puntos de intersección de la recta
Alfaomega
296
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Ecuación de la recta punto-pendiente
y − y1 = m ( x − x1 )
Puntos de intersección de la recta
x y
+ =1
a b
(x1 , y1)
∀a ≠ 0; b ≠ 0
y
y
(0 , b)
x
x
(a , 0)
Ecuación de la circunferencia con centro en
el origen
Ecuación de la circunferencia con centro
fuera del origen.
x 2 + y2 = r 2
( x − h )2 + ( y − k ) 2 = r 2
y
y
r
r
x
(h , k)
x
Parábola
x
Parábola
p
 p

 p
x 2 = 2 py; Foco F=  0,  ; Extremos Izq  − p,  ; Der  p, 
 2

 2
2
p
p
p



x 2 = −2 py; Foco F=  0, −  ; Extremos Izq  − p, −  ; Der  p, − 



2
2
2
Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y = −
Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y =
p
2
y
y
y=
F
(-h ,
p
2
)
(0 ,
p
)
2
y = - 2p
Alfaomega
p
2
( p,
p
2
)
x
(-p , 2p )
p
2
x
F
(0 ,- 2p
)
( p ,- 2p )
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Parábola
Parábola
p 
p

p 
y 2 = 2 px; Foco F=  , 0  ; Extremos Inf  , − p  ;Sup  , p 
2 
2

2 
p
Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = −
2
 p 
 p

 p 
y 2 = −2 px; Foco F=  − , 0  ; Extremos Inf  − , − p  ;Sup  − , p 
 2 
 2

 2 
p
Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x =
2
y
y
p
,p)
2
(
p
x=-2
((-
x
F
(
p
,0 )
2
(
p
,- p )
2
(-
Elipse centro en el origen
x 2 y2
+
=1
a2 b2
p
, p)
2
p
,0 )
2
x
p
,- p )
2
y2 x 2
+
=1
a2 b2
dF= a 2 − b 2
dF= a 2 − b 2
F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF )
y
y
b
p
x=2
Elipse centro en el origen
F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF, 0 )
( 0, dF ) F2
a
F2
F1
(- dF, 0)
297
dF
x
a
dF
(dF, 0)
A
x
b
( 0, -dF )
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
F1
Alfaomega
298
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Hipérbola
Hipérbola
x 2 y2
−
=1
a2 b2
y2 x 2
−
=1
a2 b2
dF= a 2 + b 2
F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF , 0 )
dF= a 2 + b 2
F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF )
y
y
F2
( 0, dF )
F1
F2
(- dF, 0)
dF
dF
x
x
(dF, 0)
F1
( 0, -dF )
División de un segmento en una razón
r=
x2 − x1
xr − x1
r=
Ecuación general de la recta Ax + By + C = 0
y2 − y1
yr − y1
y
P ( x1, y1 )
B
( x2 , y2 )
( xr , yr )
R
Alfaomega
Entonces: dPr =
Ax1 + Bx2 + C
A2 + B2
y
P ( x1 , y1 )
D
( x2 , yr )
S
A
( x1 , y1 )
Distancia de un punto a una recta
dPr
x
x
E( xr , y1 )
C
( x2 , y1 )
Ax +By +C =0
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán