UNIDAD 3: MODELOS DE PAGOS CONTINGENTES PARA EL SEGURO DE VIDA En las matemáticas financieras es usual llevar a cabo el cálculo del valor presente de un pago que se realiza en un momento fijo futuro. Suponga que se desea calcular el valor presente de $10,000 en un periodo de 10 años con una tasa anual 𝑖. En contra parte, los pagos de los beneficios de una póliza de seguros dependen de contingencias en un tiempo futuro. Por ejemplo, si una compañía garantiza un beneficio 𝑏 en el momento de la muerte de uno de sus aseguradores, el valor presente del pago contingente, con una tasa 𝑖, estará dada por: 𝑏 (1 + 𝑖)𝑇𝑥 Note que el valor presente es un valor aleatorio ya que depende de 𝑇𝑥 , a dicha cantidad se le denomina el valor presente de la póliza del seguro. SEGUROS DE VIDA CONTINUOS Seguro vitalicio (Level Benefit Whole Life Insurance) Este seguro pagará el beneficio en el momento en el que ocurra la muerte del asegurado, en cualquier instante del tiempo. La función de beneficio se detonará por 𝑏𝑇𝑥 . Solo se revisarán pólizas con beneficios nivelados, es decir, se pagará la misma suma, independientemente del tiempo en el que ocurra la reclamación. Para simplificar los cálculos asuma un beneficio de 1 um. La función de beneficio para este seguro es: 𝑏𝑇𝑥 = 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑇𝑥 ≥ 0 Si multiplicamos la función de beneficio por el factor del valor presente se tiene: 𝑍 = (𝑏𝑇𝑥 )(𝑣 𝑇𝑥 ) = 𝑣 𝑇𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑇𝑥 ≥ 0 𝑍 es la variable aleatoria que denotará el valor presente de una póliza de seguros con beneficio de 1um. Entonces, la esperanza de 𝑍 se calculará como: 𝐸(𝑍) = 𝐸(𝑣 𝑇𝑥 ) 𝐸(𝑍) se conoce com el valor presente actuarial (𝑉𝑃𝐴) o prima neta única de una póliza (no incluye ningún gasto y es pagada en el momento de la contratación). EJEMPLO 3.1 Se conoce que 𝜇𝑥 = 𝜇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0. Sea 𝑍 la v.a. del valor presente de un seguro vitalicio con beneficio de $1 pagadero en el momento de la muerte. a) Obtenga una expresión para 𝐴𝑥 y 𝑣𝑎𝑟(𝑍) en términos de 𝜇 y 𝛿 b) Asuma que 𝜇 = 0.02 y 𝛿 = 0.02. Obtenga el valor de 𝐴𝑥 y 𝑣𝑎𝑟(𝑍) c) Con la información anterior obtenga la probabilidad de que la prima neta única sea insuficiente para cubrir los beneficios. EJEMPLO 3.2 Se conoce que el tiempo futuro de vida se distribuye uniforme de 0 a 100, si 𝑍 es la v.a. del pago contingente para un seguro vitalicio y 𝛿 = 0.05. Obtenga: a) La prima neta única de este seguro para una persona de 30 años. b) 𝑣𝑎𝑟(𝑍) Seguro temporal (Level Benefit Term Life Insurance) Un seguro temporal a 𝑛 − 𝑎ñ𝑜𝑠 paga el beneficio justo en el momento en el que ocurre la muerte, si ésta sucede en los próximos 𝑛 − 𝑎ñ𝑜𝑠 debido a que su cobertura no es vitalicia. Suponga un seguro temporal a 𝑛 − 𝑎ñ𝑜𝑠 con beneficio de 1um. La función beneficio es: El valor presente del beneficio está dado por: Mientras que el valor esperado de 𝑍 es Este seguro se denotará como , con 𝑛 indicando la temporalidad, 𝑥 la edad de contratación y el 1 sobre 𝑥 indica que la póliza es para un seguro de vida temporal. Seguro Dotal Puro (Pure Endowment) Un seguro Dotal Puro a 𝑛 − 𝑎ñ𝑜𝑠 paga el beneficio únicamente si el individuo sobrevive hasta 𝑛, en caso de fallecimiento antes de 𝑛 no pagará beneficio alguno. Suponga beneficio de 1 um. La función de beneficio es: A diferencia de las otras pólizas el beneficio se paga en el tiempo 𝑛 no en 𝑇𝑥 . Por lo anterior: Es fácil notar que, Este seguro se va a denotar como . . El 1 arriba de indica que es la póliza de un seguro dotal.
