ANÁLISIS
MATEMÁTICO 1
R. FICUEROA C.
E d ic io n e s
CBB
LIMA - PERÚ
A N Á L IS IS M A T E M Á T IC O 1
SEGUNDA EDICIÓN
E n e ro 2006
© Im p re so e n E d ic io n e s
J iró n L o re to 1696 B re ñ a - T e le fa x 4 2 3 -8 4 6 9
E -m a il: e d ic io n e s _ 2 @ h o tm a il.c o m
L im a - P e rú
Todos los derechos reservaciones conforme al
Decreto Ley N° 26905
HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 1501052004 - 5262
RAZÓN S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C ÍA
DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña
E ste lib ro no se p u e d e rep ro d u cir total o p arcialm ente
p o r n in g ú n m ed io e le c tró n ic o , m e c á n ico o fotocopia u
o tro s m ed io s sin el p re v io y e x p re so p e rm iso d el autor.
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Prólogo
Esie es un libro para un curso corto de A nálisis M atem ático dirigido para estudiantes
cuyo interés prim ordial radica en la ingeniería, las ciencias físicas y m atem áticas, econom ía
y ciencias adm inistrativas. Su propósito es el de proporcionar una exposición asequible y
flexible que cubra los tem as m ás im portantes del Cálculo D iferencial de una v a riab le , tan
sencilla y claramente como sea p o sib le, de modo que sea adecuada a la experiencia y madurez
del estudiante
Entre los temas que contiene el libro y que tienen importantes aplicaciones en las áreas
antes mencionadas están ios siguientes. El prim er capítulo contiene algunos temas de revisión
y preliminares para el estudio del A nálisis M atem ático: F U N C IO N E S . A quí se presenta en
fonna com pleta las técnicas para hallar el dom inioy el rango. así como la construcción de sus
gráficas, tanto algebraicas como trascendentes. Las funciones como modelos m atemáticos de
situaciones prácticas que aparecen a lo largo del texto se introducen primero en la Sección 1.7
donde se dan sugerencias de com o obtener dichas funciones paso a p a s o .
El segundo c a p ítu lo , que trata sobre L I M I T E S , es q u iz á , el m ás im portante de los
capítulos que contienen el libro , pues sirve de punto de partida para iniciar el estudio del
Análisis M atem ático. Prim ero se introducen una serie de conceptos relacionados con puntos
de acumulación y vecindades , para luego conducir al estudiante a una definición rigurosa del
límite en térm inos de intervalos abiertos como vecindades . Las demostraciones de los teore­
mas básicos sobre límites son relativamente sencillas cuando se formulan em pleando vecinda­
des y la abundancia de ejem plos perm iten al estudiante comprender realmente cada demostra­
ción .
Los otros dos capítulos siguientes : C O N T IN U ID A D y DERIVADA son práctica­
mente una extensión del segundo cap ítu lo , pues cada uno de estos temas se definen a base de
límites.
En el capítulo 5 se hace un estudio amplio sobre las A P L IC A C IO N E S D E L A S D E ­
RIVADAS que implican m áxim os y mínim os así com o el trazado de gráficas de fu n cio n es,
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Prólogo
IV
problem as de optim ización y aproxim aciones del cálculo de raíces de una ecuación por el
método de N e w to n .
En el capítulo 6 se tratan las E C U A C IO N E S PA R A M É T R ÍC A S , su derivada y
aplicaciones . En el capítulo 7 se establecen m étodos para calcular límites que toman diversas
FO R M A S IN D E T E R M IN A D A S por lareg lad eL 'H o sp ital y la aplicación de la Fórm ula de
Taylor para aproxim aciones p o linom iales.
En todos estos capítulos , una atención especial se presta en los ejem plos concretos ,
aplicaciones y problem as que sirvan tanto para clasificar el desarrollo de la teoría com o para
dem ostrar la notable versatilidad del C álculo en la investigación de im portantes cuestiones
cien tíficas.
Para guiar al estudiante se dan una variedad de aplicaciones, esencialmente por medio
de ejercicio s, los cuales recom iendo se resuelvan progresivamente , tuda vez que en la selec­
ción de los m ismos , he tenido cuidado en considerar el grado de dificultad . M uchos ejerci­
cios contienen sugerencias de carácter instructivo y las respuestas de la mayoría se encuentran
al final del libro
Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecim iento a la Editorial A M ÉR IC A
cuyo personal no ha escatim ado esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publi­
cación del te x to . A sim ism o , una mensión especial de gratitud va dirigida a la Señorita Abilia
Sánchez Paulino, por su dedicación y abnegada labor de diagram ar gran parte del manuscrito.
Creo que su excelente colaboración ha sido inestim able .
El autor
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Contenido
F U N C I O N E S ______________________________________________
1.2
1-3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
In tro d u c c ió n -------------------------
— , — - ........................ j
.
1.1
Definición de función -----------------.---------------------------------- 2
Evaluación de una función
-----------4
Gráfica de una función ............. ........... '— - — ........... - .............. .— •
6
13
Determinación del dom inio de una función — -----------------Determinación del rango de u n a f u n c i ó n
. - - .................- — - - 17
Funciones com o m odelos matemáticos — .....................— - ............... 18
Funciones especiales
Definición 1.5: F u u c ió ru d e n tid a d ....................................................
23
Definición 1 .6 : Función c o n s ta n te ...........................................
23
Definición 1.7
Función lineal — - ..................... ........... • 24
26
Definición 1.8: Función c u a d r á tic a ....................................
Definición 1.9
Función raíz cuadrada
................
31
D efinición 1.10: Función p o lín ó m ic a
-----------------------35
Definición 1.11: Función r a c io n a l.......................
36
Definición
Definición
Definición
Definición
Definición
Definición
Definición
Definición
1.12:
1.13 :
1.14 :
1.15 :
1.16:
1.17:
1.18 :
1.19:
Función seccionada ...............
Función escalón unitario
-•
Función signo - Función valor a b s o l u t o .............................................
Función máximo entero .................................
Función par
-Función impar —
..........................
Función periódica — ................
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37
40
41
42
49
58
61
63
Contenido
VI
1.9
1.10
1.11
A lgebra de las f u n c io n e s ------------------------------------------------------------- 73
Com posición de f u n c io n e s ----------------------------------------------------83
Funciones crecientes y decrecientes --------------------------------------------- 94
Definición 1.23 : Función in y e c tiv a
- 96
100
Definición 1.24 : Función sobreyecó va — ..................................
Definición 1.23 : Función b iy e c tiv a -----------------------------------101
1.12 Función inversa ------------------------------------------1.12.1 Propiedades de las funciones inversas -------------------------------------------104
1.13 Función longitud de arco ------------------------------------------------------------ 115
1.14 Las funciones trigonom étricas — ---------------------------1.14.1 Propiedades de las funciones trigonométricas
------------------------------ 119
1.14.2 Gráficas de las funciones trigonom étricas ...........................................
123
116
L IM IT E S _____________________________________________£?
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
Introducción ---------------------------------------------------------Definición 2.1 : Vecindad de un número r e a l ................- .........................139
Definición 2.2 : Punto de a c u m u la c ió n .....................................................140
Definición 2.3 : Conjunto a c o t a d o ................- ......................................... 142
Definición 2.4 : Función a c o t a d a ------------------------------------------------143
Noción de lím ite de una función --------------------------------------------------- 145
Definición 2.5 : Función acotada de una vecindad N ---------------------- 147
El lím ite de una f u n c i ó n ..............................
- 149
Definición 2 .6 : U na definición rigurosa del l í m i t e
---------------- 151
Teoremas sobre l í m i t e s .................................................
- .................. 167
Lím ite de una función in te r m e d ia -------------------------------------------------- 177
Técnicas para evaluar el límite de una función — ................................
182
Lím ites la t e r a l e s ................................- --------------------------------Lím ite de las funciones trig o n o m é tric a s ....................................- ...............216
Lím ites al i n f i n i t o
- ........... - ...........................................
Límites i n f in ito s
.....................— ------------------------Lím ites infinitos en i n f i n i t o ----------------------------------------------------------261
Asíntotas y su uso en las representaciones g r á f ic a s ------------------------- 269
Las funciones exponenciales y lo g a rítm ic a s
...................................285
D efinición 2.21 : L a función p o te n c ia ........................................
Definición 2.22 : Función exponencial de base a ....................................286
Definición 2.23 : Función logarítm ica de base a ---------------------------- 287
El número e ---------------- 1 ------------------------------------------------------------292
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139
202
236
252
285
VII
Contenido
2.14.1 Propiedades de los límites exponenciales y lo g a rítm ic o s --------------------297
2.14.2 L ím iíe sd e la fo rm a : lim [ /( jc )
x-*a
= L
- ..................
298
Q j C O N T IN U ID A D ______________________________________
3.1
3.2
33
3.4
3.5
3.6
3.7
Introducción ................... - ..............................
307
Definición 3.1 : Continuidad en un p u n t o ------------------------------------- 308
Definición 3.2 : Definición ( e - 8) d e la c o n lin u id a d ----------------------- 309
Definición 3.3 : Definición en términos de vecindades - ............
309
309
Definición 3 .4 : Condiciones de c o n tin u id a d ------------Puntos de D isc o n tin u id a d ................................
315
Definición 3.5 : Discontinuidad e v i t a b le ---------------------------------------315
Definición 3.6 : Discontinuidad inevitable
--------------------------------316
Continuidad lateral --------------------------------------------------------------------- 324
Composición de funciones c o n tin u a s --------------326
Continuidad en intervalos ------------329
Funciones acotadas -------------------------------------------------------------------- 341
Propiedades fundamentales de las funciones c o n tin u a s ---------------------- 349
L A D E R IV A D A ______________________________________ £
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Introducción ------------------------------------------------------------------------------ 363
In c re m e n to s ..................
- -----------363
Definición 4.1 : Increm ento de una función -------364
Tangentes a una c u r v a ------------------------------------364
Definición 4 .2 : Pendiente de la t a n g e n te --------------------------------------- 365
Derivada de una función en un p u n t o --------------367
Definición 4.4 : Form a alternativa de definir / ’(■*)....................
367
D efinición 4.5 : L a función d e r i v a d a ----------------------369
Derivabilidad y continuidad --------------------- ............ .. 371
Reglas básicas de derivación ...............................
- ............... — 382
Teorema 4 .2 : Regla de la c o n s ta n te
------------382
Teorema 4 .3 : Regla de la p o te n c ia --------------382
Teorema 4 .4 : Regla del múltiplo constante
......................
383
Teorema 4 .5 : Regla de la combinación l i n e a l
- ....................
384
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Contenido
VIII
Teorem a 4 .6 : R egla del p r o d u c to ..............- ------------
.................................................. 386
Teorema 4 .7 : R egla del r e c íp r o c o
Teorem a 4 .8 : Regla del cociente
4.7
385
----------------------
387
R egla de la potencia generalizada - ---------------------
390
4.8
---------------------------------- 399
Derivada de una función c o m p u e s ta
T eo rem a4 .1 0 : Regla de la c a d e n a -----------------------399
4.9
La derivada de una función i n v e r s a ---------------------------------------- - - - 401
4.10
Derivadas de orden s u p e r i o r ..............
409
4 .11
Derivación im p líc ita -----------------------------------------
422
Derivación de las funciones tra s c e n d e n te s--------------
428
Teorema 4 .1 4 : Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
441
4.12
Teorema 4.17 : Derivada de una función logaritmo de base b -------------- 452
T e o re m a 4 .18 : D erivadade lafunción e x p o n e n c ia l-------------------------- 459
4 .1 9 :
Derivada de la función exponencial n a t u r a l--------------
459
Teorema 4 .2 0 : D erivadade la función exponencial p o te n c ia l------------- 460
4.13
A lgunos problemas sobre la t a n g e n te -------------------------------------------- 465
D efinición 4.6 : La recta tangente y a recta n o r m a l ------------------------- 465
Definición 4.7 : Tangente h o r iz o n ta l................
466
Definición 4.8 : Tangente vertical ----------------------------------------------- 466
Definición 4.9 :
....................... 467
Longitud de la tangente y n o r m a l
D efinición4.10: Angulo entre dos c u r v a s ----------------4.14
La derivadacom o razón de variación
Definición 4 .1 1 : Razón promedio de cam bio
- ...........— --------------- 478
Definición 4.12 : Razón de variación instantánea
-------------------------- 479
D efin ició n 4 .l3 : Intensidad relativa y razón porcentual
4.15
468
----------------------------------- 478
----------------- 481
M ovim iento r e c tilín e o -------------------------------------------------------- . . . .
482
Definición 4.14 : Velocidad prom edio e in s ta n tá n e a ----------------------- 483
D efinición 4.15 : L a aceleración in s ta n tá n e a --------------------------------- 485
4.16
Razones de variación re la c io n a d a s
4.17
D ife re n c ia le s------------------------
--------
488
506
T eorem a4.2l : El tam año relativo de d y y Ay ---------------
508
4.17.1 Propagación de errores - ..............- ----------
508
4.17.2 Aproximación lineal -------------------------------
511
4.17.3 Propiedades de las d ife re n c ia le s
515
...........
4.17.4 Diferenciales de orden s u p e r i o r .....................
Definición 4.16 : Segunda d if e r e n c ia l
516
..........................
517
4.17.5 Propiedades de las diferenciales de orden s u p e r io r .................
518
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IX
Contenido
1 0 ) A P L IC A C IO N E S D E L A D ER IV A D A ________________ £
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
Introducción -------------------------------------------------------------------------------523
Máximos y m ín im o s -------------------------------------------------------------------- 523
Definición 5.1 : Noción de extremos -------------------------------------------- 523
Teorema 5 .1 : El teorem a del valor e x tr e m o ----------------------------------- 524
Definición 5 .2 : Extremos relativos o l o c a l e s --------------------------------- 524
Definición 5.3 : Número c r í t i c o .................
525
Teorema 5 .2 : Teorema del extremo in te r io r ----------------------------------- 526
El teorem a del valor medio y sus a p lic a c io n e s-----------------------------------530
Teorema 5 .3 : El teorem a del R o l l e --------------530
Consecuencias del Teorema de R o l l e --------------------------------------------- 531
Teorema 5 .4 : Teorema del valor medio (L a g ra n g e )------------------------- 537
Consecuencia del Teorema de Lagrange
------------538
Teorema 5 .5 : Teorema de C a u c h y .............................- ........................- - 5 4 5
Criterio para las funciones crecientes y decrecientes — ............................551
Teorema 5 .6 : Funciones crecientes y d e c re c ie n te s -------------------------- 551
El criterio de la prim era d e r iv a d a ----------------------------------------------------555
El criterio de la segunda d e r iv a d a ...........................
— 556
Teorema 5 .8 : Criterio de c o n c a v id a d ------------------------------------------- 568
Teorema 5 .9 : Punto de inflexión ---------------------571
Teorema 5 .1 0 : El criterio de la segunda d e r iv a d a --------------------------- 574
--------------------- 580
Resumen de técnicas para graficar una f u n c ió n
Gráfica de una función polinóm ica — ------------------580
G ráfica de una función racional
......................
583
G ráfica de una función conteniendo un radical de índice p a r
Gráfica de una función conteniendo un radical de índice i m p a r
Gráficas de funciones s e c c io n a d a s -----------------------------------------Gráficas de funciones trascendentes
Problemas de o p tim iz a c ió n
---------------El método de N e w t o n ------------
589
59!
594
601
611
637
E C U A C IO N E S P A R A M É TR IC A S ____________________£
6.1
6.2
Curva p a ra m é tric a ----------------647
Derivación paramétrica ----------------------------------------------------------------655
6.3
Rectas tangentes a curvas p a ra m é tric a s ----------------Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
656
Contenido
X
6.4
6.5
6.6
Derivación paramétrica de orden s u p e r io r ---------------------------------------- 662
Asíntotas en curvas p a ra m é tric a s ----------------------------------------------------666
Trazado de curvas p a ra in é tric a s
-----------668
F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S ______________________
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
In tro d u c c ió n ..................................
677
Prim era regla de L’ H ospital: Forma 0 / 0 ---------------------------------------- 677
Segunda regla de L’ H o sp ital: Form a « A » ..................
684
Form as indeterminadas a d ic io n a le s
--------------------------------------- 691
Las formas indeterminadas 0Ü, <»c , 1“ ................................................... - 694
Funciones h ip e rb ó lic a s --------------------------------------698
D efinición 7 .1 : Función seno h ip e rb ó lic o ------------ ...............698
Definición 7.2 : Función coseno h ip e rb ó lic o ....................
698
7.6.1 Identidades h ip e rb ó lic a s ----------------------------------------------------------------701
7.6.2 Límites h ip e rb ó lic o s --------------------------------------------703
7 .6 3 Derivadas de las funciones hiperbólicas
.................. - ..............
706
7.7
Funciones hiperbólicas in v e r s a s -----------------------------------------------------714
7.8
Derivadas de las funciones hiperbólicas in v e r s a s -------------------------------716
7.9
Fórm ula de Taylor y aproxim aciones p o lin o m ia le s ---------------------------- 723
Teorem a 7 .7 : Polinomio de Taylor de grado n - é s im o ..............................725
Teorema 7 .8 : Fórmula d e Taylor con resto de Lagrange ----------------- 727
R esp u estas a ejercicios p r o p u e s t o s -----------------
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738
C A P ITU LO
Preludio al
Análisis Matemático
FUNCIONES
fiT f)
IN T R O D U C C IÓ N
En el estudio de unos u otros procesos del m undo real (físicos, quím icos, biológi­
cos, económicos, etc.) constantem ente nos encontramos con unas u otras m agnitudes que los
caracterizan y que cambian en el transcurso de los procesos analizados. A menudo ocurre que
la variación de una m agnitud va acom pañada por la variación de otra o incluso, aun m á s , la
variación de una m agnitud depende de la variación de otra. Las variaciones relacionadas entre
sí de las características numéricas de las m agnitudes analizadas nos llevan a su dependencia
funcional en los m odelos m atem áticos correspondientes. Por esta razón , el concepto de fun­
ción es uno de los más importantes en la matemática y sus aplicaciones.
Por e je m p lo , la relación entre el área de un círculo y radio puede ser expresado
por la ecuación S - nr2 , de m odo que si escogem os a voluntad algunos valores de r (varia­
ble independiente) obtenem os un único valor de S (variable dependiente) para cada r esco­
gido , esto es , si
r = 2 e=> S = 4 r t ; r = 3 =» S = 97c ; r = 4 <=> S ~ 16rc ; r = 5 <=> S = 2 5 it; . . .
(1)
Si designam os por A = { 2 , 3 . 4 , 5 , . . . } el c o n ju n to d e to dos lo s ra d io s e sc o g id o s y
B = ( 4 ;c , 9 r t , I 6tc , 2 5 í t , .
.} el conjunto de todas las áreas correspondientes , y si
expresamos las magnitudes ( 1 ) com o un conjunto de pares ordenados ( r , s) obtendremos una
relación funcional de S a través de r :
/ = {(2 , 47t ) , (3 , 9 i t ) , ( 4 , 16ít), (5 , 2 5 ít), . . . } c A x B
Es d e c ir, esta correspondencia define una función de A en B.
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Capítulo I: Funciones
2
ÍÍT l
D E F IN IC IÓ N D E F U N C IÓ N
Sean A y B d o s conjuntos no vacíos y sea / una relación binaria de A en B .e sto es , /
c A n B . Entenderem os por función de A en B toda regla que asocia a un elem ento x del
conjunto A exactam ente un único elem ento y del conjunto B. Diremos que y es la im agen d e *
m e d ia n te /. El D o m ( f ) ^ A , y su rango consta de todas las imágenes d e los elem entos x d e A.
Es d e c ir:
/ es una función d e A en B o
(E JE M P L O
"P )
para un x € A . 3 ! y € BI ( x . y) e /
Sean los conjuntos A = { I , 2 ,3 ,4 } y B = {a ,& ,c} . Establecer cuál
de los siguientes esquem as constituye una función de A en B.
F IG U R A
11
S o lu c ió n
En el diagrama (1): / = { (I , a ) , (2 , a ) , (3 t b ) , (4 , b) } , donde Dom( /) = { 1 ,2 ,3 ,4 }
y R an( / ) = { a , b} * B . Luego / es una función de A en B , pues cada x e A está
relacionado con un único y e B . O bsérvese que no es necesario que R a n (/) = B.
En el diagram a ( 2 ) : g = {(1 , a ) , ( 2 , c ) , ( 4 , b)} , donde Dom(g) = {1 , 2 , 4 } c A y Ran(g) =
{a , b , c} = B . Luego , g es una función de A en B au nquex = 3 € A no esté relacionado con
ningún y e B.
En el diagram a ( 3 ) : h = {(1 , a ) , ( l , b) , (2 , b ) , ( 3 , c ) . ( 4 , c)} , no es una función de A
en B , pues si bien el D om (/> = A . existe un x = I e A al cuál le corresponden dos imágenes:
y = a € B , y =¿€B .
■
[Frotación] Para denotar que / es una función de A en B se escribe
/ : A -» B
jc - >
y = / W
y se dice q u e:
“ y es la imagen de x m e d ia n te /”
“ y es el valor num érico de / en x "
“ y es el transform ado d e x por la función / "
^O B SE R V A C IÓ N 1.11 U n a fu n ció n / es una a p lic a ció n d e A en B si y só lo si / es un
subconjunto de A x B que satisface las siguientes condiciones de
existencia y u n icid ad :
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3
Sección 1.2 : Definición de Junción
i)
V x e A , 3 ! y e B |( x ,> ) e /
ii)
Si (x ,y ) 6 / a ( x , z) e / =* y = z
A s í, en el esquem a (1) el Ejem plo 1 , la función / es una aplicación de A en B porque todo el
conjunto A (conjunto d e partida) es el dominio de / , mientras que el Ran(_f) c: B (conjunto de
llegada).
Sean A = { -2 ,-1 , 1 , 3 , 4 , 8} y B = {-l , 0 , I , 2 , 3 , 4 , 5 } . H a lla r le
y de modo tal que el conjunto
/ = { ( - 2 ,4 ) , (3 . - I ) , (2x , -2y) , (3 x - 2y , 2 ) , (3 , x + 3 y ) , ( - 2 , x - 2 y ) , (-1
1)}
sea una aplicación de A en B.
(e je m p lo
Solución
2 )
De la condición de unicidad de la Observación I . I se tiene
( - 2 , 4 ) e / a (-2 , J t - 2y ) e /
4 = jc -2 y
(1)
(3 ,- 1 ) e / a (3 , x + 3y) e /
«=* - l = j c + 3 y
(2)
La solución común del sistem a de ecuaciones (1) y (2) es : jc = 2 , y = -l
L u ego , / = {(-2 , 4 ) , (-1 , 3 ) , (3 , - 1) , (4 , 2 ) , (8 ,2 )} , de donde
D o m (/) =
{ -2 ,-1 , 3 , 4 , 8 } = A y R a n (/) = { - 1 , 2 , 3 , 4 } c B
■
Obsérvese que / transforma cada x e A en un elemento y del rango, entonces podemos decir que
/ transforma al conjunto A en el conjunto R an( / ) £ B , denominado conjunto d e im ágenes y
denotado por / ( A ) . Por lo q u e , definimos :
i) Dom( / ) = { j c e A | 3 ! y E B , y = / ( * ) } = A
ii) R a n (/) = /( A ) = {/(* )
e
B I x e A} c B es el conjunto imagen de A mediante /
OBSERV A CIÓ N 1.2 En este libro tratarem os con funciones del tipo
/ : A —> B . donde
A c I R y B c [R , a las que llamaremos Junciones reales d e variable
real y denotaremos
/ : (R -> IR
x —* y — f ( x)
Esto es :
/ = { (x , y) e IR x IR I y = f ( x ) }
o bien :
/ = { (* , /(*)) € IR * R Ix e D o m (/)}
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Capítulo l : Funciones
4
Según esta notación , si /(* ) es una función de * y *Qe D o m (/), la expresión /(* n) , ya lo hemos
dicho .significa la imagen de *(| o el valor numérico obtenido por /(* ) al sustituir * por x(). Por
esta razón siempre se deftne una función m ediante una ley o fórm ula, llamada regla de corres­
pondencia , que perm ite calcular para cualquier * e D om (/) su imagen y = /(* ) . En consecuen­
cia , una función queda com pletam ente definida si se conocen
1. Su regla de correspondencia/(* )
2. Su dominio
P or ejem plo , sean los conjuntos A = {1 , 2 , 4} y B = {2 , 4, 8} y la función / : A —» JB I
/ = { (I , 2 ) , (2 , 4 ) , (4 , 6)} . Si en / denotam os p o r* cualquier elemento de su dom inio A ;
entonces la regla de correspondencia que nos perm ite hallar su correspondiente im agen es
/( * ) = 2* , de modo q u e , sim bólicam ente, podem os escribir
/ = { ( * , 2*> € (Rx [R| * e A}
(T 7 3 J
E V A L U A C IÓ N D E U N A F U N C IÓ N
Con frecuencia se describe una función por medio de una fórmula que especifique
como se calcula el núm ero /(* ) en térm inos del núm ero*. Por ejem p lo , la fórmula :
f ( x ) = x 2+ 2 x - 5 , x e IR
(1)
describe la regla de correspondencia de una función / que tiene como dom inio el eje real.
La notación funcional tiene la ventaja d e identificar claram ente la variable dependiente com o
/(x ) a la vez otorga un nombre
a la fu n ció n . El valor de la función cuando* = * Mse denota
por /(* 0) y se lee “/ d ex ()" , se dice entonces que la función está valuada en *(l.
El símbolo / ( ) puede ser considerado com o una operación que se va a ejecutar cuando se i nsene
un valor del dom inio entre el paréntesis. P o r ejem plo , la función definida por la fórm ula ( l )
puede ser descrita como
/ ( ) = ( )2 + 2 ( ) - 5
con paréntesis en lugar de las x. Por ta n to , si querem os e v a lu a r/(-4 ), colocamos sencillamente
-4 en cada p arén tesis:
/(-4 ) = (-4)3 + 2(-4) - 5 = 1 6 - 8 - 5 = 3
N o todas las funciones se definen por m edio de una fórmula única. P or ejem p lo , si escribimos
{
*-’ - * + 1 , s i * > 1
._
_
_
_
_
vi-*
. si * < 1
tenemos una definición perfecta de una función. Algunos de sus valores son
/ ( 3 ) = (3)2 - (3) + I = 9 - 3 + 1 = 7
/ ( - 3) = V i- ( - 3) = V i = 2
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Sección 1.3 : Evaluación de una Junción
E JE M P L O
3 ]
Sea la función / = {(x , j t - 2 r + 3 ) e R x r | >■= /(* )} . H a lla r:
a) / ( - O
Solución
5
,
b) m
.
c) /( 2 )
, d) E = /(4 + h )h^(4 —
Si x e ER <=> C*2 - 2* + 3) e IR , luego, D o m (/) = IR y Ran(/ ) = [R .
La regla de correspondencia d e / e s f ( x) =x *~ 2x + 3 , por tan to , la función esta
bien definida.
Describimos la función com o / ( ) = ( )2 - 2 ( ) + 3 , entonces :
a) / ( - I ) - ( - 0 1 - 2 (-l) + 3 = I + 2 + 3 = 6 <=t> la imagen d e -1 es 6
b) /(O ) = (O)3 - 2(0) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 e=> la imagen de 0 es 3
c ) /( 2 ) = (2)2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 •=> la imagen de 2 es también 3
ó) /( 4 + h) = (4 + h)3 - 2(4 + h) + 3 y / ( 4 - h ) = (4 - h)2 - 2(4 - h) + 3
^
E JE M P L O
Solución
C = -K4 + h> - ^ 4 - h> _ 4 (4 )(h )-4 h ^ h(16 - 4) _ l2
4 ]
u
Sea la función / : (R —» IR [ f ( 2 x + 3) = 4xa - I x + 3, hallar la imagen d e x
Hallaremos j ( x ) por dos m étodos:
a) M étodo d el cam bio de variables. Sea u = 2* + 3 ■=> x =
u^
S i / ( 2 r + 3) = 4 ^ - 2 r + 3 t=^ / ( u) = 4 ( - ^ ) ‘ - 2 ( - ^ ) + 3 = u2 - 7u + 15
<=$■ f ( x ) = x 1- 7x + 15
b)
M étodo directo.
Consiste en describir la función en una form a adecuada escribiendo
paréntesis en lugar de las x , esto es
/ [ 2 (.. . ) + 3] = 4 ( . . ,)2 - 2 ( . ..) + 3
En los paréntesis se coloca xl2 para elim inar el factor 2 de 2x + 3
/ [ 2 ( f ) + 3 ] = 4 (-§ )’ - 2 ( f ) + 3 «
/ ( * + 3) = ^ - x + 3
Ahora describimos la función com o : / [ ( . . . ) + 3] = ( .. .)2 - ( . . . ) + 3
En los paréntesis se coloca x - 3 para elim inar el sumando 3 de ¿ + 3
f [ ( x - 3 ) + 3] = ( x - 3)2 - ( x - 3 ) + 3 =* /(* ) = ¿ - 7 x + 15
[E JE M P L O
5 )
S e a / : I R —»(R| /( V jc - 2 ) = 2 x * - x + 5 , hallar la regla de corresponden­
cia de / (V2 r + 1 ).
Solución
■
U sarem os el método directo describiendo la función como
/( V T T 7 2 ) = 2 ( ...) M ...) + 5
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Capítulo I : Funciones
6
Si queremos conseguir 2x + 1 en el radical colocam os 2 x + 3 en el espacio punteado de cada
paréntesis, esto es
/ (V2* + 3) - 2 ) = 2(2x + 3J2 - (2x + 3) + 5 .=> /(V 2 x+ 1 ) = 8x ! + 22v + 20
(E JE M P LO
6 ]
■
D eterm inar si el conjunto f = {(*2 + 2 , x) I x e CR} es o no una función
La regla de correspondencia d e / es /C *2 + 2) = x
S e a n * = 2 y x = -2 dos elem entos d e ld o m in io d e /
Para x = 2 , f (4 + 2 ) = 2 « / ( 6 ) = 2 => ( 6 , 2 ) e /
x = -2 , / ( 4 + 2) = - 2 « / ( 6) = -2 => ( 6, -2) e f
D e la condición de unicidad : ( at , y) e / a (x , z ) e / t=> y = z , se sigue que
( 6 , 2 ) é / a (6 , - 2 ) e / >=> 2 = - 2
lo cual es falso , por tanto , / no es una función.
Solución
(1,4)
■
G R Á F IC A D E U N A F U N C IÓ N
Cuando el dominio y el rango de una función consisten en números reales ambos , es
posible plasmar el com portam iento de la función en form a gráfica.
Definición 1.1 : GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Sea una función / : A —> B , donde Á c IR y B c IR, se define la gráfica de / , y s e denota
G r ( / ) , al conjunto de todos los pares ordenados en los q u e x e A está como primer elem en­
to y su imagen y = f ( x ) e B com osegundo elemento. Es d e c ir:
G r ( / ) = { ( * , . ) ’) £
E J] r e A ,
y ? = / (!* ) ¿
c A x B
o bien .
G r ( / ) = {(X j / W 6
lR ? U ‘ e A j c A x B
P R O P IE D A D E S
G . l : V ate A , existe un par ordenado (a; , y ) e G r ( / ) , es d e c ir, el D o m (G r(/)) = A
G .2 : (jr, y) e G rf/ ) a ( a: , z) e G r(/) <=> y = z
(U nicidad)
G .3 : Si PC*. y) e Gr( / ) <=> P(* ,y ) e /
(E JE M P L O
a)
( - 1 ,6 )
7 )
Sea la función / : IR —» CR definida por la fórm ula f ( x ) = -2x2 - 3jc + 5.
D ecir si los siguientes pares ordenados pertenecen o no a la G r(/)
b) ( 3 /2 .- 4 )
c) ( 4 ,3 9 )
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7
Sección 1.4 : Gráfica de una función
Solución
Por ia propiedad G.3 se tiene :
a) / ( - l ) = - 2 M ) 2 - 3 ( - l ) + 5 = 6 = > ( - ! , 6) e / => ( - 1 . 6) e GríJ)
b) /(3 /2 ) * -2 (3/2)2 - 3(3/2) + 5 = -4 => (3/2 , -4) e / =» (3 /2 , -4) e Grlf )
c) /( 4 ) = -2(4)2 - 3(4) + 5 = - 39
(EJE M P LO
8)
( 4 , -39) e / , luego ( 4 ,3 9 ) e Gr( /)
Sea la función / : A —> B | f ( x ) = 4 - x2, A = ( - 2 ,3 ] y B = [-5 , 5 ) ; trazar
la gráfica de / mostrando el conjunto A x B.
So lu ció n
En p rim er lugar co nstruim os el rectángulo A x B
(F ig u ra 1.3 ) , lu e g o d ib u ja m o s la g rá fic a d e /
elig ie n d o lo s p u n to s e x tre m o s y un p u n to in term ed io d e A.
A s í , p a ra
,
»
¡
* = -2 i A =* / ( - 2 ) = 4 - ( - 2 )2 = 0 ^
J
(-2 ,0 ) e Gr(f)
r = 0e A
/(O ) = 4 - (O)3- 4 o
( 0 , 4) e Gr( / )
j = 3 e A o
f ( 3 ) = 4 - Í3)2 = -5 => (3 , -5) e G r(f)
t
Obsérvese que aunque ( - 2 ,0 ) e G r(/),e ste p u n to n o ssirv e c o m o
referencia para el trazado de la curva. Por lo ta n to :
GlX f)~ {U ,Jí3 - 4 ) |j c e ( - 2 , 3]} c A x B
■
!
I
^
“ I^IGufíÁ V.3
~
OBSERV A CIÓ N 1.3
Sabemos que una función no debe tener dos pares ordenados con la
misma prim era componente. Según esta definición si se presenta la
gráfica de una función en IR- se debe cum plir la siguiente propiedad geométrica fundamental:
"U na relación / : A - » B , A c [ R y B c = [ R , e s una función real si y sólo si cada línea recta
vertical 31 corta a la gráfica de / a lo más en un punto” . Es decir : Gr( /) f| 31 - {P} , P 6 [R2
Esta observación proporciona un criterio visual para funciones.
^E JE M P L O
9 j
En las gráficas de la Figura 1.4 , establecer la diferencia entre gráficas de
una función y los de una relación.
Solución
La gráfica en (a) es la de una función porque una línea vertical A c o rta a la curva de
im agen:
un solo punto P , esto es , a cada elem ento del dominio le corresponde una de la
jc,
y,
La gráfica en fb) es la de una relación que no es función pues una línea vertical 31 corta a la curva
en dos puntos P, y P , , es d e c ir. a cada elemento del dominio x l le corresponden varias imáge­
nes, las com prendidas entre y, e y2.
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m
Capítulo / ; Funciones
8
OBSERV A CIÓ N 1.4
L a notación funcional sirve para describir cómodamente transforma­
ciones de gráficas en el plano. Algunas familias de gráficas tienen una
forma básica com ún y apoyándose en éstas se pueden hacer tres tipos de transformaciones :
1. Traslaciones horizontales
2. Traslaciones verticales
3. Reflexiones.
TIPOS BASICOS DE TRANSFORMACIONES
Gráfica o rig in al:
Traslación horizontal de h unidades a la d erech a:
Traslación horizontal de h unidades a la izquierda :
Traslación vertical de k unidades hacia a b a jo :
Traslación vertical de k unidades hacia a rrib a :
Reflexión (en el eje X) :
Reflexión (en el eje Y ; :
k > 0)
V= /tT )
v=/u-h)
y = /(.v + h)
y = /(.* )- k
>’= /(* ) + k
y = -/(* )
W < -rt
E JEM P LO 10 J M ediante la gráfica de la función f(x ) =
(Figura l .5 ), dibujar el de las funciones
a) y s
+2
d) y = V f - x + 2
b) y = - Vic - 1
c) y = Vjc- I - 2
c) y - yJx + 2
f) y = - V x- 2 + l
So lució n
F I G U R A 1.5
a) Si y=*Jx + 2 «=>>• = f ( x ) + 2
Tenemos un desplazamiento vertical de la Gr( /) , 2 unidades hacia arriba.
b) Si y = - Vx - l ■=>>' = - f ( x ) - l
Reflexión (en el eje X) y desplazam iento vertical d e la G r ( /) , l unidad hacia abajo.
c) Si y = Vjc + 2 o
y = f ( x + 2)
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Sección 1.4 : Gráfica de una Junción
9
Desplazamiento horizontal de la G r ( / ) , 2 unidades hacia la izquierda.
d) Si >■= VT^Jt + 2 «
y = / K x - I)] + 2
Reflexión (en el eje Y) y desplazam ientos: horizontal 1 unidad a la d erecha, y v ertica l, 2
unidades hacia arriba.
e) Si y =
- 2 <=> y = f ( x - 1) - 2
D esplazam ientos: h orizo n tal, I unidad a la d erecha, y vertical, 2 unidades hacia abajo.
f)
Si y = - \'jc- 2 + 1 •=> y = - f ( x - 2 ) + I
Reflexión (en el eje X) y desplazam ientos: horizontal, 2 unidades a la derecha, y vertical,
1 unidad hacia arriba.
OBSERV A CIÓ N J.5
Con relación a la gráfica original y = f ( x ) existen otros dos tipos de
transform aciones en el plano que son los siguientes
1. Gráfica de la función g(x) = a f ( x )
a)
Si 0 < a < 1 , la Gr(g) se obtienen recortando verticalmente la G r(/) en un factor de a.
b) Si a > 1 . la Gr(g) se obtiene estirando verticalmente la Gr(_f) en un factor de a . En
am bos casos se toma com o base el eje X.
2. Gráfica de la función %{x) = f ( a x )
a) Si 0 < a < 1 , la G r(g) se obtiene estirando horizontalmente la G r( / ) en un factor Ma
b) Si a > 0 , la G r(g) se obtiene recortando horizontalmente la G r(f) en un factor de a . En
am bos casos se toma com o base el eje Y.
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10
Capítulo I : Funciones
(E JE M P LO 1 1 j
Solución
D ad a la g rá fic a d e f (F ig u ra l . 7 ) , d ib u ja r la g rá fic a de ia fu n ció n
g (x ) = 2 - / ( x + l ) , lu e g o , indicar su dom inio y rango.
Obtenem os la G r(gj haciendo las siguientes transformaciones
a) >’ = /(■* + 0 »traslación horizontal l unidad a la izquierda
b) >' = - f ( x + l ) , reflexión en el eje X
c) y = - f ( x + l) + 2 , traslación vertical 2 unidades hacia arriba.
Leyenda
a)
------------------
b)
------------------
c)
------------------
D o m (g ) = [ - 6 , 5 > - { - 1 }
R an (g ) = [-3 , 4 ]
E JEM P LO 12 )
a) g (* )= ( 1 / 2 ) ^ ,
M ediante la gráfica de la función /(jc) =
(Figura l .5 ), dibujar el de las
funciones (Ejemplo de la OBSERVA CION 1.5)
x e
[ 0 .4 ]
b) g(*) = 2-Jx , x e [0 ,4 ]
Solución
a) g(*) =
c) e ( x) =^ Ix /2 , y e [ 0 ,2 ]
d) g(*) = <2x , y e [0 , 2 ]
.=> g ( x ) = - i- /( x ) , a = ^ e < 0 , l )
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11
E JE R C IO O S : C r u p a l
Dibujam os la G rtg ), recortando verticalmente la G r(/) en un factor d e a = 1/2 , tomando
como referencia el eje X.
b) g(x) = 2 V* •=> gC*) = 2 / ( * ) , a = 2 e <1 , + ~ )
L u eg o , trazam os la Gr(g) estirando verticalmente ia G r(/) en un factor de a = 2 , tomando
com o base el ejeX .
c) Si g(*) = ^ 2
^
g(x) = / (jc/2) , a = \ e <0, 1>
Dibujamos la Gr(g) estirando horizontalmente la G r(/) en un factor de 2 a partir del eje Y.
d) SÍg(*) = ^2X «=* g(x) = / ( 2x)
D ibujam os la G r(g) recortando horizontalm ente la G r(/) en un factor de 1/2 a partir del
eje Y.
■
E J E R C IC IO S . Grupo 1
*•* En los ejercicios I al 4 , determ inar si el conjunto de pares ordenados dado , es o no una
función
1. {(jc + 4 , * ) U e (R>
3. { ( x - I .j ^ + Z r j U e IR}
2, (x3 - 4 , x ) ! x e (R}
4. { [(x + 1
3 ) . (* ,.y)] l(* ,>’) e IR2}
5. Si / e s una función real de variable r e a l, tal que f ( x + 3) = x2 + 3 , hallar el valor de
E = f{a + 2) - f i a - 2)
a- 1
6. S i / es una función real tal q u e / ( * - 2) = 3jc-11 >’
^
—— = 6 ,a # 2 ,
hallar el valor de a.
7. Sea la función /( x ) = a x 2 + fcx + c t a l q u e / ( - l ) = 0 . /( 1 ) = 8 y / ( - l ) + / ( l / 2 )
hallar f(2).
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15/4,
Capítulo I : Funciones
12
8. Sea f ( x ) = a x 2 + b x +c , verificar que f ( x + 3) - 3 f ( x + 2) + 3 f ( x + I) - f ( x ) —O
9. Si / es una función real tal que f ( ^ 3 x + 4 ) = 9a:2 + 36x + 3 2 , hallar / (\íx + 2 )
10.
H allar / ( * ) , s i :
a)
/ ( * +
O
=
jc2
-3
x
ó) / ( ^ ) = at+ V T T * 2 , a: > 0
+ 2
b) /( 3 a: - 2 ) = 9jt2 + ¿ a: - 8
f)
c) / ( * + “X I) = * 2+ -xT‘ ■
f ( x - j ) =
\
X
, x *0
11. H allar la regla de correspondencia de la función f ( x ) = a x 2 + b x + c que tiene a CRcomo
su dom inio y tal que / ( - I ) = 3 , f ( 2 ) = 0 y /( 4 ) = 28
12. Sea / ( n ) la sum a de n térm inos de una progresión aritm ética. D em ostrar que :
Sn = / ( n + 3) - 3 /(n + 2) + 3 /(n + l ) - / ( n ) = 0
[ Sugerencia : Sea la P.A.ra , a + r , a + 2 r
a +(n-])r^
Sn = /(n) = an + ^ (n - l)r]
13. M ediante la gráfica de f ( x ) = U l , (Figura 1.10), dibujar el de las funciones
a) > = | a: | - 2
c )y = -U -2 |
e) y = 2 - 1 1 - jrt
b )y = U+3l
d) y = U + l l - 2
f)y = ^U -2 |
14. U sando la gráfica de f ( x ) =
a)
y = ^íx - 1
c) y = ylx~ I
F I G U R A 1.10
15.
, (Figura 1. I I ) , dibujare! de las funciones
e) y = ~ tfx.
F I G U R A 1.11
D ado la gráfica de la fun­
ción / (Figura 1.12), dibu­
ja r la gráfica de la función
g(*) = 5 - / ( - * + 3 ).
F I G U R A 1.12
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Sección 1.5 : Determinación del dominio de una junción
[1 ,5 )
13
D E T E R M IN A C IÓ N D E L D O M IN IO DE U N A F U N C IÓ N
Cuando una función viene dada por una fórmula o regla de correspondencia, se suele
sobreentender que el dom inio consiste de todos los números para los que la regla de correspon­
dencia está bien definida. A hora bien . el dom inio de una función puede describirse explícita­
mente junto con la función o estar implícito en la fórmula que define a la función. P or ejemplo
, para las funciones
a) / : A - » B , A c t R , B c l R
b) g(jt) = V 7 7 2 , 2 < x < 7
el dominio está descrito explícitam ente, pues en
a) D o m (/) = A = { j r e A l B ! > e B , y ~ /(*)}
b) Dom(g) = {jc| 2 < x < 7 } = [2 ,7 ]
Por su p a rte :
a) Las funciones polinómicas
/<*) = a D*n + a „ - i * " ', + ■ • ■ ■+ a Jx 2 + a ¡x + a 0 , a o * 0
tienen por dom inio im plícito al conjunto IR.
b) Las funciones racionales de la forma : f(x) =
qtó
tienen com o dom inio im plícito a t R - { x € (Rlq(.r) = 0 }
/ ( x) = >/g(jc) , n e Z +
c) Las funciones con raíces de índice p a r :
tienen com o dominio im plícito al conjunto {x e IR I g(x) > 0}
d) Las funciones con raíces de índice im p ar:
f (x ) -
,neZ +
tienen como dom inio implícito al dominio de g (x ), e s to e s , D o m (/) = Dom(g)
¡EJEM P LO I ' )
D eterm inar el dom inio de las siguientes funciones
a) f { x ) - x* -
+ 3x - 1
d) h(x) =
b) / ( x ) = <39- x 1
c) g(x) = V 4 -V 2 4 -2 a - x 2
Solución"
e) /(* ) = V
. 5^ " 22jt + 5
a) E ID o m (/) = (R , pues se trata de una función polinómica de tercer grado.
b)
Para que la función / tenga se n tid o , 9 - jí1 ha de ser p o sitiv o , es d e c ir, / es
real «■ 9 - ^ > 0
c)
x
V* 2 - * - 6
•=> x * - 9 < 0 <=> - 3 < x < 3 ■=> D om ( / ) = t - 3 , 3 ]
Del m ism o m o d o , la función g tienen sen tid o , si y sólo s i :
( 2 4 - 2 x - x i ¿ 0 ) a (4 - V24 - 2jc - Xa ¿ 0 ) <=> (xa + 2 r < 2 4 ) a (V 2 4 -2 * -* 3 < 4 )
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Capítulo / : Funciones
14
lf< 2 5 ]
<=>
[(* +
<=>
( - 6 < x < 4 )
a
a
[(* +
1)2 > 9 ]
(x < -4 v x > 2 )
<=>
<=>
( - 5 < j + 1 < 5 ) a ( h ! < - 3 v í + I > 3 )
( - 6 5 x < - 4 )
v
( 2 < * < 4 )
.*. Dom(g) = [-6 , -4] U [ 2 , 4 ]
d) Si h(x) =
.
x\ ( x + 2) (x - 3)
<=> D om (h) = {jce IR l(x + 2) ( x - 3) > 0 }
= {x e IR Ix < -2 v x > 3}
= x e
- 2) U (3 , + «)
e) Tenemos una funcióncon raíz de índice im p ar, luego ,D om (.f) = D om (g), donde
x-2
g t o = (x + I)(x - l) (2 x -5 )
, x * - l , 1 , 5 / 2 ■=> D o m (/) = IR - {-1 , I , 5/2}
Definición 1.2 : IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO
Sea una función/ : A B , donde A ^ K y B e : [R. Si M e A = D o m ( /) , s e denom ina la;
imagen directa de M m ediante f , al conjunto / ( M ) , donde
/( M) = { f ( x ) \ x e M } e B
y se le e “ conjúnte de las im ágenes de x , tal q u e x € M ”
o bien :
/(M } ,= { y * B | 3 x . e M , y = m }
Según esta definición:
y e /( M ) <=> 3 x e M | y = /(x )
E n particular si M = A , entonces /( A ) se llama imagen d el dominio de / . A d em ás, para toda
función / se tienen que /( ó ) = <¡). En la Figura l . 13 , obsérvese que /(M ) es la proyección de la
G r ( / ) , con dom inio M , sobre el eje Y.
PROPIEDADES
ID . 1 : S i / : A - » B , M c A y M c N *=> /(M ) c /(N )
ID . 2 : Si / : A —»B , M c A y N c A => / ( M U N ) = / ( M) U / ( N)
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Sección ¡.5 : Determinación del dominio de una función
ID.3:
ID .4:
15
Si / : A —» B , M c A y N c A => / ( M f lN ) c / ( M ) n / ( N)
Si / : A —►B , M c A y N c A «=> / ( M ) - / ( N ) c / ( M - N )
E JEM P LO
2 ]
D ado el conjunto M = [ - 1 , 4 ) y la función / : A
m
H a lla ría ) /({ O , 1 , 3 } ,
S o lu ció n
=
b) / ( M ) ,
B definida por
3 + 2x , si -2 < x < I
6 - 2 x , si l < x < 4
c) Construir su gráfica
L a función está definida por dos fó rm u las:
f t( x ) ~ 3 + 2x , r e [ - 2 , 1) y f 2(x) = 6 - 2 x , x e [1 , 4)
Luego ; A = Dom( / ) = [ - 2 ,1 ) U [ 1 , 4 ) = [ - 2 ,4 )
a) P or la D efinición 1 . 2 : / ( M ) = { /(* ) I* e M } ^
/ ( { 0 , 1 , 3}) = { /(O ), / ( l ) , /( 3 ) }
d o n d e :/( O ) = /,(()) = 3 , / ( ! ) = /,<1) = 6 - 2 = 4 y /<3) = f 2( 3) = 6 - 2 ( 3 ) = 0
Por lo tanto , / ( { 0 , 1 , 3}) = { 3 , 4 , 0 }
b) C o m o M c= A .=* M = M ,U M2= [ - l , 1) U [1 , 4)
Luego , V x e M ( = [ - 1 , 1 ) , e sto e s :
S i -1 < jc< 1 e* - 2 < 2 * < 2 ^ 3 - 2 < 3 + 2 x < 3 + 2
■=> - 1 < / ,( * ) < 5
V jre M2= [1 ,4 ) => 1 < x < 4 .=> - 8 < 2 * < - 2
«=> -8 + 6 < 6 - 2 * < - 2 + 6 ■=> -2 < f 2(x) < 4
E n to n ces, /(M ) = {/ (* ) = / ,(* ) U / 2U ) U e ( M ^ M j) }
= [ - 1 ,5 ) U < -2 ,4} = < -2 ,5 )
F I G U R A 1.14
c) La G r(/) jun to con la de /(M ) se muestran en la Figura 1.14
(E JEM P LO
Solución
3 )
Sea la función / : A —> BI f ( x ) = x2 - 2x - 4 . Si B = /(A ) = (-5 , 4 ] , hallar
el conjunto A.
Hallarem os el conjunto A = D o m (/) partiendo de /(A ) = {/(*) e B I x e A} = B ,
esto es , si /(* ) e (-5 , 4 ] , entonces
- 5 < ^ - 2 x - 4 < 4 =? - 5 < ( j c - l )3 - 5 < 4 »
0 < ( j t - 1)3< 9
<=> 0 < * - 1 < 3
A = D o m (/) = {jc e (R11 < x £ 4} = (1 ,4 ]
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■
Capítulo I : Funciones
16
Definición 1.3 : FUNCIONES IGUALES
S ean d os funciones / : A -4 B y g .i A -r> B , Sé dice q u é / y g son iguales , y s é denota
/ ss g , si y sólo si G r ( f ) - G r(g) com o subconjuritos de A x B ,.esto es
/= g w
V « A , /( * ) = fe(jc)
equivalentemente
/* g o
(E J E M P L O
4 :)
3 x e A ]/C x)*g£jc)
Sean las funciones / ; [ - 1 , 3 ] - * [ - 5 ,4 ) l / ( x ) = 2 x ~ 3 y g : [-1 ,3 ] - i
[ - 5 ,4 ) tal que g(x) =
Solución
^
- D eterm inar si / = g
Un dibujo de la Gr( / ) se m uestra en la Figura 1.15 , en donde
G r(/) = { ( x , 2 x - 3 ) \ x e [-1 . 3]} c [-1 , 3] x [-5 ,4 )
En g , factorizando el numerador obtenem os: g(x) =
^ ^
^
= 2x-3 ,x ^ 4
Un dibujo de la Gr(g) se m uestra en la Figura 1.16 , en donde se observa que
G r(g) = { ( a , 2 x - 3 ) U € [ - 1 ,3 ]> c=t-l . 3 ] x [ - 5 , 4 >
En consecuencia, si G r ( /) = G r(g) e ^ > / = g
Definición 1.4 : FUNCIÓN RESTRINGIDA
Sean los conjuntos A ,B y D su b co n ju n tp sd e iRy , sea la función / : A ~> B. Si.definimos
la fu n d ó n g : D - 4 B , tal que
./(*) - £(*)■ x e D . D c A
entonces se dice que la función g e s la restricción d e / a l conjunto D.
E quivalentem ente, si / : A -4 B tienen unu restricción g ; D -4 B y.D c A f entonces se dice
q u e / e s una extensiórrde g al conjunto A.
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■
Sección 1.6 : Determinación úel rango de una función
17
Por ejem plo , sean los conjum os A = (-1 , 3 ] , B = (-1 ,4 ] y D = [0 , 3] , y sea la función
/ : A —f r B l / t x j s S + Z c -x ^ c u y a g ra fic a se m u e stra e n la Figura 1.17. Si definimos la función
g : D -* B de m odo tal que f ( x ) = g(x) , V x e D , decimos entonces que la función g es la
restricción de / al conjunto D (Véase la Figura 1. 18). En las gráficas de / y g se observa respec­
tivamente que
i) Ran( / ) = /(A ) = [ 0 , 4 ] c B
ii) Ran(g) = /(D ) = [ 0 , 4 ] c B
(1.6)
D E T E R M IN A C IÓ N D E L R A N G O DE U N A F U N C IÓ N
E n la determ inación del rango de una función se presentan dos casos.
C aso 1
Cuando el dom inio está im plícito en la regla de correspondencia que define a la
función.
En este caso se despeja x en función de y , luego se analiza para que valores reales de y , * es real.
E JE M p fo
V ■
1
5 )
J
H allar el rango de la función f ( x ) ~ ■
,
e
'
x 2+ 4
Sea y = f ( x ) <=> y(jt3 + 4)=.T 2 <=> * = ± 2 s j |
Solución
«=> jc 6 (R <=> —
1 -y
> 0 => —
y-
1
< 0 <=> 0 < v < 1
L u eg o , R a n (/) = { y e I R l O < y < I } = [ 0 , l >
C aso 2
Cuando el dom inio está descrito explícitamente junto con la fórm ula que define a la
función. Es d e c ir, si / : A - » B , entonces R a n (/) = / ( A ) c B
■
(e je m p lo
6 )
Sea la función / = {(* , y) e tR3 |/( .t) = 4 + 2 x - jr2 , x e [ - 2 , 4 ] } .
D eterm inar su rango.
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Capitulo I : Funciones
18
Solución
Com o A = [ - 2 , 4 ]
«=> R an(/) = / ( [ - 2 , 4 ] )
L u e g o , si f ( x ) = 5 - { x ? - 2 x + 1) .=> /(* ) = 5 - (x - l )2
Llegaremos al segundo m iembro de esta fórm ula partiendo dei dom inio de la función, esto e s :
1.
2.
3.
4.
Si j r e [ - 2 ,4 ] =» - 2 < * < 4 <=> - 3 < J t - 1 < 3
Elevando al cuadrado :
M ultiplicando p o r -1 :
Finalm ente, sum ando 5:
« ( - 3 < j t - I < 0 ) v ( 0 < jc- 1 < 3 )
^=> 0 < (x - 1)2 < 9
<=> -9 < - (jc - I )3 < 0
<=> -4 < 5 - (* - I )2 < 5
<=> -4 < f ( x ) < 5
R a n ( / ) = { y e (Rl-4< y < 5 } = [-4,5]
(EJEM P LO
Solución
7 )
Hallar el rango de la función / = { (
■
~~l¡") Ix > 6 j-
R egla de correspondencia de la función : f ( x ) =
^
=3 -
Si A = (6 , +°°) <=> R an( f ) = /( A ) = /((6 , +°°))
Obtendremos el segundo miembro de esta fórmula partiendo de x e A
1. S i ; t > 6
( S i * > a ■=> -7 < n )
■*
« = * j c - 5 > 6 - 5 i = > j » : - 5 > 1 < = > —1— < i
x-5
^ ^ >0
2.
C o m o x - 5 > I .tam bién x - 5 > 0
(Si a e [Ry a > 0 ■=> ^ -> 0)
3.
Luego , de los pasos ( I ) y (2) se sigue que : 0 < —^5 < *
4.
M ultiplicando p o r -1 : - 1 < - — — < 0 «=* - l + 3 < 3
jc - 5
- —— < 0 + 3
x -5
5. De donde : 2 < f ( x ) < 3 => R an (/) = { y e 1R 1 2 < y < 3} = ( 2 , 3 )
ÍÍ7 T >
■
F U N C I O N E S C O M O M O D E L O S M A T E M Á T IC O S
Del uso y aprovechamiento del lenguaje de las funciones se puede expresar diversos
tipos de situaciones prácticas, que tienen que ver con la geom etría, física, econom ía, biología,
etc, en términos de una relación funcional. La función obtenida representa un modelo matemá­
tico de tales situaciones. Los ejem plos que siguen muestran el procedim iento im plícito en la
obtención de algunos modelos matemáticos.
(EJE M P LO
8 )
Determ inar una función que exprese el área del rectángulo de base x y
perímetro 2a (fl> 0) .H allar el dominio y el rango de la función obtenida.
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19
Sección I.7.: Funciones como modelos matemáticos
Solución
Designemos p o r* e>' las dimensiones del rectángu­
lo (Figura 1.19)
1. Por geometría sabem os que su área esta dada por
A = xy
2. Com o la fórm ula de A está expresada en térm inos d e dos
variables x e y , usaremos el hecho de que el perímetro del
rectángulo e s :
2 x + 2 y = 2a =* y = a - x
F I G U R A 1.19
3. L u eg o , en el paso (2 ): A(x) = x(o - x ) , a > 0
4. A h o ra , de esta últim a fórm ula debem os especificar el dom inio de la función A. O bvia­
m ente, sólo lo s v a lo re sx > 0 producirán rectángulos e fe c tiv o s, esto e s , si A (x)> 0 ^
x(a - x) > 0 <=> 0 < x < a (=> Dom(A) = { 0 , a)
A sí, la definición com pleta del área es
: A (x) = ex - x2 , x e (0 , a)
5.
Rango de la función : A(x) = a x - x 2= y - - [ x - y ) 1
6.
Si 0 < x < a i=> - y
7.
M ultiplicando por - 1 : - y - < - ( x -
< x- y
< y =5
0 < ( x - y )2 <
y )< 0 > = > 0 < y - - ( x - y )
“ "4~
.=> 0 < A (x) < a V 4
.% R an(A ) = { y e Í R l O < y < a 2!4} = (0 , a 2/4]
■
[EJEM P LO 9 J U n hom bre está en un bote a 2 millas del punto más próxim o de la costa.
Tiene que ir al punto Q (Figura 1.20), situado 3 millas más abajo por la
costa y a una milla tierra a dentro. Puede remar a 2 millas por hora y andar a 6 millas por hora.
Expresar el tiem po T de su recorrido en función de x.
Solución
El espacio remado por el h o m b re e s: PA = _s/jt2 + 4
y el espacio cam inado es : A Q = VI + (3 - x)2
Sabiendo que el tiem po =
T = - ^ + ^
espacio
»entonces el tiempo T de su recorrído de P a Q es :
■=> T(x) = 1 ^ + 4
+ - M x 2 - 6x + 10 , x e ( 0 ,3 )
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■
Capítulo ¡ : Funciones
20
10 ] En una circunferencia de radio r = 5 , se inscribe un triángulo isósceles.
E xpresar el área del triángulo en función de su altura.
Súfacióti
1. Sea BH = x la altura del triángulo isósceles ABC y sea A C = 6 la longitud
del lado desigual.
2. El área del triángulo A B C es S = -^ (AC) (BH) =
3. En el triángulo rectángulo B C D : HC2 = BH x HD
(La altura es m edia proporcional entre los segmentos en que divide a la hipotenusa)
4. Entonces : (6/2)2 = x (2 r - x ) , de d o n d e ,
5. L u eg o , para r = 5 , en el paso (2 ):
6. Como S (x )> 0 c=> x ( I O - x ) > 0
6 = 2 Vx (2r - x)
S(x) = x V x (1 0 -x )
0 < x < 10
S(x) = x Vx (10 - x) , x € ( 0 , 1 0 )
■
(EJEM PLO 1 1 ]
El gerente de una tienda de m uebles com pra refrigeradoras al precio de
mayoreo de $ 250 cada uno . Sobre la base de experiencias pasadas, el
gerente sabe que puede vender 20 refrigeradoras al m es a $ 4 0 0 cada uno y un refrigerador
adicional al m es por cada reducción de $ 3 en el precio de v en ta Expresar la utilidad mensual U
como función del número x de refrigeradoras mensualmente vendidas.
S pU if& n '
Interpretem os el enunciado del problem a con el significado d e que el precio de
venta p de cada refrigerador es impuesto al comienzo de cada mes y que todas las
refrigeradoras se venden al mismo p re c io . E ntonces:
1. La utilidad unitaria d e la venta de cada refrigerador e s : u = p - 250
2. La utilidad m ensual total U de la venta de x refrigeradoras es
U = x u = x ( p - 250)
3. Designem os por n el número de reducciones de $ 3 hechas al precio de venta o rig in a l, de
modo q u e :
p = 400 - 3n
4. Como se pueden vender n refrigeradoras m ás que los 20 originales, entonces
x = n + 2 0 , de d o n d e , n = x - 20
5. En el paso (3) se deduce q u e :
p = 400 - 3(x - 20) = 460 - 3x
6. Sustituyendo este valor de p en el paso (2) obtenemos la fórmula
U(x) = x ( 2 l0 - 3 x ) = 3x(70 - x)
para la utilidad mensual U com o función del número x de refrigeradoras vendidas al mes.
7. Dado que seria inaceptable la utilidad n eg ativ a, entonces si
U (x) > 0 « 3x (70 - x) > 0 <=> 0 < x < 70
Por lo q u e , la descripción com pleta de la función utilidad es
U(x) = 3x(70 - x) , 0 < x < 70
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EJERCICIOS
21
G rupo 2
8. Para el cálculo del ra n g o , escribimos
UU ) = 3 (7 ttc -x 2) = - 3 ( x 2-7 0 x + I225J + 3675 *=* U(x) = -3 (x - 35)3 + 3675
Llegamos al segundo miembro de esta fórmula partiendo del d o m inio, esto e s , si
0 < x < 70
-35 < x - 35 < 35 ^
M ultiplicando por - 3 :
Sumando 3675 :
0 < (x - 35)3 < 1225
- 3675 < -3 (x - 35)2 < 0
0 < 3675 - 3(x - 35)2 < 3675 <=* U(x) e <0, 3675]
9. O b sérv eseq u e la utilidad m áxim a es de $ 3675 y ocurre cuando x - 35 = 0 , e s d e c i r , s i
x = 35 el precio de venta óptim o p , dado en la ecuación del paso (5 ), e s :
p = 4 6 0 -3 (3 5 ) = $33 5
■
E J E R C IC IO S . Grupo 2
•í* En los ejercicios 1 al 12, hallar el dominio y rango de la función dada. D ibujar su gráfica
1 . /(x ) = < 4 ^ 7
3. f ( x ) = V2 + X
5. g(x) =
2.
-X 2
4X2 - I
2x + 1
6 x + 7 , si x < - 2
7- /€*) =
4-x
, six> -2
/(x )
=
V2 +
X -X 2
4.
/( x ) = Vx2 - 3x - 4
6.
/( x ) = Vóx2- 5x - 4
8.
g(x)=
x2- 4
, six<3
2x~ 1
, six>3
9. m
=
( x + l ^ x 2 + 3 x - 10)
x2 + 6x + 5
10 .
g(x)=
xA+ 2x3 - 7x 3 - 8 x + 12
x2 + 2 x - 3
ii. m
=
x4 - 3x3 - 1 Ix2 + 23x + 6
x2 + x - 6
12 .
h(x)=
x3 - x2 - 1 3x - 3
x+3
13. Dado el conjunto M = [ - 2 ,4 ) y la función f definida por
x + 1
/(* ) =
H allar: a) / ( M )
14.
,
, s i-2 < x < 0
x3 - x + 1 , si 0 5 x < 4
b) / ( { - l , l , 2 } )
,
c) Construir su gráfica
Sea el conjunto M = [-3 , 5) y la función / definida por
3 - 2x - x2 , si - 3 < x < 2
m =
- {
H allar: a) /( M )
,
2x -6
b) / ( { - ! . 1 , 4})
, si2<x<5
,
c) Construir su gráfica
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Capitulo J : Funciones
22
15. Sea la función / : [R —»(R definida p o r/(jr) = x* - 6 x + 4 . a) Dado el conjunto M = ( l , 4 ] ,
representar gráficam ente el conjunto {(x ,/( * ) ) Ix e M} . b) H allar el co n ju n to /(M ).
*•* En cada uno de los ejercicios 16 al 21, determ inar analíticamente el rango de la función.
16.
/ : [-1 , 2 ) —> Í R | / ( x ) = x2 + 2
17. f : ( - 2 , 3] -> CR | f ( x ) =jc3 + 4jc- 1
18.
/ : [-2 , 2) —» [RI f ( x ) = 3 + 2 r - j t
19. / : [ 0 , 5] —» [R | f ( x ) = - x 1 + 4 x - l
20.
/ : (-1 ,2 ] —> [ R |/( jt) = I + V3 + 2jc- jt1
21. / = { ( x , - ^ )
| ^
(x2- 4 ) > 0 }
22. Sí el área total de un cono circular recto m ide 4 n u2 , hallar su altura como función del
radio. D ar el dom inio y dibujar la gráfica de la función.
23. Hallar la función que exprese el área de un triángulo isósceles en términos del lado desigual
x , sabiendo que la longitud del perím etro es 2a. A d em ás, hallar el dominio y rango de la
función.
24. La altura de un cilindro es igual a su radio . Exprese el área total A d e la superficie (inclu­
yendo am bas bases) en función de su volumen.
25. Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 piesJ . Su base debe ser
doble de largo que de ancho. El material de la tapa vale $ 10 po r p ie 2 y el de los lados y
b a s e , $ 5 por pie2. Expresar el costo de construcción de la caja com o una función de uno
de los lados de la base.
26. El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso de su
cu erp o . y una persona que pesa 150 Ib. tiene un cerebro cuyo peso aproximado es de 4 Ib.
a) Encuentre un modelo matemático que exprese el peso aproximado del cerebro como una
función del peso de la persona, b) D eterm ine el peso aproxim ado del cerebro de una
persona que pesa 176 Ib.
27. Una página impresa contienen una región de impresión de 24 pulg2 , un margen de 1.5 pulg.
en las partes superior e inferior y un margen de 1 pulg, en los lados, a) Encuentre un
modelo matemático que exprese el área total de la página como una función del ancho de la
región de impresión, b) Cuál es el dom inio de la función.
28. A un cam po de form a rectangular se le colocaron 240m de cerco, a) E xpresar un modelo
matem ático que exprese el área del terreno com o una función de uno de sus lados, b) Qué
dim ensiones debe tener este cam po rectangular para que su área sea m áxima ? D eterm inar
dicha área.
29. Una ventana tipo norm anda tiene la figura de un rectángulo rematado por un sem icírculo.
Suponga que una ventana de este tipo tendrá un perím etro de 200 p u lg ., y que la cantidad
de luz transmitida es directamente proporcional al área de la ventana .a ) Si r pulg. es el
radio de sem icírculo, exprese la cantidad de luz transmitida por la ventana como función de
r. b) Cuál es el dom inio de la función resultante?
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23
Sección 1.8 : Funciones especiales
30.
Un campo petrolero que contiene 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios de
petróleo. Por cada pozo nuevo que es perforado, suponga que la producción diaria de cada
uno disminuye 5 barriles. Escriba la producción diaria del cam po petrolero en función del
número x de pozos nuevos que se perforan.
(1.8)
F U N C I O N E S E S P E C IA L E S
Definición 1.5 : FUNCIÓN IDENTIDAD
Es aquel la función denotada p o r I : (R —» CR .donde el dominio y el rango es el conjunto de
los números reales y que tiene com o regla de correspondencia
I(x) = x . V * e IR
Es d e c ir, en esta función cada número real se corresponde a si mismo. Su gráfica (Figura l .22)
es la recta de pendiente m = Tg 45c * l , denotada por
G r(l) = { ( x , x ) \ x e IR}
pasa por el origen de coordenadas como bisectriz del prim er y tercer cuadrante. Cuando e!
dominio de esta función está restringido a un conjunto A <z IR , se denota t A , esto es :
IA(x) = x , Vx e A.
En la Figura l .23 se m uestra la gráfica de una función identidad sobre el conjunto A = ( - 2 ,3 ] ,
esto e s , G r(IA) = { x , x ) \ V x e A = ( - 2 ,3 ] } .
Definición 1.6 : FUNCIÓN CONSTANTE
E s aq u ella función denotada por C , con d om inio IR y el rango consiste en un núm ero
real k , cuya regla de correspondencia es
C = {(* , >•)!>• = k}
o b ie n :
C(x) = k
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Capítulo ¡ : Funciones
24
La gráfica de esta función es una recta horizontal (Figura 1.24)
denotada por
Gr(C) = { x , k) | V* e IR}
Considerando que la gráfica de una función constante pasa
por el punto ( O , k) y es paralela al eje X , la posición d e la
recta depende del valor de k.
F I G U R A 1.24
1. Si k > 0 , la G r(C) es una recta horizontal situada por encima del eje X
2. Si k = 0 , la G r(C ) es el eje X , se d ice ento n ces q ue la función es nula , esto es , y = 0,
V x e IR.
3. Si k < 0 , la Gr(C) es una recta horizontal situada debajo del eje X.
Definición 1.7 : FUNCIÓN LINEAL
Es aquella función / : IR —►IR cuya regla de correspondencia es
/(x ) = m x + b
donde m y 6 son núm eros reales fijos y til * 0
Su gráfica es una línea recta ÍB (Figura 1.25) cuya pendiente o coeficiente angular es m y su
ordenada en el origen es b.
TEOREMA 1.1
Sean x ,.,..^ » y , , y2 núm eros reales tales q u e x ^ jq .,y
entonces existe una única
función lineal / tal que
= /( * ,) e y 9 =
D em ostración
En e fe c to , sean P ^x, , y ,) y P2(x2 , y2) dos puntos diferentes cuyas coordena­
d as satisfacen la ecuación : /( x ) = mx + b . C om o y = f ( x ) , escribim os
entonces y = m x + b , luego , deben e x istir los núm eros reales m y f c . m í O , tales q ue :
Restando am bas ecuaciones obtenem os:
y sustituyendo (3) en (1) se tien e: y, =
y {- m x t + b
(I)
y2= m x , + b
(2 )
y2 - y ,
r _y
(3 )
2
1
+
= m
b «=> b -
(4)
Si los números reales m y fc existen por las ecuaciones (3) y (4), entonces la función lineal
también existe y está definida por
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Sección ¡.8 : Funciones especiales
25
x 2 y r x iyi
Por le qu e : ,( * ,) =
O B SE R V A C IÓ N 1.6
)* , +
/(*,) = >,
En el triángulo P, Q P 2 de la Figura 1.26 , se tiene
Tgct =
P,Q
T g a = - ^ 1 * In
x 2- x ,
La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo d e inclinación.
O B SE R V A C IÓ N 1.7
Para determ inar la ecuación de una recta basta conocer dos puntos
de ella con los cuales se calcula su pendiente. luego eligiendo cual­
quiera de los dos puntos como punto de paso . por ejemplo P ((jr,, y , ) . y P(x , y) com o punto
genérico, se sigue que
y ~y
m= 77T
** y - y ^ m O c - x J
EJEM P LO
1 J H allar la función lineal para la cual se cumple que
2 /(2 ) + /( 4 ) = 2 l y / ( - 3 ) - 3 / ( l ) = - l 6
Solución
Sea la función lin e a l: f ( x ) = m * +b
(I)
Si 2 /(2 ) + /( 4 ) = 2 1 <=> 2(2m + 6) + (4m + ¿) =
/(-3 > - 3 /(1 ) = 16
(-3m + ¿) - 3(m + 6) = - 16
La solución común de las ecuaciones (2) y (3) e s :
2 1>=>8m + 36 = 2l
^ 3m + ¿ =
8
(2)
(3)
m= 3 y b= - I
Entonces en ( I ) , la función lineal está definida por la fórmula
f ( x) = 3 x - l
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m
Capítulo I ■Funciones
26
2 )
(e je m p lo
H allar la función lineal tal q ue / [ / ( * - 1)] = 16* - I
Solución Sea la función lin e a l: f ( x ) = m * + b
E n to n ces,
(I)
/ ( * - 1) = m(* - 1) + b = in* - in + b
En (1) , su stitu im o s* p o r/ ( * - I) y obtenemos :
D e la condición dada y de (2) se sigue q u e :
(2)
/ [ / ( * - I)] = m / ( * - l ) + ¿
16*- 1 = m (m * - m + 6) + 6 «=^ 16* - 1 = mí* + &(m+ l ) - m 2
Identificando coeficientes:
í m2 = 16 <=> in = ± 4
<
( b(m + I) - m2 = -1 e s b = in - I
En ( 3 ), para m = 4 , b - 3 y pasa m = -4 , b — -5 ; 'p o r ta n to , en ( 1), hay dos soluciones
/( * ) = 4 * + 3 o /( * ) = - 4 * - 5
E JE M P L O
3 j
■
U na tienda de artículos dom ésticos tiene 900 licuadoras en alm acén al
principio de cada m es ; las ventas de licuadoras promedian 25 unidades
por día de venta.
a) H allar un m odelo m atem ático que represente el número de licuadoras en almacén en cual­
quier día de ventas de cada mes.
b) En que tiem po se agotará las licuadoras en almacén ?
c) Cuál es la cantidad de licuadoras cuando han transcurrido 12 días ?
IS olución] a) Sea y el número de licuadoras en almacén y se a * el número de días de venta.
Al inicio de cada m e s , es d e c ir, cuando * = 0 , tenemos en almacén y = 900
licuadoras. C om o el núm ero de licuadoras dism in u ye en alm acén a razón de 25 unidades
p o r d ía de venta , entonces y cam bia en -25 unidades cuando * cam bia en I unidad , es
d ecir q u e la razón d e cam bio o p en d ien te es m = -25. L uego , la función está d ad a p o r la
fó rm u la :
y = m * + b = -25* + 900
(1)
b) Cuando las licuadoras se agotan en almacén se tiene que y = 0
Entonces , en ( I) : 0 = -25* + 900 <=> * = 36 días
c) C u a n d o * = 12 , en (1) se tiene :
y = -25( 12) + 900 = 600
Definición 1.8 : FUNCION CUADRATICA
Es aquella función con dom inio IR y definida por la ecuación
/ ( * ) = o x2 + bx + c
d o n d e a .6 y e son constantesque representan números re a le s y a * 0
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■
27
Sección 1.8 : Funciones especiales
Esta función puede e sc rib ¡rs e c o m o /{ (x ,y )e R 2I y = a x 2+ b x + c } cuya gráfica es la misma
que de la ecuación y = a x 2 + b x + c ,y que mediante el artificio de com pletar cuadrados puede
ser transformado en otra equivalente de la fo rm a :
y = a ( x - h)2 + k
El siguiente teorema nos muestra el procedimiento a seguir.
TEOREMA 1.2 : Valores extremos de la función cuadrática
La función cuadrática definida por
/ ( x) = a x 2 + b x + c = a ( x - h ) z + k , a * 0
donde: h = -
2a
y
k=
Aa
■ , tienen un valor extrem o en el punto x - - - ~2a
i) Si a > 0 , el valor extremo es un valor m ínim o k = / ( h ) , es d e c ir, R an (/) = [ k , + « )
¡i) Si a < 0 , el valor extremo es un valor m áximo k = / ( h ) , es d e c ir, Ran(/> , kj
Demostración En e fe c to , sea y = f ( x ) , entonces
y ®a x 2 + b x + c = a (x2 +
'
l ->
Ü\ X +
Si hacemos h = -
y
— x + — ) = a (x2 + — x +
a
a /
'
a
b
b1 \
a X + Aa1 ) +C
k=
que es otra form a de representar la función
-7^7 - -7^-7 ) + c
4a 2 Aa21
b2
t
b \2
" Aa “ a \ X + 2a i +
Aac-b2
4a
, obtenemos : y ~ a (x + h )2 - k
y = a x 2+ bx + c
y“k
Por otro la d o , si (x - h)2 = —— , y com o (x - h)2 > 0 , V x e IR , entonces
i) S i a > 0
= » y - k > 0 < = > y > k , luego y e [ k , -k*>) = R a n (/) , es d ecir , la función
tiene un valor m ínim o k , cuando x = - bl2a
ii) S i a c O e * y - k < 0 < = * y < k , luego y e ( - ~ , k] = Ran ( / ) , es d e c ir, la función tiene un
valor máximo k , cuando x = - b/2a
La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola que es simétrica respecto a
la recta vertical x = h (eje de sim etría). Según los resultados anteriores puede ser una de las dos
formas siguientes:
1. Si a > 0 , la parábola es abierta hacia arriba y de este modo el vértice V ( h , k) es el punto más
bajo de la gráfica (Véase la Figura 1.27)
2. Si a < 0 , la parábola se abre hacia abajo y así el vértice V (h , k) es el punto m ás alto de la
gráfica (Véase la Figura 1.28).
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Capítulo J : Funciones
28
E JE M P L O _4J
Esbozar las gráficas de las funciones
a)
Solución
a)
-f
/(* ) = 3 - 2 X - X 2
b) f ( x ) = ± x? - 3 x + 6
U sarem os el m étodo d e c o m p letar el cuadrado para h allar e! vértice de cada
parábola.
La ecuación que define a la función / e s :
> » = 3 - 2 r - j r 2 = - ( x + I )2 + 4
d e d o n d e , a = - 1 , h = -1 , k = 4 <=> V (-l , 4 ) , e j e : j c = h <=> x = -1
Como a < 0 , la parábola es abierta hacia a b a jo , por lo que R a n (/) = (-«>, 4]
Para dibujar la G r(/) hallamos dos puntos de la parábola mediante sus intersecciones con el
e je X , e s t o e s .s i > = 0 i=> 3 - 2 r - ^ = 0 « jt = -3 ó jc = 1 .
L uego, uniendo los puntos A (-3 ,0 ) y B ( 1 , 0) con el vértice obtenem os la G r ( /) . V éasela
Figura 1.29.
b)
La ecuación que define a la función g es : y =
^ j p - l x + fs = -^•(x-3) +
de d o n d e , a = 1/2, h = 3 , k = 3/2 <=> V(3 , 3 /2 ), eje x = h = 3.
Como a > 0 , la parábola es abierta hacia a rrib a , por lo que R an( /) = [3 /2 , +«■)
Un segundo punto de la parábola lo obtenemos mediante su intersección con el eje Y , es
decir, si x = 0 c=> y = 6 , luego , A (0 , 6) e G r(g) , y el tercer punto , po r sim etría de A
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Sección 1.8 : Funciones especiales
29
respecto ai eje x = 3 , esto es , A’(6 , 6). Uniendo estos tres puntos obtenem os la Gr(g)
mostrada en la Figura 1.30.
■
[EJEM P LO
Solución
5j
Sea la función f = {(* , >■) Ix 1 - 4 x - 8y - 4 = 0} . D eterm inar un valor
m áxim o, o bien uno mínimo de dicha función.
La ecuación que define a / es : 8y = x 2 - 4 x - 4
D e este m o d o , los valores de la función / están dados por
^X) =
8
2
X
'
2
Para esta función cuadrática: a - 1/8, b = -1/2. Com o a > 0, f tiene un valor mínimo en el punto
donde x = h = b/2a , esto es , si h = - ^
= 2 entonces el valor mínimo e s ,
2( 1/ 8)
k = f(2) = ± ( 2 f - 1 ( 2 ) - 1
* -1
■
{EJEMPLO 6 ] Si / es una función cuadrática tal que
f { x + 2) - f { x - 2) = 4 ( 3 - x ) , V * € IR
D etenninarun valor m áxim o, o bien uno mínimo d e / s i /(O ) = It i
Solución
Sea la función cuadrática f ( x ) = a x 2 + b x + c
Si /(O ) = 1/2 <=> a(0)2 + b(0) + c = 1/2 »
(1)
c = 1/2
Además : f ( x + 2) = a(x + 2 f + b(x + 2) + c y f ( x - 2 ) = a( x - 2 )2 + b(x - 2) + c
«=> f ( x + 2 ) - f ( x - 2 ) = a{(x + 2 )1 - ( x - 2 )2] + 6[(x + 2 ) - ( j r - 2 )]
= a[4 (* )(2 )]+ 6 [(2 ) + (2)] = % a x + 4 b
Luego si 8a x +4í> = 12 - 4 x , V x e IR <=> (8a = -4 ) a (4b = 12) <=> a = -1/2 a& = 3
Por lo q u e , en ( I ) , los valores de la función f ( x ) están dados por
/(* ) - " ^ X2 + 3X +
Como a < 0 , / tiene un valor máximo en * = h = -bi2a <=> h = 3
El valor máximo e s :
k = / ( h) = - y (3)2 + 3(3) + ~ <=> k = 5
■
^EJEMPLO 7 J Se va a cercar un terreno rectangular situado en la ribera de un río y no se
necesita cercar a lo largo de éste. El material para construirla valla cuesta
$ 6 el metro lineal para los extrem os y $ 8 por metro lin e a l, para el lado paralelo al río ; se
utilizarán $ 1200 de material para vallas. Hallar las dimensiones del terreno de mayor área posi­
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Capítulo ! : Funciones
30
ble que pueda dem arcarse con los $ 1200 de material. Cuál es la m ayor área ?
Solución
Sean * e y las dim ensiones del terreno y A su área (Figura 1.31)
■=> A = x y
(1)
El costo del m aterial para cada uno de los extrem os del
terreno es : 6y + 6y = 12y. El costo del material correspon­
diente al tercer la d o , paralelo al rio es : 8* .
De modo que el costo total de la cerca es
12y + 8* = 1200 <=> y = | ( 1 5 0 - * )
(2)
Para expresar A en térm inos de una sola variable sustitui­
mos (2) en ( I ) y obtenemos
A(*) = y (1 5 0 -* )* =
_____
tj
P l G Ú f t A 1 .3 Í
x 1 + 100*
La función A es cuadrática con a = -2 /3 y b = 100. C o m o a < 0 , la función A tiene un valor
máximo en * = - b!2a • = > * = -
= 75 m . En (2): y = y (150 - 75) - 50m
Por lo ta n to , la m ayor área posible que pueda dem arcarse con $ 1200 es
A = 75 x 50 = 3,750 m1
[e j e m
■
sj
Un fabricante de cam isas puede producir una camisa en particular con un
costo de $ 10 por unidad. Se estim a que si el precio de venta de la camisa
e s * , entonces el número de camisas que se vende por semana es 120 - x. D eterm inar cuál debe
ser el precio de venta con el objeto de que las utilidades sem anales del fabricante alcancen un
nivel máximo.
plo
Solución
Sea I dólares el ingreso se m a n a l. Com o el ingreso es el producto del precio de
venta de cada cam isa por el número de cam isas vendidas, entonces:
I = * ( 1 2 0 -* )
Sea C dólares el costo total de cam isas que se venden por semana. Com o el costo total es el
producto d e c a d a ca m isa y el número de camisas vendidas .entonces
C = 10(120-*)
Las utilidades se obtienen restando del ingreso total el costo to ta l, esto es , si P dólares es la
utilidad semanal del fabricante, entonces
P(*) = I - C = * ( 1 2 0 - * ) - 1 0 (1 2 0 -* ) = -* 2 + 130*- 1200
La función P es cuadrática con a = - i ,b = 130 y com o a < 0 , P tiene un valor m áxim o en el
punto donde * = -b /2 a . A sí pues ,* = - 1 30/-2 = 65 d ó lares, es el precio de venta con el cual las
utilidades del fabricante alcanzan su nivel máximo.
B
¡EJEM PLO T T |
En un triángulo A B C , cuya base A C = 10 cm y su altura BH = 6c m , está
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Sección 1.8 : Funciones especiales
31
inscrito un rectángulo (Figura 1.32). Si S es el área de dicho rectángulo , hallar un modelo
matemático expresando S com o función de su base x . Construir la gráfica de esta función y
hallar su valor máximo.
Solución
Si S es el área del rectángulo e=> S = x y
(I)
Para expresar S en términos de una sola variable haremos uso de la geometría
elem ental, esto e s :
AABC = A D B F « f g
= | |
«
f
=
Al sustituir (2) en (1) se obtiene el modelo m atemático :
«
y=
6 . | x
(2)
S(x) = - y x? + 6x , x e (0 , 10)
La función S es cuadrática con a = - 3 l 5 y b = 6 ,y c o m o a < 0 , S tiene un valor máximo en el
punto x = -b¡2a , es d e c ir , en x = 5 . Por lo que
S(5) = - | (5)3 + 6(5) = 15
es el valor máximo de la función , cuya gráfica se muestra en la Figura 1.33
Definición 1.9 : FUNCIÓN RAIZ CUADRADA
Es aquella función denotada por %T, con dom inio el conjunto de los números reales positi­
vos y cuya regla d e correspondencia es
para la cual f ( x ) t=¡\!* es el número cuyo cuadrado es <, es decir, los elementos del conjunto /
son parejas de la forma " f = {(},2 . y ) l ^ > 0} <de modo que el D o m (/)= R an(f) = fO,
r”
Nótese que al elevar al cuadrado ambos extremos de la ecuación
y = 'íx toma la form a conocida y2 = x. Esta ecuación representa '
una parábola de eje horizontal ( y = 0) , con vértice en el origen y ‘
que se abre a la derecha. Por ta n to , la gráfica de y = tJx , mostra- |
da en la Figuro l .3 4 , es parte de la gráfica de la parábola y 2 = x
cony> 0
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F I G U R A 1.34
■
Cafúiulo 1 : Funciones
32
O B SER V A C IÓ N 1.8
Para el caso general de una parábola de eje horizontal
x = a y 2 + b y + c = a{ y - k)2 + h
al despejar >• = / ( * ) , obtenem os : ( y - k )2 = ^ (x - h) «=* >■ = k ± \
Como a puede ser positivo o n eg ativ o , entonces haciendo
y = k + pV± (jc - h)
ó
(x - h)
= ( ± p ) - , se tiene
y = k - pV± (x - h) , p > 0
Se tienedos funciones cuyas gráficas son sem iparábolasconejey = k , y vértice en V ( h . k ) . La
forma como están ubicados las gráficas de las semiparábolas respecto de su eje y = k , dependen
de los signos antes del ra d ic a l, y la form a com o se abren éstas (hacia la derecha o izquierda)
dependen de los signos ± dentro del radical. En consecuencia , se presentan dos casos :
En e ste c a so la g rá fic a de la se m ip a rá b o ta e s tá u b ic ad a en el s e mi p l a n o s u p e r i o r del
eje y = k ( y > k)
En (a) la curva se abre hacia la derecha . El D o m (/) = [h , + » ) y R a n (/) = [k + -H»)
En (b) la curva se abre hacia la izqu ierd a. El D o m (/) = (-<*>, h] y R an (/) = [k,-H »)
(Véase la Figura 1.35)
0
»
h
X
o
h
l
F I G U R A 1.35
C aso 2
y = k - p V± (x - h)
<=>
En e ste c a so , la g rá fic a d e la se m ip a rá b o la e s tá u b ica d a en el se m ip la n o in fe rio r del
e je y = k ( y < k ) .
En (a) la curva se abre hacia la derecha. El D o m (/) = [h , +«>) y R an (/) = (-<» , k]
En (b) la curva se abre hacia la izquierda. El D o m (/) = (-“ •, h] y R an (/) = (-<», k]
(Véase la Figura 1.36)
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33
Sección ¡.8 : Funciones especiales
EJEM P LO 10 j
H a lla r el d o m i n i o , el rango y d ib u jar la g rá fic a d e las fu n c io n e s :
f { ( x , y ) \ >■= -! + V 4 x + 12} y g = { ( x , y ) l y = 3 - V 4 - x } .
Solución
En / : y = - 1 + 2 V+ (x + 3) «=* h = -3 , k = -l , luego V(-3 ,-1 )
Tenemos el caso I ( a ) , la gráfica de la fu n c ió n /e s una semiparábola ubicada en el
semiplano superior del eje k = - 1 , y la curva es abierta hacia la derecha. Por lo q u e , D o m (/) =
[-3 , +~> y Ran( / ) = [-1 , +°o). (Figura 1.37)
En g : y = 3 - V- ( x - 4 ) , de donde , h = 4 , k = 3 ^ V (4 ,3 )
T enem os el caso 2(b) , la g ráfica de la función g es una sem ip aráb o la ubicada en el
sem iplano in ferio r del e je k = 3 y la cu rv a es ab ierta h acia la izq u ierd a (F ig u ra 1.38).
L uego , D om (g) = (-< » ,4 ] y Ran(g) = (-° ° .3 ]
O B S E R V A C IÓ N 1.9
a) f ( x ) = ± V ¡Ü )
Si una función / tiene por regla de correspondencia una de las
formas:
b) /(* ) = k ± V g ü )
c) f ( x ) = k ± p V g (* j
donde g es una función cuadrática, esto es
g(x) = a x 2 + b x + c = a(x - h)2 + 1 , a * 0
enton ces, según el signo y el valor que tengo el número real a , su gráfica puede ser una de las
formas cuadráticas: semicircunferencia, semielipse o una semihipérbola. A hora, la forma como
está ubicada la gráfica de / respecto del eje X ( y = 0) o respecto de la recta y = k depende del
signo antes del radical. Si el signo es p ositiv o , la G r(/) está ubicada en el sem iplano superior
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Capítulo 1 : Funciones
34
del eje X para el caso ( a ) , y de la recta y = k para los casos (b) y ( c ) . Lo contrario sucede cuando
el signo es negativo.
E J E M P L O ^ I i'J
Solución
H allar el dominio, el rango y dibujar la gráfica de la función sig u ien tes:
1 . f ( x ) - 3 - Vi 5 - 2 * " - x2'
2 . / ( x) = Vx“ - 4 j r - 5
3. /(x ) = 1 - | VI2 + 4X-JC2
4. /( x ) = - I +
\ V27 + ÓX-X3
I . f ( x ) = 3 - Vl 6 - (x + I )2
a) Dom inio de la función : / e s real o
16 - (x + 1)2S 0 *=> (x - l )2 < 16
<=> - 5 í x < 3 >=> D o m (/) = [ - 5 , 3 ]
b) Si y = / ( x ) o
y¡ 16 - (x + 1)2 = 3 - y , de donde : (x + 1)2 + ( y - 3) = 16
La form a cuadrática es una circunferencia con centro en C ( - l , 3) y radio r = 4
c) El signo negativo antes del radial nos indica que la G r ( /) es una semicircunferencia
ubicada en el semiplano inferior de la re c ta y = 3. Véase la Figura 1.39).
d) D e la G r(/) se deduce que : R a n (/)= [ k - r , k ] r=> Ran ( / ) = [ - 1, 3]
2.
/(x ) = V ( x - 2 ) 2- 9
a) Dominio de la función : / tiene sentido «=> (x - 2)2 - 9 ¿ 0
«
(x - 2 < - 3) v (x - 2 Sí 3) «
c ^ ( x - 2 ) 2> 9
(x > - l ) v (x > 5) «=> D o m (/) =
-1 ] U [5 , +“ }
b) Si y = V(x - 2)2 - 9 <=> (x - 2 )2 - y2 = 9 . L a form a cuadrática es una hipérbola
eq u ilátera con cen tro en C (2 , 0 ) , sem ieje transverso a = 3 y cuyas asíntotas se
obtienen haciendo : (x - 2 )1 - y 2 = ü <=> x - 2 = ± y
< => £ , : x + y = 2
ó
l2 : x - y = 2
c) El signo positivo antes del radical nos indica que la gráfica de / es una sem ihipérbola
ubicada en el semiplano superior del eje X. (Figura 1.40)
d) Rango de la función : Como y ^ 0 , V x e D o m (/)
R an (/) = [0 , +«*>)
3. /(* ) = l - | V l 6 + ( x - 2 ) 2
a)
Dom inio de la función : Como 16 + ( x - 2 ) 2> 0 , V x e CR => D om (/) = OR
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Sección 1.8 : Funciones especiales
•3
b) Si
35
\ I 6 + ( x - 2)2 = 1 - y o
------—
( y _Jy (x _2)2
- — —— = 1 , lo form a cuadrática obte­
nida e s una hipérbola con c en tro en C(2 , 1) y en donde , a = 3 , 6 = 4 , h = 2 y
k = 1. Si V ( h , k ± a ) e=> V ,(h , k - a ) <=> V2( 2 ,- 2 ). Sus asíntotas se obtienen haciendo
(>> ~ 1)2 - (JCj~62?2 = 0
<=>
: 3 x - 4 y = 2 o e2 : 3 x + 4 y = 10
c) El signo negativo antes del radical nos indica que la G r(/) es una semihipérbola ubicada
en e! semiplano inferior d e la recta y = 1 (Figura 1.41)
d) Rango de la función : De la G r(/) se deduce que R an (/) = <-°®, -2]
4.
/(* ) = -1 + ^ V 3 6 - ( jc- 3 ) 2
a) Dominio de la función : / tiene sentido <=> 3 6 - ( a t - 3 ) 2> 0 <=*
«
b) SÍ V36
3)2 = 2 (y + 1) «
( a: -
3) < 3 6
- 6 S * - 3 < 6 o D o m ( /) = [ - 3 ,9 ]
+ i y + 1)2 = 1
La form a cuadrática es una elipse con centro en C(3 , -I) y semiejes : a - 6 , b = 3
c) El signo positivo antes del radical nos indica que la sem ielipse está ubicada en el
sem iplano superior de la recta >• = -1 (Figura 1.42)
■- ■
V,
I.
jT
i
.\ o
l
1 2 <£4
C
^ * 2 8\
'
“
i
Definición 1.10 : FUNCIÓN POLINOMICA
Es aquella función real de variable real / : IR -> IR , denotada por
f ( x ) = a nxr + a n t x ” ' + . . . . + a Txz + , a lx + a ll
( l)
e Í R , donde n es un entero positivo y ail, a t ,
c 2, a t , a M, son números reales
fijos llamados coeficientes, a t # 0 es el coeficiente dominante y <2ue s el ténnino constante
del polinomio.
Para denotar el grado de una función polinóm ica de orden n escribim os abreviadam ente :
g r(/) = n
Por ejem plo . la función / : IR
IR definida por f ( x ) = 3a5 - 4xA + 3a^ + x - 5 es una función
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Capítulo / : Funciones
36
polinóm ica de quinto grado y se e sc rib e , gr( / ) = 5.
Cuando se grafican funciones polinóm icas , se supone que sus gráficas son curvas ininte­
rrumpidas. Esta propiedad se deduce del hecho de que las funciones polinómicas son conti­
n uas. L a definición de función continua requiere el concepto de límite que lo estudiarem os en
el próximo capítulo.
Definición 1.11 : FUNCION RACIONAL
Es aquella función que puede ser expresada com o cociente de dos funciones polinómicas.
Esto es , si P(x) y Q(x) son funciones p o lin ó m icas, la función cuya regla de correspon­
dencia es
a x* + a„ ,An l + . . . . + a je 2 + a ,x + a„
Pí.r)
™ = qU = »> + »:> '+ ...
■« w * 0
se denom ina función racional.
Cualquier función polinóm ica es una función racional, esto ocurre cuando Q(x) es una función
constante , en particular cuando Q(x) = I , V r e Dom(Q).
El dominio de una función racional es el conjunto CR tales que Q(jc) * 0.
f.EJEMPLO 12 J
C onstruir las gráficas de las funciones racionales
Solución
y =
b)
a) , = f
l -x
l +x
A m bas funciones son casos especiales de una función racional de la form a
P (* )/Q (x ), llam adas fu n c io n e s hom ográficas.
En (a) escrib im o s: (x - 0) ( y - 0 ) = 2 <=> D o m (/) = R an(/) = (R -{ 0 }
L a gráfica de esta función es una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes coordenados
jc = 0 , y = 0 . (Véase la Figura l .43)
Yé
•
J X
F I G U R A 1.43
En ( b ) , efectuam os la división y obtenemos : y = - 1 +
2
<=>(x+l)(y+l) = 2
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37
Sección 1.8 : Funciones especióles
L u eg o , el D o m (/) = R an (/) = [R - 1}
La gráfica de e sta función es la hipérbola equ ilátera del ejercicio ( a ) , cuyo cen tro se ha
trasladado al punto (-1 , - ! ) , es d e c ir , sus asíntotas son las rectas x = -1 , y = -1 (V éase
la Figura 1.44)
■
EJEM P LO 13
J
H allar el domi ni o, rango y dibujar la gráfica de la función
*, - 6.r2 + 3* + 10
ñx)
Solución
Factorizando los términos de la función racional se tiene
fi
n )
VA
\ = -rlt + DCt - 5í(.r - 2)(.r - 4)
(x+l)(*-2)(*-5)
1
«=> f ( x ) = *C *-4) = ( x - 2)2 - 4 , x * - 1 , 2 , 5
La gráfica de / e s la parábola de vértice en V (2 , -4).
Entonces el D o m (/) = ÍR - {-1 , 2 , 5 } . Para determ inar el rango
hallamos los puntos ex clu id o s, esto e s , s i :
x = - l ■=> y = (-3 3 --4 = 5
A (-I , 5 ) « G r ( /)
x = 2 => y = (0)‘ - 4 = -4 ^
V (2 , - 4 ) e G r ( /)
x=5 ^
L
----- / i >
2 i ti ‘
2
•»
y = (3)2 - 4 = 5 => B(5 ,5 ) tí G r ( /)
Obsérvese que los puntos A y B tienen la misma ordenada, por lo
que habrá que quitar y = 5 del rango, esto es, R an (/) = ( -4 , +®°} - {5}.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 1.45
❖ Hasta aquí hemos tratado solamente funciones de tipo /(x ) = y , donde una misma formula
nos describe el comportamiento de la función en todo su dominio. Sin em bargo, podemos tener
funciones que tengan distinto com portam iento dependiendo de los valores del dom inio.
Es decir , el concepto de una función , cuya regla de correspondencia consta de dos o más
fórm ulas, nos permite enunciar la siguiente definición.
Definición 1.12 : FUNCIÓN SECCIONADA
Es aquella función cuya regla de correspondencia tiene la forma
/,(-0 . J t e A
/(O =
<! A CO .
B
ACO , x e C
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Capítulo I : Funciones
38
d o nde: A f l B f l C n
y adem ás:
.
= <? ** G r ( /) = G r ( /,) U G r ( /2) U G r ( /3) U .
D o m (/j = D o n i(f() U D o m (/,) U D o m (/3) U -. R a n (/) = R a n ( / , ) U R a n ( / 2) U R a n ( / 3) U . - . .
E JE M P L O 1 4 )
G raficary hallarel rangode la función
/(*) =
S o lu c ió n
- 1 , si x < - 2
l , si -2<,x<2
3 . si x ^ 2
En este caso el dom inio de la función se ha d ividido en tres subconjuntos :
A=
, 2) , B = [-2 ,2 ) y C = [2 , +«>) , tales que A f | B n C = <}>,y que los
valores de la función dependen de donde esté lo calizado*. P or ejem plo : / ( - 4 ) = -l . pue s
-4 e (-«>, -2 ) ; /(O ) = I , ya que 0 e [ - 2 , 2 ) ; / ( 5 ) = 3 , puesto que 5 e [2 , +<*>). L uego la
G r(/) en cada sección es una recta p aralela al eje X , dado que /,( * ) = - l , f 2(x) — l y
f y(x) = 3 son funciones constantes. P o r tanto , D o m (/) = IR , R a n (/) = { -l , l , 3} y la
G r ( /) = G r ( / () U G r ( / 2) U G r ( / 3) se m uestra en la F igura 1.46.
(e je m p lo 1F )
■
Hallar el rango y dibujar la gráfico de la función
í 5 - Vjc1 + 2x - 3 , si x <. -3
f ( x ) = *S
[ 6 + 2j c - j t
* si j c>- I
Solución
Vemos que el dominio de / se ha dividido en dos subconjuntos :
A = (-o® , -3] y B ={-1 , + ° ° ). tales que A D B = <J>
Entonces , sean : /,C jc) = 5 - V(jr+ 1)- - 4 , jt < -3 y /,(* ) = 7 - (x - 1)2 , x > - 1
El rango de / lo obtenem os analíticam ente partiendo de los dominios de / , y / 2
a) Para / , : si x < -3 «=» x + I < -2 t=> (jjc + 1Y > 4 «=> V O + 1)2 - 4 £ 0
M ultiplicando p o r-1 : - V(jr + I)2 - 4 < 0 «=> 5 - ^ ( x + I )2 - 4 < 5 o
/,( * ) £ 5
b) P a ra / 2 : sí jr > - 1 «=» x - 1 > -2 ■=> (jc- 1)2> 0 >=> - ( * - l)3 < 0
^ 7 - ( jt - 1) z < 7 => f 2(x) < 7
Por lo q u e , de (a) y (b) se tiene : R a n (/) = (-«», 5] U
, 7] = (-<», 7]
A h o ra, e n / , : V(x+ l )2 - 4 = 5 - y <=> ( x + l )2 - ( > ' - 5)2 = 4 , x £ - 3
L u eg o , la G r(/,) es parte de una hipérbola con centro en C (-1 ,5 ) restringida a la región x < -3
y con una de sus a sín to tas, la recta ( , : x - y + 6 = 0.
En f 2 : y = : - ( x - I)3 + 7 , l a G r ( /2) e s la de una parábola con vértice en V(1 ,7 ) restringida a la
región j c>- I . (Véase la Figura 1.47)
■
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39
Sección 1.8 : Funciones especiales
^ E JE M P L O 1 6 )
U n com erciante de ropa gasta 200 dólares p o rc ad a docena de cam isas
com pradas , si es que com pra no más de 8 docenas. Sin embargo , si la
capacidad de com pra sobrepasa las 8 docenas el precio de com pra estará reducida en $ 12.50
por el número de docenas excedentes. Definir la función de compras (gasto realizado) como
función del número de cam isas adquiridas. Cuál será el mayor gasto que se podría realizar y en
este coso cuántas camisas se adquirirían? Dibujar la gráfica de la función.
Solución
Sea x el número de docenas de camisas adquiridas y sea G(x) el gasto total realiza­
do al com prar las a d o c e n a s. Según el e n u n c ia d o , cada docena cu estaS 200 si
x e [0 , 8] , e n to n ces:
G(x) = 200x , si 0 < x < 8
(!)
Si x - 8 es el número de docenas excedentes, entonces es precio por cada docena de exceso será
g(x) = 200 - 12.5(x - 8) , y por las x docenas se gastará.
G(x) = [2 0 0 - !2 .5 (x -8 )]x e=> G(x) = (3 0 0 - I2.5x)x, si 8 < x < x .
Es evidente que se gastará en com prar docenas de cam isas hasta
que G(x) = 0 , esto es , si 3 0 0 - I2.5 = 0 , de donde , x = x ( = 24
docenas «=> G (x )= 3 0 0 x - I2.5x2 . si 8 < x < 24
(2)
Por tanto , la función de com pras com o función de camisas ad­
quiridas la obtenem os de ( l ) y (2 ):
200x
, s¡0á x á 8
G(x) =
GfUU .
i
I.6W1
31)0
0
300x - 12.5X1, si 8 < x < 24
En x e (8 , 2 4 ], la función G es cuadrática y de a q u í:
r
7\
/ V
4 i 12
24
F I G U R A 1.48
a = - 12.5 < 0 y b = 3 0 0 , luego , la función alcanzará su m ayor valor en el punto donde
x = -bí2a
x = 12 . Es decir , el mayor gasto ocurre cuando se compran I2 d o c e n a sd e
camisas y éste e s , G íl 2) = 300(12)- 12,5(12)- = $ 1,800.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 1.48
■
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Capítulo l : Funciones
40
Definición 1.13 : FUNCION ESCALON UNITARIO
Es aquella función denotada por u , que se lee escalón unitario d e paso a y que está
definida p o r:
f 0 . si x < a
u (* ) = u (* -a ) = <
{ l ,s¡A ->fl
con dom inio IR y rango el conjunto { 0 , l } , y cuya gráfica se m uestra en la Figura ! .49
v.\
i
'
a
0
F I G U R A 1.49
EJEM P LO 17 )
Sea la función que consiste en el conjunto d e pares ordenados (x , y ) ,
donde y está relacionado con x p o r :
f ( x ) = u(jt) + 2 u(jc - 1) - 3u(jc - 2)
siendo u la función escalón u n itario . Indicar su dom inio, rango y construir su gráfica.
Solución
Sea y = u(x) + 2u(* - I ) - 3 u(jc - 2)
E n to n ces, por la definición 1.13 , se tiene
Í 0 ,síjc< 0
u(*) = {
1 , six>0
;
í 0 , si x < 1
u (x - 1) = u,(jr) = <
l I ,six> I
u ( * - 2) = u,(x) =
'
I ,six>2
Siguiendo el m étodo d e los valores críticos, hallam os los intervalos de variación en x = 0,
x = I y x —2 .E n cada intervalo, la función u tomará valoresdeO y 1, a la izquierda y derecha,
respectivam ente, del valor crítico correspondiente.
0<x< 1
()
u (x - l) = 0
L u eg o , en ( 1) , s i :
II
O
i
u(*) = 1
c
II
o
•
w
'
c
V
1
u(x) = 0
w
x< 0
U(JC - 2) = 0
x<0
0 < jc < I
1< x < 2
x>2
1
1 <x < 2
2
2£2
u(*)=l
u(*)=l
u(x - 1 ) = 1
u(jt- I ) = 1
u(x - 2) = 0
u(x - 2 ) - 1
y = 0 + 2(0) - 3(0)
.=>y = 1 + 2(0) - 3(0)
■=>y = I + 2(1) - 3(0)
«=*y = I + 2(1) - 3(1)
= 0
= 1
= 3
=0
> = /(* )
D o m (/) = [R , R a n (/) = { 0 , 1 , 3 } , y cuya se m uestra en la Figura 1.50
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+«
41
Sección J.8 : Funciones especiales
Definición 1.14 : FUNCION SIGNO
Es aquella función denotada p o r Sgn(.r), que se lee signo de x , y que está definida p o r :
-l
Sgn(A) = < 0
1
. si x < 0
. si x = 0
. sí x > 0
El Dom(Sj:n) = IR . el R an(S¿n) = ( - 1 , 0 , 1 } , y sü gráficase muestra en la Figura 1.51
Y é
!T , ,
1-
,
>
A
0
-2
-1¡ ü
- 1
•
1
?
F I G U R A 1.51
EJEM P LO 18 )
1
1
!2
Y
i
J
F I G U R A 1.52
x?+x-6
Construir la gráfica de la función f ( x ) — Sgn ( — x + \— )
Hallar su dominio y ra n g o .
^Solución
Haciendo uso de la Definición 1.14, se tie n e :
: / jc2 + x - 6
- i . si ( * + \ 6 ) < ° «
/<*) =
0 , si ( ** + * ’ 6 U o
' x+ 1 /
1 , si ( * 2 + * - 6 \ > 0 ^
' x+ 1 >
Jre(-oo.-3)U<-l,2>
=
óx =2
j re <-3, -l>U<2, +«>
La gráfica de f ( x ) en cada intervalo son rectas paralelas al eje X , puesto que y = -1 e y = 1
son funciones constantes (Véase L a Figura 1.52) .P o r ta n to ,
D o m (/) = » - { - ! }
(EJEM P LO 19 )
y Rant f ) = { - l , 0 , 1}
Se define la función g en IR por g(x) =
-1
0
1
H allareld o m in io ,e lran g o y e sb o z a rla g rd fic a d e lafu n c ió n f ( x ) = g
\Solución
Según la D efinición 1.14 , g e s la función sig n o , entonces
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
■
, si x < 0
, si x = 0
,si x > 0
*j
Capitulo I : Funciones
42
-1 , si
x-3
) <0 «
x e < ^ , - l ) U < l , 3)
<=> X = - ]
m =4 ^ ) =
, si (■
Q X =
" 1 ) > 0 ** (x2 - 1 > 0)
a
1
(x > 3) >=>x>3
L u eg o , D om (/) = (-«> ,-1] U [I ,3 ) U (3,+°® )
Ran(/) = { - 1 , 0 , 1}
En la F ig u ra 1.53 se m u e stra la g rá fic a de la f un­
ción / .
■
F I G U R A 1.53
Definición 1.15 : FUNCION VALOR ABSOLUTO
E s aquella funciómcon dom inio el conjunto IR y que está definida por
f x ,six£Ü
/(x ) = tx l = <
I - x , si x < 0
Los elem entos del conjunto / son pares ordenados d e la form a
r
VA
{(x, Ix I) I x € IR ), y su gráfica es la unión de dos panes de rectas
cuyos puntos son simétricos respecto del eje Y. Esto es
y > 0 a [ ( y = x , si x > 0) v ( y = - x , si x < 0]
Por lo q u e : D o m (/) = ÍR y R an (/) = [ 0 , -h» )
■
F I G U R A 1.54
O BSER V A C IO N X-Xi)
Las funciones que tienen por regla de correspondencia una de las
form as : f ( x ) = ± Ix - h I + k , sus gráficas tienen por vértice el
punto ( h . k) y la forma como están ubicadas, éstas respecto de la recta y = k depende del signo
antes del valor absoluto. Si el signo es positivo , las gráficas están ubicadas en el sem iplano
superior de la recta y = k . Caso contrario sucede cuando el signo es negativo.
EJEM P LO 20 )
¿Solución
Construir la gráfica de la función f ( x ) = l x - 2 l - 3
S iy + 3 = | x - 2 | , entonces por la definición del valor absoluto
(y + 3 > 0 )
(>’- ■ 3)
a
a
[(y + 3 = x - 2 , x > 2 ) v ( y + 3 =
-x
+ 2 , x<2)]
[ ( y = x - 5 , x > 2 ) v ( y = -x- 1 ,x<2)}
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
43
Sección 1.8 : Funcionen especiales
La Gr( / ) , con vértice en el'punto V (2 , -3 ), es la unión de dos
partes de rectas cuyos puntos son simétricos respecto de la
recta x = 2 y esta ubicada en el semiplano superior de la recta
y = -3 (Figura l .55)
■
F I G U R A 1.55
OBSERV A CIÓ N 1.11
Cuando se tiene funciones cuyas reglas de correspondencia contie­
nen dos o más términos con barras de valor absoluto, se recurre al
método de los valores críticos para determinar los intervalos o dominios restringidos y eliminar
dichas bamas según sea el signo que adopten los términos en cada intervalo.
EJEM P LO 2 1 ]
Hallar el d o m in io . el rango y dibujar la gráfica de la función :
/( x ) = lx + 1 I + l x - 2 |
Solución Los valores críticos se obtienen igualando a cero cada valor absoluto, esto e s ,
x + 1 = 0 y * - 2 = 0 <=> x = - l y x = 2
Los intervalos de variación (dom inios restringidos) y los signos de cada valor absoluto , en
dichos intervalos, se muestran en el siguiente esquema
-1 <*<2
x< - 1
s
< ----------l* + ll = - ( * + 1 )
l x + ll = + ( * + 1 )
Ix + ll = + ( * + 1 )
1 x - 2 1 = - (x -2 )
l x - 2 | = - ( x - 2)
l x - 2 l = + (x - 2 )
Luego , s i :
x >2
?
>
+ oo
x<-I«=>y = - ( x + l ) - ( x - 2 ) = l - 2 x
-1 < x < 2 = > y = + (x + I ) - (x - 2 ) = 3
x > 2 => y = + ( x + l ) + ( x - 2 ) = 2x - l
Por lo que la regla de correspondencia de / es
/(* )=
1 - 2* , si * < -1
- 3
, s i -1 < * < 2
2 x- I , s i* > 2
D o m (/) = IR y R a n (/) = [3 , +°°)
E JEM P LO 22 )
-
l*+ 11 -3
Sea la función f : A - > ¡R, definida por /(*) = —
1+ Ix - 31
*
Si A = [ - 2 , 4 ) , hallar /(A ).
Solución, Obsérvese que valores crítico sx = -1 y x = 3 pertenecen al conjunto A , dominio de
/ , en consecuencia, la eliminación de las barras de valor absoluto lo obtendremos
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capitulo I : Funciones
44
expresando el conjunto A como una unión de subintervalos, esto e s ;
[-2 , 4) = [-2 , - I) U [ - 1 , 3 ) U [ 3 , 4 )
y a sí:
/( A ) = R a n (/) = R a n (/,) U R a n (/2) U R an (/2)
Entonces cada imagen de / está restringido a un intervalo en el que el signo d e cada valor
absoluto depende del valor d e x en cada intervalo.
-2< ,x< -\
-2
-1
-l<x<3
3
3<x<4
l x + ll = - ( x + I)
1 x + 1 1 = + (x + 1 )
| x + l| = + ( x + 1)
| x - 3 1 = - ( x - 3)
I x - 3 1 = - ( x - 3)
| x - 3 1 = + (x - 3)
4
Determinación d e las imágenes y los respectivos rangos,
a)
S i x e [-2 , 1) ■=> /,(x ) =
* +t
x-4
l-(x-3)
<=* /■(*) = ■ +
x € [-2 , - 1) *=> -2 < x < - 1 < = > - 6 < x - 4 < - 5 < = > - \ < —^—r
5
x-4
«
-
I
5
< _ 8 _ á
*
x-4
6
«
. 1
< I +
*
s
<
"
- 1
6
. i
x-4
5
x-4
l
3
(2 )
/,< jc)e <-3/5 , - l / 3]
b)
x e [-1 , 3)
s=^
«
c)
f 2(x)=
S i x e [-1 , 3 ) ^
Si x e [ 3 , 4 )
-1
<
jc < 3
I-(x-3)
^=>
4 <
5
4 -x
/ 3(x) =
-3
<
- jc
= 4 ^
4-x
< I
<=>
»
/ 2(x) = - 1 +
2
4 -x
1< 4-x^5
< 2 <=> - | < - 1 + - ? - < 1 -i- / 2(x ) e [-3 /5 , 1) (3)
5
4 -x
2
= I ■=> / , W e Í U
(4)
L u eg o , sustituyendo (2 ), (3) y (4) en (1) se sigue que
/( A ) = < -3/5,-1/3] U [-3 /5 ,1 ) U {1} = [-3 /5 ,1 ]
EJEMPLO 23 J H allar el dom inio y el rango e la función
/(x ) = V 1x |2 + 4x + 4 1 |x + 1 I + I | - 17
Solución
Dado que | x l 2 = x 2 y lx + I I + 1 > 0 , V x e (R, entonces
/(x ) = Vx2 + 4x + 4( |x + IÍ + Í ) - 1 7 = Vx2 + 4 x + 4 | x + 11 - 13
L uego, la función es real
<=> x2 + 4x + 4 l x + ll - 1 3 > 0
Resolveremos la ecuación (1) considerando los casos siguientes:
C aso 1
S ix + l < 0 = > | x + l | = - ( x + l ) .entonces en (1)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(I)
45
Sección 1.8 : Funciones especiales
(.x < -l )
«
A
[x*+ 4x-4(x + ] ) - 13>0]
a
(x<-Vl7 v
x
> V T 7 )
*=>
(x < - 1)
A
(jc2> 17)
jrí-V ñ
Caso 2 S ix + l> 0
lx + I I = +(x + 1), entonces en (1) :
(x > -l) a [x2 + 4x + 4 (x + 1)- 13>0] «=* (x > -l) a [(x+ 4)2> 25]
« (x > -I) a (x + 4 < -5 v x + 4>5) » x > I
Por consiguiente:
. Vx1- 17
/(x) = <
, si x < - VI?
Vjt + 8x - 9 , si x > 1
Luego , Dom(/) =
, -VT7 ] U í 1, +°°) y como Vx3- 17 > 0, V x < - Vl7 y
Vx2+ 8x-9 > 0 , V x > l , entonces, Ran(/) = [0,+«>)
(e je m p lo
Solución
2 4 ) Sea la función: /(x) = 9V3-2x-x* -U + 6 | + x -3
Ix - 1 I + 1 x - 3 1 + |x + 5 ! + x
H a lla r, el dominio , el rango y dibujarla gráfica d e / .
Como el denominador * 0 , V* e IR, el D om (f) lo obtendremos a partir de la raíz
c u a d ra d a .es decir:
/ es real< = > 3 - 2 x - x J > 0 «
(x - 1)2 < 4 c=> -3 < x < 1 <=$ D o m (/) = [ - 3 , 1 ]
Ahora analizaremos el signo de cada valor absoluto a partir del D om (/) ,sin recurrir al método
de los puntos críticos , esto es :
a)
Si -3 < x < I <=>
3 < x + 6 í 7 ¡=5 I x + 6 1 = + (x + 6)
b) -4 < x - 1 < 0
U - ll = - ( x - I)
c) -6 < x - 3 < -2 ^
d)
2<x+5<6
Ix - 3 1 = - (x - 3)
«=> l x + 5l = + ( x + 5 )
x x, x
9 V4 - (x + 1)2 - (x + 6) + x - 3
r—
-=■ ,
Entonces en / : /(x ) = — — — -—
= V 4- (x + l )2 - 1
- (x - I) - (x - 3) + (x + 5) + x
Sí y + I = V 4 - ( x + I)2 o
( y + I f = 4 - ( x + l )2
^ ( x + I)2 + ( y + I )2 = 4
Es la ecuación de una circunferencia con centro en C( - 1, - 1)
y radio r = 2 . Luego , la G r(/) es una sem icircunferencia de
radio 2 . en el sem iplano superior de la recta y = - 1. (Véase la
Figura 1.57). Por tanto :
R an (/) = [k , k + r] = [ - 1 , 1 ]
Verifiqúese analíticam ente, a partir del D o m (/), la obtención del R an(/)
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Capítulo /
46
;----------
f uU ++
[EJEM P LO 2 5 ]
3 1 +
Ijc- 2 1
, si \2 x
- 1 1 >
Funciones
I jc- 5 I
Sea/(jr) = <|
[ u+
- Ijc - ll , si \ 2 x - 1 1 <
5 I
| x -5 l
H allar el dom inio, el rango y dibujar la gráfica de / .
\Solució n \ Analizaremos el signo de cada valor absoluto resolviendo las inecuaciones respec­
tivas de los dominios restringidos.
a) Si |2 jc- 1 1 > \x - 5 K<=> (2x - 1)2> (jc - 5 )2 < = > j c < - 4 v j c > 2
Entonces : f t(x) = U + 3 1 + Ijc - 2 1 , si j c e (-<», -4) U ( 2 , +*»)
D eterminemos el signo de cada valor absoluto partiendo del D o m (/,)
jc+
3 < I
I jc + 3 1 = - ( j c + 3 )
* < -4 <=>
jc>
jc
- 2 < -6
2
3
>
5
jc
+
jc
- 2 > 0
«=> I jc +
3
1= + ( j c +
i=> |jc - 2 1= - ( jc - 2 )
- ( j c + 3 ) - ( jc - 2 ) =
-2 ;c -l ,
s íjt
■=> I jc - 2 I = + ( jc - 2 )
< -4
■=* /,(* ) =
[
b)
Si12 x - 1 1 ^ Ix - 5 I
( jc
+ 3) +
( jc
- 2) =
2 jc
+ 1,si jc > 2
x e [-4 , 2 ] , es el com plem ento de (a)
Luego :/,( * ) = U + 5 1 - U - 1 1 , si x e [ - 4 ,2 ]
Com o el punto critico
f
-4 <
jc<
jc
= 1 e [ - 4 , 2 ] , entonces s í :
l < j c + 5 < 6 i = * | j c + 5 | = + (jr + 5 )
1 <=>
1
- 3 < x -
I < 0
f
6 <jc
l
0 < j c -1 < 1
+ 5 <
7
^
[jc- I I =
czj | j c + 5 | =
- ( j c - I)
+ (jc + 5 )
1 <x<>2 <=>
«=> | j c - 1 1 =
( * + 5 ) + (ji:- 1 ) =
+ ( j c - 1)
2 jc + 4 , s i j r e
[-4 , l )
=* /,(* ) =
( j c + 5 ) - ( jc -
Por lo ta n to , si / ( jc )
m
= / , ( jc)
=
1)
=
6 ,
si j t €
[l
,2 ]
U / 2( jc) , entonces
-2x - 1 , si
2 * + 4 , si
6
, si
. 2 t + 1 , si
jc
< - 4
- 4 < x <
1<
jc>
jc
3)
<=>
1
¿ 2
2
L a Gr( f ) se m uestra en la Figura 1.58 , de d o n d e : D o m (/) = IR y R a n (/) = [-4 , +«>)
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Sección ¡.8 : Funciones especiales
OBSERV A CIÓ N 1.12
47
Con respecto a la gráfica de funciones definidas por
/<*) = lg(*)l
como por definición de valor absoluto, f ( x ) > 0 , Vjc e D o m ( /), y , además
í g ( x ) ,s ig ( ¿ ) > 0
/( * ) =
i
[ -g (x),sig(A ) < 0
se observa dos aspectos fundam entales:
a) Las restricciones: g (x )> 0 y g (x )< 0
b) Las imágenes : f ( x ) = g(jr) y f ( x ) = - g(x)
Esto significa que la G r(/) se obtiene a partir de la Gr(g) y ocurre que si g es positiva la
G r ( f ) = Gr(g) ,y cuando es negativa, la G r(/) se obtiene por reflexión de la Gr(g) sobre el eje
X . En consecuencia, la G r(/) siempre se mantendrá en el semiplano superior del eje X. Para el
caso de funciones definidas p o r :
/U ) = | g ( x ) ± h ] ± k
la G r(/) se mantendrá en el semiplano superior de la recta y — k
E JE M P L O 2 6 )
Construir la gráfica de las funciones
a) f ( x ) =
Solución
a)
Sea g(x) -
x+2
x-2
** > - 1 + ~ 2
b) /(*) = \ j t - 4 x \ - 1
w (Jf - 2) (>• - I) = 4
La Gr(g) es la de una hipérbola equilátera con centro en C ( 2 , l ) y asíntotas,
las rectas x = 2 , y - 1 .P o r tanto, la G r ( /) , que se muestra en la Figura 1.5 9 , comprende la
parte de la hipérbola arriba del eje X donde g(x) > 0 , esto e s , en x € (-<», -2] U ( 2 , +<»),
y la parte reflejada de la hipérbola donde g(x) < 0 , es decir , en x e (-2 , 2) . Luego .
Dom ( / ) = IR - {2} , R a n (/) = [ 0 ,+ ~ >
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Capítulo / : Funciones
48
b) Sea g(jc) = j r - 4 x = (x - 2 )2 - 4
La Gr(g) es la de una parábola con vértice en V (2 , - 4 ) . Entonces la G r ( / ) , m ostrada en la
Figura 1.60 con tra z o lle n o , com prende parte de laG r(g) donde g( x) >- I (semiplano supe­
rior de la recta y = - 1 ) , ju n to con la parte reflejada de la Gr(g) donde g(x) < -I (trazo
disco n tin u o ). Luego , D o m (/) = IR y R an (/) = [-!,+«»>
■
EJEM P LO 27 j
Sea f la función cuya gráfica se muestra en
laF igura 1.61. Hallar la gráfica de las fun­
ciones :
Y. k
\
a) g(*) = f ( \ x \ ) ..x e Dom ( / )
1
.T .J
b) hO ) = I f ( x ) I , J t e D o m (/)
1
4
'
-1
F I G U R A 1.61
Solución
a) P o r definición d e valor absoluto
' / ( x ) , si x > 0
gW = / ( U I ) =
/(-x ) , si jc < 0
L u eg o , si x > 0 J a Gr(g) = G r( / ) , esto e s , si x e [ 0 , 4 ] , y si x < 0 , la Gr(g) se obtiene por
reflexión de la G r(/)e n el eje Y . De laF ig u ra 1.61 :
-I
, s i0 < x < 1
/(*) =
x - 2 , si 1 < x £ 4
-1
,S ¡0 < -X < 1 <=>-l<X<0
«=> /(-*) =
-JC- 2 , si I < - x á 4 <=> -4 < x £ - l
-x - 2 , si -4 < x ¿ -1
■■■ g(*) = / ( U l ) = <! -I
,si-l < x < 1
X - 2 , si 1 £ x < 4
Su gráfica se m uestra en la Figura 1.62
b) Si h(x) = I f ( x ) I %entonces la Gr(h) se obtienen reflejando sobre el eje X toda la parte de la
G r(/) que está debajo de dicho e j e , tal com o se m uestra en la Figura 1.63.
■
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Sección 1.8 : Funciones especiales
49
Definición 1.16 : FUNCION MAXIMO ENTERO
Es aquella función denotada por [ j , con dominio el conjunto IR. rango el conjunto Z y
cuya regla de correspondencia está dada por
/ : « —> Z l f ( x ) = [ a ]
donde ( a ] es el m áxim o entero no m ayor que x , es d e c ir, si
[ x ] = n «=> [ x ] = max {n e ZI n á
jc}
De las propiedades de los números reales es conveniente recordar que si
[jc] = n < = > n < j c < n + l , n € Z
en to n ces el d o mi n i o de la f unci ón má x i mo e n te ro es la uni ón de in te rv a lo s d e la fo r­
m a [n , n + l ) , n e Z , esto es
D om (/) = CR = x € U [ n , n + l > , y c o m o / ( x ) = n
ne Z
R a n (/) = Z
Luego , para trazar la gráfica de f ( x ) = [ x ] , especificaremos / para algunos intervalos de
longitud unitaria a cada lado del origen.
Si -2
<
jc<
0 < x < 1 «=> [ x ] = 0
- I t=* n = [ * ] = - 2
- l < jc < 0 c* n = [ jc 1 = -1
m
-2 , s í x €
-1 , si x e
= í x ) = < 0 , síjce
1 , si jc e
2 , si x €
1 <jc< 2
[-2 , - 1)
[-1 , 0)
[0 , I)
[ 1 , 2)
[2,3)
2áx<3
[x] = I
i=*
[
jcJ
= 2
Obsérvese que la gráfica de / (Figura 1.64) se obtienen
dando valores a n , es d e c ir, para cada valor de n obtene­
mos un intervalo en el cual se tiene una función constante
cuyo rango esn.
N ota
Antes de resolver algunos ejemplos ilustrativos, es conveniente recordar las propieda­
des más usuales d d máximo entero.
M E. 1 :
Si [ r ] = n «
n ^ r< n + 1,n eZ
M E .2 : Si m e Z e=> [ jc + m j = [ x ] + m
M E .3 : V r e R , [ * ] +
[
je]
f 0 , sixe Z
= <
l -1 , si x e ( IR - Z)
M E .4 : [ [ * ] ) = U j
ME. 5 : S i [ j c ] < f l < = > j r < a , V a e Z
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Capítulo 1 : Funciones
50
M E .6 : S ¡ [ j r ] < a < = > J c < a + J , V a € Z
M E .7 : S i l J t ] > a « j c > c , V a e Z
M E .8 : Vj c e IR, j c- I < [ * ] < *
M E .9 : V x , ) ‘ 6 R . [ x ] + l y ] < [ * + >']
[EJE M P LO 28 )
Solución
a)
Construir la gráfica de la función f ( x ) = [ i n r ] , m e Z
( 1)
P o r l a p r o p i e d a d M E . l t [ m x ] = n <=s> n < m x < n + 1
Puede ocurrir dos c a so s :
Si m e Z + ^ ^
<*<
, lu e g o ,D o m (/) =
y /(* ) = n
Cada intervalo del D om (/) tiene una longitud 1/ m, es decir, se acorta m veces respecto de la
longitud unitaria (Véase la Figura 1.65)
b)
Si m e Z- «
-5 ± 1 < * S A
«
D o m (/) = 1 ^ < J ! ± I , £ ]
y ,W = „
Cada intervalo del D om (/) tiene una longitud 1/m y cambia de sentido (Figura 1.66). Nótese
que cuando n € Z+ cada intervalo del D om (/) es negativo y viceversa. L uego, dando valores
a n en am bos c a s o s , se sigue que :
ll
3
f(x) =
-2 , s i - 2/ m < x < - 1 /m
-1 , s i - l / m < x < 0
0 , s i 0 < x < I/m
1 , si l / m < x < 2/m
2 , sí 2/m < x < 3/m
-2 , si - 1/m < x < - 2/ m
-1 , si 0 < j r < - l / m
0 , si 1/m < x < 0
I , si 2/ m < x < l/m
2 , si 3/m < jc< 2 /m
4»\
t>)
171 < 0
2
i /m
2 /m
1 /m
■i/m
0
•1
.2 /m
'
“
!
*2
FIGURA 1.66
Situaciones similares se presenta para funciones definidas por f(x) = [ xfm ] donde el Dom(/)
está constituido por la unión de intervalos de la forma [m n , m (n + I)) o (m(n + 1) . m n] ,
es decir , cada intervalo se alarga m veces la longitud unitaria.
Nota
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
51
Sección 1.8 : Funciones especiales
EJEMPLO 29 J
Solución
Construir la gráfica de la función f { x ) = ( jt/2 ]
Si [jc/2 J = n <=> n <xf2 < n + l »
2n<x<2(n+l),neZ
E ntonces, Dom ( / ) = { jtlx e [ 2n , 2 (n + 1)) , n e Z} = IR
Obsérvese que en este caso los intervalos del D om (/) son de longitud doble (m = 2 ) , y como
f ( x ) = n , entonces el R an (/) = Z . L u eg o , eligiendo algunos
valores para n e Z , se tiene :
-2 , s i - 4 < * < ~ 2
-I
0
/<*) =
, s i - 2 < jc < 0
, s í 0 < jc< 2
1 , s i 2 < jc< 4
2 ,si4<x<6
Finalm ente, la G r(/) se ilustra en la Figura 1.67
OBSERVACIÓN 1.13
El m étodo g ráfico p a ra d ib u ja r gráficas de fu n c io n e s definidas
p o r ; f ( x ) = [gOr)]
Supongamos un intervalox e [ a , b) del D o m ( /) . Sabemos que para n e Z , si
ñ x ) = [ g(jr)J = n »
n < g (j) < n + 1 , V x e [a , b)
Si interpretam os g eom étricam ente este resultado verem os que la gráfica de / en [c . b) es
la proyección vertical d e la G r(g) en dicho intervalo q ue resulta d e resolver la inecuación
[ g ] < g tr) < [ g ] + I
E ntonces. dada una función g , cuya gráfica es conocida (en la Figura 1.6 8 , con línea discon­
tinua) , la gráfica de la función f ( x ) = [ g(x) ] estará constituida por segm entos horizontales
uno de cuyos extrem os estará sobre la gráfica de g. Se debe advertir que no necesariam ente la
porción de la gráfica de g debe proyectarse sobre todo el intervalo [n , n + I) p ara que cum pla
la igualdad [ g(x) ] = n . En la F igura l .69 se m uestra la gráfica de una función g (línea
discontinua) en la que se ob serv a q u e para x e [jc2 , x3] <=> [ g(x) ] = 2 , es decir , se
cum ple que 2 < g(x) < 3 , aunque no to d a la curva perteneciente al intervalo [jr2 , x3] se
proyecte sobre [ 2 , 3 ) .
F I G U R A 1.68
F I G U R A 1.69
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capitulo I : Funciones
52
E JEM P LO 30 )
Hallar el dom inio, el rango y construir la gráfica de la función
/(* ) = [ ^ ]
Solución
Los pasos a seguir son los siguientes
1. C onstru ir, con trazo d iscontinuo, la gráfica de g (x) =
2. Determ inar los intervalos [a ,b)
Como ■\ / xel R+ < = > * > 0 y [ Vx ] e Z+ , se tiene que
[ -Jx ] = n <=> ( j c > 0 ) A ( 0 < n < > / x < n + l , n 6 Z+)
<=> n2< r < ( n + l ) : , n e Z +
3. D e te rm in a re lD o m (/)y e lR a n (/)
D om (/) = {jce R + | x e [ n2, (n + l)2) , Vn e Z+} = [0 . +°°) , y com o f ( x ) = n , entonces
Ran( /) = Z+
U
{0} .
Y*
4. Determ inar la regla de correspondencia de / .
Dando valores a n = 0 , 1 , 2 , 3 , se tie n e :
/(* ) =
Grfe)sv _ .
>■
0 , si x e [ 0 , 1)
l
1 , si jr e [ 1 , 4 )
I
G r(/ )
/
/ :
2 . si x € [ 4 ,9 )
16
3 , si x e [ 9 ,1 6 )
J
F I G U R A 1.70
5. Construcción d e la gráfica de f . (Figura 1.70)
E JE M P LO 31 j
Solución
>X
Hallar el d o m in io , el rango y construir la gráfica de la función
l. Dibujam os con trazo discontinuo la gráfica de g(x) = ^ ^
, .llamadacurva
de A g n e si, que tiene por asíntota al eje X.
2. Determinación del dom inio y el rango de / .
Com o la curva se extiende a lo largo del eje X *=* D o m (/) = R
Además , f > 0 , V j r e IR c* f + | > I y 0 < —
r < I c=> 0 < —
l + X2
Luego : [
<4
1 + X2
] = ® , 1 . 2 , 3 , 4 , esto es , R an (/) - {0 , I , 2 , 3 ,4 }
3. Conocidos los elementos del rango podemos determinar los intervalos restringidos del domi­
nio , h acien d o :
T , ^ , 1 = n <=> n <
I- 1 + X 2 J
. ^ , <n+ 1
1 + X2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 1.8 : Funciones especiales
53
A h o ra , para n = 0 <=$ 0 < y y y r < 1 <=> 4 < I + Xa
t=s
para n = I
n= 2
x 2> 3 «
, pues I + x2 > 0 ,Vx e
x e
(-« >
, -V
«=> I < y ~ 5" < 2 »
x e [-V 3 .-I) U (1 . V3 ]
.=* 2 <
x e [-1 , - l WÍ J) U (I/V 3 , I]
n = 3 t=j. 3 <
<3 «
1 + X2
3
)U
(V 3
IR
, +~>
< 4 <=>xe [-!A Í3,0> u <0, I/V3]
n = 4 i=> x = 0
4.
Con toda esta información trazamos la gráfica de / , mostrada en la Figura 1.71.
Nota
OTROS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
[EJEMPLO 32 J
Solución
Hallar el d om in io , el rango y construir la gráfica de la función :
/(x ) = \ x \ - [ x ]
Sabemos que si [ x ] = n c=> n < x < n + l
(M E . 1)
P or el valor absoluto, consideremos los casos siguientes
a) S i x > 0 , l x | = x « = > f ( x ) = x - [ x 1 «=> /(x ) = x - n « r e [ n , n + l ) 1n e Z +
b) Si x < 0, 1 x I = -x ■=> /(x ) = - x - [ x ] t=> f ( x ) = - x - n <=> x e [ n , n + l ) , n e ZL u e g o , de (a) y (b) se sigue que el D o m (/) = ÍR.
Análogamente para determinar el rango de / consideremos dos casos
C aso !
Si x > 0 ■=? n < x < n + 1 <=> [ r ] = n , n e Z , y com o lx ) = x *=$ n < Ix I < n + l
y restando n a cada extrem o e tiene : 0 < Ijc I - n < I o
C aso2
y e [0 , l)
S i x < 0 e ^ - n - l < x < - n t = > [x] = - n - 1
M ultiplicandopor-1 : n < - x < n + l , y c o m o I x l = - x => n c l x ! < n + 1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capitulo 1 : Funciones
54
Si sumamos (n + 1) a cada extrem o obtenemos : 2 n + l < | x l + ( n + l ) < 2 n + 2
Entonces : 2 n + l < | x ! - [ x J < (2n + I ) + I , y haciendo 2n + 1 = k
e
Z im p a r, se tiene
k < / ( x ) < k + 1 c ) y e { k , k + l ] , k e Z impar
•\ Ran ( / ) = [0 , 1) U (k , k + I ] » k e Z impar.
n« 7
Dando valores a n en (a) y ib) se tie n e :
fO0 =
2 - jc, si -re
1 - jc , si jc e
X , si JC €
1
X - I . si X €
jc - 2 , si x €
[-2 ,-1 )
[-1 ,0 )
[0 , 1 )
[ 1 , 2)
[ 2 ,3 )
F I G U R A 1.72
Dibujando cada recta en el intervalo correspondiente
obtenemos la G r(/) m ostrada en la Figura 1.72. ■
E JE M P L O 3 3 )
H allar el d o m in io , el rango y construir la gráfica de la función
f(x) =
Solución
(-1 y
n -jc
, donde n =
[ jc ]
i. La función tiene sentido e s n - x * 0 , es decir
D o m (/) = 1R - { jc| [ jc] - jc= 0 ) , pero s¡ [ jc] = x
xe Z
Por lo ta n to , D o m (/) = R - Z
2. Para determ inar el rango d e / debem os considerar dos casos
C aso 1
Si n es un número p a r : n = 2k , k e Z «=> ( - ! ) " = 1
1
,jc e < 2 k , 2 k + I)
¿K “ X
Si 2k < j c < 2 k + I => - (2k + l ) < - j c < - 2 k , y sum ando2k se tiene :
y si [ x ] = 2k «
2k < x < 2k + I , luego , /,(x ) =
- J < 2 k - j c < 0 => - o °<
C aso 2
1
<- I
2k-j c
R a n (/t) = ( - ° ° ,- l )
S i n es un número im p a r:
n = 2k + I , k e Z t=> ( - l ) n = -l
y si
^
[ x ]= 2k + l => 2k + I < x < 2 k + 2
^
= 2 k + l-jc = x - 2 k - 1 ’
x e <2k + 1 . 2k + 2 ) , k e Z
A h o ra, si 2k + 1 < x < 2k + 2 , entonces restando 2k + I a
cada extremo obtenemos
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
F I G U R A 1.73
Sección i.8 : Funciones especiales
55
1
O < x - 2k - 1 < l t=j> 1<
jc
- 2 k -
1
<+t»
Ran(/_) = (1 , +°°)
Ran ( f) = Ran ( / ,) U R a n (/3) =
U <1 , -m»)
3. La G r ( / ) , mostrada en la Figura 1.73 se obtiene dando valores a k e n :
2k-x
/(*> = i
E JE M P L O 3 4 j
, s i x € ( 2 k , 2k + 1) , k e Z
1
, si x € (2 k + 1 , 2k + 2) , k e Z
x - 2k - I
x + xl
lx|-[x]
H allar el d o m in io , el rangoy graficar la función.
S e a / u n a función definida en K p o r /( x } =
Solución
1. Determinación del dom inio de la función.
L a función tiene sentido <=> Ixl - [ x ] * 0
P or el valor absoluto debemos considerar dos casos.
C aso 1.
Six< 0«=> [x]<-iy|x|> 0i=> |x|-[x]>0
Además : l x | = - x i = > | x l + x = 0 , lu ego, f ( x ) =
= 0
S i/( x ) = O . V x e (-«> ,0) «=> jce R" y R an (/) = {0}
C aso 2
(I)
S i x > 0 e=> | x | = x
Comox-[x]^0«=>[x]*x<=>(xeZ)A(x>0)
«=* x e Z+
(2)
Por lo q u e , de (1) y (2) , se sigue q u e : D o m (/) = R - Z+
2.
Para determ inar el rango de / en el caso 2 , consideremos
a) 0 < x < 1
y
b) x > l l x ¿ Z +
a) Si O < x < I i=> [ x ] = 0 y |x] = x i=* /(x ) =
^
= 2
R an (/) = {2} , V x e (0 ,1 )
(3)
b) S i x > l l x e Z + n ^ [ x ] = n « n < x < n + l , n > 0
■=> f W
/( x ) = 2 + -^ n— , x e [ n , n + l ) , n > O
~ *+*
Si n < x < n + l « = > n - n < x - n < n + l - n * = * 0 < x - n < l => —-— > 1
x-n
Pero com o x > l y [ x ] = n > l •=}> 2n > 2 > O , luego en ( 4 ) :
7TTT > ! ~
T^¡
>2n «
2+ y ^ >2n* 2 «
/W >2n + 2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(4 )
Capitulo I : Funciones
Sfi
f ( x ) > 4 , luego y e (4 , + “ ) , si x > 1 1 x g Z+
Pero n > I
(5)
Por ta n to , de (1 ), (3) y (5 ):
Ran( /) = { 0 ,2 } U <4 , +°°)
Teniendo en cuenta ( ! ) , (2a) y dando valores a n en
(2b) se sigue q u e :
m
=
0
2
2x
x - 1
2jc
jc
, si X 6 (-«> , 0)
, si jc e ( 0 , 1)
. si -ce (I ,2 ) , n = 1
, si x e (2 , 3 ) , n = 2
- 2
F I G U R A 1.74
3.
Con esta última información trazamos la G r(/) m ostrada en la Figura 1.74
(¡E JE M P L 0 ^ 3 í^ J
Construir la gráfica y hallar el rango de la función
[
f(x) = S
[
Solución
, si [ jc ] es par
[jc -2 ]
, V x e [-I ,4 ]
3 jc -
[ jc + l ] , si [ jc ] es impar
H aciendo uso d e la propiedad : [jt + m ] = [jc ] + m , m e Z
sean : / ( j c ) = [ j c ] - 2 , s i [ j c ] e s par
/ , ( j c ) = 3 j r - [ j c ] - l , s i [ j c ] e s impar
En / , , si [ jc ] = n = 2k <=> 2k < j c < 2 k + 1
En /2 , si [ jc ] = n = 2k + 1 «
■=*/(*) =
2k + 1 < jc < 2k + 2 t=>
í
<
2k
-2
, si jc e
[2 k , k
[
3 jc
-
, si jc e
[2 k
2 - 2 k
/,(* ) = 2k - 2
/ ,( jc )
=
3 jc
- 2 - 2k
+ I)
+ 1,
2k
+
2)
L u eg o , / , para k = - 1 , 0 , 1 , y en / , para
k = - 2 , -1 , 0 , I , obtenemos
/ ( jc )
-4 , si jce
-2 , si jc e
0 , si jc e
= <{ 3 jc + 2 , si jc e
3 jc
, si jc e
3 jc - 2 , si jc e
s 3 x - 4 , sijc e
[-2 , -1)
[0 , 1)
[2 , 3)
[-3 ,- 2 )
[ - 1 ,0 )
[1 ,2 )
[3,4)
> n par
►n impar
La Gr( / ) se m uestra en la Figura 1.75, de donde Ran ( / ) = [-7 , -4] U [-3 , 0] U [ 1 ,4 ) U [5 , 8)
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Sección ¡.8 : Funciones especiales
^EJEMPLO 3 6 J
57
H allar el dominio, rango y dibujar la gráfica de la función
[x-l] + (l-x]
,s i 0 < x < 2
( / .)
’SÍ*>2
( / 2)
2 - V jc- [ x ]
/(* ) = <
Sgn ( T7T)
Solución
En / , se tiene : [ x - l ] + [ l - x ] = [ x ] - l + l + [ - x ]
(M E .2 )
í 0,sixe Z
■=> /,(* ) = [ x ) + [ - x ] = <
{ - 1 , si jc e DR-Z
(M E .3)
[ x ] < x , que es válida V x e (R
(M E .8)
P o re l ra d ic a l: x - [ x ] > 0 o
Para hallar la imagen simplificada de / , escribimos la restricción
0 < x < 2 = {0} U < 0 , 1 ) U {1} U <1, 2)
0
2 -V c T Ó
= 0 , si x - 0
- 1
l
2 - ^ 0
/.(* ) = <
^¡x-2
= 0,six = 1
I
, si I < x < 2
’í T T - 2
l
, si I < x < 2
% G T T -2
1, si
=
,s¡0<x< 1
VF-2
0
2 -V T i
-1
2 -yfin
En/>;S g n ( f i j )
, s i X € { 0 , 1}
, si 0 < x < 1
lxJ
0 , si ~ 4
[x ]
- 1 , si
[x ]
> 0 <=> ( x < 0 )
V
( x > I)
- 0 <=> x = 1
< 0 <=> 0 < x < 1
Debido a la restricción x > 2 , sólo interesa : / 2(x) = 1 , si x > l
E ntonces, la regla de correspondencia de / e s :
0
, s i x e { 0 , 1}
I
<x - 2
/( * ) =
I
, si 0 < x < 1
, si < x < 2
\Zx~^í-2
I
, six>2
__
La gráfica correspondiente se muestra en la Figura 1.7 6 , de d o n d e:
R a n ( /) = < -1 ,-1 /2 ) U { 0 , 1 }
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FIGURA 1 -76
58
Capitulo ¡ : Funciones
Definición 1.17 : FUNCIÓN PAR
Es aquella función que secaracterizapor tener unagráfica simétricarespectodel eje V , es
decir, si en ella se cumple lo siguiente:
i) S i j t e D o m (/) «=* ~x e D om (/)
ii) /(-* ) = / ( jt) . V x e Ü o m ( /)
EJEMPLO 37 J Determinar si las funciones dadas sonpares
a) /(x) = 3x4-Zr1
b) g(*) = I*-1+ 2*1 , jce <-3 , 3)
Solución a) Como el Dom(/) = [R, entonces
i) Si x e Dom(/) = IR i=> - x e Dom(/) = IR
ii) f(-x) = 3(-xy-2(-x)2= 3.x4- Zr2 «=> /(-*) = /(*)
Por lo tanto, / es una función par
b) i) Sixe (-3 ,3) ^ -3 < jc< 3 o 3>xr>-3 *=> ~xe {-3 , 3)
i>) e U ) = Í(-jc)í + 2(-x)| = |-*2-2*| = | -(a?+ 2r| = \x* + 2x\
«=> E(--k) = g(x), Vxe Dom(g)
Por lo tanto, g es una función par.
■
EJEMPLO 38 J Si / es una función real de variable real definida p o r :
f ( x ) = Vjc+ t-JC] + x [ x ] , dem ostrar que / es par
D em ostración
En e fe c to , si / es una función de variable r e a l, ésta tiene sentido s i , y sólo
s i : x + [ -x ] > 0
Ahorasi,jr+[-x]>0«=>
í a) x + [ - x ] = 0 = > x e Z
<
[ b) x + [ - x ] > 0 o x e (Ji
Probaremos ( a ) :
1. Sea x = n , n e Z , es d e c ir, x es un entero cualquiera
2. M ultiplicando p o r -1 : - x = - n = > [ - * ] = - n
3. Sumando ( l ) + (2 ): x + [ - x ] = n - n = 0 .cu m p le con la relación (a)
L u e g o , si [ -x ] = - x <=> - x e Z ■=> - (-*) = x e Z
Probaremos (b)
4. Considerem os ahora : n < x < n + 1
5. M ultiplicando p o r -1
( n + I ) < - x < - n «=> ( -x ] = - (n + 1)
6. Sumando [ -x ] a (4) tenem os : n + [ - x ] < x r + { - x ] < n + l + [ - x ]
Entonces : n - ( n + ! ) < * + [ - x ] < n + l - ( n + l ) ■=> -1 < x + [ - * ] < 0
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Sección 1.8 : Funciones especiales
59
Obsérvese q u ex + [-x ] es siem pre n egativo, es d e c ir, no se cumple la relación ( b ) , por lo
q u e x c <J>. L u e g o :
i) V x e D o m (/) = Z >=> - x € D om (/) = Z
Si x e Z <=> [ x ] = x y s i - x e Z e ^ [ -x ] = -x
y si /( x ) = Vx + [ -x ] + x [ x ] >=* f ( x ) = V x - x + x(x) = x2 , x e Z
Ü) /<-*) = (-x)2 = x2
/(-x ) = /(x )
En consecuencia, / es una función par.
■
[EJEMPLO 3 9 J Dem ostrar que la fu n c ió n /(x )= [Ixl + 3 / 2 ] , x e [ - 2 ,2 ] ,e s p a r ; hallar
su rango y dibujar su gráfica.
Demosa-ación
Luego:
En efecto , si x e [ - 2 ,2 ] <=> -2 < x < 2 «=> 2 > - x > - 2
«=> - 2 < - x < 2 r=> - x e [-2 , 2 ]
i) S i x e D o m (/) = [ - 2 ,2 ] r=> - x e D om (/) = [ -2 ,2 ]
ii) /(-x ) = [ l - x l + 3 / 2 ] = [ I xl + 3 / 2 ] = /(x )
Por lo ta n to , / es una función p a r .
Para dibujar la G t(J) escribim os, D o m (/) = [ - 2 ,0 ) U [ 0 , 2 ] , entonces si
/ ,(x) = [ Ix | + 3/2 ] , x e [ 0 , 2 ] y /,(x ) = [ 1 x 1 + 3 /2 ], x e [-2 , 0 ) , se tiene :
a)
E n x e [0 , 2 ] , | x | = x
/,(x ) = [ x + 3/2 ] = n , n e Z
S i x e [ 0 , 2 ] *=> 0 < x < 2
3/2 < x + 3 / 2 < 7 / 2
A h o ra, dando valores a n hasta cubrir el intervalo [3 /2 ,7 /2 ], se sigue que
I , s i 3/2 < x + 3/2 < 2
2,si2<x+3/2<3
3 , si 3 < x + 3/2 < 7/2
[ x + 3/2 ] =
■=> /,(* ) =
1 , si 0 < x < 1/2
2 , si l / 2 < x < 3 / 2
3 , si 3/2 < x < 2
b) Com o / es una función p a r , su gráfica es si­
m étrica re sp e c to del e je Y , e n to n c e s la
G r( / , ) e n x e [-2 , 0 ) la o b te n e m o s p o r re­
fle x ió n , so b re el e je Y , de la G r ( /,) en x
e [ 0 , 2 ] ,tal co m o se m u e stra en la F ig u ra
1.77 , d e d o n d e :
R a n tf) = { 1 , 2 , 3 }
EJEMPLO 40
V
Solución
J
■
Sea la función /(x ) = V2 Ixl + 3 -x 2 Sgnfx2 - 1). H allar el dominio , el
rango y construir su gráfica.
a) Determinación del dominio de la función
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60
Capítulo I : Funciones
/ es real t í 2 Ix I + 3 - x2 > O
.C aso L
O)
Si x > 0 , 1*1 = x , entonces en ( I ) : 2x + 3 - x2 > 0 t í x2 - 2x - 3 < 0
^
( j c > 0 ) a [ ( j c - I ) 3< 4 ] t í ( x > 0 )
a
(-2 < x - 1 < 2 )
t í (x > 0 ) a (-I < x < 3 ) t í x e [ 0 ,3 ]
*Gaso 2
Si x < 0 , 1x I = - x , entonces en (1) : -2x + 3 - x2 > 0 t í x2 + 2x - 3 < 0
t í (x < 0) a [(x + l)2< 4 ] t í (x < 0)
«
a
(-2 < x + 1 < 2 )
( x < 0 ) a ( - 3 < x < 1 ) t í x e [ - 3 ,0 )
Dom( f ) = [ - 3 ,0 ) U [ 0 , 3 ] = [ - 3 ,3 ]
b)
Construcción de la gráfica d e /
Obsérvese que / es una función p a r , pues
i) S i x e D o m (/) = [ 0 , 3 ] t í - x e D o m (/) = [-3 ,0 )
ii) /(-x ) = / ( x ) , V x e D o m (/) = [-3 ,3 ]
-1 , s i x 3 < 1 t í -J < x < I
y dado q u e : Sgn (x3 - I) = < 0 , si x2 = 1 t í x = ± 1
1 , si x2 > 1 « x < - 1 v x > 1
Entonces construim os la gráfica d e /c o rre sp o n d ie n te al intervalo [0 , 3 ] , para luego dibujar,
por reflexión sobre el eje Y , la G r(/) correspondiente al intervalo [ -3 ,0 ). L u eg o , para intervalo
[ 0 , 3 ] se tie n e :
V2X + 3 - X 2 (-1) = - V 4 ^ ( x - J )2 , s i x e (-1 , I) fl [0 , 3] t í x e [ 0 , 1>
/(x )= i
V 2 X + 3 - X 2 (0) = 0
. s i x e {-I , 1} D [ 0 , 3 ] t í x = 1
V2x + 3 - X a (I ) = V 4 - ( x - I)2 , s i ( x < - l v í > 1)U [ 0 . 3 ] t í x e <1 , 3 ]
En x e [0 , 1 ) , y = - V 4 - ( x - l)2 , ( y < 0 ) t í y 2 = 4 - ( x - l)2 «
(x - 1)2+ y2 = 4
E n x e <1 , 3 ] , y = V4—( x - l )2 , ( y > 0 ) t í y2 = 4 - ( x - I)2 t í ( x- 1)2 + y 2 = 4
Luego , en x e [ 0 , 3 ] la G r ( /) co n siste en seg­
m entos d e circu n feren cia (x - l) 2 + y2 = 4 , con
centro en C(1 , 0) y radio r = 2 , cuyo d ib u jo se
m uestra en la F igura 1.78 , así com o la im agen de
estos segm entos respecto del eje Y.
c)
De la gráfica de / obtenem os :
R a n ( /) « < -2 , -V3 ] n [ 0, 2>
■
L
> _
F I G U R A 1.78
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til
Sección 1.8 : Funciones especiales
Definición 1.18: FUNCION IMPAR
Es aquella función cuya gráfica se caracteriza por ser simétrica respecto del origen de coor­
denadas , es d e c ir:
i) S i x e D o m (/)
- x e D om (/)
¡i) f(-x ) = - / ( * ) , ^ j r e Dom(/}
EJEMPLO 41 )
Determ inar si las funciones dadas son impares
a)
Solución
b) g(x) = >/x(2 + U I ) , r e [ - 2, 2]
/(x ) = 2 x * -3 x
a) Com o el D o m (/) = IR , entonces
i) S i x e D o m (/) = IR e=t - x e Dom( /) = IR
ii) /(-x ) = 2(-x)J - 3(-x) = -2x3 + 3x = - (2x3- 3x) >=> /(-x ) « - /(x )
Por lo ta n to , / es una función impar
b)
i) S i x e [ - 2 . 2 ] <=> - 2 < x < 2 o
ii)
2>-x>-2
g(-x) = ^ T í i T T T í ) = - ">/x(2 + | x l )
- x e [-2,2]
*=* g(-x) = - g(x)
/ . g es una función impar
EJEMPLO 4 2 j
Solución
Sea g(x) = Vx2+ 4 - [x2 + 1/2 ] +X3+ x . Si f ( x ) = g(x) - g(-x ). determinar
si / e s una función par o impar.
C om oel Dom(g) - IR , entonces -x e Dom(g) = IR
L u e g o , g(-x) = V(-x)2+ 4 - [ (-jt)2 + 1/2 ] + (-x)3 + (-x)
= ~Jx*~+4 - [ x 2 + 1 /2 ] - x3 - x
Por lo que la regla de correspondencia de / es : /(x ) = g(x) - g(-x) = 2X3 + 2x
A h o ra , si /(-x ) = 2(-x)3 + 2(-x) - - (2x3+ x) ■=* /(-x ) = - /(x )
/ e s una función impar.
■
EJEMPLO 43 )
S e a /u n a funcióncon dominio [ - a , a ] , de donde a > 0 . D em ostrar q u e /
se puede expresar com o /(x ) = /,(x ) + / 2(x ), donde / es una función par
y f 2 es una función impar.
Demostración
E n efecto , haciendo /( x ) = ~ /( x ) + y /(x ) + y /(-x ) - ~ /(-x )
•=> /( * ) =
\
[/( * )
+
/(-X )]
+ y [/(x) - / ( - X
)]
S ean: /,(x ) = y [/(x ) + /(-x )] y /,( x ) = y [/(x ) - /(-x)]
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(l )
Capítulo / ; Funciones
62
i) Si * 6 [ -a, a] <=> - a < x < a <=> a > - x > - a e=» - x e [-c , a)
[/(* ) + /(- * ) ] t=> f t(-x) = ~ [/(-*) + /( * ) ] = /,(.*)
ii) S i/,(.*) =
Luego, /,(x ) es una función par.
Si /,( * )
=
\
Entonces , /
[/( J t) - / ( - jc ) ]
2( - j c )
e=> / , ( - j c )
=
\
[/( - jc ) - / ( * ) ]
=
- \
E /U ) - /( ■ * ) ]
= - /,(jc ), luego, f 2(x) es una función impar
Por lo tanto, en (1):
EJEMPLO 44 )
Demostración
=
/( jc )
/,( jc )
+
/ ,( jc )
Demostrar que el producto de dos funciones , una par y la otra impar, es
una función impar.
En efecto, sea la función f(x) = g(jc) • h(.c) t=> x e Dom(g) fl Dom(h)
f
Si g es par t=> <
( l)
i) V;ceDom(g) «=> -^ eD o m (g )
[ i¡) g(-Jc) = g (*),V jc e D o m (g )............................ (2)
f
<
[
Si h es impar t=>
i) V jc€ Dom(h) i=£ -jceD om (h)
ii) h(-:c) = - h(jc), Vjce Dom (h)....................... (3)
Multiplicando (2) por (3) , se tiene :
g(-jc)*h(-.c) = -g(x)-h(jc) , \ fxe Dom(g) n Dom(h)
Pero , en {1): f(-x) = g(-j¡) • h(-jc) ■=> f(-x) = -g (x )-h (*) = - / ( * )
/e s una función impar.
EJEMPLO 45 ]
Solución
Sea la función/(jc) = V4 - jr Sgn
función impar.
■
) . Comprobar que / es una
La función / es real cs> (4 - jc2 > 0) a (jc * 0)
<=> (-2 < jc < 2 ) a ( c * 0)
D om (/) = {x e IR I jc e [-2 , 2] - {0 }}
Para definir la función Sgn ( x ~ * j , ubicamos los puntos críticos jc = ± 1 y jc = 0 en el
intervalo [ - 2 , 2 ] , esto es:
-2
(-)
-I
(+)
-1 , si
Entonces : Sgn ( *2"
x n
^) =
*
0 ,si
0
(-)
1
(+)
2
> 0 « jce [-1, 1> U <0, 1>
= 0 « x=± I
1 .s i
> 0 « <-l ,0> U <1. 2]
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(1)
Sección 1.8 : Funciones especiales
Si y = -V4-JC2 , y < 0 «=* x 2+ y i = 4 , j e [ - 2 , - l > U ( 0 . 1)
y = V 4 ^ , > > 0 <=> ¿ + y 2 = 4 , j e (-1 , 0 ) U (1 , 2]
Es decir , la G r(/) mostrada en la Figura l .79 , consiste en cuatro arcos de circunferencia de
centro en el origen y radio r = 2 . Por tan to , hemos comprobado geom étricam ente que / es una
función im p ar. Ahora lo probaremos analíticam ente.
/(-* ) = i
- y¡4 - t-x)2 = - V 4 - j 2 , s i - j e [ - 2 ,- 1 ) U <0, l)
0
, si x = ± 1
\Í4 - ( - x f = V 4 - j 2
(2 )
, s i - j e <-1 , 0 ) U <1 , 2 ]
Si - j e [ - 2 ,- 1 ) U ( 0 , 1 ) <^> (-2 < - j < - I ) v ( 0 < - j < l)
« (1 < x < 2 ) v (- I < * < 0 ) >=> j e (1 , 2 ] U (-1 , 0)
-j =± I
j = ± I
- j e (-1 , 0 ) U <1 , 2 ] « (-1 < -j < 0) v (1 < - j < 2 )
<=> ( 0 < jc< 1) v ( - 2 < j <- 1 ) ■=? jce ( 0, 1) U [ - 2, - 1)
Entonces en (2)
/(-* ) =
- V 4 - x 2 , si j e (-1 ,0 ) U (I , 2]
0
. s¡J = ± 1
. V 4 ^ j? . si j e [ - 2 ,- 1 ) U <0, 1)
Si comparamos esta última relación con (1) se deduce q u e :
/(-* )= -/(* )
L uego, hem os probado que si
¡) j e D o m (/) •=> -j e D om (/)
» ) /(-•*) = -/(•*) , V j e D oih(/)
■
F I G U R A 1.79
Definición 1.19 : FUNCIÓN PERIÓDICA
Una función en IR , se dice que es periódica si existe un número T * 0 , tal que
i) Si j e D o m (/) «=> ( j + T) 6 D om (/)
ii) / ( j + T ) = / W . V j e D om (/)
Al menor núm ero positivo T se le llama período mínimo o simplemente período d e la fun­
ción / .
¡^EJEMPLO 46 J Probar que la función /(j ) = x - [ x ] es periódica , hallar su período y
construir su gráfica.
Solución | a) Com o el D o m (/) = (R, entonces
i) Si x e IR t=> ( j + T) e IR
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Capítulo i : Funciones
64
ii) f ( x + T ) = x + T - [ * + T ]
Supongam os que existe un núm ero T > 0 , tal q ue f ( x + T ) = f ( x ) , esto es
* + T - [ x + T ] = x ~ [ x ] .=> T = [jc + T ] - [jc]
Como la diferencia de dos números enteras es un e n te ro , se sigue que T e Z , ad em á s, por
la propiedad M E .2 : [ x + T ] = [ x ] + T , luego en (¡i)
/ U + T) = x + T - ( [ x ] + T ) = x - [ x ] = f(x)
En consecuencia, / es una función periódica.
b) Si T e Z , c o n T > 0 « = > T = { I , 2 , 3 , 4 . . . . } , de donde elegimos T = 1 como el mínimo
período de / .
c) Gráfica de la función f ( x ) = x - [ x ]
Para intervalos de longitud unitaria se tie n e :
F I G U R A 1.80
De la Figura 1.80 podem os rescatar lo siguiente
1. El período T de una función / es la longitud de un intervalo.
2. Geom étricamente la gráfica de una función periódica tiene la propiedad de ser repetitiva. es
d e c ir, se repite en idéntica form a cada T unidades.
3. y = f ( a ) - f ( b ) = f(c') = f ( d ) =
,sia= x,b =x + 1, c = x + 2, d - x + 3 , . . . .
Entonces : y = f ( x ) = f ( x + l ) = f ( x + 2) = / ( x + 3) = . . . . = / ( n ) , n e Z
y com o [a , 6] = [b , c] = [c , d ] =
. = T , en g e n e ra l, p ara una función periódica
siem pre se cum ple que
f ( x ) = f ( x + T ) = f ( x + 2T) = f ( x + 3T) = . . . = f ( x + n T ) , n e Z
donde los números 2 T , 3 T , 4 T ................ n T , son también períodos de f .
EJEM PLO 47 )
Solución
Sea la función periódica f ( x ) = 2 x - [ 2 x + 3 ] + 3 . H allar el d o m in io , el
período y el rango de f .
a) f ( x ) = 2x + 3 - ( [ 2 x ] + 3) >=> f ( x ) = 2 x - [ 2 x ]
Por l o q ue el D o m (/) = IR
b)
m
Para determ inar el período de / usarem os dos métodos
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(I)
Sección 1.8 : Funciones especiales
Método 1
Si / es periódica entonces 3 T
> 0 1/ ( x + T ) =
/ ( x ) , V x 6 IR
Luego, en (1): 2(x + T) - [ 2(x + T ) ] = 2 x - [ 2 x ] ■=? 2 T = [ 2x + 2 T ] - [ 2 x ]
Como la diferencia d e dos números enteros es otro en tero , se sigue que
2 T e Z y T > 0 i=> 2T = {1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n } , n e Z+
<=> T = { l / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 ..............n / 2 } , n e Z +
/. T = 1/2 es el período mínimo de la función /
M é to d o 2
S i/ e s p e r i ó d ic a :
i) V x e D o m (/)= IR <=> (x + T ) e D om (/) = IR
ii)
o
3 T > 0 1 f ( x + T) =
En particular, si x = 0 e D o m (/) => /(O + T ) = /(O ) <=$ /( T ) = /(O)
En (1) : 2T - [ 2T ] = 2(0) - [ 0 ] < = > [ 2 T ] = 2 T c ^ 2 T e Z y com o T > 0 , entonces:
2 T = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n} , n e Z+ => T = {1/2 ,1 ,3 /2 ,2 , . . . , n/2} , n e Z+
/ . T = 1/2 es el período mínimo de la función /
c)
Rango de la función :
Si [ 2x ] = n <=> n < 2x < n + 1 i=> [ 2 x ] < 2 x < [ 2 x J + l
Restando [ 2x ] : •=> 0 < 2 x - [ 2 x ] < 1 c=* 0 < / ( x ) < I r=> R a n (/)= [ 0 , 1)
(EJEMPLO 48 )
Solución
C aso 1
Sea la función p e rió d ic a /(x ) = 2 + (-1)" , donde n = [ x ] . H a l l a r e !
dom inio, el ran g o , el período y construir la Gr(/).
Si [ x ] = n <=> n < x < n + 1
Si n es un núm ero p a r , n = 2 k , k e Z «=> (-1)2* = 1
E n to n c e s ,/(x ) = 2 + 1 = 3 , V x e [ 2 k , 2 k + l > , k e Z
C aso 2
■
Si n es un número im p a r, n = 2 k + I «=* (-l)2k +, = - l
L u e g o , / ( x ) - 2 - 1 = I , V x e [2 k + 1 ,2 k + 2 > , k e Z
Por lo tanto : a) D o m (/) = (R
b) R a n (/) = { 1 , 3 }
c) Si / es una función periódica, entonces
3 T > 0 1 / ( x + T ) = / ( x ) , Vx e D om (/) = IR
*=> 2 + ( - l) lJ+T] = 2 + ( - l ) l l l 1V r e IR
En p articu lar, p a ra x = 0 : (-I),T] = 1
La igualdad se cumple V T e Z+ p a r , esto es
T = { 2 , 4 , 6 , . . . . , 2k} , k e Z+
L u eg o , T = 2 es el período d e / .
d) L a G r(/)s e m u e s tra e n la F ig u ra 1.81.
F I G U R A 1.B1
■
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/ ( jc)
,Vx
Capítulo 1 : Funciones
66
|
J
U
¡,,IP
'.^ 1y,wji. l nrj' >
.
E JE M P L Ó 4 9 j
H allar el d o m in io , el rango y dibujar la gráfica d e la función
m
[ | jc - [ x ] 1
, si [ x ] es par
= «
[ | x - [ x + l ] | , s i [ x ] e s impar
( /,)
C/2)
Es / una periódica ? En caso afirm ativo, hallar su período.
\Solució n }
1. S i [ x ] = n < = > n < x < n + 1
e* [ x ] < x < [ x ] + 1 , V x e [R
y restando [ x ] a cada miembro de esta desigualdad se tie n e :
0 < x - [ jc I < 1 , por lo que , l x - [ x ] l = x - [ x ]
E nton ces, /,( x ) = x - [ x ] , s i [ x ] es p a r . A hora si
I x ] = n = 2k
2 k < x <2k + 1 , k e Z
c=>
2.
/ (( jc)
= x - 2 k , si x e [ 2 k , 2k + 1 ), k e Z
Del paso (1 ): x - [ x ] < 1 t=$ x - [ x ] - 1 < 0 ; luego » /2(x) = - ( x - [ x ] - I)
f 2(x) = l - x + [ x ] , s i [ x ] e s impar
S i [ x ] = n = 2k+I <=>2k+l<x<2k + 2
•=* / 2C*) = 2 k + 2 - x , s i x e [2k + I , 2k + 2) , k e Z
f x-2k
, sixe [2k,k+ I ) ,k e Z
Por lo q u e : f ( x ) = s
[ 2 k + 2 - x , s i x e [2k+ 1 , 2k + 2 ) , k e Z
L u eg o , para algunos valores d e k obtenemos
[-4 , -3) , k = -2
[-2 , - 1) , k = -1
[0,1) ,k = 0
[2 , 3) , k = 1
[4,5) ,k = 2
II
+ 4 , si x e
+ 2 , si x e
,sixe
- 2 , si x e
- 4 ,sixe
3
x
x
/,(* ) = < x
x
x
-2 - x
-x
2-x
4-x
6-x
, si x
. si x
, si x
, si x
, si x
e
e
e
e
e
[-3 , -2)
[-1 , 0)
[ 1 , 2)
[3,4)
[5 , 6 )
, k = -2
, k = -1
, k= 0
,k= I
, k= 2
3. La construcción de la gráfica de / la obtenem os uniendo las gráficas de / , y / 2, tal com o se
m uestra en la Figura 1.82
4. D e la G r(/) obtenemos :D o m (/) = IR y R an(/) = [ 0 , 1 ] . A dem ás, la función / es periódica,
con un período m ínimo T = 2
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67
EJERCICIOS . Cru/Mi 3 : F unciones especiales
Nota
Otros ejemplos clásicos de funciones periódicas lo constituyen las funciones trigonométricas.
Así tenemos q u e :
Sen (x + 271) = Sen x , V x e IR
C o s(x + 2ti) = C o sjc, V * e IR
En general para las funciones Seno y Coseno se cumple que
/(* ) = / ( x + 271) = f ( x + 4 k ) = . . . . = f ( x + 2 k n ), V k e Z
donde T = 27ü es el período mínimo de ambas funciones.
^E JE M P L O ^S O j
Solución
Hallar el período de la función f ( x) = Cos(bx + a ) , ¿ > 0
S i f e s p erió d ica, entonces : 3 T > 0 1f ( x + T ) = f ( x ) , V x e Dom ( / ) = IR
i=» Cos [&(* + T ) + a] = Cos(fcjr + fl) «
Cos[(¿x + a ) + 6T] = Cos(bx + a)
Como la igualdad es válida V * e IR , en particular para x = 0 , tendremos
Cos(a + 6T) = Cos a <=> Cos a Cos bT - Sen a Sen bT = Cos a
La igualdad se cum ple <=> (CosfcT = I) a (SenfcT = 0)
<=> {bT = 0 v bT = 2n) <=> T = 0 v T = 2n/b
Como T * 0 , en to n ces, T = 2n/b es el período mínimo de la función /
■
E J E R C IC IO S . Grupo 3
1. S e a / una función lineal para la cual se cum ple que : 3 /(3 ) - / ( - ! ) = 10 y 2 /(4 ) + 5 /(2 ) = I.
SÍ A = < -3 ,7 ] , h a lla r/(A ).
2. Sea / : IR —> IR 1f ( x ) = truc + b , con m y b constantes ; si /( 1 ) = 2 y /( 3 ) = 1 r calcular /(5 )
3. S ea / una función lineal d e p en d ien te m e intercepto con el eje Y igual a b , tal que
/ ( m 2 - 2b) = f( b + 12 - 2 m 2) y /( 2 m + ¿ - 2 ) = / ( m + ¿ - 1). hallar la función g si se tiene
que: g(x + 4 ) - x = / ( - ^ J
+ /
4. Hallar una función lineal tal que / [ / ( 2 x - 1)] = 3 + 18*
5. El propietario de una tienda de abarrotes encuentra que puede vender 980 galones de leche
cada semana a $ 1.69 el galón y 1220 galones semanales a $ 1.49 . Suponga una relación
lineal entre el precio de venta y la dem anda . C uántos galones puede vender a la sem ana
a $ 1.56?
6. Utilice el método de com pletar el cuadrado para determ inar un valor máximo , o bien un
mínimo y dibujar la gráfica de la función dada.
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Capítulo 1 : Funciones
68
a)
f ( x ) = 4x7- 1 2 * + 7
c) /(* ) = - 2 x * + i 2 x - l l
b)
g = { (* , y) I x 2 + 2x - 2y + 6 = 0}
d) g =
{ ( jc
, y) I x 1 + 6x + 2y + 5 = 0}
7. U se el Teorema 1.2 para hallar un valor m áx im o , o bien uno mínimo de la función dada .
Dibuje su gráfica.
a)
f ( x ) = 2 + 4* - 3JC2
c) g(*) = 3*1 + 6x + 9
b)
g = { ( x , y )l8 y = 4*2 + 1 2 v - 9 }
d) / = { (* , y ) \ jc2 + 8* + 2y + 8 = 0}
8. Si / es una función cuadrática tal que : f [ x + 1/2) - / ( * - 1/2) = 4(2* - 1 ), Vjc e IR ,
determ inar un valor m áxim o, o bien uno mínimo de / si /(O ) = 5.
9. S i / : IR —» (R es una función d efinida p o r f ( x + 2) = 2x2 + 5x + c y / ( - I ) = 8 ,
determ inar el m ínimo valor de / .
10. Una agencia de viajes ofrece a una organización un viaje todo incluido por 800 dólares por
se m a n a , si no más de 10 personas hacen el viaje. Sin embargo , el costo por persona se
reducirá en $ 5 p o rcad a una después de 100 que hagan el viaje. Cuántas personas deberán
viajar a fin de que la agencia reciba el m ayor ingreso total y cuál es éste ?
11. Una em presa puede vender a un precio de 100 dólares por unidad todas las piezas de un
artículo que produce . Si se fabrican x unidades diarias , el m onto del costo total de la
producción diaria es x 2 + 20* + 7 0 0 . Cuántas unidades deben producirse por día a fin de
que laeinpresa obtenga las m áxim as utilidades totales diarias?. Cuál es el monto de éstas ?
12. Un carpintero puede construir estantes para libros a un costo de $ 40 cada uno. Si el
carpintero vende los libreros a x por unidad , se estim a que 300 - 2x m uebles se venderán
por m e s. Halle el precio de venta por estante que dará al carpintero las máximas utilidades
totales mensuales.
13. Una ventana tipo normanda tiene la figura de un rectángulo rematado por un sem icírculo.
Suponga que una ventana de este tipo tendrá un perímetro de 200 p u lgadas, y que la canti­
dad de luz transmitida es directamente proporcional al área de la ventana. Halle el radio del
semicírculo de modo que la ventana admita el paso de la mayor cantidad de luz.
14. Si un acuario puede alojar un máximo de 10,000 peces , el índice de crecim iento de la
población piscícola es conjuntam ente proporcional al número de peces que contiene el
estanque y a la diferencia entre éste y 10,000. a) Si el índice de crecimiento es de 90 peces
por sem ana cuando hay 1000 peces en el acuario , exprese la tasa de crecim iento de la
población com o función del número de peces en el estanque, b) Calcúlese el índice de
crecimiento de la población cuando hay 2000 peces.
15.
Un viaje auspiciado por una escuela y que da cabida a 250 estudiantes costará a cada
alum no $ 15 dólares si no m ás de 150 alumnos hacen el p a se o ; sin embargo , el costo se
reducirá en 5 centavos p o rcada estudiante que exceda 150, hasta que el costo se reduzca a
$ 10 p orcada alumno, a) Si x estudiantes hacen el v iaje, exprese el monto del ingreso total
como función d e* , b) Cuál es el dom inio de la función resultante, c) Cuántos estudiantes
deben viajar para que la escuela reciba el máximo ingreso total.
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EJERCICIOS
69
Grupo 3 : Funciones «spetuilrx
16. C onstruir la gráfica de la función homográfica y — ex + cf ’
cién d o laalafo rm a
a) y
} y
. Exam inar los ejemplos.
>■= k +
= -3 * -^
b)
}
2x-3
~^C * ^ ’ C * ^ ’ redü'
v
}
=^ x
x-4
c) y = — — —
c) }
2x + 4
17. D etermine analíticamente el rango de las funciones
a)
/( x ) = 4 - V x 2+ 12*+ 27
b) /(*>=
*
c) /(jc) = x2 + 6x + 6 , x e <0 , -k»)
, x e (-«>,-11]
* [ — ] +3^ l
- 4 \ ' x e <* ’ 3) d > /W ® i
r2
i
í • jr€ (-2.1/2)
L 2 J
1
\ 5 x - I | - 15 + 6 |jr + 2 1
18. H alle el d o m in io , el rango y dibujar la gráfica de las funciones :
a)
/(x ) = 2 u ( x ) +x 2u ( x - l ) - u ( x - 2 )
b) / ( x ) = x u ( [x + 3] ) - x S g n ( l x | - I)
19. D eterm ine el rango y dibuje la gráfica de las funciones dadas
a)
/(x ) = I x - 1 | + U + 1 I
b)
/(x ) = U + 2 | - 2 l 3 - x |
c) /( x ) =
|
2jc
-
11+ l x - 2 l
d) f ( x ) = l x + 2 l + l x - 2 | - U l
, x e [-1 0 , 10]
Vi - í jc I
20. H alle el dominio de la función : /(x ) = —¡-r----———
X I ¿ X “ II* £ X
21. Halle el d o m in io , el rango y dibuje la gráfica de las funciones
í
a) /(x ) =
<
[
í
b) /( x ) = <
(
Vx3- 2x
, sixe { I x - 11> 1} D { I x - 1 | < 3 }
x2- 4 x - 4 S g n ( | x | - 3 ) , si x e { | x - 3 i ^ l| D {I x - I I < 1}
|x + 7 l + | x - l | , s i | 2 x + l | > | x - 7 |
|x + 9 l - I x - 3 1 , si l2x + 11 < l x - 7 l
22. Halle todos los valores de x , si es que existen , tales que
Sgn( l 7 T i ) + Sgn( y ^ ) = °
.
23. Determine analíticam ente el rango de la función /d e fin id a p o r
/(x ) =
í x3 + 10x + 21 , s i x e [-7 , -5) U [-2 , -1)
s
____
[ Vx + 1 + 1
, s i x e (-1,3]
. Construir su gráfica
24. Halle el dom inio y construya las gráficas de las funciones:
^
T6
u,
^
_ Ix l - [ x ]
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-1
Capítulo / : Funciones
70
*•* En los ejercicios 25 al 44 , halle el dom inio , el rango y dibuje la gráfica de las funciones
dadas.
/( x ) =
V 2x- I
[ I -x]
/(x ) = x 2- [ x ] 2
30.
/(x ) -
x + | xl
Ixl - [ x ]
/(x ) = [ V 4 - x ]
33.
/(x ) = [ 1 1 - 2 x 1 ]
/(x ) = V [ x ] - x
26.
/(x ) =
28.
/(x ) = ( x - [ x ] ) 3+ [ x ]
29.
31.
/(x ) = r .3 ' x ,
I x l- [x]
32.
34. /(x ) = [x2 - 2x - 3]
37. /(x ) —
35. /( x ) = V [ x ] - 3 x
Vx3 - 9
. si x e <-5 , -3]
l x + 3 1 -2 ,sixe<-3.5]
x2 - I0x + 26 . s i x e ( 5 , 7 ]
5 -x
36. /(x ) = [ t ^ - j ]
1+x2
x2 - 2
38-/(x)=<
, si x e [-3 . 0)
x - ]x -2| , si x e [0,4)
2 + V x ^4 . si x e [4 . 8)
, si x e (-2 , 3>
39. /(x ) = 5
[ I x - I I - 2] x2 - 2 x , x e <-11 ,2 )
40. f ( x ) = «
x+ [ j T j ]
2x + 4
41. /(x ) =
Ixl
[* 3
27.
25.
Ix - 4 1 , si x e [ 2 , 9 )
. s i x e [3,5]
, x<-2
W4-X2
, -2<x <2
I x 3 + 4x - 6 , si x e [ - 2, - 1)
42. f (x ) = <¡ 2 - Vx + 1 , s i x e [ - 1 , 3 )
-2x2 + I 6 x - 2 4 , x > 2
13 - x I - 2 , si x S 3
3x - [ 1 + x ] , si [ x ] es im par
43. f ( x ) =
. V x e [-2,4]
[ -x ]
, si [ x ] es par
7x~5°
x- 6
, silxl > 2 , x * 6
44. /(x ) = <¡ V4 Sgnfx2 - 1) - x2 , si 1 < Ix I í 2
[ —
]
+ x2
, si IX I < 1
En los ejercicios 45 al 5 2 , hallar el rango y dibujar la gráfica de las funciones dadas.
45. f ( x ) = l x - 3 l - 2 | x + 1 I + | x |
47. /(x ) = i
|x + 2 l
[ x/2 ] + x
, s í x e [ - 7 ,- 2 ]
, si I x I < 2
1
,«E [2,S 1
M
2x - I
46. /(x ) = V [ x + ! ] - Ixl + 1/2
48. /(x ) =
f r25-x
Í T Í f ]
< -5 ,5 /2 )
l V T 7 7 II
, I E [ 5 /2 ,4 )
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71
EJERCICIOS . C ru p n 3 : Funr.iimes e.\/tecUiles
jc
/( jc )
=
<
jc-
, si U - 2 1> 3
x-2
49.
50. f ( x ) = ^
si
(je 2
-36)^0
| 2 jc
, si x e (9/4 ,4 ]
+ "¿c
jc
+
4
V3x- 1/2 , sijc e [1 /6 ,9 /4 ]
Vjc2 + 4x - l , si 0 < jc < 1
2
,
— ——r
+ 5
- 5 1 , si 2 < jt < 3
, si4 e x < 6
U+2]
51. f ( x) =
V je -9
- 2 ,
s í
- 5 <
U+2l
- 3 ,
s í
0 <
16
jc-
jc<
jc<
U + 2 ] - x , s ix e (-4 ,0 )
-3
52. /(x ) = <! V4-j c
2x-8
5
, s¡ jc> 6
, si j c e ( 0 ,4 )
,síjcS4
5
53. Si la g ráfica de la función / está representada p or la F igura 1.83 , h allar su regla de
correspondencia . (N o ta : AV es la ram a de una parábola donde Ip l = 1/ 2) .
54. Determinar la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es la representada en la
Figura 1.84 (Nota : AB es una sem icircunferencia, BV es la ram a de una parábola).
F I G U R A 1.83
F I G U R A 1.84
55. En los siguientes ejercicios , discutir si la función dada es p a r, impar o ninguna de las dos
cosas.
a)
/ ( * ) = 2 x * - 3jc* +
d)
/(* )
g)
/(* ) - ^a2 + ax +x7 - Va2 -a x + x3
=
5
b)
/( jc )
5x3 -
=
( x \ x \ + j j S e n * 2e) g(x) =
( jc+ 3)X(jc. 3)O
h)
g(x)
=
3
h(x) =
f(x) = Vx + [ ~x ] + x [ -x ]
56. Com probar si la función dada es p ar o im p ar.Dibujar su gráfica
-x2 + 8x - 1 0 , si 2 < j c < 6
{
3 j c + l c)
- jc2 - 8jc- 10, si -6 < x < -2
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-Zc3 +
Cos2
Capitulo I : Funciones
72
57. S e a /(x ) = V4 - x 2 Sgn
función impar.
, donde el D o m (/) fl { -2 ,2 } = (J>. Probar que / es una
58. Sea / ( x) = jc2 + 3x + 2 . Si h(x) = /(x ) + /(-x ) y g(x) = f( - x) - f ( - x ) , determ inar cuál de
las funciones h o g , es par y cuál es impar.
59. La gráfica de la función / de la Figura 1.85 se parece a la letra w . a) D efinir la función / .
b) Verificar que / es una función par.
60. La gráfica de la función / de la Figura 1.86 se parece a la letra M . a) D efinir la función / .
b) Verificar que / es una función p a r .
61. D e m o stra r q u e la fu n ció n d e fin id a en IR p o r / ( x ) = [ m x ] - m [ x ] es una fu n ció n
p erió d ica.
62. Dada la función definida p o r : /( x ) =
[ 1 , s i x e [2a , 2a + 1)
<
[ 0 , si x e (2a + I , 2a + 2)
donde a e Z , definim os la función g por
g(x) = U - [ x ] ) / ( x ) + [ l - / ( x ) ] Sen2 ( nx /2 )
Es g una función periódica? En caso afirm ativo, hallar su p e rio d o .
63. D em ostrar que las siguientes funciones son periódicas y hallar su periodo m ínim o para
cada función
a)
f(x) = 3 x - [ 3 x + 2 ] + 2
d) /(* ) = (x - [ x ] 2 , Vx e R
b) f ( x ) = [ 3x ] - 3 [ x ]
e) f ( x ) = I Sen x I + I Cos x I
C) / ( * ) =
f) /(* ) = 2 Cos ( ^
.n=[x],D om (/)=R -Z
)
64. Sea /(x ) = ( [ mx ] - m [ x ] ) Sgn (4 - x 2) , n e Z - {0} ,X € { - 2 , 2 ) . D eterm inar s i :
i)
ii)
/ es par o impar
/ es p e rió d ica. En caso afirm ativo, hallar su período.
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73
Sección 1.9 : Algebra de las Junciones
(1 .9 )
A L G E B R A D E L A S F U N C IO N E S
Sean / y g dos funciones reales cuyas reglas de correspondencia son / (x) y g (x ). Se
define entonces las cuatro operaciones : suma , diferencia , producto y cociente de / y g del
modo siguiente
1. Lafu n c ió n s u m a , denotada por / + g
/ + g = { (x , y)l y = f ( x ) + g(jc) , * e D o m (/)flD o m (g ) }
2. L a fu n c ió n diferencia , denotada por / • g
/ - g = { ( x . y ) I >'= f ( x ) - g(x) , x
e
D o m (/)n D o m (g ) }
3. L a fu n c ió n producto , denotada por / • g
/ * g = { ( * .> ) ! y = /(* )* g (.x ),jc e D om (/) n Dom(g) }
4. La fu n c ió n c o c ie n te, denotada por
j
= {(*.>)! y =
^
D o m (/)n D o m (g ), g (x )* 0 }
G eom étricam ente, la gráfica de la su m a , diferencia, producto y cociente de dos funciones / y
g se obtiene sum ando, restando, multiplicando y dividiendo, respectivam ente, las ordenadas
para un x del dom inio com ún de am bas funciones, esto e s :
G itf + g) = {(* ,/ (* ) + g (* ))U e Dom(/) fl Dom(g) }
Gr( f - g) = { (x , / (x) - g(x) ) I x e Dom(/) D Dom(g) }
G r ( /- g ) = { ( * ,/ ( x ) - g ( x ) ) l x e Dom( /) fl Dom(g) }
Gr
(EJEM P LO
a)
Solución
1 )
/ +g
= { (* ’
' X £ DomG:) fl D o m ( g ) ,g ( x ) * 0 }
S iG r f /) = {(-3 ,2 ) , ( 0 ,0 ) , (2 , 4 ) , (3 , - l ) , ( 4 , 3)} y G r{g)= {(2 , 0 ) ,
(3 , 4 ) , (4 , 7 ) . ( 6 .2 ) } , hallar :
b) / * g
c) f/g
d) f z + 3g
D om ( /) = {-3 , 0 , 2 , 3 , 4 } y Dom(g) = {2 , 3 , 4 , 6 } *=> D o m (/) D Dom(g) =
{ 2 , 3 , 4 } . Aplicando la definición correspondiente se tiene :
a) G r ( / + g ) = { ( 2 , / ( 2 ) + g ( 2 ) , ( 3 , / ( 3 ) + g ( 3 ) ) , ( 4 , / ( 4 ) + g ( 4 ) ) }
= { ( 2 , 4 + 0 ) , ( 3 , - 1 + 4 ) , ( 4 , 3 + 7 )} = { ( 2 . 4 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 1 0 ) }
b) G i t f . g ) * { (2 , /( 2 ) - g(2) ) , (3 , / ( 3 ) • g(3) ) , ( 4 , /( 4 ) ■g (4 )) }
= {(2 .4 * 0 ),(3 I-lx4),(4,3*7)} = {(2,0),(3,-4),(4,2l)}
c) G rtf/g ) = { ( 2 . /(2 )/g { 2 )) , (3 , /(3V g(3) ) , (4 , /(4V g(4)) } = { (3 , -1/4) . ( 4 ,3 /7 ) }
Como g(2) = 0 , no existe Gr{ /(2 )/g (2 ) )
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Capítulo l : Funciones
74
d)
Gr( / 3+ 3g) = { ( 2 , f ( 2) + 3g(2) ) , ( 3 , / 2(3) + 3g(3) ) . ( 4 . / 2(4) + 3g(4)) }
= { (2 , 42 + 3(0) ) , (3 , (-1J2 + 3(4) ) , (4 , 32 + 3(7)) }
= {(2, 16),(3. 13),(4,30)}
f ___ .... j
.
í l,si-l<x<2
Sean /( x ) = - x 2 + 4 x - 2 , x e [ 0 , 4 ] y g(x) = <|
[ 2 , si 2 < x < 6
(EJEMPLO 2 )
■
H alle ( / + g) (x) y dibuje en un m ismo plano / , g y / + g
Solución
Vemos que g es una función seccionada cuyas partes son funciones con stan tes,
lu e g o , si g,(x) = 1 y g,(x) = 3 , se tien e:
D o m (/) fl D om (gt) = [ 0 , 4 ] n [-1 . 2) = [ 0 , 2> y D o m (/) fl Dom (g,) = [ 0 ,4 ] n [ 2 , 6 ) = [2 , 4]
[ (-x2 + 4 x - 2 ) + l = 4 x - x J - 1 , s i x e [ 0, 2>
■=> Cf + g) W - <i
[ (-x2 + 4 x - 2 ) + 3 = 4 x - x 2 + 1 , s i x € [ 2 , 4 ]
Construcción de las gráficas de / , g y / + g.
Sea y = -x2 + 4 x - 2 = - ( x - 2 ) 2 + 2
L a G r(/) es una parábola con vértice en V ( 2 ,2 ) y l a d e g , las rectas>•= I , y = 3 (Figura 1.87).
Obsérvese que la G r ( / + g) en x e ( 0 , 2 ) tiene la misma
Y
i K
forma que la Gr( / ) , siendo paralela a é s ta , obteniéndose
5
por un desplazamiento vertical de la GríJ) . Los mismo se
4
puede notaren la G r ( / + g ) p a r a x € [ 2 , 4 ] . En g e n e ra l,
}
si g(x) = c , entonces
2
G r ( / + 9)
es , a cada valor de la ordenada de / se le debe sum ar la
■
-1
t J
m
¡
W
/ + g = {(x , /( x ) + c) I x e D o m (/) fl D om (g)} . Esto
constante c .
'
f
/
M
i
o
T
)
.
\
\
G/
Y
2
S5¡
*
LG r í í l
:
1
»
^
-------------------\
*
o
;
!
4
..
5
6
'
-
,
J
F I G U R A 1.87
EJEMPLO 3 J Sean las funciones reales definidas por
{
2
+
4X -2X 3,
2 -x
six< 1
, si x t I
Si definim os la función h : ( - 1 ,3 ) - > IR I h(x) = /(x ) + g (x ), halle el R a n (/) y dibuje su gráfica.
Solución
Siguiendo el método de los puntos críticos para la función / se tie n e :
x < -1
-I
< -------------------1x +
ll = - ( x +
-1 < x < 3
3-------------------------- x-------------------------------->
>3
s
1)
1X +
ll = + ( X +
1)
1X +
11
= + (x + 1)
| x - 3 1 = - ( x - 3)
| x - 3 | = + (x-3)
1x - 3 | = - (x - 3)
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+ «w
Sección 1.9 : Algebra de las funciones
75
Como el Dom (h) = (-1 , 3 ) , nos interesa la segunda restricción en d o n d e :
f ( x ) = - (x - 3) + (x + 1) = 4 , constante Vx e <-1 , 3) . Luego , s i :
h = { (* . y) I y = /(* ) + g (* ) .
l=> h(x)
=
X
e D o m (/) n Dom(g) >
f 4 + (2 + 4x - 2X1) , x e < - « , |> D <-1 ,3 )
<
[ 4 + (2 - x)
, x s [I , +©o) n <-1 .3 )
f 6 + 4x - 2 jt , si e {-1 , 1)
[ 6-x
, s i x e [I , 3)
Con esta información dibujamos la Gr(h) mostrada en la Figu­
ra 1 .8 8 , de d o n d e : Ran(h) = (0 , 8)
■
EJEM P LO 4. j
Hallar el dominio de la función
/(* ) =
Solución
F I G U R A t.8 8
V4-|x-2l
+ V fS g n íx ^ + x2 ] - 2
Para determinar el D o m (/) podemos definirla como la suma de dos funciones, esto
e s , s i / ( x ) = /,(x ) + /,(x ) => Dom( / ) = D om (/,) n D o m (/2)
L uego, sea /,(x ) =
«
' I* 2 I
3^
4 - | . x - 2 | 2: 0 ,X 5*0
^
| x - 2 l < 4 , x * 0 <=> - 4 < x - 2 < 4 , x * 0 ^
S i / 2(x) = V[ Sgnfx2) + x 2 J - 2
.=> B f 2 «
D om ( /,) = [ - 2 ,6 ] - { 0 }
[ Sgnfx2) + x2 ] > 2
(1)
1 , si x2 < 0 , no puede s e r , pues x2 es (+) V x e [R
0 , si x2 = 0 , no puede ser porque en / , , x * 0
1 , si x2 > 0 , si puede ser
Luego , si Sgn(x*) = i , en (1) : [ 1 + X2 ] "¿.2 e=> [ x * ] > I <=>x2> l
< = > ( x < - l ) v ( x > l ) c=> D o m (/3) =
, -1] U [I , +00)
D o m (/) = ( [ - 2 , 6] - {0} ) n (<-«>.-1] U U , + ~ ) = [-2 .- 1 ] U [ 1 , 6 ]
(EJEM P LO
5)
Sean las funciones : / = { (x ,-y
V 9 - X 2 )!
s « ) = Sgn ( ^ ± f )
=
y
D o m (/) D {-3 , 3} = <J>}
a) Halle el D o m (F ), si F(x) = /(x ) ■g(x) + h(x)
b) Dibuje la Gr(F) y determ ine su ran g o .
'Sotucfim
S i/( x ) = ~ V 9 - x2
/ e s r e a l <=> 9 - x 2 £ 0 <=> - 3 á x < 3
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■
Capitulo I : Funciones
76
Pero por d efin ició n , el dom inio de / no debe co n tener al conjunto {-3 , 3} , p o r lo qu e :
D o m (/) = <-3 , 3)
g(*) = Sgn ( ^ + ¡2 )
g es real <=> (* + 2 £ 0 ) a ( * * 1) o
Dom(g) = [-2 , +°°) - {1}
h(jr) = [ ^ ± ^ ] - 1 C» Dom(h) = K - { - 3 }
a) L ueg o , Dom(F) = D o m (/) n Dom(g) n Dom (h) = [ - 2 , 1) U (1 ,3 )
b) Para dibujar la G r(F) y determ inar su rango , debemos elim inar el corchete y evaluar la
función s ig n o , esto es
^ ± 5
x+3
2- - L
x+ 3
■=* h(jc) = [ 2
L
1 e=> 1 < x + 3 < 6
S i* e D om (F) t=> -2 < x < 3
M ultiplicando por - 1 : - 1 < - j —j
(I)
L ] - 1 = l+ [ ^ l
x+3-*
*-jc + 3 J
<_ ^
^
[
< — í— < 1
*+3
6
+ 3 ] = "*
E ntonces, en ( I ) : h(x) = ! + ( - ! ) = 0 , V x e Dom(F)
Por tanto , F(x) = /( x ) .g ( x ) = ~ V 9 - x 2 Sgn ( — + 2 ) , x
- 1 , si ^x + }
*- 1
C om o, Sgn ( ^
0 , si
^) =
e
[-2 , 3) - {1}
(2 )
< 0 <=> - 2 < x < I
>íc + 2
= 0 <=> * = - 2
x- I
1 , si■ Vx + 2 > 0 <=> ( * > - 2 ) v ( x > I)
x- I
\
L u eg o , en (2) se tie n e :
>.
9
^
, s íx e
< -2 , I )
\
<
\
, si * = -2
f C
7
-
-
\
F(*) =
, s i x e (I , 3)
-3 1
Obsérvese que para cada raíz cuadrada, en el intervalo
indicado, la Gr(F) m ostrada en la Figura 1.89 , es una
parte de la elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 3 6 , de donde :
R an(F) = [-2 , -2<5 /3> U [ 0 , 4 ^2 /3>
(EJE M P LO
6)
-1*
\
-1
0
'X
:»
2
■
-2
F I G U R A 1.89
Sean las fu n c io n e s /y g , cuyas reglas de correspondencia son
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.3
/
:
77
Sección 1.9 : Algebra de las funciones
x2, si x 6 [O . 3)
f 3x - 2 , s i x e [ 0 , 2 ]
/(x ) = \
. g(x) =
[ I - x , si x e <2 ,5 ]
4 , si x e [ 3 , 6 ]
Hallar / + g , su rango y dibujar su gráfica.
Solución
Cuando se trata de operar con funciones seccionadas, los pasos a seguir son los
siguientes.
1. Considerar a / y g com o la sum a de dos funciones, es decir
/,(x ) =
3 x - 2 , * e [ 0 , 2 ] ; g,(x) = x , x e [0 ,3 >
/ 2(x) =
I- x t x e < 2, 5] ;
g,(*) = 4 , r e [ 3 , 6 ]
L u eg o , efectuar la operación que se in d ica, en este caso
/ + g = ( / , + / , ) + (g, + g,)
= ( f i +g i) + ( f l + g2) + ( f 2 + gl) + i f 2 + g2)
2. Hallar los dom inios de cada una de las sumas parciales
D ° m (/| + g l ) = [ 0 , 2 ] n [ 0 , 3 ) = [ 0 , 2 ]
D o m (/| + g,) = [0 ,2 ] n [3 ,6 ] = <> i=> £ ( /, + g 2)
FIGURA 1.90
D o m (/2 + g |) = < 2 ,5 ] D ( 0 , 3 ) = < 2 .3 )
D o m (/2 + g2) = <2, 5] fl [ 3 , 6 ] = [ 3 , 5 ]
3. Operar con las imágenes correspondientes donde la intersección de los dominios sea dife­
rente de <{>. Entonces
jc2 +
(/ + g ) W = <
3je - 2 , si jc e [ 0 , 2 ]
*2- x + 1 , s i x e ( 2 , 3 )
5 -x
, s i x e [3,5]
4. La G r ( / + g) se presenta en la Figura 1.90, de d o n d e : R an (/ + g) = [ - 2 ,8 ]
^E JE M P L O
7 )
Sean las funciones:
í 4x + [ x ] , s ix e <-3 ,0 )
/<x)=<
[ Ix2 -5xl
, s i x e [0,6>
í [ -x J - 2 x , si x e <-4 ,-1]
, g<x) * s
[ | x - 5 | - 4 , s i x e [0,3]
Hallar la función / + g , su rango y dibujar su gráfica.
'Solución
1. / + g = C/1+ / 2) + ( g ,+ g 2)
= (/, + g,) + (/, + g2) + (/2+ g,) + ( f 2 + g2)
2.
■
D o m t/.+ g ,) = Dom ( / ,) n D om íg,) = <-3, 0> fl <-4.-1] = <- 3, - l ]
D o m ( /,+ g 2) = Dom ( / ,) D Dom(g2)
= <-3 ,0 ) fl [ 0 , 3 ] = <J> *=>£(.f, + gj)
Dom(/2+ gt) = Dom(/2) fl Domtg,)= [0,6) fl (-4,-1] = ó <=> SCfj + g,)
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Capítulo I ■Funciones
78
DomCA + g j) = D o m (/2) fl DomCg,) M O . 6> n [ 0 , 3 ] = [ 0 , 3 ] = {0} U ( 0 , 3 ]
f
3.
(J + g)(jc) = <
E n to n ces:
[
2r+[jc]+(-jc]
, si jc e (-3 , -1 ]
1
, si x = 0
Ijc(jc- 5) I + | j c - 5 1 - 4 , s i j c e ( 0 , 3]
0 , si JC€ Z
{
-0 , si jc e ( !R - Z)
L u e g o , paraje = -2 y * = - 1 e ( - 3 ,- 1 ) >=>
Por lo que
: Ijc2
-
5jc| =
-
jc]
+
[ - jc
0 < jc < 3
<=>
-5 < jc-5 ^ -2
5x) y
|jc-
51
U 2-
]
0
=
[ jc ] + ( -x ] = -1
y para j c e (-3 , -2) U (-2 , -1)
5. A d e m á s , s i j c e ( 0 , 3 ] <=>
(
=
«=>
jc -5 < 0
-( jc- 5)
6. Entonces en el paso (3)
2x - 1
(/+g)(*)= ‘
-4
, si jc e (-3 , -2
, si jc = -2
-2
, si
jc
= -1
1
, si jc = 0
-jc2 + 4 jc + 1 , si jce ( 0 , 3 ]
7.
La G r ( f + g) se m uestra en la Figura 1.91, de donde :
R a n (/ + g) = ( - 7 , - 5 > U ( - 5 , - 3 ) U { - 2 } U [ l , 5]
EJEMPLO 8 ^
Sean / y g dos funciones reales definidas por
I5 j c -
[ H 2L] +3 x ~ 1 ’ * e í_2' 1]
/(* ) =
l| +
6 |j c
+ 2 1-15 , x
e
[-3 .0 ]
;g W = <¡
jc
+ 8
.
jce
3 jc - 4
(2 ,8 ]
, jce (1 , 6]
Halle el d o m in io , la regla de correspondencia y el rango de / / g .
Solución
2.
1. Sean : / ](x) =
jc2
¡
[
] + 3x - 1 , j ce (-2 , 1] y f 2(x) = jc + 8 , jc e (2 , 8]
Eliminemos las barras de valor absoluto en g por el m étodo de los puntos críticos .teniendo
e n c ue n t a q ue l / 5 e [ - 3 , 0 ] > ' - 2 e [ - 3 ,0 ]
S Í - 3 < jc< - 2 ^
- 2 í j c < 0
|5 jc- 1 1 = - ( 5 jc- I)
=> |5jc- 1 1 =
- ( 5 j c - 1)
y | jc + 2 1 = - (* + 2)
y
|jc+ 2 | =
+ (jc + 2 )
*=* B|(*) = - (5 jt- I) - 6(jc-i-2 ) - 1 5 = - 1 Ijc- 2 6 y g2(jc) = -(5jt- 1) + 6(jc + 2 ) - 15 = j c - 2
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Sección 1.9 : Algebra de las funciones
Entonces :
gC*) =
79
- 1Ix - 26 , si x e [-3 , -2)
x -2
. s i x e [ -2 ,0 ]
3 x - 4 , s i x e [1 , 6]
(g.)
(g 2)
(g ,)
3. Intersección de los dom inios d e / y g
D o m (/() n D om (g |) = ( -2 , 1] D [ - 3 , -2> = <J> .=> í / / g
D o m (/,) n D om (g2)= ( - 2 ,1 ] f) [ - 2 , 0 ] = < -2,0]
D o m (/,) n D om (g3)= ( - 2 , 1 ] fl [1 . 6 ] = {1}
D o m (/2) n Dom (g |) = <2, 8] n Í - 3 .- 2 ) = 4»
í//g
D o m (/2) D D om (g2)= ( 2 , 8 ] fl [ - 2 , 0 ] = 0 >=> £ //g
D o m (/3) D D om (g3) = ( 2 , 8] fl [1 ,6 ] = (2 ,6 ]
4. Elim inem osel c o rc h e te e n x e (-2 ,0 ] y evaluem os/ , ( ! ) y g3( l)
2-x
S i - 2 < x < 0 => 0 £ - x < 2 <=> 2 £ 2 - x < 4 <=> 1 <
] = *
/ , ( ! ) = CD2 t ^ - 1 ] + 3(1) - I = 1(0) + 3 - 1 = 2 ; ^ (1 ) = 3 ( 1 ) - 4 = -1
**-+-2x ~ I , s i x e ( - 2 ,0 ]
x -2
-2
,six=l
.=> 00171 ( j ) = (-2 .0 ] U { l } U (2 .6 ]
x+8
, si x e ( 2 , 6 ]
3 x -4
5. L uego: ( 4 ) w -
6.
Determinación del R an (//g ) . Supongamos que h(x) =
a) Para x e ( - 2 , 0 ] , sea h,(x) = y »
( x ) , entonces :
x* + 3x - 1
, de donde despejando x = h(y)
x-2
se tie n e : x = 1\ ( y - 3 ± Vy2 - "Í4y + 1 3 ) «=> x e s re a l o
2
y2 - 14y+ 13 £ 0
<=> ( y <
E s to e s , el universo de la variable y , es : U = (-*»,
1]
U
1)
a
( y >
13)
[1 3 ,+ «»)
Como x e ( - 2 ,0 ] ■=> - 2 < - ^ ( y - 3 ± Vy2 - I4y + 13 ) < 0
«=> -1 - y < + Vy2 - 14y + 13 < 3 - y
IC aso 1]
(o )
-I -1 <- 1 - y t=f> - 2 < - l - y
S i y e U l y ^ l «=*-!<-><=> <
1 3 - I ¿ 3 -yc=$ 2 < 3 - y
Nótese que -1 - y e s negativo y 3 - y es positivo V x e ( - 2 , 0 ] , entonces en (a)
(- 1 - y < - Vy2 - 14y+ 1 3 ) v (Vy2- 14y + 13 < 3 - y )
■=> (Vy2 - 14y + 13 < l + y )
v (Vy2 - 1 4 y + 1 3 < 3 - y ) ^
A h o ra , aplicando la propiedad : Va <b <=> ( a> 0)
a
Q> > 0 a a
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(Vy3 - 14y+ 13 < 3 - y )
< b 7) , se tiene
Capítulo I : Funciones
80
(y2 - 14>•+ 13 > 0 ) a ( 3 - ) ’> 0 a >^- I4y + 1 3 < 9 - 6 y + y 2)
«=^ ( y e U)
C aso2
a
(y < 3
a
y > 1/2) <=> y e [ 1/2 , 1]
Si>*€ U l y > 13 «=> - >• <- 13
r -i
14
<
l 3-y<-W
Obsérvese que ambos extrem os de (a ) son n egativos, esto es
-I - y < - 1 4 ^ - V y 2 - 14y + 13 £ 3 - y < - 10
Luego , elevando al cuadrado : (3 - y)2 < y2 - I4y + 13 < (-1 -y )2
d e d o n d e : (8y < 4 )
a
(- I6y < - 12)
Entonces , por el C aso I :
( y < 1/2)
a
(y>3/4)
y e «})
Ran(h,) = [ 1 / 2 , 1 ]
b) Para x = I , h,(x) = -2 i=> Ran(h,) = {-2}
c)
En j c e ( 2 , 6 ] ,s e a h j(x ) =
** ^
"
3" + 3 ( 3 ^ - 4 ) ^
R an(h3) = [ 1 . 5 ) (Verificar)
R an(//g) = [1/2 , 1] U {-2} U [I . 5> = {-2} U [1/2 , 5)
■
E J E R C IC IO S . Grupo 4
1.
S i / = { ( 0 , V 2 ) , ( 1 , ^ + V 5 ) , ( 2 , 0 ) } y g = { (0 , VÜ) , (2 , 1/2), (4 , V3 )} , h a lla r:
a)
( / + g )(2 )
b) ( / *g) (2)
{
c) ( / , + 3g) (2)
0 , si x < 0
, g(x) = Sgn(x)
1,six¿0
Se define la función H(x) = / ( x + 2) - g(x - 2 ) , hallar el Ran(H)
3. Dadas las funciones / : A -> [-2 , 2] I / ( x ) = x 1 - 4 , A c [-3 , 3] ; g : ÍR —> IR [ g(x) =
a /s T ? y h = { ( - 3 , 2 ) , ( - 2 . 3 ) , ( 0 , 1 ) . ( 1 , - 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 6 , 5 ) }
a)
4.
Construir la G r(/) y hallar su dom inio.
b) H a l l a r / + g y g - h
D adas las funciones / : A - » [ 1 ,4 ) I f ( x ) = x2 - 2x + 1 , A c [-2 , 3 ] ; g :
2x + I , y g [-1 , 3} ; h : IR —> IR |h(x) = Ix2 - I | + x , y 5 2
a)
Dibujar la Gr(g + h)
b) H allar el D o m ( /- g )
5 . Sean las funciones / : R —» R I / ( x ) = x - | x - 1 I ; g : IR —> IR I g(x) =
h : fR —> tR I h(x) = Vx2 - 9 , hallar el dom inio de la función ( / + g) ■h
6.
R R I g(x) =
Sean f ( x ) = x 2 y g(x) = 12x I , dibujar la G r( / + g) y hallar su rango.
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x3 - 2 , x > - 2 ;
81
E JE R C IC IO S . G rupo 4 : A lgehru d e Lis fuñeiu/ies
7. Sean las funciones / : A —> [- 5, 3] If(x ) = - x2+ 2 x + 3 , A c ( - 3 , 5 ] ; g : I R —» {RI g(x) =
V9-X5 . Hallar: a) / / g , b) D om (//g).
8. Dadas las funciones / y g , hallar/ + g y dibujar su gráfica
f x + 3 . s i x e ( - 4, 0]
a)
f 2 x - 4 , s i x e [-3, 2]
/(* ) = ^
. gC*) = í
[ 3x + 2 , si x € (1 ,6 )
l 2 - x , si x e ( 2 , 8 )
{ 4x + [ x ] , s¡ e (-3 , 0)
f [-jc]-2x,-4<jc^-I
. g(*)= \
lx2+ l l
. s i x e (1,6)
Ll->c- 5 1
,0<x<3
í [*/2 ]
,x e [l,8 )
9. S e a / y g las funciones definidas por
\ < x -2
f(x) -
, x e [2 ,4 )
’S
: g(*) = s
[ x 2 - 14x + 48 , x e [6 , 10)
[ 12 x - 101 , x e [8 ,.12)
a) D e te rm in a rla íu n c ió n /-g
b) Graficar / - g , indicando explícitameníe su rango.
10. Sean las funciones:
( 4-[xM ,x<2
[ x ^ + l x 2- I| - 3 , x e [ - 2, 2]
^
=
1 Ir
~
\
.«<2.4>
t
; 6W = \
[-2.X22
H allarla f u n c i ó n / + g indicando explícitamente su rango.
11. Sean las funciones :
f 4x+[x]
/(* ) -
, s i x e ( - 3, 0)
f [ -x] - 5x , x e (-4 ,1)
i
. gW = j
l \ ^ + ll - 3 , si x e (1
, 6)
l l x - 3 I , x e (0,2)
Hallar la función / + g y construir su gráfica.
f Ix2 - 4 1 , x e [-6 , 0]
12. S i/(x ) = <
[2
fx+2,six>-2
y g(x) = <
,x < 2
[ l
,s ix < -2
halle la regla de correspondencia d e //g y su dominio
13. Si /(x ) =
f I x - l l [Sgn(3-x)] , x e [ 0 , 6 ]
<|
[ x2
[lx-2l
,xe(-8,3]
y g(x) = <!
, x e ( 6 , 10)
halle la regla de correspondencia de g/ /
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[ x l x - 2 | ,x e (3 ,8 ]
82
Capítulo ¡ : Funciones
14. S i / ( * ) = í
Vjc2 + 16 , si jc e (-4 , -2)
[ x ] - 2 x , si x e [ - 1 , 2 )
\x1+ 2 \
2x + 4 , s i x s ( - 3 .- 1 )
y g(jc) =
Ijc2 - 2 I , si x e [-1 ,5 )
, si x e <4 ,6 )
hallar la regla de correspondencia de / - g.
15. Sean las fu n cio n es:
Vx’ - 2x , s í | j c - 1 | > 1 a | j c - I | < 3
/(* ) = 5
t i p i l ] ,sij:<3
y gW = <
jc2- 4jc- 4 S g n (í x I - 3 ) . ; c e [ 0 , 2 ]
jc*
+ jc +
a:-
I
1
. s i j c e [5 ,1 0 )
H a l l a r / - g y co n stru irsu g ráfica.
16. Si f ( x ) = 2x + 3 y g(x) = [ 2 c - 1 ] , hallar / / g y su dominio.
17. Dem ostrar que si / y g son funciones im p ares, entonces
a) ( / + g) es una función impar
b) Cf *g) es una función par
Y , 1
2
18. Si / es una función cuya regla de correspondencia es
'w=2 M ítM )-uCi+4>
1
-4
-J
-2
y g es la función tal que su gráfica es el de la Figura
1.92 ; hallar la función h = / • g , expresando h(x)
únicamente com o combinación de la función escalo­
nada y la función identidad.
-1 0
1 : 2
F I G U R A 1.92
19. S e a n f ( x ) = |jc S g n (* -2 )l + Sgn ( ^ r ^ ) . gC*) = U - 2 | Sgn ( y ^ )
h(x) = U l Sgn
3 X
-1
H allar: a) / ( jc) = / ( jc) + h(:c) - g(*) b) G(x) =
y
^
+
20. Sean / y g dos funciones definidas por
[ ¿ T r l
, j e [ - 3 ,0 )
- jc2
m
=
t [ x } - 2x\ t x e [ 0 , 3 )
Ijc - 5 I
, jee [4 , 7)
,
si jc e [-2
,
. g to =
\ x - 3 1 , si e [2 , 8)
H allar la función h = / - g y dibujar su gráfica.
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1)
83
Sección I. ¡O : Composición de funciones
(ÍT ÍtQ
C O M P O S IC IÓ N D E F U N C IO N E S
D ados los conjuntos A , B y C y las funciones / : A —» B y g : B —» C , si para
x € A ocurre que y — f ( x ) , entonces x determina una y , la que a su vez determ ina una z e C ,
esto e s , s i :
/
g.
* —» > • —> z
se habrá asociado entonces una z e C a u n a j t E A por medio de la ecuación z = g (y ) = g [/(* )]•
Si designamos z = h (* ), la ecuación h(jc) = g [/(-c)] se llama com posición de / por g , la que se
denota por g o / y cuya regla de correspondencia e s :
(g ° /) C * ) = g t/( * ) ] . Vjce Dom(g o / )
obien:
donde:
go/=
{(*. g [ / ( * ) l ) I x e D o m (g o /)}
D o m (g o /) - {jclx e D o m (/) a f ( x ) e Dom(g)}
y cuya interpretación geométrica se muestra en la Figura 1.93
F I G U R A 1.93
O BSERV A CIO N ES 1.14
a) D o m ( g o / ) c D o m ( / ) c A
b) Ran (g o / ) c R a n (g ) c C
c) Existe g o / « R an (/) D Dom(g)#4>
d) Cuando el R a n (/)e stá incluido en el D o m (g ), entonces la función g o / e s t á definida en el
Dom(_f), esto es , s i : Ran ( / ) £ Dom(g) => Dom(g o / ) = D om (/)
e) Cuando el R a n (/) <Z Dom(g) e=> D o m (g o /) = {jcU e Dom ( /) a / ( jc) e Dom(g)}
f ) L a aplicación se hace de derecha a izquierda, esto e s , la función de partida / es la que está
a la derecha de la notación “o”
En g o / , / es la función de partida y g es la función de llegada.
En / o g , g es la función d e partida y / es la función de llegada.
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Capítulo 1 : Funciones
84
OBSERV A CIO N ES. 1.15
Del m ism o m o d o , para las funciones g : A —» B y / : C —» E ,
se tiene : ( / o g)(x) = f [ g ( x ) ] . V x e D o m ( / o g )
a) D o m (/o g ) c Dom(g) = A
b) R a n ( /o g ) c R a n (/) c E
c) E x is te /o g e=> Ran(g) fl Dom(_f) * <J>
d) Cuando el Ran(g) c D o m (/) ■=> D o m (/o g ) = Dom(g)
e) Cuando el Ran(g) <z D o m (/)
D o m (/o g )
=
{ x l x e D om (g) a g (x )e D om (/)}
PROPIEDADES DE LAS F U N C IO N E S C O M P U ES TA S
Para funciones / , g , h , I (función identidad) se cumplen las siguientes propieda­
des.
FC.1 : ( / o g) o h = / o (g o h)
(Ley asociativa)
F C -2 : / o g * g o /
(No es conmutativa)
F C .3 : ( / + g ) o h = ( / oh) + ( g o h )
(Ley distributiva para la suma)
F C .4 : ( / * g ) o h = ( f o h ) - ( g o h )
(Ley distributiva para la m ultiplicación)
F C .5 : 3 ! I l / o l = l o / = / , V /
(Ley de unicidad)
F C .6 : I" o I m = I m" , m , n e Z +
F C .7 : I " o ( f + g) = ( / + g ) n , n e Z +
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
EJEMpLo
1
)
D adas las funciones/ : IR -> 1R |/ ( jt + l ) = j r 2)jce (-1 , 7] y g : R
g ( x - l ) = 2 x - 1 , x e [1 , 4oa) , h a lla r: a) ( / o g ) ( x ) ,
> & C « S ri
1. Si f ( x + 1 )
IR I
b) ( g o / ) ( x )
f ( x ) = ( x - l ) 2 ; g (x - \ ) = 2 x - \ i=> g(x) = 2(x + I) - 1
<=> g(x) = 2x + 1
2. Determ inem os los rangos de / y g.
Si -1 < x < 7 <=> -2 < j c - l < 6 t=> 0 < (jc -1 )2 < 36 , luego : R an (/) = [ 0 , 36]
Si x > 1 «=> 2x + 1 > 2 + 1 *=> g(x) > 3 , por lo que Ran(g) = [3 , -B»)
3. Ran(g) D D o m (/)= [3 ,+«*)
Ran ( /) D Dom(g) = [0 , 36]
fl
fl
(-1 , 7] = [3 , 7] *<{> >=> 3 / o g
(Obs. 1.15c)
[ I , +*») = [ 1 , 36] * <]) «=> 3 g o /
(Obs. 1.14c)
4. Cálculo d e los dom inios d e / o g y g o /
a)
Com o Ran(g) <x D o m (/) >=? D o m (/ o g) = {x I x e Dom (g)
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a
g(x) € D om (/)}
Sección i. 10 : Composición de funciones
85
«=> D o m ( /o g ) = x e (1 ,+ « > )n ( 2x+ 1) e (-1 , 7]
= (x> I) n (-1 < 2 x + I <7) = (x > l) n (-1 < x < 3 ) = xe [1 ,3]
b)
Ran ( / ) <2 Dom(g) e=> D o m (g o /) = {xl x e D om (/) a / ( x ) e Dom(g)}
«=> D o m ( g o / ) = (-1 <
jc<
7) f l ( x - 1)2 > I = (-1 < x < 7 ) D ( x > 2
vjc< 0 )
= x e ( - 1 ,0 ] U [ 2 , 7 ]
5.
Determinación de las reglas de correspondencia d e / o g y g o /
a) ( / o g ) ( x ) = /[ g ( x ) ] = /( 2 a + l) = (2x + 1 - 1)3 = 4 jr . x e [ 1 , 3 ]
b) ( g o / ) U ) = g[/(j:)] = g [ ( ^ - l ) 2] = 2 ( ^ - l ) 3+ l = 2 í 3 - 4 j c + 3 , j t e < - l , 0 ] U [ 2 , 7 ]
[E JE M P L O ~ 2 ^
S e a n / : IR —> R l/(x ) = 2 x - 3 . x e (-1 . 3] ; g : R.
■
IR i g(x) = x + 2 ,
x e [ - 2 , 4 ) y h : IR —» R I h(x) =■ 3x + 7 , x e ( - 6 , 0 ] . H allar / o g o h y
su rango.
Solución
Según la propiedad F C .l : / o g o h = (J o g) o h . Entonces , sea F = f o g (g es
la función de partida y / es la función de llegada).
1. C om oR an(g) = [ 0 , 6 )<2 D o m (/) «=> Dom(F) = {x Ix e Dom(g) a g ( x ) e D om (/)}
.=> Dom(F) = ( - 2 < x < 4 ) fl (x + 2 ) e (-1 . 3 ] = ( - 2 < x < 4 ) fl (-1 < x + 2 < 3 )
= (-2 < x < 4 ) fl (-3 < x < 1) = - 2 < x < I
2. Luego : F(x) = /[g (x )] = / ( x + 2) = 2(x + 2 ) - 3 = 2x + 1 , x e [ - 2, 1 ]
3. Ran(h) = ( - l! ,7]<zD om (F ) e=> D o m (F o h ) = ( x l x e Dom(h) A h ( x ) e Dom(F)}
i=> D o m (F o h ) = (-6 < x < 0) fl ( 3 x + 7 ) e [ - 2 , 1 ] = ( - 6 < x < 0) fl (-2 < 3 x + 7 < I)
= ( - 6 < x < 0 ) D ( - 3 < x < - 2 ) = x e [-3 ,-2 ]
4. E n to n ces: (F o h) (x) = F[(h(x)] = F(3x + 7) = 2(3x + 7) + I = 6x + 15 , x e [-3 ,- 2 ]
/ o g o h = { ( x ,>■)!>• = 6 x + 1 5 , x e [-3 ,-2 ]}
5. Determinación del rango d e / o g o h
S i x e [ - 3 ,- 2 ] »
-3<x<-2 ^
- 18<6x<-12 «
-3<6x+ 15<3
R a n (/ o g o h ) = [ - 3 , 3 ]
E JE M P L O
s
1■ ■
3 )
Sea la función: h (a) = -fíV s£n<*4 + s > >- / ( fl - *)
a+4
■
fl5 t_4
Si / ( x - 2) = x3 - 4 y g(x) = x2 + 4x - 2 , hallar g[h(a)]
Solución
I. Si / ( x - 2) = x2 - 4 <=> /(x ) = (x + 2)1 - 4 = x2 + 4x , x e R
Luego : /(VSgn(x4 + 5) ) = Sgnfx4 + 5) + 4 VSgnfx4 + 5)
2. Pero Sgn(A4 + 5) = I , pues x4 + 5 > 0 , V x € R , entonces : /(VSgn(x4 + 5 ) ) = I + 4 = 5
3. / ( a - 1) = ( a - l ) ’- + 4 ( a - 1) = a 2 + 2 f l - 3
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Capítulo J : Funciones
86
C=* h(a) =
v
4.
5 - (a2 + 2a - 3)
- (a + 4) (a - 2)
i
i = — ---------- 2 -a , a * - 4
a +4
a + 4
Por tanto , g[h(a)] = g ( 2 - a ) = ( 2 - a ) 2 + 4 ( 2 - a ) - 2 , a * - 4
= a 2 - 8a + 1 0 , a e IR - {-4}
E JE M P L O
S olución
4 ]
Si / = 2 I2 - 31 y g - I2 - 1 + 2 , h a l l a r / o g y g o /
a) / o g = (2 V - 31) o (I2 - 1 + 2) = 2 I2 o (I2 - í + 2) - 31 o (I2 - 1 + 2)
= 2(I2 - 1 + 2)2 - 3 (I2 -1 + 2) = 2 I4 - 4 I 3 + 7 I 2 - 5 1 + 2
b)
(FC .3)
(FC .7)
g o / = ( I 2- 1 + 2 ) o ( 2 I 2 - 31) = F o ( 2 I 3- 31) - 1 o ( 2 I 2 -3 1 ) - 2 o ( 2 I 2 - 31)
(FC .3)
= (2 I2 - 3 I)2 - (2 I2 - 31) + 2 = 4 I4 - 1 2 P + 7 P + 31 + 2
D e a ) y b) se cum ple q u e : / o g * g o /
EJEM PLO 5 j
(FC.2)
■
Sea g(x) = * + * con dom inio [-1 , 1) f| 0 , 4 ] ; la función / tiene do­
minio : ( - 1 , 1 ) f| ( 1 , 2 ] y es tal que ( / o g)(.x) = ; r - ; t + 1. H allar la regla
de correspondencia de f ( x ) , el dom inio y el rango d e / o g.
S olución
1. S i/[ g ( * ) ] = jt2 -jc + 1 ■=> / ( * +
Sea u =
.dedonde: * =
X~\
) = jt-jc+1
U - l
Efectuando operaciones o btenem os: / ( u ) = ^
2. D o m (/ o g)
=
{ jc 1 jc e
( ^ | )
/ ( u) = í ^ ) 2 - ( i ± | ) + 1
'
>=> / ( j c ) =
U - 1 /
^
\ u - 1/
,x*\
Dom (g) a g(*) € D om (/)}
*=> D o m ( /o g ) = x e [-1 , 1> U <1 ,4 ]
3.
* y
«
e <-1 , 1>U (1 , 2 ] «
( * + * ) e (-1 , 1) U <1 ,2 ]
a
( l <1 + ^ 7 7 < 0
u ( ' < , + 7 7 / - 2)
« ( - 2 < 1 T T < 0 ) u (0 < - t t £ 1 )
«
[(t 17 > - 2) n
< 0)]
u
[(irr
> 0 ) n t í r * 1) ]
«
[ ( 7 7 7 > 0 ) n ( x - i < ° ) ] u [ ( x - i > 0) n
(A ií so )]
<=> [ ( * < 0 v x > l ) D ( * < 1)] U [ ( * > 1) f) ( * < I vjc¡> 3 )]
<=> [jc < 0] U [x > 3] <=> x e (-©o, 0) U 13 , +<»)
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(a )
Sección LIO : Composición de funciones
87
Luego , en ( a ) : D o m (/ o g) = (x e [-1 , 1) U 0 , 4] ) H (x e (-«» , 0) U [3 , +*«))
= [-1,0) U [3,4]
4.
Determinación del R a n (/ o g ) : ( /o g ) ( x ) = xa - x + 1 = ( x - I /2 ) 2 + 3/4
S i * € [-1 , 0 ) U [ 3 , 4 ] <=> (-1 < jc> 0) U <3 < jc < 4)
[1 < ( / og)(x) < 3 ] U [ 7 < ( / o g ) ( x ) < l 3 ]
.% R a n tf o g ) = ( 1 , 3 ] U [ 7 , 13]
Mota Cuando se trata de efectuar una composición de funciones seccionadas, esto es , si
/ = / , U / 2U
. , U / n, donde el Dom(/) = Domí/.HJ D om tf^U . - ■U Dom(/lt)
g = g, U g2u ■. ü / „ . donde el Dom(g) = Dom(gf) U Dom(gJ U . . . . U Dom(gJ
entonces: / o g = ( /, og,) U ( /, o g 2) U (f2 o g,) U Cf2 o g 2) U . - . • ü ( / no g n)
[E JE M P L O
Solución
6 j
Hallar ( / o g )(x ) sabiendo que
1. S e a n : / , ( x - 3 ) = x t=* /,( x ) = x + 3 , x e [ 1 , 3 )
/ 2( x - 3) = ( x - 3 ) 2 <=> / 2(x) = x3 , x e [ 3 , 7 )
g ,(x - I) = x - 4 «=> g,(x) = x - 3 , x e [ 2 , 5 ) ; g2(x - 1) = 4 i=> g2(x) = 4 , x e [ 5 ,7 )
2. Cálculo de los rangos d e g, y g2
En g , : x e [ 2 , 5 ) <=> 2 á x < 5 <=> -1 < x - 3 < 2 t=t> R an (g ,)= [ - 1 , 2 )
En g j : x € [5 , 7 ) , y = 4 (constante) ■=> Ranfgj) = {4}
3. Ran (g |)f1 D o m (/,) = [-1 , 2>fl [1 ,3 ) = [1 ,2 ) *<J> ^ 3 ( / , o gl)
Com o Ran(g |) a D o m (/,)
D o m ( /,o g |) = {jc Ijc e Dom(g |) a g,(x) e D om (/,)}
D o m (/( o g () = ( 2 < x < 5 ) n ( x - 3 ) e [ 1 , 3 ) = [ 4 , 5 )
■=> Cf,
O
s,K-c) = /,[g ,(x )] = / , ( x - 3 ) = (x - 3) + 3 = x , si x e [ 4 , 5 )
4.
R an(g2) n D o m (/,) = {4} fl [I , 3) = <¡>*=$ í t f . o g , )
5.
Ran(g,) fl D o m (/2) = [-! , 2) fl [ 3 ,7 ) = 0 = > * ( / , og, )
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Capítulo ¡ : Funciones
88
6. Ran(g2) fl Dom(/2) = {4} fl [3, 7) = {4} * <J>=* 3 (/, og,)
Como {4} c [3 ,7) ■=> Dom(/2ogj) = Dom(g2) = [5,7)
(EJEM PLO 7 )
(Obs. 1.15d)
Dadas las funciones / y g hallar, si existe, (g o/)(x)
* [ l * -3 | ] + 2,si2<*<4
Solución
Para redefínir las funciones / y g en su forma más simple debemos eliminar las
barras y los corchetes, esto es
1. En / : si - I < x < 1 <=> 1< x + 2 < 3 «=> — <
3
I* + 2 I
Además , si x > 1 i=> \x I = x
2. En g : a) Para -V2< * < 0 c=> |*| = - x
Ahora , si (-V2 <*<0) = (-V2 < * < - !) v ( - l < x<0)
i=> (1< - jc< V 2 ) v (0<-; c< 1) i=> (1 < ^ < 2 ) v ( 0 < ^ < 1)
=> ( [ ^ ] = l ) v ( [ ^ ] = 0)
b) Si (2 < jc< 4) = (2 <*< 3) v (3 <x < 4) t=> (-1 <x - 3 <0) v (0<* - 3 < 1)
c* ( 0 < U - 3 l < l ) v ( 0 < U - 3 | < 1) «=* [ U - 3 | ] = 0 , V jc€ <2,4)
(/,)
(A)
x? + 2x, si ->/2 < * £ - 1
;g(x) = < 2x
, si - I <x < 0
2
, si 2 < * < 4
(g,)
(g,)
(g3)
Entonce g o/está definida <=> Ran(/) fl Dom(g)*<}>
3. Determinación de los rangos de /, y f 2
En /,, Ran(/,) = 0, constante
En /2, y = x , como* >1 *=> y > 1, luego, Ran(/2) = [1 , +°°)
4. Si interceptamos el Ran(/,) con los dominios de g, , g2y g3, veremos que sólo
Ran(/,) DDom(g2) * 4> ■=» 3(g,o/,)
*=* Dom(g2o/,) = {*l*e Dornt/,) A/,(jc)e Dom(g2)}
=
(-1 <
jc<
1 )
a
0 6 (-1 < * < 0 ) = ( - l < * <
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l ) n ( - l < * < 9 ) = <-l , 0 ]
89
Sección 1.10 : Com/Tosición de funciones
■=>
g J /jC * )]
=
g,(0)
=
2(0)
0 , si
=
(-1
x g
,0 ]
5. Si interceptam os el R a n (/) con los dom inios de g, >g 2 y g3 , encontram os q ue sólo
R a n (/2) n Dom(g3)*4> i=> 3 ( g 3o / 2)
Com o [ 1 , +«>) <z ( 2 , 4 ) ¡=> D om (g3 o / 2) = { x l x e D om (/,)
a
/ 2( x )
e D om (g3)}
= ( A > l ) n ( ^ ( 2 , 4 ) ) = (2,4)
*=>
E/aOr)] = EjC*) = 2 , V
x g
<2 ,4 )
f 0 , SÍ - 1 < X < 0
6. Por ta n to , d e (4) y (5 ) :
(EJEMPLO 8 j
(go/)(x) = s
I 2,s¡2<x<4
■
Sean / y g dos funciones reales definidas p o r:
[ k L i ] , s i x e (-1 , I)
/(* ) =
Vx2 + 2x
, s í x g [1 , 2)
[ ——- , sí jcg [-2 , -1)
x- I
íg W = <
1 - x , si x g ( 0 , 6 )
Hallar el dom inio y la regla de correspondencia de g o /.
Solución
a)
I . En / , si ( - 1 , 1) = (-1 ,0 ) U (0 , I) , entonces
Para x g (-1 ,0 ) , Ixl = - x t=> [
-x-2 T
3 -x '
Ahora,si: - 1 < x < 0 « - 4 < x - 3 < - 3
3
x-3
4
3
b) P a r a x e ( 0 , 1> , Ix l = x >=>
Partiendo
d e x G
x-3
4
<
l
4
x-3
= [ " 1 + 3" ^ ]
( 0 , 1 ) y siguiendo los pasos (a), se llega a la conclusión d eq u e
[ - 1 + 3 ^ ]
Por .a m o , de (a) y (b) : j - | ^ _ 2 j =
2 . «=> /(x ) =
<=> - 4 < —
3
x-3
f-1
, S Í X E <-1 , I)
______
[ Vx2 + 2x , siXG [ 1 , 2 )
= - I , V x e <0 . 1>
, ^
( /,)
( / 2)
( ,
()
f J L - . S Í X G [-2,-1)
; gW = \ x - ]
1 1 -JT , si XG ( 0 ,6 )
La composición g o / e s t á definida c=> R an (/) fl Dom(g) ^ 0
3. Determinación de los rangos de / y f 2 : R a n (/,) = -1 , constante
En f 2 : y = Vx1 + 2x = V( x + l)2 - 1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(g,)
(g,)
Capítulo ¡ ' Funciones
90
Si I < * < 2
■=> 2 < x + i < 3 =¡> 4 < ( x + 1)2 < 9 ^
V3 < V (x + I)2 - 1 < V 8
=> R a n (/2) = [V 3 , V 8 )
4. Com o R a n (/j) fl D om (g,) = 0
y R a n (/,) f| Dom(g2) = <J>, no están definidas g f o / ,
y S2° / r
5.
R a n (/a) n D om (g,) = [<3 , 2 ^ 3 ) fl [ - 2 , - 1 ) = <><=> í ( g , o / 2)
R a n ( / 2) n D om ígj) = [ V3 , 2 ^ 2 ) fl < 0 , 6 ) = [ V I , 2<2> * <? >=*3 ( ^ 0 f 2)
Com o R a n (/2) c Dom (g2) e* Dom (g2o / 2) = D o m (/2) = [ 1 , 2 )
6.
Por ta n to , (g o / ) ( * ) = g^[ / 2(jc)] = g2(Vx2 + 2 x ) = 1 - V*2 + 2x , x e [I ,2 )
■
Determ inar la regla de correspondencia d e / o g .
Solución
Por el método de los puntos críticos en x = 2 , verificar que la función que se puede
redefiinir de la siguiente manera
c /,)
( / ,)
Entonces la f u n c i ó n / o g está definida <=> Ran(g) R D o m (/) * §
1. Verificar qu e : Ran(g,) = ( 2 , +« » ) , R a n (g 2) = ( - 1 , 0 ) y Ran(gj) = [-1 ,+ “ >)
2. Intersección del R an(g,) con los dom inios de / , y f 2
a)
(2 , +<*=) R ( - ° ° ,3 ) = <2, 3) *<> *=> 3 ( / ( o g ()
R an (g ,)<zD o m (/,) ■=> D o m ^ o g , ) = { x l x e D o m f g jjA g /x J e D om (/,)}
i=> D o m (/, og, ) = ( x < 2 ) R (4 - * < 3) = 1 < x < 2
*=* / , íg,(*)] = / , ( 4 - * ) = (4 - x)1 - 4 = x2 - 8x + 1 2 , s i x e (I , 2)
b)
R an (g ,) fl D o m (/2) = ( 2 ,+ ° ° ) fl [ 3 ,- k » ) = [ 3 , + « ) * 0 t=> 3 ( / 2 o g ()
R an (g j) c z D o m (/2) i=> D o m f/jO g ,) = ( r l i e D om (g,) a g ,(x ) e D o m (/2)}
D o m (/2o g ,) = (x < 2 ) fl ( 4 - x > 3 ) = x e ( - ^ . - l ]
=> / 2[g ,(* ) 1 = / 2( 4 - * ) = 8 - (4 - x) = x + 4 , s i x e (-<«,-1]
3. Intersección del Ran(g2) con los dominios d e / y f 2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(8«>
(gj)
(g3)
91
EJE R C IC IO S . G rupo 5 : C om posición d e fim c itm e t
a) R a n fg J fl D o m (/,) = (-1 ,0 ) f l ( - o o ,3 ) = ( - 1 ,0)*< > E ^ a c ^ o g , )
Ran(g2) c Dom( /,) <=> Dom( / , o g j = Dom(g2) = ( 2 ,3 )
b) Ran(gj) n D o m (/z) = ( - 1 , 0 ) n [3,+«> ) = <¡> ■=> í ( / 2o g j
4.
Intersección del R an(g,) con los dom inios de / , y f 2
a) Ran(g3) fl Dom( /,) = [-1 , +<*>) fl (-*», 3) = [-1 , 3) * 0 *=> 3 ( /, o g3)
Ran(g3) «z D o m (/,) =s« D o m ( /,o g 3) = { x l x e D om fg^ a g,(x) € D o m (/()}
*=> D o m (/, o g 3) = (jc> 3 ) n ( x - 4 < 3 ) = 3 < x < 7
■=> /,[& (* )] = / ,( * ' 4 > = (* ' 4 )Z' 4 = x 1~ 8* + 12 , si x e [ 3 , 7 )
b) Ran(g3) f lD o m ( /2) - [- 1 ,+«>) fl [ 3 ,- h » ) = [3,+®°>^<¡)
B í/jO g j)
Ran(g?)tz D o m f/j) eu, DomCfjOgj) = { x | x e D o m íg ^ )a g 3(^r)e Doin( f 2)}
t=> D o m (/1o g J) = ( x > 3 ) fl ( x - 4 > 3 ) = x > 7
t=> f 2 [g3(x)] = / 3(x - 4) = 8 - (x - 4) = 12 - x , si x [7 , -t-~)
x +4
( /o g ) ( x ) = -
, si x e (-o* , 1]
x * - 8 x + 12 , s i j r e (1 , 2 ) U [ 3 , 7 )
x2 - 4x
, si x e ( 2 , 3 )
12- x
, s i x e [7 ,+oo)
E J E R C IC IO S . G ru p o S
1. Si / : [3 , +«>) —» [R está definida por /(x ) = ~ ~ 2 . y g • [ 1 / 2, +05) —> [Resta definida
por g(x) =
JQ
* , hallar el D om (g o / ) .
2.
Dadas las funciones reales / y g , tales q u e /( x - I)
hallar el valor de a tal que ( / o g ) (-2) = -4 a
3.
Sean las funciones reales : f ( x ) = Vi - x y g(x) =
/ o g es A , Hallar 0A.
= 3xa + a x + 12 , g(x+ I) = 5 x + 7,
-— -— - . Si el dominio de la función
Ix2 - 1|
4. S i/( x ) = V2x - I , g(x) = V2x2 - 7 , hallar una función h tal que ( / o hXx) = g(x)
5. Sean las funciones / y g definidas en IR por las ecuaciones f ( x ) = x 2 + 2 y g(x) = x + p , p
fijo. H allar la suina de todos los valores d e p que satisface a la ecuación : ( f o g) (p + 3) =
( g ° / ) (p-3)
6. S i/( x ) = 2xJ - 4 x - 5 , hallar dos funciones g para las cuales ( / o g)(x) = 2xJ + l6x + 25
7.
Hallar todas las funciones lineales / tales que ( J o /)(!/* ) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
A_y
— , x*O
Capítulo I : Funciones
92
[ x 2 + 2x + 2 , s i 0 < x < 3
<
[2 * + 4
, si x > 3
8. Si /(x ) =
y g(x) =
[4x + 5,si0<x<l
<|
[ 3 x 2+ 2 Js i x > I
h a lla r: Cf o g ) (1/4) + 16 (g o / ) (1/2)
9. Sean las funciones / y g definidas en IR , tales que
{
x+2
,six<l
í x 2- 2 , s i x > 2
: g(x) = i
(x - 1)2 + 3 . si x > 1
[x-5,six<2
Hallar la función (g o /)(x ) y dibujar su gráfica.
{
x2 , s i x < l
-x: ,six>2
Hallar el Dom(g o /) .
| - x , si x < 2
; g(jr) = s
[ 2x , s i x > 4
11.
Sean las funciones / y g d efinidas p o r: /( x ) = 1x ] , x e [ 4 , 9 ] , g(x) = x3- x + 1/4,
x 6 [ - 3 , 0 ] . H allar el D o m (/ o g ) .
12. Hallar el D om (g o / ) , si / y g son funciones re a le s, tales que
x*+ 1 , s i x < 1
x - I . si x < 2
/(JC) =
y g(*) =
l-x2
,six>4
[ 2
, si x S 4
I - x . x e (-o o ,-2 )
13.
Sean las funciones /( x ) = 2x2 + l , x e (-2 , 20) y g(x) =
2x
, x e (6 , -H»)
Hallar/o g
14. Determ inar / o g , siendo / y g funciones reales definidas p o r/(x ) = 3x + 2 si x e (-00 ¥-3 )
í
2x , si x < 0
y g(*) = \
[ -3x , s i x > I
15. Sean las funciones reales de variable real
í x + 2 , s ix < 1
/(* ) =
x2
, si x < O
. Hallar/og
; g(*) =
L X- I , s i x > 1
1 - x2 , si x > O
16. Dadas la funciones / y g definidas en IR p o r :
{
x + 3 , si x e [-5 , -3]
2x - 1 , si x e (-3 , 1)
4 x + 1, six g [1,3]
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.H allar ( / o g)(x)
93
E JE R C IC IO S . C r u p t '5 : Ctimpuxit ü m d t fuiH iim ea
17.
Sean las funciones / y g definidos p o r :
f Jt2 - 3jt , si jt < 3
f(x) = <
[ - j c 2+ 3 , s i j t > 3
í 3 - jc , si £ 1
, g(x) = <
. Hallar / o g y su rango
[ 5 - jt, síjc> 1
18. Sean las funciones / y g definidas por
í Vi - x , si x e {-3 , I)
/(* ) =
f jc7 - 4 , si x e [0 . 4]
. Hallar/og
; B(x) =
í
, si x e [3 , 8]
I, 1/r
[ 0
, si jc e (4 , 7)
19. Dadas las funciones
f Ijc I , si x e [-5 , - I]
f(x) =
2
. Hallargo/
1 x1
. s i jc e [1 , 2 ]
Sea la fu n c ió n /(jc ) =
21.
Sean las funciones / y g definidas por
. Hal l ar f o f
[
, si jc < - 2
1 -JC
/(* ) =
, a: e [ 2 , 3 ]
í - 2 + .c S g n ( j r - I ) , x e [ - 2 , 3]
s
Vx + 2
, jc6 [ 4 . 9 ]
20.
-
;g(x)=
(x + 2)2, s ix e [-2 ,- 1 ]
22.
[x * 1] , x € [0, 2>
j
; gCO =
\ x + 6l
-----
, .
, si x 6 (-4,-1)
< U + 31-3
V5
- jc -
2
. Hallar/og
,
si x
e
(-1
, 5)
Para las fu n c io n e s /y g del E jercicio 21 , h allar, si existe , g o / .
23. Sea / ( jc )
=
j r + 3 , x e (-1 , 1) U (2 , 2 ] . Si g e s una función con dominio
(*-l)2
x e [-1 , I) U 0 , 4 ] , tal que (J o g) (jc ) = x 2 ~x + I .h a lla r su regla de correspondencia ,
el dom inio y el rango de / o g.
24. Si / e s una función racional de la forma f ( x ) = ^ + ° » h a l l a r l o s v a l o r e s d e a y b . d e
modo que : < / o / ) (1/jc) =
2"+4* | x e IR - {-2 , -1 , 0 , 1} .
25. S e a n /[g (jc )] = 9x* [g(jc)]2- 4 y h[r(;c)] = 4x 2 - 2 (k + 25 , donde g(x) =
jc ^
26.
1/3 y r(jc) = 2x - 5
, jc>
1 - 3 jc ’
10. Hallar las reglas d e correspondencia d e / y h .
H allar el dom inio y la regla de correspondencia de (F o G ) o (g/ / ) si F o G está
de f i ni do so la m e n te en [4 . 5] y si a d em ás : F = V I , G = (I - 4)(I + 4 ) , g = I y
/ = (I - 2)(I - I ) , donde I es la función identidad.
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Capítulo / ; Funciones
94
C1.11)
F U N C I O N E S C R E C I E N T E S Y D E C R E C IE N T E S
Definición 1.20 : FUNCION CRECIENTE
Una función / es no decreciente en un intervalo [a , b] de su dom inio , si p ara dos
núm eros x, ,x 2 e [ a , fe], se cum ple
•*,< x t *=> f l x j í f i x j )
y si ocurre que
x, < x z ■=> f ( x , ) < f ( x ¿
entonces se d ice que f es estrictam ente creciente o sim plem ente creciente.
E s d e c i r , una función es crecien te o no decreciente en [fl , fe], si al crecer la
variable x los valores de la función tam bién crecen (Figura l .95) o perm anecen constantes
[Figura l .94 : / ( * ,) = / ( x ,) en el tram o CD ]
F IG U R A 1.95 : Función creciente
Definición 1.21 s FUNCION DECRECIENTE
U na función / es no crecien te en un intervalo [a . 6] d e su domi ni o . si para dos
núm eros x , , x 2 e [a , fe] se c u m p le :
** /(-*■() ^ /(■*j)
y si ocurre que
X f < X 2 <=> / ( X j ) > / ( * , )
entonces se dice que / es estrictam ente decreciente o simplemente'¿fecrec/e/ifó.
E s d ecir t una función es decrecien te o no creciente en { a , fe] , si al c re c e r la
variable x , los valores de la función d ecrecen (Figura 1.97) o perm anecen constantes [Fi­
gura l .9 6 : /( x ,) = /( x 2) en el tramo CD]
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Sección ¡.l¡ : Funciones crecientes y decrecientes
95
Definición 1 .2 2: FUNCIÓN MONÓTONA
U na función.se d ice que es monótona en un intervalo [ a b ] de su dominio , si y:sólo si
corresponde d cualquierade las dos definiciones antes mencionadas.
F IG U R A 1.96 : Fimcutn no creciente
EJEMPLO 1 J
Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
a) Si /(x ) = a x + b , entonces x, < x2 no im plica que /(x ,) < /(* ,)
b) la función g(x) = a x 2 + b x + c , a > 0 , e s m onótona , entonces Ranfg) = [
Solución
~
a) Sean x, y x2 dos puntos del dom inio de /( x ) = ax + b [x, < xr
Consideremos los siguientes casos
i) Para a > 0 , si x, < x 2 «=> ax , < a x2 <=> a x , + £>< a x , +b
(Def. 1.20)
■=* / ( * , ) < / ( * 2) , f es creciente
ii) P a ra a < 0 , si x, < x 2 c^> a x , > a x 2 e=* ax , + b > a x , + 6
■=> / ( x , ) > / ( x , ) , /e s d e c re c ie n te
L u eg o , de (i) y (i i ) , s i/( x ) = a x + b , entonces : x, < x 2
P or ta n to , la proposición es verdadera
b)
Sea p : La función g(x) = a x 2 + bx + c , a > 0 , es
monótona
q : El Ran(g) =
. + 00)
Tenemos entonces la proposición ; p <=> q
En p , completando el cuadrado se tie n e :
Si a > 0 , la G r(g) es una parábola cóncava hacia arrib a,
y k=
2a 1
donde h = - ~
~^
4a
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(Def. 1.21)
/(x ,) < / ( x 2)
Capítulo I : Funciones
96
Según la Figura 1.98, g no es una función m onótona pues, para x e
, h] g es decreciente y
p a ra je [h ,
, g es creciente. L uego , V (p) = F y com o el R an(g) = [k , +<»), entonces
V (q) —V.
Por lo que el valor de verdad de la proposición e s : V(F —» V) = F
■
Definición 1.23 : FUNCIÓN INYECTIVA
Sea una función / : A —» B . Si cada elem ento y del conjunto B es una imagen de un solo
elemento del conjunto A , entonces se dice q u e la función / es una inyección o es inyectiva. D icho de otro m o d o , una función/ : A - * B es una inyección si para x, , x 2e A
i)
/(.tj) = /(* ,) en B «=> t, = x , en A
equivalente:
¡i) x , # x 2 e n A c=> f(x,) * /( x ,) e n B
Es d e c ir, en una inyección, la igualdad de las imágenes en el conjunto de llegada B implica
la igualdad de los elem entos en el conjunto de partida A.
O B SER V A CIÓ N 1.16
U na función / : IR
IR es inyectiva o univalente si una línea
horizontal 2 intercepta a su gráfica en un punto.
Una función que es creciente o decreciente en un intervalo [ a , b] es
además inyectiva.
En e fe c to , en la Figura 1.101
O B SER V A CIÓ N 1.17
x t < x 2 *=> / ( * , ) < f ( x 2) , f es creciente
es d e c ir, si x, *-*,en A = [a ,¿ ] «=> / ( * , ) * / ( * 2) en B = [ / ( f l ) , f ( b )] ; por lo que , según
la Definición 1.23, la función / es inyectiva.
A sí m ism o, en la Figura 1. 102
x , < x 2 «=^ / ( * , ) > f ( x 2) , f e s decreciente
es d e c i r . si x, * x 2 en A = [a ,&]•=> / ( * , ) * / ( x 2) en B = í / ( ¿ ) , /( f l) ] ; e n to n c e s , / es
inyectiva.
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Sección l . l l : Funciones crecientes y decrecientes
OBSERV A CIÓ N 1.18
97
Determinación del rango de una Junción inyectiva.
Si una función inyectiva f es continua en un intervalo [a , b] , su
rango se determina calculando los valores f ( a ) y f(b).
A sí en laF igura 1.101 , / es creciente V x e [ a , 6] •=* R an (/) = [/(fl),/(fc)]
En laF ig u ra 1.102 , /e s in y e c tiv a Vjce [a ,b] <=> R an (/) = [/(&) ,/(<z)]
OBSERV A CIÓ N 1.19
Para verificar si una función / : A —>B es inyectiva se toman ( x , y)
6 / y (z >)’) 6 / y se demuestra queje = z
EJEMPLO 2 )
Solución
Sea la función /: IR
R |/(jr) = 2x + 5 . Es / inyectiva?
S e a n x ^ x , e D o m ( /) , tales que , / ( x () = 2 x , + 5 y /(x ,) = 2x2 + 5.
Debemos probar que s i/( x ,) = /( x 2) =* x, = x 2
En efecto , / ( x , ) = / ( x 2) «=* 2 xt + 5 = 2x2 + 5 ■=> 2xt = 2x2
=> Xj = x2 , / es inyectiva.
(EJEMPLO 3 ]
Solución
■
Determinar si la función / : ( - « , -2]IR I/(x ) = x2+ 4 x - 1 es inyectiva
V e (-Do, -2]
Si /(x ) = (x2 + 4x + 4) - 5 ^
/(x ) = (x + 2)2 - 5
Sean x , , x2 e < -« , -2] [ /(x ,) = (x, + 2)2 - 5 y /( x 2) = (x2 + 2 ? - 5
Si /(x ,) = /( x 2) ^
(x,+2 f - 5
= (x2 + 2)z - 5 ^
Ix, + 2 1 = lx2 + 2 |
Dado que x € (-«*, - 2 ] , es decir , x < - 2 >=í> x + 2 < 0 «=* i x + 2 1 = - (x + 2)
L u e g o , si /( x ,) = /( x 2) ■=> - (x, + 2) = - (x, + 2)
•=> x, = x2 , / es inyectiva
Vxe
(-« « ,-2 ]
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■
Capitulo l : Funciones
98
EJEM PLO 4 )
Solución
Dada la función / : IR
¡RI f ( x ) = 2 + 2x - x 2 , restringir su dom inio de
modo tal que / sea inyectíva.
Si f ( x ) — - (x2 - 2x) + 2 o
f(x) = -
( jc
- I )2 + 3
L a G r(/) es una parábola con vértice en V(1 , 3 ) . Figura 1.103).
S e a n x t , x 2 € DomCf) = IR , tales q u e /(* ,) = f ( x 2) «=¿
=4 U t - 1 1 = U ,
-
1 I <=> (jc, - I = jc2 - 1) v
( jc , -
- ( jc ,
- I)l + 3 = -(jr2- l)2 + 3
1 = - x 2 + 1)
o ( x ,= * 2) v (xt = 2 - x 2)
Obsérvese que se presentan dos alternativas de las cuales solo interesa la primera por cum plir
con la condición de inyección.
Por tan to , para restringir el dom inio de / debemos considerar dos
casos
a) Para signos positivos (a la derecha del v értice):
x - I > 0 t=> x > 1
*=* /,(* ) = 3 - ( x - l ) 2 , x e [ l , +«>), es inyectiva
b) Para signos negativos (a la izquierda del v értice):
x - 1 < 0 ■=}• x < I
F IG U R A 1.103
f 2(x) = 3 - (x - 1)5 , x e (-00 , I) , es inyectiva
OBSERV A CIÓ N 1.20
Cuando se trata de funciones seccionadas , esto e s , si
/ , ( * ) , x e D o m (/,)
f 2( x ) , x e D o m (/2)
/(* ) =
/ nO ) . * e D o m (/n)
donde: G r(/) = G r í / ^ U G r t f j u G r Ü ^ U - - . - U G r(/n)
y D o m (/) = D o m (/,) U Dom ( / ,) U D o m (/3) U-. -U D o m (/n) ; f
entonces la función / es inyectiva, si y sólo si
i) Las funciones /¡(x ) . ¡ = 1 . 2 , 3 ............. , n , son
inyectivas, y
ii) R anf/j) fl R an(/j) = ( J) , Vi #j
Es d e c ir, los rangos de las funciones / ¡ deben ser disjuntos
dos a dos.
La Figura 1. 10 4 muestra una función / inyectiva seccionada
/ U f 2 , con dom inio x e [a , b) U [6 , c] = [a , c] y donde se
observa lo sigu ien te:
F IG U R A 1.104
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección I.H : Funciones crecientes y decrecientes
99
a) / , es inyectiva y creciente en [a , b ] , por lo que su rango es [ / , ( o ) , /,(& ))
b) f 2es inyectiva y decreciente en [b , c ] , por lo que su rango es [ f 2(c) , f 2(b)]
A dem ás, de a) y b ) , se observa que Ran( / ,) fl R a n (/,) = ij); lu e g o , / es inyectiva.
3 - 2x
EJEMPLO
■
, si x e [-2 , 1)
D eterm inar si la función /(x ) =
[ - x2 + 4x - 3 , si x € [ 2 , 4 )
es inyectiva o no. Dibujar su gráfica.
Solución
i)
Sean /,(x ) = 3 -2x, x e [-2 , 1) y /,(x ) = 1 - (x - 2)2, x e [2 , 4>
En / , : si /,(* ,) = / ,( x 2) .=> 3 - 2 xx = 3 - 2x2
«=* x, = x , , V x e [-2 , 1) , / , es inyectiva
En f 2 : f 2(x,) = f 2(x2) =* 1- (x, - 7 f = I - (x2 - 2)2 «
U , - 2 | = !x2- 2 l
( 1)
Como x e [ 2 , 4 ) . esto e s , x > 2 «=> x - 2 > 0 , luego Ix - 2 1= x - 2
Entonces en (1) ; x t - 2 = x2 - 2 => x, = x2 . V x 6 [2 ,4 ) , f 2 es inyectiva
i¡) Determ inación de los rangos de / y f 2
En / , ( r ) = 3 - 2 * , x
e
>
y. i
[-2,1)
Si -2 < x < I «=s> - 2 < -2 x < 4 «=> l < 3 - 2 x < 7
^
1< / , ( x ) < 7
R a n (/,) = ( 1 , 7 ]
N
En / 2(x) = I - (x - 2)2, x e [ 2 , 4 )
Si 2 < x < 4
0 < x - 2 < 2 t=& 0 < (x - 2)2 < 4
^
-4 < - (x - 2)2 < 0 .=> -3 < 1 - (x - 2)2 < l
•2 -I 0.
i
2 \
:4 > *•
>=> R a n (/2) = (-3 , I]
•?
Luego , Ran ( / ,) fl R a n (/Z) = < 1, 7] n (-3 , I] = <>
Por lo tanto ,1a f u n c ió n /e s inyectiva.
■
FIGURA 1.105
- x2 - lOx- 2 0 , x e [-5 ,- 2 ]
[e j e m p l o
6^1 Determ inar si la fu n c ió n /(x ) = <j
lillL li
lx + 1 |
es inyectiva o no.
Soluciári
i)
S e a n / (x) = - (x + 5)2 + 5
1
, x e
[-5 , -2] y /,( x ) =
“
Ix+ll
<1 , 3]
, x e (1 ,3 ]
En / , : si /,(* ,) = /,(x 2) <=> - (x, + 5)2 + 5 = - (x2 + 5)2 + 5
<=> (x, +5'¡r = (x2 + 5)2 o
lx ( + 5 1 = lx2 + 5 1
Como x e [-5 , - 2 ] , es decir , x > - 5 <=* x + 5 ^ 0 <=> | x + 5[ = x + 5
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(1)
100
Capítulo J : Funciones
Luego ,e n (1) :jc, + 5 = x 2 + 5 *=»
= x, ,V jre [ - 5 , - 2 ] es inyectiva
E n f 2 , elim inando las barras de valor absoluto obtenemos
f (jf) = - C r - 3 ) - i
3¿ }
x+ l
S i / A ) - / W
-x +2
x+ \
_j
-
7 ^
=> jt, + 1 = jc2 + 1 <=* x, =
ii)
—3_
x + 1' X
jt 2
/j
3,
= 7 ^T
, / 2 es inyectiva
Determinación de los rangos de / y / ,
L a función / , es d ecreciente V jc e [-5 , - 2 ] , pues su gráfica es una parábola con vértice
en V (-5 , -2) y có n cava hacia abajo a la d erecha del vértice. E ntonces , R a n ( /,) =
[ / , ( - 2 ) , /,(-5 > ] = [ - 4 , 5 ]
En
/
2
sí jc e
(1
,3]
■=>
I < jc <
3
2
< jc
1<4
*=>
\
4
jc
+ 1
2
>=> R an (/2) = [-1 /4 , 1/2)
L u e g o , RanCfj) fl R a n (/3) = [ - 4 ,5 ] fl [-1 /4 , l/2> * 0
Por lo tanto . la función / no es inyectiva.
■
Definición 1.24 : FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Se denom ina función sobreyectiva o suryectiva a .una función d e Á e n B cuando todo ele­
m ento del conjunto B es imagen de pór lo m enos Un elem ento del conjunta A . es d e c ir ,
cuando el rango o im agen es todo B (conjunto de llegada).
Formalmente:
f V y e B , 3 * e A |/( .r ) = y
/ es sobreyectiva <=> s
[ o R a n ( / ) = /( A ) = B
[e je m p lo
¿Solución
t )
l. Com o y € (R (IR es el conjunto de llegada) ^ y = 2x + 3
2.
3.
Determ inar si la función / : IR —» IR | f ( x ) = 2x + 3 es sobreyectiva
y _ 3
D espejando* se tiene : x ~ ~ ■
, x e D om ( /) = IR
Aplicando / a cada m iem bro de (2) se sigue que
/(-*) =
** f(*) =
+ 3 ^
= y *v ->’ e R
P o r t a n te ,/ e s sobreyectiva.
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■
101
Sección i. I! : Funciones crecientes y decrecientes
E JE M P L O
S o lu c ió n
8 j
Sea la función / : (R —» (RI /(x ) = x 1- 1 . D eterm inar si es o no sobreyectiva
1. Sea y e IR (conjunto de llegada) «=> y = x7 - 1
2. Despejam os x : x = ± Vy + 1 e = > 3 j c e = > y + l > 0 e = > R an (/) = [-1 ,+«»)
3. Aplicamos / a cada lado de (2) : /( x ) = f ( ± Vy + I ) i=>
/(jc)
= (± Vy + 1 J2 - 1
/( x ) “ y , Vy e ( - 1, +°°)
4. Como el conjunto de llegada es IR y R a n (/) = [-1 ,-h » )
c
[R, e n to n c e s/n o «5 sobreyectiva.
Obsérvese que toda función es sobreyectiva sobre su rango , es decir , toda función de la
f o r m a / : A —» R a n (/) es siempre sobreyectiva. En consecuencia, para saber si una función es
sobreyectiva bastará hallar su rango y com probar si coincide con el conjunto de llegada.
■
f -—
■' ■ t v
EJEMPLO 9 j
Solu ció n
Sea la función / : [-1 > 5) —» (-7 , 5] I/ ( jc) = 3 - 2 x . Probar que / es
sobreyectiva.
1. Sea y e (-7 , 5] (conjunto de llegada) = * y = 3 - 2 x
2.
S i x e [-1 , 5 ) o
«
3.
-1 < x < 5
-10<-2*<2 »
- 7 < 3 - 2 x < 5 <=> y e < -7 ,5 ]
L u e g o , R a n (/) = ( - 7 ,5 ] = conjunto de llegada. Por ta n to , / e s sobreyectiva.
■
Definición 1.25 : FUNCIÓN BIYECTIVA
S ed íc e que una función / : A —»B c s b iy e c tiv a o és unábiyacción si a la v p z es in fectiv a y
sobreyectiva.
EJEMPLO 10 J Dem ostrar que la función /(x ) = mx + n , m , n e (R ,m * 0 ,e s b iy e c tiv a .
D em ostración
D ebem os probar simultáneamente que / es inyectiva y sobreyectiva . En
e fe c to :
1. Sea x , , x 2 e D o m (/) ■=* /( x ,) = m x, + n y /( x 2) = mx2 + n
2. S i/( x ,) = /( x 2) e=> m x, + n = mx2 + n ^
x, = x2 , / es inyectiva
3. Sea y £ R a n (/) = IR I y = m x + n *=> x =
4. Aplicando / a cada extremo se tie n e : /(x ) = / (
)
y com o /(x ) = m x + n , entonces en (a ) : /( x ) = m ( ^ f ~ ) + n «=> /( x ) = y
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(a )
Capitulo I : Funciones
102
Por lo que / es sobreyectiva,
5.
En consecuencia, de (2) y (4) queda probado que / es biyectiva.
E JEM P LO 11 J
'‘S o lu c ió n
■
D eterm inar si la función / : [ - 1,4 ) —» {-9 ,8] I /(*) = 5 - 3* es biyectiva.
1. S e a n * ,, x2 e [-1 ,4 ) «=> f ( x t) = 5 ~ 3 x t y f ( x 2) = 5 - 3 ^
2. Si /(* ,) = f ( x 2) «=> 5 - 3jc, *= 5 - 3x 2 *=$ - 3x, = ~3x2
«=> x t = x 2 , V * e [-1 , 4 ) , / e s inyectiva.
3. Sea y e ( - 9 , 8] (conjunto de llegada) e=> y = 5 - 3 *
4. C om o / es decreciente (p o rq u e ? ), ento n ces p a r a x e [ - 1 , 4 ) , R a n (/) = ( / ( 4 ) , / ( - ! ) ] =
(-7 , 8] * ( - 9 , 8 ] , esto es , R a n (/) * conjunto de llegada, luego , / no es sobreyectiva.
5. En c o n s e c u e n c ia ,/n o es biyectiva.
(1 ,1 2 )
■
F U N C I Ó N IN V E R S A
S ea la f u nc i ón / : A —» B , c u y a re g la d e c o rre s p o n d e n c ia es / = {(* , y ) I
y = / ( * ) , x e D o m (/) = A }. Si / tiene la propiedad de ser biyectiva , entonces se define la
funció n inversa de / , denotada por / * , a la función
f * = { ( > , * )[* = / * ( > ) . * e D o m ( /) }
o b i e n , si
y = /(* ) » * = / * ( y ) , Vx<= Dom ( /)
O BSER V A C IO N ES 1.21
a) D e la definición se tiene , / : A —» B , entonces / * : B —» A , significa que
D o m (/*) = R an (/) y R an (/* ) = D o m (/)
b) Según la definición de función inversa , si / es biyectiva , entonces / * también lo es . De
aquí se deduce que : (/* )* — /
c) Si / es una aplicación / : A —> B , tiene su función inversa / * : R a n (/)
es inyectiva.
^EJEMPL012j
Sea la función / : [3 ,5 ) —> (2 ,4 ] I /(* ) =
función inversa de / .
A , si y sólo si /
•H a lla r, si e x iste , la
Solu ció n
a)
1. Probarem os que / es inyectivay sobreyectiva escribiendo / ( * ) = l + ——
jc - 2
Sean * , , x 2 e [3 , 5) , entonces : /(* ,) = I + — ^
y f ( x 2) = 1 + —
JC. ■ ¿
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X*
/
103
Sección i. 12 : Función inversa
S i/( x ,) = /(X ,) C* ] + - 1 ^
x, - 2
= 1+
*=* x, - 2 = x,<-2
b)
3
x, - 2
x2 - 2
Xj = x2 , / e s inyectiva
Sixe[3,5)<=>3<x<5c^l<x-2<3i=>
■=* 1 <
1
x, - 2
< 3 « 2 < l +
-^ <
< 1
Í 4 «z> 2 < / U ) < 4
R a n ( /) s= ( 2 , 4 ] = conjunto de lle g a d a , lu e g o /e s sobreyectiva
2. Com o / es b iyectiva, según la Obs. 1.21a , la función in v e rs a d e /e s
/ * : (2 ,4 ] —» [3 , 5 ) | x = f * ( y )
3. L a regla d e corresp o n d en cia d e / * se halla despejando x en térm inos de y , haciendo
f ( x ) = y en la ecuación d a d a , esto es :
y =
Z ± 1
x y - 2 y = x + l
<=>x=
«=» / * ( > ) =
2; , V
. y e
(2 ,4 ]
4. Com o la variabley es “ muda” , de puede escribir
/* (x ) = ^ ± 1 , x e ( 2 , 4 ]
^ J E M P to W )
*Solución
■
Sea la función / : [-2 ,1 ) —» IR | /(x ) = 2x + 3 . H allar, si existe, la función
/ * y dibujar en un mismo plano las gráficas d e / y /* .
Com o el conjunto de llegada es IR no podemos afirm ar directam ente que / es
sobreyectiva. Previam ente hallaremos el Ran( /)
1. S i x e [ - 2 , l ) « - 2 í x < l t = ^ - l £ 2 x + 3 < 5 i = > R an (/) = [-1 ,5 ) c IR
Luego , / no es sobreyectiva , entonces según la Obs. 1.21c , la función inversa de / , si
e x iste , tendrá la form a de la aplicación
/ * : R an (/) —> A <=> / es inyectiva
2. Probaremos la inyectividad d e /
Sean x , , x, € [-2 , 1 ), entonces s i /( x ,) = /( x ,) «=> 2 x , + 3 = 2x2 + 3
«=» x, = x2, / e s inyectiva
3. Luego , / * : [-1 , 5) -> [-2 , 1) Ix = /* ( y )
Si /( x ) = y t=> y = 2x + 3 , de donde :x =
P or lo que : /* (x ) = j
■=> f * ( y ) =
(x - 3) , x e [-1 , 5>
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Capítulo 1 : Funciones
104
En la Figura 1.106 obsérvese que el punto P ( 0 , 3) e G r(/)
es el reflejo del punto Q (3 ,0 ) e G r(/* ) respecto de I(jc) ,
o sea la recta y = x es la m ed iatriz del segm ento de recta
q ue une P con Q. E n g eneral el punto P (a , b) e G r( / ) es
el reflejo del punto Q (¿ , a) e G r(/* ) respecto d e la recta
y = x . D e a q u í que la G r( / * ) se obtiene p o r reflexión de
la G r ( / ) , resp ecto d e la recta y = x .
■
F IG U R A 1.106
(1 - 1 2 . 1 )
P R O P IE D A D E S D E L A F U N C IÓ N IN V E R S A
I. Si la función / : A —>B es biyectiva y si / * : B —>A es la función inversa de / , entonces :
F I .l:
f * o f = IA o /* [ /( x ) ] = x , V x e A , siendo D om (IA) = D o m (/)
FL2:
f o f * = IB o /[ /* ( * ) ]
=y . V y e
B , siendoD om (IB) = Ran( f )
IL Si / , g y h son funciones inyectivas o u n ivalentes, entonces
F I.3 :
/ o g es univalente
F1.5 : S i h = / o g e = > / = h o g *
F I.4 :
( / o g)* = g* o f *
F I.6 : S i h = / o g * = > g = : / * o h
"Demostraciones
F I . l ; Sea a e D o m (/)
f{ a ) = b , donde (c , b) e /
Esto im plica que (b , a) e f * , o sea f * ( b ) = a
L u e g o , para c e D o m ( /) : f * [ f( a )] = f*(b) = a
S i x e D om ( / ) .=>
= /* ( > ) = * »
/ * o / = IA
F I .2 : Sea a e R an( / ) , es d e c ir , sea a e D o m (/* ) c=> f * ( a ) = b , donde (a , b ) e f *
Lo cual im plica que (b , a) e f , esto es , f ( b ) = a
Luego , si a e R an( /) t=> f [/*(£()] = f ( b) = a
y s i x e Ran ( / ) .=> / [/*(*)] = f ( y ) = x « • f o f * = IB
F L 3 : Probarem os q u e / o g es univalente.
En efecto , sea h = / o g y sean j c , , x 2 e D o m (/ o g)
S íh tx ,) = h(x,)
Si
, Xj
g
( /o g H * ,) = ( / o g X ^ )
/ [ gfx,)] = /[g f* ,)]
(1)
D o m (/) y siendo f univalente , entonces si /(* 3) = f ( x 4) •=> jc3 = je4
Según (1) : x3 = gfjr,) y x 4 = g(x,) => g(x,) = g (x ,), y como por hipótesis , q es
un iv alen te, entonces se sigue que : x t = x 2
P or lo tanto , / o g c s univalente.
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105
Sección 1.J2 : Función inversa
F I.4 : D emostraremos que ( f o g)* = g* o / *
En e fe c to , de FI.3 , / o g es univalente , entonces existe ( / o g)*
D e la definición de función in v e rsa , si y — tfo g X * ) «=> x = ( /o g ) * ( y )
(2)
Si y = /[*<*)] =» g(*) = f * ( y ) ^ x
(3)
= g * [/* (y )] = (g * o f * ) { y )
De (2) y (3) se tiene : ( / o g )* (y ) = (g* o / * ) ( > ) , V > e R a n (/o g ) = x = D o m (/o g )*
=> ( f o g)* = g * o / *
Corolario
Si / , g y h son funciones univalentes , tales q ue ( / o g o h ) * existe entonces:
( / o g o h ) * = h* o g * o / *
F I.6 : D em ostrarem os que s i : h = / o g •=> g = / * o h
E n e fe c to :
1. S ih = / o g « = » / * o h = / * o ( / o g )
2.
(Composición por la izquierda con /* )
t=> / * o h = ( / * o / ) o g
3.
t=>/ * o h = (ID^) o g
4.
o (J* o h)(x) = a Df o g)(x)
=
(Ley asociativa)
(Propiedad IQ)
ID [g(x)] = g (* ), si g(x) g Dom( / )
5. P e ro D o m (/o g ) = {x Ijce Dom(g) a g(x) e D om (/)}
6. E n to n c e s: ( /* o h)(jc) = g (x ), si jc
g
D o m (/ o g)
t=* / * o h = g , Vjc e D o m (/ o g)
E JE M P L O 1 4 )
■
D ada la función / = {(1 , 3 ) , (2 , 5 ) , (4 , 7 ) , (3 ,8 )} ; hallar / * , / o / y
/o/*.
So lu c ió n "
1. Sea A = {I , 2 , 3 , 4 } = Dom ( / ) y B = {3 , 5 , 7 , 8} = Ran ( / )
Por simple inspección / es inyectiva, pues no existe dos pares con la m isma
segunda som ponente, entonces e x is te /*
Por definición : / * = {(3 , 1) , ( 5 , 2 ) , (7 , 4 ) , ( 8 ,3 )}
D o m (/*) = R a n (/) = {3 , 5 , 7 , 8}
2. / * o g = {(1 , / * [ / 0 ) ] ) >( 2 , /* [ /( 2 ) ] ) , ( 4 , / * [ / ( 4 ) ] ) ,( 3 , /* [/(3 )])}
= {(1 . /* ( 3 ) ) , (2 , / * ( 5 ) ) , (4 , / * ( 7 ) ) , (3 , /*(8))}
= { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 4 , 4 ) , ( 3 , 3 ) } = IA
= Identidad sobre A = D o m (/) = { 1 . 2 , 3 ,4 }
3. f o f * = { ( 3 , / [ / * ( 3 ) ] ) , ( 5 , / [ / * ( 5 ) ] ) , ( 7 , / [ / * ( 7 ) ] ) , ( 8 , / [ / * ( 8 ) ] ) }
= {(3 , / ( ! ) ) . (5 , /(2 )) . (7 , / ( 4 ) ) , (8 , /(3))}
= { ( 3 ,3 ) , ( 5 , 5 ) , ( 7 , 7 ) , ( 8 , 8 ) } = IB
= Identidad sobre B = D o m (/* ) =* {3 ,5 , 7 , 8}
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■
Capítulo / : Funciones
106
EJEM PLO 15) S e a n / y g funciones inyectivas tales que /*(*) =
Si (g*
Solución
2.
O /) ( u ) =
3 , hallar
(/* o
g)(u
I. Si f*( x) = y ■=> x = /(>■): pero , y =
+
' S(*) = ^ * 3 ’
2).
■=> x =
y-2
3y
3,
L uego, f ( y ) = m
y 2 *cam ^ 'anc*° var^a^ es : / ( Jc) = x 2
jc-
3
x +3
3y + 3
A h o ra , si y = g(jc) ■=> jc = g * ( y ) , pero com o y = * ^ «=>jc = - j — p
E ntonces:
g * (> )
= ^ + .~* <=> g * (* )= ^ * +? = 3 +
>• - l
6 v'
jc - l
3. Dado que (g* o /) ( u ) = 3 »
4. Pero en ( 2) : g* ( )
'u-2'
g*[/(u>] = 3 ■=> g * ( ^ )
= 3 +
5. De (3) y (4) se deduce que :
^ ----3u
«
-2
u-2
^
g * ( ^ )
' u -2/
= 3
=
u+
= 3 , de d o n d e, u = 2
6. Por le que : ( /* o g)(u + 2) = /* [g (4 )] =
[EJEM PLO 16 )
^
x - I
= f*0)= 7 ^ 3 = \
Sea la función f ( x ) = ^ +
^
+
—— , hallar f * ( x ) y dibu-
"¿ J y X ^ X "
ja r e n un m ism o plano las gráficas de / y / *
Solución
Si f M ■ (X+^
3X
X
l)
2. Com o / es creciente ( / es una función lineal de pendiente positiva) .entonces
R a n (/) = R - { / ( - 2 ) , / ( l ) , / ( 2 ) > =* R a n (/) = [R - {-7 , - l , !}
3.
Siendo / una función inyectiva (v erificar), entonces
e x is te /* de lafo rm a
/ * : R a n (/) «=> D o m (/)
4. Regla de correspondencia de / * , por dos m éto d o s:
a) H aciendo / (
SÍ ys= 2 c - 3
jc)
= y «=> * = / * ( y )
Jc = ^ ( y + 3) «=> / * ( y ) = ^ ( y + 3)
/*(jc)=^(j: + 3 ) ,jc e lR - { - 7 ,- l,l}
b) H aciendo uso de la propiedad : / o / * = I B
Si ( / o /* )(* ) = x «=> / [/ *( *) ] = x
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107
Sección 1.12 : Función inversa
Luego , aplicando f * ( x ) a la ecuación (/(x ) = 2x - 3 tendremos : f * [/(*)] = 2 f * ( x ) - 3
i=> x = 2 f* ( x ) - 3 , de donde : f * ( x ) =
^E JE M P L O 1 7 ^
Solución
(x + 3 ) , x e R - {-7 , -1 , I }
Sea Ja función / definida por f ( x ) = [ x ] + Vx - [ x j , x e [-1 ,3 ]
a) H allar la fu n c ió n /*
b) Graficar / y f * e;n un mismo plano.
a) Dado q u e x - [ x ] > 0 , Vx e I R, entonces si
[ x ] = n < = > x < x < n + l , n e Z i = > f ( x ) = n + V x- n , x e [n , n + l )
1. Veamos si / e s inyectiva en todo su dominio
Sean x, , x 2 e D o m ( /) , s i /( x ,) = / ( x 2) »=> n + Vx, - n = n + Vx2 - n
=> x, = x,
, / e s inyectiva
2. Determ inación del R a n (/)
[ x ] = n <=> n < x < n + l
<=> 0 < x - n < l
<=> 0 < Vx - n < I
n < n + Vx - n < n + 1
«=> n < /(x ) < n + l => y e [n , n + 1)
Luego , el R an( / ) es la unión de intervalos de longi­
tud unitaria de la form a [ n , n + 1), igual que su domi­
nio , esto es
D o m (/) = R a n (/) =
0
[n , n + I)
ne Z
Com o no hay intersección entre los rangos , la fun­
ción / es inyectiva t=> 3 / *
3. Si y = n + Vx - n «=> x = n + ( y - n j 2e=>
/ * ( > ) = n + (y - n)2 , y e [ n , n + 1)
<=> /* (* ) = n + (x - n)2 ,x e [ n , n + 1)
4. Dibujamos las gráficas de f y f * dando valores a n ( n = - l , 0 , 1 , 2) hastacubrir el intervalo
[-1,3] .e s to e s :
- 1 + ( x + l ) \ x e í-l , 0 )
- 1 + V x + 1 ,X 6 [-1 , 0)
V*
f(x) =
,X E
1 +Vx- 1 , x e [1,2)
2 + Vx~^2 , x e [ 2 , 3 )
3
,x= 3
5.
x2
[0,1)
,xe[0,l)
1 + Cx-1)2 , x e [I ,2 )
/* (* ) =
s.
2 + ( x - 2)1 , x e [ 2 , 3 )
3
,x = 3
Las gráficas de / y / * se muestran en la Figura 1.108
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Capitulo J : Funciones
108
O B SER V A C IÓ N 1.22
Función inversa de una función seccionada______
Sea / una función seccionada definida por :
/ / r J . r e D o m l /,)
/ 2( x ) , x e D om {J2)
f ( x ) = <| / 3( x ) , x e D o m (/3)
x f „ ( x ) , x e D o m (/n)
tal que / : A —» B , donde A = U D om (/¡) y B = |J R an(/¡)
¡=i
j= i
Entonces se dice que / tiene inversa / * : B —» A , si sólo si
i) Las funciones /¡(x ) , i s 1 , 2 , 3 , . . . , n , son inyectivas
ii) R an (/j) fl R an (/j) = $ , V i * j
Es decir *los rangos de las funciones / ¡ deben ser disjuntos dos a dos.
EJEMPL018)
H allar , sí e x is te , la función inversa de
V2 + x - x 2 + l . s i x e [-1 , I/2]
/(*) = <
2 " “ T 7 *sixe<2.4)
x+ I
Si existe / * , dibujar / y / * en el m ismo plano.
Solución
l . Probem os la inyectividad de /
a) Sean : / ,( x ) = l + V9/4 - (x, - l/2 )2 y x, , x 2e D o m (/,)
Si f ( x t) = /{* ,) <=> l + V9/4 - (íj - l/2 )2 = I + V9/4 - (x2 - l/2)2
>=> (x, - I/2T = (x2 - 1/2)2 => Ijc , - 1 /2 1 = \ x 2 - 1 /2 1
C o m o x e [-I , I/2] t x < 1/2 e=> -(*, - I/2) = - (x2- 1/2) = j . x l = x 2 , / , es inyectiva
b) Sean : / 2(x) = 2 S i / 2(x,) =
/ 2( X 2)
, x , , x2 g D o m (/,)
=3 2 -
= 2-
o
X l +
l =
X2 +
«=> x, » x2 .
2.
l
f 2 es inyectiva
D eterm inación de los rangos de / , y / 2
/ , es creciente en [-1 .1 /1 2 ]
R a n (/,) =
, /,(l/2 > ] = [I .5 /2 ]
f 2 es creciente en < 2 , 4> ■=* R a n (/2) = C f,(2), /,(4)> ~ <-1/3, 3/5)
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Sección 1.12 : Función inversa
109
(Verificar analíticam ente la obtención de los rangos d e / , y / 2)
S ie n d o /, y / , inyectivas y R a n (/,) fl R a n (/2) =<}>,/es inyectiva e=> 3 / *
3.
Obtención de la función /*
a) En / , , si y = /,(* ) «=>x = / ,* ( y )
P e ro , y = I + V9/4 - (x - 1/2)2 o
jc = 1 ± V9/4 - ( y - l) 2 = 1 ± 1 V5 + 8y - 4y2
Como el D o m (/,)= [-l . 1/2) . o s c a x í í 1/5 .=> /,*(>’) = \ (I - V5 + 8 y - 4 y 2) , V y e [1 ,5/2]
o bien : f * ( x ) =
(1 - V5 + 8* - 4x2 )
b) E n / 2 , s i y = f 2(x) & x = f * ( y )
D ado q u e : y = 2 -----t=> x = { +
x+1
2-y
/ 2* (y ) ~
,ye<-l/3,3/5>
1 ( 1 - V5 + 8jc-4jc2) , s i J t e [ 1, 5/ 2]
/• «
= i x+5
, si jc e (-1 /3 , 3/5)
F IG U R A 1.109
2 - jc
4.
O bsérvese en la F igura l . 109 que las gráficas de / y / * son partes de las circunferen­
c ia s '<?y\ (jc - 1/2)- + ( y - 1)- = 9/4 y
( x - 1)2 + ( y - l/2)2 = 9/4 , respectivamente.
EJEMPLO 19 J Sean las funcione* : g(jc) = V ¡jc2 - 4 1 - 3 , jc g (-o s, -4] U (0 ,2) y
f 2 -jc 2
. s í j c g [V3 .2]
/(jc) - s
[ 1 - V ¿ ^ 4 , s i * € < -« ,- 4 ]
, t ales que / = h* o g
a) D em ostrar que / y g son funciones inyectivas
b) Hal lar la funcióp h.
Solución
a) S e a n /,(jc )= 2 - x 2
[V3 , 2] y f 2(x) = l - Vjc2 - 4 , jc e <-«>, -4]
1. E n / , : s i /,( * ,) = / ,( x 2) >=> 2- j c, 2 = 2 - x 22 *=> U J = \x2\
Como x e [V3 , 2 ] , es d e c ir, x > 0 «=> jc, = x 2 ,
/ , es inyectiva
E n / . , : s i / 2Cx,) = / 2(*2) >=> I - Vx,2 - 4 = 1 - i x 22 - 4 ■=> |x, I = !jc2 )
Dado que jc € (-«» , - 4 ] , esto es jc < 0 ■=> -jc, = -x,
jc,
= jc2 ,
/ 2 es inyectiva.
2. Determ inación de los rangos
/,( * ) = 2 - j 2 es decreciente en [V3 ,2 ] ■=> R an( /,) = [ / ,( 2 ) , /,(V 3 )] = [-2 ,- 1 ]
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■
Capítulo ¡ : Funciones
110
f 2(x) = 1 - Vx * - 4 es creciente en
Siendo R a n (/,)
fl
,-4 ] ■=> R a n (/,) = ( / 2(-°°) . / 2(-4)l
= <-°° , 1 - 2^3 ]
R a n (/,) = ó , / e s in y ectiv a, entonces e x is te /*
f x2 - 4 , si x2 > 4 <=> ( x < - 2 ) v ( x > 2 )
3. Hn g : Ijc2 - 4 1 = <
[ 4 - x2 , si x2 < 4 <=> (-2 < x < 2)
Interceptamos estos dominios parciales con el Dom(g) y obtenemos
í Vi2""-4 - 3 , si x < - 4
g W = í ,____
[ V 4 -X 2 -3,siO<x<2
(gl)
(g2)
4. En g , , sean x , ,x 2 e Dom (g,)
S ig ,(x ,) = g,(*2) ■=> Vx,2 -
4
- 3 = Vx22 -
Com o x e (-«», - 4 ] , es d e c ir , x < O
-3= o
4
-x, = -x2
| x , | = | x2l
x, = x2 ;
g | es inyectiva.
Análogam ente , p arax , ,x 2 e Dom(g2) se prueba q u ex , = x 2 ; g2esinyectiva
5. Determ inación de los rangos de g, y gj
g,(x) = Vx3 - 4 - 3 es decreciente en (-«* ,-4 ]
Ran(g |) = [g ,(-4 ), g,(-°°))
= [2>/2 - 3 , +°°>
gj(x)
=
V 4 -X 3 -
3 es decreciente en ( 0 , 2 )
<=>
Ran(g2)
=
(g ,(2 ), g2(0)
=
(-3 , - 1 )
D ado que Ran(g l) fl R a n (^ ) s= <J>, entonces g es inyectiva , V x e Dom(g)
b)
Si / = h* o g => / o g* = ( h * o g ) o g * = h * o ( g o g * ) => f o g * = h * o I = h*
Luego , h = ( f o g * ) * = g o f *
(P ropiedad F l.4)
1. Determinación de la función inversa de /
E n / , : si y = 2 - x 2 <=> x = + V2 - y t=> / * ( y ) = + V 2 - y
C o m o x e [V J , 2 ] , esto es , x > 0 <=> / * ( y ) = V 2 - y
En f 2 : si y = 1 - Vx2 - 4 « x = + V4 + ( y - I)2
/ * ( y ) = + V4 + ( y - l) 2
P e ro x e (-<», - 4 ] , e s d e c ir, x < 0 *5 /* (> ’) = - ^ y 2 ~ 2 y + 5 , y € (-<», l - 2 ^3 ]
í
/*(*) = <
V 2^I
, x e [-2 , -2]
(/*)
,________
t - V F T i m " , XE<- oo, 1 - 2 V 3 ]
( / 2*)
2. g o / * está definida <=* D om (g) fl R a n (/* ) * ó
C o m o R a n (/,* ) = D o m (/,) = [V3 ,2 ] y R a n (/2*) = D o m (/2) = (-“ ,-4 ] .v e m o sq u e
sólo existen g[ o f 2* y g^o / , *
A dem ás: R a n t/ ^ c i D o m f g ,) «=> Dom(g, o
f * )
~
D o m (/2*) =
( - « , - 4 ]
R a n ( /* ) c D o m ( g 2) <=? Dom(g2o / * ) = D om ( f * ) = [ - 2, - 1]
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EJERCICIOS
3.
111
G rupo 6 . Función inversa
( g , o / 2*)W = g, [/,*<*)] = g , M j e - 2 * + 5 l = V ( ^ - 2 t + 5 ) - 4 - 3 = I x - l l - 3
P e r o r e <-«>, 1 - 2V3 ] , es d e c ir, x < 1
%
o
(g, o
- - ( • *-
1 ) - 3
= g3[/* (x )] = g2(V 2 T 7 ) = V4-C2-JC) - 3 = ^ 2
=
-
a
- 2
-3
[ Va + 2 - 3 , si x e [ - 2, - 1]
h(x) = g[/* (x )] = 5
_
I-x-2
, sixe
I -2>/3 ]
E J E R C IC IO S . Grupo 6
1.
Sea la función / : [1 ,4 ]
[a , b ] , tal q u e /(x ) s x 3 -2 x + 3 . D em ostrarque la fu n c ió n /
es inyectiva y hallara y ¿ p a ra que sea biyectiva.
2-
Si / , g y h son función es de IR en !R , definidas por las ecuaciones : /(x ) = 2 1x I - x ,
x + 1
g(x) = * ^
, h(jc) = 2x + 3 . Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
x-2
a) /e s in y e c tiv a
b)
g es sobreyectiva
3. Sean las funciones iwyectivas :/ ( x )
= 3a 2 - 6 x +
4 ,x e
c) hesin y ectiv a
[1 ,+ °°)
y g(*) =
,x^-l.
Si /* [g * (a )] - 2 , hallar el valor de n = / [ g ( a + 8 /5 )].
4. Dem ostrar que la f unci ón/ : IR—»(-1 , 1) |/( x ) =
x
es biyectiva.
1 + 1x1
5. S i g : A —» B y / : B —* C , son funciones inyectivas , dem ostrar que ( J o g ) : A —» C es
inyectiva.
6. Si / , g y h son funciones inyectivas, dem ostrar que si
h = / o g « = > / = hog*
(Propiedad FI.5)
7. A nalizar si las'funciones reales / y g son inyectivas.
- 2 x + 10 , a < 0
/(*> = <
V*2 + 1 6 , 0 < x < 3
,
a
- x 2- I0 a -2 1 ,A 6 [ - 5, - 1]
g(*) =
> 3
Xa - 4
8.
Ia - 2 l - 1
+ 3|
Sea la función lineal /( a ) = a x + b , x e [ - 3 ,3 ] , a > 1/2
a) Sih(A) = / ( a ) + /* (x ) =
a + - | .h a lla ra y b
b) Si g (A ) = I a + 3 ! - I a + 1 [ , h a lla r. si e x iste , / o g .
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, x e <1 , 2]
112
9.
Capítulo l : Funciones
S i / * es una función biyectiva tal que / * ( * ^
) = c > hallare! conjunto solución de
la inecuación / ( c) > ------J '
x +4
10. S e a la fu n c ió n /in y e c tiv a .d e fin id a e n IR por la ecuación
f(x) =
- V i -jc , x < i
x -[x ] ,\< x< 2
3x-5
, 2 < Jt< 4
. H allar /* (-2 ) + 2 /* ( 1/2) + 3 /* (2 )
11. Si / y g son funciones reales tales q u e / ( * - 1) = 3at + 2 y g(2x + 3) = 4x + 4 ; hallar
(g * o /) ( x ) y (/* o g )(x )
12. D e c im o s q u e u n a fu n c ió n / : A —» (R , con A c E e s e stric ta m e n te d e c re c ie n te si
V x ,, x 2 € D o m (/) : x l < x 2 «=> f ( x {) > f ( x 2) . D em ostrar que si una función g : A —» B .
con B c IR es sobreyectiva y estrictam ente d e c re cien te, entonces : a) g tiene inversa ,
b)
g* es estrictam ente decreciente.
13. Sea la función :
a)
[
jc 3 - 2j t + 2 , x < 0
h(x) = s
[ - 3x* - 6 x + 2 , x > 0
D em ostrar que h es estrictam ente decreciente.
14. D em ostrar que la función
h a lla r/*
/ ( jc )
f
b) D eterm inar h*
1
= \ (12 - 4 x + x 2) , x e [ 0 , I) U [2 , 3] es in y ectiv a y
2
2-x2
,V 3
<JC<2
15.
Sean las funciones : /(x ) = <
[ l - Vjc2 - 4 , x < - 4
H allar (g + /* )(jr)
16.
Sea la función f ( x ) h a lla r/* .
^
^
r JC- 1
- I , x e (1
y g(x) = \ x - 2 1 , x € [-4 , -3/2]
, 2)
.dem ostrar q u e / e s inyectiva y
,*e[-I,2]
17. Sean las fu n cio n es : / ( * ) = <! [ 2jc1 - 2 f jc 1
[ -------- *-------- , x e <2 , 3>
: g(x) =
,x±2
H allar si existen , las funciones / * , g * y ( / o g )*
í - ± ( x 2 - 2 x - 5 ) , x e [I ,4 ]
18. Sea la función real / : A —> B |/ ( x ) = s
[ - 2x + 3
, x € [ -2 , I)
Haciendo las restricciones posibles, hallar A y B para que / sea biyectiva, de modo tal que
el dom inio restringido sea el m ayor posible.
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113
EJERCICIOS . G rupo 6 : Funcum m \*rsu
19. Si /(x ) =
20. SÍ / ( a ) = ( U
*>
3a , hallar los valores de a de m odo que f ( a - l) = /* ( a 2+' 2)
2a -
5 1 + 1 + a ) V5 - x , hallar si e x iste , la función f*( x)
En los ejercicio s 21 al 3 4 , se dan las funciones reales / , probar q ue son inyectivas y
h a lla r , en cada c a s o , la función / *
4 - V a2
2 i. m
+ l2x + 27 , x < - \
x 2 + 6x + 6
,a > 0
, x e [-3 , - 2 )
a2+ 2a - 2
23. f ( x ) = <
x e (. |
l* + 3 l
2)
a2 + 4a - 5 , a g
[-2,
/(a) =
4x
2x* + 8 a
- 7 , jc < 2
-\J x + 6
>x<2
x 2 + 2x + 2 , x < \
, x e [5 , +«=)
[
- jc2 , x e (-©o , 2 )
28. f ( x ) =
A
r
^
2a 4. Í 2
I
,a g
< -~ ,- l>
,a g
[-1 , 0 ]
i
/(jc) =
+ lQ r +
21 , a g
[-7 , -5)U
1+V Á TT
, A€
[ a ] , a g [-1 , I)
[-2
, a g [-9,-1)
í Va - 3
, a g [3,+ «> )
32. / ( a) = ^
[ A2 + 2 x - 3 , A e [-1 , 1)
, -I)
í - Vl
34.
/ ( a) =
, * 6 [ 1 ,2 )
+ V a-
[ a ]
l-V ^c
8a + 7 , a e (-3 , - I ) U (4 ,7 ]
,_____
V 7 -2 a
, a g [-1 ,3 )
I
, a g [ 2 . - h ~>
f x2
30.
a2 -
2
,x <
- i x 2
l x + 4 , x e <0, +©o)
a
a3+ 4
x S g n ( ‘x ^ y ) ■; c e í"3 ’ 2)
^
.X£ <2,4>
x-2
33.
, x e [ - 2 ,2 ]
26. /(x ) =
x -5
31. / ( a) =
Va + 2
a g
i
I)
25. f ( x ) =
f(x) =
.
-
24.
U - 2 1 - 1
29.
[ A , - 2>
I j ^ + l
22. / ( a ) =
=
/(a)
<-1 , 3]
- a
, a < 0
=
L
X2
+ 1, A
> 0
En los ejercicios 35 al 4 0 , se dan las funciones reales /
a) H a lla r. si existen , las funciones / *
b) D ib u ja r, en cada c a s o , las gráficas de / y / * en un mismo plano.
35. m
f a2 + 2 a + 2 , a g
,-1 )
= <
[-Vx+ 1
, A G [-],+ « > )
36. /(.r) =
Í - a2 - 2 a
, a g [- 3 ,- 1 )
<
[ 2 + V 3+ 2A -A 2 , 1 6 [-1 , 1]
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Capítulo ¡ : Funciones
114
1^-41
- x2 - 4x - 3 , x e ( - « , -2]
, jce [ 0 , 2 )
38. /(* ) =
37. /( x ) =
3 + Vx
39. /( x ) = <¡
,x
g
- ^ x * + x - 1 , x e [2, +°®>
[ J , +«»)
- 4 - ( x + 2)2 , x e [ - 5 ,- 2 )
2 x [x + 3] , x e ( - 2 . - l >
2
4
+
Vx +
I
,X G
,3 )
< -]
í - (j
40.
f (x)
=
^
[
, si JT= -1
+
t
6x
+ 8 ),
x e { - « > , -4 ]
x + 3
. ;t€
Vx^T
, x e [ 1 0 ,+eo)
(0 ,3 )
41. Sean las funciones : /( x ) = s
[ x +1 , x > - 1
H a lla r, si e x is te , la función h = / o g*
42. Sean las f u n c io n e s /y g definidas por
í I0-V2-X , x < - 2
/ (* > =
í 4-x
í
.
[ j^ + 4
g «
=
,x<- 3
í
,2 < x < 4
lV 2T 3,3<xS4
D eterm inar una función h , si existe , tal que g = h* o /
2x3- 12x+ 2 , - 2 < x < 3
43. Sean /( x ) =
iJC< _ 2
y g(x) = -
x+2
x -3
, x> 3
H allar la función h = / * o g indicando su dom inio y regla de correspondencia
I x - 1 1 - 3 ,x
e
(-60 , | - 2>Í3 ]
44. Sean las funciones : h(x) =
; g(x) = V |x 3 - 4 1 - 3 , si
V jc + 2
xe
(-0 0
- 3 , x e [-2 ,-1 ]
, -4 ] u (O , 2 ] . Si h = g o / * , hallar la función / .
45. Sean / , g , h y t funciones reales definidas por
Six) -
f 2 -x ,x < 0
<
[ 3-x ,x > 4
f V jT l,x > I
; h(x) = s
[ x
,x< 0
- 1- V ^ .x < 0
t(x ) =
x-3
,x> 4
S i t ^ h o g o / , hallar las funciones g y g* , si es que existen.
46. Sean las funciones g y / definidas por :
V81 Sgn(x- 3) + x2 , x < - 9
g(x) =
|-x ^ 6 j
. - 9 < x < 0 y /( x ) = { (x , ^ 7 ^ 7 ) I x2 > 49} . H allar g + / *
V l x - 11 + 8 , x > 0
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115
Sección 1. ¡3 : Función longitud de arco
(1 .1 3 )
F U N C IÓ N L O N G IT U D D E A R C O
Consideremos la circunferencia unitaria (radio= l )con centro en el origen de coor­
denadas :
V = { ( x , >) e ÍR2 1x3 + y 2 = l } <= ÍR2
Fijem os el punto P0 = ( l ,0 ) com o punto de referencia (punto inicial). Sea a e ÍR el arco PÜP ,
donde P = (x , y) es el punto m óvil (punto final). Si a tiene orientación positiva ( a > 0)
entonces P se m ueve en sentido antihorario desde P(l (Figura l . 11 ü a ) . Si a tiene orientación
negativa ( a < 0) entonces P se mueve en sentido horario desde P0 (Figura l . 110b)
Podeinos decir entonces que a cada número real a le corresponde un único punto ( x , y) de la
circunferencia. Es decir , esta correspondencia es una función vectorial cuyo dominio es el
número real a y su rango el par ordenado (x , y) que representa al punto P sobre la circunferen­
cia.
Se define entonces una función L de IR en IR -, tal que L ( a ) es el punto P cuya distancia a lo
largo de rff a ( l , 0) es a radianes.
F I G U R A 1.110
Definición 1.26 : FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO
Se denomina función longitud de arco a la correspondencia L que asocia a cada longitud de
arco a un único punto P(x , y) e
x 2 + y1 = I . Esto es •
L : IR -»
, ré a tRJ
« t * (x , y) , .x* + y 1 = 1
[ EJEM P LO 1 j
Considerando que la longitud d e la circunferencia unitaria es 2 n , tene­
mos las siguientes correspondencias entre puntos sobre # y los ángulos
cuadrantales : 0 , n / 2 , n , 37t/2 y 2rt
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Capítulo ¡ : Funciones
116
L : a - » ( * ,y )
Significado
a)
L(0) = ( l , 0 )
Al arco cuya longitud es ct= Ole corresponde el punto (I , 0)
b)
L(n/2) = ( 0 , I )
Al arco cuya longitud es a = rt/2 le corresponde el punto ( 0 , 1 )
c)
L(7t) = ( - 1 , 0 )
Al arco cuya longitud es a = n le corresponde el punto ( - 1 ,0 )
d)
L(37t/2) = ( 0 ,- 1 )
Al arco cuya longitud es a = 3ti/2 le corresponde el punto ( 0 , - 1 )
e)
L(2 ji) = ( 1 , 0 )
Al arco cuya longitud es a = 2 te le corresponde el punto ( 1 , 0 )
C om o la distancia 2n corresponde a una revolución levórica (senti­
do antihorario) sobre 9? y la distancia-271 corresponde a una revolu­
ción dextrógira (sentido horario) sobre í?, es evidente que al arco a y al arco a + 2 n le corres­
ponde el m ism o punto ( x , y) € í?. Por tanto, es fácil notar que la función L : IR - » f 'e s una
función periódica de período 2n , es d e c ir:
O B SER V A C IO N 1.23
L ( a + 2rt) = L (a )
, V a e IR
lo que im plica:
L ( a + 2nJü) = L(ct) , V a e [ R , V n e Z
para n revoluciones levóricas si n e Z+ y dextrógiras si n € Z '
E je m p lo s :
1. L(7tc) = L(íi + 3 x 2iz) = L(it) = ( - 1 , 0 )
2. L(9it/2) = L(Jt/2 + 2 x 2n) = L(Jt/2) = ( 0 , 1 )
3. L(-2l7t/2) = L(-Tt/2 + (-5 )x 2 n ) = L(-7t/2) = ( 0 , - 1 )
O B SER V A C IÓ N 1.24
En el AOQP de la Figura 1.110 a, el ángulo central PO Q tiene por
medida el arco a , entonces
0
Cateto opuesto
y
S en a = —7=----= -7- = y
Hipotenusa
1
;
Cateto adyacente
x
C o sa = — —-----= 4 = x
Hipotenusa
i
de modo que el p u n to P e f?si p u ede expresar p o r P = (C os a , Sen a ) . L uego , la función
L : IR —» r(? nos se rv irá , a h o ra , para definir las funciones trigonométricas.
[1 .1 4 )
LAS FUNCIONES T R IG O N O M ÉTR IC AS
En esta sección estudiarem os las seis funciones
trigonom étricas, em pezando por las funciones circulares básicas
que son el Seno y C o se n o , éstas se denotan por Sen y C o s ; y se
definen com o s ig u e :
Para cada a € R , Sen a y Cos a son , respectivam ente , la
segunda y prim era coordenada de la función P = L ( a ) , siendo
P el punto cuya distancia , a lo largo de la circunferencia ^ ,
desde P0 = (1 ,0 ) es a , esto es :
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F I G U R A 1.111 : P = L ( a )
117
Sección /. 14 : Las funciones trigonométricas
( Cos a ^.Sen a ) - L í$ ) , V a e R t
E ntonces,
a) Sen : IR —» IR
a —> Sen a = ordenada de L(ct)
b)
C o s : IR —» IR
a —» C os a = abscisa de L (a)
EJEMPLO 2 )
a) M ediante el uso de la definición de función circu la r, hallar Sen(Ji/2)
y Cos(7i/2)
b) Hallar todos los a tales que Sen a = 0
c) Hallar todos los á ta le s q u eC o s a = 0
d) Hallar el valor de Sen(3n/4) y Cos(37t/4)
Solución
a) Com o L(it/2) = ( 0 , 1 ) y L(tü/2) = ( Cos ^
( 0 , 1) = ( Cos \
b) Si Sen a = 0 «
, Sen \ ) »
, Sen ^ ) , e n to n ce s:
Cos f = 0 y Sen J = 1
L (a) = ( 1 , 0 ) ó L (a) = ( - 1 , 0 )
<=» a = 0 + 2n7t ó a = 7 t + 2 n 7 t , V n e Z
«> a = { - 2 n , 0 , 2tc , 4 r t , . . . . } U {-3tc, - n , n , 3 n , . . . .}
<=» a = { - 3 rc , -2 tt , -71, 0 , tc , 2jt , 3 n
c) Si Cos a = 0
» L ( a ) = (0,l)
ó
} = nrc , n € Z
L (a) = ( 0 ,- 1 )
e=> a = ^ + 2 n 7 t ó a = ^7 r + 2nr c, n e Z
<=> a = { . . , - y J t , - | , y te , y tc , . . U
< = > o= {. . . - ■ | i c , - - | 1- | , - | j i , - | n , ^ i t , - | 7 t , y f t , . . . } = - | + n J t , n E Z
d)
Sea U = ( x , y) un vector unitario en la dirección del vector
v = (-1 , 1) .L u eg o , si
!=> U =
(- 1 , 1)
V2
r lo que si L (37t/4) = u = ( - - i , , - j = )
Entonces ; Sen (3n/4) = ~
O BSERV A CIÓ N 1.25
y
Cos(3n/4) = “
L a correspondencia que existe entre los puntos de la circunferencia
9?: x1 + y2= 1 , extrem os de los arcos a , y los puntos del plano IR2
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118
Capítulo I : Funciones
hace posible e sta b le c e r, entre otras , algunas relaciones típicas de la trigonom etría com o las
siguientes
a) Al ser P(Cos a , Sen a ) e V : x 2 + y 1 = 1 , se obtiene la relación fundamental
C o s 2a + S en 2a = I
b) Dado que P es un punto de la circunferencia u n itaria, tanto su abscisa com o su ordenada
en el plano cartesiano varían entre -1 y I , y com o tal
- 1 < Sen a < 1 <=> i Sen a I < I
- I < Cos ex < I <=> I C os a I < I
c) De L ( a + 2níC)
= L (a ) , V a e IR y V n e Z , se deduce inmediatam ente que
C o s(a + 2 n n ) = Cos a
y
S en (a + 2n7i) = Sen a , V a e K . V n e Z
'Nota
Las restante funciones trigonométricas : tangente , cotangente , secante y cosecante se detinen
en términos del Seno y Coseno , por lo que debemos eliminar los a e IR tales que Sen a = 0 y
Cos a = 0
Definición 1.27 : LAS OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sean los conjuntos : D = { a € R l a ^ n í t , n e Z } y E = { a € l R | a í i - ^ + nTC1n e Z ).
Entonces definim os:
a)
Tg : E —> IR
c) Sec : E - » l R - ( - l , l >
a —> T g a = J é Hí L
Cos a
b)
a —> Sec a =
Cotg : D —» IR
1
Cos a
d) Cosec : D —> ER - ( - 1 ,1 )
a —> C o tg a = —Q--—
Sen a
a —> C oseca =
*
Sen a
Además , si a e [R y L (a ) = ( x , y ) , por la Definición 1.2 7 , se tiene
a) S en a = y
c) T g a = y
b) C o s a = x
d) C otga = y
i EJEMPLO 3
, x*0
, y*0
e) S eca = f)
, x *0
C oseca = y
. >^0
) H a lla r el v a lo r q u e tom an las fu n c io n es trig o n o m é tric a s en el
a = 5 ti/3
\Sulucivri | Com o
arco
= 2 it- y , laF igura 1.113 m uestra a la circunferencia W : x l + y 2 = I
en la que a > 0 y cuyo punto terminal P(a: , y) está en el IV cuadrante.
El triángulo rectángulo OQP tiene ángulos de 30° y 60° y por geometría sabemos que la longitud
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119
Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas
del cateto opuesto al ángulo de 30° (OQ) es la mitad de la hipotenusa. Estoes, s ijt= l / 2 e y < 0 .
entonces de x 7 + >'2 = 1 se obtiene : y = - VI - Jt2 = - V3/2
YA
b) Cos^-— n ) = x = ■—
[1 .1 4 .1 )
e)
Sec
rcj = — = 2
PROPIEDADES DE LAS F U N C IO N ES TR IG O N O M É TR IC A S
Para todo a e I R , d onde lus funciones trigonom étricas respectivas están d efinidas , se
cum p le:
1. Sen ( a + n/2) = Cos a
4. C o tg (a + n/2) = - T g a
2. Cos ( a + n/2 ) = - Sen a
5. Sec ( a + n/2) = -C o se c a
3. T g ( a + n/2) = - C o tg a
6. C asec (a + n/2) = Sec a
Dem ostración
Recordemos que si v =
(x, y) es un vectoren IR: , el ortogonal a dicho vector
es V1 = ( - y ,x ) .G eom étricam ente el vector vA se obtiene mediante un giro
antihorario de 90° del vector v (Figura 1.114).
A hora , com o a los núm eros reales a y a + n /2 les corresponde , respectivam ente los
puntos P(* , y) y Q (- y , x ) , apoyándonos en la notación del vector ortogonal podem os
escrib ir : L ( a + n /2 ) = [L (a )]'L
Es d e c ir, si
L ( a ) = ( x , y ) <=* L ( a + n /2 ) = ( x .y ) 1 = (-y ,a :)
E ntonces:
Por lo q u e :
(Cos a , Sen a ) = ( x , y ) <=> [C os (a + n /2 ) , Sen ( a + n/2 )] = (- y , a:)
I. Sen ( a + n/2) = x = Cos a
4.
2. C os ( a + n/2) = - y = - Sen a
5. Sec ( a + n/2) = —y = - Cosec a
3. Tg ( a + n/2) =
6. Cosec ( a + n/2) = -i = S e c a
= - C o tg a
Cotg ( a + n/2) =
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- Tg a
120
Capítulo 1 : Funciones
TEOREMA 1 .3 :
A r c o s ig u a le s y d e s ig n o c o n tra rio
Para todo ct e I R . d onde las funciones trigonom étricas respectivas están d e fin id a s , se :
cumple
1. Sen (-a). = • Sen a
4. Cotg (-á) = - C otg á
2. C os(-a) = CoS a
5. S ec(-a) = Sec a
3. T g (-a) = —T g a
6. Cosec (-a) = -C o se c a
D em ostración
En efecto , estas igualdades son consecuencia de que los puntos P = L(cc) y
Q = L (-a ) son sim étricas respecto del eje X . y a que p or e sta r en una
línea vertical les corresp o n d e la m ism a abscisa , en tanto que sus ordenadas difieren en
signo (F igura 1.1 15) , por lo ta n to , si
L (a ) = (x , y ) «
L ( - a ) = ( .* ,- y)
L u e g o , se sigue que :
l. Sen (-a) = - y = - S e n a
„ ^ , _A
Sen (-a)
- Sen a
3. Tg (-a) = 7 7 7 7 7 7 =
Cos (-a )
Cos a
5. Sec (-a) =
2. Cos (-a ) = x = C o s a
^
= - Tg a
1
=
1__
= Sec a
Cos (-a )
Cos a
TEOREMA 1 . 4 :
^
,
Cos (-a)
4. Cotg (-a) = c _ ,
= - Cotg a
Sen (-a)
6. Cosec (-a) =
1
= - Cosec a
Sec (-a)
Arcos com plem entarios
Para t p d p á e £R, donde las funciones trigonom étricas están definidas ,s e cum ple
L Sen
(vJ 2
- a) = C os a
4. Cotg (7 t/2 - a ) = T g a
2.
C o s ( 7 t/2 - a ) = S e n a
5. Sec(7t/2 - a ) = C osec a
X
Tg (tc/2 - a ) = Cotg a
6. Cosec .(it/2 -a ) = ^ e c a
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121
Sección 1.14 ; Las funciones irigoiwmétricas
D em ostración
En efecto , haciendo uso de los Teoremas 1.2 y 1.3 , se tiene :
1. S e n (rc /2 -a ) = Sen [(-a) + 7i/2] = C o s (-a ) = C o s a
2. C o s ( n /2 - a ) = Cos [ ( - a ) + ?t/2] = - Sen ( - a ) = - [-S en (a)] = Sen a
3. Tg (nl2 - a ) = T g [(- a ) + nf2] = - Cotg(- a ) = - [- Cotg (a)] = Cotg a
Los otros casos son similares.
TEOREMA 1 . 5 :
A r c o s s u p le m e n ta rio s
Para todo a e IR »donde las funciones trigonométricas están definidas , se c u m p le :
1. Sen (7i - a ) = Sen a.
.4. Cotg (7t - a ). = - Cotg a
2. Gos (n - a ) = - Cos a
5. Sec {n - a ) - - Sec a
3.
6. Cosec (7T- a ) = Cosec a
T g (7 ü ra ) = - T g a
La demostración se deja como ejercicio.
TEOREMA 1.6 :
A r c o s q u e d ifie re n e n ji ra d ia n e s
V.r e (R . donde las funciones trigonom étricas están definidas ..se cum ple
1. Sen ( a + 7t) = - Sen a
4. Cotg (a + rt) = Cotg a
2. C o s.(a + 7t) = - C o s a
5. S e c ( a + n) = - S e c a
3. T g ( a + rt) = T g a
6. Cosec (a.+ rc) = - C osec a
La demostración se deja a cargo del lector.
EJEMPLO 4 )
E n la c irc u n fe re n c ia u n ita ria de la F i­
g ura !. 116 : a = longitud del arco QP y
P = ( - 3 /5 ,4 /5 ) . Hallar un punto T de la circunferencia tal que
la longitud del arco Q T sea a +
Solución
S Í L ( a ) = P ( x , y) <=> L ( a ) = (-3 /5 ,4 /5 )
y si T = L (a + liíI2 ) = L [(a + 3n/2) + 2rt]
F I G U R A 1.116
Entonces : T = L ( a + 3ir/2) = L [ ( a + - j ) + r c ] = - L ( a + ^ )
(Teor. 1.6)
= -lL (a )]1
(Teor. 1.2)
L ueg o :
T = - [(- 3/5 .4 /5 )]1 = - (- j
, - |)
= (j
, -|)
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Capitulo I : Funciones
122
( E JEM P LO 5 ^
S i la lo ng it ud d el a rc o Q T P e s a y la
f~
ya
longitud del arco Q T e s a - 5n/3 , hallar
f t v- . t
4 Sen p - 3 C os P , d o n d e p es el ángulo form ado p o r O Q y
ÓT.
Solución
Com o el radio de la circunferencia es r —5 , desig­
nemos un vector unitario U en la dirección de O P .
E ntonces:
u = L (a) =
F I G U R A 1.117
^
..(-3,4)11
^ )
5 1 5
'
Si QTP = a = * r a = a « a
«de donde : Cos a = - | y Sen ct=
= 5cx
_
í Sen P = Sen ( a - 4 )
QT = rp i = > a - 4 K = 5 p < = > P = a - -f i=> <
J
Cos p = Cos ( a - ^ )
En ( 1): Sen P = Sen a Cos f - Cos a Sen § =
( j) ({)
Cos P = Cos a Cos y + Sen a Sen = ( - y ) ( Í )
4
P o rta n te : 4 Sen P - 3 Cos P =
O B SER V A C IÓ N 1.26
_
- (" j ) ( ^ )
+ ( f ) (^ )
3
=|
Las seis funciones trigonométricas son periódicas
El período de Sen , Cos , Sec , y Cosec es 2n
b)
El período de la T g y de la Cotg es jt
D em ostración
(2 )
=4 * q ^
=
'' ^ +\ Q ^
,
Periodicidad de las fu n c io n e s trigonom étricas_______________
a)
E JE M P L O 6 ]
(1)
S i / U ) = Sen(ax + b ) y g(x) = C os(ax +6) , a > 0 , demostrar q u e / y g so n
funciones periódicas con período T = 2ida
1. Supongamos que f ( x ) = Sen(ax + 6) es una función periódica con período
T > 0 , entonces
i)
Si jc e D o m (/) = fR «=>
( jc
+ T) e D o m (/) = (R
¡i) 3 T > 0 1f ( x + T ) = f ( x ) , Vx e D o m (/) = IR
2.
En particu lar , para x = 0 : /(O + T ) = /(O) <=> / ( T ) = /(O)
3.
Pero /(O) = Sen(0 + h) = Sen b <=* /( T ) = Sen i*
4. Por otro lado , evaluando / (
jc
+
T ) se tie n e :
f{x + T) = Sen(fl(jr + T) + b] = Sen[(ax + b) + aT] = Sen(ax + b) CosaT + Cosfox + b) Sen oT
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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas
123
5. Si x = O <=> /( T ) = Sen b Cos a T + Cos b Sen a T
y por (3 ): Sen b = Sen b C os a T + Cos b Sen a T
6. La igualdad será válida si se cumplen simultáneamente q u e :
( Cos a T = I )
a
( Sen a T = 0 )
En ambos casos : a T = 2tc , 4 r t, 6tc , . . . . , n n , n e Z par
SÍ a T = n n . n e Z par t=> T = nn/a , n e Z par
7. L uego , si / es p eriódica , su período mínimo lo obtenem os eligiendo n = 2 , esto es :
T = 2 n !a .
8. Con g(x) = Cos (a x + b) se procede en forma sim ilar.
EJEMPLO 7 ^
Solución
■
D eterm inar ei período de la función / ( jc) = Sen
2c
+
2
Sen
3 jc + 3
Cos
5 jc
Si la f u n c ió n / es periódica y su período es T > 0 , se debe cum plir la condición :
f ( x + T) =
/ ( jc)
, Vx e D o m (/) = IR
Esto es : S en(2r + 2T) + 2 Sen(3x + 3T) + 3 Cos(5x + 5T) = Sen 2x + 2 Sen 3x + 3 Cos 5x
P or el ejem plo an terior sabem os que las funciones Seno y C oseno tienen com o período nrt
si n e Z p a r , o bien 2 n r t , si n € Z
Sen (2x + 2T) = Sen 2 x «=> 2T = 2n ,71, n ( € Z
Sen ( 3 jc + 3T) = Sen 3x t=> 3T = 2 n ,n , n2 € Z
Cos (5jc + 5T) = C o s 5 jc e=> 5T = 2 n 3Jt, n } £ Z ,
L uego, s i :
*
de d o n d e :
T =
2n,7t
2
2 n 27t
3
2niít
5
nt
~
T
n->
= ?
( 1)
n»
= f
_
s n € Z
n, = 2n , n2 = 3n , n3 = 5n
Los menores valores de n , , n, y n3 para que se cum ple la condición
/ ( x + T) = /( x ) , V x e Dom( /)
lo obtenem os con n = 1 .e s to e s n, = 2 , n , = 3 y n3 = 5 q u e a lre e m p la z a rlo se n (I),re su lta
q u e : T = 2n
m
(1 .1 4 .2 )
G R Á FIC A S DE LAS F U N C IO N ES TR IG O N O M É TR IC A S
Usaremos el círculo unitario para dibujar las gráficas de las funciones trigonomé­
tricas. Una mirada a la Figura 1.U 8 m uestra lo siguiente
1. A » ( I , 0) es el origen de los arcos a
2. m (a ) = m (A P) = m (^ A O P ), e s la m ed id a , en ra d ia n e s , del a rc o a d e sd e el p u n t o
A = ( l , 0 ) hasta el punto genérico P = ( x , y ) .
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Capítulo 1: Funciones
124
3. OP = (Cos a , Sen a ) es el vector unitario
4. x = OH = C os a , es la proyección del vector un itario O P sobre el eje X (abscisa del
punto P).
5.
y = HP = OC = Sen a , es la proyección del vector
unitario O P sobre el eje Y (ordenada de P)
6. Á f = Tg a
En e fe c to , AOHP = AOAT
,=> -1-1- = J £ L o
OH
OA
.S en a
C o sa
AT
1
^
X ga
B
7. PN = C otg a
En e fe c to , AOHP = AOBM
^
^
OH
HP
BItf
OB
Cosa = BM
Sena
1
o
B M = C o tg a
F IG U R A 1.118
P e r o , AOBM = AOPN «=> BM = PÑ
=> PN = Cotg a
8. OS = Sec a
(Verificar)
9. OM = ON = C osec a
(Verificar)
L GRÁFIC^JpE LA FUNCIÓN SENO
F IG U R A 1.119: Gr(Sen) = {(a . Sen a ) I a e [ 0 . 2 « ] }
O BSERV A CIO N ES
1. El máximo valor d é l a función Seno es I y el m ínimo e s - 1 , es d e c ir, es a co tad a, p u e s :
- I < S e n a < 1 , V a e IR
2. Com o Sen a = - S e n (-a ), V a e IR , la función Seno es periódica impar (T = 2 n ) y com o tal
su gráfica es simétrica respecto del origen.
3. La función Seno es p o sitiva V a e [ 0 , re], I y II c u a d ra n te s , y negativa V a e (7t, 2 n ),
III y IV cuadrantes.
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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas
125
4. Es creciente en el I y IV cuadrantes, y decreciente en el II y III cuadrantes
5. La gráfica de la función Seno se conoce com o la curva senoidal u onda senoidal.
II.
G R Á F IC A D E LA FU N C IÓ N C O S E N O
OBSERV A CIO N ES
1. La función Coseno es a co tad a, pues su rango = [-1 , l ] , V a 6 IR
2. La función Coseno es una función periódica par, pues Cos a = C o s(-a ), V a € R y como tal
su gráfica es simétrica respecto del eje Y.
3. Es positiva V a e [ 0 ,n /2 ] U [3 n /2 ,2 n ] , I y I V cuadrantes, y es n eg ativ a V a e {n /2 ,371/2),
II y III cuadrantes.
4. Es decreciente en el I y II cuadrantes y creciente en el III y IV cuadrantes
5. Com o S en(a + n/2) = Cos a , la gráfica de la función Coseno se puede obtener trasladando
la Gr(Sen) a una distancia n/2 unidades a la izquierda. De este m o d o , la G r(Cos) se conoce
también como onda senoidal.
III.
G R Á F IC A D E LA FU N C IÓ N TA N G E N T E
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Capitulo / : Funciones
126
OBSERV A C IO N ES
1. L a función tangente no es acotada , dado que su rango = IR
2. Es una función periódica im par (T = ti) , pues : T g a = - T g (-a ),V a € Dom(Tg). Su gráfica
es simétrica respecto del origen.
3. Es positiva V a e [0 ,J t/2 ) U [jc , 3jc/2) , I y III cuadrantes , y es negativa V a e (jc/2 , 7t) U
(3 k /2 , 2 jc) , II y IV cuadrantes
4. Es creciente en todo su dominio.
IV.
G R Á F IC A D E L A F U N C IÓ N C O T A N G E N T E
<•
s
Y 4
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/
¿ S \
\ a
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:
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• A *
\
1
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G (
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\
•
\
|2 7 t > x
1
k’
j
|
G'
l
\M ‘
J
N.
F IG U R A 1.122 : Gr(Cotg) = {( a , Cotga) la € R y a í n i . n e Z }
OBSERVA CTÓNLS
1. L a función cotangente no es acotada toda vez que su rango = IR
2. Es una función periódica im par (T =
J t),
pues :
Cotg(cx) = - C o tg ( - c t) .V a e Dom(Cotg)
Su gráfica es sim étrica respecto del origen
3. Es positiva V a € ( 0 , Jt/2] U (J t, 3 jt/2 ], I y III cu adrantes, y es negativa V a e ( jc/2 , re) U
<3jc/2 , 2 it) , II y IV cuadrantes.
4. Es decreciente en todo su dominio.
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Sección 1. ¡4 : Las funciones trigonométricas
V.
127
G R Á F IC A D E L A FU N C IÓ N SE C A N T E
.........!
•
F/C\ 7 ^ 1
Gl
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j
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V i
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^ y
211
i
V
w
* M‘
F IG U R A 1.123 : Gr(Sec) = { ( a , Sec a ) la e IR y a * | + n u t n E Z }
O BSERV A CIO N ES
1. La función secante no es acotada pues su rango =
-1 ] U [ I , +°°)
2. Es una función periódica par (T = 2 it), p u e s: Sec a = S e c ( - a ) , V a e Dom(Sec a ) y su gráfica
es simétrica respecto del eje Y.
3. Es pasitiva V a € [ 0 , jt/2) U 0rc/2 , 2 n ] , I y IV cuadrantes y es negativa V a 6 (n/2 , 3it/2),
ITy III cuadrantes.
4. Es creciente en el I y II cuadrantes , y decreciente en el III y IV cuadrantes.
VI.
G R Á F IC A D E L A FU N C IÓ N C O S E C A N T E
-Y/
e
f/ A
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'
........ , .......... .
!
^V
*F I G U R A 1 .1 2 4 : G r(Cosec) = { ( a , Cose a ) l a €
IR y a * r m , n e Z }
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.
Capítulo I : Funciones
128
O BSERV A CIO N ES
1. La función cosecante no es acotada, pues su gráfica se extiende indefinidamente hacia ± <*>.
Su rango es =
-1 ] U [ 1 , +oo)
2. Es uría función periódica impar (T = 2rc), pues Cosec a « -C o sec(-a), V a e Dom(Cosec),
y com o tal su gráfica es simétrica respecto del origen.
3. Es positiva V a e <0, 7i), I y II cu adrantes, y es negativa V a e ( n , 2 n ) , III y IV cuadrantes.
4. Es decreciente en el 1 y IV cuadrantes, y creciente en el II y 111 cuadrantes.
Cuando empleamos la variable x en lugar de a y escribimos y = Sen x o y = Cos x ,
entendemos que x puede tomar cualquier valor real y las funciones se evalúan con x medido
en radianes.
Nota
O B SER V A C IÓ N 1.27
Conociendo la forma básica de la gráfica de las funciones trigono­
métricas es posible dibujar otras más complicadas. La discusión de
traslaciones y reflexiones estudiadas en la Sección 1.4 es aplicable para las funciones trigono­
métricas , cuyas reglas de correspondencia están definidas de la forma
y — a Sen bx
y = a Cos bx
y = a Sen b(x - h)
y ~ a Cos b(x - h)
y — k ± a Sen b(x - h)
y = k ± a Cos b(x - h)
donde a , b , h y k son números reales, a * 0 , b * 0
Para cada una de estas fu n cio n es:
A = la l = Am plitud de una onda senoidal = y | ym.(i - yni|B|
D = Ih l - Defasam íento de la gráfica de la función correspondiente
T = 2n!\ 61 , es el período fundamental de las funciones dadas
[ E JE M P L O 8 J
Solución
D ibujar un ciclo de onda senoidal definida por las funciones :
1. f ( x ) - 4 Sen 2 ( * -
) n=>a = 4 , 6
= 2 , h = nf2
Período de la función : T = 2tí/I b I r=> T = Tt
Apelando a la form a básica de la función Seno , dibujamos un ciclo de la función en el
intervalo [ 0 , i t ] , según el orden siguiente
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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas
129
a) y = Sen 2 x , con amplitud A = I
b) y = 4 Sen 2x , con amplitud A = 4
c) y = 4 Sen 2(x - n/ 2) , con defasamiento o traslación horizontal de la gráfica en (b) . n/2
unidades a la derecha (Figura 1.125)
2.
/(x )= 3 C o s
= 3 Cos ^ ( * + - § ) ^ f l = 3 , 6 = i t / 2 , h = -2/3
je+
Período de la función : T = 2rc/1 n/2 [ <=> T = 4
Según ia forma básica de la función coseno, dibujamos un ciclo de la función en el intervalo
[ 0 , 4 ] . El orden es el siguiente :
a) y
=
Cos
( y
b) y - 3 Cos
jc)
,
con amplitud A
=
1
* ), con amplitud A = 3
c) y ~ 3 Cos ^ ( x + - j ) , con traslación horizontal de la gráfica en ( b ) , 2/3 unidades a
F I G U R A 1.125
3. / ( jc) = - 2 S e n ( ^ )
^ a = - 2 , 6
F I G U R A 1.126
= 2 7 t/3 ^ > T = ^ = 3
Dibujam os un ciclo de la onda senoidal en el intervalo [ 0 , 3 ] , del m odo sig u ien te:
a)
y = Sen
, con amplitud A = I y T = 3
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Capitulo I : Funciones
130
b) y = 2 Sen ( ^ p " ) , con amplitud A = 2 y T = 3
c)- y ~ - 2 Sen (
)
4 - /(•*) = 2 + C os
( jc
»reflexión en el eje X de la Gr( / ) en ( b ) . (Figura 1.127)
- 7i/2) = w z = 1 , 6 = 1
, h = itf l , k = 2 y T = 27t
Según la form a básica de la función coseno , dibujamos un ciclo de la onda senoidal en el
intervalo (0 , 2n + 7t/2], del modo siguiente :
a) >• = Cos x , x e [ 0 , 2jc]
b) y = Cos(x - 7 t/2), desplazam iento horizontal de la gráfica en ( a ) . tc/2 unidades a la
derecha.
c)
y = 2 + Cos(jc - n / 2 ) , desplazam iento vertical de la G r ( /) en (b) , 2 unidades hacia
a rr iba. (Figura 1.128)
Nota
Lasgráficas de las funciones más generales de
f(x) = a Tg b(x - h)
,
}(x) = a Sec b(x - h)
f(x) = a Cotg 6(jr - h) , f(x) = a Cosec b(x - h)
pueden analizarse en forma semejante . Sin embargo . paraéstas funciones , no existe amplitud.
(1 .1 4 .3 )
O TR A S G R Á FIC A S DE LA S F U N C IO N E S S EN O Y C O S EN O
Las funciones definidas com o la suma d e funciones seno y coseno se presentan
con m ucha frecuencia en aplicaciones de matemáticas. En particular si representamos por h la
suma de dos funciones f y g en las que intervienen seno y coseno , con el mismo dom inio , de
manera que
h(*) = /(x ) + g (x ), V x e D o m (/) fl Dom(g)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
131
Sección 1. 14 : Las funciones trigonométricas
entonces la gráfica de h puede obtenerse a partir d e las gráficas de / y g mediante la adición
gráfica de las o rdenadas, esto es
Gr(h) = G r(/) + Gr(g) , Vx e Dom( / ) D Dom(g)
•> Sugerencias para dibujar la gráfica de la función h
1. Elegir las funciones / y g indicando sus períodos y amplitudes. D e aquí deducir el período
fundamental de h.
2. Construir las gráficas de / y g con el período fundamental de h.
3. Elegir un número suficientes de valores de x de donde se trazan líneas verticales. (General­
mente se eligen aquellos puntos donde las gráficas de / y g interceptan al eje X o en las
intersecciones de ambas gráficas.)
4. Sobre estas líneas v erticales, con una regla o co m p ás, se suma gráficamente las distancias
d irig id as/(x ) y g(x).
[EJE M P LO 9 ^ Dibujar la gráfica de la función : h(x) = 2 Sen (-^) + 3 S e n ( ^ )
Solución
1. Sean f ( x) = 2 Sen
y
g(x) ~ 3 Sen
L a amplitud d e / e s 2 y su período es T =
La amplitud de g es 3 y su período es T =
= 4 ji
= 6rt
De modo que el período de h es T = 6n
2. Dibujamos un ciclo para g (trazo fino) y un ciclo y medio para / (trazo punteado), tal como
se indica en la Figura 1.129.
3. Elegimos los puntos x - n , 2n , 3n , 4tc y 5ti y el que corresponde a la intersección de las
gráficas de / y g . Sobre esos puntos se trazan rectas verticales.
4. Sobreestás líneas verticales se suma gráficamente las ordenadas de los puntos correspon­
diente en las gráficas d e / y g . Por ejem plo, en x = x , ,/( x ,) y g(x,)son am bos positivos de
modo que el punto ( x ,, h(x,)) puede obtenerse midiendo distancia dirigida /(x ,) y sumando
ésta a la distancia dirigida g (x ,). A sí, el punto ( x ,, híXj)) se encuentra por encim a del punto
(* ,» g (x ,)). En x - x 2, f{Xj) es positiva y g(x2) es negativa, d e modo que el punto (x2 , h(x2))
está debajo del punto (x2 , /(x 2)).
5. C om oh(-x) = - 2 S e n (-^ )-3 S e n (-^ J = -h (x ) >=^h(x) = --h (-x ), la función h es periódica
impar. Por tanto , si se tiene la G r(h) en [ 0 , 6n] se puede obtener su gráfica en [-6 jt, 0] por
propiedades de simetría respecto al o rig e n .
■
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Capítulo I : Funciones
132
\
\ i
3
v
G W
’/ T
\s
2
^
/
A
\
l
0
Q d s)
\/'
:
\ í *
\ / * ■
' KV
f r 5 x
T v
l
-2
F I G U R A 1.130
[E J E M P L O 1 0 ]
Solución
D ibujar la gráfica de la función : h(jt) = Cos 2 jix - 2 Cos n x
I. Sean : f ( x ) = Cos 2jl* y g(jc) = 2 Cos nx
El período de / es T, =
2n
= I , y el de g es T2 =
2n
= 2 d e m odo que
el período de h es T = 2
2. Dibujamos dos ciclos para / (trazo punteado) y un ciclo para g (trazo fin o ), com o se ilustra
en la Figura 1.130.
3. Dividimos el período fundamental de h en 8 p u n to s, desde los cuales trazamos líneas verti­
cales.
4. Sobre estas líneas verticales , m ediante la adición gráfica de las ordenadas obtenem os la
gráfica de h(trazo oscuro) en x e [ 0 , 2 ] .
5. Como Cos(-*) = C o s* c=> h(-*) = h (* ),V * e D o m (h ). Luego , si se tiene la gráfica de h
en [ 0 , 2 ] , se puede obtener fácilm ente su gráfica en [-2 , 0] por propiedades de sim etría
respecto al eje Y .
■
Nota* La función del siguiente ejemplo no contiene funciones de seno y Coseno , sin embargo se
puede llegar a éstas por medio de las identidades trigonométricas.
(e j e m p l o 1 1 ^
D ibujar una gráfica de la función
“
Solución
VI Cosec ( n x / 12) - Sec (n x / 12)
2 Sec ( n x / 12) ■Cosec ( n x / 12)
Por m edio de las identidades recíprocas correspondientes se llega a la fórm ula :
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Sección ¡.14 : Las funciones trigonométricas
133
/W = | c o s ( M
«
M
-
Cos ( f ) C o s ( S )
.
Sen( | )
) . . Se „ ( f )
Se„ ( M )
.
c o S( M
+ S )
.
C os-jy
(x + 2)
A_
De do n d e, el período de la función es : T =
- = 24
*
71/12
Conociendo la forma básica del Coseno podemos dibujar un período de la función en el interva­
lo [ 0 , 2 4 ] , con el orden siguiente :
a)
y = Cos x , con amplitud A = 1 y período T = 2 n
b) y = Cos (y iy ). con amplitud A = 1 y período T =
c) y = Cos
24
(jc + 2) .co n traslaciónhorizontalde lagráficaen ( b ) , 2 unidades
a la izquierda.
El trazado de la gráfica de la función / se deja como ejercicio.
(e je m p lo 12 ]
Solución
■
p ¡b uja r h, gráfica de la función h fx j- x + Sen x , p arax e [0 , 2n]
l . Sean f {x) = x y g(jc) = Sen x
2.
Se dibujan las gráficas de / (trazo fino) y g(trazo discontinuo) en el mismo
plano coordenado (Figura 1. 13 1)
3. Se traza los puntos en los valores de x para los cuales Sen x = 0 , esto es , x - 0 , n , 2 i t . En
estos puntos la Gr(h) intercepta a la G r (J)
4. Se obtienen otros puntos de la G r(h) mediante la adición gráfica de ordenadas , eligiendo
algunos valores arbitrarios de x , tales com o x = nJ2 y x = 3nf2
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Capítulo l : Funciones
134
5. C om oh(-x) = - x - S e n x e=> h(-x) = -h(x), la función h es unafunción im pary p o rello su
gráfica es simétrica respecta al origen . Por lo ta n to , si se tiene la G r(h) en x e [0 , 2 n ] , la
posición de la Gr(h) en x e [-271,0], se sigue de las propiedades d e simetría.
■
[EJEM PLO 13 J Dibujar la gráfica de la función definida por h(jc) = £ Sen x para
x e [-n , 0) fl {0 , jc]
Solució n
1. O bsérvese que h(-je) =
Sen(-x) = - y
(-Sen x) = y Sen x = h(x)
entonces h es una función par y por ello su gráfica es simétrica respecto al eje
Y . Por ta n to , prim ero dibujarem os su gráfica para x e (0 ,7i].
2. Como -1 < S e n x < 1 , y s i x > 0 t=> - y < y
Senx < y
3. Sean : /(x ) = - y y g(x) = y , cuyas gráficas son hipérbolas equiláteras que tienen por
asíntotas los ejes coordenados.
4. Si dibujam os las gráficas de estas hipérbolas p a ra x > 0 notaremos que la G r(h) se encuentra
entre las gráficas d e / y g.
5. Dado que Sen(n/2) = I , la Gr(h) corta a la Gr(g) en x = tc/2 . A d em ás. la Gr(h) intercepta
al eje X en x = 7 t, pues Sen n = 0 .
6. Ahora b ie n , com o Sen x > 0 ,Vx € {0, 7t], en este intervalo la Gr(h) se encuentra arriba del
ejeX .
7. D e toda esta inform ación se dibuja Ia G r(h )e n { 0 , jc] .según se muestra en la Figura 1.132.
8. La porción de la G r(h) en x e [-jc , 0 ) se dibuja de acuerdo con las propiedades de sim etría
respecto al eje Y.
9. Obsérvese q u e e x iste u n punto abiertoen el eje Y locual indica q u e e n x = Ola función no
tiene sen tid o , es d e c ir, /( 0 ) no existe.
■
EJEMPLO 14 j
Hallar el período y dibujar la gráfica de la función
/(x ) = I Sen Ttx I
Solución
Si / es periódica ■=» 3 T > 0 1/( x + T ) = / ( x ) , V x e D o m (/) = IR
En p articu lar, para x = 0 e D o m (/) : /( T ) = /(0 )
Pero com o /( 0 ) = ISenOl = 0 y /( T ) = I S en riT l , entonces I Sen 7cT I = 0 , cuya solución
es : n T = k n «
T = k<= Z+ ^
T = { 1 . 2 . 3 . 4 , . . .,n}
L u e g o , el período m ínim o o fundamental de la función / es T = 1
Obsérvese que si usáramos la fórm ula T = 2 n / \ b I para hallar el período de la función /o b te n ­
dríamos , T = 2jc / 7c = 2. Esto significa que cuando se trata de funciones trigonom étricas d e la
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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas
135
forma
/(x ) = k ± | a S e n f c ( x - h ) | o f { x ) = k + |a C o s & (x - h )|
el período de estas funciones, por el valor absoluto, se recorta en la m itad , esto es
T -
—
I 2i l \
2 \\b \i
- _ZL
Ibl
C om o f ( x ) > 0 , V x e D o m (/) = IR >4 O í I Sen n x I < 1 , es d e cir , R a n ( /) = [0 , 11,
entonces conociendo la form a básica de la función Seno , dibujarem os las ondas senoidales
sobre el eje X , tal com o se m uestra en la F igura 1.133
■
F I G U R A 1.133
(EJEM PLO 15 )
Dibujar la gráfica d e la función definida por
/(x ) = C o s f [ x ] + C o s ^ x , V x e [ - 4 ,4 )
Solución
S i[x ]= n < = * n < x < n + li= >
^ [x ] = y n
Dando valores a n hasta cubrir el intervalo [ - 4 , 4 ) , esto es , si n = - 4 , -3 , -2 , - 1 ,
0 ,1 ,2 ,3 y sustituyendo cada valor de n en / , se sigue que :
1 + C os(nx/2)
-1 + C o s(irx /2 ), x e [-2 ,- 1 )
C os(tix/ 2)
1 + C o s(n x /2 ), x
[ - 4 ,- 3 )
,xe[-l,0)
Cos(Jtx/2)
e
[0 ,1 )
, x e [1 ,2 )
ll
/(* ) =
, x e
, x e [-3 , -2)
' k'
h-.
,Cosf7tx/2)
-1 + C o s(itx /2 ), x e [ 2 , 3 )
C osfnx/2)
Obsérvese que el período de la gráfica de y = Cos(rtx/2) es T =
, x e [3,4)
= 4 , luego , dibuja­
rem os dos ciclos para esta función y sobre ella trazarem os la G r(/) en cada subintervalo de
[-4 , 4). L as g ráficas que corresponden a las funciones y = ± I + C o s(rtx/2) tienen un
desplazam iento vertical hacia arrib ao hacia abajo indicado por las (lechasen la Figura 1.134.
Geométricamente, el
R a n ( / ) = [ - 2 , - l > fl ( - 1 , 1 ) U (I , 2 ]
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a
Capítulo ¡ : Funciones
136
F I G U R A 1.134
E JE M P L O 1 6 )
D ibujar la gráfica de la función definida por
/(* ) = [Sen — x ] , p a ra x e [ 0 , 4 ]
Solución
SeagO t) = Sen — x
T=
2
tc /2
= 4 J u e g o , si dibujamos un ciclo de la Gr(g),
entonces la gráfica de f consistirá en segmentos de rectas horizontales que son las
proyecciones de la G r(g) en cada intervalo unitario en que se ha dividido su período.
Como f ( x ) e [-1 , I ] •=* [ Sen ^ x ] = {-I , 0 , 1}
A hora, definiendo el m ayor entero se tiene
[ Sen
jc ]
= -1 c=> - 1 < Sen
« • (n < j x <
-|n )
<0
^x<2n)
U
<=> (2 < jc < 3) U (3 < x < 4 )
[ Sen
] = 0 <=> 0 < Sen ^ jc< 1
« ( o <
f * <
f )
U (f
< f , o t )
F I G U R A 1.135
<=> ( 0 < x < 1) U (1 < jc< 2 ) U { 2 , 4 }
[ Sen ^ x ] = 1 <=> l < Sen ^ x < 2 , no pueden ser , entonces : Sen ^ x = 1 4=> x = 1
f -1 , s i x e <2,3> U [3 , 4 )
/ ( * ) = < O . s i j t e [0 ,1 ) U <1 ,2 ] U {4}
L I , si X = 1
L a gráfica de la función / se ilusta en la Figura 1.135
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137
EJERCICIOS . Grupn 7 : Im s funciones trigonométricas
1. En la circunferencia unitaria de centro ( 0 , 0 ) se tiene dos arcos QP y QR cuyas medidas
son 7 n /6 y - 5 n /4 radianes .resp ectiv am en te. Si Q = ( 1 , 0 ) . P = ( x ,y ) y R = ( r . s ) ,
hallar x r + sy
2. En la circunferencia unitaria de centro ( 0 , 0 ) , hallar la pendiente de la recta que pasa por
los puntos L (a) = (1/2 , V3/2) y L (a + 37t/2)
3. El rayo O P , donde = 0 es el origen de coordenadas y P —(2^3 ,2 ) corta a la circunferencia
unitaria en el punto L ( a ) . Hallar E = C o s(a + n/2) - S en(a - n/2)
4. Si Sen x Sen >• = 3/4 , x + y =
ti
, h allarC os 3 (x -y )
5. Sí T, es el p eriodo de la f u n c ió n /( x ) = S ec (3 n /2 + 14x/37t) y T2e s e l periodo de la
función g(x) = Tg (
—) , hallar T ( + T , .
❖ En los ejercicios 6 al 15 , dibuje una gráfica de la función definida por la ecuación indicada.
6.
f ( x ) = 2 Sen(x - it/4)
7. f ( x ) = 3 Cos (x - n/2)
8. /(x ) = - 3 Cos (x + n/6)
9.
/(x ) = 6 Cos (x - n/6)
10. /(x ) = 2 Sen (3n/2 - x)
11. /(x ) as 2 Sen (3x + 3n/4)
12.
f {x) = ± Sen(2icx - 6/5) 13. /(x ) = 5 Cos (3x + n/2)
15.
f (x ) = 2 Sen (n x /2 + n/2)
14. /( x ) = -2 Sen (3x - n/2)
❖ En los ejercicios 16 al 19 , construir una gráfica de la función definida por la ecuación
indicada.
f ( x ) = 1 + Cos (2 x - 7C/3)
16.
/( x ) = 2 + 2 Sen ( n x /2 + n /6 )
17.
18.
/(x ) = 2 - 3 Sen (n x - n/3)
¡9. /(x ) = -3 + 2 C o s (n x /2 + 2 n /3 )
❖ En los ejercicios 2 0 al 31 . m ediante la adición g ráfica, dibujar una gráfica definida por la
ecuación dada.
20.
f ( x ) = C os x + 2 Sen x
21.
/(x ) = 3 S e n x + 2 C o s x
22.
/( x ) = 3 Cos x - 2 Sen x
23.
f ( x ) = 2 Sen x - 3 Cos x
24.
/( x ) = Sen n x + 3 Cos n x
25.
/(x ) = 2 Cos n x + 3 Sen nx
26.
/(x ) = Sen 2 n x + Sen 3 n x
27.
/(x ) =
28.
/( x ) = x - S e n x
29.
/(x ) = 2 x - C o s x
30.
/(x ) = x2 - Cos 2x
31.
f ( x ) = x + S e n (nx/2)
Sen 2rtx - 2 S en(nx/2)
❖ En los ejercicios 32 al 3 4 , h alleel periodo de la armónica compuesta
32. /(x ) = 2 Sen 3x + 3 Sen 2x
33.
/(x ) = Sen (Ttx/3) + S e n (nx/4)
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Capítulo I : Funciones
138
34. f ( x ) = Sen ( 2 n x + rc/3) + 2 Sen(3nx + rc/4) + 3 Sen 5ttx
❖ £n los ejercicios 35 y 36 , indicar el período de la función y conslruir su gráfica.
35.
f(x) =
36. f ( x ) = ± ( \ p £ * í +
2 \ Cos x
ISenxl + ICosxl
%?nx )
| Cos x I '
37. C onstruir la g ráfica d e la función / ( x ) = a C o s x + ¿ S e n * reduciéndola a la form a
/( x ) = A Sen ( jc - xfl) . Exam inar el ejem plo f ( x ) = 6 C o s .r + 8 S e n x
38.
Presentar en form a de armónica sim ple la función /(x ) = S e n x + C o s x y luego construir
su gráfica.
«¡l• En los ejercicios 39 al 46 , dibujar la gráfica de la función definida por la ecuación dada.
[x ] ) - [ S e n ( ^ x ) ] , V x e [-3.4]
39. /( x ) = Sen
40. /( x ) = Cos [ 2 x ,}n + C o s(x 2 - I)n , V x e [ - 2 , 4 ]
41.
/(x ) =
|[ S e c ( n x ) ] + Sec(7tx/2)-Tg(*
42.
/( x ) =
Sen ( y [ x ]) + Cos(rcx/2)
44.
f(x) = S e c ( §
[ jc ] )
[x ]) ,V x[-4,4]
43. f ( x ) = Cos ( ^ [ x ] ) + Cos(7tx/2)
45. f ( x ) = Tg( § [ 2x ])
46. f( x) = S e n U - l l
47. P araqué valores enteros d e n . la función f ( x) = C os(nx)Sen(5x/n) tiene un período igual
a3rc.
[ 1 , s i x € [2a , 2a + 1)
48. Sea la f u n c i ó n / ( x ) = s
, d o n d e a e Z ; definim os la fun[ 0 . sí x e (2fl + I . 2a + 2)
c i ó n g p o r g ( x ) = ( x - [ x ] ) / ( x ) + [ I - /( x ) ] Sen2(itx/2). Es g una función periódica. En
caso afirm ativo, hallar su período.
49. Sea la función / tal que /( x ) = Sen( ~ [ x ]) + S e n (-j x ) , V x e [ - 2 , 2].
H allar el rango de la función y hacer un dibujo de su gráfica.
50.
H allar el p erío d o , el rango y dibujar la gráfica de la función
f(x) =
51.
52.
J
Sen
- Cos y xj
H allar el período y dibujar la gráfica de la función h(x) = I S e n3x l - I Cos 3x1.
Sea la función /( x ) = VI + Sen 2x + V1 - Sen 2x , hallar analíticamente el período y luego
dibuje su gráfica.
í 2x~l
,-3 < x < -f
53. Sean las funciones : /(x ) = s
[ [4 + S e n x ] , x £ 0
í x1
,x < 0
; g (x )= s
[ C o s x , 0 < x < 3/2
H allar la función / + g y dibujar su gráfica.
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i C
=
=
=
2
C A P ITU LO
\
2
k
LIMITES
¿>
[j.T )
IN T R O D U C C IÓ N
L a noción de limite de una función es el tema central del cálculo, es tal vez el más
importante, pues está íntimamente ligado a los conceptos, entre otros, de continuidad, deriva­
da e integral. Es por esto que, antes de dar una definición formal del concepto d e límite,
analizaremos ciertas definiciones y una sen e de ejemplos que sentarán las bases y a la vez
facilitarán la comprensión d e los diversos términos que intervienen en la definición rigurosa
presentada en la Sección 1.2.
D e fin ició n 2.1 :
VECINDAD DE UN NUMERO REAL
Se llama vecindado entorno d e un núm ero real a 0> al intervalo abierto (x0- £ ,x f(+ e) que
tiene como centro a y com o radio a £ > 0 , y que se denota
W
" ( * o 'e • x» + e>
Vecindad reducida o vecindad con exclusión d e x 0 es el entorno anterior sin el núm ero
jf0, se denota
V ^ o ) = < V C ■ xo + E>-t*o>
Una interpretación geométrica de esta definición se muestra en la Figura 2 .1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 2: Limites
140
K"
* *i
1>
• c
>ls
"
fc.
'
•>!
i
MI*
s.t
s: f , \
• t*
;
1>
1
'
.
*
+r
-S
.I
i
F I G U R A 2.1
Por ejemplo, son vecindades del núm ero *„= 2 los siguientes intervalos
(2 - 1/5 , 2 + 1/5)
V i/5(2) = ( 9 /5 . 11/5)
(2 - 1/2 , 2 + 1/2) .=> V in(2) = (3/2 , 5/2)
(2 - 1 / 8 . 2 + 1/8) - {2}
^
V i/b*(2) = (15/8 , 17/8) - {2}
| O B SER V A C IO N ES 2.1
a) Esta claro que con la disminución del núm ero positivo e, las vecindades correspondientes
V,(jt0) dism inuyen, es d e c ir, si
0 < e , < e , < e 3 o V t (X() c
c Vrj(*„)
b) Si E < E, < £ ,. la intersección de las vecindades de x n , V( (jCq) y V (x0) es una vecindad
de j c , es decir
1
2
= \ (V n
c)
P ara do s pun to s cu alesquiera de la recta real , .x0 , x , existen vecindades que no se
intersecan.
En realidad , si x fí e IR ,
e IR y jc0 < jct , existen £, > 0 y e, > O tales que
v ,(*„) n V J a:,) = «
Esto ocurre cuando se tom a :
D e fin ic ió n 2 . 2 :
£ ,= £ ,= 1 (jc, - jc(>)
P U N TO D E A CUM ULA CIÓ N
S ea el conjunto S e IR y j t , e IR . entonces x0 se llama punto de acum ulación de S . si y solo
s i . todo intervalo abierto centrada en .^co n tien e por lom cnos un punto .v e S , distinto de
x 0. Esto es
jc(I es punto de acumulación de S <=> V Vf*(A(¡) y £ > 0 , se cumple
( ( * „ - £ , ) n 5*0
o equivalentemente
xu es punto de acumulación de S e=s ( V e > 0 , 3.x e S) / 0 < lx -jc0l < £
La Figura 2.2 muestra una ilustración geométrica de esta definición. Si x e S pero no es punto de
acumulación de S , entonces se dice que .v es un punto aislado de S. (Vease la Figura 2.3)
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Sección 2.1 : Introducción
EJEM P LO
141
Sea el conjunto S = ( 3 , 7 ] , determinar si los siguientes puntos :
a) *0 = 3
b) x a = l
c) jc0 = 8
son o no puntos de acumulación del conjunto S.
Solución
1J
Construyam os previam ente un radio e > 0 .m uy pequeño, tomando
E
17 - 3 I
= — - — , n € N y eligiendo n —I2obtenem os
e
=
1/3
Luego, construyam os vecindades reducidas para cad ax ncon E = l/3 .A s i:
a)
Para xf¡ =
3 e S : V in*(3) = (3 - I/3 , 3 + I/3) - {3} = (8/3 , (0/3)
{3}
«=* ( <8/3 , 10/3) - {3}) n <3 , 7] = (3 , 10/3) *
b) Para
í
(|= 7
e
S : V m*(7) = ( 7 - 1 / 3 , 7 + 1 / 3 ) - { 3 } = (20/3 , 22/3) - {7}
«
c)
( (20/3 , 22/3) - {7} fl <3 , 7] = (20/3 , 7) * $
Para .tu = 8 i S : A quí tom amos
e
I8 * 7 1
= — - — y sí n = 5 ■=*
e
= 1/5
=
0.2
V u2‘(8) = (8 - 0.2 , 8 + 0.2) - {8} = (7.8 . 8.2) - {8}
^
( (7.8 , 8.2) - {8}) fl (3 , 7] = 0
En consecuencia, son puntos de acumulación de S , x B= 3 y jc0 = 7.
No es punto d e acum ulación de S , x = 8
■
En la Figura 2.4 podemos observar que cualquier x e (3 , 7) es punto de acumulación de S
(Verificar para^lJ= 5). En general, todo xfíe (b, c) es punto de acumulación de (& .c),incluso
b ye.
"V
s
F I G U R A 2 .4
E JE M P L O
2 )
Comprobar que el conjunto A = { 1 , 2 , 3 ,4.6} no tiene punto de acumu­
lación.
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Capítulo 2: Límites
142
Solución
En e fe c to , elegim os £ = d / 2 , donde d e s ia m enor distancia en tred ó s elem entos
2 —1
consecutivos del conjunto A , esto es , £ =
— ^
1
^
. Con
e
elegido cons­
truimos las vecindades Ve*(jc(t)
( 1 - 0 . 5 , 1 + 0 .5 ) - { 1 } = (0 .5 , 1.5)- {1}
( 2 - 0 . 5 , 2 + 0 .5 ) - { 2 } = ( 1 . 5 , 2 . 5 ) - { 2 }
(3 - 3.5 , 3 + 0.5) - ( 3 ) = (2.5 ,3 .5 ) - {3}
(4.6 - 0.5 , 4.6 + 0.5) - {4.6} = (4.1 ,5 .1 )-{ 4 .6 }
Luego:
((0.5 , 1.5) - {1}) fl A = 0
,
((2.5 , 3.5) - {3}) fl A = <J>
((1 .5 , 2 .5 )-{ 2 } ) n A = 0
,
((4.1 ,5 .1 ) - { 4 .6 } ) fl A = 0
Por tanto, el conjunto A no tiene punto de acumulación.
■
En g e n e ra l, todo conjunto finito S = { .r,, x 2 , jc3
jen} no tiene punto de acumulación.
(EJEMPLO 3 ^ Determ inar las puntos de acumulación del conjunto
S = {jc l.r = 1/n , n e N}
Solución
Al definir S por extensión , S = {1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 ,
} , vemos que el único
punto de acum ulación posible es x = 0 , pues si x = 1/n sólo necesitam os cons­
truir una vecindad reducida Ve* (l/n ) , donde £ = d í l , siendo d ía distancia entre dos elementos
1 1
= < -----n
n -1
Dado que, para todo valor de e existirá siempre un valor de n suficientemente grande com o para
que jc = 1/n < £ , entonces ,
consecutivos de S , entonces :
e
(1/n) e (0 - £ , 0 + e ) - {0} , es decir , Vr*(0) n x e S * 0
P or tanto , x = 0 es un punto de acum ulación del conjunto S.
«*■
-e
0
o
1
■
je
m
i
1
n*
t_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
■
.
■
*•>*
»
i
,-j
FIGURA 2.5
D e fin ic ió n 2 .3 :
C O N JU N TO ACOTAD O
Se dice que un conjunto S c [R es acotado si está contenido totalm ente en una vecindad
V £ í) , para algún «•> 0 y algún . x e R Es d e c ir, existe un n ú m e ro a , llam ado c o ta , tal que
I* 1 < a < 3t-a £ x £ o , V * e S
Formalmente 7
S e sa c o ta d o si
<=> V j c b S , 3 a > 0 7 1*1 á a
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Sección 2.! : Introducción
143
Por ejem p lo , el conjunto S = ( - 2 ,2 ) está contenido en la vecindad V ,(x ), lu e g o , está acotado
por 2 , pues : | jr I < 2 <=> -2 < x < 2 , Vx € S
1 Nota. Otra forma equivalente de definir un conjunto acotado es como sigue. Un conjunto S cIR se
dice que es acotado si existen números a y b tales que para cualquier x e S se cumple la
desigualdad a < x < b , donde a y b son las cotas inferior y superior de S . respectivamente.
Formalmente:
S c IR es acotado <=> 3 a , &e IR I a < x á fr , Vx e S
Es evidente que si algún número c es una cota superior o inferior de un conjunto S , entonces
cualquier núm ero m ayor o m enor que c es tam bién cota superior o inferior de S. Entonces la
existencia de una cota superior o inferior de un conjunto asegura la existencia de infinitas
cotas superiores o inferiores para dicho conjunto.
<
C o ta s in fe rio re s d e S
S
i_r C o t a s
s u p e rio re s d e S
o
Porejem plo.parael con ju n to s = { x e R | -1 < x < 3} = ( -1,3] cuya representación en la recta
real es
-t
los n ú m e r o s , . . . , - 3 , - 2, - 1 son cotas inferiores de S .siendo *1 la m ayor de estas c o ta s, pues
x > - 1 , V x e ( - 1 ,3 ] , Del m ism o m o d o . los núm eros , 3 , 4 , 5 , . . . son cotas superiores de S,
siendo 3 la m enor d e estas cotas, por que x < 3 . Vx (-1 , 3J.
D e fin ició n 2 .4 : FUNCIÓN ACOTADA
Se dice que una función / : A —> B es acotado sobre un conjunto S c A , si el conjunto de
imágenes / ( S ) está aco tad o , es d e c ir, si existe un número real r > 0 , llamado c o ta , tal que
|/ f x ) I < r , V x e S e A
o equivalentem ente
/ ( x ) es acotada sobre S < = > 3 m , M | m < / ( x ) < M . V x e S
donde m y M son las cotas inferior y superior , respectivamente.
E JE M P L O
4 ]
----------------------Solución
D eterm inar si la función /: x —> 1 + V5 + 4x - x3 e s acotada sobre
S = [-1,4].
R egla de correspondencia de / : y = 1 + V5 + 4 x - x 2
<=> y - 1 = V 9 - ( x - 2 ) 2 «
( x - 2 ) 2+ ( y - l) 2 = 9
La gráfica de la función / (Figura 2.6) es una sem icircunferencia de centro C ( 2 , 1 ) y radio 3.
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144
Cafjílulo 2; Limites
Dominio de la fu n ció n :
/ esre a l
9 - ( x - 2 ) 2 > 0 ■=> ( * - 2 ) 2< 9
Y , k
4
<=> - 1 < * < 5
L uego , S c D o m ( / ) = [-1 , 5 ]
T
U s)
I
Obsérvese que la función es creciente para x e [ - 1 , 2 ]
=> R a n ( / ) = [ / ( - I ) , / ( 2 ) ] = [ l , 4 ]
4
~
j
*
Solución
5 )
!
____
.
-1 0
*
—
1
J
C
l l
1 2
1
(
s —
V ' *
1
3
4
1
5
1
..
/V A
-I
fc.
F I G U R A 2.6
f ( x ) e [ 1 . 4 ] , por lo q u e , la función / es acotada inferior y
superiorm ente.
■
(e je m p lo
1
K
/
t
Se concluye que Vx e S = [-1 , 4 ] , se tie n e :
v= 4
H allar el m enor núm ero M con la propiedad de que
4 x - 2jc2 < M , VjceíR
Sea f ( x ) = 4 x - 2x2= 2 - 2(jc - 1)2 «=» y - 2 = -2(x - 1 ):
L a g rá fic a d e / e s u n a p a rá b o la co n v é rtic e en
V ( 1 .2).
Si 2(x - l ) 2 = 2 - f ( x ) y c o m o 2 ( x - 1)2 > 0 , V x e IR , entonces
2 - / ( x ) > 0 <=> / ( x ) < 2
Esto es , f ( x ) < M «=> M e ( - » , 2 ]
Por lo q u e , M = 2 es la m enor de las cotas superiores de / ( x) para
los cuales: 2 ( x - 1 ) 2 > 0 , V x e IR
■
F I G U R A 2.7
I N ota. Las propiedades de los núm eros reales m ás usuales para la acotación de funciones,
son las siguientes.
N R .l: S ¡ a > O A | j c | < 0 < = > - o < j c < c r
a<b
N R .2 : Si a y fe tienen el m ism o signo y s i : «
— > 4a
b
a > b <=> — < -Ja
b
N R 3:
V c e R , | a | 2= o 2
N R .4 : Ve e R , I -a I = I a !
NRJ:
V a ,b e R , |a-M = |6 -a |
N R .6 : V a .f c e [R , | a b \ = ] a \ \ b \
N R .7 : V a , b e i R ,
M
\b\
N R .8 : V a . f c e R , l a + fcl < | a | + | 6 |
N R .9 : V f l e R , a 2> 0
NR. 1 0 : S i a < x < b «=> | x | < m a x { l a l , Ifcl}
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(Desigualdad triangular)
145
Sección 2.2 : Noción de límite de una función
E jem plos:
1. S i - 3 < x < l t = » | x l < 3 , porque 3 = max { I -3 1 , | 1 ! }
2. Si -5 < j r - 2 < 8 i=^ i a: - 2 I < 8 , porque 8 = max { I -5 I , 18 I }
3. SÍ -6 < 2jc - I < -4
| 2* - 1 I < 6 , pues 6 = max { I -6 ! , I -4 | }
N R .ll : S i f l < x < ¿ e = > j r < u 2 , u = max { la I . \b I }
Ejemplos :
1. S í - 5 < 2 í + 3 < 2 —> (2x + 3)2 < 53 , pues 5 = max {1-5 I J 2 1}
2. Si 2 < x + I < 7 t=> (x + 1)2 < 72 , porque 7 = max { 12 1 . 17 1}
N R .1 2 : S i l x í = n < = > n < x < n + l , V m e Z
D efin ic ió n d e la fu n c ió n Valor A bsoluto
s i / (.jc ) > 0
l/( x ) l =
si /(x ) < 0
Ejemplos
1. 3 x - 2 > Q t=$ 13x - 2 I = 3 x - 2
2.
3.
(2 .2 )
jc2
- 1 <
jt + l
x- 3
0
I jc2 - 1 I =
< 0 «=i>
- ( jc2 - 1 )
x+ 1
JC + 1
x —3
x —3
N O C IÓ N D E L ÍM IT E D E U N A F U N C IÓ N
Hasta aquí se ha visto todo lo concerniente para tener una idea de límite de una
función. Para introducir esta idea com encem os con un número L y una función / definida en
las proximidades de un número xQ(punto de acum ulación), aunque no necesariam ente en x0
m ism o.
A hora, una traducción de
lim f ( x ) = L
(2.1)
podría s e r :
“ C uando x se aproxim a a x0 , /( x ) se aproxim a a L ”
“ P ara x próxim o a x0 , f ( x ) tiende a L ”
“ C uando x tiende a x , f ( x ) tiende a L ”
Com o en la m ayor parte, n uestro interés e stá relacionado con los valores de /( x ) en los
puntos x cercanos a x0 (traducción m atem ática de una vecindad d e x 0), las vecindades des­
em peñan un papel im portante en la noción de lím ite de una función.
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Capítulo 2: Límites
146
L u e g o , si deseam os consid erar lo q u e sucede a /(jc ) cuan­
do * —»;c , podem os usar vecindades para describir el movi­
miento del punto ( j c , /(jc)).
Dada una vecindad N y una función / , podem os construir
una-faja horizontal en el plano XY que contenga a todos los
puntos (jc, y) tales que y e N (Figura2.8). Un caso importante
se presenta cuando existe una vecindad M de x0 tal que todos
los puntos (jc , y) están en la faja con tal que jc € M. En este
caso cuando x —».c0, el punto (jc , /(x )) quedará finalm ente en
la faja horizontal determ inada porN .
[e je m p lo
6)
Sea la función /( x ) = — ^ -^ + -2 , x * 2
a) Para qué valores de x se tiene que /(x ) € V
b) Para qué valores de x , /( x ) e V£(3)
Solución
Si/(x)= ^
- ^ 2* ^
^
(3)
/( x ) = 2 x - l , x * 2
a) Com o el D o m (/) = IR - {2} , se trata de hallar una vecindad
re d u c id a en x 0 = 2 , e sto e s , M = V£* ( 2 ) , p a ra el cual
/ W e N = V K (3).
E n el d iag ram a de / ( F ig. 2.9) se o b se rv a q u e / ( a ) = c y
f{b)=d.
D ado q ue :
c e V |r,(3) i=s c = 3 - 1/2 = 5 /2
< J e V ¿ 3 ) o d = 3 + l / 2 = 7/2
A h o ra s i, f ( a ) = 2 a - 1 *=> 5 /2 = 2 a - 1 <=> « = 7/4 = 2 - 1/4
f ( b ) = 2 b - 1 => 7/2 = 2 6 - 1 <=> 6 = 9/4 = 2 + l / 4
L u eg o , V x e V |/4*(2) = (7 /4 ,9 /4 ) - {2} , se tiene que /(x ) € V 1/2(3)
b) Si / ( a ) = c «=> 2« - 1 = 3 - e o a = 2 -E/ 2
f ( b ) = d ■=> 2fc- 1 = 3 + e
6 = 2 + e/2
L uego, / ( x ) e-Vt(3) , V x e V^*<2) = < 2 - £ / 2 , 2 + e /2 > -{2}
[E JE M P L O
7)
Para la función / ( j c ) = x + 2
a) Trace su gráfica y lea lím ite de / cuando x —> x0 , siendo x0 = 4
b) Construya la figura geom étrica que ilustre los entornos
c) Para qué valores de x se tiene que el valor funcional de x esté en la vecindad N = Ve(L).
Solución
a) Sea L e í límite de / cuando x —»x0, entonces por la notación (1 .1)
L = lim / ( x ) = 4 + 2 = 6
J -* 4
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Sección 2.2: Noción de límite de una función
147
b) L a gráfica de la función ju n to con los entornos se muestra
en la Figura 2 .1 0 , en donde el núm ero x = 4 aparece sobre
el eje X en la vecindad M = V£(x0) , el número L sobre el eje
Y en la vecindad N = Vc(L). A dem ás se tiene la vecindad
- M, = VÉ(r(|) c M .
c) Deseamos calcular los puntos extremos de una vecindad
M = (fl . b) tal que f ( x ) e N . Luego, si
f ( a ) = c «=>a + 2 = 6 - £ < = > a = 4 - e
» c=> x e V c(4)
f ( b ) = d ■=> 6 + 2 = 6 + £ <=> t - 4 + £
Por lo q u e , /( x ) e V (L) , Vxe VY4)
D e fin ició n 2 .5 :
FUNCIÓN ACOTADA EN UNA VECINDAD N
Dada una función / : R —» R y una vecindad N = V(*(L) o N = Vr(L ), se diee que f ( x ) quedará
en N cuando x se aproxím e a x0, si existe una vecindad M = V 4*(x^ o M = V ^ x J tal que
/ ( x ) e N , Vxe M.
Formalmente:
/( x ) quedará en N , cuando x —>xn. s i 3 M = Vi(x0) | f(x ) e N , V r e M
El Ejem plo 7 m uestra que las condiciones d e la D efinición 2.5 se cum ple si se tom a r = s .
Al elegir r = s se halló la m áxim a vecindad posible M = Vr(4). Si se elige otra vecindad más
pequeña se sigue cum pliendo la definición. E sto es , si s < r *=> Vv(4) c V (4) y , por tanto,
se puede eleg ir a s = r / 2 o s = r / 3 o cu alq u ier otro núm ero m enor que r , y la definición se
sigue cum pliendo.
[EJEM P LO
b)
8^
Sea la función f ( x ) = 2 - ^ x 2
a) Trace su gráfica y lea límite d e f c u a n d o x —>x0, six o = 0
Determine los valores de x tales que f ( x ) quede en la vecindad de N = Vr(L)
Solución
a) H aciendo uso de la notación (1 .1 ), se tiene q u e :
L - lim /( x ) = 2
x -» 0
b)
L a gráfica de la función junto con las vecindades M y N se muestra en la Figura 2.11.
Cualquier vecindad N de 2 debe ser de la forma N = ( c , d ) , donde c < 2 < d . Buscaremos los
puntos extremos de una vecindad M = ( a , b) tal que / (x) e N , siempre que x g V%
(x0).
Si y = c i=*c = 2 - i-x 2 <=> x = ± V4 - 2c <=$ a = - V4 - 2c y b = V 4- 2c
En la F ig u ra 1.11 se o b s e rv a q u e si x e <- V4 ^ 2 c , V4 - 2c ) = Vs( 0 ) , en to n c es
/ ( x ) e ( c , d ) = V r( 2 ) . V x g V s(0 )
■
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Capítulo 2: Límites
148
jÚ E M P L O
9~J
S e a la f u n c i ó n g : x —* x + S gn x. Q u e d a rá g (x ) en la v e c i n d a d
N = (- 1/2 , 1/2) c u a n d o x se ap ro x im e a 0?
. g(x) = x + S g n * * <
x - 1 , si x < 0
x
, si r = 0
x + 1 , si x > 0
El D o m ( /) = IR y g (0 ) = 0 + Sgn = 0. S ea M = (a , b ) c u a lq u ie r v ec in d ad d e c e ro ,
esto es M = V5(0). L a g ráfica de g , m ostrada en la F igura 2 .1 2 , pone de m anifiesto q ue
cu a n d o x —» 0 , g(x ) no q u e d a en la v ec in d a d N = (- 1/2 , 1 / 2 ) , pues te n e m o s :
( & / 2 ) e M y g(&/2) e N .
E J E R C IC IO S . Grupo
■
8
1. Sea la función f ( x ) = I x + 11 , donde el D o m (/) = { x e (R IV8 -11-x2! ( 6 + x - x 2 < 0 ) }.
H allar to d o s lo s p untos d e acum ulación del D o m (/) y com probar que existe un único
x 0 e D o m (/) que no es punto de acum ulación del D om (/).
2. Sea A = { 1/n | n e Z } , hallar un punto de acum ulación de A
3. Determ inar el m enor número M con la propiedad d e que Vx e IR
a)
3 + 3 6 x - 12x2 < M
b) 2 - j ^ ~ x ,n < M
4. Determinar el m ayor número m con la propiedad de que Vx e IR
a)
5. Sea / ( x ) -
m < 9 x I -48x-36
4x3 +
x 2
+ 8x+2
b) m < 5 x 2 - 2 0 x + 1 6
, h allar el m enor núm ero M y el m ayor núm ero m , tal
2x + 4x
que V x e [2 , 5 ] , entonces , m < / ( x ) < M
6.
Determ inar sí las funciones dadas son acotadas inferiormente, superiormente o no son
acotadas.
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Sección 2.3: El límite de unofunción
149
a) /( x ) = | x - 2 | - 3 , x e l R
e) /( x ) = - I + V3 + 2 X - X 2 , x e [ - 1 , 2 ]
b) /( x ) = 4 - 2x - x? , x e R
f) /( x ) = | x - 2 | - | x + 1 1 , x e IR
c) / ( x ) = x 2 + Z x - 6 , x e [ 2 , + ~ )
g) /( x ) = 8 - Vx2 + 8x - 7 T x e (-«> ,9]
. j \ xí »
2
d) «*> = ( F T F
r>
í 11
i» r, .
x* +• 5.x3 + 5a2 - 5x - 6
h> f<*>= ------ j ? + 4 x + 3-------
•
7, Establecer si f ( x ) quedará finalm ente en la vecindad N cuando x —>xQ. Si la respuesta es si,
producir una vecindad M de x0 tal que x e M = \ ( x (1) implica que f (x) e Vf(L ); si la respuesta
es n o , m ostrar porque n o , utilizando un dibujo o un argumento algebraico.
a) / : x —» ( I/x) , N = ( 0 , 2 ) , x n= l
b) / : x —> (1/x) , x0= 1/2
c) / : x —> (1 - 2x) , N = (-5 /2 ,-3 /2 ) , xn = 2
rVT - V
jl)
d)
e) / : x
, N = (1 /4 ,3 /4 ) , *„=1
Ix I , N = ( a , b ) , a < 1 <b ,
0 / : * —>l l / x l
g )/:x -> 3 x
xD= l
, N = ( a , b) , x0 = 0
; N = { 2 , 4 ) , x()= l
8. D e m o stra r que / : x - » fm x + b) , m > 0 , q u e d a rá f i nal ment e en to d a la vecin d ad
de mx„ + b c u a n d o
x —» x (1. (S u g e re n c ia : O b se rv e si N = (c , d ) es u na
vecindad
de n u 0 + b , entonces (c - b , d - b) es una vecindad de mx(1, luego ^ c ^
, ^ ^ b ^ es
una vecindad de x 0).
9. Demostrar que si (fl ,b) es una vecindad de 0 y si (c , d ) es una vecindad de I ,y además,
si / es una función / : x —»(1 - i r 5 + m x) , m > 0 , entonces /( x ) quedará finalm ente
en (c + a , d + b) cuando f ( x ) tien d e a cero.
10.
Se supone que cuando x tiende a x 0 , /( x ) q ueda finalm ente en (c , d ) . D em ostrar que
!/(-*)! queda finalm ente en (-1 , m a x ( l c | , \ d I)) cuando x —>x0
(2^3)
E L L Í M I T E DE U N A F U N C I Ó N
Empezaremos en esta sección con la definición formal de límite de una función
numérica. Dos ejem plos previos introducirán una idea clara d e esta definición.
EJEMPLO
Solución
T)
Sea la función /(x ) = x2- 1 . Qué ocurre c o n /(x ) al to m arx valores muy
próximos a 2?
P ara te n e r u n a idea del com po rtam ien to de la g ráfica de / próxim o a x = 2 ,
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
150
Capítulo 2: Límites
podríam os u sar dos con ju n to s de v alo res de x , uno que se aproxim e a 2 p or la derecha y
p o r la izquierda. L a T abla 2.1 m uestra lo s co rresp ondientes valores de f ( x ) p ara varias
elecciones de x próxim os a 2. A l m arcar estos p untos se o b serv a que la gráfica de / es una
parábola (F igura 2.13) con un hueco en el punto (2 , 3). Se observa adem ás que, en la
m edida que x es un núm ero cercan o a 2 ; f ( x ) está m uy próxim o al núm ero 3. D ecim os
entonces que “ el lím ite d e x* - 1 , cu an d o x —» 2 , es 3 ” y escribim os , según la notación
( 2.1)
!im(jc2- l ) = 3
x-*2
■
TABLA 2.1
[ - " 'S - s e 'í p f ^ ñ í á i e ! p o r t g jtc ttfc rá a .
■ i
’*-tt -.»1
J ¡ i 1■
f ix )
1.8
2.240
1 95
2.8025
1.99
2.9601
> <
1.999
2.996
2
i
* x s t apWDMma
p o r la
•'
2.00)
2.01
2.05
|
2.1
3.004
3.041
3.202
|
3.410
J'CXy gc'Sprfrvxiroa
s e apróyirfTa
*•— ~^j
E J E M P L O 2 I Sea la función f ( x ) = , - l l r
^ .............................*
J
'17+2-2
Cóm o se com porta la función / cuando x está próxim o a 2 pero no es exactam ente 2?
Solució n
N otam os que la función f no e stá d efin ida para x = 2 , porque cuando x = 2 ,
am bos , num erador y denom in ad o r son cero. P ero ra cio n alizan d o el d en o m i­
nador encontram os que
f ( x ) = ' J x + 2 + 2 , x * 2 => D o m (/) = [-2 , + co>-{2}
Com o en el Ejem plo 1 , hagam os una tabla de valores de f { x ) para variar elecciones de x
cercanos a 2 por la derecha y otras por ia izquierda. L a tabla 2.2 y la Figura 2.14 muestran que
cuando x está próximo a 2 , /(x ) está próximo a ^ 2 + 2 + 2 = 4 . Por ta n to , el comportamiento de
x-2
^
— —para x próxim o a 2 , pero d istinto de 2 , es el m ism o que el com portam iento de
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Sección 2.3 : El límite de una función.
151
Vx + 2 + 2 . A sí pues , estim am os que
x -2
iim
x-* 2
= lim (V * + 2 + 2) = 4
->/•*+ 2 + 2
x-* 2
TABLA 2.2
**-■
X
m
' 1.5 '
3.8708
|
3.9748
3.9974
' ' 1.999 ' ' í
1l ó r n T ^ r -
~ 2 ;o ¿ T
2.10
7
4.0003 | 4.0025
4.0124
4.0248
3.9997
De la tabla 2.2 podem os rescatar lo siguiente
f ( 1.999) = 3.9997 y /(2 .0 0 1 ) = 4.0003
de modo que s i :
1.999 < x < 2.001
3.0007 < /(x ) < 4.0003
o bien , si :
2 -0 .0 0 1 < jc < 2 + 0.001 <=> 4 - 0.0003 < / ( x ) < 4 + 0.0003
-0.001 < x - 2 < 0.001
cz? -0.0003 < /(x ) - 4 < 0.0003
Entonces basándonos en la propiedad : \x \ < a
podemos escribir
-a < x < a
0 < | j c - 2 1 < 0.001If ( x ) - 4 1 < 0.0003
(2.2)
La desigualdad l x - 2 | < 0.001 asegura q ue si x di sta de 2 en menos de 0.001 entonces /(x ) dista
de 4 en menos de 0.003. Lo cual significa que podemos hacer que I f ( x ) - 4 1 sea tan pequeño
como se quiera haciendo que Ix - 2 1 sea lo suficientemente pequeño.
Una forma más precisa para describir este hecho es usando dos símbolos para estas pequeñas
diferencias. Generalmente se emplean e (epsilon) y 8 (delta). Entonces dado cualquier número
positivo E , podem os hacer que l / ( x ) - 4 ! < £ tomando Ix - 2 1 lo suficientemente pequeño, es
d e c ir, existe un núm ero positivo 8 , tan pequeño como se qu iera, tal q u e , si
0< |x -2 l < 8 ^
I /(x)-4l < e
(2.3)
Esta es la afirmación (2.2) con £ = 0.0003 y 8 = 0.001
Por tanto , si asignam os a £ cualquier valor positivo , por pequeño que sea , encontram os un
valor apropiado para 8 , de modo tal que (2.3) se cumpla y decir que el límite de /(x ) cuando x se
aproxim a a 2 es igual a 4, que expresado en sím bolos se denota
Iim /(x ) = 4
jr —
*2
La discusión previa conduce a la siguiente definición formal del límite de una función.
D e fin ició n 2 .6 :
UNA D E F IN IC IO N RIGUROSA D E L LIM ITE
S e a /: IR —> IR unafunción definida encada número de algún intervalo abierto que contiene
a x 0 , excepto posiblemente en e l número x0 m ism o. Se dice que L es el límite de la función
/ en x0, si y sólo si para cada número £ > 0 existe un número 5 > 0 tal que si x e D o m (/) y con
la propiedad de que si
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Capitulo 2: Limites
152
O < l x - x (ll < 8 entonces l . / ( x ) - L | < E
Form alm ente:
V £ > ü . 3 8 > f l l s i x e D o m í/) y
Jim f ( x ) = L <=> <
* -» i.
0<U-x„|<8
I O BSER V A CIÓ N 2.2
=> ! / ( x ) - L | < £
El antecedente de la Definición 2.6 nos dice que existe una 8 > 0,
tal que
0 < Ix - xn I < 8 <=> ( x * xH)
<=> (x * x(J)
«
( - 8 < x - x n< 8 )
a
a
(x0 - 8 < x < x 0 + 8)
x € (x0 - S .
+
es decir tju ex pertenece a la vecindad reducida V8*(x()) y cuya interpretación geom étrica es
V a r ia c ió n d e x
x„-8
x„
xfl + 8
ü < I x - x J < 8 = V5*(x())
I O B SERV A C IÓ N 2.3
x e D o m (/)
o x e Dom ( / )
De aquí se desprende dos alternativas
a
a
x e V * ( x ()
( <x„ - 8 , x„ + 6> - {xu})
a) S i x e D o m (/) D ((x0 - 8 , x0 + 8 ) - { x n}) * «j>, entonces xHes un punto de acumulación del
Dom (/).
b) S i x e D o m ( / ) fl ((*n- 8 . x„+ 8 ) - {x,,}) = ó -en to n ces x(l no es punto de acumulación del
D o m (/), es un punto aislado, y ocurre que el límite de la función en x„ no es ú n ico , toda vez
que siendo el antecedente falso, la implicación es verdadera para cualquier valor real de L.
Como los dom inios de las funciones son intervalos y sabiendo que todo punto d e un intervalo
es un punto de acum ulación, nuestro estudio de lím ites se basará únicamente en el caso de que
x0 sea un punto de acum ulación del dom inio de / .
I O B SER V A C IÓ N 2-4
El consecuente de la Definición 2.6 nos dice que existe un número
muy pequeño e > 0 , tal que
If ( x ) - L | < e «
- e < /(x ) - L < E
<=> L - £ < /( x ) < L + £ <=> /(x ) e (L - e , L + e)
es decir, /(x ) pertenece a la vecindad V (L) y cuya interpretación geométrica es
V a ria c ió n d e f ( x )
o
■■ — »
i.
L -e
L
o
L+é
|/( x ) - L l < E = Vf(L)
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Sección 2.3 : El límite de una función
| O BSERV A CIÓ N 2.5
153
Para que la fu n ció n /ten g a 1ím ite L en xu, esto es, si lim f{x) = l,
existe, se concluye que:
'~*A°
a) La función / debe estar definida para todos los números suficientemente próximos a x(I,
aunque no necesariamente f ( x n) — L
b) La magnitud del número 8 depende del valor del número £ y cuanto m enor sea £ . menor
habrá de ser 8.
c) Si se elige cualquier 8, > 0 tal que 8, < 8 , el límite L no varía . sigue existiendo. En efecto,
según la Definición 1.6 íe - 8 ):
0 < U-jc„I < 8 ^ > I f{x) - LI < e
Si 8, < 8 , se tiene :
0 < I x - x J < 8, implica que 0 < |x - x0 l < 8
yportransitividad:
0 < | x - x (ll < 8, «=í> l / ( x ) - L l < e
es d e c ir, con 8 también se puede usar la Definición (e - 8).
| OBSERV A CIÓ N 2.6
a)
La imagen geométrica de la Definición 2.6 es la siguiente
Dado un número pequeño £ > 0 . entonces
If ( x ) - LI < e «=> f ( x ) e (L - e . L + e)
Significa que el conjunto de imágenes /(.r) se encuentra
en la zona acotada por las líneas horizontales y = L - £ ,
y = L + e , es d e c ir, en la vecindad Vf( L ) .
b) Se debe elegir 8 > 0 tal que aquellos puntos ( x . f(x)) sobre
la G r ( / ) . determinen a su vez el intervalo (xn - 8 . xfl+ 8)
sobre el eje X , de manera que para cada x * x (t, la función
esté dentro de la zona horizontal lim itada por las rectas
> = L - E , > = L + E ,y d o n d e . D om (/) H Vg*(xw) * <¡>
c) Com o todas las x e (D om (/) H Ve*(x0)J deben tener sus
F I G U R A 2.15
im ágenes/(x) en la vecindad Vf(L) = ( L - E , L + e ) . se debe cumplir
/ [ D o m (/) n V6*fxu) ] c V((L)
d) En términos de vecindades. la Definición 2 6 se puede expresar de la siguiente manera.
"
Lim /(x ) = L <=> V V Í L ) . 3
X^
I /[D o m f/) n V ^ ) ] c V ( L )
Xf
o equivalentem ente:
Lim /( x ) = L <=> V e >C) . 3 S > 0 :| V x e VaV „ ) ■=* /(* ) e V /L )
X
OBSERV A CIÓ N 2.7
La elección d e la 8 apropiada
En general . como ya sabemos . la elección de 8 depende de la
elección previa de £. Para dem ostrar la existencia de un límite necesitamos probar que dado
cualquier e > 0 , podem os encontrar una 8 > 0 . tal que
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Capítulo 2: Límites
154
0 < U - J t 0l < 8 i = > | f ( x ) - LI < E
Los pasos a seguir son los siguientes :
1. Se descom pone I f ( x ) - L I en dos facto res, uno de los cuales necesariamente tiene que ser
U - x 0 | , e sto e s
l / ( > ) - L | = I x - x 0\ [gU)I
2. En seguida se busca que acotar o m ayorar la función g(jr) hallando dos números positivos
8, y M , para los c u a le s , se
0 < U - jJ
< 8, ^
lg(jc)| < M
Ahora el valor de M lo hallam os asignándole a 8 un valor 8 = 8, según la forma que tenga la
función / .
a) Si la función / es un polinom io de variable real hacemos 8, = 1
b) Si f e s una función racional de la fo rm a : f ( x ) = - E Í íl
g(*)
tal que g(x) = (x -c)(jc-& ) . . . , donde x = a , x = b , e tc ., son asíntotas d e / s e elige la
más cercana a
Suponiendo que es x = a , hacemos
c) Si f ( x ) es una función que contiene radicales de índice p a r , el acotamiento de g(Jt) se
hará a partir del dominio de / .
3. Elegido 8 ,, construim os g(.x) de la siguiente manera
Si 0 < | j t - j c 0l
< 8 ( , entonces
U -
11gU ) I implica l / ( x ) - L l < I j c -
jc 0
I
M
L u e g o , si I / ( x ) - L | < e , por transitividad se sigue que :
Ijt - jc0 | M < e siem pre que Ijt- jcJ c
= 82
4. A hora si escogem os 8 com o el menor o mínimo entre 8, y 8 ,, e sto es, si S ^ m i n f S , ,e/M },
entonces para 0 < Jx - I < 8 se cum plen las desigualdades :
0 < U - jcdI < 8,
y es cierto que si
0 < \ x - x 0\ < 8
, lgU)| < M
,
0 <
Ije -jc J
\ f t x ) - L \ = I j c - jc0 11 g ( j c ) I < U - j t 0| M < e
con lo cual el lim f ( x ) = L , queda demostrado.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
E JE M P L O
1j
< S2
Utilice la definición delim ite para dem ostrar que
lim (4x + 3) = 7 , * e I R - { l }
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
155
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Dem ostración
Puesto que / (x ) = 4x + 3 está d efinida Vx e (R - {1} , cualquier intervalo
abierto que contenga a 1 , excepto posiblemente 1 , satisface el primer requi­
sito de la Definición 2.6.
Ahora se debe dem ostrar que VE > 0 , 3 6 > 0 , tal que si
0 < | x - l | ^ 5 =* l ( 4 x + 3 ) - 7 | < E
« 0 < l x - l | < 8 ■=> 4 | x - l | < £
0 < Ix - 1 1 < 8
|x -l|< e /4
(a)
Esta proposición denota que 8 = e/4 es satisfactoria , pues con esta elección de 8 se tiene el
argumento siguiente
0<|x-l|<8=>4|x-l|<45
e=> 14x - 4 1 < 4 8
=> í (4x -+ 3) - 7! < e
(porque 48 = e)
Por tanto , se ha dem ostrado que si 5 = 6/4 , entonces se cum ple la proposición (a). Esto
demuestra que lim (4x + 3) = 7
■
X ->|
E JE M P L O
2M
D em ostrarque: lim (x3 + 2 x - 1) = 7
J - t 2
Dem ostración
Según la Definición 2 .6 , debem os probar que
( V e > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x e D o m (/) = !R- {2} ,y si
0 < l x - 2 l < 8 ^ |(x 2 + 2 x - 1 ) - 7 | < e
(a)
Como la elección de 8 depende de e , partiremos del valor absoluto I/(x ) - LI para transformarla
en otra que contenga a los factores I g(x) I y I x - 2 1 , esto es :
1. \ t f + 2 x - l ) - l \ = \j¿ + 2x -%\ = |x + 4 | I x - 2 | = fg(x)| | x - 2 |
L u eg o , la proposición (a) se puede escribir
0 < l x - 2 | < S i = > I g(x) I Ix - 2 1 < E
(1)
2. Por hipótesis el térm ino I x - 2 1 está acotado por 8 , esto es Ix - 2 1 < 8
F alta p o r aco tar el facto r I g(x) I = I x + 4 i , e s d e c ir , hallar un núm ero M > 0 , tal que
| x + 4 | < M .P a ra ta lé fe c to ,s e re s trin g e la 8 q u e s e re q u ie re e J ig ie n d o 8 | < l , y a q u e / ( x )
es una función polinomial.
3. E s t o e s , s i : l x - 2 | < 8 < 8, >=* í x - 2 | < 1 <=> -1 < x - 2 < 1
(NR.I)
5< x + 4< 7
o
o
lx + 4 | < 7
I g(x) I < 7 = M
(NR.10)
4. Recuerde siempre que la proposición (1) es el objetivo por lo que debe pedirse que
Ü< | x - 2 | < 8 ^ 7 | x - 2 | < e
= > |x - 2 [ < £ /7 = 8 2
De esta form a se han im puesto dos restricciones a 8 : 8, < 1 y 82 < £/7. Para que ambas
restricciones se cumplan debe tom arse 8 com o el menor d e los dos números 1 y e /7 ,e s to s e
puede escribir con sím b o lo s: S = m i n { l , e/7}
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Capítulo 2: Límites
156
Si se utiliza esta 5 , entonces se tiene el siguiente argumento
0 < l x - 2 l < 8 cz>U + 4 l < 7 y l x - 2 l < £ / 7
M ultiplicando miembro a m iem bro el consecuente obtenemos
0 < l x - 2 l < 8 ■=> U + 4 | | x - 2 | < 7 (e /7 )
■=> Ijc2 + 2* - 8 1 < €
i=> I (x2 + 2 x - 1 ) - 71 < e
En consecuencia se ha dem ostrado que para cualquier £ > 0 , la elección de 8 = min { 1 , e/7}
hace verdadera la proposición (a). Esto dem uestra que : lim (x2 + 2x - 1) = 7
■
A-* 2
(EJEMPLO
D em ostración
3^ Demostrar q u e : lim ( ^ - 7 ^ ) = - 3
Según la Definición 2.6 , debemos probar que
( V e > 0 , 3 8 > 0)1 s i x e D o m (/)= IR - { 0 ,1 /2 } , y si
2 x + 3 -(-31
<£
2x-1
0 < Ix-0| < 8
1.
(a)
Para hallar 8 en términos de £ partiremos de l/( x ) - L I para transform arla en otra que
contenga a los factores I g(x) I y Ix - 0 1
I ^ T J + 3 | = 8 ] 23TT11 ljcl = 8 | g W ! U l
L uego, en ( a ) :
0 < Ixl < 8 <=> 8 l g (x ) | | x |
(1)
2. Por hipótesis Ixl < 8 , falta por acotar la función g(x) =
, e s to e s , hallar un núm e­
ro M > 0 tal que I g(x) I < M . C om o la gráfica de f ( x ) tiene una asíntota en x = 1/2 cercano
a x0 = 0 , se debe im poner una restricción a 8 con el fin de obtener una desigualdad que
contenga el factor I g(x) I . Esto se logra eligiendo
8, = i | a - * J = i | i - o | = 1
3. Si | x | < 8 <
8. =* | x | <
1
1
4
<=> - 4- < -* < 4- <=> - 4 <
4
4
2
- 1 <- 4
. 2
c=> - 2 < — L _ < - | r=> | - j — I < 2
2x - 1
3
I 2x - 1 1
■=> I g(x) I < 2 = M
4. A h o r a , e n ( l ) ; 0 < | x | < 8 «=> 8(2>IxI < e
■=> | x | < e/16 = 82
Pbr ta n to , eligiendo 8 = min { 1 /4 , e/16} se tiene el argumento
0 I x l < 8 «=>
- ^ 1- r
I 2 x - 1I
< 2
y
J
Ix l < £/16
2^ - i | 1*1 < 2 (e/16)
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(N R .10)
Sección 2.3: El límite de unafunción
157
I jcI < 1 6 (e/16)
2x- 1
v—
Ir+3
-(-3 ) < e
2x- 1
lo que hace verdadera la proposición (a ) ■=?• lim ( - r ) = - 3
M—
»0 ' ¿X *" 1 *
(E JE M P L O
4)
Demostración
Demostrar que lim
Sif(x) =
^
3) = - 1
9r
9r
~ = ------- rr^r— — , x * -1, x * 3 /2 , debemos probar que:
2x3 - x - 3
(x+lX2x-3)
K
1
( V c > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x e Dom( / ) = R - { - l , 1 ,3 /2 } y si
2r
2x2- x - 3
0 < | jc- l| < 8 c=>
(a)
I. Para determ inar 8 en térm inos de E partirem os de I f ( x) - LI para transformarla en otra que
contenga a los factores I g(x) I y I x - l | .
2x
2x2- x - S
+
1
(2x + 3 ) ( x - 1 )
(x + 1 ) ( 2 x - 3) j
=
l2x + 3|
\ x -11
| x + 1 1| 2 x - 3 l
= lg(x)||x-l|
L u e g o .e n ( a ) :
0<|x-ll<8
(=> lg (x )l I x - 1 | < £
( 1)
2. Búsqueda de una 8 apropiada para acotar | g(x) I
Com o x + l = 0 y 2 x - 3 = 0 son dos asíntotas verticales de la gráfica de f . siendo x = 3/2 el
1
I IQ I 1
punto m ás cercano de x0 = 1, el supuesto 8 lo elegimos d c : 8 = ^ l a - x 0l = - ^ | - i | - l | = ^ 3. Si | x - 1 1 < 8 < 8. ■=> | x - | | < | « - i c x - l < i
1
4
4
4
<=> — < x < 4
4
4
De aqui acotaremos cada uno de los térm inos de g(x)
a)
|3< . 2 x <. f5
b)
1<2x<
2
c)
2 < x + l < % c* £ < — L- < % ^
4
4
9
x +1
7
Entonces :
4.
«_
1o
2
I g(x) I =
9 <^ 2 x +. 3i <^ ^11
_
| 2x +. 301| <. -IIü
- —< 2 x - 3 < - — <¿> - 2 < . ..1 - < - 1
2
2
2x- 3
3
II—
x+ I
<1
l2x + 3l
Ix+ lll2r-3l
L u e g o e n ( l) : 0 < | x - 1 | < 8 1=0 | ^ } | x - l | < £
= * | x - 1| < 7e/44 = 5,
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<2
2x- 3
Capítulo 2: Límites
158
Por ta n to , eligiendo 5 = tnin {1 /4 , 7e/44} se tiene el argumento
1
o < I * - 1 < 5 ■=>
l2 f , + 31
, < —
I jc - ]| 1 2 x - 3 1
y
U-il<
7
—
44
12x+ 3 1
U -lll2x-3l
^
-(-1)1 < e
I 2¿-x-3
En consecuencia, se ha probado que si se elige 5 = min{ 1 /4 ,7e/44} se cumple la proposi­
ción (a). Esto dem uestra que lim /(jr) = -1
■
(E JE M P L O
r\
^ ■Demostración
5i
D em ostrar que lím ( $ \ 9z / X ++S ) = T
c-- s , ,
( x - 2)2(x2+ 4x + 3)
S. / « =
{ x _ 2y (x + 2)
=
xa + 4 x + 3
, + 2
•
^
-2 , **2
Ahora aplicando la definición de límite se tie n e :
lim [~ ~
j-42 » X ^ Z
= ~
4
*
e=> ( V £ > 0 , 3 S > 0 ) | s i x e D o m (/) = R - { - 2 , 2 } , y si
0< l x - 2 l <8 ^
1.
\ ’f + A x * 3 - j | l < £
I x+ 2
41
(a)
Para determ inar 5 en térm inos de e , partiremos de I /(x ) - LI y convertirla en los factores
I g(x) I y I x - 2 1 , esto es
x 2+ 4x + 3
x+2
15 I _ X I 4x + 9
4 I
4 I x+2
L u e g o e n (a ): 0 < | x - 2 | < 5
«=> ^ lg(x)l I jc - 2 1 < e
(1)
2. Búsqueda de una S apropiada para acotar I g{x) I
O bsérvese que la gráfica de g presenta una asíntota vertical en x = - 2 , no m uy próxim a
a x0 = 2 , es decir Ia - x 0 | e <0 , 1 ] , por lo que eligiendo 8 , < 1 acotaremos I g(x) I.
3. S i | x - 2 | < l < = > - l < x - 2 < l « 3 < x + 2 < 5 < = > - ^ < x + 2 < "3
«
T
< 4 + 7 T 2 < T
^
■=> I g(AT) | < ~
4. L u e g o , e n ( 1 ) : 0 < I x - 2 | < 5 <=> ~
= M
\x-2 \ < e
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Sección 2.3: El límite de una función
159
*=> U - 2 | < | | e = Sj
Eligiendo 8 = m in{l , 12e/13} se tiene el argumento
0 < | jc- 2 1 < 8
i=>
4+
<
x+2
4+
4+
1
f
y
U -2l < l § e
I ^ 13
í í í r
i2
y
| jc- 2 | < i | E
x+2
x2 + 4x + 3
x+2
15 | ^ ^
4 I
XJ^ 2
E JE M P L O
€ J D emuéstrese q u e : lim
*
D em ostración
*-*4
Sea /(x ) =
) =
= 1
V x ^3 J
'V v . V
D om (/) = <3, + oo)
Vx-3
Entonces , probarem os que si
lim
x
= 1 <=> ( V £ > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x € D om (/) — {3, + o ° ) , ys i
—*4 W r .
ü< |x - 4 1<8
-1
< £
(ot)
VT3
1. Para determinar 8 en térm inos de £ partirem os de I /(x ) - LI
! / ( * > - II =
1
- 1
1 -V3x-3
Vx"^"3
4 -x
Vx^3(l + V x + 3 )
Com o el denominador es positivo V x e D o m (/), podemos prescindir de las barras de valor
absoluto y escribir
1
V -T 3 (1 + V x^3)
Luego >en ( a ) : 0 < I x - 4 1 < 8
* - 4 | = g(x) Ix - 4 1
g(x) I x - 4 1 < e
0)
2. Búsqueda de una 8 apropiada para acotar g(x)
i
1
y como f ( x )
y h(x) =
Vx-3
1 + Vx-3
es una función que contiene un radical de índice p a r , el acotam iento de h(x) lo haremos a
partir del D o m (/), esto e s , si
1
< 1
x>3 *=> Vx-3 >0 => 1+Vx-3 > 1 => 0 <
( 2)
1 +V x^3
Obsérvese que g(x) es el producto de f ( x ) =
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Capítulo 2: Límites
160
La gráfica de / presenta una asíntota vertical en x = 3 , muy cercana al punto x0 = 4 , es decir,
Ia - xQ1 e ( 0 , 1 ] , entonces restringirem os la 6 que se requiere eligiendo :
8 ,= \ \ a - x ü\ = ^ | 3 - 4 | = ^
3.
Si I jc - 4! < |
<=> - I < x - 4 < 1
2
2
2
« i <2 x - 3 <
|2
« V > 3t < ^ £ 7 3
El producto de (2) por (3) d a : g(x) =
4.
En ( 1 ) se tie n e : 0 <
1<
Ijc- 4
S
»=>
^
(3)
= — -—
< V2 = M
V x- 3 ( 1 + V x ^ 3 )
V2^| j c -
4
1< e
■=>
I jc -
4
1< e/V2
=
S2
Por lo q u e , eligiendo 5 = min{ 1/2, e/V2} se tiene la proposición
0 < I jc- 4 | < 8 = m i n { l / 2 , £ / V 2 }
! / ( * ) - lj <
e
En consecuencia se ha dem ostrado que : lim ( . *
) =1
'V x - y
E JE M P L O
7 |
D em ostrar q u e : lim ( , x " *— ) = 2
— 9
D em ostración
■
4
,-.i
Sea f ( x ) — ■,
■—
V^T3 -2
' V 7 + 3 - 2 7
= Vx + 3 +_2
x+1
_|
x -¿- j
E n to n ces, probarem os que si
lim p E ± Í ± 2 \ _ 2
x
-» l *
X+ I
«
( V e > 0 , 3 8 > 0 ) | s i x e D o m (/) = R - { - 1 , 1 } , y
'
«
i
0 <
1.
,i
X -l
s
< 8
=>
Vx3 + 3 + 2
-------- —:------- - 2 < e
x+ 1
(a)
Para determ inar una S e n función de £ , nos apoyarem os en | / ( x ) - L |
* '•*
1 Vx2 + 3 + 2
|
|
1
x+ 1
En (a ):
0|
I
“ ¿
I Vx2 + 3 - 2x I *
I
«
I ™J
I
x+ 1
I
Vx2 + 3 + 2 x
“
0 < | jc- 1 1 < 8 ^
I x - l| = 3 |g ( x ) | |x - ll
3 lg (x )||x -l| < £
(1)
2. Búsqueda de una 8 apropiada para acotar I g(x) I
Por hipótesis el térm ino Ix - ll está acotado p o r 8 , , entonces para acotar lg (x )| elegim os
8, = 1
3. Construcción de g(x) a partir de la hipótesis
Si |x -1 | < 1 <=> - 1 < x - 1 < 1 <=> 0 < x < 2
0<2x<4
S i 0 < x < 2 <=> 0 < x * < 4 <=> 3 < x 2 + 3 < 7 <=> V3 < Vx2 + 3 < V7
Sumando ( 2 ) + (3) se tie n e :
V3 < Vx3 + 3 + 2 * < 4 + V7
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(2)
161
Sección 2.3 : El límile de una función
I
■y]x1 + 3 + 2 x
4+^/7
4.
Luego en ( I ) :
^3
I V * 2 + 3 + 2.t
0<lx-l|<5i=>3(
< -L = M
^/3
(NR.IO)
) | x - l| < £
I jc - iI <
e = 52
Por tanto, eligiendo 6 = min{l , V3 e/3 ) se cumple la proposición (a )
0 < I x - ll < 8 = m in{l , V 3e/3}
l/(x)-2[ <e
con lo cual se ha dem ostrado que : Iim f ( x ) = 2
i -* 1
EJEMPLO 8 )
J
Demostrar que:
lim ( — —
x-^1 v
I5x_n
\ = 1
/
4
Dem ostración
Previamente, determ inem os el valor de [ x - 1/5] enx(1= 1 s=> [ l - 1/5] = 0 :
lu e g o . busquemos el intervalo en el cual varía x (entorno de x „). Esto e s . si
[ x - 1/5] = 0 <=> 0 < x - 1/5< 1 <=> 1/5 < x < 6/5
Pero com o x * 1/5 , entonces x e (1/5 ,6 /5 ). Además , si
l < 5 x < 6 e ^ 0 < 5 x - l < 5 «=> | 5 x - l | = 5 x - l
L u e g o , la regla de correspondencia de / e s : f ( x ) = —- —
5x - 1
,x e(l/5 ,6 /5 )
Demostraremos entonces que : lim f ~ -— - ) = — , si x e (1/5 , 6 /5 )
x-»i ' 5x - 1 '
4
En e fe c to . según la Definición 2 .6 . debemos probar que
( V e > 0 , 3 8 > 0) I si x e D o m (/) = (1/5 . 6 /5 ). y sí
0 < I x — II < 5 ■=> I t - ! —r — 4- I < e
I 5
jc
— 1
4
(o)
1
I . Determinaremos una 8 en términos de e, apoyándonos en la expresión I f ( x ) - LI y conver­
tirla en otra que contenga como factores a |g (x )| y I x - l l .E s to e s .
1 1
I 5x - I
Luego,en(a):
2.
I I . 5 I
4 1
4 I
1
5 jc —
| | Jf_ 1| = | | g ( x ) U x - 11
4
1I
0 < Ijc - ll < S >=> ^ [ g(x) | | x - l | < E
(1)
La cota superior M = I g(x) I lo hallaremos a partir del D o m (/), es d e c ir, s i :
" < x < f « l < 5 x < 6 o 0 < 5x - I < 5 «=>
< _ * . < «>
5
5
5
5x - 1
Significa que no hay cota superior para g(x), pues cuando x está muy próxim o a 1/5, g(x)
crece sin límite. Luego, necesitamos restringir aun más el D om (/) alrededor de x0= 1. tal que
l x - l l < - - = Sl «
- J <
~
< ^
^
J < x < f C"
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’ 6 /5 )
Capitulo 2: Límites
162
3. Construcción de g(jc) a partir de 5, = 1/5
Si 4 <
5a
< 6 «=> 3 <
5a -
1 < 5 <=> -i < e * . < 4- «=> 1 - ^ , I <
5
5a -1
3
I5 a - 1 I 3
= > ig(*)l< í = M
4. L u e g o , e n ( 1): 0 < I jc- ll < S
( y ) Ia - 1 1 < £
■=> I a - ll < y12 £ = 5,
5
Por tan to , eligiendo 8 = mi n { 1/5, 12e/5} se cum ple la proposición (a)
1
1
0 < | a - ll < 8 = m in { l/5 , 12e/5} ■=> - — - - — < e
I 5 ar - 1
1 ' 4- 1
De este m odo queda dem ostrado que l i m / ( a ) = 1/4
x -t
E JE M P L O
9 l
S ea / ( a ) =
- | -x + 21 ,
*
v
I
sí e
=7/5
, ha l l a r
una
8 tal que
Ijc-4 1
l i m f( a ) = - 3 / 2
M->2
Solución
D ado que a * 4 y a0 = 2 , hallarem os el dom inio de la función en el entorno del
núm ero a () = 2 imponiendo una restricción a 8 = 1. Esto e s , si
0 < I j c - 2 1 < I <=> - 1 < a - 2 < 1 <=> 1 < a < 3
En este intervalo, por definición de valor absoluto
I a - 3 1 = - ( a - 3 ) , | a + 2 | = a + 2 y 1a - 4 | = - ( a - 4)
E ntonces, regla de correspondencia de / ( a ) se reduce a
x,
,
- ( a - 3 ) - ( a + 2)
f{ x ) = ------ 7 ^ 7 4 )
L uego, si lim (
) = - y
,,
.
2 a -1
/,
1 .
** / ^ ' ) = 7 7 4 - • siA 6 <1,3)
, por la Definición 1.6, probarem os que
( V e > 0 , 3 8 > 0) I s i x e D o m (/) = (l , 3 ) , y si
~ (--|)| < e
0< Ia-2| < 8
1.
<a >
Como nuestra elección de 8 depende de e , partiremos de I /( a ) - LI para transformarla en otra
que contenga com o factores a I g (A ) I y I a - 2 1 . esto es
2a - 1 +
I a -4
31
2
7 I a -2
1
2
I a -4
Por tanto la proposición (a ) se puede e sc rib ir:
0 <
2.
|a - 2 | < 8
^
lg (A )l
|a - 2 | < e
La acotación de I g (A ) I la haremos a partir del D o m (/)
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(1)
Sección 2.3: El límite de unafunción
Si 1 < j c < 3 =?►-
3 < jc -4 < -
I
163
<=>
■=>
-1<
|
— ^— r
x-4
\
< -
3
J<1
I g(jc) I < 1 =
M
3. L u e g o , e n ( l ) : 0 < | x - 2 | < 8 ■=> ^ ( l ) U - 2 | < e
^
U - 2 | < 2e/7 = S2
4. Eligiendo 8 = m in{I ,2e/7} se ha demostrado que lim f ( x )
=
-
x-* 1
4
-
í
Por l o q u e , s i e = 7/5 <=> 5 = m in -|l , y ( y ) } = ^
E JE M P L O 1 0 ^
Usando !a definición de lím ite, dem ostrar que
lim (V 5 Í+ 6 ) = 4
Demostración
Por la Definición l .6 , debemos probar que
( V e > 0 , 3 S > 0 ) I s i j r e D o m (/)= ( - 6 /5 , + “ ) , y s i
0 < U - 2 | < 8 ■=> | VSjT + 6 - 4 | < e
l.
(a )
Dado que la elección de 5 depende de e , partiremos del valor absoluto I f{x) - L I para
transform arlo, mediante el proceso de racionalización, en otro que contenga a los factores
!g(jc)| y U - 2 | . E sto es
I V 5jt + 6
-4 | =
L u eg o , en ( a ) :
(S ^ 6 ) - I 6 l
■víí _+l 6
A +
_i_A
~^5x
4 ]
(
5.
) I x - 2 1 = 5 g(jr) I jr - 2 1
C
l A6 +
t A f
' mV5jc
+
4
'
0 < Ix - 2 1 < 5 «=> 5 g(x) l x - 2 1 < e
2. La acotación d e g(x) se hará a partir del D o m (/), esto es
Si 5x +
6 > 0
>=> V 5 a + 6 + 4 > 4
1
'¡5x + 6
<
+ 4
—
=
M
4
=> gt*) < \
3. E n ( l ) s e t i e n e :
4.
0<U-2l<6
■=> 5 ( ¿ ) U - 2 | < £ =í> I x - 2 | < 4e/5
Eligiendo 8 = 4 e / 5 se tiene el argumento
0 < Ijc- 2 1 < 5 => g(jc)< 1/4 y U - 2 | < 4 e / 5
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(!)
Capítulo 2: Límites
164
5 |x -2 |
V5IT6+4
'
v
'
(5_\(4 e \
U A s i
<=> |V5x + 6 - 4 1 < e
Por tanto , se ha probado que si se elige 8 = 4e/5 se cum ple la proposición (a). Esto
demuestra que lirn V5x + 6 = 4
I O B SER V A C IÓ N 2.8
■
Lím ites que n o existen
Los problemas m ás com unes que conducen a la no existencia del
límite de una función /( x ) cuando x —» x0 . son los siguientes
1. Distinto com portam iento de /(x ) a la derecha y a la izquierda de x 0. Por ejem plo. discutir la
existencia del lím ite: L = lim
x - f 1 A- 1
. Sea f (x) = l ü _ l i . En la Figura 2.16 se observa que
A- 1
si a > 1 ,/( x ) = 1 y p a r a x < I , /(x ) = - 1. Esto e s . f ( x ) tiene distinto comportamiento cuando
a se aproxim a a 1 por la derecha y por la izquierda. Esto significa que no existe el lim /( a )
x—
»I
2. Com portam iento no acotado.
Por ejem plo, discutir la existencia del lim ( ^ - j )
Sea /( a ) = — y . En la Figura 2.17 vemos que cuando x se acerca a 1 por la d erecha, /( a )
crece sin lim ite o c o ta , m ientras que si se acerca a 1 por la izquierda, f ( x ) decrece sin cota
y co m o lim /( a ) no se aproxim a a un núm ero real L c u a n d o x —» 1 , se dice que no existe el
límite. x~*1
F I G U R A 2 .1 6
^ E JE M P L O 1 2 )
D em ostración
F I G U R A 2.17
D em ostrar q u e : lim (^ * 4
) no existe.
Supongam os que existe el lím ite y que si
lim (
* -» 4 '
+, ^ ) = L
X -4
¡
(V E > 0 )
I s i x e D o m (/)y si
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2. ¡ : El límite de unafunción
16S
'G + 2
-L
x-4
0 < Ijc- 4 1 < 8
1.
< £
Haciendo uso de la propiedad NR.9 :|<z! - 161 < | c - 6 1 , se tiene
Si
I jc- 4
<E ■=}>
■JI + 2
x -4
- | L | < £ <=>
<=>
1
■nÍT + 2
I jc - 4 1 >
*¡
r—
Il | +
< | L | +£
x-4
* *
| g U ) | I jc - 4 1 >
—
/ —
(1 )
iLl+e
e
2. Acotarem os la función g(x) a partir del D o m (/). esto es
Si 0 < x < 4 <=5 0 < V x < 2 < = > 2 < - \ / x + 2 < 4
*<
yfx + 2
3. L u eg o , en (1): ^ j x - 4 1 > -r—r—
2
1
■Jx + 2
2
< -| = M
(NR.IO)
<=> \x - 4 1 > -¡— p — = 8,
|L| + £
lL| + e
Contradice la h ip ó tesis: Ijc - 4 1 < 5
4. Entonces lo supuesto es fa lso , por lo tanto , no existe lim
E JE R C IC IO S
. Grupo
9
•> En los ejercicios del 1 al 6 , aplicando la D efinición (£ - 5) del lím ite , determ inar los
núm eros 5 > 0 para los valores de £ dados.
r
/
I.
3.
lim {lx + 2) = 23 , £ = 0.07
*-»3
lim (x2- 3x + 5) = 3 , £ = 0.04
x-* l
A .!va ( f n 1) = 2 ■ t = 0027
/
2.
lim (2r>- 1) = 17 . £ = 0.02
i-*-3
/». lirn^ (4x2+ x - 4 ) = 10 , £ = 0.033
• ¡i™ , ( i r ) = i
• E = 0.013
01
•> En los ejercicios del 7 al 4 0 . d em u estre, aplicando la Definición 2.6 que el límite es el
núm ero indicado.
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Capítulo 2: Límites
166
13.
2 x4 - 6 x 3 + x 2 - 9
Jim í
Jr—>—J '
15. lim (
x-*l '
x + 1
2 x 4 - 6x3 + x 2 + 3
x +1
17.
l i m [ -- —4 x
)
x-»-i ' x
•
19.
) = -2 8
'
14. lim ( — — - ) = 5
x-*4/7 V 2 jc - 1 '
)= -8
16. | t a ( - l I ) = 4
18.
lim
im ( - * - ) > X-»—
- 11// 2 ' JC + i f
lim (
) = 3
*-*-i ' 5a + 6 *
20.
lim (
x-*0 '
lim ( 2 x ~ i ) = O
t-»1/7
— 1/ A f
i-*
i/2 '' jrr —1/4
22.
23.
2x-3
lim (
) =0
*-*3/2 H O x - 4 4 /3
24.
lim ( « ^ 1 5 * ) _ _ 5 3
*— 4/ 5' 25x + 10
5
25.
lim (
) = O
x-*0 ' 64JC- 1 '
26.
lim [ — — ~ ) =
x-»4 ' x - 4 '
27. lim ( x 2J \ x (4 - jc)I ) = O
JT-*0
^
28.
lim ( J 4 - x 2 ) = V3
x-*l V
29. lim ( 1 " ^
)= - —
x-»4 * (1 + jc)
25
30.
limf— —
31. l i m í -
32
21.
= 3
3* ~ 6
) = - 3
J4x - 7 1
2
33.
lim (
jr-*5/2 '
[x ] + 2 \
- 2
35.
39.
+ [ ^
jc +
1
X+1
jc
36.
) = 5
) = - 6
38.
— 3 jc + 1 1
lim [ ~ A ± L ) = x-h M 5 x - l l '
2
40.
—5
lim (
42. Sea / una función definida por /( x ) =
jc 2
I 2 x - ll
2- x
lim ( ------- — ) = 1
lim ( — —— ] = —5
x -» -i' 3x + 2 '
lim f — - — ) = 1
r ^ l V I'ív — A \ i
3
1
< —
6
-x+ 3
2
b) Encontrar un valor de 8 > 0 t a l que
0<lx-2|<6
) = —
Ix - 51 - Ix + 21 j = J
a) C alcular L =. lim f (x )
x
) = -±
4
x—
*3/2 VIjcI - [x] 1
5x~ + 4 x _ l
2 5xz - 1 6
1
' 2 - l x + ll '
41. H allar una 5 > 0 , tal que si
O < Ijc - 21 < 8
jc -
_|
lim
r_i1 V
]
l.« - 21
lim (
x - ,1 /2
34.
25
lim (
x —» 3 /2 '
37.
16
1 "
x2
3 jc 2 +
x 2 - jc + 2
lim
im (
>i x
x -» l/2
4*
2x3-
=> | / ( x ) - 4 | < 0 .2 . Ilustrar gráficam ente
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.4 : Teoremas sobre límites
(2 .4 )
167
T E O R E M A S S O B R E L ÍM IT E S
La dem ostración del lím ite de una función utilizando la definición de límite resulta
muy laboriosa. A fin de calcular Límites de manera más fácil se emplean teoremas, cuyas demos­
traciones están basadas en la Definición (e - 8). Estos teorem as. así como otros que aparecen
a lo largo de este capítulo . están señalados con la etiqueta teorema de limites.
T e o re m a 1 d e lím ite s :
UNICIDAD DEL LÍMITE
El lím ite de una fu n ció n , si e x iste, es único. Es d e c ir, si
lim f ( x ) = L y lim f ( x ) = L , => L, = L
X —i X 0
-V-Mj,
D em ostración En efecto, si VE, =E2 = t¡ 2 , 3 8, > 0 , 82> 0, entonces de las hipótesis tenemos
lim f ( x ) = L.
VE. > 0 , 3 8. > 0 , I si x e D om tf) y si
0 < I x - jcJ < 8, <=> | / ( jc) - L, I < £ ,
(1)
Jim f ( x ) = L , <=> Ve2> 0 . 3 8 2> 0 I s i x e D o m ( / ) y s i
0 < U - . * c l < 82 => |/ ( j t ) - L 2! c E j
(2)
Como xj, es ud punto de acumulación del D o m ( /) , f está definida en algún punto x f = x0 del
intervalo <x0 - 8, f.v0 + 8j) 1 (x0- 8 ,, x0 + 8 ,) , entonces si para este punto x ,e D o m l/) se satisface
0 < \ x - x j < 5 = in in { 8 ,,8 2}
tenemos que
! L] - L 1| = |L I - / ( j r 1) + /( je 1) - L Jl
q u e , por conveniencia, escribim os de la tbnna
| L 1- L 2l = | - ( / ( . t , ) - L l) + ( / ( x |) - L 2)l
y por la propiedad triangular
IL.-L.I < l / ( * , ) - L , l +l/(Jr,)-L,l
Ahora , de (1) y (2) se deduce que
| L , - L j l < e , + e2 « = > | L , - L j < e
y haciendo uso de la propiedad de los núm eros reales
S i l x l < e y £ > 0 =» x = 0
se concluye que :
L, - L , = 0 «=> L, = L ,
■
Nota. Es importante darse cuenta de que al estar o no definido el valor de f(x) en no tiene nada que
ver con el hecho de que existe o no el límite de f(x) cuando x — No obstante, si ocurre que
el límite es precisamente /(xQ) se dice que el límite puede evaluarse por sustitución directa Es decir
lim /(*) = /(*„)
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Capitulo 2: Limites
168
Una aplicación interesante de la sustitución directa se ofrece en los teoremas 2 al 11 de límites, que llevan
el nombre d e propiedades d e los l í m i t e s .
T e o re m a 2 d e lím ite s :
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE
Si c es una co n stan te, entonces para cualquier x0
lim (c) = c
s~*x0
D em ostración
En efecto , si
lim (c) = c <=> V e > 0 . 3 8 > 0 , tal que si
0 < I x - x J < 8 «=> 1/ ( jc) - c 1 < e
(1)
P e ro , co m o f ( x ) = c «=> | c - c | < £ ■=> e > 0 ,
L u eg o , para cualquier 8 > 0 se cum ple la proposición (1). Por ta n to , se tiene que :
■
lim (c) = c
*-* *0
T e o re m a 3 d e lím ite s :
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LINEAL
Si m y b son dos constante cu alesq u iera, entonces
lim (m x + 6 ) — n u +6
D em ostración
En e fe c to , si
lim (m x + 6) = raxn + 6 <=> ( V e > 0 , 3 8 > 0) I s i x e D o m (/)y s i
0< Ix-xJ <8
l/(x)-L| < e
H)
«=> I (mx + 6) - (rax0 + 6) I < £
«=> I m l l x - x 0l < £
Para hallar la 8 apropiada consideram os dos casos
a) S i m * 0
0 < I x - x J < 8 «=> | x - x 0l < e / | m |
Este argum ento es válido si tom am os 8 =
[m i
, y así concluimos que :
l ( r r u - 6 ) - ( m x 0 + 6)l < e siempre que 0 < U - * 0I < 6 = e / I m l
b) S i m = 0 <=> f ( x ) - b (constante) <=> / ( ^ = b = L
>=> | / ( x ) - L | = ! 6 - 6 | = 0 , V x e D o m (/); luego V 8 > 0 , la proposición (1)
siempre será válida.
Esto dem uestra el teorema para el caso (b).
■
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Sección 2.4: Teoremas sobre límites
169
T e o re m a 4 d e lím ite s : LÍMITE DEL MULTIPLO ESCALAR
Si c es una constante y / es una función r e a l, entonces
Lim [ c f ( x ) ] = c[ lim
Dem ostración
/(
jc ) ]
= cL
x -tx n
x -* x „
En efecto , por definición de límite
lim f{ x ) = L <=* ( V e > 0 , 3 8 > 0) I Si x e D o m (/), y si
x - » x fl
0 <
U -* 0I <
8
■=> 1 / (
jc )
- L I <
£,
Si escogemos e. = -¡—¡- , entonces
0<
< 8 >=> I/(JC) - L | < jy y
«=> l c / ( x ) - c L | < e
que es la definición d e :
lim
[ c / ( jc) ]
T e o re m a 5 d e lím ite s :
Si lim /(jc) = L
y
= cL
LÍMITE DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE
DOS FUNCIONES
D em ostración
lim [ f {x) + g(x) ] = L ± M
lim g(x) = M «=>
x - .x „
x - » * ;,
lim [ / ( a ) + g(x) ] = lim / ( j c ) + lim g(jc) = L + M
*-**0
*->*0 *-**V
Para cualquier e > 0 , probaremos que 3 8 > 0 , tal
que si
0 < \ x - x 0\ < 8 ■=> I [ f ( x ) + g(x) ] - (L + M )l < e
=> l [ / W - L ] + [ g ( x ) - M ] | < e
entonces por la desigualdad triangular
(1)
I í f {x ) + g(jr)] - (L + M) I < I f ( x ) - L | + | g(jr) - M |
(2)
conseguiremos que I [ f ( x ) + g(jc) - (L + M) I sea m enor que £ haciendo
I f ( x ) - L | < e/2
Dado q u e :
lim
x -» * 0
/(
jc
)
y
| g(jc) - M | < e/2
= L y lim g(x) = M
x -» x 0
sabemos que existen núm eros positivos 8, y 82 tales que si
0 < Ijc-jc0I < 8, <=> I / ( j c ) - L | < e / 2
0 < I jc-jc0I<82 ■=> I g(jr) - M I < e/2
Tomando ahora 8 = m in JS ,, 82} , observam os que si
0 < Iat- jcJ < 8
«=> I / ( jc) - L | <
=>l/(*)-L |
e/2 y l g( j : ) - M l < e/2
+ |g(jc)-M |<|
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+ |
=e
Capítulo 2: Límites
170
y en virtud de ( 2) :
0 < Ix -
I 8 => I [ / (
jc
)
+ g(jr)] - (L + M) I < £
que es precisam ente la definición d e : lim [ /( x ) + g(jr)] = L + M
En forma sim ilar se demuestra que lim [/(Jc)-g(Jc)) = L - M
Por ejem plo, hallar lim ( ^ - 3 * + 5 )
i -* 2
Usando las propiedades hasta aquí d e m o strad as, obtenemos
L = lim (jc2- 3jc + 5> =
x -* 2
lim
i-* 2
0**) + lim (-3a:)+ lim (5)
x -t 2
= lim (jc* )-3 lim (jt)+ lim (5)
x -* 2
(T.5L)
x-> 2
i —* 2
(T.4L)
jc -» 2
= 22 - 3(2) + 5 = 3
La propiedad de la sustitución directa es válida para toda función p o lin ó m ica, tal com o se
establece en el siguiente corolario
C o r o la r io 2 .1
LÍM ITE P E UN A FUNCIÓN POL1NOMIAL__________________
Si / es una función polinóm ica y x 0 es un núm ero real entonces
lim f ( x ) =
Dem ostración
En e fe c to , sea f ( x ) = a nx n +
+ a tx + a 0
una función polinóm ica donde a 0 , a , ,
. - , a „ e I R (constantes)
Entonces las sucesivas aplicaciones de las propiedades de la suma y del múltiplo escalar llevan
a que
lim f ( x ) = a ( lim x ] + . . . . + a . i lim x ) + lim ( a j
= « . V + ---------+ a i *o + a o =
T e o re m a 6 d e lím ite s :
■
LÍM ITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES
Si lim f ( x ) = JL y lim g(x) = M *=> lim [/(.v)*g(x)] = L • M
S-4X,
M-iXp
Dem ostración
Probarem os que V e > 0 , 3 8 > U , tal que si
ü < \ x - x 01 < 8 <=> I f ( x ) • g(x) - LM I < e
En efecto
:
I / ( jc) • g(*) - L -
M
I=
í
I f ( x ) • g(jc) - M / ( j )
+
I / U ) * g(-0 - M /(jc) I + I M/(jc) - L - MI
< l / U ) l I g W - M l + IM11 f ( x ) - LI
D adoque:
( I)
M /(x ) - L ■ M I
(2)
lim f(x) = L <=> ( V e , > 0 , 3 8. > 0 ) I s i x e D o m (/)y si
0 < Ijc - jc0 I < 8 , «=> I /(j c ) - L | < e ,
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(3)
Sección 2.4 : Teoremas sobre límites
171
y lim g(x) = M <=> ( V e , > 0 , 3 8 > 0 I si x e Dom(g) y si
0 < | x - x01 < Sa <=> | g(x) - M I < Ej
(4)
Entonces, relacionando (3) y (4) con (2) obtenemos
l / ( x ) - g ( x ) L - M | < l/( x ) l e2 + 1MI e,
(5)
Acolaremos I f ( x ) I partiendo de lim /(x ) = L para e. = I , es d e c ir:
Para e 3= 1 , 3 83 > 0 I si x e D o m (/) y si 0 < Ix - x01 < 8, «=> I /(x ) - LI < 1
Esto e s , en (5 ):
I /( x ) • g(x) - L • M | < (1 + | L | ) £j + | M I e,
(6)
Para que la suma del segundo m iembro de (6) sea igual a e conviene elegir
£i = 2 ( r r í ü ) £
y
E| = 2 ] l í
Podemos hacer ahora que 8 = m in íS ,, 8a , 83} y observar en (6) que si
0 < I x - x01 < 8 ^ 1 / ( x ) . g ( x ) - L - M | < ( 1 + | L | ) | ( y - ^ J e + iM l ( ^ ^ ) = £
con lo cual se cum ple la proposición (1) y así queda demostrado que
lim /(x )-g (x ) = L -M
C o ro la rio 2 .2
Si existe lim /¡(x) = L: , para ¡ = 1 . 2 * 3 . . . . , n , entonces:
lim
X -* * 0
C o ro la rio 2 .3
n
Fl
i= I
n
(x) = n L¿
i= 1
LÍMITE PE UNA POTENCIA__________________________________
Si existe lim /¡(x) = L ¡, para i = 1 , 2 , 3 , . . . , n
y si /j(x) - /(x ) , V i = l , 2 , 3 , . . . . , n
y L | = L2 = L J = . . . . = Ln = L , entonces
lim [ f n(x)} = [ lim /(x )] " = L " , n e
T e o re m a 7 d e lim ite s :
LÍMITE DEL RECIPROCO DE UNA FUNCION
Si lim e(x) = M «=> lim ( —— \ = -----= — . siempre que M * 0
’- * V g ( x ) '
jim g(x)
M
D em ostración
■
En e fe c to , por la definición de límite se tiene
lim (—r r ) = ~ r <=> V e > 0 , 3 8 > 0 I s í x e D o m (l/g ),y s i
* -» V g (x )'
M
^
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Capítulo 2: Límites
172
0 < Ijc- jcJ < 8 «=*
Como
1
gU )
En(l):
1
M
1
g(x)
1
M
< e
(1)
1g(.t) - M |
IM M g(jc) |
M -g (* )
M ■g(jc)
1
I g(*) - M I < e
0 < | jc -*o 1 < 8 ■=> M i IgW l
(2)
A h o ra, si lim g(;c) = M <=> V e ^ Ü . B S ^ O Í jte Dom(g) y si
0 < U - j c 01 < 8,
l g(jc) - M I < e,
(3)
Dado que I g(*) - M | < e | < ^ > M- £ , < g(jc) < M + e,
1
M +e
<
I g(x) |
Entonces en ( 2 ):
0 < I jc - jcq I < S ■=>
1 <
'
g(jc)
M -e
|M |
< 1
< 2
M
M
1
| M | | g(x) I
IM I:
^
|g(jr)-M |< £
I M 12
I g(x) - M I < j I M21 e = S2
L uego , eligiendo 8 = m in{8 , 8,} , tendrem os el argum ento
1
gU )
1
M
Ig to -M l
g 2 |g ( * ) - M l c 2(1/2)M 2e < c
IM | I g(x) |
lM |
E ntonces, si x e Dom( 1/g) y si 0 < | x - x n \ < 8
Esto dem uestra q u e :
x-*X,
D em ostración
g(*)
M
< £
lim ( —— ) = —— ----- = - ^ 7
lim gU)
M
*-*V g (x )'
T e o re m a 8 d e lím ite s :
Si lim f ( x ) = L
Im I :
y
LIMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES
lim g(x) = M ■=*
lim
x->x„ g (x )
= — , si M * 0
M
En e fe c to , haciendo uso de los teorem as T.L.6 y T.L.7 se tiene
l ir n ( ^ 7 T )
A m xit
=
l i m ( —M = lim f ( x ) - (
1
)
x—
x-*x..
\ lim g
o (*
l x \)‘
l
*»x_- » V « vx-»jt-\tTÍrW
g ( * ) '
= L (w ) = w
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Sección 2.4 : Teoremas sobre límites
173
Com o consecuencia inm ediata d e esta propiedad se puede observar que si f ( x ) y g(x) son
funciones p o tin ó m ic a s. entonces
m g g
.- ™
e g ( V
*0
Por ejem p lo . si f ( x ) = 3jc2 - 2x + 6 y g(x) = x 2 + 3 , ocurre que
lim | / W
= f V ) = 3(2 )2 — 2(2) + 6 = 1 2 - 4 + 6 = 2
\
*-»2 ' g(x) /
g(2)
(2)2 + 3
4 + 3
Cuando g(x) = 0 , se dice que el límite del cociente no existe (se simboliza « ) . El siguiente
corolario da una condición cuando se presenta este caso.
C o ro la rio 2 .4
Dadas dos funciones f ( x ) y g(x) tales que lim f ( x ) = L , L ^ 0
y lim g(x) = 0 => lim (
) no existe,
jr—
►*..
*-**() fit-*-) '
D emostración
Supongam os, por el contrario, que existe un número real M tal que
M
g(x)
Entonces: L = lim / ( x ) = lim ( g(x) .
) = lim g(x) ( lim
g(*) '
*-**„
* *-**a Z(x) '
= 0 (M) = 0
Lo cual contradice la hipótesis de que L * 0 . P o r ta n to . lim, / W
no existe .
Por ejemplo , aplicando el corolario 2.4 , se puede observar que lim f X + ^ ) no existe .
*-»3/2\ [ x ] - I /
pues si g(x) = [ x ] - l => g(3/2) = [3 /2 ] - 1 = 1 - 1 = 0
T e o re m a 9 d e lím it e s : R E D U C C IÓ N D E U N L ÍM IT E E N x0 , A UN L ÍM IT E
ENO
Si l¡m /(A ) = L . entonces lim f ( x + h l = L
•
Demostración
h -» 0
-Jo
'
En e fe c to , según la Definición (e - 8) de límite :
lim /(x) = L <=> ( V e > 0 , 3 S > 0 ) I s i x e D om (/)ysi
0 < I x - x„ I < 8
I /(x ) - L I < £
(1)
Para la sustitución x - xn = h se tie n e :
<=> ( V e > 0 , 3 8 > 0 ) | s i x e D o m (/)y si
U< I h - O l < 5 ■=? I/(x n + h ) - L | < e
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(2)
Capítulo 2: Límites
174
que es la definición de lim / ( x + h ) = L
h—
»O
P o r ta n to d e ( l) y ( 2 ) :
lim /(x ) = l i m / ( x n + h)
h-*Q
u
T e o re m a 10 d e lim ite s : REDUCCIÓN DE UN LÍMITE EN hx„ A UN LÍMITE
Jim /( x )
D em ostración
En e fe c to , si
=
lim /( h x )
, siempre que h * 0
lim f ( x ) = L
(1)
<=* ( V e > 0 , 3 8 > 0) I si x e D o m (/) y si
O < | x - hx01
<8
Ahora s i , 0 < Ix - x | < -— r «=> 0 < |
Ih I
/(x ) - L | < e
hx - hx I
< 8 , implica que | /( h x ) - L í < E
Entonces , para 8. = t^-t se tiene
1 Ih l
0 < l x - x 0l < 8 , "=> I / í h x ) - LI < e
que es la D efinición ( e - 8) de lim /( h x )
= L
L u e g o ,d e ( l) y (2) se sigue q u e : li m / ( x ) =
T e o re m a 11 d e lim ite s :
(2)
lim /( h x )
■
l ím it e d e l v a l o r a b s o l u t o d e u n a f u n c ió n
Si lim /( x ) = L =t> lim l / ( x ) | = |L |
Dem ostración
En efecto
lim /(x ) = L <=> ( V E > 0 , 3 8 > U ) |s i x e D om (/) y si
0 < I x - x01 < 8 ■=> I /(x ) - L I < £
Por la propiedad de los números reales ; | l < z | - I M | ¿ | a - ¿ > | , s e tiene
I |/ ( x ) | - iL l I < I / ( x ) - LI < £
L uego , en ( l ) : ( V
e
> 0 ,3
8 > 0 ) I s ix D o m (/) y si
0 < | x - x 0l < 8
I 1 /(x )l - IL I I <
e
que es la Definición (E - 8) d e : lim l/( x ) l = lL l
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(1)
175
Sección 2.4 : Teoremas sobre limites
TE O RE M A 2.1. Si lim f ( x ) = L y s i ¿ j < L < 6 . entonces existe un número
8> 0 I a < /(x)< b , Vjre Dom(/), que satisfaga: 0 < Ix -x J < 8
Demostración
En efecto , por una de las hipótesis : si lim f ( x ) = L
<=> ( V e > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x e D o m (/)y si 0 < | x - x R| < 5 => |/ ( x ) - L l <
Esto e s , si l / ( x ) - L | < e «=> - e < / ( x ) - L < e <=> L - e < / ( x ) < L +
E
e
Si e l e g i m o s : a < L - £ y & > L + e = > ( E < L - a ) y ( e < 6 - L )
D e la otra
h ip ó te sis
: a < L < 6 < = > (a < L )
(L - a >
»
D e donde , tomando el número positivo
a
0)
(1 )
(L < 6 )
a
(b - L >
0)
= min{L - a , b - L} , podemos definir :
e
lim /( x ) = L <=> ( V e = min{L - c , ¿ > - L } > 0 , 3 8 > 0 | s i x e D o m ( /) , y si
0 < | x - x (ll < 8
i=> L - e < / ( x ) < L + e
(2)
Ahora combinando ( I) y (2) obtenemos
0< |x -x j
< 8
T e o re m a 1 2 d e lím it e s :
Si existe
a< L - e < f ( x ) < L + e < b => a < f ( x ) < b
LIM ITE S Q U E C O N TIE N E N RADICALES
lim f ( x ) = L *=> lim
d o n d e . L e IR,*
Demostración
f (x) = í / lim f ( x ) = >/L
y n e Z4 o L e IR^'
y n e Z* impar
En e fe c to , de la Definición (£ - 8) del lím ite se tiene
lim W /(x ) = K¡L <=> ( V e > 0 , 3 8 > 0) I si x e D o m (/) y si
____
*-**0
0
C aso 1.
< lx -x o l<
8
<=> \ l ¡ ñ x ) - S /L l < E
Si n e Z* y L > 0
Por el Teorema 2.! » a < L < h , tomando a = 172. entonces existe un número 5 > 0 ,
tal que f ( x ) > y > 0 , V x e Dom( / ) y 0 < l x - x (ll < 8 ,
De la identidad :
con
12
a - b =
a r — bLfi
a «-l + a a-2h + ____+ ^ , . - 2 + h n-l
= V/(x) y b = V H , se tiene
V T o o -* !/ l =
/W
- L
L + ____+
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Capítulo 2: Límites
176
Perocom o V IT 1 < > /((/(x ))"-' + > /(/U ))n 7 L +
c u a n d o /( x ) > 0 y L > 0 , entonces
14 m
- d
. .+ VTT7*
< W f ~ LJ < e
\ L n_
tu
Por hipótesis , lim /(x ) = L , para e > 0 dado => 3 5, > 0 , tal que
*~**0
0 < I x - x 0! < S2 ■=> I f ( x ) - L I < e, = VÍT77 e
(2)
Tomando 5 = mi n { 5 ,, 82} y si 0 < | x - x nl < 5 , entonces se cumplen (1) y (2) simultáneamente,
luego
„ f7/(x
7 T) - VL
n/T I. < '/(■*) —
“ Li
e = e
Ii W
— < —j
W "1
Por ta n to , queda demostrado que :
C aso 2.
lim V /(x) = Vl
x -* x 8
Si n e Z+ im par y L < 0
Entonces
L > 0 y por el Caso 1 :
lim
- /( x ) = \í- L
x -» ^
Como n es un número impar : - lim ^ f ( x ) = - VÜ
C aso 3.
i=* lim >//(x) = Vl"
Si n e Z* impar y L = 0
Probaremos que :
lim >//(x) = Vo = 0
En efecto , sea el n ú m ero e> O. Como lim f ( x ) = L = O, entonces para e” > Oexiste 8 > 0 ta l
x -» x 0
que si x e Dom ( / ) y si
O <
I jc - jc0 | < 6
que es la Definición (e - 5) de :
C aso 4,
o
|/ ( . v ) - 0 | < E"
R /(r)
- O [ <
E
lim ^Jf(x) = O
Si n e Z* par y L = O
Probarem os directam ente q u e : lim >//(jr) = V(í = O
x -» x 8
En e fe c to , dado e > O y com o
lim /(x ) = L , entonces para
E" > 0 , 3 5 < O I s i x e Dom (J) y si O < Ix - xDI < 8 => I /(x ) - OI > E"
(T om and o laraizn-ésim a)
lo que dem uestra q u e :
lim V /(x) = 0
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=> I a//( x) -O l < e
■
Sección 2.5: Limite de unafunción intermedia
(2 T5I
177
L Í M I T E D E U N A F U N C IÓ N IN T E R M E D IA
Como ya se indicado anteriorm ente el que
lim f ( x ) - L
exista o n o . y su valor numérico L , si e x iste , depende
únicamente del com portam iento de / para x en la ve­
cindad V fi* (jfy).
Si para x próximo a x 0 , f está com prendida entre dos
funciones g y h que tienden al m ism o límite L (Figura
2.18) ha de tender tam bién a L . Este hecho queda ex­
presado en lo que se llama el Teorema del “sandwich”
o de! “emparedado”
TEOREMA 2 .2 : T e o r e m a d e l s a n d w ic h
S ea
u n a v e c in d a d re s trin g id a en
. y sean / , g y h tres fu n c io n e s tales
q ue V x e V 8* (x ^ , 8 > 0 . se cum ple que
i)
híx) < / ( je) í
gíx)
lim h(x) = lim g(x) = L ■=>lim f ( x )
ii)
X - t t 0
D em ostración
= L
z - * x e
En efecto , de la hipótesis i ) :
V Jte W * ( x0) , h(x) < f ( x ) < g(jr)
1. Sean
e
> 0 , 8 > 0 tales q u e si 0 < I x - x QI < 8 satisface h(x) < /(jc) < g(x)
2. Para cada £ > 0 , ex iste un 8, tal que
lim h(jc) = L <=* V e > 0 , 3 8. > 0 I si x e V * (jc jy s i
fil
0 < ] jc - j iJ < 8, ■=? | h(jc) - LI <
3. Tam bién p ara c a d a
e
e
> 0 , existe un 82 > 0 tal que
lim g(jc) = L <=> V e > 0 , 3 8 , > 0 I s ix e V *(jrn) y s i
0 <
4.
I x - x 0 l < 8 2 <=> i g ( x ) - L I < E
S u p o n ien d o q u e 8, y 82 se h an e le g id o tan p eq u e ñ o s que la s v e c in d a d e s V6 *(x0)
y
e stá n c o n te n id a s en la v e c in d a d V8*(x0) y si 8 es el m ás p e q u e ñ o d e 8,
y 82 , esto e s , 8 = m in { 8 ,, 82} , en to n ces p ara x tal que 0 < l x - x 0l < 8 se cum plen
(2 ) y ( 3 ) , te n e m o s q u e
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Capítulo 2: Límites
178
5. ( |h ( jr ) - L l < £ )
(|g (jc )~ L | < e ) , lo cual im plica que
a
(-e < h U )-L < e )
a
f-e < g (x )-L < e)
(L -e < h (x )
o
a
(g (x )< L
+ £ )
6. Ahora bien , puesto que h(x) < f ( x ) < g (x ), entonces
L -£ < h (x ) <
/(
Por lo tanto :
jc )
< g(jc) < L + e = ^ - L - e < f ( x ) < L + e e s l / ( x ) - L | < £
lim / ( x ) = L
■
Un ejem plo sencillo de la aplicación del Teorem a del sandwich es el siguiente.
Supongam os que :
D adoque,
3X2- 5x + 4 < /(* ) < 9a2+ 3 , V x * 1/2
lim (3a3 -5 a + 4 ) = 3(l/2)2-5 (l/ 2 ) + 4 = 21/4
x —» 1/2
y lim (9a 2 + 3 ) = 9 ( l / 2 )2 + 3 = 21/4
*-* 1/2
tendremos que :
lim / (
j-* 1/2
a)
= 21/4
TEOREMA 2 .3 : L ím it e d e u n a c o m p o s ic ió n d e f u n c io n e s
Si lim /( a ) = L y
i)
lim g(z) = x
y se cum ple que
Zg es un punto de acumulación del Dom ( / o g)
ii) y si existe un n ú m e r o o O tal que
0 < I z - zQI < c , im plica que g(z) * xQ
entonces: lim /( a ) = lim / [ g ( z ) j = L
D em ostración
En e fe c to , si
lim / (
JC-*JCD
a
)
= L <=> ( V e > 0 , 3 8 . > 0 ) I s i x e D o m (/)y s i
0 < IA - A01 < 8 , >=>| / ( a) - L | < e
S ¡ A = g ( z ) g ( z) e
Si lim
g (z )
D o m ( /) y s Í 0 <
|g ( z ) - A 0 l
< 8,
-^ |/ [
g (z )
] - Ll <
(1)
e
(2 )
= An <=> ( V e . > 0 , 3 8 7> 0 ) I s i z e D o m (g )y si
0 < | z - z 0l < S2 c * lg (z )-A 0 l < E,
(3)
Además, p or hipótesis : 0 < | z - z 0 l < c = ^ g ( z ) * xn => I g(z) - a 0 I > 0
Entonces eligiendo 8 = m in { c ,8 2} , el m enor de 52 y c , y por (2) , £ ,= 8,
tenemos en (3 ):
V z € D om (g)
a
0 < I z - z01 < 8 l g ( z ) - A 0l < 8,
D e la com binación de (2) y (4) se sigue que
0< Iz -z J <8
donde g(z) € D o m ( /) , es decir
| / [ g (z)]-L | < e
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(4)
179
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
lim / [ g(z) ] = L = lim /(* )
X~*X0
Por ejem p lo , si /(* ) = 2x - 3 y g(z) = 6zJ - z + 3 , hallar
a)
lim g(z) =
lim f ( x )
b)
c)
z - * l /2
Solución.
lim / [ g(z) ]
2 —* 1/2
Aqui zu = 1/2 es el punto de acumulación del D o m (/ o g). Entonces
a)
b)
lim g(z) = lim (6z2- z + 3) = 6 (l/2 )2- ( l/2 ) + 3 = 4 = > x .= 4
2-+1/2
z—
* 1/2
lim f { x ) *4
c)
lim (2jc-3) = 2 (4) - 3 = 5
; r —» 4
lim / [ g(z) 1 = / [ g (l/2 ) ] = /( 4 ) = 2(4) - 3 = 5
z —* 1/2
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
(e je m p lo
1 )
Sea / y g dos funciones que cumplen lo siguiente
i) m < f ( x ) < M , V x e ( a - r , £ í + r ) , r > 0
ii) lim g(;c) = 0
x —*a
Qué puede afirmar de lim f ( x ) • g(-r) = 0 . Probar su afirmación
x -ta
Solución
Por el Teorema 6 de límites (T .6L ):
lim / ( * ) . g(x) = [ lim
/(
jc )
] [ lim g(jr) ]
x —* a
x —* a
x~+ a
De la condición ii) ,s i lim g(j:) = 0 >=> lim f ( x ) ■g(jc) = 0
x —>a
x -* o
Demostración. En e fe c to , si
1.
lim g(jr) = 0 <=> V e ^ O . B S ^ O | s i* € D om (g)ysí
x —*a
0 < l j c - a | < 5 ] *=í| g(jc) I < e ,
2. Si m < /( ;t) < M , V j c e ^ z - r , a + r) , r > 0 , entonces para
0 < | j c - a l < r c ^ | f ( x ) I < k , donde k = max{ | m | , | M | }
3. Como (1) se cumple V e , > 0 , si elegim os e, = e/k t entonces
38|>o|si0<|x-a| 5, «=>Ig(jr)I < £/k
4. L u eg o , si tomamos 8 = m in { r, 8,} se cum plen a la vez
!/(* )! < k y [g(jt)| < E/k
l/( * ) - g ( * ) l < e
5. P o rta n to , v e > 0 , 3 8 = m in { r,8 ,} talq u e
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Capítulo 2: Límites
180
0 < U
- g | < 8 < = >
| / ( jc) • g O ) | <
£
que es la definición (£ - 8) de lim f ( x ) • g(jt) = 0
x -* a
Por lo que queda dem ostrado la afirmación.
[E JE M P L O
2]
Sea f ( x ) una función real no nula con dom inio D = ( 0 , y tal que :
f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) , V x e D.
a) Calcular lim f ( x )
b) D em ostrar que lim f ( x ) existe Va e D
X—
*1
*-*<»
Solución
a) Com o x * 0 , entonces si y = l / x , se tiene
= /W + /(j)
«
/(D = /W + /(~ )
«
/« = /(!)-/(} )
Aplicando lím ites: lim f ( x ) = l i m / ( l ) - lim /(1 )
X —
♦l
X
X—
*|
l
= /(1 )-/(1 )= 0
b) En e fe c to , si a e D , entonces p o r la definición dada
fia x) = f(a) + f(x)
lim }{ax) =
X-» I
lim f ( a ) + lim f ( x)
X—
í I
y por el Teorema 10 de lím ites (T. 1 0 L ):
X—
»1
lim f ( x ) = lim /(lu ro) , h ^ 0
x-*hx0
X-»X„
lim f ( x ) = lim f ( a ) + lim / ( x)
se sigue q u e :
x —y a
x —* I
x —» l
lim f ( x ) = 0 y según el T.2 L ; lim f ( a ) = f ( a )
P e ro , por ( a ) ,
X —* I
X—
>1
lim f ( x ) = f ( a ) , existe V a e D
■
x~*a
E JE M P L O
Dem ostración
3J
D em ostrar que si / es una función con dominio ER, tal que I / (
V x g I R , M > 0 constante y lim /(* ) = L => |L | < M.
En e fe c to , s il f ( x ) \ < M
lim f ( x ) = L «
x-+x0
M -|/(jc )1 > 0
IL - f ( x ) I
I<M.
(1)
If ( x ) ~LI < £
^ l L - / ( x ) |< £
I <
)
V e > 0 , 3 8 > 0 | s i j r e D om (/) y si
0 < U - j t 0l < 8
Pero com o | L | - I / ( j c )
a
■=> I
Ll - \f(x)
(2)
\ < £
De (1 ), M -1 f ( x ) | > Oy dado que 3 L , V e > 0 , eligiendo e = M - 1f ( x ) I , tenemos en (2 ):
| L | - I/(jc)I < M - 1/(jc)I =* |L | < M
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■
EJERCICIOS
181
Grupo 10 : Ftmctutun nspctiutes
[E J E M P L O 4 )
D em ostrar que si lim [
entoncess :
D em ostración
) = L y M es una constante no nula .
l i m ( ® ^ ) = ML
x-»n'
x
f
Por la Definición (E - 8 ) del límite se tiene
( /< * )
lim í
) = L «
x —*0
x—
*0 V JC *
V e > 0 , 3 8 > 0 | s í j c € D o m (f ) y si
0 < Ijc- O I < 8
=* I ^
- L
<e
(O
Si x = 0 implica que M x - > 0 , siendo M * 0 ; luego en ( I ) , podemos sustituir* por M e , esto
es:
/ ( M x)
- L
M*
<=> O c I M x l < 8
/ ( M x)
«
0 < l x l < ¡m í
- ML
~
Si E, = |M I £ y 8, = S / l M I , se tiene :
que es la Definición (e - 8) de lim (
»-»n
\
<E
< IMI e
/(M x )
0 < U l < 8 , e=>
ML
< E,
*- ) = M L
X
i
EJERCICIOS . Grupo 10
1. S e a n / : IR —> IR , g : DR -> IR dos funciones reales tales que
i ) / 2(* ) + g 2( x ) = 1 , V * e R
iii)
lim /(* ) = 0
x -> 0
ii) g(2*) = g 2( x ) ~ f 2(x) . V j r e R
iv) Existe
lim g(x)
T-»0
Demostrar que : lim g(*) = l
x
2.
0
Sea / : IR —> [R | / ( * + y) = f ( x ) */( * ) , V * , y e IR . Demostrar que
lim / ( * ) = —
( lim / ( * ) \
f í a ) \ x~*a
1
*-**0
3. S e a /u n a función real, xn un punto de acumulación del D om (/) tal que lim /(* ) = L , L e [R.
,
g _____
x—
*0
Demostrar que lim V /2(*) = v U , n e Z*
x -» x u
4. Sea / una fu n c ió n , *0 e R , a e IR - {0} son núm eros fijos. U sando la D efinición (£ - 8),
demostrar q u e :
lim / ( * ) = L «=> lim / ( * + *ÍL ) = L
x-*0
íl
l
Sólo fines educativos
-\ LibrosVirtuales
x-*1q/o
Capítulo 2: Límites
182
5.
Dem ostrar que lim /(x ) = L <=> (
——) es acotada en un cierto intervalo de centro
*-»*o
' X ' X0
en x0, es decir, existen k > 0 y n > 0 e n R , tales que V x e D o m tf) que cumple 0 < Ix - x01 < n,
/( x ) - L
se t i e n e :
«. K
i a j ii s íu c i a iiu u lo
id a
n ite
c nrio
u i r,, m
i n ostrar
u s u a l qque
u e lim
<
k . Considerando
an
= -|-
x~*2
6. Sean / y g dos funciones reales definidas en todo R , tal que V x , y e R , se c u m p le :
i) / [ g(x) ] = /(x ) + g(x)
ii) g (x + y ) = g(x) • g( y)
iii) lim g(x) = L. y lim /( x ) = L
x -* a
a)
‘
x —t a
H allar lim ( / o g ) ( x )
*
b) D em ostrar que L > 0
x-^a
7. Si
lim f ( x ) = L , d e m o stra r q u e 3 5 > 0 ta l q u e p a ra 0 < I x - a l < 5 se tien e que
x —*a
I /(x ) I < k , donde k es una constante positiva
8. Si / : IR - » IR es una función tal que /( x ) * 0 y / ( x + y) = /(x ) • / ( x ) ,V x , y e IR. Demostrar
que si lim /( x ) = L , en to n ces, lim /( x ) = L f ( a )
x —* 0
*-*«
9. Sean / y g dos funciones tales que lim f(x) = 0 y 3 M > 0 para el cual existe 5 > 0 tal que
x —t a
I g(x) I < M siem pre que 0 < l x - n l < 6 , x * a . D em ostrarque lim /(x )« g (x ) = 0
x —ta
10. Sea / y g funciones reales de variable real. Si lim /(x ) = L .e R+y lim g(x) = L ,e IR +,
x —> 0
1
x -íO
¿
dem ostrar que existen a , b , 8 € IR tales que, si
0 < I x - x01 < 8 , x e D o m (//g)
(2 .6 )
a <
< b
T É C N IC A S PARA EV A LU A R E L L ÍM IT E D E U N A F U N C IÓ N
En las secciones 2.4 y 2 .5 , el estudio de los límites se basó fundamentalmente en el
empleo de la Definición (£ - 8) para dem ostrar teorem as y tam bién de la existencia o no de un
determinado límite. Ahora el reto se presenta un poco m ás difícil: es analizar el comportamiento
de una función / en un punto próxim o axj, (punto de acum ulación) perteneciente al entorno
A dem ás en ejem plos anteriores hem os señalado límites calculables por sustitución
directa. En esta ocasión se presenta técnicas para reducir otros límites a esa form a, m ediante la
aplicación del siguiente teorema.
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Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de unafunción
183
TEOREMA 2 . 4 : L ím ite c o m o p ro p ie d a d lo c a l d e la fu n c ió n
Sea x0 € IR un punto de acumulación de las funciones f y g , y /(x ) = g(x) ,V x e
Si existe el lím ite de g(x) cuando x -> x0, entonces el límite de f ( x ) también existe y e s :
lim f ( x ) -
Demostración
lim g(x) = L
En efecto , supongamos que existe lim g(x) = L , entonces por la Definición
( e - 8 ) de límite
lim g(x) = L <=> ( V e > 0 , 3 8 > 0 ) I s ix e D om (g)ysi
0 < l x - x 0l
Dado que por hipótesis /(x ) =
< 8
=> | g ( x ) - L l < E
(1)
g(x) , V x e Vg*(x0) , se sigue que
0 < I x - x01 < 8 ■=> | /(x ) - L t < £
(2)
Por ta n to , de (1) y (2) concluim os que
lim f ( x ) = lim g(x) = L
a r - » j !0
x
■
->X q
Pasamos ahora a clasificar los casos que se presentan respecto ai punto de acumulación x0.
1. x0e D om (/) y existe el límite d e / . ento n ces: L = /(x 0)
2. x0 e Dom( /) y no existe el lím ite de / ( es indeterm inado)
3. x0 í D om (/) y no está definido el límite d e / , es d e c ir, cuando se tiende a x0, entonces /(x )
tiende a
(Este tercer caso lo estudiaremos en la sección de límites infinitos.)
CA SO I .
C uando x c e D om ( /)
El problema se resuelve evaluando el límite por sustitución d irecta, es d e c ir:
L = lim /(x ) = /(x 0)
¡EJEM PLO
v
Solución
ll
Sea la función /(x ) = ^J 2*2* 3* - 2
*
x ' ¿-
ha],ar Um ^
jt- » 3
Com encem os determinando el dominio de / , esto es
2*2 + 3* ~ 2 > 0 o
(2 x ~ l X* + 2> > o
x-2
x -2
<=> x e [-2 , 1/2] U (2 ,+ ° ° )
Resulta que x0 = 3 e D o m ( /) , entonces
/e s re a l «
a /2 (3 )? +
3 ( 3 )-2
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,
Capítulo 2: Límites
184
i
N o ta .
N o siem pre o c u rre q u e / ( x 0) = L . E l siguiente e je m p lo pone énfasis en e llo .
2 )
[E JE M P L O
x2 - 2 , si x * 2
, hallar lim /(x )
'- * 2
D ada la función f ( x ) = <|
4
, s ix = 2
Solución
O b sé rv e se q u e el D o m (/) = ÍR , e n to n ce s
x0- 2 e Dom ( /)
Como estam os considerando valores de x próxim os a xn = 2 ,
entonces para x0 * 2 se tiene
L = lim f ( x ) = lira (x*-2) = (2)2- 2 = 2
x —* 2
x —* 2
Por definición /( 2 ) = 4 , luego:
lim /( x ) * /( 2 )
■
F I G U R A 2 19
* -* 2
t----------------------- v
[EJEMPLO
í 3 + x ,S ix < - 2
3 ] Sea la función /(x ) = <¡
, hallar lim /( x )
[ 3 - x , s ix > -2
Solución
jc
—» 2
Com o el D o m (/) = R <=> x n = - 2 e D o m (/) y en la
G r ( / ) , Figura 2 .2 0 , se observa que
1. Cuando x se aproxim a a x0 = -2 por la izquierda , es decir .
cuando x < - 2 , entonces / ( x) = x + 3 , y
L ,= lim f ( x ) = /(-2 ) = 3 - 2 = 1
jt—
»-2
2. Cuando x se aproxim a a x0 = -2 por la derecha, esto es x £ -2 ,
entonces /(x ) = 3 - x , y
1^= lim f ( x ) = /(-2 ) = 3 -1 -2 )= 5
x-»-2
Se obtiene dos límites L, * L2 , por ta n to , no existe lim /(x )
x-* -2
C A SO 2.
Regla de resolución de ¡as indeterm inaciones
Cuando x0 «? D o m (/)
P(*)
, donde p(x) y q(x) son p olino­
<K*)
x0, tom a cualquiera de las formas indeterminadas
L Si /(x ) es una función racional de la forma /( x ) =
mios y si el límite de f ( x ) cuando x
ü
00 - 0 0 o • 00
0 ’ =»
entonces la indeterminación se elim ina tan solo factorizando los polinom ios p(x) y q(x)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
185
Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de una función
O bviam ente, si x —» x0, entonces (x - x j —» 0 , es d e c ir, si p(x) = q(x) = 0 <=> ( x - x j e s u n
factor tanto de p(x) com o de q(x).
4Í
*
E JE M P L O
'
Solución
Sea la función f ( x ) =
r . hallar lim f( x)
JT -4
x_»2
Dado que / es una función racional en la que
p (x )= x 3- 8 =>
q(x) = x2 - 4 =>
lim p(xj = p(2) = 0
lim q(x) = q(2) = 0
—
>2
j
Ocurre que el límite L d e / t o m a la form a indeterm inada 0 /0 . Ahora la pregunta e s , cuál es el
valor real de f ( x ) cuando x está próximo a 2 pero no es exactamente 2.
Las identidades algebraicas: x3- 8 = (x - 2) (x2+ 2x + 4) y x2 - 4 = (x - 2) (x + 2 ) nos permiten
responder la pregunta.
(x - 2)(x2 + 2x + 4)
Reescribimos la función : f ( x ) = — -— ----------(x -2 )(x + 2 )
,x * 2
E ntonces, V x * 2 podemos cancelar el factor (x - 2) y obtener
sw =
. x#z
En consecuencia, el comportamiento de /(x ) para x próximo a 2 , pero distinto de 2 , es el mismo
que el comportamiento deg(x).
A s i, en esta situación , por el Teorema 2 .4 , se sigue q u e :
lim /(x ) = lim g(x) = g(2) = ^
x-*2
x-*2
II.
Si /(x ) =
7 + 2'
2+2
= 3
"
y en Pt-1) yA) qU ) intervienen radicales de índice par o impar y si el límite
d e / ( x ) , cuando x —>x0, es indeterm inado, la indeterminación se elim ina racionalizando
p(x) y/o q(x).
El factor racionalizando se busca a través de las identidades
1. a2- b 2 = { a + b ) ( a - b )
2.
a 3 -fe3 =
( a - b ) ( a 2+ a b + b 2)
3. a 3+fe3 = (a + b) ( a2- a b + b 2)
4.
a*-bA= (a -fe )(a 3+í23b+ afe2 + fe3)
5.
a 3-fe5= ( a - 6 ) ( a 4 + a 36 + a :ife2 + afe3 + fe4) = ( a -6 )• F ( a , fe)
= ( a - fe)«Fía,fe)
En general
6. a ° - b n = (a - 6 ) (a" ' + a " ‘2fe + a " 3feJ + . . . . +afen' 2 + fen' ’)
>------------------------------- v,-------------------------------'
n términos
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Capitulo 2: Límites
186
— ( a - b ) ‘ F ( a , b ) , para n par o im par
7. a n + bn = (c + b)J a n' 1- a n 2b + a n' ,b2 + . . . . - a b B' 2 + b”' 1)^
n términos
= (a + b) • F ( a , b) , para n impar.
En el caso 1 cualquiera de los dos factores es el factor racionalizante, en los dem ás case» es el
segundo factor denotado por F(<3 , fc). Se puede decir que F es una función de dos variables a
y b , pero com o estas variables son funciones de * , en realidad F es una función de x . A hora
bien , si evaluam os el límite de F(c , b)c u a n d o x —» x0 , obtendremos
lim F ( n ,b) = lim ( a " '1+ a n'^b + a',' 3b2+ .............. + a 6 n' 2 + & "'')
La homogeneidad de los términos de F (sus exponentes suman n - 1) permite que los n sumados
tengan un m ism o valor al sustituir* p o r* 0, entonces para mayor com odidad podemos escribir
lim F(a,& ) = n . lim (a )" '1 ó lim F(a,í>) = n . lim (fe)"'1
EJEMPLO
Solución
3. /(x ) =
5
J
Si /(x ) = y^2 x + '¡ ~x , hallar lim /(* )
x-i
,_*■»
I. La sustitución directa lleva al límite a la form a indeterminado 0/0
2. C o m o *
3 , e n to n c e s (x - 3) - » 0 , lu e g o b u sc a re m o s el fa c to r (x - 3)
racionalizando el n um erador, esto es
(V 2x+ 3 -x)(V 2* + 3 + x)
(x -3 )(V 2 x + 3 + x )
(V2x + 3 ) 2- x 2
( x - 3 ) (V2x + 3 + *)
-(x -3 )(x + l)
(x -3 )(V 2 x + 3 + x)
Si x * 3 , podem os cancelar factores ig u ales, obteniendo
g(x) = -
* + .11------ , x * 3
\2 x + 3 +x
4. A h o r a ,s i/( x ) = g ( x ) ,V x e Vg* (3 ), entonces p o r el Teorema 2.4
L = lim /( x ) = Iim g(x) = g(3) = 3 + 1- = i—
♦3
i —>3
V6 + 3 + 3
3
[e je m p lo
s
Solución
6)
■
Calcular: lim ( 3 - V 5 x - l \
^
'V 3 x T 2 - 2 '
1. Sea f ( x ) =
SÍ3x + 2 - 2
c* /( 2 ) = —
0
2. S ix - » 2 , e ntonces (x - 2) —» 0. B uscarem os el fa cto r (x - 2) efectuando doble raciona­
lización. En el nu m erad o r el fa c to r racio n alizan te es 3 + v 5 x - 1 y en el d e n o m in a d o r,
F(a ,b ) = a 2 + ab + t r , donde a = >/3x + 2 y b = >Í8
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Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de una junción
187
3. Si lim F(<z,¿) = n . lim (¿)" ‘ =? lim F ( a ,b) = 3 (V 8 )2 = 12
*-»*<>
*-*2
4. Multiplicando el numerador y denominador de / por el factor racionalizante correspondien­
te , se tiene
m
[ (3 - y}5x - 1)(3 + V 5 x - 1 ) ] .F ( a , b )
=
[ ( f o t + 2 - 2) * F( a
, b)
-5 (*-2 ).F (a ,6 )
= ------------------ .
3 ( * - 2 )( 3 + f o t - 1 )
5.
P o rtan to :
L=
lim
/(
jc )
] (3 + f o T
[32 - ( V sjT T )2] . F {a, b)
Í )
[ ( f o x + 2 ) s - 2 3] ( 3 + V 5 j c - 1 )
v
5 (
1
\ rt
ls
«=> g(x) = — i
,
1 F ( a , o)
3 ' 3+ fo t -1 '
= g(2) = - 3 ( 3^ 3 ) (12) = - - y
OTROS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
En esta ocasión se presenta varías técnicas para reducir un límite que tiene la forma
indeterminada a oro límite calculable por sustitución directa. A parte de las reducciones por
factorización o por racionalización veremos otros por medio de artificios de cálculo.
EJEMPLO
7)
—J
Calcular Em
n-.3 V4X3-1 3 x 2 + 4 x - 3 /
' ■ Sea
~ í<3) ■ §
2. Para elim inar la indeterminación debemos factorizarel numerador y el denominador cono­
ciendo que un factor es (x - 3) y con la ayuda del teorema del factor (M étodo de Ruffini),
tendremos
<*1 x, *
( x - 3 ) ( 2 x 1+ x + 1)
1 fíX) = (x-'i)(4x"i - x + 1)
°
2x* + x + l
gW = -4 1 ^ 7 7 1 •
4. Si f ( x ) = g(x) ,V x e Vg* (3 ), entonces por el Teorema 2.4
L = lim f ( x ) = lim g(x) = g(3) =
x—* 3
[EJEM PLO
Solución
x—
»3
2 ) Si / « = ^
. _ |L
_
2(3)2+ 3 + 1
4(3) - 3 + 1
, M a r l i r n /U)
1. Por sim ple inspección vemos que /( 4 ) =
2. Efectuando la operación in d icad a:
/(
jc)
11
17
1
= 2(x 4) (3 + 4)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
8
=
0 0 -0 0
Capítulo 2: Límites
188
3.
A hora el lím ite tom a la form a indeterm inada 0/0. Entonces , cancelando factores iguales
obtenem os:
4.
Si / ( jc )
g(jc) =
g (x ),
=
V x e
t
2(3* + 4)
V6*(4), en to n ces, por el Teorema 2.4
L = lim f ( x ) =
x
Si f (jc) = -
E JE M P L O 3 )
Solución
lim g(x) = g(4) = - ^
4
x—
*
4
x
- (n + l)jcn + I
, p+i
-
, n ,p € Z+ ; hallar lim f ( x )
- x +I
jcp
X—
»I
/(I) = 0
1. Por sim ple inspección :
2. Como ( j c - 1) — > 0 , el binomio ( jc - I ) debe ser un tactor del num erador y del denominador de
/ . E n to n ces:
3.
xf*'
-
x
P -
jc +
1 = x{x*- I ) - ( jc *>- 1) = ( j c - l)(jrp- I)
=
( j c - 1) ( j c - 1) ( jcp ' 1 + jc p ' 2 + jcp' 3 + . . . . + jc* + jc + 1)
= ( x - I)2 (JCp*1+ jcp-2 + ;cp-3 + . . . . +jc2 + jc + l)
4. En el num erador aplicam os dos veces , para la regla de R uffini, x = l
n
I
n
1
n
0
- (n + 1)
n
-1
-1
-1
n
n- 1
n- 1 n-2
0
-1
-1
n-2
n -3
0
-1
-1
n-3
n -4
. . . . ü
-1
. . .- I
. . . . 3
. . . . 2
0 0
-1 -1
-1 -1
2 1
1 0
^ N u m e r a d o r = ( x - I)2 [n x n 1+ (n - 1) jrn-2 + (n - 2) x n 3 + . . . +
5. L uego: f ( x ) = ( x ~ 1)2 tn ^
3 j t + 2 jc +
I]
+ (n ~ 2)jrl>"3 +
+ 3jc2 + 2x + i]
x p~2 + x p“ 3 + . . . . + j c 2 + jc + 1 )
6. De m odo que si jc * 1, podemos cancelar factores iguales. obteniendo
n-l
-3
+ (n - 1) jc" - 2 + (n - 2 ) x n
n~i
+ . . . . + 3 jc¿ + 2 jc + 1
g(*) =
, jc * l
p-3
x p~x + x p~z + JC
+ ____+ Jt + JC+ I
(jc -
7.
+ (n ~
1 )2 ( jc p_1 +
Por lo q u e : L = lim gO r) = ü ± ( ? - D + (n - 2) + . . . . + 3 + 2 + 1
1+ 1 + 1 + .... + 1+ 1+ 1
.
L _ n (n + 1)
2p
(e je m p lo
4 )
Sea f ( x ) =
~ ^
V 3 6 - 4 jc2
h a|,ar |¡m m
- *- »3
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
f (n + 1)
p veces 1
189
Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de una Junción
Solución
1. Por sustitución directa : /( 3 ) = ^ ^ ^
^
Obsérvese que en el num erador aparecen dos c e ro s, lo que indica que debe­
mos descomponer f ( x ) en dos sumandos , cada uno con un límite indeterminado , esto es
Z
fe) =
+
3.
V6-2a:
=
y¡36-4x2
V 36-4*2"
( < 6 - < 2 x ) ( ' Í 6 + tJ2x )
6-2x
1
V (6 -2 )(6 + I* )(V ó +>¡2x)
y¡6 + 2x
Si g W = ----- h = ~ + - f J =
V6 + Zr ( V 6 + " ^ x )
_
E JE M P L O
■
Solución
I
5)
Si f ( x ) =
S6-2x
V(6 + 2x) ( 6 - 2 x )
V ó -2 x
1
Vó + 2 l (V ó+ V 2x)
S 6 + 2x
, x r í . y á H x ) = g(A), V i e Vg*(3)
v 6 + 2x
L = lim g(*) = g(3) = 0 +
1
*->3
-¿6 + 6
»
+
V(6 + Zx)(6- 2x) (Vó + y¡2x)
1
2^3
~3 , evaluar lim f( x)
_*0
»n
’
ji»—
\V/ r7xT¡fÍt6 _- 2
9
1. Por sustitución d irecta: /(O ) = ~
2. C om o* —» 0 , buscaremos el factor x racionalizando el numerador y el denominador de f ,
cuyos factores racionalizantes s o n , respectivam ente:
F(a ,6 ) = a 2 + ab + b2 , donde a = ^ * + 27 y b = ^/27
G(a ,b ) = a 3 + a 2í> + <z&2 + b3 , donde a = >íx+ 16 y ¿ = Vl6
3. Según la notación : lim F ( a , b) = n • lim (b) " '1 , para cada caso se tiene
*-»*o
*-**0
lim F ( c ,¿ ) = 3 lim ( ^ 2 7 )2 = 27 ; lim G(a ,b) = 4 lim (VTó)? = 32
j —>0
* —»0
x—»0
x —»0
4.
R acionalizando: M
= K « Í Z 7 - 3 ) .F < M ) ] - C * .» )
[(l/x + 1 6 - Z ) - G ( a , b ) ] ’ H a , b )
[(> /jc + 2 7 )3 - (
V27 ) 3 ] • G(<z, ¿>)
[(Í/J+ T ó )4- (VT6)4] - F ( a , 6 )
[(jc +
27) - 2 7 ] . G ( a , b )
[(jt + 1 6 )-1 6 ] • F ( a ,¿ )
Para x * 0 , cancelando factores iguales, obtendremos
g(*) =
, * * 0 , y s i / ( x ) = g ( x )t V x e Vfi* (0 ), entonces
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 2: Limites
190
EJEMPLO
6)
Solución
+l
Sea /(jc) =
*
s
haUar [im ^
-*-»0
\ x + \ -1
I . La sustitución directa da /(O ) = |j-
2. A hora, b u scar el facto r x tal q u e elim in e la ind eterm inación p or el proceso anterior
resu lta b astante laborioso. C om o x + í ap arece en todos los radicales , un cam bio de
variables resulta m ás eficaz. H acem os x + 1 =
un , donde n es el com ún índice de los
radicales, esto es , n = m • c , m (3 , 4 , 5 ) = 60 <=? jc+ 1 = u60
3. C om o x —> 0 , entonces (x + I) —> 1 , luego u —» 1
4. E ntonces: L =
lim f ( x ) = lim ( u ~u )
i»—
>I U - 1 '
jc
—
>
0
5. Obsérvese que aun subsiste la indeterm inación 0 /0 ; para elim inarla buscarem os el factor
(u - 1) por el proceso de factorización , esto es
" UÍÍ5
u l2( l - u 8)
u l2( l - u ) ( l + u + u2 + u ' + u4 + u ' + u6 + u7)
u l5- I
" n-Ti
( u - l ) ( u ” + u ,3 + u ,:! + ____ + u + l )
- u 12( 1+u + u1+ . . . . + u7)( I ) ( l + 7 )
u 1- ? !
~
EJEMPLO
Solución
TÍ
-J
+
U,4 U,,
+
Ull+. . .+U+1
Evaluar: lim (
j —
»0
14+1
8
m
T I
"
+ 1 + ^ X+ 1 ~ 1 )
1 + tft+ T - 1 *
1. Por sustitución d ire c ta , /( 0 ) = 0/0
2. Nótese que jc + 1 aparece en cada radical , un cam bio de variables , parecería lo más
con v en ien te, sin e m b a rg o , com o x es el factor que se debe e lim in a r, éste aparece en los
prim eros térm inos del num erador y denom inador. E ntonces resulta m ás fácil b uscar el
facto r jc e n lo s otros térm inos p o r e l pro ceso de racionalización . P ara tal efecto , sea
F(a ,b ) = a3 + a 2b + a b2+b3e 1factor racionalizante de
+ 1 -1 ,d o n d e a = > /x + 1 y i> =l
3. Com o lim F( a , b) = n • lim (6)3 = 4 lim ( l ) 3= 4 ; racionalizando;tendrem os:
x —* o
m
x~ *o
=
______
F (c ,6 )
x.^ T i +
^T T +
e* ftx ) = -------------- / . n ,
+ C * + 0 - l_
F( a , b )
e* gU) = ----------------- i---- «**0
jt-V x + T + — !—
F( a , b )
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de unaJunción
4.
191
S i / ( a ) = g(jc) ,V x e V .* (0 ),en to n ces
L = lim / ( a ) = lim g(x) = g(0) = * *
x-»G
*-»0
U + l/4
EJEMPLO
Solución
= 5
8 ] Calcular lim f ( x ) , siendo / ( a ) = V l+ x 2 -
V 1 -2
a
x +x1
x -» 0
é
I. L a sustitución directa d a al límite la forma 0/0
2. Obsérvese que los términos V Í + a 2 y Vi sumando y restando 1 al num erador se tiene
2
a
tienden a 1cuando x —>0 , de m odo que
I +-T2 - 1) - ( Í I 1 - 2 X - 1 )
< ÍÍT ? -1
A + A2
. &
l
A + A2
X + X2
3. Sea F (a 7b) = a 2 + ab-+b1c I facto r racionalizante de Vi + a 2- 1 , donde a
b = 1 c=> lim F ( a ,¿ ) = n - lim (by l = 3(1)2 = 3
* -» o
= V i +A2 y
x -» o
S e a G (a ,¿ ) = a? + a 2b + a b 2 + el factor racionalizante de V1 - 2 a -1 .donde a = Vi
y b = 1 <=> lim G ( a ,6 ) = n* lim (6 )"'1 ~ 4(1)* = 4
-2
a
x -» 0
. . . . . .
.
4. Racionalizando: f(x) -
1)■ F ( a , b)
(V i - 2 a -1)■ G( a, b)
---------- r— -— ,
--- -i-------------<
( a + a^) • F (fl, b)
( x + x 2) - G ( a , b )
(V l+ A 2 -
( I +
a
(1 +
a
a
2) - !
)* F (c
(1 - 2 a ) - 1
,b)
x ( l + x )'G (a.b)
Efectuando operaciones en los numeradores y cancelando factores iguales obtenemos
2
a
8 ÍJ :)
5.
S i/ (a ) =
(I + a )
g ( A ) , V A e V 6* ( 0 )
EJEMPLO
Solución
“
9|
Calcular:
■F(a , b ) + (1
+ a )
• G (a ,í>) ’ X * °
li m / (a ) = g (0 ) =
lim (
x-*0 '
0
(1)(3)
.
2
(1)(4)
l
2
Vi +x/3 - V l + x / 4 \
1 - Vi ~x/2
l. E valuando/(O ) obtenem os la form a indeterminado ^
2. Buscaremos el factor a en el numerador y denominador simplificando previamente los térmi­
nos de la función, esto e s , haciendo uso del Teorema 10. L : lim / ( a ) = lim /(h x ) , se tiene
X — >hx0
3. h = m ■c • m ( 2 , 3 , 4 ) = 12 (h es el común denominador)
L =
= lim / ( 1 2 a n) = lim .( Vi
V I ++ 44 aa -- j Vi
/ H +^ 3x
a \
=> L
x -*oJ
X_>0 V
i-V T T é l
•
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
X —
,>
X
y
Capítulo 2: Límites
192
4.
Com o los radicales del num erador tienden a 1 cuando x —» 0 , aplicaremos el artificio del
ejem plo an terio r(su m ary restar 1)
/(1 2 h ) =
\Í1 + 4 x -1
I-V l-6 *
VT7 3 * -1
l-V l-6 *
5. S eaF (a ,b) el factor racionalizante de ("SÍ 1 + 4 x - 1) ; a = ^¡l+4x y b = \ y G ( c , 6) el factor
racionalizante de ("NÍ1 + 3x - 1 ) ; a = VT~+2x y b = I
E ntonces: lim F(a ,b) = 3(¿>)2 = 3 y lim G(a ,b) = 4(b)2 = 4
x -»o
x —»o
6. Racionalizando se tiene
,
[ ( < Í T + 4 x - l) .F ( a ,é )] ( l+ V r 6 J )
j(1 2 r ) = ----------------,
1(1 - V i - 6 x ) ( l + V l- 6 * ) ] - F ( a ,í> )
_ [(1 + 4 x ) - I] (1 + Vi - 6 x )
[ 1 -(1 - 6 * ) ] • F ( a , b)
[(> fí7 3 jt - l) .G ( a ,¿ > ) J ( l+ V l- 6 x )
,
.
---------------[(1 - Vi -Ü T)(1 +>íl -6.x)] • G( a , b )
[(l+ 3 * )-l](l+ V l~ frr)
"
[ l -(1 -6jc)J - G ( a , 6)
Simplificando y cancelando factores iguales obtenemos
2( í W T e J )
i+ V Tó T
3 F ( a , 6)
2 G (o , b)
EU)
7.
0
'
L u e g o ,s i/( I 2 x ) = g(x) , V * € Vs *(0) «=> lim / ( I 2 h ) = lim g(x) = g (0 )
x —» 0
x —»Ü
L =
[e je m p lo
Solución
1o)
Calcular: L =
2(1 + 1)
3 (3 )
'
1+ 1 = J _
2 (4 )
36
lim ( „
)
i . Por conveniencia hallarem os el recíproco del lím ite , esto es
L = lim ( Ü H ^ Í E Z ) = ,¡m
1
X*
x -* 0 »
f
JC2
x -» 0 »
X2
l
2. S iF (c ,6 ) es el factor racionalizante de (V i + JC3 - 1 ) ; a = "Vi +x* y b - 1
o
lim F ( a , b) - n - Iim(6)" 1 = 3 lim ( l ) 2 = 3 (!)2 = 3
x -* 0
x —*0
3. Racionalizando: L ,= i t a
1 * -> o '
x2 - ¥ ( a , b )
x —*0
. W T ? -l» jr? + Q )
^ N l-X 2 +1)
1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de unafunción
EJEMPLO 1 l )
"
Solución
2.
193
Calcular: lim ( - -f e * + 4 + *_+A )
x—
»-4 v x ^ - 3x + 4 + jc + 2
l. Al evaluar /(-4 ) el límite tom a la forma S.
Trataremos de cancelar el factor (jr+ 4 ) mediante el siguiente artificio. Como ^ 3 x + 4 tiende
a - 2 y Vjc2 - 3x + 4 tiende a 2 cuando x —> - 4 , entonces :
(^3jc + 4 + 2) • F (a , b)
/w
(•sÍ3x + 4 + 2 ) + (x + 4)
*” 5
( a / x 2 - 3x + 4 - 2) + (x + 4)
+ (x + 4 )
F(o.fe)
(AÍx2-3 x + 4 - 2 ) - G ( g , ¿ ) +
G(a,f>)
D o n d e: F(g , 6) es el factor racionalizante de (%Í3x + 4 + 2)
G ( a , b) es el factor racionalizante de (AÍx2-3 x + 4 - 2)
3. Si lim F(c,i>) = n- lim (fc)"'1 ^
x-»-4
x-»-4
Iim F(c,¿>) = 3(2)- = 12
x-»*4
lim G (a,í») = n • lim (¿j) " '1 <=> lim G(g ,¿ ) = 5(2)4 = 80
x —* - 4
x -* -4
x - * -4
+(x+4)
4. Luego:
f(x) =
M
( x*- 3x + 4 ) - 3 2 +
* £ + £ + (,+ 4 )
' b)
(jr+ 4 )C » 7 ) +
G ( a , b)
G(a.b)
3
EV Lv ^ i
5. Cancelando el factor (x + 4) se tie n e : g(x) = —~f~-¡
, x ¿ -4
G (a,b) + 1
6. Si f ( x ) = g (x ), V x e V * (-4 ) =* L = lim f ( x ) = lim g(x) = g(-4)
x -»-4
x —» - 4
Por ta n to . evaluando el límite en (5) o b tenem os: L = 100/69
EJEM P LO 1 2 ) Calcular: lim ( V? + ^* + 2 ^ ~ 7 )
*
Solución
2.
x—
J c- 8
/
l . La sustitución directa /(8 ) da al límite la form a |j-
Cuando x —» 8 , los radicales tienden a 3 y 2 respectivamente , luego buscaremos en el
numerador el factor (x - 8) mediante el siguiente artificio : Descomponer - 7 = - 3 + 2(-2) y
escribir
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Capítulo 2: Límites
194
3. Al racionalizar el prim er sumando de / enconiram os que
/W =
^ 2
+ ^ _ 2 >
( x - 8 ) ( \ 7 + Vx +3)
x -8
4. Si F(a ,6) = a2 + ai» + b1es el factor racionalizante de los numeradores, donde 6 = 2 , entonces:
lim F(a ,6) = 3 lim (2)J = 3(2)2 = 12
j —*8
jr-»8
^
^
jW “
( V ^ - 2 ) - F ( a ,6 )
2 ( Í / Í - 2 )* F ( í i ,6 )
/
5=7
+
( x - 8) ( \ 7 + s x + 3) • F(a ,6 )
(jc - 8) • F ( a , 6)
__ ___________x - 8___________ +
2 (x - 8)
U - 8 ) ( V 7 + V c + 3) ■F(a , 6)
(* - 8) • F(a , 6)
5. Si x * 8 , podem os cancelar factores ig u ales, obteniendo
g(x) = ----------------- 1--------------- + —
, jc * 8
(V7 + 3 x + 3 ) - F ( a , 6 )
P(a,b)
6. Si f ( x ) = g(x) , V x e V
*(8) => L =
jt —♦8
lim g{x) = g(8)
lim /(jc) =
j—
♦8
P o ria n to , evaluando el límite de (5) obtenem os: L = 13/72
EJEMPLO 13) Si
/(
jc )
=
J
s
Solución
2.
~ ^ + ^ + 3
~ V 8 ^ + j_
■
j haU ar ^
v* + \5 jc + 4 -2 v jc + 3
*-*i
l . Evaluando / ( l ) , el límite tom a la forma jy
Obsérvese que tamo el num erador com o el denom inador contienen raíces cuyas cantidades
subradicales son diferentes. En estos casos , para elim inar la indeterminación , el artificio
consiste en agrupar los térm inos en la form a siguiente : evaluar cada raíz y restarle dicho
v a lo r, esto es :
_
(V 7- I) + ( V j c +
3
-2 )
- (V8 ¿ : + I - 3)
( a £ - 1 ) + ( V 5 * + 4 - 3 ) - 2 ( a£ + 3
-2 )
3. C om o* —> l , en to n ces, ( j c - I ) —>0 , debem os dividir numerador y denominador entre x - l,
e s d e c ir
^ T - l
/(jc ) =
x ~ l
+
V jc + 3 - 2
V & C + Í-3
x ' X
Vx -1
V5* + 4 - 3
+
JC- 1
JC-1
4.
-
X '
1
« / V jc + 3 - 2
* *- 1
Racionalizando cada término y sim plificando obtenemos
_ L _
I _
§______
Vjc+3+ 2
V Sx+l+3
E ( ) _______1
+ _____5_______ 2 (____ !_____\
Vx 1
V5JC+ 4 + 3
W jc + 3 + 2'
o(r\ -
+
^*+l
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
,
’
Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de una función
5.
S i / ( jc) = g (x ). V *e Vfi* (l)
=*
L
=
lim f ( x )
x-> l
=
195
lim g(x)
x-> I
=
g (l)
Por ta n to , evaluando el límite en (4) obtenem os: L = -7/10
EJEMPLO 14) Si f ( x + 2) = V4 - 3jc , calcu lar: L = lim /<“2 + y ~ / ( - 2>
iV
Solución
h ->o
h
I . La sustitución directa de h = 0 , da al límite la forma
2. Buscaremos el factor h en el num erador hallando primero la imagen de / ( jc)
Si / ( x + 2 ) =
<=> / ( jc) =
V 4 -3 jc
V 4 -3 (jc -2 )
=
V 1 0 -3 jc
3. Entonces: / ( - 2 + h) = V l0 -3 (-2 + h) = V l6 - 3 h
4. L uego:
L = lim
h—>o
= lim (
h-»o
h
>
y /(-2 ) = V l6 = 4
^
^
^
h(V l6 - 3h + 4 )
... L = l¡m ( - —
L — U
h—
*o
V l6 - 3 h + 4 '
EJEMPLO 15} Si
*
^
Solución
44)
. l
8
= > k T+ T ,c a lc u la re llím ite L = lim f(C + x ) ' ^ (C)
x-*0
•*
Para qué valores de c existe tal límite ?
/(
jc )
l. La sustitución directa/(O ) da al límite la forma
2. Buscaremos el factor jc en el num erador conociendo que
v
v;------- — r
/(c + jc ) = \/(c+jc)3+ l
r / % sr?— ;
,
>/(c+ *)•’ + l - >/c3+ l
y /(c ) = \ c 3 + 1 => L = lim ----------------------------x-* Q
x
3. Sea F ( a , b) el factor racionalizante del num erador y si
lim F ( a , b) = n • lim (b)" ' <=> lim F ( a , 6 ) = 3 lim (Vc3 + l )2 = 3^/(c 3 + I ) 2
x ->xD
■«-►o
x-*^
4. L u eg o , racionalizando el num erador se tiene
.
..
(V(c + jc) 3 + 1 - >/c3+ 1 ) • F (g , b)
(c + x)3+ 1 -(c3+ l)
L = lim ---------------------—— —
= l i m -------------------;------*—
»o
x-F(a,b)
x-*o
jc*F( a , b )
= ,im x(3c'- + 3 c x ^ )
*-»o
x*F(a,b)
=
ljm 3cz + 3c-r + jr2
F (a ,b)
x-*ü
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Capítulo 2: Límites
196
EJEMPLO 16) Si f ( x ) = x - 2 y g(-t+
hallar lim ( g o ^ ^ + ^
x-*2 ( g o / ) ( j f + l )
J
Solución
S ig (x + l ) = x * - x ■=> g(x) =
( jc
- l) a - (jc - l ) = x 2 - 3 x + 2
( g o /) ( jc + 2) = g [ / U + 2)] = g(jt) = x 2- 3 x + 2
(/o g )(x +
^
*
2.
=
/ [ g ( jr +
L = lim
x -*2 ' x i - x - 2 •
EJEMPLO 1 7 ]
Solución
l)
1 )3 =
/(j^ -jc ) =
j t
-
- 2
x
=
x-*2 ( jc - 2 ) ( x + I )
Si Üm f o l ~ 3) = 5 y Hm
r_ » 3
\3 x -3
*-> 3
j?
- x -$>
üm
= i
¿c-»2' x + 2*
3
^ . hallar lim ^
3
*-» O g (A )
l. Si x —» 3 , entonces x - 3 —» 0 , lu e g o , haciendo el cam bio de variables
d = j c - 3 < = » j c = u + 3 , tendremos
lim , /(U>
= 5 y lim ,
,« " >
. u-»o >/3(u + 3 ) - 3
. - » o (u + 3 ) - - ( u + 3 ) - 6
lim - * ! #
= \
U_,0 u- + 5u
3
3. Dividiendo ambos lím ites obtenemos
Um
(u ^ £ u )/(u )
= (5 ^
u—
»o (\3 u + 9 - 3 ) g(u)
,.m £ u ) = 1 5 _ ljm .V3ÜT9 -3
u-»o g(u)
u_ o u(u + 5)
..
/<U)
..
(3u + 9) - 9
<=> hm —
= 15 hm
u-+o g(u)
u—
>o u(u + 5)(V 3u + 9 + 3 )
= 15 lim --------- ¿ = ----- = 15
3
u-»o (u + 5)V 3u + 9 + 3
(5 )(3 + 3)
3
2
lim f t x ) _ 3
ó g(*)
2
4. Por lo ta n to :
(EJEMPLO 18) Sean m . n e IR+ ; si lim ( .
) = 12 Vm + n , y si
í - m 'v m + x - Vra + n '
^
s
lim ( , «<n17 >
) = 9 « ¡ ¡ ¡ ¡ T t f . h a l l a r : lim
*-»»> * Vm + n - V m + T ‘
*-*0 g(m + n + x )
Solución
2.
1. C o m o x —» n , e n to n e s jr - n —» 0 ; lu e g o , p o r un c am b io d e v a ria b le s :
u = x - n «=> x = n + u , setien e
ljm ( , /( m + n + ,U)
) =
u-*oW m + n + u -V m + n 7
y
lim
u -* o '\lm + n ~ Vm + n + u 7
3. Dividiendo am bos lím ites se sigue q u e :
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197
EJERCICIOS . Grupo II
U / Vm + n - Vm + n + u \ / ( m + n + u) _ 12 Vm + n
u-»o ' Vm + n + u - Vm + ñ ' g(ro + n + u)
9 V(m + n )2
4. Sea F(a ,b) - á 1 + ab + b2 , el factor racionalizante del num erador, donde
a = Vm + n
y 6 = V m + n + u , y si lim F( a , b ) = n* lim (c )°' 1, entonces
*-**0
lim F ( a ,6 ) = 3 lim (V nT + ñ)2 = 3 V(m + n)2
u—*0
u -» Q
5. Ahora, racionalizando los térm inos entre paréntesis en (3 ), se tiene
|irn [(m + n) - (m + n + u)] (Vm + n + u + Vm + n ) / ( m + n + u)
u—
*o
[(m + n + u) - (m + n)] * F(a , b)
g (m + n+ u)
lim
/
'
6.
. -u (Vm + n + u + Vm + n) \
(
u ■F(a , b)
J
2 Vm + n \
3V(m + n)2 '
4 Vm + n
3 ^ m + n )2
_
4Vm + n
3^(m + n f
/ ( m + n + u)
_
g(m + n + u)
/ ( m + n + u) _ 4 Vm + n
*-+0 g ( m + n + u ) " 3V(m + n)2
De d o n d e , cam biando las variables u por x , obtenemos
lim
x-*o g(m + n + x )
E JE R C IC IO S
= -2
. G ru p o
11
❖ En los ejercicios 1 al 48 h a lla r, si e x iste , el límite dado.
L
x2 - 2 x - 3 \
lim (
i \\ x 3 -5 x 2 + 3x + 9 /
2.
r - * - l
3.
lim f
*-*
-3
/2'
5.
4X4 + 12x3 -7 x 2 - 4 8 x^- 3366 )
4x4 + Í2x3 + 21x3 + 3 dr + 27 I
lim f x2B- 3 + 2 x z"
\ x 7n- 4 + 3 x - 7n )
4.
9.
6.
lim
(
11. lim
(
X+ 1
2x*-3x-2
8.
í
)
2x2 + 7 x + 3 /
) , m,ne
X - » I v X8 - 1 '
lim
X -*
3
1 - 8 *0
x -* ■ -1 /2 \
lim
X —
*“1
x-»l
7.
lim
x -* -¡
Z*
10.
1Z
x4 + 4x* + 5X2 + 4x + 4
x3 + 5x* + 8x + 4
2x3 + 7x2 + 8x + 3 \
3x3 + 5x2 + x - 1 I
x2" - n
1
lim
x-*3\
lim
x-*2
lim
2x- 5
x2 - 5x +
x+4
x2- 4
2x- 1
6
x2- x -6
.1/3
x+ 1
x2 ■ 2x •
(1 + x ) (1 + 2x) (1 + 3x) - 1
x-*0
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 2: Límites
198
(1 + x)? - (1 + 5x)
X- + X5
13.
lim
jt—
*o
15.
( x ^ x ^ ) 20
lim
x - > 2 (x3- 12x + 16)10
17.
19.
!im f x + x 2 + -- - + x ll- n j
x -» l'
x- 1
I
x B+l - ( n + l)x + n
lim
(
vin^n
23.
25.
lim
i
29.
m)DvO \
nx" *1 + (n - 1)xn*2 - 2 nx" *3+ x" *4
1 -x 2
yfa^-x2 + V(a - x)3
lim
x -* a
27.
, n e Z*
(x -1 )1
x —> I
Va3-x
3
+
14.
(1 + m x ) n- ( l + nx)m
,+
lim --------------- 5------------ . m , n i r
x-* o
x-
16.
lim (^ ;-^ +1)
X ^ i ' x 5u-2 x + 1 I
1tt
18.
lim f-p ^ - - -J L -j.m .n e Z *
._ » i\ I - x "
1 -x " /
22.
x 3+ {2a • \)x2+ ( a 2- 2 a ) x - a 2
lim
x^'-v x 3+ (2a + 1)jt + (á2 + a2)x + a 2
24.
lim
i
26.
lim ( y < n - 2x • & ]
' V 3 o + x -2 V x '
33.
lim (
^
)
x -»2 ' 3x - 2 V15 - 3x 1
34.
43.
lim
'
Vx
-
V2
V(x*+ l)2 - 2 V2X2 + 2 +V4
lim
38.
lim / V9 + 2x - 5 \
^
V 7-2
1
|im ( 2 f i± S ^ 2 )
X ++ XX2
X
2
I
40.
V27
2 7 -X
-x \
lim f V27+X -V
x-»0 '
x + 2 V x 4"
lim ( ^Vi + X - Vi -X
r _ i n '
x—
> o ' AVi + x - v r r
42.
xr 2.
lim ( T
)
x-»o ' Vi + 5x - (1 + x ) '
44.
V ¿+4 -3
\
lim (
\
^
r
r
~
i
j
o
..
,
*
/
* - * s ' Vx - 4 - V3x- 14
lim (
x -»25 '
V
8 - V2 + VTT+x \
25 - x
x -* O *
41.
+ v r¡n \
lira ( 2 - V5 +
x—
»8 '
3 - Vx + I
'
36.
x -»o ' Vi6 + 6x - 2 ;
39.
O
x -» 2
lim (
i '
1 -V x
I -V x
)
Ve2 + a x + x 2 -Vfl2^ a x + xJ
-)
V a+ x - V a -x
lim
x
32.
37.
/
x-»3
30.
)
)
l/i v
ar t - iVax
\
lim ( Vx2 - 2x + 6 - Vx2 + 2x - 6
x2 - 4x + 3
'
28.
lim ( 4 - ^ g )
x-»27 ' 3 - Vi + X 7
| ¡ n ( . < g ± E -2
nx" l - ( n + l) x " + I
X4 - X3 - X + 1
lim (
X —* Q
V aTx
lira ( t o ' G T Í - l j l x \
x-»3a' 2
- Vx + fl
'
(x-a>
20.
31.
35.
r
(xn - a n) - n f l n l (-K-fl) m
lim ----------- ;------- ^ --------- , n e ¿
x —» a
1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(x-1 )2
EJERCICIOS Crvpo ¡I
45.
(
x -» s M
47.
199
2; ^
.
lim (
~2r
' V x + 7 -2 V 2
.
i-v n i
lim (
X-* 1 '
-V 3 -V T 1
v r + x - Vi +jé*
)
I in .( 2 & ± )
x -♦ 20' vx + 1 2 - 2 '
❖ En los ejercicios 49 al 5 8 , evalúese los límites funcionales
49.
lim / <? + h>-/<*>, t s¡ f(x) =
h -»o
SO.
n
s ,.
Um
+ ■ )-■ « » + lim s w - f 2>
h—
>0
h
i
lim f ( 4 + ^ " / ( 4 )
h—»o
5h
53.
lim ~ ^X~* ^
h—»o
56.
57.
58.
x—
>2
^ "2
iX*0
y
, si f ( x ) =
lim
. Si/ W =
4h
r™ f { a + x ) - f ( a )
lim
lim
h—
*0
x* 3
x-3
,s i / ( x ) —x1, definida Vx e (0 , -H»), donde r = m/n , m , n e ^ * - { l }
h -* o
x -* o
xse0
x
52.
cc
55.
2
= x_i
h
s i/(J t)= 3 ^ ±
54.
, si m
Iim / ( a : 2h) - / ( g )
h -»0
>x # 0
1
Mx
, si
/ (x )
b+x
= --r----- ,
x
*b
o -x
x
^ 5 + ^ ~ ■f(5 )
,s i/(x + l)=
V 2x+ I , x > l / 2
n
lim / ( 3 + x ) - / < 3)
h—
»0
^ si f (x) = V 5 7 T 1 , x > - 1/5
h
lim g (* + h)u ' g (x)
h -»0
, si g (x - 1) = Vx2 - 2x , x e ( - ~ , 1] U [ 3 , + « )
n
❖ En los ejercicios 59 al 100, los límites necesitan de un artificio para ser evaluados, hállelos.
59.
lim f
x —» 4 *
61.
Vr -2 \
X - 4
60 üm / V x f 14 - 2V x + 2 \
!
x ^ , 2 \
, ^ ( x2 - 6 - ^ T 6 \
x-*3
Vx + 1 - 2
/
x - 2
62 ,i m ( Í ^ =J ^ ± l )
1
x —»o
Vx + 1 - 1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
1
Capítulo 2: Límites
200
63.
65.
67.
64.
lim ( ?
J t-» 1
'
X
-
l
üm ( Vl + x ~
a _»o '
jc-
V
66.
•
68.
71.
I
.
x
i1 \'
i
X - l
/
(^ T L J ^ T T i
Xm
z ,
I
lim ( - ^ + ^ T I ~2 5 )
*-*s'V25-xV6x-5 7
70.L lim ( V 5T T 3 - VaTTT \
J,_il
C - + 1 'v
V x - 3x + 2
7
li m [
jc—
»o '
,
lim
O'
l t a p ' 16* ^ - 2 ^ Í )
jt-»2 '
2 -V 2 X 7
7
69.
üm ( J ^ n _ l ^ l + 3 x ^ l )
I
- x Vjr + I
+
Vx3 - 3x + 2
72.
lim ( V T + a x V7+¿üc - 1
x —* i) '
)
lim f V3JC2 - 8 -x V x + 6 + x2 - 2
* 2 \
x3- 2x2 + x - 2
74.
r,m (2 ¡ £ ± H _ i 2 ^ T I )
1-93 l
X2 - 9
7
75.
im ( Vx24-7x + 2 - Vx + 1
lim
-*3 '
V 2x^5 - I
76
lim ( Í Z U í y E I l )
A-»2 v
V3x+ 10 - 4
7
77
lim f V ^ - V ^ - 2 \
2,/2 v
X3 - 8
78.
lim
» •-» !'
79.
lim
/ Vx2 - V x - 2 \
l
Vx’ + I
1
80.
/ V 2v /9 + 3 - Vx \
lim
<-*27 '
3 - V Í /3
'
81.
lim
( V3x- 2 + x - V x - 2 \
'
Vx + 7 - 2
7
82.
( V.r + 18 - V2x + 3 \
lim
jr-9
1
A—
» 3 V
| V 1 + a x - V 1 + f>x J
84.
73.
jc -
83.
lim
jt —
*0
lim
1 - ^ T 3 )
X -l
•
(
Jt—*0 *
85.
f (Vi +X3 + x ) n - (Vi + x2 -x)" ^
l
x
1
Jt-» 0
86.
’V j¡ n - x + V r - 3 \
lim (
r—
*2 ’‘ V 3 t+ 1 0 - 4
7
87.
/ 3 Vx + I - 2 Vx + 1 + 4x - 1 \
lim
x-»o l
x2 + 2x
/
88.
/ Vx + 2 - Vx + 20 \
lim
1
t —>7 ^
Vx + 9 - 2
7
90.
/ V2x+ 1 - V3x+ 15 \
lim
t-»4 1
2 - Vx
I
92.
f Vx + 1 - 3 ‘Vx + 1 + 2
lim
1
jt —
v0 1 Vx + l + Vx + 1 - 2
89.
üm
1
- (i-V 7 )(i-V 7 )...(i
lim
(
Jt —
91 ’
91.
lim
JT - »
1 Vi - x + Vx + 3 - 2 \
^
Vx2 - 3x + 2
7
|
1
n - x y ’-1
-
Vo*
1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
201
EJERCICIOS . Grupo i i
93.
95.
lim ( ^ - ^
x_»4 '
97.
94
lim ( M
t Í2 * : \,
*-»i vVx + 2 V 5 x + 4 - 7 V3jc-2 1
+ 2r - 8 \
* -4
lim H 3 j : - 2 + je- 2 Vx- 2 \
*-»■'
Vjc + 7 - 2
'
(------- * *+ x-------- )
<*. ,im
x —»o ' V i + j c - V i - 2 j c /
/
98
lim ( 5 ^ 5 - 3 f ^ 5 + 2 x - t \
*-»2 '
x -2x
f
hm (
j-íO ' V8 + jrJ - >Í4* + j¿ '
J / jc2 - 3 x + 4
,
99
|im
( . 3 ^ T 5 - 5 < S Ü 7 j -_4 ^
* _ » ]'
j^ -1
m
/
( V
f -»4 '
a
/Z + 5 *
-y-3
'
V3a + 4 - Va:+ 4
101. Sean P(3 ,4 ) y Q (x , V25-X2) puntos diferentes y sea M(x) la pendiente de 1a recta que
pasa por P y Q. Hallar el lim
* —* 3
102. Hallar la posición límite del punto P cuando c —> 1, donde P es la intersección de las rectas
j ? , : 3 jr+ 5y = 1 y y ,2:( 2 + c)jr+ 5 cJy = 1.
103. Desde el punto A con abscisa x e [ 1 , 4 ] , ubicado en la gráfica de f ( x ) = jc2 - 4x + 6 se
traza una recta paralela al eje X , que corta a ia recta y = x en el punto B ; desde el punto
B *e traza una recta paralela al eje Y . que corta a la gráfica de g(x) = 4>Jx en el punto C.
Si desde C se traza una recta paralela al eje X , se determina que ésta corta a la recta
paralela al eje Y , que pasa por A , en el punto ( x , hCO). Calcular
/ h(x) - Vjt2+ 14* + x 2- 4 \
)
104. Si' h(jc) = - * + (*—1 , por qué no existe h (0 )? Demuestre analíticamente que lim h(jc)
x-»0
X
existe y calcúlelo. A poye su respuesta gráficamente,
í jr2 - 9 , si j r ^ - 3
105. Si f ( x ) =; <
[4
, si x = - 3
, encuentre el lim f ( x ) y demuestre que
lim f ( x ) * / ( - 3 ) . Dibuje la gráfica d e / .
j->-3
106. Sea la función /(* ) = ------ ^— ;--------- , se tiene que lim f(x) existe y es distinto de
JK '
a x 2+ b x + c
^
*-*1
c e r o .y lim / ( x) = 1/ 2 ; h a lla r e , b y e
x-»3
107. Si m
= & + C l a - l ) * - l 4 a ‘ + a ) x + 2a \
JK J
x-a
= ¿ ju -h f2 m
A:-m
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 2: Límites
202
la suma de los mayores valores d e a y m , tales que lim f(x) = 5a2 + 28 y lim g(;c) = m 2 - 8.
x
x —»m
—*< 2
108. Si V w e IR , lim / ( jc) = 2w + 3 y lim g(*) = 1 - w ; dclerminar
JT -» W
a)
lim ( f o g ) ( x )
X—* I
X —> W
y
b)
lim ( g o / ) ( j r )
X-»-]
109. Si f ( x ) - x + 'Ix2 - 2 y g(x) - V2x + 5
, hallar: lim
,_»-2 V 7 -x - 3
110. Si /(jc) = x ' - l f x + a x 1 ^ Q > 0 j y üm
x(¿a+x)
x_,i
_ 2 a - 5 .h a lla r el valor de a.
111. Si ( g o / ) (jt) = 4 x * - 4 x + 1 y f ( x ) = 2 x - 1 T h allar:
112. Si lim — —
^ ——
x —*a
Ix - a I
113. Sea f(x) = -------,
J
lim /[g(JC- 1)J
X—
>-1
= 16 . hallar lodos los valores d e a
^ " * 1 ? - . . . -------- , hallar el valor de lim f( x)
+3x
x—
»4
(Sugerencia: Si L , es el recíproco del lím ite L d e / , entonces L = 1/L,)
... ....
114. H allar:
x + j r '- í n + 1 )V + I + (2 n 2 + 2n - l)jcn+2- n 2jrfi+3
lim ----------------------------- - — r=---------------------------x-*l
(1 - jc)*
(S ugerencia: M ultiplicar el num erador y denom inador por - 1 , luego aplicar tres veces la
regla de Ruffini)
(o+l)ni— n(n-I)i—
U S . C alcular: lim ------- ^
------- 'Jx + . .
x-» I
X-\
116.
3x2i— 2xlf—
+ V* + V x - n .
S eaP (c) = a { x + a 2x* + . . . + c r " y sea m € J * . Dem ostrar que
lim
x—
»o
(2 ,7 )
x
= f.
m
L ÍM IT E S L A T E R A L E S
Sea la función f(jc) = ——7^
J
x- 1
1. Sí jc c 1 <=> jc - 1 < 0 , im plica que Ijc- 1 1 = - (jc- 1) ^
f(x) =
^
2. S ix > 1 >=> jc - 1 > 0 , implica que U - 1 | = + (jc -1 ) ■=? f ( x ) — +
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
^
= -1
^
= 1
203
Sección 2.7: Límites laterales
Argumentamos que el Hm f ( x ) no existe por que f ( x) se aproxima a - 1 cuando x —» 1 por
la izquierda, mientras que / ( jc) —» 1 cuando* se aproxim aa 1 por la derecha (Figura 2 . 2 1 )
y
*
O
L= I
-»x
o
L, » -1
F IG U R A 2.21
Una form a natural de describir esta situación consiste en lo siguiente :
Si / es una función definida en los intervalos (a ,x¿¡ y (xfJ, fe) y si
1. x e ( a , x 0) ta lq u c * < * 0 y x —>x 0. se escribe : x —» x ~
2. x e (*0 ,fe) ta lq u e * > * 0 y *
*0 , se escribe : * —>*0+
Entonces los números
L, = / ( * *) = lim /( * )
y
L 2 = /(* 0+) = lim
Jt-»x0-
X -¥ X *
J < X 0
X > X B
/(* )
se llaman , respectivamente , lím ite a la izquierda de la función /(* ) en el punto x 0 y lim ite a
la derecha de la función /( * ) en el punto *0 (Figura 2.22)
D e fin ició n 2 .8 :
EL LÍMITE POR LA IZQUIERDA DE UNA FUNCION
Sea / una función definida al menos de un intervalo de la form a {a ,x¿> a D om ( j ) , siendo
*n un punto d e acumulación , entonces
( V e > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x e (a.Jtp) c D o m ( /) y s i
lim /( * ) = L, <=* <
0 < x 0 - x < 6 i=j | / ( * ) - L , | < c
donde L, es el límite de f por la izquierda de x 0
O bsérvese que en esta definición no se ha colocado las barras de valor absoluto alrededor
de x 0 - x y a que se consideran únicam ente valores de * para los cuales * < * Q. ( Ilustración
gráfica: Figura 2.23)
D e fin ició n 2.9 :
EL LÍMITE POR LA DERECHA DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función definida al menos en un intervalo de la forma (*0 ,fe) c Dom ( f ) , siendo
xQun punto de acum ulación . entonces
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Capítulo 2: Límites
204
(V £ > 0 , 3 5 > 0) I si .r e {xb . b) c D óm ( f ) y si
lim f ( x ) =
«=> <
0 < x - x 0< S '<=? I/( x ) - L, I < •£
donde L 2 es e l límite de / p o r la derecha de x
I,a ilustración gráfica de esta definición se muestra en la Figura 2.24
EJEMPLO 1J
Solución
A nalizar los límites laterales de la función / ( jc)
=
[
jc]
La Figura 2.25 muestra la gráfica de la función máximo entero y en ella se observa
que / ( jc ) se define por intervalos de la forma [ n , n + l).
A sí, s i x e Í 0 , l ) , la función es 0 a lo largo de este intervalo , x = l e [l , 2 ) , la función salta
a l y así permanece a lo largo de este intervalo. En x = 2 e [2 , 3) la función salta a 2 y asi
sucesivamente.
Luego , si /( x ) =
[jc ]
= n <=> n < x < n + l . n e Z , l o s límites en jc 0 = n e Z , serán
lim [ x ] = lim (n - l ) = n - l , pues si x < n => x e [n - l , n)
a)
x
n'
i —» n
* <n
b)
e * n - l < x < n « [ x ] = n - l
lim [ x ] = ' lim (n) = n , pues s i x > n e s x e [ n , n + l)
x —» n+
A sí tenemos q u e :
-X —
•»
-fl
x > n
<=> n < x < n + l <=> [ x ] = n
lim [ x ] = 2 - 1 = 1
y
x-* T
lim [ x ] = 2
X -+ 2 +
Si x0 no e s núm ero entero se situará entre dos números enteros consecutivos n y n + 1 . Para
x = 5/2 e [ 2 , 3 ) , tendremos
lim
x -* srr
[x ] = 2
y
lim
[x ] = 2
x - » 5/ 2 +
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■
Sección 2.7: Límites laterales
205
FIGURA 2.26
EJEMPLO
2j
t7
, si x < 2
Sea la f u n c ió n /(x ) = < 2
, si x = 2
1 3 - 2x , si x > 2
Hallar los límites laterales de / y dibujar su gráfica.
Solución
Obsérvese que la función / , en las proximidades del p u n to x = 2 tiene diferentes
reglas de correspondencia.
A s í, para x < 2 , /(x ) = x2 ■=> lim /(x ) = /( 2 ) = (2)2 = 4
x-> r
Para x > 2 , / ( x ) = 8 - 2 x >
lim /( x ) = /( 2 ) = 8 - 2(2) = 4
-»2+
La gráfica de / se muestra en la Figura 2.26
Nota
Según el Teorema de Unicidad del límite, una función no puede tender a dos límites diferentes
en X . L o s límites laterales nos dan un criterio simple para determinar (a existencia de un límite
q
bilateral.
TEOREMA 2 .5 : E l lím it e b ila te r a l d e u n a fu n c ió n
Una función ^(x) tiene límite e n x 0 , si los lím ites laterales en x0 son ig u ales, esto e s , si
lim f { x ) = L <=> ( lim f ( x ) = L)
■*—
»*„
Dem ostración
( )
a
( lim f ( x ) = L)
-»-»V
En efecto
lim /(x ) = L <=> ( V e > 0 , 3 8 > 0) 1 s ix e D om (/) y si
0< Ix -x J < 8 ^
l/(x )-L l < £
- 8 < x - x Q< 8 =* l / ( x ) - L l < e
<=> jt¿ -8 < x < x0 + 8 , x * x 0 «=> |/ ( x ) - L ! < £
o
X E
<X 0 - 8 , X 0)
U <X 0 , X 0 + S) >=$ | / ( x ) - L | < e
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Capítulo 2: Límites
206
x e { x 0 - 8 , x ()
<=> 4
*=>
x e < x 0 ,x 0+ S )
<=> ( lim / ( x) = L )
* -» V
D c (l)y (2 ):
( <= )
a) lim f ( x
x ~* V
= L <=>
)
f ( x )
e
<I)
i=> l / ( x ) - L | < e
(2)
( lim
*-*V
a
f ( x )
= L)
(V e , > 0 , 3 8, > 0 ) I s i x e D o m (/) y si
X
b) lim
|/ ( x ) - L | <
A
6
(x0 -
8,,
«=>
x j
|/ ( x ) - L |< e ,
= L <=> (V e 2> 0 , 3 82> 0 | s i j c e D o m ( /) y si
x e < x 0 ,x 0 + 82) => I / ( * ) - L | < € j
Si se elige e = £, = Ej y
lim f ( x
)
=L
8 = min { 8 ,, 82} se tiene que
<=> (V e = E, = e2 , 3 5 = min { 8 ,, 82} ) I si x
<jr0 - 8 , j ^ >
( x e
x
«
e
( x e
<x0 ,
e
+
x 0
<ara - S
x e
<x0 - S , , ^ >
8>
v
jc
c
(O< l x - x 0l < 8 )
Dom ( /) y si
v
(x
0 ,
e Or0 , x0 + 8)
<=> ( í e ^ - 6 , ^ + 5 ) - ^ } )
«
e
x
e
x 0
+ 8 2>«=>I / ( x ) - L I <
^
£
|/ ( j c ) - L |< e
*=> |/ ( x ) - L l < £
|/ ( x ) - L | < e
Por lo ta n to , queda dem ostrado que
lim f ( x ) = L <=> ( lim
*-**o
*-»*o
Nota
f ( x
) = L)
a
( lim
*-»V
f ( x )
= L)
“
Si loslímites laterales existen y son diferentes o si uno de ellos no existe ,
que la función no tiene límite o no existe el límite de la función en x ^
A sf, en el Ejem plo 1 ,
lim [x ] = n - 1 y lim
*-**„
* -» v
E n el E je m p lo 2 , L =
lim f ( x
X-»2'
)
=
[
jc]
= n =» 2 lim f ( x )
lim /(x ) = 4 , entonces existe lim
x-*2'
x -»2
el hecho de que / ( 2 ) = 2 no afecta dicho límite.
f E JE M P L O 3 )
entonces se dice
S e a /(x ) = [ x ] - Vx - [ x ] .h allar el lim f(x)
x-»n
ISolución | Del Ejem plo 1 rescatamos lo siguiente
a) Si n - 1 < x < n «=> [ x ] = n - 1
b) S i n < x < n + I t=> [ x ] = n
Entonces tom ando límites laterales en x0 = n tendremos
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f ( x )
=
4 , aunque
Sección 2.7 : Límites laterales
a) Si x < n ■=> L, =
207
lim f ( x ) = (n - 1) - Vn - (n - 1) = n - 2
x-» n'
b) Si x > n <=> L =
lim f(x) = n - Vn - n = n
Dado que L. * L , , entonces no existe lim / ( a )
EJEMPLO 4 J
■
x -+n
¿
Sea la función f ( x ) = V3a + 1 - [ 2 x - 1] , hallar
a)
lim / ( a )
Solución
lim f ( x )
b)
x —» 5 / 2
x —* 7 /3
La función es real <=> 3 a + I - [ 2 a : - 1] > 0 <=> [ 2 a - 1] < 3 x + 1
(2x -1 < 3x + 1)
a (x > -2 )
<=> (3a + 1) e Z
<=> ( 3 x + l ) e Z
a
A h o ra, según la definición de máximo entero
[2a
— I] =
n o n ¿ 2 j[-l< n
+
l
^
«
< a <
* ± ± 1
^
X (= [
R±1
,
El dominio d e / es el conjunto de intervalos de longitud m edia, estoes
D o m (/) = \ x \ x e [
^
) D [ - 2 , + ~ > , n <= Z}
a) Obsérvese que cuando x —»5/2 , el término [2a:- 1] es e n te ro , entonces tomando límites
laterales en dicho p u n to , tendrem os:
1. Si x —»(5/2)+ , entonces : 5/2 < a < 6 /2 <=> 5 < 2x < 6
«
L u e g o , L, =
lim
4<
2x-
1 < 5 «=>
1] = 4
[2 a -
/ ( a ) = /(5 /2 ) = V3(5/2) + 1 (4) = 3 xÍ2/2
x - * 5/2*
2. Si a
(5/2)", entonces : 4/2 < a < 5/2 <=> 4 <
«
«=> L ,=
lim
2a
< 5
3 < 2 r- 1<4
[2
a
-
1] = 3
/ ( a) = /(5 /2 ) = V 3(5/2)+ 1 -(3 ) = VTT/2
x -* s /r
Como L (-* L 2 , entonces no existe
lim
/( a)
x - » 5 /2
b) Nótese que el término [ 2 a - 1] no es entero cuando a tiende a 7 /3 , por lo que no es necesario
tomar límites laterales en este p u n to , pues se encuentra entre dos enteros consecutivos para
los cuales la función tiene un mismo v a lo r, esto es
lim
/ ( a)
x - * 7 /3
EJEMPLO 5 }
Si
= /(7 /3 ) = V 3(7/3)+ 1 - [ 11/3] = V 7+ 1 - 3 = V5
/ ( a )
=
,*3' 2
I +
J ^ T
^
hallar lim
x -» r
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/( a )
■
208
Capítulo 2: Límites
Solución
S i * —» 1*. entonces x > 1 y x2 > x17 > 1 <=> I < x*72 < x3
Sumando -1 + Vx - I a cada miembro tendremos
Vx - 1 < x* 2- 1 + Vx- 1 < x J - 1 + Vx - I
A hora, dividiendo entre Vx2 - 1 > 0 , se sigue que
, x 3,2- l + - / x ^ í ^ x 2 - í + 4 x ^ ¡
<
¡rr*
< ------7-r--------- => h(x) < / ( x ) < g(x)
V x2 - 1
Vx -1
Vx2 - •1’
L u eg o :
lim h(x) = lim f ^ x-—- r ) = lim ( . * ) = —!=
x-*if ' ^ 2 _ ¡ /
,_ » ,* V V I+ 1 '
4 i
/ \ 1lim g (x ) = lim
(x 2 —I) + a/x —1
--------/ ■
-/jc2 - i
Entonces , por el teorem a del “ sandwich ” :
C I C M D lf t . ' j
c
...
EJEMPLO 6 J Sea / ( x ) =
..
/ r ~2 T
1
\
1
= lim [ V x - 1 + .------ ) = —¡=
'
V x+ 1 '
y¡2
lim / ( x ) = -X=»-+r
V2
6 ^ /x - 6 S g n ( x 2 - 4 ) - 4 V x + [ 4 + 2x]
>
1
; hallar lim f(x)
Vx2 + 5 - 3
S o lució n
S ix —>2 , entonces x < 2
*-»2"
y x2 < 4 i=> x2 - 4 < 0
i=i> Sgn (x2 - 4) = - 1
[4 + 2 x ] = 4 + [2x\ =* [ 4 + 2x] = 4 + n
<r$ ^ < x < n * *
¿
z
SÍ [ 2x] = n « n < 2 x < n + l
Perocom o k
2 o
(M E.2)
^ y -1 = 2 «
n = 3: luego :[ 4 + 2x] = 4 + 3
. >
%
6 2 /x + 6 - 4V x + 7
Asi tenemos q u e :f ( x ) = — *—¡---------------------- , y six -► 2"
Vx2 + 5 - 3
Dado q u e ; lim V x + 6 = 2
> - ♦ 2'
y
= 7
x e (3/2 , 2>
lim V x + 7 = 3 , podemos escribir
x -* r
•
f W m 6 ( £ + 6 - 2 - 4 < £ + 7 -3 )
Vx2 + 5 - 3
Racionalizando cada término d e / se tiene
V x+6- 2 = —
^
8 =
r ( a , o )
V
T
(xt])sl
'+ 3
, donde lim F ( a ,6 ) =
F ( a , b )
=
= 3(2)2 = 12
x -* r
x ~ 2
. V 7 Í5 -3 = <*2 + 5 > ~ 9 =
V x+7+3’
v/x2 + 5 + 3
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< * + 2 > < * ~ 2 >
V *2 + 5 + 2
Sección 2.7 : Limites Laterales
209
6 U - 2 ) _ _ 4 (£ -2 )_
r
ri \
L u e g D ,e n ( l) :/U ) = -
__ 6_________ 4
/ •, F (fl,¿)
-y/X + 7 + 3
.■»
--------- , x * 2
g (x )=
^
■y/x+ 7 + 3
T^ - —
^
Vjc2 + 5 + 3
V x2 + 5 + 3
lim /(x ) =
lim g(x) = g(2) = - ¿
x - * 2’
EJEMPLO 7
Solución
J
x - » 2'
4
H allar, si e x iste , lim ^ J [ A j
Si [ x ] = n e=> n á r
< n + 1 p>
[
x
Si n < x < n + 1 = > n - l < x - l < n
'
V
, a > 0 ,í> e íR
]
<
(1)
jc
«=* x - I < [ x ]
(2)
'
De (1) y (2) ocurre que : x -1 < [ x ] < jc, y de esta relación se deduce que
! - > < l ! l <
i)
!
«
1
(3)
Si x —> 0 + y a > 0 , entonces -jj es positivo ; luego , multiplicando (3) por
< ( ' a ) I x 1 < ~a ^
lim h(x) =
x _ > 0*
ii)
I l l <
se tiene :
< g W y por el teorema de “ sándw ich"
lim g(.c) = £
x - » 0*
•=> L =
1
“
lim f ( x ) = £
a
x —» o +
S ix —> 0' y a > 0 , entonces
es n egativo; lu eg o, multiplicando cada extremo de (3) por
¿ o b te n e m o s :
A < ( ¿ ) [ A ] < ( h jL )
y aplicando nuevamente el teorema del “ sándwich ”
lim h(x) = lim g(x) = %
x - » 0‘
Dado que L ,=
a
*-*<r
•=> K =
lim
/(
jc)
x - » o-
= ■£
a
_ b
«=> lim /(x ) =
x -» 0
( EJEMPLO 8
I
Si lim
x-* a *
f ( y
)
<
lim
/(jc ),
demostrar que existe una 8
V x , , y e Dom ( / ) , si 0 < | x - a | < 8 , 0 < | y - a | < 5 y x < a < y o
D em ostración
>
0
tal que
x-»e*
n
f {x ) > / ( y )
En efecto , según la definición de límite lateral , si
lim / ( y ) = L c=> V e, > 0 , 3 8 > 0 I a < y < a + 8
y-* a*
l / ( y ) - L | < e,
1
y j[lim _/(x) = M <=> Ve2> 0 , 3 5 > 0 I a - S < x < a <=> ! / ( x ) - M | < e2
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Capítulo 2: Límites
210
Por h ipó tesis, lim f ( y ) <
y-*u*
lim f ( x ) t=> L < M c j L - M < 0 »
M-L> 0
x-*a-
Luego , s i c - 5 < x < a < y < í 2 + 8 , entonces
/ ( y ) < L + e , < M - C j< f t x )
(1)
Como L y M son definidos V e, > 0 y V e2 > 0 , si elegimos £, = £2 = ^ (M - L) > 0 , tendremos
en (I)q u e
/ ( > ) < L + I (M - L ) < M - \ ( M - L ) < f ( x ) => f ( y ) < M + L
Por lo ta n to :
ñy) < m
/( x ) > f ( y )
[ x - 1] - x
[e je m p lo
9 ]
Sea / ( x) =
f(x)
, x € [-9 , -2)
V x- [x ]
í 3jc] - 3 [x ] - 8 [x/3]
X - Ix l
, x e [-2 ,7 )
h allar, si e x iste , lim f ( x )
x-*-2
Solución
Redefm iendo la función / en cada intervalo tendremos
i) P or la izquierda de x,, = - 2 : f ( x ) =
u
X- , x e (-9 ,- 2 )
Vx - l x ]
Como x —>- 2 , entonces x < - 2 , habrá que restringir el Dom ( / ) a - 3 < x < - 2 , esto im plica
que
-3 - 1 - x
Vx - (-3)
[ x ] = -3 => /(x ) =
Por lo que : L, =
ii)
x+4
, x e (-3 , -2)
yfx + 3
lim /(x ) = /(-2 ) = -2
x-»-:r
Por la derecha de x = - 2: f ( x ) = [ 3x] - 3 [x ] - 8 [x/3] j J t e [ _2 7 j
x - |x I
Si [ 3x] = n <=> n < 3x < n + I »
xe [ y
>
^
(1)
El dom inio de [3x] es la unión de intervalos de longitud 1/3
C o m o x —»-2+, e s to e s x > -2, entonces habrá que restringir el dominio d e /a - 2 < x < -5 /3
( En (1) para n = -6)
- 6 £ 3x < - 5
L u e g o , si -2 £ x < -5/3 i=> <
e¿[3x]=-6
c* [ x ] = -2
- f
í -5 < ~ i l
=> U « ] = -1
Además , dado q u e x < 0 e=> I x [ = - x
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211
Sección 2.7 : Límites laterales
Por lo que : f ( x ) = ~ 6 ~ 3(~2) - 8 (-l)
= A
t X £ [_2 .-5/3>
■*
JC - ( - X )
L ,=
lim
*
-
f ( x ) = /<-2) = -2
2*
Si L , = L2 , se concluye , por el Teorema 2.5 , que : lim f ( x ) — -2
x—»-2
(EJEMPLO 1 0 ]
Sean f ( x ) =
H allar: a) / o g
Solución
,
3
, s ix =
b)
2 x + 1 , si jc <
2
s ix>
I
y g(x) =
x + 1 , si j c > 1
2
lim ( / o g )
x-» 1/2
Sabemos que existe / o g «
L u e g o .si g,(jc) = 2 x + I , x < !
s íjt < 2
x
2x-2 ,
■
c) G ra fic a r/o g
Dom ( /) fl R an (/) * <J>
Ran(g,) = {-«>.3)
g,(x) = x + 1 . x > I => Ran(g,) = (2 . +°°)
Dom ( /,) D Ran(g,) = (-«>, 2) D <-°°, 3> = (-=» , 2) * 0 i=$ 3 / ( 0 g,
Dom ( f 2)
n Ran (g,)
= {3}
n
D om ( f 3) n R an (g ,) = ( 2 , H
3 /, o ^
, 3> = ó ^
n
3 / 3og,
, 3) = ( 2 , 3> * 0 o
Dom ( / , ) fl Ran (gj) = (-«=, 2> 0 (2 . + « ) = <J> ■=> fi / , o g2
i=¡> < D o m (/2) fl Ran (g,) = {3} D <2, +°°> = {3} ^
Dom (f 2) fl Ran (g2) = (2 , +°°> n <2 . +~> o
3 / 2og2
3 / , o g.
Determinación de los dom inios y las reglas de correspondencia de / o g
Dom
(/ ,
o g ,)
=
{x | x e
Dom (g,)
*=* f t E g | ( * ) l
Dom ( / 3o g ,) =s
{xlxiz
=
a
g,
€
/ , ( 2x + I)
Dom fgj)
g,
a
e
D o m (/,)}
=
2 jt+ 1
=
(jc <
<
1/2
(x <
1)
Tsi jc
D o m (/3) } =
I)
fl ( 2x+ 1 <
fl
2)
1/2
<=> x <
(2x+ l > 2 ) «
1/2 < j c < I
*=> / , [ gy(x)] = / , ( 2 x + 1) = 2(2* + 1) - 2 = 4jc, si 1/2 < x < \
D o m ( f 2 o g 2)
=
{j :U e
Dom(g2)
a
g2 e Dom(J2) }
=
(* > 0
D
(x +
1=
3)
=
{2}
f 2[ g2(x)] = / 2(x + I) = 3 , si x = 2
D o m f/jO g j) = { x l x e Dom(g2)
a
^ e D om (/j)} = ( r > I) fl (* + 1 > 2 ) »
«=> / 3 [ gj/x)] = / , ( * + 1 ) = 2(x + I ) - 2 = 2 x ,
s ix >
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1
x >
I
Cupílula 2: Limites
212
( / o g ) (x) = ‘
b)
L ,=
L =
2x + 1 , si x < 1/2
4x
, si 1 /2 < jc< 1
3
, si x = 2
2x
, si x > 1
lim ( / o g ) U ) = 2 (l/2 ) + l = 2
a-» 1/2'
Jim ( / o g) (x) = 4( 1/2) = 2
X-* 1/2+
Com o L, = L 2
c)
lim t f o g ) ( x ) = 2
*-» 1/2
L a gráfica de / o g se m uestra en la Figura 2-27
E JE R C IC IO S
1.
D em ostrar que si lim
x-*x*
a)
/(
jc
)
= L y
X
. Grupo
12
lim g(jc) = M , entonces se verifica que
b)
lim [ f ( x ) + g(x) ] = L + M
lim [/(* )-g (.* )] = L -M
x~*x*
c)
lim —
= tt » M * 0
V g(*)
o ''v
*M*
d)
= tt i m * 0
lim
*->x„+ g W
M
Resultados similares se pueden dem ostrar para límites a la izquierda.
2. Dem ostrar que si lim
/,(* ) = L ( , lim f 2(x) = L2, . . . . , lim / n(jc) = Ln
-» -» V
x-*x*
* -* V
entonces: lim [ / , ( * ) + / 2(x) + . . . . + /„ ( * ) ] - L , + L z + . • • • + • • - ■ L„
■ * -* V
(Sugerencia: U sar la parte (a) del Ejercicio 1, e inducción matemática)
3. Si lim / ( jc) < l i m / ( y ) .dem ostrar que existe una 5 < 0 tal que
x —*¡7"
v—»a+
si0<|jc-a|<8,0<ly-fll<6
V
jc
,
y e Dom ( / ) ,
y jc < a < y , entonces /(* ) < / ( y)
4. D em o strar, u sa n d o . la definición de lím ites laterales, que
a)
b)
lim (x - f x f ) = 0
5.
lim ( x ~ f x f ) = I
JT—* 3
*-»3+
D em ostrar .u san d o límites laterales, que : lim ( ¡ 4 x f - 4 ¡ x ¡ ) , n e 7 , no existe
X —>T\
2 Í2 + 3*
, si x < 1
6. Si g(jc) =
\ £ n
+ 5
, d e m o stra r, utilizando la definición de lím ite lateral.
, S ÍJC > 1
que lim g(jt) = 5
x~* i
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213
EJERCICIOS . Grupo 12
•> En los ejercicios 7 al 10, hallare! límite indicado, si e x iste , en caso contrario justificar su
respuesta. Trazar la gráfica correspondiente.
7- /(*) =
2x + 3 , si jc < 1
2x + 7
, si jc < -1
2
3-2x
, s i- I < x < 2
, si jc = 1
7 - 2x , s i x > 1
jc 2 - 3 jc
lim f ( x )
j—
»-I
lim / ( jc)
X -» I
jc-
9. m
= <|
3
3x*-14*+ 15 . s¡x<3
,
, si jc = 2
2x1- x - 2
3
> 2
, s i x <2
10. f ( x ) = < 6
lim f( x)
síjc
lim /(x )
i -» 2
6jc- 2x*
; s ix £ 3
VjcT T - 2
jc-
y
1
, si jc > 2
lim / ( jc)
x
x —*
2
11. Seag(x) = [ x ] + [ 4 - x ] , trazar la G r(g) y h a lla r, si existe , lim g(jc).
j—
»3
12. Usando límites laterales, analizar la existencia o no existencia de los siguientes límites
a)
lim [ x ? + 2x + 1] - [jc + l ] 2
x2 + 2x
jr-»0H
b)
Jim
- 3I * ]
x- n
c)
lim [ jc] [ jc+ 1]
d)
lim x3 [ 1/x]
*-»0
, ne Z
13. Calcular los límites que existan
a)
b)
lim [ 2 x ] (x - 1)
JC-* i
lim x [ 1/jc ]
x -» 0
(Sugerencia : Para (a) y (b) observar que x - l < [ x ] < x y luego usar el teorema del
“sándwich ” apropiado.)
14. Conociendo q u e s i x > l y 1 <jc6/5 < Xa , hallar: lim f ^
x~* i
(Sugerencia: U sar el teorema del “ sándwich ” .)
~j +
~M
'
1*5x y2 » Ty X 2
15. a) S i / ( x ) = ------¡-------- ¡------- , trazar la G r ( / ) e indicar su dominio y rango
Ix + 1 I
b) D iscutir la existencia de lim /(x ) Justificando su respuesta.
X -*
jc2
I
+ 1 , si x < 2
x2 , s i x < 2
16. S e a n : /(x ) = <
x+2
, si x > 2
5 , si x > 2
Usando límites laterales. demostrar que
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Capítulo 2: Límites
214
a)
lim /( x ) no existe
b)
x -> 2
c)
lim g(x) no existe
x -* 2
lim /(x ) • g(x) si e x iste . Cuál es el límite
x -* 2
17. S e a n : / ( * ) = # ¿ ± ^ ± 1 1
(je -l)(x * + l)
y
g(jI) =
lim /( x ) ,
H a lla r, si existen : a)
b)
x -* -l
[ S g " ( l- ^ ) 1
x s - 4 x 2- 7 x - 10
lim g(x) ,
c) lim /(x)*g(x)
x-»-l
X-*-]
18. Sean / y g dos funciones cuyas reglas de correspondencia son
x? - x* - 4x + 4 , s i x < - 2
x+2
/(* ) =
a x2- 2 b x + í
x» + 3 x ? -9 s -2 7 , s ix < -3
x +3
, s i-2 < x < 2
-'x 3x2+ 22
, s ix > 2
g(x) = < aj¿2-7 b x + 1
x * -2 2 r + 5 7
x -3
, si -3 < x < 3
, s ix > 3
H allara y b para que los límites d e / , e n x = 2 y x = - 2 , y de g e n x = -3 y x = 3 .existan.
3x + 7
, si < p
19. Sean/(x) = < a x + 4 , s i p < x < q . Si l i m / ( x ) = q y l i m / ( x ) = p y a < 0 ,
2x - b
x -» q
, si x > q
h allara , b , p y q
20. Sea la función f ( x ) = f ( x ) = «
x2 - a x - 6 , x > 2
x -2
x2 +b
, x<2
Qué valores de a y b posibilitan la existencia de lim f( x) .
x->2
„
^ . .
. . ,
21. Calcular el valor d e :
r 3 [Sgn(l - x 2)] (x2 - 1 )
¡
hm ------ ^
jr-»-IL
x3 + 2x- - 5x - 6
lx 2+ 3x + 2 | 7
-------------------- —
Ix2- 1 1 (x2+ 1) J
22. Sean las f u n c io n e s /y g definidas por
/( * ) =
lxl-2
3 -x
Vx2 + 2x
, si -
1 < X <
1
x- 1
g<*> =
I x - l|
, si 1 < x < 2
, s i-2 < x < -l
,s i0 < x < 3
H allar, si ex iste , lim / [ g ( x ) ] .
x—
*1
23. Dadas las funciones
x2 *-1 , x > 0
/(x ) = *? x + I
y
g(x) = 2 x - i , x > 1
Vi - x , x < 0
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215
EJERCIOOS . Grupo 12
a) Justificar la existencia de lim f( x)
x -» 0
b) Si e x iste , hallar
lim ( g o / ) ( x )
x - » 0*
í x2 - I , si x < 0
24. Si f ( x ) = <
[ x + 2 , si x > 0
, hallar lim ( J o / ) ( x )
-*-*-1
❖ En los ejercicios 25 al 3 4 , calcular los límites que existan , en caso contrario .justificar su
respuesta.
25.
lim ( x + 1 )
4+
x-»l
27.
1
(x + 1 )2
26.
lim
2
x —*
lim V [3 x ] - | jc - 3 I
28.
lim
x -» 5 /3
29.
31.
33.
30.
V2x + 1 + [ 3x]
lim
^ *
*-*-3 Vx2 - [ x ]
\ X - [ x ]
lim (1 - x + [ x ] - [ 1 - x l )
32.
x —» I
lim
( l i i l +- í l + l-*+ 21 ~2 \
[ 3x + 2]
jc-»2
lim [[2 x + 1] - [ x + 1/2]] , n e Z
34.
lim ( -----------1
)
x-* i*' x 3 + V í x 1 - I '
'
x -3 + W -3 x -9
35. E valuar: lim (
*
)
+ V ^ + S g M ^ -l) - 4
x -3
3^9
36. Si /( x ) = < 3X2 - 5x + I
, si x > 3
, s i 3 < x < 4 . Usando las definiciones de límites latera-
I x 3 - 8x2 - 3 x + 12
x -4
les , analizar la existencia o no d e :
si jc > 4
a)
lim f ( x )
,
37. Sean f ( x ) = *
x+ ^
x+ 1
x —> 4
, si x > 1
. g(x) = <
, s ix < 1
x-2
D eterm inar, si existen :
lim ( g o / ) ( x )
x —* 1
y
Iim f ( x )
b)
x-+ 3
38.
[x /2 ] - 1
x -» 3 /2
Iim
x-*4
X
V3x2 + 4
, si x < 2
l5x - 2
x2 - 2
, si x > 2
Iim (/o g )(x )
x -» 2
U sando límites laterales, analizar las existencia o no de :
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Capítulo 2: Límites
216
a)
b)
lim ( f ~ l* ? -1 )
jc->6 \ [2x] + 10 I
Hm
x-¥ i/6 V í 3x1 - 1 0 ‘
x2 - 4 , si jc < 3
y
39. S e a n : /(x ) = <
-
a)
/
jc
b)
o g
lira ( / o g )
jc )
c)
y
=
x + 3
b)
xz
, si x < 1
2 - x
, síjc> 1
g(x) = *j
, s íjc > 1
a) / o g
lim ( / o g )
.H allar
c)
x —♦ 1
(2.8)
lim ( / o g )
x-> 2
l
, s íjc < 1
- x
/(
+ l x - 3 l . H allar
I jc - 2 1
X -*
40. S e a n :
g(x) = 7 ^ 7
, si x > 3
lim ( / o g )
*—
*-I
L ÍM IT E S D E L A S F U N C IO N E S T R IG O N O M É T R IC A S
El método de la sustitución directa aplicado al cálculo de los límites de las funciones
algebraicas es también aplicado a límites de funciones trigonométricas. El teorema siguiente nos
dice tal propiedad.
TEOREMA 2 . 6 :
E l lím it e t r ig o n o m é t r ic o c o m o p r o p ie d a d lo c a l
S ix e ER, se verifican las siguientes propiedades.
1.
lim S e n x = S enxn
*-M>
2. lim Cos X = Cos x
3.
lim Tg x = Tg xu
4.
lim C o tg x = C o lg x 0
5.
lim Sec x = Sec x„
6.
lim C o secx = C osecx0
Efectuaremos la'demostración sólo para Sen x , la demostración para las dem ás funciones trigo­
nométricas es semejante.
D em ostración
En e fe c to , por el teorema T.9L
lim /( x ) = lim /( x 0 + h ) t=> lim S e n x = lim S en (x . + h)
h—
*0
h-*0
Pero la fórm ula de adición para la función seno produce
lim Sen x =
=
lim (Sen x0«Cos h + Cos x. • Sen h)
(Sen x j ( lim Cos h) + (Cos x j ( lim Sen h)
h -»0
h-»0
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Sección 2.8: Límites de lasfunciones trigonométricas
217
= (Sen x0) (Cos 0) + (Cos a^ (Sen 0)
=
[E JE M P L O
1 ]
(Sen
(1) + (Cos a 0) (0) = Sen a 0
Calcular los siguientes límites
a) lim ( a Cos 3a)
b) lim S e c (n a /3 )
J-»7
1
Solución
lim T g(Jix/4)
»
x —i i
lim (a C os 3a) = ( lim a) ( lim Cos 3a) = n Cos 3n
j
—
»K
jr—
»jc
jt-» k
= n Cos(2je + Jt) = Jt Cos te =
lim
)
Por el Teorema 2 .6 , se tie n e :
a)
b)
c
x —*5
■
- te
Sec ( te a/3) = Sec(5n/3) = Sec(2jc-7c/3) = Sec(rc/3) = 2
x-* 5
c)
lim Tg(7iA/4) = Tg(37t/4) = T g ( n - n / 4 ) = -Tg(7t/4) = -1
x-»3
En la demostración de la Propiedad l del Teorema 2.6 hicimos uso de nuestros conoci­
mientos de trigonometría para afirmar que lim C o sh = Cos 0 = I y lim Sen h = Sen 0 = 0.
h—»0
h—»0
En el teorema siguiente se m ostrará tres propiedades incluidas é sta s, de las cuales se derivan
otras propiedades igualmente útiles para el cálculo de límites con funciones trigonométricas.
TEOREMA 2 . 7 : T r e s lím it e s t r ig o n o m é t r ic o s e s p e c ia le s
lim
C osa
= 1
11. lim
x -» 0
x -* 0 *
= 1
•*
III. lim Sen a = 0
x -• 0
•
Demostración
En e fe c to , de e n tra d a , un d ib u jo del
círculo trigonom étrico en el prim er cua­
drante (Figura 2.2 8 ), luego el punto A. sobre él la tangente
AT y el ángulo a medido en radianes.
E ntonces, para a g ( 0 , tc/2) , se tie n e :
P = (C o sa , Sen a ) , A = ( 1 ,0 )
R = (Cos a , 0) y T = (1 , Tgx)
L u eg o , se verifica q u e :
a(A O A P ) < ü (S ectorO A P ) < a(A O A T)
=5- ^ (OA x PR) < ^ (x )r2 < ^ (O A x AT)
D adoque OA = r =
1 t=> PR <
a
< AT <=> S enA <
F IG U R A 2.28
a
<TgA
(1)
Como Sen a > 0 , V a e ( 0 , tc/2) , entonces dividiendo cada extremo de (1) entre Sen a , se sigue
que:
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Capítulo 2: Límites
218
1<
<=> C o s x <
Sen x
Sen x
< I
x
(2)
Si d( A , P) < Á P «=> V( I - C os x)2 + Sen2x < x « = > 2 -2 Cos x < x2
=> 1 - ^
De ( 2 ) y (3) se tie n e : I - y - < Cos jc <
Supongamos ahora que - n/2 < x < 0
<=> 0 < Entonces en (4 ):
P e ro , C
o s ( - jc)
< i , si x
e
< C osx
(3)
(0 ,
(4)
tz/ 2 )
en el cuarto cuadrante)
- x e ( 0 , tc/2)
( jc
x
<
txJ
2
I - 4" ("-*)' < Cos ( - j c ) <
< 1
X)
2
= Cos jc y Sen(-x) = - Sen x
<=> 1 -
4
2
** < Cos jc <
< 1 , si - x e <0,71/2)
•**
(5)
Las desigualdades (4) y (5) se cum plen para todo jc taJ que 0 < I jc I < tc/2
P or ta n to , aplicando el teorem a del “ sandwich” a (4) tendremos
lim (1 - 4 -*2) = i y
< -> 0
E nton ces, se concluye que : I.
L
*'m 0 ) = I
x -* 0
lim Cos x = 1
x -* 0
a
lim ( % S )
x -» 0 X
x
= 1
’
En la Figura 2.28 vemos q u e : P R < Á P «=> S e n x < x , s i x e (0 , tc/2)
Sen(-jc) < - x «=^ - S e n x < - x , s i - X € (0,7t/2)
Luego , de am bas desigualdades se tiene :
0 < ISenjcl < L l , V x e <-Jt/2, tc/2) - {0}
y por el teorem a del “sandwich” : lim |S e n x | = 0 «=> III.
x —» 0
Nota
K
lim S e n x = 0
x -* 0
De estas tres propiedades se pueden obtener otros resultados igualmente importantes para el
cálculo de límites trigonométricos.
ÍT o Tg^ = l Ü T o ( ^ ) = T
^
J^T gJr = °
v- j™ , í 1 ^ ) = ,ü s ( ^ ) ( q L ) = «*> ( i )
VL lim
t
►0
Secx=
x **4 0
VIL .rlim
_ * o 'S e n x / =
-
J™ . í 1 ? )
4
lim í-=-^— ) = - = 1
I
wOS X *
lim í1-Sc e^ n—x )/
j - , 0
= T
l
= 1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
= '
Sección 2.8: Límites de las funciones trigonométricas
VIH.
X
»o *
=
•
x
219
-*0
Hm (
S™**
) = lim ( S e n j:) ( , S a n * ) = 1 (0) = Q
' *(1 + C o s j c ) /
x-»o‘ x / V l + C o s * /
Límites indeterminados que contienen funciones trigonométricas pueden calcularse con
ayuda de las propiedades del Teorem a 2.7, las identidades trigonométricas y una buena
dosis de in g en io , com o ocurre en los siguientes ejemplos ilustrativos.
EJEMPLO
Solución
2]
—~ J
Calcular:
lim ( S e n n * )
*_»o 'S e n 3 7 L t/
La sustitución directa y la propiedad ITJ, da al límite la form a indeterminada 0/0.
Para resolver el problema podem os reescribir el límite del m odo siguiente
L= liln( S s i í i ¡ ( ^ ) ( i )
j,_»o '
Es evidente que si jc —
»0
L = i
3
Solución
D
3
/
y también 3 n x —> 0 , entonces
L =^-(l)(0=y
■
Eva,uar:
La sustitución directa lleva al límite a la forma 0/0. Eliminaremos la indeterminación
reescribiendo el límite com o el Ejemplo 2 , esto e s :
(W
^
L = !
[e j e m p l o T )
— J
Solución
/ ' Sen 3ju: / '
lim ( ^ “ ) • lim í ^ f - )
íu-»o ' n x I
3i u ^ o ' Sen 3tuc/
y por las propiedades II y V I I :
EJEMPLO
tu:
t é b ) ’w
’• J ”
(s H í ) * = ( I )
Calcular: lim ( 2 f e n 3 x
2* + 3 S e n 4 r
=
t
)
/
En este caso elim inarem os la indeterminación 0 /0 , dividiendo el num erador y el
denom inador entre x
2 ( Sen 5jc\ _ Sen 3jc
=> L =
lim
jt-»o
1
*
~ „ f
2 + 3 [ Sen 4 x j
y evaluando el límite obtenemos :
L =
jq / Sen Sjc\
=
1
lim
x-»o
10(0-3(1)
2 + 12( 1)
^
3 / Sen 3jc\
S*
\ ^
2 1 12 ^ Sen4jr j
V 4x I
1
2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
'
Capítulo 2: Límites
220
E JE M P L O
51
Calcular: lim í 1 ' C ? s jr )
J
Solución
X '
jt-* 0 '
i
Elim inarem os la indeterminación 0/0 valiéndonos de la identidad:
Sen2jc = 1 -
C o s 2jc =
(
1 + C os jc) ( 1 - C os jc)
Por lo q u e , L = lim ( ^ ^ ) ( ——i ----- ) =
i-»o \
x2
l \ 1 + C o s jc /
*=>
1 - Cos jc
lim
S e n 2jr
1 + C os JT
=
lim ( - — i ------ )
* -»o '
x
t
x -»o U + C o s jc /
= * L = ' 1 )!( l T 7 ) = y
E JE M P L O
Solución
6J
Calcular
Calcular:
lim
^ 0SJ: )
En este caso elim inarem os el 0/0 racionalizando el n um erador:
L = lim
j -» o
=
jc^
Iim
1 - C osx
*-*o jc^ I + V Cos jc)
1 + VCos jc)
Como aun persiste la indeterminación 0 /0 , resolveremos el problema utilizando la identidad del
ejem plo a n terio r, esto es
L = lim--------------- [ -------1--------------- 1 = ( l) 2 [ - —
x_ » o '
x
•
( 1 + \C o s jc ) ( 1 + C o s j c )
(1 +
[e je m p lo
S
7 }
*
Evaluar:
— —1 = \
1 )(1
+ 1)
■
4
lim f Sf C^L~2 Tg * )
í —»>i/4» 1 + Cos 4jr I
Solución Elim inarem os el 0 /0 m ediante el uso de las identidades trigonométricas.
1
_
/
“ s 1-XK/a\
_
11
C
1
2
/ S enjc\
osjc / ) _
o s 22 jc
/ “
+C
2
/
x-* m \
o s 2jc
C
- Sen 2 j c
- Sen22x)
C o s 2jc ( 1
L
2 (l/v2
[e je m p lo
Solución
8]
*
r
\
I
M - 2 Sen jr Cos jc )
2 C o s 2jc f o s 22 jc '
..
x
/ ______________ 1_____________ \
- * x j a \ 2 C o s ?x ( 1 +
Sen
2jc) /
>---------- = i
)2( l + 1 )
2
C alcular: lim ( ^ + * s e ii ^ - V C o s 2x \
* -» o '
Tg2 (x/2)
I
Resolverem os el problem a de indeterm inación 0/0 racionalizando el n um erador,
esto es
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Sección 2.8: Límites de las/unciones trigonométricas
221
^ _ |jm
1 + x Sen x - C os 2x_______ _
x Sen x + 2 Sen2x
x—
»o (V1 + x S e n x + V C os2x)«T g2(x/2)
x-*o (V1 + x Sen x + VCos 2 x ) • Tg2(x/2)
Obsérvese que cuando x —» 0 , entonces (V1 + x Sen x + VCos 2 x ) tiende a 2
Dado que aun persiste la indeterminación dividiremos el numerador y el denominador entre x2,
esto es
i -
/S e n x \ . 0 / S e n x \ 2
( 1 \ í m ' ■* J
w
/
_ 1
1 2 ) x™
i /T g(x/2H 2
- 2
4 \ x/2 /
IEJEMPLO _9J
Solución
f!+ 2 0 £ \
,
'
(l)2 ) - 6
C alcular: Jim [ ( 1 ~ ^ ^ X ) C o s ( j ) + C o s 3 x -C o s 2 x '
Tgx I
\x I
x2
Eliminaremos la indeterminación 0/0 escribiendo convenientemente los términos
de la función , esto e s :
=
-
Mi ) +
-
«(MM)]
Con relación al l i m x C o s f l ] ;com o lim x = 0 y sabiendo que Cos ( 1 ) es una función acox —» 0
x —»0
'■x '
tada ( I Cos A I < 1), por la propiedad del producto de lím ites, lim x Cos (--) = 0 , y teniendo
' x '
x —» o
en cuenta el valor del límite del Ejemplo 5 , obtenemos finalmente q u e :
L = [ ( I ) ( 0 ,+4 ( I ) - 9 ( i) ]
[EJEMPLO 10] Calcular: lim
- ■■■■■■■■ — i J
Solución
= - f
3 - 4 C o s2 x -t-C o s4 x
(3 + 4 C o s2 x + C o s4 x )x 4
Sea L = lim ( —
— i—
— ) ( 3 -4 C o sZ » + C o s4 x \
x_»o ' 3 + 4 C o s2 x + C o s 4 x / \
xr
i
Al evaluar el lím ite por sustitución directa encontram os que L = -gEliminaremos la indeterminación rcescribiendo el límite de la siguiente manera
l ,• r 4 ( l - C o s 2 x ) - ( l -C o s4 x ) i
L = -5- lim --------------— -¡---------------8
x-*o
**
J
A h o ra , haciendo uso de la identidad 1 - Cos2tz = 2 Sen2a , se sigue que
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Capítulo 2: Límites
222
1
4(2 S enlr) - (2 Sen22 r)
i
8 Sen2* - 2(2 Sen x Cos x j1
L = g- Iim -------------- ~2--------------- = -ñ lim ------------------- -----------------8
JT
8 x-»0
r
1
8 Sen2* - 8 Sen2* C os2jc
1
8 Sen3* (1 - Cos2*)
“ -R
lini
o x—
»0 --------------- 7 --------------- = "ro x —»0 *------------^ ----------= 1 (8) Um ( S ^ £ j - ^
o
*-»() ' •* '
f_
* . .'k
E JE M P L O 1 1 1
k
■■ " J
Solución
u
L = ( , )4 = 1
_ , ,
Sen(a + 6x) - 3 Sen(a + 4x) + 3 Sen(a + 2x) - Sen a
' -------------Calcular: lim
i
-------------------------x-*a
T g \r
Para resolver el problema de indeterminación 0 /0 , agruparemos convenientemente
los térm inos del n um erador, esto es
[S e n (a + 6 * ) - S e n a ] - 3 [ S e n ( a + 4jt)-S en (a + 2x)]
L = lim ------------------------------- =-= ---------------------------------j —»o
T g 3*
Ahora transform am os a producto los términos entre corchetes
. . .
2 C os(a + 3jc) Sen 3* - 6 Cos(c + 3*) Sen x
L = Jim -------------------------- -------------------------------x-*o
Tg*
= lim
x-»o
2 C o s ( a + 3*) [ S e n 3 * - 3 Sen*]
2C os(a + 3*) [(3Sen x - 4Sen3*) - 3 Sen xj
_ ■ , —----- -— — = l i m -------------------------- =r-í-----------------------T g 3*
,_»o
T g 3*
= ,.m Z C o s f r + ^ H S e n ’x] = _ g ^
Cos(fl + 3x) ( » )
jt-»o
T g 3*
x—
*o
'Tg*'
= - 8 lim Cos(a + 3*) • Cos3* ■=> L = - 8 Cos ¿2
x—
»0
(E J E M P L O 1 2 )
^
J
Solución
Calcular:
■
Um T g (< n -2 h )-2 T g (a + h ) + T ga
h-»0
h2
La sustitución directa da aliím ite la form a 0/0
Para resolver el problem a reescribirem os la función, apoyándonos en la identidad
_ . _ ^
Sen (A - B)
trigonom étrica: T g A - Tg B = C o s A - C o s B
/ T g(a + 2h) - T g(a + h) Tg(ü + h ) - T g j )
•=> L = lim l ------------------—--------------------- t~2------------J
h-*o '
h2
h2
•
_
/ __________S en h _________ _________ S en h
\
h _»o ' h2C os(a + 2 h )-C o s(a + h)
h2 Cos(o + h) • Cos a I
i¡m / Sen h \
1
(
1
h_»o '
h ' Cos(a + h) \ h C o s ( a + 2h)
“
_
1
\
hC osa/
n \ 1 1 * i m / Cos a - C os(a + 2h) \
( ) \ C o s a ¡ ¿ o ' h C os a Cos(a + 2h) •
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
223
Sección 2.8 : Límites de ¡as Junciones trigonométricas
Transformando a producto el numerador obtenem os:
i
_
i
11 y
/ 2 Sen h ■Sen(a + h) \ _
v Cos2¿z * h-!*o '
h Cos(a + 2h)
i
- ( c 5 f f i ) (,) ( f
&
siCosa*° -
L =
Of.k* a
-t-jt-t- l f + 3xl + 3 x - 15
jT-X1 [T g7i(jr-1) + C otgit(jr- l)] Sen22 r c ( x -1)
( jc2
E JE M P L O 13 I H allar: lim
« J
Solución
/ 2 \ y
( Sen h \ Sen (a + h)
\ Cos2a > h-^o * h / C os(<2 + 2h)
L a sustitución directa da al lim ite la forma ^
factorizando el num erador, esto es
. _
. Resolveremos el problem a
(x2 + jt + 7) U + 2) ( j : - 1)
[T g7t(jc-l) + C o tg 7 t(jr-l)]S e n 227C(.r-l)
,
P e ro , dado q u e : Tg A + Cotg A = S en 2 A
^
{ }
(T g A + Cotg A )S e n 2 A = 2
Haciendo uso de esta identidad, el limite (1) se reduce a :
(jc + 2 ) ( jr2 + x + 7 )
( j ^ + jc + 7 ) ( x + 2 ) ( x - I )
j!? !
E JE M P L O 1 4 J
— 1
Solución
1 *
2 S e n 2 n (jc - 1)
“
.
”
(1 + 2) (I +
4n
_
H allar:
2 0 ^ )
1
+ 7)
/
2 n (jr-l)
\
\ S e n 2 ti( jc - 1 ) /
27
47t
lim ( n - 2 * ) -Tgjc
X -* v il
Tenemos el caso de indeterm inación: 0 . <»
Para resolver el problema haremos uso del T.9L (Reducción de un límite en;c0,a un
límite en 0)
Haciendo u = je - n/2 «=^> jc = u + tJ2 . Si jc —> nI2 , entonces , u —> 0
Luego ,e n el lím ite dado : L = lim (-2u) • Tg(u + 7t/2)
u-»0
P e ro , por trigonom etría sabem os que Tg(A + 7i/2) = - Cotg A
Entonces: L =
lim (-2 u )(-C o tg u ) = 2 lim
— ) (C o su ) = 2(1)(1) = 2
u—
»0
u —»0 * ^en ^ '
E JE M P L 0 1 5 )
1
Solución
*
C alcular:
lim * -* * «
C° s(1
(n / 2
-
■
S ™ x)
jc )4
L a sustitución directa da al límite la forma 0/0
Para resolver el problem a haremos uso del procedimiento de reducción del T.9L
esto e s :
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Capítulo 2: Límites
224
Sea u =
jc
- n/2 ■=> jc = u + tJ 2 . Si x —>i J 2 , enronces u —»0
Luego: L =
lim
u^ o
l - C o s(l - C o su )
r 1 - C o síl - Cos u)-i / i . r o s u \ 2
j— s
J- = h m I — — ^ ------ -5—^ I 1 , u
(-u )4
u_ o L (1 - C os u)2
J V
u2
f
Teniendo en cuenta el resultado del Ejem plo 5 , el valor del lím ite es
L = (im r= i
(EJEM PLO 16)
“51 TC
- '
La sustitución directa da al lím ite la form a OA).
R esolverem os el problem a aplicando el proceso de reducción del T .9 L , esto es
sea u = jc - 7t t=*jr = 7 t+ u .S ijc - » 7 t,e n to n c e s , u - » 0
,
1
,•
T g [ 1 + C o s(7 t+ u )]
L u eg o : L = lim J b rT / , x1 .
u -»o C os [Tg (tc + u)] -1
=
f
C=> L =
T g (l-C o s u )
= lim
* „
x .
u_ o C o s ( T g u ) - l
l-C
lim [ T■gg(U
^ oo s u )J -1
] [r 11 - cCoossu J 1
u_»o
1 - C o s u J LC o s ( T g u ) - 1-*
_______l i m / i | £/Tgori
) = ,
x '
/t\ r
1 -C o su
i
1 -C o su
lim (1) --5— ~ 7= r - - lim
^
—7
u—
>o
L l-C o s (T g u )J
u -»0 l- C o s (T g u )
Conociendo el valor del límite del Ejemplo 5 , reescribiremos el lím ite de la siguiente m anera:
L
( t S t ) -l r- rCos(Tgu)
d n ^ l -
>■-
( i ) <«■ f e ) "
'
T g 2u
ÍEJEM PLO 17) Calcular: lim ( Sen 3 tcjc + Cos tijt + l
>■■»■— ■ '■■■ ■ +
X-* l v
^ -1
Solució n
Por sim ple inspección el lím ite tiene la form a indeterminada 0/0.
Resolverem os el problema factorizando previamente el denom inador, luego apli­
cando el T.6L ten d rem os:
L = lim i
* ) f Sen 3 n x + Cos n x + M _
1' '
jc - 1
/
l_ j¡m / Sen 3iur + Cos t u + M
2
\
x -l
I
A h o ra, por el proceso de reducción del T .9 L :
Sea u = jc -1
;r = u + 1 . Si jc —> 1 , en to n ces, u —> 0
„ ,
Por lo q u e :
.
1
L= y
Por trigonom etría:
S e n 3 rc (u + l) + C o src(u + 1 )+ 1
hm ----------------- — - -------------------í (S en 3n;(u + 1 ) = S en (3 « + 3 n u ) = -S enS rcu
<¡
1 C os 7t(u + 1) = C os(jt + n u ) = - Cos 7lU
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(1)
225
Sección 2.8: Límites de lasfunciones trigonométricas
r
_ ,.v ,
1
- S e n 3 ttu - C o s t i u + 1 \
L u e g o ,e n (1 ): L = -=- um I ---------------------------------1
1 u-»o '
u
'
=
I r_ 3„
2 L
lim (S e n 3 7 tn j + „
u-»o' 3nu /
lim ( l - C o s i m \-|
u-»o *
rcu
/-»
Haciendo uso de las propiedades II y VIII tendremos finalmente que :
L = ^ [ - 3 t e ( I ) + tc(0)] = - ^ -
Cotg -i- (71-2 + ^ 3 S e n x -C o s x )
\ ---------- -------- = ------------------------- 1
* - « L
Cos (
~*1— \ - l
' I - V 3T g* •
EJEMPLO 1 8 1 Calcular: lim
----------------------- '
Solución
Resolveremos el problem a de indeterminación 0/0 haciendo transformaciones en
el numerador y denom inador, esto es
Cotg [ f - 1
C o s* - ^
S e n * )] = Cotg [ | -1 - Cos (* + y ) ] = T g [l + C o s(* + | ) ]
pues , Cotg (-y - a ) = TgA , y C o s ^
^
^
) = C o s [ T g ( |+ * )]
A hora, aplicamos el proceso de reducción del T.9L
S e a* - 27t/3 = u => *= u + 2rt/3 . Si *—» 2 it/3 , entonces u
—» 0
T g [1 + C os(7t+ u)] _
r T g ( l- C o s u ) - i
hm ^
[Tg(JC + u)] _ j
u_ 0 L Cos (T g u )- 1 J
Luego. L -
Es el lím ite calculado en el Ejemplo 16, por lo que:
L = -1
EJEMPLO 19] Calcular: lim (
i ■■ ■ i *
>
S e n * -* S e n fc \
\b C o s* -* C o so /
Solución
L a sustitución directa conduce a la form a indefinida 0/0.
El .problema se resuelve haciendo un cambio de variable.
S e a * - 6 = u ■=* x = b + u . S i * —> b , entoncesu —»0
,
/ £>Sen (í? + u) - (í? + u) Sen i? \
^im [ j C os ^ + ay _ ^ + uj Cos ¿ )
u eg o .
- lim T
^ *"os u + ^ en u ^ os ^ ^ ^ en ^ ’ u ^ en b l
- u_»o*- b(C osb Cos u - S eñ é Sen u ) - 6 Cosí? - u Cosí? J
-
l i m \ ' b ^ Cn b ^ ~ ^ ° S +b ^ ° S b ^ en U" U ^ en b 1
u _»o - b Cos í?( 1 - Cos u) - b Sen b Sen u - u Cos b ■*
Ahora, dividiendo el num erador y denom inador entre u , se tie n e :
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■
226
Capítulo 2: Límites
L =
) + b C o s b { S S ™ ) - Sen &
lim F ___________
u
u
_______
u - >0 - 6 Cos 6 ( 1 ^ ° S U ) ^ 6 S e n f c ( ^ i L ) _C o s6
y por las propiedades II y VITI del Teorema 2 .7 , obtenem os:
L =
(EJEMPLO 2 d ]
- 6 Sen 6(0) + b Cos 6( 1) - Sen b
- b Cos 6(0) - 6 Sen 6(1) - Cos 6
Sen 6 - 6 Cos 6
Cos 6 + 6 Sen 6
Usando límites laterales analizar la existencia de
lim l * + S e n 2Jt| + lT g x - x l
x—>o
iT gjrl
p o lu c ió n
1. L ím ite por la d e re c h a : x —» 0+ , es d e c ir, x > 0
C o m o IT gjr I > Ix l , V x e {- tí! 2 , tt/2 ) , im p lic a que : T gx > x , e sto
es , T gx - x > 0
|T g x - x | = T g x - x
A d em á s, 0 < Sen2x < 1 y s i x > 0 <=> Ix.+ Sen2x I = x + Sen2x
.
. . .
/ x + Sen2x + T g x - x \
L u e g o : L. = lim [ ----------- - --------------) =
1 jc—
T gx
/
2.
..
^
hm (1+ Sen x Cos x) = 1
, _ 0+v
Lím ite por la izquierda: x —» O- , es decir x < 0
S il Tgx I > 1 x 1 , implica que : - T g x > - x t=> T g x - x < 0
«=> i T g x - x l = - T g x + x
Además , I Sen2x I < I Sen x I < Ix l , V x e IR
Si x < 0 i=? (- Sen x)2 < - x c=> Sen2x + x < 0 <=> Ix + Sen2x I = - x - Sen2x
t
w
i/ - x - S e n 2x - T g x + x \
L uego: L = lim ( ------------- — - -------} =
^
x -tc r '
- T gx
I
_
hm ( 1 + S e n x C o s x ) = 1
Por ta n to , si L, = L , entonces existe lim / ( x ) , esto e s , L = 1
■
x -» 0
(¡EJEMPLO 21 )
Dem ostrar que lim Sen ( ^ J no existe
(Sugerencia : Para cualquier r e (R+ , 3 n e Z*\ - i- < r )
d e m o stra c ió n
S upongam os que Sen (iilx) tien e un lím ite L en x0 , entonces , si
lim S e n í f ) = L <=> V e > 0 , 3 8 > 0 | s i 0 < l x l < 8 => I S e n ( ? ) - L | < e
x-»o
'■* '
»■* '
Eligiendo en e = 1/2 podem os hallar una 8 tal que
0 < Ix l < 8
I Sen ( j ) - L l < ^
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227
Sección 2.8 : Límites de ¡as funciones trigonométricas
Tomemos ahora dos puntos x, y x7 pertenecientes a 0 < U I < 6 , que tienen la fo rm a :
=
Entonces r
2 n V Í /2
y
x 2~
2 n - 1/2
' n e Z*
Sen ( ^ ) = Sen (2n + 1/2)jc = Sen (rc/2) = 1
Sen ( £ ) = Sen (2n - l/2)n = Sen (-n/2) = -1
Luego: | s e n ( £ ) - l | = | 1 - L l < ^
Como , 2 = I (1 - L)
y
| Sen ( ~ ) - L |= 11 + L |
+ (1 + L) I i=>2 < 11 - L | + 11 + L |
2 < -^
+
<
(Desig. triangular)
<=> 2 < 1
lo cual es absurdo e implica que la hipótesis es falsa.
En consecuencia, no existe lim Sen f £ )
x -* 0
E JE M P L O 2 2 ]
^
.Solución
' x
■
•
C alcular: lim ( x S e n I )
x->0
x
Obsérvese que al aproximarse x a c e ro , 1 decrece o crece sin lím ite , por lo que
S en (l/x )o sc ila entre -1 y I .e s d e c ir. Sen ( 1/jc) no se aproxima a un único núme­
ro, luego no existe lim Sen ( - ) .
*-»o
'x '
En consecuencia no se puede considerar a x Sen ( 1/x) com o el producto de dos funciones para
calcular su límite. Sin em b arg o , com o la función seno es acotada, esto e s ,
O S (Sen (1/x) I < 1 ^
0 < lx S e n ( l/x ) < Ixl
y aplicando el teorema del “sándwich” concluimos que
lim |x S e n ( l/x ) I = 0 <=> lim x S e n (-jr) = 0
x—
»Q
(EJEMPLO 2 3 )
jr—
»0
■
' •* '
Sea P un punto de coordenadas ( x , Senlr) sobre la gráfica de y = Senzx.
Se supone que P es diferente del origen y que x e ( - n , n ) . La perpen­
dicular mediatriz del segmento OP intersecta al eje Y en el punto E. A medida que P se m ueve a
lo largo de la gráfica y se aproxim a a c e ro , cuál es la posición límite de E?
Solución
L a gráfica de y = Sen2x para x e [ 0 , rt) se muestra en la Figura 2.29.
En el triángulo rectángulo O A E : O E =
ocn u
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(1)
228
Capítulo 2: Límites
Como OA = ^ OP ■=> OA = ~ Vjc2 + S e n 4*
PB
OP
En el A O BP: Sen 0 =
Sen2*
'■Ix* + Sen4*
OP
Sustituyendo (3) y (2) en (1) o b ten em o s:
™x 2 + S en4*
° E = 2 S en2*
L u eg o : J im Ó É = Bm [ I ( ^
+ \
)
So*] = \
(1 )’ + I
(0) = i
EJEMPLO 2 4 j En la Figura 2 .3 0 , las rectas EB y OD son tangentes a la circunferencia de
radio 1 en los puntos B y O respectivamente. C alcu lar:
área(AEAB)
e ^ o área(AEOD)
Solución
Expresem os cada cateto de los triángulos
rectángulos EAB y EOD en función del
ángulo 6
En el AEAB : AB = (BC) Sen© ■=> AB = Sen 0
É A = (ÁB)Tg© =* ÉA = (S cn0)T g6 =
Entonces: c(A EA B ) =
(É Á x Á B ) =
Z
F I G U R A 2 30
Z COS ü
En el AB A C : A C = (BC) Cos0 = C os0 => O A = OC - AC = 1 - Cos0
En el A E O D : ÉÓ = ÉA - ÓÁ =
AEOD = AEAB ^
®
EO
-(1 -C o s0 ) =
C o s0
B
^
EA
^
l ~Co&Q
Cos 0
AB\
ÓD ,
/ 1 - C os 0
Sene ( g
«=> o d = - zc—°
Sen 0j r
L uego, a (A E O D ) = i
1 / ! - C o s 0 \ / 1 - C o s 0 \ (1 - Cos 0)2
= 2S en 6 C o se
(E O ,(O D ) = 1
a(AEAB)
a(AEOD)
”
Sen4©
(l-C o s © )1
a(A E A B )
lim
/A C™
e-»o a(A E O D )
=
= ( r r § V r = <1+Cose>3
lim (1 + C o s 0 )2 = ( l + 1)2 = 4
e-»o
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
f )
Sección 2.8: Limites de lasfunciones trugonométricas
OBSERVACIÓN 2.9
229
L ím ites de la sfu n c io n e s trigonométricas inversas
Para el cálculo de los límites de las funciones trigonométricas inver­
sas se puede hacer uso de las siguientes propiedades
i) lim (are Sen x) = 0
*-*0
ii) lim ( arc ^ en x ) = I
j-» 0 '
X
*
iii)
v) lim (are Cos jc) = tí/2
*-*0*
lim (arcT gjr) = 0
jt-»0
iv)
lim ( ‘^
M _ |
x—
»0 '
X
'
vjj
(arcX gjf) = + jc/2
x-*± «o
y también de las siguientes identidades
I) a rc S e n x = a r c T g { - ^ = = )
III) a r c T g a - a r c T g 6 = arcT g
II) arc Cos x = arc Sen V1 - x 2
f
[E JE M P L O 2 5 1
k
Solución
S ix
C a lc u la r:
— > 7c/ 2 “
IV) arc T g(a + x) - arc Tg(a - x) - are Tg ( | +
x?)
/ arc Cos ( x - 7 t/2 + 1) \
lim I ----------------- - ----------]
x-Td2
I
«=> x < t i / 2
s ix - 7 t/2 < 0 c= > 7i/2-x> 0
y
Haciendo el cam b io : u = i d 2 - x > 0 . entonces, u —>O*
L uego: L =
=
lim
u_»o+
.
=
[are Sen Vi - (1 - u)2 ]2
lim -----------------u-»o+
-u
i,ra ( a r e S e n . ' 2 ^ W ( 2 u - u M
E JE M P L O 2 6 )
•
Solución
are Cos2( 1 - u)
-u
Calcular: lim
x-* 0
, H
2
= _2
arcT g [ C o s(S en x )- C os(2T g x) ]
Para resolver el problema de la indeterminación 0 /0 , haremos uso de la propiedad
(IV ), escribiendo
a rc T g [ C o s(S e n x )-C o s(2 T g x )j r C o s(S en x )- C os(2T g x) n
Cos(Sen x) - Cos(2 T g x)
<x2
-I
/i% i „ C o s(S e n x )-C o s(2 T g x )
“ ( } jS o
^
"
(l + l)
=
=
(II)
lim
/ Cos2(Senx) - Cos2(2 T g x ) \
x ™0 y X2 [CosfSen x) + Cos(2 Tg x)] i
/' [1
( I - SSeenn :¿(S
( S e n xx )J
) ] - [1
L1 - Sen
S e n2-(2
( 2 T g xx ))J) \ _
\
x2
x2
/
I
j]_
Sen 2( 2 T g x ) - S e n ^ S e n x )
2 j_»o
j_ »o
1
r / S e n ( 2 T g x ) \ 2 / 2 T g x \ 2 / S e n ( S e n x ) \2 ^ S e n x l 21
z j 'T o U
zT g*
)
H
- \
sen *
) h r ) J
L = i [ ( l ) ! (2)í - ( l ) ¡ ( l ) J ] = f
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
x2
Capítulo 2: Límites
230
(e je m p lo 2 7 )
v
*
Solución
Calcular: l i m
T g ^ + -^ )-T 8 (^ --r)
jt_»o a r c T g ( # + x ) - a r c T g (# -x )
En este caso resolverem os el p ro b lem a de la indeterm inación 0/0 usando las
2 Sec2# • T e x
identidades (IV) y T g (a + x ) - T g (# -x ) = ¡ Tg2# . T g2x
Esto e s : L =
=
2 S e c 2# . T g x
lim
x -* 0
( I - Tg2a - Tg2jc) aro T g ( - 2f»1 + a 2- x ¿ •
(2 S e c 3a ) lim (
2[ „ 2 ) [ ----------------- — r 1
jc^ o ' 1 - Tg2# •Tg2x /
are Te í
2x
\
' 1 + # 2- x 2 /
= (2Sec3#)
=
1* Í ( I ^ ) (
U - o I ^ 0 \ \ x M a rc T g ( _ ^ _ _ ) M
(2 S e c za ) ( l ) [ ( ! ) ( ! ) ( i ^ ) ]
E JE R C IC IO S
2
|
«=> L = (1 + a 2)S e c 2a
. Grupo
13
❖ En los ejercicios 1 al 40 h a lla r, si e x iste , el límite indicado.
1. lim ( - ^ )
jt- ,0 'x T g 4 x /
2.
4 . ,im
jt-,0 '
SenJx
5. lim ( S e n ^ S e n j i )
x -» o v
Senx
>
•
7 . lim ( ^ ^ U A T - C o s r r \
*_*o ' I + Sen px - Cos px /
1«. lim ( Cotg2* - - ] ,)
g.
11. lim
x -» 0
13. lim
o
x —»C
x - Sen x
Tg3*
x ^ o s U /x )
16. lim
x-»o Tgx + Sen x
1 - VCos x
19. lim
x -»0 1 -C o sV x
3. lim í k f ^ )
, .oo \' T c'jf
g* /
lim
* _ ,0 ' Sen 2x /
lim ( 2
x_»o
^ n \ 'S e n 2x 1
3 Sen t í x
-
6. lim (
x -» 0
1 )
Cos x /
Sen 3rcx
jc 3
x2- Sen x 1
14. lim
, o+ x Sen x2
17- ¡ í j r a l - ? )
20
lim
Sen(Cosx - 1)
Sen [C os(x+ 7t/2)]
'
Cos x - C o s 3 x j
jr
9. lim ( ' - CoSX)
^ _ ,o v T g x /
12. Jim Sen n x + 3 Sen2rcx
x—»o
x + 2xi
1 - Cos a x
15. lim
o x ( 2 -x ) T g ix
18.
2L
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
C otg2x
lim
------- 7— --------r
'- °
M y
x)
lim
,_>o
V i-C o s x2
1 - Cos x
231
EJERCICIOS . Grupo 13
Sen(itx/2)
22. lim
o
25. lim
x—»o
1 - Vx+ 1
x Sen(Sen x)
23. lim
x-»o l-C o s (S e n x )
2 - V C O S X -C O S X
28. lim
x—
>0
31. lim
Sen28x - Sen24x
x2
26. lim
Sen2(h + fl)-S e n 2a
29. lim
h -»0
V I + T g x - Vi + S en x
lim
32. lim
x —*0
x -* 0
37. lim
x —» 0
39.
Jim * - Cos x Cos2x Cos3x
x_»o
1 - C o sx
30
2(1 - Cos x)2 (1 + Cos x)
x ^ l -C o s2 x )
Sen(a + x ) - Sen(a - x)
34. lim
0 Tg(fl + x ) - T g ( a -x )
1 - Cos x • VCos 2x • VCos 3x
x -» 0
35. lim
v2
lim
x-»o Vi + x S e n x -V C o s x
27.
xSenx
x —. 0
33.
24. lim VCosx - VCosx
Sen2x
*-»o
Vi + x S eñ T - V CosZr
Tg2(x/2)
36. lim
x4.Scn(Vx3 + 4 -2 )
(Tgx - Sen x)2
38. lim
V( 1 + x)1 -C o tg x - l + Cosec x
x -» 0
x -» 0
lim ^ ; V i+ C ° SJr (1 - Cos x VCoiTZr)
*-»o
(xS enT )
40.
1 -V C osx + V ^ T 2 - V 2
x2
lim
C o s x C o s lr- 1
*_ȣ) S e n 2 x -S e n x C o s 2 x
•> En los ejercicios 4 1 al 76 hallar, si ex iste, el límite indicado.
T g 2*
Cotg(7C/4-x)
2x2- 3 x + 1
43. lim
X—
» Ii1/2 Cotg 7LX
T g(l - x 2)
l+ x 3
46.
41. lim (1 -x )T g (jrx /2 )
X—
»I
42.
lim
l+ x 3
44. lim
-i S en(l - jt5)
45.
lim
Jt—
»-1
Sen(x - tí/3)
47. lim
x-»rt/3 1 - 2 Cos x
48.
T g V -S T g x
Hm
mi Cos(x + 7t/6)
49.
1 - Cotg3x
lim
jt/4 2 -C o tg x - C o tg 3x
2 - Sec(7t/x)
x- 3
51.
Hm
Sen (Cos x)
C o tg x
52.
lim
1 - 2 Cos x
n -3 x
54.
50. Hm
x —. 3
53. lim
n /3
x —» n /2
1 - Sen x + Cos x
56. lim
X—
>jtJt/2 Sen x - 1 + Cos x
57.
1 - 2 Cos x
59. lim
‘¿ra Sen(jt-7t/3)
X-**
60.
62. Iim
x-*-2
T gJtx
x+2
jc/4
63.
x-*-2*
x
C o s2 x
Hm
jt/4 Cos x - Sen ic/4
55.
x2- 4
...
Cos(n/4)
58.
lim
x- i2
T g (x2- n 2/ ^ )
lim
..
x—
»jt/4 Sen(4x - 7t)
Iim
C
o s ( jcx/ 2 )
1-V *
Hm
- * r/4
Hm
x —» 1/2
64.
x7-4
Sec x - Sec(jt/4)
tü- 4 x
4 C o s 'tu - C
2x -1
2
Hm (
x-.lt/? ' Cos2x
*-»ji/2 '
61.
Sen(nx)
lim
o s 3 tix
1
1 -S e n x /
Sen(x/2) + Cos x
ñ l + S e n 2x + C osx
Bm ? S « f r + S e n * - l
x~inJ6 2 Sen2x - 3 S e n x + 1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 2: Límites
232
65.
68.
lim
x - » -Til
i™
*-
' jJÜ U
^
v
(Tgjc + Secjc)
66.
y 1*0" ?
l-S e n (7 U /4 )
lim ----------
x -* 2
X - 2.
7|L “
..
Sen(a + 2jt) - 2 Sen (a +x ) + S e n a
lim ------------------------s
jr —*o
x
__
..
Cotg(a + 2x) - 2 Cotg(a + jc) + Cotg a
lim ----------------------------------------*-»0
Xr
81
(jc - n/2) S en (l/x )
1/3 + Sen jc
lY lT ílíf)’- "
__
Cos(a + 2x) - 2 Cosía + jc) + Cos a
7o. l i m ------------------------- ---------------------x —>o
x
1¡m Tg(a + x) • T g(a - x) - T g2a
x-»o
“
C o tg ( n x l l a )
hallar, si e x iste , el límite propuesto
__
77.
79.
x^a
,- J ín
5 K fe íf)
88
I - *
M ^ r)
x(ti-x)
(Jü + 2x) C os(3n/2 + 3 a)
Sen (3TC/2 + 3jc)
❖ En los ejercicios 77 al
x -» I
69. Iira
C o s(T g x )-1
“• J íJ W
Vx+Cos(7U :)
lun-----;--------
67.
Sen(a +jc)*Sen(a + 2 r ) - S e n 2a
80.
lim ---------------------x-*Q
X
g2
1¡m Tg l u x - Cos(rc/2) + Tg(rcx/8)
' x-*o
■**
83.
..
(xn + x * l + ...........+ x 2 + x + i f - X * -1
lim ------------------ -— —r
-------x-*o
S e n ( r + jc)
_.
84.
Sen(a + 3jc) - 3 Sen(a + 2x) + 3 Sen(a + jc) - Sen a
lim ---------------------------------- ?-------------------------------*-»o
x*
x2 + 4 x - 1 2
,n e Z+ , n > 2
or
«•_ f T g(a + 2x) - 2 T g(a + *) + Tg a \ f Sen(a + x ) - S e n (a - x) \
K - A™ l
Tg(a + * ) - T g ( 0 - * )—
H
—
J
86.
lim T g2jc (V2 S en2jc + 3 Sen jc + 4 -
j - A m 4n x ) + s
00
88.
VSen2jc +
x-*itf2
X
T
iKXl4>)
Cos jc + C os2jc + ...........+ Cosnx
lim -=
p— 5------------------ -— x -* it Sen jc + Sen2jc + ............ + Sen"*
^
6
Sen jc + 2 )
^
,
,
, donde n es par
F
❖ En los ejercicios 89 al 104 h a lla r, si e x is te . el límite propuesto
89.
fon
x-*o
90.
sen áx
lim
’)
j—
>D are Sen (VCos x - 1)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
233
EJERCICIOS - Grupo !3
91. lim
x -> 0
are Sen(Vx + I - V C o sx )
Tgx
92.
3x Sen x
lim
0
93. lim
o
are Sen( VCosx -1 )
94.
Vare Sen x + 1 - 1
2x - are Sen x
95. lim
ó 2x + a rc T g x
97. lim
x-*0+
99. lim
x-»o+
2 x (are Sen x)2 + Tg x - Sen x
a rc C o s(l -x )
,-------v2x- x2
lim
X—
»-l
105.
(are Sen x - n/2) (Vare Sen x - V n/2)
jn
98.
lim
arcTg(V l + S e n x -V 2 )
1 + Cos 2x
107.
Si a =
,
- , b > 0 102.
104.
lim ( ^ C o s *
'
are S en x - are T g x
M
X~
üm
x-»o
are Sen (VCosx - 1)
Vare Senx2 + 1 -1
Vi + a rc T g 3 x - Vi - are Sen 3x
lim ,
- — — --------- . —
x-»o V i- a r c S e n 2 x - V i+ a r c T g 2 x
* h a lla r: lim / ( x - 4 )
x—
»5
lim ( ^ * - Cr0 tg * )
jr-^nw ' S e n x - C o s x /
x —» 0
lim
x -» 0
S i/(x ) = — Q° ^ 'l2nv \
Cos ( n x ~2 n j
Si
108.
lim
x—
»r
100.
Vñ - Vare Cos x
Vx+T
106.
x2 are Sen x + Tg x - Sen x
96.
x —* it/2
1 - Cos(fc are Sen x)
101. lim -------------------,_»0
Sen2x
103.
lim
x —> 0
y
•
y
* = lim ( - ^ - ) . hallar ( f )
x -*o ' 1 - C o s x /
\¿ /
S en(l + C o sx )
b = lim
]\
— ::r —r ; hallar a -b
,B
C o s ( S e n x )'!
X-
Sean las funciones /(x ) = (x2+ l)3 y g(x) = C os22 x ,s i a =
lim
h -»o
/(h -2 )-/(-2 )
y t . l i .
g W - E ( ^ 8) t hallara
*-»*»
x -n /8
109.
110.
Si /(x ) = ¿
x+ 1 Senxl
l.vl
, s ix > 0
8.- 8 - ^ 7
_ siJ[<0
, analizar la existencia de lim f (x)
x -»0
Sean / y g dos funciones definidas por
Sen (a x2)
rji
xTgx
/w
,
'
X *0
gU ) =
=
1
U + 1J2
Vx + 5 - 2
, x*- 1
2
, x = -1
, x= 0
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 2: Límites
234
C alcu lar, si e x iste , lim ( / o g ) ( x ) .
X—
>■I
111.
Sean f y g funciones definidas por f(x) = -j—
—
(x-a)Tg(x-a)
, si
IXa - a 21 + a x + a2_
^
< x-a< y
, x*a , y
g(x) = •
x <-a
* +a
,a>0
+ 22 aa - a Ca ). . x > _a
2 a - G ( yV*x+
k
\
x +a
/
Usando el límite de la función co m puesta, calcular lim f(g (x ))
x -* -a
112. D ada la función :
Sen (ex)
-----------x
f(x) = <
2
, x>0
, x =0
C os (71/3 + x ) - Cos (jt/3)
----------------------------------
, x< 0
a) Para qué valor de c existe lim f ( x )
x —>
0
b) Para el valor de c enco n trad o , es verdad que lim f ( x ) = f(0)
x -»0
113. Dem ostrar que los lím ites siguientes no existen
a)
lim ( Cg s * )
x—»it/2* 1 “ Sen x i
b) lim C o s ( - )
' x_»0
c)
lim ( 1 + Senjr )
x-»jtf2 ' C o sjt ¡
114. D em ostrar, usando la definición de lím ite , que
a)
(Sen3x\
lim I •=— =— 1
,_>o 'S e n 2 * /
3
= -w
2
Lx ••
b) hm
x-*o
.rC o s ( l/x )
~
5 + C o sx
= 0
\
( Sen
~— — ) para m ,n e Z * siempre que n - m > 0. H allar L.
je n x *
116. Usando el teorem a d e l“sandwich” , dem ostrar que lim
jr
(k - jc
)Cos(1/x) =
k
117. A nalizar la existencia o no existencia de : lim f Sen \ 1+ - i x—»o
'
U!
0
- Sen "V—í— )
y \x\ '
(Sugerencia: Usar el teorem a del “sándwich” )
118. Sean A y 8 constan tes p o sitiv as de m anera q u e una cierta función / satisface la
con d ició n :
i-
- A x < f(x) <
1 , V x e (-8 , 8) , x * 0
Justificar que es posible aplicar el teorem a del “sándw ich” para hallar lim f ( x ) y
determinar dicho límite
x-»o_
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
EJERCICIOS
235
Grupo ¡3
119. Hallar lim /( c x - 1 ) , donde c * 0 es una constante re a l, sabiendo que para constantes
x -* 0
reales positivas A y B , la función / c u m p le : A Va-2 - 1 < f ( x ) á B Sen2(x + 1 ), con
x e <-2, -1/2)
(Sug. Use cambio de variable y aplique el Teorema del “sandwich”)
120. U sar el teorema del “sandwich” para hallar los siguientes límites
a)
c)
^ x - S e n ”\ / - M
lim ( Sen
x -* 0 *
X
b)
lim
X '
(a -
l ) 2Sen f
lim ^ [ l- C o s ( l/x ) ] C o s ( I /2 x )
d)
lim
x —»0
*
)
' VX - 1 '
x -* l
j r C os(l/x)
5 + Sen x
121. En el plano XY se traza una circunferencia con centro en ( 0 ,0 ) y radio r , 0 < r < 25. Desde
el punto A (2 5 ,0 ) se traza una tangente a dicha circunferencia.
a) Si por P(r/V2 , r/V2 ) se traza una recta que corta a la circunferencia en Q (x , y) ;
h allar lim M ( at) , donde M ( a ) es la pendiente de la recta que pasa por P y Q.
x —» W 2
b) Si P(jc , y ) es el punto de tan g en cia, calcu lar: lim ( r areS en r )
122. Sea 9? una circunferencia de radio R y AB un diám etro. Por A se traza una tangente a <
€.
L uego, por un punto T * A de dicha tangente se traza una secante a Asiendo M e l punto
de intersección más próximo a la tangente. Si la longitud de AM es igual a lalongitud de
AT y si la secante corta a la recta que contiene a AB en un punto P exterior a la circunfe­
rencia , hallar la posición lím ite de P cuando T se aproxima a A.
(Sug. Las funciones Sen x y Cos x pueden expresarse c o m o :
Sen x — x - y y + x" R, (a ) ; Cos x = 1 - ~
+ •— + x6 Rz(x)
donde R.(jc) y R ,(x ) son funciones tales que lim R .(x) = lim R ,(x ) = 0 )
x -» 0
'
FIGURA2 31
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
x -» 0
Capítulo 2: Límites
236
124. En la Figura 2 .3 2 , la longitud del arco AM = A N , A es un punto de tangencia y x está en
radianes. Calcular lim OB .
125. En la F igura 2.33 , O Q P es un arco de circu n feren cia de radio 1 , R P y R Q son
tangentes al arco. Si S, es el área del trián g u lo PQ R y S2 es el área del secto r som ­
breado, c a lc u la r: lim
*->o+ 'S , /
126. L a circu n feren cia de la F igura 2.34 es unitaria. S, y S2 son las regiones indicadas y
a (S ) , a (S ) las áreas respectivas. C alcu lar: hm
r # (S ,) + 1/2 ■»
I
— J.
x -* id í
F IG U R A 2.33
12.9)
L I M I T E S A L IN F I N I T O
En las definiciones de limites consideradas hasta ahora, cuando expresam os
lim /(.t) = L
entendemos que /(jc) tiende a L sin im portar com o se aproxima x a jc0 , y que tanto x Qcomo L son
números reales.
En esta sección verem os que existen funciones que a pesar de que no se aproxim an a un
número re a l, siem pre tienen la tendencia a crecer o decrecer constantemente a m edida que los
valores del dom inio se aproximan a un punto. Veremos situaciones c o m o :
i)
lim f ( x ) = L
ii) lim f ( x ) = *»
iii) lim f {x) = 00
donde el sím bolo «> (infinito) denota que tanto jc com o el conjunto de im ágenes / ( jc) crecen o
decrecen indefinidamente.
x 1
Por ejem plo , sea la función / ( * ) = ——^ . cuya gráfica se m uestra en la Figura 2.35
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
237
Sección 2.9: Umites al infinito
1. Nótese que cuando x se hace cada vez más grande
e! valor de la función se aproxim a a 1 y podemos
decir entonces que
\ -
lim /(jc) - I
2
_______
A h o ra, cuando x se hace cada vez m ás pequeño la
función también se aproxim a a 1 y decimos que
[
L
i
1
x
C
- N
l \
\
lim f ( x ) = 1
x < -N
j r —> - ©o
\
2. Por otro la d o , vemos que entre más próxim o esté x
d e 2 1 los valores de /(jc) son más grandes, no im­
portando la dirección en la que nos aproxim am os ax = 2 , esto e s , podem os decir que
lim / ( jc )
*-»2+
=
+oo
y
l
2¡
1
1 *
1 1
| 1
| 1
f 1
U
1
t
N
^ V
>X
*------- *
x > N
F IG U R A 2.35
lim / (
r—
*2“
jc)
=
- O©
Estas dos situaciones nos obligan a precisar las definiciones de
I. Límites al infinito
II. Límites infinitos
I OBSERV A CIÓ N 2.10 E l sistem a am pliado de los núm eros reales________________
A ntes de dar una definición de límites al infinito, recuérdese
que en el sistema de números reales. Jos símbolos + » . - c o e » n o son núm eros, pero que
juntos constituyen un nuevo sistema num érico llamado el sistema am pliado de los núme­
ros reales y en el que se cumplen las siguientes re g las, donde c es una constante.
1. c + (+«») = +<*’
6. S i o O <=> c (-°°) = - 00
2. c + (-° ° ) = - 00
7. S i c < 0 =>
3 .
(. 00) +
( - 00) =
- 00
8 .
4. S i o O ■=> c (+ °°) = +©0
5. S ÍC < 0 ■=> C (+ “ ) = - o®
D e fin ició n 2 .1 0 :
(+ “
) ( + ® °)
«. i-° ° ) = + 00
=
+ 00
9. (-00)(-00) = + «*
(- °o)(+oo) = - oc
10
LÍMITES AL INFINITO
S e a /u n a función definida en el intervalo (x0 , + «*>). El Iimite de f ( x ) cuando jc crece a + 00
es L . y se escribe
lim / ( jc) = L
*-»+«»
si para e > 0 , existe un núm ero N > 0 tal que si j c >
Formalmente:
lim
/ (
jc )
= L
N
,
entonces | / ( j c )
V e>0t3N > 0 I
s
í j o
N
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
«= *
-
L | < e , para todo x
| / { jc ) - L |
<e
Capítulo 2: Limites
238
D e fin ició n 2.11 :
LÍMITES AL INFINITO
Sea f una función definida en el intervalo « s, Jty). El límite de f ( x ) cuando x decrece a - ° °
es L , y se escribe
lim f ( x ) = L
X —» - o o
si para cada £ > 0 , existe un num ero -N > 0 tal que si x < - N , entonces I f ( x ) - LI < e para
todo x e (- oo, x¿)
Formalmente:
Iim /( * ) = L <=> V e > 0 ,3 ( .- N ) > 0 I s ía < - N «=> l / ( * ) - L | < e
c s
Ve > 0 , 3 N < 0 | s ix < N
^
j/U )-L l < e
TEOREMA 2.8
Si n es cualquier núm ero entero positivo, entonces se cumplen
0
Demostración
Km í ^ r ) = 0
ii)
lim í ^ r ) = 0
Probaremos la parte (i)
En efecto
1. Si
lim ( - ^ ) = 0 < ^ V e > 0 , 3 N > 0 | s í a > N ■=> l - V - ( ll < £
X —» + o o \
X
2. Si | — | < e ^
3.
I A
'
I
\x" I < ~ , y com o n > 0 =* I ■*I < ( )
Si tom amos N = (1/E)1'" => V x > N se tien eq u e jc> (1 / e)
X a >
—
E
=* l ^ l < £
4. L u eg o , si jc > N <=> | - ^ - 0 | < e , que es precisam ente la definición de
lim ( ¿ ) = 0
i—
)+ » ' A i
TEOREMA 2 .9
Sea / una función cuya variable x crece o decrece indefinidam ente, entonces se cumplen
Jas p ropiedades:
Si A= -
=>
í i) lim f ( x ) = lim, / f-M
x—»+“
u-»0* ' U '
ii) Iim f ( x ) = lim / ( - U
jc-t.cc
U-»0~ ' u »
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.9 : Límites al infinito
D em ostración
1. Sea
239
Probarem os la parte (ii)
En e fe c to :
lim / ( jc) = L , entonces por la Definición 2.11
.=> | f ( x ) - L I < e
V e > 0 ,3 N < 0 |s í j c < N
2. Si elegim os 8 = - j q - > 0 , y s i - 8 < u < 0
3. D e d o n d e , u >
«=* u > - 8
, y com o u y N son negativos
-i- < N
4. L u e g o , del paso (2 ): si - 8 < u < 0 , im plica q u e , -I- < N r=> | / ( - q-) - L ,| < e
lo cual demuestra q u e :
lim / ( - ¿ - ) = L
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
_
,
,
EJEMPLO 1 ) C alcular:
/ a j e ™ + a , j c m' 1 + .
. . . + am \
ri
¡----------------r 1 )
fc0xn + ¿ ,x n ' + . . .+b„ >
hm
—/
&
( -¡*-
(donde m , n e Z+ , a 0 , b0 e IR , b0 * 0 ) , en cada uno de los casos siguientes
Solución
i)
m < n
ui)
m
ii)
m = n
ív)
m > n
Tenemos una función racional de la form a
>
n
«o
> 0
o0
a0
y -r— < 0
Oq
y -j—
P(x)
/ (
jc )
=
Q (x)
donde :
P ( jc )
= a trcm+ a fx m 1+ . . . . + a m = x"1 ( a„ +
y Q W = bgK''+blx ' " l + . . . . + b a = * n [ b 0+ y
+. . . .+
J
+ . . . . + ^ -)
d em o d o q u e : / ( , ) = * " - ( ^ -+Q/ * + - • ■
M
' b0 + bll x + . . . . + b n/x* r
En virtud del Teorema 2.8
iim
X-» + c»
i)
/(* )=
S im < n
Por lo q u e :
(
~ ~ .~+l Uo ' )x _ »iim
c* " ‘ b5 = (' t"o )
+m
* 0(}+
m - n < 0 , y c u a n d o j c ^ + o °,e n to n c es, jcra-n =
lim
,_ * + «
/ (
jc )
=
(
)
'
b„ •
(0) = 0
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
lim
* -» + 0 0
c*mn)
-» 0
Capítulo 2: Límites
240
lim f { x ) = ( t 0 (1) =
¿-* + 00
» Oq •
Oq
ii)
S im = n r=s m - n = 0 y Jcm'" = jc° = 1
iii)
S i m > n «=* m - n > 0 , y cuando jc -+ + «>, entonces (jcm " )-+ + «>
lim f ( x ) *->+«
L u eg o :
iv) S im > n y
0«
2 )
[E JE M P L O
< 0 <=*
> 0 t=>
lim f [ x ) = + ©o
x —i+cr,
lim f ( x ) = ( i r L) { + 00) = - 00
x—
»+o
o
' O
n
Utilizando el criterio del Ejemplo 1 , calcular los límites
a)
Solución
( - ^ )(+ © « ). S i
* P()
Uq
,ím ( | ^ £ ± 4 )
*_*+ «> '5 x - 8 jc + 5 /
c>
iim
b> , Ü ™ J w £ r é )
d>
t a j 4 + í -^ >
Las funciones racionales dadas son de la fo rm a : f ( x ) =
2j t - I /
P ( jc )
QU)
a) m = grP(jtr) = 2 y n = gr Q(jc) = 3 <=> m - n = - 1 < 0 . L u eg o : lim /(jc) —^ (0) = 0
b) m = grP (x ) = 3 y n = grQ{;c) = 3 => m - n = 0 . Entonces : lim /( x ) = (■£) (1) =
lim /(*) = ( J - ) (+«*>) = + 00
c) m = grP(x) = 4 y n = grQ (x) = 2 «=> m - n = 2 > 0 . L u e g o :
í - > + oo
'
2
•
d) m = gr P(jc) = 2 y com o Q(x) = 1 , entonces g r Q(x) = 0 «= > m -n = 2 > 0
P o rlo q u e :
-1
lim f ( x ) = l - r - ) ( + ° ° ) = J t —» + « o
*
1
'
Un método para evaluar lím ites al infinito de funciones racionales consiste en factorizar la
mayor potencia de j c en el num erador y denom inador para luego hacer uso del Teorema 2.8. Así
para las funciones racionales del Ejem plo 2 , se tiene
< L .
lim
+ «
=
l¡m
x * ( 5 - 8 /j c 2 + 5 / x 1)
x -» + ~
2 - ^ +10^
jc (
5
- 8 / jc 2 +
5 / jc 3)
2 - 0+0
+
M
I
-
. .
C) L =
d)
r
xÍ T
;
L =
-t'( 4 + 2 / ^ - 5 / ^ )
©o ( 5 - 0 +
+
4 +
jc^
,Ü T -
= 0
®°
2/x1 - 5 / jc3
8 + 1/JC2+ 12/x3
_
L x i ( S + y x 7+ \ 2 / x s)
x^C l - 5 / ^ + 1/x4)
¿ ( 2 - Itf)
=
2
0 )
I - S / x ’ + I / jc4)
T lb f
lim x*(4/x2+ I / x - 1) = +© °(0 + 0 - 1) = -© «
*-»+«»
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
_
4 + 0 -0
8+0 + 0
1
2
+ © ° ( I - 0 + 0)
= ------- 2 ^ 0 ------ = + ”
■
Sección 2.9: Límites al infinito
E JE M P L O
Solución
3 J
*
241
Calcular:
(2x - 3)2(5 - 3x)3
lim
,
^
x_»+oo (3x -2 )(1 - 2 x Y
La técnica de factorizar una potencia de x en cada factor del numerador y denomi­
nador nos lleva a e sc rib ir:
jc2( 2 - 3 / x)2* ^ ( 5 / x -
3)3
x1( 3 - 2 / x3) - ^ { 1 / jc-2 )2
"
(2 - 3/x)2 (5/x - 3)1
,1 1 ? » ( 3 - 2/jc3)( 1 /x - 2)2
Obsérvese que al cancelar j t 5 del numerador y denominador estamos eliminando la forma inde­
terminada f f . L u eg o , por el Teoreama 2.8
. _ (2 -o y (o -3 r _
(3 -0 )(0 -2 )2
(E JE M P L ^ ^ 4 j
q
Hallar el valor d e n e Z , tal que
( jc + 3 ) " ( 4 x + 7 ) " 2 ( 3 * - 4 ) " + '
x -lT -
Solución
(9 x 2 + x + 3 )3 (2 x - 5 ) "
— lim
243
x" (1 + 3/x)n• xn 2(4 + 7/x)n-2• x* *1(3 - 4/x)n* *
x2" (9 + 1/x + 3/x3)" . x" 1( 2 - 5/x)n 1
x 4" ‘2 ( 1 + 3 / x ) " ( 4 + 7 / x ) n - 2 ( 3 - 4 / x ) ° * 1
,4 + -
9 n-3
o
/ O \ n-■
= -^ 3
L u e g o .s i: ^
s}
J
x4" 2(9 + 1/x + 3/x2) " ( 2 - 5/x)"~1
(1 + 0)" (4 + ü)"~2 (3 - 0)n* ’
( 9 + 0 + 0), ( 2 _ 0). ,
-
Por el Teorema 2.8: L =
Solución
"
Siguiendo la técnica del Ejemplo 3 se tie n e :
xi*™-
fE JE M P L O
'■«■i ■ ■
8
1
(T )
Si f ( x ) =
/? \5
= (-)
«
22" 4 . 3 n+l
3J„ . 2„ ,
n -I-5
¿ X , examinar el
¿x + b
n=6
■
lim f ( x )
Previamente hallemos el dominio de la función
f e srea! <=> (4x2- 3 x > 0 ) a (2x + 6 * 0 )
<=> x e (- «», 0] U [3 /4 , + °°) - {- 3}
Significa que podemos evaluar el límite indicado
L=
,im
i—
*- o» x (2 + 6/x)
=
Hm
x -» -«
x (2 + 6/x)
(V ? = lx l)
C om o x se ap ro x im a a - “ , esto es , decrece sin lím ite para valores negativos e n tonces
| x | = - x , de modo q u e :
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
242
Capitulo 2: Limites
L =
lim
x-f-eo
EJEMPLO
Solución
=
X (2 + 6/x)
6 J Calcular:
- f 1* *
2 + 6/x
lim
x -* -e *
^ x=
lim (
=
2+0
= -1
)
A quí también jc decrece sin lím ite para valores negativos y como el
D om ( / ) = R - { 0 , 27/8} , entonces
,
L =
..
lim
x (3 /x + 4)
x (3 /x + 4 )
------ = lim —
..
V x \2 7 /x -8 )
*-»-“• x V27/x- 8
Obsérvese que x se extrajo del radical sin valor absoluto , pues sabemos que si x < 0 y n es
número im par «=> 'Ix*' = x . Luego , elim inando la indeterm inación | | , se tiene :
i
L =
3 /x + 4
..
V27/X-8
0+4
= -r= =
V ÍT l
^
= -2
i
7 J C alcular: lim (Vx 2 - 2x - 1 - Vx2 - 7 x + 2 )
EJEMPLO
Solución
i_
lim
*
*-*+«»
N ó tese q u e cu ando x —>+ , am bos radicales tam bién tienden a + 00 . No es
inm ediato ver com o se com porta su diferencia
- «>). En estos casos es nece­
sario racionalizar la expresión y transform ar el lím ite a la form a f f , esto e s :
=
V j^ - Z t- 1 + Vx2 - 7x + 3
l im
5 , - 4
x-*+oo Vx2- 2x - 1 + Vx2 - 7x + 3
]¡¥n_____________ x(5 - 4 /x)____________
x-*+™> Ix l Vi - 2/x - I/x 3 + Ixl V i- 7 /x + 3/x 2
Como x crece indefinidam ente para valores positivos *=> I x I = x . Por lo que :
L =
E JEM P LO
>1
. 1 II»
Solución
.
L =
-■
8]
J
5 - 4 /x
lim
+ « V l - 2/ x - l / x 2 + V i - 7/x + 3/x 2
C alcular:
5
2
lim (Vx2+ 2x + x)
T -> -0 0
Obsérvese que la indeterm inación
“ se produce dentro del rad ic al, por lo que
es necesario racionalizar la expresión entre paréntesis , esto es :
(x 2 + 2x) - x 2
lim — ,
=
Vx2+ 2x - x
Com o x < 0 c=>|x| = -x t= > L =
hm
2x
.•
2x
.
----- = hm
Vx2+ 2 x - x
jt—♦-«> Ix l Vi + 2/x - x
lim — .
— = - 1
x -*-•*> - V1 + 2/x -1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
243
Sección 2.9: Límites ai infinito
EJEMPLO "9 I
C alcular:
*
lim
X - » + oo
(x + '¡2xi - x i )
Aquí también la indeterminación 00 - 00 se produce dentro del radical, de m odo que
es necesario racionalizar la expresión entre paréntesis multiplicando y dividiendo
por el factor racionalizante
Solución
F ( a ,¿ ) = a 2- a b + ¿ 2,d o n d e a = x y
«
L=
lim
,_ » + «
b =
$ 2 x 2
- jc '
= lim
F( a , b )
x-* + o o
* +
F( a , b )
=
1¡m
2*
*-»+■*> F ( a , fe)
Com oF(a,í>) = j? - x -1¡2x 2- x * -f V o ^ - x 3)2 = x2( l - V 2 / x - l + V (2 /x - l) 3)
=> L =
10 ]
(e je m p lo
lim
+~ 1-V2ZT7 + V(2/x-l)2
Calcular:
2
3
l-(-l)+l
lim x í V ^ + lx - 2 < ¿ + x + x )
La sustitución directa da al límite la forma«*>(«»- 2 + « 0 , que se puede escribir
©o [( 0 0 - 0 0 ) + (0 0 - c*>] . Esto nos sugiere que debemos ordenar los términos del
límite en esa forma, esto es
L = lim x [ ('Jx2+ 2x -'>}x2+ x ) + ( x - ^ x 2 + x ) ]
Solución
x —*-<»
Ahora, racionalizando cada paréntesis obtenemos
L =
=
— x—. ■
lim x [
x-» +o» L \x 2 + 2x + \ j r + jr
-
—1 =
x + Vx^ + x - 1
lim x1 \ —,■
*-» +«
.
_ ~|
L (Vx2* ! * + Vx2 + x ) (x + V x^+x) J
X2 - (X2 + 2x)
-1
,.
,
L ^ ¿ 2 + 2x + Vx2+ x ) ( x + Vx2+ x ) ( x + V x 2+ 2x ) 1
,r
lim x 2 —. --------—- 7------------
Um
- 2x3
^ = = _
*-»+« \x \ ( V l + 2/x + Vl + l / x ) ( x + |x | Vi + l/x ) ( x + lx l Vi + 2/x )
Como x crece sin límite para valores positivos , l x | = x . Entonces :
L=
lim
¡EJEMPLO 1 l )
V
Solución
,
—
,
-------- ~ 2 .
,
*->+~ (Vi + 2ix + Vi + 1 / x ) ( l + Vi + l / x ) ( l + V l + 2 /x )
J
Calcular:
lim ( 3x^+5x2- 4
x-> + ~ ' x 2+ x - l
=
-
-7
■
4
. V9x2 + 2 x + 3 )
/
El límite tiene la form a indeterminada 00 - ®°. Para resolver el problem a debemos
elim inar el término 3x®y obtener una función racional cuyo numerador y denomi­
nador sean del mismo grado. Para ello hacemos el artificio de restar y sum ar 3x a la v e z , luego
hacer las operaciones respectivas , esto es :
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
244
L=
Capítulo 2: Límites
m U K +^ - * - - 3 x ) - f a
*-*+ -L' jt + x * 1
/
'
= 2.
lim
*
Hallar
lim ( l ^ +,6^ ~ 3- + ^
*->+00 \
2 x 2+ 3
^
)
V 9r + 2* + 3 + 3 x '
j^ + x -l
, * * * * *
= 22+0
jc(V9 + 2/jr+3/x® + 3 )
V 9+0 + Ü + 3
ÍEJEMPLO 12 ]
\
+ 2x + 3 - 3 x ) U
/j
a -.+- \
3
+ 3 ^ + 1 -7x)
t
Solución Para resolver el problem a de indeterminación °o -« » , debemos elim inar el término
I2 x 3 del p rim e r su m an d o . El a rtific io c o n siste en d e sc o m p o n e r e l térm in o
- I x = - 6jr-Jc ,y lu e g o e sc rib ir
L=
=
lim r ( i y + 6 j! - 3 - 6x ) + ( ^ + 3 ^ + 1 - J ) l
x-*+«oH
2x + 3
'
J
lim
[(
x —» + oo L i
~M + C^*3 + 3 ^ + 1 - x) 1 - ^ + lim
¿ r + 3 *
-i
¿
/- > + «
(\U 3+ 3x2+ 1 - x)
Ahora debem os racionalizar la expresión entre paréntesis m ultiplicando y dividiendo por el
factor racionalizante F (a ,b ) = a2 + ab + b2 , d o n d e : a = Vx3 + 3jt3 + 1 y b = x , esto es
.
.
L = 3+
..
( V + 3 ^ + 1 - x) • F ( a , b)
,
(x3+ 3 x 2+ l ) - x 3
lim -------------=-— TT------------ = 3 + lim
=r---- rr -----*_»+«
F ( a , o)
x—
>+°°
F ( a ,o )
= 3+
xa (3 + 1 /x2)
h m — —— i r —
x_»+oo p(a . 0)
(1)
Como F(a ,i>) = M(x' + 3 .r + 1)J + x - ‘Vx', + 3x2+ 1 +X2
= jc2(^/(1 + 3/x + 1/jc3)2 + 3/ 1 + 3/x + I/a ' + 1 )
E n to n c e s ,e n (1 ): L = 3 +
lim -57
3 + 1 /x
.+ « \í(l + 3 /x + 1/r1)3 + %Í1 + 3 /x+ V x ' + 1
= 3 o - ------------------3 + 0 --------------- = 34 -1 = 3
>/(! +0 + 0)2+ \TT7 Ó + Ó + 1
EJEM PLO 13] H allar a y b , si e x iste n , sabiendo que
iim l ^ ± l M + 6 + 5
J w*. oo\
x +3
.a x-b )= 0
»
La presencia del radical y su coeficiente sugiere el artificio de sum ar y restar 3x en
el num erador y luego agrupar los térm inos convenientemente de modo tal que se
cumpla la condición d a d a , esto es :
Xo/uctó*
lim [ x* 2_+
± 33 *x +
+ 55
-» -« L x + 3
. t i +. *3 (*^ +
+ 6* - -*x>) ] = 0
x+3
J
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección2.9: Límites al infinito
^
245
lim [ ( 1 - a ) j J + ( 3 - 3a,- t)Jr + 5 - 3 Í ] + 3
*+3
-I
ü m ( - í^ V
jr-»-«A
X+3
i )
f
= 0
Para que el primer lím ite sea un número real finito debe ocurrir que el grado del numerador sea
1, es decir , s i l - a = 0 « a = 1
..
,
t
,•
(3 - 3 -6 )x + 5 - 3b
..
f-bx +5 -3 b \
.
A h o ra, si a = 1 «=* L. = lim ---------------=---------- = lim I ----------- r-----1 = - b
1 i- » .»
x + 3
x -* -®°'
x+3
/
S eaF ( a , b ) = á 1+ ab +¿>2el factor racionalizante del segundo lím ite, d ondea = V j? + 6 y b = x
E ntonces:
f _ ..
(x* + 6 ) - x 3
_
6
_______________6
_ n
L* ~ , “ m- ( x + 3 ) - F ( a , b ) “
(x + 3 )* F (a ,6 ) " ( - ~ ) - F ( a , b ) ~
L u e g o ,si L. + 3 L , = 0 => -6 + 3(0) = 0 <=> ¿ = 0
■
EJEMPLO 14) H allar: lim (anVx +c Vx + 1 + . . . . + a Vx + n )
/
x-* +» ü
n
— ■
donde a 0„ 1.a .1 . . . ’, a n son núm eros naturales diferentes de cero tales
que : aQ+ a ] + a 2 +. . . . + a n= 0 , n e -4'
Solución
Sea f ( x ) = a QVx + a fVx + 1 + . . . . + a nV x T n
De la condición d a d a : a n ~ - a 0n~ aI, - ü 2. - . . . . - a n -1
Sustituyendo en la función / y ordenando convenientemente sus términos se tiene :
f ( x ) = tf0(Vx -V x + n ) + a,(Vx + l - Vx + n ) + . . . . + a n l (Vx + n - 1 - Vx + n )
de modo que al racionalizar cada paréntesis obtenem os:
^
=
-Qon
+
Vx + Vx + n
a iU - « )
+
+
Vx + 1 + Vx + n
-a„- 1
Vx + n - 1 + V x + n
lim f ( x ) = - 0 + 0 + . . . . - 0 = 0
X-»-»
EJEMPLO i s )
Solución
Calcular:
Sea L =
f a r [^ T g (f ± | ) - | ]
lim x ^ a r c T g J f ^ ) - a n c T g ( l ) ]
Usando la identidad: arcT g a - a rc T g b = arcT g f , g
) , podemos escribir
' 1 +a b f
x + 1 _j
^
" [ arcTS
1T
I ) ] = J, ^
A
[ arCT8( 2 Í f 3 ) ]
x+2
Si hacemos el cam bio x = l / u ,p o r e l Teorema 2 . 9 , se tiene
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
■
Capítulo 2: Límites
246
' 2 + 3u *
EJEM PLO 16^ C alcular:
Solución
lim (S enV x+ 1 - SenV x)
Transformando la diferencia de senos a p ro d u cto , se tiene :
Sen VxTT - S e n ^ = 2 C o s ( ^ T \ + ^ ) S e n ( ^
^
-
^
)
IS e n V T T T -S e n V il = 2 |s e n ( ^ ± L ^ ) | | C os ( ^ ± L ± ^ ) |
Pero com o I Cos x I < l ^
0 < I Sen Vx+ 1 - Sen Vx | < 2 Sen (
y si lim (V x+ 1 - Vx) =
x —» + « *
lim ( .
j r - » + » '\ J C +
1------ = ) = 0 ■=>
lim
1 + vJC
— )|
(1)
S e n f^ ^ *
x —> + «■»
■=>
+^
'
¿
= 0
'
lim Sen
X—
*+oel
D e (2) y ( 1 ), po r el teorema del “sandwich” , se sigue que :
lim I Sen V x+ 1 - Sen Vx I = 0 ==*
[EJEM PLO 1 7 ^
Dem ostrar , usando las definiciones correspondientes , que :
lim f ( x ) = L <=>
X-* + «“>
D em ostración
lim (Sen Vx+ I - Sen V x) = 0
lim /( k x + c) = L ; k € IR+ y c € IR son constantes.
X—
»+<»
(= > ) Probaremos que :
lim f ( x ) = L r=> lim /( k x + c) = L
X-* + «®
1. Si lim /(x ) = L d
V e > 0 , 3 N > 0 I s ix > N
X—
»+ °®
e=> |/ ( x ) - L | < e
X—
»+“
2. Sea x = k u + c , k y c son constantes , luego en el paso ( l ) :
=> V e > 0 , 3 N > 0 | s i k u + c > N
l/(k u + c )-L | < e
t=> V e > 0 , 3 N > 0 | s íu > ^ ~ c = N , <=> | / ( k u + c ) - L | < e
3. A h o ra , N, > 0 p orqueN es suficientem ente grande par c e OR y k e DR+
V e > 0 , 3 N l > 0 | s i u > N l <=* l / ( k u + c ) - L | < e
4. Cambiando variables: «=* V e > 0 , 3 N , > 0 |/ ( k x + c ) - L ( < e que es la definición precisa
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
247
Sección 2.9: Límites al infinito
de:
lim / ( k x + c ) = L
X —» + “
5. P o r ta n to ,d e ( l) y ( 4 ) :
lim f ( x ) = L *=> lim /( k x + c ) = L
X —» + w
X —» + »
(< = ) Ahora probaremos q u e :
lim /( k x + c) = L => lim
X — » +
6. Si
»
f(x) - L
Jt— » + “
lim / ( k u + c) = L , siendo x = ku + c , por definición de límite
U—
►♦
V £ > 0 ,3 N ,=
7. Com o k e R +
> 0 [ si u >
■=> I /(k u + c ) - LI < £
V o O l s i k u + c > N «=* l/( k u + c ) - Ll < e
«=> V e > 0 , 3 N < 0 I s i x > N «=> l / ( x ) - L | < e
i=>
üm /(x ) = L
jt—
♦+»
8. Por ta n to , de (6 ), cambiando variables, y (7 ), se sigue q u e :
lim f ( k x + c) = L <=> lim /( x ) - L
X — f + oo
(E JE M P L O 1 8 ^
■— —
^
l
X — » + o»
D e m o stra r q u e si
lim f ( x ) = L y lim g(x) = L , , L , L e R y
x —*+ o®
Jt—»+ oo
1
L, < L j , entonces existe N > 0 tal que V i e N , f ( x ) < g(x)
D em ostración
En e fe c to :
1. Si lim f ( x ) = L, <=* V £ , > 0 , 3 N ( > o |s i x > N , <=> |/ ( x ) - L , l < e,
X —
>+ 00
2.
lim g(x) = L2 <=> V eJ > 0 , 3 N 2> 0 , | s i x > N 2 =* |g ( x ) - L 2l < e 2
J t-> + 00
3. Dado que ambos límites se definen V £ > 0 y com o por hipótesis L, < L2
«=> L2 - L, > 0 , eleg im o s: £ = £, = £2 = i (L2- L,) > 0
lim /(x ) = L, <=> V e =
4. L u e g o :
x—
>
+o
<
s
> 0 , 3 N, > 0 I si x > N, => I /(x ) - L, I < e
2
S ix > N ( tzo L | - £ < / ( x ) < L , + £ ^
L ,- L l 2 Lí < /<x) < L ,+ L ? ~2 L|
3L! - L
— 2—
5. Si
lim
X —
♦+ ee
g(x) = L2 «
V e=
2
,
x ,..-,
^
'
,
Li + L 2
— 2—
> 0 , 3 N 2> 0 l s i x > N 2 =* l g ( x ) - L j < e 2
¿
S i x > N 2 i= > L ¡ - £ < g (x )< Lj + e ■=? L2- L 2 ~ L - < g(x) < L j+
2
ov '
2
■=> ± ^ - ^ < g ( x ) < 3 L j ' L|
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2
L|
Capítulo 2: Límites
248
6. Entonces , de (4) y (5 ), tom ando N = max {N, ,N 2} , tal que V x > N , im plica :
f ( x ) < ± ( L ,+ L 2) < g(x)
7. En consecuencia, por transitividad :
3 N > 0 , N = max { N ,, N J I V x > N >=>/( x ) < g(x)
E JE M P L O 1 9 )
Solución
H allar, si e x iste ; lim x [
1 ] Sen ( )
El símbolo 00, sin s ig n o , significa que puede se r+ o - , por lo que evaluaremos el
límite para ambos casos.
a) Sea L,1 =
lim
x L[ ^ X~ lJ Sen \( -Xi )/
Como x tiende a + 00, entonces si 1 < x < + <» <=> 0 < j
=
P o r lo q u e : L . =
=
-
lim x S e n ( 4 : ) =
x —* + “
\
lim
X /
u ^
=
b) Sea
■
L ^ lin ^ x jiií]
< 1 => [ - j ]
m
= >
(Teorema2.9)
J
lim ( % ^ ) =
u -»o+'
u /
1
Sen( j )
Com o x tiende a - 00 , es decir , - «■ < x < - 1 <=> - 1 < — < 0
L u e g o ,e n ( l) :
E nto n ces:
[
L, =
1
_r
o
[ ‘n 'S e n ( u ) ]
0*
=0
J — J = - 1
] = 1-1=0
lim [ x (0 ) Sen ( — ) 1 =
- 00L
\
X
En consecuencia, si L, * L3 , no e x iste ,
/ J
lim [ 0 ] = 0
- co
lim x ^ * * * ] Sen ( y )
■
EJEMPLO 20 ) Sea M el punto de intersección de la recta L : Z r - y + 4 = 0 con el eje Y, y
considere un triángulo que tiene por vértices M , P y O , donde P € L y O
el origen de coordenadas . Si M H = h es la altura del triángulo , calcular lim ( h ) , siendo a la
abscisa del punto P.
Solución
L n Eje Y : Si x = 0 <=t> 2(0) - y + 4 = 0 <=> y = 4 o
Si P(a , y ) e ^ « = > 2 a - y + 4 = 0 <=> y = 2 a + 4
<=> P (a , 2 a + 4)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
M = ( 0 ,4 )
249
EJERCICIOS . Grupo 14
La pendiente de la recta 3}yque pasa por O y P es
(2a + 4) - 0
m = --------- ñ—
a-0
=
2a + 4
--------a
entonces su ecuación e s : y ~ ( —
j x
<=> S ?,: (2 a + 4 ) x - a y = 0
12a + 4)(0) - 4a
L uego: h = d(M , SB^ =
V(2a + 4 )2 + a 2
de donde : h =
4a
------------------ =
\ 5 a 2 + 16fl + 16
«=>
4
lim (h) =
o-»+«o
>¡5
E JE R C IC IO S . Grupo 14
1. Si n e Z* , dem ostrar que
lim (
) = 0
2. Demostrar que si lim f ( x ) - L ,e n to n c e s
jt
3. Dem ostrar que si
lim f ( 7 7 ) = L , y hallar lim f ^ ^ \
u-*0- ' u '
*-»-«->»x + 5 '
lim f ( x ) = L ,e n to n c e s lim f ( - í r ) = L , y hallar
*-> + «
u—»D+ ' u '
lim ( , * + 3
x-i+oc' S4X2 - x +
)
I'
4. Dem ostrar que s i :
a) / : IR —» [R es una función tal que
lim f ( x ) = L <=>
lim f ( x ) = L y
b)
*-*+«“>
lim g(x) = M <=?
X —t + 0 0
lim l /( x ) | = lL l
x —» + ° °
X -» + "
lim
max [ /( x ) , g(x)] = max ( L , M )
*->+<*,
5. D em o straru san d o definiciones correspondientes, la propiedad :
Si
lim f ( x ) = L < 0 y
lim g(x) = +00
t-.
X —
»+“>
*-»+«>
6. H allarlasco n stan tesa y b tales que :
1
^
lim /(x )» g (x ) =
X —
♦+°°
lim
*-»+«'
{ x + }~ a x - b \ = 1
X
+ 1
/
❖ En los ejercicios 7 al 5 2 , calcular el límite indicado
7.
lim ( 8x2 + y4x-2 "- 3j )
5x + 2x - x /
8.
lim
X ~ * +D
O
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(2-r - 1) (3 - 2x) (6 x - I)
(1 - 8x)2 (3x - 8)
Capítulo 2: Límites
250
9.
,im ^ ( 3 - ^ > ( 2 + 8 ^ )
r —>4 oú
11.
lim
Z * IZ j X
V x + Vx + V x + 2
Vx + 1
13.
15.
17.
..
lim
x -»-c»
jc( I
- Vx2 - I J - x 2
--------— r--------
10.
lim
12.
lim
14.
lim
16.
lim
(x2- 3 x + 5 ) ( 3 x 3- 1)
(x3 + I) (x2 - 7x + 1)
(
18.
)
xíVx2 - 1 - x - 1)
x+ 1
5X3- 3x 2+ 6x + 22
V x M )(7 x + 3 - 1 5 x V c ^ 9 )
X - ¿
lim ( V ( x + o ) ( x + f>) - x )
Vx + Vx + Vx
V 2x+ I
lim (V x + Vx + Vx - Vx )
X ~ 4 + oo
19.
lim
(Vx3 - 2x - 1 - Vx3 - 7x + 3 )
20.
lim (Vx2 + 3x - x )
X —
*í oo
21.
23.
lim Vx ( Vx + c - V x) . a e IR
—> + 0 0
lim
( x - V(x - 2 a ) (x - 3 a ) )
22.
24.
lim (Vx2 + x - Vx3 - 5 )
lim (V x+ 2 a ) (x~ 3a) - x )
X ~^ f oo
25.
27.
29.
Vx(x + a ) - x
Vx(x + a ) - x
._____
x(Sx1 + 3 - x )
26.
lim ( N^x2 - x3 + x )
28.
lim
lim V F (V (x + I )2 - Vx3- x 2 + l)
30.
lim V ? (V x + 2 - 2 Vx + 1 + V x)
( Vx3+ x 2 - Vx3+ 1 )
32.
lim ( ^ Z
-» + oo'
lim
( Ve3+ 3X2 - Vx2- 2x )
34.
lim
( Vx2 + 3x + [1/x] x + x )
36.
lim
+
lim
~ x - Ve’ + x2 + 5 l l / x ]
—> - oo
( Vx3 + x3 + 1 - Vx3 - x2 + 1 )
—> + ©o
31.
lim
—» . oo
33.
35.
—* - oo
37.
39.
41.
lim
x3 ( Vt4+ 1 - Vx3 + l )
40.
lim
(Vi + 4 x 2 - >J1 + 8x3) • %x
42.
lim
(V í3^ ? -
44.
lim
|
lira
— +~ v v m
L )V T
- v rJ
)
•
lim ( V(x + a ,) (x + a ) . . .(x + a ) -x )
' ) + €0
38.
+ oo
Z
( yJa + x) (b + x) (c + x) -x )
lim x2 ( Vx3 + I - Vx3 + 1 )
—
>+ °o
^
43.
lim
—> 4 oo
^ ±
**
lim
( Vx3+ 5x 2 + 3x + 1 - Vx2 + x + 1 )
—> + OO
lim ( ^ x 2+ 'Í 2 7 x 4+ V ? - V ? )
—y - oo
-sk3^ 2)
Vx3+ óx2- 16 - x
Vx2 + 2 x + I - Vx2 - x
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)
251
EJERCICIOS . Grupo 14
„
45.
1 - [Sen (l/x ) - Cos ( l/x )]
lim yf<— 7T 7~\— ó— t t t t í — r
x-*+oo [Cos (I/x ) - Sen (l/x )] - 1
„
46.
47
48.
X —t + Q Q
49.
lim
Iim
x —>
X
(Vx + V2r - V x -V 2 x )
\
lim ( x + \ / — =-1
x -» -» '
y x-2 I
50.
X —* + oo
_ ^
'
¿X
lim
+ 3 x + 2 )
+ X - 5
*
( x + 2 - Vx2 - x + 3 )
x - * * Ba
S1.
lim V + 2 ^ - * *
*->+» jc (Vx2 + 3x - x)
53.
Si
52_
Um ^ x 1 + 4x - x
x-*+~ S x 3+ 2x* - x
lim (Vx6 + 2 x4 +"7x 2 + í - a x ^ - b x ) = 0 , hallar las constantes a y b.
X-» + *o
54. Hallar lim (
+d \
ax - c /
. |jm (ax +b- 'Jbx2- x*) = 0 , donde a ,¿ ,c y d s o n c o n s ta n *-» + «
'
J
tes en IR.
55. C alcular :
lim [ x ( ^ 8 + [l/x3 ] + ^3 2 + [l/x 5] - Vó4x3 + 24x2 + 3 ) ]
x —>+ oo
56. C alcu lar:
lim
n-»+c» nVrT[ Sec(x/V ñ) • Sen(x/Vñ)] - Sen(x/Vñ)
_T
57. H a lla r: ^ üm _ * [ are T g (
- are Tg ( ^
)]
M
5o.
T
„ ,.(2x3 + 5xz + 6)n-2 ( 4 x - l I ) 2n+ l (8x6 + 4x3 -2 x 2 - 5 ) D*3
Hallar : lim
------------ t t t s —
-------------x-» +~
(16x5 - 5x4 + 3x3 + 4x + l) 2n + 2
59.
Si lim f ** T 0* + *
x-t+o* \ x 3 - x + 1
- Vx2 + 3x - 1 0 )
/
= ^ , hallar el valor de la constante c
2
60. H allar el valor de las constantes a y b , tales que
lim ( a - f \ 3j; +gf a ~2 - 2x + 2 ) = - 5
*_»+«.* x3 + 6 x 2 - 5 x + l
/
.
♦I* En los ejercicios 61 al 6 6 . h a lla r, si existe el lím ite propuesto
61.
i rf x + n 1 - Cos -íCotg -±
lim
im --------- — — Z—
x l
63.
lim (Cos Vx* + itx - Cos Vx2 - t t x )
*->+ «
65.
x3 [ Cos(2/x) - Cos(3/x) ]
lim -------------- =— =
x_*+«,
Sernx
62.
64.
^
66.
,
[C os (V -^ £3 7=4 )I - C o s x lJ
. .lim
.. _ L
lim ** S e n jx + 2 C osfrx
* -» + x3 + 3x + 1
bm
x-»+~
x2 [ Sen(l/x) - Sen(3/x) ]
t —=¡----- -— 5------2 C o s x - Serrx
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beR
252
Capítulo 2: Limites
(2 -1 0 ) L I M I T E S I N F I N I T O S
S ea / una función d efin id a en una vecindad reducida V ^ x ^ y cuya gráfica se
m uestra en la Figura 2.37 . En e lla podem os observar que cuando jc se aproxim a , tanto por
la derecha com o por la izquierda a x0 , las im ágenes /(x ) crecen sin lím ite, es d e c ir, / ( jc) tiende
a + ° ° , y se escriben respectivamente
lim /(jc) = + 00
jc-+V
lo q u e nos induce a denotar :
y
Hm /(jc) = + °o
j a ­
lim f ( x ) = +00
(1 )
A nálogam ente, para la función / cuya gráfica se m uestra en la Figura 2 .3 8 , vemos que en la
medida que x se aproxim a , tanto por la derecha como por la izquierda del número x0 , las
imágenes /( x ) decrecen sin 1imite , y se escriben respectivamente
lim /( x ) = - 00
X -* A +
lo que nos m otiva a d e n o ta r:
D e fin ic ió n 2 .1 2 :
lim /(x ) = - 00
y
X -* X '
lim /( x ) = -00
(2)
FUNCIONES QUE CRECEN SIN LÍMITE
Sea / una función definida en una vecindad reducida V s* ( x J , se dice que el lím ite de /(x )
tiende a + « cuando x tiende a xp y se escribe
lim /( x ) = + 00
si para cada M > O , existe 8 > O, tal que si O < | x - x01 < 8 , entonces /(x ) > M , Vx e D om (/)
Form alm ente:
lim /( x ) = +o©<=> V M > 0 , 3 8 > 0 | x e D o m (/) y s í O < l x - x l < 5 «=* /( x ) > M
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
253
Sección 2.10: Límites infinitos
D e fin ició n 2 .1 3 :
FUNCIONES QUE DECRECEN SIN LÍMITE
Sea / una función definida en una vecindad reducida V 5*(x0) , se dice que el límite de f ( x)
tiende a - <*>cuando x tiende a x0 , y se escribe
lim /(x ) = -oo
x -* x 6
si para cada N < 0 , existe 8 > 0 tal que si 0 < Ix - x01 < 8 entonces f ( x ) < N para todo x e
Dom(_f).
Formalmente:
lim f ( x ) = -©© <=> V N < 0 , 3 5 > 0 I x e D o m (/)y s iO < | x - x nl < 5 >=> / ( x ) < N
*-**u
OBSERVACIONES 2.11
a) Es conveniente insistir en que las expresiones (1) y (2) no dicen que /(x ) tenga lím ite , sino
por el contrario, estos límites no existen y los símbolos + ©° y - ©©solamente nos indican el
comportamiento no acotado de la función en la vecindad Vg*(x0).
b) Para referim os al límite lateral de una función / en la vecindad Vg*(x0) usaremos el símbolo
©©(infinito sin signo) el cual tiene la siguiente equivalencia:
lim /(x ) = oo <=> lim I f ( x ) | = + oo
x-*x0
x-+x0
que nos indica que el valor absoluto de la función excede a cualquier número dado M > 0 ,
cuando x se aproxima a x0.
c) En base a la definición 2 .1 2 , el l i m / ( x ) = «> se puede definir
*-***
lim l/( x ) l = + ‘» < = > V M > 0 , 3 8 > 0 | s ¡ 0 < l x - x nl < 8 =* l /( x ) | > M
*-**b
d) Se dice q u e : lim /(x ) = + oo <=> lim f ( x ) = lim f ( x) = + ° ° , donde
x-»x0
* -» V
* -» v
i)
lim /(x ) = + o o < ^ V M > 0 , 3 8 > 0 | s i x e < x o ,x o + 8 >
/(x ) > M
X
ii)
lim /(x ) = +oo<=> V M > 0 , 3 S > 0 | s i x e <x n - 8 , x > => /(x ) > M
* -» v
e) S e d ic e q u e : lim /(x ) = -«> <=> lim f ( x ) = lim /( x ) = -© o,donde
* -* V
* -» v
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
254
Capítulo 2: Límites
TEOREMA 2 .1 0
Si n es un núm ero entero p o sitiv o , entonces se cum ple
lim ( \ ) = + «
r _»o+'a " /
i)
+ ®® , si n es par
ii)
lim ( - U
^
- <» , si n es impar
D em ostración
Probarem os que lim (~ ¡r) = - ° ° ,n es impar
De la observación 2 .1 1 e , inciso (ii) ,s e tiene
lim
*—
*u
=
x '
e = > V N < 0 , 3 8 > 0 | s i x E < 0 - 5 , 0 > ■=> - ^ < N
x
1. Demostraremos que s i: - 8 < x < 0
-^ < N
Para tal e fe c to , es suficiente e le g ir, 8
2. De la h ip ó tesis,
3. C o m o x y
im par >=# ~
-h<x ^
^
jr- . esto es :
N ,ttl
< x «
x> ^
son am bos negativos , entonces : y
< N l,f¡ . y dado que n es un núm ero
m
<N
TEOREMA 2.11
Sean / y g d o s fu n c io n e s y x0 e R un p u n to d e a c u m u la c ió n . S ü p o n ie n d o que
lim f ( x ) — L , L * 0 y lim g(x) = 0 , entonces se cumplen para todo x próxim o a x0
•f -*•*0
r -» x e
i) Si g(x) —» 0 para valores p o sitiv o s, es decir g ( x ) > 0 . entonces
lim Í & L SÍ*)
i a) + “ ' s iL > 0
| b) - o® , si JL < 0
ii) Sí g(x) —> 0 para valores n eg ativ o s. es decir g(x) < 0 , entonces
..
lim
fix)
-
í b) - “ . si L > 0
J
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Sección 2.10: Límites infinitos
Dem ostración
255
Probarem os el inciso (i b ) :
f(x )
Si lim f { x ) = L y lim g(x) = 0* ; L < 0 y g(;c) > 0 => lim
——r =
En efecto , dado N < 0 , debemos hallar 8 > 0 tal que si
0 < U - jc I < 8 c=> Í Q < N
0
gW
La demostración consta de dos p a rte s :
A) Prueba de que / ( jc) < 0
1.
Si lim /( * )
=
L <=*
V £ > 0 , 3 5 ,:> 0 |
s í
0< :|
j c - jco
I < 6
■=> ! / ( * ) -
L|
< £
<=> L - £ < / ( jc) < L + e
L
1
L
2. Como L < 0 , bastará elegir e = - y > 0 => ^ L < f ( x ) <
3. L u eg o ,ex iste S ,> 0 I s iO < l x - * 0l < 8 , <=>f ( x ) < y < 0
B) Prueba de que
lim -^7-7 = - 00
g(x)
4. Por hipótesis g(;c) > 0 , entonces dividiendo (3) entre g(jc) tendremos
M . <
g(x)
<0
güc) *
L/2
5. Entonces será suficiente dem ostrar que
<N
para valores próxim os a x0, y com o N < 0 y g(jc) > 0 , entonces
± <
6. Pero:
f | < 0
«
0 <gW <
±
lim g(x) = 0 <=> V e > 0 , 3 8 2> 0 I siO < Ijc-jr0l < 82
JT—»X0
7. De modo que para
e = i
y co m o g (x ) > 0
, lg (x )l <
!g(jc)f < £
<=> g(x) < ^
0 < g(x) < —^
8. L u eg o , tomando 8 = min {8, , 82} , vemos que si
0< \x-xA < 8 - > 4 4 <
0
g(*)
lo cual prueba que :
- ^ < N
g(x)
/(x )
lim - r r = - 00
x -**o g W
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
1
256
Capitulo 2: Límites
O B SER V A C IO N ES 2.12
1. L as m ism as altern ativ as del Teorem a 2.11 son válidas para lím ites la te ra le s : x - > x +,
X —» X0" , X —» +
, X —►- oo
2. En la p rá c tic a , las alternativas del Teorem a 2.11 suelen escribirse a s í :
L
J a)
0*
1 b )-o °,siL < 0
i
, si L > 0
a)
- oo
“ > 7^F = 1 b) +
s¡ L > 0
, si L < 0
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
EJEM PLO
Solución
1j
Calcular:
*) , y luego demostrarlo
lim +(
S i x —» 2 + , entonces x > 2 , luego ( x - 2) —> 0 +
= -X
P or lo q u e :
D em ostración
= +■
Si lim ( —-i -) = + <» < = > V M > 0 ,3 5 > 0 |s ix e ( 2 ,2 + 8)
x _ » 2+\ X - 2 I
1. Probarem os que si 2 < x < 2 + 8 >=> x ~j
-^ 4 > M
x - 2
> M
2. En e fe c to , buscaremos una 5 en función de M partiendo de
x ' 1 = 1+ - L
x -2
x-2
o
1+
3. Inviniendo se tiene : x - 2 < —
M -l
> M <=> — Kr > M - l
x -2
x -2
«=> x <
2+
4. Por hipótesis x < 2 + 8 , entonces la elección de 8 =
queda dem ostrado que si x e ( 2 , 2 + 8)
f(x)
=
—
M -l
^
^ es satisfactoria, con lo cual
>M
/. l im ( ^ 4 ) = +
x ^ 2¿ x - 2 !
.E J E M P L O
D em ostración
2J
D em ostrar q u e :
Com o
lim ( 3
) -
lim f ( x ) = +° ° y lim /( x ) = -« « .u sarem o s la equivalencia:
x —» - 3 +
x—
3*
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.10: Límites infinitos
257
üm f ( x ) - oo <=> lim |/ ( x ) | = +00
Entonces: lim I i* ’ * I = + 00
X^ . f i 3 + x \
V M > 0 ,3 8 > 0 |s i 0 < |x + 3 |< 8
<=>
13+xl
> M
Determinación de 8 en términos de M
1
I 5-x I
Ix - 5 1
w
I 1 I1 , o 1 _ 1
Ii
I — 1
1 ^ M W
c x+ 3 < ..
13+xl
|jc + 3 1
lx-5 I
M
2. Acotaremos | ~ " g | a partir de [x + 3 | < 8 , eligiendo 8,= 1
3. SI Ijr + 3 1 < 1
- 1 < x + 3 < 1 <=> - 9 < x - 5 < - 7
«
1 <
7
I
<
x -5
4. En el p a s o ( l) : y l x + 3 l < ~
i ^ 1
1 |<
9
lx-5!
=* l x + 3 l <
i
7
= 82
5. Por tanto, eligiendo 8 = min{8| , 82} = m in {l ,7/M } queda demostrado que efectivamente:
lim I ~ —— I = +00
,_ » .3 I 3 + x I
EJEMPLO T j
Dem ostración
lim (
X ) =<»
X^ . i \ 3 + x l
■
D em ostrarque: lim ( ^ x\ ) = + '
x-* 2~
En efecto de la Observación 2.1 I d , inciso ( i i ) , se tie n e :
lim ( 4 ~ 2 ) = + ro <=> V M > 0 , 3 8 > 0 1si x e ( 2 - 8 , 2 ) ■=> 4 ^ 2 > M
Determinación de 8 en términos de M
'■ 4 ^ = a ^ T )
2.
Acotaremos (
3. Si x e ( 1 ,2> «
)
= (z T í )^ ) >M
a partir de x e (2 - 5 , 2 ) eligiendo 8, = 1
1 < x < 2 = > l < x 3< 8 ■=> x3> l
S i l < x < 2 i=> 3 < x + 2 < 4 <=> -7 - < — ^ -77 < 4- i=> —
4
x+2
3
x+2
jS
I
Multiplicando ambas desigualdades obtenemos : x + 2 > 4"
4. L u eg o , en el paso (1 ):
M ^5 2 - x <
¿
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>
- 47
Capítulo 2: Límites
258
5.
Por hipótesis: 2 - 6 < x => 2 - x < 8 , entonces la elección 8 = 1/4M es satisfactoria. Por
ta n to , es suficiente tom ar 8 = m i n { l , 1/4M} para asegurar q u e : lim (-7-^-7 ) = + ° ° ■
^ _ ,r ' 4 -jr /
4 )
(EJE M P LO
Si f ( x ) =
~26- . hallar
lim f ( x )
a)
b) lim f ( x )
x-* 2 *
|p -
c)
lim /(x )
x -* 2 ~
x~*2
m
El num erador tiene por lím ite: L = lim (x2 - 2x - 6) = - 6 < 0 y el denominador:
jr-»2
p o lu c ió n
lim (x - 2) (x + 1 ) — (0) (3) = 0
x —* 2
C om o el denom inador se aproxim a a cero a través d e valores positivos (x > 2) o negativos
(x < 2) para valores muy próximos a x = 2 , tendrem os:
C u a n d o x —>2+ , x > 2 c ^ ( x - 2 ) > 0 y ( x + l ) > 0 «=> lim ( x - 2 ) ( x + I) = 0*
x-* 2 +
C u a n d o x —»2" , x < 2 e=}>(x-2)<0 y ( x + l ) > 0 =>
lim ( x - 2 ) ( x + 1) = 0“
x -* 2 ~
Por ta n to : a)
c)
li, ( £ &
£ ) - £
—
b,
Um I < - 2 x - 6 I = h- oo ^
X --X -2
I
Vi ■
I
Solución
J
jr^ 2 + ' X - 2
Sea f ( x ) =
^
x- 2
x * -4
( 4
^
)
= ^
| i m K -^ - 6 ) =
x * -x -2 t
*-»2l
[EJEMPLO ' 5 ] Calcular: lim ( — ^
,»
- —
xz - 4
)
/
~*
(x - 2) (x + 2)
En el n um erador: lim ( x - 1) = 2 - 1 = 1
x -* 2
En el denom inador, s ix > 2
x- 2> 0 y x + 2> 0
<=* lim ( x - 2 ) ( x + 2) = 0+
x~*2*
Por ta n to :
lim f(x) = - ^ r = + oo
x-* 2 *
EJEMPLO
Solución
6)
L r
Calcular:
lim (
* -» r'
x2-! jc2- 1 1
\Vi T- 7x
S i x —>1 , entonces x < l y x - l < 0
En el num erador se tie n e :
i=>l-x>0
x2- | ( x + l ) ( x - l ) |
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= +~
Sección 2.10 ; Limites infinitos
259
Como x - 1 < 0 y x + 1 > 0 <=^> (x + l ) ( x - 1 ) < 0
lim (x2 - Ijc2 - 1 1) =
y l(x + l ) ( x - 1)1 = -(x 2- 1 ) , entonces
lim (2x2 - 1) = 1
lim (x2 + j r - I) =
x -» r
x —» r
x —» r
lim Vi - x = V(F” = 0*
En el denom inador:
x -* \ '
lim /(x ) = ¿ x-* 2~
U
= +“
■
x2+ r 3 x - 5 1 ^-21
E JE M P L O 7 ^
J
Soiución
C alcular,
Previam ente:
lim (
-L -/ t I J
x3-5 x 2 + 3x + 9
*]
[
= [3 +
2]
^
)
/
= 3+ [ " 2 ]
O)
Como x —>3" , x < 3 y x - 3 < 0 , entonces en el proceso del límite restringimos el
dominio de la función a :
L u eg o , si
5/2 < x < 3
^ < x < 3 e » - | < x - 2 < l » < ~^Z~2 < 2 ^
J =3 + 1 = 4
Entonces , en (1) se tiene : |T ^
r>
x-y v
1
x2 + 4 x -2 1
Por l o q u e : / ( x ) =
(x -3 )(x + 7 )
= ^ > ^ 1 )
lim / ( x ) =
3+ 7
x-*3~
(0” )(3 + l)
E JE M P L O 8 |
Solución
C alcular:
2 ] = 1
Iim
*-* r
x + 7
= (x -3 )(x + l) • ”
.
= —- =
0~
■
■Jn x n- ' + (n - l ) x " ^ - 7 x - 3 - n x " -4 + x
x -1
La sustitución directa da al límite la forma 0/0. Resolveremos el problema factorizando el num erador por el método de Ruffini ,esto e s :
n
1
n
n- 1
n
2n - 1
-n
n- I
-1
-n
2n - 1
n- I
1
-1
0
_
V f * - 1) I"
+ <2n - D ^ " '3 + (n - I ) * - 4 - 1]
=* lim / ( x ) = lim —----------------------------------------------------------------------x —>1"*
.
<5 / 2 ’ 3)
x -»l*
= lim
x-»r
X -
1
J n x n‘ 2 + (2n - l) x n' 3 + (n - l ) x n_4 - 1]
----------------------------------------------------------x -1
Como x —> l * , o s e a x > 1 , entonces (x - 1) —»0*
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Capítulo 2: Límites
260
.*.
9 )
[e je m p lo
V4n——
- 3 = +oo
lim f ( x )\ = —
x-> i+
IT
S g n (x /2 -l)
C alcular: lim (
r * xOc-2 )
Solución Si x —» 2 " , entoncesx < 2 y
¿ + \X z2 ] x-2
Lx + 2 J
)
^ < 1 , lo que im p lica: ^ - 1 < 0
P o r lo q u e : Sgn (x i2 - 1) = - 1
f i l 2 1 = [ 1.
4
l
lx+ 2J
L
x+2 J
A h o rab ien :
r
I.
4 -|
x+2J
0)
En el proceso del lím ite debem os restringir el dom inio de / , tal que 0 < x < 2
«=> 2 < j c + 2 < 4
M ultiplicando por - 4 : - 2 < Entonces en ( 1 ) : [ *
]
lim ( , *
jt_ » r \ x (x - 2)
<=>
< -1
- j < — ^5» < i
4
x + 2
2
<=> f -
- -2
= I - 2 = - 1 , lu e g o , en el límite dado :
j r 2 - jc - 2
1
2(3) (0-)
y
I \ S
A
V
) = xlim
_»2* X(x+ l ) ( x - 2 )
EJERCICIOS . Grupo 1S
❖ En los ejercicios 1 al 2 0 , hallar el límite propuesto.
1.
' x 3 + 8x 2 + 7 \
lim (
< x2 - x
)
2.
lim |
5.
x -» r '
4.
lim
x - * 4*
lim
x —» 4
7.
lim
x -» 3 *
10.
16.
jc2 - 9
8.
J
11.
(4 £ * )
lim 'Jxl - 9
j ->3* x - 3
lim |f
x -» 3 *
1
^ x+ 3
lim
x -» 3 +
lim |
x -» 3 ‘
13.
V
14.
x \
x>-9l
17.
V l 6 - jc2
x -4
3.
x+V x -2
( x - 4 )3
6.
/ x 2- 5 x - 2 \
l 9 -x 2 )
9.
Sen (x - 1)
lim
x-* 0‘ x (x - l )2
12.
3X2 - 2x - 9
4 -jc2
15.
lim
x-» 2‘
lim
x - * 2‘
Ijc2 - 2 | - 2
V2 - x
lim 1
x —» r
W
lim
x -* r
)
[ 5x] - 5 [ X ]
x- 1
J8 -3 x
lim
x-»S' V x2 -2 5
VSenrcx
lim
X—> 1'
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lim
x -» -l
Vi - x
jc2 + (x2 - 9 1
V 3 -x
lim
x -» 3'
18.
-
X + C O S TLC
+ 2 [x ] - 9
x ^ x 2-!*
jc 2
-
Sección 2.11 . Límites infinitos en infinito
261
* -l
jlÍT/* (jc + l)C o tg (-nx/2)
- 1Ctt
xÜ^j- jc’ - 9x2 + 24x - 20
❖ En los ejercicios 21 al 2 6 , calcular los límites y probar su respuesta usando la definición
correspondiente de límite.
22.
21.
X_ » 4 -V x -- 1 6
24.
lim
23.
j ^ i i x - 2 )*
/
lim ( , 4I X , )
*-> 2 + ' * --5.* + 6 /
25.
27. a) Dem ostrar que si lim /( * ) =
r-* i+' l
lim
26.
x-*4*Vx - 2
+ ©o y
X -» X „
lim
* -» r
- X - I
l}
Xa - 1
lim g{x) = L , L < 0 .entonces
x -* x „
lim f(x) • g(*) = - «
*-**o
b)
A plicar la parte (a) para calcular: lim X 2 - 1
x_^‘ r (x + l )2
28. Sea jrHe IR, lim g(jr) = 0
x-*x0
y
lim / ( jc) = L , L > 0 . Si g(x) -» 0 a través de valores
*-»*„
negativos de g (jt). entonces probar que
29. SioreCR y lim g(jí) = 0
lim
f(x)
• -r = +o©
8W
y li m / ( jc) = L , L < 0 y si g(x) - » 0 a trav e zd e valores
x -» ^
x -» x ¿
f(x\
negativos de g (x ), entonces dem ostrar que lint —r ^ = + ° °
*-*** 8 W
30. Dem ostrar que s i : i)
lim f(x ) = L . L < 0 ; ii)
x -» x 0
V x e
(2 .1 1 )
V / (
jc0)
lim g(jc) = 0 ; iii)
3c >0 I
x —* x 0
, g (jc )> 0 . entonces
;
lim
X-*.«u gl-XJ
=
- <*>
l ím it e s in f in it o s en in f in it o
A hora nos enfrentam os a lím ites que tienen la form a
lim /(jc) = »
JC —
»»
d o n d e /( * ) e s u n a fu n c ió n d e fin id a p a ra to d o s lo s jc m ayores o m en o res que un c ie rto
núm ero . y cu an d o jc a lc a n z a v a lo re s b a sta n te g ra n d es , /( * ) se h a ce a rb itra ria m e n te
grande.
U na d e fin ic ió n fo rm a l p a ra c a d a uno d e los c u a tro caso s que se p re se n ta n so n las
siguien tes.
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Capítulo 2: Límites
262
D e fin ició n 2 .1 4 :
FUNCIONES QUE CRECEN SIN LÍMITE
S e a / una función definida en un intervalo I = (c , + «>), se dice q u e / tiene límite + *» en
+ o*, si p ardeada núm ero M > 0 , existe un núm ero N > 0 tal que para todo x e I y x > N ,
entonces se cu m p le, /( a ) > M . (Figura 2 .3 9 , arriba del eje X). En sím bolos:
lim f ( x ) = + “
M
<=>VM >0.3N>ü!sÍA6Íyjr>N
/( x ) > M
«
D e fin ició n 2 .1 5 :
FUNCIONES QUE DECRECEN SIN LÍMITE
Sea / una función definida en un intervalo 1 = (c , + <»), se dice que / tiene lím ite - » en
+ si para cada num ero M > 0 , existe un núm ero N > 0 tal que si jc e I y x > N , entonces
se cu m p le: f ( x ) < - M
(Figura 2 .3 9 , abajo del eje X ) . En símbolos.
lira f ( x ) - ~oo « » V M > 0 , 3 N > 0 l s i x e I y x > N
f(x)<-M
i -»+«*< ^ V M < 0 , 3 N > Ó | s i x € l y x > N <=> f {x) < M
D e fin ició n 2 .1 6 :
FUNCIONES QUE CRECEN SIN LÍMITE
S ea / una función definida en un intervalo I = ( - « , c ) , se dice que / tiene lím ite +«» en
- c o , si para cada número M > 0 , existe un núm ero N > 0 , tal que s i x e l y j c c - N , entonces
se cu m p le: f ( x ) > M
(Figura 2 .4 0 , arriba del eje X ) . En sím b o lo s:
lim f ( x ) = + ©o <=* V M > 0 , 3 N > 0 I six«= i y * < - N
1 ->
=>
»o
e^V M > 0,3N < 0|sixeI
y jc< N <=> /(*)■> M
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Sección 2.11: Límites infinitos en infinito
D efin ició n 2 .1 7 :
263
FUNCIONES QUE DECRECEN SIN LÍMITE
Sea / una función definida en un intervalo 1 = (- , c) , .se dice que / nene lim ite - «a en
- « , si para cada número M > 0 existe un número N 0 la! que s i x t í y A C - N entonces
f ( x ) < -M .
(Figura 2 .4 0 , abajo del eje
lim /(* )----*
: Ensim boios
«
V M ? 0 . J N > 0 I si .
1 .
V M < 0 .i3 N < 0 I s ia c I
» -N
> x < N <=* f{x) < M
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
EJEMPLO T )
Calcular:
—J
Solución
üm (
^ )
x_»+«V 6 + 5 x - 6 x 1 J
La sustitución directa da al límite la form a | | . Como ya sabem os, resolvemos
el problem a factorizando la m ayor potencia de a del numerador y denom inador.
esto es
^
v
EJEMPLO
Solución
2
Í
- 5 ^ + 2/x9)
(6/x2 + 5 / a - 6
x* ( 3
,iIT -
a2
+ « ( 3 - 0 + 0)
+«
0 +0-6
-6
lim x (Va2 + 1
E v alu ar:
r
De modo q u e l i m
5/x2+ 2/r*)
6/x2 + 5 / a - 6
(3 -
- a)
- oo
Obsérvese que en el ra d ic a l:
Si x —» -
a
" x iíL
a2
= x •a
, e n to n ces: Xa = (- °°) (- *») = + °°
/( a ) =
(- « ) [V + «
+" 1 - ( - « ) ]
= - oo
(+00 + 00)
=
-
00
Como se sabe , otra forma de calcular el lím ite consiste en racionalizar la expresión entre
paréntesis , esto es
lim f(x) =
lim (-= = = = ----- ) =
* - » - » 'V a2 + 1 + a '
lim (-—.
x- ■=------ )
>ÍTTT7? + x '
Dado que x tom a v a lo re s, entonces I a I = - x
^
(
.
1
) *
-vr+iz? + 1 '
,
1 ■
-vi+o++ 1
= ±
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o-
264
Capitulo 2: Límites
EJEMPLO
3)
Calcular:
x | | s + 1| -51
4 - 1x - l|
lim
x —* - «
Solución
Com o x tom a valores n eg ativ o s, entonces I x + 1 1 = - (* + 1)
f=> | l x + l | - 5 | = | - j c - 6 | = |jc + 6 | = -(jc + 6) y \x~ 11 = - ( * - 1)
.
L uego: J i m
/( * ) = ¿ n .
=
(e j e m p l o
4^
lim
x —*-
-* (* + 6)
-
x
* ( \ + 6 I
- jc(1 + 6/*)
+ « (1 + 0 )
--- — - = — .
_
1 + 3/x
1+0
x
)
= +«
■
Usando la definición correspondiente , dem ostrar que
Iim {ax) = + « , a > 0
X -* + °e
D em ostración
En e fe c to , por la Definición 2 .1 4 , se tiene
lim ( a r ) = +<» <=> V M > 0 , 3 N > 0 l s i * > N
Jt —
♦+OD
«=* a jc > M
L a desigualdad a x > M im plica que x > Mí a , pues a > 0 . Luego , la elección de N = Mía es
satisfactoria, esto es , de la hipótesis , si
* > N c í> flx > flN «=> a x > a (M /a) => a x > M
Concluimos inm ediatam ente que :
E JQ H P IA ^ sj
Iim (a*) = + «
■
U sando la definición p re c isa , dem ostrar que
lim [ ~ + S e n * ) = + «
D em ostración
lim
X
En e fe c to , por la D efinición 2 .1 4 , se tie n e :
( 4 + Sen*) = + « o
—) + o q \
4
/
V M > 0 , 3 N > 0 | s i* > N
4 + Sen*>M
L
Debemos encontrar un número N , dependiente de M , tal que si x > N
«=> ^ + S e n * > M
^
C om o Sen * e s u n a función a c o ta d a , p u es I Sen * | < I , entonces si
Sen * > -1 , V x e D o m ( / ) , en la desigualdad (1) tendremos
-1 > M , de d o n d e : * > 2 (M + 1)
Por ta n to , elegir N = 2 (M + 1) será su ficien te; es d e c ir, si
* > 2 ( M + l ) >=> 7f + S e n * > M
Para verificar esta afirmación debemos com probar que N = 2 (M + 1 ) es una respuesta adecuada
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Sección 2. I I : Límites infinitos en infinito
265
paraM .
Supongamos q u e : jc> 2 ( M + 1)
^ > M + I y S e n jr > - 1
Sumando estas dos desigualdades obtenemos
| + S e n j c > M + t + (-l)
*=$
+ Sen x > M
que es exactamente (1)
Entonces podemos ya asegurar que
lim ( 4 + S e n * ) =
+ oo
La gráfica de la función aparece en la Figura 2.41. Obsérvese que la función no siempre crece al
crecer jc. N o o b stan te, al c re c e r* , la función tiende a hacerse y a perm anecer g ran d e, a pesar
de pequeñas caídas eventuales.
TEOREMA 2.12
St lim f ( x ) = «*> y lim g(jc) = L , donde L e s una constante .entonces
i-»».
i-*jir
lim
El teorem a sigue siendo válido si
jc —»jc0+ . x —»*0' ó x —>± 00
/ ( jc) + g(*) = o*
se reem p laza por ± <» y s i * —> jc0 se su stitu y e por
TEOREMA 2 .1 3
Si lim /( * j = + ° ° v
lim g(x) = L , donde L e ‘ una c o n ta n te . exeept* . O . entonce**
i) S i L > 0 <=? lim f(T)*g(x» = + oq
n) S ¡ L < 0 =* Jim /(* )•? (* ) = -«»
•
El teorema sigue siendo válido si * —> jc0 es reem plazado por jc —» jcc+ , jc —» jc0' ó * —> ± «»
TEOREMA 2 .1 4
Si
lira
/(
jc)
= • « y lim g(jc) = L , donde L es una constante, excepto 0 . entonces:
*->*0
i)
S i L > 0 =»
lim /(-c).gíx) = -o®
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266
Capítulo 2: Límites
ii)
Si L < 0
lira /(* )♦ g(x) = + “
x -» x 0
El teorema también es válido si jc—>jtoes reemplazado por x —>*0+ , x —»x0' o p o r* —» ±
EJEMPLO
6 I
D em ostrar que si lim f ( x ) = +«» y lim g(*) = L , L < 0 entonces :
X
+ w
lim / ( * ) ‘ g(x) = - ° °
X-» + “
P ro b arem o s e l in c iso (ii) d e l T eo rem a 2.13 ree m p lazan d o x —» x 0 por
x —» + oo . En e fe c to :
D em ostración
1.
lira /(* ) g(x) = • “ »
V M > 0,3N >0|*> N
i=> f ( x ) • gtx) < M
X —» + ««
2. Si I -lim
f ( x ) = + ©c < = > VMlI > 0 , 3 IN l > 0 lI. x > N I ■=> / ( x) > M,I
> + eo
3. y si lim g(x) = L y L < 0 <=> V e > 0 , 3 N _ > 0 | j : > N , e=> I g(jc) - L I < e
X-» +°o
1
jc> N 2
1
*=> L - £ < g(;c) < L + £
4. Com o e > 0 y L < 0 , podem os elegir £ = - L /2 , entonces en (3)
* > N 2 >=> | L < g (A )< y < 0 cz> g(jc) <
m > n , m , n € 1R+
5.
Ahora b ie n , com probar que s i : <
y a<b , a ,b e
6. En virtud de (5 ), m ultiplicamos (2) por (4) y obtenemos
/ 0 0 * g W < M ,( L / 2 )
7. Por ta n to , elegir M = M ,L/2 es suficiente, siem pre que N = m ax{N ,’N 2}
EJEMPLO
7 I Si lim f ( x ) ~ L , L < 0 y lim g(x) = 0 mediante valores positivos.
dem ostrar q u e :
Qfm&strución
D ebem os probar que si
lim
1. E n e fe c to .s i
lim ~ ~ = - <»
X-» +~ g(*)
g(x)
= -oo
V M < 0 , 3 N > 0 | s ix > N
«=s«
g(x)
< M
lim f ( x ) = L <=> V e ,> 0 , 3 N , > 0 I s ix > N , =* I/( jr)- L I < e^
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267
EJERCICIOS . Grupo 16
< = * j t > N , = * L - e , < / ( * ) < L + c,
2. Com o £, > 0 y L < 0 , podem os e le g ir, e, = - L/2
<=>*>N , «=> ^ L < f ( x ) < ^
Entonces en (1 ):
3. Si
/ ( jc )
< \
4. Ahora b ie n ,
=>
= > -/(;c ) > - y
lim g(*) = 0 mediante valores p ositivos, es d e c ir, g(x) > 0
X—*
iim g(x) <=> VEj > 0 , 3 N 2> 0 I síjc > N 2 ■=> lg(x)l < e2
j f —> 400
5.
Si elegimos e^= L /2M > 0 ,p u e s L < 0 y M < 0 => 1g(x)| < L/2M
6.
Como g(x) > O =* O < gCx) <
^
> ~ -
7. Tom andoN = m a x { N ,, N 2} e s s u fic ie n te p a ra q u e (3 )y (6 )s e c u m p Ia n a la v e z ,e s to c s ,
multiplicando (3) por (6 ): -
8.
< - M -=s*
<M
Por ta n to , dado M < 0 , 3 N = m a x { Ni ,,NjJ,} Is ijr> N ^
E J E R C IC I O S
. Grupo
g(^) < M
■
16
1. Usando la definición de lím ite correspondiente, demostrar que si lim f ( x ) = L ,
entonces
a)
lim f ( x ) = lim /(ice) , k < 0
X—t-ca
X—*
b) lim f ( x ) = lim
X—
>- <*
/('
y)
'
2. Demostrar que si lim f ( x ) = + « y lim g(jc) = L , L e [R, entonces
x -» í0
x -» x 0
lim [ /( * ) + gU ) ] = + 00
(Teorem a2.12)
3. Usando la definición de límite correspondiente, demostrar que si
lim f ( x ) = L ,
X-» + "
L g IR, entonces
a)
lim / ( jc ) = lim / ( r + c ) , c e IR
X—
>+ oo
X—
♦+ c”
b)
lim f ( x ) = lim / ( - 1/jc)
X—»+«
4. Usando la definición de lím ite correspondiente, demostrar que si
lim f ( x ) = + °° y lim g(x) - L , L e
*-**<¡
*-»*o
IR e=s» lim f ( x ) ■g(x) = +«>
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(Teor.2.13i)
268
Capítulo 2: Limites
5. Usando la definición p re c isa , dem ostrar que si
lim / O ) = - c» y lim g(jc) = L , L > 0 «=s> lim f ( x ) • g(x) =
*->*o '
*-**o
a)
b)
lim /( x ) = - » y
lim g(x) - L , L < 0 «=> lim /(x )* g (x ) = + °°
6. Dem ostrar que si g(x) > /(x ) y
lim f ( x ) = +00 y
X-»+»
7. Dem ostrar que si
8.
J —♦ + 00
fim g(x) = -<*> e=>
fim / (x) • g(x) = -00
Sean / y g dos fun cio n es reales d efinidas en I = (c ,«») , c e IR ; sea L e IR" tal que
lim f ( x ) = L ,
X —» + PO
lim g(x) = - 00, dem o strar que 3 N e IR" , 3 k e IR+ | si x < N
r -a
ia >
M .
gw
9.
lim f ( x ) = - 00
lim g(x) = - 00, entonces
X —♦ + OC
<
<
« k
3 k
Sean f y g dos funciones reales definidas en I = (x0 ,
c) , c e [R ; sea L e IR* tal que
lim f ( x ) = +00 y Jim g(x) - L , dem ostrar que lim f ( x ) • g(x) = +00
* -* V
X-* V
10. Sean 1 = (x0 , c) un intervalo abierto y / : I - » [ R , g : I - » l R dos funciones tales que
lim f ( x ) = + 00
x-*x +
; lim g(x) = L ,
x^x*
L < 0 . Dem ostrar que
lim /(x ) • g(x) * -» V
•!* En los ejercicios 11 al 2 0 , hallar el lím ite propuesto
11.
Hm x (Vx2 + 3 - x)
x - o»
12 .
lim x (Vx2 + 1 - x)
±—
*- oo
13.
lim ( c
x —
*+«o
14.
Bm
x—
í-"
15 .
,im * ^ J I + * + 3
x—
»3x 4-5
16.
1¡m » l l » 4 l - - 2 |
x—
*- 4
—Ix I
17.
19.
x+5
Um ( x2 - x +
X + 1
lim ( | g ± i - i t A
x_*-ooV3x2 + X
18.
'
.
3x4-1
)
3x 2 4 - I
20.
/
—*7 ^-— )
jc + L os x *
lim (Vx2- 4 - V30 + 2x + 5x2-x ’ )
x -> + 00
ita
- ÍE F 7 T )
X -9 -»
❖ En los ejercicios 21 al 3 2 , calcular los límites y probar su respuesta usando la definición
precisa de límite.
21.
lim ( ^ )
x->+« \ x 4-3 /
22.
lim
X->|-
24.
lim
x-* 2- x2- 4
25.
lim
x-»-»v 3 - 2 x /
(x -1 )3
23.
l i m ( ^ )
26. lim
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
i
( ¿ H )
4x3- 3 '
Sección 2.12 : Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas
27.
30.
x 1+ 9 x 2 + 2 to
jt2+ x ■ 12
lim l x \ 5f
Jc2- 1
28.
lim
x-»3"
l i m f x2' &c + 6 )
31.
lim (
— )
*-»i+v S 2 x - ¿ -1 1
, ->2+l ^ - 3^ + 4 1
(2 .1 2 )
269
29.
lim
32.
lim (
? JÜ T Í)
j^ + x C o s x
1 + S en x
jc -
A S ÍN T O T A S Y S U U S O E N L A S R E P R E S E N T A C IO N E S G R A A F IC A S
L a asíntota de una curva V-'es la recta j/’cuya posición está definida por el límite de
la distancia d de un punto P de la curva a dicha r e c ta . que es c e ro , cuando P se aproxima a SC
hasta tocarla en el infinito.
De aquí que la misma definición nos induce a pensar que
los límites infinitos y al infinito están íntimamente ligados
al estudio de las asíntotas. Geom étricam ente los límites de
la forma
lim f ( x ) = k , lim /(je) = ±oo
X—
>+oo
X—.>X0
indican la presencia de asíntotas horizontales y verticales.
Enseguida una definición más precisa de cada una de ellas,
incluyendo el de las asíntotas oblicuas.
D e fin ició n 2 .1 8 :
F IG U R A 2 42
ASÍNTOTA HORIZONTAL
Sea / una función real de variable real . Se dice que la recta .£P: y ~ k es una asíntota
horizontal de la gráfica de y = f ( x ) si se cum ple al m enos uno de los enunciados
siguientes:
i) lim f ( x ) - k
ii) lim f ( x ) ~ k
jr-»+®o
*—
La interpretación geométrica de esta definición se muestra en las Figuras 2.43 y 2.44. Se puede
observar que cuando x se hace arbitrariam ente grande la gráfica de / se aproxim a a la recta
horizontal SP: y = k.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
270
Capítulo 2: Límites
D e fin ició n 2 .1 9 :
ASÍNTOTA VERTICAL
Sea / u n a función real y jc0 un p unto de acum ulación del D o m ( / ) . Se d ice q ue la recta
9 : x = x Qes una asíntota vertical de la gráfica de y = f ( x ) si se cum ple al menos uno de
los enunciados siguientes
i)
lim f ( x ) = ±oo
ü)
lim f ( x ) = ±«>
iü)
X —VX +
lim f ( x ) = ± ~
x —*x~
La interpretación geom étrica que se da a esta definición se m uestra en las Figuras 2 .4 5 ,2 .4 6 ,
2.47 y 2 .4 8 . En ellas se puede observar que cuando x se aproxim a al punto de acum ulación xQ
la función crece o decrece sin límite.
F I G U R A 2 .4 5
F I G U R A 2.4 7
D e fin ició n 2 .2 0 :
F I G U R A 2.48
ASÍNTOTA OBLICUA
S e a/ una función real de variable r e a l, se dice que la recta 3!: y — n u +b ,m * 0 ,e s una
asíntota oblicua d e la gráfica d e y = f ( x ) si se cum plen las siguientes condiciones:
i)
lim
X —* + ° °
ii')
x
lim
- «o
= m
f(x )
—— = m
X
lim [ f ( x ) - x a x ] = b
y
*■
X —
»+ «
y
x
lim [ f ( x ) - m x ] = b
>-
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
271
Sección 2.12: Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas
OBSERVACIONES 2.13
1. En el caso (i) se dice que la recta 9' es una asíntota oblicua derecha (AOD) y en el caso (¡i)
que es una asíntota oblicua derecha (A O l). Véase la Figura 2.49.
2. S im = 0 y 6 * 0 , entonces se dice que la recta .9’ es horizontal.
3. Si Sí' : y = itu + b *=^ Sf : m x - y + b - 0 y si P (x , y ) € Gt< / ) , entonces
d ( P . 2 °) =
Según la definición de asíntota :
I m x ->' + &!
Vm2+ 1
..
lim d ( P , W) — 0
lim
jr-» ± o o
lim I m x - y + b I = 0 t=>
y como Vm2 + 1 * 0 «=>
lim
x [ m-
Dado que x tiende a «» , en to n c e s:
y de a q u í: m =
lim
—
Vm2 + 1
- 0
lim [ m x - /(x ) +b ] = 0
(1)
X -* ± ° °
i —
*±eo
Factorizando x se tie n e :
I mx - > + 6 1
— ,
jr —» ± o o
lim
+ -j ] = 0
[ra ­
+ 0 = 0 <=> m =
to )
]=°
lim
X —
»±“
De (1) obtenem os:
lim [ b - ( f( x) - m x) ] = 0 «=> b =
i—
»±o©
lim [ /( x ) - m x ]
/ - t í «
Se cumplen las dos condiciones de la Definición 2.20
Enseguida algunos ejemplos ilustrativos para esbozar la gráfica de una función haciendo uso
de los conceptos discutidos hasta ahora . Los pasos a seguir son los siguientes.
1. Determinar el dom inio o rango de la función
2. D iscutir las intersecciones y simetrías con los ejes coordenados
3. Determinar las asíntotas
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Capítulo 2: Límites
272
4.
Para tener una idea de la naturaleza de la gráfica, hacer un esbozo preliminar localizando las
intersecciones con los ejes y dibujando luego las asíntotas (éstas sirven de guía para el
trazado de la curva.)
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
(^EJEMPLO
1 j H allar las asíntotas y esbozar la gráfica de la función
f(x) =
Solución
x
/(* ) = \ x \ *\J—
x -2
1. Dominio de la fu n ció n :
L a función es real <=>
x -2
> 0 , esto e s , si x e (-<» ,0 ] U ( 2 , + «>) como
x -2
1*1 > 0 , la función /(* ) > 0 ; V x e D o m (/), es decir ,1a gráfica d e / s e extiende por encima
del eje X.
2. Intersecciones con los ejes coordenados .
S ix = 0 ■=> y = 0 , luego ( 0 , 0 ) es el único punto de intersección
3 . D eterm inación de las asíntotas
a) Asíntotas v erticales. Para * € ( 2 , + <»)
~ + ° ° => x = 2 e s u n a A .V .
lim / ( jc) = 12 1
x-*2+
b) Asíntotas h o rizo n tales:
lim /(* ) = |± « M VT = ° °
Com o el lím ite no es un núm ero r e a l, la G r ( /) no tiene A. H.
c) Asíntotas Oblicuas : SB'.y = rrut + b
r
Y .
m = lim
1 jr_» +oo
b =
-
lim ( —
— ) = 1
jt_* + oo\ j c y X - 2 /
lim [ f ( x ) - m * ] =
X
=
JC
) f oo
lim ( * V —
x
+
oq\
X
"
A
/
lim [ ,
r-2x ,
1 = 1
*-♦+«>L Vjc- 2 (v* + V * - 2 ) J
I' =
/
=
lim
1
/
'
/■ >
M
\A
A
\ yf~í~
Entonces t SP : y = x + l es una A. O. D.
i t^l = x -i-oc
üm ^ x
2 :
/
V^ x- S
- 2 - i) = - »
y.
\
k
RGURA2.50
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~
> x
Sección 2.12: Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas
b =
lim [ / ( x j - m x ] =
X—
*- oo
=
4.
X ” <C
-i]
/
: 2x ,
1 = -1
+ Y x^2) J
lim í ■,
Vx-^2
L u eg o ,
lim
jf ^ . oo\
273
: y = -jc - I es una A. O. I .
La gráfica de la función se m uestra en la Figura 2.50 en donde se puede observar el
comportamiento asintótico de la curva indicado por las flech as.
■
EJEMPLO
2)
H allarlas asíntotas y construir la gráfica de la función
r’
7 + ^ -2
=
Solución
1. D ominio de la fu n ció n : f ( x ) =
(x + 2 ) ( x - \ )
Entonces, D o m (/) = IR- { - 2 ,1 }
2. Intersecciones con los ejes coordenados
Si x — 0 e=> y = 0 , luego ( 0 ,0 ) es un punto secante, es d e c ir, la curva pasa por el origen
de coordenadas
3. Determinación de las asíntotas
a) Asíntotas verticales
-8
lim /(* ) =
j-»2
(0 ) (-3)
A nálogam ente:
-8
-
.■
0*
x/ \
' ,_ lm 2*Í W
lim f ( x ) = -00 y
-8
"
- 8 = + ©o
( 0 +)( -3 )
■
0-
lim f ( x) = + <»
X-+1"
Por ta n to , x = -2 y x = 1 son dos asíntotas vertica­
les de la curva en ambos sentidos, hacia a n ib a y
hacia abajo.
lim f ( x ) = ± «
*-*±«
Como él lím ite no es un número r e a l, la curva no
tiene A. H.
í U
b) Asíntotas horizontales :
x —> ± “
=
lim
) = J
x_,±c*A j r + x - 2 '
lim [ / W - m x ] =
X —> t OO
=
X
lim (
X —> ± M
’
, *
A
T
J *
„ -x )
i
/
r
b=
f( x)
l i r o ( - ^ + 2; U - l
X-»±eo' j r + X - 2 1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
1
A
I
-------------------------
lim
4
s
m-
‘ “ x
c) Asíntotas Oblicuas : y = n u + b
?
i
> X
x~ i
I
I
I
I
I
*
FIGURA 2.51
Capítulo 2: Límites
274
Luego *S0:y = x - 1 es una asíntota oblicua derecha e izquierda.
4.
El trazado de la gráfica de la función se m uestra en la Figura 2.51
Si f ( x ) =
OBSERV A CIÓ N 2.14
Qw
■
es una función racional en laq u e el grado de p es
m ayor que el grado de q en una u n id a d , entonces encontram os que al dividir p(x) entre q(jr),
f{x) tom a la form a f ( x ) = m x + b + g (x ), donde el lim g(x) = 0 . P or tan to , y = mx + b es
X —
»±“
una asíntota oblicua de y = f(x).
A s í, para la función del Ejem plo 2 , la división antes sugerida tom a la forma
=
? = x-]+ [
* )
jr +x - 2
\ x* + x - 2 /
Por ta n to , y = x - 1 es una asíntota oblicua de la gráfica de / .
(EJEM PLO
3}
H allar las asíntotas y construir la gráfica de la función
f ( x ) = <¡
yJx^4
, si \ x \ > 2
(/.)
U | <2
( /,)
4- x
Solución
, SÍ
Com o la G r( /) consiste en la unión de las gráficas de / , y / 2 , calcularemos las
asíntotas correspondientes p o r partes , esto es :
I.
Para / ( * ) =
f
1
\ x 3- 4
, x e <-<~,-2) U ( 2 ,+ ~ )
1. N o hay intersección con los ejes coo rd en ad o s, pues x = 0 « D om (/,)
2. Determinación de las asíntotas
a) Asíntotas v erticales: /,( * ) = ,
** =
J|
V(x + 2)(x - 2 )
Según el D o m (/t) , tom arem os lím ites laterales en r = - 2" y j = 2+
Iim
1
4
1
/.(x ) =
= +00
;
Jim / (x) x-* 2 *
V (0 -)(-4 )
,
4
= + 00
V (4 K 0 + )
L u eg o , x = -2 y x = 2 son asíntotas verticales en el m ism o sentido (arriba del eje X).
b) Asíntotas horizontales.
C om o lim f . ( x) = í “ ? I R, la G r ( f ) no posee asíntotas
X —
»±«0
horizontales.
c) Asíntotas oblicuas.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.12 : Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas
b. =
'
lim m
6 =
iim ( , r
lim [ / .( * ) - rrur] =
x -* + c o
-jc) =
Jr~» + oo ' V j t - 4
.
=
1¡m ( - ^ 1
lim [ / ( jr ) - n u ] =
'
275
lim
* -» + ■ »
.
—
.
= O
V x 2 - 4 (jc + V x 2 - 4 )
= -!
lim (-7 = =
+ *) = O
L u eg o , 9 \ : y - x (derecha) y SB2 : y = - jc (izquierda) son dos asíntotas oblicuas de la
G r t /j ) . A dem ás, la G r( / ,) es sim étrica respecto al eje Y . pues /,(-* ) = /,(* ) y como
/,(* ) > 0 , V x e D o m (/,), ésta se extiende arriba del eje X , entre las asíntotas x = 2 y
2 \ , x = -2 y STy
II.
Para f 2(x) = - ^ - 5 , s i x e (-2 ,2 )
1. Intersecciones con los ejes coordenados
Si y = 0 => jc3 = 0 <=> jc = 0 , es un punto secante. L a Gri f 2) corta al eje X en el origen.
2. Determinación de ¡as asíntotas
a) Asíntotas verticales : f ¿ x ) = (2 - jc ) ^ + jr ) .* e < - 2 .2 >
Por el D o m (/2) , tomaremos límites laterales en x = -2+ y x = 2 '
m
-
ñ
; .'z - W
- -
= (ó 4 )
- +“
Luego ,x = - 2 y j r = 2 son dos asíntotas verticales de la Gr( f 2) . A dem ás, es simétrica
respecto del origen , pues : f 2[-x) = - f 2( x ) .
b) Com o el Dom( f 7) = ( - 2 ,2 ) no tienen sentido los límites infinitos (± <»), por lo que la
G r(/2) no tiene asíntotas horizontales y oblicuas
3. Con toda esta información esbozam os la G r(/) = G r(/,) U G r(/2) , m ostrada en la Figura
2.52 , donde se puede observar el com portam iento asintótico de la curva indicado por las
flechas.
■
Y>
K
X
c / l
•N .
" \
!
1
W
N
* = -2 |
■
-2 l
/ o
J
/
1
1
12
>
1
1
\ f
1¡ G n u
s.
^
!
1
FIGURA 2 52
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
J
Capitulo 2: Límites
276
[E J E M P L O
Solución
4]
H allar todas las asíntotas de la función
1. A síntotas verticales :
,! ™ /w = w ñ )
m
= Tsm
f(x) =
J'
(x + 3 )(x -2 )
+ Vx2 + 4
+ ^ = - “
•
+^
• J í ^ í w = w i f ñ + %¥ = + ”
= ■“
«*> =
- + -
Luego , x = - 3 y x = 2 son dos asíntotas verticales d e la G r( f )
2. Asíntotas horizontales. Como lim
li /(x ) = ± ° ° e ÍR, no existe asíntotas horizontales para
X —
X
- *» ± * «
la G r( / )
3.
Asíntotas oblicuas
a)
Asíntota oblicua d e re c h a :
m
lim m
1 *_*+<» x
=
y
= m | x + ¿>|
1¡m ( y + j x + i + h
x_»+o-t j r + j r - o x
= 3 + 1= 4
l
x
b =
lim [ / ( x ) - m x ] = lim ( 3 x ^ ± 3 x + l + Vx2 + 4 - 4 x )
jr ^+ oo
x + eo ' JT
O
'
=
lim [ ( 3j¿ + 3 * t ' - 3 x ) + ( V ^ + T - x ) ] = -3 + 0 = -3
X-t +co U J^ + JT-Ó
I
'
J
Por lo q u e , SPt : y - 4x - 3 es una A. O . D.
b)
A síntota oblicua izq u ierd a: y
„ ^. =
1™
X -» -»
b2=
0
ü m x —►
( -3f \ +jx-*j +: x‘^ - 64x
)f = 3 - 1 = 2
X
lim [ / ( x J - n i j x ] = lim ( ^ + ^ 6 *+ 4x 1 + 4 - 2x )
=
P or lo ta n to ,
(E J E M P L O
^x =
= m7 x + b 2
-3 * )
+ < V ? T 4 + * ) ] = - 3 + 0 = -3
L2: y = 2x - 3 e s una A. 0 . 1.
H allarlas asíntotas y construir la gráfica de la función
í 2x4-1 5 x 3 + 39x2 -4 1 x + 1 5
x3-6 x 2 + 5x + 12
ñ x ) = <¡
X
+ 4
x2+ l
4
, s ix > 0
( / ,)
, si x < 0
( /,)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.12 : Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas
Solución
1. Para / (x) =
( x - l ) 2( x - 3 ) ( 2 t - 5 )
(x + l)(x -3 )(x -4 )
277
< x -l) 2(2 x -5 )
(x + I ) ( x - 4 )
, x*3, x>0
1. Intersecciones. Eje Y : x = 0 ■=> y = 5 /4
í (x -1 )2 = O => x = 1 es un punto dobJe o tocante
Eje X : y = 0 <=> *j
[ 2x - 5 = 0 t=> x = 5/2 es un punto secante
Para x = 3 se tiene y = -I e=> ( 3 .- 1 ) es un “punto ciego” .
2. Determinación de las asíntotas
a) Asíntotas verticales. Como el D o m (/() = [ 0 , +<»)- {3} , tomaremos límites laterales
en x = 4
J im
/,(* ) =
= +~
; J im / , «
=
L u e g o , x = 4 es una asíntota vertical en ambos sentidos.
b) Asíntotas horizontales.
lim /,(x ) = + °o ■=> no existe A. H.
c) Asíntotas oblicuas. P o rel D o m ( /,) , determinaremos laA . O. D.
lim /■(*)
m=
X —
»+ «
■
»
b=
x■
“
lim ( / (x )-m x j =
Por ta n to ,
II.
t 2x4 -1 5 x , + 39x2-4 1 x + 1 5 \
x "-6 x 3
+ 5x2+ 1 2 x 1 ~ Á
(x -1 )2 (2x - 5)
- 2 x ] - lim
+
+ * = -3
(X+ l ) ( x - 4 )
-> jc_»+ oo ( x + l ) ( x - 4 )
lim
: >• = 2x - 3 es una A. O. D. para la G r ( /t) .
Para
+ ~
/ 2(x) =
, x e < - ° ° ,0 >
La G r(/2) corta al eje Y e n y = 5 /4 , no tiene asíntotas verticales pues no existe x0 tal que
lim / (x) = ± ° °
Y 4
Dado que .lim /,(x ) = 5/4
J-»*« ‘
1
t=> y = 5/4 es una asíntota
horizontal y
r = 5M
Um m
2
* -» -« * »
.
= o
*
X
0
entonces no existe A. 0 . 1.
1
3. Con toda esta información traza­
mos l a Gr{f) = G r{/,) U G r(/2) ,
^
-----
m s4
1 2 \ } i4
Grí/J-A j
-
mostrada en la Figura 2.53
■
FIGURA 2 53
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
278
Capítulo 2: Límites
(EJEMPLO
v
f
fT)
^
Determinar si la gráfica de la función f ( x ) = — ¡—¡-------- posee asintoUI-2
tas v erticales. E sbozar dicha g rá fic a .
S i U I - 2 = 0 i = > U I = 2 <=>;c = ± 2 son dos posibles asíntotas verticales de
la Gr( / ) . Para salir de dudas debemos redefinir la función / eliminando las barras
de valor absoluto del numerador. Esto e s :
Solución
i) Ijc3 - 3 1 =
jc 2
- 3, s i.r - 3 ¿ 0 «
Ix l >V3
~ f~M = "Url r- r2 = Url H- 2 = '-U rl r- 2r • ul +2- Ul *2
*=* /,(•*) = U l + 2 , s i j t e {-oo , - ^ 3 ] I [V3 ,+«>>- { -2 ,2 }
Luego , s i U I * 2 e = > j r * ± 2 e y * 4 , por tanto ( + 2 , 4 ) son “puntos ciegos” , esto e s ,
x — ± 2 no son asíntotas verticales de la G r(/,)
ii)
Ijc2- 3 1 = - ( jc2 - 3 ) , s ix 2 - 3 < 0 «=> U l <V 3
Gr(f,>
Gr(f,f
Y '
\
v
~
/,« =
U l -2
UI-2
, W < V3
Com o j: = ± 2 g { j : | j c e (-V3 , V3 ) } ,
entonces x = ± 2 tam poco son asíntotas
verticales de la G r(/2)
Ul +
/w
= i
2 , si U l > V 3 . U I * 2
■2
U l -2
. si U l
1
1
1
1
1
1
3-
!
i
2-
¡
\
l-
GrffJ 1
¡
S
i
•
■2
<'&
Concluimos en que la G r(/) m ostrada en la Fi­
gura 2 .5 4 , no posee asíntotas verticales.
■
[EJEMPLO
/
4-
2* >5
G 'ífJ
1 1 l ••
V I
•w
V
-i
T
"
0
\ i
1/
¡
1
i
1
i
1
i
I
r
r
X
2
F I G U R A 2.5 4
7 J D eterm inar las asíntotas y bosquejar la gráfica de la función
✓
f(x) = <
■sijr<' 3
t/,)
. si-3<x<2
( f 2)
, six>2
</*>
, 1
^3 ? -A
Solución
2.
1. El dom inio de la función e s , x e IR - {2}
S eg ú n e l D o m ( / ) , so lo e x iste n in te rs e c c io n e s c o n lo s e je s c o o rd e n a d o s p a ra / , ,
e n x e [-3 , 2 ) , esto es
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.J2: Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas
a) Con el e j e X : Si y = 0 ■=> * + 1 = 0
x = - l «=> A ( - l , 0 )€ E jeX
y = - 1/2
b) Con el eje Y : Si x = 0
279
B ( 0 ,- l/2 ) e Eje Y
3. Asíntotas verticales. Solo tom aremos límites laterales en x0 = 2
lim f A x ) = lim ( * ~i ) = — = -oo ; lim f A x ) = lim f
= +oo
x-»2- * - ,2- ^ - 2 '
0’ , ^ 2* ’
* -» 2 * W ? ^ 4 '
L u e g o , x = 2 es una asíntota vertical en ambos sentidos
4. Asíntotas horizontales. Debido a que el D o m (/2) está restringido a! intervalo [ - 3 ,2 ) sólo
tomarem os lím ites infinitos en / , y / 3, esto e s :
lim
f ( x ) = lim
= -° ° :
* -» -* « '
A
'
lim / (r) =
lim (7 = = ) = +°°
* -» + » ‘ Vx*- 4 '
x -* + ° °
Como ambos lím ites no son números reales, no existen A. H.
5. Asíntotas Oblicuas
*2 . 3
a) Asíntota oblicua d e re c h a . f A x ) = — .
. ...
x V l- 4 /x 2
m = ,ira m
= Iim ( ¿ ± 1 = ) = ± ¿ g = i
x x -» -k o 'x 2V1 - 4/x2 '
Vi - 0
6 =
lim [ f { x ) - m x] =tim ( f * \ - x ) = 0
x -***■=
x-»+oo‘ Vxa - 4
7
E ntonces,
: y = x es una asíntota oblicua derecha
(Verificar)
b) Asíntota oblicua izqu ierd a. /,(x ) =
m, =
lim
b1 =
lim [
X-*-oe
= lim ( V ^ F ) = i
/ ( x ) - i t l x ]
=
lim (
x ->.oo\
x
-
* x
x
)
1
lim
=
[
L u eg o , J2'2 : y = x + 3/2 es una asíntota oblicua izquierda.
Y4
U
U
r
Gr(f)
* f r
/ ¿S*
y / s
// $ • /y
'
1X= 2
^
B !
\
\
\
I2
1
1
1
\ 1
}l
FIGURA 2.55
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Vv
>x
3x
-i _ 3
Vx(VxT3 + Vx-*
2
Capítulo 2: Límites
280
(EJEMPLO
8]
Si y = / ( j e ) es una función d efin id a im p lícitam en te p o r la ecuación
(xy - je 2 - 1) (x2y 2 - je 2 + y 2) = 0 , hallar las asíntotas de la curva y esbozar
su gráfica.
x y - je 2 - 1
Solución
=
(1)
0
S i( x y - x 2- l ) ( x 2y 2 - x 2 + y z) = 0 <=>
x V - x 3+ y = 0
(2)
La gráfica de la ecuación dada es la unión de las gráficas de (1) y (2)
1. Si xy - x2 - l = 0 e * f t( x ) = ^ ± ± = x + l
- > D o m ( / ,)
= ^ -{ 0 }
La G r(/,) no intercepta a los ejes coordenados , tiene una asíntota vertical en x = 0 , en
ambos sentidos , pues
Um/.W = 0 + i
= +oo ; K m ./.U ) = 0 + - , [ = - >
No tiene asíntotas horizontales ya que lim /,(x ) = ±© ° ís IR
JC — *
Tiene una asíntota oblicua en am bos sen tid o s, ¡F'. y = x
En f t( x ) - x + ~ i vemos que s i x > 0
y > 0 y s i x < 0 ■=> y < 0 ,s ig n if ic a q u e la G r ( /|)
se extiende arriba y abajo del eje X , respectivam ente, entre las asíntotas x = 0 y y = x
2.
. x
Vx2* 1
Obsérvese que la ecuación (2) es sim étrica respecto de los ejes coordenados y al origen ,
pasa por éste y define dos funciones :
x2 y 2 - x 2 + y 2 = 0 <=* y = ±
/,(■*) =
y /,<
*) = -Vx2* !
J
Vx2 + 1
Analizarem os la G r(/?) y luego dibujarem os la
G r(/?) por sim etría.
a) La G r(/2) no tiene asíntotas v erticales, pues no
existe un xQtal que lim / 2(x) = ± ©o
X~**Q
b) Asíntotas horizo n ta les.
lim
X—*-H»
fJ x ) =
lim -—:—
-■
—1
X—»+» |x | VI + 1/jE2
lim /,( x ) = lim
X^ . « * '2W
-— -— ,x
|x | Vi + 1/x2
- -1
F I G U R A 2 .5 6
Entonces : y = 1 , y = -1 son dos asíntotas
horizontales de la G r(/2) y de la G r(/3)
c) Asíntotas o b lic u a s.
m -
=
lim
*-»+«■»
x
lim (
x —* +°« *Vje2 + 1
) = 0
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.12 : Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas
281
L u eg o , la Gr( J J com o la G r(/}) no tienen asíntotas oblicuas.
Con toda esta información dibujamos la gráfica de la ecuación implícita , mostrada en la
Figura 2.56
■
OBSERVACIÓN 2.15
Las D efiniciones 2 .1 8 ,2 .1 9 y 2.20 son válidas para funciones
definidas im p lícitam ente, en las que resulta m ás fácil obtener
x = / ( y ) , (a en térm inos de y) . Esto e s :
1. Si Iim f ( y ) = h => x = h es una asíntota vertical
Iim / ( y) = ± do ó si lim / ( y) = ± 00 «=> y = yb es una A. H.
»■-»>. ‘
y~*y„
2. Si
U¡\ x = k y + b , k * 0
3. Para asíntotas o b lic u a s.
k=
EJEMPLO
lim ^ ^
jr_»±oo y
b=
;
lim [ f ( y ) - k y ]
v-»±«
9 I O btener las asíntotas d e la curva de ecuación
—
jpyi. 2 / + 9y3+ 8a- 6 = 0
J
Solución
Conviene despejar x = / ( y ) , esto es
x( y 3 + 8) = 2y4 - 9 y ? + 6 »=> x = / ( y) =
2y4 - 9 y s + 6
y’ + 8
1. Asíntotas verticales. lim / ( y ) = +«> ,0 0 es un número real, entonces no existen asíntotas
y —i + o c
verticales.
2. Asíntotas horizontales . / ( y ) =
lim f ( v i
yl™ r n y }
=
—
2y* - 9 v :| + 6
( y + 2 ) ( y 2 -2 y + 4)
L IO —
=
.0 0
(0-K I2)
•
|im
’
f( y) =
y-,-2*71 ”
—
L1Q — .
— +00
(0+)(12)
Luego , y = -2 es una asíntota horizontal en ambos sentidos.
3. Asíntotas o b licu as. 3 : x = k y + b
k=
Um M .
v—»±oo y
=
lim [ 2y' ; % + 6 ) = 2
»— '
y + 8y
/
b = Iim L f(y )-k y ] =
}± o*
lim ( 2v
y —f ± o o '
y
+ 0
-2 y ) =
/
y
lim ( 9>y ^ s * 6 ) =
+OO '
y
Por tanto , 3?. x = 2y - 9 es una asíntota oblicua en ambos sentidos.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
T
O
*
9
282
Capítulo 2: Límites
E J E R C IC I O S
. Grupo 17
❖ En los ejercicios 1 al 40 h a lla r, si ex isten , las asíntotas horizotales, verticales y oblicuas de
la gráfica de la función definida por las ecuaciones dadas. B osquejar su gráfica.
1. / W =
2. /(x ) =
i
< x -7 ) V ? ^ 9
x+ 6
3. /(x ) = V3x*-x3
4 . /(x ) = V 4 ^ + 2 ^ + I
5. /(x ) = * * + 3
6. f ( x ) = x - 2 +
Vx2- 4
7. /(x ) =
2 x>
8- /( x ) =
Vx2- 6 x - 7
9. /(x ) = Vx4- 3 x , -9 x 2+ 36x
II. f(x ) =
1
-X
10.
2j ?
+
Vx4-1 3 x 2 + 36
13. /(x ) = x +
+^
15. /(x ) = V (x + 4 )2( x -5 )
/(x ) = 3 - 2 x -
12. /(x ) =
14.
x4 - 3 x 5+ 2x
/ (x ) =
/ (x ) =
x2
Vx2 - x - 2
V 97?
x ( 3 - /3 + x/3/>
|x + 5 l
+
x2 + 2 x - 3
, x < - l , x # -2
(x + 2)V 2 + 1
18. /(x ) =
<
(x + 1 )2
Vx2 + 4
-x - 1
/ (x ) =
X3
(x + 1 )
X3 + X2 - X - 1
, X > - 1
20. /(x ) = <
2 , Jf>-1
( x 2- 3 )V F + 5
(x3 + 2 ) V í+ 4
x -8
, x>-l
x4- x 3
, X < -1
<¡
21- / W = <|
Ix l - 4
16. /( x ) = Vx4 - x 3- 9 x 2 + 9x
2 x 3+ 3 x
19.
+ X
x 3- 3 x 2- x - 3
- t= = . U l > 2
< xT^4
17.
x2
Vjt*-9
2X2
, x > -4
22. /(x ) = <¡
x2 + x - 6
,x<-3
x3 + 7x2 + 3 x -2 7
,x>-3
x3+ 5X2 + 6x
’*
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
283
EJERCICIOS . Grupa ¡7
23. / ( x ) =
+ 2x + I
. x <-2
x +8
, -2 < x < 1/2
x - 1/2
4
2x+ 7
2jc- 1
24. /(x ) =
, x > 1/2
, x < -1
x2 - !
x2 + 1
V
l x 3- I
27. /(x ) =
X*
4(x2 - 2)
, -I < x < 0
28. /(x ) =
,-1<x<!
,x> I
V líT x 2
x-4
. -1 < x < 4
f e - x3
,
x>4
•x/x* + 2 x + 1 . X < - 1 , x * - 2
V x’ + 8
3x + 3x
2x+ 1
, x<-3
3 |x + 3 I
x+ 1
x3 -f x2 - 2x
(x - 2) (x3 + 2x - 3)
, -3 < x < 2
,-l<x< 2
30. /( x ) =
Ce - l)3 , x > 2
x3 + \
x+ 6
32. /(x ) = < 8 - 2x
31. / W =
X4 - X 2
X3 + X2 - X - 1
,x>- I
x3 + x2 - 2x
x3 - 7x + 6
, -3 < x < 2 , x jt I
34. /(x ) = «
,x^2
( * - 3 ) tF 2
x3 - 9x
,x>2
,x < 4 -{ -6 }
, x e { -6 .4 }
^ ( x - 5 ) ( x '- 8 ) , x > 4
(x2- 4 x - 2 l K x + l) 2 . x < - 3
(x - í y c ^ - B x + S )
2x + 4
x-5
+ ^ T 3 T lÓ
v x5 - x + \
x2+ 2x - 3
, X< - 1
(x + 2) Vx2 + I
35. /(x ) =
, x<-2
x Vx2 - 2x + 4 + x 2 , x < - l
,X<-I
x2- 4
33. /( x ) =
[*]+*
3x + 2
1-x
j£,+1 2x/ 3 , x > 0 , 0 * -2
29. /( x ) =
,-2<x<2
I -X 2
, x> 1
x" + I
2 r2 + 3 x + 5
x- 1
^
26. /(x ) =
t -1 < x í 1
r x^-2x
,x>2
V 3+3? , x < - l
Vx2 - l
25. /( x ) =
x+3
4x^4
> x < .V2-{-3}
(“ ii
,x<-3
'm
, -3 £ x < 1
ix-i?
(x+l)2
,x> I
x+ 1
36. /(x ) = <
,x>5
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
X -
, X €
( ”° ® . 1 )
,X€
[1
1
, + «»)
Capítulo 2: Límites
284
, lx| > 2
37 . m
= «j
x + 1+
Vx2 - 4
38. /( x ) = <¡
x3
4 -x 2
T ^x
I +x
= <
1<x<0
41.
,x>- 1
s
40. /(x ) = <j
[-7 Ü 1
J x [ 2 + l/x] + 7
v
2x - 1
,x>0
x3 - !
1
2X2
x3+ I
Ixl < 2
x2 + 2 x - 3
,x<-I
(x + 2 ^ G P T Í
39 . m
,X < -1
X +
,
Sea / una función que c u m p le :
i) y = 3x + 5 es una asíntota oblicua derecha de la Gr( /)
ü ) /(* ) = / ( - x ) ,V x e IR.
C a lc u la r:
42.
43.
a)
/(x )
lim ( , *(x)
)
x _»+ » ' V3X3 + Sen2x '
b)
lim ( , /( J ) ----- - )
^ V 3 x 2 + Sen2x '
Sea la función /(x ) = x2 , hallar las asíntotas de la gráfica de la función y =
esta dado en el sistem a de coordenadas ZY.
Sea la función
Jw
/(x )
(a +
= -t—
)x + c
3 /( z )
,S1
z- I
— , x * - — ^ tt
a + b2
a) H allar los valores de a , b , c y d de m odo que se verifique simultáneamente
i) y = x + 2 sea la única asíntota o b lic u a ,
ii) _f(l) = 1/3
b) D ibujar la G r( / ) indicando sus asíntotas e interceptos con los ejes.
44. H allar las constantes a y b de modo que
lim f ex + b x-*
'
Interprete geométricamente este resultado.
) = 0
Jr + 1 /
45. Sean P(x) y Q(x) dos polinom ios en IR tales que gr[P(x)] - gr[A(x)) = ’ 1
S ¡/(x ) =
P (X )
Q(x)
, dem ostrar que y = /(x ) tiene asíntota.
~ + ^ , con a una c o n sta n te real
\x 2 + 1
es -2/3 , halle la ecuación de SR
46. La recta & es asíntota en -«*> de la función /(x ) =
dada. Si la pendiente de
❖ En los ejercicios 47 al 60 , hallar las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de las
curvas cuyas ecuaciones se d a n . D ibujarla gráfica de cada curva.
47.
xy2 + 3y2 - 9x = 0
48. x2 - x y + y = 0
49.
2x2-2 x y + 3 x - y - 15 = 0
50.
51.
x y - 3x2 - 4y2 = 0
52. 8x2 - 2xy - 3x - 3y + 2 = 0
x2 - x y - 2 x -2 y + 2 = 0
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.13 : Las funciones exponenciales y logarítmicas
285
53.
y 2( x - 2 a ) = x3 - * 3
54.
y3 = (x - a )2 (x - c ) , a > 0 , c > 0
55.
(x + fl)y2 = ( y + ¿ )x 2
56.
x \ x - y f - a } { j d + y 2) = 0
57.
4x- = (a + 3x)(x2 + y2)
58.
:cy2 - 2 y a - 4 x + 3 y - l = 0
59.
t y2 - y 3 - 4 x - y 2 - 2 y = 0
60.
xy2 - 2 y 3 - x - y 2 + 3y = 0
(2.13 )
L AS F U N C IO N E S E X P O N E N C IA L E S Y L O G A R ÍT M IC A S
En e sta sección es necesario conocer las leyes de los exponentes racionales y
las de los logaritm os , p o r lo que quizá sea conveniente referirnos muy brevem ente a tales
propiedades.
Si a y b son números reales positivos , y , m y n son números reales cualesquiera ,
entonces
P .l : am. a n = am*n
P.6 : a ° = ~
aa
P.2 :
^
P.7 : a l/n = ^
, n e Z+
P.3 :
(a™)11 =
P.8 : c m/ri =
, m,ne
= * -a mn
P .4 : (a • b)D = an bn
p^.
(a\n_
^
ar
P.9 :
O BSERV A CIÓ N 2.16
Si a > 0 , b > 0 , n e Z+ , a > b t=* a a > bn
P .1 0 : S i a > l , m < n
^
Z
«=> a m < a D
P . l l : Si O c a < I y m < n
a m > a"
Exponente Cero
Si en Ja propiedad P .2 hacemos m = n , obtenemos
= a- " «
a° = 1
Por tanto , si a e IR - {0} , debe definirse a° como 1
Por ejem p lo : (120)° = (1/5)° = (-2 ^3 )° = (2jc)° = 1
Definición 2.21 : LA FUNCIÓN POTENCIA
Una función real definida p o r /( x ) = x*, siendok una constante real. se denomí nafunción
potencia de variable r e a l.
Por ejem p lo , /( x ) = x 3 , g(x) = x2' 3 , h(x) = 3 x 7 son funciones potencia de variable real.
O BSERV A CIÓ N 2.17
Propiedades de los logaritmos de base a
Si A , B y N son números reales positivos, entonces se cumplen las
siguientes propiedades para los logaritmos de base a
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
286
Capitulo 2: Límites
L. 1 : Loga( A • B) = Log0A + LogflB
L .4 : Logfl„(AB) = ( f ) LogflA
L . 2 : Loga ( ~ ) = LogflA - LogQB
L . 5 : Log0^ÍA = ( ¿ ) LoguA
L . 3 : LogaA" = n LogaA
L. 6 : Log^N = L og.a ■LogflN =
LogflN
Sea a cuaJquicr núm ero real positivo distinto de 1. Entonces una función / , denotada por
c x p g , se llam a fu n c ió n exponencial d e b ase a s i , y sólo s i :
/={Cx,y)l/C*)=fl',JrelR}
o b ie n ,
expo = { ( jc , v) I expa(x) = a x , jc e IR }
Un esbozo de las gráficas de las funciones
y = 2 * e y = (1 /2 )'
nos permite observar lo siguiente
1.
El dom inio de la función exponencial es IR , en tanto que su rango es [R+ , esto e s :
expa : IR —» {R+
jc —
> a+
2. La función exponencial es inyectiva, pues una línea horizontal corta a su gráfica en un solo
punto .
3. L a función exponencial no es sobreyectiva, pues a* nunca es real negativa, sin em bargo es
una biyección de IR sobre !R+.
4. Dado que a° = 1 , las gráficas de y = a 1 intersectan al eje Y , g en eralm en te, en el punto
(0 , 1).
Y A
Y A
c' 1
3
2
8
-1
O
2
F I G U R A 2 .5 7 :
>•= 2*
3
-3
-2
I
O
F IG U R A 2 .5 8 :
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
0 < a< 1
2
i
y >(1/2)*
287
Sección 2.13: Lasfunciones exponenciales y logarítmicas
OBSERVACIÓN 2.18
PRO PIED A D ES D E LA FU NCIÓN EXPONENCIAL_________
S i a > 1, la gráfica de cualquier función de la forma { (jr,,y)e fRx fR+ | y = a '} , se
parece mucho a la gráfica de y = 21 (Figura 2.57). Entonces convenimos en aceptar
las siguientes propiedades para cada una de tales funciones.
C aso 1
1. El rango de la función exponencial es el conjunto de los números reales positivos (IR+) . Es
decir, V x e IR, y = a x > 0 . (La gráfica está dispuesta encima del eje X.)
2. S ix = 0 => a* = 1 , s i > 0 ^ < ¡ ' > l y r < 0
■=> 0 < f l * < 1
3. A medida qu e x crece, crece también y = a * , ( / e s estrictam ente creciente). Es d ec ir, si
x, <X2 t=$ /,(* ,) < f { x 2) , V x e D om (/).
4. S i a > 1 t=>
lim (a*) = 0 y
lim (a*) = + «
J —i +oo
X-*.oo
Si 0 < a < 1 ,1a gráfica de la función de la forma { (x ,y ) e [Rx [R+ | y = a*} tendrá
una apariencia distinta. Sin em b arg o , cada una de estas funciones tendrá la forma
general de la gráfica de y = (1/2)*. (Figura 2.58)
Las siguientes propiedades son válidas para las funciones de este tipo.
C aso 2
1. El rango de la función exponencial es IR+ , es d e c ir, V x e IR , a 1 > 0
2. S ix = 0 «=* a*= 1 ; s i x > 0 => 0 < a x < 1 y s i x c O ■=> a*> 1
3. A medida que x c re c e , decrece y = ax , ( / es estrictamente decreciente)
Es d e c ir, si * ,< * 2 ■=> f(x¡) > f ( x 2)
4. S i 0< ¿7< 1
lim (a 1) = +«» y lim (a 1) = 0
X —
»-«>
¡ EJEMPLO
Solución
1j
X —
*+»
Construir la gráfica de la función /(x ) = 1 + exp3 1x - 2 1 , indicando su
dominio y ra n g o . ¿ Es / inyectiva ?
Si /(jc) = 1 + exp3l x - 2 |
y = 1 + 3 |jr' Z|
Para hallar la regla de correspondencia de / debemos redcfinir la función eliminan­
do las barras de valor a b so lu to , esto es
Vé
1. S i x í 2 t=> Ijc - 2 1 = x - 2 i=> y = l + 3 * - a
2. S i x < 2 => \ x - 2 \ = - (x -2 ) «=> y = l + ( l / 3 ) x 2
1+3'2
, six<2
<fi)
! + ( ' ) ' 3 , six< 2
(/,)
E n /,(x ) = 1 + 3 " 2, la base e s a = 3 , a > 1, entonces su gráfica
es sim ilar al de la Figura 2 .5 7 . es creciente V x S 2
En / 2(x) = 1 + ( 1/3)1' 2, la base es a = l / 3 , e s t o e s , 0 < a < 1,
luego su gráfica es sim ilar al de la Figura 2 .5 8 , es decreciente
Vx<2.
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2
I
1
0
i
1
¡ 2
F I G U R A 2.59
N. V
”
288
Capitulo 2: Límites
Por lo ta n to , Dom( / ) = [R y R a n (/) = [ 2 , + « » ). Geométricamente vemos / no es inyectiva,
pues una recta horizontal corta a la curva en dos puntos.
■
OBSERV A CIO N 2.19
De las propiedades de la función exponencial / ( x ) = a ' , donde a > 0
y a * 1 , se deduce que ésta es inyectiva de IR en [R+ , por lo que
admite función inversa d e [R+ en (R a la que se llam a fu n c ió n logaritm o d e base a y cuya
definición es la siguiente.
D e fin ic ió n 2 .2 3 :
FUNCIÓN LOGARITMICA DE BASE a
Si a e IR+ - { l } , entonces la función logaritmo en base a , denotada por Log^, es la función
inversa de la función exponencial expc : CR - » !R+
Esto e s :
■ Log0 : IR+
IR = { ( x , y) | f(x) = Logc( x ), x > 0 }
Com o consecuencia de esta definición se tiene
1. expa [ Loga ( jc ) ]
=
j t . V x e IR+
«
f
l
=
x , Vx e (R+
2. L ogfl [ expa(x) ] = x , V x e IR <=> Logo(a*) = x , V x e (R
3. Loga (x) = y <=> x = a y
Se sigue que por la propiedad de reflexión de las funciones in v ersa s, la gráfica de y = Logo(x)
es la reflexión con respecto a la recta y = x , de la gráfica de y = a’ como se observa en la Figura
2.60 cuando a > 1 ,y en la Figura 2.61 cuando O c a < 1
F IG U R A 2 .6 0
O B SER V A C IÓ N 2.20
F I G U R A 2.61
Propiedades de la fu n ció n logarítmica de base a
1. El rango de la función logarítm ica de base a > 0 es (R.
2. Si a > 1 , la función y = Logo x es estrictam ente creciente en su dominio IR+ (Figura 2.60).
Obsérvese que si x € ( 0 ,1 ) entonces Logc x < 0 . (L a gráfica está dispuesta debajo del eje X.)
Si x = 1
Log x = 0 , y s i x > l
Log x > 0 . (L a gráfica está dispuesta sobre el eje X .)
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Sección 2.13: luis funciones exponenciales v lagaritmn as
289
3. Si 0 < a < I , la función y = Log^ a es estrictam ente decreciente en su dominio ÍR+ (Figura
2.61). Obsérvese que s i x e ( 0 , 1 ) , entonces Logox > O d a gráfica está dispuesta sobre el
eje X ) , y si x > 1 . Logox < 0 ( gráfica esta dispuesta debajo del eje X).
4. Toda gráfica de una función logarítm ica de la forma v = Loga x pasa por el p u n to (l ,0 ).
EJEMPLO 2 j
____________
Sea la fu n c ió n /: (R —» <2 ,+<*■). definida p o r:
/ ( x ) = exp2(x + I) + 2 . Determ inar el valor de verdad de cada una de las
siguientes afirm aciones:
a) La función / * es estrictam ente creciente
b) la recta x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica de / *
c) La recta y - 2 es una asíntota horizontal de la gráfica de f *
•
Solución
a) Sea y = /(x ) «=> y - 2 = exp,(x + 1) = 21*1
Intercambiando variables se tie n e :
x - 2 = 2r+l <r> Log2 ( x - 2 ) = v + I i=i /* (x ) = -1 + Log2(x - 2)
Como / : IR —>( 2 ,
, entonces f * : ( 2 , +°°) —> (R
Sean x , , x, e D o m (/* ) — ( 2 , +°°)
S i / ^ x , ) > /* (x 2) ■=> -1 + L o g 2(x f *2) > -1 + L o g 2(x3-2 )
<=> L og,(x, - 2) > Log,(Xj - 2)
Siendo las bases iguales , entonces :
x, - 2 > x , - 2 * x, > x 2
Por lo que f * es estrictamente creciente.
b) Como lim /* (x ) = - 1 + Log ,(0+) = -<», entonces
í~» 2*
1
x = 2 es una asíntota vertical de la G r ( /* )
c) /(x ) = 2 + 2 '* 1 = 2(1 + 2 X)
lim /(x ) = 2 (1 + 2 ~ ) = 2(1 + 0) = 2
X —
Entonces y = 2 es una asíntota horizontal de la G r ( /) .
Por ta n to , las tres afirm aciones son verdaderas.
EJEMPLO
Solución
v
3]
H allar el dom inio de la función inversa de y =
2*
Intercambiando variables se tie n e :
x —
2'
. . o2, r = x
1 + 21
1- x
La función es real <=>
> 0 o
1 - X
EJEMPLO
> = L oM t 7 í )
x- I
< 0 «=> D om (/*) = < 0,1)
4 J M ostrar que la gráfica de la función y = Logfl(x + Vx2+ I ) es simétrica
respecto al o rig e n . H allar la función inversa.
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290
Solución
Capítulo 2: Límites
U na función es sim étrica respecto al origen cuando es im p a r, esto e s , cuando
f ( x ) = - /( - x ) ,V x e Dom( / )
_
,
i—5— (Vjt3 + 1 - x ) ( V^ 3+ l + x )
E ntonces: /(-x ) = Log (-x + Vx2 + 1 ) = Log ------------ ,
---------------a
V x^+l + x
*
= Log
= Log (\íx2 + 1 + x ) 1 = - Log (x + Vx2 + T )
"VX2 + 1 + x
L u eg o ,si /(-x ) = - /( x ) o
/(x ) = - / ( - x ) . V x e D om (/)
Para hallar la función inversa def. intercambiamos las variables:
x = Logfl( y + Vy2 + 1 ) <=> y + Vy2 + 1 = a 1 c=> Vy2 + 1 -
-y
Elevando al cuadrado ambos miem bros de esta e cu ació n , obtenemos
2a*y = a 2* - 1 , de d o n d e : /* (x ) = ^ (ax - a ’)
EJEMPLO
5 J
Representar gráficamente el área de la región determinada por la relación
R =
Solución
m
{
( x - y ) e lR2lx > L o g 3y ,x 2 + y 2 < 9 , y £ (1 /3 )“ }
1. Sea R, = { ( x , y) e fR21x > Log, y }
Si x > Log, y <=> 3* > y (=> y < 3“
D ibujam os, con trazo con tin u o , la gráfica de la fron­
tera y = 3*. Para com probar la verdad de la desigual­
dad tomamos como punto dereferencia al o rigen, esto
es:
( 0 ,0 ) e R, ? ¡=> 0 < 3o , es cierto
L uego, laG r(R ,) es la totalidad de puntos de la región
ubicada en el semiplano inferior de la frontera y =3*.
2. S ea R 2= { ( x ,y ) e (R2|x 2 + y 2< 9 }
Dibujamos con trazo no c o n tin u o , la gráfica de la
circunferencia
x 2+ y 2 = 9
Obsérvese que (0 , 0) e R2 , entonces su gráfica es la totalidad de puntos de la región
ubicada en el interior de la circunferencia, sin incluir la frontera <
¡8.
3. S e a R 3= { ( x , y ) G lR2|y < ( l / 3 y }
Es ( 0 ,0 ) e R3 «=> 0 < (1/3)°, es c ie rto ; lu e g o , la G r(R,) es el conjunto de puntos ubicados
en la región del semiplano inferior de la frontera y = (1/3)“ .
4. L a G r(/) = G r ( / , ) I G r ( / 2) I G r ( / 3) se muestra en la Figura 2.63
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■
Sección 2.13: Lasfunciones exponenciales y logarítmicas
E JE R C IC IO S
291
. Grupo
18
En los ejercicios 1 al 8 , trazar la gráfica para cada una de las funciones dadas. Indicar el
dominio y el rango.
1. / =
2.
f=
3. f ( x) = 1 - exp2(.í + 1)
4.
/(x ) = - 1 + e x p ^ í U + l l )
5. f ( x) = 2 + expJ/1( | x - 2 | )
6. f ( x ) = 5 + e x p ^ t 12x + 7 1)
7. f ( x) = exp2¡ x ¡
8.
{ ( jc .y )e tR 3| v = | ( 3 0 }
{ ( r , y ) , e (R? I y = 2I+3
9. Sabiendo que L o g ^ t a(V2 - l) ] 2 = 0 .6 , calcular el valor de x = Loga ‘n/[c(V2 - 1)]1
10. Demostrar que V x > 1: Loga(x + Vx2 - 1 ) = - Logo(x -V x 2 - 1 )
11. Hallar el dominio de la función /(x ) = L o g J Log|/J(LogJxl]
12 . Una función / viene dada por la ecuación y 2 - 1 + Log2(x - 1) = 0
Hallar el dominio de / y escribir la función inversa.
En los ejercicios 13 al 18 , trazar la gráfica para cada una de las funciones dadas
13. / =
{ < x , y ) e [ R 2 i>' = Log2 / x /}
14. / = { (x , v )e IR21>* = L o g jtl/r) }
15. f = { ( * . >')e 1R3I v — Log7U - 11}
16. / = { U ,> ’) e 1RJÍ y = 1 + Log(x+i>)}
17. /
18.
=
{ { x , y ) s
ÍR2 \ y = \ L o & x \
19. D ada la fu n ció n : / (x) =
/ = { < x , y ) e IR2I >•= |L o g ,lx ||}
Log2(x -1 )
,si3£x^9
\
. si 1 < x < 3
(*-uj
- 1 + Vx(2 - x ) , s i 0 < x < 1
a) H allar, si e x iste , /* (x )
b) G raficar/(x) y / * ( x ) en el m ism o sistem a de coordenadas.
20. Sean / y g funciones de variables re a l, definidas por
V T x í+ T , s i x e [-7 ,-2 )
g(*) = i
/(* ) = í
/ xfl
/+ X 3
, si x e [ 0 , 2)
í 2 l fx/
,xe[3,-M»)
(_____
[ Ln Vx2 + 2 , x e [7 /2 ,4 )
H allar, si e x iste , la función (g o f ) (x) y su dominio.
•> En los ejercicios 21 al 2 4 , representar gráficamente el área de ia región determinada por las
relaciones dadas.
21. R = { ( x , y ) e K M y á l ^ + y ^ . y a L o g ^ x - l ) }
22. R = { ( x , y ) e IR21 y < L o g 2l x - l l ,4 x 2 + 9y2< 3 6 }
23. R = { ( x , y) e IR21 y + 1 < iLog^xl , > < l + ( l / 2 ) * ' }
24. R = { ( x , y ) e t R 2l > > - 2 + e x p J x - l l , x 2 + y 2 < 9 , v < 3 / 2 ( x + 2 ) }
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Capítulo 2: Límites
292
(2 .1 4 ) E L N Ú M E R O e
El número e es de los más importantes números especiales en las m atem áticas, pero
antes de dar su definición examinaremos previam ente los siguientes teoremas.
TEOREMA 2 . 1 5 :
T e o re m a d e W e ie rs tra s s
C ualquier sucesión creciente {a } tiene límite, finito si está acotado superiormente , e
infinito igual a + si no está acolado superiorm ente, con la particularidad de que
Iim a a = L = Sup {an}
n—»»
C ualquier sucesión decreciente {an} tiene lím ite , finito si está acotado inferiormente , e
infinito igual a - <*>si no está acotado inferiorm ente, con la particularidad de que
lim a n = L = ln f {fl(|}
n-»°°
D em ostración
Sea P = Sup
Supongamos que la sucesión {an} crece , está acotada superiormente , es
d e c ir, tiene una cota superior finita.
Probaremos que p = lim a a
En e fe c to , fijemos un e > 0 arbitrario . De p = Sup { a n} se deduce que Vn e «/fes válida la
desigualdad a p <, p y que existe un núm ero n£ tal que a n > P - e
P
p -e
+ oo
Entonces por el crecim iento de la sucesión {an} , para todos los números n > ng tendremos
p - E < a nE< a n< p
P o reso V n > n E, n e «/f, secu m p le la desigualdad l a n - p l < E . Esto significa q u e :
P = Iim a r
n—
Si la sucesión {an} no está acotada superiorm ente, entonces S u p { a n} =+<*>.
Mostraremos que en este caso :
lim a = +
n-*»
En efecto , elijam os un e > 0 de form a arbitraria . D e que la sucesión {on} no está acotada
superiormente se deduce que existe un núm ero nt tal que
> e . Entonces por el crecimiento
de la sucesión {an} V n > n£ , tendrem os: a n > a m > e . Esto significa q u e : lim a n = +
n—
D e form a a n á lo g a , se analiza el caso d e las sucesiones decrecientes.
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Sección 2.14 : El número e
293
TEOREMA 2.16
La sucesión
■¡f) } es m onótona creciente y acotada superiorm ente.
D em ostración
1. Probaremos que la función es creciente.
En e fe c to :
U na sucesión {a
}
es
creciente <=> a U< a ñ+l, ,f V n e Z*
L fl}
Entoncessi a n = (1 +
J
,p o reld esaiT o l!o d elb inom iodeN ew ton
“. = ' + ( í ) l + (2n) i + ( 3 ) l ? +
=
-
+ (")lF
o
t
-
= , + 1 + ¿ ( 1 . 4 ) + ^ ( , . i ) ( , . | ) + ... + J I [
^ n(n' i ) (
,
L
: r
d
<n' l ) 1 ( 7 )
)
]
(„
i \ n+1
1 + ------1 1 , es
n+ 1 /
(
+ ( Í T T ) i [ ( 1 - 7 r h ) ( 1- ITT.)
í'-iti)]®
En (1) observam os que a n consta de n + 1 sum andos positivos y en ( 2 ) , q u e a n+1 consta de
n + 2 sum andos p ositivos tales q ue los prim eros n + I térm inos de a n son m enores q u e los
n + 1 prim eros térm inos d e a n t , .
Esto significa q u e:
a „ < ü „*i ■ " = 1 - 2 , 3 .............
lo que dem uestra que la sucesión {an} es creciente.
2.
Probaremos ahora que la sucesión {an} es aco tad a.
En e fe c to :
D adoque
Jim ( £ ) = 0, las expresiones
, c = 1,2,3,
n—
>oo \ 11 /
n
. , de (1) se hacen c e ro ,
entonces
Ü" < 1 + TT + 2Í + 3 Í + 4 ! + '
y si 3 ! > 2 2 , 4 ! > 23, . . . , n ! > 2 " - ' , (n * 2 ) »
+ n!
-^Jtt < -¿7
entonces la desigualdad (3) puede escribirse
¿ f „ < l + l + i2 + 422r + 433r + . . . + 2r,"
1,
r=* an < 2 + 1 -- + A r + \ + . . . + ~ T )
"
V2
?2
33
21,-1 /
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^
Capítulo 2: Límites
294
La sum a d e los términos entre paréntesis es la de una progresión geom étrica cuyo prim er
térm inoes 1/2 y cuya razón tam bién es 1/2.
k [ 1 - (1/2)"]
1-1/2
i
y com o i # 0 i = > a n< 3 , V n e Z * lo que nos asegura que { a n} es acotada superiormente.
A dem ás, si n = 1 •=> ( 1 + "¡^ ) - 2 , y ocurre que
2 s (l + | )
< 3 , V n e Z *, cu an d o n —> ©o
Se concluye a s í , que la sucesión { ( l + p ) j- es creciente y acotada superiorm ente ,
lo que quiere d e c ir, que por el Teorema 2.15 tiene límite. Este límite se denota por la letra e.
Definición 2.24 : EL NUMERO e
E! n ú m ero e , lla m ad o n ú m ero n e p e ria n o , se d e fin e com o el lím ite d e la su c e sió n
{ (l +
cuando n crece indefinidam ente. Es decir
e = ^
( , + -i)-=SuP { ( , + ± ) ’ }
cuya aproximación decimal e s : e = 2.7182818284. . . .
Como se puede observar el número e es irracional y aún m á s, trascendente, es d e c ir, no es raíz
de ninguna ecuación algebraica con coeficientes e n tero s. El número e en el análisis matemático
juega un papel im portante. En particulares la base de los logaritmos naturales.
Al L o g eN se le llam a logaritmo natural o neperiano del número N y se le denota por
LnN.
L a relación entre el logaritmo natural y el logaritmo decimal de un número (Log N ) , es el
siguiente:
D e la propiedad L .6 (cam bio de b a se ), se tiene que
LnN =
Como — -— =
Loge
2.3026 y
3
IS N
Log e
-—Í-—
L n 10
o
Log N =
L«N
Ln 10
= 0.4343 , las relaciones (1) toman la forma
Ln N = 2.3026 Log N
o
Log N = 0.4343 Ln N
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(])
Sección 2. ¡4: Ei número e
295
D e fin ició n 2 .2 5 : FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Es la función exponencial de base e y se define para iodo x como
e x p : IR—>(R+
x —> e'
cuya regia de correspondencia e s : exp = { (* , y) e iRx 1R+ | y=e*}
C o m o sep u ed eo b serv arelD o m (ex p ) - IR y elR an (ex p ) = (R+ . es d ecir, su gráfica (Figura
2.64) se extiende sobre el eje X , y dado que e > 1 , la función exponencial es inyectiva y
creciente en todo su dominio. A demás se cum ple q u e :
a)
lim í* = +oo
,T—
*+«*>
D e fin ició n 2 .2 6
b)
lim e* = 0
FU N CIÓ N LAG A R ITM O NATURAL
Es la función logaritm o de base e , denotada por L n y se define para lodo x > 0 co m o :
L n : (R+
(R
x —» Lnjc
cuya regla de correspondencia e s : Ln = {( x , y) e IR+ x IR i y = Ln x}
La función logaritmo natural es inyectiva y creciente en todo su dominio ( 0 , + ° q) y rango IR.
Además se cum ple que
a)
lim Ln x = + 00
x -> + °c
b)
lim Ln x = - 00
j r —» o *
Una consecuencia inm ediata de la propiedad
e‘ = y
<=> L n y = x
es q u e :
L n (e x p x ) = Ln(e*) = x , V x e ÍR
exp(L nx) = eLta = x , V x e tR+
y de la propiedad de reflexión de las funciones inversas,
se sigue que las gráficas y = e* e y = L n * son reflexiones
una de la otra con respecto a la recta y = x , com o se
muestra en la Figura 2.64.
Ahora veamos la influencia que tiene el número e
sobre dos funciones reales f y g , definidas p o r :
F J G U R A 2 .6 4
/( * ) = (I + l/x)x .c o n d o m in io x e < -*»,- 1) U ( 0 , + 00)
g(jc) = (1 + jt)Uz,c o n dominio x e ( - 1 , 0) U (0 , + «»)
Tracemos una gráfica de cada una de ellas.
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Capítulo 2: Límites
296
a-
En la Figura 2.65 podem os observar que cuando x crece sin límite a + ° ° o decrece sin límite
la función tiende a la recta y = e , esto e s :
i)
lim ( l + -jr)
-XI
= e
ii)
4
lim ( l + ) = e
X—
»- oo'
x>
Como los límites laterales a la derecha e izquierda son ig u a les, es válido el enunciado
- e
lim (l + -L)
A nálogam ente, en la Figura 2 .6 6 , los lím ites laterales en x = 0 son ig u ale s, esto e s :
i)
lim ( l + x ) l/J; = e
*—
»o+
¡> •=>
ii)
lim (1 +x),ta = e
lim
x -*0
(1 + X ) 1'*
= e
x-*0"
A continuación tratarem os de probar estos lím ites m ediante el siguiente teorema.
TEOREMA 2 .1 7
Sean las funciones / : (R —» ÍR y g: ÍR —» IR , definidas por
/(x ) = ( l + 4 r
y g(x) = (l+ x )‘*
entonces :
lim (1 + 4 ) ' = e y
D em ostración
i) Probarem os que
bm (1 + x )lí* - e
j—
»0
lim f ( x ) = e , r e ( 0 , + <»)
En e fe c to :
1.
Com o cada valor de x e ( 0 , + «>) está com prendido entre dos números naturales consecu­
tivos , esto es
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Sección 2.14: El número e
297
2. Si elevamos cada extremo de esta expresión a una potencia correspondiente tal que no altere
el sentido de la desigualdad , obtenemos :
3. Cuando x —» + o®, entonces n —» + « > , pues x e [ n , n + 1)
A h o ra , evaluando los límites de los términos extrem os, se tie n e :
4.
lim ( l + — M ‘ =
lim ( l + — -— ) n* ' ( l + — ■— ) ' = ( e ) ( 1 + 0 ) = e
n-> + ~ '
n+F
n -» + ~ '
n+F
'
n+F
5.
lim ( ] + - í - ) " + l =
n—
»+ <*>v
n /
6.
lim ( l -f J - ) " ( l + -M = é Í I + 0 ) = e
n—
♦♦ oo v n / '
n*
L u eg o , de ( 2 ) , (4) y (5 ), por el teorem a del “sandwich” , se sigue
- e
lim f l + - i )
ii) Probaremos que :
_
-
lim ( l + -Jr)* = e , x e
-1 )
00
En efe c to :
que
1. En este caso conviene hacer un cambio de variables .e s to e s si x + 1 = - u =* x = - ( u + 1).
Cuando x —>- 00, e n to n ces, u —>+ <*>
2. Luego:
|im ( 1 -
U m ( l + - * - ) '=
x
u-* + ~ '
t
~
=
U + l '
lim
íu + 1 )" '
u-» + «
\
U
I
„ ]“ „ ( > + ¿ ) " ( , + t i ) = « o +°> = *
iii) Probaremos q u e :
lim ( l + x ) l/x = e
Jr-i0
En e fecto , sea x = 1/u «=> u = M x . C u a n d o * —» 0 . entonces u —»«*>
Luego:
l i m ( l + j c ) lfa=
x
lim íl+ -i)
u-»«»
- * 0
'
=e
u '
[2 .1 4 .1 ) PROPIEDADES DE LOS LÍM ITES EXPONENCIALES Y
LAGARITM ICOS
L .E .1 :
lim ( l + - ^ ) ' = e
X—
*+«
A
L .E .3 :
lim
( l + £) * = ea
«•_____ k x m
L .E .2 :
lim ( l + x ) ,ta - e
x-*0
L .E .5 :
Si lim f ( x ) = 0 , con / ( j c ) * 0 , para r í a
L .E .4 :
A
lim (1 + a x ) l' * - e a
*-*0
t=> Hm [1 + f ( x ) ] UfM = e
x —*a
x-* a
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Capítulo 2: Límites
298
L. E . 6: Si a > O y fl * 1
L. E . 7: Si lim
/ ( jc)
lim ( a r * ) = Ln (a)
x —*0 '
= L , L > O *=> lim [L n
x-*a
L .E . 8:
lim (
*-»o *
(2 .1 4 .2 )
'
■*
/ ( jc)
] = Ln [ lim /(jc) ] = L n (L)
x —*a
x —*a
Ln (1 +JC)
,
)= 1
x
•
l ím it e s
de
la
form a
:
i,m [ / « ] » ” = l
x-* a
Al evaluar límites de este tipo se debe tener en cuenta 3 c a s o s :
C a s o l Si existen los límites finitos
lim / ( jc) = A
x —*a
C aso 2
y
lim g(jc) = B «=> L = AB
x —> q
Si lim / ( jc) = A * 1 y
i —» o
lim g(jc)= ± ° ° , el problem a de h allar L se resuelve
x -* a
d irectam ente, pues al tener L la form a indeterm inada 1*'", ocurre que :
a) Si A > 1 ¡=> L = A*“ = +oo
b) Si 0 < A < 1
C aso 3
o
L = A ‘“
y
L = A“ = 0
= 0
y
L = A " = +<*>
Si l i m / ( jc) = 1 y lim g(;c) = ± ° ° , tendremos la indeterminación
l +~
x —* a
i —
El problem a se resuelve suponiendo que f ( x ) = 1 + h(jt) donde
lim h(jc) = 0 ,
x —* a
en to n ces:
L =
donde u =
lim {[ 1 + h(jc) ] l/hw}
~
x —»o
lim h (jt)« g(jt) =
x —* a
lim [ f ( x ) - 1 ] g(jc)
x —> a
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
[EJEM PLO
ll
2 .-5
Calcular: lim ( - , ? ~ A x ) 8-3.»
x _»2 '
Solución
Sean f ( x ) =
oSi
*
A = lim
x-* 2
X ' - 3 jc + 2 •
8^ § f
y
.r, ,
..
if ( x ) «=> A = lim
x -* 2
(X + 2 )(x -2 ) =
-—
r
( x - l ) C * - 2)
Um(* ± l) = 4
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
X - \
/
Sección 2.14: El número e
299
Como A y B son números fin ito s, tenemos el Caso 1 , por lo que
L = A B = 4-M = 1/2
EJEMPLO T )
Calcular:
lim f
*_»+0oV 3jt + 2 /
*7
>,2 1 j.
Solución
Sean las funciones : f ( x )
Hm f ( x ) o
SI A =
=
A =
2 —
2^
lim
y g(jc) = 2x + 3
í ^ + f~ 3) = I
X —* i oo '
J A
T
Z
'
J
lim g(x) c=> B = lim (2x + 3) = +00
B =
( _» +oo
£ — »+eo
Tenemos el c a s o , 2 donde 0 < A < 1
y
B = + «*•
L = (1/3 )-“ = 0
EJEMPLO
Solución
3 ) Evaluar:
•
lim ( ^ 4 )
x-*+°° \ x + 3 l
Por el cálculo directo del límite obtenemos al forma indeterminada 1*“ . Tenemos
el Caso 3.
E nto n ces,si f ( x ) = 1 + h (x ) ■=> h(x) - f ( x )~ 1 =
L uego, L
=
<=$1 1 =
/
[EJEMPLO
4)
a
h(jr).
g(x)
¿ —>+ 00
lim (- —4 t ) ( x + 2) =
X—
>
+« *
Solución
=es , donde u = lim
lim f X~ ^ )
x —> + 00 * X + i
x ~\ - 1 = jt + 3
jc + 3
lim (-' ^ " 8 ) = - 4
T J /
AT J
L =e
/
C alcular: lim ( C o s jt+ a S e n k c )1'1
*-»0
*
Al sustituir x = 0 , el lím ite tom a la form a indeterminada 1“ . Tenemos el Caso
3 . L u eg o , si
f ( x ) = 1 +h(Jt) «=> h(jc) = (C o sjt+ S en bx) -1 = a S en b x - (1 -C osjr)
<=$ L = lim (C o s x + a S e n fc * )l/r = eu
x —> 0
, ,
donde
(1)
,
.• / a S e n f t j c - ( l - C o s x ) \
u = lim h(jc) ■g(jc) =
lim {---------- 1
jt —
»o
j- * o v
■*
’
=
i™ ( “ S o r b x \
j i —» 0
\
X
/
1¡m ( l - C o ü x \
JC -+0 \
X
t
lim ( Se.nfcx ) - lim í 1 " * ? 5 * ) = a b ( l ) - 0 = ab
x_ » o ' b x 1
x^ o '
x
1
Por tan to , en (1 ):
L = e06
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= (ab)
■
Capítulo 2: Límites
300
5 )
[e je m p lo
V
.
C alcular:
«0
-
Solución
lim (1 + C o sjr)
x-* n T 2
Obsérvese que si f ( x ) — Cos x <=> lim f {x ) = 0 , luego , haciendo uso de la
propiedad L .E .5 , se tiene
x-*n/2
lim [ (1 + C o s jr)l/c“ * ] 3 = [e ]J = e 3
L =
X —
E JE M P L O
Calcular: lim ( a ~ M
6 |
—^
Solución
■
►
jc
/
2
x
x -* o '
(PropiedadL.E.6)
'
Un cam bio de variables es necesario en estos casos
Sea u = fi‘ - l c í a ‘ = 1 + u
.
•.
L n (l+ u )
«=> jc L n a = Ln (1 + u ) <=> x = — ;--------Lna
Cuando x —» 0 , entonces u —> 0
U » .
L
E JE M P L O
.
^
7)
)
.
« n .J J Ü iL ,)
Calcular:
lim í - ^ r ^
*
S
Solución
x-»fcV
X -B
, a>0
•
Hacem os el c a m b io : x - b = u ■=> x = fc + u
Si jc —» b , en to n ces, u —»0
L uego, L =
lim ( - —
u -» 0 '
~ a b lim í ^ f ^ )
u-»0 V
'
U
y por la propiedad L .E .6:
(e j e m p l o
s
Solución
8)
‘
L = a*Lna
Calcular:
*
U
lim
x—»0 '
X
•
Con el artificio de sum ar y restar 1 en el n um erador, se tiene :
L = | m 1( fe", - | ) - (e‘, - i ) ) = lim ( í ^ I ) . , ¡m ( 4 ^ i )
x -» 0V
X
1
x —> 0 '
X
•
x -t 0 '
X
Para aplicar la propiedad L .E .6 , escribim os:
L = a lim (
M - b lim
— - ) - a Lne - b Lne = a - b
x—
*0 v a x •
x—
»0 V b x •
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
•
301
Sección 2.14: El número e
(e j e m p l o
9 |
^ ■
-
-
C alcular: lim (C os*)’" '
x —» 0
*
Solución
Por sustitución directa, el límite tiene la forma indeterminada 1"°. Tenemos el Caso
3.
L u eg o . s i f ( x ) = 1 + h(x) >=> h(je) = Cos x - 1 = -(1 -C o sx )
«=> L = lim (C o sx ),,z2 = e“
(1)
x —» 0
donde u = lim h(x)*g(x) = - lim (1 -C o s x ) ( - 4 r ) = - lim ( * ' ^'^>sx)
x —» 0
x —» 0
Solución
X-
x-»0 *
I
L = e in = 1/Ve
Por lo ta n to , en (1 ):
(EJEMPLO 1o )
V - ^ '
C alcular: lim jr[ Ln (x + l ) - L n x ]
Elim inaremos la indeterminación <»(©° - ©o) , aplicando la propiedad L.2 de los
logaritm os, esto es
L = Jm
x L n ( í± I ) = lim L n (l+ I)'
y por la propiedad L .E .7:
L = L n [ lim ( l +
EJEMPLO 11 ) Calcular:
J
Solución L =
lim
lim ( ~ )
x—
»o ' o x '
Ln ( ! + a x j
Vi - a x l
Ln
4 - / ] = L n (e) = l
■
y l-ax
= Ln [ lim ( - - 1
)
Lx -» o Vl - flX '
j
J
El límite del corchete tiene la form a indeterminada 1°*
L uego, s i/( x ) — 1 + h(x) o
híx) =
E ntonces: L = Ln ( lim ( \ + g x )
L*_»ov l - a x •
- 1=
1 = L n l« u ] =
J
donde , u = üm h(x)*g(x) = lim ( ^ a x )
) = lim \ (-¡—í— ) =
x_ o
x - » o 'l - a x ! \ 3 a x l
X^ 0 3 \ l - u x ¡
Por lo tan to , en (1 ):
L = 2/3
EJEMPLO 12) Evaluar : lim (T gx)7*2'
x -* n /4
( 1)
v '
u
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
\
3
■
302
Capítulo 2: Límites
Solución
El límite tiene la form a indeterminada 1“
L u eg o , si / ( jc) = 1 + h(jc) <=> h(x) = T g x - 1
E ntonces:
d o n d e ,u =
L =
lim (Tgjr)1*2’ = e u
x-*JÜ4
lim h(x)*g(x) = lim ( T g x - I ) T g 2 x
x - » JÜ4
,
x -tití4
,lm ( T g ^ - O Í - ^ )
x-+nM
' 1 -T g 'X f
=-
lim ( 2 S £ . ) = . ( ^ ) = . !
j - ^ ' l + T g X¡
V| + W
L = e 1 = Me
P o rta n to ,e n (1 ):
(E JE M P L O 1 3 )
v
Solución
(1)
Calcular:
u
lim ( '°S (* + U + l * g ( * - V - 2 | o g ^
h—»o'
n
i
^
Haciendo uso de las propiedades de los logaritm os, el límite se reduce a :
L = lim — 6 ^ x 1
h -»o
h2
^ =
lim L o g f l - • í4 ) l'h3= Log [ l i m ( l - - ^ ) l/h2]
h_»o
V x2i
fcLh -» o v
X1/
j
La sustitución directa da al límite la forma indeterminada 1" (Caso 3)
L u e g o ,si /( * ) = 1 + h (x ) «=> h(x) = ( l -
- 1 = -
r=> L = Log [ e u] = u L og e
donde , u = lim h (x ). g(x) = lim
h_»o
h -» o '
Por lo q u e , en ( I ) :
^
Solución
Calcular:
lim ( a’^ + ^ ' h - 2 g J ) , f l > 0
h -» n '
lim ( . < - ^ ± ^ 1
h—
*0 '
nn
ax / a 2h - 2 c h + 1 \
i= iL =
= lim - 4 ( g
?hg2 ■ /) =
h_>0 a" \
Ql*
y por la propiedad L .E .6: L =
(L n a )2
(E JE M P L O 1 5 Í
Solución
■
•
ir
P or la regla de los exponentes se tiene
L=
V
= —V
x
L = (--\-)L o g e
[e je m p lo 14 )
s
/vn /
(1)
*
'•
- lim a » ( a > t ; !" - 2
h -» o
'
ir
h-*0
,•
a * f a h- 1 \ 2
i™,0 4flh( V4 ^h ) /
h_
= a xL n2a
Evaluar : lim .C o f o O - C o s f r r Q
Jt-»0
JT
Transform ando a producto la diferencia de cosenos , se tiene
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 2.14: El número e
L=
lú n (
x-»0
2) [se n ( * ™
) Scn( ~ l ^ i ) ]
A = ^ (e" + e 1) y B = ^ (e* - e'”) «=> AR = jtV 2* (
H agam os:
-
303
l =j™(- ? ) t i ^ i m
i
y por la propiedad L .E .6 :
(e je m p lo 16)
Solución
-)
a b = j ™ ( m x . ) ] ^ ( ^ i )
L = - 2(1) (Lne) =--2
lim j a * +b^ + c*
Calcular:
t a . b , c e IR*
Por el cálcu lo directo vem os que el lím ite tom a la form a indeterm inada l " ,
(C aso 3)
L u eg o ,si f M = l + h U ) «
«
h W = a ‘ + b ' + c ' - 1 = “' + b- + c - - 3
L = lim ( ^ ±
x_»0x
donde u =
i l ) ' “ = c.
5
lim h(jr)*g(jr) = lim ( a
*-»o
* -» o '
= y
(l)
>
3
+ c ~3' ) ( - ] ; )
i \ x /
lim
^
( Lnn + Ln6 + L nc)
(L .E .6 )
y por las propiedades de los logaritmos : u = L n(ylabc )
L = é w 1 S i = tfabc
Por ta n to , en (1) se tiene
u
Ln ( l +xe*)
EJEMPLO 17) Calcular: lim1 ------------ . ...
'
Solución
X-*
P o r el artificio de multiplicar y dividir por l /x se tie n e :
L -
Sea L =
o L n (jr + \ l + x 2)
lim
x—
>o
Ln
(J
x
+ x e J‘ )
(1/jr) L n (l + x e x)
lim
x-»o (1/jr) L n ( x W l + jc2)
=
,.
/L n (i+ x e * M
c/l.
.
tim e x( ---------] = e (1) = 1
x-*o
'
xe
/
Sea L2 = lim L n(x + Vl +x2),ír = Ln [ lim ( r + Ü T ? ) 1'1]
x -» 0
x
—9
o
Aquí el límite L 2 tiene laform a indeterminada l “ (Caso 3)
L uego, s if ( x ) = 1 + h (x ) «=> h(x) = x + V l + x 2 - 1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(LEÜ)
304
Capítulo 2: Límites
i=> L 2 = Ln [ ev ] = u
donde u = lim h(x) • g(x) = lim (x + Vi +X2 - 1 )
-r-»0
L =
Vi + X2 - 1
lim (1 + V1 + x ^ ' 1 ) =
1
,-» o v
Por lo ta n to , si
*
)
lim (1 +
'
,
jt- * o
* ------ ) =
V í+ j?
1+0=1
+ l ;
L = -r^~ <=* L = 1
L2
EJEMPLO 18} C alcular : lim (Cos V5a ix )*“
*
»
Solución
i-» —
Un cam bio de variables es aconsejable en estos casos.
Sea 2 =
« 2 = 5 “
X
>
Zz
Si x —><x>, entonces z —» 0 , lu e g o :
L=
lim (Cos z )Sohtl2
z-»0
La sustitución directa da al límite la form a indeterminada l “ . (Caso 3)
Si / ( z) = 1 + h(z) i=^ h(z) = / ( z) - 1 = C os z - 1 = - (1 - Cos z)
=> L = lim (Cos
= eu
(1)
z -> 0
donde u = lim h (z )-g (z ) = - lim (1 - Coz) í - ^ r )
z ~»0
2
z~»o
= . 5ab lim ( J _ i ^ s z \ = _5ab n
z-* o '
z
)
(Ejemp1o9)
/
L = e '5abf2
Por ta n to , en (1) se tiene :
Nota
' 2
/
/
■
Cuando el límite de una función toma una de las formas indeterminadas 0 ° o to°, éstas pueden
ser reducidas a la forma 0 - , hallando el límite del logaritmo natural de la función dada.
EJEM PLO 1 9 ]
Solución
C alcular:
lim (3 + 2 eT^ ) K■21
a—
»n/2
M ediante el cálculo directo del lím ite obtenemos la form a <»0
Para reducirla a la form a 0 . 00, procedemos del m odo siguiente
1. S e a /(x ) = (3 + 2 e T*‘)’“ 2* <=> L n /( x ) = (n - 2x) L n (3 + 2eT* )
2. Tomando límites en ambos extrem os d e la igualdad se tie n e :
Ln [ lim / ( x ) ] =
x -* x /2
=
lim [ (7 t-2 í) L n (3 + 2 e T&I) ]
i-»n/2
lim [ (n - 2x) Ln (3 e~Je* + 2) eTv ]
X -* 7 l/2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
305
EJERCICIOS . Grupo 19
lim {(7t - 2x) [ L n (3e TBX+ 2) + Ln (el v j \ }
ic/2
=
x —»
lim [ (ic- 2 x ) L n ( 3 e'Tt* + 2 )] + lim (7 t-2 x )T g x
=
x —»n/2
x -tr t/2
=
[(0) Ln (0 + 2) ] + lim (jc - 2x) Cotg ( - | -x)
x —»rt/2
=
. % Cos ( ti/2 - jr )
lim (tc-2jc)
; — f
x-*nn
Sen(7t/2-x)
-
2
= 2 (1 ) (1) = 2
3.
L u eg o ,si Ln [ lim / ( x ) j = 2 «=> lim /(x ) = e 2
x -* n íl
x -* n í2
E JE R C IC IO S
. Grupo 19
❖ C alcular, si e x isten , los lím ites propuestos
1.
lim |
X —* 1 1
l
lim
/
l
7
/,
lim
X —*<■>
9.
2 .
jc /
2 x -l\" 2
2x - 3 /
f
3. lim |
5.
2+
x2 + 2x - 1
2x2 - 3x - 2
4.
6 .
/
jm ffir
lim ( s -+ * v T
2+x
/
* _ » + « '
X + fl \ *
l 'x - J
/
8.
lim (1 + x 2) Ct**2'
1 0 .
1
lim
/
lim
x _ » + « v
a
a
>T + Í J '
L
^ + b j
1
\
1
c
• M
. 1
"
>
lim (1 + Sen Ttx) Cc,í*
i
X -*
1 1 .
lim [1 + 6 T g 2(V 2 x )],,4x
x—
»0
12.
13.
/ l + T g x \ l/s*nx
lim
x-M) \ 1 + S e n x 1
14.
15.
/ S e n x \ I/Jr fl
lim
*-»o ' S e n a /
16.
17.
lim
(Sen x ) T&r
18.
lim (x + C o s 2 x ) c<*“ 31
x-»0
/ 1 + T g x \ 1/s' n2*
lim 1 ——=------)
x_»o * 1 + S e n x 1
n m [T g( | - , ) ] -
x —» h /2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
1
i
Capítulo 2: Límites
306
a
reTg
Z
«
19.
*_►
» n0\
*—
«*
20. lim (s e n — + C o s —)
/
* —* o v
21. lim (VCos Vjr)
x-»0
22.
23.
24.
25.
lim ( J 1 ± f ) n
lim C o s " (
'
)
\n
x
'
lim (Vi - 2 x )
x -* 0
n_»»\ n - 1 /
n—
*
«
■
=
■*
*-> + « '
■*
'
26.
lim ( l n * - L n a ) ,o >0
*-a
'
l
27.
lim [ S e n L n ( x + l ) - S e n L n x
X—t+oo
28.
y
{ Ln(.y2- x + l ) \
x “ T J L n ( x l0 + x + l ) ^
29.
Ln ( 2 + e 3j)
*-»+« L n (3 + e2*)
30.
Ln (1 + Vx + Vx)
lim
^i— 4<
—
*-»+«- L n ( l + \ x + \ x )
Ln Tg(7t/4 + a x )
Sen bx
32.
31.
lim
x->0
33.
lim
ir—
»0
35.
lim
x —>a
36.
lim (x + e*)17'
*-»0
37.
lim ( 1 + x . 2 x \ u*
x—*0 V 1 + x • 3x /
38.
üm ( l + S e n x C g s g ^ \ CoigJi
x_»o ' 1 + Sen x Cos px /
39.
/ Sen nx* \
lim
x-> 1 v Sen Ti x* /
40.
lim
41.
lim
n—
»= r * i j + i )
42.
ea* - e bax
lim (
.i\ \ S e n n x -S e n fc x )
43.
>x a - a ° \
lim I
x-*a 'i xp - a* /
44.
45.
lim n ( Vx - 1 ) , x > 0
n-»««
46.
lim n2( V x - n+Vx) , x > 0
47.
lim ( o - i + 7 ¿ ) n a > o ' ¿ > o
n-»«
48.
lim ( ^ i ^ ) " , a > 0 , 6 > 0
49.
>a **' +b**} + c r+l \ lh _ L
lim 1
,
i , a , o , c , c IR+ 50.
a+b+c
/
x-* 0 '
51.
lim
Ln (nx + Vi - n 2 x2)
Ln (x + V i - x 2 )
ín’ - b‘ 12 . a > 0 , b > 0
34.
52.
Sen2 ( t i • 2x)
Ln Cos ( t i • 2x)
j
xT»
/ (x + a y * a (x + b y * b \
(x + c + fc )2**” * ’
l
lim ( ‘? l ± £ l ) ,\
x-»0 ' fl'+ P * /
o > 0 ,f,> 0
lim ( aa2- a’2 ) , a > 0
*_>a V
a 1 -X a
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
/
( 3- 1J
IN T R O D U C C IÓ N
En el lenguaje ordinario decimos que un proceso es continuo cuando éste ocurre sin
interrupción o cambios abruptos. En matemáticas lapalabra continuo tiene el mismo significado.
En efecto , si consideramos una fu n c ió n / definida sobre un intervalo, intuitivamente diremos
que la función / es continua si su gráfica no presenta interrupciones o rupturas sobre dicho
intervalo.
F I G U R A 3.1
La Figura 3 .1 nos muestra tres formas diferentes de! comportamiento de una función en las
proximidades del punto x n
En (a) se observa que la G r(/) es continua en jr0 e D o m (/), es d e cir, /(jc0) está definida y existe
L = lim f ( x ) y se cum ple que L = f(x..)
X
X
y
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 3: Continuidad
308
En (b) y (c) se m uestran funciones no continuas en x0 e D om (/) por una de las dos siguientes
razo n es: en ( b ) , f ( x ) carece de lím ite cuando x tiende a * . , es d e c ir, no existe lim / ( x ) , por
x -* x 0
lo qu e no se puede afirm ar q u e L * f ( x ¡ ) , y en ( c ) , f ( x ) tiene lím ite cuando x —»x0 , pero
que, L
En consecuencia una traducción muy sim ple de todo lo dicho se sintetisa en la siguiente
definición.
Definición 3.1 : CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Se dice que una función / es continua en x0 e D om ff) s i , y sólo si
lim /(x ) = f ( x a)
Por ejem plo , son funciones continuas en cada uno de los puntos de sus dominios
1. Las funciones polinóm icas pues :
lim P(x) = P(x )
2. Las funciones racio n ales, o sea los cocientes de polinomios
3. Las funciones trigonométricas
a) Sen x y C os x en todo punto x
b) T e a = -J r ~ *- , en todo x tal q ue Cos x * 0 <=> x * 2kK + ^ , k = 0 , ± l , ± 2 , . .
Cos x
2
c) C otg x — — - ^ , en todo x tal que Sen x * 0 <=> x * 2krc , k = 0 , ± l , + 2 , . . .
o€n
jc
Recordando la definición del lím ite de una función en un punto x a , una traducción directa de
lim f ( x ) = /( x u)
Y -
en térm inos de e y 8 es la sig u ien te:
Para cada e > 0 , existe 8 > 0 tal que si
t
/ w
0 < I x - x J < 8 <=> | / ( x ) - / ^ ) ! < e
pero en este caso , si x0 e D o m (/) y es un punto de
J U ,)
■
:
acumulación , la restricción 0 < Ix - x01 es innecesaria,
puesto que si tom am os l x - x 0 l = 0 , entonces x = x 0 y
1
E
0
/ ( x ) = / ( x 0) ,p o r l o q u e l / ( x ) - / ( x tl)! = 0 , ciertamente
es m enor que £ .
x„
1*—
x s+ S
*j
F IG U R A 3.2
En co nsecuencia, una caracterización £ , 5 de la continuidad en xü está en la siguiente definí
ción.
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309
Sección 3. / : Introducción
Definición 3.2 s DEFINICIÓN (z - 8) DE LA CONTINUIDAD
Se dice que una función f es continua en x Q€ D o m (/) s i , y sólo sí
V e > 0 , 3 5 > G l si Ijt - A'p I < 6 o
I/(
a
)
- /(*„) I < e
Una nueva definición, en términos de vecindades, en un lenguaje intuitivo simple lo obtenemos
d é la Figura 3.2.
Definición 3.3 : CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VECINDADES
Una función / e s continua en x Qs i , y sólo s i , para a próximo a x 0 , /(a ) es próximo a / ( x 0).
Formalmente:
V £ > 0 ,3 S > 0 | s ix e
o /fx)e V, l/(xc)]
OBSERVACIÓN 3.1
Si x(|es un p untode acumulación del D o m (/) entonces las Definicio­
nes 3 .1 y 3.2 son equivalentes , lo cual implica una nueva definición
más explícita de función continua en un p u n to , que es la siguiente.
Definición 3.4 : CONDICIONES DE CONTINUIDAD
Se dice que una función es continua en el punto x , e D om (/) s i ,} sólo s i . b t satisfacen
las tres condiciones siguientes :
■) / ( a„) está d efin id a, es d e c ir, existe /( x uj
¡i) Existe
lim /(x )
X -* Í%
iii)
lim /( x ) = /( x (|)
X -»*,
TE O R EM A 3.1
Suponer que / es una función continua en x (] y q u e /(x tí) > 0 , entonces existe un núm ero
5 > 0 tal q u e /(x )> Ü para todo x que satisface I x - x J < 5
Demostración
1.
En e fe c to :
Como / es continua en x u entonces por la Definición 3.2
V e > 0 , 3 5 > 0 | V x que satisface | x - xDI < 8 t=> I /(x ) - /( x H) I < £
2. Por hipótesis/(Xp) > 0 y com o e > 0 es arbitrario podemos elegir £ = /( x 0) , de m odo que :
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Capítulo 3: Continuidad
310
3. Si l/C*) -/( * „ ) I < /(* „) <=> "/(* ,.) < W
“ /(^o ) < /t*n)
<=> 0 < / C * ) < 2 / ( jc„)
4. De donde , / ( x ) > O se cum ple V x que satisface I x - x J < £
C o ro la rio '
Suponer que / es una función continua en x0 y que / ( x ,) < 0 , entonces existe un
número 8 > Otal que f ( x ) < 0 para to d o x que satisface U - x u I < 8.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
¡^EJEMPLO 1 )
D ada la función /(x ) =
x 3 - x 2 + 2x - 2
x- l
, si x e ( - 1 , 2) , x * l
, si X = I
Determ inar s i / e s continua en x = l .
Solución
En x e {-1 ,2 ) , /(x ) = ——
^
= x3 + 2 , x * l
Veam os si p ara x = I se cum plen las condicio n es de la D efi­
nición 3 .4 :
i)
ii)
/ ( l ) = 3 , existe por definición
lim /(x ) = lim (x2 + 2) = i + 2 = 3
X —
»l
X—
►
l
iii) D e (i) y (ii) se sigue que :
lim /(x ) = / ( l )
X —
»I
Luego , / es continua en x = l , cuya gráfica se muestra en la
Figura 3.3
■
(j EJEMPLO '2 ]
F IG U R A 3.3
Para qué valoras de x la función definida por
m
=
x2- 3 , si - I < x < l
2 x - 4 , si I < x < 2 , es c o n tin u a. Trace su gráfica
5 - x 2 , si 2 < x < 3
Solució n
Siendo / una función seccionada, los posibles puntos de continuidad se presen­
tan en la unión d é lo s intervalos de d efinición, esto e s , en x = I y x « 2 . A nalice­
mos la continuidad en cada caso.
1.
Continuidad e n x = I
i) / está definida en x = I , pues en x € (-1 , ! ) : / ( ! ) = ( l)2 - 3 = -2
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Sección 3.1 : Continuidad en un punto
311
ii) Si a: está en la vecindad de I y x < 1 , entonces los valores d e / se acum ulan c erca de
lim (x2 - 3 ) = I2 - 3 = *2
i-» r
S¡ x está en la vecindad d e I y x > 1 , entonces los valores de / se acum ulan cerca de
lim (Z x -4 ) = 2( 1 ) - 4 = -2
*-» i+
Como lim /(x ) = lim /(x ) *=$ existe lim /(x ) = -2
* _ ,r
* -» i+
¡ii) S e c u m p le q u e : lim /(x ) = / ( I ) = -2 , lu e g o /e s continua en x = I
x -* i
2. Continuidad en x = 2
i) E n x e [ 2 , 3 ) , / ( 2 ) = 5 - ( 2 ) 2 = 1 existe.
ii) Si jc está cerca de 2 y x < 2 , los valores d e / se acumulan
cerca de lim (2a:- 4 ) = 0
x -* 2 ‘
En tanto que si x está cerca de 2 y x > 2 , los valores de /
se acumulan cerca de lim ( 5 - x 2) = 1
x -* 2 *
Com o lim /(x ) * lim /( x ) => 2 lim
a-»2*
x
-* 2 +
iii) No se cum ple la condición :
x
/ ( jc)
- * 2
lim /(x ) = /(2 )
x -* 2
Entonces la función / no es continua en x » 2
En consecuencia, la función es continua en todo su do m in o , excepto e n x = 2 , u cuya
gráfica se muestra en laF ig u ra3 .4
■
( EJEMPLO 3 )
Para qué valores d e x es continua la función
ñ x ) = <j
Solución
Si /(x ) =
2L+3—
x 2+ x -6
4
I
x+3
(x + 3)(x - 2)
1
x -2
, Vx , excepto x = -3 y x = 2
, si x » -3
, si x » 2
, x * -3 , x * 2
podemos observar que el denom inador de la función / es nula en x « - 3 y x » 2 , por esta razón
daremos una definición separada en estos p u n to s, esto es :
1. Continuidad en x * -3
0 /(-3 ) = 4 , existe por definición
ii)
lim /(x ) = lim ( ~ - ^ ) = - ~
x-t-i
*-*-3' x - 2 >
5
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312
Capítulo 3: Continuidad
iii) Com o lim
la función es discontinua
/ ( jc ) * / ( - 3 ) ,
x-* -3
en x - - 3
2. C o n t i n u i d a d e n x —2
i) /( 2 ) = 1 , existe por definición
ii) En la Figura 3.5 podem os observar que si jc —>2 por
la derecha la función crece sin c o ta , en tanto que si
x —» 2 p o r la izquierda la función decrece sin cota ;
es decir lim /(jc) = +©» y lim f ( x ) = - » .
x-* 2 +
x -* 2 '
S ig n ifica que lim f ( x ) no existe. N o se cum ple que lim /(jc) —/ ( 2 ) , p o r lo que la
x —» 2
x -* 2
función también es discontinua en x = 2.
P or lo ta n to , la función es continua en todo su dom inio excepto en jc = -3 y jc = 2
lÉJEMPLO 4 j
\x>-4\ , s i x * ± 2
Sea la fu n c ió n : f ( x ) = *
3
, s ix = ± 2
A nalizar la continuidad de / en los puntos x = -2 y jc = 2
Al elim inar las barras de valor absoluto obtenemos
x2- 4 ,s i x < - 2 v x > 2
4 -x 2,s i- 2 < x < 2 ,x * + 2
3
, si x = ± 2
/w Continuidad en x = -2
i)
ii)
/(-x )
=
lim
jr—
»- 2
lim
3 .e x iste por definición
/(jc )
lim (4 - x 2) = 0
•-2
=s
/(x ) =
x - * - r
lim
Luego . existe lim
x -*-2
iii)
Com o lim
x^ -2
(jc 2
- 4) = 0
x - * - r
/ ( jc) =
/ ( jc ) *
d is c o n tin u a e n
jc
/ (-2 )
0
, la f u n c i ó n
es
= -2
2. Análogamente se determina que también / es discontinua en x = 2.
L a gráfica de / se m uestra en la Figura 3.6
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■
Sección 3. : Continuidad en un punto
313
f a [2 x - 11, si x 6 [ - 1 ,3 )
_______
xV ¿ - x
, s i x e [3 , 5)
l 12
, s ix =
3
Hallar los valores d e a y ¿ d e m odo q u e / s e a continua en ¿ 2=3
E JE M P L O 5
Solución
]
Sea la función : /( x ) =
C o m o x = 3 e D o m (/)e s un punto de acumulación .aplicarem os las condiciones
de continuidad en este punto.
*) / ( 3 ) = 12 , existe po r definición
ii) Para calcular el lim / ( x ) , examinaremos los límites laterales:
x -* l
lim /(x ) = lim a [ 2 x - 1] = a [6 - I] = a [ 5 '] = 4 a
x -* y
x-* 3 m
lim /(x ) =
- x ) = 3V ¿ - 3
lim (x
x -» 3+
x - * 3+
Existe lim /(x ) <=> 4a = 3 V¿ - 3
x - * 3
iii) P a ra q u e /s e a c o n tin u a e n x = 3 s e d e b e c u m p I irq u e : lim /(x ) = /( 3 )
* —>3
L u eg o . 4 a = 3 V¿> - 3 = 12 , de donde obtenemos : c = 3 y ¿ = 19
■
x 3 - x2 - 4x + 4
, s ix < -2
x+2
^ E JE M P L O 6
)
Sea la función :
/ ( a) =
a x 1 - 2b x + 1
x- - 13x + 22
x- 2
,s i- 2 < x < 2
^ si x > 2
H allara y b de m anera que la función sea continua en todo su domino.
Solución
1.
Analizaremos la continuidad de la función en los puntos de acumulación x = -2
y x = 2
Continuidad en x = -2
i)
/(-2 ) = a (-2 )2 - 2¿(-2) + 1 = 4a + 4¿ + 1
lim f ( x ) =
ii)
lim /(x ) =
lim ( ^ - ^ - 4^ + 4
x+2
lim (ax2-2 ¿ x + 1) = a ( - l) 2 - 2¿(-2) + 1 = 4a + 4¿ + 1
x-> -2+
x -* -2 +
iii) Existe lim /(x) o
x -*~2
4 = 4a + 4¿ + 1 i=* 4a + 4¿ = 3
2. Continuidad en x = 2
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(1 )
Capítulo 3: Continuidad
314
i)
/( 2 ) = a ( 2 )2 - 26(2) + 1 = 4a - 46 + 1
lim f ( x ) = lim (a x 2 - 2bx + 1) - 4a - 46 + 1
¡i)
x - * 2*
x - » 2-
l¡m / w
• s 2+
iii)
= lim ( ^ - ^ 2 2 ) = Bm ( * - 2 X * - M )
x -* 2+
xX - 21
/•
- -•>+
x - 2L
Existe lim f ( x ) o
= 2 . u
=
4a - 4 6 + 1 = -9 *=» 4 a -4 6 = -10
s
(2)
x -» 2
La solución com ún del sistem a (1) y (2) e s : a = - 7/8 y 6 = 13/8
[ E JE M P L O 7
)
■
Si el D o m (/) = IR y f ( x ) = x [jc ] , hallar el conjunto
A = {n e ZI / es continua en n}
Solución
Dado que el D o m (/) = IR , cualquier* 6 D o m (/) es un punto de acumulación .
Luego , x = n e Z c : IR es un punto de acumulación y si / es continua en n , se
debe verificar que : lim /(x ) = f(n )
(Def. 3.1)
x-» n
Entonces red efin am o s/alred ed o r del punto * = n
Si ( jc ] = n - 1 <=>n - l < x < n , y s i [ x ]
= n <=> n < x < n + 1
^
í (n - l ) x , si n - I < x < n
/(* ) = x [ x ) = <
I, n x
, si n < x < n + 1
Los lím ites laterales en * = n deben c o in cid ir, esto es
lim /(x ) = (n - l)n = n2 - n y lim /(x ) = n . n = n2
x —> n*
x - » n+
Entonces , s i : n 2 - n = n2 <=>n = 0 . L u e g o , / es continua en n = 0
A = {0}
E JE M P L O 8 j
■
D em ostrar que si la función / es continua en xn y [/(x„) I < M (M > 0 ) ,
en to n ces3 8 > 0 1 s i | x - x 0 l < 8 t=> | / ( * ) | < M
d e m o s tr a c ió n
En e fe c to , si / es continua en x fí, entonces por la D efinición 3.2 , se tiene :
1. V e > 0 , 3 8 > 0 | s i | x - x j < 8 1=* I /( x ) - f ( x t) I < £
2. Por hipótesis. l/(x n) | < M «=> M - / ( x o) > 0 , luego, s ie le g im o s £ > O ta lq u e £ = M -/( x 1J).
en to n ces:
3. V e = M - / ( x 1() > 0 , 3 8 > 0 | s i | x - x 0l < 8 <=> I / ( x ) - /( » ¿ ) l < M - | / ( x j l
4. Pero . por la desigualdad trian g u lar: I f ( x ) ! - I /( x 0) I < I f ( x ) - f ( x {) I
Luego en (3 ): !/(* )! - I /( x (J) I < M - I
| , de donde , | f ( x ) \ < M
5. Por ta n to , 3 8 < 0 1si l x - x 0 l < 8 => f(x ) < M
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■
315
Sección 3.2 : Puntos de discontinuidad
(3.2)
P U N T O S D E D IS C O N T IN U ID A D
G eneralm ente, en términos de la gráfica de una función, las discontinuidades impli­
can una interrupción , un salto o ruptura en el trazado de dicha gráfica , originadas por dos
m otivos: Prim ero, que lim /(x ) exista pero nocoincida c o n / ( x j . Segundo, que lim f { x ) no
exista (ver ejemplos 2 y 3 ). Estos motivos nos sugiere las siguientes definiciones.
Definición 3.5 s DISCONTINUIDAD EVITABLE
Un punto j?0 € (R se dice que es de discontinuidad nm ovible o e\'itable si se cum ple alguna
de las siguientes condiciones'
i) ;t e D o m (/) y existe 1. =
lim f ( x ) , pero lim f ( x ) */(.*„)
(Figura3.7)
ii) x e D o m (/) y existe L =
lim f ( x )
(Figura 3.8)
F IG U R A 3.7
R G U R A 3.8
Si designamos p o r / r a la fu n c ió n re d e fin id a d e /y si a través de la gráfica de ésta trazamos la
G r(/r) de modo que cubra el hueco en xQ, entonces habremos logrado que ’/ r sea la extensión
continua de / en x 0 , para tal efecto basta definir la función / r de la siguiente m a n era :
f ( x)
<) f T(x) -
, si x e D om (/)
^
; Dof^Cfr) = D om (/)
lim f ( x) , s i x = xü
f ( x)
Ü ) /r(*> =
*
, si x € Dom( / ) - {*„} ;
; D o m (/r) = Dom ( / ) U {*„}
lim
/(
jc)
,
s¡ x
=
jc0
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316
Capítulo 3: Continuidad
Definición 3.6 : DISCONTINUIDAD INEVITABLE
Un p u n t ó l e IR se dice q u e es de discontinuidad esencial o inevitable sí se cum ple que :
í) jr,y€ D o m (/) y no existe Iim f ( x ) , donde los lím ites laterales existen pero q u e ,
lim f ( x ) * lim /(jc)
i-* * *
jr^ v
ii)
jc e Dom( / ) y Iim f ( x ) =
(Figura 3.9)
, (puede ser -»-<*>o -«.)
F IG U R A 3.9
(Figura3-I0)
F IG U R A 3.10
x 2 Sgní*2 - 2) + 3 x . si jc < - 2
E JE M P L O <T)
Sea la función : f ( x ) = < | x + S g n (x + 3)
2xi - 7 x - + 2x + 3
x2 - 4 x + 3
, si -2 < x < I
,s íjc > I
A nalizarla continuidad d e / e n todo su d o m in io . En caso de haber discontinuidad indicar de
que tipo es.
¡Solución
(2x+l)(x-3)(x-\)
( jc - 3)(x - 1)
Teniendo en cuenta que : 2 x ' - 7 x 1 + 2x + 3
x1 - 4 x + 3
SgnCr2^ ) =
1 , si x2 > 2 « x < - V2 v * > V 2
0 , s i x 3= 2 < = > x = ± V 2
- I , si jc 2 < 2 « -V 2 < x < V 2
y
S g n (x + 3) =
x 2 + 3x , si x < - 2
E n to n ces: f ( x ) -
| x + I , si - 2 < x < I
2x+l
,six> l,x^lyx¿3
Analicemos ahora las condiciones de continuidad e n x = - 2 , x = l y x = 3
1. Continuidad en x = - 2
r, ^
3 / «v •
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Sección 3.2 : Puntos de discontinuidad
ii)
lim /(x ) =
317
lim (jir + 3x) = - 2 ;
i-* -Y
x ^ -T
Dado que
lim /(x ) =
lim /(jc) =
x -t-T
lim ( ¿ x + 1) = - 2
x ~ > -2 +
x -» -2 +
lim /(x ) => existe
x-* -2 *
lim /(x ) — ~2
X - * '2
lim f ( x ) - / ( - 2 ) , por ta n to , / es continua en x = -2
iii) Se cum ple q u e :
x —* 2
2. Continuidad en x = 1
¡) / ( I ) = § 0 ) + I = j
lim f ( x ) =
ii)
x —» j +
Com o
, existe
lim (2x + I) = 3 ; lim ( y * + 0 = y
x —t i +
x -* r
lim /( x ) *
* -» l+
lim / ( jc) =* no existe lim /(x )
* -* r
*-»>
iii) No se cum ple que : lim / ( jc) = / ( l ) , p o rta n te , jc= I es un punto de discontinuidad
x -> i
esencial o inevitable.
3. Continuidad en x = 3
C om o / ( 3 ) no está d efinida , pues x * 3 , y lim f ( x ) = lim ( 2 x + l ) = 7 , si existe,
x —» 3
x -» 3
significa q u e x = 3 es un punto de discontinuidad evitable.
L u e g o , la extensión continua de la función / en x = 3 es
/ ( x ) , si x € D o m (/) - {3}
; D o m (/r) = D o m (/) U {3}
SM) = i
7 , s ix = 3
Í^ E JE M P L O ^ lo J
Analizar , enjc = 0 , la continuidad de la función
*Sen(I/jc) , s ix ^ O
m
= <
I
, si x = 0
En caso de ser d iscontinua, indicar de que tipo es y redefmir la función , si es n ecesario, para
que sea continua en todo su dominio.
Solución
i) /(O) = 1 , existe por definición
ii)
Ahora veamos sí existe el lim /(x )
x -* 0
C o m o S e n ( l / x ) e s u n a fu n c ió n a c o ta d a , e s d e c ir
I < S e n (l/jc ) < I , e n to n c e s
0 < | Sen (1/x) I < 1 , m u ltip lic a n d o p o r Ix I se tie n e : 0 < Ix S e n ( l/x ) I < Ix I
Si lim Ix I = 0 y lim 0 = 0 , entonces por el teorema del “sandwich”
x —> 0
j t —» 0
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Capítulo 3: Continuidad
318
lim U S e n ( l/x ) l = O «=* lim x S e n (l/x ) = O
x —►O
iii)
x —►O
No se cum ple que lim f ( x ) = /(O ) . Luego , / e s discontinua en x = 0
A-»0
Siendo ^ = 0 6 D o m (/) y lim /(* ) * / ( O ) , la discontinuidad es rem ovible , y la
extensión continua d e / e s : x
/rto =
(EJEM PLO 11 ]
D em o strarq u elafu n ció n d eD irechlet
f l , si x es un número racional
= <
[ 0 , si jres un núm ero irracional
m
no es continua en ningún punto.
Í)em o stra cw n
Probaremos p or reducción al absurdo.
En e le c to . supóngase que / es continua en el punto jc() . o s e a . por la Defini­
ción 3 .1 , se cum ple q u e : lim f ( x ) = f { x ^
(l)
i=>
V e > 0 , 3 5 > 0 | si 1jc - jc0 I < 8 => I / 0 0 -/(*,>) I < £
(Definición 3.2)
Luego , si elegim os E = 1/2, se tie n e :
3 5 > 0 1 si U - x J < 5 >=> I /C * ) -/1 *q)1 < 1/2
A h o r a ,s i :
\x -x ü\ < 8 o
(2)
- 8 < x - ; t ü < 8 <=> x e ( x 0- 5 , x u + S )
Elijamos un número racional a y un número irracional b en este intervalo.
#
o
a
xu + 5
b
Si suponemos el hecho de que entre dos números cualesquiera existen números racionales e
irracionales, ocurre q u e :
i) Si a e < x0 - 8 , x 0 + 8 ) <=* f ( a ) = I
En (2 ): I f ( a ) - /(■*,,) I < I/2
1 1 - f ( x t¿ \ < l/2 «
£ < / ( x t) < ±
(3)
ii) S i b e ( x 0 - 5 , x q + S> ■=> /(&) = 0
En (2 ): I/(&) - /<xü) I < 1/2 ■=> !-/(* „ ) | < 1/2 «
D e (3) y (4) obtenem os la contradicción : f ( x ^ > I/2
-
\ < f { x i) < \
(4)
y f ( x 0) < \I2
En consecuencia, f ( x ) no es continua en ningún punto.
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■
Sección 3.2 : Punios de discontinuidad
319
*I + 2* - 3 , S Í X < - l
(jc+ 2) Vx3+ l
{ EJEMPLO 12 ) Sea la fu n c ió n : / ( jc) =
x4 - x 3
. J^ + X2- * - I
, si J O - l
Dibujar la G r ( / ) mostrando todas las asíntotas existentes e indicando los puntos de discontinui­
dad y redeñniendo la función en estos puntos.
Solución
1. Intersecciones con tos ejes coordenados
E n x e {-*»,-!]: a) E jeX : y = 0 «=> x 2 + 2 x - 3 = 0 í=> x = -3 v x = I e (-“ ,-1 ]
(-00 , - 1 ]. N o hay intersección
Eje Y :x = 0 e
b)
E n x e (-1 ,+««): E j e Y : x = 0 «=» y = 0 . La curva pasa por el origen.
2.
Asíntotas vertica les. /.(x ) — — ¿lj LZ í = = ■ *
1
lim f . ( x) =
|V,/
——
(x + 2) Vx2+ I
= +~
(0-)(V5)
(x + 2) Vx2+ 1
, j í 6 ( - « ,- 1 ]
; lim /.(x ) = (1)C_3) ’ x —»-2* 1
(0+)(V5)
L u e g o , x = -2 es una asíntota vertical en ambos sentidos
I)
r5
( x - i ) ( x t i)2 = Ü T T 7
X 3( X -
Para f *( x ) =
lim /,(x ) = -jfr = - ° ° => x = - l es una A.V. hacia abajo
0*
x -» -i+
3.
Asíntotas horizontales
lim [
X ^ +^ X
■ ■] = -I
x-*-oo'- X(\ + 2 /x )Ix I VI + 1/x2
lim / (jc) =
( P a r a x < 0 ,l x l = -x )
E ntonces, y = -1 es una asíntota horizontal
lim / 2(x) -
X - » ± « «1
lim [ ■ x ¿ 1
x-»±«® (•* "t" I)
= ±00 c> N o existe A. H.
4. Asíntotas oblicuas . y = m x + b
E n / . : m. = lim
■
* |^ .« \
A
/
= 0 (Verificar) => No existe A.O.I
En / • m
= lim ( — — ] = lim ( , x , ' r — - ) = I
2'
2
x -* + ~ ' X / , - » + * ' x J + x2 - x - I /
62 =
lim
X - + + 00
[/jfx J - m ^ ] =
“
,f
lim (
'
A
~**
- x ) = -2
t J T *A “ I
9
\
X
L u eg o , y = x - 2 es una asíntota oblicua derecha
5 . Puntos d e discontinuidad
En x = -2 y x = -I la discontinuidad es esencial ya que am bas rectas son asíntotas
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 3: Continuidad
320
verticales, sin em bargo en jc« - 1 '€ D o m ( / ) :
/ ,( - ! ) = ----- 1 - 2 ~3—
1
= _ 2y¡2
ex¡sle
( . i + 2)V 5T T
A dem ás c o m o / , (1) no e x is te , p u es jc * I y lim /,(jc) = lim
j
entoncesjc=
1
-» i
‘
* -» i
JC
(jc +
,
, e x is te ,
l r
es un punto de discontinuidad evitable y podemos redefinir
/ ( jc) , si jc € D o m (/) - {1}
SM ) =
1/4 , si jc — I
EJERCICIOS . Grupo 20
1. Suponer que / ( jc) es continua en xu y / ( jCq) < 0 . Dem ostrar que :
3
6
> 0 1/(jc) < 0 , Vjc que satisface Ijc - jc(] I <
8
.(Corolario del Teorema 3.1)
2. S ea / u n a fu n c ió n c o n tin u a en jcn y f ( x 0) > 0 . P ro b a r q u e e x iste u na
Vjc e D o m (/) , si U - j c J <
3.
8
8
> 0 tal q ue
t=j /(jc )> 0
S e a / una función continua en IR tal que lim [ 1
=
lim [ 1 = 0 donde n es
x-* + « Xn J
jr-».ooL jc" j
es un núm ero positivo p a r . Demostrar que
3
e ÍR | Vjc e IR : x ° + /(*„) í jc" + /(jc)
4. S e a / u n a función tal que
V e > 0 , 3 S > 0 1si0 < I hl < 6 *=> I/(x^ + h ) - f(x0 - h)I < e
A nalizar la continuidad de / en xv.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
321
EJERCICIOS . G ntpo 2 0 : P u n to s d e d is c o n tin u id a d
❖ Gn los ejercicios 5 al 1 0 , está definida una función en un cierto dominio, establecer si la
función e s , o no continua en el punto in d icad o . Si es discontinua indicar de que tipo es .
Dibujar la gráfica de cada función.
¿ - 2 ¿ - \ l x + 12
,x* l
, 4
x 2 - 6 x + l , s i - l < jc < 2
jc*-5jc + 4
5.
/( jc )
7- m
= 4
2
» si jc = 1
7
, si x =
x 1- 1
= < jc4 - 1
jt + 3 j c -
9. f ( x ) = <
6. f ( x ) = *i 2 c - 6 , s í 2 < j c < 3 , j c () = 2
-jc2 + 4x - 3 , si 3 <*jc < 5 , ;c = 3
4
. si I < jc< 2 , jc., = 1
, si
2
2
< jc<
5 ,
3 + U-2I
Ijc + 1 I - 3
, jc* - 4 , 2
-2
. si jc = -4
2
, si jc = 2
-^ =
8. f ( x ) = 4
2
U l -2
I
, síjc = 2
3 - jc Sgn(jc + 3 ) , si x < - 2
10. f ( x ) =
2 -jc
jc2 - 4 j c +
, si -2 < jc < 2
4
, s í j t > 2
❖ En los ejercicios 11 al 18 , hallar los valores d e las constantes a y b que posibiliten la
continuidad, en todo su d o m in io , en las funciones dadas
x + 2a ,síjc<-2
b
11. f( x) = 4 3ax + b , si ~ 2 < x < I
12 . m
=
[ 3 x + 4 ] . s i jc e
5 jc V a - 2 c
3x - 2b , si jc > 1
jc3 - jc2 -
4jc
jc +
13.
/(jc )
=
1
+4
ax1 - 2bx + I
, -2 < jc< 2
x 2- l 3 x + 22
jc- 2
V x 3 + 3 Vjc - 3
2 0
, jc< - 2
2
x 3 +
14. f ( x ) = <
, jc> 2
jc
- 1
a
M
- l + 19
l x 2+ 1 ■»
8
Vjc4 + 1 - Vx2 + I
JC
17. f ( x ) = 4
a
jc -
16. / ( jc) = <
I ,
x
2
£ - 1
, -I < jt< I
X- + I
Vj^ + 9 - 6
V3T*
, jc < I
, síjc = 1
, s i jc =
arx1 - IOjc- 4
jc + 3 V j c - 3 \ f j ? - I
15. f ( x ) = <
a x1 +
[ 1 . 2 )
, s i j c e ( 2 , 3 ]
b
Sen(3 - jc )
,J C > I
,l<jc<3
, s í 0 < j c < 3
, si x = 3
,s ix > 3
v jn
, si x < 8
, si jc > 0
, s ¡ jc = 0
18. /(* ) = 4
VCos2x - Cos jc
, si jc < 0
Sen2jc
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, si x > 8
¿> | 2 jc - 7 1
Capítulo 3: Continuidad
322
3a-
, x <a
x-
19. Dada la función / ( x ) = <
( x - 2 a )2
,x>a
A nalizar ia continuidad de / , V a e IR y graficar la función si a = 2
20.
Determ inar el valor d e a € ( 0 , nI2 ) para que la función
Sen2x - Serna
, x*a
x2 - a 2
/<*) = <
(1/2 )a
, x =a
21.
, sea continua en x = a .
Com o deben redefinirse las siguientes funciones de m anera que resulten continuas en el
punto que se indica.
a) m
m V T ^ -3
x- 8
, , =g
c) í w
2'Í2x*~+ \ +
,
b) ñ x) =
, ^ =32
d) m
+
_j = 2
4<x - ( 2 + x)>¡2
22. Sean las funciones : g(x) =
< 3(
T ffT g + j p F - 2 )
X- 1
/
6 c x + c7
Ar " C
2
.
x -3 2
y /(x ) =
_x = 2
jc -
, six = 1
, si Ix I < 4 . D eterm in ar el valo r d e c para que las funciones / y g sean
continuas.
23.
Dadas las funciones
f(x) = — — , s i 2 < | x | <1
x-c
y
g(x) = *
'
1
cx + c2
, si JC= -1
H allar la constante c para que las fu n c io n e s/ y g sean continuas
24.
Sean m , n e Z+ y sea f ( x ) = ( — ^ ,'** ) (
—) . E s p osible re d e fin irf(x )
' 3 - Vx2 + 5 ‘ v v x - 1 - 1*
para que la nueva función sea continua en 2 y/o - 2 ? Justifique y redefina /(x ) en los casos
posibles.
«I* En los ejercicios 25 al 3 6 , a n alizar; intercep to s, asíntotas , puntos de discontinuidad y el
tipo de discontinuidad para la función d a d a . Esbozar un gráfico de cada función.
25. f { x ) = I x - U +
1
lxl-2
26. /(x ) = |x + 4 | +
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Ijc i - 3
Sección 3.2 : Puntos de discontinuidad
^ ( x - 1)
27. m
29.
= <
323
,six>0
v
28.
/(x )
x+3
+ 2 , si x < O
x2 + 2 x - 3
— "
31. /(x ) = <!
r -
x+ I
^x"+ 2x + 1
, S¡ X < - I
x3 - 9x
x* + 8
30. /(x ) = *
/(x ) = <¡
3x
.
/
2x
+4
+ 3 , six>-l
y - — T2x+ 1
x2/3- x >” - 2
n'x1 + 1
en su dominio
X '-X
=
4
3
. «.
,x > s
x 2 + 2x - 3
( x + 2 ) Vxz+ I
,x<-l
32. /(x ) =
2X* - lOx3 + 5x2 + 35x - 42
,xh-i
x 3 - íx 2 + 6x
Xa - X 2
X 3 + X2 - X -
.
-4 < * < 3 / 2
, x < -1
,x > 1
1
,x<-2
Vx2 + 2 [ 1/x] , x < - 4
33. /(x ) = <
< X < 2
,S Í-I
34. f M
—
< ^
+ 3*+' +
- 2 < j: < 3
X- - X - O
2x + 5
x+ I
35. /(x ) = i
30- 4x - 2X2
x+6
8 - 2x
ní(x
3x
x+2
, x > 3/2
+3
x4 - 7x3 + 15x-7 - 9x
,x > 1
x3 - 2x2 - x + 2
, x e {-6 . -4}
36. /(x ) = <
Vx2 - 4x + 3
-5 )( x - 8)2 . x e ( 4 . + ~ )
TE O R E M A 3 .2 :
,x>3
-2
,x<l
Propiedades de preservación de la continuidad
Si las funciones reales / y g son continuas en xu tal que x0 € Dom(jf fl g ) . en to n ce s:
1. La función sum a /(x ) + g(x) ex continua en x0
2. L a función diferencia /( x ) - g(x) es continua en xfl
3. L a función producto f ( x ) • g(x) es continua en x()
4. La función cociente
D em ostración
i)
¡i)
f\x)
^
es continua en xt| .siem pre que g(r) * 0
1. En efecto , dado que D o m (/ + g) = D o m (/) fl Dom(g) y por ser / y g
continuas en xfl se tie n e :
x# e D o m (/) y xue D om (g), es d ecir, xu e D o m (/ (1 g) «=*• ( / + g)(-*„) existe
lim f ( x ) = f ( x j y lim g(x) = g ( x )
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Capítulo 3: Continuidad
324
y com o lim ( / + g)(x) = lim f ( x ) + lim g(x) = f ( x {) + g(*0) *=> 3 lim ( / + g)(x)
•*-»*„
x-*xc
X-*Xa
iii)
De (i) y ( i i ) :
lim ( / + g)(*) = ( / + g)(xn)
En consecuencia, se concluye que / + g es continua en x 0
De la m ism a form a se demuestra (2 ), (3) y (4 ).
O BSER V A CIO N ES
1. Evidentemente los resultados del Teorema 3.2 pueden extenderse a cualquier número finito
defunciones.
2. Los recíprocos del Teorema 3.2 no necesariamente se cu m plen, puede suceder q u e / + g sea
continua en xti, sin que / y g lo sean.
f
- x , si x
< 0
Por ejem plo , las funciones: f ( x ) = <1
L
no son continuas en x a =
0
1 , si
jc
, si j c <
fI
,
0
g(x) = s
> 0
(j
i
,
s íx
> 0
, sin em bargo la función
1 - x , si x < 0
. es continua en x0 = 0
t f + g )to =
1 + x , si jr > 0
(3.31
C O N T IN U ID A D L A T E R A L
Definición 3.7 : CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA Y DERECHA
U na función / se diée que e s :
a)
Continua p o r lá izquierda de
i)
ii)
b)
y soló s i :
-/(*_) existe
lím / ( * ) -
Continua p o r la derecha de x Qs i , y sólo Si
i) / (* „) existe:
ii)
lim f ( x ) =
Formalm ente, la definición 3 .7 , en térm inos de £ y 6 es equivalente a l a :
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Sección 3.3 : Continuidad lateral
325
D e fin ició n 3 .8 : D E F IN IC IÓ N ( z ■ 8 ) D E LA CO N TIN U ID A D LATERAL
Una función / se dice que es •
a) Continua p o r la izquierda de x , s i , y sólo si
V E > 0 , 3 S > 0 1 si * e D o m (/) y xt=
i=>
- / U 0) 1 < £
b) Continua p o r la derech- <de xn s i , y sólo si
V e > 0 , 3 6 > 0 | si a g D om (/) y j e [x^ , x ü+ ó)
I f ( x) - /(x^)! < z .
Esta definición es muy usada en las dem ostraciones de teoremas o proposiciones.
Es evidente que los límites laterales nos induce a afirm ar que una función / es continua
en el punto de acumulación jr()si .y sólo s i . es continua por la derecha y por la izquierda de este
punto.
Por ejem p lo , la función m ayor entero o función parte entera de x :
f(x) = [x ]
es continua por la derecha pero discontinua por la izquierda de cada valor entero (Figura 3.12),
en efe c to , si
[ x ] = n <=> n < x < n + 1 , n e Z
Entonces para xu = n £ 2 :
i) f ( x t) = f ( n) = n , está definida
¡i)
iii)
lim /(x ) = [ n ] = n , existe
Se cum ple que
lim /(x ) = /( x (J)
L u eg o , / es continua por la derecha
En cambio la función g(x) = Vi - x , con d o m in io x e (-«», I ] , cuya gráfica se m uestra en la
Figura 3 .13 , es continua por la izquierda de x0 = 1 , toda vez q u e :
i) g (I) = Vi - 1 = 0 , existe
ii)
lim g(x) = Vi - I" = V0+ = 0
r
iii) S e c u m p le q u e : lim g(x) = g (I)
x -t r
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Capitulo 3: Continuidad
326
[3 .4 )
COMPOSICIÓN DE FUN CIO N ES C O N TIN U A S
TE O R E M A 3.3
Si / es una función continua en ,r„ y si lim g(c) =
del D o rn (/o g ) , entonces
, donde c0es un punto de acumulación
lim /[g (c)] = f [ lim g(c)l = f ( x ü)
c—»r,
”
Dem ostración
En e fe c to , si / es continua en x fí e D o m (/), por la Definición 3 .2 , se tie n e :
1. V e > 0 , 3 5| > 0 | s i j : e D o m (/) y U - * 0I < 6, «=> l/(x ) - /(*„) I < E
2. Si lim g(c) =
, entonces por la definición de límite
c -»co
V5, > 0 , 3 5 > 0 l s ic e Dom(g) y 0 < l c - c 0 l < 8
lg<c)-j^,l < 8 ¡
3. A d em ás, si c e D o m (/ o g ) y 0 < k - c 0 l < 8 , entonces
D o m (/o g ) = { c i c e Dom(g) A g (c )e D om (/)}
4. Com o g(c) g D o m (/) , entonces en (1):
I /(g (c )] - f ( x ü) I < e
5. Se ha demostrado que para cualquier e > 0 , existe un número 8 > 0 , talque s i :
c e D o m t/o g ) y 0 < | c - c (|i < 8 r=> I ( J o g)(c) - f ( x ü) I < e
lim /[g (c )] = / [ lim g(c)] = f ( x ü)
E s to e s :
c -* c B
m
e ~ * c9
El Teorema 3.3 es utilizado con mucha frecuencia en funciones que pueden ser consideradas
como el resultado de una com posición de funciones.
[E JE M P L O 1 ]
Dada la función h (i) = [ jc: - 2 x] , hallar si existen
a)
lim h(jr)
b)
x - » 5/2
Solución
lim h(x)
* -» 3
Sean las funciones : /(c ) = [ c ] y g(x) = x 2 - 2 x
Entonces : h(x) = ( / o g) (x) = /[g(x>] = [x2 - 2 x ]
L uego,
lim {x1 - 2x) =
lim g(x) x-* sn
x -> $ n
4
- 5 = -74
Se sabe que una función máximo entero es continua en todo ^ e ( R - Z ) , luego si la fu n c ió n /
es continua en x(| = 5/4 , p o r el Teorema 3.3 , concluim os q u e :
a)
lim ( /o g ) ( x ) = f [
x -* S Í2
lim g(x)] = /<5/4) = [5 /4 ] = I
x -* S I2
lim h(x) =
x - * 5 /2
lim
X
[jc 2
- 2x \ -
1
- » 5/2
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327
Sección 3.4 ; Composición de funciones continúen
Com o x0= 3 e Z , la función h no es una continua en 3 , por lo que no se puede utilizar el
Teorema 3.3 . El límite se calcula directam ente, esto e s :
b)
lim h(x) = lim [x7-2x] = [ 9 - 6 J = 3
x —* 3
■
x-* 3
El siguiente teorema nos permite decidir la continuidad de las funciones compuestas.
TEO R EM A 3.4
Si g es una función continua en.r(|y / es continua en g(r(l) , entonces la composición / o g es
continua en a 0
Demostración
Probaremos q u e : V e > 0 , 3 8 > 0 | si Ijc-x0 1 <
l / [ g ( * ) ] - / [ g U „ ) ] l< e .e s to e s q u e :
8
, entonces
lim /[g ( x ) ] = f [ g ( x a)]
*-»*0
1. En e fe c to , por la continuidad de / en g(*„) se tie n e :
V e > 0 , 3 5 , > 0 1 s i I > - p(Afl)I < 8 , *=> l/O O -Z ígC *,,)] l < £
2. Con 8 , > 0 , la continuidad de y = g(jt) en jcq implica que existe un número 8 > 0 tal que s i :
\ x - x n\ <
8
c=* IgCv)■ gC*(,)I < 5,
3. Combinando las expresiones (1) y (2 ), por transitividad, vemos que si
U - * J < 8 «=> l / [ g ( x ) ] - /[ g í* ,,) ]! < £
4. A sí hemos dem ostrado q u e : lim /[ g ( .t) J = f [ g ( x )]
y , por lo tanto , q u e /[ g ( ¿ ) } es continua en el punto
■
Geométricamente esta demostración se ilustra en la Figura 3.14.
Nota
a)
b)
c)
ser
La demostración del teorema 3.4 confirma lo siguiente : “ L«i composición de dos funciones
continuas es otra función continua" . pero no afirma ni niega lo siguiente
Que g sea continua en xj, y / discontinua en g{x(1)
Que g sea discontinua en x() y / sea continua en g(x„)
Que g sea discontinua en x0 y / sea discontinua en g(x(>)
Si se presentara cualquiera de estos casos al analizar la continuidad de / o g en , estos deberán
analizados por separado para dar una respuesta afirmativa o negativa.
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Capítulo 3: Continuidad
328
3 jc +
f. EJEMPLO 2 )
> -2
jc
y g(*) =
jc*
Analizar la continuidad de /
Solución
1 ,
Sean f ( x) = |
o g
- 1
, jc< - 2
en los puntos
jc
=0 y
jc
=
-2
C o m o jc= 0 y jc = -2 son puntos de acum ulación del D om (g),g(jc) es continua en
tales p u n to s , esto es
g(0 ) = 1 - V2(0 f + 1 = 0
y
g(-2) = I -V2(-2j"1 +“ l = -2
A hora, 0 es punto de acumulación del D o m (/), pues /(O ) = 3(0) + 1 = 1, lu eg o , / es también
con tin u aen jc= 0 , y por el T e o rem a3 .4 , / o g e s continua enjc = 0.
Veamos la continuidad d e / e n el punto de acumulación x = - 2 e D om (/)
i)
ii)
/ ( - 2 ) = (- 2 ) 2 - 1 = 3
lim f ( x ) =
x -* -2 *
, existe
lim f ( x ) = lim
lim (3jc + 1) = - 5 ;
x-* -2 +
x -* -2 -
(jc2 -
1) = 3
x -* -Z
Los límites laterales son diferentes «=> no existe el lim f(x)
x -t-2
iii) No se cum ple que f (- 2) = lim / ( jc) , entonces / es discontinua en x = - 2 , por ta n to , no se
x
-» -2
puede aplicar el Teorema 3.4 para afirm ar que / o g sea continua o discontinua en jc = -2.
El siguiente paso es hallar la regla de correspondencia de / o g
(V erificar)
(1-V2jc3 + 1 Y - 1 ,
= (/ og)(jc) = i
h (J c )
La condiciones de continuidad en
jc
=
i) h(-2) = (1 - V2(-2)2 + I )* - I =
ii)
lim
h(jc)
=
3 y
x-* -2 *
lim
h(jc)
4 - V2jc2 + 1
15jc+ 1
-2
son
3
; existe
lim (4 -
=
V 2 jc 2 +
1 )
=
s i x e
< -~ ,-2 ]
, si jc e (-2 , I ]
, si jce (I , +<»)
1
x -*-2‘
x -* -T
Com o los lím ites laterales son d iferentes, no existe lim
h(jc)
x - * -2
iii)
N o se cum ple que :
h (-2 )
=
lim h(jc)
x-* -2
En consecuencia, /
[jE J E M P L £ 3 j
g es discontinua en jc =
o
S í/ (jc ) =
[jc],jce
-2
[-3 ,4 ]
y
g (jc )
=
,* €
(-2 ,
los puntos de discontinuidad de la función / o g.
Solución 1 1. Hallem os el Ran(g) escribiendo g(jc) = ■f e * 1 = 3 +
jc -1
x - 1
E ntonces,
si
x
e (-2 ,
1> «
-2 <
jc
<
1 «
-3 <
jc
-
1 < 0 ■=>
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
< _ 1
1) : determ inar
Sección 3.5 : Cntinuidad en intervalos
<=> “
y < - -j
329
«• 3 +
< |
t j Ran(g) = <-«>, 5/3)
Como Ran(g) O D o m (/) * 0 , entonces existe/ og
2. Determinación del D o m (/o g )
Ran(g) <z D o m (/) e* D o m (/o g ) =
{j c
Ijc e Dom(g)
<=* x e (-2 , I) a ( 3 + — y ) g [ - 3 ,4 ] «
« ( - 2 < x < I ) a [ ( ^ > - 6 )
«
(-2
<
jc <
1)
a
[
(j c <
-1/3
D om (/)}
(-2 < * < I) a (-3 < 3 + -y^-y < 4 )
<l)]
a
I) a
v j c >
A g ( j) e
(j c <
1 v x > 5) ] »
x e ( - 2 , 1/3]
Entonces : ( / o g){x) = f[(x)] = f ( 3 + - ^ y ) = [ 3 + -y ^y ] = 3 + [
]
3. Determinación de los puntos de discontinuidad de / o g
/ o g s e r á discontinua V x e D o m (/o g ) tal que ( —^ y ) e Z
L uego, si - 2 < x < ~ «=> - 3 < j r - 1 < - - |
3
3
■=> - 6 <
jc
- I
< - 4
3
2
<=>
^ <- 4
x- I
3
( — ^ -r ) e
' jr- 1/
Los números enteros que cubren este intervalo son : n =
4- s i ( l T T = - 6 «
5.
-6
[-6 ,4 / 3 )
'
, -5 , -4 , -3 , -2
J:= Í ) - ( í T T = - 5 « ^ = 5 ) ; ( é r = -4 « * = ° )
Por tanto , j o g es discontinua si x
g
{-1 ,-1 /3 , 0 , 1/5 , 1/3}
■
❖ Hasta aquí nuestro objetivo se había centrado en el estudio de la continuidad de una función
en un punto .ahora nuestro interés será averiguare! comportamiento de la continuidad de dicha
función en un intervalo.
(3.5)
C O N T IN U ID A D E N IN T E R V A L O S
Definición 3.9 : CONTINUIDAD SOBRE UN CONJUNTO
Una fu n c ió n / se dice es continua sobre un conjunto S c D o m ( / ), si la función restringida,
denotado por / s , es continua en cada punto de S.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capitulo 3: Continuidad
330
En la m ayoría d e los casos de interés que se p resentan, S es
un intervalo. Según la forma de S , estos pueden s e r :
I. Si S = {a , b ) , es un intervalo abierto , la D efinición 3.9
es equivalente a d e c ir : “ L a función / es continua sobre
S = (a , b) c D o m ( / ) , si / es continua Vjc € (a , b) ”
(Figura 3.15). Lo cual es cierto , toda vez que s i x ^ s S
c D o m ( / ) , entonces f ( x ) está definida V x0 6 (a , b) y
dado q u e d e s un punto de acum ulación del D o m (/), se
cum ple que
(Definición 3.1)
lim /(* ) = f ( x t)
II. Si S = [ a , 6 ] , la D efinición 3.9 equivale a decir
“ / es continua sobre el intervalo cerrado S = [ a , fe] c. D o m (/) ” , s i :
a) / es continua sobre (a , b)
b) lim /(jc) = f ( a )
x-»a+
c)
l i m / ( jc ) = f ( b )
( / es continua por la derecha d e tí)
( / e s c o n tin u a p o r la iz q u ie r d a d e
b)
x-*b~
III. Si S = [a , b ) , la definición 3.9 equivale a decir
“ / es continua sobre el intervalo [a , 6) c D o m (/) ” s i :
i) / es continua sobre {a , b)
lim /(x ) = f ( a )
ii)
( / e s continua por la derecha de a)
X - * a *
IV. Si S = ( a , b] , la definición 3.9 equivale a decir
“ / es continua sobre el intervalo {a , £>] c D om (/) ” , s i :
i) / e s continua sobre { a , b)
ii)
lim
/(
jc)
= f ( b)
( / es continua por la izquierda de b)
x-*b~
'
• * ■ —\
■E JEM P LO 4 J D eterm in arlaco n tin u id ad d elafunción f ( x ) =
1^ 2 ]
^ ^
en el intervalo [ 0 ,4 ]
Solució n
L a función / es discontinua e n x = 2 , pues para
x>2
lim f ( x ) = * ^ = 1 ;
*-»2+
x -2
x < 2 «=> lim / ( jc) =
x -» r
^
x ~l
= -I
Sin em bargo / es continua sobre el conjunto
A = [ 0 ,2 ) c D o m (/) y también sobre el conjunto
B a ( 2 ,4 ] c D o m ( / ) , porque en am bos conjuntos
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
F IG U R A
3.16
Sección 3.5 : Continuidad en intervalos
331
se cumple las condiciones de la Definición 3.9 (III y IV respectivamente).
Además vemos que si S = [ 0 ,2 ) U ( 2 ,4 ] ,1a fu n c ió n /e s continua sobreS porque es continua
sobre cada punto de S. En consecuencia, la función / es continua en x e [ 0 ,2 ) U (2 ,4 ] ■
( EJEMPLO 5 )
L afuncióndefm idapor f ( x ) =
, es continua sobre (0 , I).
Es posible redefinirla función de modo que sea continua sobre [ 0 , 1 ]
Solución
D ado que / es continua en ( 0 , 1), lo será en [ 0 , 1 ] si se cum plen las otras dos
condiciones establecidas en la Definición 3.9 (II) esto e s ,
/( 0 ) =
¡i) /( 0 ) = lim
lim /(x ) y / ( I ) =
1 -; f " s2y
lim f ( x ) .Entonces
*-» r
= lim
= ,im 2 n =( S éD M W
!_ )’
= 2" ! ( l ) ! ( T1 o ) , = 2 rf
iii)
/(l) =
lim
= lim
jc —» I '
X ^ l -X )
x -» |*
a ( I
-x )
Sea u = I - jc i=> jc = I - u . Si jc —» 1“ , entonces u —>0 +
L uego, / ( I ) = lim [ —
u-»G+
«
m
= u«
, pero com o Sen ti( I - u) = Senitu
(1 “u)" u
^
[ ( ^ H
y
^ ) 1] =
Por lo tanto , / s e r á continua en [ 0 , I] si definimos : /( 0 ) = / ( l ) = 2 tc2
EJEMPLO 6 )
D eterm inar los intervalos en los cuales la función
/ ( x) — I - j c + I j c ] - |1 - j c ] ,esco n tin u a
JSolución D e la propiedad [x + h)
[ x ] + h , se sigue que
/(x ) = l - x + [ x ] -(1 + [ - x ] ) - - j ch-[j c] - l--c ]
A h o ra , si [ x ] = n »
^
n S r < n + l <=> -n - 1 < -x < -n
í -n - ! , si - n - 1 < - x < -n ó n < x < n + I
[-x] = <
[ -n
, si - x = - n ó x = n
Luego , si n < x < n + I
“
f ( x ) = -x + n - (-n - I ) = 1 + 2n - x
Si x
= n i=> /(x ) = -n + n - (-n) = n
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■
Capítulo 3: Continuidad
332
I + 2n - x , si n < x < n + I
Esto e s , / ( jc) = <
n
, six= n
Recordemos que si
Continuidad en el punto xn = n
i) / ( n) = n , está definida
ii)
lim / ( jc) = [1 + 2 ( n - I) - n] = n - I
lim
/(
jc)
=
[ l + 2n - n] = n + I
x - * n*
C o m o /(n ) vi lim
/(
jc)
y tam b ién /(n ) ^ lim /( ; t ) , se concluye afirmando q u e / ( jc) es continua
x -* n '
x-»n+
sólo en cada intervalo abierto ( n , n + l) y cuya gráfica se muestra en la Figura 3.17.
EJEMPLO 7 )
Sean las funciones : /(jc) = Vx + 2 y g(jc) =
■
, hallar todos los
puntos en los cuales la función ( / o g) es continua.
Solución
La función y = g(jc) =
3 jc
jc 2
- 1
, es continua Vjc e ÍR - {-1 , I }
La función / ( x ) = Vy + 2 es continua en todos los puntos y > -2 .
P or el T eorem a 3 . 4 , la función ( / o g)(jc)es continua en todos los puntos tales queje * ± 1
y g(jc) > - 2 , esto e s , si
3 ^
X2 - 1
5 -2
, x * ±
1 «
(,2 X - ¡ y * , ?
(x + l ) ( x - I)
> 0 , x * ± l
Por el método de valores críticos encontram os que ( / o g) ( jc ) es continua en todos los p u n to s:
Jt e < -» , -2] U (-1 , 1/2] U <1 , + « )
EJEMPLO 8 )
Si h ( x ) =
| j c + 2 | + 1
, k ( j c ) = V2x2 - x - 6 y g(jc) =
indicaren qué intervalos es co n tin u a/(x ) = (g o k o h )(x )
Solución
2u2-
u - 6
■
x1 + I
VVTs
La función u = h(x) = |x + 2 | + I es continua Vx e IR
L a fu n c ió n y = k(u) = V 2 u 2 - u - 6 es c o n tin u a en to d o s los p u n to s de
> 0 <=> u < - 3 /2 a u < 2
Lafunción / ( y ) = g ( y ) =
^ + * • , es continua en todos los puntos de
\V l5 -y
< 15 - y
> 0 <=> y < VT5
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Sección 3.5 : Continuidad en intervalos
Si y
333
= V2u2 - u - 6 *=> V2u2 - u - 6 < VÍ5
de d o n d e :
(2u2 - u - 6 > 0)
a
[2u2 - u - 6 < (VT5^)2]
u € (-3 , -3/2] U [2 , 7/2) , pero u = Ix + 2 1 + I
t * (-3 < \x + 2 \ + I < -3 /2 ) v ( 2 < \x + 2 \ + I < 7/2)
«
( [ < \x + 2 \ < 5/2)
(-4 < U + 2 | < - 5 /2 ) v
« ( 4 » )
v
( U + 2 | > 1
o
U + 2 S
I
v
«
(x>- I v x < - 3 )
a
U
jr + 2 5 - 1 )
a
+ 2|
a
< 5 /2 )
(-5 /2 <
jc +
2 < 5 /2 )
(- 9 /2 < jc < 1/2)
Luego , f (x ) es continua V x e (-9 /2 ,-3 ] U [-1 , 1/2)
)
(-------------( E JE M P L O 9 J
■
.
[^l-íx l1
Determ inar ia continuidad de la función f ( x ) = -------;— ¡----- en el in­
tervalo [ - 1, 1]
X
Solución
C om o la función / n o es continua en x = -I y x = 1 .e x tre m o s del intervalo
[ - 1 , 1 ] , obtendremos una expresión más sim ple de f ( x ) eliminando el máximo
entero , del m odo siguiente
- 1 < * < 0 *=> [ x ] = - I 1
0
1
0-(-l)2
• f(x) =
JC1 - \
X2 -
I
<->r < I => [ jc1 ] = 0 '
0Sr<! o
[r] = 0
|
nfV
«=* / M = ~ T i
= 0
0 < x a < I «=> [ x 1 ] = 0
1
, , , s í - I < jc < 0
f ( x ) = < jc - 1
0
, S¡0<AT< I
Por lo que :
Continuidad en x = 0
a) Para x < 0 ,
lim f ( x ) =
jt —
*0"
lim ( —
- ) = - 7^-7 - 1
*r- \ '
ü- 1
b) P a r a x > 0 , lim / ( j c ) = lim (0) = 0
*-►0*
*-*0+
Como lim f [ x ) * lim f ( x ) , no existe lim f { x ) , y la función no es continua en x = 0
¿-♦O'
ji -+0+
* -»o
(discontinuidad esencial en x = 0)
Continuidad en x =
lim f ( x ) = lim f
,-» .]+
x^-i+l
-
----- — — 1 = - . - 1.;
= +°°
(*+l)(x-l)J
(0+)(-l)
(p u e s , si x —» - l + , entonces x + I > 0 , lu e g o : x + 1 —»0+)
Por ta n to , f ( x ) presenta una discontinuidad esencial en x = -1
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334
Capítulo 3: Continuidad
Continuidad en x = I
lim
/ (jc ) *
lim
(0 )
= 0 , e x is t e , l u e g o e n j c = 1 la f u n c i ó n / ( x ) p re s e n ta u n a d is c o n t in u i-
x -» r
jr-> r
d a d r e m o v i b l e y u n a e x t e n s ió n c o n t i n u a d e
f(x)
e n e s te p u n t o e s tá d a d a p o r :
1
/ SW = i 7 ^ 1
[ o
d o n d e la f u n c ió n r e s tr in g id a
[e je m p lo
)
1 0
fJx)
.
s í
0 £
jc£
1
e s c o n tin u a s o b re { - I , 0 ) y
[0,1]
Analizar la continuidad y dibujar la gráfica de la función
, si |> ] e s p a r
Ijc - I jc ] I
/(■*) =
Ijc - [ x +
f5ofac/¿m]
l ]
I , si
[ jc ]
es impar
1. Sea // j c ) = \x - [ x ] I .ta l que [ x ] es par
Si
[
jc
] = 2n
,
número par e=> 2 n < j r < 2n + 1 «=> /
/
jc)
=
I jc -
2n I
Com o jc > 2n e=> jc - 2n > 0 «=> | jc - 2n I = x - 2n
^ /,(* ) = JC-2n , si 2n < x < 2 n + I
2. Sea / / jc) = I j c - ( [ j c ] + 1 ) I = Ijc-1 - [jc] | , tal que [ x J es impar
Si [jc] =
2n - l , im par «=> / / x) = Ja: - I - (2n - 1) I = Ijc - 2n I , si 2n -
I <jc < 2 n
Como j c < 2 n e ^ j c - 2 n < 0 es. f 2(x) — -(x - 2n) = 2n - x , si 2n - I < x < 2n
3. L u e g o , una expresión m ás sim ple de la regla de correspondencia de / e s :
m
Com o / j
( f t)
í jc - 2n , si 2n < j c < 2n + I
= ^
[ 2n - jc , si 2n - 1 < jc < 2 n
( / 2)
y f 2 son fu n cio n es lineales , éstas son continuas en cada p unto de sus
dom inios , p o r tan to , f(x) es , en p articu lar , co n tinua en cada p unto de los intervalos
[2n , 2n + I ) y [2n - I , 2n) , Vn € Z.
Se deja al lector la tarea de com probar la continuidad de la función / ( jc) en el número p ar 2n
y en el núm ero im par2n - I .
4. Para algunos valores de n , en el paso ( 3 ) , o b ten em os;
-2 - jc , si -3 < x < -2 . n = -2
jc + 4 , s i - 4 < j c < - 3 1 n » - 2
/,(* ) = i
x + 2
, si - 2 < j c < - 1 . n = - l
jc
, si 0 < j c <
jc- 2
, si 2 < j c < 3
, n = 1
4 - jc . si 3 < ■ % < 4
jc-4
,si4<;c<5
,n = 2
6 -jc
1
,n =
0
-jc
/,(* ) = <
2-jc
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n = -i
,s í-1 < jc < 0
,
, s i l á x < 2
,
n
,
n = 1
, si 5 <
jc
< 6
= 0
,n = 2
Sección 3.5 : Continuidad en intervalos
5.
335
Dibujando cada recta en el intervalo indicado obtenemos la G r(/) = G r ( /() U G r(/,)
mostrada en la Figura 3.18
l
( e j e m p l o 11 )
Solución
Analizar lacontinuídad de la función f ( x ) = [ y J en IR y dibujar s u
gráfica.
Si i
1 = n
i- x J
n<
x
l <=> — *—7 < x <
n+ l
n
< n
~ '* < 1 T Í7
. ^].n«Z-{-l.O}
Obsérvese que cuando n = 0 e=> x e 0 ,+«») y cuando n = -l c j r e ( ■ « ,- ! ]
L uego , una expresión más sim ple de la f u n c i ó n /e s :
- I , SÍ 6 ( - ~
/(* ) =
, -l]
n , si x e / — r , — l , n e Z \ n+ l
n J
1 , 0}
0 , si x € (l , +«»)
Ahora debem os analizar la continuidad d e / e n x - - \ , x = I y x = l/n
Continuidad en x = - 1
La función restringida a un intervalo que contenga a x n = - 1 es :
-! , si x e (- 00 , - 1]
f(x) =
- 2 , si x e (-I , -1/2]
0 /( - O = -l . existe
¡i)
lim / ( j c ) - lim ( - 1) =
x ~ * -V
-l ; lim
f(x
) -
l im
x -* -r
(-2 )
=
-2
«=¡>
B
lim
/ ( jc )
x -» -l
¡ii) N o se c u m p le q u e : lim /( * ) = / ( - l ) , por ta n to , / n o e s continua en jc= - I
X -»-l
Continuidad en
~ 1
En forma sim ila r, la función restringida a un intervalo que contenga a xn = 1 e s :
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Capítulo 3: Continuidad
336
O , s i x e <1 ,+«>)
m
=
1 , s ix e (1/2 ,1 ]
i)
ii)
/ ( l)
=
lim
1 , e x is te
/ ( jc )
n r
iii)
=
lim
(I)
=
I
;
lim
» -* r
/ ( jc )
=
lim
*-* ]+
N o s e c u m p le q u e
lim
/ ( jc )
=
(O )
=
O
«
í
jt —»i+
/ ( l)
<=> / ( jc )
f{x)
lim
jt-»i
n o e s c o n tin u a e n
x 0 = I
X-i i
Continuidad en jc u =
1/ n
,
, 0 }
n e Z - { - l
U n a f u n c i ó n r e s t r i n g i d a a u n i n t e r v a l o q u e c o n t e n g a a jc0 =
1/ n l o o b t e n e m o s d e l a s i g u i e n t e
m an era:
I" — 1
L x i
=
n < => n <
—
< n +
x
F - f l = n- l < ^ n - l < ~ c n
U J
jc
e=* —
n
n
/ ( 1/ n )
lim
=
,
xe
( —
\ n
n
,
J
1
—^ - r l
n - 1J
— 1
n
J
/ ( jc )
, si e
(-* ' n
— l—
,
n +
]
1 J
n , e x is te
ss n
y
x -*ltn
iii)
/ — — - ,
\ n + 1
—
n -l
< jc <
{ — ^-7
' n + 1
, s ijc e
n -1
ii)
— e=> j c e
n
f ( x ) = <
L u e g o :
i)
— -— - < j c <
n + 1
I <=>
lim / ( jc )
=
n -
1 «= *
J
jc —* l / o +
N o s e c u m p le q u e
:
lim
f(x)
x - » l/ n
l i m / ( jc )
=
/ ( 1/ n )
x - * 1 /n
P o r t a n t o , la fu n c ió n /
n o e s c o n t i n u a e n jch =
I/n
E n c o n c lu s ió n , la fu n c ió n e s c o n tin u a e n s u d o m in io , e s t o e s , e n
IR - { - 1
, 0 , l , 1/ n ) , n e
- { - 1 . 0 } y c u y a g r á fic a s e m u e s tr a e n la F ig u r a 3 . 1 9 .
—a
Y i
t
■
' \
:< A
:
:\
1=
■l
;•
-l.
0.
til
?
-j
■v
. \:
■* . v..
: V
Z
-2
■V
~ v
F I G U R A 3 .1 9
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
-► x.
337
Sección 3.5 : Continuidad en intervalos
E JE M P L O 1 2 )
S e a la función /( x ) =
x1 - 2 x + 2
, s i x e (1 ,+ « )
x- 1
( /,)
| [ 4 ]
t f 2)
, si x e [-10 , 1] - {0}
a) Hallar todas las asíntotas de la gráfica de /
b) Analizar la continuidad de / en [-1 0 , +o°)
c) D ibujar la gráfica d e / .
Solución
a) Determinación de las asíntotas
1. Asíntotas h orizontales: E n / , , lim /,( * ) = +°°
£ asíntotas horizontales
x - »+«
La G r(/2) tam poco tiene A. H. por su dom inio restringido.
2. Asíntotas verticales
En/ :
1
lim
r_ »
1+
/.(
'
jc)
=
jó
lim (-
r _ * 1+
1+'
- 2 x+ 2 J = +00 e=> x = I es una A. V. hacia arriba
x- 1
/
[ # 1 ) = 4 (-1) = (-“ )(-!) = +00
2
O
E n / , ; lim /,( * ) = lim ( |
’ *-»0*-*0' x
Entonces x = 0 es una asíntota vertical hacia arriba
3.
Asíntota oblicuas :
= mx + b
1 = lim ( **
+2) = 1
J
*-♦ + «' X - ~ X
l
E n / : m = lim [
1
X-»4«L x
►c=> > = x - I es una A.O.D.
2 -x
b = lim [ / . ( x ) - m x ] = lim ( —- y ) = -1
■- ^ » X»
a > Vx -- 1l /
xw -*+~
xr —
b)
Continuidad d e / e n x e [-10,+«>)
Continuidad en x = 1 : i) /( 1 ) = y [ y ] = 3(0) = 0 , existe
ii)
lim /( x ) =
X
—
> I"
lim ( ~ [ í ] ) = 0
X-» í - '
¿
'
L u e g o , / es continua por la izquierda de x = 1 y discontinua en x = 0
Por s e r / , una función racio n al, es continua V x e (1 , -h»)
Continuidad e n x s [-1 0 , 1] - {0}
f z p resen ta discontinuidades esen ciales en
) e Z f| D o m (/2) , o en (x es par)
e D o m (/2) , esto se debe a que s i :
= n o
E n tonces, s i x € [-1 0 , 1] «
n < 7f < n + l <=> 2n < x < 2 ( n + 1)
- 1 0 < x < 1 <=> - 5 ¿ y S ~
Z
Z
<=>- LibrosVirtuales
Sólo fines educativos
338
Capítulo 3: Continuidad
L u e g o , podemos graficar f 2 teniendo en cuenta q u e :
f 2(x) = ■— n , si n e Z f U e [2n , 2(n + l ) ) | n = -5 , - 4 , -3 ,- 2 , -1 , 0
O bsérvese que si k = 2n , núm ero par .entonces
lim /,( * ) =
x-»k+
-
3n
lim f J x ) = — = 2n
(Constante)
x - » 2n+
3n
lim /,( * ) = lim / =
x-»k- "
x-* 2n- "
2(n+I)
t=> t lim / ( x ) , V k p a r e Do m( J )
x _^k. -
Por tanto , / 2(x) es discontinua Vx e D o m (/2) Ix = k = 2n , número par
Por ejem plo , si n = 0 t=> x e [ 0 , 2 ) . pero com o 2 e D om (/2) se restringe el intervalo a
0 < x < I c=> 0 <
^
Para n = 1 : -2 < x < 0 e=? -1 < y < 0 ^
c)
e=> [x /2 ] = 0 r t / 2(x) = 0
\x l2 ] “ -!<=> / 2(x) = - -j- , etc.
Con toda esta inform ación se dibuja la G r{ /) m ostrada en la Figura 3.20
E J E R C IC IO S . Grupo
1.
21
Sean / y g dos funciones reales y continuas tales q u e :
>) gGO > / W > 0 , V x e IR- (a}
¡i) f i a ) = g(fl)
* /(■*) + g(*) , si x * a
Definim os la función real : H(x) =
/(* ) - g(*)
0
, si x = a
Usando propiedades , dem ostrar que H tiene discontinuidad esencial e n x = f l
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i
339
EJERCICIOS . Grupo 21 : CiHUinuidatl en ineirvulin
2. Sea / una función real cuyo dom inio es todo IR y tal que
ii) f ( K x ) = X /(x ), V X , x g IR
0 / ( * + >') = /(■*) + / ( j ) t V x ,>■£ IR
iii)
lim /(x ) = 0
x - *Q
Probar q ue:
a) / e s continua en todo IR
b)
V r > 0 , 3 8 > 0 1si Ixl < r <=> l/(x )l < 5 r
3. Sean las funciones : /(x ) = ^ ( x - | x | )
í 2 -Xa , si l x| < 2
g(x) =■ <J
l
2
, si lx | > 2
y
a) D efinir la función / o g
b) A nalizar la continuidad / o g justificando adecuadamente cada afirmación.
j - V |x - 1 1 , si x < 1
, g(x) = s
( x-4
, six>I
f ji a + jc-2,síji:<l
4. Sean las funciones : f ( x ) = <
[ x + 1
.six>l
A nalizar la continuidad de las fu n c io n e s /, g y / o g e n x (l= I
5. Dadas las funciones : /( x ) = (h o k )(x ), donde k(x) = \ x - l! y h(x) =
j
^
I
[ ;
g(x) = [ x ] + Vx - [ x ]
a) Estudiar la continuidad d e las funciones / y g
b) En los puntos de discontinuidad, si ex isten , de las funciones anteriores, determ inar el
tipo o clase de discontinuidad
6- Si / W ttt ) = x+l y bíx) =
X+ 1
x + —— , s i x < 1
x- 1
[ ^
A nalizar la continuidad de / o g
]
.ÉX il
y go/.
7. A nalizar la continuidad de la función : g(x) = Tg ( f
1 ^).& ¡x£0
‘ t r í+ 1J 4 »
(Sugerencia: Recuerde que (x - I )2 > 0 , Vx g IR)
8. Analizar la continuidad de las siguientes funciones :
a) /( * ) = (H o g)(x) ,
donde h(x)=
b) /(x ) = (x - l ) [ x j
, xe
\(x
, g(x) = V x + Í
1R+
9. Sea / lafunción m ayor entero restringida al intervalo [-5 /2 ,7 /2 ] y sea la función racional
g(x) =
| restringida al intervalo ( - 2 , I/2).D eterm inarlospuntosdediscontinuidad
de la f u n c ió n /o g.
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Capitulo 3: Continuidad
340
i— * 1 )
10. La función /( x ) e s tá definida por ,/( x ) = (x + 1). 2 Ul * , p a r a x ^ O y /( O ) = 0 .
Dem ostrar que en el intervalo [-2 ,2 ] la función /(x ) toma todos los valores, sin excepción,
com prendidos entre /(-2 ) y f ( 2 ) y , sin em b arg o , es discontinua (en qué punto precisa­
mente) . Construir su gráfica.
11. Esbozar las gráficas de las funciones dadas, m ostrando todas las asíntotas existentes y los
intervalos de continuidad.
x4 - 7 x 3 + 1 5 ;r-9 x
** - 2x2 - x + 2
a) / W
= <
Vx2 - 4x + 3
,x<- 1
x>+ 1
,x > I
b)
/(X )
=
<
,x<l
x4 - 3x2 + 16
x (x2 - 5x + 6)
Vx2 - 3x
1<x< 3
2X2
,x<- 1
x2 + x - 6
c) /(x ) =
1< x < 1
V T T ^T
e) f ( x ) = <
V FTq
, 9 ~x2
12.
+ 2x- 3
c*+2j*v*+7
Xa
á) m
= <¡ x V M
y
x*
2 ( x - 1)
,x> 3
,x<- 1
, -1 < x < 0
1 + X
,x>0
x> I
X3 -
1
, Ixl > 3
, Ix l < 3
A nalizar la continuidad de la función
[l-Jc] + [ x - I ]
m
= <
, si 0 < x < 2
2-Vlxl-[x]
2x-5
,six>2
13. Sea la función
f ( x ) = ( k + l)(k x - 1) Sen(k7t + ^ ) + k [ (k + l) x - 1] C oskn , c o n x e ["j™TJ
k e Z+ . A nalizar la continuidad de / en ( 0 , 1]
14. A nalizar la continuidad e n x = 0 de las siguientes funciones
7 [ £ ] ■ • "* °
a) m
=
I
b) g(x) = <
.*=0
k
1
2x- [x + I ]
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15. A nalizar la continuidad de la función : h(x) =
, x=0
Sección 3.6 : Funciones acotadas
16.
Si /(jr)
341
IAx - 3 1 - I
- tt-t—
, analizar la continuidad en el intervalo [O ,+«>)
l O ~
JC J
17.
Dada la función /( x ) = v
y -r-l-s]
18.
Estudiar la continuidad de /( * ) - x - [ —] + [ x ] + Vx- [ x ]
19.
Estudiar la continuidad de la función f ( x ) =
20.
Analizar la continuidad de la función
m
, analizar la continuidad en [0 ,2 ].
= [x ]-a C T T 7 I ( [ ! ] )
y dibujar su gráfica.
2x
, en [ 0 .3 /2 ]
2x~ [ 2 x ] - I
+ [x [ ^ ] ]
, siUI > l
E sbozar su gráfica y red efin ir la función donde sea posible para que se convierta en
continua.
(3.6)
F U N C IO N E S A C O T A D A S
Definición 3.10 s FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE
Se dice que una función / eslá acouulü superiormente: sobre un conjunto S c D o m ( / ) .s i el
conjunto de im ágenes/(S) está acotado superiorm ente, es d e c ir. si existe un ntímero real M
ta iq u e /( x ) £ ,M . V x e S
Form alm ente.
f ( x ) está acotada superiormente «
3 M t IR ,V .r6 S e D o ro (/) l/( x ) < M
En las Figuras 3 .2 1 y 3.22. M = /(x ,) y obsérvese que V x e D om (/) se cumple que f ( x ) < f ( x , )
Definición 3.11 : FUNCION ACOTADA INFERIORMENTE
Se dice que u na fu n c ió n / está acolada inferionnente sobre un c o n ju n to s c D o m ( /j ,si el
conjunto de imágenes /( S ) está, acotado inferiorm ente. es d ecir, si existe unnúm ero real m
tal que f ( x ) ^ m ,Vjr e S.
Form alm ente:
f ( x ) está acotada interiorm ente <=> 3 m e IR, V xe S c D o m ( / ) |/ ( .r ) > m
En la Figura 3 .2 1 ,m = /(jr,) y e n la Figura 3.22 , m = f ( a ) . Nótese que para cualquier x e
D om (/) se cum ple q u e : f ( x ) > /(x ,) y /( x ) > f ( a ) , respectivamente.
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342
Capítulo 3: Continuidad
Definición 3 . 1 2 :
FUNCION ACOTADA
Se dice que una función es acotada sobre un conjunto S c D o m ( /) . si el conjunto de
imágenes / ( S ) está aco tad o , es d e c ir, si existe un núm ero real M > 0 tal q u e :
< M ,
e S
Form alm ente:
/ ( ¿ ) es acotada sobre S <^> 3 M > 0 I i/( x ) l < M , V a g S
o equivalentem ente:
/(x):es acotada sobre S .<=> 3 m , M e ERI m < f { x ) < M , V x e S
Definición 3.13 : SUPREMO DE UNA FUNCIÓN
Se diceq u e una función f tiene un supremo sobre un conjunto S c D o m (.f) ,s i e l conjunto
de im ágenes /( S ) tiene un suprem o, esto es
Sup f { x ) = S u p /( S ) = S u p { / ( * ) U s S}
s'
D ado que cualquier núm ero menor que M se puede expresar como M - 8 , donde 8 > 0 ; una
definición formal de la 3 .13 puede ser
f i) V y e / ( S ) „ y < M
M = S u p /(jr) <=> <
s
I i i ) V 8 > 0 , 3 y(íe / ( S ) I )•„> M
8
Definición 3.14 : INFIMO DE UNA FUNCION
Se dice que una función tiene un ín fim o s obre un conjunto S cz D o m ( /) , si el conjunto de
imágenes / ( $ ) tiene un .ínfim o, es d e c ir:
Iñ ff(x ) = Inf-f(S) = I n f { / ( x ) U e S}
s
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*
Sección 3.6 : Funciones acotados
343
Dado que un número m ayor que m = In f / ( S) se puede escribir como m + 5 , donde 8 > 0 ;
una definición formal de ia 3.14 puede s e r :
f i) V >• e / ( S) , y > m
m = In f / ( S) <=> <
s
[ ii) V 5 < 0 , 3 y 0 e / ( S ) l y()< m + 8
En la Figura 3.21 se observa que S = [a ,b ) «=> / ( S) = / ( [ a , &)) = [ / ( x () , /(x 2)]
í S u p /(S ) = Sup ( [ / ( x ,) ,/ ( x 2) ] ) = /(x ,)
1 I n f /( S ) = In f ( [ / ( x ,) ,/( x 2) ] ) = /(x ,)
y en la Figura 3 .2 2 , S = (fi ,b]
^
S) = / ( ( a , b]) = < / ( a ) , / ( x 2) ]
f S u p /(S ) = S u p « / ( a ) , / ( x 2) ] ) = /( x 2)
1 Inf/C S) = In f C( f ( a ) J ( x 2) ] ) = f{a)
Definición 3.15 : MINIMO DE UNA FUNCION
Se dice que una función / tiene un mt'tiimo sobre e! conjunto S c D o m ( /) , si existe al
menos unx, e S tal q u e :
minCf) = /(x ,) = I n f [ / ( S ) ] e / ( S )
En la Figura 3.21 , /(* ,) = Inf [ / ( S) ] € / ( S) <=> min (f ) = /(x ,) sobre [a , 6)
En la Figura 3.22 , f ( a) = In f [ / ( S) ] e /( S ) i=^ / no tiene mínimo en (a , 6]
Definición 3.16 : MAXIMO DE UNA FUNCION
Se dice que una función / tiene un máximo sobre el conjunto S c D o m (/j . si existe al
menos un x, e S tal q u e :
max ( /) = /( x 2) =- Sup I f ( S ) J e f ( S)
En las F iguras 3 .2 1 y 3.22 , / ( x 2) = Sup [ /( S ) ] e f ( S ) •=> max ( / ) = /( x ,) sobre [a , fe) y
{a , 6 ] , respectivamente.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
( EJEMPLO 1 j
Determ inar si la fu n ció n /(x ) = 4x3 + 8 x - 2 e s acotada sobre el intervalo
S = [ 0 , 3 ] . H a lla r, si existen , el Sup( / ) e In f(/)
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Capítulo 3: Continuidad
344
tSolución Hallarem os la m ayor y la m enor imagen de f ( x ) = 4(x + 1)2 - 6 , calculando su
rango a partir de S , esto es :
I < x + 1 < 4 «=> 4 < 4(*r + 1)2 < 64
S ix e [0 ,3 ]» 0 < r< 3 «
« - 2 < 4 ( x + l)2- 6 < 5 8 ^ f ( x ) g [-2 ,5 8 ]
f ( x ) es aco tad a, pues existen , m = -2 y M = 58 tales que : -2 < f ( x ) < 58
L uego: Sup [/(* )] = Sup [/(S )] = S u p tfO O U e [ 0 .3 ] } = S u p { [-2 ,5 8 ]} = 58
In f [/(* )] = In f[/(S )] = M { f ( x ) \ x s [ 0 ,3 ] } = S u p { [-2 .5 8 ]} = -2
^E JE M P L O ^J
Solución
H a lla re lsu p re m o eín fim o d e la fu n ció n f ( x ) =
Sea / ( jc) = I -
,x e [-2,2]
^ , jce S = [ - 2 ,2 ]
S i j c e [ - 2 ,2 ] «
Invirtiendo se tie n e : 4- <
5
■
-2<^<2
0ájc2< 4 «
1<*2+ I <5
-4 , < 1 c ? -3 < - ? , < - 4jt2 + 1
x 1+ I
5
«
- 2 < I - ^ _
S |
^ / W e
[-2 ,2 /5 ]
L uego: Sup/C *) = S u p /(S ) = S u p { / ( r ) |jt e [ - 2 ,2 ]} = Sup { [-2 ,2 /5 ]} = 2/5
Inf/(jc) = I n f /( S ) = In f { / ( x ) U e [ - 2 ,2 ] } = In f {[-2 ,2 /5 ]} = -2
E JE M P L O 3 )
■
Si / y g son dos funciones acotadas en S , dem ostrar que
I n f ( / + g) > I n f ( / ) + Inf (g)
s
s
s
D em ostración
Sean : m = In f ( / ) , m = In f (g) y m = I n f ( / + g)
s
s
s
Debemos probar q u e :
m > m ( + m2
1. En e fe c to , supongam os q u e , m < m, + m 2 <=$ m, + m 2 - m > 0
2. Sea £ = m | + m 2- m > 0 , entonces por la definición de ínfimo
3. m = I n f ( / + g) <=* V e < 0 , 3 j r e S | ( / + g ) (jr)< m + e
=> V e > 0 , 3 jre S | ( / + g) (jc) < m, + m2
4. P ero si m, = ln ffjf) =s V x s S , / ( * ) > m (
(D ef.3.14)
m 2 = ln f ( g ) <=$ V x e S , g(jc) 5 m2
(Def. 3.14)
5.
6. Sum ando (4) + (5) se tiene
:
Vx
e
S
, / ( jt )
+ g(x) > m, + m 2
7. O bsérvese que en (3) y (6) e x iste una contradicción ( «=> < = ) , p o r lo que la h ip ó te sis:
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345
Sección 3.6 : Funciones acotadas
m < m, + m , , del cual se dedujo ( 3 ), no se puede verificar, en consecuencia
m > m + m , esto es : In f ( / + g) > In f ( / ) + Tnf (g)
s
s
s
E JE M P L O 4 j
S e a /u n a función acotada en [ 0 , 1 ] .Si I I / t i = S u p { |/(x )l , x e [0 , I]},
dem ostrar que l l / + g ll < l l / l l + l l gl l
Dem ostración
En efecto
1.
Según la definición d a d a : I I / + gil = Sup { I / + gl , x e [ 0, 1]}
2.
I l ( / + g)(x) 11 ex iste, pues por la desigualdad triangular sabemos que
l / + g l < l / l + Igl
3.
E ntonces, por la Definición 3 .13 , 1/ + g I está acotada superiormente y
una cota su p erio r. Luego , Sup { l / + g l , x e [ 0 , 1 ] existe
M = i / 1+ I g Ies
4.
Además , por la definición de supremo : 11/ + g 11 ^ l / l + Ig l es la
superiores. Entonces se cumple
menor de las cotas
i)
V
j e
[0 ,
1] ,
I/ + g 1 < 11/ + g 11
ii) V e > 0 , 3 x 1(e [ 0 , i ] l l / + gl > l l / + g l l - e
Prueba por el absurdo
5) Supongamos que | | / + g | | < | | / | | + | | g | | n o s e cum ple , entonces
l l / + g l l > l l / l l + l l gl l <=» l l / + gl l - l l / l l - l l g l l > 0
6. L u e g o , eligiendo £ = l l / + g ll - l l / l l - l l gl l y sustituyendo en la condición ¡i) se tiene:
7. l / + g l > I | / + g l | - l l / + g l l + l l / l l + | | g l l
l / + g l > l l / l l + l l gl l
■=> l / + gl >1/ 1 + l g l
Contradice la desigualdad triangular
I | / + g | | < 11/11 + l l gl l
^E JÉ M P L £5j
Si S es el dom inio de la función /(x ) =
x 1 + 4x - 2 , x € [-3 , I)
2x + 1
, x e [I ,2)
9 -x2
, x e [2 , 3)
h a lla r, si existen : Sup ( / ) , In f ( / ) , Max ( / ) y Min ( / ) .
s
s
S o lu c ió n
1.
H allaremos el rango d e cada subfunción partiendo de los dom inios respectivos,
esto e s :
/ , W = x2 + 4x - 2 = (x + 2)- - 6 , x € [-3, 1>
«=* - 3 < x < 1 <=> -1 < x + 2 < 3 « 0 < ( x + 2)2< 9
<=> - 6 < ( x + 2 ) 2 - 6 < 3
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/,(x ) e [-6 ,3 >
346
Capítulo 3: Continuidad
2. f 2(x) = 2 x + I
, * g
[1
, 2 )
>=> 1 < x < 2 <=> 3 < 2x + 1 < 5 t i / 2( * ) e [3 ,5 )
3. f ¿ x ) = 9 - x 2 , x e . [ 2 , 3 )
t=> 2 < x < 3 <=> 4<j c 2< 9 <=> -9 < - x 2 < - 4
« 0 < 9 - J t 3< 5 t > f ¿ x ) e ( 0 , 5 ]
4. L u e g o , R a n (/) = [ - 6 , 3) U [3 . 5) U <0 , 5] = [-6 , 5]
5.
/. S u p t f ) = Max ( / ) = Sup { / ( j c ) | * e [ - 3 ,3 ) } = S u p { [ - 6 , 5 ] } = 5
Inf ( / ) = Min ( /) = In f { /(* ) I jce [ - 3 , 3 » = I n f { [ - 6 ,5 ] } = -6
In f {z2 - 3xz + 2 x 2\ x < z < 3 x , 0 < j r < 1}
( EJEMPLO < P )
Sea
/ (jc ) =
! ( _ ! ______
4 M - jc
, l <x<2
1-x3 I
Es posible definir la función / en x = I de modo que sea continua en (0 , 2). En caso que sea
p osible, com o se define / ( l) ?
Solución
Si In f {g(z) I x < z < 3x} ■=> g(z) = z2 - 3 x z + 2x3 , z € ( x , 3x)
»
g(z) = ( z - f * ) 1- ! 2 , z e < x,3x)
Si jc < z < 3x c=> jc - ^ - jr < z - íj- jt< 3 ji;- - |- jr <=> 0 < ( z - ^ x ) 2 < ~ x 3
«
- f 2< ( z - f j t ) 2 - ^
Entonces , In f {g(z) I z e
(jc
g(z) e [-x*l4 , 2 x 2)
^
, 3-c» = In f {[- jc7 4 , 2X3)} = - jcV4
- jc2/4
f(x) = <
Por lo que
, /
, si 0 < * < 1
,
3
*
H íríi-T T ? )
A h o ra , los. límites laterales d e / e n el punto de acum ulación jcu= I , son :
i)
ü)
lim
s-* r
/ (jc )
= lim ( - ^ r ) = - T
x-* r '
4 /
4
lim /(x ) =
lim
jr -» l+
Dado q u e :
lim
a ~*
/ (jc ) =
* - » I"
„ t \ X * XÍ- 3 ^
1+ ( l " . X ) ( l + J T + JC^)
lim
/ ( j c ) t=>
X -» l+
=
lim
*-» i+
lim / (jc ) =
x —> I
P o r l o t a n t o , la e x t e n s ió n c o n t in u a d e / e n
jc0
=
_
1 ( x +2
\
4 \ 1+ X +X2 I
- j
, e x is t e
I se d e fin e
/ ( ] ) = lim /(* ) = - i
X -» I
^
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'
1
4
DERC1CI0S
347
Grupti 22 : Funáimes tit tiltuhu
EJEMPLO 7 )
Sea la función f ( x ) = \ ISen2* I y S = <-tu/2 , 7i/2> - {0} . H a lla r. si
existen , el Sup ( /) y el Inf ( /)
s
s
Solución
C om o ia función seno es acotada , esto es ,-1 < Sen 2x < I y | S e n 2 x l > 0
.=> 0 < I Sen 2 x ! < 1 »
0 < ^ | Sen Zv I < ^ <=? /(x ) e <0, 1/2]
Por consiguiente:
Sup ( / ) = Sup { /( x ) I x e
, it/2) - {0}}
= Sup { (0 , 1/2]} = 1/2 = M ax(/)
Inf ( / ) = Inf { /(jc )|jc e (-JI/2 ,71/2) - {0}}
= Inf {<0, 1/2]} = 0
Como Inf ( f ) e / ( S ) .=> Í M in ( /)
s
F IG U R A 3.23
EJERCICIOS . Grupo 22
1.
Dem ostrar que si / está acotada sobre S y c > 0 es una constante, entonces
b) I n f ( c / ) = c In f ( / )
a) S u p ( c / ) = cS u p ( / )
s
s
S
S
2. Dem ostrar que si / está acotada sobre S y c < 0 es una constante, entonces
a) S u p (c /> = c l n f ( / )
s
s
3.
b) Inf ( c f ) = c S u p ( / )
s
s
Analizar , justificando sus respuestas , si las siguientes funciones son superiormente y/o
inferiormente acotadas sobre el intervalo d a d o . H allar, si existen , el Sup ( / ) e In f ( / ) para
s
s
las funciones d a d a s.
a) fO0 = Sec x , S = [ 0 , ti]
c) m
b) /(x ) = 4x 2 - 12x + 5 , S = [-2 ,3 ]
4. Dadas las fu n cio n es: f ( x ) = * —x
y
g(x) =
1 -x
= í r l
* S = í_4,3]
x , x e [-1 , l)
2 -V T T x
a) S o n / y gacotadas en [-1 , 1 ) ? Justifique su respuesta.
b) C alcu lar, si existen , el supremo y el ínfimo de / sobre S = [ - 1 , 1 )
5. H allar, si existen , el suprem o e ínfimo de f ( x ) =
usando la definición.
6. H allar, si existen , el suprem oe ínfim ode f ( x ) =
x 2- x + I
, en x € IR , luego comprobar
x2+ I
x2- l
x2+ l
, en x e IR
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Capítulo 3: Continuidad
348
7. Dem ostrar que si / y g son dos funciones en el dom inio S tales que V x e S , /( x ) < g ( x ) ,
entonces , Sup ( / ) ¿ Sup (g)
8. D em ostrar que si / y g son funciones acotadas y a y b son constantes no negativas ,
entonces : In f ( a / + b f ) > a . l n f ( / ) + &I nf ( g)
9. C a lc u la r, si existen :
i) In f ( / ) , si f ( x ) = Sen x + Cos x
ii)
Justificar adecuadamente.
Sup ( g ) , si g(x) = C o t g x - j , x * 0
10. Sean / y g dos funciones acoladas sobre S . tales q u e , f ( x ) < g (x ), Vx e S . D em ostrar
que:
In f(g ) < I n f ( /) < S u p ( / ) < S up (g )
s
s
s
s
11. Sea S c IR , S * (]) y sean / y g funciones definidas y acotadas en S. Dem ostrar que
a) Si a e [R , Sup {a + / ( x ) , x € S} = a + Sup {/(x) , x € S}
Inf {a + / ( x ) , x e S} = a + Sup { / ( x ) , x e S}
b) In f { /( x ) , x e S} + In f { g (x ),x E S} < In f {/(x ) + g (x ), x
e
S} 5
In f { /( x) , x e S} + Sup (g(x) , x e S}
12. S e a / : £ 0 , xc/2] —> [ 0 , 1 ] .d e fin id a p o r /( x ) = S e n x , y considerem os los intervalos
[k n /2 n , (k + l)7t/2n] , k = 0 , l , 2 , . . . . , n - l
a)
D em uéstrese q u e : Sup ( / ) = S e n ( k + 1 ) ^
►en [k7t/2n , (k + 1)xc/2n]
In f ( / ) = Sen ( ] r ~ )
2n
y que estos coinciden con el m áxim o y el mínimo absolutos,
b)
Sea Rk = { ( x , >) 6 IR2 |
< x <
( k ^ 1)n
,0< y</(x)}
Grafique en el plano X Y , R k para un k genérico (k = 0 , I , 2 , . . . . , n - I)
Pruebe que:
S e n ^ j K . V k - O . l . a
n-1
donde a (Rk) = área de R k
n- 1
Mostrar geométricamente que, A = I , ú (R .) es el área bajo la sinusoide en [O.rc/2]
k=fl
3 - 2x - x2 , si -3 < x < 0
13. Si S es el dom inio d e /( x ) = < Ix - 2 1 + I , si 0 < x < 3
x2 - 5x + 8 , s i 3 < x < 5
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Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas
349
h a lla r, si existen : Sup ( / ) , Inf ( / ) , M ax ( / ) y Min ( / )
s
s
f - i r 2 - 4jc , s i .? <= [ -3 ,-1 )
d e / ( j c ) = s 2 - 2 x , si x e [ - 1 , 2 )
[ x? - 6 , si x e [2 , 3]
14. Si S es el dom inio
h a lla r. si existen :
s
Sup ( / ) , Inf ( f ) , M ax ( / ) , Min ( /)
s
í Sup {4 jcz - z 2| 3 x < z < jc} , si -1 < * < 0
15. Sea la función f ( x ) = s Sen'Zic
, si O < x < 1
Sen23*
Es posible d e f in ir / en x = O , de m odo que sea continua en (-1 , I) ? . En caso afirm ativo,
com o debería definirse /(O) ?
■ ^ r -------|0 < u < 2 x V , d e te rm in a r si / es c o nt i nua so b re
u2
u
J
< U , + «• ) .
17. Dada la función / ( jc) = Sen ( y [ jc ] ) + Sen ( y jc) , jce [ - 2 , 2 ] ; determ inar :
a) Los puntos de discontinuidad. D e qué tipo son ?
b) Sup ( / ) , Inf ( / ) . Max ( / ) y Min ( / ) .
18. Hallar el m ínim o y el m áxim o de las funciones:
a) /( * ) = ( - I ) " , donde n = [ jc J
c)
/(* )
=
_ íL -
b) f ( x ) = are Cos (Cos j c ) - are Sen (Sen x)
[3 ¡7 )
PROPIEDADES FUNDAM ENTALES DE LAS FUNCIONES
C O N TIN U A S
T E O R E M A 3 .5 : T e o re m a d e l c e ro
S e a / : [a ,fe]-> IR una función continua en [a , b ] . S i / ( u ) y / ( f e ) tienen signos opuestos,
es d e c ir, si
/( o ) < 0 < /(fe) o /(fe) < 0 < /(fl)
entonces existe un número c en el intervalo abierto (a ,fe) tal que
m
Demostración
= o
Supongamos q u e /(fl) < 0 y /(fe )> 0
(El otro caso puede tratarse en forma semejante)
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Capítulo 3: Continuidad
350
1. Probarem os en prim er lugar que c es el suprem o del conjunto
A = { x l x e [ a , c ] y f { x ) < O . V x e [a , c ]}
2. En e fe c to , puesto q u e , por hipótesis f { a ) < 0 y por la continuidad de / en [ a , b] , existe un
número 8 > 0 tal que /(x ) < 0 ,V x que satisface 0 < x < a + 8 (Corolario del Teorema 3.1) .
Entonces : jc6 [ a , a + 8 ) c A
3. Igualm ente, aunque b e A , b es una cota superior de A , y por hipótesis /(£>) > 0 y por la
continuidad de / , existe un número 8 > 0 tal que /(x ) > 0 , Vx que satisface : b - & < x < b
(Teorema 3.1)
O bviam ente todos los puntos x que satisfacen x e
{b - 8 , b] son cotas superiores de A , esto e s , A está
acotado superiorm ente y por el A xiom a del Supremo
tiene supremo en c.
4. L u e g o , c - S u p (A ), dado que se cumple
i) V x e A , x < c
ii) V S > 0 , 3 x e A | c - 8 < x < c < 6
F IG U R A 3 24
Dem ostrarem os ahora que f ( c) = 0 , elim inando las alternativas f ( c ) < 0 y f ( c ) > 0
5. Supongamos que /( c ) < 0 , entonces por el corolario del Teorema 3.1
3 8 > 0 1f ( x ) < 0 , V x e (c - 8 , c + 8) = I
(Figura 3.25)
6. Y s i c = Sup(A ) «=> 3 x , e A | c - 8 < x , <c = 1,
y c o m o lj e l => /(x ) < 0 , V x e [a ,x ,]
7. Si x2 es un número tal que
c < x 2< c + 8 = I2, y com o I2 c 1 , entonces
f ( x ) < 0 ,V x e [x, , x,] , de tal manera que x, e A
Incidentalm ente, este argum ento excluye la posibili­
dad de que c sea el Sup(A) ya que ningún núm ero es
mayor que el supremo.
8. Esto contradice la definición d e c , luego , la suposi­
ción de que f ( c ) < 0 es falsa.
' i
------------------------
— O-------------- > -■ » c - 8
x,
c
^
. >■ — ^
-■
x¡
.
-N
■o ■■ >
c + 5
>
9. Supongam os ahora que /(c ) > 0 , entonces por el Teorema 3 .1
3 8 > 0 | / ( x ) > 0 , V x e ( e - S . c + 8)
c - S < x < c + 5 = I3
(F ig u ra3.26)
10. S ic = Sup(A) t=* 3 x , e A k - S < x , < c = I4
11. Como I4c A , entonces se cum ple que / ( x ) < 0 , Vx e [a ,x,]
12. Pero además , I4<= I3 , y e n l 3 , por el paso (9 ), /(x ) > 0 , V x e [a , x , ] , lo que contradice
al paso (11).
En consecuencia, elim inadas las dos alternativas, se deduce q u e :
/(c)=0
■
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Sección 3.7 : Propiedcules fundamentales ile las funciones continuas
351
c-8
c+8
OBSERV A CIÓ N 3.2
Este importante teorema tiene su aplicación en la solución d e ecua­
ciones de la forma f ( x ) = 0 . el cual nos dice que si / es continua en
[a , b] y tanto f ( a ) com o /(£>) tienen diferente signo ,
entonces /(* ) = 0 tiene solución. Además su interpreta-1
ción geom étrica nos indicaque si la gráfica de una fun­
ción / continua en [a , 6] , donde f{a) y /(£■) tienen dife­
rente signo, debe cortar al eje X a lo más en un punto.
A s í , en la Figura 3.27 tenemos : f ( a ) < 0 y f(b) > 0 ,
entonces 3 c, 6 (a , b) I /( c .) = 0 , donde i » 1 , 2 . 3 .
F IG U R A 3.27
T E O R E M A 3 .6 : T e o re m a d e l v a lo r in te rm e d io
(B e r n a rd B o lz a n o )
Sea / : [a , 6] - * IR y / continua sobre [a , b] y k e f /( a ) , /(&)] o k e 1 /( 6 ), f ( a) } .
E ntonces k e R an (/) y existe un número c entre a y 6 tal q u e :
/(c ) = k
Demostración
1. Supongamos por ejem plo q u e : / ( a ) < k < /(6 )
2. Entonces , sea la función : g(x) = f ( x ) - k
que es continua en [a , 6]
3. L uego: g(a) = / ( a ) - k
g(6) = / ( 6 ) - k
4. Pero de ( I) : f ( a ) < k i=> f ( a ) - k < 0
/ ( 6 ) > k ^ f( b) - k > 0
5. Por lo que en (3 ): g ( a ) < 0
y
g (6 )> 0
6. Entonces por el Teorema del C e ro , 3 c e (a , b) I g(c) = 0
7. En consecuencia , en el paso (2 ) : g(c) = /( c ) - k
=
0 <=> /( c ) = k.
(La otra posibilidad k e [ / ( 6 ) ,/( a ) ] puede tratarse de modo semejante).
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352
Capítulo 3: Continuidad
La interpretación geom étrica del Teorem a 3.6 establece que la recta horizontal y = /( c ) - k
debe interceptar a la G r(/) en por lo menos un punto ( c , k ), donde c e (a , fe). En la Figura 3.29
tenem os q u e /(fl) < k < /(fe) , entonces e x is te c e (fl , fe) I/(c .) = k , i = I , 2 , 3
O B S E R V A C U S tf^
Si en el Teorema 3.6 no se cumple la hipótesis de continuidad de / en
[a . fe] , la conclusión 3 c e (a , 6) |/( c ) = k no necesariam ente se
cu m p le . En la Figura 3 ,3 0 , vemos que el núm ero k se ha “ pasado por alto” , es d e c ir, la recta
y = k no intercepta a la Gr( / ) , por lo que : É c e {a , fe) I/( c ) = k
F IG U R A 3.29
T E O R E M A 3 .7 : T e o re m a d e a c o ta c ió n lo c a l
Si / es continua en el punto x0 , entonces existe.un núm ero 8 > 0 , tal que / está acotado
superiormente en el intervalo abierto {x(| - S , xu + 5 ), e s d e c ir, existe prxhúmero.real M * tal
que
l / ( x ) | < M , Vxé- ( x ^ - S .x ^ + S)
D em ostración
En e fe c to ,
1. S i/e s c o n tin u a en x„ e=> lim /( x ) = /( x 0) , luego
V e > 0 , 3 8 > 0 | s i | x - x n| < 8 <=> l / ( x ) - / ( x 0)l < e
2. Com o £ e s un núm ero positivo arb itrario , laelección d e e = I determ ina que
- 6 < x - x 1J< 8 i=> -1 < / ( x ) - / ( x 0) < 1
«
xn - 8 < x < x(( + 6 >=* /(X jj) - 1 < / ( x ) < 1 + /( x 0)
3. Si hacem os M = /( x |t) + I y com o - M = - /( x 0) - 1 < /( x |J) - 1 , entonces en (2)
xH- 8 < x < xp + 8 «=> - M < / ( x ) < M
4. En co nsecuencia:
V x e (xfl- 8 , x „ + 8) *=> [/(x ) I < M
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■
Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas
353
T E O R E M A 3 .8 : T e o re m a d e a c o ta c ió n g lo b a l
Sea / : [« , 6] —> (R , si / e s c o n t i n u a so b re [a . b] , se v e rific a q u e f e s ac o ta d a
so b re [a , 6] .
Dem ostración
En e fe c to .
1. Sea el conjunto A = |jcI.x€ [a ,6 ] y / acotada en [a ,* ]
2. Por la continuidad de / es fácil notar que A * (J) y que está acotada superiormente por b.
E ntonces , por el A xiom a del Suprem o , adm ite suprem o. L uego , sea c = Sup(A ) =
S u p { jc |/ es acotada sobre [a ,jr]} .
3. E stá claro q u e c < b , entonces deducirem os qu e c = b suponiendo para esto que , c < b .
4. Por el Teorema 3.7 y de la continuidad de / en c :
3 M, > 0 y 6, > 0 , tal que |/(jt) I < M , , V jce [c - 8 ( ,c + 8,]
es fácil deducir que / acotada sobre el intervalo I = [c - 8 j , c + S2]
5.
Siendo / acotada en [a , c - 8 J para algún M , y com o I ( c I , entonces llamando
=
m a x { M ,, M2} se tiene : l/( x ) l < M j , V x e [a , c + 8, ] . Es evidente que / es acotada en
12 = [a , c + 8(] , donde (c + 8j) e A. Esto contradice la elección de c com o supremo de A.
P odem os, por tanto , concluir diciendo que c no es m enor de b , y como c < b e* c = b
6. Esto nos afum a que : / es acotada en [a , jc] , para to d o x < b
7. A nálogam ente, de la continuidad de / , sabemos que tal función es acotada en algún inter­
valo de la forma [b - 82 , fc], para algún 82 > 0
8. S¡ 82 > 0 <=^ - 8, < 0 y b - 82 < b , entonces sabem os , según lo que acabam os de
d e m o s tra r, que / es acotada en [a , b - 8 2].
9. Siendo / acotada en [a , b - 8 ,] y en [¿ - 8 , , b] , se sigue que / es acotada en [a , b]
m
T E O R E M A 3 .9 : T e o re m a d e l v a lo r M á x im o y M ín im o
(Teorema de Karl Weierstrass)
Si / es una función continua en [a , b) , entonces existen
, .v, e {a , b j en los cuales la
función.toma su valor máximo M y su valor mínimo m . esto e s :
x, , x2e [a ,b] ■=> f ( x l) < f { x ) < f ( x 2) . V x e [c.fc]
m < / ( .t ) < M
. V.te[ a, &l
Demostración
I. Como / es continua en [ a , b] , por el Teorema 3 .8 , / es acotada en [a ,b ] , es d e c ir, admite
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Capítulo J : Continuidad
354
supremo e ínfimo.
S e a M = S u p { /(x )t x e [ a , 6]}
2. Probaremos que 3 j t , e [a , b] \ /(* ,) = M
3. En e fecto , para e l l o , hagamos
gU ) = J T T m
4. Supongam os, p or el a b su rd o , que
V x e [ a . b] , f ( x ) < M
/( x ) - M < 0
5. Si / no tom a el valor M , entonces g es continua en
[a , 6] y com o consecuencia del Teorem a 3 .8 , g e s a c o ta d a , es d e c ir , existe un núm ero
L > 0 tal que g(x) < L
6.
Luego , en el paso (3 ):
m
TTw
< l ~
/ ( * ) < M - - 1 , V x e [a,b]
7.
L a su p o s ic ió n de q u e / no te n g a el v a lo r M nos ha lle v a d o a u n a c o n tra d ic c ió n ,
pu es M - 1/L es una co tasu p erio rm en o rq u eelsu prem oM . En consecuencia, existe por lo
menos un p u n to * , 6 [a , 6] tal que
f ( x 2) = M = max ( / ) , donde S = [a , b]
s
Del m ism o modo se puede dem ostrar que / tom a el valor m ín im o , esto es
3 *, e S = [a , b ] ! /( * ,) = m = m in (/)
m
T E O R E M A 3 .1 0 : T e o re m a d e c o n tin u id a d
Sea / una función univalente . Si / es continua sobre el intervalo [¿2 , 6] , entonces la
función in v e rs a /* es continua sobre el intervalo con extrem os en los puntos f ( a ) y f(b).
(Figura 3.32)
D em ostración
Realicemos la demostración del teorem a para las funciones estrictam ente
crecientes.
1. Sean c = /( a ) y d = / ( 6)
2. Probarem os que el dom inio de la función inversa / * es el intervalo [c , d)
3. En e fe c to , del crecim iento m onótono de / se deduce que
f ( a ) < / ( x ) < / ( 6)
es d e c ir, / ( * ) e [c . d \ , V * e [a , b ] .
4. P o r otro la d o , cualquiera que sea y e [c ,d] secum ple : f ( a ) < y < / ( 6) , entonces existe un
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Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas
355
punto x 6 [a ,&] I /( * ) = > ’ .
De esta form a , todos los valores d e la función / dada están sobre el intervalo [c , d ] y
cada punto de este intervalo es el valor de la función / en cierto punto, es d e c ir, el intervalo
[c , d] es el conjunto de imágenes de / .
5. L u eg o , la función / * es univalente y crece estrictamente sobre [c , d \ . M ostraremos ahora
que la función / * es continua sobre [c , d ) .
F IG U R A 3.32
6. Sean y() e (c , d ) y x Q= / * ( y0) . Es d e c ir, yn es un punto interior del intervalo [c , d ] ,
entonces por ser / * crecien te, también x , e (a ,b)
7. Elijamos cierto 6 > 0 , suficientem ente pequeño de modo que x n - S y
+ 8 estén en el
intervalo (a , b ) .
8. Sin perder generalidad se puede considerar que 5 es tal que
a < x 1(- 6 < x n < x n + 6 < 6
9. Sean y, = f ( x u - 8) , y , = f ( x Q+ 5 ) , entonces de la condición (8) y por el crecimiento
estricto de / se deduce que
c < y , < yn < y2 < 5
10. T o m e m o s e > 0 , de m odoque : y, < yu- £ < y0 + e < y,
(Figura3.32)
Si ahora escogem os y de forma tal que y(l - e < y < y0 + e , entonces con m ayor razón :
y, < y < y 2
11. L u eg o , por el crecim iento d e / * es válida la desigualdad
= / * ( > ', ) < / * ( > ) < f * ( y 2) - xn + 8
12. De esta form a , p ara 6 > 0 está indicado £ > 0 I V y e ( y0 - £ , y + £) se cum ple la
d esig u ald ad : l/ * ( y ) - / * O ’0) l < 5
es d e c ir, la función / * es continua en un punto y0 e (c , 8)
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Capítulo 3: Continuidad
3S6
SÍ ahora y „= c e >0= d , entonces con razonamientos análogos se demuestra que la función
/ * es continua por la derecha en ei punto c y continua por la izquierda en el punto d.
A s í, el teorema para las funciones estrictamente crecientes queda probado. En caso en que
/ decrece en todo [a.fc] puede tratarse de m odo semejante.
■
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
f E JEM P LO 1
O
) Sean / y g dos funciones co ntinuas en el intervalo [a ,b] , tales q u e ,
/( f l) < g(fl) y /(&) > g ( b ) . D em ostrar que existe un núm ero c entre a y
b tal que / ( c ) = g(c).
Dem ostración
l. Sea la función : h(jr) = f ( x ) - g(*)
2. Entonces, h(a) = f ( a ) - g(a) y h(fe) = /(£>)-g(&)
3. P or h ip ó tesis, / ( a ) < g (a ) «=> / ( a ) - g ( a ) < 0 *=> h(zi) < 0
f ( b ) > g(b) .=> f ( b) - g (b) > 0 ^
h (6 )> 0
4. Com o h(a) • h(í>) < 0 => 3 c € {a , b) I h(c) = 0
5. L u eg o , en el paso ( I ) :
( EJEMPLO 2 ]
h(c) = /( c ) - g ( c ) = 0
(Teorema del cero.)
f ( c ) = g(c)
■
D e m o stra r q u e si / es c o n tin u a en [a , 6] en to n c e s e x iste un pu n to
x e S = [a , b] tal que /( * ,) = Inf{/).
s
D em ostración
1. Según el teorem a de acotación g lo b al, / es continua en S , entonces / es
acotada sobre S y existe I n f ( / ) .
s
2. Sea m = I n f ( / ) . Debemos probar que 3 x t e [a , ¿] I /(* ,) = m
s
3. En e fe c to , por el método in d irecto , supongam os que V jc € S , /(* ,) * m
Entonces la función g(jt) =
so b reS .
4. L u e g o , 3
^----- es continua sobreS y por el Teorema 3.8 es acotada
/0 0 -m
cg
IR+ I lg (x )| < c , V x e S
5. Com o m es ínfimo => f ( x ) > m , e im plica que f ( x ) - m > 0
Entonces en (4) : I g(*)I = g(x) =
1 — < c <=$ f ( x ) > m + \ , V x e S
J w - m
6. Hay una contradicción en la definición de m , pues se debería cum plir lo siguiente :
D ado e » l / c > 0 , 3 x e S [f ( x ) < m + l/c
7. P or tanto , lo supuesto es falso => 3 * , e S = [a , b] !/(* ,) I = m
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■
Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas
E JE M P L O 3 ]
J
Sea f(x) = —h
-—- + —
x
x+l
x+3
357
. Sin resolver la ecuación f(x) = 0
J
demostrar que f ( x ) = a tiene una raíz en cada uno de los intervalos (-3 ,-1 )
y {-1 , 0 ) . Además , si a > 0 , existe una raíz en {0, + ° ° ), y si a < 0 , existe una raíz en
D em ostración
I. Si f ( x ) = a *=$ a - f ( x ) = 0
Sea g(x) = a - f ( x ) = a - ( - + —í— + —
)
' x
x+ 1
x+3t
3. Entonces para x e ( - 3 ,-1 )
2.
Si x —>-3+ , x > -3 ■=> x + 3 > 0 , entonces ^
J
—> +<=o y g(jc) = a - í+t50) = -°°
x —» - l - , x < - l i=? x + 1 < 0 , entonces ( —+ "j") “ *
y g(x) = a -(-«>) = +°°
Vemos que g(x) cam bia de signo en los extremos de (-3 ,- 1 ) , luego por el teorema del cero,
g(x) tiene una raíz en x e ( - 3 ,- 1 ) .
4. Para x e (-1 ,0 )
Si x —> - 1+ , x > -1 ■=> x + 1 > 0 , luego : ( —-j-y J —> +o° y g(x) - a - (+00) = - 00
x
0 " , x < 0 , entonces (2/x) + ■ » y g(x) = a - (-00) = +«•
g(x) cam bia de sig n o , luego tiene una raíz en x € (-1 ,0 )
5. S i a > 0 y x e (0,+«> )
x -> 0 + , x > 0 i=> (2/x) ~+ + ° ° , entonces g(x) = a - (+*») = - 00
Si x -+ +<» e=> g(x) = a - (0) = a > 0
g(x) cam bia de sig n o , luego existe una raíz en ( 0 , +°°)
6. Si a < 0 y x e (-=», -3)
x - * - 3 " , x < - 3 1=5 x + 3 < 0 , entonces (
j —>-<*> y g(x) = a - (-“ ) = +°°
x —> - ° ° , entonces g(x) = a - (0) = a < 0
g(x) cam bia de sig n o , luego existe una raíz en (-<*», -3)
( EJEM P LO 4~)
Solución
Usando el teorema del cero o de la ra íz , dem ostrar que la parábola y = x1
se intersecta con la c u rv a x 2 + y 2 = 16 , y > 0
1. Sean -P: y = x 2 , x e IR ; K': y = V16 - x2 , x e ( - 4 ,4 ) , y > 0
2. Si P (x , y(|) e dP =5 y ü = x2
P(J <>'(])e ^
■
1
l c > f = V l6 - x 2 <=> x2 - V16 - x2 - 0
^ l 6 x¡ J
3. Sea la función /(x ) = x - V i6 - x 2 , que es continua en x 6 ( IR fl [ - 4 ,4 ])
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Capitulo 3: Continuidad
358
Analicemos el signo que toma la función / en los extremos de los intervalos [ -4 ,0 ] y [0 ,4 ]
S ix = ^ t »=> / ( - 4 ) = I 6 - V 1 6 - 16 = 1 6 > 0
a) Para x e [-4 ,0 ]
«
x = 0 .=> /<0) = 0 - V l 6 - 0 = - 4 < 0
/ cam bia de sig n o , entonces por el Teorema 3.5 : 3 c, e [ - 4 .0 ] l/( c ,) = 0
S ix = 0 ^
b) P a r a x e [ 0 ,4 ]
/( 0 ) = 0 - V16 - 0 = - 4 < 0
<
x = 4 es. /( 4 ) = I 6 - V I 6 - 16 = 1 6 > 0 /
cam bia de s ig n o , entonces por el Teorema 3.5 : 3 c 2e [ 0 ,4 ] |/ ( c 2) = 0
5.
Por ta n to , la parábola i? intercepta a la curva rf en dos p u n to s:
c, e <-4 ,0 ] y c, e [0 ,4 )
EJEMPLO 5 j
Solución
Sin resolver la ecuación jc3 - 3jc reales.
1 = 0 ,
hallar el número de sus raíces
Sea f ( x ) = x y - 3* -1 , continua Vx e IR
P o re lte o re m a d e lc e ro sa b e m o sq u e si/C x ,) > 0 y /( x ,) < 0 , entonces existe
c e ( x ,,x 2> l/(c ) = 0
Elegiremos entonces puntos del dom inio d e / tales que cumplan con el antecedente de la
condición d a d a , esto es :
x, = -2 .=> /( - 2 ) = (-2)3 - 3(-2) - 1 = - 3 < 0
3c,«
1. <¡
= o
x2 = - l ■=> / ( - I ) = (-1)3- 3 (-l) - 1 = I > 0
x , = - I
= > / (-!)=
I> 0
^ =* 3 c , e <-! , 0) l / ( c ) = 0
2. <
x2 = 0
f
x ,=
l
/ ( 0) = - 1 < 0
^
/ ( l) = ( l) 3 - 3 ( l) = -3 < 0
3. <
► => 3 c 3e <1 ,2 > l/(C 3) = 0
x, « 2 ¿o / ( 2 ) = (2 )3 - 3 ( 2 ) - 1 = 1 > 0
Por lo ta n to , la ecuación dada tiene tres raíces reales.
[ EJEMPLO 6 )
S e a / u n a fu n c ió n c o n tin u a so b re [a , b] , d o n d e a < b , ta l que
/ : [a , 6] -* { a ,b) , es d e c ir, R a n ( /)c < a , 6) . Dem ostrar que existe x„e
( a , b ) . tal que /(x„) = x B.
D em ostración
1. Sea la función g = / - I , donde I = función identidad
2. E n to n ces, g(x) = /( x ) - x , tal q u e , D om (g) = D om ( /) fl Dom(I) = [a ,b]
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Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas
359
3. Por hipótesis , / es continua sobre [a , b] , entonces la función g también lo es por ser la
diferencia de dos funciones continuas sobre [ a , 6 ].
4. Como el R a n (/) está contenido en el intervalo ( a , 6 ), implica que
R a n ( /) = {/(jc) la < x < b } a ( a , b)
5. Es d e c ir, Vx e [a , b ] , /( x ) e (a ,b)
=> a < /(x ) < b
6. y ocurre que para x = a , a < f (a) <b
=* / ( a ) - a > 0
y p a ra x = 6 , a < f ( b ) < b
^
f(b)-b <0
7. L u e g o ,e n (2 ): g(a) = / ( a ) - a o
g (a )> 0
g(b) = f ( b ) - b ^
g(6) < 0
8. Como la función g cam bia de signo en los extremos del intervalo (a , 6 ) , entonces por el
teorema del c e ro , existe xü e (a , b ) ! g(x0) = 0
9. Por tanto , en (2 ):
g(x,) = /(*„) - x„ = 0 <=> /( x ^ = xu
»
f E J E M P L Q 7 ~ ) Dem ostrar que la ecuación x = a Sen* + b , donde 0 < a < 1 y ¿ > > 0 tiene
por lo menos una raíz positiva no mayor que a + b.
D em ostración
i . Sea la función / ( * ) - x - a Sen.* - b , continua Vx e IR
2. E ntonces , /(O) = - b y com o b > 0
/(O) < 0
3. f ( a + b ) = a +b - a Sen(a + b) - b = a [ l - Sen(a + 1)]
4. Dado que , - 1 < Sen (a + b) < 1 , entonces de a q u í: 1 - Sen(a + b) ¿ 0
A nalicem os los c a so s: 1 - Sen(a + b) = 0 y 1 - Sen(a + fc) > 0
5.
Si 1 - Sen(a + b) = 0 , entonces en (3 ): / ( a + b) = a(0) = 0 . Luego x(|.= a + bes una raíz
positiva de /(x ) = 0 y no es m ayor que a + b.
6. Si 1 - Sen(a + b) > 0 , entonces en (3 ): / ( a + b) > 0
7. En (2) y (6) se observa que / cam bia de signo en los extremos del intervalo (0 , a + b) ,
entonces por el teorem a del cero, 3 r e ( 0 ,<2 + 6)1 / ( r) = 0 , esto e s , r es una raíz positiva no
m ayor que a + b de la ecuación dada.
■
[ EJEMPLO 8 j
Sea la función / continua en [a , b] con /(a ) < 0 y f(b) > 0
Demostrar:
a) QueA = { x e (a ,6] |/(x ) < 0 } tiene supremoc en [a ,b]
b) Que /(c) = 0 , es decir, /(x ) = 0 tiene por lo menos una raíz en [a , 6]
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Capítulo 3: Continuidad
360
c)
Si a e IR" y n es entero positivo im p a r, entonces existe un núm ero real negativo b tal que
bn = a (Use (b) y la hipótesis).
D em ostración
a) Por definición : Vjr e [a ,¿ ] , x < b <=* b e s una cota superior de [a , b] .
Pero A = { x € [ a , fe] If ( x ) < 0} c [ a , 6] ya q u e , por hipótesis f ( b ) > 0 ,
luego x < b , V x e A entonces b es cota superior de A * <|) (pues por lo menos posee un
elem ento x = a y f ( a ) < 0) en virtud del Axioma del S u prem o, existe S u p (A ).
Seac = S up(A ). Como b es una cota superior de A , también lo es c y es la m enor de todas las
cotas su periores, por lo q u e : c < b
(l)
Dado q u e a e A , p u e s a e [a ,6 ] y f ( a ) < 0 i=> a < c
(2)
L u e g o , de (I) y (2) se tiene q u e : a < c < b «=> c e [ a , 6]
b) En e fecto , por hipó tesis, / es conti nua en [ a , b] con / ( a ) < 0 y < f ( b) > 0 , entonces por el
teorem a del c e ro , 3 c e (a , b) 1f( c) = 0 , luego c es una raíz de /(jc) = 0 . Si c € ( a , b) ^
c e [ a , fc]. Por ta n to , /(jc) = 0 tiene al menos una raíz en [a , 6).
c) Sea c < 0 tal que a > c y sea /( x ) = jc" , n im par y x e R l Entonces se tie n e : /(O ) = 0 y /(c )
=c" < 0 . A dem ás ,c " < c p u e sc < 0 y n e s im par. L u e g o :
ca < c < a < 0 *=> c " < a < 0 «=> / ( c ) < a < / ( 0 )
Si / continua en ÍR , entonces es continua en [c , 0] y por el teorema del c e ro ,
3 & e ( c ,0 ) lf c n= a « = > 3 6 < 0 |6 n= a
■
EJERCICIOS . Grupo 23
1.
Usando el Teorema del Valor Interm edio, dem ostrar que la parábola y = x2 se intersecta con
la curva x 2 + y 1 = 16 , y > 0
1 ~ C os* ,X € [-71/3 , JC/4] - {0}
2. S i/(jr) =
, dem ostrar usando el T .V .I. ,
0
,s ix = 0
q u e e x iste .e e [-7t/3, rc/4] tal q u e /( c ) = 1/2?t
3. Dem ostrar que si / : [a ,fc] —» R , con a < 6 , es una función continua y acotada en [a , 6 ] ,
entonces 3 jc , , x 2 e S l/(X j) = m in (/) » m in (/) y f(x 2) = m ax(/)
4. Usando el T. V. I. m ostrar que el polinomio P(x) = x3 - 6 x + 2 tiene tres raíces reales ,
indicando los intervalos que contienen una sola raíz. H allar la m enor raíz positiva de / ( jc )
con aproximación de dos d ecim ales.
5. Sea / : [ 0 , 1] —> ( 0 , 1 ) una función continua. Probar que 3;C e ( 0 , 1)1/(c ) = c
6. S ea / una función continua en [ 0 , 2 n ] y tal que / ( 0 ) = / ( 2 í t ) . D em ostrar que ex iste
c e (0 . 2k) I/(c) = f(c + 71).
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361
EJERCICIOS . Grupa 2 2 - PritpieduJrs J v lux flin cio a rf continuas
7 .
S e a /
£{c)
u n a fu n c ió n
=
S u p {/ (x )
D e m o stra r q u e :
m o n ó to n a
U <c}
£(c)
i)
ii)
8.
a) 2( x - b )
f(x)
S e a / :
=
[a
c e (a
h (c)
=
,
b)
r(c)
s e d e fin e
-
£(c)
.
0
, ta l q u e / ( a ) •
f (b)
< 0 . D e m o s tr a r q u e la
T.
R
. Su pon gam os que
lim
/ ( jc ) =
10
y
lim
/ ( * )=
V . I . p a r a d e m o s t r a r q u e e x i s t e p o r l o m e n o s u n jc e
IR .
-I
ta l
'Ix
- 1
+
en
[fl ,b]
S e n
x
tal q u e
/(fl) = a + b = f ( b ) .
= C o s jc + V 1 +
x
D e m o stra r
a d m ite u n a s o lu c ió n
< 0 . n /2 ).
M o s t r a r q u e l a e c u a c i ó n jc •
q u e
13 .
[a , b ] , a <b
y
O
D e m o s t r a r q u e la e c u a c ió n
en
12 .
r(c)
» IR u n a f u n c i ó n c o n t i n u a
c e (a , b) I / ( c ) = 2 c
q u e e x is te
\ si p ara
c >
/ ( jc ) = 0 , t ie n e n p o r lo m e n o s t r e s r a íc e s d ife r e n t e s .
E x p liq u e c o m o u sa r e l
1 1 .
f(c)
<
In f
S i / e s c o n tin u a e n e e n t o n c e s h (e ) =
S e a / u n a f u n c i ó n c o n tin u a e n
q u e
10 .
=
S e a / u n a fu n c ió n c o n tin u a s o b r e
e c u a c ió n ( jc -
9.
<
[a , b ]
{f(x) U >
c re c ie n te en
, r (c)
2X=
1 , tie n e p o r lo m e n o s , u n a r a íz p o s it iv a n o m a y o r
1.
S i / ( jc )
— ■—
=
jc
+
- I
—
jc
- 2
jc
^ .
- 3
.d e m o s t r a r q u e la e c u a c ió n / ( jc ) =
O tie n e a l m e n o s
u n a r a íz e n ( l , 2 ) y o tr a e n ( 2 . 3 ) .
14 .
M o s t r a r q u e la e c u a c ió n :
—
jc
y
15 .
a\
+
- o,
jc
-6 2
+
a \
jc
- o3
=
O
, d o n d ea. > 0
1
fc , < 6 2 < 6 3 , t i e n e d o s r a í c e s r e a l e s c o m p r e n d i d a s e n (¿> , , é 2 )
y
,a „ > 0
2
,fl, > 0
3
(b2 , b¿ .
D e m o stra r q u e :
a)
E l p o lin o m io d e g r a d o im p a r t ie n e , p o r lo m e n o s , u n a r a íz r e a l .
b)
E l p o lin o m io d e g r a d o p a r t i e n e , p o r lo m e n o s , d o s r a íc e s r e a l e s , s i to m a a l m e n o s , u n
v a lo r c u y o s ig n o s e a c o n t r a r io d e l q u e tie n e e l c o e fic ie n t e d e s u t é r m in o d e g r a d o m á s
e le v a d o .
16 .
D e m o s t r a r q u e l a s g r á f i c a s d e l a s f u n c i o n e s / ( x ) = S e n 2 c y g ( j c ) = x s e c o r t a n e n u n p u n t o jc ü
t a l q u e jc0 €
17 .
, Jt/ 3 )
V a lié n d o s e d e la s p r o p ie d a d e s d e la s fu n c io n e s c o n tin u a s c o m p r o b a r q u e la e c u a ­
c ió n
18 .
(ji/4
x5 -
3 jc - I
= 0
t ie n e , p o r lo m e n o s , u n a r a íz c o m p r e n d id a e n tre
D e m o s t r a r q u e l a e c u a c i ó n jt ' - 3 j c +
1 = 0 tie n e u n a r a íz r e a l e n e l in t e r v a lo ( 1 . 2 ) . C a lc u la r
a p r o x im a d a m e n t e e s t a r a íz .
19 .
D e m o s tr a r q u e V 5 e x iste .
20 .
D e m o s tr a r q u e la e c u a c ió n T g jc =
I y 2.
x tie n e u n a in fin id a d d e r a íc e s
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r e a le s .
362
Capítulo 3: Continaúlcul
21. D em ostrar que la ecuación x = a Cos* + b , donde 0 < a < l y f c > 0 , tiene po r lo menos una
raíz positiva no m a y o rq u e a +b.
I
22. S e alafu n ció n f ( x ) = — -
" &
3
*5
+ — — + ----JC** 4
3
, dem ostrar que la ecuación / ( * ) = 0
tiene al m enos una raíz en (2 , 4) y otra en ( 4 ,5 ) .
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r s ñ H
H
i f ñ s l
CAPITULO
A
(¿ T )
LA DERIVADA
in t r o d u c c ió n
Cuatro problemas fundamentales que tuvieron marcada influencia en el desenvolvi­
miento del Cálculo fu e ro n :
1. El problema de la tangente
2. El problema de la velocidad y la aceleración
3. El problem a de m áxim os y mínimos
4. El problem a del área bajo una curva.
Los tres primeros problemas fueron resueltos por el Cálculo Diferencial y el cuarto por el Cálculo
Integra!. Soluciones parciales a dichos problemas fueron dadas por Pierre de Fermat, René Des­
cartes, Christian Huygens e Isaac Barrow. Sin embargo, la primera solución general parecen haberla
resuelto Isaac Newton y Goltfried Leibniz porque ambos coincidieron en el mismo resultado.
Por su naturaleza geométrica empezaremos con el problema de la tangente, para tal
efecto , estudiaremos previamente el concepto de incremento de una variable.
(
IN C R E M E N TO S
Sean y = f ( x ) una función real y.x0 e D o m (/). Si el valor de la variable independien­
te x cambia de jt0 a x ¡ , entonces la diferencia x { - .rp se llama un incremento de x y se denota por
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Capítulo 4: La derivada
364
A* =
U)
h = x , - x (1
(2 )
o b ie n :
A nálogam ente , si y() = /(x „) e y, = /(jc ,) .e n to n c e s la d iferen cia Ay = y , - y 0 , o bien ,
Ay = / ( x , ) - / ( x n) , sig n ific a d incremento de la variable y .
Si de (1) despejam os x , , se tiene :
x, = xH+ Ax ■=> y, = /(x ,) = /(x u + Ax)
de modo q u e :
Ay = f ( x 0 + Ax) - jf(x0)
o también
Ay = /( x (J + h) - /( x (])
Definición 4.1 : EL INCREMENTO DE UNA FUNCION
Si y = /( x ) y si Xjj ,x ft + h son dos números que pertenecen al D o rh (/), entonces
Ay = /( x 0+ h ) - / ( x ü)
(3)
es tlin crem en to d e la variable dependiente y que corresponde al increm entoh de la varia­
ble independientexen x0 , o b ie n , incremento de la función f , en cuyo caso Se denota
M - /U ',p+ h) - f ( x t)
En la Figura 4.1 .obsérvese que P f ^ . y ^ y Q(x, ,y ,)so n
dos puntos de la gráfica de y = f{x) y com o x, = xn + Ax
y y, = y0 + Ay , las coordenadas de Q son ;
(x(| + Ax , y(| + Ay)
(4)
XA
r
Ay
de modo que la pendiente de la secante PQ es
m=
> W o _ (>'o + A>')->'tl = Ay
x ,- x 0
(x0 + A .r)-x 0
Ax
X
-±— > X
áx
i=> m =
[4 .3 )
/(*„) + Ax) - /(*„)
Ax
(5)
F I G U R A 4.1
TA N G E N TE A UN A CURVA
Esencialm ente. el problema de hallar la recta tangente en un puntoP de una curva se
reduce al de hallar su pendiente. y ésta puede aproximarse m ediante rectas que pasan por P y
otro punto de la c u rv a , por ejem plo Q . Entonces sea la función y = /( x ) y sean P(xH, / ( x )) ,
Q(x(J + h , /( x 0 + h>) dos puntos de la gráfica de / (Figura 4.2).
L a pendiente de la recta secante 2?, que pasa por P y Q , según (5) es
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Sección 4.3 : Tangente a mía cttrva
365
m. = T s0 =
Supongam os que el punto P es fijo y Q es un punto de la curva que se d esplaza hacia P de
m odo que si
x
xn , entonces , h = O , - xn) —> 0
y ocut re que la pendiente n i, de la secante tiende a trans­
formante en la pendiente m de la tangente y así el ángulo 0
tiende a coincidir con el ángulo a ., esto e s , InTgB tiende
a convertirse en la T g a cuando h —> 0 , es decir
T ita =
lim Tg0
h—»0
t=$ m = T g a = lim
h -* u
/(*„ + h ) - /( * ,)
Definición 4.2 : PENDIENTE DE LA TANGENTE
Si / es una función definida en un intervalo que contienen a *0 . entonces la pendiente de la
tangente a la curva en P í* „,/(*„)) es
-W
m = hm — -— ¡--------—
h-»0
h
(6)
siempre y cuandoel límite exista.
Por lo ta n to , si P(jc(I, f ( x j ) es el punto de tangencia de la recta tangente V a una curva y m su
pendiente. la ecuación de dicha tangente está dada p o r :
) - / ( * „ ) = m U -*,,)
E JE P y L O 1 )
/
Solución
H a lla r la e c u a c ió n d e la tan g en te y la n o r m a l’a la g rá fic a d e la
fu n ció n f ( x ) —)c ~ 4.r - 5 en el punto de abscisa*u= -2.
Para un punto arbitrario ( * ,/( * ) ) la pendiente de la tangente a la gráfica d e / e s ;
f ( x + h) - /( * )
m = lim -------- ;---------h-*o
h
,
(x + h)2 - 4(x + h) - 5 - Or - 4x - 5)
E ntonces: in = lim ----------------------h -» o
h
= hm
ii _* o
h (2 ,c -4 + h)
h
= 2 ^ -4
En particular, para.tH= -2 , ni = 2 { -2 )-4 = -8
Punto de tangencia;
si * = -2 <=> y = (-2): - 4{-2) - 5 = 7 *=> P(-2 , 7)
Ecuación de la tangente:
y - 7 = -8(.r + 2) «
; 8.v + y + 9 = ü
Ecuación de la n o rm al:
y - 7 = X (x + 2) <=> f
: x - 8y + 58 = 0
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■
366
Capítulo 4: La derivada
Nota
Para muchas funciones . ci proceso de límite usado en el Ejemplo I resulta a veces laborioso
y complicado . El siguiente método de los cuatro pasos es útil como guía.
1.
E v a lu a r /e n x + h
/( jf + h )
2.
Restar f ( x )
f ( x + h) - f ( x )
3.
D ividir por h
/(.* + h) - /( * )
4.
Evaluar el límite cuando h —>0
f ( x + h) - / ( jc )
lim ---------h -»o
h
= tn
Di importancia de este método estriba en que da una fórmula para hallar la pendiente de la tangente
en cualquier punto donde el límite exista . Cuando el límite no existe , es decir. cuando m = ■» . la
recta que pasa por el punto (xt). f i x j ) se llama recta tangente vertical a la gráfica de /.
[ E J E N J ftO 2 ]
Hallar las ecuacú
eeuaciones de la tangente y normal a la gráfica de la función
I en jc = 2
f
/(* ) = - * ' + 3a +
Solución
1.
f(x
Punto de tangencia : si x = 2 <=$ y = /( 2 ) = -(2)' + 3(2) + I = - I
Siguiendo el método de los cuatro pasos se tiene
+ h)
2. f ( x +
h) -
= - ( . * + h ) ? + 3 ( jc + h ) +
f(x)
=
1 =
- jc '- 3 f L c 2 - 3 h - J C - h 1 + 3 . r + 3 h +
P(2 , - 1)
I
h (-3 jr’ - 3 h * - h 3 + 3 )
3 f U + h ) - m =_3j(3. 3ht. h! +3
n
4.
m =
lim ( - 3X2 - 3hjr - h2 + 3) = - 3.tr + 3 . V .c€ D om (/)
h -»0
En particular , para j t = 2 i=> m = -3(2)3 +
Ecuación de la tangente : y + 1 = - 9 (jc - 2)
Ecuación de la n o rm a l: y + l = l/9 (jr-2 )
3
-9
n = 1/9
<=>Sf : 9* + y - 17 = 0
<=> 9' :jc -9 > '-11 = 0
=
EJERCICIOS . Grupo 24
❖ En los ejercicios i al 6 , se define una función / , hallar el valor del incremento de la función
que corresponde a los valores dados de jc(1y A*
1. f ( x ) = 2jt - 3x + 5 , xa = 1 , Ax = -0.2
2. /(.r) = Vjt - 4 , jt(] = 4.2 , Av = Ü.6
3. f ( x ) = (5 - j ^ ) 1/3 , x ll= 2 , A í = -0.3
4. /(* ) = x* - 3jt2 + 3* - I , jc„ = 2 , A r = 0.2
5. f ( x ) = x? - 3.r + 5 , x pasa de 5 a 4.99
6. f ( x ) = x } + 4x , x pasa de 0.7 a U.85
7. En la función f ( x ) = b x - . r , x varía de 2 a 2.02 , determ inar el valor de b si A / = -0.0204
8. En la función / ( * ) = x r + b x - 3 , x varía de -1 a - 1.02 .calcular el valor de b si A / = 0.0804.
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Sección 4.4 : La derivada de una función en un punió
367
En los ejercicios 9 al 18 . hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva en el
punió indicado . Trazar un dibujo jun io con las rectas tangente y normal correspondientes.
f. f ( x ) = 2x - x \ x a - -2
d.
f( x) = V 9- 4x ,x„ = A
/ 1 3 . /(JT) =
/
10. f {x) =
, xf¡ = 2
12. f ( x ) = \ k t - 3 , x ü = 3
14. f ( x ) = Zx + 3-Jx . xu = 4
. x(1 = -3
15.
f ( x ) = x ' - 3.r + 2x , x n = 2
16. /(x ) = x2 - x + I , xu = -1
17.
f(x) = >/ST7 , xn = -5
1S. /(x ) = 2 x - x \ x l( = *2
l Hallar la ecuación de la recia tangente a la curva y = V4x - 3 -1 que es perpendicular a la
recta
x + 2v - 2 = 0
20.
H allar las ecuaciones de las rectas que pasan por P(3 , -2) y son tangentes a la1curva
y = x 2 - 7.
(4 .4 )
D E R IV A D A D E U N A F U N C IÓ N E N U N P U N T O
La forma delim ite en (6) .em pleado para definir la pendiente de una recta tangente.
es uno de los más importantes en el Cálculo. Es de uso frecuente y recibe un nombre específico.
Definición 4.3 : DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Sea la función / : IR —» IR defin id a en cierto entorno del punto x e IR , Si la relación
/(> a + h) f ( \ )
tienen límite cuando h
0 , entonces este límite se llama derivada de
la función / en el punto x 0 y .se denota por f ' (xu) , de modo que :
f \ x u) = Imi
ii —>o
2— ------h
(7)
Ahora , si parii un x € D o m (/) introducimos la notación h = x - xu , una forma alternativa de
definirla derivada de una función en un punto es la siguiente :
Definición 4.4 : FORMA ALTERNATIVA DE DEFINIR f ’( x j
Sea la función / : [R —» IR definida en un cierto entorno de! punto a(1e IR y se a x un punto
arbitrario de este entorno. E ntonces, la derivada de / en r0 viene dada por •
f'ix j -
lim
/<*> - / ( - O
X -x „
siempre que el límite exista.
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Capítulo 4: La derivada
368
Mediante un ejem plo mostraremos que ambas definiciones son equivalentes.
EJEMPLO 1 j
H allar la derivada d e la función f ( x ) = V l + 9* en el punto de abscisa
„ = 7.
a
Solución
--------I. f ( x + h) - / ( a ) = VI + 9(a + h) - VI + 9* = .------- ------- 9h
“
"
0
0
Vi + 9*0+ 9 h + VI + 9 a ((
Por la Definición 4.3 : f ' (x n) = lim ( - ? = = = = ------------■ ■■■■) = — , ^
p
h - »o Vi + 9 a () + 9 h + Vi + 9 x n >
2 VI +
9a-(
Luego , parax(I = 7 se tienen ; / ’(7) = 9 /I6
2-
f ( x a) = f ( 7) = V i +
Entonces el cociente
= V i+ 9 a - 8 =
=
9 (7 )
/( a )
- /( 7 )
9 U " ?)
Vi + 9 + 8
9
a -7
VI + 9a + 8
Luego , por la Definición 4.4 : f ’(7) = lim ( - j = ¿ L ------] = —
H
a^ V T T Ó T + S '
16
■
O BSERV A CIO N ES 4.1
1.
Si en las Definiciones 4.3 y 4.4 , el límite existe , se dice que la función es derivable o
deferenciable en a (i . En caso contrario se dice que la función no es derivable en x lt.
2.
De la com paración de las ecuaciones (6) y (7) se deduce que / ’( a 0 ) = m . Significa que ,
desde un punto de vista geom étrico , el valor de f ' ( x n) representa la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en a 0 .
3. Si a f ( x ) llamamos v, esto e s , y = f ( x ) , la derivada de f se escribe a menudo
, que es
d.í
la notación d e L e ib n iz , y se lee la derivada de y respecto de x . En notación de límites se
tiene
dA
h—*o ' A_í /
lim « y + ' + ' W
h-*o
h
/■ (,)
Otras notaciones son y’ , D( v) ,D v ,
*’
úx
4. Si en la Definición 4.3 om itim os el subíndice cero de awy escribimos
í(x) .
Iim
h-*0
n
Obtenemos una nueva función f , la derivada de la función original / .
5. El dom inio d e / ’( a ) es subconjunto del dom inio de / ( a ) .
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Sección 4.4 : Derívaela de tina Junción en un punto
369
Definición 4.5 : LA FUNCION DERIVADA
Dadti una función / : IR —» ÍR y un conjunto A = {r € IR I 3 / ’(x)} . si A * <j>, entonces la
función
lim (
* '—♦ V,, '
/(-*) - /(>-„)
x - x„
se denomina fu n c ió n derivada de f y se denota en las formas siguientes
/•W . D J . ^
. D(/)
Esta definición iguala la idea de diferenciabilidad d e / e n x l}con la noción de extensión conti­
nua del cociente de diferencias en x 0 . En efe c to , si escribimos :
/(a ) ■ ~f(x )
= — x-x " ^
Dom(S) = D °m( /) - {*„}
yx„es una discontinuidad esencial.
Si existe el límite deg íx ) en x0, entonces xu es una discontinuidad evitable de g(x) y así obtene­
mos la extensión continua gr(x ), definida de la siguiente manera :
x -x „
$t(x) = *
f ’( \ )
( E J E iy L O 2 )
/
Solución
I.
, Six
= x ll
H allarladerivadadefunción f(x) -
Siguiendo el método de los cuatro pasos se tiene :
Kx + h ) = 2^ + h) + 3 _ 2 r + 2h + 3
(x + h) - 2
x + h -2
2.
/( * + h ) - / ( x ) = 2* + 2h + 3
x + h -2
3.
, ,
- * K * + H )-/(x )
,
7
rorm ando el cociente ---------¡--------- , resulta: h
. . .
(x + h - 2)(x - 2)
4.
L uego: lim
h -»o
2r + 3
x -2
= _
h
7h
(x + h - 2 ) ( x - 2 )
?.
( x - 2)(x-2)
^
f{x) = _
7
J KJ
(x -2 )2
Según la observación 4 .1(2) , / ’( \ ) permite calcular la pendiente de la tangente a la gráfica d e /
en ( V /(-*„)) •
el siguiente ejemplo se ilustra esta observación.
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370
Capítulo 4: La derivada
fE JE M P L O 3 )
/
Solución
Hallar la ecuación de la tangente y la normal a la íunción f ( x ) = .r Vjt - 1,
en el punto de abscisa .v = 2
Punto de tangencia : si x = 2 =}• y — 2 V 2 -7 = 2 c=> P(2 ,2 )
Com o / está definida V x > 1 , podem os escribir
/( x ) = V j r f r - 1) = V.r3 - _r-
Ahora hallaremos la derivada de / p o r el método de los cuatro pasos
1. / ( A + h) = V Ü + h )’ -(jc + h)3
2. / ( x + h ) - / ( j r ) = V (j + h)3- U + h ) 3 3.
=
h(3x3 + 3 h * + h ? -h -2 .e )
VU + h V - U + h)- + ^ J - j r
3x 1 + 3h x + h2 - h - 2 x
f ( x + h) - f ( x )
V (.t+ h )3-(jr + h)3 + Vjc3 - x 2
4
„m
^
=
h-*ü
h
f ( x )
_
_ ¥je>
,
2^ x - 1
2Vjc’ - jr2
En particular, para x = 2 e D o m (/’) , m = / ’(2) = ^
2V 2^1
= 2
P or tan to , la ecuación de la tangente es : y - 2 = 2(x - 2) <=> T : 2x - y - 2 = 0 y la ecuación
de ia normal es : y - 2 = - ~ (.v - 2) <=>
: x + 2y - 6 = 0
■
( EJEMPLO 4 \ Si / es una extensión continua de g(;c) = x2Sen [ ) en el origen , probar
que / es derivable en el origen y que / ’(0) = 0
D em ostración
f x 2 S en(l/jc), sijr^ O
Por definición : f ( x ) = <
{a
, si = 0
Conociendo que : - I < S e n (l/x ) < I «=* 0 < |S e n (I/x )l < I
0 < | j r Sen( I fx) \ < U -|
Por el teorema del sandw ich, | x 1 Sen( 1/jt) I —>0 cuando x —» 0 .S e sigue entonces que /(O ) = 0.
luego a = 0 es la extensión continua de g .
M ostraremos ahora q u e / ’(0) = 0
1. /(j; + h) = /(U + h) = / ( h) = h2 Sen (l/h )
2. f ( x + h ) - f { x ) = / ( h ) - / ( 0 ) = h2 Sen (I/h j - 0 = h2S en(l/h)
3
= h S e n (|/h )
h
4.
f ( x + h) - f(x)
lim ----------- --------h -* o
h
/ i \
= lim h S e n ( — ) = 0 ■=> /'(O ) = 0
h —*o
x Ii /
J y /
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■
EiliRCICIOS . Grupa 25 : D em u d a de unti Juiuitw en un punta
371
❖ En los ejercidos 1 al I2 .u sarelin éto d o d elo scu airo p aso sp n racalcu larlafu n ció n d er¡v a-
rf;» e iruHrnr su dominio
•** En los ejercicios 13 al 2 0 . usar lu forma nliem ativadel límite pura hallar la derivada de la
función dada en x = x(}, si existe
Hal lar la ecuación de una recia que sea tangente a la gráfica de y =
la recta 3* - y + I = 0 .
/
r
y sea paralela a
U sando la definición de d e riv a d a , hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica
de y = 2a- + 3 que es perpendicular a la recta x + 8y + 3 = 0
23. Hay dos rectas tangentes a la gráfica de y = 4x - xr que pasan por el punto P(2 ,5 ). Hallar
sus ecuaciones.
24. H allar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por P( I , -3) y son tangentes a la
gráfica de y = j r . Hacer un dibujo y comprobar el resultado.
Sabiendo q u e / ( - l ) = / ’(-!) = 1 .calcu lar: lim
(Sugerencia: Sum ary restar I al numerador del límite).
(4 .5 )
D E R IV A B IL ID A D Y C O N T IN U ID A D
Existe una estrecha relación entre la derivada y la continuidad de una función en un
punto, en cuyo caso es fundamental la definición alternativa de la derivada
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Capítulo 4: La derivada
372
rw
= I¡.n í wX '- X..
/w
pues , la existencia del lím ite, exige la igualdad de los límites laterales
/ w .-j w
,¡m
t
x -> v
X„
X -X u
Por conveniencia, citaremos estos límites laterales como las derivadas laterales p o r la deredut
y p o r la izquierda, respectivam ente. De m odo que
¡ ; U ) = ,¡m M
iíM
= Hm
x-x.t
/t* .,+ h ) - /( x „ )
li —»o+
n
lim i
h_»0'
h
es la derivada d e / p o r la derecha e n x (l
f
=
,im J M - / W
l-».»X ' Xn
=
es la derivada de / por la izquierda en a„ .
Si ocurre que
/ + ’(* u) = /.* ( * ,) ^
3 / ’<*„)
y si ocurre que dichos límites laterales no son ¡guales .entonces se dice que la derivada de / no
existe en xM
/
[ E JE yP L O 1 ]
Solución
A nalizar laderivabilidad de la función / ( jc) = Ia - 2 | + I
La función es continua V r e (R . en particular en x = 2 , por lo que
/( 2 ) = 12 - 2 I + I = I
f x - I ,x > 2
Veamos los límites laterales . en el entorno d e x = 2 , para f ( x ) = s
* ................
/« -/(2 )
* * (2) = A
v ^ r r -
f:m
,
lim i W i M
x —*2
X-2
(Jr-I)-I
.
1 3 - j:,x < 2
- A m2 . ^ r - = '
.
„ ,n
x —>2
. . ,
X-2
Las derivadas laterales no son igu ales, luego / no es derivable en
x = 2.
Obsérvese que e n x = 2 , la gráfica d e /m o stra d a en la Figura 4.3 ,
presenta un vértice.
■
í E JE M ^b 2 )
D ada la fu n ció n /(x ) = ^ x - I + I , hallar/ ’(!)
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Sección 4.5 : Derivabilidad y continuidad
Solución
La función / es continua Vx e IR
P arax = I
/ ( | ) = i . Pero c o m o ,
r ( 1 ) = lim M
x -* I
-
373
z m
= „m í O
JC - 1
lim ( j.- * -.7
x -H
- í.n i
X - l
+ oo
)■
se sigue que la tangente es vertical e n x = 1.
L u e g o ,/’( l) no existe , por lo q u e / n o e sd e riv a b le e n x = 1
EJEi £ L o 3 j
Solución
Analizar la derivabilidad de la función /(x ) =
Veamos la continuidad d e / e n x = 2
/( 2 ) = (2)2 - 4(2) + 2 = -2
lim /(jc) = lim ( 4 - jt3) = 0
x
2'
x -* 2'
E nton ces: f ( 2) * lim /(x )
x - * 2"
lo cual implica q u e / no es continua e n x = 2 . Además
f : m = l¡m M z m
x —> 2 "
X - ¿
.
1¡m
x —> 2 *
X -2
L u eg o , / no es derivable en x = 2 .
Obsérvese en la Figura 4.5 que aunque / produce lím ite infinito no tiene tangente vertical, lo
cual no contradice la definición de recta tangente vertical pues / no es continua en x = 2
■
D e estos tres ejemplos recogemos algunas causas que destruyen laderivabilidad.
1. Desvíos b ruscos, com o vértices, cú spides, etc. (Ejemplo 1)
2. 'Tangente v ertical. (Ejem plo 2)
3. D iscontinuidades. (Ejemplo 3)
Por ta n to , la continuidad no es suficiente para garantizar la derivabilidad , pero por otra parte
las discontinuidades la destruyen . Esto nos lleva al siguiente teorema.
TEOREMA 4.1 : Derivabilidad implica continuidad
Si una función / es derivable e n x u , éntonces / es continua e n x ü.
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374
Caj)itulo 4: La derivada
D em ostración
Probarem os que : lim f ( x ) = f ( x n)
X->*0
En efecto
1. Por hipótesis, / es derivable en x 0, entonces f'(x ¿ ) existe
2. L ueg o : lim [ /( * ) - /( * „ ) ] = lim
a-»a„
"
a-»a„
x - x ü
'
/
= lim (*-*„)■
A-»A0
A -*V
=
(0 )
[ f ( x 0) ]
=
0
'
0
3. Com o [ f ( x ) - /( x cl)] -> 0 , cuando x - * 0 , concluimos que
Iim /( * ) s / ( ^ )
4.
Por tanto , / es continua en xu.
( E JE M P L O 4 )
Solución
Si / ( J C ) = ( x - jru) g U ) , donde g(jc) es una función continua en x ir hallar
S i / U ) = U--*r0)g U ) ■=> /(*„) = (xa- x 0) g ( xa) = ü
r o ¡ ¿ = ,¡m f w - / w
«
* -» •* „
=
=
* ~ xu
,¡m .< »-*> « m - q
x —* Xq
x ~x»
Iim g(x)
A-»A0
/ ’(*„) = gU „), que es la continuidad de g(jc) en x = xu
E JE M P L O 5
J
m
Si a , b e IR+ y f e s deri vable en jc() , demostrar que
iim f ( ^ l > h ) - f ( x „ - a b ) =
h -*o
D em ostración
(fl + 6 )
En e fe c to , por el recurso de sum ar y restar / ( x j en el numerador del límite ,
se tie n e :
]¡n ]
/ U , + ¿ h ) - / ( * „ ) + / ( jt,,) - / ( a „ - a h )
h -» 0
(f l+ f c )h
-
]¡m
h -» o
n
h
+
..
(a + í> )h
h -* o
_
/ ( a „ - flh ) - /( a ,,)
(c + 6 )h
= f b ) Jim /( * u) + ¿ h ) - M > ) _ / -a
\ ,im f{xü - a h ) - f ( x tt)
v a + f e / h_ȟ
bh
\a+ bih-> o
(-flh )
E s cierto que si h —» 0 , también (bh) —>0 y (- a h) —» 0 ; luego :
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Sección 4.5 : Derivabilidad y continuidad
375
bh)-}{xi r ah) = l _ b _ \ „ U )
(_a_\
(a + 6) h l a + b >S 1
\ a + b I 1 {' "*
í x2
f ( x ) = <,
l -Jcix + b
s
EJEMPLO 6
J Sila función
f ,( } = f t e )
S ( “}
,x <2
. x >2
es d erivable en [R . hullar la ecuación de la recta tangente a la gráfica d e / en el punto de
abscisa 8.
Solución
Si / es derivable en IR , entonces / +’(2) = / . ’(2)
..
Vcx + b - (V2a +b)
Jt2 - ( 2 ‘)2
t=> lim ---------------- - ---------- = lim ------- —A - » 2+
t=>
,_ » 2-
X - 2
x - 2
a{x- 2 )
(x + 2 ) ( x - 2 )
Iim ------------f =
^=~ =
------------------j-* 2 + (.r- 2) (Vajc + \ 2 a )
x -* t
x -2
Evaluando los límites se tiene: — % = = 4 <=> a = 128
2V 2a
A dem ás la derivabilidad de / en x = 2 im plica la continuidad de / en x = 2 , esto es ;
lim f ( x ) =
x-*2*
lim f ( x ) <=> lim ('Jax + b) =
lim
a —» 2 +
a —> 2 "
x-*2~
c^> >¡2a" +b = 4 o
6 = -12
- 12 , Vx s [2 , +°°)
Luego , la regla de correspondencia de la función es : /(x ) = 8
Punto de tangencia : si
jc
( jc2 )
= 8 c=> y = 8‘'/Í6 - 12 = 20 e=> P(8 , 20)
^
(8 ^ 2 7 -1 2 )-2 0
Pendiente de la tangente: m = / ( 8 ) = lint ------------- --------a —* 8
-
X -8
,
8 (V 2 x -4 )
hm-----------—
> —» 8
X -o
Evaluando el límite o btenem os: m = 2
Ecuación de la tangente : y - 20 = 2(x - 8) e=> c£ \ 2 x - y + 4 = 0
EJEMPLO 7 J
■
Si / es una función derivable en x , demostrar que
«... / ( x + h ) - / ( x - h )
h 'líi.
2h
= /W
Demostración
En e fe c to , d e la definición de derivada se tiene :
r t a = hni
Ii-»
0
. 1¡rn / u + ( - h ) ] - / w
n
h -»0
( _n )
_
1¡m / W - j f r - h )
h -*0
E ntonces, sumando y restando /( x ) ai límite dado se sigue q u e :
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n
Capítulo 4: La de rímela
376
f ( x + h) - / ( x - h)
lim ----------- x r --------- = -x-
h-» O
-¿l1
1
/ ( x + h) - /(x ) + /(x ) - / ( x - h )
lim --------------------- ¡--------------------
h—»O
11
=
I [ 1¡m K + U - f M
2 L h -»o
n
=
j
+ lim / M - / ( * - h ) ]
h -> o
h
J
irw + fw ] = fw
A este lím ite se le conoce com o la derivada sim étrica de / .
( E JE M P L O 8 j
Siendo p y q dos números re a le s, p * q , se llama derivada generalizada
p , q de la función /( x ) e n el puntoxDal siguiente lím ite, siempre que éste
e x ista :
J = lim / ( ^ + p h ) - : f a , + q h )
,K
h—
*0
(p -q )n
a) Probar que si la función f ( x ) es d eriv ab le en el punto x (l , entonces
coincide con / *(x)
(x0) ex iste y
b) S i / ( x ) = 1x1 , h allar / “ '''(x ) y los intervalos para los que ex iste f (l • ' ’(x)
Solución
En e fe c to , em pleando el recurso de sum ar y restar /(x 0) en el límite dado se tiene:
a) / ‘"■■"(O =
*
=
lim f i X “ + P h ) ' f(Xo) + f(Xt}) ~ f{Xü + q h )
h -»o
(p -q )h
(_ !_ )
Ijm f o í P . h > : f W + [ _ ! _ )
Iim
V p - q l h _»0
h
' P - q ' h-»o
- ( P ) Iim /í-^ n + p h )-/(x „ )
* p -q » h—
»o
ph
_ / q \ 1¡m f(x <( + q h ) - /( x „ )
* p - q * h-»o
qh
= (ir ? ) W
= ( F ? ) r(v
- ( A )
= ry
b) Para la fu n c ió n /(x ) = 1x1 .te n e m o s:
r
n
.-n(x) = ,¡m U + h l - U - h l
h—
*o
2h
=
,¡ro
U + h|’- U-hP
h-»o 2h ( | x + h | + 1 x - h | )
= i¡m ------Í í L - ------- -- = | im
2*
h—
»o 2 h ( l x + h | + ¡ x - h l )
h-»o I x + h l + | x - h |
Evaluando el lím ite:
x
• c,(jc) = -—- =
lx |
¡ - I , s ix < 0
[
1 , s ix > 0
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Sección 4.5 : Derivabüidad y continuidad
377
Una función cuyo dominio es [R tiene la propiedad de que :
/ ( x + y) = / < x ) . ( y ) , V x , y e K y / ( 0 ) * 0
a) Dem ostrar q u e/(O ) = I
b) Demostrar que si / tiene derivada en 0 entonces la tiene también en cada número real x , y
q u e f { x ) = / C r ) . / ’(0)
Demostración
a) En e fecto . si / ( x + y) = f ( x ) » / ( y ) , Vx , y e IR , en p a rtic u la r p a r a x = 0 se tiene:
/ ( 0 + y ) = / ( O ) - / ( y ) , y com o/(O ) í O
«=> /( 3 ') — / ( O ) - /( y )
^
b) Se sabe q u e :
= lim
h—
»O
Pero s i / ( x + y) = / ( x ) - / ( h )
/(O ) = I
h
.=> / ’(*) = lim
h—
>o
^
h
■=> / ' (*) = /( * ) • lim
h -»o
1
n
D e la pane ( a ) . /(O) = I *=> / ’(*) = / ( x ) - lim ^ (h ) ~ ^ 0)
h -»I)
h
y por definición de / ’(0) «=> /'O O = / ( x ) * / ’(0 ),
Como / tiene derivada en x = O, es d e c ir, existe / ’(O), entonces también existe /* en cada
número real x .
■
E JE M P L O 1cT| S ea la función / ( x ) = V |x l - [ x ] , determ inar si / es d erivable en :
a) x n = 5/2
y
b) xtí = - 2
Solución
a) Dado que (5/2) e [ 2 , 3 ] , entonces [ x ] = 2 y l x l = x«=> /( x ) = V x- 2
Pero com o 5/2 no es en tero , las derivadas laterales en dicho punto, si existen,
deben ser iguales , entonces para asegurar la derivabilidad en 5/2 hallarem os / ’(5 /2 ),
esto e s :
/•(5 /2 , =
lim í k t l m
X - 5/2
x^5t2
.
lim
,-* 5 /2 V
=
x - 5/2
7
um (
* -> 5 /2 '
de donde o b te n e m o s/’(5/2) = V2/2 .e x iste .
Por ta n to , / es derivable en x(| = 5/2 .
b)
S i x e [ -2 , - I ) ■=> [ x ] = -2 y |x l = -x
/(x ) = V - x + 2
x e [ - 3 ,- 2 ) i=> [ x ] = -3 y | x | = -x
f ( x ) = V -x + 3
Para x = -2 e n te ro , hallamos las derivadas laterales
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
1
V x^2
+
)
V l/2 1
Capítulo 4: La derivada
378
/+ .(. 2) =
y _ .(_2 )
,¡m m z m
x-*- 2+ x + 2
.
lim
M zim
=
.
lim
x - * -2*
.
x+2
lim / j E L j S )
1 -»-2‘
x +2
'
x+2
Iim ( - = j — ) = . i
x-»-2+ W 2 - x + 2 '
4
= ,¡m (
‘
-■
_ ) =
C o m o /+’(-2) * /_ ’(-2 ), e n to n c e s /n o es derivable en jc = -2
EJEMPLO 1 l )
■
Sea / una función con dom inio en (0 , +<») que cumple
>) / ( f ) = / ( * ) - / ( .> ') , V a . y e D o m (/)
Dem ostrar que / ’(*) = \ /x ,
D em ojrracíó/i
>
2V5
x-+ -t ' V3 - x + V5 '
jc>
ii) / ’( ! ) =
I
0 .
En e fe c to , según la definición de derivada
rw
= ,im
h -»o
h
/(* ± h )
/ ( l + “ )
—
2. Por la condición dada ( i) : / ’(*) = lim ------- 7 ----- = lim ---------i,-»o
n
h -»o
h
y si h -+ 0 , entonces u - » 0
3.
H agam os: y = u i=> h =
.
4.
.
r r ,-1
lim
1 r m / ( ,+ u )
1
/ ( I + u) - 0
L uego:
/ (*) - >im — rrz— - t
I'm
r—
” T *,m — 7T~ñ■■—»0 u x
•* u —
»0
u
•* u -»0
U-U
ujc
5. De la condición (i) : / ( y ) = / ( u ) - / ( l ) , y s i u = I <=> / ( l ) = 0
6. Entonces en el paso ( 4 ): f ( x ) = — lim ^
x
u-»0
+ UL ^ ^ }
u
El lím ite es la definición d e / ’( l ) *=> f ' ( x ) = j / ’O )
7. De la condición (ii) y por hipótesis : / ’( l ) = I y x > 0
(^ E J E M P L 0 ^ 1 2 j
Sean / , g : IR —» [R dos funciones derívables en todo IR tales que
1 /to - g C O l < x - , y f x e IR+
D em ostrar que las g ráficas de / y g tienen la m ism a tangente en el punto de abscisa cero .
[ Sugerencia : Sean h y k : IR —» IR dos fun cio n es arb itrarias y a e IR . Si I h(a) - k(a) I < £ ,
V £ > 0 =* h(a) = k(a)]
Demostración
Se probará que /'(O ) = g’( 0 ) , pendientes de las rectas tangentes a las gráficas
de / y g en el origen.
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379
EJERCICIOS . Grupa 26 •DerivubUitlüil y continuidad
1. En efecto , si I f ( x ) - g(jr) I á
, V x e ÍR+ , en particular, para x = 0
l/(0 )-g (0 )| < 0 «
/(O) = g(0)
2. Entonces por el recurso de sum ar y restar una misma cantidad se tiene
| / t > ) - / ( 0 )
+
g ( 0 ) - g ( * ) | < * -
3. A h o ra , si hacemos jc2 = h2 , h * 0 y como-ire 1R+ t=> h > 0
L u e g o , en el paso (2 ):
4.
g W * g (0 )
h
h
< h
En el límite cuando h - * 0 : l / ’( 0 ) - g ’(0)l < h
Siendo h > 0 y por la sugerencia, se sigue que
/ ' ( O ) - g ’ (O ) =
0
<=> / ’ ( 0 )
=
g ’ <0)
EJERCICIOS . Grupo 26
❖ En los ejercicios 1 al 8 , hallar los puntos en que la función / no sea diferenciable. Dibujar
su gráfica.
I. f ( x) = \ x + 3 \ - 2
4‘
= ^ 4
7. m
=
2. f ( x ) = 1 ^ - 9 1
3. /(* ) =
2x
x- 1
5. f ( x ) = ( x- 3) ™
í 4 -J t2 ,s¡A r> 0
8. /(* ) =
jt
-
4 , si < 0
*** En los ejercicios 9 al 12 , h allarlos valores d e a y fe de modo tal que la función / d a d a , sea
derivable en todo su dominio.
ax + b .s ix < 2
a x + fe, si jc < 2
9. m
10. f ( x ) =
=
2 x 2- 1 , sí jc > 2
x? - 3 , si jc > 2
x 1 + a x + 3 . si < - I
a x 2 + fe , si < 1
11. /( * ) =
<
1
,s íjc > I
12. f ( x ) =
Ixl
-4ajt + fe
, si x > - 1
13. S e a /(x ) = [x + 1/2] V9x ; c alcu lar, si existe , / ’(3)
14. C a lc u la r/ ’( ! ) si / : [R —> IR es tal que f ( x + y) = f ( x ) • f ( y ) , V * , y e (R ; adem ás,
/(O ) = 1 y / ’(0) existe.
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Capítulo 4: La eterivatla
38U
15. Sea / una función derivable en a . Para cadafc e IR . calcular
L = lim / ( ^ S e n M - / W
x -*a
X
16. S ea f ( x ) una función continua en el intervalo [3 ,7 ] con /( 3 ) = 1 0 . S i / ’(x) = 5 para
j c g (3 , 7 ) . probar que f ( x ) = 5jc - 5 .
❖ En los ejercicios 17 al 22 :
a) Trazar la gráfica de la f u n c i ó n / .
c) H a lla r / ’(*) y /_ ’(*)
[ 5 - 6 * , s i* < 3
17. /( * ) = <
t -4 -jc2 ,s Í j c > 3
b) D eterm inar si / e s continua
d) Determinar s i / e s derivable en a J(.
,* D= 3
18. /( * ) =
19.
/(jc) = VI*J + [ 2 x ]
21.
/(* ) = V *- [ * ] + | * I , x u = I
23.
Analizar la derivabilidad de las funcione / en IR . Grafique / y /*
m
=
i
i
. *„ = 2/3
í x 1 - 4 . si x < 2
22. /( * ) = 5
( V jc-2 , si * > 2
,^*2
-x* + 2* + 1 ,jc > 2
b) /( * ) =
«
5 ~2x
,x< 2
r
/( o + 3 h ) - / ( a + 2h)
10, calcular:
lim------- r ----h—
*o
n
-
c-r/ \
S i / (a)
20. /( * ) = U - [ 3 x ] l
(* + 4)2 + I ,jc < -2
x2+ 1
, -2 < * < 2
4* - 3
,x> 2
a) / W =
24.
. xu = 3/2
í V7
, si jc < 4
<
,xu= 4
1 2 ( x - 3 )2 , si * > 4
(Sugerencia : Sum ar y re s ta r/(a )e n el numerador del limite)
25. Sabiendo que / es una función derivable en * = a y conociendo f ( a ) , f ' ( a ) , calcular
lim
t-» c
x-a
(Sugerencia: Sum ar y restar * /( * ) en el numerador del límite).
26. Supongam os que / es derivable en x . D em ostrar que
r w
J K'
„
1¡m
+
h+k
(Sugerencia: Sum ar y restar/( * ) al num erador del lím ite).
27. Sea / u n a función derivable sobre un intervalo que contiene a 0
C alcular:
lim f { 2 x ) ~ $ x)
x-*Q
X
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EJERCICIOS
381
Gruiki 2 7 . D rrñvhilittud y t iinttnuidutl
28. Si / es derivable en x(l, calcular: Iim n [ f ( x n +
) - f ( x ü) ]
(Sugerencia: H aceru = I/n)
í jr2 - 7 , si 0 < jc < 6
29. Sea la fu n ció n /(x ) =
[ 6 /x , si x > b
a) Determ inar un valor de b tal que / sea continua en b
b) Dibujar la gráfica de / con el valor de b hallado en el inciso (a)
c) Es d e riv a b le /c o n el valor de b determinado en el inciso ( a ) .
30. Si / e s derivable en xu , e v a lu a r:
n
lim ( i " ) X [■K*u + k z ) - /(*0 + <k “ *)z >]
l ~*°
¿Ti
n
(S ugerencia: Use la propiedad telescópica: ^ [ / ( k) - / ( k - 1) ] = /( n ) - /(O)
k= i
31. Sea / : IR —> IR y sea xMg D o m ( /) , tal que / ’(•*„) - L ; calcular
n
tJ I^ O "h
[ X
n
/C * o + k h )
- X
f& o - k H )]
k= I
k= 1
32. Sean / y g dos funciones reales definidas y derivables en todo IR tales que
a) g(jc) = x f ( x ) + 1
b) g(* + >) = g{x)>g(y)
c)
lim f ( x ) = I
A- - * 0
Dem ostrar que g ’(jr) = g (x ). V x
g
IR
33. S e a / u n a función definida en un intervalo que contiene ax .. Sí lim
h -» o
2h
existe , se dice que / tiene derivada simétrica en x fí y se denota por / s’( j . Analizar la
verdad o falsedad de las siguientes proposiciones .justificando debidamente su respuesta.
a) 3 / ’(*u)
c)
3 / s’(*(()
f ( x ) es continua en
b) 3 / s’( V = > . 3 / ’Cx¿)
<=> 3 / s’(x)
d) 3 / s’(jc4í) <=> / es continua en jc0
34. Sea / u n a fu n c ió n d e fin id a en un in te rv a lo q u e c o n tie n e a x 0 y si
v
/ . (x j =
.•
/(*o + h ) - / ( * 0 - h )
lim ----- ------ —— -------2h
. . . . . . .
es la derivada simétrica en jc.. :
h -» o
H
a) D em ostrar que si /+ ’(•*„) y / . ’(-*„) existen , entonces f s\ x ^ existe
í jcSen(l/jc) , x * 0
b) Probar que si f ( x ) = s
lo
, * = 0
no existen / +’(0) y / . ’(0 ), pero si existe //( O )
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Capítulo 4: La derivada
382
x" S en(l/x) , x # 0
35. S e a / : R —> IR definida por /(x ) =
l 0
, jt —0
Estudiar la existencia de / ’(0) cuando n e Z+
(4,6)
R E G L A S B Á S IC A S D E D E R IV A C IÓ N
En esta sección comenzamos nuestro desarrollo de reglas formales para encontrar la
derivada / ' de una función / :
_ Iim f í x + V - M
h—
»o
h
Este procedimiento empleado hasta ahora resulta laborioso y hasta tedioso incluso para funcio­
nes sencillas. A fortunadam ente, existen reglas que facilitan m ucho la tarea y permiten deriva­
das sin usar directam ente límites.
rw
TEOREM A 4.2 : Regla de la constante
Si /(x ) ==. e , (una constante) para to d a* , entonces f ’Qc) = 0 , V x .E s to es
^
D em ostración
(4 - 0 , ( 0
= O
(S>)
En e fe c to , si la función f ( x ) = c , V x e D o m (/) => /( x + h) = c
L u e g o , por la definición de derivada
ax
lim & + * > -& > = U m ^
h-»o
h
h—*o h
dx
id
= O
=o
G eom étricam ente esto es evidente por que la gráfica de una función constante es una recta
horizontal y , p o r lo tanto , tien e pendiente cero en cada punto . P or ejem plo , s i :
/( x ) = 5 .=* / ’(x) = ^
(5) = O
TEOREM A 4.3 : Regla de la potencia
Si n es un núm ero entero y positiv o , n > 2 , y J{ x) - x " , entonces
/ ’(*) =
nx"-1
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m
Sección 4.6 : Reglas básicas de derivación
Dem ostración
En efecto , por definición :
383
( jc + h ) n - jc "
/ ’ ( jc)
=
lim ------- -------h—
»0
h
Expandiendo el binomio por el teorema de Newton , se tie n e :
/ ' ( jc)
= lim
h-»0
= h' ™ „
jc" + ( ,i ) j c n l h + ( 2 ) ^ n - h í + . . . . + ( ¡ ¡ ) h D- V
[ { ü ' - ' + M * - 1**- ■■■ + ( n ) h " ' ]
Finalmente .evaluando el limite obtenemos:
- f - (jcn) = n x a' 1
dx
O BSERV A CIO N ES 4.2
1. Conviene mem orizar el caso especial cuando n = I , esto es
¿
(x) = Dx(x) = I
2. La regla de la potencia también es válida cuando n es un número racional positivo o negativo.
( EJEMPLO 1 )
Solución a) S i / ( jc)
Derivar aplicando la regla de la potencia
a) f(x) = jc5
b) >• = l / * 3
= x 5 ■=> f ( x ) = 5 (x )51 = 5jc4
b) s i >' - 7
~
£
■ í i
^
- (-3)^
'
=- 7
Nota Enla pane b ) del Ejemplo I . hemos reescrilo ! / jt' como jc' * antes
es el primer paso en muchos problemas de derivación.
Dada :
’ - ±
R ecscrib ir:
>• = x ’
D eriv ar:
dy_
= (-3) x ’
dx
de derivar . Este proceso
S im plificar:
ÉL A.
dx
“ x4
TEOREMA 4.4 s Regla del múltiplo constante
Si / es una función derivabley c un número re a l, entonces '
¿ U / ( x ) J = r í 'w
Dem ostración
= c ( | )
En efecto , por la definición de derivada
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(11)
Capítulo 4: La derivada
384
- f [ , : / « ] = Iim c / U + i O - t f «
dx
h -»o
h
h -»0
'
h
Esta regla nos indicaque las constantes pueden ser sacadas del proceso de d erivación.
EJEM P LO 2 )
Aplicando las reglas del múltiplo constante y de la p o tencia, d e riv a r:
m
f ( x ) = ± x 3'-
b)
S o iu c w n
a) SÍ y = 3 a ( j r 3) i=>
w s ím
= |
Klnta
w ”
«
/ ’w
= 3a
= |
(jc'2> = - 6 a (x '3) =
= |
(
|
)
6a
*3
= 2 aí t
■
Combinadas en una única regla se formulan a s í: Dx(c jc " ) = cnx11 1
Antes de hallar una regla para derivar sum as y deferencias de fu n ciones, necesitamos
saber como derivar combinaciones lineales.
Una com binación lineal de las fu n c io n e s /y g es otra función de la form a a f + bg , donde a y
b son co n stan tes. Se sigue de las reglas de la sum a y producto de límites que
lim [a f ( x ) + b g(x)] = a lim f ( x ) + b lim g(x)
x->x0
x-*x0
x-*x0
Esta fórm ula se llama propiedad de linealidad de la operación límite . Implica una linealidad
análoga para la diferenciación.
TEOREM A 4.5 : Regla de una combinación lineal
Si / y g son funciones d erivables. entonces
- f - \ a /( * ) + b gfx) ] = a f r(x) + b g ’fx)
dx
con u = f ( x ) y v = g (x ), esto toma la forma
¿ ( „ u + ¡ ,v ) = 0 ( £ ) + b ( £ )
D em ostración
En e fe c to , por la propiedad de linealidad de la operación límite :
~4~ [ a f ( x ) + b gCr)] = | ¡ m [ ° ^ + h> + M * + h ) J - ¡ ° / W + M * ) ]
ax
h -*0
h
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( 12 )
(13)
Sección 4.6 : Reglas básicas de derivación
=
lim
h—
*O
385
a [ f ( x + h) - f { x ) ] + b [ g(* + h) - g(x) ]
,im i t o + K - f W ) + b . ,im ( g ( ^ h ) - E W )
.n '
n
/
i.li-»0
.n\
n
/
h
=
l —* 0 '
h
= a-f'(x)+ b-g'(x)
Haciendo a = b = I , o btenem os:
dy
(14)
dx
Entonces , la derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas . En forma
semejante se tiene para las diferencias
I / U ) + g U )] = f ( * ) + g ’(*) ó
[/(*)-gW l = fW -g -W
^
6
(u + v) =
( u _ v) =
É¡L+ £
(15)
L a aplicación del Teorem a 4.5 para una suma de un número finito de funciones derívables da
d
d u, + d u , + d u , +
- j - (u, + u7 + u, + . . . . + u ) = - r 1
— 1
— 1
dx
'
7
3
dx
dx
dx
■+ d u n
dx
Cuando aplicamos las reglas (9) y ( 14) y la regla de la potencia al polinomio
P(jc) = a ax a + a o ^ x rl>
" - I _l_
+ a 2 x - + a lx + a n
encontramos de inmediato su derivada
P’(x) = n a iij:n- , + ( n - l ) a n Jx n' 2 + . . . . + 2 a 2 x + a {
Por ejem plo, si f ( x ) = -
x* + 3 j t - 2x + 5 ■=> / ’(*) = - I x 1 + 6 x - 2
TEOREMA 4.6 ; Regla del producto
Sí / y g so n funciones dcrivable-, en x entonces el producto / *ge- derivabie en t . v
¿
con u =
/(a )
. / W - g W 1 = /(*)-í!*f.r) + g í » . / ’Cr>
(16)
y v - g fx ). esto tom a la forma
(17)
D em ostración
En e fe c to , por la definición de derivada
d f ,, , , w
-d rx í /(*> • sí* ) J -
r
f ( x + h).g(x + h)-f(x ).g(x )
,m ------------------- hn-----------------hI-»o
Usando el recurso de sum ar y restar /(x + g )* g (x ) al numerador del límite .se tiene
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Capítulo 4: La derivada
386
r, . s / g ( * + h ) - g ( x ) ^
r
'
h
/
= lim / ( x + h ) (
h-»o
x f f(x + h )-f (x )\
J
*
n
t
+ hm g(x) I
h-»o
,,
..
..
/g (* + h )-g M \
,,
..
¡f(x +h)-f{x)\
- lim /( x + h ) . lim I
1 + g (x ). lim-( ---------)
h -»o
h-»o'
h
•
h- » o '
n
•
= /(* )■ g’(*) + g
L u eg o , la derivada de un producto es igual al prim er factor por la derivada del segundo, más el
segundo factor por la derivada del primero.
■
^ E JE M P IO ^ J
S b íu kién
o
H a lla rla d e riv a d a d e /(x ) = (3 jt - 2 x ) ( 2 x - 3)
Por la regla del producto se tiene
(Primero) (D erivadadel segundo) + (Segundo) (Derivada del primero)
f r(x) = (3x2 - I x )
(2x - 3) + (2x - 3) ^
(3x2 - 2x) = t f x 2 - 2x)(2) - (2* - 3)(6x - 2)
= (óx2 - 4x) + (12x2 - 22x + 6) = 18x2 - 26* + 6
■
En este ejemplo nótese que la derivada del producto es
(3 x * -2 x )(2 x -3 ) = 1& r - 2 6 x + 6
mientras que el producto de las derivadas sena
-4- (S ^ -Z r) •
( 2 x - 3 ) = (6 x - 2 ) ( 2 ) = I2x - 4
ax
dx
En consecuencia: (Derivada de un producto) * (Producto de las derivadas)
(E JE M P L O 4 )
Solución
H a lla rla d e riv a d a d e la fu n c ió n /(x ) = 2 x 3Vx*
A quí podemos optar entre hallar la derivada por la regla del producto o por la regla
de la potencia (reescribiendo la función), conviene el segundo caso.
/ ( x ) = 2x3(x3'2) = 2 í W2 o
/ ’(x) = 2 ( ^ ) x li2 = 9x'V x
La regla del producto puede extenderse a productos de más de dos factores.
A s í, si / , g y h son funciones derivables de x , entonces.
[/(* )■ g (* )- h(*) 1 = / 'W - g ( - )c ) - h W + /( J f ) 'g ’W -b (x ) + /( x ) .g ( x ) - h ’(x)
f^ E JE M P L 0 5 ^
Hallar la derivada de /(x ) = (x + l)(x 2 + 2 )(x 3 + 3)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
■
Sección 4.6 : Reglas básicas de derivación
Solución
387
Por la regla del producto se tiene :
/ ’(*) = [ ^ f j c + l ) ] (xI + 2X*í + 3) + ( * + l ) [ “
C^ + 2 ) ] (jc3 + 3) + (jC+ 1 )( x2 + 2)
[ £ ( * * + 3 )]
= (1) (x2 + 2 )(x ' + 3) + (x + l)(2x)(x3 + 3) + (x + l)(xa + 2)(3x2)
3x* +
=
(x 5 + 2x3 +
=
6 a 5 + 5.x4 + 8 x 3 +
6 ) + ( 2 x s + 6*= + 2x* + 6 x ) +
(3a5 + 3x*
+ 6x3+
óx1)
I 5 jt + 6x + 6
TEOREMA 4.7 ¡ Regla de la recíproca
S i / e s una función derivable en v y / ( . r ) * 0 .entonces
J L r - L .1 =
dx
rix)
flx'i J
(18)
[ / ( X ) j3
Demostración
En e fe c to . se sabe que una función es continua siempre que sea derivable.
Como en este caso / ( x + h) * 0 para h próximo acero porque, por hipótesis,
/( x ) * O y / e s c o n t i n u a e n x . Entonces
h_»o n - - /( x + h )
= ljm
/(x )
) - / ( x + h) -i
r /(x
h / ( x + h )/( x )
h —»o L
f ( x + h) - /(x )
1
- - [ lim
lim„
h -»o / ( x + h )/( x ) 1J L
1 h’
J* 0
h
f ' ( x)
" [/(* )■ /(* )] I f W )
Nota
" [fM P
Con u = / ( x ) . la regla de la reciproca toma la forma
J - (1 \
= . _L
dx * u •
{É2L)
Ó Í I L
.
u2 ' d x * ' u •
ul
(19)
u2
TEOREMA 4.8 : Regla del cociente
Si / v g so n funciones den vables en x y g(v) * 0 , entonces f/g es derivable efl x ,y
d
dx
|- / W i _
' g(x)
- g ’fx)
(20)
( R(.r) ui
con un /(x ) y v —g (x ). esta regla loma la lorma
_d_
dx m
»(£ )
=
“(£ )
» (*y vSólo fines educativos - LibrosVirtuales
v i l 1- uv*
V2
(21 )
Capítulo 4: La derivada
388
D em ostración
M étodo 1 .
Probaremos la regla del cociente por dos métodos :
Haciendo uso del recurso de sum ar y restar una misma cantidad
+ h) _ f ( x )
r
d
dx
/ W
L g ( jc )
-j _
|jm
g (* + h)
-1
h '_ » 0
g (x )
_
h
lim (
h -* o '
^
g (x )
~^
+
L
n
+ h)
-
. g(x
/(a )
+ h)
h g (* ) g (x + h )
+ ^
~
hg(x)g(x + h)
lim g M [ /(Jr + h> - J W ] - m
h -» o
■f ( x
h’- » o
gt* + h) )
/
^
. lim [ g(JC + H.) - g W ]
-i____________ h - » o L________ n
■»
lim [ g ( * ) .g ( * + h ) ]
h -» 0
&(x).f'{x)-f(x).g'(x)
[g w i2
M étodo 2. A plicando la regla del producto a la factorización
“
m -( r t í í V )
* i w
nw ™ 4?>
_ g.(x)‘f ' ( x ) - f ( x ) . g ' ( x )
U(x)Y
Nota
u
Igual que en la regla del producto, conviene memorizar el enunciado de la regla del cociente.
,
(denominador)
(num erador)-(num erador)
■ f (Cociente) = ----------------------- ¿ i ----------^
^
ax
(denomiador)En general, es evidente que :
(Derivado de un cociente) * (Cociente de las derivadas)
E JE M P L O 6 )
Hallar la derivada de la función f ( x ) (jt 2 + 4 )
Solución
n x ) ----------------------- ^
(jt -
4)
- ( ^ - 4 ) - f
^
(jt2 + 4) (2x) - (.x2 - 4)(2x)
( j^ + 4 ) 2
'
(^ +
4
4)
---------------
~
I6uc
t*2 + 4)3
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(denominador)
----------------------
EJERCICIOS
389
C ru p u 2 7 Rrulo.t htiui vs ti? tlerívutiiin
Nota
Es recomendable hacer uso de paréntesis en los procesos de derivación. Con la regla del
cociente es buena la idea de encerrar lodos los factores y derivadas entre paréntesis , y
prestar atención especial a la resta exigidu en el numerador.
EJEMPLO 7 J
Solución
/(a )
Hallar la den vuda de la función f ( x ) = 4 ^ ( l
x-
(Función dada)
~
=
3
a
-3
x1 ( x + M =
2
\ a - 3 I
(x -
3) (3a2
1 ( jf+ x2 \
2 \ x-3 I
+ 2x) -
/ ’(*> =
(Reexpresarla)
( a ’ + a 2) ^ )
(Regla del cociente)
2 ( a - 3 )2
(3a 5 - 7
x * - 6x) - ( a ^
2 (a - 3)2
+
a 2)
a (a
* -4
a
-3 )
(Simplificar)
(* -3 )-
EJERCICIOS . Grupo 27
*** En los ejercicios 1 al 17, hallar la derivada de la función duda. En los casos que sea necesa­
rio , reescribir la función antes de derivar
l.
/(* )
=
±
3. /(A) = |
jc 5 +
±
X* + 3 a 2 - 5
2. f ( x ) = Sa2- ^ 2 + |
+ —— A2 •
13
«? +
3 .2
l
4. /(* ) = 8
5a5 ' a4
a5 ‘ 2 r
S. 1 0 0 =
6. /(* ) = (2 a - 1) (a2 - 6a + 3)
7. f ( x) =
8. M
9. / W =
= (a3 - 3 a + 2K2a , + I)
lü . /(* ) =
14.
2
II
12. /(A) =
a
A^ - fl'
V
a7 +
x 2-% ?
, a es constante
11. / o o =
A+ 1 1
13. fOO =
2a 2 + 3 a + 2
A” - 1
15. m
=
12 a 6
28a7
2a +
2 Q *5
1
3a + 4
ár - x 2
, a es constante
a 2 +x*
3 - 2a - a 2
x2 - I
2 a2 - 3a + 4
a 2 - 2 a + 3
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Capitulo 4: La derivada
390
i* . m
18.
I7 . m
.
¿ £ * ± ¿ ± 1
Dado que f { x ) = —y - " w(jt) .hállese una fórm ula para f'(x).
*w
❖ En los ejercicios 19 al 2 2 , calcular la derivada de cada función usando la fórm ula obtenida
en el Ejercicio 18
w- m
= (
21- / W
=
)
( 2j t +5)
(*’ + * + I)
23. S i/( * ) =
20- / w
= (
22. m
=
)
(*J + * + o
( - ¿ ~ ) W + 5)
, hallare] valor de a tal que
(a 1 - l ) / ( - 2 ) + 3 a f ( - 2 ) = /( - 8 )
[4 .7 )
REGLA DE LA PO TENCIA GENERALIZADA
SÍ / es una función d eriv ab le, la regla del producto da
[ /( * ) - /( * > ]
= f U ) ' f ’(x) + f ( x ) - f ( x ) = 2 f ( x ) ' f { x )
la derivada de su cu ad rad o .
Análogamente la derivada de su cubo es cubo es
J L [ /(jr, p = A . [(/(JC)2-/(JC)] = (f(x)) 2 - f ( x ) + f ( x ) [ 2 f ( x ) - n x )
-
if(x)) 2 ‘ f ( x ) + 2 ( f { x ) f - r ( x ) = 3 [ f ( x ) ] 2 f ' ( x )
Estos son dos casos especiales de la regla de la potencia generalizada
TEOREM A 4.9 : Regla de la potencia generalizada
S i/e s
|
una
función derivable en jc y r e s un número racional .entonces
= ' U M r - ' j ’M
en todos los puntos donde el segundo miembro tenga significado
i) Puntos d o n d e , si r - 1 < 0 *=> / ( jc ) * 0
ii) Si / contiene raíces pares «=> f ( x ) > 0
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(22)
391
Sección 4.7 : Regla de la potencia generalizada
Si u =
/ ( jc)
, la regla de la potencia generalizada se puede escribir
5 7 (»•) = r ( u r - ( | M )
cuando u =
/ ( jc)
(23)
= x , la regla anterior se reduce a
dx
(*)r = r . x " 1
(24)
que es la regla de la potencia para exponentes racionales.
Hallar la derivada de la función / ( jc) = 2V*2 - 3 tfx*
E JE M P L O 1 ]
Solución
R eexpresando: f{x) = 2jc3'2 - 3*2/3
Por la fórmula (2 4 );
f ( x ) = 2 ( | ) jc"2 - 3 ( f ) * -In
de donde : f ' ( x ) = 3 Vjc - 2 /Sfx , a condición de que sea j c >
[^E JE M P L O J2 ^J
Solución
0
Hallar la derivada d e /( x ) = V(3-r + 9x - 1)2
Reexpresando : / ( jc ) = (3 jt + 9 x - IJ20
N ó te se q u e siu = 3 j r + 9 x - I , la regla de la potencia generalizada (23) da :
r
/ ’(* ) =
u1' 1
( 3 jc2 + 9 j c - l ) ' " 3
u’
(6x + 9) =
3
2{2x + 3)
V3x2 + 9 x - I
■
En seguida dem ostrarem os el Teorema 4.9 para r entero positivo , entero negativo y
fraccionado.
I.
Si r = n , un entero p o sitiv o . entonces
« * [ / ( * ) ] " = n [ / ( * ) r - ' / ’(*)
Por inducción matemática
i) S in = 1 ^
Dx [ f ( x ) Y =
^
Dx [ f ( x ) V = f ( x ) e s V.
ii) Supongamos que para n = h el resultado es verdadero, esto es
D j f ( x ) ] h = h [ / ( * ) ] * - ■ / ’(*)
¡ii) Probaremos también que para n = h + I el resultado
D* [ /(* ) l h+1 = (h + 1) [ f ( x ) ]hf ’(x) es verdadero
En e fe c to , la regla del producto da
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Capítulo 4: La derivada
392
D , [ / ( * ) ] '- ' = Dx[ ( /( x ) fc. / ( x ) ] = [ / W ] h. / ’W + / W . h t / W ] ‘ -| f (A )
= t f(x)}h. n x ) + h [ f u ) } " . f ' ( x )
= < h + ! ) [ / ( * ) ]l’. / ’<*>
Puesto que ésta es la regla de la potencia generalizada para r = h + 1, el Teorema 4.9 queda
dem ostrado para valores positivos enteros de j-por inducción.
■
( E JE M P L O 3 ]
Solución
H allarla derivada de la fu n c ió n /( jc) = (5 * -2 * 3)4
Si u = 5* - 2*’ , por la fórmula (23) se tiene
/ ’(*) = 4(5* - 2*3)3
II.
(5* - 2*s) = 4(5* - 2*3)1 (5 - 6*2)
Si r = - n , es un entero n egativo, entonces
/( * ) ] r = Da. ( ^
^ ^ ) . y por la regla de la recíproca
D*[ /(*? ]n
i f ( x ) ] lu
= - I ^
| EJEMPLO 4 )
Solución
F
'
n [ f t x ) ]" ■ • /’(*)
[ / ( x ) ] 2"
= - [/ w r ' . f w
Hallar la derivar de /(*) = (8 + 2* - *2)"3
Si u - 8 + 2* - * - , por la fórm ula (2 3 ), se tiene :
r
/ ’( * ) =
=
-3
ur ' ‘
u’
(8 + 2 * - * 2)‘4 ( 2 - 2 * )
/0
— —, . 4 , siempre que 8 + 2 r - * 2 í 0
(o + ¿ x - * -)
» r # - 2
óx*4
■
III. Si r = p/q , para un entero q * 0 , entonces
DA.[ / ( * ) ] r = Dx[ /( * )
= D, ( [ / ( * ) J1'4)»
= p ( [ / ( x ) ] l/4)p 1 ■ Da. [ /(* ) I 1'*1
= p [ / ( * ) ] 'p - ,> ' ' i . ^ [ / ( * ) ] « ^ ' . f ( * )
=
^ E g (x )
] ‘p - [ +
.
/ ’(*) = ^ [/(*)!'■*•»-' -/* (* )
= r [ / ( * ) ] - ' ■ / ’(*)
para valores racionales de r (sujeta a la restricción m encionada en la proposición del Teo­
rema 4.9)
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Sección 4.7 : Regla de la Potencia generalizada
393
O BSERV A CIO N ES 4.3
1. Para el caso r = l/q , y un entero q * 0 , tendremos la fórmula
Dx [ / ( j c ) ]'* = i [ /(JC) ]»*> ■1 . f (x)
(25)
Dado que [ /(x ) ] 1/11= >//(*), a la fórmula (25) se le llama regla de Lis rafees generalizada.
2. En particular si q = 2 ■=>
(V /(jr) ) =
~ * ■fO*)
y s i / ( x ) = x «=> Dx (V x) =
2 \x
3. De la equivalencia Ix l = >/P y haciendo uso de la fórmula (26) podemos obtener una
fórmula que nos perm ita derivar funciones que involucran valor absoluto, esto e s , si
\m \ = f l w
í
«
^
E JE M P L O 5
Solución
J
D-‘ l í w l = I n x y \ m
(27)
H a lla rla d e riv a d a d e /(x ) = V2x3 - 3x2 + 6
Haciendo uso de la fórm ula (26) se tiene :
ru ) =
E JE M P L O 6 )
Solución
D j/w i =
Dx ( 2 r ' - & + (>)
2V 2x? -3 x 2+ 6
óx2 - 6x
2 V2x3 - 3x* + 6
3 (x * -x )
< 2x^3pT6
Derivar la función : /(x ) = V12x? - 5 1 + 3
Reescribiendo : /(x ) = ( 12x3 - 5 1 + 3 )’°
■=> f ' ( x ) = ^ ( I 2 x 3 - 5 | + 3 )- 2íi-D Jt( |2 x 3- 5 l + 3 )
= j ( 12x3 - 5 I + 3X2IÍ ( |2 ^ ^ 5 | + 0 )
Simplificando: / ’(x) = -— :----- ¡— r ~
¡
—
F
|2 x 3 - 5 | ( |2 x 3- 5 | + 3 ) “
(Teorema4.9)
(Fórm ula 27)
■
Los ejemplos dados ahora son sim ples, pero representativos para cada c a s o . Los ejem ­
plos que siguen enseñan algunas técnicas de sim plificar derivadas de funciones que contienen
productos, cocientes y algunas otra aplicaciones.
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Capitulo 4: La derivada
394
f EJEMPLO 7 )
Solución
^
Hallar la derivada de y =
= 4 ( - ^ 7 7 ) ' D* (
■- m
r
)
(Teorema 4.9)
[ ^ ,)(3S ; í ; - i)W)]
W jc3 - U 3 r 3Jt>(jt) + I - * 3 + l)
W + \)
l
(jc3 + ir J
24 jc2( jc3 - I)3
(jt3 + i > s
(jc3 - I)4
3^ ^
o la regla el pro­
Intente hallar y ’ mediante lareg lad el cociente aplicadaen y =
ducto aplicada en y = (jc1- I)4 (jc1 + I)'4 y com pare resultados .
^E JE M P L O ^J
Solución
D erivar la función : _f(jc) — (3x2 - 2 a 3) V(jc2 + a 2)3
Reescribiendo la función
: /(jc) =
/ ’(j c ) = (3jc2 - 2 a 3) [ \
(jc3
(3jc2 -
2 a 3) ( ; c 2 + a r ) y n
+ a 2) ,n(2x) ] +
(x 2
+ a 2)™ [ 6 j c ]
= (3X3 - 2 a2) [ 3*0? + a2) m ] + (jc2 + a 2)m
Factorizar:
/ ’(x) = 3jc(jc2 + a 2)'12 [ (3jc2 - 2 a2) + 2(x2 + a 2) ]
Sim plificar:
/ ’(•*) = 3jc3 Vx 2 + a 3
í EJEMPLO 9 )
^
Solución
[
6
(T.4.6)
jc ]
Hallar la derivada de f ( x ) =
J
> /o T W
Reescribiendo la función : f ( x ) = jc2 (1 + jc3) Ji
■=> f t o
= JC2[- ^
=
jc 2
[
(I
(1
+
JC3 ) ' 2' 3
] + (I + x 'Y m [ J L (JC2)].
+ jc3) '5/s ( 3 j c 2) ] +
(1
+
x*Ym
[2 jc ]
(T.4.6)
(T.4.9)
= x 2 [ -2 jc2 (I + x 3) '5n ] + (1 + * 3) '2'-’ [2 jc]
Factorizar :
=
2 jc( I + x 3) 5' 3 [
-jc(jc2) +
( I + x 3) ]
Sim plificar:
■
f EJEM PLO 10^ D erivar la función : f ( x ) = ’f? ~
V2
jc
- 7
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Sección 4.7 : Regla de la potencia generalizada
Solución
R e e s c rib ie n d o
e=> f
= (5
/
se tie n e
- 8 a ) 1'2
[—
395
: /( a ) =
(2 a -
( 5 - 8 a ) ,/3
( 2 x - 7 ) ' ,n
i y ' n] + (2 t - 7)-1'1 [
(5 _ 8a ) 1* ]
(T. 4.6)
=
(5 - 8 a),n [ - ^ (2a- - 7 Y m (2)] + (2x - 7 ) 1'3 [ \ (5 - 8 a )'1'2 (-8)]
=
( 5 - 8 * ) 1'2 [ - | ( 2 a - 7 ) - 4'3] + ( 2
=
- 2 ( 2 a - 7 ) ' 4í3( 5
=
- ( 2 a - 7 ) ' 4'3 ( 5 - 8 a ) - |/2 [ ( 5 - 8 a ) + ( I 2 a - 4 2 ) ]
=
------------ 2 ( 3 7
3 (2
a
a
ÍT. 4.9)
- 7 ) - ' ° [ - 4 ( 5 - 8 a ) i/2]
- 8a ) '" 2 [ ^
( 5 - 8a ) + 2 ( 2
- 4 a ) ----------- , s i e m p r e q u e a <
a
- 7 )]
(F a c to riz a r)
(S im p lific a r)
5/8
■
- 7 ) 4,JV 5 ^ 8 Á
E n lo s e j e m p l o s 9 y 1 0 , in t e n t e d e r i v a r p o r la r e g l a d e l c o c i e n t e y c o m p a r e lo s re s u lt a d o s .
[e je m p lo 1 1 )
*
Solución
Hallar laderivadade f(x) = — * • - -& T Í -
En estos casos es conveniente reescribir la función racionalizando el denom ina­
dor . esto es
™
1 (^ + I+ 2 ^ T I +
,)
de donde obtenemos la función equivalente
/ ( a) = a 2 + Va4 - I t=> / ’(a) = 2 a + — 5*
2 va4 - 1
,
(Fórmula 26)
2 a (a - + V a4 - I )
■=> / (*) = -------- p = -----\A - I
E JE M P L 0 1 2 )
Sea q una función derivable en a = 2 c o n g ’(2) = 4 . Se define
fg (A )
, SÍ A < 2
/ ( a) = <! 3
, si a = 2
[ üa 3 + 6 , si > 2
Sabiendo q u e / ’(2) e x iste, hallar los valores d e a
Solución
Si f ’(2) existe i= » /+’(2) = /_ ’(2)
f g ’(A) , SÍ A < 2
y dado que : f ( x ) = s / '( a ) , s í a = 2
[ 3flA2 , s i a > 2
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y
b.
Capítulo 4: La derivada
396
la derivabilidad de g en x = 2 im plica que /_ ’(2) = / +’(2) = g’(2) = 4
L u e g o , s i / +’(2) = 3ü(2)a = 12a <=? 12a = 4
a = 1/3
A dem ás, c o m o /e s derivable en x = 2 , por el Teorema 4.1 , también es continua en x = 2 .esto
es , /( 2 ) = lim / ( x ) . P or lo que
3 = a ( 2 f + b .=> 3 = ^ ( 8 ) + í> « -
[EJEM PLO 1 3 )
1/3
■
Supóngase que en lugar de la definición usual de derivada DXf ( x ) , se
define una nueva clase de derivada DA.*/(x) por la fórmula
D / / ( x ) = lim
P í x + h) - f \ x - h)
h
h - » 0
donde / 2(x) significa [ f ( x ) ]2 . Hallar Dx * ( f + g) en función de / , g ,Dx* f y DA*g
Solución
P ( x + h í - f 2(x)
, se sigue que si
Dado que D _ /2(x) = lim ----------h -* o
n
D / / ( x ) » DJ
2( X )
= 2 / ( x ) . / ’(x) ■=> f ' ( x ) =
D *f(x\
(!)
Análogamente : DA* ( / + g)(x) = DA[ ( / + g ) ( x ) P = 2 ( / + g)(x) [/* (* ) + g’(x) ]
(2)
Sustituyendo en (2) la expresión obtenida en ( I) o b tenem os:
= [ ‘y ]
■
íüÉJEMPLO 1 4 ) Si /(x ) = ( lx - 11 - [2x] )3, hallar el valor de
a) f (7/2)
Solució n
b) f (2/3)
a) Com o (7/2) e [ 7 / 2 ,4 ) . se tie n e :
_
•lú
í 5 / 2 < x - I < 3 ■=* l x - ll = x - l
x < 4 «=>
[ 7 < 2 x < 8 *=> [ 2 x ] = 7
L u e g o ,/( x ) = (x - l - 7 ) ’ = ( x - 8 ) ’ ^
f ( x ) = 3 (x -8 )2
.=? f (7/2) = 3(7/2) = 3(7/2 - 8)- =
b) Dado que (2/3) e [ I/2 , l) , se tie n e :
|< x
< I ^
í - l / 2 < x - I < 0 *=> |x - 1 I == - ( x - l)
^
{ 1 < 2 r < 2 e* [2x] = 1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
243
EJERCICIOS
397
C nipti 2fi
L u e g o ,/(x ) = (-x + I - I ) ' = -x ' >=> f ’(x) = -3x3
e* f ( 2/3) = -3 (2 /3 )3 = - 4 /3
E JE R C IC IO S . Grupo 28
•> En los ejercicios 1 al 3 6 , hallar (a derivada de las funciones dadas
I. /(x ) = - i >/(! + x 3)* - i - V ( l+ x J)J
2. y = (3jt + 2) VI + 5x3
3. /(x ) = x3 V 5 -2 x
4.
y = (1 + Vx )3
5.
6.
/(x ) = ( 3 . r + 4 x + 8 ) ^ n
/(x ) = (2x - l)" 2 ( 7 j t - 3)*
9- / «
-
'"• -■ lífS
"■ ñx) ■ ( f ^ ) ”
13.
v =
14. , =
( ------5 = ) "
/(x ) =
^
V3x - 4
+ 3x2
16.
/(jc )
= .Va3 - jc 2
21.
/ ( jc )
=
23.
6 (jc ) =
jc 3
/(x ) =
18. /(x ) =
17- «*> ■ V i ü
19.
a 2 Va3 + x3
*
M+Vl-x2'
15.
a*
+
Vx3~ a 3 -
y
,.3/2
(x3 - a2)
Vx + q - V x -a
/(jc )
=
>/l + x 3 + Vi -x 3
V T T x3 - V Ñ x 3
(a + x )m (b + x)"
x -V P T ?
a-x
20I.
/(x ) = ( 2 a ' + x 2 ) Vx3 - a 2
22.
y = (a 2 + x3) Va3 - x 2 - y (a2 - x3)^
24. /(x ) =
Vi + x + Vi - x
Vi + x - Vi - x
26.
2x Vi - 4x + -í- (1 - 4x)V3
Vx + a + V x -a
25.
x +
8. /(* ) =
+4
/(JC) =
/(* ) =
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6
Capitulo 4■ La derivada
398
27- / w = 7 w f c ?
28‘> = l ñ w Í T 7 W ^ y
29.f ( x ) = x ' J x ' - a - -- ¡ 4 =
Var - a -
30.
,, ,
(I-JOp
3 L / w = TTTTvT
„
32- > =
x " ( l - x ) ‘'
, +x
33‘
* = V Í 5 "
34- >' =
^ n r ? (J:- i v T T ^ 7
35.
y =
i[rrvrn¡x
36.
f(x) =
V3x + 4
y='"*nv ( i - ¿ r <i +*)■
❖ En los ejercicios 37 al 50 . hallar el valor de f ( x {) p a ra x {}dado
37. m
39. / «
=
=
V ^ T ■* „ = 2
, Xu= 2
3S40.
/w
= V -jfr?
/(JC) =
. A„ = 1/2
41.
/( a ) = $ 5 x ^ 1 (x2 - 6 ) ,
43.
/(x )
=
^ 16 + 3*
45.
/(x )
=
( |x l- x ) ^ ,x
47.
/(x ) = ( l x - 2 | + [ 3 x J
49.
/(x ) = > í |x - 4 | - x 2 , x0= 3
51.
Derivar la función f ( x ) = *“ ,+ x ' \ + *'* + ■ ~
+ ^ +
X
+X +X + . . . + x+ l
x„ = 3
42.
, x„ =
. x1( = 5/3
48.
50.
• *»= 3
/(x ) = x 2V T T j?
, xn = 2
344./(x ) =
(2x)w + (2x)w .x0 = 4
= -3 46./(x )
=
[ x + 1/23 ) . x = 3
' VI - 3x '
/(x )
=
V lx l - x
$ 2 ^ ) , x „= -2
/(x )
=
( x - |x l ) 2 V fT s F . x „= -2
x+1
(Sugerencia : Reescribir la función teniendo en cuenta que el numerador es el desarrollo de
-.12 I
_22 _ 1
—------ - , y el denom inador de —------ - ) .
x2- I
x - I
52. Si f ( x - 2) = (x - 2) Vx3 - 6x + 8 , hallar el valor de / ( 4 ) + / ’(4)
53. Si /( x + 3) = (x2 + 3x) V2x + 3 . hallar f ( 2 ) - / ’( 2 ) .
54. Sea la función /(x ) = l x + 2 l + 13 - x I + x , x e IR
a) D e fin ir/’(x),ind io an d o su d o m in ¡o .
b) Trazar las gráficas d e / y / ’
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
399
Sección 4.8 : La derívenla de una función compue.s'a
55. Si se define una nueva clase de derivada que denotamos D* como
D V ) = ,im n * + h ) - r u )
h—
»o
n
a) hallar una fórmula para D* (/* g )
b) expresar D* [ f ( x ) ] en función de D [ /(x ) ]
c) Paruque funcioneses D*[ f ( x) ] = D[ /(x ) ]
56. S e a n / y g continuas en [a ,¿ ] y derivablesen (a , b ) , donde O e [a ,£>]. Si se cum ple que:
i) / ’(*) = g(x) ,V x e <a
. ii) g ’(x) = -/(jc ) , V x e < a, b) . iii) /(O) = 0 ,g ( 0 ) = I
Demostrar que : p ( x ) + g 2(x) = I , V x e [a ,b] .
57.
y¡3 x
Sea la fu n c ió n / ( jc) = — -— , determinar el valor de m si se cumple que
(m + 5 /2 ) /( - l) - 2 m / ’(-l) = /(-6 )
58. Si
/(
jc )
=
jc
V25 - x 2 y L =
n l)
59. Sea la fu n c ió n /(x ) =
lim í i 2 jcí + 6jc2 - 3 +
2x2 + 7
^6x + 8_
h e x 2 +7
^
^
Vx + 3 - Vx + 7
x->i
x-i
y
-7 x )
.h a lla r
hallar la ecuación
de la tangente a la gráfica d e / e n el punto de abscisaxQ = L
60. Dadas las funciones/(x) = g(x - 2) - ( x - 2 ) g ’(x -2 ) y g(x) = x V2x -1 , hallar la ecuación
de la tangente a la gráfica d e / e n el punto de abscisax(1= 3
m+ Ii
-
\ Xm '
61.
Hallar la derivada de la fu n c ió n /(x ) = — ;------
62.
S i / ( x + 2) = 2x2 + 8 y g (x + l) = / ( x - 2 ) ,h a lla rg ’(4)
63.
Si /(x ) = m x2 - 6x y /( x - 2) = g(x - 5 ) ; hallar el valor de m tal que g ’(- 1) = 6
64.
S i/(x ) =. 2 x 3 + mx2 y / ( x - 1 ) = g(x + 2) .detenninarel valor de m tal q u e / ’(-2) = g'(2)
65.
Sean /(x ) = m x2 + 8x y /(2 x + 3) = g(3x - 2 ) , hallar el valor de m si g’(4) = 10
[ 4 .8 )
L A D E R IV A D A D E U N A F U N C IÓ N C O M P U E S T A
TEOREMA 4.10 : La regla de la cadena
Sean / y g dos funciones IR —> IR . Supóngase que g es derivable en x y / es d en vable
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Capitulo 4: La derivada
400
en u - g(jr0).
Entonces la com posición Htjc) = / lg(-r)] es deri vable en xn y su derivada es
= (/* > R )'(jc b) = f ’ [u{x 0) ] . g ' ( x a)
(28)
Demostración Para probar la regla de la cadena, necesitamos demostrar que si g es deri vable
en xQy / es deri vable en g(xu) , entonces
,
lim / t g ( * . + h ) ] - / i g (,„)] =
h-»o
2.
n
En efecto , si las cantidades : h * 0 y k(h) = g(x0 + h ) - g(xu) * 0 podem os escribir el
cociente de la diferencia de ( I) c o m o :
,
4.
.
/[g W + h ) ] - M
h
J [ g U i? + k(h)] - f [ gíAp)]
k(h)
k (h )
’
h
]
Para investigar el prim er factor del segundo miembro de (3) definamos una función auxiliar
F sobre el dom inio de / haciendo
/ [ g ( X (|)
+ k] - f
[ g < A 0> ]
> sik;fc0
k
F (k ) = <!
, si k = 0
/ ’ [ g ( * u) ]
5. Según la definición de derivada de / , vemos de (4) que F es continua para k = 0 , es decir :
lim F (k ) = f ' [ g ( x ) ]
k-»0
6. De ( 2 ), se observa enseguida que : lim k(h) = lim [g(jcM+ h) - g(x0)) = 0 porque g es
k 0
h 0
continua p ara* = xtí y F(0) = / ’ [g(.r(})]
7. Por tanto , se sigue de (5) que :
lim F [k (h )] = / ’ [g(jrM
>]
h—
»0
8. Nótese de (3) que si h * 0 , entonces
J[g(«o+h)1 - /[ g (- Q ]
= r [ l ; ( h ) ] ( gtA‘1+ h) " g(X|>) )
aun si k (h ) = 0 , en cuyo caso ambos m iembros de (8) son cero .
9. En consecuencia, la regla del producto de límites indica
|¡m / l g ( ^ h ) ] -/[g (,-,,)]
h-*o
n
_
ljm p [k (h )] _ |¡m g ( ^ h ) - g(x„)
h -+ o
h -> o
n
= r í g ( \ ) ] ■ g’t \ )
com o consecuencia de la ecuación (7) y de la definición de derivada de la función g . Por
consiguiente hemos establecido la regla de la cadena en la form a de la ecuación (1)
■
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Sección 4.8 : La derivada de una función cotn/uteua
401
O TR A FORM ULACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA
Si se expresa y en función de u : y = / ( u)
y si u se expresa en función de x : u = g(*)
entonces y puede expresarse en función de x : y = / ( u) = /íg (.v )]
D e m o d o q u e ,e n v ¡rtu d d e lT e o re m a 4 .lü :
= / ’(u ) = ^
Pero como
,
= /M'gí-*)] *g'(A*)
y
g'(x) = ^
(I)
; entonces en ( I ):
= (dy W d u j
\ du / \ d*
d x
/
N o t a L a c la v e ü c la aplica ció n exitosa de la regla de la cadena para
K
’
h a lla r una de riva d a está en
la
identificación correcta de las funciones más s im p le s / y g a partir de las cuales se construye
ia co m p o s ic ió n / o g . A s í resulta útil pensar en / o g c o m o construida po r dos partes , una in te rio r y
otra exte rior . c o m o sigue :
interior
y =
g(AT) ]
f {
extenor
= T Í y
u = g (.t)
El ejemplo ilustrará varios casos.
EJEMPLO 1 ]
Descomposición de funciones compuestas
u = gu)
>• = / (
a), = ^ _
U=l +A,
, = f
b) y = V2jt2 + 3
u = Zt3 + 3
y = Vi7
u = 3 .r
y = Sen u
y
d)
=
/[gu)l
y = Sen 3 x 2
EJEMPLO 2 J Derivar f ( x ) =
Solución
S e a / = g o h e=> f ( x ) =
por la regla de la cadena
g
[ h ( jc ) ]
Si u = h[jc) = 3 a ? + 6* «=>>’ = /(* ) = g(u) = tfü
E ntonces:
= h’(jr) = 9 a 1 + 6 ;
= g ’(u) =
*
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u)
Capítulo 4: La derivada
402
Luego . por
(2 8 ):
/’(a) = g ’ [ h U ) ] . h ’ U ) = g ’ ( u ) . h ’ ( x ) =
-=
=
=
V (3 a 5 +
( ^ u ) ( 4 > L ) = (9x>+ 6 ) (
y p o r( 2 9 ) :
^
d x
N o ta
U
fó rm u la ( 2 9 ) :
4 L
d x
>
) =
3VÜ2 '
'
\ d x l \ d u i
,
$ ( 3 a -' +
=
=
6 a )2
*
6 a )2
fM . W j h i )
W /u 1 ' d x >
-
puede extenderse con facilidad al caso de varias variables. P o r e je m p lo . si x depende d e v,
te ndrem o s
d y
( d y
d v
l í / J l í / J i í / v l
\ l
d u ) I
d x
\
y se v depende de t . entonces
d>'
=
( d}' \ (
d u
\ ( d x
\ du 1
) \1 d x lI \' d \
\
d it
\ (
d \
\
I \
dt
I
y así sucesivam ente , cada nu e va dependencia añade un n u e vo eslabón a la cadena.
D erivar/(.v) = Va + 'Jx 2 + I aplicando la regla de la cadena
E JE M P L O 3 J
Solución
A quí podemos considerar que / es la composición de 3 funciones
x
d o n d e : g(A) =
?
a 2
»
j~ +
I —
a + Va
2+ 1
—
V í T ^ V a ^ + T
+ 1 , h(u) = a + Vu , k (v ) = Vv
O r d e n d e d e r iv a c ió n
Entonces:
donde:
/ ’( * ) = k ’ [h(g(jr))] • h ’[g(x)] • g ’(.t)
y = -Vv , v = a + V ü , u =
a 2
+ I
Nótese que el orden de derivación de las funciones se van sucediendo desde lafunción más
externa hacia la más in tern a.
M .
d *
=
f W
=
( _
'
L
2Vv
)
( - 1 = )
'
'
2 V ij
'
2 *
-
(
,
'
2 "v/a
1
+ Va2 + l
) ( — ;= !) (2 X >
-
,= >
2 V a2+
~ —;
f- - ~
—
2 Va2 + 1 • Vo + V j^ + T
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1
'
■
Sección 4.X : La derivada de ana [tinción cm/nicsía
f E JE M P L O 4 ]
Solución
S i / ( u j = u‘ + 5 u + 5 y
403
« (a )
^ . hallar ( f o
=
g ) ’ (A " )
Según la fórm ula(2 9 ): ( / o g ) ’( a ) = / ’[g(.v)] - g ’U)
(I)
S i/( u ) = u2 + 5u + 5 c=> / '( u ) = 2u + 5
y si u = g ü ) «=> /'[g U > ] = 2 g ír ) + 5 = 2 ( y y ) + 5 = 7*_ ¡*
<2)
Derivando gU ) se tiene : g ’Cr) = —— - ~ y ^
(3)
^
L uego,su stitu y en d o(2 )y (3)3n ( I ) obtenemos : ( / o g ) 'f .r ) =
E JE M P L O 5 J
Solucián
Sea
S i / ’U) = Sen(.v + 1) e y = / ( y y )
g (jr)
=
*=>
Si y = J lg tO ] ^
» ’ (a )
=
~ 2 )(|^~
■
U " 1)
dy
.h allar ~
2 )( 1}
=
-
= .f'Ig(-t)] ■ g’(.r)
Pero f ' ( x ) = Sen(.v + I) ■=> /'[ » ( * ) ] = Sen ( y y
(I )
(2)
+ I ) = Sen ( y y )
(3)
L u eg o , de la sustitución de ( l ) y (3) en (2) se obtiene :
dy
dx
(x - 2)’
Si /( .r) = (g o h)(.v) , h(.r) = ( a - I) Va? - 2 x + 9 y la ecuación de la
tangente a la cu rv a y = g(A ),
en el punto de abscisa x = 3 es 3a - 2y
+ 5 = 0 , hallar el valor el / '( 2 )
E JE M P L O 6 j
Solución
Si
= g ’[h (x )]-h ’(A) t=* f ' ( 2 ) = g'[h(2)] ■h’(2)
h(x) = (x- I)(* 2 - 2 a + 9 ) ,/2 ■=> h’(A)=
(1)
2f ~ 4x+ 10
(Verificar)
Va2 - 2 x + 9
L u e g o ,h (2 ) = ( 2 - I ) V 4 - 4 + 9 = 3 y h’(2) =
+ *9
V4-4 + 9
=
Entonces en {I) : / '( 2 ) = g’(3) ■( 10/3); pero g '(3 ) = m [ = 3/2
••• m
- ( |)
( f ) - S
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3
Capítulo 4: La derivada
404
N o ta
U sa re m o s ahora la regla de la cadena para c o m p le ta r la de m ostración de la regla de las raíces
g eneralizada (2 5 ) para el caso r = l/q
D j / ( x ) ] ''‘< = ^
'/■ (*)
E n efecto . sea u = / ( a ) , entonces por la regla de la cadena
(4 .9 )
L A D E R IV A D A D E U N A F U N C IÓ N IN V E R S A
Recordemos q u ed o s fu n c io n e s/ y g son inversas una de otra si
/[g (x )]
=
jc ,
V x e Doin(g)
g [/U )] = jc . V x e D om (/)
Sabemos también que una función dada / tiene una función inversa g , denotada com o / * , si y
sólo si / es univalente . El siguiente teorem a nos dice com o derivar g , una vez que sepamos
d e r iv a r /.
TEOREM A 4.11 : Derivación de una función inversa
S i'/e s una función univalente y derivable, que,tiene función inversa g , entonces la función
g es también derivable, y
s ’M =
• ftg M i* o
(JO)
D em ostración
D em ostrarem os la d erivab ilid ad de g(x) es una vecindad del punto xn y
supondremos que cuando x —»x0 existe la derivada f ' ( x ) * 0 , entonces la
función inversa x = /* ( y) = g(x) también tiene derivada en el punto y = /( x (|) . En efecto ,
supongam os que x0 6 D o m (g ), entonces por definición : V E > 0 , 3 5 > 0 tal q u e , si
0 < Ix - x„ I < 5
g(*) - g(*b)
X-A'
r ig u ,,) ]
como / es derivable en g(xtl) y / ’ [g(x)j * 0 , existe un 8 ( > 0 tal que si
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< £
Sección 4.9 : La derivada de una función inversa
405
< e
0 < b ' - g K ) l < 5 i *=*
<
/ ( r ) '/ [ g U „ ) l
E
/ ’ [g U n)J
Por el T eorem a de la c o n tin u id ad (T .3 .1 4 ), g es co n tin u a e n x n y , por ta n to , ex iste una
8 > 0 tal que si
0 < U - x ()| < 8 >=> 0 < I g(*) - g(.rn) I < 8,
Se deduce de la propiedad especial de 8 {que
g(Jf) - g(*«.)
x - x ..
í ’ [g U 0)]
< E
lo que demuestra la derivabilidad de g(x) en xtí
Nota
La fórmula (30) puede ser obtenida del modo siguiente .
Partimos de la ecuación /IgU )] = jc . que como sabemos, es derivable V x e Dom(g). Usando
la regla de la cadena derivamos ambos miembros y obtenemos :
d
( / h(x)]) =
dx
C o m o /y g sonderivables .entonces :
/ ’ tgOOl • g ’W = I
y puesto que / ’ [gU >] # 0 ■=> g'(jr) = -j..
G eom étricam ente, el Teorema 4 .1 1 nos dice que las gráficas de las funciones inversas tienen
pendientes inversas en los puntos (a , b ) y (b , a ) como ilustra el ejemplo siguiente.
Si escribimos , x = /(>■ ) e y = g(jr), entonces :
= g’U ) y
= /*(> ) . luego en
la fórmula (30) se obtiene la ecuación
dy
d x
(31)
d x ld y
que nos proporciona una forma fácil de recordar esta relación de reprocidad . Es importante re­
cordar que
d e ,..
áx
se evalúa p a r a * . mientras que
se evalúa para el correspondiente valor
d>
jr0e Dom( /)
Ahora si designamos g = / * y si P0(x0 , yQ) e Gr( /) i=>
yn e Dom(/* )
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Capítulo 4: La derivada
406
EJEM PLO 7 ]
Sean /(.r> = • 1 ,
I + X'
y f*(x) = g(.v) = \
"
— .v
. M o stra r que las
pendientes de las tangentes a las g ráficas de / y g son inversas en los puntos A( I , 1/2) y
B f l/2 , I) respectivamente.
D em ostración
f („v) = - -----— —-
En efecto
(I
+ X 2y
, g'(jr) = '
*
2 x ^ x - X2
e
o
E n A (l . 1/2), la pendiente de la tangente a la G r(/) es : / '( I ) = - ^ +
I
?
En B( 1/2 , I ) , la pendiente de la tangente a la G r(/* ) es ;
g '( l/2 ) = ---------------------------- = - 2
2( 1/2) V1/2 - 1/4
[ E JEM P LO 8 ]
A nalizar la e x is te n c ia /* pura f ( x ) =
hallar (/* )’.
+_^ , indicar su dom inio y
x
1
Solución
Analicemos la inyectividad de / reescribiendo : f ( x ) = 2 + — -—
x ^ 2
Sean x i , .t, e D om (/)
/( ,,) =
«
2+ - 2 ^
« 2* -
«
-Z _
= -Z ^
«
^
lu e g o , / es inyectiva , por lo que e x is te /* .
Despejando x = f ( x ) se tiene : x =
Si f { x ) = 2 +
c=> f ' ( x ) = J ' '
x -2
se sigue que :
EJEM P LO 9 ]
Solución
*=> R an (/) = D om (/*) = IR - {2}
7
( .r - 2)
, y como (/* )’(a) = —
w
w ' w
f'(x)
(/* )’(*) = - y (* - 2)2
Sea f ( x ) = J*1* ^ , calcular D /* (2 ) suponiendo que D /* (2 ) > 0 .
Derivando / obtenem os : D /( - r ) =
Si D f *í y "> - w
Para y(( = 2 «=i> 2 =
^
~
\X~ + o)
=
■=> j r - 4* + 3 = 0 t=> -c(| = I v jr0 = 3
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““
32,
EJERCICIOS
407
Grupo 29 : D eriuuki de una función compuesta
Obsérvese que para x(| = I . D / * ( y 0) > 0 *=> D /*(2) =
EJEMPLO 10 j
Solución
Hallar la derivada d e / ( j t ) = Vx2 + 16 respectode —
abscisa x = 3
Sea u =
du
dx
x -\
Por la regla de la c a d e n a :
y por la fórmula (31):
L ueg o , en ( I) se tie n e :
dx
( x - I)2
^ = ( ^ ) ( i £ )
2 -Jx2 + 16
=
du
, en el punto de
(I)
2x
d¿
dx
Por la fórmula (26):
Nota
d -J -3 )2
8 (3 -1 )
I
,
. .
du/dx
Vx 2 + 16
■=> 4 ^ = - o* - o 2
du
- - 4 * —■ , y para x = 3 (=> 4 ^ = *
Vx2+ 16
du
■
5
Si / es una función que posee inversa . entonces se cumplen las propiedades siguientes
1. Si / es continua entonces f* es continua (Teorema de continuidad T.3.10)
2. Si / es creciente (decreciente) . entonces /* es creciente (decreciente).
3. Si / es derivable en xtí y / ’( x j * 0 , entonces f * es derivable en /(x<t) (Por el teorema de la
deferenciabilidad : T.4.11)
E J E R C IC IO S . Grupo 29
❖ En los ejercicios I al 4 . h allar/ ’(*) si f ( x ) = g [h (x)]
, h (x) = I x 2 - 2x
1.
g(u) = u2 - 3u + 2 , h(x) =
2. g(u) =
3.
g(u) =
4. g(u) = Vu2 - 2u + 3 , h(x) =
,h (x ) = Vx2 - 4
x -2
,x<2
*> En los ejercicios 5 al 1 0 , s i / ( x ) = g [h (x )], c a lc u la r /’(x()) para los valores especifica­
dos de x0
5.
g(u) = I/u2 , h(x) = 1 - Vx + 1 , xu = 15
6.
g(u) = 2u3 - u2 + 5 , h(x) = Vx + I , xu = 8
7.
g(u) = (4 + u3)*2 . h(x) = V 2x- 1 , x = 3
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408
Capítulo 4: La derivada
8.
g(u) = u2 - 3u + 2
9.
g (u - 2 )
=
”
10. g(u) =
" ^
, h(x) =
,
h (x -
I )
=
,x 1( = 1
x 2 - 2 x
,
, h(x) = 3 - x 2 ,
x u =
-I
= 2
❖ En los ejercicios 11 al 18, calcular ia derivada que indica
11.
Si f ' ( x + 1) = Vx2 - I , y = f ( x 2) , hallar ■—
12.
S i / ’(*) = x - -§• .
■*
13. Si / ( j c + 2)
=
jc 2 - jc
14. S i / ’(x) = T g(l - jc1)
y=/(U P)
y
g(x)
=
/(x 2)
, hallar
,
ax
hallar g‘(> fí
e y = / ( - f = )
, hallar ^
15.
Si / ( x - I) = Vx2 -
16.
S ig (x ) = x 4* y /( x 7) = gfx3) , hallar / V )
2x y g(x) = /( V T ) . h a lla rg ’(x + I)
17. Si f ( 2 x + 3) = 2x2 - 6 x + 3
18. Si f W
)
y g (x 2) = / ( 2 x - 3) , hallar g ’(9)
= V2jtj + 3 x - 2 e y = f ( ^ r ¡ )
■ hallar ^
19. Sea g(x) = f ( x + 2)2, Vx2 + 4 ) , si / es una función derivable en todo D R con/’(8) = 1/4,
hallar la ecuación de la tangente a la G r(g) en el origen .
20.
S ea / una fu n ció n y d e riv a b le en 1 . 1) y de ra n g o (-1 , a) , con a e (0 ,1) tal
q u e /( O ) = 0 y /'(O ) = m , m > 0 . S e a n , p(x) = ^
, q(x)
= Vp(.t)
y
Va” - q(x)
g(x) = ------ ¡=-------- .H allar g ’(x) en térm inos de /(x ) y determ inar que es falso que
I
- Va q ( x )
g ’ (0 )< ;.f(0 )
21. H allar h ’(2) si h = / o g , g(x) = 3x*~ 8 y laecuación de la tangente a la g r á f ic a d e /e n
el punto de abscisa x = 4 es x - 2 y + 2 = 0
22. Sea f ( x ) =
V x 7 - 2x
, derivar la fu n c ió n /c o n respecto a
23. Si h(x) - ( / o g)(x) , g(x) =
j
(x2 - 2x + 4) y la ecuación de la tangente a la gráfica de
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409
Sección 4.10 : Derivados de orden superior
y = f ( x ) en el pumo de abscisa x = 1 es 3x + 2y - 6 = 0 , calcular h ’( 2 ) .
i
y. 2
24. H allar la derivada de /(x ) = x \ 3 + 2x .respecto de
■ . en el punto x - 3
25.
H allar la derivada de /(x ) =
\ " 1 , respecto de Vx2 + 1 .
x* + 1
26. S e a n /( u ) = m u2 + 2u y g{x) = ——r , determ inar el valor de m de m odo tal que
( / o g ) ’(2) = -3 0 .
A' “
27. S i / ( V 7 + 4 ) = V 7 + 4 + ^ 1 6 ^ + 4) y Z(x’ - 3x) = gtx2 + 2 x ) , hallar g ’( 8 ) .
28. Dadas las funciones reales/(x ) = (x2- l)‘! y g(x) = 2x+ I , hallar la derivadadela función
( / ° g )W indicando su dominio y determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
y = ( / o g)(x) que pasa por ( 1 , 1/8)
29 .
x- + 2
Sea la función /(x ) = ------- — , x e [I ,+ ° ° ). D em ostrar la existencia de la función
in v ersa/* y h allar(/'*)*( 11/4).
30. Si /(x ) = —1~~
,
x g
(1 .+<*>) .D em ostrar que existe la función inversa d e / y calcu­
lar D /* (4 /3 ) y D2/* (4 /3 )
31. Dadas las funciones re a le s/(x ) = x* + 2 , x e IRy g(x) = x + 1 , x e [3/4 . -h» ) ; hallar la
derivada de la función Cf/g)* paray(| = 3/2
32. Dem ostrar que si / es continua y decreciente en [a , 6] entonces :
a) / * tienen dom inio [f(b) , /(«)} y es decreciente en su dominio
b) /* es continua en [ / ( 6 ) , / ( a ) ] .
33. Sea / una función derivable sobre un intervalo I tal que / ’(x) > 0 ,
la f u n c ió n /* e s d e riv a b le s o b re e l intervalo / ( I ) y adem ás si
\ =
[ 4 .1 0 )
O ’- D /n y ^ =
=
Vx
g
I . Demostrar que
I , y = / ( x u) <=>
D / [ / * ( y u)]
D E R IV A D A S D E O R D E N S U P E R IO R
Supongamos que la función / esta definida sobre el conjunto A = {x g IR I f ' ( x )
existe} , A * (]> , esto e s , / es derivable en cada punto x g A y x(l e A.
Si p a ra x = x 0 existe derivada de la g función / ( x ) , entonces ella se llama segunda derivada de
la función / en x„ y se denota por
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Capítulo 4: La derivada
410
De esta forma / ” (-*„) = [/'(-*„)]' en x = xtí
A nálogam ente, si f " ( x J existe entonces / ’” (•*„) = [ / ’’(*u)] ’ en a =
la función / en jr y se denota
, DSfO cJ ;
aq
es la tercer derivada de
£ f(x ,)
Para derivadas más allá del tercer orden se utilizan las notaciones
f 4Kx) , f ° \ x ) --------------/
L uego , s i / l n l , (Au) e x iste , entonces /
de la función / en el punto a = a u
,n)(A u) =
[ /• " ■
,(,1( a )
I}(a 0 )J’ en a
= a (( es
la n-ésima derivada
Recordando la definición de derivada , la definición de la derivada n-ésima en el punto a b se
puede escribir en forma de límite
r ,(v .
,¡m ( . f - ' f r + W - f ' - ’ M
h - »ov
n
)
/
o también por la forma alternativa :
= lim (
( a ) - / ' " ' 1 ( a 0)
x —» x.. V
En la notación de L eib n iz, las derivadas de orden superior se escriben :
Segunda derivada:
Tercera derivada:
dx
' dx f
= -■ \
dx-
d x '\ d x 2 i/
d " ' *>’ \
Derivada n-ésim a: ~j Lí L (i ——
dx V
\ dx
d x"" ‘ /
d dx -x 2
= ^i
dx"
Otras notaciones para estas derivadas son
<V>
EJEM PLO J
Solución
■ D / y ................... D / y
Hallar las derivadas sucesivas de / ( a )
Prim era derivada :
/ ’ (a )
=
6a2+
= 2 a 5+
3a 2 - 5a +
6 a -5
Segunda derivada : / ” = 12a+ 6
Tercera deri v a d a :
(a )
= 12
Todas las dem ás derivadas son n u la s, esto es
/"•( a) = 0 , p a ra n = 4 , 5 , 6 ................ ( n - l ) . n
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10
411
Sección 4 10 : Derivadas de orden superior
Sean u = f ( x ) y v = g(.t) dos funciones que tienen derivadas n-CMinas en el punto in ,
entonces las funciones u + v = / (a) + gfa) y u*v = ./'(*) *g(A.) también tienen derivadas nési mas en el punto jc0 , además :
i) D " ( u + vi = D "(u ) + D n(v )
(Fórmula de Leibniz)
D emostración
Demostraremos la fórmula de Leibniz
En e fe c to ,se a y = uv .entonces las derivadas sucesivas son
1. y’ = uv* + u’v
2. y ” = ( u v " + u V ) + ( u V + u "v ) = uv” + 2 u V + u "v
3. y ” = ( u v ’*’ + u V ’) + 2 ( u ,v” + u ’V ) + (u’V + u’” v)
= u v , , , + 3 u ’v” + 3 u ’V + u” ,v
4. y l4> = ( u v '4,+ u V ” ) + 3 ( u V " + u * V ’) + 3(u” v” + u ” V ) + ( u " V + u‘4,v)
= u v 141 + 4 u * v "’ + 6 u ” v’’ + 4 u ’" v ’ + u (4)v
5. Obsérvese la similitud con el desarrollo del binomio
(a + fc)4 = fe4 + 4 a b l + 6 a 2b 2 + 4 a 3b + a 4
sólo que las potencias de las funciones se sustituyen por sus derivadas respectivas.
6. e* y « = { ^ ) u,ü) v*"1+ ( ’j j u ’ v ' " ' ^ ( | ¡ ) u " v í“*1,+ ( " ) u,Mv,- * +
donde : u10’ = u , vro‘ = v ; en g e n e ra l, la notación D "‘'( / ) = /
n
o tam b ién :
k=0
Ahora demostraremos el T eorem a4.12 por inducción
i) D "(u + v) = D ''(u ) + D"(v)
1.
Para n = I i=> D ’(u + v) = u’ + v’ , es verdad por el Teorema 4 5
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..
Capítulo 4: La derivada
412
2. Supondremos que para n = h es válida la fó rm u la, D h(u + v) = D h(u) + D h(v)
3. Dem ostrarem os que para n = h + I es también válida la fórmula
D h* '(u + v) = D b+I(u) + Dh+l(v)
4. En e fe c to : (u + v)"'*1’ = [(u + v),h’]* = [u<h’ + v<hl] ’
= [u«,], + [v‘hT = u‘h+l) + v<ht,J
t=> D l, +‘(u + v) = D h + I(u) + D h*'(v)
En consecuencia, la fórmula (i) queda demostrada
n
Ahora dem ostrarem os la fórmula ( ii ) : ( u . v ) ln)= X
( k ) ulkl * vlnkl
k=0
I . Para n = I : (u - v)’ = ( ¿ J u"" v’ + ( j ) u* v(Ul
2.
= u v ’ + u’v , es verdad
Supondrem os que para n = h , es válida la fórmula
h
(u . v),fl) = X ( k ) ulkl. víh tl
k=o
3.
Probaremos que para n = h + l . es también válida la fórmula
h+i
( u - v ) lh t" = X
( h k * ) u(k,-v th+l kt
k= 0
4 .
E n e fe c to :
h
( u . v ) ,h+" = [ ( u .v ) ,w]’ = [ X
( k ) u' k' . v ' h-k*]
k =0
h
=
X
( k ) [u"‘, - v th+T-L| + u U - o . y ' h - u ]
(T.4.6)
k = ()
=
h
h
X
( k ) u 'w .y * "* 1-» + X
k= 0
( k ) u‘fc* 11 - vIfc- kl
h
=
( q )
(T.4.5)
k= 0
u 1" ’ - v * h * "
+
X
k= 1
h -1
(
k
)
U| k , v " ' + I
Yj (
k» +
k
)
■* O . v<h•
u 'k
k = l)
+ ( ¡¡) u 'V '. v " »
5.
® ' ( o ) = ( h ) = * . cam biem os el índice de las sumas haciendo k = p en la prim era y
k = p - I en la segunda , de m odo que el nuevo índice de esta segunda sum a variará de
Ia h
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Sección 4. ¡O : Derivadas de onlen superiut
413
Ii
h
( u*v) lü+l> = u " ''. v ‘h* ') +
( p ) u {p,- v " ,+ | -p’ + ^
p=l
| ) Ulp>-V*^ 1 P>+
p=I
+ u,h + ° . v,u'
ll
= um . v * * n +
[ ( p ) + ( p - | ) ] u ' pW h + | -p' + u lh* l»- v ,u'
P=l
De a q u í, sabiendo que ( p ) + ( ph ,) = .( ^
se tiene
' ) y que ( h Q ’ ) = ( h t 1) = ' '
h
(u ■ v ),h+1) =
( h q 1 ) u"” - v " ' * 1' +
( h p 1 ) u"” . v 1h + 1- p) + ( j j + | ) u 'h * " • v " ”
p= i
h+1
(u . v)lh* l> = ^
^ + * ) u,p' . v|h* 1 pl
p = 0
Con lo que queda dem ostrado la fórmula de L eibniz.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
EJEMPLO 1 j
Para qué valores d e a , b ye , lu función
í jr5
, x <2
f (x) = i
[ a x 3+ bx + c , x > 2
Solución
«tiene segunda derivada en x = 2 ,
La diferenciabilidad implica continuidad, luego si / es continua en x = 2 , entonces
/( 2 ) =
lim f ( x )
2
• +
<=> (2)3 = o (2 )2 + b m +c <=> 4a + 2 b + c = S
Como /tie n e segunda derivada
(D
\ 3x2
, x <2
f ' ( x ) = <¡
[ 2ííjt + b , x > 2
Si f existe <=> f +'(2 ) = /_ ’(2 ) ■=>
2 a (2 )
í 6*,x<2
/ ” (2)existe y si / ” (*) = <
[ 2a ,x >2
+ b = 3 (2 )2 »
4a + b = 12
t=> / +”(2) = / . ”(2) «=* 2 a = 6 (2 ) «
Sustituyendo este valor en ( I) y (2) obtenemos : fc = -12 y c = 8
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(2 )
o =6
■
Capitulo 4: La derivada
414
f EJEMPLO 2 )
Solución
H allar la n-ésima derivada'de la función >■= {ax + b)n
Las derivadas sucesivas de la función dada son
y* = n(ajr + fc)n l (a)
y ” = n(n - 1) (oc + fe)"'2 (a)2
y " ’ = n(n - 1) (n - 2) (ax+ fc)"'3 (a)3
Analizando las tres derivadas se deduce fácilmente que
y nl = n ( n - 1) ( n - 2 ) . . . 2 x 1 (ax + fc)n■'"(a)n
= n !(ajr + é)°a" = n ! a "
[ EJEMPLO 3 ]
Solución
■
H allar la n-ésima derivada de f ( x) = (a - bx)* , k
e
Z+
L as tres primeras derivadas de la función / son :
f ' ( x ) = k ( a - b x ) k l(~b) = - k b ( a - b k f ’ 1
f ' ( x ) = - k ( k - \ ) b ( a - b x ) k 2 (-b) = k ( k - l ) b 2 ( a - b k ) * 2
r \ x ) = k (k - l)(k -2 )fc 3 (a -fc x )k M-fc) = - k ( k - l)(k - 2)fc3 (a -fc k )k' 3
Obsérvese lo siguiente:
1. Los signos de las derivadas se van alternando : ( - ) , ( + ) , ( - ) , . . ,
E sto se simboliza por : (-1)"
j
2. Los exponentes de fc y de la (a - bx) corresponden a la derivada hallada . esto es :
Exponente de ¿ :
Exponente de (a -fcjr):
/ ’t»
roo
r'oo—
no
l
k -I
2
k -2
3
k -3
n
k -n
3. Los coeficientes : k . k ( k - l ) , k ( k - l ) ( k - 2 ) , . . . , se obtienen de — ——
(k-n)!
En efecto
Primera derivada:
n = I ■=>
k ’ ■=
(k-l)!
Segunda derivada:
n = 2 o
(k ^ )! =
Tercera derivada:
n=3<=*
(k -3 )! = ^
f ( b ) ( x ) = (-!>"
(k-I)!
^
= k
(k^ 2 ^ ^
= k <k l >
~ ^ (k -l)!^ " ^
b*(a - b x ) k n
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= k (k-l)(k-2)
Sección 4.10 : Derivadas de orden superior
fE JE M P L O 4 )
415
Dada la función / ( jc) =
) = ( - 1)° 2a n ! (a + a ) ' , d * n
derivada d e / e s :
Demostración
.dem ostrarporinducciónquela n-ésima
Si f(x) = - -*■ ■=> / * ( a ) = - 2a (a + ,t)‘2
a +x
Sea la proposición P (n ): f ,n'(x) = ( - l) n 2an ! (a + A
1. P a r a n = I i=> P ( l ) :
/ ’(a)
) ln + I )
= - 2 a ( I )! (a + a ) : = - 2 a ( a + a
. es V,
) '2
2. Para n = h , supondremos que es válida la proposición
P ( h ) : / (h*(A) = {-l)h 2ah! (a + h V ,h t"
(Hip. Inductiva)
3. Demostraremos que para n = h + 1 , también es válida la proposición
P ( h + 1): / lh* "(a) = ( - l) h*' 2a (h + 1)! (a + h)-"’*21
En efecto , P(h + 1): / lh* '>(*) = [ /«"(* )]’
= [(-I)h2a h!
+
(hip. Inductiva)
- [(-I)h2a (-1) (h + l)h! (a+x)-«h*l> ']
= ( - l) h*‘ 2a ( h + 1)! (a + * )-‘h+2>
Por lo tanto , se ha probado que P( I ) es V y P(h) es V t=> P(h + I) es V
Hallar la n-ésima derivada de /( a ) = jc(a - 3)a , k e Z+
( E JE M P L O 5 )
Solución
Las derivadas sucesivas de la función / son :
/ ’( a ) =
f \ x )
a [ - k ( A - 3 ) ' k l ] + ( a - 3 ) '1 ( I )
=
- { (k v -A -3 ) [-(k +
=
- { ( a - 3 ) - ,W 2 ' [ ( K +
/ ” * (a ) =
■
=
- ( k A - a + 3 ) ( a - 3 ) ck* u
l) ( A - - 3 ) ''t * « + ( A - 3 ) - ^ " ( k l)ík A -A + 3 ) + ík -
l)(.t-3 )]}
D I}
=
k ( k A ~ x + 6 X a - 3 ) tL
k { ( l a r - a + 6 ) [ - í k + 2 ) ( a - 3 ) u + , > ] + ( a - 3 ) " l k * 2,( k - 1 ) }
= k{(A - 3 )'ík*3’ [- (k + 2) ( k r - a + 6) + (k - I) (jc- 3)]}
=
^
/ (41( a )
k ( x - 3 ) - ‘k + 1, [ - k 2A + A - 9 k - 9 ]
=
k(k
+
I) (k
+ 2) ( I í a
- a
=
- k ( k +
+ 12) ( a -
l ) ( k A - A + 9 ) ( A - 3 ) (1¡* 3t
3 ) ' l k * J1,
etc.
Analizando cada uno de los términos de las derivadíts halladas podemos deducir fácilmente que
/ '■ '( a )
= ( - l ) " k ( k + l)(k + 2 ) . . . (k + n - 2) (k.r - a + 3n)
(a
- 3 ) lk*">, n > 2
(1)
Ahora hallaremos una fórmula para k ( k + l ) ( k + 2 ) .............., a partir de n = 2 ,d e la siguiente
m anera:
[ (k + 2) - 2 ]! = k! = k ( k - l ) ! .=> - - k(^
r
l! = k
[ (k + 3) - 2 ]! = ( k + l ) ! = ( k + l ) k ( k - 1)! ^
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= k(k+l)
Capítulo 4: La derivada
416
t ( k + 4 ) - 2 ] ! = (k + 2)! = (k + 2 ) ( k + l ) k ( k - !)! [
Por lo qu e :
k(k+i)(k+2)
f l”>(x) = (-1)"
L u e g o .e n ( I )
EJEMPLO 6 j
= ^
]! = k ( k + l ) ( k + 2)
° ^ '
(K - I),
ík + n - 2V
,
(k.x - * + 3 n) ( x - 3)•(kt,,,. n > 2
\K I )t
i
H allar la n-ésima derivada de f ( x ) = j r ( l +x) n
Solución Sea n = k , entonces si / ( x) =
u -jr
y
■=> u’ = 2 x
jc 2
(
J + x)k , hagamos
v = (I + jc)k
v* = k( 1 + * ) “' '
u” = 2
v” = k(k - l ) ( l +jc)k' 2
u” * = 0
v” ’ = k(k - l ) ( k - 2 ) ( l + x ) k ~3
u'<> = 0
v»’ =
kT
( I +*)*-"
\K ~ I ) •
Por la fórmula de L e ib n iz :
f ' ( x ) = ( u . v ) ln> = u . v w + n u ’ v1" ' +
^
/<■>(*) =
n(í>~
u” v,n-2' + 0 + 0 + .
(I + k ) h- + 2njc ( k . nk^ . 1), (I + ^ ) tk-n+n +
^
<2>
< -> '
Teniendo en cuenta que n = k y que 0 = 1 , se tiene :
/ “" (jc )
[ E JEM P LO 7 j
Solución
= n!
jt
+ 2n n! a (1
+ jc )
+y
(n - l)n! (1 +Jt)2 .
Hallar la derivada de orden n para la función f ( x ) = -y ■
Descomponiendo la función racional en fracciones simples se tiene :
= 772 + ^ 2
^ 5" - 2 = A(*-2) + B(* + 2,
En p articu lar. para x - -2 => -10 - 2 = A (-2 - 2) + B(0) <=* A = 3
y x = 2 c í 1 0 - 2 = AíO) + B(2 +2) «
Por lo q u e :
.
f(x) =
B = 2
= 3(jc + 2 ) - + 2(jc- 2)L-l
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417
Sección 4.10 : Derivarías ríe orden su¡>erior
^
f ( x ) = -3 (l)U + 2 ) - - - 2 ( l) ( * - 2 ) - 2
f \ x ) = 3CI )(2)Cat 2)_i +2(1)(2)(a - 2 ) '
/* " (- » ) = - 3 ( I ) ( 2 ) ( 3 ) ( ,r + 2 ) 4 - 2 ( 1)( 2 K 3 ) ( .r
- 2)‘4
/'" '( * ) = (-1)° 3n!(* + 2 )'l"+l, + ( - l ) n 2 n! (* - 2)',I,+ M
EJEMPLO 8 )
............................*
Hallar la derivada de orden n para /(a ) =
~x + \
x~ + x - 2
Solución
Cuando en una función racional el grado del numerador es mayor que el grado del
denom inador, se efectúa la división indicada a antes de descomponer la función
en fracciones sim p les. Eslo e s :
x* - x + 2 _
x1 + x - 2
,
(a
+
2x
2)(x -
l)
2x
_
2)(jc - I)
(a +
A
x +2
B
jc -
I
.=> Z t = A(a - I) + B(a + 2)
Para x = -2 y x — I obtenem os, respectivamente : A = 4/3 y B = 2/3
/ (a )
=
(a +
2 ) 1+
(a : -
I )* '
A hora. las derivadas sucesivas de f ( x ) s o n :
f( x ) = I - | (l)(A + 2) 3 - | { I ) ( a - I )' 1
r w
=
0 + 1
( | ) ( 2 )(a-+ 2
) - '+ j
/ ’"(*) = - \ (■I >(2)(3)ÍJC + 2)"* - j
11
x 2 )(a - i r
( I )(2)(2)(a - 1r
= ( - i r ^ n Hx + 2 y ia*i> + ( - i r | n ! ( A - i r n+,>
La fónnula de / (n>(x) es válida para n < 2 porque en la primera derivada existe un término
constante que no se repite en las demás derivadas.
( EJEMPLO 9 j
Solución
Hallar ( /* ) ’” en términos de f \ f ' y
sabiendo que / es una función
estrictamente creciente y tres veces derivable.
Si / es una función estrictamente creciente y tres veces derivable, entonces tiene
in v ersa. L u e g o , si y - f ( x ) «=> f * ( y ) = x
Usando la regla de la cadena derivamos ambos miembros de la ecuación :
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Capítulo 4: La derivada
418
= 1 .p e ro c o m o y' = / ’(x) =* [/* (> )]’ = -7 ?
/ ’(*)
f" j
Derivando nuevamente se tien e: t / * ( j ) ] ” y ' - y
( T 4 .IO y T 4 .7 )
[/*(>')]’ ' /
, t / 'M P
i r m i 5
Dada la fórmula : l + x + x2 + . . . + / = —----------- , x * I d e te r m i­
nar , por derivación, una fórmula para la siguiente suma
2( I )jc- + 3 (2 )x s + 4 (3 )x 4 + . . . + n ( n - l ) x "
(E J E M P L O 1 o )
Solución
i r w v
Sea la función : /(x ) = l + x + x2 + x3 + . . . + x n
^
/ ’(*) = I + 2 x + 3x2 + 4x3 + . . . + nx” '
f ( x ) = 2 (I) + 3 (2 )x + 3 (4 )x 2 + . - . + n(n - l)x ""2
Multiplicando ambos miembros por j t se tiene
x2/" ( x ) = 2( l )x2 + 3(2)x3 + 3(4)x4 + . . . + n(n - I )x"
( I)
que la suma cuya fórmula se desea h a lla r. L u eg o , partiendo de
/w
jc" * 1 - I
= -i r T -
x
=
-
nx“ + 1 - ( n + I)* "* '
---------
.
n(n - l) x n+l - 2(n + l) ( n - l)x" + n(n + l)jcn 1 - 2
/ W » ------------------------------ j T i j i ----------------------------
Multiplicando ambos miembros por a 2 obtenemos :
7r,
■
J
n ( n - l ) x B+3- 2 (n + l) ( n - l ) x " * 2 + n(n + l ) x B* l - 2 x 2
(jc - I ) 3
W
Según (1 ), es la fórmula p ed id a.
(E JE M P L O 1 1 )
Sea / : IR+ —> ÍR | / ’(x) =
_
1/ a
. Se define : g(x) =
/(
a
+ Vx? + I )
a) Demostrar que se cumple la relación
(x3 * I) g 'n)(x) + (2n - 3)a g ,""l,(x) + ( n - 2 )2g tn' 2,(x) = 0
b) H allar g15>(0).
D em ostración
a) Sea u = a + Va2 + 1 ■=> g(x) = /( u ) y g ’(x) = / ’(u) ( t j t )
dx
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(O
Pero:
419
Grupo X I : D em udas de urden superior
EJERCICIOS
iÜL = | +
^
= %£5T j j - *
2 Vx? + I
dx
Q
¿u
VxÑH
=
_ u
Vx* + I
A dem ás, como f ' ( x ) = l/x c^> / ’(u) = 1/u
L u e g o ,e n ( I ) :
^
g ’(x) = ( - 1 )
= ( x - + l ) 1'2
' u ' vx 2 + l
g " W = - ■ ¡ r t x ' + i r * H l2 x ) = 2
{xr + l ) Vx’ + l
d e d o n e ifx 2 * l)g "(x ) = - x g ’(x) c* ( x ^ l ) g ” (x) + x g ’(x) = 0
(2)
Ahora derivando sucesivamente la ecuación (2) se tie n e :
(xJ + l)g ”,(x) + 2xg"(x) + xg ”(x) + g'(*) = 0
(x2 + I) g " ’(x) + 3x g‘” (x) + g*(x) = 0
(3)
(x2+ i )g,4’(x) + 2xg’” (x) + 3xg” (x) + 3g”(x) + g"(x) = 0
<=> (x2 + I) g(4)(x) + 5x g ’’’(x) + (2)2g”(x) = 0
(4)
(x2+ 1) g ,5,(x) + 2x g |4,(x) + 5xg‘4í(x) + 5 g ’"(x) + 4 g '”(x) + = 0
t=> (x2 + I ) g‘s>(x) + 7x g|41(x) + (3): g’”(A)
(5)
Analizando los términos (3 ), (4) y (5) se deduce la fórmula
(x2+ 1) gInl(x) + (2n - 3)x gl" ■,J(x) + (n - 2)2 g(" ' 2,(x) = 0 ,p a r a n > 3
b)
En (5) , para x = 0 se tiene : gl5,(0) + 7(0) g'4,(0) + 9 g ’"(0) = 0
^
Si g"(x) = -AÍJT+ l) w ^
g,5>(0) = - 9 g ’"(0)
g” ’(x) = (2 .^ - l ) 0 r + l)m
L u eg o , g” '(0) = -1 ; por lo ta n to :
g(5>(0) = 9
■
E JE R C IC IO S • Grupo 30
*•* En los ejercicios I al lü h a lla rla d e riv ad a q u e se in d ica
1.
/(x ) = V 4 x + I
, / ’” (x)
2. /(x ) = x ( l - x Y 2 , f ' \ x )
3.
/f x ) = xV T ^Y
.r \x )
4. /(x ) = I x l 3 , / ” ’(x)
5.
/(x ) = ^
, / ” (2)
6. /(x ) = x V 3 x -2
\• ™
«■ «*> - i r t
79-
+4
= i f + 7+
/(X ) =
. W
10.
/(X ) =
^ ’ 2f
, / ” (2)
■ ™
, /-(X )
<* En los ejercicios 11 al 24 establecer una fórmula para la drivadn n-ésima de la función dada.
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Capítulo 4: La derivada
420
m
=\* f
12. / ( , ) - ^
13-
■ü tW
14- / w = i ^ r h
1S-
«*> = f f r z
U.
17- / w
19-
=
/O O
18-
=
a
2i- w
23.
/(
I6 - / w =
20.
2 - 9a + 2 0
= 2P + T 3
a
= t t Í t í
/(
' '
a
)
'
22* ^
) =
24.
/(
=
a
^
2 - 4
= ; í ^
a
)
=
*-*•
,
"
v t
+
; 52
a
25. Para cada una de las funciones dadas, hallar /(n,(0)
a)
f (x) = 1;
-
26. Dem ostrar que si
c > Í W = aSLlJL
+ a
b) f M = \ ~ 1rr=
- a
4 -a T2
- 2
a
(a + ¿ a ) / ( ^ - )
^ A . d o n d e / ’fA)
=
/ ( a) ,
27. H allar una fórm ula para la derivada n~ésima de / ( a) =
inducción matemática.
se cumple
j
, k e [R y probarla por
28. Si g es una función no constante con dominio en R y es continua en 0 y cumple : £ ( a + y ) =
g O O * g ( > ’) . V a , y e IR ; probar que g es continua en todo R y g ” ( A ) = g ( A ) , V a s R .
29. Sea / : I —>CRdos vecesdiferenciableena e I ( I e s u n intervalo abierto) Demuéstrese que:
f ( a ) = lim / ( a + h) + -f ( ° - h ) - 2 / ( a )
h -» 0
h
30. Si / y g son funciones reales tales que V a e [R , /( a ) • g(A) = 1 y existen / ” (a) y g ” (A );
demostrar que
r * ( * ) _ 3 r t A ) > g” (A)
/ ’W
/ W - g ’ÍA)
ro o
/(A)
_ g - ’w
g” (A)
31. H allar los valores de las constantes a ,b y c tales q u e / ” (!) e x iste , siendo :
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EJERCICIOS
421
Crup» JO DertvtHÍwt ti orden superior
, s ix <
/(* ) =
;
a x 7 + b x + c , s ix > I
32. Si
existe y es diferente de c e ro , demostrar que :
d 7y
dx7
i < t h \ u. / d x )
' dy- f ‘ \ dy ¡
33. Sea g(x) una función definida en R + tal que g ’(x) = \!x . H allar f " ( x ) sabiendo que
f { x ) = g{x + V*2 + i ) .
34. Si / es una función d eriv ab le hasta el segundo orden y f { x ) * 0 , V * e [R , siendo
g{x) = !//(* ), V xe I R y /( I ) = 2 , / ’( l ) s = 3 , / ” ( l) = 4 ;h alla rlo sv a lo re sd e g ’( l) y g” f 1)
y ltl
35. Dada la formula : 1 + x + x 1 + x* +
.
+ jc °
=
x- 1
I
j—. x * I ; determinar , por
derivación , una fórmula para las siguientes sumas :
a)
i 2x + 2 2x 7 + ¥ x 2 + .
. . + n -x “
b) 3.22 + 6 .2 ' + 9.2* +
. .+ (3n)2í" ‘1
36. Sea guna función derivable tal que g*U) = g W , Vjcg IR .sed efin e
y - (I -jc)'“ g (-í7 x ),^ G IR , a constante
a) Halle y* en función d e a , x e y .
b) Usando la regla de L eibniz, probar que
(I - x ) y ‘,,* , , - ( n + a x ) y ,Ml- n a y n “ = 0
37. Si y = / ( u) y u = g(jr), demostrar que
£-(£)(£)*(& )(& )*
38. Utilizando la regla de L eibniz: D ”[ / ( j :) ■g(jc) ] = X
( k ) D " 'k/(jc)* D kg(x)
k =0
a) Hallar D "[ * . / ( * ) ] en térm inos de D " /p :) y D " '/ ( .c ) únicamente
b) H a lla rD n[ ( x - l ) f ( x ) ] en térm inos de D n/(jt) , D n l /(jt) y D n' 2/(jr)
c) Si upr) =
( jc
- 1)" dem ostrar que : pr2- I) u’ ( jc) = 2r\xn{x)
d) Dem ostrar q u e :
0 -**)-
^
- 2x
dx„ ,
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=0
Capítulo 4: La derivada
422
39. Demostrar que si una función /(x ) admite derivada de n-ésimo orden se tie n e :
[ f ( a x + b) l 1"' = a n [ f ( a x + b ) ]tel
40. Si /(x ) = ( i x - 2) " , hállese
r)
41. Sea y = (I + x )/V jc , usando la fórm ula d e L e ib n iz , hallar una expresión sim plifica­
d a p ara y <n1.
42. Demostrar que la función y = (x2- l ) " , n e Z satisface la ecuación
(x2 - I) y<"+2' + 2 x y t''*" - nín + 1) y tai = 0
43. S ea g u n a fu n ció n tal q u e g ’(x) = I/V 1 - x 2 , Vx , I* I < I y sea / una fu n ción
tal q u e / ’(x) = f ( x ) , Vx e IR. se define y = / [ c g (x ) ] ; demostrar que :
- x y ’ - a 2y = 0
a) (1
b) (1 - x 2) y ln+2,- ( 2 n + I)x
n(n + I ) y '" ’ = 0
44. Sea >•= /(x ) una función que tiene una recta tangente horizontal en (I ,0 ) , g’(I )
g ” ( l ) = k y /( x ) = g [ x + g ( x ) ] .H a lla r :
= 0,
lim <R- 1) / " W + [ / " ( O - 1 ]
x -» k
X - 1
45. Si y = (x + Vx2 - I ) " , hallar el valor de E = (x2 - !)>•’ ’ + x y ’ - n 2y
46. Hallar la n-ésima derivada de la función
^
( m x ) ( m - c x ) + ( m x )(m + c x )
47. Si / e s 4 veces d e riv a b le . / '( x ) > 0 , y sa tisfa c e n adem ás : / ’ = / ” =
Expresar ( f *) w (y) en términos / ’ ( x ) .
Í4 J J J
= / ,4>
D E R IV A D A IM P L ÍC IT A
U na ecuación con dos variables E (x , y) = 0 puede tener una o m ás soluciones de y
en términos d e x o d e x e n términos de y . Estas soluciones son funciones de las que decimos que
están definidas implícitamente por la ecuación E (x , y) = 0
En esta sección estudiaremos la derivada de tales funciones, la cual está basada en
la regla de la cadena. Por ejem plo, la ecuación de la circunfetencia Xa + y2 = 4 es la definición
implícita de cuatro funciones
y = ± V 4 - j r , V x e [ - 2 ,2 ] ; x = ± V 4 - y 2 , V y e [ - 2 ,2 ]
Sin em bargo, no todas las funciones pueden ser definidas explícitamente mediante una
ecuación . P or ejem p lo , no se puede resolver la ecuación
3x6 + x 2 - x = 2 y 2 - y 2 + 8
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423
Sección 4.11 : Derivación implícita
Cuando no existe condiciones que garanticen que una función definida im plícitamente sea en
verdad derivable , aquí procederemos bajo la hipótesis de las funciones implícitas dadas son
deri vables en la mayoría de sus puntos de su dominio.
Cuando se presupone que y es una función dexpodem os usar la regla de la cadena para derivar
la ecuación d a d a , pensando en x com o variable independiente . Podemos resolver después la
ecuación la ecuación resultante despejando la derivada y ' = / ’(x) de la función im plícita. Este
proceso se llama derivación im plícita.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
E JE M P L O 1 | Derivar respecto de x las siguientes expresiones
a) x 2 + 2y
b) 3 y 4
c) x 2y 3
Solución
=
a)
u"
+
n u1
dx
u’
l2? ( %
b) £ ( 3 , 4) = 3 (4 ) jr- ( £ ) =
)
(Regla de la cadena)
(Regla del producto)
■
(Regla de ia cadena)
+
= 3 ,V
( ^ ) + 2 x ,>
Pura ecuaciones que contengan las variables x e y . se requiere el siguiente procedimiento
pura hallar y’ implícitamente
Derivar ambos extremos de la ecuación respecto de x
Coleccionar todos los términos que contengan y' a lu izquierda de la ecuación y todos los demás
a la derecha.
Factorizar y ’ en el lado izquierdo.
Despejar y ' .
Nota
1.
2.
3.
4.
[ E J E iq p C O 2 )
Dada la ecuación x 1 - 3 a x y + >,J = a i , hallar y’
Solución
(x3 - 3 c x y + y 1) =
1.
(x3) - 3 a
(x y ) +
( a 3)
(y J) = 0
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(a es constante)
Capítulo 4: La derivada
424
>=5 3jt - 3 a ( x y ’ +>■)+ 3y2 -j j
2. Coleccionamos los términos con
u’
3. Factorizando : ( y 2 - a x ) y ' — a y
( E JE > y L O 3 |
en la izquierda : - a x y ' + y 2y
’=
ay - x 1
a y _ Jl
-xr
t=> y' = —;------'
y2 -ax
H a lla r la p e n d ie n te de la g rá fic a de x 2 - 2 jr2y + 3 jry 2 = 38 , en el
p u n to ( 2 , 3 ) .
.
Solución
=0
Al diferenciar implícitamente con respeto a x se tiene
1. 3jc3 - 2(jc2 y ’ + 2jry) + 3(2xy y* + y 2) = 0
2. 6 x y y ' - 2x2 y ' = 4 x y - 3X2 - 3 y 2
3. y ’ (6jry -2X2) = A x y - 3 x 2 - 3 y 2
4. y’ =
4(2X3) - 3(2)= - 3(3)2
6(2X3) - 2(2)2
Por lo ta n to :
( E J E M p tt) 4 )
Solución
4 x> - 3 x 2 - 3y 2
6x y - 2 x 2
Si V f
+ V ?
15
28
= 66 , hallar
dx
O bsérvese que los radicandos son expresiones recíprocas cuyo producto es la
unidad . L u e g o , reexpresamos la ecuación elevando al cuadrado , esto e s :
f + 2 + T=
36 ^
y
^^
Derivando im plícitamente:
+ T
=34
1^ = 0
<=> x 2{y - x y ' ) + y 2( x y ' - y ) = 0 ■=* y ’ (y 2x - x J) = y J - x 2y
dedonde:
y’ =
f E JE M P L O 5 j
Solución
v ív z - jr 2)
x ( y 2 ^ 2)
/
v
= T
■
Obtener la segunda derivada de la función implícita
x 2+ a x y - y 2 = a 2
Derivando cada término respecto de x se tie n e :
2 x + a ( x y ' + y ) - 2 y y ’ = 0 *=> y ’ =
2x + a y
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Sección 4.11 : Derivación implícita
^ .
. . .
Derivando nuevamente: y
de donde obtenem os:
425
(2 y - a x ) { 2 + a y ' ) - { 2 x + a y ) ( 2 y ' - a )
= -------------(2 y - a x f
y” —
(a2 + 4 ) { y - x y ' )
{2 y - a x )2
Sustituyendo el valor v’ se llega a : y" = -
2(a 2 + 4 ) ( x 2 + a x y - y 2)
(2 y - a x f
Obsérvese que el segundo paréntesis del numerador es el primer miembro de la ecuación origi­
nal que puede ser sustituido por su valor para expresar la segunda derivada en su forma más
sim ple, esto es
>•
Nota
= -
2 (a 2 + 4 ) a 2
(2y - a x )2
Esta técnica de sustituir el primer miembro de la ecuación original por su valor , puede
utilizarse para hallar y simplificar derivadas de orden superior obtenidas implícitamente .
( EJEM PLO 6 )
Solución
Hallar y*" de la ecuación : b 2x 2 + a 2y 1 = a 2b 2
Derivando cada término respecto d e * se tiene
2 b 2x + 2 a 2y y ’ = 0 •=* y ' = - ^
^
.
Derivando
nuevam ente:
(y )
> 0 ) ' *p(>-----’*) 1J
y.. = - yb 2r r[ -----------
j
,
,
.
..
b 2 I c 2y2 + b 2x 2 \
y sustituyendo y p orsu valorobtenem os: y = J
}
El numerador es el prim er miembro de la ecuación o riginal, lu e g o :
E JE M P L O 7 j
Solución
S i* 3-x y + 2 y 2 = a 2/7 , hallar y ” ’ mediante derivación implícita
1. Cálculo de la prim era derivada
2*-(*>■’ + y) + 4 y y* = 0 «=> y’ =
2x - y
x-4y
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Capítulo 4: La derivada
426
„
D
,
.
. .
.
t
„
2. Por la regla del cociente : y
=
( x - 4 y ) ( 2 - y ’) - ( 2 x - y ) (1 - 4 y ’)
-----------------------------—
(x-4y)-
Ahora sustituimos la expresión obtenida en (1) para y ' , e sto es :
'
*
“
jc -4 y !
* \
(ar-4 y ) 2
x-4y
•
"
I4(x2- x y + 2 y 2)
(x -4 y )3
3. N ótese que el paréntesis del num erador es el prim er miembro de ia ecuación original
~
>
1 4(a2/7 )
= T T W
„ ,
„ vl
= 2 a 2 i x ~4 >yi
4. y '" = - 6 a 2 (x - 4 y ) '4 (I -4 y * J = - 6 a 2{x - 4 y ) * ( 1 - 8* ~ 4> )
x -4y
y
=
4 2 a 2x
( X- 4 y ?
EJEMPLO 8 I Si y = V x2 - x + ^ - x + V x ^ x + f" . . + « , hallar
*
dx
Solución
Obsérvese que la función dada está definida explícitamente y su derivación por la
regla de la cadena sería infinita , sin em bargo , mediante un artificio podem os
definirla implícitamente , esto es , si elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación
obtenem os:
y 2 = x2 - x
+ V *2 -
x
+ V jr
- x + V x 2 ~x+ . . . . +
Ahora derivam os im plícitam ente: 2y y ’ = 2x - 1 + y ’ ^
Ejercicio. Verificar q u e :
y" =
«>'
*=>
v’ =
y 2 = x 2 -x + y
2x
- 1
— j- . )’ * 1/2
—( 2 y ^ l )* — ~
™
E JE R C IC IO S . Grupo 31
*> En los ejercicios 1 al l2 ,h allary en fu n ció n x ey m ed ian ted eriv ació n im p lícitasu p o n ien d o
que y es una función derivable d e x.
1.
2x2 -3 x y + y 2 + x + 2y = 8
2.
3.
x* + 3 x 2y + y 3 = a 3
4. a x 3 - 3fc2x + c y 3 = 4
5.
C* + y ) 3 + ( * - y ) 3
6-
= * 4 + > ’4
x3 +
6xy
+ 5 y 3= 3
x y 2 + Vxy
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=
2
EJER C IC IO S
7. x 4 + 4x3y + y4 = 20
9. (jc + y)2 - Or - y^2«
11.
4
y-
427
G rupo 31 • La derivación unpliciHi
8. x2+ 15Vxy + y* = 36
jc5
10. y 1 = xX+' yy
+
+ A- = 4
tJ
2
12. Jt Vj o " + y Vxv = 10
'
❖ Enlosejercicios 13 ai IK. hallar y* por derivación implícila y evaluar la derivada en el punto
indicado.
13. x 2 - 3 y 2 + y J = I .P C 2 .- I )
14. x - - 2V x7 - y 2 = 52 . P(8 . 2)
x2-xVx7 - 2 y 2 = 6 , P(4 , I)
15.
x 1 - a x y + 3<zy2 = 3 c 3 ,P ( a ,ü )
16.
17.
x 3 - x y 2 + y 3 = 8 . P(2 . 2)
18. xJ + 3 i 2v - 6 x v 2 + 2_i ’ = 0 , P(l . I)
❖ En los ejercicios 19 al 2 6 , hallar D ^1)* .expresando la respuesta en su forma más sencilla.
19.
b zx 2 ~ a 2y 2 ~ ú - b 2
20.
x 1 + y ' - 3a x y = a *
21.
x 2 + 2x y + y 3 - 4 r + 2 y = 2
22.
-f ’ i = 1
)
•*
23.
x m + y 2l' = a 2l}
24. a x - + 2 b x y + c y 2 = I
25. * + 3 r ~
x
x+
í — j- = 3
3y2
26. Vx + y +
*
27.
S i x " ) " ' = ( x + y ) a*'a , dem ostrar que : x D j = y
28.
Si y = V z « - I - V í x - I V 2 x - I . . . . + « , calcular
4^
29.
Si x 2 + y 2 = r 2 . hallar en función sólo de r el valor de
y
(\ + y 2p
*
=a
dx
30. Hallar la ecuación de la tangente a la c u rv a x my" = a™*" en un punto (x,,, y ) cualquiera.
Dem ostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes queda dividida en la razón
m /n p o re l punto de contacto.
31. Si m es la pendiente de una tangente a la hipérbola b 2x ' ~ a 2y 2 = a 2b 2 . dem ostrarque.su
ecuación es y = m x ± V a2m 2 - b 2 , y que el lugar geométrico de los puntos de intersec­
ción de las tangentes perpendiculares está dado por la ecuación x 2 + y 2 = a 2 - b 2
32. Demostrar que la recta Bx + Ay = AB es tangente a la elipse ¿ 2x 2 + a :y- = a 2A2 únicamen­
te si se verifica que B 2c 2 + A 26 2 = A ?B 2
33. El vértice de la parábola y 2 = 2 p x es el centro de una elipse. El foco de la parábola es un
extremo de uno de los ejes principales de la elipse y la parábola y la elipse se cortan en
ángulo recto. Hallar la ecuación de la elipse.
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Capítulo 4: La derivada
428
34. Demostrar que las sumas de las intersecciones con los ejes coordenados de cualquier recta
tangente a la curva Vx + Vy^ = Vk es constante e igual a k.
35. Dem ostrar que para la curva Vx* + Vy^ = Vk* . el segmento de tangente comprendido
entre los ejes coordenados, tienen longitud constante e igual a k.
36. Dem ostrar que la tangente a la curva Vx*" + Vy2 = Vk* en cualquier punto P(xt|, y ) de la
curva satisface O A 2 + O B 2 = k 2 . siendo A y B las intersecciones de la recta tangente con
los ejes X e Y respectivamente y O el origen de coordenadas.
(4 .1 2 )
D E R IV A D A S D E L A S F U N C IO N E S T R A S C E N D E N T E S
En esta sección iniciamos el estudio de las derivadas délas funciones no algebraicas
a las que se denominan fu n c io n e s trascendentes , entre los que se encuentran las funciones
trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas Una revi­
sión de sus g ráficas, propiedades y límites de las cuatro prim eras funciones los puede hacer en
los capítulos ] y 2 respectivamente.
T E O R E M A 4 .1 3 : D e riv a c ió n d e la s fu n c io n e s trig o n o m é tric a s
Las funciones trigonométricas son derivnbles en cualquier punto de su domino. Esto es :
(Sen x) = C o sx
IV. ~ ~ (C o tsx ) = - C usetr x
dx
II.
(Cos x) = - Sen x
V.
(Secx) = S e c x -T g r
III. ^
(Tg x) = Sec: x
V I.
(Cosec x) = -jC osecx • Cotg x
L
dx
Demostración
I.
En e fe c to , h acien d o uso d e la re g ia d e d eriv ac ió n de los c u a tro pasos
se tie n e :
Si /(x ) = Sen x . entonces
I • /(•* + h) = Sen (x + h) = Sen x • Cos h + Sen h • Cos x
2.
/( x + h) - /(x ) = Sen x • Cos h + Sen h • Cos x - Sen x
= Cos x ■Sen h - (1 - Cos h) Sen x
3
flr+ hll-fW
_ Co„ ( £ a h )
. ( - L ^ j - í l ) SenI
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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes
|¡,n t o + V - M
4
h-*0
429
1¡nl ( S f f i h ) . CoSA. 1¡m ( - L J ^ s h ) S e n x
.
h
h -» O'
n
/
|) _ » o '
n
1
t=> f ' (x) = ~4~ (S en x ) = ( I ) C o sx - (0) S e n x = C osx
ax
II. Si f ( x ) ~ C o s x , entonces :
1. / ( x + h ) = Cos(x + h) = C o s x -C o s h - S e n x -S e n h
2. /( x + h) - /(x ) = Cos x ■Cos h - Sen x • Sen h - Cos x
= - Sen x • Sen h - C os x (1 - Cos h)
3
=
4
_ S e n ;t. ( S e a h | _ C o s Jr( N ^ h )
& * " > - & > = _S mx .
|¡m
h -»o
h
i=> / ’(x) =
,i m ( S e n h ) . e o s , . lin, ( ’ ^
h -+o
f
n
h -» o v
L
n
)
>
(C osx) = - Sen x ( I ) - C o s x (0) = -S e n x
III. S i/(x ) = T g x , entonces
T gx + Tgh
I -T g x * T g h
I.
/( x + h) = T g (x + h) =
2.
/(x + h )-/(x ) = T g (x + h )-T g x
( l + T g 2x ) T g h
1 -T g x * T g h
3.
/( x + h ) - / ( x )
Sec2x
/ Tg h
í-^ 1
I - T g x * T g hh \ h /
4 |¡m í í i M
h_ 0
/ '( x ) =
Nota
S e tr x .T g h
l-T g x * T g h
= ,im
h
***
( T£h J _
h -»o I - T g x T g h \
h
¡
•,
I -0
(T g x ) = Sec2x
A partir de las derivadas de Seno y Coseno se puede probar la derivada de la tangente
aplicando la regla del cociente , esto es
A . (Tt , \ = j L (
dx v 5 '
Senx \
d x \l C
o sxx ¡/
Cos
Cos2 x + Sen2x
Cos2 x
C o s x ( C o s x ) - S e n x (-S e n x )
Cos:
x
Cos2x
1
Cos2x
= Secrx
Del m ism o, m o d o . es fácil diferenciar las otras tres funciones trigonométricas porque cada una
de ellas se define en términos de Seno y Coseno. Se deja como ejercicio.
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Capítulo 4: La derivada
430
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
EJEMPLO i " )
Hallar la derivada de la función
/(jc) = x2 Sen jc + 2jc C o s
Solución
x
- 2 Sen x
Com o los factores de los dos primeros sumandos son variables usaremos la regla
del producto en forma indicada, esto es
f U ) = X? - j - (Sen x) + Sen x - ~ (jc2) + 2 [ x .
(Cos jc) + Cos jc ax
cía
cix
(jc)
gx
] - 2 Cos x
= j r Cos jc + Sen x (Z t) + 2[ jc(- Sen a:) + Cos x] - 2 Cos jc
= jc2 Cos x + 2x Sen x - 2x Sen jc + 2 Cos x - 2 Cos x
de donde, al elim inar los térm inos semejantes son queda
/ ( jc) = jr Cos jc
OBSERV A CIÓ N 4.4
■
Cuando u = / ( * ) , y se com binan las seis fórmulas básicas con la regla
de la c a d e n a , se obtienen los siguientes resultados
I. ■— (Sen u) = Cos U ( ^ 7 )
IV. _d_
(Cotg u) = - Cosec2u ^
j
d x
II. £
(C o so ) = - Se« „ ( £ )
m . J - (Tg u) = s « ? u m
EJEMPLO 2 ]
Solución
J_
dx
(S ecu ) = S e c u T g u ( ^ 7 )
V I.
_d_
dx
(Cosec u ) = - C osec u Coig u (
da
dx
U sando la regla de la cad en a, diferenciar la función
>• = S en5 (x 5 + 3jc)
Sean y = z s , z = Sen u y u = jc3 + 3 jc
Usaremos la notación de Leibniz para la regla de la cadena
£ =(£)(£)(£) =
=
=
( EJEMPLO 3 )
Solución
V.
c ^ x e - o c t f + s)
15 (Sen u )4 (Cos u) ( jc2 + I)
1 5 (jc2 -t- l ) Sen4( jc3 + 3 jc) C o s ( jc3 +
3 *)
U sando la regla de la c ad en a, derivar la función
FU ) = Sen2 (Zc3 + 1)
En este caso expresamos la función F como una composición de tres fun cio n es,
esto e F = / o g o h
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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes
431
donde : / ( j c ) = a 2 , g(x) = Sen x
, h(jc) = 2 x i + I
«=> f ( x ) = 2 x , g ’(Jf) =
< h ’(jt) = 6 x 2
R ecordem os que la derivada d e una com posición de dos funciones / y g es ( / o g )’(x) =
/*(gt*)J ' g ’O O .y cuando se trata de tres funciones / , g y h e s :
F (x ) = ( / o g o h )’(x) = f ( g [ h ( x ) ] } *g’[ h ( x )] . h ’(jc)
(1)
L ueg o , si
f ' ( x ) = 2 x i=> / ’{ [ g th ( x ) ] } = 2 g [ h ( x ) ] = 2 S e n [h (x )]
= 2 Sen (2 x 2 + I)
C o s[h (x )] =
Por lo ta n to , sustituyendo (2) y (3) en (1) obtenemos
g ’ (x ) =
C o s a ■=* g ’ [ h ( x ) ]
2 Sen
F ’ ( jc) =
(2
a
1+
I )
- Cos
=
(2 c 2 +
(2 )
C o s ( 2 jc3 +
l)
(3 )
I) - ó x2
* l2*3 S en(2xJ + l) C o s ( 2 x ' + I) = 6 r2S e n - ( 2 r '+ I)
■
Naturalmente , con un poco de p ráctica, los cambios de variables u , v , etc, se pueden evitar
efectuando directamente la derivación . El próximo ejemplo desarrolla una idea para su uso
posterior.
EJEMPLO 4 j
Solución
H allar la derivada de la función y = Tg[Sec2( jr + 2x)]
Sin entraren todos los d etalles, el cálculo de la derivada viene a ser el que sigue:
4 ^ - = Sec2 [Sec2 ( jc 2 + 2*)] • 4 ~ tSec2 C*3 + 2*)1
= Sec2 [Sec2 (x2 + 2c)] ■2 Sec
( jc2
+ 2x) •
dx
= 2 Sec2 [Sec2 (.x2 + 2 j c ) ] • Sec (x2+2x) [Sec
= 4
(
a
+ 1) Sec2 [Sec2 ( a 2 +
EJEMPLO 5 j
Solución
+ 2x)]
+ 2 a ) • Tg ( a 2 + 2
• Sec2 (x2 + 2x) • Tg
(a 2
+
a
)]
(2 a
2a)
Sec3x + Secx
3.
/ (a )
=
S e n (n A ).S e n nA
1 + C os 2 a
I - Cos 2 a
I.
*=? / '( a ) =
t
( jc 2
Hallar la derivada de las siguientes funciones
1- /(■*) = '5® ec5jr_
2 a )]
(j
[Sec
/ (
a
)
=
(5 S e d e )
j Sec5x -
S e d e + Sec a
(Sec a ) - y (3 Sec2A)
(Sec a) + Sec x Tg a
= Sec4A (Sec a Tg a) - 2 See3A (Sec x Tg x) + Sec a Tg a
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+ 2)
Capitulo 4: La derivada
432
= S e c * T g jr(S e c 4* - 2 S e c 2Jc + 1) = S e c * T g jc (S e c 2* - I ) 2
= Sec jc T g x (T g 2Jc)2 = T g Jjc S e c *
9
f(*\ "
■
I + Cos 2*
I - Cos 2*
En este caso , antes de aplicar la regla del cociente , es conveniente reescribir la función
haciendo uso de las identidades
1 + Cos 2A = 2 Cos2A y 1 - C os 2A = 2 Sen2A
L u e g o ,si /(* ) = ^
” C otg2* ■=* /'(■*) = 2 C o tg * ■ - j - (C otg*)
Pbr lo q u e : /*(*) = 2 C o tg * (-C o s e c 2* ) = - ^ 5 “° ^ x
j6 n x
3.
m
/(* ) = S en(n*) ■Sen"*
Por la regla de derivar un producto se tie n e :
/ ’(*) = S en(n*)
(Sen"*) + Sen"*
= Sen(nx) [n S e n " 1* -
[Sen(n*)]
(S e n * )] + Sen"* [C os(nx)
(njc)]
= n Sen(nx) •S e n ,,' lx C o s x + n Sen”* • C os(n*)
= n S e n " '1* [Sen(nx) - Cos jc + C os(n*) «Sen*]
El corchete es el desarrollo de Sen(A + B) .donde A
=
n* y B
=
jc
/ ’(*) = n S en "' lx • Sen(nx + x) = n S e n " '1** Sen(n + l)x
.
Sec 2 x VCotg2* -1
.
4- ííx) =
--------
En primer lu g ar, reescribir la función en términos de Seno y Coseno
fiv i =
JW
S en 3*
C os
2jc
C os2 x
V S en 2 jc
j _
S en 3* / VCos 2 x \
Cos 2 jc \ Sen jc /
= Sen2jc (Cos 2 x ) ' in
A h o ra , derivar la función por la regla del producto
/•(jc) = Sen2jc • ~ ~ (Cos 2 x ) m + (Cos 2 x ) 'ia • ~
ax
ax
= Sen2* [- i (Cos 2 x ) '3/2(-2 Sen
= Sen2* [Sen
2 jc
2 jc ) ]
(Sen2*)
+ (Cos 2 x ) ' tn [2 Sen x - C o s x]
(Cos 2 x ) ' yn] + (Cos 2 x ) ’,/2 (Sen 2 x )
= Sen 2 * ( Cos 2x)~V2 [ Sen2* + C o s 2 x ]
Sen 2 x
[Sen2* + (C os2* - S en 2* )]
(Cos 2 x ) 3/2
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■
Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes
433
. f t ( \ _ Sen 2* • C os2*
.. J W (Cos 2 x ) Vi
Nota
■
Para hallar derivadas n-ésimas de las funciones Seno y Coseno , son de uso frecuente las
siguientes identidades
1. Sen [A + n(rc/2)3 = ± Cos A , para n entero impar
2. Sen [A + n(rc/2)] = ± Sen A . para n entero par
3. Sen (A + n7t) = Sen A , para n entero par
4. S en (A + n n ) = - Sen A , p aran entero impar
( EJEMPLO 6 )
Hallar laderivadn n-ésima las siguientes funciones
3) /( * ) — Sen 2 x
b) f ( x ) = S en4* + C os4*
Solución
a) Si /( * ) = Sen 2 * ^
/*(*) = 2 C o s2 x = 2 S en[2x + I (n/2) ]
(1)
/ " ( * ) = - 2 2 S e n 2* = 2 ! Sen[2* + 2 (n/2)]
(2)
/* ” (*) = - 2 3 S en2* = 2* Sen [2 * + 3 (n/2)]
(I)
/ ,4,(*) = 2 4 Sen-* = 2 4 S en[2* + 4 (n/2) ]
(3)
Por consiguiente : / ,n)(x) = 2" Sen [2 * + n(7 t/2)], n 6 Z
■
b) /(* ) = Sen4* + C os4* = (Sen2* + C os2* ) 2 - 2 S en2* C os2*
= l2- 2 (
Sen 2 x ) 2 = I - ^ S e n 22*
A h o ra, derivando sucesivamente la función / , se tie n e :
/ ’(*) = 0 - ± (2 Sen 2 * Cos 2 * ) (2)
4 ° S e n [4 n + 2 (n /2 )3
(2)
/ ” (jt) = - 4 C o s 4 *
= -S e n 4 * =
= 4 ' Sen [4 n + 3(rt/2)]
(I)
/ ” ’(* )= 4 2 Sen 4 *
= 4 2 Sen [4 tc + 4 (n /2 ]
(3)
= 4 5 Cos 4 * = 4 3 S en [4 n + 5(7t/2)]
(1)
/ In)(x ) = 4 " '1Sen [4 n + (n + I) (71/2)], n e Z+
EJEMPLO 7 ]
Calcular la n-ésima derivada de la función
/(* ) = S en2* ■Sen 2*
Solución
D adoque I -C o s 2* = 2 S en2* c=> S en2* =
(I -C o s 2 x )
Luego ,/ ( * ) = -^ (1 - Cos 2 * ) Sen 2 * = -^ Sen 2* - ^ Sen 4*
Derivando sucesivamente la función se tie n e :
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■
434
Capítulo 4: La derivada
f ' ( x ) = Cos 2 x - Cos 4 x = Sen [ 2 a - + 1(n/2)] - Sen [ 4 a + I(rc/2)]
/ ” ( a ) = - 2 Sen 2 a + 4 Sen 4 a = 2 Sen [ 2 a + 2 ( t i / 2 ) ] - 4 Sen [ 4 a + 2 (7C/2)]
/ ” ’ ( a ) = - 22Cos 2 a + 4 2 Cos 4 a = 2 2 S en [2 A + 3 ( t c / 2 ) ] - 4 2 Sen [ 4 a + 3 (n/2)]
/ ' 41 ( a ) = 2 3 Sen 2 a - 4 3 Sen 4 a = 2 3 Sen [ 2 a + 4 (n/2)] - 4 3 Sen [ 4 a + 4 (7t/2)]
Analizando cada una de las derivadas se deduce fácilmente que
/ ‘" '( a )
( E JE M P L O 8 )
■Solución
= 2 " - ' Sen
[2
a
+ n
(
2 )]
- 4 " ' Sen [4 n + n (n/2)]
U sando la fórmula de L eib n iz, hallar la derivada n-ésima de la función
/ ( a ) = a 3 Sen a
Designemos por : u = Sen a
Entonces:
Por lo q u e :
tc /
y
v = a3
u ’ = C osa = Sen [ a + l(7t/2)]
,
v ’ = 3a2
u” = - Sen a = Sen [ a + 2(71/2)]
,
v” =
u’” = - C os a = Sen [ a + 3(7t/2)]
,
v’”
u ,4) = Sen a = Sen [a + 4(7t/2)]
,
vl4í = 0
u "1’ = Sen [a + n (7t/2)]
,
6
a
=6
v(n) = 0
L u e g o , d esarrollam os la fórm ula de L eibniz hasta el cuarto térm ino , v (4) = ví31 = . . . .
s v<n> = 0 , esto es :
/'" '( a ) = (u ■v)l0) = u |n). v + n u ,n"11 v’ + P
^
u ln 2>v " +
n (n -0 (n -2 )
v- + p + u + .............
t=$ / [n,(a) = Sen [a + n (71/2)] (a 3) + n Sen [a + (n - 1)71/2] (3 a 2) +
^
Sen [a + (n - 2) y ] (6a) +
Pero : Sen [a + (n
-I) 71/2]
Sen [a + (n
- 2) ti/2]
Sen [a + (n - 3) y ] (6)
= Sen [a + n (ti/2) - 7t/2) = - Cos [a + n (7t/2)]*
= Sen [a + n (tt/2) - tt] = - Sen [a + n (ít/2)]
Sen [ x + ( n - 3) y ] = Sen [x + n ( y ) ' 4 ^
= Cos[x + n ( y ) ]
.*. /<">(x) = a 3 Sen [a + n (7t/2)] - 3nA2 Cos [a + n (tc/2)] 3An (n - 1) Sen [a + n (7t/2)] + n (n - 1) (n - 2) Cos [a + n (7C/2)]
= x [ x 2 - 3 n ( n - 1)] Sen [a + n (n/2)] + n [(n - I)(n - 2) - 3 a 2] Cos [a + n (tl/2)] ■
( E JE M P L O 9 )
Solución
Hallar la derivada de las siguientes funciones
a) Sen (a + y) + Sen (a - y) = 1
b) Sen ( y 2 - y + 2) = Ay
Nótese que las dos funciones están dadas im plícitam ente, por lo que usarem os ln
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Sección 4.12 : Derivadas de las Junciones trascendentes
435
regla de la cadena en cada caso para hal lar y :
a) Sen
(a
+ >’) + Sen
(a
-
C o sía + y ) - ( 1 +
[Cos [x + y) - C
y) = 1
/ )
o s (a
+ C o s (a - ) • ) •
(I - y ’) = 0
- >’)] y’ » - [Cos ( a + y) + Cos
(a -
y)]
Transformando a producto los términos entre corchetes se tie n e :
[-2 S enA *C osy] y ’ =
- [ 2 C o s a C o s >’]
j j j
.
Cos a Cos y
de d onde: y = —------ - -------Sen a Sen y
,
■=>y - C ote a «Cote y
fc
b) Sen ( y 1 - y + 2) = Ay
=> C o s ( y I - y + 2 ) . ( 2 y y ’ - y ’ + 0 ) = x y ' + y
*=> >’’(2y - I) Cosí y 2 - y + 2) - Ay’ = y
y
y = (2 y -l)C o s (y 2-y +
( EJEMPLO 1p )
D erivar: y =
V Sen a
Solución
2 )-A
+
________ ^
Elevando al cuadrado : y 2 = —
Sen a + v Sen a + V Sen x + . . . + <»
El segundo sum ando del denom inador es la recíproca de la función d a d a , lu eg o , s i :
y 2
= ------- ------— i=? y 2 Sen a + y = l
S en A + y
Entonces por derivación implícita obtenemos
y 3 C o s A +
J
2 y y ’ S e n A + y ’ =
JJ
0
*=>
y ’
=
J
,
¿—
l + 2 y S e n A
■
EJEMPLO 11 ] Dem ostrar que Sen a x + Sen bx es periódica si , y sólo si a /b es un
número racional.
Demostración
Supongamos que la función
/ (a )
=
Sen a
a
es perió d ica, de período T , ento n ces; / ( a + T) =
En particular, si
es d ecir:
a
+
Sen 6 a
/ (a )
, V T e IR
= 0 «=> /( T ) = /(O)
S en aT + Sen6T = 0
Derivando la función obtenem os : f ' ( x ) = a Cos a a + b Cos ¿ a
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(!)
436
Capítulo 4: La derivada
/ ” (*) = - a - Sen a x - b 2 Sen b x
C o m o /U + T ) =
/ ( x)
ys¡x=o
■=>/ ” (x + T) = f ’(x)
=> r e o
= r (0)
<=> - a 2 Sen a T - b 2 S e n b T = 0
(2)
( a 2 - b 2) Sen& T = 0
Resolviendo (1) y (2) se tiene:
( a 2 - b 2) S e n a T = 0
S e n 6 T = 0 <=> fcT = k,7t
Puesto que
a * b <=> «
S e n a T = 0 <=> a T = k,rt
A! dividir estas dos igualdades se o b tie n e :
aT
bT
EJEMPLO 1 2 j
_ k^n
k ,n
a _ k;
bk - i.
k
€
n
Analizar 1a deri vubiiidad de las funciones
a) f ( x ) = 2 1Cos x I + Cos x , en x e [ 0 , rt]
b) g(Jt) = x - 1Sen jc I , en [ 0 , 2rt]
Solución
a) En
jc
€ [ 0 , rt/2)
C o s jc > 0 <=> f ( x ) - 2 Cos x + Cos x = 3C osjc
y en x e [rt/2 , n ] , Cos jc <
0
=>
f(x)
=
*
2 Cos jc + C os jc
=
Cos jc
-
De modo que la regla de correspondencia de / es
3 Cos jc .jc e [0 . rt/2)
4
f(x) =
[
-C o sjc
-
3 Sen jc ,
jc
6 [ 0 , rt/2)
«=* / ’(*) = <
Sen jc
. x e [rt/2 ,rt]
, x € [rt/2 , rt]
Ahora : /_ '( n/2) = - 3 Sen (rt/2) = - 3 y / +’(rt/2) = Sen (rt/2) = 1
C o m o /_ ’(rt/2) * / +’(rt/2) => / n o es derivable en x = rt/2 e [ 0 ,n ]
b) En jc e [ 0 , r t ) , Sen x > 0 => g(x) = x - S e n x
x e [ r t , 2 r t] , Sen jc < 0 t=> g(x) = x + Sen x
L u e g o , la regla de correspondencia de g e s :
1 - C o s X , X € [0 , rt)
x - Senjc , jee [ 0 , rt)
=> g ’W =
l(x) =
x + S e n x , x e [ r t, 2n)
1 + C o s x . x e [r t, 2rt]
Las derivadas laterales de g e n x — rt tienen por valor
g . ’írt) = 1 -C o s(rt) = I - ( - I ) = 2 y g +’(n) = 1 + C os(rt) = 1 + (-1 ) = O
C o m o g .’ (rt) * g + ’(K) *=> g no es derivable en x = n e [0 ,2 rt]
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EJERCICIOS
437
Grupo J2 : D em uda t de los funciones miscendenie.s
EJEMPLO 13 J
n(x - l)3 + 3 + íi
x Sen x + P(x)
Sea la fu n ció n /(x ) =
. 2
-
-
2
~ r~
-
, x<0
, 0 <x <n
3 Cos X
, X >
71
donde P(x) es un polinomio degrado 3 con coeficientes re ales. H allar P(x) de modo que f ( x ) y
/ ’(x) sean continuas , Vx e IR
Solución
Si / es continua en todo su d o m in io , entonces
lim f ( x ) <=* 7i(0- l)3+ 3 + n = 0 S e n 0 + P(ü) <=> P(0) = 3
lim /(x ) =
A- i 0'
x - *
lim f ( x) =
X —
»n"
0*
lim /( x ) <=> 7t Sen 7t + P(7t) =
- 3 C o s n <=> P(7t) = 3
¿
i —
♦T
T
+
¿
f 3n (x -1 )3
, x <0
D e riv a n d o /s e tiene : / ’(x) = < x C o s x + S e n x + P ’(x) , 0 < x < 7 t
[ - x + 3 Senx
, x>7t
Si/*(x) es co n tin u a, V x e IR , entonces
/ . ’(0) = /+ ’(0) >=> 3 n ( 0 - l) 2 = 0 Cos 0 + Sen 0 + P’(0) «
P ’(0) = 3n
f . ' ( n ) = f +'(n) c=» 7t Cos ti + Sen n + P’(ti) = -7t + 3 S en rc <=> P‘(n) = 0 _ _
Sea el polinomio :P(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d
P’(x) = 3 a x 2 +2fcx
+ c
A h o ra , si P(0) = 3 e=>3 = 0 + 0 + 0 + ¿/«= > d = 3
P(7t) = 3
«=> 3 = a n 3 + b n 2 + c n + 3 <=* a n 2 + b n + c = 0
P’(0) = 3 n «=> 3 7 t = 0 + 0 + c< = > c = 37t
P’(n) = 0
3a7t2 + 2 fc 7 i+ 3 n = 0
3a?c+2& + 3 = 0
Sustituyendo el valor de c en ( I) obtenemos
( a n +b + 3 = 0)
a
(1)
(2)
(3a n + 2b + 3 = 0) g* a = 3 / n , b = - 6
P(x) =
x 3 - 6x2 + 3nx + 3
■
E JE R C IC IO S . Grupo 32
❖ En los ejercicios 1 al 3 0 , hallar la derivada de la función dada expresando la solución en la
forma más simple.
1. y - Sen(x + a ) C o s ( x - a )
2. y = (x Senfc + C os6) ( xC osfc - Sen b)
3. y = Sen 2x - -j Sen3 2 x
4. y = Sen [Cos2 (Tg3 x)]
5. y =
Sen 2x
l + Cos 2x
6. y =
+ Sen2x
- S en2x
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438
Capítulo 4: La derivada
3 + 4 Sen x
8.
7. y =
4 + 3 Sen jc
10. y = 4>fCotg2* + ^C otg **
9. y - T g j c - ^ T S 5J t+ j Tg**
11. >• = Sen
5
jc
-
-j
Sen * - * Cos *
>’ = Cos * + * Sen *
S*n35*
12.
y = C o s(n * ) Sen"*
13. y = S en (n * ) Cos"*
14. y
15. y = Sen 2 x
Cos 2 jc
16.
17.
Sen 5jc - Sen x
Cos 5 x + Cos x
Sen(Cos (Tg2x)]
>’ *
19. y
+
+
*
|
V
I-C o s3 x
+ Cos 3*
21. y =
Cos j c Tg j c - Sen jc T g jc
Cosec j c + Sec jc
23. y
*
(T g2* - l) ( T g 4* + IO T g2*
3 T g 3jc
25. y
*
-y-
26.
y~
27. y
28.
j
C o s1 ( j )
C o tg 5* -
1
* ( y
*
- 5
Cos ( y )
C otg3*
y
C o i3** - C o i* )
+
-
+
1)
1
y = y Cos * ( -j Sen5* + ~
C o s(n * ) C osn*
y =
(Senn*)"
(Cos ni*)"
18. y
=
|S en (C os2* )* Cos (S en 2*
20.
>
~
° r n 3f
~cn
22. y
-
24.
=
y
Ll( X+2
x. j
C o s*
3 S en3*
1-
13x\
4 r
1 3 C° lgJC
T g x - T g 3*
6 T g 2* + T g 4*
+ *
9
S en3*
+
S en3* +
-j
Sen *
Sen * ) -
29t y
*
V * 3 + V x 1 + V* + Sen [Cos(* + Sen (jc + Cosjc))]
y
=
(Sen * Cos x Cos 2 x Cos 4 * ) (Cos 8 * • Cos
30.
\*
/
C os5 ( j )
C otg*
+
=
16 jc • Cos 32* )
❖ En los ejercicios 31 al 3 8 . hallar la derivada de las funciones implícitas dadas.
32. y Sen x = Cos(* + y)
31. *C os> ' - Sen(* + >')'
33. Sen (xy) + 3 * 2 + y 1 = Tg(x + y)
3S. y = Cos (V*2 + y 2 +1 xy | )
37. y
=
*2+ y 3 +
Cos (V
> 34. y = Cos (V*2 + ) • + ! * ! )
36. >■ == Sen [Cos(*2 + > 2)] + xy2
U -yl)
38. y = Cos (V* 2 + y 2 ) + |* y I
❖ En los ejercicios 39 al 5 4 , hallar las derivadas del orden indicado
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439
EJER C IC IO S . C ru p » 3 2 . D erivadas d v las fu n c io n e s in is iv n tk n te t
39. >’ =
Cos 3x
>fl - 3 x
...
40. y =
Cos 2x
S ecx
Sen 2x
C osecx
41. > = x 2 Sen 2 x , y <5ll>
42. y = S e n x Sen 2 x S e n 3 x
43. >' = (x2 + 1) S e n x , y <30)
44.
45. y = C os2x
46. y = S enV
47. y = Cos^x
,
>,tn)
,
y (n'
y=
( l - x z) C o s x
,
.
y ‘nl
,
y ín,
50. y = S e n a x C o sfc x
51. >■ -
,
52. y = x - C o s a x
53. y = x 2 S e n o x
55.
, y (n)
54.
y = x Sen a x
f(x)
Sea /(x ) = Sen 2x , hallar una expresión simplificada para
rivada de orden n de / ,y h a lla rx e { ü , n/ 2 ) en el cual
,
y(n)
, y ln)
J
56.
, y ln)
48. y = S e n a x S e n & x
, y (nI
y <B)
, >*,lm
y ín)
49. y = C o s a x C o s fe x
S en2a x C o s 6 x
’^
d o n d e /(n ) es la de«I
/(* )
/<">(*)
1
Calcular las derivadas laterales en x = 0 ,d e
X2 I
Cotg X
I +
/W = <
. 0
-~ ~ r
, X * 0
\x\
, x=0
57. Analizar la e x is te n c ia d e /’( l) d o n d e /( x ) = Sen [ ^ g(x)] y ,
U - [■* ] I
, si [ x ] es par
gW = •
Ix - [ x + 1] I , si [ x ] es impar
58. Probar por inducción matemática q u e :
(x 2 S en x ) = [x 2 - n(n - I)] Sen (x + -Ij-Jt) - 2 n x Cos (x + y rt)
59. Sean a ,b y c tres números reales y / una aplicación de IR entR , definida por
/(x ) = a Cos ( y x ) + b Sen ( y - * ) + c , V x e IR
a ) Dem ostrar por inducción que V n e Z+ , V x e [R
/ ,B,(JO = ( f ) n[ a C o s ( - 5 x +
n ) + fe S e n (^ x +
n )]
b) Se definim os V n e Z + , u (= ■ ^■ /(2nl(0)
i) Calcular u (
ii) M ostrar que la sucesión { u J . n e N e s una serie geométrica de razón - n 2/l6 .
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440
Capítulo 4: La derivada
iii)
60.
C a lc u la r, si existe , lim ( u . + u , + . . . + u ) . en función de a
X - » Oo
1
1
n
Hallar la derivada de orden n para la función :
n\
'
y
_______1
,
xv22 x+ xv - l io
2 +
1
_
Cosec jc
M
“)
_
C os3x
,
yJ — 1i -Sce„n jc + jc2 - 3 j c + 2
61. Si y = A S en (k jr) + B C o s (k jc ), donde A , B y k son constantes ; dem ostrar que :
y i M = ( . | ) " k !" ) ', V n e Z+
¿J
62. S i/( x ) = [ x * ^ ] Sen (* + l) + |jf + I |V2-\/|jc3 -jc2-jc + I I , hallar , si existe , / '( - l ) .
63. Si f ( x ) = [ *2 + 3 ] C o s ( |
jc2)
+ V U J - x 2 - Hx - 4 | • \ x + 2 | w . h a lla r, si existe .
/ ’<-2)x2
64. Dem ostrar que la función / definida por / ( x) = Sen x + — , x
e
[0 , + ~ ) posee inversa
8
/ * y hallar
65. S Í /( jc) = [ Sen (Sen (Sen (S en jc)))]s , h allar, sí existe , / ’(O)
66. Si /(jc) = a Sen 3 x +b Cos 3jc , hallar los valores de a y b tales que se cum pla la igualdad:
/ ” (*) + 4 / ’(*) + 3 /C 0 = I0 C o s 3 x .
67. Dada la función
/ ( jc)
í x 2 S e n (l/x 2) , jc^O
= s
[o
, s ix= 0
a) Es / derivable en jc = 0 ?
b) Si lo fuese , es / ’ continua en x = 0 ?
68. Sea f ( x) = Cos 2x + C o s2 ( y + jc) - Cos x • Cos ( y + r ) , x e (R , dem ostrar que / es
constante y hallar el valor de dicha constante.
69. Si /(jc) = ' a Cosnjr + b Sen njc , siendo a , b y n constantes , dem ostrar que :
/ ” ( * ) + n / ’(*) = 0
Co s 2 j t - l
70. Sea
síjc ^ O
JC
/ ( jc)
=
«
a
,
s íj c = 0
a) H a lla ra para q u e / s e a continua en todo IR
b) Hallar / ’(*) usando sólo la definición
c) H a lla r /’(0 ).
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441
Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes
❖ En el teorema siguiente se dan las derivadas de cada una de las seis funciones trigonométri­
cas inversas. donde se puede observar que estas son simples funciones algebraicas, y también
que las derivadas de arco Cosa- , are Cotg x y are Cosec a difieren solo en el signo de las de sus
respectivas cofunciones.
TEO R EM A 4.14 : Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Sea u una función derivable d e x ,en to n c e s.
1.
2.
dx
(are Sen u) ^ ~ = ~
V T -ií7
4.
dx
(are Cotg u)
*
-----i+ u 7
5. i
(arc,Sec i ) . = r r ü= = = dx
lu íV u 2 - 1
- 7- (are Cos u) = - ■. 11 dx
Vi - u2
6. - 7 - (arc Cosec x) = - ; ■■■- iL ;
dx
fu W
3- 4 ~ (are Tg u) =
dx
1 + ua
Demostración
1, En efecto , la función Seno inversa o arco Seno se define como
y = are Sen x e=> Sen y = x
(la )
donde a e [ - 1 ,1 ] e y e [-nt2 t Jt/2]
E ntonces, de (1 a) se infiere que
Sen (are Sen a
)
=
are Sen(Sen a ) =
, si a € [ - 1 , 1]
(Ib )
, si a € [-Jt/2 , ti/2]
(le)
a
a
Como la derivada de Sen x es positiva para a € (-Jt/2 , nJ2) , se
deduce que el are Sen a es derivable en x e ( - 1 , I) , (Teorema
4.11). Entonces , se puede derivar ambos miembros de la ecua­
ción ( la ) escribiéndola de la form a Sen y = a , donde y = are
Sen a . Esto es :
1
Cos y
y como Cos y > 0 ,V y e {- ti/2 , jt/2) , se sigue que
Cos y = Vi - S en2y
«=> -7 ^
dx
/.
=
,
^
—
Vi - Sen2y
4 ~ (are Sen a)
dx
Vi
=r 1 .
-
a
(Id )
2
Cuando se com bina este resultado con la regla de la cadera se obtiene
4 ~ (are Sen u) =
—
, u e ( - 1 , 1)
dx
Vi - u 2
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(le)
Capítulo 4: La derivada
442
donde u’ = ~
dx
2.
La función coseno inverso es decreciente y se define mediante la re g la :
y = are Cos x $=> C os y = x
(2a) f
I
d o n d e x g [ - 1 ,1 ] e y e [ 0 , Ti]
Los cálculos para determinar D ^ a rc Cos x ) , son semejantes a í
los D x(arc Sen x ) , esto es . s i : Cos y = x
« - S e n ,( £ ) = . «
y = are Cos x i
Sen y
dx
y com o Sen y = Vi - C os2y = Vi - x 2
^ fx
(a r c C o s X Í =
'
1
’ Jfe
^
(2 b í
F I G U R A 4 .7 : , * » r C o f i
y si u designa una función d ex d iferen ciab le en (-1 , 1) , por la regla de cadena se obtiene :
- j - (a re C o s u ) = - - = = , u e <-1 , l ) , u ’ =
dx
VÑÜ2
dx
3.
(2c)
La función tangente inversa es creciente y se define como :
y = a rc T g x <=> T g y = x
(3a)
donde x e IR e y e { -n /2, n/2)
Entonces de la fórm ula (3a) se infiere que
T g (arcT g x ) = x , s i x e IR
(3b)
are Tg (Tg x) = x , si e {-n /2 , n /2)
(3c)
-> x
Como laderivada de Tgx es positiva V x e {-n/2 , n /2 ),
se deduce por el Teorema 4 .1 1 que are Tg x es derivable
para to d a x . Entonces derivando ambos miembros d e la
identidad (3 a ), se tie n e :
(Sec2y ) - ±
= 1 ^
- 1 -=
-^-L -
=
(a rc T g x ) =
1 + j g^,
, x e IR
1
1 +x
y si u es una función derivable d e x , entonces por la regla de la cadena
..
~
fO
_
du
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(3d)
Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes
443
4, La definición de la función cotangente inversa es simi- f
l a r , excepto que su rango está restringido al intervalo 1
{0, n ) en donde es una función decreciente que alcanza
todo valor re a l. L uego, la función cotangente inversa se
define c o m o :
y = are Cotg x c=> Cotg y = x
(4a)
donde x e (R e y e ( 0 , 7t)
La diferenciación de la identidad (4a) conduce a :
F IG U R A 4.9 : y are Coif; x
-C o se c * W ^ ) = l ~
\ dx I
£ =
dx
. — 1 -5 C osec2}-
— (are Cotg x) = - r
dx
l+x-
1
I + C otg2}’
, JC 6
ÍR
(4b)
Si u es una función derivable de x , la regla de la cadena da
-j j
5.
(are Cotg u) = - -¡
1
du
dx
Y >u e R ’ u’ =
(4c)
L a función secante inversa o arco secante es una función creciente en todo su dominio y se
define como
} = are Sec jc <=> Sec y =
x
(Sa)
Y t V
donde Ixl > I e y e [0 , Jt] - {n/ 2 }
TI
Se define de la identidad (Sa) que
+
U2
Sec(arc Sec x) = x , si Ix I > 1
(5b)
are SecfSec x) = x , si x € [ 0 , rc] - {n/2}
7172
(5c)
Ahora si derivamos ambos miembros de (5a) obtenem os:
•1
( S e c y T g ,) £
= 1«
£
=
1
Sec>, T g,
rr,
*
O
/
X
.
F IG U R A 4.10 : >' = are Sec x
C o m o T g y ± V Sec2y - 1 = ± V x 2 - I «=> — = ------ 1
dx
± x Vx2 - 1
Pura elegir el signo co rrecto , observe la Figura 4.10
Cuando x > I
y e [0 , nJ2) y Tg y > 0 , por eso se escoge el signo +
Cuando x < 1 «=> y
En coasecuencia:
e
(ít/2] y Tg y < 0 , por eso se elige el signo - y - (are S ecx ) = ■—
d xy
|x |V x * n
, Ix l > I
(5d)
Si u es una función derivable d ex co n valores que exceden a uno en m agnitud. y por la regla
de la c a d e n a , ten em o s:
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Capítulo 4: La derivada
444
6.
La función cosecante inversa o arcocosecante es decreciente en todo su dominio y se define
com o:
Y.> *
y = are C ose c <=> Cosec y = x
(6a)
n ¡2
donde U l > ! e y e [-n/2 , n! 2 ] - {0}
AI derivar am bos extremos de (6a) obtenemos
_
dv
_
(- Cosecy ■--- Cotgy) dx
=
!
dv
- =
dx
«
i
I
- - ------- — —
Coscc y ■Cotg y
>K
-m i
Com o C otg y = ± Cosec2y - 1 = ± Vx 1 - l
J
F I G U R A 4.11 : y = u n C o s e c x
>=í>
dx
(are Cosec a
)
=
------ }
-
±
a
V
^ H
a
I
,
-
Ul í
íU I > i
(6b)
Si u es una función derivable e n * con valores que exceden a uno en m agnitud, y por la regla
de la cadena se sigue que
~
(are Cosec u) = -— ^
dx
lu lV ü 7^ !
, Iu I > l
(6c)
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
[ EJEMPLO 1 ]
Solución
Hallar la derivada de la función / ( a
)
= are Sen ( y ^ ^ r )
H aciendo de la fórm ula ( l) del Teorema 4 .14 se tie n e :
r
i
f'(x) =
___l
+
V ( | +
a
a
___________ r
2
2) 3 - ( 1 -
a
2) 2
-4 a
(1
+
a
i
_
2) 3
Ul
< I +
<=> f ' ( x ) = <
a
2)
1
I +x2
2
1+x2
,
s i A' >
,
si
i
L " i + * 3 -i
0
x <0
Teniendo en cuenta la definición de la función sig n o , podem os escribir
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Ax
f
V 4 7 1
2
2x
-i
( i + * 3 ) ( - 2 * ) - ( i - A - 2) ( 2 * )
Sección 4.12 : Derivadas de ¡as funciones trascendentes
Derivar la función y = arc Cos (
E JE M P L O 2 j
Solución
445
+
Por la fórmula (2) del Teorema 4.14 se tie n e :
dy_ _
dx
~ ’ V
=
r (*2a + \ ) ( 2 n x 2a-,) - ( x lD- I) (2 n * 2 n l)
________ i
'- i ^ r r F
(x2" + l ) :
_________ * 2n+ l
V(*3n + l) 3 - ( * 3n- l ) 2
f 4 n * 2"~l 1
L (*2n + I ) 1 J
_
1
'
I
r 4 n * 3" ‘ 1
V 4*3"
L * 2n + I J
2 n * 2n 1
l * f ( * 3n + I)
2 n I jct 2"
= _ 2 n | * |"
’ x \ x \ n(x2° + \ )
" * (* 2n + l)
EJEMPLO 3 I Hallar la derivada de >• = arcT g ( ^
\
J
Solución
d y
dx
_
~
)
Sen* \
a + b Cos x i
Haciendo uso de la fórmula (3) del Teorema 4 .14 se tie n e :
|
(a 2 - b 2) Sen2*
+ ( b + a Cos a)3
r\a --b z
<■
_ _______ ( b + a Cos x f _________
( b + a C o s a ) 3 + ( a 2 - b 7) S en3*
_
V a 2 - fe2
(a + b
6 2 + 2 a ¿ C o s a + a 2 C o s 2a
Ve2 - b 2 (a + b Cos *)
a 2 + l a b C o sx + b 2 (1 - Sen2* )
(- a
Sen * )
J -i
J
V a3 - ¿ 2 [a (C o s 2* + S en3* ) +b C os *]
(¿+ aC o s* )3
J
r
L
Cos a )
Sen2*
+ a 2
a Cos a ) Cos x - Sen x
(fc + a C o s* )3
[ (b +
- b 2
-i
Sen2*
Va2 ~ b 2 (a + b Cos a)
a 2 + 2oé Cos x + b 2 C os3*
. y* =
'
EJEMPLO 4 )
Demostración
a + b C o s*
Si / ( * ) = Sen (k are S e n * ) , donde k es una constante en IR dem ostr a r q u e : ( a 2 - l ) / " ( * ) + * f ( * ) - k 3/( * ) = 0
En e fe c to , hallando la prim era derivada de / se tiene
/ ’(*) = k Cos(k arc Sen *) * ~
= k Cos (k are Sen a) (
(are Sen*)
_L_ ]
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446
Capítulo 4: La derivada
d e d o n d e : Vi - x 2 f ' ( x ) = k Cos (k are Sen x)
Derivando nuevamente esta ecuación obtenemos
Vi
-X 2
/ ” (x) + f ' ( x ) ( . *
) = - k 2 Sen (k are Sen x) ( , 1 , )
' Vi - x 2 '
' V i-x 2 ‘
■=> 0 - x 2) f " ( x ) - x f \ x ) = - k 2 S e n (k arcS en x )
«=> d - ^ r w
- íf w
= -k
Finalm ente, m ultiplicando por (-1) nos q u e d a :
(*a - i ) r w + * / ’( * ) - k * / w = o
Probar que la función / ( x ) = 2 are T gx + are Sen ^
te cuando a: > 1.
( E JE M P L O 5 )
D em ostración
2x
} es constan-
Probaremos que si / ’(x) = 0 ■=> /(x ) = k , cuando x > 1 .
En e fe c to , haciendo uso de las fórm ulas (3) y (1) del teorem a 4.14 se tie n e :
,,, .
2
.
I
r (I + x 2) (2) - 2x (2 x ) -i
,+*! V'-(t&)’
2
l+ x 2
_
.
,
l+ x 2
rr 2 -2 x 2 i
______________
(1 + x 2)2
V(l + x 2)2 - 4 x 2
r 20 - x 2) 1 _
2
1
l+ x 2
V(I - x 2) 2
Pero si x > I
( , + " )2
I + x2
^
^ U - x 2) {
2
1+*2
í l - x 2l
l+x
x2> 1 e=> I - x 2 < 0 t=> 11 - x 2 1 = - ( I - x 1)
L u e g o ,e „ ( ,) : r W =
- ■ ^ ( T^ ? ) = 0
Por lo tanto , si f ( x ) = 0 e=> f ( x ) = k , es constante c u a n d o x > I
E JE M P L O 6 ]
U sar la derivada para probar que :
{
ti/2 , s ¡ x > 0
- it/2 , si x < 0
D emostración
En efecto , sea función :
/(x ) = a rc T g x + a rc T g (l/x ) , x?*0
f{ )
= __ !__ + _____ 1—
( . _L) l+x2
I + (l/x )2 *
X2 /
— 1—
l+x2
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!— = o
l+x2
í
)
cu
447
E JER C IC IO S . G rupo 3 3 : D erívtuius d e los fu n c io n e s trigonom étricas inversas
[ /( x ) ,= k , , si x > 0
L u eg o , s i / ’(•*) = O .V x e IR -{0 } => <
1 / ( jc) = k 2 , s i x c O
Por t a n t o , / e s una función constante V x e IR- {0} , entonces dando valores a x que cumplan
las condiciones establecidas obtendremos lo siguiente
s¡ * = i>o « m = f + f = f
* =- 1<o « / « = - f - f = - f
f Jt/2 , si x > 0
En consecuencia: are Tg jc + are T g( l/x) = <j
[ - i ü l , si jc < 0
m
( EJEMPLO 7 )
J
Solución
J respecto de are Tg |^x
Hallar la derivada de are Sen
Sean : y = are
r- x
Sen
f
' V TTx2 '
Por la regla de la cadena:
du
)
,
*U + 3 x i
= í — ) f— )
' d x • \ ciu /
u= are Tg f
(1)
Dado que are Sen ( . x
' Vi +
x 2
d}L =
I
dx
l \ 1 X’ 3 '
r (1 + 3 x ) (1) - (x - 3) (3) -■ =
(l+ 3 x )z
r
10
i
(1 + 3 x ) 2
-I
( l+ 3 x ) 2+ (x -3 )2 L (l+ 3 x )2 J
) = arcT g jc «=>
'
Simplificando obtenem os:
= j ~+ j c*
—
dx
■=? ~
= (are T g x )’
= 1 + x2
=
, *,
1 + x*
(2)
(3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1) se sigue q u e :
dy
dx
\ I
+jc2
i K
E J E R C IC IO S . Grupo
33
En los ejercicios 1 al 48 , hallar la derivada de la función simplificando tanto com o sea
posible la respuesta
1. y = c 2 are Sen(x/a) - x V a2 - x 2
2. y = arcCotg(2/x) + arcT g (2 x )
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.x :3
Capítulo 4: La derivada
448
3.
y = a are Sen(x/a) + V e2 - x 2
4. y = are C os(Senx)
5.
y = are Tg | \ + a x ) , a > ®
6 . y = 4 Sen ( )
7.
y = x + V 1 - x 2 a re C o s x
8- y = are Sen (Sen x - Cos jc )
9.
v = are C os f
) + V 2x - x 2
' I +x2 /
11.
y = areC o tg f
j
' S e n x - C o sx /
13.
>• =
15.
y = are Cotg ( '^ y ~ ^'*=T ) ■ a > ^
ax -x
17.
- are Cotg
+ x V4 - x 2
10. y = x a rc Sen \ f , x
+ are Tg >/x - Vx
Vl+jr
e
12 , y = a rc T g x +
3
are x i
14. ,■ = a rc T g ( | + y*
y = are Cos (S enx2 - C o sx 2)
tJ
16. y = are Tg (x + V 1 + x ! )
18. y =
~*2 are T g ( - p ^ ~ )
l+x2
V2
19. y = are S en(S enx2) + areC o s (C o sx 2)
20. y = a rc T g ( _
— )
' 3 + 5 C os x •
21.
y = ■
— are Tg ( ^ Tg •— )
22. y = V F ^ 4 - 2 are Tg ( 1
23.
y = areC o s ( Á ± ^ x )
\ a + b Cos x /
24. y = are Sen ( f ± Í g o s £ )
\ b + a Cos x /
25.
y = x S e n 2 x + -^-Vl - 4 x 2
26. y = are Sec (
)
)
-C o s x
27-
>■■ arcT” ( x r f ü s i )
■2
are Tg ( *a x + b )
V4ac - b 2
v M ac-b7 1
28- >' =
30. y =
V ü Cosx
29.
y =
31.
y = a rc T g (x y ) = areC o tg (x + y)
32. are Cos (x y ) = a rc S e n (x + y)
33.
3 a rc T g (x + y) = a r c T g x + a re T g y
34. x y = are Cotg (x /y )
35.
Vx2 + y 2 = c are Tg (y /x )
36. are Sec (xy) = x y 2 + are Tg (x/y)
37.
y = are Cosec (Vxy + S e n y )
38. x y = arcT g (x/y)
39- > = ( vA
t
x2
) arcTg( V f t i T g f ) •“
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- i are Cosec ( - )
a
\a I
449
G rupo 3 3 : Drrivailirs tle los J'tuuinncs iri)itm o m t:riiM im v r x tu
EJER C IC IO S
40.
y = ^ V a2 - x 2 +
41.
y = jc (are Sen x)2 + 2 V l - j c 2 a r c S e n x - 2 x
42. y = ( ^ )
are Sen (
J , a>0
V i - 2 x - x 2 + 2 are Sen ( • ^ í )
43. y = are Tg (
_ are Cotg (
3 f e 1* )
v 4 + 5 Cos x l
\ 4 + 5 Cos jc /
& a + 2 x )V a x - x 2 y a > 0
44.
y = 3 a 2 a rc T g
45.
y = Sen [are Sen (Sen (are S e n x 2))]
46. y = are Sen
ai
v -
'+x 2 ) + are Cos
I
r
a S enx
a 2 + 6 2 l-a + 6 C o s x
b
V a2 - b 3
)
T „ / Va2 - b 1 S e n x \ 1
' b + a C o s x / -I
,0
2
/ 4 + 5 Tg (x /2 ) \
^
/ 4 + 5 T g ( x /2 ) \
48. y = - are Tg ( --------- 1 -------- j - are Cotg ( ---------- ^ ------ J
❖ En los ejercicios 49 al 5 4 , hallar la derivada del orden que se indica
49.
y = are Tg ( °+ * x ) . y”
50. y = x + a r c T g y
51.
y = ( a 7 + x 2) are Tg ( - £ ) , y ” ’
52. y = a rc T g ( ^ 2 ^ 2 ) ’ y "
53.
y = are Tg (n Tg x) . y "
54. y = (x + a ) are Tg (Vx/a ) - V ax . y "
, y"
❖ En los ejercicios 55 al 58 , hallar el valor de la derivada de la función dada . en el punto
indicado.
55. /(x ) =
+ ( y ~ r + are Tg x ) are Tg x , en x = I
56. Vx3 + y 2 = 2 are Tg ( ~ ) , en (-3 ,4 )
57.
f ( x ) = x are Cosec ( y ) + Vi - x 2 , e n x = 1/2
58.
/( x ) = x a r c C o s 2 x - ( y ) V l - 4 x 2 . e n x * - 1/2
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Capítulo 4: La derivada
450
59.
S ean u y v la s fu n c io n e s d e riv a b le s re sp e c to a x . D e m o stra r q u e la d e riv a d a d e
y = are T g ( u / v ) , v * 0 , co n re sp e c to a j c , es
D xy =
v . D xu - u . D*v
+
V"
60. D em ostrar que las funciones siguientes son constantes y hallar en cada caso , el valor de
dicha co n stan te.
a) /(* ) = 2 are T g (
) +^
Sen ( 2x - 1)
b) / ( j :) = a rc T g ( ^ ~ p ) + a rc S e n ( ^ - y )
c) m
= a rc C c s (
) -Z a rc T g
Tg f )
61. S e a ^ a r c T g f ^ ^ i J - a r c T g l - Í ^ ^ J . d o n d e l a l í l . l A r l í t ó
Probar que y = x + k , donde k es una constante r e a l. Hallar e! valor de
k.
(S ugerencia: H acer f ( x ) = y - x , luego probar q u e / ’(•*) = 0 ■=> /(* ) = k)
62. Si y = Cos (m are Sen * ) , dem ostrar que
(I - x 2) y ” - x y ' + m2y = 0
63. Si y = Cos (m are Sen x ) , dem ostrar que
(1 -jc2) y ,,l +21- ( 2 n + l)jr>'ln + l ,+ (m 2 - n :!) y (nl = 0
64. Si y = flarcT g (jf/í2),d e m o stra rq u e
d"y
— —dx"
a ( n - l ) ( - 1)" - 1 c
^ a \
— . . ,
- — Sen I n are Tg —
V(ü + jc )"
'
x >
65. Sea / : IR - » IR una función definida por
m
= j r f } + 2 a rc T g
) , JTE R - {-1}
P (.*)
Dem ostrar que / ln ‘ u(jr) = — f 1——— , n > 1 , siendo P n(.x) un polinom io de grado n .
(Sugerencia: U sar inducción matemática)
66. Si -^ = are Tg
67. D em ostrar que y =
.p ro b a rq u e : y’” = - | Cos
£U“C
^
Spn
+ j i ) C os3 ( - £ )
jc
^ - .satisface la ecuación diferencial
( I - x 2) y ' - x y - 1 = 0
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Sección 4.12: Derivadas de la funciones Irascentí' rites
451
T E O R E M A 4 .1 5 s D e riv a c ió n d e la s fu n c io n e s la g a rítm ic a s
Si u es una tunción d e x . derivable en todo su d om inio, entonces *
i) - j L (L n x) =
, Vjt > 0
»> ^ í L n u > = ( í )
Ti
■ Vu>0
Demostración
i) E fectuarem os la dem ostración siguiendo la regla de los cuatro pasos . En efecto , sea
f ( x ) = L n x , entonces
1. f ( x + h) = Ln Or + h)
2. f ( x + h ) - f ( x ) ~ LnfJC + h ) - L n j r = L n
- R . S £ Ít
Por lo q u e :
M
f'{x)=
y por la definición del
- «? .
)
(L-2)
M
r
/
h \ x,h i Ift
Ln
lim
(1 +
L h -»o ' x /
J
^
( ' ^ f ]
—
)(Potencia de una potencia)
número e
/'(jc) = L n [e ]*" = ^ L n e = ¿ , V jc> 0
ii) A h o ra ,s i y - L n u ,d o n d e u = g(.x), entonces por ( i ) ,
la regla de la cadena,
l
= — que al com binar con
= (■— J ( — ■J obtenemos :
T
N o ta
dy
I \ du
( L n u >= ( i ) T -
Vu>0
A l n o estar d e fin id o el lo g a ritm o natural para núm ero s negativos , es frecuente e n contrar
expresiones de la fo rm a L n 1u I . E l teorem a que sigue nos d ice q u e po d em o s d e riv a r fu n c io ­
nes de la fo rm a y ~ L n | u I c o m o si las barras d e v a lo r absoluto n o estuvieran presente .
T E O R E M A 4 .1 6
Si u es una función derivable d e x tal que u
0 , entonces
o'u
da
dx
' u / dx
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■ f ( L„|d |) = ( i )
Capítulo 4: La derivada
452
D em ostración
En e fe c to :
1. S i u > 0 «=> I u l = u , y por el Teorem a 4.15 :
¿
(Ln l u í ) = £ ( L „ U) = ( ± ) £
2. Si u < 0 «=> I u | = - u , entonces
£ ( Lnl«l,= ¿ [ L „ M
] = ( - i ) ( . ^ ) = ( ± ) ^ .
T E O R E M A 4 .1 7 : D e riv a d a d e un a fu n c ió n lo g a ritm o d e b a s e b
Si u es una función derivable de x , en todo su d o m in io , y si y - L ogbu . entonces :
i. £ a p g bu , = (L ogbe) ( ¿ ) £
2. A . (U ,Bbu ) = (
o tam b ién :
D em ostración
(}) M
En e fe c to , haciendo uso de la propiedad :
L ogbN = (L ogba ) ( L o g flN )
podemos e sc rib ir: y = L o g bu = (L ogbe ) (Logeu )
(Logeu = L n u )
E ntonces, por el Teorema 4 . 15 se sigue que
'■ ^
(L o«b“ ) = (L ogbe ) ( i )
^
y como (L o g be ) (L n b ) = I *=> L o g he =
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
¡! e j e m p l c T P J
S o lu c ió n
H allar la derivada de
D a d o q u e :y = - j [ L n (* - I)2 - L n ( * 2 + x + 1)]
(L.2)
Ln(jc2 + x + 1)
(L.3)
= ^ L n ( x - 1 )-
E ntonces, haciendo uso del Teorem a 4.15 se tie n e :
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453
Sección 4. ¡2 : Derivadas de ¡as funciones trascendentes
“
2 (x 2 + x + 1) - ( jc - I) (2 x + 1 )
3(jc- l ) ( .t 3 +jc + I)
“
3(jr + I)
3 U 1 - I)
x+ l
N o ta
A segúrese siem pre de a p lica r las propiedades de los lo ga ritm o s correspondientes antes de
efectuar la d e riv a c ió n . (R e v is e el c a p ítu lo 2 . sección 2 .1 3 )
E JE M P L O 2 )
k-----------------------*
Solución
D erivar. y = 4 Ln ( , Jr+ 1 ) +
are Tg (
3
W AJ - r + 1 '
43
)
43
1
Aplicando las propiedades L.2 y L.5 , se tiene :
y -
L n(jc2 - x + l) + -^L arc T g (
^ L n ( x + I) -
J
ra, efectuando la den vación obtenemos
r=
3 (7 b ) ' 6 (
l
3 ( jr + l)
+ 1) (2x ' 0 + w
2x - I
6(xl - x + \ )
2 (.r2 ~ x + ! ) - ( * + 1> ( 2 jc
6 ( j c + l)(je2 - jr + I)
3 [ 3 + ( 2 j c - l ) 2]
- I)
|
2 (r-x + i)
y' =
( E JE M P L O 3 ]
D erivar la función ; y =
y =
( 1 - jc) + (jc + I )
2 ( x+ I) {xl - x + I)
I
x3+ I
Por lo tan to ;
Solución
( | + [(2x - IVNÍ3 F H w )
Sen x Sec:x -
*—
L n VTg (íi/4 - x/2)
L n T g (7 i/4 , xíT)
(L.5)
Derivando se tie n e :
y ' =
1
•- S e n .r (2 S e cjr ■ S c c .v T g jr ) +
4
L
S cc3jt • C o s .v * ---------2Tg
Sec a: Sec2* ( | ^ ) + \ S ec.«+ ---------¡------------r ------- ;------------r
\C osx)
2
4Sen( ^ „ i ) Cos( E . | )
Sen2* Sec3* + 4 S e c * + ---------^ --------2
2 Sen ( ^ " JC)
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ÍSen
V
- x ) = C o s* )
1
Capítulo 4: La derivada
454
= (1 - C os2* ) Sec3* + j Sec * + -^ Sec *
= Sec3* - C o s2* S ec3* + S e c * = Sec3* - S ec* + S ec*
.\ y ' = S ec3*
E JE M P L O 4 )
J
\
D erivar: y = Ll1 ( ¿
7
\
()< )f l | < |fr|
y = Ln(fe + a C o s* +Vfc2 - a 2 S e n * ) - L n ( a + fcC os*)
Derivando se tie n e :
Solución
y ' = --------------------^
b + a C os* + Vfe2 - a 2 Sen*
_
« C os* + Vfe2 - a 2 Sen * \
a + fc C o s*
/
- a Sen* + Vfe2 - a 2 C os*
b + a C o s* + Vfc2 - a 2 Sen*
( - a S e n * + Vfe2- a 2C o s * ) -------------a + fcCos*
(L.2)
(-fcS en * )
b Sen*
a + b C os*
_ (a + b C o s* ) (Vfe2 - f l 2 C os* - a S en * ) + b Sen* (b + a C os* + Vfe2 - o 2 Sen*)
(a + b C o s* ) (6 + a C os* + Vfe2 - a 2 S en*)
Simplificando térm inos en el numerador se tie n e :
, _ fe Vfe2 - a 2 (S en2* + C o s2* ) + a Vfc2 - a 2 C os* + (fe2 - a 1) Sen*
(a + fe C o s* ) (fe + a C o s* + Vfe2 - a 2 Sen*)
^
Vfe2 - a 2 (b + a C os* + Vfc2 - a 2 S en*)
_
(a + fe C os*) (6 + a C os* + Vfe2 - a 2 S en * )
fl EJEM P LO 5 )
Vfe2 - a 2
c + fe Cos*
D erivar: y = (a rc C o s* )2 [ L n 2(a rc C o s* ) - L n (a rc C o s * ) + 1/2]
Introduciendo la variable interm edia u = are Cos * , se tiene :
y ss u 2 (L n 2u - L n u + 1/2)
^
7x
= “ 2 [ ( 2 L n u ) "u - u~ ] + 2 u ( L n 2u - L n u + 1/2)
= u ( 2 L n u - l ) + u ( 2 L n 2u - 2 L m u + 1) = 2 u L n 2u
Si u = are Cos * <=>
dx
^
V i-* 2
L u e g o , por la regla de la c a d e n a : (
\ dx t
)
' r/u / ' d x f
^
dy
/o i 2 \ t
-I
)
i=> — = (2 u L n ¿u ) I ■
I
dx
v
^ v r r ? '
2 (are Cos *) L n 2(arc Cos *)
--------------------¡-------------v ñ ñ
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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes
EJEMPLO 6 J
Solución
455
Si y = Ln (ia x + b) , hallar y ,ní
Las derivadas sucesivas de la función dada son
=
j
=
= - a ( a x + b ) 2 (a) = - a - ( a x + b ) 2
y ”’ = 2 a 2 ( a x + by *( a) = 2 a * ( a x + b ) '3
y « j _ _ 2.3
( ax + 6) '4( a ) = - 2 .3 a * (a x + b y 4
Analizando cada una de las derivadas sucesivas podemos establecerla siguiente fórmula para
>,in' , esto es
yir,} _ (_i)« + i(n . |) Ja " (ax + b y n
■
Nota
Hay ocasiones en que es conveniente usar logaritmos como ayuda para la derivación de
funciones no logarítmicas . Este procedimiento es un tipo especial de derivaciónimplícita
llamado derivación logarítmica, y se emplea para derivar una función cuyologaritmo es más sencillo
que la propia función. Ilustraremos su empleo con los ejemplos siguientes.
í EJEMPLO 7 }
v
*
Solución
Derivar la función: f ( x ) = (* + 2 H 2* - l
V 3 * -2
Empezamos tomando logaritmo natural en ambos lados de la ecuación y aplicando
propiedades logarítmicas nos lleva a :
Ln f ( x ) = 2 L n ( j r + 2 ) + ^ L n ( 2 * - 3 ) - ^ L n ( 3 j t - 2 )
A h o ra, derivamos la ecuación im plícitam ente, estoes
/ ’(*) « _ L2 _ +. I /
2 \
f(x)
jt
jr + 2
2 \ 2 xx - 33 l1
2 .+
±1 f/ _3 3_ )\ „ _ 2_
3 \ \33 xx -- 22 ¡l
x+2
1
2x-3
I
3 * -2
De aquí despejamos f ' ( x ) y obtenemos
_ f(x) I _ 2 _ + __ !_______ ! _ ) = (x + 2 )= V 2 7 T 3 i _ 2 _ ____
n ) \x+ 2
2x-3
3x-2 I
y [J 7 T 2
'x +2
!______ !___)
2v-3
3.v - 2 )
Finalmente simplificando q u e d a :
f ' j x ) = (* + 2) ( 7 * ;- 3 ! * + 22) , V j > 3/2
V 2 * - 3 Sí(3x - 2 ) 4
Se invita al lector calcular directamente f ' ( x ) para que comprenda la ventaja de la derivación
logarítmica.
EJEMPLO 8 ]
*
Derivar la función: f ( x ) = ( —
i
) e**7**
J
v 2 > íT T P ;
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Capítulo 4: La íterivailu
456
Solución
Aplicando logaritmo natural en am bos lados de la función , se tiene
L n /( x ) = L n ( x - 1 ) - L n 2 - ^ L n ( l + x 2) + a rc T g x
•
f w
-
ftx)
1 - o - i ( T 2 ¿ - ) + T - L- ; =
2 ' I +x - 1
I + jr-
(.X -
X-\
l ) ( l + X 2)
Tg*
-
fW
l )U
( l + ,x. 2)
■ (Ux --O
) «*> ■ t r - o u ^ x » ) ( ^ f c )
g «reTgx
K x) =
V ( l + X 2) 3
E JE R C IC IO S
. G ru p o
34
❖ En los ejercicios I al 4 0 , hallar la derivada de las funciones dadas expresando el resultado
en la forma más simple
1.
y = Ln (L n (Ln x))
I
*
5.
T
/ jcV 3-V 2 \
y =
7. , .
2' y
4.
4(1 + x<) + 4 L n ( I + x 4 )
>• = x L n (x + NÍI +x - ) - Vi +X1
^ - L n d +jT T S í)
( ^ ) V
T
7
+ 3 L„ ( 1 ± 4 ^ )
9. )’ = L n Tg(x/2 + it/4)
a
10.
, = l„ ( V / Ü H )
, = - J ^ 4 - + Ln N ' t C o S X )
2 S e n 2x
V ’ Senx I
11.
y - (L n 3x + 3 L n 2x + 6 L n x + 6 )
13.
y = j ( l - Í Í T + ? )2+ 3 L n (I + ^ T T 7 2 ) 14. y = x [Sen (Ln x) - C os (Ln x)]
12. >’ = L n
15. > = L n (T g ^ ) - C o s x - L n ( T g x )
16.
y
17. y = are T g V F o
18.
yss
■vx2 - I
« . y . - L u ,
V3
’ T g x /2 + 2 + V3 2
20. y *
=
+ L n ( -j + L n
J]
Ln ( .x + a ) + £ arcT g ( £ )
'V T + ó 2 '
b
c \b l
are Sen jt + l L n ( J _ ^ )
2
\i+*¿
are C o s x
*
A J_ f n ( I - Vi - x 2 \
2
n ' I + -J T 7 ¿ '
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
457
E JE R C IO O S . G rupo 3 4 ■D trivu c itm d e U¿%fu n c io n e* lugtiritm tiw .
21 . >
22. y = x L n z (x + Vi + jc- ) - 2 V I + x
L n ( jc + V l + x 2 ) + 2x
!
23. y = Ln (l + Sen2x ) - 2 Senx - a rc T g (Senx)
24. y
25. y
26. y
27. y
= T I l"(p ^
( #
7
= L" ( v n C T ) +V5arcTg^
)
1
28. y
29. y
,
/
) - I W
>fl + X 4 + X
r j,
I
)
í nTT+X3 \
= 4 Ln( ? r r r 7 ) - í “
l l g( — i7 - )
= V T ^ L n V l ! ^ | Ln (
l'J ^ -2
30. y = x a r o T g x «
3 1 .
\
^
y
32. y
33. y =
) + aJTT7 + areSen x
L n (I + x 2) - ^ (a rc T g x )2
2
2
» _ V x + 2 - x V3 . I ___-r V x + 2
Ln —= = =
=- + — are T s
4 V3
V T T 2 + xV 3
2
B
X
I
1 K
2 V2
T
g j £ - - L u
Vi + x4
4 V2
Vi + x 4 + xV 2
■§ (2 x 2 + 5) Vx2 + I + I L n (x + Vx2^ 1 )
O•
O
+ 2 a rc T g
34. y = L n
V TT 7 + V TTx
v
35. y
[
-
T
1 +■*
^
J
-
T
36. y = L n T g (x /2 )-C o tg x * L n (l + S e n x ) - x
37. y = Ln —-
i-V sií^
+ 2 are Tg (V S e n x )
6
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
g (
^
]
Capítulo 4: La derivada
458
38.
y = -?■ L n
J
2
39. j.=
*
40.
+ ~
2a
Ln
' x +a '
jU L
+ JLLn(l±2£±á¿)+ Ü
J-
I+ 8 * 3
12
\ l - i c + 4*2 /
a rr
6
To I
6\
Í
V3
VI
'
y = * L n ( a 2 + * 2) - 2 * + 2 a arcT g(*/a)
❖ En ios ejercicios 41 al 5 1 , calcular y’ usando la derivación logarítmica
4 1
v
=
C * * 1?
42.
v
=
(x + 2 Y (* + 3)4
^ 3 ^
45. U + V T T 7 ) "
4/* V ™
2
(V * +
46. „ =
1) ( $ 3 x + 2 )
„0
4o*
V
(jc+ 1 )3 .^ 2
“
g,.
(x 2 + l )5/2
«*’ - V
t
ü
s° > =
h
(tre rif)4
51. y = { r - a . r ' í x - f l / » .... (J c -a .)° 52. H allar la derivada de las funciones siguientes introduciendo una variable interm edia ade­
cuada.
a) y = L n (C os2* + Vi + C o s4* )
b) y = 4- are Tg (V T T *4 )
4
(Sug. H acer u = C o s1*)
+ 1 L n ^,l 4 , -*a + 1
4
V l+ * 4- l
(S u g .H ace ru = 4V T + 77 )
53. Empleando la fórm ula de L eib n iz, hallar y ín), si y = * 3 L n *
54. Hallar / tB,( 0 ) , si /( * ) = L n ( - ^ - j - )
55. Sea /( * ) una función que admite derivadas hasta el tercer o rd e n .
H allar y ” e y’” , si y = /( L n * ) .
56. H allar y’ e y ” , si y 2 + 2 L n y = x*
57. Comprobar que la función y = * " [c, C os(L n.r) + c, Sen(L n*)] dondec, y c, son constan­
tes arbitrarías y n es una constante, satisface la ecuación :
* 2 y ” + (I - 2 n ) * y ’ + ( I + n 2)y = 0.
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459
Sección 4.12 : Derivadas de tas funciones trascendentes
T E O R E M A 4 .1 8 : D e riv a c ió n d e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l
Sea a un número real positivo (a * I ) . y sea u una función d e * derivable en todo su
dom inio, en to n ces:
i)
~
(a^) = (L n a ) ¿i*
■Demostración
i) Si y = a r , aplicando logaritmo natural en am bos extremos obtenemos
L n y = *(L ntz)
y por derivación implícita :
-y - = Ln a i=> y ' = (L n a )y
- f (O
= (L n a )a '
ii) A nálogam ente, si y = a ti »=> L n y = u L n a , y derivando respecto de u
(1 )-^
Por la regla de la c a d e n a :
dx
= Lna °
^
= (L " a )>-
)
t du < ' d x >
T E O R E M A 4 .1 9 : D e riv a d a d e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l n a tu ra l
Si u es una función d e * derivable en todo su dom inio entonces
o
-t
(o =
¡o
)
Demostración
i) Sean g(x) - e* y f ( x ) = L n * . Como / y g son funciones inversas , entonces :
( 0
^
P e ro , / ’(*) = j
Por ta n to , en ( I) :
[g(J:)l = T T g W
= jb ñ
*=> f ( e x) = — ■
(ex) - e*
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Capítulo 4: Lu derivada
460
ü) A nálogam ente, si y = g(u) = e u y /( u ) = L n u .entonces
1
O BSERV A CIO N ES
1. U na de las características más intrigantes de la función exponencial natural es que es su
propia derivada . Es d e c ir, es solución de la ecuación diferencial y ' = >'
2. Podemos interpretar geométricamente el Teorema 4.19 diciendo que la pendiente de la gráfi­
ca d e /(jt) = e ' en cualquier punto ( jc ,e* ) es numéricamente igual a lu ordenada del punto.
S íu = f ( x ) y v = g(jc) son dos funciones derivables respecto de x . y sí y = u ' entonces:
D em ostración
Si y = u v i=> L n y = v L n u
Derivando im plícitam ente , respeto de a: . ambos extremos de la igualdad
obtenem os:
y por la regla de la derivada de un p ro d u cto :
EJEMPLO 1 I H allar la derivada de las siguientes funciones
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461
Sección 4.12 : Derivadas de las Junciones trascendentes
b) / ( x) = (9 x 2 - 6 x + 2 ) e 3x
a) f ( x ) = e 3r2+2v
c) f ( x ) =
Solución
a)
e ^ - e ' 2*
e 2x + e ' 2x
d) f ( x ) = (2 S') ( 3 4*2)
( e ix2 + 2 x ) = e 3*2+2c. - 4 - (3jc3 +
/ ’( ,) =
(T 4.19)
2 jt )
«=> f { x ) = 2 ( 3 * + 1) e 3*2* 2*
b)
r (x) = (9 x 2 - 6* + 2)
»
(9
a
:1 - 6
jc
+
(e
2 ) (3 < ? 3 t ) +
)+«
■ - J j <9 * 2 - 6* + 2)
(Regla del producto)
e 3 r ( I fo t - 6 )
= (2 7 x 2 - 1 8jc + 6 + 1 8jc - 6) e 3x = 21 x 2 e 3x
( g 2 * + g - 2 x ) ( g 2 * _ g - 2 * ) > _ ( g 2 x _ g - 2 x ) ( g 2 ;r + ¿ 1 x y
C) f (*) =
(e "+ e « )3
(g2x + e -2x) (2 g 2x + 2 g -Zx) _ (g2x _ g -2x) (2g2c - 2 e ' lx)
(T4.19)
( e 2x + e ~2x) 2
2[ ( e2x + e 2xf - ( e 2* - e '2*)1 ]
i e 2x + e ■.¿x}
2xy
2[ 4fe2' ) ( * '2*) ]
(Algebra)
( gJ 22 x* + g - 2 x ) 2
■
A f ( x ) = 8 ( e 2x + e '2x) '2
d) / ’«
= (25^ ~dx (3 4j:3) + (34*2)
(Regla del producto)
(25*)
(T 4.18)
25* (L n 3 ) (3 4*2) (8 jc) + 3 4x2 (L n 2 ) (2 5*) (5)
(8 jc L n 3 ) (2 5)r. 3 4*2) + (5 L n 2 ) (25jt. 3 4*2)
(2 5* » 3 4*2) ( 8 .x L n 3 + 5 L n 2 )
EJEMPLO 2 )
Calcular la derivada de las funciones
b)
a) f ( x ) = <?J
f ( x ) = x>
Solución
a)
Por el T eo rem a4 .I9 i i ) : f ' ( x ) = e x' [
y por el Teorema 4 .2 0 :
/'(jc) = e x' [x* •
(x ‘) ]
(a ■L n * )]
A h o ra , por la regla del producto se tie n e :
/ ’(*) = e ** ’ X* [ x ( +
Lnjc ] = e 1* - x x (1 + Lnjc)
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Capitulo 4: La derivada
462
b) Si f ( x ) = x *2
f (j c ) =
x * [ j ¿
i*2
*L n
(T 4.20)
jc )]
y por la regla del producto : f ' ( x ) = x x~ [ x - (-■) + L n * (2jc)]
/ ’(*) = x* 2 ' X ( ¡ + 2 L n * ) = * r2 +l ( l + 2 L n * )
H a lla rla d e riv a d a d e /(* ) = x x*
[ E JE M P L O 3 ]
S o lu c ió n
Por el Teorem a 4 .2 0 : / ’(*) = x x‘
[
(*** - L n * ) ]
Aplicando la regla del producto y nuevamente el Teorema 4 .2 0 , se tie n e :
/ ’(*) = x x* { ^ ( 7 ) + L n * •*** [
= x x*
■[
(ex L n * )]}-
+ (L n * ) [ ex ( ~ ) + e x L n * ] }
= *■** ' X e* {
(L n * ) [ l + * L n * ] } -
= x z' - x e* ’ 1 [1 + e x (1 + * L n * ) L n * )
[ EJEMPLO 4 )
K “ 1
,J
H a l l a r / , s i: y =
Sea u *= e ' * 1 ^
■Solución
y =
2
-
,
-.2.
a rc S e n (eJ _ ) + _|_ L n ( ,
V l - e * 2x
2
^
u’
Sen u + i L n (1 - u 2)
v rr^
2
Derivando y respecto de u , se tie n e :
^
du
=
- =
£ =
Vi - u
u
1 - U2
Dado que u = e x‘ *=>
(
‘
)
2 * Vi - u 2 ‘
+
« c &
n
u
M
-
( - , = & = )
d u ' VT - u 2'
+ a r e Sen
r’— u■[r ,
u -r =
11
]1 - —^
L ,f7i.,2\3 J
.I¡2
L V(1 - U2) 3 J
riii
l-U2
dx
( f
are Sen u
í - ^ - ) .obtenem os
' d\i i ' d x i
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i
-2 ' 1
V("i- U2) 3
9
5
= e x (-2 * ) = - 2 * e ’x
Aplicando la regla de la cad en a,
U
)
Sección 4.12 : Derivación de las funciones trascendentes
( E JE M P L O 5 )
Solución
463
SÍ e* + e-v = e**> , h a l l a r / ’
Por derivación im p lícita: e x + e >y ' = e * * y (1 + > ')
t=> e * + e yy ' = (e* + e v) (1 + / ) , de donde : y' = - e y ’*
Derivando nuevam ente, y respecto d e x .s e tie n e :
/ ’ = - e y - * ( y ' - 1) = (I - y ’)e-v'* «=* y’ = ( | + e y x) e y -x
Sy
eJ
Pero como e* + e y = e J + v o
( E JE M P L O 6 )
Solución
y ” = ( — t ? ) ¿J-* -
H allar la derivada n-ésim ade y = ex C osx
L a prim era derivada de la ecuación e s :
/
= e* (-S e n x ) + C osx(e*) = (Cos x - Sen x)ex
Como Cos x = Sen(rc/2 - x ) «=> Cos x - Sen x = 2
C o s(ji/ 4 )
(1)
Sen (71/4 - x)
2 /
L 2
= V 2C os (n /4 + x )
Luego . en ( 1 ), se tie n e :
y’ = V2 e x Cos( x + ^ )
(i)
Hallemos la segunda derivada a partir de ( I)
y ” = (Cos x - Sen x )e x + e x (- Sen x - Cos x ) «=> y ” ® -2 ex Sen x
P e ro S e n x = - C os (x + n/2) = - C os [x + 2 (it/4)]
>=> y " = 2 e x C os
[jc
(2)
(T1.2)
+ 2(ji/4>]
(ii)
Hallemos la tercera derivada a partir de (2)
y " ’ = - 2 {ex C os x + e* Sen x) => / ” = - 2 e* (Cos x + Sen x)
(3)
Pero : Cos x + Sen x = Sen(rt/2 - x) + Sen x = 2 Sen (rc/4) Cos(Jt/4 - x)
= V2 C o s ( - J - x ) = -V 2 Cos
[
ti
- ( - J - x )]
= -V 2 Cos [ x + 3(n/4) ]
L u e g o ,e n (3 )
/ " » 2 ^ 2 e* Cos [ x + 3 ( | ) ]
(iii)
Por ta n to , de ( i ) , (ii) y ( iii) , obtenem os por simple inspección
/ " > = 2 n/2 e x C o s[x + n ( n /4 ) ]
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■
464
Capítulo 4: La derivada
g Ej JE M P L O 7
y
I
Hallar la derivada de la función
= (* T 6 * + T g x ) ( é ' T g J + T g x ) z (e Tg jr + T g x ) 3 . . . (c"*"®* + T g - x ) ’1" * (c*-®* + T g x ) n
Solución
S e a u = eT£jr + T g x i=>= eTs* - Sec2jc + S ec2x = (eTg* + 1) Sec2x
L u e g o : y = u . u 2 . u 3 . . . u " * 1 u n = u l +2 + 3- - + n
D adoque:
+ 4 = ^-(n + 1) c=¡> y = u n(n + l)/2
I +2 + 3+ . . .
D erivando, respecto de x , se tien e: ^
*'■
= T
(n + I) un(n * 11/2 ’ 1
J
(n + O (£TgJr + T gjc)ín+ IXn" 1,/2 (eTfi* + I) Seczx
E JE R C IC IO S
. G ru p o
35
*** En los Ejercicios 1 al 2 0 , hallar la derivada de la función d a d a .
1.
y = g*2-3*+i
2. y
3.
y = e ^ ^ C o s S jt + SSenSx)
4. y = e* ( x 2 - 2x + 2)
5.
y = [ ( i ^ í i ) S e n ,- \
6.
7.
y = e* + e 'A+ £'*
9.
11.
2
y
=
jc
+
jc *
2
I
+ x**, jc >
( I C e * * ] . -
y
= e 2* L n x
p jc \
= (■“ S e n tjí -' bb CC oossb
x \ e"
V ü2 + b 2
*
8. y = jr“u + a x“ + a a* , a > 0
10. y = x*a + x 4‘*+a** , a > Q , x > 0
0
12. y -
y = a rc T g ^ -L n
(L n jr)Lnj
13. y = x - L n ( 2 e * + l + ' 4 e 2*~+4e*~+\ )
14. y = e a i ( a Sen x - Cosjc)
15. y = Ln C os arc Tg ( e '^ * )
16. y x - S e c (x y )-T g (x y ) = 0
17.
Tg(jc2 + y 2) - e *1 + e y2 = 0
19.
y = ¿miucswiJt [Qos (m are Sen jc) + Sen(m arc Senx) ]
2a » =
1 - a 21
- ( l7 ^ )
18. y = are Tg ( gJ
a rc C ° ‘s< “ '>
*)
(Sugerencia: H acer u = a x )
21. Si y = e ^ 'C o s í S e n x ) , h a lla r: y(0) , y ’(0) , y ” (0)
22. S e a /u n a función que admite derivadas hasta el tercer orden. H allar y” e y ’” , s iy = /(e*)
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465
E JE R C IO O S . G rupo 3 5 : D erivadas d e las Junciones exponenciales
23. H allar y* c y n . si V*2 + y 2 = a
, a >0
24. H allar las derivadas del orden indicado
a)
y
=
x 7 e 21
. y (20>
b)
y
=
e 2' C o s jc
,
y ,4)
25. C om probarquelafunción y = C xe n'* + C 2 e""1 , donde C, y C2 son constantes arbitrarias
y a t , a 2 son constantes, satisface la ecuación
y " - { a i + a 2) y ' + a la2y = 0
26. Hallar y '" ', s i :
a) y = (jr2 + 2 x +2) e~x
c) y = e* S en x
b) y = •—
d) y = e nxY ( x ) , P(x) es un polinomio
27. D em ostrar las igualdades
a) [eax Sen (bx
c )](n> = e ax(a 2 + b 2)nfl Ser\(bx +c + ntp)
b) [e "' Cos (bx + c )](n, = e ax(a 2 + b 2) ntl Cos (bx +c
donde : Sen <p =
+ ntp)
, b
y Cos <p =
■va-+ bm
v a 2 +b2
28. Si f ( x ) = x? e ox , hallar /*-> (0)
i - \
V
29. Demostrar la igualdad : ( x n' t e >lx)ia) = —¡^-¡- e Ul
30. Si y = e 4x + 2 e x . probar que : y ' " - I3y’ - I 2 y -
0
A LG U N O S PR O BLEM AS SO BRE LA TA N G E N TE
En la Sección 4.3 analizamos que el problema de hallar la ecuación de la recta
tangente en un punto de una curva se reducía al de hallar su pendiente mediante la definición
m = lim
/(X„ + h ) - /( * „ )
h -* 0
En esta sección repetiremos dicha definición pero sin la aplicación de limites, pues conocidas
las técnicas de derivación nos será fácil determinar f ’(x{) para cualquier tipo de funciones,
incluso las funciones im plícitas. Presentaremos, adem ás, otros elementos de carácter geométri­
co vinculados a las gráficas de una curva.
D e fin ició n 4 .6 :
LA RECTA TANG ENTE Y LA RECTA NORMAL
S i / es una función derivable en el punto P(^0..y 0>, entonces
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Capítulo 4: La derivada
466
1. Se llam a recta ta n g e n te a la g ráfica d e y = / ( jc ) a l a recta que pasa p o r e l punto
P(jrfl. y0) , con pendiente m = f ( x ¡ ) y tiene por ecuación
(33)
2. Se llama recta n o rm a l a la gráfica de y = f ( x ) a la recta que pasa por P(xtí, yn) , con
pendiente m = Xff’i x J , y tiene por.ecuación
K
Nota
: y - yv = '
&-*<)
Si en la ecuación de la tangente despejamos F ( x J obtenemos
fty \
j vv
-
x-xü
Cuando y = yu . es decir . si y - y0 - 0 ■=> f ' ( x J = 0
y cuando x
, esto es , si (x - x j —y 0 , entonces ; / ’(jt0) —» «■
Para tales casos tenemos las siguientes definiciones.
D e fin ició n 4 .7 s TAN G EN TE H O RIZO N TA L
La gráfica d e >* = /(x ) tiene una tangente horizontal en el punto (;cfi . y j siem pre que
f'iXf) = 0 cuando (y -y „ ) = 0
D e fin ició n 4 .8 :
TANG ENTE VERTICAL
La gráfica de y = f ( x ) tiene una tangente vertical en el punto (xn tyn) siem pre que
ir « i —
cuando . t —» jc(I
Las figuras 4.12 y 4.13 ilustran .respectivam ente, estas dos definiciones.
F IG U R A 4.12 : Tangente Horizanhtl
F IG U R A 4.13 : Tangente Mrtital
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W
467
Sección 4.13 : Algunos problemas sobre la tangente
D e fin ició n 4 .9 : LO N G ITU D D E LA TANG ENTE Y NORMAL
S e a n : P(j^, , y j , el punto d e tangencia a fa curva y = /(* )
T = punto en el cual la tangente 2? ( interseca al eje X
N = punto en el cual la normal ! f n interseca al eje X
H - proyección de P0 sobre el eje X
Entonces se dice que la longitud de la :
S u b tan g en tees: S ( = c /( T ,H ) = | T H |
Subnormal es : S n = d (H , n) - IH N I
Tangente es : t = d ( T , P^) = IT P UI
Normal es : n = d ( N , P(1) = I.N P J
Cálculo de los seg m en to s:
Si en las ecuaciones (33) y (34) hacemos y = 0
obtenem os, respectivam ente:
y
^
" > o
=
"
X = X0 -
7 o g i x ' Xo) ^
x= ^
v M >
Entonces las coordenadas de T y N son
F I G U R A 4 .1 4
L u eg o , si S, = ITH | = | H - T |
«
S, = | x„- (* „ -
) | «
S, = |- w
(35)
,
*=> S„ = J HN I = IN - HI = l^o + J o / ’C^o) - *„! <=> S B = I > * ../’(*„) I
• ■
dedonde:
(36)
= V ( t ^ > ) 3 + >u2
t = V (S t)2+ y fí2 <=>
t=
^ T j-j ^ + f f (\) ?
(37)
n - £ / ( N . P 0) = 1 [ x a - x a - y a f < x , ) F + i y a - 0 f = ' f [ y a . f ( x j V - + y *
n=
y» »
n“
+í f (*«)}*
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(38)
Capítulo 4: La derivada
468
Se llam a ángulo entre dos curvas : > '= / , ( x ) , y = f A x ) en su punto d e intersección
P (x0 , Jjj) , al ángulo 0 formado por las tangentes a dichas curvas en el punto P n. Entonces
m2 - m,
I + ni, . i n 2
En efecto, por la geometría elemental sabemos que en todo triángulo, el ángulo exteriores igual
a sum a de los ángulos interiores no adyacentes, esto es ,e n la Figura 4.15 vemos q u e :
= 0 + ct, i=> 0 = a , - a ,
___
f
Aplicando tangentes se tiene
Si desig n am o s: Tgct! = m, = / , ’(*„)
Tgctj = m , =
t=^
‘TgO =
F IG U R A 4.15
H allar la ecuación de la recta tangente a la curva definida p o r la ecua­
ción y2 = x y - 2j ? y + 1 en el punto de abscisa 2 situado en el cuarto
cuadrante.
Solución
Hal lemos el punto de tangencia.
Para x = 2 »=> y 2 = 8 - 8y + 1 «=> y 2 + 8y - 9 = Ó <=> y = -9 v y = 1
Como P está en el cuarto cuadrante , su ordenada es y = -9 o
Derivando implícitamente la ecuación dada se tiene :
Para el punto P(2, - 9 ) , m ( = y’( 2 , - 9 ) =
P(2 , -9)
= - 4f
L u eg o , la ecuación de la tan g en te, por la fórmula (3 3 ), es :
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469
Sección 4.13 : Algunas problemas sobre la tangente
>• + 9 = - -4y2
(jt
- 2) <=> «2? : 4 2 r + 5> - 39 = O
EJEMPLO 2 )
La ecuación de una curva es el piano XY e s :
* 2y 2 - x 2y + x y 2 + x y - x + y = 0 ,Jc y 6 lR +
Sean S" la recta tangente a la curva dada en el punto cuya abscisa es I , SP la recta normal que
pasa por el punto referido . Calcular el área limitada por los ejes X e Y y las rectas
y «S?.
Solución
Para x - I obtenemos : 2 y 2 - y - 1 = 0 <=> yQ = 1 v y0= -1/2 e 1R+
Entonces el punto de tangencia es P( 1, 1)
Derivando implícitamente la ecuación dada se tien e:
2 x 1 y y ' + 2 x y 1' - (x 2y ' + 2 x y ) + (2 x y y ' + y 2) + ( xy ' + y ) - I + y' = 0
j ^ ^
+
2xy - 2xy2 -y 2 -y - l
d e d o n d e . y = — ^ ---- , 0 - —
J
2 x 2y - x + 2 x y + x + \
I
■=> m, = y (1 , ) = - — y m = 5
1
*
5 J
"
Ecuación de la tangente : y - 1 = - y (x - 1) c=> ^ : x + 5y - 6 = 0
Ecuación de la n o rm a l: y - 1 = 5(jt - I)
SP : S x - y - 4 = 0
El área pedida S es la región sombreada mostrada en la Figura
4.16 , en donde :
O Á = ( . P J fl (Eje X) = 4/5
O B = (.5?,) n (Eje Y) = 6/5
L u e g o ,si S = a (A B O C ) - a (A P C )
S = { ( O C ) ( O B ) - l ( A C ) ( y (1)
= i
<6) ( 4 ) - 4 ( 6 - 4 ) o =
EJEMPLO 3 j
Solución
Iu!
Hallar los puntos de contacto de la tangentes horizontales y verticales de
la curva
j r + 4jty + lóy2 - 27 = O
Derivando implícitamente la ecuación de la curva se tie n e :
2x + 4 ( x y ‘ + ,0 + 3 2 , y
= 0 ■=>/=-
Según la Definición 4.7 , las tangentes son horizontales si y sólo si v’ = 0
Luego , s ix + 2y = 0 t=> x = - 2 y
Por lo que : (x = - 2 y ) n ( ^ : x 1 + 4xy + I6 y 2 - 27 = 0) = ( + 3 , ± 3 /2 )
son los puntos de contacto de las tangentes horizontales.
A h o ra , por la D efinición 4.8 , las tangentes son verticales e=> I y’ I —»<» esto es , cuando
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Capítulo 4: La derivada
470
x + S y = 0 t=> x = - S y
Por tan to , (x = - 8 y ) fl ( W: x 2 + 4 x y + I6y2 = 27) = ( ? 6 ,± 3 /4 ) son los puntos de contacto
de las tangentes verticales.
EJEMPLO 4 )
Solución
Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva
x 1 + 2 x y + y 2 + 2 x + 2 y + 1 = 0 , trazadas desde el punto A (4 , -2)
Las rectas que pasan por A (4 , -2) tienen por ecuación
y + 2 = m (x - 4 ) => m =
>+ 2
x -4
y +2
Si P0UH,.yn) es el punto de tangencia, entonces : m = f ( x 0) = — ——
*o"4
¡Derivando implícitamente la ecuación de se tie n e :
2 x + 2 ( x y ’ + y ) + 2 y y ' + 2 + 6 y ' = 0 .=> y ’ =
1
(1 )
(2)
•*«
Como ( ! ) = (2) .=> ^ - ^ = = - 7 —
y si P0 e «■ o
<=> x 01 + 2 x By a + y 02 + x ü + y a + 2 ^ 0 (3)
^
jc02 + 2-*ny0 + y ,,2 + 2 x tl + 6y a + 1 = 0
(4)
Restando (4) - (3) resulta : 3jcu + 5y0 - 1 = 0
Entonces : (3 x u + 5 y 0 -1 = 0) D Ecuación (4) = Pu( 2 , -1) o Pu(7 , -4)
L u eg o , en ( I ) , p a ra P ()(2 , - 1 ) , m, = - 1/2 y p araP (J( 7 ,- 4 ) , m 2 = -2 /3
Por ta n to , las ecuaciones de las tangentes trazadas desde A (4 , - 2 ) , son :
y + 2 = - ^ (x - 4) v y + 2 = - ~ (x - 4 ) <=>
: x + 2y = 0 v
EJEM PLO 5 ]
: 2 x + 3y - 2 = 0 ■
H allar las ecuaciones de las rectas tangente y n o rm al, las longitudes de
la subtan g en te, su b n o rm al, tangente y normal en el punto P ( a , a) de la
curva ‘f?:x 3 + x y 2 - 2 a y 2 = 0
iS olució n
D erivando im plícitam ente la ecuación de r$ , se tie n e :
3 x 2 + 2 x y y ' + y 2 - 4 a y y ’ = 0 i=> y ' =
3*2+ y 2
4a y - 2xy
c=> m( = y'{a ,á ) - 2
L u e g o , para el punto la tangencia P(a , a ) obtenemos lo siguiente :
Ecuación de la tangente : y - a = 2(x - a ) <r=>
: 2x - y - a = 0
Ecuación de la normal :
«2?n : x + 2y - 3 a = 0
y - a = - £ ( * - a) o
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Sección 4.13 : Algunos problemas sobre la tangente
471
Longitud de la subtangente :
S, = I j^ /m I = l a / 2 |
Longitud
de la subn o rm al:
*-
Sn = I' ay . • mI I = 12a I
Longitud de la tangente : t = V (S l) 2 + y (l2 = V ( a /2 ) 2 + a 2 = Ia /2 |V 5
Longitud de la normal : n = V (S n) 2 + >'(l2 = V ( 2 a ) : + a 2 = |a |V 5
( E JE M P L O 6 )
Sea f ( x ) - a g ( a +
■
° ^ ~ X ) - V a2 - j t , x e <0, a ] . donde g es una
función tal que Vx . y e IR: g ( - j ) = g (Jc )-g O ’) y g ’(*) = V x . Probar
que el segmento de cualquier tangente comprendido entre el punto de tangencia y el eje Y es a.
Dem ostración
En efecto , según la definición de g :
f ( x ) = a [g ( a + V a 2 - x 2 ) -g (x ) ] - V a 2 - x 2
Designemos por u = a + V a 2 - x 2 i=> —t— = — .
S\f ( x) =ag{ u) - ag{ x) - ' ¡ aT7xI ^
.
/’(*) = a g’(u) •~
Pero como g ’(*) = ^ *=> g ’(u) = -L =
-L = = »
x
u
a + Va2 - jt
Entonces en (1 ):
a - ^a2 - x 1 \ I
x
Ecuación de la tangente en el punto P(x0 , y() : y - y{t
\
-a g\x) +
g '( u) =
a .
(0
x~
x
"Ja2^ x~
Va2- .t 2
------- --— - (x - x(()
Intersección con el eje Y : x = 0 ■=> y = y u + 'Ja 2 - x 2
■=> A(0 , yu + 'Ja 2 - x 2 )
Longitud del segmento de tangente IPAI = V ( 0 - x u2) 2 + (y () + V a2 - x 2 - y ¿ 2
IPÁÍ « a
( EJEM P LO 7 )
Se traza una circunferencia de centro C ( 2 a ,0 )c o n radio r tal que la cir­
cunferencia corta en ángulo recto a la elipse f : b 2x 2 + a 2y 2 * a 2b 2 .
Demostrar que r2 = ^ ( 3 a 2 + b l )
Demostración
Ecuación de la circunferencia, V : [ x - 2 a ) 2 + y 2 = r 2
D erivando ambas ecuaciones implícitas respecto de x , obtenemos para la
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Capítulo 4: La derivada
472
circunferencia, y' = — ——
,> 'para la e lip s e , y * =
Si designamos por P(jc(( , y j el punto de intersección de ambas c u rv as, entonces
2a - x u
b2 x tl
m, = —
y
m = — 5—
1
y0
J
2
a2 y0
La condición de perpendicularidad establece que m, .m 2 = - 1 .e s to e s :
m. = - —
1
m.
Pero como P(jc0
2a - x ,
aV y£
>ü
-b 2 x"0r
<=> b 2x 2 + a 2y f 2 = 2 a b 2x 0
e $ •=> b 2x 02 + a 2y 2 = a 2b 2
(O
(2)
De ( 1 ) y (2 ) , portransitividad : 2 a b 2x 0 = a 2b 2 t=> xu = a f l
Sustituyendo en la ecuación d e la elipse obten em o s: y 0 = V3&/2
Finalm ente, en la ecuación de la circunferencia: | ~
- 2aj
+
£>J
=
r 2 = ± Q a 2 + b 2)
[ EJEMPLO 8 j
H allar el área del triángulo lim itado por las ecuaciones de la tangente y
de la norm al a la gráfica de la ecuación 4x3 - I x y 2 + 6.x2 - 5x y - 8^ + 9x +
14 = 0 en el punto P ( - 2 , 3) y el eje X
{Solución I
Derivando la ecuación im plícita respecto d e x , se tie n e :
\ 2 ¿ - 3 ( 2 x y y ' + y 2) + 12* - 5 (x y ' + y ) - 16yy*+ 9 = 0
[=>
I2x 2 - 3 y 2 + 1 2 x -5 v + 9
6x y + 5 jc + 1 6 y
---------------- i.----------------------1---------
y* =
Para el punto P(-2 ,3 ) obtenemos : m t = >’(-2 ,3 ) = - 9/2
Ecuación de la tan g en te: >• - 3 = - j (x + 2) <=> J2?,: 9 x + 2y + 12 = 0
Ecuación de la norm al : y - 3 =
^
( jc
+ 2)
\ 2 x - 9y + 3 1 = 0
fl (E je X ) : y = 0 .=> 9x + 12 = 0 <=> jc( = -4/3
fl ( E je X ) : y = 0 =* 2x + 31 = 0 <=> x2 = -31/2
Base del trián g u lo : 6 = |jc,-ji:2I
i=> b —
a (A) = | ( 6h) = \
(^)(3) = ^-u2
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Sección 4.IS : Algunos problemas sobre la languue
EJEMPLO 9 )
Solución
473
Hallar el ángulo de intersección de las curvas
dP^ ■ y = ( x - 2 ) 2 y
: y = -4 + 6jc-xj
Los pasos a seguir son los siguientes :
1. Cálculo de los puntos de intersección
Si (.r * 2)- = - 4 + 6* - j r => j t - 5 x + 4 = 0
<=> x t = 1 v jCj = 4
Luego. P ( l , 1) y P ,(4 ,4 ) son los puntos de intersección
2. Cálculo de
d »x: y
las pendientes en P,( I , I)
= 2 ( x - 2 ) . para x = 1 «=> m, = -2
dP2 : y ' —6 - 2x
3. Cálculo del
Tg0 =
o
4.
, para x = 1 «=> m , = 4
ángulo de intersección
in? *
I
1 + m, • m, 1
4-(-2)
1 -8
6 = are Tg(6/7) = 40° 36’
Para el punto P ,(4 .4 ) se obtiene el mismo resultado (verificar), esto se debe a la simetría de
ambas curvas en los puntos de intersección.
■
^ E JE M P L O 1 o )
Hallar el polinomio de segundo grado P(.v), tal q u e :
a) Pase por A (3 ,5 ) y que la recta tangente a la curva en este punto se paralelo a la recta
7 , : 3* + y - I = 0
b) La recta SC2 perpendicular a la tangente la curv a en el punto B(-1 , >') tenga un ángulo de 45°
Solución
a)
Sea el polinom io de segundo grado : P(.r) = a x 2 + b x + c
Si A(3 , 5) e P(*) o
Además
9 a + 3b + c = 5
( I)
S?xII .2?, t=^ P ’(3) = m , , esto e s , P ’(3) -
Como P ’(x) = 2 a r + b ■=$>2a (3) + b - - 3 <=> 6 a
b)
m2 = T g 45° = I ; pero si
_L
t=>
-3
+b =-3
(2)
= - l ,en x = - l
P '( - |) = - 1 « - 2a + b = - i
L asolución com ún de ( I ) . (2) y (3) es : a = -1/4 , ¿ > = - 3 / 2
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y
c - 47/4
(3)
Capítulo 4: La derivada
474
I Tfi-C+ Sen x
’ Tg jc - Sen x
EJEMPLO 11 I Si f(x) = v -=-------=------ , hallar las ecuaciones de las rectas tangenJ
°
te y normal en el punto de abscisa x = n/4
Solución
Para x = n/4 , >• = a / 1 + ^ /2 =
* 1 - V2/ 2
v 2- V2
= | + V2
L u e g o , el punto de tangencia es P ( te/4 , I + V2 ) .
Antes de efectuar la derivación es conveniente reescribir la función haciendo uso de las identi­
dades trigonométricas correspondientes, esto es
* / T g x + Sen x
/(* ) “ \ T g j: - Sen x “
/ Senx( l + C usx)
> Senjc (I - C osjc ) ~
<=» / (*) = - y Cosec' ( J )
S i m, = f ( n / 4 ) ^
m, = - -
^
/ 2 Cos2 (x/2)
> 2 S e n ! (jr/2)
i x \
g (2 )
2 Sen!(*/2) = " I - Cos jc
= - (2 + V2)
y, m n =
= 4 (2 - ^ 2 )
Ecuación de la tangente : y - ( l + V 2 ) = - ( 2 + V 2 ) ( x - Tt/4)
=>
y = - ( 2 + V 2 )(jc -rc /4 )+ (l + V2)
Ecuación de la normal : y = 4 (2 - V2 ) (;r-n /4 ) + (I + V2 )
EJEMPLO 1 2 j
Solución
H allar la tangente del ángulo agudo d e intersección en tre las curvas
f ( x ) = arcT g jc y g(;c) = arcSen(jc/2)
I. Intersección de las curvas
Sean A = are Tg jc <=> Tg A = jc
B - are Sen (x íl) <=> Sen B = x!2
Luego , si A = B i=> Sen A = Sen B o
<=> ' r-'=~ ~
VTT?
—r — ^ Vi + T g 2A
= Sen B
= — , de donde : jr = V3
2
A h o ra, si y = are T g x r=> y - a rc T g (V 3 ) = y
Por lo q u e , el punto de intersección de am bas curvas es P(V3 , rc/3)
2.
■
Cálculo de las pendientes
r h
«
mi = ^
)
= iT 3
= i
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475
EJER CICIO S . G rupo 3 6 : A lgunos problem as sobre la fungente
g ’W =
3. Si T g 0 =
1
VI - (x/2)r ( i )
= <47x*
Tge =
m, - m,
I + m, • m ,
«=> m , = g’0 / 3 ) =
=
!
1 - 1/4
1 + 1/4
E JE R C IC IO S . Grupo 36
En los ejercicios I al 16 . hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva
dada en el punto indicado.
1. x* + x y + 2 y 2 = 28 , ( 2 ,3 )
2. *3- 3 x y 2 + y 3 = 1 , ( 2 ,- 1 )
3. j r - 2 ^ x y - y 2 = 52 , ( 8 ,2 )
4. jc5- a x y + 3 a y 2 = 3 a 3 , ( a , a )
5. x 2 - x ' f x ^ - 2 y l = 6 , ( 4 , 1 )
6 . jc2 - 2 x y + y + 2 x + y - 6 = 0 . ( 2 , 2 )
7.
*
8a3
, e n x = 2a
4 a 2+ x 2
9. x 3 + y 2 + 2 x - 6 = 0 , en y = 3
8. y =
2* + I
10. y = x % 2 + 3 x
, e n * = 1/2
. en* = 2
11. x 3 - 2 x 2y 2 + 5x +)• - 5 = 0 , en * = I
12. y 3 + 3 x y - x 3 + 1 = 0 ,
13. x 2}’ -*C os(7t> ) = 2 , (1 , 1)
14. 3*2 - 2 x y + 3 y s + 14*- 10) = 8 , (I . I)
15. t f + y 2)2 = - 4 x y , ( - 1 , 1 )
16. >■ = T g (n x ) , en x = 1/4
en* = 2
❖ En los ejercicios 17 al 22 , hallar una ecuación de la recta tangente a la curva dada y que
cumpla la condición indicada.
17. 3** + y 2 + 4 x - 2y - 3 = 0 , perpendicular a la recta W: 2 x + 2y - 5 = 0
18. x 2- x y + y 2 + 2 x - 2 y ~ 1 = 0 , paralela a la recta SF\ 3 x - y + 2 = 0
19. 3 * ) - 2 x + y - I = 0 , perpendicular a la recta Sí1: 2 x - 2 ) + 7 = 0
20. 3 ) = x3 - 3x* + 6* + 4 , paralela a la recta
2x - y + 3 = 0
21. 5.x2 + 5>4 - 40* - 40y + 144 = 0 , pasa por el origen de coordenadas
22 . x l + y 2 + 4 * - 1 0 ) + 21 = 0 , forma un ángulo de 45° con el eje X
❖ En los ejercicios 23 al 3 0 , hallar los puntos en que la gráfica de la ecuación dada tiene recta
tangente vertical u horizontal.
23. y = 3x + 4 V l - x 3
24. j ? - b x y + 2 5 y 2 = 16
25. x2 - 8*v + 2 5 )2 = 81
26. x2 - 24*) + I 6 9 ) J = 25
27.
29.
169x2 + I 0 x ) + ) 2 =
144
28. y = V(1 - * 2) ( 4 - * 2)
30. y 2 = * ( * - 4 f
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Capítulo 4: La derivada
476
<• En los ejercicios 31 al 4 0 , hallar las ecuaciones de las tangentes a fas gráficas de las curvas
dadas y que pasan por el punto P indicado.
31.
x2 + 4 y 2 = I ,
32. y = -xa - x + 1 , P (l ,2 )
33.
y =
, P(2 ,-6 )
34. x2 + 4 y 2 - 4* - 8y + 3 = 0 ,P ( - l , 3 )
35.
y2 - 3x - 8y + 10 = 0 . P(-3 ,3 )
36. x2 - 2 x y + / + 2 x - 6 = 0 , P(-3 ,-7 )
37.
4x2 + y = 72 . P ( 4 ,4 )
38. 2 x 3 + 3 y 2 + x - y - 5 = 0
39.
x2 + 4 y 2 - 4x - 8y + 3 = 0 , P (-1 , 3)
40. y =
P(5 , 0)
3.x2 - 8
❖ E nlosejercicios41 al 48 .h acer un esquem a y
curvas dadas.
41. Jt3 + y 2 - 2 x - 3 = 0 , y 2 = 4 x
43. x2 = 2 (y + 1) , y ( x 2 + 4) = 8
45. 4 y2
- 3 x 2 = 4 , y 2(4 -x ) = x 3
47. x2 +
y 2 - 2 x = 9 , x 2 + y 2- 4y = I
- Xa
, P(3 . -1)
+ 4 x - 3 , P(5/2 . 3)
hallar el ángulo agudo de intersección de las
42.
44.
46.
48.
x 2 + y2 = 25 .x 2 - 4 y - 4 = 0
x2 - 4 x + 3y = 0 . x2 - 4 x + 4 - y 1 = 0
y2 = 4 - 2 x , y 2( 2 - x ) = 8
x2 + y2 = 8 a x , (2a - x ) y 2 = x 3
49. Hallar la tangente del ángulo agudo en el punto de intersección de las curvas dadas :
a)
y = are Sen x ,
y = are Cos x
b)
y - are Cotg x . y = 1/2 are Sen x
50. H allar en cada caso el punto o puntos de intersección de las curvas dadas y encontrar la
tangente del ángulo agudo entre las curvas en esos puntos de intersección.
a)
y = xe* , y = x 2e*
b)
y = x e'* , y = x 2e 'x
51. Sea la curva
are T g (x + y ) - Sec2x + V4 Sen2x + I = 0 , donde x e {-tc/2 , 0] ,
y e [0 , tc/2) . H allar la ecuación de la recta tangente a í?en el punto ( 0 ,0 ).
52. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado,
a)
2 x y + n Sen y = 2rc , (1 , n/2)
/ ^ 2 + V1 + Sen2x \ ^
C) y = U - V l + S e n J COS"
b) y = V S e n n x + C o s7 tx , x = 1/2
n
’* = 4
«D > -
•* - 1
53. Determ inar los coeficientes A , B , C y D de m anera que la curva de ecuación y = A x 3 +
B x 2 + Cx + D sea tangente a la línea y = 3 x - 3 n el punto (1 .0 ) y tangente a la línea
y = 18x - 27 en el punto ( 2 ,9 ) .
54. Hállense las contantes a , b y c de m odo que las gráficas de ecuaciones y = x J + a x + í » e
y = ex - x 2 sean tangentes entre si en el punto (I ,0 ).
55. Con referen cia a la c u rv a x 2 + 3y2 + 3x - 4y - 3 = 0 hallar el valor de k tal que la recta
& : 5x + 2y + k = 0 sea tangente a la curva indicada.
56. Dem ostrar que las parábolas y 2 = 2 p x + p 2 y y 2 = p2 - 2 p x son ortogonales en sus
puntos de intersección.
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EJERCICIO S
477
G rupo 3 6 : D e r m u k ix tic las fitn t io n es exponcncutlc\
57. Dadas las ecuaciones 3>- = 2x + x * y s y 2 y + 3 x + y 5 = x Jy , mostrar que las tangentes
a las curvas dadas en el origen son perpendiculares.
58. Demostrar que la familia de parábolas y 7 = 4 a ( a - x ) . a > 0 e y 7 — 4 b(b + x ) , b > 0
forman una red o rtogonal, es decir .estas curvas se cortan en ángulos rectos.
59. H allar la ecuación de la tangente a la curva y = kx2 + 3 (k - 1) x + 3 en el pu nto de absci sa
x = I y determ inar k de modo que dicha tangente pase por el origen.
60. Para el punto (I , l) de la curva f \ x2 + 2xy+>’2 + 2x - 6 y = 0 , hallar las ecuaciones de
la tangente y de la n o rm a l, y las longitudes de la subtangente , su b norm al, tangente y
normal.
61. Parar el punto P indicado y la curva d a d a , hallar el área del triángulo formado por la recta
tangente . la recta normal en P y el eje X .
a) x3 - 2x v + y 2 + 4 x - y - 3 = 0 . P (l ,2 )
b) 4 x 2 + y 2 = 12 . P(3 . 6)
62. Para el punto P indicado y la curva d a d a , hallar e) área de! triángulo formado por la recta
tan g en te. la recta normal en P y el eje Y
a)
j r - 4 x - 4 y + 20 = 0 .P ( 6 , 8 )
b) 4 x 2 + 9 y 2 = 72 . P(-3 . 2)
63. Probar que la recta tangente a la curva y = - x 4 + 2 x 2 + x en el punto P( I ,2 ) es también
tangente a la curva en otro punto Q y hallar su valor.
64. Dadas las funcio n es/(x ) = x 2g ( 2 ) + 3 6 (2 x + l ) g ’(2) y g(x) = ^\j
.h a lla rla
ecuación de la recta tangente a la gráfica de / y que es paralela a la recta 4x + 2y + 1 = 0 .
65. Si /(x ) = x1 + x , hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = /*(x) en el punto
de abscisa 10.
66. Dada la función /(x ) = ^
^ , x S O .h a lla rla e c u a c ió n d e la re c ta ta n g e n te a la g rá fi-
ca de / * en el punto (3 /2 , c).
67. Hallar la ecuación de la tangente a la curvay = /*(x) en el punto de tangencia (c , 3) .si se
sabe que la recta tangente a la curva y = /(x ) en el punto de abscisa 3 tiene por ecuación
3x + 2>‘ - l = 0
68. La curva y = x(x - o)2, a > 0 , es interceptada en tres puntos por la recta y = m2x , m *■0.
a) H allar las ecuaciones de las rectas tangentes de dichos puntos.
b) Estas rectas tangentes a su vez interceptan a la curva en los puntos P . Q y R respectiva­
mente , los cuales son diferentes a los puntos de tangencia. Demostrar que P , Q y R
están en una misma recta.
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Capítulo 4: La derivada
478
¡4 .1 4 )
L A D E R IV A D A C O M O R A Z Ó N D E V A R IA C IÓ N
Aparte del uso de la derivada para hallar pendientes, ya visto en la Sección 4 .3 , en
esta sección estudiaremos la interpretación igualmente importante de la derivada de una función
como una razón de cam bio. Vista de este m o d o , una derivada puede representar, entre o tra s ,
cantidades tales c o m o .
1. El ritmo que crece una población (personas, anim ales, bacterias, etc.)
2. El número de dólares de una cuenta bancaria.
3. La velocidad de un objeto que se mueve.
4. El ritmo de inflación.
5. El ritm o de producción, etc.
Como ya debe haberse percibido la conexión entre derivada y razón de c am b io , com ence­
mos por establecer su definición para una función y = /(x ).
Definición 4.11 : RAZÓN PROMEDIO DE CAMBIO
Sea / una función d e x , si x cambia d e x 0a x 0+ A x , entonces a la función / le corresponde
un cam bio de f ( x v) a f ( x (¡+ Ax) AI cociente de las diferencias
/( x f) + A x) - f ( x ti) _ Cambio de ordenarlas
(xfl + A x ) - x ü
Cambio de abscisas
= ^y_
Ax
se llanta razón de prom edio de cambio de y con respecto a x
[ EJEMPLO 1 j
Solución
Hallar la razón promedio de cam bio de la función /(x ) = x2 - 4x c u a n d o :
a) x cam bia de 4 a 4 .1
b) x cam bia de 4 a 4 .0 1
c) x c a m b ia d e 4 a 4 .0 0 l
Cam bio de ordenadas : Ay = /( x n + A x ) - /( x u)
éj > Ay
Cambio de abscisas:
Razón de cam bio:
= (xn + A x )2-4 (x u + Ax) = Ax (2x0 - 4 + Ax)
Ax = x - xfl
Ay
= 2x0 - 4 + Ax
a) P a ra x n
=4
y Ax = 4 . I - 4 = 0.I .=> ^
= 2 ( 4 ) - 4 + 0 .l = 4.I
b) Parax^
=4
y Ax » 4 . 0 I - 4 = 0.0I <=>
c) P arax ()
=4
y Ax = 4.001 - 4 = 0.001 .=> ^
= 2 ( 4 ) - 4 + 0.0l = 4.0]
= 2 ( 4 ) - 4 + 0.00l = 4.00I
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■
479
Sección 4.14 : La derivada como razón de variación
Obsérvese que cuando Ax se hace m uy pequeño , es d e c ir , cuando A x tiende a cero , la
razón prom edio de cam bio d e /( x ) para un valor fijo dex () = 4 es muy significativo, pues es el
lim (2x,. - 4 + a
x
A .t - * 0
)
=
lim
[■ ^■ J
t
pero este últim o lím ite no es m ás que la derivada de
A x -» 0 * A x
f ( x ) en xu. Para esta relación tenemos la siguiente definición.
Definición 4.12 : RAZÓN DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
Si y = f( x ) , la razón de variación instantánea de y con respecto a x viene dada por la
derivada de / e n a * = x u , si éste exista a h í, esto es
Razón de variación instantánea =
lim - — + — - - - - Aa -»o
Ax
=
dx
- f'( x ,)
"
La razón o tasa de variación instantánea de y con respecto a x puede interpretarse como la
variación en y ocasionada por un cam bio de una unidad e n x si la razón de variación permanece
constante. La interpretación geométrica de esto de muestra en la Figura 4 . 19
En efecto , sea f ' ( x a) la razón de variación instantá­
YA
nea de y con respecto a x e n xn . Si se m ultiplica / ’(*„)
por A x (el cam bio de x ) , se tiene el cam bio que ocu­
/K lajf
rriría en y si el punto (x , y) se desplazara por la recta
tangente a la G r ( /) en (x0 , y0) . L a razón prom edio de
cam bio de y con respecto a x e stá dada por la frac­
ción en la D efinición 4 .1 1 , y si ésta se m ultiplica
por A x , se tiene :
t. * Aí
Ay
F I G U R A 4 .1 9
Ax
que es la variación real de y ocasionada por un cam bio de Ax en x cuando el punto genérico
(x , y) se mueve por la gráfica d e / .
■
EJEMPLO 2 J
S eestim aq u ed en tro d ex m eseslapoblacióndeciertacom unidadseráde
P(x) = x2 + ICU + 6,000
a) A qué ritmo cam biará la población dentro de 20 meses?
b) Cuánto cambiará realmente la población durante el vigésimo primer mes ?
Solución
a) El ritmo de cam bio de la población es la derivada de la función población :
P*(x) = 2 x + 10
Com o P ’(20) = 2(20) + 10 = 50 , se sigue que dentro de 20 meses la población habrá
crecido a razón de 50 personas por mes.
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Capítulo 4: La derivada
480
. , „
.•
,
.
..
Cambio en P(x)
b) Cambio real en la población = ——— —---------Cam bio en x
=
P (2 I)-P (2 0 )
— -— ----2 1 -2 0
=* C am bioreal = P (2 I)-P (2 0 ) = (2 I)2+ 10(21) + 6 0 0 0 -(2 0 )2- l0 (2 1 )-6 0 0 0
= (21 + 2 0 )(2 I - 2 0 ) + 10(21 -2 0 ) = 51 personas
La razón para la diferencia de los resultados en (a) y (b) se debe a que el ritmo de cambio de
la población variaba durante el mes . El ritm o de cam bio instantáneo de la parte (a) puede ser
considerado com o el cam bio de la población que sucedería durante el vigésimo mes si el ritmo
de cambio de la población permaneciera constante.
■
N ota
Hay dos importantes conclusiones adicionales que podemos inferir acerca de la razón
de variación instantánea. Si suponemos que Q es una cantidad que varía con el tiempo
y si escribimos Q = /(t)p a ra re p re se n ta rsu v a lo re n e ltie m p o t.y b a sá n d o n o se n la propiedad
geométrica de la tangente diremos que la razón de variación instantánea de Q e n el tiempo es la
pendiente de la tangente a la curva Q = / ( t) e n e l punto (tu , / ( t ft) ) .
Va que una pendiente positiva corresponde a una tangente ascendente y una pendiente negativa
a una tangente descendente, diremos que
dQ
i) Q es creciente en el instante t , si —r~ > 0
d\
ii) Q es decreciente en el instante t , si -j=- < 0
dt
E JE M P L O 3 j
Un tanque cilindrico con 1eje vertical está al principio lleno con 200,000
galones de agua. Este tanque tarda 50 minutos en vaciarse después que se
abre el desagüe en el fo n d o . Suponga que el desagüe se abre en el tiempo t = 0 . Si el volumen
de agua que queda en el tanque después d e t m inutoses V ( t) = 200,000 ( i -
.encuen-
encuentre la razón instantánea a la que fluye hacia afuera el agua del tanque cuando t = 30.
Solución
Desarrollando el cuadrado ob ten em o s: V (t) = 200,000 - 8000t + 80t2
Sólo necesitamos hallare! valor de V ’(0 cuando t = 30 m inutos.
Pero como V 'ft) = -8 0 0 0 + I6 0 tes para todoel tiempo que fluya el a g u a y e l v a lo rd e V ’(t)en
el m om ento t = 30 no es más que
V ’(30) = -8 0 0 0 + 1 6 0 (3 0 ) = -3 2 0 0
El que V ’(3ü) sea negativo significa que V está decreciendo en el tiem po t = 30.
Por lo tanto , treinta m inutos después de que se abra el d esagüe, el agua fluirá hacia afuera a
razón de 3200 gal/min.
■
EJEMPLO 4 J
C uando se funde una bola de nieve cuyo radio inicial es de 12 c m ., su
radio decrece a una razón constante . Comienza a fundirse cuando t = 0
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Sección 4.14 : La derivada como razón de variación
481
(horas) y larda i 2 horas en desaparecer.
a) Cuál es la razón de variación instantánea de su volunten cuando t = 6 ?
b) Cuál es la razón prom edio de cam bio de su volumen desde t = 3 hasta t = 9.
Solución
El volumen de la bola de nieve es V =
7tri
En el instante t el radio decrece en (1 2 - t)c m , luego en este tie m p o .
V(t) = j r c ( I 2 - t ) '
a) Razón de variación instantánea del volumen de n ie v e: V’(t) = 4rc( [ 2 - 1)2 (-1)
Entonces , para t = 6 : V’(6) = - 4 7 t ( l 2 - 6 ) 2 - -I4 4 n c m 7 h
b) Razón prom edio de cam bio del volumen de n ie v e :
Y = Cambio en el volumen
Cambio en el tiempo
=
V (9 )-V (3 )
9 -3
=
(4ti/3) (12 - 9 )' - (4n/3) (12 - 3)=
6
de donde obtenemos : V = - 156rc cm V h
■
OBSERVACIÓN 4A
En muchas situaciones practicas, la razón de cambio de una cantidad
Q no es tan significativa com o su razón porcentual de cam b io , pues
ésta compara el ritmo de cambio de la cantidad Q con el tamaño de dicha cantidad, esto es
„ ,
, .
,• . «
. ™ / Ritmo de cambio de O \
Razón porcentual de cambio de Q = 100 ^ -------------- —-------------- J
L uego, una fórmula para la intensidad relativa y la razón porcentual de cambio en términos de la
derivada nos da la siguiente definición.
Definición 4.13 : INTENSIDAD RELATIVA Y RAZON PORCENTUAL
Si Q = / ( t ) ,,entonces la m edida qué se uti Iiza para com parar el ritmo de cainbió de Q con
la cantidad som etida a variación Q , se denomina intensidad relativa y-e$tádada por
I =
r a 0,
/ ü u)
\_ / d Q
oQ '\ (di)
(39)
)
y la razón porcentual de cam bio por
R_pe s i o o í ^ M
W c g
= mlo oi /m ¿ Q
. )
/
q
'
•
(40)
evaluadas en t = t ti
^E JE M P L O S j
Suponga que la población de una cierta ciudad t años después del 1 de
ju lio d e 1991 será 40t2+ 200t + 10000. a) Calcular la intensidad a la cual
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Capítulo 4: La derivada
482
crecerá la población para el l de Julio del 2000, b) O btener la razón a la cual crecerá la
población para el I d e ju lio d e l2 0 0 6 .c ) D eterm inarla intensidadrelativaylarazón porcentual
de crecimiento de la población para el I de ju lio del 2000. d) Hallar la intensidad relativa y la
razón porcentual de crecim iento de la población para el I de julio del 2006.
Solución
Sea P ( t) = 4 0 t 2 + 2 0 0 t + 10000
a) Al 1 de ju lio del 2000 se tiene t = 9 años ; lu e g o , se desea obtener P ’( 9 ) .
S iP ’(t) = 80t + 200 ■=> F ( 9 ) = 8 0 (9 )4 -2 0 0 = 920
Por tanto , para el l de ju lio del 2000 se espera que la población crezca a razón de 920
personas al año.
b)
Al I de ju lio del 2006 se tiene t = 15 años . Luego P’( 15) = 80(15)4-200 = I4 0 0 p o rlo
q u e ,p a ra e l 1 d eju lio del 2006 se espera que la población crezca razón de 1400 personas al
año.
c) La p o b la c ió n q u e h a b rá p ara el l d e ju lio d el 200 0 e stá d ad a p o r P ( 9 ) , e n to n c e s :
P (9 ) = 40(9)2 4-200(9) + 10,000 = 15.040 personas.
L u e g o , para el I de ju lio del 2000 , la intensidad relativa de crecimiento de la población
debe s e r :
P ’(9 )
- W
d)
non
= T Ü ¡>
= 0 051 “
R-
= 6 I%
La población que habrá para el I de ju lio del 2006 debe ser P( 15)
«=* P(15) = 40(15)2 4- 200(15) + 10000 = 22,000 personas
Por lo ta n to , para el I d e julio del 2 0 0 6 . la intensidad relativa de crecimiento de la población
debe ser
= - w
(4 .1 5 )
= ^
)
= aü64 ~
R-
" 6 A%
M O V IM IE N T O R E C T I L Í N E O
Si un móvil se desplaza en línea recta , hablamos de movimiento rectilíneo y se
puede usar una recta horizontal o vertical con un origen designado com o la recta del movimiento
. La dirección será positiva si el movimiento es hacia la derecha y negativa si es hacia la izquier­
da. La función s q u ed a la posición, respecto del o rigen, del móvil como función del tiempo t se
Wtumafunción de posición . S i , sobre un cierto lapso tiempo A t, el objeto cambia su posición
una cantidad
As = s(t 4- A t) - s ( t )
entonces, la razón prom edio de cam bio de la distancia respecto al tiempo viene dada p o r :
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Sección 4. i 5 : Movimiento rectilíneo
483
Cam bio de Distancia
Cam bio de tiem po
_
As
Al
Definición 4.14 : VELOCIDAD PROMEDIO E INSTANTANEA
S is ( t) da la posición en el tiempo t de un objeto que se mueve por una re c ta , la velocidad
promedio del objeto en el intervalo [ t , t + A t] viene dada p o r :
V = —
At
=
&(l + A t ) - s ( t )
Al
(41)
y la velocidad instantánea del objeto en el instante te s •
v ( t) =
lim
s ( t 4- A t) “ S (t)
At
= s ’( t)
(42)
OBSERV A CIO N ES 4.5
a) La velocidad de un objeto móvil es positiva o negativa según que se mueva en dirección
positiva o negativa a lo largo de la línea del movimiento.
b) La rapidez de un objeto en cualquier tiempo es el valor absoluto de la velocidad instantánea,
es un número no negativoque indica sólo cuán rápido se mueve el o b jeto , no en que direc­
ción.
E JE M P L O 6 J
en
a)
b)
c)
d)
La altu ra s en el instante t de una m oneda que se d eja caer desde un
ed ificio viene dada por s(t) = - 16t2 + 1350, con s m edida en pies y t
segundos.
H allar la velocidad prom edioen el intervalo [ 1 ,2 ] •
Hallar la velocidad instantánea para t = I y t = 2
Cuánto tarda en llegar al suelo
Hallar ia velocidad de la moneda al golpear el su elo .
Solución
As = s(t + A t) - s ( t) = -
16 (I + A t)2 + 1 3 5 0 -(- I6t2+ 1350)
=> As = - l6 A t(2 t + At)
a) Velocidad p ro m ed io : V
V = - 1 6 ( 2 t+ A t)
Para t = e [ I , 2] t=> At = 2 - 1 = 1 «=* V = - I6 (2 + 1 ) = - 48 pies/seg.
b) Velocidad instantánea : V (t) = s’(t) = - 32t
E ntonces: V (l) = - 3 2 pies/seg.
y
V(2) = - 6 4 pies/seg.
c) La moneda llegará al suelo cuando s = 0
L u e g o .si s ( t ) = 0
- 16t: + 1 3 5 0 = 0 <=> t = 9.185 seg.
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Capítulo 4: La derivada
484
d) La velocidad de la m oneda al golpear el suelo es
V (9 .185) = -32(9.185) = - 293.9 pies/seg.
Las velocidades negativas nos indican que el objeto se mueve hacia abajo.
■
E JE M P L O 7 j
U n objeto se m ueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecua­
ción de movimiento : s ( t) = t 5 + 3 t 2 -9t + 4 D eterm inarlos intervalos de
tiempo cuando se m ueve el objeto a la derecha y cuando lo haga a la izquierda. También deter­
minar el instante cuando el objeto cam bia de dirección.
Solución
Según la fórmula (4 2 ): v(t) = s’(0 = 3 t5 + 6 t - 9 = 3(t + 3 ) ( t - l )
La velocidad d instantánea es cero cuando t = - 3 y t = I
Significa que el objeto está en reposo en estos tiempos. El objetóse mueve a la derecha si v(t)es
positiva y se m ueve hacia la izquierda si v ( t) es negativa. Entonces determinaremos el signo de
v ( t) para diferentes intervalos de t = - 3 y t = 1 en el siguiente cuadro
Interv alo s
(t+ 3 ) ( l- l)
t < -3
(-> < -)
v(t) = + , el objeto se m ueve a la derecha
t = -3
( 0 .)(-)
v(t) = 0 , e! objeto está cam biando de dirección de
d erecháa izquierda.
-3 < t< 1
(+ )(-)
v(t) = - , el objeto se m ueve a la izquierda
t = 1
< + )(0 )
v(t) = 0 , e lo b je to estác am b ian d o d ed irec ció n d e
izq uierda a derecha
t > I
( + )(+->
v(t) = + , el objeto se m ueve a la derecha.
Conclusiones
F I G U R A 4.2 0
La tabla adjunta determina los valores de s y v para valores particulares de l . El movimiento del
objeto indicado en la Figura4.20 es a lo largo de la recta horizontal, pero el comportamiento del
movimiento esta indicado arriba de la recta.
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Sección 4.15 : Movimiento rectilíneo
485
t
-l
-3
-2
-I
0
1 2
s
24
31 26 15
4
-I
6
V
15
0
-9 -12 -9
0
15
[E JE M P L O 8 j
Una pelota se lanza verticalmente haia arriba desde lo alto de una casa de
112 pies de altura. Su ecuación de movimientos es s = - 16t2+ 96t donde
s pies e s la distancia dirigida de la pelota desde el punto de partida en t seg. H allar : a) La
velocidad instantánea de la pelota en 2 seg. b) La altura máxima que alcanza, c) Cuánto tarda
la pelota al llegar al suelo, d) La velocidad instantánea cuando la pelota llega al suelo.
Solución
a) La velocidad instantáneaen tse g u n d o ses : v ( t) = s’(t) = - 3 2 t + 9 6
Para I = 2 e } v(2) = - 6 4 + 96 = 32 pies/seg.
b) La pelota alcanza su punto más alto cuando la dirección del
movimiento c a m b ia ,e s d e c ir,c u a n d o v (t) = 0 : Haciendo
s ’( t ) = O se tien e:
- 32t + 96 = 0 <=> t = 3 seg.
Entonces cuando t = 3 , el punto más alto que alcanza la pelo­
ta sobre el punto de partida es
h = s(3) = - 16(3)2 + 93(3) = 144 pies
Luego , la máxima altura que alcanza la pelota al nivel del
suelo e s : sm_u = 144+ 112 = 256 pies
c) A nivel del suelo : s(t) = - 16 t2 + 96 + 112
Entonces , si s = 0 , la pelota toca al su e lo . L u e g o , si
- 1 6 t2 + 9 6 t + 112 = 0 ^ t 2 - 6 t - 7 = 0 <=> t =
Por ta n to , la pelota tarda 7 segundos en llegar al suelo
d) Para y = 7 , v(7) = - 32(7) + 9 6 = - 128 pies/seg es la velocidad instantánea cuando la
pelota llega al suelo.
■
Del mismo m odo que hemos obtenido la velocidad derivando la función p osición, obten­
dremos la aceleración derivando la función velocidad.
Definición 4.15 : LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
Si s es la función de posición d e un objeto en movimiento rectilíneo, su aceleración en el
instante, viene dada por
a ( t ) = v ’ ( t)
(43)
donde v ( t ) es la velocidad en el instante L
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Capítulo 4: La derivada
486
[ EJEMPLO 9 j
Solución
C alcular la aceleración de un objeto en caída libre cuya función de posi­
ción es s ( t) = - I 6 t 2 + 5 t + 2 0 0
Por la ecuación (4 2 ): v ( t) = s’(t) <=> v ( t) = - 3 2 t + 5
L uego, la aceleración es : a ( t ) = v ‘ ( t) = -3 2 p ie s/se g 2
Esta aceleración constante se debe a la fuerza de la gravedad.
Nota
■
En caso del movimiento vertical bajo la influencia de la gravedad, la posición de un objeto en
caída libre puede representarse por la ecuación
s(t) = y g t 2 + vui + ^
Aquí, g designa la aceleración gravilacional (g = - 32 pies/seg2 o g = - 980 cm/seg2) , s0 es la altura
inicial del objeto y vu la velocidad inicial con que se suelta. De modo que tenemos como función de
posición.
s ( t) = - 16t2 + v y + s Q
(44)
^
EJEMPLO 10 J H allar la máxima altura que es alcanzada por una bola que es lanzada
hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de v = I28 pies/seg.
Solución
La función de posición es s ( t ) = - I 6 t 2 + I28t + s0
P erocom o s0 = 0 (altura inicial)
s(t) = - I 6 t2 + I28t
( l)
Velocidad instantánea de la b o la : v ( t) = s ’ ( t) = - 3 2 t + l 2 8
Alcanza su máxima altura en el instante en que v(t) = 0 , esto e s , cuando
- 32t + 128 = 0 c * t = 4
Con la sustitución en ( I ) encontram os la m áxim a altura alcanzada por la b o la , que es :
sm¡ut = - 1 6 (4 )2 + 128(4) = 256 pies.
E J E R C IC IO S . Grupo
■
37
1. Demostrar que la razón de variación instantánea del volumen de un cubo, con respecto a la
longitud d e su arista es igual a la mitad del área total del cubo.
2. Cierta población de roedores asciende a P = 100[ I + 0.3t + (0.04)t2j después de t meses.
a) Cuánto tardará esta población en duplicar su tamaño inicial (I = 0) ?
b) Cuál es la razón de crecimiento de la población cuando P = 200 ?
3. El peso de un cilindro variable es siempre el doble de su ra d io . Demuestre que la razón de
cambio de su volumen con respecto a su radio es igual a su área to ta l.
4. Un balón esférico con radio inicial de 5 pulg. comienza a desinflarse en el instante t = 0 y
su rad io , t segundos después , e s r = ( 6 0 - t) /i2 p u lg . A que razón (en pulg3/seg.) salee!
aire del balón cuando t = 30 seg.
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EJERCICIOS
G rupo3 7 :
487
dcrntula tom o razón <¡t vuriuiion
5. La ecuación de ia oferta de una cierta clase de focos es
jr = 1000(4+ 3p + 2p3)
donde se ofrecen x focos cuando el precio unitario es de p centavos (de dolar).
a) Halle la razón prom edio de cambio de !a oferta con respecto al precio cuando éste se
incrementa de 90 a 93 centavos.
b) Calcule la razón de variación instantánea de la oferta con respecto al precio cuando éste
es de 9 0 centavos.
6. Una nave espacial se aproxima al “aterrizaje” en un planeta distante ; su altura “ y ” (en
metros) en el momento t(segundos) está dado por la fórmula y = 100 - lOOt + 2 5t2 .
Cuándo y con qué velocidad golpeará el suelo ?
7. En 1995 , c ie rta c iu d a d te n ía una p o b la c ió n (en m illo n e s) d a d a p o r la fó rm u la
P = 100[l + (0 .0 4 )t + (0.03)t2] .c o n t e n años y t = 0 correspondiente a 1995.
a) Cuál es la razón de cam bio de P en el 2000?
b) Cuál es la razón promedio de cam bio de P de 1998 al 2003?
8. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ecuación de movimiento
dado . Determ inar los intervalos de tiempo cuando se mueva la partícula a la derecha y
cuando lo haga a la izquierda. También determinar el instante cuando la partícula cambia de
dirección. Mostrar el comportamiento del movimiento mediante una gráfica.
a) s = 2 t 5 - 3 t 2 - 121 + 8
b)
s =
c)
s= y ^ T
9. Una bola se empuja de tal forma que tiene una velocidad inicial de 24 pies/seg. hacia abajo
de un plano inclinado , entonces s = 24t + 100t*, donde s pies es la distancia de la bola
desde su punto de partida en t seg. y ladirección positiva es hacia abajo del plano inclinado.
a) Cuál es ia velocidad instantánea de la bola en t, seg.
b) Cuánto tiem po tarda la velocidad en incrementarse en 48 pies/seg.
1 0 .
U n o b je to s e m u e v e e n u n a r e c ta d e a c u e r d o a la e c u a c ió n d e m o v im ie n to
s = t 3 - 1112 + 2 4 t + 100 , donde s pies es la distancia dirigida del objeto desde el
punto de partida en t segundos, a) El objeto está en su punto de partida cuando t = 0.
Para qué otros valores de t se encuentra el objeto en su punto de parida? b) D eterm inar
la velocidad del objeto en cada instante en el que esté en su punto de partida e interpre­
tar el signo de la velocidad en cada caso.
❖ En los ejercicios 11 al 15, usar la función de posición para objetos en caída lib re :
s(t) = - I6t2 + v 0t + su
1 1 .
1 2 .
Se deja caer una piedra desde 600 pies de altu ra , cuál es su velocidad al llegar al suelo?
Para estim ar la altura de un edificio se deja caer desde lo alto una p ie d ra . H allar la altura
del edificio supuesto que la piedra golpea el suelo 6.8 segundo después de soltarla.
13. Se deja caer una piedra (vü = 0) desde lo alto de un edificio de 144 pie de altura, a)
Cuándo golpeará el suelo la piedra? b) Con qué velocidad golpeará la piedra el suelo ?
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488
Capítulo 4: La derivada
14. Un h o m b re , de pie en lo alto de un e d ific io , lanza una bola verticalmente hacia arriba .
Después de 2 segundos la bola pasa ante él en su camino hacia ab ajo . y 2 segundos después
de esto golpea el suelo, a) Cuál es la velocidad inicial de la bala . b) Cuál es la altura del
edificio. c) Cuál es la velocidad de la bola cuando pasa ante el hombre en su camino hacia
abajo, d) Cuál es la velocidad de la bola cuando golpea el suelo ?
15. Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo (su = 0) con una velocidad
inicial de 160 pies/seg.
a) C uándo golpeará la bola el suelo ? b) Con que velocidad golpeará la bola el suelo ?
c) Cuándo alcanza la bola su m áxim a altura? d) Qué altura alcanzará desde el s u e lo .
(4 .1 6 )
R A Z O N E S D E V A R IA C IÓ N R E L A C IO N A D A S
Un problema de razones o tasas de variación relacionadas implica dos cantidades
x e y que varían con respecto al tiempo i y una ecuación (modelo matemático) que expresa
alguna relación entre ellas. Lo usual es que den los valores de esas dos cantidades en algún
instante .junto con la razón de cam bio de una de ellas para determinar la razón de cambio de la
otra variable. Un m étodo com ún de resolución de dicho problema consiste en com enzar con la
derivación implícita de la ecuación que relaciona las cantidades propuestas. M ediante un ejem ­
plo ilustrativo mostraremos el camino paso a paso de com o se resuelven la mayoría de estos
problemas.
( e j e m p l o ! U na cuerda está atada a un bote sobre la superficie del agua y un hom bre ,
en el m u elle, tira del bote a una razón de 48 pies/min . Si sus manos están a
16 pies sobre el nivel del agua , qué tan rápido se aproxima el bote al muelle cuando la longitud
de la cuerda es de 20 pies?
Solución
Los pasos a seguir son los siguientes :
1. Dibujar una fig u ra , si es factible, y definir cada una de las variables
x : el número de pies de la distancia del bote al muelle en t minutos
z : el número de pies de la longitud de la cuerda en t minutos.
2. Escribir cualquier situación numérica acerca de las va- (~~
riables x , z y sus derivadas respecto a t.
C om o el bote es jalad o a razón 48 pies/m in hacia el
muelle (izquierdo):
Para z = 20
jc
—
= - 4 8 pies/min
= V202 - 161 = 12 pies
3. Escribir el m odelo matem ático que relaciona a * y z.
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FIGURA 4 22
Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas
489
Esta ecuación lo obtenemos del teorema de Pitágoras : z 2 = jc2 + I6 3
4.
5.
Derivar los dos miembros de esta ecuación con respecto al tiempo
Sustituir los valores conocidos de x , z y ■
— (Paso 2)
20 ( - 4 8 ) = 12 ( — )
<=> ~
' dX •
= - 8(fpies/min
at
El signo negativo nos indica que* decrece conforme t aumenta
6. Conclusión . L a rapidez con que el bote se aproxima al muelle es de 80 p ies/m in, cuando
éste está a 12 pies del muelle.
■
Ahora haremos un resumen de los pasos del ejem plo ilustrativo anterior.
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS D E TASAS RELACIONADAS
1. Dibujar un diagrama y m arcarcom o variable las diversas cantidades dadas y las cantida­
des a determinar.
2. Leer en el diagrama un modelo matemático que relacione a las variables cuyas razoneso
tasa de cam bio están dadas o han de determinarse.
3. Usando la regla de la cadena derivar implícitamente la ecuación hallada con respecto al
tiempo t.
4. Sustituir los valores de las cantidades conocidas en la ecuación del paso 5 y despejar la
cantidad requerida.
5. Escribir una conclusión que responda las preguntas del problemas.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
E JE M P L O 1 ]
id
Un hombre de 6pies de estatura camina a una tasa de 5 pies/seg, alejándo­
se de una farola de 15 pies de altura. Cuando el hombre está a 10 pies de
la faro la: a) A qué velocidad mueve el extremo de su sombra? b) A qué velocidad cam bia la
longitud de su sombra?
Solución
Refiérase a la Figura 4.23
1. S e a n : x la distancia del hombre a la farola en el tiempo t segundos
z la distancia del extremo de la som bra a la base de la farola en t seg.
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Capítulo 4: La derivada
490
Como el hom bre cami na a razón de 5 pies/seg. hacia
la derecha
^
= 5 pie/seg.
Queremos hallar — ■ cuando
2.
jc
= 10 pies
T ratem os de buscar un m odelo m atem ático q ue re­
laciones x y z por sem ejanza de triángulos . En la
Fisura 4 .2 3 :
z
z-x
<=> 3 z = 5 x
15
F I G U R A 4 .2 3
3.
L adiferenciaciónim plícitada:
4.
a) D ado que — • = 5
= -y
pies/seg. , es la velocidad con que se m ueve la
longitud de la som bra cuando el hombre está a 10 píes de la farola,
b)
La longitud de su sombra es
ds
dt
ddzz
dt
dx
dt
^
- 5 = -y-
pies/seg
es la velocidad con que cam bia la longitud de la sombra.
[ E JE M P L O 2 j
Un abrevadero tiene 12¡n. de largo y extremos que tienen la forma de trián­
gulos isósceles invertidos que miden 3m de altura y 3m de base. El agua
fluye al abrevadero a razón d e 2 m 3/min. Con qué rapidez aumenta el nivel del agua .cuando el
agua tiene Im de profundidad.
Solución
La Figura 4.24 muestra la sección transversal del abrevadero de L = 12m de largo.
1. Sea V el volumen del prim a triangular (Volumen de agua) cuya
base tiene p o rd im en sio n esx y h. El agua fluye al abrevadero a
razón d e 2 m V in ¡n .
E n to n c e s: —
dt
= 2 . Debem os hallar
di
cuando h = 1
2. V = (área de la base) (longitud)
V = (1/2) (h jc )(L ). Para L = 12 ^
V = óhjc
Por sem ejanza de triangular se deduce queje = h o
3. Derivando implícitamente se tiene:
P a ra h =
y -
1 2 < l)(^ L ) «
V = 6hJ
= 1 2 h (-y -J
$
= I m/min
dt
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FIG UR A 4.24
Sección 4.16 ; Rozones de variación relacionadas
E JE M P L O 3
491
J
Una escalera de 20 pies de largo se apoya en una pared inclinada de 60°
respecto a la horizontal . Si la base de la escalera está siendo movida
horizontalmente hacia la pared a razón de I pie/seg, a qué rapidez se mueve la parte superior de
la escalera cuando la base está a 4 pies de la pared?
Solución
1. Sea jc la distancia de la base de la escalera a la pared.
En la Figura 4 .2 5 , el A B H C es un trián­
gulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 30° y
60°, luego si B C = z , entonces
BH = V3 z/2 y HC = z/2
Como la escalera es empujada hacia ¡a pared (izquierda) >=>
= -1 pie/seg.
Debemos hallar
cuandox = 4
dx
2. Una relación entre x y z lo encontramos a partir del
teorema de Pitágoras.
E n e lA A H B :Á H 2 + B H 2 = Á B 2 => ( x + - | ) 2 +
FIGURA 4.25
z ) 2 = 2(F
de donde obtenem os : x 2 + x z + z 2 — 400
( 1)
3. Una derivación implícita nos lleva a :
2*
( £ M t ) + 2 ( £ ) + 2z( f ) = 0
4. En (1 ), para x = 4 se tie n e , z = - 2 + 2^97 . L uego^en el paso (3)
2(4 ) ( - l ) + 4 ( ^ ) + (- 2 + 2V97 ) (-1) + 2 ( - 2 + 2^97 ) ( ^
de donde obtenem os:
dz
di
_ 3 + V97
2V97
) =0
= 0.652 pies/min
[ e je m p lo 4 )
Un triángulo A B C está formado por las tangentes AB y A C en cada extre­
m o de la cuerda B C , perpendicular al eje de la parábola
y 2 = 2(x + 1).
Si BC se acerca al vértice de la parábola a razón de 2 unidades por seg u n d o , con qué rapidez
cambia el área del triángulo cuando BC está a 6 unidades del vértice.
Solución
1. Sea B(xn ,y n) y r = xn + I =* x a = r - I . L u ego, B (r- 1 ,y D)
Como BC se desplaza hacia la izquierda: ^
= -2 u /s e g
Si S = fl(A A B C ), debernos hallar I
I cuando r = 6 unidades
1 dx 1
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Capítulo 4: La derivada
492
2.
S = i
(BC)h = \
B(*0 , >■„).=
^
(2>’„)h => S = y ah
>-0a = 2(x 0 + l)
>n* = 2 r
(I)
En B la pendiente d e la tangente es
„ g a _«=¡> y , = —
yn
m = T
n
(2)
Al derivar la ecuación de la parábola en B(x0, y j se ob­
tiene : y ’ = Myü
(3)
F I G U R A 4 .2 6
De (2) y (3) :
L u eg o , en (1) : h = 2 r , entonces si S = yflh <=> S = V 2r ( 2 r ) = ( 2 r ) w
3. La derivación implícita nos conduce a : ^
4. P a ra r = 6 y ^
(2 r ) 1,2(2) ^
J
= - 2 , el área del triángulo decrece a razón de
^
= 3>ÍÍ2 ( - 2 ) = - 12-s/3 uVseg.
Por lo ta n to , la rapidez de cam bio es j
j
= 12 V3 uz/seg.
E JE M P L O 5 )
Sea el triángulo rectángulo ABO recto en el punto B , el cual se despla­
za sobre la recta .2?,: x + y = 0 . El vértice A se desplaza sobre la curva
V : x = Vy ; variando la abscisa x a razón constante de 4 unidades por seg u n d o . El vértice 0
permanece fijo en el origen de co o rdenadas. H allar la razón de cam bio del área del triángulo
ABO cuando x = 6
Solución
1. Sea A(jr,>’)q u e se d esp lazaso b relacu rv a r£ : x l = y ,.* > 0 , cuya abscisa varía
dx
a razón de — = 4 u/seg.
Com o A € W *=} A ( x , x2) . Las alturas de los triángulos ABO
yacen sobre la familia de rectas £P J_ SP
L u e g o ,s iS ? :jc - y + k = 0 y A e & => x - j p + k = 0
■=> k — x 1 - x
ÁB = d ( A , j? ) =
Se desea calcular
V2
di
y ÓB = d( 0 , 2 ) =
V2
cuando x = 6
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493
Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas
2. A rea de AABO : S = j (AB)(OB) = j
= \ t**--*2)
= ~ (4.x3 - 2x) ~
3. Derivando respecto aJ tiem po se tie n e :
4. Finalmente , paraje = 6 :
^ [4 (6 )3 -2 (6 ) ]( 4 ) = 8 5 2 u 2/seg.
■
E JE M P L O 6 j j
En un d epósito de form a cónica está siendo vertida agua a razón de 8
piesVmin. El cono tiene 20 pies de profundidad y 10 pies de diámetro en
su parte su p erio r. Si tiene una fuga en la base (parte inferior) y el nivel de agua está saliendo a
razón de 1 pulg/min. cuando el agua tiene 16 pies de profundidad , con que rapidez se esta
fugando el agua?
Solución 1 1. Sean R el radio del depósito cónico r : radio del
nivel de agua de volumen V a una profundidad h
Razón de cambio en el volum en de a g u a :
¿V ,
^
= 8 piesVmin
(ritmo constante)
Razón de cam bio en el nivel del agua
^
= I pulg/min =
pies/mín.
d \
—¡— es la razón de cam bio en el aumento del volumen del
a i
V
agua.
i i
_
F I G U R A 4 .2 8
Se desea calcular |
1 , la rapidez con que se fuga el agua cuando h = 16 pies.
2. La ecuación que relaciona la altura h con el volumen de agua V e s :
v
-
“ r = T . i - g ° : V= i H£ ) 2h = f K*
3. Derivando implícitamente obtenem os:
4. Para h = 16 y
h2(
, se tie n e :
j
n piesVmin
La rapidez con que se fuga el agua e s :
dt
d i
di
= 8 - - y J t = - y ( 6 - n ) piesVmin
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■
Capítulo 4: La derivada
494
E JE M P L O 7 j
U n filtro cónico de 18 cm . de profundidad y 6 cm. de radio en la parte
superior . se encuentra lleno de una solución. Esta va pasando a un vaso
cilindrico de 5 cm. de ra d io . Cuando la profundidad de la solución en el filtro es de 10 cm. su
nivel está bajando a razón de 2 cm/min. Hallar la rapidez con que está subiendo la solución en el
v aso , para dicha profundidad.
Solución
l. Con referencia a la Figura 4.29 ;
x : es el radio del filtro cónico a una profundidad y
h : profundidad de la solución en el vaso.
Razón de cam bio en el nivel de la solución
dy
—r~ = -2 cm/min
di
Por determ inar:
(ritmo constante)
di
2. Volumen de! filtro cónico : V = y x 2y
x
y
Por semejanza de triángulos: ~r = t k «=>
6
le
Luego:
V ( ,) = j ( | )
>■= ^
jc =
—
v
3
O '1)
3. Derivando con respecto a t se tien e:
dV
di
4. Para y = 10 «=s>
dV
di
K ■>( d y \
9 ' di *
200
= £ ( 10)-(-2) = - ^
Ttcm2/min
9
F I G U R A 4.2 9
En el c ilin d ro : V, = ít( 5 ) : h = 25rth
^
di
=25n t m
\ di I
En el instante en que la solución está a lOcm. de profundidad en el filtro cónico, la rapidez
con que está bajando debe ser igual a la rapidez con que está subiendo en el v a so , esto es
dV 1
di 1 "
dV,
di
p p n = 2 5 it(4 M «
9
v di /
di
[ EJEMPLO 8 ]
= p cm/min
9
■
Un automóvil que viaja a razón d e3 0 p ies/seg . se acerca a una intersec­
ción . Cuando el automóvil está a 120 pies de la intersección, un camión
que viaja a razón de 40 pies/seg. cruza a la intersección . Si el automóvil y el camión están en
carreteras que forman ángulos rectos una con respecto a la o tra ; con qué rapidez se separan el
automóvil y el camión 2 segundos después de que el camión pasó por la intersección.
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Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas
Solución
495
1. S e a * ia distancia entre el automóvil y el camión en un instante t . En este
tie m p o :
s ,= Ó Á = 3 0 t •=> ÁP = 120 - 3 0 t
s, = PC = 4 0 t *
Debemos hallar
dt
cuando t = 2 seg.
2. En el A A P C : ÁC’ = A P + PC 2
a
jc
= (1 2 0 - 3 0 t)2 + (40t)-
3. Derivando respecto al tiem po se tiene :
F I G U R A 4 .3 0
2 x ( - ^ - j = 2 ( l2 0 - 3 0 t) ( - 3 0 ) + 2(1600t)
(1 1
De d o n d e :
d x
di
=
lO Q
p
.- 3 6 )
\
x
En el paso ( 2 ), para t = 2 obtenemos : jr3 = 602 + 802 <=> * = 100
4.
Luego en (3 ), la rapidez con que .se separan el automóvil y el camión después de 2 segundos
es:
~
= 2 5 (2 )-3 6 = 14 pies/seg.
f EJEMPLO 9 J
D os aviones A y B están volando al Este a la misma altitud . El avión A
lleva una velocidad de 600 millas/h y el avión B una velocidad de 400
millas/h . Al mediodía el avión A está a 50 millas al norte del avión B . Con qué velocidad se
separan ambos a la I pm?
Solución
1. Sean Q y T las posiciones d e los aviones A y B , respectivam ente, al cabo de
t horas y sea s = TQ
Entonces : PQ = 6 0 0 1 y RT = 4 0 0 1
A la s I2M : f C = 5 0 millas y RT = PC = 400t
r
Como CQ = PQ - PC <=$ C Q = 2 0 0 1
2. En el A T C Q : f Q 2 = f e 2 + CQ3
o
s = V (50)2 + (2 0 0 t)2
J-2M
3. Derivando respecto al tiem po obtenem os:
ds
dl
F I G U R A 4.31
400001
V2500 + 40000t2
Desde las 12M hasta la 1PM , esto es , en una hora los aviones se han separado s millas .
L u eg o , para t = 1
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Capítulo 4: La derivada
496
4.
41 =
di
= 194.17 millas/hora
VT7
es la velocidad con que se separan ambos aviones a la 1 PM
(e je m p lo 10 )
Un vehículo se dirige hacia el Sur a una velocidad de 15 km /h y otro lo
hace hacia el Este a la velocidad de 10 k m /h . A las 3 de la tarde el segundo
vehículo pasó por el punto donde el primero estuvo una hora an tes. a) Con qué rapidez cambia­
ba ia distancia entre los vehículos a la IPM ? b) y a las 4 de la tarde ? c) A qué hora no
cambiaba la distancia entre ello s?
Solución
1. Sean A (0 ,y ) y B (x , 0) las posiciones respecti v a s, Sur y E ste , de los vehículos
en un sistema de coordenadas.
Com o datos ten em o s: d x = 10 y
dt
■ = - 1 5 . Debemos
dX
, cuando t = I y t = 4
2. En la Figura 4.32 , por el teorema de Pitágoras s2 = x 1 + y 2
3. Derivando implícitamente respecto al tiempo se tiene
~
f
" 10 ( í ) - 15 ( t )
Según el p roblem a, a las 3 PM el vehículo B se encuentra
en el origen y el vehículo A , que había pasado I hora antes,
se encuentra a 15(1) = 15 km al Sur del o rig en , esto e s , en
el punto P ( 0 , -1 5 ).
L uego, las ecuaciones de movimiento de los vehículos A y
B , las 3 PM son , A : y = - 1 5 ( t- 3 ) - 15 = - l 5 t + 30
B : x = 10(t - 3) = 1 0 t- 3 0
x = 1 0 -3 0 = - 2 0 , y = - 15 + 30 = 15
4. a) Para t = I
s = -Jx 2 + y 2 = V400 + 225 = 25
En el paso (3) : ^
= 10 ( -
) - 15 ( ^ | ) = - 17 k m /h
Por ta n to , la distancia s decrece a razón de I7km/h
' jr = 1 0 (4 -3 ) = 10
, y = - !5(4) + 30 = - 3 0
b) Para t = 4 «=>
s = Vx2 + y 2 = VlOO + 900 =
En el paso (3) : *
ÍOVTO
10
\
IS ( ^ M
) . IW Ü
10x100 '
v \Qy¡\Q '
2
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= 10 (
k m /h
497
Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas
En consecuencia. s crece a razón de 17.38 k m /h
c)
No cam bia la distancia entre A y B cuando
=0
Entonces en (3) : I 0 ^ y ) - 1 5 ( y j = 0 í = > 2 . r = 3y
»
2(10t - 30) = 3(- I5 t + 3 0 )
de donde obtenem os : t = - y j = 2h 18minPM
EJEMPLO 11 j
Un autom óvil cam ino a una ciudad , pasa por un p u e n te , en el mism o
instante en que un tren lo cruza por abajo y perpendicularmente . El auto
v a a 4 0 k m /h y el tren a 2 0 k m /h .S i el puente está a 30 m sobre el riel ,con qué rapidez se están
separando el auto y el tren 10 minutos después de haberse cruzado?
Solución
1. Sean x e y las distancias recorridas por el automóvil y el tren al cabo de t horas,
respectivam ente, y z la distancia que los separa en el mismo tiempo.
Seconocen
di
= 40 km /h y
Se desea determinar
3
di
di
= 2 0 k m /h
cuando t = lOm in.
2. En la Figura 4.33 se observa que z e s la diagonal de
un paralelepípedo de dimensiones x , y , 0.03 , en­
tonces :
Z" = x 1 + y 2 + (0 .0 3 )2
3. Laderivación im plícita, con respecto a t . n o s d a :
dz\
.. I d x \ . .. / d y \
F I G U R A 4 .3 3
dz
4. Para t = lOmin = y- hora : x - 40(1/6) = 20/3 ; y - 20(1/6) = 10/3
Luego : z = ^ { 2 m )2 + (10/3)’ + (0.03)2 =
km
Sustituyendo estos valores en el paso (3) obtenemos :
É l = 4 0 (-^ M +
dt
\ 22.36 l
20 f —
\ 22.36 I
\ 22.36 I
= 4 47
Conclusión . En el instante en cuestión . el auto y el tren se separan con una rapidez de 4.47
k m /h
■
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498
Capitulo 4: La derivada
EJEMPLO 12 j
L a cubierta de una barcaza se encuentra 4m m ás abajo de la altura del
muelle . Tirando la barcaza, la hacen acercarse para que se ponga al lado
del m uelle«mediante un cable el cual va devanándose en un cabrestante a 2 m/scg. Qué acelera­
ción experim enta la barcaza al moverse en el m omento en que dista 8m del m uelle (en línea
horizontal)
Solución
l. S ea* la distancia de la barcaza al m u elle,
y sea z la longitud del cable .
Si
Se desea calcular
= - 2 m /seg
(ritmo constante)
P
d -x
, cu andox = 8m.
d i2
2. Por el teorem a de Pitágoras : z2 = x2 + 16
.1
3. Derivando implícitamente con respecto a t , se tiene :
(£) =
Para x = 8 , z 2 = 6 4 + l 6
4.
F I G U R A 4.34
dx
* ( d£i )
(0
z = 4‘\Í5 ; luego en ( I) :
dx
= - VJ
Al derivar nuevamente los dos miembros de (1) con respecto, se obtiene
*(& )♦(£)(£)-'(£)*(£)(£)
Com o la barcaza se tira uniformemente , se sigue que
° H
-
( £ ) ’ - ' ( &
)
♦ ( £ ) ’ «
d 2z
, ,
d i1
= 0
C-2)= = 8 ( ^ )
+ < -V 5 f
de donde obtenem os : ~ 4 - = - 4- = -0 .1 2 5
d io
Conclusión . La aceleración decreciente que experimenta la barcaza al momento que dista 8in
del muel le es de 0 .125 m/seg2.
■
EJEM PLO 13 J Un automóvil viaja a la velocidad de 120 km/h sobre una pista circular en
cuyo centro 0 hay una fuente de lu z . A que velocidad se mueve la sombra
del automóvil sobre una pared tangente a la pista en un punió P , cuando ha recorrido I/6 de la
pista desde P.
Solución
1. Designemos las distancia PT = x y PA = s . como se indica en la Figura 4.35
Se conoce que
= 120 km /h y s = 1/6 de vuelta . Luego , cuando el
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Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas
499
automóvil ha recorrido 1/6 de vuelta entonces
0 = 1 (2 jt) = m
El objetivo es hallar
, cuando 8 = jt/3
2. Del diagrama buscamos una relación entre x y 0 me­
diante la trigonometría.
E n e lA O P T : x = r -T g0
F I G U R A 4.35
3. Derivamos esta ecuación respecto al tiempo para obtener
di
Pero com o s = r0 o
E rla e c u a c ió n (I) : *
0 = y ; luego :
= ~ (~
= r Sec=0 [ I ( *
4. Para 0 = Jt/3, se tie n e : ~
di
(I)
= r Sec2 0 (
)
\ di i
)
) ] = Sec=0 ( *
)
= Sec2 -v (120) = 480
x
Conclusión . La som bra del automóvil se mueve a una razón d e4 8 0 k m /h
( EJEMPLO 14~) En la Figura 4.36 vemos un brazo de 7 pulgadas que conecta un pistón
con una biela de 3 pulgadas de radio, la cual gira en sentido contrario a las
agujas del reloj a un ritmo constante de 200 revoluciones por minuto. Hallar la velocidad del
pistón cuando 0 = 60°
Solución
E sto e s
1. C om o una revolución com pleta corresponde a 2n radianes podem os hallar
el ritm o constante en radianes por m inuto.
di
= 2 0 0 (2ic) = 400jirad/m in.
El objetivo es hallar
para 0 = 60°
2. Una relación entre* y 8 lo conseguimos por trigono­
metría (ley de los cosenos)
T = 3 2+Jta -2 (3 )x C o s0
de donde :
j^-éixC os© = 40
F I G U R A 4.36
(1)
3. Por derivación implícita con respecto al tiempo obtenemos
2* ( f F r í - ' M - f ) + ° * e ( £ ) ] = ° -
f
6x Sen 0
= 6 Cos0 - 2 x
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(f)®
Capitulo 4: La derivada
500
4.
Cuando© = 6 0 °, en la ecuación ( I ) tenem os :
x 7 - 6*( 1/2) = 4 0 * = > * 3 - 3 * - 4 0 = 0 « * = 8 v * = - 5
Sustituyendo la solución positivax — 8 en la ecuación (2 ), se tiene :
£
■ 6((| « S )
= - 4018 pulg/m in
La velocidad es negativa por que el pistón se mueve hacia la izquierda.
■
EJEMPLO 15^ Un observador situado a nivel del su e lo , divisa por un telescopio que un
avión está a 7 km. d ealtu ray vuela horizontalmente a razón de 600km /h.
H allar:
a) La razón de cam bio del ángulo de observación del telescopio cuando el avión está a una
distancia horizontal de 25 km del observador.
b) La razón de cambio del ángulo cuando el avión está directamente encim a del observador.
Solución
1. Para em pezar, en la Figura 4 .3 7 , se muestra
un diagrama indicando las cantidades rele- ^
vantes: x la distancia horizontal del avión al observadory
0 el ángulo de observación del telescopio.
C onocem os: h = 7 km y
= - 600 k m /h
at
(El ritmo constante es negativo porque el avión avanza
hacia la izquierda.
El objetivo es hallar
F I G U R A 4 .3 7
cuando* = 24 km . y * = 0
2. Una relación entre * y © es : Tg © = x/7
3. Derivamos está ecuación respecto al tiempo t
(£) =4 ( £ ) ~
de
di
600
Cos2©
(I)
El signo negativo r e f l e j a q u e 0 es decreciente
4. P ara* = 24 , s2 = 243 + 73 = 625 => s = 25 y Cos© = ^
a) Por tanto , en ( I ) :
dQ
di
600 / _7_ \ 2 =
7 \1 225
5 1I
^
168
rad/h
25
b) Cuando el avión está exactam ente en la vertical del observador 0 = 0 y Cos 0 = 1 ,
entonces en (1 ):
de
di
600
7
rad /h
Obsérvese que el telescopio se m ueve mucho más rápidamente cuando el avión está
sobre la vertical.
■
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Sección 4.1 : Razones ele variación relaciónetelas
501
E JE M P L O 1 6 ^
Un cuerpo M se mueve a razón de 5 m/seg a lo largo del diámetro de un
patio circular (llamémosle A B ). U na luz ubicada en uno de los extremos
de un diám etro perpendicular a AB , proyecta la sombra a lo largo de la pared cuando M se
encuentra a r/3 del centro del patio (A B ). Con qué rapidez se mueve la sombra a lo largo de la
pared circular.
La Figura 4.38 muestra el diagram a donde se
indican las cantidades relevantes.
.•
- ...
F,
x = O M , la distancia del cuerpo M al centro del patio
/
s = Q P ,e l arcoquedescribe la sombra del cuerpo M en la
pared circular.
at íi
\\
0 = el án g u lo in sc rito q u e su b tie n d e el arco QP
(0 = I /2 Q P )
r f
mA
/ j*
\
1o
z
l.
b *
r
c K —
>
a = ángulo central ( a = Q P ) t=> a = 2 0
Como ritmo constante se tien e:
dt
F I G U R A 4.3 8
= 5 m/seg
e
El objetivo es hallar la variación de s Testo es
Si a = 20 y s i s = a r
s = 20r ■=>
3
i
Solución
d\.
, cuando jr = r/3
= 2rf-^-)
\ dt ¡
(1)
2. Una ecuación que relaciona* y 0 es : x = rT g 0
3. Como ambas variables son funciones del tiem p o , entonces
f
= rS e c * 0 (f ) =r(1+T g=0)(f )
4. En el instante en que x =*
^ o .e „ ( 2 ) :f
(2)
«=> Tg0 = ~
= , ( l + i ) ( f )
= _9_
2r
Sustituyendo en (1 ): — ■= 2 r ( - ^ ; ) = 9
Conclusión. L a rapidez con que se m ueve la som bra a lo largo de la pared circular es de
9 m/seg.
■
EJEMPLO 1 7 j En la Figura 4.39 se tiene un sector circular PAC de radio A P , donde
A = ( 0 ,5 ) y B = ( 0 ,1 0 ) , (prolongación de P C ), son fijos y P se desplaza
sobre el eje X hacia la derecha con una velocidad constante v = 2 m /seg habiendo partido del
origen. En qué intervalo o intervalos de tiem p o , la rapidez con que varía el área del sector es
positiva?
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Capitulo 4: La derivada
S02
Solución
1. Sean r el radio y G el ángulo del sector circular
PAC de área S < = > S = - ^ 0 r 2
(1)
El objetivo es expresar 0 y r en función de la variable ^cono­
ciendo que
= 2 m/seg
En cualquier posición de P se c u m p le : 0 = a - p
t=> T g 0 =
T g a-T g P
1 + T g a *TgP
P ero , T g a =
y
L ueg o , en (2) se obtiene: Tg0 =
TgP = ^
|
F I G U R A 4 .3 9
5x
x 2 + 50
En el A A O P , por el teorema de Pitágoras : r2 = x 2 + 52
2. Sustituyendo en (1) estos dos valores se tie n e :
S(jc) = y
arc Tg (
) • (x* + 2 5 )
3. Derivamos esta función con respecto al tiem po y sustituyendo
= 2 obtenem os:
d s = 5(x2 + 50X50 - x 2)
dt
( x 2 + 50)2
4.
Para que
ds
sea siem pre positivo bastará que 50 - x2 sea p ositivo, pues las otras expre­
siones son positivas V x > 0 .
L u e g o , si 50 - x2 > 0 >=> x < ^Í50 = 7.07 , es d e c ir, si x e [ 0 ,7 ] >=>
En un movimiento rectilíneo uniform e, e = v t
Como e = x € [ 0 ,7 ] y v =
>0
t=> t = e t \
= 2 m/seg >=> t e [ 0 , 3.5]
E J E R C IC IO S . Grupo
38
1. La arena que empieza a vaciarse en una tolva a razón de 10 pies/seg, form a una pila cónica
cuya altura es el doble de su radio. A qué razón aumenta el radio de la pila cuando su altura
es de 5 pies?
2. Una mancha de petróleo de grosor uniform e ha sido causada por el derram e de 1 m3 de
petróleo. El grosor de la mancha está disminuyendo a razón de I c m /h . A qué razón aumen­
ta el radio de la mancha cuando mide 8 m?
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EJERCICIOS . Grupa 3 H : Razones de variaciim reUttuiruiJüi
503
3. Un cóm ela se desplaza en el aire en dirección horizontal a una altura de 400 pies y a razón
de 10 p ies/seg, alejándose de la persona que sostiene la cuerda de la c o m e ta , al nivel del
piso. A qué razón se está soltando la cuerda cuando ya se soltaron 500 pies de ella?
4. Un aeroplano vuela en dirección horizontal a una altura de 3 millas . con una velocidad de
480 millas/h y pasa directamente arriba de un observador en el suelo . Con qué rapidez
aumenta la distancia del observador al aeroplano 30 seg. más ta rd e .
5. Una escalera de 41 pies de longitud ha sido apoyada contra un muro vertical. Ha comenza­
do a resbar de m odo que su tope se desliza hacia abajo del muro mientras que su base se
mueve sobre el su e lo ; la base va a una velocidad constante de 10 pies/seg. Con que rapidez
se mueve el tope de la escalera cuando está a 9 pies sobre el suelo ?
6.
La altura de un cono dism inuye 4 cm/seg .mientras que su radio aumenta a 2 cm/seg.
Cuando el radio mide 4 cm. y la altura 6cm , está creciendo o decreciendo el volumen del
cono ? Cuál es la razón de cambio del volumen ?
7. Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de radar situada en
el su e lo . a 4 millas de la rampa de lanzamiento. Cuál es la velocidad vertical del cohete
cuando está a 5 millas de la estación de radar si su distancia aumenta a razón de 3,600
millas/h.
8. En el tiempo t = 0 , un je t militar monomotor vuela rumbo al Este a 12 millas/min. A la
m ism a altura y 208 millas adelante de é l , todavía en el tiempo t = 0 , un avión comercial
vuela rumbo al Norte a 8 millas/min. Cuándo estarán los dos aeroplanos más cerca uno del
otro? Cual es la distancia mínima entre ellos?
9. Un tanque de agua tiene la forma de un co n o , con eje vertical y vértice hacia ab ajo . El radio
del tanque es de 3 pies y la altura de 8 p ie s . El tanque está lleno de agua al principio, pero
en el tiempo t = 0 (seg.) se abre pequeño orificio en el vértice y el tanque comienza a
desag u ar. Cuando la altura del agua en el tanque ha bajado a 3 pies fluye hacia afuera a
0.02 pies3/seg. A que razón está bajando el nivel del agua en ese momento ?
10. Está escurriendo arena de un tanque arazón de I20ítpies3/seg. La arena que cae forma una
pila cónica sobre el su e lo , la altura del cono es siempre 1/3 del radio de su b a se . Con qué
rapidez aumenta la altura cuando la pila mide 20 pies de altura ?.
11. Un punióse mueve sobre la curva je2+ y 2- 4 x = 0 , y > 0 , cuando la abscisa del p u n tees 3
unidades su velocidad (de la abscisa) es de 5 unidades/seg. H allarla velocidad de su orde­
nada y la rapidez con que la distancia del origen cam bia en ese mismo instante.
12. Sean B y C dos puntos de la parábola y = x2 tal que BC es perpendicular a su eje . Las
tangentes a la parábola en los puntos B y C se cortan en A de manera que forman el A A B C .
Si BC se mantiene perpendicular al eje de la parábola y se acerca su vértice con uria veloci­
dad de 2 unid/seg, hallar la velocidad con que se desplaza el vértice A y la velocidad con
que varia el área del A A B C cuando BC dista 4 unidades de) vértice de la parábola.
13. Una lámpara está colgada a 3.50 m sobre una recta horizontal. Un hombre de 1.50 m de
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Capítulo 4: La derivada
504
estatura cam ina alejándose de la luz a razón de 24 m/min. a) Con que rapidez se alarga la
sombra? b) Con qué rapidez se mueve la punta de la sombra del hombre? c) Si el hombre
hace ronda siguiendo la trayectoriax 2+ )2 = 12 y el loco está en un poste de 6 m de altura,
ubicado en el punto ( - 9 , 0 ) , cuál es la trayectoria de la punta de la sombra de! hombre ?
14. Un abrevadero horizontal tiene 16 pies de largo y sus extremos son trapezoides con una
altura de 4 p ie s , base menor de 4 pies y base m ayor de 6 p ie s. Se vierte agua en el abreva­
dero a razón de 10 piesVmin. Con qué rapidez crece el nivel del agua cuando ésta tiene 2
pies de profundidad?
15. Una piscina rectangular de 25 pies de ancho y 40 pies de largo tiene 3 pies de profundidad
en un extremo y 9 pies en el otro extrem o, siendo el fondo un plano inclinado de 25 pies de
ancho. Si se bombea agua al interior de la piscina a razón de 10 piesVmin ;a q u é velocidad
se está elevando el nivel del agua cuando tal nivel está a 4 pies de la parte más profunda ?
16. U na pieza tiene la form a de un tronco de cono circular recto (Figura 4 .4 0 ). Se sabe que el
radio de la base menor es de 5 cm. y forma con la generatriz un ángulo de 120° . Si dicha
pieza se sumerge en un estanque de agua con una rapidez de 2 cm /seg , m anteniéndose su
eje perpendicular a la superficie del agua que es un plano; con qué rapidez va desaparecien­
do la superficie lateral del tronco de cono cuando su base menor está a una profundidad de
lOcm.?
(Area lateral del tronco de cono = rcg(R + r ) )
17. En la Figura 4.41 , las rectas
y ■2'1 son tales que /f x fl
= {(3 , 4)} . Estas rectas
empiezan a girar alrededor del punto de intersección, de manera que sus intersecciones A y
B con el eje X se desplazan con velocidades : VA = 4 u/seg y VB = 10 u /se g , respectiva­
mente . Encontrar la razón de variación instantánea del área del cuadrilátero OAPQ cuando
OA y OB miden ambas 6 u.
J
F I G U R A 4.40
F I G U R A 4.41
18. Un buque navega hacia el Sur a una velocidad de 6 m illas/h; otro navega hacia el Este a una
velocidad de 8 m illas/h. A las 4 de la tarde el segundo cruzó la ruta del primero en el punto
por el que éste había pasado dos horas a n tes. a) Cómo variaba ladistancia entre los buques
a la 3 P M . b) C ó m o a la s 5 P M ? c ) Cuando no variaba la distancia entre ellos ?
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EJERCICIOS . Grupo 3H : Razones de variación relacionarlav
505
19. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con un vértice hacia ab ajo . Su
altura es de 10 m y el radio de la base de 5 m . El agua sale por el fondo de modo constante
a razón de 1 mVseg. Se vierte el agua en el depósito a razón d e c in 3/seg .C alculare de modo
que el nivel del agua asciende a razón de 4 m/seg en el instante en que el agua alcance la
altura de 8 m.
20. Si A es la intersección de dos vías perpendiculares, un móvil M, pasa por A a las 9 am en
dirección Norte a razón de 60 k m /h . Un móvil M j. pasa por A en dirección Este a la 10 am.
en el mismo día a 90 k m /h . Hallar la razón de la distancia entre los dos móviles a las 11 am.
dei mismo día.
21. Un observador contempla un avión que se aproxima a una velocidad de 500 millas/h y a una
altura de 3 m illa s. A qué ritmo está cambiando con respecto a) tiempo el ángulo de eleva­
ción de la línea d e visión del observador cuando la distancia horizontal entre el avión y el
observador es de 4 millas ?
22. Una persona de 6 pies de altura está contemplando una farola de 18 pies de altura mientras
camina hacia ella a una velocidad de 5 pies/seg. A qué ritmo está cambiando el ángulo de
elevación de la línea de visión de la persona con respecto al tiempo cuando está a 9 pies de
la base de la farola ?.
23. Un ayudante está de pie al fin de un embarcadero a 12 pies por encim a del agua y está
estirando de una cuerda atad aa un bote de remos a un ritmo de 4 pies de cuerda por minuto.
A qué ritmo esta cam biando el ángulo que la cuerda forma con la superficie del agua con
respecto al tiem po cuando el bote está a 16 pies del embarcadero ? .
24. Las longitudes de los lados de un triángulo son 15 cm. y 20 cm. Si el ángulo formado por
dichos lados aumenta a razón de 2° por segundo , hallar : a) La rapidez de variación del
tercer lado cuando el ángulo entre estas dos es de 60°. b) La rapidez de variación del área
del triángulo.
25. Una b arrera, en un paso a n iv e l, tiene dos brazos que giran alrededor del mismo eje OY
(Figura 4 .4 2 ). El brazo OA mide 6 m , el brazo OB mide 8m y ambos giran a razón de 25
rad/min. Con qué velocidad (en m/seg) se acercan los extremos A y B en el instante en que
6 = 45° ?
26. El AABP de la Figura 4 .4 3 , los vértices A ( a , 0) y B(¿>, 0) son puntos fijos y el tercer vértice
P se desplaza siguiéndola dirección positiva del eje Y , con una velocidad de v = "íab ¡ 15
m/seg, habiendo partido del origen de coordenadas. A partir de que instante la rapidez con
que varia q empieza a se negativa ?
27. Un cuadro de 4 pies de altura se coloca sobre una pared con su base 3 pies arriba del ojo de
un observador. Si el observador se acerca a la pared a razón de 4 pies/seg. con qué rapidez
está cambiando la medida del ángulo subtendido en su ojo por el cuadro cuando el observa­
dor está a 10 pies de la pared.
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Capítulo 4: La derivaíla
506
F I G U R A 4.42
J
28. Un faroesiá a 1/2 milla de un cam ino recto y mantiene su luz fija en un automóvil que está
viajando a la rapidez constante de 60 millas/h . H allar la rapidez a la cual el rayo de luz está
cambiando de dirección, a) cuandoel automóvil está en el punto del camino más cercano al
f a r o y .b ) cuando el automóvil está a l/2 m illa c a m in o a b a jo d ee step u n to .
29. Un cuerpo M se mueve a razón de 5 m/seg. a lo largo del diámetro de un patio circular. Una
luz ubicada en uno de los extrem os de un diám etro perpendicular al an terio r. proyecta la
som bra de M sobre la pared circu lar. Con qué rapidez se mueve la sombra a lo largo de la
pared cuando M se encuentra a r/2 metros sobre el centro del patio ? (r es el radio de! patio)
30. Un em budo de forma cónica tiene un diámetro de lOpulg. en su parte superior y 8 pulg. de
profundidad. El agua entra al embudo a una razón de 12 pulgVseg. y sale de él a una razón
de 4 pulgVseg. Qué tan rápido se eleva la superficie del agua cuando ésta tiene una profun­
didad de 5 pulg. ?
[4 .1 7 )
D IF E R E N C IA L E S
Sea y = f ( x ) una función derivable en su d om inio, entonces
a) La d ife r e n c ia l de x , e s cu alq u ier núm ero real no nulo , que se define p o r la relación:
dx = Ax
b) La diferencial de y , denotada por d y o d f , se define por la relación
dy = f \ x ) . dx
(44)
es d e c ir, la diferencial de una función es igual al produc­
to de su derivada por la diferencial de la variable indepen­
diente .
La Figura 4.44 m uestra la interpretación geom étrica de
estas dos definiciones:
AB = PR t=> Ax = d x
En el A PR T : T g a =
RT
PR
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507
Sección 4.17 : Diferenciales
de donde:
R T = f ‘( x ) . PR
dy - f'{x )‘dx
Ay - d y
i=> A y = d y + e A j c
El ejemplo que sigue com para los valores de d y y A y
ÍQ
=
R Q -R T
<=> e A j c =
[ EJEMPLO 1. j Sea la función y = x 2 + x - 1 , hallar dy cuando jc = 1 y dx = 0 . I .
Comparar este valor con Ay cuando x = 1 y Ax = 0 .1
Solución
Si f(x) = x 2 + jc -1 <=}■ x) = 2x + l
Por la ecuación (44) : dy = f ( x ) • dx «=* dy = [ 2 (1 )+ 1] • (0.1) = 0.30
El verdadero cambio en f es : Ay = /( x + A jc )-/(jc ) = (jc + Ajr)2 + (jr+ A x ) - I
A y = Ajc
+ I + Ají)
(2x
Para Ajc = 0.1 y x = i , se tiene : Ay = ü. I (2 + I + 0 .1) = 0 .3 1
En consecuencia:
A y - dy = 0.31 -0 .3 0 = 0 .0 1
■
Para la función de este ejem plo confeccionamos la siguiente tabla para valores de Ajc = 0.1 ,
0.01 yO.001 , y vemos que dy se aproxim aaA y cada vez más exactamente cuando A jc tiende
hacia cero.
dx - Ax
dy
Ay
Ay - d y
0.100
0.300
0.310000
0.010000
0.010
0.030
0.031000
0.000100
0.001
0.003
0.003100
0.000001
Nótese en la tabla que cuando Ax decrece en décimas , Ay - d y decrece en centésimas.
OBSERV A CIÓ N 4.6
L a validez de la recta com o aproximante a una curva proviene de su
definición com o lím ite . Es d e c ir, la existencia del límite.
/■ ( ,) -
lin,
[ £ ) .
Ax - » 0 ' A A : /
Aj - * 0
(,)
A*
implica que cuando A x está próximo a cero ( en menos de 5 unidades ) entonces / ’(x) está
próximo al cociente incremental de £ unidades, lu e g o , si designamos por £ la diferencia entre
—— y / ’( * ).ten em o sq u e
**
Ay
- ¿ = / ’(*) + £ , A x * 0
(2)
y si multiplicamos am bos extremos de la ecuación (2 )porA x obtenemos
Ay = f (jc) • A r + EAx
(3)
En consecuencia, si A jc se aproxim a a c e ro , £ tiende a cero y e A a también se aproxima a cero.
Es decir
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Capítulo 4; luí derivada
50»
Ay = f ( x ) • Ax , A ^ 0
(4)
o b ien :
Ay = d y , ¿7x9*0
En qué sentido la diferencial dy es una buena estimación para el incremento Ay ? Formalicemos
este resultado en el siguiente teorema.
TE O R E M A 4.21 : El tam año relativo de d y y Ay
Sea / una función derivable en un número x y supongam os que f ' ( x ) * 0 . Si d x = A x .
en to n ces:
iéi) = l
A í - » ooA
\
D em ostración
d yv /
Consideremos el cociente
Ay
dy
Ay
f(x)»dx
_
/i A
Ay£ \ /
J \
\A x )\f'(x ))
Puesto que f ' {x ) 9*0, la división está perm itida. Luego
¿u -» o ' d y I
a * -» o v Ax f \ f (x) I
lim
(A> )
aa -» o '
dy
' / (*)
= :
>
(4 .1 7 .1 ) P R O P A G A C IÓ N D E E R R O R E S
M uchos profesionales tienden a usar con am plia libertad la aproximación de Ay
por d y . Tal ocurre por ejemplo en la estim ación de errores propagadas por los sistem as de
medición físico s. A s í, supongamos que / es una función de una variable x ;la cual es objeto de
medición y hay un error Ax en la medida del valor d e x , es d e c ir, la función puede tener el valor
exacto / ( x + Ax) en lugar del valor m e d id o /(x ). El error de la función A/ = /( x + Ax) - f ( x ) se
llama error propagado.
fcjTtx <Jc medida
f ( x
4
" ¿ O
V a lo r exacto
-
/ O )
Valor medido
=
A /
E rro r
propagado
A/
/ ( x + A x ) - /( x )
El error relativo es sim plem ente : e t = - j - = -------- j ---------Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(45)
Sección 4.17 : Diferenciales
509
Sin em bargo, en cálculos de estimaciones es conveniente utilizar la aproximación para el error
relativo.
d¿
f
y e\ error p orcentual e s :
f ’( x ) . d x
"
(46)
m
e = e f x 100
E JE M P L O 2 j
L a medida del radio de una esfera es de 6 c m ., con un margen de error de
0.02 cm. Estimar el error propagado al calcular a) su volumen y b) su
á re a . c) Hallar los errores porcentuales en a) y b).
Solución
a) El volumen de la esfera es : V = - ^ 7 tr 3 .d o n d e r = 6 ni y
- 0.002 < Ar < 0.02 , es el margen del error posible.
Estimación del error p ropagado: d \ = AV r=> d V = 4 n r 2d r
cz? d V = 4 jt(6 )3 (± 0.02) = + 2 .8 8 cm3
b) Area de la esfera : A = 4rcr2 o
d A - 8 n r • dr
■=? d A = 8 n ( 6 ) (± 0.02) = ± 0.967tcm 3
c) Que tan grande o pequeño es la estimación del error propagado lo determ inam os, en ambos
caso s, por el error relativo .
i- ^
d \
E na) : , r = —
=
4 n r 2d r
n( dr \
n l ± 0.02 \
„
= 3 ( — ) = 3 ( ----- g— ) = * 0.01
e p = 1 0 0 er n=> e p = 1%
En b) • « , = #
V
=
4 n r-
= 2 Í — ) = 2 (
V r /
\
6
) = ± 0^2
/
3
e p = 100«r c=$ e p = 2 / 3 %
[’ EJEMPLO 3 ^
El período de un péndulo viene dado p o rT = 2jWL/g , donde L es la
longitud del péndulo en p ies, g la aceleración de la gravedad y T el tiempo
en segundos. Si el péndulo se somete a calentamiento de modo tal que su longitud aumenta en
1/2 por 100.
a) Hallar el cambio porcentual aproximado del período.
b) Usando la parte (a) hallar el error aproxim ado del reloj de péndulo en un d í a .
Solución
Error porcentual en la longituddel péndulo :
de donde se tie n e :
L
= 100 ( ^ ~ ) ~ \
= —í—
200
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^
Capitulo 4: La derivada
510
) VL e=* d T = f -^= -) (
) , es la estim ación en el cam bio del peI
J \ 2 y}LJ
Si T = (
ríodo.
=>dT
T
( ^ ,)
=
a) Cam bio porcentual aproximado del p e río d o : ep = ( ’ j " ) * 100
de donde obtenemos : e p = 1/4 %
b) El error relativo en (a) e s :
~ ^
dT = ( - ^ q )
^
Entonces para T = 24 horas = 24 x 3600 seg. se tiene :
(24) (3,600)
400
= 2 ' 6seg-
"T "
( EJEMPLO 4 ]
L a altura de un cono circular es el doble del radio de la base . AI m edir se
encontró que la altura es de I 2 p u lg ., con un posible error de 0.005 pulg.
Hallar el error aproxim ado en el volumen calculado del cono .C uál es el error porcentual en el
volumen ?
Solución
El volumen del cono es : V = y r2h
Com or = -j
=* V(h) = ( - j y j h 3 , lu eg o : V ’(h) = ( ^ ) h2
El error aproxim ado es : d V = V ’(h )-¿ /h = ( ^ ) b r ' d h
Para h = 12 y d h = 0.005 , se tie n e : d \ = ( ^ ) (I2 )2 (0.005) = 0 .l8 jtp u lg 3
c,
,
d \
El error reía,,vo es : * = —
=
( ^ 4 ) h2 d h
/ dh \
= 3( — )
Obsérvese que el error relativo en el volum en es tres veces el error relativo en la m edida de la
a ltu ra . Por lo q u e ;
,r = 3 ( ^ )
( E JE M P L Q 5J
= 0. 00125 ■=> ep = 0 125%
a) Dem ostrar la fórmula de aproximación
!& T a¿ s ^ +
n Y jc " ' 1
, n e Z+
para valores IA x I pequeños en comparación con jc
b)
Aplicando la fórmula de (a) aproxim ar el valor de VTo
Solución
a)
Sea la función : y = f ( x ) = ^
f ’(jc) = - nJ —
n S x t ti
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(1)
511
Sección 4.17 : Diferenciales
Como f ( x + A x ) - f ( x ) = A> t=> f ( x + A x ) = y + Ay
(2)
Además , según la ecuación (4 ): A y = d y e=> Ay = / ’(*) • d x
A hora sumando y a cada miembro de esta ecuación se tiene
y + A y = y + f'(x)>dx
Según las ecuaciones (1) y (2) :
f(x + A x) = y + ( — nJ —
tyx + A x = Vx +
b)
Para n = 3
:
>/x + Ax
L u e g o : >Í70 = >/64 + 6
= \Gc" +
) Aje
Ax
n AÍx"'1
3 vx2
= ^ 6 4 + —,
=4+
3 V(64)3
~
=4.125
16
■
Con una calculadora vemos que con tres cifras decimales \^70 = 4.121 , de modo que la
estimación obtenida mediante la fórmula de aproximación no está lejos.
EJEMPLO 6 J
Una caja de metal en la forma de un cubo va a tener un volumen interior de
6 4 pulg3 . Los 6 lados se van a hacer de metal de 1/4 pulg. de esp eso r. Si
el costo del metal que se va a u sares de 8 soles/pulg\ usar diferenciales para encontrar el costo
aproximado del metal que se va a usar en la manufactura de la caja.
Solución
Sean : V , = volumen interior = x3
V2 = volumen exterior = (x + d x )3
Volumen total de material empleado : d V = V2 - V,
<=> d \ = (.x + d x f - x 5 = 3xI d x + 3 x (d x )2 + ( dx) i
Como V, = 64 O i 5 = 6 4 o x = 4 y
dx = 2e ^
d x = 1/2
L ueg o , d V = 3 (4 )z( 1/2) + 3 (4 )(l/2 )3 + (1/2)3
-M
+ 3 + lffl-
Por ta n to , el costo aproximado es
(4 .1 7 .2 )
Pulg!
C -
( ■Qr- ) x 8 = 217 soles.
■
A P R O X IM A C IÓ N L IN E A L
En la Sección 4 . 17 , al hablar de diferenciales para una función y = / ( x ) , derivableen un punto x0e D o m (/), usamos la recta tangente en el punto x((para aproxim arla gráfica
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Capitulo 4: La derivada
512
de /c e r c a del punto (x0, f ( x 0)) y logramos determinar que d y es una buena estimación para A y ,
es d e c ir:
A y = f ( x ) • Ax
(4)
o bien
Ay = dy
Com o se m uestra en la Figura 4.46 t d y es el cambio en
la altura de un punto P que se m ueve a lo largo de la
tangen te , en lu g ar de h acerlo a lo larg o de la curva
y = / ( x ) . Imaginemos que xu está fijo , entonces la ecua­
ción (4) muestra que la diferencial d y e s una función
lineal del increm ento Ax ( d y = / ( x + A x)) . Por esta
razón d y se llam a aproximación lineal al verdadero in­
crem ento Ay . Podemos aproximarnos a f( x 0 + A x) es­
cribiendo d y en lugar de Ay , esto es , si
= / ( x ü + A x) - / ( x 0) ■=> /( x ü+ A x ) = f ( x t) + A y
= f(Xt) + d y
Puesto que y = /( x 0) y d y = / ’(•*„)• Ax , esto da la fórm ula de aproximación lin e a l:
/ ( r # + A x ) s f ( x a) + / ’( x 0) ■ Áx
E JE M P L O 7 j
Solució n
(47)
Usando diferenciales, calcularel valor aproximado de V37.5
El objetivo es estim ar/(x ) = V3 cuandox = 37.5 . Aquí /(3 6 ) es co n o cid o , lo m is­
mo q u e / ’(3 6 ), esto e s /( 3 6 ) = \ í36 = 6 y si /(x ) = Vx «=> /*(x) = — ^-= ,
2 \x
luego,
/ ’(36) = —
2V36
= ~L
12
Dado que 37.5 = 3 6 + 1 .5 , se sigue que , Ax = 1.5
Por lo ta n to , haciendo uso de la fórmula (47) tendrem os :
V3X5 = /( 3 6 + 1.5) = / ( 3 6 ) + / ’(3 6 )-(l.5 )
Nota
El método del Ejemplo 7 refleja el siguiente procedimiento general
PARA ESTIMAR f ( b )
1. Hallar un númerox0cercano al valor de& , de modo tal que sea fácil calcular/(x,,) y / ’(xj})
2. H allarA x = b - xü , b
(A xpu ed eserp o sitiv o o n eg ativ o )
3. C alcular f ( x {) + Jp (xu) • Ax -i que e s la estimación f(b)
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Sección 4.17 : Diferenciales
[E JE M P L O 8 j
Solución
513
Usando diferenciales estimar ^0.00098
= ^980 x l0 ‘h = 1CT1 • ^980
^000098
(I)
A hora el objetivo es estim ar f {x ) = ' f x en el dato x = 980
1. Un número cercano a b = 980 es xn = 1000
L uego, si
^
y si / ’(*„) =
,!—
ü
3
<=> /(1 0 0 0 ) = I f ñ m
= 10
<=> f ’( 100ü) = — ,7 } •
= ——
3 ^(ÍOOO)1
300
2. Ax = b - x 0 = 9 8 0 - 1000 = - 2 0
3. Por la fórmula de aproximación lin eal: /( x 0+ A x ) = /(x u) + / ’(*0) 'A x
>/98Ó = >/1000
Ó - 20 = /(1 0 0 0 ) + / ’(1000) . (-20) s l O - ^ r S
jü ü
9 .9 3
Luego en (1) : fo.00098 s 10'2 ( 9 .9 3 ) = 0 .0 9 9 3
E JE M P L O 9 )
48
Aproximar el valorde SCS.OOO^ + íS.OOl)3 -
V8.001
A quí se trata de estim ar la función f ( x ) = 3x*13+ x3 - -57=- para x
\x
1. Un número cercano a b = 8.001 es x0 = 8
Solución
E ntonces: f ( x u) = /( 8 ) = 3(8)4n + (8)3 -
=3(16) + 512 - 24 = 536
y s i / ’C g = 4Xpl/3 + 3x03 - 16¡x™ => / ’(«) = 4(2) + 3(8)2 - 16/24 = 199
2. Ax = b - x 0 - 8.001 - 8 = 0.001
3. Haciendo uso de la fórmula (4 7 ), se tie n e :
/(8 .0 0 I) = / ( 8 + 0.0 0 1 ) = /( 8 ) + / ’ (8) * (0.001) = 5 3 6 + 199(0.001)
/.
/(8 .0 0 I) s 536.199
-—------------------------------------------------------------------------------------jPTñZ"
EJEMPLO 10 J Usando diferenciales aproximar el valor de A/ -,'nn
m--?«- <fsEstimarem os la función / ( x
l.
)
= ' > íx
para
V 2.88
x
=
~
Un número cercano a b = 17 /i 6 es x(|= ] , luego , si
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=
I
+
8.001
Capítulo 4: La derivada
514
/ U u)
= ^
*=* / (> ) = * > y si / ’ U J =
J— ;
5 \x H
*=> f O ) = j
2. Ax = b - x a = 17/16- I = 1/16
3. Por la form ula de aproximación lineal (47) se tiene
4%
= f { ' + 15)
(EJEM PLO 1 1 )
Solución
“ « 'M l k H l k h ' +lyH ik)3
10125 ■
U sando diferenciales estim ar Sen 60° l ’
El objetivo es estim ar la función / ( j c ) = Sen x para
* = 6 (n ' = f + (e ff) ( w )
1. Un núm ero cercano a b = y
f ( n l 3) = Sen (tc/3) = V3/2
/ ’(*„) = C o sx u ^
2. A x = b - x u ^
es x(l =
+ [q^qq
De modo que si / ( x (l) = Sen ^
= f + T o l » radianes
/ ’(n/3) = Cos
( tc/ 3 )
= I/2
Ax = ^
3. Ahora , aplicando la fórm ula de aproxim ación lineal se tiene :
S e n 6 0 r r = / ( f + 1 5 § 5¡r) S f ( f ) + f ( f ) ■ ( ^
3
#
)
+ ( i K i o l ó ó ) 3 0-866025+a000' 45
S e n 60° I’ = 0 .8 6 6 170
EJEMPLO 12J
Solución
I.
■
U sando diferenciales, hallar el valor aproximado de are Gos(0.85)
El objetivo es estim ar la función /( x ) = are Cos x para x = 0.85
Un núm ero cercano a b = 0.85 es x0 = V 3/2 = 0.866 , de modo que si
/( x n) = are Cos x(l <=> / ( V J / 2 ) = are Cos (V3 / 2) = n /6
=
f i x '> = ■ v t = ?
2. Ax = fe-x„
~
f ^
-
l2) = - v. .f = 3/4
Ax = 0 .8 5 -0 .8 6 6 = -0 .0 1 6
3. Aplicam os la fórm ula de aproximación lineal y o btenem os:
/(0 .8 5 ) = /(0 .8 6 6 - 0.016) = n /! 6 + (-2) (0.016)
■=* /(0 .8 5 ) = are Cos (0.85) ~ 0.5236 + 0.032 = 0.5556
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2
Sección 4.17 : Diferenciales
(4 .1 7 .3 )
SIS
P R O P IE D A D E S D E L A S D IF E R E N C IA L E S
Podemos usar la definición de diferenciales para reexpresar cada una de las reglas
de derivación en fo rm a diferencia!. Por ejem p lo , si u = f ( x ) y v = g(jr), por la definición de
diferencial, tenemos : d u = u ' d x y d x = v ' d x . Entonces podemos escribir la forma diferen­
cial de la regla del producto com o sigue : d (u v ) =
(ux)dx
= ( u v ’ + vu ' ) d x
= ux'dx + xu'dx
= u • d x + v •rfu
(Diferencial de u v )
(Regla del producto)
De manera similar se obtienen las formas diferenciales de las reglas de derivación estudiadas has
ahora.
FO R M U LA S D IFER EN C IA LES G EN ER A LE S
Para u y v , funciones derivables de x , se tienen :
a) Diferenciales de funciones algebraicas.
Regla de la constante:
d(c) = 0
Regla del múltiplo constante:
d( c u ) = c - d u
Regla de la suma o diferencia: d { u ± v ) = d u ± d x
Regla del p ro d u cto :
d ( u v) = u ‘ d x + v - d u
Regla del cociente :
d (±
Regla de la potencia :
d(x") = n x n ' d x
b) Diferenciales de funciones trigonométricas
d(Senx) = C o s x ’dx
d ( C o tg x ) = - Cosec2* ' d x
d(Cosx) = - S e n x ' d x
d(Secx)
= SecxT gx * d x
¿ ( T g jc ) = Sec 2 X ' d x
d { C osecx) = - C osecx C o tg x - d x
c) Diferenciales de funciones compuestas
Si y = / ( u) y u = g(x) siendo g(x) derivable d e x ny /d e r iv a b le en u = g(*u) y si
y = f ° g . entonces
d y = / ’ tg(*)] ’ g ' ( x ) d x
»
< i i ■.
■
i i
i—
\
EJEMPLO 1 3 j H allar ladiferencial para cada uno de las funciones dadas
a)
y = x ^ a 2-x2
Solución
b) x J + 6 x y 2 + 2 y 3= 10
a) y = jcV a2 - xr — V a 2x 2 -X a t=$ d y -
c) Sen(* - y) = Cos
(Va2* 2 - jc4 ) d x
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( jc +
y)
Capítulo 4: La deri\>ada
516
2 V a 2x 2 - x *
2xVa2 - x 2
Va2-
b) d { x 3) + 6 d ( x y 2) + 2 d ( y i ) = ¿ (1 0 ) t=$ 3 x 2d x + 6 ( 2 x y d y + y 2d x ) + 6 y 2d y = O
«=» (3x 2 + 6 y 2) d x + ( I2x> + ó r W y = O e ¿ ,
= - ( ^ y ++ 2 y 2 ) dX
c) ¿ [S e n (x -y )] = í/[C o s(x + y)] •=> C o s(x -> ) • d ( x - y ) - - S e n (x + y) ♦ ¿ ( x + y)
c=$ Cos(x - y) • ( dx - d y ) = - Sen(x + y) • ( dx + d y )
^
_ Cos(x - y) + Sen(x + y)
^
Cos(x - y) - Sen(x + y)
E JE M P L O 1 4 )
Solución
Si d (
L u eg o ,si /( x ) = u’ ^
‘
’*
[E J E M P L O 1 5 )
Solución
) = f ( x ) d x , h a lla r/(-2 )
x2 + 2
^ ^
Sea u =
X
<=> d u = u'd x
f(x) =
/(-2 ) = -
t{
}
(Definición de diferencial)
- (x2 + 2)(2x)
(x2 - 2 f
2 )(2 x)
? I.
(4 -
2)2
_
8jc
(x-’ - 2 ) 2
- 4
E x p resarIadiferenc¡aIdelafuncióncom puestas = Cos2z , z =
en térm inos de la variable independiente t y su diferencial.
Según la regla de la cad e n a :
ds = (
d s = (-2 Cos z Sen z) (
)
- I),
) ( ~ r ) dt
dz l * di
z/t = - S e n 2 z [
) dt
( 4 ,1 7 -4 ) D IF E R E N C IA L E S D E O R D E N S U P E R IO R
Sga la función y = f ( x) derivable sobre un intervalo I . Sabemos que su diferencial
d y = f(x) . d x
(! )
que se llama su prim era diferencial , depende de dos variables , x y d x . Sea /*(x) a su vez
derivable en cierto puntoXjjE I . Entonces la diferencial en este punto de la función d y analiza­
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Sección 4.17 : Diferencióles
517
da como una función sólo de x (es d e c ir, para cierto d x constante d ad o ), tiene la forma
d ( d y )
=
(2 )
d l f ( x ) . d x ] \ x ^
A hora, si aplicamos la definición de diferencial en el segundo miembro de (2) obtenemos :
<Fy
=
[ f ' { x ) . d x ] ' \ x=J(¡¡d x
¿ 2y
=
f " ( x ) ( d x ?
=
f
=
’M
[
f ’ ( x ¡) d x ] d x
- d x 2
Definición 4.16 : SEGUNDA DIFERENCIAL
El valor d e la diferencial d ( d y ) , es d e c ir, la diferencial de la primera diferencial en cierto
punto *0, se llam a segunda diferencial d e la función / en este punto v se denota po r d 7y .,
esto es
dlv =
- d#
Observemos que en virtud de esta definición d 2x = 0 ya que en el cálculo de las diferenciales
consideramos el incremento Ajc = d x constante. De forma análoga, en el caso cuando la deriva­
da de (n - l) - ésim o o rd e n y (n' 0 es derivable en el punto jr0 , o lo q u e es equivalente , cuando
para x = x (]existe la derivada de n-ésimo orden y<n), se define la diferencial de tt-ésim o orden
d"y de la función y = f ( x ) en el punto jr()como la diferencial de la diferencial d e (n - 1) -ésim o
orden d ”•1, esto es
d ny = d { d a' , y)
(48)
Mostraremos que es válida la fórmula
d Dy = y ' " d x n . n e Z+
Su demostración la realizamos por inducción . Para n » 1 y n = 2 está demostrada Sea esta
fórmula válida para las diferenciales de orden n - I
d ” ' 1y = y <fl' f) d x 0 ‘ 1
Entonces, según (48), para el cálculo de la diferencial d ay es necesario calcular inicialmente la
diferencial d ° ' ly :
d { d n 'y) = d[ y - W
1
por consiguiente :
De aquí se deduce que :
- 1]
= [
(D e f.d e diferencial)
= [ y Md x n' x ] d x
( d x a ' 1es constante)
d ("'y = y ln) d x a
y(*) = d°-v
d-xD'■
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Capitulo 4: La derivada
518
( 4 . 1 7 , 5 ) P R O P IE D A D E S DE L A S D IF E R E N C IA L E S D E O R D E N S U P E R IO R
D .l :
¿ " ( y , + y , ) = d"y i + d ay 2
D .2 :
d n( c y ) = c • d"y , c es una constante
D .3 :
d \ y r y 2) =
n
( ¡J ) d y ”-* ■d y k
k =0
=
( d y l + d y 2) ' "
donde la expresión ( d y } + d y 2),n1se escribe según la fórmula de Newton , es d e c ir, es una su-
n
m adel tipo : ^ ( ^ ) d" y:y l . d ky 2
k= Ü
Además , para cualquier función u se considera : d °u = u i0,d x l0) = u
[E J E M P L O 1 6 )
Solución
Hallar d ny para la función >’ =
( 2 - 3x ) 2
Hallem os las derivadas sucesivas de y = (2 - 3jc)'2
y ’ = - 2 ( 2 - 3 x ) í (-3 ) = 2(2 - 3*)‘3(3)
y ” = 2 ( - 3 ) ( 2 - 3 x ) \ - 3 ) ( 3 ) = 2 .3 ( 2 - 3 x ) * 4(3Jz
v’" = 2 . 3 . (-4) (2 - 3xJ'3(3 )2(-3) = 2 .3 . 4 (2 - 3*) 5(3)3
Analizando cada una de las derivadas sucesivas, concluimos que
y (n) = (n + 1)! (2 - 3 x )'(n*2,( 3 ) n =
L u e g o , si d ny = y w d x a => d ny =
[E J E M P L O 1 7 J
Solución
(n + 1)! 3"
(2 - 3x)n+2
(n + 11 13 n
— ■ , dx"
-
j
X)
Sea la función y = 3 Sen (2* + 3 ) , hallar d"y
Las derivadas sucesivas de la función s o n :
y’
= 3'Cos(2* + 3 )(2 )
y " = - 3 . 2 Sen (2 * + 3) (2)
= 3 . 2 Sen [ ( 2 x + 3) + tc/2 1
= 3 . 2 1 Sen [ (2x + 3) + 2 (n /2 ) ]
y’” = - 3 . 2 2 C os (2x + 3) (2) = 3 . 2a Sen [ (2x + 3) + 3(n/ 2) ]
y '41 = 3 . 23 Sen (2x + 3) (2) = 3 . 24 Sen [ (2x+ 3) + 4(7t/2) ]
c=> y<n» = 3 . 2n Sen [ ( 2x + 3) + n(7t/2) ]
L u eg o , si
d Dy = y (n)d x n => d ILy = 3 .2 ° Sen [ ( 2 x + 3 ) + n(n/2) ] dx°
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EJERCICIOS
519
Crvpo 39
E J E R C IC IO S . Grupo
39
❖ En los ejercicios I al 10 , hallar A y = d y para los valores dados
1- /(* ) - x * - 2 x - 3 , x = - l , A x
= -0.02
2. / ( x) = l/x , J t = 2 , A x -
3. f ( x ) = j? + 3 x * - 6 x - 3 , x = 2 , A x =0.01
4. f ( x ) = yrx
5. f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3 x + 4 , x = 1 , A x = 0.02
6. /(* ) = 2 ^ - 5 , x = 2 , A x
7- f ( x ) = 8 0 * - 16*3 , x - 4 , A x = -0.2
8. /(* ) = x - - 3 x ,
9- f ( x ) =
jc3
+ 1 , x ~ 1 , A x = - 0-5
0.05
, x = \ , A x = -O.Ól
jc
= 0.01
= -1 , A x = 0.02
10. f ( x ) = l/x 2 , x = 2 , A x = 0.01
11. Se encontrará con un posible error de 0.01 pulg. que la medida de la arista de un cubo es 15
pulg. Usando diferenciales , encontrar el error aproximado al calcular con esta medida : a)
el volum en, b) ei área de una de las caras.
12. Un tanque cilindrico abierto tiene una capa exterior de 1/8 pulg. de espesor . Si el radio
interior es de 6 pulg. y la altura de 10 pulg. ,hallar ,usando diferenciales , la cantidad
aproximada de pintura que se necesita.
13. Un contratista está de acuerdo en pintar ambos lados de 1000 rótulos circulares cada uno de
radio 3 pies . Al recibirlos rótulos .s e descubre que el radioes 1/2 pulg. más g ran d e . Usar
diferenciales para encontrar el aum ento , en porcentaje , aproximado de pintura que se
necesita.
14. Cuánto varía el área S de un sector circular de radio r = 100 cm. y ángulo central 0 = 60°
cuando : a) r e s increm entadaen 1 c m .b ) G decrece 0.5°. Dar una solución exacta y una
solución aproximada basada en diferenciales.
15. Demostrar que si se com ete un error al m edir el diámetro de una esfera el error relativo del
volumen de la esfera es tres veces el error relativo del radio.
16. La medida del radio de un cono recto circular es 4/3 de la medida de la altura . Qué tan
exacta se debe m edir la altura para que el error en el volumen calculado no exceda el 3% ?
17. Demostrar por m edio de diferenciales q u e . aproximadamente
I
_ J_
dx
x + dx ~ x
x1
(Sugerencia: S e a / ( x ) = l/x y seguir el procedimiento del Ejemplo 5)
18. Sea f ( x ) = x™*', m n e Z+ . M ediante diferenciales se sabe que el error porcentual en el
cálculo de f ( x ) es aproximadamente igual a 0.6% cuando el error porcentual d e * e s 1 % .
Calcular m y n sabiendo que suman 8
19. Se requiere hacer un recipiente en form a de cubo con un volumen de 1000 cm3 usando 6
cuadrados iguales de un material que cuesta 2 soles/cm2. Con qué exactitud se debe hacer
el lado de cada cuadrado para el costo total del material sea correcto con una tolerancia de
50 so les?
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Capítulo 4: La derivada
520
20. El tiem po de una oscilación de un péndulo cualquiera está dado por la form ula g t2 = 7t2L,
en donde i está m edido en segundos , g = 9.81 m /seg -, y L , longitud del péndulo , está
medida en m etro s. H a lla r, a) la longitud de un péndulo que oscila una vez por seg u n d o ,
b) el cam bio de t si el péndulo anterior es alargado 0.01 m , c) cuánto se adelantará o se
atrasará en un día un reloj que tenga un error semejante ?
21. El valor de g se puede encontrar midiendo el tiem po d e oscilación d e un p én d u lo . H állese
el error relativo en g debido a un error relativo de I% en el tiem po de oscilación del
pén d u lo , ( g t2 = 7t2L )
22. El valor de g se calcula midiendo las oscilaciones de un péndulo cuya longitud fue medida
com o 2.237 m con un error de 0.0015 m . El tiem po de cada oscilación , que se supuso
ex acto , fue de 1.5 seg. Hallar el valor de g , el mayor error posible en este valor, y el mayor
porcentaje de error posible (Véase el problem a 21)
23. El punto de ebullición del agua a una altura H metros sobre el nivel del m ar se obtiene
mediante la fórm ula H = 283.6 (100° - T) - (100° - T)- en donde T es la tem peratura de
ebullición en grados centígrados. H állese el error en el valor calculado de H , si el error en
el valor medido de T es 0.5 cuando T vale 94°
24. Se m ide el diám etro de una esfera y con el resultado se c a lc u la d valor de su volum en. Si
el m áximo error posible al m edir el diám etro es 0.02 cm. y el error máximo aceptable al
calcular el volumen es de cm 1, cuál es el diám etro aproximado de la esfera más grande a la
que se puede api icar estas condiciones.
25. La altura de un cilindro circular recto es lO c m ; si el radio de la base cambia de 2 a 2.06 cm.
calcular el cam bio aproxim ado correspondiente en el volumen del cilindro . Cuál es el
porcentaje de cam bio en el volumen ?
26. El período de oscilación del péndulo (n s e g .) se determina por la fórmula g t 3 = 4 n 2L ,
donde L e s la longitud del péndulo en cm y g = 9.81 cm/seg2 es la aceleración de la fuerza
de gravedad . Cuanto se debe alargar la longitud de un péndulo de L = 20 cm , para que el
períodoT aumente 0.05 seg.
27. En un rector c irc u la r. R = 100 cm. y el ángulo central a = 60“ . Cuánto variará el área de
este re c to r, s i : a) se aum enta 1 cm. su radio R , b) se dism inuye 30° el ángulo a .
28. Para medir la aceleración de la fuerza de gravedad mediante las oscilaciones de un péndulo
se utiliza la fórm ula g t 2 = 4 r t2L , donde L e s la longitud del péndulo y T es el período total
de las oscilaciones del m ism o . Com o influiré en el valor de g el error relativo e Tal m e d ir:
a) la longitud L , b) el período T.
29. Si T segundos es el tiem po para una oscilación del péndulo d e longitud pies , entonces
4 ji 2L = g t 2 donde g = 32.2 . U n reloj que tiene un péndulo de longitud L = I pie se
adelanta 5 minutos c a d a d ía . Cuanto debe alargarse el péndulo para corregir el error?
30. Estim ar usando diferenciales; para que valores de x
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521
E JER C IC IO S . C ru/M ¿V
a)
Vx + 1 - Vx < 0.01
b) VxTT - Vx < 0. 02
(Sugerencia: a) S e a /(x ) = Vx <=> A / < 0.01 y c o m o A / = / ’(x) r/x , entonces de aquí
1/2
< Vx < 0.01)
31. Dem ostrar la fórm ula de aproximación : V a^ + x = a + x /2 a , o > 0 d o n d e lx l < a .
Aplicando esta fó rm u la , calcular aproximadamente a) V5 , b) V 3 Í
Compararlos con los datos de una tabla.
. c) V i 20 .
32. Demostrar la fórmula de aproximación : Va" + x s s + — - — , f l > 0 , donde |x | < a.
n fl” ’ 1
Aplicando esta fórm ula, calcular aproximadamente
a)
V9
b) V80
c) f Í 0 Ó
d) 'V i 000
❖ En los ejercicios 33 al 3 8 , usando diferenciales, calcular el valor aproximado de f ( x ) en el
punto xu indicado.
33. / ( x ) = x3 - 3x* + 2x - 5 , xn = 2.005
34. /(x ) = x2 V3 - 2 x . x0 = -2.998
35- /( x ) =
36. /(x ) =
37' f ( x ) =
. x„ = 2.988
X ' x ^ 2x 3
’
= 2,964
. x(l = 0.1
3S- f M =
= 197
❖ En los ejercicios 39 al 5 4 , usando diferenciales, hallare! valor aproximado de cada una de
las cantidades dadas
39. V25Ó
40. V0.0024
41. ^282
42. W ñ
43. VJT
44. V4
45. V28 + V255
46. VaÓ42
47- V W
4s- í j f
49- ^
sa V
S
j
51. S íO ^ ? )* + 5(0.997)5 -1- 7(0.997)3 - 9
52. (8.02)*3 + \ (8.02)2 - 2 4 (8 .0 2 ),/3
„
^
A / 3( 1.92)3 - (1.92)2 + 5
'
(1.92)2- 1.08
i 7 + (3.03)2 ^
\ 7 - (3.03)- )
•> Dados Sen 60° = 0 .8 6 6 0 3 , Cos 60° = 0 .5 , Tg 45“ = 1 y 1° = 0.01745 radianes , calcular ,
usando diferenciales, el valor de cada una de las siguientes funciones
55. Sen 62°
56. Cos 61°
57. Sen 59°
58. Cos 58°
59. Sen 29°
60. Cos 59°
61. T g 44"
62. T g 4 5 ° 3 ’20”
64. Cos 151°
65. T g 4 4 w30’
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63. Sen 60° 18’
66. Sen 60° 3 ’
Capítulo 4: La derivada
522
<* En los ejercicios 67 al 7 0 , usar diferenciales para estim ar el valor de las funciones dadas.
67.
arcS en(0.54)
68. are Tg( 1.02)
69.
are Tg(0.97)
70. arc Sen(0.4983)
71. Si / ’(*) =
e
y =
72.
S i/ ( u ) = u2 + 5u + 5 y g(x)
73.
Si í/ ( a/ Jjc - 4 1- j t
)
) . hallar dy
= “
"y •hallar d ( / o g)
= g(jt). d x ,hallar g(3)
74. Si d ( j +Q ^ $ 2 x ) = h W *d x . hallar el valor de h (rt/4 )
❖ En los ejercicios 75 al 83 , calcular la diferencial que se indica
75.
y>
=
x - 1 .’
A
diy
78. y = j:C o s2 jt , d'*y
81.
a x +b
ex +d
, d"v
' “ 1
76. >• = x %, d5y
77.
y
=
79. y =
80.
y
=
82. y =
J
1 -X
, tl»y
. ,
jc( I -x )
d"\
J
\x
!+•*■
>¡T^x
i
83. V =
J
^ [ -2x
d tiH)v
' ^ *
i
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C A P ITU LO
APLICACIONES
DE LA DERIVADA
(Ü Q
IN T R O D U C C IO N
En el Capítulo 4 aprendim os a derivar una gran variedad de funciones algebraicas y
trascendentes, y vim os también que dichas derivadas tienen diversas aplicaciones tales como
razones . v elocidad, aceleración , razones o tasas relacionadas y diferenciales.
En el presente capitulo se aplica la derivada a la determinación del comportamiento
de una función en un intervalo, al cálculo de los valores del máximo y del mínimo y al problema
del trazado de su g ráfica; son los problemas fundamentales que aquí consideram os. Empece­
mos con los m áximos y m ínim os de una función en una vecindad o intervalo.
í572)
MAXIMOS
Y
MINIMOS
D e fin ic ió n 5.1 : NOCION DE EXTREMOS
Sea / una fu n ció n , definida en un intervalo I que contiene al punto c
i) f ( c ) es el m ín im o absoluto de / en I si f ( c ) < / ( x ) .
tte l
ii) f ( c ) es el m á xim o absoluto ue / en l si f ( c) > f ( x ) . >a)ce I
F,l m ínimo y el máximo absolutos de una función en un intervalo se llama valores extremos
o extrem os de la función en ese intervalo.
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524
Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada
OBSERVACION 5.1
En ocasiones puede suceder que una función pueda no tener mínimo ni
. m áxim o absolutos en un intervalo . o también carecer de am bos . La
Figura 5.1 m uestra algunas posibilidades . Comparando las gráficas de (a) y (b) vem os que se
pierde un m áximo absoluto al cam biare! intervalo cerrado [-1 ,4 ] por el abierto {-1,4 ) y en (c)
vemos que una discontinuidad en x = ! afectalaexistenciadeextrem os en el intervalo abierto
( - 1 ,4 ) . Esto sugiere el siguiente teorema que identifica condiciones que garantizan la existen­
cia de extremos pero no dice com o calcularlos.
T E O R E M A 5 .1 : E l t e o r e m a d e l v a lo r e x t r e m o
Si / es una función continua en un intervalo cerrado entonces / tiene m áxim osy mínimos en
dicho intervalo.
En la Figura 5.1(a) se observa que los extremos puede ocurrir en los puntos interiores
(mínimo) o terminales de un intervalo (m áxim o). Estos últimos se llaman extremos terminales y
los prim eros, extremos relativos.
D e fin ic ió n 5 .2 : EXTREM OS RELATIVOS O LOCALES
i) Si existe un intervalo abierto I en el q u e /(c ) tiene un m áxim o, entonces/(c) se llama un
máximo relativo o local de / .
ii) Si existe un intervalo abierto I en el que /(c ) tiene un mínimo aento n ces/(c) sé llama un
m ínim o relativo o local de f
^ E JE M P L O Ij
Una propiedad de los extremos relativos
Hallar el valor de la derivada en los extremos indicados en la Figura 5.2
para las funciones:
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525
Sección 5.2 : Máximos y mínimos
a)
f(x )
=
x’ +
b)
3x* - 2
f(x )
=
lx -2 l
F I G U R A 5 .2
Solución
a)
f'(x) =
3x- + 6x
=
3 x (x
+2)
Para el punto A (-2 , 2 ) : / ’(-2) = 3(-2) (-2 + 2) = 0
y para e! punto B(0 , -2 ): /(O ) = 3(0) (0 + 2) = 0
b)
E n x = 2 , la derivada de f ( x ) l¡m
m -m
x_»2+
X - 2
=
\x-2\
no existe pues los límites laterales
(,.2).-o _ ,
|im
x - 2
x ^ 2-
/w - / ( 2 )
x - 2
_
:(x-2)-o
_
,
x - 2
son d istin to s.
Nótese q u e , en este ejemplo los extremos relativos ocurren cuando la derivada es ceero o no
esta d efin id a. A estos valores de x se les llama n ú m e r o s c r í t i c o s .
Definición 5.3 : NUMERO CRITICO
Si / e s una función definida en un cierto intervalo que contiene al niíinero-c, se dice quec es
un número crítico d e / si / ( c ) = 0 o si / '( c ) no está definida.
FIG UR A 5.3
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Capítulo 5: Aplicaciones Je la derívenla
S26
El siguiente teorema nos garantiza que ios extremos relativos solo ocurren en los números
críticos.
TE O R E M A 5.2 : Teorem a del extremo interior (Ferm at)
Sea la f u n c i ó n / defin id a en un cierto intervalo abierto {a , b) . Si / tom a un valor
extrem o relativ o (m áxim o o m ínim o) en un punto c e (a , fe) y si / es d erivable en c ,
e n to n c e s /’(c) = 0.
D em ostración
Probaremos en el caso de un máximo relativo (el otro cao es similar.)
1. Sea x 2 e (a , b) \ x, > c => x2 - c > 0
2. Hagamos x2 - c — h <=> x2 = c + h
3. Considerem os el cociente usado para definir
x
/ ( c ) , esto e s :
/( c + h) - f(c)
— -------.
h
4. C o m o /(c ) es el valor máximo V x e [c ,¿ )
^
/<c + h ) < / ( c ) « /( c + h ) - / ( c ) < 0
5. Si dividimos entre h > 0 obtendremos
f( c + h ) - f ( c) £ o
h
6. Luego , cuando h —» 0 por valores p o sitiv o s, esto es , si
<o «
Un.
h - » o+
7. A h o ra , sea x, e (a , b) | x, < c
< 0
n
x, - c < 0
8. Haciendo x , - c = h e=s> h < 0
9. Dado que también f (c ) es el valor máximo V x e (a , c ] , entonces
f ( c + h) < /(c ) <=> f ( c + h) - f (c) < 0
10.
Dividiendo entre h < 0 obtenem os :
f ( c + h) - /(c )
> 0
11. L u eg o , cuando h —»0 por valores negativos, el cociente tiende a un número positivo, esto
e s , si
Un. f(C + h? ' m
h-»0'
h
>0
~
f M >0
12. Por lo ta n to , de los pasos 6 y 11 se sigue q u e :
/ +’( c ) < 0 a / / ( c ) > 0 «
f\c) - 0
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■
Sección 5.2 : Máximos y mínimos
527
La recíproca del Teorema 5.2 no se cum ple, esto e s , / ’(c) = 0 no es
suficiente para im p lic a rq u e /(c )se a un extremo relativ o . Por ejem ­
plo , para la función f ( x ) = x ' , su drivada f ' ( x ) — 3 jt se anula para jc = 0 . pero su gráfica
(Figura 5.3c) muestra que /(O) = 0 no es un extremo relativo de f ( x ) . pues para un intervalo
pequeño que contiene a jc = 0 no se produce una especie de colina ( ^ ) o una especie de valle
local
Por ta n to . la ecuación f ' (c ) = Oes una condición necesaria pero nosuficentepara
q u e /(c ) sea un extrem o relativo o lo c a l.
OBSERVACION 5.2
La existencia de la derivada en un extremo local c , implica la existen­
cia de una tangente horizontal en dicho punto, p u es, como ta l, ocurre
q u e / ’(c) = 0 . (Figura 5.3b)
OBSERVACION 5.3
Nota
Con lo que ya sabemos sobre extremos relativos podemos confeccionar la siguiente regla para
hallar los máximo y mínimos absolutos en un intervalo cerrado.
GUIA PARA H A L L A R E X T R E M O S EN UN IN TERV A LO C ER R A D O
Los extremos (máximos y mínimos absolutos) de una función continua en un intervalo ce­
rrado [ a . b] se hallan mediante
1. La evaluación inicial de / en cada punto crítico que tenga en {a , b)
2. La evaluación posterior d e / e n los puntos extrem osa y b (puntos terminales)
3. La elección entre el menor y mayor de estos valores se deduce e! mínimo y el máximo
absolutos, respectivamente.
EJEMPLO 2 J H allar los extremos de la función /(r) =x* -4 a ’ en el intervalo [-1 ,4]
Solución
I. Hallaremos los números críticos derivando la luncion
/'(jc) = 4 t ? - I2jc2 = 4x1(* - 3 )
Si / ’(•*) = 0 ■=> jt2(.t - 3) = 0 <=> jc = 0 v j c = 3
son los únicos números críticos de / cuyos valores s o n :
/(O) = 0 y /( 3 ) = (3)< -4(3)’ = -2 7
2. E v a lu a m o s/e n los puntos terminales de [-1 ,4 ]
/ ( - 1 ) = (-1)* - 4 ( ~ l f = 5
/(4 ) = (4)4 - 4(4)2 = 0
3. Con estos resultados elaboramos la Tabla 5.1 ydetem iinamos que c! máximo absoluto y terminal es /(-1 ) = 5 , y el
m ín im o a b so lu to y re la tiv o e s/(3 ) = -27.
■
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Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada
N úm ero crítico
N úm ero crítico
ti
3
4^
/(-i) - 5
Punto terminal
/<3)--27
II
Punto terminal
C
528
M ínimo
Máximo
OBSERV A CIO N 5.4
Nótese que el número crítico* = 0 no da máximo ni mínimo relativo,
lo cual significa que el recíproco del Teorema 5.2 no es válido.
O B SER V A C IO N 5.5
L a g ráfica de la función / (Figura 5.5) se ha trazado teniendo en
cuenta la Definición 5 .1 sobre máximos y m ínim os. En iasección 5.7
estudiaremos métodos más eficaces para diseñar gráficas.
f EJEMPLO 3 )
Solución
H allar los valores extremos de la función /(* ) = I + \ x - 2 \ e n e l intervalo
[- 1 ,4 ]
Por definición de valor absoluto
Si x < -2 <=> f ( x ) = l - ( x - 2 ) = 3 - x
3 - * , si * e ( - 1 ,2 )
«=> /(* ) = «
S i* > - 2 e* /( * ) = 1 + ( * - 2 ) = * - I
* - I , s i* 6 [2 ,4 ]
1. Com o / no es derivable en x —2 , éste será el único número
crítico en [ - 1, 4 ] . L u e g o , para
Y.
* = 2 i=> f ( 2 ) = 2 - 1 = I
2. Evaluación de los puntos term inales de / en [-1 ,4 ]
/ ( - l ) = 3 - (-1) = 4 y /( 4 ) = 4 - 1 = 3
3. En consecuencia:
f ( 2 ) = 1 es un mínimo relativo y absoluto
/ ( - l ) = 4 es un máximo absoluto.
[E JE M P L O 4 j
ti i i
i.
'.
b:
1
•!
6
1
*
a
\
t
i
;
y
i
F I G U R A 5 .6
Hallar los valores extremos de la función
4 - ( * + 5)2 , s i * 6 [- 6 ,- 4 ]
/(* ) =
, en el intervalo [-6 ,0 ]
i
12 - (* + I )2 , si * 6 (-4 ,0 ]
[Solución]
1. D eterm inación de los números críticos
-2 (* + 5) , x e [ - 6 ,4 ]
* = -5 e [-6 ,-4 ]
; luego , si / '( * ) = 0 d
/ ’(*) = <
- 2 ( * + 1) , * e ( - 4 ,0 ]
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'
* = -I e ( - 4 ,0 ]
529
Sección 5.2 ; Máximos y mínimos
Ambos son números críticos de / en sus respectivos intervalos y (-5 , 4 ) , ( - 1 , 12)son los
puntos críticos.
c
2. Evaluación de los puntos terminales :
‘Y
3£t*" 12
/(6 ) = 4 - C - 6 + 5 ) 2 = 3 . / ( - 4 ) = 12 - (-4 + l)2 = 3
/(_4) = 4 - (-4 + 5)2 = 3 , /(O ) = 12- (0 + I)2 = 1
i
Luego , (-6 , 3 ) , (-4 , 3) y (0 , 11) son los puntos
terminales.
=
12 es un máximo relativo
/(-ó )
= / ( - 4) =
y
6
.
ir
:
3. Por lo tanto:
/(-I)
S
/
absoluto
•6
.3
1
1
*
5
-4
3 es un mínimo absoluto
-3
-2
0 X
F IG U R A 5 .7
La gráfica de la función f aparece en la Figura 5.7)
■
E J E R C IC IO S . Grupo
40
En los ejercicios 1 ai 4 , localizar los extremos absolutos y relativos de la función (si los
hay) en el intervalo indicado.
1. f ( x ) = * - 2 x
a) [-12]
b) (1 ,3 ]
2. f ( x ) = ^ ( x - l ) 2( 4 - x )
a) ( - 1 ,5 )
3. f ( x ) = ^
7
4. f { x ) = x A- S x 1 + \ 6
, c) <0, 2>
, d) [ 1 , 3 ]
b)
<-1 .4 ) . c) <0,4>
, d) ( 0 ,5 )
a) [ - 2 ,2 ]
b)
[ - 2 ,0 ) , c) ( - 2 ,2 )
, d) [ 1 , 2 )
a) [ - 4 ,0 ]
b)
[ - 1 .4 ] , c) [ 0 ,3 ]
, d) [- 3 ,2 ]
En los ejercicios 5 al 2 6 , localizar los extremos de la función dada en el intervalo cerrado
que se indica . D ibujar la gráfica de la función.
5. m
= x J + 5 x - 4 , [-3 ,- 1 ]
6. /(*> = x ' + 3x2 -9 x
7. m
= x3 -3 * 2 , [ - 1 , 3 ]
8. f i x ) = 3 x ^ - 2 x
9. m
=
10. m
11. f( x) = ( x + 1 ) 2* , [ - 2 , 1 ]
; [-1 , 1]
• W.2]
12. m
l - ( j r * 3 ) m , [-5 ,4 ]
14. m
=
15. / w - .r3- 3 ^ - 9 * + 5 , [ - 2 .4 ]
16. m
= 5 + |7-3x|
17. m
= \ x + 11 +
18. m
-
19. m
= x (2 -x )w , [1. 3]
13. m
= l * - 4 | +1 , [0.6]
Ijc -
11 , [-2,2]
21. /(* ) = 1 + I 2 l x | - 3 x 2 , [-1 , 4]
23. / w = 3 - 8 U - l l - jc2 . [-1 , 5]
[ - 4 ,4 ]
14
- x2
x+ j
1
,
jc g
IR
, [1 , 5]
, [1 ,4 ]
20. f( x) - 'Jx - Vx3 , [ 0 , 4 ]
22. m
= 2 jc= - 8 | jcI + 3
, [-1 , 4]
24. /(* )
(x + \)'n { x - 2 ) ' n , [ 0 , 4 ]
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Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada
530
2x+ x + t
25. f { x ) =
27.
A re
[ - 2 ,0 )
►Are [-1 ,3 ]
4+
26. /( * ) =
,
<
1jc
- 2 / 3 1 + 'Jx , x
e
[ 0 , 2]
\ x + ll , SÍAT*-I
<j 3
, SÍ AT= -1
3 - jc2 , s¡ Are (l , 2]
►x e [-1 , 2]
Halle los puntos críticos de la función
3 Ix - 1 I + 2a t , si jc e (0 ,2 )
/W
=
V jc-] + 5at
(5 .3 )
. si x e [2 , 5)
E L T E O R E M A D E L V A L O R M ED IO Y S U S A P L IC A C IO N E S
El teorem a del valor medio (T.V.M.) es el principal instrumento técnico del cálculo
diferencial y tiene muchas aplicaciones im portantes. G eom étricam ente, garantiza la existencia
de una recta tangente que es paralela a una cuerda secante (Figura 5.8)
En el lenguaje de fu n cio n es, una traducción del teorema de!
valor medio es el sigu ien te:
Sea y = f ( x ) una función continua en [a ,b] y derivable en
(a ,b) , y sean P(a , f i a ) ) y Q ( b , f(b)) los puntos term inales de
.
- m
b -a
mientras que la pendiente de la tangente en un punto genérico
( a: . / ( a:)) del gráfico es : m = f ' ( x )
El Teorema del valor medio afirma que existe al menos un punla cuerda cuya pendiente es:
to e e (a , b) tal que ;
m
f (O =
m
F I G U R A ,5 . 8
- m
b -a
Demos primero un resultado prelim inar, un teorema que facilite la demostración del teorema del
valor medio.
TE O R E M A 5.3 : El Teorem a de Rolle
Sea / : ' [ a •,■&]—» IR una función tal que
i) / es conlinua.en eí.intervalo cerrado [a t b]
ii) f es. derivable en el intervalo abierto (a i b)
iii) S i f i a ) = f ( b ) - 0
3 c e . ( a ,b) \ f ( c ) = 0
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Sección 5.3 : El teorema tlel valor medio y sus aplicaciones
Demostración
531
En efecto
1. P o r ser / c o n t i n u a , tiene un valor m áxim o y un valor m ínim o m en [a , b] , tales que
m < /(jc) < M
2. Supongamos que los valores m áxim os ocurren en los extremos a y b respectivam ente .
L u e g o , por la D efinición 5.1
/( a ) = M = máximo t=> / ( a ) > f ( x ) , V x e (a , b)
(a )
f(b) - m = mínimo <=> f (b) ¿ f ( x ) , V jc e (a , b)
Caso 1.
Si M = m , el máximo y el mínimo coinciden, es d e c ir, s i / ( a ) = f (b) = k ,
entonces por (a)
(k > /( * ) )
a
(k < /( * ) ) e* /(jc) = k , V x e (a ,b)
S ie n d o /d e riv a b le so b re(a , b ) y constante, entonces f ' ( x ) = 0 ,\/x e {a , b ) ,
y com o c e (a ,b ) => f '( c ) = 0
Caso 2.
Si m * M , entonces de la condición f ( a ) = f( b) se deduce q u e , al m enos uno de
los valores m o M no ocurren en los extremos del segmento [ a , b]
3. Sea M este v alor, es decir ,s i/( * ) > k e n a lg ú n .te (a ,b) ,el teorema del valor extremo dice
que existe un punto c e (a ,b) tal que /(c ) = M , y que por lo tanto en este punto c la función
alcanza su valor m áxim o, también sobre el intervalo (a ,b).
4. Según e s to , p o rel Teorema de Fermat y sie n d o /d e riv a b le en e , s e s ig u e q u e /’fc) = 0 .
5. Podemos usar un argumento análogo para el valor m , es decir, si f ( x ) « k . Lo cual completa
la demostración de! Teorema de Rolle.
C O N S EC U E N C IA D EL TE O R EM A DE ROLLE
C oro lario 1
Si / e s continua en [ a , b) y si f ( a ) = f ( b ) , entonces / tiene un número crítico
en (a , b )
C oro lario 2
Sea / continua en [a , b] tal que f ( a) - f( b) = k
i) Si f ( x ) > k en algún x e (a ,b) , f tiene un máximo relativo en (fl , b)
ii) Si
/ ( jc )
< k e n algúnjee (fl , b) , / tiene un mínimo relativo en (fl ,b)
OBSERV A CIO N 5.6
(Figura 5.9)
(Figuru5.IO)
El Teorema de Rolle geométricamente significa que en la gráfica de
una función continua sobre un intervalo y derivable en é l , que toma
valores idénticos en sus extrem o s, existe un punto en el cual la tangente es paralela ai eje X .
(Figuras 5.9 y 5.10)
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Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada
532
F I G U R A 5.10
OBSERVACION 5.7
S eñ alarem o s q u e to d a s las p re m isa s del T eorem a de Rol le son
esenciales y d e te rm in a n te s. Por e je m p lo , la función /( x ) = I * I ,
x e [ - 1 . I j . satisface las condiciones ( ¡) y ( i i i ) pero no satisface la condición ( i i ) , ya que /
no es derivable en x - 0 e [-1 , I ] . (Figura 5.11a)
La función / ( jc) =
(x + 3 ),sa tisfa c e la sc o n d ic io n e s(i) y (i i ) pero no satisface la condición
( i i i ) , p u e s / ( - I ) * / ( 3 ) . (Figura 5.1 Ib)
O BSERV A CIO N 5.8
Si la función /(.r) satisface las condiciones del Teorema de Rolle sobre
el intervalo [a , b ] .entoncesla función F(x) = f ( x ) - f ( a ) = f ( x ) - f ( b ) ,
es igual a cero en sus extrem os y F ’(jc) = f ' { x ) , en p articular, estas derivadas se hacen igual a
cero simultáneamente. Por e s to , el Teorema de Rolle es equivalente a la afirmación : Entre dos
ceros d e una fu n ció n derivable se encuentra siem pre a l m enos un cero de su derivada .
(Figura 5.1 le)
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
( EJEMPLO 1 )
Verificar que las tres condiciones del Teorema de Rolle son satisfechas
por la funció n /(jt) = x 3-2 jt2 - * + 2 en el intervalo [ I . 2 ] . L u e g o . hallar
el valor de c adecuado que satisfaga la conclusión del Teorema de Rolle
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Sección 5.3 : til teorema del valor medio y sus aplicaciones
Solución
533
Com o la fu n c ió n /e s polinomial .entonces es continua y derivable V .re [ ü , 6 ] ,
por lo que las condiciones ( i ) y ( i i ) son satisfechas.
Dado que / ( l ) = 1 - 2 - I + 2 = 0 y /( 2 ) = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 , l a función / también satisface
la condición (i i i) . L u e g o . si / ( I ) = /( 2 ) = 0 =* 3 c e (1 ,2 ) I f ' (c ) = 0
Derivando la función obtenemos : f ' ( x ) = 3jc-- 4 v - 1 x=> / ’(c) = 3c2 - 4c - I
Ahora , si f * ( c ) = 0 <=> 3c2 - 4c - I = 0 «
«
c=
(2 ± V4~+3 )
c ,= j (2 + V7 ) v c2=
)
Es fácil com probar que c, e (1 ,2 ) y quec, e (I , 2) , por lo tanto
f ' (c ) = 0 para c = ^ ( 2 + V 7 )
E JE M P L O 2
Solución
Si
J
/ ( jc)
■
Para la función f ( x ) = x 3 - b x l + I L v - 6 , hallar los intervalos [a ,b] en los
q u e /( a ) = f (b) = 0 y el Teorema de Rolle es aplicable
6.x2
= 0 <=j. x* + 1\ x - 6 = 0
«=* (JC - \)(x - 2)(x - 3 ) = 0 «
JC, =
I ,* , = 2 , ^
Como / es continua y derivable en toda la recta real «=> f ' ( c ) = 3c2 - I2c + 11y s i
= 3
/ ’(c) = 0
c = ^ (6 ± V 3 6 -”3 3 ) = 2 + &
Vemos que c, = (2 + V3 /3 ) e ( l , 2) y c, = (2 - V3/3) e (2 , 3 ) , por lo tanto , en
[1 .2 ] ,/* ( c ,) = 0 y en [ 2 , 3 ] , / '( c ,) = 0
EJEMPLO 3 j
■
Usando el T eoretnade R o lle, dem ostrar que si
f ( x ) = ( r + 3 ) ( x + 2 ) ( j c - 5 ) ( r - 6) .entonces la ecuación/ ’(.*) = 0 tiene
tres raíces reales (sin resolver dicha ecuación)
s
D em ostración
En e fe c to , la función / es continua y derivable en toda la recta re a l, pues se
trata de una función polinom ial. A dem ás, evaluando directamente la función
encontramos que : /(-3 ) — f ( - 2 ) = /( 5 ) = /( 6 ) = 0
L u e g o , las condiciones del T eorem a de R olle se satisfacen en cada uno de los intervalos
[-3 , - 2 ] , [-2 ,5 ] y [ 5 , 6 ] . Entonces
3 c, 6 <-3 ,-2 ) I f i e , ) = O
. 3 c 2e ( - 2 , 5 ) [ f ‘(cy) = 0
y
3 c3 e (5 , 6) | f ( c j = 0
En consecuencia, la ecuación f ' ( x ) = 0 tendrá por conjunto solución :
{ c , , c 2,c3}
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Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
534
2xz - 5 x - 3
x+l
satisface la hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [a, 6] y hallar
<a, b> que satisfacen la condición del teorema.
^E JE M P L O ^
los números c
e
Probar que la función: f ( x ) -
Solución
D e te rm in a rem o s el i nt erval o \a , b]
interceptando la función con los ejes
coordenados.
Si /( x ) = 0 =» 2x3- 5 x - 3 = 0 <=> x = - l/2 v x = 3
=> [a, b] = [-1/2, 3]
Con esto se cum ple la condición (iii)
/ ( - 1/2) = / ( 3 ) = 0
Las condiciones (i) y (ii) también se cumplen, pues/
es continua V x e [-1/2, 3] y derivable V x e <-1/2,
3>, toda vez que x = -1 £ <-1/2, 3>.
E ntonces,3 c e [-1/2,3] 1 f ' ( c ) = 0
Derivando la función obtenemos:
2 ^ -2 ^ -!)
U+l)1
Si / '(c) = 0 => c2 - 2c - 1 = 0 « - c = - l ±V T+T =>
C
= -1 + -Jl
[E JE M P L O 5 ) Use el Teorema de Rolle para demostrar que la ecuación x5 + 2x + p = 0,
donde p es cualquier constante, no puede tener más de una raíz real.
[Vcm ostracm n |
Supongam os que la función / (x) = .t3 + 2x + p tiene dos raíces
reales x, y x2 tales que x, < x2
Luego, si / ( x ,) = / ( x 2) = 0, entonces por el Teorema de Rolle, 3 c e < r,, x2> I / '( c ) = 0
Si /'( x ) = Sx2 + 2 => f ' ( c ) = 3c2 + 2
Vemos que f \ c ) s* 0, porque 3c2 + 2 > 0, V x e IR
Entonces lo supuesto que / ( x ) tiene dos raíces reales es una contradicción, por lo tanto
x2 + 2x + p = 0 no puede tener m ás de una raíz real, cualquiera que sea el valor de p.
■
^EJEM P LO 6 ] Si / (x) = (x - c¡yn (x - b f , donde m y n son enteras positivos y a < b
constantes en IR, entonces dem ostrar que existe c e IR tal que c divide al
intervalo [a, b] en la razón m/n.
Demostración
En efecto, por ser / una función polinómica y m y n enteros positivos,
entonces es continua y derivable en toda la recta rea!, en particular lo es en
[a, b]. Además, se f { a ) = f { b ) ~ 0, entonces por el Teorema de Rolle: 3 c e <¿i, b> If ' ( c ) = 0
=> / '( x ) = ( x - a)n [n
(x
- b)n *] + (x - b)n [ n i (x - a ) m ']
=* f \ c ) = ( c - b y 1 (c - a)'" ' 1 [n (c - a) + m (c - fe)]
L uego,si f \ c ) = 0 = > f l ( c - f l ) + m( c - f e ) = 0 o
a —c
c —b
m
n
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Sección 5.3: E l teorem a del valor m edio y sus aplicaciones
535
( EJEM PLO 7 ^ Si f ( x ) , f ' ( x ) y f " { x ) son continuas en |«. b\ y si lacurva v - / ( v)
corta al eje X en tres puntos por lo menos, comprendidos entre a y /?.
demostrar con la ayuda del Teorema de Rolle que la ecuación f"{x) = 0 tiene ul menos una
raíz real entre a y b.
Demostración
l. En efecto, si f corta al eje X en tres puntos por los m enos en
[ a ,/j ] = > 3 a „ x2, a, e [a,h ] I /(-V,) = /(jc.) =
= 0
/ es continua en [.v,. a3] c [«, b]
f es derivable en < a„ a3> c <a, b>
Si / ( a , ) = / ( x ¡ ) = 0 = » 3 c p e <x¡, x2> I / ’(c,) = 0
3. Análogamente,
/ es continua en [a>, a 3J c \a,b)
f es derivable en <*,, a ,> c <u, b>
Si f ( x 2) = /(.v ,) = 0
3 c2 e < x 2, a 3> I f ' ( c 2) = 0
4. /" es continua en [c,, c>] c [a, />!
/ ' es derivable en c e ,, c2> Q <a, b>
Si /'(£.*,) =f'(c2) = 0 = > 3 c e < ch c2> I / " ( c ) = 0
Por lo tanto, / “(a) tiene una raíz real c e <a, h>
2.
■
( E J E M P L O 8 ) S ean f y g dos funci ones reales d criv ah les en IR tales que
f ( x ) . g ' ( x ) - f \ x ) . g ( x ) * 0 . V x e IR
Sí para a , < x 2 se cum ple que: / ( a , ) = / ( a 2) = () y / { a ) * 0 , V x e <a,, a 2>, dem ostrar que
existe un único a e < a p, a,> tal que g(a) = 0.
Demostración
1. Supongamos que g (a) * 0, V a e <v,, t->>
2.
Sea la función
3.
*U )
Por el Teorema de Rolle, 3 c e
F
,
v =
F (a ) =
=»
F(
< a ¡,
g ( A ) . / '( A ) - / ( A ) . ^ ( A )
1^ = 0 y F { a , ) =
2^
« ( * ,)
'
£<*:)
a 2> I F '(c) = 0, entonces:
y. ) =
g ( r ) .
=
0
/ ( c ) - / ( c ) . g ' ( c )
6.
■ [í(x )1 a
[g(c )]2
Luego, si F ' ( c ) = 0 = > g (r) . f ' ( c ) - f ( c ) . g'(c) = 0
contradice la hipótesis de que / (a) . g'(x) —/ '( a ) , g(x) * 0, V x e IR o bien, de que:
/(c).g'(c)
Por lo tanto, lo supuesto es el paso (I) es falso, luego £(a) = 0, y si « 6 <xu x -> ^ g u > ) = 0
Demostración de la unicidad de a
Supongamos que existen a 3 y a 4 e < x,, a 2> I # (a ,) = g(Aa) = 0
7.
Sea la función G ( a ) =
4.
5.
• tal 9ue : G(a3) = C( a4) = 0
J \ *)
8.
Por el Teorem a de Rolle: 3 c e <av a 4> 1 G ’(a) = 0, Luego si
C U )U w r
= > G le"
-----------9. Si G’(c) = 0 => f ( c ) . g \ c ) - g ( c ) , f ' ( c ) = ü, contradice la hipótesis
10. Por lo tanto, 3 ! a e < t„X 2> I g ( a ) = 0
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Capítulo 5 : Aplicaciones de la Derivada
536
[ e j e m p l o " ! » ! Probar que la función f í x ) = Sen x + Cos x - 1 satisface la hipótesis del
Teorema de Rolle en el intervalo [0, 4tc] y hallar todos los números
c e [0, 4rc) que satisfacen la conclusión del teorema.
Solución
C om o las funciones Seno y C oseno son continuas y dcrivables en todo su
dom inio entonces:
i) / es continua en [0 ,4 rc]
ii) / es derivable en <0, 47U>
iii) Además, /(O ) = /f 4 ir ) = 0 => 3 c e <(), 4it> | / ’(c) = 0
Luego, si /'(.* ) = Cos x - Sen x => f ' ( c ) = Cos c - Sen c
y si f ' ( c ) = 0 => Cos c - Sen c = 0, de donde, Tg c = ] <=> c = ^ + k n , k e Z,|
Dado que c e < 0 ,4 7 0 => k e {0, 1 , 2 , 3 )
Por lo tanto, cada c e {jt/4, 57t/4,97t/4, I 3 tc/4 } satisface la conclusión del Teorema.
■
( EJEM PLO 1 0 ) Aplicar el Teorema de Rolle para demostrar que la ecuación x ' + Ax - 3 = 0
tiene exactam ente una raíz real en el intervalo <0, l>
^fetnostración
4.
I. En efecto, sea la función f ( x ) - x* + Ax - 3, continua en [0, I) y
derivable en <0, l>.
Los valores de la función en los extrem os del intervalo dado son: /(O ) = -3 y / ( l ) = 2
C o m o /(0 ) . / ( l ) < 0, pui el teorema del cero (T.3.9), existe al menos un x 0 e <0, l>
tal que / ( * u) = 0
Supongamos que existe otra raiz x, e <ü, l> . jc, *
tal que 0 < xn < jc, < I
5.
Dado que f ( x a) = f ( x ¡ ) = 0, entonces por el Teorema de Rolle
2.
3.
3 c e <*„, ;c,> c <0, l> I f ' ( c ) = 0
6.
Si / ( x) = x* + 4.r - 3 => f ' ( c ) = 3 c 1 + 4 > 0, V c e IR. e s lo e s f ( c ) ^ 0
contradice la hipótesis del paso (5).
7.
Por tanto, la ecuación dada tiene exactam ente una raiz en el intervalo <0, I>.
l oq ue
■
(E JE M P L O 11) U sando el Teorem a de Rolle e inducción m atem ática probar que el
polinom io de grado n no puede tener m ás de n raíces reales distintas.
Demostración
l. En efecto, sea el polinomio de grado n
P(x) — aHx" + aBA x"’' + ... a ,x + an
donde a a, a,, a 2
2.
i) Si n = l
P{x) = a, x +
a„, son números reales, a„ * 0
y si P(x) = 0 => fl,
x + a 0 = 0,
de donde ; x = — — , posee una sola raíz
a,
ii)
Supongam os que todo polinom io de grado n - l, con n > l tiene a lo m ás n - l reales
distintas.
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Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y sus aplicaciones
iii)
537
Probarem os entonces que P(x) = a„ x" + a„., x a l + ... + a ix + a 0
no puede tener más de n raíces reales distintas.
3.
P or reducción a! absurdo, supongam os que P(x) tiene n + I raíces d istin tas tales
que : a-, < x 2 < a 3 < ....< xn < x ^ ,
Luego, P(Xl) = P(x2) = P (x%) = ........ = P(x„) = P{xBtl) = U
4.
5.
En t u n c e s el T eo rem a de Rol l e se c u mp l e en ca d a int er val o c e rra d o [a ,, a ,|,
(a2, a,], ...... [a„ . a^iJ, y por lo tanto, existen números t „ c2, c„ .... c„, tales que:
P \ c x) = 0 y je, < c, < c2
P' (c2) = 0 y a, < c2 < <n
P'(c„) = 0 y a h < c„ < c rhH
lo cual implica que el polinomio
P '(x) = n a„ x
+ (w - 1) a.., x *-2 + .. + a
de grado «-I, tendrá n raíces distintas: r (, c2, c , , ... c„
lo que contradice la hipótesis inductiva (ii).
En consecuencia, el polinomio P{x) de grado n tiene a lo más n raíces distintas.
Nota
■
El Teorema de Rolle sirve para probar otro resultado importante: el Teorema del
Valor Medio. Cabe interpretarlo com o una generalización del Teorema de Rolle,
en la cual / ( « ) * / ( / ? ) .
TEO R E M A 5.4 : Teorema del Valor Medio o de Lagrange
Si f :[«, b)->JR es una función tal que
i) Es continua en tu. b]
ii) Es derivable en <a b>
Entonces existe un núm ero c e <a, b> tal que . y
b- n
D em ostración
L a demostración se basa en
el estudio de la fu n ció n auxiliar
tp ( a ) sugerida en la Figura 5.13
1. Por definición: t p ( A ) —f ( x ) - y
2. Como la secante PQ pasa por P(a, f(a)),
con pendiente
m = /(fr > -/( « )
b-a
la fórmula punto-pendiente de la ecuación
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C apítulo 5: Aplicaciones ele la Derivada
538
3.
4.
5.
6.
de una recta, da la siguiente ecuación para la secante PQ : y = f ( a ) + m (x -a)
Entonces en (1): (p ( x ) = f ( a ) - f ( a ) - m(x - a)
Dado que <p(x) es continua en [a, b] y derivable en <a, b>. se puede verificar por
sustitución directa que: tp(a) = tp(b) = 0
Entonces, por el Teorema de Rolle, 3 c e <a, b> I (p \ c ) = 0
Luego, en (3): <p ’(x) = / '(a) - m => <p '(c) = / '( c ) - m
y si <p'(í.')= ( ) = > / ’(c) = m
f{b)-f(a)
.
f (c) =
b —a
N ota
El teorem a del valor medio tiene implicaciones en todas las interpretaciones de
la derivada. Geom étricamente garantiza la existencia de una tangente que es parale­
la a la secante que pasa por (a, f ia)) y ( b , f ( b ) ) com o indica la figura 5 .13.
C O N S E C U E N C IA S D EL TE O R E M A DE LAG R AN G E
COR OLAR IO 1 : Funciones con derivada cero
Sea / : [a, b]
una función tal que. si / '(a) = 0 . V a € <a. ! » . entonces / es
constante en [a, b], es decir existe una constante A tal q u e / f x ) = k. " . r e | a, b\.
D em ostración
I . En efecto, si x es un número arbitrario tal que a < x < b , la función/( v)
satisface las condiciones (i) y (ii) del T.V.M. en el intervalo [a, x] c: [a. />l
2.
Luego, existe un núm ero c e <a, b> tal que : f (c) =
3.
4.
5.
Pero, por hipótesis, f \ x ) = 0 en el intervalo <a, b>, entonces f \ c ) = 0
Por tanto, en el paso (2): / ( a ) - f [ á ) = ü <=> / ( x ) = / (a)
Com o el resultado / ( a ) =J ( a ) se mantiene V x e <a, b], esto e s ,/( x ) tiene un valor fijo
k —f ( a ) sin importar el valor de x en \a, b\, se sigue que: f ( x ) = k ,
■
CO R O LAR IO 2 s Funciones con derivadas iguales
Sean f i x ) y g(x) dos funciones continuas en \n. b\ y derivables en <a. b>, tales que
/ ’(x) = g \ a), V x e <fl, b>, entonces f y g difieren en una constante k e [ct. b \ . Estos es.
una constante k tal que:
/ u ) = g(x) + k. V a e [a. /;]
D em ostración
2.
Luego, si
b
I. En efecto, por la hipótesis dada, sea la función h(x) = f x ) - g{x),
V a e [o, b], que es continua en [a, bj y derivable en <a, b>.
h'(x) - f ' ( x ) - g '(a) , y com o / '( a ) = g ' ( a ) , V a e <a, b>, se sigue que :
‘( a ) = 0
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Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y sus aplicaciones
3.
De modo, por el Corolario 1 , h(x) es una constante en
y asi, / ( a ) = g ( A ) + k. V x e [a. b].
539
¡a,
b\, o sea /
(a) -
g(x) - k,
Nota
El Corolario 3 del T.V.M. se refiere a funciones crecientes y decrecientes de cuyo
estudio nos acupamos en el Capítulo 1, Sección 1.12. A llí definimos lo siguiente:
Una función/es creciente en un intervalo I si, para cada par de números a, y x2 e 1. con
a , < a ,
implica / ( a , ) < / ( A j )
Una función/es decreciente en I siempre que
a , < a 2 implica / ( a , ) > / ( a 2)
para cualquier par de números xlt
í.
Según estas definiciones vemos que/es cre­
ciente si su gráfica asciende al mover a hacia la dere­
cha y es decreciente si desciende al mover a hacia la
derecha. Así la función/de la Figura 5.14 es decre­
ciente en <-**>, a>, constante en <a, I» y creciente en
<b, +»>.
Como la derivada /'(a ) es la pendiente de la recta tan­
gente en el punto ( a , / ( a ) ) de la gráfica de f se tiene
FIGURA 5.14
que el signo de la derivada va a determinar cuando la
función es creciente o decreciente, pues como se indi­
ca en la Figura 5.14, una derivada positiva (f'(x) > 0)
implica que la pendiente de la tangente asciende y una derivada negativa ( / " ' ( a ) < ü) produce
pendiente en descenso. Se debe advertir que para determinar si una función es creciente o
decreciente, debemos examinar el signo de / ’ en todo el intervalo, no sólo en un punto.
COROLARIO 3 : Funciones crecientes y decrecientes
Sea f: [«, b] —» El una función continua en \a, b] y derivable en <a, b>
liemmtración
1.
i) Si
/ '( a ) > 0 ,
ii) Si
/ ’( a ) < 0 .
V ae
< ¿i,
V .ve <a,
b>. f es creciente en
¿ > , /
(« ,
(i) Supongamos que / ' ( a ) > 0, V x e <a, b>. Necesitamos probar
que si a , , a ^ , g [a, b\ con a , < a 2 ^ / ( a , ) < / ( a 2)
En efecto, para un intervalo [a ,, a3] aplicamos el T.V.M. Esto da:
a 2 - a ,
2.
3.
b]
es decreciente en [ « , b\
para cualquier c e <a,, a2>
Puesto que a, < a 2 y, como por hipótesis, / '( a ) > 0 =* f ‘(c) > 0
Luego, en el paso (1), se sigue que: / ( a 2) - / ( a , ) > ü =>./(ai) < f ( x2)
La prueba es similar para el caso (ii).
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54Ü
Capítulo 5: Aplicaciones d e la Derivada
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
( ^ E J E M P L ^ 2 j Aplicar el T.V.M. a las funciones dadas en c) intervalo indicado y. hallar
los valores de c que satisfacen su conclusión
a) f (x) = x*-xl -2x> x e [-1, 1|
Solución
b ) / U ) = Jf
4 , x e f—1,4]
a) La función polinomial / es continua y derivable en toda la recta real, en
particular lo es en [-1, 11. Luego, hallaremos los valores de c resolviendo la
ecuación:
f{c) =
/(!)-/(-!)
l-(-l)
( 1 1+2) & 3 c* - 2c -1 = 0
1+ 1
Resolviendo la ecuación obtenemos: c, = -1/3 e < -I, l> y c2 = 1 £ <-1, 1> por tanto,
Esto e s : 3c?- 2 c - 2 = (1
1 2)
el único c que satisface la conclusión del Teorema es c = -1/3
b)
x 1-3 x -4
x+ 5
f { x ) = ---------- —
es continua y derivable V x e IR - {- 5}, y en particular lo es en
1-1,4].
Derivando la función obtenemos: / ' (x ) =
x2 + 1 0 x - ll
(x + 5)2
■
* / ( 4 ) - / ( —1)
c2 + 10c—11
0 -0
_
Luego, si / fe) = J-^—£——— - =¡>------------ =— = --------= 0
6
J 1
4 —(—1)
(c + 5)
4+1
f
Si c2 + 10c -11 = 0 <=> c, = 1 g <-1, 4> ó c2 = 11 g < -l, 4>
Por lo que, el único c que satisface la conclusión del Teorema de Lagrange es c, = I .
[
EJEMPLO 13) S e a /(x ) una función continua en el intervalo [3, 7] con/(3) = 10.
Si f'(x ) = 5 para x e <3, 7>, demostrar que/ (jt) = 5x - 5.
Demostración'
1. En efecto, sea el intervalo [3, x] c f3, 7]
2. Por hipótesis:
/e s continua en [3, 71 => también lo es en (3, x]
/e s derivable en <3, 7> => también lo es en <3, x>
3.
Luego, por el Teorema de Lagrange: 3 c € < 3, x> I / ' (c) =
4.
Pero como / ( 3 ) = 1 0 y / '(jt) = 5 => f'(c) = 5, V x e <3, 7>
5.
Por lo tanto, en (3): 5 =
x -3
<=> / ( x ) = 5 x - 5
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—f O )
x -3
■
Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y sus aplicaciones
541
( E J E M P L O 14^ Usando el Teorema de Lagrange, dcmostrai que
■ JT + x
Demostración
<
1 +
. s i Jt >
1. En efecto, sea la función f(x)=-J\ + x
ro,
x]
c
Entonces por el T.V.M.: 3 c e < 0 , ,r > 1f (t ) =
3.
1i
J il +
v
+ jx -- l i
r.----- .
*
Luego, — ------------------ -— = > V I + a - 1 = — r =
2VÍ+7
x -0
T
b —a
X
; entonces en (3) se tiene
x >
Vl + Jc - ! < — <=> v l + x < 1 + 2 '» si x > 0
[ EJEMPLO 15) Demostrar que
tffTI < I + - , V
1.
i)
r n e Z 1
a g
En efecto, sea la función / ( x ) = Vi + x
cuyo dominio = [ - 1 , + « * > > , V n e 7 /
/ es continua en 10, jcJ c [-1, +«>>
ii-) f es derivable en <0, x> <z [-1, + ~ >
2.
Entonces por el teorema del valor medio
3
C
G <0,
X>
I
f
(c) =
3.
Pero, si f ( x ) =
4.
Luego, en el paso (2):
5.
Si
/ ( * > - / ( o)
v m
x —0
1
c > 0 = ^ l+ c > l
= > /(< •)= •
1
- i
x
= = «
Vo+cr
1
( VT+Jc- 1
X
y como /? > 1 ^
— * >0
n
n—
I
«i-l
j
Por lo que : (I + c ) " > 1 " => - — - - - < 1
V(1 + c)"-'
6.
,a = 0 y b = x
2-J\+c
Pero como,— .
< —, V c e < 0 ,
2 V Í+ 7
2
Onworfrucidn
definida en el intervalo
i - 1, + °°>
2.
4.
0
Entonces en el paso (4): n \
—L | < [
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Capítulo 5: Aplicaciones d e la D erivada
542
siendo x y n positivos => V i + x < I + —
(^ E J E M P L 0 ^ 1 6 ) Demostrar que -JT+x < 4 + ^(x-t-15), si x > 15
Demostración
1.
Sea la función / ( x ) = V i + x ^ Dom( f) = (-1 , +<»>
i ) / e s c o n t i n u a e n [ 15, x] c [ - 1, +
> , p u e s x > 15
i i ) / e s d e r i v a b l e e n <15, j o
2.
Entonces por el T .V .M .: 3 c e < 1 5 ,x > I /'(< :)= ^
3.
De donde obtenemos : V l + x = 4 + (x - 15). f'(c)
4.
Si / ( x ) = Vi + x => / ' ( x ) = — }
; luego, f ‘( c ) =
*
2-VÍ + x ’
B ’J
2-JV+t
5.
Parax > 15 se tiene que: f \ c ) < 1/8
6.
Por tanto, en el paso (3 ): Vi + x < 4 + ^-(x - 15)
x -1 5
-- = —------ ——
x -1 5
[E JE M P L O 17] D em nstrarque la fórmula del teorem adel valor medio puede expresarse
en la forma:
f(x + h) = f(x) + h.f'ix + 0/z), donde 0 < G < I
Demostración
l . Por la fórmula del teorem a del valor medio
f { c ) = fih)~ f { a ) ^ f { b ) -f U i) = {b-a).f{c)
b —a
2.
3.
4.
5.
Si a < c < b, hagamos ~ — — = 0, 0 < 0 < I
b-a
=> c = a + Q(b - a), O < 0 < I
Entonces en ( I) : f( b) - f (a) = (b - a). f' [ a + Q(b - a)J, 0 < 0 < l
H agam os ahora : a = x, b - a = h, de donde, b = x + h
L uego, en el paso ( 3 ) : /( x + h) - / ( x ) = h . / ' ( x + Qh), 0 < 0 < l
Por lo tanto, / ( x + h) = / ( x ) + h. f'(x + Qh), 0 < 0 < I
■
blata
L a fórm ula obtenida en el paso ( 5 ) , así como las fórmulas equivalentes de los
pasos ( l ) y (3) se llaman fórmulas de los incrementos finitos de Lagrange, a dife­
rencia de la aproximación
f ( x + h) = / ( x ) + / ' ( x ) . dx
la que se llam a a veces fórmula de los incrementos infinitesimales
(E JE M P L O 18) Usando la fórmula del Ejemplo 17, determinar 0 en términos de
x y h para la función / ( x ) = x \
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
543
Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y sus aplicaciones
Solución
Si
=
/( a )
/ ( a
a 3
h)
+
=> f'(x) =
(x
=
3a3
+ h )2 -
x } + h ( 3 a 2 + 3 x h + / i 1)
/'( a + B /í) = 3 ( a + 0 / i)2 = 3 a - + 6 t7 í6 + 3 / r 0 Ahora, si
/ ( a + /i) = / ( * ) + h . f \ x + 0A), entonces
a 1 + A ( 3 a 2 + 3 a / í + Ii2) = x' + h( 3 a ’ + 6 r / j 0 +
de donde obtenemos: 3 h 0 2 + 6 t 0 —3x + h
y completando el cuadrado se tiene : [ 0 + x- ) =
\
0
(j£JEMPL0^19j Si
/'( a )
>
h)
3 /r0 :)
4 r (x2 + xh + — )
h2 K
3
U - x ± J x * T x h + hr ñ )
=
V
# ’ (a),
IR y f(u) = g(a), demostrar que
a g
/ ( a ) > g ( A ) , V A 6 <fl. + «»>
1. Sea h(x) una función continua V
Demostración
2.
3.
4.
a g
<a, a , ] ci <a, + <»>
tal que : h(x) = f (x) - g(x)
h(a ) es derivable , V x < a, a , > , por ser / y g derivables V x e IR
h(xt ) - h(ci)
Por el Teorema de Lagrange : 3 c g <a, x,> I /i'(c) =
x,-a
Como h ’(c) = f'(c) - g’(c ) => f (c) - g' (c) =
[/(-^ 1) - g ( A |) l- [ /'( a ) - g ( a ) ]
A, - f l
/ U | ) “ g U |)
Xj ” Cl
5.
Por hipótesis:/ ( a ) = g(a) =¡> f (c)-g' (c) =
6.
También por hipótesis : f ’(x) > g '(*) =>f'(c) > g ’(c)<=> f'(c) - g ‘(c) > 0
7.
Luego, en el paso (5):
a
f
,
\ > 0, y comoa , - a > 0 .se sigue que :
-a
( a ,) - £ { a ,) > 0
/
<=> /
(a ) >
(a ,)
£ ( a ),
>
g
V
A G
(a,),
V
a ,
< fl, +
e
<
fl,
+
oo >
oo>
( E J E M P L O 2 0 ) Usando el teorema del valor medio, demostrar que
Tg X > A , V A G <0, 7 U /2 >
Demostración
1. Sea la función / ( a ) = Tg x - a, V a g <0, a,1 c < 0 ,7t/2>.
Entonces:
i) /e s continua V a g <0, a,]
ii)/e s derivable V a g < 0, a , >
2.
Por el Teorema de Lagrange: 3 c
3.
Si
/'(
a
)
=
Sec2a -
1
= Tg7x
=>
<0,
a
f'(e)
=
g
,>
I / ’ (c) =
Tgz c
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A[ “ 0
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
544
4.
Luego, en el paso (2): Tg3 c =
5.
Como
Xy— —
■*i
6.
> 0 y T g 2 c > Q , V c e < 0, x,>, entonces en (4) se sigue que:
T g x t - jc ,
> 0 <=> T g x, > x y
Por tanto, siendo x , e <0, n/2> => T g x > x , V * e <0, n!2>
jc ,
[ E JEM P LO 21 ) Mediante la fórmula de Lagrange, demostrar las desigualdades:
^ a
Cos a
DewtoHración
<
b
Tg
-
Tg a
^
2° , siendo Q < a < b < n¡2
Cos a
<
I . Sea la función f ( x ) = Tg x, continua y derivable V x e
Entonces, por el Teorema de Lagrange :
< 0 , rc/2>.
3 c 6 <a,h> I f ( c ) = / ( * > - / ( ” ) = , Sec2 c =
b -
'
2.
De donde: Tg b - Tg a = ^
3.
Si c e <ü, b> <=$ a < c <
4.
Como h > a , implica que
por b - a obtenemos:
/? -
a
f
^ Cos a < Cos c < Cos b
b
l
I
C o s1 a
C o s 2 c
I
C o s
2b
0. entonces si multiplicamos las disigualdades en (3)
b - a >
b - a
^
Cos1
5.
o
b - a
<
Cos1
a
b - a
Cos2 h
c
Por tanto, de (2) y (4) se sigue que:
b - a
„ ~
<
Tg
b -
~
Tg
b - a
a
<
®
[ E JEM P LO 22 J Demostrar que la función f ( x ) = x5 - x - 20 es creciente en el intervalo
[ 1, 3] y halle sus valores máximo y mínimo
C o s ’ a
C o s2 b
Por el corolario 3, debemos probar que f ' ( x ) > 0, V x e <1, 3>
En efecto, si f \ x ) = Óx4 - 1, y x e <1, 3>, entonces
1 < x < 3 => 1 < X4 < 81
=> 5 < 5x* < 405
=> 4 < 5X4 - I < 404 <=> f \ x ) e < 4, 404 >
Luego, f \ x ) > 0, V x e < 1 ,3 > y p o rlo ta n to /e s creciente V x e [1,31 .Comoelmínimo
y el máximo de / se encuentran en los exteriores de este intervalo, ocurre que
[D em o stra c ió n
|
/(1 )
<
/(x )
<
/(3 ),
V
x e
[1 ,3 ]
<=>-20 < /(x ) < 220 => Min(/") = -20 y Max(f) = 220
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■
Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y su s aplicaciones
545
( EJEM PLO 23^ Demuestre que la función fix) = -J5 - x —2. para x e [-11, 4|, alean/»
su valor máximo en -11 y su valor mínimo en 4.
bemmtraciún
* Bastará probar que / es decreciente V r e [-11.4], esto es.
< 0, V
/ '( j c )
jc
e <-11, 4>
En efecto, si f(x) - -J5-X - 2 => f ( * ) = y si -11
<
jc
<4
2-JT-.
=> -4 < - * < 11
=> 1 < 5 - x < 16
I
- <
8
"
I
2 V 5 -
1
jc
<
2
l
<
2 <
Luego,
—
Z 1 (x) g < - l / 2 , - 1 / 8 >
-
/ ' ( jc) < 0, V x e <-11, 4>,porloque
/(4) < f(x) < / (-II)
-I <
/ ( jc)
< 2 => Min (/■) = -1
y M a x (f) = 2
TEOREMA 5.5: Teorema del Valor Medio Generalizado o de Cauchy
Sean / U ) y /(.c) dos funciones tales que
i) Son continuas en el intervalo [o, /;]
ii) Son derivables en el intervalo <a, b>
iii) Si g'(c)
0 en cada punto de <íj. b>. entonces
,
I /* U 0
3 r e <íi , I » I
g (r )
3
Demostración
/ ( / ? ) - /( a )
—
g(b)-giu)
1. Analicemos la función auxiliar F(x) = f ( x) - X g(x)
donde el número X se ha elegido de tal forma que F(a) = F(b), estoes:
2.
/( o ) - Xg{a) = f {h) - X g(h) »
X=
3.
4.
Las funciones/ y g y por ende F, satisfacen todas las condiciones del Teorema de Rolle,
entonces: 3 c e <a, h > I F'(c) = 0
En el paso ( 1 ) : F '( jc ) = / ' ( j c ) - X g'(x) = > f '(c) = / ’(c )- X g’(c)
5.
Si ^ '(c ) = 0
6.
En Consecuencia, de los pasos (2) y (5) se sigue que:
/'(£•) - X g V ) = 0 «
X = ^
g (<■)
f i c ) = f(b)~f(a)
g’(c)
g(b)-g(a)
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Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
546
[E J E M P L O 2 4 ) Hallar el valor de c que cumpla el Teorema de Cauchy para las funciones
f ( x) = x2 - 2x + 5 y g(x) = a - + 2 a - 6 , en el intervalo [-1, 2J.
Solución
Las funciones / y g son continuas en f-1, 2) y derivables en < -1, 2 >,
entonces:
f ' [ c) = 2 c - 2 = 2(c - 1) ,
/ M ) = 1 + 2 + 5 = 8 . /(2 ) = 4 - 4 + 5 = 5
g'(c) = 2 c + 2 = 2(c + 1) ,
£ (-1) = 1 - 2 - 6 = - 7
1T
«
.
2 (c —I)
/(2 )-/(-l)
Luego, por el Teorema Cauchy : ¿ — - - g (2 )_ g(_ n
,
*(2 ) = 4 + 4 - 6 = 2
. r-l
5 -8
=> — | - ^
I
- - 3
de donde obtenemos : r = l / 2 e < -l,2 >
u
[^ E JE M P L 0^ 2 5^ Si / (jc) es continua en [a, b\, 0 C [a, b ], y si / (a) es derivable
en <a, b>, demostrar que existe un número r e <a, b> tal que:
f(b)-f(a) _ f ( c )
bz —a2
2c
1. Sea g(x) = x2 una función continua en [a, h] y derivable en <11, b>
y como x * Ü =* g\x) = 2a # 0
Por hipótesis/ es continua en [a, b] y derivable en <a. b>, entoncespor el Teorema de
Demostración
2.
Cauchy: / í f c f í t i =
g( b) - g( a)
g'(c)
Dado que g(a) = a.2, g(b) = bz y g ’(c) = 2c, entonces en el paso (2):
3.
fib)-f(a) _ f{c )
b2- a 2
2c
_
<•_
„
Cos a — Cos b
^
( EJEM P LO 26 1 Demostrar que —------------ -— —= —Tg c ,
donder e <a, b>
Sen a - Sen b
Demostración
1.
Sean las funciones / ( a ) = Cosx y #(jc) = Sen a, tales que
i) Son continuas en [a, b\
ii) Son derivables en <a, h>
iii) Si g‘(x) ± 0, V a e <a, b>, entonces por el teorema de Cauchy:
I fib)-fía)
fíe)
r ic e <«, b> I — 7- ------- — = - - •
g( b) - g( a)
8 (f)
o
1
Cos b —Cos a
Sen b — Sen a
L u e g o . -------------------------------- =
—Sen c
Cos c
[ EJEMPLO~27 j Demostrar' que : ^
70 q
=_
I - a
<
I+ a
Cos
a - Cos b
„
^ ------------------------ — — 7 p
Sen a —Sen b
Ln ( 1 + A )
-------< I,
are Sen x
.
si a e
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<0,
■
1>
547
E JE R C IC IO S. G rupo 41: E l 71V.M. y su s aplicaciones
Demostración
1. Sean f { x) = Ln{ 1 + x) y g(x) = are Sen x, dos funciones continuas
en [0 , x] y derivables en < 0 , x> y si g’(x) # 0 en < 0 , x>, enlonces por
el teorema de Cauchy
<0, x>, x 6 <0, 1> I
3 ce
2.
/ '(jc )
= y - ^ = > / (c ) = y | -
g' ( X) = .
/ ( 0)
=
g' (c)g ( x ) - g ( 0 )
L n (l+ 0 ) =
0
=> g' (c )= ■ 1 , * ( 0 ) = are Sen 0 = 0
1
yll-c1
V I- .* 2
3.
,
^
JE I =
Luego, en ( I ): Ü Z Z = M H - x ) - 0
1+ c
a/c
x —0
V 1+ c
a r e
4.
Como c < x =* 1 + c < 1 + x =» 0 < y - — < . *
5.
También ¿¡i c < x = * - x < - c ^ 0 < I - x <
de modo que al multiplicar (4) y (5) obtenemos.
,
_
l+ x
6■
7.
l+r
l -c
l —c
1 -x
+ . c e < fí, x >
Sen x
l l —X
< T+7
< TTc ^ v í+jt
0 => —c < 0
=> 1 —c <
í l —c
v í+ 7
Dado que:
c>
c
8.
>o=>i+c> i ^
I+ c
1
iy——
1
< i Jnvi+c-
Por lo tanto, de (3) y (6 ) y (7) se sigue que:
Ln (I +x)
.
[ E * < -----< I , si x e <0 , l>
are Sen x
V \1+ x
EJE R C IC IO S . Grupo 41
❖
En los ejercicios l al 10, verificar que la función dada satisface la hipótesis del Teorema
de Rolle. Hallar todos los valores de c que cumplan ia conclusión de ese teorema.
/ ( jc) *
x2- 4 x
3.
/(x ) =
5.
/
1.
(x)
=
2.
/(* ) =
x ’ - 2 .x 2 - x + 2 , [ - 1 , 2 ]
x J - * + 2. [-1 , n
4.
fU ) =
x4 - 2 x 2 +
5 x 2M - x s/\
6.
/< * > =
8.
f(x) =
+ 3 , [ 1, 3 ]
[ 0 , 51
7. f(x) = xm - 2xm.
9.
/ «
-
j[2 - 5 j: +
X + 1
[0. 4]
4 , L 1 , 4]
10.
/ ( j0
x 4'* - 3 x i;\
x
2 -
x
- ! 2
1, [ - 2 , 2 ]
[0 , 3]
^ [ 3
x - 3
=
Í4 -2 x -x 2 , x
g
[ —3 , 0
‘ [ x 2 - 4 x + 4 , x e [ 0 , 3]
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
548
Capítulo 5: A plicaciones d e la Derivada
En los ejercicios 11 al 20, hallar los intervalos en los que f(a) =f{b) = 0 y el teorema de
Rolle es aplicable. Para cada uno de ellos hallar los valores de c en que f ‘(c) = 0
- J t - 2)
II. /
(J C ) = JC ( jc 2
13.
/ (x) = x’ -x 2 - 5 x - 3
x2 - 2 x - 3
12 .
/(x ) =
14.
/ ( x ) = x 3- 2x*-5x + 6
a:
17. /
( jc )
=
( jc
X
19. f ( x) =
18.
x -4 x
x+2
/ ( x ) = (x - 3) (x +2)yí
20.
.// ( vx /) = —
71 -4 S í> n 2x
16.
15- / W = ^
+ 2)z,‘ ( jc - 2)“,
jc
e Z1
f T tX
2 ~Se
n\ —
+ 2
/(x ) =
•3*
En los ejercicios 21 al 34, verificar que la hipótesis del teorema del valor medio se satis­
face para la (unción dada en el intervalo indicado, luego hallar el valor de c que satisfaga
la conclusión de dicho teorema.
21.
23.
/ (x) = x 3 - 6 x* + lOx, [1,41
/ (x) = x 1 + 3x2 + x + 1, [-4, 51
22.
24.
f (x) = x* - 2a'1 + x5 - 2x, [-1, 2]
25.
/(x ) = ^ | ,
3 x -2
26.
f ( x ) = x ' +6x + 5 , [ 1. 51
[1,4]
/ ( x ) = jt5 -5 x 2 -3x, [1. 3]
x- 6
27. / ( * ) =
x 2 —3x —4
, 1-1,4]
x+ 5
28.
/ ( x ) = x - l + - - ™ , [3/2, 3]
29. / ( x ) =
x2 + 4 x
x —7
b
30.
/(x ) =
IV - x
X
32.
/(x ) =
31. / ( * ) =
X
2 —x
2+
,< 1 ,3 /2 1
4 + 1x 1
. M , 2]
4 -x
, [ - 2 , 0>
4 Vx + 1
, [0, 3 >
x 2 - 2 x + 5 , [3, 51
33. f ( x) = 2x3 - x 2 - 3x + 5, [-2, 2]
34. f ( x) = x - S e n x, [-Jt. n]
35. Aplicar el teorema de Rolle para demostrar que x' - 3x + b = 0 no puede tener más de una
raíz en [- 1 , 1], cualquiera que sea el valor de b.
36. Si a > 0 y n entero, probarque /( x ) = x 2n+l+ a x +b no puede tenerdos raíces reales.
37. Sea f(x) = Ax2 + Bx + C. Probar que en cualquier intervalo [a, b]> el valor de c
garantizado por el T.V.M. es punto medio del intervalo.
38. Dada la función / ( x ) = Ax3 + Bx1 + Cx + D, definida en el intervalo [a, b\ y c es el
valor que satisface el T.V.M.; mostrar que:
c2 =
(a2 +ah+h2)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
E JE R C IC IO S. Grupo 41: E l T.V.M. y sus aplicaciones
549
39. Haciendo uso del Teorema de Rolle, pruebe que la ecuación dada f(x) = 0, tiene una y
solamente una raíz en el intervalo indicado
a)
/(jc) = jc5 + 2.c - 3, [0, I]
b)
c)
f(x) = xw-
d)
10 0 0 , [ 1, 2 ]
f ( x ) = x*- 3x-20, [2,3]
f ( x ) = xs - xr + 2x- 3, <0, J>
(Sugerencia: En cada caso, seguir los pasos del Ejemplo 10)
40. Indicar el número de raíces reales de la ecuación 3jc5 + I5 r - 10 = 0, usando métodos
analíticos (sin resolver la ecuación)
41. Mostrar que la función f(x) = je" +px + q no puede tener más de dos raíces reales siendo
n par. y más de tres siendo n impar.
42. Usando el Teorema de Rolle, probar que la ecuación Tg(x* - 5x + k) = 0 tiene a lo más
una solución real en el intervalo <-n/3, tc/3 >, siendo k una constante arbitraria en IR.
43. Sea / una función dos veces derivable en un intervalo abierto. Si f (a) = f ( h ) = f(c),
donde a < h < c son tres puntos del intervalo, demostrar que 3 d e <a, o / f"(d) = 0
(Sugerencia; sean c, e <a, b> y c2 e <b, c> / / ' (c,) = f'(c2) = 0 y aplique el Teorema
de Rolle. Luego, use nuevamente el Teorema de Rolle a / ' sobre [ct, c2] a [a, r] =>
d e [c„ c2\ i f"{d) = 0
44. Mostrar que el polinomio P{x) = x* - 6 -r2 + 9x ~ 1, tiene exactamente una raíz en el
intervalo <1, 3>
❖
En los ejercicios 45 al 60, usando el teorema del valor medio, demostrar las desigualda­
des dadas.
45.
46.
Zj i ( jc+ 1 ) > - ^ - j , V * > Ü
47. I + Í - 4 r < V l + * < 1 + 4 . V jc>0
2
8
2
50.
2
51. --- <
n
x < x, si jc e [0 , 7t/2 ]
52.
Cos ax - Cos bx
< I h-a\, x * 0
x
555.
5 . li _- £í ^
^ i ----------- í -------
54.
Sen x + Tg x > 2x, si x e < 0, nl2>
si x ee < -l,
- 1, ü>
56.
n f ' ( r - y ) < x” - y” < n x"1 (x - y), si y e < 0, jc] . n e Z*
57.
I +
¡ L - < V T + 7 < I + 4 . si -1 < x < 0, x > 0
2-Jl+x
2
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550
—
58.
Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
h tí
I +h
59. • /
T Í
T
j < are Tg b - are Tg a <
b -'fl
I
t , si a < b
l+ « "
. < arcTg x < j . V j > 0
61. Demostrar que: í
+ A
are Tg x <
60.
x +1
<
4
^ ( x - 1 ) , si x > I
2
< í. + í
62. Dada / ( x ) = «re Tg x - x +
. use la derivada para probar que:
3
x*
x — — < are Tg x,si x > 0
63. Usando el Corolario 2 del T.V.M., resolver la ecuación diferencial
í / ' (x )= 6
1/ ( 0) = I
Cos2 x Sen x + 2x —5
64. Usando el T.V.M. o de Rolle, demostrar: Si / y g son dos funciones continuas en
[a, h] y derivables en <a, b> y cumplen, f ( a) = g{a) y f ' ( x)< g'(x), V r e <Ut, I».
entonces f ( b) < g(b)
65. Si / y g son funciones continuas en [«. b], a < b que satisfacen:
f { á) < g(a) y f ( b) > #(/>), entonces demostrar que 3 r e <a, b> / f ( c ) = g(c)
6 6 . a)
Aplique el T .V .M . a
JUñ =
/ (x)
= -Jx en
[100, 101] para demostrar que
10 + —1=
2 VF
para algún número c e < 1 0 0 , 101 >
b)
Demuestreque 1 0 0 < c < 1 0 l. entonces I 0 < -Je < 10.5 y use esto para concluir
de la parte (a) que 10.0475 < -Jl üT < I0.05CX)
67. Use el teorema del valor medio para demostrar que:
3+¿<V28<3 +Í7
6 8 . Sean /
y g dos funciones reales continuas en [a, b\. derivables en <a. b> y tales
que f ( a ) = -Jb, f(b) =yf^( j , g(a) —-a, g(b) = b. Demostrar que existe un c e <a,b>
tal que g ‘(c) = -2 /( c ) .f'(c)
69. Aplicando el Teorema de Rolle a f (x) = x Sen x, pruebe que existe un a e <0, ti>
tal que Tg a = —a
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Sección 5.4: Criterios para ¡as fu n c io n e s crecientes y decrecientes
[5 .4 )
551
C R IT E R IO P A R A L A S F U N C IO N E S C R E C IE N T E S
Y D E C R E C IE N T E S
TEOREM A 5.6 : Funciones crecientes y decrecientes
Sea /
[«./>! —» IR una función derivable sobre el inlcivalo<cí 1
1 •.
<n h>. entonce.' t C' creciente en <a, h>
i)
Si
ii)
Si f \ x i < 0, t € <a, b>, entonces f es decreciente en <u, b>
iii) Si f'(x) ~ 0. x e <ti. b>. entonces f es constante en <a, b>
Demostración
1.
2.
3.
4.
5.
Probaremos el primer caso
En efecto, sean x„ x7 e Dom (f), tales que a <x¡, < x2 < b
Por el T.V.M. sabemos que 3 jtg
f ( x2) - f(xt) - ( x 7- x {) .f' (c)
Por hipótesis f \ x ) > 0, V x e <a, b> => f \c) > 0 y como a , < x2 =$x2- a, > 0
Lo cual implica en (2) que f ( x 2) - f ( x t) > 0 => f ( x x) < f ( x 7)
Por tanto, de (1) y (4) se sigue que:
/ es creciente V x e <a, b>
■
La demostración del segundo caso es similar y el tercero se vio en el Corolario del teorema del
valor medio.
OBSERVACIÓN 5.9
Nótese en las Figuras 5.15 y 5.16 pata funciones continuas que
/ ’(-*) sólo cambia de signo en los números críticos, por lo tanto,
para determinar donde/es creciente o decreciente es conveniente seguir los pasos siguientes:
1.
Localizar los números críticos
2.
Observar el signo de f \ x ) en un punto de cada intervalo determinado por dos números
críticos consecutivos
3.
Según el Teorema 5.6, decidir si / es creciente o decreciente en cada no de esos interva­
los prueba.
FIGURA 5.15
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FIGURA 5 16
C apítulo 5: A plicaciones de Ui Derivada
552
(E J E M P L O _ 1 _ J Hallar los intervalos en que f(x) = 2ji-3 + 3x2 - 12*
es creciente o decreciente.
Solución
I. Localización de los números críticos:
/ X * ) = fx*2 + 6 * - 12 = 6(a" + 2 ) (jr - 1)
2.
Si f \ x ) = 0 => (;r + 2) (jc - I ) = 0 <=> jt= -2 v i = l
Como f está definida en IR, x =-2 y x —1 son los únicos números críticos que dividen al
eje X en tres intervalos abiertos: <-«», -2>, <-2. I>. < 1.+«»>
La Tabla 5.2 resume el comportamiento de / en cada uno de estos intervalos
TABLA 5.2
< l . +»>
Valor prueba
x = -3
x = l)
x=2
f'(x) = 6(x + 2)[x- 1)
£
0
1
Signo d e f *(x)
1
<- 2 . I>
1
<-oo, - 2 >
1!
Intervalo
= 24 > 0
Conclusión
creciente
f ' ( 0) =
6 (2 )(-l)
= -12<0
decreciente
f’(2) = 6(4) (1)
= 24 > 0
creciente
Trazamos los puntos críticos (-2.20), (1,-5) y el punto (0,0), (la curva pasa por el origen), luego
usando la información de la Tabla 5.2, obtenemos la gráfica de f mostrada en la Figura 5 .17
Nata
Los valores prueba de la Tabla 5.2 se han escogido por conveniencia, pues,
podrían haberse usado otros. Además, para determinar el signo de f'{x) no es nece­
sario evaluar f \ x ) en los valores prueba, sino por intermedio de la regla de los signos. Así,
podemos determinar que /'(-3 ) es positivo de la siguiente manera:
/'( - 3 ) = 6 (negativo)(negativo) = positivo
FIGURA 5.17
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FIGURAS.18
553
Sección 5.4: Criterios para las funciones crecientes y decrecientes
(E JE M P L O 2 ) Hallar los intervalos en que / ( a )
Solución
xm
5) es creciente o decreciente
(a - -
1. Localización de los números críticos
f ( x ) = A2” (1) + U - 5 ) ( |
2.
=
=
A -"’ ]
Como / '(a) = 0 en x = 2 y f \ x ) no está definida en x = 0, los números críticos son
a = 0 y k = 2, que determinan en el eje X los intervalos <-«>, 0>, <0, 2> y < 2 .-H>o>
La Tabla 5.3 muestra las pruebas realizadas en cada intervalo recitante
TABLA 5.3
intervalo
< -o o , 0 >
Valor prueba
A =
Signo de f *(x)
-1
A =
/■ h > = * _ ; = +
Conclusión
<2 .
< 0 . 2>
™
1
- £ } ~
• ’
+ °°>
A =
J K}
3
3(+)
/■(- o * )
ro )< 0
/ ‘(3 )> 0
creciente
decreciente
creciente
La figura 5.18 muestra la gráfica de / donde las flechas indican el crecimiento y decreci­
miento de la función en los intervalos prueba.
Nota
Los Ejemplos I y 2 muestran a funciones que eran continuas en todo el eje real.
Si el dominio de una función / incluye puntos de discontinuidad, estos puntos
deben usarse junto con los números críticos para determinar los intervalos prueba, como se
indica en el ejemplo que sigue.
(E JE M P L O 3 ) Hallar los intervalos en los que la función /( a ) =
N
*
— —
x' —9
es creciente o decreciente
Solución
1. Localización de los números críticos
f(x) =
2.
(
a
2 - 9 ) ( 2
a
) - a 2 (2
( a 2 —9 ) z
a
)
18a
( a 2 —9 )3
Como / ‘( a ) = 0 en a = 0 y / es discontinua en a = ± 3, entonces a = 0 es un número
critico y a = ± 3 son puntos de discontinuidad.
Utilizaremos estos valores para determinar los intervalos prueba
<- 00. -3>, <-3, 0>, <0, 3> y <3, +~>
Determinar el signo de f \ x ) mediante la construcción de la Tabla 5.4 que resume lo que
ocurre en cada uno de estos puntos.
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C apítulo 5: A plicaciones de la D erivada
554
TABLA 5.4
<-©», -3>
Intervalo
Valor prueba
jc
Signo ¡te f '(x)
18c
Conclusión
<-3,0>
= -4
x=
x = -l
/■ (-4 )= ^ = + /'H ) -
<3.+oo>
< 0 . 3>
+
/
' t D
-
x=4
1
C++
)
/'(-4) > 0
/■<- d > o
/'(■ 1 X 0
/'(4 ) < 0
creciente
creciente
decreciente
decreciente
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.19 donde se puede notar las asíntotas
verticalesx = ± 3 y la asíntota horizontal y = L pues lim f ( x ) = I
■
Cabe señalar que las condiciones /'( x ) > 0 y /'(-*) < 0 no son necesarios para el crecimiento
y decrecimiento alternativo de la función diferenciable en los intervalos prueba adyacentes. El
siguiente ejemplo muestra que tal cosa no es cierta en general.
[E J E M P L O 4 )
Solución
Hallar los intervalos en los que
decreciente.
f (x) =
(2 - jr)-’ es creciente o
1. Localización de los números críticos; / ' ( * ) = -3 (2 -jr )2
Si f \ x ) = 0 2 - x —0 <=> x —2 es un número
> 0, V x
2.
Como (2 -
3.
Luego, / es decreciente en <-
jc ) 2
e
IR - {2} => / ' ( * ) < 0, V
jc g
crítico
Dom ( / ) - { 2 }
2> y en <2, +°°>
En la figura 5.20 podemos observar que la función es realmente decreciente en toda la
recta real.
_
FIGURA 5.19
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FIGURA 5.20
555
Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
(E JE M P L O 5 ^ Si g'fx) < h'(x),
V x e <a, b>, demostrar que si
a,. x¡ e <a. b> y si x, < a2 =* g(x2) - g(x{) < hU2) - hixf
Demostración
2.
3.
i . En efecto, sea la función
/ (a) = * (a) - h(x) => / '(a) = g'( r) - /j’(a)
Por hipótesis, f> '(a) < h '(a) =>
g '(a) - h '(a) < 0, V a e <a ,b>
Entonces ene! paso ( l), / ’( a ) < 0 . que por el Teorema 5.6, / es decreciente, V
a g
<
z i.
b>
Luego, por la definición de función decreciente:
Si a„ x 2 g <a, b> y si x 2 >x, => f (x2) < f ( x ,)
=> ¿ ( a2) - /i (a;) < £(A|) - /í(x,J
*U a )
( 5 .5 )
- # U i)
<
h ( x 2) - h ( X t )
u
EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Si se conoce los intervalos en los que una función es creciente o decreciente es fácil
localizar sus extremos relativos. Un máximo relativo o local aparece cuando la función deja
de crecer y empieza a decrecer. Un mínimo relativo o local aparece cuando la función deja de
decrecer y empieza a crecer. El procedimiento se explica en el siguiente teorema.
TEOREM A 5.7 : E l criterio de la primera derivada
Seac un número crítico de una función / continua en un intervalo abierto I que contiene
a r.S i f es derivable en el intcivalo excepto a lo sumo ene, /• |pucdccIaoficar:v., v«'imv
'iguc:
1. Si
/ ’
cambia de positiva a negativa en c
;
»i.) os un n u n i m
o
relativo o local de i
2. Si / “cambia de negativa a positiva en t. f(>.) e-un mínima relamo ¡ local de /
3. Si / ' no cambia su signo en c, f i e ) no es ni máximo ni mínimo relativo.
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Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada
556
Demostración '
1.
2.
3.
4.
Probaremos el primer caso
Supongamos que /'( x ) cambia de (+) a (-) en c.
Entonces existen a, b e I, tales que
/ ' ( a ) > 0 , x e <a,c> y / ’(jc)< 0 . V x e <c,b>
Por el Teorema 5.6, / es creciente en <a,c> y decreciente en <c,b>
Luego,/(c) es un máximo para / en el intervalo abierto <a, b>, y en consecuencia, un
máximo relativo de /.
■
El siguiente ejemplo ilustra la representación gráfica de una función polinómica
( E J E M P L 0 6 J Hallar los máximos y mínimos de la función
/ ( x ) = X*+ Ax^-lx2- I2x. Esbozar su gráfica
polución
2.
3.
4.
5.
I . Por ser / una función polinómica, está definida V x e IR
Nótese que para x - 0, /(O ) = 0, es decir, lacurva pasa por el origen
Localización de los números críticos
/ ' ( * ) = 4x’ + l2x 2 - 4 x- 12 = 4(x + 3) (x + I) ( jc - 1)
Si f ‘(x) = 0 => x = -3, x = * I y x = I son los números, pues / estádefinida V x e IR
En estos números críticos la función tiene por valores:
/ ( - 3 ) = (-3 )4 + 4(-3)’ - 2(-3)~ - 12(-3) = -9
A(-3, -9)
/ ( - ! ) = (-1 ) 4 + 4(-1)s - 2 ( - 1>2 - 12 (-1) = 7 => B (-l, 7)
/ ( l ) = ( l )4 + 4 (1 )’ - 2 ( t ) 2 - 12(1) = -9 => C (l, -9)
Ahora examinaremos el signo de/ ' ( a ) .construyendo la Tabla 5.5 que muestra un formato
práctico para aplicar el criterio de la primera derivada
Valor prueba
6.
7.
A
= -4
A
V
<-«■», -3 >
1AI
intervalo
u>
TABLA 5.5
= -2
< -l, l>
A = í)
< 1, +o° >
A
=2
Signo de f '(x)
(-)(-)<-) = -
<+)(-)(-)= +
(+ )(+ )(-)= -
(+)(+)(+) = +
Conclusión
Extremos
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
Mínimo en x=~3 i
Máximo en x=-¡ Mínimo cu x~ l
De la tabla deducimos que existe un mínimo relativo en A(-3, -9) y C (l, -9), y un máximo
relativo en B (-l, 7)
Con esta última información dibujamos la gráfica de / mostrada en la Figura 5.21
Los dos ejemplos siguientes ilustran la representación gráfica de una función seccionada.
(Te j e m
plo
7 ) Hallar los máximos mínimos y esbozar la gráfica de la función:
y (jt) = U 2 5 - ( x + 4)2 , si x < O
17 —(x —2 )a
, si x > 0
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Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
557
FIGURA 5.22
Solución
I. Designemos por /, ( x ) = ^ 2 5 - ( x + 4 ) 2 , si x < 0
y por f 2 (x) = 7 - (x - 2)2, si x > 0
2.
El dominio de f 2está dado V x e [0, + « ], mientras que el dominio de / , está restringido
por el radical, esto es
3 /,
<=*•
[25 - (x + 4 )2 > ()|
<=> (-5 < x + 4 < 5 )
3.
a
a
(x < 0)
(x < 0)
<=> -9 < x < 0 => Dom (/j) = [-9, 0>
Se debe advertir que en las l'unciones seccionadas es necesario estudiar la continuidad en
los exiremos contiguos de los intervalos de definición de cada subfunden, pues éstos
pueden llegar a ser números críticos.
En este caso debemos averiguar como se comporta la función en x = 0
Como lim f ( x ) = A/2 5 - ( 0 + 4 )2 = 3
*-.cr
y
lim / , ( x ) = 7 - ( 0 - 2 ) 7 = 3 ,
*—
►o*
podemos afirmar la continuidad de / en x = 0 , luego éste es un número crítico.
4.
Localización de otros números críticos:
/'( * ) =
x+4
— .
= , si x e [-9 , 0 >
V 2 5 -(x + 4) 2
—2 (x —2 )
, si x € [0 , +«* >
Si / • ( * ) = 0 => (x + 4 = 0 )
5.
(x - 2 = 0) <=> x = -4, x = 2
En estos números críticos la función tiene por valores
/( - 4 ) = J 2 5 - M + 4 )2 = 5 ;
6.
a
/ ( 0 ) = 7 - (0 - 2 )2 = 3;
/ ( 2 ) = 7 - (2 - 2)3 = 7
Ahora examinaremos el signo de f \ x ) para saber donde / es creciente y donde decre­
ciente, constituyendo para ello la siguiente tabla.
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C apítulo 5: A plicaciones tic la Derivada
558
Intervalo
Valor prueba
Signo de f '(x)
Conclusión
8.
< -4, 0 >
Y = -5
A = 3
+
+
creciente
Extremos
7.
V
Ar
NO
1
TABLA 5.6
A —3
+
creciente
Mínima en x=0
—2 ( + ) = decreciente
Máximo en x—2
De la Tabla 5.6 se deduce que hay un máximo relativo o local en A(-4, 5), un máximo
global en B(2, 7) y un mínimo local en C(0, 3)
Con toda esta información dibujamos la G r(f) mostrada en la Figura 5.22
\+x‘
x
1
x
, si x e < —<», 2 ]
(/.)
si x e < 2 , +<» >
(fi)
1-1 ,
Hallar todas las asíntotas
Hallar los extremos relativos e intervalos donde la función es estrictamente creciente y
decreciente, y hacer un dibujo de su gráfica
Solución
a)
-2 (-> =
Máximo en x=-4
< 2 , +«■ >
1
decreciente
[ E JEM P LO 8 J Sea la función f ( x) =
I)
II)
<0, 2 >
I) Determinación de las asíntotas
Asíntotas horizontales:
y = lim f,(x) = lim í — ^ - 1 = 0
\ I+
x '
)
=> y = 0 es una asíntota horizontal izquierda
y = lim
f-, (x) = lim ( x — Ji
jr-»— ^
x
+ 1 1 = +«”
)
^ asíntota horizontal derecha
b)
No hay asíntotas verticales, pues no existe un número jc0 lim f { x ) —+oo
c)
Asíntotas-oblicuas: En / , no existe asíntota oblicua pues se trata de una función racional
propia .(el grado del numerador es menor que el grado del denominador). En cambio en
f 2 si existe asíntota oblicua, pues cuando a- —» -h»,
0 , entonces y =
asíntota oblicua derecha.
II)
1.
Determinación de tos extremos relativos
Analicemos la continuidad de /e n x —2
2
2
lim
*
1
'
5
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
x+
1 es una
559
Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
2.
Como lim / ( a ) * lim f->(x) => / es discontinua en a = 2, de modo que
t-»2"
r-*24
es un número crítico.
Localización de los números críticos
,
I— X
fix) =
2
3.
2 >
. si A 6 < 2 , +o®>
Si / ' ( a ) s 0 ^ I - a 2 = 0 <=> a = - L a = 1 son dos números críticos pues /
definida V x e <-°°, 2]
Nótese que / 2 no está definida en x = 0, pero como 0 g <2, +<*>, entonces
no es un número crítico.
En estos números críticos la función toma valores:
-I
I+ l
4.
= 2 no
~
v-*- . s i r e
(l+ J T )
a 2 + 1
a
,
a
está
=
0
I
Examinaremos el signo de }\'{x) -
mediante la construcción de la si( 1+ X
)
guíente tabla:
TABLA 5.7
intervalo
<-oo, - 1>
< -l, l>
< 1, 2 >
Valor de prueba
x = -2
x- 0
x = 3/2
Signo de f '(x)
(-)(+ ) _
+
Conclusión
decreciente
(+ )(-) _
+
decreciente
creciente
Mínimo en x = -1
Extremos
5.
(+ )(+ ) _ +
+
Máximo en x = l
De la tabla 5.7 se deduce que la función es decreciente en
g <-«■», - 1 > u < i , 2 >
y creciente en a g <-1, 1>. Además hay un mínimo relativo en
A ( - l,- l/2 ) y un máximo relativo en B (l, 1/2).
a
6.
Como / 2’(x) > 0 , V
todo su dominio.
7.
Finalmente con toda esta información dibujamos la gráfica de / . mostrada en la
Figura 5.23
a g
<2, +<»>, no existen extremos para
es decir / 2 es creciente en
El siguiente ejemplo muestra una función cuya derivada no está definida en un punto
( EJEM PLO 9 ] Hallar las extremos relativos de la función / (.t) =
el criterio de la primera derivada.
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a 20 ( a
- 4)- por
560
Capítulo 5: A plicaciones d e la Derivada
Solución
2.
1. La función está definida V x e IR
Obsérvese que /( ( ) ) = Ü y /'(4) = 0, es decir, la curva intercepta al eje X
en los puntos (0, 0) y (4, 0)
Localización de los números críticos
f C x ^ ’l2
3.
4.
U —4)1 + U - 4 ) 2
* -■ "]
= 8 ( J t ~3 '1)| / r 4 )
Si / ’(*) = 0 = > (.r - I )(x - 4) = 0<=> a ' = 1 v x = 4
Como f(x) no está definida en x = ü,los números críticos son
En estos números críticos la función toma valores:
/ ( 0 ) = 0 , / ( 1 ) = 9 y / ( 4 ) —l)
jc
= 0,
jc
= I y x = 4.
Determinaremos el signo de f'(x) mediante la construcción de la siguiente tabla.
TABLA 5.8
Intervalo
Valor prueba
Signo de f '(x)
Conclusión
Extremos
4.
<-°o, 0 >
X =
-1
< 0 , l>
<1, 4>
x = 1/2
x= 2
(-)(-)
(-)(-)
Í-)
(+ )
d e crecien te
crecien te
Mínimo en x=4)
.
< 4 , -h=o>
.
x = 5
(-)(+ )
(+ X + )
(+ )
(+ )
d ecrec ie n te
Máximo en x - I
c re cien te
Mínimo en x -4
5.
De la Tabla 5.8 se deduce que la función tiene un mínimo global en (0, 0) y B(4, 0), y un
máximo relativo en A( 1, 9)
Con esta última información dibujamos la gráfica de f mostrada en la Figura 5.24
6.
Nótese que en x = 0, al no estar definida
/ ' ( jc ) ,
la gráfica presenta un punto anguloso.
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Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
561
( EJEM PLO 1 0 ) Si la fu n c ió n / ( a ) = a a 1 + bx~ + ex + d tiene extremos relativos
e n A (l, 17) y B (-2 ,-10), hallara,/;, c, y d.
Solución
La definición de extremo relativo implica que / ' ( I ) — f \ ~ 2 ) = 0
\ Pa r a x = \ ■ 3« + 2 b + c = i )
= 3nt =+ 2 /« + c=> \ Para x=_ 2 : |2 u- 4 / , + r = 0
Luego.S, / W
Además, si A (l, 17) e Gr ( / ) ^ a + b + r + d = 17
B(-2, -10) e G r(/) =» - 8« + 4 b - 2 c + d = -10
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1). (2), (3) y (4), obtenemos:
a = -2, b = -3, c = 12 y d ~ 10
( I)
(2)
(3)
(4)
[ EJEM PLO 1 1 ^ Sea la función / ( a ) = ajd + b r + ct si se conoce que la función /
tiene un extremo relativo en x —2 y que la ecuación de la tangente en el
punto de abscisa x = I esfef: 12x + 4y = 13, hallar los extremos relativos de /.
Solución
Como / tiene un extremo relativo en x = 2 =* /'( 2 ) = 0
y si f'(x) = 4ax* + 2bx
32a + 4£ = 0 « 8« + /; = 0
El punto de tangencia P (!,y ) e 9f=> 12(l) + 4.v= 13 <=> y = 1/4 => P(L 1/4)
(1)
Además: P(l. 14) e Gr(f) => ■
— = a + />+c
(2)
y s i/'( 1 ) = -3 (pendiente de la tangente) = * 4 « + 2Z>= -3
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3). obtenemos
(3)
a = W, b = -2 y c = 2
=> f(x) = ^ xJ -
2a 2
+2
1.
Localización de los pumos críticos; f'{x) = x* - 4a = x ( a + 2) ( a - 2)
Si / ' ( a) = 0 ^ x = -2, x = 0. a = 2 son los números críticos, pues la función
está definida V x e IR
2.
En estos números críticos la función toma los valores:
/ ( —2) = | ( - 2 ) * —2 ( - 2 ) z + 2 = - 2 => A(-2, -2)
/(0 ) —
(O)4 - 2 ( 0 ) z + 2 = 2 => BÍ0.2)
/ ( 2 ) = ~ ( 2 ) 4 - 2 ( 2 ) 2 + 2 = - 2 => C (2, -2)
3.
La Tabla 5.9 resume las pruebas realizadas en cada intervalo para hallar el signo de
/
’( x ) =
x
(a + 2 ) (a - 2 )
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Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
562
TABLA 5.9
Intervalo
<-oo<-2 >
<- 2 , 0 >
<0 , 2 >
< 2 ,+«>>
Valor prueba
x=-3
x= - 1
X=1
x=3
Signo d c f ’(x)
(-)(-)(-)= -
(-)(+)(-)=+
(+)(+)(-)=-
(+)(+)(+)=+
Conclusión
decreciente
creciente
decreciente
creciente
Extremos
4.
Mínimo en x=-2
Máximo en x=0
Mínimo en x=2
De la labia concluimos que la función / liene un mínimo relativo en A(-2, -2) y en
C(2, -2), y un máximo relativo en B(ü, 2).
m
( E J E M P L ^ ^ ^ y Hallar todos los extremos relativos de la función
/ (x) = Sen2x + Sen x. en el intervalo [0, 2n]
Solución
1. Localización de los números críticos
/ ’(*) = 2 Sen x Cos x + Cos x = Cos x (2 Sen x + 1 )
S i / ’(x) = 0 => Cosx (2 Sen x + 1) = 0 <=> Cosx = 0 v Sen x = -1/2
(a)
<=>
,
,
rt
Lueeo, los números críticos son: x =
7
2 6
2.
—,
3
11
—Jt,
2
6
—rt,
— Jt
Determinación del signo de/'(x)
La tabla 5.10 resume las pruebas realizadas en cada intervalo que los números críticos
determinan.
TABLA 5.10
Signo de f ^ x )
(a)
Conclusión
creciente
<7t/2, 7rt/6>
x = 2n/3
(-)(+ ) = -
decreciente
<7tc/6, 3rt/2>
x = 4nf3
(-)(-) = +
creciente
<3n/2, 11n/6 >
x = 5tc/3
(+ )(-) = -
decreciente
< 1 J7c/6, 2 ji>
x = 350°
ti
< + )(+ ) = +
+
1
< 0 , 7 t/2>
Valor Prueba
II
Intervalo
creciente
Extremos:
} Max. en x = n/2
} Min. en x = 7rc/6
) Max. en x = 3n/2
} Min. en x = 11rt/6
3.
De la Tabla 5.10 concluimos que la función f liene dos máximos relativos en A(7i/ 2 . 2) y
C(37i/ 2 ), y dos números relativos en B(7rc/6, -1/4) y D( 1ln/ 6 , -1/4)
5.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.25
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_
563
Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
(E J E M P L O 1 3 ) Sea la función
/ ( jc )
= Ln
x'- 3 a + 2
x2 + l
Hallar el dominio de la función, interceptos con los ejes coordenados, asíntotas, los intervalos
de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos si existen.
Solución
2.
1.
Dominio de la función: f ( x ) = L n
a" +1
La función real o (jc - 1) ( j c - 2) > 0 > ^ jr< I v x > 2
Dom (/') = x e < « , |> u <2,+«>>
Interceptos con los ejes coordenados
Eje X: Si y - 0 =* 0 = Ln
' x2 —3 j c + 2
x1 + 1
x -3 x + 2
x +1
De donde; x2+ I = x ^ 3 x + 2 <=> = 1/3 =* A (I/3 ,0 )
Eje Y: Si x = 0 ^ Ln 2
B(0, Ln 2)
3.
Asíntotas.
a)
Asíntotas horizontales: y = lim
/ ( jc )
= Ln
ljm f x~ - 3 x + 2 V
= Ln( I ) = 0
*-»±~ ^ Jf + 1 J
Luego, y = 0 es una asíntota horizontal en ambos sentidos
b) Asíntotas verticales :
lim f ( x ) = Ln ^ ^ ^ - Ln (0) = -«>
»-»r
(1+ 1)
lim / ( ^ ) = ¿ , [ i L ^ = Z 7 I ( 0 ) = - «
jt—
*2+
(4 + 1)
Entonces x = 1 y x = 2 son dos asíntotas verticales hacia abajo
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564
4.
C apítulo 5: A plicaciones de la D erivada
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
f (a) = Ln (x1 - 3 x + 2) - Ln (x1 + l )
s
2 a - 3
2x
3 x 2 - 2 a - 3
"=> f ( x ) = —7.------------------- i----- = ---------------------- i-----a
2 - 3 a + 2
a
'+ 1
(x - I ) ( a - 2 ) ( a 2 + I )
Si f'(x) = 0 ^>3j t - 2 x - 3 = 0 <-> JCj = ^ ( i - V í o ) v a, = ~ ( l + V í o )
Pero a 2 ~ 1-38 £ Dom (f), luego x, = U.72 es el único número crítico, con el que
formaremos los intervalos prueba junto con los números x = ! y a = 2
La Tabla 5.11 muestra las pruebas realizadas en cada intervalo resultante
TABLA 5. II
Intervalo
< - 00, - 0 .7 2 >
< - 0 .7 2 , 1>
<1. 2>
< 2 , + °= >
Valor prueba
A — - 1
A = 0
No d e f i n i d a
x = 3
Signo d e f ’(x)
Conclusión
5.
+
( - ) ( - ) ( +)
,
'
—
< -)(-)(+ )
c re c ie n te
No d e f i n i d a
d e c re c ie n te
No d e f i n i d a
+
r
(+ )(+ )(+ )
‘
c re c ie n te
Observando las conclusiones de la Tabla
5.11 podemos afirmar que en a = -0.72,
la función tiene un máximo relativo cuyo
valor es
/ f ^ 7 2 ) = Ot (- ° - 72)2- V
72^ 2
J
(-0 .7 2 ) + 1
6.
, 4.6784
^ '1 5 1 8 4
= Ln (3.08) *= 1.12
La Figura 5.26 muestra la gráfica de f don­
de las flechas indican el crecimiento y
decrecimielo de la función en los interva­
los prueba.
■
EJERCICIOS . Grupo 42
♦>
En los ejercicios I al 36, hallar los números críticos de/(s¡ los hay), los intervalos de
crecimiento y decrecimiento y localizar los extremos relativos o globales. Hacer un bos­
quejo de la gráfica de cada función y marque los máximos y mínimos locales.
1.
3.
/ ( a ) = a 3 - 6 a 2 + 15
/ ( a ) = 1/5 xs - a
2. / ( a ) = A4 - 2a1
4. / ( a ) = a 4 - 8*2+ 10
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EJE R C IC IO S. Grupo 42: E l criterio de la prim era derivada
5.
7.
9.
f { X) = 3xJ - Sx1 - 6 ** + 24x + 2
/( x ) = (2 + i )2 (1 - x f
/ ( x ^ x 4 - 8x^ + 7
11. / ( jc) = 3.r' - 2CUr;
13. /( x ) = 2 r '+ 3 .r + fa
15. /( a ) = 8x *-x *
17.
/(x ) = x (x -
19.
21.
/ ( x ) = j r in(2 -A )2/1
/ÍA ) = f4A -fl)l/l ( 2 r - « ) M
l) " 1
23.
/ ( x )= —
12. f(x) = 3x' - 25xl +fiOx
14. f{x) = 3aj + 4x’ - 3íh 2 + 36x - 8
16. / ( x ) = x''’ (4 -x )
18. / { x ) = xj/ , (jc2- 16)
2 0 . /( x ) = (x + I )271 (r - 2 ),/T
l~ X
24.
/ ( JC) = _ Jtt 2 ...
x +2x+4
A~ + X + 4
x2 +2x + 4
-JA
26.
x 2-------+x+l
/ /( x/ X) = —
x
í2x + 9 ,si x < - 2
= | ^ + .,.W , > - 2
2 + x"
, si x < —7
.« 0<x < 3
33. / ( x ) = 2
2 —( x - 3 ) 2, x > 3
(x + 9 ^ -1
, sr x < - 7
35. / ( x ) = —y¡25 —(x •4) 2 , .« - 7 < x < 0
( x - 2 )2 - 7
37.
10.
/( x ) = 3 v* - 25t* +60y + 10
f(x) = 3xi - 5v'
/(x )= 3 ^ -4 v ‘ - I2 t 3 + 8
/( x ) = ( x -3 ) 3 ( x - I ) * '
„„ , , . x 2 - x +1
27* / W = ^X 7+ XT + ,I
29- ^
8.
22.
x* - x + 4
25. / ( x ) =
6.
565
,.« x > 0
28.
f(x) =
30.
/(x ) =
32.
/í* )«
—X + I
x—
x2 - 2 x + 2
4 - í x + 5) , si v < —4
1 2 -íx + l )2 . si x > —4
3x + 5 , si x < - 1
x 2 + 1 . si —I íá x < 2
7 - x . si x > 2
x —6
34.
, x e < —“ , 6 >
/ ( x ) = - J 4 - ( x - & y , x e [ 6 , 10 ]
20- 2x
, x e < ! 0 ,+«»>
12 —(x + 5 )‘ '
3 6 ./(x ) = 5 - x
, s ix < - 3
, jí -3 < x < -l
^ÍCX) —( x - 7 )2 , Ji x > - l
Hallar a, b, c y d lales que/ (x) = ex* + bx- + ex + d tenga unmínimo relativo
en (0 , 0 ) y un máximo relativo en (2 , 2 ).
38. Hallar a, b y c tales que / ( x ) = ax2 + bx + c tenga un extremo relativo en (5, 20)
y pase por (2 , 10 ).
39. Hallar las constantes a, b y c tales que el gráfico de la función/(x) = ax2 + bx + c
tenga un extremo relativo en (5, 12) y corte el eje Y en (0, 3).
40.
Dada la función / (x) = (x* + 5x2 + 3x - 9 )2/51 hallar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento, los extremos relativos y bosqueje el gráfico.
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C apítulo 5: A plicaciones de la Derivada
566
41. Hallar a, b, c y d de tal manera que /
en los puntos (1. 2) y (2, 3).
42. Hallar una función polinómica / ( jc)
coeficientes son nulos) que satisfaga:
i)
ii)
=
( jc )
- ax* + bx2 + cx + d tenga extremos relativos
ax4 + bxx + ex2 + dx
+
e (donde no todos los
El gráfico de / pase por el origen de coordenadas de tal manera que la tangente en
dicho punto sea horizontal.
/
te n g a u n e x tr e m o r e la tiv o e n
jc„
= - 1
iii) *..= I sea un punto crítico d e /.
43. Una función y = /
( jc)
está definida por
= c . donde a. h y t: son
constantes positivas. Demostrar que esta función no tiene máximo o mínimo relativo en
<£>, +~>, si c > 80 / 21b.
44. Graficar f( x) = ax3+ bx1+ ex + d de modo que la gráfica de/tenga un extremo relativo
en ( - 1, 5) y que la ecuación de la tangente en jc = 3 sea la recta Sí: 24* + y - 83 = G
45. La venta de fertilizantes de una fábrica sigue el esquema cíclico
F —100,000
con F medido en libras y 7 en días. Si t =1 representa el 1 de Enero, qué día del año se
produce la máxima venta?
46. Para qué valores de a, la función
/ ( jc )
= a Sen x + ^ Sen 1c tiene el extremo relativo en
jc = 7c/3 . Será un valor máximo o mínimo.
K* En los ejercicios 47 al 54. hallar los números críticos de /(s i los hay), los intervalos de
crecimiento y decrecimiento, localizar los extremos relativos y globales. Hacer un bos­
quejo de la gráfica de cada función y marque los máximos y mínimos.
47. /
(x )
= ~ + Cos x, x e [0, 27t]
48. /(jr ) = * - Sen x , x e <0, 27i>
49. / ( x ) = Sen x Cos x, x e [0, 2rt]
51. / ( jc) = Sen3x + Cos3, x e [0, 2k \
50. f(x) = Sen x ( l + Cos jcJ, x e <0, 270
52. / (jc) - 2Sen x + Cos 2x, x e [0, 2te]
53. /( x ) = Sen 2x + 2 Cos x, x e 10, 2tcJ
54. / ( x) —Sen 3x - 3 Sen x, x € [0, 27ü>
(5.6)
E L C R IT E R IO D E L A S E G U N D A D E R IV A D A
Ya hemos visto que la determinación de los intervalos en que una función/crece o
decrece es útil para trazar, con relativa exactitud, su gráfica. En esta sección veremos que hay
otros aspectos de la gráfica de una curva que requiere el estudio más detallado de la derivada,
es decir, la localización de los intervalos donde/* crece odecrece. En tal sentido, los conceptos
de concavidad y punto de inflexión están en juego.
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567
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada
Sea entonces una función/ : IR —»IR, diferenciable en algún intervalo abierto I que
contiene ul punto c e Dom (/). Consideremos ia ecuación de la recta tangente Tque pasa por
(c,f(c)). con pendiente / ' ( c):
T (t) - f ( c ) = f \ c ) . ( x- c ) => T ( x ) = f ( 0 + U • O f (c)
y la función auxiliar:
E(x) = f(x) - T(.v)
=> E(x) = f(x) - f (c) - (x - c ) . /'(c )
Definición 5.4: CONCAVIDAD HACIA ARRIBA
Se dice que la gráfica de una función f { i) es cóncava hacia arriba en el punto ú \
si se cumplen las condiciones «.iguientes:
i)
/ t » derivable en el intervalo abierto <a. h> c Dom ( /)
ii)
/ '
iii)
es creciente en <u, b>, es decir,
/
‘(.r) >
0,
V
x
e
<a.
•>
b>
Existe una función E (v j> 0 . V .\ e <a, b> - { r |. en un entorno
de c para el cual E(x) = /(.v) - T(x), y
T (a )= /( c } + f'(c) (a - c). Esto es
f 00 > T(j:) = > /(. \) >f'{c) . U - c) + /(c ).
v G <n, b> - f
Geométricamente significa que la gráfica de festálocalmenle por encima de la tangente T que
pasa por (c,
La figura 5.27 muestra esta propiedad. (Lo denotaremos por v±/)
Definición 5.5: CONCAVIDAD HACIA A B AJO
So dice que la gráfica de una función f(x) es cóncava hacia abajo en el punto (c ./(c )j si
cumplen las condiciones siguientes
t)
/e s derivable en el intervalo abierto <a. b> c Dom íjO
ii>
/ ' . » decreciente en <«, b>. es decir, ¡'(t j<0, V t e <a. h>
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C apítulo 5: A plicaciones de la Derivada
568
iii)
Existe una función E(x) < O, V x e <a, b> - (¿}. en un entorno de
c para el cual E(.v) - T(x) - f( x) y T(x) - f ( c ) - f f e ) . (x - c )
Esto es:
fí x) < f'(c i . ( jc - cT+ / (x), V x e <a, b> - {c 1
Geométricamente significa que la gráfica de f está localmente por debajo de la tangente que
pasa por (c, f(c)). La figura 5.28 ilustra esta propiedad. (Lo denotaremos por O ')
Para determinar la concavidad sin ver la gráfica de f podemos usar la segunda
derivada para saber donde crece o decrece
en idéntica forma que usábamos la primera
derivada para conocer donde crecía o decrecía / .
El siguiente teorema establece la relación entre la concavidad y el signo de la segunda
derivada.
TEOREM A 5.8: Criterio de concavidad
Sea / : IR —»IR una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I, que
contiene al punto c, y que /"(< ) ^ 0. Se cumple;
i) Si/"(c) > 0, V x g I. entonces la gráfica de/es cóncava hacia arriba en el punto (c,f(c))
ii) S¡/"(c) < 0 , V x e I. entonces la gráfica de/es cóncava hacia abajo en el punto ír \/c ) )
Demostración
i) Según la Definición 5.4 debemos probar que
f(x) > / ' (c ). (x - c) +f(c), V X G I -{c}
1.
En efecto, si E(x) =f(x) - f ( c ) . ( x - c ) + /( c ) =*
2.
Si E" (x) = f"(x) => E" (c) = f"(c)
Pero como, por hipótesis, f"(c) > 0 => E"(c) > 0
,
Además, en (1): { ^ = / ^ J
4.
Por la definición de derivada:
(°
£ (c ,= iO * )
E' ( c ) = lim £ ’ (-y) ~ £ , (c) = / " ( c ) > 0
X -* '
5.
(Paso 2 y por hipótesis)
X—C
Luego, por el paso 3, si E’ (c )= ü , V x e V 6*(c), existe una 6 > 0, tal que si
0 < Ix - c ! < 8 =>
x-c
>0
<=> < c —6 , c + 8 > — {c} => — ■
—- > 0
x —c.
6.
_
,
,
De donde:
Si c —6 < x < c, es decir, x —c < 0 => E (x) < 0
* r-,, k *
[£>) Si c < x < c + o, es decir, x —c > 0 => E (x) > 0
[ a )
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Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada
7.
569
Luego, por el Teorema 5.7, E(x) es:
a) Decreciente en el intervalo [ c - 8 , o , pues en particular, si
x < c =$ E(jc) > E(c)
b) Creciente en el intervalo <c, c + 5), pues en particular, si
x > c => E(a)>E(c)
8.
En conclusión, Vare Vfi (c) se cumple que E(.r) > E (í)
Pero como E(c) = 0 (paso 3) => E(.v) > 0
= > / ( * ) > / '( i ) . ! v - r ) + / ( r )
lo que queríanlos probar,
ii)
La demostración es similar.
Nota
El sentido de la concavidad es un instrumento eficaz al eslio/ar la gráfica de
una función continua o discontinua. Es por ello que es muy importante seguir los
siguientes pasos para hallar los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo.
1. Localizar los valores de xen que/"(v) = 0 o f"{\) no está definida.
2. Utilizarlos para delimitar los intervalos prueba.
3 Hallar el signo de f "(a) en estos intervalos y concluir aplicando el criterio de con­
cavidad (Teorema 5.8)
El ejemplo que sigue ilustra esle proceso para una función continua.
4.v
v' +4
[E JE M P L O 1 ) Hallar los intervalos donde la gráfica de /'( a ) = —
^
^
Solución
“■
es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
I. Cálculo de la segunda derivada:
/.,( v )^ 4 ( a1 + 4 i ( , ) - a (2 a ) = 4(4 —.i' l
A
( -V* + 4 ) “
( a ; + 4 )-
J
2.
(.v‘ + 4 ) ' ( —2 .v ) - ( 4 - v2 )2(a" +4)(2.v) Ka{.vj -1 2 )
»|
' i
•“*
*» - 1
( . r + 4 )4
( X - + 4 )
Como f"(x) está definida en toda la recta real, hacemos / "(\) = 0 y obtenemos:
x (x~ 3.
...........
1^)
'
12 ) = 0
<=> a = 0 , x - ± 2>/3
Ahora probamos e! signo de f ' i x ) en los intervalos <-<». - 2-Jl>. < - 2- Jl . ()>.
< 0 . 2if$> y < 2 V 3 . +oe>
Los resultados se dan en la Tabla 5.12 y en la Figura 5.29
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C apítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
570
TABLA 5.12
Intervalo
<-«®, -2-\/3 >
<-2-j3,0>
<0 , 2 ^ 3 >
<2-j3 , +“ >
Valor prueba
x —-4
x = -l
x —1
x- 4
Signo de/"(x)
Conclusión
(+ X -)
+
(-K + >
+
< -> (-)
+
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
(+>(+> = 1±/
+
Cóncava
hacia abajo
FIGURA 5.29
Cóncava
hacia arriba
FIGURA 5.30
Para funciones discontinuas, los intervalos prueba han de formarse usando los pun­
tos de discontinuidad junio con los puntos en que/"(•*) es cero o indefinida.
^ E J E M P L O ^ ^ J Hallar los intervalos de concavidad de la gráfica de
[Solución
Cálculo de la segunda derivada
f { x ) = ( ^ - l ) - * ( 2 *_ )= _ ^ ± ^
J
K '
(jc
-
1)
—1 ) 2 ( 2
1
(JC3 -
x ) - ( j :2
1)2
+ l)2 (x 2 —I )(2 j t )
(jc 2 — I ) 4
2 jc (jc 2 + 3 )
(jc 2 — I)*
2.
Dado q u e / ”(jc) = 0 cuando jc = 0 y la función es discontinua en x = ±1, tomamos
como intervalos prueba: <-=*, - I >, < - 1, 0 >, < 0 , l>, < 1, +°°>
3.
La Tabla 5.13 muestra el comportamiento de f " en cada uno de estos intervalos, y su
gráfica se muestra en la Figura 5.30
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571
Sección 5.6: E l criterio de la secunda derivada
TABLA 5.13
Inten'alo
<-00, -l>
Valor prueba
x = -2
Signo d e f "(x)
Conclusión
x = - l /2
< 0 , l>
<1, -H»>
x = 1/2
x= 2
< -X + >
(+)
(-)(+ )
(->
^
<±Kt> = ^
(-)
(+ )(+ )
<+)
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
^
Definición 5.6: PU N TO D E INFLEXIÓN
Sea / una función y ■ un numero. Supongamos que existen números a y b tales que
« < c < b y además
i) f e s continua en el intervalo abierto <a. h>
ii) f'l x) < 0 en <t¡. o
y / " ( \ ) > 0 en <c. b> o
f"(x) > 0 en <a, o y f"(x) < 0 en <r, /;>
Entonces el punto (c,f (c)) se llama a punto de inflexión
El número o se llama número de inflexión
Obsérvese que si la segunda derivada cambia de signo en el número c. entonces c es
un número de inflexión, tal como ocurre para la función del Ejemplo 1. donde x = - 2-/3,
x = Q y * = 2^3 son números de inflexión.
Si la segunda derivada existe en un punto de inflexión, debe ser cero. Pero puede no existir, c
incluso no estar definida en el. como muestra el siguiente ejemplo.
( EJEM P LO 3 ) Examinar la concavidad de ia función f{x) = jcim
Solución
1. Hallemos la primera y segunda derivada tic / :
/•(.* > = -4 ,
2.
3.
=>r u > = - £ ñ
Nótese que tanto /'(jc) como f ”(x) no están defini­
das en jc = . 0 , sin embargo el signo de
f'íx) cambia en x = 0 , pues si tomamos como inter­
valos prueba <-«>, 0 > y <0 , +«> veremos que si
x < 0 => f ' ( x) > 0 <¿>
x > 0 =* /"(jc ) < 0 o
La concavidad cambia de sentido en x = 0, luego
éste es un número de inflexión y (0 ,0 ) es el punto
de inflexión.
La gráfica de / se muestra en la Figura 5.31
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FIGURA 5 31
Capitula 5: Aplicaciones d e la D erivada
572
TEOREM A 5.9: Puntos de Inflexión
Si una función/, derivable en el número c. es do¡» veces derivable en alguna vecindad
reducida V fi’(í i de es-te número, entonces
i)
/ “(•*) = 0 ó /"(.t) no está definida
ii) /" ( a ) cambia de signo al pasar el argumento por r. es decir, f"(x) tienes signos
opuestos en <c - 8 , O y en <c, c + 6 >. entonces (c,/íc )) es un punto de inflexión de
la función /
Demostración
1.
2.
3.
ii)
i) Si /" (c ) está definida, probaremos que/" (e) = 0
En efecto:
Sea la función g(x) = / ' (a) = s g ' ( jc ) = / " ( a )
Por la definición de puntode inflexión,/ " ( a ) y por ende #'(*) cambian de signo en x = c
Luego, g(x) tiene un extremo relativo en x = c, esto es, g'(c) = 0 y como g'(c) = f
existe, entonces/"(c) = 0
Si f"{c) no está definida, no hay nada que demostrar,
Se sigue de la demostración del Teorema 5.8 (Queda como ejercicio)
( EJEM P LO 4 ) Hallar los puntos de inflexión y discutir la concavidad de la gráfica
de f ( a ) = 3 a 1* - 6 a 2
Solución
l . Derivamos dos veces la función y obtenemos
/ '( x ) = 12a3- 12a = 12x (a + 1) ( x - l)
/ ”(*) = 36x? - 1 2 = 12 (i/3 a + 1) (-JSx - 1)
2.
Para f'(x) = 0, los posibles números de inflexión son x = + V3/3
3.
Construimos una tabla con los intervalos que estos números delimitan
TABLA 5.14
Valor prueba
x = -1
x=0
x= 1
Signo de f ' ( x )
/ " ( '! ) = (-)(-) —+
/"(O) = (+)(-) = -
Conclusión
+
+_
Concavidad
11
<V3/3, +™>
+
<-V3/3, V3/3>
X
<- 0 0 , -V 3/3>
II
Intervalo
O
Existe punto
de inflexión
Existe punto
de inflexión
La Tabla 5 .14 nos confirma que existen dos puntos de inflexión:
P,(-V3/3, -5/3) y P2( V3/3, -5/3). La gráfica de la función, simétrica respecto al eje Y (Función
par), se muestra en la Figura 5.32
■
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573
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada
( E JE M P L C Ü T) Hallar los punios de inflexión y discutir la concavidad de la gráfica
bx
de la función f ( x ) =
x 2+3
Solución
1
Siendo la función continua V x e IR, halluinos/'U) y f ”(x)
[x2+3 ) ( \ ) - x( 2x)
(x2 + 3 )2
f (x)~b
f"(x) = b
2.
3.
b ( 3 - x 2)
Cjc2 + 3 ) 2
(x 2 + 3 ) 2 (—2x>—(3—x z)2(x 2 + 3 )(2 x )
12*(jc + 3 )(x -3 )
(x 3 + 3 ) 4
U 2 +3)3
Para } "{x) = 0, los candidatos a números de inflexión son x = -3, x = 0 y x = 3
Probamos en los intervalos que estos números delimitan
<-«>, -3>, <-3, 0>, <0, 3>, <3, +™>
Un resumen de los resultados se da en la siguiente tabla
TABLA 5.15
Intervalo
<-oo, -3>
<-3,0>
<0, 3>
<3, “ >
Valor prueba
x = -4
x = -2
x= 1
x=4
Signo d e f ”(x)
( - J (-)Í-)
+
(-)(+ )(-)
+
Concavidad
o
Conclusión
\±/
| Existe P.l.
,
(+>(+)<-)_
+
o>
Existe P.I.
(+X+X+)
+
+
Existe P.I.
La Tabla 5.15 muestra la existencia de tres puntos de inflexión: P,(-3,-3/2), 0(0,0) y P2(3 ,3/3).
Lagráfica de la función, simétrica respecto del origen (Función impar), se muestra en la Figura
5.33.
' ■
FIGURA 5.32
FIGURA 5.33
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574
Capítulo 5: Aplicaciones d e la Derivada
[ EJEM PLO 6 )
Si f (x ) = ax 4 + bx* + ex1 + dx + e, hallar a, b, c , d y e del tal tnodo
que la gráfica de / tenga un punto de inflexión en I{ 1 1 ), tenga al origen
ella y sea simétrica respecto al eje Y.
Si l a gráfica de / pasa por el origen, entonces e = 0; además si / (jc) =f(-x),
V x e Dom (f), es decir, si / es una función par, su regla de correspondencia
no debe contener potencias impetres de jc , por los que si
b = d = 0 =* f (x) = ax4 + cx= > / '( jc ) = 4 ax* + 2 c x
y
/ " ( x ) = 12a x 2 +
2c
Ahora,si 1(1,- I ) e G itf) => -I = a ( l )4 + c (l )2 <=> a + c = -\
En j c = 1 , / " ( j c ) = 0 = * 12a + 2c = 0 c=> 6 a + c = 0
Luego, resolviendo ( I ) y (2) obtenemos: a =1/5, c = -6l5
(1)
(2 )
■
¡OBSERVACION5.10
La segunda derivada es también útil para comprobar si un número
crítico es un máximo o un mínimo relativo. Por ejemplo, sea c un
número crítico para una función/y supongamos q u e/"(c) < 0 . S i / " es continua es una
vecindad que contenga a c, entonces / " permanece negativa en dicha vecindad. Esto significa
que la gráfica d e/es cóncava hacia abajo cerca de (c, / (c)), luego queda por debajo de sus
tangentes. En particular, queda debajo de la tangente horizontal en el punto crítico (c ,/(c )),
como en la Figura 5.34. De modo que/tiene un máximo relativo en el número crítico c.
Análogamente, s i/( c ) es un mínimo relativo, la gráfica d e /e s cóncava hacia arriba en
una vecindad que contiene al número c. En este caso la gráfica dc/cstá por encima de sus
tangentes.
Esta observación sugiere el siguiente criterio
TEOREM A 5.10: El criterio de la segunda derivada
Sea / una función derivable en una vecindad Vs(c) del número e
Suponiendo que f"(c) está definida, tenemos lo siguiente:
i)
Si /'(c ) = 0 y f"(c)< 0 =3>j(c) es un máximo relativo
ii) S i / ’(c) = 0 y /" (c ) > 0 = ^ /(c ) es un mínimo relativo
iii) Si /" ( c ) = 0. entonces el criterio no decide
[Demostración j
1.
i) Supongamos que / ’(c) = 0 y que f"(c) < 0
Según la definición de derivada:/"(jr) = “ J| I
x_c
J
2. Por hipótesis /'(c ) = 0 => / " ( x ) = hm
3.
También por hipótesis, f"(c)< 0, entonces la gráfica de/es cóncava hacia abajo, luego:
V x e V 6(c), 3 5 > 0 l s i 0 < l x - c l < 8 =* ^ ^
x-c
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<0
575
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada
4.
5.
6-
ii)
De aquí se deduce que si:
c - 8 < x < c => x - c < 0
c < x <c + 8 ^ a- c > O
De (3) y (4), por la regia de los signas se
sigue que:
/'(a ) > 0, V jce <c - 5 , o
f'(x) < 0. V jce <£, c + 5>
Como el signo de / ' cambia de positivo
a negativo, por el criterio de la primera
derivada, resulta que / (c) es un valor
máximo local o relativo de/,
Un argumento similar prueba que si
/'(c ) = 0 y f \ c ) < 0 , entonces,/(c) es un
valor mínimo local o relativo de/.
■
[E JE M P L O 7 ) Uso del criterio de la segunda derivada
Hallar los extremos locales de la función f(x) - 3*^ - 20a3
Solución
2
3.
I. Localización de los números críticos
f \ x ) = 15a4 - 6 0 a 2 = 15a2 ( a + 2) ( a - 2)
Si / ' ( r ) = 0 = $ j t ( a + 2) ( a - 2) = 0 O a = 0, a = -2, a = 2
Como el Dom ( /) = IR y / ’ también existe en IR. esos son los números críticos, en donde
la función tiene por valores:
/ ( - 2 ) = 3(-2)5 - 20(-2)J= 64 => A(-2, 64)
/ ( 0 ) = 3 (0 y -2 0 (()/ = 0
= > 0 (0 ,0 )
/ ( 2 ) = 3(2)s - 20(2)3 =-6 4 =>B(2,-64)
Aplicación de la segunda derivada
/" (a ) = 60a1 - 12 0 a = 60a (a +
-J l )(a - 4 Í )
Entonces:
Número critico
Signo de f "(x)
jc = -2
/"(-2 )= (-)(-X *)= -
a
=0
x= 2
4.
<0 =>Máximo local = A(-2,64)
=0
/" (2 ) = (+)(+)(+) = + > 0
=3 El criterio no decide
^ Mínimo local = B(2,-64)
Al ser /" (0 ) = 0, el criterio de la segunda derivada no decide nada sobre el número crítico
= 0. En este caso se debe recurrir al criterio de la primera derivada y examinar el signo
de f'(x)= 1 5 a 2 ( a + 2)(x - 2) para x próximo a cero. Asi, si x e <-2, 0 > =>/'(x) < 0
t e <0 , 2 > => /'(a ) < 0
En consecuencia,/ es decreciente V x e <-2, 2>. de modo que el punto (0, 0) no es un
extremo local.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.35
—
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a
5.
/*(0 )
Conclusión
576
Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
8
^
( EJEM PLO 8
J Esbozar la gráfica de la función
/ (
a
)
6
=—
, explicitando
sus extremos locales, puntos de inflexión, los intervalos de concavidad.
Solución
/( * ) =
1. Localización de los números críticos teniendo en cuenta que
el Dom ( f ) = IR - {0}
f\x)
S at’ - 6 j t !
=
- 2 4 a - 4 + ú j r 2 <=>
f\x) =
6 (* + 2 ) ( * - 2 >
x
Si /'(a ) = 0 = * (a+2) (a - 2) = 0
x = -2, a = 2 son números críticos
a
2.
= 0 e s u n p u n t o d e d is c o n t in u id a d
Valores de la función en los números críticos
/ ( - 2 ) = ? Í 7 - ^ ) = “ ' + 3 = 2 = i A ( -2’ 2)
fm = w
3.
- J ) = - ' - 3 = - 2 =» B{2' ‘ 2)
Aplicación de la segunda derivada
f "( x) =
9 6 a 5 -
I2JT1 = > / " ( a )
=
1 2 ( 2 V 2 - x ) ( 2 j 2 + x )
xs
Número crítico
4.
Signo de f ”(x)
x - -2
y ’(-2 ) =
x= 2
/ ' 1(2 ) =
Conclusión
= —< 0
Máximo local en A(-2,2)
~+>0
Mínimo local en B(2,-2)
Intervalos de concavidad
Dado que/"(a) = 0 cuandox = -2^2 y x ~ 2*j2, y la función es discontinua en x = 0,
tomaremos como intervalos prueba
< -~ ,- 2 V 2 >, <- 2 V 2 , 0 >, < 0 ,2 V 2 >, < 2 V 2 ,+°°>
y como valores prueba: a = -3, a = -1 , a = I y a = 3, respectivamente. Entonces
Intervalos
Signo de f "(x)
Conclusión
-2-J2 >
/ , ,(-3 ) = ( ± K z ) = + > n
x e <-2-j2 ,0 >
/ " C_ I ) = ( ± I ± ) = _ < 0
Cóncava hacia abajo
x e <0 , 2 a/2 >
/ " (I)= m ( ± i= + >o
Cóncava hacia arriba
a
e
II
s
II
+
w
0
V
1
+
1
(*-,
x e <2j2,+~>
.
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Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
577
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada
5.
Punios de inflexión
Si /"(■*) = 0 => x = -2 y¡2 , j¡ = 2-Jl son dos posibles números de inflexión. Los cambios
en el sencido de concavidad obtenidos en el paso (4) aseguran la existencia de dos puntos
de inflexión:
I , ( 2 V 2 , - 5 V 2 /4 ) y I , (-2 ^ 2 , 5 V 2 /4 )
Finalmente la Figura 5.36 indica la gráfica de f conteniendo toda esta información.
■
FIGURA 5.35
[ EJEM PLO 9 )
Sean tí,, ü2, t í ,
, tí„, números reales. Hallar el numero x para
que la expresión
(o, - jc) 2 + (tí2 - jc) 3 + («, - jc) 2 + ...... + ( aH- jc) 2 sea mínima
1. Sea / ( x ) = (ci, - x ) 2 + (a, - x ) 2 + (tí, -
jc) 2
+ + («„ - x )2
.
Solución
=*/'(■*> = - 2 (tí, - x) - 2 (tí, - x) - 2 («, - x) - .... - 2 (tí„ - x)
= - 2 ( « , + tí 2 + t í , + . . . . t í j + 2 h x
2.
Si/ '( x ) — 0 => -2(tí, + a 2 + a, + .... a„) + 2wx = 0
=> x = ~
3.
(tí, +
a;
+
tí,
+
....+ a(l) es un numero crítico.
Como f'\ x) - 2n > ü, V n e N. entonces x = —(tí, + « 2 + «, + ....+ aH) es un número
para el cual la expresión dada es mínima.
m
( E J E M P L C M O ) Si / (x ) = (« , - x 2) 2 + ( « 2 - x 2) 2 + .... + (a , - x2)2, siendo
o„ « 2»— an números positivos, hallar los valores de x para los cuales
la función f presenta máximos y mínimos.
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C apitulo 5: A plicaciones de la D erivada
578
Solución
2.
3.
4.
Si
I . La primera derivada de la función/ es:
f \ x ) = 2 ( f l , - a 2) ( - 2 x ) + 2 ( a 2 - a-2) ( - 2 a ) + ............. + 2(a„
= -4a L(íí, - a 2) + {a2 - a 2) + .... + (a„ - a 2)]
= -4a [(ii, 4■a2 + .... + a„) - n a2]
/'( a ) =
a — 0
y
A —
± J — (a,
+ a 2 +
....
x 2) ( -2x)
+an )
son los números críticos
La segunda derivada de la función f es:
/ " ( a ) = - 4 a 1 - 2 m a 1 + f ( a , + a2 + ... + aH
) - h a 2] (-4)
= 12 nx2 - 4 (a, + a 2 + ... + a„)
Ahora usemos el criterio de la segunda derivada para decidir si en alguno de esos núme­
ros críticos existe extremo local.
/" (O ) = I2n (O)2 - 4(a, + a2 + ... + a„) = -4 (a, + az + ... + «„) < 0
(ai + ° 2 + - - + « „ ) j = 12(a, + a 2 + ... + a .) - 4(a, +
/" ^ ±
5.
=>
0
-
4 - ... +
a„)
= 8 (a, + a2 + ... + a„) > 0
Por tanto, en x = 0 la función presenta un máximo local y en los números
2 + ....+ £/„) , un mínimo local.
E JE R C IC IO S . Grupo 43
❖
En los ejercicios 1 al 14, indicar todos los puntos críticos y de inflexión. Aplique el
criterio de la segunda derivada a cada punto crítico. Muestre la estructura de concavidad
coiTecta mediante un diseño de la gráfica de las funciones dadas.
-9jt
1.
/ (A ) = A5
3.
/{ x) = 2x3-3 x 2 -
5.
/ ( a ) = 6 + 8x 2 - a 4
7.
/( a )
9.
=
6 /( a ) =
I2
+
12 - 2 4 a -
3a5
11. / ( a ) = 6a 5
-
+ 2 7 a -2 6
-
2 5 a'
5a3 + 2
a + 3
60a
IS
a2
2.
/ ( a ) = A4 - 4 a 3 + 2
4.
/ ( a ) — a 4 - 8a 2
6.
/ ( a ) = 3 a 4 - 4 a - '-
8.
^
'
A
=
( a
-
12a2 - í
l )4 - 2 4 ( x
10.
/ ( x) = x5 -3 0 x ' +
12.
/ ( a ) = a '( a + 3 )3
14.
¿•/ •.
6a
/ w = 7^3
A 4 + 3
1 3 ./ (A ) =
1 2 /(a )
-
l>
160a
15. Hallar un polinomio cúbico con un máximo relativo en (3,3), un mínimo relativo en (5, I)
y un punto de inflexión en (4, 2).
16. Hallar un polinomio cúbico con un máximo local en (2,4), un mínimo local en (4,2) y un
punto de inflexión en (3, 3).
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579
E JE R C IC IO S. G rupo 43: E l criterio de la segunda derivada
17. S ea/(x) = cu' + bx : + c una función cuya
gráfica se muestra en la Figura 5.37.
Si I es el punto de inflexión y la recta ££
tiene por ecuación x + 2y - 9 = 0, hallar los
coeficientes a, b y c.
18. Sea la función f(x) = ax' + bx1 + 2c cuyo
punto de inflexión es I( I .-2 ) y cuya recta
normal en I es : x - 2y - 5 = 0. Hallar a,
b, y c.
19. Sea la función / (x) = ax' + bx2 - ex que
tiene un extremo local en x = 2. Si
>£ : 3x + y -10 = 0 es la ecuación de la tan­
gente en el punto de inflexión I ( - I , y), hallar los coeficientes a. b y c.
20. Demostrar que la gráfica de la función f(x) = A, + * tiene tres püntos de inflexión que
x~ +
1
son colineaJes. Dibujar su gráfica.
21. Si / ( t) = ax 1 + bx2 + ex, determinar a, b y c tales que la gráfica de f tenga un punto
de inflexión en ( 1 , 2 ), y tal que la pendiente de la tangente en dicho punto sea - 2 .
22. Si f(x) - ax' + bx1 + ex + ti, determinar a, b, c y el tales que / tenga un extremo
relativo en (0, 3) y tal que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en ( 1, - 1).
23. a)
Sea /
una función continua en [a, b] cuatro veces derivable en <a, b> y sea
xu e <a, b>
i)
Demostrar que (xu,/(xo)) es un punto de inflexión de /
/"'ÍX o ^ O
ii)
Demostrar que f posee un valor extremo en Xo si
si f"(xv) = 0 y
/■Uo) = / " f x o ) = / ,',U«) = 0 y / <41(vo) * 0
b)
Aplicar la parte (a) para hallar los valores extremos y lospuntosde inflexión de
f (x) = 3x* + Axy - 30.\: + 36* - 8 . si existen.
24. Si / (x) = axA+ bx3 + ex2 + dx + e, hallar a, b, c. d y c de tal modo que la gráfica
de / tenga un punto de inflexión en ( 1, - 1), tenga el origen en él y sea simétrica
respecto al eje Y.
25.
Analizar la concavidad de la función / ( x ) = x7 - 3* I x I
26.
Halle, si es que existen, los extremos relativos de la función/( x ) = 1*1' + I4x - 5I3
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Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
580
(¿ 7 )
R E S U M E N D E T É C N IC A S PARA G R A F IC A R U N A F U N C IÓ N
Hasta ahora hemos discutido en el texto varios conceptos útiles al momento de
dibujar la gráfica de una función. El aparato analítico comprende:
- Dominio y rango
- Intersecciones con los ejes coordenadas
- Simetría
- Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas
- Puntos en que no existe derivada (puntos angulosos)
- Extremos relativos o locales y absolutos
- Sentidos de concavidad
- Punto de inflexión
El estudio de una función dada y ia construcción de su gráfica con ayuda del aparato analítico
desarrollado es racional llevarlo a cabo en el siguiente orden.
S U G E R E N C IA S PARA ESB O ZAR LA G R Á FIC A DE U N A FU N C IÓ N
1. Determinar el dominio de existencia de la función, intersecciones, la región de con­
tinuidad y los puntos de discontinuidad
2. Hallar las asíntotas.
3. Trazar aproximadamente, a grandes rasgos, la gráfica de la función que inpluyucualquier intersección con los ejes o asíntotas fáciles de determinar.
4. Localizar los valores de x en los que f ‘(x) y/ " ( x) son nulas o no están definidas.
5. Estudiar el comportamiento de la función construyendo una tabla de variación del
signo dei a primera y segunda derivadas. Determinar los intervalos de crecimiento,
decrecimiento y concavidad, luego hallar los puntos extremos locales y puntos de
inflexión.
6 . Finalmente trazar la gráfica señalando los extremos locales, los puntos de inflexión
|
y si es necesariü hallar más puntos sobre ella.
Naturalmente, no todos estos pasos se aplicaran a cada función. Por ejemplo,
puede no haber intersecciones con los ejes o asíntotas. Un número crítico puede
.investigarse por el criterio de la primera derivada o por el de la segunda derivada para
saber si se trata de un máximo o de un mínimo relativo. El método que será preferible
defiende de la función.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
f E JEM P LO 1 ) Dibujar la gráfica de la función
f (x) - x4 - 4jr3 + 16* - 16
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581
Sección 5 . 7: R esu m en d e técnicas para graficitr u n a función
Solución
I.E1 Dom(/‘) = IR y es continua V x e IR
f(x) = j d - 4 r '+ 1 6 * - 16 = ( x - 2 ) ' ( x + 2 )
intersecciones con los ejes coordenadas
2.
3.
4.
6.
a) Eje X: y = 0 => (x - 2)' (x + 2) = 0 <=> x = 2, v = -2 => A(-2, 0). B(2, 0)
b) Eje Y: x = 0 => y = 0 - 4 ( 0 ) + 1 6 (0 )-1 6 = -16 =>C(0,-16)
La gráfica de la función no tiene asíntotas
Las intersecciones con los ejes coordenadas pueden usarse para hacer un dibujo prelimi­
nar de la gráfica de /.
Determinación de la primera y segunda derivadas
/ ’(*> = Ax1- I2x2+ 16 = 4(.v + I ) (a* - 2 )2
/ " ( * ) = 12* 2 - 24.t = I2x(x - 2)
Si / '(x) = 0 =* (x + I )(x - 2)2 = 0 O x = -1, x = 2 son números críticos
/ " ( * ) = 0 =* x(x - 2 ) = 0 <=> x = 0 , x = 2 son posibles números de inflexión
Valores de la función en estos números:
/ ( - 1 ) = (-]) 4 - 4 ( - i) ?+ 16(-l) - i 6 = -27
/ ( 2 ) = (2)4- 4 (2 )'+ 1 6 (2 )- 16 = 0
Intervalos prueba: <-«>, -1>, < -l,0 > . <0, 2>, < 2 ,-h»>
Con estos datos construimos la Tabla 5.16 para estudiar el comportamiento de la función
en los intervalos prueba.
TABLA 5.16
m
x = -l
-27
< - l.0>
x= 0
-16
<0 , 2>
x=2
<2 , +»>
0
f'U)
ro o
Forma de la gráfica
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo local y global
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
0
0
Punto de inflexión
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
Creciente
cóncava hacia abajo
En esta tabla se observa que la función tiene un mínimo relativo en (-1. -27), no tiene
máximo relativo, tiene dos puntos de inflexión en C(0, -16) y en B(2,0)
7
De este modo hemos hallado el carácter general del comportamiento de la función, cuya
gráfica se muestra en la Figura 5.38
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Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
582
[E J E M P L O 2
) Dibujar la gráfica de la función
f(x) —3x5 —25xJ + 60*
Solución
2.
3.
4.
1. El D om ^) = IR. No hay discontinuidades
La curva pasa por el origen, pues para x = 0 => y = 0
No existe otra intersección con los ejes coordenados
La gráfica de la función no tiene asíntotas.
Obsérvese que f es una función impar, pues f (x ) = - /( - * ) .
La gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas.
Determinación de la primera y segunda derivadas
/ ’( * ) = ISx4 - 75* 2 + 60 = 15(jc + ! ) ( * - l ) ( * + 2 ) ( * - 2 )
/ " (*) = 6 Q* 1 - 150* = 60* ( * + V572 ) (* - V572 )
Números críticos:/ ' ( * ) = 0 = > * = -2, * = -1. * = I, x —2
Valores de la función en estos números críticos
/( - 2 ) = - l 6 . / ( - l ) = - 3 8 . / ( l ) = 38 y / ( 2 ) - 16
Posibles números de inflexión:
r ( x ) = 0 = * x = 0 , x = ± j 5 7 2 = 1.58
5.
Intervalos prueba: <-«w, -2>, < -2 ,-l.58>, <-1.58,-1>, < -l,0 >
<0, 1>, <1, LS 8 >, <1.58, 2>, <2, +t»>
Comportamiento de la función en los intervalos prueba.
TABLA 5.17
/(O
<-», - 2 >
x = -2
-16
<-2, -l.58>
x = -1.58
-25.7
<-1.58,.-l>
x= -1
-38
< - 1, 0 >
x=0
0
< 0 , l>
x= 1
38
/'(O
nx)
Forma de la gráfica
+
-
Creciente
cóncava hacia abajo
0
-
Máximo relativo
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
-
0
Punto de inflexión
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
Creciente
cóncava hacia abajo
0
—
Máximo relativo
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
583
Sección 5 . 7: R esu m en de técnicas para graficar u n a función
<1, 1.58>
x = L58
25.7
<1.52, 2>
x=2
16
< 2 , -H«>
6.
7.
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
—
0
Punto de inflexión
-
+•
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
De esta tabla rescatamos lo siguiente: la función tiene un máximo relativo en (-2, -16) y
(1,38), y un mínimo relativo en (-1,-38) y (2,16). Además tiene tres puntos de inflexión
en (± 1.58, ±25.7) y (0.0).
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.39
H
FIGURA 5.38
Nota
FIGURA 5.39
En general, una función polinómica de grado n puede tener a lo sumo
n - 1 extremos relativos. Además, las funciones polinómicas de grado par tienen
al menos un extremo relativo.
GRAFICA DE UNA FU N C IO N R A C IO N A L
[ EJEM PLO 3 1 Diseñar la gráfica de la función f(x) =
■
2 +x -x *
I- 2 . v + ± “
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
584
Solución
1. f{x) =
~
=> Dom ( f ) = I R - {1}
U -l)
La Gr( / ) presenta una discontinuidad en x = 1
Intersecciones con los ejes coordenados
Eje X: y = Q=$2 + x~x2 = Q <=> * = -1, t = 2 —> A(0, -1), B(2, Ü)
Eje Y: x = 0 = > y =
2.
=
2
=»
C (0 ,2 )
g
G r(f)
Asíntotas:
a) Asíntotas verticales: lim f ( x ) = ^ * -j-—- =+<» => jc = I esunaA.V.
*-»•
0
b) Asíntotas horizontales: lim f(x) = - l = > > = - 1 es una A.H.
3.
4.
Con estos datos hacemos un bosquejo preliminar de la G r(/)
Determinación de la primera y segunda derivada d e j .
n
f " { ' ) -
ti -
^ { l - x )
u - l )4
'
Números críticos: f'(x) = 0
x=5
Valor de la función en este número: f(5 ) =
2 + 5—(5 )2
J
(5 -1 )"
Posible número de inflexión: f ”(x) = 0 = > 7 - x = 0
9
8
x-1
Intervalos prueba: < -« , 1>, <1,5>, <5, 7>, <7, + «>
Comportamiento de la función en los intervalos prueba
TABLA 5.18
f(x)
<-«*>,
1>
X — 1
<5,
5
No definida
-9/8
7>
x= 7
<7, +oo>
’< * >
+
< 1, 5>
x=
/
-1 0 /9
fXx)
Forma de la gráfica
+
Creciente
cóncava hacia arriba
No definida No definida
Asíntota vertical
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
Creciente
cóncava hacia abajo
Refiriéndonos a esta tabla vemos que la gráfica de / tiene un mínimo relativo en (5, -9/8)
y un punto de inflexión en (7, -10/9).
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5. 7:,R esum en d e técnicas para graficar u n a fu n c ió n
7.
585
También con la ayuda de la Tabla 5.18 se halla la representación gráfica de la función
mostrada en la Figura 5.40
®
Nota
Recordemos que si / ( a ) = — —7 es una función racional en la que el grado de
<?(*)
p es mayor que el gradó de q en una unidad, entonces encontramos al dividir p(x) entre q(x)
que/(;c) liene la forma
f ( a ) = mx + b + g ( . v )
donde el lim e (.t) = 0
jt±-Por lo que y = mx + b es una asíntota oblicua de y —f (a)
El ejemplo que sigue es una aplicación de esta nota.
[ E J E M P L O 4 ^ Dibujar la gráfica de / ( a ) = — ,
Solución
1.
/ ( jc )
=
(a
I)
+
=> Dom( f ) = IR - { 1 1
Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje X: y = 0 =* x(2a2 - 5x + 4) = 0 => x = 0 única solución real
Con el eje Y: x = 0 =$ v = 0. La curva pasa por el origen.
2.
Asíntotas
a) Asíntotas verticales: lim f(x) = +<» => x = I es una A.V.
X~t\
b) Asíntota} horizontales: hm / ( x) = ±e° => N o existe A. H.
c) Asíntotas oblicuas: f l x ) = ^X\ ^X + ^- = 2 a —1+ —-— r
J
a —2 a + 1
( a - 1)
Por lo dicho en la nota: y —2x - 1 es una asíntota oblicua
3.
4.
Con la ayuda de las asíntotas y teniendo en cuenta que la curva pasa por el origen, pode­
mos hacer un dibujo preliminar de l a G ^ )
Determinación de la primera y segunda derivadas de f(x)
/ ( x) = 2 x - I + ( a - l ) 2 => f ( a ) = 2 - 2 ( a - 1)3= I í ^ ^ X a ^ - a + D
f A - I )3
= *rw = 6
5.
=
^
Si / ' ( a ) = 0
a - 2 = 0 e= > a = 2 es el único número crítico
Valor de la función en este número: / ( 2 ) = 4 =* (2, 4) e Grif)
Como / ‘( a ) y /" (a ) no están definidas en x = 1, los intervalos prueba son
<-«», 1> , < 1, 2 > y < 2 ,+oo>
Comportamiento de la función en los intervalos prueba.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
586
TABLA 5.19
/"(.V)
m
<-«>, 1>
x= 1
+
No definida
< 1, 2 >
x= 2
< 2 , +»>
6.
:
4
ro o
Fonna de la gráfica
+
Creciente
cóncava hacia arriba
No definida No definida
Asíntota vertical
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
Según ia tabla, la gráfica de la función / tiene un mínimo relativo en (2, 4). no tiene
puntos de inflexión pues la curva es cóncava hacia arriba V x e Dom {f). Apoyada en esta
información se dibuja la gráfica de la función mostrada en la Figura 5.41
■
Nota
Supóngase q u e / ( a ) - g(x) ± h(x)
donde h(x) es una función racional en la que el grado del numerador es menor que el
grado del denominador. Si evaluamos el límite
Km [ / ( * ) - , ? ( * ) ] = ± lim ftU )
J
X-»±o°
Encontramos que: lim [/■ (*)-/? (*)! = 0
Esto significa que la curva y —f {x) se aproxima a la curva y
la gráfica de f tiene como asíntota a la gráfica de g.
= £(*)
cuando a
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
— » + <*>,
por loque
587
Sección 5 . 7: R esum en de técnicas para graficar u na fu n ció n
f EJEM PLO 5 ) Dibujar la gráfica de la función
Solución
=
jc 3 + 2
l.f(x) = xr+ — = * Dom (/■)= IR-[0}
x
Como lim | / ( j : ) —-t2| = 0, la gráfica de j se aproxima a la gráfica de la
parábola £(x) = x7
2.
Intersecciones con los ejes coordenados
3.
a) Con el eje X: y = 0 => jc3 + 2 = 0 <=> x = -^¡2 = » A (-V 2 ,0 )g G r(/)
b) No hay intersección con el eje Y.
c) La gráfica de/tiene como asíntota a la gráfica de la parábola y = x~
Localización de los números críticos y de inflexión
f { x ) = 2x- \ =
2 {x ~ ]){x2 + Jr + 1> . f " ( x ) = 2 + \ =
X
Si
/'(x ) =
X
X
V.
0 => jc - 1 = 0<=> x = 1 es un número crítico => (1, 3)
g
X
,
Gr (f)
Si f"(x) = 0 => X3 + 2 = 0<=* x = - \¡2 es un posible número de inflexión
Valor de la función: / ( - V 2 )= —
-Mi
4
—0 =* (- V 2 , 0) g Gr(f)
Intervalos prueba: <-<»,-V2 >, < -V 2 ,0 > , <0, 1>, <!,+<»>
Comportamiento de la función en estos intervalos prueba.
TABLA 5.20
H x)
< -« , - V 2 >
x = ~\f2
0
< —\P l, 0 >
x=0
No definida
< 0 , 1>
x= 1
< 1, -K»>
5.
3
/'(*>
ru )
Furnia de la gráfica
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
-
0
Punto de inflexión
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
No definida No definida
Asíntota vertical
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
Según esta tabla la gráfica de / tiene un mínimo local en (1. 3) y un punto de inflexión en
(-V 2 .Ü), es creciente en x e <-«>, -ij2 > u <- \¡2 , 0 > U <0 . 1> y creciente en vg <!,+«>>
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
588
6.
Un dibujo preciso de la Gr( f ) se muestra en la Figura 5.42. donde se puede observar el
comportamiento asintólico entre las gráficas de/ y g.
■
^EJ E MPLO
Solución
6
^ Diseñar la gráfica de la función
Como el lim
[ / ( a ) - x 3]
*
/ ( x ) = a ’ +
= 0. usaremos
el
método del Ejctnpo 5 para d i b u j a r
1.
la gráfica de/
D om (f) = IR - {1}
Sólo hay una intersección con el eje Y, esto es: A(0, -12) e Gr{j )
2.
Asíntotas
a) Asíntotas verticales: lim f(x) = ±<» => a = 1 es una A.V.
r-tl
b) No hay asíntotas horizontales ni oblicuas.
3.
e) La gráfica d e / tiene como asíntota la gráfica de #( 0 =
Localización de los números críticos y de inflexión.
/ U ) = 3.v2 —•
12
3 ( a + 1 )(a - 2 ) (
0 =>
(a +
-
a
+ 2 )
(X ~ \)2
( A - I ) '
S í / '( a ) =
x
1 )(a
- 2) =
0
«=>
a
=
-1 ,
• / ” U ) = 6 x+'
J
‘
'
( A - I ) '
A =2son los números críticos
Valores de la función: / ( - l ) = -7 => B í-1,-7) e G r(f)
/ ( 2 ) = 20 => C(2, 20) e Gr ( f )
No existe números inflexión. p u e s /"(x )*0
Intervalos prueba:
< - l, |>, < I,2 > , <2, -h»>
4.
Comportamiento de la función en los intervalos prueba.
TABLA 5.21
f(x)
<- 00, - 1>
X = ~1
-7
< - 1. 1>
X =
1
No definida
< L 2>
x=2
< 2 ,
+“ >
20
f'M
f"U)
Forma de la gráfica
+
-
Creciente
cóncava hacia abajo
0
-
Máximo local
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
Asíntota vertical
No definida No definida
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Máximo local
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
589
Sección 5.7: R esum en d e técnicas para graficar u n a función
5.
6.
Según esta tabla la función / tiene un máximo local en B (-1, -7) y un mínimo local
en C(2, 20). No hay puntos de inflexión
La Figura 5.43 muestra la gráfica de / y el comportamiento asintótico con la gráfica
deg.
■
FIGURA 5.42
FIGURA 5.43
G R A FIC A DE UNA FUNCION CO NTENIENDO
UN R A D IC A L DE IN D IC E PAR
[ EJEM PLO 7 ) Dibujar la eráfica de la función f( x ) = . 4.\
' “
"
yjx2 + 15
Solticwn
2.
1.
La función está definida V x e IR
La curva intercepta a los ejes coordenadas en el origen
Asíntotas
a)
No hay asíntotas verticales
b)
4x
Asíntotas horizontales: f ( x ) =
lxl-s/l + 1 5 / x 2
lim / ( x ) = lim
*-*+«»
lim f ( x ) = lim
4x
= 4
x-Jl + 15 / x :
Ax
= -4
- x V 1+ 1 5 / x 2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
590
3.
Luego, y = 4 e y = -4 son asíntotas horizontales a la derecha e izquierda, respec­
tivamente.
Localización de los números críticos y de inflexión
180 X
60
4.
5.
Nótese que los denominadores de ambas derivadas son siempre positivos, luego/ ’( v) > 0,
V x e IR, es decir, la gráfica d e /e s creciente en todo su dominio, no tiene extremos
relativos.
Si / “(jc) = 0 => x = 0 es un posible número de inflexión
Ahora si x < 0
/ “(x )> 0 , la G r^ ) es cóncava hacia arriba, y si x > 0 = > / ”(a) < 0,
la Gr(f ) es cóncava hacia abajo; de modo que el cambio de sentido de concavidad en
x —0 , asegura que (0 . 0 ) es un punto de inflexión.
Con toda esta información dibujamos la Gr(/") representada en la Figura 5.44
■
(j= J E M P L O _ 8 _J Dibujar la gráfica de la función f(x) = x -Jü-x2
Solución
I. Una raíz de índice par anuncia a menudo un dominio restringido para una
función. Así, en este ejemplo, la función es real <=> 8 - .t2 > 0
*-<8
< x < 2 i/2 => Dom (/) = [-2 J 2 , 2V2 1
Intersecciones con los ejes coordenados
-ijl
2.
3.
a) Con el eje X: y = 0 => x-JS —x 2 = 0 <=> x = 0, x ~ ±2-j2
b) Con el eje Y: x = 0 ^ y = 0; la curva pasa por el origen
La gráfica de la función no tiene asíntotas
Localización de los números críticos y de inflexión
Si /'(jc) = 0 = > 4 - a 4 = 0<=>at = ± 2 son los números críticos
/ " ( jc ) = 0
jc = 0, x = ± 2-J3 e Dom (f), entonces jc = 0 es un posible número de
inflexión.
Valores de la función en estos números:
/ ( - 2) = - 2 V 8 ^ 4 = - 4
4.
;
/(2 ) = 4 ;
/(0 ) = 0
Intervalos prueba: <-2y¡2 , -2> , < -2 ,0> , <0, 2> , <2, 2-^2 >
Comportamiento de la función en estos intervalos
TABLA 5.22
/( v )
<-2y¡2 ,-2>
f\x)
/" (a )
Forma de la gráfica
Decreciente
cóncava hacia arriba
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.7: R esum en de técnicas para graficar una fu n c ió n
x = -2
-4
<- 2 , 0 >
x=0
0
< 0 , 2>
x= 2
<2 , 2 V 2 >
5.
0
+
Máximo relativo
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
Creciente
cóncava hacia abajo
0
-
Máximo relativo
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
Según la tabla, la gráfica de / tiene un mínimo global en A('2„-4}, wi-máximo global en
B (2,4) y un punto de inflexión en (0, 0).
~ •
La figura 5.45 muestra la grállca de / .
J
6.
4
591
Y '
4
l /
Vi-/
A
V
G RÁFICA DE UNA FU N C IÓ N CONTENIENDO
UN R A D IC A L DE ÍN D IC E IMPAR
(^ E J E M P L O J J ^ Dibujar la gráfica de la función: f{x ) = 3x2/-1 —j c
Solución
1. La función está definida en toda la recta real.
No existen puntos de discontinuidad
Intersecciones con los ejes coordenados
a) Ej c X : y = 0 => ^ - x1= 0 => (3 - j O = 0
<=>* = 0 , * = ±S/27 = ±2.28
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
)
Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada
592
Eje Y: x = O => y = 0. La curva pasa por el origen
Además com o/(x) ~ / ( - jc) , la Gr(f) es simétrica respecto del eje Y.
No existen asíntotas de ninguna especie
Localización de los números críticos y de inflexión
b)
2.
3.
4/3 i.
o / il +. 3x
->..4/3
r u ) =- f
x4n
Si /'(jc) = 0 => X** = 1
x = ±1 son números críticos
Obsérvese que tanto/'(;r) como /"(jc) no están definidas en jc= 0, entonces éste puede ser
un número crítico o un número de inflexión. Pero dado quc/"(x) < 0, V x e Dom (/), pues
la expresión entre paréntesis es siempre positivo, entonces la Gr(/) es cóncava hacia ahajo
en toda la recta real, por lo que no existe puntos de inflexión, luego jc = 0 es un número
crítico.
Valores de la función en los números críticos
/ (± I ) = 3 (± )^ - (± I )2 = 2 => (± 1,2) g Gr( /)
/(O ) = 3(0) - (0) = 0 => (0, 0) g Grtf)
Comportamiento de la función en los intervalos prueba
< -o a , - 1 > ,
< -],0 > ,
<0, 1>,
< l,+ © o >
TABLA 5.23
f(x)
-l>
X = -1
2
0
< 0 , 1>
x= 1
< 1, -K»>
/ Mu >
2
Forma de la gráfica
Creciente
cóncava hacía abajo
+
< -l,0>
x= 0
/'OO
0
-
Máximo relativo
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
No definida No definida
Máximo relativo
+
-
Creciente
cóncava hacia abajo
0
-
Máximo relativo
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
5.
En esta tabla se observa que la función tiene un máximo local en (-!, 2) y (1, 2), un
mínimo local (punto anguloso) en (0, 0). Además la Gr(/") es creciente en <-«>, -1> y
<0, 1>, es decreciente en < -1 ,0> y <1, -h »>, es cóncava hacia abajo V x e Dom ( f ).
6.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.46
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.7: R esum en de técnicas para graficar una función
593
( EJEM PLO 10 ^ Dibujar la gráfica de f ( x ) = y¡2a \ 2 - jt* , a > 0
Solución
2.
I . La función está definida en toda la recta real
Intersecciones con los ejes coordenados
a) Eje X: y = 0 => lux2 - ,r' = 0 <=> x = 0. x = la
b) Eje Y: x = 0 => y = 0. I*a curva pasa por el origen
Asíntotas. No hay asíntotas verticales ni horizontales
Asíntotas oblicuas: y = mx + h
/(* )
..
í í a T V ]
m = lim ------ = lim
x-*±- x
*-»±~ ^
x
j
= —I
b = lim \ f { x ) - ni x = lim t fl ax2 - x * +.
la x 7
b = lim
«-*+-
= lim
~
j j ( l a x 2 ~ x y)2 - xi fl ax2 - x y + x 2 ¿
fcFí-W7'*'
2a
Entonces SE: y = ~x +
3.
la
’
es una asíntota oblicua en ambos sentidos
Localización de los números críticos y números de inflexión
f(x) =
4ax~3x2
3(2 ax2 - x yf n
4 íi- 3 .v
3 M I [ l a - x ) 2n
8« V
f'(x) = -
9(2 ax2 - x i )yn
Si f'(x) = 0 =>
4 « - 3
jc
8 rí2
9 yJ 7 { 2 a - x ) m
= 0 => 4a/3 es un número crítico
Como f'(x) y f"(x) no están definidas en x = 0 y x = 2a, ambos son candidatos a
números críticos o a números de inflexión
Al recurrir al criterio de la primera derivada encontramos que x = 0 es un número crítico
y x = l a es un número de inflexión.
Valores de la función en estos números
/(4 a /3 ) = ^ £ ) V 4 . / ( 0 ) = 0 . f(2á) = 0
4.
Comportamiento de la función en los intervalos prueba
<-=*=, 0 > , <0, 4o/3> , <4o/3, Ico , <2«, +°°>
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada
594
TABLA 5.24
J (0
< -», 0 >
x=0
( 2a/ 3) \¡4
<4fl/3, 2 a>
x = 2a
Forma de la gráfica
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
Mínimo relativo
+
-
Creciente
cóncava hacia abajo
0
—
Máximo relativo
-
-
Decreciente
cóncava hacia abajo
No definida No definida
0
<2a, -h»>
5.
f"(x)
No definida No definida
0
<0, 4a/3>
x = 4a/3
A v)
-
+
Punto de inflexión
Decreciente
cóncava hacia arriba
De la labia concluimos que la función tiene un mínimo relativo en (0,0), punto anguloso.
(4 a
2 a i f 7\
un máximo relativo en \ -j-» ^ -v 4 l y un punto de inflexión en (2a. 0 ).
6.
La figura 5.47 muestra la gráfica de la función apoyada en la información de la
Tabla 5.24
G RÁFICAS DE FUNCIONES SECCIONADAS______________________________
Para dibujar gráficas de funciones seccionadas, el análisis de su comportamiento
debe hacerse en cada subfunción sobre su respectivo domonio. Si se presenta el caso en que las
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5. 7: R esum en de técnicas p a ra tr a fic a r una fu n c ió n
595
expresiones para hallar la segunda derivada sean muy voluminosas, a veces es necesario redu­
cir el análisis de las propiedades de las gráficas al criterio de la primera derivada.
( ^ E J E M P L O ^ lj Dibujar la gráfica de la función
yjx1 - 9
f(x) =
X~ — 1
Solución
1.
. si x e
-3 ]
(f )
< - 3 , + « > - { 0}
(/,)
A + I
, si
X e
i) En x e <-«>, -3]
La función/ , es continua V x g
<-<», -3]
Intersecciones con los ejes coordenados
a) Con el eje X: y = 0 => x2 - 9 = 0 <=>* = -3 ó x = 3 g Dom (J ,)
b) Con el eje Y: x = 0 => y = V —9 imaginario, no hay interceptos
2.
Asíntotas
a)
Asíntotas horizontales: y = lim f { x )
Ixl V i - 9 / x 2 '
Vx2- 9
lim ------- -— = um
x+ l
*-»—
x(l+!/x)
b)
3.
-Vl-Ü
1+0
Entonces y = - 1 es una asíntota horizontal izquierda
No hay asíntotas verticales ni oblicuas.
Localización de los números críticos: f x' (x) =
x +9
(x + l ) 2 Vx2—9
Si fi(x) = 0 => x + 9 = 0 <=> x = -9 es un número crítico
f \ x ) no está definida en x = - l , x = 3 y x = -3, los dos primeros números no pertenecen
ai Dom(/!), y el tercero es un extremo de su dominio; luego, x =-9 es el único número
crítico.
Valor de la función: / ( - 9 )
4.
= - ^ V2 « -1.06
Comportamiento de la función / j en los intervalos prueba <-<», -9> y < -9 ,-3>
En x e <-«>, -9>, sea x = -10
/ , (-10) = — = - decreciente.
En x e <-9. -3>, sea x = -8 => /i'(- 8 ) = ^ = + creciente
5.
Luego, la función f¡ tiene un mínimo relativo en (-9, -1.06)
Con toda esta información ya podemos dibujar la gráfica de
ii)
1.
En x e <-3, -H*>> - {0}
La función / 2 es continua en todo su dominio.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
596
En x = O presenta una discontinuidad inevitable
Intersecciones con los ejes coordenados
EjeX:>' = 0 => a2 - I - () <=> x = ± I
Eje Y: No existe intersecciones
2.
Asíntotas
a) Asíntotas horizontales: y — lim f 2 (x)
f x 2( l - l / x 3) '
lim
XtJX~ + l
j
^ x 3 \ ( l + 1 / J t"
l - O
V i
+0
Entonces: y = 1 es una horizontal derecha
b) Asíntotas verticales: lim f2(x) = ±
=> x = 0 es una asíntota vertical en ambas
*—
*0
direcciones.
c) No existe asíntotas oblicuas.
3.
4.
3a 2 +1
Localización de los números críticos: / , ’ (jc) = ~ 2^~ 3 + | ) vj
Como f 2'(x) > O, V x e Dom(/2), la función f z es estrictamente creciente en todo su
dominio. No presenta extremos
Con toda esta información se traza la gráfica de f 2. La figura 5.48muestra la
G r (/) = Gr(f,) u G r (f,)
■
[ EJEM P LO 1'2J Dibujar la gráfica de la función
, si X < —l
/(*)=
2( x - l )
[ (x + l)
( í )
(/O
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Sección 5.7: R esum en de técnicas para graficar u n a función
5‘>7
Solución i) En x e
- i>
J. f es continua en todo su dominio. Su gráfica no intercepta a los ejes coordenados.
2. Asíntotas
a) Asíntota vertical: lim / j { * ) = + 00 =* x = - 1 csunaA.V.
b) No tiene asíntota horizontal, pues túri / , ( * ) = - 0,3
c) Asíntotas oblicuas: y = nix + b
ni = lim
= lim
li
= -1
U\ yjl —i f x 2 j
b - lim f/i(jr)-n u rl = lim
L
J
C->-«
+x
x2 - ( x 7 - \ )
= lim x
„ V jc 2 - 1
= lim x
,V x ^
( x - t J x 2 -
t-í—
. V * 2- i
,
= 0
l ) j
Entonces y = -x es una asíntota oblicua izquierda
3.
Localización de ¡os números críticos y de inflexión
x
(x ¿- ¡ ) v<
Si /■,’(jc) = 0
•”
' '
2 + 2
( x ^ - l )5' 2
jt= 0, x = 1/ 2 , x~- y[ 2. I ,os dos primeros númerosno pertenecen al
Dom (/j). por lo que x = -yÍ2 es el único número crítico
Valor de la función: f ( - J 2 ) = 2
2 , 2) es un punto crítico.
Como /i"(.*) > 0 , V x e Dom (f,), la Gr(/¡) es cóncava haciaarriba en todo su
dominio. No existe puntos de inflexión.
4.
Intervalos prueba: <-*», -■I2>.<--J2, -l>
ii)
En r € <1, -N»>
1.
/ 2 es una función racional continua en todo su dominio. Su gráfica intercepta a los ejes
2.
Asíntotas
coordenados en ( 1, 0 ) y (0 , 2 )
a) Asíntota vertical: lim / , (jc) = +«»
x = —I es una A. V.
JC-*-l+
b) Asíntota horizontal: lim f 2(x) = 2 => y = 2 es una A. H. derecha.
3.
Localización de los números críticos y de inflexión
f 2'( x ) = *-i x ~ l¡ ; / 2 m(jc)= 16<2 ~* >
32 ’ (x + 1)3
31
( a + 1)4
x - ! = 0 <=> x —1 es un número crítico
Si f f (x) = 0
fi'ix) = 0 => 2 - x = 0 <=> x = 2 es un posible número de inflexión
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
598
4.
Valores de la función f¡ en estos números
fc(\) = 0 =*■ ( 1, 0 ) es un punto crítico
f¡( 2) = 2/9 ^ (2. 2/9) es un candidato a punto de inflexión
Intervalos prueba: <-1, l>, < l,2 > , <2, -h»>
Comportamiento de las funciones /, y f2 en sus respectivos intervalos prueba
TABLA 5.25
fyU)
l1
•
2
V
1
X
fe!
NJ]
y ¡2 >
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
flix)
Forma de la gráfica f 3
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente
cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
f 2(x)
< - 1, I>
X
= 1
0
< 1, 2 >
x= 2
< 2 ,+®°>
2/9
Forma de ¡a gráfica f ,
//(.O
Creciente
cóncava hacia abajo
5.
Apoyada en la información de la Tabla 5.25 se observa que la función / tiene un mínimo
6.
local en (-*>¡2 , 2) y ( I, 0), un punto de inflexión en (2, 2/9)
Finalmente la G r ( f ) = G r(/,) t j G r(/2) se muestra en la Figura 5.49
FIGURA 5.49
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■
Sección 5 . 7: R esum en de técnicas para tr a fic a r u n a fu n c ió n
599
(E JE M P L O 1 3 ] Dibujar la grafía de la función
, ai x < 0
/(*) =
Mr '- 3 j c 2 , si x > 0
Solución
Según la definición del valor absoluto
be2
-1 1
U2 - 1
=
- I ) , si
+ ÍA 2
\ = -(x2 -
jr >
I
«
1), s i . t s < 1
x <-1 v jc >
1
-1 < j c < 1
Dado que el dominio de / para x < 0 es <-e°. - I> vj <-1, 0>, volveremos a redefinir/ de la
siguiente manera:
, Si X < - 1
< /)
, si - 1 < x < 0
/< * ) =
( / 3)
V x 3 —3x 2 , si x > 0
(/,)
1.
En / , y f 2, debido a la restricción de sus dominios, no hay intersecciones con los ejes
coordenados.
En
si y = 0 => r * - 3 r 2 = 0 <=> x = 0, * = 3
si x = 0 => y = 0. La Gr (/"O empieza en el origen
2.
Asíntotas
a)
Asíntotas verticales
Comoel lim / ¡ ( * ) =
lim
^x+l){x-\) J
J( 0- )(—2)
y el lim f 2(x) = lim
+
b)
Jo ñ o *)
Entonces x = - 1 es una asíntota vertical hacia abajo para las gráficas de/ , y f 2.
Asíntotas horizontales
\
\
/
— lim
lim f . ( x) = lim
JT- [ f x2 /
V\ x\V
c)
)
U/
1
\-\/x2
Luego, y = - 1 es una síntola horizontal izquierda para la Gr (/,)
En f i y / , no existen asíntotas horizontales
Asíntotas oblicuas: y - mx + b
En / , y f 2 no hay asíntotas oblicuas. pues en / „ m = 0 y en f2, por la restricción de
su dominio.
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Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
600
t-
M x )
,
En
V a 3 - 3 a 2
,.
ni = lim —------ = lira ---------------- =
X
*-*+“
x
r-VH»
b = lim [ f , ( x ) - mx ] = lim (V a 3 - 3
L
J
t-»+<*> V
- 3
_ lira
a :2 - a )
/
a
’ - 3 x ! )J + x ,y l x' - 3x* + x \
^
Entonces y = x - 1 es una asíntota oblicua derecha.
3.
Localización de los números críticos y los números de inflexión
(a 2 - I )3' 2
/U ) =
2\V2
3
, A < -1
a
(a - 1)
, —1<
X<
f'ix) = \
0
0 - * ')
3
SV2
a
-1
, A > 0
yjx(x —3)2
< A < 0
( 1 - a 2 ) 5/2
-2
A —2
A < -l
A > (J
V a 4( a - 3 ) s
Obsérvese que e n / , y / , no existen números críticos ni números de inflexión.
En /,: si fi'(x) = 0 ^ x - 2 = 0 < = > x = 2esun número crítico
Como fi'(x) y /j" (x ) no están definidas en x = 0 y a = 3, estos pueden ser números
críticos o números de inflexión
Valores de la función en estos números:
/( 0 ) = 0, / ( 2 ) = - 4 y / ( 3 ) = 0 = > (0, 0), (2. - V 4 ), (3,0) e Gr(f)
Intervalos prueba: < -« , -1>, <-1, 0>, <0, 2>, <2, 3>, <3, -n »>
/ , ’(* ) < 0 , x e <-■», - 1> = > /, es decreciente en todo su dominio
=$ La Cr (ff es cóncava hacia abajo
/," (a ) < 0, a £
/ 2’(a) > 0 , a e < - l , 0 >
= » /, es creciente en todo su dominio
f 2"(x) < 0, a e < - 1, 0>
=> La Gr( / 2 ) es cóncava hacia abajo
Con estos datos podemos hacer un dibujo preliminar de las gráficas de / , y f 2.
Para analizar el comportamiento de/, en los intervalos prueba
<0, 2>, <2, 3>, <3, +«>>
construyamos la siguiente tabla
TABLA 5.26
..
,
w
<0 , 2 >
x=2
-\Í4
/ A *)
- fy'ix)
Forma de la gráfica
-
+
Decreciente
cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
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Sección 5.7: R esum en d e técnicas para gra ficta- u n a fu n c ió n
<2, 3>
x= 3
<3, +«*>>
5.
6.
+
0
+
No definida No definida
+
-
601
Creciente
cóncava hacia arriba
Punto de inflexión
Creciente
cóncava hacia abajo
En esta tabla se observa que la (unción / , tiene un mínimo relativo en (2, -\Í4) y un
punto de inflexión en (3, 0). Además nótese que/, es creciente en <-1, 0> y / es
decreciente en < 0 , 2 >, y como / es continua en x = 0 , éste es un número crítico para /
y en (0 , 0 ) tiene un máximo relativo.
La G r(f) = G r(f,) u Gv(f¿ u G r(/\) se muestra en la Figura 5.50
■
GRÁFICAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES
^
^ J E M P L O _ 1 ^ Hallar los extremos relativos, puntos de inflexión y dibujar la gráfica
de la función f (x) = x - Sen x, x e [0, 4ítJ
Solución
2.
1.
Búsqueda de los números críticos
f ( x ) = x - Sen x => f ' ( x ) = 1 - Cos x, V x e [0, 4jt|
Si f'(x) = 0 => Cosx= I <=> x = 0, 2 tt, 4rt son los posibles números críticos.
Usaremos el criterio de la segunda derivada para decidir si existe un extremo local en
cada uno de ellos.
/"(jc) = Sen x, V x e [0, 4rc]
Nótese que / M(x) = 0 para cada uno de los posibles números críticos, por lo que el criterio
de la segunda derivada no es aplicable
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Capítulo 5: A plicaciones d e la Derivada
602
3.
4.
Recurrimos entonces al criterio de la primera derivada
Si /'(•*) < 0 => 1 - C o s x < 0
C-osx> I
Lo cual es absurdo, puesto que - 1 < Cos x < I
Si /'(•*) > 0
1 - Cos x > 0 <=> Cos x < 1
Luego, la función es creciente V x e <0, 470, no existe extremos locales
Puntos de inflexión
/ ‘■(jc) = O => Senx = O
x~kp, k e Zo+ , A e {O, 1,2, 3, 4}
<=>
x e
{ O , 7 t, 2 n ,
3n,
4 n )
.*. (O, 0), (te, 7t), (27t, 27t), (371, 37t), (47t, 47t) son puntos deinflexión.
5.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.51
f EJEM P LO 1 5 ] Hallar los extremos relativos, puntos de inflexión y dibujar la
gráfica de la función f(jc) = —^e— x—
1+ 2 Cos x
\Solución'
La función no tiene sentido si 1 + 2 Cos x = O, esto es, si Cos x = -1/2
=> x = 2kn ± 2n/3, k e Z
Geométricamente significa que la gráfica de / tiene asíntotas verticales en jc = -27t/3,
x = 2tü/3, jc = 47r/3.....
2.
1.
Localización de los números críticos: f ( jc ) = --------=J
(1 + 2 Cos x )2
Como/ ' ( * ) > O, x e D o m (/) = IR - |x = 2kn ± 27E/3, k e Z }, la función es creciente y
por lo tanto no existe extremos locales.
3.
4.
Puntos de inflexión: f ' (x ) = —
5g” X ,
J
(I + 2 Cosx)
Para f"(x) = O =^> Sen x = O => x ~ Alt, k e Z
Por lo que, son puntos de inflexión: (- 7t, 0), (0, 0), (n, 0), etc.
Con toda esta información dibujamos la G r(/) mostrada en la Figura 5.52
FIGURA 5.51
FIGURA 5.52
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■
Sección 5.7: R esum en de técnicas para grajicar un a fu n ció n
603
( EJEM PLO 1 6 j Dibujar la gráfica de la función / ( a) = are Tg ^
Indicando dominio, asíntotas y extremos relativos, si existen.
Solución
l . Dominio de la función
/e s real <=> * + l > 0
2.
Dom ( / ) = < -!. +°°>
Asíntotas
a)
Asíntotas horizontales: v = lim f ( x ) = lim are 7#
- I = are Tg(+<*>) = —
\-Jx+l)
2
Luego, y - n/2 es una asíntota horizontal hacia la derecha
b) Asíntotas verticales:
lim f { x ) = lhn are Tg\
'\yjx + ) j
c)
| = are
"10 * J
arcTg(-'*>) = -™
2
Por la restricción del dominio, no existe asíntota vertical. P (-l, -n/2) es un
punto ciego,
No existe asíntota oblicua, pues
\
are Tg - .-----
..
f(x)
W *+ l ,
m - lim -— - lim ----------
3.
Extremos relativos:
I
/ ' (.*■) =
are Tg (+ ~ )
Ix + l ~
n/2
= 0
2^v+í
x+\
>,>¡X+\ ,
x+2
2 + (x 2 + x +1 )J v +1
Si f'(x) = 0 =? * + 2 = 0 <=> x = -2 € < -1 ,-h »>
4.
La función no tiene extremos relativos, además como f \ x ) > 0, V x e Dom(f), la función
es creciente en todo su dominio.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.53
■
(^EJEMPLO_17j Graficar la función f ( x ) = are Sen
yj’
indicando dominio,
asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y valo­
res extremos.
Solución
1. Dominio de la función
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Capítulo 5: Aplicaciones d e la D erivada
604
U 5—
+ l )—2 >^ 0n
X +1
<=* —
2.
3.
i — =—
>
0
=>
X
e
IR
arcSení - y - - \ = areSen(0*) = 0
Asíntotas horizontales: v = lim / ( x ) = lim
*_►+«
V x + 1/
y = lim / ( x ) = lim arcSení —y - - ) = areSen(0 ~) = 0
*-*—
*-»—
V.JC + w
Luego, y = 0 es una asíntota horizontal hacia la derecha e izquierda.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
( jc2 + 1 ) - x ( 2
/(* ) =
Si
jc 2
>1 => f ' ( x ) = —
J V
(jc
'
x *< 1 = * f ( x ) =
J
x
)
----- = ------ t~— >•*
— 1 ) (jc
x
+ 1)
2{ \ - x 2)
1v
jc
> I
+1
-2(1~ * ]-------= - 3 — ,
- ( x 2 - l ) ( x z + \) x2 +\
Luego,/ es creciente V x e
.
Ix 2 - II (x 2 + 1)
(x 2 + l ) 2
1+
4.
( X -2 )—2
X +1
A
-1 < x < 1
-1> u <1, +«>> y creciente V x e <-1, 1>
Intervalos de concavidad
Si x2 > 1 => f
( x ) = — 2* 2x\ = —r ^ —r , * < - \ v x > I
(x 2 + l )2
(x 2 + 1)
Para x e <-o°,-l>, /" ( x ) < 0 , y para x e <!,+«>>, /" (x ) > 0
Si x2 <
1 => / " (x) = — ^ -¿- ^ * 2 = ------ y -* 2 ' “ ^ < * < *
J
(x 2 + l )2
(x 2 + l )2
Para x e < -l,0 > , /" ( x ) > 0 , y para x e <0, I>, /" (x ) < ()
Por tanto, la Gr(/") es cóncava hacia abajo V x e < - « , -1>
arriba V x e < - 1 , 0 > u < 1, +<»>
<0, 1>, y cóncava hacia
5.
Valores extremos
6.
Dado quc/'(x) no está definida en los números x = +1, y com o/’(x) cambia de signo en
x = -1 de (-) a (+), y en x = l de (+) a (-), la función presenta extremos relativos en tales
números cuyos valores son:
/ ( - l ) = are Sen (-2/2) = -n/2 = * M in (-I,-n /2 )
/ ( 1 ) = are Sen (2/2) = n/2
=* M ax(l,n/2)
Ademas, como en x = 0 f"(x) cambia de signo, el punto de inflexión ocurre en (0, 0).
La gráfica de/se muestra en la Figura 5.54
■
QEJÉMPLO^^IS j Hallar los extremos relativos, los puntos de inflexión y dibujar la
gráfica de la función v =
y
Ln x
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Sección 5. 7: R esum en de técnicas para graficar u n a fu n ció n
FIGURA 5.53
Solución
605
FIGURA 5.54
I . Dominio de la función
La función liene sentido V x > 0, x ^ 1 => Dom (f )= D£+ -{ 1)
2.
Asíntotas. Como lim / ( x ) = +«°
y
lim / ( x ) =-«=< la recta x = I es una asíntota
i- * i
vertical en ambos sentidos.
3.
Localización de los números críticos
r M = D , x - * ( U x ) = ü , x - y f .M = 2 -U i*
(Ln x )2
(Ln x )2 ’
x(Ln X)*
Si /'(x ) = 0 => Lnx = I => x = e, único número crítico
£
Valor de la función para* = e: y =
4.
= e => (e, e ) es un punto crítico.
Extremos de la función. Por el criterio de la segunda derivada.
2 /vi €
1
Para x = e , f " ( e ) = ----------------------- 0 ^ (e, e) es un mínimo relativo
5.
e(L/i e)
e
Puntos de inflexión. Si f"(x) ■=Q=>2-Lnx = (]=>Lnx=2<=sx = e¿
Valor de la función: x = él
6.
e2
e2
=- = —
Ln e
l
Luego, el punto de inflexión es I(<?2, ¿IT)
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.55
[EJEM P LO 1 9 ) Si
/ ( jc) = 2x e^72, hallar los máximos y mínimos relativos, puntos
de inflexión y dibujar su gráfica.
Solución
i. Dominio de la función
La función está definida V x e IR
Si x = 0 => y = 0, la curva pasa por el origen. Como /( x ) = -/(-x ),/e s una función impar,
es decir, su gráfica es simétrica respecto al origen.
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606
C apítulo 5: A plicaciones d e la Derivada
2.
Asíntotas. Dado que lim / ( j r ) = 0 => y = 0 es una asíntota horizontal.
3.
Localización de los números críticos
f\x:) = 2e^a( \ - x í) ; /"(jc ) = 2* e*a (x + S ) (x - -J3)
Si f'(x) = 0 => 1 - jc2 = 0 « x = -1 v x = I son números críticos
4.
5.
Valores de la función en estos números
f ( - \ ) = - 2 e m => P , ( - l . - 2 r OT) ; / ( l ) = 2«-“ =» P, (1, 2 c "2)
Extremos de ¡afunción. Por el criterio de la segunda derivada
/ " ( - l ) ~ -2 (+) (+) (-) = + > 0
=> Mínimo relativo = P,
/ " ( l ) = 2 (+) (+) { - ) = - < 0
=> Máximo relativo = P2
Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Si f"(x) = 0=>.r = 0, j r = - 3 ,j r = 3 son posibles números de inflexión
En
xe
- J 3 > , síjc=-2 = * /" (-2 ) = (-4)(+)(-)(-)= O
t—
Js* 3 P. I.
-I => / " ( - 1) = (-2 )(+)(+)(-) = v+/ CT ^ , j
x e < -V 3 , 0 > , si xj: = -1
x e < 0 , V3 > , si x = I
x e
+
s í jt = 2
/ " ( I ) = (2 )(+)(+)(-) =
3p i
r \ D = (4)(+j(+K+) =
Luego existen tres puntos de inflexión
6.
\ , ( - & , - 2 S e™), 1,(0, 0), U 4 3 , 2 & e ™)
La Figura 5.56, muestra la gráfica de la función
( E J E M P L O 20~} GraFicar la función / ( x) = (2 + jr2) e'*2, indicando, si existe, máximos
y mínimos, puntos de inflexión, asíntotas.
¡Solución
I . Dominio de la función
La función es continua en toda la recta real, es decir. Dom (/) = EL
Si x = 0 ^ y = 2, la Gr(f) intercepta al eje Y en (0, 2). Como/(jc) = /(-.t), la función es
par, esto es, su gráfica es simétrica respecto a eje Y.
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Sección 5 . 7: R esum en de técnicas para grajtcar u n a fu n c ió n
2.
Asíntotas.
607
lim / ( * ) = () => y = 0 es una A.H. en ambos sentidos
No tiene asíntotas verticales ni oblicuas
3.
4.
laicalización de los números críticos y de extremos relativos
=
+aj ) í ' í
; f"(x) = 2 {2x2+ l)(.t2- l ) e '2
Si f \ x ) = 0 => x = 0, es el único número crítico
Dado que /"(O) = -2 < 0 => (0. 2) es un máximo relativo
Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Si /" (x ) = 0
.rz= l <=> jr = ± 1 son dos posibles números de inflexión
Intervalos prueba: <-«>, - ! > ,< -!, !> ,< !, +°°>
En
x e <-<»,-1>, si x = -2
jte
si x = 0
x g < 1, +™>, si x =
2
=> /" (-2 ) = 2 (+ )(+ )(+ ) = ^
=-> /"(O ) = 2 ( + ) ( + ) ( - ) = O
\
^
—> / " ( 2 ) = 2 f+) (+) (+) = vi»
3 p[
^ P*
Luego, existen dos puntos de inflexión I|f-l, 3 e '), L (l, 3 e ')
5.
A partir de toda esta información se dibuja la gráfica de la función mostrada en la
Figura 5.57
B
( E J E M P L O 2 1 ^ Graficar la función f(x) = are Sen (e2*) indicando, si existen, asíntotas,
extremos relativos, intervalos de concavidad, puntos de inflexión.
Solución
I . Dominio de la Junción
Dado que e2* e [-1, l ] y c1j,> 0
Tomando logaritmos: Ln 0* < 2x ^ Ln 1
2.
Asíntotas.
0 < é 1 ,í 1
- « < Ix á 0 => t e <-«», 0]
lim f ( x ) = are Sen (e~~) = are Sen (0) = U
Entonces y = 0 es una asíntota horizontal hacia la izquierda
No existen asíntotas verticales ni oblicuas
3.
Localización de los números críticos v números de inflexión
f(x )= ~ i1 ¿ L =
; f'(x)=
4í,_I
^
d - ^ r
2
f ‘(x) > 0 ,V jc é Dom(J) y f “(x) > 0 ,V .r e Dom (/')
Por lo que no hay extremos relativos ni puntos de inflexión. La curva es creciente y
cóncava hacia arriba en todo su dominio.
4.
Valores extremos. Si x = 0 => y = are Sen (e°) = 7t/2 => (0, 71/2) es un máximo absoluto
de la función.
5.
La Figura 5.58 nos muestra la representación gráfica de la función.
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B
608
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
/■
Y
»n/2
_
y= 0
0
V
X
J
FIGURA 5.58
EJERCICIOS . Grupo 44
En los ejercicios I al 46. dibujar la gráfica de la Función correspondiente, indicando en
cada caso, el dominio, continuidad, puntos de discontinuidad, las intersecciones con los
ejes, las asíntotas, los extremos relativos, puntos de inllcxión, los intervalos donde la
función es creciente y decreciente, y los intervalos de concavidad.
I. /( x ) = 2x’ - 3x* - I2 x + 8
2.
/(x )=
3. 3 /( x ) = 3x‘, + 4x^-12v2- 4
5. _/ (x) —j :2 (x + I )2
4.
6.
f(x) = 2\A- Kx + 3
/ ( x ) =xA-3xl + 3x- + 1
7. f(x) = jc'{x- 2?
9. f(x) = 6x5 - 10*’ + 2
8.
/ ( x ) = (x - 1)J (x + 2):'
10.
/ ( x) = 3x5 -5x'
II. / ( a )=
12.
x
2 +
—,
4 S - 2 .X-
x
/(* )= -
x* + \
13. / ( * ) =
15. J U ) =
x'-2
( x - l )2
XU;3
X
14.
3 - x
16.
/(* )=
18.
/U )=
20 .
/(* ) =
22.
/( • * ) =
X
17. / ( * ) =
19. f U ) =
x
2 - 3 x
X
+ I
2x 2 - 5 x + 15
x —2
x
2 1 . / ( * ),= - 52—
x ¿+ \
/(x ) =
x 2 +3x
x+ I
2 x * - 5 x 2 + 4 x
(x-l)?
a 2 —6x +
x -4
2x2 +1
x2 -2 a
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12
E JE R C IC IO S . G rupo 44
609
23. / < x ) = x V 4 - x 2
24.
/ ( r ) = a >/a - 3
25. f ( X)= x j A - x
26.
/ ( * ) = jrJ V T + 5
27.
28.
/ ( x)= V 4 7 ^ V
30.
/ ( x ) = A ( A + 3 ) 2n
32.
/ ( x ) = A , , 1 (Jc +
/ ( * ) =
29. / (
jc)
=
V « 3 - 6 j f 2
a
1"
(6 -
j c ) 2'1
3 1 ./(x ) = x (jt-2 )‘2/?
33.
/ ( a )
35.
/ ( a )
34.
- 3
a
4 - 5 x 3 +
15
a
2 + 4
x
/
( x
/ ( a )
.
5 a 2' 3 - a
39.
A >
5"
a
=
- 2' 3
a
8
, X < I
a
40.
3 - 2
, A
,
a
2 + 2 a -
<
O
,
jt > O
I
3
-
a
>
/ ( a ) =
I
V3x 2 - x J
+ 1
/ ( a )
,,3-
/(* ) =
, A < 0
f(x) =
(x-\y
41.
a
381
v
f { x ) =
2 a 2 - I
=
-8
=
x 2 <Jx2 - l
36.
a
L
2 - 4
VóA2 - A3 , X < 8
37.
- =
- 12
=
a
) =
2 ) - 2n
, — 4 <
x <
O
4 t
0
‘
42.
( a + 1)2
, a >
/ ( a ) =
.X> 0
1 + A2
V i
—
a
+ 3
3 )2 (
, A < 0
, A >
+ 3 )
a
O
A2 + I
rzi
43.
/ ( a )
=
Vx- 2
, a
’
€
V v -3
[0. 2]
44.
/ ( a )
a
, a
A 3 -
e
[0 ,2 >
=
72
- (!}
a
,
a
a 3 —6 a 2 + 9
< 4
,
a
a
,
46.
- 4 '
/ ( a )
=
a
a
> 4
a
< 4
' - x - 2
- 4
2
+
a + 4
a 2 - 4
a
+ 3
_
.
, A >
.
4
5
l +
47.
> - I
1
x 3 - 6 x 2 + 4 x - 4
/ ( a )
a
: a < -1
2 a
45.
,
=
COS
A
Estudiar los valores extremos relativos y absolutos de la función y = --------------. Gralicar
l-S e n x
la función indicando sus asíntotas.
48.
Dibujar la gráfica de la función/ ( a
)
= Sen x Cos 2x . x e [0. 2it], indicando: rango de la
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Capítulo 5: Aplicaciones d e la Derivada
610
función, máximos y mínimos relativos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y pun­
tos de inflexión, justificando rigurosamente su proceso.
49.
Dada la función
— Cos x Cos
x>U
Dibujar la gráfica indicando asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos relativos, con­
cavidad, puntos de inflexión.
50.
Demostrar que:
La gráfica de la función y = x Sen x , x e IR, tiene puntos de inflexión.
i)
j ) Si / es creciente en el intervalo [a, b] y derivable en <a, h>, entonces
/ '(
*•>
jc)
>0, V
jc
6
<a, b>.
En los ejercicios 5 1 al 54, graOcar la función dada indicando: dominio, asíntotas, interva­
los de crecimiento y decrecimiento, concavidad y valores extremos, si existen.
- are Sec (x - 1 )
51.
/ (
53.
/ ( * ) = (are Tg x f
❖
En los ejercicios 55 al 58, hallar los extremos relativos, puntos de inflexión, si existen y
dibujar la gráfica de la función.
jc)
55. y = x*n- Lnx
56.
y —x Lnx
57. y = L n ( 8* - * i )
58.
y - x2Ln x
❖
En los ejercicios 59 al 64, hallar en cada caso los máximos y mínimos relativos, los
puntos de inflexión, los intervalos en que/es creciente o decreciente, los intervalos de
concavidad. Trazar un esquema de cada curva.
59. f ( x ) ~ x e '
60.
/ ( x) = x2e JI
61.
62.
/ ( x) = x*e'
64.
f(x) = e * Cos x
/ (
jc)
= e*2
63. f(x) = x2 e'**
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Sección 5.8: Problemas d e optim ización
[ 5 .8 )
611
P R O B L E M A S D E O P T IM IZ A C IÓ N
Una de las aplicaciones más importantes del análisis matemático es obtener el dise­
ño óptimo de un producto. El problema de minimizar costos o maximizar el volumen de un
objeto se reduce con frecuencia a hallar mínimos y máximos de funciones. En cuyo caso* el uso
de tos puntos críticos y los criterios de la primera y segunda derivada adquieren relevancia
especial. Recordemos que para minimizar o maximizar una función sobre un intervalo ccirado
es esencial tomar en consideración también los valores de esa función en los puntos terminales
del intervalo.
Antes de exponer un método general de resolución para tales problemas, se mostra­
rá un ejemplo que es típico. El único reto nuevo es como traducir el problema en lenguaje de
funciones.
[
O
Un pedazo rectangular de lámina metálica mide 5 pies de ancho y 8
pies de largo. Se van a cortar cuadrados congruentes en las esquinas,
para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa, como se
muestra en la Figura 5.59. Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo?
e je m p lo
Solución
2.
3.
1. Designemos por V la cantidad por optimizar (la variable dependiente), esto es,
el volumen de ln caja que se va a construir y, por x , la longitud de la arista de
cada esquina cuadrada que se va a suprimir.
Para escribir el volumen como una función de .v, nótese que la caja tiene una altura t y el
área de su base mide b.h, entonces
V = b .h.x
Ecuación primaria
Dado que b - 8 - 2x y /? = 5 - 2x, entonces
V(x) = (8 - 2x) (5 - 2x) x
<=> V(.t) = 4x* - 26x2 + 40*
4.
5.
6.
Ecuación secundaria
Función de una variable
Como el ancho de la lámina tenía 5 pies, los únicos valores de x que tienen sentidos son
los del intervalo <0, 5/2> . Pero hagamos que el dominio admisible sea el intervalo cerra­
do [0, 5/2] para asegurar que exista el máximo de V (r) y podamos aplicar el método de
máximos y mínimos en un intervalo cerrado. Obviamente los valores x = 0 y x = 5/2
corresponden a cajas “degeneradas”.
Ahora bien, para maximizar V hallemos los números críticos mediante la derivada de
V(x). esto es
V'(x) = I2x2 -52x + 40=; 4(3* - 10)(* - I )
Si V '(*) = 0 => (3* - 10) (* - I ) = 0 <=> * = 10/3 v * = l son los números críticos.
Vemos que sólo * = 1 se encuentra en el intervalo relevante [0, 5/21. Por lo tanto, el
máximo de V(x) se alcanza en * = 1 o en los terminales del intervalo [0, 5/2], luego los
valores de V que debemos examinar son
V(0) = 0, V( 1) = 18, V(5/2) = 0
Concluimos que V es máximo cuando* = 1 e [0, 5/2], es decir, para una caja de dimen­
siones 6 x 3 x l y V = l 8 pies’.
■
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C apítulo 5: A plicaciones de la D erivada
612
Lineas de doblez
FIGURA 5.59
El Ejemplo 1 esclarece el procedimiento general para resolver problemas aplicados
de máximos y mínimos en cinco pasos.
PROCEDIM IENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIM IZACIÓ N
1.
demostrar las diversas magnitudes del problema con letras, tales como x, y,
V. A, S, etc. si es posible hágase un dibjo esquemático.
I,
2.
Escribir una ecuación primaria para la magnitud u optimizar.
3.
Por eliminación de variables, reducir la ecuación primaria a otra que contenga
una sola variable independiente. Esto puede exigir el liso de ecuaciones secunda­
rias que relacionen la variables independientes de la ecuación primaria.
4.
Determinar el domino de la ecuación primaria. Esto es, aquellos valores por los
que el problema propueslo tenga sentido.
5.
Optimizar la función así obtenida por medio de las técnicas expuestas en las sec­
ciones 5.5, 5.6 y 5.7
[ E J E M P L O ^ ] El producto de dos números positivos es 192. Qué números hacen
mínima la suma del primero más tres veces el segundo.
[Solución
2.
3.
1. Sean x e y
optimizar.
los dos números buscados, y sea S la suma que debemos
Si deseamos hallar el mínimo de S, escribimos como ecuación primaria:
S = * + 3y
Como el producto de ambos números es 192, entonces
192
x y —192, de donde: y = -----
Ecuación secundaria
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613
Sección 5.8: Problem as de optim ización
Ahora podemos rcexpresar ta ecuación primaria en términos de x, esto es
576
S(jt) = x + ----4.
5.
Modelo matemático
Siendo x positivo, el dominio admisible de S es <0, -H»>
2 _ C7A
Localización de los números críticos: S ' ( a ) = --------- -—
x
Si S'U) = 0 => x2 - 576 = 0 <=> jc= ± 24
Así pues, x = 24 es el único número crítico. Se trata en realidad de un mínimo?
11S9
Recurrimos al criterio de la segunda derivada: S"(x) =
x'
y como S”(x) > 0, V x e Dom (S) se trata, en efecto, de un mínimo global o absoluto,
pues un punto crítico sobre una curva cóncava hacia arriba en todas partes es un mínimo
global de esa curva.
192
Por tanto, los dos números son: x = 24 e y =
=8
■
( EJEM PLO 3 )
Hallar tos puntos de la parábola y = 8 - x 2 que están más próximos
al punto A(0, 3).
Solución
2.
I. La Figura 5.60 muestra que existe dos puntos P(x, y) de la parábola a una
distancia mínima del punto A(0, 3). Designemos por d dicha distancia.
La fórmula de la distancia entre dos puntos nos da la ecuación para d:
3.
d = d (A, P) =
+(>•—3) 2
Ecuación primaria
- xr como ecuación secundaria podemos reescribir la ecuación primaria
Usando y = 8
como:
d(x) = ijx 2+<8 - a 2 - 3 )2 = <jx4- 9x 2 +25
Modelo matemático
Ahora, la función d será mínima cuando lo sea la expresión que está bajo el radical,
por lo que necesitamos tan sólo hallar los números
críticos de la función: / (a ) = jc4 - 9 a 2 + 25 para
minimizar d.
El dominio de / es IR
Localización de los números críticos
/ ' ( x) = 2 r (2X2 - 9), / " ( * ) = 12r - 18
/
\
Y-
/
/
p /
/ ’’< ±3 J 2 12) = 12 (±3 y¡2 t l f -! 8 = 36 > 0, Mínimo
Por lo tanto, los puntos P de la parábola v = 8 - x7,
í
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6'
5
/
Si f'(x) = 0 = > * = 0,jc = ± 3 v /2 /2
El criterio de la segunda derivada da el siguiente
resultado para estos números críticos
/" (0 ) = 12 (O)2 - 18 = -18 < 0 Máximo
más cercanos del punto A son: ( ±3 V2/2, 7/2). g
1
í
'
p
A
/
/
(*. y)
\
2'
1
¡0
1 2
3
x
/
FIGURA 5.60
614
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivatla
[E JE M P L O
La esquina interior derecha de una página se dobla hasta alcanzar el
lado izquierdo. Si el ancho de la página es de 6 pulgadas: a) Hallar la
longitud mínima del pliegue
b) Qué ángulo forma el pliegue mínimo con el lado mayor derecho de la página?
Suponer que la página es lo suficientemente larga para evitar que el pliegue alcance la parle
superior de la página.
|Soíüciim | 1. Sean, y la longitud del pliegue y a el ángulo formado por el pliegue y el
lado mayor derecho de la página.
En la figura 5.61 se observa que los triángulos rectángulos ABC y AEC son simétricos,
por lo que la m
ACE) = m
ACB)
Entonces: 0 = 180 - 2m
ACE) = 180 - 2 (90 - a ) <=> G = 2a
2.
En el A AEC: Sen a = —
3.
En el A BDC: Cos 2 a =
y = ~z——
Sen a
y
Si Sen
a=l
PC _
BC
1- Cos 2a
Ecuación primaria
6—x
a=J
x
Sen
x -3
2
V *
Usando esta ecuación secundaria, rccscribimos
la ecuación primaría en términos de a
I
y
4.
5.
X
X
vz
y / x- 3
Dominio de la función: x 6 <3, 6 ]
Localización de los números críticos
dy
dx
Para ^
dx
- Jx( 2x- 9)
( x - 3 ) M1
FIGURA 5.61
= 0 => r = 0 v x = 9/2; pero como j r * 0 y
3, el único número crítico
es Jt = 9/2.
Usaremos el criterio de la primera derivada como test para minimizar la función tomando
como intervalos <3, 9/2> y <9/2, 6 >
En x e < 3 ,9/2>, si x = 4 => y' = — ^ ^ = - decreciente
+
En x e <9/2, 6 >, si x = 5 => y* = (+ )(+ ) = + creciente
3 mínimo
Por tanto, x = 9/2 produce un mínimo global para la función cuyo valor es:
9 n r
9 R
y = 2 Í 9 ^ = 2^
b)
Cosla=
jt
9 /2
=
3
= ^ are Cos{M3) =35° 16'
2
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Sección 5.8: Problemas de optimización
615
( j J E M P L O ^ S j Dos postes de 15 y 20 pies de allura, distan 21 pies entre si. El
extremo superior de cada uno está unido mediante un tirante a una estaca
situada en el suelo y en línea recta entre los postes. En qué lugar debe colocarse la estaca para
que el tirante tenga longitud total mínima?
Solución
2.
3.
1. Designemos por L la longitud del tirante, y por a la distancia de la estaca
al poste más pequeño.
En la Figura 5.62 se tiene: L = y + z
Ecuación primaria
El siguiente paso es expresar las variables y y z en términos de la variable a, haciendo
uso del teorema de Pitágoras, esto es:
En el ABAE: xz + I51 = y1
EnelA EC D :
=> y = y } x 2 +225
202 + (21 - x) = z2
=>z=yl x 2 —42 a + 841
Luego en la ecuación primaria se obtiene
el modelo matemático:
4.
5.
L(a) = ijx 2 +225 W * 2 —4 2 a + 84I
El dominio de la lunción es: x e [0, 21]
Localización de los números críticos
—21
+
L'U) =
I f:a '
+ 225
V a2 -4 2 a + 8 4 1
Si L ' ( a ) = 0 => a 2 ( a 2 - 4 2 a + 8 4 1 ) = ( 2 1 - a ) 1 ( x 2 + 2 2 5 )
de donde: .r + 5 4 . r - 5 6 7 = 0 e=> x = 9 v a = -63 é [0. 2 1 ]
Usaremos el método para hallar extremos e n un intervalo cerrado, esto es, si a
y como a = 9 es el único número crítico, entonces
L(0) = J0 + 225 + V 0 - 0 + 841
6
= 44
L(9) = -Jü\ +225 + V 8 I-3 7 8 + 841 = 40.8
Mínimo
L ( 2 I) = V44I+225 + ^441-882 + 841 = 47.8
Se concluye que el Lirante debe lijarse a 9 pies del poste de 15'.
[E JE M P L 0 6 J
para que e l
Solución
3.
[ 0 , 2 1]
g
Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales
adyacentes rectangulares (Figura 5.63). Que dimensiones se debe elegir
área encerrada sea máxima.
I . Sea A el área total de los dos corrales
2. Entonces: A = 2xy
Perímetro de la valla: 200 = 4 a + 3y
=> > =
| ( 5 0 -
a
Ecuación primaria
Ecuación secundaria
)
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616
Capítulo 5: Aplicaciones de ¡a D erivada
Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene el
modelo matemático:
A i r } - | (50 * - x1)
4.
5.
Dominio de la función A:
como A > 0 ^ 50a - r > 0 <=>x e <0. 5<)>
Localización de los números críticos
A'(x) =
|
(5 0
-
2a )
Si A ’( a ) = 0 => 50 - 2a = 0 <=>x = 25
FIGURA 5.63
Nótese que A"(x) —-16/3 < 0, V a e <0, 50>;
luego, el número crítico x = 25 produce un máximo absoluto en lalunción A. Por tanto,
las dimensiones que debe elegir el granjero son:
a
(E JE M P L O 7 J
Solución
pies, y = — ( 5 0 -
25
25)
=
Hallar el área del mayor trapecio
v = 4x - x- y el eje X.
pies
■
comprendidola cui va
l . Sea S el área del trapecio de bases B = 4 y b, altura h = y
2.
Como ~ =
3.
=
Entonces: S = ~ (4 + t ) y
2
- A =* b =
2 (2
-
x)
Ecuación primaria
- x2, la ecuación p r i m
e
y=
(4a
- a2) = x' -Sx 1 +
4a
a r ia se
convierte e n
el
modelo matemático:
S ( * ) = ^ (4 + 4 4.
5.
2
a)
16a =
a
( v - 4 ):
Dominio admisible de la función; a e (0, 2]
Localización de los números críticos:
S’(x)= 3a2- 16a + 16, S"(a)= 6 a - 16
Si S’(x) = 0
=> 3 a 2 - I 6 a + 16 = 0
<=> a = 4/3 v a = 4 í [0. 2]
Al ser a = 4/3 el único número crítico y S"(4/3) < 0.
se trata, en efecto, de un máximo global cuyo valoi
es:
4 (4
A2
S<4/3>= 3 l 3 - 4 J
25(i
2
FIGURA 5.64
(EJEMPLO~8~) Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes
coordenados que pueda inscribirse en la región limitada por las parábo­
las <T»t: 3y = 12-a 2 y <P3: 6 y = Xa- 12.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
617
Sección 5.8: Problem as de optimización
Solución
2.
i. Sea S el área de) rectángulo inscrito de dimensiones, b = 2x y h = \ t + (-y,).
representado en la Figura 5.65
Entonces: S = b. h = 2_v (v, - y>)
Ecuación primaria
En dicha figura se observa que _v, corresponde a las ordenadas positivas de CP, e y . a las
ordenada negativas de rP2. Por lo que:
3.
SU)
4.
12)
de donde obtenemos el modelo matemático
S(jc) = 12 v - x'
Dominio de la función S
Como SU) > 0 ^ I2 x - a' > 0
0
=) t e < .
5.
-J\2 >
Localización de los números críticos
S'( \ ) = J2 - 3 ,r. S"U) —-fi*v
FIGURA 5.65
Si S'U) = 0=í> 12 - 3 a 2 = 0 o j : = 2 v x = - 2 g <0. tíl2 >
Dado que x =2 es el único número crítico de S y S"U ) = -12 < 0, se concluye
que el valor máximo relativo de S es su valor máximo absoluto, cuyo valor es:
S(2) = I2 í2 )2 - Í2 ) 5= Ifin 2
■
[E JE M P L O 9 ) Una página rectangular debe contener 432 cm: de material impreso.
Los márgenes superior e interior debe tener 4 cm de anchura y los latera­
les 3 cm. Qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerida?
Solución
I . Sean a y b las dimensiones de la página y x e v las dimensiones del material
impreso. Si A es el área que debemos optimizar, entonces:
2
3.
Ecuación primaria
A - ( r + 6 ) (y + 8 )
.
El área impresa es: 432 = x y =* y =
432
x
\
f
♦
Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene
AU) =
U
+
6)
4P .
+ 8 j = 480 +
8a
Sólo interesa los valores de A con x >0
5.
Localización de los números críticos
2592
u _
_
x
4.
A'U) = g —
____
+ 2592
,
n .
A"(.v)
=
—
3
-
Im p r e s o
y
'
i
X
X
M a rg e n
Si A'U) = 0 => 8 a 2 - 2592 = 0 <=> x - ±18
Dado que x = - I 8 e Dom (A), elegimos x = 18 como
único número crítico y siendo A"U) > 0, V x > 0, el
criterio de la segunda derivada confirma que A es
\
Sólo fines
