N Z Q R C
Los números reales y principio de inducción
Marı́a Elena Martı́nez Gómez
Cálculo
2023–2024
Marı́a Elena Martı́nez Gómez
T2
N Z Q R C
1
Los números naturales
Principio de Inducción
2
Los números enteros
3
Los números racionales
4
Los números reales
Valor absoluto
5
Números complejos
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Principio de Inducción
Los números naturales
El conjunto de números más sencillo es el de los naturales, es
decir, los números que usamos para contar. Este conjunto se
denota por N:
N = {1, 2, 3, 4, . . . }
En N están definidas la suma, la multiplicación y una relación de
orden. Esto quiere decir que si sumamos o multiplicamos el
resultado es otro número natural.
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Principio de Inducción
Propiedades
Sean m, n, p ∈ N:
Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p).
Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m.
Propiedad asociativa del producto: (mn)p = m(np).
Propiedad conmutativa del producto: mn = nm.
Elemento neutro (o unidad) del producto: Hay un número
natural, que denotamos por 1, tal que n · 1 = n, cualquiera
que sea n.
Propiedad distributiva del producto con respecto de la suma:
m(n + p) = mn + mp
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Principio de Inducción
Orden de los naturales
m ≤ n se lee “m es menor o igual que n”.
Es lo mismo que n ≥ m, que se lee “n es mayor o igual que
m”.
Propiedades
Sean n, m, p ∈ N:
Propiedad reflexiva: m ≤ m.
Propiedad antisimétrica: Si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n.
Propiedad transitiva: Si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p.
Propiedad de orden total: Siempre es m ≤ n o n ≤ m.
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Principio de Inducción
Principio de Inducción
Teorema (Principio de Inducción)
Sea P(n) una propiedad. Si se verifican las dos condiciones
siguientes
El número 1 verifica la propiedad P. Es decir, P(1) es cierto.
Si el número m ∈ N verifica P también el número m + 1
verifica P. Es decir, si P(m) es cierto, entonces P(m + 1)
también es cierto.
Entonces P(n) es cierto para todo n ∈ N.
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El conjunto de los números enteros es la unión de los números
naturales, los negativos y el cero, se denota por Z,
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
Todos los números naturales también son enteros, es decir, N ⊂ Z.
En Z están definidas la suma, la multiplicación y una relación de
orden.
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Las propiedades de la suma y el producto de los números naturales
también las cumplen os números enteros. Cumplen además algunas
propiedades adicionales:
Propiedades
Elemento neutro (o nulo) de la suma: Hay un número
entero, que denotamos por 0, tal que n + 0 = n para cualquier
entero n.
Elemento opuesto para la suma: para cada entero n hay otro
entero, que denotamos por −n, tal que n + (−n) = 0.
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En cuanto al orden, además de las propiedades que cumplı́a el
orden de los naturales, podemos añadir:
Propiedades
Compatibilidad del orden con la suma: Si m ≤ n, entonces
m + p ≤ n + p.
Compatibilidad del orden con el producto: Si m ≤ n y p ≥ 0,
entonces mp ≤ np.
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Los números racionales son los que habitualmente se denominan
fraccionarios, es decir, son cocientes de dos números enteros. El
conjunto de los números racionales se denota por Q
p
: p, q ∈ Z, q ̸= 0
Q=
q
Observación
Todo número entero es también racional, ya que si p ∈ Z podemos
escribir p = p1 ∈ Q.
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Propiedades
Propiedad asociativa: para todo a, b, c ∈ Q,
(a + b) + c = a + (b + c).
Propiedad conmutativa: para todo a, b ∈ Q, a + b = b + a.
Existencia de elemento neutro para la suma: para todo
a ∈ Q, 0 + a = a.
Existencia de elemento opuesto: para todo número a ∈ Q
existe otro número −a ∈ Q tal que a − a = 0
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Propiedades
Propiedad asociativa: para todo a, b, c ∈ Q,
(a · b) · c = a · (b · c).
Propiedad conmutativa: para todo a, b ∈ Q, a · b = b · a.
Existencia de elemento neutro para el producto: para
todo a ∈ Q, 1 · a = a.
Existencia de elemento inverso: para todo número a ∈ Q
distinto de cero, existe otro número 1a ∈ Q tal que a · 1a = 1.
Propiedad distributiva: para todo a, b, c ∈ Q,
a · (b + c) = a · b + a · c.
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Señalemos que en Q no hay ninguna propiedad similar al principio
de inducción. Ni siquiera puede hablarse del siguiente a un número
dado: concretamente, entre dos números racionales distintos
siempre hay otro número racional.
En efecto: si a < b, es fácil comprobar que a < a+b
2 < b.
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Valor absoluto
La definición de los números reales es quizás demasiado compleja,
por lo que nos quedaremos con la idea intuitiva de que los reales
son números con infinitos decimales (pudiendo tener infinitos
ceros). El conjunto de los números reales se denota por R.
Observación
R es un cuerpo, por lo que cumple las mismas propiedades que Q.
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Valor absoluto
Propiedades
Sean x, y , z ∈ R.
Transitividad: Si x ≤ y y y ≤ z, entonces x ≤ z.
Compatible con la suma: Si x ≤ y , entonces x + z ≤ y + z.
Multiplicación por un número positivo: Si x ≤ y y z > 0,
entonces xz ≤ yz.
Multiplicación por un número negativo: Si x ≤ y y z < 0,
entonces xz ≥ yz.
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Valor absoluto
Definición
Sea S un subconjunto de R. Decimos que r ∈ R es una cota
superior del conjunto S si para todo s ∈ S s ≤ r . Si un
conjunto S tiene una cota superior, se dice que está acotado
superiormente.
Sea S un subconjunto de R. Decimos que r ∈ R es una cota
inferior del conjunto S si para todo s ∈ S s ≥ r . Si un
conjunto S tiene una cota inferior, se dice que está acotado
inferiormente.
Si un conjunto S está acotado superiormente e inferiormente,
se dice simplemente que está acotado.
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Valor absoluto
Definición
El mı́nimo de las cotas superiores se denomina supremo del
conjunto.
El máximo de las cotas inferiores se denomina ı́nfimo de un
conjunto.
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Valor absoluto
Definición
Sea S ⊂ R. Se dice que S posee mı́nimo (respectivamente,
máximo), si existe m ∈ S tal que m ≤ s ∀s ∈ S (resp, existe
M ∈ S tal que M ≤ s ∀s ∈ S).
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Valor absoluto
Definición (Intervalos)
1
Intervalo abierto y acotado: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
2
Intervalo cerrado y acotado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
3
Intervalo acotado, cerrado por la izquierda y abierto por la
derecha:
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},
4
Intervalo acotado, cerrado por la derecha y abierto por la
izquierda:
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},
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Valor absoluto
Propiedades (Completitud de los números reales)
Todo subconjunto de números reales no vacı́o que esté
acotado superiormente tiene supremo.
Todo subconjunto de números reales no vacı́o que esté
acotado inferiormente tiene ı́nfimo.
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Valor absoluto
Propiedades (Completitud de los números reales)
Todo subconjunto de números reales no vacı́o que esté
acotado superiormente tiene supremo.
Todo subconjunto de números reales no vacı́o que esté
acotado inferiormente tiene ı́nfimo.
Observación
√
Nótese que el conjunto [0, 2] ∩ Q no tiene supremo en Q. Por lo
que Q no cumple la propiedad de completitud.
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Valor absoluto
Definición
Sea x ∈ R, se define el valor absoluto de x como:
(
x
si x ≥ 0,
|x| =
−x si x < 0
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Valor absoluto
Propiedades
1
Para todo x ∈ R, |x| ≥ 0.
2
Para todo x ∈ R, −|x| ≤ x ≤ |x|.
3
Para todo x, y ∈ R, decir que |x| ≤ y es equivalente a decir
que −y ≤ x ≤ y .
4
|x| = 0 con x ∈ R si y solo sı́ x = 0.
5
Para todo x ∈ R, | − x| = |x|.
6
Para todo x, y ∈ R, |x · y | = |x| · |y |.
7
Desigualdad triangular: Sean x, y ∈ R, entonces
|x + y | ≤ |x| + |y |.
8
Para todo x, y ∈ R, ||x| − |y || ≤ |x − y |
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Definición
x 2 + 1 = 0 ¿?
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Definición
x 2 + 1 = 0 ¿?
Se define la unidad imaginaria i, que es el número complejo que
verifica: i 2 = −1
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Definición
x 2 + 1 = 0 ¿?
Se define la unidad imaginaria i, que es el número complejo que
verifica: i 2 = −1
Definición (Número complejo)
Un número complejo es toda expresión de la forma a + bi, donde
a, b ∈ R e i 2 = −1.
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Un número complejo z = a + bi tiene dos componentes:
a parte real del complejo, denotada como Re(z) = a.
b parte imaginaria del complejo, denotada por Im(z) = b.
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gracias por
prestarme tu atención
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