IA IT Tema 5 Conduccion 2020-21

TEMA 5. CONDUCCIÓN
1.
2.
3.
4.
INGENIERÍA TÉRMICA
Introducción
Régimen estacionario
2.1 Geometrías sencillas
2.2 Sólidos en serie
2.3 Superficies extendidas
Régimen no estacionario
3.1 Resistencia interna despreciable
3.2 Resistencia interna NO despreciable
Método numérico
4.1 Fundamento
4.2 Discretización
4.3 Ecuaciones nodales
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 1
1. INTRODUCCIÓN
Conducción
Mecanismo complejo de transporte de calor que transcurre a nivel microscópico y mediante el cual
los átomos y moléculas interaccionan a través de choques elásticos e inelásticos que propagan la
energía desde zonas con mayor temperatura hacia otras que tienen menor temperatura.
Conducción
Convección
Radiación
Sólido
Si
No
No
Fluido
Si (↓)
Si (↑)
Si (↑)
LEY DE FOURIER
q = − k ⋅ ∇T ; Q = − k ⋅ A ⋅ ∇T
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 2
1. INTRODUCCIÓN
Ecuación microscópica de conservación de cualquier propiedad extensiva:

∂Π
+ ∇(Π ⋅ v ) = −∇φ + G
∂t
Acumulación
 Sólidos (v=0):
Transporte por
convección
Generación
Transporte
molecular
∂Π
= −∇φ + G
∂t
 Energía:
• π: concentración de energía, ρ cP T,
• φ: flujo de calor (Ley de Fourier), -k ∇T,
• G: generación de calor por unidad de
volumen y tiempo por efecto Joule o
reacciones nucleares, por ejemplo.
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
∂T
ρ ⋅ cP ⋅
= −∇(− k ⋅ ∇T ) + G
∂t
3º Ingeniero Ambiental
Nº 3
1. INTRODUCCIÓN
 Solución de problemas de TC en sólidos:
ρ ⋅ cP ⋅
∂T
= −∇(− k ⋅ ∇T ) + G
∂t
Integración
Condiciones de contorno
Condiciones iniciales
Perfil de
temperatura
 Clasificación problemas de TC en sólidos:
Caudal y flujo
 Soluciones de la ECE
•Temperatura – tiempo:
• Régimen estacionario: T no varía con t.
• Régimen no estacionario: T varía con t.
•Temperatura – coordenadas espaciales:
• Unidimensional: T varía con una coordenada.
• Bidimensional: T varía con dos coordenadas.
• Tridimensional: T varía con tres coordenadas.
•Generación de energía:
• Sin generación (Conducción simple): G=0
• Con generación G≠0.
INGENIERÍA TÉRMICA
Ley de Fourier
Tema 5. Conducción
•
•
•
•
•
Analítica rigurosa  T=f(DOS VARIABLES).
Analítica aproximada.
Numérica.
Gráfica aproximada.
Analógica (Ley de Ohm y Fourier).
3º Ingeniero Ambiental
Nº 4
1.
2.
3.
4.
INGENIERÍA TÉRMICA
Introducción
Régimen estacionario
2.1 Geometrías sencillas
2.2 Sólidos en serie
2.3 Superficies extendidas
Régimen no estacionario
3.1 Resistencia interna despreciable
3.2 Resistencia interna NO despreciable
Método numérico
4.1 Fundamento
4.2 Discretización
4.3 Ecuaciones nodales
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 5
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
Simplificación Ecuación de conservación:
ρ ⋅ cP ⋅
∂T
= −∇(− k ⋅ ∇T ) + G
∂t
Régimen estacionario
0 = −∇(− k ⋅ ∇T ) + G
Ejemplos aplicados unidireccionales:
• Geometrías sencillas
•Conducción sin generación
•Sección de paso constante y variable
•Conductividad constante y variable
•Conducción con generación
• Sólidos en serie
• Superficies extendidas
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 6
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.1 Conducción sin generación (k constante)
Ecuación general de conservación de energía:
0 = −∇(− k ⋅ ∇T ) + G
G=0
k = cte
∇(− k ⋅ ∇T ) = 0
Ecuación de Laplace
Sección de paso constante: geometría rectangular
T = f (x)
Y
T1
Z, Y ↑↑↑↑
A=YZ
Q
y
z
T=T(x)
T2
Z
x1
INGENIERÍA TÉRMICA
∇2 T = 0
e
Tema 5. Conducción
x2
x
3º Ingeniero Ambiental
Nº 7
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.1 Conducción sin generación (k constante)
Modelo matemático
Sección de paso constante:
geometría rectangular
T2
T = T2
Perfil de Temperaturas
T1 − T2
( x − x1 ) + T1
x1 − x 2
Flujo de calor
e
x2
q = −k ⋅ ∇T = −k ⋅
x
Caudal de calor
T1 − T2
T −T
∆T Fuerza Impulsora
= 1 2 =
=
e
x 2 − x1
R
Resistencia
k⋅A
INGENIERÍA TÉRMICA
x = x2
Z
x1
Q = q⋅A = k ⋅A⋅
T = T1
T( x ) =
T=T(x)
=0
x = x1
A=YZ
Q
z
dx 2
Y
T1
y
d2 T
Tema 5. Conducción
T −T
T −T
dT
=k⋅ 1 2 = 1 2
e
x 2 − x1
dx
k
Fundamento de analogía: electricidad y
transporte de calor
Ley de Ohm
∆V
I=
R
3º Ingeniero Ambiental
Nº 8
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.1 Conducción sin generación (k constante)
Sección de paso variable: Geom etría cilíndrica
L >>> R2
Conducción unidimensional
Q
r
T1
A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L = f(r )
T
T1
T=T(r)
T2
R1 R2
Q=k
INGENIERÍA TÉRMICA
r = R1
T = T1
r = R2
T = T2
T(r ) = T1 +
L
R2
T2
1 d  dT 
⋅
⋅ r ⋅
=0
r dr  dr 
Perfil de Temperaturas
z
R1
Modelo matemático
T1 − T2
r
⋅ ln
R
R1
ln 1
R2
Flujo de calor
q(r ) = −k ⋅ ∇T = −k ⋅
r
dT
T −T 1
=k⋅ 1 2 ⋅
R
dr
ln 2 r
R1
q variable
Caudal de calor
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ (R2 − R1 )
T1 − T2
T −T
= 1 2
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ R2
e
(R2 − R1 )
ln
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ R1
k ⋅ Aml
Tema 5. Conducción
T −T
1 
Q = q  ⋅ A(r ) = k ⋅ (2 ⋅ π ⋅ L ) ⋅ 1 2
R
r
ln 2
R1
Q constante
3º Ingeniero Ambiental
Nº 9
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.1 Conducción sin generación (k constante)
Sección de paso variable: Geom etría esférica
Modelo matemático
1
d  2 dT 
⋅
r ⋅
=0
dr 
r 2 dr 
R2
Q
R1
f
T1
R1
r
T
T1
q
R2
T2
r = R1
T = T1
r = R2
T = T2
Perfil de Temperaturas
T=T(r)
T(r ) = T1 +
T2
R1
R2
Caudal de calor
INGENIERÍA TÉRMICA
T1 − T2
e
k ⋅ A mg
T − T2
 1 
Q = q  2  ⋅ A( r 2 ) = k ⋅ ( 4 π ) ⋅ 1
1
1
r 
−
R1 R2
Tema 5. Conducción
 1 1
⋅ 
− 
 R1 r 
Flujo de calor
r
q( r ) = − k ⋅
Q=
T1 − T2
1
1
−
R2 R1
dT
T − T2 1
= k⋅ 1
⋅
1
1 r2
dr
−
R1 R2
q variable
Q constante
3º Ingeniero Ambiental
Nº 10
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.2 Conducción sin generación
Conductividad térmica variable
k  CONDUCTIVIDAD TÉRMICA. Propiedad de transporte, expresa la capacidad de
un material para transmitir Q por conducción.
Ejemplos:
k = f ( material, T, fase, dirección del espacio)
kAIRE = 0,026 W/m K; kDIAMANTE = 2.300 W/m K (T ambiente)
kHIELO (273 K) = 1,88 W/m K; kHIELO (173 K) = 3,49 W/m K
En general kSÓLIDO > kLÍQUIDO > kGAS
(kHIELO = 1,88 W/m K; kAGUA=0,607 W/m K ; kVAPOR = 0,0186 W/m K)
(kCARBONO AMORFO=1,60 W/m K; kDIAMANTE = 2.300 W/m K)
(kGRAFITO (paralelo a capas)=1.950 W/m K; kGRAFITO (perp. a capas)=5,70 W/m K)
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 11
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.2 Conducción sin generación
Conductividad variable
25 ºC
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 12
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.2 Conducción sin generación
Variación de la conductividad con T
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 13
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.2 Conducción sin generación
Conductividad variable
Ejemplo:
• Conduct. Térm. lineal
• Estac. y sin gen.
Perfil de temperatura
k = a ⋅T + b
∇ ⋅ (k ⋅ ∇T ) = 0
Integrando
a 2
⋅T +b⋅T =
2
(
)
a 2 2
⋅ T1 − T2 +b⋅(T1 − T2 )
2
⋅
(x1 − x 2 )
Unidimensional
Rectangular
(x − x1 ) + a ⋅ T12 + b ⋅ T1
2
Caudal de calor
Q = k ma ⋅ A ⋅
T1 − T2
T −T
= 1 2
e
e
kma ⋅ A
Generalización
unidimensional y geometría sencilla
Q=
INGENIERÍA TÉRMICA
T1 − T2
e
k m ⋅ Am
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 14
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
2.1.2 Conducción con generación
ρ ⋅ cP ⋅
∂T
= −∇(− k ⋅ ∇T ) + G
∂t
km = cte
∇ ⋅ (k ⋅ ∇T ) + G = 0
Modelo matemático
Geometría plana rectangular
km ⋅
d2 T
dx
x = x2
T1
T0
h0
G
y
z
Q
2
+G = 0 ∴
x = x1
T 1 > T2 > T0
T2
k m∇ 2 T + G = 0
d2 T
dx
2
=−
G
km
T = T1
 dT 
−k⋅
= h0 ⋅ ( T2 − T0 )

 dx  x = x2
Perfil de Temperaturas
T=
km
G
x + x1 h0


⋅ ( x − x1 ) ⋅  x 2 −
−
⋅ ( T2 − T0 ) + T1
km
2
G


Flujo de calor
x1
INGENIERÍA TÉRMICA
e
x2
x
q = G ⋅ ( x − x 2 ) + h0 ⋅ ( T2 − T0 )
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 15
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.1 Geometrías sencillas
Condiciones límite o frontera posibles
• Temperatura frontera conocida: x = x 1 T = T1
• Flujo frontera conocido:
x = x1
x = x1
• Superficie de simetría:
 dT 
= q0
q = −k ⋅ 

 dx  x = x1
 dT 
q = −k ⋅ 
= 0 ……Superficie aislada

 dx  x = x1
 dT 
=0
x = x1  
 dx  x =x1
• Igualdad de flujos / caudales: x = x − k ⋅  dT 
1
 dx  x = x1
= h0 ⋅ (T1 − T0 )
(
INGENIERÍA TÉRMICA
 dT 
x = x1 − k ⋅  
= qR = ε ⋅ σ ⋅ h0 ⋅ T∞4 − T14
 dx  x =x1
))
 dT 
 dT 
x = x1 − k A ⋅  A 
= −k B ⋅  B 
 dx  x =x1
 dx  x =x1
………. conducción (serie)
Tema 5. Conducción
(
…………convección
… radiación
3º Ingeniero Ambiental
Nº 16
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.2 Sólidos en serie
Geometría plana
rectangular
Caudal de calor
Q = Q1 = Q2 = Q3
Q=
T1
Q
T2
Q1
Q2
k1
k2
e1
e2
INGENIERÍA TÉRMICA
T3
Q3
k3
Q
T4
∆T1 ∆T2 ∆T3
=
=
=
R1
R2
R3
Q=
T2 − T3
T3 − T4
T1 − T2
=
=
e1
e2
e3
k m1 ⋅ A m1 k m 2 ⋅ A m 2 k m 3 ⋅ A m 3
T1 − T4
=
e3
e1
e2
+
+
k m1 ⋅ Am1 k m2 ⋅ Am2 k m3 ⋅ Am3
∑ ∆Ti = Fuerza impulsora total
Resistencia total
∑ Ri
e3
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 17
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
 Superficies extendidas
Sólido que está sometido a transporte de calor por conducción a través del mismo y además,
simultáneamente transporte de energía por convección y/o radiación con un fluido que lo rodea.
T∞
h
QCON = h A (TB – T∞)
TB
• Aumentar h
Aumento de Q:
• Aumentar ∆T
• Aumentar A: superficies extendidas
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 18
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 19
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 20
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
 Superficies extendidas
•
•
•
•
Ejemplos: radiadores de calefacción, motores motos, disipadores CPU’s, …
Problema: resistencia adicional a TC (a través del sólido – aleta – ).
Conductividad térmica material: parámetro clave.
Aletas de diferentes formas.
 Selección de la aleta
•
•
•
•
•
Espacio
Peso
Fabricación
Costes
…
Rectangular
sección constante
Rectangular
sección variable
Anular
Aguja
 Información importante
• La superficie extendida (aleta) ¿mejora o empeora la velocidad de transporte de calor?
 Proceso
1. Determinar la distribución de temperaturas en la aleta  evaluar Q transferido
2. Evaluar la eficiencia y eficacia de la aleta.
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 21
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
Aletas de sección transversal uniforme
dAS
dQCON
Qx
AC(x)
Qx+dx
dx
z
y
 Hipótesis
•
•
•
•
•
x
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
Conducción unidimensional (x)
Estado estacionario
Conductividad térmica constante
Radiación desde la superficie despreciable
Sin generación de energía
3º Ingeniero Ambiental
Nº 22
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
Aletas de sección transversal uniforme
dAS
dQCON
Qx
 Ecuación de conservación de energía (ECE):
Q x = Q x + dx + dQcon
AC(x)
 Ley de Fourier:
dT
dx
dQ x
dT
d 
dT 
= Qx +
⋅ dx = −k ⋅ Ac ⋅
−k⋅
 Ac ⋅
 ⋅ dx
dx
dx
dx 
dx 
Q x = −k ⋅ Ac ⋅
Qx+dx
dx
Q x + dx
 Convección con el fluido:
dQcon = h ⋅ dAS ⋅ ( T − T∞ )
d 
dT  h dA S
⋅ ( T − T∞ ) = 0
 Ac ⋅
− ⋅
dx 
dx  k dx
INGENIERÍA TÉRMICA
d2 T
 1 dAc  dT  1 h dA S 

⋅
 ⋅ ( T − T∞ ) = 0
+
⋅
−
⋅ ⋅
dx 2  Ac dx  dx  Ac k dx 
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 23
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
Aletas de sección transversal constante (AC = cte)
AS = P ⋅ x
QCON
TB
t
AC
Qx
x
w
L
QX
D
x
AC
L
P=πD
AC = π D2/4
P = 2w+2t
AC = wt
INGENIERÍA TÉRMICA
QCON
TB
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 24
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
Aletas de sección transversal constante (AC = cte)
AS = P ⋅ x
 Ecuación general:
d2 T
 1 dAc  dT  1 h dA S 
 ⋅
 ⋅ ( T − T∞ ) = 0
+ 
⋅
− 
⋅ ⋅
dx
 Ac dx  dx  Ac k dx 
2
 Simplificaciones:
d2 T
dx 2
• dAC/dx = 0
• dAS/dx = P
−
h⋅P
⋅ ( T − T∞ ) = 0
k ⋅ AC
 Condiciones límite:
1. Temperatura de la base de la aleta conocida
x=0
2. Cuatro opciones:
A) Convección desde el extremo de la aleta al fluido:
x =L
T = TB
dT 

−  k ⋅ AC ⋅
= h ⋅ AC ⋅ ( TL − T∞ )

dx  x =L

dT
=0
dx
B) Extremo de la aleta aislado:
x =L
C) Temperatura en el extremo de la aleta conocida:
x =L
D) Superficie extendida de gran longitud (TL = T∞ ):
x = L (L → ∞ )
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
T = TL
TL = T∞
3º Ingeniero Ambiental
Nº 25
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO UNIDIMENSIONAL
2.3 Superficies extendidas
Aletas de sección transversal uniforme
Perfil de temperatura y caudal de calor intercambiado en la aleta
• Perfil de temperaturas: solución ecuación [53]
• Caudal de calor:
QA =
∫ h ⋅ (T − T
∞ ) ⋅ dA S
[59]
d2 T
dx
2
−
h⋅P
⋅ ( T − T∞ ) = 0
k ⋅ AC
[53]
AA
Caso
Distribución Temperatura θ/θB
Caudal calor QA
A
cosh [m ⋅(L − x )] + (h / mk) ⋅ senh [m⋅ (L − x )]
cosh (mL)+ (h / mk ) ⋅ senh (mL)
senh (mL)+ ( h / mk ) ⋅ cosh (mL)
M⋅
cosh (mL) + ( h / mk )⋅senh (mL)
cosh [m(L − x )]
cosh (mL)
M ⋅ tanh (mL)
B
C
(θ L / θ B ) ⋅ senh (mx) + senh [m (L − x)]
senh (mL)
cosh (mL) − (θ L/ θ B)
M⋅
senh (mL)
D
e −mx
M
θ = T − T∞ ; θ B = θ( 0) = TB − T∞ ; m 2 = h ⋅ P / k ⋅ A C ; M = h ⋅ P ⋅ k ⋅ A C ⋅ θ B
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 26
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
 Eficiencia:
Relación entre el caudal de calor transmitido a través de la aleta al fluido, QA, y el máximo
posible, QMAX (si la aleta no ofreciera resistencia al TC y toda su superficie estuviera a TB):
ηA =
QA
QA
=
QMAX h ⋅ AA ⋅ (TB − T∞ )
 Eficacia (efectividad):
Relación entre el caudal de calor transmitido a través de la aleta al fluido, QA, y el transmitido
por la base de la aleta si ésta no existiera (QBASE ALETA SIN ALETA).
εA =
INGENIERÍA TÉRMICA
QA
QBASE ALETA SIN ALETA
=
h ⋅ AA ⋅ (TB − T∞ )
A
= A ηA
h ⋅ ABA ⋅ (TB − T∞ ) ABA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 27
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
Extremo adiabático
Aletas rectas
Rectangular
ηA =
AA = 2 ⋅ w ⋅ LC
L C = L + (t / 2)
t
w
L
Triangular
[
A A = 2 ⋅ w ⋅ L2 + (t / 2 )
]
2 1 /2
(
w
t
]
)
A A = w ⋅ C 1 ⋅ L + L2 / t ⋅ ln (t / L + C 1 )
[
C 1 = 1 + (t / L )
ηA =
1
m ⋅L
I 1 (2 mL )
I 0 (2 mL )
L
Parabólica
[
tanh m ⋅ L C
m ⋅ LC
]
2 1 /2
w
t
ηA =
2
[4 ⋅ (m ⋅ L )2 + 1]1 / 2 + 1
L
m=(2 h/k t)0,5
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 28
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
Aleta circular
Rectangular
(
A A = 2 ⋅ π ⋅ r22c − r12
r2 c = r2 + (t / 2 )
L
)
ηA = C 2
t
r1
K 1 (mr1 ) ⋅ I 1 (mr2 c ) − I 1 (mr1 ) ⋅ K 1 (mr2 c )
I 0 (mr1 ) ⋅ K 1 (mr2 c ) + K 0 (mr1 ) ⋅ I 1 (mr2 c )
C2 =
r2
(2 ⋅ r1 / m )
(r22c − r12 )
Aleta tipo pin
Rectangular
AA = π ⋅ D ⋅ LC
LC = L + D /4
L
Triangular
[
ηA =
D
]
π⋅D 2
2 1 /2
AA =
⋅ L + (D / 2 )
2
ηA =
D
L
tanh m ⋅ L C
m ⋅ LC
2
[4 / 9 ⋅ (m ⋅ L )2 + 1]1 /2 + 1
m=(2 h/k D)0,5
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 29
2. RÉGIMEN ESTACIONARIO
2.3 Superficies extendidas
 Eficiencia global de la superficie:
η0 =
QT
Q T ,MAX
=
QT
h ⋅ AT ⋅ ( TB − T∞ )
AT = N ⋅ AA + AE
• QT: Caudal de calor total
• AT: Área Total
• QT,MAX: Caudal de calor máximo
• N: número de aletas
• AA: área de cada aleta
• AE: área de la base expuesta al fluido
QT,MAX: caudal de calor que se obtendría si toda la superficie de las aletas estuviera a la temperatura
de la base, TB. Es suma del transmitido a través de la base expuesta al fluido y de la aleta.
Q T = N ⋅ ηA ⋅ QMAX + h ⋅ AE ⋅ ( TB − T∞ )
Q T = N ⋅ ηA ⋅ h ⋅ AA ⋅ ( TB − T∞ ) + h ⋅ AE ⋅ ( TB − T∞ )
QT = h ⋅ [N ⋅ ηA ⋅ AA + ( AT − N ⋅ AA )] ⋅ ( TB − T∞ )
 N ⋅ AA

QT = h ⋅ AT ⋅ 1 −
⋅ (1 − ηA ) ⋅ ( TB − T∞ )
AT


INGENIERÍA TÉRMICA
η0 =
 N ⋅ AA

QT
= 1 −
⋅ (1 − ηA )
h ⋅ AT ⋅ ( TB − T∞ ) 
AT

Q T = η0 ⋅ Q T ,MAX = η0 ⋅ h ⋅ A T ⋅ ( TB − T∞ )
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 30
1.
2.
3.
4.
INGENIERÍA TÉRMICA
Introducción
Régimen estacionario
2.1 Geometrías sencillas
2.2 Sólidos en serie
2.3 Superficies extendidas
Régimen no estacionario
3.1 Resistencia interna despreciable
3.2 Resistencia interna NO despreciable
Método numérico
4.1 Fundamento
4.2 Discretización
4.3 Ecuaciones nodales
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 31
3. RÉGIMEN NO ESTACIONARIO
 Transmisión de calor en régimen no estacionario:
•Generalmente: cambio en las condiciones límite del sistema
•Ecuación de conservación:
ρ ⋅ cP ⋅
∂T
= −∇(− k ⋅ ∇T ) + G
∂t
•Solución analítica: 2 variables y geometría sencilla (Reg. no estacionario: unidimensional)
 Solución de la ecuación:
o Método analítico.
•Resistencia interna despreciable.
•Resistencia interna no despreciable.
o Método numérico.
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 32
3. RÉGIMEN NO ESTACIONARIO
 Aplicación
Conducción unidimensional.
Ejemplo: calentamiento de un sólido por inmersión en un fluido caliente.
Número de Biot
Bi =
Q
h
T∞ = cte
R
T(t,r)
T∞
QCONV Rint Lc / k h ⋅ Lc
=
=
=
1/ h
QCOND Rext
k
T∞
T
T(t=0)
Resistencias en serie:
T(t=t1)
- Externa: fluido (convección)
T(t=t2)
- Interna: sólido (conducción)
T(t=tn)
r
R r
R
Bi < 0,1
T = T(t)
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
T
T(t=0)
T(t=t1)
T(t=t2)
T(t=tn)
r R
R r
Bi > 0,1
T = T(t,r)
3º Ingeniero Ambiental
Nº 33
3. RÉGIMEN NO ESTACIONARIO
3.1. Resistencia interna despreciable (Bi<0,1)
 Balance de energía
T
T∞
ρ ⋅ cP ⋅ V ⋅
T(t=0)
 Integrando:
T(t=t1)
T
∫
T(t=t2)
T0
T(t=tn)
r
R
R
dT
h⋅A
=
⋅ dt
(T∞ − T ) ρ ⋅ cP ⋅ V
dT
= h ⋅ A ⋅ (T∞ − T )
dt
t
dT
h⋅A
=
⋅ dt 
(T∞ − T ) ρ ⋅ cP ⋅ V
∫
0
T∞ − T
 h⋅A⋅t 

= exp −
T∞ − T0
 ρ ⋅ cP ⋅ V 
•Número de Fourier: Fo = α t / LC2
r
•Difusividad térmica: α = k / ρ cP
•Longitud característica: LC = V/A
 h ⋅ LC α ⋅ t 
T∞ − T


h
k L
θ
⋅ 2  = exp(− Bi ⋅ Fo)
=
= exp −
⋅ ⋅ C ⋅ t  = exp −

k
θ0 T∞ − T0
LC 
 ρ ⋅ cP ⋅ LC k LC 

 Caudal de calor:
•Instantáneo (t):
•Total (0  t):
Q(t ) = h ⋅ A ⋅ (T∞ − T(t )) = h ⋅ A ⋅ θ(t ) = h ⋅ A ⋅ θ0 exp(− Bi ⋅ Fo(t ))
t
Q = Q(t ) ⋅ dt = ρ ⋅ cP ⋅ V ⋅ θ0 ⋅ [1 − exp(− Bi ⋅ Fo(t ))]
∫
0
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 34
3. RÉGIMEN NO ESTACIONARIO
3.2. Resistencia interna NO despreciable (Bi>0,1)
T∞
T
T(t=0)
ρ ⋅ cP ⋅
T(t=t1)
T(t=t2)
∂T
= −∇(− k ⋅ ∇T ) + G
∂t
R
R
1 ∂T
⋅
= ∇2 T
α ∂t
 Modelo matemático: sólido esférico sumergido en baño
T(t=tn)
r
k = cte
G=0
1 ∂T 1 ∂  2 ∂T 
⋅
= ⋅ ⋅ r ⋅ 
∂r 
α ∂t r 2 ∂r 
r
t=0 : R≥r≥0 :
Bi > 0,1
T = T(t,r)
t>0 :
t>0 :
r =R :
r =0 :
T = T0
 ∂T 
  =0
 ∂r r =0
 ∂T 
− k ⋅   = h ⋅ ( T∞ − Tr =R )
 ∂r r =R
Solución del perfil:
Caudal de calor
INGENIERÍA TÉRMICA
• Forma de series
• Temperatura (θ) y posición adimensional (ξ)
• Números adimensionales (Bi y Fo)
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 35
3. RÉGIMEN NO ESTACIONARIO
3.2. Resistencia interna NO despreciable (Bi>0,1)
Geometría
Solución analítica rigurosa
Pared plana (x)
espesor = 2x1
ξ = x/x1
hR0
k
αt
Fo = 2
R0
N =1
2
λN
J 1 (λ N )
J (λN ) + J12 (λN )
J1 ( λ N )
= Bi
J 0 (λN )
(3)
N =1
1
λ Nζ
sen(λNξ )
4(sen(λN ) − λN cos(λN ))
2λN + sen(2λN )
1 − λN cot(λN ) = Bi
Temperatura adimensional:
θ=
θ = C1 exp(−λ12 Fo) J 0 (λ1ζ )
o, θ = θ 0 J 0 (λ1ζ )
(2)
2θ
Q
= 1 − 0 J 1 (λ 1 )
QRef
λ1
(3,4)
(4)
θ = ∑ CN exp(−λ2N Fo)
CN =
(4)
2
0
∞
radio esfera = R0
ξ = r/R0
∞
λN
Esfera (r)
θ = C1 exp(−λ12 Fo)
o, θ = θ 0
1
λ1ζ
1
λ1ζ
sen(λ1ζ )
sen(λ1ζ )
(2)
3θ
Q
= 1 − 0 [sen(λ1 ) − λ1 cos(λ1 )] (3)
QRef
λ31
T∞ − T (2)
; : Temperatura adimensional en el centro del sólido:
T∞ − T0
θ 0 = C1 exp(−λ12 Fo) ; (3): Calor de referencia: QRef = ρc pV (T∞ − T0 )
INGENIERÍA TÉRMICA
(2)
o, θ = θ 0 cos( λ1ζ )
sen( λ1 )
Q
=1−
θ0
QRef
λ1
θ = ∑ CN exp(−λ2N Fo) J 0 (λNξ )
CN =
hR
Bi = 0
k
αt
Fo = 2
R0
(1):
θ = C1 exp(−λ12 Fo) cos(λ1ζ )
x 12
ξ =?r/R0
Bi =
4 sen(λN )
2λN + sen(2λN )
λN tg(λN ) = Bi
αt
Cilindro (r)
radio cilindro= R0
QRef = ρ ⋅ cp ⋅ V ⋅ ( T∞ − T0 )
(1)
N =1
CN =
hx
Bi = 1
k
Fo =
∞
θ = ∑ CN exp(−λ2N Fo) cos( λNξ )
Solución aproximada (Fo>0,2)
Tema 5. Conducción
; (4): Funciones de Bessel
3º Ingeniero Ambiental
Nº 36
3. RÉGIMEN NO ESTACIONARIO
3.2. Resistencia interna NO despreciable (Bi>0,1)
θ=
T∞ − T
T∞ − T0
αt
Fo = 2
R0
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 37
3. RÉGIMEN NO ESTACIONARIO
3.2. Resistencia interna NO despreciable (Bi>0,1)
Gráfico de Heisler para cilindros largos
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 38
3. RÉGIMEN NO ESTACIONARIO
3.2. Resistencia interna NO despreciable (Bi>0,1)
Gráfico de Heisler para cilindros largos
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 39
1.
2.
3.
4.
INGENIERÍA TÉRMICA
Introducción
Régimen estacionario
2.1 Geometrías sencillas
2.2 Sólidos en serie
2.3 Superficies extendidas
Régimen no estacionario
3.1 Resistencia interna despreciable
3.2 Resistencia interna NO despreciable
Método numérico
4.1 Fundamento
4.2 Discretización
4.3 Ecuaciones nodales
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 40
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.1. Fundamento
 Solución de tipos de sistemas
• Régimen estacionario unidimensional:
• Sistemas muy sencillos pero de aplicación real
• Régimen estacionario multidimensional:
• Límites del sistema irregulares
• Temperatura límites no uniformes
• Régimen no estacionario unidimensioal y multidimensional
• Solución analítica:
• En general, solo si T = f (2 variables) y geometría sencilla
• Solución más compleja matemáticamente (derivadas parciales)
• Similar metodología, pero no lo veremos.
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 41
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.1. Fundamento
 Diferencias de solución numérica respecto a analítica
• Inconvenientes:
• Es menos exacta que la analítica.
• Implica un elevado número de cálculos y en algunos casos repetitivos.
• Conduce a un conjunto finito de valores de la T para valores discretos de las variables
independientes (coordenadas espaciales y tiempo).
• Ventajas:
• Se puede aplicar a cualquier geometría y para cualquier tipo de condiciones iniciales y de
contorno.
• El modelo físico requiere menos simplificaciones para poder resolverse.
• Fácil y cómodo de realizar estudios paramétricos para realizar análisis de sistemas.
• No requiere soluciones matemáticas complejas ni se obtienen expresiones matemáticas
incómodas de manejar.
• Disponibilidad de herramientas informáticas muy completas y “fáciles” de utilizar
Preferencia del método numérico frente al analítico en sistemas reales
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 42
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.1. Fundamento
 Diferencias finitas
•
•
Consiste en transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica
sustituyendo las derivadas de la ecuación de conservación por diferencias.
Si se considera una función f que depende de x, la derivada de dicha función es equivalente a
la pendiente de una recta tangente a la función en dicho punto
∆f
df ( x)
f (x + ∆x ) − f ( x )
= lim
= lim
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
dx
∆x
•
Si no se aplica el límite:
df ( x) f ( x + ∆x ) − f ( x )
≅
dx
∆x
f(x+∆x)
Expresión de la derivada en forma de
diferencias finitas.
f(x)
∆f
∆x
x x+∆x
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Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 43
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.1. Fundamento
 Etapas para aplicar el método
• Discretización: dividir el sólido según las tres coordenadas espaciales y el tiempo en
incrementos para poder calcular las derivadas (espaciales y temporales).
• Régimen estacionario: espacio (ej: ∆x, ∆y, ∆z)  Red nodal
• Régimen no estacionario: espacio y tiempo (ej: ∆x, ∆y, ∆z, ∆t).
• Planteamiento ecuaciones en diferencias finitas:. Se particulariza la ecuación de conservación
de energía para cada nodo.  Ecuaciones nodales: N ecuaciones con N incógnitas (N: nº nodos)
• Solución de las ecuaciones. Solución de las N ecuaciones nodales.
• Régimen estacionario: se resuelven una vez.
• Régimen no estacionario: solución consecutiva de las N ecuaciones tantas veces como haga
falta según la discretización temporal.
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 44
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.2. Discretización
1. Construcción de la red nodal:
Dividir el sólido en una serie de celdillas de dimensiones iguales y a ser posible con superficies
de mallas paralelas a los límites del cuerpo a analizar.
 Ejemplo: Conducción bidimensional (rectangular)
Nodo
∆x
m, n+1
∆y
m, n
m-1, n
m+1, n
y, n
m, n-1
x, m
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Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 45
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.2. Discretización/4.3. Ecuaciones nodales
4.2.Discretización del tiempo
En régimen no estacionario, también hay que discretizar el tiempo introduciendo un parámetro
p, y un intervalo de tiempo, ∆t.
t = p ⋅ ∆t
∂T
∂t
p = 1,2,3,  q
≈
m, n
Tmp, n+1 − Tmp, n
∆t
3. Planteamiento de ecuaciones nodales
• Particularizar la ECE, en la forma de diferencias finitas, a cada nodo:
∂ (ρc pT )
∂t
= −∇ ⋅ (− k∇T ) + G
ρ ⋅ c p ⋅VCEL
∆T M
= ∑ Qi →m ,n ,l + G ⋅ VCEL
∆t i =1
• Se pasa de una ecuación diferencial a un juego de N ecuaciones algebraicas con N incógnitas
(Temperaturas nodales).
• Tipos de nodos:
• Nodo interior: ecuación “similar” para todos
• Nodo frontera: ecuación diferente para cada uno (se aplican las condiciones de contorno)
• Ejemplo: nodo interior de sistema bidimensional sin generación en régimen estacionario, con
∆x = ∆y, la ecuación nodal es:
Tm +1,n + Tm −1,n + Tm ,n +1 + Tm ,n −1 − 4 ⋅ Tm ,n = 0
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
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Nº 46
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.3. Ecuaciones nodales
•Ejemplo: régimen estacionario con generación
•Suponer: flujo de calor hacia el nodo
ρ ⋅ c p ⋅VCEL
∆T M
= ∑ Qi →m ,n ,l + G ⋅ VCEL
∆t i =1
Energía (neta) que entra + Energía generada = 0
4
∑Q
Nodo interno con generación
i =1
∆x
∆y
∆z = 1
m, n
m, n-1
+ G ⋅ (∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z ) = 0
ÁREA T.Q
Qm−1,n→m,n = k ⋅ ( ∆y ⋅ 1) ⋅
m, n+1
m-1, n
i→m,n
m+1, n
∆x
∆y
∆x = ∆y
Qm+1,n→m,n = k ⋅ ( ∆y ⋅ 1) ⋅
Qm,n−1→m,n = k ⋅ ( ∆x ⋅ 1) ⋅
Qm,n+1→m,n = k ⋅ ( ∆x ⋅ 1) ⋅
Tm−1,n − Tm,n
∆x ESPESOR
Tm+1,n − Tm,n
∆x
Tm,n−1 − Tm,n
∆y
Tm,n+1 − Tm,n
∆y
∆x 2
Tm+1,n + Tm−1,n + Tm,n+1 + Tm,n−1 − 4 ⋅ Tm,n + G ⋅
=0
k
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Tema 5. Conducción
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Nº 47
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.3. Ecuaciones nodales
•Régimen estacionario sin generación.
•Nodo esquina interna con convección.
∆T M
= ∑ Qi →m ,n ,l + G ⋅ VCEL
∆t i =1
T
−T
= k ⋅ ( ∆y ⋅ 1) ⋅ m−1,n m,n
∆x
ρ ⋅ c p ⋅VCEL
Qm−1,n→m,n
∆x
∆y
Qm+1,n→m,n = k ⋅ ( ∆y / 2 ⋅ 1) ⋅
m,n
∆z
4
Eentrada + Egenerada = 0
∑Q
i =1
i→m,n
+ G ⋅ (∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z ) = 0
Qm,n+1→m,n = k ⋅ ( ∆x ⋅ 1) ⋅
∆y/2 ∆x/2
m, n
m-1, n
T∞
∆x
INGENIERÍA TÉRMICA
m, n-1
∆x
Tm,n−1 − Tm,n
∆y
Tm,n+1 − Tm,n
∆y
Q∞→m,n = h ⋅ ( ∆x / 2 ) ⋅ (T∞ − Tm,n ) +
m, n+1
∆y
Qm,n−1→m,n = k ⋅ ( ∆x / 2 ⋅ 1) ⋅
Tm+1,n − Tm,n
h ⋅ ( ∆y / 2 ) ⋅ (T∞ − Tm,n )
m+1, n
4
3
Qi→m,n + G ⋅ (∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z ) = 0
4
i =1
∑
Tm−1,n + Tm,n+1 + 0,5 ⋅ Tm+1,n + 0,5 ⋅ Tm,n−1 +
Tema 5. Conducción
G=0
∆x = ∆y
h ⋅ ∆x
h ⋅ ∆x 

⋅ T∞ −  3 +
 ⋅ Tm,n = 0
k
k 

3º Ingeniero Ambiental
Nº 48
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.3. Ecuaciones nodales
Configuración
Ecuación en diferencias finitas (∆x=∆y; G=0)
m, n+1
Nodo en esquina interna con convección
Tm − 1, n + Tm, n + 1 + 0,5 ⋅ Tm + 1, n + 0,5 ⋅ Tm, n − 1 +
∆y
m, n
m-1, n
m+1, n
T∞
h ⋅ ∆x 

− 3 +
 ⋅ Tm, n = 0
k 

h ⋅ ∆x
⋅ T∞
k
m, n-1
∆x
m, n+1
∆y
T∞
m-1, n
∆x
∆x
0,5 ⋅ Tm −1,n + 0,5 ⋅ Tm,n −1 +
h ⋅ ∆x
h ⋅ ∆x 

⋅ T∞ − 1 +
 ⋅ Tm,n = 0
k
k 

m, n-1
m, n+1
Nodo en superficie plana con flujo constante
Tm −1,n + 0,5 ⋅ (Tm ,n +1 + Tm ,n −1 ) +
∆y
Q’
m-1, n
m, n
∆x
INGENIERÍA TÉRMICA
h ⋅ ∆x
h ⋅ ∆x 

⋅ T∞ −  2 +
 ⋅ Tm,n = 0
k
k 

Nodo en esquina externa con convección
m, n
∆y
Tm −1,n + 0,5 ⋅ (Tm,n +1 + Tm,n −1 ) +
m, n-1
T∞
m-1, n
Nodo en superficie plana con convección
q '⋅∆x
− 2 ⋅ Tm ,n = 0
k
Nodo en superficie plana adiabática (Q’=0)
Tm −1,n + 0,5 ⋅ (Tm,n +1 + Tm,n −1 ) − 2 ⋅ Tm,n = 0
m, n-1
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 49
4. MÉTODO NUMÉRICO
4.3. Ecuaciones nodales
• Nodos límite o frontera:
• La obtención de la ecuación nodal no es trivial y es específica para cada nodo.
• No son necesarias cuando se conocen las temperaturas en los límites del sistema.
• En sólidos irregulares requieren muchas veces que las redes nodales no sean
paralepipédicas. (Ej: tetraédricas)
 Precisión:
•Depende de ∆x, ∆y, ∆z y ∆t
•A menor valor del incremento:
•Mayor precisión
•Mayor tiempo de cálculo
INGENIERÍA TÉRMICA
Tema 5. Conducción
3º Ingeniero Ambiental
Nº 50