Topografía. Conceptos y aplicaciones Mario Arturo Rincón Villalba
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TOPOGRAFÍA CONCEPTOS Y APLICACIONES MARIO ARTURO RINCÓN VILLALBA WILSON ERNESTO VARGAS VARGAS CARLOS JAVIER GONZÁLEZ VERGARA T OP OGR AF Í A C O N C E P T O S Y A P L I CA C I O N E S MARIO ARTU RO WILSON CARLOS RINCÓN VILLALBA ERNESTO VARGAS VARGAS JAVIER GONZÁLEZ V ERGARA Catalogación en la publicación - Biblioteca Nacional de Colombia Rincón Villalba, Mario Arturo Topografía : conceptos y aplicaciones / Mario Arturo Rincón Villalba, Wilson Ernesto Vargas Vargas, Carlos Javier González Vergara. -- 1a. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2017. 380 p. – (Ingeniería y salud en el trabajo. Ingeniería civil) Incluye bibliografía. ISBN 978-958-771-506-4-- 978-958-771-507-1(e-book) 1. Topografía 2. Ingeniería civil I. Vargas Vargas, Wilson Ernesto II. González Vergara, Carlos Javier III. Título IV. Serie CDD: 526.3 ed. 23 CO-BoBN– a1006773 Colección: Ingeniería y salud en el trabajo Área: Ingeniería civil © Mario Arturo Rincón Villalba Primera edición: © Wilson Ernesto Vargas Vargas ISBN: Bogotá, agosto de 2017 978-958-771-506-4 978-958-771-507-1 e-ISBN: © Carlos Javier González Vergara © Ecoe Ediciones Ltda. e-mail: info@ecoeediciones.com www.ecoeediciones.com Carrera 19 # 63C 32, Tel.: 248 14 49 Bogotá, Colombia Dirección editorial: Angélica García Reyes Corrección de estilo: Laura Lobatón Sanabria Diagramación: Olga L. Pedraza Rodriguez Carátula: Andrés Gamba Impresión: Editorial Buena Semilla Carrera 28A # 64 A - 34 Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en Colombia - Todos los derechos reservados C O N TE N I DO Capítulo 1. conceptos básicos .......................................................................... 1 1.1 Topografía ......................................................................................................... 1 1.1.1 Representación de puntos en topografía.............................................2 1.2 Operaciones topográficas ................................................................................ 2 1.2.1 Levantamiento topográfico ...................................................................3 1.2.2 Replanteo................................................................................................. 3 1.2.3 Control .................................................................................................... 3 1.3 Tipos de levantamientos .................................................................................. 3 1.4 Mediciones en topografía................................................................................ 4 1.4.1 Unidades de medición angular.............................................................5 1.4.2 Unidades de medida de longitud .........................................................6 1.4.3 Unidades de medida de superficie .......................................................8 1.4.4 Unidades de medida de volumen.........................................................9 1.5 Redondeo de Números ................................................................................10 1.6 Exactitud y precisión ....................................................................................11 1.7 Equipos utilizados en Topografía................................................................12 1.7.1 Estación total ......................................................................................12 1.7.2 Trípode ................................................................................................12 1.7.3 Nivel topográfico .................................................................................13 1.7.4 Mira topográfica ..................................................................................13 1.7.5 Prisma ................................................................................................... 14 1.7.6 Jalones ................................................................................................... 14 1.7.7 Cinta métrica .......................................................................................15 1.7.8 Plomadas ..............................................................................................15 Capítulo 2. Levantamientos con cinta y brujúla ..................................17 2.1 Levantamiento con cinta ..............................................................................17 2.1.1 Medición de distancias con cinta ......................................................18 2.1.2 Medición de ángulos con cinta .........................................................20 2.1.3 Cálculo de áreas por figuras geométricas ........................................23 2.1.4 Levantamiento con cinta método de izquierdas y derechas ......... 26 2.1.5 Levantamiento con cinta método de medidas a dos puntos ......... 32 2.2 Levantamiento con cinta y brújula .............................................................38 2.2.1 Ejercicio práctico.................................................................................40 2.3 Ejercicios planteados.....................................................................................48 VI TOPOGRAFÍA Capítulo 3. ángulos y coordenadas ............................................................49 3.1 Ángulos .......................................................................................................... 49 3.1.1 Rumbo – Rb.........................................................................................51 3.1.2 Azimut – AZ ........................................................................................51 3.1.3 Ángulo de deflexión............................................................................52 3.2 Coordenadas .................................................................................................. 53 3.2.1 Coordenadas arbitrarias .....................................................................55 3.2.2 Coordenadas asifinas ..........................................................................56 3.2.3 Coordenadas reales .............................................................................56 3.2.4 Coordenadas Rectangulares ..............................................................56 3.2.5 Coordenadas Polares ..........................................................................57 3.3 Conversión de coordenadas .........................................................................57 3.3.1 Conversión de coordenadas rectangulares a polares......................57 3.3.2 Conversión de coordenadas polares a rectangulares .....................61 Capítulo 4. Radiación ........................................................................................63 4.1 Radiación simple ..........................................................................................63 4.1.1 Definición.............................................................................................63 4.1.2 Aplicaciones .........................................................................................65 4.1.3 Procedimiento en terreno ..................................................................65 4.1.4 Procedimiento en la oficina ...............................................................66 4.1.5 Ejemplo Práctico .................................................................................67 4.1.6 Cálculos ................................................................................................ 67 4.2 Radiación doble.............................................................................................71 4.2.1 Definición.............................................................................................71 4.2.2 Aplicaciones ........................................................................................72 4.2.3 Ley de senos .........................................................................................72 4.2.4 Metodología.........................................................................................73 4.2.5 Ejemplo................................................................................................. 74 4.3 Ejercicios planteados .....................................................................................84 Capítulo 5. Poligonales ....................................................................................87 5.1 Generalidades ................................................................................................ 87 5.2 Clasificación de las poligonales ...................................................................88 5.2.1 Poligonal abierta ..................................................................................88 5.2.2 Poligonal cerrada.................................................................................89 5.2.3 Poligonal orientada o de azimut directo .........................................90 5.2.4 Poligonal no orientada .......................................................................91 TABLA DE CONTENIDO 5.3 Ajustes y compensaciones ............................................................................92 5.3.1 Error de cierre angular .......................................................................93 5.3.2 Errores de cierre en distancia ............................................................94 5.3.3 Precisión de la poligonal ....................................................................95 5.4 Métodos de ajuste ..........................................................................................95 5.4.1 Método de brújula o de Bowditch ....................................................95 5.4.2 Método de tránsito ..............................................................................96 5.4.3 Método de Crandall ...........................................................................96 5.4.4 Método de variación de coordenadas...............................................97 5.4.5 Ajuste por mínimos cuadrados .........................................................98 Capítulo 6. Poligonal abierta .....................................................................101 6.1 Definición..................................................................................................... 101 6.2 Levantamiento: Poligonal abierta método ceros atrás ...........................102 6.2.1 Metodología .......................................................................................102 6.2.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás ....................................103 6.3 Poligonal abierta por azimut directo ........................................................106 6.3.1 Metodología .......................................................................................106 6.3.2 Ejercicio Poligonal Abierta por Azimut Directo ...........................108 6.4 Ejercicios planteados...................................................................................112 Capítulo 7. poligonal cerrada ...................................................................113 7.1 Definición..................................................................................................... 113 7.2 Aplicaciones ................................................................................................. 113 7.3 Metodología ................................................................................................. 113 7.3.1 Trabajo de campo ..............................................................................113 7.3.2 Trabajo en oficina ..............................................................................114 7.4 Ejercicio práctico.........................................................................................113 7.4.1 Ajuste de la poligonal por método de brújula ...............................117 7.4.2 Ajuste de la poligonal por método de tránsito ..............................121 7.4.3 Ajuste de la poligonal por método de Crandall ............................124 7.4.4 Ajuste de la poligonal por método de variación de coordenadas por el número de lados ..................................................128 7.4.5 Ajuste de la poligonal por método de variación de coordenadas por el perímetro ..............................................................130 7.4.6 Ajuste de la poligonal por método de mínimos cuadrados......... 132 7.4.7 Cálculo de los detalles ......................................................................137 7.5 Ejercicios planteados...................................................................................139 VII VIII TOPOGRAFÍA Capítulo 8 poligonal punto a punto ........................................................141 8.1 Metodología ................................................................................................. 143 8.1.1 Trabajo de campo ..............................................................................143 8.1.2 Trabajo de oficina ..............................................................................144 8.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo ángulos.......... 145 8.2.1 Cálculos .............................................................................................. 147 8.3 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo Azimuts........ 156 8.3.1 Cálculos .............................................................................................. 159 8.4 Poligonal controlada en cada delta ...........................................................167 8.4.1 Aplicaciones y ventajas ....................................................................168 8.4.2 Metodología .......................................................................................169 8.4.3 Ejercicio práctico...............................................................................170 8.5 Ejercicios planteados ...................................................................................179 Capítulo 9. localización de proyectos ...................................................181 9.1 Tipos de replanteo .......................................................................................182 9.1.1 Replanteo para obras puntuales ......................................................182 9.1.2 Replanteo para obras lineales ..........................................................185 9.1.3 Control vertical..................................................................................189 Capítulo 10. cálculo de áreas .....................................................................193 10.1 Definición .................................................................................................. 193 10.2 Métodos de cálculo de áreas ....................................................................194 10.2.1 Método de las figuras geométricas ...............................................195 10.2.2 Método de las coordenadas ...........................................................200 10.2.3 Método de la herramienta CAD ...................................................205 10.2.4 Método gráfico del planímetro .....................................................209 10.2.5 Método gráfico de la malla de puntos ..........................................212 10.2.6 Método gráfico del papel milimetrado.........................................214 Capítulo 11. altimetría conceptos generales .....................................217 11.1 Altimetría .................................................................................................. 217 11.2 Altura o cota .............................................................................................. 218 11.3 Tipos de nivelación ..................................................................................219 11.4 Equipos empleados en nivelación ...........................................................220 11.4.1 Teodolito .........................................................................................220 11.4.2 Nivel ................................................................................................. 220 11.4.3 Mira ................................................................................................. 221 11.4.4 Nivel de mano (nivel Locke) ........................................................222 TABLA DE CONTENIDO 11.4.5 Nivel Abney .....................................................................................222 11.4.6 Altímetro ..........................................................................................222 11.4.7 Equipo menor y materiales ...........................................................223 11.5 Precisión en altimetría .............................................................................223 11.5.1 Error permitido en nivelación ......................................................223 Capítulo 12. nivelación geométrica o diferencial ...........................225 12.1 Equipos para nivelación geométrica ......................................................226 12.2 Errores en nivelación geométrica ...........................................................226 12.3 Nivelación geométrica simple .................................................................227 12.3.1 Ejemplo Nivelación Geométrica Simple .....................................228 12.4 Nivelación geométrica compuesta ..........................................................229 12.4.1 Procedimiento para nivelaciones geométricas compuestas ..... 230 12.5 Circuito de nivelación por diferentes cambios......................................231 12.5.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por diferentes cambios ...............................................................................232 12.5.2 Ejercicio propuesto: Circuito de nivelación por diferentes cambios ...............................................................................237 12.6 Circuito de nivelación por los mismos cambios ...................................238 12.6.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos cambios ........................................................................................................ 238 12.6.2 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos cambios ........................................................................................................ 243 Capítulo 13. nivelación trigonométrica ...............................................245 13.1 Definición .................................................................................................. 245 13.2 Usos ........................................................................................................ 246 13.3 Metodología...............................................................................................247 13.3.1 Trabajo en campo............................................................................247 13.3.2 Trabajo en oficina............................................................................247 13.4 Tipos de nivelación trigonométrica........................................................249 13.4.1 Nivelación trigonométrica simple ................................................249 13.4.2 Nivelación trigonométrica compuesta .........................................256 13.5 Ejercicios propuestos ................................................................................268 Capítulo 14. nivelación de líneas (perfiles) .........................................271 14.1 Concepto .................................................................................................... 271 14.2 Perfil longitudinal .....................................................................................272 14.2.1 Métodos de materialización de ejes ..............................................273 IX X TOPOGRAFÍA 14.2.2 Ejemplo práctico .............................................................................276 14.3 Perfiles o secciones transversales ............................................................280 14.3.1 Nivelación de los perfiles transversales ........................................280 14.3.2 Ejemplo práctico .............................................................................284 14.4 Ejercicio propuesto ...................................................................................287 Capítulo 15. modelos digitales de terreno ...........................................289 15.1 Curvas de nivel ..........................................................................................290 15.1.1 Características de las curvas de nivel ...........................................291 15.1.2 Equidistancia de las curvas de nivel .............................................291 15.2 Breaklines o divisorias de aguas...............................................................293 15.3 Análisis con Modelos Digitales de Terreno ...........................................296 15.3.1 Interpretación de las curvas .........................................................296 15.3.2 Mapa de pendientes ........................................................................296 15.3.3 Mapa de elevaciones ......................................................................298 15.3.4 Mapa de direcciones de pendiente ...............................................298 15.3.5 Mapa de cuencas .............................................................................299 Capítulo 16. Nivelación de superficies ...................................................301 16.1 Generalidades ............................................................................................301 16.2 Nivelación por radiación ...................................................................302 16.3 Nivelación por cuadrícula........................................................................314 16.4 Método de nivelación trigonométrica– puntos de quiebre .................324 16.5 Ejercicios planteados ................................................................................341 Capítulo 17. movimiento de tierras ..........................................................347 17.1 Concepto .................................................................................................... 347 17.2 Método de perfiles consecutivos o secciones transversales ................ 348 17.2.1 Diseño de la rasante ........................................................................348 17.2.2 Cálculo del área en la sección transversal ....................................351 17.2.3 Cálculo de la cubicación ................................................................358 17.3 Método de las curvas de nivel .................................................................365 Capítulo 18. planos topográficos .............................................................369 18.1 Información en planos topográficos.......................................................375 18.2 Elaboración de planos correspondientes a levantamientos topográficos..........................................................................380 Bibliografía ........................................................................................................ 381 TABLA DE CONTENIDO ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Representación de puntos .................................................................2 Figura 1.2 Figura 1.3 Distancias en topografía .................................................................... 5 Precisión ...........................................................................................11 Figura 1.4 Figura 1.5 Estación total .................................................................................... 12 Trípode............................................................................................... 12 Figura 1.6 Figura 1.7 Nivel ................................................................................................... 13 Mira .................................................................................................... 13 Figura 1.8 Figura 1.9 Prisma ................................................................................................ 14 Jalones ................................................................................................ 14 Figura 1.10 Figura 1.11 Cinta ................................................................................................... 15 Plomada ............................................................................................. 15 Figura 2.1 Figura 2.2 Medidas con cinta en terreno plano .............................................18 Medidas seccionadas con cinta en terreno plano ........................18 Figura 2.3 Figura 2.4 Medidas con cinta en terreno inclinado........................................19 Medidas seccionadas con cinta en terreno inclinado ..................20 Figura 2.5 Figura 2.6 Medidas con cinta en terreno inclinado con obstáculos ............20 Perpendicular con cinta, método del radio .................................21 Figura 2.7 Perpendicular con cinta, método del triángulo rectángulo .......................................................................................... 21 Perpendicular con escuadras .........................................................22 Figura 2.8 Figura 2.9 Fórmula para ángulos con cinta .....................................................22 Figura 2.10a Carteras de campo: levantamiento con cinta................................27 Figura 2.10b Carteras de campo: levantamiento con cinta................................28 Figura 2.11 Área por figuras geométricas ..........................................................31 Figura 2.12 Figura 2.13 Distancias izquierdas y derechas al restaurante ...........................32 Distancias al punto 10...................................................................... 33 Figura 2.14a Carteras de campo: levantamiento con cinta, método distancias a dos puntos ....................................................34 Figura 2.14b Carteras de campo: levantamiento con cinta, método distancias a dos puntos .....................................................35 Figura 2.15a Ejercicio planteado: levantamiento con cinta ..............................36 Figura 2.15b Ejercicio planteado: levantamiento con cinta ..............................37 Figura 2.16 Azimut ............................................................................................... 38 Figura 2.17 Rumbo ............................................................................................... 39 XI XII TOPOGRAFÍA Figura 2.18a Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula ..............41 Figura 2.18b Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula ................42 Figura 2.19 Figura 2.20 Azimuts tomados en campo ...........................................................45 Atracción local de cada línea del polígono ..................................46 Figura 2.21 Figura 2.22 Atracción local de cada línea del polígono ..................................47 Ejercicio: Medición con cinta ........................................................48 Figura 3.1 Figura 3.2 Ángulo ............................................................................................... 50 Nomenclatura de los cuadrantes ....................................................50 Figura 3.3 Figura 3.4 Rumbo ............................................................................................... 51 Azimut ............................................................................................... 52 Figura 3.5 Figura 3.6 Ángulo de deflexión ......................................................................... 52 Proyecciones cartográficas ..............................................................54 Figura 3.7 Figura 3.8 Orígenes de las coordenadas planas de Gauss en Colombia ...................................................................................... 55 Coordenadas ..................................................................................... 56 Figura 3.9 Figura 3.10 Coordenadas polares .......................................................................57 Coordenadas rectangulares a polares ............................................58 Figura 3.11 Figura 3.12 Definición de cuadrante en función del signo de las diferencias de norte y este ....................................................59 Signo del ángulo θ ............................................................................ 60 Figura 3.13 Figura 4.1 Coordenadas rectangulares a polares. ...........................................61 Radiación simple de un lote............................................................64 Figura 4.2 Equipos empleados en levantamientos por radiación simple ........................................................................65 Figura 4.3 Imagen del predio a levantar ..........................................................67 Figura 4.4 a Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla ..........68 Figura 4.4 b Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla ..........69 Figura 4.5 Figura 4.6 Radiación doble ................................................................................ 72 Ley de senos ...................................................................................... 72 Figura 4.7 Figura 4.8 Glorieta a ser levantada y ubicación de la base medida. .............75 Radiación doble en la glorieta ........................................................75 Figura 4.9 A Cartera de Campo: radiación desde D2 ........................................76 Figura 4.9 a Cartera de Campo: radiación desde D2 y D3...............................77 Figura 4.9 C Cartera de Campo: radiación desde D3. .......................................78 Figura 4.10 Ángulos del triángulo para el punto 4 ...........................................79 Figura 5.1 Levantamiento con poligonales ......................................................88 TABLA DE CONTENIDO Figura 5.2 Figura 5.3 Poligonal abierta ............................................................................... 89 Poligonal de circuito cerrado ..........................................................89 Figura 5.4 Figura 5.5 Poligonal de línea cerrada ...............................................................90 Poligonal orientada .......................................................................... 90 Figura 5.6 Figura 5.7 Poligonal por ceros atrás externos .................................................91 Poligonal por ceros atrás internos ..................................................91 Figura 5.8 Figura 5.9 Poligonal por deflexiones ................................................................ 92 Ángulos internos de una poligonal ................................................93 Figura 5.10 Figura 5.11 Ángulos externos de una poligonal ...............................................93 Poligonal con brazo interno ............................................................94 Figura 6.1 Figura 6.2 Poligonal abierta ............................................................................. 101 Cartera de campo ........................................................................... 103 Figura 6.3 Figura 6.4 Cartera de Campo .......................................................................... 108 Ejercicio planteado: poligonal abierta .........................................112 Figura 7.1a Figura 7.1b Ejercicio práctico: poligonal cerrada ...........................................115 Ejercicio práctico: poligonal cerrada ...........................................116 Figura 7.2a Figura 7.2b Ejercicio planteado: poligonal cerrada ........................................139 Ejercicio planteado: poligonal cerrada ........................................140 Figura 8.1 Figura 8.2 Poligonal punto a punto ................................................................ 141 Poligonal punto a punto con dos puntos de apoyo ....................142 Figura 8.3 Figura 8.4 Figura 8.5a Poligonal punto a punto con tres puntos de apoyo....................142 Poligonal punto a punto con cuatro puntos de apoyo...............143 Ejercicio poligonal punto a punto ................................................145 Figura 8.5b Figura 8.6 Ejercicio Poligonal punto a punto ................................................146 Ángulos medidos y ángulo proyectado .......................................148 Figura 8.7 Ángulos externos del polígono (incluido el ángulo en proyecciones) .................................................................................. 149 Figura 8.8a Figura 8.8b Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts) .....157 Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts) .....158 Figura 8.9 Poligonal controlada en cada delta ..............................................168 Figura 8.10a Cartera de campo ........................................................................... 170 Figura 8.10b Cartera de campo ........................................................................... 171 Figura 8.11a Cartera de campo ........................................................................... 179 Figura 8.11b Cartera de campo ........................................................................... 180 Figura 9.1 Planta de bodega ............................................................................ 183 XIII XIV TOPOGRAFÍA Figura 9.2 Figura 9.3 Tramo vial ....................................................................................... 186 Tramo vial para control vertical ...................................................190 Figura 10.1 Figura 10.2 Unidades de área ............................................................................ 194 Área a levantar ................................................................................ 196 Figura 10.3 División del terreno en figuras geométricas ...............................197 Figura 10.4 a Cartera de campo: Levantamiento con cinta ..............................198 Figura 10.4 b Cartera de campo: Levantamiento con cinta ..............................199 Figura 10.5 Coordenadas de la edificación - Numeración de puntos ..........201 Figura 10.6 Figura 10.7 Poligonal que une los puntos de la edificación de la figura 10.5 .............................................................................. 205 Comado AREA en la barra de comandos ...................................206 Figura 10.8 Figura 10.9 Comando AREA, opción Object, selección del polígono.........206 Área del polígono ........................................................................... 207 Figura 10.10 Selección de puntos del polígono bajo el comando AREA.......207 Figura 10.11 Área del polígono ........................................................................... 208 Figura 10.12 Comando LIST ............................................................................... 208 Figura 10.13 Área de la poligonal con el comando LIST .................................209 Figura 10.14 Planímetro rodante ........................................................................ 210 Figura 10.15 Ubicación de los brazos del planímetro ......................................210 Figura 10.16 Recorrido para el cálculo del área por planímetro polar ..........211 Figura 10.17 Cálculo del área por planímetro rodante ....................................212 Figura 10.18 Malla de puntos .............................................................................. 212 Figura 10.19 Área por malla de puntos ..............................................................213 Figura 10.20 Conteo de puntos en el área ..........................................................214 Figura 10.21 Diferentes ubicaciones de la malla sobre el área ........................214 Figura 10.22 Área con papel milimetrado .........................................................215 Figura 10.23 Posiciones diferentes para el conteo de puntos ..........................215 Figura 11.1 Figura 11.2 Cota o altura.................................................................................... 218 Teodolito.......................................................................................... 220 Figura 11.3 Figura 11.4 Nivel ................................................................................................. 221 Mira .................................................................................................. 221 Figura 11.5 Figura 11.6 Nivel Locke...................................................................................... 222 Nivel Abney ..................................................................................... 222 Figura 11.7 Figura 12.1 Altímetro ......................................................................................... 223 Nivelación geométrica simple.......................................................227 TABLA DE CONTENIDO Figura 12.2 Figura 12.3 Cartera de campo: nivelación geométrica simple ......................228 Nivelación geométrica compuesta ...............................................230 Figura 12.4a Ejercicio. Circuito de nivelación por diferentes cambios................................................................... 232 Figura 12.4b Ejercicio. Circuito de nivelación por diferentes cambios................................................................... 233 Figura 12.5 Ejercicio propuesto. Circuito de nivelación por diferentes cambios................................................................... 237 Figura 12.6a Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......238 Figura 12.6b Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......239 Figura 12.7 Figura 13.1 Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......243 Diagrama general de la nivelación trigonométrica....................246 Figura 13.2 Ángulo cenital mayor a 90 grados................................................248 Figura 13.3a Cartera de campo ........................................................................... 250 Figura 13.3b Cartera de campo .......................................................................... 251 Figura 13.4a Cartera de campo .......................................................................... 258 Figura 13.4b Cartera de campo .......................................................................... 259 Figura 13.4c Cartera de campo .......................................................................... 260 Figura 13.4d Cartera de campo ........................................................................... 261 Figura 13.5 a Ejercicio propuesto. Cartera de campo ......................................268 Figura 13.5 b Ejercicio propuesto. Cartera de campo ......................................269 Figura 14.1 Perfil topográfico ............................................................................ 271 Figura 14.2 Figura 14.3 Tipo de perfiles ............................................................................... 272 Materialización del eje por distancias fijas..................................273 Figura 14.4 Figura 14.5 Figura 14.6 Materialización del eje por puntos de quiebre ...........................274 Problemas en el método de distancias fijas .................................275 Materialización del eje por método mixto ..................................275 Figura 14.7 Figura 14.8 Cartera de campo. Nivelación perfil 1 .........................................276 Cartera de campo. Nivelación perfil 2 .........................................277 Figura 14.9 Dibujo perfil escala 1:1 .................................................................. 279 Figura 14.10 Perfil escala a décupla .................................................................... 280 Figura 14.11 Escuadra óptica .............................................................................. 281 Figura 14.12 Escuadra de agrimensor ................................................................ 281 Figura 14.13 Trazo de perpendiculares en línea recta ......................................282 Figura 14.14 Trazo de perpendiculares en las curvas.......................................282 Figura 14.15 Nivelación de secciones transversales ..........................................283 XV XVI TOPOGRAFÍA Figura 14.16 Nivelación de secciones transversales con cambios...................283 Figura 14.17 Cartera de campo de nivelación de secciones ............................284 Figura 14.18 Sección transversal ......................................................................... 286 Figura 14.19 Nivelación de un perfil .................................................................. 287 Figura 14.20 Nivelación secciones transversales ...............................................288 Figura 15.1 Modelo digital del terreno .............................................................289 Figura 15.2 Figura 15.3 Curvas de nivel de un modelo digital del terreno ......................290 Curvas de nivel de un modelo digital del terreno ......................292 Figura 15.4 Figura 15.5 Curvas de nivel sobre un vía sin aplicar breaklines ....................293 Líneas de triangulación o interpolación sin breaklines .............294 Figura 15.6 Figura 15.7 Líneas de triangulación o interpolación con breaklines ............295 Curvas de nivel sobre un vía aplicando breaklines .....................295 Figura 15.8 Figura 15.9 Curvas de nivel en corrientes de agua y en filos de montaña ..296 Mapa de pendientes ......................................................................297 Figura 15.10 Mapa de elevaciones .....................................................................298 Figura 15.11 Mapa de direcciones de pendiente ..............................................299 Figura 15.12 Mapa de cuencas ............................................................................ 299 Figura 16.1 Radiación. Ubicación de las visuales ...........................................302 Figura 16.2 Figura 16.3 Materialización de puntos de quiebre..........................................303 Medición de ángulos y distancias.................................................303 Figura 16.4 a Cartera de la radiación .................................................................. 304 Figura 16.4 b Cartera de la radiación .................................................................. 305 Figura 16.5 Cartera de la nivelación .................................................................307 Figura 16.6 Figura 16.7 Interpolación entre los puntos 21 - 22.........................................310 Ubicación de las cotas cerradas ....................................................313 Figura 16.8 Figura 16.9 Plano topográfico ........................................................................... 313 Terreno a nivelar............................................................................. 314 Figura 16.10 Coordenadas de la cuadrícula ......................................................315 Figura 16.11 Cuadrícula y equipo para nivelación ...........................................316 Figura 16.12 Dimensiones de una cuadrícula ...................................................320 Figura 16.13 Líneas y diagonales de la cuadrícula ............................................321 Figura 16.14 Ubicación de puntos para curvas de nivel en la cuadrícula............................................................................... 323 Figura 16.15 Trazado de las curvas de nivel ......................................................323 Figura 16.16a Cartera de campo .......................................................................... 325 TABLA DE CONTENIDO Figura 16.16b Cartera de campo .......................................................................... 326 Figura 16.16c Cartera de campo .......................................................................... 327 Figura 16.17 Cartera de nivelación ..................................................................... 328 Figura 16.18 Ubicación de los puntos por coordenadas y generación de los triángulos ......................................................337 Figura 16.19 Creación de la superficie en Civil 3D ..........................................338 Figura 16.20 Creación de los puntos en la plataforma Civil 3D .....................338 Figura 16.21 Definición de la superficie por puntos en la plataforma Civil 3D .............................................................. 339 Figura 16.22 Puntos en la plataforma Civil 3D .................................................339 Figura 16.23 Modelo Digital de Terreno - MDT en la plataforma Civil 3D .............................................................. 340 Figura 16.24a Nivelación de un terreno por radiación ......................................341 Figura 16.24b Nivelación de un terreno por radiación ......................................342 Figura 16.25a Nivelación de terrenos por puntos de quiebre ...........................344 Figura 16.25b Nivelación de terrenos por puntos de quiebre ...........................345 Figura 17.1 Figura 17.2 Perfil y diseño ................................................................................. 348 Sección transversal típica .............................................................. 350 Figura 17.3 Figura 17.4 Trazo de la rasante en la sección transversal ..............................350 Área del diseño en la sección transversal ....................................351 Figura 17.5 Figura 17.6 Puntos de la sección transversal ...................................................352 Área por método de cartera de chaflanes ....................................352 Figura 17.7 Figura 17.8 Multiplicaciones de la regla de cruces .........................................353 Puntos sección transversal mixta .................................................354 Figura 17.9 Área por método de cartera de chaflanes. Sección mixta .................................................................................. 354 Figura 17.10 Multiplicaciones de la regla de cruces .........................................355 Figura 17.11 Origen cartesiano ........................................................................... 356 Figura 17.12 Multiplicaciones de coordenadas .................................................357 Figura 17.13 Área en CAD................................................................................... 357 Figura 17.14 Sólido entre secciones transversales ............................................358 Figura 17.15 Prismoide en corte ......................................................................... 359 Figura 17.16 Prismoide en relleno ...................................................................... 359 Figura 17.17 Piramoide ....................................................................................... 360 Figura 17.18 Tronco de piramoide ..................................................................... 361 Figura 17.19 Sección especial .............................................................................. 362 XVII XVIII TOPOGRAFÍA Figura 17.20 Volumen en secciones. Ejemplo ...................................................363 Figura 17.21 Área entre curvas de nivel .............................................................365 Figura 17.22 Perfil de la zona de proyecto .........................................................365 Figura 17.23 Zonas de corte y relleno ................................................................366 Figura 18.1 Figura 18.2 Formato pliego (medidas en milímetros) ...................................371 Formato medio pliego (medidas en milímetros) .......................371 Figura 18.3 Figura 18.4 Formato A1 (medidas en milímetros).........................................372 Formato A2 (medidas en milímetros).........................................373 Figura 18.5 Figura 18.6 Grilla de coordenadas ................................................................... 375 Cuadrícula perfil longitudinal .....................................................376 Figura 18.7 Figura 18.8 Cuadrícula secciones transversales .............................................377 Norte dibujada en la planta de un plano topográfico ..................................................................................... 377 Figura 18.9 Escalas gráficas .............................................................................. 378 Figura 18.10a Convenciones topográficas ...........................................................379 Figura 18.10b Convenciones topográficas ...........................................................379 ÍNDICE D E TABLAS Tabla 2.1 Tabla 2.2 Ángulos del polígono .........................................................................29 Ángulos corregidos.............................................................................29 Tabla 2.3 Tabla 2.4 Promedio de las distancias horizontales .........................................30 Cálculo del área por figuras geométricas .........................................31 Tabla 2.5 Tabla 2.6 Cálculo de ángulos..............................................................................43 Corrección de ángulos .......................................................................44 Tabla 3.1 Tabla 4.1 Determinación del valor del Azimut................................................59 Determinación de los azimuts y proyecciones de los detalles ......................................................................................70 Tabla 4.2 Ángulos internos de los triángulos y distancia desde D2 a los detalles .......................................................................80 Tabla 4.3 Tabla 4.4 Azimuts proyecciones y coordenadas del levantamiento .............. 82 Ejercicio planteado de radiación sencilla.........................................84 Tabla 4.5 Tabla 6.1 Ejercicio planteado de Radiación doble. ..........................................85 Coordenadas base .............................................................................104 Tabla 6.2 Tabla 6.3 Cálculo de azimut de la poligonal .................................................104 Cálculo de proyecciones de la poligonal ........................................105 TABLA DE CONTENIDO Tabla 6.4 Tabla 6.5 Cálculo de coordenadas de la poligonal ........................................105 Cálculo de coordenadas de los detalles ..........................................106 Tabla 6.6 Tabla 6.7 Coordenadas base .............................................................................109 Cálculo de azimut de la poligonal .................................................109 Tabla 6.8 Tabla 6.9 Cálculo de proyecciones de la poligonal ........................................110 Cálculo de coordenadas de la poligonal ........................................110 Tabla 6.10 Cálculo de coordenadas de los detalles ..........................................111 Tabla 8.1 Coordenadas de los puntos de amarre inicial ...............................147 Tabla 8.2 Tabla 8.3 Coordenadas de los puntos de amarre final .................................147 Ángulos del polígono cerrado .........................................................149 Tabla 8.4 Tabla 8.5 Ángulos corregidos ..........................................................................150 Azimuts de la poligonal ...................................................................151 Tabla 8.6 Tabla 8.7 Proyecciones de la poligonal ..........................................................151 Proyecciones corregidas ..................................................................153 Tabla 8.9 Coordenadas de la poligonal ..........................................................154 Tabla 8.10 Azimut de los detalles.......................................................................154 Tabla 8.11 Proyecciones de los detalles .............................................................155 Tabla 8.12 Cálculo de coordenadas de detalles ................................................155 Tabla 8.13 Coordenadas de los puntos de amarre inicial ...............................159 Tabla 8.14 Coordenadas de los puntos de amarre final .................................159 Tabla 8.15 Ángulos del polígono cerrado .........................................................160 Tabla 8.16 Azimuts corregidos ...........................................................................161 Tabla 8.17 Proyecciones de la poligonal ..........................................................161 Tabla 8.18 Proyecciones corregidas ..................................................................163 Tabla 8.19 Coordenadas de la poligonal ..........................................................164 Tabla 8.20 Azimut de los detalles.......................................................................164 Tabla 8.21 Proyecciones de los detalles ............................................................165 Tabla 8.22 Cálculo de coordenadas detalles .....................................................166 Tabla 8.23 Corrección de ángulos .....................................................................172 Tabla 8.24 Cálculo de Azimuts ..........................................................................173 Tabla 8.25 Cálculo de proyecciones ..................................................................174 Tabla 8.26 Corrección de proyecciones ............................................................175 Tabla 8.27 Coordenadas de la poligonal ...........................................................176 Tabla 8.28 Precisiones de cada lado ..................................................................177 Tabla 8.29 Coordenadas de los detalles ............................................................178 XIX XX TOPOGRAFÍA Tabla 9.1 Tabla 9.2 Deltas materializados en campo .....................................................183 Coordenadas de los ejes de construcción ......................................184 Tabla 9.3 Tabla 9.4 Distancias y azimuts calculados ......................................................184 Coordenadas punto de amarre .......................................................186 Tabla 9.5 Tabla 9.6 Coordenadas del eje y los chaflanes del tramo ............................187 Datos replanteo desde GPS-1 .........................................................188 Tabla 9.7 Tabla 9.8 Datos replanteo desde D2 ................................................................189 Control vertical ................................................................................191 Tabla 10.1 Cálculo del área por figuras geométricas .......................................195 Tabla 10.2 División en figuras geométricas ......................................................197 Tabla 10.3 División en figuras geométricas ......................................................200 Tabla 10.4 Coordenadas de los puntos .............................................................202 Tabla 10.5 Cálculos discriminados del primer método ..................................202 Tabla 10.6 Cálculos discriminados del segundo método ...............................204 Tabla 10.7 Cálculo del área por planímetro rodante .......................................211 Tabla 10.8 Cálculo del área por malla de puntos .............................................213 Tabla 10.9 Número de cuadros ..........................................................................216 Tabla 11.1 Tipos de nivelación ...........................................................................219 Tabla 11.2 Constante por clase de nivelación ..................................................224 Tabla 11.3 Errores permitidos por clase de nivelación ...................................224 Tabla 12.1 Cálculos nivelación geométrica simple ..........................................229 Tabla 12.2 Nivelación de cambios del circuito de nivelación.........................234 Tabla 12.3 Cálculos de distancias ......................................................................234 Tabla 12.4 Ajuste del circuito .............................................................................235 Tabla 12.5 Cotas de los detalles .........................................................................236 Tabla 12.6 Chequeo y ajuste del circuito ..........................................................241 Tabla 12.7 Cálculo de las cotas de los detalles .................................................242 Tabla 13.1 Datos de campo cálculo nivelación simple....................................252 Tabla 13.2 Cálculo de desniveles y cotas de los puntos ..................................254 Tabla 13.3 Cálculo de coordenadas - Radiación simple .................................255 Tabla 13.4 Ajuste de la poligonal cerrada .........................................................263 Tabla 13.5 Cálculo de desniveles y cotas de los deltas ....................................266 Tabla 14.1 Lecturas a los cambios ......................................................................278 Tabla 14.2 Chequeo y Ajuste de Traslado de cotas ..........................................278 Tabla 14.3 Cálculo cotas del eje .........................................................................278 TABLA DE CONTENIDO Tabla 14.4 Cotas de eje longitudinal..................................................................285 Tabla 14.5 Cartera de cálculo de cotas de la sección transversal ...................286 Tabla 15.1 Equidistancia sugerida según la escala del plano .........................292 Tabla 15.2 Áreas para tipo de terreno ..............................................................297 Tabla 16.1 Cálculo de coordenadas ...................................................................306 Tabla 16.2 Cálculo de la nivelación ...................................................................308 Tabla 16.3 Interpolación de las línea de visual – IV = 0.5 m .........................310 Tabla 16.4 Cálculo de la nivelación ...................................................................316 Tabla 16.5 Interpolación de un cuadro de la cuadrícula ................................322 Tabla 16.6 Ajuste de la poligonal. Cálculo de coordenadas ...........................329 Tabla 16.7 Coordenadas de los detalles y nube de puntos .............................331 Tabla 16.8a Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334 Tabla 16.8b Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334 Tabla 16.8c Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334 Tabla 16.9 Nivelación Trigonométrica ..............................................................334 Tabla 16.10 Nivelación de un terreno por cuadrícula .......................................343 Tabla 17.1 Cotas del Diseño ...............................................................................349 Tabla 17.2 Datos para el área por método de cartera de chaflanes .......................................................................................353 Tabla 17.3 Cálculo del área por método de cartera de chaflanes .......................................................................................353 Tabla 17.4 Datos para el área por método de cartera de chaflanes. Sección mixta....................................................................................355 Tabla 17.5 Coordenadas de los puntos de la sección ......................................356 Tabla 17.6 Cálculo del área por método de coordenadas ...............................357 Tabla 17.7 Áreas de las secciones. Ejemplo .....................................................363 Tabla 17.8 Cálculo del volumen. Ejemplo .......................................................364 Tabla 17.9 Áreas entre las curvas de nivel ........................................................367 Tabla 17.10 Cálculo de las diferencias de altura. Relleno .................................367 Tabla 17.11 Cálculo de las diferencias de altura. Corte ....................................368 Tabla 17.12 Cálculo volumen de relleno .............................................................368 Tabla 17.13 Cálculo volumen de corte ................................................................368 Tabla 18.1 Derivaciones de un pliego................................................................370 Tabla 18.2 Formatos DIN ...................................................................................372 Tabla 18.3 Equivalencias de las escalas topográficas ......................................374 XXI CAPÍ TULO 1 CO N CE P T O S B Á S I C O S 1.1 Topografía T radicionalmente la topografía se ha definido como una ciencia aplicada, encargada de determinar la posición relativa de puntos sobre la Tierra y la representación en un plano de una porción de la superficie terrestre. En un sentido más general, se puede definir como la disciplina que abarca todos los métodos para reunir información de partes físicas de la Tierra, tales como el relieve, los litorales, los cauces de corrientes hídricas, entre otros, usando para ello los métodos clásicos de medición en terreno, la fotogrametría y los Sensores Remotos. Si se analiza la palabra topografía desglosándola del griego topo- topos (lugar/ región/sitio) y -grafía graphe (descripción), Topografía significaría el arte o la técnica que se encarga de la descripción detallada de la superficie de un terreno en una determinada región o lugar. Una definición muy acertada es: topografía es la ciencia por medio de la cual se establecen las posiciones de puntos situados sobre la superficie terrestre, encima y debajo de ella; para lo cual se realizan mediciones de distancias, ángulos y elevaciones. 2 TOPOGRAFÍA 1.1.1 Representación de puntos en topografía Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a través de los sistemas cartesianos tridimensionales y bidimensionales respectivamente. En 3D o sistema cartesiano tridimensional: • XP: Proyección Este de P. • YP: Proyección Norte de P. • ZP: Cota o altitud de P. FIGURA 1.1 Representación de puntos Z(Cota) Zp Punto 3D (X, Y, Z) Xp X (Este) Yp Punto 2D (X, Y ) Y (Nor te) 1.2 Operaciones topográficas En los métodos topográficos de medición en terreno no se considera la verdadera forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados a la realidad, entre las prescindencias esta se considera plana, la dirección de la plomada entre dos puntos sería paralela y los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas. Las actividades topográficas se pueden clasificar en: el levantamiento, el replanteo y el control. CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 1.2.1 Levantamiento topográfico Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición de puntos en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operaciones incluye: • Selección del método de levantamiento. • Elección del equipo a utilizar. • Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo. • Realización de mediciones en terreno. • Cálculo y procesamiento de datos. • Elaboración de planos. 1.2.2 Replanteo Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un plano topográfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos que hay que materializar en el terreno, por lo tanto, la operación de replanteo consiste en volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamente definidos en el proyecto. Esta operación contempla un replanteo en tres dimensiones, Norte, Este y Cota. 1.2.3 Control Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en el terreno la materialización de las obras de ingeniería. 1.3 Tipos de levantamientos Dentro de los levantamientos topográficos se encuentran: • Levantamiento de terrenos en general: tiene por objeto marcar linderos o localizarlos, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales ligando con levantamientos anteriores o proyectar obras y construcciones. • Topografía para vías de comunicación: sirve para estudiar y construir caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc. • Topografía de minas: tiene por objeto fijar y controlar la posición de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales. • Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientos urbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades (agrícolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.) y las construcciones que contienen, para conocer sus detalles, su extensión, su valor, los derechos 3 4 TOPOGRAFÍA de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estado pueda recaudar los impuestos respectivos. • Levantamientos hidrográficos: levantamientos relacionados con la definición de deslindes de playas de mar, ríos, lagos, embalses y otros cuerpos de agua, así como con la configuración e irregularidades de sus profundidades (batimetría), utilizando instrumental topográfico clásico en la determinación planimetría y sofisticados instrumentos electrónicos para determinar sus profundidades. Las finalidades pueden ir desde la delimitación de sus playas para uso público, pasando por la navegación, hasta el estudio de sedimentos y el dragado de sus fondos. • Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos topográficos requeridos antes, durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería. Un plano topográfico resultante de un levantamiento que entregue la configuración del terreno más la incipiente concepción mental de algún proyecto de ingeniería son las materias primas más elementales y suficientes para que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto. Posteriormente necesitará materializar cada uno de sus elementos en el terreno (operación de replanteo) y alguna institución de fiscalización tendrá la facultad para verificar si lo materializado efectivamente corresponde a lo proyectado (control topográfico), de ahí la importancia que tiene la topografía para los estudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de sus potencialidades ingenieriles. • Levantamientos aéreos: se hacen por medio de la fotografía, generalmente desde aviones y/o drones, y se usan como auxiliares muy valiosos de todas las otras clases de levantamientos. La fotogrametría se dedica especialmente al estudio de estos trabajos. 1.4 Mediciones en topografía La medición es la técnica mediante la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de comparar dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se adopta como unidad. La medida de una superficie da lugar a dos cantidades diferentes si se emplean distintas unidades de medida. Así, surgió la necesidad de establecer una unidad de medida única para cada magnitud, de modo que la información fuese fácilmente comprendida por todos. Los levantamientos topográficos se basan en la medición de distancias y ángulos. Las distancias pueden ser: horizontales, que son las medidas principales en planimetría; verticales, que se utilizan para establecer las diferencias de nivel; y las inclinadas, mediciones sobre la superficie terrestre. En topografía, cuando se hacen mediciones lineales, es importante tener claridad en los siguientes conceptos: 5 CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS • Distancia Natural: distancia entre dos puntos siguiendo el relieve del terreno. • Distancia Geométrica: longitud del segmento de recta que une los dos puntos, también se denomina distancia inclinada. • Distancia Reducida: distancia medida sobre el plano horizontal, también denominada distancia horizontal. FIGURA 1.2 Distancias en topografía B is D t c n a t a n ia is D t r u c n a l a ia g e é m o t r ic a A Distancia reducida Los ángulos que se miden en topografía son horizontales y verticales. Los ángulos horizontales permiten determinar la ubicación de los detalles en coordenadas X y Y, mientras que los verticales se utilizan para determinar diferencias de cota o altura. 1.4.1 Unidades de medición angular Los círculos horizontales y verticales en los equipos vienen generalmente graduados en los sistemas angulares sexagesimales o centesimales, sin embargo algunos equipos para el uso militar pueden también venir graduados en el sistema de milésimas. 1.4.1.1 Sistema sexagesimal (MODE DEG) • 1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360° grados sexagesimales. • 1° = 60´ (minutos sexagesimales). • 1´ = 60˝ (segundos sexagesimales). 6 TOPOGRAFÍA Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse o restarse por separado, los grados, los minutos y segundos. Es importante que los usuarios de calculadoras aprendan a usarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medición de ángulos, en este caso Mode DEG, así como también conocer el proceso de conversión de mediciones angulares, expresadas en formato de fracciones de grados sexagesimales, a formatos de grados, minutos, segundos sexagesimales. 1.4.1.2 Sistema centesimal (MODE GRA ) • 1 Círculo horizontal o vertical = 400 g. • 1 g = 100 c (minutos centesimales). • 1 c = 100 cc (segundos centesimales). Las operaciones aritméticas se efectúan exactamente igual que el común de las operaciones usadas en el sistema decimal. 1.4.1.3 Sistema en radianes (MODE RAD ) En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usar algún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemas: • 2 π radianes = 360 ° (Sistema sexagesimal). • 2 π radianes = 400 g (Sistema centesimal). 1.4.1.4 Sistema en milésimas En este sistema de graduación se han fabricado algunas brújulas geológicas e instrumentales de artillería. • 1 Círculo horizontal = 6.400- (milésimas). • 1/4 Círculo horizontal = 1.600- (milésimas). • 1/64 Círculo horizontal = 100- (milésimas). 1.4.2 Unidades de medida de longitud Una unidad de longitud es una cantidad estandarizada, por convención, de distancia. La longitud es una magnitud fundamental creada para medir la distancia entre dos puntos. Existen diversos sistemas de unidades para esta magnitud física; los más comúnmente usados son el Sistema Internacional de Unidades y el sistema anglosajón de unidades. CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 1.4.2.1 Sistema Internacional de Unidades En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la unidad fundamental de longitud es el metro, definido como la distancia que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de 1/299.792.458 de segundo. El símbolo del metro es «m». Múltiplos y submúltiplos del metro Utilizando los prefijos del Sistema Internacional, es posible definir unidades de longitud que son múltiplos o submúltiplos del metro. A continuación se enlistan los múltiplos y submúltiplos del metro, aceptados dentro del SI, junto con su símbolo y su equivalencia en metros, en notación científica y decimal. • Múltiplos del metro: » Yottametro (Ym): 1024 metros = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 metros Zettametro (Zm): 1021 metros = 1 000 000 000 000 000 000 000 metros » Exámetro (Em): 1018 metros = 1 000 000 000 000 000 000 metros » Petámetro (Pm): 1015 metros = 1 000 000 000 000 000 metros » Terámetro (Tm): 1012 metros = 1 000 000 000 000 metros » Gigámetro (Gm): 109 metros = 1 000 000 000 metros » Megámetro (Mm): 106 metros = 1 000 000 metros » Kilómetro (km): 103 metros = 1 000 metros » Hectómetro (hm): 102 metros = 100 metros » » Decámetro (dam): 10 1 metros = 10 metros • Submúltiplos del metro: Decímetro (dm): 10 -1 metros = 0,1 metros » Centímetro (cm): 10 -2 metros = 0,01 metros » Milímetro (mm): 10-3 metros = 0,001 metros » Micrómetro (µm): 10-6 metros = 0,000 001 metros » Nanómetro (nm): 10-9 metros = 0,000 000 001 metros » Picómetro (pm): 10-12 metros = 0,000 000 000 001 metros » Femtómetro (fm): 10-15 metros = 0,000 000 000 000 001 metros » Attómetro (am): 10-18 metros = 0,000 000 000 000 000 001 metros » Zeptómetro (zm): 10-21 metros = 0,000 000 000 000 000 000 001 metros » Yoctómetro (ym): 10-24 metros = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 metros » 7 8 TOPOGRAFÍA 1.4.2.2 Sistema anglosajón de unidades El sistema para medir longitudes en los Estados Unidos se basa en la pulgada, el pie, la yarda y la milla. Cada una de estas unidades tiene dos definiciones ligeramente distintas, lo que ocasiona que existan dos diferentes sistemas de medición. Una pulgada de medida internacional mide exactamente 25,4 mm (por definición), mientras que una pulgada de agrimensor de Estados Unidos se define para que 39,37 pulgadas sean exactamente un metro. Para la mayoría de las aplicaciones, la diferencia es insignificante (aproximadamente 3 mm por cada milla). La medida internacional se utiliza en la mayoría de las aplicaciones para topografía. Las medidas de topografía emplean una definición más antigua, que se usó antes de que los Estados Unidos adoptaran la medida internacional: • 1 mil = 25,4 µm (micrómetros) • 1 pulgada ( in) = 1 000 miles = 2,54 cm • 1 pie (ft) = 12 in = 30,48 cm • 1 yarda ( yd) = 3 ft = 36 in = 91,44 cm • 1 rod (rd) = 5,5 yd = 16,5 ft = 198 in = 5,0292 m • 1 cadena ( ch) = 4 rd = 22 yd = 66 ſt = 792 in = 20,1168 m • 1 furlong (fur) = 10 ch = 40 rd = 220 yd = 660 ft = 7.920 in = 201,168 m • 1 milla ( mi) = 8 fur = 80 ch = 320 rd = 1.760 yd = 5.280 ſt = 63.360 in = 1.609,344 m = 1,609347 km (agricultura) • 1 legua = 3 mi = 24 fur = 240 ch = 960 rd = 5.280 yd = 15.840 ſt = 190.080 in = 4.828,032 m = 4,828032 km A veces, con fines de topografía, se utilizan las unidades conocidas como las medidas de cadena de Gunther (o medidas de cadena del agrimensor ). Estas unidades se definen a continuación: • 1 link (li ) = 7,92 in = 0,001 fur = 201, ena (unidad de longitud) • Para medir profundidades del mar, se utilizan los fathoms (braza): • 1 braza = 6 ſt = 2 yd = 72 in = 1,8288 m 1.4.3 Unidades de medida de superficie Las unidades de superficie son medidas utilizadas para medir superficies con una determinada área, se utiliza el m² en el Sistema Internacional de Unidades. Igualmente, se puede utilizar el sistema anglosajón de unidades. CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 1.4.3.1 Sistema Internacional de Unidades Unidad básica: Metro cuadrado. Múltiplos: • Decámetro cuadrado o Área. • Hectómetro cuadrado o Hectárea. • Kilómetro cuadrado. Submúltiplos: • Decímetro cuadrado. • Centímetro cuadrado. • Milímetro cuadrado. 1.4.3.2 Sistema anglosajón de unidades Las unidades de superficie en EE.UU. se basan en la yarda cuadrada (sq, yd o yd²). • 1 pulgada cuadrada (sq in o in²) = 6,4516 cm² • 1 pie cuadrado (sq ſt o ſt²) = 144 in² = 929,0304 cm² • 1 yarda cuadrada (sq yd o yd²) = 9 ſt² = 1.296 in² = 0,83612736 m² • 1 rod cuadrado (sq rd o ‘’rd²) • 1 rood = 40 rd² = 1.210 yd² = 10.890 ſt² = 1.568.160 in² = 1.011,7141056 m² • 1 acre (ac) = 4 roods = 160 rd ² = 4.840 yd² = 43.560 ſt² = 6.272.640 in² = 4.046,8564224 m² • 1 homestead = 160 ac = 640 roods = 25.600 rd² = 774.400 yd² = 6.969.600 ſt² = 1.003.622.400 in² = 647.497,027584 m ² • 1 milla cuadrada (sq mi o mi²) = 4 homesteads = 640 ac = 2.560 roods = 102.400 rd ² = 3.097.600 yd² = 27.878.400 ſt² = 4.014.489.600 in² = 2,589988110336 km² • 1 legua cuadrada = 9 mi ² = 36 homesteads = 5.760 ac = 23.040 roods = 921.600 rd ² = 27.878.400 yd² = 250.905.600 ſt² = 36.130.406.400 in² = 23,309892993024 km² 1.4.4 Unidades de medida de volumen Existen multitud de unidades de volumen que se utilizan dependiendo del contexto o de la finalidad de la medición. En los ámbitos académicos o técnicos se suelen emplear el metro y sus derivados. Para expresar el volumen de sustancias líquidas o gaseosas, e incluso para mercancías a granel, se suele recurrir 9 10 TOPOGRAFÍA a la capacidad del recipiente que lo contiene, medida en litros y sus derivados. En ocasiones, cuando la densidad del material es constante y conocida, se pueden expresar las cantidades por su equivalente en peso en lugar de volumen. 1.4.4.1 Sistema Internacional de Unidades En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de volumen es el metro cúbico (m3). Algunos de los múltiplos y submúltiplos usuales del metro cúbico son los siguientes: Múltiplos • Kilómetro cúbico = 109 m3. • Hectómetro cúbico = 106 m3. • Decámetro cúbico = 103 m3 Submúltiplos • Decímetro cúbico = 10-3 m 3 • Centímetro cúbico = 10-6 m3 • Milímetro cúbico = 10-9 m3 La unidad más utilizada para medir el volumen de líquidos o recipientes es el litro. El litro está admitido en el S.I. aunque estrictamente no forma parte de él. 1.4.4.2 Sistema anglosajón de unidades Las unidades de volumen en el sistema anglosajón de unidades se derivan de las respectivas unidades de longitud, como la pulgada cúbica, el pie cúbico, la yarda cúbica, el acre-pie o la milla cúbica. Para medir el volumen de líquidos, las unidades de capacidad más extendidas son el barril, el galón y la pinta, y en menor medida la onza líquida, el cuarto, el gill , el mínimo o el escrúpulo líquido. 1.5 Redondeo de Números Consiste en suprimir, de una respuesta numérica, uno o más dígitos para que tenga solamente los que sean significativos o necesarios en los cálculos subsecuentes. Existen tres normas básicas para el redondeo de números: 1. Cuando el número por eliminar sea menor que 5 se escribe el número sin este dígito: 65,89436 redondeado a tres decimales será 65,894. Este procedimiento se conoce como truncar número. 2. Cuando el número a eliminar es igual a 5 se redondea al número par siguiente, ejemplo 54,6675 será 54,668; así 54,6685. 11 CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 3. Cuando el digito es mayor que 5 se redondea al siguiente número. Así 29,5789 será 29,579. Esto se conoce como aproximar número. Como una medida práctica, cuando se haga una secuencia de operaciones aritméticas, se recomienda no redondear números en los cálculos intermedios, sólo al momento de entregar la respuesta, debido a que en el redondeo se pueden llegar a perder décimas significativas. 1.6 Exactitud y precisión Exactitud es el grado de proximidad que se tiene en una medición al verdadero valor de su magnitud. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación, cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación. Precisión es lo contrario a dispersión de las observaciones. Explica qué tanto difiere una serie de mediciones de otra, que se toman bajo las mismas condiciones. En una serie de mediciones de una misma magnitud, si los valores obtenidos son muy cercanos, se puede concluir que la precisión de la medición es alta. En topografía se puede hablar de precisión más no de exactitud, ya que por las leyes de la probabilidad nunca se conoce el verdadero valor de una medida. En la figura 1.3 se presentan algunos ejemplos de estos dos términos, en (a) los resultados son precisos pero no exactos, en (b) los resultados no son precisos ni exactos y en (c) los resultados son tanto precisos como exactos. FIGURA 1.3 Precisión (a) (b) (c) 12 TOPOGRAFÍA 1.7 Equipos utilizados en Topografía 1.7.1 Estación total Se denomina estación total a un aparato electro-óptico, cuyo funcionamiento se apoya en la tecnología electrónica. Consiste en la incorporación de un distanciómetro y un microprocesador a un teodolito electrónico. FIGURA 1.4 Estación total 1.7.2 Trípode Se denomina trípode a un armazón que cuenta con tres pies y que se utiliza como sostén de diversos equipos topográficos. FIGURA 1.5 Trípode CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 1.7.3 Nivel topográfico El nivel topográfico, también llamado nivel óptico o equialtímetro, es un instrumento que tiene como finalidad la medición de desniveles entre puntos que se hallan a distintas alturas o el traslado de cotas de un punto conocido a otro desconocido. FIGURA 1.6 Nivel 1.7.4 Mira topográfica En topografía, una estadía o mira estadimétrica, también llamado estadal en Latinoamérica, es una regla graduada que permite mediante un nivel topográfico, medir desniveles, es decir, diferencias de altura. Con una mira, también se pueden medir distancias con métodos trigonométricos. FIGURA 1.7 Mira 13 14 TOPOGRAFÍA 1.7.5 Prisma Son espejos formando un triedro que reflejan la señal emitida por el distanciométro. Se montan sobre los jalones y pueden llevar una señal de puntería. FIGURA 1.8 Prisma 1.7.6 Jalones Un jalón o baliza es un accesorio para realizar mediciones con instrumentos topográficos, originalmente era una vara larga de madera, de sección cilíndrica, donde se monta un prismático en la parte superior, y rematada por un regatón de acero en la parte inferior, por donde se clava en el terreno. En la actualidad, se fabrican en aluminio, chapa de acero o fibra de vidrio en tramos de 1,50 m. o 1,00 m. de largo, enchufables mediante los regatones o roscables entre sí para conformar un jalón de mayor altura y permitir una mejor visibilidad en zonas boscosas o con fuertes desniveles. Algunos se encuentran pintados (los de acero) o conformados (los de fibra de vidrio) con franjas alternadas generalmente de color rojo y blanco de 25 cm de longitud para que el observador pueda tener mayor visibilidad del objetivo. FIGURA 1.9 Jalones CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS 1.7.7 Cinta métrica Una cinta métrica o un flexómetro es un instrumento de medida que consiste en una cinta flexible graduada y que se puede enrollar, haciendo que el transporte sea más fácil. También con ella se pueden medir líneas y superficies curvas. FIGURA 1.10 Cinta 1.7.8 Plomadas Una plomada es una pesa de plomo normalmente, pero puede ser hecha de cualquier otro metal de forma cilíndrica o prismática. Su parte inferior es de forma cónica que, gracias a la cuerda de la que pende, marca una línea vertical; de hecho la vertical se define por este instrumento. FIGURA 1.11 Plomada 15 CAPÍ TULO 2 L E V A N T A M IEN T O S CO N CIN T A Y B R U J Ú L A 2.1 Levantamiento con cinta E s el levantamiento topográfico (planimétrico) de cualquier tipo de terreno, en el cual la toma de información en campo (medición de distancias horizontales) se realiza con una cinta métrica y con equipo menor (plomadas, estacas, puntillas, etc.), con el objetivo de representar cada una de los elementos que componen el terreno en mención, para posteriormente realizar el cálculo de distancias, áreas y demás magnitudes según el requerimiento del proyecto. El levantamiento con cinta es un levantamiento tradicional que se emplea cuando no se tienen equipos para medición de ángulos y distancias. Es necesario tener en cuenta que el levantamiento con cinta no brinda una gran precisión ya que los ángulos se miden de forma indirecta o con equipos elementales como la escuadra de agrimensor, por lo anterior se recalca la necesidad de que las mediciones realizadas sean de muy buena calidad y se recomienda realizar varias repeticiones de cada medida. El levantamiento con cinta es empleado en levantamientos arquitectónicos. Cuando el terreno es muy grande, se recomienda realizar las mediciones con equipos electrónicos ya que con cinta el procedimiento será más dispendioso y con mayores posibilidades de cometer errores. 18 TOPOGRAFÍA 2.1.1 Medición de distancias con cinta Para todo tipo de levantamiento topográfico se hace necesario medir distancias entre diferentes elementos o puntos de apoyo o guías. Las medidas que se realizan pueden ser de distancias horizontales, verticales y/o inclinadas, para un levantamiento con cinta se deben medir las distancias horizontales, ya que con estas es que se realiza la representación planimétrica de terrenos o elementos encontrados en estos. Las medidas se deben realizar con muy buena técnica y así minimizar los errores correspondientes. a) Cuando el terreno es totalmente plano y no existe vegetación u otra clase de obstáculos que impidan realizar la medición, se debe colocar la cinta directamente sobre los puntos materializados (la cinta debe estar paralela al terreno y garantizando en todo momento la horizontalidad), tensionar la cinta de manera adecuada y con plena comunicación y coordinación entre los cadeneros (ayudantes de topografía); tal como se ilustra en la figura 2.1., la persona que está en el punto cero de la cinta debe garantizar que dicho cero coincida con el punto materializado cuando la otra persona tensione y realice la medida. Para una buena técnica, al inicio es importante realizar varias series de mediciones que permitan comprobar la precisión de los datos. FIGURA 2.1 Medidas con cinta en terreno plano b) Si las distancias a medir son de una magnitud considerable (superan la longitud de la cinta), se deben realizar mediciones parciales o seccionadas tal como se presenta en la figura 2.2. Se debe garantizar que los puntos intermedios estén alineados según la dirección de los puntos iniciales o globales a medir. FIGURA 2.2 Medidas seccionadas con cinta en terreno plano CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA c) Para terrenos inclinados (ondulados, montañosos o escarpados), si no existe vegetación u otra clase de obstáculos que impidan realizar la medición se debe colocar la cinta directamente sobre el punto más alto y proyectar por medio de una plomada el punto más bajo (ver figura 2.3). Se recomienda realizar las medidas de arriba hacia abajo, ya que la persona que está en el punto cero de la cinta (punto más alto) puede controlar dicha posición con mayor firmeza y la otra persona tensionará la cinta y realizará la medición respectiva. Se debe intentar que la cinta este totalmente horizontal, dicha situación se puede realizar por medio de niveles de mano (Nivel Locke o Nivel Abney) que se pueden colocar sobre la cinta o con ayuda de otra persona que se encuentre con una vista perpendicular a la dirección de la medida a realizar. Cuando los cadeneros o ayudantes de topografía tienen una buena experiencia logran de manera muy acertada verificar la horizontalidad de la cinta sin ayuda de terceros o de equipos adicionales. FIGURA 2.3 Medidas con cinta en terreno inclinado d) Si la longitud de la cinta métrica no alcanza o si la diferencia de nivel impide realizar la medición directa entre los dos puntos, se deben realizar medidas seccionadas o por tramos, tal como se muestra en la figura 2.4. Se debe garantizar que los puntos intermedios estén alineados según la dirección de los puntos iniciales o globales a medir. La altura de la plomada nunca debe superar la altura de los ojos del cadenero, así se evitarán errores de proyección vertical del punto. 19 20 TOPOGRAFÍA FIGURA 2.4 Medidas seccionadas con cinta en terreno inclinado e) Cuando existan elementos como vegetación, construcciones o cualquier otro tipo de elemento que impidan realizar la medida colocando la cinta directamente sobre alguno de los dos puntos, se debe utilizar plomadas en ambos extremos (ver figura 2.5). FIGURA 2.5 Medidas con cinta en terreno inclinado con obstáculos 2.1.2 Medición de ángulos con cinta Para varios tipos de levantamientos topográficos se hace necesario medir ángulos de elementos encontrados en el terreno o de vértices de polígonos o intersecciones de alineamientos materializados en campo. 21 CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 2.1.2.1 Perpendiculares con cinta a) Método del radio. Para trazar una perpendicular a un alineamiento (línea visual directa entre el punto A y el punto B, figura 2.6) desde el punto (P) se mide la distancia (d) tanto en dirección a A como en dirección a B, realizando la correspondiente materialización de los dos puntos. Desde los dos puntos materializados, de forma simultánea, se mide una distancia R la cual debe ser mayor a la distancia (d), dónde se intersequen dichas mediciones estará la perpendicular al punto P. FIGURA 2.6 Perpendicular con cinta, método del radio R R P A B d d D1 b) Método del triángulo rectángulo. Consiste en formar un triángulo en campo con un ángulo recto, midiendo simultáneamente distancias con longitudes de 3, 4 y 5 metros, múltiplos o submúltiplos de dichos valores, tal como se relaciona en la figura 2.7. Se debe garantizar que uno de los catetos del triángulo coincida con el correspondiente alineamiento. FIGURA 2.7 Perpendicular con cinta, método del triángulo rectángulo 5 5 4 3 A 3 P B B P 4 c) Con escala de agrimensor o escala óptica. Se ubica el equipo en el punto (P), se da visual hacia uno de los extremos del alineamiento para, de esta forma, tender la visual perpendicular (ver figura 2.8). Se debe garantizar que el equipo utilizado este nivelado en el momento de tomar las visuales. 22 TOPOGRAFÍA FIGURA 2.8 Perpendicular con escuadras P A B 2.1.2.2 Medición de cualquier ángulo con cinta Se requiere medir el ángulo formado en el punto D2 tal como se ilustra en la figura 2.9, para lo cual, en términos generales, se realiza lo siguiente: desde D2 en dirección al D1 se mide la distancia R (entre más grande sea el valor de R se van a obtener mejores resultados), se materializa el punto p1; se mide la misma distancia R desde D2 en dirección a D3, se materializa el punto p2; finalmente se mide la distancia p1 a p2. FIGURA 2.9 Fórmula para ángulos con cinta D1 p1 R 2/c α/2 c D2 α R p2 D3 CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA En oficina, se calcula el respectivo ángulo así: C Sen α = 2 2 R C α Sen = 2 2R α 2 = Sen C 2R -1 C 2 R α = 2 * Sen -1 Dónde: α = Ángulo a medir. C = Cuerda (distancia p1 a p2). R = Distancia medida desde D2 en dirección a D1 y en dirección a D3. 2.1.3 Cálculo de áreas por figuras geométricas En levantamientos topográficos muchas veces para el cálculo de áreas y elaboración de planos se divide el terreno en figuras geométricas que se asemejen a la forma del terreno; básicamente se utilizan el triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo y trapecio. A continuación, se relacionan las fórmulas para el cálculo correspondiente: • Cuadrado: A = L * L • Rectángulo: A = B * H 23 24 TOPOGRAFÍA • Círculo: A = π * R2 • Triángulo: B* H 2 » Se conocen la base (B) y la altura (H): A = » Se conocen dos lados (a,b) y el ángulo (α) formado entre ellos: A= » a * b * senα 2 Se conocen los tres lados: A = ( S ( S − a )( S − b)( S − c )) ; S = a+b+c 2 CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA » Se conocen dos ángulos y el lado entre ellos: ϕ = 180 – (α + β) c.senβ b c b= = senϕ senβ senϕ h h = bsenα senα = b csenβ h= senα senϕ c*h Área = :::: :::: 2 Área = • Trapecio: A = c 2 senβ senα 2sen(180 - (α+β)) B1 + B2 *H 2 25 26 TOPOGRAFÍA Donde: 2 » A = Área en m del trapecio. B1 = Base mayor. » B = Base menor. 2 » » H = Altura. 2.1.4 Levantamiento con cinta método de izquierdas y derechas 2.1.4.1 Procedimiento de Campo • Reconocimiento de la zona a levantar y dibujar el croquis respectivo. • Cuando la zona tiene forma regular se divide en figuras geométricas, a las cuales se les miden las distancias de cada lado (2 a 4 veces) y los ángulos, necesarios para determinar el área y hacer la representación gráfica a escala. • Si la forma del terreno es irregular se materializa un polígono que se asemeje, en la medida de lo posible, a la forma o linderos del terreno, dicho polígono debe abarcar todo o la mayor parte del terreno; a dicho polígono se le miden las distancias y ángulos internos respectivos según lo relacionado en los numerales 2.1.1 y 2.1.2; para mejorar la precisión del método dichas distancias se deben medir varias veces y calcular con los promedios respectivos. • Los detalles o puntos que representan los accidentes naturales o artificiales (obras civiles) del terreno y que quedan por fuera o por dentro del polígono se levantan o toman por el método de izquierdas y/o derechas, el cual consiste en medir distancias perpendiculares a los alineamientos que componen el polígono. 2.1.4.2 Procedimiento de Oficina De acuerdo a las mediciones realizadas en campo, se calculan y ajustan los ángulos internos del polígono de acuerdo a la sumatoria teórica, y se calcula el área del polígono; para lo cual se deben promediar las distancias (como ya se mencionó se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas están adecuadamente realizadas) y corregir los ángulos de acuerdo a la sumatoria teórica del polígono efectuado. Finalmente de acuerdo a las figuras geométricas que se formaron en la toma de izquierdas y derechas, se realiza el cálculo de área de cada una de ellas, para que se pueda determinar el área total del terreno sumando o restando las áreas individuales al área del polígono según el caso. CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 2.1.4.3 Ejercicio práctico FIGURA 2.10A Carteras de campo: levantamiento con cinta 27 28 TOPOGRAFÍA FIGURA 2.10B Carteras de campo: levantamiento con cinta 29 CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA Cálculos El levantamiento se realizó materializando un polígono de 4 lados conformado por los deltas o puntos D1, D2, D3 y D4, inicialmente se calculan los ángulos internos (con una aproximación al segundo) para cada uno de los 4 deltas. • Cálculo de ángulos internos: • Fórmula: α = 2 * Sen C 2R -1 • C = cuerda • R = radio TABLA 2.1 Ángulos del polígono Ángulo No. Valor 1 84º 45 11” 2 75º 09 52” 3 104º 23 23” 4 94º 48 02” • Corrección de ángulos: TABLA 2.2 Ángulos corregidos Ángulo No. Valor Corrección Ángulo corregido 1 84º 45 11” 0º13 23” 84º 58 34” 2 75º 09 52” 0º13 23” 75º 23 15” 3 104º 23 23” 0º13 23” 104º 36 46” 4 94º 48 02” 0º13 23” 95º 01 25” Sumatoria 359° 06 28” 0° 53 32” 360° 00 00” • El error en ángulo es igual a la sumatoria teórica de ángulos internos de un polígono cerrado, es decir ((n-2)*180), menos la sumatoria obtenida con la medición de cuerdas y radios. ∑ Teórica = (n-2)* 180 = 360° » ∑ Obtenida = 359° 06 28” » Error Angular = ∑ Teórica - ∑ Obtenida » Error Angular = 0° 53 32” » 30 TOPOGRAFÍA En la medición de ángulos con cinta por el método de radios y cuerda el error máximo permisible es de 30 minutos por ángulo. Es decir, para este ejemplo serian 120 minutos = 2 grados, por lo cual se determina que se ha cumplido con la especificación. La corrección es igual al error en ángulo dividido en el número de ángulos. • Corrección = Error en ángulo / n = 0º13 23” • n = número de ángulos Como la sumatoria obtenida es menor a la teórica, la corrección se le suma a cada ángulo, como se relaciona en la tabla 2.2. • Promedio de distancias: Se promedian las distancias para cada lado del polígono TABLA 2.3 Promedio de las distancias horizontales ∆ Punto Distancia 1 Distancia 2 Promedio D1 D2 86.861 86.855 86.858 D2 D3 71.794 71.792 71.793 D3 D4 61.592 61.594 61.593 D4 D1 69.386 69.382 69.384 • Cálculo de áreas: De acuerdo con la información tomada en campo, se divide la zona en figuras geométricas (figura 2.11) y se calcula el área total levantada. Para presentar el cálculo de forma organizada, la información se consigna como se muestra en la tabla 2.4. 31 CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA FIGURA 2.11 Área por figuras geométricas D1 D2 9 1 3 4 2 Parqueadero D4 D3 4 TABLA 2.4 Cálculo del área por figuras geométricas No. Elementos Fórmula 1 a = 86.858 b = 69.384 α = 84º 58 34” = ∗ ∗ ∝ 2 3001.702 2 a = 71.793 b = 61.593 α = 104º 36 46” = ∗ ∗ ∝ 2 2139.455 3 b = 71.793 h = 27.558 ∗ℎ = ( ) 2 989.236 4 b = 61.593 h = 19.089 ∗ℎ = ( ) 2 587.874 Área total del terreno (m2) Área (m2) 6718.267 Con los cálculos realizados, se realiza del plano correspondiente del terreno, sobre dicho plano se puede calcular el área restaurante, el cual se dibuja por medio de las izquierdas y derechas tomadas en campo tal como se presenta en la figura 2.12 (puntos 1, 2, 3, 5, 7,8); también podrán tomarse algunas medidas adicionales en terreno para calcular su área. 32 TOPOGRAFÍA FIGURA 2.12 Distancias izquierdas y derechas al restaurante 2.1.5 Levantamiento con cinta método de medidas a dos puntos 2.1.5.1 Procedimiento de campo • Reconocimiento de la zona a levantar y dibujar el croquis respectivo. • Materializar dos puntos que sean intervisibles entre si y que se pueda medir la distancia entre los mismos por medio de la cinta métrica, en lo posible que desde estos dos punto se vean todos y cada uno de los detalles del terreno a levantar ya que estos dos puntos serán la base del levantamiento. • No importa si los puntos quedan por fuera o dentro del terreno, se deben ubicar buscando la forma que se puedan tomar las medidas con mayor facilidad. • Medir la distancia entre los dos puntos materializados. • Medir la distancia desde cada punto materializado a cada uno de los detalles del terreno. • Si desde los dos puntos no se puede ver algún detalle se mide la distancia desde cada uno de los dos puntos a otro punto u otra pareja de puntos, que servirán como nueva base. CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 2.1.5.2 Procedimiento de oficina Se dibujan los dos puntos materializados, desde cada uno de estos se miden las distancias respectivas a cada detalle (se pueden utilizar círculos de radio igual a la correspondiente distancia), ubicando cada uno de los mismos. En la figura 2.13 se puede observar que, siguiendo la orientación determinada en el gráfico del levantamiento, las 2 distancias medidas al punto 10 solo coinciden en un punto. Finalmente, sobre el plano se calculan las respectivas áreas de acuerdo a las necesidades del proyecto. FIGURA 2.13 Distancias al punto 10 33 34 TOPOGRAFÍA 2.1.5.3 Ejercicio práctico Realice el plano según los datos consignados en las carteras de campo. FIGURA 2.14A Carteras de campo: levantamiento con cinta, método distancias a dos puntos CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA FIGURA 2.14B Carteras de campo: levantamiento con cinta, método distancias a dos puntos 35 36 TOPOGRAFÍA 2.1.5.4 Ejercicio planteado De acuerdo a los datos consignados en las carteras de campo, calcule el área del terreno a edificar y realice el plano correspondiente. FIGURA 2.15A Ejercicio planteado: levantamiento con cinta CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA FIGURA 2.15B Ejercicio planteado: levantamiento con cinta 37 38 TOPOGRAFÍA 2.2 Levantamiento con cinta y brújula El levantamiento con cinta y brújula es similar al levantamiento con cinta, sin embargo para calcular los ángulos se miden los azimuts magnéticos del polígono utilizando la brújula. Este levantamiento es utilizado para terrenos de poca extensión y donde no se necesite una gran precisión. En las áreas de topografía y de vías las magnitudes de los ángulos se miden por medio de las direcciones de las líneas que salen del respectivo vértice, para medir las direcciones se utiliza el azimut y/o el rumbo. Azimut: dirección de una línea medida desde la línea de referencia denominada Norte. Se mide en sentido de las manecillas del reloj; su valor se encuentra entre 0º y 360º. El azimut se define relacionando su valor angular, por ejemplo una línea de azimut 60º indica que la dirección de dicha línea forma un ángulo de 60º medidos desde la norte hacia la derecha tal como se relaciona en la figura 2.16. FIGURA 2.16 Azimut Rumbo: ángulo medido a partir de la línea Norte - Sur, los valores angulares estarán entre 0º y 90º y para su denominación se debe especificar el cuadrante al cual corresponde. En el primer cuadrante el rumbo es noreste (NE); en el segundo, sureste (SE); en el tercero, suroeste (SW); y en el cuarto, noroeste (NW). En la figura 2.17 se presentan cuatro líneas las cuales representan los siguientes rumbos: N 32° E, S 47° E, S 40° E y N 54° E. CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA FIGURA 2.17 Rumbo Brújula: equipo manual que determina las direcciones según los polos magnéticos; antes de la aparición de los teodolitos y las estaciones totales, los topógrafos la utilizaban para medir azimuts y/o rumbos. La brújula consta básicamente de una caja con un círculo graduado para medir rumbos magnéticos o azimuts magnéticos. La caja contiene una aguja de acero magnetizada montada sobre un pivote, la aguja de la brújula se alinea con el norte magnético. Para medir una dirección con la brújula se instala la brújula en un extremo de la línea, se libera el seguro de la aguja y se dirige la visual hacia el otro extremo de la línea; antes de tomar la lectura se debe verificar que la brújula se encuentre nivelada. La brújula se usa para levantamientos de poca precisión o para verificar levantamientos ya realizados. Declinación magnética: ángulo formado entre el meridiano magnético y el meridiano verdadero. Para cada punto de la Tierra tiene un valor diferente y variable, ya que el norte magnético varía inexplicablemente por cambios en los campos magnéticos de esta. Varía en una dirección y luego en otra. La declinación se puede presentar hacia el Este o hacia el Oeste de acuerdo a los polos geográficos de la tierra. Atracción local: debido a que la dirección que toma la aguja estará alterada por fuerzas magnéticas diferentes al campo magnético terrestre (objetos metálicos, de hierro, acero, corrientes eléctricas y otros metales) se presentará un error en las direcciones tomadas con la brújula. Todas las direcciones tomadas desde un mismo sitio se verán afectadas por un mismo valor de atracción local. Para eliminar la atracción local, se toman las direcciones de una línea en los dos sentidos y la diferencia teórica en valores de azimut debe ser 180º. 39 40 TOPOGRAFÍA 2.2.1 Ejercicio práctico 2.2.1.1 Trabajo de campo • Reconocimiento del terreno: se debe identificar el terreno del levantamiento y realizar el gráfico o bosquejo correspondiente. • Polígono de referencia: materializar los vértices de un polígono tratando de abarcar la mayor parte del terreno. Se recomienda que el polígono siga, en la medida de lo posible, el lindero del terreno y así el proceso de toma de detalles será menos dispendioso. • Toma de direcciones y medición de distancias del polígono: se miden cada una de las distancias del polígono materializado (se recomienda realizar varias mediciones, para los cálculos se deben utilizar los promedios matemáticos), con la brújula se toman los respectivos azimuts o rumbos, de cada línea del polígono en las dos direcciones. • Toma de detalles: los detalles adicionales, ya sea para completar el área total o para georreferenciar detalles puntuales, como árboles, postes, entre otros, se toman por el método de izquierdas y derechas, utilizando la misma metodología relacionada en el levantamiento con cinta, numeral 2.1.4. 2.2.1.2 Trabajo de oficina • Cálculo y ajuste de los ángulos internos: con base en los azimuts o rumbos tomados en campo se calculan los ángulos internos del polígono, los cuales se corrigen de acuerdo a la sumatoria teórica. • Determinación de la atracción local: sabiendo que la diferencia entre azimut y contrazimut debe ser 180°. • Ajuste de los azimuts del polígono: con base en la línea de menor atracción local y los ángulos internos corregidos, se determinan los azimuts corregidos o ajustados de las demás líneas del polígono. • Cálculo de áreas: con base en el polígono ajustado y los datos de izquierdas y derechas determinar las áreas parciales y las áreas totales. Los cálculos de áreas se pueden realizar en el plano correspondiente. CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA 2.2.1.3 Ejemplo Práctico FIGURA 2.18A Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula 41 42 TOPOGRAFÍA FIGURA 2.18B Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula De acuerdo a los azimuts de cada línea se calculan los ángulos internos del polígono. 43 CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA TABLA 2.5 Cálculo de ángulos Delta Punto Azimut D. 4 37 D. 2 338 D. 1 160 D. 3 61 D. 2 240 D. 4 168 D. 3 346 D. 1 215 Áng. Interno D. 1 59 D. 2 99 D. 3 72 D. 4 131 La sumatoria de ángulos tomados en campo u ob se rvados es de 361°00’00” Los ángulos internos de un polígono cerrado deben cumplir la sumatoria teórica, según las siguientes fórmulas: • Ángulos internos = (n - 2)*180 • Ángulos externos= (n + 2) *180 Donde: • n = número de vértices o lados del polígono. • Error angular del polígono = diferencia entre la sumatoria de los ángulos calculados y la sumatoria teórica. Error angular = ∑ángulos observados - ∑teórica Este error angular debe ser menor al error permitido para este tipode levantamiento, para este caso el error permitido se determina con la siguiente fórmula: Error angular permitido = n * p Donde: • n = número de vértices. • p = precisión del equipo, en este caso precisión de la brújula, regularmente estas brújulas tienen una precisión de un grado. Para este caso el error máximo permisible es de 4°. 44 TOPOGRAFÍA Ajuste de ángulos: después de verificar que el error se encuentra dentro de los parámetros permisibles se ajustan los ángulos. Para que ajuste el polígono, la corrección debe ser con el signo contrario al del error. Error angular = 361° - 360° = 1° Corrección = error angular / n = -1° / 4 = -00° 15’ TABLA 2.6 Corrección de ángulos Delta Punto Azimut D. 4 37 D. 2 338 D. 1 160 D. 3 61 D. 2 240 D. 4 168 D. 3 346 D. 1 215 D. 1 D. 2 D. 3 D. 4 Áng. Interno Corrección Áng. Cor. 59 - 00° 15’ 00” 58° 45 00” 99 - 00° 15’ 00” 98° 45 00” 72 - 00° 15’ 00” 71° 45’ 00” 131 - 00° 15’ 00” 130° 45’ 00” Atracción local: Para cada una de las líneas, se tomaron dos azimut uno en cada dirección, teóricamente estas dos direcciones deberían ser el azimut y el contrazimut de cada línea, es decir, deberían tener una diferencia entre sí de 180°. Para calcular el contrazimut, si el azimut es menor a 180° se le suman 180° y si el azimut es mayor a 180° se le resta 180°. La diferencia entre el contrazimut calculado con base en la fórmula y el tomado en campo se denomina atracción local. Atracción local (AL) = azimut calculado – azimut tomado en campo CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA FIGURA 2.19 Azimuts tomados en campo En el ejemplo el azimut de la línea D. 1 – D2 es de 338°, el contrazimut debería ser 158°, como el tomado en campo es 160° la atracción local de la línea es de 2º. 45 46 TOPOGRAFÍA FIGURA 2.20 Atracción local de cada línea del polígono Tomar como referencia la línea de menor atracción local y ajustar la totalidad de las líneas del polígono según los ángulos corregidos. Se toma la línea de menor atracción local y se promedian los azimuts y contrazimuts, para tener los azimuts corregidos para el ajuste, con los ángulos corregidos se ajusta el polígono. En el ejemplo, el lado con menor atracción local es el comprendido entre el D2 y D3 pues presenta un valor de 1°, por lo tanto los azimuts de referencia para corregir el polígono son 60°30’00” de D2 a D3 y 240°30’00” de D3 a D2. El azimut de la línea siguiente será igual al azimut anterior menos el ángulo si se avanza en sentido de las manecillas del reloj y el azimut anterior más el ángulo si se avanza en contra de las manecillas del reloj. CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA FIGURA 2.21 Atracción local de cada línea del polígono Para el cálculo de áreas se realiza el mismo procedimiento del capítulo del levantamiento con cinta por el método de izquierdas y derechas. 47 48 TOPOGRAFÍA 2.3 Ejercicios planteados FIGURA 2.22 Ejercicio: Medición con cinta CAPÍ TULO 3 ÁNGULOS Y COORDENADAS 3.1 Ángulos E mana del vocablo latino angŭlus, se refiere a una figura de la geometría que se forma a partir de dos rectas que se cortan entre sí sobre una misma superficie; corresponde también a la magnitud de abertura del espacio formado por dos líneas que se interceptan en un mismo vértice. Por definición un ángulo es la abertura entre dos líneas que se cortan, este ángulo está compuesto por línea de referencia, el sentido y amplitud (figura 3.1); en Topografía estos elementos corresponden a: • Línea de Referencia : la Norte que puede ser de tres tipos Real, Magnética y Arbitraria • Sentido: regularmente se toma el sentido de las manecillas del reloj, asumiendo que este sentido es positivo. • Amplitud : valor angular que en este caso se puede tomar como rumbo o azimut. Los sistemas de medida de los ángulos son: degradianes (grado, minuto y segundo), centesimales (gones) y radianes (radian). Los ángulos más empleados en topografía son el rumbo (Rb), el azimut (AZ) y el ángulo de deflexión (Δ). 50 TOPOGRAFÍA En topografía se considera la nomenclatura de los cuadrantes tal como se representa en la figura 3.2, ya que el cero está en sentido hacia la norte y los ángulos se miden en sentido horario. FIGURA 3.1 Ángulo FIGURA 3.2 Nomenclatura de los cuadrantes CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 3.1.1 Rumbo – Rb Es el ángulo en cada uno de los cuatro cuadrantes medido desde la línea Norte – Sur hacia el eje Este – Oeste; el valor angular esta entre 0º y 90º, y la nomenclatura corresponde a letras del cuadrante y en el centro el valor del ángulo, colocando primero la letra de la dirección Norte o Sur y luego la de Este u Oeste. En la figura 3.3 el ángulo θ representa la magnitud de un rumbo en cada cuadrante. FIGURA 3.3 Rumbo Para este caso se tiene: en el primer (I) cuadrante Rb = N 45° E, en el segundo (II) cuadrante Rb = S 45° E, en el tercer (III) cuadrante Rb = S 45° W y en el cuarto (IV) cuadrante Rb = N 45° W. 3.1.2 Azimut – AZ Dirección medida a partir de la línea de referencia Norte, su valor esta entre 0º y 360º, la nomenclatura corresponde solo al valor angular que se mide en sentido horario. En la figura 3.4 el ángulo θ representa el valor o magnitud de un azimut medido en cada cuadrante. 51 52 TOPOGRAFÍA FIGURA 3.4 Azimut Para este caso se tiene: en el primer (I) cuadrante AZ = 45, en el segundo (II) cuadrante AZ = 135°, en el tercer (III) cuadrante AZ = 215° y en el cuarto (IV) cuadrante AZ = 305°. 3.1.3 Ángulo de deflexión El ángulo de deflexión, también conocido como ángulo de giro, es el ángulo que se lee entre la proyección de un alineamiento y la dirección del siguiente. Su valor está entre 0° y 180°, puede ser de derecha (‘+’) o de izquierda (‘-’). La figura 3.5 presenta dos ángulos θ de deflexión. FIGURA 3.5 Ángulo de deflexión CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 3.2 Coordenadas Las coordenadas representan un sistema numérico, de letras o símbolos, que sirven para determinar la ubicación de un punto en la Tierra. Se definen dos sistemas principales de coordenadas: • Las coordenadas geográficas: representan el planeta mediante líneas que dividen la tierra en dos semiesferas una hacia el este y otra al oeste (180° al este y 180° al oeste), conocidas como meridianos, y líneas paralelas al Ecuador, conocidas como paralelos, que igualmente dividen el globo terráqueo en dos semiesferas una al norte y otra al sur (90° al norte y 90° al sur); el origen del sistema corresponde al paralelo que cruza por el ecuador (0°) y al meridiano de Greenwich (0°). • Las coordenadas planas: representan el globo terráqueo mediante un sistema de plano cartesiano x, y el cual puede corresponder a números y letras o más comúnmente a un sistema coordenado de Nortes y Estes. Para determinar un sistema de coordenadas es necesario tener una proyección cartográfica, es decir, la representación de la superficie curva del planeta sobre un plano; existen tres tipos de proyecciones: cónica, azimutal o cilíndrica, las cuales a su vez pueden ser normal, oblicua o terrestre (figura 3.6). Una proyección es normal cuando el eje de la figura coincide con el eje de la Tierra, es oblicua cuando el eje de la figura respecto al eje de la Tierra se encuentra en una posición mayor a cero grados y menor a noventa grados, y una proyección es transversal cuando el eje de la figura es ortogonal al eje de la Tierra. Mercator Transversal (TM) corresponde a una proyección, presentada por Lambert en 1772, basada en una solución esférica. En su forma elipsoidal es una de las proyecciones más utilizadas en el mundo. Se utiliza en muchos países para crear mapas topográficos oficiales. Con la proyección Mercator Transversal, la mayoría de meridianos y paralelos son curvas complejas. El meridiano central y los meridianos situados a noventa grados del meridiano central, así como el Ecuador, son líneas rectas. La proyección denominada Mercator Transversal Universal (UTM) corresponde a un uso específico de la proyección Mercator Transversal con la especificación de meridianos centrales y un factor de reducción de escala de 0.9996 (una reducción de 1:2500). Esta es la proyección más empleada a nivel mundial. Tiene por eje el meridiano central, que se proyecta por medio de una recta dibujada en el plano, y el Ecuador, representado por otra recta perpendicular a la anterior. Su origen se remonta a la Segunda Guerra Mundial, se requería establecer un sistema único a nivel mundial que reuniera condiciones como conformidad, continuidad (mínimo número de zonas), errores de escala reducidos, sistema de referencia único para todas las zonas, fórmulas generales de transformación, reducida convergencia de meridianos, entre otras. 53 54 TOPOGRAFÍA El sistema Gauss-Krüger es un sistema geométrico de referencia empleado para expresar numéricamente la posición geodésica de un punto sobre el terreno. Se utiliza un cilindro transverso (Mercator Transversal) como superficie de proyección, donde se define un meridiano central como lugar de contacto con la tierra. El resultado es una proyección conforme que no mantiene las direcciones. A lo largo del meridiano central no se observan deformaciones. La proyección Gauss-Krüger es empleada actualmente para las cartas topográficas en Colombia. El sistema de coordenadas planas de la tierra se basa en una proyección transversal cilíndrica (Mercator Transversal Universal) donde el cilindro toca la esfera terrestre a lo largo de un meridiano. Este método divide a la esfera terrestre en 60 secciones, cada una de las cuales abarca una franja de 6° de longitud. Las zonas se enumeran comenzando con 1 para zona que cubre los 180 ° E y 174° O. Además las zonas se subdividen en filas, con una altura de 8°, a las que se les asigna letras de sur a norte, empezando con la letra C a los 80° Sur (ONU, 2002). Las coordenadas planas están conformadas por una serie de líneas verticales (y= Norte) y horizontales (x=Este), que al interceptarse forman un reticulado muy útil en la representación de pequeñas áreas en escala grande. La unidad de medida está establecida por el sistema métrico decimal. (IGAC, 1990). FIGURA 3.6 Proyecciones cartográficas Có n ica Azimu tal Cilín drica No rmal Oblicu a Transversal Para Colombia como origen de las coordenadas planas se toma el centro del telescopio del observatorio astronómico Nacional el cual tiene coordenadas CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS geográficas: g = 4° 35’ 56.57’’ latitud y l = 74° 04’ 51.30’’ de longitud; para garantizar no tener coordenadas negativas se le asignaron coordenadas falsas: X = 1´000 000 m Y = 1´000 000 m; las coordenadas aumentan X hacia el norte y disminuyen hacia el sur, y de igual forma Y aumentan hacia el este y disminuyen hacia el oeste. Debido a que la proyección es cilíndrica transversal fue necesario establecer cinco orígenes en estes, tal como lo representa la figura 3.7. FIGURA 3.7 Orígenes de las coordenadas planas de Gauss en Colombia En un levantamiento se pueden establecer las coordenadas planas de tres maneras: arbitrarias, asifinas o reales. 3.2.1 Coordenadas arbitrarias Cuando se definen coordenadas a los vértices o deltas de un levantamiento que no están amarradas a un sistema plano de coordenadas, se debe escoger un valor que 55 56 TOPOGRAFÍA garantice que todas las coordenadas de los detalles serán positivas, es decir, que están en el primer cuadrante del plano cartesiano. Un terreno o proyecto levantado con coordenadas arbitrarias se puede dibujar y permite calcular áreas, pero no se puede referenciar, es decir, no se puede ubicar en un espacio real del planeta. 3.2.2 Coordenadas asifinas Cuando se definen coordenadas a los vértices o deltas de un levantamiento con base en una extrapolación de valores de coordenadas planas de una cartografía existentes, el levantamiento se ajusta a la cartografía origen de las coordenadas asifinas. 3.2.3 Coordenadas reales Hoy en día es el sistema más empleado en levantamientos topográficos de proyectos de infraestructura; se toma como base del levantamiento al menos un par de puntos (mojones) georreferenciados, cuyas coordenadas son planas de Gauss o acimutales de algún lugar especial, por ejemplo Bogotá. Un terreno o proyecto levantado con coordenadas reales permite calcular áreas, se puede dibujar y referenciar, es decir se puede ubicar en un espacio real del planeta, continente, país o ciudad. 3.2.4 Coordenadas rectangulares Las coordenadas corresponden a las proyecciones cartesianas x, y o N, E de un punto cualquiera con relación a un origen de referencia por el cual cruzan los dos ejes ortogonales del plano cartesiano. La figura 3.8 presenta los puntos A y B, y la proyección de sus coordenadas rectangulares xA o EA, yA o NA y xB o EB, yB o NB. FIGURA 3.8 Coordenadas CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 3.2.5 Coordenadas polares Aritméticamente las coordenadas polares definen la ubicación de un punto respecto del origen de un plano mediante dos elementos: la distancia entre el origen del plano y el punto conocido como polo, y el ángulo (θ) medido desde la línea de referencia, que será la Norte, y una línea imaginaria proyectada hacia el punto que se desea localizar. En topografía el origen del plano está simbolizado por un punto de coordenadas rectangulares conocidas (N y E), el polo equivale a la distancia “d” entre los dos puntos y el ángulo (θ) se mide a partir del eje vertical o Norte, con base en él se determina la dirección o Azimut entre los dos puntos. La figura 3.9 presenta: el punto A de coordenadas rectangulares conocidas xA o EA, yA o NA y el punto B cuya ubicación está definida por la distancia d y el ángulo θ medido contra la vertical que pasa por el punto A. FIGURA 3.9 Coordenadas polares 3.3 Conversión de coordenadas 3.3.1 Conversión de coordenadas rectangulares a polares Para determinar la distancia d y la dirección o azimut AZ entre dos puntos A y B (definir las coordenadas polares entre A y B) se basa en el teorema de Pitágoras: el área del cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos del triángulo; en este caso la hipotenusa del 57 58 TOPOGRAFÍA triángulo rectángulo corresponde a la distancia entre los puntos A y B, y los catetos corresponden a la diferencia entre las coordenadas Norte y Este de los puntos A y B. Con base en la figura 3.10 se tiene: ΔN = N B - NA y ΔE = EB - EA (3.1) Por Pitágoras: d2 = ΔN2 + ΔE2 (3.2) d = 2 ΔN 2 + ΔE 2 (3.3) FIGURA 3.10 Coordenadas rectangulares a polares La dirección se define en función del ángulo θ: tan(θ) = ΔE ΔN ΔE θ = arctan ΔN (3.4) (3.5) 59 CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS El ángulo θ tiene un valor comprendido entre 0º y 90º, mientras que un azimut se define con un valor entre 0º y 360º, por lo que es necesario determinar la dirección o cuadrante en la cual se encuentra θ y, con base en este, establecer el valor de la dirección que corresponde al azimut. Este cuadrante se define en función de los signos de las ΔN y ΔE, tal como lo presenta la figura 3.11. FIGURA 3.11 Definición de cuadrante en función del signo de las diferencias de norte y este De acuerdo con el cuadrante y con el signo del ángulo θ, producto de la razón algebraica de la diferencia de estes ΔE sobre la diferencia de nortes ΔN, presentado en la figura 3.11, se regla el valor de la dirección o azimut, tal como se consigna en la tabla 3.1 TABLA 3.1 Determinación del valor del Azimut CUADRANTE SIGNO DE θ AZIMUT I + θ Az = θ II -θ Az= 180 + (− θ) III + θ Az = 180 + (+ θ) IV -θ Az = 360 + (− θ) 60 TOPOGRAFÍA A diferencia del cálculo de la distancia d, en la cuantificación del azimut es muy importante el orden de los sumandos al determinar la diferencia de Norte y Este, por lo cual siempre se restará de las coordenadas del punto de destino (visado) de las coordenadas del punto de origen -armado , es decir: si se desea hallar la dirección de A hacia B: FIGURA 3.12 Signo del ángulo θ Az AB entonces : ΔN = N E - N A y : ΔE = EE - E A (3.6) Al contrario para determinar la dirección de B hacia A: Az AB entonces : ΔN = N A - N B y : ΔE = E A - EB (3.7) 61 CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS 3.3.2 Conversión de coordenadas polares a rectangulares Para obtener las coordenadas planas o rectangulares entre dos puntos A y B es necesario contar con las coordenadas de alguno de los puntos A y B, y la distancia y dirección (Azimut) del punto de coordenadas conocidas al de coordenadas desconocidas. La distancia d y la dirección Az corresponden a las coordenadas polares entre los puntos A y B. FIGURA 3.13 Coordenadas rectangulares a polares De acuerdo con la figura 3.13 se tiene: NB = NA + ΔN (3.8) EB = EA + ΔE (3.9) Donde las proyecciones ∆N y ∆E corresponden a los catetos del triángulo AcB, la hipotenusa a la distancia d y θ el ángulo adyacente a la proyección norte, por tanto: ΔN = d * cosθ y ΔE = d * senθ Como se observa en la parte derecha de la figura 3.13, es necesario tener en cuenta que tanto la proyección norte ΔN como la proyección este ΔE deben restarse de las coordenadas del punto A, para determinar las coordenadas del punto B. 62 TOPOGRAFÍA Ahora bien, si el cálculo se realiza con el azimut determinado en función del ángulo θ, tal como se estableció en la tabla 3.1, el producto de la distancia por el seno o el coseno del azimut dará directamente el valor de la proyección (∆N o ∆E), con lo cual su valor se suma algebraicamente a la coordenada del punto base A. ΔN = d * cosAz y ΔE = d * sen Az (3.10) Las coordenadas de B se determinan así: NB = NA + ΔN y EB = EA + ΔE NB = NA + d * cos Az y EB = EA + d * sen Az (3.11) CAPÍ TULO 4 R ADIACIÓN 4.1 Radiación simple 4.1.1 Definición E s el método más fácil para realizar el levantamiento de un lote pequeño e igualmente es el más utilizado para realizar la toma de detalles de una poligonal abierta o cerrada desde cada uno de sus deltas, con el fin de obtener todos los datos de coordenadas y elaborar el Modelo Digital del Terreno - MDT. Para su ejecución se debe seleccionar un delta o centro de radiación, preferiblemente de coordenadas conocidas, desde el cual se medirán las distancias y direcciones (azimuts) hacia cada uno de los diferentes puntos (vértices, detalles, puntos de quiebre) a definir en el levantamiento. 64 TOPOGRAFÍA FIGURA 4.1 Radiación simple de un lote La figura 4.1 presenta el esquema básico de un levantamiento por radiación, en la que se observa que se debe materializar el delta, vértice o centro de radiación “C”, y sobre este punto armar, centrar y nivelar el equipo. Desde el vértice se deben visualizar todos y cada uno de los puntos o deltas que conforman el polígono a levantar (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10) , así como los detalles del levantamiento . Con el equipo instalado en el delta se da visual a la norte, que puede ser arbitraria (fijando la visual en un objeto que no sea susceptible de sufrir un desplazamiento) o real si es tomada entre dos puntos de coordenadas conocidas, en este caso se podrá establecer el azimut real de cada uno de los vértices del polígono. De igual manera en la figura 4.1 se aprecia que es necesario medir tanto el ángulo entre la norte y la dirección de cada vértice del polígono o detalle ( ), como la distancia desde el centro de radiación a cada vértice del polígono o detalle del lote ( ). Para realizar el levantamiento de radiación se emplea desde un teodolito, hasta una estación total, la figura 4.2 presenta una imagen de estos equipos. CAPÍTULO 4: RADIACIÓN FIGURA 4.2 Equipos empleados en levantamientos por radiación simple 4.1.2 Aplicaciones La radiación simple es el procedimiento topográfico más sencillo y eficaz para levantar el detalle de un área circundante al vértice de radiación. Se combina con las poligonales cerradas para el levantamiento de detalles desde cada uno de los vértices de la poligonal, lo que lo convierte en uno de los procedimientos topográfico más empleados. Cabe resaltar que, con la utilización de los equipos de medición electrónica, la medición de distancias se ha simplificado y hace de este levantamiento un procedimiento muy versátil. 4.1.3 Procedimiento en terreno Lo primero a ejecutar en el campo es realizar un recorrido o reconocimiento del terreno con el fin de establecer los puntos o detalles que se deben levantar, la planeación de las labores del terreno y elaborar un bosquejo del terreno que incluya la identificación de los detalles para programar los trabajos y orientar los trabajos de oficina. Identificados los detalles y los puntos del terreno a ser levantados, se materializa el vértice, delta o punto de armado del equipo. Desde el vértice se realiza la radiación a todos los puntos y detalles; en consecuencia el delta debe materializarse en un punto más o menos central al levantamiento y asegurar la visual desde el delta a todos y cada uno de los puntos y detalles. Sobre el delta materializado se arma, centra y nivela el equipo, se da visual a la norte (magnética, arbitraria o real) y se encera el equipo para establecer ceros en el limbo horizontal (0° 00’ 00’’). Con la visual sobre la norte, se suelta el movimiento horizontal y se da inicio al barrido de los ángulos horizontales 65 66 TOPOGRAFÍA empezando por el primer detalle; ubicado el detalle se fija el plato horizontal, se ajusta con el movimiento lento y se procede a dar lectura del valor del ángulo horizontal y a medir la distancia desde el vértice de armada hasta el punto del detalle. El procedimiento se repite hasta registrar el ángulo y la distancia de todos los detalles requeridos para la representación del terreno. Los ángulos y distancias se registran en la cartera de campo. Al finalizar, se vuelve a dar visual al punto que materializó el primer detalle o la norte y se lee el ángulo horizontal observado en el equipo, con el fin de verificar el error angular “e” generado por posibles movimientos o desnivelación del equipo durante la medición, error que no debe superar la precisión angular del equipo, de suceder esto deberá verificar la nivelación y centrado del equipo sobre el delta y repetir la lectura de los ángulos. El error de cierre angular se determina como: e = α – α’ (4.1) Donde: • e = Error de cierre. • α = Primera lectura al Norte de referencia o primer detalle. • α’ = Segunda lectura al Norte de referencia o primer detalle. Al levantar los detalles en el terreno y con el fin de dibujarlos en la oficina es importante tener en cuenta: • Un punto (árbol, señal de tránsito, poste, entre otros) se define con un punto y se identifican las características del objeto en las observaciones (altura, ancho, diámetro). • Una línea (cerca, muro, canal, recta de una calle, entre otros) se define con dos puntos, uno al principio y otro al final. • Una curva (bordillo de la esquina de una calle, curva de una carretera o ferrocarril, meandro de un río) se define con tres puntos, uno al comienzo, otro en el centro y otro al final. 4.1.4 Procedimiento en la oficina Se revisa que el error angular esté dentro del error permitido y se procede a calcular los azimuts, las proyecciones y las coordenadas de cada uno de los detalles o puntos del levantamiento, así como las áreas que se requiera determinar. CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 4.1.5 Ejemplo Práctico Se desea levantar un estadio de béisbol para calcular el área de la grama y realizar trabajos de mantenimiento. La figura 4.3 presenta una imagen del estadio y las figuras 4.4 a y 4.4 b contienen la cartera de campo del levantamiento. FIGURA 4.3 Imagen del predio a levantar 4.1.6 Cálculos 4.1.6.1 Cálculo de proyecciones Como la norte fue arbitraria, los ángulos observados corresponden directamente a los azimuts, con los cuales se establecen las proyecciones ∆N y ∆E, de cada uno de los detalles, para ello se precede a convertir las coordenadas polares tomadas en campo (azimut y distancia) en las proyecciones cartesianas ∆N y ∆E. En caso que la norte se establezca con base en puntos de coordenadas conocidas se deberá determinar el azimut de esta dirección y deberá calcularse el azimut hacia cada detalle como el azimut hacia la norte más el ángulo observado. 67 68 TOPOGRAFÍA FIGURA 4.4 A Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla CAPÍTULO 4: RADIACIÓN FIGURA 4.4 B Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla Teniendo en cuenta que para este levantamiento se armó el equipo en D1 y se dio visual en ceros a la parte izquierda de las torres de iluminación del estadio, estableciendo una norte arbitraria, las coordenadas del delta son arbitrarias pero su valor debe evitar que los cálculos arrojen coordenadas negativas. Coordenadas de D1 N = 1000.000; E = 2000.000 69 70 TOPOGRAFÍA 4.1.6.2 Cálculo de coordenadas Las coordenadas de los puntos o detalles se determinan con base en las ecuaciones 3.8 y 3.9, y las proyecciones, con la ecuación 3.10, los resultados se consignan en la tabla 4.1. NB = NA + ΔN (3.8) EB = E A + ΔE (3.9) ΔN = d * cosAz y ΔE = d * sen Az (3.10) TABLA 4.1 Determinación de los azimuts y proyecciones de los detalles ∆ AZIMUT Θ DIST. PROYECCIONES NS D1 EW COORDENADAS Θ NORTE ESTE 1 000.000 2 000.000 D1 N 0 ° 0‘ 0 ‘’ 1 2 ° 24 ‘ 1 ‘’ 60.249 60.196 2.523 1 060.196 2 002.523 1 2 6 ° 48 ‘ 30 ‘’ 60.140 59.716 7.130 1 059.716 2 007.130 2 3 10 ° 51 ‘ 7 ‘’ 60.038 58.964 11.303 1 058.964 2 011.303 3 4 18 ° 16 ‘ 14 ‘’ 59.374 56.381 18.614 1 056.381 2 018.614 4 5 27 ° 2‘ 18 ‘’ 57.413 51.138 26.099 1 051.138 2 026.099 5 6 82 ° 48 ‘ 27 ‘’ 63.116 7.902 62.619 1 007.902 2 062.619 6 7 86 ° 49 ‘ 22 ‘’ 64.231 3.560 64.132 1 003.560 2 064.132 7 8 97 ° 20 ‘ 46 ‘’ 52.263 -6.682 51.834 993.318 2 051.834 8 9 135 ° 9‘ 46 ‘’ 49.209 -34.895 34.697 965.105 2 034.697 9 10 142 ° 29 ‘ 53 ‘’ 43.714 -34.680 26.613 965.320 2 026.613 10 11 157 ° 16 ‘ 59 ‘’ 44.994 -41.504 17.376 958.496 2 017.376 11 12 173 ° 59 ‘ 17 ‘’ 64.397 -64.043 6.745 935.957 2 006.745 12 13 174 ° 23 ‘ 37 ‘’ 10.703 -10.652 1.046 989.348 2 001.046 13 14 178 ° 56 ‘ 32 ‘’ 54.855 -54.846 1.013 945.154 2 001.013 14 15 181 ° 3‘ 28 ‘’ 19.572 -19.569 -0.361 980.431 1 999.639 15 16 182 ° 31 ‘ 44 ‘’ 40.032 -39.993 -1.766 960.007 1 998.234 16 17 183 ° 28 ‘ 25 ‘’ 57.962 -57.856 -3.512 942.144 1 996.488 17 18 184 ° 26 ‘ 31 ‘’ 68.700 -68.494 -5.321 931.506 1 994.679 18 19 187 ° 22 ‘ 34 ‘’ 54.668 -54.216 -7.018 945.784 1 992.982 19 20 193 ° 33 ‘ 13 ‘’ 63.168 -61.409 -14.804 938.591 1 985.196 20 21 209 ° 47 ‘ 56 ‘’ 42.891 -37.220 -21.315 962.780 1 978.685 21 22 224 ° 39 ‘ 19 ‘’ 39.671 -28.220 -27.882 971.780 1 972.118 22 71 CAPÍTULO 4: RADIACIÓN ∆ AZIMUT Θ DIST. PROYECCIONES COORDENADAS Θ 23 231 ° 55 ‘ 5 ‘’ 46.123 -28.448 -36.305 971.552 1 963.695 23 24 274 ° 8‘ 27 ‘’ 48.062 3.470 -47.937 1 003.470 1 952.063 24 25 285 ° 55 ‘ 16 ‘’ 61.526 16.877 -59.166 1 016.877 1 940.834 25 26 299 ° 5‘ 26 ‘’ 62.092 30.189 -54.259 1 030.189 1 945.741 26 27 331 ° 20 ‘ 27 ‘’ 58.616 51.435 -28.112 1 051.435 1 971.888 27 28 346 ° 55 ‘ 7 ‘’ 60.656 59.082 -13.729 1 059.082 1 986.271 28 4.2 Radiación doble 4.2.1 Definición Recibe también los nombres de base media e intersección de visuales. El método se basa en la ejecución de dos radiaciones sencillas, evitando con ello la medición de distancias, desde los extremos de una línea o base medida que corresponderán a los vértices o deltas de las radiaciones, hacia los detalles o punto del levantamiento. La única distancia que se mide en el terreno es la de la base medida. En el primer vértice o delta se establecerá la norte (arbitraria, magnética o real) y se barrerán los ángulos a cada uno de los detalles; posteriormente, se arma el equipo en el segundo vértice y, con ceros en la visual al primer delta, se barren los ángulos a todos los detalles. Con los ángulos medidos en cada delta y con la distancia de la base medida se generan unos triángulos, mediante los cuales se determinan en oficina las distancias a cada detalle, empleando el teorema de los senos. La figura 4.5 presenta el esquema gráfico básico de este tipo de levantamiento, como se observa, se establecen como vértices dos deltas o centros de radiación “D2 y D3”, sobre los cuales se centra y nivela el aparato. Estos puntos deben tener la particularidad de permitir la visual a todos y cada uno de los vértices o detalles que conforman el polígono a levantar (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20 para el ejemplo) , con el equipo instalado en el vértice uno D2 se da visual al mojón denominado D1; en este caso la norte es real ya que la visual se fija desde D2 a otro punto de coordenadas conocidas D1; por lo que se tiene el azimut real desde D2 hacia D1. Posteriormente con el equipo centrado, armado y nivelado en el vértice dos D3 se da visual a D2 y se barren los ángulos hacia cada uno de los vértices del polígono. La distancia ( ) debe ser medida en el terreno. 72 TOPOGRAFÍA 4.2.2 Aplicaciones La radiación doble es empleada en el levantamiento de terrenos que presentan una gran dificultad para acceder con medidas directas hacia sus vértices o para emplear otro método topográfico de levantamiento. FIGURA 4.5 Radiación doble 4.2.3 Ley de senos En un triángulo cualquiera existe una igualdad entre las proporciones de cada lado y el seno de los ángulos opuestos a dicho lado, tal como se presenta en la figura 4.6. FIGURA 4.6 Ley de senos CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 4.2.4 Metodología 4.2.4.1 Actividades en terreno Como siempre, la primera labor es realizar un reconocimiento del terreno con el fin de identificar los puntos, detalles o vértices, planificar las labores de terreno y ejecutar un bosquejo que ayude a programar los trabajos. Una vez identificados los detalles del terreno que van a ser levantados, se procede a ubicar y materializar los deltas D2 y D3, que conforman los extremos de la base medida, sobre los cuales se centra, arma y nivela el equipo para radiar todos los detalles. Estos puntos deben ser intervisibles, permitir la medición de la distancia entre ellos y tener visibilidad a todos y cada uno de los detalles del terreno. Los deltas D2 y D3 pueden estar ubicados dentro o fuera de la zona de trabajo, preferiblemente afuera, su separación no debe ser pequeña con relación al tamaño del terreno a levantar, mínimo un quinto de la mayor distancia de éste. De igual forma, es recomendable buscar una ubicación de manera tal que los ángulos leídos a los detalles no sean muy agudos, porque esto afecta la precisión de los cálculos. Materializada la base medida se arma, centra y nivela el equipo en el primer delta D2, enseguida, con el limbo horizontal en ceros (0° 00’ 00’’) se da visual al mojón D1. Definida la línea de referencia, se suelta el círculo horizontal y se da visual al punto D3, se registra el valor del ángulo y se mide la distancia entre deltas. La precisión en distancia debe ser mayor a 1:5000; por eso es necesario realizar como mínimo tres mediciones, para establecer como valor final el promedio de las medidas tomadas. A continuación se barre el ángulo en sentido horario a cada detalle. Para el primer punto se busca la visual del detalle, se fija el plato horizontal, se ajusta con el movimiento lento buscando el hilo de la plomada y se procede a leer el valor del ángulo, que debe ser registrado en la cartera de campo. A continuación se repite el procedimiento anterior para el segundo detalle y así sucesivamente hasta el último detalle, al igual que en la radiación simple se repite la primera medición para chequear que el equipo no se haya desnivelado o movido. En seguida se traslada el equipo al segundo delta (D3), se arma, centra y nivela el equipo, se da visual al delta D2 y se acomoda en ceros el equipo (0° 00’ 00’’ ceros atrás), se sueltan los ceros y se barre el ángulo en sentido horario, buscando el primer detalle leído desde D2; siguiendo el mismo procedimiento, se fija el plato horizontal, se ajusta con el movimiento lento hasta ajustar el retículo con el hilo de la plomada y se procede a leer el valor del ángulo, valor que se registra en la cartera de campo. Se repite el procedimiento anterior para el segundo detalle y así sucesivamente hasta el último detalle. Se debe ser cuidadoso en el orden de barrido de los detalles desde D3, ya que estos deben ser tomados en estricto orden, tal como fueron observados desde D2, 73 74 TOPOGRAFÍA de lo contrario no podrá ser calculada la distancia. Al finalizar las mediciones angulares en D3, se vuelve a dar visual a D2 para verificar que el equipo está bien centrado, armado y nivelado. 4.2.4.2 Actividades en la oficina Con el fin de facilitar los cálculos de oficina y siempre que sea posible se debe prestar atención a las siguientes recomendaciones: • Preferiblemente la línea o base medida formada por los dos deltas, D2 y D3, debe estar ubicada fuera del terreno. • La norte, meridiano de referencia o brazo de armado debe establecerse por fuera y a la izquierda del terreno. • D3 debe quedar a la derecha de D2. Entre la base medida y cada detalle del levantamiento se conforma un triángulo, del cual se conoce un lado (la base medida o distancia entre D2 y D3) y, con base en los ángulos leídos desde los vértices, se establecen los ángulos internos del triángulo. Con el lado conocido y los ángulos internos del triángulo se aplica el teorema de los senos para determinar la distancia del delta D2 a cada punto. Si existente detalles o vértices a la izquierda de la norte o por debajo de la línea D1 y D2, se deben ajustar los ángulos para poder aplicar el teorema de los senos. 4.2.5 Ejemplo Se desea realizar el levantamiento de la parte central de la glorieta presentada en la figura 4.7. Debido al manejo del tránsito y la poca probabilidad de cerrar la glorieta se decide realizar una base medida en el separador del acceso norte y desde allí radiar los puntos de la glorieta. CAPÍTULO 4: RADIACIÓN FIGURA 4.7 Glorieta a ser levantada y ubicación de la base medida La figura 4.8 presenta la radiación tomada en el terreno y las figuras 4.9 a, 4.9 b y 4.9 c la cartera de campo. FIGURA 4.8 Radiación doble en la glorieta 75 76 TOPOGRAFÍA 4.2.5.1 Determinación de ángulos y distancias La distancia de la base medida corresponde al promedio de las 4 medidas tomadas en el terreno: d32 = 70.001 + 70.002 + 69.999 + 69.998 = 70.000 m FIGURA 4.9 A Cartera de Campo: radiación desde D2 CAPÍTULO 4: RADIACIÓN FIGURA 4.9 B Cartera de Campo: radiación desde D2 y D3 77 78 TOPOGRAFÍA FIGURA 4.9 C Cartera de Campo: radiación desde D3 79 CAPÍTULO 4: RADIACIÓN Para cada punto se determina un triángulo en el cual uno de sus lados es la base medida, empleando los ángulos medidos en el terreno y el teorema de senos, se calculan los ángulos internos del triángulo y la distancia desde D2 a cada punto, la cual se necesita para determinar las proyecciones y calcular las coordenadas. La figura 4.10 presenta un ejemplo con los datos del punto 4. FIGURA 4.10 Ángulos del triángulo para el punto 4 Para el detalle No. 4 se determinan los ángulos la siguiente manera: y de Una vez determinados los ángulos internos del triángulo, se determina la distancia del vértice D2 al punto 4 aplicando el teorema de los senos: 80 TOPOGRAFÍA La tabla 4.2 contiene los cálculos de ángulos y distancias para cada detalle, con base en el procedimiento anterior: TABLA 4.2 Ángulos internos de los triángulos y distancia desde D2 a los detalles PUNTO OD2D3 D2D3O D2OD3 DIST D2O 1 100 ° 37 ‘ 36 ‘’ 41 ° 48 ‘ 10 ‘’ 37 ° 34 ‘ 14 ‘’ 76.524 2 99 ° 01 ‘ 10 ‘’ 41 ° 6‘ 09 ‘’ 39 ° 52 ‘ 41 ‘’ 71.774 3 97 ° 41 ‘ 16 ‘’ 44 ° 48 ‘ 09 ‘’ 37 ° 30 ‘ 35 ‘’ 81.010 4 97 ° 33 ‘ 18 ‘’ 31 ° 14 ‘ 51 ‘’ 51 ° 11 ‘ 51 ‘’ 46.594 5 82 ° 55 ‘ 01 ‘’ 48 ° 53 ‘ 07 ‘’ 48 ° 11 ‘ 52 ‘’ 70.746 6 82 ° 29 ‘ 24 ‘’ 52 ° 45 ‘ 36 ‘’ 44 ° 45 ‘ 00 ‘’ 79.157 7 75 ° 48 ‘ 21 ‘’ 71 ° 19 ‘ 20 ‘’ 32 ° 52 ‘ 19 ‘’ 122.177 8 74 ° 50 ‘ 24 ‘’ 73 ° 07 ‘ 50 ‘’ 32 ° 01 ‘ 46 ‘’ 126.307 9 72 ° 54 ‘ 60 ‘’ 68 ° 01 ‘ 58 ‘’ 39 ° 03 ‘ 02 ‘’ 103.043 10 71 ° 29 ‘ 55 ‘’ 75 ° 40 ‘ 00 ‘’ 32 ° 50 ‘ 05 ‘’ 125.081 11 68 ° 18 ‘ 55 ‘’ 72 ° 27 ‘ 30 ‘’ 39 ° 13 ‘ 35 ‘’ 105.544 12 58 ° 49 ‘ 12 ‘’ 50 ° 03 ‘ 44 ‘’ 71 ° 07 ‘ 04 ‘’ 56.725 13 53 ° 46 ‘ 49 ‘’ 41 ° 41 ‘ 26 ‘’ 84 ° 31 ‘ 45 ‘’ 46.771 14 52 ° 14 ‘ 40 ‘’ 82 ° 09 ‘ 17 ‘’ 45 ° 36 ‘ 03 ‘’ 97.056 15 51 ° 39 ‘ 45 ‘’ 56 ° 29 ‘ 53 ‘’ 71 ° 50 ‘ 22 ‘’ 61.431 16 48 ° 45 ‘ 47 ‘’ 80 ° 47 ‘ 31 ‘’ 50 ° 26 ‘ 42 ‘’ 89.620 17 43 ° 40 ‘ 56 ‘’ 97 ° 20 ‘ 30 ‘’ 38 ° 58 ‘ 34 ‘’ 110.376 18 39 ° 58 ‘ 41 ‘’ 98 ° 29 ‘ 01 ‘’ 41 ° 32 ‘ 18 ‘’ 104.406 19 39 ° 19 ‘ 16 ‘’ 100 ° 20 ‘ 39 ‘’ 40 ° 20 ‘ 05 ‘’ 106.392 20 36 ° 13 ‘ 54 ‘’ 40 ° 49 ‘ 16 ‘’ 102 ° 56 ‘ 50 ‘’ 46.953 21 36 ° 13 ‘ 54 ‘’ 34 ° 03 ‘ 05 ‘’ 109 ° 43 ‘ 01 ‘’ 41.637 22 29 ° 20 ‘ 49 ‘’ 87 ° 23 ‘ 15 ‘’ 63 ° 15 ‘ 56 ‘’ 78.297 Determinadas las distancias del delta D2 a los detalles se procede a calcular las coordenadas de cada punto o detalle, para lo cual se debe establecer el azimut CAPÍTULO 4: RADIACIÓN del delta D2 a cada detalle. Para este ejemplo la norte no fue arbitraria sino que se estableció con base en dos puntos de coordenadas conocidas D1 y D2; para determinar el azimut de D2 hacia D1 empleamos la ecuación 4.5 y la tabla 4.1. Coordenadas de D1 N = 582.243; E = 1396.120. Coordenadas de D2 N = 610.201; E = 1353.977 Con base en la ecuación 3.6: ΔN = ND1 – ND2 y ΔE = ED1 – E D2 ΔN = 582.243 – 610.201 y ΔE = 1396.120 – 1353.977 ΔN = –27.958 ΔE = 42.143 y Por lo tanto el ángulo θ está en el segundo cuadrante y de acuerdo con la tabla 3.1 se resta θ de 180°. Con base en la ecuación 3.5: θ = arctan (ΔE / ΔN) θ = arctan (42.143 / –27.958) = –56° 26’ 22’’ Según lo establecido en la tabla 3.1: = 180 + (–θ) = 180 + (–56° 26’ 22’’) = 123° 33’ 38’’ Con el azimut de D2 hacia D1 y los ángulos observados de D2 a cada detalle se obtienen los azimuts de cada punto; con los azimuts y las distancias de D2 a cada detalle se calculan las proyecciones y las coordenadas con base en el procedimiento explicado en el capítulo 3; los resultados se presentan en la tabla 4.3. 81 TOPOGRAFÍA 82 5 6 7 8 9 01 11 21 916.2631 401.9431 739.7431 835.0331 956.7231 631.9231 928.0231 893.0231 603.7231 514.465 326.935 572.135 392.094 666.684 791.015 395.984 141.015 831.065 902.51 246.8 378.4- 040.6- 934.32- 813.62- 148.42- 841.33- 975.33- 176.62- 965.97- 687.54- 875.07- 629.87- 809.911- 535.321- 400.001- 806.021- 060.001- 360.05- 010.18 495.64 647.07 751.97 771.221 703.621 340.301 180.521 445.501 527.65 ’‘ 94 ’‘ 34 ’‘ 14 ’‘ 85 ’‘ 53 ’‘ 83 ’‘ 53 ’‘ 95 ’‘ 3.4 ’‘ 3.4 ’‘ 74 ‘ 05 ‘ 01 ‘ 81 ‘ 65 ‘ 22 ‘3 ‘1 ‘ 65 ‘ 22 ‘ 33 ‘2 ° 761 ° 961 ° 961 ° 381 ° 481 ° 191 ° 291 ° 391 ° 591 ° 891 ° 802 2 3 4 5 6 7 8 9 01 11 21 4 236.035 477.17 681.9631 661.07- 3 011.51 530.045 1 780.9631 ° 661 2 ‘ 41 202.81 ’‘ 32 378.535 425.67 971.2731 823.47- 1 3D 628.3- ° 662 598.96- ‘ 15 573.606 ’‘ 95 280.4821 2D 000.07 3D Δ 2D OTNUP ° 321 102.016 TUMIZA ‘ 33 779.3531 AICNATSID ’‘ 83 A SN SENOICCEYORP WE N SADANEDROOC E OTNUP o tneima tnavel led sa dane drooc y senoicceyorp s tumizA 3 .4 ALBAT 83 CAPÍTULO 4: RADIACIÓN 41 51 61 71 81 91 02 12 22 438.8921 365.8131 476.8921 244.8721 857.7721 084.5721 776.7131 787.1231 829.7821 233.035 600.065 086.935 027.925 848.835 683.835 124.085 397.385 551.865 341.55- 414.53- 303.55- 535.57- 912.67- 794.87- 003.63- 091.23- 940.66- 968.97- 591.05- 225.07- 184.08- 453.17- 518.17- 087.92- 904.62- 640.24- 177.64 650.79 134.16 026.98 673.011 604.401 293.601 359.64 736.14 792.87 ’‘ 01 ’‘ 91 ’‘ 41 ’‘ 21 ’‘ 3.3 ’‘ 81 ’‘ 34 ’‘ 3.5 ’‘ 3.5 ’‘ 01 ‘5 ‘ 73 ‘ 21 ‘6 ‘ 11 ‘ 35 ‘ 23 ‘ 83 ‘ 83 ‘ 13 ° 312 ° 412 ° 512 ° 812 ° 322 ° 622 ° 722 ° 032 ° 032 ° 732 31 41 51 61 71 81 91 02 12 22 OTNUP 781.93- TUMIZA 235.52- AICNATSID 410.175 SENOICCEYORP 544.8231 SADANEDROOC 31 OTNUP Δ 84 TOPOGRAFÍA 4.3 Ejercicios planteados Para los datos consignados en la tabla 4.4, realice la radiación sencilla. TABLA 4.4 Ejercicio planteado de radiación sencilla ∆ PUNTO AZIMUT DIST Observación D N 0 ° 0‘ 0 ‘’ 1 14 ° 8‘ 29 ‘’ 39.689 Punto de quiebre 2 41 ° 25 ‘ 16 ‘’ 51.541 Punto de quiebre 3 48 ° 54 ‘ 16 ‘’ 126.018 Punto de quiebre 4 65 ° 4‘ 37 ‘’ 38.097 Punto de quiebre 5 72 ° 25 ‘ 56 ‘’ 103.446 Punto de quiebre 6 89 ° 5‘ 37 ‘’ 132.005 Punto de quiebre 7 102 ° 14 ‘ 9 ‘’ 16.522 Punto de quiebre 8 143 ° 28 ‘ 9 ‘’ 33.092 Punto de quiebre 9 167 ° 32 ‘ 9 ‘’ 45.195 Punto de quiebre 10 181 ° 2‘ 9 ‘’ 52.834 Punto de quiebre 11 193 ° 15 ‘ 9 ‘’ 72.482 Punto de quiebre 12 215 ° 14 ‘ 9 ‘’ 77.207 Punto de quiebre 13 223 ° 26 ‘ 15 ‘’ 10.125 Punto de quiebre 14 237 ° 54 ‘ 15 ‘’ 28.307 Punto de quiebre 15 249 ° 25 ‘ 15 ‘’ 48.164 Punto de quiebre 16 254 ° 45 ‘ 15 ‘’ 58.085 Punto de quiebre 17 280 ° 38 ‘ 15 ‘’ 89.564 Punto de quiebre 18 280 ° 26 ‘ 15 ‘’ 104.978 Punto de quiebre 19 295 ° 36 ‘ 16 ‘’ 23.298 Punto de quiebre 20 308 ° 37 ‘ 16 ‘’ 39.949 Punto de quiebre 21 315 ° 36 ‘ 18 ‘’ 60.813 Punto de quiebre 22 340 ° 36 ‘ 16 ‘’ 88.780 Punto de quiebre Cost izq torre ilumi Para los datos consignados en la tabla 4.5, realice la radiación doble. 85 CAPÍTULO 4: RADIACIÓN TABLA 4.5 Ejercicio planteado de radiación doble Observación ∆ Θ Ángulo observado 0 ‘’ Mojón D3 D2 0 ° 19 ‘ 36 ‘’ Mojón 1 240 ° 109 ° 33 ‘ 37 ‘’ casa 2 242 ° 2 114 ° 2‘ 27 ‘’ casa 3 257 ° 3 115 ° 41 ‘ 10 ‘’ casa 4 254 ° 4 119 ° 14 ‘ 32 ‘’ casa 5 277 ° 5 136 ° 31 ‘ 24 ‘’ casa 6 280 ° 6 136 ° 38 ‘ 32 ‘’ casa 7 269 ° 7 137 ° 26 ‘ 22 ‘’ casa 8 272 ° 8 137 ° 28 ‘ 41 ‘’ casa 9 281 ° 9 146 ° 16 ‘ 8 ‘’ casa 10 286 ° 10 147 ° 44 ‘ 40 ‘’ casa 11 30 ° 11 302 ° 15 ‘ 44 ‘’ camino 12 47 ° 12 323 ° 8‘ 45 ‘’ camino 13 57 ° 13 336 ° 51 ‘ 34 ‘’ camino 14 64 ° 14 348 ° 44 ‘ 35 ‘’ camino 15 71 ° 15 6 ° 27 ‘ 39 ‘’ camino 16 93 ° 16 25 ° 25 ‘ 21 ‘’ camino 17 112 ° 17 32 ° 32 ‘ 0 ‘’ camino 19 126 ° 18 36 ° 38 ‘ 59 ‘’ camino ∆ Θ Ángulo observado D2 D1 0 ° 0‘ D3 70 ° 1 Distancia D2 - D3 42.249 NORTE ESTE 42.243 1744.320 1847.724 42.749 1741.280 1872.697 42.414 CAPÍ TULO 5 POLIGONALES 5.1 Generalidades C uando un terreno presenta una gran extensión o existen impedimentos que no permiten tener la visibilidad necesaria, se emplea un levantamiento de control o poligonal. El cual consiste en trazar un polígono que siga aproximadamente los límites del terreno y, desde los puntos que conforman este polígono, se toman los detalles faltantes para la perfecta determinación del terreno que se desea conocer. Los puntos que definen los extremos de las líneas que conforman la poligonal se denominan estaciones o deltas; la distancia que existe entre esos puntos sucesivos, medida sobre la poligonal, se determina por medición directa con cinta o un equipo MED (medición electrónica de distancias) y de igual manera en cada uno de estos deltas se miden los ángulos en el punto desde el vértice anterior y el siguiente. La figura 5.1 es un levantamiento de una construcción apoyado en una poligonal. 88 TOPOGRAFÍA FIGURA 5.1 Levantamiento con poligonales CT21 CT20 3 2 1 D1 8 6 5 D2 5.2 Clasificación de las poligonales Las poligonales se pueden clasificar según los puntos de partida y llegada en abiertas y cerradas. Según la orientación angular, las poligonales se pueden clasificar en orientadas o de azimut directo y no orientadas. 5.2.1 Poligonal abierta Poligonal que consta de una serie de líneas unidas que no regresan al punto de partida ni cierran en algún punto con igual o mayor precisión. Estas poligonales se originan en una estación o punto de coordenadas conocidas y termina en una estación de coordenadas desconocidas. En este tipo de poligonales no es posible verificar los datos obtenidos en campo, ya que no se posee suficiente información para ello. Para minimizar los errores que se comenten en este tipo de levantamiento poligonal, se recomienda la redundancia de información, es decir, cada dato debe ser tomado tres o cuatro veces, para obtener una mayor precisión; la medición de ángulos debe hacerse por repetición. Las poligonales abiertas pueden ser usadas en levantamientos para vías terrestres. A pesar de las precauciones, la poligonal abierta no es recomendada ya que se considera riesgosa pues no se puede comparar sus coordenadas de cierre con las de algún punto de coordenadas conocidas. 89 CAPÍTULO 5: POLIGONALES FIGURA 5.2 Poligonal abierta CT21 D2 CT20 D1 D3 5.2.2 Poligonal cerrada Pueden utilizarse en el establecimiento de la red de control para edificación de unidades habitacionales, determinación de perímetros, etc. Se clasifican en dos tipos: De circuito cerrado. Comienza en una estación dada, con coordenadas conocidas, recorre un determinado trayecto y finalmente vuelve al punto de partida. Un ejemplo de poligonal cerrada en circuito es el levantamiento de los linderos de una determinada extensión de terreno o propiedad, ya que muestra la forma de un polígono; una poligonal de circuito, que empieza y termina en un punto de posición horizontal conocido, proporciona la posibilidad de revisar internamente los ángulos y los errores en las distancias. FIGURA 5.3 Poligonal de circuito cerrado CT21 CT20 D3 D1 D2 90 TOPOGRAFÍA De línea cerrada o poligonal punto a punto. Convergen en un punto diferente al de partida con coordenadas conocidas, las cuales se pueden comparar con las coordenadas de cierre. Las poligonales de línea cerrada tienen las mismas ventajas sobre la poligonal de circuito cerrado, ya que en esta se pueden descubrir los errores en los ángulos y en distancias. FIGURA 5.4 Poligonal de línea cerrada CT21 D2 CT20 D1 D3 CT44 CT45 5.2.3 Poligonal orientada o de azimut directo El instrumento está orientado en cada uno de los puntos o estaciones que componen la poligonal. Consiste en estacionar la poligonal en el punto de inicio y se orienta para conocer el azimut de una de las direcciones, seguidamente se visa al punto delante sobre el cual se hacen las medidas de los ángulos y de las distancias necesarias para así poder situar dicho punto por medio de una radiación. Al estar el aparato orientado, la lectura acimutal que se haga adelante será el nuevo azimut de tal dirección. Después de trasladar el aparato al punto adelante de la dirección de referencia será el contrazimut, ya que el azimut de esa dirección ya es conocido. FIGURA 5.5 Poligonal orientada N CT21 CT20 N N D3 D1 N D2 91 CAPÍTULO 5: POLIGONALES 5.2.4 Poligonal no orientada En este caso no es necesario llevar el instrumento orientado, se estaciona en el punto de inicio de la poligonal y con la lectura angular cualquiera se visa al punto de amarre y después se realiza la observación completa sobre el siguiente delta. Esta tipo de poligonal se puede clasificar en dos tipologías de acuerdo a la forma de tomar los ángulos: a) Ceros atrás Colocar ceros en el punto inmediatamente anterior y leer al punto inmediatamente siguiente, como se muestra en la figura 5.6. FIGURA 5.6 Poligonal por ceros atrás externos CT21 CT20 D3 D1 D2 Como se siguió la numeración de los deltas en sentido de las manecillas del reloj los ángulos leídos son los ángulos externos del polígono, si se sigue la dirección contraria a las manecillas del reloj se determinan los ángulos internos del polígono, como se muestra en la figura 5.7. FIGURA 5.7 Poligonal por ceros atrás internos CT21 CT20 D1 D3 D2 92 TOPOGRAFÍA b) Deflexiones El ángulo de deflexión es el ángulo formado entre la proyección de la línea anterior y la siguiente línea, estos ángulos son utilizados cuando se realizan trabajos de diseños viales de localización directa, como lo muestra la figura 5.8. FIGURA 5.8 Poligonal por deflexiones CT21 CT20 D3 D1 D2 5.3 Ajustes y compensaciones En los trabajos de campo se realizan más mediciones que las estrictamente necesarias para el cálculo de las magnitudes que se pretenden determinar. La repetición de observaciones, además de aumentar la precisión de las magnitudes medidas, permite analizar su fiabilidad y desechar las defectuosas o groseras. Una vez validadas, según la teoría de errores clásica, es preciso corregirlas con base en los planteamientos matemáticos que las relacionen. Al conjunto de observaciones, tanto las necesarias como las sobreabundantes o redundantes, se les relaciona mediante expresiones matemáticas deducidas de las propias observaciones o de las condiciones geométricas que deben cumplir los elementos medidos, lo que constituye el fundamento de los métodos de ajuste y compensación. Como paso previo al ajuste de las observaciones que se realizan, es necesario una estimación de su precisión, para finalmente elegir el procedimiento de compensación más adecuado, acorde con la bondad de los datos obtenidos. Estos pueden ser métodos rigurosos o métodos expeditos o aproximados. A continuación se presentan algunos de los métodos expeditos más comunes en el ajuste de poligonales topográficas y posteriormente el método riguroso. 93 CAPÍTULO 5: POLIGONALES 5.3.1 Error de cierre angular Para determinar el error de cierre angular en una poligonal ha de compararse la geometría teórica del polígono contra la observada en campo, he aquí el análisis de varios casos en particular: FIGURA 5.9 Ángulos internos de una poligonal CT21 CT20 D1 D3 D2 En caso de que los puntos de apoyo estén por fuera de la poligonal y el trazo de los deltas se realice en sentido contrario a la dirección de las manecillas del reloj, entonces la sumatoria teórica de los ángulos internos para este caso será igual a: ∑teo = (n – 2) * 180° + 360 Donde n = número de vértices de la poligonal. FIGURA 5.10 Ángulos externos de una poligonal CT21 CT20 D2 D3 D1 D2 94 TOPOGRAFÍA Ahora ha de analizarse el caso en que los ángulos que se hayan medido sean los exteriores, ya que los deltas se materializaron en sentido de las manecillas del reloj, el cálculo de la sumatoria teórica será igual a: ∑teo = (n + 2) * 180° Si el brazo de apoyo esta por dentro del polígono las sumatorias cambian, por eso se recomienda hacer el gráfico y determinar los ángulos leídos para determinar la sumatoria teórica de los ángulos, el ejemplo del brazo interno con ángulos externos se presenta en la figura 5.11. FIGURA 5.11 Poligonal con brazo interno CT21 D3 CT20 D1 D2 5.3.2 Errores de cierre en distancia Para una poligonal cerrada es claro que, si todas las distancias y ángulos se midiesen perfectamente, la suma algebraica de las proyecciones de todos sus lados debería ser igual a cero. Como las mediciones no son perfectas y existen errores entre distancias y ángulos, las condiciones antes mencionadas rara vez se presentan. Las magnitudes en que tales condiciones no se cumplen se denominan error de cierre de la proyección Norte-Sur y error de cierre en la proyección Este-Oeste. Sus valores se calculan sumando algebraicamente las proyecciones NS e EW. El error de cierre en proyecciones puede calcularse fácilmente por la ecuación siguiente: edist = √ (ΔPNS2 + ΔPEW2) CAPÍTULO 5: POLIGONALES 5.3.3 Precisión de la poligonal Para comprobar si la poligonal cierra en distancia hay que calcular la precisión. Según los estándares que se trabajan profesionalmente, esta precisión debe ser mayor a 10.000 si las distancias se tomaron con cinta o 20.000 si se tomaron con equipos electrónicos, para lo cual es necesario determinar el perímetro de la poligonal o suma de distancias. 5.4 Métodos de ajuste P = ( ∑dist / edist) 5.4.1 Método de brújula o de Bowditch Este método también es conocido como el método de compás. Consiste en un reparto proporcional a la longitud de los lados, acumulando más error a los lados más largos y menos a los lados más cortos de cada uno de los puntos; este método está en función al perímetro, por consiguiente se le da más peso a la distancia que a los ángulos. A continuación se describirá el procedimiento para efectuar este ajuste: • Inicialmente se comparan los ángulos teóricos y los ángulos observados del polígono con el error máximo tolerable. • Se corrigen los ángulos distribuyendo el error angular, dividiendo este entre el número de ángulos observados. • Se procede a realizar la corrida de azimuts para cada línea. • En seguida, se realiza el cálculo de las proyecciones NS y EW respectivamente. • Se determina los errores en la PNS y la PEW, con las siguientes fórmulas: ΔPNS = ∑PNS ΔPEW = ∑PEW ∑dist = ∑DISTANCIAS • Para realizar las correcciones de las proyecciones, es preciso aplicar la relación de proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo a las longitudes de cada lado, las correcciones se acumularan para cada tramo. Corr PNS = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist Corr PEW = (distacumlada * ΔPEW) / ∑dist 95 96 TOPOGRAFÍA 5.4.2 Método de tránsito La regla de Tránsito se basa en la suposición de que los errores son accidentales y que las mediciones angulares son más precisas que las mediciones lineales, por lo tanto este método da mayor peso a los ángulos que a las distancias. Es recomendable ajustar por este método cuando se toman datos con cinta métrica, ya que siempre van a cambiar las longitudes pero nunca sus lados; cuando los azimuts están cercanos a 0º, 90º, 180º y 270º no se recomienda usar este método ya que la corrección puede ser máxima o muy mínima. Al igual que en el método anterior (de brújula), se inicia comparando ángulos teóricos y ángulos observados, para repartir proporcionalmente el error angular a cada uno de los vértices de la poligonal y así corregir angularmente el polígono, se calculan azimut y proyecciones NS y WE para cada línea. Para calcular la corrección de las proyecciones se calcula un delta norte-sur conocido como n y un delta este-oeste conocido como e, en este caso se utilizará el ejemplo del polígono de 3 lados: n = ∑ |PNS| e = ∑ |PEW| Donde: • n = Sumatoria de las proyecciones N-S. • e = Sumatoria de las proyecciones E-W. Se determinan las correcciones correspondientes a las proyecciones con las siguientes fórmulas, teniendo en cuenta que los valores se calculan de una forma acumulativa. Corr PNS = (∑|PNS| acumulada * ΔPNS) / n CorrPEW = (∑|PEW|acumulada * ΔPEW) / e A los valores obtenidos se les suman o restan las proyecciones calculadas, para así poder calcular las coordenadas respectivas a cada uno de los puntos. 5.4.3 Método de Crandall Procedimiento sistemático de ajuste, cuya aplicación es muy similar a la regla del tránsito. Este método es particularmente aplicable en poligonales cuyos ángulos se midieron con mayor precisión que las distancias; es decir, se le da más peso a los ángulos que a las distancias. Se emplea cuando no se necesita que cambien los azimuts calculados, así que solo se conservan las direcciones del polígono; los azimuts CAPÍTULO 5: POLIGONALES se calculan dos veces: la primera, al principio de la poligonal, para determinar los errores que se deben compensar, y la segunda, al final, cuando ya se han calculado las coordenadas correspondientes a los puntos. Se calcula la poligonal sin ajustar los ángulos observados. Para calcular las correcciones de las proyecciones se aplican las siguientes tres fórmulas: F1 = (PNS * PEW) / dist F2 = PNS2 / dist F3 = PEW2 / dist Seguidamente y de acuerdo a los valores obtenidos, se aplican las fórmulas A y B que corresponde a coeficientes de variación: A= (ΔPNS * ∑F1)– (ΔPNS * ∑F3) (ΔF3 * ∑F)– (∑F1)2 B= (ΔPNS * ∑F1)– (ΔPEW * ∑F2) (ΔF3 * ∑F2)– (∑F1)2 Teniendo el valor de los coeficientes A y B de las anteriores fórmulas se procede a calcular las correcciones para las proyecciones NS y EW con las siguientes ecuaciones: CorrPNS = (A * F2) + (B * F1) CorrPEW = (A * F1) + (B * F3) Posteriormente, el valor obtenido en las correcciones se suma algebraicamente al valor inicial de la proyección NS, EW. Finalmente, para el cálculo de nortes y estes de los puntos, se suman algebraica y acumulativamente las proyecciones calculadas y ya corregidas en todo el proceso de compensación de la poligonal. 5.4.4 Método de variación de coordenadas Este método se utiliza cuando las coordenadas que se tienen son tomadas en campo y cuando no se hace un cierre angular, ya que este método no lo necesita, en este procedimiento topográfico se le da más peso a los ángulos registrados en 97 98 TOPOGRAFÍA campo que a las distancias. Este procedimiento puede aplicarse proporcional al número de lados o proporcional con respecto al perímetro, el procedimiento para compensar por este método es el presentado a continuación: Se debe calcular la poligonal sin ajustar los ángulos. Con las proyecciones NS y EW obtenidas y aún no corregidas se calculan las coordenadas de forma algebraica. Los deltas PNS y PEW se dividen de acuerdo al número de lados y se registra de forma acumulada para los puntos que se desean compensar o se realiza el cálculo dándole peso a la distancia, como en el método de brújula. coor N = ΔPNS / l coor E = ΔPEW / l Donde: l = Número de lados de la poligonal. Por último, a cada una de las coordenadas calculadas anteriormente se les suman algebraicamente las proyecciones corregidas, obteniéndose así las coordenadas correspondientes a cada uno de los puntos. 5.4.5 Ajuste por mínimos cuadrados Procedimiento de ajuste de observaciones donde el valor más cercano al valor real es el mínimo en la sumatoria de los cuadrados de las desviaciones: ∑ (PV2) = mínimo Condiciones de aplicación: • Eliminar todos los errores sistemáticos de los datos a ajustar. • La distribución de errores aleatorios debe ser normal. • Redundancia de información (más observaciones que incógnitas). Hay dos formas de ajustar por mínimos cuadrados: la primera es por ecuaciones de condición (medición directa) y la segunda es por ecuaciones paramétricas (mediciones indirectas). Para calcular la poligonal por mínimos cuadrados usando ecuaciones de condición, se realizará el siguiente procedimiento: • Realizar el cálculo aproximado de la poligonal, sin ajustar los ángulos ni las proyecciones. • Determinar los errores de cierre en PNS y PEW. • Determinar el cierre angular comparando geometrías y expresando el resultado en radianes. • Realizar cuadro de diferencias finitas. CAPÍTULO 5: POLIGONALES • Realizar matriz de derivadas parciales inicial sin ponderar. • Realizar ponderación en ángulos y distancias. • Precisión en distancia del equipo: 0.030m. • Precisión angular del equipo: 5”. Kdist = √2 / error permitido Kang = 206264.8 / p seg • Posteriormente se divide cada casilla por el peso correspondiente. • Se procede luego a realizar las operaciones matriciales correspondientes a un ajuste normal por mínimos cuadrados. Matriz AT (Transpuesta de A) Matriz A*AT Matriz (A*AT)-1 Matriz (A*AT)-1*K Matriz ((A*AT)-1*K)*AT • Ahora se realiza el cambio de variable dividiendo por el peso respectivo. Para los ángulos, que son las primeras cuatro filas, se divide por Kang y luego se convierte a grados sexagesimales multiplicando cada valor angular por 180° / π, y finalmente las distancias que corresponden a las tres filas siguientes por Kdist para obtener la matriz de ajuste. 99 CAPÍ TULO 6 P O L I G O N A L A B I E R TA 6.1 Definición E s un polígono que se materializa en campo; el cual empieza en un punto determinado y termina en un punto totalmente diferente. La realización de levantamientos topográficos utilizando poligonales abiertas solo sirve para levantamientos de muy poca precisión; ya que no se podrán determinar errores y realizar los ajustes o correcciones respectivas. FIGURA 6.1 Poligonal abierta Delta 3 Delta final Delta 2 Punto ref erencia Delta 1 102 TOPOGRAFÍA 6.2 Levantamiento: Poligonal abierta método ceros atrás 6.2.1 Metodología 6.2.1.1 Trabajo de campo • Dependiendo de las especificaciones del proyecto, definir el tipo de coordenadas a utilizar (arbitrarias, asifinas o reales). • Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar. • Materializar o verificar la existencia de los puntos de amarre (punto inicial y punto de referencia). • Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia y colocar el ángulo respectivo (cero grados, si se va a realizar el levantamiento por ceros atrás, o el azimut entre los dos puntos, si se hace por azimut directo). • Con base en los dos puntos de apoyo, uno para coordenadas y otro para determinar el azimut u orientación de la poligonal, se traslada la coordenada a cada uno de los puntos de la poligonal. • El procedimiento anterior se realiza determinando el ángulo, comprendido entre el punto o delta anterior y el inmediatamente siguiente, y la distancia entre los mismos. • Para cada armada se centra y localiza el equipo sobre el delta, se coloca cero en el punto anterior y se mide el ángulo al delta siguiente, se mide la distancia y, luego, se realiza este mismo procedimiento para cada uno de los detalles, numerándolos de forma consecutiva para todo el levantamiento y anotando el tipo del mismo. 6.2.1.2 Trabajo de oficina • Se calcula el azimut inicial (azimut desde el punto inicial hasta el punto referencia), según las coordenadas de los puntos. • Se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno de los detalles del levantamiento. • Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal. • Se calculan las proyecciones de los detalles, desde el delta que fueron tomados. • Se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas. • Con las coordenadas de cada delta y las proyecciones de cada detalle, se calculan las coordenadas de los detalles. • Se realiza el plano correspondiente. • Se calculan las áreas parciales y/o totales de cada uno de los elementos que componen el levantamiento. CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA 6.2.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás FIGURA 6.2 Cartera de campo 103 104 TOPOGRAFÍA 6.2.2.1 Cálculos 6.2.2.1.1 Cálculo de azimut inicial Con las coordenadas de los puntos inicial y de referencia, se calcula el azimut de CD5 a CD6. TABLA 6.1 Coordenadas base Punto Norte Este CD5 1079.719 1023.984 CD6 1097.002 1004.429 DN = NCD – 6 – NCD – 5 = 17.283 DE = ECD – 6 – E CD – 5 = –19.555 θ = Tan -1 | (DE / DN) | = 19.555 / 17.283 = 48° 31’ 45’’ Como DN es positivo y DE es negativo, el azimut está en el cuarto cuadrante. Luego, Az = 360 – θ = 311° 28’ 15’’ 6.2.2.1.2 Cálculo de los azimuts de la poligonalsin detalles Con el azimut inicial y los ángulos tomados en campo, se calculan los azimuts de todas y cada una de las líneas de la poligonal. Al azimut inicial se le suma el primer ángulo y se obtiene el azimut de la primera línea de la poligonal, de ahí en adelante se calcula cada contrazimut y se suma cada ángulo según corresponda. Si el valor calculado es mayor a 360 grados hay que restar 360 grados. El contrazimut, el azimut que se toma en el sentido contrario, se calcula con la siguiente norma: si el azimut es menor de 180°, a tal valor se le suma 180, y si es mayor de 180°, se le resta 180. TABLA 6.2 Cálculo de azimut de la poligonal DELTA PUNTO CD5 D. 1 D. 2 ÁNG. OBSER. AZIMUT G M S G M S CD6 0 0 0 311 28 15 D. 1 66 33 22 18 01 37 CD5 0 0 0 198 01 37 D. 2 256 22 00 94 23 37 D. 1 0 0 0 274 23 37 D. 3 54 06 34 328 30 11 105 CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA 6.2.2.1.3 Proyecciones de la poligonal Con los azimuts de cada línea de la poligonal y la distancia respectiva, se calculan cada una de las proyecciones, usando las siguientes fórmulas: PN = cos Az * Distancia PE = sen Az * Distancia TABLA 6.3 Cálculo de proyecciones de la poligonal ÁNG. OBSER. DELTA PUNTO CD5 D. 1 D. 2 G M CD6 0 0 0 D. 1 66 33 CD5 0 D. 2 AZIMUT G M 311 28 15 22 18 01 37 0 0 198 01 37 256 22 00 94 23 37 D. 1 0 0 0 274 23 37 D. 3 54 06 34 328 30 11 DISTANCIA PROYECCIONES NS EW 14.540 13.826 4.500 31.589 -2.420 31.496 27.161 23.159 -14.190 6.2.2.1.4 Coordenadas de los deltas o vértices de la poligonal Según las proyecciones calculadas y las coordenadas del punto inicial (CD5), se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas o vértices. Las coordenadas serán acumulativas según el delta anterior. TABLA 6.4 Cálculo de coordenadas de la poligonal DELTA PUNTO CD5 CD6 D. 1 D. 1 COORDENADAS NS N E 1079.719 1023.984 CD5 1093.545 1028.484 D. 1 1091.125 1059.980 D. 2 1114.284 1045.790 D. 3 13.826 EW -2.420 31.496 D. 1 D. 3 23.159 PUNTO 4.500 CD5 D. 2 D. 2 PROYECCIONES -14.190 106 TOPOGRAFÍA 6.2.2.1.5 Coordenadasde los detalles Las coordenadas de los detalles se calculan con las coordenadas de cada vértice o delta, dependiendo desde donde se hayan tomado cada uno de estos, se calcula el azimut del delta o vértice a los detalles correspondientes, con las distancias se calculan las proyecciones. A las coordenadas del delta correspondiente se le suman las proyecciones según el detalle a calcular. TABLA 6.5 Cálculo de coordenadas de los detalles DELTA PUNTO D. 1 D. 3 ÁNG. OBSER. AZIMUT DIST. G M S G M S CD5 0 0 0 198 01 37 1 246 22 31 84 24 08 6.108 2 275 04 53 113 06 30 15.927 D2 0 0 0 148 30 11 3 324 53 14 113 23 25 3.939 4 336 06 34 124 36 45 14.806 PROYECCIONES COORDENADAS NS N E 1093.545 1028.484 D. 1 EW PUNTO 0.595 6.078 1094.140 1034.562 1 -6.251 14.649 1087.294 1043.133 2 1114.284 1045.790 D. 3 -1.564 3.615 1112.720 1049.405 3 -8.410 12.186 1105.874 1057.976 4 Con las coordenadas de los detalles se realiza el plano correspondiente (tema que se explica en el capítulo 18). 6.3 Poligonal abierta por azimut directo 6.3.1 Metodología 6.3.1.1 Trabajo de campo • Dependiendo de las especificaciones del proyecto, definir el tipo de coordenadas a utilizar (arbitrarias, asifinas o reales). • Determinar (materializar o verificar existencia) los puntos: inicial y de referencia, para realizar el levantamiento. Para este tipo de levantamientos, CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA previamente se debe haber calculado el azimut entre los dos puntos de amarre de la poligonal. • Realizar el bosquejo o gráfico del terreno que se requiere levantar, este gráfico se puede realizar totalmente o por partes a medida que se vaya avanzando en el trabajo de campo. • Se establecen y localizan los puntos de la poligonal, los cuales deben estar estratégicamente ubicados para trasladar las coordenadas y determinar los detalles necesarios del levantamiento. • Se arma el equipo en el punto inicial, se visa hacia el punto de referencia (en el círculo horizontal se coloca el azimut existente entre esos dos puntos), se miden los azimuts y distancias al delta número 1 y a los detalles que se puedan tomar. • Se arma el equipo en el delta número 1, se visa al punto inicial (en el círculo horizontal se coloca el azimut existente entre esos dos puntos), se miden los azimuts y distancias al delta número 2 y a los detalles que se puedan tomar. Este procedimiento se repite en cada delta hasta terminar el levantamiento. 6.3.1.2 Trabajo de oficina • Se calcula el azimut inicial, desde el punto inicial hasta el punto referencia, según las coordenadas de dichos puntos. • Se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno de los detalles del levantamiento. • Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal. • Se calculan las proyecciones de los detalles, según desde el delta que fueron tomados. • Se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas. • Con las coordenadas de cada delta y las proyecciones de los detalles, se calculan las coordenadas de estos, según la delta desde donde fueron tomados. • Se realiza el plano correspondiente. • Se calculan las áreas parciales y/o totales de cada uno de los elementos que componen el levantamiento. 107 108 TOPOGRAFÍA 6.3.2 Ejercicio Poligonal Abierta por Azimut Directo FIGURA 6.3 Cartera de Campo 109 CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA 6.3.2.1 Cálculos 6.3.2.1.1 Cálculo de azimut inicial Con las coordenadas de los puntos inicial y de referencia, se calcula el azimut de GPS-1 a GPS-2. TABLA 6.6 Coordenadas base Punto Norte Este GPS-1 978.194 3701.287 GPS-2 926.855 3760.530 DN = NGPS – 2 – NGPS – 1 = – 51.339 DE = E GPS – 2 – EGPS – 1= 59.243 θ = Tan – 1 |DE / DN| = 19.555 / 17.283 = 48° 31’ 45’’ Como DN es negativo y DE es positivo, el azimut está en el segundo cuadrante. Luego, Az = 180 – θ = 311° 28’ 15’’ 6.3.2.1.2 Cálculo de los azimuts de la poligonal sin detalles Con el azimut inicial instalado en el círculo horizontal del equipo directamente, se leen los azimuts hacia el próximo lado de la poligonal y hacia los detalles tomados desde cada delta. Es decir, son los mismos azimuts consignados en la cartera de campo. TABLA 6.7 Cálculo de azimut de la poligonal DELTA PUNTO GPS-1 D. 1 D. 2 AZIMUT G M S GPS-2 130 54 42 D. 1 43 08 31 GPS-1 223 08 31 D. 2 115 15 24 D. 1 295 15 24 D. 3 214 49 53 110 TOPOGRAFÍA 6.3.2.1.3 Proyeccionesde la poligonal Con los azimuts de cada línea de la poligonal y la distancia respectiva, se calcula cada una de las proyecciones, usando las siguientes fórmulas: PN = cos Az * Distancia PE = sen Az’ * Distancia TABLA 6.8 Cálculo de proyecciones de la poligonal DELTA PUNTO GPS-1 GPS-2 D. 1 D. 2 AZIMUT G M 130 54 42 D. 1 43 08 31 GPS-1 223 08 31 D. 2 115 15 24 D. 1 295 15 24 D. 3 214 49 53 PROYECCIONES DISTANCIA NS EW 72.148 52.644 49.335 79.602 -33.964 71.992 31.705 -26.025 -18.109 6.3.2.1.4 Coordenadas de los deltas o vértices de la poligonal Según las proyecciones calculadas y las coordenadas del punto inicial (CD5), se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas o vértices. Las coordenadas serán acumulativas según el delta anterior. TABLA 6.9 Cálculo de coordenadas de la poligonal DELTA PUNTO GPS-1 GPS-2 D. 1 D. 1 COORDENADAS NS N E 978.194 3701.287 GPS-1 1030.838 3750.622 D. 1 996.874 3822.614 D. 2 970.849 3804.505 D. 3 52.644 EW -33.964 71.992 D. 1 D. 3 -26.025 PUNTO 49.335 GPS-1 D. 2 D. 2 PROYECCIONES -18.109 6.3.2.1.5 Coordenadas de los detalles Las coordenadas de los detalles se calculan con las coordenadas de cada vértice o delta, dependiendo desde donde se haya tomado cada uno de estos; con el azimut del delta o vértice, los detalles correspondientes; con las distancias se calculan las proyecciones. A las coordenadas del delta correspondiente se le suman las proyecciones según el detalle a calcular. 111 CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA TABLA 6.10 Cálculo de coordenadas de los detalles 372.31 95 45 641 8 542.7 121.11- 827.959 7 57.1183 521 8 14 866.41 45 13.069 260.81 371.9183 935.01- 7 6 528.4- 401 372.91 30 420.669 71 877.3283 1 .D 2 .D 3 .D 868.91 6 0 2 .D 0 43 948.079 94 505.4083 35 3 .D 5 892.2 57 876.8 01 271.999 90 292.1383 497.61 779.8 5 0 1 .D 0 592 478.699 51 416.2283 42 2 .D 4 87.61 2 686.0 02 816.7401 82 803.1573 1-SPG 4 322 0 80 0 13 838.0301 226.0573 3 1 .D 6 834.52 53 962.52 95 429.2 2 364.3001 01 112.4073 25 3 81 845.81 894.3 512.81 904.699 1 587.4073 33 2 14 153.31 44 309.8 740.61 545.199 1-SPG 91.0173 2-SPG 1 031 45 491.879 24 782.1073 ATLED 1-SPG OTNUP G WE M N .TSID TUMIZA S E SENOICCEYORP SN SADANEDROOC OTNUP 112 TOPOGRAFÍA 6.4 Ejercicio planteado FIGURA 6.4 Ejercicio planteado: poligonal abierta CAPÍ TULO 7 POLIGONAL CERR ADA 7.1 Definición C omo se definió en el capítulo cinco, es una poligonal que comienza en un vértice y llega al mismo vértice, con la cual se puede determinar cierres en ángulo y distancia, para el ejemplo se desarrollará una poligonal Cerrada Método Ceros Atrás. 7.2 Aplicaciones Levantamientos topográficos para todo tipo de terrenos. Es la poligonal más usada en los diferentes trabajos topográficos, ya que permite trasladar las coordenadas y poder obtener errores de cierre, tanto en ángulo como en distancia. 7.3 Metodología 7.3.1 Trabajo de campo • Reconocimiento del terreno, inicialmente se recorre el terreno y se hace el gráfico correspondiente; se puede realizar por partes a medida que se avanza en el terreno o se puede realizar de manera total, lo anterior depende del tamaño y características del terreno. • Se instala el equipo en el punto de inicio (punto con coordenadas conocidas), se visa al punto de amarre (punto con coordenadas conocidas), se coloca en 114 TOPOGRAFÍA el círculo horizontal del equipo 0°0000”, se lee el ángulo y se mide la distancia al delta 1 (la localización de cada delta debe ser la adecuada, es decir cada delta deber ser intervisible con el anterior y el siguiente y debe permitir tomar la mayor cantidad de detalles), para tomar los detalles y poder avanzar en el terreno. Se procede luego a medir los ángulos y las distancias a los detalles que se puedan tomar desde el punto de inicio. • Se lleva el equipo al delta 1, se visa el punto de inicio y se coloca en el círculo horizontal del equipo 0°0000”, se mide la distancia y el ángulo al delta 2 (la localización del delta 2 debe ser la adecuada), para tomar los detalles y seguir avanzando en el terreno. Se procede luego a medir los ángulos y las distancias a los detalles que se puedan tomar desde ahí. • Este procedimiento se repite en cada delta, teniendo en cuenta que la poligonal no se cruce y que no quede ningún detalle sin tomar. • Finalmente se arma nuevamente el equipo en el punto de inicio y se visa al último delta, se coloca en el círculo horizontal del equipo 0°0000” y se mide el ángulo al punto de amarre. 7.3.2 Trabajo en oficina Se recomienda calcular primero la poligonal y después calcular los detalles, con el objeto de tener mayor orden y no tener la posibilidad de cometer errores, ya que la poligonal es la única que se acostumbra ajustar. CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 7.4 Ejercicio práctico FIGURA 7.1 A Ejercicio práctico: poligonal cerrada 115 116 TOPOGRAFÍA FIGURA 7.1B Ejercicio práctico: poligonal cerrada CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 7.4.1 Ajuste de la poligonal por método de brújula • Tomar los ángulos observados de la poligonal: Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Ángulo 236° 45’ 56’’ CT 21 D. 2 D. 2 281° 36’ 48’’ D. 1 CT21 CT 21 306° 32’ 51’’ D. 2 CT 20 75° 04’ 45’’ • Determinar la sumatoria observada, sumar los ángulos observados de la poligonal: ∑ obs 900° 00’ 20’’ • Determinar la sumatoria teórica de la poligonal, con los ángulos externos es: ∑teo = (n + 2) * 180 Donde: n = Número de vértices ∑ teo 900° 00’ 00’’ • Determinar el error angular: e ang = ∑obs - ∑teo e ang 0° 00’ 20’’ • Comparar con el error permitido: e per = 15 seg * n Donde: n = Número de vértices e per 0° 00’ 26’’ Como el error angular es menor al error permitido, es posible ajustar la poligonal. En caso contrario, es necesario regresar a campo a repetir la toma de ángulos de la poligonal. 117 118 TOPOGRAFÍA • Como se puede ajustar, calcular la corrección para cada ángulo, con la siguiente fórmula: coor ang = eang / z Donde: z = Número de ángulos leídos. Para este caso son tres vértices y se leyeron cuatro ángulos: Coor ang - 0° 00’ 05’’ El signo de la corrección es el signo contrario de error, para este caso el error es positivo la corrección debe ser negativa. • Con base en las correcciones se ajustan los ángulos: Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Áng. Cor. 236° 45’ 56’’ - 0° 00’ 05’’ 236° 45’ 51’’ 281° 36’ 48’’ - 0° 00’ 05’’ 281° 36’ 43’’ 306° 32’ 51’’ - 0° 00’ 05’’ 306° 32’ 46’’ 75° 04’ 45’’ - 0° 00’ 05’’ 75° 04’ 40’’ D. 1 CT 21 CT 21 Cor. Áng. CT 21 D. 2 D. 2 Áng. D. 2 CT 20 900° 00’ 00’’ La sumatoria de los ángulos corregidos debe ser la sumatoria teórica. • Con base en las coordenadas se determina el azimut de la línea base, en este caso de CT21 a CT20. PUNTO N E CT 20 1148.983 2160.644 CT 21 1115.933 2161.421 AN 33.050 AE -0.777 Θ -1.347 - 1° 20’ 48’’ Azimut 358.653 358° 39’ 12’’ • Con base en el azimut de partida se realiza el cálculo de todos los azimuts, igual que la poligonal abierta, con la diferencia que se inicia en el azimut de CT 21 al CT 20 y se llega al mismo azimut de partida. 119 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA Delta Punto CT 21 CT 20 D.1 D.1 Áng. Cor. 236° 45’ 56’’ - 0° 00’ 05’’ 236° 45’ 51’’ 235° 25’ 03’’ 55° 25’ 03’’ 281° 36’ 48’’ - 0° 00’ 05’’ 281° 36’ 43’’ 337° 01’ 46’’ 157° 01’ 46’’ 306° 32’ 51’’ - 0° 00’ 05’’ 306° 32’ 46’’ D. 2 CT 20 Azimut 358° 39’ 12’’ D. 1 CT 21 CT 21 Cor. Áng. CT 21 D. 2 D. 2 Áng. 103° 34’ 32’’ 283° 34’ 32’’ 75° 04’ 45’’ - 0° 00’ 05’’ 75° 04’ 40’’ 358° 39’ 12’’ Con base en los azimuts y las distancias de determinan las proyecciones (PNS) y (PEW). Delta Punto Azimut CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’ D. 1 235° 25’ 03’’ CT 21 55° 25’ 03’’ D. 2 337° 01’ 46’’ D. 1 157° 01’ 46’’ CT 21 103° 34’ 32’’ D. 2 283° 34’ 32’’ CT 20 358° 39’ 12’’ D. 1 D. 2 CT 21 Proyecciones Dist. NS EW 70.811 -40.192 -58.299 65.651 60.445 -25.621 86.345 -20.267 83.933 • La sumatoria algebraica de las proyecciones debe ser cero en condiciones teóricas, para obtener el error de estas se debe determinar los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de la misma. ΔPNS -0.014 ΔPEW 0.012 • Con base en estos deltas se determina el error en distancia: e dist 0.019 • Calcular la precisión de la poligonal: P = ∑dist / edist ∑ dist 222.8070 P 11872.120 120 TOPOGRAFÍA • Como este ejemplo era con cinta, es posible ajustarlo. De lo contrario se tendría que regresar a campo a tomar nuevamente las distancias. Para ajustar las proyecciones, se realiza proporcional a la distancia aplicando las siguientes fórmulas: Corr PNS = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist CorrPEW = (distacumulada * ΔPEW) / ∑dist Delta Punto CT 21 CT 20 D.1 D.1 Proyecciones Dist. Corr. Acum. NS EW Acum. NS EW 70.811 -40.192 -58.299 70.811 0.004 -0.004 65.651 60.445 -25.621 136.462 0.009 -0.008 86.345 -20.267 83.933 222.807 0.014 -0.012 Dist. CT 21 D.2 D. 2 D. 1 CT21 CT 21 D. 2 CT 20 De igual manera la corrección debe tener el signo contrario del error de cada proyección. • Se debe calcular la corrección para cada lado del polígono, restando las correcciones acumuladas. Proyecciones Delta CT 21 Punto NS EW Acum. NS EW NS EW 70.811 -40.192 -58.299 70.811 0.004 -0.004 0.004 -0.004 65.651 60.445 -25.621 136.462 0.009 -0.008 0.005 -0.004 86.345 -20.267 83.933 222.807 0.014 -0.012 0.005 -0.004 0.014 -0.012 D. 1 CT21 CT 21 Coor. CT 21 D. 2 D. 2 Coor. Acum. CT 20 D.1 D.1 Dist. Dist. D. 2 CT 20 La sumatoria de las correcciones debe ser el mismo delta, pero con el signo contrario. • Con base en las correcciones se ajustan las proyecciones realizando la suma algebraica. 121 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA Delta Punto CT 21 CT 20 D.1 D.1 NS EW Proy. Coor. NS EW 70.811 -40.192 -58.299 0.004 -0.004 -40.187 -58.303 65.651 60.445 -25.621 0.004 -0.004 60.449 -25.625 86.345 -20.267 83.933 0.005 -0.004 -20.262 83.928 0.014 -0.012 0.000 0.000 D. 1 CT21 CT 21 Coor. CT 21 D.2 D. 2 Proyecciones NS EW Dist. D. 2 CT 20 La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero. • Con las proyecciones corregidas; desde el punto de amarre en coordenadas, es decir desde el CT 21, se calculan las coordenadas de los puntos de manera acumulativa y al final se debe llegar a las mismas coordenadas. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Coordenadas NS N E 1115.933 2161.421 CT 21 1075.746 2103.118 D. 1 1136.195 2077.493 D. 2 1115.933 2161.421 CT 21 -40.187 EW 65.651 60.449 86.345 -20.262 Punto -58.303 -25.625 D. 1 CT21 CT 21 70.811 Proy. Coor. CT 21 D. 2 D. 2 Dist. 83.928 D. 2 CT 20 0.000 0.000 7.4.2 Ajuste de la poligonal por método de tránsito • Se sigue el mismo procedimiento de ajuste de ángulos, cálculo de azimut y proyecciones del procedimiento del ajuste por el método de brújula. TOPOGRAFÍA 122 339.38 126.52- 992.85- 762.02- 544.06 291.04- WE senoicceyorP 543.68 156.56 118.07 SN .tsiD ’’21 ’93 °853 ’’23 ’43 °382 ’’23 ’43 °301 ’’64 ’10 °751 ’’64 ’10 °733 ’’30 ’52 °55 ’’30 ’52 °532 ’’21 ’93 °853 tumizA ’’00 ’00 °009 ’’04 ’40 °57 ’’64 ’23 °603 ’’34 ’63 °182 ’’15 ’54 °632 .roC .gnÁ ’’50 ’00 °0 - ’’50 ’00 °0 - ’’50 ’00 °0 - ’’50 ’00 °0 - .gnÁ .roC ’’54 ’40 °57 ’’15 ’23 °603 ’’84 ’63 °182 ’’65 ’54 °632 .gnÁ 02 TC 2 .D 12TC 1 .D 2 .D 12 TC 12 TC 2 .D 12 TC 1 .D 02 TC atleD 1 .D otnuP 123 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA • Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de las PNS y la PEW. ΔPNS -0.014 ΔPEW 0.012 • Como este método consiste en darle peso a las proyecciones, se calcula la sumatoria de las proyecciones en valor absoluto, con las siguientes fórmulas: n = ∑|PNS| e = ∑|PEW| n 120.904 e 167.853 • El ajuste de las proyecciones se realiza con las siguientes fórmulas: CorrPNS = (∑|PNS|acumulada * ΔPNS) / n CorrPEW = (∑|PEW|acumulada * ΔPEW) / e • De igual manera se calcula de forma acumulada y se restan las correcciones acumuladas para obtener la corrección para cada lado. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Coor. NS EW NS EW 70.811 -40.192 -58.299 0.005 -0.004 65.651 60.445 -25.621 0.007 -0.002 86.345 -20.267 83.933 0.002 -0.006 0.014 -0.012 D. 1 CT21 CT 21 Proyecciones CT 21 D. 2 D. 2 Dist. D. 2 CT 20 • Con base en las correcciones se ajustan las proyecciones realizando la suma algebraica. 124 TOPOGRAFÍA Delta Punto CT 21 CT 20 D.1 D.1 Proyecciones Dist. Coor. Proy. Coor. NS EW NS EW NS EW 70.811 -40.192 -58.299 0.005 -0.004 -40.187 -58.304 65.651 60.445 -25.621 0.007 -0.002 60.452 -25.623 86.345 -20.267 83.933 0.002 -0.006 -20.265 83.926 0.014 -0.012 0.000 0.000 CT 21 D. 2 D. 2 D. 1 CT21 CT 21 D. 2 CT 20 La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero. • Con las proyecciones corregidas, desde el punto de amarre en coordenadas (CT 21), se calculan las coordenadas de los puntos de manera acumulativa y al final se debe llegar a las mismas coordenadas. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 70.811 65.651 60.452 86.345 -20.265 Coordenadas N E Punto 1115.933 2161.421 CT 21 1075.746 2103.117 D. 1 1136.198 2077.495 D. 2 1115.933 2161.421 CT 21 -58.304 -25.623 D. 1 CT21 CT 21 -40.187 CT 21 D. 2 D. 2 Proy. Coor. NS EW Dist. 83.926 D. 2 CT 20 0.000 0.000 7.4.3 Ajuste de la poligonal por método de Crandall • Con los ángulos observados se realiza la corrida de los azimuts, sin realizar ningún ajuste. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Áng. 358° 39’ 12’’ 236° 45’ 56’’ CT 21 D. 2 Azimut 235° 25’ 08’’ 55° 25’ 08’’ 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 125 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA Delta Punto D. 2 D. 1 Azimut 157° 01’ 56’’ CT21 CT 21 Áng. 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ D. 2 283° 34’ 47’’ CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ • Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones: Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Dist. Proyecciones NS EW 70.811 -40.190 -58.300 65.651 60.446 -25.618 86.345 -20.273 83.931 358° 39’ 12’’ 236° 45’ 56’’ 235° 25’ 08’’ 55° 25’ 08’’ 281° 36’ 48’’ D. 1 CT21 CT 21 Azimut CT 21 D. 2 D. 2 Áng. 337° 01’ 56’’ 157° 01’ 56’’ 306° 32’ 51’’ D. 2 CT 20 103° 34’ 47’’ 283° 34’ 47’’ 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ • Para cada uno de los lados se debe calcular las siguientes variables: F1 = (PNS * PEW) / dist F2 = (PNS) 2 / dist F3 = (PEW)2 / dist Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 F2 F3 NS EW -40.190 -58.300 33.090 22.811 48.000 60.446 -25.618 -23.587 55.654 9.997 -20.273 83.931 -19.707 4.760 81.585 D. 1 CT21 CT 21 F1 CT 21 D. 2 D. 2 Proyecciones D. 2 CT 20 126 TOPOGRAFÍA • Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de las PNS y la PEW: ΔPNS -0.018 ΔPEW 0.013 • Se determina la sumatoria algebraica de las tres variables. Delta Punto CT 21 CT 20 Proyecciones D. 1 D. 1 F3 NS EW -40.190 -58.300 33.090 22.811 48.000 60.446 -25.618 -23.587 55.654 9.997 -20.273 83.931 -19.707 4.760 81.585 -10.204 83.226 139.581 D. 1 CT21 CT 21 F2 CT 21 D. 2 D. 2 F1 D. 2 CT 20 • Se calculan las dos constantes de ajuste con las siguientes fórmulas: A= (ΔPWE * ∑F1) – (ΔPNS * ∑F3) (ΔF3 * ∑F2) – (∑F1)2 B= (ΔPNS * ∑F1) – (ΔPEW * ∑F2) (ΔF3 * ∑F2) – (∑F1)2 A B 0.000201 -0.000078 • Se calcula el ajuste para cada lado del polígono, con las siguientes fórmulas: CorrPNS = (A * F2) + (B * F1) CorrPEW = (A * F1) + (B * F3) • Las variables F se van acumulando de forma algebraica para obtener las correcciones acumuladas y al final se restan las acumuladas para obtener el ajuste para cada lado. 127 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 F2 F3 NS EW -40.190 -58.300 33.090 22.811 60.446 -25.618 -23.587 -20.273 83.931 Coor. NS EW 48.000 0.002 0.003 55.654 9.997 0.009 -0.006 -19.707 4.760 81.585 0.006 -0.010 -10.204 83.226 139.581 0.018 -0.013 D. 1 CT21 CT 21 F1 CT 21 D. 2 D. 2 Proyecciones D. 2 CT 20 • Con base en las correcciones se ajustan las proyecciones realizando la suma algebraica. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 F3 Coor. Proy. Coor. NS EW NS EW 33.090 22.811 48.000 0.002 0.003 -40.188 -58.297 -23.587 55.654 9.997 0.009 -0.006 60.456 -25.624 -19.707 4.760 81.585 0.006 -0.010 -20.267 83.921 -10.204 83.226 139.581 0.018 -0.013 0.000 0.000 D. 1 CT21 CT 21 F2 CT 21 D. 2 D. 2 F1 D. 2 CT 20 La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero. • Con las proyecciones corregidas, desde el punto amarre en coordenadas (CT 21) se calculan las coordenadas de los puntos de manera acumulativa y al final se debe llegar a las mismas coordenadas. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Coordenadas NS N E 1115.933 2161.421 CT 21 1075.745 2103.124 D. 1 1136.200 2077.500 D. 2 -40.188 EW 60.456 -25.624 D. 1 CT21 -20.267 Punto -58.297 CT 21 D. 2 D. 2 Proy. Corr. 83.921 128 TOPOGRAFÍA Delta Punto CT 21 D. 2 Proy. Corr. NS Coordenadas EW Punto N E 1115.933 2161.421 CT 21 CT 20 0.000 0.000 7.4.4 Ajuste de la poligonal por método de variación de coordenadas por el número de lados • Con los ángulos observados se realiza la corrida de los azimuts, sin realizar ningún ajuste. Delta Punto CT 21 CT 20 Áng. 358° 39’ 12’’ D. 1 D. 1 236° 45’ 56’’ CT 21 281° 36’ 48’’ D. 1 337° 01’ 56’’ 157° 01’ 56’’ CT21 CT 21 235° 25’ 08’’ 55° 25’ 08’’ D. 2 D. 2 Azimut 306° 32’ 51’’ D. 2 103° 34’ 47’’ 283° 34’ 47’’ CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ • Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones: Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 CT 21 236° 45’ 56’’ 281° 36’ 48’’ Proyecciones NS EW 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618 86.345 -20.273 83.931 157° 01’ 56’’ 306° 32’ 51’’ D. 2 CT 20 Dist. 55° 25’ 08’’ D. 1 CT21 Azimut 358° 39’ 12’’ CT 21 D. 2 D. 2 Áng. 103° 34’ 47’’ 283° 34’ 47’’ 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ • Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera acumulativa, sin realizar ningún ajuste a las proyecciones. 129 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Áng. Azimut 235° 25’ 08’’ 281° 36’ 48’’ D. 1 NS N E 1115.933 2161.421 1075.743 2103.121 1136.189 2077.503 1115.915 2161.434 EW 70.811 -40.190 -58.300 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618 157° 01’ 56’’ CT21 CT 21 Coordenadas 55° 25’ 08’’ CT 21 D. 2 Proyecciones 358° 39’ 12’’ 236° 45’ 56’’ D. 2 Dist. 306° 32’ 51’’ D. 2 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931 283° 34’ 47’’ CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ • Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de PNS y PEW, o en este caso restar a la última coordenada, la primera. ΔPNS -0.018 ΔPEW 0.013 • Se determina la corrección para las coordenadas, con las siguientes fórmulas: Coor N = ΔPNS / l Coor E = ΔPEW / l • Donde: l = Número de lados de la poligonal Coor N 0.0058 Coor E -0.0043 La corrección debe tener el signo contrario al delta de cada proyección. • Como la coordenadas ya están acumuladas, la corrección es proporcional, o sea, una vez al primero, dos veces al segundo y tres veces al tercero: Delta Punto Azimut CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’ D. 1 235° 25’ 08’’ CT 21 55° 25’ 08’’ D. 2 337° 01’ 56’’ D. 1 157° 01’ 56’’ CT21 103° 34’ 47’’ D. 2 283° 34’ 47’’ CT 20 358° 39’ 32’’ D. 1 D. 2 CT 21 Dist. Coordenadas N E 1115.933 2161.421 1075.743 Coor. N E 2103.121 0.006 -0.004 1136.189 2077.503 0.012 -0.009 1115.915 2161.434 0.018 -0.013 70.811 65.651 86.345 130 TOPOGRAFÍA • Con las coordenadas y las correcciones se obtienen las coordenadas corregidas, realizando la suma de forma algebraica. Delta Punto Azimut CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’ D. 1 235° 25’ 08’’ CT 21 55° 25’ 08’’ D. 2 337° 01’ 56’’ D. 1 157° 01’ 56’’ CT21 103° 34’ 47’’ D. 2 283° 34’ 47’’ CT 20 358° 39’ 32’’ D. 1 D. 2 CT 21 N E 1115.933 2161.421 1075.743 2103.121 1136.189 2077.503 1115.915 2161.434 70.811 65.651 86.345 Coordenadas N Coordenadas Dist. Coordenadas Corr. E Punto N E 1115.933 2161.421 CT 21 0.006 -0.004 1075.748 2103.116 D. 1 0.012 -0.009 1136.201 2077.494 D. 2 0.018 -0.013 1115.933 2161.421 CT 21 7.4.5 Ajuste de la poligonal por método de variación de coordenadas por el perímetro • Con los ángulos observados se realiza la corrida de los azimuts, sin realizar ningún ajuste. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 CT 21 236° 45’ 56’’ 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 157° 01’ 56’’ 306° 32’ 51’’ D. 2 CT 20 235° 25’ 08’’ 55° 25’ 08’’ D. 1 CT21 Azimut 358° 39’ 12’’ CT 21 D. 2 D. 2 Áng. 103° 34’ 47’’ 283° 34’ 47’’ 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ 131 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA • Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Proyecciones Dist. NS EW 70.811 -40.190 -58.300 65.651 60.446 -25.618 86.345 -20.273 83.931 358° 39’ 12’’ CT 21 235° 25’ 08’’ 55° 25’ 08’’ 281° 36’ 48’’ D. 1 337° 01’ 56’’ 157° 01’ 56’’ CT21 CT 21 Azimut 236° 45’ 56’’ D. 2 D. 2 Áng. 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 283° 34’ 47’’ D. 2 CT 20 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ • Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera acumulativa, sin realizar ningún ajuste a las proyecciones. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 CT 21 236° 45’ 56’’ 281° 36’ 48’’ Proyecciones Coordenadas NS N E 1115.933 2161.421 1075.743 2103.121 1136.189 2077.503 1115.915 2161.434 EW 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618 157° 01’ 56’’ 306° 32’ 51’’ D. 2 CT 20 Dist. 55° 25’ 08’’ D. 1 CT21 Azimut 358° 39’ 12’’ CT 21 D. 2 D. 2 Áng. 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931 283° 34’ 47’’ 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ • Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de las PNS y la PEW, o, en este caso, restar a la última coordenada, la primera. ΔPNS -0.018 ΔPEW 0.013 • Se determina la corrección para las coordenadas, con las siguientes fórmulas: Coor N = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist Coor E = (distacumulada * ΔPEW) / ∑dist • Como las coordenadas también tienen un carácter acumulativo la corrección se aplica directamente. 132 TOPOGRAFÍA Delta Punto CT 21 N E 1115.933 2161.421 1075.743 EW 60.446 Coor. N E 2103.121 0.006 -0.004 1136.189 2077.503 0.011 -0.008 1115.915 2161.434 0.018 -0.013 -58.300 CT 21 -25.618 D. 1 CT21 CT 21 NS -40.190 D. 2 D. 2 Coordenadas CT 20 D. 1 D. 1 Proyecciones -20.273 83.931 D. 2 CT 20 • Con las coordenadas y las correcciones se obtienen las coordenadas corregidas, realizando la suma de forma algebraica. Delta Punto CT 21 CT 20 Coordenadas Coor. N E N 1115.933 2161.421 1075.743 2103.121 0.006 1136.189 2077.503 1115.915 2161.434 Coordenadas Corr. E Punto N E 1115.933 2161.421 CT 21 -0.004 1075.748 2103.117 D. 1 0.011 -0.008 1136.200 2077.495 D. 2 0.018 -0.013 1115.933 2161.421 CT 21 D. 1 D. 1 CT 21 D. 2 D. 2 D. 1 CT21 CT 21 D. 2 CT 20 7.4.6 Ajuste de la poligonal por método de mínimos cuadrados • Con los ángulos observados se realiza la corrida de los azimuts, sin realizar ningún ajuste. Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 CT 21 236° 45’ 56’’ 281° 36’ 48’’ 337° 01’ 56’’ 157° 01’ 56’’ 306° 32’ 51’’ D. 2 CT 20 235° 25’ 08’’ 55° 25’ 08’’ D. 1 CT21 Azimut 358° 39’ 12’’ CT 21 D. 2 D. 2 Áng. 103° 34’ 47’’ 283° 34’ 47’’ 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ 133 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA • Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones. Delta Punto CT 21 CT 20 Áng. 236° 45’ 56’’ NS EW 70.811 -40.190 -58.300 65.651 60.446 -25.618 86.345 -20.273 83.931 55° 25’ 08’’ 281° 36’ 48’’ D. 1 337° 01’ 56’’ 157° 01’ 56’’ CT21 CT 21 235° 25’ 08’’ CT 21 D. 2 D. 2 Proyecciones Dist. 358° 39’ 12’’ D. 1 D. 1 Azimut 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 283° 34’ 47’’ D. 2 75° 04’ 45’’ CT 20 358° 39’ 32’’ • Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera acumulativa, sin realizar ningún ajuste a las proyecciones. Delta Punto CT 21 CT 21 236° 45’ 56’’ 281° 36’ 48’’ Coordenadas NS N E 1115.933 2161.421 1075.743 2103.121 1136.189 2077.503 1115.915 2161.434 EW 235° 25’ 08’’ 70.811 -40.190 -58.300 337° 01’ 56’’ 65.651 60.446 -25.618 157° 01’ 56’’ 306° 32’ 51’’ 103° 34’ 47’’ 86.345 -20.273 83.931 283° 34’ 47’’ D. 2 CT 20 Proyecciones 55° 25’ 08’’ D. 1 CT21 Dist. 358° 39’ 12’’ CT 21 D. 2 D. 2 Azimut CT 20 D. 1 D. 1 Áng. 75° 04’ 45’’ 358° 39’ 32’’ • Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de las PNS y la PEW, o en este caso restar la primera a la última coordenada. ΔPNS -0.018 ΔPEW 0.013 • Se calcula las sumatoria acumulada de las proyecciones de manera algebraica y los senos y cosenos del azimut de cada línea. Delta Punto Azimut CT 21 CT 20 358° 39’ 12’’ D. 1 235° 25’ 08’’ Dist. 70.811 Proyecciones NS EW -40.190 -58.300 134 TOPOGRAFÍA Delta Punto Azimut D. 1 CT 21 55° 25’ 08’’ D. 2 337° 01’ 56’’ D. 1 157° 01’ 56’’ CT21 103° 34’ 47’’ D. 2 283° 34’ 47’’ CT 20 358° 39’ 32’’ D. 2 CT 21 Proyecciones NS EW Dist. 65.651 60.446 -25.618 86.345 -20.273 83.931 DNS DEW cos Az sen Az -40.190 -58.300 -0.56757378 -0.82332254 20.256 -83.918 0.92072377 -0.39021499 -0.018 0.013 -0.23479642 0.97204457 • Se estructura la matriz de cálculo. En la primera línea, uno (1) para los ángulos a ajustar y cero (0) para las distancias a ajustar; en la segunda y tercera línea, para los cuatro primeros, los deltas de proyecciones, y las tres finales, los senos y cosenos de los azimuts. Línea 1 Línea 2 Línea 3 Línea 4 Línea 1 Línea 2 Línea 3 O 1 1 1 1 0 0 0 DNS -40.190 20.256 -0.018 0 -0.5676 0.9207 -0.2348 DEW -58.300 -83.918 0.013 0 -0.8233 -0.3902 0.9720 • Se ordena la matriz de errores, en ángulo (expresada en radianes) y en proyecciones. k e ang 0.000096963 ΔPNS -0.018 ΔPEW 0.013 • Se determinan las constantes de cálculo con las siguientes fórmulas: Kdist = √2 / error permitido • Donde el error permitido se toma como 0.03. Kang = 206264.8 / p seg 135 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA • Donde p seg es la precisión del equipo en segundos. K dist 47.140 K ang 41252.960 • Se dividen las cuatro primeras columnas por la K de ángulos y las tres finales por la K de distancias, a la cual denominamos la matriz A: Línea 1 Línea 2 Línea 3 Línea 4 Línea 1 Línea 2 Línea 3 O 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024 0.000000 0.000000 0.000000 DNS -0.000974 0.000491 0.000000 0.000000 -0.012040 0.019532 -0.004981 DEW -0.001413 -0.002034 0.000000 0.000000 -0.017465 -0.008278 0.020620 • Se determina la matriz transpuesta de A, AT: 0.000024 -0.000974 -0.001413 0.000024 0.000491 -0.002034 0.000024 0.000000 0.000000 0.000024 0.000000 0.000000 0.000000 -0.012040 -0.017465 0.000000 0.019532 -0.008278 0.000000 -0.004981 0.020620 • Se multiplica la matriz A por la matriz transpuesta, (A * AT): 0.000000002 -0.000000012 -0.000000084 -0.000000012 0.000552441 -0.000053719 -0.000000084 -0.000053719 0.000804885 • Se determina el inverso de la matriz anterior, (A * AT)-1: 427127258.4 13463.94299 45242.15324 13463.94299 1822.397103 123.0278422 45242.15324 123.0278422 1255.322124 • Se multiplica la matriz K por la matriz inversa, (A * AT)-1 * K: 41762.68023 -29.05027912 18.41345213 136 TOPOGRAFÍA • Se multiplica la matriz AT * ((A * AT)-1 * K): anterior por la matriz A transpuesta, 1.014635431 0.960634416 1.012374064 1.012355967 0.028170423 -0.719816762 0.524381854 • Dividir cada valor por la constante; los cuatro primeros, por la K distancia; y los tres últimos, por la K distancia; los cuatro primeros ajustes en ángulo y los tres finales ajuste en distancia. 0.000024595 0.000023286 0.000024541 0.000024540 0.001 -0.015 0.011 • El ajuste en ángulo esta expresado en radianes, se transforma en centesimales: 0.000024595 0.001409216 0° 00’ 05’’ 0.000023286 0.001334215 0° 00’ 05’’ 0.000024541 0.001406075 0° 00’ 05’’ 0.000024540 0.00140605 0° 00’ 05’’ 0.001 -0.015 0.011 • Con base en estos ajustes que se deben restar, se recalcula la poligonal: Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 Áng. Dist. Proyecciones Coordenadas NS N E 1115.933 2161.421 1075.741 2103.122 EW 358° 39’ 12’’ 236° 45’ 51’’ CT 21 D. 2 Azimut 235° 25’ 03’’ 70.810 -40.192 -58.299 55° 25’ 03’’ 281° 36’ 43’’ 337° 01’ 46’’ 65.666 60.459 -25.627 137 CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA Delta Punto D. 2 D. 1 CT21 CT 21 Áng. Dist. Proyecciones Coordenadas NS N E 1136.201 2077.495 1115.936 2161.417 EW 157° 01’ 46’’ 306° 32’ 46’’ 103° 34’ 32’’ 86.334 -20.265 83.922 283° 34’ 32’’ D. 2 CT 20 Azimut 75° 04’ 40’’ 358° 39’ 12’’ • Como se puede observar no se ajustó totalmente, es necesario hacer otra corrida del ajuste con los nuevos datos y el resultado del segundo ajuste es: -0.00167164 -0.000000041 -0.00000232 0° 00’ 00’’ 0.00825135 0.000000200 0.00001146 0° 00’ 00’’ -0.003289471 -0.000000080 -0.00000457 0° 00’ 00’’ -0.003290239 -0.000000080 -0.00000457 0° 00’ 00’’ 0.020003383 0.000 0.132239616 0.003 -0.116981405 -0.002 • Con estos nuevos ajustes el resultado de la poligonal es: Delta Punto CT 21 CT 20 D. 1 D. 1 CT 21 236° 45’ 51’’ 281° 36’ 43’’ Proyecciones Coordenadas NS N E 1115.933 2161.421 1075.742 2103.123 1136.198 2077.497 1115.933 2161.421 EW 235° 25’ 03’’ 70.810 -40.191 -58.298 337° 01’ 46’’ 65.663 60.457 -25.626 157° 01’ 46’’ 306° 32’ 46’’ D. 2 CT 20 Dist. 55° 25’ 03’’ D. 1 CT21 Azimut 358° 39’ 12’’ CT 21 D. 2 D. 2 Áng. 103° 34’ 32’’ 283° 34’ 32’’ 75° 04’ 40’’ 86.336 -20.265 83.924 358° 39’ 12’’ 7.4.7 Cálculo de los detalles Amarrados a cualquiera de los ajustes de la poligonal, se calculan los detalles. Para lo cual se toma el azimut y las coordenadas de cada uno de los puntos de radiación. TOPOGRAFÍA 138 5 2 .D 6 7 8 811.3012 447.4902 394.7702 097.4902 969.5112 942.6112 067.6901 647.5701 888.6901 591.6311 392.8011 702.8011 707.2211 451.23- 622.23- 792.71 674.83 657.83 218.1 687.1 371.91- 209.72- 889.72- 884.31- 045.63 569.53 402.23 894.73 828.23 975.74 630.14 ’’43 ’24 °082 ’’71 ’35 °272 ’’44 ’01 °372 ’’75 ’41 °932 ’’51 ’21 °841 ’’85 ’10 °621 ’’91 ’11 °901 ’’22 ’30 °282 ’’50 ’41 °472 ’’23 ’13 °472 ’’54 ’53 °042 ’’92 ’01 °153 ’’21 ’00 °923 ’’33 ’90 °213 1 2 3 4 6 7 8 ’’33 ’32 °833 ’’30 ’52 °55 .gnÁ 2 .D 02 TC atleD 12 TC 1 .D otnuP 12 TC 5 1 .D 1 .D 591.9212 917.7111 919.53- 097.6 ’’64 ’10 °751 4 762.9212 547.7111 409.53- ’’21 ’93 °853 tumizA ’’03 ’85 °282 3 205.5212 327.2211 .tsiD 047.22 2 715.5212 339.5111 241.12 1 124.1612 SN senoicceyorP WE 473.8- 12 TC N sadanedrooC E otnuP CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA 7.5 Ejercicio planteado FIGURA 7.2 A Ejercicio planteado: poligonal cerrada 139 140 TOPOGRAFÍA FIGURA 7.2B Ejercicio planteado: poligonal cerrada CAPÍ TULO 8 POLIGONAL PUNTO A PUNTO L a poligonal punto a punto es un polígono geométricamente abierto, ya que se inicia en un punto materializado en campo y tiene coordenadas conocidas, y se termina en otro punto distinto, también de coordenadas conocidas. Esta poligonal se puede corregir y ajustar, ya que es analíticamente es cerrada. Para este método se debe trabajar con coordenadas reales, además se recomienda que los puntos de apoyo sean de la misma red GPS, para que así se puedan alcanzar las precisiones requeridas. FIGURA 8.1 Poligonal punto a punto Ref erencia final Punto inicial D2 Punto final Ref erencia inicial D1 142 TOPOGRAFÍA En la realización de levantamientos topográficos utilizando el método de poligonal punto a punto, se pueden presentar varios casos que determinan los puntos de apoyo o coordenadas conocidas. Con dos puntos de apoyo: se necesitan solo dos puntos de coordenadas conocidas, el punto inicial y el final, la línea que forman esos dos puntos hace parte de la poligonal como se ilustra en la figura 8.2. FIGURA 8.2 Poligonal punto a punto con dos puntos de apoyo Ángulo s ex terno s Ángulo s internos D3 D2 D2 D1 Punto final D1 Punto inicial Punto inicial Punto final Con tres puntos de apoyo: es necesario que en campo se encuentren 3 puntos materializados con coordenadas conocidas, este tipo de poligonal se realiza cuando al terminar de tomar los detalles del levantamiento desde el delta final, por temas de tiempo y costos, resulta más sencillo terminar en un punto de coordenadas conocidas diferente al punto inicial y/o el de amarre, ver figura 8.3. FIGURA 8.3 Poligonal punto a punto con tres puntos de apoyo Amarre Punto inicial Amarre y cierre D1 Punto inicial Punto final D2 D1 D3 Punto final D3 D2 143 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO Con cuatro puntos de apoyo: se necesitan cuatro puntos de coordenadas conocidas, el punto inicial, punto de amarre, punto final y punto de cierre, tal como se presenta en la figura 8.4. Este tipo de poligonal tiene una gran aplicación en proyectos lineales, donde se avanza por un corredor específico y se hace muy difícil regresar al punto inicial para realizar una poligonal cerrada. FIGURA 8.4 Poligonal punto a punto con cuatro puntos de apoyo D3 Punto inicial Punto final D2 D4 Amarre D1 Cierre D5 8.1 Metodología 8.1.1 Trabajo de campo • Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar. • Materializar o verificar la existencia de los puntos de amarre (punto inicial y punto de referencia). • Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia y colocar el ángulo respectivo (cero grados, si se va a realizar el levantamiento por ceros atrás, o el azimut entre los dos puntos, si se hace por azimut directo). • Con base en los dos puntos de apoyo, uno para coordenadas y otro para determinar el azimut u orientación de la poligonal, se traslada la coordenada a cada uno de los deltas de la poligonal, para lo cual se determina el ángulo comprendido entre el delta anterior y el inmediatamente siguiente, y la distancia entre los mismos. • Para cada armada se centra y localiza el equipo sobre el delta, se coloca cero en el punto anterior, se mide el ángulo al delta siguiente y se mide la distancia, luego se realiza este mismo procedimiento para cada uno de los detalles, numerándolos de forma consecutiva para todo el levantamiento y anotando el tipo del mismo. • El procedimiento anterior se realiza para todos y cada uno de los deltas de la poligonal. • Cuando se arme el equipo en el último delta se visa al delta anterior y se mide ángulo y distancia hasta el punto final. • Se arma equipo en el punto final de visa al delta final y se mide ángulo y distancia hasta el punto de cierre. 144 TOPOGRAFÍA 8.1.2 Trabajo de oficina • Se calcula el azimut inicial, desde el punto inicial hasta el punto de referencia, según las coordenadas de dichos puntos. • Se realiza la sumatoria de ángulos de la poligonal, se ajustan o corrigen dichos ángulos (se puede utilizar cualquiera de los métodos explicados en el capítulo 7. Poligonal cerrada). • Se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno de los detalles del levantamiento. • Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal. • Calcular la precisión de la poligonal y verificar que se cumple con la precisión requerida según el tipo de proyecto. • Se ajustan y corrigen las proyecciones de la poligonal (se puede utilizar cualquiera de los métodos explicados en el capítulo 7. Poligonal cerrada). • Se calculan las proyecciones de los detalles, según desde el delta que fueron tomados. • Calcular las coordenadas de todos y cada uno de los deltas. • Con las coordenadas de cada delta y las proyecciones de cada detalle, se calculan las coordenadas de los detalles. • Se realiza el plano correspondiente. • Se calculan las áreas parciales y/o totales de cada uno de los elementos que componen el levantamiento. CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 8.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo ángulos FIGURA 8.5 A Ejercicio poligonal punto a punto 145 146 TOPOGRAFÍA FIGURA 8.5B Ejercicio Poligonal punto a punto 147 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 8.2.1 Cálculos 8.2.1.1 Azimut inicial Con las coordenadas del punto inicial y el punto de amarre se determina el azimut, a las coordenadas del punto de amarre se le restan las coordenadas del punto inicial así: TABLA 8.1 Coordenadas de los puntos de amarre inicial Punto Norte Este Observación CD 10 950.072 7628.728 Punto Inicial CD 11 1195.785 7458.199 Punto de Amarre DN = NCD11 – NCD10 = 245.713 DE = E CD11 – ECD10 = –170.529 De acuerdo a los signos el azimut se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto, el azimut es: Az = 360 – θ Tan θ = [DE] / [DN] = 170.529 / 245.713 = 34° 45’ 45’’ θ = 34° 45’ 45’’ Az = 360 – θ = 325° 14’ 15’’ 8.2.1.2 Azimut de llegada Con base en las coordenadas del punto final y del punto de cierre se calcula el azimut final así: TABLA 8.2 Coordenadas de los puntos de amarre final Punto Norte Este Observación CD 14 881.272 8504.330 Punto Final CD 15 1077.842 9009.359 Punto de Cierre DN = NCD15 – NCD14 = 196.570 DE = ECD15 – E CD14 = 505.029 148 TOPOGRAFÍA De acuerdo a los signos, el azimut se encuentra en el primer cuadrante, por lo tanto, el azimut es: Az = θ Tanθ = [DE] / [DN] = 505.029 / 196.570 = 68° 43’ 58’’ θ = 68° 43’ 58’’ Az = 360 = θ = 68° 43’ 58’’ 8.2.1.3 Cálculo del ángulo proyectado para formar un polígono cerrado Con el objeto de formar un polígono cerrado y poder realizar el ajuste de ángulos (ya que en campo se midieron ángulos y no azimuts), se determina el ángulo proyectado con los azimuts de las líneas de referencia. Cabe anotar que para aplicar este método es necesario que las líneas de azimut inicial y azimut final se intersequen sin cruzar la poligonal, tal como se presenta en la figura 8.6. FIGURA 8.6 Ángulos medidos y ángulo proyectado CD11 218°04´ 29" 233°54´ 58" D1 D2 CD15 94°4´ 24" 97°25´ 47" CD10 CD14 68°43´ 58" 235°14´ 15" En la figura 8.6 se puede observar que para que el polígono quede cerrado con todos sus ángulos externos, se debe calcular el ángulo proyectado y sumar 180 grados a cada uno de los ángulos medidos en el punto inicial (CD 10) y en el punto final (CD 11), ver figura 8.7. El ángulo proyectado será 325°14´15” - 68°43´58” = 256°30´17” 149 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO FIGURA 8.7 Ángulos externos del polígono (incluido el ángulo en proyecciones) CD11 218°04´ 29" 233°54´ 58" D1 D2 CD15 94°4´ 24" 97°25´ 47" CD10 CD14 180°00´ 00" 180°00´ 00" 256°30´ 17" Los ángulos completos para el polígono cerrados son: TABLA 8.3 Ángulos del polígono cerrado Delta Punto Áng. Obsv. CD 10 CD 11 0°00’00” D_ 1 94°04’24” CD 10 0°00’00” D2 218°04’29” D_ 1 0°00’00” CD_ 14 233°54’58” D_ 2 0°00’00” CD_ 15 97°25’47” D_ 1 D_ 2 CD_ 14 256°30’17” CD_10 CD_ 14 ÁNG. PROY 0°00’00” CD_ 11 180°00’00” CD_ 15 0°00’00” Observaciones ÁNG. PROYECTADO COMPLEMENTO 8.2.1.4 Ajuste de los ángulos observados Con los ángulos anteriores se determina el error en ángulo, ya que es un polígono cerrado, se ajusta solo repartiendo el error en los ángulos medidos en campo, el ángulo proyectado y los complementos no se pueden corregir ya que son ángulos teóricos. 150 TOPOGRAFÍA TABLA 8.4 Ángulos corregidos Delta Punto Áng. Obsv. CD 10 CD 11 0°00’00” D_ 1 94°04’24” CD 10 0°00’00” D2 218°04’29” D_ 1 0°00’00” CD_ 14 233°54’58” D_ 2 0°00’00” CD_ 15 97°25’47” D_ 1 D_ 2 CD_ 14 CD_10 CD_ 14 Coor. Áng. Corr. 0°00’00” 00°00’01” 94°04’24” 0°00’00” 00°00’01” 218°04’29” 0°00’00” 00°00’02” 233°54’58” 0°00’00” 00°00’01” 97°25’47” 256°30’17” 256°30’17” ÁNG. PROY 0°00’00” 0°00’00” CD_ 11 180°00’00” 180°00’00” CD_ 15 0°00’00” 0°00’00” ÁNG. PROY 180°00’00” 180°00’00” Sumatoria Obs. 1259°59’55” Sumatoria Teo 1260°00’00” Error Angular 00°00’05” Coor. Angular 00°00’01” 8.2.1.5 Azimuts de los lados de la poligonal Con base en el azimut inicial (azimut de CD 10 a CD 11) y los ángulos corregidos, se calculan los azimuts de los demás lados de la poligonal. El azimut anterior más el ángulo observado es el azimut de la siguiente línea, exceptuando que si se pasa de 360, hay que restarle 360. El contrazimut o azimut en el sentido contrario se calcula según la siguiente premisa: si el azimut es menor de 180 se le suma 180 y si es mayor de 180 se le resta 180. Se debe terminar con el azimut de llegada calculado con las coordenadas de los puntos (azimut de CD 14 a CD 15), pues los ángulos fueron ajustados. 151 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO TABLA 8.5 Azimuts de la poligonal Delta Punto CD 10 CD 11 D_ 1 D_ 1 Áng. Corr. Azimut 325°14’15” 94°04’25” 59°18’40” CD 10 D2 D_ 2 239°18’40” 218°04’30” 97°23’10” D_ 1 CD_ 14 CD_ 14 277°23’10” 233°55’00” 151°18’10” D_ 2 CD_ 15 331°18’10” 97°25’48” 68°43’58” 8.2.1.6 Proyecciones de la poligonal Con las distancias de los lados de la poligonal y el azimut entre estos, se calculan las proyecciones, para lo cual se usan las siguientes fórmulas: Proyecciones – NS = Distancia * cos Az Proyecciones – EW = Distancia * sen Az Como las distancias de la poligonal se tomaron en las dos direcciones, se debe promediar los dos valores respectivos. TABLA 8.6 Proyecciones de la poligonal Delta Punto Azimut CD 10 CD 11 325°14’15” D_ 1 59°18’40” CD 10 239°18’40” D2 97°23’10” D_ 1 277°23’10” CD_ 14 151°18’10” D_ 2 331°18’10” CD_ 15 68°43’58” D_ 1 D_ 2 CD_ 14 Dist. Proy. N-S Proy. E-W 385.156 196.574 331.215 433.185 -55.688 429.591 239.038 -209.677 114.781 152 TOPOGRAFÍA 8.2.1.7 Ajuste de las proyecciones de la poligonal Debido a que la poligonal comienza en un punto y termina en otro punto diferente es abierta geométricamente, por lo tanto la suma teórica algebraica de las proyecciones no será cero; será la diferencia de coordenadas entre el punto final (CD 14) y el punto inicial (CD 10). • Diferencia de proyecciones por coordenadas: NSpor coordenadas = 881.272 – 950.072 = –68.800 EW por coordenadas = 8504.330 – 7682.728 = 875.602 • Suma de proyecciones calculada con los azimuts y distancias: NSObs = –68.791 EWObs = 875.587 • Determinación de errores: ΔNS = NSpor coordenada – NSObs = –68.800 – (–68.791) = 0.009 ΔEW = EWpor coordenada – EWObs = 875.602 – 875.587 = 0.015 • Error en distancia: diferencia en distancia para cerrar la poligonal. ed = √(ΔNS2 + ΔEW 2) ed = √(0.0092 + 0.0152) e d = 0.01749 Donde: ed = Error en la distancia. » ΔNS = Error de proyecciones norte. » ΔEW =Error de proyecciones este. • Precisión (P): Determina el grado de confiabilidad de la poligonal. » Se expresa 1: P, significa que en P metros se está cometiendo un error de 1 metro. Se recomienda que la precisión para levantamientos topográficos sea mayor a 1: 10000, aunque dicho parámetro cambia según las especificaciones de cada proyecto. 153 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO P = ∑dist / ed P = 1057.379 / 0.01749 = 60456 P = 1: 60456 En caso de que la precisión no cumpla con lo requerido en las especificaciones o pliego de condiciones del respectivo proyecto se debe volver a campo y realizar nuevamente la toma de mediciones. El cálculo de correcciones de las proyecciones se realiza de la misma manera que una poligonal cerrada, es decir, se puede utilizar cualquier método relacionado en el capítulo 5, para este caso se utilizará el método de brújula o de Bowditch. Para este método las correcciones de las proyecciones se realizan según la relación de proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo a las longitudes de cada lado. Corr PNS = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist Corr PEW = (distacumlada * ΔPEW) / ∑dist A la corrección se le debe restar las correcciones acumuladas de los lados anteriores según corresponda. TABLA 8.7 Proyecciones corregidas Delta Punto CD 10 CD 11 D_ 1 D_ 1 Proy. Corregidas N-S E-W N-S E-W N-S E-W 196.574 331.215 -0.003 -0.006 196.571 331.209 -55.688 429.591 -0.004 -0.006 -55.692 429.585 -209.677 114.781 -0.002 -0.003 -209.679 114.778 D_ 1 CD_ 14 CD_ 14 Correcciones CD 10 D2 D_ 2 Proyecciones D_ 2 CD_ 15 8.2.1.8 Coordenadas de los deltas de la poligonal Con las coordenadas del punto inicial (CD 10) y las proyecciones de cada lado se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas de la poligonal, hasta llegar al punto final (CD 14), las coordenadas se van acumulando en cada delta. 154 TOPOGRAFÍA TABLA 8.9 Coordenadas de la poligonal Delta Punto CD 10 CD 11 D_ 1 D_ 1 N-S Norte Este 950.072 7628.728 CD 10 E-W Punto 331.209 1146.643 7959.937 D_ 1 -55.692 429.585 1090.951 8389.522 D_ 2 -209.679 114.778 881.272 8504.300 CD_ 14 CD 10 D_ 1 CD_ 14 CD_ 14 Coordenadas 196.571 D_ 2 D_ 2 Proy. Corregidas D_ 2 CD_ 15 8.2.1.9 Coordenadas de los detalles Con base en las coordenadas de cada delta y los azimuts del delta correspondiente a los detalles, se calcula en los azimuts de las líneas de la poligonal y las coordenadas calculadas de los vértices. Se calculan las coordenadas de los detalles, teniendo en cuenta que es un cálculo por radiación; se deben calcular las direcciones de acuerdo a las líneas de la poligonal. 8.2.1.10 Azimut de los detalles Al azimut de cada delta al delta o vértice anterior se le suma el ángulo tomado a cada detalle según corresponda, si el valor se pasa de 360 grados se le restan 360 grados. TABLA 8.10 Azimut de los detalles Delta Punto Áng. Obsv. Azimut D_1 CD_ 10 0°00’00” 239°18´40 1 123°48´50 3°7´30 2 137°42´34 17°1´14 3 173°46´48 53°5´27 D_1 0°0´0 277°23´10 4 19°30´7 296°53´17 5 57°21´16 334°44´25 6 70°17´49 347°40´59 7 166°49´30 84°12´39 8 149°3´51 66°27´1 D_2 155 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO Delta Punto Áng. Obsv. Azimut CD_ 14 D_2 0°0´0 331°18´10 9 69°45´34 41°3´44 10 75°1´45 46°19´55 TABLA 8.11 Proyecciones de los detalles Proyecciones Delta Punto Azimut D_1 CD_ 10 239°18´40 1 D_2 CD_ 14 Dist. Pn Pe 3°7´30 329.84 329.350 17.981 2 17°1´14 61.441 58.750 17.985 3 53°5´27 97.829 58.751 78.223 D_1 277°23´10 4 296°53´17 393.972 178.173 -351.380 5 334°44´25 197.014 178.176 -84.069 6 347°40´59 394.102 385.031 -84.070 7 84°12´39 83.567 8.429 83.141 8 66°27´1 177.797 71.038 162.989 D_2 331°18´10 9 41°3´44 110.883 83.605 72.837 10 46°19´55 212.137 146.476 153.450 TABLA 8.12 Cálculo de coordenadas de detalles Proyecciones Delta Punto D_1 CD_ 10 D_2 Pn Pe Punto Norte Este 1146.643 7959.937 D_1 1 329.350 17.981 1475.993 7977.918 1 2 58.750 17.985 1205.393 7977.922 2 3 58.751 78.223 1205.394 8038.160 3 1090.951 8389.522 D_2 D_1 7 Coordenadas 4 178.173 -351.380 1269.124 8038.142 4 5 178.176 -84.069 1269.127 8305.453 5 6 385.031 -84.070 1475.982 8305.452 6 8.429 83.141 1099.380 8472.663 7 156 TOPOGRAFÍA Proyecciones Delta Punto 8 CD_ 14 D_2 9 10 Pn 71.038 Pe Coordenadas Norte Este Punto 162.989 1161.989 8552.511 8 881.272 8504.300 CD_14 83.605 72.837 964.877 8577.137 9 146.476 153.450 1027.748 8657.750 10 8.3 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo Azimuts Si al prolongar las líneas de los azimuts de referencia de amarre y de cierre, se corta la poligonal realizada, la metodología de calcular el ángulo prolongado y ajustar los ángulos de un polígono cerrado no se puede aplicar. Entonces el cálculo de la poligonal se realiza de la siguiente manera: Con el azimut inicial (azimut del punto de inicial al punto de referencia inicial “calculado con las coordenadas”) y los ángulos observados, se calculan los azimuts de todas las líneas de la poligonal. Con base en ellos, se calcula y ajusta la poligonal, y se calculan las coordenadas de los detalles. CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO FIGURA 8.8 A Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts) 157 158 TOPOGRAFÍA FIGURA 8.8B Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts) 159 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 8.3.1 Cálculos 8.3.1.1 Azimut inicial Con las coordenadas del punto inicial y el punto de amarre se determina el azimut, a las coordenadas del punto de amarre se le restan las coordenadas del punto inicial así: TABLA 8.13 Coordenadas de los puntos de amarre inicial Punto Norte Este Observación CD6 742.483 21765.664 Punto Inicial CD5 670.641 21520.342 Punto de Amarre DN = NCD5 – NCD6 = –71.842 DE = ECD5 – ECD6 = –2445.322 De acuerdo a los signos el azimut se encuentra en el tercer cuadrante, por lo tanto, el azimut es: Az = 180 + θ Tan θ = [DE] / [DN] = 245.322 / 71.842 θ = 73° 40’ 39’’ Az = 180 + θ = 253° 40’ 39’’ 8.3.1.2 Azimut de llegada Con base en las coordenadas del punto final y del punto de cierre se calcula el azimut final así: TABLA 8.14 Coordenadas de los puntos de amarre final Punto Norte Este Observación CD 8 1258.438 22870.923 Punto Final CD 9 1064.940 23155.676 Punto de Cierre DN = NCD9 – NCD8 = –193.498 DE = ECD9 – E CD8 = 284.753 160 TOPOGRAFÍA De acuerdo a los signos el azimut se encuentra en el segundo cuadrante, por lo tanto, el azimut es: Az = 180 – θ Tan θ = [DE] / [DN] = 284.753/ 193.498 θ = 55° 48’ 10’’ Az = 180 – θ = 124° 11’ 50’’ 8.3.1.3 Cálculo de azimuts de la poligonal Al azimut inicial se le suma el primer ángulo y se obtiene el azimut de la primera línea de la poligonal. Se calcula el contrazimut y se suma el siguiente ángulo para calcular el azimut de la línea dos de la poligonal. Se repite el mismo procedimiento hasta llegar al azimut de los puntos de amarre final. TABLA 8.15 Ángulos del polígono cerrado Delta Punto Áng. Obsv. Azimut CD_6 CD_ 5 0°00’00” 253°40´39 D_1 151°31´6 45°11´44 CD_6 0°00’00” 225°11´44 D_2 257°5´1 122°16´45 D_1 0°00’00” 302°16´45 CD_8 80°56´3 23°12´48 D_2 0°0´0 203°12´48 CD_9 280°58´48 124°11´36 D_1 D_2 CD_8 8.3.1.4 Ajuste de los azimuts Se compara el azimut final de la poligonal, calculado con los ángulos observados, con el azimut obtenido por medio de las coordenadas de los puntos de amarre. El error en azimut es: Azimut de CD 8 a CD 9 (calculado por coordenadas) - Azimut de CD 8 a CD 9 (calculado con los ángulos tomados en campo) 124°11´50” - 124°11´36” = 0°00´14” 161 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO Las correcciones de azimut para cada lado: Error en Azimut / número de ángulos Dicha corrección es acumulativa tal como se presenta en la tabla 8.16. TABLA 8.16 Azimuts corregidos Delta Punto Ángulo obsv. Azimut CD_6 CD_ 5 0°00’00” 253°40´39 D_1 151°31´6 45°11´44 CD_6 0°00’00” 225°11´44 D_2 257°5´1 122°16´45 D_1 0°00’00” 302°16´45 CD_8 80°56´3 23°12´48 D_2 0°0´0 203°12´48 CD_9 280°58´48 124°11´36 D_1 D_2 CD_8 Azimut Corregido Corrección 0 0 3 45°11´47 225°11´47 0 0 7 122°16´52 302°16´52 0 0 10 23°12´58 203°12´58 0 0 14 124°11´50 8.3.1.5 Proyecciones de la poligonal Con las distancias de los lados de la poligonal y el azimut entre estos, se calculan las proyecciones, para lo cual se usan las siguientes fórmulas: Proyecciones – NS = Distancia * cos Az Proyecciones – EW = Distancia * sen Az Como las distancias de la poligonal se tomaron en las dos direcciones, se debe promediar los dos valores respectivos. TABLA 8.17 Proyecciones de la poligonal Proyecciones Azimut corregido Dist. Pn Pe D_1 45°11´47 510.996 360.087 362.567 CD_6 225°11´47 D_2 122°16´52 628.971 -335.919 531.755 D_1 302°16´52 CD_8 23°12´58 535.133 491.800 210.952 Delta Punto CD_6 CD_ 5 D_1 D_2 162 TOPOGRAFÍA Proyecciones Delta Punto Azimut corregido CD_8 D_2 203°12´58 CD_9 124°11´50 Dist. Pn Pe 8.3.1.6 Ajuste de las proyecciones de la poligonal Debido a que la poligonal comienza en un punto y termina en otro diferente, es abierta geométricamente, por lo tanto la suma teórica algebraica de las proyecciones no será cero; será la diferencia de coordenadas entre el punto final (CD 8) y el punto inicial (CD6). • Diferencia de proyecciones por coordenadas: NSpor coordenadas = 1258.438 – 742.483 = 515.955 EW por coordenadas = 22870.923 – 21765.664 = 1105.259 • Suma de proyecciones calculada con los azimuts y distancias: NSObs = 515.967 EWObs = 1105.273 • Determinación de errores: ΔNS = NSpor coordenada – NSObs = 515.955 – 515.967 = –0.012 ΔEW = EWpor coordenada – EWObs = 1105.259 – 1105.273 = –0.014 • Error en distancia: diferencia en distancia para cerrar la poligonal. ed = √(ΔNS2 + ΔEW2 ) ed = √((–0.012)2 + (–0.014)2) ed = 0.018439 Donde: ed = Error en la distancia. » ΔNS = Error de proyecciones norte. » » ΔEW = Error de proyecciones este. • Precisión (P): Determina el grado de confiabilidad de la poligonal. 163 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO Se expresa 1: P, significa que en P metros se está cometiendo un error de 1 metro. Se recomienda que la precisión para levantamientos topográficos sea mayor a 1: 10000, aunque dicho parámetro cambia según las especificaciones de cada proyecto. P = ∑dist / ed P = 1675.100 / 0.018439 = 90845.490 P = 1: 60446 En caso de que la precisión no cumpla con lo requerido en las especificaciones o pliego de condiciones del respectivo proyecto se debe volver a campo y realizar nuevamente la toma de mediciones. El cálculo de correcciones de las proyecciones se realiza de la misma manera que una poligonal cerrada, es decir se puede utilizar cualquier método relacionado en el capítulo 5, para este caso se utilizará el método de brújula o de Bowditch, el cual es muy fácil de aplicar. Para este método las correcciones de las proyecciones se realizan según la relación de proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo a las longitudes de cada lado. Corr PNS = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist Corr PEW = (distacumlada * ΔPEW) / ∑dist A la corrección se le debe restar las correcciones acumuladas de los lados anteriores según corresponda. TABLA 8.18 Proyecciones corregidas Delta Punto CD_6 CD_ 5 D_1 D_1 Proy. Corregidas Pn Pe Pn Pe Pn Pe 360.087 362.567 -0.004 -0.004 360.083 362.563 -335.919 531.755 -0.004 -0.005 -335.923 531.750 491.800 210.952 -0.004 -0.004 491.796 210.948 D_1 CD_8 CD_8 Correcciones CD_6 D_2 D_2 Proyecciones D_2 CD_9 164 TOPOGRAFÍA 8.3.1.7 Coordenadas de los deltas de la poligonal Con las coordenadas del punto inicial (CD6) y las proyecciones de cada lado, se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas de la poligonal, hasta llegar al punto final (CD 8), las coordenadas se van acumulando en cada delta. TABLA 8.19 Coordenadas de la poligonal Proy. Corregidas Delta Punto CD_6 CD_ 5 Pn D_1 D_1 Pe Coordenadas Punto Norte Este 742.483 21765.664 CD_6 360.083 362.563 1102.566 22128.227 D_1 -335.923 531.750 766.643 22659.976 D_2 491.796 210.948 1258.438 22870.924 CD_8 CD_6 D_2 D_2 D_1 CD_8 CD_8 D_2 CD_9 8.3.1.8 Coordenadas de los detalles Con base en las coordenadas de cada delta y los azimuts del delta correspondiente a los detalles, se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y las coordenadas calculadas de los vértices. Se calculan las coordenadas de los detalles, teniendo en cuenta que es un cálculo por radiación; se deben calcular las direcciones de acuerdo a las líneas de la poligonal. 8.3.1.9 Azimut de los detalles Al azimut de cada delta al delta o vértice anterior se le suma el ángulo tomado a cada detalle según corresponda, si el valor se pasa de 360 grados se le restan 360 grados. TABLA 8.20 Azimut de los detalles Delta Punto Áng. Obsv. Azimut CD_6 CD_ 5 0°00’00” 253°40´38 1 230°55´2 124°35´40 2 224°58´39 118°39´17 CD_6 0°0´0 225°11´47 3 18°56´26 244°8´13 4 21°14´42 246°26´29 D_1 165 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO Delta D_2 CD_8 Punto Áng. Obsv. Azimut 5 327°41´24 192°53´11 6 9°52´25 235°4´12 7 5°31´13 230°43´0 8 334°1´8 199°12´55 D_1 0°0´0 302°16´52 9 349°22´8 291°39´0 10 342°55´2 285°11´54 11 348°8´43 290°25´35 12 36°3´58 338°20´50 13 354°40´57 296°57´49 14 353°0´32 295°17´24 15 2°50´1 305°6´53 16 27°0´45 329°17´37 D_2 0°0´0 203°12´58 17 38°54´17 242°7´15 18 43°7´17 246°20´15 19 28°48´28 232°1´26 20 29°32´45 232°45´43 21 345°39´19 188°52´17 22 282°36´39 125°49´37 23 338°28´49 181°41´47 24 273°8´7 116°21´5 TABLA 8.21 Proyecciones de los detalles Proyecciones Delta Punto Azimut CD_6 CD_ 5 253°40´38 1 D_1 Dist. Pn Pe 124°35´40 63.295 -35.937 52.104 2 118°39´17 92.231 -44.228 80.935 CD_6 225°11´47 3 244°8´13 191.343 -83.467 -172.178 4 246°26´29 125.857 -50.303 -115.367 5 192°53´11 54.107 -52.744 -12.067 166 TOPOGRAFÍA Proyecciones Delta D_2 CD_8 Punto Azimut Dist. Pn Pe 6 235°4´12 187.775 -107.515 -153.948 7 230°43´0 120.059 -76.016 -92.929 8 199°12´55 84.537 -79.827 -27.823 D_1 302°16´52 9 291°39´0 316.124 116.631 -293.823 10 285°11´54 168.588 44.198 -162.691 11 290°25´35 109.958 38.376 -103.044 12 338°20´50 101.903 94.713 -37.600 13 296°57´49 306.612 139.026 -273.281 14 295°17´24 171.589 73.303 -155.143 15 305°6´53 122.41 70.413 -100.131 16 329°17´37 125.997 108.332 -64.339 D_2 203°12´58 0.000 0.000 17 242°7´15 182.696 -85.430 -161.492 18 246°20´15 128.923 -51.743 -118.084 19 232°1´26 184.015 -113.230 -145.053 20 232°45´43 127.707 -77.279 -101.671 21 188°52´17 69.969 -69.132 -10.791 22 125°49´37 179.095 -104.832 145.208 23 181°41´47 40.072 -40.054 -1.186 24 116°21´5 171.112 -75.953 153.331 TABLA 8.22 Cálculo de coordenadas detalles Proyecciones Delta Punto CD_6 CD_ 5 D_1 Pn Pe Coordenadas Punto Norte Este 742.483 21765.664 CD_6 1 -35.937 52.104 706.546 21817.768 1 2 -44.228 80.935 698.255 21846.599 2 1102.566 22128.227 D_1 CD_6 3 -83.467 -172.178 1019.098 21956.048 4 -50.303 -115.367 1052.263 22012.859 4 167 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO Proyecciones Delta D_2 CD_8 Coordenadas Punto Punto Pn Pe Norte Este 5 -52.744 -12.067 1049.821 22116.159 5 6 -107.515 -153.948 995.051 21974.278 6 7 -76.016 -92.929 1026.550 22035.298 7 8 -79.827 -27.823 1022.738 22100.404 8 766.643 22659.976 D_2 D_1 9 116.631 -293.823 883.273 22366.154 9 10 44.198 -162.691 810.841 22497.285 10 11 38.376 -103.044 805.019 22556.932 11 12 94.713 -37.600 861.355 22622.376 12 13 139.026 -273.281 905.669 22386.695 13 14 73.303 -155.143 839.946 22504.833 14 15 70.413 -100.131 837.055 22559.845 15 16 108.332 -64.339 874.975 22595.638 16 D_2 0.000 0.000 1258.4383 22870.924 CD_8 17 -85.430 -161.492 1173.009 22709.432 17 18 -51.743 -118.084 1206.696 22752.840 18 19 -113.230 -145.053 1145.208 22725.871 19 20 -77.279 -101.671 1181.160 22769.253 20 21 -69.132 -10.791 1189.306 22860.133 21 22 -104.832 145.208 1153.606 23016.132 22 23 -40.054 -1.186 1218.384 22869.738 23 24 -75.953 153.331 1182.485 23024.255 24 8.4 Poligonal controlada en cada delta Consiste en realizar una poligonal por el método de ceros atrás, donde en cada delta se miden las distancias y ángulos hacia atrás y hacia adelante, como se presenta en la figura 8.9. 168 TOPOGRAFÍA FIGURA 8.9 Poligonal controlada en cada delta Punto de cierre Punto inicial D2 D2 Ref erencia inicial D1 El punto de cierre se debe materializar de la misma forma que se hizo con cada uno de los demás deltas (podrá ser uno de los detalles que se tomen dentro del levantamiento), en este punto no se armará el equipo pero si sirve para medir los ángulos finales desde el último delta. 8.4.1 Aplicaciones y ventajas La poligonal controlada en cada delta tiene gran aplicación en proyectos lineales, por ejemplo, cuando se realizan levantamientos topográficos de verificación, replanteo, mejoramiento, reconstrucción, para vías, ferrocarriles, poliductos, etc. Por medio de esta se puede aprovechar el corredor existente para mejorar los tiempos y costos del proyecto. A continuación se relacionan las principales ventajas de la poligonal controlada en cada delta frente a otros levantamientos como la poligonal cerrada y la punto a punto: • Verificación de los dos ángulos medidos en campo para cada uno de los deltas, ya que deben sumar 360 grados. • Minimización de errores en medidas de distancias, ya que estás se miden en los dos sentidos. • Cuando se miden los ángulos y distancias hacia atrás, se puede verificar que no se hayan dejado de tomar algunos detalles y/o se pueden rectificar datos de cualquier detalle. • Cálculo y verificación de precisiones de cada uno de los lados de la poligonal, los que ayudaran a que el levantamiento alcance en todos y cada uno de los sectores del mismo, según las especificaciones requeridas. • Solo se necesitan dos puntos de amarre con coordenadas conocidas. CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 8.4.2 Metodología 8.4.2.1 Trabajo de campo • Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar. • Materializar o verificar la existencia de los puntos de amarre (punto inicial y punto de referencia). • Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia, se mide la distancia entre los dos puntos (no es obligatorio medir la distancia pero se recomienda; de esta manera se podrá verificar la distancia teórica entre los dos puntos de coordenadas conocidas) y colocar el ángulo respectivo (cero grados, si se va a realizar el levantamiento por ceros atrás, o el azimut entre los dos puntos, si se hace por azimut directo). Medir el ángulo y distancia hacia el Delta número 1, así como los ángulos y las distancias hacia cada uno de los detalles que se puedan tomar con esta armada. Colocar cero grados visando hacia el Delta 1 y medir el ángulo hacia el punto de referencia. • El procedimiento anterior se repite en todos y cada uno de los deltas (se miden ángulo y distancia hacia adelante y ángulo y distancia hacia atrás). • Finalmente se arma el equipo en el último delta (el último delta se determina teniendo en cuenta que desde allí se pueda finalizar con la toma de detalles), se miden ángulo y distancia hacia el punto de cierre, se coloca cero grados visando al punto de cierre y se toma ángulo y distancia hacia el delta anterior. 8.4.2.2 Trabajo de oficina • Se calcula el azimut inicial, desde el punto inicial hasta el punto referencia, según las coordenadas de dichos puntos. • Se realiza la sumatoria de ángulos en cada delta, se ajustan o corrigen dichos ángulos. • Se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno de los detalles del levantamiento. • Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal (como las distancias se tomaron en los dos sentidos se deben realizar los cálculos con el promedio de las mismas). • Calcular la precisión de cada lado de poligonal y verificar que se cumple con la precisión requerida según el tipo de proyecto. • Se ajustan y corrigen las proyecciones de la poligonal (se puede utilizar cualquiera de los métodos explicados en el capítulo 7. Poligonal cerrada). • Se calculan las proyecciones de los detalles, desde el delta que fueron tomados. • Calcular las coordenadas de todos y cada uno de los deltas. 169 170 TOPOGRAFÍA • Con las coordenadas de cada delta y las proyecciones de cada detalle, se calculan las coordenadas de los detalles. • Se realiza el plano correspondiente. • Se calculan las áreas parciales y/o totales de cada uno de los elementos que componen el levantamiento. 8.4.3 Ejercicio práctico FIGURA 8.10A Cartera de campo CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO FIGURA 8.10B Cartera de campo 171 172 TOPOGRAFÍA 8.4.3.1 Corrección de los ángulos de los lados de la poligonal Se deben organizar y sumar los dos ángulos leídos en todos y cada uno de los deltas de la poligonal, la suma teórica de dichos ángulos debe ser 360 grados. ∑teórica = 360° El error en ángulo para cada delta es 360 menos la sumatoria de los dos ángulos. La corrección es el error en ángulo para cada delta dividido en 2. TABLA 8.23 Corrección de ángulos Delta Punto Áng. Obsv. GPS-1 GPS-2 0°00’00” D_1 263°48´44 Error Corrección Áng. Corregidos (-0°00´04”) 263°48´40 (-0°00´04”) 96°11´20 (0°00´04”) 274°48´9 (0°00´04”) 85°11´51 (-0°00´03”) 253°31´58 (-0°00´03”) 106°28´2 (-0°00´04”) 152°42´54 (-0°00´04”) 207°17´6 (-0°00´08”) GPS-1 D_1 D_1 0°00’00” GPS-2 96°11´24 GPS-1 0°00’00” D_2 274°48´5 (0°00´08”) D_1 D_2 D_2 0°0´0 GPS-1 85°11´47 D_1 0°00’00” D_3 253°32´1 (-0°00´06”) D_2 D_3 D_3 0°00’00” D_1 106°28´5 D_2 0°00’00” P.CI 152°42´58 (-0°00´08”) D_3 P.CI 0°0´0 D_2 207°17´10 8.4.3.2 Cálculo del azimut inicial Con las coordenadas se calcula el azimut desde el punto inicial hasta el punto de amarre. Es decir, se realiza la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. 173 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO Pto Norte Este GPS1 2125.823 35530.785 GPS2 2014.238 35512.299 Azimut de GPS1 a GPS2 = 189°24´24” 8.4.3.3 Cálculo de azimuts Con los ángulos corregidos se calculan los azimuts de los lados de la poligonal. TABLA 8.24 Cálculo de Azimuts Delta Punto GPS-1 GPS-2 Áng. Corregidos D_1 GPS-1 189°24´24 263°48´40 D_1 96°11´20 GPS-1 D_2 D_1 274°48´9 85°11´51 D_1 253°31´58 D_3 261°33´11 261°33´11 D_1 106°28´2 D_2 8°1´13 81°33´11 P.CI D_3 273°13´4 8°1´13 D_3 D_3 188°1´13 188°1´13 GPS-1 D_2 189°24´24 273°13´4 D_2 D_2 93°13´4 93°13´4 GPS-2 D_1 Azimut 152°42´54 P.CI 234°16´5 234°16´5 D_2 207°17´6 8.4.3.4 Cálculo de las proyecciones PNS = d * cosAz PEW = d * senAz Donde: • PNS = Proyección norte – sur. • PEW = • d= Proyección este – oeste. Distancia. • Az = Azimut. 81°33´15 174 TOPOGRAFÍA Se debe calcular con el promedio de las distancias. TABLA 8.25 Cálculo de proyecciones Proyecciones Delta Punto Azimut GPS-1 GPS-2 189°24´24 D_1 GPS-1 D_1 D_1 D_2 D_2 D_3 D_3 Dist. Pn Pe 93°13´4 168.318 -9.448 168.053 D_1 93°13´4 168.328 -9.448 168.063 GPS-2 189°24´24 GPS-1 273°13´4 D_2 188°1´13 156.466 -154.936 -21.831 D_2 188°1´13 156.472 -154.942 -21.831 GPS-1 273°13´4 D_1 8°1´13 D_3 261°33´11 154.14 -22.642 -152.468 D_3 261°33´11 154.132 -22.641 -152.460 D_1 8°1´13 D_2 81°33´11 P.CI 234°16´5 P.CI 234°16´5 D_2 81°33´15 8.4.3.5 Corrección de las proyecciones El error se calcula con las siguientes fórmulas: ΔNS = ERROR proyN entre D1 y D2 = proyN (D1aD2) + proyN (D2aD1) ΔEW = ERROR proyE entre D1 y D2 = proyE (D1aD2) + proyE (D2aD1) De forma similar para cada uno de los otros lados de la poligonal. Las correcciones se realizaran usando el método de la regla de la brújula o de Bowditch; en el cual se corrigen las proyecciones ortogonales en proporción a las longitudes. Se utilizan las siguientes fórmulas: • Corrección proyección Norte entre D1 y D2 = Error proyección Norte * ((promedio de las distancias medidas de D1 a D2) / (distancia promedio medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1)) 175 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO • Corrección proyección Este entre D1 y D2 = Error proyección Este * ((promedio de las distancias medidas de D1 a D2) / (distancia promedio medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1)) • Corrección proyección Norte entre D2 y D1 = Error proyección Norte * ((promedio de las distancias medidas de D2 a D1) / (distancia promedio medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1)) • Corrección proyección Este entre D2 y D1 = Error proyección Este* ((promedio de las distancias medidas de D2 a D1) / (distancia promedio medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1)) De forma similar para cada uno de los otros lados de la poligonal. TABLA 8.26 Corrección de proyecciones Proyecciones Delta Punto GPS-1 GPS-2 GPS-1 Pn Pe D_1 -9.448 168.053 D_1 -9.448 168.063 D_2 -154.936 -21.831 D_2 -154.942 -21.831 D_3 -22.642 -152.468 D_3 -22.641 -152.460 Error Correcc. Proy. Corregidas Pn Pe Pn Pe Pn Pe 0.000 -0.010 0.000 -0.005 -9.448 168.058 0.006 0.000 0.003 0.000 -154.939 -21.831 -0.001 -0.008 -0.001 -0.004 -22.642 -152.464 GPS-2 D_1 D_1 GPS-1 GPS-1 D_2 D_2 D_1 D_1 D_3 D_2 P.CI D_3 P.CI D_2 8.4.3.6 Coordenadas Finalmente se determinan las coordenadas de cada delta partiendo de las coordenadas del punto de inicio. A las coordenadas del punto de inicio se le suman las primeras proyecciones y se obtienen las coordenadas del primer delta, con las coordenadas de ese delta se obtienen las del siguiente delta y así sucesivamente hasta finalizar la poligonal. 176 TOPOGRAFÍA TABLA 8.27 Coordenadas de la poligonal Proy. Corregidas Delta Punto GPS-1 GPS-2 Pn Pe Coordenadas Punto Norte Este 2125.823 35530.785 GPS1 D_1 GPS-1 -9.448 168.058 2116.375 35698.843 D_1 -154.939 -21.831 1961.437 35677.011 D_2 -22.642 -152.464 1938.795 35524.547 D_3 D_1 GPS-2 D_1 GPS-1 D_2 D_1 D_2 GPS-1 D_2 D_1 D_3 D_2 D_3 D_1 D_3 D_2 P.CI D_3 P.CI D_2 8.4.3.7 Datos estadísticos de la poligonal Los datos estadísticos de la poligonal se deben calcular y plasmar por escrito, ya que son el comprobante de que las especificaciones requeridas se han cumplido, los datos que se deben presentar son: • Error en ángulo vs. Error máximo permisible (ya se calculó). • Error en distancia para cada lado de la poligonal (como se mencionó anteriormente esta es una ventaja de este tipo de levantamiento, ya que se pueden calcular las precisiones para cada lado de la poligonal, lo que garantiza que en todos los sectores se obtendrá una excelente precisión). Es la diferencia en distancia para cerrar cada lado de la poligonal y calcula por medio de la siguiente fórmula: 177 CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO Donde: » ΔNS2 = Error en proyecciones norte – sur. ΔEW2 = Error en proyecciones este – oeste. • Precisión de cada uno de los lados de la poligonal (P): » P = Promedio de las dos distancias medias para cada lado / error en distancia TABLA 8.28 Precisiones de cada lado Error Delta Punto GPS-1 GPS-2 Error en distancia Precisión Pn Pe 0.000 -0.010 0.010 33717.758 0.006 0.000 0.006 52671.519 -0.001 -0.008 0.008 38534.000 D_1 GPS-1 D_1 GPS-2 D_1 GPS-1 D_2 D_1 D_2 GPS-1 D_2 D_1 D_3 D_2 D_3 D_1 8.4.3.8 Cálculo de detalles Las coordenadas de todos y cada uno de los detalles se calcula con las coordenadas del respectivo delta desde donde fueron tomados, así: TOPOGRAFÍA 178 3 2_D 4 5 3_D 6 348.89653 719.91753 110.77653 819.91753 614.50653 3745.42553 73729.99453 593.1312 573.6112 004.1312 734.1691 593.1191 493.1191 769497.8391 954293.1191 478.041- 478.03- 709.24 695.17- 365.5 275.5 240.05- 340.05- 5204.72- 1_D 119.99453 683.1312 9916.42- 2 119.98353 328.5212 520.51 1 587.03553 nP senoicceyorP eP 470.12 1-SPG etroN sadanedrooC etsE otnuP 153.78 94´31°082 3´31°372 84´03°45 21´1°8 12´32°931 25´2°532 01´33°18 71´65°122 71´15°28 62´94°09 0´0°0 54´71°141 0´0°0 9´22°131 04´1°722 0´0°0 7´32°041 2-SPG 1 2 1-SPG 3 1_D 4 5 2_D 6 atleD 1-SPG 838.63 819.56 04´51°272 ”00’00°0 otnuP 1_D 2_D 3_D 373.13 32´42°981 .vsbO .gnÁ 288.52 489.041 tumizA ts i D sella te d sol ed sa dane drooC 92 .8 ALBAT CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO 8.5 Ejercicio planteado FIGURA 8.11A Cartera de campo 179 180 TOPOGRAFÍA FIGURA 8.11B Cartera de campo CAPÍ TULO 9 LOCALIZACIÓN D E P R O Y EC T O S L a construcción de proyectos de ingeniería (edificaciones, vías, minas, obras de drenaje, embalses, aeropuertos, toneles, puentes, tuberías, vías férreas, canales, plantas de tratamiento, etc.), inicia con la localización y/o materialización de puntos, ejes y/o elementos de la infraestructura a construir, según los diseños correspondientes; dicha localización se denomina replanteo. En otras palabras, el replanteo consiste en determinar en campo la ubicación y/o elevación de los elementos que se van a construir sobre el terreno natural o sobre otro elemento construido, según los diseños realizados. Dependiendo del tipo de proyecto, se puede ubicar y/o materializar cada punto según su posición exacta o en un sitio cercano que permita, por medio de proyecciones, ubicar en el proceso de construcción adecuadamente los componentes o elementos del proyecto. Por medio de métodos topográficos, para todo tipo de proyecto de construcción, es necesario materializar y georreferenciar puntos de control, teniendo como base placas con coordenadas que estén cerca de la zona de trabajo; dichos puntos de control se deben ubicar en sitios estratégicos y convenientes para posteriormente realizar el proceso de localización del proyecto de forma precisa y eficiente. Es importante mencionar que los equipos de topografía (estaciones totales) hoy en día tienen el módulo de replanteo, el cual ayuda a que los procesos de campo sean más precisos y eficientes. 182 TOPOGRAFÍA En la localización de proyectos es necesario realizar el control horizontal y vertical de las estructuras que se van a desarrollar en el proyecto, de la siguiente manera: • Para el control horizontal: se verifica la ubicación, posición y dimensiones de cada uno de los elementos que componen la infraestructura. • Para el control vertical: se verifica la cota o diferencia de altura de las estructuras con respecto a un nivel de referencia. • El control de alineación vertical: se verifica que las estructuras u obras que se construyan queden plomadas adecuadamente. 9.1 Tipos de replanteo 9.1.1 Replanteo para obras puntuales • Se determinan los puntos o ejes necesarios para desarrollar adecuadamente el proceso de construcción del proyecto. Según los planos de diseños y los cálculos del proyecto, se relacionan las coordenadas de esos puntos o ejes. • Se realiza el cálculo de distancias y ángulos o azimuts a dichos puntos desde los puntos de amarre (puntos materializados en campo, los cuales tienen coordenadas conocidas) que se encuentren cerca a los ejes o puntos a localizar. • Se arma el equipo en el respectivo punto de amarre, se visa al otro punto de amarre (se coloca en el círculo horizontal el azimut correspondiente, se busca el azimut a cada punto y se mide la distancia correspondiente). Se repite el procedimiento para todos y cada uno de los puntos o ejes de construcción. • Después de localizar los diferentes puntos o ejes de construcción, se debe verificar en campo que las distancias y los ángulos correspondan, según el diseño de la construcción y su ubicación, a elementos ya construidos. Dependiendo de la forma del elemento a construir se pueden desarrollar varias actividades en campo para comprobar que lo que se está localizando corresponda a los planos de diseño, como verificar las perpendiculares o ángulos que deben formar las diferentes líneas de referencia de los puntos materializados en campo, medir diagonales para construcciones cuadradas o rectangulares. • Debido a que en el proceso de construcción es posible que algunos puntos localizados y materializados se puedan destruir, se recomienda dejar referencias en campo de dichos puntos por fuera de la zona de trabajo del proyecto, para poder localizarlos nuevamente de forma rápida. En campo se deben establecer líneas base o de trazo para los ejes de la construcción y prolongar estas líneas fuera del área de trabajo colocando puntos para poder replantear o ubicar cualquier punto de la obra, que en alguna etapa de la construcción haya sido removido o destruido. CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO ) 9.1.1.1 Ejercicio: Replanteo de una obra puntual En la figura 9.1 se presenta el diseño de una bodega, para su construcción es necesario realizar el replanteo de los ejes de construcción y su proyección (por medio de estacas materializadas en campo) hacia la parte externa de la zona de trabajo, para que en caso de que sean destruidos en alguna etapa del proyecto, se puedan replantear nuevamente. FIGURA 9.1 Planta de bodega Como se observa en la figura 9.1, se tienen materializados los deltas relacionados en la tabla 9.1, desde los cuales se realizará el replanteo. TABLA 9.1 Deltas materializados en campo Delta Norte Este D5 2126.908 4927.216 D6 2136.034 5085.147 D7 2023.658 5031.258 183 184 TOPOGRAFÍA En la tabla 9.2 se presentan las coordenadas de los ejes de construcción, según los planos de diseño. TABLA 9.2 Coordenadas de los ejes de construcción Pto. o Eje Norte Este A1 100140 101180 A2 100140 101220 B2 100110 101220 B3 100110 101250 C2 100080 101220 C3 100080 101250 D1 100050 101180 D2 100050 101220 De acuerdo a la ubicación de los deltas, las características de diseño y las condiciones de visibilidad, se establece desde cuál delta es más favorable localizar cada uno de los ejes. Desde el delta 5 se localizará el eje A1, desde el delta 6 se localizarán los ejes A2, B2 y B3, y desde el delta 7 se localizarán los ejes C2, C3, D1, D2. Se calculan las distancias y azimuts respectivos así: desde el delta 2 al eje A1, desde el delta 3 a los ejes A2, B2, B3 y desde el delta 4 a los ejes C2, C3, D, D2. Tal como se presenta en la tabla 9.3. Dichas distancias y azimuts se medirán en campo para localizar los diferentes puntos o elementos de la construcción. También se pueden ubicar algunos ejes o puntos faltantes midiendo 90 grados desde algún eje ya replanteado y las distancias respectivas. TABLA 9.3 Distancias y azimuts calculados Delta (punto de control) Delta o Punto (intersección de ejes) D5 D6 A1 D6 D7 Distancia Azimut 86° 41’34” 54.383 D5 76° 04’12” 266° 41’34” A2 65.268 273° 29’01” B2 70.156 248° 13’03” B3 43.379 233° 28’19” D6 C2 25°37’11” 57.456 348° 42’01” 185 CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO ) Delta (punto de control) Delta o Punto (intersección de ejes) Distancia Azimut C3 59.377 18° 23’58” D1 57.631 297° 11’57” D2 28.647 336° 51’33” Para localizar el eje A1 se arma el equipo en D5, se visa a D6, se coloca en el círculo horizontal del equipo el valor del azimut entre estos dos deltas, que para esta caso es 86° 41’34”, se gira el circulo horizontal del equipo hasta encontrar el azimut del D5 al eje A1. El cual es 76° 04’12”, en esa dirección se mide 54.383 metros. Para localizar los ejes A2, B2, B3 se arma el equipo en D6, se visa a D5, se coloca el azimut, que es 266°41’34”, y se gira el telescopio hasta encontrar los respectivos azimuts, se miden cada una de las distancias, según lo relacionado en la tabla 9.3. Para localizar los ejes C2, C3, D1, D2 se arma el equipo en D7, se visa a D6, se coloca el azimut, que es 25°37’11”, y se gira el telescopio hasta encontrar los respectivos azimuts, se miden cada una de las distancias, según lo relacionado en la tabla 9.3. 9.1.2 Replanteo para obras lineales • Calcular las coordenadas del eje, bordes y/o chaflanes según el tipo de proyecto y su abscisado correspondiente. • Determinar los puntos de amarre (puntos materializados en campo que tienen coordenadas conocidas) que se van a utilizar para la localización de cada punto. • Calcular distancias y ángulos o azimuts a dichos puntos desde los puntos de amarre que se encuentren cerca a los ejes o puntos a localizar. • Se arma el equipo en el respectivo punto de amarre, se visa a otro punto de amarre (se coloca en el círculo horizontal el azimut correspondiente), se busca el azimut a cada punto y se mide la distancia correspondiente. • Después de localizar cada punto del eje del proyecto se debe verificar en campo que la distancia a la abscisa anterior corresponda (si es en recta la distancia medida debe corresponder la diferencia de abscisas entre los dos puntos; si es en curva la distancia debe corresponder a la cuerda calculada). • Debido a que en el proceso de construcción es posible que algunos puntos localizados y materializados se puedan destruir, se recomienda dejar o materializar referencias en campo de dichos puntos por fuera de la zona de trabajo del proyecto, para poder localizarlos nuevamente de forma rápida. 186 TOPOGRAFÍA 9.1.1.1 Ejercicio: Replanteo de una obra puntual Se tomara como ejemplo un proyecto vial; en la figura 9.2 se presenta un tramo de la misma, el cual se requiere replantear para su construcción. FIGURA 9.2 Tramo vial En la tabla 9.4 se presentan los datos de los puntos de amarre que se materializaron en el levantamiento topográfico del corredor del proyecto. TABLA 9.4 Coordenadas punto de amarre Delta Norte Este GPS-1 623099.457 1046558.144 D2 623173.439 1046500.588 De los cálculos del proyecto se tomaron las coordenadas del eje y de los chaflanes de los primeros 70 metros, las cuales se relacionan en la tabla 9.5 187 CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO ) 344.2456401 364.8356401 792.8356401 949.5356401 930.4356401 505.3356401 320.2356401 949.1356401 380.1356401 201.401326 981.311326 769.121326 882.221326 280.231326 317.141326 972.151326 869.651326 349.951326 175.861326 410.2456401 488.7356401 409.3356401 557.3356401 676.9256401 388.5256401 466.2256401 199.0256401 813.0256401 940.9156401 etroN 410.201326 221.111326 998.911326 922.021326 953.921326 116.831326 670.841326 994.451326 297.751326 607.761326 etsE 161.7356401 130.3356401 150.9256401 109.8256401 887.4256401 209.0256401 106.7156401 938.5156401 106.3156401 340.3156401 etroN 318.990326 129.801326 996.711326 820.811326 732.721326 717.631326 085.641326 643.351326 155.651326 572.761326 asicsbA 00.000+0 00.010+0 46.910+0 00.020+0 00.030+0 00.040+0 00.050+0 46.650+0 00.060+0 00.070+0 .otP POB 1-ET 1-CE 916.6456401 etsE odreiuqzI náflahC etroN ejE etsE ohcereD náflahC omar t led senaflahc sol y eje led sa dane drooC 5 .9 ALBAT 188 TOPOGRAFÍA Según la ubicación y características de los puntos de amarre, las características del terreno y las condiciones de visibilidad, se ha determinado que desde el GPS-1 se replanteará el eje y chaflanes desde la abscisa K0+000 hasta la abscisa K0+050, el resto se replantea desde el D2. Los correspondientes cálculos de azimuts y distancias se presentan en las tablas 9.6 y 9.7. TABLA 9.6 Datos replanteo desde GPS-1 Del Punto Obsv. Distancia Azimut D2 Delta 93.734 322°7´4´´ 0+000.00 Chaflán I 20.986 270°58´19´´ 0+000.00 Eje 16.331 279°0´28´´ 0+000.00 Chaflán D 12.426 291°57´4´´ 0+010.00 Chaflán I 26.837 290°38´57´´ 0+010.00 Eje 23.378 299°55´54´´ 0+010.00 Chaflán D 20.859 311°10´21´´ 0+019.64 Chaflán I 34.339 302°5´19´´ 0+019.64 Eje 31.709 310°8´29´´ 0+019.64 Chaflán D 29.901 318°50´9´´ 0+020.00 Chaflán I 34.642 302°25´4´´ 0+020.00 Eje 32.036 310°25´15´´ 0+020.00 Chaflán D 30.252 318°59´58´´ 0+030.00 Chaflán I 43.409 309°47´19´´ 0+030.00 Eje 41.286 316°24´26´´ 0+030.00 Chaflán D 39.459 325°46´20´´ 0+040.00 Chaflán I 52.681 315°0´49´´ 0+040.00 Eje 50.733 320°30´47´´ 0+040.00 Chaflán D 48.648 330°17´50´´ 0+050.00 Chaflán I 62.164 319°17´32´´ 0+050.00 Eje 60.188 323°52´46´´ 0+050.00 Chaflán D 57.381 334°34´15´´ Gps-1 189 CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO ) Se arma el equipo en GPS-1, se visa a D2 se coloca en el círculo horizontal el azimut respectivo 322°7´4´´, se gira el anteojo hasta encontrar cada azimut y se mide la distancia respectiva según los valores consignados en la tabla 9.6. TABLA 9.7 Datos replanteo desde D2 Del D2 Punto Obsv. Distancia Azimut GPS-1 Delta 93.734 142°7´4´´ 0+056.64 Chaflán I 25.225 142°48´2´´ 0+056.64 Eje 27.839 132°52´13´´ 0+056.64 Chaflán D 35.489 117°39´11´´ 0+060.00 Chaflán I 21.320 142°23´2´´ 0+060.00 Eje 25.181 128°24´59´´ 0+060.00 Chaflán D 34.142 113°17´3´´ 0+070.00 Chaflán I 13.897 116°19´51´´ 0+070.00 Eje 19.331 107°15´7´´ 0+070.00 Chaflán D 30.881 99°4´11´´ Se arma el equipo en D2, se visa a GPS-1, se coloca en el círculo horizontal el azimut respectivo 142°7´4´´, se gira el anteojo hasta encontrar cada azimut y se mide la distancia respectiva según los valores consignados en la tabla 9.7. 9.1.3 Control vertical • Calcular o extraer de las memorias de cálculos del proyecto, las cotas de cada uno de los puntos o elementos que se han materializado en campo, según el replanteo horizontal. • Establecer en campo el punto de amarre vertical (punto materializado en campo al cual se le conozca su cota “preferiblemente cota geométrica”). • Armar el nivel de precisión en un sitio desde el cual se pueda realizar (Vista +) al punto de amarre vertical y (Vista intermedia) a cada punto o eje del proyecto. La diferencia de nivel entre el punto de amarre vertical y cada punto será la resta aritmética entre la (Vista +) y la (Vista –). Si las diferencias de nivel entre el punto de amarre o control vertical y los puntos del proyectos son muy grandes, se realiza en nivelación compuesta. • Cerca de cada punto se debe colocar una estaca (estaca testigo) en la cual se indique el valor que se debe rellenar o cortar sobre el terreno para llegar a la cota del diseño del proyecto. 190 TOPOGRAFÍA 9.1.3.1 Ejercicio: Control vertical Se realiza el control vertical del eje del tramo de vía tomado como ejemplo en el ejercicio de replanteo de obra lineal, como se relaciona en la figura 9.3. Se realizará desde el punto GPS-1 el cual tiene una cota de 768.615. FIGURA 9.3 Tramo vial para control vertical Se realiza la nivelación geométrica desde el GPS-1, estableciendo de esta forma la cota del terreno en cada abscisa, se calcula el valor de la cota de trabajo el cual será la resta entre el valor de la subrasante para cada abscisa (datos tomados de los cálculos del proyecto) y el valor de la cota de terreno; tal como se presenta en la tabla 9.8. Finalmente se coloca una estaca testigo cerca de cada abscisa indicando el valor que se debe cortar o rellenar en dicho sitio (si la cota de trabajo es negativa se debe cortar, caso contrario se debe rellenar). 191 CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO ) 935.0- 435.0- 510.0 702.0 251.0 126.1 661.2 589.1 966.967 283.967 173.967 370.967 577.867 774.867 082.867 081.867 288.767 523.077 129.967 509.967 850.967 865.867 523.867 956.667 410.667 798.567 472.0 876.0 496.0 145.1 130.2 472.2 49.3 585.4 207.4 00.010+0 46.910+0 00.020+0 00.030+0 00.040+0 00.050+0 46.650+0 00.060+0 00.070+0 1-SPG 656.0- 489.1 .otP 00.000+0 995.077 +V 471.0 .tsnI .tlA 524.077 516.867 onerret atoC iV 769.967 etnasarbuS atoC 854.0- ojabarT atoC laci trev lor tnoC 8 .9 ALBAT C A P Í T U L O 10 C Á L CU L O D E Á R E A S 10.1 Definición E l concepto del área como medida que define el tamaño de un contorno que conforma una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el antiguo Egipto, a causa de la crecida anual de río Nilo que inundaba los campos productivos, aflora la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solucionar esta necesidad, los egipcios inventaron la geometría, tal como se describe en el libro de Heródoto: Historias volumen II. La palabra área proviene del latín regio, se refiere a un espacio de tierra comprendido entre ciertos límites, es decir, es la superficie o región comprendida en un polígono, esta se expresa en unidades de medida superficiales de tres maneras: • Metros cuadrados (m²): la medida más común del sistema internacional de medidas. • Hectárea (ha) o hectómetros cuadrados (hm2): proviene del prefijo hecto-, del griego ἑκατόν (hekatón) que significa cien. Es una medida equivalente a 100 áreas o a 10 000 m2. • Fanegada (no tienen abreviatura oficial, puede usarse fa o fg): su nombre real es Fanega, también recibe en algunos lugares la denominación de Hanega o Hanegada; proviene del árabe faddãn, que significa lo que un par de bueyes pueden arar en un día. Es una unidad de medida de la metrología 194 TOPOGRAFÍA tradicional española, antes de instituirse el Sistema Métrico Decimal; corresponde a una unidad de superficie agraria que equivale a 10 000 varas cuadradas, 576 estales cuadrados o 64.596 áreas. En Colombia es muy utilizada especialmente en los departamentos de Boyacá, Cundinamarca y Valle del Cauca; equivale a 6 400 m2. Para mejor entendimiento e interpretación de los planos y cálculos de un levantamiento topográfico es aconsejable presentar el área con las tres unidades antes descritas. FIGURA 10.1 Unidades de área 1 ha 1 fg 1 m 2 1m x 1m 80m x 80m 6400m 2 100m x 100m 10000m 2 10.2 Métodos de cálculo de áreas El área de un levantamiento topográfico puede determinarse utilizando varias metodologías de acuerdo con el tipo de levantamiento y las medidas que se planifican realizar en el terreno; estas metodologías pueden ser: • División del terreno en figuras geométricas (aplicado especialmente a levantamiento con cinta). • Por coordenadas (levantamiento con teodolito y estación total). • Dibujo asistido por computador. Cuando se requiere establecer valores de áreas sobre cartografía, mapas o la cartografía o el plano de un levantamiento, se puede lograr con cualquiera de los siguientes métodos: • Conteo de cuadros (malla de puntos, papel milimetrado o cuadriculado). • Planímetro. 195 CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS 10.2.1 Método de las figuras geométricas Para la utilización de esta metodología es necesario planificar el seccionamiento del terreno en figuras geométricas conocidas, con el fin de medir en el terreno las suficientes distancias y ángulos, que permitan determinar el área de cada figura en la oficina. La figura más utilizada para determinar el área de un polígono es el triángulo, método que fue propuesto por primera vez por el griego Antifón hacia el año 430 a. C. El área de figuras curvas presenta mayor dificultad. La tabla 10.1 presenta un resumen de las fórmulas más comunes para determinar el área de las principales figuras geométricas: TABLA 10.1 Cálculo del área por figuras geométricas Nombre Definición Figura Términos Fórmula Polígono de cuatro lados (cuadrilátero) Cuadrado d A = L² L L = Lado los cuales forman ángulos de 90°. d= Diagonal A = d cual tiene sus lados opuestos iguales y /2 b Cuadrilátero, el Paralelogramo 2 L b= Base a a= Altura A = b*a paralelos. Paralelogramo, cuyos b cuatro lados forman Rectángulo b= Base ángulos rectos. h h= Altura A = b*h Cuadrilátero, el cual D= Base sus dos diagonales Rombo d D se cruzan en ángulo de 90°. Cuadrilátero, que paralelos y los otros A = (D * d)/2 Menor b B= Base tiene dos de sus lados Trapecio Mayor d= Base Mayor h dos lados no. b= Base Menor A = ((B + b)/ 2) * h h= Altura B Lugar geométrico donde todos los puntos que conforman Círculo esta figura, equidistan de un punto llamado centro. r r= Radio A= Π * r² 196 TOPOGRAFÍA Nombre Definición Figura Términos Fórmula b= Base h= Altura A = (b * h) / 2 β = Ángulo b, c =Lados A = (b * b * Senβ) / 2 Porción del plano limitada por tres segmentos de recta. Cuando se conoce la base y altura. h b Cuando se conocen dos lados y el ángulo que forman. Triángulo c b b Cuando se conocen S = (a + b + c) / 2 los tres lados. a b a, b, c = Lados A = √(S(S – a) (S – b)(S – c)) c Lo primero es delimitar el terreno con un polígono para poderlo dividir, la figura 10.2 presenta un polígono sobre un terreno que va a ser levantado. Cuando el terreno presenta alineamientos que no son uniformes, se traza el alineamiento adaptándolo al lindero del terreno, tratando de compensar el área que se excluye con la que se incluye. El polígono que demarca el terreno se divide en figuras geométricas conocidas, regularmente triángulos y rectángulos, ya que con otras figuras no se tiene la certeza de tener los ángulos rectos. FIGURA 10.2 Área a levantar Fuente n íu q o d a n e o Zona n im verde Zona r a C verde 197 CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS La figura 10.3 presenta el polígono seccionado en figuras geométricas. La tabla 10.2 consigna el cálculo del área de cada figura y el área total del polígono, que corresponde a la suma de las áreas de todas las figuras geométricas. FIGURA 10.3 División del terreno en figuras geométricas 1 3 4 2 TABLA 10.2 División en figuras geométricas No. Figura Elementos No. b1 = base 1 b2 = base 2, h = altura 3 Figura Elementos b1 1 h r = radio r b b1 2 h b1 = base 1 b = base 2, h = altura h b 4 b = base, h = altura b Con este planeamiento se toman las medidas en el terreno, los radios y las cuerdas para establecer los ángulos en los deltas; las figuras 10.4 a y 10.4 b presentan la cartera de campo. Realizando los cálculos de acuerdo con el procedimiento del capítulo 2. Levantamiento con cinta, se determinan los elementos de las figuras geométricas, los resultados se presentan en la tabla 10.3. 198 TOPOGRAFÍA FIGURA 10.4 A Cartera de campo: Levantamiento con cinta CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS FIGURA 10.4 B Cartera de campo: Levantamiento con cinta 199 200 TOPOGRAFÍA TABLA 10.3 División en figuras geométricas No. 1 Figura Elementos b1 b1 = 28.862 b h= 10.796 b1 b1 = 42.689 A = (b1 + b2) * (h / 2) 376.062 A = (b1 + b2) * (h / 2) 439.395 A = π * r2 34.212 A =b*h 136.607 Área del polígono Área de la fuente Área del camino Área de la zona verde 815.457 m2 34.212 m 2 136.607 m2 644.639 m2 b2 = 28.862 h h= 12.282 b 3 Resultado b2 = 40.805 h 2 Fórmula r = 3.30 r h b= 29.065 b 4 h= 4.7 10.2.2 Método de las coordenadas Esta metodologíapermite determinar el área de un polígono cualquiera empleando las coordenadas norte y este de los vértices del polígono, para lo cual se utiliza cualquiera de los dos procedimientos siguientes: • El área de un polígono es igual a un medio del valor absoluto de la resta de la sumatoria del producto de norte- i por este-i+1, menos la sumatoria del producto de este-i por norte- i+1: n A= * n ∑(N * E ) + ∑(E * N ) i=1 i i+1 i=1 i i+1 201 CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS • El área de un polígono es igual a un medio del valor absoluto de la sumatoria del producto entre de la resta de la norte- i menos la norte- i+1, por la suma de este-i menos este- i+1: n A= * n ∑[(N - N ) + ∑(E + N )] i=1 i i+1 i =1 i i+1 Donde: » A = área del polígono. N » E = = coordenada norte. coordenada este. n = número de vértices del polígono del área. » » Para aplicar cualquiera de los métodos basta con numerar los vértices del polígono, preferiblemente en sentido horario, y organizar las coordenadas de estos puntos en dos columnas, repetir el primer vértice y efectuar la operación. Ejemplo práctico La figura 10.5 presenta la imagen de una edificación que fue levantada por una poligonal cerrada y de la cual se calcularon las coordenadas de sus linderos, los cuales corresponden a los puntos señalados en la imagen (tabla 10.4); se desea determinar el área construida. FIGURA 10.5 Coordenadas de la edificación - Numeración de puntos 202 TOPOGRAFÍA TABLA 10.4 Coordenadas de los puntos Punto Norte Este Punto Norte Este 1 2809.361 3081.690 14 2902.944 3134.685 2 2798.610 3052.112 15 2900.139 3135.504 3 2877.017 3023.612 16 2893.534 3113.587 4 2900.456 3088.093 17 2891.144 3114.455 5 2905.838 3086.137 18 2886.310 3112.196 6 2914.622 3110.301 19 2882.699 3102.261 7 2909.239 3112.258 20 2884.954 3097.425 8 2932.045 3174.999 21 2887.344 3096.556 9 2853.638 3203.499 22 2879.652 3075.394 10 2842.217 3172.079 23 2880.876 3074.949 11 2856.750 3166.796 24 2869.917 3044.800 12 2862.911 3183.745 25 2819.104 3063.270 13 2913.711 3165.280 26 2823.881 3076.412 1 2809.361 3081.690 • Empleando el primer método se obtiene: A = ½ * |∑ [(N1 * E2) + (N2 * E3) +.. + (N27 * E1)] - ∑ [(E1 * N2) + (E2 * N3) +...+ (E 27 * N1 )]| A = ½ * |∑ [(2809.361 * 3052.112) + (2798.610 * 3023.612) +...+ (2823.881 * 3081.690)] - ∑ [(3081.690 * 2798.610) + (3052.112 * 2877.017) +...+ (3076.412 * 2809.361)]| A = ½ * |241 242 360.624 – 241 231 638.037| = 5 361.294 m 2 A = 0.838 fa A = 0.536 ha La tabla 10.5 presenta los cálculos de este método. TABLA 10.5 Cálculos discriminados del primer método (Ni * Ei+1) (Ei * Ei+1) 3052.112 8 574 485.544 8 624 446.743 2877.017 3023.612 8 461 910.477 8 780 979.566 2900.456 3088.093 8 884 497.230 8 769 852.055 Punto Norte Este 1 2809.361 3081.690 2 2798.610 3 4 203 CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS Punto Norte Este (Ni * Ei+1) (Ei * Ei+1) 5 2905.838 3086.137 8 951 202.165 8 973 499.785 6 2914.622 3110.301 9 038 031.770 8 994 921.304 7 2909.239 3112.258 9 071 053.848 9 048 608.971 8 2932.045 3174.999 9 236 830.625 9 125 279.335 9 2853.638 3203.499 9 392 804.105 9 060 297.193 10 2842.217 3172.079 9 051 964.285 9 105 039.529 11 2856.750 3166.796 9 000 720.509 9 061 837.064 12 2862.911 3183.745 9 095 165.055 9 066 255.450 13 2913.711 3165.280 9 061 915.849 9 276 511.819 14 2902.944 3134.685 9 133 563.433 9 188 630.242 15 2900.139 3135.504 9 102 190.445 9 091 019.494 16 2893.534 3113.587 9 029 832.082 9 072 687.239 17 2891.144 3114.455 9 011 783.837 9 001 826.617 18 2886.310 3112.196 8 997 805.614 8 989 285.011 19 2882.699 3102.261 8 954 088.765 8 971 524.366 20 2884.954 3097.425 8 928 945.456 8 949 879.617 21 2887.344 3096.556 8 933 421.245 8 943 332.067 22 2879.652 3075.394 8 879 719.836 8 917 003.304 23 2880.876 3074.949 8 854 781.232 8 859 827.574 24 2869.917 3044.800 8 771 689.483 8 824 847.220 25 2819.104 3063.270 8 791 328.888 8 583 607.949 26 2823.881 3076.412 8 672 725.196 8 650 309.740 27 2809.361 3081.690 8 702 325.351 8 642 750.488 1 2809.361 3081.690 8 657 578.295 8 657 578.295 ∑ 241 242 360.624 241 231 638.037 5 361.294 m2 0.838 fa 0.536 ha Área • Empleando el segundo método se obtiene: A = ½ * |∑ [(N 1 – N2) * (E1 + E2) + (N2 – N3) * (E2 + E3) +...+ (N27 – N1) * (E 27 + E1)]| 204 TOPOGRAFÍA A = ½ * |∑ [(2809.361 – 2798.610) * (3081.690 + 3052.112) + (2798.110 – 2877.017) * (3052.112 + 3023.612) +...+ (2823.881 – 3809.361) * (3076.412 + 3081.690)]| A = ½ * |10 722.587| = 5 361.294 m2 A = 0.838 fa A = 0.536 ha La tabla 10.6 presenta los cálculos de este método. TABLA 10.6 Cálculos discriminados del segundo método Punto Norte Este 1 2809.361 3081.690 2 2798.610 3052.112 10.751 6 133.802 65945.118 3 2877.017 3023.612 -78.407 6 075.724 -476380.538 4 2900.456 3088.093 -23.438 6 111.705 -143248.594 5 2905.838 3086.137 -5.383 6 174.230 -33234.645 6 2914.622 3110.301 -8.784 6 196.438 -54426.411 7 2909.239 3112.258 5.383 6 222.559 33494.788 8 2932.045 3174.999 -22.806 6 287.257 -143387.172 9 2853.638 3203.499 78.407 6 378.498 500119.546 10 2842.217 3172.079 11.421 6 375.578 72816.115 11 2856.750 3166.796 -14.534 6 338.875 -92126.035 12 2862.911 3183.745 -6.161 6 350.541 -39125.049 13 2913.711 3165.280 -50.799 6 349.025 -322526.041 14 2902.944 3134.685 10.767 6 299.965 67829.830 15 2900.139 3135.504 2.805 6 270.188 17589.759 16 2893.534 3113.587 6.604 6 249.090 41269.615 17 2891.144 3114.455 2.390 6 228.042 14888.134 18 2886.310 3112.196 4.834 6 226.651 30096.518 19 2882.699 3102.261 3.611 6 214.457 22441.025 20 2884.954 3097.425 -2.254 6 199.686 -13975.953 21 2887.344 3096.556 -2.390 6 193.982 -14806.093 22 2879.652 3075.394 7.692 6 171.950 47477.109 23 2880.876 3074.949 -1.224 6 150.343 -7529.249 24 2869.917 3044.800 10.959 6 119.748 67066.323 25 2819.104 3063.270 50.812 6 108.069 310365.655 (N – N i i+1 ) (E i –E i+1 ) (N – N i i+1 ) * (E – E i i+1 ) 205 CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS Punto Norte Este 26 2823.881 3076.412 -4.777 6 139.681 -29328.643 1 2809.361 3081.690 14.520 6 158.101 89417.474 (N – N i i+1 ) (E – E i i+1 ) ∑ Área (N – N i i+1 ) * (E – E i i+1 ) 10 722.587 2 5 361.294 m 0.838 fa 0.536 ha Independiente del método que se emplee el resultado debe ser el mismo. 10.2.3 Método de la herramienta CAD Con la aparición de las herramientas computacionales de dibujo, se encontró un método muy aproximado para la determinación de las áreas de un levantamiento topográfico o parte de este; toda vez que en una plataforma CAD el dibujo se realiza en el modelo (model) a escala 1:1, representando la realidad, y se escala en el plano (Layout) para su impresión y presentación. Existen diversos procedimientos para determinar un área en CAD, se indican algunos de ellos: • Comando AREA, por object: El procedimiento consiste en realizar sobre el dibujo una poligonal que una los puntos que encierran el área que se desea determinar, la figura 10.6 presenta la poligonal que une los puntos de la figura 10.5 en la plataforma CAD. FIGURA 10.6 Poligonal que une los puntos de la edificación de la figura 10.5 206 TOPOGRAFÍA Posteriormente se digita el comando AREA en la barra de comandos de AutoCAD, tal como se presenta en la figura 10.7, se selecciona la opción Object y se pica sobre cualquier punto de la poligonal (figura 10.8). FIGURA 10.7 Comado AREA en la barra de comandos FIGURA 10.8 Comando AREA, opción Object, selección del polígono En ese momento en la barra de comandos de AutoCAD se presenta el área y el perímetro del polígono seleccionado, que para el ejemplo corresponden a 5361.287 m2 y 715.810 m, respectivamente (figura 10.9). CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS FIGURA 10.9 Área del polígono • Comando AREA: Teniendo los puntos que conforman los vértices del polígono, se digita el comando AREA y se van seleccionando los puntos, preferiblemente en sentido horario, como lo presenta la figura 10.10. Al seleccionar el último punto se da Enter y se obtiene el valor del área y el perímetro del polígono, como se observa en la figura 10.11. FIGURA 10.10 Selección de puntos del polígono bajo el comando AREA 207 208 TOPOGRAFÍA FIGURA 10.11 Área del polígono • Comando LIST: El procedimiento consiste en realizar sobre el dibujo una poligonal que una los puntos que encierran el área que se desea determinar, la figura 10.6 presenta la poligonal que une los puntos de la figura 10.5 en la plataforma CAD. Posteriormente se digita el comando LIST en la barra de comandos de AutoCAD, tal como se presenta en la figura 10.12, se selecciona el objeto o poligonal y se da Enter, en ese momento se despliega una ventana de texto auxiliar que presenta el área, el perímetro y las coordenadas de los vértices del polígono como se presenta en la figura 10.13. Si son muchos los vértices del polígono, con el comando Enter se van desplegando las diferentes páginas de la ventana auxiliar de texto. FIGURA 10.12 Comando LIST CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS FIGURA 10.13 Área de la poligonal con el comando LIST 10.2.4 Método gráfico del planímetro Cuando se deseaba medir áreas sobre un plano o cartografía, una de las herramientas más utilizada fue el planímetro. Este puede ser polar o rodante, la figura 10.14 presenta un planímetro rodante. 209 210 TOPOGRAFÍA FIGURA 10.14 Planímetro rodante Los planímetros polares disponen de un punto fijo, lo que genera que la superficie, a la que se le quiera determinar el área, este limitada por el tamaño del brazo del instrumento, cuando la superficie sea más grande habrá que dividirla en partes, determinarlas por separado y al finalizar sumarlas todas; con el planímetro rodante no se presenta esta limitante. El planímetro da la opción de manejar tanto el sistema internacional de unidades como el sistema anglosajón. Por lo que se pueden establecer áreas en m², cm², km², para el caso en Colombia. Al iniciar la medición se debe evitar que los brazos del planímetro queden formando ángulos próximos a 0° o 180 °, se recomienda iniciar con un ángulo cercano a los 90 ° (figura 10.15), marcar el punto de inicio, sobre el borde del polígono y realizar el recorrido en el sentido de las manecillas del reloj (Figura 10.16), hasta cerrar en el punto de inicio. FIGURA 10.15 Ubicación de los brazos del planímetro CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS FIGURA 10.16 Recorrido para el cálculo del área por planímetro polar Los planímetros electrónicos permiten ingresar la escala del plano, para que el equipo directamente arroje el área; los más antiguos o mecánicos tienen la necesidad de determinar el factor de escala, para lo cual sobre la cartografía se mide un decímetro cuadrado varias veces y se estable el factor de escala que convierte la lectura del planímetro en la escala correspondiente. Como se indicó, se realiza una marca en la cartografía y con el brazo del visor se recorre en sentido horario el borde del polígono; la lectura del área debe realizarse al menos en tres ocasiones para promediar el valor. La figura 10.17 y la tabla 10.7 presentan un ejemplo. TABLA 10.7 Cálculo del área por planímetro rodante Observación Área 1 61 383.2 2 61 384.1 3 61 383.7 Promedio 61 383.7 2 Área m 61 383.7 Área (ha) 6.14 Área (fa) 9.59 211 212 TOPOGRAFÍA FIGURA 10.17 Cálculo del área por planímetro rodante Hoy en día la manera más empleada para determinar el área de una cartografía, por su sencillez y rapidez, consiste en escanear la cartografía o la parte que de ella se necesita, insertarla en un dibujo de la plataforma CAD, escalarla y referenciarla, para luego determinar su área con el método antes descrito. 10.2.5 Método gráfico de la malla de puntos En este método se elabora, sobre un papel transparente, una malla de puntos ortogonales equidistantes entre sí. Se ubica el papel transparente sobre el área a medir y se contabilizan los puntos que se ubican dentro de esta, conociendo el área aferente a cada punto y de acuerdo con la escala del mapa se calcula el área. Se recomienda que los puntos estén separados de 0.5 a 1.0 cm (ver figura 10.18). FIGURA 10.18 Malla de puntos 213 CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS La plantilla se coloca sobre el mapa y se contabilizan los puntos que están dentro del área, si se encuentran puntos en el límite del área se contabiliza como medio punto. La figura 10.19 presenta un ejemplo en el que se tiene la cartografía a escala 1:1000 de la plaza Real de Tunja, sobre ella se delimita el área a medir y se coloca el papel transparente con la malla de puntos. Se procede a contabilizar los puntos dentro del área, con la recomendación antes indicada: • Puntos completos: 118 • Medios puntos: • Área afrente del punto 15 1 cm2 De acuerdo a la escala 1 cm es igual a 10 m, por lo tanto el área aferente a un punto es 100 m2 Total área: 118 x 100 + 15 x 0.5 x 100 = 12 550 m 2, 1.96 fa, 1.26 ha TABLA 10.8 Cálculo del área por malla de puntos Elemento y fórmula Resultado Espaciamiento (d) 10 m² Área entre puntos (Ap = d²) 100 m² Número de Puntos 125.5 Área (Af = N*Ap) 12 550 m² 1.225 ha 1.96 fa FIGURA 10.19 Área por malla de puntos 214 TOPOGRAFÍA El procedimiento de la medición de puntos se repite por lo menos tres veces rotando la malla de puntos sobre el área de la figura y, finalmente, se promedian los puntos o los valores de las áreas. FIGURA 10.20 Conteo de puntos en el área FIGURA 10.21 Diferentes ubicaciones de la malla sobre el área 10.2.6 Método gráfico del papel milimetrado En esta metodología se emplea un papel milimetrado transparente o se debe dibujar a escala sobre un papel bond milimetrado. El método se basa en contar el número de cuadros, de 1mm x 1mm o 5 mm x 5 mm o 1cm x 1cm, de acuerdo a la CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS precisión que se quiera lograr, a menor tamaño del cuadro mejor será la precisión del área a determinar. FIGURA 10.22 Área con papel milimetrado De manera análoga al método de la malla de puntos, se debe ubicar el papel milimetrado o dibujar el área sobre éste en tres posiciones diferentes (figura 10.23); en cada una de ellas se contara el número de cuadros. Se procede a contar los cuadros completos que están dentro de la figura de área y los cuadros incompletos se cuentan como medio cuadro; por aproximación los cuadros incompletos que sean menores que medio cuadro se pueden compensar para completar cuadros completos. FIGURA 10.23 Posiciones diferentes para el conteo de puntos 215 216 TOPOGRAFÍA Para el ejemplo de la figura 10.23, se cuentan los cuadros de 1 por 1 milímetros y se ajustan con respecto a la escala del dibujo, que para este caso es 1:2000; la tabla 10.19 presenta los cuadros determinados por cada posición; con lo que se determina el área. • Promedio de cuadros: • Área de cada cuadro: 1507 1 mm2 • Escala: 1:2000 De acuerdo a la escala 1 mm es igual a 2 m, por lo tanto el área aferente a un punto es 4 m2. Total área: 1507 x 4 = 6028 m2, 0.942 fa, 0.603 ha TABLA 10.9 Número de cuadros OBSERVACIONES N 1 1508 2 1501 3 1512 Promedio 1507 C A P Í T U L O 11 A L T IME T R Í A CO N CE P T O S GENER ALES 11.1 Altimetría L a altimetría (también llamada hipsometría) es el área de la Topografía que calcula la coordenada vertical (cota o altura) de los puntos en el terreno o de una construcción con respecto a una superficie de referencia o un plano de comparación. Para calcular las cotas de los puntos se utilizará un método topográfico denominado Nivelación. Con la altimetría se consigue representar el relieve del terreno. Otras aplicaciones muy comunes son: 1. En proyectos de infraestructura vial y proyectos lineales de drenaje como acueductos y alcantarillados, en los cuales es necesario conocer las diferentes alturas de los puntos para determinar pendientes. 2. Para la localización de obras civiles que necesitan una cota o altura planteada, como tanques de almacenamiento para acueductos por gravedad. 3. En el cálculo de movimientos de tierra. 4. Para la determinación y cálculos de obras de drenaje y determinación de dirección de la escorrentía. 5. La elaboración de mapas o planos donde representen el terreno. 218 TOPOGRAFÍA En general para cualquier obra de infraestructura es necesario conocer, además de la posición de los puntos, la altura o cota, ya que gran parte del cálculo del costo de la obra depende de este componente, como el movimiento de material o las dimensiones reales del material, entre otros. 11.2 Altura o cota La altura es la distancia vertical referida a un origen determinado, considerado como nivel cero, para el que se suele tomar el nivel medio del mar. En geografía, la altitud es la distancia vertical de un punto de la Tierra respecto al nivel del mar, llamada también elevación sobre el nivel medio del mar. La altura, también, indica la distancia vertical existente entre dos puntos de la superficie terrestre y el nivel de vuelo, que es la altitud según la presión estándar medida mediante un altímetro. La cota es una distancia vertical medida con base en un plano de referencia arbitrario. En arquitectura es muy utilizada, ya que se toma como plano de referencia la placa del primer piso, con lo cual es más fácil la interpretación de los planos, ver figura 11.1. FIGURA 11.1 Cota o altura a ru tl A a toC Plano arbitrario mnmm Según la organización internacional Permanent Service for Mean Sea Level el nivel medio del mar (Mean Sea Level, MSL) se define como el nivel promedio de las aguas tranquilas del mar durante un periodo determinado de tiempo (meses, años), de tal forma que los efectos provocados periódicamente por mareas y por otras causas frecuentes como las olas queden compensados. Para determinar el nivel medio del mar se utilizan aparatos especiales denominados mareógrafos, que miden el nivel de forma instantánea y continua en un punto específico de la costa. CAPÍTULO 11: A LTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES El nivel medio del mar se toma como cero altimétrico, al cual se referencia la red de nivelación nacional. En Colombia el Datum está ubicado en un mojón en Buenaventura y tiene una altura de 0.000 m. A partir del Datum se ha densificado una red de puntos de altura conocida por los principales corredores viales del país, materializados en incrustaciones horizontales o mojones. La entidad encargada de realizar este trabajo es el Instituto Geográfico Agustín Codazzi (IGAC). 11.3 Tipos de nivelación La nivelación es el término que engloba los procedimientos para determinar las alturas o cotas de puntos, a partir de un punto de referencia, o las diferencias existentes entre ellos. Existen varios tipos de nivelación de acuerdo al método y al equipo utilizado, como se relaciona en la tabla 11.1. TABLA 11.1 Tipos de nivelación Métodos 1 2 Metodología Equipo Cinta Cinta métrica Geométrica Nivel y mira Trigonométrica Teodolito y mira Barométrica Barómetro Directos Indirectos Nivelación con cinta: determina la distancia vertical directamente con una cinta métrica. En este procedimiento se debe garantizar la verticalidad del instrumento. Se utiliza para determinar profundidades de pozos o en medición de distancias en construcciones. Nivelación barométrica : se fundamenta en la relación entre la altura y la presión atmosférica. A mayor altura menor es la presión, una pulgada de mercurio corresponde a 1000 pies de elevación. Este método consiste en determinar la distancia vertical a partir de la comparación de las alturas dadas por un altímetro, su apreciación es de 10 m, por lo cual no se considera una nivelación topográfica. Nivelación geométrica: se determina la distancia vertical directamente, a través de la medición de alturas desde un nivel de precisión y sobre una regla llamada mira. La nivelación geométrica ofrece precisiones milimétricas y es la más utilizada en trabajos topográficos en proyectos de ingeniería. Nivelación trigonométrica: determina la distancia vertical entre dos puntos con base en el ángulo vertical y la distancia horizontal o inclinada; el ángulo puede ser de elevación o depresión, dependiendo de la posición del punto observado, arriba 219 220 TOPOGRAFÍA o abajo del plano horizontal. La precisión de esta nivelación es centimétrica y es utilizada en estudios de prefactibilidad. La nivelación geométrica y la trigonométrica son las más utilizadas por lo cual se desarrollaran al detalle más adelante. 11.4 Equipos empleados en nivelación 11.4.1 Teodolito El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico universal, es un telescopio montado sobre un trípode y con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, con los que se miden los ángulos verticales y horizontales, el cual tiene una precisión elevada. Con herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles. FIGURA 11.2 Teodolito En la actualidad se utiliza la estación total que es una versión mejorada de un teodolito que, además de medir ángulos verticales y horizontales, permite la medición remota de distancias, facilitando los procedimientos. 11.4.2 Nivel El nivel topográfico es un instrumento utilizado para la medición de desniveles entre puntos que se hallan a distintas alturas o el traslado de cotas de un punto conocido a otro desconocido, pueden ser manuales o automáticos. El nivel consta de un anteojo similar al del teodolito con un retículo estadimétrico, para apuntar, y un nivel de burbuja, que permite mantener la horizontalidad CAPÍTULO 11: A LTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES del eje óptico del anteojo. Ambos están unidos de manera que si el nivel está desnivelado, el eje del anteojo no mantiene una perfecta horizontalidad, pero al nivelar el primero, el eje óptico también se horizontaliza. FIGURA 11.3 Nivel 11.4.3 Mira Es una regla graduada en metros, decímetros y centímetros fabricada en madera o metal. Tiene una altura de 4 o 5 metros, constituida por tramos plegables para facilitar el transporte y almacenamiento. FIGURA 11.4 Mira En este momento se esta ulilizando el nivel electrónico acampañado de mira con código de barras para no leer el equipo sino que este realiza la lectura. 221 222 TOPOGRAFÍA 11.4.4 Nivel de mano (nivel Locke) Nivel pequeño tubular sujeto a un ocular de unos 12 cm, a través del cual se puede observar simultáneamente el reflejo de la burbuja del nivel y la señal de la mira u objetivo que se esté visando. FIGURA 11.5 Nivel Locke 11.4.5 Nivel Abney El Abney es un nivel tubular sujeto a un nonio graduado, con el cual es posible poner un grado de inclinación para trazar pendientes tanto en porcentaje como en ángulo. Al igual que el nivel Locke, la imagen de la burbuja se refleja por un prisma sobre el campo visual del ocular. FIGURA 11.6 Nivel Abney 11.4.6 Altímetro Un altímetro es un instrumento de mediciónque indica la diferencia de altitud entre el punto donde se encuentra localizado y un punto de referencia; habitualmente se utiliza para conocer la altura sobre el nivel del mar. Su funcionamiento está basado en la relación entre presión y altitud. 223 CAPÍTULO 11: A LTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES FIGURA 11.7 Altímetro 11.4.7 Equipo menor y materiales Las comisiones de topografía deben contar con un equipo menor compuesto por: plomadas, maceta, machete, cinta, estacas, puntillas, pintura, plásticos. Equipo que fue descrito en los conceptos básicos de planimetría. 11.5 Precisión en altimetría Cuando se repite un proceso o se automatiza, se puede producir un aumento de la precisión, esto se debe a que con dicha automatización se disminuyen los errores manuales o su corrección inmediata. La precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. 11.5.1 Error permitido en nivelación Para todos los trabajos topográficos de nivelación es necesario establecer un margen de error o error permitido que permita tener un rango de precisión de los levantamientos altimétricos. Estos estándares los han desarrollado diferentes entidades e institutos de investigación en topografía, para levantamientos de poca precisión se utiliza: (11.1) Donde: • c = Error de cierre permitido en mm. • n = Número de armadas del equipo. Cuando se realizan traslados o circuitos de nivelación donde se determina la distancia nivelada, la Federal Geodetic Control Subcommittee (FGCS) estableció la siguiente fórmula: (11.2) 224 TOPOGRAFÍA Donde: • c = Error de cierre permitido en mm. • m = Una constante. • K = La distancia nivelada en kilómetros. Esta constante está dada de acuerdo a la clase de nivelación, según se describe en la tabla 11.2. TABLA 11.2 Constante por clase de nivelación Clase Orden M I 1 4 I 2 6 I 3 12 II 1 5 II 2 8 II 3 12 Para estudios topográficos se trabaja con una m de 12, que corresponde a una nivelación geodésica de tercer orden, según la tabla 11.2: nivelación de clase I de tercer orden. De igual manera, con base en esta formulación se han establecido unos parámetros que reúnen, adicional a la clase de nivelación, la longitud máxima de las visuales y la apreciación de la lectura. Tal y como se aprecia en la tabla 11.3. TABLA 11.3 Errores permitidos por clase de nivelación Clase de nivelación Long. Máxima Visual (M) Aproximación de la Lectura (Mm) Constante Poca precisión 300 50 95 Ordinaria 150 5 24 Precisión 100 1 12 100 0.1 8 100 0.01 4 Geodésica de 2do. orden Geodésica de 1er. orden Cuando se trabaja con circuitos de nivelación, donde la nivelación y contra nivelación se realizan por los mismos cambios, se ha establecido como error máximo permitido 3 mm, para el chequeo de comparaciones entre los dos recorridos. C A P Í T U L O 12 NIVEL ACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL C onsiste en la determinación de cotas o diferencias de nivel mediante la medición directa en campo de distancias verticales, este tipo de nivelación es la más recomendada para el desarrollo o levantamientos altimétricos y para realizar controles en obras civiles por el alto grado de precisión que brinda. La nivelación geométrica o diferencial tiene varias aplicaciones en el diseño, construcción, control y operación de diferentes proyectos de ingeniería, se usa principalmente para nivelación de ejes o perfiles longitudinales, secciones o perfiles transversales, control e instalación de tuberías, control e instalación infraestructuras de obras civiles en general. Cuando se realiza una nivelación geométrica se puede presentar que los puntos o detalles a nivelar estén alineados, entonces tomara el nombre de nivelación geométrica longitudinal; o que los puntos estén ubicados en diferentes direcciones y se denominará nivelación geométrica radial. Los resultados de cualquier tipo de nivelación será la determinación de cotas o alturas sobre el nivel del mar, con lo que se pueden calcular las diferencias de nivel entre dos o más puntos específicos. 226 TOPOGRAFÍA 12.1 Equipos para nivelación geométrica Para el desarrollo de una nivelación geométrica se necesitan básicamente dos equipos el nivel de precisión y la mira topográfica, dichos elementos se describieron detalladamente en el capítulo 11. Altimetría conceptos generales del presente texto, con el propósito de recordar esos conceptos a continuación se presenta una breve descripción: Nivel de precisión: equipo que presenta o permite tomar visuales horizontales, con enfoque de anteojo según la respectiva distancia. Mira topográfica : regletas demarcadas con distanciamientos de un centímetro o de un milímetro, es de anotar que las lecturas o mediciones se deben realizar siempre al milímetro, es decir, si la mira esta demarcada al centímetro, el lector o profesional de campo según su apreciación debe aproximar las lecturas al milímetro, para lo cual se recomienda realizar lecturas de los tres hilos o retículos que presenta el equipo como son: lectura en el hilo superior (Ls), lectura en el hilo medio (Lm) y lectura en el hilo inferior (Li). Los cálculos se deben realizar con la lectura del hilo medio, pero para cada punto tomado es imperativo realizar la comprobación de que el promedio de las lecturas de hilo superior e hilo inferior se iguala a la lectura del hilo medio + ó - un milímetro. Es importante anotar que se ha observado que cuando el profesional de campo ha adquirido bastante experiencia en nivelaciones geométricas, tiende a realizar únicamente la lectura del hilo medio; con lo cual se presenta ahorro en tiempo de ejecución, pero se puede perder la precisión del levantamiento altimétrico. 12.2 Errores en nivelación geométrica Básicamente se pueden presentar tres tipos o fuentes de error en el proceso de ejecución de las nivelaciones geométricas: Personales: errores que se cometen por procedimientos inadecuados del personal que toma la información en campo, entre los cuales se pueden presentar: lecturas erróneas de mira, enfoque defectuoso al antojo del equipo, error en la verticalidad de la mira, movimientos inadecuados en la mira o trípode en la toma de datos. Para minimizar este tipo de errores se debe brindar una adecuada capacitación al personal de comisión de campo, lo mismo que el director o coordinador de dicha comisión debe verificar un adecuado desarrollo de los procesos necesarios. Naturales: errores que se presentan por características de la naturaleza, medio ambiente, clima, lluvias y/o características del terreno donde se desarrolla el proyecto; tales como: la curvatura terrestre, cambios de temperatura que puedan generar fenómenos de reverberación de aire y/o dilatación de elementos de los equipos utilizados, movimientos en la superficie terrestre que puedan generar asentamientos u otro tipo de variaciones de nivel. CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL Instrumentales: descalibración de equipo (nivel y/o trípode), desgastes en la mira que dificulten la realización adecuada de las lecturas, para minimizar este tipo de errores periódicamente se deben realizar mantenimientos y calibraciones de todos los equipos así como comprobaciones en campo del buen funcionamiento de los mismos. En términos generales para minimizar la posibilidad de cometer errores en los procesos de nivelación geométrica se recomienda: • Antes de realizar cada lectura se debe comprobar que la burbuja del nivel este centrada adecuadamente, para que se garantice que el equipo este nivelado adecuadamente. • Garantizar la verticalidad de la mira utilizando equipos adicionales como el ojo de pollo. • Realizar un enfoque adecuado sobre la mira de acuerdo a la distancia entre el nivel y la mira. • No realizar lecturas muy altas en la mira, entre más alta quede la lectura mayor es la probabilidad de error, por falta de verticalidad de la misma. • No realizar lecturas a distancias muy largas para evitar errores por curvatura terrestre. • Verificar los tres hilos en campo. • Antes de terminar el trabajo de campo verificar que se han tomado todas las lecturas. • Realizar el chequeo de cartera de campo antes de abandonar el sitio de trabajo. 12.3 Nivelación geométrica simple FIGURA 12.1 Nivelación geométrica simple Se usa para terrenos donde las diferencias de nivel no superan los 4 o 5 metros que son las magnitudes a las cuales regularmente se han construido las miras topográficas, ya que desde una sola posición del equipo (nivel topográfico de precisión) se realizan todas las lecturas necesarias. 227 228 TOPOGRAFÍA El procedimiento de campo consiste en armar el nivel en un punto o sitio desde donde se pueda tomar la vista atrás o vista más (V+) sobre la mira ubicado en el punto materializado con cota conocida (BM o NP) y luego girando el anteojo se puedan tomar todas las lecturas o vistas intermedias (Vi) a todos y cada uno de los puntos que se necesiten nivelar, para realizar los cálculos se utilizan dos fórmulas: Altura Instrumental (Ai) = Cota del BM o NP + Vista más (V+) Cota de cada punto = Altura Instrumental (Ai) – Vista intermedia a cada punto (Vi) 12.3.1 Ejemplo Nivelación Geométrica Simple FIGURA 12.2 Cartera de campo: nivelación geométrica simple 229 CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL Cálculos De acuerdo a las dos fórmulas relacionadas se calcula la nivelación. Tal como se presenta en la tabla 12.1 TABLA 12.1 Cálculos nivelación geométrica simple Pto. V+ NP10 1.425 Vi Alt. Inst. Cota Observaciones 2690.639 2689.214 Placa 1 1.685 2688.954 Estaca 2 2.568 2688.071 Estaca 3 3.658 2686.981 Estaca 4 3.124 2687.515 Estaca 12.4 Nivelación geométrica compuesta Nivelación geométrica realizada ubicando el nivel en diferentes posiciones, con vistas atrás y delante del BM o NP y a los cambios, y vistas intermedias a los puntos a nivelar. Es decir, se va trasladando la cota desde el BM hasta cada punto. Esta nivelación se usa cuando desde una sola posición del nivel no se puede observar la mira ubicada en todos y cada uno de los puntos que se necesita nivelar, o sea, en terrenos con visuales muy largas, con diferencias de nivel considerables que no permitan realizar una nivelación geométrica simple o cuando no existe la visibilidad de todos los puntos desde una sola posición del nivel. Es necesario realizar la nivelación y la respectiva contranivelación para poder verificar que se cumplen las especificaciones requeridas según el tipo de proyecto. La contranivelación es el proceso mediante el cual se lleva la nivelación hasta el punto de inicio (es decir iniciar la nivelación en un punto de cota conocida (BM) y terminar en ese mismo punto). Cuando se realiza nivelación y contranivelación se denomina un circuito de nivelación. Se pueden realizar circuitos de nivelación por diferentes cambios o por los mismos cambios. Se recomienda por los mismos cambios, ya que este método permite realizar revisiones y comprobaciones en cualquier sector parcial de la nivelación, mientras que la nivelación por diferentes cambios solo permite realizar evaluaciones de los resultados finales de la nivelación. Para terrenos de gran extensión, se recomienda realizar varios circuitos, es decir, sectorizar en tramos máximos de 2 kilómetros y realizar un circuito para cada sector. Lo anterior debido a que se puede verificar, controlar y/o realizar correcciones de manera más sencilla y organizada. 230 TOPOGRAFÍA Las fórmulas de cálculo para las nivelaciones compuestas básicamente son: • Altura instrumental = Cota + (V+) • Cota para los cambios = altura instrumental – (V-) • Cota para los puntos = altura instrumental – (Vi) FIGURA 12.3 Nivelación geométrica compuesta 12.4.1 Procedimiento para nivelaciones geométricas compuestas • Reconocer el terreno para planeación del trabajo de campo y definición de la metodología a utilizar. • Ubicar y nivelar el equipo (nivel de precisión) en un sitio desde donde se pueda tomar la (V+) a la mira ubicada en el BM o NP y desde donde se puedan tomar la (Vi) a la mayor cantidad posible de puntos o detalles. • Tomar la lectura de (V+). • Realizar las (Vi) a los puntos o detalles que se puedan visualizar desde este punto. • Materializar un punto que se usara como cambio No 1 (C#1) al cual se le toma la lectura de mira, vista adelante o vista menos (V-). • Trasladar el nivel a un sitio desde donde se pueda realizar la vista atrás (V+) al C#1, realizar dicha vista. • Tomar lecturas, vistas intermedias (Vi), a los puntos a nivelar que se puedan visualizar desde esta posición. • De ser necesario, materializar más cambios repitiendo el procedimiento escrito para el cambio 1 (C#1); es decir ubicar un punto de cambio 2 (C#2)M, dar vista menos (V-) a dicho cambio y continuar la nivelación hasta finalizar la nivelación (se recuerda que se debe llegar de nuevo al punto inicial o BM). • Realizar la vista menos (V-) al BM para cerrar la nivelación. CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 12.5 Circuito de nivelación por diferentes cambios De acuerdo al procedimiento relacionado anteriormente se realiza la nivelación de los diferentes puntos por medio de una nivelación geométrica compuesta y después por medio de otra ruta, es decir por cambios diferentes, se desarrolla la contranivelación; que como ya se había indicado consiste en realizar una nivelación desde el punto final hasta el punto de inicio o BM, como se llega al punto inicial la diferencia de nivel teórica debe ser igual a cero (0); por lo que se deben establecer las precisiones y aplicar las correcciones según las especificaciones del proyecto. Para un circuito de nivelaciones por diferentes cambios es necesario, para los puntos de cambio, realizar las lecturas de mira con los tres hilos del equipo: Ls (hilo superior), Lm (hilo medio) y Li (hilo inferior). También se podría y se recomendaría tomar los tres hilos para cada punto o detalle, pero aumentaría los tiempos del trabajo de campo, por lo que en la actualidad ese proceso casi nunca se realiza. 231 232 TOPOGRAFÍA 12.5.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por diferentes cambios FIGURA 12.4A Ejercicio. Circuito de nivelación por diferentes cambios CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL FIGURA 12.4B Ejercicio. Circuito de nivelación por diferentes cambios 233 234 TOPOGRAFÍA Cálculos Inicialmente se calcula la nivelación compuesta de los cambios. TABLA 12.2 Nivelación de cambios del circuito de nivelación Pto. V+ Alt. Inst. BM-1 1.856 2582.206 C1 2.314 2583.266 C2 0.895 C3 2.254 Vi Cota Observaciones 2580.350 Placa 1.254 2580.952 Estaca 2581.503 2.658 2580.608 Estaca 2582.901 0.856 2580.647 Estaca 2.546 2580.355 Placa BM-1 V- El error del circuito de nivelación es la cota inicial o base del cálculo (cota del BM) – La cota final del BM calculada en el circuito. Para este ejemplo 2580.350 – 2580.355 = -0.005 Para realizar las correcciones se debe establecer la distancia total nivelada. Como al BM y a todos y cada uno de los cambios se le tomaron las lecturas de los tres hilos, por medio de taquimetría (la fórmula para el cálculo de distancia por taquimetría es D (distancia horizontal) = (Ls ¨lectura hilo superior¨ – Li ¨lectura hilo inferior)*100), se calculan las distancias entre cambios y la distancia total. TABLA 12.3 Cálculos de distancias De A BM-1 V+ V- Dist. Total Dist. Acum. Ls Li Dist Ls Li Dist C#1 1.958 1.755 20.3 1.455 1.052 40.3 60.600 60.600 C#1 C#2 2.471 2.157 31.4 2.925 2.390 53.5 84.900 145.500 C#2 C#3 1.071 0.720 35.1 1.025 0.686 33.9 69.000 214.500 C#3 BM 10 2.338 2.17 16.8 2.689 2.402 28.7 45.500 260.000 Se debe verificar que el error cumple con las especificaciones del proyecto, según lo relacionado en el capítulo 11. Altimetría conceptos generales, para lo cual se tiene: CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL Donde: • c = Error de cierre permitido en mm. • m = Una constante. • K = La distancia nivelada en kilómetros. La constante utilizada será de 12, pues es la recomendada para proyectos topográficos. Se comprueba que el error de 5 milímetros este dentro del parámetro permisible, de lo contrario se debe repetir el trabajo de campo. Las cotas de los cambios se corrigen proporcionalmente según la distancia acumulada de nivelación, es decir mediante la fórmula: Corrección = (error de la nivelación * distancia acumulada) / (distancia total) TABLA 12.4 Ajuste del circuito Pto. Cota Corrección Cota Corregida BM-1 2580.350 C1 2580.952 -0.001 2580.951 C2 2580.608 -0.003 2580.605 C3 2580.647 -0.004 2580.643 BM-1 2580.355 -0.005 2580.350 2580.350 Finalmente las cotas de los detalles se calculan con las cotas corregidas de los cambios, tal como se presenta en la tabla 12.5. 235 236 TOPOGRAFÍA TABLA 12.5 Cotas de los detalles Pto. V+ Alt. Inst. BM-1 1.856 2582.206 Vi Cota Observaciones 2580.350 Placa 1 1.685 2580.521 Construcc. 2 1.682 2580.524 Construcc. 2580.951 Estaca 2580.521 Construcc. 2580.605 Estaca C1 2.314 2583.265 3 C2 2.744 0.895 2581.500 4 0.975 2580.525 Construcc. 8 1.985 2579.515 Bodega 9 1.982 2579.518 Bodega 2580.643 Estaca C3 2.254 2582.897 5 2.381 2580.516 Construcc. 6 2.374 2580.523 Construcc. 7 3.381 2579.516 Bodega 10 3.388 2579.509 Bodega CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 12.5.2 Ejercicio propuesto: Circuito de nivelación por diferentes cambios FIGURA 12.5 Ejercicio propuesto. Circuito de nivelación por diferentes cambios 237 238 TOPOGRAFÍA 12.6 Circuito de nivelación por los mismos cambios En la realización de un circuito de nivelación, la contranivelación se desarrolla por los mismos cambios utilizados para la nivelación. Este método es el más aconsejable para nivelaciones geométricas compuestas, ya que se podrán realizar verificaciones en todos y cada uno de los sectores de la nivelación y así, en caso de ser necesario, poder realizar las correcciones pertinentes de forma precisa y eficiente. 12.6.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos cambios FIGURA 12.6A Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL FIGURA 12.6B Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios En la contranivelación no se tomaron los detalles, no sería necesario; aunque si se tomaran se podrían comprobar las cotas de todos y cada uno de estos. 239 240 TOPOGRAFÍA Cálculos Los cálculos y ajustes del circuito de nivelación se presentan en la tabla 12.6; los cuales en términos generales son: • Con las (V+) y las (V-) del NP y de los cambios, se calcula la diferencia de nivel entre los dos puntos consecutivos, tanto en la nivelación como en la contranivelación. • Con las diferencias de nivel, se realiza el chequeo de cada diferencia de nivel, dicho chequeo no debe superar los tres milímetros es decir 0.003 metros, caso contrario se debe ir a campo y repetir las cuatro medidas correspondientes para cada chequeo que quede por fuera del parámetro. • Se calcula el promedio de diferencias de nivel, para lo cual se deben cambiar los signos de la diferencia de nivel de la contranivelación según las diferencias la nivelación, es decir, si las diferencias de nivel en la contranivelación dan negativas se deben tomar positivas y viceversa. • Con las diferencias de nivel promediadas se calculan las cotas ajustadas de cada cambio. 241 CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 4C 3C 520.1251 702.8151 372.5151 328.2151 2C 1C 842.0151 atoC adatsujA 1PN .otP 918.2 439.2 054.2 575.2 .viN .fiD .morP 300.0 200.0 100.0- 200.0 oeuqehC 718.2- 339.2- 054.2- 475.2- viN .fiD 241.3 269.3 703.3 161.3 -V nóicalevinartnoC 523.0 920.1 758.0 785.0 +V o tiucric led e tsuja y oeu qehC 6 .21 ALBAT 028.2 539.2 944.2 675.2 .viN .fiD 325.0 854.3 483.3 1C 2C 3C 4C 667.0 512.3 465.0 589.0 .otP 1PN +V 165.3 -V nóicaleviN 242 TOPOGRAFÍA Finalmente, con las cotas ajustadas se realiza el cálculo de todos y cada uno de los detalles de la nivelación, como se relaciona en la tabla 12.7. TABLA 12.7 Cálculo de las cotas de los detalles Pto. V+ Alt. Inst. C1 3.215 1516.038 Vi Cota Obser. 1512.823 K0+000 3.286 1512.752 Vía K0+010 2.884 1513.154 Vía K0+020 2.489 1513.549 Vía K0+030 2.079 1513.959 Vía K0+040 1.682 1514.356 Vía K0+050 1.278 1514.760 Vía K0+060 0.969 1515.069 Vía C2 3.458 1518.731 1515.273 K0+070 3.258 1515.473 Vía K0+080 2.854 1515.877 Vía K0+090 2.449 1516.282 Vía K0+100 2.051 1516.680 Vía K0+110 1.653 1517.078 Vía K0+120 1.247 1517.484 Vía K0+130 0.852 1517.879 Vía K0+140 0.446 1518.285 Vía C3 3.384 1521.591 1518.207 K0+150 2.905 1518.686 Vía K0+160 2.511 1519.080 Vía K0+170 2.102 1519.489 Vía K0+180 1.710 1519.881 Vía K0+190 1.322 1520.269 Vía K0+200 0.927 1520.664 Vía CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL 12.6.2 Ejercicio práctico: Circuito de nivelación por los mismos cambios FIGURA 12.7 Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios 243 C A P Í T U L O 13 NIVEL ACIÓN TRIGONOMÉTRICA 13.1 Definición E l objetivo de la nivelación trigonométrica es establecer la diferencia de nivel (DN) que existe entre dos puntos, a través de la medición de un ángulo vertical o cenital (AV) y la distancia horizontal (DH) o la distancia inclinada (DI), para determinar la distancia vertical (DV) entre la altura del equipo y el prisma o mira; distancia vertical, que al ser afectada por la altura instrumental (HI) y la altura del prisma (Ho), permite obtener el desnivel. La figura 13.1 presenta el diagrama básico de la nivelación trigonométrica; como se observa, el desnivel entre los puntos C y D corresponde a DN. Este permitirá determinar la cota del punto D con base en la cota del punto C, sumando algebraicamente la cota de C al valor del desnivel DN. Cota D = Cota C + DN (13.1) El valor del desnivel se determina mediante la suma y resta de alturas, partiendo de la cota del punto sobre el cual se arma el equipo (C). Es importante visualizar el triángulo rectángulo ijk, que se genera entre la altura del equipo, la altura del prisma o punto de visual y la proyección al horizonte de la visual del equipo. En este triángulo la hipotenusa es la distancia inclinada (DI) entre el telescopio del equipo y el prisma (ik ), el cateto ( ij ) es la distancia horizontal (DH) y el cateto (jk ) es la distancia vertical (DV). El valor del desnivel corresponderá a: DN = HI + (±DV) – Ho (13.2) 246 TOPOGRAFÍA Por lo tanto: Cota D = Cota C + HI + (±DV) – Ho (13.3) FIGURA 13.1 Diagrama general de la nivelación trigonométrica 13.2 Usos La nivelación trigonométrica ha encontrado su principal uso en la obtención de información para generación de modelos digitales de terreno – MDT –. Al sumarse al procedimiento de radiaciones simples, que se ejecutan en los vértices o deltas de una poligonal cerrada o punto a punto, cuyo objeto es establecer las coordenadas norte y este de los puntos. La nivelación trigonométrica permite determinar la cota de éstos, complementando así la información requerida para la generación del modelo. A diferencia de la nivelación geométrica, la trigonométrica permite ejecutar mediciones entre puntos con grandes diferencias de nivel, toda vez que la visual no es horizontal; resaltando que a la fecha no existe un criterio claro del error permitido en la nivelación trigonométrica y que el desfase del ángulo vertical respecto de la horizontal genera un error por aproximación. Por ello la nivelación geométrica brinda una mayor precisión, puesto que las distancias verticales se miden directamente y las variables de errores son inferiores que las de la trigonométrica. 247 CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 13.3 Metodología Teniendo en cuenta la figura 13.1, el proceso de campo para realizar la nivelación trigonométrica del punto D es el siguiente: 13.3.1 Trabajo en campo • El punto de armado C debe tener una cota conocida, bien sea que corresponda a un BM o que se determine por nivelación geométrica o trigonométrica desde un punto de cota conocida. • Se arma, centra y nivela el equipo (tránsito o estación total) en el punto C. • Se establece la altura instrumental (Hi): este proceso no es muy preciso ya que se realiza empleando el flexómetro. • Se sitúa la mira o el prisma (estación total) en el punto D, que es al que se le quiere establecer la cota. • Se estaciona la visual en la mira o en el prisma y se determina la altura del objeto (Ho), en el primer caso será la lectura media realizada sobre la mira, por lo que se recomienda dirigir la visual en una medida cerrada; en el segundo caso se establece la altura del prisma bien sea directamente en el bastón si este está graduado o con la ayuda de un flexómetro. • Manteniendo la visual anterior, se mide el ángulo vertical del equipo (AV), también llamado ángulo cenital. • Se mide la distancia horizontal (DH) o distancia inclinada (DI) entre el equipo y el respectivo objeto. 13.3.2 Trabajo en oficina Se determina la diferencia de nivel DN, la distancia vertical DV y la cota del punto D. De la ecuación 13.2 se sabe que el desnivel (DN) es igual a: DN = HI + (±DV) – Ho (13.2) En la Figura 13.1 se visualiza el triángulo rectángulo ijk con el cual se puede determinar: Cot (AV) = DV / DH DV = DH * Cot (AV) DV = DH / Tan (AV) (13.4) 248 TOPOGRAFÍA De otra parte: Cos (AV) = DV / DI DV = DI * Cos (AV) (13.5) La DV debe ser positiva si la visual del equipo está por encima del horizonte, es decir, cuando el ángulo cenital es menor a 90 grados, tal como se ilustra en la figura 13.1, y debe ser negativa cuando la visual del equipo está por debajo del horizonte, es decir, cuando el ángulo cenital es mayor a 90 grados tal como se presenta en la figura 13.2. Debido a las características de las funciones coseno y tangente, el coseno y la tangente del ángulo vertical mayor a 90 grados será negativo y se obtiene directamente el signo de DV. La cota del punto (D) se establece con la ecuación 13.3: Cota D = Cota C + HI + (±DV) – Ho (13.3) Remplazando DV se obtiene: Cota D = Cota C + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho (13.6) Cota D = Cota C + HI + DI * Cos ( AV) – Ho (13.7) FIGURA 13.2 Ángulo cenital mayor a 90 grados CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 13.4 Tipos de nivelación trigonométrica La nivelación trigonométrica puede ser simple si se realiza desde un solo punto o compuesta si se requiere más de un punto para realizarla. 13.4.1 Nivelación trigonométrica simple El procedimiento radica en realizar la nivelación trigonométrica desde un solo delta o estación. Como solo tiene una armada no es posible determinar errores, es análogo al levantamiento por radiación simple; para calcular la nivelación se debe tomar el ángulo vertical, la altura instrumental y la altura del objeto. 13.4.1.1. Ejemplo de nivelación trigonométrica simple Se desea verificar la ubicación de una vivienda, con el fin de determinar el volumen de material a excavar o rellenar para nivelar el terreno en el cual va a ser construida. Para ello, mediante una radiación simple, desde un delta arbitrario se ubican los muros exteriores de la vivienda y, mediante una nivelación trigonométrica simple, se establecen las cotas de terreno, para determinar posteriormente el modelo de la superficie sobre la que se construirá la casa. La figura 13.3 presenta los datos de la cartera de campo. 249 250 TOPOGRAFÍA FIGURA 13.3A Cartera de campo CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA FIGURA 13.3B Cartera de campo La norte se toma arbitrariamente contra una torre de energía que hay cerca de la finca, visible desde D2, a la cual se le asignan coordenadas arbitrarias 1000N, 1000E. Los datos para determinar la cota de puntos, mediante la nivelación trigonométrica, se presentan en la tabla 13.1. 251 252 TOPOGRAFÍA TABLA 13.1 Datos de campo cálculo nivelación simple DELTA PUNTO D N 2 DISTANCIA ÁNG. VERTICAL 0 ° 0‘ 0 ‘’ Hi Ho 1.495 1.72 1 11.684 98 ° 39 ‘ 44 ‘’ 1.72 2 9.485 89 ° 09 ‘ 02 ‘’ 1.72 3 9.878 87 ° 37 ‘ 24 ‘’ 1.72 4 14.495 84 ° 24 ‘ 32 ‘’ 1.72 5 13.133 80 ° 18 ‘ 59 ‘’ 1.72 6 14.004 80 ° 42 ‘ 47 ‘’ 1.72 7 14.848 80 ° 13 ‘ 17 ‘’ 1.72 8 14.965 79 ° 19 ‘ 02 ‘’ 1.72 9 14.580 79 ° 05 ‘ 55 ‘’ 1.72 10 14.896 79 ° 00 ‘ 20 ‘’ 1.72 11 23.091 80 ° 34 ‘ 30 ‘’ 1.72 12 25.526 79 ° 08 ‘ 48 ‘’ 1.72 13 18.365 80 ° 15 ‘ 07 ‘’ 1.72 14 16.142 79 ° 09 ‘ 47 ‘’ 1.72 15 14.149 79 ° 15 ‘ 46 ‘’ 1.72 16 12.653 78 ° 12 ‘ 52 ‘’ 1.72 17 10.259 77 ° 54 ‘ 07 ‘’ 1.72 18 14.033 80 ° 41 ‘ 17 ‘’ 1.72 19 12.690 82 ° 25 ‘ 39 ‘’ 1.72 20 8.188 79 ° 41 ‘ 12 ‘’ 1.72 21 8.568 78 ° 48 ‘ 58 ‘’ 1.72 22 6.683 78 ° 59 ‘ 02 ‘’ 1.72 23 6.340 87 ° 07 ‘ 10 ‘’ 1.72 24 9.092 84 ° 44 ‘ 47 ‘’ 1.72 25 12.566 88 ° 53 ‘ 32 ‘’ 1.72 26 10.354 95 ° 21 ‘ 07 ‘’ 1.72 253 CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA DELTA PUNTO DISTANCIA ÁNG. VERTICAL 27 12.316 94 ° 24 ‘ 56 ‘’ 1.72 28 12.992 91 ° 18 ‘ 34 ‘’ 1.72 29 17.836 93 ° 11 ‘ 12 ‘’ 1.72 30 18.188 97 ° 04 ‘ 48 ‘’ 1.72 31 13.733 97 ° 31 ‘ 58 ‘’ 1.72 32 14.184 98 ° 11 ‘ 18 ‘’ 1.72 33 10.985 98 ° 36 ‘ 12 ‘’ 1.72 Hi Ho Teniendo en cuenta que en terreno se midió la distancia horizontal, el primer paso consiste en calcular la distancia vertical (DV) del desnivel vertical (DN) y posteriormente la cota de cada punto, para lo que se emplean las ecuaciones 13.2, 13.4 y 13.6; los resultados se consignan en la tabla 13.2. DN = HI + (±DV) – Ho (13.2) DV = DH / Tan (AV) (13.4) Cota D = Cota C + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho (13.6) Por ejemplo, para el punto 9 se tienen los siguientes cálculos: DV = DH / Tan (AV) = 14.580 / Tan (79° 05’55’’) = 2.808 m DN = HI + (±DV) – Ho = 1.495 + 2.808 – 1.720 = +2.580 m Cota 9 = Cota D2 + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho = 1064.389 + 1.495 + 2.808 – 1.72 = 1066.972 m En este caso DV es positivo, es decir el punto es más alto que el delta. Por ejemplo, para el punto 32 se tienen los siguientes cálculos: DV = DH / Tan (AV) = 14.184 / Tan (98° 11’18’’) = –2.041 m DN = HI + (±DV) – Ho = 1.495 – 2.041 – 1.720 = –2.266 m 254 TOPOGRAFÍA Cota 32 = Cota D2 + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho = 1064.389 + 1.495 – 2.041 – 1.72 = 1062.123 m En este caso DV es negativo, es decir el punto es más bajo que el delta. TABLA 13.2 Cálculo de desniveles y cotas de los puntos Delta Punto D N 2 Distancia ÁNg. Vertical 0 ° 0‘ 0 ‘’ Hi Ho 1.495 1.72 Dv Cota 1064.389 1 11.684 98 ° 39 ‘ 44 ‘’ 1.72 -1.780 1062.384 2 9.485 89 ° 9‘ 2 ‘’ 1.72 0.141 1064.305 3 9.878 87 ° 37 ‘ 24 ‘’ 1.72 0.410 1064.574 4 14.495 84 ° 24 ‘ 32 ‘’ 1.72 1.419 1065.583 5 13.133 80 ° 18 ‘ 59 ‘’ 1.72 2.241 1066.405 6 14.004 80 ° 42 ‘ 47 ‘’ 1.72 2.290 1066.454 7 14.848 80 ° 13 ‘ 17 ‘’ 1.72 2.559 1066.723 8 14.965 79 ° 19 ‘ 2 ‘’ 1.72 2.823 1066.987 9 14.580 79 ° 5‘ 55 ‘’ 1.72 2.808 1066.972 10 14.896 79 ° 0‘ 20 ‘’ 1.72 2.894 1067.058 11 23.091 80 ° 34 ‘ 30 ‘’ 1.72 3.833 1067.997 12 25.526 79 ° 8‘ 48 ‘’ 1.72 4.894 1069.058 13 18.365 80 ° 15 ‘ 7 ‘’ 1.72 3.155 1067.319 14 16.142 79 ° 9‘ 47 ‘’ 1.72 3.090 1067.254 15 14.149 79 ° 15 ‘ 46 ‘’ 1.72 2.683 1066.847 16 12.653 78 ° 12 ‘ 52 ‘’ 1.72 2.640 1066.804 17 10.259 77 ° 54 ‘ 7 ‘’ 1.72 2.199 1066.363 18 14.033 80 ° 41 ‘ 17 ‘’ 1.72 2.301 1066.465 19 12.690 82 ° 25 ‘ 39 ‘’ 1.72 1.687 1065.851 20 8.188 79 ° 41 ‘ 12 ‘’ 1.72 1.490 1065.654 21 8.568 78 ° 48 ‘ 58 ‘’ 1.72 1.694 1065.858 22 6.683 78 ° 59 ‘ 2 ‘’ 1.72 1.301 1065.465 23 6.340 87 ° 7‘ 10 ‘’ 1.72 0.319 1064.483 255 CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA Delta Punto Distancia ÁNg. Vertical 24 9.092 84 ° 44 ‘ 25 12.566 88 ° 26 10.354 27 Hi Ho Dv Cota 47 ‘’ 1.72 0.836 1065.000 53 ‘ 32 ‘’ 1.72 0.243 1064.407 95 ° 21 ‘ 7 ‘’ 1.72 -0.970 1063.194 12.316 94 ° 24 ‘ 56 ‘’ 1.72 -0.951 1063.213 28 12.992 91 ° 18 ‘ 34 ‘’ 1.72 -0.297 1063.867 29 17.836 93 ° 11 ‘ 12 ‘’ 1.72 -0.993 1063.171 30 18.188 97 ° 4‘ 48 ‘’ 1.72 -2.259 1061.905 31 13.733 97 ° 31 ‘ 58 ‘’ 1.72 -1.816 1062.348 32 14.184 98 ° 11 ‘ 18 ‘’ 1.72 -2.041 1062.123 33 10.985 98 ° 36 ‘ 12 ‘’ 1.72 -1.662 1062.502 – Fuente: elaboración propia – Con la distancia y el ángulo horizontal de cada punto o detalle se determina la posición o coordenadas (Norte y Este), empleando la metodología de radiación simple. Como la norte es arbitraria, el ángulo observado es el azimut directo. Con las coordenadas y la cota se realizará el modelo digital del terreno – MDT, para determinar los volúmenes de excavación. La tabla 13.3 presenta los datos de las coordenadas. TABLA 13.3 Cálculo de coordenadas - Radiación simple Delta Punto Azimut D N 0 ° 0‘ 0 ‘’ 1 2 ° 27 ‘ 46 ‘’ 11.684 11.673 2 82 ° 31 ‘ 43 ‘’ 9.485 3 87 ° 28 ‘ 54 ‘’ 4 108 ° 05 ‘ 5 144 ° 6 2 Dist. Ns Ew Norte Este 1000.000 1000.000 0.502 1011.673 1000.502 1.233 9.404 1001.233 1009.404 9.878 0.434 9.868 1000.434 1009.868 59 ‘’ 14.495 -4.503 13.778 995.497 1013.778 46 ‘ 56 ‘’ 13.133 -10.729 7.574 989.271 1007.574 144 ° 09 ‘ 35 ‘’ 14.004 -11.352 8.200 988.648 1008.200 7 150 ° 43 ‘ 09 ‘’ 14.848 -12.951 7.262 987.049 1007.262 8 159 ° 27 ‘ 56 ‘’ 14.965 -14.014 5.249 985.986 1005.249 9 160 ° 12 ‘ 17 ‘’ 14.580 -13.718 4.938 986.282 1004.938 256 TOPOGRAFÍA Delta Punto Azimut Dist. Ns Ew Norte Este 10 163 ° 06 ‘ 51 ‘’ 14.896 -14.254 4.327 985.746 1004.327 11 152 ° 32 ‘ 34 ‘’ 23.091 -20.490 10.647 979.510 1010.647 12 166 ° 22 ‘ 46 ‘’ 25.526 -24.808 6.011 975.192 1006.011 13 181 ° 38 ‘ 39 ‘’ 18.365 -18.357 -0.527 981.643 999.473 14 172 ° 20 ‘ 26 ‘’ 16.142 -15.998 2.151 984.002 1002.151 15 179 ° 21 ‘ 43 ‘’ 14.149 -14.148 0.158 985.852 1000.158 16 170 ° 03 ‘ 07 ‘’ 12.653 -12.463 2.186 987.537 1002.186 17 182 ° 30 ‘ 42 ‘’ 10.259 -10.249 -0.450 989.751 999.550 18 198 ° 01 ‘ 09 ‘’ 14.033 -13.345 -4.341 986.655 995.659 19 218 ° 39 ‘ 4 ‘’ 12.690 -9.910 -7.926 990.090 992.074 20 212 ° 34 ‘ 37 ‘’ 8.188 -6.900 -4.409 993.100 995.591 21 201 ° 05 ‘ 37 ‘’ 8.568 -7.994 -3.084 992.006 996.916 22 184 ° 30 ‘ 07 ‘’ 6.683 -6.662 -0.525 993.338 999.475 23 257 ° 56 ‘ 11 ‘’ 6.340 -1.325 -6.200 998.675 993.800 24 241 ° 50 ‘ 10 ‘’ 9.092 -4.291 -8.016 995.709 991.984 25 276 ° 47 ‘ 16 ‘’ 12.566 1.485 -12.478 1001.485 987.522 26 326 ° 42 ‘ 11 ‘’ 10.354 8.654 -5.684 1008.654 994.316 27 317 ° 43 ‘ 59 ‘’ 12.316 9.114 -8.284 1009.114 991.716 28 295 ° 54 ‘ 47 ‘’ 12.992 5.678 -11.686 1005.678 988.314 29 302 ° 07 ‘ 44 ‘’ 17.836 9.486 -15.104 1009.486 984.896 30 334 ° 21 ‘ 46 ‘’ 18.188 16.397 -7.869 1016.397 992.131 31 341 ° 26 ‘ 56 ‘’ 13.733 13.019 -4.369 1013.019 995.631 32 345 ° 33 ‘ 00 ‘’ 14.184 13.735 -3.539 1013.735 996.461 33 357 ° 55 ‘ 36 ‘’ 10.985 10.978 -0.397 1010.978 999.603 – Fuente: elaboración propia – 13.4.2 Nivelación trigonométrica compuesta La nivelación trigonométrica compuesta es un procedimiento que permite determinar las diferencias de nivel o desniveles (DN) y las distancias verticales (DV) a lo largo de un polígono, es decir, partiendo de un punto y regresando al mismo. El procedimiento es análogo al utilizado en el traslado de una poligonal cerrada; en el cual, adicional al ángulo y la distancia horizontal, se toma en cada delta de la 257 CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA poligonal el ángulo vertical (AV) y la altura instrumental (Hi), igualmente en cada detalle se debe establecer la altura del prisma o de la mira (Ho). En la nivelación trigonométrica compuesta, al terminar el proceso en el mismo punto de partida (la misma altura o cota), la sumatoria algebraica de los desniveles (DN) debe ser cero (teóricamente), de no serlo, el resultado corresponde al error de la nivelación (eniv). e niv = ∑DNi (13.8) No está bien definido cuál es el error permitido en una nivelación trigonométrica, por lo que se recomienda utilizar el siguiente valor: e perm = 0.03 * n (13.9) Un procedimiento para realizar la corrección de los desniveles (DN), si este es permisible, es establecer las correcciones (Cniv) en cada vértice de la poligonal, dando el peso a la distancia acumulada en la nivelación. Cniv i= -eniv i* dist acumulada ∑ distancia i-1 - ∑C j=1 niv j (13.10) Donde: • eniv • distacumulada = Error de nivelación (se toma con signo contrario). = Distancia acumulada hasta el punto i. • ∑distancia = Distancia total de la poligonal. i- 1 C • j∑ =1 - niv j • Cniv i = Correcciones de nivelación acumuladas hasta el delta j, anterior al delta i. = Corrección de nivelación en el delta i. 13.4.2.1 Ejemplo práctico de nivelación compuesta Se desea levantar un área destinada a una conectante vial, para lo cual se trazó en el terreno una poligonal con 6 deltas y se realizó la toma de información para una nivelación compuesta; adicionalmente, en cada uno de los vértices se realizó una radiación con toma de datos para una nivelación trigonometría simple y con esto poder realizar el modelo digital del terreno – MDT. Las figuras 13.4 a, 13.4 b, 13.4 c y 13.4 d presentan la cartera de campo de la nivelación. 258 TOPOGRAFÍA FIGURA 13.4A Cartera de campo – Fuente: elaboración propia –. CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA FIGURA 13.4B Cartera de campo – Fuente: elaboración propia –. 259 260 TOPOGRAFÍA FIGURA 13.4C Cartera de campo CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA FIGURA 13.4D Cartera de campo – Fuente: elaboración propia –. 261 262 TOPOGRAFÍA Lo primero es realizar el ajuste planimétrico de la poligonal, tal como se describe en el capítulo 7. Poligonal cerrada, con el fin de establecer el error angular, la corrección angular, el error en distancia, la precisión y las coordenadas de los deltas de la poligonal; la tabla 13.4 presenta estos resultados. Para la nivelación trigonométrica de la poligonal, se determinan primero DN y DV con base en las ecuaciones 13.2 y 13.4; los resultados se consignan en la tabla 13.5. Una vez determinados todos los desniveles, se procede a realizar la suma y verificar si esta es nula o tienen algún valor que equivale al error de nivelación. De existir error se verifica que sea igual o menor al error permisible, en tal caso, se determinan las correcciones de cada desnivel con base en la ecuación 13.10. Determinadas las correcciones se ajustan los desniveles y con ellos se determinan las cotas de cada delta de la poligonal. La cota final debe ser la misma cota de inicio ya que pertenece al primer delta de la poligonal. A continuación se describen los cálculos para el delta 4 de la poligonal D4, la tabla 13.4 presenta la totalidad de los cálculos. Por ejemplo, para el delta 4 se tienen los siguientes cálculos: DV = DH / Tan (AV) = 71.726 / Tan (90° 51’08’’) = – 1.067 m DN = HI + (±DV) – Ho = 1.487 – 1.067 – 1.680 = –1.260 m Determinados todos los desniveles, se establece la sumatoria que equivale al error de la nivelación: eniv = ∑DN = 9.457 + 8.782 – 1.260 – 2.115 + 0 – 15.024 = –0.160 m El error permisible será: eperm = 0.03 * 6 = 0.180 m 263 CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 1 0 0. 0 - 2 0 0. 0 - 0 0 0. 0 2 0 0. 0 - 1 0 0. 0 - 1 0 0. 0 - sN .cerroC 0 3 4. 0 5 - 8 6 2. 0 7 - 8 0 1. 6 - 9 3 8. 5 4 9 8 4. 2 4 0 5 4. 8 3 wE 0 7 5. 3 3 - 0 6 8. 5 5 - 4 1 0. 4 7 6 1. 5 5 8 0 8. 6 1 8 4 4. 3 1 sN 2 8 5. 0 6 6 6 7. 9 8 9 0 3. 7 6 2 7. 1 7 3 9 6. 5 4 4 3 7. 0 4 aic n atsiD ’‘ 7 5 ‘ 02 ° 632 ’‘ 7 5 ‘ 94 ° 0 ° 481 ° 801 ‘0 ‘ 21 ’‘ 0 ’‘ 5 2 ° 15 ° 132 ‘ 13 ‘ 13 ’‘ 0 ’‘ 0 ° 0 ° 38 ‘0 ‘ 53 ’‘ 0 ’‘ 2 1 ° 321 ° 303 ‘ 81 ‘ 81 ’‘ 6 3 ’‘ 6 3 ° 0 ° 151 ‘0 ‘ 81 ’‘ 0 ’‘ 1 2 ° 912 ° 93 ‘ 34 ‘ 34 ’‘ 4 2 ’‘ 4 2 ° 0 ° 771 ‘0 ‘ 14 ’‘ 0 ’‘ 3 4 ° 842 ° 86 ‘ 52 ‘ 52 ’‘ 3 ’‘ 3 ° 0 ° 141 ‘0 ‘ 42 ° 0 ’‘ 0 ’‘ 6 4 ‘0 ° 052 ° 07 ’‘ 0 ‘ 34 ‘ 34 ° 982 ’‘ 1 2 ’‘ 1 2 ‘ 81 odigerroC .gnÁ ’‘ 5 3 t u miz A a darrec lano gilo p al ed e tsujA 4 .31 ALBAT 4 1 7. 7 4 1 7. 7 4 1 7. 7 4 1 7. 7 4 1 7. 7 4 1 7. 7 .cerroC ’‘ 9 4 ’‘ 0 ’‘ 7 1 ’‘ 0 ’‘ 4 ’‘ 0 ’‘ 3 1 ’‘ 0 ’‘ 5 3 ’‘ 0 ’‘ 8 3 ’‘ 0 ‘ 94 ‘0 ‘ 21 ‘0 ‘ 53 ‘0 ‘ 81 ‘0 ‘ 14 ‘0 ‘ 42 ‘0 ° 141 ° 0 ° 771 ° 0 ° 151 ° 0 ° 38 ° 0 ° 801 ° 0 ° 481 6P N 2D 1D 3D 2D 4D 3D 5D 4D 6D 5D 1D P ° 0 odavresbO .gnÁ 6D 5D 4D 3D 2D 1D Δ TOPOGRAFÍA 264 7 0 0. 0 - sN .cerroC d rorrE nó is i c erP 9 2 0. 0 aic n atsiD 0 1 8. 5 1 3 sN 7 0 0. 0 3 7 8 0 1: 1 8 2 0. 0 - wE ’‘ 0 ‘0 ° 0801 ’‘ 8 3 ‘0 ‘ 75 ° 0 ° 232 ° 0801 ° 982 ’‘ 0 ‘0 ‘ 81 ° 65 ’‘ 0 ’‘ 5 3 ‘ 02 odigerroC .gnÁ ’‘ 7 5 t u miz A 4 1 7. 7 .cerroC ’‘ 4 5 - ’‘ 8 ‘0 ‘0 ° 0801 ° 0 ° 0 aciróeT S .g n á r o r rE nóicce r roC adav 6P N Δ 1D - re sb O S ° 232 6D P ° 0 ° 9701 ‘0 ‘0 75 ‘ 95 ‘ ’‘ 0 ’‘ 6 ’‘ 0 3 ’‘ 0 odavresbO .gnÁ 265 CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 5D 6D 1D 0 2 8. 8 5 4 1 0 1 3 1 7. 2 5 4 1 0 1 3 5 4. 2 8 3 1 0 1 8 2 0. 2 3 3 1 0 1 6 7 6. 4 7 3 0 0 1 2 4 8. 9 2 4 0 0 1 6 5 8. 3 3 4 0 0 1 4 9 9. 7 7 3 0 0 1 2 2 4. 4 4 3 0 0 1 4 9 4. 2 4 5 4 8. 5 4 8 0 1. 6 - 0 6 2. 0 7 - 5 2 4. 0 5 - 0 0 0. 0 7 0 8. 6 1 6 6 1. 5 5 4 1 0. 4 2 6 8. 5 5 - 2 7 5. 3 3 - 0 0 0. 0 4 0 0. 0 6 0 0. 0 1 0 0. 0 8 0 0. 0 5 0 0. 0 8 2 0. 0 – aiporp nóicarobale :etneuF – 4D 5 7 9. 2 1 4 1 0 1 4 0 0. 0 3D 7 4 4. 3 1 2 8 4. 0 7 3 1 0 1 2 2 4. 4 4 3 0 0 1 4 5 4. 8 3 2D 8 2 0. 2 3 3 1 0 1 9 6 8. 7 5 3 0 0 1 1D W E .cerroC E T R ON .grroC SN ET S E .grroC W E P TOPOGRAFÍA 266 538.207 2 427.007 2 967.007 2 677.586 2 508.8 422.1- 111.2- 540.0 399.41- 320.0 630.0 400.0 540.0 130.0 287.8 062.1- 511.2- 000.0 420.51- 061.0- 081.0 168.8 760.1- 389.1- 682.0 299.41- vin e m rep e 086.1 086.1 086.1 086.1 086.1 106.1 784.1 845.1 493.1 846.1 724.68 351.851 264.561 822.552 018.513 396.54 627.17 903.7 667.98 285.06 ’‘ 13 ’‘ 8 ’‘ 64 ’‘ 3 ’‘ 85 ‘ 54 ‘1 ‘ 15 ‘ 01 ‘ 94 ‘ 35 ° 67 ° 97 ° 09 ° 501 ° 98 ° 301 2D 3D 4D 5D 6D 1D – aiporp nóicarobale :etneuF – 950.407 2 ’‘ 14 P 1D 437.04 LACITREV OLUGNÁ 437.04 adalumucA aicnatsiD aicnatsiD 455.1 IH 086.1 oH 385.9 VD 754.9 ND 120.0 vinC 874.9 .rroc ND 452.596 2 677.586 2 ATOC sa tle d sol ed sa toc y selevinsed ed olucláC 5 .31 ALBAT CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA Como el error de la nivelación es menor al error permisible, se procede a determinar las correcciones de los desniveles, para el delta 4 corresponde a: C niv i= -eniv i* dist acumulada ∑ distancia i-1 - ∑C j=1 niv j C niv D4 = ((– (–0.16) * 158.153) / 315.810) – 0.021 + 0.023 = 0.036 Desnivel corregido en delta 4: DNcorr = DN4 + C niv D4 = –1.260 + 0.036 = –1.224 La cota de delta 4 será: Cota D4 = Cota D3 + DNcorr = 2704.059 – 1.224 = 2702.835 m 267 268 TOPOGRAFÍA 13.5 Ejercicio propuesto FIGURA 13.5 A Ejercicio propuesto. Cartera de campo – Fuente:elaboración propia – CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA FIGURA 13.5 B Ejercicio propuesto. Cartera de campo – Fuente: elaboración propia – 269 C A P Í T U L O 14 NIVEL ACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES) 14.1 Concepto L a nivelación de una línea en topografía se denomina perfil topográfico o corte topográfico, el cual es una representación del relieve del terreno que se obtiene cortando longitudinal o transversalmente el terreno natural. Una de las aplicaciones más importantes de los perfiles o secciones verticales es en la construcción de obras lineales, que regularmente son de gran longitud y poca anchura, por ejemplo carreteras, alcantarillados y oleoductos. FIGURA 14.1 Perfil topográfico 272 TOPOGRAFÍA Para determinar la altura o cota de los puntos sobre la superficie, se realiza una nivelación a partir de un BM de cota conocida sobre los puntos de la línea materializada en campo, que puede ser recta o curva, dependiendo del proyecto. La precisión del perfil dependerá del método utilizado de nivelación. Los perfiles pueden ser 1) siguiendo la dirección del recorrido del proyecto, el cual se denomina perfil longitudinal, o 2) un plano tangente a la dirección del recorrido del proyecto, el cual se denomina perfil transversal o sección transversal. FIGURA 14.2 Tipo de perfiles 14.2 Perfil longitudinal Este tipo de perfil se genera especialmente en proyectos lineales (vías, canales, líneas de conducción) y sirve para representar la superficie del terreno, generalmente, sobre el eje de la franja dispuesta para el desarrollo del proyecto. El eje debe ser materializado y ‘abscisado’ previamente, ya que sobre éstos puntos se realiza la nivelación. CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES ) Los datos utilizados para elaborar un perfil son de gran importancia, bien sea por que se utilicen como insumos para proyectar diseños o porque son el resultado de un proyecto materializado en campo. Por lo tanto, la toma de información requiere de mucha precisión. 14.2.1 Métodos de materialización de ejes Existen tres métodos para la materialización de los ejes de apoyo y la elaboración de perfiles longitudinales y transversales: • Con distancias fijas. • Con puntos de quiebre. • Mixto. 1. Distancias fijas El método de distancias fijas se basa en materializar puntos en una misma dirección a una distancia determinada, apoyado en equipo topográfico. Para proyectos de infraestructura generalmente se utilizan 5, 10 o 20 metros, la distancia dependerá de la precisión que se requiera del perfil. No importarán los cambios de pendiente, ya que solo se nivelarán los puntos que se materializan, ver figura 14.3. FIGURA 14.3 Materialización del eje por distancias fijas 273 274 TOPOGRAFÍA 2 Puntos de quiebre Este método consiste en nivelar sobre el eje únicamente los cambios de pendiente del terreno, como se observa en la figura 14.4. Es un método en el cual la precisión del perfil dependerá de cuántos puntos se tomen sobre el eje y de la apreciación de la persona que vaya colocando estos. No es un método muy utilizado, ya que implica contar con personal muy capacitado y con criterio para materializar estos cambios de pendiente. FIGURA 14.4 Materialización del eje por puntos de quiebre 3 Mixto Este es el método más utilizado. Es una combinación de la materialización por distancias fijas con los puntos de quiebre que presenta el terreno, para que el perfil quede más aproximado a la forma real del terreno. El problema de las distancias fijas es que en medio de las dos estacas puede cambiar el perfil y si no se complementa la información, se obviarían detalles necesarios en este tipo de levantamiento. En la figura 14.5 se muestra como un canal no es considerado, ya que las estacas del eje quedan antes y después del canal, lo que resulta indispensable para trazar una rasante, por ejemplo. CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES ) Entonces para complementar el perfil se toman los puntos de quiebre del canal y los puntos de cambio de pendiente entre los puntos materializados, como se muestra en la figura 14.6. FIGURA 14.5 Problemas en el método de distancias fijas – Fuente: elaboración propia – FIGURA 14.6 Materialización del eje por método mixto 275 276 TOPOGRAFÍA Una vez materializado el eje se procede a nivelar, siguiendo el proceso descrito en el capítulo 12. Nivelación geométrica; con éste proceso se extiende una red de nivelación a lo largo del eje, tomando como vistas intermedias las abscisas que lo forman. Lo recomendable es realizar una nivelación compuesta, dependiendo de la longitud y la pendiente del tramo y una contranivelación por los mismos cambios, para obtener las cotas ajustadas en cada abscisa. 14.2.2 Ejemplo práctico A continuación se presenta un ejemplo de cómo registrar la información de campo. FIGURA 14.7 Cartera de campo. Nivelación perfil 1 CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES ) FIGURA 14.8 Cartera de campo. Nivelación perfil 2 Una vez levantada la información se procede a chequear el traslado de la cota con los datos de las Vistas (+) y Vistas (–) leídas a los cambios, según el procedimiento descrito en el capítulo 9. Nivelación geométrica. 277 278 TOPOGRAFÍA TABLA 14.1 Lecturas a los cambios Nivelación PUNTO V+ BM-105 2.664 C#1 2.654 V- Contranivelación DIF. NIV. V+ V- DIF. NIV. 3.627 C#2 0.885 1.846 1.783 2.579 3.452 Este procedimiento de chequeo por diferencias de nivel entre cambios permite conocer si el error cometido, tanto en la nivelación como en la contranivelación, está dentro de los rangos permitidos, de ser así se hace el ajuste de la cota en cada cambio. TABLA 14.2 Chequeo y Ajuste de Traslado de cotas Nivelación Contranivelación DIF. PUNTO V+ DIF. V- V+ BM-105 2.664 C#1 2.654 C#2 DIF. V- NIV. CHEQUEO NIV. COTA PROM. 3.627 0.885 1.779 1.846 1.783 0.871 2.579 3.452 2667.893 -1.781 -0.002 1.780 2669.673 -0.873 -0.002 0.872 2670.545 Una vez ajustadas las cotas de los cambios, se calculan las cotas de la nivelación del perfil. Por medio de nivelaciones simples a partir de las cotas ajustadas de los cambios, en la tabla 14.3 se muestra el cálculo completo de las cotas del perfil longitudinal. TABLA 14.3 Cálculo cotas del eje Punto V+ Alt. Inst. BM-105 2.664 2670.557 Vi Cota 2667.893 K0+000 4.093 2666.464 K0+010 3.870 2666.687 K0+020 2.977 2667.580 K0+030 2.754 2667.803 279 CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES ) Punto V+ Alt. Inst. K0+040 C#1 2.654 Vi Cota 1.827 2668.730 2672.327 2669.673 K0+050 3.103 2669.224 K0+060 2.011 2670.316 K0+070 1.269 2671.058 K0+080 1.812 2670.515 C#2 2.579 2673.124 2670.545 K0+090 2.392 2670.732 K0+100 1.427 2671.697 K0+100.43 1.090 2672.034 Con las distancias y las cotas calculadas del eje se dibuja el perfil, en el eje X las distancias o abscisas y en el eje Y las alturas o cotas. Estos perfiles suelen dibujarse exagerando la escala vertical 10 veces, que comúnmente se denomina escala décupla. Esta exageración se realiza principalmente cuando las diferencias de nivel del eje son pequeñas, con lo cual permitirá observar de mejor manera esta representación. A continuación se presenta el perfil dibujado a las dos escalas, a escala 1:1, o sea que la escala vertical es igual a la escala horizontal (figura 14.9) y a escala 1:10, décupla, donde la escala vertical es 10 veces mayor que la escala horizontal (figura 14.10). FIGURA 14.9 Dibujo perfil escala 1:1 280 TOPOGRAFÍA FIGURA 14.10 Perfil escala a décupla 14.3 Perfiles o secciones transversales Los perfiles transversales son los tomados en sentido normal o perpendicular al eje o alineamiento. El método para obtener una sección transversal es similar al aplicado para obtener un perfil longitudinal. 14.3.1 Nivelación de los perfiles transversales Con base en los puntos (abscisas) del eje longitudinal se trazan líneas perpendiculares a izquierda y derecha de cada punto, para tomar la información correspondiente a los puntos de quiebre del terreno y conformar así los perfiles o secciones transversales. Estas perpendiculares se trazan con dos equipos principalmente: • La escuadra óptica es un equipo con prismas que permite trazar visuales a 90 grados con ayuda de los jalones (figura 14.11). CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES ) FIGURA 14.11 Escuadra óptica • La escuadra de agrimensor tiene el mismo funcionamiento de la escuadra óptica, es un cubo de madera con ranuras perpendiculares en el medio, que permiten trazar estas mismas visuales (figura 14.12). FIGURA 14.12 Escuadra de agrimensor 281 282 TOPOGRAFÍA Estas perpendiculares siempre se deben trazar con base en el punto siguiente, si el alineamiento es recto solo se debe colocar la escuadra sobre un punto y alinearlo con el siguiente para trazar la perpendicular, como lo indica la figura 14.13. FIGURA 14.13 Trazo de perpendiculares en línea recta En una curva, al principio de esta se traza la perpendicular con base en la dirección del PI o de un punto sobre el alineamiento, para que la sección quede perpendicular al alineamiento. Sobre la curva se toma la perpendicular con base en el siguiente punto de la misma, ver figura 14.14. FIGURA 14.14 Trazo de perpendiculares en las curvas Los datos de las secciones se toman con apoyo de niveles de mano (como el Locke, que permite trazar visuales paralelas al horizonte) y una mira topográfica. La distancia de la sección, a lado y lado del eje, dependerá de las especificaciones del proyecto y de las condiciones propias de la topografía. CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES ) En los últimos tiempos, se han realizado las secciones con niveles de precisión, el procedimiento de campo es igual que con los niveles de mano, la única diferencia es que el equipo no se arma sobre el eje materializado, sino que la altura instrumental se determina con una vista más (V+) sobre el punto del eje materializado. Las secciones se toman con base en los alineamientos o ejes longitudinales materializados, trazados con la escuadra óptica o de agrimensor, por el método de puntos de quiebre, o sea, colocando la mira en los puntos de cambio de pendiente del perfil transversal, como se indica en la figura 14.15, para cada punto se toma la distancia desde el eje y la lectura de la mira. FIGURA 14.15 Nivelación de secciones transversales Izquierdas Eje Derechas Si la pendiente es muy fuerte, en la sección es posible colocar puntos de cambio y calcularlo como si fuera una nivelación compuesta, como lo muestra la figura 14.16. FIGURA 14.16 Nivelación de secciones transversales con cambios Izquierdas Eje Derechas 283 284 TOPOGRAFÍA 14.3.2 Ejemplo práctico A continuación se presenta un ejemplo de cómo registrar la información de campo. FIGURA 14.17 Cartera de campo de nivelación de secciones CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES ) Los datos registrados en la fila inferior corresponden a las distancias tomadas desde el eje hasta cada punto sobre la sección y los datos de la fila superior corresponden a las lecturas de la mira. Nótese igualmente que sobre la distancia cero del eje se ha registrado en todas las abscisas el mismo valor (1,55), éste corresponde a la altura señalada en el jalón para apoyar el nivel de mano, que como se indicó hace las veces de V+. La sección transversal se toma perpendicular al eje longitudinal, por lo tanto, el primer paso es nivelar el eje con nivel de precisión para tener como apoyo los puntos materializados de las abscisas. Para este ejemplo, las secciones están amarradas el eje longitudinal del ejemplo anterior, por tal razón las cotas de las tres abscisas, a las cuales se les realizó la sección transversal, se presentan en la tabla 14.4. TABLA 14.4 Cotas de eje longitudinal PUNTO COTA K0+000 2666.464 K0+010 2666.687 K0+020 2667.580 K0+030 2667.803 K0+040 2668.730 K0+050 2669.224 K0+060 2670.316 K0+070 2671.058 K0+080 2670.515 K0+090 2670.732 K0+100 2671.697 K0+100.43 2672.034 Para el cálculo de las cotas en cada sección, se toma la cota de la abscisa del eje longitudinal, se le suma la altura a la cual se encuentra el nivel de mano (V+), para encontrar la altura instrumental, y a esta se le resta cada una de las lecturas sobre los puntos. En la tabla 14.5 se muestra el cálculo de las cotas. 285 286 TOPOGRAFÍA TABLA 14.5 Cartera de cálculo de cotas de la sección transversal Abscisa K0+000 Izquierda Eje Derecha 2666.954 2666.764 2666.464 2666.114 2665.814 1.06 1.25 1.55 1.90 2.20 -15.00 -6.90 0.00 8.50 15.00 2668.01 K0+050 2670.304 2669.624 2669.224 2668.594 2668.484 0.47 1.15 1.55 2.18 2.29 -15.00 -6.90 0.00 6.67 15.00 2670.77 K0+100 2672.127 2671.487 2671.697 2671.147 2670.597 1.12 1.76 1.55 2.10 2.65 -15.00 -7.50 0.00 9.10 15.00 2673.25 Una vez se obtienen las cotas, el paso siguiente es el dibujo de las secciones. Las cuales se dibujan a una sola escala tanto horizontal como vertical (figura 14.18). FIGURA 14.18 Sección transversal CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES ) 14.4 Ejercicio propuesto FIGURA 14.19 Nivelación de un perfil 287 288 TOPOGRAFÍA FIGURA 14.20 Nivelación secciones transversales C A P Í T U L O 15 M O D E L O S D IG IT A L ES DE TERRENO E l DTM (modelo digital del terreno) es la representación gráfica de la topografía o relieve de un terreno sobre un sistema de referencia (regularmente un sistema de coordenadas); es importante relacionar dos conceptos relacionados con los DTM así: • Modelo Digital de Elevaciones (MDE): representa las cotas del terreno sobre un sistema de referencia específico. • Modelo Digital de Superficies (MDS): representa la superficie del terreno junto con los elementos encontrados en el mismo. FIGURA 15.1 Modelo digital del terreno 290 TOPOGRAFÍA Los modelos digitales de terreno son indispensables en el desarrollo de las obras civiles, ya que, por medio de estos, se realizan los análisis y cálculos referentes al trazado de perfiles longitudinales y transversales, de volúmenes de excavación y/o relleno, modelación de escorrentías superficiales, visualizaciones en 3D, geomorfología, diseño de infraestructuras, agricultura, sistemas de transporte, entre otros. 15.1 Curvas de nivel En topografía el relieve de un terreno o de una superficie se representa mediante la utilización de curvas de nivel, estas son las líneas que unen puntos que contengan la misma cota o altura sobre el nivel del mar. De manera ilustrativa, se puede decir que si un terreno se intersecara con un plano horizontal, se formarían las curvas de nivel. Aunque las técnicas de sombreado proporcionan una mejor imagen visual de los terrenos, en las cuales mediante el uso de diferentes colores se representan los diferentes tipos de terreno que se localizacen en una área determinada; para proyectos topograficos las curvas de nivel son más apropiadas, ya que permiten trabajar con una gran cantidad de información y se podrán realizar calculos de áreas y volumenes La elaboración de curvas de nivel sobre un plano requiere las 3 coordenadas (norte, este y cota) de cada punto o detalle del terreno y de las construcciones o elementos artificiales encontrados en el mismo, para lo cual se pueden desarrollar diferentes procesos topográficos, como los presentados en los capítulos sobre nivelación trigonometría y de superficies. De igual forma, para la generación de modelos digitales existen muchos programas para computador los cuales mediante modelos TIN realizan triangulaciones para la generación de curvas de nivel que usan diferentes metodologías. FIGURA 15.2 Curvas de nivel de un modelo digital del terreno CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO 15.1.1 Características de las curvas de nivel En la figura 15.2 se aprecian varias características de las curvas de nivel, entre las cuales se tiene: • Las curvas de nivel no se interceptan entre sí (las cuevas serian un excepción de esta característica). • Las curvas de nivel son líneas cerradas (ya sea por fuera o por dentro del plano correspondiente). • La pendiente entre los puntos que se ubiquen dentro de una misma curva de nivel será cero. • Entre más montañoso sea el terreno, más cerca estarán las curvas de nivel entre sí; al contrario, si las curvas de nivel están más separadas, indica que el terreno tiene pendientes mas suaves o de menor valor • Las montañas y/o depresiones se representan por medio de curvas de nivel concéntricas. • La pendiente máxima de un terreno se encuentra en dirección perpendicular a las curvas de nivel. • Los terrenos accidentados o con quiebres significativos se representan mediante curvas de nivel irregulares. 15.1.2 Equidistancia de las curvas de nivel La equidistancia es el intervalo vertical que tienen las curvas de nivel, es decir, la diferencia de altitud entre dos curvas de nivel consecutivas. En los planos, a las curvas de nivel se les debe colocar el valor de la cota (se debe tener en cuenta que, para no saturar los planos y lograr un adecuado análisis de los mismos, solo se relaciona el valor en las curvas índices o maestras que regularmente van cada cinco curvas de nivel, tal como se presenta en la figura 15.3) y las curvas de nivel índices o maestras deben tener un color más oscuro que las demás curvas. Dependiendo de la escala y cobertura del plano puede suceder que el valor de las cotas se deba indicar varias veces sobre la misma línea o curva de nivel. 291 292 TOPOGRAFÍA FIGURA 15.3 Curvas de nivel de un modelo digital del terreno En la tabla 15.1 se relacionan los valores de equidistancia usados regularmente, según la escala a la que se realiza un plano. TABLA 15.1 Equidistancia sugerida según la escala del plano Escala Equidistancia (metros) 1: 50 0.005 1: 100 0.1 1: 200 0.2 1: 500 0.5 1: 1000 1 1: 2000 2 1: 5000 5 1: 10000 10 CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO 15.2 Breaklines o divisorias de aguas Son líneas de quiebre o divisorias de aguas utilizada en los DTM con el objeto de lograr una adecuada representación de las superficies correspondientes al sector o terreno que se esté trabajando. Las breaklines se deben realizar o aplicar en objetos o accidentes lineales que representen un cambio en las formas de las curvas de nivel, tales como bordes de vía, patas y cabezas de taludes, bordes de corrientes de aguas, cunetas, canales, muros, construcciones, disipadores de energía, entre otros. A continuación se presenta un caso de aplicación de las breaklines , para poder brindar una explicación detallada del tema: • En la figura 15.4 se ilustran las curvas de nivel de un terreno, el cual contiene una vía. Se puede apreciar que sobre la vía se generaron curvas de nivel de forma inadecuada, ya que forman un vértice y, además, una misma curva de nivel sale y entra varias veces a la zona de la vía. Lo anterior se debe a la no aplicación de breaklines . FIGURA 15.4 Curvas de nivel sobre un vía sin aplicar breaklines • Teniendo en cuenta que las curvas de nivel se generan realizando interpolaciones, esto es, triangulaciones entre los puntos tomados en campo con sus respectivas coordenadas norte, este y cota (tal como se explicará en el capítulo 16. Nivelación de superficies), el problema –las curvas de nivel no representen la forma de la superficie de la vía– radica en que, al no aplicar breaklines, se 293 294 TOPOGRAFÍA realizan interpolaciones entre puntos que están por fuera de los bordes de la vía a uno y otro costado de la misma, por ello, las líneas de triangulación atraviesan la vía, tal como se presenta en la figura 15.5. FIGURA 15.5 Líneas de triangulación o interpolación sin breaklines • Al aplicar las breaklines , las triangulaciones sobre la zona de la vía se realizan solo entre los bordes de la misma (figura 15.6). Para aplicar breaklines con ayuda de herramientas computacionales se deben realizar 3D Polys sobre las líneas de la vía, cuneta, canal, bordes de ríos, bordes de quebradas, talud, etc., uniendo los nodos de los puntos correspondientes, según el soſtware que se esté utilizando. CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO FIGURA 15.6 Líneas de triangulación o interpolación con breaklines • En la figura 15.7 se presentan las curvas de nivel de forma adecuada sobre la superficie de la vía. Obsérvese que las curvas de nivel se desarrollan casi de forma perpendicular a la dirección de la vía, lo que dependerá de la pendiente de la misma. FIGURA 15.7 Curvas de nivel sobre un vía aplicando breaklines 295 296 TOPOGRAFÍA 15.3 Análisis con Modelos Digitales de Terreno 15.3.1 Interpretación de las curvas Por medio de las curvas de nivel se pueden interpretar varias características de las formas del terreno que representan, por ejemplo: En las corrientes de agua las curvas de nivel se representan apuntando hacia un vértice (la forma de vértice normalmente es puntiaguda); es importante indicar que los valores de las cotas de las curvas de nivel disminuyen en el sentido contrario de los vértices, el agua correrá en dirección contraria al vértice de las curvas. Los filos de las montañas, al igual que el caso anterior, están determinados por curvas de nivel que apuntan hacia un vértice, pero los valores de las curvas de nivel disminuyen en el sentido de los vértices (estos son un poco más redondeados), ver figura 15.8. FIGURA 15.8 Curvas de nivel en corrientes de agua y en filos de montaña 15.3.2 Mapa de pendientes Mapa donde se representan los diferentes grados o valores de pendiente que tiene un terreno, por medio de este se determina el tipo de terreno (plano, ondulado, montañoso o escarpado). En muchos proyectos de infraestructura es necesario determinar el tipo de terreno, puesto que este definirá algunas características del proyecto. El mapa, mediante colores, presenta las áreas de terreno con pendientes semejantes (según los intervalos definidos), la sumatoria de mayor valor de áreas semejantes determinará el tipo de terreno. 297 CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO En la figura 15.9 se presenta un mapa de pendientes, el cual arrojó los datos presentados en la tabla 15.2. TABLA 15.2 Áreas para tipo de terreno Tipo de Terreno Pendiente Máxima (%) Pendiente Mínima (%) Área (m2) Plano 0 8.8 145145 Ondulado 8.8 23 360141 Montañoso 23 97.9 586917 Escarpado 97.9 2690 FIGURA 15.9 Mapa de pendientes Por lo cual, se establece que el terreno es montañoso, pues es el tipo de terreno que presenta mayor área (586917 m2) entre las cuatro categorías. 298 TOPOGRAFÍA 15.3.3 Mapa de elevaciones El mapa de elevaciones muestra gráficamente las zonas o áreas con altitudes o cotas semejantes, de acuerdo a los rangos que se hayan definido. En la figura 15.10 se presenta un mapa de elevaciones donde se definieron 4 rangos de elevaciones, conforme a las cotas del terreno representadas en las curvas de nivel, el color oscuro corresponde a las zonas más altas y el color más claro a las zonas más bajas. El mapa de elevaciones tiene diferentes usos, entre los que se encuentra la planeación de vuelos para procesos cartográficos, rutas, estudios forestales, zonas de agricultura, etc. FIGURA 15.10 Mapa de elevaciones 15.3.4 Mapa de direcciones de pendiente Este mapa muestra o indica mediante flechas las direcciones de las pendientes más fuertes o críticas en los diferentes sectores existentes de un terreno, tal como se ilustra en la figura 15.11. El mapa de direcciones de pendiente se aplica en estudios geológicos, de estabilidad y erosión, forestales, de planeación de rutas, entre otros. CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO FIGURA 15.11 Mapa de direcciones de pendiente 15.3.5 Mapa de cuencas En el mapa de cuencas se delimitan las áreas de drenaje según las depresiones que presente el relieve del terreno, tal como se ilustra en la figura 15.12. Este mapa tiene varias aplicaciones en estudios y proyectos hidrológicos, y diseño de obras de drenaje. FIGURA 15.12 Mapa de cuencas 299 C A P Í T U L O 16 NIVEL ACIÓN DE SUPERFICIES 16.1 Generalidades E n general un plano topográfico representa el terreno sobre el cual se ha realizado un levantamiento topográfico para un proyecto determinado; esta gráfica debe presentar las curvas de nivel que representan el relieve del terreno. Es por ello que, en el trabajo de campo de las diferentes metodologías ya descritas, se toma la información de coordenadas nortes y estes (planimetría), y de cotas (altimetría), mediante las cuales cada punto puede representarse en un plano cartesiano x, y, z . Con la triangulación de estos puntos se realizan curvas de nivel a intervalos definidos –equidistancias o intervalo vertical - que permiten esquematizar el terreno mediante un modelo digital –MDT. Al tomar la información para la nivelación de una superficie se puede ubicar en el terreno los puntos con un valor de altura cerrada (cota cerrada), pero lo más práctico es realizar una nivelación de puntos de quiebre, distancias fijas o nubes de puntos, cuyas alturas no coinciden con cotas exactas, puesto que permitirán definir la ubicación de estas para el dibujo de las curvas de nivel. Para realizar la nivelación de un terreno existen diferentes metodologías, las cuales se aplican de acuerdo a las características del terreno, como el tamaño de la superficie, el tipo de relieve, la escala del mapa, la equidistancia entre las curvas de nivel, el equipo disponible y las especificaciones del proyecto. Las principales metodologías se exponen a continuación. 302 TOPOGRAFÍA 16.2 Nivelación por radiación Esta metodología se utiliza cuando el terreno es pequeño y relativamente plano o con pendientes suaves, ya que la idea es realizar la nivelación desde un mismo punto. Es la base del método de nube de puntos en una nivelación trigonométrica. El procedimiento es el siguiente: • Se determina un punto interno –delta - en el terreno, desde el cual se pueda visualizar toda el área a nivelar. • A partir del delta se visan líneas con diferente dirección que cubran la mayor cantidad de área a representar (figura 16.1), sobre estas líneas se toman puntos bien sea equidistantes o bien de quiebre o bien de ambos tipos (mixtos), los cuales se materializan con estacas y se enumeran para no tener errores en campo (figura 16.2). • Se establece una norte real o arbitraria. • Se miden ángulos a cada una de las visuales y distancias desde el delta a cada uno de los puntos de cada segmento de línea, como se representa en la figura 16.3. FIGURA 16.1 Radiación. Ubicación de las visuales CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.2 Materialización de puntos de quiebre • Realizada la radiación, se procede a ejecutar la nivelación geométrica de todos los puntos con base en un punto de cota conocida, puede ser el delta. Las figuras 16.4 a y 16.4 b presentan la cartera de campo de planimetría y la figura 16.5 la cartera de altimetría. • En la oficina se calculan las coordenadas y las cotas de cada uno de los puntos, tal como se presenta en las tablas 16.1 y 16.2. FIGURA 16.3 Medición de ángulos y distancias 303 304 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.4 A Cartera de la radiación CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.4 B Cartera de la radiación 305 TOPOGRAFÍA 306 6 7 8 9 01 11 21 31 41 51 61 71 81 91 02 12 22 624.8901 995.5211 712.699 324.299 256.989 309.789 504.389 323.289 340.099 161.279 336.259 678.249 819.119 957.698 362.299 337.689 508.979 715.079 438.1302 326.0402 719.3891 787.7691 600.6591 965.8491 344.9291 448.4291 438.1002 821.5002 627.8002 325.0102 622.6102 810.9102 679.1202 286.7302 263.7502 247.3802 842.63 624.89 995.521 387.3- 775.7- 843.01- 790.21- 595.61- 776.71- 759.9- 938.72- 763.74- 421.75- 280.88- 142.301- 737.7- 762.31- 591.02- 384.92- 427.11 438.13 326.04 380.61- 312.23- 499.34- 134.15- 755.07- 651.57- 438.1 821.5 627.8 325.01 622.61 810.91 679.12 286.73 263.75 247.38 790.83 644.301 500.231 225.61 290.33 591.54 438.25 284.27 702.77 521.01 703.82 461.84 580.85 465.98 879.401 892.32 949.93 318.06 087.88 ’‘ 61 ’‘ 73 ’‘ 73 ’‘ 73 ’‘ 9 ’‘ 9 ’‘ 9 ’‘ 9 ’‘ 9 ’‘ 9 ’‘ 51 ’‘ 51 ’‘ 51 ’‘ 51 ’‘ 51 ’‘ 51 ’‘ 61 ’‘ 61 ’‘ 61 ’‘ 61 ‘ 52 ‘4 ‘4 ‘4 ‘ 41 ‘ 41 ‘ 41 ‘ 41 ‘ 41 ‘ 41 ‘ 62 ‘ 62 ‘ 62 ‘ 62 ‘ 62 ‘ 62 ‘ 63 ‘ 63 ‘ 63 ‘ 63 ° 14 ° 27 ° 27 ° 27 ° 391 ° 391 ° 391 ° 391 ° 391 ° 391 ° 082 ° 082 ° 082 ° 082 ° 082 ° 082 ° 043 ° 043 ° 043 ° 043 3 4 5 6 7 8 9 01 11 21 31 41 51 61 71 81 91 02 12 22 5 427.1102 810.621 842.6301 794.49 4 273.38 794.4902 2 273.3801 ° 14 3 ‘ 52 990.43 ’‘ 61 946.8302 145.15 990.4301 946.83 2 1 684.83 ° 41 796.9 ‘8 684.8302 ’‘ 92 796.9001 986.93 1 D N Δ ° 0 SN OTNUP ‘0 WE .TSID TUMIZA ’‘ 0 000.0002 N SENOICCEYORP E 000.0001 SADANEDROOC D OTNUP sa dane drooc ed olucláC 1 .61 ALBAT CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.5 Cartera de la nivelación 307 308 TOPOGRAFÍA TABLA 16.2 Cálculo de la nivelación Δ V (+) Altura Instrumental D 2.986 2784.805 V(i) Cota 2781.819 1 2.891 2781.914 2 3.008 2781.797 3 2.875 2781.930 4 2.964 2781.841 5 4.525 2780.280 6 4.982 2779.823 7 2.758 2782.047 8 1.457 2783.348 9 0.874 2783.931 10 1.245 2783.560 11 2.369 2782.436 12 2.619 2782.186 13 2.697 2782.108 14 1.854 2782.951 15 0.798 2784.007 16 1.348 2783.457 17 2.354 2782.451 18 2.753 2782.052 19 2.754 2782.051 20 1.583 2783.222 21 1.247 2783.558 22 2.438 2782.367 Para poder realizar el plano con las curvas de nivel es necesario interpolar en cada línea las cotas redondas que se encuentran entre los puntos de cotas conocidas; posteriormente empalmar los puntos con igual altura y trazar así las líneas de nivel. Como ejemplo se explica la interpolación de la última visual que parte del delta D y llega al punto 22, pasando por los puntos: 19, 20 y 21; definiendo para ello una equidistancia o intervalo vertical de 0.5 m. • Desde D a 19: ∇D = 2781.819, ∇19 = 2782.051, distancia-d- = 23.298 m Entre D y 19 se encuentra la siguiente cota redonda: CR =2782.0, ubicada a la distancia x desde D. CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES x= (∇R –∇R) (2782.0 – 2781.819) d= 23.298 = 18.176 m * (∇R –∇R) (2782.051– 2781.819) * • Desde 19 a 20: ∇19 = 2782.051, ∇20 = 2783.222, distancia-d- = 16.651 m Entre 19 y 20 se encuentra las siguientes cotas redondas: CR =2782.5 y 2783.0, ubicadas, cada una, a la distancia x desde 19. x= (∇R –∇19) (2782.5 – 2782.051) d= 16.651 = 6.348 m * (∇20 –∇19) (2783.222 – 2782.051) * x= (∇R –∇19) d = (2783.0 – 2782.051) 16.651 = 13.494 m (∇20 –∇19) * (2783.222 – 2782.051) * • Desde 20 a 21: ∇20 = 2783.222, ∇21 = 2783.558, distancia-d- = 20.864 m Entre 20 y 21 se encuentra la siguiente cota redonda: 2783.5, ubicada a la distancia x desde 20. x= (∇R –∇20) d = (2783.5 – 2783.222) 20.864 = 17.262 m (∇21 –∇20) * (2783.558 – 2783.222) * • Desde 21 a 22: ∇21 = 2783.558, ∇22 = 2782.367, distancia-d- = 27.967 m Entre 21 y 22 se encuentran las siguientes cotas redondas: 2783.5, 2783.0 y 2782.5, ubicadas a la distancia x desde 21. x= (∇R –∇21) (2783.5 – 2783.558) d= 27.967 = 1.362 m * (∇22 –∇21) (2782.367 – 2783.558) * x= (∇R –∇21) (2783.0 – 2783.558) d= 27.967 = 13.103 m * (∇22 –∇21) (2782.367 – 2783.558) * x= (∇R –∇21) d = (2782.5 – 2783.558) 27.967 = 24.844 m (∇22 –∇21) * (2782.367 – 2783.558) * La figura 16.6 presenta un gráfico con la interpolación entre los puntos 21 y 22. 309 310 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.6 Interpolación entre los puntos 21 - 22 Mediante este procedimiento se interpolan todas las líneas de la radiación entre los diferentes puntos, resultados que se presentan en la tabla 16.3, con lo cual se obtiene la ubicación de las cotas cerradas (figura 16.7) y se puede trazar el plano de curvas de nivel como se presenta en la figura 16.8. TABLA 16.3 Interpolación de las línea de visual – IV = 0.5 m Línea 1 PUNTO D 1 DISTANCIA 0 39.689 2781.819 2781.914 A D-1 2781.819 2781.914 39.689 0 39.689 COTA DE DIST. DESDE Línea 2 PUNTO D 2 3 DISTANCIA 0 51.541 74.477 2781.819 2781.797 2781.93 A D-2 2781.819 2781.797 51.541 0 51.541 2-3 2781.797 2781.93 74.477 0 74.477 COTA DE DIST. DESDE DE DIST. DESDE A 311 CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES Línea 3 PUNTO D 4 5 6 DISTANCIA 0 38.097 65.349 28.559 2781.819 2781.841 2780.28 2779.823 A D-4 2781.819 2781.841 38.097 0 38.097 4-5 2781.841 2781.5 2781 2780.5 2780.28 65.349 0 14.275 35.207 56.139 65.349 5-6 2780.28 2780 2779.823 28.559 0 17.498 28.559 COTA DE DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE Línea 4 PUNTO D 7 8 9 10 11 12 DISTANCIA 0 16.522 16.57 12.103 7.639 19.648 4.725 2781.819 2782.047 2783.348 2783.931 2783.56 2782.436 2782.186 A D-7 2781.819 2782 2782.047 16.522 0 13.116 16.522 7-8 2782.047 2782.5 2783 2783.348 16.57 0 5.770 12.138 16.57 8-9 2783.348 2783.5 2783.931 12.103 0 3.155 12.103 9-10 2783.931 2783.56 7.639 0 7.639 10-11 2783.56 2783 2782.5 2782.436 19.648 0 9.789 18.529 19.648 11-12 2782.436 2782.186 4.725 0 4.725 COTA DE DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE Línea 5 PUNTO D 13 14 15 16 17 18 DISTANCIA 0 10.125 18.182 19.857 9.921 31.479 15.414 2781.819 2782.108 2782.951 2784.007 2783.457 2782.451 2782.052 A D-13 2781.819 2782 2782.108 10.125 0 6.341 10.125 13-14 2782.108 2782.5 2782.951 18.182 0 8.455 18.182 COTA DE DIST. DESDE DE DIST. DESDE A 312 TOPOGRAFÍA DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE 14-15 2782.951 2783 2783.5 2784 2784.007 19.857 0 0.921 10.323 19.725 19.857 15-16 2784.007 2783.5 2783.457 9.921 0 9.145 9.921 16-17 2783.457 2783 2782.5 2782.451 31.479 0 14.300 29.946 31.479 17-18 2782.451 2782.052 15.414 0 15.414 Línea 6 PUNTO D 19 20 21 22 DISTANCIA 0 23.298 16.651 20.864 27.967 2781.819 2782.051 2783.222 2783.558 2782.367 A D-19 2781.819 2782 2782.051 23.298 0 18.176 23.298 19-20 2782.051 2782.5 2783 2783.222 16.651 0 6.385 13.494 16.651 20-21 2783.222 2783.5 2783.558 20.864 0 17.262 20.864 21-22 2783.558 2783.5 2783 2782.5 2782.367 27.967 0 1.362 13.103 24.844 27.967 COTA DE DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE A DIST. DESDE DE DIST. DESDE A CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.7 Ubicación de las cotas cerradas FIGURA 16.8 Plano topográfico 313 314 TOPOGRAFÍA 16.3 Nivelación por cuadrícula Esta metodología se realiza cuando el terreno es de mayor extensión y presenta diferencias de nivel considerables. Para ejecutarla se procede a elaborar una cuadrícula dentro del terreno, cuyos puntos se materializan con estacas a distancias equidistantes, que pueden ser 5, 10 o 20 metros (entre menor sea la distancia se obtiene una mayor precisión); esta cuadrícula se nivela geométricamente y posteriormente se interpolan las curvas entre los puntos de esta, por cada arista de ella y al menos una diagonal. Ejemplo práctico: La figura 16.9 presenta la cuadrícula materializada sobre un terreno de gran pendiente, con equidistancia de 10 metros. Se materializa una primera línea con estacas cada 10 metros, preferiblemente sobre el lindero que cubra toda la extensión del terreno; desde cada estaca se levanta una perpendicular y se materializan todos los puntos de la cuadrícula. FIGURA 16.9 Terreno a nivelar CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES La cuadrícula se define mediante un sistema de coordenadas alfanumérico como se representa en la figura 16.10. En el terreno se materializa el punto A1, se fija la visual paralela al lindero del predio y se marca la abscisa cada 10 m (equidistancia de la cuadrícula), de esta manera se obtienen los 14 puntos numerados secuencialmente desde A hasta N; a continuación, en cada punto se arma, centra y nivela el equipo (estación o tránsito), se levanta una perpendicular (90°) a través del predio y se materializan los puntos requeridos para cubrir el área del predio. FIGURA 16.10 Coordenadas de la cuadrícula Una vez materializada la cuadrícula, se procede a nivelar cada punto de la cuadrícula por medio de una nivelación geométrica, ver figura 16.11. La nivelación debe complementarse con su correspondiente contranivelación, como se explicó en el capítulo 12. Nivelación geométrica. 315 316 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.11 Cuadrícula y equipo para nivelación Para este ejemplo fue necesario hacer una nivelación geométrica compuesta con contranivelación debido al relieve del predio. La nivelación parte y regresa al NP – 9, cuya cota es 2718.387 m. s. n. m; la tabla 16.4 presenta los datos de la nivelación. TABLA 16.4 Cálculo de la nivelación P V(+) A Inst. NP-9 0.054 2718.441 V(i) V(-) Cota 2718.387 A 1 0.232 2718.209 B 1 0.894 2717.547 C 1 1.947 2716.494 D 1 2.528 2715.913 E 1 3.449 2714.992 F 1 4.358 2714.083 A 2 4.723 2713.718 B 2 4.227 2714.214 C#1 0.143 2713.606 4.978 2713.463 G 1 0.289 2713.317 C 2 0.464 2713.142 D 2 1.961 2711.645 317 CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES P V(+) A Inst. V(i) V(-) Cota E 2 3.677 2709.929 F 2 4.564 2709.042 G 2 4.904 2708.702 H 1 1.383 2712.223 I 1 1.842 2711.764 J 1 2.557 2711.049 K 1 2.606 2711.000 L 1 1.771 2711.835 M 1 4.192 2709.414 C#2 0.063 2708.685 4.984 2708.622 N 1 1.792 2706.893 H 2 1.078 2707.607 I 2 2.986 2705.699 J 2 3.612 2705.073 K 2 2.386 2706.299 L 2 1.694 2706.991 M 2 2.890 2705.795 N 2 1.761 2706.924 A 3 1.761 2706.924 B 3 1.476 2707.209 C 3 1.968 2706.717 D 3 4.158 2704.527 C#3 0.178 2703.879 4.984 2703.701 E 3 0.898 2 702.981 F 3 1.802 2 702.077 G 3 2.471 2 701.408 H 3 3.130 2 700.749 I 3 3.334 2 700.545 J 3 4.553 2 699.326 K 3 4.933 2 698.946 L 3 4.224 2 699.655 M 3 2.781 2 701.098 N 3 1.768 2 702.111 A 4 4.977 2 698.902 B 4 4.423 2 699.456 C 4 4.508 2 699.371 C#4 0.082 2698.992 4.969 2698.91 318 TOPOGRAFÍA P V(+) A Inst. V(i) V(-) Cota D 4 2.170 2 696.822 E 4 2.104 2 696.888 F 4 3.118 2 695.874 G 4 4.485 2 694.507 M 4 3.999 2 694.993 N 4 2.336 2 696.656 C#5 0.108 2694.302 4.798 2694.194 H 4 0.728 2 693.574 I 4 0.372 2 693.930 J 4 1.152 2 693.150 K 4 0.392 2 693.910 L 4 0.992 2 693.310 A 5 1.392 2 692.910 B 5 1.374 2 692.928 C 5 1.287 2 693.015 D 5 1.848 2 692.454 E 5 2.684 2 691.618 F 5 3.959 2 690.343 C#6 0.328 2689.725 4.905 2689.397 G 5 0.984 2 688.741 H 5 1.720 2 688.005 I 5 2.004 2 687.721 J 5 1.258 2 688.467 K 5 0.560 2 689.165 L 5 2.643 2 687.082 M 5 1.354 2 688.371 N 5 0.074 2 689.651 A 6 1.140 2 688.585 B 6 2.802 2 686.923 C 6 3.108 2 686.617 D 6 2.831 2 686.894 E 6 2.629 2 687.096 F 6 2.765 2 686.960 G 6 4.831 2 684.894 C#7 0.182 2684.937 4.970 2684.755 H 6 2.287 2 682.650 I 6 2.941 2 681.996 319 CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES P V(+) A Inst. V(i) V(-) Cota J 6 2.510 2 682.427 K 6 2.290 2 682.647 L 6 3.539 2 681.398 M 6 3.456 2 681.481 N 6 3.669 2 681.268 A 7 0.846 2 684.091 B 7 1.883 2 683.054 C 7 3.456 2 681.481 D 7 3.063 2 681.874 E 7 3.259 2 681.678 F 7 4.000 2 680.937 G 7 4.770 2 680.167 C#8 0.154 2680.267 4.824 2680.113 H 7 0.764 2 679.503 I 7 2.383 2 677.884 J 7 3.680 2 676.587 A 8 4.559 2 675.708 B 8 4.206 2 676.061 C 8 3.498 2 676.769 D 8 3.678 2 676.589 E 8 3.314 2 676.953 F 8 3.743 2 676.524 En seguida, se realiza la interpolación entre las cuatro líneas de cada cuadro y una de las dos diagonales, como se muestra en la figura 16.12. La interpolación se realiza mediante una regresión lineal o semejanza de triángulos, como se explicó anteriormente. Como parte del ejemplo se presenta la interpolación de la cuadrícula en la figura 16.12, para lo cual se define un intervalo vertical de 2 m. La figura 16.13 presenta el trazo de segmentos y diagonales de parte de la cuadrícula. 320 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.12 Dimensiones de una cuadrícula • Desde C4 a D4: ∇C4 = 2699.371, ∇D4 = 2696.822, distancia-d- = 10 m Entre C4 y D4 se encuentra la siguiente cota redonda: CR =2698, ubicada a la distancia x desde C4. • Desde C5 a C4: ∇C5 = 2693.015, ∇C4 = 2699.371, distancia-d- = 10 m Entre C5 y C4 se encuentra las siguientes cotas redondas: CR =2798, 2796 y 2794, ubicadas, cada una, a la distancia x desde C5. • Desde C5 a D5: ∇C5 = 2693.015, ∇D5 = 2692.454, distancia-d- = 10 m Entre C5 y D5 no se encuentra ninguna cota redonda. CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES • Desde D5 a D4: ∇D5 = 2692.454, ∇D4 = 2696.822, distancia-d- = 10 m Entre D5 y D4 se encuentra la siguiente cota redonda: 2796, ubicada a la distancia x desde D5. • Desde C4 a D5: ∇C4 = 2699.371, ∇D5 = 2692.454, distancia-d- = 10 m Entre C4 y D5 se encuentra las siguientes cotas redondas: CR =2798, 2796 y 2794, ubicadas, cada una, a la distancia x desde C4. FIGURA 16.13 Líneas y diagonales de la cuadrícula 321 322 TOPOGRAFÍA La tabla 16.5 presenta las interpolaciones tabuladas para la cuadrícula anterior. TABLA 16.5 Interpolación de un cuadro de la cuadrícula 10 C5 2693.015 10 2692.454 D5 2696.822 D4 10 14.14214 C4 2699.371 10 DE A C5-C4 2693.015 2694 2696 2698 2699.371 DIST. DESDE 10 0 1.550 4.696 7.843 10 DE C5-D5 2693.015 2692 2692.454 DIST. DESDE 10 0 18.093 10 DE C4-D4 2699.371 2698 2696.822 DIST. DESDE 10 0 5.379 10 DE C4-D5 2699.371 2698 2696 2694 2692.454 DIST. DESDE 14.14214 0 2.803 6.892 10.981 14.14214 DE D5-D4 2692.454 2694 2696 2696.822 10 0 3.539 8.118 10 A A A A DIST. DESDE Una vez interpoladas las líneas de todos los cuadros de las cuadrículas, se ubican en cada cuadro las cotas redondas, como lo muestra la figura 16.14; con el conjunto de todos los cuadros se trazan las curvas de nivel, como lo presenta la figura 16.15. CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.14 Ubicación de puntos para curvas de nivel en la cuadrícula FIGURA 16.15 Trazado de las curvas de nivel 323 324 TOPOGRAFÍA 16.4 Método de nivelación trigonométrica – puntos de quiebre En la actualidad es el método más empleado para la toma de información en campo requerida para generar un MDT. En general, con la nivelación trigonométrica se levantan los puntos de quiebre del terreno y aquellos puntos o líneas que conforman obras civiles que yacen sobre éste (canales, bordillos, borde de vía, entre otros), cuya información mejora el MDT. Como se detalló en el capítulo 13. Nivelación trigonométrica, mediante esta metodología se toman, para cada punto, el ángulo horizontal, el ángulo vertical, la distancia horizontal, la altura instrumental y la altura del prisma, con el fin de determinar las coordenadas norte y este que definen la ubicación del punto (plano x, y) y la cota que define su altura (plano z). Levantados los puntos del terreno se dibujan en un plano, de acuerdo con sus coordenadas y sus respectivas cotas, se unen los puntos formando triángulos. Sobre cada arista de cada triángulo se interpolan las cotas cerradas, conforme al intervalo vertical definido mediante una proporcionalidad directa, y, una vez definida su ubicación, se empalman para conformar las curvas de nivel y, por ende, el MDT. Ejemplo práctico Las figuras 16.16 a, 16.16 b y 16.16 c presentan las carteras de campo de un levantamiento de un predio para realizar una construcción. CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.16 A Cartera de campo 325 326 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.16 B Cartera de campo CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.16 C Cartera de campo El levantamiento consiste en una poligonal cerrada por ceros atrás, con brazo interno y recorrido anti-horario. Desde cada vertice se tomaron diferentes puntos de quiebre en el terreno, a los cuales se les leyó el ángulo horizontal, el ángulo vertical, la distancia horizontal, la altura del prisma y la altura de la estación; se realizó una nivelación geométrica compuesta para obtener las cotas de los vértices de la poligonal, con base en el NP-9. 327 328 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.17 Cartera de nivelación La tabla 16.6 presenta el ajuste de la poligonal cerrada, la tabla 16.7 presenta el cálculo de coordenadas para la nube de puntos, la tablas 16.8 a, b y c presentan el ajuste de la nivelación geométrica y la tabla 16.9 presenta la nivelación geométrica de la nube de puntos del terreno; todo de acuerdo con los procedimientos antes vistos. 410 .0 300.0 400.0 300.0 400.0 sN .cerroC n ói s -ice rP d r o r rE 138.57 040.04 aD/mucA aicnatsiD ’‘ 0 ‘0 ° 063 ‘ 83 ° 35 ° 063 ’‘ 43 ‘0 ° 831 ’‘ 0 ‘ 14 ° 68 ’‘ 14 ‘ 82 ° 0 ° 0 ’‘ 13 ‘0 ° 78 ‘0 ° 562 ’‘ 0 ‘7 ’‘ 0 ‘3 ° 871 ’‘ 14 ° 58 ’‘ 7 ‘ 43 ° 853 ‘3 ’‘ 63 ‘ 43 ’‘ 7 ’‘ 63 ° 0 ° 19 ‘0 ‘ 05 ’‘ 0 ’‘ 73 ° 172 ° 19 ‘ 62 ‘ 62 ’‘ 55 ’‘ 55 ° 0 ° 04 ‘0 ‘ 45 ° 0 ’‘ 0 ’‘ 73 ‘0 ° 953 ° 971 ’‘ 0 ‘ 63 ‘ 63 ° 831 ’‘ 81 ’‘ 81 ‘ 14 odigerroC .gnÁ ’‘ 14 tumizA sa dane drooc ed olucláC .lanogilop al ed e tsujA 6 .61 ALBAT aic -natsiD 040.04 197.53 179.34 890.53 410.0 009.451 009 .451 720.3- 759.34 509.0- 930.04- sN 208.911 410 .0 - 18801:1 400 .0 - 769.43- 290.1- 087.53 672.0 wE Σ 329 CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 5 1 1 1 1 1 .rroC ° 0 nóicce r roC . m rep r o r rE ‘0 ° 1- .gná r o r rE ’‘ 42 ° 0 95 ‘ ‘0 aciróeT ∑ ’‘ 0.95 ’‘ 5- ° 063 ‘ 82 ∆ 2D 3D 4D 5D 2D ada v re sb O ∑ ‘0 ‘ 95 1D ° 953 ’‘ 0 ’‘ 55 ° 35 5D ‘ ° 0 2D ’‘ 03 83 ° 68 4D ’‘ 33 ° 0 5D ‘0 ‘0 ° 78 ’‘ 0 ’‘ 0 ‘7 4D ’‘ 04 ° 19 2D 3D ° 0 3D ° 0 ° 04 1D ‘0 ‘ 05 ‘0 ‘ 45 ‘0 P ° 0 ’‘ 0 ’‘ 63 ’‘ 0 ’‘ 63 ’‘ 0 odavresbO .gnÁ 330 TOPOGRAFÍA Correc. Ew Ns Corrg. Ew Corrg. Norte Este P 100 390.885 102 654.313 D2 0.001 -40.036 0.277 100 350.849 102 654.590 D3 0.001 -0.902 35.780 100 349.948 102 690.370 D4 0.001 43.961 -1.091 100 393.909 102 689.279 D5 0.001 -3.024 -34.966 100 390.885 102 654.313 D2 0.004 0.000 0.000 ∆ D3 4‘ 28 ‘ 35 ° 67 ° 81 ° 116 ° 166 ° 223 ° 229 ° 257 ° 273 ° 300 ° 342 ° 0° 91 ° 63 ° 84 ° 116 ° 132 ° 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D2 D4 13 14 15 16 4‘ 18 ‘ 24 ‘ 20 ‘ 50 ‘ 0‘ 43 ‘ 27 ‘ 30 ‘ 41 ‘ 1‘ 55 ‘ 44 ‘ 11 ‘ 32 ‘ 41 ‘ 54 ‘ 18 ° P 1 odavresbO .gnÁ 40 ° 52 ‘’ 45 ‘’ 13 ‘’ 38 ‘’ 36 ‘’ 0 ‘’ 8 ‘’ 53 ‘’ 11 ‘’ 32 ‘’ 25 ‘’ 15 ‘’ 7 ‘’ 33 ‘’ 23 ‘’ 41 ‘’ 55 ‘’ 21 ‘’ 36 ‘’ 16.466 13.562 15.064 19.949 35.791 9.821 11.785 22.420 16.481 12.987 12.812 10.204 8.810 13.383 20.214 19.889 13.491 40.040 .tsiD D3 131 ° 115 ° 84 ° 62 ° 359 ° 121 ° 79 ° 52 ° 36 ° 7° 2° 304 ° 255 ° 220 ° 205 ° 174 ° 157 ° 138 ° tumizA 0 ‘’ 41 ‘ 55 ‘ 0‘ 56 ‘ 36 ‘ 24 ‘ 9‘ 11 ‘ 10 ‘ 46 ‘ 22 ‘ 42 ‘ 37 ‘ 26 ‘ 53 ‘ 14 ‘ 23 ‘ 41 ‘ 10 ‘’ 3 ‘’ 31 ‘’ 56 ‘’ 18 ‘’ 49 ‘’ 34 ‘’ 52 ‘’ 13 ‘’ 6 ‘’ 56 ‘’ 48 ‘’ 14 ‘’ 4 ‘’ 22 ‘’ 36 ‘’ 2 ‘’ 41 ‘’ -10.951 -5.928 1.572 9.072 35.790 -5.119 2.216 13.742 13.305 12.868 12.801 5.811 -2.188 -10.186 -18.185 -19.789 -12.454 -30.078 sN 0‘ 12.297 12.198 14.982 17.767 -0.247 8.381 11.575 17.715 9.727 1.755 0.533 -8.388 -8.534 -8.680 -8.826 1.995 5.188 26.429 wE 0° 100339.899 100344.922 100352.422 100359.922 100350.849 100385.766 100393.101 100404.627 100404.190 100403.753 100403.686 100396.696 100388.697 100380.699 100372.700 100371.096 100378.431 100390.885 etroN D1 102666.887 102666.788 102669.572 102672.357 102654.590 102662.694 102665.888 102672.028 102664.040 102656.068 102654.846 102645.925 102645.779 102645.633 102645.487 102656.308 102659.501 102654.313 etsE so tnu p ed e bun y sella te d sol ed sa dane drooC 7 .61 ALBAT D2 CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 331 ∆ D4 302 ° 320 ° 226 ° 353 ° 0° 87 ° 17 ° 47 ° 77 ° 91 ° 98 ° 102 ° 108 ° 126 ° 129 ° 146 ° 171 ° 198 ° 206 ° 218 ° 20 21 22 D3 D5 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 P 19 odavresbO .gnÁ 257 ° 42 ‘ 9‘ 28 ‘ 15 ‘ 24 ‘ 51 ‘ 35 ‘ 12 ‘ 15 ‘ 40 ‘ 48 ‘ 4‘ 28 ‘ 21 ‘ 7‘ 0‘ 53 ‘ 40 ‘ 28 ‘ 20 ‘ 48 ‘ 23 ‘’ 26 ‘’ 2 ‘’ 52 ‘’ 58 ‘’ 43 ‘’ 2 ‘’ 25 ‘’ 12 ‘’ 29 ‘’ 21 ‘’ 54 ‘’ 4 ‘’ 52 ‘’ 40 ‘’ 0 ‘’ 0 ‘’ 19 ‘’ 59 ‘’ 2 ‘’ 19 ‘’ 21.587 4.699 17.386 16.324 18.941 24.062 7.381 14.658 22.433 24.162 16.529 9.518 23.187 5.999 43.971 12.999 16.658 7.244 11.070 8.054 .tsiD 18 130 ° 117 ° 109 ° 82 ° 57 ° 41 ° 38 ° 19 ° 13 ° 10 ° 3° 348 ° 318 ° 288 ° 271 ° 353 ° 226 ° 320 ° 301 ° 257 ° 257 ° tumizA 9.778 9‘ 36 ‘ 54 ‘ 42 ‘ 51 ‘ 18 ‘ 1‘ 39 ‘ 42 ‘ 7‘ 15 ‘ 31 ‘ 54 ‘ 48 ‘ 26 ‘ 29 ‘ 16 ‘ 5‘ 56 ‘ 24 ‘ 20 ‘ 18 ‘’ 21 ‘’ 57 ‘’ 47 ‘’ 53 ‘’ 38 ‘’ 57 ‘’ 20 ‘’ 7 ‘’ 24 ‘’ 16 ‘’ 49 ‘’ 59 ‘’ 47 ‘’ 55 ‘’ 18 ‘’ 37 ‘’ 17 ‘’ 20 ‘’ 37 ‘’ 36 ‘’ -13.921 -2.177 -5.922 2.070 10.075 18.074 5.814 13.804 21.795 23.786 16.502 9.328 17.477 1.935 1.112 12.915 -11.514 5.556 5.856 -1.756 -2.142 sN 18 ‘’ 16.499 4.164 16.346 16.192 16.039 15.884 4.548 4.930 5.314 4.247 0.938 -1.893 -15.238 -5.679 -43.957 -1.474 -12.039 -4.648 -9.394 -7.860 -9.540 wE 44 ‘ 100336.027 100347.770 100344.025 100352.018 100360.023 100368.022 100355.762 100363.752 100371.742 100373.734 100366.450 100359.276 100367.425 100351.882 100349.948 100363.765 100339.336 100356.406 100356.706 100349.094 100348.707 etroN 257 ° 102706.869 102694.534 102706.717 102706.563 102706.410 102706.255 102694.918 102695.301 102695.684 102694.617 102691.309 102688.478 102675.133 102684.692 102690.370 102653.116 102642.551 102649.942 102645.196 102646.730 102645.050 etsE 17 332 TOPOGRAFÍA ∆ D5 327 ° 330 ° 0° 86 ° 32 ° 38 ° 56 ° 91 ° 91 ° 141 ° 175 ° 210 ° 231 ° 250 ° 277 ° 302 ° 318 ° 40 D4 D2 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 P 39 odavresbO .gnÁ 229 ° 11 ‘ 7‘ 59 ‘ 59 ‘ 7‘ 34 ‘ 6‘ 41 ‘ 50 ‘ 37 ‘ 49 ‘ 9‘ 18 ‘ 28 ‘ 0‘ 15 ‘ 47 ‘ 16 ‘ 48 ‘’ 46 ‘’ 31 ‘’ 19 ‘’ 6 ‘’ 13 ‘’ 59 ‘’ 31 ‘’ 1 ‘’ 38 ‘’ 55 ‘’ 7 ‘’ 28 ‘’ 30 ‘’ 0 ‘’ 40 ‘’ 31 ‘’ 17 ‘’ 24.565 19.389 16.626 17.462 19.269 13.771 11.660 14.501 7.967 15.966 7.036 14.342 22.133 35.098 17.780 10.459 11.318 .tsiD 38 136 ° 120 ° 96 ° 69 ° 49 ° 29 ° 353 ° 320 ° 270 ° 270 ° 235 ° 216 ° 210 ° 178 ° 241 ° 239 ° 140 ° 137 ° tumizA 19.265 46 ‘ 42 ‘ 34 ‘ 33 ‘ 41 ‘ 8‘ 41 ‘ 16 ‘ 24 ‘ 12 ‘ 24 ‘ 43 ‘ 53 ‘ 34 ‘ 42 ‘ 14 ‘ 43 ‘ 9‘ 24 ‘’ 22 ‘’ 7 ‘’ 55 ‘’ 42 ‘’ 49 ‘’ 35 ‘’ 7 ‘’ 37 ‘’ 14 ‘’ 31 ‘’ 43 ‘’ 4 ‘’ 36 ‘’ 35 ‘’ 26 ‘’ 12 ‘’ 13 ‘’ -17.899 -9.901 -1.902 6.097 12.464 12.027 11.589 11.152 0.057 0.057 -3.994 -11.495 -18.995 -35.087 -8.427 -5.349 -8.761 -14.125 sN 18 ‘’ 16.824 16.671 16.517 16.363 14.695 6.707 -1.281 -9.269 -7.967 -15.966 -5.792 -8.577 -11.361 0.872 -15.656 -8.988 7.166 13.101 wE 42 ‘ 100376.010 100384.008 100392.007 100400.006 100406.373 100405.936 100405.499 100405.061 100393.966 100393.966 100389.915 100382.414 100374.915 100393.909 100341.521 100344.599 100341.187 100335.823 102705.950 102705.796 102705.642 102703.974 102695.987 102687.998 102680.010 102681.313 102673.313 102683.487 102680.702 102677.918 102689.279 102674.714 102681.383 102697.536 102703.471 401.607201 etroN 225 ° etsE 37 CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 333 334 TOPOGRAFÍA TABLA 16.8A Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 Punto V (+) Alt. Inst. V (-) BM 4.603 1064.427 C#1 3.987 1068.255 0.159 C#2 0.849 1064.486 Cota Coor. Cota Ajust. 1064.268 -0.001 1064.267 4.618 1063.637 -0.001 1063.636 4.660 1069.826 -0.002 1059.824 1059.824 BM 9.439 9.437 ERROR 0.002 TABLA 16.8B Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 V(+) V(-) De A Ls Li Dist. Ls Li Dist. Dist. Total Dist. Acum. Corr. BM C#1 4.661 4.545 11.550 0.278 0.040 23.800 35.350 35.35 0.001 C#1 C#2 4.079 3.895 18.316 4.683 4.553 13.011 31.327 66.677 0.001 C#2 BM 0.925 0.773 15.284 4.755 4.565 19.094 34.378 101.055 0.002 TABLA 16.8C Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 Punto V(+) Alt. Inst. NP-9 4.603 1064.427 V(I) 2.468 3.987 Cota 1059.824 D2 C#1 V(-) 1068.254 1061.959 0.159 1064.267 D3 0.764 1067.490 D4 0.729 1067.525 C#2 0.849 1064.485 4.618 D5 3.477 1063.636 1061.008 TABLA 16.9 Nivelación Trigonométrica Δ ʘ Dist. Áng. Vertical Hi Ho D1 Cota ʘ 1061.959 D2 D2 D3 40.040 1.554 1.68 1 13.491 84 ° 36 ‘ 4 ‘’ 1.68 1063.108 2 19.889 82 ° 56 ‘ 26 ‘’ 1.68 1064.296 3 20.214 82 ° 29 ‘ 52 ‘’ 1.68 1064.495 4 13.383 82 ° 26 ‘ 57 ‘’ 1.68 1063.607 335 CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES Δ D3 D4 ʘ Dist. Áng. Vertical 5 8.810 89 ° 2‘ 6 10.204 89 ° 7 12.812 8 Hi Ho Cota 15 ‘’ 1.68 1061.981 14 ‘ 11 ‘’ 1.68 1061.969 89 ° 20 ‘ 34 ‘’ 1.68 1061.980 12.987 89 ° 22 ‘ 57 ‘’ 1.68 1061.973 9 16.481 89 ° 33 ‘ 18 ‘’ 1.68 1061.961 10 22.420 89 ° 56 ‘ 28 ‘’ 1.68 1061.856 11 11.785 89 ° 43 ‘ 40 ‘’ 1.68 1061.889 12 9.821 85 ° 15 ‘ 22 ‘’ 2.35 1061.978 D2 1067.490 D4 35.791 1.601 13 19.949 93 ° 18 ‘ 52 ‘’ 1.68 1066.256 14 15.064 91 ° 42 ‘ 3 ‘’ 1.68 1066.964 15 13.562 85 ° 45 ‘ 47 ‘’ 1.68 1068.416 16 16.466 82 ° 33 ‘ 6 ‘’ 1.68 1069.564 17 9.778 81 ° 21 ‘ 58 ‘’ 1.68 1068.896 18 8.054 81 ° 59 ‘ 15 ‘’ 1.68 1068.545 19 11.070 92 ° 53 ‘ 32 ‘’ 1.68 1066.852 20 7.244 95 ° 59 ‘ 58 ‘’ 1.68 1066.650 21 16.658 96 ° 52 ‘ 52 ‘’ 1.68 1065.401 22 12.999 99 ° 4‘ 46 ‘’ 1.68 1065.334 D3 1.68 D3 1067.525 1.487 ʘ D5 43.971 1.68 23 5.999 88 ° 11 ‘ 20 ‘’ 1.68 1067.522 24 23.187 96 ° 25 ‘ 6 ‘’ 1.68 1064.724 25 9.518 95 ° 51 ‘ 24 ‘’ 1.68 1066.356 26 16.529 96 ° 46 ‘ 13 ‘’ 1.68 1065.370 27 24.162 98 ° 30 ‘ 27 ‘’ 1.68 1063.718 28 22.433 98 ° 12 ‘ 42 ‘’ 1.68 1064.095 29 14.658 99 ° 2‘ 41 ‘’ 1.68 1064.999 30 7.381 96 ° 43 ‘ 57 ‘’ 1.68 1066.461 31 24.062 97 ° 28 ‘ 48 ‘’ 1.68 1064.173 32 18.941 95 ° 57 ‘ 46 ‘’ 1.68 1065.354 33 16.324 92 ° 7‘ 12 ‘’ 1.68 1066.728 34 17.386 88 ° 13 ‘ 7 ‘’ 1.68 1067.873 35 4.699 86 ° 2‘ 6 ‘’ 1.68 1067.658 D4 336 TOPOGRAFÍA Δ D5 ʘ Dist. Áng. Vertical 36 21.587 85 ° 39 ‘ 37 19.265 85 ° 38 11.318 39 40 Hi Ho Cota 32 ‘’ 1.68 1068.971 8‘ 6 ‘’ 1.68 1068.972 83 ° 11 ‘ 58 ‘’ 1.68 1068.682 10.459 81 ° 3‘ 29 ‘’ 1.68 1068.978 17.780 82 ° 42 ‘ 45 ‘’ 1.68 1069.606 D4 1061.008 D2 35.098 1.548 1.68 41 22.133 83 ° 13 ‘ 3 ‘’ 1.68 1063.508 42 14.342 86 ° 39 ‘ 3 ‘’ 1.68 1061.715 43 7.036 88 ° 59 ‘ 16 ‘’ 1.68 1061.000 44 15.966 87 ° 41 ‘ 59 ‘’ 1.68 1061.517 45 7.967 89 ° 6‘ 22 ‘’ 1.68 1061.000 46 14.501 86 ° 33 ‘ 27 ‘’ 1.68 1061.748 47 11.660 86 ° 53 ‘ 28 ‘’ 1.68 1061.509 48 13.771 85 ° 19 ‘ 57 ‘’ 1.68 1062.000 49 19.269 88 ° 18 ‘ 38 ‘’ 1.68 1061.444 50 17.462 89 ° 35 ‘ 32 ‘’ 1.68 1061.000 51 16.626 89 ° 34 ‘ 18 ‘’ 1.68 1061.000 52 19.389 89 ° 14 ‘ 33 ‘’ 1.68 1061.132 53 24.565 85 ° 2‘ 12 ‘’ 1.68 1063.009 ʘ D5 D5 Una vez determinadas las coordenadas y cotas de los puntos, se procede a dibujar, a escala en un papel, los puntos según sus coordenadas y se construye entre ellos una triangulación (modelo TIN), como muestra la figura 16.18. CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.18 Ubicación de los puntos por coordenadas y generación de los triángulos Sobre cada arista de cada triángulo se interpolan las cotas redondas conforme al intervalo vertical seleccionado (de acuerdo con la metodología explicada en el presente capítulo tanto para radiación como para cuadrícula), se ubican las cotas exactas interpoladas y se empalman para generar las curvas de nivel y de esta manera el MDT. El MDT se puede realizar mediante un dibujo directo sobre papel, mediante los procedimientos explicados o empleando herramientas computacionales especializadas, tales como Survey, Topo 3, Clip W, Arguis, Civil 3D. Teniendo en cuenta que la técnica de interpolación para realizar dibujo directo ha sido suficientemente explicada en las metodologías de radiación y cuadrícula, se procede a generar para este ejemplo el MDT mediante la aplicación de la Plataforma Civil de Autodesk. Lo primero es generar una superficie en la plataforma, la figura 16.19 presenta este aspecto. 337 338 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.19 Creación de la superficie en Civil 3D Fuente:Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk Los puntos para generar el modelo se pueden crear a través de un archivo de extensión csv delimitada por comas, este archivo se carga en la plataforma de civil en la paleta de toolspace-prospector-point tal como lo presenta la figura 16.20. Se define la superficie con base en los puntos cargados (figura 16.21), la figura 16.22 presenta los puntos cargados en la plataforma. FIGURA 16.20 Creación de los puntos en la plataforma Civil 3D Fuente:Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.21 Definición de la superficie por puntos en la plataforma Civil 3D Fuente: Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk FIGURA 16.22 Puntos en la plataforma Civil 3D Fuente: Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk Finalmente, se define la superficie con base en los puntos antes creados y el intervalo vertical definido, para este caso es de 0.5 m, tal como se presenta en la figura 16.23. 339 340 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.23 Modelo Digital de Terreno - MDT en la plataforma Civil 3D Fuente:Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES 16.5 Ejercicios planteados • Para la cartera de las figuras 16.24 a y 16.24 b, realizar la nivelación de la radiación trigonométrica y generar el MDT con un IV de 0.5 m. FIGURA 16.24 A Nivelación de un terreno por radiación 341 342 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.24 B Nivelación de un terreno por radiación 343 CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES • En la tabla 16.10 se presenta una cuadrícula, realizar la nivelación de la misma y generar el MDT con un IV de 0.5 m. TABLA 16.10 Nivelación de un terreno por cuadrícula Punto NORTE ESTE COTA A1 100 324.254 99 248.564 900.541 A2 100 330.458 99 254.768 903.940 A3 100 336.662 99 260.972 904.560 A4 100 342.866 99 267.176 904.561 B1 100 330.458 99 254.768 903.943 B2 100 336.662 99 260.972 906.008 B3 100 342.866 99 267.176 907.849 B4 100 349.070 99 273.380 909.564 C1 100 336.662 99 260.972 904.185 C2 100 342.866 99 267.176 906.245 C3 100 349.070 99 273.380 908.564 C4 100 355.274 99 279.584 909.540 D1 100 342.866 99 267.176 901.564 D2 100 349.070 99 273.380 904.054 D3 100 355.274 99 279.584 904.587 D4 100 361.478 99 285.788 905.002 • Las figuras 16.25 a y 16.25 b presentan la cartera de nivelación trigonométrica compuesta de un terreno, realizar la nivelación de la misma y generar el MDT con un IV de 0.5 m. 344 TOPOGRAFÍA FIGURA 16.25 A Nivelación de terrenos por puntos de quiebre CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES FIGURA 16.25 B Nivelación de terrenos por puntos de quiebre 345 C A P Í T U L O 17 MOVIMIENTO DE TIERR AS 17.1 Concepto E l cálculo de los movimientos de tierras es también llamado cubicación, es decir, la determinación de los volúmenes de tierras que se trabajan en cortes o rellenos. Básicamente se trata de asimilar estos volúmenes a una figura geométrica que sea fácilmente medible, bien por descomposición en partes o bien por integración en un modelo que la contenga, son variados los métodos que se emplean. Actualmente y dada la incidencia de la informática en todos los procesos es fácil utilizar modelos digitales y por comparación, adición o sustracción de los mismos, determinar los volúmenes. Los modelos mencionados se elaboran en soſtware comerciales Civil 3D, Pitágoras, Sufer, entre otros. En este documento se centra fundamentalmente en los métodos clásicos y elementales para resolver el cálculo, entre los cuales se tiene: • Método de perfiles consecutivos o secciones transversales. • Método de las curvas de nivel. 348 TOPOGRAFÍA 17.2 Método de perfiles consecutivos o secciones transversales Este método se basa en el levantamiento topográfico de un perfil y sus secciones transversales, desarrollados en los capítulos correspondientes en este texto. 17.2.1 Diseño de la rasante Sobre el perfil longitudinal se traza la rasante que representa el perfil de la obra terminada, es decir, los puntos representativos de la carretera, camino, etc. Esta rasante puede tener una pendiente constante o variable y, dependiendo del tipo de proyecto, puede ser un alineamiento vertical compuesto por curvas y rectas, en el caso de una vía o camino. En definitiva, la rasante representa la geometría de la obra que se realiza. En la figura 17.1, se presenta un perfil donde la línea azul representa el terreno y la roja el diseño del proyecto. FIGURA 17.1 Perfil y diseño De esta línea rasante se obtienen las cotas de proyecto o trabajo, que corresponden a las cotas de diseño proyectadas para el perfil longitudinal (línea roja del perfil), con base en las dos cotas se determina la altura de trabajo –cota del diseño menos la cota del terreno–, si el valor da negativo se debe cortar y si es positivo se debe rellenar, como se muestra en la tabla 17.1. 349 CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS TABLA 17.1 Cotas del diseño Abscisa Cota terreno Cota diseño Alt. Trabajo K0+000 2632.915 2632.915 0.000 K0+010 2634.627 2631.763 -2.864 K0+020 2632.715 2630.610 -2.105 K0+030 2627.403 2629.458 2.054 K0+040 2625.274 2628.305 3.031 K0+050 2624.433 2627.153 2.720 K0+060 2626.000 2626.000 0.000 Para calcular los movimientos de tierras es necesario contar con los perfiles transversales del eje longitudinal, puesto que sobre estos se traza la rasante transversal, apoyada en las cotas del proyecto, la cual está compuesta por un ancho de banca, es decir, el ancho del proyecto. En una carretera corresponde al ancho de los carriles, las bermas y las cunetas; en un proyecto de acueducto o alcantarillado es el ancho mínimo de excavación, el cual depende del diámetro de la tubería. En este caso la sección se cierra con líneas que unen el ancho de banca con el terreno, pueden ser verticales, ya que solo se excava, se instala la tubería y se vuelve a rellenar, o con alguna inclinación, la cual es denominada talud y está dada por estudios de suelos y geotécnicos. Regularmente para realizar estudios preliminares, sin tener estudios de suelos, se utiliza un talud en corte de 0.5:1 y en relleno de 1.5:1, donde la primera parte representa la distancia horizontal y la segunda la distancia vertical, como se observa en la figura 17.2. 350 TOPOGRAFÍA FIGURA 17.2 Sección transversal típica Los taludes son los planos laterales, generalmente inclinados y uniformes, que delimitan los volúmenes de los rellenos (terraplenes o pedraplenes) y de las excavaciones. Un talud se define por el avance horizontal que tiene por metro vertical, así un talud de medio metro horizontal, por la unidad vertical se denomina ½: 1 o talud de ½ (0.5H:1V). Un talud de metro y medio horizontal, por la unidad vertical se denomina 3/2: 1 o talud de 3/2 (1.5H:1V). FIGURA 17.3 Trazo de la rasante en la sección transversal Para calcular el volumen entre las secciones es necesario determinar el área de la sección comprendida entre la rasante y el terreno natural, como se muestra en la figura 17.4. CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS FIGURA 17.4 Área del diseño en la sección transversal 17.2.2 Cálculo del área en la sección transversal Con el desarrollo de los soſtware para trabajos topográficos, como el CAD, es muy sencillo determinar al área de la sección, sin embrago es necesario conocer los métodos manuales, los cuales son la base analítica de los modelos de soſtware. Existen dos métodos que se emplearon hace unos años cuando todo el diseño se manejaba de forma análoga, a saber, el cálculo por planímetro polar o digital y el cálculo por figuras geométricas. En este momento los más utilizados son el método de cálculo por coordenadas y el método por cartera de chaflanes o regla de cruces. A continuación se describirá cada uno de los métodos. Método de cartera de chaflanes o regla de cruces El chaflán es la localización del punto donde se intercepta el terreno con el diseño, el método consiste en determinar las distancias desde el eje y las diferencias de altura desde la cota del proyecto a los puntos de la sección transversal. • Lo primero que se determina es la cantidad de puntos que componen la sección, como se muestra en la figura 17.5. 351 352 TOPOGRAFÍA FIGURA 17.5 Puntos de la sección transversal • Después se determinan las distancias y las diferencias de altura a partir del punto 0 (cota del proyecto), como se muestra en la figura 17.6 FIGURA 17.6 Área por método de cartera de chaflanes • Con base en esta información se arma la cartera, como se muestra en la tabla 17.2. 353 CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS TABLA 17.2 Datos para el área por método de cartera de chaflanes Izquierdas PUNTO Eje Derechas 3 2 1 4 5 6 0.00 2.17 2.15 1.43 1.43 0.00 1.50 2.58 0.00 2.11 2.20 1.50 • Los puntos 2 y 5 son los chaflanes y los puntos 3 y 6 son los cierres de la banca. • El método consiste en obtener la sumatoria de las multiplicaciones de los valores en diagonal, como se muestra en la figura 17.7. FIGURA 17.7 Multiplicaciones de la regla de cruces TABLA 17.3 Cálculo del área por método de cartera de chaflanes Concepto Dato Sumatoria 1 18.630 Sumatoria 2 3.017 2 Área (m ) 7.806 Esta metodología aplica si la sección es totalmente en corte o relleno, si es una sección mixta se determina de la siguiente manera: • Al igual que en el caso anterior, se identifican los puntos (figura 17.8). 354 TOPOGRAFÍA FIGURA 17.8 Puntos sección transversal mixta • Los puntos 2, 3, 4 y 5 corresponden al área de corte y los puntos 0, 2, 1, 6, 7, 8 y 9 corresponde al área de relleno. De la misma manera se miden las distancias y las diferencias de altura a partir del punto 0, como se muestra en la figura 17.9 FIGURA 17.9 Área por método de cartera de chaflanes. Sección mixta • Con base en esta información se arma la cartera, como se muestra en la tabla 17.4. 355 CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS TABLA 17.4 Datos para el área por método de cartera de chaflanes. Sección mixta IZQUIERDAS PUNTO EJE DERECHAS 5 4 3 2 1 6 7 8 9 0 y4 y3 0 y1 y6 y7 y8 0 d5 d4 d3 d2 0 d6 d7 d8 d9 • Los puntos 4 y 8 son los chaflanes, 5 y 9 son los cierres de la banca y 2 es el punto de cambio de corte a relleno. • El método consiste en obtener la sumatoria de las multiplicaciones de los valores en diagonal, como se muestra en la figura 17.10. • Se aplica la misma fórmula, teniendo en cuenta que debe aplicarse a cada una de las áreas (la de corte y la de relleno). FIGURA 17.10 Multiplicaciones de la regla de cruces 356 TOPOGRAFÍA Método de coordenadas Es la misma metodología del cálculo de áreas por coordenadas cartesianas (norte y este), con la diferencia de que se coloca el origen cartesiano en el punto 0 (cota del proyecto), como se muestra en la figura 17.11. FIGURA 17.11 Origen cartesiano Donde la Y (diferencia de altura) es positiva hacia arriba de la rasante y negativa hacia abajo, y la X (distancia) es positiva a la derecha de eje y negativa hacia la izquierda. Según los datos de la figura 17.6, la cartera de coordenadas quedaría como se presenta en la tabla 17.5. TABLA 17.5 Coordenadas de los puntos de la sección PUNTO Y X 0 0.00 0.00 3 0.00 -1.50 2 2.17 -2.58 1 2.15 0.00 4 1.43 2.11 5 1.43 2.20 6 0.00 1.50 0 0.00 0.00 El método consiste, igual que el anterior, en obtener la sumatoria de las multiplicaciones de los valores en diagonal (figura 17.12). CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS FIGURA 17.12 Multiplicaciones de coordenadas El área se determina con la misma fórmula del área de regla de cruces. Este método es aplicado tanto para las secciones simples como para las mixtas, recordando que para las mixtas hay que calcular de forma separada el área de corte y de relleno. TABLA 17.6 Cálculo del área por método de coordenadas Sumatoria Dato 9.8275 -5.7847 Área (m2) 7.8061 Este mismo valor de área se puede determinar si se tiene el dibujo en CAD con el comando área, como se muestra en la figura 17.13. FIGURA 17.13 Área en CAD 357 358 TOPOGRAFÍA 17.2.3 Cálculo de la cubicación Una vez se han calculado las áreas de las secciones transversales se procede a calcular el volumen correspondiente entre ellas. Para calcular el volumen hay que suponer que en cada par de secciones transversales consecutivas existe un sólido geométrico compuesto de elementos conocidos o identificables, como se muestra en la figura 17.14. FIGURA 17.14 Sólido entre secciones transversales Tales sólidos pueden ser: 1. Prismoide Sólido limitado en los extremos por las caras laterales correspondientes a las secciones transversales y lateralmente por los planos de los taludes, el plano de la banca y la superficie del terreno natural, como se muestra en la figura 17.15. El volumen del prismoide es: V = (L / 6) (A1 + A2 + 4Am) Donde: L » A1 = Longitud entre secciones, resta de abscisas. = Área de la sección 1. A2 » Am = Área de la sección 2. = Área media entre secciones. » » Suponiendo que el área media es: Am = (A1 + A2) / 2 CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS La fórmula para el cálculo del volumen de un prismoide es: V = L * ((A1 + A2) / 2) FIGURA 17.15 Prismoide en corte La fórmula se aplica para secciones completas de corte (figura 17.15) o en relleno (figura 17.16). FIGURA 17.16 Prismoide en relleno 359 360 TOPOGRAFÍA 2. Piramoide Cuando se pasa de una sección completa de corte a una mixta, se forma una figura que tiene base o área en la sección transversal (A) y termina en punta, como se muestra en la figura 17.17. Esta figura se asemeja a una pirámide, por lo tanto su volumen se determina con la fórmula: V = (A * L) / 3 FIGURA 17.17 Piramoide 3. Tronco de piramoide Cuando se pasa de una sección completa de corte a una mixta o de una mixta a otra mixta, se forma una figura que en las dos secciones tiene área no total sino parcial en la sección, por lo tanto se determina como un tronco de pirámide, como se muestra en la figura 17.18. El volumen de este sólido se determina con la fórmula: V = (L / 3) * (A1 + A2 + √(A1 * A2)) CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS FIGURA 17.18 Tronco de piramoide Generalmente en las secciones si no son las dos en corte o relleno, se pasa de una de corte a una mixta y luego a una de relleno, por ello, para determinar el volumen se aplican las fórmulas anteriores combinándolas de acuerdo al sólido que se forme. En casos especiales, se forma un sólido diferente, cuando una sección es de corte y la otra de relleno, como se observa en la figura 17.19, de modo que no es posible aplicar directamente ninguno de los sólidos anteriormente descritos. Para calcular el volumen es necesario determinar el cero longitudinal, o sea, descomponer la longitud total en una longitud de corte o una de relleno. Estas longitudes se establecen recurriendo a la longitud total y a las diferencias entre la cota de terreno y la cota de diseño en cada sección, también llamada altura de trabajo, en la figura 17.19 son las líneas Yc y Yr. 361 362 TOPOGRAFÍA FIGURA 17.19 Sección especial Las fórmulas para determinar estas distancias son: • Longitud de corte: Lc = (L * Yc) / (Yc + Yr) • Longitud de relleno: Lr = (L * Yr) / (Yc + Yr) Con base en estas longitudes, se calcula el volumen de corte y relleno como una cuña: V = (A * L) / 2 Ejemplo de cálculo de la cubicación Se tienen las siguientes secciones transversales (figura 17.20): 363 CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS FIGURA 17.20 Volumen en secciones. Ejemplo Las áreas de las secciones se presentan en la tabla 17.7. TABLA 17.7 Áreas de las secciones. Ejemplo Área (M2) Abscisa Corte K0+040 6.231 K0+030 5.164 K0+020 Altura Relleno Trabajo 0.576 4.681 0.311 7.985 1.185 K0+010 6.994 1.335 K0+000 9.415 1.621 Con base en las áreas, el cálculo del volumen se presenta en la tabla 17.8. 364 TOPOGRAFÍA TABLA 17.8 Cálculo del volumen. Ejemplo Área (M2) Abscisa Corte K0+040 6.231 K0+030 5.164 K0+020 K0+010 Altura Relleno Corte Relleno 56.892 15.603 17.213 62.599 18.526 18.774 0.576 4.681 7.985 6.994 Trabajo Volumen (M3) 0.311 1.185 1.335 82.045 K0+000 9.415 1.621 TOTAL 174.676 Lc 5.298 Lr 4.702 96.977 Entre K0+000 y K0+010 se aplica la fórmula: V = L ((A1 + A2) / 2) Entre K0+010 y K0+020 se aplican las fórmulas para determinar la longitud de corte y relleno: Lc = (L * Yc) / (Yc + Yr) Lr = (L * Yr) / (Yc + Yr) Con base en estas longitudes, se calcula el volumen como una cuña, usando la fórmula: V = (A * L) / 2 Entre K0+020 y K0+030 se aplican el piramoide, para determinar el volumen de corte, y el tronco de piramoide, para determinar el volumen de relleno. V = (A * L) / 3 Entre el K0+030 y K0+040, al igual que en el caso anterior, pero el piramoide para el volumen de relleno y el tronco de piramoide para el de corte. CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS 17.3 Método de las curvas de nivel Este método es utilizado para determinar volúmenes de zonas de explanación, aunque se puede aplicar también a otro tipo de proyectos. Consiste en determinar el área entre curvas de nivel y el límite del proyecto, tal como se muestra en la figura 17.21, y multiplicarla por la altura promedio, la cual se halla restando la cota de cada curva de la cota del proyecto. FIGURA 17.21 Área entre curvas de nivel Para visualizar de mejor manera las alturas, es conveniente realizar un perfil entre los puntos de mayor diferencia de nivel y demarcar la cota del proyecto, como se muestra en la figura 17.22. FIGURA 17.22 Perfil de la zona de proyecto 365 366 TOPOGRAFÍA Sobre el perfil se traza la línea de proyecto, para el ejemplo es la cota 55.000, con la cual se pueden diferenciar la zona de corte y la de relleno, como se muestra en la figura 17.23. FIGURA 17.23 Zonas de corte y relleno 367 CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS Para determinar el volumen, lo primero es calcular las áreas entre las curvas (A1, A2, A3, A4 y A5) en las gráficas, las cuales se pueden determinar con cualquiera de los métodos manuales o con soſtware conocidos, estas áreas se presentan en la tabla 17.9. TABLA 17.9 Áreas entre las curvas de nivel Número Curva De Nivel Área 52.000 A1 2.150 53.000 A2 19.761 54.000 A3 25.599 55.000 A4 15.448 56.000 A5 2.676 57.000 Con base en la cota de proyecto, se calculan las diferencias de altura de cada curva y se determina la altura promedio, separando corte y relleno; el resultado se presenta en las tablas 17.10 y 17.11. TABLA 17.10 Cálculo de las diferencias de altura. Relleno Número Curva de Nivel Área 52.000 A1 Cota Proyecto Diferencia de altura 55.000 3.000 2.150 53.000 A2 2.500 55.000 2.000 19.761 54.000 A3 1.500 55.000 1.000 25.599 55.000 Dif. Alt. Promedio 0.500 55.000 0.000 368 TOPOGRAFÍA TABLA 17.11 Cálculo de las diferencias de altura. Corte Curva de nivel Número Área Cota proyecto Diferencia de altura 55.000 0.000 55.000 A4 Dif. Alt. Promedio 15.448 0.500 56.000 55.000 A5 1.000 2.676 1.500 57.000 55.000 2.000 El volumen es la diferencia de altura promedio por el área entre las curvas de nivel, este volumen se calcula, como ya se ha mencionado, de forma separada. El volumen final se presenta en las tablas 17.12 y 17.13. TABLA 17.12 Cálculo volumen de relleno Número Curva de nivel Área Dif. Alt. Promedio Volumen 2.150 2.500 5.375 19.761 1.500 29.642 25.599 0.500 12.800 TOTAL 47.816 52.000 A1 53.000 A2 54.000 A3 55.000 TABLA 17.13 Cálculo volumen de corte Número Curva de nivel Área Dif. Alt. Promedio Dif. Alt. Promedio 15.448 0.500 7.724 2.676 1.500 4.014 TOTAL 11.738 55.000 A4 56.000 A5 57.000 C A P Í T U L O 18 PLANOS T O P O G RÁ F I C O S L os planos topográficos se utilizan para la representación gráfica de superficies terrestres con sus accidentes y obras civiles que puedan encontrarse. Existen básicamente dos tipos de mapas topográficos: • Planimétrico: representa dos dimensiones (X, Y) de los elementos naturales y artificiales de un terreno. Este tipo de plano se utiliza cuando únicamente se necesita conocer la ubicación y/o forma de los elementos que se encuentran en el terreno. • Altimétrico: representa el relieve del terreno o dimensión (Z) por medio de las curvas de nivel. Este tipo de planos se utiliza para analizar diferencias de nivel y posibles movimientos de tierra en el desarrollo de un proyecto de infraestructura. La elaboración de planos topográficos se realiza teniendo como base las coordenadas de los puntos o detalles de un levantamiento. Estas pueden ser polares (ángulos y distancias con respecto a un punto de base o referencia) o rectangulares (norte y este). Aunque actualmente existen varios programas de computador que permiten realizar planos topográficos más completos y con excelente rendimiento, es importante que la comunidad académica conozca los procesos manuales de elaboración de planos y, de esta manera, puedan validar y verificar que los resultados de cualquier soſtware sean correctos. 370 TOPOGRAFÍA En proyectos lineales, los planos topográficos comprenden la representación de la planta con sus respectivas curvas de nivel, perfiles longitudinales y perfiles transversales o secciones transversales según corresponda. En el texto AutoCAD para Topografía y vías (de los mismos autores y publicado por ECOE Ediciones) se explica detalladamente el proceso de escala y presentación de los tipos de planos mencionados. Para la elaboración de los planos topográficos se deben definir varios aspectos como son: • Formato del plano: tamaño del papel y distribución y contenido del rótulo correspondiente. Regularmente cada entidad o empresa contratante establece los tipos de formato que se deben utilizar para la elaboración de los respectivos planos según el tipo de proyecto que se esté desarrollando. Existen básicamente dos sistemas para trabajar los tipos de formatos: el sistema ASA y el sistema DIN. » El sistema ASA tiene como base el tamaño de pliego (100 cm * 70 cm), sus derivaciones se presentan en la tabla 18.1. Es importante anotar que entre más grande sea el tamaño del formato, a mayor escala se podrá representar el terreno y/o construcción. Regularmente para planos topográficos se utilizan el pliego y el medio pliego. En las figuras 18.1 y 18.2 se presentan los formatos de pliego y de medio pliego. TABLA 18.1 Derivaciones de un pliego Formato Tamaño (cm) 1 pliego 100 * 70 ½ pliego 70 * 50 ¼ de pliego 50 *035 1/8 de pliego 35 * 25 CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS FIGURA 18.1 Formato pliego (medidas en milímetros) FIGURA 18.2 Formato medio pliego (medidas en milímetros) 371 372 TOPOGRAFÍA » El sistema DIN define sus magnitudes de ancho y alto de acuerdo al formato A0 y de este se derivan los otros formatos, tal como se presenta en la tabla 18.2. En las figuras 18.3 y 18.4 se presentan los formatos A1 y A2. TABLA 18.2 Formatos DIN Formato Área (m) Dimensiones (mm) Margen izq. Margen der. A0 1 841 * 1189 30 mm 10 mm A1 ½ 594 * 841 30 mm 10 mm A2 1/4 420 * 594 30 mm 10 mm A3 1/8 297 * 420 25 mm 5 mm A4 1/16 210 * 297 25 mm 5 mm A5 1/32 148 *210 25 mm 5 mm FIGURA 18.3 Formato A1 (medidas en milímetros) CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS FIGURA 18.4 Formato A2 (medidas en milímetros) • Escalas: regularmente el tamaño del terreno es de proporciones muchísimo mayores que el tamaño del formato o del papel, por ello se debe establecer una relación entre dichos tamaños, tal relación se denomina escala. Una escala 1:100 significa que cualquier medida del terreno es 1000 veces más grande que su medida homologa en el plano. La escala para los planos topográficos la define la entidad o persona contratante del proyecto, pero debe ser lo suficientemente grande para que se puedan percibir adecuadamente todos y cada uno de los elementos que se representarán en el plano. Lógicamente entre más grande sea la escala mucho mejor. Para calcular la escala, se debe dividir el tamaño del terreno entre el tamaño del papel. En las dos direcciones Norte y Este, frente al ancho y al alto del formato. En la elaboración de planos topográficos planimétricos regularmente se utilizan las siguientes escalas: 1:50, 1:100, 1:500, 1:1.000, 1:2.000, 1:5.000, 1:10000 y 1:20000; los perfiles longitudinales, a escalas 1: 500 o 1:1000; y los planos de secciones transversales se deben realizar a escala 1:100 o 1: 200. En la tabla 18.3 se presentan las equivalencias de medidas sobre el plano para cada una de las escalas recomendadas. 373 TOPOGRAFÍA 374 so r te m 1.0 so r te m 2.0 so r te m 5.0 o r tem 1 so r te m 2 so r te m 5 so r te m 01 so r te m 02 so r te m 1 so r te m 2 so r te m 5 so r te m 01 so r te m 02 so r te m 05 so r te m 001 so r te m 002 s o r te m 05 so r te m 001 so r te m 002 so r te m 005 so r te m 0001 so r te m 0002 so r te m 0005 so r te m 00001 so r te m 00002 05: 001: 002: 005: 0001: 0002: 0005: 00001: 00002: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 SAÑEUQEP SANAIDEM SEDNARG sadadnemocer sacfiárgopot salacsE so r te m 5.0 a elaviuqe ortemítneC 1 a elaviuqe orteM 1 so r te m 50.0 a elaviuqe ortemíliM 1 onerret ed sadidem ne aicnelaviuqe /onalp le ne sadideM sacfiár go po t salacse sal ed saicnelaviuqE 3 .81 ALBAT CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS 18.1 Información en planos topográficos A continuación se relacionan los elementos necesarios que debe contener un plano topográfico: • Rótulo: contiene el título del plano, entidad contratante o a quien se presenta el plano, entidad que elabora o presenta el plano, fecha de elaboración, el valor numérico de la escala y, en caso de que el proyecto tenga varios planos, especifica cuál es el plano en mención. • Grilla de coordenadas: se hace de 10 centímetros por 10 centímetros según la escala de ploteo del plano. Por ejemplo, si el plano es escala 1:100 la grilla de coordenadas debe ser de 100 metros por 100 metros; tal como se presenta en la figura 18.5. Es indispensable que todo plano topográfico presente la grilla o cuadrícula de coordenadas. FIGURA 18.5 Grilla de coordenadas • Cuadrícula de abscisas y cotas: los planos de perfiles longitudinales deben tener la cuadrícula donde se relacionen las cotas y abscisas del respectivo perfil, se recomienda que cuando se ploteé el plano, según la escala, la cuadrícula menor sea de 1 centímetro y la mayor sea de 5 centímetros. La cuadrícula mayor se dibuja de un color más oscuro y en esta es donde se colocan los valores correspondientes de cotas y abscisas, tal como se presenta en la figura 18.6. 375 376 TOPOGRAFÍA FIGURA 18.6 Cuadrícula perfil longitudinal • Distancias al eje y cotas: los planos de secciones transversales deben tener la cuadrícula en todas y cada una de las secciones, donde se relacionen las cotas y distancias al eje, se recomienda que cuando se imprima el plano, según la escala, la cuadrícula menor sea de 1 centímetro y la mayor sea de 5 centímetros. La cuadrícula mayor se debe dibujar de un color más oscuro y en esta es donde se relacionan los valores correspondientes de cotas y distancias al eje, ver figura 18.7. CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS FIGURA 18.7 Cuadrícula secciones transversales • Norte: tal como se percibe en la parte superior derecha de la figura 18.8, el tamaño de la norte debe estar entre 2 y 4 centímetros, según la escala de impresión. Es indispensable que en la planta de los planos topográficos se dibuje la norte y se indique su respectiva dirección. FIGURA 18.8 Norte dibujada en la planta de un plano topográfico 377 378 TOPOGRAFÍA • Escala numérica y gráfica: en el rótulo se debe relacionar numéricamente la escala o escalas del plano, igualmente, con el propósito de medir distancias en el plano y no tener que realizar multiplicaciones o divisiones que puedan conducir a errores, se deben dibujar las escalas gráficas. Rectas divididas en partes iguales anotando en cada una, a partir del cero, la magnitud equivalente en el terreno, la longitud de estos segmentos se elige de modo que quede expresada por un número sencillo. Para utilizar la escala gráfica se toma con un compás, en el plano, la magnitud cuya equivalencia en el terreno se quiere hallar, entonces se apoya una de las puntas del compás en la división exacta de la escala que corresponda para que la otra punta del compás caiga en la división de la izquierda del cero y así se determinan las distancias con la precisión que tenga la cabeza de escala. La escala gráfica tiene una longitud de 10 centímetros y un espesor de 4 milímetros, en la figura 18.9 se presentan algunas escalas gráficas, nótese que para escalas de múltiplos de 2, la cabeza de escala tiene divisiones de 5 mm; para múltiplos de 10, 2 mm; y para múltiplos de 5, de 2 mm. FIGURA 18.9 Escalas gráficas • Convenciones topográficas: esquemas que se realizan de los diferentes elementos que se localizan en un plano topográfico con el objeto de que se puedan identificar sin necesidad de colocar el texto que lo identifique aunque no existe ninguna especificación para la elaboración de convenciones es importante que representen adecuadamente cada elemento según CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS corresponda. A continuación se presentan algunas convenciones que generalmente se usan en la elaboración de planos topográficos. FIGURA 18.10 A Convenciones topográficas FIGURA 18.10 B Convenciones topográficas 379 380 TOPOGRAFÍA • Textos: el tamaño del texto depende de la jerarquía o importancia que se necesite darle al elemento o descripción del texto correspondiente, se aconseja que el tamaño de los textos no sea mayor a 2.5 milímetros ni menor a 1.5 centímetros. El estilo de letra no está estandarizado. 18.2 Elaboración de planos correspondientes a levantamientos topográficos Si se realizó el levantamiento por cinta o por brújula y cinta, el plano se elabora usando la misma metodología utilizada en el proceso de campo y los mismos cálculos. Primero se dibuja el polígono y luego los detalles, para lo cual se utilizan líneas rectas, líneas curvas, círculos, triángulos, polígonos, perpendiculares; todo según corresponda a los elementos que representará el plano. Si se realizó un levantamiento por coordenadas, radiación, doble radiación y/o poligonal, se deben tener las coordenadas Norte y Este que contenga la totalidad de los puntos o detalles de los elementos encontrados en el levantamiento topográfico. Luego se realiza el análisis preliminar para estimar cuántos metros cubre el plano en las direcciones Norte y cuántos en las direcciones Este para así determinar el formato, la escala y la orientación del papel. El plano se dibuja ubicando las coordenadas de cada punto o detalle del levantamiento, proceso que se explica detalladamente en el libro Planimetría (de los mismo autores, publicado por Ecoe Ediciones – Universidad Distrital). BIBLIOGRAFÍA Botia, Rincón y Vargas (2011). Altimetria. Bogotá: Universidad Distrital. IGAC (2002). El Uso de Mapas y Fotografías Aéreas. González, Rincón y Vargas (2012). Diseño geométrico de vías. Bogotá: Universidad Distrital. González, Rincón y Vargas (2011). Localización de carreteras. Bogotá: Universidad Distrital. (ONU (2013). Sistemas de Información Geográfica y Cartografía Digital, Publicación. Rincón, González y Vargas (2012). Planimetría . Bogotá: Ecoe Ediciones Universidad Distrital. Rincón, González y Vargas (2017). AutoCAD aplicado a Topografía y Vías. Bogotá: Ecoe Ediciones. Este libro fue compuesto en carácteres Minion a 11 puntos, impreso sobre papel Bond de 75 gramos y encuadernado con el método hot melt, en agosto de 2017, en Bogotá, Colombia. Incluye Explicación y desarrollo de los métodos para la realización de TOPOGRAFÍA levantamientos topográficos. Desarrollo de los diferentes métodos de ajustes de Poligonales utilizados CONCEPTOS Y APLICACIONES profesionalmenteen Colombia. Presentación de nueva metodología para levantamientos topográficos en La topografía es una ciencia que avanza a gran- obras lineales denominadas des velocidades y cada día se realizan procesos poligonales controladas en cada con una gran eficiencia y mayores precisiones; delta. los autores, como fruto de su ejercicio profesio- Desarrollo de cada tema nal, acompañado de planteamientos, investigativo y docente, presentan los ejemplos prácticos y ejercicios para conceptos actualizados y las aplicaciones de la que sean desarrollados como topografía en el desarrollo de obras civiles. complemento. Esta obra explica detalladamente los conceptos principales del área de topografía y las diferentes metodologías para la realización de proyectos, abordando de manera clara y precisa las temáticas de planimetría, altimetría y su combi- Mario Artu ro Rincó n Villalba Tecnólogo en topograf ía, Ingeniero Topográfico y Especialista en Ambiente y Desarrollo local de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Magister en Construcción de obras viales de la Universidad Santo Tomás. Docente del programa nación en la generación de modelos digitales de terreno y planos topográficos. curricular de Ingeniería Topográfica de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Wilson Ernesto Vargas Vargas Dirigido a estudiantes, docentes y profesionales en Ingeniería que tengan relación con el campo de la topografía y su aplicación a proyectos de Tecnólogo en topograf ía, Ingeniero Topográfico y Especialista en Gerencia de Recurso s Naturales de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Magister en Ingeniería – Transporte de la infraestructura. Universidad Nacio nal de Colombia. Docente de las Colección: Ingeniería y salud en el trabajo Área: Ingeniería civil universidades Distrital Francisco José de Caldas y Nacio nal de Co lo mbia. Carlos Javier Go nzález Vergara Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Especialista en Inf raestructura Vial y de Transporte de la Universidad de Los Andes, Magister en Ingeniería Civil de la Pontificia Universidad Javeriana. Docente de las universidades Distrital Francisco José de Caldas y Nacio nal de Co lo mbia. ISBN 978-958-771-506-4 9 789587 715064 www.ecoeediciones.com e-ISBN 978-958-771-507-1
