Introducción a la Lógica Introducción a la Lógica Freddy Narváez Jeria Primera Edición: Septiembre de 2009 Tiraje: 1000 ejemplares Autor: Freddy Narváez Jeria Diseño: Santiago Narváez Arroyo ISBN-978-9942-02-534-0 Derecho de autor No. 031856 Prohibida la reproducción parcial o total sin la autorización del autor Mi más sincero agradecimiento por su apoyo brindado a las siguientes personas: Dr. Iván Amaguaña Dr. Diego Saltos Lic. Marina Campaña Lic. Rodrigo Morales Lic. Patricia Grijalva Sr. Fabián Jácome Impresión: Artes Gráficas SILVA 2551-236 Septiembre de 2009 Quito - Ecuador INTRODUCC La lógica ha sido definida a menudo como la ciencia de las leyes del pensamiento. Pero esta definición, aunque ofrece un indicio acerca de la naturaleza lógica, no es exacta. En primer lugar, el pensamiento es uno de los procesos estudiados por los psicólogos. La lógica no puede ser “la” ciencia de las leyes del pensamiento porque también la psicología es una ciencia que trata de las leyes del pensamiento (entre otras cosas). Y la lógica no es una rama de la psicología: es un campo de estudio separado y distinto. En segundo lugar, si “pensamiento” es cualquier proceso mental que se produce en la mente de las personas, no todo pensamiento es un objeto de estudio para el lógico. Todo razonamiento es pensamiento, pero no todo pensamiento es razonamiento. Por ejemplo, es posible “pensar” en un número entre uno y diez, como los juegos de salón, sin elaborar ningún “razonamiento” acerca de él. Hay muchos procesos mentales o tipos de pensamientos que son diferentes del razonamiento. Es posible recordar algo, o imaginarlo o lamentarlo, sin razonar sobre ello. La distinción entre el razonamiento correcto y el incorrecto es el problema central que debe tratar la lógica. Los métodos y las técnicas del lógico han sido desarrollados esencialmente con el propósito de aclarar esta distinción. El lógico se interesa por todos los razonamientos, sin tomar en cuenta su contenido, pero solamente desde este especial punto de vista. Con amor a mi esposa Lucía, y con todo cariño a mis hijos Santiago, Natalia y Andrés Indice Parte Capítulo 1 1. Ciencia 1.1. El conocimiento y la 13 El conocimiento 13 1.1.1. Formas de conocimiento 13 1.1.2. Niveles de conocimiento 14 1.2. La ciencia 14 1.2.1. Características de la ciencia 14 1.2.2. Teoría del objeto según Alexius Von Meinong 14 1.2.3. Clasificación de la ciencia según Mario Bunge 15 1.2.4. La lógica y la matemática como ciencias formales 16 Capítulo 2 2. El concepto 17 2.1. Definición 17 2.1.1. El concepto como unidad de significación 17 2.1.2. El concepto y la idea 18 2.1.3. El término 18 2.1.4. Las propiedades lógicas del concepto 18 2.1.5. Relación entre comprensión y extensión de conceptos 18 2.1.6. Clasificación de los conceptos 18 Capítulo 3 3. El juicio y la proposición 21 3.1. El juicio 21 3.2. La proposición 22 3.2.1. Proposiciones categóricas y clases 22 3.2.2. Cualidad y cantidad 24 3.2.3. Las proposiciones categóricas y los diagramas de Venn 24 3.2.4. Representación de proposiciones categóricas mediante diagramas de Venn 24 3.2.5. Representación gráfica de “Todo S es P” 25 3.2.6. Representación gráfica de “Ningún S es P” 26 3.2.7. Representación gráfica de “Algún S es P” 26 3.2.8. Representación gráfica de “Algún S no es P” 27 Capítulo 4 4. El razonamiento y el silogismo 29 4.1. El razonamiento 29 4.1.1. Deducción e Inducción 29 4.1.2. Razonamientos Deductivos 29 4.1.3. Razonamientos Inductivos 29 4.2. Inferencia 30 4.2.1. Clases de Inferencias 30 4.2.2. Inferencia mediata 30 4.2.3. Inferencia inmediata 30 4.2.3.1. Inferencia inmediata por conversión 30 4.2.3.2. Inferencia inmediata por oposición 30 4.3. El silogismo 31 4.3.1. El silogismo categórico 31 4.3.2. Término mayor, Término medio y Término menor 31 4.3.3. Premisa mayor, Premisa menor y conclusión 32 4.4. Reglas del silogismo 32 4.4.1. Reglas de los Términos 32 4.4.2. Reglas de las premisas 33 4.5. Formas del silogismo categórico 34 4.5.1. Reglas especiales de las figuras 35 4.5.2. Modos del silogismo 35 4.5.3. Modos válidos del silogismo 35 4.5.4. Nomenclatura de los modos 36 4.5.5. Combinación de las figuras y los modos 36 4.6. Técnica de los diagramas de Venn para verificar silogismos 38 4.7. Ejercicios resueltos 40 4.8. Silogismos Irregulares 43 4.9. Problemas en los cuales se aplica la inferencia lógica 45 4.9.1. Orden de información 45 4.9.2. Ordenamiento circular 47 4.9.3. Relaciones de datos 49 4.9.4 Problemas con monedas y vasos 50 Capítulo 5 5. Lógica Proposicional 53 5.1. Definición 53 5.1.1. Notación de las proposiciones 54 5.1.2. Valor de verdad 54 5.1.3. Clases de proposiciones 54 5.1.4. Tablas de verdad 55 5.1.5. Principio de Contradicción 55 5.1.6. Principio del Tercero Excluído 55 5.1.7. Número de renglones en una tabla de verdad 56 5.2. Conectivos lógicos 56 5.2.1. La Negación 56 5.2.2. La Conjunción 57 5.2.3. Disyunción Inclusiva 57 5.2.4. Disyunción Exclusiva 58 5.2.5. La Implicación 58 5.2.6. La Equivalencia 60 5.3. Proposiciones Complejas 61 5.4. Tautologías, Contradicciones y Contingencias 62 5.4.1. Tautologías 63 5.4.2. Contradicciones 63 5.4.3. Contingencias 63 5.5. Proposiciones equivalentes 64 5.5.1. Equivalencias lógicas 65 5.5.2. Equivalencias lógicas relacionadas con implicaciones 66 5.5.3. Equivalencias lógicas relacionadas con bicondicionales 66 5.6. Argumentos 66 5.6.1. Argumentos válidos 67 5.6.2. Reglas de inferencia 67 5.6.3. Análisis de argumentos mediante tablas de verdad 68 Segunda Parte Tests de aptitud 71 Capítulo 6 6. Razonamiento Matemático 73 6.1. Sucesiones 73 6.1.1. Sucesiones Numéricas 73 6.1.2. Sucesiones Aritméticas 74 6.1.3. Sucesiones Geométricas 75 6.1.4. Sucesiones Combinadas y Alternadas 76 6.1.5. Sucesiones Diversas 77 6.1.6. Ejercicios resueltos 79 6.1.7. Sucesiones literales 89 6.2. Inferencias Numéricas 91 6.2.1. Analogías Numéricas 91 6.2.2. Distribuciones Numéricas 93 Capítulo 7 7. Dados 103 7.1. Ejercicio con dados 104 7.2. Ejercicios propuestos 104 Capítulo 8 8. Dominó 107 8.1. Ejercicios resueltos 108 Capítulo 9 9. Razonamiento Abstracto 113 9.1. Sucesiones gráficas 113 9.1.1. Ejercicios resueltos 113 9.2. Matríces de figuras 128 9.3. Analogía de figuras 139 Capítulo 10 10. Construcción de figuras 147 10.1. Ejercicios propuestos 148 10.2. Ejercicios 154 Capítulo 11 11. Razonamiento Verbal 157 11.1. Introducción 157 11.2. Categorías Gramaticales 158 11.3. Tipos de categoría gramatical 158 11.4. Sinónimos 158 11.5. Antónimos 160 11.6. Los Términos Excluídos 162 11.7. Analogías 163 11.7.1. Tres formas de preguntas de analogía 165 11.7.2. Principales relaciones analógicas 166 Capítulo 12 12. Estrategias de enseñanza y aprendizaje a través de Organizadores Gráficos 173 12.1. Mapa conceptual 173 12.1.1. Elementos de un mapa conceptual 173 12.1.2. Conceptos 173 12.1.3. Palabras enlace 174 12.1.4. Proposición 174 12.1.5. Construcción del mapa conceptual 175 12.2. Línea de Tiempo 176 12.3. Hipertexto 177 12.4. Mapas cognitivos 177 12.4.1. Mapa cognitivo tipo sol 178 12.4.2. Mapa cognitivo de telaraña 179 12.4.3. Mapa cognitivo de aspectos comunes 179 12.4.4. Mapa cognitivo de secuencias 180 12.4.5. Mapa cognitivo de escalones 181 12.4.6. Mapa cognitivo de arco iris 182 12.4.7. Mapa cognitivo de cajas 183 12.4.8. Mapa cognitivo de ciclos 184 12.4.9. Mapa cognitivo tipo satélites 184 12.5. Correlaciones 185 Capítulo 1 El Conocimiento y La Ciencia 1.1. El Conocimiento Conocer es una actividad por medio de la cual el hombre adquiere certeza de la realidad, y que se manifiesta como un conjunto de representaciones sobre las cuales tenemos seguridad que son verdaderas. Todo conocimiento es forzosamente una relación en la cual aparecen dos elementos relacionados entre sí; uno cognoscente, llamado sujeto, y otro conocido, llamado objeto. Por lo tanto, de acuerdo con las bases que aporta la lógica, el conocimiento humano consta de tres elementos: el sujeto cognoscente, el objeto conocido y la operación misma entre los elementos descritos. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO (A partir de la relación de los conocimientos previos) Elementos Características que lo integran Sujeto También llamado cognoscente “sujeto del conocimiento” es la persona (a veces, personas o un grupo social) que capta una serie de ideas o Objeto del juicios referentes a algún aspecto de la conocimiento realidad gracias a la capacidad cognoscitiva y por cognoscitiva medio de sus observaciones, intuición y razonamiento. Operación Es la cosa o ente conocido. Operación que implica una actividad en el sujeto, la cual es la de aprehender el objeto, y la del objeto es simplemente de ser aprehendido por el sujeto. 1.1.1. Formas de conocimiento Existen dos formas en que aprehendemos un objeto: a. Un conocimiento intuitivo, que es inmediato y se da sin el concurso de razonamientos previos. Un ejemplo de este tipo de conocimiento es la percepción inmediata de un color. No necesitamos hacer una serie de razonamientos lógicos para saber que la pared que observamos es verde, o para percatarnos del dolor o la alegría que experimentamos en determinado momento. b. Un conocimiento discursivo, que es mediato, es decir, se obtiene a partir de operaciones previas, de relacionar unas proposiciones con otras, como en los razonamientos. El estudio del razonamiento constituye la parte más importante de la Lógica, ya que si la idea le interesa directamente a la Psicología y el juicio a la Teoría del Conocimiento, el razonamiento es tema que solo a la Lógica le compete. 1.1.1. Niveles de conocimiento El sujeto es quien determina la relación con el objeto, y por tanto determina la actividad de conocer, en consecuencia puede entrar en relación con el objeto de diferentes maneras, lo cual hace que la actividad de conocer fluctúe entre el conocimiento vulgar y el conocimiento científico. Bien podríamos decir que el conocimiento vulgar me lleva a ver el objeto, a entenderlo sin más, pero el conocimiento científico me lleva a ver en la realidad lo que otros no han visto, va más allá del simple ver; por tanto, el conocimiento científico se apoya en el método científico y la investigación. El hombre de ciencia observa, describe, explica y predice su objeto mediante procedimientos y métodos basados en la lógica. Un ejemplo de conocimiento vulgar es el que tiene el hombre común, que acepta el mundo tal como lo ve: el cielo es azul, el Sol es un disco que gira alrededor de la Tierra, etc. En suma: las cosas son como yo las veo. Un ejemplo de conocimiento científico es cuando sabemos que esos colores y sonidos que percibimos no son meras apariencias, sino movimientos vibratorios. 1.2. La Ciencia Seguramente conoces una o más definiciones del término ciencia, uno de los conceptos más aceptados es el que define a la ciencia como “el conjunto sistematizado (u ordenado) de conocimientos de alguna de las ramas del saber”. Según el filósofo argentino Mario Bunge, la ciencia se nos aparece como la más deslum- brante y asombrosa de las estrellas de la cultura cuando la consideramos como un bien por sí mismo, esto es, como un sistema de ideas establecidas provisionalmente (conocimiento científico), y como una actividad productora de nuevas ideas (investigación científica). Los conocimientos que integran a la ciencia se obtienen mediante el estudio y la investi- gación, y tienen características especiales: deben ser racionales, objetivos y verificables (como se explica más adelante). 1.2.1. Características de la Ciencia La ciencia se caracteriza por producir explicaciones de fenómenos y hechos. Éstas deben ser: CARACTERÍSTICAS DE LA CIENCIA Características Porque Objetiva Trata de alcanzar la verdad y describir los Racional Verificable hechos, incluso produciendo nuevos hechos para reforzar las explicaciones. Porque investiga para adquirir conocimientos y aplica la lógica para establecer las relaciones que existen entre diferentes hechos. Como los conocimientos científicos son objetivos, pueden ser verificados en cualquier momento y en cualquier parte del mundo porque la ciencia es universal. 1.2.2. Teoría del objeto según Alexius von Meinong Previo a toda clasificación de las ciencias importa saber qué son los objetos y en qué con- siste su naturaleza particular. Es necesario, pues, aclarar, mediante un análisis, el concepto de objeto. Fué el filósofo austríaco Alexius von Meinong quien formuló por primera vez una teoría del objeto. Un carácter esencial del objeto es su existencia, el hecho de “ser”, un “ente”. Pero esta existencia puede ser de dos clases: primero, la existencia real, y segundo, la existencia ideal. 15 a. Consideramos como reales a los objetos que percibimos y a los cuales atribuimos un lugar en el espacio y un momento en el tiempo. Son objetos reales, por ejemplo, una planta, un gato, una mesa, un recuerdo, una sensación. b. Concebimos, en cambio, como objetos de existencia ideal aquellos objetos cuya existencia depende del pensamiento, es decir, aquellos que son pensados por un sujeto. Estos objetos no tienen existencia propia, ni pueden ocupar un lugar en el espacio, ni ser referidos a un momento determinado del tiempo. Hay que advertir que el término “ideal” no implica aquí ninguna idea de superioridad, es decir, que no se refiere a valor o a rango. Son objetos de existencia “ideal” los objetos de la matemática pura, como los números, las figuras geométricas, etc, así como también los conceptos, los juicios de que se ocupa la lógica y los “valores” que son los objetos de la estimativa, belleza, bondad, justicia, solidaridad, etc. 1.2.3. Clasificación de la Ciencia según Mario Bunge En sus obras “La investigación Científica” y “La Ciencia, su método y su filosofía”, el filósofo argentino Mario Bunge parte del objeto de estudio de cada ciencia y presenta las ciencias formales y las fácticas, según traten las relaciones lógicas o hechos de la realidad. Ciencias Formales Ciencias Factuales Son ciencias que no se ocupan de hechos, sino de entes ideales, sus objetos son abstractos, sólo existen en la mente humana. También conocidas como ciencias fácticas, son las que estudian los hechos. Su nombre proviene de la voz latina factum que significa “lo que está hecho, realizado”, en oposición a lo eidetico, que significa “lo que es sólo idea, no está realizado”. La diferencia entre estas dos ciencias radica en lo siguiente: las ciencias factuales verifican o prueban, confrontando con los hechos, mediante experimentos, mientras que las ciencias formales demuestran conclusiones por medio de deducciones y leyes lógicas. Por ello se dice que la demostración (ciencias formales) es completa y final, mientras que la verificación (ciencias factuales) es incompleta y temporal. 1.2.4. La lógica y la Matemática como ciencias formales La lógica y la matemática tratan de entes ideales; estos entes, tanto los abstractos como los interpretados, sólo existen en la mente humana. En el mundo real encontramos 3 libros, en el mundo de la ficción construimos 3 platos voladores. ¿Pero quién vio jamás un 3, un simple 3? De la misma manera, cuando en la clase de aritmética se explica que “dos naranjas más tres naranjas suman cinco naranjas”, no se habla en sí de las naranjas, sino de la suma: “2 + 3 = 5”. En esta operación se ha abstraído o eliminado el contenido para quedarse con la forma. La aritmética, como la lógica, son disciplinas que manejan formas: sumas, símbolos, en el caso de las matemáticas; conceptos, juicios, razonamientos, símbolos lógicos (como las conectivas lógicas), en el caso de la lógica. De esta manera, tanto la lógica como la matemática son ciencias formales, de acuerdo con la naturaleza de los objetos que estudian. La lógica formal estudia nuestros pensamientos (conceptos, juicios, razonamientos) solamente desde el punto de vista de su estructura, es decir, desde el punto de vista de su forma lógica. El siguiente cuadro resume las tres operaciones mentales y sus resultantes desde el punto de vista de la lógica formal. Operación mental Simple: Medio que utiliza Forma expres La idea y el Manife 1. Operación: conocimiento externa idea m EL un sign CONCEPTO llamad (La deter“términ minación unitaria de un objeto). 2. Operación: EL JUICIO (El Afirmación A la enlace de expres conceptos, (o verdad) verbal verificado por denom Negación (o tres partes propos integrantes: lo que se habla, lo falsedad) que se dice y la unión de ambos). Complejo: 3. Operación: EL RAZONAMIENTO Inferencia (Encadenamiento de juicios y síntesis de conceptos). Argum deduct inducti Capítulo 2 El Concepto 2.1. Definición El concepto es la primera operación mental estudiada por la lógica. Mediante el concepto pensamos o aprendemos las características esenciales de un objeto. Las características esenciales son aquellas que definen al objeto y son indispensables o forzosas para que un objeto sea lo que es; en cambio, las llamadas notas accidentales o accesorias no son necesarias para que el objeto sea lo que es. Ejemplo: Concepto: silla Notas esenciales: mueble para sentarse Notas accidentales: grande, cómoda, de color blanco, de plástico Mediante el concepto pensamos un objeto sin afirmar ni negar nada de él. El concepto tiene un carácter general que no se refiere a un objeto en particular, sino a todos los existentes y posibles. Esto ocurre con los conceptos: “libro”, “lápiz”, “hombre”, “gato”, etc. Por ejemplo, el concepto “libro” envuelve o comprende a todos los libros y en eso consiste su carácter genérico: 2.1.1. El concepto como unidad de significación Otra característica del concepto consiste en que siempre se refiere a un objeto o clase de objetos, y por ello constituye una unidad de significación. Lo designado por un concepto puede ser un objeto de cualquier clase: Tipo de Ejemplo objeto Objeto real la mesa Objeto el real recuerdo psíquico Objeto el ideal número Objeto el imaginario centauro También Simón puede ser Bolívar un ser individual 2.1.2. El concepto y la idea El concepto también tiene un carácter abstracto porque en cuanto idea o representación intelectual de los objetos, no es algo tangible, no se toca, ni se siente o huele, sólo es un pensamiento captado por la mente. Por lo tanto en este texto mencionaremos al concepto y a la idea con la misma significación. 2.1.3. El término Las ideas son operaciones de la mente y, por lo tanto, solo existen en nuestro interior. Si embargo, podemos exteriorizarlas, podemos darlas a conocer a los demás. Esto se hace mediante el término oral que es una palabra o un conjunto de palabras. No debemos confundir el término en sentido lógico con la palabra en sentido gramatical. A veces son necesarias varias palabras para expresar una sola idea o concepto, y como el término es la expresión del concepto, para cada concepto hay un sólo término. El concepto “Universidad del Ecuador” es un solo concepto, es un solo término, pero para expresar gramaticalmente ese término se necesitan tres palabras. 2.1.4. Las propiedades lógicas del concepto Todo concepto, independientemente de su objeto, posee siempre dos características lógicas: comprensión y extensión. Comprensión Extensión Se llama comprensión de un concepto al conjunto de notas o propiedades que caracterizan un concepto y lo distinguen de los demás. Así por ejemplo, el concepto “hombre” está constituido por dos notas: la animalidad y la racionalidad. En virtud de estas dos notas, la idea “hombre” se caracteriza y se distingue de las demás. Se entiende por extensión a la suma o totalidad (conjunto, clase) de objetos que dicho concepto puede abarcar. Por ejemplo: el concepto “hombre” tiene una mayor extensión que el concepto “hombre americano”, ya que el primero se refiere nada menos que a todos los hombres del planeta y el segundo sólo aquellos que han nacido en el continente americano. 2.1.5. Relación entre comprensión y extensión de conceptos La comprensión y la extensión son dos elementos que están en relación inversa, y se expresan mediante la siguiente regla: “A menor comprensión corresponde mayor extensión. Y a mayor comprensión corresponde menor extensión”. Así, por ejemplo: Si tomamos la idea de “hombre”, latinoamericano, ecuatoriano, quiteño, que se llama Matías Narváez Palacios, hemos venido aumentando la comprensión “hombre”, con lo cual, en la misma proporción se viene disminuyendo la extensión porque cada vez que le aumentamos una nota a la idea “hombre”, abarcamos menos hombres, hasta llegar al individuo, el cual tiene una máxima comprensión, porque tiene muchas notas características que lo distinguen de los demás, y una mínima extensión porque no es sino uno. Y si hay un homónimo, se le agregarán otras notas características para individualizarlo aun más. 2.1.6. Clasificación de los conceptos 1. Según su comprensión a) Conceptos simples: Son los conceptos que tienen una palabra característica o nota esencial. En realidad solo habría un concepto de este tipo: el concepto de ser (también llamado “ente” o “cosa”). 19 b) Conceptos compuestos: Son aquellos que se forman a partir de otros conceptos, los cuales se unen sin un nexo necesario. Por ejemplo: Colegio Hermano Miguel. Segúnsuextensión a) Concepto Singular o Individual: Como su nombre lo indica este tipo de concepto se refiere a un ser o individuo concreto o singular, por ejemplo los conceptos: “América”, “Sócrates”, “Hermano Miguel”, “planeta Venus”, “La Segunda Guerra Mundial”. b) Conceptos Particulares: Son aquellos conceptos que se refieren a algunos elementos o individuos de una especie o clase determinada. Por ejemplo, algunos nombres, algunos carros. c) Concepto Universal: Son aquellos conceptos que se aplican a todos los componentes de una misma especie. Estos conceptos tienen una máxima extensión. Ejemplo: “hombre”, “triángulo”, “libro”. Capítulo 3 El Juicio y la Proposición 3.1. El Juicio Una vez que se haya captado la idea, se procede a una profundización del conocimiento para afirmar o negar las propiedades que poseen o carecen las cosas conocidas. A esta operación de afirmar o negar las cualidades de un objeto se le conoce como juicio. El juicio es la operación de la mente donde se comparan las ideas afirmándolas o negándolas. Por lo tanto, todo juicio puede ser: Según la cantidad: a) Individuales o singulares: Cuando se aplica a un solo individuo o ser. Por ejemplo: “Kant es filósofo”. b) Particulares: Cuando el predicado se refiere a una parte o a una clase de objetos. Por ejemplo: “Algunos hombres son filósofos”. c) Universales: Cuando el predicado se extiende a toda una clase entera de objetos. Por ejemplo: “Todos los humanos son mortales”. Según la cualidad: Se llama “cualidad” a la propiedad de afirmar o negar que tienen los juicios. a) Afirmativos: Cuando señala la compatibilidad entre el sujeto y el predicado. Por ejemplo: “La física es una ciencia”, “La casa es blanca”. b) Negativos: Cuando se establece la incompatibilidad o no correspondencia entre el sujeto y predicado. Por ejemplo, cuando decimos: “El perro no es animal acuático”, o “Los hongos no tienen clorofila”. En resumen, los juicios se clasifican: Elementos del juicio De ahora en adelante designaremos estos términos por medio de los símbolos S y P. Por ejemplo, en el siguiente juicio podemos representar los símbolos S y P respectivamente, así: “Santa Elena es una nueva provincia de Ecuador” S es P 3.2. La Proposición El juicio, como la idea, es una operación mental, que por lo tanto existe solo en nuestro interior. Pero, así como la idea la expresamos o exteriorizamos por medio del término, así tam- bién el juicio podemos exteriorizarlo y comunicarlo a los demás. Tal expresión externa del juicio es la proposición. Según la lógica tradicional, los enunciados o proposiciones que se utilizan como sinóni- mos para referirse al juicio, no son más que la expresión o vehículo que nos sirve para expresarlo. Las proposiciones son verdaderas o falsas, y en esto difieren de las preguntas, las órdenes y las exclamaciones. Sólo es posible afirmar o negar proposiciones. Una pregunta puede ser hecha, una orden darse y una exclamación pronunciarse en voz alta, pero ninguna de ellas puede ser afirmada o negada, ni se las puede juzgar como verdaderas o falsas. Por el hecho de que la proposición es la expresión de un juicio se infiere que los elemen- tos fundamentales del juicio son también los de la proposición, es decir el sujeto (S), el predi- cado o atributo (P) y la cópula o verbo que establece el enlace entre estos dos miembros. Por ejemplo: Guayaquil es el principal puerto de Ecuador. S es P Una proposición es pues una oración enunciativa. Por supuesto que hay tantas clases de proposiciones como clases de juicios; pero aquí ahora nos vamos a ocupar de la proposición categórica exclusivamente. 3.2.1. Proposiciones Categóricas y Clases Una clase es una colección de objetos que tienen alguna característica específica en común. Las clases pueden estar relacionadas entre sí de diversas maneras. Si todo miembro de una clase es también miembro de otra clase, se dice que la primera está incluida o contenida en la segunda. Si solamente algunos miembros de una clase son también miembros de otra, se dice que la primera está contenida parcialmente en la segunda. Naturalmente hay también pares de clases que no tienen ningún miembro en común, como la clase de todos los triángulos y la clase de todos los círculos. Las proposiciones categóricas afirman o niegan estas diversas relaciones entre clases. Hay cuatro formas típicas de proposiciones categóricas, que son las ejemplificadas por las cuatro proposiciones siguientes: 1. Todos los políticos son mentirosos. 2. Ningún político es mentiroso. 3. Algunos políticos son mentirosos. 4. Algunos políticos no son mentirosos. La primera es una proposición universal afirmativa. Es una aserción acerca de dos clases, la de todos los políticos y la de todos los mentirosos, y afirma que la primera clase está incluida o contenida en la segunda; esto significa que todo miembro de la primera clase es también miembro de la segunda. En este ejemplo, el término sujeto “políticos” designa la clase de todos los políticos, y el término predicado “mentiroso” designa la clase de todos los mentirosos. Toda proposición universal afirmativa puede escribirse esquemáticamente así: Todo S es P. donde las letras S y P representan el término sujeto y el término predicado, respectivamente. El segundo ejemplo Ningún político es mentiroso. es una proposición universal negativa. Niega universalmente de los políticos que sean mentiro- sos. Hace una aserción acerca de dos clases, dice que la primera clase está excluida de la segunda, totalmente, lo que equivale a decir que no hay ningún miembro de la primera que sea también miembro de la segunda. Toda proposición universal negativa puede escribirse esquemáticamente de la siguiente manera: Ningún S es P. El tercer ejemplo: Algunos políticos son mentirosos. es una proposición particular afirmativa. La interpretación literal, mínima, de esta proposición es que la clase de los políticos y la clase de los mentirosos tienen algún miembro o algunos miem- bros en común. Para mayor precisión adoptaremos aquí la interpretación mínima. Así, una proposición particular afirmativa, que se escribe esquemáticamente: Algún S es P. se interpreta como afirmando que al menos un miembro de la clase designada por el término sujeto S es también miembro de la clase designada por el término predicado P. El cuarto ejemplo: Algunos políticos no son mentirosos. es una proposición particular negativa. Este ejemplo, como el anterior, es particular en el sentido de que no se refiere a los políticos universalmente, sino solamente a algún miembro o a algunos miembros en particular de esta clase. Pero a diferencia del anterior, no afirma que los miembros particulares de la primera clase a los que se refiere estén incluidos en la segunda clase: esto es precisamente lo que se niega. Una proposición particular negativa, que se escribe esquemáticamente. Algún S no es P. afirma que al menos un miembro de la clase designada por el término sujeto S está excluido de la clase designada por el término predicado P. 3.2.2. Cualidad y Cantidad De toda proposición categórica de forma típica se dice que tiene una “cualidad” y una “cantidad”. La cualidad de una proposición es afirmativa o negativa según que la inclusión de clases (completa o parcial) sea afirmada o negada por la proposición. Así, la universal afirmativa y la particular afirmativa son ambas afirmativas en cualidad, mientras que la universal negativa y la particular negativa son ambas negativas también en cualidad. Se acostumbra usar las letras A, E, I, O como nombres de las cuatro formas típicas de proposiciones categóricas, la universal afirmativa, la universal negativa, la particular afirmativa y la particular negativa, respectivamente. El uso de las letras como nombre proviene, según se presume, de las palabras latinas “AffIrmo” y “nEgO”, o sea “afirmo” y “niego”, respectivamente. La cantidad de una proposición es universal o particular según que la proposición se refiera a todos o solamente a algunos de los miembros de la clase designada por el término sujeto. Así, las proposiciones A y E son universales en cantidad mientras que las proposiciones I y O son particulares en cantidad. El siguiente diagrama resume lo que hemos dicho: 3.2.3. Las proposiciones Categóricas y los Diagramas de Venn Con el fin de estudiar de una manera gráfica las relaciones que se establecen entre las proposiciones, el lógico y matemático inglés John Venn (1834-1923) nos proporciono sus famosos diagramas. John Venn representó al sujeto y al predicado de una proposición por medio de círculos que se intersecan. A la zona intersecada le dio el nombre de huso y a la que queda sin intersecar le llamó lúnula. Distingamos estos elementos en el siguiente diagrama: lúnula lúnula huso 3.2.4. Representación de proposiciones categóricas mediante Diagrama de Venn Podemos representar diagramáticamente las proposiciones mediante los diagramas de las clases a las cuales se refieren. Representamos una clase por un círculo rotulado con el tér- mino que designa a esa clase. Así, la clase S es representada como en el diagrama siguiente: S Éste es el diagrama de una clase, no de una proposición. Simplemente representa a la clase S, pero no hace ninguna afirmación acerca de ella. Para diagramar la proposición que afirme la ausencia de miembros en S, o sea que no hay ningún S, sombreamos todo el interior del círculo que representa a S, indicando de esta manera que no contiene nada, que está vacío. S Para diagramar la proposición que afirme la existencia de S, a la que interpretamos como afirmando que hay al menos un miembro de S, colocamos una x en el interior del círculo que representa a S, indicando de esta manera que hay algo en su interior, que no está vacío. S x Para diagramar una proposición categórica de forma típica se requieren dos círculos en vez de uno. El esqueleto o el armazón para diagramar cualquier proposición categórica de forma típica cuyos términos sujeto y predicado abreviamos mediante S y P, se construye trazando dos círculos que se intersecan, como en la figura siguiente: S P Un diagrama sólo puede expresar una proposición si tiene una parte de él sombreada o en la cual se ha insertado una x. 3.2.5. Representación gráfica de “Todo S es P” Cuando decimos “Todo S es P” estamos afirmando que “no existe un S que no sea P”. Eso significa que “el conjunto de los S que no son P es vacío” y, por lo tanto, en un diagrama de Venn la región que representa la parte de S que está por fuera de P no tiene elementos; es vacía. Por esta razón, “Todo S es P” se representa como la parte sombreada que se muestra en la siguiente figura. Ejemplo: 3.2.6. Representación gráfica de “Ningún S es P” Afirmar que “Ningún S es P”, es equivalente a afirmar que “No hay un S que a su vez sea un P”. Entonces la región que representa el conjunto de elementos que son S y P a la vez es vacía. Por esto “Ningún S es P” se representa por la región sombreada de la siguiente figura. Ejemplo: 3.2.7. Representación gráfica de “Algún S es P” La proposición categórica “Algún S es P” afirma la existencia de por lo menos un S que es a la vez un P. Para representar este hecho en un diagrama de Venn utilizaremos una x en la región correspondiente, que representa el elemento cuya existencia se afirma. En este caso el elemento es S y P a la vez y por lo tanto el símbolo que lo designa está en la región de intersección de S con P, como se ve en la figura. Ejemplo: 3.2.8. Representación gráfica de “Algún S no es P” La proposición “Algún S no es P” indica la existencia de por lo menos un elemento en la región que representa a S pero que queda por fuera de la región que representa a P, como indica la siguiente figura. Ejemplo: En resumen: Forma típica de Símbolo Clasificación Cuantitativa Cuali una proposición categórica “Todo S es P” A universal afirm “Ningún S es P” E universal negat “Algún S es P” I particular afirm “Algún S no es P” O particular negat Capítulo 4 El Razonamiento y el Silogismo 4.1. El Razonamiento A la conexión o concatenación de proposiciones, en que una de ellas es la consecuencia de la otra, o de las otras, llamamos razonamiento. Lo fundamental en el razonamiento es que se llega a un conocimiento nuevo que no conociamos llamado conclusión, a partir de otras proposiciones llamadas premisas, que ya conocíamos. Sin embargo, no toda relación de proposiciones forma razonamiento. 4.1.1. Deducción e Inducción Los razonamientos se dividen tradicionalmente en dos tipos diferentes: deductivos e induc- tivos. Aunque todo razonamiento lleva implícita la información de que sus premisas ofrecen algún fundamento para la verdad de su conclusión, solamente los razonamientos deductivos pretenden de sus premisas que ofrezcan fundamentos concluyentes. 4.1.2. Razonamientos deductivos En el caso de los razonamientos deductivos, se usan los términos técnicos “válido” e “in- válido” en lugar de “correcto” e “incorrecto”. Un razonamiento deductivo es válido cuando sus premisas brindad un fundamento seguro y forzoso para la conclusión. Por ejemplo: “Todas las aves vuelan”. “Las gaviotas son aves”. Luego, “las gaviotas vuelan”. 4.1.3. Razonamientos inductivos Un razonamiento inductivo, en cambio, no pretende que sus premisas ofrezcan fundamentos concluyentes para la verdad de su conclusión, sino solamente que ofrezcan algún fundamento para ella. Los razonamientos inductivos no son válidos ni inválidos en el sentido de que estos términos se aplican a razonamientos deductivos. Por ejemplo: “La mayoría de los jugadores de la selección ecuatoriana de fútbol son de raza negra”. “Edison es jugador de la selección ecuatoriana de fútbol” Por lo tanto: “Edison probablemente sea un hombre de raza negra”. A veces se caracterizan y se distinguen los razonamientos deductivos y los inductivos en términos de la relativa generalidad de premisas y conclusiones. William Whewell escribió en La filosofía de las ciencias inductivas que “...en la deducción inferimos verdades par- ticulares a partir de verdades generales; mientras que en la inducción inferimos verdades generales de verdades particulares...”. 4.2. Inferencia Inferir es extraer una conclusión de una o más premisas. 4.2.1. 4.2.2. Clases de inferencias En el razonamiento deductivo podemos distinguir dos formas de inferencia: la inferencia inmediata y la inferencia mediata. Inferencia Mediata Cuando hay más de una premisa, como en el silogismo, que tiene dos, se dice que la inferencia es “mediata”, presumiblemente porque se supone que la conclusión se extrae de la primera premisa por mediación de la segunda. 4.2.3. Inferencia Inmediata Cuando la conclusión se extrae a partir de una premisa solamente, se dice que la inferencia es “inmediata”. Por ejemplo “Todos los automóviles son transportes”. Luego, “algunos transportes son automóviles”. Veamos ahora cuáles son algunas de las formas de la inferencia inmediata. 4.2.3.1. Inferencia Inmediatas por conversión Inferencia inmediata por conversión es aquella en que el sujeto y el predicado de la premisa se han convertido, respectivamente, en predicado y sujeto de la conclusión. Por ejemplo: “Ningún ecuatoriano es colombiano”. “Ningún colombiano es ecuatoriano”. 4.2.3.2. Inferencia Inmediatas por oposición Las proposiciones categóricas de forma típica que tienen los mismos términos sujeto y predicado pueden diferir entre sí en la cualidad, en la cantidad o en ambas. Los lógicos de otros tiempos dieron a este género de diferencias el nombre técnico de “oposición y establecieron un diagrama llamado el Cuadro de Oposición, que se reproduce a continuación: El Cuadro de Oposición tradicional suministra la base para un número considerable de tales inferencias inmediatas. Conocida la verdad o falsedad de una cualquiera de las cuatro proposiciones categóricas de forma típica, puede inferirse inmediatamente la verdad o falsedad de algunas o de todas las otras. Estas inferencias inmediatas basadas en el Cuadro de Oposición tradicional pueden clasificarse de la siguiente forma: 1. De las proposiciones verdaderas Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera, O es falsa. Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa, O es verdadera. Si I es verdadera: E es falsa, A y O quedan indeterminadas. Si O es verdadera: A es falsa, E e I quedan indeterminadas. 2. De las proposiciones falsas Si A es falsa: O es verdadera, E e I quedan indeterminadas. Si E es falsa: I es verdadera, A y O quedan indeterminadas. Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera, O es verdadera. Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa, I es verdadera. 4.3. El Silogismo Un silogismo es un razonamiento deductivo en el que se infiere una conclusión de dos premisas. 4.3.1. El Silogismo Categórico Un silogismo categórico es un razonamiento deductivo, que consta de tres proposiciones categóricas que contienen exactamente tres términos, cada uno de los cuales aparece exac- tamente en dos de las proposiciones constituyentes. La conclusión de un silogismo de forma típica es una proposición categórica de forma típica que contiene dos de los tres términos del silogismo. 4.3.2. Término Mayor, Término Medio y Término Menor El término predicado de la conclusión es llamado el término mayor del silogismo y el término sujeto de la conclusión es llamado el término menor del silogismo. Así, en el silo- gismo de forma típica: “Todo Héroe del Cenepa está condecorado” “Luis es Héroe del Cenepa” Luego, Luis está condecorado. El término que desempeña el papel de sujeto de la conclusión, se llama término menor (“Luis”) y es costumbre designarlo con la letra S. El término que hace de predicado de la conclusión se llama término mayor (“condecorado”) y se suele designar con la letra P. El término que figura en ambas premisas y que falta en la conclusión (“Héroe del Cenepa”) se llama término medio y se designa con la letra M. El término medio sirve de enlace entre los dos extremos. El término mayor y el menor se llaman extremos por oposición al medio. 4.3.3. Premisa Mayor, Premisa Menor y Conclusión Todo silogismo categórico de la forma típica siempre tiene una a. Premisa mayor: Es la proposición categórica que contiene un término medio (M) y el término mayor (P). b. Premisa menor: Es la proposición categórica que contiene un término medio (M) y el término menor (S). c. Conclusión: Es la proposición categórica que contiene el término menor como sujeto y el término mayor como predicado. Los términos y las premisas que aparecen en cada una de las proposiciones, se puede repre- sentar en el siguiente esquema: término medio término menor término mayor premisa mayor premisa menor S P conclusión 4.4. Reglas del Silogismo Para que los silogismos sean formalmente válidos, esto es, que la conclusión se derive necesariamente de las premisas, es menester seguir ciertas reglas lógicas como las siguientes. 4.4.1. Reglas de los Términos Regla 1.- Un silogismo válido debe contener exactamente tres términos: el medio, el mayor y el menor, cada uno de los cuales debe usarse en el mismo sentido a través de todo el razonamiento. Contra esta regla pecan ciertos silogismos en que se emplean términos equívocos, es decir, términos que tienen varios significados y, por consiguiente, aunque en apariencia no haya sino tres términos, en realidad hay cuatro o más. Por ejemplo: “Todo león es carnívoro”. “El león es una constelación”. Luego, una constelación es carnívora. El anterior silogismo es incorrecto porque el término “león” está tomándose en dos sentidos: como animal, y como nombre de constelación. Por consiguiente, hay cuatro términos. Regla 2.- El término medio no debe entrar en la conclusión. Esto quiere decir que si la función del término medio es establecer la relación entre el tér- mino mayor y el menor, esta relación desemboca y es enunciada, finalmente, por la conclusión y no por el término medio. Contra esta regla está el siguiente silogismo. “Aristóteles es griego”. “Aristóteles es filósofo”. Luego, Aristóteles es filósofo griego. El término medio, que es “Aristóteles”, no debe aparecer en la conclusión. La conclusión correcta es: luego algún filósofo es griego. Regla 3.- El término medio debe ser tomado, por lo menos una sola vez, en toda su extensión. Si fuese tomado dos veces particularmente podría acontecer que las dos partes consideradas coincidan totalmente, que coincidan en parte o que sean completamente ajenas la una de la otra. Ninguna conclusión se podría extraer de tales premisas. Así, si decimos: “algunos hombres son sabios” y “algunos hombres son prudentes”, no se puede concluir ni que los sabios son prudentes, ni que los hombres prudentes son sabios. Regla 4.- Los términos mayor y menor no deben ser tomados en la conclusión con mayor extensión que en las premisas. Esto se comprende fácilmente, puesto que si los términos mayor y menor se tomaran en la conclusión con mayor extensión que en las premisas, habría un razonamiento que iría de lo particular a lo universal, y no de lo universal a lo particular, como exige la naturaleza del silogismo. Esto es lo que acontece cuando se construye un silogismo como éste: “Las plantas venenosas causan graves daños: algunas plantas son venenosas; luego, todas las plantas son peligrosas”. 4.4.2. Reglas de las Premisas Regla 5.- De premisas afirmativas no se puede inferir una conclusión negativa. Esto significa que si las premisas son afirmativas nos señalan que los términos mayor y menor se relacionan positivamente con el término medio, y si ello es así, si hay una correspon- dencia entre los términos, no es lógico que la conclusión sea negativa. Por ejemplo, no sería correcto el siguiente silogismo: “Las lluvias abundantes producen inundaciones”. “Hoy lluvió abundantemente”. Luego, no se produjeron inundaciones. Regla 6.- A partir de premisas negativas no podemos obtener conclusiones. Significa que si ninguno de los términos se relaciona con el medio, no se podría llegar a una conclusión; por ejemplo: “Ningún animal es vegetal”. “Esta piedra no es animal”. Luego, ...? Regla 7.- De dos premisas particulares tampoco se puede sacar una conclusión. Por ejemplo, en vano sería intentar obtener una conclusión de dos proposiciones particu- lares como: “Algunos hombres son sabios”. “Algunos animales son invertebrados”. Luego, ...? Regla 8.- La conclusión sigue siempre la parte más débil. Por parte más débil se entiende lo negativo frente a lo afirmativo, y lo particular frente a lo universal. Por tanto, lo que esta regla establece es que: a. Si una premisa es particular, la conclusión no puede ser universal. Tomemos el siguiente ejemplo: “Todos los metales son maleables”. “Algunos minerales son metales”. Luego, Algunos minerales son maleables. Si sacáramos la conclusión universal “todos los minerales son maleables”, cometeríamos un error, lo que resulta aún más evidente dando forma gráfica a las relaciones entre los términos de dicho silogismo. b. Si una premisa es negativa, la conclusión no puede ser afirmativa. Por ejemplo: “Ningún hombre es infalible”. “Todos los médicos son hombres”. Luego, Ningún médico es infalible. 4.5. Formas del Silogismo Categórico La forma de un silogismo categórico puede describirse de manera completa indicando su modo y su figura, donde la figura designa la posición del término medio en las premisas. Es obvio que los silogismos pueden tener cuatro figuras diferentes posibles: Figuras del Silogismo Según la posición del término medio en las premisas, se distinguen cuatro figuras del silogismo En la primera, el término medio es sujeto en la premisa mayor y predicado en la menor. En la segunda, el término medio es predicado en ambas premisas. En la tercera, el término medio es sujeto en ambas figuras. En la cuarta, el término medio es predicado en la premisa mayor y sujeto en la menor. Presentamos a continuación un esquema de ellas, en el cual sólo aparecen las posiciones relativas de los términos y se ha suprimido toda referencia al modo, al no representar cuantificadores ni cópulas. 4.5.1. Reglas especiales de las figuras Reglas especiales para la figura 1 - La premisa menor debe ser afirmativa. - La premisa mayor debe ser universal. Reglas especiales para la figura 2 - Una premisa debe ser negativa. - La premisa mayor debe ser universal. Reglas especiales para la figura 3 - La premisa menor debe ser afirmativa. - La conclusión debe ser particular. Reglas especiales para la figura 4 - La premisa mayor no puede ser particular si alguna premisa es negativa. - La premisa menor no puede ser particular si la premisa mayor es afirmativa. - La conclusión no puede ser universal si la premisa menor es afirmativa. 4.5.2. Modos del silogismo Están constituidos por los diferentes tipos de proposiciones categóricas que contiene el silogismo y como todo silogismo está constituido por 3 proposiciones categóricas, el modo queda representado mediante 3 letras tales como: OAO, EAE, IEO, etc, que respectivamente representan a la premisa mayor a la premisa menor y a la conclusión. 4.5.3. Modos válidos del silogismo Existen solamente 19 modos válidos, de los cuales 4 corresponden a la primera figura, 4 a la segunda, 6 a la tercera y 5 a la cuarta. Tales modos son los siguientes 1. Figura: AAA EAE 2. Figura: EAE AEE 3. Figura: AAI EAO 4. Figura: AAI AEE Por ejemplo, en el silogismo categórico siguiente: Todo cardiólogo es médico. A M P Algún deportista es cardiólogo. I S M Por lo tanto Algún deportista es médico. I S P Se observa que: Es un silogismo del modo AII y pertenece a la primera figura, ya que tiene la forma: M PA S MI S PI Se dice entonces, que el silogismo es válido y es de la forma AII - 1. Figura A I I - 1 Conclusión Premisa menor Premisa mayor (forma típica) 4.5.4. Nomenclatura de los Modos Los anteriores modos válidos se contienen en ciertas palabras nemotécnicas, en las cuales, las tres primeras vocales indican la cantidad y la calidad de las proposiciones, así: la primera, de la premisa mayor; la segunda, de la menor; y la tercera, de la conclusión. Las palabras, para cada una de las cuatro figuras, son las siguientes: Primerafigura Segunda Figura Tercerafigura Cuarta Figura AAI AAI - 3 Darapti - 4 EAO AEE - 3 Felapton - 4 IAI - IAI 3 Disamis - 4 AII - EAO 3 Datisi - 4 OAO EIO - 3 Bocardo - 4 EIO - 3 Ferison 4.5.5. Combinación de las figuras y los modos Para que se pueda apreciar la función que cumplen las figuras y los modos del silogismo es preciso combinarlos entre sí, y examinar los modos que a cada figura corresponden, veamos un ejemplo de cada figura. a. Modos de la primera figura Barbara Celarent AETodo Ningún av hombre es animal es invertebra falible; AAtodo todos los sabio es ruiseñore hombre, son aves AEluego, luego, nin todo ruiseñor e sabio es invertebra falible. Darii Ferio A Todos los tigres son salvajes; E Ningún gas es coloro; I algunos felinos son tigres, I el oxígeno es gas, I luego, algunos felinos son salvajes. Oluego, el oxígeno no es coloro. b. Modos de la segunda figura Cesare Camestre EANingún Todo animal diamante es es piedra piedra; AEtodo ningún mármol vegetal es es piedra, piedra, EEluego, luego, ningún ningún mármol es animal. vegetal es diamante. Festino Barroco E Ninguna virtud es nociva; A Todos los peces son acuáticos; I alguna indulgencia es nociva, Oalgunos vertebrados no son acuáticos, Oluego, alguna indulgencia no es virtud. Oluego, algunos vertebrados no son peces. c. Modos de la tercera figura Darapti Felapton A Todos los libros son falibles; E Ningún pez es animal terrestre; A todos los libros son obras humanas, A todos los peces son vertebrados, I luego, algunas obras humanas O luego, algunos vertebrados no son son falibles. animales terrestres. Disamis Datisi I Algún animal es A Todos los metales son conductores de racional; electricidad; A todo animal es ser vivo, I algunos metales son cuerpos preciosos, I luego, algún ser vivo es racional. I luego, algunos cuerpos preciosos son conductores de electricidad. Bocardo Ferison OAlgunas serpientes no son E Ningún reptil es venenosas; mamífero; A todas las serpientes son reptiles, I algunos reptiles son carnívoros, Oluego, algunos reptiles no son O luego, algunos carnívoros no son venenosos. mamíferos. d. Modos de la cuarta figura Bramantip Camenes AATodos los Todos los hombres rumiantes s son cuadrúpedo mortales; AEtodos los ningún mortales cuadrúpedo son es vivientes, invertebrad I E- luego, algunos vivientes son hombres. luego, ningú invertebrad es rumiante. Dimaris Fesapo I Algunos griegos fueron filósofos; E Ningún quiteño es guayaquileño; A todos los filósofos son hombres A todos los guayaquileños son cultos, ecuatorianos I luego, algunos hombres cultos Oluego, algunos ecuatorianos no son fueron griegos. quiteños. Fresison E Ningún pez es mamífero; I algunos mamíferos viven en el agua, Oluego, algunos que viven en el agua no son peces. 4.6. Técnica de los diagramas de Venn para verificar silogismos La aplicación de diagramas de Venn para decidir si un silogismo es o no válido exige un diagrama en el que se representen los conjuntos correspondientes a los tres términos: menor (S), medio (M), y mayor (P), tal como se observa en la siguiente figura. Ejemplo 14 Ahora, la ventaja de tener tres círculos que se traslapan es que nos permite diagramar dos proposiciones juntas a condición, por supuesto, de que solamente aparezcan en ellas tres términos diferentes. Así, representar a la vez “Todo M es P” y “Todo S es M” da como resultado la siguiente figura. Este es el diagrama para las dos premisas del silogismo AAA - 1: Cuando usamos un diagrama de Venn para probar un silogismo con una premisa universal y una particular, es recomendable representar la premisa universal primero. Así, al probar el silogismo AII - 3: Todos los artistas son egoístas. Algunos artistas son pobres. Por lo tanto, algunos pobres son egoístas. debemos representar la premisa universal “Todos los artistas son egoístas” antes de insertar una x para representar la premisa particular “Algunos artistas son pobres”. Representadas correctamente, estas premisas aparecen en el siguiente gráfico. 4.7. Ejercicios resueltos Identificar la figura y modo de cada uno de los silogismos siguientes. Téngase presente que no todo silogismo es un silogismo válido. 1. Los chicos no son chicas, y todos los jugadores de la Liga de fútbol son chicos; se sigue de ahí que ningún jugador de la Liga de fútbol es chica. 2. Los palominos no son mulos, porque los mulos no son caballos y los palominos sí lo son. 3. Todos los gorriones son pájaros, y todos los periquitos son pájaros; por lo tanto, ningún gorrión es periquito. 4. Ningún ruiseñor es gorrión; todos los ruiseñores son pájaros canoros; luego ningún pájaro canoro es gorrión. 5. Todos los perros son animales; por lo tanto, también lo son los dálmatas, puesto que todos los dálmatas son perros. 6. Todos los hombres valientes luchan, porque ningún cobarde lucha y ningún hombre valiente es cobarde. 7. Todas las olas tienen cresta, pero las resacas no tienen cresta; luego las resacas no son olas. 8. Toda persona realmente distraída es un profesor, y ninguna persona bien informada es realmente distraída; en consecuencia, podemos estar seguros de que ninguna persona bien informada es un profesor. 9. Ninguna persona bien informada es profesor, porque todo profesor es distraído, y nadie que sea distraído puede estar bien informado. 10. Es verdad que ningún perro es gato, pero todos los perros deben ser animales, porque todos los gatos son animales. 11. La mayoría de los perros son animales, y todos los podencos son perros; por lo tanto, algunos podencos son animales. 12. Ningún tigre es león, por lo cual, como todos los leones son animales, algunos animales no son tigres. 13. Toda agua hirviente burbujea, y alguna agua hirviente es salada; luego algunas cosas saladas burbujean. 14. Es necesariamente verdadero, por definición, que todos los novelistas ingleses son novelistas, y, como todos sabemos, algunos novelistas no son hombres; se sigue, pues, si es que alguien tiene necesidad de tal prueba, que al menos algunos hombres no son novelistas ingleses. 15. Algunos veleros no son botes de remo, porque algunas canoas tienen vela, pero ninguna es bote de remo. 16. Algunos peces son pleuronectos, y ningún pájaro es pez; por lo tanto, al menos algunos pájaros no son pleuronectos. 17. Todas las chuletas son deliciosas, pero todas son también caras; por lo tanto, triste es decirlo, algunas cosas deliciosas son caras. 18. Concedido que algunos animales no son podencos; pero también es verdad que algunos perros no son podencos; de ahí se sigue que todos los perros son animales. 19. Nadie que esté tocando el piano lleva guantes con los dedos unidos; de ahí se sigue necesariamente que algunas personas que tienen frío no tocan el piano, porque al menos algunas de las personas que llevan guantes con los dedos unidos tienen frío. 20. Todas las palabras inglesas son de origen indoeuropeo, pero hay palabras húngaras que no son indoeuropeas; luego algunas palabras húngaras no son inglesas. Respuestas a los ejercicios propuestos 1. 2. VÁLIDO VÁLIDO 5. 3. 4. VÁLIDO VÁLIDO NO 6. VÁLIDO NO VÁLIDO 7. 8. VÁLIDO NO VÁLIDO 9. 10. VÁLIDO NO VÁLIDO 11. 12. NO VÁLIDO NO VÁLIDO según la interpretación booleana de “todos los leones son animales”, aunque válido según la interpretación clásica. 13. VÁLIDO 14. NO VÁLIDO 15. VÁLIDO 16. NO VÁLIDO 17. 18. chuletas NO VÁLIDO según la interpretación booleana de “todas los chuletas son deliciosas”, válido en la interpretación clásica. NO VÁLIDO 19. guantes con los dedos unidos VÁLIDO 20. VÁLIDO 4.8. Silogismos Irregulares El silogismo que hemos visto hasta ahora es simple y normal, consta de tres términos que son afirmados o negados expresamente. Al lado de estos silogismos hay otros llamados irregulares y compuestos. 1. Entinema Un razonamiento que se formula de manera incompleta, parte del cual se deja “sobreentendi- da” o “en la mente”, es llamado entimema. Todo entimema se puede convertir en silogismo regular cuando la premisa sobreentendida mentalmente se expresa. Por ejemplo: Todo el que respira vive; Respira respira, luego vive este vive. este luego, Todo el que estudia sabe; Estudia este estudia, luego sabe luego este sabe. Todo el que piensa existe; Pienso yo pienso, luego existo luego yo existo. 2. Epiquerema En un silogismo irregular en el cual cada una de las premisas, o al menos una de ellas va de prueba. Por ejemplo: en el siguiente caso, solo una premisa lleva su prueba. El hombre criminal no puede gozar de paz interior, porque necesariamente ha de turbarle los remordimientos de su conciencia; es así que el que no goza de paz interior no puede ser feliz, luego el hombre criminal no puede ser feliz. 3. Polisilogismo Es un silogismo compuesto de varios silogismo de tal manera concatenados entre sí que la conclusión del primero es premisa mayor del segundo; la conclusión del segundo es la premisa mayor del tercero, y así sucesivamente hasta lograr una conclusión final. El primero de todos se llama prosilogismo y el último episilogismo. Por ejemplo: El ser racional es libre; es así que el hombre es un ser racional, luego el hombre es libre. Pero el ser libre es responsable de sus actos, luego el hombre es responsable de sus actos. Es así que quien es responsable de sus actos merece por ellos premio o castigo, luego el hombre merece por sus actos premio o castigo. 4. Sorites (del griego sorites = cúmulo) Existen unos polisilogismos especiales llamados sorites. Es un silogismo irregular que consta de varias proposiciones, de tal manera dispuestas que el predicado de la primera sea sujeto de la segunda; el predicado de la segunda, sujeto de la tercera, y así sucesivamente, hasta llegar a la conclusión, la cual debe tener como sujeto el sujeto de la primera proposición, y como predicado, el predicado de la última proposición. Por ejemplo: A es B El alumno que estudia aprende; B es C el que aprende presenta buenos exámenes; C es D el que presenta buenos exámenes aprueba el semestre; D es E el que aprueba el semestre agrada a sus padres; E es F el que agrada a sus padres, agrada a Dios; A es F luego, el alumno que estudia agrada a Dios. 5. Dilema Es un silogismo irregular que consta de dos proposiciones disyuntivas y de dos proposiciones matemáticas de tal manera dispuestas que cualquiera de las dos disyuntivas que se escoja prueba lo mismo. Un dilema no es pues un problema, ni una situación con varias alternati- vas, sino una situación frente a la cual solamente se abren dos caminos con el inconveniente de que cualquiera de las dos que se escoja conduce al mismo lugar. Ejemplo: De Aristóteles, para probar la necesidad de la Filosofía: O hay que filosofar O no hay que filosofar. Si hay que filosofar, hay que filosofar. Si no hay que filosofar, también hay que filosofar para saber por qué no hay que filosofar. Luego siempre hay que filosofar. 4.9. Problemas en los cuales se aplica la Inferencia Lógica Todas aquellas preguntas, donde se aplica la deducción o inferencia teniendo en cuenta datos o premisas, para poder llegar a una conclusión se denominan “problemas razonados”. Estas preguntas se diferencian de las preguntas matemáticas, en que interesa más el razonamiento y la deducción para poder llegar a la conclusión. Veamos algunos ejemplos. 4.9.1. Orden de Información Consiste en una serie de datos desordenados, que tiene toda la información requerida para poder relacionarlos entre sí (ordenarlos por premisas o correspondencia entre ellos). Se recomienda que conforme se vayan leyendo los datos, se vaya haciendo una represent- ación gráfica como esquema del problema. Ejemplo 1 Teresa es mayor que Katy. Silvia es menor que Julia, quien es menor que Teresa. Katy es menor que Silivia. ¿Quién es la mayor? Solución: Ejemplo 2 La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudad W tiene menos habitantes que la ciudad Y pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, ¿qué ciudad tiene menos habitantes? Solución: 4 Ejemplo 3 Ordenamos tres cubos azules, dos cubos rojos y un cubo verde en una fila, de acuerdo a las siguientes condiciones: - Cubos de igual color, no deben ubicarse juntos. - El cuarto cubo debe ser rojo. - El último cubo no debe ser ni azul ni rojo. ¿De qué color debe ser el segundo cubo ubicado en la fila? Solución: Conviene empezar por el tercer dato, el último cubo no debe ser ni azul ni rojo; siendo sólo tres colores, se deduce que el sexto cubo tendrá que ser verde. Del segundo dato, el cuarto cubo debe ser rojo. El primer dato, cubos de igual color, no deben ubicarse juntos, nos lleva a que el quinto cubo sea azul. Siendo tres los cubos azules y estando ubicado uno de ellos en el quinto lugar, los otros cu- bos azules deben ubicarse en lugares impares, con el fin de no estar juntos, como lo solicita el primer dato. Siendo dos los cubos rojos, el segundo tendrá que ser rojo. Ejemplo 4 Se tiene un edificio de seis pisos en el cual viven seis persona A, B, C, D, E y F, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: - E vive adyacente a C y B. - Para ir de la casa de E a la de F hay que bajar 3 pisos. - A vive en el segundo piso. ¿Quién vive en el último piso? Solución: Ejemplo 5 Se sabe que: - Pedro no es mayor que Álvaro. - Héctor no es mayor que Daniel, y Daniel no es el mayor. - Jorge es mayor que Pedro. - Daniel es mayor que Jorge. ¿Quién es el mayor? Solución: De (2) y (3) se deduce que D es mayor que J y P ó mayor o igual que H. Pero como D no es el mayor, entonces el único que puede ser el mayor es A. 4.9.2. Ordenamiento circular Algunas veces es necesario ordenar la información alrededor de un objeto; esto nos da la idea de formar un círculo, así tenemos que el concepto de Derecha a Izquierda serán relativos a la persona o al objeto que está frente al objeto central. Si tenemos en cuenta este detalle, lo demás es seguir el ordenamiento tal y conforme el caso anterior. 4 Ejemplo Andrés, Beto, César, David, Ernesto y Fabricio se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: - Andrés se sienta junto y a la derecha de Beto; y además frente a César. - David no sienta junto a Beto. - Ernesto no se sienta junto a César. ¿Entre quienes se sienta Fabricio? Solución: Primero construimos la escala. Mesa Circular con 6 asientos simétricamente distribuidos. Tenemos: Andrés se sienta junto y a la derecha de Beto; y además frente a César. Ubicamos a Andrés en un lugar arbitrario a partir del cual comenzamos a ordenar. David no se sienta junto a Beto. Ernesto no se sienta junto a César. De esto ya se puede ubicar a Ernesto, luego: Finalmente ubicamos a David y Fabricio. Fabricio está entre César y Beto. 4.9.3. Relaciones de datos Mediante la construcción de una tabla de doble entrada de datos (tabla de decisiones), se van marcando en ella los datos, así como los datos que definitivamente descartan otras posibilidades. Ejemplo A una reunión asistieron 3 amigos: Alberto, Bruno y Carlos; y 3 damas: Daniela, Enma y Fiorella. Al terminar la reunión, cada uno de los tres amigos se fue acompañado por una dama. Bruno salió con la amiga de Enma. Daniela que no simpatiza con Enma, salió antes que Alberto. ¿Quién acompañó a Fiorella? Solución: Como se puede observar hay dos grupos de datos: el de los amigos (Alberto, Bruno y Carlos); y el de las damas (Daniela, Enma y Fiorella). Este grupo se puede ordenar en una tabla. Alberto Bruno Carlos Luego vamos leyendo frase a frase, ubicando la información necesaria: - “Bruno salió con la amiga de Enma”; por tanto NO salió con Enma. - “Daniela que no simpatiza con Enma, salió antes que Alberto”. Por tanto Daniela NO salió con Alberto. - Se puede ver que Alberto tiene que haber salido con Fiorella. Luego se completa la tabla. Albe Brun Carlo Podemos ver que quien acompañó a Fiorella fue Alberto. 4.9.4. Problemas con monedas y vasos A continuación se presentan los siguientes ejercicios. Ejercicio 1 ¿Cuántas vueltas dará la moneda “A” alrededor de la segunda moneda “B”, hasta llegar a su posición inicial? Ejercicio 2 Colocar las ocho monedas en los tres vasos de la figura, de tal manera que en cada vaso haya un número impar de monedas. Ejercicio 3 Colocar las diez monedas, de tal manera que formen cinco filas de cuatro monedas cada fila. Ejercicio 4 Colocar nueve monedas en los cuatro vasos, de tal manera que en cada uno haya un número impar de monedas. Ejercicio 5 Colocar nueve monedas de tal manera que formen tres filas de cuatro monedas cada fila. Ejercicio 6 Colocar ocho monedas, en tres vasos, de tal manera que, en los tres vasos estén dos, cuatro y seis monedas respectivamente. Capítulo 5 Lógica Proposicional La lógica es la disciplina que trata los métodos del razonamiento. Uno de los propósitos de la lógica es proporcionar reglas que puedan determinar si es válido un razonamiento o argumento particular. El razonamiento lógico se usa en muchas disciplinas para establecer resultados válidos. Las reglas de la lógica se utilizan para obtener pruebas de teoremas en matemáticas, verificar la coherencia de los programas de computadora y obtener conclusiones de experimentos científicos. En este capítulo se introducirán ciertos símbolos lógicos con los cuales se establecerán y aplicarán reglas de inferencia válida y así se entenderá cómo construir argumentos correctos. 5.1. Definición El área de la lógica que estudia las proposiciones se llama lógica proposicional o cálculo proposicional. La proposición es una oración, es decir, un conjunto de palabras por medio de las cuales expresa- mos una sentencia cualquiera. Sin embargo, no toda oración es proposición, pues, como entramos a verlo, hay varias clases de oraciones, sin que todas ellas sean proposiciones. Existen las siguientes oraciones con sus respec- tivos ejemplos: a. Vocativa p.e. Escúc ven ac b. Admirativa p.e. Qué hermo día! c. Interrogativa p.e. ¿Cómo llamas d. Imperativa p.e. Vete d aquí e. Deprecativa p.e. Apiád de mí f. Optativa p.e. Ojalá feliz. g. Permisiva p.e. Haz lo quiera h. Normativa p.e. Hay qu hacer bien y evitar mal. i. Declarativa p.e. Dios bueno j. Irónica p.e. Tú ere quien sabe to (dicho ignora De todas las anteriores oraciones, solo la declarativa, constituye una proposición, porque podemos verificar su falsedad o verdad. Enunciados como: a) Está lloviendo. b) Las matemáticas son fáciles. c) Quito es la capital más hermosa del mundo. No son proposiciones, porque el ser verdadero o falso dependen de las circunstancias, opiniones personales y gustos respectivamente. Por lo tanto, una proposición es un enunciado u oración declarativa de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas cosas a la vez. Toda proposición es enunciado, pero no todo enunciado es proposición. Ejemplos 1. “Santo Domingo de los Tsáchilas es una provincia nueva de Ecuador”, es una proposición. 2. “2 + 7 = 19”, también es una proposición. 3. “3 - x = 5”, es un enunciado, pero no es una proposición. 5.1.1. Notación de las Proposiciones Por convenio, las letras que se utilizan para denotar proposiciones son p, q, r, s, ..., Por ejemplo: p: “2 es un número racional” q: “9 + 10 = 19” r: “Todos los mamíferos son cuadrúpedos” s: “Todos los números enteros son racionales” 5.1.2. Valor de verdad 5.1.3. Clases de Proposiciones La lógica proposicional distingue dos tipos de proposiciones, a saber: simples o atómicas y compuestas o moleculares. Las proposiciones simples o atómicas no se componen de más proposiciones y carecen de términos de enlace o conectivos, excepto la negación; por ejemplo: - “La matemática es una ciencia formal”. - “El Sol es una estrella” Las proposiciones compuestas o moleculares, como su nombre lo indica, se componen de dos o más proposiciones simples y, además, como rasgo distintivo tienen términos de enlace o conectivos lógicos; por ejemplo: - “La lógica es una ciencia formal y la matemática lo es también”. - “La Tierra es un planeta si y sólo si la Tierra gira alrededor del Sol”. 5.1.4. Tablas de Verdad Estudiaremos a continuación la forma de determinar los valores de verdad de una proposición compuesta, si se conocen los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman. Antes de dar estos valores, enunciaremos las siguientes dos reglas o principios fundamentales de la lógica. 5.1.5. Principio de Contradicción Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. 5.1.6. Principio del Tercero Excluido Una proposición es verdadera o es falsa, es decir, siempre se verifica uno de estos casos y nunca un tercero. De acuerdo con los dos principios anteriores, una proposición simple p tiene dos posibilidades de valor: Para dos proposiciones simples se presentan cuatro posibilidades de valor: las dos V, las dos F y una V y la otra F. En otra forma similar, tres proposiciones simples p, q y r tienen las ocho posibilidades siguientes: 5.1.7. Número de Renglones en una tabla de verdad En las observaciones realizadas en las tablas de verdad anteriores advertimos un patrón: 5.2. Conectivos Lógicos Los conectivos lógicos fundamentales son: la negación, la conjunción, la disyunción, la implicación y la equivalencia. 5.2.1. La Negación La negación “No”, es el conectivo lógico que a toda proposición p asocia la proposición “no p”, la cual es verdadera si p es falsa; y falsa si p es verdadera. Note que la negación es un conectivo lógico que no nos relaciona dos proposiciones simples para darnos una proposición compuesta, sino que, a partir de una proposición simple nos da una nueva proposición simple. 5.2.2. La Conjunción 5.2.3. Disyunción Inclusiva El uso del conectivo lógico o en una disyunción se asocia al significado en sentido inclusivo de la palabra o. Una disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones es verdadera. Por ejemplo, el o en sentido inclusivo se emplea en el enunciado: “Los estudiantes que hayan cur- sado cálculo o ciencias de la computación pueden matricularse en esta clase”. Con esta frase se quiere decir que los estudiantes que han cursado bien cálculo o bien ciencias de la computación pueden matricularse en la clase, así como los estudiantes que han cursado ambas asignaturas. 5.2.4. Disyunción Exclusiva La característica fundamental de la disyunción exclusiva o bidisyunción, es que es verdadera sólo cuando ambas, p y q, tiene valores de verdad distintos. Por ejemplo, usamos el o exclusivo cuando decimos: “Los estudiantes que hayan cursado cálculo o ciencias de la computación, pero no ambos, pueden matricularse en esta clase”. Ahora, se quiere expresar que aquellos que hayan cursado tanto cálculo como ciencias de la com- putación no pueden matricularse. Sólo pueden hacerlo aquellos que hayan cursado exactamente una de las dos asignaturas. De forma similar, cuando en un menú de restaurante vemos: “Se sirve sopa o ensalada como en- trada”, casi siempre se quiere decir que los clientes pueden tomar bien sopa o bien ensalada, pero no ambos. Por tanto, éste es un uso exclusivo no inclusivo de la disyunción o. 5.2.5. La Implicación (o condicional) Una forma útil de entender el valor de verdad de una implicación es pensar en una obligación o en un contrato. Por ejemplo, la promesa que muchos políticos hacen para ser votados es: “Si soy elegido, bajaré los impuestos”. Si el político es elegido, los votantes esperarían del político que bajase los impuestos. Pero si el político no es elegido, entonces los votantes no esperarán que esa persona baje los impuestos, aunque pueda influir lo suficiente para conseguir que los que ostentan el cargo correspondiente bajen los impuestos. Sólo cuando el político es elegido y no baja los impuestos, pueden sus votantes decir que el político ha roto su promesa electoral. Recíproca, inversa y contrapositiva Cualquier proposición condicional se halla conformada por un antecedente y un conscuente. Si se intercambian, se niegan, o las dos cosas, se forma una nueva proposición condicional. Suponga que empezamos con la proposición directa Si tú te quedas, entonces yo voy. e intercambian el antecedente “tú te quedas” y el consecuente “yo voy”. Obtenemos la nueva proposición condicional S yo voy, entonces tú te quedas Esta nueva condicional se llama recíproca de la proposición dada. Negando ambos, el antecedente y el consecuente, obtenemos la inversa de la proposición dada (original): Si tú no quedas, entonces yo no voy. Si el antecedente y el consecuente se intercambian y se niegan, se forma la contrapositiva de la proposición dada: Si yo no voy, entonces tú no te quedas. Proposiciones condicionales relacionadas 5.2.6. Equivalencia (o Bicondicional) En resumen, la siguiente tabla muestra los conectivos más utilizados en la lógica proposicional con su respectivo nombre, símbolo, notación y lectura. La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestas para cada uno de los diferentes conectivos: 5.3. Proposiciones Complejas Las proposiciones compuestas pueden combinarse o conectarse a otras para formar proposiciones aun más complejas. Es claro que el valor de verdad de una proposición, por compleja que sea, depende de los valores de verdad de las proposiciones que las componen en sus formas más simples. Para hacer la tabla de verdad de una proposición le asignamos una columna a cada proposición que interviene, sea ésta simple o compuesta, normalmente comenzando con las más simples y progresando en el orden de complejidad de las proposiciones componentes. Por ejemplo: a) b) Observe que en la última casilla los valores obtenidos son todos verdaderos. En este caso decimos que la proposición es una tautología. 5.4. Tautologías, Contradicciones y Contingencias Una vez que hemos terminado de elaborar una tabla de verdad, observaremos que de acuerdo con sus valores de verdad podrán ser de tres tipos, a saber. 5.4.1. Tautologías Son aquellas proposiciones que son verdaderas cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones componentes. Por ejemplo, 5.4.2. Contradicciones (Falacias) Son aquellas proposiciones compuestas que son falsas cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones componentes. Por ejemplo, 5.4.3. Contingencias Son proposiciones compuestas que no son ni una tautología ni una contradicción. Por ejemplo, 5.5. Proposiciones equivalentes Una aplicación de tablas de verdad se ilustra mostrando que dos proposiciones son equivalentes. Por definición, dos proposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en toda situación posible. Las columnas de cada tabla de verdad que fueron las últimas en llenarse serán exactamente las mismas para proposiciones equivalentes. Por ejemplo, Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes se pueden reemplazar donde ocurran, una en lugar de la otra. 5.5.1. Equivalencias lógicas Equivalencia p11V•p pvF•p pvV•V p11F•F pvp•p p11p•p -(-p)•p pvq•qvp pllqiiiiqllp (pvq)vr•pv(q (p A q) A r;; p 11 (q r) p V (q 11 T) • (p q) 11 (p V T) p 11 (q v r) •(p 11 (p 11 r) -(p 11 q) •-p V -q -(p V q) •-p 11- q p V (p 11 q) p p 11 ¡¡ (p V q)• p pv-p•V pA - p ""F 5.5.2. Equivalencias lógicas relacionadas con implicaciones 5.5.3. Equivalencias lógicas relacionadas con bicondicionales 5.6. Argumentos 5.6.1. Argumentos Válidos 5.6.2. Reglas de Inferencia Vamos a introducir en este capítulo las reglas de inferencia para lógica proposicional. Estas reglas justifican los pasos dados para demostrar que a partir de una serie de premisas se llega de forma lógica a una conclusión. La siguiente tabla muestra un listado de las Reglas de Inferencia más importantes. La aplicación de estas reglas de Inferencia se ilustra en los ejemplos siguientes, donde se muestra paso a paso cómo se llega de un argumento a otro, razonando explícitamente cada paso que se ha dado. 5.6.3. Ejemplo 1 Diga en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente: “Ahora estamos bajo cero. Por tanto, bien estamos bajo cero o bien llueve ahora”. Ejemplo 2 Diga en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente: “Estamos bajo cero y llueve. Por tanto, estamos bajo cero”. Ejemplo 3 Diga en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente: “Si llueve hoy, entonces hoy no haremos una barbacoa. Si no hacemos una barbacoa hoy, haremos una barbacoa mañana. Por tanto, si llueve hoy, haremos una barbacoa mañana”. Análisis de argumentos mediante Tablas de Verdad Determine si el siguiente argumento es válido o inválido. Si el piso está sucio, entonces yo debo limpiarlo. El piso está sucio. Yo debo limpiarlo. A fin de probar la validez de este argumento, empezamos por identificar las proposiciones compo- nentes que se encuentran en él. Éstas son “el piso está sucio” y “yo debo limpiarlo”. Asignaremos las letras p representar proposiciones: y q para estas p representa “el piso está sucio”. q representa “yo debo limpiarlo”. Ahora escribimos las dos premisas y la conclusión en símbolos: Para decidir si este argumento es válido, debemos determinar si la conjunción de ambas premisas implica la conclusión para todos los casos posibles de valores de verdad para p y q. Por lo tanto, escriba la conjunción de las dos premisas como el antecedente de una proposición condicional, y la conclusión como el consecuente. Por último, elabore la tabla de verdad para esta proposición condicional, como se muestra a continuación: Como la última columna indica que la proposición condicional que representa al argumento es verdadera para todos los valores de verdad de p y q, la proposición es una tautología. Por lo tanto, el argumento es válido. El patrón que ostenta el argumento en el ejemplo de limpiar el piso. es muy común, y recibe el nombre de modus ponens, o ley de separación. Ejemplo 4 Determine si el argumento es válido o inválido. Si un hombre pudiese estar en dos lugares a la vez, yo estaría con usted. Yo no estoy con usted. Un hombre no puede estar en dos lugares a la vez. Si p representa “un hombre pudiese estar en dos lugares a la vez” y q representa “yo estoy con usted”, el argumento se transforma en La proposición simbólica de todo el argumento es La tabla de verdad para este argumento, la cual se muestra a continuación, indica una tautología, por lo que el argumento es válido. El patrón de razonamiento en este ejemplo se llama modus tollens, o ley de contraposición, o razonamiento indirecto. Ejemplo 5 Determine si el argumento es válido o inválido. Compraré un automóvil o me iré de vacaciones. No compraré un automóvil. Me iré de vacaciones. Si p representa “Compraré un automóvil” y q representa “Me iré de vacaciones”, el argumento se transforma en La proposición es una tautología, por lo que el argumento es válido. Cualquier argumento que tenga esta forma es válido por la ley del silogismo disyuntivo. En resumen, para probar la validez de un argumento utilizando tablas de verdad, siga los pasos del cuadro siguiente. Cómo comprobar la validez de un argumento con una tabla de verdad 1. Asigne una letra para representar cada proposición componente del argumento. 2. Exprese cada premisa y la conclusión mediante símbolos. 3. Forme la proposición simbólica del argumento entero, colocando la conjunción de todas las premisas como antecedente de una proposición condicional y la conclusión del argumento como su consecuente. 4. Complete la tabla de verdad para la proposición condicional elaborada según el inciso 3. Si es una tautología, entonces el argumento es válido; de otro modo es inválido. Tests de Aptitud Este libro tiene la intención de ayudar a todas aquellas personas que tengan que enfrentarse a una serie de pruebas que, seguramente, no le son familiares. El libro en sí está constituido por una selección ampliamente representativa de tests, que habitualmente y en la actualidad, se utilizan para la selección de estudiantes que aspiran ingresar a las Escuelas Politécnicas y principales Universidades del Ecuador. Así también es un texto recomendado en las pruebas de selección del Magisterio. La necesidad de este libro se fundamenta en las limitaciones y carencias que hemos podido observar en algunos de los anteriores libros, que tratan de conferir una ayuda a las personas que quieren conocer sus posibilidades en este tipo de problemas, y además, conseguir mejorarlas el máximo posible. El opositor prepara cada día más y mejor sus oposiciones. Por tanto, no debe confiarse; al contrario, debe comenzar hoy a estudiar, a practicar su oposición, por lo que definitivamente este libro le va a ayudar a alcanzar sus metas. La estructura del libro, a partir del capítulo seis, responde al siguiente índice de contenidos: 1. Razonamiento Matemático 2. Razonamiento Abstracto 3. Razonamiento Verbal Razonamiento matemático Sucesiones numéricas Inferencias numéricas Test de dados Test del dominó Razonamiento abstracto Sucesiones gráficas Matrices de Figuras Analogía de Figuras Construcción de Figuras Razonamiento verbal Sinónimos Antónimos Términos Excluidos Analogías Capítulo 6 Razonamiento Matemático 6.1. Sucesiones Se entiende que una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que cumplen una ley determi- nada. Estos elementos son generalmente números, letras o figuras geométricas. 6.1.1. Sucesiones Numéricas Son aquellas en las cuales parecen sólo números, los cuales guardan un orden preestablecido. La tarea principal del estudiante consiste en identificar que “ley” siguen los números de la sucesión. Esta ley se determina relacionando las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación; o mediante una deducción lógica. Sucesiones Ley aplicada Los términos se relacionan por la suma. Van aumentando de 2 en 2. Los términos se relacionan por la resta. Van disminuyendo de 1 en 1. Los términos se relacionan por la multiplicación. De término a término se multiplica por 2. Los términos se relacionan por la división. De término a término se divide entre 2. REGLA BÁSICA Para deducir qué número continúa o falta en una sucesión debemos observar la razón de crecimiento o decrecimiento, ya sea restando, dividiendo, sumando, multiplicando o una combinación de operaciones, entre 2 términos consecutivos o seguidos de la sucesión. Pero lo más importante es que esta razón se debe repetir 2 veces como mínimo en el problema dado. 6.1.2. Sucesiones Aritméticas Se conoce como sucesión aritmética al conjunto ordenado de números, donde la razón (diferencia que se repite 2 veces como mínimo), se obtiene restando 2 términos seguidos (o preguntándose cuanto le debo sumar a un término para obtener el siguiente). Esta razón puede estar en las primeras diferencias, o también en las siguientes diferencias. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 6.1.3. Sucesiones Geométricas Se conoce como sucesión geométrica al conjunto ordenado de números, donde la razón se obtiene al dividir 2 términos seguidos (o preguntándose cuanto le debo multiplicar a un término para obtener el siguiente). Ejemplo 1 ¿Qué término falta? Ejemplo 3 ¿Qué término falta? Ejemplo 2 ¿Qué término falta? Ejemplo 4 ¿Qué término falta? Ejemplo 5 ¿Qué término falta? Ejemplo 6 ¿Qué término falta? 6.1.4. Sucesiones Combinadas y Alternadas Son sucesiones donde la razón se obtendrá por una combinación de operaciones, o por una inter- calación de una o más secuencias, recordando que la razón de ser, se debe repetir 2 veces como mínimo (esta es nuestra terecera opción de estrategia de resolución). Ejemplo 1 ¿Qué término falta? Ejemplo 3 ¿Qué término falta? Ejemplo 2 ¿Qué término falta? Ejemplo 4 ¿Qué término falta? Ejemplo 5 ¿Qué término falta? 6.1.5. Sucesiones Diversas (Numéricas) En estos casos la razón de ser de la secuencia, se encuentra por algunos detalles teóricos (como el conjunto de los números primos, sucesión de Fibonacci...) o dando una forma adecuada a cada término de la secuencia en función de la posición que ocupa (término enésimo) como también buscando una característica común entre los términos. Ejemplo 1 ¿Qué número continua? 1 ; 4 ; 9 ; ... a) 13 24 b) 16 d) 25 c) e) 11 OJO Cuando hay pocos términos cabe la posibilidad que se puedan formar potencias. Ejemplo 2 ¿Qué número continua? 1 ; 4 ; 9 ; ... Recuerde! No es lo mismo SUCESIÓN que SERIE, hay muchos que los confunden y emplean como sinónimos, mas no es así, observe: SUCESIÓN.- Secuencia ordenada de términos regidos por una ley de formación. - 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; ... - 1 ; 8 ; 27 ; 54 ; 64 ; ... SERIE.- Es la suma de los términos de una sucesión. - 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + ... - 1 + 8 + 27 + 54 + 64 + ... Nota! PROGRESIÓN.- Sucesión donde los términos guardan entre sí una misma razón. Ejemplo 1 ¿Qué número continua? 6.1.6. Ejercicios resueltos 1. ¿Qué número continúa? 2. número continúa? ¿Qué 3. ¿Qué número continúa? 4. número continúa? ¿Qué 5. ¿Qué número continúa? 6. número continúa? ¿Qué 7. ¿Qué número continúa? 8. número continúa? ¿Qué 10. ¿Qué número continúa? 11. ¿Qué número continúa? 12. ¿Qué número continúa? 14. ¿Qué número continúa? 15. ¿Qué número continúa? ¿Qué número continúa? 16. 17. ¿Qué número continúa? 19. ¿Qué número continúa? 20. ¿Qué número continúa? 21. ¿Qué número continúa? 23. ¿Qué número continúa? 24. ¿Qué número continúa? 25. ¿Qué número continúa? 27. ¿Qué número continúa? 28. ¿Qué número continúa? 29. ¿Qué número continúa? 31. ¿Qué número continúa? 32. ¿Qué número continúa? 35. ¿Qué número continúa? ¿Qué número continúa? 37. ¿Qué número continúa? 38. ¿Qué número continúa? 36. 39. ¿Qué número continúa? 40. ¿Qué número continúa? 41. ¿Qué número continúa? 42. ¿Qué número continúa? 43. ¿Qué número continúa? continúa? 44. ¿Qué número ¿Qué número continúa? ¿Qué número continúa? 45. 46. 48. ¿Qué número continúa? 49. ¿Qué número continúa? 6.1.7. Sucesiones Literales Es el conjunto de letras relacionadas por el abecedario castellano o por alguna lógica. A continuación se presentan algunos ejemplos para entender este tipo de sucesión. 1. ¿Qué letra continúa? 2. ¿Qué letra continúa? 3. ¿Qué letra continúa? 4. ¿Qué letra continúa? 5. ¿Qué letra continúa? 6. ¿Qué letra continúa? E, F, M, A, M, J, J, ? Solución: Analizando con el abecedario no hay relación, sin embargo si observamos con cuidado, cada letra es la letra inicial de los meses del año. Por lo tanto: E, F, M, A, M, J, J, A Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto. 7. ¿Qué letra continúa? L, A, T, I, P, S, O, ? Solución: Analizando con el abecedario no hay relación, sin embargo si observamos con cuidado, leyendo desde el final tenemos OSPITAL, pero la palabra esta mal escrita ya que le falta una consonante. Por lo tanto: L, A, T, I, P, S, O, ? Así tenemos la palabra HOSPITAL. 6.2. Inferencias Numéricas Se clasifican en: Analogías y distribuciones numéricas. 6.2.1. Analogías Numéricas Las analogías numéricas son estructuras numéricas conformadas por una o dos premisas y una conclusión. El método de solución consiste en analizar las premisas y extraer una ley de formación, empleando operaciones básicas. La ley extraída se aplica en la conclusión para obtener el número buscado. Estructura básica Ejercicios Resueltos 1. 2. 3. 5. 6. 4. 7. 8. 9. 10. 6.2.2. Distribuciones Numéricas Primera forma ESTRUCTURA: Con el objetivo de hacer una abstracción numérica, ya sea en las columnas o las filas. Segunda forma ESTRUCTURA Los números se distribuyen en una o más figuras, donde las relaciones operativas son independientes de las formas de figuras (salvo excepciones). A continuación se presentan dos ejemplos. ¿Qué números faltan? Ejercicios Resueltos 1. 3. 4. 5. 7. 9. 11. 8. 10. 12. 13. 15. 17. 18. 19. 20. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. Capítulo 7 Dados Como en otras pruebas de razonamiento matemático, en dados debemos detectar el orden lógico que siguen las caras frontales de los dados presentados. Por ejemplo, presentamos el siguiente ejercicio: En cada una de las siguientes caras hay signos diferentes. Mire los dados uno detrás de otro de iz- quierda a derecha. Por el cambio de posición de los distintos signos deberá saber en qué dirección da la vuelta el dado. Una vez que conozca la dirección rotativa del dado indique la figura que falta. Resolución: - En la fila (1) el giro es hacia abajo en torno a la cara de los 3 puntos. - En la fila (2) el giro es hacia la derecha en torno a la cara de los 4 puntos. - En la fila (3) el giro es hacia arriba en torno a la cara de los 4 puntos. 7.1. Ejercicios con dados Observe la siguiente secuencia de dados y seleccione la respuesta correcta. Las caras de los dados tienen una secuencia, la respuesta es la B. Un juego de dados es un ejercicio de habilidad mental que requiere agudeza visual, ya que en cada una de las seis caras de los dados hay signos diferentes y siguen una dirección, la cual hay que descubrir. En estos ejercicios no existen secuencias numéricas, el secreto consiste en descubrir la manera en la que el dado gira, es decir su eje. 7.2. Ejercicios propuestos A continuación presentamos algunos ejercicos para resolver, en los cuales hay que señalar la figura que continua la sucesión. 1. 2. 3. 4. 105 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 106 A B 14. A B e D A e 16. B D A e B D Capítulo 8 Dominó Al igual que en otras pruebas de razonamiento matemático como dados, en dominós debemos detectar el orden lógico que siguen las dos secciones de las fichas presentadas. Este tipo de actividades es muy utilizada al examinar la capacidad de razonamiento lógico, ya que es un ejercicio mental que consiste en encontrar números que faltan en los casilleros en blanco. Para hallar estos números debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. Los números de una ficha de dominó varían del 0 (ficha en blanco) al 6. 2. Las relaciones pueden ser de: repetición, aumento, sumas, restas, etc. Por ejemplo: Ejemplo A ¿Qué ficha de dominó completa la figura? Ejemplo B ¿Qué ficha de dominó completa la figura? La opción correcta es el literal A, ya que mientras la sección superior sigue un orden creciente (+2), la inferior lo sigue en orden decreciente (-1). 8.1. Ejercicios Resueltos ¿Qué ficha de dominó completa la serie? 1. 2. En cada columna, y además en cada fila, se encuentra la misma serie de fichas de dominó en un orden diferente. Las columnas se encuentran en sentido vertical, las filas se encuentran en sentido horizontal. En cada línea, el valor de la parte superior de la ficha se obtiene sumando los dos valores precedentes: 1 + 5 = 6, 0 + 4 = 4, 4 + 1 = 5. Los valores de la parte inferior forman una progresión: 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 0. 3. El uno está presente en todas las fichas de dominó, una vez arriba, una vez abajo. A partir del tres, la figura presenta una sucesión de números: 3, 4, 5, 6, 0, 1. 4. En el exterior los valores forman una sucesión creciente que salta cada vez un número: 0, (1), 2, (3), 4, (5), 6, (0), 1, (2) y 3. En el interior, la suma de los valores que están cara a cara es siempre igual a 5: 3 + 2 = 5, 4 + 1 = 5, 5 + 0 = 5 5. A partir del 1 superior, girando en el sentido de las agujas del reloj y alternando exterior e interior, la sucesión es creciente y salta un valor cada vez: 1 (2) 3 (4) 5 (6) 0 (1) 2 (3) 4 A partir del 1 inferior, girando en el sentido de las agujas del reloj y alter- nando interior y exterior, la sucesión de los valores es decreciente y salta un número cada vez: 1 (0) 6 (5) 4 (3) 2 (1) 0 (6) 5 6. Partiendo del 3 de la ficha de dominó 3/6 de la derecha, la progresión se establece como sigue: 4 es el primer valor después de 3. 6 es el segundo valor después de 4. 2 es el tercer valor después de 6. 6 es el cuarto valor después de 2. 4 es el quinto valor después de 6. (3) es el sexto valor después de 4. A partir del 6 de la derecha la sucesión es creciente: 6, 0, 1, 2, 3, 4, (5). 7. Partiendo del primer valor de 0, la sucesión es decreciente: 0, 6, 5, 4, 3, 2, (1). A partir del segundo valor de 0, la progresión se establece como sigue: 6 es el primer valor antes de 0. 4 es el segundo valor antes de 6. 1 es el tercer valor antes de 4. 4 es el cuarto valor antes de 1. 6 es el quinto valor antes de 4. 0 es el sexto valor antes de 6. 8. A partir de la ficha de dominó 6/4 y en un sentido contrario a las agujas del reloj, hay dos series distintas para cada mitad de las fichas. En la primera, cada valor está separado del siguiente por otro valor: 6 (0) 1 (2) 3 (4) 5 (6) 0 (1) 2. En la segunda, cada valor está separado del siguiente por otros dos valores: 4 (5, 6) 0 (1, 2) 3 (4, 5) 6 (0, 1) 2 (3, 4) 5. 9. El valor de la mitad superior de la ficha de dominó de la derecha es siempre igual a la suma de los valores de las mitades superiores de las dos fichas de dominó que la preceden: 1 + 4 =5; 4 + 0 = 4; 5 +1 = (6). Los valores de las mitades inferiores de las fichas de dominó representan una progresión decreciente: 6, 5, 4, etc. Capítulo 9 Razonamiento Abstracto La prueba de Razonamiento Abstracto consiste en medir, en algún grado, la habilidad de las personas frente a una serie de procesos lógicos cuyo objetivo es determinar su secuencia. 9.1. Sucesiones Gráficas Las pruebas de Sucesiones Gráficas son las más comúnmente utilizadas en los procesos de selección para evaluar el Razonamiento Lógico. En ellas se presentan una sucesión de figuras (normalmente geométricas) que van encadenadas basándose en alguna regla lógica. La tarea requerida al candidato es analizar cuál es esa relación y completar la sucesión con la incorporación de una nueva figura. Las sucesiones gráficas son un conjunto ordenado de las figuras que se distribuyen de acuerdo a los siguientes criterios: - Criterio de giro. Horario (hacia la derecha) ó antihorario (hacia la izquierda). - Criterio de aparición y/o desaparición de elementos de la figura. - Unión y/o intersección de figuras. - Otros. 9.1.1. Ejercicios Resueltos 1. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Observamos que la línea oblicua gira en sentido horario. Por lo tanto, la figura que continúa a la cuarta corresponde al literal A. Existe un sólo elemento móvil: el triángulo negro, el cual se mueve en sentido antihorario. Por lo tanto, la figura que continúa a la cuarta corresponde al literal C. 3. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Tenemos dos elementos que se mueven: el círculo gira en sentido horario, mientras que la línea sólo se mueve en sentido diagonal. Podemos ver que los elementos coinciden. Por lo tanto, la figura que sigue a la tercera corresponde al literal C. 4. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Tenemos dos líneas. La primera se mantiene fija en posición vertical. La segunda se mueve en sentido antihorario, moviéndose a razón de 45º en cada posición. Por lo tanto, la figura que sigue a la tercera corresponde al literal B. El signo de la cruz gira en sentido horario, hasta que llega al centro. Mientras se mueve aparece en cada paso un nuevo elemento. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. 6. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. En cada casilla la figura aumenta una línea a la vez (1, 2, 3, ?). La figura de la cuarta casilla deberá estar formada por cuatro líneas. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. 7. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Después del primer casillero, se va aumentando dos líneas a la vez, es decir, en el primer casillero tenemos una línea, en el segundo tres, en el tercero cinco y en el cuarto tendríamos siete. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. Tenemos dos elementos móviles. Primero tenemos una figura que cambia de posición de esquina a esquina en sentido antihorario. En cada posición aumenta un lado a la vez. En segundo lugar tenemos una línea en forma de L, la cual igualmente gira en sentido antihorario. Esta figura, en cada casillero da una media vuelta, o lo que es lo mismo 180º. Por lo tanto, la figura que sigue es la D. 9. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Las rayas aumentan de 1 en 1, cambiando de posición de horizontal a vertical. Por lo tanto, la figura que sigue es la E. En este ejemplo no se toma en cuenta la posición de la figura triangular ni lo que intenta formar, sino que se cuentan las líneas. Como se puede ver empieza con 2, luego 4, 6 y la última deberá tener 8 líneas, ya que se tiene una secuencia de los números pares. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. 11. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La primera figura con la segunda no tienen ninguna relación. La secuencia es de tres figuras: la primera, tercera y quinta, por lo tanto hay que fijarse únicamente en la primera y tercera. Vemos que en cada paso la figura gira en sentido antihorario, y en cada vuelta da un giro de 45º. Por lo tanto, la figura que sigue es la B. Por el número de líneas en cada figura se cumple la siguiente sucesión que vemos en la figura. Por lo tanto, la figura que sigue es la A. 13. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Tenemos tres líneas representadas, para explicar, por el círculo, la cruz y el triángulo. El círculo y el triángulo se muevenm en sentido antihorario 45º. La cruz se mueve en sentido horario 45º. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. De manera consecutiva se cuentan 1, 2, 3 y 4 triángulos, para que luego continue una figura de 5 triángulos. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. 15. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. De manera consecutiva se cuentan 1, 2, 3 y 4 triángulos, para que luego continue una figura de 5 triángulos. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. 16. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. El cuadrado negro sigue una la trayectoria del contorno del cuadrado en sentido antihorario. La línea y el cuadrado blanco giran 90º, también en sentido antihorario. En la cuarta casilla, ambos elementos coinciden. El elemento que más se destaca es el cuadrado negro, por consiguiente, este se coloca encima del cuadrado blanco. Por lo tanto, la figura que sigue es la D. Los círculos forman un solo conjunto con las líneas. Toda la figura, en cada paso, gira una media vuelta en sentido horario. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. 18. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. El cuadrado negro siempre permanece debajo del cuadrado blanco y en cada paso alterna de posición: izquierda - derecha. Mientras esto pasa, toda la figura gira una media vuelta en cada paso. Por lo tanto, la figura que continua a la tercera corresponde al literal D. Existen dos elementos, el círculo y el cuadrado. El círculo permanece fijo, mientras que el cuadra- do en cada casilla da un cuarto de vuelta (90º) en sentido antihorario. El cuadrado junto con su línea se sitúan encima del círculo y su línea. Por lo tanto, la figura que sigue es la D. 20. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. En cada casilla las líneas dan una media vuelta. El círculo gira detrás de la cruz en sentido horario. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. Tenemos 2 elementos: el círculo blanco que se mueve en sentido horario y ocupa todos los vérti- ces, mientras que el círculo negro se mueve en sentido antihorario y ocupa sólo los vértices de las esquinas. Por lo tanto, la figura que sigue es la C. 22. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. El círculo se mueve en diagonal. Cuando llega al final, se salta al lugar donde empezó para continuar de nuevo. El triángulo negro gira en sentido horario, ocupando todas las esquinas. La flecha se mueve de 2 en 2, en sentido horario. Cada dos casillas se mueve 90º. La respuesta es la D. Al final tenemos: Como vemos existen tres elementos móviles: la cruz, el círculo y los cuadrados sombreados. Hay que analizarlos por separado. El movimiento de la cruz es en diagonal, de ida y venida. El movimiento del círculo es antihorario, y se ubica en las esquinas de la cuadrícula. Vemos que los cuadrados van saltando en sentido antihorario. Finalmente tenemos: La figura es un pentágono, un círculo y un pequeño cuadrado. Esta secuencia nos muestra dos movimientos, el del círculo y el del cuadrado. Movimiento del círculo: El círculo se mueve hacia la derecha pasando de la parte externa del pentágono al ángulo interior con cambio de color, es decir, el círculo es de color negro cuando se encuentra exteriormente al pentágono y de color blanco cuando se encuentra dentro de él. Luego sale de nuevo para colocarse en la mitad de un lado del pentágono. Este procedimiento se repite hasta que en la casilla del interrogante se halla en la parte externa y en la mitad del lado izquierdo superior. Movimiento del cuadrado: El cuadrado se mueve hacia la izquierda de vértice en vértica por la parte externa del pentágono. De acuerdo con esta secuencia, el cuadrado se encontrará, en la casilla del interrogante, en el vér- tice superior del pentágono. Combinando estas dos posiciones, la figura correspondiente a la casilla interrogante es la B. 26. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La figura son cuatro círculos, dos de ellos sombreados y colocados en vértices opuestos. Al pasar de una casilla a la otra se observa un giro de 90º y, además, en cada paso de los círculos blancos ganan un punto alternadamente. Esto nos lleva a que la figura que corresponde a la del interrogante es la E. La figura representa una circunferencia con sus cuadrantes e incluidos a ella un cuadrado y un círculo pequeños. En este ejemplo, al dar el primer paso, se observa que hay intercambio de posiciones y de color entre el círculo y el cuadrado (obsérvese que este intercambio ocurre cada vez que se encuentran en cuadrantes opuestos por su vértice). Después de este intercambio, se da el segundo paso que consiste en el desplazamiento hacia la derecha del círculo blanco y el paso siguiente lo hace el cuadrado negro para quedar en cuadrante opuesto por su vértice, para que en el paso posterior se cumpla la secuencia anterior (observemos que cada vez que están en cuadrantes adyacentes, se da un giro hacia la derecha para quedar en cuadrantes opuestos y suceder el intercambio). Al seguir esta secuencia, se encuentra que la respuesta correcta es la E. 28. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La figura es un cuadrado dividido en dieciséis partes iguales (de cuatro por cuatro) con un parte sombreada y una diagonal o segmento. Esta secuencia nos muestra dos movimientos: Movimiento del cuadrado sombreado: se desplaza por su diagonal hasta el vértice opuesto para regresar de nuevo y repetir este ciclo. Movimiento de la diagonal: gira hacia la izquierda, de casilla 45º. En la figura del interrogante estará como en la casilla inicial. Combinando estos dos movimientos, encontraremos que la figura del interrogante corresponde a la A. Teniendo en cuenta que los números en los extremos superior e inferior izquierdos de las dos primeras casillas aumentan en una unidad de izquierda a derecha, o 1 y 3; 2 y 4 de las dos primeras casillas, aumentan de dos en dos, la secuencia lógica de las cuatro primeras casillas, con los números que se dan, sería: Además de otras deducciones que usted puede lograr, se puede observar repeticiones 3,3; 4,4; 6,6, de donde: De lo anterior, teniendo en cuenta los números: 4,6,5; 3,5,4 y 6,8,7, de las casillas tres, cuatro y cinco, lo lógico a seguir sería: Por consiguiente las últimas cuatro casillas tienen la siguiente secuencia: Por lo tanto la respuesta correcta es la D. 9.2. Matrices de Figuras En este sistema es usual que los elementos (o partes de ellos) de las casillas horizontales aumenten (o disminuyan), en tanto que los de las verticales disminuyan (o aumenten), al mismo tiempo que giran en el mismo sentido (o en sentidos opuestos) determinado número de grados. En este capítulo usted encontrará matrices compuestas sólo por figuras geométricas. A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos para entender este tema. 1. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. En la casilla 1 (tanto horizontal como vertical) hay una recta vertical en cuyo extremo superior hay un círculo negro, y en el inferior, dos pequeñas rayas paralelas. En la casilla 2 de la primera fila horizontal el elemento ganó una raya paralela y giró 90º en sentido horario. Por consiguiente, se deduce que el elemento de la casilla 3 gana otra raya y gira 90º, así: El mismo análisis se hace para las casillas 2 y 3 de la segunda fila horizontal: los elementos ganan una raya y giran 90º de una casilla a otra. Para las casillas verticales la secuencia, según la casilla 2 de las tres filas verticales es: el elemento pierde una raya y gira 45º, en sentido horario, de una casilla a otra. Por tanto, la casilla 3 de las filas verticales quedaría así: 2. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La figura es una pala, un círculo negro y uno blanco. Al terminar la primera secuencia horizontal se observa que, en la tercera casilla, el círculo blanco ha pasado al vértice opuesto, el círculo negro permanece en su lugar y la pala se ha invertido sin contener al círculo negro. En la secuencia vertical todo el sistema gira 90º hacia la derecha, de tal modo que en la última casilla de la primera secuencia vertical, todo el sistema se encuentra dirigido hacia el vértice supe- rior derecho. A partir de esta casilla, y siguiendo la última secuencia horizontal, encontraremos que en la casilla del interrogante, el círculo blanco debe estar en el vértice inferior izquierdo, el círculo negro en el centro y la pala con su segmento dirigido hacia el vértice superior derecho sin contener al círculo negro. Esta figura corresponde a la A. A continuación, la tercera secuencia horizontal: En esta figura se observa un desplazamiento antihorario y bordeando los lados del cuadrado, de las letras X. Este desplazamiento se hace de cuadro en cuadro, en la secuencia horizontal. En la secuencia vertical el desplazamiento corresponde a los cuadrados negros de acuerdo a las manecil- las del reloj y de cuadro en cuadro. La figura correspondiente a la tercera casilla vertical será: A partir de esta figura el desplazamiento de las X será de acuerdo con la secuencia horizontal y la figura correspondiente al interrogante será la A. A continuación se da la tercera secuencia horizontal: 4. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. A continuación mostramos la secuencia horizontal: Según la secuencia vertical todo el sistema de las circunferencias internas al triángulo giran 45º en sentido antihorario y el círculo pequeño no varía de posición tal como se muestra en la figura, luego siguiendo la secuencia horizontal se observa que la parte sombreada pasa a la mitad y por último al círculo más interno. El punto pasa de un ángulo del triángulo al otro en sentido horario. Respuesta D. 5. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Los elementos pequeños, la x, el cuadrado y el círculo tienen tres movimientos; primero en el centro de la figura que lo contiene, luego en el borde de la figura y finalmente se coloca afuera de la figura. En la tercera casilla el círculo deberá estar afuera del triángulo. Pero, además, vemos que la x se mueve en sentido horizontal, el círculo en sentido vertical, por lo que, deducimos que el círculo dentro del triángulo se mueve en el tercer sentido posible, diagonal. La respuesta es la opción B. Se observa que verticalmente se sombrea un círculo y aparece otro sin sombrear exactamente debajo del sombreado, para que en la tercera secuencia horizontal y de acuerdo con sus variaciones, quede: 7. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La fila del centro nos ayuda a descifrar la secuencia. Los elementos de arriba (la cruz, el rombo y el círculo) son más pequeños que los de abajo. En cada fila alternan su orden, por lo tanto en el casillero desconocido deberá ir la cruz. Mientras que en la parte de abajo vemos que se repite el mismo elemento, el cual debe ser en una casilla negro y en las siguientes dos blanco, por lo tanto en el casillero desconocido el cuadrado deberá ser blanco. La solución es el literal D. 8. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La figura es una circunferencia dividida en seis partes, con una sombreada y un signo menos, un signo más y un pequeño círculo, todos ellos incluidos a un sector de la circunferencia. En la secuencia horizontal se observa un desplazamiento del signo menos, del signo más y del pequeño círculo de sector en sector hacia la derecha. El sector sombreado permanece en su lugar. En la secuencia vertical, lo único que se desplaza, de sector en sector hacia la derecha es la parte sombreada. Combinando adecuadamente estas dos secuencias, encontraremos que la figura del interrogante corresponde a la C y que la tercera secuencia horizontal es: 9. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. En sentido vertical no existe ninguna relación. En sentido horizontal según la primera fila, vemos que el círculo y la línea, en cada paso, se sitúan al borde de la casilla, justo en el centro. Giran en sentido antihorario, el círculo mantiene su tamaño y la línea varía su tamaño en cada paso, empezando grande, luego mediana para finalmente quedar pequeña. La tercera fila queda de la siguiente manera: La respuesta es el literal D. En sentido vertical no existe ninguna relación. En sentido horizontal según la primera fila, vemos tres elementos, cada uno ocupando su respectiva casilla: 1) el triángulo con una línea, 2) el cuadrado con dos líneas y 3) el círculo con tres líneas. Observamos también que en cada fila deben cumplirse tres posiciones, una en cada casilla: 1) normal, 2) 90º y 3) 180º. Por lo tanto, en el casillero desconocido, debe estar el triángulo y su línea con un giro de 180º. El giro no importa si es hacia la derecha o izquierda. 11. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Dentro de cada casilla tenemos dos figuras que son iguales pero se encuentran en posiciones difer- entes, la figura de la izquierda y la figura de la derecha se mueven de la siguiente forma: En sentido horizontal, la figura de la izquierda permanece fija, mientras que la figura de la derecha, en cada casilla, gira 90º en sentido horario. En sentido vertical, la figura de la derecha permanece fija, mientras que la figura de la izquierda, en cada casilla, gira 90º en sentido antihorario. Por lo tanto la tercera fila queda de la siguiente forma: La respuesta es la casilla B. 12. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. Este es un ejemplo en el cual, la relación que se cumple es la misma tanto en sentido horizontal como vertical. Según vemos se deben cumplir tres estados en cada fila, por una parte en los ojos y por otra en la boca. La boca debe estar en tres estado: sonriendo, triste y normal. No importa el orden. Los ojos deben estar: el uno abierto y el otro cerrado, el que estuvo abierto ahora cerrado y visce- versa, los dos ojos abiertos. No importa el orden. La respuesta es la casilla C. En sentido vertical no existe relación. En sentido horizontal tenemos que en cada fila existen dos elementos: la figura central y la figura de la esquina. La figura central permanece fija, sólo se mueven las líneas que se encuentran encima de la figura, en sentido horario cada 45º. La figura de la esquina, sólo se mueve de esquina en esquina, también en sentido horario. La respuesta es la A. 14. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. En sentido vertical no encontramos relación. En sentido horizontal tenemos una suma de figuras, pero para entender mejor necesitamos completar las tres casillas. Analizando los casilleros: 15. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. De izquierda a derecha y en cada línea, la corona exterior cambia de color en primer lugar, y después lo hace junto con la corona de en medio. El centro permanece invariable. En cada línea, cada figura está compuesta por tres elementos dispuestos en un orden diferente; el cuadrado es negro cuando está en el centro, el círculo lo es cuando está colocado arriba y el trián- gulo cuando está abajo. 17. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. En cada línea, la figura de la derecha se obtiene superponiendo las dos figuras precedentes y eliminando las rayas comunes a ambas figuras. 9.3. Analogía de Figuras En este tipo de situaciones, el objetivo es buscar una relación entre las dos primeras figuras, y luego buscar entre las alternativas, la figura que tenga la misma relación con la tercera figura. Por ejemplo, determinar la siguiente interrogante: es a como es a A) B) D) C) E) Resolución: La analogía existente en este problema es que el triángulo grande sombreado se reduzca de tamaño y se quite lo sombreado, luego, aplicando esta misma relación al círculo, concluiremos que la respuesta es la A. A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos de analogías con figuras. 1. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La relación nos indica que la figura debe cambiar de posiciones y tamaño. La respuesta es la C. La relación nos indica que la figura debe girar 180º. La respuesta es la B. 3. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La relación nos indica que cada par se interseca. La respuesta es la C. La segunda figura gira 90º antihorario. El eje horizontal se mantiene. Los elementos cambian de posición. En la segunda figura, el elemento grande tiene un centro pequeño de la misma forma y posición. Respuesta: B. 5. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La segunda figura está reducida a la mitad con relación a la primera. El elemento interior pasa al exterior y da un cuarto de vuelta. Todas las superficies cambian de color. Respuesta E. En cada pareja, la figura gira 90º en el sentido de las agujas del reloj. 7. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La figura gira 180º en el sentido de las agujas del reloj. El rectángulo, como el círculo, cumple cada vez un cuarto de vuelta y los colores de las superficies (blancoy gris) se van invirtiendo. 9. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La figura gira 180º en el sentido de las agujas del reloj. En la segunda figura se invierten los colores en relación con la primera. La respuesta es la casilla B. 11. Señalar la figura que continua en la sucesión que se presenta. La segunda figura presenta los mismos elementos, pero su posición y su tamaño están invertidos. La respuesta es la casilla B. El elemento central sigue en el mismo lugar y cambia de color. Los elementos de arriba y abajo intercambian su posición. La respuesta es la casilla B. Capítulo 10 Construcción de Figuras En cada uno de estos ejercicios se presenta un modelo o patrón (a la izquierda) que es el desarrollo en superficie (planta de una figura de tres dimensiones). A continuación aparecen 4 figuras que se designan con las letras A, B, C y D. Una de ellas, y sólo una, se ha formado doblando el modelo. Su trabajo consiste en averiguar cuál es esa figura. El modelo siempre representa la parte exterior de la figura. Por ejemplo, si usted desmonta un cubo, se obtendrá el siguiente plano: La siguiente figura debe formar un cubo, el cual posee tres caras con cruces: Solución: No es correcto porque las tres caras en blanco deben estar en una línea. No es correcto porque las tres caras con cruz no deben estar separadas sino en línea recta. Si puede ser porque las dos cruces que faltan no pueden verse pero estarían en línea. 1. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 2. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 3. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 4. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 6. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 7. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 8. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 10. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 11. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 12. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 14. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 15. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 16. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 18. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 19. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 20. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 22. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 23. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 24. Señalar la figura que representa al objeto desarmado. 1. Señalar la figura que resulta de la diferencia. 2. Señalar la figura que resulta de la diferencia. 3. Señalar la figura que resulta de la diferencia. 4. Señalar la figura que resulta de la diferencia. 6. Señalar la figura que resulta de la diferencia. 7. Señalar la figura que resulta de la diferencia.
