APUNTES DE INEGENERIA ECONOMICA NECHB

INGENIERÍA ECONÓMICA
Competencias específicas de la asignatura:
Aplica las herramientas de ingeniería económica para establecer estrategias que apoyen la
planeación, control y toma de decisiones para optimizar los resultados de la organización de tal
forma que ayuden en la solución de problemas financieros de forma efectiva.
Competencias previas:
- Resuelve problemas de modelos lineales aplicados a la Ingeniería para la toma de decisiones de
acuerdo a la interpretación de resultados, utilizando matrices y sistemas de ecuaciones.
- Analiza el desarrollo de su disciplina, para conocer sus aspectos sobresalientes en los ámbitos
local, nacional e internacional con fundamento en la investigación científica.
UNIDAD 1 “FUNDAMENTOS BÁSICOS DE INGENIERÍA ECONÓMICA”
1.1 Concepto de Ingeniería Económica.
1.2 Interés simple e interés compuesto.
1.3 Equivalencia y diagrama de flujo.
1.4 Factores de interés y su empleo: factor de pago único, factor valor presente, factor valor
futuro, factor de serie uniforme, factor de gradiente, factor múltiple.
Competencias Específicas:
Determina el interés simple y compuesto en los diferentes tipos de préstamos para analizar los
cambios de las variables que intervienen en su obtención.
Competencias Genéricas:
- Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y comunicación
- Capacidad de investigación
- Capacidad de análisis y síntesis
- Capacidad de comunicación profesional con otras áreas
- Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente
- Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.
Actividades de aprendizaje:
- Identificar el concepto de ingeniería económica y sus elementos para elaborar un mapa
conceptual.
- Debatir los conceptos de ingeniería económica, presentar en clase los resultados y unificando
criterios.
- Realizar un mapa conceptual explicando el interés simple e Interés compuesto, equivalencia
financiera y diagramas de flujo de efectivo.
- Realizar una Investigación documental sobre los factores de: interés, pago único, valor presente,
valor futuro, serie uniforme, gradiente, y múltiple.
- Resolver ejercicios prácticos utilizando hoja de cálculo o calculadora financiera para conformar
un problemario financiero.
1
TRABAJO EN EQUIPO DE LA PRIMERA UNIDAD. VALOR: 20%
Realizar una investigación documental. Todas las citas en el trabajo deben aparecer en la lista de
referencias y todas las referencias deben ser citadas en el texto empleando el estilo APA 6ª.
Edición para el desarrollo de este informe:
1. Introducción
a) Importancia de la Ingeniería Económica para los ingenieros y otros profesionales
b) Papel de la Ingeniería económica en la toma de decisiones
2. Conceptos generales:
a) Ingeniería económica
b) Interés simple
c) Interés compuesto
d) Capital
e) Vida útil
f) Valor de salvamento
g) Anualidad
h) Tasa de interés
i) Equivalencia
j) Diagrama de flujo
3. Factores de interés y su empleo
a) Factores de pago único (F/P y P/F) y un ejemplo de cada uno.
b) Factores de valor presente y de recuperación de capital en series uniformes (P/A y A/P) y
un ejemplo de cada uno
c) Derivación del factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta serie
uniforme (A/F y F/A) y un ejemplo de cada uno.
d) Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) y un ejemplo de cada uno.
e) Factores para series gradiente geométrico
4. Desarrollar un mapa conceptual del tema
5. Desarrollar un mapa de imágenes
6. Conclusiones generales del tema
7. Referencias bibliográficas
8. Sitios consultados
Conceptos:
Ingeniería económica: es una especialidad que integra los conocimientos de ingeniería con los
elementos básicos de la microeconomía. Su principal objetivo es la toma de decisiones basada en
las comparaciones económicas de las distintas alternativas tecnológicas de inversión.
Interés simple: se refiere a los intereses que producen un capital inicial en un periodo de tiempo,
el cual no se acumula al capital para producir los intereses del siguiente periodo.
Interés compuesto: se presenta cuando los intereses obtenidos al final del periodo de inversión o
préstamo no se retiran o pagan sino que se reinventan y se añaden al capital principal.
Capital: elemento necesario para la producción de bienes de consumo y que consiste en
maquinarias, inmuebles u otro tipo de instalaciones.
2
Vida útil: es la duración estimada que un objeto puede tener, cumpliendo correctamente con la
función para el cual ha sido creado.
Valor de salvamento: se refiere al valor estimado de un activo después de que se ha dado tanta
utilidad para el propietario como sea posible.
Anualidad: es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, que generalizan en periodos regulares
de tiempo, con interés compuesto. El término no implica que las rentas tengan que ser anuales,
sino que se da a cualquier secuencia de pagos.
Tasa de interés: hace referencia al costo que tiene un crédito o bien a la rentabilidad de los
ahorros. Se trata de un término que permite describir al provecho, utilidad, valor o la ganancia de
una determinada cosa o actividad. Usualmente se maneja en porcentaje.
Introducción a la Ingeniería Económica
1.1 Concepto de ingeniería económica
La Ingeniería Económica es una especialidad que integra los conocimientos de ingeniería con
los elementos básicos de la microeconomía. Su principal objetivo es la toma de decisiones
basada en las comparaciones económicas de las distintas alternativas tecnológicas de
inversión. Las técnicas empleadas abarcan desde la utilización de planillas de cálculo
estandarizadas para evaluaciones de flujo de caja, hasta procedimientos más elaborados, tales
como análisis de riesgo e incertidumbre, y pueden aplicarse tanto a inversiones personales
como industriales.
En las economías emergentes, existen dificultades reales respecto al entendimiento práctico y a la
aplicación de conceptos claves como la depreciación (amortización), la financiación y formación de
costos, particularmente cuando se trata con industrias pequeñas y medianas. Esta situación
ciertamente impide la posibilidad de actividades autosustentables, muy frecuentemente impide la
introducción de las necesarias mejoras técnicas y contribuye al desgaste de los recursos humanos
y financieros. (Tecnológico de estudios superiores del oriente del estado de México)
Los empresarios y los especialistas de la ingeniería económica se interrogan frecuentemente
respecto a lo siguiente:
- ¿Qué diseño se elige entre varias alternativas similares?
- ¿Debe reemplazarse el equipo en uso por uno nuevo?, y en caso afirmativo, ¿cuándo debe
sustituirse?
- ¿Los beneficios esperados del proyecto son suficientes para justificar la inversión?
¿Es preferible un proyecto conservador y más seguro o uno de mayor riesgo que ofrece beneficios
superiores?
3
Estas preguntas poseen características comunes:
1) cada una implica una selección entre opciones técnicas
2) todas involucran consideraciones económicas.
Otras características menos evidentes, son los requerimientos de datos adecuados y el
conocimiento de las restricciones tecnológicas para definir el problema, identificar soluciones
posibles y determinar la solución óptima.
En consecuencia, el profesional debe considerar que el diseño y Operación de plantas industriales
y su evaluación económica constituyen un todo relacionado.
Finalmente, el término "inversión" es usado en este manual en un amplio contexto; puede estar
dirigido a: una gran planta, una línea de procesamiento, un cambio en la línea de procesamiento,
al desarrollo de un nuevo producto, la decisión entre dos o más tecnologías diferentes para
obtener el mismo producto, al análisis de una operación aislada (por ej., el mantenimiento del
pescado en hielo), la introducción de un nuevo sistema de control de calidad, etc. Al mismo
tiempo, el término "inversión" es usado independientemente del nivel de inversión y de la fuente
de financiamiento.
¿Por qué aplicar la Ingeniería Económica a la pequeña y mediana empresa?
La industria pequeña tiene actividades variadas que cubren todos los aspectos del espectro
empresarial. Por ejemplo, comprar insumos, solicitar préstamos, pagar mano de obra, planificar el
futuro y obtener beneficios. Estos mecanismos se observan en todo el sistema de una
microempresa: captura, procesamiento y comercialización.
Un objetivo esencial, desde un punto de vista económico, es ser económicamente
autosustentable, por ej., recuperar los recursos invertidos y generar un beneficio dentro de un
tiempo razonable. El logro de este objetivo es una condición necesaria porque sin éste, el proyecto
no sería viable, y fracasaría cuando los capitales iniciales se acabaran, o cuando los subsidios
cesaran. La mayor parte de este Manual está dedicado al análisis de este objetivo. Sin embargo, no
se olvida que en el caso de la industria mediana existen otras condiciones necesarias para la auto
sustentabilidad.
El más evidente es la necesidad de una administración racional de los recursos económicos y del
medio ambiente.
El éxito económico de un proyecto y su operación real no son en sí mismas condiciones suficientes
para la inversión; sin embargo, ambas condiciones son necesarias. En este contexto, la ingeniería
económica aplicada a la industria mediana y pequeña aparece como una contribución útil para
ayudar a la administración y a la sustentabilidad del sector, particularmente en los países en vías
de desarrollo.
En este manual, se presenta un análisis global de los factores más importantes que intervienen en
la producción y en el diseño de las operaciones y procesos, asociadas con la misma, con particular
énfasis en los aspectos económicos de las industrias medianas tanto en la captura como en el
4
procesamiento industrial. Se estudian tanto cualitativa como cuantitativamente, las inversiones en
bienes de capital, los costos de producción y la rentabilidad asociada con ellos. Por último, se
presenta un análisis microeconómico de la producción.
¿Cuáles son las limitaciones de la metodología propuesta?
El análisis de la microeconomía depende de los modelos (y/o ideologías) y en consecuencia, está
determinado por las limitaciones propias de los modelos o porque las condiciones de aplicación de
los referidos modelos no coinciden con la situación dada. Las políticas específicas pueden diferir
aún en los países que adoptan el mismo sistema político general y afectar los análisis económicos
de diferentes formas (por ej., qué método de depreciación es permitido, o qué impuestos se
aplican). Un profundo estudio de todas las posibilidades queda fuera del propósito de este
manual, aunque se analizan algunos aspectos.
¿Por qué es tan importante la ingeniería económica?
Porque prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se
tomen cambian la vida de las personas poco y en algunas ocasiones considerablemente. Por
ejemplo, la compra en efectivo de una camisa nueva aumenta la selección de ropa del comprador
cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en ese momento. Por otra
parte, el comprar un automóvil nuevo y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones
nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida
que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos,
lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la
camisa o el automóvil.
Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaciones y
los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar
decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Estas son decisiones de cómo
invertir en la mejor forma los fondos, o el capital de la Compañía y sus propietarios. El monto del
capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible
de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la
esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser una vez
más, económicos y no económicos, lo mismo tangibles que intangibles.
1.2 Interés simple e interés compuesto
Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés, son útiles para el cálculo de sumas
equivalentes de dinero para un periodo de interés en el pasado y un periodo en el futuro. Sin
embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto
resultan importantes.
El interés simple se calcula utilizando solo el principal, ignorando cualquier interés causado en los
periodos de interés anteriores. El interés simple total durante diversos periodos se calcula como:
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Interés = (principal) (número de periodos) (tasa de interés)
En donde la tasa de interés está expresada en forma decimal.
Ejemplo: Si se obtiene un préstamo de $1000 para pagar en 3 años a una tasa de interés simple del
5% anual. ¿Cuánto dinero se pagará al final de los tres años?
Interés anual = $1000 * 0.05 = $50
Interés por los tres años = $50 * 3 = $150
Total a pagar al final de los 3 años = $1000 + $150 = $1150
Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el
principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Por lo tanto,
el interés compuesto significa un interés sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del
dinero en el tiempo también sobre el interés. El interés compuesto para un periodo de tiempo se
calcula:
Interés = (principal + todo el interés causado) (tasa de interés)
Ejemplo: Si se obtiene un préstamo de $1000 al 5% anual compuesto, calcule la suma total a pagar
después de los tres años.
Interés año 1 = $1000 * 0.05 = $50
Suma después del año 1 = $1050
Interés año 2 = $1050 * 0.05 = $52.50
Suma después del año 2 = $1102.50
Interés año 3 = $1102.50 * 0.05 = $55.13
Suma después del año 3 = $1157.63
Interés compuesto y simple ejemplos:
Un banco presta $10,000 pesos con una tasa de interés del 10% a 5 años, entonces:
Capital: $10,000
Tasa: 10%
Vida útil: 5 años
6
INTERÉS COMPUESTO
Año
Cantidad Inicial
0
1
2
3
4
5
0
10,000
11,000
12,100
13,310
14,641
Interés generado
(10%)
0
1,000
1,100
1,210
1,331
1,464.1
Cantidad final.
Interés generado
(10%)
0
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
Cantidad final.
10,000
11,000
12,100
13,310
14,641
16,105.1
INTERÉS SIMPLE
Año
Cantidad Inicial
0
1
2
3
4
5
0
10,000
11,000
12,000
13,000
14,000
10,000
11,000
12,000
13,000
14,000
15,000
DIAGRAMA DE FLUJO
Concepto
Vida útil
Presente
Tasa de interés
Futuro
Ingreso (+)
Término
n
P
i
F
Egreso (-)
i= 10% anual
0
F=16,105.1
1
2
3
4
5
P= 10,0000
7
1.3 Equivalencia y diagrama de flujo
Concepto de equivalencia
Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a
desarrollar el concepto de equivalencia, el cual significa que sumas diferentes de dinero en
momentos diferentes son iguales en valor económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es de
6% anual, $100 hoy serían equivalentes a $106 en un año a partir de hoy ó $94.34 hace un año
Diagrama de flujo
El concepto de flujo de caja se refiere al análisis de las entradas y salidas de dinero que se
producen (en una empresa, en un producto financiero, etc.), y tiene en cuenta el importe de
esos movimientos, y también el momento en el que se producen. Estas van a ser las dos
variables principales que van a determinar si una inversión es interesante o no.
Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia
arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso. Estas flechas se
dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio
que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la duración
de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés.
La presentación gráfica de sistemas es una forma ampliamente utilizada como herramienta de
análisis, ya que permite identificar aspectos relevantes de una manera rápida y simple. Una
esfera donde esta técnica puede ser utilizada con éxito es en la elaboración del Manual de
Normas y Procedimientos, ya sea para la asistencia al proceso de dirección o para la
comprobación del adecuado cumplimiento de los Principios de Control Interno en las
entidades subordinadas.
Una de las vertientes del Control Interno se encuentra en la dirección que, desde el punto de
vista sistémico, tiene como elementos básicos las funciones de planificación, organización,
mando y control, todas las cuales tienen como elemento común, al margen del estilo utilizado
en la entidad: el proceso de toma de decisiones, donde rapidez y calidad en la decisión
compiten, por lo cual el empleo de adecuadas representaciones gráficas de las situaciones
bajo análisis, constituye una herramienta ventajosa para el órgano de dirección.
Tipos de Diagramas
Conceptualmente, los diagramas tienen como objetivo fundamental garantizar la modelación,
tanto lógica (representación del sistema basado en la función que realiza, en lo que hace),
como física (representación del sistema en una forma real: departamentos, soportes, etc) del
objeto de estudio y de acuerdo a sus características pueden clasificarse en: árboles de
decisión, organigramas, diagramas de flujo y otros.
De manera resumida, los árboles de decisión consisten en una herramienta gráfica donde se
recogen las condiciones y las acciones relacionadas con el desarrollo de una actividad; en
tanto los diagramas de flujo constituyen la representación de un sistema, que lo define en
términos de sus componentes y de las relaciones entre éstos.
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1.4 Factores de interés y su empleo
Factor de cantidad compuesta pago único (FCCPU) o factor F/P:
F = P (1+i)n
Factor de valor presente, pago único (FVPPU) o factor P/F:
P = F [1 / (1+i)n]
Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A:
P = A [(1+i)n-1 / i(1+i)n]
Factor de recuperación del capital (FRC) o factor A/P:
A = P [i(1+i)n / (1+i)n-1]
Factor del fondo de amortización (FA) o factor A/F:
A = F [i / (1+i)n-1]
Factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU) o factor F/A:
F = A [(1+i)n-1 / i]
VALOR PRESENTE
Para identificar factores es más sencillo utilizar la notación estándar de los nombres de los
factores y ésta será utilizada en lo sucesivo:
Nombre del factor notación estándar
Valor presente, pago único
(P/F,i,n)
Cantidad compuesta, pago único
(F/P,i,n)
Valor presente, serie uniforme
(P/A,i,n)
Recuperación del capital
(A/P,i,n)
Fondo de amortización
(A/F,i,n)
Cantidad compuesta, serie uniforme
(F/A,i,n)
La notación anterior es útil para buscar los valores de los factores involucrados los cuales se
establecen en las tablas correspondientes, por ejemplo:
(P/A,5%,10) es el factor utilizado en el cálculo de un valor presente, dado el valor de una
anualidad, con una tasa de interés del 5% y un valor de 10 periodos de capitalización. Este
factor, en las tablas correspondientes es igual a 7.7217
Si utilizamos la fórmula para calcular el valor de este factor (P/A), tenemos:
(P/A,5%,10) = [(1+i)n-1 / i(1+i)n]= (1.05)10-1 / 0.05(1.05)10= 7.7217
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Ejemplos de la utilización de factores:
Un contratista independiente realizó una auditoria de algunos registros viejos y encontró que
el costo de los suministros de oficinas variaba como se muestra en la siguiente tabla:
Año 0
$600
Año 1
$175
Año 2
$300
Año 3
$135
Año 4
$250
Año 5
$400
Si el contratista deseaba conocer el valor equivalente de las 3 sumas más grandes solamente,
¿Cuál será ese total a una tasa de interés del 5%?
F = 600(F/P,5%,10) + 300(F/P,5%,8)+400(F/P,5%,5) F=?
F = $1931.11
Otra forma de solucionarlo
P = 600+300(P/F,5%,2)+400(P/F,5%,5) = $1185.50
F = $1185.50(F/P,5%,10) = 1185.50(1.6289) = $1931.06
¿Cuánto dinero tendría un hombre en su cuenta de inversión después de 8 años, si depositó
$1000 anualmente durante 8 años al 14 % anual empezando en una año a partir de hoy?
F = A(F/A,14%,8) = 1000(13.2328) = $13232.80
¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a gastar ahora con el fin de evitar el gasto de
$500 dentro de 7 años a partir de hoy si la tasa de interés es del 18% anual?
P = F(P/F,18%,7) = 500(0.3139) = $156.95
¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a pagar ahora por una inversión cuyo retorno
garantizado será de $600 anual durante 9 años empezando el año próximo a una tasa de
interés del 16% anual?
P = A(P/A,16%,9) = 600(4.6065) = $2763.90
¿Cuánto dinero debo depositar cada año empezando dentro de 1 año al 5.5% anual con el fin
de acumular $6000 dentro de 7 años?
A = F(F/A,5.5%,7) = 6000(0.12096) = $725.76 anual.
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VALOR FUTURO
En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibida
luego de un número especificado de años pero se desconoce la tasa de interés o tasa de
retorno. Cuando hay involucrados un pago único y un recibo único, una serie uniforme de
pagos recibidos, o un gradiente convencional uniforme de pagos recibido, la tasa desconocida
puede determinarse para “i” por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el
tiempo. Sin embargo, cuando hay pagos no uniformes, o muchos factores, el problema debe
resolverse mediante un método de ensayo y error, ó numérico.
Ejemplo: Si Carolina puede hacer una inversión de negocios que requiere de un gasto de $3000
ahora con el fin de recibir $5000 dentro de 5 años, ¿Cuál sería la tasa de retorno sobre la
inversión?
P = F [1/(1+i)n]
3000 = 5000 [1 / (1+i)5] 0.600 = 1 / (1+i)5 i = (1/0.6)0.2-1 = 0.1076 = 10.76%
FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL ( A / P ) Y FONDO DE AMORTIZACIÓN ( A / F )
En el análisis económico del punto de equilibrio, algunas veces es necesario determinar el
número de años (periodos) requerido antes de que la inversión se pague. Otras veces se desea
saber cuándo determinadas cantidades de dinero estarán disponibles a partir de una inversión
propuesta. En estos casos, el valor desconocido es “n”; para encontrar esta variable pueden
utilizarse técnicas similares a aquellas que se utilizan para el cálculo de tasa de interés
desconocida.
Ejemplo: ¿Cuánto tiempo tardará duplicar $1000 si la tasa de interés de del 5% anual?
El valor “n” se puede determinar sea mediante el factor F/P o el factor P/F. utilizando el factor
P/F.
P = F(P/F,i,n)
1000 = 2000(P/F,5%,n)
(P/F,5%,n) = 0.500
Según la tabla de interés del 5%, el valor 0.5 bajo la columna P/F se encuentra entre 14 y 15
años. Por interpolación, n = 14.2 años.
Por logaritmos: Ln (1.05)n = Ln 2 … n = Ln 2 / Ln 1.05 = 14.21
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EJERCICIOS:
Formulas:
Futuro (F/P)
Presente (P/F)
𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝑃 = (1+𝑖)𝑛
𝐹
Ejemplo:
i= 10%
0
P= 10,0000
F=?
2
1
P=10,000
F=?
n=5
i=10%
3
4
5
*Se utiliza formula de F/P y
sustituimos
𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝐹 = 10,000 (1 + .10)5 = 16,105.1
F=16,105.1
EJERCICIOS:
1.- ¿Cuál sería la cantidad que se acumulara al final de seis años si se depositan hoy $5,000 en una
cuenta que ofrece el 8% de interés anual?
i= 8%
n=6
P=5,000
F=?
i=8%
2
1
0
F=?
3
5
4
6
P=5,000
𝐹 = 5,000 (1 + .08)6 = 7,934.3716
F=7,934.3716
2.- ¿Qué cantidad deberá depositarse hoy en una cuenta que ofrece el 8% anual para que se
puedan retirar $10,000 dentro de 6 años?
i=0.08
F=10,000
n=6 años
F=10,000
i=8%
0
P=?
1
2
3
4
5
6
*Se utiliza formula de P/F y
sustituimos
10,000
𝑃 = (1+0.08)6= 6301.69628
P=6301.69628
12
i= 6%
3.- F=?
P= 12,614
n= 4 años
i= 6% anual
1
0
F=?
2
3
4
P=12,614
𝐹 = 12,614 (1 + .06)4 = 15,924.88
4.-P=?
F= 26,582.40
n=7 meses
i= 7% mensual
0
F=15,924.88
i= 7%
mensu
al
2
3
1
F= 26,582.4
4
5
6
7
P=?
26,582.40
𝑃 = (1+0.07)7 = 16,554.19
P=16,554.19
5.-P=10,500
n= 12 años
i= 10%
F=?
F=?
0
1
2
4
3
10
12
11
P=10,500
𝐹 = 10,500 (1 + .10)12 = 11,831.66
P=11,831.66
FORMULA: Vida Útil (n)
log 𝐹⁄
𝑃
𝑛 = log(1+𝑖)
𝑛 log(1 + 𝑖) = log 𝐹⁄𝑃
EJEMPLOS:
1.- ¿Cuánto tiempo se necesitara para que $5,000 que hay en una cuenta que ofrece el 10% anual
se conviertan en $7,394?
P= 5,000
i= 10%
𝑛 log(1.1) = log 𝐹⁄𝑃 = 1.4788
F= 7,394
n=?
𝑛=
log 1.4788
= 4.11
log(1.1)
n= 4.11 años
13
2.- P= 10,500
𝑛 log(1.1) = log 𝐹⁄𝑃 = 3
F= 31,500
n=?
log 3
𝑛 = log(1.1) = 11.55
i= 10% anual
n= 11.55 años
FORMULA= Tasa de interés
log 𝐹⁄𝑃
𝑖 = 1 − 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔(
)
𝑛
EJERCICIO: Suma las siguientes cantidades del diagrama de flujo pasándolas a solo un tiempo en común
Recuerda: Cantidades en tiempos diferentes NO se pueden sumar
1.i= 8% anual
𝐹 = 800(1 + 0.08)6 =
F=1,269.49
𝐹 = 2,500(1 + 0.08)3 =
F= 3,149.28
800
n=6
2,500
n=3
1
0
3,000
n=8
𝐹 = 3,000(1 + 0.08)8 =
F= 5552.79
2
3
4
5,000
n=5
𝐹 = 5,000(1 + 0.08)5 =
F= 7346.64
5
1269.49+3149.28=
4,418.77 (+)
F=?
6
7
8
3,700
n=1
5552.79+7346.64+3996=
16,895.43 (-)
𝐹 = 3,700(1 + 0.08)1 =
F= 3996
Suma total= 4,418.77+ (-16,895.43)= -12,476.66 Cantidad que yo tengo a invertir
14
2.- i= 8% anual
3,500
(1 + 0.08)3
F= 54,026.88
𝑃=
54,026.88+2,381.49=
56,408.37 (+)
1
0
100,000
(1 + 0.08)8
F= 54,026.88
𝑃=
3,000
n=3
2
100,000
n=8
10,000
n=2
P=?
6
5
4
3
2,500
n=5
10,000
(1 + 0.08)8
F= 8,573.38
𝑃=
8
7
2,500
(1 + 0.08)5
F= 1,701.45
𝑃=
1,701.45+8,573.38=
8,573.38 (-)
Entonces si 56,408.37+(-10,274.83)= P=46,133.54 Cantidad que yo tengo a retirar
3.- i=10% anual
2000
(1 + 0.1)2
F= 1,652.89
65,000
(1 + 0.1)4
F= 44,395.87
𝑃=
𝑃=
2,000
n=2
1
0
1,500
n=5
𝐹 = 1,500(1 + 0.1)5 =
F= 2,415.76
3
2
3,000
n=2
𝐹 = 3,000(1 + 0.1)2 =
F= 3,630
4
5
6
7
65,000
n=4
8
9
¿?
46,048.76
+ (-6,045.76)=
40,003
Cantidad que
yo tengo en el
año 5
15
CAPITALIZACION DE INTERÉS
TASA DE CAPITALIZACIÓN
Las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma relación que entre sí guardan el
interés simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de interés efectivas se utilizan
cuando el periodo de capitalización (o periodo de interés) es menor a un año, por ejemplo 1%
mensual, deben considerarse los términos de las tasas de interés nominales y efectivas.
El diccionario define la palabra nominal como “pretendida, llamada, ostensible o profesada”.
Estos sinónimos implican que una tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real,
genuina o efectiva.
Las tasas de interés nominales deben convertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en
forma precisa, consideraciones del valor del tiempo. Antes de analizar las tasas efectivas, sin
embargo, es preciso definir la tasa de interés nominal, r, como la tasa de interés por periodo
por el número de periodos. En forma de ecuación,
R = tasa de interés del periodo * número de periodos.
Puede encontrarse una tasa de interés nominal para cualquier periodo de tiempo mayor que
el periodo originalmente establecido. Por ejemplo, una tasa de interés de una periodo que
aparece como 1.5% mensual también puede expresarse como un 4.5% nominal por trimestre.
La tasa de interés nominal obviamente ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia
con la cual se capitaliza el interés. Cuando se considera el valor del dinero en el tiempo al
calcular las tasas de interés a partir de las tasas de interés del periodo, la tasa se denomina
tasa de interés efectiva. De igual manera que fue válido para las tasas de interés nominales, las
tasas efectivas pueden determinarse para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo
establecido originalmente.
Para comprender la diferencia entre tasas de interés nominales y efectivas, se determina el
valor futuro de $100 dentro de 1 año utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12% de
interés compuesto anualmente, el valor futuro de $100 utilizando una tasa de interés del 12%
anual es:
F = P(1+i)n = 100(1.12)1 = $112.00
Por otra parte, si el banco paga un interés que es compuesto semestralmente, el valor futuro
debe incluir el interés sobre el interés ganado en el primer periodo. Una tasa de interés del
12% anual, compuesto semestralmente significa que el banco pagará 6% de interés después
de 6 meses y otro 6% después de 12 meses. Por lo tanto, los valores futuros de $100 después
de 6 meses y después de 12 meses son:
F6 = 100(1.06)1 = $106.00
F12 = 106(1.06)1 = $112.36
16
Donde 6% es la tasa de interés efectiva semestral. En este caso, el interés ganado en 1 año es
de $12.36 en vez de $12.00; por consiguiente, la tasa de interés efectiva anual es de 12.36% La
ecuación para determinar la tasa de interés efectiva a partir de la tasa de interés nominal
puede generalizarse de la siguiente manera:
i = (1 +r/m)m – 1
donde: i = tasa de interés efectiva por periodo
r = tasa de interés nominal por periodo
m = número de periodos de capitalización
Ejemplo de cálculo de tasas de interés efectivas:
Una tarjeta de crédito tiene una tasa de interés del 2% mensual sobre el saldo no pagado.
- Calcule la tasa efectiva por periodo semestral.
- Si la tasa de interés se expresa como 5% por trimestre, encuentre las tasas efectivas por
periodos semestrales y anuales.
Solución:
En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalización es mensual. Dado que se desea obtener
la tasa de interés efectiva por periodo semestral, la “r” debe ser la tasa nominal por 6 meses ó
r = 2% mensual * 6 meses (periodo semestral) = 12% por periodo semestral la “m” es igual a 6,
puesto que el interés estaría compuesto 6 veces en un periodo de 6 meses. Por lo tanto, la
tasa efectiva semestral es: i por cada 6 meses = (1 +0.12/6)6 - 1 = 0.1262 = 12.62%
Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo de capitalización es trimestral. Por
consiguiente, en un periodo semestral, m = 2 y r = 10%. En consecuencia,
i por cada 6 meses = (1 +10/2)2 - 1 = 0.1025 = 10.25%
La tasa de interés efectiva anual puede determinarse utilizando r = 20% y m = 4, de la siguiente
manera:
i por cada año = (1 +20/4)4 - 1 = .02155 = 21.55%
CÁLCULO DE PAGOS PERIÓDICOS
Cuando el periodo de capitalización de una inversión o préstamo no coincide con el periodo de
pago, se hace necesario manipular la tasa de interés y/o pago con el fin de determinar la
cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Recuerde que si el
pago y los periodos de capitalización no coinciden, no es posible utilizar las tablas de interés
hasta hacer las correcciones apropiadas. En esta ocasión analizaremos la situación en la cual el
periodo de pago (por ejemplo un año) es igual o mayor que el periodo de capitalización (por
ejemplo un mes). Dos condiciones pueden ocurrir:
17


Los flujos de efectivo requieren del uso de factores de pago único (P/F, F/P).
Los flujos de efectivo requieren el uso de series uniformes o factores de gradientes.
Factores de pago único
En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando
solamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos que
deben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i. y (2) las unidades en n
deben ser las mismas que aquéllas en i. en notación estándar de factores, entonces, las
ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera:
P = F(P/F, i efectivo por periodo, número de periodos)
F = P(F/P, i efectivo por periodo, número de periodos)
Por consiguiente, para una tasa de interés del 12% anual compuesto mensualmente, podrían
utilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de n que aparecen en la siguiente
tabla, en las fórmulas de pago único. Por ejemplo, si se utiliza la tasa efectiva equivalente por
mes para i (1%), entonces el término n debe estar en meses (12). Si se utiliza una tasa de
interés efectiva semestral para i, es decir (1.03)3 - 1 ó 3.03%, entonces n debe estar en
trimestres (4).
Tasa de interés efectiva
1% mensual
3.03% trimestral
6.15% semestral
12.68% anual
26.97% cada 2 años
Unidades para n
Meses
trimestres
semestres
años
Periodos de 2 años
El señor Hernández planea invertir su dinero en un depósito que paga el 18% anual compuesto
diariamente. ¿Qué tasa efectiva recibirá anual y semestralmente?
i anual = (1+0.18/365)365-1 = 19.72%
i semestral = (1+.09/182)182-1 = 9.41%
Si una persona deposita $1000 ahora, $3000 dentro de 4 años a partir de la fecha del anterior
depósito y $1500 dentro de 6 años a una tasa de interés del 12% anual compuesto
semestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años?
18
Solución: Suponga que se ha decidido utilizar una tasa de interés anual para resolver el
problema. Dado que solamente pueden ser utilizadas tasas de interés efectivas en las
ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con la tabla
anterior, para r = 12% y capitalización semestral, i efectivo = 12.36%, o mediante la ecuación:
i anual =(1 +0.12/2)2 - 1 = 0.1236 = 12.36%
Dado que i está expresado en unidades anuales, n debe estar expresado en años. Por lo tanto.
F = 1000(F/P,12.36%,10)+3000(F/P,12.36%,6)+1500(F/P,12.36%,4)
F = 1000(3.21)+3000(2.01)+1500(1.59)
F = $11625.00
Como el interés capitaliza semestralmente, si utilizamos la tasa de interés efectiva semestral,
obtenemos el siguiente resultado:
F = 1000(F/P,6%,20)+3000(F/P,6%,12)+1500(F/P,6%,8)
F = 1000(3.2071)+3000(2.0122)+1500(1.5938)
F = $11634.40
EJEMPLO: Si una mujer deposita $500 cada 6 meses durante 7 años. ¿Cuánto dinero tendrá
luego del último depósito si la tasa de interés es del 20% anual compuesto trimestralmente?
n = 14 semestres; convertir la tasa trimestral en semestral
i= (1+0.10/2)2-1 = 10.25% semestral.
F = A(F/A,i,n) = 500(10.25%,14) = 500[(1.1025)14-1/.1025]
F = $14244.53
FACTORES DE CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS
Cuando el periodo de pago es más corto que el periodo de capitalización (PP < PC), el
procedimiento para calcular el valor futuro o el valor presente, depende de las condiciones
especificadas en relación con la capitalización entre los periodos. La capitalización ínter
periódica se refiere al manejo de los pagos efectuados entre los periodos de capitalización.
Pueden existir 3 casos posibles:
• No hay interés pagado sobre el dinero depositado o retirado entre los periodos de
capitalización.
• El dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalización gana un interés simple.
• Todas las transacciones entre los periodos ganan interés compuesto.
En esta ocasión se considera únicamente el caso 1 ya que la mayoría de las transacciones
reales del mundo real se encuentran dentro de esta categoría. Si no se paga interés sobre las
transacciones entre los periodos, entonces se considera que cualquier cantidad de dinero
depositado o retirado entre los periodos de capitalización ha sido depositada al final del
periodo de capitalización o retirada al principio de dicho periodo.
19
Ejemplo: Si la tasa de interés es del 12% anual compuesta trimestralmente, entonces para el
siguiente flujo de efectivo, tenemos:
90 120 45 150 200 75 100 50
P = -150 - 200(P/F,3%,1)-85(P/F,3%,2)+165(P/F,3%,3)-50(P/F,3%,4)
P = $317.73
Tasa de interés efectiva para capitalización contínua
A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor m (número de periodos de
capitalización) aumenta.
Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito y la fórmula de tasa
de interés efectiva puede escribirse de una nueva forma:
i = er-1
Ejemplo: Para una tasa de interés del 15% anual, la tasa efectiva continua anual es:
i = e0.15-1 = 0.16183 = 16.18%
Para una tasa de interés del 18% anual compuesto en forma continua, calcule la tasa de
interés efectiva anual y mensual.
i mensual = e0.18/12-1 = 1.51%
i anual = e0.18-1 = 19.72%
Si un inversionista exige un retorno efectivo de por lo menos el 15% sobre su dinero ¿Cuál es
la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar una capitalización continua?
0.15 = er-1 --- er = 1.15 --- lner = ln 1.15 --- r = ln 1.15
r = 0.1398 = 13.98%
El señor Rodríguez y la señora Hernández planean invertir $5000 a 10 años a un 10% anual.
Calcule el valor futuro para ambos si el señor Rodríguez obtiene un interés compuesto
anualmente y la señora Hernández obtiene capitalización continua.
Para el señor R.: F = P(F/P,10%,10) = 5000(2.5937) = $12968.5
Para la señora H.: i = e0.10-1 = 10.52%
F = P(1+i)n = 5000(1.1052)10 = 5000(2.72) = $13594.99
20
ANUALIDAD
Varios pagos consecutivos se les llama Anualidad
Toda anualidad empieza siempre un año después del presente
Formulas:
𝐴[(1+𝑖)𝑛 −1]
F/A
𝐹=
A/F
𝐴 = [(1+𝑖)𝑛−1]
P/A
𝑃 = 𝐴[
A/P
𝐴 = 𝑃[
𝑖
𝐹𝑖
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖(1+𝑖)𝑛
]
𝑖(1+𝑖)𝑛
]
(1+𝑖)𝑛 −1
EJEMPLOS:
Si se depositan hoy 25,000 pesos en una cuenta que paga el 10% anual, ¿Cuánto se podría
retirar año tras año, comenzando dentro de un año, durante 6 años?
P= 25,000
i=10% anual
n= 6 años
A=?
A=?
0
1
2
3
4
5
6
Se utiliza la formula A/P y
sustituimos
𝑖(1 + 𝑖)𝑛
𝐴 = 𝑃[
]
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
. 1(1.1)6
𝐴 = 25,000 [
] = 𝟓, 𝟕𝟒𝟎. 𝟒𝟒
(1.1)6 − 1
A si mismo se puede mostrar en la siguiente tabla
Año
0
1
2
3
4
5
6
Cantidad
inicial
--25,000
21,760
18,196
14,275.6
9,963.16
5,219.476
Intereses 10%
suma
--2,500
2,176
1,819.6
1,427.56
996.316
521.9476
--27,500
23,936
20,015.6
15,703.16
10,959.476
5,741.4236
Cantidad
retirada
--5,740
5,740
5,740
5,740
5,740
5,740
Cantidad final
25,000
21,760
18,196
14,275.6
9,963.16
5,219.476
1.4236
21
Unos padres preocupados por su hijo recién nacido el día de hoy toman la decisión de realizar
depósitos anuales iguales comenzando dentro de un año y hasta que su hijo cumpla los 18 años,
momento en el cual sacara todo el dinero acumulado para pagar los estudios profesionales del
joven. Si desea que la cantidad por retirar sea de un millón de pesos, y si la cuenta bancaria ofrece
un 8% anual. Determina el valor de los depósitos.
F= 1,000,000
A=?
i= 8%
F= 1,000,000
n=18%
0
1
2
3
15 16
4
17
18
A=?
Se utilizara la fórmula de A/F y sustituimos
𝐴=
𝐴=
𝐹𝑖
[(1+𝑖)𝑛 −1]
(1,000,000)(.08)
[(1.08)18 −1]
=
A= 26,702.18 anuales
EJERCICIOS
1.- i=10% a
F=??
0
1
5
2,000
P1=12,210.2
n=7
A=2000
n=5
i=10% anual
F=?
𝐹/𝐴 =
6
2000[(1.1)5 −1]
.1
=12,210.2
10
2,500
12
P2=15,262.75
A=2500 n=2
n=5
i=10% anual
F=?
𝐹/𝐴 =
2500[(1.1)5 −1]
.1
=15,262.75
Ahora se usaran los resultados como presentes para poder sacar un futuro en común
𝐹 = 12,210.2(1 + .1)7 = F1=23,794.22
𝐹 = 15,262.75(1 + .1)2 = F2= 18,467.92
La suma de los dos futuros dan como resultado F=42,262.14
22
2.- i=10%
P=
0
1
10 11
5
A=?
3.-Utilizaremos el futuro
5 para obtener la
anualidad
A=?
F=47,075.6
n=5
i=10%
(47,075.56)(.1)
𝐴=
[(1.1)5 − 1]
A=7,710.86
A= 20,000
2.-Sacaremos el presente
del año 5 con respecto al
futuro del año 10
P=?
F=75,815.73
n=5
i=10%
75,815.73
𝑃=
(1.1)5
P=47,075.60
15
1.-Sacaremos el presente de la
anualidad que tenemos año 10
P=?
A=20,000
n=5
i=10%
(1.1)5 −1
𝑃/𝐴 = 20,000 [ .1(1.1)5 ]=
P=75,815.73
3.- i=10%
A=?
0
1
11
7
15
A=30,000
F=?
1.-Obtener el futuro de la anualidad
F=?
A=30,000
n=7
i=10%
30,000[(1.1)7 − 1]
𝐹/𝐴 =
.1
F=284,615.13
2.-Utilizaremos el
presente del año 7 para
sacar un futuro en el año
15
P=284,615.13
F=?
n=8
i=10%
𝐹 = 284,615.13(1.1)8
F=610,097.80
3.-Utilizaremos el futuro
155 para obtener la
anualidad
A=?
F=610,097.8
n=5
i=10%
(610,097.80)(.1)
𝐴=
[(1.1)5 − 1]
A=99,932.48
23
4.-i= 1% mensual
m=2,000
0
1
60
m=?
3.- Utilizar el futuro del mes 60
para obtener la mensualidad
F=89,910.0714
m=?
n=60 mensuales
i=1%
89,910.0714(0.01)
𝑚=
[(1.01)60 − 1]
m=1,100.89
61
2.- Convertir el futuro del mes
120 año presente del mes 60
F=163,339.33
P=?
n=60 mensuales
i=1%
163,339.33
𝑃=
(1.01)60
P=89,910.0714
120
1.-Obtener el futuro de la
mensualidad
F=?
m=2,000
n=60 mensuales
i=1%
2,000[(1.01)60 − 1]
𝐹/𝐴 =
. 01
F=163,339.33
Un joven futbolista recientemente cumplió 21 años y su futuro en el deporte es muy prometedor.
SU contrato con el equipo actual término y este mismo equipo le ofrece un nuevo contrato por 6
años por una cantidad igual a $16, 000,000 pagados al momento de la firma.
Por otro lado, el jugador piensa que si eleva continuamente su nivel de juego puede conseguir
contratos anuales, el primero de los cuales seria por 2.5 millones de pesos y con cada contrato
sucesivo pedir una suma adicional de 500 mil pesos. Todos los contratos pagan lo convenido al
principio del año.
Si la tasa de interés que se considera es del 15% anual, ¿Qué opción debería toma el jugador para
sus próximos 6 años de vida?
1.- Primer contrato i=15% anual
0
16,000,000
1
6
𝐹 = 16,000,000(1.15)6 =
F=37,008,972.245
24
2.- Segundo contrato i=15% anual
0
𝐹1 = 2,500,000(1.15)6 = 5,782,651.91
𝐹2 = 3,000,000(1.15)5 = 6,034,071.56
𝐹3 = 3,500,000(1.15)4 = 6,121,521.87
𝐹4 = 4,000,000(1.15)3 = 6,083,500
𝐹5 = 4,500,000(1.15)2 = 595,250
𝐹6 = 5,000,000(1.15)1 = 575,000
𝐹7 = 5,500,000(1.15)0 =
6
3.0
2.5
3.5
4.5
4.0
5.0
Suma de futuros total F= 35,866,995.34
Por lo tanto por observación el mejor contrato es el Primero
Determinar la cantidad acumulada, después de una serie de depósitos, si se considera una tasa de
interés del 5% mensual
i=5%
0
400
500
600
7
𝐹1 = 400(1.05) = 562.84
𝐹2 = 500(1.05)6 = 670.04
𝐹3 = 600(1.05)5 = 765.76
𝐹4 = 700(1.05)4 = 850.85
𝐹5 = 800(1.05)3 = 926.1
𝐹6 = 900(1.05)2 = 992.25
𝐹7 = 1,000(1.05)1 = 1,050
𝐹8 = 1,100(1.05)0 = 1,100
700
800
900
8
1100
1000
Futuro total F= 6,917.84
GRADIENTE
Serie de flujos de caja (ingresos o desembolso) periódicos que poseen una ley de formación, que
hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir, con relación al flujo de
caja anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje. Para que una serie de flujos
de caja se consideren un gradiente, deben cumplir las siguientes condiciones:
Los flujos de caja deben tener una ley de formación.
Los flujos de caja deben ser periódicos
Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente.
La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.
PTOT <
G
P/G + P/A
FTOT <
ATOT <
F/G + F/A
A + A/G
25
FORMULAS
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1
− 𝑛]
] + 𝐺( )[
𝑖
𝑖
𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑛
𝑃𝑇𝑂𝑇 = 𝐴 [
+
𝐺
(
)[
−
]
]
𝑛
𝑛
𝑖(1 + 𝑖)
𝑖
𝑖(1 + 𝑖)
(1 + 𝑖)𝑛
1
𝑛
𝐴𝑇𝑂𝑇 = 𝐴 + 𝐺 [ −
]
𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝐹𝑇𝑂𝑇 = 𝐴 [
Una gradiente puede proporcionar PTOT, FTOT y ATOT
EJERCICIO:
Aplica todas las formulas al siguiente diagrama de flujo
i=5% mensual
0
6
1
G=100
A=400
(1.05)6 − 1
1
(1.05)6 − 1
𝐹𝑇𝑂𝑇 = 400 [
] + 100 ( ) [
− 6] = 𝑭𝑻𝑶𝑻 = 𝟒, 𝟑𝟐𝟒. 𝟓𝟔
. 05
. 05
. 05
(1.05)6 − 1
1
(1.05)6 − 1
6
𝑃𝑇𝑂𝑇 = 400 [
]
+
100
(
)
[
−
] = 𝑷𝑻𝑶𝑻 = 𝟑, 𝟐𝟐𝟒. 𝟒𝟕
6
6
. 05(1.05)
. 05 . 05(1.05)
(1.05)6
𝐴𝑇𝑂𝑇 = 400 + 100 [
1
6
−
] = 𝑨𝑻𝑶𝑻 = 𝟔𝟑𝟓. 𝟑
. 05 (1.05)6 − 1
26
EJERCICIO: Determina el valor de la serie Anual uniforme equivalente
1.-i=6% anual
1
0
7
G=200
2,000
𝐴𝑇𝑂𝑇 = 2,000 + 200 [
1
7
−
] = 𝑨𝑻𝑶𝑻 = 𝟐, 𝟓𝟓𝟑. 𝟑𝟒
. 06 (1.06)7 − 1
2.- i= 6%
0
1
G=-400
7
A=6,000
𝐴𝑇𝑂𝑇 = 6,000 + (−400) [
1
7
−
] = 𝑨𝑻𝑶𝑻 = 𝟒, 𝟖𝟗𝟑. 𝟑𝟐
. 06 (1.06)7 − 1
3.- i=6%
2,000
A=?
0
5
1
9
12
G=100
A=3,000
1.- Se obtendrá el FTOT para el año 5 entonces:
A=3,000
G=100
n=5
i=6%
(1.06)5 − 1
1
(1.06)5 − 1
𝐹𝑇𝑂𝑇 = 3,000 [
] + 100 ( ) [
− 5] = 𝑭𝑻𝑶𝑻 = 𝟏𝟕, 𝟗𝟕𝟐. 𝟗𝟒𝟓𝟒
. 06
. 06
. 06
27
2.- Se usara el FTOT como Presente en el año 5 para poder sacar un futuro en el año 12 y
obtener la diferencia con la cantidad de 2,000 entonces:
P=17,972.9454
F=?
n=7
i=6%
𝐹 = 17,972.945(1.06)7 = 𝟐𝟕, 𝟎𝟐𝟒. 𝟔𝟔𝟒𝟓
27,024.6645-2000= 25,024.6645
3.- Teniendo la cantidad de futuro en el año 12 se sacara la anualidad entonces:
F=25,024.6645
A=?
n=4
i=6%
(25,024.6645)(0.06)
𝐴=
= 𝑨 = 𝟓, 𝟕𝟐𝟐. 𝟏𝟎𝟐𝟖
[(1.06)4 − 1]
𝑨 = 𝟓, 𝟕𝟐𝟐. 𝟏𝟎𝟐𝟖
4.- i=6% anual
G=2,000
A=?
0
1
5
A=20,000
9
12
1.-Se empezará sacando el futuro de la anualidad 1-5
F=?
A=20,000
n=5
i=6%
20,000[(1 + .06)5 − 1]
𝐹=
= 𝑭 = 𝟏𝟏𝟐, 𝟕𝟒𝟏. 𝟖𝟓
. 06
2.-El futuro del año 5 se convertirá al presente en el año 8
P=112,741.85
F=?
n=3
i=6%
𝐹 = 112,741.85(1.06)3 = 𝑭 = 𝟏𝟑𝟒, 𝟐𝟕𝟕. 𝟑𝟒
28
3.-Se utilizara el ultimo resultado como un PTOT para la formula por lo tanto sustituimos de la
siguiente manera:
PTOT=134,277.34
A=?
G= 2,000
n=4
i=6%
(1.06)4 − 1
1
(1.06)4 − 1
4
134,277.34 = 𝐴 [
]
+
2000
(
)
[
−
] = 𝑭 = 𝟏𝟑𝟒, 𝟐𝟕𝟕. 𝟑𝟒
4
4
0.06(1.06)
0.06 0.06(1.06)
(1.06)4
134,277.34= A (3.4663)+9,926.6666
-Convertimos:
134,277.34 − 9,926.6666
𝐴=
= 35,874.1809
3.4663
Por lo tanto concluimos que la anualidad resulta en A=35,874.1809
5.- Una persona compra el día de hoy en una agencia nueva de autos de la localidad, un auto por
el que se establece el siguiente plan de pagos:
-Un pago inicial de $60,000 (Hoy)
-Una serie de 18 pagos mensuales
-Un pago adicional en el mes 4 por $10,000
-Una tasa de interés del 2.5% mensual
220,000
0
60,000
4
18
10,000
Si el valor de contado del automóvil es de $220,000 ¿Cuál será el valor de los pagos mensuales?
1.-Se pasaran todas las cantidades a un futuro en común para poder sumarlas y sacar la
anualidad por meses empezamos con la cantidad egresada en presente del año 0:
P=60,000
F=?
n=18
i=2.5%
𝐹 = 60,000(1.025)18 = 93,579.52
2.- Se calcula la siguiente cantidad presente del año 4
P=10,000
n=14
F=?
i=2.5%
𝐹 = 10,000(1.025)14 = 14,129.73
Se suman ambas cantidades ya que son egresos:
93,579.52+14,129.73= 107,709.25
29
3.-Se obtendrá el futuro del valor contado del automóvil como si fuera un presente en el
principio del diagrama de flujo entonces:
P=220,000
F=?
n=18
i=2.5%
𝐹 = 220,000(1.025)18 = 343,124.91
4.- Se calculará la diferencia entre egresos e ingresos
107,709.25-=343,124.91=235,415.66
5.- Se utiliza la formula A/F para obtener la mensualidad
F=235,415.66
n=18
A=?
i=2.5%
(235,415.66)(0.025)
𝐴=
= 10,517.13
[(1.025)18 − 1]
Por ende el resultado de la mensualidad por los 118 meses llega a 10,517.13
Interés compuesto:
representa la acumulación de intereses que se han generado en un período determinado por
un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición, de
modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino
que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.
Formula:
𝐶𝐹 = 𝐶𝐼(1 + 𝑟)𝑛
Donde:
CF: es la capital al final del enésimo periodo
CI: es el capital inicial
r: es la tasa de interés expresada en tanto por uno
n: es el número de periodos
30
UNIDAD 2 “ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN”
2.1. Método de valor presente.
2.1.1. Comparación de alternativas con vidas útiles iguales.
2.1.2. Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes.
2.1.3. Costo capitalizado
2.1.4. Comparación de alternativas según el costo capitalizado.
2.2. Método del Valor Anual.
2.2.1. Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes.
2.2.2 Método del valor presente de salvamento.
2.2.3. Método de recuperación de capital.
2.2.4. Comparación de alternativas por CAUE.
2.3. Método de la tasa interna de retorno.
2.3.1. Calculo de la tasa interna de retorno para un proyecto único.
2.3.2. Análisis Incremental.
2.4. Análisis Beneficio/Costo.
2.4.1. Clasificación de beneficios, costo y beneficio negativo para un proyecto único.
2.4.2. Selección de alternativas mutuamente excluyentes.
2.4.3. Selección de alternativas mutuamente excluyentes utilizando el costo incremental.
2.5. Análisis de sensibilidad.
2.5.1. La sensibilidad en las alternativas de inversión.
2.5.2. Valor esperado y árbol de decisión.
Competencias Específicas:
Interpreta y diagnostica información financiera para la toma de decisiones.
Competencias Genéricas:
- Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y comunicación
- Capacidad de investigación.
- Capacidad de análisis y síntesis.
- Capacidad de comunicación profesional con otras áreas.
- Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente
- Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.
Actividades de aprendizaje:
- Exponer conceptos del análisis de rentabilidad y sus métodos
- Aplicar los métodos de la tasa interna de retorno y el análisis incremental, en casos prácticos
para el análisis de proyectos financieros, utilizando hoja electrónica y software.
- Resolver casos prácticos de la aplicación del análisis beneficio a proyectos excluyentes utilizando
el costo incremental para la selección de alternativas mutuamente, discutiendo resultados en
clase.
- Interpretar el análisis de sensibilidad en las alternativas de inversión de la empresa, utilizando
reportes escritos.
- Exponer el valor esperado de los proyectos y el árbol de decisión de la empresa, para su discusión
y debate en grupo.
31
2.1 METODO DE VALOR PRESENTE
El método del valor presente de evaluación de alternativas es muy popular debido a que los
gastos o los ingresos futuros se transforman en dólares equivalentes de ahora. Es decir, todos
los flujos futuros de efectivo asociado con una alternativa se convierten en dólares presentes.
En esta forma, es muy fácil, aún para una persona que no está familiarizada con el análisis
económico, ver la ventaja económica de una alternativa sobre otra.
La comparación de alternativas con vidas iguales mediante el método del valor presente es
directa. Si se utilizan ambas alternativas con capacidades idénticas para el mismo periodo de
tiempo, estas reciben el nombre de alternativas de servicio igual.
Con frecuencia, los flujos de efectivo de una alternativa representan solamente desembolsos,
es decir, no se estiman entradas. Por ejemplo, se podría estar interesado en identificar el
proceso cuyo costo inicial, operacional y de mantenimiento equivalente es más bajo. En otras
ocasiones, los flujos de efectivo incluirán entradas y desembolsos. Las entradas, por ejemplo,
podrían provenir de las ventas de un producto, de los valores de salvamento de equipo o de
ahorros realizables asociados con un aspecto particular de la alternativa. Dado que la mayoría
de los problemas que se considerarán involucran tanto entradas como desembolsos, estos
últimos se representan como flujos negativos de efectivo y las entradas como positivos.
Por lo tanto, aunque las alternativas comprendan solamente desembolsos, o entradas y
desembolsos, se aplican las siguientes guías para seleccionar una alternativa utilizando la
medida de valor del valor presente:
Una alternativa: Si VP >= 0, la tasa de retorno solicitada es lograda o excedida y la alternativa es
financieramente viable.
Dos alternativas o más: Cuando sólo puede escogerse una alternativa (las alternativas son
mutuamente excluyentes), se debe seleccionar aquella con el valor presente que sea mayor en
términos numéricos, es decir, menos negativo o más positivo, indicando un VP de costos más
bajos o VP más alto de un flujo de efectivo neto de entradas y desembolsos.
En lo sucesivo se utiliza el símbolo VP, en lugar de P, para indicar la cantidad del valor presente de
una alternativa.
Ejemplo: Haga una comparación del valor presente de las máquinas de servicio igual para las
cuales se muestran los costos a continuación, si la i = 10% anual.
32
La solución queda de la siguiente manera:
VPA = -2500 -900(P/A,10%,5) + 200(P/F,10%,5) = -$5787.54
VPB = -3500 -700(P/A,10%,5) + 350(P/F,10%,5) = -$5936.25
Una agente viajera espera comprar un auto usado este año y ha estimado la siguiente
información: El costo inicial es $10,000; el valor comercial será de $500 dentro de 4 años; el
mantenimiento anual y los costos de seguro son de $1,500; y el ingreso anual adicional debido
a la capacidad de viaje es de $5,000. ¿Podrá la agente viajera obtener una tasa de retorno del
20% anual sobre su compra?
Solución: Calcular el VP de la inversión con i = 20%
VP = -10000 + 500(P/F,20%,4) -1500(P/A,20%,4) + 5000(P/A,20%,4) = -$698.40
No obtendrá una tasa de retorno del 20% porque VP es menor que cero.
2.1.1 Comparación de alternativas con vidas útiles iguales
Este método se emplea para comparar proyectos con igual vida útil (duración); y su comparación
es directa. Si las alternativas se utilizaran en idénticas condiciones, se denominan alternativas de
igual servicio y los ingresos anuales tendrán el mismo valor numérico.
El proceso del método del Valor Presente Neto es el mismo que se usó para encontrar el valor de
P, es decir la cantidad en el presente.
Ejemplo:
1. Cierta empresa tiene que decidir entre 2 activos (equipos para un proceso de producción). La
duración de estos activos se estima en 5 años.
33
Si la trema de la empresa es del 25 %, ¿Qué activo recomendaría adquirir?
Solución (miles de pesos):
VPNA = -16 + 4.5 (P/F, 25%, 1) + 5.5 (P/F, 25%, 2) + 6 (P/F, 25%, 3) + 7 (P/F, 25%,4) + 12 (P/F, 25%,
5). VPNA = 0.99136 miles de pesos.
VPNB = -15 +6.5 (P/F, 25%,1) +7 (P/F, 25%, 2) + 7.5 (P/F, 25 %, 3) + 8 (P/F, 25%, 4) + 12 (P/F, 25%,
5). VPNB = 5.72896 miles de pesos.
Como VPNA > VPNB por lo tanto se recomienda adquirir el activo B.
2.1.2 Comparación en valor presente de alternativas con vidas diferentes
Cuando se utiliza el método del valor presente para comparar alternativas mutuamente
excluyentes que tienen vidas diferentes, se sigue un procedimiento similar al anterior, pero
con una excepción: Las alternativas deben compararse durante el mismo número de años.
Esto es necesario pues, una comparación comprende el cálculo del valor presente equivalente
de todos los flujos de efectivo futuros para cada alternativa. Una comparación justa puede
realizarse sólo cuando los valores presentes representan los costos y las entradas asociadas
con un servicio igual.
Cuando se utiliza el método del valor presente para comparar alternativas mutuamente
excluyentes que tienen vidas diferentes, se sigue un procedimiento similar al anterior, pero
con una excepción: Las alternativas deben compararse durante el mismo número de años.
Esto es necesario pues, una comparación comprende el cálculo del valor presente equivalente
de todos los flujos de efectivo futuros para cada alternativa. Una comparación justa puede
realizarse sólo cuando los valores presentes representan los costos y las entradas asociadas
con un servicio igual.
La imposibilidad de comparar un servicio igual siempre favorecerá la alternativa de vida más
corta (para costos), aún si ésta no fuera la más económica, ya que hay menos periodos de
costos involucrados. El requerimiento de servicio igual puede satisfacerse mediante dos
enfoques:
-Comparar las alternativas durante un periodo de tiempo igual al mínimo común múltiplo
(MCM) de sus vidas.
-Comparar las alternativas utilizando un periodo de estudio de longitud de “n” años, que no
necesariamente considera las vidas de las alternativas. Este se denomina el enfoque de
horizonte de planeación.
Para el enfoque MCM, se logra un servicio igual comparando el mínimo común múltiplo de las
vidas entre las alternativas, lo cual hace que automáticamente sus flujos de efectivo extiendan
al mismo periodo de tiempo. Es decir, se supone que el flujo de efectivo para un “ciclo” de una
alternativa debe duplicarse por el mínimo común múltiplo de los años en términos de dinero
de valor constante. Entonces, el servicio se compara durante la misma vida total para cada
alternativa. Por ejemplo, si se desean comparar alternativas que tienen vidas de 3 y 2 años,
34
respectivamente, las alternativas son evaluadas durante un periodo de 6 años. Es importante
recordar que cuando una alternativa tiene un valor de salvamento terminal positivo o
negativo, éste también debe incluirse y aparecer como un ingreso en el diagrama de flujo de
efectivo de cada ciclo de vida. Es obvio que un procedimiento como éste requiere que se
planteen algunos supuestos sobre las alternativas en sus ciclos de vida posteriores. De manera
específica, estos supuestos son:
•Las alternativas bajo consideración serán requeridas para el mínimo común múltiplo de años
o más.
•Los costos respectivos de las alternativas en todos los ciclos de vida posteriores serán los
mismos que en el segundo.
El segundo supuesto es válido cuando se espera que los flujos de efectivo cambien con la tasa
de inflación o de deflación exactamente, lo cual es aplicable a través del periodo de tiempo
MCM. Si se espera que los flujos de efectivo cambien en alguna otra tasa, entonces debe
realizarse un estudio del periodo con base en el análisis de VP. Esta aseveración también se
cumple cuando no puede hacerse el supuesto durante el tiempo en que se necesitan las
alternativas.
Para el segundo enfoque del periodo de estudio, se selecciona un horizonte de tiempo sobre
el cual debe efectuarse el análisis económico y sólo aquellos flujos de efectivo que ocurren
durante ese periodo de tiempo son considerados relevantes para el análisis. Los demás flujos
de efectivo que ocurran más allá del horizonte estipulado, bien sea que ingresen o que salgan,
son ignorados.
Debe hacerse y utilizarse un valor de salvamento realista estimado al final del periodo de
estudio de ambas alternativas. El horizonte de tiempo seleccionado podría ser relativamente
corto, en especial cuando las metas de negocios de corto plazo son muy importantes, o
viceversa. En cualquier caso, una vez que se ha seleccionado el horizonte y se han estimado
los flujos de efectivo para cada alternativa, se determinan los valores VP y se escoge el más
económico.
El concepto de periodo de estudio u horizonte de planeación, es de particular utilidad en el
análisis de reposición.
Ejemplo: Un administrador de planta está tratando de decidir entre dos máquinas excavadoras
con base en las estimaciones que se presentan a continuación:
35
-Determinar cuál debe ser seleccionada con base en una comparación de valor presente utilizando
una tasa de interés del 15% anual.
-Si se especifica un periodo de estudio de 5 años y no se espera que los valores de salvamento
cambien, ¿Cuál alternativa debe seleccionarse?
-¿Cuál máquina debe ser seleccionada en un horizonte de 6 años si se estima que el valor de
salvamento de la máquina B es de $6000 después de 6 años?
Solución:
-Puesto que las máquinas tienen vidas diferentes, estas deben compararse con su MCM, que es 18
años. Para ciclos de vida posteriores al primero, el primer costo se repite en el año 0 del nuevo
ciclo, que es el último año del ciclo anterior.
Estos son los años 6 y 12 para la máquina A y al año 9 para la máquina B.
VPA = -11000-11000(P/F,15%,6)-11000(P/F,15%,12)-3500(P/A,15%,18)
+1000(P/F,15%,6)+1000(P/F,15%,12)+1000(P/F,15%,18) = -$38599.20
VPB = -18000-18000(P/F,15%,9) -3100(P/A,15%,18) + 2000(P/F,15%,9) + 2000((P/F,15%,18) =
$41384.00
Se selecciona la máquina A puesto que cuesta menos en términos de VP que la máquina B.
2.1.3 COSTO CAPITALIZADO
Se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida útil se considera perpetua. Puede
considerarse también como el valor presente de un flujo de efectivo perpetuo, como por ejemplo:
carreteras, puentes, etc. También es aplicable en proyectos que deben asegurar una producción
continua, en los cuales los activos deben ser reemplazados periódicamente.
La comparación entre alternativas mediante costo capitalizado es realizada con la premisa de
disponer de los fondos necesarios para reponer por ejemplo un equipo,una vez cumplida su vida
útil.
La ecuación para obtener el costo capitalizado se obtiene de:
Donde: P= Valor días.
A= Anualidad o serie de pagos constantes e iguales.
i= tasa de interés.
n= número de periodos.
Si el numerador y el denominador se dividen entre ( 1 + i ) ^ n, la ecuación del numerador se
transforma en:
A medida que n tiene a ∞ el término del numerador se convierte en 1 produciendo así:
36
2.1.4 COMPARACION DE ALTERNATIVAS SEGÚN EL COSTO CAPITALIZADO
Cuando se comparan 2 o más alternativas en base de su costo capitalizado se emplea el
procedimiento del ejemplo 1 del tema anterior. Puesto que el costo capitalizado representa el
costo total presente de financiación y mantenimiento de una alternativa dada para siempre, las
alternativas se compararan automáticamente para el mismo número de años. La alternativa con el
menor costo capitalizado es la más económica. Como en el método del valor presente y otros
métodos de evaluación de alternativas, solo se deben considerar las diferencias en el flujo d caja
entre las alternativas. Por lo tanto y cuando sea posible, los cálculos deben simplificarse
eliminando los elementos de flujo de caja comunes a las 2 alternativas.
2.2 METODO VALOR ANUAL
El método VA se utiliza comúnmente para comparar alternativas. El VA significa que todos
los ingresos y desembolsos son convertidos en una cantidad anual uniforme equivalente de fin
de periodo, que es la misma cada periodo.
La ventaja principal de éste método sobre todos los demás radica en que en este no se requiere
hacer comparación sobre el mínimo común múltiplo de los años cuando las alternativas tienen
vidas útiles diferentes, es decir, el VA de la alternativa se calcula para un ciclo de vida
únicamente, porque como su nombre lo implica, el VA es un valor anual equivalente sobre la
vida del proyecto. Si el proyecto continúa durante más de un ciclo, se supone que el valor anual
equivalente durante el siguiente ciclo y todos los ciclos posteriores es exactamente igual que para
el primero, siempre y cuando todos los flujos de efectivo actuales sean los mismos para cada ciclo.
La condición repetible de la serie anual uniforme a través de diversos ciclos de vida puede
demostrarse con el siguiente ejemplo.
El valor anual para dos ciclos de vida de un activo con un costo inicial de
$20,000, un costo de operación anual de $8,000 una vida de 3 años y una i=22%.
El VA para un ciclo de vida se calculará de la siguiente manera: VA = -20,000(A/P,22%,3[0.48966])8000 = -$17793.20
El VA para dos ciclos de vida:
VA = -20,000(A/P,22%,6[0.31576])-20,000(P/F,22%,3[0.5507])(A/P,22%,6)-8000 = -$17793.20
37
2.2.1. COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS CON VIDAS ÚTILES DIFERENTES
El método de valor anual para comparar alternativas es probablemente el más simple a
realizar. La alternativa seleccionada tiene el costo equivalente más bajo o el ingreso
equivalente más alto.
Tal vez la regla más importante de recordar al hacer las comparaciones VA es la que plantea
que sólo debe de considerarse un ciclo de vida de cada alternativa, lo cual se debe a que el
VA será el mismo para cualquier número de ciclos de vida que para uno.
Ejemplo: Los siguientes datos han sido estimados para dos máquinas de pelar tomates que
prestan el mismo servicio, las cuales serán evaluadas por un gerente de una planta enlatadora:
Si la tasa de retorno mínima requerida es 15% anual, ¿Cuál máquina debe seleccionar el gerente?
VAA = -26,000(A/P,15%,6[0.26424]+2000(A/F,15%,6[0.11424]) - 11800
= -$18,441.76
VAB = -36000(A/P,15%,10[0.19925])+3000(A/F,15%10[0.04925]) -9900
= -$16,925.25
Se selecciona la máquina B puesto que representa el costo anual más bajo.
- Suponga que la Compañía del ejemplo anterior está planeando salir del negocio de enlatados de
tomates dentro de 4 años. Para ese momento, la compañía espera vender la máquina A en
$12,000 o la máquina B en $15,000. Se espera que todos los demás costos continúen iguales.
¿Cuál máquina debe comprar la compañía bajo estas condiciones?
38
- Si todos los costos, incluyendo los valores de salvamento, son los mismos que se habían estimado
originalmente, ¿Cuál máquina debe seleccionarse utilizando un horizonte de 4 años?
- VAA = -26000(A/P,15%,4[0.35027]) +12000(A/F,15%,4[0.20027]) -11800 = -$18,503.78
VAB = -36000(A/P,15%,4[0.35027]) + 15000(A/F,15%,4[0.20027]) -9900 = -$19,505.67
Se selecciona la máquina A.
-VAA = -26000(A/P,15%,4[0.35027]) + 2000(A/F,15%,4[0.20027])-11800 = -$20,506.48
VAB = -36000(A/P,15%,4[0.35027]) + 3000(A/F,15%,4[0.20027]) - 9900 = -$21,908.91
Se selecciona la máquina A.
2.2.2 METODO DE VALOR DE SALVAMENTO
Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas de calcular el
VA.
En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte primero en
una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P. Dado normalmente, su carácter
de flujo de efectivo positivo, después de su conversión a una cantidad uniforme equivalente a
través del factor A/F, el valor de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial. Estos
cálculos pueden estar representados por la ecuación general:
VA = -P(A/P,i,n) + VS(A/F,i,n) ; naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro flujo de efectivo,
éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA.
Ejemplo: Calcule el VA de un aditamento de tractor que tiene un costo inicial de $8000 y un valor
de salvamento de $500 después de 8 años. Se estima que los costos anuales de operación de la
máquina son $900 y se aplica una tasa de interés del 20% anual.
VA = -8000(AP,20,8[0.26061]) + 500(AF,20,,8[0.06061]) - 900 = -2954.58
Ejemplo: una pizzería local acaba de comprar una flota de cinco mini vehículos eléctricos para
hacer entregas en un área urbana. El costo inicial fue de $4600 por vehículo y su vida esperada y
valores de salvamento son 5 años y $300 respectivamente. Se espera que los costos combinados
del seguro, mantenimiento, recargo y lubricación sean de $650 el primer año y aumenten en $50
anuales de ahí en adelante. El servicio de entrega generará una cantidad extra estimada de $1200
anuales. Si se requiere un retorno del 10% anual, use el método del VA para determinar si la
compra debió haberse hecho.
VA = 5*4600(AP,10,5[0.2638]) + 5*300(AF,10,5[0.1638])-650 - 50(AG,10,5[1.8101] + 1200 = $5362.21
Puesto que VA es menor < 0 y se espera un retorno del 10%, la compra no se justifica.
39
2.2.3 METODO DE RECUPERACION DE CAPITAL
Se reconoce que se recuperara el valor de salvamento si se resta el valor de salvamento del costo
de la inversión antes de multiplicar por el factor A/F. Sin embargo, el hecho de que el valor de
salvamento no se recuperara’ para n años debe tenerse en cuenta al sumar el interés (VSi) perdido
durante la vida útil del activo. Al no incluir este término se supone que el valor de salvamento se
obtuvo en el año cero en vez del año n. Los pasos que deben seguirse para este método son los
siguientes:
1) Restar el valor de salvamento del costo inicial.
2) Anualizar la diferencia resultante con el factor A/P.
3) Multiplicar el valor de salvamento por la tasa de interés.
4) Sumar los valores obtenidos en los pasos 2 y 3.
5) Sumar los costos anuales uniformes al resultado del paso 4.
2.2.4 COMPARACION DE ALTERNATIVAS ECONOMICAS
El método del costo anual uniforme equivalente para comparar alternativas es probablemente la
más simple de las técnicas de evaluación de alternativa expuestas en este libro. La selección se
hace con base en el CAUE, siendo la alternativa de menor costo la más favorable. Obviamente, la
información no cuantificable debe ser considerada también para llegar a la solución final, pero en
general se seleccionaría la alternativa con el menor CAUE.
Tal vez la regla más importante que es necesario recordar al hacer comparaciones por medio del
CAUE es que solo se debe considerar un ciclo de la alternativa. Esto supone, evidentemente, que
los costos en todos los periodos siguientes serán los mismos.
EJEMPLO: Se desea adquirir un motor para la planta de acabados de una fábrica, en el mercado
existen dos marcas de motores que cumplen con las especificaciones técnicas de potencia,
velocidad, eficiencia, etc.
40
41
2.3 METODO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO
Si el dinero se obtiene en préstamo, la tasa de interés se aplica al saldo no pagado de manera que
la cantidad y el interés total del préstamo se pagan en su totalidad con el último pago del
préstamo. Desde la perspectiva del prestamista o inversionista, cuando el dinero se presta o se
invierte, hay un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo. La tasa de interés es el retorno
sobre éste saldo no recuperado, de manera que la cantidad total y el interés se recuperan en
forma exacta con el último pago o entrada. La tasa de retorno define estas dos situaciones.
Tasa de retorno (TIR) es la tasa de interés pagada sobre el saldo no pagado de dinero obtenido en
préstamo, o la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de manera
que el pago o entrada final iguala exactamente a cero el saldo con el interés considerado.La tasa
de retorno está expresada como un porcentaje por periodo, por ejemplo, i = 10% anual. Ésta se
expresa como un porcentaje positivo; es decir, no se considera el hecho de que el interés pagado
en un préstamo sea en realidad una tasa de retorno negativa desde la perspectiva del prestamista.
El valor numérico de “i” puede moverse en un rango entre -100% hasta el infinito.
Ejemplo: Para i = 10% anual, se espera que una inversión de $1000 produzca un flujo de efectivo
neto de $315.47 para cada 4 años.
A = 1000(AP,10,4[0.3155]) = $315.47
Esto representa una tasa de retorno del 10% sobre el saldo no recuperado. Calcule la cantidad de
la inversión no recuperada para cada uno de los 4 años utilizando (a) la tasa de retorno sobre el
saldo no recuperado y (b) la tasa de retorno sobre la inversión inicial de $1000.
42
Para determinar la tasa de retorno i de los flujos de efectivo de un proyecto, se debe definir la
relación TR. El valor presente de las inversiones o desembolsos, VPD se iguala al valor presente de
los ingresos VPR. En forma equivalente, los dos pueden restarse e igualarse a cero, es decir:
VPD = VPR
0 = -VPD + VPR
El enfoque de valor anual utiliza los valores VA en la misma forma para resolver para i.
VAD = VAR
0 = -VAD + VAR
El valor que hace estas ecuaciones numéricamente correctas es la raíz de la relación TR. Se hace
referencia a este valor i mediante otros términos adicionales a la tasa de retorno: tasa interna de
retorno (TIR), tasa de retorno de equilibrio, índice de rentabilidad y retorno sobre la inversión
(RSI). Éstos se representan por la notación i*.
2.3.1 CALCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO PARA PROYECTO UNICO
El VAN o VPN es calculado a partir del flujo de caja anual, trasladando todas las cantidades futuras
al presente. Es un indicador de la rentabilidad de un proyecto: a mayor TIR, mayor rentabilidad. Se
utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión.
2.3.2 ANALISIS INCREMENTAL
Uno de los grande problemas de la ingeniería económica es la comparación de alternativas con
exactamente la misma inversión. Cuando se calcula la rentabilidad de alternativas (ya sea por VPN
o TIR), cuando dos alternativas son distintas, parece claro que se hace un análisis deficiente, al no
tomar en cuenta este hecho, pues no se puede esperar el mismo rendimiento cuando se invierten
$100,000,000 que cuando se invierten $1,000,000,000.
43
Para analizar correctamente las alternativas con diferente monto de inversión, se ha ideado el
análisis incremental, cuyo procedimiento consiste en determinar si a los incrementos de inversión
que tiene las alternativas, corresponde un incremento en los beneficios obtenidos. Es decir, se va a
invertir más, exclusivamente para ganar más, por tanto, el análisis incremental se circunscribe a
determinar si a los incrementos de inversión corresponde un incremento suficiente en las
ganancias.
EJEMPLO En la tabla siguiente se presentan tres opciones de inversión mutuamente exclusivas:
Si la TMAR es del 7% anual, ¿qué alternativa debe seleccionarse?
SOLUCIÓN Aparentemente la solución más fácil es seleccionar la opción con mayor VPN. Sin
embargo, es obvio que en la opción C se arriesga más dinero y podría esperar que esta fuera la
que obtuviera mayor ganancia. Como primer paso, determínese el VPN de cada opción:
Si cada una de las opciones de inversión es independiente, según el criterio del VPN,
cualquiera es atractiva como inversión, pero si son mutuamente exclusivas, tal y
como lo dice el enunciado del problema, entonces el razonamiento es distinto. Para
que puedan ser opciones las tres alternativas, se debe contar con, al menos, $7,000;
de no ser así, una de ellas, la alternativa B en este caso, no puede considerarse para el
análisis.
2.4 ANALISIS BENEFICIO/COSTO
El análisis costo-beneficio es una herramienta financiera que mide la relación entre los costos y
beneficios asociados a un proyecto de inversión con el fin de evaluar su rentabilidad,
entendiéndose por proyecto de inversión no solo como la creación de un nuevo negocio, sino
también, como inversiones que se pueden hacer en un negocio en marcha tales como el desarrollo
de nuevo producto o la adquisición de nueva maquinaria.
44
Mientras que la relación costo-beneficio (B/C), también conocida como índice neto de
rentabilidad, es un cociente que se obtiene al dividir el Valor Actual de los Ingresos totales netos o
beneficios netos (VAI) entre el Valor Actual de los Costos de inversión o costos totales (VAC) de un
proyecto.
B/C = VAI / VAC
Según el análisis costo-beneficio, un proyecto o negocio será rentable cuando la relación costobeneficio es mayor que la unidad.
B/C > 1 → el proyecto es rentable
Los pasos necesarios para hallar y analizar la relación costo-beneficio son los siguientes:
Hallar costos y beneficios: en primer lugar hallamos la proyección de los costos de inversión o
costos totales y los ingresos totales netos o beneficios netos del proyecto o negocio para un
periodo de tiempo determinado.
Convertir costos y beneficios a un valor actual: debido a que los montos que hemos proyectado no
toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo (hoy en día tendrían otro valor), debemos
actualizarlos a través de una tasa de descuento.
Hallar relación costo-beneficio: dividimos el valor actual de los beneficios entre el valor actual de
los costos del proyecto.
Analizar relación costo-beneficio: si el valor resultante es mayor que 1 el proyecto es rentable,
pero si es igual o menor que 1 el proyecto no es viable pues significa que los beneficios serán
iguales o menores que los costos de inversión o costos totales.
Comparar con otros proyectos: si tendríamos que elegir entre varios proyectos de inversión,
teniendo en cuenta el análisis costo-beneficio, elegiríamos aquél que tenga la mayor relación
costo-beneficio.
Ejemplo:
Supongamos que queremos determinar si nuestra empresa seguirá siendo rentable y para ello
decidimos analizar la relación costo-beneficio para los próximos 2 años.
La proyección de nuestros ingresos al final de los 2 años es de US$300 000, esperando una tasa de
rentabilidad del 12% anual (tomando como referencia la tasa ofrecida por otras inversiones).
45
Asimismo, pensamos invertir en el mismo periodo US$260 000, considerando una tasa de interés
del 20% anual (tomando como referencia la tasa de interés bancario).
Hallando B/C:
B/C = VAI / VAC
B/C = (300000 / (1 + 0.12)2) / (260000 / (1 + 0.20)2)
B/C = 239158.16 / 180555.55
B/C = 1.32
Como la relación costo-beneficio es mayor que 1, podemos afirmar que nuestra empresa seguirá
siendo rentable en los próximos 2 años. A modo de interpretación de los resultados, podemos
decir que por cada dólar que invertimos en la empresa, obtenemos 0.32 dólares.
2.4.1. CLASIFICACIÓN DE BENEFICIOS, COSTO Y BENEFICIO NEGATIVO PARA UN PROYECTO
ÚNICO.
Aun cuando los objetivos de un proyecto social no se puedan expresar en unidades monetarias, en
muchas ocasiones se busca valorarlos así para poder comparar costos y beneficios.
La valoración monetaria de los efectos cualitativos, orientados en función de los precios de
mercado, se persigue frecuentemente a través de:
(La determinación de la medida en que el proyecto va a incrementar los ingresos de los
beneficiarios
(La valoración de los bienes y servicios generados por el proyecto a precios de mercado.
La justificación de la valoración monetaria está siempre en la finalidad del proyecto y no en la
convertibilidad de los efectos en magnitudes monetarias. Si esta condición no se cumple, las
magnitudes monetarias del análisis se convierten en fetiche en manos del evaluador.
Ejemplo:
Para la construcción de un nuevo segmento de la autopista, se consideraran dos rutas. La ruta A
que se dirige hacia el norte, localizada alrededor de 10km del distrito empresarial central y se
requeriría de distancias de viaje más largas por parte de la red conmutadora del tráfico local.
La ruta B se dirige hacia el sur, esta pasaría a través del área central de la ciudad, aunque su costo
de construcción es mucho mayor; reduciría el tiempo de viaje. Se supone que las carreras duraran
30 años sin valor de salvamento ¿Cuál ruta debe seleccionarse utilizando el análisis de B/C a una
tasa de interés del 5%anual?
46
Solución:
En este caso se puede utilizar VA.
Los costos en el análisis B/C son los costos de construcción inicial y de mantenimiento.
VAA: 10.000.000$(A/P,5%,30) + 35.000$ = 685.500 $
VAB: 15.000.000$(A/P,5%,30) + 55.000$ = 1.030.750 $
La ruta B tiene el valor anual mayor de costos, de manera que es la alternativa que debe
justificarse. El valor incremental del costo es:
C= VAB – VAA= (1.030.750 – 685.500)$ = 345.250$/año
Si se selecciona la ruta B, el beneficio incremental es el menor costo anual para el usuario de la
carretera. Esto es un beneficio positivo para la ruta B.
La razón B/C es menor a 1.0; como los beneficio relacionados con la ruta B, no se justifican, se
seleccionar la ruta A.
2.5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD
El análisis económico utiliza estimaciones de sucesos futuros para ayudar a quienes toman
decisiones. Dado que las estimaciones futuras siempre tienen alguna medida de error, hay
imprecisión en las proyecciones económicas. El efecto de la variación puede determinarse
mediante el análisis de sensibilidad. Algunos de los parámetros o factores comunes para hallar la
sensibilidad son la TMAR, las tasas de interés, las estimaciones de vida, los periodos de
recuperación para fines tributarios, todo tipo de costos, ventas y muchos otros factores. Este
supuesto no es correcto por completo en situaciones del mundo real, pero es práctico puesto que
en general no es posible para considerar en forma precisa las dependencias reales.
El análisis de sensibilidad, en sí mismo es un estudio realizado en general en unión con el estudio
de ingeniería económica; determina la forma como una medida de valor (VP, VA, TR ó B/C) y la
alternativa seleccionada se verán alteradas si un factor particular o parámetro varía dentro de un
rango establecido de valores.
Generalmente, las variaciones en la vida, en los costos anuales y recaudos resultan de variaciones
en el precio de venta, de operación a diferentes niveles de capacidad, de la inflación, etc. Por
ejemplo, si un nivel de operación del 90% de la capacidad de sillas de una aerolínea se compara
con el 50% en una ruta internacional nueva, el costo de operación y el recaudo por milla de
pasajero aumentará, pero es probable que la vida anticipada disminuya solo ligeramente. De
47
ordinario, para aprender cómo afecta el análisis económico la incertidumbre de las estimaciones,
se estudian diversos parámetros importantes.
La traficación del VP, VA o TR versus el (los) parámetro (s) estudiado (s) es muy útil. Dos
alternativas pueden compararse con respecto a un parámetro dado y calcularse el punto de
equilibrio. Éste es un valor al cual las dos alternativas son equivalentes en términos económicos.
Sin embargo, el diagrama del punto de equilibrio comúnmente representa sólo un parámetro por
diagrama. Por tanto, se construyen diversos diagramas y se supone la independencia de cada
parámetro.
Cuando se estudian diversos parámetros, un estudio de sensibilidad puede resultar bastante
complejo. Éste puede realizarse utilizando un parámetro a la vez mediante un sistema de hoja de
cálculo, un programa de computador preparado especialmente, o cálculos manuales. El
computador facilita la comparación de múltiples parámetros y múltiples medidas de valor y el
software puede representar gráficamente de manera rápida los resultados.
2.5.1. LA SENSIBILIDAD EN LAS ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN.
Al realizar un estudio de análisis de sensibilidad se puede seguir este procedimiento general, cuyos
pasos son:
- Determine cuál parámetro o parámetros de interés podrían variar con respecto al valor estimado
más probable.
- Selecciones el rango probable de variación y su incremento para cada parámetro.
- Seleccione la medida de valor que será calculada.
- Calcule los resultados para cada parámetro utilizando la medida de valor como base.
- Para interpretar mejor los resultados, ilustre gráficamente el parámetro versus la medida de
valor.
Este procedimiento del análisis de sensibilidad debe indicar cuáles parámetros justifican un
estudio más detenido o requieren la consecución de información adicional. Cuando hay dos
alternativas o más, es mejor utilizar una medida de valor tipo monetario (VP ó VA) en el paso 3. Si
se utiliza la TR, se requieren esfuerzos adicionales de análisis incremental entre alternativas.
48
Ejemplo: La Compañía “Enlatados agrícolas” está considerando la compra de un nuevo activo para
el manejo automatizado del arroz. Las estimaciones más probables son un costo inicial de $80000,
valor de salvamento de cero y una relación de flujo de efectivo antes de impuestos de la forma
FEN = $27000 - 2000t anual (t = 1, 2,…n). La TMAR de la compañía varía entre el 10% y el 25%
anual para los tipos diferentes de inversiones en activos. La vida económica de maquinaria similar
varía entre 8 y 12 años. Evalúe la sensibilidad de VP y VA variando (a) el parámetro TMAR, a la vez
que supone un valor ´n´ constante de 10 años (b) el parámetro ´n´, mientras la TMAR es constante
al 15% anual.
Solución:
- La TMAR, i, es el parámetro de interés.
- Seleccione incrementos del 5% para evaluar la sensibilidad a la TMAR; el rango para i es del 10%
al 25%.
- Las medidas de valor son VP y VA.
- Establezca las relaciones VP y VA. Por ejemplo, para i = 10%, utilice valores k de 1 a 10 para el
flujo de efectivo:
- VP = -80000 + 25000(P/A,10%,10[6.1446]) - 2000(P/G,10%,10[22.8913]) = $27832.40
- VA = P(A/P,10%,10) = 27832.40(0.1627) = $4528.33
Las medidas de valor para los cuatro valores i en intervalos del 5% son:
- En la siguiente figura se muestra una gráfica de la TMAR versus el VA. La pendiente negativa
pronunciada indica que la decisión de aceptar la propuesta con base en VA es bastante sensible a
variaciones en la TMAR. Si se establece la TMAR en el extremo en el extremo superior del rango, la
inversión no es atractiva.
49
(b) Siga los pasos del procedimiento:
- El parámetro es la vida ´n´ del activo.
- Seleccione incrementos de 2 años para evaluar la sensibilidad a ´n´ durante el rango de 8 a 12
años.
- Las medidas de valor son VP y VA.
- Establezca las mismas relaciones VP y VA que en la parte (a) para i = 15%. Los resultados de las
medidas de valor son:
En la siguiente figura se aprecia una gráfica no lineal de VA versus n. Ésta es una forma
característica para el análisis de sensibilidad de un valor n. Como quiera que las medidas VP y VA
son positivas para todos los valores de n, la decisión de invertir no se ve afectada en forma
sustancial por la vida estimada.
2.5.2. VALOR ESPERADO Y ÁRBOL DE DECISIÓN.
- Para seleccionar la mejor alternativa se puede usar el criterio de valor esperado. El valor
esperado es la suma ponderada de los pagos correspondientes a la alternativa de decisión. El
factor de ponderación de cada pago es la probabilidad de ocurrencia del estado de la naturaleza
asociado a ese pago.
-Si las consecuencias de un resultado potencialmente desfavorable pueden sobrellevarse sin
mayores sobresaltos, el VE es un criterio razonable para la acción. Cuando las consecuencias de
un resultado potencialmente desfavorable no pueden ignorarse (cuando se ponen en juego
grandes sumas de dinero en términos relativos), el VE puede no ser el mejor criterio de decisión.
ARBOLES DE DECISION
El árbol de decisión es uno de los mejores métodos para el análisis de una decisión. Aquí se
describen gráficamente en forma de "árbol" los puntos de decisión, hechos aleatorios y
probabilidades de los diversos cursos de acción que podrían seguirse. Uno de los problemas más
comunes de las empresas es la introducción de un nuevo producto, por lo que los administradores
deben decidir en este caso si instalar costoso equipo permanente para garantizar la producción a
menor costo posible o si efectuar un montaje temporal más económico que suponga mayores
costos de manufactura pero menores inversiones de capital y resulte en menores pérdidas en caso
de que las ventas del producto no respondan a las estimaciones.
50
La evaluación de alternativas puede requerir una serie de decisiones en las cuales el resultado de
una tapa es importante para la siguiente etapa en la toma de decisiones. Cuando es posible definir
claramente cada alternativa económica se desea considerar explícitamente el riesgo, es útil
realizar la evaluación utilizando un árbol de decisiones, el cual incluye:
-Más de una etapa de selección de alternativas.
-La selección de una alternativa en una etapa conduce a otra etapa.
-Resultados esperados de una decisión en cada etapa.
-Estimaciones de probabilidad para cada resultado.
-Estimaciones del valor económico (costo o ingreso) para cada resultado.
-Medida del valor como criterio de selección, tal como E(VP).
El árbol de decisiones se construye de izquierda a derecha e incluye cada decisión y resultado
posible. Un cuadrado representa un nodo de decisiones y las alternativas posibles se indican en las
ramas que salen del nodo de decisión. Un círculo representa un nodo de probabilidad con
resultados posibles y probabilidades estimadas en las ramas.
Generalmente, cada rama de un árbol de decisión tiene algún valor económico asociado en
términos de costos o de ingresos o beneficios. Estos flujos de efectivo están expresados en
términos de VP, VA ó VF y se muestran a la derecha de cada rama de resultados finales. Los
valores de flujo de efectivo y de probabilidad en cada rama de resultados se utilizan para calcular
el valor económico esperado de cada rama de decisión.
- Probabilidad estimada de que cada resultado pueda ocurrir. Estas probabilidades deben sumar
1.0 para cada conjunto de resultados (ramas) que resultan de una decisión.
- Información económica para cada alternativa de decisión y resultado posible, tales como
inversión inicial y flujos de efectivo anuales.
Este método permite determinar al menos las principales alternativas y el hecho de que decisiones
subsecuentes pueden depender de acontecimientos futuros.
51
EJERCICIOS DE REPASO
-Método valor presente neto (VPN): Consiste en trasladar todos los flujos de las opciones al año
cero, esta alternativa solo es aplicable para opciones que tienen la misma vida útil
-Método costo anual uniforme (CAUE): Se trasladan todos los flujos de las opciones a una serie
uniforme durante toda la vida útil de las mismas, este método se aplica indistintamente para vidas
útiles iguales y diferentes.
-Método tasa interna de retorno (TIR): Consiste en encontrar el porcentaje de retorno de todos los
flujos de cada una de las opciones
Flujos principales en alternativas económicas:
- Inventario inicial
- Gastos operativos
52
EJERCICIO: Encontrar el VPN y CAUE (se tiene que tener tabla de factores de interés a la mano) de
un activo que se conoce como lo siguiente:
1)
.-Costo inicial: $460,000
.-Costos anuales de operación: $32,000
.-Costos anuales de mantenimiento: $15,000 el primer año, aumentando en $2,000 por año
.- Valor de salvamento: $60,000
.- Ingresos anuales: $150,000 el primer año aumentando en $20,000 cada año
.-Vida útil: 10 años
.- Tasa interés: 10% anual
i= 10% anual
150,000
0
5) 60,000
4)G=20,000
1
10
2)A=32,000
1) $460,000
3)G=2,000
$15,000
VPN
1.-Primeramente se colocaran en un orden los egresos e ingresos para una mayor facilidad en el
manejo, se colocara la cantidad y entre paréntesis el tiempo en el que se planea convertir, el
porciento de interés y número de años que está en ese tiempo.
1)-460,000
2)-32,000(P/A, 10%, 10)
3)-[15,000(P/A, 10%, 10)+2,000(P/G,10%,10)
4)+[150,000(P/A,10%,10)+20,000(P/G,10%,10)
5)+60,000(P/F,10%,10)
2.- se buscaran en las tablas la cantidad y se sustituirá en el paréntesis
1)-460,000
2)-32,000(6.1446)
3)-[15,000(6.1446)+2,000(22.8913)
4)+[150,000(6.1446)+20,000(22.8913)
5)+60,000(0.3855)
53
3.- Se multiplican las cantidades y se suman.
1)-460,000
2)-196,627.2
3)-137,951.6
4)+1,379,516
5)+23,130
VPN: 608,067.2
CAUE Se transforma toda la serie anual y se hacen los mismos pasos
1)-460,000(A/P,10%,10)
2)ATOT=-(15,000+2,000(A/G,10%,10)
3)-32,000
4)15,000+20,000(A/G,10%,10)
5)60,000(A/F,10%,10)
1)-460,000(0.16275)=-74,865
2)-[15,000+2,000(3.7255)=-22,451
3)-32,000
4)150,000+20,000(3.7255)=224,510
5)60,000(0.06275)=3,765
CAUE= 98,959 (En lugar de todos los flujos yo termino con un flujo positivo eso significa que estoy
ganando)
2.- Una compañía de mantenimiento industrial tiene 2 alternativas para realizar trabajos de
pintura.
En la siguiente tabla se presentaran los datos de cada una de ellas para decidir con una tasa
mínima atractiva de retorno del 6% anual de la alternativa seleccionada.
Inversión inicial
Capacitación (año 1)
Prestaciones sociales x
hombre
Seguro contra accidentes x
hombre
Mano de obra
No de trabajadores
Vida útil
Manual
$0
$300
$3,000 x año
Automática
$100,000
$100
$1,200 x año
$1,000 x año
$4,350 x año
$4,200 x año
6
4 años
$4,200 x año
2
4 años
54
1)$0
4
1
0
$300
18,000
6,000
4,200
0
1)$100,000
4
1
100
2,400
8,700
4,200
1. Método CAUE
1)0
2)-300(P/F, 6%,1) con esto lo llevamos al año 0 y después lo multiplicamos por la anualidad (A/P,
6%, 4)=-81-676
3)-18,000
4)-6,000
5)-4,200
Suma total: -28,284.67
2.
1)-100,000(A/P, 6%, 4)=-28,859
2)-100(P/F, 6%,1) (A/P, 6%, 4)
3)-2,400
4)-8,700
5)-4,200
Suma total: -44,186-22
Conclusión: la mejor alternativa es seleccionar la alternativa manual
55
1. Método VPN
1)-300(P/F, 6%, 1)
2)-18,000(P/A, 6%, 4)
3)-6,000(P/A, 6%, 4)
4)-4,200(P/A, 6%, 4)
Suma total: -97,998.84
2.
1)-100,000
2)-100(P/F,6%,1)
3)-2,400(P/A,6%,4)
4)-8,700(P/A,6%,4)
5)-4,200(P/A,6%,4)
Suma total: -153,110.35
3.- Usted es miembro de un equipo de proyectos de ingeniería que está diseñando una nueva
instalación de proceso, su tarea actual consiste en diseñar la porción de un sistema catalizador que
requiere del bombeo de un compuesto acuoso de hidrocarburos corrosivos y que contiene
partículas abrasivas para el análisis final y su compasión, se han seleccionado 2 alternativas, de
bombeo y ambas proporcionarían el mismo nivel de servicio. Aunque tienen costos y vidas útiles
diferentes si se necesita la instalación y considerando una taza mínima atractiva de retorno del
20% anual con la siguiente información ¿Cuál seleccionarías?
Inversión de capital
Gastos anuales
Energía Eléctrica
Mantenimiento
Vida útil
Valor de rescate
SP24D
$33,200
-----$2,165
1,100 año 1 aumenta en 500
por año
5
0
HEP59
$47,600
------$1,720
500 año 4 aumenta en 100 x
año
9
5000
A.
5
1
0
33,200
2,165
1,100
G=500
1)-33,200(A/P,20%,5)=-11,101.41
2)-2,165
3)-[1,100+500(A/G,20%,5)]=-1,920.25
Suma total=-15,186.66
56
5,000
B.
0
4
1,720
1
17,000
9
100
500
1)-47,000(A/P,20%,9)=-11,659.76
2)-1,720
3)-[500+100(A/G,20%,6)(F/A,20%,6)(A/F,20%,9)]=-1,719.16
4)+5,000(A/F,20%,9)=240.4
Suma total: -14,858.52
Conclusión: la mejor opción termina siendo la HEPS9 ya que terminamos con menos egresos
4.- Dado 3 proyectos independientes de ingeniería para mejorar la eficiencia energética,
determina cual conviene elegir, si la TMAR= 10% anual y los flujos de c/u de ellos son:
Flujo
Inversión inicial
Flujo neto de afectivo
anual
Valor de salvamento
Vida útil
E1
10,000
2,300
E2
12,000
2,800
10,000
0
E3
15,000
4,067
0
5 años
E1
10,000
1)-10,000(A/P,10%,5)=-2,638
2)+2,300
3)+10,000(A/F,105,5)=+1,638
Suma total: 1,300
1
0
10,000
5
2,300
E2
1)-12,000(A/P, 10%,5)=-3,165.5
2)+2,800
Suma total= -365.6
0
12,000
1
0
1
2,800
5
E3
1)-15,000(A/P,10%,5)=-3,957
2)+4,067
Suma total=110
15,000
4,067
5
57
Conclusión: La mejor opción sería la primera ya que tiene un gran valor de salvamento a primera
vista y después de hacer los cálculos resulta mejor su ganancia
5.- Selecciona la mejor alternativa usando el método CAUE o VPN
Inversión inicial
Ingresos anuales
estimados
Costos anuales de
operación
Costos anuales
mantenimiento
Valor de salvamento
Vida útil
Alt 1
1,000,000
450,000
Alt 2
1,200,000
450,000
Alt 3
1,500,000
450,000
20,000
24,000
30,000
20,000 año 1
incremento 5000 por
año
50,000
30,000 año 1
incremento 2000 por
año
60,000
10 años
40,000 año 3 y 6
90,000
Método CAUE
Alt. 1
50,000
450,000
0
1
1,000,000
A=20,000
10
G=5,000
1)-1,000,000(A/P,10%,10)=-162,750
2)-20,000
3)-[20,000+5,000(A/G,10%,10)]=-38,627
4)+450,000
5)+50,000(A/F,10%,10)=+3,137.5
Suma total: 231,760.5
Alt 2
60,000
450,000
0
1,200,000
30,000
1
24,000
10
G=2,000
1)-1,200,000(A/P,10%,10)=-195,300
58
2)-24,000
3)-(30,000+2,000[A/G,10%,10])=-37,451
4)+450,000
5)+60,000(A/F,10%,10)=3,765
Suma total= 197,014
Alt 3
450,000
0
1,500,000
1
3
30,000
90,000
6
10
40,000
40,000
1)-1,500,000(A/P,10%,10)=-244,125
2)-30,000
3)-40,000
4)-40,000
5)+450,000
6)+90,000(A/F,10%,10)=+5,647.5
Suma total= 101,522.5
Conclusión:
La mejor alternativa es la numero 1, genera mayores ganancias a comparación de otras.
6.- Se estudia 3 alternativas de inversión mutuamente excluyentes para implantar la
automatización de una oficina en una empresa de diseño de ingeniería. Cada alternativa satisface
los mismos requerimientos de servicio. Aunque entre ellas hay diferencias en los montos de
inversión de capital y en los beneficios. El periodo de estudio es de 10 años y esto es en bases a las
vidas útiles de las 3 alternativas es de 0 al finalizar su vida útil. Si la taza mínima atractiva de
retorno es del 10% anual ¿Cuál alternativa debe seleccionarse considerando las siguientes
estimaciones?
Alt
A
B
C
Inv. Inicial
390,000
920,000
660,000
Ahorros anuales
69,000
107,000
133,500
59
Método CAUE Alt A
69,000
10
1
0
390,000
1)-390,000(A/P,10%,10)=-63,472.5
2)+69,000
Suma total: 5,527.5
Alt B
107,000
1
0
920,000
10
1)-920,000(A/P,10%,10)=-149,730
2)+107,000
Suma total: -42,730
Alt C
133,500
0
660,000
1
1)-660,000(A/P,10%,10)=107,415
2)+133,500
Suma total: 26,085
10
Conclusión: La alt 3 es la más viable ya que genera más
cantidad de ahorro o beneficio que requieren
TIR INCREMENTAL: Pasos para encontrar el resultado, se tomara de ejemplo el ejercicio anterior
TMAR:10%
60
1.- Primero acomodaremos las sumas de ingresos y egresos, se planea pasar todas las anualidades
a presente entonces:
Egreso=Ingreso
390,000=69,000(P/A,___,10)
390,000
= (𝑃/𝐴, 𝑥, 10)
69,000
= 5.6521=x
2.- Haremos uso de las tablas para encontrar el porcentaje que buscamos para esto es necesario
encontrar 2 números cercanos a este, buscaremos en todas las tablas en la parte de P/A y el
número 10, en este caso son estos.
x-5.6521
10%-6.1446
12%-5.6502
3.- Utilizaremos la siguiente formula en el cual acomodaremos los datos ya obtenidos del lado
izquierdo esta la incógnita y los porcentajes encontrados y del derecho las cantidades de la
incógnita y de cada porcentaje.
𝑥 − 10
5.6521 − 6.1446
=
12 − 10 5.6502 − 6.1446
𝑥 − 10 −0.4925
=
= 0.9961
2
−0.4944
4.- Convertimos la fórmula para sacar x y obtener el resultado
𝑥 = (0.9961 ∗ 2) + 10 = 11.9922
Alt A: 11.99%
Alt B
Egresos=Ingresos
920,000=107,000(P/A,___,10)
920,000
= 5.5089 = 𝑥
167,000
12%-5.6502
x-5.5089
13%-5.4262
𝑥−12
13−12
=
5.5089−5.6502
𝑋−12
5.4262−5.6502
1
=
−0.1413
−0.224
= 0.63080
x=(0.6308*1)+12= 12.6308 Alt B= 12.63%
61
Alt C
Egreso=Ingreso
660,000=133,500(P/A,____,10)
660,000
= 4.9438 = 𝑥
133,500
16%-4.8332
x-4.9438
15%-5.0188
𝑥−15
16−15
=
4.9438−5.0188 −0.075
= 0.4040
4.8332−5.0188 −0.1856
(0.4040*1)+15= 15.40
Conclusión la mejor alternativa es la C
EJERCICIO:
Si desea evaluar a 2 alternativas mutuamente excluyentes, cuyos ingresos y costos estimados
aparecen clasificados en la tabla siguiente:
Alt
1
2
Inv. Inicial
100,000
152,000
Ingresos mensuales
15,200
31,900
Valor de salvamento
10,000
0
Si la TMAR=15% y el periodo a evaluar es de 10 años, utiliza el método TIR para seleccionar la
mejor alternativa.
Alternativa 1
Paso 1 Acomodar los ingresos y egresos
Egresos=Ingresos
100,000=15,200(P/A,15%,10)+10,000(P/F,15%,10)
100,000=15,200(5.0188)+10,000(0.2472)
100,000=78,757.76
2.- Encontrar dos porcentajes que se acerquen al número 100,000, sustituiremos de la siguiente
forma ejemplo usaremos el 10%:
100,000=15,200(P/A,10%,10)+10,000(P/F,10%,10)
100,000=15,200(6.1446)+10,000(0.3855)
100,00=93,397.92+3855
100,000=97,252.2
62
3.- En este caso los porcentajes más cercanos son 10% y 9%
10%-2747.08
i-100.000
9%-1773.04
4.- Usaremos la formula anteriormente mostrada en otros ejercicios
𝑖 − 10
0 − 2,747.08
=
9 − 10 −1,773.04 − 2,747.08
𝑖 − 10 −2,747.08
=
−1
−4,520.12
𝑖 = (0.60774 ∗ −1) + 10 = 9.3922
Alternativa 2
1.-Egresos=Ingresos
152,000=31,900(P/A,?,10)
152,000
𝑃
2.- 31,900 = (𝐴 , ? ,10) = 4.7648
3.15%-5.0188
i-4.7648
20%-4.1925
𝑖−15
4.7648−5.0188
4.- 20−15 = 4.1925−5.0188
−0.254
5.-−0.8263 = (0.3073 ∗ 5) + 15=16.53
Conclusión: la mejor opción es la alternativa 2
63
UNIDAD 3 “ANALISIS DE DEPRECIACION DE IMPUESTO”
3.1. Métodos de depreciación.
3.1.1. Terminología de la depreciación.
3.1.2. Depreciación en línea recta.
3.1.3. Otros métodos de depreciación.
3.2. Análisis después de impuesto.
3.2.1. Terminología básica para los impuestos sobre la renta.
3.2.2. Ganancias y pérdidas de capital.
3.2.3. Efectos de los diferentes modelos de depreciación.
3.2.4. Análisis después de impuestos utilizando los métodos de valor presente, valor anual y tasa
interna de retorno.
Competencias Específicas:
Determina las depreciaciones, utilidad o perdida un proyecto para elegir más viable.
Competencias Genéricas:
- Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y comunicación
- Capacidad de investigación
- Capacidad de análisis y síntesis,
- Capacidad de comunicación profesional con otras áreas
- Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica
- Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.
Actividades de aprendizaje:
- Investigar concepto y terminología de la depreciación y sus diferentes métodos para concluir con
un debate.
- Resolver casos prácticos en hoja de cálculo o calculadora financiera del análisis financiero
después de impuestos donde obtenga las ganancias y pérdidas de capital, de un proyecto.
64
3.1. MÉTODOS DE DEPRECIACIÓN.
3.1.1. TERMINOLOGÍA DE LA DEPRECIACIÓN.
A continuación de definen algunos términos comúnmente utilizados en depreciación. La
terminología es aplicable a corporaciones lo mismo que a individuos que poseen activos
depreciables.
Depreciación: Es la reducción en el valor de un activo. Los modelos de depreciación utilizan reglas,
tasas y fórmulas aprobadas por el gobierno para representar el valor actual en los libros de la
Compañía.
Costo inicial: También llamado base no ajustada, es el costo instalado del activo que incluye el
precio de compra, las comisiones de entrega e instalación y otros costos directos depreciables en
los cuales se incurre a fin de preparar el activo para su uso. El término base no ajustada, o
simplemente base, y el símbolo B se utiliza cuando el activo es nuevo.
Periodo de recuperación: Es la vida depreciable, n, del activo en años para fines de depreciación (y
del ISR). Este valor puede ser diferente de la vida productiva estimada debido a que las leyes
gubernamentales regulan los periodos de recuperación y depreciación permisibles.
Valor de mercado: Es la cantidad estimada posible si un activo fuera vendido en el mercado
abierto. Debido a la estructura de las leyes de depreciación, el valor en libros y el valor de mercado
pueden ser sustancialmente diferentes.
Tasa de depreciación: También llamada tasa de recuperación, es la fracción del costo inicial que se
elimina por depreciación cada año. Esta tasa puede ser la misma cada año, denominándose
entonces tasa en línea recta, o puede ser diferente para cada año del periodo de recuperación.
Valor de salvamento: Es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la vida útil del
activo. El valor de salvamento, VS, expresado como una cantidad en dólares estimada o como un
porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero ó negativo debido a los costos de
desmantelamiento y de exclusión.
Propiedad personal: Está constituida por las posesiones tangibles de una corporación,
productoras de ingresos, utilizadas para hacer negocios. Se incluye la mayor parte de la propiedad
industrial manufacturera y de servicio: vehículos, equipo de manufactura, mecanismos de manejo
de materiales, computadores, muebles de oficina, equipo de proceso de refinación y mucho más.
Propiedad real: Incluye la finca raíz y las mejoras a ésta y tipos similares de propiedad, por
ejemplo: edificios de oficinas, estructuras de manufactura, bodegas, apartamentos. La tierra en sí
se considera como propiedad real, pero no es depreciable.
65
3.1.2. DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA
El modelo en línea recta es un método de depreciación utilizado como el estándar de comparación
para la mayoría de los demás métodos. Obtiene su nombre del hecho de que el valor en libros se
reduce linealmente en el tiempo puesto que la tasa de depreciación es la misma cada año, es 1
sobre el periodo de recuperación. Por consiguiente, d = 1 / n. La depreciación anual se determina
multiplicando el costo inicial menos el valor de salvamento estimado por la tasa de depreciación d,
que equivale a dividir por el periodo de recuperación n. En forma de ecuación queda de la
siguiente manera:
Dt = (B - VS) / d = (B - VS) / n
Donde: t = año (1, 2, … n)
Dt = cargo anual de depreciación
B = costo inicial o base no ajustada
VS = valor de salvamento estimado
d = tasa de depreciación (igual para todos los años)
n = periodo de recuperación o vida depreciable esperada
Dado a que el activo se deprecia por la misma cuantía cada año, el valor en libros después de t
años de servicio, VLt, será igual a la base no ajustada B menos la depreciación anual, multiplicado
por t.
dt = 1 / n.
Ejemplo: Si un activo tiene un costo inicial de $50000 con un valor de salvamento estimado de
$10000 después de 5 años, (a) calcule la depreciación anual y (b) calcule el valor en libros después
de cada año, utilizando el método de depreciación en línea recta.
(a) La depreciación para cada año puede obtenerse mediante la ecuación:
Dt = (B - VS) / n = (50000 - 10000) / 5 = $8000 cada año.
(b) El valor en libros después de cada año t se calcula mediante la ecuación
VLt = V - tDt
VL1 = 50000 - 1*8000 = 42000
VL2 = 50000 - 2*8000 = 34000
VL3 = 50000 - 3*8000 = 26000
VL4 = 50000 - 4*8000 = 18000
VL5 = 50000 - 5*8000 = 10000 = VS
66
3.1.3. OTROS MÉTODOS DE DEPRECIACIÓN.
Método de la suma de los dígitos del año
Este es un método de depreciación acelerada que busca determinar una mayor alícuota de
depreciación en los primeros años de vida útil del activo.
La fórmula que se aplica es: (Vida útil/suma dígitos)*Valor activo
Donde se tiene que:
Suma de los dígitos es igual a (V(V+1))/2 donde V es la vida útil del activo.
Ahora determinemos el factor.
Suponiendo el mismo ejemplo del vehículo tendremos:
(5(5+1)/2
(5*6)/2 = 15
Luego, 5/15 = 0,3333
Es decir que para el primer año, la depreciación será igual al 33.333% del valor del activo.
(30.000.000 * 33,3333% = 10.000.000)
Para el segundo año: 4/15 = 0,2666
Luego, para el segundo año la depreciación corresponde al 26.666% del valor del activo
(30.000.000 * 26,666% = 8.000.000)
Para el tercer año: 3/15 = 0,2
Quiere decir entonces que la depreciación para el tercer año corresponderá al 20 del valor del
activo. (30.000.000 * 20% = 6.000.000)
Y así sucesivamente. Todo lo que hay que hacer es dividir la vida útil restante entre el factor
inicialmente calculado.
Método de la reducción de saldos
Este es otro método que permite la depreciación acelerada. Para su implementación, exige
necesariamente la utilización de un valor de salvamento, de lo contrario en el primer año se
depreciaría el 100% del activo, por lo perdería validez este método.
La fórmula a utilizar es la siguiente:
Tasa de depreciación = 1- (Valor de salvamento/Valor activo) 1/n
Donde n es el la vida útil del activo
67
Como se puede ver, lo primero que se debe hacer, es determinar la tasa de depreciación, para
luego aplicar esa tasa al valor no depreciado del activo o saldo sin de preciar
Continuando con el ejemplo del vehículo (suponiendo un valor de salvamento del 10% del valor
del vehículo) tendremos:
1- ( 3.000.000/30.000.000)1/5 = 0,36904
Una vez determinada la tasa de depreciación se aplica al valor el activo sin depreciar, que para el
primer periodo es de 30.000.000
Entonces 30.000.000 * 0,36904 = 11.071.279,67
Para el segundo periodo, el valor sin depreciar es de (30.000.000-11.071.279,67) = 18.928.720,33,
por lo que la depreciación para este segundo periodo será de:
18.928.720,33 * 0,36904 = 6.985.505,22
Así sucesivamente hasta el último año de vida útil
Método de las unidades de producción
Este método es muy similar al de la línea recta en cuanto se distribuye la depreciación de forma
equitativa en cada uno de los periodos.
Para determinar la depreciación por este método, se divide en primer lugar el valor del activo por
el número de unidades que puede producir durante toda su vida útil. Luego, en cada periodo se
multiplica el número de unidades producidas en el periodo por el costo de depreciación
correspondiente a cada unidad.
Ejemplo: Se tiene una máquina valuada en $10.000.000 que puede producir en toda su vida útil
20.000 unidades.
Entonces, 10.000.000/20.000 = 500. Quiere decir que a cada unidad que se produzca se le carga
un costo por depreciación de $500
Si en el primer periodo, las unidades producidas por la maquina fue de 2.000 unidades, tenemos
que la depreciación por el primer periodo es de: 2.000 * 500 = 1.000.000, y así con cada periodo.
68
3.2. ANÁLISIS DESPUÉS DE IMPUESTO.
Si se establece la TMAR después de impuestos (a la tasa del mercado como se analizó en el
capítulo 12), para calcular el VP o él VA para un proyecto se utilizan los valores FEN justo de la
misma manera que en capítulos anteriores. Cuando hay cantidades FEN positivas y negativas, un
VP o VA < 0 resultante indica que la TMAR después de impuestos no se ha logrado.
Para una comparación de alternativas ‘mutuamente excluyentes, utilice los siguientes parámetros
para seleccionar la mejor alternativa.
Si el VP o él VA alternativo 2 0, la TMAR después de impuestos requerida se logra o se excede; la
alternativa es financieramente viable.
Seleccione la alternativa con el valor VP o VA que sea numéricamente mayor:
Si para una alternativa se incluyen solamente estimaciones de costo, considere el ahorro de
impuestos que genera el CAO o gasto de operación para llegar a un FEN positivo. Luego utilice el
mismo parámetro para seleccionar una alternativa.
Representa la cantidad de efectivo real resultante que fluye hacia la compañía, es decir la entrada
de dinero, considerando esta entrada de dinero neto como una cantidad positiva. En el caso que la
resultante del flujo de efectivo neto sale de la compañía, es decir sale dinero o hace desembolsos,
esto hace que se considere una cantidad negativa. Lógicamente se debe considerar un
determinado periodo de tiempo generalmente un año.
El análisis del flujo de efectivo neto después de impuestos implica que se utilizan las cantidades en
todos los cálculos para determinar el VP, VA, TIR, o cualquiera que sea la medida de valor de
interés para el analista económico.
Considerando que el flujo de efectivo neto después de impuestos es igual a la cantidad del flujo de
efectivo después de impuestos (FEDI).
Si se establece la TMAR después de impuestos, a la tasa del mercado para calcular los VP o él VA
para un proyecto se utilizan los valores del flujo de efectivo neto.
Cuando hay cantidades FEN positivas y negativas, los valores de VP o VA son menores que cero
significa que la TMAR después de impuestos no se ha logrado, es decir, que la alternativa no es
viable financieramente.
Cuando se tienen alternativas mutuamente excluyentes se utilizan los siguientes parámetros para
seleccionar la mejor alternativa.
69
• Si el VP o él VA alternativo es mayor o igual a cero, significa que la TMAR requerida después de
impuestos es aceptable y que la alternativa financieramente es viable.
• Seleccione la alternativa con el VP o VA que sea numéricamente mayor.
También, si para una alternativa se incluyen solamente estimaciones de costo, considere el ahorro
de impuestos que genera el CAO o gasto de operación para obtener una FEN positiva y utilice el
mismo parámetro para seleccionar una alternativa.
Análisis de la Tasa de Retorno después de Impuestos Recordando que la tasa de retorno fue
calculada cuando se da el equilibrio de los flujos de efectivo positivos y negativos, es decir, cuando
un proyecto único se iguala a cero con un VP o VA de la secuencia FEN (Flujo de Efectivo Neto)
considerando el valor del dinero en el tiempo y para secuencias convencionales de flujo de
efectivo, así también cuando se trata de alternativas múltiples se utiliza una relación VP o VA para
calcular la tasa de retorno sobre la serie FEN incremental para la alternativa de inversión inicial
más grande con relación a la más pequeña.
Así también, recordemos que si solamente se involucra financiamiento con patrimonio, se puede
modificar la relación (FEN), en forma más corta utilizando el término ahorro de impuestos (IG) (1 –
T), que es la porción IG no absorbida por los impuestos.
Para los fondos patrimoniales en un 100%, FPD = P, el gasto de capital en la ecuación.
FEN = -gasto de capital + ingreso bruto – gastos de operación + valor de salvamento – impuestos.
FEN = - P + IB – GO + VS – IG (T)
Si se escribe la depreciación multiplicada por el término de la tasa impositiva, DT como D-D(1-T),
se obtiene una forma abreviada para FEN.
FEN = - gasto de capital + depreciación + IG (1 – T)
3.2.1. TERMINOLOGÍA BÁSICA PARA LOS IMPUESTOS SOBRE LA RENTA.
Ingreso bruto: total de todos los ingresos provenientes de fuentes productoras de ingresos.
Gastos: todos los costos en los que se incurre cuando se hace una transacción comercial. Ingreso
gravable: el valor monetario remanente sobre el cual se deben pagar los impuestos.
Y se calcula como sigue:
Ingreso gravable: ingreso bruto menos gastos menos depreciación.
Ganancia de capital: cuando el precio de venta de propiedades depreciables (activos) o de un bien
raíz (terrenos) exceden el valor en libros, ha ocurrido una ganancia d capital.
Los gastos de operación= GO incluyen todos los costos de corporaciones en los que se incurre en
las transacciones de un negocio.
70
Ganancia =precio de venta – valor en libros.
Perdida de capital: valor en libros – precio de venta.
Descuento tributario por inversiones: este es un estímulo tributario dado al comprador de equipo
nuevo o usado que este calificado de acuerdo con lo dispuesto en la sección 38 de patrimonio.
Este crédito tributario se otorga para estimular la compara y uso de equipo moderno. Perdida de
operación: cuando una corporación experimenta un año en el que hay pérdida neta en lugar de
ganancia neta, sufre una pérdida de operación.
IMPUESTOS = (ingreso bruto – gastos – depreciación) T. Donde T = tasa tributaria.
IMPUESTOS = (IG) T.
Sin embargo para ayudar un poco al pequeño comerciante los impuestos corporativos realmente
se calculan como:
El ingreso gravable, IG, es la cuantía en dólares sobre la cual se calculan los impuestos.
Impuestos corporativos: (IG) (tasa normal de impuestos) + (IG — $ 25 000) (sobretasa). Para las
corporaciones, los gastos y la depreciación se restan del ingreso bruto para obtener el ingreso
gravable.
IG = ingreso bruto - gastos – depreciación
FEAI = Flujo de Efectivo Antes de Impuesto. (Sin inflación)
FEDI = Flujo de Efectivo Después de Impuesto.
D = Depreciación.
IG = Ingreso Gravable.
I = Impuestos.
T = Tasa Tributaria o Tasa de Impuestos.
La tasa impositiva es un porcentaje, o equivalente decimal, del ingreso gravable debido en
impuestos.
Impuestos = ingreso gravable X tasa impositiva aplicable = (1G)T
La utilidad neta o ingreso neto, resulta, en general, al restar los impuestos sobre la renta
corporativa del ingreso gravable.
La ganancia de capital es una cuantía del ingreso gravable en la cual se incurre cuando el precio de
venta de un activo o propiedad depreciable excede el precio de compra original. En el momento
de la venta.
Ganancia de capital = precio de venta - precio de compra
Si el resultado es positivo, se registra una ganancia. Si la fecha de ventas ocurre dentro de un
tiempo dado de la fecha de compra, se hace referencia a la ganancia de capital como una ganancia
71
de corto plazo (GCP); si el periodo de posesión es más largo, la ganancia es una ganancia de largo
plazo (GLP). La ley tributaria determina y cambia el periodo de posesión requerido, el cual
generalmente es de 1 año o 18 meses. Aquí se utiliza 1 año.
La pérdida de capital es el opuesto de la ganancia de capital. Si el precio de venta es menor que el
valor en libros, la pérdida de capital es:
Pérdida de capital = valor en libros - precio de venta
Si el resultado es positivo, se reporta una pérdida. Los términos pérdida de corto plazo (PCP) y
pérdida de largo plazo (PLP) se determinan en forma similar a las ganancias de capital.
3.2.2. GANANCIAS Y PÉRDIDAS DE CAPITAL.
Ganancia de capital: cuando el precio de venta de propiedades depreciables (activos) o de un
bien raíz (terrenos) exceden el valor en libros, ha ocurrido una ganancia d capital. Ganancia
=precio de venta – valor en libros. Donde la ganancia de capital > 0. Si la ocurre dentro de los 6
meses siguientes a la fecha de compra, se refiere a la ganancia de capital como a ganancia a corto
plazo (GCP; si el periodo de propiedad es mayor de 6 meses, la ganancia es ganancia a largo plazo
(GLP). La GCP y GLP se gravan de forma diferente. Perdida de capital: valor en libros –
precio de venta. Los términos perdidos a corto plazo (PCP) y perdidos a largo plazo (PLP) se
definen en forma análoga a la ganancia de capital, es decir, un punto de cambio a los 6
meses. El costo de amortizado, resulta una pérdida de capital. Las pérdidas de ganancias de
capital se tratan individualmente de acuerdo con la siguiente tabla:
A continuación se describe el procedimiento exacto utilizado para calcular los impuestos en
los cuales se involucran pérdidas y ganancias de capital. Una GLP se grava con una tasa del
30% sobre la ganancia en la que se ha incurrido durante el año, si el ingreso gravable
sobrepasa $ 25 000. Para una firma pequeña se aplica la tasa tributaria normal del 22 % de la
ganancia. Una PCP solo puede utilizarse para compensar una GLP. Así, si en un año en particular la
PLP = $ 5 500 y la PCP = $ 3, 200; hay una GLP neta = $ 2, 300 que debe ser gravada. El trato que
se da a la GCP y a la PCP es similar, excepto que la ganancia neta se grava como ingreso regular.
Una vez que las pérdidas han sido utilizadas para compensar las ganancias, se obtiene el
resultado neto. Este valor se usa entonces para el cálculo de los impuestos, no para las ganancias
individuales y los valores de perdida. En todo caso, las pérdidas netas declaradas en cualquier
año no pueden exceder las ganancias de ese año. Los ejemplos siguientes esclarecerán el
procedimiento real. Ejemplo 1: Una compañía tiene los siguientes ingresos, ganancias y pérdidas
de valores durante un año:
72
(Los paréntesis se usan para indicar perdidas.) Calcule los impuestos a la renta. Solución:
Utilizando las pérdidas para compensar las ganancias, se obtienen los siguientes resultados:
Por lo tanto, $ 52 000 se gravan realmente como ingresos corriente, de la siguiente manera:
El cálculo del impuesto a la renta es: Impuesto = 52 000 (0.22) + 27 000 (0.26) = $ 18 460.
3.2.4. ANÁLISIS DESPUÉS DE IMPUESTOS UTILIZANDO LOS MÉTODOS DE VALOR PRESENTE,
VALOR ANUAL Y TASA INTERNA DE RETORNO.
Recordando la siguiente terminología tendremos la oportunidad de comprender mejor los
términos empleados en esta sección, así tenemos que:
FEN = Fondo de Efectivo Neto EN = Ingresos – desembolsos. FEN = entradas de efectivo – salidas
de efectivo
Representa la cantidad de efectivo real resultante que fluye hacia la compañía, es decir la entrada
de dinero, considerando esta entrada de dinero neto como una cantidad positiva.
En el caso que la resultante del flujo de efectivo neto sale de la compañía, es decir sale dinero o
hace desembolsos, esto hace que se considere una cantidad negativa. Lógicamente se debe
considerar un determinado periodo de tiempo generalmente un año.
El análisis del flujo de efectivo neto después de impuestos implica que se utilizan las cantidades en
todos los cálculos para determinar el VP, VA, TIR, o cualquiera que sea la medida de valor de
interés para el analista económico.
Considerando que el flujo de efectivo neto después de impuestos es igual a la cantidad del flujo de
efectivo después de impuestos (FEDI).
73
Si se establece la TMAR después de impuestos, a la tasa del mercado para calcular los VP o él VA
para un proyecto se utilizan los valores del flujo de efectivo neto.
Cuando hay cantidades FEN positivas y negativas, los valores de VP o VA son menores que cero
significa que la TMAR después de impuestos no se ha logrado, es decir, que la alternativa no es
viable financieramente.
Cuando se tienen alternativas mutuamente excluyentes se utilizan los siguientes parámetros para
seleccionar la mejor alternativa.
Si el VP o él VA alternativo es mayor o igual a cero, significa que la TMAR requerida después de
impuestos es aceptable y que la alternativa financieramente es viable. Seleccione la alternativa
con el VP o VA que sea numéricamente mayor.
También, si para una alternativa se incluyen solamente estimaciones de costo, considere el ahorro
de impuestos que genera el CAO o gasto de operación para obtener una FEN positiva y utilice el
mismo parámetro para seleccionar una alternativa.
Con el siguiente ejemplo se tratará de dar una forma clara de cómo se hacen los cálculos para
seleccionar la mejor alternativa.
Ejemplo: Un ingeniero analista de la empresa S&S Bakery, ha estimado los valores FEN
presentados a continuación, desea seleccionar la mejor alternativa para lo cual se utilizarán los
cálculos de los métodos del VP y VA, considerando que la TMAR es del 7% anual después de
impuestos.
74
Solución:
Utilizando el método del VP: En este caso como las alternativas tienen vida útil diferente, la
comparación se debe de realizar por medio del mínimo común múltiplo (m.c.m), por lo cual la
comparación se hará con un (n = 10 años), para la alternativa B.
Para la alternativa A, se tiene:
VPA = - $288,000 + $54,000(P/A, 7%, 6) + $20,400(P/A, 7%, 4) (P/F, 7% 6) + $27,920(P/F, 7%, 10)
VPA = - $288,000 + $54,000(4.7665) + $20,400(3.3872)(0.6663) + $27,920(0.5083 VPA = - $288,000
+ $257,391+ $46,040 + $14,192 VPA = $29,623
Para la alternativa B se tiene:
VPB = - $500,000 + $142,000(P/F, 7%, 1) + $133,000(P/F, 7%, 2) + $124,000(P/F, 7%, 3) +
$115,000(P/F, 7%, 4) + $100,000(P/F, 7%, 5) [ -$500,000 + $142,000(P/F, 7%, 1) + $133,000(P/F,
7%, 2) + $124,000(P/F, 7%, 3) + $115,000(P/F, 7%, 4) + $106,000(P/F, 7%, 5)](P/F; 7%, 5)
VPB = —$500,000 + $142,000(0.9346) + $133,000(0.8734) + $124,000(0.8163) + $115,000(0.7629)
+ $100,000(0.7130) [—$500,000 + $142,000(0.9346) + $133,000(0.8734) + $124,000(0.8163) +
$115,000(0.7629) + $106,000(0.7130)](0.7130)
VPB = - $500,000 + 132,713 + $116,162 + $101,221 + $87,733 + $75,578 [- $500,000 + 132,713 +
$116,162 + $101,221 + $87,733 + $75,578] (0.7130)
VPB = $13,407 + $13,407(0.7130) VPB = $13,407 + $9559 VPB = $22,966
Con estos resultados se debe tomar una decisión, aunque las dos alternativas son financieramente
viables porque cada una tiene (VP > 0).
Recordando que la selección debe ser la alternativa que represente el VP mayor, en este caso:
VPA > VPB
Por lo cual se selecciona la alternativa A.
75
EJERCICIOS PARA REPASO
Formula:
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙−𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑛
Depreciación Línea Recta=
EJEMPLO:
El primer paso es hacer el diagrama de flujo
Inventario Inicial: 100,000
Ut. Anual: 40,000
Vida útil: 10 años
40,000
0
10
1
100,000
La característica de este método es que la depreciación siempre será un valor constante durante
toda la vida útil del proyecto.
2) Se acomodara la tabla de la siguiente manera.
Año
Flujo de efectivo antes
de depreciación (FEAD)
Depreciación
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
-100,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
0
-------10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
0
Flujo de efectivo
antes de
impuesto (FEAI)
-100,000
30,000
30,000
30,000
30,000
30,000
30,000
30,000
30,000
30,000
30,000
0
Impuesto
40%
------12,000
12,000
12,000
12,000
12,000
12,000
12,000
12,000
12,000
12,000
0
Flujo de efectivo
después de
impuesto(FEDI)
-100,000
28,000
28,000
28,000
28,000
28,000
28,000
28,000
28,000
28,000
28,000
0
1) FEAD: Se colocara el diagrama por años, si es egreso se pondrá negativo e ingreso positivo, si es
anualidad se pondrán en los años que dure y si en algún año no contiene cantidad se agregara un
0.
2) Depreciación: Se utiliza la fórmula de depreciación línea recta.
3) FEAI: FEAD-depreciación
4) Impuestos: usualmente se maneja el 40% del FEAI así que se multiplicara por el porcentaje para
sacar la cantidad
5) FEDI: FEAD-impuesto
76
Se realizara un nuevo diagrama de flujo a partir del FEDI quedara de la siguiente manera:
28,000
0
1
10
100,000
Se aplicara el método de TIR
Egreso=Ingreso
100,000=28,000(P/A,?,10)
100,000
𝑃
= (𝐴 , ? ,10)=3.5714
28,000
i=3.5714
24%-3.6819
25%-3.5705
𝑖−24
3.5714−3.6819
=
= (0.9919) + 14 = 24.99
25−24
3.5705−3.6819
El paso siguiente es realizar la SUMA DE AÑOS DIGITO el cual se utiliza la siguiente formula
𝐷𝑒𝑝 =
𝐼𝑛𝑣. 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1
∗
𝑛
10
Y se formara la siguiente tabla
Años
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total:
55
Depreciación
10/55
9/55
8/55
7/55
6/55
5/55
4/55
3/55
2/55
1/55
100,000*10/55
100,000*9/55
100,000*8/55
100,000*7/55
100,000*6/55
100,000*5/55
100,000*4/55
100,000*3/55
100,000*2/55
100,000*1/55
Nueva
depreciación
18,181.81
16,363.63
14,545.45
12,727.27
10,909.09
9,090.90
7,272.72
5,454.54
3,636.36
1,818.18
1) Se suman los años para tener un total de suma de dígitos
2) Se colocan los números de años inversamente y de denominador ira el total
3) Se realizara la fórmula de suma de años dígitos y el resultado será sustituido en una nueva tabla
77
Y se acomoda en una nueva tabla
Año
Flujo de efectivo antes
de depreciación (FEAD)
Depreciación
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
-100,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
0
-------18,181.81
16,363.63
14,545.45
12,727.27
10,909.09
9,090.90
7,272.72
5,454.54
3,636.36
1,818.18
0
Flujo de efectivo
antes de
impuesto (FEAI)
-100,000
21,818.19
23,636.39
25,454.55
27,272.73
29,090.91
30,909.1
32.727.28
34,545.46
36,363.64
38,181.82
0
Impuesto
40%
------8,727.27
9,454.55
10,181.82
10,909.09
11,636.64
12,363.64
13,090.91
13,818.18
14,545.45
15,272.72
0
Flujo de efectivo
después de
impuesto(FEDI)
-100,000
31,272.75
30,545.45
29,818.18
29,090.91
28,363.64
27,636.64
26,909.09
26,181.82
25,454.55
24,727.28
0
Se realiza un nuevo diagrama de flujos que queda de la siguiente forma:
31,272.73
G=-727.272
10
0
1
100,000
Nuevamente manejamos los pasos del TIR para encontrar el porcentaje que nos ayude acercarnos
más a la cantidad de 100,000.
Egresos=Ingresos
100,000=31,272.73(P/A,?,10)-727.272(P/G,?,10)
Utilizando el 26%
100,000=101,433.25
Utilizando el 28%
100,000=95,936.81
x-¿?
26%--143.25
28%-4063.18
𝑥 − 28
0 − 4063.1872
=
26 − 28 −1433.25 − 4063.1872
i=26.52% Este es el nuevo porcentaje la tasa de interés
78
SALDO DOBLE DECRECIENTE
Formula:
2
𝑆𝐷𝐷 = ∗ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑛
40,000
0
1
100,000
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valor del activo
100,000
80,000
64,000
51,200
40,960
32,768
26,214.4
20,971.52
16,777.216
13,421.7728
0
10
Depreciación
--20,000
16,000
12,800
10,240
8,192
6,553.6
5,242.88
4,194.304
3,355.4432
13,421.77
2
∗ (100,000) = 20,000
10
1)SDD=
2
∗ (80,000) = 16,000
10
2)SDD=
2
3)SDD=10 ∗ (64,000) = 12,840
Sustituiremos por la depreciación en la siguiente tabla
Año
Flujo de efectivo antes
de depreciación (FEAD)
Depreciación
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
-100,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
40,000
0
-------20,000
16,000
12,800
10,240
8,192
6,553.6
5,242.88
4,194.304
3,355.4432
13,421.77
0
Flujo de efectivo
antes de
impuesto (FEAI)
-100,000
20,000
24,000
27,200
29,760
31,808
33,446.4
34,757.12
35,805.696
36,644.5568
26,578.23
0
Impuesto
40%
------8,000
9,600
10,880
11,904
12,723.2
13,378.56
13,902.84
14,322.27
14,657.32
10,631.29
0
Flujo de efectivo
después de
impuesto(FEDI)
-100,000
32,000
30,400
29,120
28,096
27,276.8
26,621.49
26,097.15
25,677.72
25,342.17
24,368.7
0
79
5
0
24,368.7
25,342.17
25,677.72
26,621.4
4
26,097.15
28,276.8
28,096
29,120
30,400
32,000
Con el FEDI se realizara un nuevo diagrama de flujo y buscaremos los porcentajes más cercanos a
los 100,000
10
100,000=32,000(P/F,1)+36,400(P/F,2)+29,120(P/F,3)+28,096(P/F,4)+27,276.8(P/F,5)+
26,268.44(P/F,6)+26,097.15(P/F,7)+25,677.72(P/F,8)+25,342.17(P/F,9)+29,368.7(P/F,10)
Porcentajes cerca de la cantidad
26% 100,000=100,790.45
28% 100,000=95,332.74
28%-4629.1
i-¿?
26%- -830.45
𝑖 − 28
0 − 4629.1
=
= 26.30%
26 − 28 −830.45 − 4629.1
i=26.30%
EJERCICIOS
1.-Determina la TIR para el siguiente proyecto
-Inventario inicial $600,000
-Utilidad anual $250,000
-Valor de salvamento $100,000
-Tasa tributaria 40%
-Vida útil 5 años
-Método depreciación suma de años digito
100,000
250,000
0
1
5
600,000
80
Año
1
2
3
4
5
Total=15
5/15
4/15
3/15
2/15
1/15
Año
0
1
2
3
4
5
5
Depreciación
166,666.66
133,333.33
100,000
66,666.66
33,333.33
FEAD
-600,000
250,000
250,000
250,000
250,000
250,000
100,000
DEP
--166,666.66
133,333.33
100,000
66,666.66
33,333.33
---
FEAI
-600,000
83,333.34
116,666.67
150,000
183,333.34
216,666.67
100,000
Impuesto 40%
--33,333.33
46,666.66
60,000
73,333.33
86,666.66
---
FEDI
-600,000
216,666.67
203,333.34
190,000
176,666.67
163,333.34
100,000
216,666.67
G=13,333.33
0
1
100,000
5
600,000
Egresos=Ingresos
-600,000=216,666.67(P/A,5)-13,333.33(P/G,5)+100,000(P/F,5)
Porcentajes cercanos a la cantidad 600,000
20% 600,000=622,738.68
22% 600,000=596,013.36
20%:-22,738.68
i-0
22%:-3,986.64
𝑖 − 22
0 − 3,986.64
=
20 − 22 −22,738.68 − 3,986.64
−3,986.64
= (0.1491 ∗ −2) + 22
−26,725.32
i = 21.70%
81
2.- Sera rentable un activo con los siguientes datos:
-Inversión inicial $1,250,000
-Costos anuales $200,000
-Ingresos anuales estimados $800,000 año 1 aumenta 200,000 por año
-Valor salvamento: $250,000
-Tasa tributaria 40%
-Vida útil: 10 años
-TMAR: 18% a
-Método L.R.
250,000
200,000
0
1
10
200,000
1,250,000
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
FEAD
-1,250,000
600,000
800,000
1,000,000
1,200,000
1,400,000
1,600,000
1,800,000
2,000,000
2,200,000
2,400,000
250,000
Depreciación
---100,000
100,000
100,000
100,000
100,000
100,000
100,000
100,000
100,000
100,000
-----
FEAI
-1,250,000
500,000
700,000
900,000
1,100,000
1,300,000
1,500,000
1,700,000
1,900,000
2,100,000
2,300,000
250,000
Impuesto 40%
---200,000
280,000
360,000
440,000
520,000
600,000
680,000
760,000
840,000
920,000
-----
FEDI
-1,250,000
400,000
520,000
640,000
760,000
880,000
1,000,000
1,120,000
1,240,000
1,360,000
1,480,000
250,000
250,000
400,000
120,000
0
1
10
Egresos=Ingresos
1,250,000=400,000(P/A,10)+120,000(P/G)+250,000(P/F,10)
10% 1,250,000=5,301,171
82
18% 1,250,000=400,000(P/A,10)+120,000(P/G,10)+250,000(P/F,10)
1,250,000=1,797,640+1,722,300+1,308,450
1,250,000= 4,828,390
Conclusión: Es rentable porque está por encima de la TMAR del 10%
UNIDAD 4 “ANALISIS DE REEMPLAZO”
4.1. Técnicas de análisis de reemplazo.
4.2. Modelos de reemplazo de equipos.
4.3. Factores de deterioro y obsolescencia.
4.4. Determinación del costo mínimo de vida útil.
Competencias Específicas:
Emplea estrategias de financiamiento y técnicas de administración para el reemplazo de activos y
pasivos.
Competencias Genéricas:
- Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y comunicación
- Capacidad de investigación
- Capacidad de análisis y síntesis,
- Capacidad de comunicación profesional con otras áreas
- Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica
- Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.
Actividades de aprendizaje:
- Exponer y discutir en plenaria los conceptos de técnicas de análisis de reemplazo.
- Emplear hoja de cálculo o calculadora financiera para visualizar casos prácticos de los
conocimientos sobre los modelos de reemplazo de equipos.
- Debatir los factores de deterioro y obsolescencia en instalaciones y equipamiento en las
organizaciones.
- Resolver casos prácticos aplicando conocimientos de modelos del costo mínimo de vida útil de
equipos.
OBJETIVO: El alumno aplicará las herramientas necesarias para determinar la mejor decisión en
diferentes alternativas de reemplazo
4.1.- TECNICAS DE ANÁLISIS DE REEMPLAZO
Conceptos de retador y defensor en un análisis de reemplazo.
En la mayoría de los estudios de ingeniería económica se comparan dos o más alternativas. En un
estudio de reposición, uno de los activos, al cual se hace referencia como el defensor, es
actualmente el poseído (o está en uso) y las alternativas son uno o más retadoras. Para el análisis
se toma la perspectiva (punto de vista) del asesor o persona externa; es decir, se supone que en la
actualidad no se posee ni se utiliza ningún activo y se debe escoger entre la(s) alternativa(s) del
retador y la alternativa del defensor en uso. Por consiguiente, para adquirir el defensor, se debe
“invertir” el valor vigente en el mercado en este activo usado.
83
Dicho valor estimado de mercado o de intercambio se convierte en el costo inicial de la alternativa
del defensor. Habrá nuevas estimaciones para la vida económica restante, el costo anual de
operación (CAO) y el valor de salvamento del defensor. Es probable que todos estos valores
difieran de las estimaciones originales. Sin embargo, debido a la perspectiva del asesor, todas las
estimaciones hechas y utilizadas anteriormente deben ser rechazadas en el análisis de reposición.
Un hotel de playa, compró hace tres años una máquina para hacer hielo, de la más reciente
tecnología, por $12000 con una vida estimada de 10 años, un valor de salvamento del 20% del
precio de compra y un CAO de $3000. La depreciación ha reducido el costo inicial a su valor actual
de $8000 en libros.
Un nuevo modelo de $11000, acaba de ser anunciado. El gerente del hotel estima la vida de la
nueva máquina en 10 años, el valor de salvamento en 57
$2000 y un CAO de $1800. El vendedor ha ofrecido una cantidad de intercambio de $7500 por el
defensor de 3 años de uso. Con base en experiencias con la máquina actual, las estimaciones
revisadas son: vida restante, 3 años; valor de salvamento, $2000 y el mismo CAO de $3000.
Si se realiza el estudio de reposición, ¿Qué valores de P, n, VS y CAO son correctos para cada
máquina de hielo?
Solución: Desde la perspectiva del asesor, use solamente las estimaciones más recientes:
Defensor Retador P = $7500 P = $11000 CAO = $3000 CAO = $1800 VS = $2000 VS = $2000 n = 3
años n = 10 años
El costo original del defensor de $12000, el valor de salvamento estimado de $2400, los 7 años
restantes de vida y el valor de $8000 en libros no son relevantes para el análisis de reposición del
defensor Vs. el retador.
Dado que el pasado es común a las alternativas, los costos pasados se consideran irrelevantes en
un análisis de reposición. Esto incluye un costo no recuperable, o cantidad de dinero invertida
antes, que no puede recuperarse ahora o en el futuro. Este hecho puede ocurrir debido a cambios
en las condiciones económicas, tecnológicas o de otro tipo o a decisiones de negocios
equivocadas. Una persona puede experimentar un costo perdido cuando compra un artículo, por
ejemplo, algún software y poco después descubre que éste no funciona como esperaba y no
puede devolverlo. El precio de compra es la cantidad del costo perdido. En la industria, un costo
no recuperable ocurre también cuando se considera la reposición de un activo y el valor del
mercado real o de intercambio es menor que aquel predicho por el modelo de depreciación
utilizado para cancelar la inversión de capital original o es menor que el valor de salvamento
estimado. El costo no recuperable de un activo se calcula como:
Costo no recuperable = Valor presente en libros - valor presente del mercado.
84
Si el resultado en la ecuación anterior es un número negativo, no hay costo no recuperable
involucrado. El valor presente en libros es la inversión restante después de que se ha cargado la
cantidad total de la depreciación; es decir, el valor actual en libros es el valor en libros del activo.
Por ejemplo, un activo comprado por $100000 hace 5 años tiene un valor depreciado en libros de
$50000. Si se está realizando un estudio de reposición y sólo se ofrecen $20000 como la cantidad
de intercambio con el retador, según la ecuación anterior se presenta un costo no recuperable de
50000 - 20000 = 30000.
En un análisis de reposición, el costo no recuperable no debe incluirse en el análisis económico. El
costo no recuperable representa en realidad una pérdida de capital y se refleja correctamente si
se incluye en el estado de resultados de la compañía y en los cálculos del ISR para el año en el cual
se incurre en dicho costo. Sin embargo, algunos analistas tratan de “recuperar” el costo no
recuperable del defensor agregándolo al costo inicial del retador, lo cual es incorrecto ya que se
penaliza al retador, haciendo que su costo inicial aparezca más alto; de esta manera se inclina la
decisión.
Con frecuencia, se han hecho estimaciones incorrectas sobre la utilidad, el valor o el valor de
mercado de un activo. Tal situación es bastante posible, dado que las estimaciones se realizan en
un punto en el tiempo sobre un futuro incierto. El resultado puede ser un costo no recuperable
cuando se considera la reposición. No debe permitirse que las decisiones económicas y las
estimaciones incorrectas del pasado influyan incorrectamente en los estudios económicos y
decisiones actuales.
En el ejemplo de la máquina de hielo, se incurre en un costo no recuperable para la máquina
defendida si ésta es reemplazada. Con un valor en libros de $8000 y una oferta de intercambio de
$7500, la ecuación correspondiente produce:
Costo no recuperable = 8000 - 7500 = $500
Los $500 nunca debieron agregarse al costo inicial del retador. Tal hacho penaliza al retador
puesto que la cantidad de inversión de capital que debe recuperarse cada año es más grande
debido a un costo inicial aumentado de manera artificialmente y es un intento de eliminar errores
pasados en la estimación, pero probablemente inevitables.
4.2 MODELO DE REEMPLAZOS DE EQUIPOS
ANÁLISIS DE REEMPLAZO UTILIZANDO UN HORIZONTE DE PLANIFICACIÓN ESPECIFICADO
El periodo de estudio u horizonte de planificación es el número de años seleccionado en el análisis
económico para comparar las alternativas de defensor y de retador. Al seleccionar el periodo de
estudio, una de las dos siguientes situaciones es habitual: La vida restante anticipada del defensor
es igual o es más corta que la vida del retador.
Si el defensor y el retador tienen vidas iguales, se debe utilizar cualquiera de los métodos de
evaluación con la información más reciente.
85
Ejemplo: En la actualidad, Transportes Terrestres del Pantano, posee varios camiones de mudanza
que se están deteriorando con mayor rapidez de lo esperado. Los camiones fueron comprados
hace 2 años, cada uno por $60000. Actualmente, la compañía planea conservar los camiones
durante 10 años más. El valor justo del mercado para un camión de 2 años es de $42000 y para un
camión de 12 años es de $8000. Los costos anuales de combustible, mantenimiento, impuestos,
etc. son de $12000.
La opción de reposición es arrendar en forma anual. El costo anual de arrendamiento es de $9000
(pago de fin de año) con costos anuales de operación de $14000. ¿Debe la compañía arrendar sus
camiones si la TMAR es del 12%?
Solución: Considere un horizonte de planificación de 10 años para un camión que actualmente
poseen y para un camión arrendado y realice un análisis VA para efectuar la selección.
Defensor Retador P = 42000 Costo de arrendar = 9000 anuales CAO = 12000 CAO = 14000 VS =
8000 No salvamento n = 10 años n = 10 años
El defensor D tiene un valor justo del mercado de $42000, lo cual representa entonces su inversión
inicial. El cálculo VAD es:
VAD = -P(A/P, i, n) + VS(A/F, i, n) - CAO
= -42000(AP,12,10[0.1770]) + 8000(AF,12,10[0.0570]) - 12000
= -$18978.00
La relación VAR para el retador C es:
VAR = -9000 - 14000 = -$23000
Es claro que la firma debe conservar la propiedad de los camiones, ya que VAD es numéricamente
superior a VAR.
Ejemplo: Un municipio es propietario de un selector de material reciclable que ha utilizado
durante 3 años. Con base en cálculos recientes, el activo tiene un VA de $5200 por año durante
una vida restante estimada de 5 años. La reposición por un selector mejorado tiene un costo inicial
de $25000, un valor de salvamento estimado de $3800, una vida proyectada de 12 años y CAO de
$720. La ciudad utiliza una TMAR del 10% anual. Si se planea conservar el nuevo selector durante
toda su vida estimada, ¿debe la ciudad reemplazar el antiguo selector?
Solución: Seleccione un periodo de estudio de 12 años correspondiente a la vida del retador.
Suponga que él VA de $5200 del defensor es una buena estimación del costo equivalente anual
para obtener el mismo nivel de
Selección de material reciclable después de los cinco años de vida restante del defensor.
VAD = -$5200
86
VAR = -25000(AP,10,12[0.1468]) + 3800(AF,10,12[0.0468]) - 720 = -$4212.16
La compra de un nuevo selector cuesta aproximadamente $1000 menos por año.
CUANDO LA VIDA ÚTIL RESTANTE DEL DEFENSOR ES IGUAL A LA DEL RETADOR.
Para retención adicional de un año
Normalmente se espera que un activo se conserve hasta el final de su vida de servicio económico
o durante su vida útil estimada, si es diferente. Sin embargo, a medida que transcurre la vida de un
activo que posee actualmente, éste se deteriora, apareciendo entonces modelos disponibles más
atractivos, modernos o mejorados; o las estimaciones de costo e ingreso original resultan ser
significativamente diferentes de las cantidades reales.
Entonces, una pregunta que se hace con frecuencia es: ¿Debe el activo ser reemplazado o
conservarse en servicio durante 1, 2, 3 o más años? Buena pregunta si el activo ha estado en
servicio durante todo el tiempo esperado; es decir, han transcurrido n años de servicio o la vida
estimada ha expirado y parece que el activo tendrá más años de servicio. Dos opciones son
posibles para cada año adicional. Seleccionar a un retador ahora o conservar al defensor durante
un año más.
Para tomar la decisión de remplazar o conservar, no es correcto simplemente comparar el costo
equivalente del defensor y el costo del retador durante el tiempo restante de servicio económico,
vida útil anticipada, o algún número seleccionado de años más allá de cualquiera de estos dos
números de años. En lugar de ello, se utiliza el procedimiento de valor anual donde:
VAR = Valor anual del retador
CD (1) = Estimación de costo del defensor para el año próximo (t = 1)
Si el costo de 1 año del defensor CD (1) es menor que el valor anual del retador, conserve al
defensor un año más ya que su costo es menor.
Ejemplo: En general, Engineering Models, Inc., conserva su flota de auros al servicio de la
compañía durante 5 años antes de su reposición. Debido a que los autos comprados con
descuento hace exactamente 2 años se han deteriorado mucho más rápido de lo esperado, la
gerencia se pregunta qué es más económico: reemplazar los autos este año por otros nuevos;
conservarlos durante 1 año más y luego reemplazarlos; conservarlos durante dos años más y luego
reemplazarlos; o conservarlos durante 3 años más hasta el final de sus vidas estimadas. Realice un
análisis de reposición para i = 20% utilizando estos costos estimados.
-Auto actualmente poseído (defensor)
-Valor al principio de año
-Costo anual de operación
-Reposición posible (retador)
87
Año próximo 3 3800 4500 Costo inicial 8700 Año próximo 4 2800 5000 Costo anual 3900 Último
año 5 500 5500 Vida 5 años Vida restante 3 V. S. 1800 V.S. después de 3 años ad. 500
Solución: Calcule el VA para el retador durante 5 años.
VAR = -8700(AP,20,5[0.3344]) + 1800(AF,20,5[0.1344]) -3900 = -$6567.36
Calcule el costo del defensor para el próximo año (t = 1) utilizando un valor de $2800 como
estimación del VS para el próximo año
CD(1) = -3800(AP,20,1[1.2]) + 2800(AF,20,1[1.0]) -4500 = -$6260.00
Puesto que el costo CD(1) es menor que VAR, conserve los autos actuales durante el año siguiente.
Terminado el año próximo, para determinar si los autos deben conservarse aún otro año, siga con
el análisis de los flujos de efectivo. Ahora, el valor de salvamento de $2800 en CD(1) es el costo
inicial para el año t = 2. El costo del primer año CD (2) para el defensor es ahora:
CD (2) = -2800(AP,20 1[1.2]) + 500(AF,20,1[1.0]) - 5000 = -$7860.00
Ahora CD cuesta más que VAR = -$6567.36, de manera que debe calcularse el valor VAD para los
dos años restantes de la vida del defensor.
VAD = - 2800(AP,20,2[0.6545]) + 500(AF,20,2[0.4545]) - 5000 - 500(AG,20,2[0.4545]) = -$6832.60
Dado que el retador en VAR = -$6567.36 es también más barato para los 2 años restantes, es
preferible seleccionarlo y reemplazar los autos actuales.
4.3. FACTORES DE DETERIORO Y OBSOLESCENCIA.
Deterioro: Es una causa de reemplazo, el equipo a través del tiempo experimenta cambios físicos y
a su vez funcional, que delimitan su rendimiento o desempeño y por ende, no cumple con la
demanda o expectativas por la cual fue adquirida inicialmente, esto lleva a la empresa a buscar
nuevas alternativas de inversión luego de que un análisis de reemplazo arroje resultados que
indique el camino a seguir por la empresa para adquirir o tal vez repotenciar dicho equipo.
Debido al deterioro físico, la capacidad esperada de rendimiento a un nivel de confiabilidad (estar
disponible y funcionar correctamente cuando sea necesario) o productividad (funcionar a un nivel
dado de calidad y cantidad) no está presente. Esto por lo general da como resultado incrementos
de costo de operación, altos niveles de desechos y costos de reelaboración, pérdida de ventas,
disminución de calidad y seguridad, así como elevado gastos de mantenimiento.
Obsolescencia: Como consecuencia de la competencia internacional y del rápido avance
tecnológico, los sistemas y activos actuales instalados funcionan aceptablemente, aunque con
menor productividad que el equipo que se fabricará en breve. La disminución del tiempo que
tardan los productores en llegar al mercado con frecuencia es la razón de los análisis de reemplazo
anticipado, es decir, estudios realizados antes de que se alcance la vida útil económica calculada.
88
REQUISITOS ALTERADOS (CAPACIDAD INADECUADA)
El equipo o sistema existente no puede cumplir con los nuevos requisitos de exactitud, velocidad u
otras especificaciones. A menudo las opciones son reemplazar por completo el equipo, o
reforzarlo mediante ajuste o intensificación.
CAUSAS DEL DETERIORO, OBSOLECENCIA, Y CAPACIDAD INADECUADA
-mal uso de un equipo
-falta de mantenimiento
-el equipo no puede responder a los constantes cambios en la demanda de una empresa
-fallas técnicas
-finalización de la vida útil del equipo
Reemplazo: Es un análisis que la empresa lleva a cabo cuando se ve en la necesidad de reemplazar
o sustituir un equipo o maquinaria por otro equipo de la misma índole acorde con las necesidades
de la empresa de tal manera que se optimice o se satisfaga la causa del reemplazo. Todo esto,
analizado desde el punto de vista económico, claro está. Esta sustitución nace por diversas causas,
deterioro, obsolescencia, capacidad inadecuada, menor desempeño, alteración de requisitos,
entre muchos otros factores.
VIDA ÚTIL: Es el número de años o de periodos durante los cuales será utilizada una alternativa o
un activo. Es el tiempo de evaluación.
VIDA ECONÓMICA: Es el número de años n en que son mínimos los costos del valor anual
uniforme equivalente, tomando en consideración las estimaciones del costo más vigentes, durante
todos los años que el activo pudiera suministrar el servicio.
4.4 DETERMINACION DEL COSTO MINIMO DE VIDA UTIL
A menudo un analista desea conocer cuánto tiempo debe permanecer un activo o proyecto en
servicio para minimizar su costo total, considerando el valor del dinero en el tiempo y los
requerimientos de retorno. Este tiempo en años es un valor n y se denomina de varias maneras
incluyendo costo mínimo de vida útil, vida útil económica, tiempo de retiro o tiempo de
reemplazo. La vida útil del activo tiene que ser suministrada sin considerar como fue determinada.
El valor n es el número de años que rinde a un mínimo costo anual. Este enfoque de estimar n
como el costo mínimo de vida útil, utiliza cálculos convencionales de CAUE. Para encontrar el costo
mínimo de vida útil, se aumenta el valor de la vida, llamada K, desde 1 hasta el valor máximo
esperado para el activo N, esto es, K=1,2…,.., n. Para cada valor de k se determina el valor de
CAUE, usando:
89
EJERCICIOS DE REPASO
1.- Hace 3 años se compró una maquina en 150,000 pesos, la cual se espera que tenga una vida
útil de 10 años con costos anuales de operación y mantenimiento de 20,000 pesos y un valor de
rescate de 30,000. En este momento el proveedor nos ofrece una nueva versión de la misma
maquina a un precio de 250,000 pesos, una vida útil de 10 años, costos anuales de operación de
10,000 pesos y un valor de salvamento de 60,000 pesos. Para hacer más atractiva la oferta nos
toma en cuenta la maquina actual en 80,000 pesos si el valor del dinero a través del tiempo lo
consideramos con una tasa de interés del 10% anual, ¿Qué debemos hacer?.
Maquina 1
i=10% anual
30,000
-3
7
0
20,000
150,000
CAVE=-20,000+30,000(A/F,10%,7)
CAVE= -16,837.7
90
80,000
0
60,000
1
10
10,000
250,000
CAVE=-170,000(A/P,10%,10)=-27,667.5
-10,000
+60,000(A/F,10%,10)= 3,765
Total= -33,902.5
Conclusión: Quedarse con la maquina 1
2.- Se desea determinar si es conveniente reemplazar un activo comprado hace 2 años por uno
nuevo que se ofrece actualmente. Los datos para cada uno de ellos son los siguientes.
Inventario Inicial
Valor de salvamento
Costo anual
Ingreso anual
Vida Útil
Tasa de retorno
Valor al día de hoy
Maquina actual
700,000
50,000
200,000
400,000
10 años
10% anual
400,000
Maquina nueva
1,000,000
100,000
150,000
450,000
10 años
10% anual
1,000,000
400,000
50,000
400,000
-2
-1
-700,000
8
-200,000
CAVE=-200,000
400,000
50,000(A/F,10%,8)
Total= 204,372
91
400,000
100,000
450,000
0
10
1
1,000,000
150,000
CAVE= -600,000(A/P,10%,10)= -97,650
450,000
-150,000
100,000(A/F,10%,10)= 6,275
Total= 208,625
Conclusión: reemplazarla por el equipo nuevo.
3.- Un activo con 7 años de uso puede reemplazarse con 1 de 2 activos nuevos. La información
actual para cada alternativa se da enseguida, considere una tasa mínima atractiva de retorno del
18% para seleccionar la decisión más económica.
Costo inicial
Valor de canje
Costo anual
Valor de salvamento
Vida útil
Activo actual
(Defensor)
---------3,000
500
5 años
Retador 1
Retador 2
10,000
3,500
1,500
1,000
5 años
18,000
2,500
1,200
500
5 años
Defensor
500
-5
0
2
3,000
CAVE= 500(A/F,5,18%)
3,000
Total= -2,930.11
92
Retador 1
3,500
1,000
1
0
5
1,500
10,000
CAVE= -6,500 (A/P,5,18%)
-1,500
1,000(A/F,5,18%)
Total= -3,428.79
Retador 2
500
2,500
0
1
18,000
CAVE= -15,500(A/P,5,18%)
-1,200
500
Total= -6,086.7
5
1,200
Conclusión: La primera opción
es la mejor ya que gasta menos
3.- Un activo con 5 años de uso puede reemplazarse con 1 de 2 activos nuevos considerando una
TMAR= 15% anual, determine la decisión más económica.
Costo inicial
Valor activo actual de
hoy
Costo de operación
anual
Valor de rescate
Vida útil
Actual
------
Opción 1
20,000
7,000
Opción 2
36,000
4,800
6,000
3,000
2,400
1,100
10 años
2,050
5 años
900
5 años
93
Actual
CAVE= 6,000
1,100(A/F,5,15%)
Total= -5,836.84
Reemplazo 1
2,050
7,000
0
5
3,000
CAVE= -2,590.25
-13,000(A/P,5,15%)
-3,000
2,050(A/F,5,15)
Total= -6,574.10
20,000
Reemplazo 2
4,800
0
36,000
900
1
5
2,400
CAVE= -31,200(0.29832)= -0,307.58
-2,400
900 (0.14832)= 133.488
Total= -11,574.09
Conclusión: la primera opción es más estable
94
CONCLUSIONES GENERALES
La ingeniería económica es la disciplina que presenta los procedimientos sistemáticos para el
análisis económico de alternativas de inversión, con base en el flujo de efectivo y en los modelos
adecuados para la toma de decisiones. Dichos procedimientos se exponen de tal manera que se
pueden aplicar en proyectos de inversión de los sectores público y privado.
En las cinco unidades que integra este manual se estudian, entre otros, los siguientes temas:
-Conceptos sobre comparación de alternativas
-El valor del dinero a través del tiempo
-Método de evaluación financiera: Valor Presente Neto y Tasa Interna de Retorno
-Métodos de depreciación
-Análisis de reemplazo
-Planeación Presupuestal
Además, en cada unidad se incluyen ejemplos y problemas de ejercicio para reforzar los
conocimientos adquiridos.
Está claro que el problema de toda nueva empresa, cualquiera que sea el producto o servicio que
vaya a elaborar, es cómo ingresar al mercado en los primeros meses de funcionamiento, y esto
sólo puede lograrse a partir de la elaboración de una serie de estrategias, básicamente de precio y
de mercadotecnia. El problema del financiamiento se convierte en un factor de vital importancia
en estos tiempos donde el problema inflacionario se presenta en forma importante.
95
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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