TEORÍA DE RANKINE La teoría de Rankine se desarrolla para un medio elástico, que se caracteriza por ser granular homogéneo y seco, y plantea las siguientes hipótesis iniciales: El trasdós (cara externa) del muro es vertical. La superficie del terreno es horizontal. El terreno puede estar estratificado horizontalmente. El nivel freático es horizontal. No hay rozamiento entre el terreno y el muro. El terreno alcanza una situación de rotura. El hecho de que no haya rozamiento entre el terreno y el muro origina que no haya tensiones tangenciales en los puntos interiores del terreno, y por tanto, la tensión horizontal es una tensión principal. Si se toma un elemento de suelo en reposo y se determinan sus tensiones normales horizontal y frontal, se puede obtener su correspondiente círculo de Mohr ya que la tensión horizontal y vertical son tensiones principales: σv = γ · z σh = K0 · σv Pese a las limitaciones de aplicación que se verán seguidamente, el método de Rankine (1857) es, desde un punto de vista matemático, más elaborado que el de Coulomb. Este método obtiene los empujes del terreno partiendo de un estado de equilibrio en rotura en el que la estructura de contención no produce ninguna perturbación. En una masa de terreno en estado de Rankine todos sus puntos están en situación de rotura (plastificados), es decir, que en cada punto el círculo de Mohr correspondiente a su estado tensional es tangente a la línea de resistencia (Figura). En estas condiciones, con terreno homogéneo en estado de Rankine, sin acciones exteriores y con superficie libre horizontal (sin variación de tensiones verticales en los puntos de cualquier plano paralelo a la superficie), la tensión horizontal resulta: Y en suelos no cohesivos (c=0): En la figura anterior se indica la representación de los estados límites por círculos de rotura de Mohr. Si mantenemos la tensión vertical σv constante, se disminuye la tensión horizontal hasta llegar a la rotura, el segmento 0-σhmín de la figura representa la presión horizontal en ese momento. En cambio, si mantenemos la tensión vertical constante y aumentamos la tensión horizontal, el círculo va creciendo hacia la derecha, hasta que en el estado límite de Rankine toca la curva de resistencia intrínseca y se produce el estado límite de rotura. En la figura 4 se indican para el mismo diagrama las inclinaciones para las cuales se producen los estados límites. En el estado activo, la línea de rotura forma un ángulo de (45° +φ 2/ ) con la horizontal. En el estado pasivo, las líneas de rotura en toda la masa que se encuentra en estado de equilibrio plástico, forman también un ángulo de (45° +φ 2/ ) pero con la vertical. En la figura siguiente se han representado las variaciones de los coeficientes Ka y Kp para distintas condiciones de densidad relativa del material (arena), en función del giro del paramento vertical que lo contiene. Se puede observar en dicha figura la gran deformación que se debe producir para generar Kp, que en el caso de las arenas densas tienen un pico máximo mientras que en el caso de las arenas sueltas dicho pico no se alcanza y la pendiente de crecimiento es muy débil. -ESTADO ACTIVO El estado activo ocurre cuando existe una relajación en la masa de suelo que lo permite moverse hacia fuera del espacio que limitaba la tensión del suelo (por ejemplo un muro de tierra que se rompe); esto es que el suelo está fallando por extenderse. Ésta es la presión mínima a la que el suelo puede ser sometido para que no se rompa. Al contrario el estado pasivo ocurre cuando la masa de suelo está sometida a una fuerza externa que lleva al suelo a la tensión límite de confinamiento. Esta es la máxima presión a la que puede ser sometida un suelo en el plano horizontal. En el caso del empuje activo la tensión principal menor es la horizontal (σ3); despejando σ3 para arenas donde la cohesión es nula (c = 0), se obtiene el valor del coeficiente de empuje activo de Rankine, denominado Ka. Por lo tanto, en la teoría de Rankine la distribución de presiones está afectada por un coeficiente constante, y la presión vertical crece con la profundidad. La distribución de empujes es triangular, ya que es: En las figura a) y b) se han dibujado diagramas de empujes activos calculados mediante la teoría de Rankine, la figura a), en un caso particular del empuje activo en arenas, donde existe agua a cierta altura, y la figura b) representa el empuje activo en arcillas. En el caso de las arenas, la abscisa en la primer parte del diagrama es: Ce= N H / γ Cuando se entra en el agua, el valor de γ pasa a ser sumergido, y la pendiente varía. En este caso al valor del empuje del suelo es necesario sumarle el empuje del agua, que tiene un coeficiente K = 1, porque las presiones hidrostáticas son iguales en toda dirección. El empuje del agua es muy importante, por lo menos 3 o 6 veces mayor que el empuje del suelo; para arenas sueltas φ' vale 30° como mínimo, y por lo tanto Ka es del orden de 0,33. Mientras que para el caso de las arenas densas φ' es aproximadamente 45° lo cual nos da un valor de Ka = 0,17, dando un valor reducido del empuje activo. Al proyectar una estructura es muy importante conocer entonces, si existe agua actuando en el terreno; de lo contrario, la aparición en forma imprevista de un incremento del empuje de gran magnitud, provoca inmediatamente el colapso de la estructura. En la misma figura correspondiente a empuje activo para arenas, se ha supuesto la acción de una sobrecarga “q” sobre el terreno. En este caso, el empuje se incrementa en el valor de la sobrecarga multiplicado por el coeficiente Ka. En el caso de las arcillas existe cohesión, de manera que hay que considerar los dos términos de la ecuación que da σ1 en función de σ3. El diagrama es la suma de uno triangular que crece con la profundidad, más un valor negativo constante. Resulta un diagrama negativo en su primer parte, que luego se hace positivo, lo cual indica, que para suelos cohesivos, la parte superior no solo no tiene empujes, sino que está sometida a tracción. Es por eso que las excavaciones en arcilla se pueden realizar en determinado momento y en cierto tiempo sin tener desmoronamientos, porque la parte superior está sometida a tracción y teóricamente no es necesario contener los empujes, ya que son inexistentes. Se llama altura crítica, al valor de la profundidad para el cual se igualan la parte negativa y la positiva, y en la figura se indica su expresión en función de 2 o z , que es la altura a la cual se anula el empuje activo. Es necesario destacar que a la profundidad 2 o z se compensan el área negativa del diagrama de empujes activos, con otra área similar positiva, lo que hace que a esa profundidad el empuje activo resultante sea nulo. Para el otro estado límite, de empujes pasivos, la estructura empuja contra el suelo, y la presión horizontal crece hasta llegar al estado de equilibrio plástico. La tensión principal mayor es la horizontal σ1. Por lo tanto despejando de la fórmula expresada en la figura 6 tendremos: Tensión principal mayor: σ1 = σp Tensión Principal menor: σ3 = γ . Z En la figura anterior, se ilustra el diagrama de empuje pasivo para el caso más general de un suelo que tiene cohesión, fricción y sobrecarga. La presión horizontal es la suma de 3 términos; los dos últimos son constantes, y los diagramas correspondientes resultan rectangulares. El primer término crece con la profundidad, ya que es la presión vertical σv. El empuje resultante, se calcula como suma de las resultantes parciales de cada una de éstas áreas, o sea, componiendo las fuerzas P”p y P´p que se observan en la figura, actuantes en los baricentros de las áreas rectangular y triangular respectiva. Las condiciones de borde impuestas por la teoría de Rankine, como habíamos dicho anteriormente, limitan su aplicación en la realidad. Por ejemplo, la resistencia de corte en la interacción suelo – estructura, no es nula cuando se produce un desplazamiento; por otra parte siempre hay fricción, de manera que, esta simplificación conduce a cierto error en la determinación del empuje. También hay casos en los cuales las condiciones geométricas de verticalidad para la superficie del paramento y horizontalidad para el terreno, no se verifican. Sin embargo, el error que se comete al aplicar esta teoría, en los casos de empuje activo, es siempre a favor de la seguridad, ya que el valor de dicho empuje que surge de suponer tensión de corte nula es mayor que el real.
