8 REFORMA MATEMÁTICA COSTA RICA f' GRUPO EDITORIAL Edición especial Copyright 2015 f' Grupo Editorial Diseño, armado y portada f' Grupo Editorial Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita de f ' Grupo Editorial. ventas@fprimagrupoeditorial.com Teléfonos: 2444-1330 8614-4242 . 510 . P945m 8 F prima Grupo Editorial Matemática 8: Hacia la resolución de problemas / F prima Grupo Editorial -- 1a ed. -- Alajuela, Costa Rica: F prima Grupo Editorial, 2014 175 p. ; 27 X 21 cm. ISBN 978-9930-513-01-9 1. MATEMÁTICA – ESTUDIO Y ENSEÑANZA. 2. MATEMÁTICAS – ENSEÑANZA DIVERSIFICADA. I. Título. INTRODUCCIÓN Para responder a la muestra de respeto, cortesía y admiración de tantos docentes con esta Editorial, por fin logramos desarrollar con éxito la totalidad del nuevo programa de estudio, incluyendo primaria. Han sido muchos años, desde el año 2012, cuando apenas se gestaba la reforma de la educación matemática en Costa Rica, que hemos estado investigando y realimentándonos con aportes de muchísimos docentes de todo el país, para crear una colección de libros con estándares internacionales pero plenamente adaptados a la realidad nacional. Adoptando el enfoque principal del programa de estudio de Matemáticas, la Resolución de Problemas con énfasis en contextos reales, aprobado el 21 de mayo de 2012 por el Consejo Superior de Educación de Costa Rica. A continuación se presenta la distribución de habilidades y lecciones por periodo de octavo año, usando la estrategia sugerida en el Documento de integración de habilidades para Octavo año (Elaborado por el Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica). DISTRIBUCIÓN DE HABILIDADES Y LECCIONES POR PERIODO DE OCTAVO AÑO Primer periodo Segundo periodo Tercer periodo NÚMEROS RELACIONES Y ÁLGEBRA ESTADÍSTICA Habilidades Lecciones Habilidades Lecciones Habilidades Lecciones H1, H2, H3 y H4 8 H3 Y H4 3 H5 y H6 3 H5 3 H7, H8, H9, H10, H14, H15 y H16 12 H6, H7, H8, H9 y H10 22 H11 3 H11, H12, H13, H14 y H16 10 H12 3 H1, H2 y H15 9 H13 4 H17 y H18 7 GEOMETRÍA H1, H2 y H3 8 H4, H5, H6, H7, H8, H9, H10 y H11 9 H12 5 H13, H14, H15 y H16 5 60 H1, H2, H3, H4 14 PROBABILIDAD H1, H2, H3, H4, H5, H6 H7, H8, H9, H10, H11 y H12 Suma total de lecciones por periodo 54 36 “El vehículo para transitar por el mundo de la razón es la matemática” f' Grupo Editorial 10 12 ÍNDICE CAPÍTULO 1: NÚMEROS Números racionales 1. Números racionales 2. Aproximaciones decimales y expansión decimal exacta y periódica 3. Representaciones distintas de un mismo número racional y representación en la recta numérica Operaciones, cálculos y estimaciones 4. Suma y resta con fracciones homogéneas y heterogéneas 5. Multiplicación de números racionales 6. División de números racionales 7. Conmutatividad y asociatividad de la suma y la multiplicación 8. Cálculo mental 9. Resolución de cálculos (mental, papel y lápiz y calculadora) 10. Problemas con números racionales 11. Operaciones con potencias 12. Raíces n-ésimas de un número racional y raíces n-ésimas de un producto 13. Operaciones con números racionales CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Transformaciones en el plano 14. Homotecia 15. Puntos, ángulos y lados homólogos en una homotecia Triángulos 16. Figuras semejantes 17. Triángulos semejantes 18. Triángulos congruentes 19. Problemas de semejanza y congruencia 20. Teorema de Thales 21. Teorema de la paralela media Visualización espacial 22. Visualización espacial de la pirámide y el prisma CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Expresiones algebraicas 23. Expresión algebraica 24. Valor numérico 25. Monomios 26. Suma y resta de monomios 27. Multiplicación y división monomios 28. Binomio, trinomio y polinomio 29. Suma y resta de polinomios 30. Multiplicaciones de polinomios 31. Productos notables Ecuaciones 32. Diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación 33. Solución de una ecuación 34. Ecuaciones equivalentes 35. Problemas con ecuaciones de primer grado Funciones 36. Representación de funciones 37. Relación entre una ecuación y una función 38. Ecuaciones de primer grado 39. Ecuaciones literales CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Recolección de información 40. Distribución de frecuencias 41. Medidas estadísticas de resumen (moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido) El azar, espacio muestral, eventos y probabilidad 42. Situaciones aleatorias y deterministas 43. Espacio muestral 44. Eventos y su clasificación 45. Probabilidad de un evento 46. Propiedades de las probabilidades CAPÍTULO 5: RESPUESTAS 47. Respuestas 8 10 12 17 19 20 21 24 25 27 29 30 31 34 37 41 44 49 55 59 64 68 76 78 82 84 85 87 88 90 93 104 105 106 108 112 114 116 123 128 131 136 138 140 143 147 149 Capítulo 1 Números f' Grupo Editorial CONOCIMIENTOS Números racionales Concepto de número racional Representaciones Relaciones de orden Operaciones, cálculos y estimaciones Suma Resta Multiplicación División Potencias Raíces Combinación de operaciones HABILIDADES ESPECÍFICAS 1. Identificar números racionales en diversos contextos. 2. Realizar aproximaciones decimales de números racionales. 3. Identificar los números racionales representados con expansión decimal exacta y con expansión decimal periódica. 4. Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un mismo número racional. 5. Comparar y ordenar números racionales en notación decimal, fraccionaria y mixta. 6. Representar números racionales en la recta numérica, en cualquiera de sus representaciones. 7. Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos. 8. Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos. 9. Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales. 10. Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones. 11. Efectuar operaciones con potencias de base racional y exponente entero. 12. Calcular raíces n-ésimas de un número racional. 13. Calcular resultados de operaciones con números racionales de expresiones donde haya combinación de ellas con paréntesis o sin ellos. 14. Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de operaciones con racionales. 15. Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos, según el problema dado. 16. Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la aplicación de operaciones con números racionales. CAPÍTULO 1: NÚMEROS NÚMEROS RACIONALES Problema introductorio 1 A. Considere la siguiente tabla con los precios de los combustibles. Precios nacionales Precios en colones al consumidor en estaciones de servicio, rigen a partir del 02 de febrero de 2012 Productos Precio / litro Imp. Único Margen precio de estaciones Precio / litro total Gasolina súper 351, 7460 213,0000 50,5548 615,0000 Gasolina plus 91 346,3730 203,5000 50,5548 600,0000 Diésel 50 403,7050 120, 2500 50,5548 575, 0000 Información tomada de: http://www.recope.go.cr/info_clientes/precios_productos/ a) Si en la gasolinera pido que me vendan ₡ 10 000 en gasolina Plus 91 , ¿cuántos litros me dan? b) Si en la gasolinera pido que me vendan ₡ 12000 en gasolina súper, ¿cuántos litros me dan? c) Si en la gasolinera pido que me vendan ₡ 8500 en diésel, ¿cuántos litros me dan? B. Juan contrajo una deuda de ₡ 17 500 . Su padre, un hermano y un amigo deciden ayudarle a pagarla por lo que se reparten la deuda equitativamente entre ellos tres. ¿Cuánto debe pagar cada uno? f ' GRUPO EDITORIAL 7 8 CAPÍTULO 1: NÚMEROS NÚMEROS RACIONALES H1: Identificar números racionales en diversos contextos. H2: Realizar aproximaciones decimales de números racionales. H3: Identificar los números racionales representados con expansión decimal exacta y con expansión decimal periódica. H4: Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un mismo número racional. Números racionales Definición Símbolo Conjunto formado por todo número que Notación por comprensión puede representarse como el cociente de dos números enteros (con denominador distinto de cero). Este conjunto de números a tq a , b y b 0 b incluye a los números enteros. Ejemplos 1) Un hombre tiene un terreno de 22 hectáreas, quiere repartirla entre sus cuatro hijos en partes iguales ¿Cuánto terreno le quedará a cada uno? Solución: Es suficiente realizar la división de 22 4 5,5 cuyo resultado no corresponde a un número entero, en este caso el resultado 5, 5 o 11 corresponde 2 a un número racional. R/: A cada uno de los hijos le corresponde 5, 5 o 2) 11 hectáreas. 2 Si camino 10m en dirección oeste y me devuelvo una cuarta parte de dicho recorrido, ¿cuánto me desplacé con respecto al lugar del que salí? Solución: En este caso multiplicamos 10 1 2, 5 cuyo resultado corresponde a la 4 distancia en metros que me devolví en el recorrido. Luego, a la distancia original le restamos 2,5m y obtenemos 10 2,5 7,5 . R/: La distancia que me desplacé con respecto al lugar de salida fue de 7, 5 o metros. f ' GRUPO EDITORIAL 15 2 CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 1 A. Resuelva cada uno de los problemas haciendo uso de la calculadora. 1 1 1) Para realizar una receta se ocupa kg de azúcar y un kg de mantequilla 2 4 ¿Cuánto suman entre los dos ingredientes? 2) En una empresa se debe trabajar 2 horas extras cada día ¿Cuántos se deben trabajar en toda la semana? 3) Si al salario por semana se le rebaja el 9,5 % para CCSS y el salario es de ₡ 50 000 ¿Cuánto me pagan? 4) Si se caminan veinte kilómetros al norte y luego me devuelvo ocho hacia el sur ¿Cuántos kilómetros avancé desde el punto de partida? 5) Si los miércoles se le recarga a los celulares una cuarta parte más de lo que se paga ¿Cuánto extra me recarga si pago mil colones? 6) Si una madre deja de herencia a sus hijos ₡ 20 000 000 y tiene cuatro hijos ¿Cuánto le corresponde a cada uno si la distribución se hace de forma equitativa? 6 de esta cantidad, ¿cuánto debo? 5 7) Si tengo ₡ 25 y hago compras por los 8) Si una persona llega una hora antes a su trabajo durante cuatro semanas, en una jornada laboral de seis días por semana ¿Cuántas horas extras trabajó? 9) Una señora tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó 7 2 de taza para hacer un pastel. ¿Cuántas tazas de leche le quedaron? 10) Si el salario de un trabajador es de ₡ 80000 por semana y sus gastos durante cuatro semanas son de ₡ 420000 ¿Cuánto dinero queda debiendo en ese plazo de tiempo? f ' GRUPO EDITORIAL 9 10 CAPÍTULO 1: NÚMEROS NÚMEROS RACIONALES H1: Identificar números racionales en diversos contextos. H2: Realizar aproximaciones decimales de números racionales. H3: Identificar los números racionales representados con expansión decimal exacta y con expansión decimal periódica. H4: Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas de un mismo número racional. Aproximaciones decimales Una forma de calcular aproximaciones decimales en números racionales es realizando la división del numerador entre el denominador, de esta forma obtenemos una aproximación. Ejemplos Realice las aproximaciones decimales de los siguientes números racionales a) 21 21 4 5, 25 4 c) 9 9 11 0,818181... 0,81 11 b) 16 16 5 3, 2 5 d) 7 7 6 1, 66666...1,16 6 Expansión decimal exacta y periódica Expansión decimal exacta Expansión decimal periódica. Son aquellas cuando se puede Son aquellas cuando algún contar la cantidad de decimales. decimal se repite infinitamente. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Determine la expansión decimal 1 a) 1 2 0,5 2 Determine la expansión decimal a) 1 1 3 0,33333...0,3 3 b) 21 21 4 5, 25 4 b) 9 9 11 0,818181... 0,81 11 c) 16 16 5 3, 2 5 c) 7 7 6 1,166666...1,16 6 Observación: primero utilizar el algoritmo de la división para enfatizar en el estudiante cómo es que se obtienen las representaciones decimales de los números racionales, y posteriormente con la calculadora, ya que esta última nos da una aproximación. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 2 A. Realice las aproximaciones decimales de los siguientes números racionales expresados en notación fraccionaria. (Sugerencia: No utilice la calculadora para enfatizar cómo es que se obtienen las representaciones decimales de los números racionales) 13 37 2 20 1) 6) 11) 16) 2 3 5 7 2) 7 2 7) 5 7 12) 3 7 17) 17 8 3) 14 2 8) 19 4 13) 5 6 18) 17 9 4) 10 3 9) 22 7 14) 11 5 19) 21 10 5) 14 3 10) 21 5 15) 54 6 20) 68 13 B. Determine si los siguientes números racionales, tienen expansión decimal exacta o expansión decimal periódica. 1) 15 2 6) 24 9 11) 21 5 16) 27 7 2) 9 4 7) 7 13 12) 7 3 17) 8 17 3) 11 2 8) 19 2 13) 6 17 18) 13 19 4) 2 5 9) 11 13 14) 11 7 19) 21 23 5) 13 5 10) 7 14 15) 5 18 20) 17 22 f ' GRUPO EDITORIAL 11 12 CAPÍTULO 1: NÚMEROS NÚMEROS RACIONALES H5: Comparar y ordenar números racionales en notación decimal, fraccionaria y mixta. H6: Representar números racionales en la recta numérica, en cualquiera de sus representaciones. Representaciones distintas de un mismo número racional Fraccionaria Decimal Mixta 7 5 1, 4 1 52 Analicemos algunos ejemplos de cómo pasar de una notación a otra Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Fraccionaria a decimal 7 7 5 1, 4 5 Fraccionaria a mixta 5 7 7 5 1 5 2 Mixta a fraccionaria 1 52 7 1 52 5 5 Decimal a fraccionaria 14 7 1, 4 10 5 7 1 52 5 Números racionales en la recta numérica Para ubicar fracciones en la recta numérica es bastante sencillo si utilizamos la representación decimal para tener una aproximación de la fracción y así determinar entre cuáles números enteros se ubica. Ejemplos a) 1 0, 5 2 b) 0,5 c) 1 12 1, 5 d) 3 1, 5 2 Representación en la recta numérica Observación: Utilizar la estimación mental y la calculadora para realizar tales representaciones en la recta numérica. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 3 A. Considere los ingredientes que utiliza María para hacer un bizcocho de limón: 3 Huevos 1 kg de azúcar 4 0,20 litros de aceite 3 kg de harina de repostería. 8 1 23 sobres de levadura 1 yogurt de sabor a limón. De acuerdo con la información anterior: 1) Indique los ingredientes necesarios para hacer 2 bizcochos. 2) Si tenemos una docena de huevos, un kilo de azúcar, un litro de aceite, un kilo de harina de repostería, seis sobres de levadura y cuatro yogures de limón. Entonces ¿es posible hacer 3 bizcochos? En caso negativo, indique ¿qué ingredientes serían necesarios y en qué cantidad? 3) Para el cumpleaños de José hicimos un bizcocho. Los niños se comieron del bizcocho y los padres se comieron que quedó para los abuelos. 2 5 1 del bizcocho. Calcule la fracción 4 B. Represente cada número racional dado a continuación de tres formas diferentes cada uno. 15 27 4) 5 23 8) 1,8 1) 12) 2 7 5) 6 73 9) 2,4 9 5 2) 13) 12 73 6) 5 8 4 10) 5,5 11 3 14) 1, 25 7) 7 5 3) 11) 6,5 2 C. Represente cada número racional dado a continuación en una recta numérica. 15 7) 3,4 13) 2 52 3 19) 1) 7 2 1 4 5 20) 4 8) 14) 7 2) 2 12 4 5 2 21) 5 15) 2,7 3) 4, 6 9 9) 4 22) 11 13 10 16) 1 56 4) 2 12 10) 7 3 23) 3 41 13 17) 17 1 15 5) 6 11) 24) 5 5 11 18) 4 85 6) 3 12 12) 7 53 25) 1 34 f ' GRUPO EDITORIAL 13 14 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Problema introductorio 1 Ester compró 3 metros de plástico para forrar cuadernos. Ella necesitó 1 15 m para forrar algunos, su hermano Randall utilizó 0,6m y su hermana Hellen usó a) ¿Cuánto plástico utilizaron para forrar los cuadernos? b) ¿Cuánto plástico sobró? f ' GRUPO EDITORIAL 1 m. 3 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Problema introductorio 2 2 1 hora Matemática y hora lo dedicó a Ciencias, ¿cuánto tiempo, 3 2 en horas, estudió María en total? María estudió f ' GRUPO EDITORIAL 15 16 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Problema introductorio 3 José tiene 9kg de arena para jugar con sus amigos. ¿Cuántos paquetes de pueden hacer con toda esa arena? f ' GRUPO EDITORIAL 1 kg 3 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H7: Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos. H8: Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos. H9: Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales. H10: Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones. Suma y resta con fracciones homogéneas Ejemplos Resuelva las siguientes sumas y restas de números racionales. a) 4 2 13 3 4 7 3 3 11 4 7 11 3 3 b) 7 2,5 2 5 7 2 2 2 5 7 2 1 2 2 c) 7,5 4 12 15 9 2 2 24 15 9 24 12 2 2 Suma y resta con fracciones heterogéneas Procedimiento: a) Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual se llama mínimo común denominador de las fracciones (mcd). b) Se realiza (mcd) denominador numerador, en cada fracción. c) Se efectúa la operación correspondiente (suma o resta) y conserva el m c d d) Se realiza la simplificación de la fracción resultante. Observación: Otra forma es aplicando la asociatividad y conmutatividad en el caso de más de dos términos, sumando los dos primeros que se asocien y luego los otros: como se indica en el ejemplo 1 Ejemplos Resuelva las siguientes sumas y restas de números racionales. a) 1 3 2 3 5 3 1 2 3 3 3 5 3 3 3 5 3 1 5 8 5 b) 4 1 34 3 4 7 3 4 m.c.d .12 16 21 12 3 4 12 4 7 12 16 21 12 5 12 f ' GRUPO EDITORIAL 7 1 13 1, 6 2 4 8 7 3 5 2 c) m.c.d .30 48 105 30 3 4 30 5 8 30 2 7 30 40 48 105 30 193 30 40 17 18 CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 4 A. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales ( fracciones homogéneas ) 7 9 1 2 3 3 4 8) 15) 1) 2 2 5 5 5 3 3 2) 7 9 5 5 3) 3 12 4) 5 1 1 3 3 9) 9 2 5) 1, 25 7 4 3 4 3 3 16) 7 6 3 5 5 5 7 4 17) 2 1 23 3 13 3 10) 1 14 6 11) 3, 8 5 12) 2 56 1 16 6) 1 54 1, 2 13) 5 4, 5 7) 4 1 13 6 14) 4 13 1 13 2) 3 4 3 9 8) 4 1 23 7 3) 4 1 16 5 9) 4) 2 52 1 2 18) 2, 4 2 52 3 15 19) 0, 4 2 52 1, 6 20) 4 3 1 3 1 1 7 3 6 3 54 5 B. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales ( fracciones heterogéneas ) 7 9 5 1 5 1 1) 7) 1 16 13) 2 4 3 2 3 2 6 7 5) 1, 75 6) 5 16 3 2 12 8 21) 3, 8 14) 19 4 4 13 9 3 30 1,875 7 15) 2 2, 2 5 23 5 10) 20 2 34 8 16) 9 11 2, 6 7 14 4 8 11) 3 1 3 5 6 6 17) 3 5 12) 1 6 1 5 3 2 18) 2.5 f ' GRUPO EDITORIAL 1 4 1.8 10 7 7 13 4 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H7: Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos. H8: Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos. H9: Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales. H10: Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones. Multiplicación de números racionales Se multiplica numerador por numerador, denominador por denominador y se simplifica el resultado. Sin olvidar que se debe aplicar la ley de signos , , y tal y como se estudió con los números enteros. Ejemplos Efectúe las siguientes multiplicaciones de números racionales. a) 28 4 7 3 6 b) 18 28 14 18 9 7 6 28 4 7 3 6 1 1 c) 1 3 1 6 1 13 28 4 7 3 6 18 18 28 14 18 9 28 14 18 9 Observación: Antes de realizar la multiplicación es importante verificar que todas las fracciones estén simplificadas, de lo contrario se deben simplificar y posteriormente realizar la multiplicación. Ejercicios de movilización 5 A. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales (Sugerencia: simplifique si es posible antes de multiplicar). 7 9 2 7 3 5 19 11 1) 7) 13) 19) 2 4 5 10 8 3 6 8 30 5 7 16 20 5 20) 3 94 2) 8) 14) 1, 4 7 4 6 11 11 4 3) 9 6 5 15 9) 11 3 2 5 15) 13 1, 4 3 7 4) 1 83 6 13 3 10) 4 6 5 16) 7 34 6 3 1 78 7 1 6) 1 78 8 11) 9 2 34 5 4 12) 3 15 8 17) 2, 4 5) 5 14 4 18) 2, 2 13 f ' GRUPO EDITORIAL 21) 7 78 1, 4 5 22) 2 11 4, 2 23) 3 95 2,8 3 24) 2, 6 5 11 25) 5 75 2, 2 19 20 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H7: Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos. H8: Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos. H9: Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales. H10: Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones. División de números racionales Se multiplica numerador por denominador, denominador por numerador y se simplifica el resultado. Sin olvidar que se debe aplicar la ley de signos , , y , tal y como se estudió con los números enteros. Ejemplos Efectúe las siguientes multiplicaciones de números racionales. a) 4 7 3 6 24 46 3 7 21 24 8 21 7 b) 7 6 4 7 3 6 24 46 3 7 1 13 21 24 8 21 7 c) 1 13 1 16 4 7 3 6 24 46 3 7 21 24 8 21 7 Observación: Antes de realizar la división es importante verificar que todas las fracciones estén simplificadas, de lo contrario se deben simplificar y posteriormente realizar la división. Ejercicios de movilización 6 B. Efectuar las siguientes operaciones de números racionales (Sugerencia: simplifique si es posible antes de dividir). 5 7 1 7 3 7 17 11 1) 7) 13) 19) 2 4 5 19 7 3 5 8 7 30 1 7 11 5 8) 20) 1, 2 3 54 2) 14) 9 7 4 3 13 4 13 7 21) 5 78 1, 4 7 6 21 9) 3) 15) 1, 6 2 5 22) 2 95 2, 2 5 13 3 11 5 5 7 10) 23) 3 17 2, 2 4) 16) 1 83 7 34 4 6 6 6 24) 2, 6 5 73 7 3 7 3 7 11) 34 5) 17) 2, 4 28 5 25) 7 75 4, 2 7 13 3 5 4 26) 3 85 7, 2 12) 2 15 6) 18) 3, 2 1 78 8 3 11 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H7: Aplicar la suma y resta de números racionales en diversos contextos. H8: Aplicar la multiplicación y división de números racionales en diversos contextos. H9: Utilizar las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar cálculos con números racionales. H10: Calcular el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones. Conmutatividad y asociatividad de la suma La correcta utilización de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la suma permite simplificar los cálculos con números racionales. Ejemplos Efectúe las siguientes operaciones de números racionales utilizando la conmutatividad y asociatividad de la suma. 1 2 3 2 3 2 a) b) 1 3 2 2 2 3 2, 4 2 24 1, 6 1, 6 2 24 2,4 4 4 2 12 2 5 2 13 2 4 2 2 3 8 3 Conmutatividad y asociatividad de la multiplicación La correcta utilización de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la multiplicación permite simplificar los cálculos con números racionales. Ejemplos Efectúe las siguientes operaciones de números racionales conmutatividad y asociatividad de la multiplicación. a) 2 3 5 3 2 2 b) 2 3 5 3 2 2 11 1 10 10 3 4 1 1 1 2 34 3 13 10 1 11 10 10 4 3 5 2 1 5 2 3 1 11 3 4 11 12 f ' GRUPO EDITORIAL utilizando la 21 22 CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 7 A. En cada uno de los ejercicios siguientes, utilice la propiedad de conmutatividad y asociatividad de la suma para simplificar los cálculos (reordenar la operación) y resuelva cada una de las nuevas operaciones planteadas. 3 4 2 1 2 2 7) 1) 3 5 3 5 3 5 2) 7 3 1 4 5 4 3) 3 12 4) 5 1 10 1 3 4 3 9 1 12 4 8) 2 5 3 5 4 5 9) 2 1 14 3 15 5 10) 2, 4 2 24 38 5 5) 1, 2 7 3,8 3 11) 0, 6 2 23 1, 4 6) 1 53 6 3, 6 7 12) 7 2 4 12 1 13 B. En cada uno de los ejercicios siguientes, utilice la propiedad de conmutatividad y asociatividad de la multiplicación para simplificar los cálculos (reordenar la operación) y resuelva cada una de las nuevas operaciones planteadas. 7 3 2 2 7 1 1) 7) 2 4 7 5 5 2 2) 7 5 3 3 6 7 8) 1 1, 4 3 3 3) 9 6 5 5 11 9 9) 5 3 0, 4 2 5 4) 0, 625 1 53 1 53 10) 5) 8 3 14 1 87 15 11) 6) 1 1 78 5 5 12) 3 15 6 7 1 7 3 4 20 2 34 3 14 13 15 4 16 8 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 1: NÚMEROS C. Calcule el resultado de las siguientes sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales. 17 11 2 7 1) 14) 2 2 5 3 2) 7 7 3 3 15) 1, 4 3) 1 8 5 11 16) 4) 17 1 53 3 17) 3 2 53 5 5) 3 1 85 13 18) 5 1 34 3 14 3 6) 1 2 78 9 19) 3 17 5 15 3 7 7) 2 2 83 7 20) 2, 2 5 15 3 7 8) 2, 4 4 17 21) 7 9) 3 0,8 5 11 8 22) 8 3 54 2 3 13 5 10) 2 2 5 23) 5 18 7 3 3 5 24) 5 95 2 11) 4 5 23 25) 1 17 2, 2 12) 1 2 4 17 6 3 13) 3 16 4 2 3 26) 2, 6 3 17 27) 3 73 3, 2 f ' GRUPO EDITORIAL 23 24 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H14: Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de operaciones con racionales. H15: Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos, según el problema dado. H16: Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la aplicación de operaciones con números racionales. Cálculo mental Para el cálculo mental de operaciones racionales se puede retomar y apoyarse en 1 una idea básica: n 1 , Se busca que consideren el entero expresado como una n fracción conveniente que facilite el establecimiento de relaciones, de esta forma, 3 4 1 es igual a 1 , analicemos otros ejemplos. 1 ; entonces 3 3 3 Ejemplos Utilice el cálculo mental para determinar los resultados de las siguientes operaciones. 8 5 13 a) 7 7 7 9 3 6 3 c) 4 4 4 2 8 11 3 b) 1 3 3 3 1 4 d) 4 5 5 e) 1 5 3 6 6 18/6 1 5 18 6 6 6 22 11 6 3 Ejercicios de movilización 11 A. Escriba el número que complete las siguientes operaciones. (cálculo mental) 1 5 13 1) 5) 9) ___ ___ 1 ___ 1 1 2 6 5 3 7 17 2) 6) 10) ___ ___ 1 ___ 1 1 8 3 9 2 8 13 3) 7) 11) ___ ___ 1 ___ 1 1 3 5 7 3 12 20 4) 8) ___ 12) ___ ___ 1 1 1 5 7 9 B. Resuelva las siguientes operaciones. (cálculo mental) 3 7 2 1 7 1) 6) 11) 3 3 4 4 7 6 6 1 8 3 4 2 2) 7) 2 12) 1 9 9 10 3 3 12 27 2 7 12 3) 8) 13) 9 3 5 5 4 5 5 11 15 3 7 17 4) 9) 4 14) 1 2 2 11 10 10 1 5 7 3 12 3 5) 10) 15) 15 3 3 3 8 15 15 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H14: Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de operaciones con racionales. H15: Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos, según el problema dado. H16: Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la aplicación de operaciones con números racionales. Resolución de cálculos Los problemas con números racionales se pueden resolver utilizando al menos una de las siguientes estrategias de cálculo: mental, calculadora o lápiz y papel. Cálculo mental Celeste compró 1,5kg de café a ₡ 2000 cada kilogramo ¿Cuánto pagó? Solución: En este caso podemos multiplicar mentalmente 1,5 2000 3000 Por lo tanto Celeste pagó ₡ 3000 Papel y lápiz Gustavo compró 1,5kg de harina a ₡ 2450 cada kilogramo ¿Cuánto pagó? Solución: En este caso podemos multiplicar utilizando papel y lápiz 1,5 3 2 3 7350 2450 3675 2 2 Por lo tanto Gustavo pagó ₡ 3675 Calculadora Maureen compró 1,75kg de queso a ₡ 2225 cada kilogramo ¿Cuánto pagó? Solución: En este caso podemos multiplicar utilizando la calculadora 1,75 2225 3893,75 Por lo tanto Maureen pagó ₡ 3893,75 f ' GRUPO EDITORIAL 25 26 CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 12 A. Utilizando cálculo mental resuelva los siguientes problemas 1) Si recargo el teléfono con ₡ 1000 y me regalan 0,5 más ¿En cuánto me queda la recarga? 2) Si recorro 2000 m por cada media hora ¿Cuánto recorro en tres horas y media? 3) Si diez uvas pesan 400g ¿Cuánto pesan 60 uvas? 4) Si un kilo de carne vale ₡ 3500 ¿Cuánto valen 400g ? 5) Si la entrada al estadio vale ₡ 7000 , pero si van tres personas le cobran la mitad a cada uno. Si gastaron la mitad de lo que les salió la entrada en refrescos y papas ¿Cuánto pagó cada uno en total? B. Utilizando papel y lápiz resuelva los siguientes problemas 1) Si recargo el teléfono con ₡ 2000 y me regalan 0,75 más ¿En cuánto me queda la recarga? 2) Si recorro 1850 m por cada media hora ¿Cuánto recorro en dos horas y media? 3) Si un bloc pesa 6,2kg ¿Cuánto pesan 30 blocs? 4) Si 17 fresas pesan 460g ¿Cuánto pesan 40 fresas? 5) Si la entrada al estadio vale ₡ 7240 , pero si van cinco personas le cobran la mitad a cada uno. Si gastaron la mitad de lo que les salió la entrada en refrescos y papas ¿Cuánto pagó cada uno en total? C. Utilizando calculadora resuelva los siguientes problemas 1) Si recargo el teléfono con ₡ 2250 y me regalan 0,82 más ¿En cuánto me queda la recarga? 2) Si recorro 1234m por cada media hora ¿Cuánto recorro en dos horas y cuarenta y cinco minutos? 3) Si 23 estudiantes pagan ₡ 2343 cada uno para un almuerzo ¿Cuánto pagan en total? 4) Si dos kilos de frijoles valen ₡ 1237 ¿Cuánto valen 5,75kg ? 5) Si la entrada al cine cuesta ₡ 1780 , pero si van cinco personas le cobran la 3 mitad a cada uno. Si gastaron más de lo que les salió la entrada en 4 refrescos y papas ¿Cuánto pagó cada uno y cuánto pagaron todos en total? f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H14: Desarrollar estrategias para el cálculo mental de resultados de operaciones con racionales. H15: Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos, según el problema dado. H16: Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la aplicación de operaciones con números racionales. Problemas con números racionales Una de las formas de acción cognitiva que pueden generar capacidades matemáticas de alto nivel es plantear problemas, en particular, con números racionales. Dicho planteamiento lo podemos hacer a partir de una operación matemática dada. Un ejemplo básico de lo expuesto anteriormente se desarrolla a continuación. Ejemplo a) Dada la operación 3 2 5 3 se plantea un posible problema. 2 3 Diana tiene cinco hermanos, compró tres medios kilos de fresas para uno de ellos, y Juan compró dos tercios kilos para cada uno de sus tres compañeros. ¿Cuál es la diferencia entre lo que compró Diana y Juan? Ejercicios de movilización 13 A. Para cada una de las siguientes operaciones plantee un posible problema. 1) 1 1 3 2 2 3 Problema: 2) 3 4 2 4 5 3 Problema: 3) 7 3 3 2 2 5 Problema: f ' GRUPO EDITORIAL 27 28 CAPÍTULO 1: NÚMEROS B. Resolver los siguientes problemas que involucran operaciones con números racionales. 6 1) Maureen utilizó kg de mantequilla para hacer repostería y 1 18 kg para hacer 5 un queque ¿Qué cantidad de mantequilla utilizo en total? 5 kg de queso. Si le regaló 0, 5 kg a su mamá, entonces, 9 ¿cuántos kilogramos de queso le quedaron a Marielos? 2) Marielos compró 3) Gustavo estudió 0, 25 horas Español y 4) Un agricultor tiene un terreno sembrado de la siguiente manera: 0 , 32 3 sembrado de papas, de zanahoria y el resto no está cultivado. ¿Qué parte 5 del terreno queda sin cultivar? 3 horas lo dedicó a Estudios Sociales, 4 ¿cuánto tiempo, en horas, estudió Gustavo en total? 1 L de refresco para distribuir en cantidades iguales en 4 vasos. 4 ¿Qué cantidad, en litros, de refresco tendrá cada vaso? 5) Se tiene 6) Se tiene 1 15 L de agua para distribuir en cantidades iguales en 5 vasos. ¿Qué cantidad, en litros, de agua tendrá cada vaso? 7) ¿Cuántos paquetes de 1 kg se pueden hacer con 22kg de frijoles? 2 8) Un grupo de estudiantes recogen botellas plásticas para reciclar, si recogen veinticinco cada cinco minutos. ¿Cuántas recogen en cuatro horas y media? 9) En una empacadora de café se deben hacer para muestras, once paquetes 1 1 kg y treinta paquetes de kg . ¿Cuántos kilos de café se utilizaron en 2 4 total? 10) Una señora tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó 2 23 tazas para de hacer un pastel y 3 14 tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de leche le quedaron? 11) Una persona está a dieta para aumentar de peso. El primer mes subió 1 0,75 kilogramos. El segundo mes bajó kilogramos, el tercer mes 2 2 aumentó 1 34 kilogramos, y el cuarto mes bajó kilogramos. ¿Cuántos 3 kilogramos aumentó al final de los cuatro meses? f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H11: Efectuar operaciones con potencias de base racional y exponente entero. Propiedades de las potencias Propiedad 1 Propiedad 2 Propiedad 3 Potencia de exponente entero negativo Potencia de base racional Potencia de base racional y exponente entero negativo an 1 , a 0 an n an a , b 0 bn b a b n n b , a 0, b 0 a Ejemplos Efectuar operaciones con potencias de base racional y exponente entero a) 33 1 1 3 3 27 2 b) 2 2 4 2 2 3 3 9 c) 3 5 5 125 3 27 5 3 3 3 3 3 Ejercicios de movilización 8 A. Resuelva las siguientes operaciones con potencias. 1) 32 2) 2 2 2 4 13) 3 3 2 3) 4 4) 7 3 5) 92 6) 34 3 14) 2 23) 2 12 15) 3 13 12 24) 11 2 16) 1, 2 3 2 10 17) 54 8) 102 18) 0, 2 9) 2 19) 1 12 2 2 11) m 12) n 7 2 25) 0, 3 26) 2 13 2 3 4 4 10) 12 3 2 7) 11 3 1 22) 5 4 n 20) k n b 21) k f ' GRUPO EDITORIAL 4 5 27) 4 4 n m 28) d 29) p m 29 30 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H12: Calcular raíces n-ésimas de un número racional. Raíces n-ésimas de un número racional La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor. Es decir, n a a n n b b Raíces n-ésimas de un producto La raíz n-ésima de un producto de números primos es igual a la raíz n-ésima de cada factor primo. Es decir, n ab n a n b Ejemplos Calcule las raíces de los siguientes números racionales. a) 1 1 1 4 4 2 b) 3 3 8 8 2 3 27 27 3 c) 4 4 625 625 5 4 2041 2041 7 d) 400 16 25 4 5 10 324 9 36 3 6 9 Ejercicios de movilización 9 A. Calcule la raíz de los siguientes números racionales. 1) 4 25 7) 3 729 343 13) 3 17576 125000 19) 5 1 100000 2) 49 144 8) 3 216 1000 14) 1225 12100 20) 5 161051 371293 3) 9 169 9) 3 64 512 15) 4 1296 50625 4) 900 441 1 10) 3 1331 16) 1 32 81 100 11) 4 1 50625 17) 5 125 27 12) 4 81 625 18) 5 5) 6) 3 5 21) 3 2 10 27 22) 6, 25 23) 3 3, 375 1 243 1 3125 f ' GRUPO EDITORIAL 24) 3 177 79 52 25) 5 4 243 CAPÍTULO 1: NÚMEROS OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES H13: Calcular resultados de operaciones con números racionales de expresiones donde hay combinación de ellas con paréntesis o sin ellos. Combinación de operaciones con números racionales 1) Si existen paréntesis se resuelven primero los redondos ( ) y luego [ ] tomando en cuenta el orden de prioridad. 2) Se realizan las potencias y raíces. 3) Se efectúan las multiplicaciones y divisiones (en el orden que aparezcan “de izquierda derecha”). 4) Realizamos las sumas y las restas. Ejemplo 1 Ejemplo 3 Calcule el resultados de la siguiente operación 3 51 1,3 4 3 1 13 4 5 10 Calcule el resultados de la siguiente operación 2 13 3 2 4 13 47 52 Ejemplo 2 Calcule el resultados de la siguiente operación 2 5 5 1 2 3 5 1 2 5 2 3 5/2 5 5 2 3 2 5/6 5 2 6 5/3 5 3 f ' GRUPO EDITORIAL 1 2 1 2 13 1, 4 2 1 5 4 3 4 7 7 1 2 1 2 5 1 3 5 2 3 4 4 1 6 7 7 1 4 5 1 6 3 5 27 5 6 5 7 27 5 5 3 5 6 63 25 5 6 253 30 31 32 CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 10 A. Resuelva las siguientes operaciones y simplifique al máximo. 1) 2 31 1, 2 3 14) 7 3 17 7 2) 3 2 2 2, 2 5 15) 8 3) 31 2 13 2 5 41 3 14 3 4 4) 2 1 1 5) 3 12 5 2 4 64 3 3 3 27 9) 4 2 5 12 25 5 10) 3 1 3 27 1 7 9 8 1 4 5 3 3 11) 3 2 5 12) 4 6 5 4 1 1 3 3 2 13) 4 15 1 625 18) 2 7 1 4 5 2 3 2 5 19) 2 1 2 14 4 5 0, 2 3 3 20) 7 5 1 10 1 2 3 5 3 3 3 3 5 21) 5 1 1 7 3 7 3 2 2, 2 2 3 3 3 3 7 1 8) 2 12 2 3 81 16 17) 3, 2 30 4 2 5 7) 0, 4 2 12 2 16) 2,8 3 4 2 3 3 6) 4 12 7 2 1 4 4 5 0, 25 1 3 9 3 8 3 1 3 2 2 27 2 3 4 3 24) 0,8 3 52 1, 4 36 1 16 1 3 1 47 4 25 4 1 1 2 3 52 7 52 32 3 81 22) 3 15 2, 4 2 23) 3 14 1, 6 4 3 25) 3, 2 3 52 1, 4 5 f ' GRUPO EDITORIAL Capítulo 2 Geometría f' Grupo Editorial CONOCIMIENTOS Transformaciones en el plano Homotecias Puntos homólogos Segmentos Homólogos Triángulos Semejanza Congruencias Teorema de Thales Visualización espacial Pirámide recta Caras laterales Base Apotemas Ápice (cúspide) Altura Sección plana 1. Prisma recto HABILIDADES ESPECÍFICAS 1. Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia. 2. Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia. 3. Reconocer pares de figuras homotécicas en el plano de coordenadas. 4. Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. 5. Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. dada 6. Identificar figuras semejantes en diferentes contextos 7. Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. 8. Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos 9. Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. 10. Resolver problemas que congruencia de triángulos. involucren la semejanza y 11. Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. (GeoGebra) 12. Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en diversos contextos. 13. Identificar la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y el ápice o cúspide de una pirámide. 14. Identificar las caras laterales, las bases y la altura de un prisma recto. 15. Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular. 16. Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular. CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Problema introductorio 1 Un foco alumbra la figura de un barco y proyecta una sombra de mayor tamaño sobre la pared. a) ¿Qué elementos permanecen invariantes? b) ¿Hay relaciones métricas entre los lados y ángulos de los los barcos? c) ¿Hay relaciones métricas entre las distancias del foco a la figura y de la figura a la sombra? f ' GRUPO EDITORIAL 35 36 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRANSFORMACIONES EN EL PLANO H1: Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia. H2: Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia. H3: Reconocer pares de figuras homotéticas en el plano de coordenadas. Homotecia Es una transformación que a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón k diferente de único punto fijo, llamado centro. 1 deja un La relación entre los puntos, ángulos y lados homólogos entre las dos figuras es fácil determinarla si hacemos uso de la tecnología *. Caso 1: Homotecias directas k 0 Procedimientos Figura a) Se construye el ABC b) Se construye un punto O llamado centro de transformación. c) Se mide la distancia desde cada vértice del ABC al punto O . a) AO 2,8 b) BO 3 c) CO 2 Se establece una razón k (en este caso 3 k ) y obtenemos: 2 3 OA ' k OA OA ' 2,8 OA ' 4, 2 2 3 OB ' k OB OB ' 3 OB ' 4,5 2 3 OC ' k OC OC ' 2 OC ' 3 2 d) e) Luego se unen estos puntos como se muestra en la figura y se forma el A ' B ' C ' el cual se considera como la homotecia del ABC . f) En este caso como k 0 decimos que es una homotecia directa. * Sugerencia: Utilizar el software gratuito GeoGebra en http://www.geogebra.org/cms/es/ f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA 37 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO H1: Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia. H2: Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia. H3: Reconocer pares de figuras homotéticas en el plano de coordenadas. Homotecia Caso 2: Homotecias inversas k 0 La relación entre los puntos, ángulos y lados homólogos entre las dos figuras es fácil determinarla si hacemos uso de la tecnología*. Procedimientos Figura a) Se construye el ABC b) Se construye un punto O llamado centro de transformación. c) Se mide la distancia desde cada vértice del ABC al punto O . a) AO 2,8 d) b) BO 3 c) CO 2 Se establece una razón k (en este caso 3 k ) y obtenemos: 2 OA ' k OA OB ' k OB OC ' k OC e) 3 2,8 2 3 OB ' 3 2 3 OC ' 2 2 OA ' OA ' 4, 2 OB ' 4,5 OC ' 3 Luego se unen estos puntos como se muestra en la figura y se forma el A ' B ' C ' el cual se considera como la homotecia del ABC . f) En este caso como k 0 decimos que es una homotecia inversa. * Sugerencia: Utilizar el software gratuito GeoGebra en http://www.geogebra.org/cms/es/ f ' GRUPO EDITORIAL 38 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 1 A. Con un foco alumbre un objeto (la mano, un basurero, un cuaderno, etc.) de tal forma que se proyecte en la pared. Luego coloque el foco (por ejemplo a 1 m de distancia en línea recta), de tal forma que se proyecte la sombra del objeto en la pared. Luego, pruebe con otras distancias. Y conteste lo siguiente: 1) ¿Cuáles elementos permanecen invariantes? 2) Mida la distancia entre el foco y el objeto, luego entre el objeto y la pared. Y establezca la razón entre las longitudes. B. Determine la homotecia de las siguientes figuras, considerando los valores de la razón k , según sea el caso. 1) Determine la homotecia del triángulo ABC , y centro O Para; 2) k 1 3 Determine la homotecia del polígono ABCDE , y centro O Para; 3) k 5 3 Determine la homotecia del polígono ABCD , y centro O Para; k 2 y k 3 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA 39 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO H1: Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia. H2: Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia. H3: Reconocer pares de figuras homotéticas en el plano de coordenadas. Puntos, ángulos y lados homólogos en una homotecia En toda homotecia se establecen puntos, lados y ángulos homólogos. La relación entre los puntos, ángulos y lados homólogos entre las dos figuras es fácil determinarla si hacemos uso de la tecnología*. Ejemplo 1 El polígono A ' B ' C ' D ' E ' es una homotecia del polígono ABCDE Figuras homotécicas Puntos homólogos A y A´ B y B´ C y C´ D y D´ E y E´ Ángulos homólogos A y A´ B y B´ C y C´ D y D´ E y E´ Lados homólogos AB y A ' B ' BC y B ' C ' CD y C ' D ' DE y D ' E ' EA y E ' A' Ejemplo 2 El A ' B ' C ' es una homotecia del ABC Figuras homotécicas Puntos homólogos A y A´ B y B´ C y C´ Ángulos homólogos A y A´ B y B´ C y C´ Lados homólogos AB y A ' B ' BC y B ' C ' CA y C ' A' * Sugerencia: Utilizar el software gratuito GeoGebra en http://www.geogebra.org/cms/es/ f ' GRUPO EDITORIAL 40 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 2 A. Escriba utilizando la simbología correcta los puntos, ángulos y segmentos homólogos de las siguientes figuras homotécicas. B. Escriba utilizando la simbología correcta los puntos, ángulos y segmentos homólogos de las siguientes figuras homotécicas. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 3 A. De acuerdo con las siguientes figuras, determine ¿cuál o cuáles son homotecias del cuadrilátero ABCD ? Justifique su respuesta. B. Identifique en las siguientes figuras, tres pares que son homotécicas. Justifique su respuesta. 2 4 1 6 3 8 7 5 f ' GRUPO EDITORIAL 41 42 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS Problema introductorio 1 Con base en la figura anterior determine lo siguiente. a) ¿Qué personaje de la historia se relaciona con esta imagen? Y si nació 625 a.C. y murió en 547 a.C. ¿Cuántos años vivió? b) ¿En qué continente se encuentra esta pirámide? c) ¿Existen más pirámides en otros lugares fuera de este país? d) ¿Qué propuso este personaje para calcular la altura de la pirámide? e) ¿Cuál es la altura aproximada de la pirámide? f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Figuras semejantes Al someter una figura a una homotecia obtenemos otra que tiene la misma forma, así como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 a) En este caso sometemos el ABC a una homotecia de centro D y razón 0, 5 b) De esta forma obtenemos el A' B ' C ' , que es semejante al ABC , debido a que la medida de sus lados son proporcionales. Ejemplo 2 a) En este caso sometemos el EGF a una homotecia de centro H y razón 1, 5 . b) De esta forma obtenemos el E ' G ' F ' que es semejante al EGF , debido a que la medida de sus lados son proporcionales. Ejemplo 3 a) Homotecia razón k 1 Homotecia razón k 1 Homotecia razón k 1 En este caso sometemos el ABC a una homotecia de centro D y razón k 1 b) Al ser k 1 obtenemos una figura con las mismas medidas, por lo tanto se denominan triángulos congruentes. f ' GRUPO EDITORIAL 43 44 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 4 A. Someta a una homotecia las siguientes figuras y determine en cada caso si las figuras resultantes son semejantes o congruentes según cada caso, además señale los ángulos y lados homólogos. 1) ABC con homotecias de razón 3 3 y y centro D 2 2 2) Polígono ABCD con homotecias de razón 1 y 1 y centro E B. Dibuje en papel cuadriculado un triángulo rectángulo donde su altura sea el doble que su base, tal y como se muestra en la siguiente figura. Luego compare con sus compañeros los dibujos que realizaron y conteste lo siguiente: 1) ¿Puede haber varios triángulos que cumplan estas condiciones? 2) Si es así, ¿cómo se podrían agrupar de acuerdo con sus características? 3) ¿Cuáles elementos de los triángulos construidos varían y cuáles no varían? f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA C. Someta el triángulo ABC a una homotecia desde el punto D de razón 2 y otra 1 de razón . Y conteste lo que se le solicita. 2 1) ¿Cuáles elementos permanecen invariantes y cuáles no? 2) ¿Qué razón existe entre las medidas de los lados de ambos triángulos? 3) ¿Qué razón existe entre las medidas de los ángulos de ambos triángulos? D. Someta el triángulo ABC a una homotecia desde el punto D de razón 1 y otra de razón 1 . Y conteste lo que se le solicita. 1) ¿Cuáles elementos permanecen invariantes y cuáles no? 2) ¿Qué razón existe entre las medidas de los lados de ambos triángulos? 3) ¿Qué razón existe entre las medidas de los ángulos de ambos triángulos? 4) ¿Pueden dos figuras ser semejantes y congruentes a la vez? E. Cite con ejemplos cinco pares de figuras relacionadas con la vida cotidiana que sean semejantes y cinco que sean congruentes. f ' GRUPO EDITORIAL 45 46 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si tiene ángulos homólogos congruentes y lados homólogos proporcionales. Ejemplo 1 Triángulos semejantes Vértices homólogos ABC A´B´C´ B A y A´ 10 BAC B´AC ´ ´ 9 70º 60º 4, 5 50º B´ 60º ACB AC ´ ´B´ A´B´ B´C´ A´C´ AB BC AC 5 4,5 3 10 9 6 1 1 1 2 2 2 AB BC AC A´B´ B´C´ A´C´ 10 9 6 5 4,5 3 2 2 2 C´ 3 ABC A´B´C´ Proporcionalidad de lados homólogos C 6 70º C y C´ Congruencia de ángulos homólogos 50º A B y B´ 5 A´ Ejemplo 2 Triángulos semejantes Vértices homólogos AyD ABC DEF B C yF Congruencia de ángulos homólogos A B yE BAC EDF ABC DEF ACB DFE C E D Proporcionalidad de lados homólogos F AB BC AC DE EF DF f ' GRUPO EDITORIAL DE EF DF AB BC AC CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Criterio de semejanza L.L.L. (lado, lado, lado) Si los lados homólogos de dos triángulos son proporcionales, entonces, los triángulos son semejantes. Ejemplo 1 Triángulos semejantes por L.L.L. ABC A´B´C´ B 10 AB BC AC A´B´ B´C´ A´C´ 10 9 6 5 4,5 3 2 2 2 9 A´B´ B´C´ A´C´ AB BC AC 5 4,5 3 10 9 6 1 1 1 2 2 2 Entonces ABC A´B´C´ por L.L.L. C A Si existe proporcionalidad de lados homólogos 6 Es decir que los Vértices homólogos son C´ A y A´ 4, 5 C y C´ Y existe congruencia de ángulos homólogos B´ 3 B y B´ BAC B´AC ´ ´ ACB AC ´ ´B´ 5 A´ ABC A´B´C´ Ejemplo 2 Triángulos semejantes por L.L.L. ABC DEF B Es decir que los Vértices homólogos son AyD B yE C yF Y existe congruencia de ángulos homólogos DE EF DF AB BC AC Entonces ABC DEF por L.L.L. C E D AB BC AC DE EF DF A Si existe proporcionalidad de lados homólogos F BAC EDF ACB DFE f ' GRUPO EDITORIAL ABC DEF 47 48 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Criterio de semejanza L.A.L. (lado, ángulo, lado) Si existe una correspondencia entre dos triángulos de tal manera que dos parejas de lados homólogos sean proporcionales y los ángulos comprendidos por esos lados son congruentes, entonces, los triángulos son semejantes. Ejemplo 1 Triángulos semejantes por L.A.L. ABC A´B´C´ B 50º 9 10 Y congruencia del ángulo homólogo entre ellos C A Si existe proporcionalidad de dos lados homólogos AB BC AC A´B´ B´C´ A´C´ A´B´ B´C´ A´C´ AB BC AC 10 9 AC 5 4,5 A´C´ 5 4,5 A´C´ 10 9 AC 1 1 A´C´ AC 2 2 2 2 AC A´C´ BAC B´AC ´ ´ Entonces ABC A´B´C´ por L.A.L. C´ 4, 5 Es decir que los Vértices homólogos son A y A´ B y B´ C y C´ Y existe congruencia de ángulos homólogos ACB AC ´ ´B´ restantes ABC A´B´C´ 50º B´ 5 A´ Ejemplo 2 Triángulos semejantes por L.A.L. ABC DEF B Y congruencia del ángulo homólogo entre ellos A C E D Si existe proporcionalidad de dos lados homólogos AB BC AC DE EF DF DE EF DF AB BC AC F BAC EDF Entonces ABC DEF por L.A.L. Es decir que los Vértices homólogos son AyD B yE C yF Y existe congruencia de ángulos homólogos restantes ABC DEF , ACB DFE f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Criterio de semejanza A.A.A. (ángulo, ángulo, ángulo) Si los ángulos homólogos de dos triángulos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. Ejemplo 1 Triángulos semejantes por A.A.A. ABC A´B´C´ B Si existe congruencia de ángulos homólogos BAC B´AC ´ ´ , ABC A´B´C´ , ACB AC ´ ´B´ Entonces ABC A´B´C´ por A.A.A 50º Es decir que los Vértices homólogos son A y A´ B y B´ C y C´ 70º C A 60º C´ Y existe proporcionalidad de lados homólogos 70º AB BC AC A´B´ B´C´ A´C´ 50º B´ A´B´ B´C´ A´C´ AB BC AC 60º A´ Ejemplo 2 Triángulos semejantes por A.A.A. Si existe congruencia de ángulos homólogos BAC EDF ABC DEF B ABC DEF ACB DFE Entonces ABC DEF por A.A.A Es decir que los Vértices homólogos son A C E D AyD B yE C yF Y existe proporcionalidad de lados homólogos F AB BC AC DE EF DF f ' GRUPO EDITORIAL DE EF DF AB BC AC 49 50 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 5 A. Determine en cada una de las siguientes figuras si ABC es semejante con DEF , en caso de ser semejantes, justifique su respuesta con el criterio de semejanza que utilizó, además escriba dicha semejanza de forma simbólica utilizando los ángulos homólogos (por ejemplo ABC FDE ). 1) 4) 7) B A F 20 48 16 B 62º B 52 F C E A 35º 62º D C 12 35º 5 12 C A 4 D D 13 E F 2) C 5) E 3 8) B B 46º 20 12 A 10 B 32 A D F 24 F 15 9 44 C A C D 36 E 3) C E 6) E F 9) 15 20 12 B 10 E 36º 8 F D B A 15 9 8 A D E 6 F 46º 62º 150 150 B E 6 20 A 62º 36º D f ' GRUPO EDITORIAL C C D F CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Triángulos congruentes Dos triángulos son congruentes si los lados y los ángulos de un triángulo son respectivamente congruentes a los lados y los ángulos de otro triángulo. Ejemplo 1 Triángulos congruentes Vértices homólogos ABC A´B´C´ B A y A´ B y B´ C y C´ Congruencia de ángulos homólogos 50º 10 BAC B´AC ´ ´ 9 ABC A´B´C´ ACB AC ´ ´B´ 70º C A 60º 6 C´ 70º Congruencia de lados homólogos 9 AB A´B´ 6 A´ BC B´C´ AC AC ´ ´ 50º B´ 60º 10 Ejemplo 2 Triángulos congruentes Vértices homólogos ABC DEF B AyD B yE C yF Congruencia de ángulos homólogos BAC EDF A C E ABC DEF ACB DFE Congruencia de lados homólogos D F AB DE f ' GRUPO EDITORIAL BC EF AC DF 51 52 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Criterio de congruencia L.L.L. (lado, lado, lado) Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes. Ejemplo 1 Triángulos congruentes por L.L.L. ABC A´B´C´ B Si existe congruencia de lados homólogos AB A´B´ BC B´C´ AC AC ´ ´ Entonces ABC A´B´C´ por L.L.L. 10 9 Es decir que los vértices homólogos son A y A´ C A B y B´ C y C´ 6 C´ 9 Y existe congruencia de ángulos homólogos 6 B´ ABC A´B´C´ ACB AC ´ ´B´ 10 A´ BAC B´AC ´ ´ Ejemplo 2 Triángulos congruentes por L.L.L. ABC DEF B Si existe congruencia de lados homólogos AB DE BC EF AC DF Entonces ABC DEF por L.L.L. A C Es decir que los vértices homólogos son AyD B yE C yF E Y existe congruencia de ángulos homólogos BAC EDF D F ACB DFE f ' GRUPO EDITORIAL ABC DEF CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Criterio de congruencia L.A.L. (lado, ángulo, lado) Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Ejemplo 1 Triángulos congruentes por L.A.L. Si existe congruencia de dos lados homólogos AB A´B´ ABC A´B´C´ B BC B´C´ Y congruencia del ángulo homólogo entre ellos ABC A´B´C´ 50º 10 9 Entonces ABC A´B´C´ por L.A.L. Es decir que los vértices homólogos son A y A´ B y B´ C y C´ C A C´ 9 Existe congruencia de ángulos homólogos 50º B´ BAC B´AC ´ ´ ACB AC ´ ´B´ Y congruencia del lado homólogo restante 10 AC AC ´ ´ A´ Ejemplo 2 Triángulos congruentes por L.A.L. Si existe congruencia de dos lados homólogos AB DE ABC DEF AC DF Y congruencia del ángulo homólogo entre ellos B BAC EDF A C E Entonces ABC DEF por L.A.L. Es decir que los vértices homólogos son AyD B yE C yF Existe congruencia de ángulos homólogos ABC DEF D F ACB DFE Y congruencia del lado homólogo restante BC EF f ' GRUPO EDITORIAL 53 54 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Criterio de congruencia A.L.A. (ángulo, lado, ángulo) Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Ejemplo 1 Triángulos congruentes por A.L.A. ABC A´B´C´ B Entonces ABC A´B´C´ por A.L.A. Es decir que los vértices homólogos son A y A´ B y B´ C y C´ 70º C 70º ACB AC ´ ´B´ BC B´C´ 9 C´ ABC A´B´C´ Y congruencia del lado homólogo entre ellos 50º A Si existe congruencia de dos ángulos homólogos Existe congruencia del ángulo homólogo restante BAC B´AC ´ ´ 9 50º B´ Y congruencia de los lados homólogos restantes AB A´B´ AC AC ´ ´ A´ Ejemplo 2 Triángulos congruentes por A.L.A. ABC DEF B Si existe congruencia de dos ángulos homólogos BAC EDF ACB DFE Y congruencia del lado homólogo entre ellos AC DF Entonces ABC DEF por A.L.A. A C E Es decir que los vértices homólogos son AyD B yE C yF Existe congruencia del ángulo homólogo restante ABC DEF D F Y congruencia de los lados homólogos restantes AB DE f ' GRUPO EDITORIAL BC EF CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 6 A. Determine el criterio que justifica la relación de congruencia entre ABD y CBD en cada una de las siguientes figuras. B B A 1) 6) 10) 10 10 A 6 D 6 D C D B A 7) B 2) A C C 3 3 B 11) A 6 3) D 6 D C 6 A 4) A C D A 60º D C 6 8) 60º 3 3 B 30º 30º B B 12) C 3 B 48º B 48º D A D 3 A 5) D C C B B 9) B C 13) 9º 9º A D C A 71º 71º C D f ' GRUPO EDITORIAL D A C 55 56 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA B. Determine en cada una de las siguientes figuras si ABC es congruentes con DEF , en caso de ser congruentes, justifique su respuesta con el criterio de congruencia que utilizó, además escriba dicha congruencia de forma simbólica utilizando los ángulos homólogos (por ejemplo ABC FDE ). 1) 4) B A 7) B A C C D E D B C A E F F 2) B C 8) B 5) A F D E C E A F B C A E D E F D F 3) F D D C 6) B B E F 9) A E C E B A A C D D F f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H4: Construir una figura semejante a una figura dada sometiéndola a una homotecia de razón menor o mayor que 1. H5: Construir una figura congruente a una figura sometiéndola a una homotecia de razón igual a 1. H6: Identificar figuras semejantes en diferentes contextos. H7: Identificar figuras congruentes en diferentes contextos. H8: Aplicar los criterios de semejanza: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo ángulo ángulo para determinar y probar la semejanza de triángulos H9: Aplicar los criterios de congruencia: lado lado lado, lado ángulo lado y ángulo lado ángulo, para determinar y probar la congruencia de triángulos. H10: Resolver problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. H11: Utilizar software de geometría dinámica para visualizar propiedades relacionadas con la congruencia y semejanza de triángulos. Problemas con semejanza y congruencia Ejemplo 1 Si D , E y F son los puntos medios de los lados del triángulo ABC y AEFD es un rectángulo, encuentre un triángulo semejante al triángulo ABC y un triángulo congruente al triángulo DEF . Solución: Existen varios procedimientos correctos, pero lo importante es la justificación que se realice para la solución. a) El ABC ~ ADE AB AC 2 AD AE por criterio lado-ángulo-lado, ya que comparten el ángulo A que mide 90 . b) El DEF EDA por criterio lado-lado-lado, ya que AD EF , AE DF y por ser AEFD un rectángulo y comparten el segmento DE (diagonal del rectángulo). Ejemplo 2 En la figura BCD BAE y AB 4, BC 6, BD 14 A y DC 10 entonces ¿cuál es la medida de AE ? B E D Solución: Por ser semejantes se establece que a) BC CD Se sustituyen los valores en BA AE BC CD BD BA AE BE 6 10 4 AE 20 AE 3 b) Concluimos que AE 20 3 f ' GRUPO EDITORIAL C 57 58 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 7 A. Resuelva los siguientes problemas que involucren la semejanza y congruencia de triángulos. 1) Si tenemos que una torre mide 90 metros de altura, y en un determinado momento del día, una vara vertical de 50 metros arroja una sombra de 70 metros. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre? 2) Calcule la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 metros en el mismo momento que la sombra de Celeste, de altura 1, 80 metros, mide 3 metros. 3) Entre Maureen, de 1, 70 metros de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja la copa del árbol. Calcule la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Maureen del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3, 2 metros y 10, 7 metros, respectivamente. 4) Para medir la altura de una montaña, Gustavo, de 1, 82 metros de altura, se sitúa a 2,3 metros de un árbol de 3, 32 metros situado entre él y la montaña, de forma que la copa del árbol, la cima de dicha montaña y los ojos de Gustavo se encuentran en línea. Sabiendo que Gustavo se encuentra a 138 metros del pie de la montaña, calcule la altura de la montaña. B. Marque con una “X” la respuesta correcta para cada uno de los siguientes enunciados. 1) Si ABC DEF , BC 35 cm , EF 21 cm y AC 20 cm entonces ¿Cuál es la medida, en centímetros, de DF ? A) 36, 75 B) 33, 3 C) 24 D) 12 2) Si el ABC DEF , AB 15 cm , BC 21 cm y DE 5 cm , entonces, ¿Cuál es la medida de EF en centímetros? A) 7 C) 63 7 25 B) D) 5 7 3) Considere el MNQ . De acuerdo con los datos de la figura se cumple que N MN RP MQ NQ A) C) NP PQ QR NP P B) NQ QP QM RQ D) MR NP PQ RQ M f ' GRUPO EDITORIAL R Q CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA 4) 59 De acuerdo con los datos de la figura, si ABC EDF , analice las siguientes B proposiciones E I. BC EF II. AB DE III. BAC DEF De ellas, ¿cuáles son verdaderas? A) Solo la I C) Solo la I y la III B) D) Solo la II y la III Solo la II A F C D 5) De acuerdo con los datos de la figura, se cumple con certeza que A) ACB STR C) ACB RTS B) ACB RST D) BCA RST S C B A R T 6) De acuerdo con los datos de la figura, si ABD CEB , entonces, ¿cuál es la B 10 C longitud de BD ? A) 3 B) 8 C) D) 16 24 7 E 8 21 BED D A 30 7) De acuerdo con la figura, si A B C D entonces el ABE CDE por el criterio A A) A. A. A C) L. A. L E B) D) L. L. L A. L. A B 8) Considere el C BC DE , ADE . De acuerdo con los datos de la figura, si A entonces ¿cuál es la medida de CE ? A) 4 C) 12 16 8 B) D) 3 3 8 4 B C D 9) Considere el D E 6 . De acuerdo con los datos de la figura, si AED AD 20, AC 6, ED 18 , entonces la medida de DB es 20 63 A) C) 3 5 27 140 B) D) 5 9 E B A D C 10) Considere el ACE . De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la longitud de BD ? A) B) 21 2 96 7 A C) D) 56 5 14 3 f ' GRUPO EDITORIAL 5 B 8 E D 7 C 60 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS Problema introductorio 1 Una piscina tiene un máximo de 3, 2m de profundidad. El día de hoy se indica que hay apenas 2,8m de altura del agua en la parte más profunda. Ana quiere entrar a la piscina pero no sabe nadar, así que no quiere llegar a la parte más profunda. Ella calcula que mide aproximadamente 1, 5m de los pies a los hombros. La zona para bajar poco a poco es la parte inclinada y ella baja hasta apenas tocar el agua con los pies y calcula que es aproximadamente de 0, 7m . ¿Cuánto más deberá bajar Ana para que el agua le llegue a los hombros? a) ¿Cuánto más deberá bajar Ana para que el agua le llegue a los hombros? b) ¿Cuánto mide la pared inclinada hasta donde llega el agua de la piscina? f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H12: Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en diversos contextos. Teorema de Thales Cuando tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes o concurrentes, los segmentos comprendidos entre las rectas paralelas son proporcionales. Ejemplo 1 Propiedades a) AB DE BC EF b) AB BC DE EF l2 c) AC DF BC EF l1 d) AC DF AB DE l4 l5 A D E B C F l3 l1 l2 l3 Ejemplo 2 Propiedades a) l4 l5 A D 2 3 2 E 15 4 B 5 C F l1 l2 l3 l3 b) l2 3 AB DE 2 2 2 2 BC EF 5 15 5 5 4 AB BC 2 5 4 4 3 15 DE EF 3 3 2 4 c) 21 AC DF 7 7 7 4 BC EF 5 15 5 5 4 d) 21 AC DF 7 7 7 4 AB DE 2 3 2 2 2 l1 f ' GRUPO EDITORIAL 61 62 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H12: Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en diversos contextos. Teorema de Thales Ejemplo 3 Procedimiento de solución Determine la medida de E F AB DE 3 2 BC EF 4 EF l4 l5 A EF D l3 2 3 B Forma alternativa de solución E l2 F l1 4 C 42 8 3 3 AB BC 3 4 DE EF 2 EF EF 42 8 3 3 l1 l2 l3 Ejemplo 4 Procedimiento de solución Determine la medida de D E l4 AB DE 7 DE BC EF 5 4 DE A 7 B 5 4 7 28 5 5 C Forma alternativa de solución l1 l2 l3 AB BC 7 5 DE EF DE 4 DE l5 4 E D l1 l2 F l3 f ' GRUPO EDITORIAL 4 7 28 5 5 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 8 1) Procedimiento de solución Determine la medida de E F l4 l5 A D l3 2 3 B E l2 F l1 5 C l1 l2 l3 2) Procedimiento de solución Determine la medida de D E l4 l5 A D l3 4 l2 B E 7 6 F C l1 l1 l2 l3 3) Determine la medida de B C Procedimiento de solución l4 l5 A D 6 l3 5 E B l2 7 F C l1 l1 l2 l3 f ' GRUPO EDITORIAL 63 64 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA 4) Procedimiento de solución Determine la medida de AB l4 l5 A D l3 10 B E 14 12 F C l2 l1 l1 l2 l3 5) Procedimiento de solución Determine la medida de E F l4 A 19 B 12 C l1 l2 l3 l5 17 D l1 6) F E l3 l2 Procedimiento de solución Determine la medida de D E l4 A 34 B 25 C l1 l2 l3 l5 20 E D l1 l2 F l3 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA 7) Determine la medida de B C l4 A 7 3 Procedimiento de solución B C l1 l2 l3 l5 8 3 D l1 8) 5 2 E F l3 l2 Procedimiento de solución Determine la medida de AB l4 A 11 2 B C l1 l2 l3 l5 8 3 D l1 9) 14 3 E F l3 l2 Procedimiento de solución Determine la medida de AB l4 A 21 5 B C l1 l2 l3 l5 5 D l1 12 5 E l2 F l3 f ' GRUPO EDITORIAL 65 66 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA TRIÁNGULOS H12: Aplicar el teorema de Thales en la resolución de problemas en diversos contextos. Teorema de la paralela media En todo triángulo, un segmento paralelo a uno de los lados y definido por los puntos medios, de los otros dos lados, se llama paralela media y mide la mitad del lado al cual es paralela. Ejemplo 1 Propiedades E A B a) DE b) D BC 2 BC 2 DE DE BC C Ejemplo 2 Procedimiento Determine la medida de D E E B A D 10 BC 2 10 DE 2 DE 5 DE DE BC C Ejemplo 3 Procedimiento Determine la medida de BC E A B BC 2 DE BC 2 10 BC 20 10 D C DE BC f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 9 A. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando el Teorema de la paralela media de un triángulo. 1) Determine la medida de D E E A 5) B Determine la medida de BC E B A 16 D DE BC C 2) D 16 DE BC C Determine la medida de D E 6) Determine la medida de BC A A DE BC D E D C 3) DE BC E B 37 37 B C Determine la medida de D E 7) Determine la medida de B C C C 18 5 E E 18 5 B A D B DE BC 4) DE BC Determine la medida de D E B 8) Determine la medida de BC B 8 8 29 D D 8 A 14, 5 8 13 E A D 13 C A DE BC 13 E DE BC f ' GRUPO EDITORIAL 13 C 67 68 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA B. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando el Teorema de la paralela media de un triángulo. 1) Determine la medida de A C y 5) Determine la medida de EF y D E BC A A DE BC DE BC E 6 D EF AC D 2) B F A E C F DF EF AC 6 DF AB D B C DE BC 8 EF AC E DF AB 7) 7 B F Determine la medida de AB , BC y AC A A AB 18 DE 10 BC 16 E C F AC 14 D B C Determine la medida de BF , AD y EF 8) E EF 12 DF 14 B F Determine la medida de DF , CF y AD A A DE 15 E D C B Determine la medida de DE, EF y A Determine la medida de DE, EF D 4) 8 9 11 y DF 6) F DE BC D 3) C Determine la medida de AB , A C y BC 8 EF AC 5 7 C E F BE 10 CD 13 E D B C f ' GRUPO EDITORIAL F DE 9 DC 12 B CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA VISUALIZACIÓN ESPACIAL Problema introductorio 1 Considere la siguiente pirámide recta de base cuadrada de 40m de lado, con una altura de 60 m . Si se hace un corte con un plano paralelo, se puede obtener: a) ¿un triángulo como sección plana? b) ¿un rectángulo no cuadrado? c) ¿qué figuras se pueden obtener? f ' GRUPO EDITORIAL 69 70 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA VISUALIZACIÓN ESPACIAL H13: Identificar la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y el ápice o cúspide de una pirámide. H14: Identificar las caras laterales, las bases y la altura de un prisma recto. H15: Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular. H16 Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular. Pirámide Prisma Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide. Un prisma es un cuerpo limitado por dos polígonos planos, paralelos e iguales, llamados bases, y por tantos paralelogramos como lados tenga cada una de las bases. ap a a p : apotema de la pirámide a : apotema del polígono a : apotema del polígono Casos particulares pirámide base triangular prisma base triangular pirámide base cuadrangular prisma base cuadrangular pirámide base rectangular prisma base rectangular f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA 71 Ejercicios de movilización 10 A. Identifique la base, las caras laterales, la altura, las apotemas y el ápice o cúspide de las siguientes pirámides rectas. 1) 2) 3) B. Identifique las caras laterales, las bases y la altura de los siguiente prismas rectos. 1) 2) A 3) E B A C D G E B D F F C H G E B C D f ' GRUPO EDITORIAL A F 72 CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA C. Considere una pirámide recta de base triangular, si se hace un corte con un plano paralelo, se puede obtener: 1) ¿un triángulo como sección plana? 2) ¿qué figuras se pueden obtener? D. Considere una pirámide recta de base rectangular, si se hace un corte con un plano paralelo, se puede obtener: 1) ¿un triángulo como sección plana? 2) ¿un rectángulo? 3) ¿un cuadrado? 4) ¿qué figuras se pueden obtener? E. Considere un prisma recto de base triangular, si se hace un corte con un plano paralelo, se puede obtener: 1) ¿un triángulo como sección plana? 2) ¿un rectángulo? 3) ¿un cuadrado? 4) ¿qué figuras se pueden obtener? F. Considere un prisma recto de base cuadrangular, si se hace un corte con un plano paralelo, se puede obtener: 1) ¿un triángulo como sección plana? 2) ¿un rectángulo? 3) ¿un cuadrado? 4) ¿qué figuras se pueden obtener? G. Considere un prisma recto de base rectangular, si se hace un corte con un plano paralelo, se puede obtener: a) ¿un triángulo como sección plana? b) ¿un rectángulo? c) ¿un cuadrado? d) ¿qué figuras se pueden obtener? f ' GRUPO EDITORIAL Capítulo 3 Relaciones y Álgebra f' Grupo Editorial CONOCIMIENTOS Funciones Función lineal Expresiones Algebraicas Concepto de expresión algebraica Valor numérico Monomios Monomios Semejantes Operaciones con monomios Factor numérico y factor literal Polinomios Operaciones con polinomios Productos notables Ecuaciones Ecuaciones del primer grado con una incógnita Solución de una ecuación Cero de una función Raíz de una ecuación 1. Ecuaciones literales HABILIDADES ESPECÍFICAS 1. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y ax b 2. Representar de forma tabular, gráficamente una función lineal. algebraica y 3. Identificar una expresión algebraica. 4. Utilizar leyes de potencias para la simplificación de expresiones algebraicas. 5. Determinar el valor numérico de una expresión algebraica. 6. Reconocer monomios semejantes. 7. Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. 8. Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos. 9. Sumar, restar y multiplicar polinomios. 10. Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. 11. Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación. 12. Comprobar si un número dado es solución de una ecuación. 13. Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella. 14. Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita. 15. Relacionar una ecuación de primer grado con unam incógnita de la forma ax+ b = c con la función lineal cuya representación algebraica es y = ax + b. 16. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. 17. Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen ecuaciones del primer grado con una incógnita. 18. Resolver ecuaciones literales para una de las letras. CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS Problema 1 El área A de un rectángulo de base b y altura h es modelada por la ecuación A b h . Calcule el valor de A cuando b 2, 75 ; h 1, 39 b h Problema 2 La ley de Boyle establece que en un recipiente cerrado con temperatura constante la presión de un gas es inversamente proporcional a su volumen. El modelo es: P , siendo P la presión en atmósfera y V k V el volumen en litros, k la constante de proporcionalidad. Calcule la presión cuando V 0, 75 L , f ' GRUPO EDITORIAL k 30 L atm. 75 76 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H3: Identificar una expresión algebraica. H4: Utilizar leyes de potencias para la simplificación de expresiones algebraicas. Expresión algebraica Es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones, como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o potencias. Constante Variable Es una cantidad que no varía. Es un Corresponde a una letra o símbolo número por sí solo, el cual se que representa cualquier elemento representa a veces mediante algún de un conjunto. símbolo o letra particular. Ejemplos 7 ; 7; Ejemplos 2 ; 3 5 ; ; e x ; tal que x denote cualquier número natural x . Observación: Se pueden utilizar leyes de potencias para simplificar expresiones algebraicas. También se pueden proporcionar ejemplos numéricos para generalizar la idea con variables. Expresión numérica 57 1 4 a) 11 5 5 b) 3 3 7 4 28 c) 7 2 7 7 714 d) 31 1 3 Expresión algebraica a) y7 1 4 si y 0 11 y y b) x x 7 4 28 c) m 2 m 7 m 9 d) f ' GRUPO EDITORIAL b 1 1 si b 0 b CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 2 A. Escriba cinco ejemplos de variables y cinco ejemplos de constantes. Variables Constantes 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) B. Resuelva las siguientes expresiones numéricas y algebraicas utilizando las propiedades de las potencias. Expresión numérica Expresión algebraica 9 3 1) 37 m10 1) m6 83 2) 89 h5 2) h7 3) 10 8 3 3) y 2 4) p 5) 5 2 2 6) 6 6 7) 2 10 2 2 2 2 4) 3 5 5) 10 10 3 2 x p 3 p10 2 7 m m 6) h h 7 2 7) 2 3 6 v 2 2 r 8) u C. Escriba una expresión algebraica que contenga: 8) 1) una misma variable y una suma. 2) dos variables distintas y una resta. 3) tres variables distintas con una suma y una resta. 4) tres variables distintas con una suma, una resta y una potencia. 5) cuatro variables distintas con una suma, una multiplicación y una división. 6) dos variables distintas con una resta, una multiplicación y una potencia. f ' GRUPO EDITORIAL 77 78 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H5: Determinar el valor numérico de una expresión algebraica. Valor numérico Si en una expresión algebraica sustituimos las variables por números específicos, el número resultante se le llama valor numérico de la expresión para tales números. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Determine el valor numérico de la expresión algebraica 7ab 2 , si a 1 y b 3 Primero: Se sustituye el valor de a y b en la expresión 7 ab 2 Determine el valor numérico de la expresión algebraica 3 x 2 2 x 4 , si x 3 Primero: Se sustituye el valor de x en la expresión 2 3x 2 x 4 3 3 2 3 4 2 7 1 3 2 39 27 7 1 9 63 Segundo: El valor numérico de la expresión algebraica es 63 Ejemplo 3 Determine el valor numérico de la 4 5xy 2 , si expresión algebraica y x 1 y y 2 Primero: Se sustituye el valor de x y y en la expresión 5 xy 10 10 6 4 6 4 17 Segundo: El valor numérico de la expresión algebraica es 17 Ejemplo 4 Calcule el área de un triángulo de base 5 cm y altura 8 cm . Primero: Se sustituye el valor de b y h en la expresión 4 y2 4 5 1 2 2 2 bh 2 58 A 2 40 A 2 A 20 A 4 4 1 11 Segundo: El valor numérico de la expresión algebraica es 11 para x 1 y y 2 . Segundo: El área del triángulo es 20 cm 2 para b 5 y h 8 . f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 3 A. Determine el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas según los valores dados para sus variables. 1) 6ab si a 1 b 3 9) 2) 2x 2 y si x 1 y3 10) 5 x 2 y 3 yx 5 x 3) 8mp 4 si m3 p 2 4) 3a 3b 2 si a2 b 3 5) 2 4x y 6) m 2n 7) 3 x 2 2 xm 8) 5xy y 2 3 si x2 si m 1 n 2 6 si si y6 x6 x2 a 1 b 3 si x 2 y 1 11) 4a 2 a b 6 3 si a3 b 3 12) 3a 2b ab 2 2 3 si a6 b 3 13) 24b a 2 a b si a 1 b 4 14) 4xy 2 z z xy si x3 y5 z 3 m 3 y3 si 2 ab a 3b 2 1 B. Resuelva en forma clara y ordenada los siguientes problemas. 1) Calcule el área de un triángulo de base diez centímetros y altura seis centímetros. 2) Calcule el área de un cuadrado cuyo lado mide diez centímetros. 3) Calcule el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide diez centímetros. 4) Calcule el área de un rombo cuyo diagonal mayor tiene una longitud de veinte centímetros y la diagonal menor quince centímetros. 5) Calcule el perímetro de un rombo cuyo lado mide veintiocho centímetros. 6) Calcule el área de un rectángulo de ocho metros de largo y cinco metros de ancho. 7) Calcule el perímetro de un rectángulo de ocho metros de largo y cinco metros de ancho. 8) Calcule el área de un trapecio de siete metros de base mayor, cuatro metros de base menor y tres metros de altura. 9) Calcule el área de un círculo cuyo radio mide doce centímetros. 10) Calcule el perímetro de un círculo cuyo radio mide doce centímetros. f ' GRUPO EDITORIAL 79 80 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS Problema introductorio 1 Un terreno tiene la forma de la siguiente figura, con las medidas de los lados indicadas. Calcule el área total del terreno. d c b a Problema introductorio 2 El costo total de una empresa que produce lapiceros es la suma de los costos fijos y los costos variables. Suponga que cada lapicero le cuesta a la empresa ₡ 85, 00 y que es vendido por ₡ 175, 00 . Si x es la cantidad de lapiceros producidos y vendidos, escriba la expresión que representa el costo total correspondiente, si los costos fijos de la empresa son de ₡ 2 500 000, 00 . Exprese los ingresos debidos a las ventas en términos de x , y calcule la ganancia de la empresa (ganancia = ingresos por ventas – costo total de producción). f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS Problema introductorio 3 Calcule el área de un cuadrado de lado 2 a 2 5b 3 centímetros en términos de a, b 2a 2 5b 3 Problema introductorio 4 Calcule el área del cuadrado de lado 0, 4 a 3 5b 2 centímetros, en términos de a, b . 0, 4a 3 5b 2 f ' GRUPO EDITORIAL 81 82 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Monomios Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural. Además, todo monomio está formado por un factor numérico y un factor literal. Ejemplos Monomio Factor numérico Factor literal a) 3x 3 x b) 2x 4 2 x4 c) 5 3 y 2 5 2 y3 d) 7 x 4 y 3 7 x4 y3 7 x 4 y 3 e) 5 7 5 x4 y3 z5 1 z5 g) 13 13 x0 f) f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 4 A. Determine en las siguientes expresiones algebraicas el factor numérico FN y factor literal FL . Expresión Algebraica 1) 3x 2 3) 9a 3b 5) 15x 3 y 2 7) 6a 2b 3 9) 12hz 6 FN ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 11) 5xy ____ 13) 15x 3 y 2 15) 18a 4 xy ____ ____ ____ ____ ____ 2 17) 6x y 6 19) 9mn 2 21) 10 x2 5 23) 4m 10 25) 432 5 ____ ____ ____ ____ ____ Expresión Algebraica FL ____ ____ ____ ____ ____ 2) 4mn 4 4) 2am 3 6) 125z 3 a 8) 23 10) x 3 y 2 2 12) x 2 5 y 3 14) ax 2 10 y 16) xy 2 6 18) 3x 3 20) 4 3 22) 5 4 x 2 y3 24) 4 26) 3 2 f ' GRUPO EDITORIAL FN FL ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 83 84 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Suma y resta de monomios Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes (mismo factor literal). El resultado se obtiene sumando o restando sus factores numéricos y conservando el mismo factor literal. Ejemplos Efectúe las siguientes operaciones de sumas y restas con monomios. a) d) 3x 7 x 3x 7 x b) c) 10 x 2 yz 5 x 2 yz 3 7 x 3 7 x 10 5 x 2 yz 10 x 4x 5 x 2 yz 10 x 2 y 6 x 13x 2 y 8 x e) 10 13 x 2 y 6 8 x 3x 2 y 13ab 6bc 13bc 8ab 13 8 ab 6 13 bc 2x 21ab 19bc f) 1 2 4 7 a b a b 2 3 5 10 1 4 2 7 a b 2 5 3 10 3 1 a b 10 30 Ejercicios de movilización 5 A. Efectúe las siguientes sumas y restas de monomios. 1) 5 x 3x 10) 6 xy 3 xy 2) 6y 9y 11) 17 a 6 b 5 a 6 b 3) 4a a 4) 10 xy 12 xy 5) 13 yz 11 yz 6) 14ab ab 7) 4 x 2 yz 9 x 2 yz 8) 15 xy 2 z 8 xy 2 z 9) 7abc 2 abc 2 12) 4 x 3 z 2 zx 3 18) 1 3 x x 3 2 24) 2m 3m 1m 19) 3 2 y y 15 5 26) 7 xy 16 xy 20 xy 13) y y 1 3 14) x x 3 2 3 2 y y 15) 15 5 2mn 3mn 16) 5 10 3 2 5 2 17) bx bx 9 3 25) 5mn 13mn 9mn 27) 5 ab 4 13ab 4 10 ab 4 20) 3 2 5 2 bx bx 9 3 28) 21) ab 3ab 2 2 4mn 6mn 10mn 3 5 3 29) 1 3 5 7 a b a b 3 4 6 8 30) 2 4 3 5 x y x y 5 3 10 6 31) 3 5 1 7 m n m n 7 4 2 6 22) 23) 7 xy 3 xy 4 8 7 x 2 x 9 3 f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Multiplicación y división monomios Para multiplicar (dividir) monomios se multiplican (dividen) los factores numéricos entre sí y luego se multiplican (dividen) los factores literales entre sí utilizando las propiedades de las potencias. Ejemplos de multiplicación Efectúe las siguientes operaciones de multiplicación con monomios. a) 4 x 7 x 4 7 x x 3 5 3 5 28 x b) 8 5ab 2 2a 2b 5 2 a a 2 b 2 b 10a 3b3 c) 3m 2 n 2 4m d) 3 1 4 m 2 m n 2 12m3 n 2 2 3 2 9 3 x y xy z z 3 4 2 9 3 2 3 1 x x y y z z 3 4 3 4 5 2 x y z 2 Ejemplos de división Efectúe las siguientes operaciones de división con monomios. a) 24 x5 6 x 2 b) 24 x5 24 x 5 3 2 4x 2 6x 6 x c) 2 25ab 2 25 a b 2 5 b 15ab 15 a b 3 4 4 m np 4 4 2 3 3 m np mn 2 3 5 mn3 5 4 4 2 m n 3 p 3 5 m n 10m3 p 3n 2 25ab 15ab d) 6 x 2 n y n 3 2 x n y n 1 6 x 2 n y n 3 6 x 2 n y n 3 2 x n y n 1 2 x n y n 1 3 x 2 n n y n 3 n 1 3 x n y n 3 n 1 3 x n y 2 f ' GRUPO EDITORIAL 85 86 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 6 A. Efectúe las siguientes multiplicaciones y divisiones de monomios. 1) 5 x 3 7 x 5 20) 12 x 5 3 x 2 2) 13 x 2 2 x 21) 8a 7 4a 5 3) y6 y3 22) y 6 y 3 4) 4 mn 2 7 m 2 n 23) 10 m 2 n 3 15m 2 n 2 5) 12 a 4 y 3a 2 y 4 24) 12 ay 4 15 ay 6) 5a 3b 2 b 2 7) 4 m 2 n 2 5m 8) 3m 3n 2 4 m 9) 3c b c 4 5 4 3 m np mn 3 4 2 25) 3 10) 2 a 3a 2 2 a 3b 10 3 2 7 2 5 x y z x y 6 2 26) 2 2 2 3 x y xy 3 3 27) 28) 3 4 2 9 3 2 ab ab 5 10 29) 2 3 2 6 4 2 ab c a b c 3 5 30) 3x3 y 9 x2 y3 31) xy 2 z 3 x 2 yz 5 32) 8 a 3b 2 4ab 2 11) y 2 y y 2 12) 4x 2 y 2 x 2 13) 7 m 3m m 6 14) 3 3 2 8 3 x y xy z z 4 5 15) 3 3 9 x y x2 y 2 z3 z 4 5 4 16) 10 3 4 7 2 m np m p n5 6 2 17) 5a 6 n b 2 n 4 a 3 n b 4 3 n 18) 2 4 n 2 n 25 n 3 2 n n x yz x y z 6 10 19) 13 2 n 3 n 1 9 n 1 3 n m c m c 6 26 9 x 3 y 2 z 33) 5 xy 2 z 3 34) 4 x 2 n y n 3 2 n x n 1 y 35) 28 x 4 y n 2 z 2 21x 3 y 2 n z 5 36) 16 a 6.n b 2 3 n 2 a 3 n b 4 2 n f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios no semejantes entre sí, unidos por la suma o resta. Ejemplos a) x 1 b) 3 m2 5 c) 4 y 2 z 7 x 2 y d) 1 2 4 3 4 2 ac ac 2 4 Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios no semejantes entre sí, unidos por la suma o resta. Ejemplos a) x 2 x 1 b) 3 5m 2 n 2 5 c) 9k 2 6n 1 7 d) 4 a 7 x 2 y 7 z Polinomio Es una suma de monomios. Se le llama polinomio a la expresión formada por más de tres términos no semejantes, considerando que un binomio y un trinomio también son polinomios. Ejemplos a) x y r 4 b) x y z 1 n c) 4 y 2 7 y 7 xy 1 d) 2 x 3 4 x 3 x 7 i Ejercicios de movilización 7 A. Clasifique cada expresión algebraica en binomio, trinomio y/o polinomio. 15) xy 1) x 2 8) x 2 x 3 4 16) 4 x 2 6 5 2 m 1 2) 9) 4m n 1 7 17) 5 xy 2 6 x 2 y 10 xy 7 2 2 3) 5 y z 8 x y 10) 5ab 2 8 x 2 y 9 yz 18) 4 x 3 5 x 2 2 x 9 2 2 3 4 5 4 3 2 abc abc 4) 11) 3ab 2 ab 2 2 a 2 b 19) 5 xy 2 xy 16 x 2 y 2 3 y 3 6 20) 4 m 2 mn 7 nm 6 mn 5) 2ab ba 12) 3 xy 6 yx 3 ab 6) 16za az 1 5 x 2 25 x 2 7) 4 13) mn xy 3mn 2 2 14) y y y y 2 4 f ' GRUPO EDITORIAL 21) ab az 2 b 2 3az 2 22) 2 x 7 x 1 x 5 87 88 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos. H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Suma y resta de polinomios Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Ejemplo 1 Sumar Ejemplo 2 3 x 5 x 2 Restar 3 x 5 x 2 Primero: Se eliminan los paréntesis Primero: Se cambia de signo los términos redondos del paréntesis redondo que está 3 x 5 x 2 precedido por el signo menos Segundo: Se procede de forma análoga a la suma y resta de monomios 3 x 5 x 2 Segundo: Se procede de forma análoga a la suma y resta de monomios 3 x 5 x 2 3 x 5 x 2 4x 3 2x 7 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Sumar xy 14 y 3 x 2 y 7 xy Efectuar 4 ab b 10 a 2 b 9 a 6 a ab Primero: Se eliminan los paréntesis Primero: Se eliminan los paréntesis redondos (aplicando las propiedades de los xy 14 y 3 x y 7 xy 2 ejemplos anteriores) 4ab b 10a 2b 9a 6a ab Segundo: Se procede de forma análoga a la suma y resta de Segundo: Se procede de forma análoga a monomios la suma y resta de monomios xy 14 y 3 x 2 y 7 xy 4ab b 10a 2b 9a 6a ab 3 x 2 6 xy 13 y 3ab b 13a f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 8 A. Efectúe las siguientes sumas y restas de polinomios. n 3m 5 1) 4 x 6 x 3 17) 4m n 2) 2 x 3 x 2 18) a 1 3 a 3b 10 3) 5 m 1 5 m 11 19) x 1 x 2 y 4) a 1 3 a 3 5) 3 3 2 3 3 4 y x y x 3 5 7 5 x 1 x 1 2 2 3 3 7) x 3 2 x 3 8) 3 x 4 2 x 3 9) x 1 4 x 6 21) 3 12 xy 3 3 2 y 9 y 5 x xy 2 5 3 2 23) 6 xy x 12 4 xy 16 x 3 xy 24) 14 m 2 n 3 7 n m n 8 m 3a 2b a b a 4b 3 4 4 9 2 6 2 3 25) 7 3 3 1 3 2 y x2 4 y x 5 3 2 26) 3a 2a 5a a3 23 a 2a 2 2 2 3 x 2 2 x 5 2 x 2 3 x 1 3 7 3 2 7 2 x 1 x 1 12) 2 2 3 3 27) 13) xy 15 y 2 x y 9 xy 2 2 x 3 x 2 3 5 x 2 5 x 28) 2 4 29) ab 4a b 14) 5 ab 3 3 ab 10 a 8 3 22) 5 ab b 12 a 3b 7 a 4 a ab 11) 15) 9 y 4 x 3 y 9 x 13 3 6 2 y 9 xy 5 x y xy 2 3 5 3 2 10) 2 a 1 a 7 6 20) 6) 3 3 16) 5 m n 5 n 11 m 2 2 ab 2 a 2b ab 2 a 2b 2 4 2 3 30) 5 12 n 2, 2a m 2 f ' GRUPO EDITORIAL 2 m2 a 2m 0,5m 2 3 13 n 2 2 4 89 90 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Multiplicaciones de polinomios En la multiplicación de polinomios se utiliza la propiedad distributiva respecto a la suma, posteriormente se aplican los procedimientos para la multiplicación de monomios. I Caso: Monomio por polinomio (binomio o trinomio) Ejemplo 1 Ejemplo 2 Efectúe la multiplicación Efectúe la multiplicación 3x 2 2 x 2 1 2ab 2 2a 2b bc 4 6 Se aplica la propiedad distributiva Se aplica la propiedad distributiva respecto a la suma y obtenemos respecto a la suma y obtenemos 3x 2 2 x 2 1 2ab2 2a 2b bc 4 6 3x 2 2 x 2 3x 2 1 2ab2 2a 2b 2ab2 bc 4 2ab2 6 6 x4 4a3b3 3x 2 12ab2 2ab3c 4 Ejercicios de movilización 9 A. Efectúe las siguientes multiplicaciones de monomio por polinomio. 1) 5 x 3 x 2 1 10) 2 z 2) 21x x 2 2 11) 4 p 4 2 p 1 3) 3 x 9 16 x 12) 5 p 9 p 4) 9a 4 25a 2 3 13) 15 v 2 5) 2 a 3 5a 2 a 4 14) 2 x 3 6) 12m 7) 3a 2a 3b 4 5 8) n 9 n 3 9) 3 24m 12m 3 6 3 z 2 5 z 2 y 2 3 2 24 z 2 3 2 3 3 15) 9 y 64 5 y 2 2 17) 2 m 3m m 2 9 18) 5 ab 10 25 ab 2 f ' GRUPO EDITORIAL 20) 17 xy 4 y 3 x 2 x y 21) 2 ab 3 2 3b 2a 5ab 2 3 2 22) 9 xy 3 x x x 16) z 1 6 z 19) 7 x 3 x 4 x 5 23) 3ac 2 a b 5a b 1 3 4 24) 2m 7 m 2 4 3 2 4 3 3 3m 25) 5ab 10 a b 3ac 25ab 26) 4b 3a 2 a b 17 ab 2 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. II Caso: Binomio por binomio Ejemplo 1 Ejemplo 2 Efectúe la multiplicación Efectúe la multiplicación Se aplica la propiedad distributiva respecto a la suma y obtenemos 3a 4b 5a 6b Se aplica la propiedad distributiva respecto a la suma y obtenemos x 3 x2 4 3a 4b 5a 6b x 3 x2 4 3a 5a 6b 4b 5a 6b 3a 5a 3a 6b 4b 5a 4b 6b 15a 2 18ab 20ab 24b 2 2ab x x2 x 4 3 x2 3 4 x3 Se suma o resta los monomios semejantes 15a 2 18ab 20ab 24b 2 15a 2 x x2 4 3 x2 4 4x 3x 2 12 Se suma o resta los monomios semejantes si existen. 24b 2 Ejercicios de movilización 10 A. Efectúe las siguientes multiplicaciones de binomio por binomio. 2 3 1) 5x y 3x y 10) x 5 x 9 2) 21x 2 y x 2 y 11) y 4 y 2 3) y 3 x y 16 x 4) 9a 3b 25a b 12) 2 x 3 x 5 5) 2a a 5a a 6) 12m m 24m 2m 15) 7) 3a 5b 2a 3b 4 5a 4 p 1 2 p r 16) 8) n x 9n 3 y 5 p 9 p 3 17) 2 m 3 9) 5 p 9q p 9q 18) 5 ab 10 5 ab 10 2 2 4 3 4 2 3 3 14) 2 z 2 y 2 2 f ' GRUPO EDITORIAL 3 3 24 z 2 3 4 2 6 2 13) 9 y 6 2 y 1 4 2 3 2 2 2 2m 3 2 91 92 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. III Caso: polinomio por polinomio Ejemplo 1 Efectúe la multiplicación x 3 x 2 x 4 Se aplica la propiedad distributiva respecto a la suma y obtenemos x 3 x2 x 4 x x2 x 4 3 x2 x 4 x x2 x x x 4 3 x2 3 x 3 4 x3 4 x 3x 2 3x x2 12 Se suma o resta los monomios semejantes x3 4 x 3x 2 3x x2 x3 4x2 7x 12 12 Ejemplo 2 Efectúe la multiplicación 3a b a ac 8c Se aplica la propiedad distributiva respecto a la suma y obtenemos 3a b a ac 8c 3a a ac 8c b a ac 8c 3a a 3a ac 3a 8c b a b ac b 8c 3a 2 3a 2c 24ac ab abc 8bc Ejercicios de movilización 11 A. Efectúe las siguientes multiplicaciones de polinomio por polinomio. 1) 2) 3) x 5 x2 x 9 y 4 y3 y 2 9 y 6 2 y 3 5 y 1 2 z 1 24 z 10 z 2 5) 4 p 1 3 p 2 p 5 6) 5m 2 3m 7 m 2 4) 3 3 4 2 2 3 x y 2 x xz 8 z 3 8) 4 x y 1 3 x xz 8 z 5 9) 5 x y 2 z 3 x 5 xy y 1 10) 2 x y 3 f x xy 2 y 2 f 7) 2 3 25a 4c 5ab b 12) 2 d 3m n 5d 4 m 6 mx 2n 11) 9 a b3c 4 2 2 f ' GRUPO EDITORIAL 3 2 3 2 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Productos notables Cuando determinemos una fórmula para encontrar el área de un cuadrado, un rectángulo y otras figuras geométricas, estamos expresándolas en forma algebraica, de igual manera podemos relacionar los productos notables con figuras geométricas, como se indica en los siguientes ejemplos. Suponiendo que los números utilizados son todos positivos. Primer producto notable: a b a 2 2ab b 2 2 Justificación geométrica Analicemos el cuadrado ABCD adjunto: Primero: Recordemos que el área del cuadrado se representa por l 2 Segundo: En este caso la medida del lado del cuadrado es a b por lo tanto el área sería a b a b B A 2 a Tercero: Se suma el área de cada una de las partes a b a 2 ab ab b2 2 a b a 2 2ab b2 a2 ab ab b2 2 Cuarto: Podemos concluir que b a b a 2ab b 2 2 D C 2 Ejemplo 1: 2b n 2 4b 2 4bn n 2 Justificación geométrica Analicemos el cuadrado ABCD adjunto: Primero: Recordemos que el área del cuadrado se representa por l 2 Segundo: En este caso la medida del lado del cuadrado es 2b n por lo tanto el área sería 2b n 2b 4b 4bn n n 2 C Cuarto: Podemos concluir que 2b n 4b 2 4bn n 2 2 f ' GRUPO EDITORIAL 2b 4b 2 2bn 2bn n2 2 2b Tercero: Se suma el área de cada una de las partes 2 B A 2 4b 2 2bn 2bn n 2 n D 93 94 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 12 A. Determine la equivalencia de las siguientes expresiones algebraicas y represéntelas en forma geométrica. 1) 3a b 2) c d 3) 4m 2n 4) 2ab 3d 5) 2a 3b 6) 3a b 3cd 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 B. Efectúe las siguientes operaciones aplicando el producto notable. 1) 2x 3y 2) 9x 5 y 3) 4x y 4) 6x y 5) 10m 11n 4 2 3 5 7 2 6) 7m 15n 2 7) a b b 8) 5a b b 9) 7 b 3a b 10) 2m 9m b 2 2 8 2 6 3 4 10 5 6 7 2 3 2 8 4 2 2 6 5 7 2 2 f ' GRUPO EDITORIAL 11) 10m 2m n 12) 11 p 12 p q 13) 5x y 14) p 15) 7x 3 5 12 2 11 n 4n 2 n4 q 5 n 3 3 n 2 y 4 3 n 2 2 2 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Segundo producto notable: a b a 2 2ab b 2 2 Justificación geométrica Analicemos el cuadrado AEFG adjunto: Primero: Recordemos que el área del cuadrado se representa por l 2 Segundo: En este caso la medida del lado del cuadrado es a b por lo tanto el área sería a b Tercero: Así a b 2 a G b B A 2 es igual al área del cuadrado ABCD menos el área de los rectángulos ECDI y el rectángulo GBFI . Es decir, a a 2b a E b a b a 2 ab b a b 2 a b a 2 ab ba b 2 2 a b a 2 2ab b 2 2 F I 2 b H D ab C Cuarto: Podemos concluir que a b a 2ab b 2 2 ab 2 2 Ejemplo 1: 3a 2b 9a 2 12ab 4b 2 2 Justificación geométrica Analicemos el cuadrado AEFG adjunto: Primero: Recordemos que el área del cuadrado se representa por l 2 Segundo: En este caso la medida del lado del cuadrado es 3a 2b por lo tanto el área sería 3a 2b Tercero: Así 3a 2b 2 es igual al área del cuadrado ABCD 3aa2 2b 3a E 2b 3a 2b 3a 3a 2b 2b 3a 2b 2 3a 2b 9a 2 6ab 6ba 4b 2 2 3a 2b 9a 2 12ab 4b 2 2 C Cuarto: Podemos concluir que 3a 2b 9a 12ab 4b 2 G 2b B A 2 menos el área de los rectángulos ECDI y el rectángulo GBFI . 2 3a 2 f ' GRUPO EDITORIAL 2 ab 2 ab F I b2 D H 95 96 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 13 A. Determine la equivalencia de las siguientes expresiones algebraicas y represéntelas en forma geométrica. 1) 2a b 2) n d 3) 5m 2 n 4) 3ab 2d 5) 4a 3b 6) 2a b 3cd 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 B. Efectúe las siguientes operaciones aplicando el producto notable. 1) 3x 3 y 2) 5x 5 y 3) 2x y 4) 3 y 5) 8n 11d 2 2 3 5 7 2 6) 2m 9n 2 7) b b 8) 3a b b 9) 7b 3ab 10) 5m 2m b 2 2 8 2 6 6 4 5 6 7 2 3 2 2 8 2 6 5 7 2 2 f ' GRUPO EDITORIAL 11) 9m 2m n 12) 12 pq 9 p 13) y 3x 14) m 15) 3x 3 5 2 2 12 2 4n n 2 n 3 m5n6 3 n 2 y 43n 2 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS 97 H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Tercer producto notable: a b a b a 2 b 2 Justificación geométrica Analicemos el rectángulo ABEF adjunto: Primero: AE a b y AB a b . Recordemos que el área del rectángulo es b h Segundo: En este caso la medida de los lados del rectángulo son a b y a b por lo tanto el área sería a b a b Tercero: Así a b a b es igual al área del cuadrado A a b a b a AICH menos el área del rectángulo EGCH más el área del rectángulo IBGF . E b G C H a b a b a ab b a b a b a b a 2 ab ba b 2 a b a b a 2 b 2 2 2 F D b a Cuarto: Podemos concluir que a b a b a b B I 2 Ejemplo 1: 3a 2b 3a 2b 9a 2 4b 2 Justificación geométrica Primero: AE 3a 2b y AB 3a 2b . Recordemos que el área del rectángulo es b h Segundo: En este caso la medida de los lados del rectángulo son 3 a 2 b y 3a 2b por lo tanto el área sería 3a 2b 3a 2b Tercero: Así 3 a 2 b 3 a 2 b es igual al área del cuadrado A 3a 2b 3a 2b AICH menos el área del rectángulo EGCH más el área del rectángulo IBGF . 3a 2b 3a 2b 3a 3a2b 2b 3a 2b 9a 2 6ab 6ab 4b 2 a b a b 9a 2 4b 2 a b a b 3a E 2b G C H 2 3a Cuarto: Podemos concluir que 3a 2b 3a 2b 9a 4b 2 f ' GRUPO EDITORIAL B I 2 F D 2b 98 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 14 A. Determine la equivalencia de las siguientes expresiones algebraicas y represéntelas en forma geométrica. 1) 2a b 2a b 2) n d n d 3) 5m 2 n 5m 2n 4) 3ab 2d 3ab 2d 5) 4a 3b 4a 3b 6) 2a b 3cd 2a b 3cd 2 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B. Efectúe las siguientes operaciones aplicando el producto notable. 1) 2x 3y 2x 3y 8) 5a b b 5a b b 2) 5x 5 y 5x 5 y 9) 3) 4x y 4x y 7b 3a b 7b 3a b 4) 6 x y 6 x y 10) 2m 9m b 2m 9m b 5) 2m 3n 2m 3n 11) 10m 2m n 10m 2m n 6) 7 m 15n 7 m 15n 12) 11 p 12 p q 11 p 12 p q 7) b b b b 13) 5 x y 5 x y 14) p 2 2 2 2 6 4 10 5 4 6 10 5 f ' GRUPO EDITORIAL 6 7 2 8 6 7 4 6 3 2 5 7 3 5 12 n n4 8 4 6 3 2 3 11 4n 5 7 12 n 4n q 5 n 3 p n 4 q 5 n 3 5 2 11 CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA 99 EXPRESIONES ALGEBRAICAS H6: Reconocer monomios semejantes. H7: Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división. H8: Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos H9: Sumar, restar y multiplicar polinomios. H10: Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas. Casos de productos notables Para desarrollar expresiones algebraicas complicadas se pueden utilizar productos notables agrupándolos de distintas maneras para su aplicación. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Desarrolle la expresión 2a 3b c 2 2 2a 3b c 2a 3b c 2a 3b 2 2a 3b c c 4a 12ab 9b 4a 6b c c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4a 2 12ab 9b 2 4ac 2 6bc 2 c 4 Desarrolle la expresión 2a 3b c 2 2a 3b c 2a 3b c 2a 3b 2 2a 3b c c 4a 12ab 9b 4a 6b c c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a 2 12ab 9b 2 4ac 2 6bc 2 c 4 Ejercicios de movilización 15 A. Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas. 1) 2a 3b 2c 2 8) 3ab 2bc 7 2) 5a 2b c 9) 2a 4b 4c 3) 2a 2b 2c 10) 2a b 4b 4c 4) 2a 2b 2c 11) 2a b 2ac 4a c 5) 3a 5b 4c 12) 2a b 2ac 4a c 6) 3a 5b 4c 13) 3a b 3a b 3a b 7) 3ab 2bc 1 14) 3a b 3a b 3a b 2 2 2 2 2 2 2 f ' GRUPO EDITORIAL 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 4 2 4 2 3 3 5 5 2 2 2 2 4 100 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES Problema introductorio 1 El monte Everest (la montaña más alta del mundo) es 5413m más alto que el volcán Irazú (uno de los puntos más altos de Costa Rica). Si la suma de sus alturas es 12 283m , plantee una ecuación que permita calcular la altura de cada uno de ellos. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES Problema introductorio 2 La inflación es una situación económica en la cual se incrementa los precios de los bienes y servicios. Suponga que la gasolina aumenta la misma cantidad I de colones cada año. Si el costo de la gasolina en cierto año es C0 entonces el costo C después de t años es dado por la siguiente representación algebraica: C C 0 I t a) Solicitar a cada estudiante que plantee un problema con esta situación. b) La ecuación anterior es un modelo de costos. Un posible problema sería: si la gasolina aumenta 15% cada año, ¿cuántos colones costará al final de 5 años? c) Otra posibilidad es: si la gasolina aumenta 15% cada año, ¿cuánto tiempo será necesario para que duplique de precio? f ' GRUPO EDITORIAL 101 102 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES Problema introductorio 3 Una pintura muy famosa es la Gioconda del artista Leonardo da Vinci. Esta pintura se encuentra en el Museo de Louvre en Paris, Francia. El cuadro tiene forma rectangular y su altura es 24 centímetros más que su ancho. El perímetro del cuadro es de 260 centímetros. Calcule la altura y el ancho del cuadro. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES Problema introductorio 4 Se desea reforestar un terreno que tiene forma rectangular. Si la parte más larga excede en doscientos a el ancho y el perímetro del terreno es de 2400m . ¿Qué dimensiones tiene el terreno y cuántos árboles se pueden sembrar si se colocan a 10m uno del otro? f ' GRUPO EDITORIAL 103 104 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación. H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación. H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella. H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita. H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación Expresión algebraica Ecuación Es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones, como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o potencias. Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen datos e incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Ejemplos Ejemplos a) 2a b a) b) a b b) b y mx c) c) 2 a 2 b 2 d) b 2 4 ac e) a2 b2 f) y mx b A bh d) 3 y 2 x mx b e) 4b 7 y y mx f) b b 2 4ac 2a A h B b 2 Ejercicios de movilización 16 A. Identifique las siguientes expresiones en ecuaciones (E) y expresiones algebraicas (EA) Expresión Expresión 1) 2a 3 2) 2a 3 a 3) 2a b c 4) 2a b c 5) 2x 3 x 6) 2x 3 x 7) 2x 3 x 8) x 1 3 2x 9) 2x 2x 4 10) 2x 4 x 11) 4x 3 0 12) 3m 3 5 13) 0 4 x 3 14) x 4x 3 15) 3x 2 4 x 1 16) 3x 2 2 x 1 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES 105 H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación. H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación. H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella. H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita. H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Solución de una ecuación Al ser una ecuación una igualdad entre expresiones algebraicas, la podemos comprobar sustituyendo el número dado en la o las variables, con el fin de verificar la igualdad planteada. Ejemplo 1 Ejemplo 1 Determinar si el número 4 es solución Determinar si el número 3 es solución de la ecuación 3 x 7 de la ecuación 3x 3 5x 3 Primero: Sustituimos el valor de la " x " , Primero: Sustituimos el valor de la por el número 4 y comprobamos, que por el número 3 y comprobamos, que se mantenga la igualdad. se mantenga la igualdad. Segundo: Sustituimos, Segundo: Sustituimos, " x" , 3 3 3 5 3 3 3 x 7 3 4 7 77 9 3 15 3 6 18 Tercero: Al comprobar la igualdad Tercero: concluimos que, 4 es solución de la igualdad, concluimos que ecuación 3 x 7 solución de la ecuación 3x 3 5x 3 Al comprobarse que no existe 3 no es Nota: En el caso que no se mantenga la igualdad el número dado no es solución de la ecuación Ejercicios de movilización 17 A. Comprobar si el número dado es solución de la ecuación planteada. 1) Compruebe si el número 5 es solución de la ecuación 3 x 8 5) Determinar si el número 6 es solución de la ecuación 2x 4 3x 5 . 2) Compruebe si el número 6 es solución de la ecuación 3 x 11 6) Determinar si el número 2 es solución de la ecuación 5x 7 7 x 17 . 3) Compruebe si el número 3 es solución de la ecuación 2x 2 8 7) Determinar si el número 5 es solución de la ecuación 5x x 8x 2 . 4) Compruebe si el número 10 es solución de la ecuación 3x x 40 8) Determinar si el número 6 es solución de la ecuación 3x 2x 7 x 10 . f ' GRUPO EDITORIAL 106 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación. H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación. H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella. H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita. H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ecuaciones equivalentes Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución, podemos reducir la ecuación dada en otra ecuación equivalente aplicando operaciones en ambos lados del igual (miembros de la ecuación). Ejemplo 1 Ejemplo 2 Reducir la ecuación 4x 8 10 a la ecuación 4x 5 7 Reducir la ecuación 8x 10 4x 18 a la ecuación x 2 Primero: Le restamos 3 a ambas partes de la ecuación 4x 8 10 y obtenemos Primero: Restamos 4x y 10 en ambas partes de la ecuación 8x 10 4x 18 y obtenemos 8 x 4 x 10 10 4 x 4 x 18 10 4 x 8 3 10 3 4x 5 7 4x 8 Segundo: Comprobamos que al restar 3 en ambas partes, obtenemos la ecuación reducida 4x 5 7 Segundo: Dividimos entre 4 en ambas partes de la ecuación resultante 4x 8 y obtenemos 4x 8 4 4 x2 Tercero: Comprobamos que al restar 4 x y 10 en ambas partes, y dividir entre 4 obtenemos la ecuación reducida x 2 Ejercicios de movilización 18 A. Reduzca las siguientes ecuaciones según se le indique 1) 10x 8 10 Reducir a 10 x 2 8) 4 x 8 24 Reducir a x 4 2) 12 x 5 10 Reducir a 12 x 5 9) 10 x 5 25 Reducir a x 2 3) 4x 2x 2x 5 Reducir a 4x 5 10) 6 x 5 3x 20 Reducir a x 5 4) 7 x 5 2x 8 Reducir a 7 x 2 x 13 11) 24x 28 6x 10 Reducir a x 1 5) 4x 12 5x 10 Reducir a 4x 5x 22 12) 3x 13 6 x 4 Reducir a x 3 6) 7 x 5 2 x 10 Reducir a 5x 5 13) 4x 15 8x 23 Reducir a x 2 7) 3x 4 2x 5 Reducir a x 1 14) 5x 13 12x 8 Reducir a x 3 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación. H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación. H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella. H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita. H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Lenguaje común y algebraico Para la resolución de problemas es importante entender situaciones que se podrían manifestar en lenguaje algebraico y en lenguaje común, esto nos ayuda a plantear mejor y poder resolver cada situación. A continuación se presentan algunos casos. Lenguaje común Lenguaje algebraico a) El doble de un número a) 2x b) El doble de un número aumentado en tres b) 2x 3 c) Un numero disminuido en cuatro c) x4 d) La mitad de un número más cinco d) x 5 2 e) Un número par e) 2x f) Un número impar f) 2x 1 g) El cuadrado de un número g) x2 h) El cubo de un número h) x3 i) Dos números enteros consecutivos i) x, x 1 j) La cuarta parte de un número y su consecutivo. j) k) El quíntuplo de un número más su quinta parte. l) La edad de una persona dentro de cuatro años m) La edad de una persona hace de cuatro años x x 1 4 x k) 5x 5 l) x4 m) x4 1 x n) Un número y su inverso. n) x, o) La diferencia de dos números impares o) 2 x 3 2 x 1 p) El producto de un número con su consecutivo p) x x 1 f ' GRUPO EDITORIAL 107 108 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H11: Identificar la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación. H12: Comprobar si un número dado es solución de una ecuación. H13: Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella. H14: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita. H16: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolución de problemas Analicemos los siguientes ejemplos de problemas que se resuelven utilizando ecuaciones de primer grado. Ejemplo Una malvada bruja separó a dos lindos niños de su padre por muchos años…para que estos chicos puedan volver a estar junto a su padre deben determinar el día exacto de un mes de mayo en que la bruja aplicó el hechizo…la única pista que tienen es el siguiente problema: “La suma del cuádruplo de un número y veintiocho equivale a la diferencia de siete veces el número y cinco. ¿cuál es el número?” Primero: Pasamos a lenguaje algebraico los datos del problema: Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico Un número desconocido x El cuádruplo de un número 4x La suma del cuádruplo de un número y veintiocho 4 x 28 Equivale Siete veces el número 7x La diferencia de siete veces el número y cinco 7x 5 Segundo: Podemos utilizar el método de reducir la ecuación al máximo hasta obtener el valor de la variable " x " 4 x 28 7 x 5 4 x 28 28 7 x 7 x 5 28 7x 4 x 7 x 5 28 33 3 x 33 3 33 x 3 3 x 11 Tercero: Concluimos que el día exacto en que la bruja aplicó el hechizo fue el 11 de mayo. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 19 A. Resuelva los siguientes problemas utilizando ecuaciones de primer grado. 1) La suma del cuádruplo de un número y veintiocho equivale a la diferencia de siete veces el número y cinco. ¿cuál es el número? 2) El duplo de un número más el triple del mismo es igual a 30 . Halle el número. 3) La suma de un tercio de un número con un quinto del mismo es igual a 48 . Determine el número. 35 4) La suma de un número y tres cuartos de ese número es ¿cuál es el número? 12 5) Si a la tercera parte de un número se le suma el doble del mismo número, entonces el resultado es 35 ¿cuál es ese número? 6) Determine el número que debe restársele al numerador y al denominador de 5 17 la fracción a fin de que resulte otra fracción igual a . 3 11 7) La suma de dos números enteros consecutivos es 423 . Determine los dos números. 8) Determine tres números enteros consecutivos cuya suma sea 636 . 9) Determine los dos números consecutivos pares tal que la suma de ellos sea igual a 426 . 10) Determine tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 642 . 11) La suma de dos números enteros impares y consecutivos es 424 . Determine los dos números. 12) La suma de las edades de Melany y Edgar son 72 años. Si la edad de Edgar excede en 12 años a la edad de Melany, entonces ¿cuántos años tiene cada uno de ellos? 13) La suma de las edades de Santiago, Marielos y Rosibel son 57 años. Si la edad de Marielos es 6 años menos que Santiago y 15 años más que Rosibel. ¿Cuántos años tiene cada uno? 14) La suma de las edades de una madre y su hija es 72 años y la edad de la madre es el quíntuplo de la edad de su hija. ¿Cuál es la edad de cada una? 15) La edad actual de un padre es 3 veces la de su hijo. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo? 16) La edad de un padre es el triple de la de su hijo, dentro de 6 años será el doble. Halle la edad de cada uno. 17) Un padre tiene 48 años y su hijo 12 . ¿Hace cuántos años la edad del padre era igual a 10 veces la edad del hijo? 18) La suma de las edades de Celeste y Gustavo Adolfo son 17 años. Si la edad de Celeste excede en 5 años a la edad de Gustavo Adolfo, entonces ¿cuántos años tiene cada uno de estos niños? f ' GRUPO EDITORIAL 109 110 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA FUNCIONES Problema introductorio 1 En el año 2011 , para trasladarse en un taxi la tarifa era de ₡ 550 para el primer kilómetro ₡ 200 para cada kilómetro adicional. a) Represente mediante una tabla la cantidad de dinero a pagar por la distancia recorrida en kilómetros. Utilice como valor inicial el primer kilómetro. b) Plantee una representación algebraica que sirva de modelo para esta situación. c) Represente en un sistema de ejes cartesianos la función descrita en el problema. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA FUNCIONES Problema introductorio 2 La población de asalariados cubiertos por el seguro de salud de la Caja Costarricense de Seguro Social aparece indicada en la siguiente tabla: Año Número de asalariad os 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 726 048 727 603 754 731 770 032 800 123 842 139 896 419 972 208 1 054 497 1 038 237 1 075 528 Fuente: Programa Estado de la Nación 2011 http://www.estadonacion.or.cr/ La cantidad de asalariados A cubiertos por seguro de salud puede ser aproximada por la función A t 39 908 t 678420 , en donde t representa el año, con t 0 correspondiente al año 2000 . En este caso la gráfica correspondiente no pasa por los puntos que representan los datos de la tabla. La función anterior es un modelo lineal que aproxima los datos de la tabla. a) Represente en un sistema de ejes cartesianos la función descrita en el problema. b) ¿En qué año la cantidad de asalariados será 1500 000 aproximadamente? f ' GRUPO EDITORIAL 111 112 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA FUNCIONES H1: Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y ax b . H2: Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función lineal. H15: Relacionar una ecuación de primer grado con una incógnita de la forma ax b c con la función lineal cuya representación algebraica es y ax b . Representación de funciones Algunas situaciones de la vida cotidiana se pueden expresar por medio de una función lineal, ya sea en forma tabular, gráfica o algebraicamente ( y ax b ). Ejemplo Carlos es estudiante de octavo año y quiere comprarse un celular nuevo de última tecnología por lo que decide trabajar lavando carros en su tiempo libre, tiene ahorrado ₡ 50 000 y se gana por cada carro que lava ₡ 5 000 ¿Cuántos carros debe lavar para pagar su celular si cuesta ₡ 350 000 ? Exprese la información en forma tabular, algebraica y gráficamente. Forma tabular x : cantidad de autos y : cantidad de dinero 0 50 000 1 2 3 4 55 000 60 000 65 000 70 000 De esta forma si continuamos llenando la tabla obtendremos la cantidad de autos que se ocupa lavar para llegar a ₡ 350 000 . Forma algebraica Podemos decir que la situación planteada puede ser expresada algebraicamente en la forma y ax b . Es decir, y 5000 x 50000 (cantidad de colones es igual a cinco mil por cantidad de autos más cincuenta mil). En este caso para saber cuántos carros debe lavar para obtener ₡ 350 000 se plantea una ecuación de primer grado 350 000 5000 x 50000 , el resultado nos da que x 60 , que sería la cantidad de carros que debe lavar para obtener el dinero. Observación: el tema de resolución de ecuaciones de primer grado se aborda en este texto más adelante. Forma gráfica eje y 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 10 20 30 40 50 60 f ' GRUPO EDITORIAL eje x CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 1 A. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente los siguientes problemas. 1) Los estudiantes de octavo año realizan una campaña para ayudar a una familia de escasos recursos, si tienen 3000 colones y cada estudiante aporta 500 colones. ¿Cuánto recaudan si 13 estudiantes colaboraron? 2) Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra ₡ 10 000 por la visita, más ₡ 3000 por cada hora de trabajo. ¿Cuánto cobró si trabajo 7 horas? 3) En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm , se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm . Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente. 4) Por el alquiler de un carro cobran ₡ 20 000 diarios más ₡ 5 00 por kilómetro. Si en un día se ha hecho un total de 60 km , ¿Cuánto debe pagar en total?. 5) Una empresa adquiere una máquina por ₡ 200 000 . El valor de depreciación anual de la máquina es ₡ 20 000 ¿Cuándo el valor de la máquina será ₡ 0 ? 6) El director de un colegio analiza la matrícula de sus estudiantes. El año que se fundó, inició con 400 estudiantes. A partir de entonces la matrícula de estudiantes fue aumentando en 50 cada año. ¿Cuántos estudiantes habrá después de 15 años de su fundación?. f ' GRUPO EDITORIAL 113 114 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H1: Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y ax b . H2: Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función lineal. H15: Relacionar una ecuación de primer grado con una incógnita de la forma ax b c con la función lineal cuya representación algebraica es y ax b . Relación entre la ecuación ax b c y la función y ax b Resolver la ecuación ax b c corresponde en determinar el valor de x para el cual el valor de la variable dependiente y en y ax b sea igual a c . Este valor de x se conoce como la solución o raíz de la ecuación. Además, cuando c 0 , la solución o raíz de la ecuación ax b 0 también se conoce como cero de la función representada algebraicamente por y ax b . Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resuelva 3 x 9 0 Resuelva 2x 4 7 3x 9 0 3x 9 9 0 9 2x 4 7 2x 4 7 7 7 2x 3 0 3x 9 3x 9 3 3 x 3 R/: La raíz o solución de la ecuación es R/: En este caso reduciendo la ecuación 3 , además es un cero de la función la podemos representada ax b c ; c 0 . y 3x 9 par algebraicamente con por y c 0 . Es decir, el ordenado 3, 0 es la intersección con el eje x de la función representada y 3x 9 . algebraicamente por expresar de la forma Por lo tanto la raíz o solución de la ecuación representada algebraicamente por y 2x 3 con y c 0 , es un cero de función. Es decir, el par ordenado 3 ,0 2 es la intersección con el eje x de la función representada y 2x 3 . f ' GRUPO EDITORIAL algebraicamente por CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 20 A. Reduzca las siguientes ecuaciones a la forma ax b c ; c 0 . Determine la solución de la ecuación y el cero de la función y ax b con y c 0. gráficamente. 1) 2x 3 4 6) 2x 3 4x 1 2) 3x 4 12 7) 3x 4 12 x 2 3) 4 x 5 20 8) 4x 5 20 x 3 4) 5x 6 30 9) 3x 8 18x 5 5) 7 x 7 21 10) 7 x 9 28x 6 f ' GRUPO EDITORIAL Represente 115 116 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita. H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras. Ecuaciones de primer grado En matemáticas, la resolución de una ecuación es el problema de encontrar cuáles son los valores (números) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominar soluciones de la ecuación y se representan en un conjunto denominado conjunto solución de la ecuación. Se utilizará el método de reducción de forma simplificada. I Caso: ax c La solución se puede expresar de la forma x factor a . c , es decir, pasamos a dividir el a Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. a) 2 x 10 10 x 2 x5 b) 3 x 9 9 x 3 x 3 c) 4 x 16 3 x 16 4 3 x 12 S 3 S 5 25 4 25 x 5 4 5 x 4 d) 5 x S 12 5 S 4 Ejercicios de movilización 21 A. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 2x 4 6) 3x 18 2) 3x 12 7) 7 x 28 3) 4x 20 8) 6x 42 4) 5) 5x 30 7 x 21 9) 11) 5 x 80 2 15) 4 x 44 3 12) 3 x 27 4 16) 8 x 16 5 13) 6 x 48 5 17) 4 x 4 19 14) 5 x 55 3 18) 9 x 180 7 5x 35 10) 10x 10 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES 117 H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita. H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras. Ecuaciones de primer grado II Caso: ax b c cb , es decir, pasamos con signo a contrario el término b y calculamos, por último, pasamos a dividir el factor a . La solución se puede expresar de la forma x Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. 2 25 4 x 5 16 a) 2 x 3 10 b) 3 x 2 9 c) d) 5 x 3 4 3 2 x 10 3 3x 9 2 25 2 4 5x x 16 5 2x 7 3x 7 4 3 3 7 7 67 4 x x 5x x 11 2 3 12 3 7 67 4 x 7 x 5 x 11 S 3 12 3 2 67 33 x x 7 60 4 S 3 33 67 S S 4 60 Ejercicios de movilización 22 A. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 2x 3 4 6) 3x 8 18 2) 3x 4 12 7) 7 x 9 28 3) 4 x 5 20 8) 6x 10 42 4) 5) 5x 6 30 7 x 7 21 9) 11) 5 x 3 80 2 15) 4 x 2 44 3 3 12) 3 x 4 27 4 16) 8 x 4 16 5 5 13) 6 x 5 48 5 17) 4 x 5 4 6 19 14) 5 x 6 55 3 18) 9 x 7 180 3 7 5x 11 35 10) 10 x 12 10 f ' GRUPO EDITORIAL 118 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita. H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras. Ecuaciones de primer grado III Caso: ax b cx d Se agrupa en el miembro izquierdo de la igualdad los términos con variable, y en el miembro derecho de la igualdad los términos sin variable, teniendo cuidado de cambiar los signos al pasarlos de un miembro a otro. Por último, procedemos de forma análoga al I Caso. Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. a) 2 x 3 10 x 5 2 x 10 x 5 3 8x 2 2 8 1 x 4 x b) 3 x 2 3 x 3 3 x 3 x 3 2 0 5 En este caso como 0 5 decimos que la solución es vacía. 1 S 4 4 5 x 5 16 x 3 2 4 5 x 16 x 5 3 2 44 15 x 3 2 15 44 x 2 3 45 x 88 2 25 4 x 3 5 6 25 4 2 5x x 5 6 3 0x 0 c) d) 5x 00 En este caso como 0 0 decimos que la ecuación infinitas soluciones. 45 S 88 Ejercicios de movilización 23 A. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 2x 3 4x 1 2) 3x 4 12 x 2 3) 4x 5 20 x 3 4) 5x 6 30x 4 5) 3x 8 18x 5 6) 7 x 9 28x 6 11) 6 3 x 5 48 x 5 7 7) 6x 10 42x 7 8) 5x 11 5x 8 12) 4 x 2 44 5 x 3 3 2 9) 5 5 x 3 80 x 2 2 13) 8 x 4 16 6 x 5 5 5 10) 3 6 x 4 27 x 4 5 14) 4 x 5 4 3 x 6 19 7 f ' GRUPO EDITORIAL tiene CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES 119 H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita. H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras. Ecuaciones de primer grado IV Caso: ax (cx b ) d Se eliminan los paréntesis teniendo en cuenta que si el signo fuera del paréntesis es positivo, los términos dentro del paréntesis no cambian de signo; por el contario, si el signo fuera del paréntesis es negativo, los términos dentro del paréntesis sí cambian de signo. Por último, procedemos de forma análoga al III Caso. Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. a) 10 x 2 x 3 5 b) 9 x 3 x 2 3 10 x 2 x 3 5 10 x 2 x 5 3 12 x 2 2 x 12 1 x 6 9 x 3x 2 3 1 S 6 9 x 3x 3 2 12 x 5 x 4 5 x 5 3 2 4 5 16 x x 5 3 2 4 5 16 x x 5 3 2 44 5 x 3 2 5 44 x 2 3 15 x 15 88 S 88 c) 16 x 5 12 5 S 12 d) 25 2 3 x 5x 4 3 5 25 2 3 x 5x 4 3 5 25 3 2 x 5x 4 5 3 5 1 x 4 15 1 5 x 15 4 4 x 4 S 75 75 Ejercicios de movilización 24 A. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 4 x 2 x 3 1 2) 12 x 3 x 4 2 3) 4) 5) 42 x 6 x 10 7 10) 48 x 7) 35 x 5 x 11 8 11) 44 2 5 x 4x 3 3 2 8) 5 5 80 x x 3 2 2 12) 16 4 6 x 8x 5 5 5 9) 3 6 27 x x 4 4 5 13) 4 5 3 x 4x 19 6 7 20 x 4 x 5 3 30 x 5 x 6 4 28 x 7 x 9 6 6 3 x 5 5 7 6) f ' GRUPO EDITORIAL 120 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita. H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras. Ecuaciones de primer grado V Caso: a (bx c ) d (ex f ) con a , b, c, d , e, f Se aplica la propiedad distributiva con respecto a la suma y procedemos de forma análoga al III Caso. Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6 5 46 1 2 a) 3 4 x 5 3 2 x 3 b) 7 x 3 3 5 x c) 3 x x 2 5 3 3 7 2 7 12 x 15 6 x 9 18 8 8 3 x2 x 2 x 21 15 x 12 x 6 x 9 15 5 7 3 2 6 x 6 18 8 8 3 x x 2 2 x 15 x 21 6 5 7 3 2 x 86 2 6 39 x 17 x x 1 35 3 2 2 86 39 x x 17 3 35 2 S 1 35 39 x x 129 34 35 39 S S 129 34 Ejercicios de movilización 25 A. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 7 4x 7 8 6x 9 7) 9 3 2 x 5 6 7 x 8 4 2) 5 5 x 2 3 7 x 12 8) 7 5 3 x 17 12 4 x 12 12 3) 3 12 x 17 12 4 x 11 9) 9 6 43 7 x x 2 8 5 34 10) 15 12 3 8 x 13 7x 4 5 4 9 11) 14 2 5 9 9 x x 45 5 9 5 25 4) 15 7 x 12 3 8 x 13 5) 6) 3 8 x 5 6 9 x 11 12 11x 32 2 3 x 13 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES 121 H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita. H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras. Ecuaciones de primer grado VI Caso: ax (bx c ) dx (e x f ) Se eliminan los paréntesis teniendo en cuenta que si el signo fuera del paréntesis es positivo, los términos dentro del paréntesis no cambian de signo; por el contario, si el signo fuera del paréntesis es negativo, los términos dentro del paréntesis sí cambian de signo. Por último, procedemos de forma análoga al III Caso. Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. 1 2 3x 4 x 5 5 x 2 x 6 a) b) 7 x x 3 3 x 5 x 2 7 3x 4 x 5 5 x 2 x 6 2 1 7 x x 3 3 x 5 x 3 x 4 x 5 x 2 x 6 5 7 2 4 x 11 2 1 7 x x 3x 5 x 3 11 7 2 x 4 33 5 x 7 2 11 S 5 33 x 4 2 7 35 x 35 S 66 66 Ejercicios de movilización 26 A. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 7 x 4x 7 8x 6x 9 7) 9 3 2 x x 5 6 x 7 x 8 4 2) 5 x 5 x 2 3 x 7 x 12 8) 7 5 3 x x 17 12 x 4 x 12 12 3) 3x 12 x 17 12 x 4 x 11 9) 9 6 4 3 x 7 x x x 2 8 5 3 4 10) 15 12 3 8 x 7x x x 13 4 5 4 9 11) 1 2 5 9 4 9 x x x x 4 5 9 25 5 5 4) 15 x 7 x 12 3 x 8 x 13 5) 6) 3 x 8 x 5 6 x 9 x 11 12 x 11x 32 2 x 3 x 13 f ' GRUPO EDITORIAL 122 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita. H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras. Ecuaciones de primer grado VII Caso: x a b c d La solución se puede expresar de la forma x c b a , es decir, pasamos con signo d contrario el término a y calculamos, por último, pasamos a multiplicar el divisor c . Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. a) x 10 3 2 7 x 10 3 2 7 x 11 2 7 11 x 2 7 22 x 7 b) 22 S 7 x 9 2 3 4 x 9 2 3 4 x 17 3 4 17 x 3 4 51 x 4 c) x 16 5 4 11 x 16 5 4 11 x 39 4 11 39 x 4 11 156 x 11 d) 325 S 4 156 S 11 51 S 4 x 25 10 5 4 x 25 10 5 4 x 65 5 4 65 x 5 4 325 x 4 Ejercicios de movilización 27 A. Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 2) 3) 4) 5) x 5 4 3 6 x 1 6 4 5 x 3 7 5 2 x 10 9 6 11 x 7 14 7 12 x 18 8 8 5 x 28 9 7) 9 3 x 42 10 8) 10 21 x 35 11 9) 11 21 x 10 12 10) 12 13 6) 11) x 5 10 13 2 15) x 44 1 17 3 12) x 3 17 14 4 16) x 16 2 18 5 13) x 6 25 15 5 17) x 4 3 19 19 14) x 53 30 16 25 18) x 180 4 20 7 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ECUACIONES 123 H17: Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con una incógnita. H18: Resolver ecuaciones literales para una de las letras. Ecuaciones de primer grado VIII Caso: ax b e cx d f Multiplicamos en cruz y obtenemos el V Caso, es decir f ax b e cx d . Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. a) 4 x 5 3 2 x 3 2 2 4 x 5 3 2 x 3 b) 2 x 3 3 5x 2 7 7 2 x 3 3 5 x 2 14 x 21 15 x 6 14 x 15 x 6 21 29 x 15 15 x 29 8 x 10 6 x 9 8 x 6 x 9 10 2 x 1 1 x 2 15 S 29 1 S 2 c) 6 6 x 2 4 3 x 5 6 3 x 5 4 6 x 2 18 x 30 24 x 8 18 x 24 x 8 30 6 x 22 22 x 6 11 x 3 11 S 3 Ecuaciones literales Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras. Ejemplos Resuelva las siguientes ecuaciones literales para una de las letras indicadas. a) axm despejar x axm x ma b) mx b y despejar b mx b y b y mx f ' GRUPO EDITORIAL c) 2a x p despejar a 2a x p 2a p x px a 2 124 CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 28 A. Resuelva las siguientes ecuaciones. 2 x 3 6 1) 4 x 5 7 2) 5x 2 3 7 x 12 5 3) 12 x 17 12 4 x 11 7 4) 5) 7 x 12 4 8x 13 15 3x 12 7 7 x 5 6 8 x 5 10 9 x 11 3 11x 32 1 7) 3x 13 12 3 5 x 6 8) 4 7 x 8 x 5 6 9) 7 9 x 10 2 x 1 10) 8 9 x 11 6) Ejercicios de movilización 29 A. Despeje la variable que se le solicita en cada ecuación. 1) 0 mx b despejar x 2) ab c 3) 2a b m despejar b 11) 4) c 3b n despejar b 12) a despejar a 2a 3b 2c despejar b 4 2a 3b 2c despejar a 10) 4 9) 4a b 3 p despejar b m V f Vi t 5) ab 3 n despejar a 13) V f Vi at 6) a b c p despejar p 14) g 7) a b c despejar a 2 15) 2 gh V f 8) c a 5b despejar b 2 16) 2 gh V f V f Vi t despejar Vi despejar t despejar V f V despejar h i V despejar g f ' GRUPO EDITORIAL i Capítulo 4 Estadística y Probabilidad f' Grupo Editorial CONOCIMIENTOS Recolección de información La experimentación Interrogación Frecuencia Absoluta Porcentual Representación Tabular: cuadros de frecuencia absoluta y porcentual Gráfica: barras, circulares, lineales y diagramas de puntos Medidas de posición Moda Media aritmética Mínimo Máximo Recorrido CONOCIMIENTOS El azar Aleatoriedad Determinismo Espacio muestral Espacio muestral, puntos muéstrales y su representación. Eventos Resultados favorables a un evento Eventos simples y compuestos Evento seguro, evento probable, evento imposible Probabilidad Eventos más probables, menos probables e igualmente probables Definición clásica (o laplaciana) Reglas básicas de probabilidad La probabilidad de cualquier evento es un valor numérico entre 0 y 1. La probabilidad de un evento seguir es 1 y de un evento imposible es 0. ESTADÍSTICA HABILIDADES ESPECÍFICAS 1. Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación. 2. Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas. 3. Utilizar un software especializado o una hoja de cálculo para favorecer la construcción de cuadros y gráficos. 4. Caracterizar un grupo de datos utilizando medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido. PROBABILIDAD HABILIDADES ESPECÍFICAS 1. Identificar la presencia de azar en situaciones aleatorias. 2. Identificar diferencias entre situaciones aleatorias y deterministas. 3. Identificar el espacio muestral y sus puntos muestrales como resultados simples en una situación o experimento aleatorio y representarlos por medio de la numeración de sus elementos o de diagramas. 4. Determinar eventos y sus resultados a favor dentro de una situación aleatoria. 5. Clasificar eventos en simples o compuestos. 6. Identificar eventos seguros, probables e imposibles en una situación aleatoria determinada. 7. Diferenciar entre eventos más probables, menos probables e igualmente probables, de acuerdo con los puntos muestrales a favor de cada evento. 8. Determinar la probabilidad de un evento como la razón entre el número de resultados favorables entre el número total de resultados. 9. Valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la teoría de probabilidad. 10. Deducir las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con valores que puede tomar la probabilidad para evento seguro, probable e imposible. 11. Plantear y resolver problemas vinculados con el cálculo de probabilidades. 12. Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en problemas vinculados con fenómenos aleatorios. CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Problema introductorio 1 Identificar si existen diferencias en las estaturas entre hombres y mujeres dentro del grupo. Problema introductorio 2 ¿Cuál es el nivel de agrado que tienen las y los estudiantes por las frutas (mucho, regular, poco, nada)? ¿Hay diferencias por sexo? f ' GRUPO EDITORIAL 127 128 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN H1: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación. H2: Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas. H3: Utilizar un software especializado o una hoja de cálculo para favorecer la construcción de cuadros y gráficos. H4: Caracterizar un grupo de datos utilizando medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido. Distribución de frecuencias Es como se denomina en estadística a la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Ejemplo Las edades de 50 estudiantes de un colegio nocturno corresponden a 19 23 19 19 21 22 18 20 20 19 21 19 18 21 21 18 19 20 22 21 22 19 21 21 20 20 20 24 22 20 21 19 21 19 19 20 19 21 21 21 19 19 19 19 24 17 20 20 22 19 Distribución de frecuencia absoluta y frecuencia relativa para las edades de 50 estudiantes de un colegio Frecuencia Frecuencia Edad absoluta relativa 1 0,02 2% 17 1 50 3 0,06 6% 18 3 50 16 0,32 32% 19 16 50 10 0, 2 20% 20 10 50 12 0, 24 24% 21 12 50 5 0,1 10% 5 22 50 1 0,02 2% 23 1 50 2 0,04 4% 24 2 50 50 100% Total Observación: Se sugiere el uso de Microsoft Excel para la construcción con los estudiantes del cuadro anterior y su respectiva representación por medio de gráficos. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Ejercicios de movilización 1 A. Recolectar por medio de experimentación o interrogación la información necesaria para dar respuesta estadísticamente confiable a las siguientes preguntas. 1) ¿Cuáles son los equipos de fútbol de primera división de Costa Rica que presentan mayor y menor número de seguidores en el grupo? 2) ¿Cuáles son las materias del Colegio que presentan mayor y menor número de seguidores en el grupo? B. Construya una distribución de frecuencias absolutas y frecuencias relativas para cada uno de los siguientes problemas. (Sugerencia: para aquellos estudiantes que tengan acceso a una computadora, utilizar Microsoft Excel para la construcción de los cuadros y gráficos estadísticos que permitan visualizar mejor la información resumida) 1) Las edades de 40 estudiantes universitarios que practican baloncesto de corresponden a 20 21 20 21 2) 24 23 21 20 20 22 20 22 20 23 22 22 22 20 22 21 23 22 22 20 19 22 20 22 21 21 20 20 22 21 20 23 20 21 20 20 Una constructora entrevista a sus clientes para realizar la distribución de los apartamentos que dispone, para lo cual solicita a cada uno de los clientes le informen cuál es su preferencia respecto al piso (nivel) en el que les gustaría que estuviera su apartamento. Las respuestas se muestran a continuación. 21 1 3 6 7 7 12 12 20 3 5 8 8 7 11 10 22 5 9 10 9 6 12 7 22 7 11 12 10 1 9 7 21 9 11 1 11 8 8 1 20 11 7 2 12 9 1 2 f ' GRUPO EDITORIAL 22 12 7 3 11 11 1 2 20 12 8 4 10 11 3 2 23 12 2 5 9 12 4 3 20 11 4 6 8 12 5 3 129 130 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 3) Estudiantes de un colegio dieron un paseo en patineta, salieron del parque rumbo a dicha institución, la velocidad en kilómetros por hora de cada estudiante se describe a continuación. 22 23 21 21 22 22 21 25 25 25 23 24 21 22 25 25 25 22 21 23 21 22 25 21 22 23 24 25 21 22 23 24 25 25 21 21 26 22 23 23 26 26 21 21 24 26 21 21 26 23 23 26 24 24 23 4) La siguiente lista contiene el número de horas que las familias representadas por estudiantes de un Colegio invierten en ver televisión por semana. 5) 8 11 11 11 10 13 14 7 13 8 14 7 9 10 8 7 9 10 11 12 9 12 11 8 10 9 12 12 12 9 10 13 13 10 7 10 14 11 13 9 11 12 14 8 12 9 7 11 14 12 13 14 7 11 12 12 13 8 La siguiente lista contiene el resultado de consultar a un grupo de estudiantes la cantidad de veces que accedan a una red social por internet durante una semana. 12 14 15 17 6) 14 16 16 15 17 15 12 15 13 17 19 13 20 13 18 14 16 12 15 14 17 12 20 12 18 17 12 16 12 13 14 12 12 15 18 El número de páginas de los libros de una biblioteca de un hogar se muestran a continuación. 151 141 226 151 351 226 201 201 151 226 311 311 351 201 226 171 171 251 201 151 311 371 371 251 f ' GRUPO EDITORIAL 251 226 151 371 251 251 226 226 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN H1: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación. H2: Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas. H3: Utilizar un software especializado o una hoja de cálculo para favorecer la construcción de cuadros y gráficos. H4: Caracterizar un grupo de datos utilizando medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido. Medidas de resumen Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. La moda Se expresa con el símbolo M o y es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. Por tanto, puede existir varias modas o no existir ninguna moda en los datos. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Determine la moda de las siguientes temperaturas en una ciudad durante una semana 13° , 14° , 14° , 15° , 16° , Determine la moda de las siguientes temperaturas en una ciudad durante una semana 13° , 14° , 18° , 21° , 23° , 24° , 28° . M o : no existe 12° , 14° M o 14 La media aritmética Datos sin agrupar xi x n Datos agrupados xi ni x n Ejemplo Ejemplo Calcule el promedio (media aritmética) de las siguientes temperaturas 13° , 14° , Determine el promedio (media aritmética) de hijos por padre de familia. 18° , 21° , 23° , 24° , 28° , 29° . x Número de hijos Frecuencia absoluta 1 2 4 x i n 13 14 18 21 23 24 28 29 x 8 x 21, 25 3 4 x 6 5 3 x n i i n 1 4 2 6 3 5 4 3 x 18 x 2, 39 f ' GRUPO EDITORIAL 131 132 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Ejercicios de movilización 2 A. Considere la información que se presenta a continuación y determine el promedio (media aritmética) y la moda para cada uno de los ejercicios. 1) Las temperaturas registradas durante una semana en una provincia son 13° , 17° , 20° , 22° , 24° , 27° , 28° . 2) Los pesos en kilogramos de 7 niños son 39, 40, 45, 47, 44, 43, 42 . 3) Las notas obtenidas por 7 estudiantes en un examen son 95, 89, 80, 71, 84, 89, 80 . 4) La estatura en metros de 5 jóvenes de un colegio son 1, 61; 1, 64; 1 , 62; 1, 65; 1, 60 . 5) El número de horas que había dormido un estudiante en los últimos días fue 9, 7, 7, 8, 10, 5, 7, 4, 8, 8 . 6) La cantidad de minutos que tardó un grupo de estudiantes en realizar una prueba fue 7) 28, 30, 32, 31, 34, 30, 28, 32, 31, 30, 31, 28 . Las notas obtenidas por un grupo de estudiantes fue 90 85 60 65 70 65 70 90 90 85 100 75 90 70 85 90 68 70 60 70 95 8) 60 60 90 70 85 65 75 75 85 Resultado de una encuesta a padres de familia: Número de hijos Frecuencia absoluta 1 2 4 3 4 9) 6 5 3 Los libros de una pequeña biblioteca y sus respectivas páginas. Número de páginas 110 120 130 140 150 Frecuencia absoluta 2 10 11 7 6 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN H1: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación. H2: Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas. H3: Utilizar un software especializado o una hoja de cálculo para favorecer la construcción de cuadros y gráficos. H4: Caracterizar un grupo de datos utilizando medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido. Máximo, mínimo y recorrido En estadística descriptiva se denomina rango estadístico R o recorrido estadístico al intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo de la variable; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto. Ejemplo 1 Determine el máximo, el mínimo y recorrido de las notas de los estudiantes. Nota 71 73 75 77 79 81 86 91 93 94 Número de estudiantes 2 2 3 7 8 18 16 10 2 2 Máximo: 94 Mínimo: 71 Recorrido: R 94 71 R 23 Ejercicios de movilización 3 A. Determine el máximo, el mínimo y el recorrido de los datos para cada uno de los ejercicios. 1) El número de horas que había dormido un estudiante en los últimos días fue 9, 7, 7, 8, 10, 5, 7, 4, 8, 8. 2) Las temperaturas registradas durante una semana en una provincia son 13° , 17° , 20° , 22° , 24° , 27° , 28° . 3) Los pesos en kilogramos de 6 4) Las notas obtenidas por niños son 40, 45, 47, 44, 43, 42 . 7 estudiantes en un examen son 95, 89, 80, 71, 84, 89, 80 . 5) La cantidad de minutos que tardó un grupo de estudiantes en realizar una prueba fue 28, 30, 32, 31, 34, 30, 28, 32, 31, 30, 31, 28 . f ' GRUPO EDITORIAL 133 134 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 6) La estatura en metros de 5 jóvenes de un colegio son 1, 61; 1 , 64; 1, 62; 1, 65; 1 , 60 . 7) Resultado de una encuesta a padres de familia: 8) 9) Número de hijos Frecuencia absoluta 1 2 4 6 3 5 4 3 Los libros de una pequeña biblioteca y sus respectivas páginas. Número de páginas 110 Frecuencia absoluta 120 10 130 11 140 7 150 6 2 Puntuaciones de 1 a 10 , obtenidos por un grupo de atletas. Puntuación 3 Frecuencia absoluta 4 4 4 5 6 6 14 7 5 8 7 9 16 10 10 f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EL AZAR Problema introductorio 1 Discuta junto con sus compañeros ¿cuáles de las siguientes opciones representan situaciones deterministas y cuáles representan situaciones aleatorias?, argumente las razones por la que clasifica cada situación. 1) ¿En qué día de la semana nació el profesor de Matemáticas? 2) ¿Qué día de la semana será pasado mañana? 3) El próximo bebé que nazca en el Hospital de la Mujer será una mujer. 4) Identificar el lugar exacto donde caerá una piedra al lanzarla fuertemente hacia arriba. 5) Sacar una bola negra de una caja que contiene cinco bolas negras. 6) En el próximo año lloverá menos en el mes de agosto que en el presente año. 7) Determinar el ganador en el juego “Zapatito cochinito cambia de piecito”. f ' GRUPO EDITORIAL 135 136 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EL AZAR H1: Identificar la presencia del azar en situaciones aleatorias. H2: Identificar diferencias entre situaciones aleatorias y deterministas. H3: Identificar el espacio muestral y sus puntos muestrales como resultados simples en una situación o experimento aleatorio y representarlos por medio de la numeración de sus elementos o de diagramas. H4: Determinar eventos y sus resultados a favor dentro de una situación aleatoria. H5: Clasificar eventos en simples o compuestos. H6: Identificar eventos seguros, probables e imposibles en una situación aleatoria determinada. Situaciones aleatorias Son aquellas situaciones en donde no se sabe con seguridad lo que va a pasar. Estos sucesos dependen del azar. Ejemplos Al lanzar una moneda al aire, se ignora si saldrá escudo o corona. b) Al lanzar un dado al aire, no se sabe qué número saldrá. c) Al jugar la lotería, se ignora qué número saldrá. a) Situaciones deterministas Son los hechos o sucesos que ocurren con seguridad. En ellos se conoce de antemano, con certeza, el resultado. Ejemplos a) En horas, después de las 5 : 00 pm son las 6 : 00 pm . Después de la noche sigue el día. c) En días lectivos, ir el jueves al Colegio. b) Ejercicios de movilización 4 A. ¿Cuáles de las siguientes opciones representan situaciones deterministas y cuáles representan situaciones aleatorias?, Justifique con argumentos. 1) ¿Qué día de la semana será pasado mañana? 2) ¿Cuántas rosas dará el rosal este verano? 3) Al lanzar una moneda, ¿saldrá escudo o corona? 4) Para un pescador, ¿Cuándo picará un pez el anzuelo? 5) ¿Quién ganará el partido entre Saprissa y Alajuelense? 6) ¿Lloverá la semana entrante? 7) ¿Será de noche a las tres de la madrugada? 8) ¿Saldrá un As al extraer una carta de la baraja? 9) ¿Quién será el presidente de Costa Rica en el 2018? f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ESPACIO MUESTRAL Problema Considere un juego en el que se lanza una moneda tres veces. Determine todos los posibles resultados del experimento. Para identificar cada resultado puede emplear terna de datos, por ejemplo, ECC significa que se obtuvo escudo en el primer lanzamiento y corona en los otros dos. f ' GRUPO EDITORIAL 137 138 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ESPACIO MUESTRAL H1: Identificar la presencia del azar en situaciones aleatorias. H2: Identificar diferencias entre situaciones aleatorias y deterministas. H3: Identificar el espacio muestral y sus puntos muestrales como resultados simples en una situación o experimento aleatorio y representarlos por medio de la numeración de sus elementos o de diagramas. H4: Determinar eventos y sus resultados a favor dentro de una situación aleatoria. H5: Clasificar eventos en simples o compuestos. H6: Identificar eventos seguros, probables e imposibles en una situación aleatoria determinada. Espacio muestral Espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles. Se simboliza con la letra E . Los elementos que lo forman se escriben entre llaves: Ejemplo Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Por tanto: E 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ejercicios de movilización 5 A. Determinar el espacio muestral y sus puntos muestrales (resultados simples) para cada una de las situaciones que se exponen a continuación: 1) Considere un juego en el que se lanza una moneda una vez. 2) Considere un juego en el que se lanza una moneda dos veces. 3) Considere un juego en el que se lanza una moneda cuatro veces. 4) Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una figura tridimensional al azar de una bolsa compuesta por cinco tarjetas con distintas figuras (pirámide, cilindro, prisma, cubo y esfera) 5) Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una bola al azar de una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde. 6) Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con las caras enumeradas con los primeros seis números pares. 7) Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado dos veces. 8) Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado tres veces. 9) Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer dos bolas al azar de una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EVENTOS Problema Las agrupaciones de puntos muestrales en un determinado espacio muestral se llaman eventos o sucesos. Considere nuevamente el juego en el que se lanza una moneda tres veces. Determine los resultados simples o puntos muestrales a favor de cada uno de los siguientes eventos: 1) Obtener al menos un escudo (un escudo o más). 2) Obtener tres coronas. 3) Obtener menos de dos coronas. Identifique los puntos muestrales que incluye cada uno de los siguientes eventos: 1) Obtener más de tres escudos. 2) Obtener tres o menos coronas. De acuerdo con las posibilidades de ocurrencia de los eventos 1), 2), 3), 4) y 5) anteriores, determine: 1) ¿Cuál o cuáles se pueden considerar como situaciones deterministas o seguras? 2) ¿Cuál o cuáles se pueden considerar imposibles? f ' GRUPO EDITORIAL 139 140 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EVENTOS H1: Identificar la presencia del azar en situaciones aleatorias. H2: Identificar diferencias entre situaciones aleatorias y deterministas. H3: Identificar el espacio muestral y sus puntos muestrales como resultados simples en una situación o experimento aleatorio y representarlos por medio de la numeración de sus elementos o de diagramas. H4: Determinar eventos y sus resultados a favor dentro de una situación aleatoria. H5: Clasificar eventos en simples o compuestos. H6: Identificar eventos seguros, probables e imposibles en una situación aleatoria determinada. Eventos y su clasificación Es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Evento simple Evento compuesto Es un subconjunto del espacio Se llaman eventos compuestos los que muestral que contiene un único se forman combinando varios eventos elemento. simples. Evento seguro Evento probable Evento imposible Es aquel que tiene Es aquel que tiene al Es aquel que no tiene un todos los posibles menos un posible posible resultado. resultados. resultado Ejemplo 1 Se lanza un dado y se anotan sus respectivos resultados Evento simple Evento compuesto Que el resultado sea par Que el resultado sea par y mayor que 3 Evento seguro Evento probable Evento imposible Que el resultado sea Que el resultado sea 6 Que el resultado sea menor o igual a 6 mayor que 6 Ejercicios de movilización 6 Determinar un evento simple, un evento compuesto, un evento seguro, un evento probable y un evento imposible para cada una de las situaciones que se presentan en el Trabajo cotidiano 4. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD Problema introductorio 1 Un juego trata de hacer caer una piedra sobre una figura geométrica desde una distancia de 5 metros. Las figuras geométricas son: un círculo de diámetro 20 cm , un cuadrado de 20 cm de lado y un triángulo equilátero de 20 cm de lado. Si la piedra puede caer aleatoriamente en cualquier lugar, ¿en cuál figura tiene más probabilidad de que caiga la piedra? f ' GRUPO EDITORIAL 141 142 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD Problema introductorio 2 Al lanzar dos dados Cindy y Karla realizan el siguiente juego: Cindy gana si la suma de los puntos es 2, 3, 4, 5, 10, 11 y 12, mientras que Karla gana si la suma de los puntos es 6, 7 , 8 o 9. Karla reclama que al tocarle menos números Cindy va a ganar el mayor número de veces; no obstante, proceden a jugar. Después de jugar 20 veces, Cindy únicamente ha ganado en 7 oportunidades. De acuerdo con lo anterior, responda las siguientes interrogantes. a) Para un juego particular, es decir un lanzamiento de los dados, ¿cuántos puntos tiene el espacio muestral? Se considera punto muestral un resultado simple al lanzar los dados, por ejemplo ( 3,5 ) significa que en el primer dado se obtuvo un tres y en el segundo un cinco. b) ¿Serán los puntos muestrales igualmente probables?¿O existe duda de que unos resultados son más probables que otros? c) ¿Cuántos puntos muestrales están a favor del evento A: Cindy gana el juego y del evento B: Karla gana el juego? d) Determine la proporción de resultados a favor del evento A (es decir la razón entre el número de resultados a favor de A entre el total de resultados) y la proporción de resultados a favor de B. Con base en estos valores indique quién tiene más probabilidad de ganar, Cindy o Karla. e) ¿A qué conclusiones se llega respecto a la inquietud planteada por Karla, sobre que Cindy tiene más probabilidad de ganar el juego porque se le asignaron más números? f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD H7: Diferenciar entre eventos más probables, menos probables e igualmente probables, de acuerdo con los puntos muestrales a favor de cada evento. H8: Determinar la probabilidad de un evento como la razón entre el número de resultados favorables entre el número total de resultados. H9: Valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la teoría de probabilidad. H10: Deducir las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con valores que puede tomar la probabilidad para evento seguro, probable e imposible. H11: Plantear y resolver problemas vinculados con el cálculo de probabilidades. H12: Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en problemas vinculados con fenómenos aleatorios. Probabilidad de un evento Ejemplo 1 Se lanza un dado y se anotan sus respectivos resultados. De los siguientes eventos, ¿cuál es más probable y cuál menos probable?, ¿cuáles son igualmente probables? Evento A Evento B Evento C Que el resultado sea un Que el resultado sea 6 Que el resultado sea un número impar número par Puntos muestrales o resultados simples Evento A Evento B Evento C 2, 4, 6 6 1, 3, 5 Por tanto: 1) El evento A es igualmente probable que el evento C. 2) El evento B es menos probable que el evento C. 3) El evento A es más probable que el evento B. Probabilidad de un evento La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n . h p P S n Ejemplo 2 Considere el ejemplo anterior y determine para cada uno de los eventos estudiados su respectiva probabilidad. Evento A Evento B Evento C Que el resultado sea un número par h 3 1 P par n 6 2 Que el resultado sea 6 h 1 P 6 n 6 Que el resultado sea un número impar h 3 1 P impar n 6 2 Observación: Para valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la probabilidad, se puede mencionar el rol de Laplace en la definición clásica del concepto de probabilidad. f ' GRUPO EDITORIAL 143 144 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Ejercicios de movilización 7 A. Para cada uno de las siguientes situaciones, determine los puntos muestrales o resultados simples de cada evento. 1) Al levantar una ficha de dominó se obtenga, un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4 . 2) Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. a) Evento A: Que salga el 7 . b) Evento B: Que sea par. c) Evento C: Que sea múltiplo de tres. 3) Se lanzan tres dados. a) Evento A: Obtener un b) 6 en todos. c) Evento B: Los puntos obtenidos sumen 7 . 4) Al lanzar un dado al aire. a) Evento A: Un número par. b) Evento B: Un múltiplo de tres. c) Evento C: Mayor que cuatro. 5) Se extrae una bola al azar de una urna que tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla y siete verdes. a) Evento A: Que sea roja. b) Evento B: Que sea verde. c) Evento C: Que sea amarilla. d) Evento D: Que no sea roja. e) Evento E: Que no sea amarilla. 6) Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras. a) Evento A: Que la bola sea roja o blanca. b) Evento B: Que la bola no sea blanca. B. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve. C. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral si se extraen las dos bolas: a) Con remplazo. b) Sin remplazo. f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD Problema introductorio 1 Considere el juego en el que se lanzan dos dados numerados de uno a seis. Se considera la diferencia absoluta entre los resultados de los dados. Determine: 1) El número de puntos muestrales vinculados con el evento A: obtener un número menor de seis. 2) El número de puntos muestrales vinculados con el evento B: el resultado es cero. 3) El número de puntos muestrales a favor del evento C: obtener un seis. 4) ¿Cuál de los posibles resultados de la diferencia absoluta de puntos es el más probable? Con base en los resultados de este ejercicio responda: 5) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia de los eventos A, B o C citados anteriormente? 6) En general, ¿cuál es la probabilidad de un evento seguro? 7) En general, ¿cuál es la probabilidad de un evento imposible? 8) Para un evento que resulta probable, ¿en qué rango numérico se puede decir que se encuentra su valor probabilístico? f ' GRUPO EDITORIAL 145 146 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD Problema introductorio 2 Se realiza una encuesta una semana antes de realizar las elecciones en un Colegio para conocer la intención del voto, para ello se seleccionó una muestra de 10 estudiantes por nivel. Los resultados se presentan en el siguiente cuadro: Intención de voto para las elecciones estudiantiles de una muestra de 10 estudiantes por nivel Nivel Candidatos A B C Séptimo 4 3 3 Octavo 2 5 3 Noveno 6 2 2 Décimo 1 5 4 Undécimo 0 0 10 Total 13 15 22 Se sigue el supuesto de que la muestra es representativa de la población total de estudiantes y de cada uno de los niveles. Además, la intención de voto se mantendrá para la elección. De acuerdo con esta información responda las siguientes interrogantes: a) ¿Cuál candidato tendría una mayor probabilidad de ganar las elecciones? b) ¿Cuál o cuáles candidatos tendrían mayor probabilidad de ganar las elecciones si únicamente votaran estudiantes del Tercer Ciclo? f ' GRUPO EDITORIAL CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD H7: Diferenciar entre eventos más probables, menos probables e igualmente probables, de acuerdo con los puntos muestrales a favor de cada evento. H8: Determinar la probabilidad de un evento como la razón entre el número de resultados favorables entre el número total de resultados. H9: Valorar la importancia de la historia en el desarrollo de la teoría de probabilidad. H10: Deducir las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con valores que puede tomar la probabilidad para evento seguro, probable e imposible. H11: Plantear y resolver problemas vinculados con el cálculo de probabilidades. H12: Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en problemas vinculados con fenómenos aleatorios. Propiedades de las probabilidades Propiedad 1: La probabilidad es un número (valor) que varía entre 0 y 1. Propiedad 2: Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0 . Propiedad 3: Si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1. Ejercicios de movilización 8 A. Hallar la probabilidad de que al levantar una ficha de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4 . B. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos, determine: 1) La probabilidad de que salga el 7 . 2) La probabilidad de que el número obtenido sea par. 3) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres. C. Se lanzan tres dados, determine la probabilidad de: 1) Obtener un 6 en todos. 2) Los puntos obtenidos sumen 7 . D. Determine la probabilidad de que al lanzar un dado al aire, salga: 1) Un número par. 2) Un múltiplo de tres. 3) Mayor que cuatro. E. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: 1) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. 2) La primera bola no se devuelve f ' GRUPO EDITORIAL 147 148 CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F. Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla y siete verdes. Si se extrae una al azar, determine la probabilidad de que: 1) Sea roja. 2) Sea verde. 3) Sea amarilla. 4) No sea roja. 5) No sea amarilla. G. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de: 1) Extraer las dos bolas con remplazo. 2) Sin remplazo. H. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? I. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta: 1) Sea hombre. 2) Sea mujer morena. 3) Sea hombre o mujer. f ' GRUPO EDITORIAL Capítulo 5 Respuestas f' Grupo Editorial 150 CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 1 Parte A 1) 14 ℎ ,7 í 45250 28km 250 5000000 a cada uno 7) 5 8) 20h 9) 4.5 tazas 10) 100 000 Ejercicios de movilización 2 Parte A 1) 6.5 2) 3.5 3) 7 4) 3. 3 5) 4. 6 6) 12. 3 7) 0.71… 8) 4.75 9) 3.14… 10) 4.2 11) 0.4 12) 0.42… 13) 0.83 14) 2.2 15) 9 16) 2.85… 17) 2.125 18) 1.8 19) 2.1 20) 5.23… Parte B 1) E 2) E 3) E 4) E 5) E 6) P 7) P 8) P 9) P 2) 3) 4) 5) 6) 10) E 11) E 12) P 13) INFINITA 14) INFINITA 15) P 16) P 17) INFINITA 18) INFINITA 19) INFINITA 20) P Ejercicios de movilización 3 Parte A 1) el doble 2) Falta un octavo de Harina 3) Parte B 7.5 7 14) 1) 7) 15) 2) 8) 16) 3) 9) 17) 4) 10) 2) 18) 5) 11) Ejercicios de movilización 5 Parte A 1) 6) 12) 2) 10) 3) 11) 4) 5) 12) − 6) 14) 7) 15) 8) 16) 9) − 17) 19) 19) 11) − 8 3 3 3 3) 4) 5) 6) 7) 8) −1 9) 10) 11) 1 15 2 2 1 9 5) 2.25 2 4 4 1 11 6) 5.5 5 2 2 2 17 7) 5.666 5 3 3 3 45 8) 0.01… 6 7 7 5 45 9) 5.625 5 8 8 3 38 10) 7.6 7 5 5 4 9 11) 1.8 1 5 5 2 12 12) 2.4 2 5 5 1 11 13) 5.5 5 2 2 1 13 14) 6.5 6 2 2 6 27 15) 3.85 3 7 7 3 87 16) 29 12 7 3 1 5 17) 1.25 1 4 4 Parte C Usar la calculadora para determinar la representación decimal y poder así realizar las representaciones en la recta numérica. 4) Ejercicios de movilización 4 Parte A 1) 12) 13) −10 14) 15) 16) Parte B 7) 8) 9) 13) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 10) − 18) 20) 20) 12) − 13) 21) Parte C 1) 14 21) 14) 22) 3) 15) 23) 4) 16) 24) 5) 17) 25) 6) 18) 26) 7) 19) Ejercicios de movilización 7 Parte A 1) 8) 23) 2) 12) 24) − 3) 13) 4) 14) Ejercicios de movilización 6 Parte B 5) 15) 6) 16) 17) −1 18) Parte B 1) 2) 3) 10.2 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 20) 21) 22) − 25) − f ' GRUPO EDITORIAL 12) 2) 9) 10) 11) CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 1: NÚMEROS 6) 25) Ejercicios de movilización 10 Parte A 1) 20) 26) 2) 9) 21) 27) 3) 10) 22) 28) 4) 11) 23) 29) 5) 12) 24) Ejercicios de movilización 9 Parte A 1) 6) 2) 10) 3) 11) 6) 7) 44 8) 1350 9) 13 4) 12) 7) 11) 5) 13) 8) 6) 14) 9) 7) 15) 10) 8) 16) 9) 17) 10) 18) 4 17) 23) 18) 24) 19) 25) 26) 27) Ejercicios de movilización 8 Parte A 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 125 7) 8) 9) 23) 15) 24) 16) (cambiar 47 por 49 en el ejercicio) 17) 18) 25) 19) Ejercicios de movilización 11 Parte A 1) 20) 21) 2) 22) 3) 23) 24) (resolver con raíz cuadrada) 4) 5) 3) 1ℎ 4) 1) 5) 2) −1 3) 3 4) −2 6) 10) 12) 22) 14) 2) 11) −4 21) 13) 8) 5) 20) 12) 7) Parte B 19) −5 11) Ejercicios de movilización 13 Parte A Trabajo independiente del estudiante Parte B 1) 13) −4 14) 0 15) 14 Ejercicios de movilización 12 Parte A 1) 1000.5 2) 14000m 3) 2400 4) 1400 5) 5250 Parte B 1) 2000.75 2) 9250m 3) 186kg 4) 1082.3g 5) 5430 Parte C 1) 2250.82 2) 6787m 3) 53889 4) 3556.375 5) 1557,5 y 7787,5 25) f ' GRUPO EDITORIAL 151 152 CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Ejercicios de movilización 1 Parte A Trabajo independiente del estudiante Parte B Trabajo independiente del estudiante Ejercicios de movilización 2 Parte A Ángulos homólogos < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ Segmentos homólogos ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ Parte B Ángulos homólogos < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ < < ′ Segmentos homólogos ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′, ′ ′ Parte B 1) Sí 2) Semejantes 3) Varían las medidas de los segmentos y el área, pero se conserva la proporción. Parte C 1) La razón no varía pero la medida sí. 2) Se mantiene semejante. 3) Los ángulos son iguales. Parte D 1) La posición del triángulo varía pero es la misma medida. 2) 1 3) 1 4) Sí Parte E Trabajo independiente del estudiante Ejercicios de movilización 5 Parte A 1) Razón es k=4 L.L.L ∆ ~∆ 2) Razón es k=4 L.L.L ∆ ~∆ 3) NO 4) L.A.L. ~∆ 5) NO 6) A.A.A ~∆ 7) A.A.A ~∆ 8) A.A.A ~∆ 9) L.A.L ~∆ Ejercicios de movilización 6 Parte A 1) L.L.L 2) L.A.L 3) A.L.A 4) L.L.L 5) L.A.L 6) A.L.A 7) L.L.L 8) L.A.L 9) A.L.A 10) L.L.L 11) A.L.A 12) L.A.L 13) L.L.L Parte B 1) L.L.L, ∆ ≅∆ 2) L.A.L, ∆ ≅ ∆ 3) A.L.A, ∆ ≅ ∆ 4) NO 5) L.A.L, ∆ ≅ ∆ 6) A.L.A, ∆ ≅ ∆ 7) L.L.L, ∆ ≅∆ 8) L.A.L, ∆ ≅ ∆ 9) A.L.A, ∆ ≅ ∆ Ejercicios de movilización 7 Parte A 1) 126m 2) 28.2m 3) 5.68m 4) 195.88 Ejercicios de movilización 3 Parte A Todas Parte B 2Y3 5Y7 1Y5 Ejercicios de movilización 4 Parte A Trabajo independiente del estudiante Parte B 1) D 2) A 3) B 4) A 5) C 6) D 7) A 8) A 9) C 10) A Ejercicios de movilización 8 Parte A 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Ejercicios de movilización 9 Parte A 1) 8 2) 3) 4) 5) 32 6) 74 7) 8) 29 f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA Parte B = 14 = 12 2) = 22 = 18 = 16 3) =8 = 7, =9 4) = 15 = 13 = 13 5) =5 =8 6) =7 =6 =8 7) = 28 = 20 = 24 8) = 10 =9 = 12 Ejercicios de movilización 10 Parte A 1) Base: DBC, Caras laterales: DAB, BAC, CAD, Altura: EA, Apotema: AF Ápice: A. 2) Base: DCBA, Caras laterales: ADE, DCE, CEB, ABE, Altura: FE, Apotema: EG, Ápice E. 3) Base: GFED, Caras laterales: FGB, GBD, DEB, EFB, Altura: EA, Apotema BC, Ápice B. 1) Parte B 1) Caras laterales: 2) 3) DBC, EAF Bases: ABDE, Altura: de F al punto medio de AE. Caras laterales: ABCD, DFGC, GFEH, HEAB, Bases: GHBC, FEAD, Altura: DC. Caras laterales: BAGC,CDEG, DEFH, BHF, Bases: AGEF, BCDH, Altura: AB. Parte C 1) Sí, 2) Triángulo, prisma Parte D 1) No, 2) Sí, 3) Sí, 4) Rectángulo, cuadrado, prisma Parte E 1) No, 2) Sí, 3) Sí, 4) Rectángulo, cuadrado, prisma Parte F 1) No, 2) Sí, 3) Sí, 4) Rectángulo, cuadrado, prisma Parte G 1) No, 2) Sí, 3) No, 4) Rectángulo, prisma f ' GRUPO EDITORIAL 153 154 CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 1 Parte A 1) Estud io 3000 8 7000 1 2 3 4 5 6 7 3500 9 7500 4000 10 8000 4500 11 8500 5000 12 9000 5500 13 9500 6000 65000 = 3000 + La función es Graficar Ejercicios de movilización 2 Parte A Trabajo independiente del estudiante 1) 3 2) 8 3) 10 ∙ 500 Parte B 4) 2) 1 13000 La función es Graficar 2 16000 3 19000 4 22000 5 25000 6 28000 7 31000 = 10000 + 300 3) Cada semana 0,5 La función es = 2 + 0,5 Graficar 5) 10 6) 7) n es el número de semanas 8) 2 1) ( ) 4) La función es = 20000 + 500 y=20000+500*60=50000 Graficar 2) 3) ( ) 4) 5) 0 200000 1 180000 La función es Graficar 2 160000 3 140000 4 120000 5 100000 = 200000 − 20000 n =año 2 500 10 900 3 550 11 950 7 750 15 1150 La función es Graficar 4 600 12 1000 = 400 + 50 5 650 13 1050 6 700 14 1100 x =año 105) 0 6) ( ) 7) 6) 1 450 9 850 …. 8 800 8) Parte C Trabajo independiente del estudiante Ejercicios de movilización 3 Parte A 1) -18 2) 6 3) 384 4) 216 5) 3456 6) 5 7) 72 8) 819 9) 4 10) 36 11) 256 12) -180 f ' GRUPO EDITORIAL 13) 14) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Parte B 30 100 40cm 150 112cm 40 26m 8) 9) 144 10) 24 Ejercicios de movilización 4 Parte A EA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 FN 3 4 9 2 -15 125 6 8 12 2 5 2 15 10 18 -1/6 1 -1 9/2 4/3 2 5/4 2/5 3/4 1849/ 5 3 2 FL m ℎ xy x mn m xy CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 5 Parte A 1) 8x 2) 15y 3) 5a 4) 22xy 5) 24yz 6) 15ab 7) 13 8) 23xz 9) 8ab 10) -3xy 11) -22b 12) -6z 13) -2y 14) x 15) y 7) −20 8) −36 9) −3 10) 12 11) − 12) −4 13) −21 12) Binomio 13) Binomio 14) Binomio 15) Monomio 16) Binomio 17) Trinomio 18) Polinomio 19) Polinomio 20) Monomio 21) Trinomio 22) Monomio Ejercicios de movilización 8 Parte A 1) -3x+9 2) –x-1 3) -10 4) 4a+4 14) 15) 16) 17) 20 18) 19) 20) 4 21) 2 22) 5) − 6) − 16) 23) 17) 2 24) 18) 25) 19) 26) 11) 27) 12) 28) 13) -8yx-14y-2 14) 2ab-11+10a 15) 6 − 13 + 13 16) -4m-4n+11 17) +5+2 18) -2a+3b+11 19) –y+1 20) 7) -3x 8) -5x-1 9) -5x-1 10) a-6 21) ab 22) 29) 23) 24) 0 25) 9mn 26) 11xy 27) −18 28) 29) 30) 31) − + − Ejercicios de movilización 6 Parte A 1) 35 2) 26 3) 4) −28 5) −36 6) −5 30) 31) 32) 2 33) 34) 35) 2 36) 8 Ejercicios de movilización 7 Parte A 1) Binomio 2) Binomio 3) Binomio 4) Binomio 5) Monomio 6) Monomio 7) Binomio 8) Trinomio 9) Trinomio 10) Trinomio 11) Trinomio − 20) − + +5 −2 21) 8 − − 25) − −7 22) 4ab-2b-15ª 23) 5xy-4 24) -7m+4n+3 26) 27) + + 28) 29) 30) + − − f ' GRUPO EDITORIAL Ejercicios de movilización 9 Parte A 1) 15 − 5 2) 21 − 42 3) 27 − 48 4) 225 − 27 5) 10 − 2 6) 288 − 144 7) −6 + 15 8) 9 − 3 9) −15 + 3 10) −48 + 4 11) −8 − 4 12) −5 + 45 13) −15 + 30 14) 2 + 3 15) 45 − 320 16) 6 − 6 17) 2 +3 18) −125 + 250 19) −21 + 28 − 35 20) −68 − 51 + 34 21) −6 +4 + 10 22) −27 + 9 −9 23) −6 + 15 −3 24) −6 − 21 +3 25) −125 + 250 − 75 26) −68 + 51 − 34 Ejercicios de movilización 10 Parte A 1) 15 − 2 − 2) 21 − 40 −4 3) − 13 − 48 4) 225 − 9 + 75 −3 5) 10 + 2 − 5 − 6) 286 + 24 − 24 7) 6 + 15 − 10 − 25 8) 9 + 3 −9 −3 9) −5 + 45 + 81 − 9 10) − 9 − 5 + 45 11) −2 −4 +8 12) 2 − 10 − 3 + 15 13) 18 − 9 − 12 + 6 14) 48 − 4 + 48 −4 15) 8 − 4 +2 − 16) −5 + 6 + 27 17) 4 + 12 + 9 18) 25 − 100 155 156 CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 11 Parte A 3 2 1) x 6x 14x 45 3 2 2) y y 6y 8+ 3) 18y 4) 48z 4 12y 3 2 45y 39y 6 6 20z 5 20z 3 10z 2 2 9) 49 + 42 +9 10) 4 + 36 + 81 11) 100 + 40 + 4 12) 121 + 264 + 144 13) 25 + 10 + 14) +2 + 6 5 4 2 5) 12 p 8p 20 p 3p 2 p 5 15) 49 5 3 2 6) 35m 29m 10m 6m 4 2 2 7) 3x 3x z 33xz 7x xy xyz+8zy+3y-16z-6 8) 12 − 4 − 33 − 25 − 3 + +8 +5 +3 −8 2 2 25x y 5y x+6xz2 2zy+10xyz-5x y 2xy-y-2z 9) 15x 2 10) 2 −2 −3 −6 −2 − + +8 +3 12) 10 4 18 −8 − 15 −5 11) 225 + 36 9 − 75 15 +3 1) 2) 3) 4) 5) 6) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) − 45 − 12 − + − 12 + 12 +4 − + +2 Ejercicios de movilización 12 Parte A 9 +6 + +2 + 16 + 16 +4 4 + 12 +9 4 + 12 + 9 + 18 +9 Parte B 4 + 12 +9 81 + 90 + 25 16 + 8 + 36 + 12 + 100 + 220 + 121 49 + 210 + 225 +2 + 25 + 10 + + 14 6) 4 + Ejercicios de movilización 13 Parte A 1) 4 − 4 + 2) −2 + 3) 25 − 20 +4 4) 9 − 12 +4 5) 16 − 24 +9 6) 4 − 12 + 9 Parte B 1) 9 − 18 +9 2) 25 − 50 + 25 3) 4 − 4 + 4) 9 − 6 + 5) 64 − 176 + 121 6) 4 − 36 + 81 7) −2 + 8) 9 − 6 + 9) 49 − 42 +9 10) 25 − 20 + 4 11) 81 − 36 +4 12) 144 − 216 + 81 13) −6 +9 14) −2 + 15) 9 −6 + Ejercicios de movilización 14 Parte A 1) 4 − 2) − 3) 25 −4 4) 9 −4 5) 16 − 9 f ' GRUPO EDITORIAL −9 Parte B 1) 4 − 9 2) 25 − 25 3) 16 − 4) 36 − 5) 4 −9 6) 49 − 225 7) − 8) 25 − 9) 49 − 9 10) 4 − 81 11) 100 −4 12) 121 − 144 13) 25 − 14) − Ejercicios de movilización 15 Parte A 1) 4 + 6 + − 8 − 12 + 4 2) 25 + 10 + 4 − 10 − 4 + 3) 4 4) 4 5) 9 40 6) 9 40 7) 9 4 8) 9 28 9) 4 32 10) 4 16 11) 4 16 12) 4 16 13) 9 18 14) 9 9 +8 +8 +4 +8 +4 −4 −8 + −8 +4 − 20 + 25 + 24 − + 16 − 20 + 25 − 24 + + 16 + 12 +4 −6 − +1 − 12 +4 + 42 − + 49 +8 + 16 + 16 + + 16 − 16 + 16 − − 32 + 16 +8 +4 + + 16 + 16 −8 +4 + − 16 + 16 − 18 +9 − + 18 +9 + 18 +9 + + 18 + 18 CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 16 Parte A 1) E 2) EA 3) EA 4) E 5) E 6) EA 7) EA 8) E 9) EA 10) E 11) E 12) E 13) EA 14) E 15) E 16) EA Ejercicios de movilización 17 Parte A 1) SI 2) NO 3) NO 4) SI 5) NO 6) NO 7) NO 8) NO Ejercicios de movilización 18 Parte A Trabajo independiente del estudiante Ejercicios de movilización 19 Parte A 1) 11 2) 6 3) 90 4) 5) 6) 7) 211 y 212 8) 211, 212 y 213 9) 212 y 214 10) 212, 214 y 216 11) 211 y 213 12) 30 y 42 13) 7,22 y 28 14) 12 y 60 15) 10 16) 6 y 18 17) 8 18) 6 Y 11 Ejercicios de movilización 20 Parte A Y=0 1) =2 −1 2) =3 −8 3) = 4 − 15 4) = 5 − 24 5) = 7 − 14 6) =2 −2 7) =9 −2 8) = 16 − 2 9) = 21 − 13 10) = 35 − 15 16) S= − 10) S= 18) S= − 12) S= − Ejercicios de movilización 26 Parte A 1) S= − 14) S= 4) S= 5) S= 5) S={2} Ejercicios de movilización 24 Parte A 1) S= − 6) S= − 3) S= − 9) S= − 5) S= 11) S= 9) S= − 6) S= 10) S= 7) S= 11) S= 8) S= 12) S= 9) S= Ejercicios de movilización 27 Parte A 1) S= − 17) S= − 11) S= Ejercicios de movilización 22 Parte A 1) S= 13) S= − 2) S= 3) S= 4) S= 7) S= − 8) S= − 4) S= − 14) S= 10) S= − 15) S= − 12) S= − 17) S= Ejercicios de movilización 25 Parte A 1) S= − Graficar con la ayuda del geogebra on line en https://chrome.google.com/ webstore/detail/geogebra/b nbaboaihhkjoaolfnfoablhll ahjnee 13) S= Ejercicios de movilización 21 Parte A 1) S={2} 2) S={4} 3) S={5} 4) S={6} 5) S={3} 6) S={−6} 7) S={−4} 8) S={−7} 9) S={−7} 10) S={−1} 11) S={32} 12) S={36} 13) S={40} 14) S={33} 16) S= − 15) S= − 2) S= − 18) S= − Ejercicios de movilización 23 Parte A 1) S={1} 2) S= 3) S= 4) S= 5) S= 6) S= 7) S= 8) S={ } 9) S= 11) S= 13) S= 2) S={1} 3) S= 4) S= − 2) S=∅ 3) S={28} 6) S= 7) S= − 8) S= 10) S= 2) S= − 3) S= − 4) S= − 5) S= − 6) S= 7) S={165} 8) S={120} 9) S= 10) S= 11) S= 12) S= 13) S={357} 5) S= 14) S= 6) S= 15) S= − 7) S= 8) S= − 9) S= − 10) S= 11) S= f ' GRUPO EDITORIAL 16) S= − 17) S={−61} 18) S= − 157 158 CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Ejercicios de movilización 28 Parte A 1) S= − 2) S={1} 3) S= 4) S= − 5) S= − 6) S= 7) S= 8) S={0} 9) S= 10) S= − 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) Ejercicios de movilización 29 Parte A = = + =2 − = = = − + =2 + = = = =3 = = 15) ℎ = 16) − − 49 + = f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 3) Ejercicios de movilización 1 Parte A Trabajo independiente del estudiante Parte B 1) Edad Frecuencia absoluta 1 15 8 11 4 1 40 19 20 21 22 23 24 Total Frecuencia Relativa 0,025 0,0375 0,2 0,275 0,1 0,025 1 Kilómetros 21 22 23 24 25 26 Total 2,5% 37,5% 20% 27,5% 10% 2,5% 100% Frecuencia absoluta 14 9 10 6 10 6 55 Frecuencia Relativa 0,25 0,16 0,18 0,10 0,18 0,10 1 25,4% 16,3% 18,18% 10,9% 18,18% 10,9% 100% c) kilómetros 26 25 24 a) Baloncesto 22 20 21 21 0 10 Horas Frecuencia absoluta 6 6 7 7 9 10 7 6 58 22 23 2) Pisos Frecuencia absoluta 6 5 6 3 4 3 8 6 6 4 9 10 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total Frecuencia Relativa 0,085 0,071 0,085 0,042 0,057 0,042 0,11 0,085 0,085 0,057 0,12 0,14 1 8,5% 7,1% 8,5% 4,2% 5,7% 4,2% 11,42% 8,5% 8,5% 5,7% 12,8% 14,2% 100% 20 4) 7 8 9 10 11 12 13 14 Total Frecuencia Relativa 0,10 0,10 0,12 0,12 0,15 0,17 0,12 0,10 1 15 10 Horas 0 7 8 9 10 11 12 13 14 pisos 1 3 5 7 10,3% 10,3% 12,06% 12,06% 15,51% 17,24% 12,06% 10,3% 100% d) Horas 5 b) Pisos 12 10 8 6 4 2 0 kilómetros 23 19 9 11 f ' GRUPO EDITORIAL 159 160 CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 5) Veces 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total Frecuencia absoluta 9 4 5 6 4 5 3 1 2 39 Frecuencia Relativa 0,23 0,10 0,12 0,15 0,10 0,12 0,07 0,02 0,05 1 Ejercicios de movilización 2 Parte A Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 6 Veces 2 0 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6) Páginas 141 151 171 201 226 251 311 351 371 Total Frecuencia absoluta 1 5 2 4 7 5 3 2 3 32 Frecuencia Relativa 0,03 0,15 0,0625 0,125 0,218 0,15 0,09 0,0625 0,09 1 3,125% 15,625% 6,25% 12,5% 21,87% 15,625% 9,37% 6,25% 9,37% 100% 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Máximo 10 28 47 95 34 1,65 4 150 10 Mínimo 4 13 40 71 28 1,60 1 110 3 Recorrido 6 15 7 24 6 0,05 3 40 7 Ejercicios de movilización 4 Parte A Determinista Aleatorio Aleatorio Aleatorio Aleatorio Aleatorio Determinista Aleatorio Aleatorio f) Páginas 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Moda No existe No existe 89 y 80 No existe 7y8 28,30 y 31 70 y90 2 130 Ejercicios de movilización 3 Parte A e) Veces 4 Promedio o Media 21,57 42,85 84 1,62 7,3 30,41 76,93 2,38 131,38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23,07% 10,25% 12,82% 15,38% 10,25% 12,82% 7,69% 2,56% 5,12% 100% Páginas 141151171201226251311351371 f ' GRUPO EDITORIAL CAPITULO 5: RESPUESTAS CAPÍTULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1) 2) 3) 4) 5) Ejercicios de movilización 5 Parte A ={ , } ={ , = , ={ , , , , } , , , , ={ , , , , , } , , , , , , } , , , , , , Ejercicios de movilización 6 Parte A Evento simple, seguro Evento simple, probable Evento simple, probable Evento simple, probable Evento simple, probable Evento simple, probable Evento simple, seguro Evento simple, probable Evento simple y probable , ) Ejercicios de movilización 7 Parte A 0 y 4, 1 y 3, 2 y 2, 4 y 4, 4 y 6, 5 y 3, 5 y 5, 5 y 6, 6 y 2, 6 y 4, 6 y 6. a){(1,6), (6,1), (3,4), (4,3), (5,2), (2,5)}, b){(1,1), (1,3), (1,5), … . (5,4), (6,3), (6,6)} a)(6,6,6) b) {(1,1,5) … , … . (1,2,4), … (1,3,3) … . , } a)2,4,6 b)3,6 c)5,6 a) b) 6) a) ) E={ , a){ , b) { , , c) b) , d) b) , 3) Parte C 1) 2) Parte D 1) 2) 3) Parte E 1) M={ , , , } 2) cualquiera de los 4 posee igual probabilidad Parte F 1) 2) 3) 4) 5) Parte G 1) Con reemplazo: son la roja uno con cada una , e) b) 2) , } Parte B } , , , , } , Parte C a) Con reemplazo: son la roja uno con cada una de las 7 blancas, con segunda roja o con la tercera roja y así sucesivamente con cada una, además que saque una y luego saque la misma, de las 10 que son. b) Sin reemplazo: son la roja uno con cada una de las 7 blancas, con segunda roja o con la tercera roja y así sucesivamente con cada una. , 1) 2) = {2,4,6.8,10,12} (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) = (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) = {(1,1,1), (1,1,2), … … . . (6,6,6)} SON 216 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), = ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , , , , , , , , Ejercicios de movilización 8 Parte A 11 28 Parte B , de las 7 blancas, con segunda roja o con la tercera roja y así sucesivamente con cada una, además que saque una y luego saque la misma, de las 10 que son. Sin reemplazo: son la roja uno con cada una de las 7 blancas, con segunda roja o con la tercera roja y así sucesivamente con cada una. Parte H 1) 2) Parte I 1) 2) 3) 1 f ' GRUPO EDITORIAL 161 BIBLIOGRAFÍA 1. Alcázar, A. (2007). Historia de la probabilidad. Recuperado el 7 de abril del 2012 de http://web.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20de%20la%20proba bili dad.pdf 2. Alfaro, C. & Barrantes, H. (2008). ¿Qué es un problema matemático? Percepciones en la enseñanza media costarricense. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 4, 83-98. 3. Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. 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