VILLARROEL YONAR
1
Universidad Nacional de Salta
Análisis Matemático I
Facultad de Ciencias Exactas
2do. Cuatrimestre 2012
Resolutorio Recuperación Primer Parcial - Tema B
sin(x)
Ejerc. 1 Dada f (x) =
x
x2 + 1
si x < 0,
si x > 0.
a) Estudia la continuidad en los reales. En caso de que sea discontinua en algún
a ∈ R, clasica las mismas.
b) Responde V o F justicando, sin omitir detalles, la respuesta:
i) La recta y = 0 es una asíntota vertical de f .
ii)
f ′ (−π) =
1
.
π
c) Representa grácamente.
Resolución. a)
Sea x0 > 0, luego:
lı́m f (x) = lı́m x2 + 1 = x20 + 1
x→x0
x→x0
Entonces f es continua para todo x > 0 por ser f una función polinómica y es consecuencia del álgebra de funciones continuas, ya que un
polinomio es suma de productos de funciones continuas.
Sea x0 < 0, luego:
sin(x0 )
sin(x)
=
x→x0
x
x0
lı́m f (x) = lı́m
x→x0
Dado que la función seno es continua en todo su dominio (los reales, y en
particular para x0 < 0) se tiene que lı́mx→x0 sin(x) = sin(x0 ) y que con
la función identidad ocurre lo mismo, o sea, lı́mx→x0 x = x0 . El limite
anterior es valido por álgebra de funciones continuas (teniendo en cuenta
que si x0 < 0 se cumple que lı́mx→x0 x = x0 ̸= 0) y en consecuencia f
es continua para todo x < 0.
Sea x0 = 0, luego @f (0) pues la f no esta denida en este valor. Estudiando los limites laterales:
• lı́mx→0+ f (x) = lı́mx→0+ x2 + 1 = 1
sin(x)
• lı́mx→0− f (x) = lı́mx→0−
= lı́mx→0− cos(x) = 1
x
En conclusión existe lı́mx→0 f (x) y es igual a 1. Dado que no existe f (0)
y de acuerdo a la clasicación de discontinuidades, se inere también
que f posee una discontinua evitable en x0 = 0.
Finalmente, f es continua en R − {0} = Domf y presenta una discontinuidad evitable en x = 0.
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b)
i)
2
FALSO. Toda asíntota vertical resulta ser una recta paralela al eje
de las ordenadas en el plano cartesiano y la ecuación de este tipo de
rectas es de la forma x = k donde k es un valor constante. Por lo tanto
jamas una asíntota vertical será una recta de ecuación y = k , pues esta
es la ecuación de una recta paralela al eje de las abscisas en el plano
cartesiano, es decir, una recta horizontal.
Teniendo en cuenta que se denomina asíntota vertical a la recta x = k
cuando se cumple que lı́mx→k− f (x) = ∞ o lı́mx→k+ f (x) = ∞. Por
el estudio de la continuidad realizado en el inciso anterior se sabe que
para todo k ∈ R, lı́mx→k f (x) = L, donde L es un real nito. Por lo
tanto, f no presenta ninguna asíntota vertical.
ii)
VERDADERO. Calculando f ′ :
cos(x)x − sin(x)
′
f (x) =
x2
2x
′
Luego, f (−π) =
si x < 0,
si x > 0.
cos(−π)(−π) − sin(−π)
(−1)(−π) − 0
π
=
= 2 =
2
2
(−π)
π
π
1
π
c) -
Ejerc. 2 Razona la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones y responde justicando, sin omitir detalles, tu respuesta:
i) Sean u(x) y v(x) denidas en [a, b] y c ∈ (a, b). Si lı́mx→c u(x) = u(c),
lı́mx→c v(x) = v(c) y u(c) = v(c), entonces u(x) = v(x), ∀x ∈ [a, b].
ii)
lı́mx→0
x2
= 0.
sin(3x)
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3
Resolución. i)
FALSO. Para demostrar la falsedad de esta proposición basta usar un
contraejemplo en el que sea un hecho la verdad de las hipótesis y la falsedad de la tesis.
2
Sea el caso de las funciones u(x) = x y v(x) = x ambas funciones continuas denidas para todos los reales en particular en el intervalo [0, 2]. Sea
c = 1 que pertenece a (0, 2) ⊂ [0, 2]. Como u y v son continuas (al ser funciones polinómicas) se cumple respectivamente que lı́mx→1 u(x) = u(1) = 1
y lı́mx→1 v(x) = v(1) = 1, y en consecuencia lı́mx→1 u(x) = lı́mx→1 v(x)
(limites nitos). Pero estas funciones no son iguales en [0, 2], pues por
ejemplo para 2 ∈ [0, 2] se cumple que u(2) = 4 ̸= 2 = v(2).
ii)
x
Verdadero. Teniendo en cuenta el limite notable lı́mx→0 sin(x)
= 1 se hace
un cambio de variables u = 3x, no sin antes antes multiplicar y dividir la
expresión de la función por 3 para lograr obtener en el numerador 3x.
x2
x2 3
3xx
3x
x
= lı́m
= lı́m
= lı́m
lı́m
x→0 sin(3x)
x→0 sin(3x)3
x→0 sin(3x)3
x→0 sin(3x) x→0 3
lı́m
Como u = 3x, lı́mx→0 u = lı́mx→0 3x = 0, luego:
3x
u
= lı́m
=1
x→0 sin(3x)
u→0 sin(u)
lı́m
x
=0
x→0 3
lı́m
Finalmente:
x2
3x
x
= lı́m
lı́m = 1(0) = 0
x→0 sin(3x)
x→0 sin(3x) x→0 3
lı́m
Ejerc. 3 Dada f (x) =
1
(−x4 + 4x3 ), represéntala grácamente analizando para ello: i.
9
Dominio ii. Continuidad iii. Asíntotas iv. Derivabilidad v. Intervalos de creci-
miento y/o decrecimiento vi. Extremos relativos vii. Intervalos de Concavidad
viii. Punto/s de inexión.
Resolución. i)
Dom = R, pues no hay puntos conictivos para evaluar f .
ii) Esta función es continua en todo su dominio por tratarse de una función
polinómica. Un polinomio es suma de productos de funciones continuas,
y por lo tanto continuo gracias al álgebra de funciones continuas.
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iii)
4
Asíntota Vertical
Como no hay puntos conictivos en la denición de f y nuevamente al
tratarse de una función polinómica, esta carece de asíntotas verticales.
Además al ser una función continua en todos los reales, no se cumple
la denición de asíntota vertical dado que lı́mx→x0 f (x) = f (x0 ) = L,
donde L es un real nito.
Asíntota Horizontal
)
1( 4
1
−x + 4x3 =
lı́m −x4 + 4x3 =
x→+∞ 9
9 x→+∞
)
(
1
4x3
4
=
lı́m −x 1 − 4 =
9 x→+∞
x
)
(
1
4
4
=
=
lı́m −x 1 −
9 x→+∞
x
(
)
1
4
4
=
lı́m −x lı́m 1 −
=
x→+∞
9 x→+∞
x
(
)
1
4
=
lı́m −x 1 =
9 x→+∞
1
lı́m −x4 =
=
9 x→+∞
= −∞
lı́m
)
1( 4
1
−x + 4x3 =
lı́m −x4 + 4x3 =
x→−∞ 9
x→−∞
9
(
)
4x3
1
4
lı́m −x 1 − 4 =
=
9 x→−∞
x
(
)
1
4
4
=
lı́m −x 1 −
=
9 x→−∞
x
(
)
1
4
4
=
lı́m −x lı́m 1 −
=
x→−∞
9 x→−∞
x
(
)
1
4
=
lı́m −x 1 =
9 x→−∞
1
lı́m −x4 =
=
x→−∞
9
= −∞
lı́m
Luego no hay asíntota horizontal en la gráca de f al no cumplirse
la denición de este tipo de asíntota, es decir, que lı́mx→∞ f (x) = k ,
donde k es un real nito.
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Asíntota Oblicua
lı́m
1
(−x4 + 4x3 )
9
x→∞
x
=
=
=
=
=
=
=
=
1
−x4 + 4x3
lı́m
=
9 x→∞
x
1
lı́m −x3 + 4x2 =
x→∞
9
(
)
1
4x2
3
lı́m −x 1 − 3 =
9 x→∞
x
(
)
1
4
3
lı́m −x 1 −
=
9 x→∞
x
)
(
1
4
3
=
lı́m −x lı́m 1 −
x→∞
9 x→∞
x
)
1(
lı́m −x3 1 =
9 x→∞
1
lı́m −x3 =
9 x→∞
∞
En consecuencia no hay asíntota oblicua en la graca de f ya que
f (x)
es necesario por la denición de esta asíntota que lı́mx→∞
=m
x
donde m es un real nito y la pendiente de la asíntota.
′
iv) Calculando f :
f ′ (x) =
)
1(
−4x3 + 12x2
9
La función derivada no presenta ningún punto conictivo al tratarse de
otro polinomio, por lo tanto f es derivable en todo su dominio, también
en consecuencia de que se trataba de una función polinómica en principio.
v) Para el estudio del signo de la función derivada f
′
conviene calcular los
ceros de la misma:
)
1(
−4x3 + 12x2
9
)
1(
−4x2 (x − 3)
9
4
− x2 (x − 3)
9
x−3=0
x=3
-
x<0
−
x=0
−
= 0
= 0
= 0
∨
∨
x2 = 0
x=0
0<x<3
−
x=3
0
x>3
+
x−3
4
− x2
−
0
−
−
−
9
4
− x2 (x − 3)
+
0
+
0
−
9
Al tratarse f de una función derivable en todo su dominio, del estudio del
signo de la primera derivada se inere que f es decreciente en (3, +∞) y
es creciente en (−∞, 3).
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vi) Nuevamente como se trata de una función derivable denida en un conjunto distinto al de la forma [a, b] los únicos puntos críticos son x = 0 y
x = 3. Por el criterio de la primera derivada se inere
que f al( 1entonces
)
4
3
canza un máximo absoluto en el punto (3, f (3)) = 3, (−3 + 4 (3 )) =
9
) (
)
( 1
3, 9 (−81 + 108) = 3, 19 (27) = (3, 3).
vii) Para estudiar los intervalos de concavidad conviene calcular f
′′
y estudiar
el signo de estas función, entonces:
f ′′ (x) =
)
1(
−12x2 + 24x
9
Luego:
)
1(
−12x2 + 24x
9
1
(−12x) (x − 2)
9
12
− x (x − 2)
9
4
− x (x − 2)
3
x=0
x=0
-
4
− x
3
x−2
4
− x (x − 2)
3
= 0
= 0
= 0
= 0
∨
∨
x−2=0
x=2
x<0
x=0
0<x<2 x=2
x>2
+
0
−
−
−
−
−
−
0
+
−
0
+
0
−
Luego se inere al ser f diferenciable de orden 2 que f es cóncava hacia
arriba en (0, 2) y cóncava hacia abajo en (−∞, 0) ∪ (2, +∞).
viii)
)
( 1
4
3
f tienes dos puntos
de inexión: (0, f (0)) = 0, (−0 + 4 (0 )) = (0, 0)
9
(
)
(
)
(
)
f) (2)) = 2, 91 (−24 + 4 (23 )) = 2, 19 (−16 + 4 (8)) = 2, 91 (16) =
(y (2,
2, 16
. Dado que f es derivable de orden 2 por la condición necesaria para
9
puntos de inexión y a que en estos puntos hay efectivamente un cambio
de concavidad.
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Ejerc. 4 a) Dene e interpreta geométricamente el diferencial de una función.
b) Usando el concepto denido en el inciso anterior, calcula en forma aproxi◦
mada el valor de cos(59 ).
Resolución. a) Por denición de la derivada de una función en un punto se tiene que:
f (x + h) − f (x)
h→0
h
f ′ (x) = lı́m
Donde h es igual a ∆x. Una propiedad de limite nito dice que la diferencia
entre la función considerada y su limite es un innitésimo en el punto donde
f (x+h)−f (x)
′
se calcula el limite. Es decir, que g(h) = f (x)−
es un innitésimo
h
en h = ∆x.
Si multiplicamos la expresión anterior por h ̸= 0 queda:
g(h)h = f ′ (x)h − (f (x + h) − f (x)) = f ′ (x)∆x − (f (x + ∆x) − f (x))
′
De aquí que las expresiones f (x)∆x y (f (x + ∆x) − f (x)) son aproximadamente iguales para valores muy pequeños de h = ∆x.
(f (x + ∆x) − f (x)) es el incremento de f correspondiente a un incremento
∆x y se denota ∆y o ∆f .
′
La expresión f (x)∆x se llama diferencial de f en el punto x respecto
de ∆x y se denota dy . La interpretación geométrica del concepto es:
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8
′
Como f (x) es la pendiente de la recta tangente a la gráca de f en el punto
′
(x, f (x)), f ′ (x) = tan (α) = AB
. De aquí que f (x)∆x = AB = dy . Notar
∆x
que AB > AC , es decir, dy > ∆y . Para valores pequeños de ∆x las longitudes de los segmentos AC (∆y ) y AB con bastantes próximas.
Si la concavidad de la curva es hacia abajo, se puede ver que la desigualdad
dy > ∆y cambia de sentido.
El diferencial de una función en un punto, es el incremento de la ordenada de la tangente en ese punto. Geométricamente, el diferencial es una
aproximación lineal de la función en el punto.
b) Se sabe que para valores pequeños de ∆x se cumple que dy ≃ ∆y , luego si
∆x = x1 − x0 y en consecuencia ∆y = y1 − y0 = f (x1 ) − f (x0 ), se tiene que:
dy
f (x0 )∆x
′
f (x0 )(x1 − x0 )
f (x1 )
′
≃
≃
≃
≃
∆y
f (x1 ) − f (x0 )
f (x1 ) − f (x0 )
f ′ (x0 )(x1 − x0 ) + f (x0 )
◦
◦
Si se considera a 60 como un valor cercano a 59 , para poder operar con
ellos, al no ser reales, es necesario convertirlos a radianes que si lo son.
π
◦
Así para 60 se tomará equivalente a
≈ 3,1415...
en radianes. Luego el
3
3
185,35...
59π
◦
equivalente en radianes para 59 será
≈ 180 .
180
Como x0 se trata del valor de un punto que puedo calcular fácilmente o que
(π)
π
conozco, x0 será
por lo tanto cos
= 21 y entonces x1 = 59π
. Luego, si
3
3
180
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f (x) = cos(x) luego f ′ (x) = − sin(x). Así:
dy
)
59π
cos
180
(
)
59π
cos
180
(
)
59π
cos
180
(
)
59π
cos
180
(
)
59π
cos
180
(
≃ ∆y
≃
≃
≃
≃
≃
( π ) ( 59π
)
(π )
π
− sin
−
+ cos
3
180
3
3
√ (
)
3 59π − 60π
1
−
+
2
180
2
√ (
)
π
1
3
−
−
+
2
180
2
√
3π + 180
2(180)
√
3π + 180
≈ 0, 52
360
◦
Así, cos (59 ) es aproximadamente igual a 0, 52.