Lógica proposicional

UNIDAD 3
Lógica proposicional
Cuando un matemático desea ofrecer una demostración de una
situación dada, debe utilizar un sistema de lógica. Esto también
alcanza a los profesionales de la informática, los cuales
desarrollan algoritmos necesarios para un programa o sistema
de programas.
La lógica matemática, también llamada lógica proposicional se
utiliza en múltiples campos del saber. Su finalidad, podríamos
decir, es el estudio de la razón en el conocimiento.
En el desarrollo de cualquier teoría se analizan la veracidad o no
de determinadas afirmaciones, que llamaremos «Proposiciones»
Definiremos proposición como un enunciado para el cual tiene
sentido preguntarse si es verdadero o falso. Es decir, se le puede
dar un valor de verdad.
Por ejemplo:
«Eduardo Galeano es uruguayo»
Es una preposición porque tiene sentido preguntarse si Eduardo
Galeano es uruguayo o no. Además, sabemos que Eduardo
Galeano es un escritor uruguayo, entonces diremos que esta
proposición es VERDADERA.
Por convención, las proposiciones simples se representan con las letras
minúsculas: p,q,r,s,t, etc. que se definen como variables proposicionales.
Resolvamos juntos este ejercicio:
1. Determine cuál de las siguientes oraciones con proposiciones.
p: En 1990 Argentina se consagró campeón mundial de fútbol.
q: Si x Є N entonces x+3 es un número positivo.
r: Quince es un número par
s: ¿Qué hora es?
t: Tengo un vecino que es alto
u: Hasta el año 2000 Argentina había ganado 2 mundiales de fútbol
Entonces, trabajaremos con lógica simbólica o proposicional,
entendiéndola como la parte de la lógica que estudia la formación
de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y el
valor de verdad de cada una de estas.
VERDADERO (1)
PROPOSICIÓN
TIENE UN ÚNICO VALOR
LÓGICO
FALSO (0)
PROPOSICIÓN SIMPLE
SIN CONECTIVOS LÓGICOS.
Ej. Tania es alta
PROPOSICIÓN COMPUESTA
CON CONECTIVOS LÓGICOS.
Y; O; ENTONCES, ETC.
;
Ej. Tania es alta y simpática.
;
Entonces, ¿a qué llamamos proposiciones compuestas?
• Son aquellas que están formadas por dos o mas proposiciones
simples
• En toda proposición compuesta, las proposiciones simples
están enlazadas mediante palabras conocidas como conectivos
lógicos que sirven para unir los enunciados o proposiciones
simples.
Veremos los siguientes conectivos:
*Negación (~)
*Conjunción (˄)
*Disyunción inclusiva (˅) *Disyunción excluyente (⊻)
*Condicional (⇒)
*Bicondicional (⇔)
Veamos algunos ejemplos.
Tenemos dos proposiciones simples:
p: Juan es un hombre trabajador
q: Juan es una persona amigable
Se puede generar una proposición compuesta que integre las dos
ideas y que diga:
Juan es un hombre trabajador y es una persona amigable
p
q
conectivo lógico
Conectivos lógicos
Son palabras que vinculan las ideas expresadas en dos o más
proposiciones simples, para comunicar algo más complejo. Los
conectivos lógicos están identificados con un símbolo especial y un
nombre que representa la función que cumplen.
María se va a Córdoba o a Mendoza
Si saca 60% en su examen entonces aprueba la asignatura
Carlos es una buena persona y es inteligente
Nota:
La disyunción exclusiva (p ⊻ q) se utiliza cuando no pueden darse
las dos ideas al mismo tiempo. Por ejemplo:
Juan vive en Brasil o en Paraguay
Proposiciones y Valor de verdad
Utilizaremos el Valor de Verdad = 1 cuando queremos simbolizar
una proposición verdadera y «0» cero para decir que es falsa.
En estas condiciones, para determinar el valor de verdad de una
proposición compuesta (dos o más proposiciones enlazadas con
conectivos) elaboraremos una Tabla de Verdad y un Diagrama de
Venn
Nota: un Diagrama de Venn usa círculos que se
superponen para ilustrar las relacione lógicas
entre dos o más conjuntos de elementos. Se
usan para hacer un análisis detallado y
representar la relación entre los elementos
dentro de un mismo «universo»
Si tenemos una proposición simple p, es decir
compuesta con una proposición, solo vamos a
tener dos valores de verdad:
Si tenemos una proposición compuesta por
dos proposiciones simples, p y q, entonces
tenemos cuatro combinaciones posibles:
Si tenemos una proposición compuesta por 3
proposiciones simples, p, q y r, entonces tenemos
ocho combinaciones posibles:
p
11
20
p q r
1 1 1 1
2 1 1 0
3 1 0 1
4 1 0 0
5 0 1 1
6 0 1 0
7 0 0 1
8 0 0 0
p q
1 1 1
2 1 0
3 0 1
4 0 0
Entonces, en general podemos decir que si nuestra proposición
esta compuesta de «𝒏» proposiciones, se pueden presentar 𝟐𝒏
combinaciones posibles.
1 proposición
𝟐𝟏 = 𝟐 posibilidades
2 proposiciones
𝟐𝟐 = 𝟒 posibilidades
3 proposiciones
𝟐𝟑 = 𝟖 posibilidades
4 proposiciones
𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 posibilidades
5 proposiciones
𝟐𝟓 = 𝟑𝟐 posibilidades
Operaciones lógicas y Tablas de verdad
NEGACIÓN:
Afecta a una sola proposición. Es el operador que cambia el valor de
verdad de una proposición. Su símbolo puede ser: «~», «-». Se
llama negador y se lee «no p»
Tabla de Verdad:
Diagrama de Venn:
Veamos un ejemplo:
p: «El oxígeno es un metal»
-p: «El oxígeno NO es un metal»
q: «5 es un número mayor que 3»
-q: «5 NO es un número mayor que 3»
Nota: Es importante, observar que desde el punto de vista de la
lógica proposicional, si la proposición es falsa o verdadera, siempre
puede negarse
Operaciones lógicas y Tablas de verdad
CONJUNCIÓN:
Es una operación entre proposiciones que requiere al menos dos
proposiciones diferentes, p y q, que al unirse por medio de la
conjunción se obtendrá una nueva proposición compuesta. Su
símbolo es «Λ». Se lee «p y q»
Diagrama de Venn
Tabla de Verdad:
Es Verdadera
cuando todas las
proposiciones
simple son
verdaderas
INTERSECCIÓN
Veamos un ejemplo:
p: «Juan viajó a España»
q: «Pedro viajó a Francia»
p Λ q: «Juan viajó a España y Pedro viajo a Francia»
Resultará verdadera solo si ambas son proposiciones verdaderas al
mismo tiempo
Operaciones lógicas y Tablas de verdad
DISYUNCIÓN INCLUSIVA:
Es una operación entre proposiciones que requiere al menos dos
proposiciones diferentes, p y q, que al unirse por medio de la
disyunción se obtendrá una nueva proposición compuesta. Su
símbolo es «∨». Se lee «p ó q» y se llama disyuntor.
Tabla de verdad:
Diagrama de Venn
Es falsa cuando
todas las
proposiciones
simple son falsas
UNIÓN DE
CONJUNTOS
Veamos un ejemplo:
p: «Juan sabe inglés»
q: «Juan sabe francés»
p ∨ q: «Juan sabe inglés o francés»
La disyunción en sentido incluyente enuncia una alternativa que
no excluye que ocurran ambas acciones. Es decir, que Juan puede
saber o no ambos idiomas pero uno de los dos sabe seguro.
Operaciones lógicas y Tablas de verdad
DISYUNCIÓN EXCLUYENTE:
Vincula dos proposiciones que requiere al menos dos proposiciones
diferentes, p y q, que al unirse por medio del vocablo «O…… o……» se
obtendrá una nueva proposición compuesta. Su símbolo es «⊻». Se
lee «o p o q» y se llama disyuntor excluyente o fuerte.
Tabla de verdad:
Diagrama de Venn
Es falsa solo si
ambas
proposiciones
simples tienen el
mismo valor de
verdad
UNIÓN - INTERSECCIÓN
Veamos un ejemplo:
p: «María es inocente»
q: «María es culpable»
p ⊻ q: «O María es inocente o María es culpable»
La disyunción en sentido excluyente enuncia que las alternativas
que plantea no pueden ocurrir a la vez. Es decir, que María es
culpable o inocente. No puede ser las dos cosas a la vez.
Operaciones lógicas y Tablas de verdad
CONDICIONAL o IMPLICANCIA (entonces):
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico «Si……
entonces……» se obteniendo una nueva proposición compuesta. Su
símbolo es «⇒». Se lee «Si p entonces q» y se llama implicador o
condicional.
Tabla de verdad:
Diagrama de Venn
Es falsa solo
cuando el
antecedente es
verdadero y el
consecuente es
falso
Veamos un ejemplo:
p: «12 es un número par»
q: «12 es divisible por 2»
p ⇒ q: «Si 12 es un número par entonces es divisible por 2»
En el condicional a la proposición p se la llama antecedente y a la
proposición q se la llama consecuente. Esta operación lógica es la
única que veremos donde no es aplicable la propiedad conmutativa.
Es decir, p ⇒ q ≠ q ⇒ p
Operaciones lógicas y Tablas de verdad
BICONDICIONAL (doble implicancia):
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico «……si y solo
si……» obteniendo una nueva proposición compuesta. Su símbolo es
«⇔». Se lee «p si y solo si q» y se llama doble implicador o
bicondicional.
Tabla de verdad:
Diagrama de Venn
Es verdadero solo
si ambas
proposiciones
simples tienen
idénticos valores
de verdad
Veamos un ejemplo:
p: «Sicilia es una isla»
q: «Sicilia está rodeada de agua»
p ⇔ q: «Sicilia es una isla si y solo si está rodeada de agua»
Resultará verdadera, solo si ambas proposiciones son falsas a la vez,
o si ambas son verdaderas a la vez.
Veamos un ejercicio de la guía:
a) p Λ (-p)
p
1
0
Una proposición,
dos filas
∿p p Λ ∿p
0
0
1
0
CONJUNCIÓN
b) [p Λ (∿q)] ⇒ r
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
3 proposiciones,
8 filas
∿q p Λ (∿q) p Λ (∿q) --> r
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
Luego de esta clase, están en condiciones de resolver los
siguientes ejercicios de la guía:
2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11