Álgebra Trilce

Índice
Unidad I
Capítulo 1
Expresiones algebraicas
4
Capítulo 2
Teoría de exponentes I
9
Capítulo 3
Teoría de exponentes II
14
Capítulo 4
Ecuaciones exponenciales
19
Capítulo 5
Valor numérico en polinomios
24
Capítulo 6
Teoría de grados
29
Capítulo 7
Polinomios especiales
34
Capítulo 8
Multiplicación algebraica
39
Capítulo 9
Repaso I
44
Unidad II
Capítulo 10
Productos notables I
49
Capítulo 11
Productos notables II
54
Capítulo 12
División algebraica I
59
Capítulo 13
División algebraica II
64
Capítulo 14
Factorización I
69
Capítulo 15
Factorización II
74
Capítulo 16
Fracciones algebraicas I
79
Capítulo 17
Repaso II
84
Unidad III
Capítulo 18
Fracciones algebraicas II
89
Capítulo 19
Radicación I
94
Capítulo 20
Radicación II
99
Capítulo 21
Radicación III
104
Capítulo 22
Teoría de ecuaciones
109
Capítulo 23
Ecuaciones de 1er grado I
114
Capítulo 24
Ecuaciones de 1er grado II
119
Capítulo 25
Repaso III
124
Unidad IV
Capítulo 26
Sistemas de ecuaciones I
128
Capítulo 27
Sistemas de Ecuaciones II
134
Capítulo 28
Repaso IV
140
Capítulo 29
Sistemas de ecuaciones III
145
Capítulo 30
Desigualdades
150
Capítulo 31
Intervalos
155
Capítulo 32
Inecuaciones I
162
Capítulo 33
Inecuaciones II
167
Álgebra
1
Capítulo
Expresiones algebraicas
Lectura: Notación matemática y algebraica
La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los
problemas más antiguos de la Matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos
actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.
En el problema 14° del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C) se pide
calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular.
2 2
El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4 (t , b ),
2
2
multiplica 2 por 4(tb), suma los anteriores resultados (t + b
+ tb) y multiplica por un tercio de 6 (h/3); finaliza diciendo:
“Ves, es 56, lo has calculado correctamente”. En notación
2
2
algebraica actual sería: V = h (t + b + tb) / 3, un polinomio
de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite
obtener la cuarta variable.
t=2
h=6
b=4
2
2
V = h (t + bt + b )
3
Así tenemos el volumen de una pirámide truncada:
2
Algunos polinomios, como: f(x) = x + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el
conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene
una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del Álgebra.
En este capítulo aprenderemos
Expresiones algebraicas
.. El término algebraico y sus componentes.
.. Cómo identificar términos algebraicos semejantes.
.. La reducción de términos algebraicos semejantes.
Colegios
4
TRILCE
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Álgebra
Síntesis teórica
Expresiones Algebraicas
Definición
Término
algebraico
Términos semejantes
Notación
Reducción de términos
algebraicos semejantes
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Segundo año de secundaria
5
1
Capítulo
Saberes previos
3. Calcular el valor de: −3+8−11+2
1. Calcula en cada caso:
a) 4+9=
b) −8+3=
4. Calcular en cada caso:
c) −10+6=
a) (−2)(4)=
d) −9+(−4)=
b) (−5)(−3)=
2. Calcular en cada caso:
a) −4−5=
c) (7)(−5)=
b) −9−11=
d) (8)(9)(−2)=
c) −9+5=
5. Calcular el valor de: −3(2−5)−8(5−3)
d) 7−10=
Aplica lo comprendido
1. Indicar las
algebraico:
partes
del
siguiente
T(x)=−4x
término
3. Reducir en cada caso:
4
4
a) 5x +8x =
9
3
•
Variable : _____________
•
Exponente
•
: _____________
: _____________
Coeficiente
3
b) 2m −7m =
c) −4ab−5ab=
2
2
d) 11x y−5x y=
2
•
: _____________
Parte literal
2
2
2
4. Reducir: −2x y+x y−3x y+5x y
2. Indicar con un aspa (x), el término algebraico
que no es semejante a los demás:
5x
3
−8x
3
4x
2
9x
3
3
2
3
2
5. Reducir: 4x −2x −5x +7x
2 3
4x y
Colegios
6
TRILCE
2 3
5x y
3 2
9y x
5xy
2
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Álgebra
Aprende más
3
1. Siendo: A=5xy–4xy–2xy
B=–xy+3xy–4xy
Hallar A–B
a) 0
d) –xy
Determine 2 P(x)+ Q(x)
b) 3xy
e) –3xy
2
c) xy
2
2
2
2
P(x;y)=5x –2xy+y –4x +xy+2y –x +3xy–5y
a) 2xy–2y
2
d) 2xy–y
2
2
b) 2xy+y
2
e) –y –2xy
c) 2xy+2y
3. Si: A=–xy+3xy–(4xy–2xy)
B=2xy–[xy–2xy]
b) 2xy
e) 5xy
c) −3xy
c) –13mn
b) 3mnp
e) mnp
c) 0
6. Reducir: –2xyz–{3xyz–[4xyz–5xyz]}
a) 2xyz
d) 4xyz
b) –2xyz
e) –6xyz
c) –4xyz
b) –8xy
e) 0
c) 3xy
, hallar
5
es semejante con
a
b) 3
e) 6
a) 8
d) 11
c) 3x+2y
c) 4
4 5
; R(x;y)=5x y son semejantes,
b) 9
e) 12
c) 10
13. Si:
2m+p
3n+p
17
+3x
=px ; entonces “m+n+p”
2x
será:
a) 15
d) 11
b) 9
e) 26
c) 10
b–c
;
son semejantes; calcular: a + c
b
a) 1
b) 2
d) 4
3
e)
1
2
c) 3
2
15. Si la expresión:
b+2
a+3
6
+2x
+(b+4)x , se reduce a
P(x)=(a+3)x
un solo término. Calcule su coeficiente.
2
P(x)=–x +x–1
2
Q(x)=2x –x+2
Hallar P(x)+ Q(x)
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2a–3
a) 2
d) 5
T2=nx
8. Siendo
2
b) 8x+10y
e) 5x+2y
a–b
3xy–{2xy–[–5xy–(12xy–5xy)]–3xy}
a) x –x+1
2
d) x –x–1
a) 5x+5y
d) 13x+15y
14. Si los términos en variable "x", T1=mx
7. Reducir:
a) 8xy
d) –3xy
2
16x + 20y − 2 (3x + 5y)
2
a b–1
5. Restar –2mnp de –mnp
a) –3mnp
d) –mnp
E(x;y)=
12. Si T(x;y)=3x y
hallar “a+b”
b) –15mn
e) 12mn
c) 2x +8
10. Reducir la siguiente expresión:
Q(x)=–5x
4. De 14mn restar –mn
a) 13mn
d) 15mn
2
2
b) 2x –8
2
e) 2x +6
11. Sabiendo que P(x)=4x
Hallar A–B
a) xy
d) 4xy
2
a) x +8
2
d) x
2. Reducir:
2
2
9. Si P(x)=x +3x +2x+3
3
2
Q(x)=–2x –4x –4x+2
2
b) x +1
2
e) x
2
a) 10
d) 16
b) 12
e) 18
c) 14
c) x –1
Segundo año de secundaria
7
1
Capítulo
Practica en casa
1. Siendo: A=6xy–4xy–5xy
B=–2xy+5xy–6xy
Hallar: A+B
10. Reducir la siguiente expresión:
E(x;y)= 18x − 30y − 4 (2x − 5y)
5
2. Reducir:
11. Sabiendo que Q(x)=3x
2
2
2
2
2
P(x;y)=2x +xy–2y –x –3xy+y +xy–2x +y
2
3. Si: A=2mp–[mp–(3mp–mp)]
B=–mp–(mp–4mp)
Hallar: A+B
12. Si: M(x;y)=5x
, hallar:
a+1 b+2
y
es semejante con
a
7 7
; A(x;y)=7x y
son semejantes, hallar: a+b
4. De: (4x–7y+3) restar (–3x–7y+2)
13. Si: 3x
5. Restar: (3m+4) de (5m+4)
m–1
+4x
p+1
=qx
5
Hallar: m+p+q
6. Reducir:
–{5mn–[4mn–(2mn–5mn)+4mn]–4mn}+mn
7. Reducir: P(x;y)=2x–y–[3x–(4x–2y)+3y]–x+2y
14. Si se cumple: (a–2)x
b–1
4
+(a+3)x ≡ 11x
c+1
Hallar: ab–c
b+1
15. Si la expresión: P(x)=(a+6)x
2
8. Siendo: P(x)=2x +4x–2
2
Q(x)=x –4x+1
Hallar: P(x)+Q(x)
3
R(x)=–5x
2a–6
12
a+2
+5x
8
+(b+3)x
se reduce a un solo término, calcule su
coeficiente.
2
9. Si: F(x)=2x +2x –x+4
3
2
Q(x)=x +x +2x+3
Hallar: F(x)–2Q(x)
Tú puedes
4
n+1 m
1. Si x y; 3x
y son semejantes; ¿qué podemos
5 3
5 m+2
?
afirmar de: (m+2)x y ∧ nx y
a) Diferentes
b) Iguales
c) Semejantes
d) Hay 2 correctas
e) Constantes
2. Sabiendo que “a” y “b” son números naturales
8+m
10
b 5–n
+x =a x
tales que: 3x
de: m+n+a+b, si: a!b
a) 1
d) 4
, hallar la suma
b) 2
e) 5
6
6
c) 3
6
3. Al sumar x +2x +3x +....+nx
6
2
55x , indique: n
a) 76
d) 100
Colegios
8
TRILCE
b) 81
e) 196
6
4. Jorge compró tres artículos distintos en $(4a+b).
El primero le costo $a y el segundo $(2a–b).
¿Cuánto le costó el tercero?
a) $a
d) 3a+2b
b) 7a
e) a+2b
c) 3a–b
5. Sea: A(x)=x+3x+5x+7x+9x
B(x)=2x+4x+6x+8x+10x
Reducir
S(x)=5A(x)–{2B(x)+(4A(x)–3B(x))}
a) 35x
d) 65x
b) 45x
e) 75x
c) 55x
se obtuvo
c) 49
Central: 6198 – 100
Capítulo
2
Teoría de exponentes I
Lectura: Gauss es, sin duda, uno de los mejores matemáticos de todos
los tiempos.
Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edad
y asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarlo
porque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos los
números del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría varias
horas en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cinco
minutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución.
Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara
el procedimiento que había seguido.
En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo lo
siguiente: Acomodó en una fila todos los números del 1 al 100 y
debajo de esa fila acomodó, en otra fila, todos los números del 100
al 1. Después sumó las dos filas.
1
100
101
2
99
101
3 ... 98 98 100
98
3
2
1
101 ... 101 101 101
Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría
dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos los
números del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación.
Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 =
o lo que es lo mismo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050
No se sabe si la leyenda es cierta o no pero en cualquier caso tratándose de Gauss es perfectamente posible.
En este capítulo aprenderemos
Teoría de exponentes I
.. Exponente cero, natural, negativo.
.. Teoremas de multiplicación y división de potencias.
.. Potencia de potencia y exponentes sucesivos.
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Segundo año de secundaria
9
2
Capítulo
Síntesis teórica
Teoría de Exponentes I
Definiciones
Teoremas
Exponente Cero
Multiplicación
División
Exponente Natural
Bases iguales
Exponente Negativo
Exponentes iguales
Potencia de potencia
Colegios
10
TRILCE
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Álgebra
Saberes previos
Calcular las siguientes operaciones:
1. –9–(–5)+(–11)–(–12)+5–(–7)
4. 5 − 4
2 3
2. 3x+4(3x–4)+5x+4(–5x+4)
5. 5 − 2
2
3. 5 + 3
4 4
Aplica lo comprendido
0
0
0
0
1. Efectuar: 4 –2 –(–4) –5(–7 )+3
0
2
–1
–2 –1
4. Calcular: (4 + 4 )
50 veces
6 44 7 44 8
a
2. Reducir: .a.a.....a ; a ^ 0
a.a.a.....a
1 44 2 44 3
40 veces
–1
5. Calcular: 9.3 +16.2
24
–1
3 22
3. Reducir: (3 ) .4(35 )
(3 )
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Segundo año de secundaria
11
2
Capítulo
Aprende más
1. Reducir: 3 # 3 # 3 # ..... # 3 − (− 3) 38 .32
1 4444 2 4444 3
0
40 veces
a) 1
d) 0
b) –3
e) 1
c) 2
4
b) x
5
e) x
c) x
–3 5
8
b) –b
5
e) b
6
23
3. Efectuar: M=(b ) .(–b) .(b ) .(–b)
6
a) b
2
d) b
2
7
c) b
b) 160
e) 40
18
2
c) 162
2 3
c) ab
-8 2
-4
7. Si: M = e a 8 o e a 4 o ;
aaCalcular: M
b) 3
e) 6
a
13. Si: a =3, calcular: aa
c) 4
a+ 1
b) 27
e) 39
c) 81
Exponente negativo
a) 10
10
d) n
b) 6
e) 18
3
c) m
n+ 4
n+ 3
12. Reducir: 2 n 2 − 2 n 1
+
2
−n +
14. Reducir:
3x + 2 x + 12
6. Reducir: 272x 3 .32x 4
81 + .3 +
a) 3
d) 12
2
b) m
5
e) m
a) 25
d) 243
b) a b
19
e) a .b
c) 3
m+ 5
m+ 3
11. Reducir: m m 3 + m m 1
m + +m +
a) 2
d) 5
2
4
5 2
5. Reducir: (((a 3.b) 2.b3 ) .a7)
((a .b ) .b)
a) a .b
5
d) a.b
b) 2
e) 5
a) m
4
d) m
2
3
4. Reducir: 6 .18
362
a) 150
d) 62
a) 1
d) 4
Descomposición de potencias
30
23
42
2. Reducir: x 7. (x12) . (7x 3) ; x ! 0
x .x . (x )
a) x
6
d) x
- 50
10. Reducir: 89- 2 + 2.3- 2B
5n + 2n
5- n + 2- n
–n
b) 10
e) 10n
c) 10
n
c) 9
–n
2n
15. Si: x =9; reducir: 81x +x
a) 81/82
d) 82/81
a!0
b) 1/82
e) 82
–2n
c) 1/81
–1
3
4
a) a
6
d) a
b) a
7
e) a
c) a
5
8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:
-5 2 -4
N = ((7x ) 4) 3 ;
x . (x- )-
x!0
a) 19
d) 22
b) 20
e) 23
9. Si: A = ` 1 j
3
-2
de:
a) 6
d) 9
Colegios
12
TRILCE
+ ` 1j
4
-3
c) 21
+ ` 1j
2
-3
entonces el valor
A
b) 7
e) 10
c) 8
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
9. Si: B = ` 1 j
5
1. Reducir: 2 # 2 # 2 # ... # 2 − (− 2) 30 .25
1 444
4 2 444
43
35 veces
20
32
52
2. Reducir: x 5. (x 7) . (3x 6) ; x ! 0
(x ) (x ) (x )
–4 2
2
24
6. Reducir:
3
entonces el valor de:
B
0
0
Descomposición de potencias
x+ 5
x+ 3
11. Reducir: x x 3 + x x 1
x + +x +
3
n+ 5
n+ 3
12. Reducir: 3 n 3 − 3 n 1
3 + −3 +
4
(((xy) .x) .y)
; xy ! 0
((x2 .y) 2 .y) 8
13. Si: b b = 2,
492x - 1.7x + 3
343x - 2 .72x + 7
14. Reducir:
bb
b+ 1
7a + 2a
7- a + 2- a
–n
15. Si: x =8
2n
–2n
Reducir: 64x +x
2
-3
-6
7. Si: N = e x 6 o e x 3 o ; x ! 0
xx-
Calcular: N
+2
0
4
2
4. Reducir: 15 .75
453
5. Reducir:
-2
10. Reducir: (16- 3 + 15.16- 4 )- 11
3. Efectuar: R=(x ) .(–x) .(–x ) .(–x)
2
+ ` 1j
3
-2
–1
8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:
M=
((x- 4) 2)- 3 ;
3
x6 . (x(- 2) )- 2
x!0
Tú puedes
4. Determinar el valor de:
x
2x
x
1. Efectuar: ` 2 j . ` 9 j . ` 8 j
3
4
27
a) 2
3
d) 9
4
b) 3
2
e) 4
9
5x + 5x + 1 + 5x + 2 + 5x + 3
5x + 5x - 1 + 5x - 2 + 5x - 3
c) 1
a) 5
d) 625
2
2
2
2. Efectuar: A = (− x2) 3 (− x- 3) 2 (x3 ) (− x(- 3) ) (x- 3 )
9
a) x
6
d) x
b) –x
3
e) x
9
c) –x
6
59 60
)
5. Efectuar: ;^5 5
a) 0,1
d) 0,55
b) 25
e) 3125
c) 125
5 5
5 5
3
/
5
3
-1 5 E
h
b) 0,2
e) 0,5
c) 0,25
-3 -2
3. Efectuar: A = c`... `^2011- 4h j ...j m
a) 0
d) infinito
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b) 1
e) absurdo
c) 30
Segundo año de secundaria
13
3
Capítulo
Teoría de exponentes II
Lectura: El tablero de ajedrez y los granos de trigo
El juego del ajedrez que conocemos hoy día, tiene su origen
en un juego hindú denominado Chaturanga, y posiblemente
se fusionó con otro juego griego denominado Petteia, ambos
juegos existen desde la antigüedad, las primeras apariciones
del juego actual son de los alrededores del año 500 de
nuestra era, y llegó a Europa a través de los árabes.
1 2 4 8 16
Cuenta la leyenda sobre el inventor de este juego:El
Brahmán Lahur Sessa, también conocido como Sissa Ben
Dahir (recordemos que Ben Dahir significa “hijo de Dahir”),
escuchó que el Rey Iadava estaba triste por la muerte
de su hijo y fue a ofrecerle el juego del ajedrez como
entretenimiento para olvidar sus penas; el rey quedó tan
satisfecho con el juego, que juego quiso agradecer al joven
otorgándole lo que este pidiera.
Sessa lo único que pidió fue trigo, pidió que el rey le diera
un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, el doble por la segunda, el doble por la tercera, y así
sucesivamente hasta llegar a la casilla número 64.
Iadava accedió a esta petición, pero cuando hizo los cálculos se dio cuenta de que la petición era imposible
de cumplir. ¿Cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor?
Para calcularlo hemos usado las potencias, y hemos obtenido que tenía que darle 263, es decir
9223372036854780000 granos de trigo.
Si lo expresamos con notación científica sería redondeando 9.22 1018 granos de trigo.
En este capítulo aprenderemos
Teoría de exponentes II
.. Exponente fraccionario.
.. Teoremas de multiplicación y división de radicales.
.. Raíz de raíz
Colegios
14
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Teoría de Exponentes II
Definiciones
Teoremas
Exponente
Fraccionario
Multiplicación de
radicales
División de
radicales
Raíz de raíz
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Segundo año de secundaria
15
3
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar: x.x.x....x
14 24 3
4. Reducir: 5(m+3)+2(4–m)–3(m–1)
20 veces
2. Efectuar: 1 + 1
4 5
3. Efectuar: 8 + 1
3 3
5. Simplificar:
a)
4 =
24
b)
30 =
105
Aplica lo comprendido
1. Calcular en cada caso:
a)
81=
b) 3 125 =
2. Calcular en cada caso:
a) 36
1/2
b) 27
1/3
Colegios
16
TRILCE
3. Calcular en cada caso:
2/3
=
b) 125
2/3
a) 8
=
4. Reducir la expresión: A =
2
3
x +3 x +4 x
4
=
2
=
5
5. Reducir la expresión: A = 6 7 # 15 7 # 9 7
3
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
1. Reducir: 5 x . 5 x . .... . 5 x
1 4444 2 4444 3
11. Reducir: R =
60 factores
5
7
a) x
12
d) x
b) x
24
e) x
2. Reducir:
2
2 2 2
a) 2
d)
c) x
3. Reducir: M = x
a) 10
d) 7
a) 1
d) a
a) 1
d) a
3x + 7x
3- x + 7- x
c) 3
a) 2
d) 9
4. Efectuar:
n
2
n+ 4 n
.
2
3n + 10 n
a) 8
d) 64
.
(2
n- 7 2
) ; n!N nH2
14. Efectuar:
c) 32
a) 2
2
d) x
b) 16
e) 128
m
a16 .b64 ; se obtiene a .b
5. Al efectuar:
n
a) 2
d) 5
6. Efectuar: 64 x3 .
4
a) x
24
d) x
b) 3
e) 6
x@
15
20
c2
a) 1
d) 4
c) ab
1 + 3x + y
1 + 3- x
8(x
2
642 16 B
)
b!0
1 + 6y
1 + 6- y
c) 6
16
3
4
16 m
.x
b) 1
e) 2x
; x>0
c) x
80 n + 16 n
20 n + 4 n
b) 2
e) 5
c) 3
24
8
b) x
32
e) x
7. Efectuar: 6 x5 .
a) x
35
d) x
c) 4
a m . b- n ; a ! 0
a- n . b m
b) 3
e) 1/2
15. Simplificar: 2n
Calcular: m+n
c) b a
b) a/b
e) b
13. Reducir: L = x
b) 21
x
e) 21
b.
b) a b
e) b
12. Efectuar: m + n
c) 8
b
aa ; ab ! 0
b
a. a b b
2
b) 4
e) 16
2
9
a
c) x
16
c) x
30
12
x . 3 x@
25
b) x
24
e) x
8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar:
3
x x
a) 1/2
d) 3/4
b) 3/2
e) 5/2
c) 5/4
9. Efectuar: A = 9 2. 4 32
a) 2
b)
d) 3 2
e) 6 2
2
c) 4 2
3
5
10. Efectuar: A = 5 2 . 4
2 . 3 16
a) 2
d) 1
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b) 4
e) 16
c) 8
Segundo año de secundaria
17
3
Capítulo
Practica en casa
9. Efectuar: L =
1. Reducir: 3 a . 3 a . .... . 3 a
1 4444 2 4444 3
90 factores
2. Reducir: 3 2
3. 3. 3
2
2
3
3 16
2 4 9
11. Reducir: L = 2y
x
a36 .b324 ; se obtiene a .b
6. Efectuar: (5 x2 . 3 5 x ) 45
x .4 4 x .
y
13. Reducir: a
y.
x. x y y
; xy ! 0
1 + 5b
1 + 5- b
-
-2 1
-2 1
8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar:
4 3
x x
xx
1 + 2a + b
1 + 2a
14. Calcular: 16- 4
x ) 32
y
ax .b- 2y ; a ! 0 b ! 0
a- 2y .bx
12. Efectuar: x + 2y
Calcular: x y2
7. Efectuar: (4
4
2x
4. Efectuar: n 3 n - 2 . n (3 n - 1) 2 . n 34 - 3n
5. Al efectuar:
3. 310
10. Efectuar: L =
2a + 3a
2- a + 3- a
3. Reducir: L = a
3
15. Reducir: M=
n
-
+ 25- 4
64 n + 162n
8 n + 32 n
Tú puedes
1. Reducir:
a) 4
d) 3
0
3
4
1 -1
;(− 2) + (− 2) + (− 3 ) + 4 3 E
b) 2
e) 1
c) 0
a) 6
d) 12
-
53
b) 8
e) 20
a) 1
d) 4
Colegios
18
TRILCE
1/3
b) 2
e) 5
c) 3
57
+ 20 + 31
c) 10
5. Halle el exponente final de "x" luego de reducir
la siguiente expresión:
a) –2
d) 1
3. Simplifique la expresión "S":
S=3
3
M = = 8 . 18 − 3500 − 5 − 1G
4
a) 1
d) 4
-2 1
-4
2. Calcular: E = ` 1 j
36
4. Calcule el valor de "M":
b) –1
e) 3
x.
5
x2 .
3
x 7 . x4
c) 0
x+ 2
+ 2 .3x + 1
2 . 3x + 1 − 3x
b) 2
e) 5
c) 3
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Capítulo
4
Ecuaciones exponenciales
Lectura: Vieta Francisco (1540 - 1603)
Matemático francés, nacido en Fontenay-le-Comte y fallecido en París.
La más espectacular de sus virtudes, fue su capacidad para descifrar
enigmas, llegando incluso a descifrar, las claves utilizadas por el rey
Felipe II de España. Tomó las matemáticas como pura diversión,
y sin embargo, llegó a elaborar un gran trabajo en Álgebra y
Trigonometría.
Fue el primero en utilizar letras para simbolizar incógnitas y
constantes en las ecuaciones algebraicas; de esta manera el libro
que escribió en 1591, Isagoge in artem analiticam se considera
como el primer libro de Álgebra con la notación actual. Por esta
razón se le llamo padre del Álgebra Moderna.
También fue aficionado a la Geometría, calculando el número “pi”
con una aproximación correcta de diez decimales.
En este capítulo aprenderemos
Ecuaciones exponenciales
.. Los principios básicos para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
.. A las ecuaciones exponenciales; y sus criterios básicos de resolución.
.. Los criterios básicos para resolver ecuaciones exponenciales:
–– Potencias de bases iguales.
–– Potencias de exponentes iguales.
x
4
–– Resolución por comparación (x =4 ).
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Segundo año de secundaria
19
4
Capítulo
Síntesis teórica
Ecuaciones
exponenciales
Ecuación
Definición
Criterios básicos de
resolución
Ecuación de primer
grado
Potencias de
bases iguales
Potencias de
exponentes
iguales
(exponente cero)
Principios básicos de
resolución
Teoría de exponentes
Colegios
20
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
Reducir las siguientes expresiones:
4. 4x − 1 = 5
3
1. –5x+6x–7x+11x
2. –7(x+4)
5. 5x+8=3x+30
Resolver las siguientes ecuaciones:
3. 3x–2=91
Aplica lo comprendido
1. Resolver: 5
x–2
2. Resolver: 7
2x–3
4. Resolver: 49
=25
=3
=343
x–5
2x–3
5- x
5. Resolver: ` 1 j
= 9x + 1
3
3–x
3. Al resolver la ecuación 7
Indicar el valor de: 3x+1
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x–2
=49
x–1
Segundo año de secundaria
21
4
Capítulo
Aprende más
1. Resolver: 8
x–2
=4
a) 6
d) 10
2. Resolver: 4
b) 5
e) 11
x–1
. 5=5
a) 1
d) 4
3. Resolver: 7
x+3
x–1
c) 12
a) 1
d) 4
.4
b) 2
e) 5
3x–2
=49
1
5
d) 5
6
4. Resolver: 45
e)
x- 2
=425
a) –2
d) 1
1
3
d) 2
a) 2
d) 5
x+ 1
c)
x @3
4
3
6. Determinar el valor de “x”, al resolver:
22
a) 7
d) 10
7. Hallar “x”, si (4
7x - 1
2x + 3
x+1
a) 10
d) 15
)(8
x–1
c) 9
)=16
c) 14
5x + 1
d) 1
3
e)
22
= 1253
a) 2
b) 3
d) 5
e) 1
Colegios
TRILCE
= 279
1
3
d) 5
3
c) 3
x- 5
= 312525
1
1
1
(
y–12 )
b
b) 2
3
e) 3
a)
)
c)
= b 8y
4
3
x+ 2
c) –15
b) 15
e) –5
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
= 3- 1
c) 5
x+ 3
c)
1
2
c)
1
5
1
4
2x + 1
9. Hallar “x” en: 53
b) 2
e) 5
=9
a) 10
d) –10
x–3
-1
8. Encontrar el valor de “x”: 33
b) 2
)=(192) . (3
- 25- x
15. Hallar "x+3"; en: 9- 32
x+3
b) 13
e) 20
a) 1
c) 4
13. Encontrar el valor de "y", si:
14. Resolver: 55
= 48
b) 8
e) 11
x+3
a) 1
d) 4
c) –4
b) 3
4
e) 1
2
2x
b) 3
e) 6
12. Resolver: (3). (2
5. Encontrar el valor de “x”, al resolver: 6 3
c) 3
= 84 , se obtiene como
solución la fracción irreductible: a ; indique
b
a+b.
c) 6
5
b) –3
e) 2
a)
2x
2–x
1
6
b) 2
e) 5
11. Al resolver: 163
c) 3
b) 6
a)
10. Calcular el valor de “x” en:
x+1
x–1
x
+3 +3 =351
3
x+ 5
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
1. Resolver: 5
3x–2
2. Resolver: 936
=25
x- 1
x+9
= 9216
2x + 1
3. Hallar "x" en: 74
5x + 1
8. Resolver: 33
x+ 1
3x
Se
obtiene
93
2x - 1
x+1
x
+5 +5
x–1
=3875
3x
= 2434
la
fracción
16
8x
7. Resolver: 23
9
x
–5
11. Si: 216 . 6 =6 , hallar el valor de x
- x- 1
- 27
irreductible:
indique: m+n
6. Resolver: x81 = x3
x+ 3
= 59
- x- 1
8- 9
10. Resolver: 9
=1
3
= 492
4. Calcular el valor de "x" en: 5
5. Al resolver: 815
9. Resolver: `53 j
= 279
3x
4x
m
n
12. Si: 25- 8
= 5- 1, hallar: x+1
x
13. Resolver: 6x8 @
4- x
14. Si: 11
12
= x16
a25 + a n = a . Determinar "n"
a3 + a n
2a + 2
= 512
15. Si 5 a 1 = 24 , encontrar "a"
10 -
Tú puedes
4. Hallar "x"; en: x - 1 x = 3 4
712 + 7 x + 5 = 7
7 x + 73
1. Hallar "x", si 7
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
a) 2
d) 40
c) 3
b) 4
e) 54
1/3
2. Resolver: x = 1 .
2
x
–1
–2
b) –2
–3
e) –2
a) –2
–3
d) 2
c) 2
9
3
5. Hallar "x" en: xx
=
–6
b) 3
–9
e) 3
a) 3
–3
d) 3
Indicar el producto de soluciones.
3
c) 32
–2
c) 3
–8
–2
n
3. Hallar "x"; si xx =n
a)
n
–1
d) n
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b) 2 n
–2
e) n
c) n n
Segundo año de secundaria
23
5
Capítulo
Valor numérico en polinomios
Lectura: Legendre, Adrien-Marie (1752-1833)
Matemático francés nacido el 18 de septiembre de 1752 en París y fallecido el
10 de enero de 1833 en la misma ciudad, a quien se deben gran parte de
los métodos de análisis matemático de las teorías físicas. Fue miembro del
Instituto y catedrático de Matemáticas en la Escuela militar de París, e
hizo grandes adelantos en varias ramas de la ciencia, pudiendo citarse su
teorema sobre la solución de los triángulos esféricos de lados pequeños,
sus descubrimientos sobre la teoría de números, su método de los
menores cuadrados, etc. Dejó asimismo muchas obras de mérito, como
son: Elementos de geometría; Ejercicios de cálculo integral; Tratado de las
funciones elípticas y de las integrales eulerianas; Teoría de los números;
Investigaciones sobre la figura de los planetas; etc.
En este capítulo aprenderemos
Valor numérico en polinomios
.. La notación polinómica; sus elementos y características.
.. Las diferentes formas de hallar el valor numérico de un polinomio (casos P(x); P(x+a); P(x−a); P(ax±b))
Colegios
24
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Valor Numérico en Polinomios
Notación
polinomica
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Estrategias para calcular
el valor numérico de un
polinomio de una, dos o
más variables.
Segundo año de secundaria
25
5
Capítulo
Saberes previos
10
4. Efectuar: 9.3 −27.3
1. Completar:
Polinomio
M(x)=–4x
9
Variables Exponentes Coeficiente
3
2 5
T(x;y)=8x y
2. Efectuar: C=–5+7–3–10–8+23
2
5. Sea: P=(x+5)(x+2)+x –xy
Hallar el valor que toma "P", si: x=3 ∧ y=5
2
3
3. Efectuar: A=(–2) +(–1) +(2)(–5)–(–1)
2
Aplica lo comprendido
2
2
1. Si: P(x)=x +5x+1
Hallar: P(1)+P(−1)
2. Sea: P(x;y)=3xy–2xy
Hallar: P(2;–2)
4. Sea: M(x−5)=x –3x
Hallar: M(1)
2
10
5. Sea: P(x)=25x –125x
Hallar: P(5)
9
3. Sea: F(x−1)=4x+3
Hallar: F(3)
Colegios
26
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
2
1. Si: A=x +2xy, hallar el V.N. de "A" cuando:
x=5; y=–2
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
2. Si: P(x)=8x +2x –x+ 3
2
3
2
2
1
2
d) 7
2
b) 3
2
e) 4
2
3. Si: M(x;y)=(x+y) –(x–y)
Calcular: M(0;5)
a) 0
d) 16
c) 5
2
2
b) 1
e) 25
2
c) 4
3
b) 6
e) 15
b) 4
e) 49
c) 9
c) 25
b) 4
e) 25
c) 9
7. Si "B", es el cuadrado de la suma de "x" y el
doble de "y", hallar el valor de "B" si: x=5; y=–10
a) 100
d) 226
b) 220
e) 625
5
a) 44
d) 50
c) 3
b) 46
e) 52
c) 48
11. Si: Q(3x−1)=3−8x
Hallar: Q(2)−4.Q(−4)
b) −49
e) −52
c) −47
2
12. Si: P(5x+3)=x –4x+2
Hallar: P(−2)+3.P(3)
b) 12
e) 15
2
c) 13
2
13. Si: R=x –48 , hallar el V.N. para: x=50
a) 200
d) 194
b) 198
e) 192
c) 196
2
14. Si: M=(x+y)(x–y)+y ; hallar el V.N. para:
x=100; y=89
a) 1
d) 1000
2
6. Si: A(x)=x –60x+900, hallar: A(31)
a) 1
d) 16
b) 2
e) 5
a) 11
d) 14
5. Si "E" es el cuadrado de la diferencia de "x" y
"4", hallar el V.N. de "E" cuando: x=–1
a) 0
d) 36
a) 1
d) 4
a) –48
d) −50
4. Si: A(m;n)=m +n +3mn
Hallar: A(−2;−1)
a) 3
d) 12
94
10. Si: P(x−2)=4x+11
Hallar: P(2)+P(0)
Calcular: P ` 1 j
a)
99
9. Si: P(x)=2x −64x +x+1
Hallar: P(2)
b) 10
e) 10000
c) 100
b) 25
e) 38
c) 28
2
15. P(x–3)=2x –5x
Hallar: P(2)+P(0)
a) 15
d) 35
c) 225
4
8. Si: P(x)=27x −81x +x
Hallar: P(3)
a) 0
d) 1000
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b) 1
e) 27000
c) 3
Segundo año de secundaria
27
5
Capítulo
Practica en casa
2
2
1. Si: M(x;y)=3x –xy
Hallar: M(1;3)
2
2
10. Si: G=(x+2y)(x–2y)–x
Hallar el V.N. cuando: x=100; y=–1
2. Si: P(x)=27x +9x
Hallar: P ` 1 j
3
2
9. Si: F=x –y ; hallar el V.N. de "F" para:
x=38; y=22
2
3. Si: P(x;y)=(x+y) –(x–y)
Hallar: P(–1;4)
2
2
2
2
4. Si: M(x;y)=x –2xy+y
Hallar: M(15;10)
5. Si: Q(x;y)=x +2xy+y
Hallar: Q(20;–10)
2
98
96
11. Si: M(x)=4x –16x +x
Hallar: M(2)
2
12. P(x)=(x+3) +5x
Hallar: P(0)+P(1)+P(–2)
3
13. Si: M(x)=x
Hallar: M(–1)+M(–2)+M(3)
2
6. Si: A(x)=x –40x+400
Hallar: A(22)
14. Si: P(x–2)=3x+8
Hallar: P(9)
7. Si "R" es el cuadrado de la suma de "x" e "y",
hallar el valor de "R" cuando x=–5; y=8
15. Si: Q(x+3)=5x–7
Hallar: Q(2)+Q(5)
2
8. P(x;y)=2xy+y
Hallar: P(0;2)+P(0;5)
Tú puedes
2 1–x
1. Cuál es el valor numérico de: (2–x–x )
x=–2
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
99
a) 184
d) 189
94
b) 2
e) 5
c) 3
Colegios
28
TRILCE
b) 185
e) 200
c) 187
2
2
(a+b+2c) +(a+b–2c) =8(a+b)(c)
Calcular el valor de: E = ` a − c j
c−b
3
3. Si: P(x;y;z)=x +xy+xz+yz
Hallar: P(–3;3;–2)
b) 1
e) 4
2
5. Sabiendo que:
2
a) 0
d) 3
2
4. Si: P(x;y)=(3x+y)(9x –3xy+y )
Hallar: P(2;–3)
c) 2
2. Si: P(x)=3x –729x +x+1
Calcular: P(3)
a) 1
d) 4
; para:
c) 2
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
Central: 6198 – 100
Capítulo
6
Teoría de grados
Lectura: El triángulo de Pascal
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación
de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.
Es llamado así en honor al matemático francés Blaise
Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité
du triangle arithmétique. También se le denomina como
Triangolo di Tartaglia debido a que el matemático italiano
Niccolò Fontana Tartaglia fue el primero en describirlo en un
tratado de la primera mitad del siglo XVI.
En regiones como Uretra, India o Persia, esta formulación
era bien conocida y fue estudiada por matemáticos como
Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus
aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar
Kayam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo
de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo
describió en el año 1303.
En este capítulo recordaremos
Teoría de grados
.. Concepto de grado.
.. Grado relativo para monomios y polinomios.
.. Grados absoluto para monomios y polinomios.
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Segundo año de secundaria
29
6
Capítulo
Síntesis teórica
Grado
Concepto
Grado
Grado
Relativo
Absoluto
Para monomios y
polinomios
Colegios
30
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
5 7 3
9 5
8 7
6 6
1. Dada la expresión: M(x;y)=6x y z
Indicar:
• Las variables
• Los exponentes de las variables
4. Dada la expresión: A(x;y)=x y +x y +x y
Indicar:
a) El mayor exponente de "x".
b) El mayor exponente de "y".
2. Calcular la suma de coeficientes de:
4
3
2
E(x)=x +2x +3x +4x+5
5. Halla "x" en cada caso:
a) x–3=11
a–2
a–3
a–1
3. De la expresión: P(x)=x +x +x
Calcular el valor de "a", si el mayor exponente
de "x" es 5.
b) x+2=7
Aplica lo comprendido
8 7 10
5 10
1. Si: H(x;y)=5x y z
Calcular:
G.R(x)=
G.R(y)=
G.R(y)=
G.A.=
G.A.=
2. Si el grado relativo de: M(x)=3x
Calcular: "a"
7 8
2 12
4. Del polinomio: E(x;y)=x y +x y +x y
Calcular:
G.R(x)=
a–2
es 5
7
6
5. Del problema: A(x;y)=x +y +1
Hallar:
G.R(x)=
G.R(y)=
3. Si el exponente de la variable es un número
12/a
entero positivo en: R(x)=8x
Calcular la suma de los posibles valores que
puede asumir "a".
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G.A.=
Segundo año de secundaria
31
6
Capítulo
Aprende más
8 6
1. Del monomio: H(x;y)=3x y
Calcular: G.R(x)–G.R(y)
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
9. Calcular el valor de "a", en:
a+2
a+1
a+3
a
+x
+x
+x
H(x)=x
si: G.R(x)=21–2a
c) 3
2. Calcular: "a+b", si G.R(x)=3 ∧ G.R(y)=5, en:
a a–7 b+7
P(x;y)=2 .x .y
a) 11
d) 8
b) 10
e) 7
c) 9
3. Si el G.R(x)=2, calcular el grado absoluto del
m–3
10+m
.y
monomio: R(x;y)=–7x
a) 17
d) 15
b) 12
e) 13
c) 19
4. Si los monomios:
m
2m–1
A(x;y)=5x . y
5m
m–13
B(x;y)=–6x . y
Poseen igual grado absoluto, calcular "m".
a) 3
d) 5
b) 2
e) 6
2m+3 3
a) 13
d) 16
3n–5 2
c) 8
7 6
5 10
c) 15
11. Calcular m+n en el polinomio:
m–2 n+3
m+1 n–3
m–3 n+5
A(x;y)=x
y
+x
y +x
y
si el grado absoluto de "A" es
además: m>3 ∧ n>3
a) 12
d) 15
b) 13
e) 16
6 8
7. Del polinomio: P(x;y)=3x y +4x y +2x y
Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A
c) 14
a–1
17–a
b) 39
e) 31
c) 45
a) 85
d) 90
b) 87
e) 76
c) 98
14. Si la suma de coeficientes del polinomio:
a–3
a–2
a–1
K(x)=(a+2)x +(a+1)x +(a+3)x
es 21, calcular su grado absoluto.
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
2
a) 32
d) 28
b) 36
e) 26
8. En el polinomio: F(x;y)=x
G.R(x)=10 ∧ G.R(y)=8
Calcular: "a.b"
a) 35
d) 30
Colegios
32
TRILCE
b) 36
e) 31
c) 30
a+5 5
7 b+2
.y +x .y
15,
13. Del polinomio:
a–3
a/2
a/3
31–a
N(x)=x +x +x +x
Calcular la suma de los posibles valores de "a"
c) 24
b) 7
e) 10
b) 14
e) 17
a/3
6. De: H(x;y)=8(x
) .(y
)
Se sabe que el grado absoluto es 47, calcular
"m+n"
a) 6
d) 9
c) 7
10. Calcular el valor de "m", en:
m–5
m–3
m–7
10
+x
+x
+x
R(x)=x
si el grado absoluto es 13
a) 40
d) 63
b) 16
e) 22
b) 6
e) 9
12. Del polinomio: H(x)=x +x +x
Calcular la suma de los posibles valores de "a".
c) 4
5. Calcular el coeficiente de:
3a–2
2b–3
.y
M(x;y)=(2a+3b)x
si: G.R(x)=13 ∧ G.R(y)=5
a) 18
d) 20
a) 5
d) 8
2
15. Del polinomio: P(x;y)=3x35 - a .y5 + 7x2 .y3b - 11
2
2
se sabe que: G.R(x)=a +3 ∧ G.R(y)=b +7
identificar un valor de "a+b"
a) 8
d) 2
b) –3
e) 5
c) –1
c) 20
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
7 8 3
1. Del monomio: E(x;y;z)=5x y z
Calcular: 2(G.R(x))+3(G.R(y))–5(G.R(z))
2. Si el G.R(y)=8, calcular el grado absoluto del
3m–2 m+3
y
monomio: H(x;y)=12x
3. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=5
a+3 b–8
.y
en: M(x;y)=–10x
calcular: "a+b"
12. Calcular la suma de los posibles valores de "a",
a/5
a–3
32–a
en el polinomio: P(x)=x +x +x
5. Calcular el coeficiente de:
5a–3 4b–1
S(x;y)=(3a–2b)x
.y
si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=15
43–a
2n–1 6
6 11
8
7. Del polinomio: H(x;y)=5x y +3x y +4x y
Calcular: G.A.+G.R(x)–G.R(y)
m+7 8
a–1
a/2
a/5
13. Del polinomio: E(x)=x
+x +x +x
Calcular la suma de posibles valores de "a".
6. De: A(x;y)=(x
) .(y
)
se sabe que el grado absoluto es 48, calcular
"m+n"
9 5
10. Calcular el valor de "m", en:
m–4
m–6
m–2
13
A(x)=x
+3x
+x
+x
si su grado absoluto es 18.
11. Del polinomio:
m–5 n+4
m+3 n–6
m–2 n+5
H(x;y)=x
y
+x
y +x
y
se sabe que el G.A(H)=16
Calcular: "m+n"
4. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=4
5a+2 b–5
.y
en: E(x;y)=(3a–2b)x
calcular el coeficiente.
4m–2 3
9. Calcular el valor de "a", en:
a+5
a+7
a+2
a+1
+x
+x
+x
P(x)=x
si: G.R(x)=35–3a
3 n+4
8. Del polinomio: E(x;y)=x
y +x y
se sabe que: G.R(x)=16 ∧ G.R(y)=14
calcular el valor de "m+n"
14. Si la suma de coeficientes del polinomio:
a–4
a–3
a–1
R(x)=(a+5)x +(a–3)x +(a+1)x
es 27, calcular su grado absoluto.
2
2
15. Del polinomio: M(x;y)= x9 + a .y7 + x4 .y2b + 1
2
2
se sabe que: G.R(x)=2a +5 ∧ G.R(y)=b +10
Calcular el mínimo valor de "a+b"
Tú puedes
m n p
1. En el monomio: E(x;y;z)=2012.x .y .z
la suma de sus grados relativos tomados de 2 en
2 es 9, 10, 11 respectivamente, calcular el valor
p- n
de:
m + n ; además GR(y)<GR(x)<GR(z)
a) 1
d) 5
b) 2
e) 7
c) 3
2. Calcular: m.n, si G.A(p)=11,
n+3 m–2
n+2 m–3
y
+x
y
, si además:
en: P(x;y)=6x
G.R(x)–G.R(y)=5
a) 25
d) 24
b) 30
e) 16
3. Si el grado del monomio: P(x;y;z)=
c) 21
www.trilce.edu.pe
b) 5
e) 8
a) 8
d) 2
b) 5
e) 7
c) 10
5. Calcule la suma de posibles valores de "n", en:
n- 2
19 - n
H(x)=2x 3 + 3x 2
si es un polinomio.
a) 27
d) 33
b) 30
e) 35
+ 4x
n
c) 31
xa - b .ya + b
w b - a .za + b
es 16. Hallar el grado de: S(x;y;z;w)=
a) 4
d) 7
x n - 2 . 7 x3 n
4 n+ 1
x
es de grado 2. Calcular el valor de "n".
4. Si el monomio: P(x)= 3
xa . y b
w b . za
c) 6
Segundo año de secundaria
33
7
Capítulo
Polinomios especiales
Lectura: El objetivo del Álgebra
"En el mundo laboral nos encontramos diariamente
con problemas referentes al cálculo de cantidades e
incógnitas, lo cuál exige de operadores competentes y
eficaces para resolver dichas dificultades de un modo
optimo".
FUENTE: http://google.com.pe
En este capítulo aprenderemos
Polinomios especiales
.. Polinomio homogéneo.
.. Polinomio completo (propiedad).
.. Polinomio ordenado.
.. Polinomios idénticos.
.. Polinomio idénticamente nulo.
Colegios
34
TRILCE
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Álgebra
Síntesis teórica
Polinomio Homogéneo
Polinomio Completo
Polinomios
Especiales
Polinomio Ordenado
Polinomios Idénticos
Polinomio Idénticamente Nulo
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Segundo año de secundaria
35
7
Capítulo
Saberes previos
5 4 6 3
4 2
1. En: P(x;y;z)=3 x y z
Determinar:
•
G.R(x)= ______________________________
•
G.R(y)= ______________________________
•
G.R(z)= ______________________________
5 4
4 7
3 5
4. Dado el polinomio: S(x;y)=7x y –3x y –y
Determinar: G.R(x)+2G.R(y)–G.A(S)
2 8
2. En Q(x;y)=x y +2x y –3x y
Determinar:
•
G.R(x)= ______________________________
•
G.R(y)= ______________________________
•
G.A(Q)= ______________________________
9
5. Hallar el valor de "x" en:
a) x+3=15
b) x–4=10
c) 3x–5=2x+1
3 7 9
3. Dado el monomio: P(x;y)=6 x y
Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A(P)
d) 4x–1=2x+7
Aplica lo comprendido
1. Hallar: "a–1"; si el polinomio:
a+3 7 6 8
y –x y es homogéneo.
P(x;y)=5x
4. Si: (a–3)x+16 ≡ 5x+2b
Hallar: "a.b"
2. Dado el polinomio completo:
4
2
b
Q(x)=x –2x +5x +3x+7
Hallar el valor de "b"
2
5. Si: (m–5)x +(n+1)x+(P-2)≡0
Hallar: "m+n+p"
3. Dado el polinomio completo y ordenado en
a+1
b–2
c–3
forma decreciente: P(x)=x
+x +x +5
Calcular: "a+b+c"
Colegios
36
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
9. Si el polinomio es completo y ordenado en forma
n–1
m–2
p–3
a
+x +5x
creciente: P(x)=2a+x +3x
Hallar: m+n–p+a
1. Calcular "a"; si el siguiente polinomio:
3+a 2
4 7
y –5x y es homogéneo
Q(x;y)=x
a) 6
d) 7
b) 3
e) 11
c) 5
2. Calcular: "a+b"; si el polinomio:
4 a
b 5
2 8
M(x;y)=3x y –5x y +2x y es homogéneo.
a) 10
d) 12
b) 9
e) 11
c) 8
2
3. Calcular: m+n , si el siguiente polinomio:
m–1 4
m+1 n 9 5
y +7x
y –x y es homogéneo.
P(x;y)=x
a) 14
d) 17
b) 15
e) 18
c) 16
n 3 m+2
n–3 4
–3x y
4. Dado el polinomio: N(x;y)=2 x y
tiene como grado de homogeneidad a 15;
calcular "m.n".
a) 140
d) 180
b) 150
e) 190
c) 160
c) 9
2
6. Calcular: a +b ; si el siguiente polinomio:
5
2
a
4
a+b
–7
P(x)=x –6x +3x +x –5x
(b>a) es completo
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
c) 7
7. Dado el trinomio ordenado:
4
a
P(x)=x +x +2; (a ! Z+ )
Calcular la suma de los posibles valores de "a".
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
c) 8
a
b
2
c
8. Si el polinomio: P(x)=18x +x +2x –x +5
es completo y ordenado en forma decreciente,
hallar: "a+b+c"
a) 7
d) 10
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b) 8
e) 11
c) 7
10. Hallar el término independiente del siguiente
polinomio completo y ordenado:
2013
a
n
5
a–2010
+x +...+x +x +...+2n
P(x)=x
a) 64
d) 18
b) 32
e) 72
c) 16
11. Dada la identidad:
2
2
(a–1)x +(b–2)x+12 ≡ 3x +x+3c
Calcular: a+b+c
a) 12
d) 9
b) 3
e) 6
c) 11
12. Calcular: "m.n"
Si: (m+n–3)x+m–n ≡ 8x+7
b) 16
e) 22
c) 20
2
b) 16
e) 1
2
b) 5
e) 8
a) 5
d) 18
5. Sea el polinomio completo:
4
2
a
P(x)=x +x –3x +1+x
2
Hallar: a
a) 4
d) 25
a) 3
d) 4
13. Si: (a–8)x +(b–5)x+(c+3) ≡ 0
Hallar: a + b + c
5
a) 2
b) 5
d) 10
e) 1
c) 1/2
14. Dado el polinomio:
2
P(x)=(a–9)x +(b–6)x+(3c–15)
es idénticamente nulo, hallar: a + b + 2c
a) 5
d) 6
b) 3
e) 7
c) 2
15. Dado la identidad:
2
2
2
2
(a –8)x +(b+2)x+16 ≡ x +5x+c
Hallar el máximo valor de: a+b+c; (c<0)
a) 10
d) 2
b) –4
e) 5
c) 6
c) 9
Segundo año de secundaria
37
7
Capítulo
Practica en casa
m
2. Calcular: m–n; si el siguiente polinomio:
7 m 5
6 n
3 9
P(x;y)=5 x y –3x y –7x y es homogéneo.
n–4 5
4. Dado el polinomio: N(x;y)=2x y
–4x y
tiene como grado de homogeneidad a 16,
hallar "n–m"
5. Si el polinomio:
a–2b a+b
b a+2b
a–b 8
P(x;y)=x
y
–5x y
+7x y
es un polinomio homogéneo, el valor de:
E=(a+b)ab es:
p
11. Hallar el término independiente del siguiente
polinomio completo y ordenado.
215
a
n
4
a–212
P(x)=x +x +...+x +x +...+3n
12. Calcular "m.n"
Si: 3ax+12 ≡ 24x+4b
13. Dada la identidad:
2
2
(a+1)x +(b–1)x+3 ≡ 4x +5x+c
Hallar: a+b+c
4
2
14. Si: (a–3)x +(b+2)x +(5–c) ≡ 0
Hallar: a + b + c
3
6. Sea el polinomio completo:
6
5
m
2
4
A(x)=4x +x +x +x+x +3+x
Hallar: "5–m"
2
2
10. Si el polinomio es completo y ordenado en forma
n–1
m–2
p–3
a
creciente: P(x)=3a+x +x
–4x +x
Hallar: m+n+p–a
3. Dado el polinomio homogéneo:
a+3
a–1 b+2
b+8
P(x;y)=ax
–abx y
+2by
Hallar: "a.b"
4 m+3
n
9. Si el polinomio: Q(x)=2013x +x +3x –5x +7
es completo y ordenado en forma decreciente,
hallar: m+2n–p
1. Calcular "a" si el siguiente polinomio:
5 8
4+a 3
y es homogéneo
Q(x;y)=x y –3x
2
7. Calcular: m +n ; si el siguiente polinomio:
4
2 m
m+n
+4; (n>m) es completo
S(x)=x +7x –x +x
m
5
8. Dado el trinomio ordenado: P(x)=5+2x +x
Calcular la suma de los posibles valores de "m".
15. Dada la identidad:
2
2
2
2
(a –2)x +(b–3)x+c ≡ 2x +4x+25; a>0
Hallar el mínimo valor de a+b+c
Tú puedes
1. Si el polinomio:
2b a+2
2a 4b
+10bx y
P(x;y)=5ax y
es un polinomio homogéneo, calcular P(1;1)
a) 5
d) 20
b) 10
e) 25
c) 15
2. Si el polinomio:
m–2 n–1 7
2n–3
y (x +y
)
P(x;y)= 5 x
es homogéneo cuyo grado de homogeneidad
es 16, determinar los valores de m y n
respectivamente.
a) 2;6
d) 5;8
b) 7;5
e) 6;9
c) 6;8
4. Si los polinomios:
2
P(x)=mx(1+x)+n(x+p)+x
2
Q(x)=3x +8x+12
son idénticos , hallar: m+n+p
a) 5
d) 14
b) 10
e) 16
c) 13
5. El polinomio:
2
2
P(x)=x(ax +bx+c)–2x(bx +cx+d)+2d–1
es idénticamente nula, halla: acd abcd
a) 8
d) 2
b) 6
e) 1
c) 4
3. Si el polinomio:
a+b
a+2 2a
a
a–1
+x
–x +3x +x
P(x;y)=ax
es completo y ordenado, hallar el valor de "b+1"
a) 12
d) 2
Colegios
38
TRILCE
b) 6
e) 1
c) 4
Central: 6198 – 100
Capítulo
8
Multiplicación algebraica
Lectura: Al-Khwarizmi, el álgebra y los algoritmo
Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe,
nacido en Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año 780.
Entonces reinaba el califa Harun al-Rashid, quinto califa de la
dinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun, tuvo dos hijos
y a su muerte, hubo una guerra de sucesión entre los dos hermanos,
al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra al-Mamun y al-Amin fue
ejecutado en 813.
al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había
iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñaban
filósofos y científicos griegos. También construyó una biblioteca y
un observatorio astronómico.
Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y
astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra,
aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el
pensamiento matemático.
La obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primera
vez, en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha influencia
en las matemáticas de la época. La traducción del título de la obra
era complicado, por lo que los traductores optaron por latinizar el título, convirtiéndolo en aljeber que
acabó derivando en el actual álgebra.
La palabra jebr se refiere a la operación de pasar al otro lado del igual un término de una ecuación y la
palabra muqabalah se refiere a la simplificación de términos iguales.
La versión latina del tratado de al-Khwarizmi sobre álgebra fue responsable de gran parte del conocimiento
matemático en la Europa medieval.
Otro libro de al-Kharizmi fue De numero indiorum (Sobre los números hindúes). En este libro se dan las
reglas para hacer las operaciones aritméticas. Estas reglas se denominaron como las reglas de al-Kharizmi
y por deformación de la palabra llegó al término actual algoritmo.
Su trabajo con los algoritmos introdujo el método de cálculo con la utilización de la numeración arábiga y
la notación decimal. Las matemáticas le deben a al-Khwarizmi la introducción del sistema de numeración
actual y el álgebra.
Murió alrededor del año 835.
En este capítulo aprenderemos
Multiplicación algebraica
.. Multiplicar un monomio por otro monomio.
.. Multiplicar un monomio por un polinomio.
.. Multiplicar un polinomio por otro polinomio.
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Segundo año de secundaria
39
8
Capítulo
Síntesis teórica
Multiplicación algebraica
Monomio por
monomio
Monomio por
polinomio
Polinomio por
polinomio
Colegios
40
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
4 3 6
1. Efectuar:
3
3
a) 4x –7x =
6
b) a .a .a =
4. Indicar verdadero (V) o falso (F):
6
b) –8a –4a =
2. Efectuar:
a) (–4)(5)=
•
3.5=5.3 ..........................................(
)
•
x.y=y.x ...........................................(
)
5. Calcular:
a) 5×3×4=
b) (–8)(–4)=
b) (–4)(–2)(–5)=
3. Efectuar:
a) x.x.x=
Aplica lo comprendido
2
4. Efectuar: (–4xy)(2x–3y)
1. Efectuar: (4x )(5x)
3
2
2. Efectuar: (–4xy )(–5x y)
5. Efectuar: (3x+5)(x–1)
2
3. Efectuar: (–2x )(2x+5)
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Segundo año de secundaria
41
8
Capítulo
Aprende más
2 3
4
6 4
2
1. Efectuar: (3x y )(–5x y)+14x y
6 4
8 3
a) x y
b) –x y
d) –x y
e) –x y
6 4
2
c) 29x y
4
2. Efectuar: x(x+6)–6(x–1)–x
a) 6x
b) 12x
d) 6
e) 12
2
c) 2x
2
3
4. Efectuar: 3x.2x .3x .5x
a) 13x
d) 90x
10
24
e) 90x
2 4
10
b) –96x y
d) –96x y
e) –16x y
9 7
d) 8x
e) 0
24 8
c) 64x y
d) 3x
c) 1
2
c) 2x
2
2
2
2
b) 3x y
4
4
2
4 4
c) 9x y–21x y
e) 6x y
a) –6(x +x)
b) 2
d) 5x
e) 0
14. Dados: A =
c) –6x
2
(a2 + 6a + 9) − (a + 4) (a + 2)
a) 2
d) –1
2
b) 1
e) 0
c) –2
2
15. Si: x +y =2
Hallar: (x + 2y) (x + y) − x (3y − x)
b) 3x
2
e) –2x
2
B = a2 + 8a + 16 − (a + 1) (a + 7)
Hallar: A–B
7. Dados: A=3x(x–2)
B=6x(x+1)
Hallar: A + B
a) 2x
d) 10
2
6. Efectuar: 3x(x–2)–(3x+2)x+8x
2
2
13. Efectuar:
2
2
2
2
(x +x–1)(x +x–2)–(x +x+1)(x +x+2)
4 2
a) 96x y
b) 9x
b) 10x
2
c) 90
10
c) 16x
3
3
d) –5x
3
a) 6x
e) 4
a) 5x
9 7
24 8
d) 0
4
12. Efectuar: (x +2y)(3y–5x )+6y(x –y)+x y
c) 4x
5. Efectuar: (–8x y )(–2x y)(–6x y )
9 7
b) 16x
2
4
b) 45x
6
a) 4x +16
a) 2x
b) 16x
e) 12x
2
11. Efectuar: (x–5)(x +2)–x +5x(x+2)–10(x–1)
2
3. Efectuar: (2x+1)(4x)–8x(x+1)
a) –4x
d) 0
3
10. Efectuar: A=x(x –2x+4)–(x –2x )
2
Hallar: A
c) 6
e) x
a) 4
d) 1
b) 2
e) 0
c) 3
2
8. Efectuar: (4x–6)(5x–8)–20x +62x
a) 32x+48
b) 30x
d) 48x
e) 30x
3
2
c) 48
3
9. Si: A=3x(2x –5x )–x (6x–16)
Hallar: 3 A
a) x
d) x
Colegios
42
2
TRILCE
b) 3 6 x
e) 2x
c) 3 6
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
2
2 4
4 5
2
1. Efectuar: (2a b)(–3a b )+5a b
2
2. Efectuar: x(x +5)–5(x–2)–x
11. Efectuar: (a+1)(a–1)(a +1)+1
3
2
3. Efectuar: 4x(2x+1)–8x(x–1)–11x
2
3
4. Efectuar: 4a.5a .3a .7a
2 4
4
3
4 2
13. Efectuar:
10
7
7
10
10
7
10
7
(x +x –1)(x +x –2)–(x +x +1)(x +x +2)
2
14. Si: A =
5. Efectuar: (–5a b )(–2a b)(6a b )
6. Efectuar: 4x(x–5)–(3x–2)x–x
2
2
A + B + 2x 2
2
3
4
15. Si: a +b =2
Hallar:
8. Efectuar: (5x–3)(3x–4)–15x +29x
2
a2 + 6a + 9 − (a + 5) (a + 1)
B = a2 + 8a + 16 − (a + 1) (a + 7)
Hallar: A–B
7. Si: A=5.(x –3)
2
B=3.(5+3x )
Hallar:
2
12. Efectuar: (a+1)(a –a+1)+(a–1)(a +a+1)
(a + 2b2) (a + b2) − a (3b2 − a)
3
9. Si: A=6x(2x +x )–x (6x–4)
Hallar: 3 4A
2
2
10. Efectuar: M= x. (x – x + 21) + x – x
x
Tú puedes
1. Dada
la
expresión:
P(x;y)=( n x3 y2) n - 1
cuyo grado es igual a 15. Halle el valor de su
coeficiente.
a) 4
d) 16
b) 6
e) 20
c) 8
n
3
2. Dado el polinomio cúbico: P(x)=4x .(3x –2x+n)
n+m+4 3–m
.(x
)
Halle el grado de: Q(x)=x
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
c) 8
4. Dada la identidad:
5
m
(5x+3)(2x–2)(x +3x–5) ≡ ax +...+bx+6k;
m ! N ∧ m>6
Hallar el valor de: a+m+k
a) 20
d) 23
b) 21
e) 24
c) 22
5. Halle el grado de:
8
3
4
2
5
P(x)=(x +4)(x +2)(x–1)+5x(x –3)(x +x+5)+3x (x–300)
a) 10
d) 25
b) 12
e) 27
c) 20
3. Halle el grado de siguiente polinomio:
4
2
R(x)=(x+2)(x–2)(x +4x +16)
a) 4
d) 7
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b) 5
e) 8
c) 6
Segundo año de secundaria
43
9
Capítulo
Repaso I
Lectura: Los descendientes de Carlomagno
Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser
un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto día topó con un
matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos:
“Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que
ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos
tiene dos padres, el número de ascendentes que contamos son 14, y
si nos remontamos 40 generaciones, el número de antepasados que
tiene usted es:
2
3
4
38
39
40
2+2 +2 +2 + ... +2 +2 +2 =22 199023, 255550
Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de
descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra
historia pensó “Poca sangre noble tiene este buen hombre”;
pero sigió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan
noble cuna.
FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com
En este capítulo recordaremos
Repaso I
.. Expresiones algebraicas; agregando además el concepto de grado para polinomios en una variable.
.. Teoría de exponentes.
.. Ecuaciones exponenciales.
.. Notación P(x)−Valor numérico
Colegios
44
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
4
4
4
4
1. Reducir: A=7ab –5a b+9a b–18ab
2. Efectuar: B = ` 1 j
4
-1
2
3
2
4. Sea: P(x)=4x –5x +4
Calcular: P(–1)
+ 50 − 811/4
5. Resolver: 7
3x–2
2–x
=49
33
3. Reducir: C = (a 3.b )2
(a .b)
Aplica lo comprendido
5
8
5
8
1. Reducir: P(x)=4x +x –9x +4x
4
3
2. Reducir: (–x) .(–x) .(–x)
3. Hallar "x"; si: 4
5
3x–1
=0,25
6. Hallar el grado de P
4 3
2 3
3 2 4
Si: P(x;y)=x y +5x y –7x y z
7. Dado el polinomio homogéneo:
2 a
4 b
3 8
P(x;y)=4x y +5x y –ax y ; hallar: "a.b"
3
a
b
8. Sea: P(x)=4x +2x +3x +70
un polinomio completo y ordenado, hallar
2
2
a +b
x x- 1
4. Calcular: Q = x9 1.5 x 1
3 - .15 +
9. Halle: Q(5)
si: Q(2x+1)=4x+3
5. Hallar el grado de Q
4 5 4 3 2
si: Q(x;y;z)=4x .y .z .y .z .x
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10. Resolver: 3 2x - 2 = 8x - 2
Segundo año de secundaria
45
9
Capítulo
Aprende más
1. Completar el siguiente cuadro:
Coeficiente
3
6
Variables
Exponentes
2 x 4 y2
7 xy3 z4
5
11. Resolver: 8
5 x 4 + 3y 2
a) 1
d) 16
2. Reducir:
2 3
2 3
2 3
A=x y –7xy+x y –3xy+8xy–2x y
a) xy
d) –2xy
b) –xy
e) 0
y ; 1x y
3
a) 0
d) 15
b) 1
e) 20
4 a+b
c) 10
a) 47
d) 50
b) 48
e) 52
c) 49
5. Efectuar: A=7 +4 –(–3) +2` − 1 j –3 5
3
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
0
0
0
0
0
6. Efectuar: B = 5.5.5....5 − (− 5) 58 .25
14
424
43
60 veces
a) –2.(5)
d) 0
60
b) –1
60
e) 2.(5)
c) 1
b) 1
e) 27
`^a2 bh3 aj
c) 3
5
8. Efectuar: D =
7
^a7 b3h
;
4
a) a b
d) ab
b) ab
e) 1
ab ! 0
3
7 3
c) a b
22
0
9. Reducir: A = 5 − 3 + `37 j − ^− 10h2
21
a) 0
d) 3
Colegios
46
TRILCE
12
b) 1
e) –3
b) 4
e) 32
13. Resolver: 425
c) 12
= 9x + 1
b) 6
e) –7
x+ 1
a) –4
d) 1
= 45
c) 7
x- 2
b) –3
e) 2
x+ 5
c) –2
2x + 1
= 53
a) 1/5
b) 1
d) 3
e) 5
15. Calcular el valor de "x" en:
x
x+1
x–1
+5 =3875
5 +5
a) 2
d) 8
b) 4
e) 10
16. Hallar "x" en: 4
x–2
a) 0
d) 3
=5
c) 2
c) 6
x–2
b) 1
e) 4
c) 2
2
17. Sea: P(x)=x –16x+64
Hallar: P(10)
a) 4
d) 64
b) 8
e) 128
c) 16
2
18. Sea: M(x+3)=2x +7x–25
Hallar: M(5)+M(4)
19 21 33 37
7. Efectuar: C = 3 .39 8.3 38.3
(3 ) .3
a) 0
d) 9
c) 3
x+3
14. Hallar "x" en: 1253
4. Dado el polinomio:
3 n+5
m+1 5
8 6
–3x
y –2x y
P(x;y)=4x y
Halle el valor de "m.n"; si P(x;y) es un polinomio
homogéneo.
20
=4
5- x
a–b 5
3. Dado los términos semejantes: 5x
2 2
Calcular: a –b
x–2
12. Resolver: ` 1 j
3
a) 1
d) –5
c) 2xy
4
)
10. Efectuar: M = (15) (45) (81
2 9 32
(3 ) .5
a) 1
b) 5
d) 9
e) 25
c) 2
a) –20
d) 10
b) –10
e) –19
c) 20
2
19. Sea: P(x)=x +1
Q(x)=5–3x
Hallar: P^Q (2)h + Q^P (1)h
a) 1
d) 2
b) 3
e) 4
c) 5
2
20. Sea: P (x) = ) x − 5; si x < 0
2x + 3; si x H 0
Calcular: P(–3)+P(1)+P^P ( 2)h
a) –1
d) 4
b) –4
e) 5
c) –5
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
1. Completar el siguiente cuadro:
Coeficiente
0
7
0
9. Efectuar: M = 23 − 51 + (23) 4 − (− 5) 2
Variables
Exponentes
7
5
)
10. Efectuar: N = 6 . (2245) . (632
6
(3 ) . (2 )
5 x3 y5
− 2 xy3 z4
3
11. Resolver: 25
x–2
=125
3
x–4
6 3
–7x y
12. Resolver: ` 1 j
7
3- x
2. Reducir:
7 2
3 5
7 2
3 5
7 2
A=–5x y +3x y +2x y –9x y +x y
2
2
4 n+1
m+2 4
= 72
x–1
+3 +3
3x–1
3x–1
0
0
6. Efectuar: B =S
3.3.3...3 − (3) 98 .81
102 veces
3
4
10
3
7. Efectuar: C = 3.3 .93 5.3 ....
25
(3 ) . (3 )
^(x3 y2) 5 y3h
x y
x+1
=117
0
2
17. Sea: M(x)=x –24x+144
Hallar: M(15)
2
18. P(x)=x +40x+400
Hallar: P(–18)
2
19. P(x)=x –5
R(x)=3x+7
Hallar: P(5)–R(7)+P^R ( 2)h
20. Si: S (x) = )3x + 2; si x H 0
x2 + 10; si x < 0
2
2
^ 10 13h
=9
x
x+ 5
9 5
5. Reducir: A = ^− 5h2 + ` − 1 j + 5 2 + 72
3
2
x- 2
14. Hallar "x" en: (49) 2
16. Hallar "x" en: 7
Q(x;y)=8x y
–2x
y –13x y
Halle el valor de m.n; si Q(x;y) es un polinomio
homogéneo.
www.trilce.edu.pe
= 32
15. Calcular "x"en: 3
4. Dado el polinomio:
8. Reducir: D =
x+ 1
x+5
2x + 1
3. Dado los términos semejantes:
b+8 a–7 2 7 9
7x
y ; x y
5
Calcular: a .b
13. Resolver: 34
=49
; xy ! 0
Hallar: S(–3)+S(–4)+ S^S ( 2)h
Segundo año de secundaria
47
9
Capítulo
Tú puedes
1. Calcular el valor numérico de:
xy
F (x; y) = 4 x (x − y) + 5 (x + y) −
3
4
5
Para: x= 1 ; y= 2
4
3
a) 443
60
d) 141
31
b) 331
30
e) 101
720
2. De: ` 4 ab2 − 5 bc2 + 7 a2 b2j
3
2
4
Restar: ` 2 bc2 − 9 a2 b2 − 3 ab2j
5
2
4
a) ab + 1 a b – 1 bc
4
10
2
2
2
2
b) 25 ab + 25 a b – 29 bc
12
4
10
2 13 2 2 19
2
c) ab + a b – bc
4
10
2
2 2
2
d) 25 ab + 25 a b + 29 bc
12
4
10
2
2 2
e) ab + 25 a b
4
2
Colegios
48
TRILCE
2 2
1
x- n + y- n n
3. El valor simplificado de: M = e n
o
x + yn
tal que xy! 0, es:
–1
c) 143
37
–1
a) x y
b) xy
–1
e) x/y
d) (xy)
4. Simplificar: P = 3
n + 1 1 - 2n
.9
+ 272 - n
81 (3 n)- 3
a) 9
b) 3
d) 1/3
e) 5
2
5. Simplificar: Q =
c) xy
c) 28/3
y.y3 .y5 .y7 ......."n" factores
;
y2 .y4 .y6 .y8 ......."n" factores
y! 0
a) y
d) y
–3
b) y
–1
e) y
–n
c) y
–2
Central: 6198 – 100
Capítulo
10
Productos notables I
Lectura: La multiplicación algebraica y la geometría
b
bx
ab
x
x2
ax
x
a
(x+a) (x+b) =
x2 + (a+b) x + ab
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término
común con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto
de los términos diferentes.
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
En este capítulo aprenderemos
Productos notables I
.. Desarrollo de un binomio al cuadrado.
.. Identidades de Legendre.
.. Producto de binomios conjugados (diferencia de cuadrados).
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Segundo año de secundaria
49
10
Capítulo
Síntesis teórica
Productos Notables I
Binomio al
cuadrado
Colegios
50
TRILCE
Identidades de
Legendre
Diferencia de
cuadrados
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
4. Siendo a y b dos números cualesquiera, exprese
literalmente las siguientes operaciones:
1. Reducir:
• 4x–7x+8x–2x=
3
3
3
•
El cuadrado de la suma de dos números
disminuido en su producto.
•
La suma de cuadrados de dos números.
•
El cuadrado de la diferencia de dos números
aumentado en su producto.
3
• –2y +6y +8y –12y =
2
2
2
2
• 12x –8x –9x +x =
2. Completar:
4 7 2
• x .x .x =
2
5. Efectuar:
22
• (3x ) =
3
• (2x )(–3x )=
2
4
• (–4a)(–2a )(–8a )=
33
• (2m ) =
3. Efectuar:
2
2
2
2
• 3(2x –5y )–6(3x –2y )=
3
2
2
52
• (–4x ) =
3
2
• –4(m –3n )+5(–2n +7m )+n =
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Segundo año de secundaria
51
10
Capítulo
Aplica lo comprendido
1. Efectuar:
2
a) (x+3) =
4. Efectuar:
a) (x+8)(x–8)=
2
b) (m–4) =
b) (3x–5)(3x+5)=
2. Efectuar: (2x+5)
3. Efectuar: (3x–4)
2
5. Efectuar:
2
2
a) (x+2) +(x–2) =
2
2
2
b) (y+3) –(y–3) =
Aprende más
2
2
2
2
a) 16x
d) x
b) 6x
e) 0
2
c) 16
2. Reducir: (x–3) +6(x–1)–x
a) 0
d) 3
2
2
3. Reducir: (3x+5) +(2x–3) –13x –34
a) 0
d) x+34
b) 1
2
e) x +18
2
c) 18x
2
4. Reducir: (2x+1) +(2x–3) –8x(x–1)
a) 1
d) 10
b) 2
e) 12
c) 4
a)
5
d)
5 /3
e)
c) – 5 /2
2
Colegios
52
TRILCE
b) 0
e) –13
4
4
b) x
8
e) y
a) 1
d) 6
2
b) 2
e) 4
8
c) x
2
2
2
c) 0
2
2
2
2
9. Efectuar: (x + 1 + 5 ) 2− (x + 1 − 5 )
x +1
a) x –1
2
b) x +1
2
d) 2 5
e) 4 5
c) 1
10. Si: a+b=9; ab=37
2
2
Hallar: "a +b "
b) 5
e) 9
c) 31
b) 86
e) 43
c) 46
11. Si: ab=29
a+b=12
2
5 /2
2
Hallar: "a +b "
6. Reducir: (x+7)(x–7)–(x–6)(x+6)+13
a) x
d) 17
8
a) 7
d) 4
2
2
5. Reducir: ( 5 + 1) 2 − ( 5 − 1) 2
( 5 + 1) + ( 5 − 1)
b) 0
4
8. Efectuar: (x+6) –(x–6) +(x+4) –(x–4) –40x
c) x
2
a) x
d) x
2
2
b) 1
e) 15
2
2
7. Reducir: (x–y)(x+y)(x +y )(x +y )+y
1. Reducir: (x+5) +(x+3) –2x –34
c) 1
a) 68
d) 76
2
2
12. Si: x +y =56; xy=44
Calcular el máximo valor de "x+y"
Central: 6198 – 100
Álgebra
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
13. Si: x–y=9; xy=3
2
2
Calcular: x +y
a) 47
d) 78
c) 12
b) 82
e) 74
a) 5 3 +6
b) 4+5 3
c) 2– 3
d) 3 5 –6
e) 10(1+ 3 )
15. Si: x+y= 5
x.y=2
y
Calcular: x +
y x
c) 87
14. Si: a=6+5 3
b=4+5 3
Calcular:
E=16 2 (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a8 + b8) − b16
a)
5
b) 1
d) 2
–1
c) 2
e) 5/2
Practica en casa
2
2
1. Reducir: (x+10) +(x+3) –2x
2
2
2
2. Reducir: (x–6) +(x+4) –(x+2)
2
3. Reducir: ( 7 + 2) ( 7 − 2) − ( 5 + 3 ) ( 5 − 3 )
2
2
4. Reducir: (3x+2) –(3x+1) –3(2x+1)
2
2
5. Reducir: (x+2) –(x–2) –4(2x–1)
6. Efectuar: (x+4)(x–4)+(5+x)(5–x)
2
2
4
4
8
7. Efectuar: (x+b)(x–b)(x +y )(x +y )+b –x
8
8. Efectuar:
2
2
2
2
(x+10) +(x–10) +(x+8) –(x–8) –2(100+16x)
9. Si: a+b=7 ∧ ab=16
2
2
Calcular: a +b
11. Si: a–b=11
a.b=6
2
2
Calcular: a +b
12. Calcular el mínimo valor de "x+y"
2
2
Si: x +y =55 ∧ xy=33
13. Si: a=9+7 5
b=7 5 +6
Calcule: E= 8 3 (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) + b8
2
2
14. Reducir: ( 7 + 1) 2 − ( 7 − 1) 2
( 7 + 1) + ( 7 − 1)
15. Si: a+b=9
ab=14
2
2
Calcular: a + b
ab
10. Si: a+b= 5 ; ab=3
2
2
Calcular: a +b
Tú puedes
x
y
2
b
2
2
2
2
1. Si: 2 +2 =a
x+y=b
x
y
entonces: 4 +4 equivale a:
2
a) a +2
2
d) a –2b
b
b) a –2 +1
2
b+1
e) a +2
2
c) a –2
b+1
2. Si: a +b = m +1
5. Si se cumple: a + b =
x +y = m –1
2
4. Si se cumple que:
2
2
x +y =2(3y+2x)–13; {x;y} ! R
x+y
Calcular:
5
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
ab =
2
Halle: (ax+by) +(ay–bx) –m
a) m
d) –1
b) 1
e) 0
3. Si: x+ 1 =3; calcular: E =
x
a) 0
d) 3
www.trilce.edu.pe
b) 1
e) 4
c) –m
(x3 + x5) (x7 + x3)
21x9
4
2+5
4+3
4
Calcular: "a–b" ; si: a>b
a) 2
b) –2
d) – 2
e) –1
c)
2
c) 2
Segundo año de secundaria
53
11
Capítulo
Productos notables II
Lectura: Construcción simultánea de un cubo y un producto notable
Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más
3
3
2
2
el cubo del segundo término. (a+b) =a +3a b+3ab +b
En este capítulo aprenderemos
Productos Notables II
.. Desarrollo de un binomio al cubo.
.. Suma y diferencia de cubos.
.. Producto de binomios con término común.
Colegios
54
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Productos notables II
Binomio al cubo
Suma y diferencia de
cubos
Binomios con término
común
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Segundo año de secundaria
55
11
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar:
• 3x (x+1)=
•
•
2
4. Efectuar:
• (4x+5)(4x–5)=
–2x . (x–3)=
2. Efectuar:
• (3x–5)(4x+1)=
•
2
(3x–5) =
•
2
2
(3x+4) –(3x–4) =
(2x+1)(3x–7)=
5. Efectuar:
2
• (x+6)(x –6x+36)=
3. Efectuar:
2
• (x+2) =
•
2
(x–5)(x +5x+25)=
Aplica lo comprendido
3
2
1. Efectuar: (x+5) =
2. Desarrollar: (3x+2)
4. Efectuar: (x+11)(x –11x+121) – x
3
3
4
2
5. Reducir: (m+2)(m–2)(m +4m +16)–m
3. Efectuar: (x–2)
Colegios
56
TRILCE
6
3
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
1. Efectuar: (x+5)(x+3)+(x+3)(x+4)–2x
a) x+27
d) 15x+7
b) 15x+27
e) 0
2
c) 27x+20
2. Efectuar: (x+1)(x+2)–(x+2)(x+3)+2x
b) –1
e) –4
a) 0
d) –3
c) –2
3. Efectuar: (x+2)(x+3)+(x–1)(x–3)–x–9
a) 10x
2
d) 2x
b) 0
e) 1
c) x
2
b) 10
e) 575
c) 875
b) 1
e) –2
3
b) –47
e) 101
c) 51
3
7. Al efectuar: (3x–2) se obtiene un polinomio de
3
2
la forma: mx +nx +px+q
Calcular: (m–n)+(p–q)
a) –3
d) 3
c) –18
E= (3 7 + 3 5 ) (3 49 + 3 35 + 3 25 ) − ( 7 − 3) ( 7 + 3)
a) 4
d) 7
b) 5
e) 14
c) 0
6. Si al desarrollar (2x+3) se obtiene el polinomio
3
2
de la forma: ax +bx +cx+d.
Calcular: a+b+d–c
a) –23
d) 17
b) –2
3
e) x +28
c) 6
m–3
(x + 4) 2 − (x + 1) (x + 7)
a) 2
d) –1
a) –28
3
d) x +7
13. Determinar el área de:
5. Calcular: "A–B"
Si: A = (x + 3) 2 − (x + 4) (x + 2)
B=
11. Efectuar:
2
2
E=(2x–3)(4x +6x+9)–(2x+1)(4x –2x+1)
12. Reducir:
4. Efectuar:
2
2
(x+10)(x –10x+100)–(x+5)(x –5x+25)
a) 100
d) 475
10. Reducir:
(x + 4) (x2 − 4x + 16) − (x − 4) (x2 + 4x + 16)
8
a) 1
b) 4
c) 16
d) 64
e) 128
b) 71
e) 125
c) 26
2
2
;
m>3
2
m +3m+9
3
a) m –9
3
d) m
3
b) m +9
3
e) m +27
3
c) m –27
14. Si: x + 1 = 5; obtener el valor de: x +x
x
a) 90
b) 110
c) 12
d) 130
e) 140
3
–3
15. Si: a+b=5
ab=3
3
3
Calcular: a +b
a) 40
d) 105
b) 15
e) 27
c) 80
8. Efectuar: (x+2)(x –2x+4)+(x–2)(x +2x+4)
3
a) 2x
6
d) 2x
6
b) x
e) 0
c) x
3
9. Efectuar:
(x + 5) (x2 − 5x + 25) + (x − 5) (x2 + 5x + 25) ; x ! 0
2x
a) x
4
d) x
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2
b) x
5
e) x
c) x
3
Segundo año de secundaria
57
11
Capítulo
Practica en casa
1. Efectuar: (x+6)(x+2)+(x+4)(x+1)–2x
2
2. Efectuar: (x+10)(x–3)–(x+4)(x+2)+29
3. Reducir: (x+4)(x–2)+(x–6)(x+4)–2x
2
10. Reducir: (3 6 + 3 2 ) (3 36 − 3 12 + 3 4 )
11. Reducir: (3 10 − 3 4 ) (3 100 + 3 40 + 3 16 )
12. Determine el área de:
4. Reducir:
(x+3)(x+2)–(x+7)(x+2)+(x+9)(x–4)–(x+4)(x+1)
2
m–2
;
;
m>3
m>2
2
5. Reducir: (x+8)(x –8x+64)–(x–6)(x +6x+36)
2
m +2m+4
6. Calcular: A+B
si: A =
B=
(x + 5) 2 − (x + 2) (x + 8)
13. Determine el área de:
2
(x + 6) − (x + 3) (x + 9)
7. Reducir:
(x + 6) (x2 − 6x + 36) + (x − 6) (x2 + 6x + 36) ; x ! 0
2x
2(m–3)
2
8. Reducir:
(x + 3) (x2 − 3x + 9) − (x − 3) (x2 + 3x + 9) ; x ! 0
6
3
9. Al efectuar: (2x+1) se obtiene un polinomio de
3
2
la forma: ax +bx +cx+d
Determine el valor de: a+b+c+d
m +3m+9
14. Si: x + 1 = 4 ; calcular: x3 + 13
x
x
15. Si: a+b=6
ab=2
3
3
Calcular: a +b
Tú puedes
1. Si se cumple: x = 5 − 3 , calcular:
y = 3− 3
F = 16 2 (x + y) (x2 + y2) (x4 + y4) (x8 + y8) + y16 + 3
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
4
c) 3
b) 9
e) 12
2
Calcular: T= x + 1 + c x2 + 12 m
x
x
a) 50
d) 53
2
4
a) 0
d) 3
c) 10
58
TRILCE
c) 52
2
b) 1
e) 4
c) 2
5. Siendo: x+ 2 =3. Calcular el valor de:
x
P=(x–1)(x+2)(x–2)(x–5)+2011
a) 2008
d) 2011
Colegios
b) 51
e) 54
4. Efectuar: (x +5x+5) –(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
2. Efectuar: e 1 4+ 3 o + e 1 4− 3 o
7
7
a) 8
d) 11
2
3. Siendo: x –3x+1=0
b) 2009
e) 2012
c) 2010
Central: 6198 – 100
Capítulo
12
División algebraica I
Lectura: Paolo Ruffini
(Valentano, 1765 - Módena, 1822) Matemático y médico
italiano. Nacido en Valentano, ciudad que pertenecía entonces
a los Estados Pontificios, cursó estudios de medicina en la
Universidad de Módena, pero una vez finalizados se dedicó casi
por entero a la investigación matemática.
En este capítulo aprenderemos
División algebraica I
.. El objetivo de la división algebraica, así como las propiedades
que se requieren para efectuarla.
.. El método de Horner, esquema y operaciones, como técnica
práctica para dividir polinomios.
.. El método de Ruffini, esquema y operaciones, como técnica
práctica para dividir polinomios (comentando sus restricciones).
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Segundo año de secundaria
59
12
Capítulo
Síntesis teórica
División algebraica I
Objetivo
Propiedades
Clases de
división
algebraica
Colegios
60
TRILCE
Métodos prácticos para dividir
Método de Horner
Método de Ruffini
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
2
4
3
1. Dado el polinomio: P(x)=3x –5x +4–9x +6x
Determinar:
a) Grado de P(x)=_________________________
b) Coeficiente principal=__________________
c) Término lineal=________________________
d) Término cuadrático= ___________________
e) Término independiente=________________
d) − 72 =
−6
3. Realizar las siguientes operaciones:
a) −15−8=
b) −23+13=
c) 10−40=
d) −17−(−8)=
4. Completar y ordenar los siguientes polinomios:
2
a) P(x)=5x +3−4x+7x
2. Realizar las siguientes operaciones:
5
P(x)= ________________________________
a) −30 ÷ 6=
3
b) S(x)=5x −1
S(x)= ________________________________
b) −44 ÷ −11=
c)
4
2
6
5. Dado el polinomio: P(x)=8x−2x +5x +6x
coloca en cada cuadrícula solo los coeficientes
de P(x); una vez que se encuentre "completo y
ordenado en forma descendente".
+ 110 =
− 10
Aplica lo comprendido
1. Si se divide el polinomio:
4
2
2
P(x)=x +x −1 entre x +1, entonces
1
1
5
0
•
Grado del polinomio dividendo:
______________________________________
•
Grado del polinomio divisor:
______________________________________
•
Grado del polinomio cociente:
______________________________________
4. Del problema anterior, una vez operado y
completo el esquema indique:
2. Del problema anterior, obtenga el grado máximo
del residuo.
residuo: R(x)= ____________________________
−2
cociente: Q(x)=___________________________
5
1
4
2
3. Si se van a dividir los polinomios: x 2+ 5x + 3
x − 3x + 2
complete su esquema de división:
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3
5. Si se van a dividir los polinomios: x + x − x − 30
x−2
complete su esquema de división:
0
−1
cociente: Q(x)= ___________________________
residuo R(x)= _____________________________
Segundo año de secundaria
61
12
Capítulo
Aprende más
1. Hallar el cociente de la siguiente división:
3
2
2
(x +5x –7x+5)÷(x +2x–3)
2
a) x+5
d) –10x+14
b) x +3
e) 10x–14
c) x+3
2. Hallar el residuo de la división
x4 − 3x3 + 2x2 + x − 5
x 2 − 3x + 1
2
a) x +1
d) –6
b) 4x–6
e) 4x
c) –2
3. Hallar "m+n"; si la siguiente división es exacta:
x5 + 2x3 − 13x2 + mx + n
x 2 − 3x + 3
a) 9
d) –12
b) –9
e) 12
c) 24
4. Hallar la suma de los coeficientes del cociente y
residuo de la siguiente división:
x3 + 3x2 − x − 3
x 2 + 2x − 3
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
5. Hallar "mn"; si la siguiente división es exacta:
x4 + 3x3 − 5x2 + mx − n
x2 + x − 2
a) 80
d) 110
b) 90
e) 120
c) 100
3
2
6. Dividir e indicar su residuo: 4x − 5x + 3x − 3
x−1
a) 1
d) –1/2
b) –1
e) 0
c) 1/2
3
2
4
3
b) 2x +1
4
e) 2x –1
b) 2
e) 5
c) 3
10. En la siguiente división exacta; hallar "n"
2x3 + x2 − 5x + (n − 7)
x+ 2
a) 9
b) 2
c) 5
d) 8
e) 7
11. Hallar la suma de coeficientes del cociente, al
4
3
2
dividir: 2x + 5x 2− 2x + 4x + 8
2x + x − 2
a) 2
d) 9
b) 5
e) 13
4
3
c) 2x +1
c) 7
12. Al efectuar la siguiente división:
4
3
2
2
(4x +13x +25x+12+28x )÷(4x +6+5x)
el residuo es:
a) 2x+6
d) x–2
b) –(2x+6)
e) –2x+6
c) –6+2x
13. Hallar "A+B"; si la siguiente división es exacta
2x4 + 3x2 + Ax + B
2x 2 + 2x + 3
a) 2
d) 12
b) 4
e) 13
c) 5
14. Hallar el término independiente del cociente,
4
3
2
luego de dividir: 6x − 4x + x + 10x − 2
3x + 1
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
4
7. Dividir e indicar su cociente: 6x + x + 2x + 3
x+3
a) 2x +1
3
d) 2x –1
a) 1
d) 4
3
2
15. Hallar el resto en: 15x − 8x − 9x + 7x + 1
5x − 1
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
2
8. Dividir: x + x − 2x − 2
x−1
Indicar el término independiente de su cociente
a) 1
d) –2
b) –1
e) 0
c) 2
9. Indicar la suma de coeficientes del cociente al
3
2
dividir: 3x − 32x + 52x − 63
x−9
Colegios
62
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
4
3
2
2
1. Al dividir: (x +4x +6x –7x+2)÷(x +2x+1)
indicar el cociente y residuo.
4
3
2
2. Luego de dividir: 4x − 5x2 − 2x + 3x − 1
x − 2x − 1
indicar la suma de coeficientes del cociente.
3. Dar el residuo de la siguiente división:
3x4 − 2x3 − 5x − 4
x2 − x − 1
4
3
2
4. Calcular el residuo de: x – 3x 2 + 5x – 3x + 4
x – 3x + 4
4
2
5. Dividir: 8x − 24x + 5x − 2
4x − 2x + 1
e indicar la suma de coeficientes del cociente.
5
10. Calcular "A+B" si la división:
x4 – 2x3 + 3x2 + Ax + B es exacta
x2 – x + 1
4
3
2
11. Dividir: 12x + 2x2 − x − 5x − 9
3x − x − 2
indicar el producto de coeficientes del residuo.
12. Indicar "ab", si la siguiente división es exacta:
2x4 + 3x2 − ax + b
2x 2 + 2x + 3
13. Obtener: a + b + c p + q + r + t , luego dividir
a
8
b
6
9
p
q
c
5
4
6. Hallar el resto: 8x + 16x − 5x + 9
x+ 2
4
4
5
11
1
t
r
11
22
22
32
3
7. Hallar el residuo de: 5x + 16x − 8x + 2
x+3
8. Dar el cociente de: 2x − 8x + 9x − 4x − 16
x−3
14. Señalar el término independiente del cociente,
4
3
2
al dividir: 5x − x − 10x + 17x + 5
5x − 1
9. Hallar "a" para que la división sea exacta:
2x3 − 5x2 + 2x + a
x−1
15. Señalar el resto, al dividir:
2 x4 + x3 − 8 x2 + 2x + 32
x+ 2
4
3
2
Tú puedes
1. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la
101
siguiente división: x 2 + 2007
x − 2x + 1
a) 2007
d) 4040
b) 5050
e) 3030
c) 2020
2. Calcular "m+n" en la siguiente división exacta:
mx4 + nx3 + 3x2 + 4
x2 − 3x + 2
a) –5
d) 7
b) –7
e) –3
c) 5
3. El residuo en la siguiente división es: x+3 2
2 2
Hallar el valor de: b –a
2 x4 − 3x3 + 2 x2 + ax + b
x2 − 2 x − 2
a) 5
d) 1
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b) –7
e) –1
4. En la siguiente división; si el residuo es
numéricamente igual a la suma de coeficientes
del cociente. Hallar "m"
4x 4 − x 2 + 3 x + m
2x − 3
a) 3 3
b) 2 3
d) 4 3
e) 5 3
c)
3
5. Hallar el valor de "m", si la suma de
coeficientes , tanto del cociente como del
residuo, resultan iguales.
x3 − 3x2 + (3 − m2 − 3m) x − (4m + 1) ; x ^ m + 3
x−m−3
a) 5
d) 2
b) 4
e) 1
c) 3
c) 3
Segundo año de secundaria
63
13
Capítulo
División algebraica II
Lectura: Polinomios
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son muy utilizados
en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas
y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática
elemental hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
¿Son polinomios o no?
5
7 8
2
3 5
3 4
a) 3x – x y + 9y x :
b) 4x – 7x y – 7y–3x–4:
c)
7 + 2x–5:
9y 2 x 4
En este capítulo aprenderemos
En el capítulo "División algebraica II" estudiaremos:
1. El teorema del resto, objetivo y procedimiento.
2. Casos particulares del teorema, para calcular el resto de una división,
con divisor no lineal; degradando el dividendo.
3. A calcular el resto de una división algebraica con la identidad
fundamental de la división.
Colegios
64
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Teorema del Resto
Objetivo
Procedimiento
Forma alternativa
para hallar el resto
en una división
algebraica.
Identidad fundamental
de la división
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Segundo año de secundaria
65
13
Capítulo
Saberes previos
3. En cada igualdad; despeje la potencia de mayor
exponente:
a) x+4=0
1. Efectuar:
2
a) (−4) =
3
b) (−4) =
c) (−1)
2
b) x −3=0
20=
5
c) x −4x+1=0
5
13
d) x +7=0
d) (−1) =
4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) x+y=8
x−y=2
2. Dado el siguiente polinomio:
4
3
2
P(x)=x −2x +x −x−1
Obtener:
a) P(1)=
b) 4a+b=7
−a+b=3
b) P(−1)=
5. Construya un polinomio lineal en variable "x"
tal que: "a": coeficiente lineal.
"b": término independiente.
considerando que (a≠0)
c) P(−2)=
Aplica lo comprendido
1. Hallar el residuo en: x
5
400
− 3x20 + 4x + 5
x−1
4
7
5. Hallar el residuo en:
6
3
2
2. Hallar el resto en: x − 2x + x − 1
x+ 2
8
6
4. Hallar el resto en: x − 3x +2 x − 2x + 5
x +1
4
x3 − x + 2
(x − 1) (x + 2)
2
3. Hallar el resto en: x + 2x −23x + x + 2
x −1
Colegios
66
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
1. Hallar el resto en la siguiente división:
x11 − 8x7 + 3x + 9
x+ 1
a) 11
d) 14
b) 12
e) 15
c) 13
30
2. Calcular el residuo en: x
a) 1
d) 4
− 3x20 + 3x − 1
x−1
b) 2
e) 0
c) 3
30
29
− 4x + x − 8
x−4
b) –2
c) –3
e) –5
3. Hallar el residuo en: x
a) –1
d) –4
10. Calcular el resto en:
4. Calcular el valor de "a" si la división es exacta:
x30 − 4x12 + x + a
x+1
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
5. Hallar "n", si el resto de la división es 15:
x4 + 13x3 + 2x2 + x + n
x−1
a) −6
d) −2
b) −5
e) 0
c) −7
8
4
2
6. Hallar el resto de dividir: x − 2x 2 − 7x + 5
x +2
a) 1
d) –9
b) –1
e) 27
7. Calcule el resto de dividir: x
a) −10x+6
d) 8x−8
c) 9
28
b) −8x+9
e) 0
− 4x22 + 5x4 + 6
x3 + 2
(x4 − 3x + 6)102 + (x4 − 3x + 4) 53 − 2 (x4 − 3x) − 1
x 4 − 3x + 5
a) 9
d) 12
b) 10
e) 8
c) 11
4
3
11. Hallar el resto de dividir: 2x + 17x − 68x + 32
x− 1
2
a) 0,25
d) –3,5
b) 3,5
e) 0,75
c) –1,25
12. Calcular el resto en:
(x − 3) (x + 5) (x − 6) (x + 2) + 2x2 − 147
x2 − x − 1
a) x
d) 4x
b) 2x
e) 5x
13. Calcular el resto en:
a) 30x−33
d) 3x−10
c) 3x
x 5 + 2x
(x − 2) (x − 1)
b) 33x−11
e) 33x+30
c) 33x−30
3
14. Hallar el resto en: 2x − 3x
x − 2x − 3
a) 4x+2
d) 4x+5
b) 4x+4
e) 4x−6
c) 4x+6
15. Calcular el resto luego de dividir:
(x4 − 3x + 6)102 + (x4 − 3x + 4) 53 − 2x4 + 6x − 1
x 4 − 3x + 5
a) 9
d) 12
b) 10
e) 8
c) 11
c) 10x+9
8. Calcule el residuo en:
4x25 − 3x20 + 4x15 − x10 − x5 + 2
x5 + 1
a) –11
b) −9
d) −5
e) −7
c) −8
10
5
9. Hallar el resto en: (2x + 1) + 6x − 4
2x − 1
a) 1
d) 4
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b) 3
e) 5
c) 8
Segundo año de secundaria
67
13
Capítulo
Practica en casa
9. Hallar el resto en la siguiente división:
9x105 − 3x60 + 5x21 − 6x12 + x3 + 7
x3 − 1
4
1. Hallar el residuo en: 2x + 3x − 5
x−1
10
2. Hallar el residuo en: x + 3x − 1
x−1
3. Hallar el resto en la siguiente división:
4x25 − 3x2 + 5
x+1
5
4
4. Hallar el resto en: 8x + 16x − 5x + 9
x+2
5. Hallar "n", si en la siguiente división el resto es
4
2
cero: 3x + x + 5x + (2n − 3)
x+ 1
6. Hallar el residuo en: x
24
6
10. Hallar el resto de la división:
x18 + 3x9 + 5x6 + 7x + 1
x2 − 1
18
11. Hallar el valor de "a" si el resto es 8: 5x + 3x + a
x+1
12. Hallar el resto en: x
92
− 2x91 + 2x2 − 3x + 1
x−2
13. Hallar el resto de: (3x + 5)
5
2000
+ (x + 1) 35 − x − 2
x+2
3
− 3x15 + 4x6 − x3 + 2
x3 − 1
14. Calcular el resto de: x − 3x2 + 2x + 5
x −5
4
15. Calcular el residuo de dividir: (x + a) − x − a
x + 2a
2
7. Hallar el resto en: x + 3x +25x + 6x − 4
x −1
7
7
7
2
8. Hallar el resto de dividir: 2x + 5x + 3
2x − 1
Tú puedes
1. Calcule el resto de la siguiente división:
(2x − 4) 2 + (2x − 3) 2 + (2x − 2) 2 + ... + (2x + 2) 2
2x − 4
a) 91
d) 55
2. Hallar "n", si
a) 4
d) 8
b) 81
e) 70
c) 76
(x + y) 4 − nx4 − y4
es exacta
x − 2y
b) 7
e) 10
c) 5
37
15
3
4. El resto de dividir: 2x + 5x2 + 4x + 13 , es
x +1
2
R(x)=ax+b +4; calcular ab
a) –21
d) 0
b) 18
c) 21
e) más de una es correcta
5. Hallar el resto en: (x + 1) (x + 22) (x + 3) (x + 4) + 5
x + 5x + 5
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
17
14
2
3. Si el residuo de: 2x + 3x2 + 4x − 1 , es de la
x +1
forma R(x)=mx+n. Halle: R(m–n)
a) 0
d) 15
Colegios
68
TRILCE
b) 12
e) 14
c) 1
Central: 6198 – 100
Capítulo
14
Factorización I
Lectura: Niels Henrik Abel (1802 – 1829)
Matemático noruego, nació en una familia muy numerosa, hijo de un pastor
protestante en condiciones de extrema pobreza. A los 16 años, su maestro
le aconsejó leer los grandes libros de los matemáticos más eminentes.
A los 19 años, demostró que las ecuaciones algebraicas de un grado
superior a cuatro no tenían solución algebraica general, creando con
el una importante teoría, llamada "teoría de grupos" y descubrió
importantes propiedades relativas a las funciones elípticas y a una clase
de ecuaciones llamadas ecuaciones abelianas.
Murió de tuberculosis a sus escasos 27 años.
En este capítulo aprenderemos
Factorización I
.. El concepto de factorización de polinomios con coeficientes enteros.
.. El concepto de factor algebraico y factor primo.
.. Los criterios de factorización:
–– Factor común.
–– Agrupaciones de términos.
–– Identidades notables.
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Segundo año de secundaria
69
14
Capítulo
Síntesis teórica
Factorización
Criterios de
Factorización (Métodos)
Concepto
Factor común
Factor algebraico
Agrupaciones de
términos
Factor primo
Colegios
70
TRILCE
Identidades
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
a)
x11 =
x9
d)
2
Rpta: ____________________
3. Indicar cuál o cuales son polinomios lineales:
a) P(x)=5x−1
2
b) F(x;y)=x +y
c) M(a)=30
5
b) 20a2 =
5a
c)
c) M(n)=K
− 32x7 =
4x3
Rpta: ____________________
4. Indicar cuál o cuales son polinomios cuadráticos:
2
a) P(x)=x +1
b) F(x;y)=xy−2
c) M(n)=n(n−1)+K
110x4 y2
=
− 10x2 y
Rpta: ____________________
3 5 7
e) –24a2 b3 c4 =
–4a b c
5. Efectuar:
a) x(x+8)=
2. Indicar cuál o cuales son polinomios constantes:
a) P(x)=50
b) F(x;y)=3Kx+y
2
b) −2x(x −y)=
c) (x+5)(x−5)=
Aplica lo comprendido
1. Indique los factores algebraicos del siguiente
polinomio: P(x)=x.(x+1).(x−1)
4. Factorizar en cada caso:
2
2
a) P(x;y)=x y+x+xy +y
3
2
b) Q(x)=x +x +x+1
2. Del problema anterior, indique los factores
primos de P(x).
2
c) F(a;b)=a −ab+ac−a+b−c
5. Factorizar en cada caso:
2
a) P(x)=25x −4
3. Factorizar en cada caso:
3
2
a) P(x)=x +3x
3 2
2 3
2 2
b) F(x;y)=x y −x y +3x y
3
b) R(x;y)=8x +y
3
2
c) M(x;z)=x (x+z)+3(x+z)
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Segundo año de secundaria
71
14
Capítulo
Aprende más
1. Siendo: P(x)=(x+1)(x–3)(z–1)
indica el número de factores primos
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
10. Factorizar: ax+bx+cx+ay+by+cy–a–b–c
a) (a+b+c)(x–y)
c) (a+b+c)(x–y+1)
e) (a+b+c)(x+y–1)
c) 3
2. Indica la suma de factores primos de:
2
3
P(x)=(x–1) (x+1)
a) 0
d) 2x
b) 1
2
3
e) x +x
c) 2x
11. Factorizar: ab+7a+8b+56
2
3. Indica el factor primo que más se repite en:
10 8
5
10
P(x)=5 x (x–1) (y+3)
a) (y+3)
d) (x–1)
b) 5
e) 5x
c) x
a) (a+b+1)(a+7)
c) (a+b+7)(a+b+8)
e) (a+8)(b+7)
b) (ab+8)(ab+7)
d) (a+7)(b+8)
3
12. Factorizar: x –1
2
a) x(x–1)
2
c) (x–1)(x +x+1)
2
e) (x –1)(x+1)
b) x (x–1)
2
d) (x+1)(x –x+1)
3
2
13. Factorizar: (8x +1)
4. Factorizar: 3x +6x
a) 3x(x+2)
d) x(6x+3)
b) (a+b+x)(c–y)
d) (a+b+c)(x+y)
b) 2x(x+3)
c) x(3x+2)
e) (3x+1)(1+2x)
2
5. Factorizar: mx+m +xy+my
a) (x+m)(m+y)
c) (x+y+m)(x–m)
e) (2m+x)(y+2m)
2
b) (x+y)(x+m)
d) (2x+n)(y+2m)
2
6. Factorizar: ax+x +ab+bx
a) (a+x)(x+b)
c) (a+b)(x+b)
e) (a+x)(x+a+b)
b) (a+x)(ax+b)
d) (a+b+x)(x–b)
2
7. Factorizar: 4a –9
a) (4a+3)(4a–3)
c) (4a+9)(4a–9)
2
e) a (4–9)
b) (2a–3)(2a+3)
d) a(4a–9)
2
8. Factorizar: 36x –25y
2
a) (8x+1)(x +1)
2
c) (2x+1)(4x –2x+1)
2
e) (8x +1)(x–1)
3
b) 8(x +1)
2
d) (2x–1)(4x +2x+1)
2
14. Factorizar: P(x;y)=x +2xy+y −25
e indicar la suma de sus factores primos.
a) 2(x+1)
c) 2(x−y)
e) 2x+y
b) 2(y+1)
d) 2(x+y)
15. Factorizar:
2
2
2
P(x;m)=x +2ax+a −m +4m−4
indicar un factor primo
a) x+a+m
2
c) x+a +m−2
e) x+2a+m−1
b) x−a+m
d) x+a+m−2
2
2
a) (6x+5y)(6x–5y)
b) x (36–25y)
2
2
c) y (36x –25)
d) (36x+5y)(36x–5y)
e) (36x+25y)(36x–25y)
4
4
9. Factorizar: 81x −y
indicando un factor primo
a) 9x+y
2
2
c) 9x +y
2
e) 3x−y
Colegios
72
TRILCE
b) 9x−y
2
d) 3x+y
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
2
1. Siendo P(x;y)=5(x+3)(y+1)(z–5)
Indique el n° de factores primos
2
9. Factorizar: 25m –4n
10. Factorizar: ax–bx+cx+ay–by+cy–a+b–c
4
2. Siendo: P(x)=(x+5) (y+3) (x–5)
Indique la suma de factores primos
10
7
5
3
11. Factorizar: 27x +1
15
3. Siendo P(x;y)=5 (x+1) (y–3) (z+1)
Indique el factor primo que más se repite
8
5
4. Factorizar: m +8m –6m
3
12. Factorizar: x –8
9
13. Factorizar: x +1
3
7
5. Factorizar: x (3a+2b)–x(3a+2b)–3a–2b
3 2
2
14. Factorizar: xy+5x+2y+10
7
6
5
4
3
2
15. Al factorizar: P(x)=x –x +x –x +x –x +x–1
a
b
c
se obtiene: (x +m)(x +n)(x –p)
siendo a>b>c; calcular: a.c + b
m+n+p
2 3
6. Factorizar: x y (a–b)–x y (a–b)
7. Factorizar: ab+bc+ad+cd
2
8. Factorizar: 36x –1
Tú puedes
2
8
2
a) 8x+y
d) (x+y+8)
b) (8x–3)
e) (4x–y+8)
2
2
c) 8x–y
4
b) m–n
2
e) m –n
2
a) 1
d) 4
5 3
b) 2
e) 5
3 4 5
2
8
5
6
c) 3
2 4 3
2 3 3
2 3 5
5. Factorizar: n p z +n p z +n p z +n p z
indicando el n° de factores primos
2. Factorizar: m np+mnp +mn p
indicando un factor primo
a) m+n+p
2
d) m+n
3 5
4. Factorizar: x +x y +x y +y +x y+y
indicando el n° de factores primos
1. Factorizar: 64x –(8x+2y)
indicando un factor primo
2
c) m +n
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
6
3. Factorizar: x +x +1+x
indicando el n° de factores primos
a) 1
d) 4
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b) 2
e) 5
c) 3
Segundo año de secundaria
73
15
Capítulo
Factorización II
Lectura: Representación gráfica de las raíces de un polinomio
Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto lo identificamos
como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas).
Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio
graficado.
Función
Raíces
Factorización
Gráfica
f(x)
15
10
2
f(x) = x + x – 12
–4 y 3
f(x) = (x+4)(x–3)
(–4; 0)
–4
5
–2
0
–5
(3; 0)
2
3
4
x
–10
En este capítulo aprenderemos
Factorización II
.. Los criterios de factorización complementarios:
–– Métodos de las aspas:
* Aspa simple
* Método de los divisores binómicos. (Obtención de
factores lineales)
Colegios
74
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Factorización II
Métodos
de Factorización
Aspa Simple
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Divisores
Binómicos
Segundo año de secundaria
75
15
Capítulo
Saberes previos
1. Indicar cuál o cuales de los siguientes polinomios
son trinomios cuadrados perfectos:
2
a) P(x)=x +8x+16
2
b) Q(y)=y −10y−25
4
2
c) R(a;b)=a +14a +49
2
2
d) S(m;n)=m −mn+n
Rpta: _____________________
2. Desarrollar:
a) P(x)=(x+4)(x+9)
b) Q(x)=(x−5)(x−6)
b) Q(x;y)=(x−3y).(x−5y)
c) R(a;b)=(a+66).(a−4b)
d) S(a;b)=(a−9b).(a+7b)
4. Desarrollar:
a) P(x)=(3x−5)(x+2)
2
c) R(x)=(x+12)(x−10)
d) S(x)=(x−15)(x+8)
5. Efectuar las siguientes divisiones:
a)
3. Desarrollar:
a) P(x;y)=(x+y).(x+2y)
2
b) Q(x;y)=(4x +3y)(5x −y)
x3 − 6x2 + 11x − 6
x−1
3
2
b) 6x + 6 − 19x + x
2x − 3
Aplica lo comprendido
1. Factorizar en cada caso:
2
a) x −11x+28= ________________________
2
b) x +29x+100= _______________________
2. Factorizar en cada caso:
2
a) x +17x−60= _________________________
2
2
b) m −4mn+4n = ______________________
4. Factorizar en cada caso:
2
a) 6x +11x+3= ________________________
2
b) 10x −22x+4= _______________________
3
2
b) x −17−390= ________________________
2
5. Factorizar: P(x)=x −6x +11x−6
3. Factorizar en cada caso:
2
a) x +12x+36= _________________________
Colegios
76
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
2
1. Si el polinomio: P(x)=x −10x+(2k+1)
es un trinomio cuadrado perfecto: halle el valor
de "k"
a) 10
c) 12
e) 14
b) 11
d) 13
2
2
a) (x–1)(x+2)(x+3)
c) (x–1)(x–2)(x–3)
e) (x–2)(x+3)(x+6)
3
b) (x+1)(x+2)(x+3)
3
d) (x+1)(x–2)
2
2
3. Indique un factor primo del siguiente polinomio:
2
2
P(x;y)=2x −15xy+7y
a) (x+5) (x–2)
2
c) (x+10)(x–1)
2
e) (x +x+2)(x–5)
b) (x–1)(x+5)(x+2)
d) (x+1)(x–5)(x–2)
3
4. Indique el factor primo cuadrático de:
4
2 2
4
P(a;b)=a −a b −12b
2
b) a+b
2
2
d) a +3b
2
12. Indicar un factor primo de: x +8x +19x+12
a) x–1
c) x–4
e) x+4
b) 2x−y
2
d) 2x+y
a) a +b
2
c) a −b
2
2
e) a −3b
2
b) (x−4)(x −3x+3)
d) (x+3)(x+1)(x−3)
11. Factorizar: x +6x +3x–10
b) 2
d) 4
2
2
a) (x+4)(x +3x+3)
2
c) (x+4)(x +x+1)
e) (x+3)(x−1)(x−3)
3
2
a) 2x+y
c) x−y
e) x+7y
2
10. Factorizar: x +4x +x–6
2. Si el polinomio: F(x;y)=4x +10mxy+25y
es un trinomio cuadrado perfecto, halle el valor
2
de m +1.
a) 1
c) 3
e) 5
3
9. Factorizar: x +7x +15x+12
b) x–3
d) x+2
3
2
13. Hallar un factor primo en: x –4x –67x+70
a) x+1
c) x–7
e) x+7
b) x–5
d) x+10
3
5. Indica la suma de coeficientes de uno de los
4
2
factores primos de: P(x)=4x −13x +9
a) 1
c) 8
e) 5
b) 4
d) 9
a) 7
c) 9
e) 5
2
6. Indicar un factor primo: F(x)=abx +bx+b(1−a)
b) ax+1
d) x+1−a
a) x−1
c) ax−a+1
e) x−a
b) 4
d) 6
3
2
15. Factorizar: 2x +x +x–1
2
7. Factorizar e indicar la suma de los términos
independientes de sus factores primos:
4
2
P(x)=x (2x−1)−5x (2x−1)+4(2x−1)
a) −2
c) 0
e) 5
14. Al factorizar: 3x –21x+18;
toma la forma: a(x–b)(x–c)(x–d) donde: b<c<d
Calcular: a–b+c+d
a) (2x+3)(x –x+1)
2
c) (2x–1)(x +x+1)
2
e) (x +1)(2x+x–1)
2
b) (x+2)(2x +x+1)
2
d) (2x+1)(x –x+1)
b) −1
d) 1
3
2
8. Factorizar: x +x −7x−15
2
a) (x−3)(x +4x+5)
2
c) (x−3)(x −4x−5)
e) (x−3(x+3)(x−2)
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2
b) (x+3)(x +4x+5)
d) (x−3)(x+3)(x+2)
Segundo año de secundaria
77
15
Capítulo
Practica en casa
2
1. Factorizar: x +6x+9
2
2. Factorizar: 4x –4x+1
2
3
2
10. Factorizar: x –11x +31x–21
2
3. Factorizar: 9x +12x+4
Indicar la suma de factores primos
3
2
4. Factorizar: x +x–6
Indica el factor primo de mayor suma de
coeficientes.
2
5. Factorizar: x +7x+12
Indica el factor primo de término independiente
par.
2
6. Factorizar: 6x –5x–21
Indica suma de factores primos
6
3
9. Factorizar: x +2x –5x–6
3
12. Factorizar: x –4x+3
Indica el número de factores primos.
3
2
13. Factorizar: x –3x –16x–12
Indicar la suma de factores primos.
3
2
14. Factorizar: 2x –x –x–3
Indica el término independiente del factor primo
de mayor grado.
3
2
15. Al factorizar: 2x +7x +4x–4
2
se obtiene: (ax+b)(x+a)
Hallar: ab
3
7. Factorizar: x +7x +10
Indica el número de factores primos.
8
2
11. Factorizar: x –8x +3x–24
Indica el número de factores primos lineales.
4
8. Factorizar: 10m +17m +3
Indicar el factor primo de mayor suma de
coeficientes.
Tú puedes
2
1. Factorizar: P(abc)=(a+b+c) +3+4a+4b+4c,
indicando el número de factores primos.
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
4
c) 3
2
2
b) x +x+2
2
e) x +x–2
2
a) x +5x–1
2
d) x +5x+1
2
b) x –5x–1
2
e) x +1
3
2
2. Factorizar: x +7x +16, indicando un factor
primo.
a) x +x+1
2
d) x –x+4
5
4. Indicar un factor primo: M(x)=(x–3) +x–2
2
c) x +x+3
2
c) x –5x+7
2
5. Factorizar: P(x)=3x +2x +5x–2, indicando la
suma de términos independientes de sus factores
primos.
a) 1
d) –2
b) –1
e) 3
c) 2
3. ¿Qué
término
hay
que
sumarle
a
2
P(n;k)=n(n+5k)+3(kn+7n ) para que sea
factorizable?
a) 3nk
d) 8nk
Colegios
78
TRILCE
b) 6nk
e) 2nk
c) 5nk
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Capítulo
16
Fracciones algebraicas I
Lectura: Las fracciones continuas
Las aproximaciones numéricas son muy importantes en muchos problemas de matemáticas, ya que en gran
cantidad de ocasiones no podemos disponer del valor exacto de ciertos datos, ya sea porque el cálculo de
dicho valor exacto es demasiado laborioso o porque ni siquiera es posible (por ejemplo, en la práctica no
podemos aspirar a disponer del valor exacto de π).
Además en la mayoría de los casos necesitamos la mejor aproximación posible, ya que el hecho de utilizar
una no muy buena aproximación puede hacer que el error cometido en nuestros cálculos crezca hasta
niveles demasiado altos, inadmisibles en ciertos casos.
Vamos a hablar de fracciones continuas, y de cómo estos entes matemáticos nos dan, en cierto sentido,
la mejor aproximación posible a un cierto dato cuyo valor exacto no podemos calcular. Una fracción
continua es una expresión del tipo
1
a 0+
1
a 1+
1
a 2+
1
a 3+
a 4+
Esta expresión tiene varias características muy interesantes. Por ejemplo, todo número real, ya sea entero
racional o irracional, puede escribirse como una fracción continua, aunque en algunos casos será más
sencillo que en otros. Por ejemplo:
1
3 =1+
1
1+
1
2+
1
1+
1
2+
1+
En este capítulo aprenderemos
Fracciones algebraicas I
.. La definición y cálculo del MCD y MCM de polinomios.
.. La definición de fracción algebraica así como la clasificación de
los mismos.
.. La simplificación de las fracciones algebraicas.
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Segundo año de secundaria
79
16
Capítulo
Síntesis teórica
MCD y MCM de
Polinomios
Máximo Común Divisor
(MCD)
Mínimo Común Múltiplo
(MCM)
es
es
otro polinomio que tiene la
característica de estar contenido
en cada uno de los polinomios.
otro polinomio que tiene la
característica de contener a
cada uno de los polinomios.
se
se
obtiene factorizando los
polinomios
obtiene factorizando los
polinomios
y
y
viene expresado por la
multiplicación de los factores
primos comunes elevados a sus
menores exponentes.
viene expresado por la
multiplicación de los factores
primos comunes y no comunes
elevados a sus mayores
exponentes.
Fracciones Algebraicas
es
la división indicada de dos polinomios en la que,
por lo menos, el denominador debe ser de grado 1.
Simplificación de fracciones
debemos
factorizar numerador y denominador
para
eliminar factores comunes
siempre
que sean distintos de cero
Colegios
80
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
2
1. Factorizar: P(x)=x +5x
2
4. Factorizar: q(x)=x –9
2. Factorizar: f(x)=x(x+3)–8(x+3)
3
2
5. Factorizar: h(x)=x +6x +3x–10
2
3. Factorizar: g(x)=x −x−6
Aplica lo comprendido
1. Indica el MCM de los polinomios:
2
P(x)=x –x–12
2
Q(x)=x –9
2. Indica el MCD de los polinomios:
2
M(x)=x –25
2
N(x)=x +7x+10
2
4. Simplifica: x − 22x − 15
x −9
2
5. Simplifica: 2 x − 8x
x − 6x − 16
3. Indica el MCM de:
2
3
F(x)=x(x–6) (x+1) (x–2)
2
4
G(x)=x (x–6)(x+1)
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Segundo año de secundaria
81
16
Capítulo
Aprende más
Comunicación matemáticas
1. Relacionar las columnas correctamente:
9 6
Factores
A=a b
12 4
B=a b
6
2
7. Simplifica: 6x 2+ 7x − 3
2x + x − 3
comunes
A elevados al menor
4 9
exponente: a b
9
A=a .b
4 12
B=a .b
B
MCM=(x+3)(x–3)
(x+6)
2
A=x –9
B=(x–3)(x+6)
C MCD=x–3
Factores comunes y
no comunes elevados
D al mayor exponente:
12 6
a b
2
A=x –9
B=(x+3)(x+6)
2. Completar los exponentes del MCD y MCM de
los polinomios:
6
9
A=(x+4) (x–3)
8
2
4
B=(x+4) (x–3) (x+6)
2
5
C=(x+4) (x+6)
• MCD=(x+4)
(x–3)
(x+6)
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según
corresponda:
6
• El MCM de los polinomios: A=(x–2) ;
4
7
7
B=(x–2) ; C=(x–2) es: (x–2) ............. (
)
4
• El MCD de los polinomios: A=(x–3)
8
8
2
8
8
(x+5) ; B=(x–3) (x+5) es: (x–3) (x+5) .(
)
• El MCD de los polinomios:
{
A=x+4
B=x–3; es "x" .................................. (
Resolución de problemas
2
4. Simplifica: x − 22x − 15
x −9
x+5
x−3
d) x + 5
x+3
b) x − 3
x−5
e) x + 3
x−5
a)
2
c)
x−5
x−3
2
5. Simplifica: 10x (x − 16)
5x (x − 4)
a) 5x(x–4)
b) 2x(x+4)
d) x(x+4)
e) 5x(x+4)
c) x(x–4)
6. Simplifica: 6x (x − 1)
2x (x + 1)
a) 3(x+1)
b) 3x(x–1)
d) 3(x–1)
e) x
TRILCE
x+1
3x
c)
x+ 3
2x − 1
2
8. Simplifica: 3x 2+ 2x − 1
2x + x − 1
b) 3x − 1
2x + 1
1
+ 3x
e)
1 − 2x
a) 3x + 1
2x − 1
3
d) x − 1
2x − 1
2
9. Luego de simplificar: 122x + 5x − 3 , calcula la
8x + 10x + 3
suma del numerador y denominador.
a) 5x–1
d) 1
b) 5x+1
2
e) 5x
c) 5x
6x 2 − 6y2
2x − 2y
a) 3x–3y
b) 3x
d) 3x+3y
e) x–y
)
3
c) 3y
2
11. Simplifica: x + 24x + x − 6
x +x−2
a) –x
b) 3–x
d) x+3
e) x–3
3
c) x
2
12. Simplifica: x + 62x + 3x − 10
x + 4x − 5
a) x
b) x+2
d) 2x
e) 2x+1
c) x–2
13. Luego de simplificar: (x + 1) (x − 3) +25 (x − 3)
36 − x
calcula la suma del numerador y denominador
a) 9x
d) 3
c) x+9
b) –9
e) x–9
3
2
14. Luego de simplificar: x − x3 − 4x + 4 , calcula la
x − 4x
suma del numerador y denominador
a) 2x
d) 2x+1
b) x–1
e) x+1
x 2 y 2 − 4y2
yx + 2y
a) yx–2y
b) yx+2y
d) yx+2
e) yx+1
c) 2x–1
15. Simplifica:
2
82
c)
10. Simplifica:
• MCM=(x+4)
Colegios
b) 3x + 1
x−1
e) 2x − 1
x+1
a) 3x + 1
x+1
d) 3x − 1
x−1
c) x(x+1)
c) yx
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
Simplificar las siguientes fracciones:
1.
7^x–5h
3x–15
2.
6^x2 –y2h
x–y
3.
x2 –3x–4
x 2 + 5x + 4
8.
15x2 − 2x − 8
10x2 + 7x − 12
2
2
9. (x − 2x) (x − 4)
x (x + 2)
2
10. 2x + x
x + 2x + 1
3
2
11. x − 5x + 2x2− 103
3x − 15 + 5x − x
2
4. x 2–5x + 6
x –x–6
12. x +2 x − x − 1
x + 2x + 1
^ 2 h
5. 10x x –1
2x^x + 1h
Simplifica:
3
13.
2^ 2 h
6. x x –9
x^x + 3h
(x + y) 2 + 11 (x + y) + 24
(x + y) 2 − 9
3
Luego de simplificar las siguientes fracciones,
calcula la suma del numerador y denominador:
7.
2
x2 + x − 6
x 2 + 2x − 3
14. x2 − 7x + 6
x + 2x − 3
3
2
15. x + 2x2 − 4x − 8
x −4
Tú puedes
1. Simplifica: 3mn + 6kn + mc + 2kc
3mn + 6kn − mc − 2kc
4. Simplifica:
(2x − y) 3 − 5 (2x − y)
4x 2 − y 2
a) n + 3c
n−c
b) n − 3c
n+c
d) n + c
n−c
e) 3n − c
3n + c
a)
4x2 − 4xy + y2 − 5
2x + y
b)
(2x + y) 2 + 5
2x + y
(x + 2y) 3 + z3
2. Simplifica:
(x + 2y) 2 − z2
y de como respuesta el denominador resultante
c)
(2x − y) 2 + 1
2x + y
d)
4x2 − 4xy + y2 + 5
2x − y
e)
2x + y
2x − y
a) x+y–z
b) x+y+z
d) x+2y–z
e) x–y+2z
3. Simplifica:
c) 3n + c
3n − c
c) x+2y+z
2
5. Simplifica: (1 + mx) 2 − (x + m2)
1 − mx + m − x
9x2 − 12xy + 4y2
27x3 − 8y3
a) 1–m
a)
3x − 2y
2
9x + 6xy + 4y2
b)
3x + 2y
2
x + 6xy + y2
c)
3x − 2y
9x + 6xy + 4y2
d)
3x − y
9x + 6xy + 4y2
e)
3x − y
x2 + y2
2
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d) m
2
b) m+1
2
c) m
e) m–x
2
Segundo año de secundaria
83
17
Capítulo
Repaso II
Lectura: El número de oro
También conocido como el número áureo, es (podríamos decir) una constante matemática descubierta por
los antiguos griegos como una proporción o relación entre partes de un cuerpo o cuerpos, que podemos
encontrar en la naturaleza.
Los antiguos griegos realizaban numerosas obras y edificios siguiendo esta relación, y en el Renacimiento
se le dio el calificativo de la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.
Pero esto no es un blog de arte ni de historia, asi que ¿cuánto vale el número áureo?
El número áureo se denota por la letra griega "U" FI (¿o PHI?), y vale 1,6180339..., y como cualquier otro
número matemático (Neperiano, Pi, ....) surge de una expresión matemática:
1+ 5
2
Habiendo contado ya una parte de la popularidad de este número os voy a contar otras.
•
•
•
Este número aparece en la sucesión de Fibonacci.
Las cadenas de ADN tienen una relación matemática que es el número PHI.
Muchas características humanas tienen relaciones matemáticas que el número PHI.
Las cajas de cigarrillos son rectángulos áureos.
Así viendo todas estas ¿misteriosas? apariciones de este número y más que ahí, no es de extrañar que los
griegos pensarán que era el número de los dioses y de la naturaleza.
En este capítulo recordaremos
Repaso II
.. Fracciones algebraicas
.. Simplificación de fracciones
.. Operaciones combinadas
Colegios
84
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aplica lo comprendido
1. Reducir: e
4xy2 o 20x
5y c 16y m
2
2. Simplificar: 2 x − 1
x − 4x − 5
2
3. Reducir: x2 + 3x − 4
x + 2x − 3
2
4. Reducir: x2 − 4x − 21
x − 5x − 14
2
7. Simplificar: 3x − x − 2 ' 2 + 3x
x−4
x
8. Reducir: c 2x2 − 2 m ' c 23x + 3 m
2x − 50
x − 4x − 5
9. Reducir: 3x + 7 + 2x − 5 + 1 − 5x
x
x
x
2
10. Reducir: 2x − 2x − 29 − 2x
x − 6x + 9 x + 9 − 6x
2
5. Simplificar: 2a 3− a − 15
4a − 25a
2
6. Simplificar: x +24x + 4 . x − 3
x+2
x −9
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Segundo año de secundaria
85
17
Capítulo
Aprende más
Comunicación matemática
2
2
7. Efectuar: c 24 m e x −26x + 9 oc x + 9 m
2
x −9
2x − 18
1. Reducir:
3
• (a − 1) 2 =
(a − 1)
a)
2
• x2 ' x3 =
y
y
x2
(x + 3) 2
d) 0
b) 1
e)
c)
9
(x + 3) 2
2
2. Indica verdadero
corresponda:
•
•
(V)
o
falso
(F)
según
El valor que toma: 3n para n=2 es 0.
n−2
......................................................... (
La fracción: 5n − 1 no está definida
n−8
para n=8............................................ (
3. Relaciona las columnas correctamente:
a
ab
A
3a 2
b2
15a3 b2
5ab4
B
1
b
121a4 c5 d7
11ac5 d8
C
a
ab
b
D
11a3
d
Resolución de problemas
2
4. Luego de simplificar: 2x2 + 7x + 3
2x − 7x − 4
Indica la suma del numerador y denominador
a) 2x
d) 4
b) 4x–3
e) 5
c) 2x–1
2
2
5. Simplificar: e 2 x − 1 o e x2 + 2x − 3 o
x − 2x + 1 x + 4 x + 3
a) x
d) 1
b) x+1
2
e) x –x+1
c) x–1
6. Reducir: c 3x2 + 2 m e 3x +2 x − 2 o
x −1
9x − 4
x−4
x−1
1
d)
x+1
Colegios
86
TRILCE
2
x−1
1
e)
x−2
b)
)
2
8. Al simplificar: (x − 6x3 + 9) (x + 3x + 9)
(x − 27) (x − 3)
se obtiene:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
2
2
9. Efectuar: x2 + x − 2 + x 2+ 7x + 12
x + 2x − 3 x + 6x + 9
a) –2
d) 1
b) –1
e) 2
c) 0
2
2x − 3 +
x2 − 4
10. Efectuar: x +
2x 2 − x − 1 2 x 2 + 5 x + 2
a) x+1
d) 1
b) 2
e) 0
c) x
11. Efectuar: 7x2 − 35 + 1
x − 25 x + 5
a)
14
x+ 5
d)
49
(x + 5) 2
14
(x + 5) 2
8
e)
x+ 5
b)
2
c)
9
2 (x + 5)
2
12. Reducir: x − 1 + 1 − x
x+1 1−x
a) x
d) –x
b) 2x
e) –2x
c) 1
13. Efectuar: 5x − 6 + 4x + 15
3 (x + 1) 3x + 3
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
14. Efectuar: ` x + 2 − x − 5 j^x2 + 3x − 4h
x−1 x+4
2
a)
)
x2 + 9
(x + 3) 2
c)
1
x−1
a) 12x+1
d) 12x+4
b) 12x+2
e) 12x+5
c) 12x+3
2
15. Efectuar: ` x + 1 + x − 1je x 2− 1 o
x − 1 x + 1 2x + 2
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
Central: 6198 – 100
Álgebra
16. Efectuar:
x2 + 5x + 4 + x2 + 8x + 12 + x2 + 10x − 11
x2 + 8x + 7 x2 + 9x + 14
x 2 + 6x − 7
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 8
17. Efectuar: `x +
a) 0
d) 3
18. Efectuar: c
2
a) –x –y
d)
19. Calcula:
x2 − 3x + 2 x2 + 10x + 16 ' x2 + 6x − 16
e 2
oe 2
o e 2
o
x + 3x + 2
x − 2x + 1
x −x−2
a) x–2
x–1
d) x+2
x–1
2
1
1 + 2 j − c x + 2x + 1m
j
`
x+2
x
x
b) 1
c) 2
e) 4
x2 + y2
2xy
2
b) x +y
e) −
2
c)
(x2 + y2)
2xy
c) x–2
x+1
e) –2
2
2
3
4
2
20. Efectuar: (x − 3x2) . 27 −2 x
' x2 − 9x 2
(x + 3) − 3x (x + 3x)
9−x
x−y x+y
x−y x+ y
+
−
m 'c
m
x+y x−y
x+ y x−y
2
b) x+2
x+2
3
a) x
3
2
d) x +3x
b) –3x
3
e) –x
2
3
c) x –3x
2
xy
x + y2
2
Practica en casa
1. Relacionar las columnas correctamente:
•
Si en la fracción: a , en la que
b
b!0, "a" se triplica y "b" se reduce
a la mitad, entonces, la fracción se
quintuplica......................................... (
8x − 8y
;x ! y
16x − 16y
A
x+4
x2 − 16 ; x ! 4
x−4
B
1
2
ab + b2 ; a ! 0; a ! − b
ab + a2
C
b
a
4. Simplificar: 6x2 − 7x − 3 ; x ! 1 ; 3
2 2
4x − 8x + 3
x2 + 1
4x 2 + 4
D
1
4
5. Reducir:
(x2 + 2xy + y2) (x + 2y)
; x ! − y / x ! − 2y
x2 + 3xy + 2y2
2
2. Reducir cada una de las fracciones:
•
•
•
1
1+ 1
x
=__________________
x 2 − 5x + 6
x 2 − 2x
=__________________
2
6. Simplificar: 42x − 4x ; x ! 1
x − 2x + 1
2
7. Reducir: a2 – 2a – 3 ; a ! –3; –1
a + 4a + 3
•
a2 + 2ab + b2
=__________________
3a + 3b
6n
n−2
para: n=2; es 12................................. (
)
1
no está
x − 5x + 6
definida para x=3; x=2...................... (
)
El valor que toma la expresión:
La
fracción:
www.trilce.edu.pe
x2 − 4xy + 3y2 2
; x ! y2
2
2
x −y
3xy − 15
9. Simplificar: 2 2
; xy ! ! 5
x y − 25
x−y
x+y
10. Efectuar: c 2
m; x ! ! y
2 mc 2
x + 2xy + y x − 2xy + y2
se obtiene una expresión de la forma:
k
r
(x − y) . (x + y) p
calcular: "k+r+p"
8. Reducir:
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según
corresponda:
•
)
2
2
y2 + y m
11. Efectuar: c x − 4 mc
; y ! 0 / x !! 2
xy + 2y x − 2
Segundo año de secundaria
87
17
Capítulo
2
12. Dado: A = x + x − 12
x2 + x − 20
2
; B = x2 − 7x + 12
x + 9x + 20
C = `x + 4 j ; x b Z
x−4
2
Simplificar: [(A)÷(B)]÷[C]
•
Durante un programa nacional para
inmunizar a la población contra cierta
variedad de influenza, los funcionarios del
Ministerio de Salud aseguran que el costo
por vacunar al "x"% de la población es de
aproximadamente:
2
P(x) = e 150x o en millones de soles.
2
13. Efectuar:
200x - x
1
1
1
1
`1 + x j`1 + x 1j`1 + x 2 j... `1 + x n j; x b Z
+
+
+
2
14. Simplificar la fracción: P(x) = 150x
200x - x2
15. ¿Cuál es el costo por vacunar al 50% de la
población
Tú puedes
1. Reducir: ep2 −
1 + 2p 2 o
1 -1 p + 2
c1 − m e 2
o
p+2
p
p +p+1
a) p–1
d) p+2
-1
p3 − 1o
2. Simplificar: e
p−1
3
a) p +p+1
d) p+1
b) p+1
e) p–2
c) p
2
c) 0
p (p + 1)
+ 2
p +p+1
b) p +1
e) 1
y−x
3x + xy − y
3. Si: x–y=2, calcular el valor de: E = 2 1
− 2 2−
2
x3 + y3
x − xy + y
x −y
a) 0
b) x
b) 1
c) x–y
a) –1
4. Efectuar: `1 + 1 j`1 + 1 j`1 + 1 j... c1 + 1 m
x
x+1
x+2
x+p
x+p+1
x+1
x+p+1
d)
x
a)
x+p+1
x−1
e) x + 1
x+ p
b)
c)
x+p
x+1
1
1
5. Hallar la suma: S = 2 1 + 2 1
;
+
+ ... + 2
x + x x + 3 x + 2 x 2 + 5x + 6
x + (2k − 1) x + k2 − k
para x=25 ∧ k=5
Colegios
88
a)
1
150
b)
1
120
d)
1
20
e)
1
170
TRILCE
c)
1
50
Central: 6198 – 100
Capítulo
18
Fracciones algebraicas II
Lectura: Ver para creer
No hay nada como una demostración visual para que un resultado matemático quede suficientemente
claro. Las demostraciones visuales que vamos a ver ahora están relacionadas con sumas infinitas.
3
1
Suma de los inversos de las potencias de 2: Vamos a calcular el valor de la siguiente suma: / 2 n
n= 1
Para ello vamos a usar la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica
1
1 = 2 =1
/ n
1− 1
n= 1 2
2
3
Veamos ahora una imagen que aclara este resultado:
1/16
1/64
1/4
1/250
1/128
1/32
1/8
1/2
En la imagen podemos ver cómo 1 es la unidad del área del cuadrado de lado 1, cómo 1 es la mitad
2
4
de la otra mitad del cuadrado, y así sucesivamente. Realizando esa división un número infinito de pasos
llegamos a tener el cuadrado entero, que al tener lado igual a 1 da área igual a 1.
En este capítulo aprenderemos
Fracciones algebraicas II
.. Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división para fracciones algebraicas con el objetivo de reducir o
transformar expresiones algebraicas.
.. Incidir en el desarrollo correcto de las operaciones cuando estos se presenten de manera combinada.
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Segundo año de secundaria
89
18
Capítulo
Síntesis teórica
Fracciones Algebraicas II
Operaciones con fracciones
obtener
Adición y sustracción
Multiplicación
División
obtener
se
se
MCD de todos los
denominadores
multiplican los
numeradores
invierte la segunda
fracción
homogéneas
también
luego
a ! b = a !b
c c
c
se multiplican los
denominadores
se multiplican las
fracciones
heterogéneas
así
así
a − b + c = anp − bmp + cmn
m n p
mnp
a . c = a.c
b d b.d
a=
. d a.d
' c a=
b d b c b.c
Colegios
90
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
1. Halla el MCM de: 2; 6 y 15
2. Halla el MCM de: (x+2)(x–2) y (x+2)
2
2
3. Halla el MCM de: x –3x y x –9
2
4. Simplifica: x − 16
x+4
2
5. Simplifica: x − 2x − 15
x (x − 5)
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Segundo año de secundaria
91
18
Capítulo
Aplica lo comprendido
Comunicación matemática
1. Relacionar la columna correctamente:
A
a−b
c c
a−c
b d
a'c
b d
a.c
b d
7. 2x + 3 + x − 6
x−1
x−1
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
8. 3x − 1 − x + 3
5x − 2 5x − 2
a.d
b c
a.c
b.d
ad − bc
bd
a−b
c
B
C
D
2x
5x − 2
d) 2x + 4
5x − 2
a)
•
a + x + 1 − a =__________; siendo: x!–1
x+1
x+1
•
−x + 1
1−x 1−x
=__________; siendo: x!1
=__________; siendo: x!–1
• x − 1' x − 1
x+1 x+1
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
x + 1 2x + 2
• 2 ` x − 1j = 2x − 2 ; x ! 1.......................(
)
x+ y
x y
= 1; xy ! 0 ..................(
• + =
y x
y+ x
)
4 + x + 2 + − 12 = 1; x ! 6 .......... (
x−6 x−6 x−6
)
Resolución de problemas
Opera las siguientes fracciones de acuerdo a las
operaciones que hay entre ellas:
4. x − 2 + 3x + 2
4
6
b) 9x + 2
6
9
x
e)
24
c) 9x − 2
12
x+6
b) x + 2
x+2
x−2
e) 2
d) 5x − 2
x−2
10. 2 + 3 − 21
x+ 1 x−1 x −1
5x
x −1
5
d) x − 1
x+1
a)
11.
2
6.
c) 9x
8
10
x2 − 25
d) 10
x−5
5x − y
30
d) 5x + 1
60
Colegios
TRILCE
5x + y
60
e) 5x − 1
30
b)
x − 5y
60
c) 5x + 1
x−1
x − 10
x2 − 25
e) 5x + 10
x−5
c) 5x2 + 10
x − 25
b)
c) x+1
13. Opera: x2 − 1 − 1 − 1
x + x 2 x − 2 2x + 2
1 − 2x
x (x2 − 1)
d) x − 1
x+1
2x − 1
x (x2 − 1)
e) 1
b)
c)
2x
x −1
c)
x−1
15
2
2
14. Multiplica: 2x2 − 2 . x − 4x − 5
3x + 3
2x − 50
x−1
3x
d) 3x − 1
3x + 15
c)
b) 5x2 − 1
x −1
e) 5x
x+1
2
2
12. 2x +22x . 2x − 3x
2x
x − 2x − 3
a) 2
b) 1
d) x–2
e) x
a)
x − y 2x + y y − 4 x
+
+
12
15
30
a)
92
b) 10x
13
11
x
e)
24
c) 1
2 + 3x
x − 5 x2 − 25
a)
5. x − 1 + 2x + 3x + 4
3
6
12
a) 11x
12
13
x
d)
12
c) 2x − 4
5x − 2
a)
a)
a) 9x + 2
24
9
x
−2
d)
24
x−4
5x − 2
e) x + 4
5x − 2
b)
9. 3x + 4 − 2x + 2
x+2
x+2
2. Efectuar:
•
c) 3
x+1
3x + 15
x−1
e)
3x + 15
b)
2
2
2
15. Simplifica: 2x − 8x + 7 . x 2− 36 ' x2 − x − 42
x − 11x + 30 x − 1 x − 4x − 5
a) x
b) –1
c) 1
d) x–1
e) x+1
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
Realizar las siguientes operaciones:
2
9. Multiplicar: c x m`2 − 5 j
2x − 5
x
1. 3x − 1 + x + 2
5
5
2
10. Operar: ` x + 3 je x 2− 3x o
2x
x −9
2. 6x − 5 − 5x − 6
7
7
2
2
12. Simplificar: x − 2x . 2 4 + x
' 1
x + 4 x + 3x − 10 x2 − 25
4. x + 1 − 4x − 3
4
5 2
5.
2
13. Simplificar: x − 36 ' (x + 6) (x − 6)
2x + 8
x+4
3 +
5 − 2x
x + 1 (x + 1) (x − 1)
6. 3x − 2 − 2x + 2
3x
5x
14. Simplifica:
x3 + x .
2x
x
'
10x2 + 4x x3 − 3x2 + x − 3 5x2 − 13x − 6
15. Opera: 1 − 2 + 2 5
3x + 1 2x + 1 6x + 5x + 1
2
2
7. x − 9 . x + x
x + 3 x (x − 3)
8.
2
11. Simplificar: c x + 6x m ' c x − 36 m
10
5
3. x − 1 + 2x − 1
2
3 4
x ' x2
x − 1 x2 − 1
Tú puedes
4. Simplifica:
x3 − y3
2y
2xy + 4y
+
e
2y
4 − 2y − 2x + xy (2 − y) (x2 − 4) o
2
1. Simplifica: − 3c − a + 2 a − ax
2a − 2c a − ac + cx − ax
a) 2/3
d) 1
b) 2
e) 3/2
c) 4/5
2. Simplifica:
4
2
2
m − n m3 − n3
e m + n − 3 3 o (m + mn + n ) + 2mn
m +n
2
2
a) m +n
2
d) (m+n)
b) (m–n)
4
e) 2m n
2
c) n
2
3. Indica el numerador final luego de simplificar:
x + y x − y x + y x − y -1
−
+
c
mc
m
x−y x+y x−y x+ y
2
a) x
2 2
d) x y
www.trilce.edu.pe
2
b) y
e) x+y
c) 2xy
a) 0
d) x+y
b) x
e) x–y
c) y
5. Simplifica:
a2 + ab . a3 − b3 . ab − ad . ba + ad . c2
a2 b2 ab (a + b) bc + cd bc − cd
3
a) ` a j − 1
b
3
b) ` a j + 1
b
3
d) c b m + 1
a
3
e) a + 1
b
3
c) c b m − 1
a
Segundo año de secundaria
93
19
Capítulo
Radicación I
Lectura: Breve historia de las "Raíces"
En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue
al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho
antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado
en el Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya, dio un método para encontrar la raíz
cuadrada de números con varios dígitos.
David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca del tema:
"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo
(1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".
Antes del siglo XVI la raíz cuadrada se representaba poniendo un punto delante del número. El alemán
Christoph Rudolff publica en 1525, un tratado titulado Coss. En este aparece por primera vez el símbolo
, es decir es una variación de la letra "r", inicial de la palabra Radix.
En este capítulo aprenderemos
Radicación I
.. La definición de radicación desarrollada en el conjunto de los
números reales.
.. Las leyes de signos de la radicación y su restricción en los números reales.
.. La aplicación de los Teoremas:
..
Radicales del mismo índice, multiplicación, división, raíz de raíz.
.. Operaciones
–– Adición y sustracción.
–– Multiplicación y división
Colegios
94
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Radicación Algebraica I
Ley de signos
Teoremas
Clasificación
Operaciones
Radicales
Homogéneos
Adición y
Sustracción
Los radicales son
semejantes
Radicales
Semejantes
www.trilce.edu.pe
Multiplicación y
División
Los radicales son
homogéneos
Segundo año de secundaria
95
19
Capítulo
Saberes previos
1.
3x+5x+2x=
2
3.
3
2
3
5 m–11 6
2m +6m +3m +5m =
4
4
10 12 6
x .x .x =
x .x
4
7x +8x –15x =
.x =
x12 =
x10
6x–12x–7x=
x25 =
x- 40
5
2.
(–3) =
4.
x
1/2
=
x
1/3
=
x
2/3
=
x
5/8
=
4
(–3) =
9
2 =
10
2 =
4
0 =
Aplica lo comprendido
1. Relacionar:
3. Calcular: E = 6 64 − 4 81 + 3 125 − 49
64
A
4
10
1024
B
16
5
− 32
C
2
4
256
D
8
256
E
–2
4. Efectuar:
M = 3 ( 3 − 1) + 2 ( 2 − 1) + 3 + 2 + 5
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
3
5 + 3 4 = 3 9 ..........................(
)
6 + 2 = 8 ............................(
)
2 3 + 4 3 = 6 3 .....................(
)
12 . 3 = 6 ...............................(
)
− 16 =− 2............................... (
)
4
Colegios
96
TRILCE
5. Efectuar: J = 8 + 12 + 50
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
I. Comunicación matemática
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
8 + 50 = 7 2 ......................(
)
232 = 2.............................. (
5 + 6 = 11...........................(
)
x + 5....................(
)
4 8
x+2+3 =
)
8
A
3 3
27
B
3 2
12
C
2 3
18
D
2 2
II. Resolución de problemas
28 + 63 − 175
a)
7
d)
7+ 3
b) 2 7
e) 0
c) 3 7
a) 8 2 + 8 5 b) 8 2
6. Efectuar: E =
a) 2
d) 8
15
260 +
b) 4
e) 12
c) 15
4 20
280
c) 6
7. Reducir:
2n
V = n 6 n + 3 − 27 − 3 4 16 + 3 (5 32 − 1)
6
a) 1
d) 3
b) –1
e) 0
4
c) 2
3
2
16 − 6 4 + 3 54
o
3
2
b) 25
e) 5
c) 16
12. Reducir:
4
n- 4
F = n 5 . n 125 . n 625 − n 5 (n 625 + n 5
)
a) –5
d) 4
b) 3
e) –6
2+1 / y =
c) –2
2−1
2
Además: E =
(x + y) − (x − y) 2
M=
(x + y) 3 − 6 2
5 (x + y)
Calcular: E+M
5. 3 (1 − 8 ) + 12 + 3 2 + 18
b) 14
e) 16
c) 6
b) 4 2
e) 3
11. Reducir: e
c) 8 5
d) 8 2 − 8 5 e) 8 ( 2 − 1)
2 2 + 2 8 − 2 18
π2 − 3 7
32. 3 24. 2
4
16. 3 72 + 6 18
a) 1
a) 100
d) 1
4
b) 3
e) 0
10. Reducir: M =
13. Si: x =
4. Efectuar: 2 2 + 3 ( 5 + 8 ) + 125
a) 12
d) 13
a) 2
d) –1
d) 4 3
2. Relacionar correctamente:
3. Efectuar:
9. Simplificar: L =
c) 2
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
14. Reducir:
G = 3 + 2 + 3 − 2 + (2 3 + 3) (2 3 − 3)
3− 2
3+ 2
( 7 + 1) ( 7 − 1 )
a) –7
b) 9
c) 13
d) 21/2
e) 5/2
2
15. Calcular: B = ( 5 + 24 + 5 − 24 )
2
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
3
4
8. Simplificar: E = ( 8 − 27 ) ( 16 + 1)
3 (2 2 − 3)
a) –3
b) –2
c) 1
d) 2
e) 3
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Segundo año de secundaria
97
19
Capítulo
Practica en casa
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
45 + 125 = 8 5 ....................(
)
5 6
260 = 8 ...............................(
12 + 7 = 19 .........................(
)
− 32 − 3 − 27 = 1.....................(
)
5
)
2. Relacionar correctamente:
A
8 2
128
B
6 2
98
C
4 2
32
D
7 2
5. Efectuar: E =
6. Reducir: H = n
3
+
3
10. Simplificar:
5
4
3
32 − 24 64 + 212 8
o
4
2
( 3 + 2 ) ( 3 − 2) + 1
2 2+5 6
16^ x + 1h^ x − 1h − `^ x + 1h + ^ x − 1h j
22
2
12. Efectuar: ( 8 + 7 ) 2 − ( 56 + 1) 2
13. Efectuar:
( 7 + 1) 2 + ( 7 − 1) 2 + 2 ( 7 + 1) ( 7 − 1)
(4 5 + 1) ( 5 + 1) (4 5 − 1) + (4 3 − 1) ( 3 + 1) (4 3 + 1)
4. Efectuar: 2 3 − 2 ( 5 + 27 ) + 20
30
9. Reducir: M = e
14. Efectuar:
18 + 50 − 72
15
3 +1+ 3 5 + 5 −1
5 +1
8. Reducir: M =
11. Efectuar:
72
3. Efectuar:
5
4
7. Simplificar: M = ( 12 − 32) ( 81 + 1)
5 (2 3 − 2)
3
15. Calcular:
6
f
5
2+
2
2 p f1 − 1 p
5
5 −1
.
72n + 3 − 64 − 3 3 1000
7n
Tú puedes
1. Calcular: F =
2 − 1; b =
2+1
3
3
Calcular: a b–ab
3
2+
2
.
2
1− 1
3
3 −1
a)
3
b)
6
d)
3 −1
e)
6 +1
c)
4. Si: a =
2
2. Si: a = 1 + 1 ; b = 1 − 1
2
2
2
2
entonces E = a + 1 + b + 1 es igual a:
a
b
a)
2
d) 0
98
TRILCE
2
2
a) 0
b) 1
d) –24 2
e) –2 2
c) 2
5. Efectuar:
2
2
E = ( 12 + 8 + 3 + 2 ) + ( 27 − 18 − 3 + 2 )
9
4
1
2
a) 7
d) 12
b) 9
e) 15
c) 10
2 2+ 3 + 2− 3
c
m
3
3 +1
3 −1
b) 1
2
a) 2
Colegios
c)
e) –1
3. Efectuar: M =
d)
b) –3
2+1
2−1
e)
c)
2
2
4
Central: 6198 – 100
Capítulo
20
Radicación II
Lectura: La divinidad del número áureo
El número áureo de oro también llamado Divina proporción, representado por la letra griega f (fi) (en
minúscula) o F (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:
j= 1 + 5 . 1,618033988749894848204586834365638117720309...
2
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse
en elementos arquitectónicos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles en el grosor de las ramas,
en el caparazón de un caracol, pinturas, música, etc.
En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Poporción
Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número
áureo:
La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad; del número áureo, y la inconmensurabilidad
de Dios son equivalentes.
La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de
Dios.
Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada
por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.
En este capítulo aprenderemos
Radicación II
.. A los radicales dobles.
.. Su transformación a radicales simples. (Condición para la transformación)
.. Los diferentes casos para transformar un radical doble a simples
(tipo raíz cuadrada)
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Segundo año de secundaria
99
20
Capítulo
Síntesis teórica
Radical doble
Forma general
Caso:
A! B
Condición
operativa
Transformación a
radicales simples
Fórmula de
transformación
Regla práctica
Colegios
100
TRILCE
Casos diversos
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
x2 .a = x a (extraer un factor)
1.
4. Efectuar:
•
45 =____________________________
•
(x+2)(x–2)
•
12 =____________________________
•
( 3 +2)( 3 –2) =____________________
•
8
=____________________________
•
( 3 +2)
•
32 =____________________________
•
( 3 –2)
•
108 =____________________________
•
245 =____________________________
2
=____________________
2
=____________________
5. Factorizar:
2
•
x –8x+15
•
x –x–2
•
x +5x+4
x2 b (ingresar un factor)
2. x b =
•
2 5 =____________________________
•
6 3 =____________________________
•
2 7 =____________________________
•
4 11 =____________________________
•
7 3 =____________________________
•
8 2 =____________________________
n n
3. x .y =(x.y)
n
2
2
2
1/3
.4
1/3
=__________________________
5
1/2
.5
1/2
=__________________________
•
4 .3
•
•
=____________________
2
2
=__________________________
Aplica lo comprendido
1. Convertir a radicales simples:
8 + 2 15
2. Transformar a radicales simples:
9 − 2 20
4. Convertir a radicales simples:
2+
3
5. Transformar a radicales simples:
10 + 19
3. Convertir a radicales simples:
5 − 24
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Segundo año de secundaria
101
20
Capítulo
Aprende más
Comunicación matemática
1. Relacionar correctamente:
8. Transformar en un solo radical doble:
8 + 60 − 5 − 24
7 + 2 12
A
6+ 2
a)
7 − 40
b)
10 + 40
8 + 2 12
B
3+ 2
d)
10 − 40
e)
5+ 2
8 + 2 15
C
5+ 3
5+2 6
D
3 +2
•
•
•
El radical doble: 20 − 2 51 es
equivalente a 17 − 3 .................... (
)
El radical doble 6 + 32 es mayor
que 7 + 2 .....................................(
)
Al multiplicar 2 + 3 2 − 3 se
obtiene 1........................................... (
)
Todos los radicales dobles son
transformables a radicales simples......(
)
Resolución de problemas
3. Convertir a radicales simples
a)
2+1
b)
3 +1
d)
3+ 2
e)
3 −1
11. Efectuar: M = n
n!Zn>2
c)
c) 1
a) 2n 2
d) 2
b) n 2
e) n 2 + 3
12. Calcular "x" en
2b − 3b 2 =
x− 2
b) 4
e) 7
c) 5
•
3+
8 = ___________________________
•
5+
2
6 = __________________________
•
2x − 5 + 2 x2 − 5x − 6 =______________
E=
5x − 2 + 24x2 − 14x − 5
______________________________________
4. Reducir:
a)
6x − 5 +
2
4x + 1
2
b)
5 + 2x +
2
6x + 5 +
2
6x − 3
2
4x − 1
2
b)
3 +1
e) 0
c)
3+
2
5. Calcular "A+B–C" si: A = 7 + 2 12
B = 8 − 2 15
C = 9 − 2 20
a) 2
d) 8
6. Efectuar: E =
a)
5
d) 2
b) 4
e) 12
c) 6
21 − 320 − 2 + 9 + 80
b) 5
e)
7. Si se cumple que:
c) 3
7
Colegios
TRILCE
b) 7
e) 4
13. Transformar a radicales simples la expresión:
c)
d)
6x − 5 + 4x + 1
e)
6x − 5 −
2
4x + 1
2
14. Calcular:
M=
2 + 5 − 3 6 − 2 + 8 + 2 12
a) 4 2
b) 4 3
d) 2 2
e) 3 3
c)
3
15. Simplificar:
M = 2 1 + 2 1 + ... + 2 1 + 2 3 + 2 2
e indicar uno de los radicales simples.
5x − 2 + 2 6x2 − 7x − 3 = mx + n + px − m
Calcular: "m+n+p"
a) 8
d) 5
a) 3
d) 6
3 −1
3 + 2 . 2n 5 − 2 6
10 + 19 = __________________________
A = 5 − 2 6 − 10 + 2 21 + 9 + 2 14
102
a) –2
b) –3
c) –4
d) –5
e) –6
10. Descomponer en radicales simples:
2 . 4 7 − 2 12
•
a)
3 −1
d) –2
7 + 40
9. Calcular el valor de:
E = (3 + 7 ) (5 − 7 ) − 32 + 10 7
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
•
c)
c) 6
a)
3
b)
d)
2
2
e) 2 2
5
c)
6
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
1. Relacionar correctamente
4. Reducir: E = 5 + 24 + 9 − 56 − 10 − 84
9 − 2 14
A
5+2
9 − 2 18
B
7− 2
9 + 2 20
C
6+
9 + 2 18
D
6− 3
5. Reducir: L =
6. Si se cumple que:
5x − 1 + 2 6x2 − x − 2 = ax + b + cx − a
3
Calcular "a+b+c"
7. Transformar en un solo radical doble:
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
M = 11 + 112 − 6 − 32
•
El radical doble:
10 − 2 16
equivale a 2 ................................... (
•
Los radicales simples: 2 5 + 3
equivalen
al
radical
doble
29 + 2 180 ...................................(
)
El radical doble: 17 − 2 72 es igual
a: 3 − 2 2 ......................................... (
)
•
•
El radical doble 2x + 2 + 2 x2 + x
equivale a los radicales simples:
x + 1 + x ....................................... (
)
H = 5 + 2 3 ( 74 − 2 3 − 8 − 2 3 )
E=n
7 + 5 . 2n 12 − 2 35 ; (n ! Z; n > 2)
10. Descomponer en radicales simples:
N=
2 . 4 17 + 2 72
11. Transformar a radicales simples:
)
•
2 . 8 + 15 =________________________
•
2 . 18 + 35 =_______________________
2
2x − 2 + 2 x − 2x − 15 = _____________
______________________________________
•
8. Calcular el valor de:
9. Efectuar:
3. Convertir a radicales simples:
•
28 − 300 + 19 + 192
y 2 − 2y − 3
y−1+
N=
12. Simplificar y transformar a radicales simples:
L=
2 + 2 2 + ... + 2 2 + 2 4 + 2 3
2
9
3 + 2 16 - x
13. Simplificar:
14. Si: 2b − 3b2 = x − 2 ; (5>b>1)
Hallar el valor natural de "x"
15. Reducir: R =
4 4 − 2 6 − 2 5 + 10 − 2 5
2x + 2 x2 − 25 =_____________________
Tú puedes
1. Proporcionar el valor de: α.θ
β
a)
Si: αx + θy + (αθ + β) xy es transformable a
radicales dobles.
a) 1/5
d) 1/3
b) 1/2
e) 1/6
c) 1/4
1 + 2x 1 − x2 ; 0<x<1
a)
x
b)
x−1
d)
x+1
e)
1 − x2
3. Transformar a radicales simples:
x + 1 2x − 1
2
4
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4. Si:
b)
e)
2
4
x+1
2
c)
2
P (x) + 2 Q (x) = ax + b + mx + 2
2
además: P(x)+Q(x)=8x +30x+17
Calcular: "a.b.m"
2. Indicar un radical simple de:
E=
d)
2
2
x−1
8
c)
x+2
a) 35
d) 40
5. Calcular:
racional.
a) 5
d) 8
b) 70
e) 60
c) 80
100
/ ( n − n − 1), indicar la parte
n= 1
b) 6
e) 10
c) 7
Segundo año de secundaria
103
21
Capítulo
Radicación III
Lectura: Ejercicios de 4 operaciones con radicales
Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente
investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era
irracional, no expresable como cociente
alguno, lo que supuso un hito en la matemática
de la época. Posteriormente se fue ampliando la
definición de raíz cuadrada. Para los números
reales negativos, la generalización de la función
raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de
los números imaginarios y al cuerpo de los
números complejos, algo necesario para que
cualquier polinomio tenga todas sus raíces
(teorema fundamental de álgebra).
FUENTE: http:/www.disfrutalasmatematicas.com
En este capítulo aprenderemos
Radicación III
.. El concepto de racionalización.
.. El concepto de factor racionalizante.
.. Racionalización de:
–– Un solo radical.
–– Una suma o diferencia de raíces cuadradas.
Colegios
104
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Racionalización
Factor racionalizante
Cantidad irracional que al
multiplicar a otra cantidad
irracional la transforma en
racional
Proceso que transforma el
denominador (en algunos
casos
el
numerador)
irracional de una fracción en
una cantidad racional.
Caso I:
n
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xm
Caso II:
A! B
Segundo año de secundaria
105
21
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar: 3 2 + 5 2 − 6 2
b) 13 m5 .13 m8 =
4. Efectuar:
2. Efectuar:
a)
2. 8 =
a) ( 3 + 2 ) ( 3 − 2 ) =
b) ( 5 + 2) ( 5 − 2) =
3
b)
9.
3
3=
5. Transformar a radicales simples:
3. Efectuar:
a)
7 + 2 12 =
b)
12 − 2 27 =
a) 3 x2 . 3 x4 =
Aplica lo comprendido
1. Relacionar correctamente
3. Racionalizar el denominador de:
Cantidad
Irracional
Factor
Racionalizante
13
x5
A
13
x2
13
35
x
B
13
x
8
13
x4
C
13
x4
13
x50
D
13
x9
•
7
1 = _______________________________________
x3
•
9
1 = ______________________________________
x17
4. Racionalizar el denominador de:
•
1
=
13 − 2 ___________________________
•
1
= __________________________
15 + 10
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
•
•
•
•
Colegios
106
El factor racionalizante de: 5 x3 es
5 2
x ..................................................(
)
El factor racionalizante de x11 es
x .................................................... (
)
El factor racionalizante de 3 − 2 es
− 3 + 2.............................................(
4
se obtiene
Al racionalizar
6 −2
6 + 2............................................... (
TRILCE
5. Racionalizar el denominador de:
2
10 + 2 21
)
)
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
Comunicación matemática
1. Relacionar correctamente para que la cantidad
racionalizada sea 2
11–3
A
– 11+3
11+3
B
(− 11 − 3)
– 11+3
C
11+3
– 11–3
D
11–3
3 ...................... (
)
•
El F.R. de: 3 12 es 3 18 .....................(
)
•
El factor racionalizante de 3 + 1 es
3 − 1............................................. (
)
2 − 1 es
1 − 2 ............................................... (
)
Resolución de problemas
3. Racionalizar el denominador de E = 5 42
49
a) 6
5
343
d) 5 49
b) 6
5
7
c) 6
5
49
e) 5 343
4. Racionalizar el denominador de: B = 4 18
36
a)
6
b) 2 6
d) 4 6
e) 5 6
c) 3 6
5. Indicar el denominador racionalizado de:
xy
H=
3 x5 y 7
2 3
a) x y
3 2
d) x y
2
b) xy
2
e) x y
c) xy
b) 20
e) 54
c) 24
7. Racionalizar el denominador de: E =
a) 3 ( 7 + 2)
b)
7 −2
7 −1
e)
7 −3
d)
www.trilce.edu.pe
e) 15–2 3
4 +
3+ 5
b) 2
e) 5
d)
2
+
5+ 3
2
+
5+ 3
a) 0
b)
c) 9–3 2
2
3 −1
c) 3
3
+
5− 2
1
3+ 2
c) 2 2
5
e) 2 5
2
11. Efectuar: N = 3 + 2 −
3
2
a)
3
b) 2 3
d)
2
e) 2 2
12. Efectuar:
4
+
8 + 2 12
1
3− 2
3
−
7 − 2 10
a) 1
b)
5
d) 0
e)
3
c) 0
1
11 − 2 30
c) 2
13. Efectuar:
E=
3 2
−
9 + 2 18
a) 8
d) 3
4 3
+
8 + 2 12
b) 4
e) 5
6
5+2 6
c) 0
14. Indicar el denominador racionalizado de:
10
3+ 5+ 8
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
12
+ 30
2+ 3+ 5
y reducir la expresión.
15. Racionalizar: E =
6. Al racionalizar: 4 6
3
se obtiene una expresión m 4 n , indicar: m×n.
a) 18
d) 48
d) 12+3 2
10. Efectuar: A =
El F.R. de:
El factor racionalizante de
b) 9+3 2
a) 1
d) 4
•
•
a) 15+2 3
9. Efectuar: M =
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
12 es
42
4− 2
8. Racionalizar el denominador: D =
c)
a) 2 3 + 3 2 b) 3 3 + 2 2 c) 2 5 +
d)
3+
5
3
e) 2 30
3
7 −2
7 +2
Segundo año de secundaria
107
21
Capítulo
Practica en casa
1. Relacionar correctamente para que la cantidad
racionalizada sea 3
7 –2
A
– 7 +2
7 +2
B
– 7 –2
– 7 +2
C
7 +2
– 7 –2
D
7 –2
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda
•
•
•
•
6. Racionalizar: 9 12
25 .37
7. Racionalizar el denominador de: G =
4
5 −2
8. Racionalizar el denominador de: H =
72
27 − 5
9. Racionalizar el denominador de: M =
6
8+2 7
10. Racionalizar el denominador de:
1
H=
10 − 2 21
El factor racionalizante de: 3 7 es
3
49 ................................................. (
)
11. Racionalizar el denominador de: F =
El factor racionalizante de 27 es
3 .................................................... (
)
El factor racionalizante de 8 + 1 es
8 − 1............................................... (
12. Efectuar luego de racionalizar cada fracción:
1 +
1
1
+
5 −2
7+ 6
6+ 5
)
El factor racionalizante de 3 − 1 es
3 + 1............................................... (
)
3. Dar la expresión racionalizada de: F = 9
3
4. Racionalizar el denominador de: B = 4 5
25
5. Indicar el denominador racionalizado de:
J = 5 m.n
m4 .n8
5
+
7+ 2
1 −
2+1
1
+
5+ 3
1
+
7+ 5
13. Calcular:
14. Reducir:
1 +
3 +1
18 + 12
3+ 6
6
7 −1
1
9+ 7
15. Indicar el denominador racionalizado de:
1
2+ 3 + 5
Tú puedes
1. La expresión racionalizada de:
1
equivale a:
2x + 5 + 2 x 2 + 5x + 6
a)
x+3+ x+2
b)
x+ 3− x+ 2
x−2
d)
x+ 3− x+ 2
c)
x+ 3+
e) 1
2. Efectuar: C = c
a) 1
d) 4
-1 2
10 + ^ 3 + 5 h
m
5 +1
b) 2
c) 32
e) 5
26 − 2 7 = a + b ; ("a", "b"
3− 7
2
enteros positivos). Hallar a –b
3. Si se cumple:
a) 9
d) 2
Colegios
108
TRILCE
b) 15
e) 18
4. Después de reducir:
1
+ 1 − 4 − 15
6
5 − 6 + 10 − 15
obtenemos:
a)
6 + 10 + 15
c)
2+1
e)
5 −1
b)
3+ 5+ 2
d) 1
5. Hallar el valor de "x" en la siguiente igualdad:
(6 256 + 9 8 ) 6x = 54
a) 1/2
d) 2
b) 1/3
e) 1/5
c) 1/6
c) 29
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Capítulo
22
Teoría de ecuaciones
Lectura: Igualdad y equilibrio
"El concepto de igualdad aparece desde tiempos romanos de la humanidad y la asociamos con la imagen
de una balanza equilibrada, la cual nos indica una equivalencia de cantidades, si hay un desequilibrio
buscaremos un peso adecuado para obtener el equilibrio, dicho peso nos da la idea de la incógnita en un
ecuación.
En este capítulo aprenderemos
Teoría de ecuaciones
.. Concepto de igualdad y ecuación.
.. Clasificación de las ecuaciones.
–– Por su estructura.
–– Por el número de soluciones.
.. Teoremas de resolución:
–– Resolución por despeje.
–– Ecuaciones literales.
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Segundo año de secundaria
109
22
Capítulo
Síntesis teórica
Teoría de ecuaciones
Igualdad
Ecuación
Definición
Solución
Teoremas de
resolución
Clasificación
Por su
estructura
Por el número
de soluciones
Resolución por despeje
Ecuaciones literales
Colegios
110
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Álgebra
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
•
5+2–4 =
•
–3+7=
2. Reducir:
•
x+5x–8x=
•
2m+4m+7m–9m=
3. Efectuar:
•
4(x–2)=
•
3(x–1)+3=
2
4. Desarrollar: (x+5) –x(x+2)=
5. Factorizar:
•
mx+nx=
•
mx–3x=
Aplica lo comprendido
1. Clasifica a las siguientes ecuaciones de acuerdo
al número de sus soluciones:
3. Hallar "x" en la ecuación: 3x = 2
x+1
I. 2x+5=2x+5
II. 3x+7=3(x+2)
III. 2x+1=15
4. Hallar "x" en la ecuación:
x−2 = 5
2. Si x=5 es solución de:
3(x–2)+n=2x
Hallar "n"
5. Despejar "x" en la ecuación: x–2b=a
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Segundo año de secundaria
111
22
Capítulo
Aprende más
1. Hallar "x" de la ecuación: 3x+1=13
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
c) 5
2. Hallar "x" en la ecuación:
5(x–2)+3(x+4)=66
a) 4
d) 40
b) 6
e) 12
c) 8
b) 13
e) 8
c) 9
Presenta solución única
Presenta infinitas soluciones
Es incompatible
Su solución es 5
b) {5}
e) 5;7
c) {7}
b) {1; 2}
e) {2; 9}
c) {2; 3}
7. Hallar el conjunto solución de la ecuación:
x2 − 1 = 3
x−1
b) {2}
e) {4}
8. A partir de la ecuación: 4x +
c) a.b
b) a + 1
a
d) 2a + 1
a
e) 3a + 1
a
(a ! 0)
c) 2a − 1
a
12. Hallar "x" en la ecuación: ax–3=bx+a
a+b
a−3
b) a + 3
a−b
e)
c)
(a!b)
a−3
a+b
a−3
a−b
13. Halla "x" en la ecuación: ax–5b=2a+bx
6. Halle el conjunto solución de la siguiente
ecuación: (5x+3)(x–2)=8(x–2)
a) {1}
d) {3}
c) 8
b) a+b
e) 0
a
a+1
a)
d) 1
5. Halle el conjunto solución de la siguiente
ecuación: x(x–7)=5(x–7)
a) {2}
d) {–2; 3}
a) ab
d) –(b–a)
a)
e) No presenta solución
a) 5
d) {5;7}
b) 6
e) 11
11. Hallar "x" en la ecuación: ax − 1 = a
2
4. A partir de la ecuación: 5(x+2)=2(x+5)+3x
Se puede afirmar que:
a)
b)
c)
d)
a) 4
d) 10
x−2 = 1
3
10. Despejar "x" de la ecuación: x+b=a
3. Hallar x" en la ecuación:
4 (x − 3) = 4
10
a) 5
d) 12
9. Hallar "x" en la ecuación:
c) { }
a + 5b
a+b
b) 2a + b
a−b
d) 2a + 5b
a−b
e) 3a + b
a−b
a)
14. Hallar "x" en:
a) 0
d) 2
c) 5b + a
a−b
x2 + x + 1 = x + 1
b) 1
e) –2
c) –1
15. Halle el conjunto solución de:
x2 − 4 + x = x2 − 9 − 11
x+2
x−3
a) {–2}
d) {–8}
b) {–6}
e) {–8;6}
c) {–2;–6}
8 = 20 + 8
x−5
x−5
Se puede afirmar que:
a) Presenta solución única
b) Presenta infinitas soluciones
c) Es incompatible
d) Su conjunto solución es vacío
e) c y d
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112
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Álgebra
Practica en casa
1. Hallar "x" en la ecuación: 2x+3=11
9. La ecuación:
clasifica como:
8x +
4 = 40 + 4 ,
x–5
x–5
se
2. Hallar el conjunto solución de: 7(x–2)=35
3. Hallar "x" en la ecuación: (x − 2) = 3
9
4. La ecuación: 4(x+2)=3(x+1)+x+5
de acuerdo al número de soluciones se clasifica
como:
5. Si: x=3 es solución de: 4(x–2)+n=9
Hallar: "n"
10. Hallar "x" en la ecuación:
x+1= 4
11. Despejar "x" de la ecuación: x–m=a
12. Hallar "x" en la ecuación: mx − 1 = 3
m
13. Hallar "x" en la ecuación: ax+b=cx+d
x+5 = 2
2
14. Resolver la siguiente ecuación:
6. Halle el conjunto solución en la ecuación:
x(x–4)=5(x–4)
7. Halle el conjunto solución de:
(x+4)(x–1)=7(x–1)
15. Hallar el conjunto solución de la siguiente
ecuación: x + 2 − x + 1 = x − 3
5
4
3
8. Halle el conjunto solución de la ecuación:
x2 − 4 = 4
x+2
Tú puedes
1. Si el C.S de la ecuación:
2 (x + 1) − 1 − x = x + 3 ; es: n + 1
$ n .
3
5
10
b) 6
d) 13
e) 46
c) 22
2. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b;
se obtiene infinitos valores para "x" que verifican
la igualdad. Hallar el valor de "a+b"
a) 6
b) 8
d) 12
e) 14
46a
15
d) 49a
15
a)
2
Hallar el valor de: n –3
a) 0
3. Hallar "x" en:
c) 10
b) 47a
15
e) 50a
15
c)
48a
15
4. Halle el cardinal del siguiente conjunto:
A={x∈R/x–5+ x − 9 =2+ x − 9 }
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
2
2
5. Hallar "x", en: x + m − x + n = m + n − 2;
n
m
mn
mn≠0
a) m+n
d) n–m
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5x + a + 6a = 4; a > 0
5x + a − 6a
b) –2n
e) –2m
c) m–n
Segundo año de secundaria
113
23
Capítulo
Ecuaciones de 1er grado I
Lectura: Curiosidades matemáticas
El uso de las letras x, y, z para representar incógnitas y las primeras del
abecedario para valores conocidos, aparece en el libro "La Geometrie"
de Descartes. Se cuenta que cuando el libro se estaba imprimiendo
y debido a la gran cantidad de ecuaciones que tenía, los impresores
se quedaban sin letras. El editor le preguntó a Descartes si podía
emplear otras letras para las ecuaciones. Descartes le respondió que
era indiferente las letras que utilizase en las ecuaciones. El editor eligió
la x porque en francés esa letra se utiliza poco.
FUENTE: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/curiosidades.htm
En este capítulo aprenderemos
Ecuaciones de 1er grado
.. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
.. Ecuaciones reducibles a primer grado.
.. Ecuación de la forma: Ax+b; compatible determinada, compatible indeterminada e incompatible.
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114
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Álgebra
Síntesis teórica
Ecuaciones de primer grado I
Resolución
Ecuaciones reducibles a
primer grado
Análisis de la ecuación:
Ax+B=0
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Segundo año de secundaria
115
23
Capítulo
Saberes previos
1. Simplifica las siguientes expresiones
•
–3x+4x–5x+6x–6x–7x
•
2
x +2x +4x –3x +5x
•
x +3x+3x –5x+6x
2
2
2
2
2
2
•
(x+9)(x–1)
=________________________
=____________
=____________
2
=____________
2. Multiplica los binomios
•
(x–2)(x+2)
=________________________
•
(3+x)(3–x)
=________________________
•
(x+4)(x–4)
=________________________
3. Multiplica los binomios
•
(x+1)(x–2)
=________________________
•
(x–7)(x–8)
=________________________
4. Desarrolla los binomios al cuadrado
2
=____________________________
2
=____________________________
•
(x+3)
•
(x–4)
•
(2x–3) =____________________________
2
5. Factorizar:
•
ax + 3x
= ______________________
•
mx – nx
= ______________________
•
ax + bx – 3x = ______________________
Aplica lo comprendido
A. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones
1. 5(x+3)+2(x−1)=7(x+2)−x
2
B. Si la ecuación de incógnita "x":
(a–4)x=b+3
presenta infinitas soluciones; indicar el valor
que adopta"ab".
2
2. (x+3) +(x−3) =2x(x+3)−3
C. Sea la ecuación: x3m–2+7m=10
si la incógnita "x" es de primer grado, hallar el
conjunto solución.
2
3. (3x+1)(x–2)=3x –12
Colegios
116
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Álgebra
Aprende más
1. Hallar el conjunto solución de la siguiente
ecuación: 3(x+1)–2(x+3)=5–x
a) {8}
d) {–1}
b) {4}
e) {5}
c) {2}
b) 13/4
e) 7/4
c) 11/4
3. Hallar "x" en la ecuación:
(x–3)(x+2)–(x+5)(x–1)=3x
a) 2
d) –1/8
b) 1/8
e) 0
c) –3
b) 6
e) 9
3
b) 4
e) –6
e)
c) 5
5
b) 4
e) 7
c) 5
b) 2
e) 5
a
c) 3
b
15. La ecuación: (a )x+256=27x+b
es indeterminada: calcular el valor de "ab".
2
a) 1
d) 0
6. Hallar "x": (x+2) =(x+1) +3x +7x–5
a) 3
d) –4
b) 1
a) 1
d) 4
c) 11
3
a) 0
d) 25
14. Que valor no debe tomar "m" para que la
ecuación en x: mx–1=3x+5, presente solución
única.
c) 7
b) 10
e) –5
c) 3
12. Si la ecuación en "x": (m–5)x = 1, es
2
incompatible. Hallar m
a) 3
d) 6
5. Determinar el valor de la incógnita en:
2
2
2
(x+3) +x+(x+4) =2(x+5)
a) 9
d) –9
b) 2
e) 5
13. Si la ecuación en "x": ax+5=5(x+4)+x, es
absurda. Hallar "a".
4. Hallar "x" en la ecuación:
2
2
(x–3)(x +3x+9)–x(x –4)=1
a) 5
d) 8
a
a) 1
d) 4
2. Calcular el valor de "x", en la ecuación:
4(x–2)+3(x+7)=9+3(x+7)
a) 17/4
d) 19/4
b
11. Obtener "a +b ", si la ecuación de incógnita "x":
ax+3=2bx+3b, es compatible indeterminada.
c) –3
b) 4
e) 9
c) 12
7. Si 6 es solución de: 5(x+m)+2(x–3m)=1
Indicar el valor que adopta "m"
a) 40
d) 43
b) 41
e) 44
c) 42
8. Si 9 es raíz de: 5(x+n)–2(x–3n)=x–4, hallar "n".
a) –5
d) –3
b) –1
e) –4
c) –2
9. Si la ecuación de incógnita "x":
n+3
–n+2)=7, es de primer
5–2(x
Determinar: x+n
a) –4
d) –8
b) –6
e) –9
grado.
c) –7
10. Hallar "m+n", si la ecuación de incógnita
"x": (m–15)x+(6m–3n)=0, presenta infinitas
soluciones
a) 43
d) 46
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b) 44
e) 48
c) 45
Segundo año de secundaria
117
23
Capítulo
Practica en casa
1. Hallar el conjunto de la siguiente ecuación:
5(x–2)–3(x+1)=5–x
2. Calcular el valor de "x" en la ecuación:
3(x–2)+2(x–3)=7(a–4)
10. Hallar el valor de "m+n", si la ecuación de
incógnita "x": (m–4)x+(3m–2n)=0
es indeterminada.
11. Obtener el valor de "ab", si la ecuación de
incógnita "x": ax+8=b(3x+2)
presenta infinitas soluciones.
3. Hallar el valor de "x" en la ecuación:
(x+5)(x–1)–(x–3)(x–2)=88
4. Indicar el valor de la incógnita al resolver la
2
ecuación: (x+5)(x –5x+25)–x(x+3)(x–3)=1
12. Si la ecuación en "x": (49n–9)x=2012
es absurda, hallar el valor de: n
5. Determinar el valor de la incógnita en:
2
2
2
(x–8) +(x–2) =2(x–4)
13. Si la ecuación en "x": mx–4=3(x–2)–x
es inconsistente, hallar el valor de "m"
3
2
2
6. Hallar el valor de "x" en: (x–2) +3x =(x–1) +2
7. Si: 3 es solución de la ecuación:
5
7(x+n)+3(x+2n)=5
indicar el valor que adopta "n".
14. Si la ecuación: bx–4=7–2x es incompatible
Indicar el valor que adopta "b".
n
m
15. La ecuación: n –(m )x=3125–4x
presenta infinitas soluciones, calcular el valor
de: J = n + 2m
–1
8. Si: 4 es raíz de la ecuación:
2
2
(x+2n) –(x–2n) =1
entonces el valor de "n" es:
9. Si la ecuación de incógnita "x":
m+5
9–4(x
+m–7)=1
es de primer grado, determinar el valor de
"x+m".
Tú puedes
1. Determinar el valor de la incógnita "x" en:
2
2
2
2
(x+2a)(x –2ax+4a )+(2 2 ax) =(x +a)
2
(x+8a );
(a!0)
Indique: "x−c"
a) 2 2
b) 1
d) –2
a) 0
c) 2
b) 8
e) 30
c) 20
3. Calcular el valor de "x" en la ecuación:
x + b + x = a (a − x)
b
a
b2
a) a+b
2 2
d) a b
Colegios
118
TRILCE
b) ab
2
e) (a+b)
a) a
d) a+b
2. Calcular "x" en la ecuación:
(x+3)(x+1)(x−2)(x−4)=(x−5)(x+4)(x+2)
(x−3)+12(x−5)(x+4)+6x
a) 4
d) 24
4. Resolver para "x"
3
3
2
(b+c) = b − c + bc (b + c) ; bc!0
b−c
x
b) b
e) b − c
a
c) c
5. Resolver la ecuación de primer grado definida
para "x":
3
2
3
2
3
(x+a) −(x+b) +1=(x−a) +(x−b) +29a +2
2
(x+b )
a) −2
2
2
d) 2 +b
2
b) 2
2
e) −4b
c) −2b
2
c) a−b
Central: 6198 – 100
Capítulo
24
Ecuaciones de 1er grado II
Lectura: Diofanto
Diofanto fue un matemático griego que vivió entre el 200 y el 290 dC.
Su vida se desconoce por completo; sin embargo ha llegado hasta nosotros un texto escrito por él llamado
"La Aritmética" en el que se plantean y resuelven 189 problemas de álgebra que hoy resolveríamos utilizando
ecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de ecuaciones. Por este hecho se le conoce como el padre del
Álgebra y a las ecuaciones de primer grado se les llama, también, "ecuaciones diofantinas"
Sobre su tumba, a manera de epitafio uno de sus alumnos escribió el siguiente problema:
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años
que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el
primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso
niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo
que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."
¿Podrías resolver el problema y encontrar cuántos años vivió Diofanto?
FUENTE: http://juntadeandalucia.es
En este capítulo aprenderemos
Ecuaciones de 1er grado II
.. Resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios.
.. Resolver ecuaciones fraccionarias que se transforman en ecuaciones de primer grado. (con restricciones)
.. Plantear y resolver ecuaciones de 1er grado.
www.trilce.edu.pe
Segundo año de secundaria
119
24
Capítulo
Síntesis teórica
Ecuaciones de primer grado
II
Con coeficientes
fraccionarios y/o
irracionales
Fraccionarias reducibles
a 1er. grado
Planteo de ecuaciones de
1er. grado
Colegios
120
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
•
4 (x–3) – 3 (x–5) =
•
8(m–n) + 5 (2m+n) =
4. Simplifica las siguientes fracciones:
2. Calcular:
•
mcm (2; 3; 5; 7) =
•
mcm (2; 6; 12; 9) =
•
x−3
3−x
•
4−a+b
a−4−b
5. Efectúa las siguientes operaciones:
•
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
•
x − 1 está definida; para x=2 ......... (
x−2
)
•
x + 3 no está definida para x=3 ..... (
x−3
)
2 5 + 3 5 − 125 =
•
8+
2
Aplica lo comprendido
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 2 x + 1 = x − 1
3
5 2 10
2.
3 x − 1= 2 + 6
3.
1 = 1
x−3 7−x
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4. 5x +
1 = 15 + 1
x−3
x−3
5. Representar a través de una expresión algebraica
los siguientes enunciados:
• El exceso de A sobre B.
• A es excedido por B.
Segundo año de secundaria
121
24
Capítulo
Aprende más
1. Hallar el conjunto solución de:
2x − 2 x = x − 3 − 15
3
15
a) {–11}
b) {–10}
d) {–13}
e) {–14}
10. Hallar "x" en: m (x + n) − n (x − m) = 1
m (m + n) + n (n − m)
c) {–12}
b) $ − 3 .
2
e) $ − 1.
4
c) $ − 1.
2
b) {–1}
d) { }
e) {2}
c) {1}
a) { 5 + 3 }
b) { 5 − 3 }
c) { 5 − 2 3 }
d) { − 5 − 3 }
3}
5. Hallar "x" en: x − 2 − x − 3 = 2
3
2
6
a)
3+ 2
d) − 2 − 3
6. Hallar "x" en:
a) 1
d) 4
b)
3− 2
e) 1
a) 3
d) 9
a) 31
d) 35
4. Hallar el conjunto solución de la ecuación:
5 (x + 5 ) = 3 (x + 3 )
e) { − 5 +
c) m+n
b) 7
e) 10
c) 5
12. La tercera parte de la edad que tendré dentro de
12 años será igual a 15 años, ¿qué edad tengo?
3. Hallar el conjunto solución de:
5 (x − 2) − 4 (x + 1) = 2 − x
4
3
12
a) {0}
b) n
e) mn
11. La suma de tres números consecutivos es 12.
Indicar el número mayor.
2. Hallar el conjunto solución de:
2x − 1 = x + 2
3 10
5
a) $ − 2 .
3
d) $ − 4 .
3
a) m
d) m–n
c)
2− 3
1 +4 = 3 +2
x−2
x−2
b) 2
c) 3
e) 5
b) 33
e) 40
c) 34
13. El exceso de un número sobre 30 equivale al
exceso de 45 sobre la mitad del número en
mención. Hallar dicho número.
a) 10
d) 40
b) 20
e) 50
c) 30
14. Si el cuadrado de un número N se agrega 11
se obtiene el cuadrado del consecutivo de N.
Indicar la quinta parte del valor que adopta N.
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
15. Ana le pregunta a Claudia la hora y ella le
responde: "Son las cinco séptimas horas de lo
que falta para terminar el día", ¿qué hora es?
a) 2 horas
d) 12 horas
b) 4 horas
e) 14 horas
c) 10 horas
7. Hallar "x" en: 3x + 7 + x = 1 + 8
x+2
x+2
a) –3
b) 1
c) 2
d) 5
e) 4
8. Hallar "x" en: 2x − 2 = 3
x−1
x+1
a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
9. Hallar "x" en: 1 + 1 − 1 = 1
2x 4 10x 5
a) –8
d) –2
Colegios
122
TRILCE
b) –6
e) 0
c) –4/5
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
1. Hallar el conjunto solución de: 5x − 8 = 3x + 4
7
5
2. Hallar el conjunto solución de: 4x − 1 = 2x + 4
9 3
5
3. Resolver: 3 (x − 1) − 2 (x + 3) = 3 − x
4
3
6
4. Resolver:
2 (2x + 1) = 3x + 1
5. Al resolver la ecuación: x + 1 =
x−1
3
2
se obtiene el conjunto solución {a+ b },
hallar "a+b"
1 +9 = 7 +3
7−x
7−x
7. Hallar "x" en: 2x + 5 + 2x = 3 + 10
x+1
x+1
8. Hallar "x" en: 3x − 3 = 7
x−2
x+2
9. Hallar "x" en: 1 + 1 − 1 = 1
3x 6 15x 5
6. Resolver:
10. Hallar "x" en:
x+p
x−q
−1 =
+1
q
p
11. La mitad de la edad que tendrá Cecilia dentro de
13 años será igual a su edad actual disminuido
en 7 años. ¿Cuál es la edad de Cecilia?
12. La mitad de la edad de Valentina excede a
su sexta parte en 10 años. Indicar la edad de
Valentina hace 5 años.
13. Hallar un número de tal manera que su quíntuplo
aumentado en tres equivale a 28.
14. Un número es tal que sus dos quintas partes
equivalen al cuadrado de diez. Hallar la mitad
de dicho número.
15. El agua contenida en un pozo se agota en 3
horas. En cada hora el nivel del agua disminuye
en la mitad más un metro, determinar la cantidad
de agua al inicio.
Tú puedes
1. Si la ecuación lineal:
2 n
n+2
3(a−3)−ax (x )=2(b+2n)+5x
definida en "x", admite infinitas soluciones.
Hallar el valor de "2a−b−n"
a) 10
d) 1
c) 5
b) −1
e) −6
2. Resolver: 2 8x − 5 (x + 4)B = x − 3 − 2 (x + 2)
5
3
3
3
c) 5
a) 2
b) −1
d) 4
e) 7
3. En la ecuación en "x"
2
n (x−1)+x(10−7n)=14−9n
Determine el valor de "n" para que dicha
ecuación sea compatible indeterminada
a) 0
d) 5
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b) 1
e) 7
4. Hallar el valor de "m" de tal manera que la
3
2
ecuación en "x": m x−2b+3xm =7−x(1+3m);
sea incompatible
a) 4
d) 1
b) 3
e) −1
c) 2
5. Don ramón cría cuyes en una granja. Él ha
observado que si coloca 5 cuyes en una jaula,
le sobra 4 cuyes; pero si coloca 7 cuyes en cada
jaula, le sobran 2 jaulas. ¿Cuántas jaulas tiene
Don Ramón?
a) 9
d) 3
b) 7
e) 1
c) 5
c) 2
Segundo año de secundaria
123
25
Capítulo
Repaso III
Lectura: Códigos algebraicos
Cuenta la historia que a mediados de siglo XVI los estados
españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que
sus mensajes pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban
una serie de caracteres desconocidos. Durante los desórdenes
de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500
caracteres diferentes y aunque sus mensajes eran frecuentemente
intersectados, no podían ser descifrados. Mandadas estas cartas
a Vieta las descifró son mayores problemas. Esto desconcertó a
los españoles durante dos años que pensaron que el rey lo había
descubierto a través de un mago. Este mago, que era solo un
matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones
matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro "El Álgebra
nueva" donde Vieta muestra el enorme interés que tiene para
las matemáticas al efectuar cálculos con letras en lugar de con
números y aplicar la factorización.
FUENTE: http://neetescuela.com
En este capítulo recordaremos
Repaso III
2
2
.. La identidad notable como la diferencia de cuadrados (a −b ) y
el trinomio cuadrado perfecto. (identificación, aplicación para
factorizar)
.. Identificaremos que el polinomio se trata de una suma o dife3
3
rencia de cubos (a ±b ).
.. Reforzaremos el Método de Ruffini para factorizar polinomios
3
2
de la forma: ax +bx +cx+d
Colegios
124
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
1. Factorizar las siguientes expresiones:
2
a) x −4
2
b) 4x −1
2
c) 25x −36
2
d) 49x −81y
2
4. Factorizar:
=________________________
a) x +125
3
=______________________
=________________________
b) a −343
3
=______________________
=________________________
c) p −n
6
=______________________
=________________________
d) 8x +27y
2. Factorizar los siguientes trinomios
2
=______________________
2
=______________________
a) x +2x+1
b) x −4x+4
2
c) 9x −6x+1
=______________________
2
d) 25x −40x+16 =______________________
3. Factorizar los siguientes polinomios:
2
a) R(x)=x +11x+28 =___________________
2
b) Q(x)=x −8x+15 =___________________
2
=___________________
2
=___________________
c) Z(x)=2x −5x+2
d) S(x)=6x −5x−6
3
3
3
=______________________
5. Factorizar los siguientes polinomios:
3
a) R(x)=x −x
______________________________________
3
b) Q(x)=3x −45x−6x
2
______________________________________
5
c) T(x)=5x +40x
2
______________________________________
4
3 2
2 3
d) M(a;b)=2a b−4a b +2a b
______________________________________
Aplica lo comprendido
1. Factorizar, indicar la suma de factores primos:
3
F(x)=x +2x−5x−6
3
2
4. Si el polinomio: R(x)=2x +3x −11x−6
Se anula para x=−3
Indicar otro de sus factores primos
2. Factorizar, indicar el producto de los términos
independientes de sus factores primos.
3
2
G(x)=x +3x −4x−12
3. Si una de las raíces del polinomio:
3
2
Q(x)=3x −4x −17x+6, es 3.
Indicar la suma de coeficientes de uno de los
otros factores primos.
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2
5. El polinomio P(x)=x (x−5)−2(x−12), tiene un
factor primo igual a (x+2).
Determine la suma de los otros factores primos.
Segundo año de secundaria
125
25
Capítulo
Aprende más
2 10
10 2
1. Factorizar: P(x;y)=4x y −9x y
e indicar la suma de coeficientes de un factor
primo.
a) 5
d) 0
b) −5
e) 13
c) −3
4 8
b) 3
e) 6
c) 4
c) (x+y+5)
2
c) 4x
4
2 2
6. Luego de factorizar: P(x;y)=x −10x y +9y
Indicar un factor primo
2
b) 3x−y
e) x−2y
3
4
c) x−9y
2
b) (m−n)(m+n)
3
3
d) m (m−n)
6 3
8. Factorizar: P(x;y)=x y +27
2
a) (x y)(xy+3)
2
2 4
2
b) (xy −3)(x y +3xy +9)
2
4 2
2
c) (x y+3)(x y −3x y+9)
2
3
d) (x y+3)
3
3
e) (xy +9)
3
3
3
9. Factorizar: P(x;y)=(x +64)y −8(x +64)
a)
b)
c)
d)
e)
Colegios
126
2
2
(x+4)(x −4x+16)(y−2)(y +2y+4)
2
2
(x+4)(x +4x+16)(y−2)(y −2y+4)
3
3
(x+4)(x−4) (y−2)(y+4)
2
2
(x+4)(x−4) (y−2)(y+4)
3
(x+4)(x−4)(x+y)
TRILCE
c) −1
b) 8
e) −2
2
13. Factorizar: P(x)=x −7x −14x+120; e indicar
la suma de sus factores primos.
a) 3x−7
d) 3x−5
b) 3x−14
e) 3x−10
3
a) 3x+2
d) 3x+4
c) 3x−15
2
2
b) 3x−2
e) 3x+5
3
c) 2x−1
2
15. Factorizar: F(x)=x −5x −2x+24; la suma de los
términos independientes de sus factores primo es:
a) −11
d) 11
b) −10
e) 2
3
c) −5
2
16. Factorizar: F(x)=2x +7x +7x+2
Indicar uno de sus factores lineales.
a) x+3
d) 2x−1
3
7. Factorizar: P(m;n)=m −n +mn(m−n)
a) (m+n)(m−n)
2
c) (m−n) (m−2n)
3
3
e) (m+n) (m−n)
b) (x+4)(x−7)(x+3)
d) (x−7)(x+3)(x−4)
14. Factorizar: F(x)=x −2x −5x+6
La suma de factores primos lineales es:
b) (2x+3y+2)
d) (4x+9y)
b) 2x+10
e) −10
a) 4
d) −6
3
5. Factorizar: P(x)=x +36−13x ; e indicar la suma
de sus factores primos.
2
2
12. Factorizar: P(x)=x −39x−70; e indicar la suma
de coeficientes de un factor primo.
b) (x−y+1)
e) (x−y)
4
a) x −y
d) x−y
2
3
a) (4x+9y+2)
c) (4x+3y+2)
e) (4x+9y+5)
2
2
b) 2a(a +12b )
2
2
d) 4a(a +12b )
a) (x−3)(x+7)(x+4)
c) (x+7)(x+3)(x−4)
e) (x+3)(x−5)(x−4)
4. Luego de factorizar:
2
2
P(x;y)=4x +4x+1−9y −6y−1
Indique el factor primo de mayor suma de
coeficientes.
a) 2x −13
d) 0
2
a) a(a +12b )
2
2
c) 3a(a +12b )
2
2
e) 5a(a +12b )
3
3. Indicar un factor primo de:
2
2
P(x;y)=x −4x+4−y +6y−9
a) (x+y)
d) (x−y−5)
2
3
11. Factorizar: P(x)=x −8x −5x+84
8 4
2. Luego de factorizar: P(x)=16x y −81x y
Indique el número de factores primos
a) 2
d) 5
3
10. Factorizar: P(a;b)=(a−2b) +(a+2b)
c) 2x+1
b) x−1
e) x−2
3
2
17. Factorizar: P(x)=2x −5x +x+2; indicar la suma
de términos constantes de los factores primos.
a) 0
d) −2
b) 1
e) −1
3
c) 2
2
18. Factorizar: F(x)=2x +5x −7x+2. Indicar el
número de factores primos lineales.
a) 2
d) 4
b) 3
e) 5
3
c) 1
2
Señale
b) 2x+3
e) x+3
c) 2x−1
19. Factorizar: F(x)=2x +x +5x−3.
factor primo.
a) 2x+1
d) 2x−3
3
2
c) −2
d) 3
un
20. Factorizar: P(x)=3x +(2x+1) , la suma de
coeficientes de uno de sus factores primos es:
a) −4
b) −3
e) 2
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
10 2
2 10
8. Factorizar: P(a;b)=a +b −ab(a+b)
3
2
9. Factorizar: P(a;b)=(a −8)b +27(a −8)
1. Factorizar: P(x;y)=49x y −25x y
2
3
3
2. Factorizar: P(x;y)=x −2x+1−y +2y−1
3
6
5
3. Factorizar: P(x;y)=x y−xy
3
3
10. Factorizar: P(x;y)=x +7x −8
5
3
2
3
2
11. Factorizar: P(x)=x −6x +11x−6
4
2
4. Factorizar: P(x)=x −20x +64
12. Factorizar: P(x)=x −2x −33x+90
2
2
5. Factorizar: P(x;y)=x +3x−2xy+y −3y
6 2
3
2
13. Factorizar: P(x)=2x +x −11x−10
3 2
6. Factorizar: P(x;y)=x y +8x y
3
2
14. Factorizar: P(x)=6x +25x −24x+5
3
9 6
2
15. Factorizar: P(x)=12x −8x −13x−3
7. Factorizar: P(x;y)=x y −125
Tú puedes
3. ¿Cuántos factores irreductibles en Q, presenta el
1. Factorice el polinomio:
3
2
2
3
P(a;b)=ca +a bc+ab c+b c
polinomio?
y del valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
P(x)=1+x+x +x
I. Posee 3 factores primos.
2
a) 1
d) 2
3
b) 3
e) 4
c) 5
II. P(a;b) posee un factor primo lineal.
III. La suma de los
2
2
a +b +a+b+c.
a) VFF
d) FVF
factores
b) FVV
e) FFV
5
primos
es:
c) FFF
4. Factorice el polinomio Q, dar como respuesta la
suma de sus términos independientes.
2
a) 1
d) 4
3 3
2. Factorizar: P(a;b)=a b−b a
Indicar el valor de verdad de las proposiciones:
III. Tiene un factor primo cuadrático.
www.trilce.edu.pe
5
3
2
Luego, indique el número de factores primos
II. "ab" es un factor de P(a;b).
b) FVF
e) FVF
c) −1
b) 7
e) 6
5. Factorizar: Z(n)=n +2n+1+n +n
I. Tiene un factor primo lineal.
a) VFV
d) VFF
2
R(x)=(x +x+10)(x +x−4)+45
c) VVV
obtenidos.
a) 2
d) 3
b) 1
e) 7
c) 5
Segundo año de secundaria
127
26
Capítulo
Sistemas de Ecuaciones I
Lectura: sistemas de ecuaciones babilónicos
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los
babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales
como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación
con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla
babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los
siguientes términos:
1/4 anchura + longitud=7 manos
longitud + anchura=10 manos.
Fuente: http://www.tallerhorus.com/paginas/
En este capítulo aprenderemos
Sistemas de ecuaciones I
.. Resolver un sistema de ecuaciones por:
–– Igualación
–– Sustitución
–– Eliminación o reducción
.. Sistemas con coeficientes literales
.. Sistemas con coeficientes fraccionarios
Colegios
128
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Sistemas de Ecuaciones I
Sistemas Lineales
Ejercicios
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Segundo año de secundaria
129
26
Capítulo
Saberes previos
1. Despejar "x" en función de "y" de una de las
siguientes ecuaciones:
a) 2x=y
b) x – 5=y+3
c) 2x+3y=–1
2. Despejar "y" en función de "x" de cada una de
las siguientes ecuaciones:
a) –7y=x
b) –2x – y=25
7x − 2y
c)
=y
3
3. Representar en forma canónica los siguientes
Zx−y
sistemas:
= 11
]
2
(
x
y
)
3
(
x
y
)
=
+
−
a) )
b) [ 3
7x + 11 = 2y + 21
] x −1 = y+1
3
\ 2
4. Si: x=1 – y
Sustituir en la expresión: E=2x – 3y
Determine la expresión simplificada en términos
de "y".
5. Si: 2a+3b=1
Sustituir en: R=4a+5b
De modo que R esté en términos de "a".
Aplica lo comprendido
3. Resolver el sistema por igualación
x + 2y = 3 ......... (I)
)
x − 3y = 13 ......... (II)
1. Cuál de los siguientes sistemas
I) ) x + 2y = 7 ........ (I)
x − y = 1 ......... (II)
II) )3x + y = 7 ........ (I)
x − 2y = 7 ........ (II)
tienen como conjunto solución al par ordenado
(3; 2)
2. Calcular: "m+n" si el conjunto solución del
sistema
mx + ny = 7 .......... (I)
)
mx − 2ny = 4 .......... (II)
es el par ordenado (2; 1)
4. Resolver por sustitución el siguiente sistema
x − y = 10 .......... (I)
)
x + 3y = 2 .......... (II)
5. Resolver por reducción el siguiente sistema:
3x − y = 7
.......... (I)
)
–5x + 2y = –9 .......... (II)
Aprende más
1. De los siguientes sistemas:
I) )2x + y = 12
II) )3x + 2y = 19
x–y=6
2x + 3y = 16
III) )5x – y = 23
4x + 2y = 24
¿Cuáles tienen como conjunto solución al par
ordenado (5; 2)?
a) Sólo I
d) I y II
b) Sólo II
e) II y III
c) Sólo III
2. Calcular "a+b", si el par ordenado (3; –2) es
solución del sistema:
ax + by = 13
)
2ax − by = 50
a) 6
d) 15
Colegios
130
TRILCE
b) 10
e) 19
3. La suma de dos números es 120 y su diferencia
es 36. Hallar dichos números.
a) 80 y 40
d) 68 y 52
b) 86 y 34
e) 82 y 46
c) 78 y 42
4. Aplicando el método de igualación, resolver el
siguiente sistema:
Z
9−y
]x = 5
[
]x = 7 − y
3
\
Indicar el valor de "xy"
a) –1
d) –9
b) 2
e) 5
c) 4
c) 11
Central: 6198 – 100
Álgebra
5. Resolver, aplicando el método de igualación en:
7y + 23
x=
5
*
2x = 3y + 11
Indicar el valor de "x – y"
a) –2
d) –9
b) 1
e) –1
c) 0
Indique el valor de "x/y"
b) 3/2
e) 15
c) 1/2
b) S/.24
e) S/.19
c) S/.17
8. Resolver por el método de sustitución el sistema:
8x + 3y = 7 ........ (I)
)
4x + y = 3 ........ (II)
c) 21 años
a) 221 y 109
d) 223 y 107
b) 220 y 110
e) 224 y 106
c) 222 y 108
)
3x + 5y − 9 +
3x + 5y − 9 −
3x − 5y + 4 = 7
3x − 5y + 4 = 1
Calcular: x+y
a) 1
d) 4
b) 2
e) 7
c) 3
15. Resolver el sistema:
(x − 3) (y + 4) − 18 = xy
)
(x − 5) (y + 6) − xy = 16
indicar: xy
Indicar: (x.y)
a) 1/2
d) 2
b) 20 años
e) 25 años
14. Al resolver el sistema:
7. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan
31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos
lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos
lapiceros y tres cuadernos?
a) S/.18
d) S/.15
a) 18 años
d) 22 años
13. Un granjero tiene en su finca un total de 330
animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de
las patas de estos animales arrojó un total de 878
patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee
el granjero?
6. Resolver por igualación:
2y – 5
x=
3
*
2y = 4x – 10
a) 2
d) 3/5
12. La suma de las edades de dos hermanos es 30
años, si dentro de 10 años la edad de uno será el
doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años,
¿cuál es la edad del mayor?
b) 1/3
e) 8
c) 1
a) 18
d) 10
b) –15
e) –12
c) –18
9. Resolver el sistema por sustitución
3x + 5y = 4 .......... (I)
)
7x − 3y = 24 .......... (II)
Hallar: (x.y)
a) 1
d) –2
b) 2
e) 8
c) –3
10. Resolver por sustitución el siguiente sistema:
3 (x − y) + 2y = 2 (x + 7) − 5 ............. (I)
)
5 (x + y) − 1 = 3 (x + 4) + 2y ............. (II)
y
Hallar: "x "
a) 4
d) 1/8
b) 1/4
e) 1/2
c) 8
11. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si
el triple de uno de los lados congruentes excede
al doble del lado desigual en 2 cm, ¿cuánto vale
el lado desigual?
a) 6 cm
d) 2 cm
www.trilce.edu.pe
b) 5 cm
e) 1 cm
c) 3 cm
Segundo año de secundaria
131
26
Capítulo
Practica en casa
1. Cuáles de los sistemas:
I) ) 4x + 2y = 14 II) )5x + y = 19
5x − 3y = 23
3x + y = 7
III) ) x + y = 3
4x + 5y = 11
tienen como conjunto al par ordenado (4; –1)
2. Calcular "a×b", si el par ordenado (–2; 5) es
solución del sistema:
3ax + by = 46
)
ax − by = 2
3. La suma de dos números es 116 y su diferencia
es 42. Hallar dichos números.
4. Aplicando el método de igualación, resolver el
siguiente sistema:
Z
7+y
]x = 3
[
]x = 9 − y
5
\
Indicar el valor de "xy"
5. Resolver aplicando el método de igualación
5y + 17
x=
7
*
3x = 2y + 7
Indicar el valor de "x – y".
11. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a
38 cm, si el quíntuplo del lado desigual excede al
doble de uno de los lados congruentes en 10 cm.
Determinar la longitud del lado desigual.
12. La edad de dos hermanos suman 45 años, si
dentro de 20 años la edad de uno de ellos será
el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años.
Determine la diferencia de las edades de dichos
hermanos.
13. Una familia de 9 miembros entre adultos y niños
asisten a un espectáculo por el que un adulto
paga S/.7 y un niño S/.3. Si el papá invirtió S/.43
por este buen espectáculo, ¿cuántos adultos y
cuántos niños componen esta familia?
14. Resolver el sistema:
4x + 5y − 13 + 3x − 4y − 4 = 3
)
4x + 5y − 13 − 3x − 4y − 4 = 1
Calcular: x+y
15. Determinar el valor de "xy", sabiendo que:
x (y − 2) − y (x − 3) =− 14 ........ (I)
)
y (x − 6) − x (y + 9) = 54 ........ (II)
6. Resolver por igualación:
5y − 1
x=
3
*
5y = 4x − 2
y
x
Indique el valor de "x – y "
7. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles,
mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130
soles, ¿cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa?
8. Resolver por sustitución el siguiente sistema
7x + 5y = 11 ........ (I)
)
3x + y = 7 ........ (II)
x
Hallar: "y "
9. Resolver el sistema por sustitución
5x + 7y = 18 ........ (I)
)
3x − 5y = 20 ........ (II)
Hallar: "xy"
10. Resolver por sustitución el siguiente sistema:
4 (x − y) + 3y = 3 (x + 5) − 13 .......... (I)
6 (x + y) − 7 = 4 (x + 3) + 3y .......... (II)
Hallar: "xy"
)
Colegios
132
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Tú puedes
1. Hallar los valores de "a" y "b", si los sistemas:
ax + 2y = 5
2x + ay = 7
)
)
bx + 3y = 10
3x + by = 8
son equivalentes, indicar "a×b"
a) 3
d) 6
b) 4
e) 8
c) 5
2. Para el sistema definido en "x" e "y":
3x = a + 2y + 5b ; {a; b} ⊂ R
)
3y = 5a − 2 x − b
x+y
Hallar:
2
a) a – b
b) a+b
c) 2a+b
d) a
e) b
3. Luego de resolver el sistema definido en "x" e
"y".
a (x + y) + 2 x + 3 y = 32 + 3
)
3 y − 2 x + a (x + y) = 8 + 3
Indicar el valor de "x"
a) 1
b)
2 +1
d) 3
e)
2
www.trilce.edu.pe
c)
3 –1
4. Encontrar "x" del sistema:
1+1
x
.................(1)
y=
1−x
x
1+1
y
.................(2)
a=
1−y
y
a) a
d)
b) 1
a
c)
1
a+1
e) –a
1
1−a
5. Resolver:
1
3
=5
+
2x + 3y − 1 x − 2 y + 1 4
4
7
= 1
−
2x + 3y − 1 x − 2 y + 1 4
Hallar: 3x+y
a) 2
d) 6
b) 4
e) 7
c) 5
Segundo año de secundaria
133
27
Capítulo
Sistemas de ecuaciones II
Lectura: Tres planos y un punto
El sistema de ecuaciones está orientado a servir como una introducción operativa, y muy concreta, a
los principios, conceptos y métodos básicos e importantes del Álgebra Lineal en general, así como a sus
aplicaciones más elementales y directas que permiten estudiar una amplia gama de temas que, en términos
matemáticos, pueden modelarse en torno a la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Dado esto, los conceptos y métodos de este curso
son de extrema importancia en la formación de
científicos e ingenieros a nivel universitario, su
rango de aplicación es muy grande: comprende
desde la investigación científica básica hasta la
creación de tecnologías nuevas.
Los sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas tienen una solución (1 caso).
Tres planos que se cortan en un punto
Fuente: http://2.bp.blogspot.com/YgAY7rFZCl
En este capítulo aprenderemos
Sistemas de ecuaciones II
.. La definición de sistemas de ecuaciones.
.. Clasificación de los sistemas:
–– Compatibles (determinadas e indeterminadas)
–– Incompatibles.
.. Resolución de sistemas lineales
Colegios
134
TRILCE
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Álgebra
Síntesis teórica
Definición
Solución
Sistemas de
Ecuaciones II
Sistemas Equivalentes
Clasificación
Sistema Lineal
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Segundo año de secundaria
135
27
Capítulo
Saberes previos
1. Resolver las siguiente ecuación: x + 1 = 7
2
2. Seleccione las ecuaciones lineales en:
2
a) 5x+y =1
b) 7x=3y
3. Cuál de las ecuaciones se verifica para x=2 ∧
y=–2
a) 5x – y=8
b) x+y=0
4. Despeje "x" de cada ecuación:
a) 3x – y=0
b) x – y+5=0
5. Si x=–5 ∧ y=2 verifican la ecuación:
x – 5+2y+7=n. Hallar "n"
Aplica lo comprendido
1. Expresar el sistema en forma canónica:
x – 7 = 2y + 3
........ (I)
)
3x – y + 1 = x + 2y + 9 ........ (II)
2. El conjunto solución {(3; 1)} corresponde a:
I) ) x + y = –3
II) ) x + y = 4
x–y=9
x–y=2
3. Para que el sistema: )ax + y = 7 ...... (I)
bx + y = 5 ...... (II)
tenga solución única. ¿Cuál es la relación de "a" y b"?
4. Hallar "m" para que el sistema:
mx + (m + 2) y = 5 ...... (I)
)
3x + 4y = 3
...... (II)
sea incompatible
5. Hallar "a+b" si el sistema
ax + 4y = b + 3 ...... (I)
)
3x + 2y = 4
...... (II)
es compatible indeterminado
Aprende más
1. Expresar el sistema en forma canónica.
Z x–3
] 5 +y = 2
[
y+1
]x+4 –
=1
2
3
\
a) ) x + y = 13
3x + 5y = –4
b) ) x + y = 6
x–y=5
c) )3x – 2y = 8
2x + 3y = 9
d) ) x + 5y = 13
3 x – 2 y = –4
e) ) x + 5y = 13
2x – 3y = –4
III) )2x + y = 8
3x – 2y = 2
Colegios
136
TRILCE
b) II
e) II ó III
I) ) x + y = 13
x–y=5
II) )2x + y = 20
3x – 2y = 23
III) )3x + 2y = 35
5x – 3y = 33
¿Cuáles son equivalentes?
a) I y II
d) I; II y III
b) I y III
e) N.A.
c) II y III
4. Relacionar correctamente:
2. El conjunto solución {(3; 2)} corresponde al
sistema:
I) ) x + y = 5
II) )5x + y = 17
x–y=3
2x – y = 4
a) I
d) I ó II
3. De los siguientes sistemas:
c) III
I) )10x + 6y = 2
5x + 3y = 1
a) Sistema
compatible
determinado
II) ) x + y = 3
2x + 2y = 1
b) Sistema
compatible
indeterminado
III) ) x + 2y = 5
2x + y = 7
c) Sistema incompatible
a) Ic,IIa,IIIb
d) Ia,IIb,IIIc
b) Ia,IIc,IIIb
e) Ib,IIa,IIIc
c) Ib,IIc,IIIa
Central: 6198 – 100
Álgebra
5. Colocar un aspa (x) en cada recuadro según
corresponda:
Sistema de
ecuaciones
'
Compatible
Determinado Indeterminado
Incompatible
3x + 7y = 12
x+y = 7
'
3x + 4y = 5
'
4x + 7y = 15
8x + 14y = 19
tiene infinitas soluciones
Rpta: _____________
c) )2x − 3y = π − 2x − 3y = 7
Rpta: _____________
b) 20
e) 52
c) 30
(a – 2) x + 3y = 12
)
(2 + a) x – y = 4
es incompatible. Hallar "a"
a) 3
d) –3
7. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
Un
sistema
compatible (
indeterminado no tiene solución.
El sistema lineal incompatible tiene (
más de una solución.
El
sistema
lineal
compatible (
determinado tiene infinitas soluciones.
Un sistema de ecuaciones de primer (
grado con dos variables puede tener
tres soluciones.
(m + 2) x + y = 7 ...... (I)
)
5x + (m – 2) y = 4 ...... (II)
sea compatible determinado
b) m={2; –2}
d) m∈R – {2; –2}
9. Hallar "m" si el sistema:
(m – 1) x + 4y = 14 ...... (I)
)
6x + (m + 1) y = 21 ...... (II)
b) –1
e) 5
c) 10
13. Si el sistema definido en "x" e "y".
)
(n + 2) x + 5y = 10
)
x + (n – 2) y = 2
)
es incompatible. Determinar el valor de "n".
)
a) –2
d) 3
)
8. Hallar los valores que toma "m" para que el
sistema:
a) m∈R
c) m∈R – {3; –3}
e) m={3; –3}
a) 25
d) 32
12. Si el sistema
Rpta: _____________
•
c) 4/3
(a – 3) x + ay = 12 ...... (I)
)
3x – 5by = 18
...... (II)
b) )mx + (m + 1) y = 10
mx + (m + 1) y = 2
•
b) 3
e) 0
11. Hallar: "–4ab" si se sabe que el sistema:
6x + 8y = 10
a) )3x + 5y =− 4 6x + 10y =− 8
•
c) 5
10. Hallar "m" para que el sistema sea incompatible:
a) 2
d) 16/7
x+y = 4
6. Clasificar los siguientes sistemas:
•
b) –1
e) 5 y –5
(3 – m) x + 5y = 4 ...... (I)
)
2y – (2 – m) x = 6 ...... (II)
4x + 5y = 9
'
a) –5
d) 1
b) 2
e) c y d
c) –3
14. Si el sistema: )2y = 3 − ax
2y + 1 = (a − 2) x
es compatible determinado, determine el valor
que no debe tomar "a".
a) 3
d) –2
b) 1
e) 20
c) 2
15. Si el sistema: )2y = 3 − (5 + m) x
3y + (3 + m) x = 2
no presenta solución. Halle el valor de "m".
a) 9
d) 7
b) 8
e) –9
c) –8
no tiene solución
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Segundo año de secundaria
137
27
Capítulo
Practica en casa
1. Expresar en forma canónica el siguiente sistema:
Z 2x – 1 y – 1
] 3 – 4 =3
[
]x–4 + y+1= 1
3
\ 2
2. La siguiente gráfica:
•
•
•
El sistema lineal compatible determinado
tiene solución única.
Un sistema es compatible indeterminado, si
presenta infinitos conjuntos soluciones.
Un sistema de ecuaciones de primer grado
con dos variables puede tener dos soluciones.
7. Clasifica los sistemas de ecuaciones marcando
en el casillero respectivo con un aspa (x).
(4; 1)
corresponde al sistema:
I) ) x + y = 5
II) )3x + y = 13
2x – 3y = 2
2x – y = 6
III) )3x – 2y = 10
x+y = 5
3. Cuáles de los siguientes sistemas:
I) ) 4x + 3y = 19 II) )5x – y = 18
3x – 2y = 10
3x + y = 14
III) )7x + 2y = 32
2x – y = 6
son equivalentes.
4. Relacionar correctamente:
I) )8x + 5y = 3
7x + 3y = 11
a) Sistema incompatible
II) )2x + 3y = 5
4x + 6y = 7
b) Sistema
compatible
determinado
III) ) 4x + 8y = 9
12x + 24y = 27
c) Sistema
compatible
indeterminado
5. Clasificar los siguientes sistemas:
a) )2x + 7y = 1 5x − 7y =− 1
Rpta: _____________
b) )(m + 1) x + my = 5
(m + 1) x + my = 7
Rpta: _____________
c) )5x + 7y = 1 10x + 14y = 2
Rpta: _____________
6. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
• Un sistema es incompatible si tiene conjunto
solución.
Colegios
138
TRILCE
Sistema de
ecuaciones
'
3x – 4y = 7
'
2x + 2y = 6
Compatible
Determinado Indeterminado
Incompatible
4x + 3y = 11
3x + 3y = 9
'
x+y = 2
'
3x + 2y = 4
x+y = 3
4x – 3y = 16
8. Para qué valores de "a" el sistema
(a + 1) x + 7y = 13 ........ (I)
)
5x + (a – 1) y = 23 ........ (II)
será compatible determinada
9. Hallar "m", si el sistema:
(m – 1) x + 3y = 15 ........ (I)
)
4x + my = 20
........ (II)
es incompatible
10. Hallar "n", si el sistema: )(n − 4) x − 7y = n − 11
x + (n + 4) y = 8
no tiene solución
11. Hallar "ab", si el sistema: )(a − 3) x + 9y = 15
4x + (b − 5) y = 20
tiene infinitas soluciones
12. Si el sistema: )(a − 3) x + 4y = 12
(3 + a) x − y = 3
es incompatible. Hallar "a"
13. Si el sistema definido en "x" e "y"
ax + 16y = 12
)
x + ay = 3
no tiene solución. Determine el valor de "a".
14. Si el sistema: )(m + 1) x + (n − 2) y =− 15
3x + 2y =− 5
es compatible indeterminado. Hallar "m.n"
15. Si el sistema: ) y (a + 2) = 9 − (a − 1) x
2y =− 3 − x
no presenta solución. Hallar el valor de "a".
Central: 6198 – 100
Álgebra
Tú puedes
1. Indicar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema:
a1 + b1y = c1
)
a2 + b2 y = c2
•
a
b
c
es indeterminado, si: 1 = 1 ! 1
a2 b2 c2
(
)
•
a1 b1 c1
es incompatible, si: =
=
a2 b2 c2
(
)
•
a
b
es determinado, si: 1 ! 1
a2 b2
(
2. Al expresar en forma canónica el sistema:
Z
]] x + 1 = y + 2
x –1 y – 2
[ x+y+2
a+3
]] x + y – 2 = a – 3
\
se obtiene: mx+ny=10
px – qy=0
Calcular: "m+n+p+q+a"
a) 8
d) +14
www.trilce.edu.pe
b) –9
e) 16
c) 10
)
3. Hallar "a" para que el sistema
ax – 6y = 5a – 3
........ (I)
)
2x + (a – 7) y = 29 – 7a ........ (II)
sea indeterminado
a) 3
d) 9
b) 5
e) –3
c) 7
4. Hallar el valor entero para "m" para que el
sistema:
(m + m2 + 1) x – 13y = 7 ........ (I)
)
2x + (1 – m) y = 5
........ (II)
sea incompatible
a) –3
d) 1
b) –1
e) 3
c) 2
5. Si el sistema definido en "x" e "y":
nx + 6y = 12 + x
)
x + ny = 4 + 2y
es incompatible. Indicar el valor de "n".
a) 4
d) a o b
b) –1
c) a y b
e) Imposible determinar
Segundo año de secundaria
139
28
Capítulo
Repaso IV
Lectura: La evolución matemática en
la resolución de sistemas
Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución
de sistemas de ecuaciones, los básicos, basados en
operaciones algebraicas encaminados a despejar el
valor de cada una de las incógnitas, y los avanzados,
basados en propiedades de los sistemas que determinan
los distintos valores de las incógnitas que cumplen las
ecuaciones del sistema.
Dentro de los métodos básicos, están el de reducción,
igualación y sustitución que mediante distintas
operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del
sistema.
Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer,
Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz
invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados
que los básicos y son necesarios conocimientos de
Álgebra lineal en ocasiones elevados, y destinados a
la resolución de sistemas de gran dimensión con gran
número de ecuaciones que dan lugar, normalmente, al
empleo de ordenadores para realizar las operaciones
necesarias.
FUENTE: http://www.google.com.pe
En este capítulo aprenderemos
Repaso IV
.. Ecuaciones y sistema de ecuaciones
Colegios
140
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aplica lo comprendido
1. Resolver: 7(x−5)−9(x+2)=3(x−1)−6(x+5)
7 (x + 5) − 2 (y + 9) =− 1
7. Resolver: )
5 (x + 1) + 3 (y + 3) = 10
Determine el valor de "xy"
2. Resolver: (x−1)(x+3)=(x+3)(x−2)+77
Z 12
+ 15 =− 3
]
x+1 y−1
8. Resolver: [
6 − 9 =4
]
x
\ +1 y−1
2
3. Resolver: (x+5) +(x−3)(x+3)=2(x+5)(x−1)
4. Resolver: (6x+7)(2x+5)−(3x+4)(4x−7)=14
Indicar el valor de "x−y"
9. Según los gráficos:
(x–5)m
Z
] y = 5x − 8
5
]
5. Resolver: [
] y 40 − 5x
] =
3
\
Indique el valor de "x"
7x − 3y =− 10
6. Resolver: )
10x − 3y = 164
Determinar el valor de "x"
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(x–6)m
2(x–8)m
El área del cuadrilátero excede al área del
2
triángulo en 57 m . Determine el perímetro del
cuadrilátero.
10. En cierto colegio de Lima, sucede lo siguiente:
El número de carpetas por aula excede en tres
unidades al número de aulas y el número de
profesores de dicho centro educativo excede
en 7 unidades al número de aulas del colegio.
Además, el cuadrado del número de profesores
excede en 159 unidades al número de carpetas
de todo el colegio.
¿Con cuántos profesores cuenta el colegio?
Segundo año de secundaria
141
28
Capítulo
Aprende más
1. Hallar "x" en: 3(5−(2x−7))=4−(3(1+3x))+2x
a) −5
d) −24
b) −7
e) −35
c) −17
2. Hallar "x" en: 4x + x = x + 11
5 4 2 10
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
e indicar el valor de "x"
c) 3
3. Resolver: 3x + 5 = 5x + 2
6
4
a) {12}
b) {18}
c) {36}
d) {41}
e) {42}
4. Sean: M=3−{x−4(3−x)}−(−x+3)
N=4x−2(x−5)−(−2x+7)
¿Para que valor de "x" se da que: M=N
a) 0
d) 8
9
b) 9
8
e) 15
8
c) − 9
8
5. Resolver: 5 `x − 1 j + 7 ` x − 1 j = 44
6
3 6 5 7
9
a) 4
d) 10
b) 5
e) 12
c) 6
6. Resolver:
(x−1)(x−2)+(x−1)(x−3)=2(x−2)(x−3)
a) 1
d) 3
7
b) 6
7
e) 11
3
c) 7
3
7. Resolver para "x": m `1 − m j + n `1 − n j = 1
n
x
m
x
b) m+n
a) m−n
2
2
2
2
d) m +n
c) m −mn+n
2
2
e) m −n
8. Hallar "x" en:
x + x + x − 1 = abc − x (a + b + c)
ab bc ac
a+b+c
abc
d) a − b
c
a)
b)
abc
a+b+c
c)
142
TRILCE
a) 2a
d) 2b
b) 3a
e) 6a
c) 3b
12. Determine el valor de "m" para que el sistema:
mx − 12y = 7 ... (I)
tenga solución única.
)
4x − my = 12 ... (II)
a) m∈R −{2; −2}
c) m=±6
e) m∈R −{4; −4}
b) m∈R
d) m∈R −{6; −6}
13. Para qué valor del parámetro "m" el sistema:
(2m − 1) x + y = m ... (I)
)
x + my = 2m − 1 ... (II)
tiene infinitas soluciones.
a) –1
d) 1/2
b) 0
e) 1
c) –1/2
14. Dar el valor o valores de "K" que hacen
3x + (K − 1) y = 12 ... (I)
que el sistema: )
(K + 6) x + 6y = K ... (II)
no admita solución.
a) 1; 3
d) 3; –8
b) 2; 6
e) –8
c) 3
y
ab
c
ax−2by=1
4
Hallar: x/y
Colegios
c) 13
Z x
y
]
−
= 1 ... (I)
a
b
4
9
6
11. Resolver: [
y
x
14
... (II)
]
+
=
\ 6a 5b 15
Hallar "y"
e) a+b+c
b) 9
e) −4
b) 9
e) 23
a) 5
d) 17
15. Del gráfico:
3x − 7y = 38 .... (I)
9. Resolver el sistema: )
7x + 4y = 48 .... (II)
a) −16
d) 7
10. Resolver el sistema:
(x − 2) (y + 3) − xy = 29 .... (I)
)
(x − 4) (y + 5) − xy = 41 .... (II)
c) −8
3ax+by=4
6
Calcular el valor de "ab
1
6
d) 14
a)
b) 3
4
e) 6
x
−1
"
c) 21
8
Central: 6198 – 100
Álgebra
Z
y
] x +
= m + n ... (I)
m
n
m
+
−n
16. Resolver: [
y
... (II)
] x + = 2m
m
n
\
Hallar "x"
a) m(m+n)
d) n(m+n)
b) n(m−n)
e) mn
c) m(m−n)
17. Repartir 90 dólares entre tres personas, de
manera que la tercera reciba 5 dólares menos
que la segunda y ésta 10 dólares más que la
primera. ¿Cuánto recibe la segunda?
a) $35
d) $10
b) $30
e) $60
c) $20
18. Dividir el número 46 en dos partes tales, que 1/7
de una, más 1/3 de la otra sumen 10.
Hallar o indicar la mayor de las partes.
a) 12
d) 24
b) 18
e) 28
c) 22
19. La diferencia entre dos números es 38. Si se
divide el mayor de los números por el menor, el
cociente es dos y queda un resto de ocho.
Determina los números.
a) 23 y 15
d) 48 y 10
b) 30 y 68
e) 20 y 58
c) 59 y 21
20. Se cuenta que la legendaria fundadora de
Praga, la reina: "Libussa" de Bohemia, eligió a
su consorte entre tres pretendientes, planteo el
siguiente problema:
¿Cuántas ciruelas contenía un canasto del cual
ella saco la mitad del contenido y una ciruela más
para el primer pretendiente, para el segundo la
mitad de lo que quedó y una ciruela más y para
el tercero la mitad de lo que entonces quedaba
y tres ciruelas más, si con esto el canasto quedó
vacío, decir cuántas ciruelas tenía el canasto?
a) 38
d) 48
b) 28
e) 24
c) 18
Practica en casa
1. Hallar "x" en: 5{x−[−5+2x]}=3−{4(x−5)}
2. Hallar "x" en: 6 − 2x + x = 2x + 2 + 1
3
5
3. Resolver: x − 20 + x − 30 + x − 40 = 3
70
60
50
2
tenga solución única.
2
2
3
3
4. Hallar "x" en: 2(x−4) −(x−2) =(x−8)
5. Hallar "x" en: 6x(x−3)=(x+1) −(x−1)
6. Luego de resolver el sistema:
7x − 5y = 76 ... (I)
)
6x + 7y = 20 ... (II)
Hallar: "x+y"
7. Resolver el sistema:
(x + 5) (y + 4) = xy + 19 ... (I)
)
(x + 4) (y + 5) = xy + 12 ... (II)
Indicar: "xy"
8. Hallar: "m×n" para que el sistema de ecuaciones:
(m − 1) x + (n + 9) y = − 1
)
2mx − ny = 62
Admita como solución: x=5; y=9
9. Hallar "K" si el sistema:
(K − 4) x − 7y = K − 11 ... (I)
)
x + (K + 4) y = 2
... (II)
10. Calcular "K" para que el sistema:
(1 + K) x − 3y = K
)
(3 − K) x + 2y = 4
11. Determine los valores de "a" y "b" tal que el
ax + by = a
... (I)
sistema: ) 2
(b − 2a + 12) x + y = 3 ... (II)
tenga infinita soluciones, además: ab!0 dar
como respuesta: "a+b"
12. Dos números consecutivos son tales que un
cuarto del menor excede a un quinto del mayor
en 1, encontrar los números.
13. De un cierto número de fichas se toman 3 y el
resto se divide por 4; el cociente se aumenta en
4 se divide por 5 y el resultado es 2. Hallar el
número de fichas.
14. Encontrar tres números consecutivos tales
que si ellos son divididos por 10, 17 y 26
respectivamente, la suma de sus cocientes es 10.
15. Pagamos S/. 38 por un libro, un cuaderno y un
lapicero. El precio del cuaderno es un quinto
del precio del libro. El lapicero cuesta un tercio
de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el
libro?
no tiene solución.
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Segundo año de secundaria
143
28
Capítulo
Tú puedes
Z 7
− 9 =2
]
2x − 1 3 y − 1
4. Resolver: [
2x + 16 =− 10
]
27
\ 9y − 15
1. En la siguiente ecuación:
1 1 1 1x − 1 − 1 − 1 = 1
j B .
3 $ 3 83 ` 3
Hallar el valor de "x"
a) 27
d) 121
b) 81
e) 360
c) 120
2. Resolver la ecuación:
x + a + x − a = x + b + 2 (x − b) , a ! b
a−b a+b a+b
a−b
a) b
d) 4b
b) 2b
e) 6b
Determine "xy"
a) –2
b) 3
2
d) 8
e) –1
5. Del gráfico:
Colegios
144
TRILCE
b) n + c
a
c
n
−
e)
a+ b
c) b + c
a
y=bx+3
y
c) 3b
a
3. En una fiesta, Isabel juega el "tiro al blanco" con
la condición de que por cada uno que acierte
recibirá "a" soles pagará "b" soles por cada uno
de los que falle. Después de "n" tiros ha recibido
"c" soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco?
a) bn + c
a+b
c
d)
a+ b
c) 4
1
x
2y + 6x
=b
4
Determinar: " a + b "
a−b
a) 18
d) 20
b) 5
e) –10
c) 2
Central: 6198 – 100
Capítulo
29
Sistemas de ecuaciones III
Lectura: Aplicación en la vida cotidiana de las ecuaciones
Al pasar el tiempo los sistemas de ecuaciones no solo han servido para resolver problemas matemáticos,
sino también problemas o situaciones cotidianas, desde una perspectiva científica o también aplicando
resoluciones
matemáticas,
como
por
ejemplo en una granja donde hay conejos
y pollos se puede hallar la cantidad de
cada animal simplemente sabiendo el
total de cabezas y de patas.
FUENTE: http://www.keywordpicture.com
En este capítulo aprenderemos
Sistemas de ecuaciones III
.. Problemas de sistemas lineales con 2 incógnitas
–– Planteamiento de ecuaciones.
www.trilce.edu.pe
Segundo año de secundaria
145
29
Capítulo
Saberes previos
1. Representar algebraicamente:
"Los dos tercios de mi edad excede a tu edad en
un año".
4. Representar simbólicamente:
"Hace doce años nuestras edades sumaban la
tercera parte de la diferencia del doble de mi
edad y el triple de la tuya".
2. Representar simbólicamente:
"La mitad de la diferencia de nuestras edades
equivale al doble de tu edad disminuido en
quince años".
5. Despejar "a" en función de "b" y "c"
17a−7(a−b+2c)=9b−11(c−2b)
3. Representar algebraicamente:
"El quíntuplo de la diferencia de dos números
equivale a la tercera parte de la suma de dichos
números".
Aplica lo comprendido
1. La suma de dos números es 24 y su diferencia es
16 . Hallar dichos números.
4. Hallar una fracción sabiendo que si se aumenta
al numerador y al denominador 3 unidades
se obtiene 2/3 y si ambos se disminuyen en 2
unidades resulta 1/2.
2. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un
tercero de su diferencia es 4. Hallar los números.
5. Dos cuadernos y tres lapiceros cuestan S/. 20 y
tres cuadernos y dos lapiceros cuestan S/. 25.
Hallar el precio del cuaderno y del lapicero.
3. Hallar dos números sabiendo que si uno de
ellos se suma con el doble del otro se obtiene
21 y que si este último se suma con el doble del
primero resulta 18.
Colegios
146
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
1. La suma de dos números es 120 y su diferencia
es 36. Hallar dichos números.
a) 80 y 40
b) 86 y 34
c) 78 y 42
d) 68 y 52
e) 82 y 46
2. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan
31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos
lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos
lapiceros y tres cuadernos?
a) S/.18
d) S/.15
b) S/.24
e) S/.19
c) S/.17
3. Con S/.68 se compran 3 melones y 4 sandías
pero faltaría S/.4 para comprar un melón mas
y una sandía menos, ¿cuál es el precio de una
sandía?
a) S/.15
b) S/.13
c) S/.12
d) S/.8
e) S/.6
4. La suma de las edades de dos hermanos es 30
años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el
doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años.
¿Cuál es la edad del mayor?
a) 18 años
b) 20 años
c) 21 años
d) 22 años
e) 25 años
5. La suma de las edades de Pedro y Luis en 1960
era los 5/7 de la suma de las edades de ambos
en 1970. En 1980, la edad de Pedro era la mitad
de la edad de Luis. ¿En qué año nació Luis?
a) 1916
b) 1918
c) 1920
d) 1921
e) 1924
6. El perímetro de un triángulo isósceles es 13
cm. Si el triple de uno de los lados congruentes
excede al doble del lado desigual en 2 cm.
¿Cuánto vale el lado desigual?
a) 6 cm
b) 5 cm
c) 3 cm
d) 2 cm
e) 1 cm
7. La relación de los lados de un cuadrado y un
triángulo equilátero es de 7 a 5. La diferencia
de sus perímetros es de 130 cm. Determine la
diferencia de las longitudes de sus lados.
a) 10 cm
b) 17 cm
c) 20 cm
d) 25 cm
e) 30 cm
8. Un hombre y un niño hacen varios viajes juntos,
llevando manzanas del campo a la casa. En cada
viaje el hombre lleva 35 kg y el niño 15 kg.
Transportando en total 650 kg, ¿cuánto habrá
llevado cada uno, sabiendo que hacen el mismo
número de viajes.
a) 455 y 195 kg
c) 475 y 175 kg
e) 425 y 225 kg
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b) 375 y 275 kg
d) 385 y 265 kg
9. En un depósito hay 40 celulares, de los cuales,
algunos tienen 16 teclas y otros 20 teclas, la
cantidad de teclas entre los 40 celulares es de
696. ¿Cuántos celulares de 20 teclas y cuántos
de 16 teclas hay?
a) 28 y 12
b) 22 y 18
c) 26 y 14
d) 17 y 23
e) 24 y 16
10. Un granjero tiene en su finca un total de 330
animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de
las patas de estos animales arrojó un total de 878
patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee
el granjero?
a) 221 y 109
b) 220 y 110
c) 222 y 108
d) 223 y 107
e) 224 y 106
11. Un chofer conduce diariamente a una velocidad
promedio de 60 km por hora en carretera y a
24 km por hora en ciudad, su tiempo diario de
manejo sobre un recorrido de 330 km fue de 7
horas. ¿Cuánto tiempo condujo sobre carretera?
a) 2,5 h
d) 4,5 h
b) 5,5 h
e) 3,5 h
c) 1,5 h
12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos
(numerador y denominador) se les suma dos,
se obtiene un fracción equivalente a 7 , pero si
9
se les resta dos a ambos términos de la fracción
original se obtiene una fracción equivalente a 3 .
5
a) 5
b) 2
c) 5
2
7
7
4
11
d)
e)
9
7
13. Dos cilindros contienen un total de 85 galones
de gasolina. Si del primero gasto la tercera parte y
del segundo los 4 de su contenido, en el primer
5
cilindro quedarían 35 galones de gasolina más
que en el segundo cilindro. Halla la cantidad de
galones que contiene cada cilindro.
a) 25 y 50
b) 60 y 25
c) 90 y 30
d) 50 y 40
e) 80 y 35
14. ¿Qué hora es? le pregunta Renzo a Mirko.
Mirko le responde: Quedan del día 8 horas
menos que las transcurridas.
Decir: 'Qué hora es?
a) 2 pm
b) 4 pm
c) 6 pm
d) 8 pm
e) 10 pm
15. Son más de las 3 sin ser 4 de esta madrugada
pero dentro de 50' faltaran para las 5 a.m. el
mismo tiempo que transcurrió desde las 2 hasta
hace 50', ¿qué hora es?
a) 3:10
d) 3:40
b) 3:20
e) 3:50
c) 3:30
Segundo año de secundaria
147
29
Capítulo
Practica en casa
1. La suma de dos números es 116 y su diferencia
es 42. Hallar dichos números.
10. Un tren sale de la ciudad de Chiclayo rumbo
al este a 30 km/h. Dos horas más tarde, otro
2. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles,
tren sale a 45 km/h de la misma ciudad y en la
mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130
misma dirección sobre una vía paralela. ¿A qué
soles. ¿Cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa?
distancia de la ciudad dará alcance el segundo
3. Con 205 soles se compran 4 pelotas y 3 muñecas,
pero faltaría 25 soles para comprar una pelota
más y una muñeca menos. ¿Cuál es el precio de
una muñeca?
tren al primero?
11. Una familia compuesta de 9 miembros entre
adultos y niños asisten a un espectáculo por el
que un adulto paga S/. 7 y un niño paga S/. 3. Si
4. La edad de dos hermanos suman 45 años. Si
dentro de 20 años la edad de uno de ellos será
el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años.
Determine la diferencia de las edades de dichos
hermanos.
el papá invirtió S/. 43 por este buen espectáculo.
¿Cuántos adultos y cuántos niños componen
esta familia?
12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos
tendría el cuádruplo de la de su hijo.
(numerador y denominador) se les suma 3, se
obtiene una fracción equivalente a 7 pero si
6
se les resta 2 a ambos términos de la fracción
Hallar el promedio de las edades de ambos.
original se obtiene una fracción equivalente a 2.
5. La edad de un padre es el doble de la de su
hijo. Si ambos tuvieran 20 años menos, el padre
6. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a
38 cm. Si el quíntuplo del lado desigual excede
al doble de unos de los lados congruentes en 10
cm. Determine la longitud del lado desigual.
7. La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más
que uno de los lados.
Calcular
las
dimensiones
del
rectángulo,
sabiendo que su perímetro es de 14 cm.
13. Los cilindros contienen un total de 78 galones
de gasolina. Si del primero gastó la mitad y del
segundo los 3 de su contenido, en el primer
7
cilindro quedarían 9 galones de gasolina más
que en el segundo. Halla la cantidad de galones
que contiene cada cilindro.
14. Un alumno le dice a su amiga, cuando la suma
8. En un corral el número de patos excede en 4 al
de las cifras de las horas transcurridas sea igual
número de conejos. Además el número de patas
a las horas por transcurrir te espero donde ya tu
excede al número de cabezas en 24. ¿Cuántos
sabes. ¿A qué hora es la cita?
conejos hay?
15. Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada,
9. Un comerciante empleó 6720 nuevos soles en
pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4
comprar trajes a 375 nuevos soles y sombreros a
a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde la
45. Si la suma del número de trajes y el número
de sombreros que compró es 54. ¿Cuántos trajes
1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?
compró y cuántos sombreros?
Colegios
148
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Tú puedes
1. Si se pasara una moneda de la mano izquierda
a la derecha, se tendría el mismo número de
monedas en ambas manos, pero si se realizará
la operación inversa, se tendría el doble número
de monedas en la mano izquierda. ¿Cuántas
monedas tengo en total?
a) 10
d) 13
b) 11
e) 14
c) 12
en 6 cm a un tercio de la parte menor. ¿Cuánto
mide la parte mayor?
a) 72 cm
d) 78 cm
b) 74 cm
e) 80 cm
c) 76 cm
el para confundirlo le dice: Son más de las
tres pero aun no son las cuatro. Si los minutos
transcurridos desde las tres es dos veces más que
lo que faltan transcurrir para que sean las cuatro.
Si dio la hora exacta, ¿cuál es su respuesta?
Rpta:
3. Una persona compra objetos al precio de S/.48
y S/.42 pero no recuerda cuantas compró de
S/.48 ni de S/.42, solamente recuerda que gasto
S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 no
llega a diez. ¿Cuántos objetos de S/.48 compró?
www.trilce.edu.pe
resulta que un sexto de la parte mayor excede
5. Mathias le pregunta la hora a su tío Paolo y
2. Hace "n" años el promedio de tu edad y la mía
era de "7n" años. Si dentro de "2n" años mi edad
excederá a la que tu tenías hace "2n" años en
"10n" años. ¿Qué edad tenías hace "4n" años?.
Siendo n∈Z ∧ n≥1
a) 4
d) 9
4. Al dividir una varilla de 90 cm en dos partes
b) 6
e) 5
a) 3:43
d) 3:45
b) 3:42
e) 3:56
c) 3:50
c) 7
Segundo año de secundaria
149
30
Capítulo
Desigualdades
Lectura: La desigualdad, una forma de comparar números
Los seres humanos son especie donde todos son diferentes por uno u otro motivo no hay ser humano que
sea igual que otro. Nos diferenciamos uno del otro por la estatura, el peso, el ADN, el cabello, ... etc. Así
como entre todos nosotros hay diferencia y por lo tanto una desigualdad, en las matemáticas sucede lo
mismo no hay un número que sea igual a otro pueden ser mayor, mayor igual, menor o menor igual, por
ejemplo si comparamos el 2 y −2 podemos obtener una desigualdad ya que 2 es mayor igual que −2.
FUENTE: http://panoramadiario.com
>-
En este capítulo aprenderemos
Desigualdades
.. La definición de desigualdad, su notación y su aplicación.
.. Las propiedades básicas de las desigualdades.
Colegios
150
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Desigualdades
Definición
www.trilce.edu.pe
Propiedades
Segundo año de secundaria
151
30
Capítulo
Saberes previos
1. Ordene de mayor a menor los siguientes
números.
4
−3
0
−1
7
9
2. Ordene de mayor a menor los siguientes
números.
−1
2
−1
0
4
3
1
−7
5
1
2
4. Ordene de menor a mayor los siguientes
números:
7
−1
0
2
4
− 3
−3
5. Entre que número enteros se encuentran los
siguientes números racionales fraccionarios:
....
2
3
....
.... − 1 ....
5
3. Entre que números enteros se encuentran los
siguientes números irracionales.
....
....
5
.... − 11 ....
....
p
....
Aplica lo comprendido
1. Completa
las
siguientes
proposiciones
correctamente, según corresponda.
(>, = , <)
a) 5
1
b) −7
−10
c) 2
3
23
31
d)
3+1
16
4. Completa las siguientes proposiciones:
a) Si "a" es un número positivo entonces
_______________________.
b) Si "a" es un número negativo entonces
_______________________.
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda en las siguientes proposiciones:
..........(
)
b) 2 H6×5+2 ..........(
)
2
..........(
)
3
..........(
)
a) 40G43−3
5
c) 7×4H5
2
d) 10 G3
Colegios
152
TRILCE
3. Completa las siguientes proposiciones:
a) La desigualdad 5>2 tiene el mismo
significado que: ______________________.
b) La desigualdad xH4 tiene el mismo significado
que: ______________ o _______________.
5. Completa:
a) 4Gx ∧ xG9 entonces: ___________________.
b) xH8 ∧ x<11 entonces: _________________.
Central: 6198 – 100
Álgebra
Aprende más
10. Si: −1Gm−3<2
Indicar el intervalo de: H=
1. Si: −2Gx<3
Indicar el intervalo de: E=x+7
a) 5<E<10
d) 9GE<10
b) 5<EG10
e) 5GE<8
c) 5GE<10
2. Si: −1<xG6
Indicar el intervalo de: M=x−8
a) −7<MG−2
c) −9<MG−2
e) −9<MG−6
b) −8<MG−2
d) −9<MG−3
3. Si: −4<xG3
Indicar el intervalo de: N=3x+2
a) −10<NG11
c) −10<NG10
e) −10<NG9
b) −9<NG10
d) −10<NG2
4. Si: 3<xG5
Indicar el intervalo de: P=−x+5
a) 0<P<2
c) −2GP<0
e) −3GP<0
b) 0GP<2
d) −2<PG0
b) −17<SG−13
d) −12GS<14
b) −40GHG115
d) −50GHG175
b) 5<y<8
e) 5<y<9
c) 6<y<9
8. Cuántos números enteros: H(x)=8−x existen; si
se sabe que: 1<xG3
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
9. Si: 1<x<5
Indicar el intervalo de: P= 1
x
a) 1/5<P<2
b) 1/5<P<1
c) 1<P<5
d) 1/5<PG1
e) 2<P<4
www.trilce.edu.pe
a) 1/5<M<2/3
c) 1/5GM<2/3
e) 1/5GM<2/3
b) 1/5<MG2/3
d) 1/5GMG2/3
12. Sea "x" la temperatura del departamento de
Puno; esta cumple simultáneamente con las
siguientes condiciones: x>1 y x<5.
Se sabe por otro lado que por razones geográficas
la temperatura de la capital depende de la
función:
P(x)= 3
2x + 1
a) 4/5<P<11/3
c) 1<P<11/3
e) 2/5<P<1
b) 2/17<P<1/5
d) 3/11<P<1
Indicar el intervalo de: F= 52
7 − 3x
7. Si: −1<11−2x<1
Indicar el intervalo de: y=3x−10
a) 2<y<7
d) 4<y<10
11. Si: −3<xG4
Indicar el intervalo de: M= 2
7−x
13. Si: −2<xG1
6. Si: −70G2xG20
Indicar el intervalo de: H=−3x
a) −20GHG95
c) −30GHG105
e) −40GHG105
b) 1/9<HG1/6
d) 5GH<9
¿Cuál es el intervalo de variación de la
temperatura de la capital?
5. Si: 4Gx<5
Indicar el intervalo de: S=3−4x
a) −10<SG−3
c) −16<SG−13
e) −9GS<−4
a) 1/9<HG1/5
c) 1/9GH<1/4
e) 1/9<H<1/7
1
4+m
a) 4<FG12
c) 4<FG11
e) 3GF<14
b) 4<FG13
d) 4<F<13
14. Si: 2GxG5, indique la suma del mayor y menor
valor que toma la expresión: x + 3 .
x−1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 7
15. Si: 4G x + 7 G13
x−5
Indicar el intervalo de "x"
a) 1<xG4
d) 7GxG9
b) 6Gx<13
e) 4GxG8
c) 6GxG9
Segundo año de secundaria
153
30
Capítulo
Practica en casa
1. Si a>b, indicar verdadero (V) o falso (F)
I. a+c>b+c
II. 2a>a+b
2
III. a >ab
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
−1
−1/4<x <−1/3
(
) si −3<x<−4
−1
2<x <5
(
) si −5<x<−2
−1
0Gx <49
(
) si −7<x<5
6. Si: (3x) ∈ <−60; 30>
Indicar el intervalo de:
a) P(x)=−5x
b) Q(x)=700−25x
7. Si: (19−5x) ∈ <−21; 39]
Además: (3x+7) ∈ [a; b>
Hallar: "a+b"
8. Si x∈ <2; 3> entonces:
¿A qué intervalo pertenece:
3. Si: x−y>x ∧ x+y<y indicar, ¿cuántas de las
afirmaciones son verdaderas?
9. Si: x∈ <0; 3>, entonces, ¿a qué intervalo
pertenece: 4 ?
2x + 5
I. y<x
II. x<y<0
III. xy>0
IV. xy<0
2
3
V. x >y
4. Si x∈<−3; 4]
Determinar el intervalo de cada una de la
siguientes expresiones:
a) P(x)=2x+1
b) Q(x)=7x−11
5. Si: (3x−5) ∈ [4; 10>
Determinar el intervalo de cada una de las
siguientes expresiones:
a) P(x)=10+2x
b) Q(x)=2(x−11)
4 ?
2 − 3x
10. Si: x∈ <−4; −3>, entonces, ¿a qué intervalo
pertenece: 4x + 13 ?
x+ 3
11. Si: 2 G 4x + 3 G 3, entonces, ¿a qué intervalo
x+ 2
pertenece x?
12. Si: x∈ <−3; 2>
Hallar el intervalo de: "3x+5"
13. Si: x∈ <3; 8>
Hallar el intervalo de: 2−5x
14. Si: 2x+1 ∈<3; 7>
Hallar el intervalo de: 3x+7
15. Si: 3x−2 ∈ <−8; 7>
Hallar el intervalo de: 4−x
Tú puedes
1. Si: a>b>0, hallar el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones.
2
2
I.
b > a+b
a+b
a
II. a +b <2ab
III.
a2 + b2 > a
IV. ` a j − 1 < c b m − 1
b
a
a) VFVV
d) FVFV
b) VFVF
e) FFVV
c) FFVF
2. Si: (3x−a+b) ∈ [2a+b; 4b−a>; a<0<b
Además: F(x)=abx y F(x) ∈ <N; P]
Determine el valor de " P "
N
a) a
b) b
e) 1
d) b
a
3. Si x∈ <−2; 1], entonces:
¿A qué intervalo pertenece:
Colegios
154
TRILCE
c)
5 ?
2 − 3x
a
b
a) <0; 1>
b) <−∞; 1> ∨ [2; +∞>
c) <−∞; − 5 > ∨ [5; +∞>
8
d) < −∞; −5] ∨ < 5 ; +∞>
8
e) <−5; 5 >
8
4. Si: x∈ [1; 4] y se sabe que: m G x + 4 G n
x+3
Calcular: "m+n"
a) 13/7
d) 67/28
b) 19/28
e) 65/68
c) 17/4
5. Si: x + 7 ∈ [4; 13]
x−5
2
Hallar el intervalo de: x −14x+46
a) [−5; 7>
d) [−5; 25]
b) [−3; 25]
e) <−1; 17]
c) [−3; 1]
Central: 6198 – 100
Capítulo
31
Intervalos
Lectura: La música y los símbolos matemáticos
Intervalo se refiere a aquel espacio o distancia que media entre dos momentos o entre dos puntos, según
corresponda la situación. En tanto, será en la música, en la matemática y en el teatro donde mayormente
uno se puede encontrar con el empleo
de este término de manera regular.
Porque para la matemática un intervalo
será todo un subconjunto conexo de la
recta real.
Para representar a los mismos,
generalmente se usan dos tipo de
notaciones: a y b con el signo del
corchete. Por otra parte, en la música se
llama intervalo a la diferencia de altura
(frecuencia) que puede darse entre
dos notas musicales y que es medida
cuantitativamente en grados o notas
naturales y en términos cualitativos a
través de semitonos.
FUENTE: http//bach2411111.blogcindario.com
En este capítulo aprenderemos
Intervalos
.. La ubicación de los números en la recta numérica.
.. Entender y representar intervalos:
–– Intervalos abiertos
–– Intervalos cerrados
–– Intervalos semi abiertos
–– Intervalos infinitos
.. Intersección y unión de conjuntos en la recta numérica.
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Segundo año de secundaria
155
31
Capítulo
Síntesis teórica
Intervalos
Abierto
Recta
Tipos
Numérica
Cerrado
Infinitos
Intersección
y unión
Colegios
156
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
1. Indique el intervalo haciendo el uso de los
símbolos de desigualdad que represente a todos
los números "x" entre −2 y 5.
2. Ordene los siguientes números reales:
−7; −3; 0; 4; 3 ; −2; 2; −5
4. Si se tiene el conjunto:
A={3, 5, 7} y B={−3, 3, 8}
Dar la suma de elementos del conjunto A∪B
5. Si se tienen los conjuntos:
A={3, 5, 8, 12}
B={−7, −1, 5, 8, 14}
Hallar la suma de elementos del conjunto A∩B.
3. Si: a=−7 y b=5 donde a<xGb
¿Cuántos números enteros toma "x"?
Aplica lo comprendido
1. Representa gráficamente lo siguiente:
a) x<−7
3. Del siguiente gráfico:
B
A
−7
−2 6
10
¿Qué intervalo entre A y B, representa el área
sombreada?
b) xH4
2. Represente gráficamente lo siguiente:
a) −5<xG1
4. Si: A=<−3; 2], B=<0; +∞>
Determine:
a) A∪B
b) A∩B
b) x∈[−2; 3]
5. Si: A=<−2; 5]∪<7; +∞>, B=<−1; 9]
Determine: A∩B
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Segundo año de secundaria
157
31
Capítulo
Aprende más
1. Indique verdadero (V) o falso (F)
I. En el intervalo [−3; −1] existen tres valores
enteros.
II. El mayor valor en el intervalo <−4; 3> es 3.
III. La suma de todos los elementos enteros del
intervalo <−2; 4> es 5.
a) VVF
d) FFV
b) VFV
e) FFF
2. La representación
intervalo:
−∞
a) <2; 5]
d) <2; 5>
c) VFF
gráfica
corresponde
b) <3; 4>
e) <2; 5]
c) <3; 6>
3. Representar gráficamente y relacionar:
I. [1; 4]
A. −∞ −1
II. <1; 5>
B. −∞
III. −1Gx<4
C.
D.
IV. x>5
a) IA, IIB, IIIC, IVD
c) IB, IIC, IIID, IVA
e) ID, IIA, IIID, IVC
+∞
5
−∞
−∞
+∞
4
1
+∞
5
4
1
+∞
b) ID, IIC, IIIA, IVB
d) ID, IIC, IIIB, IVA
c)
7
8
3
8
b)
−3
8
5. Si: (x+7)∈<−3; ∞>, entonces representar
gráficamente el intervalo de: "2x−1"
a)
c)
Colegios
158
TRILCE
−21
c)
−1
7
7. Si: (1−x)∈<−3; 7>, entonces representar
2
gráficamente el intervalo de: "x −10"
−10
26
−10
26
c)
b)
26
10
8. Dados los conjuntos: A=<−5; 8>; B=<3; 11]
Determinar cuántos números enteros hay en:
A∪B.
a) 13
d) 16
b) 14
e) 17
c) 15
9. Dados los conjuntos: M=<−3; 8>; N=<5; 10];
P=<−6; 1].
Determinar "a × b". Si M∪N∪P ∈ <a; b]
a) −30
d) −18
b) −40
e) 18
c) −60
10. Si: A=<−8; 2]; B=<−5; 10]; C=<7; 14]
Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres
conjuntos se representa de la forma:
A
−∞ m
n
C
B
p
q
r
s +∞
Hallar: (m+s)+np+r−q
4. Si: x∈<−2; 3], entonces representar
gráficamente el intervalo de: "x+5"
a)
b)
5
a)
a)
+∞
5
2
al
6. Si: (2x−1)∈<−∞; −7], entonces representar
2
gráficamente el intervalo de: x −10
b)
a) −5
d) 7
b) −3
e) 17
c) −1
11. Si A=<−10; 4] ∪ <0; 6>
B=<−∞; 0> ∪ [2; +∞>
Hallar: "A∪B"
a) <−10; 6>
b) <−10; 0>∪<2; 6>
c) <−∞; −10>∪<6; +∞>
d) B
e) R
−21
−21
Central: 6198 – 100
Álgebra
12. En cada caso halla A∩B
B
A
a) −∞ 2
13. Dados los conjuntos:
M=<−3; 2]
A=[−1; 0]
T=[0; 3]
4
5
+∞
9
B
A
b) −∞ −1
3
7 4
A
c) −∞
B
2
e) −∞
−2
2
5
b) A∩T
d) M∩S
e) M∩A∩T∩ ∩S
+∞
+∞
a) 0
d) 3
II. A∩C=
IV. B∩C=[5; 7]
b) 1
e) 4
c) 2
15. Se dan los conjuntos en R :
A=<−2; 9>−{3}
B=<4; 8>−{5}
C=[−3; 6>∪{7}
Hallar:
a) A∩B
d) A∩B∩C
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c) A∩T∩
14. Sean los intervalos:
A=[−1; 4]
B=<2; 7]
C=[5; 9]
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
III. A∩B∩C=
B
1
a) M∩A
I. A∩B=<2; 4>
B
−3 −1
A
+∞
9
A
d) −∞
+∞
=<−3; 0]
S=[−2; 2]
Hallar:
b) A∩C
c) B∩C
Segundo año de secundaria
159
31
Capítulo
Practica en casa
1. Indique verdadero (V) o falso (F):
I. En el intervalo [−2; 3] existen cinco valores
enteros.
II. El menor valor en el intervalo [−4; 2> es −4.
III. La suma de todos los elementos enteros del
intervalo <−3; 5> es 4.
2. Indicar a que intervalo corresponde el siguiente
gráfico:
−∞
A. −∞
II. <2; 5]
2
5
B. −∞
III. −1<xG3
C.
IV. x<2
D.
+∞
2
+∞
−∞ −1
2
+∞
−∞ −1
3
+∞
4. Si: x∈ [−3; 2>, entonces representar
gráficamente el intervalo de: "x−5"
5. Si: (x+10) ∈ <2; ∞>, entonces representar
gráficamente el intervalo de: "3x−2"
6. Si: (5x−17) ∈ <−∞; −37], entonces representar
gráficamente el intervalo de: "1−3x"
7. Si: (−2x) ∈ <−6; 8], entonces representar
2
gráficamente el intervalo de: "x +10"
8. Dados los conjuntos:
A=<−7; 5>; B=<2; 8] determinar el número
de cantidades entera que hay en: A∪B.
9. Dados los conjuntos: A=<−5; 6>, B=<3; 7],
C=<−8; 8]; determine "a+b".
Si: A∪B∪C ∈ <a; b]
10. Si: A=<−6; 4], B=<−3; 12], C=<9; 16]
Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres
conjuntos esta representada por:
−∞
a
b
c
d
Hallar: (a+c)+(f.e)+(d+b)
11. Si: P=<−12; 2]∪<5; 8>
Q=<−6; 7>∪[4; 15>
Hallar: "P∪Q"
Colegios
160
TRILCE
e
B
a) −∞ −4 −2 1
b) −∞ −7 −2
f
+∞
c) −∞
d) −∞
5 +∞
B
A
B
−3
1
A
e) −∞
+∞
8
−5
A
5 8 +∞
B
A
3. Relacionar cada intervalo según corresponda:
I. [−1; 2>
A
+∞
3
−2
12. En cada caso hallar A∩B
B
6
−2 1
+∞
+∞
13. Dados los conjuntos:
M=<−3; 1]
A=[1; 7]
T=<7; 13>
=<8; 13>
S=<−2; 6]
Hallar:
a) M∩A
b) A∩S
d) A∩T∩ ∩S
e) M∩A∩T∩ ∩S
c) A∩T∩
14. Sean los intervalos:
A=<−3; −2>
B=[−1; 2>
C=<−2; 5]
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I. A∩B=[−2; −1>
II. A∩C={−2}
III. B∩C=<−1; 2>
IV. A∩B∩C=
15. Se dan los conjuntos en R
A=<−4; 7>−{0}
B=<−2; 8>∪{3}
C=<−1; 6>−{3}
Hallar:
a) A∩B
b) B∩C
c) A∩C
d) A∩B∩C
Central: 6198 – 100
Álgebra
Tú puedes
1. De los siguientes enunciados:
I. A=[−1; 2]∪<12; 20>; B=<−∞; −8]∪[5; 9>
→ A∩B=ø
II. A=<−∞; −5>∪<6; 10]; B=<−5;
−1]∪<2; +∞]
→ A∩B=<6; 10]
III. A=[−6; −1]∪<3; +∞>; B=<−∞;
2>∪<5; 9]
→ A∩B=<−6; −1]
Son verdaderos:
a) Sólo I
d) I y II
b) Sólo II
e) I, II y III
c) Sólo III
2. Si: (1−2x) ∈ <2b+1; 1−6a]
Además, el intervalo de "x", está representado
gráficamente por:
b−9
3
4 − 7a
2
4. Sean los intervalos:
A=<−1; 3]∪[5; 7>
B=<−2; 2>∪<5; 6]
C=<−3; 1]∪[6; 8>
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I. A∩B=<−1; 2>∪<5; 6]
II. A∩C=<−3; 1]∪[5; 7>
III. B∩C=<−2; 1]∪<5; 8]
IV. A∩B∩C=<−1; 1]∪{6}
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
5. Sean los intervalos:
A=<−3; 4]∪[7; 9>
B=<−3; 1>∪<6; 8]
C=<−4; 0>∪<7; 11>
Hallar:
I. (A∪B)∩(B∪C)
Determinar:"a+b"
a) −11
d) 10
b) 7
c) 0
e) Imposible determinar
II. (A∪B)∩(A∩C)
3. Sean los conjuntos en R
A=<−3; 8>; B=<−∞; 3]; C=[6; +∞>
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
III. A∩B
I. (A∪B)∩C=<−∞; 7]...........................(
II. (A∩C)∪B=<−∞; −3>∪<6; 8>.....(
III. (C−A)=[8; +∞>............................... (
IV. A'=<−∞; −3]∪[8; +∞>..................(
IV. B∩C
a) VFFV
d) FFVF
www.trilce.edu.pe
b) FVFV
e) VVFV
)
)
)
)
c) FFVV
Segundo año de secundaria
161
32
Capítulo
Inecuaciones I
Lectura: Las inecuaciones y la interpretación de resultados
Al terminar los temas de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades e intervalos entramos al mundo
de las inecuaciones y podemos introducir el tema aprendiendo a diferenciar ecuaciones de inecuaciones.
Porque lo primero que nos preguntamos al
ingresar a este tema es cuál es la diferencia y
la respuesta es muy simple que las ecuaciones
son igualdades donde obtendrás valores exactos;
ejemplo: ecuación lineal obtendrás una solución,
ecuación cuadrática obtendrás dos soluciones y
así sucesivamente, mientras, que las inecuaciones
son desigualdades y no importa el grado porque
siempre obtendremos un intervalo de resultados.
Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_V_g3inTTPu4/SFqd9iQBI
En este capítulo aprenderemos
Inecuaciones I
.. La definición de inecuación.
.. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución.
.. Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita,
resolución.
Colegios
162
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Síntesis teórica
Inecuaciones I
Definición
www.trilce.edu.pe
De primer grado, con una
incógnita
Sistemas de inecuaciones de
1er Grado con una incógnita
Segundo año de secundaria
163
32
Capítulo
Saberes previos
1. Expresar de manera simbólica:
c) La quinta parte de "x" menor o igual que 3
4. Simboliza las siguientes proposiciones:
a) 5 es menor que 15
..................
b) 3 es mayor que 1
..................
c) "x" es un número positivo
..................
d) "y" es un número negativo
..................
d) Los tres medios de un número "Z" es mayor
5. Expresar simbólicamente las siguientes gráficas
a) Un número "x" menor que 8
b) El duplo de "x" mayor o igual que 32
que 15
2. Expresar el conjunto solución de cada caso del
problema anterior, usando notación de intervalo.
3. Resolver cada caso indicando su conjunto
numérico.
a) Si: x∈ N ; x+3<7
b) Si: x∈ Z+ ; 2x – 3≤7
c) Si: x∈ Z- ; 5x>–25
a)
b)
c)
x
–∞
3
5
+∞
x
–∞
3
+∞
x
–∞
7
+∞
Aplica lo comprendido
1. Determine el intervalo solución de:
a) 1 – x<x – 1
b) 2(x – 1) – 3(x+1)≥0
2. Indique el intervalo solución de:
a) 2x − 1 > 1 b) 2 − x # 1
3
4
8
6
3. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones.
2
2
a) (x – 3) >(x+2)
b) (x+7)(x – 2)≤(x+6)(x – 2)
4. Graficar la solución de cada uno de los siguientes
sistemas.
Z 2x
−1 < 1
]
b) [ 3
a) '2x − 1 # − 7 x + 1 > − 10
] 3x + 1 # 10
\ 2
5. Resolver en Z
7(x – 1)+10 ≤ 5(x+2) – 13 < 6(x+1)
Determine el producto del máximo y mínimo
valor que asume "x".
Aprende más
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
I. Si 2x – 1>5 → x ∈<3; ∞>
II. Si 3x+1≥7 → x ∈ [2; ∞>
III. Si 5 – 2x≥7 → x ∈ [–1; ∞>
a) VVV
d) VFF
b) VVF
e) FVF
c) VFV
2. De las siguientes proposiciones:
I. 5<x+2<9 → x ∈<3; 7>
II. 1≤x – 3<2 → x ∈ [4; 5>
III. 1< 2x + 1 ≤5 → x ∈<1; 7>
3
IV. –1< 1 − x <3 → x ∈<–5; 3>
2
¿Cuántas son verdaderas?
a) 4
d) 1
Colegios
164
TRILCE
b) 3
e) ninguna
c) 2
3. Indicar verdadero o falso según corresponda:
I. x+1>–5 → x ∈<–∞; –6>
II. –3x – 1<5 → x ∈<–∞; –2>
III. –2x+1>5 → x<–2
a) VVV
d) FFV
b) FFF
e) FVF
c) VFV
4. Resolver: 5(2x–1)–3(3x+1)≤7(2x+1)–5(3x–1)
Indicar el mayor valor que puede tomar la incógnita.
a) –9
d) 9
b) 10
e) N.A.
c) 11
5. Resolver: 2x + 1 − 3x + 1 > x − 1 − 2x + 1
3
2
6
4
Indicar el intervalo solución:
a) [1; ∞>
d) <–∞; 1>
b)
− 3; 1
2
e)
− 3; − 1
2
c) 8 1 ; 3
2
Central: 6198 – 100
Álgebra
6. Resolver:
2
(2x – 1)(2x+1) – (x+1)(x – 1)≤3(x – 2)
¿Cuál de los siguientes valores no es solución
para la inecuación?
a) –95
d) 89
b) –155
c) 1
e) Todas son soluciones.
7. Resolver:
2
2
2
2
(2x – y) +(2x+y) – 2y >2(2x–1) +6x
Indicar el mínimo valor entero de la incógnita "x"
a) 1
d) 2
b) 5
e) –1
c) 0
8. Resuelve el siguiente sistema:
(x − 4) (x + 2) $ (x − 5) (x + 7)
)
(x − 3) (x + 2) < (x + 1) (x + 3)
a)
− 9; + 3
5
d) <–3; 1>
b) <–3; 1]
e)
c)
− 9 ; 27 B
5 4
− 3; 27 B
4
9. Resuelve el siguiente sistema de inecuación:
^x + 3h2 –^x–3h2 2 48
)
^x + 6h2 + ^x–6h2 2 x^2x + 8h
a) <4; 8>
d) <6; 8>
b) <4; 9>
e) <4; 11>
c) <5; 7>
10. Halla el conjunto solución del sistema de
inecuaciones:
x + 2 # x; x + 4 # x + 1; 2x + 17 > x
2
5
4
a)
0; 17
3
b) <1; 3>
d)
3; 17
3
e)
c) 62; 17
3
5; 19
3
11. Resuelve el siguiente sistema:
7x − 2 < 5x + 6 < 9 (x + 1)
2
3
5
a)
2; 3
5 2
b)
1; 3
2
d)
3 ; 18
2 11
e)
1; 1
5 2
12. Resolver el sistema:
Zx x−1
]2+ 3 >3
[x+1 x
− <1
]
4
\ 3
a) <2; 5>
b) <1; 3>
d) <4; 8>
e) <5; 8>
c) <0; 1>
c) <4; 9>
13. Indicar la suma de valores enteros que verifican
el sistema:
Z 3x x − 2
] 2 + 6 # 13
[ 2x x + 2
>2
−
]
4
\ 3
a) 10
b) 15
c) 20
d) 6
e) 18
14. Indicar el intervalo solución del sistema:
Z 4x − 1
7x − 1
] 3 +4 # 2 +2
[ 4x − 3
− x < 2 (x + 1)
]
2
3
\
c) [0; 5>
a) 81; 13
b) 2; 13
2
2
d) 82; 13
2
e) [1; 6]
15. Cuántos valores naturales verifican el sistema de
inecuaciones:
x+4 # x−2 G x+3
5
3
4
a) 3
b) 8
c) 5
d) 7
e) 9
Practica en casa
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
I. Si 4x+1>9 → x ∈<2; ∞>
II. Si –3x+2>11 → x ∈ <–3; ∞>
III. Si x ≥1 → x ∈ [2; ∞>
2
2. De las siguientes proposiciones:
I. 5<x – 1≤6 → x ∈<6; 7>
II. –1<x+2<1 → x ∈<–3; –1>
III. 2< 3x + 1 <5 → x ∈<–1; 3>
2
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IV. –1< 1 − x <1 → x ∈<–4; 2>
2
¿Cuántas son verdaderas?
3. Indicar verdadero o falso según corresponda:
I. –4x+1>9 → x>–2
II. –2x – 1≥5 → x≤–3
III. –x+3<5 → x>–2
4. Resolver:
7(3x – 1) – 5(4x+2)≥5(3x+1) – 4(4x – 2)
Indicar el menor valor que toma la incógnita.
Segundo año de secundaria
165
32
Capítulo
5. Resolver:
3x − 1 − 2x + 1 < x + 4 − 3 x − 1
3
2
6
4
Indicar el intervalo solución.
6. Resolver:
2
(3x – 1)(3x+1) – (2x+1)(2x – 1)≤5(x – 2)
Indicar el máximo valor de la incógnita.
7. Resolver:
2
2
2
2
(3x – y) +(3x+y) – 2y < 2(3x – 1) – 14
Indicar el máximo valor entero que asume la
incógnita "x"
8. Resuelve el siguiente sistema:
2x+3 ≤ 3x+4 ≤ 4x+5
9. Resuelve el siguiente sistema
(x − 3) (x + 1) $ (x − 4) (x + 3)
)
(x + 4) (x + 5) < (x + 2) (x + 9)
10. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones
11. Halla el conjunto solución del siguiente sistema
de inecuaciones:
x − 1 < x; x + 3 $ x − 1; 8x − 5 > x
3
4
2
12. Resolver el sistema:
Zx−1 x−2 1
] 4 + 5 > 4
[x x 2
] − + <2
4
\2
13. Calcular la suma de valores enteros que verifican
el sistema:
Zx
2x + 3
]2 +1 > 6
[ 2x + 1 x − 1 x + 1
$
−
]
2
4
\ 3
14. Indicar el intervalo solución del sistema:
Z2
1 1
] 3 (x + 1) − 6 # 6 (x + 9)
[ 2 (2 x + 1 )
]
− 1 > − 3 (x + 1 ) − x − 1
3
2
2
6
\
15. ¿Cuántos números naturales satisfacen
siguiente sistema de inecuaciones?
1 # x−1# x + 7
2
4 3
(x + 4) 2 − (x − 4) 2 $ 64
)
(x + 5) 2 + (x − 5) 2 < 2 (x2 + x)
el
Tú puedes
1. Hallar el conjunto A sabiendo que:
A = $ x d R / la proposición 2x + 5 > − x − 1
3
−2
sea falsa
a) <–7; ∞>
d) <–∞; –7]
b) [–7; ∞>
e) <–7; 7>
c) <–∞;–7>
a) ;
1 ;+3
(m + n) 2
c)
− 3;
1
E
(m + n) 2
b) ;
1 ;+3
(m − n) 2
d)
− 3;
1
E
(m − n) 2
e) [0; +∞>
2
2. Resolver: (ax+1)(bx+1)<abx +1
Si: a<b<0
a) x<0
d) x>1
b) x>0
e) x∈Ø
c) x<1
3. Resolver la siguiente inecuación:
x + x + x + x > 1+ 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3 15 35 63 2 6 12 20 30 42 56 72
a) x> 1
2
b) x< 1
2
d) x<– 1
2
e) x>2
4. Resolver:
(m + n) x + 1 $ m + n + 1
m+n
c) x>– 1
2
5. Indicar el intervalo solución del sistema:
Z 2x + 1
1 x+1 2
] 6 +23 > 9 − 3
]]
1 x x+1
[2 + 2 2 > 4 + 8
]
] 2x + 1 + 5 > x + 1
4
\ 7
a)
− 81; 43
3 5
b)
− 55 ; 43
4 3
c)
− 81; 55
3 4
d)
− 55 ; − 81
4
3
e)
− 55 ; 35
4 3
(m − n) x + 1 $ m − n + 1
m−n
siendo: m>n>0
Colegios
166
TRILCE
Central: 6198 – 100
33
Capítulo
Inecuaciones II
Lectura: La programación lineal
En este capítulo se trabajan los Sistemas de
Inecuaciones con dos Incógnitas. Su resolución
es una habilidad que te conviene adquirir ya que
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
Zx y # 2
] +
[ x − 2y $ − 4
]y $1
\
x
0
1
y=2–x
2
1
x
0
2
2
3
será indispensable para resolver ejercicios de
PROGRAMACIÓN LINEAL.
La programación lineal un sistema que sirve para
y=
x +2
2
optimizar recursos. Ya fue utilizado con éxitos en
el bloque de la URSS a Berlín y mucho antes para
conseguir un mayor engorde del ganado con el
menor alimento posible. Su desarrollo real comenzó
1
en 1947 cuando G.B. Dantzing formuló un sistema
denominado método símplex para la resolución de
estos problemas.
FUENTE: http://4.bp.blogspot.com
En este capítulo aprenderemos
Inecuaciones II
.. Resolver sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas.
.. Desarrollar un plan para llevar a cabo la resolución y planteo de
un problema textual de una inecuación de 1er. Grado.
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Segundo año de secundaria
167
33
Capítulo
Síntesis teórica
Inecuaciones II
Sistema de inecuaciones lineales
con dos o más incógnitas
Problemas de inecuaciones
Solución de
problemas
Colegios
168
TRILCE
Central: 6198 – 100
Álgebra
Saberes previos
1. Si: x – 3<7; hallar la suma de los números
naturales que toma "x"
2. Resuelva las siguientes inecuaciones
a) 3x − 1 < 11
2
b) 2x − 1 $ 5
3
3. Graficar los siguientes intervalos
a) x ∈ <–7; 5]
b) x ∈ [3; +∞>
c) x ∈ <–∞; 4]
4. Representar
gráficamente
expresiones:
a) 4 < x ≤ 7
b) –7 ≤ x < 3
c) – 1 < x < 1
2
5
las
siguientes
5. Luego de resolver, indicar la suma de valores
enteros que verifique el siguiente sistema de
inecuaciones.
x − 3 < 5 ......... (I)
)
2x − 1 $ 5 .......... (II)
Aplica lo comprendido
1. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el
sistema
x>y
'
x<3
x+y es igual a:
2. Resolver el sistema en enteros positivos
Zx < 5
]
[y < 5
] 2x + 3y > 19
\
luego indicar el valor de: xy
3. Resolver el sistema en enteros positivos:
3x < 2y
)
x+y < 4
indicar: xy
4. Resolver el sistema en enteros:
x+y<3
2x – y<1
luego indicar: xy
5. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el
sistema.
x+y # 3
*x – y # 2
x$2
indicar: xy
Aprende más
1. Si "x" e "y" son enteros positivos que verifican
el sistema:
x − 3y > 2
)
x–y<7
Entonces x+y puede ser:
a) 5
d) 8 ó 9
b) 6
e) 9 ó 10
c) 7 ó 8
2. Resolver el sistema en enteros positivos:
x+y < 5
)
x−y > 1
indicar: xy
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
3. Resolver el sistema en enteros para luego indicar
el valor de: x – y
Z 5x − 3 > 2
]
[ 2x + y < 11
]y > 5
\
a) 6
b) –6
c) 4
d) –4
e) 2
+
4. Resolver en Z
Zx+y
#1
]
]] 7
y
[ −1$x
]5 5 5
]] x # 1
\3
Indicar el valor de y/x
a) –1
d) 4/3
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b) 2/3
e) 1
c) –4/5
Segundo año de secundaria
169
33
Capítulo
+
5. Resolver en Z :
Zx y
] − > 2
] 3 5 15
[ x + y < 11
]
2 2
]
>
3
y
\
10. Un número entero es tal que su duplo,
aumentado en siete unidades es menor que 101.
Y su quíntuplo, disminuido en treinta unidades
no es menor que 200. Hallar tal número.
2
Indicar el valor de x +y
a) 4
d) 9
a) 40
d) 47
2
b) 16
e) 36
c) 25
6. Resolver en Z
Zx y
]4+6 #1
]
[x − y # 1
]]
2
x
>
1
\
a) –2
d) 7
7. Resolver en Z
Zx y
] − > 1
]] 3 7 21
[ 3x + y < 13
]y > 2
]
\x < 3
b) 4
e) 8
2
2
b) 8
e) 9
c) –6
b) –4
e) –9
c) –8
Colegios
170
TRILCE
c) 41
b) 90
e) 120
c) 100
14. Se compra un número par de naranjas, si se
venden la cuarta parte, quedan menos de 59 por
vender, y si se vendiera la sexta parte quedaría
más de 64 por vender. ¿Cuántas naranjas se
compraron?
a) 64
d) 56
b) 78
e) 66
c) 82
15. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que
la tercera parte del que le precede disminuida en
una decena, es mayor que 14, y que la cuarta
parte del que le sigue, aumentado en una decena
es menor que 29.
Indicar un valor de: E=x+y
b) 5
e) 8
b) 1
e) 21
13. Un carpintero hizo cierto número de sillas.
Vende 49 y después le quedan por vender más
de la mitad. Hace después 9 sillas y vende 20
quedándole menos de 41 sillas. ¿Cuántas sillas
ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un
número par de sillas?
a) 80
d) 110
9. Si: {x; y; z} 1 N ; resolver:
Z 3y < 2x
]
] 4y > 8
[
]] 2x + 5 < 2z
\ z < 12
a) 4
d) 13
c) 56 años
12. José tiene cierta cantidad de dinero, gasta
S/. 10 y lo que le queda es más que los 2/3 de
lo que tenía inicialmente, gasta luego la mitad
y el saldo es menor que S/. 11. ¿Cuántos tenía
inicialmente?
a) 61
d) 31
8. Resolver el sistema en los enteros:
Z 2x − 5y > 30
]
[ x + 3y < − 22
]y > − 8
\
Indicar: x+y
a) –5
d) 5
b) 54 años
e) N.A.
+
Hallar el valor de: y – x
a) 5
d) –7
c) 6
c) 46
11. La edad de mi padre disminuida en su tercera
parte no es mayor a 38 años. Pero, si al doble
de su edad le disminuimos la tercera parte de
su edad actual no es menos que 95 años. ¿Qué
edad tiene mi padre?
a) 55 años
d) 57 años
Indicar el mayor valor de "xy"
b) 45
e) 48
c) 6
a) 57
d) 85
b) 63
e) 74
c) 49
Central: 6198 – 100
Álgebra
Practica en casa
1. Resolver el sistema en enteros positivos:
x+y < 6
)
x−y > 2
Indicar: xy
2. Resolver el sistema en enteros positivos e indicar
el mayor valor de "x+y"
x + 2y < 10
)
x−y > 4
3. Calcular los valores enteros de "x" e "y" que
verifican el sistema:
Z 5x − 3y > 2
]
[ 2x + y < 11
]y > 3
\
Indicar: "x+2y"
4. Resolver en Z
Zx+y
<1
]
]] 10
x−y
<1
[
] 6
]] x $ 1
\5
Determinar el máximo valor de "x"
5. Resolver en Z
Z
y
] x − $ 11
2
2
]]
x + y #− 1
[3 2
6
]
]] y > − 1
\5
Indicar el mínimo valor entero que puede tomar "y"
6. Resolver en Z
Zx y
] − # 1
]] 6 9 2
x+y
#1
[
] 3
]] x > 1
\2
Indicar el valor de "xy"
7. Resolver en Z
Zx−y
$1
]
]] 10
(x + y)
[− 6 $ 1
]
]] − y < 1
\ 10
8. Al resolver el sistema
Z 5 < 3y − 2 x
]
[5 < x + y
]11 > x + 2y
\
+
para {x; y}∈Z
Calcular: E=x+y
9. Hallar las soluciones enteras y positivas del
sistema:
2y < x
* 4y > 7z
x − 4 < 2z
Calcular: x+y+z
10. Un número entero es tal que su triple, aumentado
en once unidades es menor que 98. Y su duplo,
disminuido en diecisiete no es menor a 39.
Hallar dicho número.
11. Mi dinero es tal que, si tuviera la tercera parte
más no sería mayor que S/. 1000. Pero, si tuviera
la tercera parte menos no sería menos a S/. 500.
¿Cuánto dinero tengo?
12. Ricardo tiene cierta cantidad de propina, gasta
$8 y lo que queda es más que los 3/4 de lo que
tenía inicialmente; luego gasta la mitad y el saldo
es menor que $13. ¿Cuánto tenía inicialmente?
13. Un panadero hizo cierto número de tortas.
Vende. Vende 29 y después le queda por vender
más de la mitad. Hace después 9 tortas y vende
10 quedándose menos de 30 tortas. ¿Cuántas
tortas ha hecho inicialmente el panadero?
14. Hallar un número natural, sabiendo que la
quinta parte del que le precede disminuida en
una docena, es mayor que 4, y que la tercera
parte del que le sigue, aumentado en una docena
es menor que 40.
15. Tres supervisores cuentan el número de piezas
que por minuto fabrica una máquina. El primero
contó la mitad menos 3, el segundo contó la
sexta parte y 7 piezas, y el tercero contó la cuarta
parte y 5 piezas. Si el primero contó más piezas
que el segundo, pero menos que el tercero.
¿Qué número de piezas arroja la máquina por
minuto?
Indicar el máximo valor entero de "y"
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Segundo año de secundaria
171
33
Capítulo
Tú puedes
1. Luego de resolver en enteros el siguiente sistema:
Zx + y + z > 8
]
]x − y + z < 4
[
]] z − y > 0
\z < 5
Indicar: y+z
a) 7
d) 3
b) 5
e) 2
c) 4
2. Siendo "x", "y", "z" los valores enteros que
satisfacen el siguiente sistema:
Z x + y + z > 14
]
]x − y + z < 6
[
]] y < z
\z < 7
El valor de la expresión x y3 − z2 − 8 es:
a) 1
d) 4
b) 3
e) 2
3. Luego de resolver en Z
Z2
] (x − y) # 3 (x + y)
2
]3
[ 1 (x − y) $ x
]6
]y < 1
\
Colegios
172
TRILCE
c) 5
Indique el valor de "x"
a) –1
d) 3
b) 2
e) 1
c) 0
4. Hallar los valores enteros de x, y, z que satisfacen
el siguiente sistema
Z x − 2y + z < 1
]
]x − y + z > 1
[
]] 4x + y − 2z < 1
\z < 4
Indicar: xyz
a) 1
d) 12
b) 8
e) 27
c) 6
5. Entre Carlos y Daniel tienen menos de 6 hijos;
Daniel tiene más hijos que Pablo y aunque
Carlos tuviera un hijo menos, seguiría teniendo
más hijos que Pablo. ¿Cuántos hijos tiene cada
uno de ellos? Ordenar hijos de Carlos después
Daniel y último de Pablo.
a) 2, 1, 3
d) 3, 1, 2
b) 1, 2, 3
e) 1, 3, 2
c) 3, 2, 1
Central: 6198 – 100