Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Escuela Profesional de Matemática
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
José Alquis Manayay Manayay
Curso:
Metodologı́a del Trabajo Cientı́fico
Docente:
Dra. Gloria Marı́a Ortiz Basauri
2024
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PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
I. Información General
1.1 Tı́tulo: Grupos de simetrı́a de Lie y la solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias lineales homogéneas .
1.2 Autor: Alquis Manayay Manayay
1.3 lı́nea de investigación:Ciencias Naturales y del Ambiente.
1.4 Asesor de Especialidad: Dr. Andrés Figueroa Alvarado
1.5 Lugar: Departamento Lambayeque.
1.6 Duración estimada del proyecto: 10 meses
Fecha de inicio: 13 Diciembre 2023
Fecha de término: Septiembre 2024
II. Planteamiento de Investigación
2.1 Sı́ntesis de la situación problemática:
En la actualidad, a menudo nos encontramos con ecuaciones diferenciales ordinarias
que resultan difı́ciles o incluso imposibles de resolver mediante métodos convencionales.
El método de los grupos de simetrı́a de Lie proporciona una técnica poderosa para
analizar y resolver estas ecuaciones diferenciales. Esto significa que, si una ecuación
diferencial posee ciertas simetrı́as, estas pueden utilizarse para simplificar o resolver la
ecuación diferencial. Este método unificó y amplió significativamente las técnicas de
integración disponibles.
2.2 Formulación del problema de investigación:
¿De qué manera las simetrı́as de grupo de Lie permitirán la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales homogéneas.?
2.3 Hipótesis:
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Si se usan las simetrı́as de grupos de Lie, entonces permitirá solucionar las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas.
2.4 Objetivos:
2.4.1 Objetivo General:
Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas mediante grupos
de simetrı́as de Lie.
2.4.2 Objetivos Especı́ficos
Identificar y analizar los grupos de simetrı́a de Lie.
Solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas usando los grupos de simetrı́a de Lie.
III. Diseño Teórico
a) Antecedentes
Pardo & Gómez (2007) en su artı́culo “Solución de algunas ecuaciones diferenciales
ordinarias mediante sus grupos de simetrı́a” afirman que mediante el algoritmo
de Lie se pueden encontrar soluciones, con su respectiva clasificación, para las
ecuaciones diferenciales ordinarias, además, se puede reducir el orden de algunas
ecuaciones.
Gonzáles Moreno (2013) en su tesis de bachiller “Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden usando grupos continuos” presenta un nuevo
método para hallar la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de
primer orden usando grupos continuos, que consiste en encontrar al menos un grupo de transformaciones que mantiene invariante dicha ecuación diferencial para
que pueda ser llevada, a variables separables mediante las coordenadas canónicas
o a exacta mediante el uso del factor integrante de Lie, determinando ası́, un
nuevo camino de solución para las ecuaciones diferenciales lineales, homogéneas,
exactas, entre otras.
Rivera et al. (2015) en su artı́culo “Ecuaciones diferenciales ordinarias mediante
grupos de mentira” muestran que toda ecuación diferencial ordinaria admite un
grupo de transformaciones de Lie que la deja invariante y describen cómo encontrar soluciones exactas para las EDO de primer orden mediante los generadores
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del grupo que ésta admite.
Hussain & Alwan (2019)en su articulo ̏Reducción de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales mediante el uso del grupo de Lie˝muestran la teorı́a de grupos
de Lie para reducir el orden de las ecuaciones diferenciales ordinarias con un
parámetro y reducir una EDP a EDO.
Dı́az Mena (2020) en su tesis ̏Desarrollo de herramientas de soporte a un curso OCW-UPM sobre resolución de ecuaciones diferenciales mediante simetrı́as de
Lie˝muestra el método de simetrı́a de Lie, este método supone a las ecuaciones
diferenciales lo que el método de Galois a las ecuaciones algebraicas consiste en
aprovechar la existencia de simetrı́as inherentes a estas ecuaciones para simplificar
su resolución transformándolas en otras resoluble. Estas simetrı́as son en ocasiones apreciables y representables gráficamente, dotando al método de una belleza
intrı́nseca
da Silva Pinto et al. (2023) en su artı́culo ̏Grupos de mentira y ecuaciones de
Riccati˝muestran que el método de simetrı́a de Lie consiste en encontrar un grupo
de simetrı́a de la (EDO) y asociarle un sistema de coordenadas canónico en el que
se expresa la (EDO) de forma muy sencilla.
Perera & Gallage (2023) en su artı́culo “Métodos de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales utilizando grupos de simetrı́a de Lie” presentan.
teorı́as básicas y definiciones de grupos de simétrias continuas de EDO llamado
grupos de simetrı́a de Lie, los grupos de simetrı́a de Lie de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden determinando se puede aplicar para obtener el
cambio apropiado de variable que se pueden usar para convertir en un ecuación
diferencial ordinaria no ineal en una forma separable .
b) Bases Teóricas
1. Grupos
Es un conjunto (G, ∗) junto con una operación de grupo, generalmente llamada
multiplicación, tal que para todo dos elementos cualesquiera g y h, el producto g.h
es nuevamente un elemento de G. Se requiere que la operación de grupo satisfaga
lo siguientes axiomas:
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Asociatividad. Si g,h y k son elementos de G, entonces
g.(h.k) = (g.h).k
Existencia de elemento neutro multiplicativo
∀g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = g ∗ e = g
Existencia de elemento inverso multiplicativo
∀g ∈ G, existe g − 1 ∈ G tal que g ∗ g − 1 = g − 1 ∗ g = e
2. Homeomorfismo
Dados los conjuntos X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn , un homeomorfismo entre X e Y es una
biyección continua f : X −→ Y ,cuya inversaf −1 : Y −→ Xtambien es continua.
3. Difeomorfismo
Es un homeomorfismo diferenciable.
4. Variedad
una variedad diferenciable de dimensión m de clase ck es un par (M, A),donde M
es un espacio topológico de Hausdorff y segundo contable, A es una colección de
funciónes que cumple las condiciones siguientes:
La colección {U : (U, φ) ∈ A} es un cubrimiento abierto de M
Cada(U, φ) ∈ A es un homeomorfismo entre su dominio U ⊆ M y el abierto
φ(U ) del espacio Rm
Para cada (Ui , φi ), (Uj , φj ) ∈ A tal que Ui ∩ Uj ̸= 0, la función φj ◦ φ−1
:
i
K
φi (Ui ∩ Uj ) −→ φj (Ui ∩ Uj ) es un difeomorfismo de clase C
A es un maximal, es decir, si (U, φ) es un sistema de coordenadas sobre M tal
−1
que para todo (Ui , φi ) ∈ A, los cambios de coordenadas φ◦φ−1
son
i y φi ◦φ
k
de clase C en φi (Ui ∩ U ) y φ(Ui ∩ U ), respectivamente ,entonces (U, φ) ∈ A
5. Grupos de Lie
Un grupos de Lie de parametro r es un grupo G que tambien lleva la estructura de
una variedad suave de dimensión r de tal manera que tanto la operación de grupo.
m : G × G −→ G
m(g, h) = g.h; g, h ∈ G
i : G −→ G
i(g) = g − 1, g ∈ G
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son aplicaciones suaves entre variedades
¿Qué es una simetrı́a ?
En el mundo de la matemática, las simetrı́as son un tipo de invarianza. Una simetrı́a
consiste en una transformación u operación.(o un conjunto de ellas ) que deja invariante
al objeto matemático en cuestión. Finalmente puede extenderse hasta definirlo como
una aplicación del objeto sobre sı́ mismo tras la cual conserva su estructura.
Grupos continuos uniparamétrico de Lie
Definimos los grupos necesarios para la resolución de ecuaciones diferenciales mediante el método de simetrı́a. Se trata de los grupos continuos de Lie. Estas estructuras
se caracterizan por contener un número infinito de elementos, que en este caso son
transformaciones. En el caso de los grupos continuos de Lie. Estas transformaciones
han de ser continuas. Esto quiere decir que inducen movimientos tan pequeños que se
consideran infinitesimales, de ahı́ que se les denomina continuos.
IV. Diseño Metodológico
Diseño de contrastación de hipótesis. Se usará el método analı́ticosintético- deductivo, se trabajará la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales Homogéneas a partir de una primera solución se encontrarán nuevas soluciones
usando grupos de simetrı́a de Lie; para esto, se necesitarán las definiciones,propiedades
de grupos de Lie.
V. Aspectos Administrativos
Actividades
Planificación
1. Revisión Bibliográfica
2.Elaboración y Presentación del Proyecto
Ejecución del Proyecto
3.Definiciones de grupos de simetrı́a de Lie
4. Propiedades de grupos de Lie
5.Teoremas de grupos de Lie
6. Solución de EDO lineales homogeneas
7. Discusión de resultados
8. Conclusión
Finalización del Informe
9. Presentación del informe final
10. Sustentación del informe final
2023
Dic Ene Feb
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2024
Mar Abr May Jun Jul Ago Sep
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5.2 Presupuesto
1. Material Bibliográfico S/400
2. Material de Escritorio S/150
3. Digitación S/200
Total S/750
5.3 Financiamiento
El financiamiento del presente trabajo de investigación está ı́ntegramente a cargo
del tesista.
5.4 Producto de la investigación
Informe final del proyecto de investigación.
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Bibliografı́a
da Silva Pinto, A., da Silva, P. N., de Faria, C. O., & dos Santos, A. L. C. (2023). Grupos
de lie e equações de riccati. CONTRIBUCIONES A LAS CIENCIAS SOCIALES,
16(12), 29872–29878.
Dı́az Mena, J. (2020). Desarrollo de herramientas de soporte a un curso ocw-upm sobre
resolución de ecuaciones diferenciales mediante simetrı́as de lie.
Gonzáles Moreno, E. K. (2013). Solución de ecuaciones diferenciaes ordinarias de primer
orden usando grupos continuos.
Hussain, E. A. & Alwan, Z. M. (2019). Reduction for ordinary and partial differential
equations by using lie group. Journal of University of Babylon for Pure and Applied
Sciences, 27(2), 252–260.
Pardo, P. N. M. & Gómez, F. A. G. (2007). Solución de algunas ecuaciones diferenciales
ordinarias mediante sus grupos de simetrı́a. Educación y Ciencia, (10).
Perera, D. H. S. & Gallage, D. (2023). Solution methods for nonlinear ordinary differential equations using lie symmetry groups. Advanced Journal of Graduate Research,
13(1), 37–61.
Rivera, Gaitán; Sebastián, J. et al. (2015). Ecuaciones diferenciales ordinarias mediante
grupos de lie.
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