Subido por May S

1S. Cuadricas.

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Superficies cuadráticas.
C Á L C U L O D E VAR I A S VAR I A B L E S
D r. E l v i s C o r o m o t o A p o n t e Va l l a d a r e s
Contenido(s): 1.4
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Objetivo General
Estudiar las características básicas de las funciones cuadráticas a través
de la ecuación general que las definen y el uso de sus gráficas en ℝ3 para
la comprensión de algunos tópicos del cálculo de varias variables.
Objetivos Específicos

Reconocer la ecuación y grafico de las funciones cuadráticas mediante
sus curvas de nivel.

Emplear el concepto de curvas de nivel y de simetría para graficar
funciones cuadráticas.
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Motivación
Las funciones cuadráticas son empleadas en la arquitectura y
en la física, por ejemplo, se construyen edificaciones como
puentes, los templos donde se mantiene el sonido con cierta
armonía. También se hace notar su utilidad en las proyecciones
de la luz, por ejemplo, en los focos de los autos.
Definición.
Superficies Cuadráticas
(x-h)2 + (y-k)2 + (z-l)2 = r2
1) Esfera:
(h, k, l) es el centro de la esfera y r es la longitud
del radio.
Los conjuntos de nivel pueden ser:
circunferencias, puntos o conjuntos vacíos.
(𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2 (𝒛−𝒍)2
+ 𝒃2 + 𝒄 2 = 1
𝒂2
2) Elipsoide:
(h, k, l) es el centro del elipsoide y a, b, c son las
longitudes
de los semiejes, respectivamente. Los conjuntos de
nivel pueden ser: elipses, puntos o conjuntos vacíos.
Superficies Cuadráticas
3) Hiperboloide de una hoja:
(𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2 (𝒛−𝒍)2
+ 𝒃2 - 𝒄 2 = 1
𝒂2
(h, k, l) es el centro del hiperboloide y el signo
negativo indica la dirección del eje de simetría;
a, b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel:
elipses o hipérbolas.
4) Hiperboloide de dos hojas:
(𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2 (𝒛−𝒍)2
- 𝒂2 - 𝒃2 + 𝒄2 = 1
(h, k, l) es el centro de hiperboloide y el signo
positivo indica la dirección del eje de simetría; a,
b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel:
elipses, hipérbolas, puntos o conjuntos vacíos.
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5) Paraboloide Elíptico:
𝐳−𝐥=
6) Paraboloide Hiperbólico:
(𝒙−𝒉)2
𝒂2
+
(𝒚−𝒌)2
𝒃2
(h, k, l) es el vértice del paraboloide y la variable
lineal indica la dirección del eje de simetría; a, b son
los parámetros de los conjuntos de nivel: elipses,
parábolas, puntos o conjuntos vacíos. La concavidad
del paraboloide los determina el dominio de la
variable lineal.
𝐳−𝐥=
(𝒙−𝒉)2 (𝒚−𝒌)2
𝒂2
𝒃2
(h, k, l) es el punto de silla del paraboloide y la variable lineal
indica la dirección del respaldo de la silla; a, b son los
parámetros de los conjuntos de nivel: hipérbolas, parábolas o
rectas. El frente de la silla está dado por la variable cuadrática
con signo positivo. En la siguiente figura se muestra la gráfica
de z = y 2 - x 2
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7) Cono elíptico:
(𝒙−𝒉)2
(𝒚−𝒌)2 (𝒛−𝒍)2
+
- 2 =0
𝒂2
𝒃2
𝒄
(h, k, l) es el vértice del cono y el signo negativo indica la dirección del
eje de simetría; a, b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel:
elipses, hipérbolas, rectas o puntos.
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/2-6-superficies-cuadricas
https://www.youtube.com/watch?v=Y15czEtObBc
https://www.youtube.com/watch?v=Fi2vFA23-ls
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