Práctica 7 – Funciones
Curso Preparatorio
ITBA
FUNCIONES
Ejercicio 1
Dadas las siguientes funciones lineales:
𝑓1 (𝑥) = 1 − 2𝑥
𝑓2 (𝑥) = 3𝑥 − 6
𝑓3 (𝑥) = 𝑥 − 2
1) Determinar los puntos de intersección con los ejes coordenados.
2) Hallar los conjuntos de positividad y negatividad.
3) Representarlas en un mismo gráfico, tomando una escala adecuada.
Ejercicio 2
Siendo 𝒇𝒊 : ℝ → ℝ definidas por:
𝑓1 (𝑥) = 2 − 𝑥
𝑓2 (𝑥) = 1 − 𝑥
𝑓3 (𝑥) = 2𝑥 + 1
analizar para qué valores de x se cumple:
1) 𝑓1 (𝑥) > 𝑓2 (𝑥)
2) 𝑓3 (𝑥) > 𝑓1 (𝑥)
3) 𝑓3 (𝑥) < 𝑓1 (𝑥)
4) 𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥)
5) |𝑓3 (𝑥)| ≤ 1
6) |𝑓2 (𝑥)| ≤ 𝑓1 (𝑥)
Representar, en cada caso, las funciones y el conjunto solución en un mismo
sistema de ejes cartesianos.
Ejercicio 3
Para cada una de las siguientes funciones determinar la pendiente y la ordenada
al origen de su gráfica y decidir si la función es creciente o decreciente:
1
𝑓1 (𝑥) = 𝑥 − 2
3
2
𝑓2 (𝑥) = 4 − 𝑥
3
𝑓3 (𝑥) = 3
Ejercicio 4
Hallar, en cada caso, una función lineal f(x) que satisfaga:
1) 𝑓(−1) = 2
𝑦
𝑓(4) = −2
1
𝑓(2) = − 2
𝑦
𝑓(−√2) = − 2
2)
1
Ejercicio 5
Dadas las siguientes funciones:
a.
b.
c.
d.
𝑓(𝑥) = 1 + |𝑥|
𝑔(𝑥) = 1 − |𝑥|
ℎ(𝑥) = 2 − |2 − 𝑥|
𝑚(𝑥) = |1 + 2𝑥|
e. 𝑟(𝑥) = 𝑥 − |𝑥|
f. 𝑠(𝑥) = 1 + |1 − 𝑥| + 𝑥
g. 𝑡(𝑥) = 1 − 𝑥 + |2 + 𝑥|
h. 𝑢(𝑥) = 𝑥 − |𝑥 − 1| + 2
1
Curso Preparatorio
1)
2)
3)
4)
Práctica 7 – Funciones
ITBA
Calcular los ceros.
Hallar los puntos de intersección con el eje y.
Representarlas tomando una escala adecuada.
Expresar mediante un intervalo la imagen de cada una.
Ejercicio 6
Dadas las siguientes funciones:
1
φ3 (x) = 3x − x 2
2
φ1 (x) = 6 − 3x 2
φ2 (x) = x 2 − 2x
φ4 (x) = x 2 − 2x + 1
φ5 (x) = x 2 + 2x − 3
φ6 (x) = −2 − x 2 + 2x
se pide, para cada una de ellas:
1. Expresarla en forma canónica.
2. Hallar el vértice y el eje de simetría de su gráfica.
3. Hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados.
4. Hallar el conjunto de positividad, el de negatividad.
5. Representarla tomando una escala adecuada, y, utilizando un intervalo o unión de
intervalos, expresar el conjunto imagen.
Ejercicio 7
Sea la función cuadrática f(x) = a(x + 2)(x − 6). Determinar el valor de a ∈ R de manera
que la Imagen de f sea el intervalo (−∞, 24]. Con el valor de a encontrado, hallar los
conjuntos de negatividad y de positividad de f.
Ejercicio 8
Analizar la paridad de las siguientes funciones:
1. 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥
5. 𝑚(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 2
2. 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥 2
6. 𝑡(𝑥) = (1 − 2𝑥)2
3. ℎ(𝑥) = 1 − |𝑥|
7. 𝑟(𝑥) = 𝑥 + |𝑥|
4. 𝑧(𝑥) = 2
8. 𝑠(𝑥) = |2𝑥 − 3|
Ejercicio 9
Dadas las siguientes funciones:
2
Curso Preparatorio
Práctica 7 – Funciones
ITBA
1. Expresar el dominio de cada una de ellas mediante un intervalo.
2. Hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados.
3. Representar dichas funciones tomando una escala adecuada y determinar la
Imagen de cada una de ellas.
Ejercicio 10
Dadas las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
Indicar el dominio y los ceros.
Analizar si −2 ∈ 𝐼𝑚 𝐻(𝑥), 3 ∈ 𝐼𝑚 Φ(x), 9 ∈ Im F(x).
Representar cada una de ellas tomando una escala adecuada.
Indica la Imagen de cada una.
5. Hallar 𝐻(4), 𝐻(2), 𝐻(0), Φ(-2), Φ(8), Φ(−1), 𝐹(0), 𝐹(4), 𝐹(−1).
Ejercicio 11
Para cada una de las siguientes funciones:
𝑓(𝑥) = −
1
1
2
1
𝑥+2
, 𝑔(𝑥) =
, ℎ(𝑥) = 1 −
, 𝑚(𝑥) =
− 2 , 𝑠(𝑥) =
2−𝑥
1 − 2𝑥
𝑥
1+𝑥
𝑥−3
1. Indicar el Dominio.
2. Hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados.
3
Práctica 7 – Funciones
Curso Preparatorio
ITBA
3. Hallar las asíntotas y clasificarlas.
4. Expresar mediante intervalos el conjunto Imagen.
5. Representar tomando una escala adecuada.
Ejercicio 12
Sea la función racional dada por 𝑓 (𝑥) = 2 −
a) Comprobar que 𝑓 (𝑥) =
−4(𝑥+4)
(𝑥+1)2
8
10
𝑥+1
2𝑥 2
− (𝑥+1)2 − (𝑥+1)2 se pide:
, si x ≠−1.
b) Hallar el conjunto de ceros de f(x).
c) Encontrar el conjunto donde h(x) es negativa siendo h(x) = f(x).
𝑥+1
−4
Ejercicio 13
Se define 𝑓: ℝ → ℝ
(𝑥 + 2)2
𝑓(𝑥) = { |𝑥| + 1
2 − √𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 4
𝑠𝑖 4 < 𝑥
se pide:
a) Hallar la gráfica de la función estableciendo también el conjunto de ceros y el
conjunto Imagen.
b) Hallar, si existe, m ∈ ℝ que sea solución de la ecuación √𝑓(−5) + 6𝑚 + 𝑚2 = 𝑓(−2).
Ejercicio 14
Analizar si 8 pertenece a la imagen de f siendo:
2𝑥 + 11
f(x)={𝑥 2 − 5𝑥 + 6
|𝑥 + 3|
𝑠𝑖 𝑥 < −1
𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑠𝑖 3 < 𝑥
Ejercicio 15
Sea 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
1+3𝑥
1. Hallar el dominio de f.
2. Calcular a sabiendo que (3,a) está en el gráfico de f.
3. Decidir si -2 pertenece a la imagen de f.
Ejercicio 16
Hallar el Dominio de las siguientes funciones:
4
Práctica 7 – Funciones
Curso Preparatorio
1. 𝐟(x) = √2 − x + √x + 3
2. f(x) =
x−1
x+3
4
8. f(x) = √x + 3 −
1
9. f(x) = 4 3
√4−x2
2−x
x−3
3
x2 −2
5. f(x) = √
1+x
6. f(x) = √
7. f(x) = √−x − √1 − x
√−x
3. f(x) = √1 − √1 − x
4. f(x) =
ITBA
√x −1
1
+ √x2
1
4−x
−
1
10. f(x) = |x| − |
−1
x
√5−2x
x
|
1−2x
Ejercicio 17
Calcular 𝒇 ∘ 𝒈 𝒚 𝒈 ∘ f para cada una de las siguientes funciones:
𝑓(𝑥) = |1 − 𝑥|
𝑔(𝑥) = √𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1
c) {
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 2
𝑓(𝑥) = 𝑥−2
d) {
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2
a)
{
b)
{
1
indicando Dominio e Imagen de f(x) y g(x) y Dominio de cada función
compuesta.
Ejercicio 18
Indicar el Dominio A de las siguientes funciones y analizar si son inyectivas o
sobreyectivas si 𝒇𝒊 : 𝑨 → ℝ:
1. 𝑓1 (𝑥) = −3(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)
2. 𝑓2(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 15
3. 𝑓3 (𝑥) = 6𝑥 2 − 𝑥 − 1
4. 𝑓4 (𝑥) = √1 − 3𝑥
1−2𝑥
5. 𝑓5 (𝑥) = 𝑥+3
6. 𝑓6 (𝑥) = −2𝑥 2 − 5𝑥 + 3
7. 𝑓7 (𝑥) = 7𝑥 − 3
8. 𝑓8 (𝑥) = |1 − 2𝑥|
5
Práctica 7 – Funciones
Curso Preparatorio
ITBA
9. 𝑓9 (𝑥) = 2 − √1 − 𝑥
Ejercicio 19
Para las funciones del ejercicio anterior que no sean biyectivas, definir conjuntos A y
B, lo más amplio posibles, tal que 𝑓𝑖 : 𝐴 → 𝐵 sea biyectiva y calcular 𝑓𝑖 −1 (𝑥). Graficar en
el mismo sistema de ejes cada función con su inversa utilizando una escala adecuada.
Ejercicio 20
Sean 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑦 𝑔: 𝐶 → 𝐷 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 16. Hallar A, B, C y D
para que exista la función fog y sea sobreyectiva.
Ejercicio 21
Dadas 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥,
a) Hallar el dominio y la imagen de (fog)(x) y (gof)(x)
b) Hallar un dominio para que f sea inyectiva de modo que 𝑓 −1 (−3) = −1.
Ejercicio 22
Dadas las siguientes funciones:
1. 𝑓(𝑥) = |2 − 𝑥 2 |
2. 𝑔(𝑥) = −5|𝑥 2 − 5𝑥 + 6| + 2
𝑥−2
3. ℎ(𝑥) = 𝑥−1
2𝑥−1
4. 𝑘(𝑥) = 1+3𝑥
5. 𝑚(𝑥) = 𝑥 + 2
6. 𝑞(𝑥) = 3𝑥 2 − 27𝑥 + 6
realizar las siguientes operaciones y graficar las funciones obtenidas. En los
casos que se tenga que operar con funciones que tienen valor absoluto, escribir
las funciones obtenidas como funciones por tramos.
1. 𝑓(𝑥) + 𝑞(𝑥)
2. 𝑞(𝑥) − 𝑚(𝑥)
3. 2. ℎ(𝑥)
4. 𝑘(𝑥) − 1
5. 𝑓(𝑥) + 3𝑚(𝑥)
6. 𝑔(𝑥) − 2𝑞(𝑥)
6
Práctica 7 – Funciones
Curso Preparatorio
ITBA
Ejercicio 23
Siendo
1
3−𝑥
𝑓: ℝ − {3} → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =
𝑔: ℝ → ℝ definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3
ℎ: ℝ → ℝ definida por ℎ(𝑥) = 2𝑥 2 − 5𝑥 − 2
indicar los valores de x para los cuales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥) ≥ 1
𝑓(𝑥) > |𝑔(𝑥)|
ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)
|𝑓(𝑥)| ≥ 2
|𝑓(𝑥)| ≤ 2
Ejercicio 24
Para cada uno de los siguientes pares de curvas:
1
1. 𝑦 = |1 − √𝑥| , 𝑦 − 2 = 0
2. |𝑦 + 1| = 𝑥 2 , |𝑦 + 1| = 1
1. Hallar los puntos de intersección.
2. Representar la región limitada por esas curvas, indicando en el gráfico la ecuación
correspondiente a cada una de ellas.
Ejercicio de integración
1) 𝑆𝒆𝒂𝒏 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒄 , 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝒌. 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒄, 𝒌 ∈ ℝ
𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑰𝒎(𝒇) = [−𝟒; +∞)𝒔𝒂𝒃𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 (𝒈𝒐𝒇)(𝒙) 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒖𝒏𝒂 ú𝒏𝒊𝒄𝒂 𝒓𝒂í𝒛.
2) 𝑳𝒂𝒔 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝒇(𝒙) = 𝒑𝒙 + 𝟑 , 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝒒,
𝒄𝒐𝒏 𝒑 𝒚 𝒒 ∈ 𝑰 ⊂ ℝ 𝒚 𝒑 ≠ 𝟏, 𝒔𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨 = (𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ).
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝒚𝑨
𝒙𝑨
𝟐−𝟑𝒙
.
𝟓𝒙−𝟏
3) 𝑫𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙+𝒃 𝒚
𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟑 , hallar los valores de
𝒂 𝒚 𝒃 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒎𝒖𝒍𝒕á𝒏𝒆𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆:
𝑰𝒎(𝒇) = 𝑫𝒐𝒎(𝒈)
𝑰𝒎(𝒈) = 𝑫𝒐𝒎(𝒇)
7
Curso Preparatorio
Práctica 7 – Funciones
ITBA
4) 𝑺𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒇(𝒙) = −√𝒙 + 𝟐 + 𝟏 𝒚 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔:
𝒂) 𝑬𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑪+ 𝒅𝒆 𝒇 𝒆𝒔 𝒗𝒂𝒄í𝒐 𝒐 𝒇 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒃) 𝑬𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑪+ = [−𝟐; −𝟏) 𝒚 𝒇 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒄) ∀𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇): 𝒙 ∈ (𝟐; 𝟕] ⇒ 𝒇(𝒙) < −𝟏
𝒂𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏.
5) 𝑫𝒂𝒅𝒂 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒇(𝒙) = 𝒂|𝒙 − 𝟏| + 𝒃𝒙 − 𝟑 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ∈ ℝ, 𝒃 ∈ ℝ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒓
𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖é 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂 𝒚 𝒃 𝒔𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒔𝒊𝒎𝒖𝒍𝒕á𝒏𝒆𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆:
𝟏) 𝒇(𝟐) = 𝟓
𝟐) 𝒇 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝐭𝐚𝐧𝒕𝒆 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏
𝟔
𝟐
6) 𝑺𝒆𝒂𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔: 𝒇(𝒙) = 𝒙 , 𝒈(𝒙) = √𝟗 − 𝟑𝒙𝟐 , 𝒉(𝒙) = 𝒙 ,
𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒒(𝒙) = 𝒇(𝒙). 𝒉(𝒙) + 𝒈(𝒙).
8
