PP 10 Tema 4 Funciones Recursivas

Funciones recursivas
y de orden superior
Paradigmas de programación
Grado en Ingeniería del Software
Soto Montalvo
soto.montalvo@urjc.es
(Adaptado por Eduardo G. Pardo)
Paradigmas de Programación
Grado en Ingeniería del Software
Objetivos
• Aprender a definir funciones de forma más compacta
mediante la recursividad y el orden superior
• Aprender a definir funciones anónimas y el concepto de
polimorfismo
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Contenidos
1. Funciones recursivas
2. Funciones de orden superior
3. Expresiones lambda
4. Polimorfismo
5. Bibliografía
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Contenidos
1. Funciones recursivas
2. Funciones de orden superior
3. Expresiones lambda
4. Polimorfismo
5. Bibliografía
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Funciones recursivas
• Una definición se dice que es recursiva si el concepto
que se está definiendo participa (aparece) en la
definición
• Ejemplo: La definición de un factorial de un entero
positivo se puede realizar de forma recursiva
n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1
(n-1)! = (n-1)*(n-2)*...*2*1
Entonces:
n! = n*(n-1)!
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Funciones recursivas
• Ejemplo: cálculo de 3!
3! = 3*2! = 3*2*1! = 3*2*1*0!
Por definición: 0! = 1 (Caso base)
• De forma general se puede establecer que para el
factorial:
 1, si
n! = 
n * ( n − 1)!,
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n=0
si
n 1
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Funciones recursivas
• En una definición recursiva deben existir
obligatoriamente:
• Caso(s) base(s): no provocan un nuevo cálculo
recursivo, finalizando la recursión, con lo que se
puede obtener una solución
• Caso(s) recursivo(s): aquéllos que provocan la
realización de nuevos cálculos recursivos (sobre
datos más “pequeños”)
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Funciones recursivas
• En Haskell la función factorial sería:
factorial:: Int -> Int
factorial n = if n == 0 then 1
else n * factorial (n-1)
• Si se combina el uso de patrones con la recursividad
la definición de la función queda más compacta
factorial:: Int -> Int
factorial 0 = 1
factorial n = n * factorial (n-1)
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Funciones recursivas
• Tipos de recursividad:
• Recursividad lineal: la aplicación de la función
contiene una única llamada recursiva
• Recursividad no lineal: la aplicación de la función
contiene más de una llamada recursiva (conocida
también como recursividad múltiple)
• Ejemplo: serie de Fibonacci, ya que
recursivamente la función se aplica más de una vez
1, si n = 0  n = 1

Fibonacci (n) = 
 Fibonacci( n − 1) + Fibonacci( n − 2),
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si n  2
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Funciones recursivas
• Árbol de llamadas recursivas (Fibonacci(5))
Fib(5)
Fib(3)
Fib(4)
Fib(3)
Fib(2)
Fib(2)
Fib(2)
Fib(1)
Fib(1)
Fib(0)
1
1
Fib(1)
1
Fib(0)
1
1
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Fib(1)
1
Fib(1)
Fib(0)
1
1
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Funciones recursivas
• La recursividad lineal se puede clasificar, a su vez, en:
• Recursividad final o de cola: si la llamada recursiva es
la operación más externa, es decir, es la última
operación que se ejecuta
• Recursividad no final: cuando la recursividad es lineal,
pero no de cola
• Ejemplo: ¿Qué tipo de recursividad tiene el factorial?
n! = n*(n-1)!
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(No final)
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Funciones recursivas
• La recursividad final es especialmente interesante ya que
conduce a un método sencillo y alternativo de construir
programas (técnica de los parámetros de acumulación)
• El método consiste en definir una función auxiliar con
algún(os) parámetro(s) adicional(es) para calcular el
resultado
• Los parámetros suelen ser internos para no tener que
recordarlos a la hora de usar las funciones
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Funciones recursivas
r , si n = 1

fact 2( n, r ) = 
 fact 2( n − 1, n * r ), si n  1
• Ejemplo: factorial
fact:: Int -> Int
fact n = fact2(n,1)
fact2:: (Int,Int) -> Int
fact2 (n,r) = if n == 1 then r
else fact2(n-1,r*n)
Evaluación: fact 4 → fact2(4,1) → fact2(3,4) → fact2(2,12)
→ fact2(1,24) → 24
(Recursividad final, ya que la llamada recursiva es la última
operación que se efectúa)
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Funciones recursivas
• En el ejemplo del factorial, en su versión de parámetros
de acumulación, el resultado calculado por fact2 es el
mismo que el de fact
• A su vez, el segundo parámetro de fact2 “acumula” el
valor del resultado que se devuelve cuando n=1
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Funciones recursivas
• La técnica de parámetros de acumulación tiene cierta
similitud con los bucles en la programación imperativa
• Ejemplo: bucle para el cálculo del factorial en Pascal
...
r := 1;
while n > 1 do
Begin
r := r*n;
n := n-1;
end;
…
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Contenidos
1. Funciones recursivas
2. Funciones de orden superior
3. Expresiones lambda
4. Polimorfismo
5. Bibliografía
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Funciones de orden superior
• Consiste en tratar a las funciones como datos del lenguaje:
• Se pueden tener funciones como argumentos de otras
funciones
• Se pueden tener funciones como resultado de otras
funciones (composición de funciones)
• Se pueden tener estructuras de datos que contienen
funciones
• Ventajas:
• Programas más concisos
• Programas genéricos
• Potenciación de la reutilización
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Funciones de orden superior
• Funciones como argumento
incremento :: Int -> Int
incremento x = x + 1
dosVeces :: (Int -> Int) -> Int -> Int
dosVeces f x = f (f x)
ModuleName> dosVeces (*3) 2
3
ModuleName> dosVeces doble
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ModuleName> dosVeces incremento 2
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Funciones de orden superior
• Funciones como resultado
• Se utiliza mucho con la currificación
sumac:: Int -> (Int -> Int)
sumac x y = x + y
ModuleName> sumac 2 3
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Funciones de orden superior
• Algunas funciones de orden superior sobre listas:
función map
• map f xs, obtiene una lista resultado de aplicar la
función f a cada elemento de la lista xs
ModuleName> map (*2) [3,4,7]
[6,8,14]
Pruebas1> map even [1..5]
[False,True,False,True,False]
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Funciones de orden superior
• Algunas funciones de orden superior sobre listas:
función filter
• filter p xs, devuelve los elementos de la lista que
cumplen alguna condición
ModuleName>filter even [1..10]
[2, 4, 6, 8, 10]
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Funciones de orden superior
• Algunas funciones de orden superior sobre listas:
función all
• all p xs, verifica si todos los elementos de la lista xs
cumplen la propiedad p.
ModuleName> all even [2,4,8]
True
ModuleName> all even [1,4,8]
False
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Funciones de orden superior
• Algunas funciones de orden superior sobre listas:
función any
• any p xs, verifica si algún elemento de la lista xs
cumple la propiedad p.
ModuleName> any even [1,2,3]
True
ModuleName> any even [1,3,5]
False
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Funciones de orden superior
• Función de plegado de listas por la derecha:
función foldr
• Muchas de las funciones que se definen sobre listas
siguen el siguiente patrón recursivo:
• Si el argumento es la lista vacía, se devuelve cierto
valor base (correspondiente al caso base de la
definición).
• En otro caso, se opera, mediante cierta función u
operador (plegador), la cabeza de la lista y una
llamada recursiva con la cola de la lista.
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Funciones de orden superior
• Función de plegado de listas por la derecha:
función foldr
• Ejemplos de funciones sobre listas con patrón similar
sumaLista :: [Int] -> Int
sumaLista [] = 0
sumaLista (x:xs) = x + sumaLista xs
(El valor base es 0 y el plegador es (+))
productoLista :: [Int] -> Int
productoLista [] = 1
productoLista (x:xs) = x * productoLista xs
(El valor base es 1 y el plegador es (*))
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Funciones de orden superior
• Función de plegado de listas por la derecha:
función foldr
• Ejemplos de funciones sobre listas con patrón similar
verdad:: [Bool] -> Bool
verdad [] = True
verdad (x:xs) = x && verdad xs
(El valor base es True y el plegador es (&&))
concatenar:: [[Int]] -> [Int]
concatenar [] = []
concatenar (sublista:resto) = sublista ++ concatenar resto
(El valor base es [] y el plegador es (++))
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Funciones de orden superior
• Función de plegado de listas por la derecha:
función foldr
• Esquema básico de la recursión sobre listas es algo como:
f [] = valor
f (x:xs) = x ’operación’ (f xs)
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Funciones de orden superior
• La función foldr hace una abstracción del valor base y el
plegador, de forma que:
• Recibe como parámetros un operador, un valor inicial y
una lista.
• Pliega la lista a un único valor colocando el operador
entre los elementos de la lista.
• Empieza por la derecha con el valor inicial.
foldr (+) e [w,x,y,z]
es igual al valor de la expresión:
(w + (x + (y + (z + e))))
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Funciones de orden superior
• Función de plegado de listas por la derecha:
función foldr
• Redefinición de funciones utilizando foldr:
sumaLista :: [Int] -> Int
sumaLista = foldr (+) 0
> sumaLista [1,2,3]
6
productoLista :: [Int] -> Int
productoLista = foldr (*) 1
> productoLista [2,3,2]
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Funciones de orden superior
• Función de plegado de listas por la derecha:
función foldr
• Redefinición de funciones utilizando foldr:
verdad :: [Bool] -> Bool
verdad = foldr (&&) True
> verdad [1<2, False, 3*4<20]
False
concatenar:: [[Int]] -> [Int]
concatenar = foldr (++) []
> concatenar [[1,2],[10],[4,7]]
[1,2,10,4,7]
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Funciones de orden superior
• Función de plegado de listas por la izquierda:
función foldl
• Realiza el plegado de la lista de izquierda a derecha
• Recibe como parámetros un operador, un valor inicial y
una lista.
• Pliega la lista a un único valor colocando el operador entre los
elementos de la lista
• Empieza por la izquierda con el valor inicial
foldl op e [x1,x2,x3] ; (((e op x1) op x2) op x3
ModuleName> foldl (-) 3 [2,3,5]
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Contenidos
1. Funciones recursivas
2. Funciones de orden superior
3. Expresiones lambda
4. Polimorfismo
5. Bibliografía
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Expresiones lambda
• Se pueden definir funciones anónimas mediante
expresiones lambda (también denominadas –
expresiones)
x -> x * 2
• En Haskell se escribe \ en lugar de la letra griega lambda
\x -> x * 2
ModuleName> (\x -> x * 2) 5
10
• La notación proviene del calculo lambda, en el cual está
basado Haskell
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Expresiones lambda
• Son muy útiles como argumentos de funciones de Orden
Superior
dosVeces :: (Int -> Int) -> Int -> Int
dosVeces f x = f (f x)
ModuleName> dosVeces (\x->x + 1) 20
22
invertirLista :: [Int] -> [Int]
invertirLista = foldr (\x lista -> lista ++ [x]) []
ModuleName> invertirLista [1,2,3]
[3,2,1]
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Expresiones lambda
• Evitan tener que dar nombre a funciones que sólo se van a
utilizar una vez
impares n = map f [0..n-1]
where f x = x
* 2 + 1
ModuleName> impares 5
[1,3,5,7,9]
odds n = map (\x->x * 2 + 1) [0..n-1]
ModuleName> odds 5
[1,3,5,7,9]
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Contenidos
1. Funciones recursivas
2. Funciones de orden superior
3. Expresiones lambda
4. Polimorfismo
5. Bibliografía
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Polimorfismo
• Haskell da la opción de incluir la declaración de cada una
de las funciones que definimos en un módulo
• Si incluimos la declaración, estamos particularizando el
uso de la función a un tipo concreto de dato
• Si no incluimos la declaración, la función podrá ser
aplicada a todo tipo de dato compatible con las
operaciones incluidas en la definición de la función:
POLIMORFISMO.
• Aumenta la reusabilidad
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Polimorfismo
• Se dice que un tipo es polimórfico si en la expresión que
lo declara aparece al menos una variable
• En Haskell es posible declarar una función usando un tipo
genérico que desempeña el papel de cualquier tipo
compatible con la definición
• Se dice que un tipo es polimórfico si en la expresión que
lo declara aparece al menos una variable
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Polimorfismo
• Ejemplo:
longEntero:: [Int]->Int
longEntero []=0
longEntero (_:xs)= 1 + longEntero xs
Variable de Tipo
(vale cualquier
nombre)
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longChar:: [Char]->Int
longChar []=0
longChar (_:xs)= 1 + longChar xs
longitud:: [a]->Int
longitud []=0
longitud (_:xs)= 1 + longitud xs
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Contenidos
1. Funciones recursivas
2. Funciones de orden superior
3. Expresiones lambda
4. Polimorfismo
5. Bibliografía
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Bibliografía
• Haskell: The Craft of Functional Programming (2nd
Edition). Simon Thompson. Addison-Wesley.
• RAZONANDO CON HASKELL. Un curso sobre
programación funcional. Blas Carlos Ruiz, Francisco
Gutiérrez, Pablo Guerrero, José E. Gallardo. Ediciones
Paraninfo S.A.
• Programación Funcional. Jeroen Fokker. Universidad
de Utrecht, Departamento de Informática, 1996.
• Introducción a la Programación Funcional con
Haskell (Segunda edición). R. Bird. Prentice Hall.
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