IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta I NTRODUCCIÓN AL A NÁLISIS M ATEMÁTICO L A RECTA Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ciencias Básicas y Tecnológicas 2023-I Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Trujillo, 2023 Contenido IAM E.G.U.N.T. 1 Competencia/ Capacidad Competencia/ Capacidad 2 La recta Motivación:Casos prácticos 3 Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos 4 Puntos sobre una recta 5 Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta 6 Distancia de una recta a un punto dado La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Competencia/Capacidades IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Competencia Demuestra compromiso, sensibilidad, eticidad e iniciativa ante los problemas de su entorno para promover el desarrollo social y la preservación del medio. Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Capacidad Terminal Demuestra compromiso y participación con sus pares para optimizar el trabajo en equipo. Identifica los elementos de la recta y de las secciones cónicas. Construye la ecuación de la recta y de las cónicas a partir de parámetros dados. Casos prácticos IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Inclinación Una rampa para silla de ruedas tiene una elevación de 3 pies por cada cambio horizontal de 5 pies. Determine la inclinación de la rampa Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Figura: Rampa Caso práctico IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Presupuesto Suponga que el costo de un bolquete de carga es de $ 120 000 y cada año se devalúa el 8 % de su precio original. Encuentre una fórmula para el valor v del bolquete después de t años. Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Figura: Presupuesto Ecuación vectorial de una recta en el plano IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad Observación: La recta Una recta L en R2 , queda bien definida mediante dos puntos, S y T , como se muestra en la siguiente gráfica. Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Figura: Recta en forma vectorial Ecuación vectorial de una recta en el plano IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Observaciones Los puntos S y T vectorialmente se representan como s y t(como se ve en fig. anterior) y a partir de ello se obtiene el vector v = t − s cuya representación geométrica está sobre la recta L. En general un vector u(x, y ) estará sobre la recta L si u es paralelo a v (vector dirección), como se observa en la siguiente gráfica. Ecuación vectorial de una recta en el plano IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad Definición La recta L que pasa por los puntos S(x1 , y1 ) y T (x2 , y2 ) queda definida vectorialmente como: La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado u = s + r (t − s) r ∈ R (1) donde s y t son la representación vectorial de los puntos S y T . r es un parámetro. Ecuación vectorial de una recta en el plano IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Observaciones El vector v = t − s cuya representación geométrica está sobre la recta L, se le llama dirección. En general un vector u(x, y ) estará sobre la recta L si u es paralelo a v (vector dirección), como se observa en la siguiente gráfica. Si el parámetro r se restringe a un intervalo cerrado (a ≤ r ≤ b) entonces se tiene un segmento de la recta L. Si r = 0 entonces, en la ecuación de la recta u = s. Si r = 1 entonces u = t. Por tanto, cuando r ∈ [0, 1], el punto U recorre el segmento que une los puntos S y T . Los demas puntos de la recta se obtienen cuando r < 0 y r > 1. Ecuación vectorial de una recta en el plano IAM E.G.U.N.T. Interpretación del parámetro Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Figura: Interpretación del parámetro Ecuación vectorial de una recta en el plano IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Observaciones La ecuación vectorial de la recta se puede usar para calcular las coordenadas de un punto que esté sobre el segmento ST a una distancia dada de S. Las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta L son: Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado x = x1 + r (x2 − x1 ) y = y1 + r (y2 − y1 ) r ∈ R donde S(x1 , y1 ) y S(x2 , y2 ). U(x, y ). (2) Ejemplos IAM 1 E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad 2 La recta Motivación:Casos prácticos 3 Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos 4 Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano x0 = Pendiente de una recta Ecuación de la recta 5 Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta 6 Distancia de una recta a un punto dado Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos S(3, −2) y T (4, 4). Determine las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento cuyos extremos son los puntos (3, −4) y (6, 2). Determine la ecuación paramétrica vectorial del segmento que une el punto (2,5) con el punto medio del segmento cuyos extremos son (5,1) y (7,-3). Demuestre que las coordenadas del punto medio M(x0 , y0 ) del segmento con extremos S(x1 , y1 ) y T (x2 , y2 ) son: x1 + x2 ; 2 y0 = y1 + y2 2 Determine las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (-3,4). Si u = (3, 2) + r (−1, 2) es la ecuación paramétrica vectorial de la recta L muestre que el punto (6,1) no está sobre la recta L. Vector dirección IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad Vector dirección Cualquier vector v no nulo que sea paralelo a la recta L se llama vector dirección de L. La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Sea L una recta que pasa por S(x1 , y1 ) y que es paralela a v = (h, k ). Un punto U(x, y ) está sobre L si y sólo si: u = s + rv ; r ∈R (3) Observaciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Si v es un vector dirección de la recta L que contiene al punto S, entonces un punto U está sobre L si y sólo si u − s es paralelo a v Si v es un vector de dirección de la recta L que contiene al punto S, entonces un punto u, está sobre L, si y sólo si : Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado (u − s) · v = 0 Si el vector de dirección v es unitario, entonces en la ecuación u = s + rv , |r | es la distancia que separa a s de u. Pues d(S, U) = ∥u − s∥ = |r |∥v ∥ = |r |(1) = |r | Ejemplo IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 1 Sea L la recta cuya ecuación es: u = (1, 6) + r (3, 4). Determine las coordenadas de los puntos que se encuentran a 10 unidades de distancia de S(1, 6). Solución: Por la observación anterior se hace unitario al vector v = (3, 4) es decir ∥vv ∥ = ( 35 , 54 ). Luego u = (1, 6) + r ( 35 , 45 ). Se busca las coordenadas de U(x, y ) tal que |r | = 10, esto es r = 10 y r = 11. Luego: para r = 10 u = (1, 6) + 10( 35 , 54 ) = (1, 6) + (6, 8) = (7, 14). r = −10 u = (1, 6) − 10( 35 , 54 ) = (1, 6) + (−6, −8) = (−5, −2). Angulo de inclinación de una recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Definición: Sea L una recta en R2 , se llama ángulo de inclinación de L al que forma con el eje X en su parte positiva cuando L se mueve en sentido antihorario. Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Figura: Angulos en el plano Pendiente de una recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Definición de pendiente Se llama pendiente de una recta no vertical, a la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir, si θ es el ángulo de inclinación de una recta L, entonces la pendiente denotada por m es: Ecuación vectorial de una recta en el plano m = tagθ Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente: m Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado m= desplazamiento vertical(elevacion) △y y2 − y1 = = desplazamiento horizontal(avance) △x x2 − x1 Pendiente de una recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Figura: Pendiente de una recta en el plano Teoremas IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado • La m de la recta no vertical que pasa por A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) es: y2 − y1 m= x2 − x1 Teoremas IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado • La m de la recta no vertical que pasa por A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) es: y2 − y1 m= x2 − x1 • Dos rectas no verticales, l1 y l2 con pendientes respectivas m1 y m2 , son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Es decir: m1 = m2 Teoremas IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado • La m de la recta no vertical que pasa por A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) es: y2 − y1 m= x2 − x1 • Dos rectas no verticales, l1 y l2 con pendientes respectivas m1 y m2 , son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Es decir: m1 = m2 • Las rectas l1 y l2 con pendientes respectivas m1 y m2 , son perpendiculares si y sólo si m1 m2 = −1 ··· IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano • Si l1 y l2 se cortan y sus pendientes son m1 y m2 y Φ es el ángulo entre l1 y l2 , entonces: tag(Φ) = m2 − m1 1 + m1 m2 con l2 de mayor inclinación y Φ ̸= 900 . Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Figura: Angulo entre dos rectas en el plano Formas de ecuaciones de recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Formas de ecuaciones de recta 1 Punto-Pendiente Sea P(x1 , y1 ) y m el punto de paso y la pendiente de una recta L, entonces: Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado y − y1 = m(x − x1 ) Formas de ecuaciones de recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad Formas de ecuaciones de recta 1 La recta Punto-Pendiente Sea P(x1 , y1 ) y m el punto de paso y la pendiente de una recta L, entonces: Motivación:Casos prácticos y − y1 = m(x − x1 ) Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 2 Pendiente-ordenada en el origen: Sea m y (0, b) la pendiente y el punto en el eje de las ordenadas, y = mx + b Formas de ecuaciones de recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad Formas de ecuaciones de recta 1 La recta Punto-Pendiente Sea P(x1 , y1 ) y m el punto de paso y la pendiente de una recta L, entonces: Motivación:Casos prácticos y − y1 = m(x − x1 ) Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano 2 Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Pendiente-ordenada en el origen: Sea m y (0, b) la pendiente y el punto en el eje de las ordenadas, y = mx + b 3 Forma general Sean A, B, C números reales con A y B no ceros a la vez, entonces: Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Ax + By + C = 0 Formas de ecuaciones de recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Formas de ecuaciones de recta 1 Recta que pasa por P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) y − y1 = y1 − y2 (x − x1 ); x1 − x2 x1 ̸= x2 Formas de ecuaciones de recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Formas de ecuaciones de recta 1 Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Recta que pasa por P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) y − y1 = y1 − y2 (x − x1 ); x1 − x2 Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 2 Recta horizontal y =b m = 0 entonces α = 00 0 1800 x1 ̸= x2 Formas de ecuaciones de recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Formas de ecuaciones de recta 1 Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Recta que pasa por P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) y − y1 = y1 − y2 (x − x1 ); x1 − x2 x1 ̸= x2 Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos 2 Recta horizontal Puntos sobre una recta y =b Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado m = 0 entonces α = 00 0 1800 3 Recta vertical x =a m no existe es caso especial, luego tanα = ∞ , α = 900 . Práctica IAM E.G.U.N.T. 1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(−6, −3) y tiene un ángulo de inclinación de 450 . Motivación:Casos prácticos 2 Halle la ecuación de la recta que pasa por A(4, 2) y B(−5, 7). Ecuación vectorial de una recta en el plano 3 Si A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7),y D(8, 0) son vértices de un cuadrilátero, hallar las ecuaciones de sus lados. 4 Muestre que los puntos (-5,2), (1,4), (4,5) son coliniales. 5 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y − 15 = 0. 6 Hallar la ecuación de la recta con pendiente -4 y pasa por la intersección de l1 : 2x + y − 8 = 0 y l2 : 3x − 2y + 9 = 0. 7 Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x + 4y + 20 = 0. Competencia/ Capacidad La recta Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 1.- Hallar la ec. de la recta que pasa por A(−6, −3) y tiene un ángulo de inclinación de 450 . Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta 1.- Hallar la ec. de la recta que pasa por A(−6, −3) y tiene un ángulo de inclinación de 450 . Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Usaremos la fórmula Punto-pendiente: y − y1 = m(x − x1 ). Luego: (x1 , y1 ) = (−6, −3) y m = tag(450 ), pero como tag(450 ) = 1 entonces m = 1. Por lo tanto la ecuación de la recta es: Ejemplos Puntos sobre una recta y − (−3) = 1(x − (−6)) Ecuación analítica de una recta en el plano y +1=x +6 Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Si se ordena y simplifica tenemos la forma general: x −y +5=0 Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 2.-Halle la ecuación de la recta que pasa por A(4, 2) y B(−5, 7). Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos 2.-Halle la ecuación de la recta que pasa por A(4, 2) y B(−5, 7). Usaremos la fórmula de la recta que pasa por dos puntos dados: y − y1 = y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 Práctica de ecuación de la recta donde (x1 , y1 ) = (4, 2) y (x2 , y2 ) = (−5, 7), entonces la ecuación de la recta es: 7−2 (x − 4) y −2= −5 − 4 5 y −2= (x − 4) −9 Forma general de la ecuación de recta ordenando y simplificando se tiene la forma general: Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Distancia de una recta a un punto dado 5x + 9y − 38 = 0 Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 3.- Si A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0) son vértices de un cuadrilátero, hallar las ecuaciones de sus lados. Soluciones IAM E.G.U.N.T. 3.- Si A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0) son vértices de un cuadrilátero, hallar las ecuaciones de sus lados. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Sean los lados del cuadrilátero AB, BC, CD y DA. Como el lado DA está sobre el eje X su ecuación es el de la recta horizontal y = 0. El lado AB tiene por ecuación: 4−0 (x − 0) 2−0 y = 2x Ejemplos y −0= Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta El lado BC tiene por ecuación: Ecuación de la recta y −4= Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 7−4 (x − 2) 6−2 que simplificando es 3x − 4y + 10 = 0 ··· IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado ··· IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta La ecuación del lado CD es: Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado y −0= 0−7 (x − 8) 8−6 7 y = − (x − 8) 2 7x + 2y − 56 = 0 De esta forma se tienen las ecuaciones de las rectas que continen a los lados del cuadrilátero. Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 4.- Muestre que los puntos (-5,2), (1,4), (4,5) son coliniales. Soluciones IAM E.G.U.N.T. 4.- Muestre que los puntos (-5,2), (1,4), (4,5) son coliniales. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Tres puntos en el plano son coliniales si ellos pertenecen a una misma recta. Si están en una misma recta, entonces tienen la misma pendiente si se calcula con 2 cualesquiera de ellos: Sea A(−5, 2), B(1, 4) y C(4, 5), luego: Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado mAB = 2 1 4−2 = = 1+5 6 3 5−4 1 = 4−1 3 5−2 3 1 mAC − = = 4+5 9 3 Por lo tanto queda demostrados que los 3 puntos son coliniales. mBC = Forma general de la ecuación de recta IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Teorema Una ecuación lineal en dos variables: Ax + By + C = 0, representa una recta y reciprocamente. Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Observación ✓ m = − BA . ✓ ordenada en el origen es − CB . Práctica IAM 1 Hallar la ecuación en forma general de la recta que pasa por (-2,4)y su m = −3. 2 Halle el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0, sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. 3 Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x − 9y + 2 = 0 con los ejes coordenados. 4 Halle el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triangulo rectángulo de área 2.5 u2 5 Muestre que la recta que pasa por los puntos (4,-1) y (7,2), bisecta al segmento cuyos extremos son los puntos (8,-3) y (-4,-3). 6 Los vértices de un cuadrilátero son A(−3, 2), B(3, 4), C(5, −4) y D(−1, −2). Muestre que los puntos medios de los lados de dicho cuadrilátero son vértices de un paralelogramo. E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 1.- Hallar la ecuación en forma general de la recta que pasa por (-2,4) y su m = −3. Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad 1.- Hallar la ecuación en forma general de la recta que pasa por (-2,4) y su m = −3. La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta La ecuación en forma general de de la recta que pasa por (−2, 4) y tiene pendiente m = −3 es: Ax + By + C = 0 por lo que nos interesa hallar los valores de A, B y C(A ̸= 0; B ̸= 0). Si pasa por (-2,4) se reemplaza en la ecuación x = −2 y y = 4 y se tiene: −2A + 4B + C = 0 (∗). Por otro lado m = −3 implica que −3 = − BA de donde se tiene: A = 3B, reemplazando este valor en (∗), se tiene: −2B + C = 0 de donde C = 2B. Luego como B ̸= 0 entonces si B = 1 se tiene: C = 2 y A = 3. La ecuación buscada es: Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 3x + y + 2 = 0 Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 2.- Halle el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0, sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. Soluciones IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta 2.- Halle el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0, sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Sea k L1 : kx + (k − 1)y − 18 = 0, entonces mL1 = − k −1 . Sea 4 L2 : 4x + 3y + 7 = 0, su pendiente mL2 = − 3 . Luego: Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado − k 4 =− k −1 3 de donde se tiene: k =4 Distancia de una recta a un punto dado IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Teorema Sea la recta l con ecuación ax + by + c = 0 y el punto P1 (x1 , y1 ), entonces la distancia de l a P se obtiene de la siguiente forma: Ecuación vectorial de una recta en el plano d= Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado |ax1 + by1 + c| √ a2 + b 2 Observaciones La distancia d es la longitud del segmento de recta perpendicular dirigido de la recta l hacia el punto p1 . IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Figura: Distancia de punto a recta Distancia dirigida IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado La distancia dirigida d de la recta dada ax + by + c = 0 al punto dado P1 (x1 , y1 ) es: ax1 + by1 + c √ d= ± a2 + b 2 donde el signo del radical se elige como sigue: 1 Si c ̸= 0 el signo del radical es contrario al de c. 2 Si c = 0 y b ̸= 0, el radical y b tienen el mismo signo. 3 Si c = b = 0; el radical y a tienen el mismo signo. Ejemplo IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Hallar la distancia dirigida que separa al punto P1 (−3, −4) de la recta cuya pendiente es -3/4 y que pasa por A(2, 1). Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Solución: La ecuación de la recta es: y − 1 = −3/4(x − 2) ⇐⇒ 3x + 4y − 10 = 0. Luego Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado d(P1 , L) = (3)(−3) + 4(−4) − 10 p + (3)2 + (4)2 −35 = −7 5 El signo negativo indica que el punto P1 y el origen están del mismo lado de la recta L. d(P1 , L) = Ejemplo IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Halle los valores de n para que la recta 5x − 12y + 3 + n = 0 y el punto A(−3, 2) disten 4 unidades. Solución: Si d(A, L) = 4, se tiene: Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta 5(−3) − 12(2) + 3 + n p =4 (5)2 + (12)2 |n − 36| = 52 ⇐⇒ n − 36 = ±52 Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado luego n = 88 o n = −16. Ejemplo IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Halle la ecuación de una recta l de pendiente negativa que no pasa por el primer cuadrante, y que forma con la recta l1 : x − 2y − 6 = 0 un ángulo α medido en sentido antihorario de l a l1 tal que tag(α)√= 2 y la distancia del origen de coordenadas a l es 4 2 Solución Ejemplo IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Halle la ecuación de una recta l de pendiente negativa que no pasa por el primer cuadrante, y que forma con la recta l1 : x − 2y − 6 = 0 un ángulo α medido en sentido antihorario de l a l1 tal que tag(α)√= 2 y la distancia del origen de coordenadas a l es 4 2 Solución l es la recta buscada de pendiente m. l1 tiene m1 = 21 . El ángulo α formado ente l y l1 cumplen con la siguiente propiedad: m2 − m1 tag(α) = 1 + m1 m2 Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado 2= 1 2 −m 1 + 12 m ⇒ m=− 3 4 Luego la ecuación de l es de la forma: 3 y = − x + b ⇒ 3x + 4y − 4b = 0 4 ··· IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad Para hallar b se usa el dato de la distancia del origen a l: La recta Motivación:Casos prácticos d= Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Luego |ax1 + by1 + c| |3(0) + 4(0) − 4b| √ √ = 2 2 9 + 16 a +b √ √ √ |b| = 5 2 ⇔ b = 5 2 ∨ b = −5 2 Las ecuaciones de l son: √ √ 3x + 4y − 20 2 = 0 ∨ 3x + 4y + 20 2 = 0 Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado sólo una no pasa por el primer cuadrante. Ejemplo IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano La relación entre la temperatura del aire, T (en F 0 ) y la altitud h(sobre el nivel del mar) es aproximadamente lineal. Cuando la temperatura al nivel del mar es de 600 , un incremento de 5000 pies en la altitud disminuye aprox. en 180 la temperatura. Exprese T en términos de h. Calcule la temperatura del aire a una altitud de 15 000 pies. Ejemplos Puntos sobre una recta Solución: Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado Como T y h se relacionan linealmente, se busca una ecuación de la forma: T (h) = ah + b, a, b constantes reales. ··· IAM E.G.U.N.T. solución(continuación): Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Como T = 60 cuando h = 0, entonces: 60 = a(0) + b ⇒ b = 60. Luego la ecuación es: T = ah + 60. Además por datos del problema, si h = 5000, la temperatura disminuye en 180 , es decir: T = 60 − 18 = 42. Sustituyendo estos valores en la ecuación T = ah + 60, se tiene: Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta 42 = a(5000) + 60 ⇒ 5000a = −18 ⇒ a = − Por tanto la ecuación buscada es: Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado T =− 9 h + 60 2500 9 2500 ··· IAM E.G.U.N.T. Competencia/ Capacidad La recta Motivación:Casos prácticos Ecuación vectorial de una recta en el plano Ecuación vectorial de una recta en el plano Ejemplos Puntos sobre una recta Ecuación analítica de una recta en el plano Pendiente de una recta Ecuación de la recta Práctica de ecuación de la recta Forma general de la ecuación de recta Distancia de una recta a un punto dado La temperatura del aire a una altura de 15000 pies se ecuentra reemplazando en la fórmula lineal hallada. T =− 9 (15000) + 60 2500 T = −54 + 60 = 60 F Por tanto, la temperatura es de 60 F .